physics.uvt.rophysics.uvt.ro/~brutus/probleme.pdf · Cuprins 1 Mecanica newtonian˘a 5 1.1 Problema...

Brutus Demsoreanu

Mecanica analitica

- Probleme -

TIMISOARA 2003

Tehnoredactarea ın LATEX2ε apartine autorului.

Copyright c© 2003, B. Demsoreanu

Cuprins

1 Mecanica newtoniana 51.1 Problema determinarii miscarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Dinamica punctului material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Sisteme de puncte - solidul rigid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Mecanica lagrangeeana 452.1 Ecuatia generala a dinamicii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2 Sisteme olonome. Forte potentiale si nepotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3 Sisteme neolonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.4 Sisteme naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.5 Aplicatii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3 Mecanica hamiltoniana 1053.1 Ecuatiile lui Hamilton. Paranteze Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.2 Principiul variational al lui Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.3 Transformari canonice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.4 Metoda Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Bibliografie 136

3

Capitolul 1

Mecanica newtoniana

1.1 Problema determinarii miscarii

1 Componentele vitezei si acceleratiei ın coordonate curbilinii ortogonale.

a. Coordonate polare (r , θ). Notand cu ~er versorul vectorului de pozitie al punctului si cu~eθ versorul unei directii perpendiculare pe ~er orientata ın sensul ın care θ creste, folosind figurarezulta :

~er = cos θ~ı + sin θ ~

~eθ = − sin θ~ı + cos θ ~(1)

Prin derivare dupa timp se obtine :

~er = θ (− sin θ~ı + cos θ ~ ) = θ ~eθ

~eθ = −θ ( cos θ~ı + sin θ ~ ) = − θ ~er

(2)

Pornind de la expresia vectorului de pozitie al punctului P ın coordonate polare ~r = r ~er, rezultaprin derivari succesive dupa timp si folosind (2) expresiile :

~v = ~r = r ~er + r ~er = r ~er + rθ ~eθ

~a = ~r = r ~er + r ~er + (rθ + rθ)~eθ + rθ ~eθ =

= (r − rθ2)~er + (2rθ + rθ)~eθ

(3)

5

6 CAPITOLUL 1. MECANICA NEWTONIANA

In consecinta, componentele vitezei si acceleratiei punctului ın coordonate polare vor fi :

vr = r

vθ = rθ;

ar = r − rθ2

aθ = 2rθ + rθ(4)

In particular, daca traiectoria este un cerc de raza R, deci daca miscarea este circulara, atunci(r = R , r = 0 , θ = ω , θ = ω = ε) :

vr = 0

vθ = Rθ = Rω;

ar = −Rθ2 = −Rω2

aθ = Rθ = Rω = Rε(5)

Se confirma astfel faptul ca ın miscarea circulara viteza are componenta numai dupa tangenta latraiectorie, iar acceleratia are componente atat pe tangenta, cat si pe raza vectoare, cea din urmafiind orientata spre centrul cercului. Daca ın plus miscarea circulara este si uniforma (ω = 0) seobtin rezultatele cunoscute :

vr = 0

vθ = Rω;

ar = −Rω2

aθ = 0(6)

Daca traiectoria este continuta ın planul xOy , atunci se deduce usor urmatoarea expresie ıncoordonate polare a vitezei areolare :

~Ω =1

2(~r × ~v) =

1

2

[r ~er × (r ~er + rθ ~eθ)

]=

1

2rr (~er × ~er)︸︷︷︸

0

+1

2r2θ (~er × ~eθ) (7)

deci :~Ω =

1

2r2θ ~k (8)

unde ~k este versorul unei directii perpendiculare pe planul determinat de versorii ~er si ~eθ, adicaviteza areolara este orientata dupa axa Oz . Se verifica direct ca :

| ~Ω | = 1

2r2θ (9)

reprezinta aria maturata de raza vectoare ın unitate de timp.

b. Coordonate sferice (r , θ , ϕ). Notand cu ~er versorul vectorului de pozitie al punctuluiP , cu ~eθ versorul tangentei la meridian ın sensul ın care θ creste si cu ~eϕ versorul tangentei laparalela ın P cu orientarea ın sensul ın care ϕ creste, folosind figurile rezulta :

~er = sin θ ~e + cos θ ~k = sin θ (cos ϕ~ı + sin ϕ~ ) + cos θ ~k

~eθ = cos θ ~e− sin θ ~k = cos θ (cos ϕ~ı + sin ϕ~ )− sin θ ~k

~eϕ = − sin ϕ~ı + cos ϕ~

(10)

Prin derivare dupa timp se obtine :

~er = θ cos θ (cos ϕ~ı + sin ϕ~ ) + ϕ sin θ (− sin ϕ~ı + cos ϕ~ )− θ sin θ ~k =

= θ ~eθ + ϕ sin θ ~eϕ

~eθ = − θ sin θ (cos ϕ~ı + sin ϕ~ ) + ϕ cos θ (− sin ϕ~ı + cos ϕ~ )− θ cos θ ~k =

= − θ ~er + ϕ cos θ ~eϕ

~eϕ = − ϕ (cos ϕ~ı + sin ϕ~ ) = − ϕ (sin θ ~er + cos θ ~eθ)

= − ϕ sin θ ~er − ϕ cos θ ~eθ

(11)

1.1. PROBLEMA DETERMINARII MISCARII 7

Deoarece ~r = r ~er , prin derivari succesive dupa timp si folosirea expresiilor (11), rezulta :

~v = ~r = r ~er + r ~er = r ~er + rθ ~eθ + rϕ sin θ ~eϕ

~a = ~r = r ~er + r ~er + (rθ + rθ)~eθ + rθ ~eθ +

+ (rϕ sin θ + rϕ sin θ + rθϕ cos θ)~eϕ + rϕ sin θ ~eϕ =

= (r − rθ2 − rϕ2 sin2 θ)~er + (2rθ + rθ − rϕ2 sin θ cos θ)~eθ +

+ (2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ + rϕ sin θ)~eϕ

(12)

In consecinta, componentele vitezei si acceleratiei punctului ın coordonate sferice vor fi :

vr = r

vθ = rθ

vϕ = rϕ sin θ

;

ar = r − rθ2 − rϕ2 sin2 θ

aθ = 2rθ + rθ − rϕ2 sin θ cos θ

aϕ = 2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ + rϕ sin θ

(13)

2 Sa se studieze miscarea unui punct material de masa m ın lungul axei Ox, daca asupra luiactioneaza o forta care se opune miscarii si a carei marime este proportionala cu patratul vitezeimomentane. Se cunosc conditiile initiale x(t0) = x0 si x(t0) = x0.

Rezolvare : Conform enuntului, ecuatia de miscare are forma generala :

m x = − k x2 ; k > 0 (1)

Transcriind ecuatia sub forma :dx

x2= − k

mdt (2)


prin integrare dupa timp :x(t)∫

x(t0)

1

x2dx = −

t∫

t0

k

mdt (3)

rezulta :1

x0

− 1

x= − k

m(t− t0) (4)

unde s-a tinut cont de conditia initiala x(t0) = x0 . Dependenta de timp a vitezei punctului va fiastfel :

x(t) =x0

1 +kx0

m(t− t0)

(5)

Integrand ınca odata dupa timp si tinand cont de conditia initiala x(t0) = x0, rezulta :

x(t) = x0 +m

kln

[1 +

kx0

m(t− t0)

](6)

Dependenta de timp a acceleratiei va fi data de expresia :

x(t) = − k

mx2 = − k

m

x0

1 +kx0

m(t− t0)

2

(7)

Se observa ca :

limt→∞ x(t) = 0 , lim

t→∞ x(t) = 0 si limt→∞x(t) = ∞ (8)

Deoarece este evident ca punctul se va opri dupa un interval de timp finit, rezultatul apareparadoxal, ınsa el este corect ın limitele ipotezei facute ın enunt. In realitate, rezistenta mediuluieste proportionala cu patratul vitezei doar la viteze mari, dependenta devenind mult mai lenta pemasura ce scade viteza.

3 Un punct material de masa m se misca ın planul vertical xOz. El se afla sub actiunea fortei

gravitationale ~G = m~g, iar mediul exercita asupra sa o forta orientata ın sens opus miscarii, directproportionala cu viteza momentana ~v. Cunoscand conditiile initiale ~r(t0) = ~r0 si ~v(t0) = ~v0, sase determine ecuatia carteziana a traiectoriei. In cazul particular al aruncarii oblice ın sus, sase determine timpul de urcare, precum si coordonatele punctului ın care este atinsa altitudineamaxima.

Rezolvare : Proiectand ecuatia de miscare

m~r = m~g − k~r ; k > 0 (1)

pe axele Ox si Oz, se obtine sistemul de ecuatii scalare :

x +k

mx = 0

z +k

mz = − g

(2)


Ecuatiile fiind independente, ele pot fi integrate separat. Solutiile generale x(t) si z(t) au expre-siile :

x = C1 e− k

mt

; z = C2 e− k

mt − mg

k(3)

Impunand conditiile initiale x(t0) = x0 si z(t0) = z0, rezulta ın final :

x(t) = x0 e− k

m(t− t0)

; z(t) =(z0 +

mg

k

)e− k

m(t− t0) − mg

k(4)

Integrand ınca odata dupa timp si luand ın considerare conditiile initiale x(t0) = x0 si z(t0) = z0,rezulta ecuatiile parametrice ale traiectoriei ın planul xOz :

x(t) = x0 +m

kx0

1− e

− k

m(t− t0)

z(t) = z0 − mg

k(t− t0) +

m

k

(z0 +

mg

k

)1− e

− k

m(t− t0)

(5)

Pentru a obtine ecuatia carteziana a traiectoriei z = z(x) va trebui eliminat timpul t. Dinecuatia (5a) rezulta :

1− e− k

m(t− t0)

=k

m

x− x0

x0

adica t− t0 = − m

kln

(1− k

m

x− x0

x0

)(6)

ceea ce ınlocuit ın (5b) va conduce ın final la expresia :

z = z0 +z0 +

mg

kx0

(x− x0) + g(

m

k

)2

ln

(1− k

m

x− x0

x0

)(7)

In cazul ın care corpul este aruncat oblic ın sus : x0 6= 0 si z0 > 0, atunci pentru valori ale luit ın vecinatatea lui t0 rezulta z > 0, iar pentru t suficient de mare ca trebui ca z < 0. Astfel la


ınceputul miscarii traiectoria este ascendenta, ca apoi sa devina descendenta. Timpul tu ın carepunctul material urca pe traiectorie va rezulta din impunerea conditiei z(tu) = 0 :

e− k

m(tu − t0)

=1

1 +kz0

mg

adica tu = t0 +m

kln

(1 +

kz0

mg

)(8)

Coordonatele punctului A ın care corpul atinge altitudinea maxima se determina ınlocuind ınsolutia generala (5) valoarea calculata a lui tu :

xA = x(tu) = x0 +x0z0

g

1

1 +kz0

mg

zA = z(tu) = z0 +m

kz0 − g

(m

k

)2

ln

(1 +

kz0

mg

) (9)

4 Oscilatorul armonic izotrop. Sa se studieze proprietatile miscarii unui punct material

de masa m asupra caruia actioneaza o forta elastica ~F = − k~r ; k > 0, conditiile initiale lamomentul t0 = 0 fiind ~r0 si ~v0.

Rezolvare : Ecuatia generala de miscare

m~r = − k~r ; k > 0 (1)

se transcrie ın forma simpla :

~r + ω2~r = 0 unde ω =

√k

m(2)

In coordonate carteziene solutia generala se exprima prin functii armonice :

~r = ~C1 cos ωt + ~C2 sin ωt (3)

valorile constantelor ~C1 si ~C2 rezultand din impunerea conditiilor initiale :

~r = ~r0 cos ωt +~v0

ωsin ωt (4)

Se observa ca traiectoria este o curba ınchisa care se gaseste ın planul determinat de vectorii ~r0

si ~v0. Eliminand timpul cu relatia sin2 ωt + cos2 ωt = 1, va rezulta ecuatia unei elipse ın planulmiscarii (de ex. planul xOy), avand centrul ın origine. Miscarea pe elipsa este periodica, perioada

avand expresia T =2π

ω= 2π

√m

k. In plus, se verifica direct ca ~r×~v = ~r0×~v0, ceea ce ınseamna

ca ın cursul miscarii viteza areolara se mentine constanta.Daca ~v0 = 0 sau ~r0 ‖ ~v0 solutia (4) descrie o miscare armonica unidimensionala (oscilator

armonic liniar). Admitand ca suportul miscarii este axa Ox, ecuatia (4) devine :

x = x0 cos ωt +v0

ωsin ωt = a cos(ωt− ϕ) unde

x0 = a cos ϕv0

ω= a sin ϕ

(5)

Aici a reprezinta amplitudinea miscarii, iar ϕ este faza initiala.


Miscarea relativa

5 Devierea spre Est a corpurilor ın cadere libera. Se studiaza miscarea unui punctmaterial sub influenta greutatii ın raport cu un sistem de referinta solidar legat de Pamantulconsiderat ca o sfera rigida, omogena, de raza R, care se roteste cu viteza unghiulara constantaω ın jurul axei polilor. Se presupune campul gravitational omogen si se neglijeaza rezistentaaerului.

Rezolvare : Se construieste un sistem de referinta avand originea O ıntr-un punct de pesuprafata Pamantului aflat ın emisfera nordica, axa Ox tangenta la meridianul locului si orientataspre Sud, axa Oy tangenta la paralela locului si orientata spre Est, axa Oz orientata ın lungulverticalei geocentrice. Daca nu se ia ın considerare rotatia Pamantului, acest sistem de referintalocal poate fi considerat absolut si miscarea unui punct material lasat sa cada liber din origineaO este descrisa de ecuatiile :

x = 0 , y = 0 , z = − 1

2gt2 (1)

In realitate traiectoria punctului nu este perfect verticala, constatandu-se o usoara deviere spreEst y > 0,, deviere datorata miscarii de rotatie a Pamantului ın jurul axei polilor si deci faptuluica sistemul local Oxyz nu este inertial.

Neglijand miscarea de revolutie a Pamantului, un sistem de referinta inertial poate fi consideratcel avand originea O1 ın centrul Pamantului, axa O1z1 orientata pe directia Sud-Nord, axeleO1x1 si O1y1 ın planul ecuatorial si orientate spre doua stele presupuse fixe. Sistemul local Oxyzefectueaza o miscare de rotatie caracterizata prin vectorul ~ω , orientat paralel cu axa polilor si

avand marimea ω = |~ω| = 2π

86400¿ 1 . Notand cu λ latitudinea geocentrica si cu ϕ longi-

tudinea locului, din figura rezulta legatura dintre versorii axelor sistemului mobil Oxyz si cei aiaxelor sistemului fix O1x1y1z1 :

~ı = sin λ cos ϕ~ı1 + sin λ sin ϕ~1 − cos λ~k1

~ = − sin ϕ~ı1 + cos ϕ~1~k = cos λ cos ϕ~ı1 + cos λ sin ϕ~1 + sin λ~k1

(2)


Folosind definitiile si tinand cont de faptul ca ϕ = ω , pot fi deduse usor expresiile componentelorvectorului ~ω care caracterizeaza rotatia sistemului mobil :

ωx = ~ · ~k = − ϕ cos λ = −ω cos λ

ωy = ~k ·~ı = 0

ωz = ~ı · ~ = ϕ sin λ = ω sin λ

(3)

In consecinta, vectorul rotatie ~ω are expresia :

~ω = −ω cos λ~ı + ω sin λ~k (4)

lucru ce poate fi citit direct si de pe figura.Pentru a scrie ecuatiile de miscare ale unui punct material ın sistemul local Oxyz , punct

avand vectorul de pozitie ~r(x, y, z) , viteza ~vr(x, y, z) si acceleratia ~ar(x, y, z) :

m~ar = ~F + ~Ft + ~Fc (5)

vor trebui calculate expresiile fortelor complementare. Deoarece originea O efectueaza o miscarecirculara uniforma (ω = 0) pe paralela avand raza R cos λ , acceleratia ~aO a originii sistemuluimobil va avea marimea ω2R cos λ , directia ın lungul razei si sensul spre axa O1z1 . Versorulacestei directii fiind ~e = sin λ~ı + cos λ~k , rezulta :

~aO = −ω2R sin λ cos λ~ı− ω2R cos2 λ~k (6)

Dezvoltand produsele vectoriale, pentru fortele complementare se obtin expresiile :

~Ft = −m~at = −m[~aO + ~ω × ~r︸︷︷︸0

+~ω × (~ω × ~r) ] =

= mω2 sin λ [(R + z) cos λ + x sin λ]~ı + mω2y ~ +

+ mω2 cos λ [(R + z) cos λ + x sin λ]~k

~Fc = −m~ac = − 2 m ~ω × ~vr =

= 2mωy sin λ~ı− 2mω(x sin λ + z cos λ)~ + 2mωy cos λ~k

(7)

Forta ~F care actioneaza asupra punctului este o forta atractiva de tip newtonian orientata sprecentrul Pamantului care, prespunand ca corpul nu se ındeparteaza prea mult de origine, areexpresia generala :

~F = − fmM

R2~k = −mg~k (8)

unde g =fM

R2este acceleratia gravitationala teoretica, iar M este masa Pamantului. Reu-

nind rezultatele, ecuatiile scalare de miscare au forma :

x = 2ωy sin λ + ω2 sin λ [(R + z) cos λ + x sin λ]

y = − 2ω(x sin λ + z cos λ) + ω2y

z = − g + 2ωy cos λ + ω2 cos λ [(R + z) cos λ + x sin λ]

(9)


Deoarece integrarea exacta a acestui sistem de ecuatii diferentiale neliniare este practic impo-sibila, se va ıncerca o metoda aproximativa, solutia urmand a fi cautata sub forma unei dezvoltariın serie de puteri ın raport cu parametrul mic ω (metoda lui Poincare) :

~r = ~r0 + ω ~r1 + ω2~r2 + · · · (10)

Inlocuind dezvoltarea (10) ın sistemul (9) si egaland coeficientii puterilor de acelasi ordin ın ω ,rezulta succesiv urmatoarele sisteme de ecuatii :

x0 = 0

y0 = 0

z0 = − g

;

x1 = 2y0 sin λ

y1 = − 2 (x0 sin λ + z0 cos λ)

z1 = 2y0 cos λ

;

x2 = · · ·y2 = · · ·z2 = · · ·

(11)

Rezolvarea primului sistem de ecuatii conduce la obtinerea solutiei ın aproximatia de ordinul zero.In aceasta aproximatie nu este luata ın considerare rotatia Pamantului, pentru cazul caderii libereobtinandu-se chiar solutia (1). In aproximatia de ordinul ıntai solutia se obtine folosind cel de aldoilea sistem de ecuatii, ın care este ınlocuita solutia ın aproximatia de ordinul zero, s.a.m.d.

Daca la momentul initial t0 = 0 corpul porneste din originea O cu viteza ~v 0, primul sistemdin (11) conduce prin integrari succesive la solutia evidenta :

x0 = v0x

y0 = v0y

z0 = v0z − gt

;

x0 = v0xt

y0 = v0yt

z0 = v0zt−

1

2gt2

(12)

Inlocuind aceasta solutie ın cel de al doilea sistem din (11) si tinand cont ca ın aceasta aproximatieconditiile initiale contin valori nule, rezulta :

x1 = v0y sin λ · t2

y1 = −(v0

x sin λ + v0z cos λ

)· t2 +

1

3g cos λ · t3

z1 = v0y cos λ · t2

(13)

Neglijand termenii de ordin superior, solutia generala (aproximativa) a sistemului (9) cu conditiileinitiale mentionate, va avea forma :

x = v0xt + ωv0

y sin λ · t2

y = v0yt− ω

(v0


)· t2 +

1

3ωg cos λ · t3

z = v0zt−

(1

2g − ωv0

y cos λ)· t2

(14)

Termenii care contin pe ω reprezinta ın prima aproximatie influenta rotatiei Pamantului asupracorpului lansat din O cu viteza initiala ~v 0. Se observa ca rezultatul (14) s-ar fi obtinut si direct,daca ın sistemul (9) ar fi fost negjilati ınca de la ınceput termenii ın ω2.

In cazul particular al caderii libere (~v 0 = 0), solutia (14) se reduce la :

x = 0

y =1

3ωg cos λ · t3

z = − 1

2gt2

(15)


Deoarece y > 0, efectul principal al rotatiei Pamantului se manifesta prin devierea spre Est atraiectoriei punctului material aflat ın cadere libera. Punctul nu va descrie verticala descendenta,ci un arc de curba ın planul yOz a carui ecuatie se obtine eliminand timpul din ultimele douaecuatii (15) :

9

8

g

ω2 cos2 λy2 + z3 = 0 (16)

Un proiectil lansat ın planul meridian : v0x 6= 0, v0

y = 0, v0z 6= 0, va fi deviat din acest plan cu

marimea :

y = −ω(v0


)· t2 +

1

3ωg cos λ · t3 (17)

Daca lansarea se face dupa tangenta la meridian (v0z = 0), ın emisfera nordica (sin λ > 0) si spre

Nord (v0x < 0), atunci y > 0 si devierea va fi spre Est. Rezultatul explica tendinta apelor din

emisfera nordica care curg spre Nord (de ex. Dunarea la Cernavoda) de a eroda malul estic.

6 Pendulul Foucault. Se cere sa se studieze influenta rotatiei Pamantului asupra miciloroscilatii ale unui pendul gravitational.

Rezolvare : Neglijand termenii mici ın ω2, ecuatia de miscare a pendului ın sistemul dereferinta local (legat solidar de Pamantul aflat ın miscare de rotatie uniforma ın jurul axei polilor)are forma generala :

m~ar = ~T + m~g − 2m~ω × ~vr (1)

Prespunand ca punctul de suspensie al pendulului se gaseste ın originea O a sistemului, tensiuneaın fir este :

~T = −T~r

|~r| = −T~r

l(2)

unde l este lungimea firului considerat inextensibil. Ecuatiile scalare de miscare ın sistemul Oxyzvor fi astfel :

mx = −Tx

l+ 2mωy sin λ

my = −Ty

l− 2mω(x sin λ + z cos λ)

mz = −Tz

l−mg + 2mωy cos λ

(3)

Conditia de inextensibilitate a firului de suspensie :

x2 + y2 + z2 = l2 (4)

conduce prin derivare la egalitatea :

x x + y y + z z = 0 (5)

Tinant cont de aceasta relatie, folosind ecuatiile (3) rezulta :

m(x x + y y + z z) + mgz = 0 (6)

care prin integrare funizeaza integrala energiei :

1

2m(x2 + y2 + z2) + mgz = mgh (7)


In ipoteza micilor oscilatii si considerand firul suficient de lung, se poate considera cax

l∼ ε ,

y

l∼ ε si se pot neglija toti termenii de ordinul ε2 sau mai mici. Din (4) prin dezvoltare ın serie

rezulta :

z = − l

√1− x2 + y2

l2' − l

(1− 1

2

x2 + y2

l2

)' − l (8)

Considerand o dezvoltare similara si pentru h, rezulta ın final ca h− z ∼ ε2 si atunci :

x2 + y2 + z2 ' 0 (9)

ceea ce ınseamna ca cel putin :

x ' ε ; y ' ε ; z ' ε (10)

Transcriind (5) sub forma :

zz

l= − x

x

l− y

y

l' ε2 (11)

va rezulta ca :z ∼ ε2 (12)

si astfel se va putea considera ın buna aproximatie ca miscarea punctului se efectueaza practic ınplanul xOy .

Pe de alta parte, derivand ınca odata pe (11) dupa timp, rezulta :

z2

l+

z

lz = − x2

l− y2

l− x

lx− y

ly (13)

Deoarece din ecuatiile (3a) si (3b) rezulta ca cel putin x ∼ ε si y ∼ ε, din (13) se obtine caz ∼ ε2. Folosind acest rezultat, din (3c) rezulta pentru z ' − l :

T = mg (14)

Cu acest rezultat, primele doua ecuatii din (3) devin :

x = − g

lx + 2ωy sin λ

y = − g

ly − 2ωx sin λ

(15)

si ele descriu miscarea punctului ın planul z = − l. Ecuatia vectoriala de miscare va fi :

~ar +g

l~r = − 2 ~ω1 × ~vr (16)

unde ~ω1 reprezinta componenta vectoriala a vectorului rotatie pe verticala locului.Daca miscarea este raportata la un sistem de axe O′x′y′ care se roteste ın planul z = − l

ın jurul verticalei O′z cu viteza unghiulara constanta − ~ω1 , deci ın sensul Est-Sud-Vest-Nord,atunci :

~vr = ~v ′r − ~ω1 × ~r

~ar = ~a ′r + ~ω1 × (~ω1 × ~r)− 2 ~ω1 × ~v ′r(17)


Introducand aceste expresii ın (16) si observand ca ~ω1 · ~r = 0 , ecuatia de miscare ın raport cusistemul O′x′y′ va fi :

~a ′r +(

g

l+ ω2

1

)~r = 0 (18)

S-a obtinut astfel o ecuatie identica ca forma cu ecuatia oscilatorului armonic. In functie dedatele initiale, miscarea ın acest plan va fi fie unidimensionala, fie o elipsa, perioada ei fiind :

τ =2π√

g

l+ ω2

1

' 2π

√l

g(19)

La randul sau, sistemul O′x′y′ va efectua o rotatie completa ın jurul axei O′z ın timpul :

T =2π

ω1

=2π

ω sin λ(20)

7 Variatia acceleratiei gravitationale cu latitudinea. Luandu-se ın considerare rotatiaPamantului ın jurul axei polilor, se cere sa se studieze pozitia de echilibru ın O a unui punctmaterial greu, suspendat de A printr-un fir inextensibil de masa neglijabila (v. figura).

Rezolvare : Conditia de echilibru relativ ın sistemul local Oxyz are forma generala :

~F + ~Ft = 0 (1)

Deoarece ω = 0 si ~r = 0, forta de transport ~Ft se gaseste ın planul meridian al locului si areexpresia :

~Ft = −mi~aO = miω2R cos λ~e (2)

unde mi reprezinta masa inerta.In absenta fortei de transport ~Ft, deci neluand ın considerare rotatia Pamantului, greutatea

teoretica ~G ′ = mg~g′, unde mg este masa grea, iar ~g ′ = − fM

R2~k este acceleratia gravitationala

teoretica, este echilibrata de tensiunea ~T din fir, ambele forte aflandu-se ın planul meridiansi orientate dupa verticala teoretica O1O. In realitate, datorita existentei fortei ~Ft, verticalapractica OA nu coincide cu cea teoretica O1O, tensiunea ~T din fir fiind echilibrata de greutatea

1.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 17

practica ~G = mg~g orientata dupa verticala practica, care face unghiul α cu verticala teoretica.

In consecinta forta ~F din (1) va fi :

~F = ~G ′ + ~T = ~G ′ − ~G = mg(~g′ − ~g) (3)

conditia de echilibru a punctului greu ın O scriindu-se :

mg(~g′ − ~g) + miω

2R cos λ~e = 0 (4)

de unde rezulta expresia vectoriala pentru acceleratia gravitationala practica :

~g = ~g ′ +mi

mg

ω2R cos λ~e (5)

Deoarece ~g ′ · ~e = g′ cos(π + λ) = − g′ cos λ, marimea acceleratiei gravitationale practice va fi :

g2 = g′ 2 +

(mi

mg

)2

ω4R2 cos2 λ− 2g′mi

mg

ω2R cos2 λ (6)

Se observa ca doar la poli (λ = ± π

2) acceleratia gravitationala practica coincide cu cea teoretica,

orientata spre centrul Pamantului.Pentru a gasi valoarea unghiului α care masoara devierea verticalei practice fata de cea

teoretica se porneste tot de la relatia (5), din care rezulta expresia :

g2 + g′ 2 − 2gg′ cos α =

(mi

mg

)2

ω4R2 cos2 λ (7)

adica :

cos α =

g2 + g′ 2 −(

mi

mg

)2

ω4R2 cos2 λ

2gg′=

g′ −(

mi

mg

)ω2R cos2 λ

g(8)

sau :

sin α =mi

mg

ω2R sin λ cos λ

g(9)

Se observa ca devierea este spre ecuator, are valoare maxima la latitudinea λ = 45 (α ' 6′) sise anuleaza la ecuator si la poli.

Formula (9) a permis lui Eotvos sa demonstreze experimental egalitatea numerica dintre masainerta si masa grea. Masurand la aceeasi latitudine unghiul α pentru puncte materiale de masediferite, se constata ca ın toate cazurile acesta este acelasi. In consecinta masa inerta poate diferide masa grea, indiferent de corp, cel mult printr-un factor care poate fi luat egal cu unitatea.

1.2 Dinamica punctului material

1 Oscilatorul armonic izotrop. Folosind coordonate polare, sa se studieze miscarea unui

punct material de masa m asupra caruia actioneaza o forta elastica ~F = − k~r ; k > 0.


Rezolvare : Deoarece forta elastica este de tip central, miscarea este plana. Folosind coor-donate polare, ecuatia generala de miscare m~r = − k~r ; k > 0 transcrisa ın forma simpla :

~r + ω2~r = 0 unde ω =

√k

m(1)

este echivalenta cu sistemul de ecuatii scalare :

r − rθ2 + ω2r = 0

2rθ + rθ = 0(2)

In cursul miscarii se conserva atat momentul cinetic, cat si energia mecanica totala :

r2θ = C (= 2|~Ω|)1

2m(r2 + r2θ2) +

1

2mω2r2 = h

(3)

constantele C si h urmand a fi determinate din conditiile initiale 1. Eliminand pe θ, rezulta oecuatie diferentiala ın functia r = r(t) :

r = ±C

√2

mC2

(h− 1

2mω2r2

)− 1

r2(4)

Functia θ = θ(t) va rezulta prin integrarea ecuatiei :

θ =C

r2(t)(5)

ın care urmeaza sa fie ınlocuita solutia ecuatiei (4).Pentru a obtine ecuatia diferentiala a traiectoriei r = r(θ), se trece la variabila independenta

θ observand ca :

r =dr

dt= θ

dr

dθ= C

1

r2

dr

dθ= −C

d

dθ

(1

r

)= −C

du

dθ(6)

1 Cele doua integrale prime pot fi deduse direct din sistemul de ecuatii (2). Astfel, ınmultind (2b) cu r rezulta :

2rrθ + r2θ =ddt

(r2θ) = 0 deci r2θ = C

Pe de alta parte, ınmultınd (2a) cu mr si (2b) cu mrθ :

mrr −mrrθ2 + mω2rr = 02mrrθ2 + mr2θθ = 0

prin ınsumare se obtine :

mrr + mrrθ2 + mr2θθ + mω2rr =ddt

[12

m(r2 + r2θ2) +12

mω2r2

]= 0

deci12

m(r2 + r2θ2) +12

mω2r2 = h


unde u =1

r. Ecuatia (4) devine :

du

dθ= ∓

√√√√ 2

mC2

(h− mω2

2u2

)− u2 (7)

Prespunand ca conditiile initiale sunt astfel alese ıncat r ıncepe prin a descreste ıncepand de lat0, ın ecuatia (4) va figura semnul (−), iar ın ecuatia (7) corespunde semnul (+). Ultima ecuatiese mai poate rescrie sub forma :

udu√−u4 +

2h

mC2u2 − ω2

C2

= dθ (8)

sau cu schimbarea u2 = v :dv√

− v2 +2h

mC2v − ω2

C2

= 2 dθ (9)

Deoarece :∫ dx√

ax2 + bx + c= − 1√−a

arcsin2ax + b√b2 − 4ac

+ C pentru

a < 0

b2 − 4ac > 0(10)

prin integrarea ecuatiei (9) rezulta :

− arcsin− 2v +

2h

mC2

2

mC2

√h2 −m2ω2C2

= 2 (θ − θ1) (11)

unde ın θ1 sunt comasati toti termenii constanti care contin conditii initiale . Efectuand notatia :

K =√

h2 −m2ω2C2 (12)

ecuatia (11) se reduce la :h−mC2v = −K sin 2 (θ − θ1) (13)

Deoarece v = u2 =1

r2, ecuatia r = r(θ) a traiectoriei punctului aflat sub actiunea unei forte

elastice, va avea forma generala :

hr2 + Kr2 sin 2 (θ − θ1)−mC2 = 0 (14)

ceea ce reprezinta ecuatia unei elipse ın coordonate polare cu centrul ın origine.Pentru a determina caracteristicile elipsei, se trece la coordonatele carteziene :

x = r cos(θ − θ1)

y = r sin(θ − θ1)(15)

ecuatia (14) transcriindu-se sub forma :

hx2 + hy2 + 2Kxy −mC2 = 0 (16)

Ecuatia redusa a elipsei se obtine din (16) efecuand o rotatie a sistemului de coordonate ın juruloriginii si determinand valoarea unghiului pentru care coeficientul termenului mixt se anuleaza.


