I.v.nemoianu_CAMPUL ELECTROMAGNETIC (Regimurile Static Si Stationar)

IOSIF VASILE NEMOIANU

CÂMPUL ELECTROMAGNETIC (regimurile static şi staţionar)

●

MATRIX ROM Bucureşti 2008

Concepţia şi redactarea lucrării se înscriu în

spiritul acad. prof. Remus Răduleţ, creatorul Şcolii Electrotehnice moderne. Elaborarea ei se remarcă prin rigurozitate, consecvenţă, logicǎ şi spirit sintetic cu totul remarcabil, care îi conferă o prezentare mai deosebită faţǎ de cele ale altor lucrări privind aceeaşi temă, elaborate de-a lungul anilor în învăţământul universitar de electrotehnică.

acad. prof. Andrei Ţugulea

v

PREFAŢĂ

Teoria mărimilor fizice ca şi axiomatizarea teoriei câmpului electromag-netic, au fost elaborate în Catedra de Electrotehnică a Universităţii „Politehnica” din Bucureşti, din iniţiativa, în spiritul şi sub conducerea regretaţilor profesori Remus Răduleţ, Alexandru Timotin, membri titulari ai Academiei Române şi a profesorului Andrei Ţugulea, membru titular al Academiei Române. Multe dintre metodele originale de definire a mărimilor de stare ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic au fost elaborate în catedră şi însuşite nu numai de principalele catedre de Electrotehnică din ţară, dar şi de Comisia Electrotehnică Internaţională, care le-a adoptat, integrându-le în terminologia electrotehnică standardizată şi recomandându-le întregii comunităţi ştiinţifice de specialitate.

Acest volum, care încearcă să cuprindă şi să sintetizeze o primă parte a teoriei câmpului electromagnetic, este rodul audierii ca student a cursurilor profesorului Andrei Ţugulea, dar şi al observaţiilor şi recomandărilor de înaltă competenţă ale domniei sale privind prezentarea acestui material, astfel încât, să poată fi de folos, atât studenţilor, cât şi masteranzilor şi doctoranzilor. Autorul îi adresează pe această cale mulţumirile sale respectuoase. De asemeni, mulţumeşte călduros profesorului Augustin Moraru pentru rolul său deosebit în formarea lui profesională, atât pentru sfaturile şi sugestiile acordate cu prilejul redactării tezei de doctorat, al cărui conducător ştiinţific a fost, cât şi ulterior. Aceeaşi gratitudine se îndreaptă şi spre profesorul Ioan Florea Hănţilă pentru îndrumările sale deosebit de valoroase de care a beneficiat încă de la absolvirea facultăţii.

Lucrarea cuprinde legile şi principalele teoreme ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic în regim static şi staţionar şi, ca urmare, nu include fenomenele care apar odată cu variaţia în raport cu timpul a mărimilor.

Autorul va fi recunoscător tuturor cititorilor care îi vor semnala eventuale erori sau omisiuni, de care va ţine seama în viitor.

Iosif Vasile Nemoianu

vii

CUPRINS

Prefaţă............................................................................................................... v

1. INTRODUCERE ........................................................................................ 1

1.1. Sisteme şi mărimi fizice......................................................................... 1 1.2. Mărimi scalare, vectoriale şi tensoriale ................................................. 3

1.2.1. Invariantul scalar. ............................................................................ 3 1.2.2. Vectorul ........................................................................................... 3 1.2.3. Tensorul de ordinul al doilea ........................................................... 4 1.2.4. Tensiuni şi fluxuri în câmpuri fizice................................................ 6

1.3. Stările electrice şi magnetice ale corpurilor........................................... 6

2. STAREA DE ÎNCĂRCARE ELECTRICĂ ŞI CÂMPUL ELECTROMAGNETIC ÎN VID .................................................................. 9

2.1. Conductoare şi izolanţi; stări de electrizare........................................... 9 2.2. Sarcina electrică ................................................................................... 10 2.3. Repartiţia sarcinilor electrice ............................................................... 12 2.4. Intensitatea câmpului electric în vid .................................................... 13 2.5. Inducţia magnetică în vid..................................................................... 14 2.6. Forţa electromagnetică......................................................................... 15

2.6.1. Invarianţa sarcinii faţă de sistemul de referinţă............................. 17 2.6.2. Dependenţa câmpului electric în vid de sistemul de referinţă....... 17 2.6.3. Invarianţa inducţiei magnetice în vid faţă de sistemul de referinţă ................................................................................................... 18 2.6.4. Dependenţa forţelor electrice şi magnetice de sistemul de referinţă .................................................................................................... 19

3. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID. TENSIUNEA, POTENŢIALUL ŞI FLUXUL ELECTRIC ................................................................................. 21

3.1. Formula lui Coulomb. Unităţi de măsură ............................................ 21 3.1.1. Sistemul de unităţi de măsură CGSFr ........................................... 22 3.1.2. Sistemul de unităţi de măsură CGSBi ........................................... 22 3.1.3. Sistemul internaţional de unităţi de măsură (SI) ........................... 23

3.2. Câmpul electric în vid al corpurilor încărcate ..................................... 24 3.2.1. Câmpul electric în vid al unei sarcini punctuale ........................... 24 3.2.2. Superpoziţia câmpurilor electrice în vid........................................ 25 3.2.3. Câmpul electric în vid al unor moduri de repartiţie a sarcinii....... 26

3.3. Aplicaţii. Câmpul electric al unor repartiţii de sarcină........................ 27

viii CUPRINS

3.3.1. Unghiul solid ................................................................................. 27 3.3.2 Câmpul electric în vid al unui plan infinit, uniform încărcat ......... 28 3.3.3. Câmpul electric în vid al unui fir rectiliniu, infinit, uniform încărcat.................................................................................................... 29

3.4. Tensiunea şi potenţialul în câmpul electric.......................................... 30 3.5 Potenţialul electric al corpurilor încărcate. ........................................... 36 3.6. Fluxul electric ...................................................................................... 37

4. STAREA DE POLARIZARE ELECTRICĂ ........................................ 39 4.1. Momentul electric ................................................................................ 39

4.1.1. Momentul electric al unui mic corp polarizat................................ 39 4.1.2. Forţa asupra unui mic corp polarizat plasat într-un câmp electric exterior ..................................................................................................... 41

4.2. Polarizaţia electrică .............................................................................. 45 4.3. Unităţi de măsură în SI ........................................................................ 45 4.4. Modelul coulombian al stării de polarizare electrică........................... 46

4.4.1. Dipolul electric .............................................................................. 46 4.4.2. Echivalenţa unui mic corp polarizat cu un dipol ........................... 47

4.5. Sarcinile electrice de polarizaţie .......................................................... 50 4.5.1. Densitatea de volum a sarcinii de polarizaţie ................................ 51 4.5.2. Densitatea de suprafaţă a sarcinilor de polarizaţie ........................ 52

4.6. Câmpul electric în vid al corpurilor polarizate electric ....................... 53 4.6.1. Câmpul electric în vid al unui mic corp polarizat ......................... 53 4.6.2. Câmpul electric în vid al unui corp masiv polarizat...................... 56

4.7. Caracterizarea câmpului electric în interiorul corpurilor..................... 57 4.7.1. Intensitatea câmpului electric în corpuri ....................................... 58 4.7.2. Inducţia electrică în corpuri ........................................................... 59 4.7.3. Teoremele lui Remus Răduleţ ale tensiunii şi fluxului electric .... 60

4.8. Potenţialul electric al corpurilor polarizate electric............................. 61 4.8.1. Potenţialul unui mic corp polarizat................................................ 61 4.8.2. Potenţialul unui corp masiv polarizat ............................................ 63

4.9. Permitivitatea ....................................................................................... 64 4.10. Clasificarea materialelor în funcţie de polarizarea lor....................... 64

4.10.1. Corpuri diaelelctrice .................................................................... 65 4.10.2. Corpuri paraelectrice ................................................................... 65 4.10.3. Corpuri feroelectrice.................................................................... 66 4.10.4. Corpuri cu polarizaţie permanentă .............................................. 67

4.11. Aplicaţii.............................................................................................. 67 4.11.1. Câmpul electric din interiorul unei fante practicate într-un dielectric................................................................................................... 67 4.11.2. Potenţialul unei sfere uniform polarizate .................................... 69

CUPRINS ix

4.11.3. Câmpul electric din interiorul a două plăci conductoare, scurtciruitate, între care se găseşte un bloc dielectric polarizat permanent................................................................................................. 70

5. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI ELECTRIC........................ 73 5.1. Ecuaţiile electrostaticii......................................................................... 73

5.1.1. Legea fluxului electric ................................................................... 73 5.1.2. Teorema potenţiaului electrostatic................................................. 76 5.1.3. Legea polarizaţiei electrice temporare:.......................................... 76 5.1.4. Legea legăturii dintre inducţie, intensitatea câmpului şi polarizaţie în câmpul electric (legea constitutivă electrică) ...................................... 76

5.2. Energia electrostatică ........................................................................... 77 5.2.1. Densitatea de volum a energiei electrice ....................................... 77 5.2.2. Energia electrostatică..................................................................... 79

5.3. Unicitatea şi superpoziţia câmpurilor electrostatice ............................ 82 5.4. Teoria ecuaţiilor lui Poisson şi Laplace. Ecuaţiile pentru potenţialul electric scalar............................................................................................... 84

5.4.1. Cazul în care mărimile ρv şi P sunt considerate cunoscute ........... 86 5.4.2. Cazul în care mărimile ρv şi ε sunt considerate cunoscute............ 86 5.4.3. Formula celor trei potenţiale.......................................................... 87

5.5. Forţe generalizate în câmpul electric ................................................... 91

6. CAPACITĂŢI ELECTRICE .................................................................. 99

6.1. Condensatorul electric ......................................................................... 99 6.2. Capacitatea condensatoarelor plan, cilindric şi sferic........................ 101

6.2.1. Capacitatea condensatorului plan ................................................ 101 6.2.2. Capacitatea condensatorului cilindric.......................................... 102 6.2.3. Condensatorul sferic .................................................................... 103

6.3. Teoremele lui Kirchhoff pentru reţele de condensatoare. Teoreme de echivalenţă ale reţelelor pasive ................................................................. 104

6.3.1.Teoremele lui Kirchhoff ............................................................... 104 6.3.2. Teoreme de echivalenţă ale reţelelor pasive de condensatoare... 107

6.4. Capacitatea liniei electrice bifilare, izolate........................................ 111 6.5. Ecuaţiile lui Maxwell pentru capacităţi ............................................. 113

7. STAREA ELECTROCINETICĂ ......................................................... 117

7.1. Circuitul electrocinetic....................................................................... 117 7.2. Câmpul electric imprimat .................................................................. 118 7.3. Tensiunea electromotoare. Teorema potenţialului electric staţionar. 120 7.4. Intensitatea curentului electric de conducţie...................................... 121 7.5. Densitatea curentului electric de conducţie ....................................... 124 7.6. Densitatea de linie a curentului de conducţie .................................... 126 7.7. Intensitatea şi densitatea curentului electric de convecţie ................. 127

x CUPRINS

7.8. Forţa lui Ampère. Unităţi de măsură pentru curent ........................... 129 7.8.1. Sistemul de unităţi CGSFr........................................................... 129 7.8.2. Sistemul de unităţi CGSBi........................................................... 129 7.8.3. Sistemul internaţional de unităţi de măsură (SI) ......................... 130

7.9. Legile şi teoremele câmpului electrocinetic staţionar ....................... 130 7.9.1. Teorema potenţialului electric staţionar ...................................... 130 7.9.2. Legea conducţiei electrice (legea lui Ohm)................................. 131 7.9.3. Legea transformării de energie în conductoare parcurse de curenţi de conducţie (legea Joule–Lenz) ........................................................... 135 7.9.4. Legea de conservare a sarcinii electrice ...................................... 137

7.10. Procese electrochimice. Specii de câmpuri electrice imprimate ..... 145 7.10.1. Electroliza .................................................................................. 145 7.10.2. Specii de câmpuri electrice imprimate ...................................... 148 7.10.3. Pile şi acumulatoare................................................................... 152

8. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR. TENSIUNEA, POTENŢIALUL ŞI FLUXUL .................................................................. 155

8.1. Câmpul magnetic al unui conductor filiform, rectiliniu, infinit, parcurs de curent de conducţie............................................................................... 155 8.2. Superpoziţia în vid a inducţiilor magnetice ....................................... 157 8.3. Teorema Biot – Savart – Laplace ...................................................... 159 8.4. Inducţia magnetică a unor repartiţii de curent ................................... 164

8.4.1. Inducţia magnetică a unei pânze de curent.................................. 164 8.4.2. Inducţia magnetică a curenţilor unui conductor masiv ............... 165

8.5. Aplicaţii.............................................................................................. 165 8.5.1. Inducţia magnetică a unui conductor filiform, rectiliniu, infinit, parcurs de un curent de conducţie ......................................................... 165 8.5.2. Inducţia magnetică a unei spire filiforme, circulare, parcurse de un curent electric de conducţie ................................................................... 166 8.5.3. Inducţia magnetică a unei pânze plane, infinite de curent .......... 167

8.6. Fluxul, tensiunea şi potenţialul în câmpul magnetic ......................... 168 8.6.1. Fluxul magnetic în vid. Fluxul printr-o suprafaţă închisă. .......... 168 8.6.2. Intensitatea câmpului magnetic şi tensiunea magnetică.............. 169 8.6.3. Potenţialul magnetic vector şi potenţialul magnetic scalar neuniform............................................................................................... 171

9. STAREA DE MAGNETIZARE ........................................................... 181

9.1. Momentul magnetic ........................................................................... 181 9.2. Magnetizaţia....................................................................................... 182 9.3. Unităţi de măsură ............................................................................... 183 9.4. Modelul amperian al stării de magnetizare........................................ 184

9.4.1. Vectorul arie ................................................................................ 184 9.4.2. Bucla de curent ............................................................................ 186

CUPRINS xi

9.4.3. Echivalenţa dintre un mic corp magnetizat şi o buclă de curent................................................................................................. 186

9.5. Curenţii amperieni ............................................................................. 191 9.5.1. Densitatea de suprafaţă a curenţilor amperieni ........................... 192 9.5.2. Densitatea de linie a curenţilor amperieni ................................... 193

9.6. Inducţia magnetică în vid a corpurilor magnetizate .......................... 194 9.6.1. Inducţia magnetică a unui mic corp magnetizat .......................... 194 9.6.2. Inducţia magnetică a unui corp masiv magnetizat ...................... 199

9.7. Caracterizarea câmpului magnetic în interiorul corpurilor................ 201 9.7.1. Inducţia magnetică în corpuri ...................................................... 202 9.7.2. Intensitatea câmpului magnetic în corpuri .................................. 203 9.7.3. Teoremele lui Remus Răduleţ ale tensiunii şi fluxului magnetic 204

9.8. Potenţialul magnetic scalar al corpurilor magnetizate....................... 205 9.8.1. Potenţialul magnetic scalar al unui mic corp magnetizat ............ 205 9.8.2. Potenţialul magnetic scalar al unui corp masiv magnetizat ........ 207

9.9. Permeabilitatea................................................................................... 208 9.10. Clasificarea materialelor în funcţie de magnetizarea lor ................. 208

9.10.1. Corpuri diamagnetice şi paramagnetice .................................... 208 9.10.2. Corpuri feromagnetice ............................................................... 210 Clasificarea materialelor feromagnetice................................................ 214 9.10.3. Feritele ....................................................................................... 216

10. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI MAGNETIC .................. 215

10.1. Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar ............................................. 215 10.1.1. Teorema lui Ampère .................................................................. 215 10.1.2. Legea fluxului magnetic ............................................................ 216 10.1.3. Legea legăturii dintre inducţie, câmp şi magnetizaţie ............... 218 10.1.4. Legea magnetizaţiei temporare.................................................. 218

10.2. Energia magnetică............................................................................ 219 10.3. Unicitatea şi superpoziţia câmpurilor magnetice staţionare ............ 222 10.4. Ecuaţiile lui Poisson şi Laplace pentru potenţialul magnetic vector ......................................................................................... 224 10.5. Condiţii de trecere şi condiţii la limită în câmpul magnetic............ 227 10.6. Circuite magnetice lineare ............................................................... 228

10.6.1. Influenţa miezului feromagnetic................................................ 229 10.6.2. Tubul de flux şi “legea” lui Ohm pentru circuite magnetice..... 230 10.6.3. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice .................. 231

10.7. Circuite magnetice nelineare............................................................ 236 10.8. Forţe generalizate în câmpul magnetic ............................................ 238 10.9. Câmpul magnetostatic...................................................................... 240

10.9.1. Ecuaţiile câmpului magnetostatic.............................................. 240 10.9.2. Ecuaţia Poisson în funcţie de sarcinile de magnetizaţie............ 241

xii CUPRINS

10.9.3. Ecuaţia lui Poisson în funcţie de curenţii amperieni. ................ 241 10.10. Magneţi permanenţi ....................................................................... 242

11. INDUCTIVITĂŢI ................................................................................ 249

11.1. Bobina electrică ............................................................................... 249 11.2. Inductivităţi proprii şi mutuale, utile şi de dispersie........................ 252 11.3. Ecuaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi ....................................... 254 11.4. Formula lui Neumann pentru inductivităţi mutuale......................... 255 11.5. Inductivitatea liniei electrice aeriene bifilare .................................. 256

ANEXA A. ELEMENTE DE ANALIZĂ VECTORIALĂ..................... 259

A.1. Definiţii, identităţi vectoriale şi transformări integrale .................... 259 A.2. Identităţi cu operatorul diferenţial ∇................................................. 261 A.3. Demonstrarea unor identităţi vectoriale............................................ 263

ANEXA B. SOLUŢIA ECUAŢIEI LUI POISSON. FORMULA CELOR TREI POTENŢIALE ................................................................................. 265

BIBLIOGRAFIE ........................................................................................ 267

1

1. INTRODUCERE

1.1. Sisteme şi mărimi fizice

Pentru structurarea pe baze ştiinţifice a unui domeniu al fizicii este necesară în prealabil definirea conceptului de materie. În ştiinţele pozitive, prin materie se înţelege ansamblul dintre de substanţă şi câmp. Evident, materia fiind nemărginită, nu se poate studia în totalitate, ci doar o parte univoc definită a ei, parte care poartă denumirea de sistem fizic. Prin mărime fizică se înţelege o proprietate a unui sistem fizic, de a fi susceptibilă la caracterizări cantitative, iar prin mărime fizică scalară se înţelege o mărime fizică ce se poate caracteriza printr-un singur număr real. Pentru a studia sistematic un domeniu al fizicii, este necesar să se precizeze condiţiile definirii unei specii de mărimi fizice scalare. Aceste condiţii sunt: găsirea unei relaţii de echivalenţă, a unei relaţii de ordonare şi a unui criteriu de comparare. Relaţia de echivalenţă (E) are loc atunci când se identifică o proprietate comună între elementele unei mulţimi. Ea se caracterizează prin faptul că este simetrică, adică dacă elementul x este echivalent cu elementul y, atunci şi elementul y este echivalent cu elementul x, ceea ce se exprimă astfel:

( ) ( ) xyyx EE → .

Ea este şi tranzitivă, deoarece dacă între elementele x, y şi z există relaţiile:

( ) yx E şi ( ) zy E → ( ) zx E .

Relaţia de ordonare se referă la caracterizări cantitative. Ele sunt asimetrice,

yx > → xy <

şi tranzitive,

yx > ; zy > → zx > .

Criteriul de comparare constă în fixarea zeroului mărimii şi stabilirea unităţii de măsură.

2 1. INTRODUCERE

În viziunea academicianului Remus Răduleţ mărimile fizice scalare se clasifică din mai multe puncte de vedere. Din punctul de vedere al modului în care se introduc în fizică, deosebim mărimi primitive şi mărimi derivate. Mărimile primitive sunt acele mărimi limitate ca număr, care nu se pot defini cu ajutorul altor mărimi fără a face apel la experienţă. Mărimile derivate se definesc cu ajutorul altor mărimi şi pot fi în număr nelimitat, în funcţie de opţiunile privind descrierea mai adecvată a unor proprietăţi ale domeniului. Din punctul de vedere al principiului cauzalităţii, starea iniţială a unui sistem fizic, precum şi evoluţia în timp a relaţiilor sale cu exteriorul, determină în mod univoc starea sistemului, în orice moment ulterior momentului iniţial. Din acest punct de vedere, deosebim mărimi de stare, care caracterizează starea iniţială a unui sistem fizic, mărimi accesorii, care nu caracterizează starea iniţială a sistemului, şi mărimi de interacţiune, care caracterizează legăturile cu exteriorul sistemului. Din punctul de vedere al unităţilor de măsură, deosebim mărimi fundamentale şi mărimi secundare. Mărimile fundamentale sunt cele ale căror unităţi de măsură se aleg arbitrar, în timp ce unităţile de măsură ale mărimilor secundare se deduc cu ajutorul unităţilor de măsură ale altor mărimi. Într-un domeniu de cercetare dat, există o singură mărime fundamentală care de regulă se alege arbitrar. Spre exemplu, în teoria macroscopică a câmpului electromagnetic, se poate alege drept mărime fundamentală fie sarcina electrică, fie intensitatea curentului electric. Se pot identifica şi alte clasificări ale mărimilor fizice. Astfel, din punct de vedere al descrierii globale sau locale ale fenomenelor, există mărimi globale şi mărimi locale, primele asociindu-se unor configuraţii geometrice precum volumele, suprafeţele sau curbele, celelalte asociindu-se local unor puncte. Din punct de vedere al unor proprietăţi intrinseci, deosebim mărimi extensive şi mărimi intensive. Din prima categorie – extensivă – fac parte acele mărimi, care la reunirea corpurilor îşi amplifică un cuantum care le caracterizează (spre exemplu, greutatea), în timp ce cele din cea de doua categorie – intensivă – nu beneficiază de această amplificare (de exemplu, temperatura). Din punct de vedere al numărului de mărimi scalare care le definesc, deosebim: mărimi scalare, mărimi vectoriale şi mărimi tensoriale.În subcapito-lul care urmează sunt prezentate pe larg aceste trei tipuri de mărimi, atât din perspectiva definirii acestora, cât şi a principalelor proprietăţi pe care le îndeplinesc.

1. INTRODUCERE 3

1.2. Mărimi scalare, vectoriale şi tensoriale

1.2.1. Invariantul scalar.

O proprietate fizică se caracterizează printr-un invariant scalar, când fiecărei orientări uν dintr-un punct, i se asociază un singur număr. Acest invariant se mai numeşte tensor de ordinul zero, deoarece cifra 3 trebuie ridicată la puterea 0 pentru a se obţine numărul de mărimi necesare caracterizării lui: 30 = 1.

1.2.2. Vectorul

O proprietate fizică se caracterizează printr-un vector G, când fiecărei orientări uν dintr-un punct, i se asociază câte un scalar Gν, funcţie lineară şi omogenă de cosinusurile directoare ale orientării:

zzyyxx GGGG νννν α+α+α= coscoscos , (1.1)

în care Gx, Gy, Gz sunt componentele scalare ale vectorului după orientările i, j, k ale axelor de coordonate, iar Gν reprezintă proiecţia vectorului pe orientarea uν. Într-adevăr, făcând produsul scalar între vectorii

kjiG zyx GGG ++= şi kjiu zyx νννν α+α+α= coscoscos ,

se obţine relaţia

zzyyxx GGGG ννννν α+α+α=⋅= coscoscosuG ,

prezentată mai sus. Vectorul se mai numeşte tensor de ordinul unu, deoarece cifra 3 trebuie ridicată la puterea 1 pentru a se obţine numărul de componente scalare care îl caracterizează: 31 = 3. Din punctul de vedere al raportării lui la sistemul de coordonate rectangular, deosebim vectorul polar care rămâne independent la schimbarea sensului de referinţă al axelor sistemului de coordonate şi vectorul axial care îşi schimbă semnul la schimbarea sensului de referinţă al axelor.

4 1. INTRODUCERE

1.2.3. Tensorul de ordinul al doilea

O proprietate fizică se caracterizează printr-un tensor T de ordinul al doilea, când fiecărei orientări uν dintr-un punct îi corespunde câte un vector Tν, reprezentând componenta după orientarea uν a tensorului. Acest vector este funcţie lineară şi omogenă de cosinusurile directoare ale orientării:

zzyyxx νννν α+α+α= coscoscos TTTT , (1.2)

în care Tx, Ty, Tz sunt componentele vectoriale ale tensorului, după orientările i, j, k ale axelor de coordonate. Mărimea care satisface o astfel de proprietate se numeşte tensor de ordinul al doilea, deoarece cifra 3 trebuie ridicată la puterea a doua pentru a se obţine numărul de componente scalare care îl caracterizează: 32 = 9. Pentru justificarea relaţiei (1.2) prezentăm în cele ce urmează o proprietate a unor funcţii vectoriale de argument vectorial. Dacă o funcţie vectorială

( )Gτ f= , de argument vectorial ν= uG G , satisface condiţiile de linearitate

( ) ( ) ( )

( ) ( ),2121

GτGτGτGτGGτ

λ=λ+=+

(1.3)

atunci funcţiei vectoriale τ i se poate asocia un vector Tν, astfel încât ea să fie egală cu produsul dintre modulul G al vectorului şi vectorul Tν:

( ) ν= TGτ G . (1.4)

Într-adevăr, folosind proprietăţile (1.3), putem scrie,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )kτjτiτkjiτGτ zyxzyx GGGGGG ++=++= ,

în care

xx GG να= cos , yy GG να= cos , respectiv zz GG να= cos .

Vectorii

( ) xTiτ = , ( ) yTjτ = şi ( ) zTkτ =

se numesc componentele vectoriale ale tensorului de ordinul al doilea, corespunzător orientărilor i, j, şi k ale axelor de coordonate. Astfel, ( )Gτ se mai scrie

1. INTRODUCERE 5

( ) zzyyxx GGG TTTGτ ++= , (1.5)

precum şi astfel:

( ) ( ) νννν ≡α+α+α= TTTTGτ GG zzyyxx coscoscos ,

din care rezultă formula (1.4) pe care ne-am propus să o justificăm şi care ne permite să scriem simbolic

( ) TG GTGτ ≡= ν , (1.6)

expresie care se numeşte produsul contractat la stânga dintre vectorul G şi tensorul T . Aceste proprietăţi se mai pot exprima şi matriceal. Din (1.5), descompunând vectorii Tx, Ty şi Tz, în raport cu componentele lor pe axele de coordonate, avem

( ) ( )( )( ).kji

kji

kjiTTTkjiGτ

zzzyzxz

yzyyyxy

xzxyxxxzzyyxxzyx

TTTG

TTTG

TTTGGGG

+++

++++

+++=++=τ+τ+τ≡

Identificând coeficienţii versorilor i, j şi k din cei doi membri, rezultă compo-nentele scalare ale vectorului ( )Gτ :

zxzyxyxxxx TGTGTG ++=τ ,

zyzyyyxyxy TGTGTG ++=τ ,

zzzyzyxzxz TGTGTG ++=τ .

Dispunând matriceal componentele vectorilor şi tensorului, cu notaţiile de mai jos

[ ] [ ] [ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

τττ

=τ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

z

y

x

TTTTTTTTT

TGGG

G ,, ,

putem scrie,

[ ] [ ] [ ]GT t=τ . (1.7)

6 1. INTRODUCERE

Cele nouă componente scalare ale tensorului T apar ca elemente ale matricei [T]. Dacă între elementele tensorului există relaţiile Txy=Tyx, Txz=Tzx şi Tyz=Tzy, tensorul de ordinul al doilea se numeşte tensor simetric, matricea acestuia fiind simetrică în raport cu prima diagonală. Există trei direcţii triortogonale de-a lungul cărora, orientând variabila vectorială G, se obţin vectorii G1, G2, G3, omoparaleli cu vectorii τ1, τ2, τ3 corespunzători acestor direcţii. În acest caz, relaţiile devin:

111 Gτ T= , 222 Gτ T= , respectiv 333 Gτ T= .

1.2.4. Tensiuni şi fluxuri în câmpuri fizice

În caracterizarea globală a unui câmp de vectori G de-a lungul unor curbe sau suprafeţe, intervin frecvent tensiunea şi fluxul, mărimi care se definesc astfel:

• tensiunea U, de-a lungul unei curbe C, este integrala curbilinie a produsului scalar dintre vectorul câmp G şi elementul vectorial de linie td udl l= , ut fiind versorul tangenţial într-un punct curent al curbei:

∫ ⋅=C

dlGU ;

• fluxul Ψ, printr-o suprafaţă S, este integrala de suprafaţă a produsului scalar dintre vectorul câmp G şi elementul vectorial de arie AdndA = , n fiind un versor normal în punctul curent al suprafeţei:

∫∫ ⋅=ΨS

dAG .

1.3. Stările electrice şi magnetice ale corpurilor

Experienţa arată că, în anumite împrejurări, asupra corpurilor se exercită forţe şi momente (numite acţiuni ponderomotoare) suplimentare faţă de cele condiţionate de acţiunile termomecanice, acestea din urmă nefiind suficiente pentru descrierea fenomenelor suplimentare care se produc. Aceste acţiuni se datorează următoarelor stări pe care la pot avea corpurile:

• starea de electrizare prin încărcare,

1. INTRODUCERE 7

• starea de electrizare prin polarizare, • starea electrocinetică şi • starea de magnetizare.

Primele două stări „produc” câmp electric, iar următoarele două, câmp magnetic. Mărimile primitive ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic, care caracterizează aceste stări, sunt următoarele:

• sarcina electrică (mărime scalară – simbol q) , • momentul electric (mărime vectorială – simbol p), • intensitatea curentului electric (mărime scalară – simbol i), • momentul magnetic (mărime vectorială – simbol m) • intensitatea câmpului electric în vid (mărime vectorială – simbol Ev) şi • inducţia magnetică în vid (mărime vectorială – simbol Bv).

Menţionăm că existenţa primelor patru mărimi enumerate mai sus este condiţionată de existenţa substanţei, în timp ce ultimele două de prezenţa câmpului electric / magnetic, sau în regim variabil, de prezenţa câmpului electromagnetic variabil în timp. Se numeşte câmp electromagnetic sistemul fizic prin intermediul căruia se exercită acţiunile ponderomotoare electrice şi magnetice. Ceea ce trebuie reţinut încă de la început, este faptul că sistemul fizic numit câmp electromagnetic poate exercita acţiuni ponderomotoare asupra corpurilor, iar acestea la rândul lor, pot să genereze câmp electromagnetic (figura 1.1). Câmpul electromagnetic poate exista şi în afara corpurilor „desprins de corpuri”, cu condiţia ca regimul să fie variabil în timp (conform uzanţelor am folosit uneori pentru simplitate termenul utilizat în mod curent de corp, în locul celui corect de substanţă). Există mai multe teorii privind cunoştinţele fenomenelor electrice şi magnetice. Acestea sunt – în ordinea apariţiei lor – următoarele: teoria acţiunii la distanţă, teoria acţiunii prin contiguitate, teoria microscopică a fenomenelor electromagnetice, teoria relativităţii şi teoria cuantică. În conformitate cu teoria acţiunii la distanţă, fenomenele fizice s-ar transmite la distanţă în mod instantaneu, fără participarea mediului înconjurător, ipoteză infirmată de experienţă şi abandonată de oamenii de ştiinţă. Teoria acţiunii prin contiguitate afirmă că acţiunile fizice se transmit în timp,

CÂMPELECTROMAGNETIC

acţiuni ponderomotoare

generatoare de câmpSUBSTANŢĂ

Fig. 1.1

8 1. INTRODUCERE

„din aproape în aproape”, cu participarea mediului înconjurător. Această teorie nu reuşeşte, însă, în totalitate explicarea fenomenelor electrice şi magnetice care au loc la scară microscopică. Din acest motiv, a fost elaborată teoria microscopică a acestor fenomene, care extrapolează la scară microscopică unele legi cunoscute din teoria macroscopică. Şi această teorie este insuficientă pentru descrierea fenomenelor care au loc la viteze foarte mari, comparabile cu viteza de propagare a luminii în vid. A apărut astfel teoria relativităţii, potrivit căreia masa, lungimea şi timpul sunt funcţii de viteză, existând o limită c0 a vitezei de propagare a luminii, independentă de viteza corpului care emite semnalul luminos. Această teorie nu a explicat unele fenomene microscopice privind schimbul de energie şi impuls între particulele microscopice. Teoria cuantică, în curs de elaborare, caută să explice aceste carenţe, prin electrodinamica cuantică. În afară de teoria acţiunii prin contiguitate, suficientă pentru majoritatea aplicaţiilor ce pot apărea în tehnică, celelalte teorii menţionate mai sus nu formează obiectul aceste lucrări.

9

2. STAREA DE ÎNCĂRCARE ELECTRICĂ ŞI CÂMPUL ELECTROMAGNETIC ÎN VID

2.1. Conductoare şi izolanţi; stări de electrizare

Experienţa devenită „clasică”, cu ajutorul căreia se pune în evidenţă starea de electrizare, se realizează cu ajutorul unei vergele de sticlă frecată cu o pânză din mătase. Se constată că, dacă asupra unor mici corpuri din apropiere, se exercită forţe şi momente inexistente înainte de experienţă, se spune că, atât vergeaua de sticlă, cât şi pânza de mătase s-au electrizat şi că în jurul lor există un câmp electric. Experienţa arată, de asemenea, că la introducerea unui corp electrizat prin frecare în diverse medii cu proprietăţi diferite, starea lui de electrizare dispare după un anumit interval de timp care variază între limite foarte largi, în funcţie de mediul în care a fost introdus corpul. Dacă durata de timp necesară pierderii stării de electrizare este de ordinul fracţiunilor de microsecunde, mediul se numeşte conductor, iar dacă aceasta este de ordinul fracţiunilor de secundă mediul este semiconductor. Pentru durate de ordinul orelor sau zilelor, se spune că mediul este izolant. Pentru determinarea experimentală a tipului de electrizare a corpurilor (prin încărcare sau prin polarizare) se utilizează un dispozitiv numit cilindrul lui Faraday (figura 2.1), realizat dintr-un material conductor, având o fantă situată în zona sa superioară, prin care se introduc micile corpuri electrizate. În zona inferioară, se află o tijă conductoare la extremitatea căreia sunt suspendate două foiţe foarte fine din platină. Experienţa arată că introducând în interiorul cilindrului un mic corp electrizat, cele două foiţe se vor îndepărta sub un unghi α. Se constată următoarele:

• dacă pentru orice poziţie sau orientare a corpului complet introdus în cilindru, nu se produce o deplasare a foiţelor, corpul este neîncărcat;

• dacă pentru orice poziţie sau orientare a corpului complet introdus, foiţele se depărtează, unghiul α rămânând nemodificat, corpul este electrizat prin încărcare;

• dacă pe măsura introducerii în cilindru, unghiul de deviaţie variază, iar ulterior după introducerea lui completă în interior deviaţia se anulează, corpul este electrizat prin polarizare;

• dacă în timpul introducerii în cilindru unghiul de deviaţie variază, de asemenea, dar după introducerea lui

10 2. STAREA DE ÎNCĂRCARE ELECTRICĂ

completă, unghiul nu se anulează, ci scade până la o valoare constantă, atunci corpul este electrizat, atât prin încărcare, cât şi prin polarizare.

2.2. Sarcina electrică

Aşa cum s-a menţionat anterior, construcţia coerentă a unei teorii ştiinţifice necesită ca mărimile primitive să fie introduse numai pe cale experimentală. Pentru definirea mărimii primitive numită sarcină electrică, se consideră n corpuri electrizate prin încărcare, care urmează a fi introduse pe rând în interiorul cilindrul lui Faraday (CF). Fie β1, β2, …, βk, …, βn unghiurile

deviaţiilor corespunzătoare ale foiţelor pentru fiecare corp în parte (figura 2.2) şi fie α unghiul observat la introducerea ulterioară a unui mic corp martor încărcat, notat cu m în figura 2.3. Apoi, se determină măsura unghiului de deviaţie maximă, examinând toate cele n corpuri de probă şi corpul martor. Dacă s-ar repeta experimentul pentru cele n corpuri încărcate, aflate fiecare în contact cu corpul martor, noile unghiurile de deviaţie vor fi notate cu γ1, γ2, … , γk, … , γn (figura 2.4). Se separă perechile astfel formate în trei submulţimi

disjuncte, în modul următor: primele două submulţimi, pentru care măsura unghiurilor γk este mai mare, respectiv mai mică, decât valoarea

( ) nkk ,1,,max =αβ , iar ultima submulţime pentru care deviaţiile γ sunt egale cu deviaţia α a corpului martor. Astfel:

1 2 k n

. . . . . .2m1m km nm

Fig. 2.4

2. STAREA DE ÎNCĂRCARE ELECTRICĂ 11

• submulţimea A cuprinde perechile pentru care ( ) nkkk ,1,,max =αβ>γ , • submulţimea B cuprinde perechile pentru care ( ) nkkk ,1,,max =αβ<γ , şi • submulţimea C cuprinde perechile pentru care α=γk .

