Cap.1. Noţiuni fundamentale

Cap.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

1.1. Definiţii. Clasificări. Unităţi de măsură.

În tehnică, studiul vibraţiilor capătă o pondere din ce în ce mai mare, datorită unor tendinţe prezente tot mai pregnant: – realizarea de maşini cu performanţe superioare, cu viteze de lucru cât mai mari şi stabilitate dinamică ridicată; – realizare a unor construcţii cât mai uşoare şi mai sigure; – protecţia operatorului uman. Un sistem material (construcţie, maşină sau organ de maşină) este caracterizat, într-un interval de timp, de o stare de repaos sau de o anumită mişcare permanentă (mişcare de regim), stări considerate ca stări de referinţă. Deseori, sistemul material execută mişcări în raport cu starea de referinţă, mişcări ce pot fi caracterizate printr-un număr determinat de parametri.

Dacă parametrii ce descriu mişcarea unui sistem variază alternativ în timp, în jurul valorilor corespunzătoare stării de referinţă, mişcarea se numeşte vibratorie sau oscilatorie ori – mai simplu, vibraţie sau oscilaţie.

Cauzele care provoacă vibraţiile sistemelor sunt diverse: în general, sunt fenomene produse în timpul procesele tehnologice (ciocane de forjă; concasoare ş.a.), imprecizie sau defecţiuni de construcţie ori de funcţionare – care conduc la forţe centrifuge perturbatoare (corpuri neechilibrate aflate în mişcare de rotaţie; lagăre uzate neuniform etc). Există însă şi maşini care, prin principiul lor de funcţionare, produc forţe perturbatoare periodice (războaiele de ţesut; motoarele cu combustie internă; pompele cu piston ş.a.), ori maşini care au la bază fenomenul vibrator (site vibrante; maşini de încercat la vibraţii, şocuri, zdruncinături). Se poate concluziona că sunt cazuri în care vibraţiile sunt nocive şi trebuie luate măsuri de înlăturare sau reducere a lor, dar şi cazuri în care vibraţiile sunt benefice şi se iau măsuri de utilizare şi chiar de amplificare a acestora.

Mişcările vibratorii pot fi periodice sau aperiodice. Mişcarea se numeşte periodică atunci când toţi parametrii mişcării se repetă identic după un interval de timp minim T, numit perioada vibraţiei sau, simplu, perioadă.

1

VIBRAŢII MECANICE Prin urmare, după o perioadă T, pentru fiecare punct al sistemului, poziţia, viteza v şi acceleraţia a sunt aceleaşi.

Mişcarea efectuată într-o perioadă poartă denumirea de ciclu al vibraţiei periodice.

Studiul mişcărilor vibratorii în raport cu stările de referinţă se efectuează în general cu ajutorul unor parametri geometrici independenţi (lungimi sau unghiuri), al căror număr depinde de sistemul material considerat.

Matematic, o mişcare periodică poate fi pusă sub forma (1.1): x(t) = x(t+T) (1.1)

sau, cu coordonate generalizate, sub forma (1.1´): q(t) = q(t+T) (1.1′)

Grafic, o mişcare oscilatorie este reprezentată printr-o diagramă. În fig.1.1 este prezentat un exemplu de diagramă pentru o mişcare vibratorie periodică; ea indică poziţia în timp a unui punct al mobilului în deplasare sa pe direcţia Ox.

Fig.1.1

Cea mai simplă vibraţie periodică este vibraţia (oscilaţia) armonică, al cărui parametru variază sinusoidal. Dacă se notează cu x coordonata (parametrul) mişcării – ce poate fi o deplasare liniară sau unghiulară – legea vibraţiei armonice este exprimată printr-o ecuaţie – numită ecuaţia mişcării vibratorii, care se scrie cu ajutorul funcţiilor trigonometrice sin sau cos şi este de forma relaţiilor (1.2) sau (1.3):

txx ω= sin0 sau, mai general, )sin(0 ϕ+ω= txx (1.2)

txx ω= cos0 sau, mai general, )cos(0 ϕ+ω= txx (1.3)

2

Cap.1. Noţiuni fundamentale Ecuaţiilor de mişcare (1.2) şi (1.3) le corespund diagramele de deplasare, din fig.1.2.

