Cap_8 Metoda celor mai mici patrate Probleme.pdf

TEORIA APROXIMARII

Metode celor mai mici patrate

Aproximare liniara

Fie dat urmatorul set de date

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:= y

1.3

3.5

4.2

5.0

7.0

8.8

10.1

12.5

13.0

15.6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:=

Reprezentam grafic aceste date ca puncte in plan.

0 5 10

5

10

15

20

y

x

Construim polinomul Lagrange de interpolare si-l reprezentam grafic.

m last x( ):= m 9= L u( )

0

m

i 0

m

j

if j i≠u xj−

xi xj−, 1,

⎛⎜⎝

⎞

⎠∏=

yi⋅⎛⎜⎜⎝

⎞

⎠∑=

:=

Metoda_celor_mai_mici_patrate_1.mcd / Pag. 1 din 5

t x0 x0 0.01+, xm..:=

0 5 10

5

10

15

20

y

L t( )

x t,

Se observa ca aceste puncte par a fi situate pe o dreapta.

Fie dreapta (cum se determina aceasta vom vedea mai jos) z v( ) 0.36− 1.538 v⋅+:=

Reprezentam grafic aceasta dreapta in acelasi sistem de axe.

0 5 10

5

10

15

20

y

L t( )

z t( )

x t, t,

Dupa cum se vede grafic se poate obtine o buna aproximare pentru setul de date folosindaceasta functie de gadul unu in locul polinomului Lagrange de gradul noua.


Problema

1) Folosind metoda celor mai mici patrate aproximati setul de date folosind un polinom degradul unu.

2) Reprezentati grafic setul de date si polinomul de aproximare obtinut.

3) Determinati eroarea totala care se obtine folosind acest polinom de aproximare sicoeficientul de corelatie.

Solutie. Gradul polinomului de aproximare n 1:=

Indicele ultimei componente a vectorului x (sau y) m last x( ):= m 9=

Sumele nodurilor la diferite puteri p

k 0 2 n⋅..:= Sk0

m

i

xi( )k∑=

:= Sk1055

385

=

Matricea sistemului liniar din care se determina coeficientii polinomului

i 0 n..:= j 0 n..:= Mi j, Si j+:=

M10

55

55

385⎛⎜⎝

⎞⎠

=

Vectorul termenilor liberi a sistemului din care se determina coeficientii polinomului

bj0

m

i

xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=

:= b81.0000

572.4000⎛⎜⎝

⎞⎠

=

Rezolvarea sistemului liniar M a⋅ b= a lsolve M b, ( ):=

Coeficientii polinomului de aproximare aj-0.361.538

=

Definim polinomul de aproximare P x( )

0

n

j

aj xj⋅( )∑

=

:=


Reprezentarea grafica a polinomului de aproximare

0 5 10

5

10

15

20

y

P t( )

x t,

Erorile in fiecare punct

i 0 m..:=

yi P xi( )−0.1220.784

-0.055

-0.793

-0.331

-0.069

-0.307

0.555

-0.484

0.578

=

0 5 10

5

10

15

20

y

P x( )

x x,

Valoarea erorii totale facute prin folosirea acestui polinom de aproximare

E

0

m

i

yi P xi( )−( )2∑=

:= E 2.345=


Calculul coeficinetului de corelatie.

Valoarea medie vm1

m 1+0

m

i

yi∑=

⋅:=

Suma abaterilor patratice de la valoarea medie

E0

0

m

i

yi vm−( )2∑=

:=

Coeficientul de corelatie rE0 E−

E0:= r 0.994=

Deoarece valoarea coeficientului de corelatie este apropiata de unu aproximarea facuta cupolinomul de aproximare de gradul unu (linia de regresie) este foarte buna.


Nicolae Danet METODE NUMERICE

TEORIA APROXIMARII


Aproximare parabolica

Fie dat setul de date x

0

0.25

0.50

0.75

1

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟

⎠

:= y

1.0000

1.2840

1.6487

2.1170

2.7183

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟

⎠

:=

0 0.5 1

1

2

3

4

y

x

1) Folosind metoda celor mai mici patrate aproximati setul de date folosind un polinomde gradul doi.