În urma acestor experimente, se evidenţiază concluzia că starea de încărcare este susceptibilă de caracterizări algebrice, însemnând că stării de încărcare i se pot asocia semnele plus sau minus. Rezumând, aceste stări de încărcare pot fi pozitive sau negative. Convenţia ce se adoptă este că sticla frecată cu pânza de mătase se încarcă pozitiv, iar pânza de mătase se încarcă negativ. Pentru definirea sarcinii electrice, se vor identifica condiţiile de echivalenţă şi de ordonare necesare, precum şi criteriul de comparare, amintit în primul capitolul. Conform condiţiei de echivalenţă, toate corpurile, din oricare dintre submulţimile definite mai sus, care introduse separat în (CF) determină aceeaşi deviaţie sunt echivalente, respectiv sunt identic încărcate, ceea ce se pune în evidenţă prin egalitatea βi = βj cu i, j∈ {1, 2,…n}. În acord cu condiţia de ordonare, un corp i din submulţimea A este mai puternic încărcat decât un corp j din aceeaşi grupă, atunci când βi > βj, după cum un corp i din submulţimea B este – în sens algebric – mai încărcat decât un corp j din aceeaşi submulţime, când βi < βj. Tot experimental se arată că unghiul βk nu este direct proporţional cu starea de încărcare, şi, în consecinţă, nu poate fi utilizat pentru definirea mărimii care să caracterizeze această stare. Un criteriu de comparare al stărilor de încărcare se poate stabili cu ajutorul numărului de mici corpuri identic încărcate ce trebuie introduse în cilindru, împreună cu un corp încărcat, pentru a obţine prin compensare o deviaţie nulă a foiţelor (figura 2.5). Se numeşte sarcină electrică a unui corp (având simbolul q) o mărime fizică scalară proporţională cu numărul n de corpuri etalon, identic încărcate, necesare a fi introduse în (CF) simultan cu corpul, pentru a obţine o compensare a efectului acestuia, adică o deviaţie nulă a foiţelor cilindrului. Pentru ca modul de definire a mărimii fizice sarcina electrică să nu depindă de nivelul stării de încărcare a corpurilor introduse pentru compensare, considerăm un corp M, încărcat cu sarcina qM, pentru compensarea căruia sunt necesare nM corpuri etalon şi un corp N încărcat cu sarcina qN, pentru care sunt necesare nN astfel de corpuri. Se va obţine,

N

M

N

Mnn

qq

= sau, schimbând notaţiile, uu n

nqq

= .

0=γk


Convenţia de scară se stabileşte alegând în mod arbitrar numărul de sarcini etalon nu pentru care se decide ca sarcina qu să fie egală cu unitatea (qu = 1). În aceste condiţii, rezultă

un

nq = .

Reformulând, sarcina electrică a unui corp încărcat este raportul dintre numărul de sarcini etalon necesare anulării unghiului de deviaţie, produs de corpul încărcat, şi numărul de sarcini etalon ales la stabilirea unităţii de sarcină. Fixarea valorii nule a sarcinii electrice se stabileşte astfel: un mic corp are sarcina electrică nulă, atunci când la introducerea lui în (CF), alături de un corp martor, unghiul de deviaţie al foiţelor rămâne nemodificat, corespunzând astfel numai corpului martor. Sarcina electrică este o mărime primitivă a teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic.

2.3. Repartiţia sarcinilor electrice

Sarcinile electrice fi pot repartizate în natură în interiorul unor domenii tridimensionale – spre exemplu în spaţiul dintre anodul şi catodul tuburilor electronice – pe suprafeţe, pe curbe sau pe domenii suficient de mici, încât pot fi asimilate unor puncte. Pentru caracterizarea locală a acestor tipuri de repartiţie, se introduc următoarele densităţi de volum, de suprafaţă şi, respectiv, de linie ale sarcinii electrice:

• densitatea de volum vq

vq

v δδ

=ΔΔ

=ρ→Δ 0v lim ,

• densitatea de suprafaţă Aq

Aq

A δδ

=ΔΔ

=ρ→Δ 0s lim ,

• densitatea de linie lq

lq

l δδ

=ΔΔ

=ρ→Δ 0l lim ,

unde s-a notat cu Δq sarcina elementului de volum Δv, de arie ΔA sau de linie Δl. Prin folosirea simbolul “δ” s-a scos în evidenţă faptul că rapoartele în care acesta intervine, nu reprezintă derivatele sarcinii electrice, exprimate cu ajutorul diferenţialelor în accepţiunea dată de analiza matematică. În cele ce urmează, se va folosi, totuşi, pentru uniformitatea notaţiei, simbolul „d”, fiind în continuare valabilă remarca de mai sus. Pentru un domeniu mărginit de o suprafaţă închisă Σ care înglobează, atât corpuri încărcate având distribuţii de sarcină volumice, superficiale şi lineice, cât şi corpuri încărcate punctiforme, sarcina totală din interiorul suprafeţei închise se exprimă cu ajutorul sumei


∑∫∫∫∫∫∫=

Σ +ρ+ρ+ρ=n

kkqlAvq

1Cl

Ss

Vv ddd .

unde V, S, C reprezintă domeniile geometrice cuprinse în interiorul suprafeţei Σ, pentru care se calculează integralele de volum, de suprafaţă sau de linie, iar d v, d A şi d l sunt elementele infinitezimale corespunzătoare. Evident, în problemele curente, în funcţie de specificitatea fiecăreia, vor apărea numai acei termeni necesari descrierii configuraţiei existente.

2.4. Intensitatea câmpului electric în vid

Atât explorarea câmpului electric, cât şi a celui magnetic în vid, se face cu ajutorul unui mic corp de probă care trebuie să satisfacă următoarele condiţii:

• să aibă dimensiuni cât mai reduse, în vederea explorării cât mai fine a câmpului,

• să fie încărcat cu o sarcină electrică mică (invariabilă în timp), pentru a nu perturba câmpul supus explorării,

• să fie conductor, pentru a nu se polariza şi deci pentru a nu se exercita cupluri asupra lui,

• să fie izolat, • să aibă proprietăţi fizice şi chimice invariabile.

În scopul explorării câmpului electric în vid, se constată experimental, măsurând forţa exercitată asupra corpului de probă în diferite puncte ale zonei considerate, că direcţia forţei variază de la un punct la altul. Dacă într-un punct dat (P) se modifică valorile sarcinilor, direcţia forţelor rămâne neschimbată, în timp ce orientarea acestora poate lua oricare din cele două sensuri ale direcţiei, în funcţie de polaritatea (+) sau (–) a sarcinii corpului de probă (figura 2.6). De asemenea, se mai constată că într-un punct dat, raportul dintre forţe şi sarcini se menţine constant. Acest raport independent de starea de încărcare a corpului de probă, dar dependent de poziţia în câmp a corpului de probă, poartă denumirea de intensitatea câmpului electric în vid:

1F

2F

21, qq


( )Pve

2

2

1

1 EFFF====

qqqL ,

unde s-a notat cu Fe forţa exercitată asupra corpului de probă, la explorarea câmpului electric (denumită pe scurt forţă electrică). Intensitatea câmpului electric în vid este una din mărimile primitive ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic, şi este o mărime fizică locală. Rezultă,

F(q ,P) = q Ev(P)

sau, cu o notaţie mai simplă,

Fe = q Ev. (2.1)

Orientările vectorilor Fe şi Ev sunt omoparalele când q > 0 şi antiparalele în situaţia în care q < 0, dacă se va conveni ca sensul câmpului să aibă sensul forţei când sarcina micului corp este pozitivă.

2.5. Inducţia magnetică în vid

Considerând micul corp de probă în mişcare rectilinie, uniformă şi descriind traiectorii care toate conţin punctul P, în care se va explora câmpul, se presupune că se poate măsura forţa chiar în momentul în care corpul se găseşte în acel punct. Acest experiment propus este, desigur, unul teoretic, fiind realizat în vederea identificării unei mărimi primitive care să caracterizeze câmpul magnetic în vid. În ipoteza în care se constată că se manifestă o forţă suplimentară faţă de cea măsurată cu ajutorul corpului de probă aflat în repaus, în punctul considerat, atunci în zona explorată există pe lângă un câmp electric şi un câmp magnetic, iar forţa suplimentară Fm (denumită pe scurt forţă magnetică) evidenţiază prezenţa celui de-al doilea câmp. Experienţa arată că din infinitatea de direcţii care conţin punctul P, există una singură, privilegiată (Δ), caracterizată prin faptul că, deplasând corpul de

probă pe această direcţie, forţa magnetică se anulează (figura 2.7). Dacă u(P) este un versor al acestei direcţii privilegiate şi v viteza corpului de probă, se mai poate constata că forţa magnetică este normală pe planul vectorilor u(P) şi v, iar modulul ei este direct

v

mF


proporţional cu sarcina electrică, cu modulul vitezei şi cu sinusul unghiului α dintre cei doi vectori. Experienţa arată, de asemenea, că valoarea constantei de proporţionalitate nu depinde de starea de electrizare a corpului de probă, dar depinde de poziţia punctului în care se face explorarea. Notând cu k (P) această constantă de proporţionalitate, forţa magnetică se exprimă astfel:

)P()P(m uvF ×= qk , (2.2)

dacǎ sensul lui u (P) se alege astfel încât sensul produsului vectorial, scris în ordinea de mai sus, sǎ coincidă cu sensul forţei Fm. Produsul factorilor, care depind numai de poziţia punctului P relativă la câmp, defineşte mărimea numită inducţia magnetică în vid, şi este o mărime primitivă a teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic:

Bv(P) = k(P) u(P).

Cu această notaţie, forţa magnetică va avea forma

vm BvF ×= q . (2.3)

Scrierea relaţiei forţei magnetice cu ordinea factorilor produsului vectorial din formula (2.2), ordine ce se poate remarca în consecinţă şi în relaţia (2.3), implică adoptarea următoarei convenţii: cunoscând orientările vitezei şi forţei magnetice, şi considerând o sarcină pozitivă a corpului de probă, se alege un astfel sens al inducţiei magnetice pe direcţia privilegiată, încât vectorii Fm, v şi Bv să formeze în această ordine un triedru drept.

2.6. Forţa electromagnetică

Se consideră în ce urmează un corp de probă încărcat plasat într-un mediu linear, în care există, atât câmpul electric, cât şi câmpul magnetic. Se va înţelege prin forţă electromagnetică rezultanta ce apare în urma superpoziţiei forţelor electrice şi magnetice, care se exercită simultan asupra corpului de probă. Aceasta se exprimă matematic prin suma vectorială a celor două forţe:

vv BvEF ×+= qq (2.4)

Componentele electrică

0e == vFF (2.5)


şi magnetică

0m =−= vFFF (2.6)

sunt relative la sistemul de referinţă, în timp ce suma lor este independentă de acest sistem. În sprijinul acestei afirmaţii se va examina în prealabil dependenţa

mărimilor electromagnetice de sistemul de referinţă, apoi se va studia dependenţa forţelor Fe şi Fm, precum şi a rezultantei acestora F = Fe + Fm, faţǎ de acest sistem. Se consideră două sisteme de referinţă S şi S′ (spre exemplu unele carteziene), aflate în mişcare rectilinie şi uniformă, unul în raport de celălalt. Notând cu vt viteza de deplasare (de transport) a sistemului S′, faţă de sistemul S, rezultă expresia vectorului de poziţie al acestui din urmă referenţial, aşa cum se poate observa în figura 2.8:

rvrr ′++= tt0

sau, derivând ambii membri ai acestei relaţii,

vvv ′+= t .

Derivând încă o dată, rezultă invarianţa acceleraţiei corpului de probă în raport de sistemul de referinţă:

aa ′= .

Considerând mişcarea ca fiind nerelativistă, masa va fi şi ea independentă de sistemul considerat, adică

mm ′= .

Având în vedere aceste ultime două egalităţi, precum şi legea a doua a dinamicii, rezultă şi invarianţa forţei electromagnetice,

FF ′= . (2.7)

x

y

z

O

O′

x′

y′

z′

v

const.r =0

r′r

ttv

Fig. 2.8


2.6.1. Invarianţa sarcinii faţă de sistemul de referinţă

Pentru simplitatea raţionamentului, se consideră un singur sistem de referinţă faţă de care corpul de probă este fie în mişcare, situaţie în care sarcina electrică se consideră a fi dependentă de viteză, q = q(v). Considerând situaţia în care corpul este imobil (v = 0), se presupune că sarcina ia o altă valoare,

( )0qq =′ . Pentru corpul de probă aflat în mişcare, forţa electromagnetică va avea expresia:

vv )()( BvvEvF ×+= qq

şi cea magnetică

vm )( BvvF ×= q . (2.8)

Pe de altă parte, Fm se calculează din diferenţa dată de formula (2.6):

0m =−= vFFF , în care ( ) v0 0 EF v ⋅== q

deci

( ) vvvm 0)()( EBvvEvF qqq −×+=

sau

( )[ ] vvm )(0)( BvvEvF ×+−= qqq . (2.9)

Egalând membrii drepţi ai relaţiilor (2.8) şi (2.9), rezultă 0)0()( =− qq v , obţinându-se )0()( qq =v , sau, revenind la notaţia iniţială,

qq =′ . (2.10)

Concluzia care se impune este că sarcina electrică este o mărime independentă de sistemul de referinţă adoptat.

2.6.2. Dependenţa câmpului electric în vid de sistemul de referinţă

Deoarece, aşa cum s-a demonstrat în subcapitolul precedent, forţa electromagnetică este independentă de sistemul de referinţă adoptat, egalând expresia sa corespunzătoare celor două sisteme S şi S′ amintite anterior, se obţine:

vvvv BvEBvE ×+=′×′′+′′ qqqq


sau cu (2.10)

vvvv BvEBvE ×+=′×′+′ qqqq . (2.11)

Deplasând corpul de probă solidar cu sistemul de referinţă S′, adică impunând 0=′v , respectiv cu v = vt, se obţine,

( )vtv BvEE ×+=′ qqq v ,

adică

vtvv BvEE ×+=′ . (2.12)

Această din urmă expresie demonstrează faptul că intensitatea câmpului electric în vid depinde de sistemul de referinţă considerat, în formulă intervenind în afara intensităţii câmpului electric în sistemul de referinţă S şi produsul vectorial dintre viteza de transport şi inducţia magnetică în vid (care, aşa cum se va arăta în subcapitolul următor, nu depinde de referenţialul ales).

2.6.3. Invarianţa inducţiei magnetice în vid faţă de sistemul de referinţă

Se reia configuraţia dată de referenţialele S şi S′, aflate în mişcare relativă rectilinie şi uniformă, şi se notează cu Bv, respectiv vB′ , mărimile presupuse a fi diferite ale inducţiei magnetice. Înlocuind intensitatea câmpului electric în vid, dată de (2.12) în (2.11), în sistemul de referinţă S′, se obţine

( ) vtv BvvBv ×−=′×′ ,

adică

vv BvBv ×′=′×′ , (2.13)

pentru orice v′ ales arbitrar. Din relaţia (2.13) nu rezultă că inducţiile vB′ şi Bv coincid, ci doar că vectorii v′ , vB′ şi Bv sunt conţinuţi în acelaşi plan, situaţie

vv BvBv ×′≡′×′

vB′vB

v′


ilustrată în figura 2.9. Întrucât nu s-au impus condiţii restrictive privitoare la orientările posibile ale vitezei de deplasare a corpului de probă încărcat, egalitatea (2.13) este valabilă pentru orice viteză v′ . Rezultă,

vv BB =′ , (2.14)

conducând la concluzia că inducţia magnetică nu depinde de referenţialul ales.

2.6.4. Dependenţa forţelor electrice şi magnetice de sistemul de referinţă

Pentru aceleaşi două sisteme de referinţă S şi S′, cel de al doilea deplasându-se rectiliniu şi uniform faţă de primul cu viteza de transport vt, se consideră forţele corespunzătoare electrică şi magnetică. Faţă de sistemul S sunt valabile – aşa cum s-a văzut – relaţiile:

Fe = q Ev, respectiv vm BvF ×= q ,

şi deci

vvme BvEFFF ×+=+= qq .

Faţă de sistemul de referinţă S′, ţinând seama (2.10), (2.12) şi de relaţia vvv ′+= t , rezultă

vtvve BvEEF ×+=′′=′ qqq , respectiv vvm BvBvF ×′=′×′′=′ qq ,

şi deci

( ) vvvtvme BvEBvvEFFF ×+=×+′+=′+′=′ qqqq .

Din aceste relaţii rezultă că, în timp ce forţele electrică şi magnetică depind fiecare în parte de sistemul de referinţă, suma lor este independentă de acest sistem,

FF =′ .

Un caz particular interesant, care trebuie subliniat, este următorul: consi-derăm câmpul electric nul faţă de sistemul de referinţă S ( 0v =E ) şi viteza corpului nulă faţă de cel de al doilea sistem S′ ( 0=′v , deci tvv = ). Faţă de sistemul S, avem:

0e =F şi vm BvF ×= q , rezultând me FFF += deci vt BvF ×= q .


În raport cu sistemul S′, aceleaşi mărimi se vor scrie:

vte BvF ×=′ q şi 0m =′F , cu suma vectorială me FFF ′+′=′ deci vt BvF ×= q .

Cu alte cuvinte, forţa magnetică din sistemul S este egală cu forţa electrică din sistemul S′ deci descompunerea forţei electromagnetice în forţă electrică şi forţă magnetică este relativă la sistemul de referinţă. Într-un sistem de referinţă, forţa asupra corpului de probă poate să apară ca fiind o forţă magnetică, în timp ce în celălalt, ca o forţă electrică. În general, este util acel sistem de referinţă, care este ataşat sistemului de corpuri, deci în imobilitate relativă faţă de acestea. Forţa electromagnetică este întotdeauna independentă de sistemul de referinţă.

Observaţii

Deoarece, pentru o direcţie de deplasare a corpului de probă, forţa magnetică are o direcţie diferită de direcţia deplasării, inducţia magnetică se poate interpreta ca fiind un tensor de ordinul al doilea. Într-adevăr, înmulţind scalar relaţia vm BvF ×= q cu versorii i, j, şi k ai sistemului de coordonate cartezian, se obţin următoarele componente ale forţei magnetice:

( )yzzyx BvBvqF −=m , ( )zxxzy BvBvqF −=m şi ( )xyyxz BvBvqF −=m ,

sau matriceal

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

xy

xz

yz

z

y

x

vvv

BBBBBB

q

F

FF

00

0

m

m

m

.

Tensorul de ordinul al doilea, caracterizat printr-o matrice pătratică cu nouă elemente, are în cazul tensorului [ ]B al inducţiei magnetice forma

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

00

0

xy

xz

yz

BBBBBB

B ,

cu doar trei elemente distincte. Acest tensor de ordinul al doilea este antisimetric, deoarece elementele lui, notate cu Bxx, Bxy, Bxz, … satisfac relaţiile:

xzyyz BBB ≡−= , yzxxz BBB ≡−= şi zyxxy BBB ≡−= .

21

3. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID. TENSIUNEA, POTENŢIALUL ŞI FLUXUL ELECTRIC

3.1. Formula lui Coulomb. Unităţi de măsură

Experienţa arată că între două corpuri punctiforme încărcate cu sarcini electrice se exercită o forţă direct proporţională cu produsul sarcinilor şi invers proporţională cu pătratul distanţei dintre corpuri. Dacă sarcinile sunt de acelaşi semn, forţa este de respingere, iar dacă sunt de semne contrare ea este de atracţie, după cum urmează (figura 3.1):

12212

2101221 uFF

Rqq

Δ=−= , pentru q1 q2 > 0 (respingere) şi (3.1)

12212

2101221 uFF

Rqq

Δ−=−= , pentru q1 q2 < 0 (atracţie), (3.2)

în care Δ0 este constanta universală electrică, q1 şi q2 sunt valorile sarcinilor electrice, iar R12 / R12 = u12 reprezintă versorul vectorului de poziţie, care are originea în punctul unde este poziţionat corpul încărcat cu sarcina q1 şi extremitatea în punctul în care se află corpul încărcat cu sarcina q2. Pentru fixarea unităţii de măsură a sarcinii electrice, se vor considera două corpuri punctuale încărcate cu sarcinile electrice q1 = q2 = q, situate în vid la distanţa R, unul de celălalt. În continuarea expunerii, corpurile punctuale încărcate cu sarcini electrice se vor numi pentru simplitate, sarcini punctuale. Modulul forţei este

12R

1q 2q

1q 2q

12u12F 21F

12F 21F

021 >⋅ qq

021 <⋅ qq

22 3. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID

2

2

0 RqF Δ= . (3.3)

Între constanta universală magnetică Λ0, care va fi definită la capitolul privitor la câmpul magnetic, şi constanta universală electrică Δ0 există relaţia

0

020 Λ

Δ=c , (3.4)

în care c0 =2,99776·108 m/s ≈ 3·108 m/s = 3·1010 cm/s reprezintă viteza de propagare a luminii în vid. Se prezintă în cele ce urmează principalele unităţi de măsură pentru sarcina electrică, mărime care va fi aleasă drept mărime fundamentală.

3.1.1. Sistemul de unităţi de măsură CGSFr

Sistemul CGSFr are la bază sistemul CGS (centimetru–gram–secundă), căruia i s-a ataşat ca mărime electromagnetică independentă unitatea de sarcină electrică numită franklin (având simbolul „Fr”). În acest sistem, se alege Δ0 = 1, rezultând din (3.4), Λ0= 1 / (9·1020). Din (3.3) se obţine unitatea de măsură pentru sarcina electrică: două corpuri punctuale situate în vid la distanţa de un centimetru sunt încărcate fiecare cu o sarcină de câte un franklin (1 Fr), dacă între ele se exercită o forţă de respingere de o dynă (1 dyn). În acest sistem, Δ0 are dimensiunea dyn·cm2 / Fr2.

3.1.2. Sistemul de unităţi de măsură CGSBi

Similar cazului precedent, şi acest sistem de unităţi de măsură este constituit pornind de la sistemul de unităţi mecanice de bază CGS. În cazul de faţă mărimea electromagnetică independentă a fost aleasă intensitatea curentului electric de conducţie cu unitatea de măsură numită biot (simbol „Bi”). Pentru acest sistem se alege Λ0 = 1, obţinându-se din (3.4) Δ0= 9·1020. Din (3.3) rezultă că două corpuri punctuale, situate în vid la distanţa de un centimetru, sunt încărcate fiecare cu o sarcină de un biot·secundă (1 Bi·s), dacă între ele se exercită o forţă de respingere având valoarea de 9·1020 dyn. Faţă de situaţia anterioară, se observă că forţa a crescut numeric de 9·1020 ori deci, corespunzător, q2 a crescut de 9·1020 ori, iar q de 3·1010 ori. Relaţia de conversie între biot·secundă şi franklin este deci 1 Bi·s = 3·1010 Fr. În acest sistem, Λ0 are dimensiunea dyn·cm2 / (Bi·s)2

3. CÂMPUL ELECTRIC ÎN VID 23

3.1.3. Sistemul internaţional de unităţi de măsură (SI)

Acest sistem de unităţi de măsură este cel mai răspândit în momentul de faţă, fiind adoptat de peste 150 de state ale lumii, având la bază sistemul de unităţi mecanice MKS (metru–kilogram–secundă). În SI se alege direct unitatea de măsură pentru sarcina electrică, numită coulomb (cu simbolul „C”). Această unitate de măsură se exprimă, cu ajutorul unităţilor de măsură ale sistemelor CGSFr şi CGSBi, în felul următor:

1 C = 10–1 Bi·s = 3·109 Fr.

Valoarea constantei Δ0 se determină pornind de la valoarea corespunzătoare din sistemul CGSFr, rezultând următorul şir de egalităţi:

( ) ( )

2292

9

2225-

2

2

0 /CmN109C

1031

m10N10

Frcmdyn1 ⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

=⋅

=Δ

−

.

De asemenea, din relaţia (3.4) rezultă valoarea constantei universale magnetice în SI, şi anume Λ0=10-7. În mod curent, se utilizează o altă constantă universală electrică notată cu ε0, numită permitivitatea absolută a vidului, definită astfel:

0

0 41επ

=Δ , de unde 90

0 10941

41

⋅⋅π=

Δπ=ε .

Similar, în relaţiile curente, se utilizează o altă constantă universală magnetică notată cu μ0, numită permeabilitatea magnetică absolută a vidului definită din relaţia

π

μ=Λ

40

0 , de unde 700 1044 −⋅π=Λπ=μ .

Se va demonstra ulterior, pe parcursul acestei lucrări, că unităţile de măsură în SI ale constantelor ε0 şi μ0 sunt farad pe metru (F/m) şi henry pe metru (H/m). Unităţile de măsură în acelaşi sistem de unităţi de măsură pentru densităţile de volum, de suprafaţă şi de linie sunt C/m3, C/m2 şi C/m.


3.2. Câmpul electric în vid al corpurilor încărcate

3.2.1. Câmpul electric în vid al unei sarcini punctuale

Considerăm două corpuri punctuale încărcate cu sarcinile pozitive q şi q′ , situate în vid la distanţa orientată R, unul faţă de celălalt (figura 3.2). Egalând

expresia forţei, care se exercită asupra corpului încărcat cu sarcina q′ , exprimată cu ajutorul relaţiei de tipul (2.1), cu cea dată de formula lui Coulomb, se obţine:

3v Rqqq RE

′=′ ,

de unde

30

v 41

Rq RE

πε= , (3.5)

în care Ev este câmpul electric în vid în punctul 2 produs de sarcina q, din punctul 1 (figura 3.3). Spectrul linilor de câmp este radial, dirijat dinspre corp

spre exteriorul său, când q > 0, şi spre corp, când q < 0 (figura 3.4).

q′

12u

vE

F ′

q′


3.2.2. Superpoziţia câmpurilor electrice în vid

Pentru a determina într-un punct P intensitatea câmpului electric în vid a n

sarcini punctuale, se plasează în punctul considerat o sarcină punctuală auxiliară, notată q* (figura 3.5). Aplicând teorema superpoziţiei forţelor, putem scrie rezultanta acestora care se exercită asupra micului corp încărcat

nk FFFFF +++++= KK21* ,

sumă în care Fk este forţa exercitată între sarcinile qk şi q*, în absenţa celorlalte sarcini. Deoarece Fk = q*Evk şi F = q*Ev, în care Evk este câmpul electric în punctul P dat de sarcina qk, iar Ev este câmpul electric rezultant al tuturor sarcinilor, relaţia de mai sus devine

nk qqqqq v*

v*

v2*

v1*

v* EEEEE +++++= KK

sau

. . .

. . .

P1q

kq

nq

2q

kFnF

2F1F

*F

Fig. 3.5


∑=

=n

kk

1vv EE . (3.6)

Această formulă exprimă sub formă matematică teorema superpoziţiei câmpurilor electrice în vid. Aplicând teorema unui ansamblu de două sarcini egale şi de semne contrare, şi apoi unuia format din două sarcini egale şi de acelaşi semn, se obţin spectrele liniilor de câmp, ale celor două posibile moduri de asociere a sarcinilor (figura 3.6).

3.2.3. Câmpul electric în vid al unor moduri de repartiţie a sarcinii

Se urmăreşte obţinerea unei formule care să exprime câmpul electric în vid, într-un punct P, al unor sarcini electrice repartizate într-un domeniu tridimensional V, pe o suprafaţă S, pe o curbă C şi pe n corpuri punctiforme (figura 3.7). Pentru o sarcină punctuală infinit mică qd , relaţia (3.5) are forma infinitezimală

30

vd

41d

Rq RE

πε= ,

în care sarcina elementară qd poate fi repartizată într-un element de volum al unui domeniu V încărcat cu densitatea de volum a sarcinii electrice ρv, pe un element de arie al unei suprafeţe S încărcată cu densitatea de suprafaţă ρs a sarcinii, pe un element de linie al unei curbe C, încărcată cu densitatea de linie a sarcinii ρl. Aplicând superpoziţia câmpurilor electrice corespunzătoare tuturor sarcinilor elementare qd şi observând că acestea funcţie de elementele

A′d

l′d

v′d vE

1q kq nq


geometrice pe care sunt repartizate sunt vq dd vρ= , Aq dd sρ= şi lq dd lρ= , se obţine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′ρ

+′ρ+′ρ

πε= ∫ ∑∫∫∫ ∫∫

=C 133

l

V S3

s3

v

0v ddd

41P)(

n

k k

kk

Rql

RA

Rv

RRRRRE . (3.7)

Se convine ca elementelor de volum, arie şi linie, să li se ataşeze simbolul prim, pentru a marca faptul că acestea sunt elementele „purtătoare” de sarcini electrice. Deoarece expresiile (3.5) şi (3.7) s-au dedus pornind de la teorema lui Coulomb, acestea poartă denumirea de formule coulombiene.

3.3. Aplicaţii. Câmpul electric al unor repartiţii de sarcină

3.3.1. Unghiul solid

De multe ori, în diverse aplicaţii, apare necesitatea calculului unor produse scalare de tipul dAR ⋅ sau AdR ′⋅′ , pentru a face referire la notaţia introdusă în paragraful 3.2.3. În acest scop (figura 3.8), este utilă mărimea geometrică numită unghi solid Ωd . În scopul definirii ei, se consideră un con de deschidere elementară cu vârful într-un punct P, care delimitează pe o suprafaţă S o suprafaţă elementară având elementul orientat de arie AdndA = . Distanţa orientată dintre punctul P şi centrul M al elementului de suprafaţă se notează cu R. Cu centrul în P se trasează două sfere concentrice, una de rază având lungimea R== RPM şi cealaltă de rază egală cu unitatea (figura 3.8). Se notează cu A′d şi d Ω (unghiul solid) elementele de arie pe care pânza conică le

n′Ad ′

R′ Ru

A′d ndA


delimitează pe aceste sfere. Deoarece AR d>> şi AR ′>>′ d , elementele de arie delimitate se pot aproxima cu mici elemente de arie plane. Din proporţia

2

2

414

dd

RA ⋅π⋅π

=′

Ω ,

rezultă, cu α=′ cosdd AA ,

32cosddd

RRA

RA α⋅

=′

=Ω ,

expresie ce poate fi rescrisă cu ajutorul produsului scalar

ARR

dd 33nRdAR ⋅

=⋅

=Ω . (3.8)

Observaţie

Dacă se fac înlocuirile nn ′−= , respectiv, AddA ′−= , precum şi RR ′−= , unghiul solid elementar se mai poate scrie

ARR

′′

′⋅′=

′

′⋅′=Ω dd

33nRAdR

, (3.9)

expresie care se poate utiliza, de asemenea, în aplicaţii.

3.3.2 Câmpul electric în vid al unui plan infinit, uniform încărcat

Pentru a determina câmpul electric în vid într-un punct P, în prezenţa unui plan infinit extins, încărcat cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice ρs (figura 3.9.), se foloseşte termenul corespunzător din formula (3.7), şi anume

∫∫ ′′

′ρπε

=S

3s

0v d

41P)( A

RRE .

Înmulţind scalar această relaţie, membru cu membru, cu versorul normal n′ , deoarece din motive de simetrie plană câmpul electric este

sρ

n′ Ad ′

R′


normal la plan, cu vv E=′⋅ nE şi π=Ω∫ 2dS

, se obţine modulul câmpului

electric

0

s

S0

s

S3'

0

sv 2

d4

d4

P)(ε

ρ=Ω

περ

=′′⋅′

περ

= ∫∫∫ AR

E Rn .

Vectorial, câmpul electric în punctul P ia forma

nE ′ε

ρ=

0

sv 2

P)( (3.10)

Dublul strat de sarcini electrice este ansamblul a două plane paralele cu dimensiuni liniare mult mai mari decât distanţa dintre ele, uniform încărcate cu densităţi de sarcină electrică egale, şi de semn contrar. Câmpul electric al dublului strat se determină folosind teorema superpoziţiei, aşa cum rezultă din figura 3.10. Neglijând efectul de margine, câmpul este nul în exteriorul dublului strat şi de două ori mai intens în interiorul lui:

nE ′ερ

=0

sv P)( . (3.11)

3.3.3. Câmpul electric în vid al unui fir rectiliniu, infinit, uniform încărcat

Câmpul electric, considerând 0l >ρ , se determină ajutorul termenului

sρ+ sρ− sρ+ sρ−


∫ ′′

′ρπε

=C

3l

0v d

41P)( l

RRE ,

din suma dată de formula (3.7). Observând că din motive de simetrie axială câmpul electric este radial (figura 3.11) şi înmulţind scalar expresia de mai sus cu versorul radial ur al sistemului de coordonate cilindrice, obţinem

∫∫ ′α

περ

=′′⋅′

περ

=C

20

l

C3

0

lv dsin

4d

4P)( z

Rl

RE ruR ,

în care elementul de linie l′d s-a înlocuit cu creşterea elementară zd a coordonatei z. Integrala se efectuează exprimând variabilele R′ şi z în funcţie de variabila α:

α⋅= ctgaz , αα

−= 2sindd az şi

α=′

sinaR .

Înlocuind, se obţine

( )aa

E0

l2

00

lv 2

dsin4

P)(περ

=αα−περ

= ∫π

.

Exprimând coordonata r = r ur a sistemului de coordonate cilindric, rezultă vectorul câmp electric în vid

raa rruE

0

l

0

lv 22

P)(περ

=περ

=

sau, renotând a ≡ r,

20

lv 2 rπ

rEε

ρ= . (3.12)

3.4. Tensiunea şi potenţialul în câmpul electric

Experienţa arată că deplasând o sarcină punctuală de-a lungul unei curbe închise Γ, situată într-un câmp electric invariabil în timp numit câmp

lρ

zl dd ≡′

vER′

ru


electrostatic, lucrul mecanic al forţei electrice, Fe = q Ev care se exercită asupra micului corp încărcat, este nul:

∫Γ

=⋅ 0e dlF , adică 0v =⋅∫Γ

dlEq sau, deoarece q = const.,

rezultă relaţia

0v =⋅∫Γ

dlE , (3.13)

numită forma integrală a teoremei potenţialului electrostatic. Reamintind că o integrală de tipul celei prezente în membrul stâng al expresiei (3.13), efectuată pe un contur închis, se numeşte circulaţia vectorului pe acel contur, teorema se poate enunţa astfel: în regim electrostatic, circulaţia vectorului câmp electric este nulă. Curbele 1 şi 2 care unesc puncte A şi B, aşa cum se poate observa în figura 3.12, formează împreună o curbă închisă, căreia i se poate aplica formula (3.13)

0B

A,1

A

B,2vv =⋅+⋅∫ ∫ dlEdlE ,

rezultând

∫ ∫ ⋅=⋅B

A,1

B

A,2vv dlEdlE . (3.14)

Integrala curbilinie, pe orice drum între A şi B,

∫ ⋅=B

AvAB dlEU

A

B1

2

Fig. 3.120P

P

Fig. 3.13


poartă denumirea de tensiune electrică între punctele A şi B, şi este independentă de drum. Schimbând notaţiile şi notând perechea de puncte cu P0 şi P (figura 3.13), se mai spune că integrala

∫ ⋅P

0Pv dlE

este un invariant scalar al punctelor P0 şi P, sau că aceasta este un invariant scalar al punctului P, în raport cu punctul P0. Din acest motiv, putem defini în punctul P o funcţie scalară numită potenţial electric, în raport cu punctul P0 de referinţă, ca funcţie liniară de invariantul scalar:

( ) ∫ ⋅−=P

0PvP dlEKV .

Deplasând punctul curent P, până ce acesta va coincide cu punctul P0, integrala se anulează, iar relaţia de mai sus devine ( ) 0P0 −= KV . Reformulând, se poate afirma că potenţialul electric se poate exprima în funcţie de potenţialul dintr-un punct de referinţă astfel:

( ) ( ) ∫ ⋅−=P

0Pv0PP dlEVV , (3.15)

în care, dl este dirijat spre punctul P, sau

( ) ( ) ∫ ⋅=−P

0Pv0 PP dlEVV . (3.16)

Relaţia (3.15) reprezintă cea de a doua formă integrală a teoremei potenţialului electrostatic.

Formele locale ale teoremei potenţialului electrostatic

Notând cu V (r) şi V (r + d r) potenţialele celor două puncte infinit apropiate (figura 3.14), se observă că, într-o zonă atât de redusă, intensitatea câmpului electric este practic


uniformă şi, prin urmare, tensiunea dintre cele două puncte, de forma (3.16), se exprimă astfel:

( ) ( ) dlErrr ⋅=+− vdVV

Notând dlr ≡d şi ( ) ( )rrr VVV −+= dd , rezultă

dlE ⋅−= vdV . (3.17)

Membrul întâi al relaţiei se mai poate pune sub forma unei diferenţiale, obţinându-se expresia

dl⋅≡∂∂

+∂∂

+∂∂

= VzzVy

yVx

xVV graddddd .

Rezultă

dldlE ⋅=⋅− Vgradv ,

sau, cum dl este arbitrar,

Vgradv −=E . (3.18)

Dacă în membrul întâi al relaţiei (3.13) se aplică teorema lui Stokes, se poate scrie

∫∫Γ

=⋅S

v 0rot dAE

sau, cum SΓ este arbitrar,

0rot v =E . (3.19)

Relaţiile (3.18) şi (3.19) reprezintă cele două forme diferenţiale (locale) ale teoremei potenţialului electrostatic.

Interpretarea fizică a potenţialului electrostatic

Dacă se particularizează formula (3.15), impunând ca punctul de referinţă al potenţialului să fie considerat la infinit ( )∞→ PP0 , adică ( ) 0P =∞V , şi înlocuind q/ev FE = , se obţine

( ) qV /PP

Pe ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−= ∫

∞

dlF ,


apoi, înlocuind lddl ′−= , se obţine

( ) qV /PP

Pe ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′⋅= ∫

∞

ldF .

Rezultă că potenţialul într-un punct este lucrul mecanic al forţei electrice, necesar pentru a deplasa unitatea de sarcină punctiformă de la infinit până în acel punct. Pe de altă parte, s-a văzut că noţiunea de potenţial electric s-a introdus datorită existenţei invariantului electric ataşat unei perechi de puncte situate într–un câmp electric invariabil în timp, în care circulaţia câmpului electric este nulă, respectiv rotorul său este nul. Concluzia care se impune este: potenţialul electric are sens numai în câmpurile electrice invariabile în timp (de rotor nul deci când Vgradv −=E ).