a

b

Fig.1.2

Modelul mecanic al sistemului oscilator Mişcarea oscilatorie armonică – ca cea mai simplă mişcare vibratorie – poate fi exemplificată cu ajutorul unui punct material M, de masă m [kg], deplasat sub acţiunea unui resort cu caracteristică elastică liniară şi având, ca parametru constructiv, constanta elastică liniară k [N/m] (fig.1.3). Sub acţiunea forţei elastice Fe [N] dezvoltată de resort, punctul M – numit oscilator, se deplasează alternativ în jurul poziţiei de echilibru Q, numit centrul vibraţiei. Pe

3

VIBRAŢII MECANICE durata mişcării oscilatorii, punctul M atinge poziţiile extreme M1 şi M2. Poziţia x a mobilului la momentul generic t poate fi exprimată printr-o ecuaţie de mişcare de forma (1.2) sau (1.3).

Reprezentarea sugestivă din fig.1.3a reprezentă modelul mecanic al vibraţiei armonice pentru acest caz simplu.

a

b

Fig.1.3 Un sistem mecanic oscilator complex mai conţine, pe lângă masa m

legată la suport prin elementul elastic, şi un element de amortizare – care frânează mişcarea, caracterizat prin factorul de amortizare c; în plus, asupra masei m poate acţiona şi o forţă perturbatoare exterioară Fp(t) [N]. Astfel, schema generală a unui sistem mecanic oscilant conţine atât simbolul pentru elementul elastic (k), cât şi pentru elementul de amortizare (c) (fig.1.4).

Fig.1.4

Mărimile caracteristice vibraţiei armonice:

elongaţia – notată cu x (t), y (t) sau z (t) – reprezintă distanţa dintre centrul de oscilaţie (punctul Q) şi oscilator (punctul M), la momentul t (v.fig.1.3);

amplitudinea x0 – este elongaţia maximă (v.fig.1.2);

4

Cap.1. Noţiuni fundamentale

perioada T – timpul minim după care mişcarea se repetă în mod identic. Se măsoară în secunde.

Pentru o mişcare oscilatorie caracterizată de legea de mişcare (1.2b), prin dezvoltarea funcţiei trigonometrice, se deduce expresia perioadei T:

⇒ϕ++ω=ϕ+ω ])(sin[)sin( 00 Ttxtx π=ω⇒ϕ+ω+ω=π+ϕ+ω⇒ 22 TTtt

de unde: ωπ

=2T (1.4)

frecvenţa vibraţiei f , este inversul perioadei T şi reprezintă numărul de oscilaţii complete efectuate în unitatea de timp (secundă). Frecvenţa se măsoară în hertz (1Hz = s–1) şi se calculează cu relaţia (1.5):

πω

==2

1T

f (1.5)

faza θ – reprezintă argumentul funcţiei cu care se exprimă vibraţia armonică (1.2) sau (1.3):

ϕ+ω=θ t (1.6) Se măsoară în radiani.

faza iniţială sau diferenţa de fază ϕ reprezintă faza la momentul iniţial t = 0 şi, respectiv, diferenţa dintre fazele a două mişcări vibratorii armonice, cum ar fi cele date prin ecuaţiile (1.7)

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ+ω⋅=ω⋅=

)sin(sin

202

101txx

txx (1.7)

Diferenţei de fază ϕ dintre cele două mişcări x1 şi x2 îi corespunde un decalaj în timp. Astfel:

Două vibraţii armonice caracterizate de legile de mişcare (1.8)

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ+ω⋅=ϕ+ω⋅=

)cos()cos(

202

101txxtxx

(1.8)

sunt în fază, deoarece au acelaşi argument θ = ωt + ϕ (fig.1.5). Dacă vibraţiile armonice sunt caracterizate de legile de mişcare (1.9)

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ+ϕ+ω⋅=ϕ+ω⋅=

)cos()cos(

1202

101tyytyy

(1.9)

5

VIBRAŢII MECANICE atunci mişcarea a două este defazată faţă de prima mişcare cu un unghi ϕ1 numit defazaj, egal cu diferenţa dintre fazele celor două mişcări θ2 – θ1

(fig.1.6). Prin scrierea relaţiilor (1.9) sub forma (1.10):

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωϕ

+ωϕ

+ω⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωϕ

+ω⋅=

1202

101

cos

cos

tyy

tyy

(1.10)

se observă că decalajului unghiular ϕ1 îi corespunde un defazaj în timp egal cu ϕ1/ω.

