- 31 -

3.6. Analiza sistemelor de reglare automat pe baza metodelor de frecven

Metodele de analiz a sistemelor automate descrise pn aici necesit rezolvarea

ecuaiilor caracteristice aferente ecuaiilor difereniale care descriu funcionarea sistemelor. Pe de alt parte, cunoscnd funcia de transfer a sistemului, se aplic transformata Laplace invers mrimii de ieire Y(s)=H0(s)W(s), ceea ce impune cunoaterea rdcinilor numitorului funciei de transfer, deci tot cunoaterea rdcinilor ecuaiei caracteristice.

n cazul sistemelor descrise matematic prin ecuaii difereniale de ordin mai mare dect doi, rezolvarea ecuaiei caracteristice presupune efectuarea de calcule laborioase.

n domeniul analizei sistemelor de reglare automat, metodele de frecven au avantajul c permit s se obin, cu o anumit aproximaie, rspunsul indicial al unui sistem i deci s se determine performanele sistemului fr a fi necesar rezolvarea ecuaiei caracteristice, aferente ecuaiei difereniale care descrie matematic funcionarea sistemului. De asemenea, metodele de frecven permit aprecierea stabilitii sistemului.

Reprezentarea n frecven a unui sistem se obine prin aplicarea la intrarea sistemului

a unui semnal sinusoidal a = A sint (sau cosinusoidal b = B cost) de frecven 2

=f , care n cazul sistemelor liniare determin la ieirea acestora un rspuns sinusoidal (sau cosinusoidal) cu amplitudinea i faza diferite fa de semnalul de la intrare.

Aprecierea rspunsului n frecven al unui sistem definit prin funcia de transfer H(s) se face prin nlocuirea s=j n expresia funciei de transfer i pentru diverse valori ale pulsaiei se determin modulul i argumentul funciei H(j). Se cunoate c variabila complex s=+j este constituit din partea real i din partea imaginar j, ns pentru fenomene periodice partea real =0, deci H(s)=H(+j)=H(j).

Se consider sistemul automat reprezentat sub forma schemei bloc

i mrimile de intrare i de ieire sunt

r=Rcos(t+i) y=Ycos(t+e)

Aplicnd relaiile cunoscute de la trigonometrie se obin r=R(cost cosi sint sini) y=Y(cost cose sint sine)

Reprezentarea variaiei n timp a mrimilor de intrare i de ieire este urmtoarea:

SA r y

- 32 -

i t e

Se aplic transformata Laplace relaiilor pentru r i y i se ine seama de transformata Laplace pentru sin t i pentru cos t.

)sincos()( 22 iissRsR += (3.65)

)sincos()( 22 eessYsY +=

Se scrie funcia de transfer a sistemului

ii

ee

ii

ee

jj

RY

ss

RY

sRsYsH

sincos)(sincos)(

sincossincos

)()()( +

+===

i se ine seama s=j (deoarece 0= ), H(s)=H(j):

ii

ee

jj

RYjH

sincossincos)(

= Se simplific fracia prin i se nmulete numrtorul i numitorul cu j ( 12 =j ):

ii

ee

jj

RYjH

sincossincos)( +

+= innd seama de formulele lui Euler

)()( iei

ej

j

je

RY

ee

RYjH

==

Funcia de transfer astfel exprimat se poate reprezenta n coordonate polare printr-un vector

de modul RY i argument ).( ie

Dac

22][sin += stL

22][cos += sstL

RY

r, yr

y

- 33 -

Y, e=f() atunci

)(])([ )()()( jj eHeR

YjH ie == n care: H() este modulul, () este argumentul sau faza.

Fiind o mrime complex, H(j) se poate scrie i sub forma: )()()()( ImRe

)( jHHeHjH j +== 2Im

2Re )]([)]([)( HHH +=

)()()(

Re

Im

HHarctg=

Relaia )()()( jeHjH = reprezint caracteristica amplitudine-faz sau locul de

transfer. H()=f() reprezint caracteristica amplitudine-frecven (atenuare-frecven) care

este raportul dintre amplitudinile semnalelor de la ieire i de la intrare. Se mai noteaz A()=f().

()=f() reprezint caracteristica faz-frecven, adic defazarea ntre semnalul de la ieire i cel de la intrare.

