2

SIMONA ROATEI SILVIA MARZAVAN

Geometrie analitic i diferenial - aplicaii i

probleme

EDITURA ACADEMIEI TEHNICE MILITARE BUCURETI, 2011

3

Prefa

Prezenta lucrare se adreseaz studenilor i specialitilor din universitile tehnice, economice, militare, etc., abordnd capitole de geometrie analitic i diferenial, precum i capitole de algebr liniar necesare nelegerii acestora. Obiectivul crii l constituie aprofundarea cunotinelor teoretice prin numeroase aplicaii i probleme care s nuaneze rezultatele teoretice i s pun n eviden importana lor. Am intenionat ca materialul de fa s scoat n eviden conexiunile dintre diversele ramuri ale matematicii: algebra liniar, geometria analitic, geometria diferenial, analiza matematic, analiza numeric, ecuaii difereniale, etc. La redactare am avut n vedere mbinarea rigorii matematice cu claritatea i accesibilitatea prezentrii. Cartea furnizeaz celor interesai un material de studiu n special din domeniul geometriei analitice i al geometriei difereniale. Sunt tratate urmtoarele capitole: 1. Elemente de calcul vectorial, 2. Planul i dreapta n spaiu, 3. Forme biliniare. Forme ptratice, 4. Conice, 5. Cuadrice, 6.Generri de suprafee. Suprafee riglate i de rotaie, 7. Curbe n plan, 8. Curbe n spaiu, 9. Suprafee.

Fiecare capitol este structurat astfel: o scurt prezentare teoretic cuprinznd definiiile noiunilor folosite, enunurile teoremelor i formulele de baz necesare rezolvrii problemelor, urmat de probleme rezolvate n detaliu i, n final, un set de probleme propuse spre rezolvare, unele asemntoare cu cele rezolvate, altele fiind o continuare a acestora, respectndu-se gradarea dificultii de rezolvare.

Aducem mulumirile noastre doamnei Conf. Dr. Antonela TOMA

(Universitatea Politehnic Bucureti) i domnului Prof. dr. Ing. Mat. Constantin ROTARU (Academia Tehnic Militar) pentru sugestiile i aprecierile fcute la citirea manuscrisului.

Simona Roatei Silvia Marzavan

4

Cuprins

PREFA................................................................................................................. 3

CUPRINS..... 4 PARTEA I. GEOMETRIE ANALITIC. 6 CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial.............................................................. 6

1.1. Elemente de calcul vectorial aspecte teoretice... 6 1.2. Probleme rezolvate... 12 1.3. Probleme propuse spre rezolvare.. 34 CAPITOLUL 2. Planul i dreapta n spaiu.................................................................. 39 2.1. Planul i dreapta n spaiu aspecte teoretice..................................... 39 2.2. Probleme rezolvate ............ 42 2.3. Probleme propuse spre rezolvare .............................................................. 68 CAPITOLUL 3. Forme biliniare. Forme ptratice........................................................ 76 3.1. Forme biliniare. Forme ptratice aspecte teoretice ........................ 76 3.2. Probleme rezolvate ................... 83 3.3. Probleme propuse spre rezolvare........................................................... 96 CAPITOLUL 4. Conice.............................................................................................. 101 4.1. Conice..... 101 4.2. Probleme rezolvate ................................ 110 4.3. Probleme propuse spre rezolvare ........................... 131 CAPITOLUL 5. Cuadrice . 133 5.1. Cuadrice... 133 5.2. Probleme rezolvate .................................................................................... 142 5.3. Probleme propuse spre rezolvare............................................. 146

CAPITOLUL 6. Generri de suprafee. Suprafee riglate i de rotaie....................... 149

5

6.1. Generri de suprafee. Suprafee riglate i de rotaie aspecte teoretice.. 149 6.2. Probleme rezolvate .... 156 6.3. Probleme propuse spre rezolvare .. 165

PARTEA A II-A. GEOMETRIE DIFERENIAL 168

CAPITOLUL 7. Curbe n plan.................................................................................... 168

7.1 Curbe n plan........................................................................... 168

7.2. Probleme rezolvate ... 188

7.3. Probleme propuse spre rezolvare .. 195

CAPITOLUL 8. Curbe n spaiu................................................................................... 198 8.1. Curbe n spaiu ..... 198 8.2. Probleme rezolvate ...... 214

8.3. Probleme propuse spre rezolvare ...... 228 CAPITOLUL 9. Suprafee......................................................................................... 232 9.1. Suprafee ..... 232 9.2. Probleme rezolvate ....... 248 9.3. Probleme propuse spre rezolvare ...... 260 BIBLIOGRAFIE..................................................................................................... 263

6

PARTEA I. GEOMETRIE ANALITIC.

Capitolul I

ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL

Mulimea tuturor punctelor din spaiu, notate cu litere mari ( CBA ,, ) se va nota cu 3E , numit spaiu geometric.

Planul va fi notat cu 2E .

Vectori legai, vectori liberi. Un segment orientat AB , 3, EBA , A B , se numete vector legat, fiind caracterizat prin noiunile

geometrice: direcie, sens, mrime (lungime). Doi vectori legai AB i CD se numesc echipoleni i se noteaz CDAB ~ dac au acelai suport sau suporturi paralele, au aceeai mrime i acelai sens. Numim vector liber v determinat de vectorul legat AB

mulimea tuturor vectorilor legai

echipoleni cu AB : , ~v CD AB CD . Doi vectori sunt egali dac au aceeai direcie, acelai sens i aceiai lungime. Definiia I. 1. Un vector de lungime unu se numete versor sau vector unitar. Un vector de lungime egal cu zero se numete vector nul. Opusul unui vector v

este un vector v , care are aceeai direcie i lungime cu v ,

dar sensul este opus aceluia lui v

.

Mulimea tuturor vectorilor liberi se va nota cu 3V .

7

Definiia I. 2. Fie 3, EBA , 3EO . Se numete suma vectorilor OA i AB vectorul OB , ABOAOB (regula triunghiului) (figura 1).

Figura 1

Definiia I. 3. Fie 3, Vba i 3EO . Fie bOBaOA , i fie OC diagonala paralelogramului construit pe OA i OB .

Figura 2

Vectorul liber c determinat de OC este prin definiie suma vectorilor liberi a i b , adic bac (regula paralelogramului).

Proprietatea I. 4.

a. Comutativitate: 3,, Vbaabba ; b. Asociativitate: 3,,),()( Vcbacbacba ; c. Existena elementului nul: 3,00 Vaaaa ;

O

A

B

O

CB

A

8

d. Existena elementului simetric: 3 ( ) ( ) 0,a a a a a V . Din proprietile a,b,c,d rezult c (V3,+) este grup abelian (comutativ).

Propoziia I. 5. Fie 3, EBA , 3EO . Atunci AB rrAB . nmulirea unui vector cu un scalar. Fie 3,a V R , 0 . Vectorul

a are urmtoarele proprieti: are aceeai direcie cu a , mrimea vectorului a este a a , sensul vectorului a este: acelai cu a dac 0 , sens opus lui a dac 0 i dac 0 , atunci prin definiie:

0a . Definiia I. 6. Fie 3Va . Se numete versorul vectorului nenul a , un

vector de mrime 1 care are aceeai direcie i acelai sens cu a . Dac notm cu

au versorul lui a , atunci: a

au

a

1 .

Definiia I. 7. Doi vectori se numesc coliniari dac au suporturi paralele sau coincid.

Propoziia I. 8. Doi vectori liberi nenuli 3, Vba , sunt coliniari (dac i numai dac) R \ }0{ astfel nct 3, , ,a b a b V R .

Definiia I. 9. Trei vectori se numesc coplanari dac suporturile lor sunt paralele cu acelai plan.

Propoziaia I. 10. Vectorii 3, ,a b c V cu , , 0c b c

sunt coplanari dac i numai dac exist , R astfel nct a b c .

Reper catezian. Fie O E3 un punct fixat din spaiu i trei axe Ox, Oy, Oz perpendiculare dou cte dou. Prin ax se nelege o dreapt pe care s-a fixat un punct fix, numit origine, un sens i o unitate de msur. Notm cu , ,i j k

versorii celor trei axe Ox, Oy, Oz, respectiv.

9

Figura 3

, , ,O i j k se numete reper cartezian n E3. Propoziia I. 11. Fie , , ,O i j k un reper cartezian i un punct A din spaiu, atunci , ,x y z R unice astfel nct OA xi yj zk . (1)

Numerele x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctul A

n raport cu reperul cartezian , , ,O i j k i vom nota A(x, y, z). Relaia (1) se numete expresia analitic a vectorului OA .

Propoziia I. 12. Fie A, B E3, , , ,O i j k reper. Dac A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) atunci 2 1 2 1 2 1AB x x i y y j z z k .

Dac a este vectorul liber determinat de AB , vom nota cu 2 1xa x x , 2 1ya y y i 2 1za z z . Rezult c x y za a i a j a k . Numerele xa , ya i za

sunt unic determinate i se numesc coordonatele (componentele) lui a n raport cu reperul , , ,O i j k .

10

Definiia I. 13. Fie 3,a b V . Se numete produsul scalar al vectorilor liberi a i b i se noteaz cu a b numrul

cos , daca 0, 00 daca 0 sau 0

a b a b a ba b

a b

unde [0, ] unghiul format de suporturile celor doi vectori. Propoziia I. 14. Vectorii 3,a b V sunt ortogonali (suporturi

perpendiculare) dac i numai dac produsul lor scalar este egal cu 0, 0a b . Definiia I. 15. Fie 3,a b V . Se numete produsul vectorial al

vectorilor a i b i se noteaz cu a b , vectorul liber caracterizat prin: direcie perpendicular pe planul format de suporturile lui a i b ; sens dat de regula burghiului, adic sensul su coincide cu sensul de naintare al unui burghiu care se rotete de la a ctre b cu un unghi minim ; i mrime

sin ,a b a b a b . Interpretarea geometric a produsului vectorial. Mrimea a b a

produsului vectorial a doi vectori liberi a i b , este aria paralelogramului format de suporturile celor doi vectori a

i b .

Considerm O un punct n spaiu, ,OA a OC b . Construim pe suporturile celor doi vectori paralelogramul OABC .

n particular, rezult c aria triunghiului OAC este jumtate din aria acestui paralelogram, deci 1

2OACAria a b

.

Expresia analitic a produsului vectorial. Fie , , ,O i j k un reper cartezian i doi vectori liberi x y za a i a j a k

i x y zb b i b j b k

. Atunci

11

x y z

x y z

i j ka b a a a

b b b

, determinant formal pe care l dezvoltm dup prima linie.

Definiia I. 16. Fie 3, ,a b c V . Se numete produs mixt i se noteaz cu , ,a b c un numr definit astfel , ,a b c a b c .

Interpretarea geometric a produsului mixt. Modulul produsul mixt ),,( cba este egal cu volumul paralelipipedului oblic construit pe

suporturile vectorilor ba, i c . Expresia analitic a produsului mixt. Fie vectorii ba, i c , cu

expresiile lor analitice kajaiaa zyx , kbjbibb zyx i kcjcicc zyx . Atunci :

, , x y zx y zx y z

a a aa b c b b b

c c c .

Volumul paralelipipedului construit pe vectorii , ,a b c

este

x y z

x y z

x y z

a a aV b b b

c c c .

O condiie necesar i suficient ca trei vectori ,a b i c s fie colpanari este ca

, , 0x y zx y zx y z

a a aa b c b b b

c c c .

12

Produsul dublu vectorial a trei vectori. Fie vectorii ba, , 3c V

.

Produsul dublu vectorial al vectorilor Fie vectorii ba, i c , luai n aceast ordine, este vectorul a b c . Are loc formula a b c a c b a b c .

Probleme rezolvate.

I.1. Fie O un punct fix n spaiu i OA i OB vectori de poziie ai punctelor A , respectiv B . Fie M mijlocul segmentului AB . Artai c vectorul de poziie al lui M este

2OA OBOM

.

Figura 1

Soluie. Regula paralelogramului OC OA OB . Cum M este mijlocul

segmentului AB paralelogramABCD M este mijlocul lui OC . Rezult

2 2OC OA OBOM

.