Fig.1.5

• Când ϕ1 = π (deci un decalaj în timp ϕ1/ω = π/ω = T/2), cele două mişcări sunt în opoziţie de fază (fig.1.7)

pulsaţia (frecvenţa circulară) ω, reprezintă numărul de vibraţii complete care au loc în intervalul de 2π secunde şi este derivata în raport cu timpul a fazei:

6

Cap.1. Noţiuni fundamentale

dtdθ

=ω (1.11)

Pulsaţia ω se măsoară în [rad/s]. Legătura dintre pulsaţie şi frecvenţă rezultă din relaţia (1.5), în forma (1.12):

fπ=ω 2 (1.12)

forţa elastică Fe este forţa ce apare în elementul elastic la deformarea acestuia; se opune mişcării mobilului şi produce vibraţia armonică

(v.fig.1.3); se măsoară în Newton.

Fig.1.6

Observaţii

În legătură cu definiţiile date mai sus, se pot face câteva precizări: Prin derivare în raport cu timpul a ecuaţiei de mişcare – spre exemplu ecuaţia

(1.2b) a mişcării vibratorii armonice – se obţin legile de variaţie ale vitezei şi acceleraţiei, conform relaţiilor (1.13) şi, respectiv, (1.14):

( )ϕ+ω⋅ω== txxv cos0& (1.13)

( ) xtxxva 220 sin ω−=ϕ+ω⋅ω−=== &&& (1.14)

7

VIBRAŢII MECANICE

Fig.1.7 Din relaţiile (1.12) ÷ (1.14) se observă că toate elementele mişcării armonice se calculează cu ajutorul funcţiilor sin (ωt + ϕ) şi cos (ωt + ϕ).

Prin exprimarea legii de variaţie (1.13) a vitezei şi (1.14) a acceleraţiei cu ajutorul aceleiaşi funcţii trigonometrice cu care este scrisă şi ecuaţia de mişcare (1.2) (în exemplul de faţă – funcţia sinus):

( ) ( )2sincos 00 π+ϕ+ω⋅ω=ϕ+ω⋅ω= txtxv (1.13′)

( ) ( )π+ϕ+ω⋅ω=ϕ+ω⋅ω−= txtxa sinsin 20

20 (1.14′)

rezultă că viteza şi acceleraţia (cu amplitudinile x0ω şi respectiv x0ω2), sunt defazate înainte faţă de mişcare, cu unghiuri egale cu π/2 (în timp, cu un sfert de perioadă: π/2ω = T/4) şi respectiv π (în timp, cu jumătate de perioadă: π/ω = T/2). • Observaţia este sesizabilă şi pe diagramele mişcării armonice, ale vitezei şi acceleraţiei – conform relaţiilor (1.2), (1.13’) şi, respectiv, (1.14’), trasate pe un grafic comun (fig.1.8).

Prin scrierea legii fundamentale a dinamicii pe direcţia de mişcare (Qx în fig.1.3) şi cu expresia acceleraţiei dată de relaţia (1.14), se obţine expresia forţei elastice Fe:

8

Cap.1. Noţiuni fundamentale

kxxmxmamFe −=ω−=⋅=⋅= 2&& (1.15) unde k este constanta elastică a arcului:

km =ω2 (1.16) Semnul “minus“ din relaţia (1.15) evidenţiază faptul că, raportat la sensul de deplasare x, forţa elastică Fe se opune deplasării, căutând să aducă mobilul în poziţia de echilibru.

Fig.1.8

1.2. Reprezentarea vectorială a vibraţiilor armonice

O vibraţie armonică poate fi reprezentată printr-un vector rotitor de modul constant. Se consideră un vector OA de modul x0 care se roteşte în sens direct,

într-un plan Oxy, în jurul originii sale O, cu o viteză unghiulară ω constantă şi faza iniţială ϕ (la momentul iniţial t = 0, vectorul OA face cu axa Ox unghiul ϕ) (fig.1.9). Prin proiectarea vectorului rotitor OA pe direcţiile Ox şi Oy ale sistemului rectangular, urmele Ax şi Ay ale extremităţii acestuia vor efectua

9

VIBRAŢII MECANICE oscilaţii alternative faţă de originea O, în lungul celor 2 axe de coordonate; ecuaţiile de mişcare ale punctelor Ax şi Ay sunt:

( )(⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ+ω=ϕ+ω=

txytxx

sincos

0

0) (1.17)

de aceeaşi formă cu ecuaţiile de mişcare (1.2) – (1.3). Altfel spus, la rotirea cu viteza unghiulară constantă ω a vectorului OA

(de mărime x0), proiecţiile Ax şi Ay ale extremităţii sale pe axele Ox şi Oy efectuează mişcări oscilatorii armonice faţă de punctul de origine O, pulsaţia celor două mişcări liniare oscilatorii fiind identică cu viteza unghiulară de rotaţie ω a vectorului rotitor OA .