Consecinţe ale teoremei potenţialului electrostatic

1. Tensiunea electrică dintre două puncte nu depinde de drum şi este egală cu diferenţa potenţialelor electrice ale acelor puncte.

2. Liniile de câmp electric sunt perpendiculare pe suprafeţele echipotenţiale. Într-adevăr, pe aceste suprafeţe, deoarece 0d =V , rezultă din (3.17) că Ev este perpendicular pe elementul de linie cuprins în suprafaţă.

3. În regim electrostatic, liniile de câmp electric sunt perpendiculare pe suprafeţele conductoare (figura 3.15). Într-adevăr, deoarece în regim electrostatic suprafeţele conductoarelor sunt echipotenţiale, rezultă din proprietatea anterioară, că liniile de câmp care „pornesc” de pe conductoare spre exteriorul lor sunt perpendiculare pe suprafeţele conductoarelor.

4. La suprafaţa de separaţie dintre două medii dielectrice diferite se conservă componenta tangenţială a câmpului electric. Afirmaţia se verifică aplicând formula (3.13) unui contur închis, de forma unui dreptunghi foarte alungit, cu laturile mari de o parte şi de alta a suprafeţei de separaţie dintre dielectrici (figura 3.16). Considerând că intensitatea câmpului electric este constantă de-a lungul

vE

v1E

v2E

tu

1Δl

2Δl


acestor două laturi, pentru fiecare mediu în parte, şi exprimând lungimile orientate cu ajutorul versorului tangent la suprafaţa de separaţie ut, lΔ= t1 uΔl şi

lΔ−= t2 uΔl , se obţine

022v11v =⋅+⋅ ΔlEΔlE , apoi ( ) 0t2v1v =Δ⋅− luEE , de unde

t2vt1v EE = . (3.20)

5. În regim electrostatic, este prezent efectul de ecran. Acesta constă în inexistenţa câmpului electric în vidul unor cavităţi practicate în interiorul conductoarelor (figura 3.17). Pentru a demonstra această afirmaţie, se observă că în vid nu există sarcini electrice care să producă eventuale linii de câmp deschise; totodată, în virtutea relaţiei (3.13), nu există nici linii de câmp închise. Mai rămâne de investigat ipoteza existenţei unei linii de câmp electric între două puncte A şi B de pe suprafaţa cavităţii, care determină o tensiune de-a lungul liniei de câmp:

∫ ⋅=−=B

AvBA dlEVVU ,

în care Ev este omoparalel cu dl. Deci, 0v >⋅ dlE rezultând şi

0B

Av >⋅∫ dlE .

Pe de altă parte, deoarece conductorul este o suprafaţă echipotenţială, VA = VB, ceea ce conduce la

0B

Av =⋅∫ dlE .

Deoarece integrala nu poate fi în acelaşi timp, atât mai mare decât zero, cât şi egală cu zero, trebuie admis că în interiorul cavităţii nu există câmp electric.

vE


3.5 Potenţialul electric al corpurilor încărcate.

După cum s-a văzut anterior, câmpul electric al unei sarcini punctuale are expresia

30

v ε4P)(

Rq

π=

RE .

Înlocuind

( ) ( )PgradPv V−=E şi RR1grad3 −=

R ,

obţinem

( )R

qV 1gradε4

Pgrad0π

= ,

de unde

( ) .4

1P0

constRqV +

πε=

Rezultă că potenţialul electric se determină până la o constantă arbitrară. Dacă se admite alegerea potenţialului nul la infinit, deci pentru R → ∞

0)P( =∞V , potenţialul într-un punct P va avea forma

( )RqV

041Pπε

= . (3.21)

Generalizând acesta expresie, obţinută pentru corpurile încărcate punctiforme, şi pentru corpuri încărcate având repartiţii de sarcină volumice, superficiale şi lineice, se obţine prin superpoziţie

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′ρ

+′ρ+′ρ

πε= ∫ ∑∫∫∫ ∫∫

=C 1

l

V S

sv

0ddd

41P)(

n

k k

kRql

RA

Rv

RV , (3.22)

în care sarcinilor elementelor de volum, arie şi linie le corespund v′ρ dv , A′ρ ds , respectiv l′ρ dl .

Cu ajutorul acestora, presupunând a fi cunoscute densităţile de sarcină volumice, superficiale şi lineice ρv, ρs şi ρl, se calculează integralele de volum, superficiale şi de linie corespunzătoare. Observaţie. Spre deosebire de calculul câmpului electric cu formula coulombiană (3.7), formule de tipul (3.22) sunt valabile numai în ipoteza


alegerii referinţei potenţialului la infinit. În consecinţă, ele nu sunt aplicabile problemelor având sarcini repartizate pe configuraţii infinit extinse.

3.6. Fluxul electric

Fluxul în vid al câmpului vectorial Ev printr-o suprafaţă S este dat de integrala de suprafaţă

∫∫ ⋅=ΨS

vevS dAE ,

unde elementul orientat de arie este AdndA = , iar n este normala într-un punct curent al suprafeţei. Teorema lui Gauss Fluxul câmpului electric în vid printr-o suprafaţă închisă Σ este proporţional cu sarcina electrică Σq din interiorul suprafeţei

0

vev ε=⋅=Ψ Σ

ΣΣ ∫∫

qdAE ,

unde ε0 este permitivitatea vidului. Se convine ca sensul normalei n, într-un punct curent al unei suprafeţe închise Σ, să fie adoptat dinspre interiorul spre exteriorul acesteia. Teorema se justifică pentru cazul particular al unei sarcini punctuale

qq =Σ (figura 3.18). Înlocuind în formula de mai sus expresia câmpului electric în vid al unei sarcini punctiforme

30

v 41

Rq RE

πε= , se obţine ∫∫

ΣΣ

⋅=Ψ 3ev R

dAR .

Se observă că integrandul

Ω=⋅ d3RdAR

semnifică unghiul solid elementar sub care „se vede” aria elementară d A, din punctul în care se găseşte corpul încărcat. Deoarece ∫∫

Σ

π=Ω 4d ,

fluxul ia forma


∫∫Σ

ΣΣ ε

=Ωπε

=Ψ00

ev d4

qq .

În cazul a n sarcini punctuale aflate în interiorul suprafeţei închise, se aplică teorema superpoziţiei:

∑=

Σ =n

kkqq

1.

Aplicaţie. Potenţialul unei sfere uniform încărcate. Se consideră un corp masiv, sferic de rază a, uniform încărcat cu densitatea sarcinii electrice ρv > 0. În scopul determinării expresiei vectoriale a câmpului electric, atât în interiorul corpului, cât şi în exteriorul acestuia, se aplică teorema lui Gauss unor suprafeţe închise, sferice, concentrice cu corpul sferic considerat, de raze R < a şi, respectiv R > a. Se obţine,

– în interior ( aR < ), 4 π ε0 R2 Ei = ρv (4 π R3/ 3) ⇒ RE0

vi ε3

ρ= şi

– în exterior ( aR > ), 4 π ε0 R2 Ee = ρv (4 π a3/ 3) ⇒ 30

3v

e ε3 Ra RE ρ

= .

Folosind formula (3.15) a teoremei potenţialului electrostatic în care se consideră potenţialul de referinţă nul la infinit, rezultă

– în exteriorul sferei ( aR > ),

Ra

Ra

RaV

RR

R 1ε3

1ε3

dε3

d0

3v

0

3v

30

3v

eeρ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

ρ=

⋅ρ=⋅−=

∞∞

∞∫∫

RRRE

− în interiorul ei ( aR < ),

,62ε

ddε3

dd

22

0

v

33

0

veei

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅

ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅= ∫∫∫∫

∞<

∞

Ra

RaV

a

a

R

aR

a

a RRRRRERE

relaţii în care s-a ţinut seama de faptul că vectorii R şi d R sunt omoparaleli. Se observă în relaţia (3.23) că, pentru R = a, continuitatea funcţiei scalare a potenţialului la suprafaţa sferei este verificată. Se verifică, de asemenea, şi continuitatea câmpului vectorial E, la aceeaşi suprafaţă de separaţie dintre cele două medii. În consecinţă, inegalităţile aR < şi/sau aR > de mai sus pot include, oricare dintre ele, sau ambele, şi egalitatea R = a.

(3.22)

39

4. STAREA DE POLARIZARE ELECTRICĂ

Cea de a doua stare de electrizare a corpurilor ce urmează a fi prezentată în acest capitol este starea de polarizare.

4.1. Momentul electric

Se va introduce mărimea primitivă care caracterizează starea unui corp polarizat, suficient de mic pentru ca polarizarea lui să poată fi considerată uniformă. Apoi, se va introduce mărimea derivată care caracterizează starea locală de polarizare a unui corp masiv, polarizat în general neuniform, precum şi cea a unei pânze subţiri polarizată transversal. Alte aspecte legate de această stare vor fi de asemenea prezentate în cuprinsul acestui capitol.

4.1.1. Momentul electric al unui mic corp polarizat

Se ştie că mărimile primitive se introduc cu ajutorul altor mărimi făcând apel la experiment. În cazul corpurilor electrizate, mărimea care intervine în definirea mărimilor primitive este forţa. Se consideră un mic corp polarizat, care se introduce în vid, într-un câmp electric exterior. Sub acţiunea forţei pe care câmpul o exercită asupra micului corp, acesta se deplasează pe o distanţă elementară d r efectuând un lucru mecanic elementar

d L = F·d r (4.1)

40 4. STAREA DE POLARIZARE ELECTRICĂ

Variaţia elementară a câmpului electric în vid, pe distanţa orientată elementară d r (figura 4.1), se exprimă prin diferenţa

( ) ( )zyxzzyyxx ,,d,d,dd vvv EEE −+++= ,

care se calculează cu ajutorul dezvoltării în serie Taylor. Se dezvoltă succesiv:

( ) ( ) ( ) K+∂

∂+

∂∂

+=+ 22v

2v

vv d!2

1d!1

1,,,,d xx

xx

zyxzyxx EEEE

( ) ( ) ( ) K+∂

∂+

∂∂

++=++ 22v

2v

vv d!2

1d!1

1,,d,d,d yy

yy

zyxxzyyxx EEEE

( ) ( )

( ) K+∂

∂+

+∂

∂+++=+++

22v

2

vvv

d!2

1

d!1

1,d,dd,d,d

zz

zz

zyyxxzzyyxx

E

EEE

Neglijând termenii infinit mici de ordin superior şi eliminând între ecuaţiile de mai sus ( )zyxx ,,dv +E şi ( )zyyxx ,d,dv ++E , se obţine diferenţiala

zz

yy

xx

dddd vvvv ∂

∂+

∂∂

+∂

∂≅

EEEE ,

care sugerează un produs scalar între vectorul d r şi operatorul diferenţial vectorial ∇ (nabla), cu semnificaţia

( ) ( ) ( ) ( )zyx ∂⋅∂

+∂

⋅∂+

∂⋅∂

=⋅∇ kji ;

mărimea Ev este extrasă formal „factor comun” şi plasată în dreapta produsului scalar,

( ) ( ) vvv gradddd ErErE ⋅≡∇⋅= (4.2)

Comparând relaţiile (4.1) şi (4.2), se deduce că d L este, prin intermediul lui d r, o funcţie lineară şi omogenă de d Ev, ceea ce permite să se asocieze micului corp polarizat electric o mărime fizică vectorială p, numită momentul electric al micului corp polarizat, astfel încât să se poată scrie (a se vedea paragraful 1.2.3)

4. STAREA DE POLARIZARE ELECTRICĂ 41

d L = p ·d Ev. (4.3)

Momentul electric p este o mărime primitivă a teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic, care caracterizează starea de polarizare a micului corp polarizat. În cazul cel mai general, momentul electric poate avea două componente, una temporară, dependentă de câmpul electric în care se află micul corp pt(Ev), şi una permanentă pp, independentă de câmp, obţinându-se relaţia

p = pt(Ev) + pp. (4.4)

4.1.2. Forţa asupra unui mic corp polarizat plasat într-un câmp electric exterior

Presupunem că sub acţiunea câmpului electric exterior, micul corp polarizat efectuează o translaţie, fără rotaţie, pe distanţa orientată d r. Egalând lucrul mecanic dat de (4.1), cu cel dat de (4.3)

F·d r = p·d Ev,

şi, ţinând cont de (4.2), rezultă

( )[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂⋅=⋅⋅=⋅

zz

yy

xx vvv

v dddgraddd EEEpErprF .

Deoarece p este un vector de modul şi direcţie constante, acesta se poate introduce în dreapta simbolului de derivare parţială:

( ) ( ) ( )z

zy

yx

x∂⋅∂

+∂⋅∂

+∂⋅∂

=⋅ vvv dddd EpEpEprF

sau

( )vgraddd EprrF ⋅⋅=⋅ .

Cum orientarea vectorului rd este arbitrară, rezultă

( )vgrad EpF ⋅= (4.5)

sau, pe componente,


( )

( )

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∂∂

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∂∂

=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∂∂

=

zEp

zE

pz

Epz

F

yEp

yE

py

Epy

F

xEp

xE

px

Epx

F

zz

yy

xxz

zz

yy

xxy

zz

yy

xxx

vvvv

vvvv

vvvv

Ep

Ep

Ep

(4.6)

Din sistemul de ecuaţii de mai sus, rezultă că măsurând componentele forţelor şi cunoscând structura câmpului electric, se pot determina componentele px, py, pz ale momentului electric, şi deci momentul p, însuşi. Proprietatea câmpului electric invariabil în timp – câmpul electrostatic – de a avea rotorul nul, permite găsirea unei noi expresii a forţei, echivalentă cu expresia dată de formula (4.5). Într-adevăr, formula rot Ev= 0 conduce la anularea componentelor rotorului pe cele trei axe de coordonate rectangulare:

0vv =∂

∂−

∂∂

zE

yE yz , 0vv =

∂∂

−∂

∂x

Ez

E zx , 0vv =∂

∂−

∂

∂

yE

xE xy .

Ţinând seama de aceste relaţii, sistemul de ecuaţii (4.6) se mai poate scrie,

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

zEp

yEp

xEpF

zE

py

Ep

xE

pF

zEp

yEp

xEpF

zz

zy

zxz

yz

yy

yxy

xz

xy

xxx

vvv

vvv

vvv

.

Înmulţind prima ecuaţie cu versorul i, a doua cu j şi a treia cu k, versorii axelor de coordonate rectangulare, adunând şi restrângând apoi rezultatul, se obţine

z

py

px

p zyx ∂∂

+∂∂

+∂

∂= vvv EEEF .

De asemenea, utilizând operatorul de calcul vectorial de tipul (a · grad) b, folosit şi în formula (4.2), forţa exercitată asupra micului corp polarizat se mai poate scrie şi astfel:

( ) vgrad EpF ⋅= . (4.7)


Observaţie

Este de menţionat faptul, că la rezultatul de mai sus, se putea ajunge şi direct, fără a mai face descompuneri pe axele de coordonate, folosind relaţia

( ) ( ) pEEppEEpEp rotrotgradgradgrad vvvvv ×+×+⋅+⋅=⋅ .

Deoarece rotorul câmpului electrostatic este nul şi p este un vector constant, operaţiile de derivare spaţială, incluse în operatorii gradient şi rotor, efectuate asupra lui, sunt nule. În aceste condiţii, din suma de mai sus, se păstrează doar primul termen, regăsindu-se expresia forţei dată de (4.7), echivalentă cu forţa (4.5).

Cuplul exercitat asupra unui mic corp polarizat, plasat într-un câmp electric exterior

Să presupunem că, sub acţiunea câmpului electric exterior, micul corp polarizat suferă doar o mişcare de rotaţie, neînsoţită de una de translaţie. În acest caz, lucrul mecanic elementar dezvoltat este

dαC ⋅=Ld , (4.8)

unde C este momentul cuplului, iar unghiul dα este unghiul elementar vectorizat. Este de menţionat că, pentru uniformitatea notaţiei tuturor elementelor infinit mici, s-a optat pentru notaţia „d L” pentru lucrul mecanic elementar, deşi această mărime, din punct de vedere termodinamic, nu este o diferenţială totală exactă, funcţie de parametrii de stare. Din acest motiv, unii autori preferă notaţia „δ L”. Vectorul dα are direcţia coincizând cu axa de rotaţie a micului corp, sensul fiind asociat conform regulii burghiului drept cu sensul de rotaţie, iar modulul său este tocmai αd . Aşa cum se poate observa în figura 4.2, dacă


planul în care are loc deplasarea circulară coincide cu planul figurii, şi sensul de rotaţie este cel orar, vectorul dα va intra perpendicular în acest plan. În virtutea relativităţii mişcării micului corp în câmpul electric, se poate considera corpul ca fiind fix, în timp ce câmpul are o mişcare de rotaţie în sens contrar (figura 4.3), cu dααd −=′ . Câmpul elementar d Ev se poate exprima cu ajutorul produsului vectorial

vv dd EαE ×′= (4.9)

Deoarece d L şi d Ev sunt funcţii lineare şi omogene de variabila dα , rezultă că d L este funcţie lineară şi omogenă de d Ev, şi se poate exprima şi astfel:

d L = p ·d Ev. (4.10)

Identificând expresiile lucrului mecanic elementar date de (4.8) şi (4.10) şi ţinând seama de (4.9), se poate scrie

( ) ( ) dαEpEdαpEpdαC ⋅×=×⋅−=⋅=⋅ vvvd .

Deoarece relaţia anterioară este întotdeauna valabilă, fără a fi fost impusă vreo condiţie restrictivă (deci are loc pentru orice rotaţie posibilă, caracterizată de dα ), rezultă

vEpC ×= . (4.11)

În cazul mişcării compuse – translaţie şi rotaţie – momentul rezultant în raport cu un punct exterior arbitrar (O) este

( ) vvo grad EpEprM ×+⋅×= , (4.12)

r fiind vectorul de poziţie, cu originea în punctul O şi extremitatea în centrul de masă al micului corp polarizat. În cazul particular al deplasării punctului O în


acest centru (r = 0), momentul cuplului devine egal cu cel dat de formula (4.11).

4.2. Polarizaţia electrică

Caracterizarea unui corp masiv, în general neuniform polarizat electric, se face cu ajutorul unei mărimi derivate, care descrie local starea de polarizare a corpului. Această mărime se defineşte ca limita raportului dintre momentul electric elementar Δp al unui element de volum Δv şi volumul acestuia pentru Δv → 0 (figura 4.4)

vvv d

dlim0

ppP =ΔΔ

=→Δ

, (4.13)

în care notaţia dp nu trebuie interpretată ca o diferenţială a unei funcţii vectoriale, ci doar un mod de a evidenţia o mărime infinit mică. Limita relaţiei de mai sus poartă denumirea de polarizaţie electrică. Momentul electric al întregului corp polarizat se obţine cu ajutorul integralei de volum

∫∫∫=V

d vPp . (4.14)

În cazul unei „foiţe” dielectrice asimilabile unei suprafeţe S, polarizate transversal (figura .4.5), se defineşte mărimea derivată numită polarizaţia electrică de suprafaţă, cunoscută în literatura de specialitate şi sub denumirea de „puterea foiţei electrice”, prin limita

AAA d

lim0s

dppΠP =ΔΔ

==→Δ

, (4.15)

în care dp este momentul electric al foiţei elementare de arie ΔA. Momentul electric al întregii foiţe se obţine cu ajutorul integralei de suprafaţă

∫∫=S

s d APp . (4.16)

4.3. Unităţi de măsură în SI

În cele ce urmează, se vor stabili unităţile de măsură ale momentului electric, polarizaţiei electrice şi polarizaţiei de suprafaţă, precum şi unităţile lor de măsură în SI. Astfel, din ecuaţiile dimensionale corespunzătoare, se obţin:

• pentru momentul electric,


[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ]Lq

qF

LFECp ⋅=

⋅==

v= 1 coulomb·metru (C·m),

• pentru polarizaţie,

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]233 Lq

LLq

LpP =

⋅== = 1 coulomb pe metru pătrat (C/m2),

• pentru polarizaţia de suprafaţă,

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ][ ]Lq

LLq

LpP =

⋅== 22s = 1 coulomb/metru (C/m).

4.4. Modelul coulombian al stării de polarizare electrică

Întrucât starea de polarizare este, în raport cu starea de încărcare prezentată anterior, o stare ce urmează a fi descrisă, s-a propus descrierea ei cu ajutorul sarcinilor electrice cunoscute din prezentarea stării de încărcare electrică.

4.4.1. Dipolul electric

Deoarece dimensiunea fizică a momentului electric al unui mic corp polarizat, este – aşa cum s-a văzut mai sus – produsul dintre dimensiunea unei sarcini electrice şi cea a unei lungimi, este util de înlocuit micul corp polarizat, cu ansamblul a două sarcini punctuale egale, şi de semn contrar +qd şi −qd, numite sarcini dipolare. Acestea sunt situate la o distanţă foarte mică una faţă de cealaltă, în raport cu distanţa dintre acest ansamblu şi punctul în care se calculează câmpul său propriu. Perechea de sarcini fictive poartă denumirea de dipol electric, iar limita finită

lp d

0d

d lim ql

q→

∞→= (4.17)

se numeşte momentul electric al dipolului. Unitatea lui de măsură în SI este 1 C·m. Cu ajutorul acestei substituţii, problemele privind corpurile polarizate se pot înlocui cu probleme ale unor repartiţii echivalente de sarcini electrice, ale unor dipoli elementari, sarcini denumite sarcini de polarizaţie. Acestea, însă,


trebuie repartizate de aşa manieră, încât acţiunile ponderomotoare exercitate de către un câmp electric exterior asupra ansamblului de sarcini de polarizaţie, ca şi câmpul electric propriu al acestora, să fie echivalente cu cele ale corpului polarizat. Această înlocuire se validează, numai dacă se demonstrează echivalenţa dintre un mic corp polarizat şi un dipol electric, sub cele două aspecte menţionate: aceleaşi acţiuni ponderomotoare şi aceleaşi câmpuri electrice proprii.

4.4.2. Echivalenţa unui mic corp polarizat cu un dipol

În cele ce urmează se va investiga echivalenţa dintre un mic corp polarizat şi un dipol electric, din perspectiva similarităţii acţiunilor ponderomotoare şi câmpului electric.

I. Echivalenţa din punct de vedere al acţiunilor ponderomotoare

I.1. Forţa exercitată asupra dipolului Se consideră un dipol aflat într-un câmp electric exterior (figura 4.6).

Câmpul existent în punctul sarcinii pozitive este ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2vlrE , iar cel

corespunzător sarcinii negative este ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2vlrE . Forţa rezultantă exercitată

asupra dipolului se calculează prin superpoziţia celor două forţe:

O

rlO

r >> l

+qd

qd

Ev(r + l / 2)

Ev(r l / 2)

Fig. 4.6


( ) ≡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

22 vdvddlrElrEF qq

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≡

22 vvvvdlrErErElrEq .

Deoarece variaţia câmpului pe distanţa orientată l / 2 se determină cu ajutorul unei relaţii de tipul (4.2), se poate scrie

( ) ( ) vvvvv grad222

EllrErErElrE ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−≅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Deci,

( ) vdvvdd gradgrad2

grad2

ElElElF ⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅= qq ,

şi cu (4.17), rezultă forţa asupra dipolului

( ) vdd grad EpF ⋅= , (4.18)

echivalentă cu forţa asupra unui mic corp polarizat (4.7). I.2. Cuplul exercitat asupra dipolului Se calculează momentul cuplului în raport cu un punct arbitrar (O) (figura 4.6). Se obţine

( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

2222 vdvddOlrElrlrElrM qq

2

2222

vv

dvvd

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

×+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +×=

lrElrEllrElrEr qq .

Deoarece

( ) vv

vv

222 ErE

lrElrE≡≅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

şi dd pl =q ,

expresia momentului este


( ) vdvddO grad EpEprM ×+⋅×= , (4.19)

relaţie echivalentă cu (4.12), în condiţiile în care, şi de data aceasta, se poate demonstra egalitatea

( ) ( ) vdvd gradgrad EpEp ⋅=⋅ ,

similară expresiei (4.7). Pentru OO ′→ şi r → 0, (4.19) devine echivalentă cu (4.11). Echivalenţa din punctul de vedere a acţiunilor ponderomotoare este aşadar demonstrată.

II. Echivalenţa din punctul de vedere al câmpurilor electrice proprii

Se studiază separat sistemul fizic S1, al ansamblului format din micul corp polarizat şi corpul punctiform încărcat cu q*, pe de o parte, şi sistemul fizic S2, al ansamblului format din dipol şi acelaşi corp punctiform, pe de altă parte. Se plasează în acelaşi punct M′, de vector de poziţie r, corpul încărcat cu sarcina q* (figura 4.7). Această sarcină generează în punctul M, în care sunt plasate succesiv atât corpul polarizat, cât şi dipolul, acelaşi câmp electric E*. Ca urmare a primei părţi a teoremei de echivalenţă –echivalenţa forţelor, asupra micului corp polarizat şi asupra dipolului se vor exercita, forţe egale Fp = Fd (dacă p = pd). Deoarece, atât S1, cât şi S2, sunt sisteme fizice izolate, rezultă, în conformitate cu principiul acţiunii şi al reacţiunii, că p

*1 FF −= şi d

*2 FF −=

deci *2

*1 FF = , respectiv q*Evp = q*Evd.

Prin urmare admitem coincidenţa celor două câmpuri vectoriale,

Evp = Evd , (4.20)

ceea ce trebuia demonstrat, adică echivalenţa celor două entităţi, din perspectiva

M′

*vE

vpE*

1F

M′

*vE

vpE*2F


câmpurilor proprii.

4.5. Sarcinile electrice de polarizaţie

Se consideră un corp masiv polarizat în general neuniform, cu polarizaţia P(r), căruia urmează să i se determine sarcina de polarizaţie şi repartiţia densităţii ei de volum, în interiorul corpului. Pe baza echivalenţei dintre un mic corp polarizat şi un dipol, se înlocuieşte fiecare element de volum al corpului polarizat cu un dipol elementar. Excesul sarcinilor dipolare d qp de un semn, faţă de cele de semn contrar, localizate în interiorul unei suprafeţe închise Σ,

reprezintă sarcina de polarizaţie din interiorul suprafeţei (figura 4.8). Există trei poziţii ale dipolilor relative la această suprafaţă: dipoli situaţi în afara suprafeţei închise, care nu contribuie la sarcina de polarizaţie din interiorul suprafeţei, dipoli aflaţi în interiorul suprafeţei care, de asemenea, au o contribuţie nulă la sarcina de polarizaţie (deoarece sunt formaţi din sarcini egale şi de semn contrar) şi dipoli intersectaţi de suprafaţă, singurii care au o contribuţie nenulă la sarcina de polarizaţie din interiorul lui Σ. Relaţia care stabileşte legătura dintre mărimea considerată cunoscută P(r) şi sarcina de polarizaţie, se obţine din


condiţia egalităţii dintre modulul momentului electric al unui element de volum polarizat şi modulul momentului elementar al dipolului echivalent (figura 4.9):

d p = d pd, adică P d v = d qd d l.

Ţinând cont de expresia volumului elementar d v = d Ab d l, în care d Ab = d A cos α, se obţine P d A d l cos α = d qd d l rezultând

d qd = P d A cos α = P · dA ≡ P · n d A.

Aşa cum se observă în configuraţia prezentată în figura 4.8 sau figura 4.9, în interiorul suprafeţei închise Σ se găseşte sarcina negativă, −d qd, a dipolului elementar considerat. Determinarea excesului de sarcină, fie că acesta este pozitiv sau negativ, din întregul domeniul mărginit de suprafaţa închisă Σ, revine la însumarea numai a sarcinilor elementare incluse de această suprafaţă, din imediata sa vecinătate. Este vorba, evident, de sarcinile dipolilor traversaţi de suprafaţă, contribuţia dipolilor cuprinşi în întregime în interiorul acesteia fiind nulă, aşa cum s-a menţionat deja. Mărimea derivată definită în acest fel, numită sarcină de polarizaţie, este dată de integrala de suprafaţă

∫∫Σ

Σ −= dpv d qq

sau

∫∫Σ

Σ ⋅−= Aq dpv nP . (4.21)

4.5.1. Densitatea de volum a sarcinii de polarizaţie

Admiţând o repartiţie neuniformă, dar continuă, a excesului de sarcini dipolare elementare, de un semn faţă de cele de semn contrar, se introduce mărimea derivată numită densitatea de volum a sarcinii electrice de polarizaţie, cu ajutorul limitei

v

qv

qv d

dlim ppv

0pv =Δ

Δ=ρ

→Δ. (4.22)

Sarcina de polarizaţie din interiorul suprafeţei închise Σ se mai poate scrie, astfel, şi cu ajutorul integralei de volum


∫∫∫Σ

Σρ=

Vpvpv d vq . (4.23)

Aplicând membrului al doilea al formulei (4.21) teorema Gauss–Otrogradsky şi egalându-l cu membrul al doilea al formulei (4.23) rezultă,

∫∫∫∫∫∫ΣΣ

−=ρVV

pv ddivd vv P .

Întrucât această egalitate are loc pentru orice domeniu VΣ, neimpunându-se niciun fel de restricţie asupra alegerii suprafeţei Σ, se poate admite egalitatea integranzilor:

Pdivpv −=ρ . (4.24)

Este de menţionat faptul că, dacă polarizaţia unui corp este uniformă, membrul al doilea al relaţiei de mai sus se anulează, deoarece derivatele din expresia divergenţei se aplică componentelor polarizaţiei electrice, care sunt toate constante. Concluzia este că un corp polarizat uniform are densităţile de volum ale sarcinilor de polarizaţie nule, 0pv =ρ .

4.5.2. Densitatea de suprafaţă a sarcinilor de polarizaţie

Dacă există o suprafaţă de discontinuitate S12 a polarizaţiei electrice, apare o densitate de suprafaţă ρps12 a sarcinilor de polarizaţie (figura 4.10). Ea se determină aplicând formula (4.21) unei suprafeţe închise Σ de dimensiuni atât de reduse, încât în interiorul ei polarizaţiile P1 şi P2 să poată fi considerate uniforme. Forma suprafeţei Σ este adecvată configuraţiei plane a problemei, fiind un paralelipiped foarte mic şi extrem de îngust, cu cele două feţe mai mari plasate de o parte şi de alta a suprafeţei de discontinuitate S12 (figura 4.11). Înălţimea d g a paralelipipedului se consideră atât de mică, în raport cu dimensiunile liniare ale celor două feţe mari ale sale, încât fluxul polarizaţiilor prin suprafeţele laterale să poată fi neglijat ( Ag dd << ). În aceste condiţii,


folosind relaţiile (4.21) şi (4.23), şi notând cu Aq Δ⋅ρ=Δ 12psps sarcina de polarizaţie din interiorul suprafeţei Σ se poate scrie

( ) AAA

qAA

ΔΔ⋅+⋅−≅Δ

Δ=ρ

→Δ→Δ/limlim 22110

ps

012ps nPnP .

Rezultă densitatea de suprafaţă a sarcinilor de polarizaţie de pe suprafaţa de discontinuitate S12:

( ) PPPn s121212ps div−≡−⋅−=ρ , (4.25)

în care s-a ţinut seama de faptul că o expresie de forma ( )1212 GGn −⋅ se numeşte divergenţa de suprafaţă a câmpului de vectori G, şi se notează cu

Gsdiv . În cazul particular al suprafeţei de discontinuitate dintre un corp polarizat şi vidul din exteriorul său (figura 4.12), formula (4.25) devine,

( )Pn −⋅−=ρ≡ρ 0ps12ps

sau

nP ⋅=ρps , (4.26)

reprezentând produsul scalar dintre polarizaţia locală P şi versorul n, dirijat întotdeauna dinspre interiorul corpului, spre exteriorul lui.

4.6. Câmpul electric în vid al corpurilor polarizate electric

4.6.1. Câmpul electric în vid al unui mic corp polarizat

Pentru a calcula câmpul electric în vid într-un punct M(x, y, z), dat de un mic corp polarizat de moment p, situat într-un alt punct ( )zyx ′′′′ ,,M , se va


considera în punctul M o sarcină auxiliară q*. Aceasta determină în punctul M′ câmpul electric de intensitate (figura 4.13)

3

*

0

*v 4

1)M(R

q′

′πε

=′ RE ,

care exercită asupra micului corp polarizat forţa

( ) ( ) 30

**vp dgra

4dgra

Rq

′′

′⋅πε

=′⋅=RpEpF .

Înlocuind RR −=′ şi observând că simbolul ( ) ( )⋅−=⋅′ graddgra semnifică aplicarea operatorului diferenţial gradient în originea variabilei vectoriale R, nu la extremitatea sa, forţa va avea forma

( ) 30

*

p grad4 R

q RpF ⋅πε

= .

Micul corp polarizat şi micul corp auxiliar încărcat cu sarcina q*, formând un sistem fizic izolat, şi notând cu F* forţa exercitată asupra acestuia din urmă, rezultă

0*p =+ FF ,

şi deci

( ) 30

*

pvp** grad

4 Rqq RpFEF ⋅πε

−=−== .

M′

RR −=′


Prin urmare, câmpul corpului polarizat este

( ) ( ) 30

vp grad4

1MRRpE ⋅

πε−= . (4.27)

Deoarece

( ) pRRppRRpRp rotrotgradgradgrad 33333 ×+×+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

RRRRR, 0rot 3 =

RR

şi p este un vector constant, câmpul micului corp polarizat se mai poate scrie

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

πε−= 3

0vp grad

41M

RRpE . (4.28)

O altă expresie a acestui câmp se obţine dezvoltând gradientul produsului scalarilor p · R şi 1/ R3. Astfel,

( ) ( )RpRpRp⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ grad11gradgrad 333 RRR

.

Întrucât,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]pkji

k

j

i

Rp

=++=

=′−+′−+′−∂∂

+

+′−+′−+′−∂∂

+

+′−+′−+′−∂∂

=

=′−+′−+′−=⋅

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

ppp

zzpyypxxpz

zzpyypxxpy

zzpyypxxpx

zzpyypxxpgradgrad

şi ( ) 53 /3/1grad RR R−= , înlocuind în (4.28), rezultă câmpul electric al unui mic corp polarizat de moment p

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅πε

= 350

vp3

41M

RRpRRpE . (4.29)


4.6.2. Câmpul electric în vid al unui corp masiv polarizat

În figura 4.14 sunt reprezentaţi un corp masiv polarizat neuniform şi un punct exterior acestuia M, în care se va determina câmpul electric. Acesta se calculează prin însumarea câmpurilor elementare de forma (4.27), în care se face înlocuirea ( ) ( )⋅′=⋅− dgragrad . Avem

( ) ( ) 30

vp dgra4

1MdRRdpE ′⋅

πε= ,

în care v′= dPdp este momentul electric al unui element de volum v′d , iar P este polarizaţia locală a elementului. Câmpul electric din punctul M se determină integrând contribuţiile tuturor elementelor de volum ale corpului,

( ) ( )

∫∫∫

∫∫∫

′⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′∂∂

πε=

=′′⋅πε

=

V333

0

V3

0vp

.d4

1

ddgra4

1M

vRz

PRy

PRx

P

vR

zyxRRR

RPE

Se înmulţesc scalar ambii membri ai relaţiei de mai sus, cu un vector arbitrar şi constant a . Rezultatul produsului se poate restrânge sub forma

( ) ∫∫∫ ′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′⋅

πε=⋅

V3

0vp ddgra

41M v

RRaPaE .

Pe de altă parte integrandul devine,

PRaRaPRaP vdivdidgra 333′⋅

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅′=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′⋅

RRR.

Înlocuind integrandul pe baza acestei dezvoltări, observând că pvvdi ρ=′ P şi aplicând teorema Gauss–Ostrogradsky se obţine

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′⋅

⋅+′⋅

ρπε

=⋅ ∫∫∫∫∫Σ

AR

vR

dd4

1M 3V

3vp0

vp nPRaRaaE .

v′d


Deoarece a este arbitrar, iar P·n = ρps, rezultă câmpul electric al corpului polarizat sub forma

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

ρ+′

ρ

πε= ∫∫∫∫∫

Σ

AR

vR

dd4

1M 3sp

V3vp

0vp

RRE . (4.30)

Formula este de tip coulombian, asemănătoare formulei (3.7), a câmpului electric în vid, al corpurilor încărcate. Singura diferenţă constă în înlocuirea den-sităţilor de volum şi de suprafaţă ale sarcinilor electrice, cu cele ale sarcinilor de polarizaţie. Pentru a deosebi sarcinile de polarizaţie de cele obţinute prin încărcare, acestea din urmă se mai numesc şi sarcini electrice „adevărate”. Dacă, în afara corpului masiv polarizat, se mai află şi n corpuri punctiforme polarizate, având momentele electrice p1, p2, … , pk, … , pn, membrului drept al relaţiei (4.30) i se mai adaugă şi suma

( )∑=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−

πε

n

k kk R1

30

grad4

1 kRp ,

având termenii de forma (4.27).