Tinand cont de formulele de transformare :

x = x′ cos α− y′ sin α

y = x′ sin α + y′ cos α(17)

ecuatia (16) devine :

(h + K sin 2α)x′ 2 + (h−K sin 2α)y′ 2 + 2K cos 2α x′y′ −mC2 = 0 (18)

de unde rezulta valoarea cautata :

cos2 α = sin2 α deci α = ± π

4(19)

Facand ın (18) α = − π

4, se obtine ın final ecuatia :

x′ 2

mC2

h−K

+y′ 2

mC2

h + K

= 1 (20)

semiaxele elipsei fiind astfel :

a =

√mC2

h−K; b =

√mC2

h + K(21)

Perioada miscarii se obtine din egalitatea |~Ω| = πab

T=

C

2, deci :

T =2πab

C=

2π

C

mC2

√h2 −K2

=2π

ω= 2π

√m

k(22)

Punctul supus la legaturi

2 Pendulul matematic. Sa se studieze miscarea unui punct material de masa m constranssa se gaseasca tot timpul pe o circumferinta circulara verticala de raza l. Se considera cunoscutepozitia si viteza punctului la momentul initial t0 = 0.

Rezolvare : Pozitia punctului pe circumferinta la orice moment t > t0 este complet determi-nata de valoarea unghiului θ = θ(t) masurat de la axa de referinta Ox. La momentul initial t0


pozitia punctului este data de valoarea θ(t0) = θ0 si el are viteza |~v0| = v0 = lθ0 orientata dupatangenta la circumferinta. Ecuatia de miscare ın absenta frecarii va avea forma :

m~a = m~g + ~R (1)

unde ~R este reactia legaturii. Proiectand ecuatia (1) pe tangenta si pe normala principala rezulta :

mlθ = −mg sin θ

mlθ2 = −mg cos θ + R(2)

Prima ecuatie, scrisa sub forma :

θ + ω2 sin θ = 0 unde ω2 =g

l(3)

este cunoscuta sub numele de ecuatia pendulului si ea permite determinarea miscarii θ = θ(t).Odata cunoscuta solutia ecuatiei (3), din (2b) va rezulta dependenta de timp a reactiei legaturii :

R(t) = mlθ2 + mg cos θ (4)

Legatura fiind stationara, iar forta care actioneaza asupra punctului potentiala, se va puteascrie ca V = mgl −mgx = mgl(1− cos θ), integrala energiei avand astfel expresia 2 :

1

2ml2θ2 + mgl(1− cos θ) = h (5)

Folosind conditiile initiale, ecuatia (5) se transcrie dupa cum urmeaza :

θ2 = θ20 + 4ω2

(sin2 θ0

2− sin2 θ

2

)= 4ω2

(k2 − sin2 θ

2

)(6)

2 Legea de conservare poate fi dedusa direct, ınmultınd (3) cu ml2θ :

ml2θθ + mglθ sin θ =ddt

(12

ml2θ2 −mgl cos θ

)= 0

deci :12

ml2θ2 −mgl cos θ = h−mgl adica12

ml2θ2 + mgl(1− cos θ) = h

unde mgl este valoarea constantei care stabileste nivelul de zero al energiei potentiale.


unde s-a facut notatia :

k2 =θ20

4ω2+ sin2 θ0

2=

lθ20

4g+ sin2 θ0

2(7)

Se observa ca valoarea constantei k2 este determinata ın ıntregime de datele problemei si deconditiile initiale.

Deoarece θ2 ≥ 0, analiza membrului drept al ecuatiei (6) permite punerea ın evidenta aurmatoarelor situatii posibile, ın functie de valorile permise pentru k2 :

a. k2 < 1 : miscarea este oscilatorie, elongatia unghiulara maxima avand valoarea :

α = ± 2 arcsin k (8)

Facand schimbarea de functie :

sinθ

2= k sin ϕ (9)


ϕ = ±ω√

1− k2 sin2 ϕ (10)

Din definitia (9) rezulta ca variatia functiei ϕ este monotona, semnul din (10) fiind determinatde conditiile initiale. Alegand semnul (+), prin integrare rezulta :

ϕ(t)∫

ϕ0

dϕ√1− k2 sin2 ϕ

= ω(t− t0) (11)

ceea ce arata ca solutia se exprima prin functii eliptice de speta I .Perioada miscarii oscilatorii va fi data de expresia :

T =1

ω

2π∫

0


=4

ω

π2∫

0


(12)

Integrala poate fi calculata observand ca pentru k < 1 expresia de sub integrala poate fi dezvoltataın serie :

1√1− k2 sin2 ϕ

= 1 +∞∑

n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n k2n sin2n ϕ

π2∫

0

sin2n ϕ dϕ =1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n · π

2

(13)

asa ıncat expresia (12) devine :

T =2π

ω

1 +

∞∑

n=1

[1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n

]2

k2n

(14)

In cazul micilor oscilatii (k ¿ 1) perioada T ' T0 =2π

ω= 2π

√l

gnu depinde de amplitudinea

oscilatiilor, deci ın prima aproximatie oscilatiile pendulului sunt tautocrone.


b. k2 = 1 : miscarea este neperiodica. Cu schimbarea de functie ϕ =θ

2, ecuatia (6) devine :

ϕ = ±ω cos ϕ (15)

semnul fiind determinat de conditiile initiale. Alegand semnul (+) si tinand cont de formula∫ dϕ

cos ϕ= ln tg

(ϕ

2+

π

4

)+ C , integrala ecuatiei (15) va fi :

tg(

ϕ

2+

π

4

)=

[tg

(ϕ0

2+

π

4

)]e ω(t− t0) (16)

Revenind la functia θ(t), se va obtine ın final :

θ(t) = − π + 4 arctg[

tg(

ϕ0

2+

π

4

)]e ω(t− t0)

(17)

Se observa ca :limt→∞ θ(t) = − π + 2π = π (18)

ceea ce era de asteptat, deoarece corpul nu poate depasi punctul de altitudine maxima de pecircumferinta.

c. k2 > 1 : miscarea este rotatorie, sensul miscarii fiind determinat de conditiile initiale.Problema determinarii miscarii se reduce la cazul (a) transcriind (6) ın forma :

θ2 = 4ω2k2

(1− 1

k2sin2 θ

2

)(19)

si facand schimbarea de functie ϕ =θ

2. Rezulta ecuatia :

ϕ = ±ωk

√1− 1

k2sin2 ϕ (20)

ceea ce indica faptul ca si ın acest caz solutia se exprima prin functii eliptice de speta I . Formulaperioadei ın cazul miscarii rotatorii va fi :

T =1

ωk

π∫

0

dϕ√1− 1

k2sin2 ϕ

=2

ωk

π2∫

0

dϕ√1− 1

k2sin2 ϕ

=

=π

ωk

1 +

∞∑

n=1

[1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2 · 4 · 6 · · · 2n

]2

k−2n

(21)

Este interesant cazul particular k2 À 1 cand T ' 2π

θ0

=2πl

v0

, obtinandu-se valoarea perioadei ın

miscarea circulara uniforma.In toate cazurile, dependenta reactiei legaturii R de timp si deci de θ este :

R(t) = 4mg

(k2 − sin2 θ

2

)+ mg

(1− 2 sin2 θ

2

)= mg

(4k2 + 1− 6 sin2 θ

2

)(22)


Se observa ca pot exista valori ale unghiului θ pentru care ın cursul miscarii reactiunea treceprintr-un zero si ısi poate schimba semnul :

β = ± 2 arcsin

√4k2 + 1

6(23)

Daca ın cursul miscarii unghiul θ trece prin una din valorile date de ecuatia (23), punctul ar puteaparasi circumferinta circulara daca legatura nu ar fi bilaterala. Pot fi distinse mai multe situatii :

a) k2 <1

2: miscarea este oscilatorie, ınsa deoarece |α| ≤ |β| reactiunea nu ısi poate schimba

semnul ın cursul miscarii, ea atingand valoarea minima zero doar la limita k2 =1

2, deci pentru

α = ± π

2;

b)1

2< k2 < 1 : miscarea este tot oscilatorie, ınsa deoarece acum |α| > |β| > π

2, vor exista

ıntotdeauna doua domenii + |β| < θ(t) < + |α| si − |α| < θ(t) < − |β| pentru care R < 0 ;c) k2 = 1 : miscarea este neperiodica si ın domeniul |β| < |θ(t)| ≤ π reactiunea este negativa ;

d) 1 < k2 <5

4: miscarea este rotatorie, dar va exista ıntotdeauna un domeniu |β| < |θ(t)| <

2π − |β| pentru care R < 0 ;

e) k2 ≥ 5

4: reactiunea nu-si va schimba semnul indiferent de valoarea lui θ(t) , ea anulandu-se

doar la limita k2 =5

4pentru care β = ± π.

Daca asupra punctului material actioneaza si o forta de rezistenta care se opune miscarii sicare este proportionala cu marimea vitezei, ecuatia de miscare a punctului se scrie sub forma :

mlθ = −mg sin θ − k · lθ (24)

Folosind notatia uzuala µ =k

m, ecuatia devine :

θ = − g

lsin θ − µ θ (25)

Va exista ıntotdeauna o valoare a timpului t′ , asa ıncat pentru orice t > t′ sa poata fi facutaaproximatia sin θ ≈ θ (mici oscilatii) . Ecuatia (25) devine :

θ + µ θ +g

lθ = 0 ; t > t′ (26)

Cautand o solutie sub forma eλt , rezulta :

λ1,2 = − µ

2±

√(µ

2

)2

− g

l(27)

Pentruµ

2>

√g

l, solutia generala a ecuatiei (26) este :

θ(t) = e− µ

2t

C1 exp

√(µ

2

)2

− g

l· t

+ C2 exp

−

√(µ

2

)2

− g

l· t

; t > t′ (28)


Miscarea nu este periodica si limt→∞ θ(t) = 0 . Daca ınsa

µ

2<

√g

l, solutia generala a ecuatiei (26)

se scrie :

θ(t) = α ′ e− µ

2tcos

√g

l−

(µ

2

)2

· t + β′ ; t > t′ (29)

Functia (29) descrie o miscare oscilatorie amortizata cu perioada :

T ′0 =

2π√g

l−

(µ

2

)2(30)

3 Sa se determine viteza v0 cu care un punct material este lansat de la baza unei circumferintecirculare verticale de raza l, asa ıncat dupa ce acesta paraseste circumferinta, traiectoria sa satreaca prin centrul circumferintei. Se neglijeaza frecarea.

Rezolvare : Deoarece legatura nu este bilaterala, punctul material paraseste circumferintaın momentul ın care reactiunea R se anuleaza. Conform rezultatelor din problema anterioara,valoarea unghiului pentru care R = 0 este data de expresia :

sin2 θ1

2=

4k2 + 1

6unde k2 =

lθ20

4g=

v20

4gl>

1

2(1)

Viteza unghiulara avuta de punctul material ın momentul parasirii circumferintei va fi :

θ21 = 4ω2

(k2 − sin2 θ1

2

)= ω2 2(2k2 − 1)

3; ω2 =

g

l(2)

Pe portiunea P1O ecuatiile parametrice ale traiectoriei vor fi :

x(t) = x1 + x1t +1

2gt2

y(t) = y1 + y1t(3)


unde conditiile initiale sunt date de expresiile :

x1 = l cos θ1 ; x1 = − lθ1 sin θ1

y1 = l sin θ1 ; y1 = lθ1 cos θ1(4)

Eliminand timpul din ecuatiile (3) va rezulta ecuatia traiectoriei ın planul xOy :

x = x1 +x1

y1

(y − y1) +g

2y21

(y − y1)2 (5)

Facand aici x = y = 0 si ınlocuind conditiile initiale (4), rezulta ecuatia :

sin2 θ1 +2θ2

1

ω2cos θ1 = 0 (6)

care, tinand cont de (2), devine :

3 sin2 θ1 + 4(2k2 − 1) cos θ1 = 0 (7)

Observand ca :

cos θ1 = 1− 2 sin2 θ1

2=

2

3(1− 2k2) ; sin2 θ1 = 4 sin2 θ1

2cos2 θ1

2= 4

4k2 + 1

6

5− 4k2

6(8)

din (7) rezulta ecuatia pentru determinarea valorii lui k2 :

16 k4 − 16 k2 + 1 = 0 (9)

Deoarece k2 >1

2, unica solutie posibila este :

k2 =2 +

√3

4(10)

adicav2

0 = (2 +√

3)gl (11)

4 Pendulul cicloidal (Huygens). Un punct material se misca fara frecare sub influentagreutatii pe o cicloida situata ın plan vertical. Sa se studieze proprietatile miscarii daca la mo-mentul initial t0 = 0 punctul porneste din repaus.

Rezolvare : Alegand sistemul de axe ca ın figura, ecuatiile parametrice ale cicloidei sunt :

x = a(1 + cos θ)

y = a(θ + sin θ); − π ≤ θ ≤ π (1)

Deoarece miscarea punctului pe cicloida se face fara frecare sub actiunea fortei de greutate,energia mecanica totala se conserva :

1

2m(x2 + y2) + mg(2a− x) = h (2)


Din ecuatiile (1) prin derivare dupa timp rezulta :

x = − aθ sin θ

y = aθ(1 + cos θ)(3)

Integrala energiei va capata astfel forma :

ma2θ2(1 + cos θ) + mga(1− cos θ) = h (4)

sau

2ma2θ2 cos2 θ

2+ 2mga sin2 θ

2= h (5)

Efectuand schimbarea de functie

sinθ

2= u ; θ =

2√1− u2

u (6)

ecuatia (5) devine :8ma2u2 + 2mgau2 = h (7)

Derivand relatia obtinuta dupa timp, rezulta ecuatia diferentiala de ordinul doi :

u +g

4au = 0 (8)

Avand ın vedere conditiile initiale u(t0) = u0 , u(t0) = 0, solutia generala a ecuatiei (8) va fi :

u = u0 cos(

1

2

√g

at)

(9)

sau

sinθ

2= sin

θ0

2cos

(1

2

√g

at)

(10)

Se constata ca timpul necesar pentru ca corpul sa ajunga ın punctul inferior al cicloidei (θ = 0) :

tc = π

√a

g(11)

nu depinde de valoarea initiala θ0, miscarea pe cicloida fiind astfel tautocrona. Se observa deasemenea ca miscarea este periodica, perioada miscarii fiind :

T =2π

1

2

√g

a

= 4π

√a

g(12)


5 Un punct material de masa m aluneca fara frecare pe o bara de masa neglijabila, carese roteste cu viteza unghiulara constanta ω ın plan vertical. Considerand ca la momentul initialt0 = 0 bara se afla ın pozitie orizontala, iar punctul se gaseste pe bara la distanta r0 fata deorigine si are viteza radiala r0, sa se scrie ecuatia de miscare a punctului pe bara si sa se determinedependenta de timp a reactiei legaturii.

Rezolvare : Folosind coordonatele polare ın planul yOz, ecuatia de miscare a punctului demasa m :

m~r = m~g + ~R (1)

va fi echivalenta cu sistemul de ecuatii scalare :

m(r − rθ2) = −mg sin θ

m(2rθ + rθ) = −mg cos θ + R(2)

Conform datelor initiale :θ = ω ; θ(t) = ωt (3)

si sistemul (2) devine :r − ω2r = − g sin ωt

R = mg cos ωt + 2mωr(4)

Ecuatia (4a) are solutia generala :

r(t) = C1eωt + C2 e−ωt +

g

2ω2sin ωt (5)

Impunand conditiile initiale, rezulta sistemul de ecuatii :

C1 + C2 = r0

ω(C1 − C2 +

g

2ω2

)= r0

(6)

care are solutia :

C1 =1

2

(r0 +

r0

ω− g

2ω2

)

C2 =1

2

(r0 − r0

ω+

g

2ω2

) (7)

1.3. SISTEME DE PUNCTE - SOLIDUL RIGID 29

Solutia ecuatiei radiale va fi :

r(t) =1

2

(r0 +

r0

ω− g

2ω2

)eωt +

1

2

(r0 − r0

ω+

g

2ω2

)e−ωt +

g

2ω2sin ωt (8)

Derivand solutia (8) si ınlocuind ın ecuatia (4b) rezulta :

R(t) = 2mg cos ωt + mω2[(

r0 +r0

ω− g

2ω2

)eωt −

(r0 − r0

ω+

g

2ω2

)e−ωt

](9)

1.3 Sisteme de puncte - solidul rigid

1 O racheta avand masa M este lansata vertical de pe suprafata Pamantului, avand lamomentul initial o cantitale µ0 de combustibil. Presupunand constanta viteza relativa u deexpulzare a gazelor, sa se determine viteza finala a rachetei la epuizarea combustibilului, dacamasa acestuia variaza dupa legea liniara µ(t) = µ0−αt , α > 0. Se neglijeaza rezistenta aerului,precum si variatia lui g cu altitudinea.

Rezolvare : Ecuatia generala a lui Mescerski 3, proiectata pe verticala, va avea ın conditiileenuntate forma concreta :

[M + µ(t)]dv

dt= − [M + µ(t)] g − dµ

dtu (1)

adica :dv

dt= − g − u

M + µ(t)

dµ

dt(2)

Integrand si tinand cont ca la momentul initial viteza este nula, rezulta :

v(t) = − gt− u

µ(t)∫

µ0

dµ

M + µ(t)= − gt + u ln

M + µ0

M + µ(t)(3)

Viteza finala, corespunzatoare momentului cand s-a consumat ıntreaga cantitate de combustibil,va fi data de formula :

vf = − gtf + u ln(1 +

µ0

M

)(4)

3 Se considera un corp care are masa m si viteza ~v la momentul t, deci impulsul m~v . In intervalul ∆t esteexpulzata o particula de masa −∆m (∆m < 0) cu viteza relativa ~u . Impulsul total al sistemului la momentult + ∆t este :

(m + ∆m)~v(t + ∆t) + (−∆m)(~v + ~u)

Conform teoremei impulsului, variatia impulsului ın intervalul de timp ∆t va fi :

(m + ∆m)(~v + ∆~v)−∆m(~v + ~u)−m~v = ~F∆t

unde ~F reprezinta rezultanta fortelor exterioare aplicate. Impartind cu ∆t, trecand la limita ∆t → 0 si neglijandtermenul infinit mic de ordinul doi, rezulta ecuatia lui Mescerski :

md~v

dt= ~F +

dm

dt~u


Rezultatul este cunoscut sub numele de formula lui Tiolkovski. In conditiile ın care masa variazaliniar cu viteza :

tf =µ0

α(5)

Unghiurile Euler. Matricea de rotatie

2 Miscarea unui sistem de referinta mobil S ın raport cu un sistem de referinta fix S1 avandaceeasi origine este descrisa de ecuatiile ψ = ω0t, θ = θ0, ϕ = ω0t, unde ψ, θ si ϕ sunt unghiurileEuler. Un punct descrie ın planul xOy, ın sensul acelor de ceasornic, o traiectorie circulara deraza R, cu centrul ın O si cu viteza unghiulara constanta ω0 . Sa se scrie ecuatia de miscare apunctului ın raport cu sistemul fix si sa se calculeze componentele ın raport cu S1 pentru urmatoriivectori : ~va, ~vr, ~vt, ~aa, ~ar, ~at, ~ac.

Rezolvare : Conform enuntului, ecuatia de miscare a punctului ın sistemul S este :

~r = R (cos ω0t ·~ı− sin ω0t · ~ ) (1)

deci :~vr = −ω0R (sin ω0t ·~ı + cos ω0t · ~ )

~ar = −ω20R (cos ω0t ·~ı− sin ω0t · ~ ) = −ω2

0 · ~r(2)

Componentele versorilor ~ı, ~ si ~k ın sistemul S1 se calculeaza folosind relatia :

~ı

~

~k

=

cos2 ω0t− sin2 ω0t cos θ0 sin ω0t cos ω0t (1 + cos θ0) sin ω0t sin θ0

− sin ω0t cos ω0t (1 + cos θ0) − sin2 ω0t + cos2 ω0t cos θ0 cos ω0t sin θ0

sin ω0t sin θ0 − cos ω0t sin θ0 cos θ0

·

~ı1

~1~k1

(3)Facand ınlocuirile, vor rezulta expresiile :

~r = R (cos ω0t ·~ı1 + sin ω0t · ~1)~vr = ω0R (sin ω0t cos θ0 ·~ı1 − cos ω0t cos θ0 · ~1 − sin θ0 · ~k1)

~ar = −ω20R (cos ω0t ·~ı1 + sin ω0t · ~1) = −ω2

0 · ~r(4)


Pe de alta parte, derivand succesiv (4a) rezulta :

~va = ω0R (− sin ω0t ·~ı1 + cos ω0t · ~1)~aa = −ω2

0R (cos ω0t ·~ı1 + sin ω0t · ~1) = −ω20 · ~r

(5)

Folosind definitiile :~va = ~vr + ~vt

~aa = ~ar + ~at + ~ac

(6)

se obtine :

~vt = ~va − ~vr = −ω0R [ sin ω0t (1 + cos θ0) ·~ı1 − cos ω0t (1 + cos θ0) · ~1 − sin θ0 · ~k1]

~at = −~ac

(7)

Deoarece ın sistemul S1 vectorul rotatie ~ω are componentele :

ωx1 = ω0 sin ω0t sin θ0

ωy1 = −ω0 cos ω0t sin θ0

ωz1 = ω0 (1 + cos θ0)

(8)

pentru acceleratia Coriolis va rezulta expresia :

~ac = 2 ~ω × ~vr = 2 ω20R (1 + cos θ0)(cos ω0t ·~ı1 + sin ω0t · ~1) = 2 ω2

0 (1 + cos θ0) · ~r (9)

Ultimul rezultat putea fi obtinut direct, deoarece :

~ac = −~at = − [ ~ω × ~r + ~ω × (~ω × ~r)] = ω2 · ~r = 2 ω20 (1 + cos θ0) · ~r (10)

unde s-au folosit proprietatile evidente ~ω × ~r = 0 si ~ω · ~r = 0 .

Cinematica rigidului

3 Studiul cinematic al precesiei regulate. Un corp cu simetrie axiala se sprijina ın punctulfix O si se roteste ın jurul axei proprii Oz cu viteza unghiulara constanta ϕ0. La randul sau, axaOz efectueaza o miscare de rotatie ın jurul axei fixe verticale Oz1 cu viteza unghiulara constantaψ0, ea descriind un con cu deschiderea la varf 2θ0. Sa se gaseasca locul geometric al vectoruluirotatie ~ω ın raport cu sistemul de referinta fix si ın raport cu cel solidar legat de rigid.

Rezolvare : Conform enuntului, dependenta de timp a unghiurilor Euler va fi exprimata deecuatiile :

ψ = ψ0t , θ = θ0 , ϕ = ϕ0t (1)

Proiectiile vectorului rotatie ~ω pe axele sistemului fix si pe axele sistemului legat solidar de rigidulcare se roteste, vor fi :

ωx1 = ϕ0 sin ψ0t sin θ0

ωy1 = − ϕ0 cos ψ0t sin θ0

ωz1 = ϕ0 cos θ0 + ψ0

;

ωx = ψ0 sin ϕ0t sin θ0

ωy = ψ0 cos ϕ0t sin θ0

ωz = ψ0 cos θ0 + ϕ0

(2)


Marimea vectorului ~ω va avea valoarea :

ω =√

ψ20 + ϕ2

0 + 2 ψ0ϕ0 cos θ0 (3)

Deoarece, ın cursul miscarii, marimea vectorului ~ω precum si proiectiile sale pe axele Oz1 si Oz sementin constante, rezulta ca unghiurile facute de vectorul ~ω si deci de axa instantanee de rotatiecu axele Oz1 si Oz se mentin constante. In plus, deoarece ~ω este un vector ın planul z1Oz, el vafi tot timpul perpendicular pe linia nodurilor, ceea ce se poate verifica si direct. Este de asteptatca vectorul ~ω sa descrie ın jurul axei fixe verticale Oz1 o miscare de rotatie cu viteza unghiularaconstanta ψ0, locul geometric corespunzator fiind un con circular drept cu varful ın O.

Confirmarea analitica a acestei proprietati se bazeaza pe ecuatia vectoriala a locului geometriccautat :

~r = λ ~ω (4)

unde ~r reprezinta vectorul de pozitie al unui punct situat pe suportul lui ~ω. Proiectand ecuatia(4) pe axele sistemului fix, rezulta :

x1

ϕ0 sin ψ0t sin θ0

=y1

− ϕ0 cos ψ0t sin θ0

=z1

ϕ0 cos θ0 + ψ0

( = λ) (5)

ceea ce este echivalent cu a scrie :

x1

z1

=ϕ0 sin θ0

ϕ0 cos θ0 + ψ0

sin ψ0t ,y1

z1

= − ϕ0 sin θ0

ϕ0 cos θ0 + ψ0

cos ψ0t (6)

Eliminand timpul din aceste doua ecuatii, rezulta :

x21 + y2

1

z21

=

(ϕ0 sin θ0

ϕ0 cos θ0 + ψ0

)2

(7)

ceea ce reprezinta ecuatia unui con circular drept cu varful ın O (conul herpolodic). Unghiul pecare generatoarea (vectorul ~ω) ıl face cu axa Oz1 va fi :

ctg γ1 =z1√

x21 + y2

1

= ctg θ0 +ψ0

ϕ0 sin θ0

(8)


Pentru a obtine locul geometric al vectorului rotatie ~ω ın raport cu sistemul solidar legat derigid, ecuatia (4) va fi proiectata pe axele sistemului mobil. Procedand analog, va rezulta :

x2 + y2

z2=

(ψ0 sin θ0

ψ0 cos θ0 + ϕ0

)2

(9)

ceea ce reprezinta de asemenea ecuatia unui con circular drept cu varful ın O (conul polodic), acarui generatoare face cu axa mobila Oz unghiul :

ctg γ =z√

x2 + y2= ctg θ0 +

ϕ0

ψ0 sin θ0

(10)

In cursul miscarii corpului, conul polodic se va rostogoli fara sa alunece pe conul herpolodic, axaconului polodic rotindu-se cu viteza unghiulara ψ0 ın jurul axei conului herpolodic, ψ0 reprezentandviteza precesiei.

Rigidul supus la legaturi

4 Sa se determine ecuatia de miscare a centrului unui disc circular omogen de raza a si masaM , care se rostogoleste fara alunecare pe un plan ınclinat care face unghiul α cu orizontala.

Rezolvare : Sistemul de referinta fix se alege astfel ıncat axa O1x1 sa fie ın lungul planuluiınclinat si deci sa faca unghiul α cu orizontala, axa O1y1 sa fie continuta ın planul respectiv, iaraxa O1z1 sa fie perpendiculara pe acest plan. Sistemul mobil are originea ın centrul discului, iaraxele mobile Ox si Oy sunt continute ın planul discului. Din motive de simetrie ~rc = 0 si atunciteorema impulsului se reduce la :

M~aO = ~F + ~Rt + ~Rn (1)

unde ~F = M~g, iar reactiunea legaturii (discul se rostogoleste fara sa alunece!) este descopusa

ın doua componente, una tangentiala ~Rt si una normala ~Rn la planul ınclinat. Proiectia pe axaO1x1 conduce la ecuatia :

MxO = Mg sin α−Rt (2)

Avand ın vedere figura, teorema momentului cinetic

(τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) = ~MO(~F ) + ~MO(~Rt) + ~MO(~Rn) (3)


se reduce la :(τ ~ω) + ~ω × (τ~ω) = ~rP × ~Rt (4)

In raport cu sistemul de referinta solidar legat de disc, tensorul de inertie are elementele :

τ =

1

2I 0 0

01

2I 0

0 0 I

(5)

unde :

I = Izz =∫

(x2 + y2) dm = 2πρ

a∫

0

r3dr = 2πM

πa2

a4

4=

1

2Ma2 (6)

Observand ca ın sistemul de referinta mobil :

~ω =

0

0

− ϕ

, (τ~ω) =

0

0

− Iϕ

deci ~ω × (τ~ω) = 0 (7)

deoarece axa Oz este antiparalela cu axa O1y1, proiectand ecuatia (4) pe axa O1y1 va rezultaegalitatea :

Iϕ = aRt (8)

si deci :

Rt =I

aϕ =

1

2Maϕ (9)

Ecuatia legaturii rezulta din conditia ca viteza absoluta a punctului de contact P sa fie nula :

xO − aϕ = 0 (10)

Introducand aceste rezultate ın ecuatia (2) :

MxO = Mg sin α− 1

2MxO (11)

rezulta expresia acceleratiei centrului discului :

xO =2

3g sin α (12)

Daca la momentul initial t0 = 0 punctul O se gaseste ın repaus pe axa O1z1, atunci ecuatia demiscare cautata este :

xO(t) =1

3g sin α · t2 (13)

5 Sa se studieze miscarea unei sfere omogene de raza a care se poate rostogoli ın planvertical fara sa alunece ın interiorul unui cilindru circular gol de raza A > a, fixat ın pozitieorizontala.


Rezolvare : In cursul miscarii, centrul sferei descrie un cerc de raza A − a situat ın planulvertical fix x1O1y1 (v. figura). Sistemul de referinta mobil se alege astfel ıncat originea lui sa segaseasca ın centrul sferei (~rc = 0), iar axa Oz sa fie paralela cu axa fixa O1z1. Observand ca :

xO = (A− a) cos θ yO = (A− a) sin θ

xO = −(A− a)θ sin θ yO = (A− a)θ cos θ

xO = −(A− a)θ sin θ − (A− a)θ2 cos θ yO = (A− a)θ cos θ − (A− a)θ2 sin θ

(1)

proiectand teorema impulsului pe axele sistemului fix rezulta :

−M(A− a)θ sin θ −M(A− a)θ2 cos θ = Mg + Rt sin θ −Rn cos θ

M(A− a)θ cos θ −M(A− a)θ2 sin θ = −Rt cos θ −Rn sin θ(2)

Deoarece vectorul rotatie are ca suport axa Oz, iar marimea sa este |θ − ϕ| , din teorema mo-mentului cinetic va rezulta (v. si probl. anterioara) :

I (θ − ϕ) = − aRt (3)

unde I este momentul de inertie al corpului ın raport cu axa Oz . In cazul sferei de raza a,valoarea sa va fi :

I = Izz =2

3IO =

2

3

∫(x2 + y2 + z2) dm =

2

34πρ

a∫

0

r4dr =2

34π

M

4πa3

3

a5

5=

2

5Ma2 (4)

Impunand conditia ca la orice moment viteza absoluta a punctului de contact P sa fie nula (nuexista alunecare!), va rezulta relatia :

A θ = a ϕ (5)

Folosind ecuatia (3) se va putea scrie :

Rt = (A− a)I

a2θ (6)

Inlocuind rezultatul ın ecuatia (2b) se obtine :

Rn = M(A− a)θ2 −M(A− a)(1 +

I

Ma2

)θ

cos θ

sin θ(7)


Introducand expresiile lui Rt si Rn ın (2a), va rezulta ecuatia de miscare a punctului O :

θ +g

(A− a)(1 +

I

Ma2

) sin θ = 0 (8)

Se observa ca ecuatia obtinuta coincide ca forma cu ecuatia pendulului matematic a carui lungimear fi :

l′ = (A− a)(1 +

I

Ma2

)(9)

Tinand seama de expresia (4) a momentului de inertie ın raport cu axa Oz pentru sfera, se obtinevaloarea :

l′ =7

5(A− a) (10)

6 Sa se studieze miscarea unei bare omogene grele de lungime l si grosime neglijabila, alecarei extremitati aluneca ın plan vertical, sub influenta greutatii, pe doi pereti perpendiculari ıntreei. Se va considera coeficientul de frecare : a) µ = 1 , b) µ = 0 .

Rezolvare : Alegand sistemele de referinta fix si mobil ca ın figura, se observa ca originea O

(care coincide cu mijlocul barei) descrie un cerc de razal

2. Coordonatele lui O vor fi :

xO =l

2cos θ ; yO =

l

2sin θ (1)

de unde rezulta componentele acceleratiei ın sistemul de referinta fix :

xO = − l

2

(θ sin θ + θ2 cos θ

); yO =

l

2

(θ cos θ − θ2 sin θ

)(2)

Din teorema impulsului vor rezulta ecuatiile :

−Ml

2

(θ sin θ + θ2 cos θ

)= R2n −R1t = R2n − µR1n

Ml

2

(θ cos θ − θ2 sin θ

)= −Mg + R1n + R2t = −Mg + R1n + µR2n

(3)


Vectorul rotatie ~ω se calculeaza pornind de la expresiile :

~ı = cos θ~ı1 − sin θ ~1

~ = sin θ~ı1 + cos θ ~1(4)

si aplicand definitia :ωz = ~ı · ~ = − θ (5)

Tinand cont ca IO =1

12Ml2, din teorema momentului cinetic va rezulta ecuatia :

−Ml2

12θ = − l

2(R1t + R2n) sin θ − l

2(R2t −R1n) cos θ =

= − l

2(µR1n + R2n) sin θ − l

2(µR2n −R1n) cos θ

(6)

a) Cazul µ = 1. Inlocuind ın (6) ecuatiile (3) va rezulta ın final :

θ + 3 θ2 − 6g

lsin θ = 0 (7)

Obervand ca se poate scrie :

θ =dθ

dt= θ

dθ

dθ=

1

2

dθ2

dθ(8)


dθ2

dθ+ 6 θ2 =

12g

lsin θ (9)

si are solutia generala :

θ2 = C e−6θ +12g

37l(6 sin θ − cos θ) (10)

unde constanta C urmeaza sa fie determinata din conditiile initiale.