Fig.1.9

În concluzie, vectorul rotitor OA se consideră ca reprezentând atât mişcarea oscilatorie a punctului Ax în lungul axei Ox, cât şi a punctului Ay în lungul axei Oy – mişcări definite prin ecuaţiile de mişcare (1.17). Mai mult chiar, prin vectorul OA se poate defini orice altă mişcare oscilatorie armonică (de pulsaţie ω şi amplitudine x0) în jurul punctului O, după orice direcţie. Poziţia instantanee a oscilatorului va fi dată de proiecţia extremităţii vectorului pe

10

Cap.1. Noţiuni fundamentale direcţia de vibrare aleasă, iar punctul O va reprezenta centrul vibraţiilor, prin analogie cu termenii precizaţi mai sus (v.fig.1.3).

Prin derivarea în raport cu timpul a ecuaţiilor de mişcare (1.17), rezultă ecuaţiile vitezei mişcărilor armonice (1.18).

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

π+ϕ+ω=π+ϕ+ωω=ϕ+ωω=π+ϕ+ω=π+ϕ+ωω=ϕ+ωω−==2sin2sincos

2cos2cossin

000

000tvtxtxyv

tvtxtxxv

y

x&

& (1.18)

Forma în care au fost scrise ecuaţiile vitezelor (1.18) ilustrează posibilitatea reprezentării vectoriale a vitezelor oscilatorii armonice în jurul punctului O printr-un alt vector rotitor 1OA , de modul x0ω, ce se roteşte cu aceeaşi viteză

unghiulară ω, dar aflat în avans cu π/2 radiani faţă de vectorul de mişcare OA (v.fig.1.8).

În mod identic, prin derivarea ecuaţiilor vitezelor (1.18), rezultă ecuaţiile acceleraţiei mişcărilor armonice (1.19),

( ) ( ) ( )( ) ( ) (⎪⎩

⎪⎨⎧

π+ϕ+ω=π+ϕ+ωω=ϕ+ωω−==

π+ϕ+ω=π+ϕ+ωω=ϕ+ωω−==

tatxtxyatatxtxxa

y

x

sinsinsincoscoscos

02

02

0

02

02

0

&&

&&

) (1.19)

care pot fi reprezentate prin vectorul rotitor 2OA , de modul x0ω2 şi defazat în

sensul lui ω cu π radiani faţă de OA . Aşa cum vectorul OA reprezintă vectorul de mişcare pentru orice deplasare

oscilatorie armonică în jurul punctului O, vectorul rotitor 1OA reprezintă

vectorul viteză, iar 2OA este vectorul acceleraţie. Proiecţiile extremităţii acestor vectori rotitori pe orice direcţie de mişcare aleasă va reprezenta deplasarea, viteza şi, respectiv, acceleraţia mişcării oscilatorii. Se poate concluziona că studiul mişcărilor vibratorii este mult uşurat prin utilizarea reprezentării vectoriale, metoda constând practic în compunerea unor vectori.

1.3. Reprezentarea vibraţiilor cu ajutorul numerelor complexe.

O altă metodă de simplificare a studiului mişcărilor vibratorii şi de operare este oferită de planul complex. În acest caz, mişcarea oscilatorie este simbolizată printr-un vector rotitor într-un plan complex, în care axa absciselor reprezintă axa reală Re, iar axa ordonatelor pe cea imaginară Im (fig.1.10).

