70

5 REPAUSUL RELATIV AL LICHIDELOR Se consider` un lichid aflat [ntr-un vas, iar vasul av@nd o mi]care de transport oarecare. Defini\ie: Un lichid este [n repaus relativ atunci c@nd se afl` [n repaus fa\` de vasul ce-l con\ine. {n consecin\`, adopt@nd un reper de referin\` mobil solidar cu vasul, condi\iile repausului relativ al lichidului se scriu: vr = =0 0, . ar Evident, vasul ]i lichidul [n repaus relativ formeaz` un ansamblu indeformabil, similar cu un solid. 5.1 Ecua\ia repausului relativ Se consider` ecua\ia de mi]care Euler ]i se trec to\i termenii [n membrul [nt@i:

.af=f ,0p-f ,0paf −′=ρ∇′=

ρ∇

−− (5.1.1)

Ecua\ia de mi]care Euler va fi ]i ecua\ia repausului relativ dac` [n

aceast` ecua\ie se rezolv` for\a unitar` f ’ sau accelera\ia a pentru repausul relativ. {n acest scop, se studiaz` mi]carea relativ` a unui lichid. Fie un vas ce con\ine un lichid, vasul av@nd o mi]care de transport oarecare, un sistem de referin\` fix 01x1y1z1, un altul mobil 0xyz solidar cu vasul ce con\ine lichidul ]i o particul` de lichid [n punctul M, fig.5.1.1.

Fig.5.1.1 Se scrie ecua\ia vectorial` a mi]c`rii particulei de lichid din punctul M: r r ro1 = + , (5.1.2) care se deriveaz` de dou` ori [n raport cu timpul, pentru ob\inerea vitezei ]i accelera\iei particulei. Mai [nt@i viteza:

M M’ dr

ω

y r z

r1

r0 o

x

z1

x1 y1

o1

71

,trrxvv

;rrr

o

o1

∂∂

+ω+=

+=

unde ω este viteza unghiular` de rota\ie a reperului mobil ]i, [n acela]i timp, a vasului cu care reperul este solidar, fiind un vector liber care, pentru precizare, se consider` aplicat [n originea 0.

Dar, [n mi]carea relativ`, viteza se exprim` cu ajutorul a dou` componente, de transport ]i relativ`:

.t

rv ,rxvv ,vvv rotrt ∂

∂=ω+=+=

Accelera\ia:

( ) .vx2t

rrxxrxaa

;t

r

t

rx

t

rrxxrxvv

;t

rrxrxvv

r2

2

o

2

2

o

o

ω+∂

∂+ωω+ε+=

∂

∂+

∂∂

ω+

∂∂

+ωω+ω+=

∂∂

+ω+ω+=

(5.1.3)

Similar, accelera\ia se exprim` cu ajutorul a trei componente - de transport, relativ` ]i complementar` (Coriolis):

( ) .vx2a ,t

ra ,rxxrxaa ,aaaa rc2

2

rotcrt ω=∂

∂=ωω+ε+=++= (5.1.4)

Se introduc condi\iile repausului relativ:

( ) ( ),rxxrxaa=a : 0a ,0a ,0v otcrr ωω+ε+==== (5.1.5)

iar ecua\ia repausului relativ (5.1.1) devine:

.0paf t =ρ∇

−− (5.1.6)

Pentru comoditate, de regul` se studiaz` repausul relativ al lichidului [n raport cu sistemul de referin\` mobil, scop [n care se proiecteaz` ultima ecua\ie pe acest sistem. Pentru repausul relativ [n c@mpul gravita\ional, rezult`:

;ka+ja+iaa

;ka+ja+iaa

;kg+jg+ig=kf+jf+iff ,gf

ozoyoxo

tztytxt

zyxzyx

=

=

==

;k+jy+ixr =

72

;k+j+i

;k+j+i

zyx

zyx

εεε=ε

ωωω=ω

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ;ky-zz-xjx-yy-z

i z-xx-y

x-y z-x y-z

k j i

rxx

;kxyjzxiyz

z yx

k j i

rx

;kxyjzxiyz

z yx

k j i

rx

zyyxzxyxxzyz

xzzyxy

yxxzzy

zyx

yxxzzyzyx

yxxzzyzyx

ωωω−ωωω+ωωω−ωωω+

+ωωω−ωωω=

ωωωωωω

ωωω=ωω

ε−ε+ε−ε+ε−ε=εεε=ε

ω−ω+ω−ω+ω−ω=ωωω=ω

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ωωω−ωωω+ε−ε+=

ωωω−ωωω+ε−ε+=

ωωω−ωωω+ε−ε+=

.y-zz-xxyaa

,x-yy-zzxaa

, z-xx-yyzaa

zyyxzxyxoztz

yxxzyzxzoyty

xzzyxyzyoxtx

Deci:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ωωω+ωωω−ε−ε−−=−=′

ωωω+ωωω−ε−ε−−=−=′

ωωω+ωωω−ε−ε−−=−=′

.y-zz-xxyagaff

,x-yy-zzxagaff

, z-xx-yyzagaff

zyyxzxyxozztzzz

yxxzyzxzoyytyyy

xzzyxyzyoxxtxxx

(5.1.7)