4.7. Caracterizarea câmpului electric în interiorul corpurilor

Aşa cum s-a văzut, în vid câmpul electric a fost definit prin raportul dintre forţa exercitată asupra unui mic corp de probă încărcat şi sarcina electrică a corpului, Ev = F / q. Pentru a putea defini de o manieră similară câmpul electric într-un punct din interiorul unui corp masiv, este necesară practicarea unei cavităţi foarte mici (pentru a nu perturba starea câmpului) în jurul punctului. Experimentul fiind unul pur teoretic, se admite posibilitatea introducerii corpului de probă încărcat în interiorul acestei cavităţi, în vederea măsurării forţei exercitate asupra sa (figura 4.15). De asemenea, este evident faptul, că numai în cadrul unui astfel de experiment, se poate admite efectuarea unor măsurări de forţe într-o configuraţie de dimensiuni atât de reduse. Raportul F / q depinde însă de forma şi de orientarea cavităţii, ceea ce conduce la o infinitate de forţe, şi deci la determinarea neunivocă a câmpului electric. Acest neajuns se explică prin faptul că în interiorul cavităţii apare un câmp electric propriu Ep al sarcinilor de polarizaţie, de densităţi de suprafaţă ρps, localizate pe pereţii interiori ai cavităţii, densităţi care depind de forma şi de orientarea acesteia. Câmpul Ep se suprapune unui câmp E ′ , pentru moment nedefinit, şi numit câmp


de calcul. Acesta este generat de toate sursele de câmp existente, înainte de practicarea cavităţii. Câmpul rezultant din cavitate se obţine prin superpoziţia

( )∫∫∫∫ΣΣ

′⋅πε

+′=′ρ

πε+′=+′= A

RA

Rd

41d

41

30

3ps

0pcavv

RnPER

EEEE , (4.31)

în care singura mărime teoretic măsurabilă este Ev cav. Mărimile E ′ şi P se pot determina rezolvând sistemul de două ecuaţii ce rezultă din relaţia (4.31), măsurând câmpurile Ev cav1 şi Ev cav2, din membrul întâi al relaţiei, în două cavităţi distincte. Deoarece sarcinile de polarizaţie cu densitatea ρps generează

un câmp electric nu numai în interiorul, ci şi în exteriorul cavităţii, acesta din urmă modificând câmpul explorat, se alege o cavitate în formă de fantă foarte mică şi extrem de plată (figura 4.16). Despre acest tip de cavitate, se ştie că are în exteriorul ei un câmp propriu nul, iar în interior un câmp egal cu raportul dintre densitatea de sarcină (în cazul de faţă de polarizaţie) şi permitivitatea vidului (3.11). În aceste condiţii, câmpul (4.31) din cavitatea–fantă, de orientare dată de versorul normal la aceasta, uν, ia forma

( ) 0vf / ε⋅+′= ννν uuPEE (4.32)

Pentru determinarea câmpului de calcul E ′ şi a polarizaţiei P, se consideră două orientări particulare ale fantei, măsurându-se de fiecare dată câmpurile electrice din vidul lor. Orientările convenabile sunt fanta paralelă şi fanta perpendiculară pe vectorul polarizaţie locale, aşa cum se va vedea în cele ce urmează.

4.7.1. Intensitatea câmpului electric în corpuri

Orientând fanta (figura 4.17) astfel încât să devină paralelă cu polarizaţia (poziţie în care uν este normal la P, şi deci 0=⋅ νuP ), relaţia (4.32) devine

EE P ′=vf . (4.33)

Se numeşte intensitatea câmpului electric E, într-un punct situat în interiorul unui corp, limita către care tinde câmpul electric din vidul unei fante, paralele cu polarizaţia electrică locală, atunci când dimensiunile fantei tind omotetic către punctul considerat. Simbolic, putem exprima această modalitate de definire prin expresia,

νu


PEE vf0flim→

= . (4.34)

Din această definiţie, rezultă că intensitatea câmpului electric E ′ a câmpului de calcul este tocmai intensitatea E a câmpului din corp. Folosind această proprietate, relaţia (4.32) devine

( ) 0vf / ε⋅+= ννν uuPEE (4.35)

4.7.2. Inducţia electrică în corpuri

Se presupune că se realizează fanta astfel încât aceasta fie perpendiculară pe polarizaţie (figura 4.18) şi, bineînţeles, uν paralel cu P. În această situaţie,

P=⋅ νuP şi Pu =νP , iar relaţia (4.35) devine

0

vf ε+=⊥

PEE P sau PEE P +ε=ε ⊥ 0vf0 .

Se numeşte inducţie electrică D, într-un punct situat în interiorul unui corp, produsul dintre permitivitatea ε0 a vidului şi limita către care tinde câmpul electric, din vidul unei fante normale la polarizaţia locală, când dimensiunile fantei tind omotetic către punctul considerat. Această definiţie se reprezintă simbolic prin relaţia,

PED ⊥→

ε= vf0f0 lim .

Cu această definiţie, relaţia (4.36) devine

PED +ε= 0 . (4.38)

Menţionăm că în acest fel s-a reuşit să se justifice, în condiţiile particulare descrise mai sus, una dintre legile electromagnetismului (4.38), a cărei

νu

νu


valabilitate se păstrează – aşa cum arată experienţa – în orice condiţii. Faptul că s-a ajuns la expresia unei legi, nu constituie o „demonstraţie“ a ei, întrucât legile nu se demonstrează, ci se pun în evidenţă numai pe cale experimentală. S-a obţinut astfel, doar o justificare a legii, în cazul particular al definirii câmpului electric în corpuri cu ajutorul fantelor. În concluzie, pentru caracterizarea câmpului electric în interiorul corpurilor, nu este suficientă o singură mărime vectorială, aşa cum este cazul în vid, ci de o pereche de astfel de mărimi. Este o chestiune legată de convenţia alegerea perechii de mărimi E şi P sau a perechii E şi D.

4.7.3. Teoremele lui Remus Răduleţ ale tensiunii şi fluxului electric

Considerăm o fantă de orientare arbitrară uν, practicată într-un dielectric polarizat (figura 4.19). Înmulţind scalar relaţia (4.35) cu versorul ut, tangenţial la fantă, se obţine cu uν·ut = 0 teorema tensiunii electrice, având expresia

Evf ν·ut = E · ut. (4.39)

Înmulţind scalar aceeaşi relaţie cu versorul normal la fantă uν, se obţine cu uν· uν = 1 relaţia

νν

ννν ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

+=ε⋅

+⋅=⋅ uPEuPuEuE00

vf

sau, cu (4.38), relaţia denumită teorema fluxului electric

ννν ⋅=⋅ε uDuEvf0 . (4.40)

Dacă dielectricul este izotrop, câmpul şi inducţia electrică au aceeaşi orientare (figura 4.20).

0εD

tu

νu

0εD

tu

νu


Întrucât mărimile E şi D din interiorul corpurilor nu sunt direct măsurabile, teoremele lui Remus Răduleţ sunt importante, deoarece permit definirea tensiunii electrice de-a lungul unei curbe C, precum şi definirea fluxului electric printr-o suprafaţă S, din interiorul corpurilor, cu ajutorul unei mărimi teoretic măsurabile. Astfel, cu ajutorul unor fante practicate în corp (de dimensiuni extrem de reduse şi foarte plate), dispuse una în continuarea

celeilalte, se includ fie curba C, fie suprafaţa S (figura 4.21). Pe baza teoremelor (4.39) şi (4.40), se însumează contribuţia fiecărei fante, fie la tensiunea electrică în lungul curbei C, fie la fluxul electric prin suprafaţa S. Sumele obţinute se exprimă în funcţie de mărimea măsurabilă Evf ν, a fiecărei fante în parte, iar pentru fante tinzând omotetic către un punct, se substituie cu următoarele integrale de linie, respectiv de suprafaţă:

ldC

tvfC

∫∫ ⋅=⋅ ν uEldE şi ∫∫∫∫ νν ⋅=⋅S

vf0S

dε AuEdAD .

4.8. Potenţialul electric al corpurilor polarizate electric.

Echivalenţa dintre un mic corp polarizat şi un dipol permite determinarea cu uşurinţă a potenţialului electric al corpurilor polarizate, aşa cum se va vedea în cele ce urmează.

4.8.1. Potenţialul unui mic corp polarizat

Substituim micul corp polarizat, cu dipolul din figura 4.22, în care distanţa R dintre dipol şi punctul M de calcul al potenţialului, este mult mai mare decât distanţa l, dintre sarcinile +qd şi −qd ale dipolului. Acest lucru va permite, în cele ce urmează, efectuarea unor aproximaţii convenabile. Cunoscând potenţialul

C, S

0εD

tu

νu

E

Evf

Fig. 4.21


unei sarcini punctuale (3.21), potenţialul dipolului în punctul M se obţine prin superpoziţie,

( )RR

RRqRR

qRq

RqV

′′′′−′′

π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′−

′π=

′′−

πε+

′πε=

0

d

0

dd

0

d

0 ε411

ε4)(

41

41M .

Facându-se aproximaţiile: α≅′−′′ coslRR şi 2RRR ≅′′′ , în care α este unghiul de măsură cea mai mică dintre vectorii l şi R, se poate scrie,

( ) 3d

0

cosε4

1MRRlqV α

π=

sau, cu qd l = pd şi ţinând seama de echivalenţa dintre un mic corp polarizat şi un dipol (pd = p),

( ) 30ε4

1MR

V Rp ⋅π

= . (4.41)

Calculând gradientul cu semn schimbat al potenţialului, se regăseşte cu uşurinţă câmpul electric al micului corp polarizat:

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+⋅

π−=−= RpRpE grad11grad

ε41MgradM 33

0v RR

V ,

în care, înlocuind 5331gradRRR

−= şi grad (p · R) = p, aşa cum s-a văzut în

paragraful 4.6.1, rezultă expresia cunoscută (4.29). Pentru un corp infinit mic de moment electric elementar dp potenţialul electric corespunzător, ia forma

R′

R ′′


v′d

( ) 30ε4

1MdR

V Rdp ⋅π

= . (4.42)

4.8.2. Potenţialul unui corp masiv polarizat

Considerăm un corp masiv, ce ocupă domeniul spaţial VΣ, mărginit de suprafaţa închisă Σ, polarizat neuniform, cu polarizaţia P, funcţie de punct (figura 4.23). Potenţialul electric într-un punct exterior M se obţine prin integrarea expresiei (4.42):

( ) vR

vR

V ′′⋅π

=′⋅π

= ∫∫∫∫∫∫ΣΣ

d1dgraε4

1dε4

1MV0V

30

PRP . (4.43)

Pentru obţinerea acestei relaţii, s-a făcut înlocuirea v′= dPdp , simbolul prim semnificând faptul că în

elementele de volum v′d sunt localizate „surse” de câmp electromagnetic. Aceeaşi notaţie ataşată simbolului operatorului gradient semnifică faptul că la integrarea în volum, punctul curent nu este vârful vectorului R, ci originea sa ( ) ( )( )⋅′−=⋅ dgragrad .

Integrandul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′⋅

R1dgraP se calculează cu

formula

PPP vdi11dgra1vdi ′+′⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′

RRR.

Înlocuind în (4.43) se obţine,

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′

′−+′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛′

π= ∫∫∫∫∫∫

ΣΣ VV0dvdid1vdi

ε41M)( v

Rv

RV PP

Transformând prima integrală de volum într-una de suprafaţă, cu ajutorul teoremei Gauss–Ostrogradsky, şi făcând înlocuirile pvvdi ρ=′− P , respectiv

psρ=⋅ nP , rezultǎ


⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′

ρ+′

ρ

π= ∫∫∫ ∫∫

Σ ΣV

pspv

0dd

ε41M)( A

Rv

RV , (4.44)

expresie de tip coulombian în care, locul densităţilor de sarcini (adevărate) este luat de densităţile sarcinilor de polarizaţie (mai puţin ultimii doi termeni ai relaţiei (3.22).

4.9. Permitivitatea

Făcând abstracţie de corpurile polarizate permanent, mai rar întâlnite în natură, corpurile se polarizează temporar sub acţiunea câmpului electric în care sunt plasate. Fără a intra în detaliu (subiectul urmând a fi tratat mai pe larg, odată cu prezentarea legilor teoriei teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic), experienţa arată că în corpurile lineare şi izotrope, dependenţa polarizaţiei electrice temporare de intensitatea câmpului electric este

Pt = ε0 χe E, (4.45)

expresie în care χe este o mărime adimensională, de material, numită susceptivitate electrică, ce caracterizează materialul din punctul de vedere a polarizării lui. Dacă în relaţia (4.38) se înlocuieşte termenul P cu Pt, dat de (4.45), se obţine

D = ε0 (1 + χe) E.

Mărimea adimensională εr = 1 + χe se numeşte permitivitatea relativă a materialului, iar mărimea ε = ε0 εr permitivitatea lui. Cu aceste notaţii, relaţia dintre inducţie şi câmp devine

D = ε E. (4.46)

4.10. Clasificarea materialelor în funcţie de polarizarea lor.

În timp ce structura internă a metalelor se caracterizează prin existenţa unor particule libere – electronii, în dielectrici, particulele elementare pozitive şi negative sunt legate cvasielastic în interiorul atomilor, moleculelor sau cristalelor. Fără a detalia, vor fi abordate, totuşi, câteva elemente de bază, necesare clasificării materialelor din punctul de vedere a polarizării lor. Această clasificare este, în esenţă, prezentată în cele ce urmează.


4.10.1. Corpuri diaelelctrice

Corpurile diaelectrice sunt constituite din molecule ale căror momente electrice sunt nule, în absenţa unui câmp electric exterior. Pentru simplitatea prezentării, vom considera atomul de hidrogen (figura 4.24) având, în jurul nucleului încărcat pozitiv (întrucât are în interiorul său un proton), un electron, încărcat cu sarcină negativă, care se roteşte pe o orbită circulară. În absenţa unui câmp electric exterior, momentul electric mediu al atomului este nul. În prezenţa câmpului, se va produce o deformare a orbitei electronului şi deci o deplasare a centrului de simetrie al poziţiilor electronului faţă de nucleu, electronul şi protonul fiind supuşi unor forţe electrice egale ca modul şi opuse ca sens. Momentul electric mediu va fi diferit de zero, iar atomul se va comporta ca un dipol de moment p = q l, în care q este sarcina electrică, iar l=l este distanţa cu care s-a deplasat protonul faţă de centrul de simetrie al elipsei, descrise de electron în mişcarea lui în jurul protonului. Deformări de acest tip au loc şi în cazul unor materiale cu o constituţie microscopică mai complexă. Ca urmare, fiecare atom sau moleculă devine echivalent unui dipol orientat în sensul câmpului electric exterior. Aceste substanţe prezintă o dependenţă lineară a mărimilor D şi E, cu molecule nepolare în absenţa câmpului electric, şi prezintă o susceptivitate electrică apropiată de unitate. Polarizarea de acest tip este denumită polarizare de deformare. Din această categorie fac parte hidrogenul, oxigenul, azotul etc.

4.10.2. Corpuri paraelectrice

Materiale izolante din care sunt realizate aceste corpuri au molecule echivalente cu dipoli electrici al căror moment electric este diferit de zero, chiar şi în absenţa unui câmp electric exterior. Moleculele au un moment electric


spontan şi, din acest motiv, se numesc molecule polare. Agitaţia termică determină o aşezare dezordonată a moleculelor, astfel încât într-un element de volum suma momentelor electrice ale diferitelor molecule este nulă. Dacă se aplică un câmp electric exterior, dipolii tind să se orienteze în direcţia câmpului, tendinţă căreia i se opune agitaţia termică. Ca urmare, se realizează în medie o orientare incompletă a dipolilor în direcţia câmpului şi, în acest caz, momentul electric al elementului de volum este egal cu suma vectorială a momentelor electrice ale dipolilor, fiind practic proporţional cu câmpul electric exterior. Acest tip de polarizare se numeşte polarizare de orientare. O orientare completă a tuturor moleculelor polare s-ar putea realiza numai într-un câmp electric de intensitate infinită sau numai la temperatura de zero absolut. Din această categorie de materiale fac parte acidul clorhidric şi oxidul de carbon (substanţe gazoase), clorurile de sodiu şi de potasiu (materiale solide) etc. Susceptivitatea electrică a acestor materiale este invers proporţională cu temperatura absolută a corpului.

4.10.3. Corpuri feroelectrice

Substanţele din care sunt realizate aceste corpuri (denumite în acest mod datorită analogiei formale pe care polarizarea lor electrică o are cu magnetizarea unor metale şi aliaje feromagnetice), cum sunt sarea Seignette, titanatul de bariu etc., se caracterizează printr-o polarizare nelineară, foarte intensă, şi ireversibilă, prezentând fenomenul denumit histerezis electric. Valorile polarizaţiei corespunzătoare valorilor câmpului electric, la creşterea intensităţii acestuia, nu se mai regăsesc la scăderea acestei intensităţi. În regim periodic, legătura dintre P şi E, respectiv dintre D şi E, se poate reprezenta sub forma unei curbe, simetrice faţă de origine, parcursă în sens trigonometric, numită ciclul de histerezis electric (figura 4.25). Tot cu linie continuă, s-a trasat şi curba de primă


polarizare, pornind de la o stare neutră a materialului (materialul nepolarizat). Dacă amplitudinea variaţiei alternative a câmpului electric depăşeşte pragul Ec corespunzător saturaţiei materialului, se obţine ciclul de histerezis limită.

4.10.4. Corpuri cu polarizaţie permanentă

În cazul acestor corpuri, repartiţia spaţială a particulelor încărcate legate, este influenţată de alte cauze. Structura spaţială ordonată a unui cristal, în care reţeaua cristalină este alcătuită din subreţele de particule legate – pozitive, respectiv negative – se poate deforma sub acţiunea unei cauze neelectrice, astfel încât, la scară macroscopică, sarcinile electrice pozitive legate ale unei subreţele, să nu mai compenseze sarcinile electrice negative ale celeilalte, elementele de volum macroscopice ale cristalului având din acest motiv un moment electric nenul. O cauză neelectrică poate fi de exemplu deformarea macroscopică a cristalelor sub acţiunea unor forţe exterioare (efectul piezoelectric). Anumite substanţe, cum sunt răşinile, cerurile, masele plastice cu molecule puternic polare, pot fi polarizate temporar în stare topită într-un câmp electric exterior foarte intens. Dacă răcirea substanţei se produce menţinând aplicat câmpul exterior, elementele ei structurale rămân polarizate permanent în direcţia câmpului, obţinându-se aşa-numitul electret.

4.11. Aplicaţii

4.11.1. Câmpul electric din interiorul unei fante practicate într-un dielectric

Se imaginează o fantă, foarte plată, practicată într-un dielectric omogen şi izotrop, de permitivitate relativă εr, orientată în direcţia unui câmp electric E0 cunoscut. Presupunând că această fantă s-ar putea roti în sens trigonometric, ca în figura 4.26, cu un unghi α, se doreşte determinarea modulului câmpului electric, Ev(α), din interiorul fantei, corespunzătoare acestei noi orientări. Soluţia 1. Se aplică teoremele lui Remus Răduleţ, obţinând cu teorema tensiunii electrice (4.39):

( ) ( ) ( ) α=β−π⋅α→⋅=⋅α cos2/cos 0vt0tv EEuEuE

În conformitate cu teorema fluxului electric (4.40), se obţine:


( ) ( ) αε=β⋅α→⋅=⋅αε νν sincos 0rv0v0 EEuDuE .

Ridicând la pătrat, adunând şi extrăgând rădăcina pătrată, rezultă soluţia

( ) αε+α=α 2220v sincos rEE .

Soluţia 2. Se aplică teorema lui Pitagora triunghiului dreptunghic OAB,

mărimii ( )αvE corespunzându-i lungimea 22 ABOA + , obţinându-se

( ) α⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε

+α=α 22

0

0220v sincos DEE .

Ţinând cont de egalitatea D0 = ε0 εr E0, rezultă aceeaşi expresie obţinută deja cu ajutorul primei metode. Particularizări Pentru

α = 0 ⇒ Ev(0) = E0,

α = π / 2 ⇒ ( ) 0rv 2/ EE ε=π ,

εr = 1 ⇒ Ev = E0.

P

O

0

0εD

0E( )αvE

tu

A

B

B′νu

Fig. 4.26


4.11.2. Potenţialul unei sfere uniform polarizate

Se consideră un corp sferic de rază a, uniform polarizată cu polarizaţia electrică P. Se vor determina potenţialele din interiorul şi din exteriorul sferei (figura 4.27) .Problema se poate rezolva aplicând, fie formula (4.43), fie formula (4.44). În cel de al doilea caz, se observă că, deoarece P este un vector constant,

0vdipv =′−=ρ P , şi rămâne diferită de zero numai integrala de suprafaţă. Deoarece calculul integralelor care intervin în cele două formule este laborioasă, problema se rezolvă printr-un artificiu. Întrucât sfera nu este încărcată cu sarcini electrice (adevărate), se consideră că starea de polarizaţie se poate echivala cu ajutorul a două sfere identice, confundate, încărcate uniform, şi având densităţi de volum ale sarcinii electrice egale în valoare absolută, dar de semn contrar (+ρv şi –ρv). Sarcinile de polarizaţie de la suprafaţa sferei se modelează efectuând o deplasare l foarte mică a centrelor celor două sfere, după cum se poate observa în partea dreaptă a figurii 4.27. Elementele de volum polarizate, de moment v′dP , se deplasează unul faţă de celălalt pe aceeaşi distanţă l, formând dipoli elementari de moment electric dipolar

vv ′=′ρ ddv Pl . Rezultă că se poate înlocui modulul vectorului lvρ prin modulul P al polarizaţiei. În aceste condiţii, potenţialele din interiorul şi din exteriorul sferei polarizate se pot calcula efectuând superpoziţia potenţialelor celor două sfere deplasate, folosind formulele (3.23), din capitolul precedent. Se obţine, pentru aR ≥ ,

( ) sf30

30

3

20

3v

0

3v

e ε41cos

ε3cos

ε311

ε3M v

RRPRa

Rla

RRaV RP ⋅

π=

α⋅=

α⋅ρ≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′−

′ρ

= .

R′R ′′


S-a notat vsf este sferei de rază a. Similar, pentru aR < ,

( ) ( )( )

,36

cos2

66262M

00

v

0

v2222

0

vi

ε⋅

=α⋅

ερ

=

′−′′′+′′ε

ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′+−

′−

ερ

=

RPlR

RRRRRaRaV

unde s-au considerat RRR 2≅′+′′ şi α⋅≅′−′′ coslRR . Intensităţile câmpurilor electrice se calculează cu ajutorul gradientului cu semn schimbat al potenţialelor:

( ) ( )sf35

0ee

3ε4

1grad vRR

VM ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅π

=−=PRRPE ; ( )

0ii ε3

grad PE −=−= VM .

Câmpul electric din interiorul corpului este uniform şi antiparalel cu polarizaţia P, în timp ce câmpul din exterior are, formal, aspectul celui produs de un dipol electric.

4.11.3. Câmpul electric din interiorul a două plăci conductoare, scurtcircuitate, între care se găseşte un bloc dielectric polarizat permanent

Se studiază configuraţia realizată din două plăci plane, conductoare, scurtcircuitate, având dimensiunile din figura 4.28, care se încarcă datorită plasării între acestea a unui bloc dielectric, polarizat permanent cu polarizaţia


Pp, perpendiculară pe plăci. Întrucât cele două plăci sunt iniţial descărcate, după introducerea dielectricului polarizat, sarcina totală a acestora trebuie să rămână nulă, şi ca atare sarcinile celor două conductoare vor fi +q şi –q. Efectul de margine este neglijabil, deoarece dimensiunile plăcilor conductoare sunt mult mai mari decât distanţa dintre ele. Se aplică teorema lui Gauss unor suprafeţe închise, paralelipipedice, cu una dintre feţe aflată în interiorul plăcii metalice din stânga, iar cu cealaltă faţă aparţinând succesiv zonelor 1, 2 şi 3, delimitate de blocul dielectric. În interiorul conductorului încărcat cu sarcina q, ce urmează a fi determinată, intensitatea câmpului electric este nulă. Ţinând cont de acest fapt, se obţin următoarele relaţii, din care se exprimă modulul câmpului electric, în cele trei zone:

qAE =ε 10 ⇒ A

qE0

1 ε= ,

( ) qPAE =+ε p20 ⇒ ( )APqA

E p0

21

−ε

= ,

qAE =ε 30 ⇒ A

qE0

3 ε= ,

S-a notat cu A este aria suprafeţelor ambelor armături. Sarcina q se determină din condiţia de scurtcircuit:

0II

I

=⋅∫ dlE ,

unde cu I s-a notat placa din stânga, iar cu II placa din dreapta. Relaţia devine:

( )[ ] 0132p1

0=+−+

εgqgAPqgq

A, de unde

ggAPq 2

p= .

S-au folosit notaţiile g1, g2 şi g3 reprezentând extinderea celor trei zone dintre plăci, cu g = g1 + g2 + g3. Cu această valoare a lui q se revine în formulele anterioare, obţinându-se:

ggP

EE 2

0

p31 ε

== şi g

ggPE 31

0

p2

+ε

−= .


Se observă că intensitatea câmpului electric din interiorul blocului dielectric, este antiparalelă cu polarizaţia ei permanentă. Cu ε1 = ε3 = ε0 inducţiile electrice din cele trei zone sunt:

p2

111 PggED =ε= , p202 PED +ε= şi p

2333 P

ggED =ε= .

Dacă blocul este nepolarizat, Pp = 0, toate valorile câmpului şi inducţiei se anulează. Înlocuind expresia câmpului electric E2 în formula inducţiei D2 se obţine:

Pgg

gggPP

gggP

D 22pp

31

0

p02 1 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +ε

−ε= .

Acest rezultat confirmă continuitatea componentei normale a inducţiei, adică

PggDDDDDD 2

n33n22n11 ====== .

73

5. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI ELECTRIC

5.1. Ecuaţiile electrostaticii

5.1.1. Legea fluxului electric

Legea fluxului electric este o generalizare a teoremei lui Gauss (subcapitolul 3.6), având următorul enunţ: „Fluxul electric prin orice suprafaţă închisă Σ este egal cu sarcina electrică (adevărată) conţinută în interiorul domeniului DΣ, mărginit de acea suprafaţă.” Este de remarcat faptul că această afirmaţie este valabilă indiferent de regim sau mediu, bazându-se pe un număr foarte mare de experimente practice. Expresia globală a legii este

ΣΣ =Ψ qD . (5.1)

Forma integrală explicită este

∫∫Σ

Σ=⋅ qdAD , (5.2)

unde Σq este sarcina electrică din interiorul suprafeţei închise arbitrare Σ. Formele locale rezultă admiţând că sarcina electrică este repartizată continuu în interiorul suprafeţei închise, sub forma unei densităţi de volum; transformând integrala de suprafaţă din membrul întâi într-o integrală de volum, relaţia de mai sus se poate scrie în felul următor:

∫∫∫∫∫∫ΣΣ

ρ=D

vD

dddiv vvD .

Deoarece această relaţie este valabilă pentru orice domeniu DΣ, mărginit de o suprafaţa închisă Σ, rezultă egalitatea integranzilor:

vdiv ρ=D . (5.3)

74 5. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI ELECTRIC

Dacă se aplică forma integrală a legii unei mici suprafeţe paralelipipedice Σ, foarte plată, care cuprinde de o parte şi de alta o suprafaţă de separaţie între două medii încărcată cu o densitate de suprafaţă a sarcinii electrice ρs,

(figura 5.1), se poate scrie

AΔρ≅⋅+⋅ s2211 ΔADΔAD .

În expresia de mai sus, integrala s-a transformat într-o sumă, deoarece suprafaţa Σ a fost considerată atât de mică, încât mărimile ce se integrează nu variază de la un punct la altul. Efectuând înlocuirile

121 nΔA AΔ−= şi 122 nΔA AΔ= ,

se obţine, neglijând fluxul prin suprafeţele laterale foarte înguste,

( ) s1212 ρ=⋅− nDD . (5.4)

Membrul întâi reprezintă divergenţa de suprafaţă a inducţiei electrice:

ssdiv ρ=D . (5.5)

Dacă suprafaţa de separaţie dintre două medii de permitivităţi ε1 şi ε2 nu este încărcată (figura 5.2), 0s =ρ , rezultă aplicând formula (5.4), că ambele componente ale inducţiei, după direcţia normală la suprafaţă, sunt egale,

n2n1 DD = .

Pe de altă parte, componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului electric se conservă , aşa cum s-a demonstrat în capitolul al treilea al lucrării (expresia

5. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI ELECTRIC 75

(3.19)):

t2t1 EE = .

Raportul tangentelor unghiurilor, pe care inducţiile electrice D1 şi D2, sau E1 şi E2, le fac cu normala n12 la suprafaţa S12, are expresia matematică următoare, numită teorema refracţiei liniilor de câmp electric:

2

1

t22

t11

n2

t2

n1

t1

2

1tgtg

εε

=εε

==αα

EE

DDDD

.

Enunţul teoremei: „La suprafaţa de separaţie dintre două medii lineare, omogene şi izotrope, liniile câmpului electric se refractă, astfel încât raportul tangentelor unghiurilor formate de acestea cu normala la suprafaţa de separaţie să fie egal cu raportul corespunzător al permitivităţilor celor două medii.” O aplicaţie a formei locale a legii fluxului electric este demonstrarea efectului de vârf, potrivit căruia, densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice pe suprafeţele conductoare este mai mare în proximitatea vârfurilor. Se obţine, ţinând seama de faptul că în regim electrostatic câmpul electric este nul în interiorul conductoarelor,

( ) ( ) 12012012ss grad0div nnEDnD ⋅−ε=⋅ε=−⋅==ρ V

sau

nV

∂∂

ε−=ρ 0s .

Întrucât suprafeţele echipotenţiale devin mai apropiate în dreptul vârfurilor

(figura 5.3), deci au o variaţie după normală nV

∂∂ mai mare decât în rest, rezultă

că şi ρs este mai mare la vârfuri.


5.1.2. Teorema potenţialului electrostatic

Aşa cum s-a arătat în cadrul secţiunii 3.4 a lucrării, teorema are două forme integrale şi două forme locale. Formele integrale sunt:

( ) ( ) ∫ ⋅−=P

0P0PP dlEVV şi 0=⋅∫

Γ

dlE , (5.6)

iar formele locale au expresiile:

Vgrad−=E şi 0rot =E . (5.7)

5.1.3. Legea polarizaţiei electrice temporare:

Legea polarizaţiei electrice temporare nu are decât formă locală; ea pune în evidenţă faptul că polarizarea unui corp este condiţionată de introducerea lui într-un câmp electric exterior. Legea se enunţă în felul următor: „Polarizaţia electrică temporară într-un punct al unui corp plasat în câmp electric este direct proporţională cu intensitatea câmpului electric din acel punct.” Această relaţie de proporţionalitate se exprimă prin următoarea expresie

EP e0t χε= . (5.8)

în care, Pt este polarizaţia temporară, iar χe este susceptivitatea electrică a materialului, o constantă de material care caracterizează capacitatea materialului de a se polariza, sub efectul unui câmp electric exterior. Aşa cum s-a menţionat deja pe parcursul acestei lucrări, există corpuri care au o polarizaţie permanentă Pp, independent de existenţa unui câmp electric exterior. Spre deosebire de situaţia din câmpul magnetic, unde există materiale care prezintă magnetizaţie permanentă (magneţii permanenţi, spre exemplu), materialele cu polarizaţie permanentă sunt foarte rar întâlnite. Totuşi, pentru generalitatea expunerii, se poate scrie pt PPP += , în ipoteza că ar fi prezente, atât polarizaţia temporară, cât şi cea permanentă.

5.1.4. Legea legăturii dintre inducţie, intensitatea câmpului şi polarizaţie în câmpul electric (legea constitutivă electrică)

Enunţul legii:


„În oricare punct al unui corp, aflat într-un câmp electric exterior, şi în orice moment, inducţia electrică D este egală cu suma vectorială dintre intensitatea E a câmpului electric, multiplicată cu permitivitatea vidului ε0, şi polarizaţia electrică locală P a corpului.” Se observă că, şi în acest caz, legea admite numai o formă locală,

PED +ε= 0 . (5.9)

Cele două legi, având expresiile matematice date de (5.8) şi (5.9), se pot reuni într-o singură formulă, aşa cum s-a arătat în subcapitolul 4.9. Pentru cazul mediilor fără polarizaţie permanentă (Pp = 0), rezultă

ED ε= . (5.10)

În această formulă, r0εε=ε , iar er 1 χ+=ε .

5.2. Energia electrostatică

Experimental se arată că un domeniu în care este prezent câmpul electric (sau câmpul magnetic) este sediul unei energii, pe care în lucrarea de faţă ne propunem să o determinăm, doar pentru cazul mediilor lineare. Cazul general, în care este tratată şi situaţia mediilor nelineare, face obiectul teoremei energiei electromagnetice, a cărei prezentare, depăşeşte cadrul propus al acestei lucrări. În cele ce urmează, se va determina mai întâi expresia densităţii de volum a e-nergiei, pe baza căreia se va calcula energia din câmpul electric al unui domeniu finit, mărginit de o suprafaţă închisă Σ, în interiorul căreia se găsesc surse de câmp electrostatic.

5.2.1. Densitatea de volum a energiei electrice

Considerăm un conductor încărcat cu sarcina electrică q, având potenţialul V, faţă de potenţialul considerat nul la infinit, conductor situat la distanţe foarte mari de alte corpuri care ar putea să influenţeze câmpul. Se presupune că încărcarea corpului se face prin aducerea de la infinit a unor sarcini elementare d q, de acelaşi semn, care se depun succesiv pe conductor. Întrucât între sarcina care se acumulează pe conductor şi sarcina elementară se exercită o forţă de respingere, este necesară aplicarea unei forţe exterioare d Fext pentru aducerea sarcinilor pe conductor. Această forţă este antiparalelă cu forţa electrică E d q. Lucrul mecanic elementar necesar aducerii sarcinii d q, de la infinit până pe suprafaţa conductorului (în punctul P), este


∫∞

⋅=P

Pextdd dlFL , în care qdd ext EF −= .

În scopul unei scrieri uniforme a mărimilor infinit mici, motiv expus şi pe parcursul secţiunii (4.1.2), lucrul mecanic elementar a fost notat cu simbolul dife-renţialei unei funcţii, deşi această mărime fizică nu admite, în cazul cel mai ge-neral, o diferenţială totală exactă funcţie de parametrii de stare termodinamici. Se obţine

qVqL dddP

P

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅−= ∫

∞

dlE , (5.11)

unde s-a aplicat teorema potenţialului electrostatic sub forma

∫∞

∞ ⋅−=P

P

dlEVV ,

cu 0=∞V . Acest lucru mecanic serveşte la creşterea energiei din câmpul electric,

qVW dd e = . (5.12)

Fie fqq λ= (0 < λ < 1) o fracţiune din sarcina finală qf cu care se încarcă în final conductorul. Deoarece mediul este considerat linear, potenţialul va avea aceeaşi fracţiune din potenţialul final fVV λ= , în care qf şi Vf sunt două constante. Se poate deci scrie

λλ= dd ffe VqW .

Energia din câmpul electric la sfârşitul transferului de sarcini elementare este

ff

1

0ffe 2

1d VqVqW =λλ= ∫ .

Renunţând la indicele „f” pentru simplitatea notaţiei, energia se rescrie astfel:

VqW21

e = . (5.13)


Făcând referire la un domeniu DΣ fără sarcini electrice distribuite volumic ( 0v =ρ ), dar în interiorul căruia se află un conductor încărcat cu sarcina q pe suprafaţa căruia potenţialul V este constant în toate punctele sale, se poate scrie cu ajutorul legii fluxului electric

∫∫Σ

⋅= dADq

şi teoremei lui Gauss–Ostrogradski

( )∫∫∫∫∫∫∫ΣΣΣ

−=′⋅−=⋅=D

e ddiv21

21

21 vVVVW DAdDdAD .

Pentru calculul integrandului se foloseşte identitatea,

( ) VVVV gradgraddivdiv ⋅=⋅+= DDDD ,

deoarece 0div v =ρ=D . Ştiind că E=− Vgrad , rezultă că energia din câmpul electric ia forma

vW d21

De ∫∫∫

Σ

⋅= DE .

Admiţând că energia prezintă o localizare continuă în DΣ, se poate introduce mărimea we numită densitatea de volum a energiei din câmpul electric (pe scurt, densitatea energiei electrice), astfel încât să se poată scrie

∫∫∫Σ

=D

ee d vwW .

Deoarece Σ este o suprafaţă închisă arbitrară, comparând ultimele două relaţii, rezultă egalitatea integranzilor, adică densitatea energiei electrice:

DE ⋅=21

ew . (5.14)

5.2.2. Energia electrostatică

Considerăm un domeniu fDΣ (figura 5.4) în interiorul căruia se găsesc următoarele surse de câmp electric: un subdomeniu D′ în care se află o repartiţie ρv a densităţii de volum a sarcinii electrice, o suprafaţă S pe care se află repartizată o densitate de suprafaţă ρs a sarcinii, precum şi n conductoare


încărcate cu sarcinile q1, q2, …, qk, …, qn. Deoarece în regim electrostatic câmpul este nul în interiorul conductoarelor, acestea nu fac parte din domeniul în care este localizată energia, de care se separă prin suprafeţele închise Σ1, Σ2, …, Σk, …, Σn. De asemenea, excludem din acest domeniu suprafaţa S cu ajutorul suprafeţei închise foarte plate Σ12. Toate normalele la frontiere sunt dirijate din interiorul domeniului, spre exteriorul său. Energia localizată în câmpul electrostatic se obţine integrând densitatea de volum (5.14) a energiei:

∫∫∫∫∫∫ΣΣ

⋅−=⋅=DD

e dgrad21d

21 vVvW DED .

Înlocuind ( ) VVV vdivgrad ρ+−=⋅− DD şi aplicând teorema Gauss–Ostrogradsky, pe toate frontierele domeniului, se obţine

( )

( ) .d21

d21d

21d

21

S2211

1Dve

AV

AVAVvVWn

k kkk

∫∫

∑ ∫∫∫∫∫

⋅+⋅−

−⋅−⋅−ρ== ΣΣ′

nDnD

nDnD

Ţinând cont de următoarele expresii: kk nn ′−= , kk qA =′⋅∫∫

Σ

dnD , 121 nn ≡ , 122 nn −≡ , Vgradε−=D

şi

nVV

∂∂

=⋅ gradn ,

kn′

∪


energia localizată în câmpul electrostatic va avea forma

( ) AVqVAnVVvVW

n

kkk d

21

21d

21d

21

S1212

1Dve ∫∫∑∫∫∫∫∫ −⋅++

∂∂

ε+ρ==Σ′

DDn .