Examinand ecuatia (9) se observa ca daca θ20 −

2g

lsin θ0 < 0 , atunci θ2 este o functie

crescatoare si bara va aluneca cu viteza din ce ın ce mai mare pana ajunge ın pozitie orizon-

tala. Daca ınsa θ20 −

2g

lsin θ0 > 0 , atunci θ2 descreste si exista o valoare limita a unghiului θ

pentru care bara se opreste ıntr-o pozitie oblica.b) Cazul µ = 0. Facand aceleasi ınlocuiri, va rezulta ecuatia diferentiala :

θ +3g

2lcos θ = 0 (11)

Cu schimbarea ϕ =π

2+ θ , ecuatia (11) descrie miscarea unui pendul matematic cu lungimea

l′ =2l

3care face unghiul ϕ cu verticala descendenta. Trecand la variabila independenta θ , se

obtine ecuatia :dθ2

dθ+

3g

lcos θ = 0 (12)


care are solutia (θ = 0 pentru θ =π

2) :

θ2 =3g

2(1− sin θ) (13)

Functia θ este monoton crescatoare si atinge valoarea maxima pentru θ = 0 .

Rigidul cu axa fixa

7 Pendulul fizic. Un rigid greu de masa M se poate roti liber ın jurul unei axe orizontalefixe care este ın acelasi timp si axa principala de inertie. Sa se studieze miscarea rigidului sivariatia reactiunii.

Rezolvare : Sistemul de referinta fix se alege astfel ıncat axa Ox1 sa fie orientata pe verticalaın jos, iar axa Oz1 sa fie orizontala. Axa Oz coincide cu axa Oz1, iar axa mobila Ox trece princentrul de masa C al corpului, distanta OC fiind notata cu l. Pozitia la un moment dat arigidului ın raport cu sistemul fix va fi precizata de valoarea unghiului θ(t) dintre axele Ox1 siOx . Momentul greutatii va fi astfel :

~MO(~G) =

∣∣∣∣∣∣∣

~ı1 ~1 ~k1

l cos θ l sin θ 0Mg 0 0

∣∣∣∣∣∣∣= −Mgl sin θ ~k1 (1)

iar ecuatia de miscare a pendulului fizic va avea expresia :

Izz θ + Mgl sin θ = 0 (2)

adica :

θ +g

l′sin θ = 0 unde l′ =

Izz

Ml(3)

Marimea l′ poarta numele de lungime redusa si reprezinta lungimea unui pendul matematic carear oscila cu aceeasi perioada ca cea a pendulului fizic, ın aceleasi conditii initiale. In aproximatiamicilor oscilatii, perioada miscarii pendulului va fi :

T = 2π

√l′

g= 2π

√Izz

Mgl(4)


Folosind teorema lui Steiner, momentul de inertie Izz ın raport cu axa Oz , poate fi exprimatcu ajutorul momentului de inertie Ic

zz ın raport cu o axa paralela la Oz , dar trecand prin centrulde masa C :

Izz = Ml2 + Iczz (5)

Impartind cu Ml si tinand cont de definitia (3), lungimea redusa poate fi scrisa sub forma :

l′ = l +Iczz

Ml= l + l1 unde l1 =

Iczz

Ml(6)

si deoarece l1 > 0, rezulta l′ > l.Daca pendulul ar oscila ın jurul unei axe paralele la axa Oz , care ınsa trece printr-un punct

O1 aflat pe axa Ox la distanta l′ = l + l1 de O , lungimea sa redusa va fi :

l′1 = l1 +Iczz

Ml1= l1 +

Iczz

M

Ml

Iczz

= l1 + l = l′ (7)

deci pendulul ar oscila cu aceeasi perioada ın jurul oricareia din axele considerate. Axa care treceprin O este numita axa de suspensie , iar axa paralela care ar trece prin O1 este numita axade oscilatie , cele doua axe fiind reciproce . Proprietatea ca axa de suspensie poate devenila randul ei axa de oscilatie, si invers, poarta numele de reversibilitate . Odata determinatepozitiile punctelor O si O1 ın raport cu C , asa ıncat ın ambele situatii perioada de oscilatie safie T , poate fi calculata valoarea acceleratiei gravitationale :

g = 4π2 l′

T 2= 4π2 l + l1

T 2(8)

Deoarece conditia de reversibilitate pentru determinarea lui g este foarte dificil de realizat, ınpractica se prefera utilizarea unei metode, cunoscuta sub numele de pendulul lui Kater , ın careaxele care trec prin O respectiv O1 , sunt succesiv axe de suspensie. Cunoscand distantele l si l1fata de centrul de masa, urmeaza a fi determinate perioadele T si T1 ale miscarilor ın cele douasituatii. Folosind (6) si (7) pot fi scrise relatiile :

l l′ = l2 +Iczz

M

l1l′1 = l21 +

Iczz

M

(9)

care prin scadere conduc la egalitatea :

l l′ − l1l′1 = l2 − l21 (10)

Deoarece lungimile reduse sunt legate de perioadele corespunzatoare prin relatiile :

l′ =gT 2

4π2si l′1 =

gT 21

4π2(11)

ecuatia (10) devine :g

4π2(lT 2 − l1T

21 ) = l2 − l21 (12)


de unde rezulta formula :

g = 4π2 l2 − l21lT 2 − l1T 2

1

(13)

care permite calculul acceleratiei gravitationale g , fara a mai fi necesara realizarea conditiei dereversibilitate.

Calculul reactiunii. Deoarece se presupune ca Oz este o axa principala de inertie a rigiduluiın raport cu punctul O, iar momentul fortei de greutate este orientat ın lungul aceleiasi axe,atunci Ixz = Iyz = 0 , Mx = My = 0 si axa Oz este o axa permanenta de rotatie. Punctul fix Ova fi suficient pentru a asigura imobilitatea ıntregii axe indiferent de valoarea lui ~ω si ın punctulrespectiv este aplicata reactiunea ~R a legaturii. Teorema impulsului proiectata pe axele Ox siOy conduce la ecuatiile :

Rx = −Mg cos θ −Mlω2

Ry = Mg sin θ + Mlω(14)

Folosind ecuatia de miscare (2) a pendulului fizic se poate scrie (θ = ω) :

ω = − Mgl

Izz

sin θ = − g

l′sin θ (15)

iar din integrala energiei 4 :1

2Izzω

2 + Mgl(1− cos θ) = h (16)

unde h este o constanta data de conditiile initiale, rezulta :

ω2 =2Mgl

Izz

cos θ +2(h−Mgl)

Izz

=2g

l′cos θ +

2(h−Mgl)

Mll′(17)

Inlocuind (17) si (15) ın (14), se obtin expresiile :

Rx = −Mgl′ + 2l

l′cos θ − 2(h−Mgl)

l′

Ry = Mgl′ − l

l′sin θ = Mg

l1l′

sin θ

(18)

In consecinta Rx si Ry sunt functii periodice de timp, deoarece ele sunt functii periodice deunghiul θ, care la randul sau este functie de timp. Se observa ca componenta Rx depinde si deconditiile initiale.

4 Inmultind ecuatia (2) cu ω = θ rezulta :

Izzωω + Mglθ sin θ =ddt

(12

Izzω2 −Mgl cos θ

)= 0

deci12

Izzω2 + Mgl(1− cos θ) = h

unde constanta care stabileste nivelul de zero al energiei potentiale este Mgl .


Daca conditiile initiale sunt astfel alese ıncat h < 2Mgl, miscarea este oscilatorie , amplitu-dinea rezultand din anularea expresiei (17) :

α = arccos

(h

Mgl− 1

)(19)

Cazul cel mai interesant ın practica este cel al miscarii rotatorii, cand h > 2Mgl si deci ω nuısi mai schimba semnul ın cursul miscarii. Ca exemplu poate servi miscarea de rotatie a unuivolant ın jurul unei axe care nu trece exact prin centrul de masa, cand reactiunea ~R a axei va fi ofunctie periodica de timp. Axa fiind elastica si supusa unei forte exterioare periodice, va intra ınoscilatii fortate. Daca perioada de rotatie este foarte apropiata de perioada oscilatiilor proprii aleaxei, poate apare fenomenul de rezonanta care are ca efect cresterea amplitudinilor de oscilatieale axei, care se poate rupe. Pentru a evita acest fenomen, axele au diametre fie foarte mari, fiefoarte mici, pentru ca frecventa oscilatiilor proprii sa fie mult mai mare, respectiv mult mai micadecat turatia rotii, turbinei, elicei, etc.

8 O bara subtire, omogena, de lungime L si masa M , este suspendata ıntr-un punct fix aflatla distanta l de mijlocul barei. Sa se calculeze valoarea lui l pentru care perioada micilor oscilatiieste minima.

Rezolvare : Dispozitivul descris reprezinta un pendul fizic care ın aproximatia micilor oscilatiiare perioada (v. probl. anterioara) :

T = 2π

√Izz

Mgl(1)

Aplicand teorema lui Steiner, momentul de inertie ın raport cu axa Oz care trece prin punctul desuspensie, are expresia :

Izz = Ml2 + Iczz (2)

unde momentul de inertie ın raport cu o axa paralela la Oz care trece prin centrul de masa este :

Iczz = 2ρ

L2∫

0

x2dx = 2M

L

L3

8

1

3=

1

12ML2 (3)

Folosind aceste rezultate, expresia perioadei devine :

T = 2π

√√√√1

g

(l +

1

12

L2

l

)(4)


Valoarea lui l pentru care perioada micilor oscilatii este minima rezulta din impunerea conditieide extrem :

lmin =

√1

12L2 =

L

2√

3(5)

care ınlocuita ın (4) conduce la rezultatul :

Tmin = 2π

√2lmin

g= 2π

√L

g√

3(6)

Rigidul cu punct fix

9 Sa se studieze proprietatile miscarii unei bare omogene de lungime l, masa M si sectiuneneglijabila, care se poate roti liber ın plan vertical ın jurul unui capat al ei fixat ıntr-o articulatieO a unui ax vertical. Sa se determine unghiul maxim facut de bara cu verticala ascendenta, dacala momentul initial bara este ın pozitie orizontala si i se imprima viteza unghiulara ω0 ın planorizontal.

Rezolvare : Alegand ın O originea comuna a celor doua sisteme de referinta, fix si mobil, iaraxa Oz este ın lungul barei, tensorul de inertie are forma diagonala :

τ =

I 0 00 I 00 0 0

(1)

unde :

I =

l∫

0

z2dm = ρ

l∫

0

z2dz =M

l

l3

3=

1

3Ml2 (2)

Deoarece unghiul de rotatie proprie este constant ın cursul miscarii, componentele vectoruluirotatie ın sistemul mobil vor fi :

ωx = ψ sin ϕ0 sin θ + θ cos ϕ0

ωy = ψ cos ϕ0 sin θ − θ sin ϕ0

ωz = ψ cos θ

(3)


Se observa ca ın cursul miscarii momentul ın raport cu O al greutatii este perpendicular pe axafixa Oz1 , ceea ce are drept consecinta conservarea proiectiei pe axa Oz1 a momentului cinetic :

Iωx sin θ sin ϕ0 + Iωy sin θ cos ϕ0 = L0 (4)

O alta marime care se conserva ın cursul miscarii este energia mecanica totala :

1

2I(ω2

x + ω2y) + Mg

l

2cos θ = h (5)

Cele doua integrale prime pot fi transcrise ın forma :

ω2x + ω2

y = α− β cos θ

(ωx sin ϕ0 + ωy cos ϕ0) sin θ = γ(6)

unde s-au facut notatiile :

α =2h

I, β =

Mgl

I, γ =

L0

I(7)

Tinand cont de formulele (3), relatiile (6) devin :

ψ2 sin2 θ + θ2 = α− β cos θ

ψ sin2 θ = γ(8)

Trecand la functia

u = cos θ ; 0 < θ < π , − 1 < u < +1 (9)

si observand ca :

ψ =γ

1− u2> 0 (10)

ecuatia (8a) devine :

u2 = (α− βu)(1− u2)− γ2 ≡ P (u) ≥ 0 (11)

Zerourile polinomului P (u) vor furniza valorile lui θ pentru care functia θ ısi schimba semnul.Deoarece P (u) ≥ 0, P (−∞) < 0, P (+∞) > 0, P (±1) < 0, se pot realiza situatiile din figuraalaturata :


Radacina u3 > 1 nu prezinta interes fizic. Pentru P (u0) > 0 vor exista doua radacini distinctecuprinse ın domeniul (−1, +1), asa ıncat ın tot cursul miscarii u1 ≤ u(t) ≤ u2 si deci unghiulde nutatie va fi o functie periodica θ2 ≤ θ(t) ≤ θ1 . Pentru P (u0) = 0 cele doua radacini suntconfundate si ın tot cursul miscarii u(t) = u0 , deci θ(t) = θ0 .

Avand ın vedere conditiile initiale ψ0 = ω0, θ0 =π

2, θ0 = 0, din (8) rezulta :

γ2 = α = ω20 (12)

si atunci (11) devine :P (u) = u (βu2 − αu− β) ≥ 0 (13)

Una dintre radacinile de interes fizic ale polinomului va fi cu certitudine u = u0 = 0 si aceastanu poate fi decat radacina u2 .

Celelalte radacini se obtin rezolvand ecuatia de gradul doi :

u2 − α

βu− 1 = 0 (14)

Radacina de interes fizic va fi :

u1 =α

2β−

√√√√(

α

2β

)2

+ 1 (15)

deci unghiul maxim facut de bara cu verticala ascendenta va avea valoarea data de expresia :

cos θ1 =Iω2

0

2Mgl−

√√√√(

Iω20

2Mgl

)2

+ 1 (16)

Capitolul 2

Mecanica lagrangeeana

2.1 Ecuatia generala a dinamicii

1 Un disc plan omogen de raza R se rostogoleste fara alunecare pe un plan orizontal fix,astfel ıncat planul discului ramane tot timpul perpendicular pe planul fix (modelul permite studiulmiscarii rotii unui vehicul). Sa se scrie ecuatiile legaturilor independente impuse miscarii sistemuluisi sa se precizeze numarul gradelor de libertate.

Rezolvare : Sistemul de referinta fix se alege astfel ıncat planul x1O1y1 sa fie orizontal.Originea sistemului de referinta legat solidar de disc se alege ın centrul discului, iar planul xOycoincide cu planul discului. In consecinta axa Oz este paralela cu planul orizontal fix.

In absenta altor legaturi decat cele de rigiditate pentru disc, pozitia sistemului la un momentdat este precizata cu ajutorul a sase parametri : cele trei coordonate carteziene ale vectorului depozitie ~rO(xO, yO, zO) ale centrului sau de masa, de unghiul de precesie ψ facut de planul disculuicu planul vertical fix, de unghiul ϕ care masoara rotatia discului ın jurul propriei sale axe si deunghiul de nutatie θ dintre axele Oz1 si Oz .

Deoarece ın cursul miscarii planul discului ramane tot timpul perpendicular pe planul orizontalfix, va trebui ca :

zO = R ; θ =π

2(1)

ceea ce reprezinta ecuatiile pentru doua legaturi finite (geometrice).

45

46 CAPITOLUL 2. MECANICA LAGRANGEEANA

Discul se rostogoleste fara sa alunece, deci viteza absoluta a punctului de contact P trebuie safie nula : ~vP = ~vO +~ω×~rP = 0 . Folosind formulele cinematice ale lui Euler pentru componentelevectorului rotatie ın sistemul fix rezulta : ~ω = ~ω(ϕ sin ψ,−ϕ sin ψ, ψ). Avand ın vedere ca~rP = ~rP (0, 0,−R), ecuatiile scalare care exprima restrictia sunt :

xO + R ϕ cos ψ = 0

yO + R ϕ sin ψ = 0

zO = 0 , zO = R

(2)

Rezulta astfel ınca doua ecuatii independente pentru legaturi, cea de a treia din (2) conducandprin integrare la prima ecuatie din (1). Cele doua ecuatii nu admit un factor integrant si nu potfi integrate ınainte de a rezolva complet problema determinarii miscarii.

In consecinta sistemul are doua grade de libertate, este neolonom, dar scleronom deoarecetimpul nu intervine explicit ın ecuatiile legaturilor.

Sistemul devine olonom daca discul efectueaza o miscare de rototranslatie plana, ın cursulcareia planul discului ramane tot timpul paralel cu el insusi. In acesta situatie sistemul fix de axese poate alege astfel ıncat unul din planele de referinta verticale sa fie paralel cu planul discului :

ψ = 0 , π sau ψ =π

2,3π

2(3)

deci :xO ±R ϕ = 0

yO = 0 ; yO = y0O

sauxO = 0 ; xO = x0

O

yO ±R ϕ = 0(4)

In ambele situatii factorul integrant este chiar unitatea si problema se reduce la una cu un singurgrad de libertate.

Metoda multiplicatorilor lui Lagrange

2 Sa se determine miscarea unui sistem compus din doua puncte materiale avand aceeasimasa m1 = m2 = m , legate ıntre ele prin intermediul unei bare rigide de lungime l si masaneglijabila. Sistemul este constrans sa se miste doar ın planul vertical xOz , iar viteza mijloculuibarei este orientata tot timpul ın lungul barei respective.

Rezolvare : Conform enuntului, ecuatiile legaturilor impuse miscarii sistemului au expresiile :

(~r2 − ~r1)2 = l2

1

2

(~r1 + ~r2

)= λ (~r2 − ~r1)

(1)

2.1. ECUATIA GENERALA A DINAMICII 47

Tinand cont si de restrictiile y1 = 0 si y2 = 0 , pozitia sistemului la orice moment poate fiprecizata cu ajutorul a doua coordonate independente. Sistemul are doua grade de libertate. Desiaparent simpla, problema are o complexitate deosebita datorita prezentei legaturii neintegrabile,motiv pentru care pentru determinarea miscarii este preferata utilizarea metodei multiplicatorilorLagrange.

Folosind coordonatele carteziene, ecuatiile (1) devin :

(x2 − x1)2 + (z2 − z1)

2 − l2 = 0

(z2 − z1) (x1 + x2)− (x2 − x1) (z1 + z2) = 0(2)

Ecuatia d’Alembert-Lagrange2∑

i=1

mi

(~g − ~ri

)δ~ri = 0 va avea forma concreta :

x1δx1 + (g + z1) δz1 + x2δx2 + (g + z2) δz2 = 0 (3)

iar ecuatiile la care satisfac deplasarile virtuale vor fi :

(x2 − x1) δx1 + (z2 − z1) δz1 − (x2 − x1) δx2 − (z2 − z1) δz2 = 0

(z2 − z1) δx1 − (x2 − x1) δz1 + (z2 − z1) δx2 − (x2 − x1) δz2 = 0(4)

Inmultind ecuatia (4a) cu multiplicatorul λ, ecuatia (4b) cu multiplicatorul µ si adunand rezulta-tele la ecuatia (3), rezulta ecuatiile Lagrange de speta ıntai (cu multiplicatori) :

x1 = −λ (x2 − x1)− µ (z2 − z1)

z1 = − g − λ (z2 − z1) + µ (x2 − x1)

x2 = λ (x2 − x1)− µ (z2 − z1)

z2 = − g + λ (z2 − z1) + µ (x2 − x1)

(5)

Aceste ecuatii, ımpreuna cu ecuatiile (2) ale legaturilor, sunt suficiente pentru determinareanecunoscutelor x1, z1, x2, z2, λ, µ . Trecand la functiile :

~rc =1

2(~r1 + ~r2) , ~r = ~r2 − ~r1 (6)

ecuatiile (5) devin :xc = −µ z

zc = − g + µx,

x = 2 λx

z = 2 λ z(7)

iar ecuatiile legaturilor capata forma :

x2 + z2 − l2 = 0

z xc − x zc = 0(8)

Eliminand parametrul λ din al doilea grup de ecuatii (7) rezulta :

z x− x z = 0 (9)


Trecand la niste coordonate polare ın planul xOz :

x = r cos θ

z = r sin θ(10)

din ecuatia (8a) rezulta ca r = l , iar ecuatia (9) se reduce la :

θ = 0 (11)

care prin integrare conduce la solutia :

θ(t) = α t + β (12)

Se observa ca functia θ(t) descrie variatia ın timp a unghiului facut de segmentul−→P1P2 cu axa

Ox . Inlocuind (12) ın (10) rezulta :

x = x2 − x1 = l cos(α t + β)

z = z2 − z1 = l sin(α t + β)(13)

Primul grup de ecuatii (7) din care se elimina parametrul µ,

x xc + z zc + g z = 0 (14)

precum si ecuatia (8b), pot fi satisfacute simultan numai daca :

xc =f(t)

lx , zc =

f(t)

lz (15)

Inlocuind ın (14) rezulta ecuatia pentru functia f(t) :

f +g

lz = 0 (16)

Tinand cont de (13b) rezulta solutia :

f(t) =g

αcos(α t + β) + γ (17)

Ecuatiile (15) devin :

xc =(

g

αcos θ + γ

)cos θ , zc =

(g

αcos θ + γ

)sin θ (18)

si au solutiile :

xc =1

2(x1 + x2) =

γ

αsin θ +

g

2α2θ +

g

4α2sin 2θ + δ

zc =1

2(z1 + z2) = − γ

αcos θ − g

2α2cos2 θ + ε

(19)

unde s-a utilizat formula∫

cos2 θ dθ =θ

2+

sin 2θ

4+ C .


Rezolvand sistemele (19) si (13) ın raport cu x1, z1, x2, z2, vor rezulta ecuatiile de miscarecautate :

x1(t) =γ

αsin θ +

g

2α2θ +

g

4α2sin 2θ − l

2cos θ + δ

z1(t) = − γ

αcos θ − g

2α2cos2 θ − l

2sin θ + ε

x2(t) =γ

αsin θ +

g

2α2θ +

g

4α2sin 2θ +

l

2cos θ + δ

z2(t) = − γ

αcos θ − g

2α2cos2 θ +

l

2sin θ + ε

(20)

unde functia θ(t) este data de ecuatia (12), iar constantele α, β, γ, δ, ε se determina din conditiileinitiale.

Multiplicatorii Lagrange λ si µ se determina din ecuatiile (7) :

λ =1

2l2(x x + z z) = − α2

2

µ =g

l2x +

1

l2(x zc − z xc) =

g

lcos(α t + β) +

αγ

l

(21)

Probleme de miscare

3 Doua corpuri avand masele m1 si m2 pot aluneca fara frecare pe un plan ınclinat fix dublu,fiind legate printr-un fir inextensibil de lungime l si masa neglijabila, trecut peste un scripete fix Oa carui masa de asemenea se neglijeaza. Cunoscand unghiurile α1 si α2 facute de laturile planuluiınclinat cu orizontala, sa se determine acceleratia sistemului.

Rezolvare : Alegand sistemul de referinta ca ın figura, se observa ca legaturile finite inde-pendente au ecuatiile :

x1

sin α1

+x2

sin α2

= l

tg α1 = − x1

y1

, tg α2 =x2

y2

(1)

Ecuatia d’Alembert-Lagrange2∑

i=1

mi(~g − ~ri) δ~ri = 0 va avea forma concreta :

m1(g − x1) δx1 −m1y1δy1 + m2(g − x2) δx2 −m2y2δy2 = 0 (2)


iar ecuatiile la care satisfac deplasarile virtuale vor fi :

δx1

sin α1

+δx2

sin α2

= 0

δx1 + tg α1 δy1 = 0 , δx2 − tg α2 δy2 = 0(3)

Utilizand (1b) si (3b) rezulta relatiile :

y1 = − 1

tg α1

x1 , δy1 = − 1

tg α1

δx1

y2 =1

tg α2

x2 , δy2 =1

tg α2

δx2

(4)

care ınlocuite ın ecuatia (2) conduc la expresia :

m1

(g − x1

sin2 α1

)δx1 + m2

(g − x2

sin2 α2

)δx2 = 0 (5)

Pe de alta parte din (1a) si (3a) rezulta :

x2 = − sin α2

sin α1

x1 , δx2 = − sin α2

sin α1

δx1 (6)

asa ca ecuatia (5) devine :

[(m1 sin α1 −m2 sin α2) g sin α1 − (m1 + m2) x1] δx1 = 0 (7)

Pentru ca ecuatia (7) sa fie satisfacuta pentru orice delasare δx1 , va trebui sa se anuleze coefi-cientul corespunzator :

x1 =m1 sin α1 −m2 sin α2

m1 + m2

g sin α1 (8)

Acceleratia sistemului va fi data de expresia 1 :

a =√

x21 + y2

1 =x1

sin α1

=m1 sin α1 −m2 sin α2

m1 + m2

g (9)

4 Peste un scripete fix omogen de raza R si masa M este trecut un fir inextensibil avandlungimea l , de capetele caruia sunt suspendate masele m1 si m2 . Sa se calculeze acceleratiasistemului daca m1 > m2 . Se neglijeaza masa firului, iar acesta nu poate aluneca pe scripete.

1 Acelasi rezultat putea fi obtinut mult mai rapid daca drept coordonate sunt alese distantele r1 si r2 de laorigine la cele doua corpuri. Restrictia care exprima faptul ca corpurile sunt legate printr-un fir inextensibil vaavea expresia :

r1 + r2 = l

Ecuatia d’Alembert-Lagrange devine2∑

i=1

mi(~g − ~ri) δ~ri =2∑

i=1

mi(g sin αi − ri) δri = 0 . Facand aici ınlocuirile

r2 = − r1 si δr2 = − δr1 se obtine :

[(m1 sin α1 −m2 sin α2) g − (m1 + m2) r1] δr1 = 0

de unde rezulta :

a = r1 =m1 sin α1 −m2 sin α2

m1 + m2g


Rezolvare : In absenta legaturilor, sistemul ar trebui sa aiba trei grade de libertate. Conformenuntului exista doua legaturi. Una dintre ele exprima faptul ca firul este inextensibil si areexpresia analitica :

x1 + x2 = l − πR (1)

Cealalta legatura se refera la faptul ca firul nu poate aluneca pe scripete si ın consecinta vitezapunctului P va fi egala cu viteza lui m1 :

x1 = vP = R ϕ = R ω (2)

Sistemul fiind scleronom, orice deplasare virtuala este si o deplasare posibila, asa ıncat ecuatiad’Alembert-Lagrange capata forma :

∑

i

(~Fi −mi~ri

)d~ri = 0 (3)

Efectuand calculele obisnuite, rezulta teorema energiei pentru sisteme scleronome :

2∑

j=1

~Fj d~rj = dT (4)

unde s-a tinut cont de faptul ca lucrul mecanic al fortelor interioare si exterioare ın cazul scripeteluifix este nul, iar T reprezinta energia cinetica totala a sistemului ın miscare :

T =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 +

1

2Iω2 =

1

2

(m1 + m2 +

I

R2

)x2

1 (5)

La scrierea ultimei expresii s-au luat ın considerare si ecuatiile legaturilor. Pentru membrul stangal ecuatiei (4) rezulta :

2∑

j=1

~Fj d~rj = m1g dx1 + m2g dx2 = (m1 −m2) g dx1 (6)

Diferentiind pe T , observand ca :

x1 dx1 = x1 x1 dt = x1 dx1 (7)


si egaland rezultatul cu (6) rezulta :

[(m1 −m2) g −

(m1 + m2 +

I

R2

)x1

]dx1 = 0 (8)

Acceleratia sistemului 2 va fi astfel :

a = x1 =m1 −m2

m1 + m2 +I

R2

g =m1 −m2

m1 + m2 +1

2M

g (9)

unde s-a tinut cont de faptul ca momentul de inertie al unui disc omogen ın raport cu o axa care

trece prin centrul sau este I =1

2MR2 .

5 Un disc omogen de masa M este legat de un fir care trece peste un scripete O de masaneglijabila si se poate rostogoli fara sa alunece pe un plan ınclinat de unghi α . De celalalt capat alfirului este legata o masa m care se poate misca vertical. Sa se determine acceleratia sistemului.

Rezolvare : Alegand sistemul de referinta ca ın figura, se observa ca legaturile finite auexpresiile : √

x2c + y2

c + x = l , tg α = − xc

yc

(1)

2 Rezultatul poate fi obtinut pornind direct de la ecuatia d’Alembert-Lagrange∑

i

(~Fi −mi~ri

)δ~ri = 0 , care

ın cazul problemei devine :2∑

j=1

mj (g − xj) δxj =∑

disc

mk~rk δ~rk

Tinant cont de faptul ca x2 = − x1 si δx2 = − δx1 pentru membrul stang rezulta expresia :

2∑

j=1

mj (g − xj) δxj = [(m1 −m2) g − (m1 + m2) x1] δx1

Membrul drept poate fi calculat (v. sect. urmatoare) observand ca pozitia scripetelui poate fi precizata univocfolosind un singur parametru, anume unghiul de rotatie proprie ϕ :

∑

disc

mk~rk δ~rk =[

ddt

(∂Td

∂ϕ

)− ∂Td

∂ϕ

]δϕ = Iϕ δϕ =

I

R2x1δx1

unde Td =12

Iω2 =12

Iϕ2 , ϕ =1R

x1 si δϕ =1R

δx1 . Egaland rezultatele se obtine :

[(m1 −m2) g −

(m1 + m2 +

I

R2

)x1

]δx1 = 0

deci :

a = x1 =m1 −m2

m1 + m2 +I

R2

g =m1 −m2

m1 + m2 +12

Mg


iar legaturile cinematice scalare provin din conditia vectoriala ~vP = ~vC + ~ω × ~rP = 0 :

xc + R ω sin α = 0

yc −R ω cos α = 0(2)

In consecinta sistemul are un singur grad de libertate. Legaturile fiind stationare, ecuatiad’Alembert-Lagrange capata forma teoremei energiei pentru sisteme scleronome :

∑

i

~Fi d~ri = dT (3)

unde ın cazul problemei considerate :

∑

i

~Fi d~ri = Mg dxc + mg dx (4)

si

T =1

2M

(x2

c + y2c

)+

1

2Iω2 +

1

2mx2 (5)

Folosind ecuatia (1b) rezulta :

x2c + y2

c =x2

c

sin2 α(6)

iar din ecuatia (1a) se obtine :

xc

sin α+ x = l ;

xc

sin α+ x = 0 ,

dxc

sin α+ dx = 0 (7)

deci : ∑

i

~Fi d~ri = (m−M sin α) g dx (8)

Pe de alta parte, din ecuatiile (2), (1a) si (7) rezulta :

R2ω2 = x2c + y2

c =x2

c

sin2 α= x2 (9)

Cu aceste rezultate, energia cinetica totala capata expresia :

T =1

2

(m + M +

I

R2

)x2 (10)


ceea ce era si de asteptat. Prin diferentiere se va putea scrie :

dT =(m + M +

I

R2

)x dx =

(m + M +

I

R2

)x dx (11)

Egaland (8) cu (11), rezulta ın final expresia pentru acceleratia sistemului :

a = x =m−M sin α

m + M +I

R2

g =m−M sin α

m +3

2M

g (12)

unde s-a tinut cont de faptul ca momentul de inertie al unui disc omogen ın raport cu o axa care

trece prin centrul sau este I =1

2MR2 .

Probleme de echilibru

6 Un punct material P de masa m este constrans sa se gaseasca tot timpul pe suprafataunei sfere perfect lucioase de raza R. Sa se determine pozitiile de echilibru ale punctului pe sfera,daca el este atras de un alt punct P1 de pe sfera cu o forta proportionala cu distanta.

Rezolvare : Rezultanta fortelor care actioneaza asupra punctului P are expresia :

~F = m~g + λ (~r1 − ~r) (1)

iar ecuatia legaturii este :x2 + y2 + z2 = R2 (2)

Conform principiului deplasarilor virtuale, la echilibru va trebui ca :

~F · δ~r = Fx δx + Fy δy + Fz δz = 0 (3)

ceea ce exprima faptul ca ın pozitia de echilibru, rezultanta ~F trebuie sa fie normala la sfera.Este de asteptat ca pozitiile de echilibru sa se situeze pe cercul mare care rezulta din intersectiasferei cu un plan vertical care trece prin axa Oz si punctul P1 .

Sistemul are doua grade de libertate. Tinand cont de (1), ecuatia (3) capata forma :

(x1 − x) δx + (y1 − y) δy +[(

z1 − mg

λ

)− z

]δz = 0 (4)


Din ecuatia x δx + y δy + z δz = 0 la care satisfac deplasarile virtuale va rezulta :

δz = − 1

z(x δx + y δy) = − 1√

R2 − (x2 + y2)(x δx + y δy) (5)

Introducand aceste expresii ın (4) se obtine ecuatia :x1 −

(z1 − mg

λ

)x√

R2 − (x2 + y2)

δx +

y1 −

(z1 − mg

λ

)y√

R2 − (x2 + y2)

δy = 0 (6)

Deoarece variatiile δx si δy sunt arbitrare, ecuatia (6) poate fi satisfacuta numai daca :

x√R2 − (x2 + y2)

=x1

z1 − mg

λ

,y√

R2 − (x2 + y2)=

y1

z1 − mg

λ

(7)

Rezolvand sistemul ın x si y se obtin solutiile :

x = ± R x1√x2

1 + y21 +

(z1 − mg

λ

)2, y = ± R y1√

x21 + y2

1 +(z1 − mg

λ

)2(8)

iar din ecuatia legaturii rezulta :

z = ±√

R2 − (x2 + y2) = ±R

(z1 − mg

λ

)

√x2

1 + y21 +

(z1 − mg

λ

)2(9)

In aceste expresii se va considera ıntotdeauna simultan sau semnul (+) , sau semnul (−) , ın cazcontrar fiind contrazise consecintele ecuatiei (3) . In concluzie, pentru o pozitie data a punctuluiP1 vor exista ıntotdeauna doua pozitii de echilibru ale punctului P pe sfera. Exista cateva cazuriparticulare interesante :

a. z1 =mg

λ6= R . Pozitiile de echilibru ale lui P vor avea coordonatele :

x = ± R x1√x2

1 + y21

, y = ± R y1√x2

1 + y21

, z = 0 (10)

b. z1 = ±R ınsa z1 6= mg

λ. Deoarece punctul P1 este situat pe sfera, rezulta x1 = y1 = 0

si pozitiile de echilibru ale lui P vor avea coordonatele :

x = 0 , y = 0 , z = ∓R (11)

c. z1 = R =mg

λ. Este evident ca punctul P este ın echilibru oriunde pe sfera considerata.