2) Reprezentati grafic setul de date si polinomul de aproximare obtinut.

3) Determinati eroarea totala care se obtine folosind acest polinom de aproximare si coeficientulde corelatie.

Solutie. Gradul polinomului de aproximare n 2:=



k 0 2 n⋅..:= Sk0

m

i

xi( )k∑=

:= Sk5

2.51.875

1.5631.383

=




i 0 n..:= j 0 n..:= Mi j, Si j+:=

M

5

2.5

1.875

2.5

1.875

1.563

1.875

1.563

1.383

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=


bj0

m

i

xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=

:= b

8.7680

5.4514

4.4015

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=


Coeficientii polinomului de aproximare aj1.0050.8640.844

=


0

n

j

aj xj⋅( )∑

=

:=

Reprezentarea grafica a polinomului de aproximare t x0 x0 0.1+, xm..:=

0 0.5 1

1

2

3

4

y

P t( )

x t,




E

0

m

i

yi P xi( )−( )2∑=

:= E 2.741 10 4−×=


Valoarea medie vm1

m 1+0

m

i

yi∑=

⋅:=

Suma abaterilor patratice de la valoarea medie

E0

0

m

i

yi vm−( )2∑=

:=


E0:= r 0.9999263907=

Deoarece valoarea coeficientului de corelatie este apropiata de unu aproximarea facuta cupolinomul de aproximare de gradul unu (linia de regresie) este foarte buna.



TEORIA APROXIMARII


Aproximare cubica. Alegerea polinomului de aproximare

Fie dat urmatorul set de date x

0

0.15

0.31

0.5

0.6

0.75

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:= y

1

1.004

1.031

1.117

1.223

1.422

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:=

0.5− 0 0.5 1

0.5

1

1.5

2

y

x

1) Folosind metoda celor mai mici patrate aproximati setul de date folosind polinome degradul unu, doi si trei.

2) Reprezentati grafic setul de date si polinoamele de aproximare.

3) Calculati eroarea totala si coeficientul de corelatie in fiecare caz.

Solutie.


Cazul unu. Constructia polinomului de gradul unu n1 1:=


k 0 2 n1⋅..:= Sk0

m

i

xi( )k∑=

:= Sk6

2.311.291

=




i 0 n1..:= j 0 n1..:= M1i j, Si j+:=

M16

2.31

2.31

1.291⎛⎜⎝

⎞⎠

=


b1j0

m

i

xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=

:= b16.7970

2.8290⎛⎜⎝

⎞⎠

=

Rezolvarea sistemului liniar M1 a1⋅ b1= a1 lsolve M1 b1, ( ):=

Coeficientii polinomului de aproximare a1j0.93

0.528

=

Definim polinomul de aproximare P1 x( )

0

n1

j

a1j xj⋅( )∑

=

:=


0 0.5 1

1

2

y

P1 t( )

x t,


E10

m

i

yi P1 xi( )−( )2∑=

:= E1 0.02457=




Valoarea medie vm1

m 1+0

m

i

yi∑=

⋅:=

Suma abaretilor patratice de la valoarea medie

E0

0

m

i

yi vm−( )2∑=

:=

Coeficientul de corelatie r1E0 E1−

E0:= r1 0.906=

Cazul doi. Constructia polinomului de gradul doi n2 2:=


Sk6

2.311.291

=k 0 2 n2⋅..:= Sk

0

m

i

xi( )k∑=

:=


i 0 n2..:= j 0 n2..:= M2i j, Si j+:=

M2

6

2.31

1.291

2.31

1.291

0.796

1.291

0.796

0.518

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=


b2j0

m

i

xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=

:= b2

6.7970

2.8290

1.6411

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=



-0.3261.147

=




0

n2

j

a2j xj⋅( )∑

=

:=


0 0.5 1

1

2

y

P2 t( )