Ordonând termenii şi efectuând înlocuirea ( ) ss1212 div ρ==−⋅ DDDn obţinem,

∫∫∑∫∫∫∫∫Σ=′ ∂

∂ε++ρ+ρ= A

nVVqVAVvVW

n

kkk d

21

21d

21d

21

1Ss

Dve . (5.15)

Ultimul termen din această expresie, care ţine seama de condiţiile de pe frontiera Σ, se anulează pentru ∞Σ→Σ . Într-adevăr, presupunând că Σ tinde

spre infinit ca o sferă, având deci R → ∞, şi observând că RKV 1≅ şi 2

2

RK

nV

≅∂∂

ε′

au valori constante pe acea sferă, se obţine

04limd21limdlim 2

3sf

221 =π==

∂∂

ε′∞→

Σ∞→

Σ∞Σ→Σ ∫∫∫∫ RRKA

RK

RKA

nVV

RR.

Pentru calculul acestei limite s-a considerat o valoare medie a permitivităţii, ε′ , pe frontieră. În cazul particular în care sursele de câmp sunt doar cele n conductoare încărcate cu sarcini, energia electrică este

∑=

=n

kkk qVW

1e 2

1 . (5.16)

Aplicaţie. Să se calculeze energia câmpului electric în vid, a unei sfere conductoare de rază a, încărcată cu sarcina s

24 ρπ= aq , în care sρ este densitatea de sarcină repartizată uniform pe suprafaţa sferei. Soluţia 1. Cu ( )aqV 04/ πε= se obţine,

0

2s

3

0sse

2d42

1d21

ερπ

=πε

ρ=ρ= ∫∫∫∫ΣΣ

aAa

qAVWaa

.

Soluţia 2. Cu ( )20

2sR0 // Ra ερ=ε= uDE , efectuăm integrala de volum

vW d21

De ∫∫∫

∞

⋅= DE ,

pentru întregul volum al domeniului D∞, cuprins între sferă şi infinit:


0

2s

3

0

42s22

0e212d4

21

ερπ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

επρ

=πε=∞∞

∫a

RaRREW

aa

.

5.3. Unicitatea şi superpoziţia câmpurilor electrostatice

Se consideră din nou domeniul linear şi fără polarizaţii permanente DΣ, din figura 5.4. Ecuaţiile câmpului electrostatic sunt:

( ) vdiv ρ=εE , ( ) ssdiv ρ=εE , 0rot =E , nE=⋅ ΣnE şi kk

qA =⋅ε∫∫Σ

dnE ,

unde Σk este frontiera oricăruia dintre cele n conductoare încărcate cu sarcinile qk, iar Σf este frontiera exterioară a domeniului. Teorema de unicitate a soluţiilor acestor ecuaţii are enunţul următor: „Câmpul electrostatic dintr-un domeniu DΣ, mărginit de o suprafaţă închisă Σ, este univoc determinat, când se cunosc următoarele condiţii de unicitate:

a. densităţile de sarcină ρv şi ρs, din fiecare punct al domeniului, b. sarcinile qk sau potenţialele Vk ale conductoarelor încărcate, c. potenţialul ΣV (condiţia Dirichlet) sau derivata pe direcţia normală

Σ∂∂

nV (condiţia Neumann), în orice punct al frontierei domeniului.”

Demonstraţia teoremei de unicitate are două părţi, aşa cum se va vedea în cele ce urmează. I. Se presupun nule condiţiile de unicitate: 0v =ρ , 0s =ρ , 0=kq , respectiv 0n =E . În acest caz, ecuaţiile devin omogene:

( ) 0div =εE , ( ) 0divs =εE , 0rot =E , 0=⋅ ΣnE şi 0d =⋅ε∫∫Σ

Ak

nE .

Din expresia energiei, (5.15), rezultă, 0e =W . Pe de altă parte, din

0d21

21d

21 2

DDe >ε=⋅= ∫∫∫∫∫∫

ΣΣ

vEvW DE ,

deoarece se integrează mărimi pozitive. Pentru înlăturarea acestei contradicţii, trebuie admis că însuşi câmpul electric E este nul, în fiecare punct din interiorul


domeniului. O primă concluzie este că soluţiile sistemului omogen de ecuaţii sunt identic nule 0≡E . II. Condiţiile de unicitate amintite se presupun nenule. Fie E ′ şi E ′′ două valori presupuse distincte ale câmpului într-un punct curent, generate de aceleaşi condiţii de unicitate. Acestea vor satisface simultan ecuaţiile câmpului electrostatic:

• ( ) 0div =′εE , ( ) 0divs =′εE , 0rot =′E , nE=⋅′ΣnE şi 0d =⋅′ε∫∫

Σ

Ak

nE ,

respectiv

• ( ) 0div =′′εE , ( ) 0divs =′′εE , 0rot =′′E , nE=⋅′′ΣnE şi 0d =⋅′′ε∫∫

Σ

Ak

nE .

Scăzând membru cu membru ecuaţiile de mai sus, folosind proprietăţile operatorilor diferenţiali şi cele ale integralei de suprafaţă şi notând diferenţa

dEEE =′′−′ ,

se obţine următorul sistem omogen de ecuaţii: ( ) 0div d =εE , ( ) 0div ds =εE , 0rot d =E , 0d =⋅ ΣnE , 0dd =⋅ε∫∫

Σ

Ak

nE . În

conformitate cu prima parte a demonstraţiei, acest sistem admite soluţii identic nule:

0d ≡E sau 0≡′′−′ EE , conducând la EE ′′≡′ .

Acest fapt atestă că presupunerea existenţei unor soluţii distincte ale ecuaţiilor regimului electrostatic este falsă, rezultând unicitatea soluţiei. Această teoremă de unicitate va fi folosită în cele ce urmează pentru teorema superpoziţiei câmpurilor electrostatice. Într-adevăr, vom presupune – pentru simplitate – existenţa unui singur tip de sursă, sub forma unei repartiţii de volum a sarcinii electrice, fiind valabilă ecuaţia

( ) vdiv ρ=εE , (5.17)

care în conformitate cu teorema de unicitate, corespunde unui singur câmp electric având intensitatea E. Dacă ρv provine din însumarea a n componente de densităţi de sarcină ρv1, ρv2, …, ρvs, …, ρvn, astfel încât

vvv2v1v ρ=ρ++ρ++ρ+ρ ns KK , (5.18)

se poate scrie pentru fiecare componentă în parte o ecuaţie de tipul (5.17):


( ) nss ,1,div vs =ρ=εE .

Fiecare în parte conduce la o soluţie unică pentru câmpurile electrice E1, E2, …, Es, …, En. Însumând ecuaţiile de mai sus, rezultă cu (5. 18)

( ) v21div ρ=+++++ε ns EEEE KK . (5.19)

Întrucât în conformitate cu teorema de unicitate sursa ρv conduce la un câmp unic, rezultă, comparând relaţiile (5.17) şi (5.19), teorema superpoziţiei

EEEEE =+++++ ns KK21 ,

valabilă în medii lineare.

5.4. Teoria ecuaţiilor lui Poisson şi Laplace. Ecuaţiile pentru potenţialul electric scalar.

Un câmp de vectori G are în cazul cel mai general, o componentă potenţială Gp ,caracterizată prin relaţiile

0rot p =G şi Vgradp −=G ,

şi una solenoidală Gs ,caracterizată prin relaţiile

0div =sG şi AG rot=s .

S-au folosit notaţiile V şi A, reprezentând potenţialele scalar, respectiv vector, ale câmpului de vectori G care, cu aceste definiţii, se poate scrie cu ajutorul sumei

sp GGG += ,

adică

AG rotgrad +−= V .

a. Aplicând divergenţa relaţiei de mai sus obţinem:

AG rotdivgraddivdiv +−= V .

Deoarece ( ) ( )⋅Δ≡⋅graddiv şi ( ) 0rotdiv ≡⋅ , rezultă ecuaţia lui Poisson pentru potenţialul scalar V sub forma


Gdiv−=ΔV .

Dacă 0div =G , rezultă ecuaţia lui Laplace pentru potenţialul scalar:

0=ΔV .

b. Aplicând rotorul aceleiaşi relaţii:

AAG rotrotgradrotrot +−= .

Întrucât AAA Δdivgradrotrot −= , iar ( ) 0gradrot ≡⋅ , rezultă ecuaţia lui Poisson pentru potenţialul vector A sub forma

AAG Δdivgradrot −= .

La rândul său, vectorul A poate avea, de asemenea, o componentă potenţială şi una solenoidală:

sp AAA += .

Dacă se calculează rotorul, potenţialului magnetic vector se obţine:

ssp rotrotrotrot AAAA =+= ,

deoarece 0rot p ≡A . Ca urmare, rezultă că, atât Ap, cât şi pdiv A , pot fi aleşi în mod arbitrar. Aplicăm divergenţa aceleiaşi mărimi vectoriale, rezultând:

psp divdivdivdiv AAAA =+= ,

deoarece 0div s ≡A Concluzionând, deoarece pdiv A se poate alege arbitrar, rezultă că şi primul membru al egalităţii, Adiv , se poate alege arbitrar. Impunerea arbitrară a mărimii Adiv , se numeşte condiţia de etalonare a potenţialului vector. Dacă se alege 0div =A (condiţia de etalonare Coulomb) ecuaţia lui Poisson pentru potenţialul vector A se reduce la

GA rot−=Δ .

Dacă 0rot =G , rezultă ecuaţia lui Laplace pentru potenţialul vector sub forma

0Δ =A .


Pentru câmpul electric, ecuaţiile lui Poisson stabilesc o legătură între potenţiale şi sursele locale de câmp, respectiv sarcini şi polarizaţii. În funcţie de sursele date, se pot ivi două cazuri, prezentate în următoarele două secţiuni.

5.4.1. Cazul în care mărimile ρv şi P sunt considerate cunoscute

Înlocuind în vdiv ρ=D , inducţia electrică prin expresia ei dată de legea legăturii, avem

( ) v0div ρ=+ε PE

sau

v0 divdiv ρ=+ε PE .

Înlocuind Vgrad−=E rezultă

v0 divgraddiv ρ=+ε− PV

sau folosind din nou notaţia ( ) ( )⋅Δ≡⋅graddiv , rezultă următoarea formă a ecu-aţiei lui Poisson:

0

vpv

0

v divε

ρ+ρ−=

ε−ρ

−=ΔPV . (5.20)

5.4.2. Cazul în care mărimile ρv şi ε sunt considerate cunoscute

Presupunând un mediu nepolarizat permanent 0p =P , avem ED ε= . Se înlocuieşte această relaţie în forma locală a legii fluxului electric, vdiv ρ=D , rezultând

( ) vdiv ρ=εE

sau, dezvoltând,

vgraddiv ρ=ε⋅+ε EE .

Înlocuind din nou Vgrad−=E , obţinem următoarea formă a ecuaţiei lui Poisson:


VV gradgradv ⋅ε

ε−

ερ

−=Δ . (5.21)

Dacă mediul este omogen, ε = const., rezultând şi 0grad =ε deci

ε

ρ−= vΔV . (5.22)

5.4.3. Formula celor trei potenţiale

Se poate demonstra (Anexa 5) că soluţia ecuaţiei lui Poisson, în medii li-neare, omogene, izotrope şi fără polarizaţii permanente, este dată de relaţia

ARn

VnV

RvV

RV d11

41d1

41)P(

V∫∫∫∫∫ΣΣ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

π+Δ

π−= ,

pentru puncte P situate în interiorul suprafeţei închise Σ, unde VΣ este domeniul mărginit de această suprafaţă (figura 5.5). Această expresie poartă denumirea de formula celor trei potenţiale. Celor doi termeni care apar în integrala de suprafaţă din membrul al doilea al aceste formule, li se poate asocia câte un sens fizic, admiţând că pe suprafaţa frontierei Σ pot exista zone încărcate superficial şi zone cu polarizaţii electrice de suprafaţă. Într-adevăr, în primul termen

AR

AR

AVR

AnV

Rd

41d

41dgrad

41d

41 s∫∫∫∫∫∫∫∫

ΣΣΣΣ

ρεπ

=⋅

επ−=⋅

εεπ

=∂∂ε

επnDn

apare cu sρ=⋅− nD , densitatea de suprafaţă de pe faţa interioară a suprafeţei Σ a sarcinii electrice. În cel de al doilea termen,

ARn

V d14

1∫∫Σ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

εεπ

,

se observă din formula potenţialului corespunzător unui dipol

r′

dA

PP′


341

RV Rp ⋅

πε= ,

că produsul ε V are dimensiunile momentului electric al unui dipol raportat la o

arie. Pe de altă parte, factorul ARn

d1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ este adimensional, astfel încât

integrala

ARn

V d1∫∫Σ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

ε

are dimensiunile unei densităţi de suprafaţă ε V a momentelor dipolare. Un caz particular al acestei formule, frecvent folosit în aplicaţii, este cel al suprafeţei Σ situate la infinit. Presupunem că Σ tinde către infinit, sub forma unei sfere cu raza ∞→R . Pe această sferă, mărimile

R1 , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

Rn1 , V şi

nV

∂∂

se menţin constante. Puse sub formele

211

RK

Rn=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂ ,

RKV 2= , respectiv 2

3

RK

RV

=∂∂ ,

se obţin următoarele limite:

041limd1limd1lim 223 =π=

∂∂

=∂∂

∞→Σ

∞→Σ

∞→ ∫∫∫∫ RRK

RA

nV

RA

nV

R RRR

04limd1limd1lim 2212 =π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∞→Σ

∞→Σ

∞→ ∫∫∫∫ RRK

RKA

RnVA

RnV

RRR

Ca urmare, pentru ∞Σ→Σ , soluţia ecuaţiei lui Poisson ia forma,

( ) ( )∫∫∫

∞

Δ−π

=V

d41P v

RVV , (5.23)

sau, cu (5.20) şi (5.22),

( ) ∫∫∫∞

−ρπε

=V

v

0ddiv

41P v

RV P , când sunt date ρv şi P, iar (5.24)


( ) ∫∫∫∞

ερ

π=

V

v d41P v

RV , când sunt date ρs şi ε. (5.24)

Dacă dielectricul este omogen în întregul spaţiu, potenţialul în punctul P rezultă

( ) ∫∫∫∞

ρπε

=V

v d41P v

RV , (5.25)

iar intensitatea câmpului electric este

( ) ∫∫∫∞

ρπε

=V

3v d

41P v

RRE . (5.26)

Dacă în întregul spaţiu este vid, atunci câmpul electric are expresia

( ) ∫∫∫∞

ρπε

=V

3v

0v d

41P v

RRE . (5.27)

Efectuând raportul modulelor câmpurilor date de (5.26) şi (5.27), rezultă cu, r0εε=ε ,

rv

1ε

=EE .

Intensitatea câmpului în vid, în condiţiile existenţei aceloraşi surse, este mai mare de εr ori în vid decât în spaţiul de permitivitate relativă şi omogenă εr, potrivit formulei EE rv ε= . În sfârşit, dacă , 0v =ρ ecuaţia (5.21) devine ecuaţia lui Laplace:

0=ΔV . (5.28)

Condiţii la limită şi condiţii de trecere

Soluţiile ecuaţiilor lui Poisson şi Laplace au forme legate de sistemul de coordonate ales, în funcţie de particularităţile privind configuraţia şi de simetria problemei. Dificultatea nu este reprezentată atât de exprimarea matematică a acestor soluţii, cât mai ales de determinarea valorilor proprii ale funcţiilor care intervin şi de determinarea constantelor de integrare. Valorile proprii se


determină din condiţiile la limită, iar constantele de integrare din condiţiile de trecere, pe suprafeţele de discontinuitate ale problemei de câmp. 1. Condiţiile de trecere a. În vecinătatea unei suprafeţe de discontinuitate, potenţialul electric

scalar are o variaţie continuă. Pentru a demonstra această afirmaţie, considerăm două puncte 1 şi 2, foarte apropiate unul de celălalt, situate de o parte şi de cealaltă a unei suprafeţe de discontinuitate (figura 5.6). Distanţa orientată 12nΔl lΔ= este atât de mică, încât câmpurile electrice E1 şi E2 pot fi considerate uniforme în vecinătatea suprafeţei, ceea ce permite ca diferenţa potenţialelor să se poată

aproxima în felul următor:

222

212

2

1121

EElΔlΔElΔEdlE +⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅≅⋅=− ∫VV .

Notând semisuma celor două câmpuri cu Emediu, se va scrie

ΔlE ⋅=− mediu21 VV .

Pentru 0→Δl şi 0mediu ≠E , rezultă că 021 →−VV , adică

21 VV = . (5.29)

b. Aplicând legea fluxului electric în dreptul unei suprafeţe de discontinuitate, încărcate cu densitatea de suprafaţă ρs a sarcinii electrice, se obţine succesiv:

( ) ( ) s112212s1212ssdiv ρ=ε−ε⋅⇒ρ=−⋅⇒ρ= EEnDDnD

sau

s11212122 gradgrad ρ=⋅ε+⋅ε− VV nn ,

adică

s2

21

1 ρ=∂∂

ε−∂∂

εn

Vn

V , (5.30)

unde ε1 şi ε2 sunt permitivităţile celor două medii separate de suprafaţă.

Pentru suprafeţe neîncărcate ( 0s =ρ ) rezultă

nn ≡12


n

Vn

V∂∂

ε=∂∂

ε 22

11 . (5.31)

2. Condiţii la limită a. Pe frontiera exterioară Σ a domeniului (figura 5.4), condiţiile la limită sunt:

• condiţia Dirichlet, ce presupune cunoaşterea potenţialului ΣV , în orice punct al lui Σ, sau

• condiţia Neumann, care impune cunoaşterea derivatei Σ∂

∂nV , în orice

punct al lui Σ. b. Pe frontierele interioare, reprezentate de suprafeţele corpurilor conductoare (figura 5.4), condiţiile la limită sunt:

• cunoaşterea potenţialelor V ale conductoarelor (condiţia Dirichlet) sau • cunoaşterea sarcinilor q ale conductoarelor, condiţie echivalentă cu

condiţia Neumann. Conform legii fluxului electric, sarcinile sunt egale cu fluxurile electrice, prin suprafeţele închise care le înglobează. În expresia fluxurilor intervin inducţiile electrice, respectiv câmpurile electrice, întrucât

pentru mediile lineare ED ε= . Deoarece Vgrad−=E , iar Σ∂

∂=⋅

nVV ngrad

este demonstrată echivalenţa mai sus menţionată.

5.5. Forţe generalizate în câmpul electric

Experienţa arată că, sub acţiunea câmpului electric, asupra corpurilor se pot exercita o serie de acţiuni mecanice: deplasări, rotiri, tensiuni, comprimări etc. În situaţia în care corpurile nu sunt fixe, coordonatele lor se modifică în acord cu specia acţiunii mecanice la care sunt supuse, efectuându-se un lucru mecanic. Aceste coordonate pot fi lungimi, dacă acţiunea mecanică este o forţă care deplasează corpul, unghiuri în cazul unor cupluri, volume în cazul unor presiuni şi arii în cazul unor tensiuni superficiale. Întrucât aceste acţiuni mecanice şi aceste coordonate au diverse dimensiuni fizice, ele se numesc forţe generalizate şi coordonate generalizate. Lucru mecanic elementar d L efectuat sub acţiunea unei forţe generalizate X, care determină o variaţie dx a coordonatei generalizate, se exprimă prin produsul xXL dd = . Problema care se pune este determinarea forţelor generalizate, în funcţie de energia câmpului electric We, în două ipoteze de calcul: la menţinerea constantă a sarcinilor conductoarelor şi la menţinerea constantă a potenţialelor lor în timpul efectuării lucrului mecanic.


Fie un sistem de n corpuri conductoare încărcate cu sarcini electrice, având l grade de libertate. În conformitate cu cele prezentate în paragraful 5.2.1., creşterea elementară a sarcinilor acestor corpuri, prin aducerea pe suprafaţa lor de la infinit a unor sarcini infinit mici, se realizează prin efectuarea următorului lucru mecanic elementar:

∑=

n

kkk qV

1d ,

expresie obţinută prin generalizarea formulei (5.11). La menţinerea tuturor corpurilor în stare imobilă, lucrul mecanic elementar serveşte exclusiv la creşterea energiei elementare din câmpul electric:

e1

dd WqVn

kkk =∑

=. (5.32)

Pentru situaţia în care corpurile au posibilitatea să îşi modifice poziţia sau dimensiunile, sub acţiunea forţelor generalizate, lucrul mecanic elementar trebuie să servească, atât la creşterea energiei câmpului electric, cât şi la efectuarea lucrului mecanic elementar asociat acestor forţe:

∑∑==

+=l

sss

n

kkk xXWqV

1e

1ddd .

Bilanţul energetic se rescrie astfel:

∑∑==

−=l

sss

n

kkk xXqVW

11e ddd . (5.33)

Pe de altă parte, energia electrică funcţie de sarcini şi de coordonate,

( )nn xxxqqqWW ,,,;,,, 2121ee KK= ,

are creşterea elementară

s

l

s s

n

kk

kx

xWq

qWW ddd

1

e

1

ee ∑∑

== ∂∂

+∂∂

= . (5.34)

1. Cazul menţinerii constante a sarcinilor Acest caz ar corespunde practic „decuplării” conductoarelor de la surse. Cu qk = const. şi d qk = 0, relaţiile (5.33) şi (5.34) iau formele


∑=

−=l

sss xXW

1e dd şi ∑

= ∂∂

=l

ss

sx

xWW

1

ee dd .

Prin identificare, rezultă forţa generalizată, la sarcini constante:

.

e

constqss x

WX=∂

∂−= . (5.35)

Dacă însă atât sarcinile, cât şi potenţialele sunt variabile, se poate scrie

( ) kkkkkk VqqVqV ddd += . (5.36)

În aceste condiţii, relaţia (5.33) devine

( ) ∑∑∑===

−−=l

sss

n

kkk

n

kqk xXVqqVW

111e dddd

sau

∑ ∑∑= ==

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

n

k

l

ssskk

n

kkk xXVqWqV

1 11e ddd .

Mărimea

∑=

−=n

kkk WqVW

1e

*e (5.37)

se numeşte coenergie electrică. Cu această nouă mărime, bilanţul energetic ia forma

∑ ∑= =

+=n

k

l

ssskk xXVqW

1 1

*e ddd . (5.38)

Pe de altă parte, coenergia electrică funcţie de potenţiale şi de coordonate,

( )nn xxxVVVWW ,,,;,,, 2121*e

*e KK= ,

are creşterea elementară

∑ ∑= = ∂

∂+

∂∂

=n

k

l

ss

sk

kx

xWV

VWW

1 1

*e

*e*

e ddd . (5.39)


2..Cazul menţinerii constante a potenţialelor Această situaţie ar corespunzător menţinerii „cuplării” conductoarelor la surse. Cu Vk = const. şi d Vk = 0, relaţiile (5.38) şi (5.39) iau formele

∑=

=n

kss xXW

1

*e dd şi ∑

= ∂∂

=n

ks

sx

xWW

1

*e*

e dd .

Prin identificare, rezultă forţa generalizată, la potenţiale constante:

const.Vs

s xWX

=∂∂

=*e . (5.40)

În medii nelineare, pentru a simplifica interpretarea rezultatelor, consi-derăm un singur conductor încărcat cu sarcina q, având tensiunea U faţă de refe-rinţa de potenţial, şi un singur grad de libertate. Pentru un mediu nepolarizat permanent (Pp = 0), dependenţa inducţiei de câmpul electric, D = D(E), poate fi considerată cea reprezentată în figura 5.7. Ţinând cont de relaţiile

∫∫Σ

Σ ⋅= dADq şi ∫ ⋅=C

dlEU ,

rezultă dependenţa sarcinii electrice funcţie de tensiune reprezentată în figura 5.8. Particularizând relaţiile (5.33) şi (5.38), rezultă pentru coordonata generalizată menţinută constantă (x = const.) relaţiile:

qVW dd e = (5.41) şi VqW dd *

e = . (5.42)

Prin integrare expresiilor (5.41) şi (5.42), între limitele de integrare cores-punzătoare originii şi punctului curent de funcţionare P(qp,VP), rezultă energia şi coenergia

eW ′

eW


∫=P

0e d

q

qVW şi (5.43)

∫=P

0

*e d

VVqW , (5.44)

mărimi proporţionale cu ariile dintre caracteristica nelineară şi axa ordonatelor, respectiv axa absciselor (figura 5.8). În cazul mediilor lineare, ariile devin egale (figura 5.9). În medii neliniare, însă, pentru o variaţie a coordonatei de la x = const.1 la x + dx = const.2 (figura 5.10) şi o deplasare a punctului curent A

într-un punct B, semnul variaţiei mărimilor edW şi *edW este mai dificil de

stabilit. Acest lucru se poate rezolva prin menţinerea constantă, fie a sarcinii, fie a potenţialului, cazuri reprezentate în figurile 5.11 şi 5.12. În cazul q = const. (figura 5.11) se constată o deplasare orizontală a pun-ctului curent de la A la B, însoţită de o scădere a energiei electrice. În acest caz, lucrul mecanic se efectuează pe seama descreşterii energiei câmpului, justificând astfel semnul minus care apare în formula (5.35). În cazul V = const. (figura 5.12) se constată o deplasare pe verticală a punctului curent de la A la B, însoţită de o creştere a coenergiei electrice. Lucrul

eW ′

eW


mecanic, precum şi creşterea energiei din câmp se fac pe seama energiei cedate de sursa la care este menţinut conectat conductorul, justificând semnul plus din formula (5.40). Alte interpretări rezultă din următoarea aplicaţie, pentru prezentarea căreia se anticipează noţiunile de condensator, în general, şi de condensator plan, în particular, noţiuni care vor fi prezentate pe larg în capitolul al şaselea al lucrării. Se consideră, aşadar, un condensator plan având aria suprafeţelor armăturilor A şi distanţă între acestea g. Lungimea armăturilor l este, de asemenea cunoscută. Între armături se introduce parţial pe distanţa variabilă d un bloc izolant, linear. Condensatorul poate fi conectat, prin intermediul unui întrerupător I, la o sursă de tensiune electromotoare constantă Ue, aşa cum se poate observa în figura 5.13. Se vor calcula sensul şi modulul forţei care se exercită asupra blocului, la q = const. (după decuplarea condensatorului de la sursă) şi la U = const. (cu condensatorul menţinut conectat la sursa de tensiune). În primul rând, trebuie precizat faptul că linearitatea materialului din care este realizat blocul izolant implică, aşa cum s-a văzut, *

ee WW = .

1. Calculul forţei generalizate la q = const. După încărcarea condensatorului de la sursa de tensiune, se deschide întrerupătorul I, condensatorul rămânând încărcat cu sarcina q = const., conform legii conservării sarcinii, prezentate în paragraful 7.9.4. Se adoptă coordonata generalizată x ≡ d, cu sensul de creştere al distanţei d. Conform teoremei forţelor generalizate, singura componentă a forţei F = Fx i, care se exercită asupra dielectricului, este după axa Ox

const.q

x xWF

=∂∂

−= e . (5.45)

Semnul minus semnifică faptul că forţa F are un astfel de sens, încât să co-respundă unei scăderi a energiei acumulate în câmp, la q = const. Energia We (cu

l

g

d

F lA

Ue

A

O xi

Fig. 5.13


CqUV /== ) este

C

qqCqqVW

2dd

2

e === ∫∫ , (5.46)

rezultând cu (5.45) forţa

xCU

xC

Cq

Cq

xFx d

d21

dd

21

22

2

22==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−= .

2. Calculul forţei generalizate la U = const. Menţinând întrerupătorul I închis, U = Ue = const., iar forţa generalizată se calculează derivând coenergia (care în cazul mediilor lineare coincide cu e-nergia), în raport cu coordonata generalizată.

.

e

constUx x

WF=∂

∂+= (5.47)

Semnul plus semnifică faptul că forţa F are un astfel de sens, încât să co-respundă unei creşteri a coenergiei (energiei) acumulate în câmp la U = const. Energia este

2*ee 2

1dd CUUCUVqWW ==== ∫∫ , iar (5.48)

xCUCU

xFx d

d21

21 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= ,

obţinându-se, aşa cum era de aşteptat, acelaşi rezultat ca şi în cazul celeilalte metode de calcul. Continuând rezolvarea problemei, se asimilează condensatorul cu dielectricul parţial introdus cu două condensatoare conectate în paralel, unul având între armături blocul dielectric, iar celălalt aer, aşa cum se poate remarca în figura 5.13. Acest lucru este posibil prin neglijarea efectului de margine. Capacitatea echivalentă a celor două condensatoare legate în paralel este:

( ) ( )( ) ( )[ ]lxglA

gxllA

gxlACCC 00

0aerdiel

//ε+ε−ε=

−ε+

ε=+= , (5.49)

iar

( )0

2

2ε−ε=

glAUFx .


Deoarece ( ) 01r00 >−εε=ε−ε , rezultă 0>xF , ceea ce atestă faptul că forţa care se exercită asupra blocului dielectric este una de atracţie a acestuia în interiorul armăturilor. Modulul forţei este deci

( )0

2

2ε−ε==

glAUFF x , iar xO↑↓F .

Revenind la interpretarea formulei (5.45), se observă că scăderea energiei la q = const. nu se poate face decât prin creşterea capacităţii C, întrucât aceasta se află la numitorul expresiei (5.46). Din (5.49), rezultă că acest lucru este posibil, prin creşterea coordonatei x, adică atragerea dielectricului între armături. Similar, cu ajutorul (5.47) şi (5.48), rezultă că o creştere a coenergiei (energiei) se realizează tot prin creşterea capacităţii C, cu aceeaşi finalitate de dinainte. În concluzie, obţinându-se acelaşi sens şi aceeaşi valoare ale forţei, rezultă că determinarea ei, la sarcină constantă sau la tensiune constantă, nu reprezintă decât o metodă de calcul, rezultatul fiind, evident, acelaşi.

99

6. CAPACITĂŢI ELECTRICE

6.1. Condensatorul electric

În scopul definirii conceptului de condensator electric şi a capacităţii acestuia, este necesar a fi introduse câteva noţiuni preliminare. Se consideră, în acest scop, două corpuri masive, conductoare, aflate unul în proximitatea celuilalt, separate de un mediu dielectric, configuraţie ilustrată în figura 6.1. Cele două corpuri sunt încărcate cu sarcini de semne opuse, motiv pentru care mediul dielectric dintre ele este sediul unui câmp electrostatic. Se va numi un tub de flux electric o suprafaţă închisă Σ, tubulară, trasată în lungul liniilor de câmp electric, care înglobează un fascicul de astfel de linii, şi care este mărginită la cele două capete de două suprafeţe deschise, aflate în interiorul corpurilor conductoare. Tubul de flux înglobează un ansamblu de linii de câmp, care încep de pe conductorul încărcat pozitiv şi ajung pe conductorul încărcat negativ, acestora corespunzându-le pe suprafeţele conductoarelor două suprafeţe deschise, de arii A1 şi A2. Aceste două suprafeţe poartă denumirea de arii corespondente, unde sunt localizate sarcinile electrice q1 şi q2. Se aplică legea fluxului electric tubului de flux Σ ( ΣΣ =Ψ q ), observând că, prin construcţie, suprafaţa laterală a acestuia este „paralelă” cu liniile de câmp (nu le intersectează) deci nu are nicio contribuţie la fluxul electric total, prin suprafaţa Σ. În plus, în conductoare câmpul electrostatic fiind nul, şi prin restul suprafeţei Σ fluxul este nul. Prin urmare, avem 0=ΨΣ , iar 21 qqq +=Σ . Aceste două egalităţi conduc la

021 =+ qq .

Rezultă că cele două arii corespondente se încarcă cu sarcini egale în valoare absolută, şi de semn contrar

100 6. CAPACITĂŢI ELECTRICE

qq =1 şi qq −=2 .

Ansamblul celor două arii corespondente formează ceea ce se numeşte un condensator electric, având în cazul cel mai general următoarea definiţie: „Condensatorul este un dispozitiv realizat din două conductoare omogene, numite armături, încărcate cu sarcini egale ca modul, dar de semne opuse, separate de un mediu dielectric, nepolarizat permanent”. Se notează cu U este tensiunea dintre conductoare (egală cu diferenţa,

21 VV − , a potenţialelor lor) obţinută prin integrarea câmpului electrostatic, pe orice drum care uneşte două puncte aparţinând ariilor corespondente. Înglobând foarte strâns, atât prin conductor, cât şi prin dielectric, suprafaţa de arie A1 cu o altă suprafaţă închisă Σ1 (cu normala exterioară n1), în scopul de a-i aplica legea fluxului electric, rezultă qq ==Ψ 11 . Condensatorul electric este caracterizabil prin fluxul electric produs de unitatea de tensiune aplicată între conductoare, mărime fizică scalară ce poartă numele de capacitate electrică a condensatorului

U

C 1Ψ= ,

relaţie care se rescrie sub forma

UqC = . (6.1)

Valoarea reciprocă a capacităţii defineşte mărimea fizică scalară numită elastanţa electrică a condensatorului,

qU

CS ==

1 .

Dacă permitivitatea dintre armăturile condensatorului este lineară, raportul (6.1) este independent de sarcină şi de tensiunea dintre armături. Într-adevăr, fie o sarcină qq λ=′ , în care λ este un parametru adimensional reprezentând o fracţiune din sarcina q. Din expresia potenţialului (5.25) avem VV λ=′ . Rezultă

CUq

Uq

UqC ==

λλ

=′′

=′ ,

adică mărimea capacităţii rămâne neschimbată, aceasta depinzând numai de configuraţia condensatorului şi de permitivitatea dintre armături.

6. CAPACITĂŢI ELECTRICE 101

Unitatea de măsură a capacităţii electrice în SI se numeşte farad (cu simbolul „F”, rezultând din următoarea ecuaţie dimensională:

[ ] [ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ] [ ][ ]l

lEAE

UqC 0

0 ε=ε

== .

Aşadar,

V1C1F1 = .

Aceeaşi ecuaţie dimensională furnizează şi unitatea de măsură în SI a permitivităţii vidului, si anume:

[ ]m1F1

0 =ε .

Energia din câmpul electric al unui condensator rezultă din expresiile (5.16) şi (6.1):

CqUCUqW

22

e 21

21

21

=== .

6.2. Capacitatea condensatoarelor plan, cilindric şi sferic

Calculul sistematic al capacităţii electrice a condensatoarelor presupune următoarele etape:

• determinarea câmpului electric dintre armături, funcţie de o valoare arbitrară a sarcinii electrică,

• calculul tensiunii dintre armături, prin integrarea de-a lungul unei linii de câmp a vectorului câmp electric,

• efectuarea raportului sarcinii electrice şi al tensiunii, ce reprezintă capacitatea condensatorului, mărime independentă de sarcina luată în calcul, dar dependentă de caracteristicile geometrice ale condensatorului şi permitivitatea dielectricului.

6.2.1. Capacitatea condensatorului plan

Acest tip de condensator este realizat cu două armături conductoare paralele de formă plană, având aria A, distanţa dintre ele d şi permitivitatea dielectricului ε. Armăturile sunt încărcate cu sarcinile +q, respectiv –q. În


figura 6.2, în afara elementelor geometrice, este reprezentat spectrul uniform al liniilor de câmp, obţinut prin neglijarea efectului de capăt. Se aplica legea fluxului electric ( ΣΣ =Ψ q ) suprafeţei paralelipipedice Σ, obţinându-se un flux nenul numai pentru faţa cuprinsă între armături, unde D = const. şi

dAD ↑↑ . Se obţine succesiv:

AqEAEAD

ε=⇒ε==⋅=Ψ ∫∫

ΣΣ dAD , iar

qq +=Σ .

Efectuând integrala curbilinie a câmpului electric de-a lungul unei curbe deschise, ce coincide cu o linie de câmp, se obţine tensiunea dintre armături:

dElElEU ===⋅= ∫∫∫CCC

dddlE ,

ţinând cont că E = const. şi dlE ↑↑ . Capacitatea rezultă:

dA

dAqq

UqC ε

=

ε

== .

6.2.2. Capacitatea condensatorului cilindric

Se consideră două armături cilindrice concentrice, de lungime l, încărcate cu sarcinile +q, respectiv –q, între care se află un mediu dielectric de permitivitate ε. Armăturile sunt caracterizate de razele 21 RR < (figura 6.3). Similar cazului precedent, se aplică legea fluxului electric unei suprafeţe închise cilindrice Σ, coaxială armăturilor, având raza bazelor 21 RrR << . Se ţine cont că, de această dată, câmpul electric nu mai este uniform între cele două armături, dar constant în modul pe Σ. În plus, dAD ↑↑ şi

Fig. 6.3

-q+q

E

R1

R2

n

+q

-q

E

nC

l

r


dlE ↑↑ , şi neglijând efectul de margine obţinem:

( ) ( ) ( )rl

qrErlrErlrDεπ

=⇒πε=π=⋅=Ψ ∫∫Σ

Σ 222dAD , iar qq +=Σ .

1

22

1

2

1C

ln2

d12

d2 R

Rl

qrrl

qrrl

qUR

R

R

R επ=

επ=

επ=⋅= ∫∫∫ dlE .

Capacitatea rezultă

1

2ln2

1RR

lUqC

επ== .

Considerând un condensator cilindric foarte lung, acesta ar fi mai bine caracterizat de mărimea C / l, numită capacitate lineică:

1

2l ln

21

RRC

επ= ,

caz întâlnit spre exemplu la cablurile coaxiale.