13

I. 2. Fie OA

i OB vectorii de poziie pentru dou puncte din spaiu. Fie un punct M care mparte segmentul AB n raportul . Atunci OM este dat de formula

1OA OBOM

.

Figura 2

Soluie. AM

i MB sunt coliniari, atunci exist AMMB

astfel nct

AM MB .

AM BM AMMB

OM OA OM OB OM OM OA OB

.

Avem

11

A BM A B M M A B M

r rr r r r r r r r .

I. 3. Fie OA

, OB

i OC vectorii de poziie pentru trei puncte din spaiu, , ,A B C . Fie G centrul de greutate. Atunci

3OA OB OCOG

14

Figura 3

Soluie. Fie A mijlocul segmentului BC . Atunci

2OB OCOA

.

G se afl pe AA la 23

de A i 13

de A , atunci 2;AGGA

Conform Problemei I. 2. avem

22 '

1 2

OAOA OAOG

2OB OC

3 3OA OB OC .

I. 4. Se dau vectorii:

1 2 3 1 1 2 2 3 3

1 2 3 1 1 2 2 3 3

22

u e e e u e u e u ev e e e v e v e v e

Se cere:

a) , 2 , , , ,u v u v u v u v v u ;

b) Proiecia ortogonal a lui v pe u (notat upr v);

c) Aria paralelogramului construit pe cei doi vectori;

d) S se determine un versor perpendicular pe planul format de cei doi vectori.

15

Soluie. a) 1 3 1 2 33 , 2 2 2 4 , 4 1 1 6u v e e u e e e v

,

1 1 2 2 3 3 1 2 1 1 2 1 1u v u v u v u v

1 2 31 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 1 1 3 2

1 2 3

e e eu v u u u u v e u v e u v e u v e u v e u v e

v v v

= 2 3 3 2 1 1 2 2 1 3 3 1 1 3 2 1 2 35 3u v u v e u v u v e u v u v e v u u v e e e . b) u v = cos , u vu v u v u pr v v pr u 16u

u vpr vu

c) u v A paralelogram sin , 1 25 9 35u v u v d) 1 2 3

1 5 36

u ve e e eu v

.

I. 5. S se demonstreze folosind calculul vectorial teorema cosinusului sau Pitagora generalizat ntr-un triunghi.

Figura 4

16

Soluie. tim c 2 2 2 2 cosa b c bc A . Cum AC AB BC i BC AC AB ,

avem 2

cosa a a a O a , a a a .

Dar 2 2 2a bc bc AC AB AC AB b AC AB AB AC c , de unde rezult c 2 2 2 2 cosa b c AC AB A .

I. 6. S se demonstreze concurena nlimilor.

Figura 5

Soluie. Cum AA BC , BB AC i AA BB H , rezult c CH AB i

0HC AB HC HB BC nmulim aceast relaie cu AC , de unde HB AC HC HA AC nmulim aceast relaie cu BC 0 HC AC BC AC HB AC

0

0HC BC HA BC AC BC

HC AC HC BC BC AC AC BC

17

2HC AC BC BC AC AB AC BC

0HC AC BC 0HC AB HC AB .

I. 7. Demonstrai teorema celor trei perpendiculare.

Figura 6

Soluie. Cum MA , A , AB d , rezult c MB d . Dar B d i d , avem

MB MA AB nmulim aceast relaie cu BC i obinem 0MB BC MA BC AB BC . Cum 0MA BC i 0AB BC , avem c

0MB BC . Dar MA i BC , de unde rezult MA BC .

I. 8. Fie , , ,O i j k . S se calculeze perimetrul triunghiului ABC i unghiurile triunghiului ABC .

18

Soluie. 2 2B B B A B A B AAB r r x x i y y j z z k i j k . Dar

1 1 2 2 2 2 9 3AB AB AB

Observaie: 2 2 2x y za a a a Avem 2C AAC r r i j

, 2 22 1 5AC ,

3 2C BBC r r i j k

, 9 1 4 14BC . Perimetrul triunghiului ABC este

3 5 14P

tim c cos a ba b

, avem

cos 3 5 cosAB AC AB AC A A

1 2 2 1 0 0AB AC . Triunghiul ABC este triunghi dreptunghic, atunci avem c 2 2 2 9 5 14BC AB AC , de unde rezult c 14BC . Cum unghiul 090A , avem c cos BA BCB

BA BC

.

Dar 2 2BA AB i j k , 3 2BC i j k , 3 14 cosBA BC B ,

3 2 4 9BA BC . Atunci 9cos B 33

914 14

, deci unghiul 9arccos14

B .

Dar cos 5 14 cosCA CB CA CB C C . Cum 2CA i j k ,

6 1 0 5CA CB , avem c 5 14 cos 5C , de unde rezult c 5 5cos

5 14 70C .

19

I. 9. Se tie c 22, 53

a b AB .

S se determine R astfel nct v w , unde 17v a b i 3w a b .

Soluie. Cum v w , avem c 0v w , de unde rezult 17 3 0a b a b ,

adic 2 23 51 17 0a a b b a b

Dar 2 1 1cos 2 5 10 53 2 2

a b a b

. Atunci avem

3 4 5 51 5 17 25 0 , adic 17 225 425 0 , mai mult dect att 17 225 425 , scriind 17 17 15 17 25 , obinem c 40 .

I. 10. Fie vectorii 1 2 3, ,v v v reciprocii vectorilor 1 2 3, ,v v v definii prin

2 3 3 1 1 21 2 31 2 3 1 2 3 1 2 3, ,, , , , , ,v v v v v vv v v

v v v v v v v v v .

S se verifice identitile: a) 1,, , 1, 2,3,

0,i j ij iji j

v v i ji j

;

b) 1 2 3 1 2 3 3v v v v v v . S se calculeze reciprocii vectorilor 1 22 2 , 5 3 9v i j k v i j k ,

3 9 4 2v i j k i s se verifice identitile de mai suspentru acest caz.

Soluie. a) S verificm pentru 1i j i pentru 1, 2i j . Analog se

procedeaz pentru celelalte valori. Avem

20

2 3 12 31 1 1 1 2 3 1 2 3

, ,1

, , , ,v v vv vv v v

v v v v v v , 3 11 2 1 1 2 3 0, ,

v vv v vv v v

.

b) n baza rezultatelor de la punctu a) avem

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 3v v v v v v v v v v v v . n sfrit, prin calcul obinem 1 2 3 249v v v , astfel c

142 71 47

249i j kv , 2 6 22 17249

i j kv , 3 15 28249i j kv .

Se verific uor relaii a) i b). Pentru puctul a) s verificm pentru 1i j i pentru 1, 2i j , avem

1 1 42 71 47 84 71 94 2492 2 1249 249 249i j kv v i j k ,

1 2 6 22 17 12 22 342 2 0249 249i j kv v i j k .

Pentru punctual b) avem

1 2 3 1 2 3 21 77 6512 2 14 249252 154 845 252 999 747 3.

249 249 249

i j kv v v v v v i j k

I. 11. Fie 3O E punct fixat din spaiu, 3,A B E , ,M A B . Fie MA

MB

. Atunci ,

1A B

Mr rr ,M A M B (expresia vectorului de

poziie al unui punct M care mparte segmentul AB ntr-un raport dat).

Soluie.

21

Figura 7

Avem c vectorii AM i MB sunt coliniari, atunci exist AMMB

, astfel

nct AM MB . Deci:

11

A BM A B M M A B M

r rr r r r r r r r .

I. 12. Fie 3O E punct fixat din spaiu, 3, ,A B C E . Considrm triunghiul ABC i fie AA , BB , CC mediane. S se determine vectorii de poziie ai punctelor A , B , C i vectorii ', ', 'AA BB CC (n funcie de vectorii de poziie a vrfurilor triunghiului ABC i a mrimii laturilor).

Soluie.

Avem ''

12'

B CA

BA r rrA C

(conform problemei I. 11).

Analog ' ',2 2A C A B

B Cr r r rr r .

'2'

2 2B C B C A

A A Ar r r r rAA r r r .

Analog se calculeaz vectorii BB , CC prin permutri circulare.

22

I. 13. Fie reperul , , ,O i j k i punctele 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z , 3 3 3, ,C x y z . S se calculeze coordonatele carteziene ale mijloacelor

segmentelor , ,AB BC CA .

Soluie.

Figura 8

Fie ,A B i C respectiv mijloacele segmentelor , ,AB BC CA . Vectorul de poziie al punctului A este:

2 2 2 3 3 3' ' '' 1 1 12 2

B CA

x i y j z k x i y j z kr rr x i y j z k

' ' '2 3 2 3 2 31 1 1, ,2 2 2x x y y z zx y z

Analog se calculeaz coordonatele mijloacelor segmentelor ,BC CA . I. 14. S se determine teorema sinusurilor

sin sin sina b c

A B C

Soluie.

23

Figura 9

Avem sin sin 2aa b ab C a b C ah S Dar, tim c 2a b b c c a S , sin sin sin 2ab C bc A ca B S ,

de unde rezult c sin sin sin 2 12

A B C Sa b c abc R

, deoarece 4abcR

S .

I. 15. S se demonstreze vectorial c ntr-un romb diagonalele sunt perpendiculare.

Soluie: Considerm rombul ABCD cu notaiile AB CD a , BC DA b , cu

a b .

Avem BD BA AD b a AC AB BC a b

Deci obinem c 2 2AC BD b a b a b b b a a b a a b a , de unde rezult c AC BD .

24

I. 16. S se exprime cu ajutorul laturilor unui triunghi vectorii bisectoare ai triunghiului.

Soluie.

Figura 10

Fie AA bisectoare. Notm BA p , A C q , aAA , unde p q a

Conform teoremei bisectoarei avem p cq b de unde rezult p c

p q b c , mai mult rezult

p ca b c , deci avem c

p

are expresia 0ac a cp p a a

b c a b c

Deoarece a c p

rezult c a cc ab c

.

Analog se arat c b aa bc a

, cbb c

a b

.

I. 17. Se dau vectorii: a i j , b j k , c i k . S se calculeze a) Volumul paralelipipedului construit pe vectori

b) nlimea paralelipipedului corespunztor bazei construite pe vectorii a i b

.

Soluie. tim c volumul paralelipipedului construit pe trei vectori este dat de

25

2V a b c , iar nlimea este V 2 3Aria bazei 3a b c

ha b

.

I. 18. S se calculeze volumul tetraedrului construit pe vectorii 2OA i j k , OB i j k , OC i k . Soluie. Volumul tetraedrului construit pe trei vectori este dat de

1 5, , ... . .6 6V a b c u c

I. 19. Se dau vectorii OA i j , OB j k , OC k i . S se calculeze:

a) Volumul tetraedrului construit pe vectorii , ,OA OB OC

.

b) nlimea tetraedrului cobort din O pe planul ABC .

Soluie. a) Volumul tetraedrului construit pe vectorii , ,OA OB OC

este

1 1 01 1 1, , 0 1 1 . .6 6 31 0 1

V OA OB OC u c

b) nlimea tetraedrului cobort din O pe planul ABC este 1 , , 2 36 ... . .1 92

OA OB OCI u c

OB OC

I. 20. Fiind dai vectorii 12 4 3OA i j k , 3 12 4OB i j k , 2 3 4OC i j k . S se arate c:

a) Triunghiul AOB este isoscel;

26

b) Triunghiul AOC este dreptunghic;

c) S se calculeze perimetrul triunghiului ABC ; d) S se calculeze AB BC .

Soluie. a) 13OA OB ;

b) 0OA OB ; c) 2 386 82 198 42,65p ; d) 135AB BC .

I. 21. Se dau vectorii 2a i k , 3 4b j k , 5 6c i j . S se determine i astfel ca vectorul v a b c s fie: a) Perpendicular pe planul xOz ;

b) Egal nclinat fa de axe.

Soluie. a) 1 1;

2 5

b) 28 13;59 59

.

I. 22. Fiind dai vectorii 3 2a m n i 2b m n unde 1, 2m n i

unghiul dintre ,3

m n .

S se calculeze: a) Lungimea diagonalelor paralelogramului construit pe cei doi vectori a

i

b

;

c) unghiul dintre diagonale.