7 O tija omogena AB de masa M , lungime l si sectiune neglijabila, este sustinuta la capatulB cu ajutorul unui fir inextensibil L > l fixat pe un perete vertical. Admitand ca extremitatea Ase poate deplasa fara frecare pe peretele vertical, sa se determine pozitia de echilibru a tijei.


Rezolvare : Ecuatia legaturii :

~rc = ~rB−−→CB (1)

proiectata pe sistemul de axe considerat, conduce la ecuatiile scalare :

xc = L cos β − l

2cos α

yc = L sin β − l

2sin α

(2)

Observand ca yc =l

2sin α , ecuatia (2b) mai poate fi scrisa sub forma :

L sin β − l sin α = 0 (3)

Avand ın vedere ecuatiile (2a) si (3), rezulta ca sistemul are un singur grad de libertate.Tinand cont ca unicele forte care actioneaza asupra sistemului sunt greutatile punctelor care

alcatuiesc tija, principiul deplasarilor virtuale capata forma simpla :

∑

i

~Fi δ~ri =∑

i

mig δxi = Mg δxc = 0 (4)

ceea ce reprezinta principiul lui Torricelli :

δxc = 0 (5)

Deoarece din (3) rezulta :

sin β =l

Lsin α , cos β =

1

L

√L2 − l2 sin2 α (6)

ecuatia (2a) devine :

xc =√

L2 − l2 sin2 α− l

2cos α (7)

Conditia necesara si suficienta de echilibru devine astfel :

δxc =l

2sin α

1− 2l cos α√

L2 − l2 sin2 α

δα = 0 (8)


de unde rezulta valorile posibile ale unghiului α pentru care tija este ın echilibru :

α = 0 , α = arcsin

1

l

√4l2 − L2

3

(9)

8 Un lantisor avand masa M si lungimea l , are fixate la capete doua mase m1 si m2 .Sistemul se poate misca fara frecare pe o sfera avand raxa R . Cunoscand ca l < πR , sa sedetermine pozitia de echilibru a sistemului.

Rezolvare : Sistemul are un singur grad de libertate. Deoarece fortele date sunt reprezentatede greutatile punctelor P1 si P2 si de greutatea lantisorului, principiul deplasarilor virtuale :

~F1 δ~r1 + ~F2 δ~r2 +∑

j

~Fj δ~rj = 0 (1)

capata forma simpla :m1g δy1 + m2g δy2 + Mg δyc = 0 (2)

unde yc reprezinta ordonata centrului de masa a lantisorului. In tot cursul miscarii va trebui safie ındeplinita conditia :

θ2 − θ1 =l

R(3)

Utilizand coordonatele polare, se va putea scrie :

y1 = R sin θ1 , y2 = R sin θ2 = R sin

(θ1 +

l

R

)

yc =1

M

θ2∫

θ1

y dm =R2

l

θ1+lR∫

θ1

sin θ dθ =R2

l

[cos θ1 − cos

(θ1 +

l

R

)] (4)

Deplasarile virtuale corespunzatoare vor avea expresiile :

δy1 = R cos θ1 δθ1

δy2 = R cos

(θ1 +

l

R

)δθ1 = R

(cos θ1 cos

l

R− sin θ1 sin

l

R

)δθ1

δyc =R2

l

[sin

(θ1 +

l

R

)− sin θ1

]δθ1 =

R2

l

(sin θ1 cos

l

R+ cos θ1 sin

l

R− sinθ1

)δθ1

(5)


Introducand aceste expresii ın ecuatia (2) rezulta :(

m1 + m2 cosl

R+

MR

lsin

l

R

)cos θ1 −

[m2 sin

l

R+

MR

l

(1− cos

l

R

)]sin θ1

δθ1 = 0

(6)Pozitia de echilibru a sistemului va fi data de expresia :

tg θ1 =m1 + m2 cos

l

R+

MR

lsin

l

R

m2 sinl

R+

MR

l

(1− cos

l

R

) (7)

2.2 Sisteme olonome. Forte potentiale si nepotentiale

1 Sa se scrie ecuatiile Lagrange de speta a doua ın coordonate carteziene, polare si sferice,

pentru un punct material liber de masa m , asupra caruia actioneaza o forta data ~F .

Rezolvare : In lipsa legaturilor, deoarece ~r = ~r (q1, q2(, q3)), ın toate cazurile va fi utilizatarelatia :

~v =d~r

dt=

2(3)∑

k=1

∂~r

∂qk

qk (1)

a. Coordonate carteziene : q1 = x , q2 = y , q3 = z . Ecuatia (1) se scrie :

~v = x~ı + y ~ + z ~k =∂~r

∂xx +

∂~r

∂yy +

∂~r

∂zz (2)

Energia cinetica va avea expresia :

T =1

2m

(x2 + y2 + z2

)(3)

iar derivatele sale vor fi :

∂T

∂x= m x ,

d

dt

(∂T

∂x

)= m x ;

∂T

∂x= 0

∂T

∂y= m y ,

d

dt

(∂T

∂y

)= m y ;

∂T

∂y= 0

∂T

∂z= m z ,

d

dt

(∂T

∂z

)= m z ;

∂T

∂z= 0

(4)

Coordonatele fortei generalizate vor avea forma :

Qx = ~F · ∂~r

∂x= ~F ·~ı = Fx

Qy = ~F · ∂~r

∂y= ~F · ~ = Fy

Qz = ~F · ∂~r

∂z= ~F · ~k = Fz

(5)

2.2. SISTEME OLONOME. FORTE POTENTIALE SI NEPOTENTIALE 59

Ecuatiile Lagrange vor avea astfel expresiile :

mx = Fx

m y = Fy

m z = Fz

(6)

b. Coordonate polare : q1 = r , q2 = θ . Ecuatia (1) se scrie :

~v = r ~er + rθ ~eθ =∂~r

∂rr +

∂~r

∂θθ (7)

Energia cinetica va avea expresia :

T =1

2m

(r2 + r2θ2

)(8)

iar derivatele sale vor fi :

∂T

∂r= m r ,

d

dt

(∂T

∂r

)= m r ;

∂T

∂r= mrθ2

∂T

∂θ= mr2θ ,

d

dt

(∂T

∂θ

)= mr

(2rθ + rθ

);

∂T

∂θ= 0

(9)

Folosind relatia (7) pot fi calculate usor coordonatele fortei generalizate :

Qr = ~F · ∂~r

∂r= ~F · ~er = Fr

Qθ = ~F · ∂~r

∂θ= r

(~F · ~eθ

)= r Fθ

(10)

Ecuatiile Lagrange vor avea expresiile :

m(r − rθ2

)= Fr

m(2rθ + rθ

)= Fθ

(11)

c. Coorodnate sferice : q1 = r , q2 = θ , q3 = ϕ . Ecuatia (1) va avea forma :

~v = r ~er + rθ ~eθ + rϕ sin θ ~eϕ =∂~r

∂rr +

∂~r

∂θθ +

∂~r

∂ϕϕ (12)

Energia cinetica a punctului va fi :

T =1

2m

(r2 + r2θ2 + r2ϕ2 sin2 θ

)(13)

iar derivatele sale au expresiile :

∂T

∂r= m r ,

d

dt

(∂T

∂r

)= m r ;

∂T

∂r= m

(rθ2 + rϕ2 sin2 θ

)

∂T

∂θ= mr2θ ,

d

dt

(∂T

∂θ

)= mr

(2rθ + rθ

);

∂T

∂θ= mr2ϕ2 sin θ cos θ

∂T

∂ϕ= mr2ϕ sin2 θ ,

d

dt

(∂T

∂ϕ

)= mr sin θ (2rϕ sin θ + ;

∂T

∂ϕ= 0

+ 2rθϕ cos θ + rϕ sin θ)

(14)


Coordonatele fortei generalizate se calculeaza cu formulele :

Qr = ~F · ∂~r

∂r= ~F · ~er = Fr

Qθ = ~F · ∂~r

∂θ= r

(~F · ~eθ

)= r Fθ

Qϕ = ~F · ∂~r

∂ϕ= r sin θ

(~F · ~eϕ

)= r sin θ Fϕ

(15)

Ecuatiile Lagrange vor fi astfel :

m(r − rθ2 − rϕ2 sin θ

)= Fr

m(2rθ + rθ − rϕ2 sin θ cos θ

)= Fθ

m(2rϕ sin θ + 2rθϕ cos θ + rϕ sin θ

)= Fϕ

(16)

2 Un punct material de masa m este legat ıntre doua resoarte identice de constanta elastica ksi lungime l ın stare nedeformata. Cunoscand ca extremitatile resoartelor sunt fixate la o distantaconstanta 2l , sa se determine miscarea daca sistemul este plasat : a) ın pozitie orizontala (seneglijeaza greutatea) ; b) ın pozitie verticala.

Rezolvare : In ambele situatii sistemul are un singur grad de libertate. Alegand axa Oxcoliniara cu sistemul, originea fiind la una din extremitati, energia cinetica va avea expresia :

T =1

2mx2 (1)

a) In pozitie orizontala, forta generalizata asociata coordonatei x va avea expresia :

Qx = ~F ·~ı = Fx = − 2k (x− l) (2)


Acelasi rezultat se poate obtine si pornind de la expresia pentru energia potentiala elastica totalaa sistemului :

V = 2 · 1

2k (x− l)2 si Qx = − ∂V

∂x= − 2k (x− l) (3)

Ecuatia Lagrange va avea forma :

mx + 2k (x− l) = 0 (4)

adica :

x + ω2 (x− l) = 0 unde ω2 =2k

m(5)

Facand schimbarea :x′ = x− l (6)

ecuatia (5) devine :x′ + ω2x′ = 0 (7)

si are solutia generala :x′(t) = α cos(ωt + β) (8)

Ecuatia generala de miscare a punctului de masa m va fi astfel :

x(t) = l + α cos(ωt + β) (9)

Miscarea va fi oscilatorie cu perioada T = 2π

√m

2kın jurul pozitiei de echilibru x0 = l .

b) In pozitie verticala, forta generalizata are expresia :

Qx = ~F ·~ı = Fx = − 2k (x− l) + mg (10)

Rezultatul se putea obtine si pornind de la expresia pentru energia potentiala totala a sistemului :

V = k (x− l)2 −mgx si Qx = − ∂V

∂x= − 2k (x− l) + mg (11)

Ecuatia Lagrange va fi :mx + 2k (x− l)−mg = 0 (12)

Transcriind (12) sub forma :

x + ω2(x− l − mg

2k

)unde ω2 =

2k

m(13)

si facand schimbarea de functie :

x′ = x− l − mg

2k(14)

va rezulta ın final solutia :

x(t) = l +mg

2k+ α cos(ωt + β) (15)

Miscarea va fi oscilatorie, cu aceeasi perioada ca si ın pozitie orizontala, ın jurul pozitiei de

echilibru x0 = l +mg

2k.


In ambele situatii, constantele α si β se determina din conditiile initiale.

3 Doua corpuri avand masele m1 si m2 pot aluneca fara frecare pe un plan ınclinat fix dublu,fiind legate printr-un fir inextensibil de lungime l si masa neglijabila, trecut peste un scripete fix Oa carui masa de asemenea se neglijeaza. Cunoscand unghiurile α1 si α2 facute de laturile planuluiınclinat cu orizontala, sa se determine acceleratia sistemului.

Rezolvare : Alegand sistemul de referinta ca ın figura, se observa ca legaturile finite inde-pendente au ecuatiile :

x1

sin α1

+x2

sin α2

= l , tg α1 = − x1

y1

, tg α2 =x2

y2

(1)

ceea ce ınseamna ca sistemul are un singur grad de libertate. Alegand x1 drept coordonatageneralizata, energia cinetica va fi :

T =1

2

2∑

i=1

mi

(x2

i + y2i

)=

1

2

2∑

i=1

mi

(1 +

1

tg2αi

)x2

i =1

2

2∑

i=1

mi

sin2 αi

x2i =

1

2

m1 + m2

sin2 α1

x21 (2)

Aplicand definitia, coordonata fortei generalizate va fi :

Qx1 =2∑

i=1

~Fi∂~ri

∂x1

=2∑

i=1

mig∂xi

∂x1

= m1g −m2gsin α2

sin α1


sin α1

g (3)

Coordonata fortei generalizate se putea calcula si cu formula Qx1 = − ∂V

∂x1

unde energia

potentiala a sistemului are expresia :

V = −2∑

i=1

migxi = −m1gx1 + m2gsin α2

sin α1

x1 = − m1 sin α1 −m2 sin α2

sin α1

gx1 (4)

La evaluarea tuturor acestor expresii au fost folosite ecuatiile (1). Reunind rezultatele, ecuatiaLagrange are forma :

m1 + m2

sin2 α1


sin α1

g (5)

de unde rezulta :


m1 + m2

g sin α1 (6)


Acceleratia sistemului 3 va fi :

a =√

x21 + y2

1 =x1

sin α1


m1 + m2

g (7)

4 Peste un scripete fix omogen de raza R si masa M este trecut un fir inextensibil avandlungimea l , de capetele caruia sunt suspendate masele m1 si m2 . Sa se calculeze acceleratiasistemului daca m1 > m2 . Se neglijeaza masa firului, iar acesta nu poate aluneca pe scripete.

Rezolvare : Problema este unidimensionala, deoarece conform enuntului exista doua legaturi.Una dintre ele exprima faptul ca firul este inextensibil, iar cealalta se refera la faptul ca firul nu

3 Alegand drept coodonate distantele r1 si r2 la cele doua corpuri si avand ın vedere ecuatia legaturii r1+r2 = l ,pentru energia cinetica rezulta :

T =12

2∑

i=1

mir2i =

12

(m1 + m2) r21

iar forta generalizata corespunzatoare coordonatei r1 va fi :

Qr1 =2∑

i=1

~Fi∂~ri

∂r1=

2∑

i=1

mig sin αi∂ri

∂r1= (m1 sin α1 −m2 sin α2) g

Ultima expresie putea fi calculata folosind pentru energia potentiala formula :

V = −2∑

i=1

migxi = −2∑

i=1

mig sin αi ri = − (m1 sin α1 −m2 sin α2) gr1 + C

Din ecuatia Lagrange :(m1 + m2) r1 = (m1 sin α1 −m2 sin α2) g

rezulta direct acceleratia sistemului :

a = r1 =m1 sin α1 −m2 sin α2

m1 + m2g


poate aluneca pe scripete :

x1 + x2 = l − πR , x1 = R ϕ (ϕ = ω) (1)

Energia cinetica totala a sistemului va avea expresia :

T =1

2

2∑

i=1

mix2i +

1

2Iω2 =

1

2(m1 + m2) x2

1 +1

2Iϕ2 =

1

2

(m1 + m2 +

I

R2

)x2

1 (2)

unde s-a ales x1 drept coordonata generalizata. Forta generalizata corespunzatoare va fi :

Qx1 =2∑

i=1

mi~g∂~ri

∂x1

= (m1 −m2) g (3)

Ultima expresia se poate calcula si cu formula Qx1 = − ∂V

∂x1

unde :

V = −2∑

i=1

migxi = − (m1 −m2) gx1 + C (4)

Facand ınlocuirile ın ecuatia Lagranged

dt

(∂T

∂x1

)− ∂T

∂x1

= Qx1 care are forma explicita :

(m1 + m2 +

I

R2

)x2

1 = (m1 −m2) g (5)

rezulta expresia cautata pentru acceleratia sistemului :

a = x1 =m1 −m2

m1 + m2 +I

R2

g =m1 −m2

m1 + m2 +1

2M

g (6)

unde momentul de inertie al scripetelui este I =1

2MR2 .

5 Un fir inextensibil de masa neglijabila este trecut peste un scripete fix de masa MA . Seleaga de un capat al firului o masa m , iar celalalt capat al firului este ınfasurat pe un tamburomogen de masa MB . Presupunand ca firul nu poate aluneca pe scripete, sa se determinemiscarea sistemului daca la momentul initial el porneste din repaus.

Rezolvare : In absenta legaturilor, pozitia sistemului este precizata cu ajutorul a patru pa-rametri : unul pentru abscisa corpului m , unul pentru rotatia scripetelui A , cate unul pentrupentru abscisa si rotatia tamburului B . Conform enuntului exista doua legaturi cinematice :

xm = RAωa , − xm = xB −RAωA (1)

deci sistemul are doua grade de libertate. Energia cinetica a sistemului se compune din treitermeni :


a) energia cinetica de translatie a corpului m :

Tm =1

2mx2

m (2)

b) energia cinetica de rotatie a scripetelui A :

TA =1

2IAω2

A ; IA =1

2MAR2

A , ωA =xm

RA

(3)

c) energia cinetica de translatie si de rotatie a tamburului B :

TB =1

2MBx2

M +1

2IBω2

B ; IB =1

2MBR2

B , ωB =xm + xB

RB

(4)

Reunind rezultatele, energia totala a sistemului va avea expresia :

T =1

2

(m +

1

2MA

)x2

m +1

2MBx2

B +1

4MB (xm + xB)2 (5)

Deoarece energia potentiala totala este :

V = −mgxm −MBgxB (6)

coordonatele fortei generalizate vor fi :

Qxm = mg , QxB= MBg (7)

Ecuatiile Lagrange vor avea forma :

(m +

1

2MA +

1

2MB

)xm +

1

2MBxB = mg

1

2MBxm +

3

2MBxB = MBg

(8)


Rezolvand sistemul ın raport cu xm si xB rezulta :

xm =2 (3m−MB)

6m + 3MA + 2MB

g , xB =2 (m + MA + MB)

6m + 3MA + 2MB

g (9)

Deoarece la momentul initial sistemul porneste din repaus, se obtine ın final :

xm(t) = x0m +

2 (3m−MB)

6m + 3MA + 2MB

· gt2

2, xB(t) = x0

B +2 (m + MA + MB)

6m + 3MA + 2MB

· gt2

2(10)

6 Un corp de masa m poate aluneca fara frecare pe un plan ınclinat de masa M si unghi α ,care la randul sau aluneca fara frecare pe un plan orizontal. Sa se studieze miscarea sistemului,daca la momentul initial acesta se gaseste ın repaus, iar corpul m se afla ın varful planului ınclinat.Cum se modifica rezultatele, daca corpul m este un disc circular omogen care se rostogoleste faraalunecare ın lungul planului?

Rezolvare : Sistemul are doua grade de libertate, cele doua coordonate care precizeaza univocpozitia sistemului la un moment dat fiind x care reprezinta abscisa muchiei verticale a planuluiınclinat si x′ care reprezinta abscisa ın lungul planului ınclinat a centrului de masa a corpului m .Coordonatele ın raport cu sistemul fix ale centrului de masa pentru corpul de masa m vor fi :

xm = x + x′ cos α

ym = l sin α− x′ sin α(1)

Energia cinetica a sistemului va avea astfel expresia :

T =1

2Mx2 +

1

2m

(x2

m + y2m

)=

1

2(M + m) x2 +

1

2m

(x′

2+ 2xx′ cos α

)(2)

Deoarece forta M~g este perpendiculara pe directia de deplasare a planului ınclinat, unica fortacare produce lucru mecanic este m~g . Coordonatele fortei generalizate vor fi :

Qx = m~g∂~rm

∂x= −mg

∂ym

∂x= 0 , Qx′ = m~g

∂~rm

∂x′= −mg

∂ym

∂x′= mg sin α (3)

La aceleasi rezultate se poate ajunge pornind de la expresia energiei potentiale :

V = mgym = −mgx′ sin α + C (4)


de unde :

Qx = − ∂V

∂x= 0 , Qx′ = − ∂V

∂x′= mg sin α (5)

Sistemul de ecuatii Lagrange corespunzator va fi :

(M + m) x + m cos α x′ = 0

cos α x + x′ = g sin α(6)

Rezolvand sistemul ın raport cu necunoscutele x si x′ rezulta :

x = − m sin α cos α

M + m (1− cos2 α)g , x′ =

(M + m) sin α

M + m (1− cos2 α)g (7)

Integrand si tinand cont de conditiile initiale, vor rezulta ecuatiile de miscare ale planului ınclinatM ın raport cu sistemul de referinta fix, respectiv ale corpului m ın raport cu planul ınclinat :

x(t) = x0 − m sin α cos α

M + m (1− cos2 α)· gt2

2, x′(t) =

(M + m) sin α

M + m (1− cos2 α)· gt2

2(8)

In cazul discului care se rostogoleste fara sa alunece ın lungul planului ınclinat, numarulgradelor de libertate ramane nemodificat deoarece, desi numarul coordonatelor creste cu o unitate,la acestea adaugandu-se unghiul de rotatie proprie al discului ϕ , intervine ın plus si o legaturaavand ecuatia x′ = R ω unde ω = ϕ , care exprima constrangerea ca miscarea discului se poaterealiza exclusiv prin rostogolire. Unica modificare intervine ın expresia energiei cinetice (2) undese adauga un termen corespunzator energiei cinetice de rotatie a discului :

T = · · ·+ 1

2Iω2 = · · ·+ 1

4mx′

2(9)

Sistemul de ecuatii Lagrange capata forma :

(M + m) x + m cos α x′ = 0

cos α x +3

2x′ = g sin α

(10)

In final, ecuatiile de miscare au forma generala :

x(t) = x0 − 2m sin α cos α

3M + m (3− 2 cos2 α)· gt2

2, x′(t) =

2 (M + m) sin α

3M + m (3− 2 cos2 α)· gt2

2(11)

7 Un cilindru circular gol de raza R si masa M avand pereti de grosime neglijabila, se poate

rostogoli fara alunecare pe o suprafata orizontala. In interiorul cilindrului, ın plan vertical, sepoate misca fara frecare un punct material de masa m . Sa se studieze miscarea sistemului, dacala momentul initial el porneste din repaus.

Rezolvare : Sistemul are doua grade de libertate, pozitia sa fiind cunoscuta la orice momentdaca se cunoaste valoarea abscisei x a centrului cilindrului, precum si a unghiului θ dintre razavectoare a punctului m si verticala (v. figura). Energia cinetica a cilindrului are expresia :

TC =1

2Mx2 +

1

2Iω2 = Mx2 (1)


unde s-a tinut cont si de ecuatia legaturii x = R ω , iar I = MR2 . Deoarece

xP = x + R sin θ

yP = R (1− cos θ);

xP = x + Rθ cos θ

yP = Rθ sin θ(2)

energia cinetica a punctului P va fi :

TP =1

2m

(x2

P + y2P

)=

1

2m

(x2 + R2θ2 + 2Rxθ cos θ

)(3)

iar energia cinetica totala a sistemului are expresia :

T =1

2(2M + m) x2 +

1

2m

(R2θ2 + 2Rxθ cos θ

)(4)

Deoarece rostogolirea cilindrului se face fara alunecare, forta de frecare care ia nastere ınA nu produce lucru mecanic, la fel ca si forta de greutate a cilindrului care se poate rostogolidoar orizontal. Unica forta care are contributie la energia potentiala a sistemului este greutateapunctului P , deci :

V = mg yP = mgR (1− cosθ) (5)

Coordonatele fortei generalizate vor fi astfel :

Qx = − ∂V

∂x= 0 , Qθ = − ∂V

∂θ= −mgR sin θ (6)

Ecuatiile Lagrange care descriu miscarea sistemului sunt :

d

dt

[(2M + m) x + mRθ cos θ

]= 0

R θ + x cos θ = − g sin θ(7)

Din prima ecuatie, tinand cont si de conditiile initiale x0 = θ0 = 0 , rezulta :

x = − mR

2M + mθ cos θ (8)

Integrand din nou, se obtine ın final :

x = x0 +mR

2M + m(sin θ0 − sin θ) (9)


Sistemul fiind conservativ, energia mecanica totala se conserva :

1

2(2M + m) x2 +

1

2m

(R2θ2 + 2Rxθ cos θ

)−mgR (cos θ − cos θ0) = 0 (10)

Folosind (8), din (10) rezulta :

θ2 =2M + m

2M + m sin2 θ

2g

R(cos θ − cos θ0) (11)

Se observa ca ın raport cu cilindrul, punctul P va efectua o miscare oscilatorie cu amplitudineaunghiulara θ0 . Concomitent, centrul cilindrului va efectua o miscare oscilatorie ın lungul axei Ox

cu amplitudineamR

2M + mın jurul pozitiei de echilibru x0 +

mR

2M + msin θ0 .

Ecuatia traiectoriei punctului P se obtine din relatiile (2) si (9) :

(2M + m

2M

)2 (xP − x0 − mR

2M + msin θ0

)2

+ (yP −R)2 = R2 (12)

Rezulta ecuatia unei elipse, care este tangenta la axa Ox ın punctul x0 +mR

2M + msin θ0 si care

are o semiaxa orientata ın sus.

Forte giroscopice si disipative

8 Sa se construiasca potentialul generalizat Π = Π(t, ~r, ~r) din care deriva forta Lorentz careexprima actiunea unui camp electromagnetic extern asupra unei particule ıncarcate ın miscare.

Rezolvare : Se stie ca forta cu care un camp electromagnetic extern ( ~E, ~B) actioneaza asupraunei particule nerelativiste punctiforme ıncarcate avand sarcina e si viteza ~v are expresia :

~F = e ~E + e~v × ~B (1)

unde vectorii ~E si ~B pot fi exprimati ın functie de potentialul scalar φ = φ (~r, t) si potentialul

vector ~A = ~A(~r, t) prin intermediul formulelor :

~E = − grad φ− ∂ ~A

∂t, ~B = rot ~A (2)

Folosind drept coordonate generalizate coordonatele carteziene qk = xk , qk = xk ; k = 1, 2, 3 ,coordonatele fortei generalizate Qk ; k = 1, 2, 3 coincid cu coordonatele carteziene ale forteiLorentz Fk ; k = 1, 2, 3 . Facand ınlocuirile, se obtine :

Qk = Fk = −e∂φ

∂xk

− e∂Ak

∂t+ e

3∑

j=1

(∂Aj

∂xk

− ∂Ak

∂xj

)xj ; k = 1, 2, 3 (3)

In particular, daca potentialul vector nu depinde explicit de timp :∂Ak

∂t= 0 ; k = 1, 2, 3 , fortele

(3) sunt compuse din forte care deriva dintr-un potential obisnuit si din forte de tip giroscopic :

Qk = − ∂V

∂xk

+3∑

j=1

γkjxj ; k = 1, 2, 3 (4)


unde :

V = e φ ; γkj = − γjk = e

(∂Aj

∂xk

− ∂Ak

∂xj

), k, j = 1, 2, 3 (5)

Revenind la cazul general si obsevand ca :

∂Ak

∂t=

dAk

dt−

3∑

j=1

∂Ak

∂xj

xj =d

dt

∂

∂xk

3∑

j=1

Ajxj

−

3∑

j=1

∂Ak

∂xj

xj ; k = 1, 2, 3 (6)

expresia (3) devine ın continuare :

Qk = −e∂φ

∂xk

− ed

dt

∂

∂xk

3∑

j=1

Ajxj

+ e

∂

∂xk

3∑

j=1

Ajxj

; k = 1, 2, 3 (7)

unde la evaluarea ultimului termen din expresia (7) s-a tinut cont de proprietatea evidenta∂xj

∂xk

=d

dt

(∂xj

∂xk

)=

d

dtδjk = 0 ; j, k = 1, 2, 3 . Deoarece potentialul scalar φ nu depinde de

viteze, se mai pot adauga expresiiile identic nuled

dt

(∂φ

∂xk

)= 0 ; k = 1, 2, 3 , obtinandu-se ın

final :

Qk =d

dt

∂

∂xk

e φ− e

3∑

j=1

Ajxj

− ∂

∂xk

e φ− e

3∑

j=1

Ajxj

; k = 1, 2, 3 (8)

Comparand rezultatul cu definitia generala Qk =d

dt

(∂Π

∂xk

)− ∂Π

∂xk

; k = 1, 2, 3 , se obtine ex-

presia potentialului generalizat Π(t, ~r, ~v) din care deriva forta Lorentz :

Π = e φ− e3∑

j=1

Ajxj = e φ− e(~v · ~A

)(9)

9 Sa se deduca expresia functiei disipative a lui Rayleigh din care deriva fortele de rezistentaopuse de un mediu asupra punctelor unui sistem scleronom aflat ın miscare relativ lenta, fortedirect proportionale si de sens contrar vitezelor.

Rezolvare : Conform enuntului, aceste forte de rezistenta au expresiile :

~F di = − ki~vi , ki > 0 ; i = 1, . . . , N (1)

Coordonatele fortei generalizate vor fi astfel :

Q∗ dk =

N∑

i=1

~F di

∂~ri

∂qk

= −N∑

i=1

ki ~ri∂~ri

∂qk

= −N∑

i=1

ki ~ri∂~ri

∂qk

= − ∂

∂qk

(1

2

N∑

i=1

ki ~r2

i

); k = 1, . . . , n

(2)

unde s-a folosit proprietatea∂~ri

∂qk

=∂~ri

∂qk

; i = 1, . . . , N , k = 1, . . . , n . Avand ın vedere definitia

generala

Q∗ dk = − ∂D

∂qk

; k = 1, . . . , n (3)

2.3. SISTEME NEOLONOME 71

functia disipativa a lui Rayleigh va avea expresia :

D = − 1

2

N∑

i=1

~F di · ~vi =

1

2

N∑

i=1

ki~v2i =

1

2

N∑

i=1

ki

(n∑

k=1

∂~ri

∂qk

qk +∂~ri

∂t

)

n∑

j=1

∂~ri

∂qj

qk +∂~ri

∂t

=

=1

2

n∑

k,j=1

bkj qkqj +n∑

k=1

bk qk + b0 = D2 + D1 + D0

(4)

unde

bkj =N∑

i=1

ki∂~ri

∂qk

∂~ri

∂qj

, bk =N∑

i=1

ki∂~ri

∂qk

∂~ri

∂t, b0 =

1

2

N∑

i=1

ki

(∂~ri

∂t

)2

; k, j = 1, . . . , n (5)

Daca sistemul este scleronom, atunci∂~ri

∂t= 0 si ın consecinta D1 = D0 = 0 . Functia disipa-

tiva a lui Rayleigh se reduce la expresia cunoscuta D = D2 =1

2

n∑

k,j=1

bkj qkqj, fiind indeplinite

totodata conditiile bkj = bjk ; k, j = 1, . . . , n sin∑

k,j=1

bkj qkqj ≥ 0 . Puterea acestor forte va fi

astfel :n∑

k=1

Q∗ dk qk = −

n∑

k=1

∂D

∂qk

qk = − 2D , ceea ce confirma caracterul disipativ al acestora.

2.3 Sisteme neolonome

1 Sa se studieze miscarea unui disc circular omogen de masa M si raza R care se rostogolestefara sa alunece pe un plan ınclinat de lungime l care face unghiul θ cu orizontala.