3.6.1. Caracteristica amplitudine-faz

Caracteristica amplitudine-faz, sau locul de transfer, se traseaz pentru sistemul n circuit deschis (fr reacie), fiind utilizat pentru aprecierea stabilitii sistemului, precum i pentru obinerea celorlalte caracteristici de frecven. Caracteristica amplitudine-faz reprezint hodograful vectorului H(j) n planul complex pentru valori ale lui n domeniul +

- 34 -

Pentru a ilustra modul de trasare al hodografului considerm un sistem cu reacie

neunitar HT(s) 1 (adic traductorul are funcia de transfer neunitar), a crui funcie de transfer cu bucla de reacie deschis Hd(s) este dat de relaia

1

1)()( +== TssHHsH Td care reprezint un sistem de ordinul nti. nlocuim js = i obinem

HHT(j) 222222 111

11

)1)(1(1

11

TTj

TTTj

TjTjTj

Tj

+++=+

=+++=+=

11

111)(

22

2

22

2

22 +=

++

+= TTT

TjHHT

TarctgTarctgjHHjHHarctg

T

T === )(

)(Re)(Im)(

n figur se prezint locul de transfer (hodograful) pentru un sistem de ordinul nti. Pentru frecvene negative ( 0 ) locul de transfer este imaginea n oglind n raport cu axa real a locului pentru frecvene pozitive. Pentru un sistem de ordinul al doilea trasarea locului de transfer pornete de la expresia

vectorului )( jH obinut din funcia de transfer a sistemului de ordinul doi

22

2

2)(

nn

n

sssH

++=

prin nlocuirea js = .

=-90=

=0 =0Re

Im

- 35 -

[ ]

+

+

=

=+++=++=

2

22

2

2

24

4

2

22

2

2

24

2

24

222222

3422

22

2

41

2

41

1

4

22

)(

nnn

nn

nnn

nn

nn

nnn

nn

n

j

jj

jH

Modulul acestui vector este

22

22

22

2

22

2

22

22

2Im

2Re

41

1

41

41

)()()(

+

=

=

+

+

=+=

nn

nn

nnjHjHjH

iar argumentul este

21

2)(

=

n

narctg

Forma locului de transfer pentru sistemul de ordinul doi este dat n figura urmtoare.

Im

Re

21

1

3

- 36 -

3.6.2. Caracteristici logaritmice de frecven

n analiza i proiectarea sistemelor cu bucla de reacie deschis au o larg utilizare caracteristicile amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie n reprezentare logaritmic (caracteristicile Bod), datorit unor avantaje:

1. Un prim avantaj permite construcia acestor caracteristici pentru un domeniu mai mare de frecvene dect scara liniar.

2. n al doilea rnd, la scri logaritmice cresc razele de curbur ale graficelor i deci acestea pot fi aproximate prin segmente de dreapt (prin asimptotele lor), fr erori importante.

3. n al treilea rnd, reprezentrile la scri logaritmice permit o trecere mai uoar de la caracteristicile elementelor componente la caracteristica unui ansamblu de elemente. Astfel, de exemplu, n cazul a trei elemente legate n serie, avnd caracteristicile amplitudine-pulsaie

,)(,)(,)( 321 jHjHjH caracteristica amplitudine-pulsaie )( jH a ansamblului se obine ca produs al celor trei caracteristici: )()()()( 321 jHjHjHjH = produs care trebuie efectuat cu modulele corespunztoare aceleiai valori pentru pulsaia ; operaia este laborioas. Dac reprezentarea caracteristicilor se face la scri logaritmice, atunci are loc relaia:

)(log)(log)(log)(log 321 jHjHjHjH ++= i deci caracteristica logaritmic a ansamblului se obine printr-o sumare grafic simpl a caracteristicilor elementelor componente. Amplitudinea unei funcii de transfer )( jHd (pentru un sistem cu bucla de reacie deschis sau n circuit deschis) se exprim n decibeli

][)(lg20)( dBjHA d = Caracteristicile amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie sunt cunoscute sub denumirea de caracteristici Bod. Caracteristica amplitudine-pulsaie reprezint dependena amplitudinii, msurat n decibeli, de logaritmul frecvenei, iar caracteristica faz-pulsaie reprezint dependena ntre faz i logaritmul frecvenei.