27

Soluie. a) 4, 2 13a b a b

b) 1 2cos , 13d d .

I. 23. Se dau vectorii 2a i j , 3b i j k . S se determine astfel nct unghiul celor doi vectori s fie 060 .

Soluie. 10

I. 24. Se dau componentele a trei fore: 5

3

12

x

x

x

a i

b i

c i

2

6y

y

y

a j

b j

c j

7

4

15

z

z

z

a k

b k

c k

.

S se gseasc mrimea i direcia prii rezultante. Soluie.

25R kgf . 4 9 12cos , , cos , , cos ,5 25 25R i R j R k

I. 25. Se dau vectorii 2 3 4a i j k i 5 2b i j k . Se cere:

a) Produsul vectorial a b ; b) Mrimea produsului vectorial; c) Unghiul format de vectorii a

i b .

Soluie.

28

a) Produsul vectorial este 5 22 19a b i j k ; b) Mrimea produsului vectorial este 870a b ;

c) Unghiul format de vectorii a

i b este 2 .

I. 26. Se dau vectorii a i j k , 2 3b i j k , 2c i j k , 2d i j k . S se calculeze E a b c d

Soluie. 0E a b c d .

I. 27. S se rezolve sistemul de ecuaii vectoriale b b x b x b b b x ,

,b x m b x a presupunnd c a b i 0b . Soluie.

2 2

1mx b a bb b

. (Se nmulete a doua relaie la stnga cu b ).

I. 28. S se rezolve ecuaia vectorial v a b n care avem 2a i j k , 2 4b i j k i tiind c vectorul v este perpendicular pe

vectorul c i j k . Soluie.

3 12 2

v i j k .

I. 29. Se dau vectorii 3 2 5a i j k , 4b i j k , 3c i j k . S se calculeze:

29

a) Volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori;

b) Mrimea diagonalei paralelipipedului; c) nlimea paralelipipedului relativ la baza format de vectorii a i b . d) Aria total.

Soluie. a) Volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori este 17V ; b) Mrimea diagonalei paralelipipedului este 5d ; c) nlimea paralelipipedului relativ la baza format de vectorii a i b este

1759

I ;

d) Aria total este 2 59 2 134 2 222A .

I. 30. S se calculeze volumul tetraedrului ABCD unde 1,1,1A , 1,1,1B , 1, 1,1C .

Soluie. Volumul tetraedrului ABCD este 4

3V .

I. 31. Cunoscnd dou laturi 3 4AB p q , 5BC p q ale unui triunghi, s se calculeze lungimea nlimii sale CD , tiind c p i q sunt vectori unitate perpendiculari ntre ei.

Soluie. Lungimea nlimii este 19

5CD .

I. 32. S se arate c medianele unui triunghi sunt concurente. Soluie.

30

Figura 11

Fie , ,a b c

vectorii de poziie a vrfurilor triunghiului ABC . Vectorii de

poziie ai mijloacelor laturilor sunt 2

b cOA

, 2

a cOB

, 2

a bOC

.

tim c centrul de greutate se afl la 23

de vrf. Notm vectorul de poziie a lui G cu Gm .

Atunci 2AG GA , de unde rezult c 2G Gm a OA m , mai mult avem c

22G G

b cm a m

, de unde avem c 3 Gm a b c , deci 3G

a b cm

.

Procednd analog i pentru BB i CC obinem acelai vector de poziie pentru punctul care mparte segmentele BB i CC n raportul 2

3, deci

medianele sunt concurente.

I. 33. S se arate c nlimile unui triunghi sunt concurente. Soluie. Fie triunghiul ABC . Notm AB c , BC a , CA b .

31

Fie , ,AA BB CC vectorii ce coincid cu nlimile i H punctul lor de interesecie.

Notm HA x , HB y , NC z . Dou din nlimi sunt concurente, fie ele CC i BB . Vom arta c dreapta AH , deci AA este perpendicular pe BC .

Avem 0z c i 0y b de unde rezult c 0z y x i 0y x z de unde obinem c 0z y z x i 0y x y z .

Adunm aceste dou relaii si rezult c 0y x z x , mai mult avem c 0x y z , deci 0x BC , astfel avem c AA BC .

I. 34. S se demonstreze c bisectoarele unui triunghi sunt concurente.

Figura 12

Soluie. Se duc bisectoarele AA i BB . Fie P intersecia lor. Notm versorii vectorilor , ,a b c cu 1 aa

a , 1 bb

b , 1 cc

c .

Lum pe laturile AB i AC vectorii unitari 1AK c , 1AL b si construim un paralelogram, diagonala cruia este evident bisectoarea

32

unghiului A . Deci AP

situat pe bisectoare este coliniar cu vectorul

1 1c bAM c bc b

de unde rezult c

1 1 c bAP x c b x c b

, unde x este parametrul pe care l vom determina.

Prin permutri circulare avem 1 1 a cBP y a c y a c

Pentru a gsi pe x i y observm c AP AB BP , adic c b a cx c yc b a c

(*)

n aceast ecuaie nu putem egala separat coeficienii lui , ,a b c (nu sunt liniar independeni) deoarece sunt coplanari, deci avem 0a b c , de unde rezult c a b c . nlocuim n relaia (*) i rezult c

c b b c cx c yc b a a c

.

Egalnd n aceast relaie coeficienii lui b i c avem x ya a

i

1x y yc a c , obinem c bcx

a b c i

acya b c

, de unde rezult bc cbAPa b c

i ca acBPa b c

.

Dac am fi cutat punctul P de intersecie al bisectoarelor BB i CC am fi gsit ca acBP

a b c

i ab baCPa b c

.

De aici se vede c 'BP BP , deci P i P' coincid.

33

I. 35. S se demonstreze vectorial teorema medianei.

Soluie. Avem a b c i 2 am b c . Atunci 2 2 22 4 ab c bc m i

2 2 22b c bc a , adunnd aceste dou relaii obinem c 2 2 2 22 4 ab c m a , de unde rezult c 2 2 22

2 4ab c am .

34

Probleme propuse spre rezolvare.

I. 1. Fie , ,a b c

vectorii ce coincid cu laturile unui triunghi ABC . S se arate c 0a b c .

I. 2. S se descompun vectorul 3 2d i j k dup direciile vectorilor a i j , b j k , 2 3c i j k .

I. 3. Fie , ,a b c

vectorii ce coincid cu laturile unui triunghi ABC .

a) S se exprime cu ajutorul lor vectorii ce coincid cu medianele triunghiului;

b) S se arate c vectorii ce coincid cu medianele pot forma un triunghi.

I. 4. S se arate c medianele unui triunghi sunt concurente.

I. 5. Fie vectorii: 1 2 3r a b c

, 2 3 2r a b c

, 3 3 2r a b c

descompui dup direciile vectorilor , ,a b c . a) S se arate c vectorii 1 2 3, ,r r r

sunt coplanari;

b) Ce concluzie se poate trage din rezultatul obinut?

I. 6. S se determine lungimea vectorului 1 24 3d u u tiind c vectorii 1u

i 2u sunt vectori unitari perpendiculari ntre ei.

I. 7. S se arate c nlimile unui triunghi sunt concurente.

35

I. 8. Fie vectorii: 3 2a i j k , 3b i j k . S se calculeze: a) Produsul lor vectorial;

b) S se verifice c vectorul obinut este perpendicular pe fiecare.

I. 9. Se dau vectorii 2 3 4a i j k , 2b i j k , 3 5c i j k . S se determine scalarul astfel nct vectorii s fie coplanari.

I. 10. S se verifice identitatea a b c a a c b a b c pentru vectorii

2a i j k , 2 3 4b i j k , 2c i j k .

I. 11. S se verifice identitile: a) a b a b c a b a b c b) a b c d b d a c b c a d c) 2, ,a b b c c a a b c .

I. 12. Fie vectorii a i j , b j k , c k i . S se determine vectorii 1 1 1, ,a b c

astfel nct ei s formeze un reper triortogonal.

I. 13. Fie a i , b j k , c k i . S se determine vectorii 1 1 1, ,a b c astfel nct ei s formeze un reper triortogonal.

I. 14. Fie vectorii 2a i j k , b i j k , c i j . a) S se determine versorii , ,o o oa b c corespunztori;

36

b) S se arate c ei determin un reper triortogonal i s se spun dac acest triedru are sau nu aceiai orientare cu Oxyz .

I. 15. S se demonstreze c bisectoarele unui triunghi sunt concurente.

I. 16. S se determine c Identitatea lui Lagrange 2 2 2a b a b a b a b .

I. 17. S se calculeze produsul a b c tiind c a m n p , b m n p , c m n p , , ,m n p nu sunt versori.

I. 18.Se dau vectorii 1 2v i j k , 2 3v i j k , 3 3 2v i j k . Este verificat egalitatea 1 2 3 1 2 3v v v v v v ?

I. 19. S se calculeze scalarul 1 2 2 3 3 13 2v v v v v v tiind c

1 23 , 3v a b v a b i 3v a b , iar 2 4a , 2 2b i unghiul dintre a i b este

3 .

I. 20. S se determine parametrul real astfel nct vectorii

1 4 2v i j k i 2 2 5v i j k s fie perpendiculari. I. 21. S se calculeze proieciile vectorilor 1 4v i j i 2 2 3v i j pe

vectorii reprezentnd suma i diferena lor.

I. 22. Fie vectorii 1 2 2v i j k i 2 3v i j k . S se calculeze:

a) produsul lor vectorial; b) s se verifice c vectorul 1 2v v este perpendicular pe 1v i 2v ; c) aria paralelogramului construit pe 1v

i 2v .

37

I. 23. S se determine , R astfel nct vectorii 1v i 2v s fie coliniari: a) 1v i j k , 2v i j k ; b) 1v i j k , 2 3v i j k .

I. 24. Fie 0, 1,3 , 2,3,1 , 3, 1, 2A B C vrfurile unui triunghi. S se afle lungimea laturilor, cos A

, aria triunghiului, nlimea din C i cos B .

I. 25. S se cerceteze coplanaritatea vectorilor 1 2v i j k ,

2 2 2 5v i j k , 3 4 6v i j k .

I. 26. Fie vectorii 1 2v i j k , 2 3v i j k , 3 2v i j k . S se determine parametrul real , astfel ca volumul paralelipipedului construit pe vectorii 1v

, 2v

, 3v

s fie egal cu 3 .

I. 27. S se arate c vectorii a i j k , b i j k , c i j k sunt coplanari.

I. 28. S se arate c ntr-un triunghi echilateral nscris n cercul cu centrul O avem relaia 3AB AC AO .

I. 29. Se consider piramida cu vrful S i baza ptratul ABCD . Fie I punctul de intersecie al diagonalelor bazei. S se arate c

4SA SB SC SD SI .

I. 30. Se d un tetraedru de vrfuri 2,3,1A , 4,1, 2B , 6,3,7C , 5, 4,8A . S se calculeze lungimea nlimii coborte din vrful D .

I. 31. S se calculeze volumul tetraedrului de vrfuri:

a) 1,1,0 , 2, 2,1 , 3,3,1 , 3,1,1A B C D ;

38

b) 3,1,1 , 2, 2,1 , 3,3,1 , 1, 4, 2A B C D .

I. 32. S se verifice formula de dezvoltare a dublului produs vectorial pentru vectorii: a) 1v i j , 2v j k , 3v i k ; b) 1v i j k , 2 2 3v i j k , 3 2 3v i j k .

I. 33. S se determine vectorul de poziie al centrului de greutate al unui triunghi i coordonatele carteziene ale centrului de greutate.

I. 34. . S se determine vectorii de poziie ai punctelor A , B , C ( AA , BB , CC sunt bisectoare). S se determine vectorul de poziie al centrului cercului nscris n triunghiul ABC .

I. 35. S se determine volumul tetraedrului OABC . S se calculeze aria triunghiului ABC i distana de la origine pn la planul ABC .