Rezolvare : Sistemul de referinta fix se alege astfel ıncat axa Ox sa fie ın lungul planuluiınclinat, iar axa Oz sa fie perpendiculara pe plan. Planul discului coincide cu planul xOz . Dreptcoordonate generalizate ale sistemului se aleg coodonata x(t) a centrului de masa a discului siunghiul ϕ(t) de rotatie proprie a discului ın jurul unei axe perpendiculare pe planul sau. Ecuatialegaturii trebuie sa exprime faptul ca viteza absoluta a punctului de contact P este nula (nu estepermisa alunecarea discului):

x−R ϕ = 0 (1)


Desi legatura este integrabila, problema se poate rezolva elegant ın coordonatele x si ϕ folosindmetoda ecuatiilor Lagrange cu multiplicatori. In acest caz, expresiile coeficientilor din ecuatialegaturii sunt :

ax = 1 , aϕ = −R (2)

Energia cinetica a sistemului se compune din energia cinetica a miscarii centrului de masa sienergia cinetica de rotatie a discului ın jurul axei care trece prin centrul de masa :

T =1

2Mx2 +

1

2Iϕ2 =

1

2Mx2 +

1

4MR2ϕ2 (3)

unde momentul de inertie al discului ın raport cu axa de rotatie este :

I =∫

r2dm =∫

r2ρdσ = ρ

R∫

0

r2 ·2πrdr = 2πρR4

4=

1

2MR2 (4)

Energia potentiala a sistemului va fi evident :

V = −Mg (x− l) sin θ (5)

Pentru a scrie ecuatiile Lagrange cu multiplicatori vor trebui evaluate expresiile :

∂T

∂x= Mx ,

d

dt

(∂T

∂x

)= Mx , Qx = − ∂V

∂x= Mg sin θ , λ ax = λ

∂T

∂ϕ=

1

2MR2ϕ ,

d

dt

(∂T

∂ϕ

)=

1

2MR2ϕ , Qϕ = − ∂V

∂ϕ= 0 , λ aϕ = −λ R

(6)

Grupand rezultatele rezulta sistemul de ecuatii :

mx = Mg sin θ + λ

1

2MR2ϕ = −λR

(7)

Aceste doua ecuatii, ımpreuna cu ecuatia (1) a legaturii, formeaza un sistem de trei ecuatii pentrucele trei necunoscute x , ϕ , λ . Dupa calcule banale rezulta :

x =2

3g sin θ , ϕ =

2

3

g sin θ

R, λ = − 1

3Mg sin θ (8)

Miscarea sistemului se determina prin integrari succesive, avandu-se ın vedere conditiile initiale 4.Se observa ca datorita legaturii, acceleratia centrului de masa al discului care se rostogolestefara sa alunece pe planul ınclinat, este mai mica decat acceleratia pe care avea-o daca acesta

ar aluneca fara frecare ın lungul planului (= g sin θ). Din egalitatea x =dv

dt= v

dv

dx=

1

2

dv2

dx

4 Sistemul mecanic fiind olonom si natural, ecuatia ın x se putea obtine direct din lagrangeeanul :

L = T − V =34

Mx2 + Mg (x− l) sin θ

2.3. SISTEME NEOLONOME 73

rezulta ca viteza finala a centrului de masa cand discul ajunge la baza planului ınclinat va fi

v =

√4

3gl sin θ , rezultat care putea fi obtinut si prin metode elementare.

2 Sa se studieze miscarea unei patine omogene de masa M si lungime l care poate alunecafara frecare pe un plan orizontal.

Rezolvare : Pozitia patinei la un moment dat este precizata de valorile a trei parametri :coordonatele carteziene xc si yc ale centrului de masa si unghiul θ facut de patina cu axa Ox .Deoarece ın cursul miscarii viteza centrului de masa va trebui sa fie coliniara cu axul patinei, vaexista legatura neolonoma :

tg θ·xc − yc = 0 (1)

In consecinta sistemul are doua grade de libertate. Energia sa cinetica va avea expresia :

T =1

2M

(x2

c + y2c

)+

1

2Iθ2 (2)

Pentru orice deplasare virtuala compatibila cu legaturile va trebui ca :

Mxc δxc + Myc δyc + Iθ δθ = 0 (3)

unde s-a tinut cont de faptul ca lucrul mecanic al greutatii patinei este nul. Inmultind ecuatia lacare satisfac deplasarile virtuale

tg θ·δxc − δyc = 0 (4)

cu multiplicatorul λ si adunand rezultatul la ecuatia (3), rezulta ecuatiile Lagrange pentru sistemulneolonom considerat :

Mxc = −λ tg θ

Myc = λ

θ = 0

(5)

Aceste ecuatii, ımpreuna cu ecuatia (1) a legaturii, vor furniza functiile necunoscute xc , yc , θ ,precum si expresia multiplicatorului Lagrange λ . Din (5c) prin integrare rezulta :

θ(t) = α t + β (6)


unde α si β reprezinta constante de integrare determinate de conditiile initiale. Din eucatiile (5b)si (1) va rezulta :

λ = Myc = M(xc tg θ +

α xc

cos2 θ

)(7)

Inlocuind acest rezultat ın (1a) va rezulta ecuatia diferentiala :

xc + α xc tg (α t + β) = 0 (8)

si ın consecinta :xc = γ cos (α t + β) (9)

Integrand ınca odata, va rezulta ın final :

xc =γ

αsin (α t + β) + δ (10)

Folosind ecuatia legaturii, prin integrare rezulta :

yc = − γ

αcos (α t + β) + ε (11)

Aici constantele γ , δ , ε se determina din conditiile initiale. Multiplicatorul λ va avea expresia :

λ = Mαγ cos (α t + β) (12)

Se observa ca ın cursul miscarii centrul de masa al patinei descrie un cerc care are ecuatia :

(xc − δ)2 + (yc − ε)2 =γ2

α2(13)

2.4 Sisteme naturale

1 Peste un scripete fix de raza R si masa M este trecut un fir inextensibil de lungime L careare fixate la capete doua mase m1 si m2 . Masa m1 este legata de orizontala prin intermediul unuiresort vertical de constanta elastica k si lungime l ın stare nedeformata. Sa se studieze miscareasistemului. Cum se modifica rezultatele daca si masa m2 este legata de orizontala printr-un resortavand constanta elastica k′ si lungimea l′ ın stare nedeformata?

Rezolvare : Sistemul are un singur grad de libertate, ecuatiile legaturilor fiind :

x1 + x2 = 2h + πR− L

x1 = Rϕ(1)

Alegand drept coordonata generalizata pe

x1 ≡ x (2)

energia cinetica a sistemului are expresia :

T =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 +

1

2Iϕ2 =

1

2

(m1 + m2 +

1

2M

)x2 (3)

2.4. SISTEME NATURALE 75

Cu exceptia unei constante care stabileste nivelul de zero, energia potentiala a sistemului va fi :

V =1

2k (l − x1)

2 +m1gx1 +m2gx2 =1

2k (l − x)2 +(m1 −m2) gx+m2g (2h + πR− L) (4)

Lagrangeeanul sistemului va avea astfel expresia :

L =1

2

(m1 + m2 +

1

2M

)x2 − 1

2k (l − x)2 − (m1 −m2) gx−m2g (2h + πR− L) (5)

Ecuatia Lagrange corespunzatoare va fi :(m1 + m2 +

1

2M

)x− k (l − x) + (m1 −m2) g = 0 (6)

care se poate transcrie sub forma :

x +2k

2 (m1 + m2) + M

(x− l +

m1 −m2

kg)

= 0 (7)

Solutia generala a ecuatiei va fi :

x(t) = l − m1 −m2

kg + α cos (ω t + β) ; ω2 =

2k

2 (m1 + m2) + M(8)

unde α si β sunt constante care se determina din conditiile initiale. Miscarea corpului m1 va fioscilatorie cu perioada

T = 2π

√2 (m1 + m2) + M

2k(9)

ın jurul pozitiei de echilibru care are ordonata x01 = l − m1 −m2

kg .

Introducerea celui de al doilea resort care leaga masa m2 de orizontala nu modifica numarulgradelor de libertate, ın schimb se modifica energia potentiala, care fata de expresia (4) contineun termen suplimentar :

V = · · ·+ 1

2k′ (l′ − x2)

2= · · ·+ 1

2k′ [ l′ + x− (2h + πR− L)]

2(10)


Lagrangeeanul se va modifica ın mod corespunzator, iar ecuatia Lagrange devine ın final :

x +2 (k + k′)

2 (m1 + m2) + M

(x− kl + k′ (2h + πR− L− l′)

k + k′+

m1 −m2

k + k′g

)= 0 (11)

Solutia ecuatiei se va scrie sub forma :

x(t) =kl + k′ (2h + πR− L− l′)

k + k′− m1 −m2

kg + α cos (ω t + β) (12)

unde acum :

ω2 =2 (k + k′)

2 (m1 + m2) + M(13)

Miscarea corpului m1 va fi oscilatorie cu perioada T = 2π

√√√√2 (m1 + m2) + M

2 (k + k′)ın jurul pozitiei

de echilibru care are ordonata x01 =

kl + k′ (2h + πR− L− l′)k + k′

− m1 −m2

kg .

2 Un punct material de masa m este legat ıntre doua resoarte avand constantele elastice k1 ,k2 si lungimile l1 , l2 ın stare nedeformata. Cunoscand ca extremitatile resoartelor sunt fixate la odistanta constanta d , sa se determine miscarea daca sistemul este plasat fie ın pozitie orizontala(se neglijeaza greutatea), fie ın pozitie verticala.

Rezolvare : In ambele situatii sistemul are un singur grad de libertate. Alegand axa Oxcoliniara cu sistemul, originea fiind la una din extremitati, energie cinetica va avea expresia :

T =1

2mx2 (1)

Energia potentiala va avea expresia generala (v. figura) :

V =1

2k1 (l1 − x)2 +

1

2k2 (x− d + l2)

2 − C ·mgx (2)


unde C = 0 ın cazul miscarii pe orizontala, cand forta de greutate nu poate efectua lucru mecanicsi C = 1 ın cazul miscarii pe verticala. Lagrangeeanul problemei va fi :

L =1

2mx2 − 1

2k1 (l1 − x)2 − 1

2k2 (x− d + l2)

2 + C ·mgx (3)

Ecuatia Lagrange corespunzatoare are forma :

mx + (k1 + k2) x− (k1l1 − k2l2 + k2d)− C ·mg = 0 (4)

deci :

x +k1 + k2

m

(x− k1l1 − k2l2 + k2d

k1 + k2

− Cmg

k1 + k2

)= 0 (5)

Solutia generala a ecuatiei este :

x(t) =k1l1 − k2l2 + k2d

k1 + k2

+ Cmg

k1 + k2

+ α cos (ω t + β) ; ω2 =k1 + k2

m(6)

Miscarea este oscilatorie cu perioada T = 2π

√m

k1 + k2

atat pe orizontala, cat si pe verticala,

ın jurul pozitiei de echilibru x0 =k1l1 − k2l2 + k2d

k1 + k2

+ Cmg

k1 + k2

, unde C = 0 pe orizontala si

C = 1 pe verticala.

3 Un resort de constanta elastica k , lungime l ın stare nedeformata si masa neglijabila, arefixate la cele doua extremitati masele m1 si m2 . Sistemul poate oscila liber atat pe orizontala,cat si pe verticala. Sa se studieze miscarea ın ambele situatii.

Rezolvare : Deoarece restrictia se refera doar la faptul ca sistemul se poate deplasa fie peorizontala, fie pe verticala, ın ambele situatii sistemul are doua grade de libertate. Alegand axaOx coliniara cu sistemul, energia cinetica va avea expresia :

T =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 (1)

Energia potentiala va avea forma generala :

V =1

2k [ l − (x2 − x1)]

2 − C (m1gx1 + m2gx2) (2)


unde C = 0 ın cazul miscarii pe orizontala, deoarece forta de greutate nu poate efectua lucrumecanic si C = 1 ın cazul miscarii pe verticala. Lagrangeeanul problemei va fi :

L =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 −

1

2k [ l − (x2 − x1)]

2 + C (m1gx1 + m2gx2) (3)

Trecand la functiile :

xc =m1x1 + m2x2

m1 + m2

, x = x2 − x1 (4)

rezultax1 = xc − m2

m1 + m2

x , x2 = xc +m1

m1 + m2

x (5)

Facand aceste ınlocuiri ın (3), lagrangeeanul devine :

L =1

2(m1 + m2) x2

c +1

2µ x2 − 1

2k (l − x)2 + C (m1 + m2) gxc (6)

unde µ reprezinta masa redusa a sistemului :

1

µ=

1

m1

+1

m2

(7)

Ecuatiile Lagrange corespunzatoare coordonatelor generalizate xc si x vor fi :

xc = C g

µ x + k (x− l) = 0(8)

Dupa cum era de asteptat, miscarea centrului de masa nu este influentata de miscare indivi-duala a maselor m1 si m2 ın raport cu centrul de masa, deoarece forta elastica a resortului esteo forta interioara. Solutia generala a ecuatiei (8a) se scrie :

xc(t) = γ + δ t + Cgt2

2(9)

In cazul miscarii pe orizontala (C = 0) centrul de masa se gaseste fie ın repaus, fie ın miscarerectilinie uniforma, ın functie de conditiile initiale. Pentru miscarea pe verticala (C = 1) centrulde masa se gaseste ın miscare uniform accelerata cu acceleratia g . Solutia ecuatiei (8b) va fi :

x(t) = l + α cos (ω t + β) ; ω2 =k

µ= k

(1

m1

+1

m2

)(10)

Constantele α , β , γ , δ se determina din conditiile initiale. Miscarile individuale ale maselor m1

si m2 se determina ınlocuind solutiile (9) si (10) ın expresiile (5).

4 Un punct material de masa m aluneca fara frecare pe o bara OA de masa neglijabila, carese roteste cu viteza unghiulara constanta ω ın plan vertical. Considerand ca la momentul initialt0 = 0 bara se afla ın pozitie orizontala, iar punctul se gaseste pe bara la distanta r0 fata deorigine si are viteza radiala r0, sa se scrie ecuatia de miscare a punctului pe bara.


Rezolvare : Folosind coordonate polare ın planul yOz, energia cinetica a punctului de masam are expresia :

T =1

2m

(r2 + r2θ2

)=

1

2m

(r2 + r2ω2

)(1)

Energia potentiala va fi :V = mgz = mgr sin θ = mgr sin ωt (2)

unde conform enuntului θ(t) = ωt . Folosind lagrangeeanul :

L = T − V =1

2m

(r2 + r2ω2

)−mgr sin ωt (3)

ecuatia Lagrange radiala va avea forma :

r − ω2r = − g sin ωt (4)


r(t) = C1eωt + C2 e−ωt +

g

2ω2sin ωt (5)

Impunand conditiile initiale, rezulta sistemul de ecuatii :

C1 + C2 = r0

ω(C1 − C2 +

g

2ω2

)= r0

(6)

care are solutia :

C1 =1

2

(r0 +

r0

ω− g

2ω2

)

C2 =1

2

(r0 − r0

ω+

g

2ω2

) (7)

Solutia ecuatiei radiale va fi :

r(t) =1

2

(r0 +

r0

ω− g

2ω2

)eωt +

1

2

(r0 − r0

ω+

g

2ω2

)e−ωt +

g

2ω2sin ωt (8)

Peste o componenta oscilatorie se suprapune o componenta transcendenta care ın timp devinedominanta.

5 O bara OA face unghiul α cu axa Oz si se roteste ın jurul acesteia cu viteza unghiularaconstanta ω . Un punct material de masa m , poate aluneca fara frecare ın lungul barei. Sa sestudieze miscarea sistemului daca se neglijeaza masa barei. Cum se modifica rezultatele dacacorpul m este legat de O prin intermediul unui resort de constanta elastica k , lungime l ın starenedeformata si masa neglijabila?


Rezolvare : Alegand drept coordonata generalizata distanta r dintre O si corpul de masa m ,energia cinetica a corpului va fi :

T =1

2m

(r2 + r2ω2 sin2 α

)(1)

Energia potentiala va avea expresia :

V = mgz = mgr cos α (2)

Avand ın vederea expresia lagrangeeanului :

L =1

2m

(r2 + r2ω2 sin2 α

)−mgr cos α (3)

ecuatia Lagrange pentru coordonata r are forma :

r − ω2 sin2 α·r = − g cos α (4)


r(t) = C1 ch (ω sin α·t) + C2 sh (ω sin α·t) +g cos α

ω2 sin2 α(5)

In cazul ın care corpul m este legat de O prin intermediul unui resort, aparent intervine doaro modificare minora, la energia potentiala urmand sa se adauge termenul pentru energia elasticade deformare :

V = · · ·+ 1

2k (r − l)2 (6)

lagrangeeanul sistemului modificandu-se corespunzator. Ecuatia de miscare devine :

mr −mω2 sin2 α·r + k (r − l) = −mg cos α (7)

adica :

r +

(k

m− ω2 sin2 α

)r =

k

ml − g cos α (8)

Interpretarea solutiei devine ınsa mult mai complexa. In functie de datele problemei pot fi distinsetrei situatii posibile :

a. cazulk

m> ω2 sin2 α : solutia ecuatiei (8) este oscilatorie si va avea forma generala :

r(t) = A cos

√k

m− ω2 sin2 α · t + β

+

k

ml − g cos α

k

m− ω2 sin2 α

(9)


b. cazulk

m= ω2 sin2 α : se obtine solutia simpla :

r(t) = r0 + r0 t +1

2

(k

ml − g cos α

)t2 (10)

c. cazulk

m< ω2 sin2 α : rezulta solutia transcendenta :

r(t) = C1 ch

√ω2 sin2 α− k

m· t

+ C2 sh

√ω2 sin2 α− k

m· t

−

k

ml − g cos α

ω2 sin2 α− k

m

(11)

Ultimele doua expresii ısi pastreaza valabilitatea atat timp cat deformarea resortului se mentineın domeniul elastic.

6 Un disc plan vertical de raza r si masa M se poate rostogoli fara sa alunece ın interiorulunui cilindru orizontal fix de raza R . Sa se studieze miscarea descrisa de centrul de masa aldiscului.

Rezolvare : In cursul miscarii centrul discului descrie un cerc de raza R− r , marimea vitezeisale fiind :

vc = (R− r) θ (1)

Deoarece miscarea discului ın interiorul cilidrului se realizeaza exclusiv prin rostogolire, vitezapunctului de contact P trebuie sa fie nula si ın consecinta :

vc = r ω (2)

Marimea vectorului rotatie va fi astfel :

ω =R− r

rθ (3)

Problema fiind cu un singur grad de libertate, se impune de la sine unghiul polar θ dreptcoodonata generalizata care precizeaza pozitia centrului discului la un moment dat. Energiacinetica a discului va fi :

T =1

2Mv2

c +1

2Iω2 =

1

2M (R− r)2 θ2 +

1

2I

(R− r)2

r2θ2 =

1

2M

(1 +

I

Mr2

)(R− r)2 θ2 (4)


Energia potentiala fiind :

V = −Mgxc = −Mg (R− r) cos θ (5)

lagrangeeanul va avea expresia :

L =1

2M

(1 +

I

Mr2

)(R− r)2 θ2 + Mg (R− r) cos θ (6)

Rezulta ecuatia de miscare :

(1 +

I

Mr2

)(R− r) θ + g sin θ = 0 (7)

adica

θ +g

(R− r)(1 +

I

Mr2

) sin θ = 0 (8)

Se observa ca miscarea centrului de masa al discului este cea a unui pendul matematic avand

lungimea echivalenta l′ = (R− r)(1 +

I

Mr2

).

In aproximatia micilor oscilatii (sin θ ' θ) ecuatia de miscare devine :

θ + ω2θ = 0 , ω =

√√√√√g

(R− r)(1 +

I

Mr2

) (9)


θ(t) = α cos (ω t + β) (10)

Perioada miscarii oscilatorii va fi T =2π

ω. Pentru momentul de inertie al discului se va folosi

expresia cunoscuta I =1

2Mr2 .

7 Un pendul matematic de masa m si lungime l este legat de un perete prin intermediulunui resort orizontal avand constanta elastica k . Cunoscand ca punctul de fixare al resortului petija pendulului se gaseste la distanta a < l fata de punctul de suspensie, iar la echilibru pendululse gaseste ın pozitie verticala, sa se calculeze expresia perioadei micilor oscilatii ale sistemului.


Rezolvare : Energia cinetica a sistemului se reduce la cea a pendulului :

T =1

2ml2θ2 (1)

Energia potentiala a sistemului se compune din energia elastica de deformare a resortului si energiapotentiala a pendului ın camp gravitational. Alegand axa Ox coliniara cu tija pendulului candsistemul este ın echilibru, elongatia resortului la orice moment va fi ∆y = a sin θ si atunci :

V =1

2k (∆y)2 + mg (l − x) =

1

2ka2 sin2 θ + mgl (1− cos θ) (2)

Lagrangeeanul exact al sistemului va avea expresia :

L = T − V =1

2ml2θ2 − 1

2ka2 sin2 θ −mgl (1− cos θ) (3)

In aproximatia micilor oscilatii sin θ ' θ , 1− cos θ ' θ2

2, lagrangeeanul devine :

L′ =1

2ml2θ2 − 1

2ka2θ2 −mgl

θ2

2=

1

2ml2θ2 − 1

2

(ka2 + mgl

)θ2 (4)

Ecuatia Lagrange are forma :ml2θ +

(ka2 + mgl

)θ = 0 (5)

adica :

θ + ω2θ = 0 , ω2 =k

m

(a

l

)2

+g

l(6)

Miscarea este oscilatorie θ(t) = α cos (ω t + β) cu perioada :

T =2π

ω=

2π√k

m

(a

l

)2

+g

l

(7)

8 Punctul de suspensie al unui pendul matematic de masa m si lungime l se poate deplasaorizontal dupa legea a sin ωt . Sa se determine miscarea pendulului ın aproximatia micilor oscilatii

daca ω 6=√

g

lsi a ¿ l .

Rezolvare : Folosind coordonate carteziene, pozitia si viteza pendulului vor fi date de expre-siile :

x = l cos θ

y = l sin θ + a sin ωt,

x = − lθ sin θ

y = lθ cos θ + aω cos ωt(1)

Lagrangeeanul exact va fi astfel :

L = T − V =1

2

(x2 + y2

)−mg (l − x) =

=1

2ml2θ2 + malωθ cos θ cos ωt +

1

2ma2ω2 cos2 ωt−mgl (1− cos θ)

(2)


Facand aproximarile cos θ ' 1 si 1− cos θ ' θ2

2, lagrangeeanul echivalent ın cazul micilor oscilatii

va fi :

L′ =1

2ml2θ2 + malωθ cos ωt−mgl

θ2

2(3)

unde pentru comoditate nu figureaza nici termenul care nu contine variabilele θ si θ , acestaneavand nici o influenta asupra formei ecuatiei de miscare. Ecuatia Lagrange corespunzatoare vaavea expresia :

ml2θ −malω2 sin ωt + mglθ = 0 (4)

adica :

θ +g

lθ =

a

lω2 sin ωt (5)

Solutia generala a unei astfel de ecuatii are forma :

θ(t) = α cos(√

g

l· t + β

)+

a

lω2

g

l− ω2

sin ωt ,

∣∣∣∣∣∣∣

a

lω2

g

l− ω2

∣∣∣∣∣∣∣¿ 1 (6)

unde constantele α si β urmeaza a fi determinate din conditiile initiale.

9 Un pendul matematic de lungime l si masa m are punctul de suspensie fixat pecircumferinta unui disc circular omogen vertical de masa M si raza R . Presupunand ca dis-cul se poate roti liber ın jurul unei axe care trece prin centrul sau, sa se scrie ecuatiile de miscareale sistemului. Sa se determine miscarea pendulului ın aproximatia micilor oscilatii, daca discul

se roteste uniform cu viteza unghiulara ω 6=√

g

lsi R ¿ l .

Rezolvare : Coordonatele pozitiei si vitezei pendulului vor fi date de expresiile :

x = R cos ϕ + l cos θ

y = R sin ϕ + l sin θ,

x = −Rϕ sin ϕ− lθ sin θ

y = Rϕ cos ϕ + lθ cos θ(1)

Energia cinetica se compune din energia cinetica de rotatie a discului si energia cinetica a pen-dulului :

T =1

2Iω2 +

1

2m

(x2 + y2

)=

1

4MR2ϕ2 +

1

2m

[R2ϕ2 + l2θ2 + 2Rlϕθ cos (ϕ− θ)

](2)


Energia potentiala va fi :

V = mgR (1− cos ϕ) + mgl (1− cos θ) (3)

Lagrangeeanul sistemului va avea expresia :

L =1

2

(m +

M

2

)R2ϕ2 +

1

2ml2θ2 + mRlϕθ cos (ϕ− θ)−mgR (1− cos ϕ)−mgl (1− cos θ)

(4)Ecuatiile de miscare corespunzatoare coordonatelor ϕ si θ vor fi de forma :

(m +

M

2

)Rϕ + mlθ cos (ϕ− θ) + mlθ2 sin (ϕ− θ) + mg sin ϕ = 0

Rϕ cos (ϕ− θ) + lθ − Rϕ2 sin (ϕ− θ) + g sin θ = 0(5)

In ipoteza ca discul se roteste cu viteza unghiulara constanta ϕ = ω , pentru a scrie ecuatia demiscare a pendulului ar trebui sa se rescrie lagrangeeanul, dar se poate ajunge la acelasi rezultatdaca se foloseste direct ecuatia (5b) ın care se fac ınlocuirile ϕ = ωt si ϕ = 0 :

θ +g

lsin θ =

R

lω2 sin (ωt− θ) (6)

In aproximatia micilor oscilatii facand ınlocuirile sin θ ' θ si θ ¿ ωt , rezulta ecuatia de miscare :

θ +g

lsin θ =

R

lω2 sin ωt (7)

Dupa cum era de asteptat, s-a obtinut o ecuatie identica ca forma cu cea din problema anterioara,solutia ei avand forma generala :

θ(t) = α cos(√

g

l· t + β

)+

R

lω2

g

l− ω2

sin ωt ,

∣∣∣∣∣∣∣∣

R

lω2

g

l− ω2

∣∣∣∣∣∣∣∣¿ 1 (8)

10 De un pendul matematic avand masa m1 si lungimea l1 este suspendat un al doileapendul matematic avand masa m2 si lungimea l2 , sistemul avand posibilitatea sa se miste doar


ın plan vertical (pendul matematic dublu). Sa se scrie ecuatiile de miscare ale sistemului sisa se determine solutia ın aproximatia micilor oscilatii. Sa se particularizeze rezultatele pentrum1 = m2 = m si l1 = l2 = l .

Rezolvare : Sistemul are doua grade de libertate. Drept coordonate generalizate se alegunghiurile pe care le fac cele doua pendule fata de verticala. Se observa ca :

x1 = l1 cos ϕ1

y1 = l1 sin ϕ1

,x1 = − l1ϕ1 sin ϕ1

y1 = l1ϕ1 cos ϕ1

(1)

si similarx2 = l1 cos ϕ1 + l2 cos ϕ2

y2 = l1 sin ϕ1 + l2 sin ϕ2

,x2 = − l1ϕ1 sin ϕ1 − l2ϕ2 sin ϕ2

y2 = l1ϕ1 cos ϕ1 + l2ϕ2 cos ϕ2

(2)

Energiile cinetice vor avea expresiile :

T1 =1

2m1

(x2

1 + y21

)=

1

2m1l

21ϕ

21

T2 =1

2m2

(x2

2 + y22

)=

1

2m2

[l21ϕ

21 + l22ϕ

22 + 2l1l2ϕ1ϕ2 cos (ϕ1 − ϕ2)

] (3)

iar energiile potentiale vor fi :

V1 = m1gl1 (1− cos ϕ1)

V2 = m2gl1 (1− cos ϕ1) + m2gl2 (1− cos ϕ2)(4)

Lagrangeeanul sistemului are expresia :

L =1

2(m1 + m2) l21ϕ

21 +

1

2m2l

22ϕ

22 + m2l1l2ϕ1ϕ2 cos (ϕ1 − ϕ2) −

− (m1 + m2) gl1 (1− cos ϕ1)−m2gl2 (1− cos ϕ2)(5)

Ecuatiile de miscare corespunzatoare coordonatelor ϕ1 si ϕ2 vor fi :

(m1 + m2)l1ϕ1 + m2l2ϕ2 cos(ϕ1 − ϕ2) + m2l2ϕ22 sin(ϕ1 − ϕ2) + (m1 + m2)g sin ϕ1 = 0

l1ϕ1 cos(ϕ1 − ϕ2) + l2ϕ2 − l1ϕ21 sin(ϕ1 − ϕ2) + g sin ϕ2 = 0

(6)


Lagrangeeanul aproximativ ın cazul micilor oscilatii se obtine din (5) unde se fac ınlocuirile

cos (ϕ1 − ϕ2) ' 1 , 1− cos ϕ1 ' ϕ21

2si 1− cos ϕ2 ' ϕ2

2

2:

L′ =1

2(m1 + m2) l21ϕ

21 +

1

2m2l

22ϕ

22 + m2l1l2ϕ1ϕ2 − (m1 + m2) gl1

ϕ21

2−m2gl2

ϕ22

2(7)

ecuatiile de miscare capatand acum forma mai simpla :

(m1 + m2) l1ϕ1 + m2l2ϕ2 + (m1 + m2) gϕ1 = 0

l1ϕ1 + l2ϕ2 + gϕ2 = 0(8)

Se cauta o solutie a acestui sistem liniar sub forma :

ϕ1(t) = C1 e iωt ; ϕ2(t) = C2 e iωt (9)

Inlocuind ın (8) se obtin ecuatiile pentru constantele C1 si C2 :

(m1 + m2) (g − l1ω2) C1 − m2l2ω

2 C2 = 0

− l1ω2 C1 + (g − l2ω

2) C2 = 0(10)

Sistemul are solutie nebanala numai daca determinantul coeficientilor este nul :∣∣∣∣∣

(m1 + m2) (g − l1ω2) −m2l2ω

2

− l1ω2 g − l2ω

2

∣∣∣∣∣ = 0 (11)

Se obtine astfel ecuatia caracteristica :

m1l1l2 ω4 − (m1 + m2) (l1 + l2) g ω2 + (m1 + m2) g2 = 0 (12)

care furnizeaza valorile frecventelor proprii ale sistemului :

ω21,2 =

g

2m1l1l2

[(m1 + m2) (l1 + l2)∓

√m1 + m2

√m1 (l1 − l2)

2 + m2 (l1 + l2)2

](13)

Solutia generala a sistemului (8) va avea forma :

ϕ1(t) = <C1+

1 e iω1t + C1−1 e−ω1t + C2+

1 e iω2t + C2−1 e−ω2t

ϕ2(t) = <C1+

2 e iω1t + C1−2 e−ω1t + C2+

2 e iω2t + C2−2 e−ω2t

(14)

Observand ca :

C1±1 =

g − l2ω21

l1ω21

C1±2 ; C2±

1 =g − l2ω

22

l1ω22

C2±2 (15)

solutia (14) poate fi scrisa sub forma :

ϕ1(t) =g − l2ω

21

l1ω21

θ1(t) +g − l2ω

22

l1ω22

θ2(t)

ϕ2(t) = θ1(t) + θ2(t)

(16)


unde

θ1(t) = <C1+

2 e iω1t + C1−2 e−ω1t

= α1 cos (ω1t + β1)

θ2(t) = <C2+

2 e iω2t + C2−2 e−ω2t

= α2 cos (ω2t + β2)

(17)

reprezinta coordonatele normale ale sistemului. Constantele α1 , α2 , β1 , β2 urmeaza sa fiedeterminate din conditiile initiale.

In particular, daca m1 = m2 = m si l1 = l2 = l sistemul de ecuatii capata forma simpla :

2l ϕ1 + l ϕ2 + 2gϕ1 = 0

l ϕ1 + l ϕ2 + gϕ2 = 0(18)

pentru frecventele proprii rezultand expresiile :

ω21,2 =

(2∓

√2

) g

l(19)

Solutia generala a sistemului (18) se va scrie :

ϕ1(t) =1√2

[ θ1(t)− θ2(t)]

ϕ2(t) = θ1(t) + θ2(t)(20)

11 Doua corpuri cu masele m1 si m2 sunt legate ıntre ele prin intermediul unui resort avandconstanta elastica k0 . La randul lor, corpurile sunt legate lateral cu ajutorul a doua resoarte, avandconstantele elastice k1 si k2 , de doua puncte fixe situate la acelasi nivel. Neglijand greutateasi frecarile, sa se studieze miscarea sistemului si sa se discute solutia pentru cazul particularm1 = m2 = m si k1 = k2 = k .