11

VIBRAŢII MECANICE

Fig.1.10

Vectorul rotitor este definit prin afixul z al extremităţii sale, conform relaţiei (1.20) :

( ) ( )[ ] ( )ϕ+ω⋅=ϕ+ω⋅+ϕ+ω= tiextitxz 00 sincos (1.20)

Având în vedere forma ecuaţiei de mişcare (1.20), operarea în planul complex poate fi făcută atât în formă trigonometrică, cât şi exponenţială. Numărul complex z din relaţia (1.20) exprimă de fapt două mişcări vibratorii ortogonale – date de proiecţiile vectorului rotitor pe axa reală şi, respectiv, pe cea imaginară – mişcări ce au ecuaţiile de mişcare (1.21):

( )(⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ+ω==ϕ+ω==

txzytxzx

sin)Im(cos)Re(

0

0) (1.21)

Partea reală a numărului complex z exprimă mişcarea vibratorie în lungul axei reale (orizontale), iar partea imaginară exprimă mişcarea oscilatorie în lungul axei imaginare (verticale). Se observă similitudinea ecuaţiilor de mişcare (1.21) cu (1.17) din reprezentarea vectorială. Operarea în planul complex presupune, în practică, ca unei ecuaţii de mişcare să i se ataşeze un număr complex complet (care conţine atât partea reală cât şi pe cea imaginară), să se efectueze toate operaţiile în complex şi, în final, să se selecteze din numărul complex rezultat numai partea reală sau cea

12

Cap.1. Noţiuni fundamentale imaginară, în funcţie de direcţia iniţială a mişcării oscilatorii (existentă după axa reală ori imaginară).

Derivatele de ordinul întâi şi doi în raport cu timpul ale variabilei complexe z permit calcularea vitezelor şi, respectiv, a acceleraţiilor celor două mişcări.

Astfel, derivarea lui z din rel.(1.20) în forma lui trigonometrică conduce la relaţia (1.22), iar în formă exponenţială la relaţia (1.23):

( ) ( )ϕ+ω⋅ω⋅+ϕ+ω⋅ω−= txitxz cossin 00& (1.22) ( ) ziexiz ti ω=⋅⋅ω= ϕ+ω

0& (1.23)

Prin trecerea la aceleaşi funcţii trigonometrice cu cele din ecuaţia de mişcare (1.20), din relaţia (1.22) rezultă forma (1.22’); ea pune în evidenţă defazajul dintre viteză şi deplasare.

( ) ( )[ ] ( )200 2sin2cos π+ϕ+ω⋅ω=π+ϕ+ω⋅+π+ϕ+ω⋅ω= tiextitxz& (1.22’)

Idem, derivarea vitezei din relaţiile (1.22) şi (1.23) conduce la expresiile acceleraţiei (1.24) şi respectiv (1.25),

( ) ( )ϕ+ω⋅ω⋅−ϕ+ω⋅ω−= txitxz sincos 20

20&& (1.24)

( ) zexiz ti 20

22 ω−=⋅⋅ω= ϕ+ω&& (1.25)

iar prin trecerea la funcţiile trigonometrice iniţiale, la relaţia (1.24’) – ce pune în evidenţă defazajul faţă de deplasarea z.

( ) ( )[ ] ( )π+ϕ+ω⋅ω=π+ϕ+ω⋅+π+ϕ+ω⋅ω= tiextitxz 20

20 sincos&& (1.24’)

Din relaţiile de mai sus, precum şi din fig.1.10 se observă că a deriva numărul complex z înseamnă de fapt a-l înmulţi cu iω.

Comparând reprezentarea vectorială cu reprezentarea în planul complex, se observă că

înmulţirea cu i este echivalentă cu o rotaţie a vectorului cu un unghi egal cu π/2 în sens direct (în avans), iar înmulţirea cu ω transformă amplitudinea x0 în ωx0.

Acestea evidenţiază proprietăţile vitezei într-o vibraţie armonică, şi anume: viteza este defazată cu un unghi π/2 rad în avans faţă de mişcare şi are amplitudinea x0ω.

În mod analog, acceleraţia este defazată cu un unghi de π radiani în avans faţă de mişcare şi are amplitudinea x0ω2.

13

VIBRAŢII MECANICE

1.4. Clasificarea vibraţiilor

Vibraţiile mecanice se pot clasifica după mai multe criterii: 1°. După traiectoria de mişcare, vibraţiile pot fi:

de translaţie; de rotaţie; încovoitoare; torsionale (de răsucire); 2°. După numărul gradelor de libertate ale sistemului1

În funcţie de numărul parametrilor scalari independenţi ce caracterizează la un moment dat poziţia fiecărui punct al sistemului oscilant, se diferenţiază:

vibraţii în sisteme cu un singur grad de libertate; vibraţii în sisteme cu două grade de lidertate; vibraţii în sisteme cu mai multe grade de lidertate; vibraţii în sisteme cu număr infinit de grade de libertate.