I. 36. Fie A , B , C , D patru puncte din spaiu date ntr-un reper cartezian. S se determine volumul tetraedrului ABCD .

39

Capitolul II

PLANUL I DREAPTA N SPAIU

Planul. Acesta poate fi dat sub urmtoarele forme: a) Ecuaia general a planului:

0Ax By Cz D . b) Ecuaia planului printr-un punct 0 0 0 0, ,M x y z perpendicular pe

un vector dat , ,N A B C (vectorul normal): 0 0 0 0A x x B y y C z z .

c) Ecuaia planului determinat de trei puncte necoliniare , , , 1, 2,3i i i iM x y z i :

1 1 1

2 2 2

3 3 3

11

011

x y zx y zx y zx y z

.

Ca un caz particular al acestui tip de ecuaie este: d) Ecuaia planului prin tieturi:

1 0a b cx y z ,

, ,a b c fiind segmentele determinate de plan pe axele de coordinate.

e) Ecuaia planului sub form general 0Ax By Cz D se poate scrie sub form normal

2 2 20Ax By Cz D

A B C ,

semnul alegndu-se astfel ca termenul liber s fie negativ. Aceast ecuaie se mai poate scrie i astfel:

cos cos cos 0x y z p ,

40

cos ,cos ,cos fiind cosunusurile directoare ale normalei la plan, iar p este distana de la origine la plan, aceast ecuaie numindu-se de asemenea, ecuaia normal a planului.

Distana de la punctul 0 0 0 0, ,M x y z la un plan P este dat de 0 0 00 2 2 2, Ax By Cz Dd M P A B C

sau 0 0 0 0, cos cos cosd M P x y z p , dup cum planul P este dat prin ecuaia 0Ax By Cz D sau

cos cos cos 0x y z p . Unghiul format de dou plane este unghiul format de direciile normalelor celor dou plane. Condiia necesar i suficient ca patru puncte , , , 1, 2,3, 4i i i iM x y z i s fie coplanare este:

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

11

011

x y zx y zx y zx y z

.

Dreapta n spaiu. a) Ecuaiile dreptei ce trece prin punctul 0 0 0 0, ,M x y z i care are

vectorul director , ,v l m n sunt: 0 0 0x x y y z z

l m n (ecuaiile canonice);

0 0 0, , ,x x tl y y tm z z tn t R (ecuaiile parametrice); ,x z p y z q (ecuaiile reduse).

b) Ecuaiile dreptei ce trece prin dou puncte 1 1 1 1 2 2 2 2, , , , ,M x y z M x y z sunt:

41

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z zx x y y z z (ecuaiile canonice);

1 2 1 1 2 1 1 2 1, , ,x x t x x y y t y y z z t z z t R (ecuaiile parametrice). c) Ecuaiile dreptei sub form general sunt:

1 1 1 1 2 2 2 20, 0A x B y C z D A x B y C z D , n ipoteza c 1 1 1 1, ,N A B C i 2 2 2 2, ,N A B C sunt necoliniari. Vectorul director pentru dreapta dat sub forma general este dat de

1 2v N N

.

Unghiul a dou drepte n spaiu este egal cu unghiul vectorilor lor directori.

Dreapta i planul. Fie dreptele date prin ecuaiile 1 1 11

1 1 1

: x x y y z zdl m n i 2 2 22

2 2 2

: x x y y z zdl m n . Condiia necesar i

suficient ca cele dou drepte s fie coninute n acelai plan este 2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0x x y y z z

l m nl m n

.

Dac vectorii directori ai celor dou drepte sunt coliniari, relaia anterioar reprezint condiia de concuren a dreptelor. Ecuaia planului determinat de un punct 0 0 0 0, ,M x y z i dou direcii necoliniare 1 1 1 1, ,v l m n i 2 2 2 2, ,v l m n este

0 0 0

1 1 1

2 2 2

0x x y y z z

l m nl m n

.

Ecuaia planului determinat de un punct 0 0 0 0, ,M x y z i dreapta 1 1 1x x y y z z

l m n este

42

0 0 0

1 0 1 0 1 0 0x x y y z zx x y y z z

l m n

.

Mulimea tuturor planelor care trec prin dreapta de intersecie a dou plane date, numite plane de baz, formeaz un fascicul de plane, avnd ca ax acea dreapt. Dac planele baz sunt

1 1 1 1 1: 0P A x B y C z D i 2 2 2 2 2: 0P A x B y C z D , atunci ecuaia fasciculului de plane este:

1 1 1 1 2 2 2 2 0,A x B y C z D A x B y C z D R . Se numete unghiul unei drepte cu un plan unghiul format de dreapt i proiecia sa n plan.

Probleme rezolvate.

II. 1. Se dau dreptele 1d i 2d 1d : 1 1 1

1 1 1

x x y y z zl m n

2d ; 2 2 22 2 2

x x y y z zl m n

S se determine condiia: 1 2 0d d Soluie. Avem 1 2 0d d dac i numai dac 1 2 1 2, ,M M v v

sunt

coplanari, adic 1 2 1 2, , 0M M v v . II. 2. Se dau dreptele 1d : 1 11 2 3

x y z , 2d : 1 21 1 2x y z

S se precizeze poziia celor dou drepte n spaiu.

43

Soluie.

Pentru dreapta 1d avem 11

1,0, 1

1 2 3

M

v i j k

i pentru dreapta 2d :

22

0, 1, 2

1 1 2

M

v i j k

. Dreapta 1d nu este paralel cu dreapta 2d deoarece

vectorii 1v

i 2v nu sunt egali. Cum produsul mixt 1 2 1 2, , , 0M M v v , unde 1 2 0 1 1 0 2 1 3M M i j k i j k , adunci dreptele nu se

intersecteaz, sunt oarecare. II. 3. Fie 1 0

2 1 0x y z

dx y z

Se cere:

a) ecuaiile canonice ale dreptei d ; b) ecuaia unui plan ce conine dreapta d i este paralel cu dreapta

1 21 1 1x y z ;

a) Ecuaiile canonice ale dreptei d . Soluie. . a) Din 1 0:

2 1 0x y z

dx y z i

0 0 0x x y y z zl m n , avem

0 0, 0, 2 0z x y x y . Din ultimile dou relaii obinem 0x y . Observm c 0 0,0,1M d verific cele dou ecuaii:

(P1) 1 0x y z , 1 1 1 1N i j k

,

(P2) 2x + y z + 1 = 0, 2 2 1N i j k

.

Vom determina v li m j nk direcia dreptei.

44

Cum 1v N

i 2v N , obinem c 1 2||v N N m unde

1 2 1 1 1 0 3 32 1 1

i j kN N i j k

, de unde rezult 0, 3, 3l m n .

Astfel avem 0 0 1:0 3 3

x y zd dac i numai dac 0x i 1

3 3y z , adic avem 0x i 1 0y z .

b) Ecuaia unui plan ce conine dreapta d i este paralel cu dreapta 1 2

1 1 1x y z .

Fie 0 0,0,1M P i 3 3v j k . Metoda I. Ecuaia general a unui plan este : 0P Ax By Cz D .

Cum 0 0,0,1M P rezult 0 0 1 0A B C D , de unde 0C D . Fie N v , rezult 0N v , de unde avem c 0 3 3 0A B C , adic

0B C . Dar 1N v

, 1v i j k

, rezult 1 0N v , de unde avem c 0A B C ,

( 1v

direcia dreptei date care este paralel cu planul, deci perpendicular pe normala la plan). Obinem , , 2D C B C A C , nlocuind n ecuaia planului, obinem 2 C x C y C z C 0 , adic 2 1 0x y z .

Metoda II. Fie 1v i j k

i un fascicol de plane: (x y + z 1) + (2x + y z 1) = 0, de unde 2 0

DA B C

x y z .

45

Cum 1N v

, rezult 1 0N v , de unde 2 0 , obinem 4 . Deci 4 2 4 4 4 0x y z , mai mult 6 x 3 y 3 z 3 0 , adic 6 3 3 3 0x y z , mai mult 3 2 1 0x y z .

II. 4. Fie (d) 3 12 1 1

x y z i M(1, 1). S se determine proiecia lui M pe dreapta d . Soluie. Fie P un plan ce conine punctul 0 0 0, ,M x y z i este perpendicular pe dreapta d , ecuaia este 0 0 0 0A x x B y y C z z , unde

0 0 01, 1, 2x y z i 2 , 1 , 2A l B m C n , de unde obinem 2 1 1 1 1 1 0x y z .

Din ecuaiile parametrice ale dreptei 3 12 1 1

x y z t , rezult 2 3, 1,x t y t z t . nlocuim , ,x y z n ecuaia

2 1 1 1 1 1 0x y z i obinem 2 2 4 1 2 1 2 0t t t , de unde 2

3t .

Avem 'M P rezult 2 3

1x ty tz z

i 'M d rezult

4 5' 33 32 5' 13 3

2'3

x

y

z

.

II. 5. Se d dreapta 2 3 3 0:3 2 1 0

x y zd

x y z .

Se cere:

46

a) Ecuaia unui plan ce conine dreapta d i punctul 1, 2,3M ; b) Ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este paralel cu dreapta d ; c) Distana de la 1,1,1A la planul x y + z 9 = 0. Soluie.

a) Planul face parte din fascicolul de plane determinat de dreapta d . Astfel avem : 2 3 3 3 2 1 0P x y z x y z , cu 2 2 0 . Cum 1, 2,3M P rezult c 2 6 3 3 1 6 6 1 0 , mai mult 8 2 0 , de unde 4 , 0 . Deci 2 3 3 4 3 2 1 0x y z x y z , de unde 2 15 7 7 0.x y z

b) Ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este paralel cu o dreapta d este 0 0 0x y z

l m n .

Avem 1 2 3N i j k

i 2 3 2N i j k . Cum 1v N i 2v N , rezult

c 1 2||v N N , unde 1 2 2 3 11 3 2

i j kN N

, de unde rezult 9, 3, 9l m n .

Deci 9 3 9 3 3 3v i j k i j k . Astfel, ecuaia unei drepte ce trece prin origine i este paralel cu dreapta d este 0 0 0

3 1 3x y z .

c) Distana de la 1,1,1A la planul - - 9 = 0x y z este 1 1 1 9 8,

1 1 1 3d A P

.

II. 6. Se d 1 1:1 2 3

x y zd i 1, 2,3M .

47

Se cer:

a) Ecuaia unui plan ce trece prin M , perpendicular pe dreapta d ; b) Ecuaia unui plan paralel cu d i perpendicular pe planul

2003 0x y z ; c) Ecuaia unei drepte paralele cu dreapta d i trece prin origine. Soluie.

a) Fie vectorul normal N Ai B j Ck . Ecuaia planului ce trece printr-un punct 0 0 0, ,M x y z i este perpendicular pe un vector dat , ,N A B C (vectorul normal) este 0 0 0 0A x x B y y C z z , de unde 1 2 3 0A x B y C z , mai mult avem 1 1 2 2 3 3 0x y z .

b) Ecuaia unui plan paralel cu d i perpendicular pe planul 2003 0x y z ;

Fie 2 3v i j k i N v dac i numai dac 0N v dac i numai dac 2 3 0A B C . Pentru N i j k , 1N N dac i numai dac 1 0N N dac i numai dac 0A B C . Astfel am obinut sistemul de dou ecuaii

2 3 0A B C i 0A B C . Scznd cele dou ecuaii, rezult 23

B C i 53

A C . Mai mult dect att avem c

5 2 1 5 2 33 3 3 BA CN C i C j C k C i j k

, de unde

5 2 3 0,x y z R

48

c) Ecuaia unei drepte paralele cu dreapta d care trece prin origine este

1 2 3x y z .

II. 7. Se d 1, 2,3M i 2 4:3 1 1

x y zd .

Se cere:

a) Proiecia punctului M pe dreapta d ; b) Simetricul lui M fa de d ; c) Ecuaiile unei drepte ce trece prin M i este perpendicular pe d i se intersecteaz. Soluie.

a) Fie 3v i j k . Ecuaia unui plan ce conine punctual M i perpendicular pe dreapta d este 3 1 1 2 1 3 0x y z . Ecuaia planului este 3 2 0P x y z , de unde 'P d M .