Rezolvare : Notand cu x1 si x2 valorile elongatiilor la un moment dat ın raport cu pozitiile

de echilibru si observand ca energia potentiala a resortului de cuplaj este V0 =1

2k0(x2 − x1)

2,

lagrangeeanul sistemului are forma :

L = T − V =1

2m1x

21 +

1

2m2x

22 −

1

2k1x

21 −

1

2k2x

22 −

1

2k0(x2 − x1)

2 (1)

Ecuatiile de miscare ale celor doua corpuri sunt :

m1x1 + k1x1 − k0(x2 − x1) = 0

m2x2 + k2x2 + k0(x2 − x1) = 0(2)


de unde rezulta :

x1 +k1 + k0

m1

x1 − k0

m1

x2 = 0

x2 − k0

m2

x1 +k2 + k0

m2

x2 = 0

(3)

Sistemul de ecuatii diferentiale admite o solutie analitica. Cautand pe x1(t) si x2(t) sub forma :

x1(t) = C1eiωt ; x2(t) = C2e

iωt (4)

ecuatiile pentru determinarea constantelor C1 si C2 vor fi :(

k1 + k0

m1

− ω2

)C1 − k0

m1

C2 = 0

− k0

m2

C1 +

(k2 + k0

m2

− ω2

)C2 = 0

(5)

Ecuatia caracteristica care furnizeaza valorile lui ω pentru care sistemul (5) are solutie nebanala,va avea forma : (

k1 + k0

m1

− ω2

) (k2 + k0

m2

− ω2

)− k2

0

m1m2

= 0 (6)

In cazul particular m1 = m2 = m si k1 = k2 = k , ecuatia (6) devine :

k + k0

m− ω2 = ± k0

m(7)

de unde rezulta frecventele proprii ale sistemului de oscilatori :

ω21 =

k

m; ω2

2 =k + 2k0

m(8)

Observand ca :C1±

1 = C1±2 ; C2±

1 = −C2±2 (9)

solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale (3) se scrie sub forma unei suprapuneri deoscilatii armonice simple :

x1(t) = θ1(t)− θ2(t) ; x2(t) = θ1(t) + θ2(t) (10)

unde θ1 si θ2 reprezinta oscilatiile (modurile) normale :

θ1(t) = <C1+

2 eiω1t + C1−2 e−iω1t

= α1 cos(ω1t + β1)

θ2(t) = <C2+


= α2 cos(ω2t + β2)

(11)

Cele patru constante de integrare α1 , α2 , β1 , β2 , sunt determinate de conditiile initiale prinrezolvarea urmatorului sistem de ecuatii neliniare :

x01 = α1 cos β1 − α2 cos β2

x02 = α1 cos β1 + α2 cos β2

x01 = −α1ω1 sin β1 + α2ω2 sin β2

x02 = −α1ω1 sin β1 − α2ω2 sin β2

(12)


Solutia analitica a acestui sistem este :

α1 =1

2

√(x0

1 + x02)

2+

1

ω21

(x01 + x0

2)2

α2 =1

2

√(x0

1 − x02)

2+

1

ω22

(x01 − x0

2)2

;

β1 = arctg

(− 1

ω1

x01 + x0

2

x01 + x0

2

)

β2 = arctg

(− 1

ω2

x01 − x0

2

x01 − x0

2

) (13)

Se observa ca ıntotdeauna pot fi alese conditii initiale astfel ıncat sistemul sa efectueze oscilatiicu una din frecventele proprii ω1 sau ω2 . Astfel, daca :

x01 = x0

2 si x01 = x0

2 = 0 (14)

rezulta :α1 = x0

1 , α2 = 0 ; β1 = 0 , β2 = 0 ! (15)

deci :x1(t) = θ1(t) = x0

1 cos ω1t ; x2(t) = θ1(t) = x01 cos ω1t (16)

Pentru setul de conditii initiale :

x01 = − x0

2 si x01 = x0

2 = 0 (17)

rezulta :α1 = 0 , α2 = x0

2 ; β1 = 0 ! , β2 = 0 (18)

deci :x1(t) = − θ2(t) = −x0

2 cos ω2t ; x2(t) = θ2(t) = x02 cos ω2t (19)

In ambele situatii sistemul efectueaza oscilatii armonice simple si cele doua mase nu schimbaenergie ıntre ele ın cursul miscarii. Energia mecanica totala fiind constanta, energia castigata saupierduta va fi ınmagazinata ın resortul de cuplaj. Rezultate asemanatoare pot fi obtinute si pentruseturile de conditii initiale mai generale x0

1 = x02 6= 0 si x0

1 = x02 6= 0 , respectiv x0

1 = − x02 6= 0 si

x01 = − x0

2 6= 0 .Pentru orice alta alegere a conditiilor initiale, miscarile celor doua mase vor reprezenta niste

combinatii liniare ale oscilatiilor normale si ın cursul miscarii corpurile vor schimba energie ıntreele prin intermediul resortului de cuplaj avand constanta elastica k0 .

Daca frecventele ω1 si ω2 sunt comensurabile, atunci miscarea sistemului este periodica cu

perioada T =2π

ωc

, frecventele proprii fiind multipli frecventei fundamentale ωc .

12 Un pendul matematic de lungime l si masa m este suspendat de un corp de masa M .Acesta se poate deplasa fara frecare pe o suprafata orizontala si este legat de un perete verticalprin intermediul unui resort orizontal avand constanta elastica k si masa neglijabila. Sa se scrieecuatiile de miscare ale sistemului si sa se particularizeze rezultatele ın aproximatia micilor oscilatii.Sa se determine solutia si ın absenta resortului (k = 0).

Rezolvare : Alegand originea sistemului de referinta ın centrul de masa al corpului M candsistemul este ın echilibru si notand cu y alungirea la un moment dat a resortului, coordonatelepozitiei si vitezei pendului de masa m vor fi :

xm = l cos ϕ

ym = y + l sin ϕ,

xm = − lϕ sin ϕ

ym = y + lϕ cos ϕ(1)


Energia cinetica a sistemului va fi :

T =1

2My2 +

1

2m

(x2

m + y2m

)=

1

2(M + m) y2 +

1

2ml2ϕ2 + mlyϕ cos ϕ (2)

Energia potentiala se compune din energia elastica a resortului si energia potentiala a pendulului :

V =1

2ky2 + mg (l − xm) =

1

2ky2 + mgl (1− cos ϕ) (3)

Lagrangeeanul sistemului va avea expresia :

L = T − V =1

2(M + m) y2 +

1

2ml2ϕ2 + mlyϕ cos ϕ− 1

2ky2 −mgl (1− cos ϕ) (4)

iar ecuatiile exacte de miscare corespunzatoare coordonatelor y si ϕ vor avea forma :

(M + m) y + mlϕ cos ϕ−mlϕ2 sin ϕ + ky = 0

y cos ϕ + lϕ + g sin ϕ = 0(5)

In cazul micilor oscilatii se pot face aproximarile sin ϕ ' ϕ , cos ϕ ' 1 , 1− cos ϕ ' ϕ2

2si

lagrangeeanul devine :

L′ =1

2(M + m) y2 +

1

2ml2ϕ2 + mlyϕ− 1

2ky2 −mgl

ϕ2

2(6)

iar ecuatiile de miscare capata forma :

(M + m) y + mlϕ + ky = 0

y + lϕ + gϕ = 0(7)

Solutia generala a sistemului (7) poate fi exprimata folosind coordonatele normale care continfrecventele proprii ale sistemului. Cautand o solutie sub forma :

y(t) = C1 e iωt ; ϕ(t) = C2 e iωt (8)

prin ınlocuire ın (7) rezulta sistemul :

[(M + m) ω2 − k] C1 + mlω2 C2 = 0

ω2 C1 + (lω2 − g) C2 = 0(9)


care are solutie nebanala numai daca :∣∣∣∣∣

(M + m) ω2 − k mlω2

ω2 lω2 − g

∣∣∣∣∣ = 0 (10)

Se obtine astfel ecuatia caracteristica :

ω4 −[

k

M+

(1 +

m

M

)g

l

]ω2 +

k

M

g

l= 0 (11)

care furnizeaza valorile frecventelor proprii :

ω21,2 =

1

2

[k

M+

(1 +

m

M

)g

l

]∓

√√√√(

k

M

)2

+(1 +

m

M

)2 (g

l

)2

− 2(1− m

M

)k

M

g

l

(12)

Obsevand ca :

C1±1 =

g − lω21

ω21

C1±2 ; C2±

1 =g − lω2

2

ω22

C2±2 (13)

solutia generala a sistemului (7) se scrie sub forma unei suprapuneri de oscilatii armonice simple :

y(t) =g − lω2

1

ω21

θ1(t) +g − lω2

2

ω22

θ2(t)

ϕ(t) = θ1(t) + θ2(t)

(14)

unde θ1 si θ2 reprezinta coordonatele (modurile) normale :

θ1(t) = <C1+

2 e iω1t + C1−2 e−ω1t

= α1 cos (ω1t + β1)

θ2(t) = <C2+

2 e iω2t + C2−2 e−ω2t

= α2 cos (ω2t + β2)

(15)

Constantele de integrare α1 , α2 , β1 , β2 urmeaza sa fie determinate din conditiile initiale.In absenta resortului (k = 0), sistemul de ecuatii (7) se reduce la :

(M + m) y + mlϕ = 0

y + lϕ + gϕ = 0(16)

Din prima ecuatie rezulta :

y +m

M + mlϕ = 0 (17)

care prin integrare de doua ori furnizeaza expresia :

y +m

M + mlϕ = γ t + δ (18)

Pe de alta parte, ınlocuind (17) ın (16b) se obtine ecuatia pentru functia ϕ :

ϕ + ω2ϕ = 0 , ω =

√(1 +

m

M

)g

l(19)


care are solutia :ϕ(t) = α cos (ωt + β) (20)

Pentru miscarea corpului M se obtine ın final ecuatia :

y(t) = − m

M + mlα cos (ωt + β) + γ t + δ (21)

Daca la momentul initial t = 0 sistemul este scos din starea de echilibru ϕ = ϕ0 , y = ϕ = y = 0 ,

atunci α = ϕ0 , β = γ = 0 , δ =m

M + mlϕ0 si solutia problemei va fi :

y(t) =m

M + mlϕ0 (1− cos ωt)

ϕ(t) = ϕ0 cos ωt(22)

13 Un regulator centrifugal Watt consta din patru bare identice de lungime l si masa ne-

glijabila, articulate ın forma de romb, coltul O fiind fixat (v. figura). In colturile A si B suntplasate doua mase egale avand fiecare valoarea m1 , iar ın coltul C , care poate culisa liber peverticala, se gaseste masa m2 . Sa se studieze miscarea regulatorului, daca acesta se roteste cuviteza unghiulara ω = ϕ ın jurul verticalei.

Rezolvare : Examinand figura, rezulta ca sistemul are doua grade de libertate. Se aleg dreptcoordonate generalizate unghiul facut de bara OA (sau OB) cu verticala si unghiul ϕ facut deplanul OAC (sau OBC) cu un plan vertical de referinta. Vitezele punctelor A , B , C vor fi datede expresiile :

v2A = v2

B = (lθ)2 + (l sin θ·ϕ)2 = l2(θ2 + ϕ2 sin2 θ

)

v2C = 4l2θ2 sin2 θ

(1)

Energia cinetica a sistemului va fi astfel :

T = 2· 12

m1v2A +

1

2m2v

2C =

(m1 + 2m2 sin2 θ

)l2θ2 + m1l

2ϕ2 sin2 θ (2)

Energia potentiala a sistemului va avea expresia :

V = 2m1gz1 + m2gz2 = 2 (m1 + m2) lg (1− cos θ) (3)


iar lagrangeeanul problemei va fi :

L = T − V =(m1 + 2m2 sin2 θ

)l2θ2 + m1l

2ϕ2 sin2 θ − 2 (m1 + m2) lg (1− cos θ) (4)

Ecuatiile Lagrange pentru coordonatele θ si ϕ au expresiile :(m1 + 2m2 sin2 θ

)θ −

(m1ϕ

2 − 2m2θ2)

sin θ cos θ = − (m1 + m2)g

lsin θ

d

dt

(ϕ sin2 θ

)= 0

(5)

Sistemul (5) admite doua integrale prime. Una dintre ele rezulta direct din ecuatia (5b) sireprezinta teorema ariilor :

ϕ sin2 θ = C (6)

unde C = ϕ0 sin2 θ0 . Cea de a doua va fi integrala energiei deoarece sistemul este conservativ :

(m1 + 2m2 sin2 θ) l2θ2 + m1l2ϕ2 sin2 θ + 2 (m1 + m2) lg (1− cos θ) = h (7)

valoarea lui h fiind de asemenea determinata de conditiile initiale. Eliminand pe ϕ din ecuatiile(6) si (7) rezulta :

θ2 =[ h− 2 (m1 + m2) lg + 2 (m1 + m2) lg cos θ ] sin2 θ −m1l

2C2

(m1 + 2m2 sin2 θ) l2 sin2 θ(8)

Trecand la functia :

u = cos θ ; 0 ≤ θ ≤ π

2, 0 ≤ u ≤ 1 (9)


u2 =P (u)

[m1 + 2m2 (1− u2)] l2(10)


P (u) = (α + βu) (1− u2)− γ2 ;

α = h− 2 (m1 + m2) lg

β = 2 (m1 + m2) lg

γ2 = m1l2C2

(11)

Se observa ca solutii de interes fizic exista doar pentru P (u) ≥ 0 . Deoarece P (−∞) > 0 siP (±1) < 0 , polinomul va avea ıntotdeauna un zero −∞ < u3 < −1 , caruia nu ıi corespunde ovaloare reala pentru θ .

In functie de conditiile initiale pot fi ıntalnite mai multe situatii :a) θ0 6= 0 deci P (u0) > 0 . In functie de valoarea lui P (0) exista doua posibilitati :

2.5. APLICATII 95

Pentru P (0) ≤ 0 rezulta u2 ≤ u ≤ u1 , deci θ1 ≤ θ ≤ θ2 si variatia lui θ va fi periodica (daca

P (0) = 0 atunci θ2 =π

2). Pentru P (0) > 0 exista un singur zero care prezinta interes fizic :

daca θ0 < 0 la ınceput θ scade de la θ0 la θ1 si apoi creste laπ

2, iar daca θ0 > 0 atunci θ variaza

monoton de la θ0 laπ

2, ın continuare sistemul mentinandu-se ın aceasta situatie limita.

b) θ0 = 0 deci P (u0) = 0 , valoarea u0 fiind un zero al polinomului P (u) . Exista treiposibilitati :

Daca u0 este un zero dublu, atunci ın tot cursul miscarii θ = θ0 . Daca P (0) ≤ 0 atunci pentruu0 = u2 rezulta u0 ≤ u ≤ u1 si deci θ1 ≤ θ ≤ θ0 , iar pentru u0 = u1 rezulta u2 ≤ u ≤ u0 sideci θ0 ≤ θ ≤ θ2 . In ambele cazuri θ variaza periodic, pentru P (0) = 0 limita superioara fiindπ

2. Daca P (0) > 0 atunci θ creste monoton de la θ0 la

π

2, sistemul ramanand ın continuare ın

aceasta situatie limita.

2.5 Aplicatii

Conditii de satelitizare si aterizare

1 Sa se determine conditiile la care trebuie sa satisfaca parametrii de intrare pe orbita, pentruca un corp sa devina un satelit artificial al Pamantului. Se cunoaste raza medie R a Pamantuluisi acceleratia gravitationala g la suprafata sa.

Rezolvare : Presupunand ca Pamantul este un corp omogen cu o forma perfect sferica, sepoate considera ın buna aproximatie ca masa sa M este concentrata ıntr-un punct aflat ın centrulPamantului. Conform teoremei centrului de masa, satelitul poate fi asimilat cu un punct materialde masa m .


Din legea atractiei universale rezulta ca pentru orice corp situat pe suprafata Pamantului sepoate scrie :

F = − k

R2= − fmM

R2= −mg (1)

deci constanta k ce figureaza ın expresia de mai sus a fortei are valoarea :

k = mgR2 (2)

Deoarece M À m , masa redusa µ a sistemului Pamant-Satelit coincide practic cu masa m asatelitului, iar centrul de masa al sistemului coincide cu centrul Pamantului. Ecuatia lui Binet,care reprezinta ecuatia diferentiala a traiectoriei, va avea ın acest caz expresia :

d2

dθ2

(1

r

)+

1

r=

m2gR2

L0 2 (3)

si va avea solutia generala :

r =p

1 + e cos (θ − θ1)unde p =

L0 2

m2gR2(4)

Centrul Pamantului, care reprezinta originea sistemului de coordonate, va fi situat ın unul dinfocarele conicii (4).

Notand cu r0 , θ0 coordonatele polare ale punctului de intrare P0 pe orbita, cu v0 vitezacorpului ın momentul respectiv si cu α unghiul facut de aceasta viteza cu raza polara, rezulta :

L0 = mr20θ0 = mr0v0 sin α , p =

r20v

20 sin2 α

gR2(5)

Pentru excentricitatea elipsei se va obtine expresia :

e2 = 1 + 2p

r0

(p

2r0 sin2 α− 1

)= 1 + 2

r0v20 sin2 α

gR2

(r0v

20

2gR2− 1

)(6)

Din conditia ca traiectoria sa fie o elipsa (e < 1) rezulta limita superioara a vitezei v0 :

v20 <

2gR2

r0

(7)

Viteza v0 va trebui sa aiba si o limita inferioara, deoarece distanta minima de apropiere fata decentrul de forte trebuie sa fie mai mare ca raza R a Pamantului :

rmin =p

1 + e> R (8)

Rescriind conditia (8) sub forma : (p

R− 1

)2

> e2 (9)

si tinand cont de (6) va rezulta :

pr20 sin2 α−R2

r0 sin α> 2R (r0 −R) (10)

2.5. APLICATII 97

Deoarece r0 > R , pentru ca inegalitatea (10) sa poata fi satisfacuta, va trebui ıntotdeauna ca :

r20 sin2 α−R2 > 0 (11)

Folosind (5b), din (10) rezulta limita inferioara a lui v0 :

v20 >

2gR2

r0

R (r0 −R)

r20 sin2 α−R2

(12)

De obicei conditiile (7) si (12) se grupeaza ın sirul de inegalitati :

2gR2

r0

R (r0 −R)

r20 sin2 α−R2

< v20 <

2gR2

r0

(13)

Daca intrarea pe orbita se face sub unghiul α =π

2(la apogeu sau la perigeu), conditia (11) este

ıntotdeauna ındeplinita, iar conditiile (13) devin :

2gR2

r0

R

r0 + R< v2

0 <2gR2

r0

(14)

Daca lansarea ar avea loc aproximativ de la suprafata Pamantului (r0 ≈ R), rezulta :

gR < v20 < 2gR (15)

Pentru valorile numerice g = 9, 8m

ssi R = 6370 km , rezulta

√gR ≈ 7, 9

km

s(prima viteza

cosmica) si√

2gR ≈ 11, 17km

s(cea de a doua viteza cosmica). Orice corp lansat de pe

suprafata Pamantului perpendicular pe raza vectoare, cu o viteza cuprinsa ıntre cele doua vitezecosmice, devine un satelit al Pamantului 5.

2 Un satelit artificial al Pamantului are apogeul orbitei la distanta 10 R de centrul Pamantuluisi viteza la apogeu 0, 2

√gR . Sa se determine elementele orbitei satelitului. Pana la ce valoare

trebuie redusa viteza satelitului aflat la perigeu, asa ıncat el sa revina pe Pamant pe o traiectorieeliptica ıntr-un punct opus perigeului? Se neglijeaza rezistenta atmosferei.

Rezolvare : Parametrul orbitei eliptice initiale are valoarea :

p =L0 2

m2gR2=

r20v

20

gR2= 4 R (1)

5 Pentru a se evita frecarea cu atmosfera, intrarea pe orbita se face de obicei la limita superioara a atmosferei.In acest caz valorile numerice caracteristice vor fi putin modificate, ınsa principial problema ramane aceeasi.Vitezele cosmice se realizeaza cu ajutorul rachetelor, lansarea facandu-se pe verticala pana la limita superioaraa atmosferei de unde se dirijeaza intrarea pe traiectorie. Daca viteza imprimata de racheta este cuprinsa ıntrecele doua viteze cosmice evaluate pentru acel loc si pentru unghiul de intrare pe traiectorie ales, corpul se inscriepe o orbita ın jurul Pamantului. Daca nu sunt ındeplinite aceste conditii, corpul fie ısi continua miscarea pe otraiectorie balistica si revine pe Pamant, fie paraseste sfera de atractie a Pamantului pe o traiectorie parabolicasau hiperbolica. Rezultatele prezentate au totusi doar o valoare orientativa, deoarece nu s-au luat ın considerare oserie de factori ca : frecarea cu atmosfera, miscarea de rotatie si cea de revolutie a Pamantului, faptul ca Pamantulnu este nici omogen, nici perfect sferic, influentele celorlalte corpuri din sistemul solar, etc.


iar excentricitatea se poate calcula cu formula :

e2 = 1− 2r0v

20

gR2

(1− r0v

20

2gR2

)= 0, 36 , e = 0, 6 (2)

Acelasi rezultat se putea obtine si direct observand ca r0 =p

1− e. Perigeul orbitei satelitului si

viteza lui la perigeu au expresiile :

r1 =p

1 + e= 2, 5 R , v1 =

r0v0

r1

= 0, 8√

gR (3)

Valorile celor doua semiaxe vor fi :

a =1

2(r0 + r1) = 6, 25 R , b = a

√1− e2 = 0, 8 a = 5 R (4)

iar perioada de parcurgere a orbitei va fi data de expresia :

T =2πab

r0v0

=2πab

r1v1

=πab

R√

gR= 31, 25 π

√R

g(5)

Pentru orbita eliptica de coborare, punctul P1 va reprezenta apogeul, iar punctul P2 (r2 = R)va reprezenta perigeul. Semiaxa mare a acestei elipse va fi :

a′ =1

2(r1 + R) (6)

Pe de alta parte se stie ca :

a′ =p′

1− e′2 =

r1

2

1− r1v

′ 21

2gR2

(7)

Egaland cele doua expresii, rezulta :

v′2

1 = 2gR2(

1

r1

− 1

r1 + R

)=

8

35gR deci v′1 ≈ 0, 478

√gR (8)

2.5. APLICATII 99

Pendule cuplate - mici oscilatii

3 Doua pendule matematice avand aceeasi masa m si aceeasi lungime l , sunt cuplate prinintermediul unui resort cu constanta elastica k a carui lungime ın stare nedeformata este egala cudistanta dintre punctele de suspensie ale pendulelor. Sa se determine miscarea sistemului ın planvertical ın aproximatia micilor oscilatii si sa se gaseasca conditiile initiale pentru care sistemulefectueaza oscilatii armonice simple.

Rezolvare : Sistemul este cu doua grade de libertate. Alegand drept coordonate independenteabaterile unghiulare ale pendulelor fata de verticala, energia cinetica are expresia :

T =1

2ml2

(ϕ2

1 + ϕ22

)(1)

Energia potentiala se compune din energia potentiala ın camp gravitational :

Vg = mgl (1− cos ϕ1) + mgl (1− cos ϕ2) ' 1

2mgl

(ϕ2

1 + ϕ22

)(2)

si energia potentiala de deformare elastica a resortului :

Ve =1

2kl2 (sin ϕ2 − sin ϕ1)

2 ' 1

2kl2 (ϕ2 − ϕ1)

2 (3)

Coordonatele fortei generalizate vor fi :

Q1 = − ∂V

∂ϕ1

= −mglϕ1 + kl2 (ϕ2 − ϕ1)

Q2 = − ∂V

∂ϕ2

= −mglϕ2 − kl2 (ϕ2 − ϕ1)

(4)

iar ecuatiile Lagrange de speta a doua au expresiile :

mlϕ1 + (mg + kl) ϕ1 − klϕ2 = 0

mlϕ2 − klϕ1 + (mg + kl) ϕ2 = 0(5)

Se cauta o solutie de forma :

ϕ1(t) = C1 e iωt , ϕ2(t) = C2 e iωt (6)


care ınlocuita ın (5) conduce la ecuatiile :

(mg + kl −mlω2) C1 − kl C2 = 0

− kl C1 + (mg + kl −mlω2) C2 = 0(7)

Ecuatia caracteristica pentru determinarea frecventelor proprii va fi astfel :

mg + kl −mlω2 = ± kl (8)

care are radacinile :

ω21 = ω2

0 , ω22 = ω2

0 +2k

munde ω2

0 =g

l(9)

Observand ca C1±1 = C1±

2 si C2±1 = −C2±

2 , solutia generala a sistemului (7) poate fi scrisa subforma :

ϕ1(t) = θ1(t)− θ2(t) , ϕ1(t) = θ1(t) + θ2(t) (10)

unde coordonatele normale au expresiile :

θ1(t) = <C1+


= α1 cos(ω1t + β1)

θ2(t) = <C2+


= α2 cos(ω2t + β2)

(11)

Constantele α1 , α2 , β1 , β2 , sunt determinate de conditiile initiale :

α1 =1

2

√(ϕ0

1 + ϕ02)

2+

1

ω21

(ϕ01 + ϕ0

2)2

α2 =1

2

√(ϕ0

1 − ϕ02)

2+

1

ω22

(ϕ01 − ϕ0

2)2

;

β1 = arctg

(− 1

ω1

ϕ01 + ϕ0

2

ϕ01 + ϕ0

2

)

β2 = arctg

(− 1

ω2

ϕ01 − ϕ0

2

ϕ01 − ϕ0

2

) (12)

Sistemul va efectua oscilatii armonice simple cu frecventa ω1 daca ϕ01 = ϕ0

2 si ϕ01 = ϕ0

2 ,ecuatiile de miscare fiind :

ϕ1(t) = ϕ2(t) =

√ϕ02

1 +1

ω21

ϕ0 21 cos (ω1t + β1) , β1 = arctg

(− 1

ω1

ϕ01

ϕ01

)(13)

Cele doua pendule oscileaza cu aceeasi amplitudine si se gasesc tot timpul ın aceeasi faza. Resortulde cuplaj ramane relaxat si pendulele nu au nici o influenta unul asupra celuilalt.

Sistemul va efectua oscilatii armonice simple cu frecventa ω2 daca ϕ01 = −ϕ0

2 si ϕ01 = − ϕ0

2 ,ecuatiile de miscare fiind :

ϕ1(t) = −ϕ2(t) = −√

ϕ021 +

1

ω22

ϕ0 21 cos (ω2t + β2) , β2 = arctg

(− 1

ω2

ϕ01

ϕ01

)(14)

Cele doua pendule oscileaza cu aceeasi amplitudine, ınsa se gasesc tot timpul ın faze opuse.Energia castigata sau pierduta de fiecare dintre pendule ın cursul miscarii este ınmagazinatasub forma de energie elastica ın resortul de cuplaj, care sufera alungiri si contractii succesive cufrecventa ω2 > ω1 .

2.5. APLICATII 101

In coordonate normale, energia cinetica si cea potentiala au expresiile :

T = ml2(θ21 + θ2

2

), V = mgl θ2

1 +(mgl + 2kl2

)θ22 (15)

iar ecuatiile Lagrange corespunzatoare vor fi :

θ1 + ω21 θ1 = 0

θ2 + ω22 θ2 = 0

(16)

unde ω21 si ω2

2 au valorile (9).

4 Sa se studieze micile oscilatii ale pendulelor cuplate ıntr-un mediu care opune o rezistntala miscare proportionala cu viteza.

Rezolvare : La cele doua ecuatii de miscare deduse ın problema anterioara va mai trebuiadaugat ın membrul drept cate un termen care corespunde fortelor obtinute din functia disipativaa lui Rayleigh, care ın cazul sistemului considerat are expresia :

D =1

2k′l2

(ϕ2

1 + ϕ22

), k′ > 0 (1)

Cele doua coordonate ale fortei generalizate disipative vor fi :

Q∗ d1 = − ∂D

∂ϕ1

= − k′l2ϕ1 ; Q∗ d2 = − ∂D

∂ϕ2

= − k′l2ϕ2 (2)

Ecuatiile de miscare vor avea forma :

mlϕ1 + k′lϕ1 + (mg + kl) ϕ1 − klϕ2 = 0

mlϕ2 + k′lϕ2 − klϕ1 + (mg + kl) ϕ2 = 0(3)

Se cauta o solutie de forma :

ϕ1(t) = C1 eλt , ϕ2(t) = C2 eλt (4)

Prin ınlocuire ın (3) rezulta ecuatiile pentru determinarea coeficientilor C1 si C2 :

(mlλ2 + k′lλ + mg + kl) C1 − kl C2 = 0

− kl C1 + (mlλ2 + k′lλ + mg + kl) C2 = 0(5)

Se obtine ecuatia caracteristica :

mlλ2 + k′lλ + mg + kl = ± kl (6)


care are radacinile :λ±1 = −µ± iω1 ; λ±2 = −µ± iω2 (7)


ω1 =√

ω20 − µ2 , ω2 =

√ω2

0 +2k

m− µ2 si ω2

0 =g

l, µ =

k′

2m(8)

Observand ca C1±1 = C1±

2 si C2±1 = −C2±

2 , solutia generala a sistemului (3) poate fi scrisaıntotdeauna sub forma :

ϕ1(t) = θ1(t)− θ2(t) , ϕ1(t) = θ1(t) + θ2(t) (9)

unde coordonatele normale au expresiile :

θ1(t) =

e−µt α1 cos (ω1t + β1) ; µ2 < ω20

γ+1 e−µ+

1 t + γ−1 e−µ−1 t ; µ2 > ω20 , µ±1 = µ±

√µ2 − ω2

0

(10)

respectiv :

θ2(t) =

e−µt α2 cos (ω2t + β2) ; µ2 < ω20 +

2k

m

γ+2 e−µ+

2 t + γ−2 e−µ−2 t ; µ2 > ω20 +

2k

m, µ±2 = µ±

√µ2 − ω2

0 −2k

m

(11)

Se observa ca daca rezistenta mediului este suficient de mica µ2 < ω20 , atunci ambele

functii θ1 si θ2 descriu oscilatii armonice amortizate ; daca rezistenta mediului creste, ınsa

ω20 < µ2 < ω2

0 +2k

m, functia θ1 devine aperiodica, ınsa functia θ2 descrie ın continuare o oscilatie

armonica amortizata ; daca ınsa rezistenta mediului depaseste o anumita valoare µ2 > ω20 +

2k

m,

atunci ambele functii θ1 si θ2 descriu miscari aperiodice.In coordonatele θ1 si θ2 , functiile T , V si D au expresiile :

T = ml2(θ21 + θ2

2

), V = mgl θ2

1 +(mgl + 2kl2

)θ22 , D = k′l2

(θ21 + θ2

2

)(12)

iar ecuatiile Lagrange corespunzatoare vor fi :

θ1 + 2µ θ1 + ω20 θ1 = 0

θ2 + 2µ θ2 +

(ω2

0 +2k

m

)θ2 = 0

unde ω20 =

g

l, µ =

k′

2m(13)

5 Se considera sistemul de pendule m1 6= m2 , l1 = l2 = l , cuplate prin intermediul unuiresort k a carui lungime ın stare nedeformata este egala cu distanta dintre punctele de suspensiesi care poate efectua mici oscilatii ın plan vertical. Asupra primului pendul actioneaza o fortaperiodica suplimentara orizontala de pulsatie ωe si amplitudine Qe . Neglijand rezistenta mediului,sa se determine conditiile ın care oscilatiile primului pendul au o amplitudine foarte mica, daca lamomentul initial sistemul se gaseste ın echilibru si ın repaus.

2.5. APLICATII 103

Rezolvare : Energia cinetica a sistemului are expresia :

T =1

2m1ϕ

21 +

1

2m2ϕ

22 (1)

iar energia potentiala (ın aproximatia micilor oscilatii) :

V =1

2m1gl ϕ2

1 +1

2m2gl ϕ2

2 +1

2kl2 (ϕ2 − ϕ1)

2 (2)

Coordonatele fortei generalizate suplimentare se calculeaza cu formulele :

Qe1 = Qe cos ωet

∂y1

∂ϕ1

= Qel cos ωet cos ϕ1 ' Qel cos ωet

Qe1 = Qe cos ωet

∂y1

∂ϕ2

= 0(3)

Ecuatiile Lagrange de speta a doua care descriu miscarea sistemului vor fi :

m1lϕ1 + (m1g + kl) ϕ1 − klϕ2 = Qe cos ωet

m2lϕ2 − klϕ1 + (m2g + kl) ϕ2 = 0(4)

Solutia generala va fi o suma dintre solutia generala a sistemului omogen si o solutie particularaa sistemului neomogen. Solutia sistemului omogen este cautata sub forma :

ϕ′1(t) = C1 e iωt , ϕ′2(t) = C2 e iωt (5)

care ınlocuita ın (4) conduce la ecuatiile pentru determinarea constantelor C1 si C2 :

(m1g + kl −m1lω2) C1 − kl C2 = 0

− kl C1 + (m2g + kl −m2lω2) C2 = 0

(6)

Ecuatia caracteristica :

ω4 −(

2ω20 +

k

m

)ω2 + ω2

0

(ω2

0 +k

m

)= 0 (7)


ω20 =

g

l,

1

m=

1

m1

+1

m2

(8)


are radacinile :

ω21 = ω2

0 , ω22 = ω2

0 +k

m(9)

Observand ca :C1±

1 = C1±2 , C2±

1 = − m2

m1

C2±2 (10)

solutia generala a sistemului omogen va avea forma :

ϕ′1(t) = θ1(t)− m2

m1

θ2(t) , ϕ′1(t) = θ1(t) + θ2(t) (11)

unde :θ1(t) = α1 cos(ω1t + β1) , θ2(t) = α2 cos(ω2t + β2) (12)

Cautand o solutie particulara a sistemului neomogen (4) sub forma :

ϕ′′1(t) = Be1 cos ωet , ϕ′′2(t) = Be

2 cos ωet (13)

rezulta sistemul algebric :

(m1g + kl −m1lω2e) Be

1 − kl Be2 = Qe

− kl Be1 + (m2g + kl −m2lω

2e) Be

2 = 0(14)

care se rezolva folosind regula lui Cramer :

Be1 =

Qe

m1l

k

m2

−(ω2

e − ω20

)

(ω2

1 − ω2e

) (ω2

2 − ω2e

) , Be2 =

Qe

m1m2l

k(ω2

1 − ω2e

) (ω2

2 − ω2e

) (15)

Solutia generala va fi o suprapunere a solutiilor (11) si (13) :

ϕ1(t) = α1 cos(ω1t + β1)− m2

m1

α2 cos(ω2t + β2) + Be1 cos ωet

ϕ2(t) = α1 cos(ω1t + β1) + α2 cos(ω2t + β2) + Be2 cos ωet

(16)

Impunand conditiile initiale ϕ01 = ϕ0

2 = ϕ01 = ϕ0

2 = 0 rezulta :

ϕ1(t) = α1 cos ω1t− m2

m1

α2 cos ω2t + Be1 cos ωet

ϕ2(t) = α1 cos ω1t + α2 cos ω2t + Be2 cos ωet

(17)

unde :

α1 = − 1

1 +m2

m1

(Be

1 +m2

m1

Be2

), α2 =

1

1 +m2

m1

(Be1 −Be

2) (18)

Se observa ca daca sunt ındeplinite simultan conditiile :

m1 À m2 ;k

m2

≈ ω2e − ω2

0 , ωe > ω0 =

√g

l(19)

atunci solutia (17) devine :ϕ1(t) ≈ 0

ϕ2(t) ≈ Be2 (cos ωet− cos ω2t)

(20)

Amplitudinea oscilatiilor primului pendul este neglijabila deoarece ın conditiile (19) actiunea forteisuplimentare este compensata de reactia resortului si de cea a celui de al doilea pendul.