x t,


E20

m

i

yi P2 xi( )−( )2∑=

:= E2 9.45246 10 4−×=


E0:= r2 0.996534=

Cazul trei. Constructia polinomului de gradul trei n3 3:=


k 0 2 n3⋅..:= Sk0

m

i

xi( )k∑=

:= Sk6

2.31

1.291

0.7960.518

0.3490.241

=




i 0 n3..:= j 0 n3..:= M3i j, Si j+:=

M3

6

2.31

1.291

0.796

2.31

1.291

0.796

0.518

1.291

0.796

0.518

0.349

0.796

0.518

0.349

0.241

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

=


b3j0

m

i

xi( ) j yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=

:= b3

6.7970

2.8290

1.6411

1.0378

⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟

⎠

=



-0.00154-0.01151

1.02102

=


0

n3

j

a3j xj⋅( )∑

=

:=


0 0.5 1

1

2

y

P3 t( )

x t,




E30

m

i

yi P3 xi( )−( )2∑=

:= E3 1.11238 10 4−×=


E0:= r3 0.999593=

Compararea erorilor totale si a coeficientilor de corelatie

k 1 3..:= Ek0.024570.00095

0.00011

= rk0.9056350.996534

0.999593

=

Din tabelele de mai sus rezulta ca cea mai buna aproximare este facuta cu polinomul degradul trei.



TEORIA APROXIMARII


Aproximare neliniara (exponentiala de forma beax)

Fie dat setul de date

x

1

1.25

1.50

1.75

2

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟

⎠

:= y

5.10

5.79

6.53

7.45

8.46

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟

⎠

:=

Die reprezentarea grafica a punctelor in plan se vede ca aceste pot avea o distributieexponentiala.

1 1.5 2

5

10

y

exp 1.1 0.5 v⋅+( )

x v, 2− 1− 0 1 2

2

4

6

8

et

e t−

t t,

Logaritmam vectorul y si reprezentam grafic noile date obtinute

Y ln y( ):= YT 1.629 1.756 1.876 2.008 2.135( )=

1 1.5 2

1

2

Y

x

Metoda_celor_mai_mici_patrate_4_neliniara(ae^bx).mcd / Pag. 1 din 4


Deoarece aceste sunt situate aproape pe o dreapta vom face a aproximare liniara.

Gradul polinomului de aproximare n 1:=



k 0 m..:= Sk0

m

i

xi( )k∑=

:= Sk5

7.5

11.875

19.688

33.883

=


i 0 n..:= j 0 n..:= Mi j, Si j+:=

M5

7.5

7.5

11.875⎛⎜⎝

⎞⎠

=


bj0

m

i

xi( ) j Yi⋅⎡⎣ ⎤⎦∑=

:= b9.4053

14.4241⎛⎜⎝

⎞⎠

=


Coeficientii polinomului de aproximare aj1.1220.506

=


0

n

j

aj xj⋅( )∑

=

:=




1 1.5 2

1

2

2.5

0

Y

P x( )

2.250.75 x x,

Functia exponentiala de aproximare

β a1:= α exp a0( ):= yy x( ) α eβ x⋅⋅:=

1 1.5 2

5

6

7

8

9

y

yy x( )

x x,


E

0

m

i

yi yy xi( )−( )2∑=

:= E 0.001206=


Valoarea medie vm1

m 1+0

m

i

yi∑=

⋅:=




E0

0

m

i

yi vm−( )2∑=

:=


E0:= r 0.999915=

Deoarece valoarea coeficientului de corelatie este apropiata de unu aproximareafacuta cu functia exponentiala este foarte buna.



TEORIA APROXIMARII


Aproximare neliniara (exponentiala de forma αxβ)


x

4

4.2

4.5

4.7

5.1

5.7

5.9

6.3

6.8

7.1

y

102.56

113.18

130.11

142.05

167.53

195.14

224.87

256.73

299.50

326.73

Reprezentam grafic punctele in plan.

4 5 6 7

100

200

300

y

x

Cautam o functie de aproximare de forma y αxβ=

Logaritmand obtinem ln y( ) ln α( ) β ln x( )=

Y ln y( ) X ln x( )Notam

Metoda_celor_mai_mici_patrate_4_neliniara(ax^b).mcd / Pag. 1 din 4


X

1.386

1.435

1.504

1.548

1.629

1.74

1.775

1.841

1.917

1.96

Y

4.63

4.729

4.868

4.956

5.121

5.274

5.416

5.548

5.702

5.789

Reprezentam grafic noul set de date

1.4 1.6 1.84

4.5

5

5.5

6

Y

X

Dupa cum se vede, de data acesta, punctele sunt situate aproape pe o dreapta.De aceea vom face a aproximare liniara.