Un corp rigid, a cărui mişcare vibratorie constă dintr-o translaţie pe o direcţie cunoscută, o oscilaţie în plan în jurul unui punct, ori o rotaţie în jurul unei axe, are un singur grad de libertate

(fig.1.11). În fig.1.12 sunt date exemple de vibraţii cu două grade de libertate.

Sistemele elastice continue de tip bară, coardă, membrană, placă, învelitoare (pentru care interesează mişcarea fiecărui punct) sunt considerate sisteme cu număr infinit de grade de libertate. Deoarece numărul maxim de grade de libertate ale unui rigid este de 6, un sistem mecanic cu un număr oarecare de mase în vibraţie are un număr de grade de libertate cel puţin egal cu numărul maselor şi cel mult de 6 ori mai mare.

La studierea vibraţiilor sistemelor discrete (cu număr finit de grade de libertate) se utilizează ecuaţii diferenţiale, iar pentru mediile continui se folosesc ecuaţii cu derivate parţiale.

3°. După forţele care acţionează în timpul vibraţiei. În general, într-o vibraţie intervin: Forţa elastică Fe , forţa rezistentă Fr şi forţa perturbatoare Fp.

1 grad de libertate – parametru independent care defineşte în orice moment mişcarea tuturor elementelor sistemului mecanic.

14

Cap.1. Noţiuni fundamentale

Forţa elastică caută să readucă mobilul în centrul oscilaţiei, forţa rezistentă este dată de frecarea exterioară sau poate fi o forţă interioară, iar forţa perturbatoare acţionează din exterior şi întreţine mişcarea oscilatorie.

Fig.1.11

În funcţie de mărimea forţei perturbatoare, pot fi întâlnite: • vibraţii libere (proprii) – datorate unor deplasări sau unor impulsuri iniţiale, care încetează imediat după declanşarea mişcării, iar forţa perturbatoare este nulă (Fp = 0); • vibraţii forţate sau întreţinute (vibraţii excitate sau constrânse) – produse de o forţă perturbatoare, exterioară (independentă de sistem), care acţionează pe toată durata mişcării; deci forţă perturbatoare Fp ≠ 0. • vibraţii cu caracteristici variabile – provocate de o cauză interioară sau exterioară, ce acţionează asupra unui parametru al sistemului (masa, forţa elastică etc.), parametru ce devine variabil în timp. Dintre acestea se pot aminti vibraţiile parametrice.

În funcţie de forţele rezistente din sistem (după energia consumată în timpul vibraţiei), se disting:

15

VIBRAŢII MECANICE • vibraţii amortizate – vibraţii care se pierd în timp, datorită forţelor de rezistenţă (forţe a căror valoare nu poate fi neglijată). Semnul forţei de rezistenţă este considerat negativ, deoarece aceasta se opune mişcării (Fr < 0); • vibraţii neamortizate – în care forţele de rezistenţă sunt considerate nule (Fr = 0); pe durata mişcării oscilatorii nu se consumă energie. Aceste vibraţii constituie de fapt o idealizare, admisă în cazul unor mişcări reale, în care forţele de frecare sunt foarte mici şi pot fi neglijate; • vibraţii autoîntreţinute (autoexcitate) sau autovibraţii – când forţele de rezistenţă (apreciabile ca valoare şi luate în consideraţie) întreţin vibraţiile pe întreaga durată a mişcării, motiv pentru care au acelaşi semn cu forţa elastică (Fr > 0). Cauza care întreţine mişcarea oscilatorie este, în acest caz, în interiorul sistemului.

Fig.1.12

4°. După legea variaţiei în timp a mişcării sau natura ecuaţiei de mişcare, vibraţiile pot fi: deterministe şi aleatoare. • Vibraţiile deterministe pot fi reprezentate printr-o ecuaţie de mişcare, în timp ce pentru cele aleatoare nu se poate stabili o ecuaţie de mişcare.

16

Cap.1. Noţiuni fundamentale După forma ecuaţiei diferenţială a mişcării, vibraţiile deterministe sunt: liniare şi neliniare. Pentru primele, caracteristica elastică a sistemului oscilator este considerată liniară, în timp ce pentru oscilaţiile neliniare, caracteristica oscilaţiilor este neliniară.