Capitolul 3

Mecanica hamiltoniana

3.1 Ecuatiile lui Hamilton. Paranteze Poisson

1 Sa se scrie ecuatiile lui Hamilton ın coordonate carteziene si sferice pentru punctul materialliber care se misca ıntr-un camp de forte potentiale stationare.

Rezolvare : a) In coordonate carteziene q1 = x , q2 = y , q3 = z , lagrangeeanul are expresia :

L =1

2

(x2 + y2 + z2

)− V (x, y, z) (1)

Din expresiile impulsurilor generalizate :

px =∂L

∂x= mx , py =

∂L

∂y= my , pz =

∂L

∂z= mz (2)

rezulta :x =

px

m, y =

py

m, z =

pz

m(3)

Aplicand definitia, hamiltonianul problemei va fi :

H = px

_x +py

_y +pz

_z − _

L=1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)+ V (x, y, z) (4)

Acelasi rezultat se putea obtine si direct, deoarece :

H =_T2 +V =

1

2m

(_x2 +

_y2 +

_z2

)+ V =

1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)+ V (x, y, z) (5)

Ecuatiile lui Hamilton vor fi :

x =px

m, y =

py

m, z =

pz

m

px = − ∂V

∂x, py = − ∂V

∂y, pz = − ∂V

∂z

(6)

Se observa ca prin eliminarea din ecuatiile (6) a impulsurilor generalizate, se obtin ecuatiile luiNewton ın coodonate carteziene :

mx = − ∂V

∂x, my = − ∂V

∂y, mz = − ∂V

∂z(7)

105

106 CAPITOLUL 3. MECANICA HAMILTONIANA

b) In coordonate sferice q1 = r , q2 = θ , q3 = ϕ , lagrangeeanul are expresia :

L =1

2m

(r2 + r2θ2 + r2 sin2 θ ϕ2

)− V (r, θϕ) (8)

Impulsurile generalizate vor fi :

pr =∂L

∂r= mr , pθ =

∂L

∂θ= mr2θ , pϕ =

∂L

∂ϕ= mr2 sin2 θ ϕ (9)

Hamiltonianul va avea expresia :

H = pr

_r +pθ

_θ +pϕ

_ϕ − _

L=1

2m

[p2

r +1

r2

(p2

θ +p2

ϕ

sin2 θ

)]+ V (r, θ, ϕ) (10)

Rezultatul putea fi obtinut si direct folosind proprietatea H =_T2 +V . Ecuatiile lui Hamilton vor

fi astfel :

r =pr

m, θ =

pθ

mr2, ϕ =

pϕ

mr2 sin2 θ

pr =1

mr3

(p2

θ +p2

ϕ

sin2 θ

)− ∂V

∂r, pθ =

cos θ

mr2 sin3 θp2

ϕ −∂V

∂θ, pϕ = − ∂V

∂ϕ

(11)

2 Sa se deduca ecuatia diferentiala a traiectoriei ın coordonate polare pentru o particulacare se misca ıntr-un camp cu simetrie centrala. Vor fi utilizate ecuatiile lui Hamilton, respectivecuatiile lui Routh.

Rezolvare : Lagrangeeanul problemei ın coordonate polare va avea expresia :

L =1

2m

(r2 + r2θ2

)− V (r) (1)

iar impulsurile generalizate vor fi :

pr =∂L

∂r= mr , pθ =

∂L

∂θ= mr2θ (2)

a) Functia lui Hamilton H(r, θ, pr, pθ) va avea expresia :

H =1

2m

(_r2 +r2

_θ2

)+ V (r) =

1

2m

(p2

r +p2

θ

r2

)+ V (r) (3)

iar ecuatiile lui Hamilton vor fi :

r =∂H

∂pr

=pr

m, θ =

∂H

∂pθ

=pθ

mr2(4)

respectiv :

pr = − ∂H

∂r=

p2θ

mr3− dV

dr, pθ = − ∂H

∂θ= 0 (5)

3.1. ECUATIILE LUI HAMILTON. PARANTEZE POISSON 107

Din ecuatia (5b) rezulta evident (coordonata θ este ciclica) :

pθ = const. = L0 (6)

Folosind (4a) din ecuatia (5a) rezulta :

mr − L0 2

mr3+

dV

dr= 0 (7)

Pentru a obtine ecuatia diferentiala a traiectoriei se trece de la variabila t la variabila θ folosind(4b) si (6) :

r =dr

dt= θ

dr

dθ=

L0

mr2

dr

dθ= − L0

m

d

dθ

(1

r

)

r =d

dt

(dr

dt

)= θ

d

dθ

[− L0

m

d

dθ

(1

r

)]= − L02

m2r2

d2

dθ2

(1

r

) (8)

Introducand acest rezultat ın ecuatia (7) rezulta ecuatia lui Binet :

d2

dθ2

(1

r

)+

1

r=

mr2

L0 2

dV

dr(9)

b) Coordonata θ fiind ciclica, functia Routh va avea expresia :

R = pθ

_θ − _

L= pθ

_θ −1

2m

(r2 + r2

_θ2

)+ V (r) (10)

Utilizand (2b) se va obtine ın final :

R = − 1

2mr2 +

1

2mr2p2

θ + V (r) (11)

Ecuatia de miscare corespunzatoare coordonatei radiale va fi de forma unei ecuatii Lagranged

dt

(∂R

∂r

)− ∂R

∂r= 0 :

mr − p2θ

mr3+

dV

dr= 0 (12)

Coordonatei θ ıi vor corespunde niste ecuatii de tipul ecuatiilor lui Hamilton :

θ =∂R

∂pθ

=pθ

mr2, pθ = − ∂R

∂θ= 0 (13)

Deoarece din (13b) rezulta pθ = L0 , din (13a) si (12) rezulta ecuatia lui Binet (9).

3 Folosind formalismul hamiltonian, sa se deduca ecuatiile de miscare ale unei particule

nerelativiste cu sarcina e si masa m , care se misca ın campul electromagnetic ~E , ~B . Forta careactioneaza asupra particulei deriva din potentialul generalizat Π = e φ− e

(~v · ~A

).

Rezolvare : Folosind notatiile cunoscute si alegand coodonatele carteziene drept coodonategeneralizate, se va putea scrie :

Π = Π1 + V = − e3∑

k=1

Akxk + e φ (1)


si deci lagrangeeanul va avea expresia :

L = T − Π =1

2m

3∑

k=1

x2k + e

3∑

k=1

Akxk − e φ (2)

Folosind definitia pentru impulsurile generalizate rezulta :

pk =∂L

∂xk

= mxk + eAk ; k = 1, 2, 3 (3)

de unde se deduce ca :

xk =1

m(pk − eAk) ; k = 1, 2, 3 (4)

Hamiltonianul va avea expresia :

H =3∑

k=1

pk

_xk −

_L =

=1

m

3∑

k=1

pk (pk − eAk)− 1

2m

3∑

k=1

(pk − eAk)2 − 1

m

3∑

k=1

eAk (pk − eAk) + e φ =

=1

2m

3∑

k=1

(pk − eAk)2 + e φ

(5)

sau ın notatie vectoriala :

H =1

2m

(~p− e ~A

)2+ e φ (6)

La acelasi rezultat se putea ajunge direct folosind (4), precum si proprietatea H =_T2 +V .

Ecuatiile Hamilton vor avea forma :

xk =∂H

∂pk

=1

m(pk − eAk)

pk = − ∂H

∂xk

=e

m

3∑

j=1

(pj − eAj)∂Aj

∂xk

− e∂φ

∂xk

; k = 1, 2, 3 (7)

Folosind ecuatiile (7a), din ecuatiile (7b) rezulta :

mxk + edAk

dt= e

3∑

j=1

∂Aj

∂xk

xj − e∂φ

∂xk

; k = 1, 2, 3 (8)

DeoarecedAk

dt=

∂Ak

∂t+

3∑

j=1

∂Ak

∂xj

xj ; k = 1, 2, 3 (9)

rezulta ın final :

mxk = − e∂φ

∂xk

− e∂Ak

∂t+ e

3∑

j=1

(∂Aj

∂xk

− ∂Ak

∂xj

)xj ; k = 1, 2, 3 (10)


sau ın notatii vectoriale :

m~r = − e grad φ− e∂ ~A

∂t+ e

(~v × rot ~A

)(11)

Tinand cont de definitiile :

~E = − grad φ− ∂ ~A

∂t, ~B = rot ~A (12)

se obtine pentru ecuatia de miscare expresia binecunoscuta :

m~r = e(~E + ~v × ~B

)(13)

4 Un pendul matematic de masa m a carui lungime variaza ın timp dupa legea liniaral = l0 (1 + kt) , unde l0 si k sunt niste constante, efectueaza oscilatii ın plan vertical. Cu-noscand acceleratia gravitationala g , se cere sa se deduca ecuatia de miscare a pendulului si sase particularizeze rezultatul pentru cazul micilor oscilatii.

Rezolvare : Alegand drept coodonata generalizata unghiul θ facut la un moment dat de firulde suspensie cu verticala, rezulta :

x = l cos θ = l0 (1 + kt) cos θ

y = l sin θ = l0 (1 + kt) sin θ(1)

iar prin derivare :x = l0k cos θ − l0 (1 + kt) θ sin θ

y = l0k sin θ + l0 (1 + kt) θ cos θ(2)

Energia cinetica va avea astfel expresia :

T =1

2m

(x2 + y2

)=

1

2ml20

[k2 + (1 + kt)2 θ2

](3)

Rezultatul se putea obtine direct folosind coordonatele polare, pentru care T =1

2m

(l2 + l2θ2

).

Deoarece energia potentiala este :

V = −mgx = −mgl0 (1 + kt) cos θ (4)


pentru lagrangeeanul problemei se obtine expresia :

L = T − V =1

2ml20

[k2 + (1 + kt)2 θ2

]+ mgl0 (1 + kt) cos θ (5)

Deoarece impulsul generalizat asociat coordonatei θ este :

pθ =∂L

∂θ= ml20 (1 + kt)2 θ (6)

hamiltonianul problemei va fi :

H =_T2 −T0 + V =

1

2ml20 (1 + kt)2

_θ2 − 1

2ml20k

2 −mgl0 (1 + kt) cos θ (7)

adica :

H =p2

θ

2ml20 (1 + kt)2 −1

2ml20k

2 −mgl0 (1 + kt) cos θ (8)

Eliminand pe pθ din ecuatiile lui Hamilton :

θ =∂H

∂pθ

=pθ

ml20 (1 + kt)2 , pθ = − ∂H

∂θ= −mgl0 (1 + kt) sin θ (9)

rezulta ecuatia de miscare pentru pendulul de lungime variabila :

(1 + kt) θ + 2kθ +g

l0sin θ = 0 (10)

In aproximatia micilor oscilatii (sin θ ' θ) ecuatia (10) devine :

(1 + kt) θ + 2kθ +g

l0θ = 0 (11)

5 Un disc omogen de masa M si raza R este prevazut cu un ax central de masa neglijabilaa carui extremitate este fixata ıntr-o articulatie situata ın plan orizontal. Sa se studieze miscareade rostogolire fara alunecare a discului pe planul orizontal. Unghiul facut de planul discului cuplanul orizontal este α .

Rezolvare : Sistemul de referinta mobil se alege astfel ıncat axa Oz sa coincida cu axulcentral al discului. Conform enuntului, unghiul de nutatie este constant si egal cu :

θ = π − α (1)

Componentele vectorului rotatie ın cele doua sisteme de referinta, fix si mobil, vor fi :

ωx1= ϕ sin ψ sin α

ωy1= − ϕ cos ψ sin α

ωx1= − ϕ cos α + ψ

,

ωx = ψ sin ϕ sin α

ωy = ψ cos ϕ sin α

ωx = − ψ cos α + ϕ

(2)


Deoarece discul se rostogoleste fara sa alunece, din conditia de anulare a vitezei absolute apunctului de contact P rezulta relatia de legatura (se poate citi direct din figura) :

ψ = ϕ cos α (3)

Energia cinetica va fi :

T =1

2Mv2

O +1

2~ω (τ~ω) =

1

2Mv2

O +1

2

[A

(ω2

x + ω2y

)+ Cω2

z

](4)

unde :

vO = ψR tg α·sin α = ψRsin2 α

cos α; A = B =

1

2I , C = I =

1

2MR2 (5)

Facand ınlocuirile si tinand cont ca :

ωz = ψ(

1

cos α− cos α

)= ψ

sin2 α

cos α(6)

rezulta ın final :

T =1

8MR2 sin2 α

(1 + 6 tg2α

)ψ2 (7)

Energia potentiala a discului este constanta :

V = MgzO = MgR sin α (8)

Deoarece impulsul generalizat este :

pψ =∂T

∂ψ=

1

4MR2 sin2 α

(1 + 6 tg2α

)ψ (9)

hamiltonianul sistemului va avea expresia :

H =_T +V =

2 p2ψ

MR2 sin2 α(1 + 6 tg2α

) + MgR sin α (10)


Ecuatiile lui Hamilton vor fi :

ψ =∂H

∂pψ

=4 pψ


) , pψ = − ∂H

∂ψ= 0 (11)

Cea de a doua ecuatie exprima faptul ca coordonata generalizata ψ este ciclica si astfel impulsulgeneralizat asociat ei, care reprezinta proiectia momentului cinetic pe axa O1z1 este o constantaa miscarii :

pψ = p0ψ (12)

Din prima ecuatie (11) rezulta solutia cautata :

ψ(t) = ψ0 +4 p0

ψ t


) (13)

Parantezele Poisson

6 Sa se calculeze parantezele Poisson pentru componentele carteziene ale momentului cinetic~L = ~r×~p ale unui punct material, precum si paranteza Poisson pentru patratul momentului cineticsi una din componentele sale.

Rezolvare : In coordonate carteziene componentele momentului cinetic au expresiile :

Lx = ypz − zpy

Ly = zpx − xpz

Lz = xpy − ypx

(1)

Folosind definitia [ ϕ, ψ ] =n∑

k=1

(∂ϕ

∂qk

∂ψ

∂pk

− ∂ϕ

∂pk

∂ψ

∂qk

)unde n = 3 si q1 = x , q2 = y , q3 = z ,

p1 = px , p2 = py , p3 = pz , rezulta :

[ Lx, Ly ] =∂Lx

∂z

∂Ly

∂pz

− ∂Lx

∂pz

∂Ly

∂z= xpy − ypx = Lz

[ Ly, Lz ] =∂Ly

∂x

∂Lz

∂px

− ∂Ly

∂px

∂Lz

∂x= ypz − zpy = Lx

[ Lz, Lx ] =∂Lz

∂y

∂Lx

∂py

− ∂Lz

∂py

∂Lx

∂y= zpx − xpz = Ly

(2)

Conform teoremei Jacobi-Poisson, daca doua dintre componentele carteziene ale momentuluicinetic sunt constante ale miscarii, atunci si cea de a treia componenta va fi tot o constanta amiscarii. In consecinta ınsasi vectorul moment cinetic ~L(Lx, Ly, Lz) va trebui sa fie o constantaa miscarii. Situatia este ıntalnita, de exemplu, ın cazul miscarii punctului ıntr-un camp central.Aplicarea ın continuare a teoremei Jacobi-Poisson nu permite construirea si a altor integrale primeindependente (pentru un sistem cu trei grade de libertate numarul integralelor prime independenteeste sase !). Intr-adevar, pornind de la Lx si Ly se poate construi sirul :

[ Lx, Ly ] = Lz , [ Lx, [ Lx, Ly ] ] = −Ly , [ Ly, [ Lx, Ly ] ] = Lx , [ [Lx, Ly], [ Lx, Ly ] ] = 0 , . . .(3)


care nu aduce nimic ın plus fata de rezultatul obtinut anterior.Calculam de asemenea parantezele Poisson pentru patratul momentului cinetic si una din

componentele sale. Tinand cont de rezultatele anterioare, rezulta :

[ L2, Lk ] =

3∑

j=1

L2j , Lk

=

3∑

j=1

[ L2j , Lk ] = 2

3∑

j=1

Lj [ Lj, Lk ] = 0 ; k = 1, 2, 3 (4)

ceea ce confirma remarca anterioara.Rezultatele obtinute pentru parantezele Poisson ale momentului cinetic permit o interpretare

destul de interesanta. Astfel, dupa cum se stie, daca coodonata generalizata este o variabilaunghiulara, variatia ei descriind o rotatie ın jurul unei axe, atunci impulsul canonic corespunzatorreprezinta proiectia momentului cinetic pe axa respectiva. Conform relatiilor (2), daca una dintrecomponentele momentului cinetic este aleasa ca impuls canonic, atunci orice alta componentaa sa nu va putea fi aleasa simultan drept impuls canonic, deoarece paranteza lor Poisson estediferita de zero, fiind astfel contrazise parantezele fundamentale Poisson

[ qj, qk ] = 0 , [ pj, pk ] = 0 , [ qj, pk ] = δjk ; j, k = 1, . . . , n (5)

Insa ın baza relatiilor (4), deoarece paranteza Poisson pentru patratul marimii momentului cineticsi una din componentele sale este nula, acestea pot fi alese simultan drept impulsuri canonice.Observatia prezinta o importanta deosebita ın mecanica cuantica.

7 Sa se calculeze parantezele Poisson pentru componentele carteziene ale vectorului depozitie, impulsului si momentului cinetic pentru un punct material care se misca ın camp central.Sa se arate ca ın acest caz momentul cinetic este o constanta a miscarii.

Rezolvare : Folosind definitia pentru paranteza Poisson se poate verifica direct existentaurmatoarelor relatii, indiferent de forma potentialului din care deriva campul de forte ın care semisca puntul material :

[ x, Lx ] = 0 [ y, Lx ] = − z [ z, Lx ] = y

[ x, Ly ] = z [ y, Ly ] = 0 [ z, Ly ] = −x

[ x, Lz ] = − y [ y, Lz ] = x [ z, Lz ] = 0

(1)

respectiv :

[ px, Lx ] = 0 [ py, Lx ] = − pz [ pz, Lx ] = py

[ px, Ly ] = pz [ py, Ly ] = 0 [ pz, Ly ] = − px

[ px, Lz ] = − py [ py, Lz ] = px [ pz, Lz ] = 0

(2)

unde componentele momentului cinetic au expresiile :

Lx = ypz − zpy , Ly = zpx − xpz , Lz = xpy − ypx (3)

Relatiile (1) si (2) pot fi verificate folosind si proprietatile parantezelor Poisson precum siparantezele fundamentale. In acest caz, calculul decurge ın modul urmator :

[ x, Lx ] = [ x, ypz − zpy ] = [ x, ypz ]− [ x, zpy ] =

= [ x, y ] pz + [ x, pz ] y − [ x, z ] py − [ x, py ] z = 0(4)


s.a.m.d.In cazul miscarii punctului ıntr-un camp cu simetrie centrala, hamiltonianul are expresia :

H =1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)+ V (r) unde r =

√x2 + y2 + z2 (5)

Se pot verifica usor relatiile :

[ Lx, H ] = pzpy

m+ z

dV

dr

y

r− py

pz

m− y

dV

dr

z

r= 0

[ Ly, H ] = − pzpx

m− z

dV

dr

x

r+ px

pz

m+ x

dV

dr

z

r= 0

[ Lz, H ] = pypx

m+ y

dV

dr

x

r− px

py

m− x

dV

dr

y

r= 0

(6)

Deoarece componentele momentului cinetic nu depind explicit de timp, din relatiile (6) rezultaca acestea sunt integrale prime ale ecuatiilor de miscare. Totodata se verifica usor ca :

[ L2, H ] = [ L2x + L2

y + L2z, H ] = [ L2

x, H ] + [ L2y, H ] + [ L2

z, H ] =

= 2Lx[ Lx, H ] + 2Ly[ Ly, H ] + 2Lz[ Lz, H ] = 0(7)

deci si marimea momentului cinetic este tot o integrala prima a sistemului canonic. In consecinta,ın cazul miscarii ın camp central, vectorul moment cinetic este o constanta a miscarii, atat camarime, cat si ca orientare ın spatiu. Consecintele fizice care decurg din aceasta proprietate suntevidente : miscarea ın camp central este plana si ea se face cu viteza areolara constanta. In fondacest exercitiu a avut doar rolul de a confirma existenta acestor proprietati, folosind o metodaspecifica.

3.2 Principiul variational al lui Hamilton

1 Un corp de masa m aruncat pe orizontala cu viteza constanta v , atinge suprafataPamantului dupa ce a strabatut distanta d . Sa se arate ca actiunea S ın sensul lui Hamiltoncalculata pe oricare din traiectoriile :

(a)

x = vt

z =gd2

2v2cos

πvt

2d

(b)

x = vt

z =gd2

2v2

[1− 1

e− 1

(e

vtd − 1

)] (c)

x = vt

z =gd2

2v2

(1− vt

d

)

este mai mare decat valoarea actiunii pe traiectoria corespunzatoare miscarii reale. Acceleratiagravitationala este g si se neglijeaza rezistenta aerului.

Rezolvare : Ecuatiile parametrice ale traiectoriei corespunzatoare miscarii reale sunt :

x = vt

z =gd2

2v2− 1

2gt2

(1)

3.2. PRINCIPIUL VARIATIONAL AL LUI HAMILTON 115

timpul necesar parcurgerii traiectoriei fiind :

t1 =d

v(2)

Lagrangeeanul problemei este :

L = T − V =1

2m

(x2 + z2

)−mgz (3)

Pe traiectoria corespunzatoare miscarii reale, lagrangeeanul are expresia :

L =1

2m

(v2 + g2t2

)− mg2d2

2v2+

mg2t2

2(4)

iar actiunea ın sensul lui Hamilton va avea valoarea :

S =

dv∫

0

L dt =mvd

2− 1

6

mg2d3

v3=

mvd

2− 0, 1(6)

mg2d3

v3(5)

Pe traiectoria (a) lagrangeeanul are expresia :

La =1

2m

(v2 +

π2g2d2

16v2sin2 πvt

2d

)− mg2d2

2v2cos

πvt

2d(6)

iar pentru actiune se obtine valoarea :

Sa =

dv∫

0

La dt =mvd

2+

(π2

64− 1

π

)mg2d3

v3=

mvd

2− 0, 1641

mg2d3

v3(7)

unde s-a folosit formula∫

sin2 x dx =x

2− sin 2x

4+ C .

Traiectoriei (b) ıi va corespunde lagrangeeanul :

Lb =1

2m

(v2 +

1

e2 − 1

g2d2

4v2e

2vtd

)− mg2d2

2v2+

mg2d2

2v2 (e− 1)

(e

vtd − 1

)(8)


iar actiunea va avea valoarea :

Sb =

dv∫

0

Lb dt =mvd

2+

[e2 − 1

16 (e− 1)2 −1

2 (e− 1)

]mg2d3

v3=

mvd

2− 0, 1557

mg2d3

v3(9)

Ecuatiile parametrice ale traiectoriei (c) corespund dreptei care uneste punctul initial cu celfinal. Lagrangeeanul va fi :

Lc =1

2m

(v2 +

g2d2

4v2

)− mg2d2

2v2+

mg2d

2vt (10)

iar pentru actiune rezulta valoarea :

Sc =

dv∫

0

Lc dt =mvd

2− 1

8

mg2d3

v3=

mvd

2− 0, 125

mg2d3

v3(11)

Comparand rezultatele (5), (7), (9), (11) si observand ca :

0, 1(6) > 0, 1641 > 0, 1557 > 0, 125 (12)

rezulta :S < Sa < Sb < Sc (13)

ceea ce confirma principiul lui Hamilton, anume ca pe traiectoria reala functionala S atinge unextrem (ın acest caz este minima!).

2 Doua corpuri, fiecare de masa m , sunt legate ıntre ele prin intermediul unui resort avandconstanta elastica k0 . La randul lor, corpurile sunt legate lateral cu ajutorul a doua resoarteidentice avand constanta elastica k , de doua puncte fixe situate la acelasi nivel. Neglijandgreutatea si frecarile, sa se studieze miscarea sistemului folosind principiul lui Hamilton.

Rezolvare : Notand cu x1 si x2 valorile abaterilor celor doua corpuri la un moment dat ınraport cu pozitiile lor de echilibru si observand ca energia potentiala a resortului de cuplaj este

V0 =1

2k0(x2 − x1)

2, lagrangeeanul sistemului are expresia :

L = T − V =1

2m

(x2

1 + x22

)− 1

2k

(x2

1 + x22

)− 1

2k0(x2 − x1)

2 (1)


Conform principiului lui Hamilton va trebui ca :

δS =

t1∫

t0

δL dt = 0 (2)

unde :δL = mx1δx1 + mx2δx2 − kx1δx1 − kx2δx2 − k0 (x2 − x1) (δx2 − δx1) (3)

Observand ca :

mx1δx1 + mx2δx2 =d

dt(mx1δx1 + mx2δx2)−mx1δx1 −mx2δx2 (4)

din conditia (2) va rezulta :

δS = (mx1δx1 + mx2δx2)

∣∣∣∣∣t1

t0

−

−t1∫

t0

[mx1 + (k + k0) x1 − k0x2] δx1 + [mx2 − k0x1 + (k + k0) x2] δx2 dt = 0

(5)

Deoarece (δx1)t0,t1 = (δx2)t0,t1 = 0 , primul termen este nul. Ecuatiile de miscare ale sistemuluirezulta din conditia de anulare simultana a coeficientilor variatiilor δx1 si δx2 care sunt arbitrare :

x1 +k + k0

mx1 − k0

mx2 = 0

x2 − k0

mx1 +

k + k0

mx2 = 0

(6)

Solutia sistemului se obtine folosind metoda cunoscuta.Cautand pe x1(t) si x2(t) sub forma :

x1(t) = C1eiωt ; x2(t) = C2e

iωt (7)

prin ınlocuire ın sistemul (6) rezulta ecuatiile pentru determinarea constantelor C1 si C2 :

(k + k0

m− ω2

)C1 − k0

mC2 = 0

− k0

mC1 +

(k + k0

m− ω2

)C2 = 0

(8)

Ecuatia caracteristica care furnizeaza valorile lui ω pentru care sistemul (8) are solutie nebanala,va avea forma :

k + k0

m− ω2 = ± k0

m(9)

de unde rezulta frecventele proprii ale sistemului de oscilatori :

ω21 =

k

m; ω2

2 =k + 2k0

m(10)


Observand ca :C1±

1 = C1±2 ; C2±

1 = −C2±2 (11)

solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale (6) se scrie sub forma unei suprapuneri deoscilatii armonice simple :

x1(t) = θ1(t)− θ2(t) ; x2(t) = θ1(t) + θ2(t) (12)

unde θ1 si θ2 reprezinta oscilatiile (modurile) normale :

θ1(t) = <C1+


= α1 cos(ω1t + β1)

θ2(t) = <C2+


= α2 cos(ω2t + β2)

(13)

Cele patru constante de integrare α1 , α2 , β1 , β2 urmeaza a fi determinate din conditiile initiale.

3 Sa se determine forma de echilibru a unui fir omogen greu inextensibil si flexibil, fixat ındoua puncte date ale unui plan vertical.

Rezolvare : Deoarece unica forta care actioneaza asupra firului este greutatea, iar firul esteinextensibil, principiul deplasarilor virtuale

∑

i

~Fi δ~ri = −∑

i

mig δzi = −Mg δzc = 0 se reduce

la principiul lui Torricelli :δzc = 0 (1)

unde zc este coordonata centrului de masa al firului :

zc =1

M

P2∫

P1

z dm =ρ

M

l∫

0

z ds =ρ

M

z2∫

z1

z

√√√√1 +

(dx

dz

)2

dz (2)

Aici prin ρ s-a notat masa specifica a firului, iar M este masa lui totala. Inlocuind pe (2) ın (1)rezulta conditia de echilibru 1:

δ

z2∫

z1

z√

1 + x′ 2 dz = 0 unde x′ =dx

dz(3)

1 La conditia de echilibru (3) se mai putea ajunge si pornind de la principiul deplasarilor virtuale scris sub formal∫

0

~g · δ~r ρds = 0 , unde ~g(0, 0,−g) este forta ce actioneaza pe unitatea de masa, ρ este masa unitatii de arc, iar


Deoarece capetele sunt fixate, curba pe care conditia (3) este ındeplinita va satisface la ecuatiadiferentiala :

d

dz

[∂

∂x′

(z

√1 + x′ 2

)]− ∂

∂x

(z

√1 + x′ 2

)= 0 (4)

Observand ca z√

1 + x′ 2 nu depinde explicit de x , ecuatia (4) admite integrala prima :

∂

∂x′

(z

√1 + x′ 2

)= C (5)

adica :z x′√

1 + x′ 2= C (6)

unde C este o constanta. Rezolvand pe (6) ın raport cu x′ , se obtine ecuatia diferentiala :

x′ =dx

dz=

C√z2 − C2

(7)

care are integrala :

z = C chx− α

C=

C

2

(e+

x−αC + e−

x−αC

)(8)

lungimea arcului se masoara ın sensul de la P1 spre P2 . Deoarece g si ρ sunt constante, conditia de echilibru setranscrie sub forma :

l∫

0

δz ds = 0

Firul fiind inextensibil, deplasarea virtuala pastreaza nemodificata lungimea elementului de arc, fiind astfel sa-

tisfacuta legatura

s2∫

s1

ds = const. , unde s1 si s2 reprezinta coordonatele curbilinii ale celor doua puncte de pe

firul care are ecuatia ~r = ~r(s) . Deoarece lungimile de arc s1 si s2 nu sunt afectate de actiunea operatorului δ ,

rezulta ca δ

s2∫

s1

ds =

s2∫

s1

δds = 0 . Integrantul fiind o functie continua, va trebui ca pentru orice element de arc

sa fie ındeplinita relatia δds = 0 . Va fi astfel nula si integrala

l∫

0

z δds = 0 care adunata la conditia mentionata

anterior va conduce la o alta forma a conditiei de echilibru :

l∫

0

δz ds +

l∫

0

z δds =

l∫

0

δ (z ds) = δ

l∫

0

z ds = 0

Deoarece ds =√

dx2 + dz2 = dz

√1 +

(dx

dz

)2

, conditia de echilibru a firului capata forma :

δ

z2∫

z1

z

√1 +

(dx

dz

)2

dz = 0


Curba obtinuta poarta numele de lantisor . Constantele C si α se determina impunand conditiileca curba (8) sa treaca prin punctele date P1 si P2 .

4 Sa se determine forma curbei care uneste doua puncte P0 si P1 situate ın plan vertical,asa ıncat un corp care porneste din P0 si se misca pe curba fara frecare, sa ajunga ın punctul P1

ın timpul cel mai scurt (problema brachistocronei).

Rezolvare : Pentru comoditatea calculelor, originea sistemului de coordonate se alege ınpunctul P0. Timpul necesar parcurgerii traiectoriei va fi dat de expresia :

t =

P1∫

P0

ds

v=

P1∫

P0

√dx2 + dy2

v=

P1∫

P0

√1 + y′ 2

vdx (1)

unde s-a facut notatia :

y′ =dy

dx(2)

Viteza punctului pe curba se calculeaza din teorema conservarii energiei1

2mv2 = mgx , deci :

t =1√2g

P1∫

P0

√1 + y′ 2

xdx (3)

Va trebui determinata forma curbei P0P1 pentru care functionala (3) este minima. Deoareceextremitatile P0 si P1 sunt fixe, ecuatia curbei pe care t este minim va fi data de ecuatia Euler-Lagrange :

d

dx

∂

∂y′

√1 + y′ 2

x

− ∂

∂y

√1 + y′ 2

x

= 0 (4)

Deoarece

√1 + y′ 2

xnu depinde explicit de y , ecuatia (4) admite integrala prima :

∂

∂y′

√1 + y′ 2

x

=

1√2a

(5)


adica :y′

2

1 + y′ 2=

x

2a(6)

unde a este o constanta. Rearanjand termenii, ın final rezulta ecuatia diferentiala pentru curbacautata :

y′ =dy

dx=

√x

2a− x(7)

Pentru a obtine ecuatiile parametrice ale curbei, se face schimbarea :

x = a (1− cos θ) ,dx

dθ= a sin θ (8)

Ecuatia (7) devine :

dy

dθ=

√1− cos θ

1 + cos θ·dx

dθ= a sin θ·

sinθ

2

cosθ

2

= 2a sin2 θ

2= a (1− cos θ) (9)

Prin integrare rezulta :y = y0 + a (θ − sin θ) (10)

Avand ın vedere ca punctul P0 coincide cu originea, constanta de integrare y0 este zero. Inconsecinta ecuatiile parametrice ale curbei cautate sunt :

x = a (1− cos θ)

y = a (θ − sin θ)(11)

care reprezinta o cicloida cu concavitatea ın sus. Constanta a , care reprezinta raza cercului caregenereaza cicloida, se poate determina din conditia ca curba (11) sa treaca prin punctul dat P1 .