5.2 Mi]c`ri compatibile cu repausul relativ Ca ]i la repausul absolut, pentru integrarea ecua\iei repausului relativ se [nmul\e]te scalar aceast` ecua\ie cu vectorul de pozi\ie dr dintre dou` puncte infinit apropiate M ]i M' din lichid, rezult@nd:

.0

pddzfdyfdxf

0,=rdp

-rdf, 0p

-f .,ct

zyx =

ρ

−′+′+′

ρ∇′=

ρ∇′=ρ

(5.2.1)

Tot [n scopul integr`rii, pentru ca expresia ( dzfdyfdxf zyx ′+′+′ ) s` fie o

diferen\ial` total` exact`, trebuie s` existe o func\ie scalar` de punct, continu`, uniform` ]i derivabil`, numit` poten\ial masic, cu proprietatea:

.f=z

U ,f=y

U ,f =xU:)z,y,x('U zyx ′

∂′∂

−′∂′∂

−′∂′∂

− (5.2.2)

Se aplic` poten\ialului masic U' teorema de intervertire Schwartz:

.z

Ux

=xU

z,

yU

z=

zU

y ,

xU

y=

yU

x

∂′∂

∂∂

∂′∂

∂∂

∂′∂

∂∂

∂′∂

∂∂

∂′∂

∂∂

∂′∂

∂∂

(5.2.3)

73

Cu rela\iile (5.2.2), aceste rela\ii devin:

.x

f=

z

f,

z

f=

y

f ,

y

f=

x

fzxyzxy

∂′∂

∂′∂

∂

′∂

∂′∂

∂′∂

∂

′∂

{n continuare, se deriveaz` componentele for\ei unitare f ' ,(5.1.7), [n

ipoteza c` accelera\ia oa este constant`:

ct.= 0,= : 0 , 0 , 0

;---,--- , -=-

.;cta.,cta.,cta,0aaa

yxz

zxyxzyyzxzyxxyzyxz

ozoyoxozoyox

ωε=ε=ε=ε

ωωε=ωωεωωε=ωωεωωεωωε−

======

(5.2.4)

Pentru repausul relativ al unui lichid [n raport cu vasul ce-l con\ine, rota\ia vasului trebuie deci s` fie uniform`. Cu acestea, componentele for\ei unitare (5.1.7) devin:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

ωωω+ωωω−−=′

ωωω+ωωω−−=′

ωωω+ωωω−−=′

.y-zz-xagf

,x-yy-zagf

, z-xx-yagf

zyyxzxozzz

yxxzyzoyyy

xzzyxyoxxx

(5.2.5)

{n cazul particular c@nd axa 0z se ia dup` ω , fig. 5.2.1, rezult`:

Fig.5.2.1. Fig.5.2.2.

,agf ,yagf ,xagf

: ,0

ozzz2

oyyy2

oxx'x

zyx

−=′ω+−=′ω+−=

ω=ω=ω=ω (5.2.6)

iar c@nd axa 0z este ]i vertical`, ascendent`, fig. 5.2.2, mai rezult`:

.agf ,yaf ,xaf:gg ,0gg ozz2

oyy2

oxxzyx −−=′ω+−=′ω+−=′−=== (5.2.7)

5.3 Ecua\ia presiunii

Se ob\ine introduc@nd [n rela\ia repausului relativ (5.2.1) rela\iile for\ei unitare (5.2.6), spre exemplu:

( ) ( ) ( ) ;dzagdyyagdxxagpd ozz2

oyy2

oxx −+ω+−+ω+−=

ρ

ω ω

0

z z

x x

y

y 0

g g

74

( ) ( ) ( ) ( ).ydyxdxdzagdyagdxagpd 2ozzoyyoxx +ω+−+−+−=

ρ

Integr@nd nedefinit ultima rela\ie, rezult` ecua\ia presiunii:

( ) ( ) ( ) ( ) .Cyx2

zagyagxagp 22

2

ozzoyyoxx ++ω

+−+−+−=ρ

(5.3.1)

Suprafe\ele izobare vor fi:

( ) ( ) ( ) ( ) .0p

Cyx2

zagyagxag:.ctp 222

ozzoyyoxx =

ρ

−++ω

+−+−+−= (5.3.2)

{n sf@r]it, atunci c@nd axa 0z este vertical`, ascendent` ]i accelera\ia de transla\ie ao este nul`, vasul av@nd deci numai o rota\ie uniform`, ecua\iile presiunii ]i suprafe\elor izobare, fig. 5.3.1, vor fi:

Fig. 5.3.1

( )

( ) .0pCyx2

gz- : ctp

;Cyx2

gzp

:0aaa,gg,0gg

222

222

ozoyoxzyx

=

ρ

−++ω

+=

++ω

+−=ρ

===−===

(5.3.3)

Folosind coordonatele cilindrice, se ob\ine:

,0

pCr

2gz- ;Cr

2gz

p

:z=z ,rsin= y,cosrx

22

22

=

ρ

−+ω

++ω

+−=ρ

θθ=

(5.3.4)

suprafe\ele izobare fiind deci paraboloizi de rota\ie [n jurul axei 0z.

r

0 y

x

z

z ω

g θ