Scriem ecuaiile parametrice ale dreptei 2 4:3 1 1

x y zd t , adic 3 2, 4,x t y t z t . nlocuid aceste relaii n ecuaia planului P , obinem

9 6 4 2 0t t t , de unde 411

t . Astfel avem

12 10 4 48 4' 2 , ' 4 , '11 11 11 11 11

x y z .

b) Simetricul punctului M fa de d este , ,M x y z . Avem 10 1 "' "11 2

48 2 "' "11 24 3 "' "

11 2

xx x

yy y

zz z

;

49

c) Dreapta trece prin M i M i are ecuaia 1 2 310 48 40 2 311 11 11

x y z

,

de unde 1 2 310 26 2911 11 11

x y z

.

II. 8. Se d dreapta 1 1:1 2 3

x y zd i planul : 7 0P x y z Se cere:

a) Ecuaiile unei drepte care trece prin 0 1, 2,3M i perpendicular pe P ; b) Ecuaia unui plan ce conine d i trece prin 0M ; c) Distana de la 0M la planul P este 0 ,d M P 0 0 02 2 2Ax By Cz DA B C

.

d) Proiecia lui 0M pe planul P ; e) Proiecia lui 0M pe dreapta d . Soluie.

a) Ecuaiile unei drepte care trece prin 0 1, 2,3M i perpendicular pe P sunt 1 2 3x y z

l m n , unde 1,1, 1N i j k , deci avem

1 2 31 1 1

x y z

(l, m, n) paralel pN

(l = 1, m = 1, n = 1).

b) Fie 1 1,0,1M i 0 1, 2,3M i direcia 1 11 2 3x y z

Ecuaia unui plan ce trece prin dou puncte date 0M i 1M i este paralel cu o direcia dat este 1 1:

1 2 3x y zd de unde rezult 1, 2, 3l m n .

50

Produsul 1 1 0, , 0M M M M v , adic 1 0 10 2 2 01 2 3

x y z

sau

2 2 03 2 0

x yd

x z , de unde rezult

2 23 3 1

x yx z .

Planul face parte din fascicolul de plane determinat de dreapta d . Astfel avem 2 2 3 2 0x y x z , 2 2 0 , 0 ,

avem , deci 2 2 3 2 0x y x z , adic obinem 0x y z , mai mult 0x y z .

c) Distana de la 0M la planul P este 0 0 00 2 2 2, Ax By Cz Dd M P A B C .

Punctul 0 1, 2,3M i ecuaia planului este 7 0x y z , deci 1

d 2 32 2 2

7 731 1 1

.

d) Proiecia lui 0M pe planul P ;

d') Fie 1 2 31 1 1

x y z t dreapta de la punctul a). Dreapta intersecteaz planul n M , adic 'd P M . Din ecuaiile parametrice ale dreptei

1 , 2 , 3x t y t z t , avem 3 2 3t 7 0t de unde 3 7t de unde 73

t .

Dar se verific si planul P , astfel 7 0x y z dac i numai dac 1 t 2 3t 7 0t de unde 3 7 0t de unde 7

3t .

51

Proiecia punctului pe dreapta M d , deci verificm ecuaia 1 , 2 , 3x t y t z t .

De unde 7 4' 1 13 3

x t , 7 1' 2 23 3

y t , 7 2' 3 33 3

z t .

Ecuaia : 1 1 2 2 3 3 0Q x y z , dar dreapta d intersecteaz planul Q . Simetricul este 0'

2x xx

i 1 1:1 2 3

x y zd

Un plan ce conine pe 0M i este perpendicular pe d este 0 0 0 0A x x B y y C z z cu 0 1, 2,3M , unde 0 0 01, 2, 3x y z ,

1, 2, 3A l B m C n , de unde rezult 1 1 2 2 3 3 0x y z . Din ecuaiile parametrice ale dreptei 1 1:

1 2 3x y zd t , avem

1x t , 2y t , 3 1z t , care verific planul de mai sus 1 1 2 2 2 3 3 1 3 0t t t , de unde rezult 10 5

14 7t . Astfel avem

, ,M x y z , unde 5 12" 1 17 7

x t , 10" 27

y t i 15 22" 3 1 17 7

z t .

II. 9. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin punctul 1, 5,3A i formeaz cu axele de coordonate unghiuri respectiv egale cu 60 , 45 , 120.

Soluie. Ecuaia dreptei care trece prin punctul 1, 5,3A i formeaz cu axele

de coordonate unghiuri respectiv egale cu 60 , 45 , 120 este 1 5 3

1 122 22

x y z

, de unde 5 3112

y zx .

52

II. 10. S se rescrie ecuaiile dreptei care trece prin punctul 2, 5,3 i este:

a) paralel cu axa Oz ; b) paralel cu dreapta 1 2 3

4 6 9x y z .

Soluie. a) Cum 0,0,1m , de unde 1 10, 0x x y y , adic 2, 5x y . b) Cum 4, 6,9m , de unde 2 5 3

4 6 9x y z .

II. 11. S se scrie ecuaia dreptei AB unde 2, 1,0A , 1,2,2 3B i s se calculeze cosinii directori ai direciei determinate de dreapta AB .

Soluie. Ecuaia drepte AB este 1 1 2 3

2 1 1 1 2 3x y z , de unde

1 1 2 33 2 2 3

x y z .

Pentru direcia AB avem parametri directori 3, 2, 2 3m . Cosinii directori sunt

32

1

cos iii

i

m

m

, de unde avem 3cos5

,

2cos5

, 2 3cos

5 . Sunt cte doi de cosini directori, unul pentru AB i

altul pentru BA .

II. 12. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctul , ,A a b c .

Soluie.

53

Ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctul , ,A a b c este x y za b c sau ,x at y bt i z ct .

II.13. Se consider dreapta determinat de punctele 1, 2,3 , 2,1, 4A B . S se gseasc punctele ei de intersecie cu planele de

coordonate.

Soluie. Ecuaiile dreptei AB sunt 2 1 4

3 1 2x y z sau 2 3x t , 1y t i

4z t . Punctul de intersecie al dreptei cu planul xOy (are ecuaia 0z ) este

10,5,0 , deoarece t = 4, cu planul yOz este 5 100, ,3 3

i cu planul xOz este

5,0,5 . II. 14. Se consider triunghiul ABC cu 2, 3, 1A , 1, 4,0B ,

3, 2, 5C . S se dea o reprezentare parametric a dreptei ce unete centrul de greutate al triunghiul ABC cu punctul M care mparte segmentul orientat

AB n raportul 32

k .

Soluie. Folosind operaii de calcul vectorial, avem 0,1, 2G (G este centrul

de greutate al triunghiul ABC ), iar 7 6 2, ,5 5 5

M . Dreapta GM are ecuaiile

parametrice 7 , 1 6x t y t i 2 2z t . II. 15. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul 1, 2,1 i

este paralel cu dreptele 12 1 0

( ) :1 0

x y zd

x y z i 2

2 0( ) :

0x y z

dx y z

54

Soluie. Direcia dreptei 1d este 1, 2, 3l se calculeaz din determinant,

direcia dreptei 2d este (0, 1, 1)m . Planul ce trece prin punctual 1, 2,1 i este paralel cu cele dou direcii 1, 2, 3l i (0, 1, 1)m date, are ecuaia

1 2 11 2 3 00 1 1

x y z

de unde rezult 0x y z .

II. 16. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul 4, 3,1P i este paralel cu dreptele 1 : 6 2 3

x y zd i 21 3 4:

5 4 2x y zd .

Soluie. Ecuaia planului care trece prin punctul 4, 3,1P i este paralel cu

dreptele 1d i 2d este 16x 27y + 14z 159 = 0. II. 17. S se scrie ecuaia palnului determinat de dreptele

1 1 1 1: 1 1 2x y zd i 2

1 1 1:1 2 1

x y zd .

Soluie. Dreaptele sunt secante cu punctul 1, 1,1M , punct de intersecie. De unde rezult ecuaia planului 5x + 3y z 1 = 0.

II. 18. S se scrie ecuaia planului determinat de dreptele 1 2 1: 7 3 5

x y zd i 2 1 3 2: 7 3 5x y zd .

Soluie. Dreptele sunt paralele. Prima trece prin punctul 0, 2,1A , a doua trece prin 1,3, 2B . Scriem ecuaia planului ce trece prin dou puncte i este paralel cu o direcie, dreptele au aceeai direcie 7,3,5m . Ecuaia

este 1 2 11 3 2 0

7 3 5

x y zx y z , de unde rezult17 13 16 10 0x y z .

55

II. 19. S se scrie ecuaia planului determinat de punctele 1 23, 2,1 , 5, 4,1M M i 3 1, 2,3M .

Soluie. Ecuaia planului determinat de cele trei punctele este

3 6 17 0x y z . II. 20. S se scrie ecuaia planului care determin pe axele de

coordinate ,Ox Oy i Oz segmentele 1, 3OA OB i 2OC . Soluie. Ecuaia prin tieturi este 1 0x y z

a b c . n cazul nostru

6 2 3 6 0x y z . II. 21. S se stabileasc ecuaia planului determinat de un punct

1 1,1, 2M i dreapta 1 13 2 1x y z .

Soluie. Ecuaia planului determinat de punctul 1 1,1, 2M i dreapta

1 13 2 1

x y z este 1 1

1 1 0 1 1 2 03 2 1

x y z

, de unde rezult 2 0x y .

II. 22. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul 1 1 2 3, ,M x x x i este perpendicular pe planul : 0P ax by cz d .

Soluie. Fie planul cutat de ecuaie 0Ax By Cz D . El trece prin origine, deci 0D . Planul conine punctual 1 1 2 3, ,M x x x , de unde rezult 1 1 1 0Ax By Cz D . Planul este perpendicular pe planul P ,

56

deci 0Aa Bb Cc . Deci avem 1 1 1 1 1 1

A B Cy z x z x yb c a c a b

, de unde ecuaia

planului este 1 1 1 1 1 1 0cy bz x az cx y bx ay z . II. 23. S se indice poziia urmtoarelor plane:

a) 3 5 1 0x z ; b) 9 2 0y ; c) 5 0x y ; d) 2 3 7 0x y z ; e) 2 1 0y z ; f) 8 3 0y z . fa de reperul cartezian triortogonal Oxyz .

Soluie. a) Paralel cu Oy ; b) Paralel cu xOz ; c) Paralel cu Oz ;

d) trece prin origine; e) Paralel cu Ox ; f) trece prin Ox .

II. 24. S se arate c dreptele 1 3 5 2: 4 3 5x y zd i

2 5 4 8: 4 2 5x y zd sunt secante i s se afle punctul lor de intersecie. Soluie. Avem c 13,5, 2M d , 25, 4,8M d . Dreapta 1d are direcia

4, 3,5v , iar dreapta 2d are direcia 4, 2,5v . Produsul mixt 1 2 1, , , 0M M m m , de unde rezult c cei trei vectori

sunt coplanari;

Cum dreptele nu sunt paralele, rezult c ele sunt secante. Pentru a

gsi punctul de intersecie rezolvm sistemul: 3 5 2

4 3 55 4

4 2

x y z t

x y

, de

57

unde 3 4 , 5 3x t y t , 2 5z t i nlocuind n a doua ecuaie a sistemului anterior, obinem 4 8 3 1

4 2t t , de unde 1t i avem 1, 2,3M .

II. 25. S se determine parametrul astfel nct dreptele 1

1 2 2( ) :3 2 1

x yd i 21 3:

4 1x y zd s fie coplanare. S se afle

coordonatele punctului de intersecie al celor dou drepte. Soluie.

2 ; 5, 2, 2M . II. 26. S se determine direcia dreptei 2 3 0:

2 3 1 0x y z

dx y z

.

Soluie. 5, 5,5m sau 1,1, 1l .

II. 27. S se scrie ecuaia planului care trece prin dreapta 0:

2 3 0x y z

dx y z i este paralel cu dreapta 2 3x y z .

Soluie. Considerm fascicolul de plane 2 3 0x y z x y z sau 1 2 1 1 3 0x y z .

Dreapta 2 3x y z fiind paralel cu planul, este perpendicular pe normala la plan. Direcia dreptei este 1 11, ,

2 3m , iar direcia normalei la plan

1 2 ,1 ,1 3N , de unde 0m N , obinem 1 11 2 1 1 3 0

2 3 , de unde 11

15 . Astfel, ecuaia planului este

7 26 18 0x y z . II. 28. S se scrie ecuaiile planelor duse prin intersecia a dou plane

de ecuaie

58

3 4 1 0x y z i 2 5 0x y z i respectiv perpendiculare pe fiecare din ele.

Soluie. Ecuaiile acestor plane sunt 23 30 51 131 0x y z i

17 25 4 11 0x y z .

II. 29. S se afle unghiul format de planele 2 3 4 04 3 2 1 0x y z

x y z .

Soluie. Unghiul format de aceste plane este 16arccos

406 .

II. 30. S se afle ecuaia planului determinat de punctul 3, 1, 2A i dreapta de ecuaii 2 3 2 0( ) :

3 4 0x y z

dx y z

.

Soluie. Fascicolul de plane este 2 3 2 3 4 0x y z x y z . Punem condiia s treac prin punctual 3, 1, 2A , de unde ecuaia

planului este 5 7 0x y z .

II. 31. S se afle unghiul format de dreptele 1 2 2 3 3 4( ) : 1 2 3x y zd

i 2 2 1 3 2 4 3: 3 3 1x y zd .

Soluie. Unghiul format de dreptele 1d i 2d este 2

.

59

II. 32. S se afle unghiul format de dreapta d cu planul P , unde 4 3 3 2 2 1( ) :

2 1 3x y zd i : 5 4 0P x y z . Soluie. v

este vectorul director al dreptei; N

este vectorul normal la plan.

Avem sin cos2

v NvN

. n cazul nostru 0 , deci dreapta d este pa paralel cu planul P .

II. 33. S se arate c dreptele 1 3 5 2( ) : 4 3 5x y zd i

2 5 4 8: 4 2 5x y zd sunt secante i s se afle punctul lor de intersecie. Soluie. Dreptele sunt secante deoarece sunt coplanare i nu sunt paralele,

1 3 5 2r i j k

, 2 5 4 8r i j k

, de unde rezult 2 1 8 10r r i j k , mai mult

avem 2 1 1 2, , 0r r d d , adic 8 1 104 3 5 04 2 5

.

Pentru a gsi coordonatele de intersecie rezolvm sistemul: 3 5 2

4 3 55 4

4 2

x y z t

x y

, de unde rezult

3 45 32 5

x ty tz t

i 4 8 3 1

4 2t t ,

avem 1t i 1, 2,3M .

II. 34. S se determine coordonatele proieciei ortogonale a punctului 1,3, 2M pe planul 3 3 1 0x y z .

Soluie.

60

Scriem ecuaia normalei la plan ce trece prin punctul M . Aceasta este 1 3 2

3 3 1x y z t . De unde avem 1 3x t , 3 3y t i 2z t .

nlocuim n plan 1519

t . Atunci coordonatele proieciei ortogonale a

punctului M cu planul dat sunt 126 12 23, ,19 19 19

M .

II. 35. S se gseasc coordonatele simetricului punctului 0 1, 2, 2M n raport cu planul 2 3 2 0x y z .

Soluie. Fie , ,M x y z simetricul punctului 0 1, 2, 2M . Scriem ecuaia dreptei 0M M (este o dreapt care trece prin punctul

0M i este perpendicular pe plan, aceasta este 1 2 22 1 3x y z .

Dar dreapta conine i punctul , ,M x y z , de unde avem 1 2 2(*)

2 1 3x y z .

Mijlocul segmentului 0M M

aparine planului. Mijlocul este punctul ' 1 2 2, ,2 2 2

x y zM . Punem condiia ca acesta s aparin planului, avem

1 2 2(**) 2 3 2 02 2 2

x y z .

Rezolvm sistemul format din ecuaiile (*) i (**). Cum 1 2 2

2 1 3x y z t , avem 1 2x t , 2y t i 2 3z .

nlocuim n relaia (**) i obinem 2 2 2 3 6 4 0x y z , de unde 2 3 2 0x y z , astfel 2 4 2 6 9 2 0t t t , de unde 14 8 0t , i avem 4

7t .

61

Deci 15 10 2' ; ;7 7 7

x y z i avem 15 10 2' , ,7 2 7

M .

II. 36. S se gseasc proiecia ortogonal a punctului 0 0 0 0, ,M x y z pe dreapta

1 1 11 2 3

: x x y y z zdm m m .

Soluie. Fie 0 5,0, 2M i 2 1 3: 3 2 4

x y zd

Proiecia ortogonal a punctului 0M se afl la intersecia dreptei d cu planul dus prin 0M perpendicular pe d .

Ecuaia planului n cazul nostru este 3 5 2 4 2 0x y z sau 3 2 4 7 0x y z . nlocuin ecuaiile parametrice ale dreptei 2 3x t ,

1 2y t i 3 4z t n ecuaia planului, obinem 1329

t .

Deci 19 3 35' , ,29 29 29

M .

II. 37. S se determine proiecia ortogonal a punctului 0 2, 1,1M pe dreapta d dat ca intersecia planelor 2 2 0

2 6 1 0x y z

x y z .

Soluie. Aflm direcia dreptei d care este 4,1, 2m . Aflm un punct al dreptei d din sistem n care 0z , acesta este

135, ,02

M .

62

Scriem ecuaia planului ce trece prin 0M i este perpendicular pe dreapta d . Aceasta este 4 2 1 1 2 1 0x y z , de unde 4 2 5 0x y z .

Intersectm acest plan cu dreapta d care are ecuaia 3

5 24 1 2

yx z t , de unde 5 4x t ,

32

y t i 2z t , obinem 3342

t .

Astfel 13 5 11, ,7 7 7

x y z .

Deci 13 5 11, ,7 7 7

M .

II. 38. Se d dreapta 1 12 3 2x y z i punctul 0 2,1,1M . S se

calculeze coordonatele punctului 1M simetricul punctului 0M n raport cu

dreapta dat. Soluie. Se calculeaz nti proiecia ortogonal i apoi se folosete faptul c

proiecia ortogonal este mijlocul segmentului format din punct i simetricul punctului fa de dreapt.

II.39. S se calculeze unghiul urmtoarelor plane 1 :4 5 3 1 0P x y z i 2 : 4 9 0P x y z .

Soluie. Unghiul celor dou plane este unghiul normalelor la cele dou plane,

1 4, 5,3N i 2 1, 4, 1N . Deci cosinusul unghiului dintre 1 21 2

1 2

21 7,1050 18

N NN NN N

sau unghiul dintre 1 2 7, arccos10N N .

63

II. 40. S se scrie ecuaiile unei drepte care trece prin punctul 0 4,0, 1M i intersecteaz dreptele 1 1 3 5: 2 4 3

x y zd i

2 2 1: 5 1 2x y zd .

Soluie. Fie d dreapta cutat i , ,v l m n vectorul su director. Din condiiile

de intersecie a dreptei d cu dreptele 1d i 2d obinem, folosind

condiia 2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

0x x y y z z

l m nl m n

,

3 3 62 4 3 0l m n

i

4 2 05 1 2 0l m n

, de unde

33 21 6 04 8 6 0

l m nl m n

. Soluia sistemului omogen este

21 6 33 6 33 218 6 4 6 4 8

l m n

astfel nct 78, 222, 348v . Prin urmare,

ecuaiile dreptei sunt 4 113 37 58

x y z .

II. 41. S se calculeze lungimea perpendicularei commune a dreptelor 1 : 2 4, 4, 2 1d x t y t z t i 2 : 4 5, 3 5, 5 5d x t y t z t .

Soluie. Cele dou drepte pot fi scrise sub form canonic, eliminnd

parametrul t , astfel avem 1 4 4 1: 2 1 2x y zd i 2

5 5 5:4 3 5

x y zd ,

de unde se poate vedea un punct prin care trece i vectorul director al fiecrei drepte. Astfel pentru 1d avem 1 4, 4, 1M i 1 2, 1, 2v , iar pentru 2d avem 2 5,5,5M i 2 4, 3, 5v . Lungimea perpendicularei commune este egal cu distana de la punctul 2M la planul care trece prin

64

1M i este paralel cu vectorii 1v i 2v . Ecuaia acestui plan este 4 4 1

2 1 2 04 3 5

x y z

sau 2 2 14 0x y z . Distana de la 2M la acest plan

este 2 5 10 10 14, 31 4 4d M P . Prin urmare lungimea perpendicularei

commune este 3 .

II. 42. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul 1 1 1 1, ,M x y z i este perpendicular pe planul : 0P ax by cz d .

Soluie. Fie planul cutat de ecuaie 0Ax By Cz D .

ntruct planul : trece prin origine, rezult c 0D . conine pe 1M , rezult c 1 1 1 0Ax By Cz .

perpendicular pe planul P , rezult c 0Aa Bb Cc . n aceste condiii obinem:

1 1 1 1 1 1

A B Cy z x z x yb c a c a b

, de unde rezult c

ecuaia planului este 1 1 1 1 1 1 0cy bz x az cz y bx ay z . II. 43. S se scrie ecuaia dreptei care trece prin origine i prin

punctul , ,A a b c . Soluie. Ecuaia dreptei care trece prin origine i prin punctul , ,A a b c este

x y za b c sau , ,x at y bt z ct .

65

II. 44. Fie punctul , ,M a b c i dreapta (d): 0 0 0x x y y z zl m n .

Se cere

a) Proiecia M a punctului M pe dreapta d ; b) Simetricul M al punctului M fa de dreapta d ; c) Ecuaia unei drepte ce trece prin M i este perpendicular pe d i intersecteaz planul P .

Soluie.

a) Dreapta d are vectorul director v li m j nk .

Avem de asemenea, ecuaiile parametrice ale dreptei d : 0

0

0

x = x +tly = y +tmz = z +tn

, t

R . (1) Scriem ecuaia unui plan P ce conine punctul M i este perpendicular pe d : 0l x a m y b n z c (2)

P

M

M

M

66

Fie , ,M x y z punctul de intersecie al dreptei d cu planul P : P d M .

Aflm valoarea parametrului t nlocuind relaia (1) n relaia (2): 0 0 0

2 2 2( ) ( ) ( )l a x m b y n c zt

l m n

(3)

i n sfrit coordonatele , ,x y z ale punctului M , proiecia punctului M , din relaia (1) folosind valorile parametrului t din relaia (3).

b) Fie , ,M x y z simetricul punctului M fa de d . Atunci, conform relaiei care d coordonatele mijlocului M al unui

segment n funcie de coordonatele capetelor segmentului M i M , avem: "' " 2 '

2"' " 2 '

2"' " 2 '

2

a xx x x a

b yy y y b

c zz z z c

.

c) Dreapta trece prin M i M , are deci ecuaia x a y b z cx a y b z c .

II. 45. S se scrie unghiul dintre planele 1P i 2P , date de ecuatiile: 1 : 2 3 2 0P x y z ,

2 : 5 0P x y z . Soluie. Cosinusul unghiului

1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 2 1 1 1

1 2 1 1 1 2 2 2

( , ) 0.0587N N A A B B C CP PN N A B C A B C

67

II. 46. S se scrie ecuaia unui plan cunoscnd 2,3,4P unde P este piciorul perpendicularei (proiecia) punctului 0,0,0O pe plan.

Soluie.

0 0 0 0

2 3 4 0

A x x B y y C z z

A x B y C z

N Ai B j Ck P

2 3 4N OP i j k de unde 2, 3, 4A B C , deci 2 4 3 9 42 16 0x y , astfel avem 2 3 4 29 0x y z .

II. 47. Se d dreapta 1 02 3 0x y z

x y z .

S se scrie ecuaia unui plan ce conine drepta d i este perpendicular pe planul

: 1900 0P x y z Soluie. Planul aparine fascicolului de plane determinat de dreapta d , adic:

x

y

z

0(0,0,0)

P(2,3,4)

68

1 2 3 0x y z x y z , 2 2 0 , de unde 2 3 0

DA B C

x y z

Dar N Ai B j Ck , 1N i j k

. Cum 1N N

, rezult 1 0N N

,

astfel 0A B C , mai mult 2 0 , deci 4 ; 0 . nlocuim n fascicol i avem mprim aceast relaie 4 1 2 3 0x y z x y z la : 0 i

avem 2 5 3 7 0x y z .

Probleme propuse spre rezolvare.