Cazuri particulare de vibraţii deterministe sunt vibraţiile tranzitorii şi vibraţiile periodice, iar din ultimele fac parte şi vibraţiile armonice.

1.5. Vibraţii nearmonice

Vibraţiile armonice (exprimate numai cu ajutorul unei singure funcţii în sinus sau cosinus) reprezintă cazuri singulare în tehnică, fenomenele vibratorii fiind mult mai complexe; acestea sunt cunoscute sub numele de vibraţii nearmonice. Dintre vibraţiile nearmonice se amintesc: • vibraţiile modulate în amplitudine; • vibraţiile modulate în frecvenţă; • vibraţiile nearmonice oarecare.

Mişcările vibratorii la care amplitudinea x0 sau pulsaţia ω (deci şi frecvenţa f) variază în timp după anumite legi sunt modulate în amplitudine, respectiv în frecvenţă.

1.5.1. Vibraţiile nearmonice modulate în amplitudine

La acest tip de vibraţii, amplitudinea variază legic în timp, astfel că ecuaţia de mişcare are forma (1.26):

[ ] )sin()( ϕ+ω⋅+= ttfCx (1.26) Curbele reprezentate prin funcţiile (1.27) şi (1.28)

( )tfCx +=1 (1.27)

( )tfCx −−=2 (1.28) sunt înfăşurătoarele curbei date de ecuaţia de mişcare (1.26). Acest lucru este demonstrat prin faptul că cele trei curbe au puncte comune, puncte în care admit aceleaşi tangente.

Se observă că, pentru valori ale lui ti pentru care faza θk devine:

π+π

=ϕ+ω=θ ktiki 22

(1.29)

funcţiile definite prin relaţiile (1.26) şi (1.27) au aceeaşi valoare:

17

VIBRAŢII MECANICE

1)(22

sin)]([sin)]([ xtfCktfCtfCx iikii =+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+π

⋅+=θ⋅+=

şi, simultan, şi derivatele lor au aceeaşi valoare; astfel, funcţia (1.26) derivată: )cos()]([)sin()( ϕ+ω⋅ω⋅++ϕ+ω⋅= ttfCttfx i

&& (1.30) devine pentru faza θki: 1)(0)]([1)( xtftfCtfx iiii &&&& ==⋅ω⋅++⋅=

În mod analog, pentru timpi tj pentru care faza θk devine:

π+π

=ϕ+ω=θ kt jkj 22

3 (1.31)

curbele date prin relaţiile (1.26) şi (1.28) au puncte comune, în care şi derivatele de ordinul I au aceeaşi valoare.

Diagrama mişcării vibratorii modulată în amplitudine este prezentată în fig.1.13. După cum se observă şi în figură, punctele de tangenţă dintre înfăşurătoare şi curba de bază nu coincid cu punctele de extrem ale funcţiei (1.26), deoarece

Fig.1.13

18

Cap.1. Noţiuni fundamentale valorile fazei corespunzătoare acestor puncte – date de rel. (1.29) şi (1.31) – nu anulează prima derivată (1.30).

Timpul T după care mobilul trece în acelaşi sens prin origine este egal cu timpul dintre două puncte de maxim sau minim consecutive şi se numeşte pseudoperioadă. Deoarece amplitudinea mişcării este variabilă, ca, de altfel şi pseudoperioada T, vibraţia se numeşte cvasiarmonică sau cvasiperiodică.

• Dacă amplitudinea f(t) din ecuaţia (1.26) variază sinusoidal după o lege de forma (1.32):

)(cos)( mmtmtf ϕ+ω⋅= , (0 < m ≤ 1) (1.32) vibraţia este modulată armonic în amplitudine.

Amplitudinea m se numeşte grad de modulaţie, iar pulsaţia ωm – pulsaţie de modulaţie.

În fig.1.14 se prezintă diagrama unei astfel de vibraţii. În general, după cum apare şi în figură, frecvenţa de modulaţie fm = ωm/2π este mult mai mică decât frecvenţa f = ω/2π a vibraţiei de bază.

Fig.1.14

19

VIBRAŢII MECANICE 1.5.2. Vibraţii modulate în frecvenţă

Aceste vibraţii au pulsaţia variabilă legic în timp; legea de mişcare este de forma:

])(sin[ 00 ϕ+ω+⋅ω⋅= ttxx (1.33) Funcţia ω(t) variază lent în timp, iar amplitudinea x0 rămâne constantă. • Dacă pulsaţia ω(t) variază sinusoidal după o lege de forma (1.34) (1.34) )cos()( mnm tt ϕ+ω⋅ω=ωvibraţia este modulată armonic în frecvenţă, iar ωm se numeşte indice de modulaţie. Diagrama acestei mişcări este dată în fig.1.15.

Fig.1.15

1.5.3. Vibraţiile nearmonice oarecare. Analiza armonică a vibraţiilor

Vibraţiile nearmonice oarecare sunt exprimate printr-o funcţie periodică x(t) oarecare. Ele nu pot fi reprezentate printr-o singură funcţie trigonometrică, sinus sau cosinus.

Vibraţiile nearmonice oarecare sunt frecvent întâlnite în tehnică: cuplurile motoare şi forţele tangenţiale la motoarele cu combustie internă, forţele de inerţie la maşinile cu unul sau două pistoane etc. În general, orice mişcare vibratorie nearmonică dar periodică, dată de o lege de mişcare de formă generală (1.35) – unde f(t) este o funcţie periodică cu perioada T – se poate considera ca fiind rezultanta unui număr infinit de mare de vibraţii armonice.

20

Cap.1. Noţiuni fundamentale

)(tfx = (1.35) Sunt astfel îndeplinite condiţiile lui Dirichlet:

Pe un interval închis de timp o funcţie periodică este mărginită şi are un număr finit de discontinuităţi de speţa întâi. Intervalul de timp poate fi împărţit într-un număr finit de subintervale, pe care funcţia este monotonă.

Vibraţiile armonice componente (în număr infinit) ale mişcării vibratorii rezultante se obţin prin dezvoltarea funcţiei f(t) în serie Fourier. Astfel, ecuaţia de mişcare pentru o vibraţie nearmonică dar periodică poate fi scrisă în forma (1.36):

∑∑∞

=

∞

=ω⋅+ω⋅+==

11

0 )sin()cos(2

)(k

kk

k tkbtkaa

tfx (1.36)

care poate fi pusă şi sub forma (1.37):

∑∞

=ϕ+ω+=+ϕ+ω+ϕ+ω+==

1022110 )sin(...)2sin()sin()(

kkk tkAAtAtAAtfx (1.37)

Identitatea relaţiilor (1.36) şi (1.37) are la bază egalităţile (1.38) ÷ (1.40):

)sin()cos()sin( tkbtkatkA kkkk ω⋅+ω⋅=ϕ+ω⋅ (1.38)

22kkk baA += (1.39)

k

kk b

atg =ϕ (1.40)

Termenii ecuaţiei (1.36) sau (1.37) obţinuţi pentru k = 1 constituie armonica fundamentală.

În practică, în funcţie de precizia necesară studierii fenomenului fizic reprezentat prin funcţia f(t) şi de valorile amplitudinilor de ordin superior, din seria Fourier se reţine un număr finit de termeni (numai câteva armonice), iar ceilalţi se neglijează. Cu cât vor fi luaţi în consideraţie mai mulţi termeni, cu atât seria va aproxima mai bine funcţia f(t), dar şi operarea va fi mai laborioasă.

Coeficienţii seriei Fourier pot fi determinaţi pe cale analitică când este cunoscută funcţia f(t) pe un interval. În acest scop se folosesc relaţiile (1.41):

21

VIBRAŢII MECANICE

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅ω⋅πω

=⋅ω⋅=

⋅ω⋅πω

=⋅ω⋅=

⋅πω

=⋅=

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

ωπ

ωπ

ωπ

T

k

T

k

T

dttktfdttktfT

b

dttktfdttktfT

a

dttfdttfT

a

0

2

0

0

2

0

2

000

)sin()()sin()(2

)cos()()(cos)(2

)()(2

(1.41)

unde T = 2π/ω este perioada funcţiei f(t). Exprimarea ecuaţiei de mişcare a unei vibraţii nearmonice periodice cu ajutorul unei serii Fourier şi determinarea coeficienţilor ak, bk se numeşte analiză Fourier a vibraţiei respective.

Integralele (1.41) se pot rezolva analitic pentru puţine funcţii f(t). În cazurile în care diagrama de variaţie a funcţiei periodice f(t) este obţinută pe cale experimentală, coeficienţii pot fi calculaţi fie cu metode grafo-analitice, fie direct cu ajutorul unui analizor armonic.

22