6.2.3. Condensatorul sferic

Armăturile acestui tip de condensator sunt sferice, concentrice, de raze 21 RR < , având un dielectric de permitivitate ε (figura 6.4). Presupunem că aceste armături sunt încărcate cu sarcinile +q, respectiv –q. Câmpul electrostatic este neuniform, radial şi normal pe armături. Se aplică legea fluxului electric suprafeţei sferice Σ de rază r, concentrică armăturilor, care înglobează armătura interioară încărcată pozitiv, având în vedere că D şi E sunt constante în modul pe această suprafaţă. Deoarece dAD ↑↑ se poate scrie:

( ) ( ) ( ) 222

444

rqrErrErrDεπ

=⇒πε=π=⋅=Ψ ∫∫Σ

Σ dAD

Integrala câmpului electric în lungul unei linii ce câmp C, pentru care dlE ↑↑ , reprezintă tensiunea dintre armături:

Fig. 6.4

+q

-q

E

nC

R1

R2

r


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

επ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

επ=

επ=⋅= ∫∫

21

2

1

2

12

C

114

14

d4 RR

qr

qrr

qUR

R

R

R

dlE .

Capacitatea condensatorului sferic rezultă:

12

214RR

RRUqC

−επ== .

6.3. Teoremele lui Kirchhoff pentru reţele de condensatoare. Teoreme de echivalenţă ale reţelelor pasive

6.3.1.Teoremele lui Kirchhoff

1. Prima teoremă În figura 6.5 este reprezentat un nod de reţea (a) la care sunt legate mai

multe laturi care au în componenţă condensatoare electrice, presupuse a fi iniţial încărcate. În scopul scrierii unei ecuaţii, în care necunoscutele sunt sarcinile condensatoarelor, este necesar să se stabilească în mod arbitrar polaritatea de referinţă a armăturilor acestora. Se consideră o suprafaţă închisă Σa, care trece printre armăturile tuturor condensatoarelor conectate la nodul (a). În regimul electrostatic, legea de conservare a sarcinii electrice (prezentată în paragraful 7.9.4) se scrie în cazul de faţă

.0)(

constqq aak

k ==∑∈

,

unde qa0 reprezintă sarcina electrică totală, iniţială, a armăturilor condensatoarelor legate la nodul (a). Este de remarcat caracterul algebric al acestei sume, întrucât sarcina qk poate desemna, atât sarcini pozitive, cât şi sarcini negative, funcţie de alegerea arbitrară a polarităţii armăturilor aflate în interiorul suprafeţei închise Σa. Revenind la sarcina electrică qa0, acesta este calculată cu ajutorul sumei algebrice a sarcinilor iniţiale ale armăturilor conectate la nodul (a):

∑∈

=)(

00ak

ka qq .


Semnul termenilor acestei sume reflectă polaritatea reală, iniţială, a armăturilor care au fost conectate la nodul (a). Astfel, expresia matematică a teoremei întâi a lui Kirchhoff devine:

.)(

0)(

constqqak

kak

k == ∑∑∈∈

(6.2)

Presupunând că toate condensatoarele au fost iniţial descărcate, 00 =aq , se obţine

0)(

∑∈

=ak

kq (6.3)

sau, ţinând cont de (6.1),

∑ ∑∈ ∈

==)( )(

0 .ak ak

kkk constqUC , (6.4)

iar pentru 00 =aq ,

∑∈

=)(

0ak

kkUC . (6.5)

Pentru o reţea de condensatoare având n noduri, este suficientă scrierea a N – 1 ecuaţii independente, corespunzând unui set de n – 1 noduri arbitrar alese. Ecuaţia scrisă în al n–lea nod reprezintă o combinaţie lineară a ecuaţiilor scrise în celelalte n – 1 noduri ale reţelei, aşadar indicele { }1,,2,1 −∈ na K . 2. A doua teoremă În figura 6.6 este reprezentată o buclă de reţea (p), formată din laturi care conţin condensatoare şi surse ideale de tensiune, având tensiunea electromotoare constantă. Sunt reprezentate, de asemenea, tensiunile electrostatice la bornele tuturor laturilor componente ale buclei. Arcele de curbă orientate Ck, reprezentând tensiunile la bornele laturilor, formează un contur închis

( )U

pkkp

∈=Γ C , căruia i se ataşează un

sens arbitrar de parcurgere. Aplicând teorema potenţialului electrostatic pe acest contur închis, se obţine:


∫Γ

=⋅p

0dlE sau ( )

0C

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅∑ ∫

∈ pk k

dlE ,

adică

∑∈

=)(

0pk

kU . (6.6)

Caracterul algebric al sumei de mai sus decurge din coincidenţa, respectiv necoincidenţa, sensului arbitrar de parcurgere a buclei cu sensul de referinţă al tensiunilor la bornele laturilor, semnul „+” apărând în situaţia în care integrala curbilinie este efectuată pe curbe Ck, având elementul de linie la fel orientat ca cel al curbei Γp. Pentru explicitarea formulei (6.6), se aplică din nou teorema potenţialului electrostatic conturului închis format din tensiunea la bornele sursei (Uek), tensiunea la bornele condensatorului (Uck) şi tensiunea la bornele laturii k (Uk) rezultând

0ce =−+ kkk UUU . (6.7)

Deoarece

k

kk C

qU =c şi kk eU −=⋅= ∫b

ae dlE ,

în care s-a ţinut seama că

iEE −= şi ke=⋅∫b

ai dlE ,

tensiunea la bornele laturii este

k

kkk C

qeU +−= ,

unde Ei şi ek sunt câmpul electric imprimat, respectiv tensiunea electromotoare ale sursei din latura k (aşa cum reiese din paragraful 7.2). Înlocuind în (6.6) rezultă cea de a doua teoremă a lui Kirchhoff

∑ ∑∈ ∈

=)( )(pk pk

kk

k eCq (6.8)


Teorema a doua a lui Kirchhoff se aplică unui set de b = l – n + 1 bucle independente, l reprezentând numărul total de laturi ale reţelei, iar n numărul total de noduri ale sale.

6.3.2. Teoreme de echivalenţă ale reţelelor pasive de condensatoare

În scopul reducerii gradului de complexitate al reţelelor active de condensatoare (cele care conţin surse de tensiune continuă), se identifică subreţele pasive ale acestora care pot fi înlocuite cu alte circuite pasive, mai simple, în condiţiile conservării sarcinilor şi tensiunilor tuturor condensatoarelor neafectate de transfigurare. În cazul cel mai general, această operaţiune poate fi efectuată în raport cu un număr oricât de mare de borne de acces ale unui circuit pasiv, în practică acest lucru realizându-se, de cele mai multe ori, în raport cu două, respectiv trei borne.

Teoreme de echivalenţă în raport cu două borne

În raport cu bornele de acces (A) şi (B) ale unei reţele pasive de condensatoare, iniţial neîncărcate, pentru orice tensiune continuă UAB aplicată, se numeşte capacitate echivalentă în raport cu aceste borne, raportul constant

AB

AAB U

qC = , (6.9)

în care, qA este sarcina electrică totală a bornei (A), presupusă a fi încărcată pozitiv. 1. Conectarea în serie a condensatoarelor Considerând n condensatoare înseriate, de capacităţi cunoscute, şi aplicând formula (6.6) conturului închis format de liniile tensiunilor la bornele celor n condensatoare conectate în serie şi tensiunea la bornele ansamblului lor, rezultă (figura 6.7)


nUUUU +++= K21AB . (6.10)

Pe de altă parte, aplicând formula (6.3) suprafeţelor închise Σ12, Σ23,…, trasate printre armăturile a câte două condensatoare alăturate, se obţine 021 =+− qq ,

K032 =+− qq , rezultând în final A21 qqqq n === K . Capacitatea echivalentă serie se obţine cu (6.9):

n

nnCq

Cq

Cq

qUUU

qUqC

+++=

+++==

KK

2

2

1

1

A

21

A

AB

Aes ,

de unde,

nCCCC

111121es

+++= K (6.11)

sau, în conformitate cu definiţia dată elastanţei,

nSSSS +++= K21es .

Pentru n = 2 avem

21

21es CC

CCC+

= .

2. Conectarea în paralel a condensatoarelor Considerând cele n condensatoare conectate în paralel (figura 6.8) şi aplicând formula (6.6) contururilor închise formate succesiv din câte două tensiuni de la bornele a două condensatoare din laturi învecinate, se obţine

. . .


021 =−UU , 032 =−UU ,…, 01 =−− nn UU , 0AB =−UUn ,

adică, AB21 UUUU n ==== K . Pe de altă parte, aplicând (6.2), avem

nqqqq K++= 21A .

Capacitatea echivalentă paralel este

AB

2211

AB

21

AB

Aep

......U

UCUCUCU

qqqUqC nnn +++

=+++

==

sau

nCCCC +++= K21ep . (6.12)

Relaţia corespunzătoare elastanţei echivalente paralel este

nSSSS

111121ep

+++= K ,

iar pentru n = 2 avem

21

21ep SS

SSS+

= .

Teoreme de echivalenţă în raport cu trei borne

Echivalenţa a doi tripoli pasivi presupune conservarea sarcinilor totale ale bornelor lor de acces, în situaţia aplicării aceloraşi tensiuni electrostatice perechilor de borne omoloage, pentru orice valori posibile ale acestora. Din multitudinea exemplelor posibile se prezintă, în cele ce urmează, echivalenţa (transfigurarea) unui circuit cu pasiv cu conexiune în stea, cu unul conexiune în triunghi, şi reciproc. 1. Transfigurarea stea–triunghi Se pune problema înlocuirii celor trei condensatoare legate în stea, alcătuind circuitul pasiv reprezentat în figura 6.9, faţă de bornele de acces (1), (2) şi (3), cu trei condensatoare echivalente legate în triunghi faţă de aceleaşi borne, astfel încât, în restul reţelei, sarcinile şi tensiunile să rămână nemodificate, pentru orice valoare posibilă a acestora. În acest scop, se pune condiţia ca sarcina q1 de pe armăturile legate la borna (1), în cele două cazuri, să


rămână nemodificată. Aplicăm teoremele lui Kirchhoff circuitului cu conexiune în stea:

122

2

1

1 UCq

Cq

=− , 311

1

3

3 UCq

Cq

=− şi 0321 =++ qqq .

Rezolvând sistemul se obţine

31321

1312

321

211 U

CCCCCU

CCCCCq

++−

++= .

Aceeaşi sarcină calculată din conexiunea triunghi este

3131121231121 UCUCqqq −=−= .

Prin identificarea coeficienţilor tensiunilor U12 şi U31 se obţin capacităţile:

321

2112 CCC

CCC++

= , 321

1331 CCC

CCC++

= şi, similar, 321

3223 CCC

CCC++

= .

2. Transfigurarea triunghi–stea De data aceasta se presupun cunoscute capacităţile condensatoarelor conectate în triunghi, urmând a se calcula capacităţile conectate în stea. Se pun condiţiile egalităţii capacităţilor echivalente faţă de aceleaşi perechi de borne (1) – (2), (2) – (3), (3) – (1), atât în cazul conexiunii stea, cât şi în cazul conexiunii triunghi. Notând cu 123131232312

2 CCCCCCC ++= , aceste condiţii sunt:

Fig. 6.9

(1)

(2)(3)

C31 C12

C23

U31 U12

U23

+q31

-q31+q12-q12

+q23-q23

C2

C1

C3

(1)

(2)(3)

U31 U12

U23

U2

U1

U3

+q1

-q1

+q2

-q2+q3

-q3


23123

21

11C

CCCC

+=+ , 2

1231

32

11C

CCCC

+=+ şi 2

2312

13

11C

CCCC

+=+ .

Adunând toate aceste relaţii membru cu membru şi apoi scăzând din suma obţinută câte una dintre ele, se obţine, luând valoarea reciprocă a relaţiilor rezultate,

23

2

1 CCC = ,

31

2

2 CCC = şi

12

2

3 CCC = .

6.4. Capacitatea liniei electrice bifilare, izolate

Un fir rectiliniu, infinit lung, uniform încărcat cu o densitate de linie a sarcinii electrice ρl, este reprezentat în secţiune în figura 6.10, perpendicular pe planul figurii. Intensitatea câmpului electric la distanţa R dintre fir şi un punct curent de pe curbă se determină aplicând legea fluxului electric unui cilindru de lungime l, coaxial cu firul de rază R. Câmpul produs de fir, fiind radial şi constant în modul pe suprafaţa laterală a cilindrului, se obţine

qERl =επ 02 , de unde 202 Rl

qεπ

=RE ,

în care s-a presupus 0l >ρ= lq . Pentru a determina potenţialul într-un punct P, în raport cu un punct P0, ambele situate în planul figurii, se aplică teorema potenţialului electrostatic de-a lungul unei curbe C care uneşte aceste puncte. Ţinând cont de echivalenţa

rdl d≡ se scrie:

∫∫∫ επ−=

⋅επ

−=⋅−=r

r RR

lqV

RlqVVV

000P

P

0P2

00P

P

0P0PP

d2

d2

d rRrE ,

unde α=⋅ cosdd rRrR Rezultă


rl

qRl

qVRr

lqVV ln

2ln

2ln

2 00

00P

000PP επ

−επ

+=επ

−= .

Cu notaţia

00

0P0 ln2

Rl

qVKεπ

+= ,

potenţialul electrostatic al punctului P are expresia

rl

qKV ln2 0

0P επ−= . (6.13)

Dacă pentru potenţialul de referinţă se adoptă valoarea

00

0P ln2

Rl

qVεπ

−= ,

constanta K0 se anulează, iar potenţialul în punctul P devine

rl

qV ln2 0

P επ−= . (6.14)

Potenţialul electrostatic al firului infinit lung încărcat se mai numeşte şi potenţial logaritmic, datorită expresiei sale matematice. Potenţialul într-un punct P al liniei bifilare din figura 6.11, de lungime l, se obţine aplicând teorema superpoziţiei, folosind formula (6.13) pentru fiecare fir în parte:

rl

qKl

qrl

qKV ρεπ

+=ρεπ

−−

επ−= ln

2ln

2ln

2 000P ,

unde r este distanţa de la punctul P la firul 1 încărcat cu sarcina q, iar ρ este distanţa de la P la firul 2, încărcat cu sarcina –q (s-a notat, 2K0 = K). Când punctul P se deplasează pe suprafaţa firului 1 de rază a, 1P VV = , iar când se deplasează pe suprafaţa firului 2, având aceeaşi rază, 2P VV = . Deoarece distanţa D dintre axele firelor este mult mai mare decât raza lor, se poate aproxima DaD ≅− şi se


obţin următoarele potenţiale ale celor două fire:

aD

lqKV ln

2 01 επ

+= şi Da

lqKV ln

2 02 επ

+= .

Diferenţa de potenţial dintre fire este

aD

lqVV ln

021 επ

=− ,

iar capacitatea

aD

lVV

qCln

0

21

επ=

−= . (6.10)

6.5. Ecuaţiile lui Maxwell pentru capacităţi

Un sistem de corpuri conductoare omogene, încărcate, aflate într-un mediu linear, poate fi caracterizat cu ajutorul unor expresii matematice în care intervin sarcinile electrice ale conductoarelor şi potenţialele acestora. Considerăm incinta conductoare vidată din figura 6.12, având potenţialul V0 faţă de un reper arbitrar ales (de exemplu pământul). În conformitate cu efectul de ecran, în interiorul ei câmpul electric este nul (E = 0), iar potenţialul VP, al oricărui punct P din domeniul mărginit de incinta conductoare, este egal cu V0. Într-adevăr, aplicând teorema potenţialului electrostatic, rezultă

dlE ⋅−= ∫P

0P0P VV .

VP

PV0

Fig. 6.12

. . . . . .

V0

V1

Vk

Vn

q1

qk

qnVP

P

Fig. 6.13


Se presupune că există posibilitatea introducerii în incintă a n conductoare, încărcate cu sarcinile q1, q2, …, qn, şi având potenţialele V1, V2, …, Vn (figura 6.13). Deoarece potenţialele sunt, în conformitate cu formulele coulombiene, funcţii lineare de sarcini, potenţialul VP al unui punct curent P se poate exprima aplicând teorema superpoziţiei sub forma

∑=

α+=n

kkk qVV

1p0P ,

αpk fiind denumiţi coeficienţi de potenţial. Sistemul de ecuaţii, care pentru simplitate va fi dezvoltat în cele ce urmează pentru n = 3 ( 3,2,1P → ), este

⎪⎩

⎪⎨

⎧

α+α+α=−α+α+α=−α+α+α=−

33323213103

32322212102

31321211101

qqqVVqqqVVqqqVV

. (6.16)

Pentru a putea identifica semnele coeficienţilor de potenţial, se presupune cazul în care 031 == qq (figura 6.14). Pentru 02 >q potenţialele conductoarelor rămân mai mari decât V0 şi deci

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>α=−>α=−>α=−

000

23203

22202

21201

qVVqVVqVV

, (6.17)

de unde rezultă că 0>α jj şi 0>α jk . Sistemul (6.16) reprezintă primul sistem de ecuaţii al lui Maxwell pentru capacităţi. Cel de al doilea sistem de ecuaţii al lui Maxwell se obţine rezolvând sistemul (6.16) în raport cu sarcinile:

q2>0

q1=0

q3=0

V1>V0

V2>V0

V3>V0V0

Fig. 6.14


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−γ+−γ+−γ=−γ+−γ+−γ=−γ+−γ+−γ=

0333023201313

0323022201212

0313021201111

VVVVVVqVVVVVVqVVVVVVq

, (6.18)

γks fiind numiţi coeficienţi de influenţă. Pentru a determina semnele acestor coeficienţi, se leagă conductoarele 1 şi 3 la peretele conductor care le include (figura 6.15). Deoarece liniile de câmp care pornesc de pe conductorul 2 separă

pe conductoarele 1 şi 3 sarcini negative, ecuaţiile (6.18) vor avea, cu 01 VV = şi 03 VV = , forma următoare:

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

<−γ=>−γ=<−γ=

000

02323

02222

02121

VVqVVqVVq

, (6.19)

de unde rezultă 0>γ jj şi 0<γ jk . Se adună şi se scade din expresia sarcinii electrice q1, dată de sistemul (6.18), suma ( ) ( )01130112 VVVV −γ+−γ şi apoi se regrupează termenii:

( )( ) ( ) ( )31132112211312111 VVVVVVq −γ−−γ−−γ+γ+γ= .

Se notează

10131211 C=γ+γ+γ , 1212 C=γ− şi 1313 C=γ− .

Procedând similar cu sarcinile q2 şi q3 şi, introducând notaţii asemănătoare, se obţine cel de al treilea sistem de ecuaţii pentru capacităţi al lui Maxwell:


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−+−+−=−+−+−=

−+−+−=

2333133203313

3223122202212

3113211201111

VVCVVCVVCqVVCVVCVVCq

VVCVVCVVCq, (6.20)

în care, aşa cum au fost definite, capacităţile, numite parţiale 0>γ−= kjkjC , sunt pozitive, deoarece, aşa cum s-a văzut, coeficienţii de influenţă cu indici diferiţi sunt negativi. Capacităţile parţiale Cj0 cu j = 1, 2, 3, fiind definite ca o sumă algebrică a unor coeficienţi de influenţă, unii pozitivi, iar alţii negativi, va fi necesar să demonstrăm că, şi aceste capacităţi, sunt mărimi pozitive. Pentru aceasta, se scurtcircuitează conductoarele şi se presupune că se încarcă ansamblul de conductoare astfel alcătuit cu o sarcină pozitivă. Aceasta se va distribui pe aceste conductoare sub forma unor sarcini pozitive q1, q2, q3, de potenţiale egale cu V > 0 (figura 6.16). Sistemul de ecuaţii (6.20) devine,

( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−=−=−=

0303

0202

0101

VVCqVVCqVVCq

. (6.21)

Întrucât, atât membrii întâi ai relaţiilor de mai sus, cât şi diferenţa de potenţial 0VV − sunt pozitivi, rezultă că şi capacităţile parţiale Cj0 sunt de asemenea pozitive. În figura 6.17 sunt reprezentate ariile corespondente ale capacităţilor parţiale.

117

7. STAREA ELECTROCINETICĂ

Electrocinetica este acel capitol al electromagnetismului dedicat studiului stărilor şi efectelor care însoţesc curenţii de conducţie din corpuri, acestea fiind puse în evidenţă, atât prin dezvoltare de căldură, cât şi prin diverse alte manifestări mecanice, chimice, electromagnetice sau luminoase.

7.1. Circuitul electrocinetic

Considerăm un circuit alimentat cu ajutorul unei surse formate dintr-un electrod de cupru şi unul de zinc imersaţi într-o soluţie de acid sulfuric. Circuitul este constituit dintr-un fir subţire, conductor, bobinat pe un suport şi plasat în interiorul unui calorimetru K, un voltametru V, constituit din doi electrozi de argint cufundaţi într-o soluţie diluată de azotat de argint, o lampă cu incandescenţă L şi o bară conductoare MN, care poate aluneca fără frecare pe două şine conductoare paralele. În apropierea circuitului se află de asemenea şi un ac magnetic B (figura 7.1). Dacă se închide circuitul, se constată că lanţul de conductoare ajunge într-o stare nouă, diferită de starea electrostatică numită

stare electrocinetică, însoţită de numeroase efecte: a) Efecte mecanice:

• exercitare de forţe şi momente asupra porţiunilor de conductor care se găsesc în stare electrocinetică (forţa F exercitată asupra barei MN), în prezenţa unui câmp magnetic.

• exercitare de forţe şi momente asupra corpurilor magnetizate aflate în apropierea conductoarelor (cuplul C exercitat asupra acului magnetic B atestă prezenţa unui câmp magnetic datorat curenţilor de conducţie.)

118 7. STAREA ELECTROCINETICĂ

b) Efecte chimice:

• reacţii de descompunere a soluţiilor de electroliţi, adică reacţii de electroliză (de exemplu în voltametrul V din figură), în urma cărora pe electrodul legat la polul negativ (catodul c) al voltametrului se depune metal (de exemplu argint) iar electrodul legat la polul pozitiv (anodul a) se dizolvă în soluţie.

c) Efecte calorice:

• dezvoltare de căldură în conductoarele aflate în stare electrocinetică (de exemplu în firul bobinat, cufundat în calorimetrul K).

d) Efecte luminoase

• în diferite dispozitive cu surse de lumină (de exemplu în lampa L sau în tuburile cu descărcări în gaze)

Menţionăm că dacă în circuitul din figură se schimbă polaritatea, efectele calorice şi luminoase rămân nemodificate, în timp ce celelalte efecte prezintă schimbări de sensuri. Efectele enumerate mai sus caracterizează, atât stările electrocinetice staţionare, cât şi cele nestaţionare, în prezenţa acestora din urmă adăugându-se şi efecte suplimentare datorate fenomenului de inducţie electromagnetică.

7.2. Câmpul electric imprimat

Câmpul electric imprimat apare în interiorul anumitor corpuri (conductoare, electroliţi), aflate în situaţia îndeplinirii unor condiţii specifice. Se va încerca punerea lui în evidenţă prin modelul mecanic, prezentat în cele ce urmează. Un conductor omogen, neaccelerat, admite următorul model simplificat al structurii sale microscopice: o reţea ionică rigidă încărcată pozitiv şi un fluid electronic încărcat negativ, repartizat în condiţii de omogenitate, astfel încât sarcinile electrice de nume contrar să se compenseze, iar densitatea de volum a sarcinii rezultante să fie nulă. În figura 7.2 este reprezentată reţeaua ionică sub forma unui caroiaj, iar fluidul electronic prin puncte uniform repartizate, în situaţia corpului neaccelerat. Dacă se imprimă conductorului o

acceleraţie într-un anumit sens, electronii, sub acţiunea forţelor de inerţie, se vor deplasa în sens opus, aglomerând regiunea în care sosesc, cu sarcini electrice negative, în exces faţă de cele pozitive. Regiunea opusă de unde s-au deplasat electronii

7. STAREA ELECTROCINETICĂ 119

va avea un exces de sarcini pozitive, faţă de cele negative. Între cele două regiuni va lua naştere un câmp electric dirijat spre regiunea încărcată negativ (figura 7.3). Odată cu apariţia câmpului electric, asupra electronilor aflaţi în mişcare vor acţiona şi forţe de natură electrică, în acord cu relaţia ve EF q= , astfel încât asupra unui electron va acţiona, atât o forţă neelectrică (în cazul considerat de natură mecanică), cât şi una electrică. Pe măsură ce separarea de sarcini se accentuează, câmpul electric va creşte în intensitate, forţa de natură electrică va creşte şi ea, până în momentul în care ea devine egală şi opusă cu forţa neelectrică, ceea ce are ca efect oprirea electronilor. Condiţia de echilibru se exprimă astfel:

0~neele =+ FF . (7.1)

S-a atins astfel un nou regim, în care electronii devenind imobili faţă de conductor, regimul din interiorul acestuia încetează de a mai fi electrocinetic, redevenind electrostatic. În relaţia (7.1), forţa de natură neelectrică neel

~F este o forţă medie, deoarece sub acţiunea agitaţiei termice asupra electronului acţionează şi forţele rezultate din ciocnirea lui cu electronii din jur. Condiţia de echilibru electrostatic (7.1) se mai poate rescrie astfel:

0~

m

neel =+q

FE ,

unde cu qm s-a notat sarcina (microscopică) a electronului. Se numeşte câmp electric imprimat raportul dintre forţa de natură neelectrică, ce acţionează asupra electronului, şi sarcina electrică a acestuia:

m

neeli

~

qFE = . (7.2)

Cu această definiţie condiţia de echilibru electrostatic devine

0i =+ EE , (7.3)

relaţie care permite o altă definiţie – de data aceasta macroscopică – a câmpului electric imprimat:

( )echili EE −= , (7.4)

reprezentând câmpul electric cu semn schimbat, în condiţia echilibrului electrostatic. De asemenea, rezultă că relaţia


0i ≠+ EE (7.5)

validează prezenţa regimului electrocinetic.

7.3. Tensiunea electromotoare. Teorema potenţialului electric staţionar.

Se numeşte tensiune electromotoare (t.e.m.) pe un contur închis Γ, circulaţia vectorului iEE + de-a lungul acelui contur

( )∫Γ

Γ ⋅+= dlE E ie , (7.6)

unde d l este elementul vectorial de linie. În regim electrostatic, suma iEE + fiind nulă (7.3), t.e.m. de contur este nulă pe orice curbă închisă. În regimul staţionar, caracterizat prin faptul că toate mărimile electromagnetice sunt invariabile în timp, şi deci neafectate de fenomenul de inducţie electromagnetică, intensitatea câmpului electric E satisface o relaţie identică formal cu teorema potenţialului electrostatic:

∫Γ

=⋅ 0dlE . (7.7)

Formula (7.7) – identică cu teorema potenţialului electrostatic – se numeşte teorema potenţialului electric staţionar. Comparând relaţiile (7.6) şi (7.7) putem scrie,

( ) ∫∫ΓΓ

Γ ⋅=⋅+= dlEdlE E iie , (7.8)

egalitate din care rezultă că t.e.m. de contur este dată în regim staţionar numai de câmpul electric imprimat. Similar teoremei din electrostatică, se pot evidenţia următoarele consecinţe ale teoremei potenţialului electric staţionar:

• posibilitatea definirii unui câmp scalar, numit potenţial electric, conform relaţiei

( ) ( ) ∫ ⋅−=P

0P0PP dlEVV ,

în funcţie de potenţialul arbitrar V(P0), dintr-un punct de referinţă;


• câmpul vectorial E derivă din potenţialul electric

Vgrad−=E (sau forma locală a teoremei, 0rot =E );

• tensiunea electrică dintre două puncte este independentă de drum, fiind diferenţa potenţialelor acelor puncte

BA

B

AAB VVU −=⋅= ∫ dlE .

În regim nestaţionar, câmpul electric E este produs, nu numai de prezenţa corpurilor aflate în stare electrocinetică, ci şi de variaţia în raport cu timpul a câmpului magnetic. În absenţa unui câmp electric imprimat, câmpul electric se poate descompune aditiv într-o componentă Ec coulombiană (potenţială), despre care se ştie că satisface relaţia

0c =⋅∫Γ

dlE , (7.9)

şi o componentă solenoidală Es , apărută prin inducţie electromagnetică: sc EEE += . În aceste condiţii, t.e.m de contur este dată numai de componenta

solenoidală a câmpului electric:

( ) ∫∫∫ΓΓΓ

Γ ⋅=⋅+=⋅= dlEdlE EdlE ssce .

7.4. Intensitatea curentului electric de conducţie

Dintre efectele stării electrocinetice cel mai adecvat pentru caracterizarea acestei stări este efectul electrodinamic. Presupunem că prin mijloace adecvate putem determina forţa asupra unei porţiuni elementare Δl dintr-un conductor filiform, aflat în stare electrocinetică şi plasat într-un câmp magnetic în vid. (figura 7.4). Experienţa arată că: a) Forţa exercitată asupra elementului de lungime a firului este perpendiculară pe inducţia magnetică locală Bv şi pe versorul ul, al cărui sens este ales arbitrar. b) Forţa maximă ΔFmax se obţine când ul


este perpendicular pe Bv şi se anulează când cei doi vectori sunt omoparaleli. c) Se constată că pentru un unghi oarecare α, forţa elementară este

αΔ=Δ sinmaxFF . d) Forţa maximă ΔFmax este proporţională cu Bv şi cu Δl, constanta de proporţionalitate fiind o caracteristică a stării electrocinetice, care nu depinde nici de Bv, şi nici de Δl, aceasta notându-se cu i, şi purtând denumirea de intensitatea curentului electric de conducţie:

lBiF Δ=Δ vmax .

Intensitatea curentului electric de conducţie este o mărime primitivă a teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic. Înlocuind în expresia de la punctul c), se obţine

αΔ=Δ sinv lBiF ,

sau vectorial

vl BuΔF ×Δ= li .

Cu Δlu =Δ ll , forţa elementară ia forma,

vBΔlΔF ×= i , (7.10)

expresie cunoscută sub numele de forţa lui Laplace. Se numeşte sens efectiv al curentului prin fir, sensul pe care trebuie să-l aibă luΔl lΔ= pentru ca, pentru un Bv de sens dat, sensul forţei – observat experimental – să rezulte cu ajutorul produsului vectorial scris în ordinea factorilor din formula (7.10). Comparând această ordine cu cea din formula (2.3), în care apare forţa asupra unei sarcini pozitive, rezultă că sensul curentului este cel al deplasării unor sarcini microscopice pozitive. Cum în conductoarele de prima specie (metalele) conducţia este asigurată de o singură specie de microparticule încărcate negativ (electronii liberi) rezultă că sensul curentului de conducţie este opus sensului de deplasare al electronilor prin conductor. Sub raport cantitativ, intensitatea curentului de conducţie este limita raportului dintre sarcina Δqm a particulelor microscopice libere care traversează o secţiune S a unui conductor într-un interval de timp şi durata Δt a intervalului, când aceasta tinde către zero:

t

qt

qit d

dlim mm0s =

ΔΔ

=→Δ

(7.11)

În exprimarea uzuală, în loc de intensitatea curentului electric de conducţie, se spune pe scurt curentul electric, sau, şi mai pe scurt, curentul.


7.5. Densitatea curentului electric de conducţie

Considerăm un conductor masiv, aflat în stare electrocinetică, şi o suprafaţă plană foarte mică, de orientare oarecare n în jurul unui punct M al conductorului (figura 7.5). Se numeşte densitate scalară de curent în punctul M limita

( )Ai

AiJ

A ddlim

0=

ΔΔ

=→Δ

n , (7.12)

unde d i este curentul de conducţie elementar prin elementul de arie d A. Desigur,

curentul elementar este funcţie de orientarea n a elementului, şi ca urmare, şi densitatea scalară de curent este funcţie de aceeaşi orientare, motiv pentru care, această densitate a fost notată ca funcţie de argumentul vectorial n. Experienţa arată că în regim staţionar este valabilă următoarea relaţie de continuitate pentru curentul electric de conducţie:

0d)( =∫∫Σ

AJ n , (7.13)

în care Σ este o suprafaţă închisă. Dacă această suprafaţă este un paralelipiped foarte aplatizat (figura 7.6), atunci relaţia de mai sus se scrie,

( ) ( ) 0≅Δ+Δ− AJAJ nn ,

întrucât s-a neglijat contribuţia suprafeţei laterale extrem de înguste a paralelipipedului. Rezultă relaţia

( ) ( )nn JJ =−− , (7.14)

care exprimă faptul că densitatea scalară de curent este o funcţie impară de versorul normal n la suprafaţă. Pentru exprimarea analitică a densităţii scalare de


curent, se aplică formula de continuitate (7.13) unei suprafeţe închise, în formă de tetraedru de arii ΔA, ΔAx, ΔAy, ΔAz, situat faţă de sistemul de axe rectangulare ca în figura 7.7. Se obţine,

( ) ( ) ( ) ( ) 0=Δ−+Δ−+Δ−+Δ zyx AJAJAJAJ kjin

sau

( ) ( ) ( ) ( ) zyx AJAJAJAJ Δ−−Δ−−Δ−−=Δ kjin . (7.15)

Dar, în conformitate cu proprietatea de imparitate (7.14) a densităţii scalare de curent, se poate scrie,

( ) ( )ii JJ =−− , ( ) ( )jj JJ =−− şi ( ) ( )kk JJ =−− .

De asemenea, se mai pot scrie relaţiile:

xx nAAA Δ=⋅Δ=⋅=Δ iniΔA , yy nAAA Δ=⋅Δ=⋅=Δ jnjΔA şi zz nAAA Δ=⋅Δ=⋅=Δ knkΔA .

Folosind toate aceste relaţii, formula (7.15) conduce la următoarea expresie a densităţii scalare de curent:

( ) ( ) ( ) ( ) zyx nJnJnJJ kjin ++= . (7.16)

Pe de altă parte,

( ) ( )kjin zyx nnnJJ ++= . (7.17)


Comparând ultimele două relaţii, rezultă că densitatea scalară de curent J(n) satisface relaţii de linearitate de forma:

( ) ( )GG ϕλ=λϕ ,

respectiv

( ) ( ) ( )2121 GGGG ϕ+ϕ=+ϕ ,

ceea ce îi permite să i se asocieze un vector J, astfel încât să se poată scrie,

( ) nJn ⋅=J . (7.18)

Acest vector se numeşte densitatea curentului electric de conducţie. Liniile câmpului vectorial al densităţii de curent sunt denumite linii de curent. Din relaţia (7.12), rezultă curentul elementar prin suprafaţa Ad

( ) dAJnJn ⋅=⋅== AAJi ddd . (7.19)

Curentul printr-o suprafaţă S se obţine prin integrare:

∫∫∫∫ ⋅=⋅=SS

S d dAJnJ Ai . (7.20)

7.6. Densitatea de linie a curentului de conducţie

În situaţia în care curentul este localizat pe o suprafaţă, avem ceea ce se numeşte o pânză de curent. Pentru a putea folosi definiţia anterioară a densităţii de curent (curent pe unitatea de suprafaţă), presupunem că acesta are o anumită grosime foarte mică d g (figura 7.8,a). În acest caz, densitatea scalară de curent este dată de limita

Fig. 7.8

(a) (b)

Cd g

l

C

utl

Jln

tu′


gl

iJl dcoslim

0 ⋅αΔΔ

=→Δ

.

Deoarece lg Δ<<d , limita de mai sus tinde către infinit şi nu poate fi folosită pentru caracterizarea pânzei. În schimb, limita

α

=αΔ

Δ==

→Δ cosdd

coslimd

0l li

ligJJ

l

este finită, fiind deci adecvată caracterizării stării electrocinetice a pânzei. Această mărime fizică poartă denumirea de densitate de linie a pânzei de curent. Curentul prin elementul de linie ld (figura 7.8,b) este

llJi dcosdd tll uJ ′⋅=α= , dar tt unu ×=′ ,

adică

( ) ( ) ( ) dlnJunJunJ ⋅×=⋅×=×⋅= ltltl ddd lli .

Curentul care traversează curba C este

( )∫ ⋅×=C

lC dlnJi . (7.21)

Practic, curenţii efectului pelicular pronunţat, dar şi curenţii de la periferia rotoarelor maşinilor electrice cu poli îngropaţi, se pot asimila cu pânze de curent.

7.7. Intensitatea şi densitatea curentului electric de convecţie

Spre deosebire de curentul de conducţie, caracterizat prin mişcarea relativă a particulelor încărcate faţă de corpul aflat în stare electrocinetică, curentul de convecţie printr-o suprafaţă este produs prin traversarea acesteia de sarcini antrenate de însuşi corpul încărcat care se deplasează. Intensitatea curentului de convecţie, notat cu Svi , printr-o suprafaţă S se poate exprima în funcţie de densitatea sa Jv, la fel ca intensitatea curentului de conducţie:

∫∫ ⋅=S

vS dAJvi (7.22)


Pentru determinarea densităţii Jv a curentului de convecţie, în funcţie de densitatea de volum

vq

v ΔΔ

=ρ→Δ 0v lim

a sarcinilor electrice în mişcare, considerăm un element de arie dA, normal la suprafaţa traversată cu viteza v de fluidul încărcat (figura 7.9). Elementul de arie este suficient de mic pentru a putea fi asimilat cu o suprafaţă plană, iar mărimile vρ şi v sunt considerate uniforme în toate punctele elementului. Sarcina electrică elementară care trece într-un interval de timp Δt prin suprafaţa Ad este

( ) dAv ⋅ρ=α⋅ρ=Δ vv cosd vAq , iar curentul elementar prin arie va fi

dAv ⋅ρ=αρ=ΔΔ

=→Δ

vv0cosdlimd Av

tqi

tv .

Curentul prin întreaga suprafaţă S, străbătută de curentul de convecţie, este

∫∫ ∫∫ ⋅ρ==S S

vS d dAvvv ii , (7.23)

cu densitatea

vJ vρ=v . (7.24)

Interpretarea microscopică a curentului de conducţie Densitatea curentului de conducţie se poate justifica microscopic prin convecţia microparticulelor încărcate în deplasare. Dacă N este numărul de particule din unitatea de volum şi q sarcina unei particule, atunci densitatea de volum a sarcinii se poate determina prin produsul q N. Densitatea sarcinii de convecţie (7.24) se mai scrie v~NqJv = , în care v~ este viteza medie a particulelor supuse agitaţiei termice. Dacă procesul de conducţie este asigurat de s specii de particule, densitatea curentului de conducţie se interpretează ca suma densităţilor curenţilor de convecţie ale celor s specii:

∑=s

sss Nq vJ ~ . (7.25)


7.8. Forţa lui Ampère. Unităţi de măsură pentru curent

Experienţa arată că între două conductoare filiforme, paralele, străbătute de curenţi de conducţie (figura 7.10), se exercită o forţă de atracţie, dacă sensurile reale ale curenţilor au acelaşi sens, şi o forţă de respingere, dacă acestea sunt de sens contrar. Pe un tronson de lungime l, mult mai mare decât distanţa dintre conductoare, această forţă, numită forţa lui Ampère, este

1221

021122 uFF l

dii

Λ=−= . (7.26)

S-a notat cu 0Λ constanta universală magnetică, ale cărei valori sunt funcţie de sistemul de unităţi utilizat. Pentru i1 = i2 şi d = l, rezultă

202 iF Λ= . (7.27)

7.8.1. Sistemul de unităţi CGSFr

În acest sistem s-a determinat 2200 Fr/sdyn109/1 ⋅⋅=Λ . Din (7.27),

rezultă că două conductoare paralele sunt parcurse de curenţi de câte un franklin pe secundă, când pe o lungime egală cu distanţa dintre ele se exercită o forţă egală cu dyn109/2 20⋅ (figura 7.11).

7.8.2. Sistemul de unităţi CGSBi

În acest sistem 20 dyn/Bi1=Λ . Din (7.27), rezultă că două conductoare

paralele sunt parcurse de curenţi de câte un biot, când pe o lungime egală cu

d

u12

li2i1 F12 F21

Fig. 7.10

1 Fr / s 1 Fr / s

201022

⋅dyn

Fig. 7.11


distanţa dintre ele, se exercită o forţă egală cu 2 dyn. Aşa cum am arătat, există

relaţia de conversie Fr/s103Bi1 10⋅= (figura 7.12).

7.8.3. Sistemul internaţional de unităţi de măsură (SI)

În acest sistem 270 N/A10−=Λ . Din (7.27), rezultă că două conductoare

paralele sunt parcurse de curenţi de câte un ampère, când pe o lungime egală cu distanţa dintre ele se exercită o forţă egală cu N102 7−⋅ (figura 7.13). Aşa cum am arătat, există relaţia de conversie /sFr103Bi10A1 91 ⋅== − . În relaţiile curente, este utilizată o altă constantă universală, notată cu 00 4 Λπ=μ Valoarea acestei constante este deci 7

0 104 −π=μ , şi, aşa cum s-a amintit în paragraful 3.1.3, unitatea de măsură este henry pe metru (H /m). În sistemul SI unităţile de măsură pentru densitatea de curent şi pentru densitatea de linie a curentului sunt 1 A /m2 şi 1 A /m.

7.9. Legile şi teoremele câmpului electrocinetic staţionar

Regimul electrocinetic staţionar se caracterizează prin independenţa mărimilor în raport cu timpul şi prin stări însoţite de degajare de căldură. În cele ce urmează se prezintă ecuaţiile care exprimă fenomenele care au loc în regimul electrocinetic staţionar.

7.9.1. Teorema potenţialului electric staţionar

Forma integrală a acestei teoreme (7.7) a fost enunţată la paragraful 7.3:

∫Γ

=⋅ 0dlE .

N102 7−⋅


Dacă se aplică formula de mai sus suprafeţei de separaţie dintre două medii diferite 1 şi 2, de-a lungul unui dreptunghi foarte mic, alungit, cu laturile Δl mai lungi situate paralel, de o parte şi de alta a suprafeţei, şi cu celelalte laturi perpendiculare pe suprafaţă, de lungimi neglijabile lg Δ<<d , se obţine

02211 ≅⋅+⋅ ΔlEΔlE

sau, cu lΔ= t1 uΔl şi lΔ−= t2 uΔl , în care tu este un versor tangent la suprafaţă şi paralel cu dreptunghiul,

( ) 0t2t1 =Δ− luEuE , adică ( ) 0t21t =Δ− lEE ,

relaţie echivalentă cu conservarea componentei tangenţiale:

t21t EE = .

Aplicând circulaţiei câmpului electric (7.7) teorema lui Stokes, se poate scrie

0rot S

=⋅∫∫Γ

dAE .

Întrucât relaţia precedentă are loc pentru orice Γ şi SΓ alese arbitrar, rezultă

0rot =E

şi, similar, 0 rots =E , pentru suprafeţele de discontinuitate dintre două medii lineare, omogene şi izotrope.

7.9.2. Legea conducţiei electrice (legea lui Ohm)

Legea conducţiei electrice (legea lui Ohm) prezintă o importanţă deosebită în fundamentarea teoretică a unei ramuri importante a electromagnetismului, şi anume a teoriei circuitelor electrice. Aceasta este o lege de material ce ia în calcul cauzele fenomenului de conducţie electrică într-un punct al unui conductor aflat în stare electrocinetică (în forma sa locală) sau între bornele unui tronson conductor, filiform (în forma sa globală). Legea se enunţă în modul următor: „În orice punct un conductor izotrop aflat în stare de conducţie electrică suma vectorială dintre intensitatea câmpului electric E şi intensitatea câmpului


electric imprimat Ei este proporţională cu densitatea curentului electric de conducţie J ”. Enunţul corespunde formei locale a legii, cu următoarea exprimare matematică:

JEE ρ=+ i (sau ( )iEEJ +σ= ), (7.28)

unde ρ este o constantă, dependentă de material şi de temperatură, numită rezistivitate, cu dimensiunea

[ ] [ ][ ] ( )mmetruohm1m

AV1

A/m1V/m1

2 Ω====ρJE ,

deoarece 1 V / 1 A este prin definiţie egal cu 1 ohm (cu simbolul Ω). Mărimea, care apare în forma duală a legii, ρ=σ /1 se numeşte conductivitate electrică, cu dimensiunea

[ ] [ ] mSi1

m1

m11 1

=Ω

=Ω

=ρ

=σ−

În absenţa câmpului electric imprimat, formula este

JE ρ= sau EJ σ= . (7.29)

În medii anizotrope, când într-un punct vectorii E şi J au orientări diferite, conductivitatea este un tensor de ordinul al doilea σ . Forma locală a legii se scrie,

EJ σ= , (7.30)

în care, tensorul de ordinul al doilea se exprimă în funcţie de cele nouă componente ale sale

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

σσσσσσσσσ

=σ .

Tensorul σ este simetric, deoarece zxxzyxxy σ=σσ=σ , şi zyyz σ=σ . Există trei direcţii principale asociate tensorului, de-a lungul cărora legea lui Ohm se scrie:

111 EJ σ= , 222 EJ σ= şi 333 EJ σ= .


Forma integrală este asociată unui conductor filiform izotrop, de rezistivitate ρ şi secţiune variabilă de arie A. Integrând forma locală (7.28) între două secţiuni 1 şi 2 ale firului, se obţine

( ) iRAlil

AilJ =ρ=ρ=ρ=⋅ρ=⋅+ ∫∫∫∫∫

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1i

ddddlJdlEE . (7.31)

Mărimea definită cu ajutorul integralei curbilinii

∫ρ=2

1

dAlR (7.32)

se numeşte rezistenţa electrică a firului între secţiunile 1 şi 2. Dacă firul este confecţionat dintr-un material omogen, izotrop, de rezistivitate ρ, având lungimea l şi, dacă secţiunea lui de arie A este constantă, rezistenţa ia forma

AlR ρ= . (7.33)

Este uşor de demonstrat că unitatea de măsură în SI a rezistenţei este un ohm (Ω). Valoarea reciprocă a rezistenţei lARG //1 σ== se numeşte conductanţă, cu unitatea de măsură 1 Si = 1 Ω –1. Expresia (7.31) se mai scrie,

iReu =+f (7.34)

sau

( )euGi += f .

Explicitând cele două mărimi nou apărute în penultima şi ultima ecuaţie, se definesc următoarele mărimi globale corespunzătoare secţiunilor 1 şi 2 ale conductorului filiform:

•tensiunea în lungul firului, având expresia

∫ ⋅=2

1f dlEu ,

integrala fiind calculată prin interiorul firului, şi

•tensiunea electromotoare, definită prin


∫ ⋅=2

1i dlEe .

Evident, dacă nu există o sursă de câmp imprimat (e = 0), forma integrală a legii va fi

iRu =f . (7.35)

Integrala,

∫ ⋅=2

1b dlEu ,

calculată pe o curbă deschisă situată între secţiunile 1 şi 2, prin exteriorul firului, se numeşte tensiune la borne.

Sensuri de referinţă, sensuri reale şi convenţii de asociere a sensurilor pozitive

Ne vom referi în cele ce urmează la mărimile fizice scalare (pozitive sau negative), globale, ataşate unor curbe sau unor suprafeţe. Aceste mărimi se determină în urma calculului unei integrale curbilinii, în primul caz, respectiv al unei integrale de suprafaţă, în cel de-al doilea caz. Vom numi sens de referinţă al unei mărimi scalare:

• sensul arbitrar ales al elementului de linie orientat (dl), utilizat pentru calculul integralelor curbilinii, respectiv

• sensul arbitrar ales al normalei (n), la suprafaţa pe care se calculează integrala, sau sensul elementului orientat de arie (dA), corespunzând aceleiaşi suprafeţe.

Sensurile de referinţă se marchează cu ajutorul săgeţi, spre exemplu un arc de curbă orientat la unul dintre capete, în cazul tensiunii sau o săgeată suprapusă axial unui tronson conductor, în cazul intensităţii curentului. Sensul real (efectiv) al unei mărimi fizice scalare desemnează acea orientare a sensului de referinţă pentru care mărimea are o valoare pozitivă. Figura 7.14 (în care, pentru claritatea desenului, tensiunea uf a fost desenată alături de fir, ea fiind calculată de fapt prin interiorul acestuia) relevă cele două moduri în care sensul de referinţă al tensiunii la borne se poate asociază cu sensul de referinţă al curentului dintr-o latură de reţea. În figura 7.14,a este reprezentată convenţia (regula) de asociere de la receptoare, iar în figura 7.14,b convenţia (regula) asociere de la generatoare.


Aplicând teorema potenţialului electric staţionar,

∫Γ

=⋅ 0dlE ,

conturului Γ, format din linia mediană a laturii şi curba tensiunii la borne, se obţine 0bf =− uu , în primul caz, şi 0bf =+ uu , în cel de-al doilea. Rezultă că forma integrală a legii se poate exprima în funcţie de tensiunea la borne, sub formele:

• eiRu −=b , în cazul asocierii sensurilor de referinţă conform convenţiei de la receptoare, şi

• iReu −=b , în cazul asocierii sensurilor de referinţă conform convenţiei de la generatoare.

Pentru e = 0, relaţiile iau în cele două cazuri formele: iRu +=b (convenţia de la receptoare) şi iRu −=b (convenţia de la generatoare).

7.9.3. Legea transformării de energie în conductoare parcurse de curenţi de conducţie (legea Joule–Lenz)

Experimental se constată ca trecerea curentului electric de conducţie produce transformarea energiei electromagnetice în alte forme de energie. Legea ce urmează a fi enunţată se referă la transformarea ireversibilă a energiei câmpului electromagnetic în energie termică, proces numit efect Joule – Lenz. Enunţul legii care furnizează o apreciere cantitativă şi locală a acestui fenomen este: „Densitatea de volum a puterii electromagnetice pJ, cedate de câmpul electromagnetic unităţii de volum a unui conductor aflat în stare electrocinetică, este egală cu produsul scalar al intensităţii câmpului electric E şi al densităţii de curent J ”. Enunţul stabileşte forma locală a acestei legi generale conform formulei

JE ⋅=Jp . (7.30)


Densitatea de volum a energiei cedate de câmpul electromagnetic conductoarelor, în procesul de conducţie, se defineşte în felul următor:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ΔΔ

=→Δ 3

J0J m

WlimVPp

V,

unde PJ este puterea cedată de câmp unei porţiuni de volum ΔV a conductorului. Legea poate fi justificată microscopic astfel: puterea cedată unei particule de sarcină microscopică q0 este vF ~

e0 ⋅=p în care, EF 0e q= este forţa exercitată asupra particulei, iar v~ viteza ei medie de deplasare. Aceasta din urmă rezultă din interpretarea microscopică a densităţii de curent

vJ ~0qN= ,

N fiind numărul de particule microscopice din unitatea de volum (particule/m3). Deci,

JEJE ⋅==NNq

qp 10

00 , ceea ce conduce la JE ⋅== 0J Npp .

Forma integrală a legii se referă la un conductor filiform de arie a secţiunii A, parcurs de curentul de conducţie de intensitate i. Se integrează (7.36) pe volumul firului, între două secţiuni transversale 1 şi 2 ale sale:

dlEdlEJEJE ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ⋅=⋅=⋅=⋅==2

1

2

1

2

1VVJJ ddd iJAlAvvpP .

Ultima integrală din şirul de inegalităţi este tensiunea în lungul firului. Deci, forma integrală este:

iuP fJ = , (7.37)

JP fiind puterea cedată de câmpul electromagnetic firului. Asociind sensul tensiunii la bornele lui cu sensul curentului după convenţia (regula) de la receptoare, înlocuind deci uf = ub , se poate scrie

iuP bJ = . (7.38)

Folosind aceeaşi regulă, s-a găsit eiRu −=b , în care e este tensiunea electromotoare a sursei cuprinse în fir. Înlocuind în (7.38) şi notând puterea corespunzătoare sursei


ieP =g ,

formula (7.38) devine

g2

J PiRP −= . (7.39)

Se pot identifica următoarele două posibile regimuri de funcţionare a sursei:

• dacă 0ii >⋅⇒↑↑ JEJE , bilanţul puterilor este 2gJ iRPP =+ , iar

sursa funcţionează în regim de generator de putere. • dacă 0ii >⋅⇒↑↓ JEJE , bilanţul puterilor este g

2J PiRP += , iar

sursa funcţionează în regim de receptor de putere (de exemplu, un acumulator care se încarcă).

7.9.4. Legea de conservare a sarcinii electrice

Se consideră o suprafaţă închisă Σ ce traversează numai medii izolante, neexistând posibilitatea stabilirii unor curenţi electrici de conducţie care să străbată această suprafaţă. Experienţa arată că sarcina electrică totală ( Σq ), aflată în interiorul suprafeţei Σ, rămâne constantă în timp, indiferent de posibila redistribuire a acesteia, din interiorul incintei:

constq =Σ .

În situaţia în care suprafaţa închisă Σ este traversată şi de medii conductoare, relaţia de dependenţă dintre intensitatea curentului electric de conducţie Σi , care iese din această suprafaţă, şi sarcina electrică (adevărată), din interiorul ei, este tqi d/d ΣΣ −= . Deşi această relaţie se poate deduce din altele mai generale, s-a convenit totuşi să i se atribuie denumirea de lege, deoarece exprimă o legătură importantă între o mărime care produce câmp magnetic ( Σi ) şi una care produce câmp electric ( Σq ). Ea poartă denumirea de legea de conservare a sarcinii electrice. Enunţul legii: „Intensitatea curentului electric de conducţie Σi , care iese dintr-o suprafaţă închisă Σ, este egală cu viteza de scădere a sarcinii electrice

Σq , din interiorul acelei suprafeţei”. Forma integrală a legii este

t

qid

d ΣΣ −= (7.40)


sau forma integrală dezvoltată

∫∫∫∫∫ΣΣ

ρ−=⋅D

v ddd vt

dAJ .

În regim electrostatic (i = 0), legea de conservare ia forma constq =Σ . Folosind formula derivatei în raport cu timpul a integralei de volum a câmpului de scalari λ

( )∫∫∫∫∫∫ΣΣ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ λ+

∂λ∂

=λDD

ddivddd v

tv

tv

şi teorema Gauss–Ostrogradsky, se poate scrie

dAvdAJ ⋅ρ−∂ρ∂

−=⋅ ∫∫∫ ∫∫∫∫Σ ΣΣ D

vv d vt

.

Notând vJ vρ=v , rezultă

( ) ∫∫∫∫∫ΣΣ ∂

ρ∂−=⋅+

D

v d vtv dAJJ . (7.41)

În plus, notând

∫∫Σ

Σ ⋅= dAJvvi şi ∫∫Σ

Σ ⋅= dAJi ,

se obţine

∫∫∫Σ

ΣΣ ∂ρ∂

−=+D

v d vt

ii v . (7.42)

Forme locale ale legii Deoarece formula (7.41) este valabilă pentru orice suprafaţă închisă Σ, după ce se aplică din nou teorema Gauss–Ostrogradsky, se obţine egalitatea integranzilor:

( )tv ∂

ρ∂−=+ vdiv JJ . (7.43)

Pentru


tv ∂ρ∂

−=⇒= vdiv0 JJ .

În vecinătatea unei suprafeţe de discontinuitate, încărcate cu o densitate de suprafaţă sρ a sarcinii electrice, se consideră o suprafaţă paralelipipedică (Σ12), foarte mică (figura 7.15), care delimitează suprafaţa elementară de arie ΔA. Aplicând formula (7.41) se obţine

( ) ( ) Atvv Δ

∂ρ∂

−=⋅++⋅+ s222111 ΔAJJΔAJJ

sau, cu AΔ−= 121 nΔA şi AΔ= 122 nΔA ,

( ) ( )[ ]tvv ∂

ρ∂−=+−+⋅ s

112212 JJJJn ,

rezultând

( )tv ∂

ρ∂−=+ s

sdiv JJ . (7.44)

În cazul în care există numai un curent de conducţie ( 0=vJ ), şi regimul

este staţionar ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≡

∂∂ 0t

, sau, dacă 0s =ρ , relaţia (7.44) devine

( ) 0div 1212s =−⋅= JJnJ .

Astfel, se justifică conservarea componentei normale a densităţii curentului de conducţie,

n2n1 JJ = . (7.45)

Dacă mediul al doilea este neconductor, 0n22 == JJ , 0n2n1 == JJ şi deci, tJJ ≡

impunâdu-se concluzia că, la suprafaţa de separaţie dintre conductor şi exteriorul său, densitatea de curent este tangenţială la suprafaţă. Pe de altă parte, conform legii lui Ohm (7.29) câmpul electric ( )JE ρ= este de

12

d g s n12

A2

A1

J2 + Jv2

J1 + Jv1

1

2

Fig. 7.15

tJJ ≡


asemenea tangent la suprafaţă. Cum însă la suprafaţa de separaţie componenta tangenţială a câmpului se conservă (în absenţa unei pânze de flux magnetic variabil în timp), rezultă că, în exterior, liniile de câmp electric trebuie să fie înclinate faţă de conductor, pentru a asigura conservarea componentei tangenţiale a câmpului electric (figura 7.16). În regim staţionar, în absenţa unui curent electric de convecţie, este valabilă relaţia globală 0=Σi , respectiv relaţia locală 0div =J (obţinute prin particularizarea expresiilor (7.40) şi (7.43)). Acestea reprezintă transpuneri matematice ale teoremei continuităţii liniilor de curent, care afirmă: „În regim staţionar, curentul electric de conducţie, care traversează o suprafaţă închisă, este nul”. Drept consecinţă a acestei teoreme se poate aminti conservarea fluxului vectorului J, pentru orice secţiune transversală a unui conductor filiform, ceea ce permite definirea conceptului de tub de flux, asemănător situaţiei prezentate în paragraful 6.1. pentru fluxul câmpului electric. O altă consecinţă este imposibilitatea existenţei unor linii de curent deschise, întrucât curentul de conducţie se stabileşte numai de-a lungul unor contururi închise. Tot o consecinţă a acestei teoreme poate fi considerată şi conservarea componentei normale a densităţii de curent, la suprafaţa de trecere dintre două medii, fapt ce implică orientarea tangenţială a densităţii de curent, la suprafaţa unui conductor.

Ecuaţiile lui Poisson şi Laplace

În acord cu teoria ecuaţiilor lui Poisson şi Laplace, prezentată în paragraful 5.4., avem:

Ediv−=ΔV ,

în care, conform legii lui Ohm,

( )i1 JJE −σ

= şi ii EJ σ= ,

iE fiind câmpul electric imprimat. Înlocuind vectorul câmp electric (E) în ecuaţia lui Poisson se obţine

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

σ⋅−+−

σ−=−=Δ

1graddiv1div ii JJJJEV .

Ţinând cont de relaţiile


Vgradi σ−=σ=− EJJ , 0div =J şi σσ

−=σ

grad11grad 2

ecuaţia devine

VV gradgraddiv1i σ

σ−

σ=Δ J .

Dacă mediul conductor este omogen ( const.=σ ), rezultă

idiv1 Jσ

=ΔV .

În absenţa câmpului imprimat, şi deci a densităţii de curent imprimat ( 0i =J ), este valabilă ecuaţia lui Laplace:

0=ΔV .

Analogia câmpului electrocinetic cu câmpul electrostatic

În figura 7.17,a este reprezentat câmpul electrostatic, produs de n conductoare încărcate cu sarcinile q1, q2, … , qk, … , qn, situate într-un mediu omogen de permitivitate ε. În figura 7.17,b, este ilustrat câmpul electrocinetic staţionar dintre n conductoare perfecte alimentate cu curenţi electrici de conducţie de intensităţi i1, i2, … , ik, … , in, situate într-un mediu omogen şi conductor, de conductivitate σ. Se dispun pe două coloane alăturate ecuaţiile formal asemănătoare ale câmpului electrostatic şi electrocinetic staţionar:


Câmp electrostatic Câmp electrocinetic staţionar

pPED +ε= → iJEJ +σ=

∫∫Σ

Σ=⋅ qdAD → ∫∫Σ

Σ=⋅ idAJ

UqC = ;

gAC ε

= →UiG = ;

gAG σ

=

( ) ( )( )3113

211201101

VVCVVCVVCq

−++−+−=

→ ( ) ( )

( )3113

211201101

VVGVVGVVGi

−++−+−=

Comparând ecuaţiile, rezultă următoarele corespondenţe:

D ↔ J, Pp ↔ Ji, C ↔ G, U ↔ U,

ε ↔ σ, q ↔ i, E ↔ E.

Aplicaţie. Cunoscând capacitatea dintre două fire paralele de lungimi l, de diametre 2a, având axele situate la distanţa D, situate într-un mediu omogen de

permitivitate ε,

aDlC

ln

επ= , rezultă, prin analogie, conductanţa şi rezistenţa

electrică dintre fire, situate într-un mediu omogen de conductivitate σ:

aDlG

ln

σπ= şi

laD

Rσπ

=ln

.

De asemenea, prin această analogie, se poate enunţa teorema refracţiei liniilor de curent: La suprafaţa de separaţie dintre două medii conductoare, omogene şi izotrope, liniile de curent se refractă, astfel încât raportul tangentelor unghiurilor, formate de acestea cu normala la suprafaţa de separaţie, să fie egal cu raportul corespunzător al conductivităţilor celor două medii”. Substituind în figura 5.2 inducţia electrică D cu densitatea de curent J, se va obţine


2

1

t22

t11

n2

t2

n1

t1

2

1tgtg

σσ

=σσ

==αα

EE

JJJJ

.

Forme speciale de conducţie electrică

Supraconductibilitatea Unele metale au proprietatea de a-şi pierde brusc rezistivitatea la temperaturi apropiate de zero absolut, devenind supraconductoare. Temperatura TC, la care are loc acest efect, se numeşte temperatură critică, şi variază de la un conductor la altul, fiind dependentă de câmpul magnetic exterior în care este introdus. Astfel, temperatura critică devine din ce în ce mai scăzută, pe măsură ce câmpul este mai intens. În figura 7.18 sunt trasate, la scări diferite ale ordonatei, variaţia rezistivităţii, la temperaturi mai mari decât TC (linia continuă), şi variaţia câmpului magnetic necesar deplasării spre stânga a

punctului critic, pentru temperaturi T < TC (linia întreruptă), conform expresiei

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

C10

TTHTH .

Dacă în absenţa câmpului magnetic, un conductor se află la o temperatură T < TC fiind supraconductor, în prezenţa acestui câmp, temperatura critică se deplasează spre stânga, temperatura conductorului este mai mare decât temperatura critică şi provoacă o creştere bruscă a rezistivităţii.

I I

Ic

Fig. 7.19

, H

(T)H(T)

TO TCT < TC

Fig. 7.18


Acest efect poate fi utilizat în electroenergetică, pentru întreruperea unor curenţi intenşi, fără a se utiliza întrerupătoare cu piese mobile, care la decuplări pot provoca arcuri electrice cu posibile efecte electrocalorice dăunătoare. În figura 7.19 este redată schema de principiu a acestui tip de întrerupătoare: curentul I care trebuie întrerupt, trece prin miezul feromagnetic al unei bobine alimentate cu un curent continuu Ic, care magnetizează miezul producând, la închiderea întrerupătorului, câmpul magnetic necesar creşterii bruşte a rezistivităţii şi deci întreruperea curentului. Conducţia în câmp magnetic (efectul Hall) Experienţa arată că sub acţiunea unui câmp magnetic, apar în procesul de conducţie efecte electrice transversale liniilor de curent. Acest efect se pune în evidenţă cu ajutorul aşa numitei plăcuţe Hall, prin care trece un curent de intensitate I în prezenţa unui câmp magnetic de inducţie B, normal la plăcuţă (figura 7.20). Admiţând că procesul de conducţie ar fi asigurat de particule microscopice încărcate cu sarcini electrice pozitive qm, care se deplasează în sensul curentului cu o viteză medie v~ , forţa magnetică ce acţionează asupra unei particule este dată de forţa lui Laplace (a se vedea subcapitolul 2.5)

BvF ×= ~mm q ,

orientată într-o direcţie perpendiculară pe direcţia curentului, cu sensul dat de produsul vectorial Bv ×~ . Sub acţiunea acestei forţe, se acumulează sarcini pozitive spre muchia la care este legată borna (1) şi sarcini negative spre muchia opusă, producând un câmp electric transversal Etr, opus câmpului electric imprimat Ei al forţelor neelectrice Fm:

BvBvFEE ×−=×

−=−=−= ~~

m

m

m

mitr q

qq

.

Exprimând viteza medie în funcţie de densitatea de curent din relaţia vJ ~

m Nq= , se obţine

v~


( )BJE ×−=Nqm

tr1 ,

unde N este numărul de particule din unitatea de volum. Tensiunea Hall care apare în direcţia transversală, între bornele (1) şi (2), se obţine prin integrare:

( )∫∫ ⋅×−=⋅=2

1m

2

1trH

1 dlBJdlENq

u .

Observând că vectorii BJ × şi dl sunt antiparaleli, produsul mixt ia valoarea ( ) lBJ d−=⋅× dlBJ . Efectuând calculul integralei, se obţine cu J = I /(a g),

( ) IBgNq

aBJNq

umm

H11

=−−= .

Raportul gNq

Km

H1

= se numeşte constanta Hall. Aşa cum se poate observa,

tensiunea Hall

IBKu HH =

este independentă de lăţimea a a plăcuţei.

7.10. Procese electrochimice. Specii de câmpuri electrice imprimate

7.10.1. Electroliza

Se numesc conductoare de specia a doua (electroliţi), conductoarele în care, la trecerea unui curent electric, se produc reacţii chimice. Dacă se dizolvă în apă o sare a unui metal, spre exemplu sarea de bucătărie, moleculele se disociază în ioni pozitivi de sodiu şi în ioni negativi de clor, indiferent dacă prin soluţie trece sau nu un curent electric. Fenomenul este cunoscut sub numele de disociere electrolitică. Dacă se introduce soluţia într-un vas prevăzut cu doi electrozi metalici conectaţi ca în figura 7.21 la o sursă de tensiune continuă, prin circuit se va stabili un curent, care dirijează ionii pozitivi de sodiu


în sensul curentului către electrodul negativ numit catod (ei fiind denumiţi, din aceasta cauză, cationi), iar ionii negativi de clor în sens contrar, către electrodul pozitiv, numit anod (purtând denumirea de anioni). Dispozitivul astfel realizat se numeşte electrolizor, voltametru, cuvă sau celulă electrolitică. Aşadar procesul descris mai sus, denumit electroliză şi descoperit de Faraday, constă în fenomenul de depunere sau degajare, la cel puţin un electrod, a unui element sau radical chimic, la trecerea unui curent electric de conducţie continuu printr-o celulă electrolitică. Înainte de a enunţa legea electrolizei, se vor trece în revistă câteva definiţii ale unor mărimi utilizate. În cele ce urmează se va folosi submultiplul unităţii SI pentru masă, şi anume gramul, întrucât exprimă mai comod cantităţile relativ reduse de substanţă implicate în procesele electrochimice. Masa atomică (absolută) reprezintă masa unui atom dintr-un element chimic. Aceasta are valori extrem de reduse cuprinse între 10–24 – 10–22 g/atom sau, exprimând masa în kilograme, 10–27 – 10–25 kg/atom. Masa atomică relativă este o mărime adimensională care indică de câte ori este cuprinsă unitatea atomică de masă, în masa atomică absolută a atomului unui element. Prin unitate atomica de masă (u.a.m.) se înţelege masa reprezentată de a 12-a parte a masei absolute a izotopului carbon-12, corespunzând unei valori apropiate de 1/16 din masa absolută a atomului de oxigen, şi având o valoare aproximativ egală cu masa absolută a protonului (neutronului). Similar, se defineşte masa moleculară relativă a moleculei unui compus chimic. Este de remarcat faptul ca unii autori desemnează, prin termenul de masă atomică, masa atomică relativă a atomului unui element chimic. Molul este unitatea de măsură fundamentală în SI pentru cantitatea de substanţă. Acesta reprezintă cantitatea de substanţă, a cărei masă exprimată în grame, este numeric egală cu masa relativă a particulei constitutive (atom, moleculă, ion). Ca definiţie echivalentă, un mol de atomi sau de molecule este cantitatea de substanţă (exprimată în grame) egală cu masa absolută a NA= 6,023·1023 particule constitutive. Noţiuni echivalente molului dintr-o substanţă, în funcţie de natura particulelor componente ale acesteia, sunt atom-gramul, molecula-gramul şi ion-gramul (sau atom-kilogramul etc., dacă se exprimă masa în kilograme). Numărul lui Avogadro (NA) o este constantă universală reprezentând numărul de particule (atomi, molecule, ioni) care se găsesc în 12 grame de izotopului carbon-12 sau numărul de particule constitutive ale unui mol din orice substanţă. Sarcina elementară (q0) este cea mai mică sarcină electrică a unei particule microscopice (sarcina electrică a protonului sau valoarea absolută a sarcinii electronului), q0 = 1,602·10 –19 C. Valenţa unui ion (ν) este numărul electronilor cu care un atom participă la realizarea legăturilor chimice cu alţi atomi; acest număr reflectă capacitatea atomilor de a realiza legături chimice.


Notând cu A masa corespunzătoare unui mol dintr-un element sau moleculă şi cu ν valenţa cu care acesta a realizat compusul a cărui electroliză se realizează, echivalentul chimic se defineşte prin raportul A/ ν, fiind, de obicei, exprimat în grame pe mol. Echivalentul electrochimic k = m /q [g/C sau kg/C] este raportul dintre masa depusă la unul din electrozi în timpul procesului de electroliză şi sarcina electrică totală transportată în decursul acestui proces. Legea electrolizei, în forma care va fi enunţată, cuprinde de fapt două legi stabilite de Faraday. Prima se referă la proporţionalitatea masei depuse pe un electrod cu sarcina electrică transportată pentru acumularea acesteia, iar a doua postulează proporţionalitatea, dată de o constantă universală, dintre echivalentul electrochimic şi echivalentul chimic. Aşadar, „masa m dintr-o substanţă depusă al un electrod al unei celule electrolitice, în intervalul de timp Δt, este proporţională cu sarcina q transportată şi cu echivalentul chimic (A/ ν) al acelei substanţe.” Expresia matematică este:

∫ν=

ν= 2

100d11 t

ttiA

FqA

Fm . (7.46)

În această formulă, ttt Δ=− 12 , i este intensitatea curentului care străbate celula electrolitică, F0 = NA q0 este o constantă universală (independentă de natura electrolitului), numită constanta lui Faraday. Aceasta reprezintă cantitatea de sarcină electrică transportată de un ion-gram (ion-kilogram) al unui element monovalent, fiind egală cu produsul numărului lui Avogadro şi al sarcinii elementare. Numeric, se obţine gram-C/ion964900 ≅F ( kilogram-C/ion1096490 3

0 ⋅≅F ). Din (7.46) rezultă expresia echivalentului electrochimic, ca raportul echivalentului chimic şi al constantei lui Faraday,

0

/F

Ak ν=

Justificare microscopică a legii. Sarcina electrică transportată de un ion al substanţei depuse este νq0 , iar cea transportată de un ion-gram (mol) este de NA ori mai mare, adică NAνq0. Sarcina transportată de cele m /A ion-grame (moli) (corespunzătoare masei totale m, depuse în timpul electrolizei) va fi evident,

( ) 0A/ qNAmq ν= , rezultând (7.46) După cum s-a văzut,

iktmtikqkmqkm =⇒==⇒=

ddddd . (7.47)


Această expresie permite reformularea enunţului legii: „Viteza de depunere pe un electrod al unei celule electrolitice a masei unei substanţe chimice este proporţională cu intensitatea curentului ce străbate acea celulă, factorul de proporţionalitate fiind echivalentul electrochimic al substanţei depuse”. Integrala intensităţii curentului, efectuată în timp, conform relaţiei (7.46) este necesară, pentru a putea lua în calcul situaţia în care acesta prezintă variaţii în decursul procesului de electroliză. Pentru i = const., relaţia se poate scrie

( )120

ttiFAm −

ν= . (7.48)

7.10.2. Specii de câmpuri electrice imprimate

Relaţiile de definiţie ale câmpului electric imprimat (7.2) şi (7.4) au fost justificate pe baza efectelor mecanice de accelerare a microparticulelor. Accelerarea conductoarelor nu este singura împrejurare în care poate să apară un câmp electric imprimat. Experienţa arată că există o serie întreagă de condiţii fizico-chimice, care duc la separarea speciilor de microsarcini electrice şi la apariţia unor câmpuri imprimate. În cele ce urmează, vom prezenta o clasificare a acestor câmpuri, din punctul de vedere al acestor condiţii şi vom studia sub aspect calitativ separarea acestor microsarcini în fiecare caz în parte. Câmpurile electrice imprimate pot fi clasificate, după cum urmează: I. Câmpuri imprimate de volum, care la rândul lor pot fi: I.1. de acceleraţie I.2. termice I.3. de concentraţie II. Câmpuri imprimate de contact, care, de asemenea, pot fi: II.1. voltaice II.2. termice II.3. galvanice În cele ce urmează, se va prezenta schematic fiecare tip de câmp electric imprimat.

Câmpuri imprimate de volum.

I.1. Câmpuri imprimate de acceleraţie. Dacă se roteşte un disc conductor în jurul axei proprii, cu o viteză unghiulară ω, fluidul electronic va fi centrifugat spre extremitatea discului, unde acumularea electronilor va produce un exces de sarcini negative, faţă de cele pozitive. Ca urmare a deplasării electronilor spre


periferie, în centrul discului apare un exces al sarcinilor pozitive cu care este încărcată reţeaua ionică, fixă faţă de conductor. Câmpul electric imprimat este opus câmpului electric, orientat de la sarcinile pozitive spre cele negative, şi e orientat de la periferie spre centru, aşa cum se remarcă în figura 7.22. I.2. Câmpuri imprimate de natură termică. Spre exemplu, în situaţia în care se încălzeşte o bară conductoare la una din extremităţi, sub acţiunea diferenţei de temperatură, fluidul electronic se va deplasa spre regiunea opusă, în care temperatura este mai scăzută. Apare, astfel, o separare a sarcinilor electrice, ilustrată în figura 7.23, şi un câmp electric imprimat dirijat de la extremitatea cu temperatură mai mică, spre cea cu temperatură mai ridicată. I.3. Câmpuri imprimate de concentraţie. Dacă în cele două compartimente separate printr-un perete poros ale unui recipient (figura 7.24), se introduce într-unul acid clorhidric concentrat, iar în celălalt acid clorhidric diluat, are loc prin peretele poros, un transfer de ioni spre compartimentul în care acidul este mai diluat. Deoarece mobilitatea ionilor pozitivi de hidrogen este mai mare decât cea a ionilor negativi de clor, rezultă în compartimentul cu acid concentrat un exces al sarcinilor negative, faţă de cele pozitive, în timp ce în celălalt compartiment se înregistrează un exces al sarcinilor pozitive, faţă de cele negative. În cele două compartimente ia naştere un câmp electric imprimat, dirijat dinspre regiunea cu concentraţia ridicată spre cea de concentraţia slabă.