Gradul polinomului de aproximare n 1

Indicele ultimei componente a vectorului x (sau y) m last x( ) m 9


k 0 2 n Sk

0

m

i

Xi k

Sk10

16.73528.377




i 0 n j 0 n Mi j Si j

M10

16.735

16.735

28.377


bj

0

m

i

Xi jYi

b52.0337

87.8219

Rezolvarea sistemului liniar M a b= a lsolve M b( )

Coeficientii polinomului de aproximare aj1.8452.007

Definim polinomul de aproximare P X( ) a0 a1 X

Reprezentarea grafica a polinomului de aproximare t x0 x0 0.1 xm

1.3 1.417 1.533 1.65 1.767 1.883 24

4.5

5

5.5

6

Y

P X( )

X X

Prin identificarea coeficientilor intre polinomul de aproximare P(X) si relatia obtinutain urma logaritmarii functiei y = αxβ obtinem

ln α( ) a0= β a1=

Deci α exp a0 β a1



Functia exponentiala de aproximare este yy x( ) α xβ

t x0 x0 0.1 xm

3.5 4.167 4.833 5.5 6.167 6.833 7.5

100

200

300

y

yy t( )

x t


E

0

m

i

yi yy xi 2

E 200.201093


Valoarea medie vm1

m 10

m

i

yi


E0

0

m

i

yi vm 2

Coeficientul de corelatie rE0 E

E0 r 0.998210

Deoarece valoarea coeficientului de corelatie este apropiata de unu aproximareafacuta cu functia exponentiala este foarte buna.



P5 CreateSpace F5( ):=F5 t( ) P5:=P5 60 45 20( )T:=





P0 CreateSpace F0( ):=

TEORIA APROXIMARII


Aproximare liniara bidimensionala (Regresie bidimensionala)


x

10

10

20

50

60

60

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:= y

5

45

25

25

5

45

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:= z

50

40

36

32

32

20

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

:=

Reprezentam grafic punctele din planul xOy. m last x( ):= m 5= i 0 m..:=

0 10 20 30 40 50 60 70

10

20

30

40

50

60

yi

xi

Reprezentam grafic punctele in spatiu.

P0 10 5 50( )T:= F0 t( ) P0:=

Metoda_celor_mai_mici_patrate_5_bidimensionala.mcd / Pag. 1 din 3


P x y,( ) a0 a1 x⋅+ a2 y⋅+:=

a

53.858051

0.342373−

0.275000−

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=a lsolve M b,( ):=

Solutia sistemului si polinomtul de aproximare de gradul unu bidimensional.

b

210

6340

4810

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=M

6

210

150

210

10300

5250

150

5250

5350

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎠

=

b20

m

i

yizi∑=

:=M2 2,0

m

i

yi( )2∑=

:=M2 1, M1 2,:=M2 0, M0 2,:=

b10

m

i

xi zi⋅∑=

:=M1 2,0

m

i

xi yi⋅∑=

:=M1 1,0

m

i

xi( )2∑=

:=M1 0, M0 1,:=

b00

m

i

zi∑=

:=M0 2,0

m

i

yi∑=

:=M0 1,0

m

i

xi∑=

:=M0 0, m 1+:=

Definim coeficientii sistemului si termenii liberi.

Vom aproxima valorile zi cu un polinom de gradul un in variabilele x si y.

P0 P1, P2, P3, P4, P5,



Reprezentarea grafica a planului de regresie.

P0 P1, P2, P3, P4, P5, P,

Valorile erorilor in fiecare punct. zi P xi yi,( )−0.9411.941

-4.1362.136

0.059-0.941

=


E

0

m

i

zi P xi yi,( )−( )2∑=

:= E 27.203=

Calculul coeficientului de corelatie

vm1

m 1+0

m

i

zi∑=

⋅:= E0

0

m

i

zi vm−( )2∑=

:=

rE0 E−

E0:= r 0.972=


Cap_8 Metoda celor mai mici patrate Probleme.pdf

Documents

Transcript of Cap_8 Metoda celor mai mici patrate Probleme.pdf