Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci...

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

1/9

Care este cel mai mare şi cel mai mic număr real pozitiv care se poate obţinefolosind cinci cifre de 1 şi orice fel de operaţii studiate in clasele V – VIII?

Pentru a obţine cel mai mare număr folosind cele cinci cifre de 1 folosimridicările la putere. Şi avem variantele 11111 sau 11111. intre cele douănumere! mai mare este 11111. Iată şi demonstraţia" 11111 # 111$$ % 11& ' ($ %)11&*($ % 1&1($ # 11111. +umărul cel mai mic este 11,111.

Cum punem semne de operaţii şi paranteze astfel -nct următoarele e/alităţi săfie adevărate" 1 1 1 1 1 % $0 1 1 1 1 1 % 0 2 2 2 2 2 % 1$! 3 3 3 3 3 % ($?4ntrebările sunt preluate din lucrarea 56atematică distractivă şi recreativă pentru/imnaziu7! editura 8aida! Iaşi! &$$2! autor 9le'andru 6oscaliuc )fostul meucole/ de facultate şi de cameră! -n căminele studenţeşti din Copoul Iaşiului*.

Pentru 1 1 1 1 1 % $! sunt mai multe variante! de e'emplu" 1 ' 1 : 1 – 1 – 1 % $!1 ' 1 ' 1 ' 1 – 1 % $ etc.

Pentru 1 1 1 1 1 % avem" )1 : 1* ' )1 : 1 : 1* % .

Pentru 2 2 2 2 2 % 1$ avem" 2 : 2 : 2 : 2"2 % 1$.Pentru 3 3 3 3 3 % ($ avem" )3'3'3 : 3*"3 % ($.

;uma unui număr impar de numere naturale consecutive este &1! ' : n numerele din enunţ! unde n este numărul numerelor şieste impar. ;uma numerelor este )' : 1* : )' : &* : > : )' : n* % )' : ' : > :'* )n termeni* : )1 : & : > : n* % n' : n)n : 1*&. Cum suma numerelor este&1

: 2 : 1* % & ' 2 ' 32! de unde obţinem &' : A % 1A! iar de aici &' % 1A&! deunde ' % 31. +umerele căutate sunt 3&! 32 şi 3A.


2/9

Volumul unui paralelipiped dreptun/Bic este de &A cm2. 6ărind dimensiunile paralelipipedului cu & cm! 2 cm! A cm! volumul paralelipipedului creşte de ori.Ct este aria totală a paralelipipedului?

=ie a! b! c dimensiunile paralelipipedului. Volumul unui paralelipipeddreptun/Bic se calculează cu formula V % abc )produsul dimensiunilor*! iar 9t %&)ab : bc : ac*. in datele problemei! avem" V % &A! apoi! după mărire! )a : &*)b : 2*)c : A* % &A ' sau )a : &*)b : 2*)c : A* % abc ' )1*. 4mparţind ambiimembri ai relaţiei )1* la abc avem" )a : &*)b : 2*)c : A*abc % )&*. Şi acumapare 5cBeia7 problemei" membrul stn/ al e/alităţii )&* se scrie )1 : &a*)1 :

2b*)1 : Ac*. 9stfel avem" )1 : &a*)1 : 2b*)1 : Ac* % & ' & ' & )2*. ine/alitatea )2* obţinem a % &! b % 2! c % A! iar de aici avem" 9t % &)& ' 2 : 2 ' A :A ' &* % & ' & % (& cm&.

oi matematicieni! Vlad si 6arius! discutau la un moment dat"

– 6arius! ai trei baieti. Ce varste au?

– ;uma varstelor lor este data de astazi. Produsul varstelor lor este 2.

– Imi mai trebuie un element. +u,mi dau seama de varsta lor pe baza celorspuse pana acum.

– DE. Cel mai mic dintre baieti are parul rosu.

– 9cum lucrurile sunt clareF

Ce varste au cei trei baieti ai lui 6arius?

+ota" cand am mentionat Gdata de astaziH! nu trebuie inteles la modul concret!

data scrierii intrebarii.

2 poate fi descompus astfel"

1. 2%2'1'1 );%2*

&. 2%1'&'1 );%&1*

2. 2%1&'2'1 );%1*

A. 2%


3/9

(. 2%''1 );%12*

. 2%


4/9

9dunăm -nti cifrele unităţilor. 9vem de adunat 1$$ de cifre de Păstrăm


5/9

parte care se ridică sau coboară! şi aşezăm o monedă pe o parte a balanţei! unape cealaltă parte şi una Nos. acă balanţa rămne -n ecBilibru! moneda falsă ecea de Nos! dacă nu este una din cele două aşezate pe balanţă. Şi am terminatdupă patru cntăriri.

Cte cifre are numărul 2 ' ' &(3?

Pentru a afla cte cifre are numărul! modificăm forma numărului! folosindre/ulile de calcul cu puteri. 9stfel avem" 2 ' ' &(3 % 2 ' )&2* ' )(&*3 % 2 '&1 ' (1A % 2 ' &A ' &1A ' (1A % 2 ' 1 ' )& ' (* 1A % A ' 1$1A % A ' 1$$$> $ )1A cifre de $*. +umărul are 1 cifre.