La caracteristica faz-pulsaie numai axa pulsaiilor este gradat logaritmic, iar axa ordonatelor este gradat n radiani sau n grade, deoarece la nmulirea mai multor vectori compleci (care apare cnd mai multe elemente sunt legate n serie i se determin caracteristica ansamblului) argumentele se nsumeaz; nu apare astfel necesitatea logaritmrii, cum aprea n cazul modulelor, la care intervenea operaia de nmulire.

- 37 -

3.6.3. Caracteristici logaritmice de frecven pentru elemente tipizate

Pentru trasarea acestor caracteritici vom aproxima rspunsul lor n frecven prin

asimptotele obinute la 0 i . Elementul proporional, definit prin funcia de transfer H(s)=k, are amplitudinea egal cu

k i argumentul zero. (vezi exprimarea funciei de transfer cu ajutorul formulei lui Euler )()()( jeHjH = )

La trasarea caracteristicii )( se ine seama c === karctgH

Harctg 0)()()(

Re

Im .

Elementul de ntrziere de ordinul nti, 1

1)( += TssH . nlocuind js = rezult

111

11

11)( 222222 ++=+

=+= TTj

TTTj

TjjH

,

de unde

][1lg201

1lg20)(lg20)( 2222

dBTT

jHA +=+

==

)()()(arg)( TarctgTactgjH === Caracteristica )(A are dou asimptote, care pot fi determinate considernd nti

T 1. Pentru T

- 38 -

iar pentru >>1, deci pentru T1>> , aceeai expresie se poate aproxima prin:

TTTA lg20lg20)lg(20lg20)( 22 == Asimptota corespunztoare expresiei 01lg20)( =A coincide cu axa absciselor. Asimptota corespunztoare expresiei TA lg20lg20)( are o pant de 20 dB/dec i intersecteaz axa absciselor la pulsaia

T1= , deoarece din TA lg20lg20)( rezult:

0)1lg(20)( == TT

A Caracteristica logaritmic aproximativ amplitudine-pulsaie, format din cele dou segmente de asimptote, este reprezentat n figura urmtoare n partea a), iar caracteristica faz-pulsaie, corespunztoare relaiei )()( Tarctg = , este reprezentat n partea b) a figurii, avnd n vedere c 0)0( = i

2)( = (se reamintete c

)()()(arg)( TarctgTactgjH === ).

A[dB]

[rad/s]

a

0

-20

10-1 1 1/T 10

-20dB/dec

[rad/s] 10-1 1/T 1 10

-/4

-/2

b

102

- 39 -

Pulsaia Tf1= este denumit pulsaie de frngere, ntruct la aceast pulsaie are loc

schimbarea de pant a asimptotelor. Pulsaia de frngere este egal cu inversul constantei de timp a elementului; aceast regul este valabil i pentru alte tipuri de elemente n a cror funcie de transfer intervin constante de timp.

Funcia de transfer a elementului de ntrziere de ordinul nti are un pol la T

s 1= , deci pulsaia de frngere este egal cu modulul valorii polului funciei de transfer. Aceast regul este general, adic pulsaiile de frngere sunt egale cu modulele polilor i zerourilor funciei de transfer a elementului respectiv.

Pentru un element de ordinul doi a crui funcie de transfer 22

2

2)(

nn

n

sssH

++=

conine doi poli complex conjugai ( 10 >n) i pentru >

Intersecia celor dou asimptote are loc la pulsaia de frngere nf = pentru care 01lglg ==

n

f

. Eroarea fcut prin adaptarea caracteristicii asimptotice n locul

caracteristicii exacte n acest caz depinde de valoarea lui :

[ ] [ ] ][)()( dBAA vaproximatiexact =

- 40 -

][lg4041lg202

22

dBnnn

+

+

=

Pentru n = aceast eroare are expresia ][2lg20 dB =

Reprezentarea grafic a caracteristicilor amplitudine-pulsaie i faz-pulsaie pentru diverse valori ale lui este dat n figura urmtoare. A(dB) 20 =0.1 10 =0.2 =0.3 0 0.2 0.5 1 5 10 (rad/s) -10 =0.5 =0.707 -20 -30

a. (grad)

0.2 0.5 1 2 5 10 [rad/s]

0 =0.1 =0.3 -40 =0.5 =0.707 -60 -120 -160 -180

b.

- 41 -

Faza unui element de ordinul doi variaz ntre 00= pentru frecvene joase i

0180= pentru frecvene foarte nalte.