II. 1. S se scrie ecuaia unui plan, care: a) este paralel cu planul xOy i trece prin punctul 0 2, 5,3M ; b) trece prin Oz i prin punctul 0 3,1, 2M ; c) este paralel cu axa Ox i trece prin punctele 1 4,0, 2M i

2 5,1,7M . II. 2. S se scrie ecuaia planului determinat de punctele 1 2,M M i 3M , tiind c: a) 1 2 31, 1,1 , 1,3,3 , 4,0, 3M M M ; b) 1 2 30,0,0 , 3, 2,1 , 1, 4,0M M M . II. 3. S se scrie ecuaia unui plan care taie axele de coordinate n punctele:

1 2 31,0,0 , 0, 2,0 , 0,0,3M M M . II. 4. S se cerceteze coplanaritatea urmtoarelor puncte:

69

1 2 3 43,1,0 , 0,7, 2 , 1,0, 5 , 1,1, 2M M M M . II. 5. S se scrie ecuaia unui plan care trece prin punctual 1, 1,0A i este perpendicular pe vectorul AB

, tiind c 2,0,3B .

II. 6. S se calculeze distana de la punctul 0M la planul P , tiind c: a) 0 0,0,0 , : 15 10 6 190 0M P x y z ; b) 0 12,0, , : 4 4 2 17 02M P x y z

.

II. 7. S se reduc la forma normal ecuaiile urmtoarelor plane: a) 6 6 7 33 0x y z ; b) 2 9 6 22 0x y z . II. 8. S se calculeze unghiurile urmtoarelor perechi de plane: a) 6 2 4 17 0x y z i 9 3 6 4 0x y z ; b) 3 2 15 0x y z i 5 9 3 1 0x y z . II. 9. S se determine cosinusurile directoare ale dreptelor: a) 5 6 2 21 0, 3 0x y z x z ;

b) 7 312 9 20x y z .

II. 10. S se calculeze unghiul dreptelor: a) 1 2 5

3 6 2x y z i 3 1

2 9 6x y z ;

b) 4 6 2 03 2 0

x y zy z i

3 4 2 02 2 0x y zx y z .

II. 11. S se studieze coliniaritatea punctelor: a) 1 2 31, 1, 2 , 0, 1,3 , 2,1, 1M M M ; b) 1 2 31,1,3 , 0, 2, 2 , 3,5, 1M M M . II. 12. S se stabileasc ecuaiile parametrice ale dreptelor:

70

a) 2 6 02 1 0x y z

x y z ;

b) 2 3 4 03 5 2 1 0

x y zx y z .

II. 13. S se stabileasc ecuaiile canonice ale dreptei ce trece prin punctual 0 2,1, 5M i este paralel cu dreapta

3 2 3 0, 3 2 7 0x y z x y z . II. 14. S se scrie ecuaia unui plan, care: a) trece prin punctele 1 2,3, 4M , 2 4,6,5M i este paralel cu vectorul

1 2 3v i j k

;

b) trece prin 2,3, 4M i este paralel cu vectorii 1 2v i j k i 1 3 2 4v i j k

;

c) trece prin punctele 1 1,1,1M i 2 2, 2,3M i ete perpendicular pe planul : 0P x y z ;

d) trece prin punctual 1 1, 1,1M i este perpendicular pe planele 1 : 1 0P x y z i 2 :2 1 0P x y z .

II. 15. S se scrie ecuaia unui plan, tiind c puntul 3, 6, 2M este piciorul perpendicularei coborte din origine pe acest plan.

II. 16. S se scrie ecuaiile feelor tetraedrului cu vrfurile n punctele 1 2 3 43,0,5 , 0,0, 2 , 4,1, 2 , 1,1,0M M M M .

II. 17. S se demonstreze c planele 2 2 0, 2 0,x y z x y z 2 4 0x y z sunt concurente ntr-un plan.

II. 18. S se determine coordonatele punctului de intersecie al planelor 6 0, 2 2 0x y z x y z , 2 3 0x y z . II. 19. S se studieze poziia relativ a planelor:

71

a) 4 2 3 0, 3 5 0, 3 12 6 7 0x y z x y z x y z ; b) 5 8 7 0, 2 3 1 0, 2 3 2 9 0x y z x y z x y z ; c) 2 5 4 0, 5 2 13 23 0, 3 5 0x y z x y z x z . II. 20. S se determine R , astfel ca planele

0, 3 2 0x y z x y z i 4 2 0x y z s se intersecteze dup o dreapt. II. 21. S se studieze poziia relativ a planelor : a) 5 2 6 0, 3 0, 2 3 8 0, 3 2 1 0x y x y z x y z x z ; b) 5 3 0, 3 2 1 0, 2 4 5 0, 3 4 5 3 0x z y z x y z x y z . II. 22. S se scrie ecuaiile dreptei care se afl n planul xOy , trece prin origine i este perpendicular pe dreapta 2 1 5

3 2 1x y z .

II. 23. S se scrie ecuaiile dreptei care trece prin punctual 0 1, 2,1M i este paralel cu dreapta 2 1 0, 2 1 0.x y z x y z II. 24. S se scrie ecuaiile proieciei dreptei 1 2 3:

2 3 4x y zd pe

planul : 3 0P x y z . II. 25. S se verifice c dreptele 1 7 5

2 1 4x y z i 6 1

3 2 1x y z

sunt concurente i s se scrie ecuaia planului determinate de acestea. II. 26. S se scrie ecuaiile perpendicularei coborte din punctual 0M pe dreapta d , tiind c: a) 0 0,0,0M i 5 2 1: 4 3 2

x y zd ;

b) 0 2,3,1M i 1 2: 2 1 3x y zd .

II. 27. S se scrie ecuaiile perpendicularei commune la dreptele:

72

a) 1 2 0: 3 0x z

dx y z

i 22 1 0

:5 0

xd

y z ;

b) 1 :d 7 3 91 2 1x y z i 2 :d

3 1 17 2 3

x y z .

II. 28. S se calculeze lungimea perpendicularei commune a dreptelor 1d i 2d , tiind c:

a) 1 7 4 3: 3 4 2x y zd i 2

21 5 2:6 4 1

x y zd ;

b) 1 :d x y z i 2 : 1 0, 2 0d x y . II. 29. S se calculeze distana dintre dreptele 1 7 1 3: 3 4 2

x y zd i

2 2 1: 3 4 2x y zd .

II. 30. S se demonstreze c dreptele 1 2 52 3 4

x y z i 3 7, 2 2, 2 1x t y t z t determin un plan. S se scrie ecuaia

acestuia.

II. 31. S se scrie ecuaia unui plan care trece prin dreapta de intersecie a planelor 4 3 1 0x y z i 5 2 0x y z i care: a) trece prin origine;

b) trece prin punctul 1,1,1M ; c) este paralel cu axa Oy ;

d) este perpendicular pe planul 2 5 3 0x y z . II. 32. S se verifice c dreptele 2 2 10 0, 22 0x y z x y z i

7 5 93 1 4

x y z sunt paralele. S se calculeze distana dintre ele. S se scrie ecuaia planului determinat de acesta.

73

II. 33. S se scrie ecuaia unui plan, care trece prin dreapta de intersecie a planelor 5 0x y z i 4 0x z i care formeaz un unghi de 45 cu planul 4 8 12 0x y z . II. 34. S se scrie ecuaia unui plan care trece prin punctul 0 2,1,1M i este perpendicular pe dreapta 2 1 0x y z , 2 0x y z . II. 35. S se scrie ecuaia unui plan care conine dreapta

1 0, 2 1 0x x y z i este perpendicular pe planul 0x y z . II. 36. S se gseasc proiecia punctului 0 4, 3,1M pe planul

3 0x y z . II. 37. S se studieze pozia dreptei d fa de planul P , tiind c: a) 12 9 1:

4 3 1x y zd i :3 5 2 0P x y z ;

b) 1 3:2 4 3

x y zd i :3 3 2 5 0P x y z . II. 38. S se calculeze coordonatele simetricului punctului 0 4,3,1M fa de dreapta 1 2 3

2 4 5x y z .

II. 39. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul 0M , simetricul punctului 0 1,5, 1M fa de planul : 4 45 48 0P x y i este paralel cu dreapta 1 :2 1 0d x y z , 3 2 6 6 0x y z i 2 : 0d x y , 3 0x y z . II. 40. S se scrie ecuaia planului determinat de perpendicularele coborte din punctual 0 3, 2,5M pe planele 4 3 13 0x y z i

2 11 0x y z .

74

II. 41. S se determine R astfel nct dreptele 1 1 2: 3 2 1x y zd

i 2 1 3: 4 1x y zd .

II. 42. S se scrie ecuaia planului paralel cu planul 2 0x y z i care trece prin punctual de intersecie a planelor 2 2 0, 3 1 0x y z x y z i 3 0x y z . II. 43. S se determine parametrul astfel nct

dreptele 11 2( ) :

3 2 1x y zd i 2

1 3:4 1

x y zd s fie coplanare. S se afle coordonatele punctului lor de intersecie.

II. 44. S se scrie ecuaia planului care trece prin dreapta 0, 2 3 0x y z x y z i este paralel cu dreapta 2 3x y z .

II. 45. S se scrie ecuaiile planelor duse prin intersecia a urmtoarelor dou plane 3 4 1 0

2 5 0x y z

x y z i respectiv pe fiecare dintre ele.

II. 46. S se gseasc proiecia ortogonal a punctului 2,1,1M pe planul 3 5 0x y z .

II. 47. S se afle proiecia ortogonal a punctului 1, 1, 2A pe dreapta a crei reprezentare parametric este 2, 2 1x t y t i 3 1z t .

II. 48. Se consider triunghiul ABC cu 2, 3, 1A , 1, 4,0B , 3, 2, 5C . S se dea o reprezentare parametric a dreptei ce unete centrul

de greutate al triunghiul ABC cu punctul M care mparte segmentul orientat

AB n raportul 32

h .

75

II. 49. S se scrie ecuaia planului care trece prin origine, prin punctul 1 1 1 1, ,M x y z i este perpendicular pe planul P de ecuaie 0ax by cz d .

II. 50. S se scrie ecuaia planului determinat de dreptele 1

2 1( ) :7 3 5x y zd i 2 1 3 2: 7 3 5

x y zd .

II. 51. S se scrie ecuaia dreptei ce trece prin punctul 0 1, 1,3M i este perpendicular pe planul 3 0x y z .

II. 52. S se calculeze distana de la punctul 1,1,1u la planul 3 7 0x y z .

II. 53. Se d dreapta d de ecuaii 2 43 1 1

x y z i 1,2,3M . S se scrie ecuaia unui plan ce trece prin punctul M i este perpendicular pe dreapta d . 0 0 0 0A x x B y y C z z 0 1x 3A , 3 1 1 2 1 3 0x y z 0 2y 1B ,

3 3 0x y z 0 3z 1C .

76

Capitolul III

FORME BILINIARE. FORME PTRATICE.

Definiia III. 1. Fie V un spaiu vectorial, F : V V . Aplicaia F se numete bilinear dac: a) F(x + y, z) = F(x, z) + F(y, z), , , x, y, z V. b) F (x, y + z) = F(x, y) + F(y, z), , , x, y, z V adic F este linear n raport cu x i y.

Definiia III. 2. F este simetric dac F(x, y) = F(y, x) x, y V.

Definiia III. 3. F este pozitiv definit (negativ definit) dac: F(x, x) 0 (F(x, x) 0) x V F(x, x) = 0 x = 0v

Exemple

1) Fie V = E (spaiu euclidian). Produsul scalar este funcie bilinear simetric.

2) Fie V = 2 i x = (x1, x2)

y = (y1, y2)

77

z = (z1, z2)

Fie funcia F(x, y) = F((x1, x2), (y1, y2))=x1y2 + x2y1. Artm c F este bilinear: F(x + z, y) = F((x1 + z, x2 + z2)), (y, y2) = (x1 + z1)y2 + (x2 + z2)y1 Pe de alt parte: F(x + z, y) = (x1y2 + x2y1) + (z1,y2 + z2y1) = F(x, y) + F(z, y) Avem F(x, y) = x1y2 + x2y1 = y1x2 + y2x1 = F(y, x), deci n plus F este i simetric.