4ntr,un plan sunt 1$ puncte astfel -nct oricare trei nu se află pe aceeaşi dreaptă.;e desenează toate se/mentele avnd capetele -n oricare două din aceste puncte.Care este cel mai mare număr de se/mente ce pot fi intersectate de o dreaptăcare nu conţine nici unul din cele 1$ puncte?

reapta intersectează un se/ment atunci cnd capetele )e'tremităţile*se/mentului sunt 5de o parte şi de alta7 a dreptei date. =iind dată dreapta şi cele1$ puncte! avem variantele" un punct se află de o parte şi celelalte < de cealaltă

parte a dreptei0 -n acest caz sunt < se/mente! intersectate de dreaptă! fiecarese/ment avnd un capăt -n acel punct şi celălalt capăt -n unul din cele nouă

puncte0 dacă & puncte sunt de o parte a dreptei şi celelalte de cealaltă parte!avem & ' % 1 se/mente! intersectate de dreaptă! fiecare se/ment avnd uncapăt -n unul din cele două puncte şi celălalt capăt -n unul din cele puncte0analo/! cu 2 de o parte şi 3 de cealaltă parte! avem 2 ' 3 % &1 se/mente! cu A de

o parte şi de cealaltă parte! avem A ' % &A se/mente! cu ( de o parte şi ( decealaltă parte! avem ( ' ( % &( de se/mente. Oezultă că cel mai mare număr dese/mente ce pot fi intersectate de dreaptă este &(.

Care este rezulatul calculului 1$$& –


6/9

Ltapa 1. 4n acest calcul avem 1$$ de puteri )numere*. Me vom /rupa -n felulurmător" 1$$& –


7/9

cele ( produse se pot scrie" &$$ ' &$$ % n ' n % n&! &$$( ' &$$3 % )n – 1*)n :1* % n& – 1! &$$A ' &$$ % )n – &*)n : &* % n& – A! &$$2 ' &$$< % )n – 2*)n : 2*% n& – intre formele anterioare!ale/em &$$ % < ' &1 : AA! deoarece 2 @ AA @ A(. 9vem acum


8/9

Intrebarea este publicata si aici.

+umerele de trei cifre sunt de la 1$$ la ! < avem ' %A numere. acă prima cifră este &! ultima cifră poate fi 2! A! >! < şi mai avem ' 3 % ( numere. Şi aşa mai departe avem" ' % A )dacă prima cifră este2*! ' ( )dacă prima cifră este A*! ' A )dacă prima cifră este (*! ' 2 )dacă

prima cifră este *! ' & )dacă prima cifră este 3*! ' 1 )dacă prima cifră este*. 9dică numărul numerelor cu proprietatea cerută este ' : ' 3 : > : '1 % ' ) : 3 : > : 1* % ' 2 % &.

aca aveti idei de raspuns! folositi linE,ul de mai sus )trebuie sa va inre/istrati pentru a raspunde* sau lasati raspunsul aici! la comentarii.

4n cte submulţimi ale mulţimii S1! &! 2! >! 1&T! suma dintre cel mai mare şicel mai mic element este 12?


+umărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente )n număr natural* este &n.6ai trebuie precizat că -ntr,o mulţime fiecare element se scrie o sin/ură dată!iar ordinea -n care se scriu elementele mulţimii nu contează. Pentru ca sumadintre cel mai mare şi cel mai mic element să fie 12! avem variantele" 12 % 1& :1 % 11 : & % 1$ : 2 % < : A % : ( % 3 : . ;ă luăm varianta 1& : 1! adică celmai mic element 1! cel mai mare 1& şi suma lor 12. intre elementele rămase! &!2! >! 11! se pot ale/e oricare pentru a face parte din submulţime. e e'emplu!S1! &! 2! 1&T este o submulţime a mulţimii date! iar S1! (! ! 3! 1&T este o altăsubmulţime. Cu alte cuvinte! pe ln/ă 1 şi 1& putem avea alte elemente dintrenumerele rămase. Iar aceste elemente sunt! de fapt! submulţimi ale mulţimii S&!


9/9

2! >! 11T. +umărul acestor submulţimi este &1$ % 1$&A! deoarece de la & la 11avem 1$ numere. 9plicnd acelaşi raţionament! dacă cel mai mic element este &şi cel mai mare 11! avem & % &( submulţimi. acă cel mai mic element este 2şi cel ami mare 1$! avem & % A submulţimi. acă cel mai mic element este A

şi cel mai mare


n număr de ( cifre este divizibil cu 2! ( şi . Care este cea mai mică sumă posibilă a cifrelor acestui număr?


4n /eneral! un număr se divide cu &n ! unde n este un număr natural nenul! dacăultimele n cifre ale numărului formează un număr care se divide cu &n. Cum %&2! numărul se divide cu dacă ultimele 2 cifre ale numărului formează unnumăr care se divide cu . 9nalo/! un număr se divide cu (n! unde n este unnumăr natural nenul! dacă ultimele n cifre ale numărului formează un numărcare se divide cu (n. )Pentru a demonstra cele două afirmaţii anterioare sefoloseşte descompunerea numărului -n baza 1$.* 9dică numărul se divide cu (dacă are ultima cifră )cifra unităţilor* $ sau (. 4n sfrşit! un număr se divide cu 2dacă suma cifrelor numărului se divide cu 2. Me/at de numărul din enunţ! pentru

a rezolva problema divizibilităţii cu şi (! ct şi pentru a fi cea mai mică sumă posibilă a cifrelor! se ale/ ultimele 2 cifre $. Pentru prima cifră ale/em 1! ceamai mică posibilă. 9 mai rămas de ales a doua cifră. 9ceasta se ale/e astfel-nct numărul să se dividă cu 2 şi suma cifrelor să fie cea mai mică. Lste evidentcă a doua cifră trebuie aleasă &. +umărul este 1&.$$$! iar cea mai mică sumă

posibilă a cifrelor acestui număr este 2.


Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci...

Documents

Transcript of Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci...