Cap 10 Sisteme Static Nedeterminate
-
Upload
iancu-tudor -
Category
Documents
-
view
31 -
download
1
Transcript of Cap 10 Sisteme Static Nedeterminate
CAPITOLUL 10
SISTEME STATIC NEDETERMINATE
10.1. GENERALITǍŢI. GRAD DE NEDETERMINARE. SISTEM DE BAZǍ.
În sens mai larg decât în mecanică, prin sistem static
nedeterminat se înţelege acela la care nu se pot determina eforturile
în toate barele, cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru ale mecanicii
teoretice.
Sistemele de bare întâlnite în construcţiile inginereşti pot fi,
după modul de solicitare şi aplicare a forţei exterioare, de douǎ feluri:
grinzi cu zăbrele (Fig. 10.1, a şi 10.1, b), formate din bare
drepte, articulate la capete şi încărcate numai în noduri;
cadre, formate din bare drepte sau curbe, legate între ele în
mod rigid sau articulat şi încărcate oricum, ceea ce face ca în bare
sǎ se producă eforturi .
Grinzile cu zăbrele sunt static determinate atunci când între
numărul de noduri n şi de bare b există relaţia:
Dacă b este mai mare decât valoarea dată de această relaţie,
grinda este static nedeterminată. Gradul de nedeterminare este:
(10. 1)
218
Prin urmare, grinda din Fig. 10. 1, a, având şi , este
static determinată, pe când cea din Fig. 10. 1, b, cu acelaşi număr de
noduri, dar cu două bare în plus, este dublu static nedeterminată.
Un cadru este static nedeterminat exterior atunci când
numărul de necunoscute din reazeme este superior numărului de
ecuaţii de echilibru din mecanică. În asemenea cazuri, gradul de
nedeterminare este diferenţa dintre numărul de necunoscute şi cel
de ecuaţii de echilibru. Cadrul plan din Fig. 10.1, c, solicitat prin forţe
aplicate în planul său, are 5 necunoscute în reazeme şi 3 ecuaţii,
deci este dublu static nedeterminat.
Cadrul din Fig. 10. 1, d este static determinat exterior, căci
numărul reacţiunilor este egal cu al ecuaţiilor de echilibru. În schimb,
el este static nedeterminat interior, căci arc un contur închis, la
care nu se pot determina eforturile N, T, M. Cadrul închis din Fig.
10.1, e, fără reazeme, este, de asemenea, static nedeterminat. La un
astfel de contur închis (în plan), se poate face o secţiune oarecare
(Fig. 10. 1, f), în care se introduc eforturile N, T, M, — notate aici cu
X1, X2, X3, — ,care nu pot fi determinate din ecuaţiile de echilibru
exterior. Rezultă că un contur plan închis este triplu static
nedeterminat. Deci cadrul din Fig. 10. 1 d este triplu static
nedeterminat.
Prin urmare, la un cadru plan, gradul de nedeterminare este
egal cu numărul necunoscutelor din reazeme plus de trei ori numărul
contururilor închise minus trei (numărul de ecuaţii de echilibru).
Cadrul din Fig. 10. 1, g este de 5 ori static nedeterminat.
Gradul de nedeterminare poate fi micşorat prin existenţa
articulaţiilor interioare. Astfel, la cadrul din Fig. 10. 1, h, există o
219
articulaţie care leagă două bare. Dacă se secţionează conturul închis
chiar în articulaţie, acolo momentul este nul şi rămân numai două
necunoscute static nedeterminate. Prin urmare, cadrul din Fig. 10. 1,
h, este de 5 ori static nedeterminat. Când în articulaţie se întâlnesc
trei bare (Fig. 10. 1, i), gradul de nedeterminare scade cu 2: cadrul
din Fig. 10. 1., i este de 4 ori static nedeterminat. În general, dacă
într-o articulaţie concură bare, aceasta micşorează cu gradul
de nedeterminare faţă de regula generalǎ.
Cadrul din Fig. 10. 1, j, cu 8 necunoscute în legǎturile
exterioare şi cu un contur închis, este
Fig. 10. 1
220
de 8 ori static nedeterminat. Se observă că bara din dreapta este
articulatǎ la cadru, fără ca articulaţia să afecteze bara verticală. Ca
urmare, bara din dreapta , fără forţe exterioare, este supusă numai la
o forţă axială, deci legătura ei exterioarǎ reprezintă o singură
necunoscută.
Fig. 10. 2
În spaţiu, numărul de necunoscute şi de ecuaţii creşte în mod
corespunzător: încastrarea are 6 necunoscute, un contur închis este
de 6 ori static nedeterminat, există 6 ecuaţii de echilibru. Ca urmare,
cadrul din Fig. 10, 1, n, cu două picioare încastrate, este de 12 ori
static nedeterminat.
Un caz simplu îl constituie barele drepte static nedeterminate,
solicitate prin forţe în plan. Bara din Fig. 10. 1, k, cu 4 necunoscute în
reazeme şi 3 ecuaţii, este simplu static nedeterminata; cea din Fig.
221
10.1, l este triplu static nedeterminat. Grinda continuă din Fig. 10, 1,
m, încărcată numai cu forţe verticale, dispune numai de două ecuaţii
de echilibru. Având 5 reazeme simple, ea este triplu static
nedeterminată.
În mod curent, la cadre, barele verticale se numesc stâlpi, iar
cele orizontale, rigle. Dimensiunile şi momentele de inerţie ale
acestora se notează de obicei ca în Fig. 10, 1, e.
Literatura tehnică cunoaşte diferite metode de rezolvare a
sistemelor static nedeterminate. Principial, toate metodele pornesc
de la faptul că ecuaţiile de echilibru ale staticii pot fi completate cu o
serie de ecuaţii, bazate pe considerente de deformaţii. Pentru cadre
relativ simple, de felul celor care se întâlnesc în aplicaţiile inginerului
mecanic, una dintre cele mai comode metode de rezolvare este
metoda eforturilor. În această metodǎ se transformă sistemul static
nedeterminai în unul static determinat, numit sistem de bază sau
sistem fundamental, suprimând atâtea legături exterioare sau
interioare (la contururi închise) cât este necesar.
În locul fiecărei legături suprimate se introduce un efort (static)
nedeterminat, notat, de obicei, cu X1, X2, X3,... Aşa de exemplu, în
locul unui reazem simplu se introduce o singură, forţă; tot la fel,
atunci când o articulaţie se înlocuieşte cu un reazem simplu; în locul
unei articulaţii suprimate se introduc două forţe; în locul unei
încastrări se introduc două forţe şi un cuplu; la înlocuirea unei
încastrări prin articulaţie se introduce un cuplu; la o secţiune
completǎ într-un contur interior se introduc două forţe şi un cuplu;
introducerea unei articulaţii interioare fără tăierea barei cere
introducerea unui cuplu necunoscut.
222
Este evident că transformarea sistemului real în sistem de
bază se poate face în diferite feluri. Dintre toate variantele, se va
alege aceea care este mai comodă pentru calcule, aşa cum va
rezulta din aplicaţiile ce urmează.
În Fig. 10.2 se arată unele variante ale sistemului de bază al
unui cadru de 6 ori static nedeterminat în Fig. 10.2, b, sistemul de
bază se obţine prin tăierea celor două bare orizontale şi introducerea
necunoscutelor X1, X2, X3,..., X6. În Fig. 10. 2, c, s-a suprimat un
reazem şi s-a secţionat o bară a conturului închis în Fig. 10. 2, d, un
reazem s-a transformat în articulaţie, altul în reazem simplu, iar o
bară a conturului închis a fost tăiată. O soluţie similară, este cea din
Fig. 10.2, e.
Considerând eforturile X1, X2, ... cunoscute, sistemul de bază
trebuie să fie, pe de o parte, static determinat, pe de altă parte,
indeformabil geometric adică să nu permită deplasări cinematice. Din
acest ultim punct de vedere, variantele din Fig. 10. 2, f şi g nu sunt
sisteme de bază corecte, căci permit deplasări mari în jurul
articulaţiilor A.
10.2. ECUAŢIILE FUNDAMENTALE ALE METODEI EFORTURILOR
Stabilirea ecuaţiilor fundamentale va fi precedată de exemplul
unui cadru simplu static nedeterminat arătat în Fig. 10.3, a.
Pentru realizarea sistemului de bază este necesar a se
suprima o singură legăturǎ. În cazul de faţă se va suprima legătura
pe orizontală din articulaţia 1, înlocuind-o prin necunoscutǎ static
nedeterminată X1 (Fig. 10.3, b).
223
Principial, în metoda
eforturilor se exprimă deplasările
în diferite puncte ale sistemului
de bază, datorate sarcinilor date
şi necunoscutelor static
nedetermi- nate, scriind că ele
sunt identice cu cele din sistemul
static nedeterminat dat.
În cazul de faţă se va
scrie că în reazemul 1
deplasarea pe orizontală a
sistemului de bază, fie ea ,
este nulă, ca şi în sistemul iniţial.
În acest scop, este convenabil a
folosi principiul suprapunerii
efectelor, în modul următor: Fig.10.3
1) Se consideră întâi că în sistemul de bază lucrează numai
sarcinile exterioare date, în cazul de faţă sarcina p, deci nu există
forţa X1 şi se calculează deplasarea ce le corespunde pe direcţia
forţei X1, adică deplasarea din Fig. 10.3, c.
2) Se consideră apoi că în sistemul de bază lucrează numai
forţa X1 si se calculează deplasarea corespunzătoare; este preferabil
ca în locul forţei X1, să se aplice forţa unitară , care produce
224
deplasarea arătată în Fig. 10. 3, d. Atunci unei forţe X1, îi va
corespunde o deplasare .
3) Aplicând principiul suprapunerii efectelor, se scrie că
deplasarea totalǎ este nulă:
de unde rezultă:
(10. 2)
Relaţia (10.2) are un caracter general, deplasările şi
putându-se calcula prin orice metodă.
Se va continua problema folosind, în acest scop, metoda
Mohr-Maxwell. Se construieşte, în Fig. 10. 3, e, diagrama de
momente M corespunzătoare sistemului de bază încărcat cu sarcina
dată, iar în Fig. 10. 3, f cea corespunzătoare sistemului cu sarcina
unitară.
Pentru calculul lui se ia aria diagramei M din Fig. 10. 3, e
şi se înmulţeşte, după regula lui Veresceaghin, cu ordonata
diagramei m din dreptul centrului de greutate al diagramei M:
Pentru calculul lui , diagrama m serveşte atât ca diagramă
de momente a sarcinilor cât şi ca diagramă a sarcinii unitare. Pentru
cele două triunghiuri identice, rezultă:
225
Se observă că la calculul lui ordonatele diagramei m sunt
negative, pe când abscisele, reprezentând lungimile barelor, sunt
pozitive. Aplicând relaţia (10. 2), rezultă:
Conform Fig. 10. 3, a, se obţine:
Scriind ecuaţiile de proiecţii pe verticală şi de momente, se
află:
Cu aceste valori se construieşte diagrama de momente
încovoietoare reală din Fig. 10. 3, g. Pentru aflarea momentului
maxim de pe bara orizontalǎ se anulează expresia forţei tăietoare:
unde x se măsoară de la reazemul 2 spre stânga. Momentul maxim
226
este:
În Fig. 10. 4, a s-a ales un alt sistem de bază al aceluiaşi
cadru înlocuind reazemul articulat 2 prin reazem simplu, respectiv
introducând efortul static nedeterminat X2.
Fig. 10. 4
Procedând pe aceeaşi cale pentru sarcinile exterioare din Fig.
10.4, b se află diagrama M din Fig. 10. 4, d, iar pentru sarcina unitară
din Fig. 10. 4,c se aflǎ diagrama din Fig. 10. 4, e.
Aplicând regula lui Veresceaghin, rezultă:
227
Se regăseşte valoarea reacţiunii V2 calculată anterior, deci
rezultatele sunt aceleaşi.
La sisteme multiplu static nedeterminate, se procedează la o
generalizare a metodei expuse. Ca urmare, se suprimă o serie de
legături, obţinând sistemul de bază, solicitat prin încărcarea dată,
plus eforturile X1, X2, X3, care înlocuiesc legăturile suprimate. Se
scrie că deplasările în dreptul acestor eforturi sunt nule, obţinând
ecuaţiile:
(10. 3)
Ecuaţiile (10. 3) poartă numele de ecuaţii de condiţie sau
ecuaţii canonice în metoda eforturilor. Se precizează semnificaţiile
coeficienţilor din aceste ecuaţii:
este deplasarea pe direcţia efortului produsă de o
sarcină unitară aplicată în acelaşi punct şi pe
aceeaşi direcţie cu ;
- deplasarea pe direcţia efortului , produsă de sarcina
unitară, aplicată în aceiaşi punct cu şi având
direcţia lui ;
228
- deplasarea pe direcţia efortului , produsă de sarcina
unitară având direcţia şi punctul de aplicaţie al lui ;
- deplasarea pe direcţia efortului produsă de sarcinile
exterioare aplicate sistemului, cînd nu există
eforturile .
Toate deplasările se înţeleg în sistemul de bază (static
determinat). Coeficienţii , din sistemul (10. 3) pot fi determinaţi prin
metoda Mohr-Maxwell sau pe altă cale. În baza teoremei
reciprocităţii deplasărilor se poate scrie .
După determinarea eforturilor , se pot calcula eforturile N, T,
M din bare cu ajutorul principiului suprapunerii efectelor sau al
sistemului de bază, în care acum toate forţele sunt cunoscute.
Se va preciza modul de calculare a coeficienţilor prin
metoda Mohr-Maxwell. Dacă se notează : M"—momentul încovoietor
într-o secţiune oarecare a sistemului de bază, produs de forţele
exterioare date ; m1, m2,..., mi - momentul încovoietor într-o secţiune
oarecare a sistemului de bază, produs de sarcina unitară, aplicată pe
direcţia şi în punctul de aplicaţie al necunoscutei static nedeterminate
X1, X2,...,Xi atunci coeficienţii din ecuaţiile (10.3) sunt:
229
(10. 4)
Aplicând metoda de integrare a lui Veresceaghin, se
calculează:
din diagramele M° şi m1 ;
din diagrama m1 cu ea însăşi;
din diagrama, m1 cu diagrama m2 luând suprafaţa
uneia şi ordonatele celeilalte (după voie).
Este de la sine înţeles că rezolvarea unui sistem static
nedeterminat are ca scop final determinarea eforturilor în bare,
urmată de dimensionarea sau verificarea acestora.
Din relaţiile anterioare, se vede ca pentru rezolvarea
sistemului static nedeterminat trebuie să fie cunoscute rigidităţile
barelor EI, respectiv EA sau GId. În asemenea cazuri, va avea loc o
verificare de rezistenţă a sistemului.
Nu întotdeauna problema se pune în acest fel. Uneori se dă
schema geometrică şi schema de încărcare a sistemului şi se cere
dimensionarea, deci rigidităţile barelor sunt necunoscute. Atunci
rezolvarea problemei se face prin aproximaţii succesive:
În prima etapă se aleg rigidităţi arbitrare ale barelor şi se face
rezolvarea sistemului static nedeterminat.
230
Cu eforturile aflate se face o primă dimensionare a barelor,
după care se trece la o nouă rezolvare a sistemului static
nedeterminat.
Calculul se repetă de mai multe ori, până când, de la o
aproximaţie la alta. nu se mai obţin diferenţe sensibile ale eforturilor,
deci ale rigidităţilor barelor.
10.3. SlMETRII ÎN SlSTEME STATIC NEDETERMINATE. CADRE PLANE
Rezolvarea unui sistem cu un
grad mare de nedeterminare este o
operaţie dificilă, datorită atât
calculării unui mare număr de
deplasări cât şi rezolvării unui
sistem liniar cu un mare număr de
ecuaţii. Pentru asemenea cazuri s-
au elaborat numeroase metode
speciale de rezolvare, studiate în
statica construcţiilor şi în alte lucrări
din specialitatea ingineriei. Folosirea
calculatoarelor electronice uşurează
mult aceste operaţiuni.
Inginerul mecanic întâlneşte,
în aplicaţiile sale, sisteme cu grad
relativ mic de nedeterminare.
Adeseori aceste sisteme prezintă
anumite simetrii, care permit, de la
231
început, determinarea unor necunoscute, fie cǎ sunt nule, fie cǎ sunt
egale pe perechi, ceea ce micşorează gradul de nedeterminare, deci
reduc calculele.
În Fig. 10.5 s-a reprezentat schema eforturilor N, T, M în
secţiunea, unei bare drepte. Dacă am considera secţiunea ca un
plan de simetrie, deci am suprapune cele două jumătăţi ale
desenului, se constată că eforturile N şi M sunt simetrice, iar
eforturile T sunt antisimetrice. Această proprietate se regăseşte la.
diagramele T, M ale unei bare.
Aşa, de exemplu, la bara simetrică din Fig. 10.6, a, diagrama
M este simetrică, iar T este an-
tisimetrică. Invers, la bara încărcată antisimetric din Fig. 10.6, d,
diagrama M este antisimetrică, iar T este simetrică. Se observǎ cǎ,
în planul de simetrie al figurii (Fig. 10.6, c şi e) efortul antisimetric
este nul.
Aceeaşi proprietate se întâlneşte la orice cadru simetric sau
antisimetric. Fie cadrul dublu încastrat din Fig. 10.7, care, după
regula generală, este triplu static nedeterminat. Dacă se ia sistemul
de bază ca în Fig. 10.7, b, apar trei necunoscute, X1, X2, X3. În cazul
încărcării simetrice din Fig. 10.7, a. secţionând cadrul prin planul de
simetrie, forţa tăietoare este nulă şi apar numai eforturile şi
(Fig. 10.7, c). Pentru cadrul antisimetric din Fig. 10.7, d,
componentele N, M în planul de simetrie sunt nule şi există numai
forţa tăietoare . În acest fel, gradul de nedeterminare s-a
micşorat de la trei la doi pentru cadrul simetric, respectiv la unu
pentru cel antisimetric. Uneori, considerente de simetrie permit
determinarea imediată a unor necunoscute static nedeterminate cară
232
nu sunt nule. Aşa, de exemplu, inelul din Fig. 10.8, datorită simetriei,
nu are forţă tăietoare în secţiunea AB. Considerente de simetrie dau
valoarea forţei axiale , aşa că inelul rămâne de fapt simplu
static nedeterninat.
Fig. 10. 7 Fig. 10. 8
APLICAŢIE
Sǎ se construiască diagrama de momente încovoietoare pentru cadrul din
figurǎ. Cadrul fiind antisimetric, se ia sistemul de bazǎ ca în figura b. cu singura
necunoscutǎ X, (în planul de simetrie, forţa axialǎ şi momentul încovoietor sunt
nule).
Se construiesc diagramele M° (datoritǎ sarcinilor exterioare) şi m (datoritǎ
forţei unitare, pe direcţia lui X1,). Din diagramele M0 şi m rezultǎ:
Din diagrama m, înmulţită cu ea însǎşi. se află:
233
Se aplicǎ relaţia (10. 2):
Cunoscând această valoare, se aflǎ momentele:
cu care se construieşte diagrama din figura, e, care este antisimetrică.
234