5 Conform teoremei lui Emmy Noether , oricarei transformari de simetrie (care lasanemodificata forma ecuatiilor de miscare, deci care lasa invariant principiul variational al luiHamilton), ıi corespunde ıntotdeauna o integrala prima pe solutia ecuatiilor de miscare. Sa sedemonstreze teorema si sa se deduca legile de conservare ale impulsului, momentului cinetic sienergiei mecanice totale pentru un sistem ınchis.

Rezolvare : La trecerea de pe o curba corespunzatoare unei miscari reale, pe o curbaınvecinata corespunzatoare tot unei miscari reale, va trebui ca functionala S sa ramana invariantanumeric ın urma unei transformari de simetrie. In conformitate cu teorema lui Emmy Noether,pe solutia ecuatiilor de miscare unei transformari de simetrie ıi corespunde ıntotdeauna o inte-

grala prima. Facand δS =

[n∑

k=1

pkδqk −Hδt

]1

0

= 0 ın expresia generala dedusa pentru variatii

asincrone si tinand cont de faptul ca H =n∑

k=1

pkqk − L , iar pk =∂L

∂qk

; k = 1, . . . , n , rezulta ca

aceasta integrala prima este :

n∑

k=1

∂L

∂qk

δqk −(

n∑

k=1

∂L

∂qk

qk − L

)δt = const. (1)


In cazul unei transformari de simetrie, conditia la care trebuie sa satisfaca lagrangeeanul problemeise obtine prin derivarea relatiei (1). Obsevand ca :

δqk = qk δt + (δqk)t = qk δt +d

dt(δqk)t = qk δt +

d

dt(δqk − qk δt) =

dδqk

dt− qk

dδt

dt(2)

rezulta succesiv :

d

dt

(n∑

k=1

∂L

∂qk

δqk

)=

n∑

k=1

d

dt

(∂L

∂qk

)δqk +

n∑

k=1

∂L

∂qk

dδqk

dt=

=n∑

k=1

∂L

∂qk

δqk +n∑

k=1

∂L

∂qk

δqk +

(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk

)dδt

dt

d

dt

[(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk

)δt

]=

[n∑

k=1

d

dt

(∂L

∂qk

qk

)]δt +

(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk

)dδt

dt(3)

d

dt(L δt) =

dL

dtδt + L

dδt

dt=

∂L

∂tδt +

(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk

)δt +

(n∑

k=1

∂L

∂qk

qk

)δt + L

dδt

dt=

=∂L

∂tδt +

[n∑

k=1

d

dt

(∂L

∂qk

qk

)]δt + L

dδt

dt

Reunind rezultatele, se obtine ın final conditia cautata :

Ldδt

dt+

∂L

∂tδt +

n∑

k=1

(∂L

∂qk

δqk +∂L

∂qk

δqk

)= 0 (4)

Teorema se verifica usor pe cazul sistemului ınchis (asupra acestuia nu actioneaza forteexterioare!) format din N particule si asupra caruia nu sunt impuse constrangeri, pentru care sese conserva impulsul, momentul cinetic si energia mecanica totala. Lagrangeeanul sistemului ıncoordonate carteziene are expresia generala :

L =1

2

N∑

i=1

mi

(x2

i + y2i + z2

i

)− 1

2

N∑

i,j=1j 6=i

Vij(|~ri − ~rj|) (5)

a) translatia temporala : δt = ε , δ~ri = δ~ri = 0 ; i = 1, . . . , N verifica conditia (4),deoarece lagrangeeanul nu depinde explicit de timp. Integrala prima (1) va fi :

N∑

i=1

(∂L

∂xi

xi +∂L

∂yi

yi +∂L

∂zi

zi

)− L = 2T − (T − V ) = T + V = h (6)

deci se conserva energia mecanica totala a sistemului.b) translatia spatiala : δt = 0 , δ~ri = ~ε , δ~ri = 0 ; i = 1, . . . , N . Avand ın vedere pro-

prietatile de simetrie ale functiilor Vij , se verifica direct ca :

εx

N∑

i=1

∂L

∂xi

+ εy

N∑

i=1

∂L

∂yi

+ εz

N∑

i=1

∂L

∂zi

= 0 (7)

3.3. TRANSFORMARI CANONICE 123

si astfel conditia (4) este verificata. Din (1) rezulta integrala prima :

εx

N∑

i=1

∂L

∂xi

+εy

N∑

i=1

∂L

∂yi

+εz

N∑

i=1

∂L

∂zi

= εx

N∑

i=1

mixi +εy

N∑

i=1

miyi +εz

N∑

i=1

mizi = ~ε ·~p = const. (8)

Directia ~ε fiind arbitrara, se conserva impulsul mecanic total al sistemului.c) rotatia infinitezimala : δt = 0 , δ~ri = ~ε × ~ri , δ~ri = ~ε × ~ri ; i = 1, . . . , N . Se verifica

usor ca conditia (4) este ındeplinita, integrala prima (1) scriindu-se explicit :

N∑

i=1

[(εyzi − εzyi)

∂L

∂xi

+ (εzxi − εxzi)∂L

∂yi

+ (εxyi − εyxi)∂L

∂zi

]=

= εx

N∑

i=1

(yi

∂L

∂zi

− zi∂L

∂yi

)+ εy

N∑

i=1

(zi

∂L

∂xi

− xi∂L

∂zi

)+ εz

N∑

i=1

(xi

∂L

∂yi

− yi∂L

∂xi

)=

= ~ε ·N∑

i=1

(~ri × ~pi) = ~ε · ~L = const.

(9)

Deoarece directia ~ε ın jurul careia se efectueaza rotatia este arbitrara, momentul cinetic total alsistemului se conserva.

3.3 Transformari canonice

1 Sa se rezolve problema determinarii miscarii oscilatorului armonic anizotrop, folosind trans-formarile canonice libere univalente generate de functia :

S1 =1

2

3∑

i=1

mωiq2i ctg Qi , ωi =

√ki

m; i = 1, 2, 3 (1)

unde q1 = x , q2 = y , q3 = z .

Rezolvare : Hamiltonianul corespunzator miscarii unui punct material de masa m subinfluenta unei forte elastice caracterizata prin constante elastice diferite pe cele trei directii, areexpresia :

H =3∑

i=1

(p2

i

2m+

kiq2i

2

)=

3∑

i=1

(p2

i

2m+

mω2i q

2i

2

)(2)

Ecuatiile transformarilor canonice univalente generate de functia (1) vor fi de forma :

pi =∂S1

∂qi

= mωiqictg Qi , Pi = − ∂S1

∂Qi

=1

2mωiq

2i

1

sin2 Qi

; i = 1, 2, 3 (3)

Din ecuatiile (3) rezulta legatura dintre vechile si noile variabile canonice :

qi =

√2Pi

mωi

sin Qi , pi =√

2mωiPi cos Qi ; i = 1, 2, 3 (4)

In noile variabile, hamiltonianul va avea expresia simpla :

K = H =3∑

i=1

ωiPi (5)


Se observa ca noile coordonate Qi ; i = 1, 2, 3 sunt ciclice pentru noul hamiltonian. Sistemulcanonic capata forma :

Qi =∂K

∂Pi

= ωi , Pi = − ∂K

∂Qi

= 0 ; i = 1, 2, 3 (6)

prin integrare directa rezultand :

Qi = ωit + Q0i , Pi = P 0

i ; i = 1, 2, 3 (7)

Trecand la vechile variabile, se obtine solutia cunoscuta :

qi =

√2P 0

i

mωi

sin(ωit + Q0

i

), pi =

√2mωiP 0

i cos(ωit + Q0

i

); i = 1, 2, 3 (8)

unde Q0i , P 0

i ; i = 1, 2, 3 sunt constante de integrare care se determina din conditiile initiale.Daca frecventele ωi ; i = 1, 2, 3 sunt comensurabile, traiectoria ın spatiul fizic este o curbaınchisa, iar miscarea este periodica.

2 Sa se arate ca urmatoarele transformari sunt canonice :

a)

Q =√

2q e k cos p

P =√

2q e−k sin pb)

Q = q + pt +1

2gt2

P = p + gtc)

Q = q cos kt +p

ksin kt

P = −kq sin kt + p cos kt

Pentru fiecare caz ın parte sa se determine functia generatoare, precum si relatia dintre vechiulsi noul hamiltonian.

Rezolvare : In toate cazurile sistemul este cu un sigur grad de libertate, asa ca conditianecesara si suficienta ca o transformare sa fie canonica se reduce la :

P δQ−K δt = c (p δq −H δt)− δS (1)

adica :P δQ− c p δq = (K − cH) δt− δS (2)

unde S este functia generatoare, iar c este valenta transformarii.a) Calculam :

P δQ− c p δq =√

2q ~e−k sin p

(δq√2q

ek cos p−√

2q ek sin p δp

)− c p δq =

=(

sin 2p

2− c p

)δq + q (cos 2p− 1) δp

(3)

Din conditia de diferentiala totala :

∂

∂p

(sin 2p

2− c p

)=

∂

∂q[ q (cos 2p− 1)] (4)

rezulta c = 1 . Transformarea (a) este canonica univalenta cu functia generatoare :

S(q, p) = − q(

sin 2p

2− c p

)(5)

3.4. METODA HAMILTON-JACOBI 125

si :K = H (6)

b) Tinand seama de ecuatiile transformarii, rezulta :

P =Q− q

t+

1

2gt , p =

Q− q

t− 1

2gt (7)

deci :

P δQ− c p δq =(

Q− q

t+

1

2gt

)δQ− c

(Q− q

t− 1

2gt

)δq =

=Q− q

t(δQ− c δq) +

1

2gt (δQ + c δq)

(8)

Din conditia de diferentiala totala exacta rezulta c = 1, deci (b) reprezinta ecuatiile unei trans-formari canonice libere univalente cu functia generatoare :

S1(t, q, Q) = − 1

2t(Q− q)2 − 1

2gt (Q + q) (9)

Relatia dintre vechiul si noul hamiltonian va fi :

K = H +∂S1

∂t= H +

1

2

(Q− q

t

)2

− 1

2g (Q + q) (10)

c) Deoarece :

P = k ctg kt ·Q− kq

sin kt, p =

kQ

sin kt− k ctg kt · q (11)

obtinem :

P δQ− c p δq = k ctg kt · (QδQ + q δq)− k

sin kt(q δQ + cQ δq) (12)

Impunand conditia de diferentiala totala exacta, rezulta c = 1 , iar functia generatoare a trans-formarii canonice libere univalente va fi :

S1(t, q, Q) = − k

2

(Q2 + q2

)ctg kt +

kqQ

sin kt(13)

Pentru legatura dintre K si H se va obtine :

K = H +∂S1

∂t= H +

k2

2 sin2 kt

(Q2 + q2 − 2qQ cos kt

)(14)

3.4 Metoda Hamilton-Jacobi

1 Sa se deduca ecuatiile de miscare ale unui punct material de masa m care se misca ıncamp gravitational omogen, folosind metoda Hamilton-Jacobi.

Rezolvare : Hamiltonianul sistemului fiind :

H =1

2m

(p2

x + p2y + p2

z

)+ mgz (1)


ecuatia Hamilton-Jacobi va avea expresia :

∂S

∂t+

1

2m

(∂S

∂x

)2

+

(∂S

∂y

)2

+

(∂S

∂z

)2 + mgz = 0 (2)

Va fi cautata o integrala completa de forma :

S = −h t + ax x + ay y + W (z, az) (3)

unde functia W va fi o solutie a ecuatiei :

1

2m

a2

x + a2y +

(dW

dz

)2 + mgz = h (4)

Efectuand notatia :

1

2m

(dW

dz

)2

+ mgz =a2

z

2m(5)

va trebui ındeplinita conditia :1

2m

(a2

x + a2y + a2

z

)= h (6)

iar ecuatia (5) va avea solutia :

W =∫ √

a2z − 2m2gz dz (7)

Integrala completa (3) devine :

S = −h t + ax x + ay y +∫ √

a2z − 2m2gz dz (8)

Din primul grup al ecuatiilor Hamilton-Jacobi :

px =∂S

∂x= ax , py =

∂S

∂y= ay , pz =

∂S

∂z=

√a2

z − 2m2gz (9)

prin impunerea conditiilor initiale, va rezulta ca :

ax = mv0x , ay = mv0

y , az = m√

v0z + 2gz (10)

Tinand cont de (6), al doilea grup al ecuatiilor Hamilton-Jacobi va conduce la expresiile :

bx =∂S

∂ax

= − ax

mt + x , by =

∂S

∂ay

= − ay

mt + y

bz =∂S

∂az

= − az

mt + az

∫ dz√a2

z − 2m2gz= − az

mt− az

m2g

√a2

z − 2m2gz(11)


Facand t = t0 si folosind expresiile (10) se vor obtine ın final binecunoscutele ecuatii de miscare :

x = x0 + v0x (t− t0)

y = y0 + v0y (t− t0)

z = z0 + v0z (t− t0)− 1

2g (t− t0)

2

(12)

2 Sa se studieze miscarea oscilatorului armonic anizotrop folosind metoda Hamilton-Jacobi.

Rezolvare : Deoarece hamiltonianul oscilatorului armonic anizotrop are expresia :

H =3∑

i=1

(p2

i

2m+

1

2mω2

i q2i

), ωi =

√ki

m; i = 1, 2, 3 (1)

ecuatia Hamilton-Jacobi va avea forma :

∂S

∂t+

3∑

i=1

1

2m

(∂S

∂qi

)2

+1

2mω2

i q2i

= 0 (2)

Deoarece∂H

∂t= 0 , integrala completa a ecuatiei (2) se scrie :

S = −h t + W (q1, q2, q3, a1, a2, a3) (3)

unde W este integrala completa a ecuatiei reduse Hamilton-Jacobi :

3∑

i=1

1

2m

(∂W

∂qi

)2

+1

2mω2

i q2i

= h (4)

Cautand o solutie sub forma W =3∑

i=1

Wi(qi, ai) , ecuatia (4) poate fi satisfacuta numai daca :

1

2m

(dWi

dqi

)2

+1

2mω2

i q2i = ai ; i = 1, 2, 3 (5)

cu conditia :a1 + a2 + a3 = h (6)

Din (5) rezulta :

Wi =∫ √

2mai −m2ω2i q

2i dqi = mωi

∫ √2ai

mω2i

− q2i dqi ; i = 1, 2, 3 (7)

integrala completa a ecuatiei (2) avand astfel forma generala :

S = −h t +3∑

i=1

mωi

∫ √2ai

mω2i

− q2i dqi (8)


Conform teoremei Hamilton-Jacobi, solutia sistemului canonic va fi data de ecuatiile :

pi =∂S

∂qi

= mωi

√2ai

mω2i

− q2i

bi =∂S

∂ai

= − t +1

ωi

∫ dqi√2ai

mω2i

− q2i

; i = 1, 2, 3 (9)

Folosind formula∫ dx√

a2 − x2= arcsin

x

a+ C , va rezulta ın final :

qi =

√2ai

mω2i

sin [ ωi (t + bi)]

pi =√

2mai cos [ ωi (t + bi)]

; i = 1, 2, 3 (10)

constantele ai , bi ; i = 1, 2, 3 urmand a fi determinate din conditiile initiale.

3 Folosind metoda Hamilton-Jacobi, sa se studieze miscarea unui punct de masa m ın campul

de forte care deriva din potentialul V = − k

r; k > 0 (miscarea kepleriana).

Rezolvare : In coordonate sferice, hamiltonianul problemei are expresia :

H =1

2m

[p2

r +1

r2

(p2

θ +p2

ϕ

sin2 θ

)]− k

r, k > 0 (1)

iar ecuatia Hamilton-Jacobi va avea forma :

∂S

∂t+

1

2m

(∂S

∂r

)2

+1

r2

(∂S

∂θ

)2

+1

sin2 θ

(∂S

∂ϕ

)2

− k

r= 0 (2)

Observand ca t si ϕ nu intervin explicit ın hamiltonian, o integrala completa a ecuatiei (2) va fi :

S = −h t + aϕ ϕ + W (r, θ, ar, aθ) (3)

unde W este o integrala completa a ecuatiei :

1

2m

(∂W

∂r

)2

+1

r2

(∂W

∂θ

)2

+a2

ϕ

sin2 θ

− k

r= h (4)

Cautand solutia sub forma W = Wr + Wθ , va trebui ca :

(dWθ

dθ

)2

+a2

ϕ

sin2 θ= aθ ,

1

2m

(dWr

dr

)2

+aθ

r2

− k

r= ar = h (5)

de unde rezulta :

Wθ =∫ √

aθ −a2

ϕ

sin2 θdθ , Wr =

∫ √√√√2m

(h +

k

r

)− aθ

r2dr (6)


Integrala completa a ecuatiei (2) va avea expresia :

S = −h t + aϕ ϕ +∫ √

aθ −a2

ϕ

sin2 θdθ +

∫ √√√√2m

(h +

k

r

)− aθ

r2dr (7)

Aplicand teorema Hamilton-Jacobi, vor rezulta ecuatiile :

pr =∂S

∂r=

√√√√2m

(h +

k

r

)− aθ

r2, pθ =

∂S

∂θ=

√aθ −

a2ϕ

sin2 θ, pϕ =

∂S

∂θ= aϕ

bϕ =∂S

∂aϕ

= ϕ− aϕ

∫ dθ

sin2 θ

√aθ −

a2ϕ

sin2 θ

bθ =∂S

∂aθ

=1

2

∫ dθ√aθ −

a2ϕ

sin2 θ

− 1

2

∫ dr

r2

√√√√2m

(h +

k

r

)− aθ

r2

br =∂S

∂ar

=∂S

∂h= −t +

∫ mdr√√√√2m

(h +

k

r

)− aθ

r2

(8)

Daca la momentul initial viteza particulei este ın planul meridian ϕ = ϕ0 , atunci

(dϕ

dθ

)

t0

= 0

si deci aϕ = 0 . Rezulta ca ϕ(t) = bϕ = ϕ0 , ceea ce ınseamna ca miscarea are loc ın planulmeridian. Din ultimele doua ecuatii, prin diferentiere, rezulta :

mr2θ =√

aθ (= L0 = 2m| ~Ω0|) (9)

ceea ce ınseamna ca ın planul ϕ = ϕ0 miscarea se face cu viteza areolara constanta.

Cu schimbarea u =1

r; du = − dr

r2, din penultima ecuatie rezulta :

bθ =θ

2L0 +1

2

u∫

u0

du√2mh + 2mku− L0 2u2

(10)

adica :

−u∫

u0

du√2mh

L02 +2mk

L0 2 u− u2

= θ − θ0 unde θ0 = 2 L02bθ (11)

Efectuand calculele si facand θ → π

2− θ , se obtine :

u =mk

L0 2

1 +

√1 +

2mhL02

m2k2cos (θ − θ1)

(12)


Revenind la variabila r si facand notatiile :

p =L0 2

mk, e =

√1 +

2hL0 2

mk2(13)

se obtine ın final solutia binecunoscuta pentru traiectorie :

r =p

1 + e cos (θ − θ1)(14)

In ceea ce priveste ecuatia timpului, presupunand traiectoria eliptica : h = − |h| < 0 si notandbr = − t0 , din ultima ecuatie (8) rezulta :

t− t0 =

√m

2|h|r∫

r0

rdr√√√√− r2 +k

|h| r −L0 2

2m|h|

(15)

Deoarece semiaxele elipsei au valorile :

a =p

1− e2=

k

2 |h| , b = a√

1− e2 =L0

√2m|h|

(16)


t = t0 +

√m

2|h|r∫

r0

rdr√− r2 + 2ar − b2

(17)

Se obtin astfel printr-o metoda directa si mult mai simpla proprietatile miscarii kepleriene.

4 O bara rigida de masa M si lungime l se poate misca fara frecare ıntr-un plan vertical, carela randul sau se roteste cu viteza unghiulara constanta ω ın jurul axei verticale. Sa se studiezemiscarea barei ın acest plan, folosind metoda Hamilton-Jacobi.

Rezolvare : Drept coordonate generalizate se aleg coordonatele carteziene xc , zc ale centruluide masa ın planul mobil, precum si unghiul θ pe care ıl face bara cu orizontala. Energia cineticava avea expresia :

T =1

2Mv2

c +1

2~ω (τ~ω) (1)


unde :v2

c = x2c + z2

c + ω2x2c (2)

iar ın sistemul de referinta mobil cu originea ın centrul de masa C si axa Oz orientata ın lungulbarei (v. figura) :

~ω =

−ω cos θ

θ

ω sin θ

, τ =

Ic 0 0

0 Ic 0

0 0 0

, Ic =

1

12Ml2 (3)

Facand ınlocuirile, va rezulta expresia :

T =1

2M

(x2

c + z2c +

1

12l2θ2

)+

1

2Mω2

(x2

c +1

12l2 cos2 θ

)(4)

Deoarece :

px =∂T

∂xc

= Mxc , pz =∂T

∂zc

= Mzc , pθ =∂T

∂θ=

1

12Ml2θ (5)

pentru hamiltonianul problemei se va obtine :

H =_T 2 −T0 + V =

1

2M

(p2

x + p2z +

12

l2p2

θ

)− 1

2Mω2

(x2

c +1

12l2 cos2 θ

)+ Mgzc (6)

Ecuatia Hamilton-Jacobi va avea forma :

∂S

∂t+

1

2M

(∂S

∂xc

)2

+

(∂S

∂zc

)2

+12

l2

(∂S

∂θ

)2− 1

2Mω2

(x2

c +1

12l2 cos2 θ

)+ Mgzc = 0 (7)

Integrala completa a ecuatiei (7) va fi :

S = −h t + W (xc, zc, θ, ax, az, aθ) (8)

functia W fiind o solutie a ecuatiei :

1

2M

(∂W

∂xc

)2

+

(∂W

∂zc

)2

+12

l2

(∂W

∂θ

)2− 1

2Mω2

(x2

c +1

12l2 cos2 θ

)+ Mgzc = h (9)

Folosind metoda separarii variabilelor W = Wx + Wz + Wθ si facand notatiile :

1

2M

(dWx

dxc

)2

− 1

2Mω2x2

c = ax

1

2M

(dWz

dzc

)2

+ Mgzc = az

6

Ml2

(dWθ

dθ

)2

− 1

24Ml2ω2 cos2 θ = aθ

(10)


va rezulta :

S = −h t +∫ √

2M(ax +

1

2Mω2x2

c

)dxc +

∫ √2M (az −Mgzc) dzc +

+∫ √

Ml2

6

(aθ +

1

24Ml2ω2 cos2 θ

)dθ

(11)

unde :

ax + az + aθ = h (12)

Aplicand teorema Hamilton-Jacobi, pentru impulsuri se obtin ecuatiile :

px =∂S

∂xc

=

√2M

(ax +

1

2Mω2x2

c

)

pz =∂S

∂zc

=√

2M (az −Mgzc)

pθ =∂S

∂θ=

√Ml2

6

(aθ +

1

24Ml2ω2 cos2 θ

)(13)

Ecuatiile de miscare propriu-zise vor avea forma generala :

bx =∂S

∂ax

= − t +∫ dxc√

2

M

(ax +

1

2Mω2x2

c

)

bz =∂S

∂az

= − t +∫ dzc√

2

M(az −Mgzc)

bθ =∂S

∂aθ

= − t +∫ dθ√

24

Ml2

(aθ +

1

24Ml2ω2 cos2 θ

)

(14)

Din prima ecuatie, folosind formula∫ dx√

a2 + x2= argsh

x

a+ C , va rezulta :

xc =1

ω

√2ax

Msh (t + bx) (15)

Cea de a doua ecuatie (14) va conduce la solutia :

zc =az

Mg− gb2

z

2− gbzt− 1

2gt2 (16)

Prin derivare, din ultima ecuatie (14) rezulta :

θ2 =24aθ

Ml2+ ω2 cos2 θ (17)


Facand schimbarea θ =ϕ

2, va rezulta ın final ecuatia :

ϕ + ω2 sin ϕ = 0 (18)

care reprezinta ecuatia de miscare a unui pendul matematic de lungime l′ =g

ω2.

Constantele ax , az , aθ , bx , bz , bθ , ın care sunt incluse si constantele de integrare, pot fideterminate din conditiile initiale.

Variabilele actiuni-unghiuri

5 Sa se studieze, folosind variabilele actiuni-unghiuri, miscarea oscilatorului armonic anizo-trop tridimensional si sa se gaseasca conditiile ın care traiectoria sa este o curba ınchisa.

Rezolvare : Cu notatiile cunoscute de la metoda separarii variabilelor, hamiltonianul siste-mului are forma :

H =3∑

i=1

(p2

i

2m+

kiq2i

2

)=

3∑

i=1

ai = h (1)

Variabilele actiuni vor fi :

Ji =∮

pi dqi =∮ √

2mai −mkiq2i dqi ; i = 1, 2, 3 (2)

Facand notatiile :

qi =

√2ai

ki

sin ϕ ; i = 1, 2, 3 (3)

si observand ca pe un ciclu complet ϕ variaza de la 0 la 2π , rezulta :

Ji = 2ai

√m

ki

2π∫

0

cos2 ϕ dϕ = 2πai

√m

ki

; i = 1, 2, 3 (4)

Noul hamiltonian va fi :

h = K(J1, J2, J3) =1

2π

3∑

i=1

√ki

mJi (5)

Frecventele de variatie ale coordonatelor vor fi astfel :

νi =∂K

∂Ji

=1

2π

√ki

m=

ωi

2π; i = 1, 2, 3 (6)

Daca frecventele sunt incomensurabile, traiectoria punctului nu va fi o curba ınchisa si ınconsecinta punctul nu va trece niciodata printr-o pozitie ocupata de el anterior, desi dupa untimp suficient de lung el va trece oricat de aproape dorim de pozitia respectiva. Daca ınsafrecventele sunt comensurabile, adica satisfac la conditii de forma :

3∑

i=1

ji νi = 0 (7)


unde ji ; i = 1, 2, 3 sunt numere ıntregi, atunci miscarea este degenerata si ın cazul candfrecventele satisfac la doua conditii independente de tipul (7) miscarea este total degenerata ,traictoria fiind ınchisa si miscarea strict periodica.

6 Sa se studieze micile oscilatii ale pendulului matematic de lungime variabila, ın ipoteza caalungirea firului de suspensie este foarte lenta.

Rezolvare : In aproximatia micilor oscilatii hamiltonianul problemei este :

H =p2

θ

2ml2+ mgl

θ2

2= E (1)

unde E reprezinta energia totala a pendulului si este o functie lent variabila ın timp. In conditiileın care se mentin fixate valorile lui E si l , se poate calcula usor variabila actiune, deoarece(1) reprezinta ecuatia unei elipse ın spatiul fazelor (θ, pθ) , avand semiaxele a =

√2ml2E si

b =

√2E

mgl:

J =∮

pθ dθ = πab = E · 2π√

l

g(2)

Hamiltonianul, ca functie de J si de parametrul l va avea astfel expresia :

H = J · 1

2π

√g

l(3)

iar frecventa de variatie a coordonatei θ ın conditiile ın care l este fixat are valoarea binecunoscuta :

ν =∂H

∂J=

1

2π

√g

l(4)

Din ultimele expresii rezulta legatura evidenta E = J ν . La o variatie lenta a lungimii firuluide suspensie a pendulului, deoarece J este un invariant adiabatic, rezulta ca energia totala esteproportionala cu frecventa de oscilatie care de asemenea are o variatie lenta ın timp :

E(t) = J ν(t) (5)

In conformitate cu demonstratia privind invarianta adiabatica a actiunii J , energia din formula(5) reprezinta o valoare medie calculata pe un interval suficient de mare si atunci :

E =ml2

2θ 2 +

mgl

2θ2 (6)

Aici s-a neglijat termenul proportional cu l2, iar functiile l2 si l care variaza foarte lent au fost

scoase de sub semnul de mediere. Tinand cont de faptul ca pendulul efectueaza oscilatii armoniceavand amplitudinea θ0(t) care variaza foarte lent si frecventa ν(t) , ca rezultat al medierii se obtineca :

θ2 =θ20

2, θ 2 =

θ20

2(2πν)2 (7)

si atunci (6) devine :

E =mg

2lθ2

0 (8)


Introducand acest rezultat ın formula (5) se obtine ın final relatia :

l3/4 θ0 =

√√√√ J

πm√

g= const. (9)

In consecinta, la o alungire lenta a firului pendulului, amplitudinea sa unghiulara θ0 se micsoreaza,ın timp ce amplitudinea sa liniara lθ0 creste. In plus, din (8) rezulta ca energia sa totala semicsoreaza invers proportional cu

√l .

Bibliografie

[1] P. BRADEANU, I. POP, D. BRADEANU - Probleme si exercitii de mecanica teoretica,Editura Tehnica, Bucuresti, 1979.

[2] L. BURLACU, D. G. DAVID - Culegere de probleme de Mecanica Analitica, Tipo.Univ. Bucuresti, 1988.

[3] D. CRACIUN, B. DEMSOREANU - Elemente de mecanica teoretica, Tipo. Universi-tatea de Vest, Timisoara, 2000.

[4] J. A. CRONIN, D. F. GREENBERG, V. L. TELEGDI - University of Chicago. GraduateProblems in Phiysics, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Mass. 1967

[5] B. DEMSOREANU - Mecanica analitica si a mediilor deformabile (cu aplicatii),Tipo. Universitatea din Timisoara, 1980.

[6] B. DEMSOREANU - Mecanica teoretica, Tipo. Universitatea din Timsoara, 1991.

[7] B. DEMSOREANU - Mecanica analitica si a mediilor deformabile - ındrumator deseminar si laborator, Tipo. Univ. Timsoara, ed. I, 1986, ed II, 1989.

[8] L. DRAGOS - Principiile mecanicii analitice, Editura Tehnica, Bucuresti, 1976.

[9] Z. GABOS, D. MANGERON, I. STAN - Fundamentele mecanicii, Editura Academiei,Bucuresti, 1962.

[10] F. GANTMACHER - Lectures in Analytical Mechanics, Mir Publishers, Moscow, 1970.

[11] H. GOLDSTEIN - Classical Mechanics, Addison-Wesley, Cambridge, Mass., 1953.

[12] L. G. GRECHKO, V. I. SUGAKOV, O. P. TOMASEVICH, A.M. FEDORCHENKO - Pro-blems in Theoretical Physics, Mir Publishers, Moscow, 1977.

[13] C. IACOB - Mecanica teoretica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1971.

[14] G. KOTKINE, V. SERBO - Recueil de problemes de mecanique classique, Ed. Mir,Moscou, 1981.

[15] L. LANDAU, E. LIFCHITZ - Mecanique, Editions Mir, Moscou, 1960.

[16] M. MAYER - Ecuatiile fizicii matematice (pentru sectiile de fizica), Editura Didacticasi Pedagogica, Bucuresti, 1961.

136

BIBLIOGRAFIE 137

[17] I. MERCHES, L. BURLACU - Applied Analytical Mechanics, ”The Voice of Bucovina”Press, Iasi, 1995.

[18] I. V. MESCERSKI - Sbornik zadaci po teoreticeskoi mehanike, Izd. 35-oe, Izd. Nauka,Moskva, 1981.

[19] V. NOVACU - Mecanica teoretica, Tipo. Universitatea din Bucuresti, 1969.

[20] V. NOVACU - Bazele teoretice ale fizicii. Vol. I Mecanica clasica, Ed. Tehnica,Bucuresti, 1990.

[21] I. I. OLHOVSKI - Kurs teoreticeskoi mehaniki dlia fizikov, Izd. 2-e, Izd. Mosk. Univ.,Moskva. 1974.

[22] I. M. POPESCU, G. F. CONE, G. A. STANCIU - Culegere de probleme de fizica, Ed.Did. Pedag., Bucuresti, 1982.

[23] I. M. POPESCU, D. IORDACHE, S. TUDORACHE, M. STAN, V. FARA - Problemerezolvate de fizica. Vol. I, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1984.

[24] A. RADU - Probleme de mecanica, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1978.

[25] A. STOENESCU, GH. BUZDUGAN, A. RIPIANU, M. ATANASIU - Culegere de pro-bleme de mecanica toeretica, Editura Tehnica, Bucuresti, 1958.

[26] P. P. TEODORESCU, N. NICOROVICI-PORUMBARU - Aplicatii ale teoriei grupurilorın mecanica si fizica, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1985.

[27] V. VALCOVICI, ST. BALAN, R. VOINEA - Mecanica teoretica, Editura Tehnica, Bu-curesti, 1959.

physics.uvt.rophysics.uvt.ro/~brutus/probleme.pdf · Cuprins 1 Mecanica newtonian˘a 5 1.1 Problema...

Documents

Transcript of physics.uvt.rophysics.uvt.ro/~brutus/probleme.pdf · Cuprins 1 Mecanica newtonian˘a 5 1.1 Problema...