3) Fie a, b , a < b, V = C[a, b]={f : [a, b] continu}, K : [a, b] [a, b] continu. Atunci F : V V definit prin: , ,b b

a a

F f g K s t f s g t dsdt , f, g V este form biliniar pe V.

Matricea asociat. Schimbarea matricei cnd se schimb baza.

Definiia III. 4. Fie F : V V , F(x, y) bilinear, dimV = n, B = {e1, e2,,en} o baz.

Matricea A = (aij)n,n, aij = F(ei, ej) se numete matricea asociat lui F n raport cu baza B.

Exemplu:

Fie 2 2:F , cu F(x, y) = x1y2 + x2y1. S se determine matricea lui F n baz canonic din 2 . format din vectorii: e1 = (1, 0), e2 = (0, 1).

Atunci:

a11 = F(e1, e2) = 1 0 + 0 1 = 0,

78

a12 = F(e1, e2) = 1,

a21 = F(e2, e1) = 1,

a22 = F(e2, e2) = 0,

deci 0 11 0

A .

Propoziia III. 5. Fie F : V V , F bilinear, A = (aij) matricea asociat n raport cu B. Rezult c:

1 1

,n n

ij i ji j

F x y a x x

sau F(x, y) = Xt A Y, unde: 1

2

n

xx

X

x

,

1

2

n

yy

Y

y

.

Exemplu

Pentru n = 2, avem:

F(x, y) = a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2

Pe de alt parte: F(x, y) = Xt A Y = (x1, x2) 11 12 1 111 1 21 2 12 1 22 2

21 22 2 2

,a a y y

a x a x a x a xa a y y

=

= a11x1y1 + a21x2y1 + a12x1y2 + a22x2y2.

Propoziia III. 6. Aplicaia biliniar F : V V este simetric dac i numai dac matricea asociat este simetric (A = At).

Propoziia III. 7. Fie V spaiu vectorial, F o form bilinear, dimV = n, B = {e1,,en} i B' = { ' '1,... ne e }, C matricea de trecere de la B la B', '

CB B .

Atunci A' = Ct A C, unde A este matricea n baza B, iar A' este matricea n

baza B'.

79

Forme ptratice.

Definiia III. 8. Fie V/ un spaiu vectorial, F(x, y) o form biliniar simetric. Funcia : V se numete form ptratic, dac exist F : V V , f bilinear, simetric astfel nct (x) = F(x, x).

Propoziia III. 9. Dac : V este o form ptratic asociat formei biliniare simetrice F atunci:

1, ( )2

F x y x y x y , F(x, y) se numete polara formei ptratice .

Definiia III. 10. Fie : V , (x) form ptratic se numete pozitiv (negativ) definit dac F(x, y) este pozitiv (negativ definit): (x) 0, x V i (x) = 0 x = 0v.

Definiia III. 11. Fie : V R, (x) form ptratic, dimV = n, B = (e1,,en). Se numete matricea lui n raport cu baza B matricea asociat polarei F(x, y) n baza B.

Observaie: Aceast matrice este simetric.

Propoziia III. 12. Fie : V , (x) form ptratic, A matricea n raport cu baza B. Rezult:

80

2 2 211 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 11 1

... 2 2 ... 2n n

nn n n n n n ij i ji j

x a x a x a x a x x a x x a x x a x x

Exemplu:

Pentru n = 3, fie x = (x1, x2, x3). Atunci:

2 2 211 1 12 1 2 13 1 3 22 2 23 2 3 33 32 2 2x a x a x x a x x a x a x x a x Fie 2 2 21 2 3 1 2 2 32 2 4x x x x x x x x , atunci matricea asociat este

1 1 01 2 20 2 1

A

unde 2a12 = 2 a12 = 1.

Definiia III. 13. O form ptratic se numete redus la forma canonic dac exist o baz n care matricea asociat are form diagonal ((x) = sum de ptrate).

Reducerea la forma canonic prin metoda transformrilor ortogonale

Teorema III.14. Fie F : E E , F (x, y) form bilinear simetric. Rezult c exist T : E E, T autoadjunct astfel nct F(x, y) = , T unic.

Teorema III. 15. Fie : E E, (x) o form ptratic. Rezult c exist o baz ortonormat astfel nct n aceast baz (x) este redus la forma canonic.

81

Concluzii:

I. 2 211 1 12 1 2 1, 1... 2 ... 2nn n n n n nx a x a x a x x a x x Scriem matricea A.

11 12 1

12 22

1

n

n nn

a a aa a

A

a a

II. Calculm polinomul caracteristic p() = det(A In) i rezolvm ecuaia caractersitic: p() = 0. Obinem valorile proprii.

III. Se determin vectorii proprii {v1, v2,,vn} i rezult baza ortogonal{v1, v2,,vn}.

IV. Ortonormm baza de la (III).

V. Scriem ' 2 ' 2 ' 21 1 2 2 3 3' ...x x x x (forma canonic).

VI. Se scrie matricea C de trecere {e1,,en} { ' '1,... ne e }, iar X = C X'. Deci F : V V , f bilinear i : V astfel nct (x) = F(x, x). adic: 2 2 211 1 22 2 33 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32 2 2x a x a x a x a x x a x x a x x =

, 1

n

ij i ji j

a x x

82

Reducerea la forma canonic prin metoda Jacobi Teorema III. 16. Fie : E E o form ptratic i fie A = (aij)n,n

matricea sa n raport cu baza {e1, e2,,en}:

11 12 1

12 22 2

1

n

n

n nn

a a aa a a

A

a a

Fie D0 = 1

D1 = a11

11 12212 22

a aD

a a

11 1

1 1

i

i

j j

a aD

a a

Dn = det(A)

Dac toi Di 0, 1,i n , exist {f1, f2,,fn} (baza Jacobi) astfel nct n aceast baz are forma canonic. ' 2 ' 2 '2 ' 20 1 111 2

1 2

' ... ...i ni ni n

D D DDx x x x xD D D D

Criteriul lui Sylvester

Fie V spaiu vectorial, dimV = n, : V form ptratic cu matricea A = (aij) n baza 1,i i nB e . Atunci: a) (x) este poz def Di > 0, 1,i n b) (x) este neg def Di-i Di < 0, 1,i n .

83

Reducerea la forma canonic prin metoda Gauss

Fie (x) o form ptratic. Rezult c exist o baz ' ' '1 2, ,..., ne e e n care (x) are form canonic.

Cazuri

a) i, aii 0 se grupeaz toi termenii ce conin pe aii i se formeaz un ptrat perfect. b) toi aii = 0, i = 1,n , aij 0. Coeficientul lui xi, xj, aij se afl

2 24

i j i ji j

x x x xx x

Teorema de inerie. Fie V n spaiu vectorial i : V o form ptratic. Atunci numrul termenilor pozitivi (i implicit al celor negativi) din forma canonic a lui este aceeai indiferent de metoda prin care forma ptratic a fost adus la forma canonic.

Probleme rezolvate. III. 1. Fie 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2: , , 3 5 4 2f f x y x y x y x y x y . S se arate c f este o form biliniar. Soluie.

1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2, 3 5 4 2f ax by z ax by z ax by z ax by z ax by z 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 23 3 5 5 4 4 2 2ax z by z ax z by z ax z by z ax z by z

1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 23 5 4 2 3a x z x z x z x z b y z y z y z y z , ,af x z bf y z .

Analog se arat 2, , , , , , , ,f x ay bz af x y bf x z x y z a b .

84

III. 2. Fie 3 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3: , 4 6 8f g x x x x x x x x x x , form ptratic i 1 2 3, ,e e e baz canonic n 3 . S se determine matricea formei ptratice g n raport cu aceast baz. Soluie. Pentru a determina matricea formei ptratice g n raport cu baza canonic 1 2 3, ,e e e , vom scrie expresia formei ptratice astfel:

2 2 21 2 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 22 2 3 3 4 4g x x x x x x x x x x x x x x x x . Fie f forma biliniar asociat formei ptratice g . Avem:

11 1 1 12 1 2 13 3 3

21 1 2 22 2 3 23 3 1

31 2 2 32 3 2 33 1 3

, 1 , 2 , 3

, 2 , 1 , 4

, 3 , 4 , 1

a f e e a f e e a f e e

a f e e a f e e a f e e

a f e e a f e e a f e e

.

Deci matricea este 1 2 32 1 43 4 1

A

.

III. 3. S se reduc la forma canonic prin metoda transformrilor ortogonale urmtoarea form ptratic. S se specifice schimbarea de coordonate fcut. 2 2 21 2 3 1 2 2 3 1 33 3 3 2 2 2x x x x x x x x x x .

Soluie. Matricea asociat formei ptratice este

3 1 11 3 11 1 3

A

.

Calculm p() = 3 1 1 1 1 1

1 3 1 5 1 3 11 1 3 1 1 3

=

adunm la prima coloan scdem prima linie

85

celelate dou coloane din celelalte dou

= 21 1 1

5 0 2 0 5 20 0 2

p() = 0 1 = 5, 2 = 3 = 2. Determinm vectorii proprii.

Pentru 1 = 5 calculm vectorii proprii corespunztori.

Rezolvm 1

2

3

2 1 1 01 2 1 01 1 2 0

xxx

, astfel avem sistemul

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 02 0

2 0

x x xx x xx x x

, obinem x1 = x2 = x3 = . Am gsit vectorul propriu v1 =

(1, 1, 1). Pentru 2 = 3 = 2 calculm vectorii proprii corespunztori

1

2

3

1 1 1 01 1 1 01 1 1 0

xxx

.

Obinem unica ecuaie: x1 + x2 + x3 = 0 x1 = . Fie x2 = x3 = . Vectorul propriu este atunci de forma: v = ( , , ) = (1, 1, 0) + (1, 0, 1).

Pentru = 1 i = 0 rezult v2 = (1, 1, 1). n continuare alegem un vector propriu corespunztor valorii proprii = 2, adic de forma (, , , ) astfel nct s fie ortogonal pe v2. Rezult:

86

+ + = 0 sau = 2, deci (, , 2). Dac alegem = 1 v3 = (1, 1, 2). Am obinut deci vectorii proprii:

1

2

3

1, 1, 1

1, 1, 0

1, 1, 2

v

v

v

baz ortogonal.

Avem 1 2 33, 2, 6.v v v

Normm '1 1

1

1 1 1 1, ,3 3 3

e vv

,

'2 2

2

'3 3

3

1 1 1, , 02 2

1 1 1 2, ,6 6 3

e vv

e vv

,

Forma canonic este ' 2 ' 2 ' 21 2 3' 5 2 2x x x x .

Schimbarea de coordonate

Avem matricea de trecere C =

' ' '1 2 3( ) ( ) ( )

1 1 13 2 6

1 1 1 .3 2 6

1 203 6

e e e

87

Atunci 1 1

2 2

3 3

1 1 13 2 6

1 1 13 2 6

1 203 6

x xx xx x

,

sau

' ' '1 1 2 3

1 1 13 2 6

x x x x ,

' ' '2 1 2 3

1 1 13 2 6

x x x x ,

' '3 1 3

1 23 6

x x x .

Observaie Scriem ' ' '1 2 3, ,x x x n funcie de x1, x2, x3 X' = C1 X = Ct X (C este ortogonal, C1 = Ct), deci:

'1 1'2 2'3 3

1 1 13 3 31 1 02 2

1 1 26 6 6

x xx xx x

, de unde rezult

'1 1 2 3

'2 1 2

'3 1 2 3

1 1 13 3 3

1 1 02 2

1 1 26 6 6

x x x x

x x x

x x x x

.

88

III. 4. S se reduc la forma canonic prin metoda transformrilor ortogonale, forma ptratic (x) = 2 2 21 2 3 1 2 2 32 3 4 4x x x x x x x .

Soluie. Matricea asociat formei ptratice este 1 2 02 2 2

0 2 3A

.

Calculm p() = 1 2 0

2 2 20 2 3

3 + 62 3 10

1 6 3 10 1 1 7 10 0

p() = ( + 1)(2 + 7 10) = ( + 1)(2 7 + 10), obinem 1 = 1, 2 = 2, 3 = 5

Determinm vectorii proprii.

Pentru 1 = 1, rezolvm 1

2

3

1 2 0 02 3 2 0