II.1. Câmpuri imprimate voltaice. Punând în contact două metale distincte (notate 1 şi 2 în figura 7.25,a), aflate la aceeaşi temperatură, are loc sub acţiunea agitaţiei termice diferite o trecere „inegală” a electronilor dintr-un metal în celălalt, faţă de trecerea lor în sens invers. Aceasta are ca efect o separare de sarcini pe cele două feţe ale suprafeţei de contact, ceea ce dă naştere unui câmp imprimat dirijat ca în figura 7.5,b. Legea câmpurilor imprimate voltaice (figura 7.26): „Pentru o succesiune de conductoare metalice diferite (aflate în contact la aceeaşi temperatură şi nesupuse altor acţiuni fizice externe) ce formează un contur închis, tensiunea electromotoare a câmpurilor imprimate voltaice calculată în lungul acestui contur este nulă”. Legea are expresia matematică:

0i =⋅∫Γ

dlE . (7.49)

Legea care decurge din cel de-al doilea principiu al termodinamicii, exprimă imposibilitatea producerii de lucru mecanic în procesele ciclice, în care este prezentă o singură sursă de temperatură constantă. Pentru ca integrala (7.49) să fie diferită de zero (deci pentru a putea exista tensiune electromotoare într-un astfel de circuit) este necesar să fie îndeplinită una din următoarele condiţii:

• intercalarea în circuit a unui conductor de specia a doua (a unui electrolit)

• realizarea unor temperaturi diferite în lungul circuitului • realizarea unor acţiuni fizice externe (de exemplu, iradierea cu lumină).

II.2. Câmpuri imprimate termice de contact (figura 7.27). Se foloseşte una din condiţiile amintite mai sus pentru obţinerea unei tensiuni electromotoare într-un circuit voltaic, fapt care duce la apariţia unui curent electric de conducţie, şi anume, realizarea unor temperaturi diferite în lungul circuitului. În acest caz,


integrala din membrul întâi al relaţiei (7.49) este diferită de zero şi egală cu

( ) ( )biaii TeTe −=⋅∫Γ

dlE ,

unde ( ) ( ) dlE∫Γ

⋅= aiai TTe şi ( ) ( ) dlE ⋅= ∫Γ

bibi TTe sunt tensiunile electromotoare

ale câmpurilor imprimate, de intensităţi diferite din dreptul celor două zone de contact. Diferenţa ( ) ( )biai TeTe − este cu atât mai mare, cu cât diferenţa temperaturilor Ta şi Tb este mai pronunţată. II.3. Câmpuri imprimate de contact galvanice. În acest caz, pentru a obţine un curent electric, se foloseşte o altă condiţie dintre cele amintite mai sus, şi anume intercalarea unor conductoare de specia a doua. Pentru ca efectul să fie cât mai pronunţat, se realizează circuitul din figura 7.28,a, în care apar două compartimente separate printr-un perete poros. În compartimentul 1 se află un electrod de cupru, introdus într-o soluţie concentrată de sulfat de cupru, iar în compartimentul 2 un electrod de zinc, introdus într-o soluţie diluată de sulfat de zinc. Reamintind că prin presiune osmotică se înţelege tendinţa ionilor pozitivi de a trece din electrolit în electrod, iar prin presiunea de dizolvare, tendinţa ionilor pozitivi de a trece din electrod în electrolit. În compartimentul 1 unde presiunea osmotică este mai mare decât presiunea de dizolvare, ionii pozitivi de cupru trec din electrolit în electrod, în timp ce compartimentul 2, ionii pozitivi de zinc trec din electrod în electrolit, datorită faptului că aici, presiunea de dizolvare este mai mare decât presiunea osmotică. În acest fel, pe cele două suprafeţe de separaţie dintre electrozi şi electroliţi, se produc separări de sarcini, care dau naştere unor câmpuri electrice imprimate de contact, orientate în acelaşi

(b)

Cu Zn

EiEi1 2

CuSO4concentr.

CuSO4diluat

receptor

Cu Zn

(a)Fig. 7.28


sens (figura 7.28,b). Sensul curentului din circuit este dat de sensul de deplasare a ionilor pozitivi din interiorul recipientului. În paragraful care urmează se vor descrie câteva aplicaţii ale câmpurilor electrice imprimate de contact galvanice.

7.10.3. Pile şi acumulatoare

Funcţionarea surselor chimice de tensiune se bazează pe apariţia unui câmp electric imprimat de contact de natură galvanică, între un electrolit şi un electrod imersat în acesta. Se numesc pile electrice sursele chimice de tensiune caracterizate printr-o transformare ireversibilă a energiei chimice în energie electrică şi acumulatoare, sursele chimice caracterizate prin transformări

reversibile, adică este posibilă şi transformarea din energie electrică în energie chimică. În cele ce urmează, vom descrie principiul de funcţionare a două pile, precum şi cel al acumulatoarelor cu plumb. Pila Volta se compune din doi electrozi, unul de cupru şi celălalt de zinc cufundaţi într-o soluţie de acid sulfuric (figura 7.29). Conectând la bornele un receptor, prin acesta va trece un curent continuu, de la electrodul de cupru la cel de zinc. Ionii rezultaţi din disocierea acidului sulfuric se deplasează spre electrozi astfel: ionii pozitivi de hidrogen se îndreaptă spre electrodul de cupru, iar ionii negativi ai radicalului sulfat în sens invers, spre electrodul de zinc. Hidrogenul însă se depune sub forma unei pelicule subţiri în jurul electrodului de cupru, împiedecând procesul normal de conducţie. Se spune că electrodul se polarizează. Tensiunea electromotoare a pilei Volta variază între 0,85 V şi 0,9 V. O variantă îmbunătăţită a acestei pile, care urmăreşte înlăturarea fenomenului de polarizare, este descrisă în cele ce urmează.


Pila Daniell diferă de pila Volta prin faptul că electrodul de cupru nu este introdus direct în baia de acid sulfuric, ci împreună cu un recipient cu pereţii poroşi, în care electrodul este introdus, şi în care se află o soluţie concentrată de sulfat de cupru (figura 7.30). Ionii pozitivi de hidrogen, care pătrund prin peretele poros în recipientul central, intră în reacţie cu sulfatul de cupru împiedecând polarizarea electrodului de cupru:

CuSO4 + 2 H+ = H2SO4 + Cu.

În compartimentul exterior, electrodul de zinc (în formă de cilindru coaxial cu electrodul de cupru) intră în reacţie cu acidul sulfuric:

H2SO4 + Zn = ZnSO4 + 2 H+.

Tensiunea electromotoare a pilei este 1,07 V, iar rezistenţa ei internă este 7 Ω. Acumulatorul cu plumb, în formele sale constructive cel mai des întâlnite în practică (de exemplu varianta ce echipează autovehiculele), este format din mai multe celule conectate în serie, întreaga structură având accesibile două borne de conexiune. O celulă este alcătuită din doi electrozi de plumb, în formă de grilă, acoperiţi iniţial cu paste de oxizi de plumb (miniu Pb3O4 şi litargă PbO), introduşi într-un recipient cu o soluţie diluată de acid sulfuric. Recipientul trebuie să reziste la acţiunea acidului, fiind realizat din sticlă, ebonită, polipropilenă etc. Înainte de utilizare, are loc operaţia de formare, care constă în trecerea prin acumulator a unui curent continuu, în urma căruia, electrozii se transformă, astfel încât cel legat la borna pozitivă se acoperă cu PbO2 devenind

receptori

H2SO4+H2O

2H+

CuSO4 concentrat

Zn

SO4- -

Zn Cu

Fig. 7.30


de culoare cafenie, în timp ce electrodul legat la borna negativă se acoperă cu un strat cenuşiu de plumb spongios (figura 7.31). Prezentăm mai jos reacţiile care au loc la anod şi la catod în timpul procesului de descărcare, respectiv în timpul celui de încărcare a acumulatorului, ştiind că disocierea electrolitică a acidului are loc astfel: H2SO4→ H++ −

4HSO . La descărcare, se conectează electrozii la bornele consumatorului, având loc reacţiile:

• la anod:

PbO2 + 3 H++ −4HSO +2 e– = PbSO4 + 2 H2O

• la catod:

Pb + −4HSO = PbSO4 + H+ + 2 e–.

Reacţia globală se poate scrie:

Pb + PbO2 + 2 H2SO4 = 2 PbSO4+ 2 H2O.

Se observă că la sfârşitul procesului de descărcare ambii electrozi sunt acoperiţi cu un strat de sulfat de plumb, iar apa care rezultă din reacţie diluează acidul sulfuric.

2H+

SO4- -

H2SO4diluat

PbSO4

i

i

PbSO4

e

(b)

Încărcare

(a)

2H+

SO4- -

H2SO4

PbO2Pb

spongios

i

iDescărcare

receptor

Fig. 7.31


La încărcare, se conectează electrozii la o sursă de tensiune continuă, inversându-se, atât sensul reacţiilor chimice de la anod şi catod, cât şi cel al reacţiei globale. La sfârşitul procesului de încărcare electrozii rămân acoperiţi, anodul cu PbO2, iar catodul cu plumb spongios. De asemenea, acidul sulfuric devine mai concentrat, deoarece la ambii electrozi, se formează în urma reacţiilor, H2SO4, consumându-se apă. Tensiunea electromotoare este de 2,2 V; când scade sub 1,8 V, procesul de descărcare trebuie oprit, deoarece în caz contrar, reacţiile devin ireversibile. Caracteristicile principale ale acumulatoarelor cu plumb sunt următoarele: – capacitatea (în amperore), curentul maxim admisibil, randamentul η = Wdesc / Wîncărc, care variază între 0,7 – 0,8, şi randamentul de sarcină ηsarc = qdesc / qîncărc, care variază între 0,8 – 0,9.

155

8. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR. TENSIUNEA, POTENŢIALUL ŞI FLUXUL

Experienţa arată că un câmp magnetic poate fi produs de:

• conductoare parcurse de curenţi de conducţie, • corpuri încărcate cu sarcini electrice aflate în mişcare, • corpuri magnetizate, • câmpuri electrice variabile în timp sau • eventuale combinaţii ale surselor menţionate mai sus.

În acest capitol se prezintă următoarele mărimi: câmpul şi inducţia magnetică în vid, tensiunea, fluxul şi potenţialul magnetic scalar şi vector, ai curenţilor de conducţie staţionari.

8.1. Câmpul magnetic al unui conductor filiform, rectiliniu, infinit, parcurs de curent de conducţie

Considerăm o porţiune de lungime l a două conductoare filiforme, paralele, foarte lungi, străbătute în acelaşi sens de curenţi de conducţie având intensităţile i şi i* (figura 8.1). Deoarece conductoarele sunt foarte lungi, nu au loc efecte de margine pe porţiunea considerată, de lungime l, iar câmpul

magnetic este independent de coordonata z, omoparalelă cu firele ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

∂∂ 0z

.

Asupra conductorului din dreapta, situat în câmpul magnetic al curentului i, care

străbate conductorul din stânga, acţionează forţa lui Laplace (7.10):

Bv

i i*

ul

utu12

a

z

O

F*

1 2

d r

l

Fig. 8.1

156 8. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR

∫ ×=×= v*

v** d BlBrF ii , (8.1)

unde Bv este inducţia creată de curentul din primul conductor, în dreptul celui de al doilea, iar lul l= este un segment orientat omoparalel cu rd . Ştiind că forţa lui Ampère (7.26) *F este situată în planul celor două conductoare, fiind orientată dinspre conductorul 2 spre conductorul 1, rezultă din (8.1) sensul inducţiei Bv –perpendicular pe plan şi orientat în jos. Egalând forţele Laplace şi Ampère se poate scrie,

12

*0

v* 2

4μ uBl l

aiii

π−=× .

Înmulţind vectorial această egalitate cu versorul ul , având direcţia în lungul conductorului 2 şi sensul dat de curent, se obţine

( ) ( )l120

lv2

4uuuBl ×

πμ

−=×× lai

sau, cu

tl12 uuu =×− ,

( ) t0

vl2

4ulBu l

ai

πμ

=×× .

Dezvoltând dublul produs vectorial, se obţine

( ) ( ) t0

vllv2

4uBulluB l

ai

πμ

=⋅−⋅ .

Rezultă, cu l=⋅ lul şi 0vl =⋅ Bu ,

t0

v 2uB

ai

πμ

= (8.2)

sau, în modul,

aiB

πμ

=2

0v . (8.3)

Liniile de câmp ale acestei inducţii fiind tangente la versorul tangenţial ut, au forma unor cercuri concentrice cu conductorul rectiliniu străbătut de curent, iar sensul lor se asociază cu sensul curentului după regula burghiului drept, aşa

8. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR 157

cum se poate observa în figura 8.2, pentru un sens al curentului ce intră în planul figurii, respectiv în figura 8.3, pentru un curent ce iese din planul acesteia.

8.2. Superpoziţia în vid a inducţiilor magnetice

Pentru a demonstra superpoziţia inducţiilor magnetice în vid, se consideră n conductoare, foarte lungi, subţiri, paralele, străbătute de curenţii de conducţie staţionari i1, i2, … , ik, … , in, care produc un câmp magnetic rezultant plan-paralel. Paralel cu conductoarele, se plasează un conductor auxiliar, de asemenea foarte lung, subţire, paralel cu cele n conductoare, ce este parcurs de un curent de conducţie i* (figura 8.4). Forţa rezultantă, notată cu F*, care acţionează pe o porţiune de lungime l a conductorului auxiliar, se exprimă cu ajutorul superpoziţiei:

***2

*1

*nk FFFFF +++++= KK ,

unde *kF este forţa care acţionează asupra conductorului auxiliar în cazul 0≠ki

şi i1 = i2 = … =in (forţa produsă de un singur conductor, cel parcurs de curentul ik). Exprimând forţele cu ajutorul forţei lui Laplace obţinem


nk iiiii v*

v*

v2*

v1*

v* BlBlBlBlBl ×+×+×+×=× KK

sau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=× ∑

=

n

kk

1vv BlBl .

Efectuând produsul vectorial al ambilor membri ai relaţiei cu versorul axial ul, se obţine, efectuând dublul produs vectorial,

( ) ( ) ( )luBBulluBBul ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅−⋅ ∑∑

==l

1v

1vllvvl

n

kk

n

kk .

Deoarece ul este perpendicular, atât pe Bv, cât şi pe ∑=

n

kk

1vB , produsul scalar al

versorului ul cu aceste câmpuri este nul. Pe de altă parte, ul şi l fiind omoparaleli, produsul lor scalar este dat de relaţia l=⋅ lul . Simplificând cu l rezultă,

∑=

=n

kk

1vv BB , (8.4)

superpoziţie care se menţine şi în cazul unor curenţi nestaţionari, cu condiţia ca aceştia să parcurgă conductoare aflate într-un mediu liniar. Ca aplicaţie a


superpoziţiei inducţiilor magnetice, în figurile 8.5, 8.6 şi 8.7 se reprezintă inducţiile proprii şi apoi cele rezultante, pentru următoarele cazuri:

• inducţia magnetică a două conductoare filiforme paralele, parcurse de curenţi, egali şi de acelaşi sens

• inducţia magnetică a două conductoare filiforme paralele, parcurse de curenţi, egali şi de sensuri opuse

• inducţia magnetică rezultantă, după introducerea unui conductor filiform străbătut de un curent perpendicular pe liniile unui câmp magnetic omogen.

În ultimul caz, se constată că forţa care acţionează asupra conductorului este orientată în direcţia în care câmpul magnetic rezultant este mai slab.

8.3. Teorema Biot – Savart – Laplace

Această teoremă generalizează calculul analitic al inducţiei magnetice datorate unor conductoare filiforme, rectilinii, parcurse de curent electric de conducţie, pentru cazul unor conductoare ce formează contururi închise de formă oarecare. În cele ce urmează, se redă o demonstraţie mai amplă, propusă de academicianul Alexandru Timotin. Se consideră o spiră filiformă, ce poate fi asimilată unei curbe închise Γ, situată în vid, parcursă de un curent de intensitate i, şi un punct P, în care urmează să se determine inducţia magnetică a curentului din spiră (figura 8.8,a).

B

Fii

Fig. 8.7

P′


Ideea demonstraţiei constă în substituirea acestei structurii, cu o alta, echivalentă din punctul de vedere al inducţiei magnetice produse în punctul de calcul P, şi care facilitează efectuarea calculului acestei mărimi. Se imaginează partiţionarea spirei în tronsoane de lungime elementară, fapt realizat cu ajutorul unui fascicul de drepte concurente în punctul P (asemenea generatoarelor unui con), care intersectează curba Γ, delimitând astfel tronsoanele. Întrucât secţionarea spirei ar face imposibilă circulaţia unui curent de conducţie, segmentele rezultate din partiţionarea spirei sunt integrate fiecare unui circuit filiform, care se închide la infinit, cu ajutorul a două semidrepte conductoare, aflate în prelungirea generatoarelor de la cele două capete ale fiecărui segment, formând astfel un conductor unghiular teşit, situaţie ilustrată în figura 8.8,b. Toate circuitele obţinute sunt parcurse de acelaşi curent i, de aşa manieră, încât segmentele elementare rezultate prin partiţionarea spirei să fie parcurse curent în sensul anterior operaţiunii, reconstituind practic situaţia iniţială (dacă se face abstracţie de efectul de capăt, de la extremităţile fiecărui segment). În plus, oricare două conductoare rectilinii alăturate, presupuse practic suprapuse, sunt parcurse de curenţi egali şi opuşi, astfel încât contribuţiile lor sunt nule din punctul de vedere al inducţiilor magnetice produse. Singurele tronsoane elementare care nu-şi compensează efectele, sunt cele situate pe conturul Γ, ceea ce înseamnă că, de fapt, configuraţiile curenţilor din figurile 8.8,a şi b sunt echivalente. Prin urmare, inducţia rezultantă în punctul P se obţine prin superpoziţia inducţiilor corespunzătoare fiecărui conductor unghiular teşit (d Bv), ceea ce se exprimă prin relaţia

∫Γ

= vv d BB .

Pentru determinarea inducţiilor magnetice elementare este necesară în prealabil determinarea inducţiei unui conductor filiform unghiular ascuţit, de deschidere 2α, parcurs de curentul i, într-un punct P situat pe bisectoarea unghiului, aşa cum se poate observa în figura 8.9,a. De asemenea, tot în baza


teoremei superpoziţiei, se poate observa că structura formată din două conductoare unghiulare, de deschidere α, parcurse de acelaşi curent i, formând configuraţia din figura 8.9,b, este echivalentă, din punct de vedere al inducţiilor create în punctul P, cu configuraţia din figura 8.9,a. Această echivalenţă are loc deoarece curenţii din laturile infinit apropiate din figura 8.9,b îşi compensează reciproc efectele, fiind egali şi de sens contrar. Experienţa arată că modulul inducţiei *

vB , în punctul P, este direct proporţional cu curentul i, cu tangenta unghiului α şi invers proporţional cu distanţa R dintre vârful unghiului şi punctul P, conform formulei:

( )2

tgP*v

α=

RikB . (8.5)

Constanta de proporţionalitate k se determină identificând expresia inducţiei unui fir rectiliniu, foarte lung, străbătut de curentul i, cu ceea ce rezultă prin particularizarea formulei (8.5), pentru α = π /2. Se obţine πμ= 2/0k şi deci

( )2

tg2

P 0*v

απ

μ=

RiB . (8.6)

Pentru determinarea inducţiei magnetice a conductorului filiform unghiular teşit, parcurs de curent, este necesară în prealabil determinarea inducţiei unui conductor unghiular ascuţit de măsură α, parcurs de curent, având una dintre laturi coliniară punctului P. În mod evident, inducţia corespunzătoare acestui conductor este jumătate din inducţia dată de formula (8.6), deoarece acesta corespunde structurii din figura 8.9,b, formate din două conductoare unghiulare de deschidere α

( )2

tg4

P 0v

απ

μ=

RiB . (8.7)

Inducţia elementară a unghiului teşit străbătut de curentul i se obţine din superpoziţia inducţiilor a două unghiuri ascuţite de deschideri α şi α + d α , dispuse ca în figura 8.10, şi străbătute de curenţi egali şi de semn contrar:

( ) ( ) α′=α−α+α= ddd vvvv BBBB , (8.8)

+d

idl'

i

i

i

d Bv

R

A

C

Bd

d0

Fig. 8.10


unde simbolul prim semnifică derivata în raport cu unghiul α. Pe de altă parte, deoarece

α

α−=

αsincos1

2tg şi α= sin0 Rd , rezultă

( ) ( )α−π

μ= cos1

4P

0

0v d

iB .

Derivând şi observând că d0 este independent de variaţia lui α, aşa cum se poate remarca în figura 8.10, se obţine

Ri

diB

πμ

=απμ

=′4

sin4

0

0

0v .

Înlocuind în formula (8.8) rezultă inducţia magnetică elementară a unghiului teşit:

απ

μ= d

4d 0

v RiB . (8.9)

Unghiul d α rezultă din teorema sinusului aplicată triunghiului ABC:

( )απ=

α′

-sindd Rl , de unde

Rl α′

=αsindd .

Înlocuind în (8.9), se obţine modulul inducţiei magnetice elementare

30

vsind

4d

RRliB α′

πμ

=

sau, vectorial,

30

v 4d

Ri RldB ×′

πμ

= . (8.10)

Aplicând principiul superpoziţiei, se sumează contribuţiile tuturor conductoarelor filiforme teşite, corespunzătoare curbei închise Γ, obţinându-se formula corespunzătoare teoremei Biot – Savart – Laplace:

( ) ∫Γ

×′π

= 30

v 4μP

Ri RldB , (8.11)


Simbolul prim scoate în evidenţă faptul că elementul de linie ld ′ , al unui tronson elementar al curbei Γ, este sediul unei surse de câmp electromagnetic, şi anume curentul electric de conducţie i.

Observaţii

1. Formula (8.11) este valabilă numai pentru curbe închise, inclusiv pentru cele care se închid pe la infinit. Într-adevăr, folosind „descompunerea” spirei Γ, parcurse de curentul i, în conductoare unghiulare teşite (figura 8.11), se observă că pentru o curbă deschisă C, curentul unei laturi aparţinând primului element constitutiv, respectiv cel al unei laturi componente a ultimului element, nefiind infinit apropiaţi, nu îşi mai compensează efectele, iar descompunerea nu mai este justificată. Această constatare este în concordanţă cu realitatea fizică, potrivit căreia un curent electric de conducţie nu poate circula, decât în conductoare formând contururi închise. 2. Formula (8.10) nu corespunde unei realităţi fizice, fiind doar o formulă de calcul. Într-adevăr, fie două elemente de linie 1ld ′ şi 2ld ′ , străbătute de curenţii i1 şi i2, elemente care presupunem că ar putea forma un sistem fizic izolat (figura 8.12). Fiecare element străbătut de curent se află în câmpul magnetic al celuilalt, astfel încât, în conformitate cu forţa lui Laplace

vd BdlF ×= i

asupra lor acţionează forţele elementare 1d F şi 2d F , cu orientările oarecare din figură. Rezultă 0dd 21 ≠+ FF , în contradicţie cu echilibrul forţelor care ar trebui să existe în cadrul unui sistem fizic izolat.

Fig. 8.11

i

P

i

i

C

d F1

d Bv1

d Bv2

d F2

11 ld ′i

22 ld ′i

Fig. 8.12


8.4. Inducţia magnetică a unor repartiţii de curent

8.4.1. Inducţia magnetică a unei pânze de curent

Se consideră suprafaţa S din figura 8.13, plasată în vid, parcursă de un curent electric de conducţie, repartizat superficial, având densitatea de curent Jl.

Configuraţia descrisă poartă denumirea de pânză de curent. Pentru calculul inducţiei magnetice într-un punct P exterior suprafeţei, cu ajutorul teoremei Biot – Savart – Laplace, se consideră o suprafaţă elementară, foarte îngustă de lăţime g′d , trasată în lungul liniilor de curent, având deci forma unei curbe închise Γ.

Inducţia magnetică a curentului elementar d i, corespunzătoare suprafeţei elementare foarte înguste considerate, pe care o putem asimila unei curbe închise, se obţine cu ajutorul formulei Biot – Savart –Laplace:

∫∫ΓΓ

×′⋅π

=×′

π= 3

03

0v

d4μ

4dμd

Ri

Ri RldRldB ,

Deoarece id este constant de-a lungul elementului de arie, acesta a fost introdus în expresia integrandului integralei de linie. Inducţia rezultantă se obţine integrând de-a lungul curbei deschise C, traversată de toţi curenţii elementari de intensitate gJi ′= dd l (cu notaţiile din figura 8.13):

( ) lgRR

gJ ′′×π

=×′⋅′

π= ∫ ∫∫ ∫

ΓΓ

dd4μd

4μP

C3

l0

C3

l0v

RJRldB ,

unde s-a folosit faptul că vectorii Jl şi ld ′ fiind omoparaleli, s-a înlocuit produsul ld ′lJ cu produsul l′dlJ , observând că elementul de arie al suprafeţei S este Alg ′=′′ ddd . Integrala dublă privind curbele Γ şi C corespunde tuturor suprafeţelor elementare în care se poate descompune suprafaţa S a pânzei, ceea ce permite folosirea unei integrale de suprafaţă pentru determinarea inducţiei magnetice:

l′d

g′d


( ) ∫∫ ′×π

=S

3l0

v d4μP A

RRJB (8.12)

8.4.2. Inducţia magnetică a curenţilor unui conductor masiv

Din consideraţii similare cu cele prezentate mai sus, inducţia magnetică în vid a curenţilor repartizaţi cu o densitate de curent J, în interiorul unui conductor masiv, care ocupă domeniul spaţial V, (figura 8.14) este

( ) ∫∫∫ ′×π

=V

30

v d4μP v

RRJB . (8.13)

Evident, când sunt prezente ambele tipuri de densităţi de curent, formula este

( ) ∫∫∫∫∫ ′×π

+′×π

=S

3l0

V3

0v d

4μd

4μP A

Rv

RRJRJB .

8.5. Aplicaţii

8.5.1. Inducţia magnetică a unui conductor filiform, rectiliniu, infinit, parcurs de un curent de conducţie

Se consideră un conductor filiform, rectiliniu, infinit parcurs de un curent electric de conducţie de intensitate i. Se pune problema determinării inducţiei magnetice produse de acesta, într-un punct P, situat la distanţa a de conductor. În figura 8.15, s-a optat pentru reprezentarea configuraţiei în planul determinat de conductorul rectiliniu şi punctul de observaţie. Aşa cum s-a văzut (figurile 8.2 şi 8.3), câmpul magnetic produs de un conductor rectiliniu are spectrul de forma unor cercuri concentrice, ceea ce face ca, pentru reprezentarea de faţă, vectorul inducţiei magnetice să intre în planul figurii, asemeni versorului tangenţial ut al sistemului de coordonate cilindrice, cei doi vectori fiind omoparaleli. Înmulţind scalar, membru cu membru, expresia dată de teorema Biot–


Savart–Laplace (8.11) cu versorul tangenţial ut (figura 8.15), se obţine, observând că pentru toate poziţiile punctului curent M de pe fir, versorul ut rămâne normal la planul figurii:

( ) ( )( )

∫∫ΓΓ

⋅α−π′π

=⋅×′

π==⋅ 3

tt03

t0vtv

sind4μ

4μ)P()P(

RRli

RiB uuuRlduB ,

în care curba Γ este reprezentată de conductorul rectiliniu închis pe la infinit, iar vectorul Rld ×′ este omoparalel cu versorul ut. Observând că zl dd =′ şi substituind variabilele R şi z, în funcţie de α, se obţine cu

α⋅= ctgaz , α

α−= 2sin

dd az şi 2

2

2sin1

aRα

= ,

( )ai

ai

aaiB

π=α

π=α

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

αα

−π

= ππ∫ 2

μcos4μsinsin

sind

4μP 000

0

2

2

20

v ,

rezultat identic, aşa cum era de aşteptat, cu formula (8.3) obţinută la paragraful 8.1.

8.5.2. Inducţia magnetică a unei spire filiforme, circulare, parcurse de un curent electric de conducţie

Fie a raza unei spire filiforme, circulare şi un punct curent P, situat pe axa de simetrie, normală la spiră (figura 8.16). Distanţa acestui punct faţă de centrul spirei este notată cu x, reprezentând tocmai coordonata axei Ox; aceasta coincide cu axa de simetrie a spirei, originea axei fiind în centrul spirei. Se notează versorul acestei axe cu ux, în scopul evitării posibilei confuzii dintre intensitatea

Ra

i

Ox

Bv xP

Fig. 8.16

ld ′

ux


curentului i şi notaţia consacrată a acestui versor i. Înmulţind scalar, membru cu membru relaţia (8.11) cu versorul ux al axei Ox şi observând că din motive de simetrie inducţia magnetică pe axa de simetrie este normală la planul spirei, obţinem

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ΓΓ

′⋅×π

=⋅×′

π==⋅ 3

03

0vv 4

μ4μPP

Ri

RiB lduRuRlduB xx

x .

Deoarece vectorul xuR× este în planul spirei şi omoparalel cu ld ′ , rezultă

( ) 20

2

02

02

0v 2

sinμdsin4μsind

4μP

Rail

Ri

RliB

a α=′α

π=

α′π

= ∫∫π

Γ

.

Cu Ra /sin =α şi 22 axR += , inducţia magnetică pe axă se poate exprima sub trei forme, funcţie numai de câte una din variabilele R, x sau α, după cum urmează:

( ) 3

20

v 2μP

RaiB = ; ( )

( ) 2/322

20

v2

μPax

aiB+

= ; ( ) α= sin2μP 0

v aiB .

(8.14) (8.15) (8.16)

8.5.3. Inducţia magnetică a unei pânze plane, infinite de curent

Se consideră o pânză plană de curent, caracterizată de densitatea sa de linie Jl, presupusă uniformă. Pânza este desenată în secţiune în figura 8.17, cu sensul de referinţă ieşind din planul acesteia. Se pune problema determinării inducţiei magnetice într-un punct P, situat la o distanţa a de planul infinit extins S al pânzei. Modulul inducţiei magnetice uniforme se obţine prin înmulţirea scalară a relaţiei (8.12) cu versorul k al axei de coordonate Oz (nereprezentată pentru simplitate în figura 8.17), paralel cu planul şi perpendicular pe liniile de curent, după cum urmează:

( ) ( ) ( ) ( ) AR

AR

B ′⋅×π

=′⋅×π

==⋅ ∫∫∫∫ d4μd

4μPP

S3l0

S3

l0vv

RJkkRJkB

Ad ′


sau

( ) ππ

=Ωπ

=′⋅

π=′⋅

π= ∫∫∫∫∫∫ 2

4μd

4μ

4μd

4μP l0

S

l0

S3

l0

S3

l0v

JJR

JAR

JB AdRRn .

Expresia vectorială a inducţiei magnetice este

( ) nJB ×= l0v μ21P ,

rezultat independent de distanţa a (nesemnificativă în raport cu planul infinit extins). În cazul pânzei duble de curent (dublul strat de curenţi), configuraţie reprezentată în figura 8.18, şi caracterizată prin faptul că densităţile de linie sunt egale, dar de sens contrar, se observă cu uşurinţă, aplicând principiul superpoziţiei, că în exteriorul dublului strat inducţia este nulă, iar în interiorul său, este de două ori mai mare, decât inducţia unei singure pânze, adică

( ) nJB ×= l0v μP . (8.17)

8.6. Fluxul, tensiunea şi potenţialul în câmpul magnetic

8.6.1. Fluxul magnetic în vid. Fluxul printr-o suprafaţă închisă

Se numeşte flux magnetic în vid fluxul vectorului Bv printr-o suprafaţă deschisă S (sau închisă Σ),

dABnB ⋅=⋅=Φ ∫∫∫∫S

vS

vSv d A , (8.18)

unde, aşa cum se ştie deja, AdndA = , iar n este un versor normal la suprafaţa S (figura 8.19). În conformitate cu forma integrală a legii fluxului magnetic, acest flux este nul prin orice suprafaţă închisă:


0v =⋅∫∫Σ

dAB sau 0ddiv vΣV

=∫∫∫ vB (8.19)

sau, cum VΣ este arbitrar,

0div v =B , (8.20)

relaţie care reprezintă forma locală (diferenţială) a aceleiaşi legi.

8.6.2. Intensitatea câmpului magnetic şi tensiunea magnetică.

Se numeşte intensitatea câmpului magnetic în vid raportul

0vv / μ= BH . (8.21)

Tensiunea magnetică în vid, de-a lungul unei curbe C, este definită de integrala curbilinie

dlHuH ∫∫ ⋅=⋅=C

vC

tvm d lU ,

unde ldtudl = , iar ut este un versor tangent la curba C. În situaţia în care curba este închisă (Γ), integrala

dlH∫Γ

Γ ⋅= vmmU

se numeşte tensiune magnetomotoare (t.m.m.). Relaţia care leagă t.m.m. de curentul care o produce poartă denumirea de teorema lui Ampère:

ΓΓ Θ= SmmU sau ΓΓ

Θ=⋅∫ Sv dlH , (8.22)

în care mărimea fizică ΓΘS , numită solenaţie, este suma algebrică a curenţilor prin suprafaţa SΓ mărginită de curba închisă Γ. După definirea mărimilor ce caracterizează câmpul magnetic în vid, va fi enunţată (în capitolul 10) o forma mai generală a acestei teoreme, valabilă şi în alte medii, nu numai în vid. Este de menţionat că şi această teoremă este o formă particulară a unei legi mai generale, puse în evidenţă pe cale experimentală, lege care face obiectul teoriei generale a legilor electromagnetismului. Justificare. Formula (8.22), în cazul regimului staţionar, poate fi dedusă pentru mai multe configuraţii particulare. Spre exemplu, se consideră un


curentul i ce parcurge un conductor rectiliniu, filiform, infinit de lung, pentru care este cunoscută expresia câmpului magnetic. Cu (8.2) şi (8.21) intensitatea câmpului magnetic la distanţa a de fir, se scrie:

tv 2uH

aiπ

= .

Integrând acest câmp vectorial de-a lungul unei linii de câmp circulare Γ de rază a, se obţine cu ldtudl = :

( ) ΓΓΓΓ

Θ==ππ

=π

=⋅π

=⋅ ∫∫∫ Sttv 22

d2

d2

iaa

ila

ila

i uudlH ,

ceea ce reprezintă suma algebrică a intensităţii curenţilor tuturor conductoarelor care străbat suprafaţa deschisă (în cazul de faţă unul singur), ceea ce reprezintă solenaţia. O altă justificare, la fel de simplă, pe care o lăsăm pe seama cititorului, constă în integrarea de la –∞ la +∞ pe axa de simetrie a spirei circulare parcurse de curent, de la paragraful 8.5.2, a câmpului magnetic dat de relaţia (8.16). Forma locală a teoremei se obţine aplicând membrului întâi al relaţiei (8.22) teorema lui Stokes şi exprimând în membrul al doilea solenaţia cu ajutorul densităţii de curent:

∫∫∫∫ΓΓ

⋅=⋅S

vS

rot dAJdAH .

Deoarece această identitate integrală are loc pentru orice suprafaţă SΓ, rezultă forma locală (diferenţială) a teoremei lui Ampère este

JH =vrot . (8.23)

Aplicaţie. Câmpul magnetic produs de o bobină lungă, fără miez, parcursă de curent de conducţie. Dacă lungimea l a unei bobine cu N spire este mult mai mare decât diametrul ei, bobina se numeşte lungă. Neglijând efectul de margine, potrivit căruia liniile de câmp de la capete se distanţează, şi aproximând aceste linii în interiorul bobinei drept rectilinii în direcţia axei bobinei, se obţine, aplicând teorema lui Ampère,

Hv l = N i,

de unde modulul intensităţii câmpului magnetic este


lNiH /v = . (8.24)

8.6.3. Potenţialul magnetic vector şi potenţialul magnetic scalar neuniform

Din teoria câmpurilor de vectori, se ştie că în ceea ce priveşte un câmp de vectori G, se poate introduce o mărime scalară de punct V, numită potenţial, în zonele în care rot G = 0. În aceste zone, datorită faptului că este satisfăcută relaţia rot grad V 0≡ , se poate scrie

Vgrad−=G ,

semnul minus fiind necesar deoarece operatorul gradient este un vector antiparalel cu orientarea locală a câmpului. De asemenea, în regiunile în care div G = 0, se poate introduce o mărime vectorială locală A, numită potenţial vector. În aceste regiuni, datorită faptului că este satisfăcută relaţia div rot G 0≡ , se poate scrie

G = rot A.

1. Potenţialul magnetic vector

În conformitate cu teoria prezentată mai sus şi pe baza relaţiei (8.20), potenţialul magnetic vector A se defineşte cu ajutorul relaţiei

Bv = rot A. (8.25)

După cum se ştie din teoria câmpurilor vectoriale, un câmp de vectori (în acest caz A) este univoc determinat când i se cunosc în fiecare punct rotorul şi divergenţa, precum şi condiţiile de pe frontieră, acestea din urmă putând fi ignorate, dacă frontiera este la infinit. Vom arăta că din punct de vedere al calculului inducţiei magnetice şi al fluxului magnetic, div A se poate alege arbitrar, ceea ce echivalează cu determinarea lui A până la o constantă vectorială arbitrară K. Într-adevăr, considerând KAA +=′ , avem

( ) vv rotrot BAKAB ==+=′ ,

deci inducţia magnetică rămâne neschimbată. O demonstraţie la fel de simplă este cea privind fluxul magnetic. Acesta se poate exprima cu ajutorul potenţialului vector după cum urmează (figura 8.19):


∫∫∫∫ΓΓ

Γ ⋅=⋅=ΦSS

vS rot dAAdAB

sau

∫Γ

Γ ⋅=Φ dlAS , (8.26)

în care nu trebuie confundată notaţia consacrată pentru elementul vectorial de arie dA (notaţie la care nu se renunţă) cu diferenţiala potenţialului magnetic vector. Luând din nou KAA +=′ , se obţine

( ) ∫∫∫∫∫ ∫ΓΓΓΓΓ Γ

Γ ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅′=Φ′ dlKdlAdlKdlAdlKAdlAS

şi deci

ΓΓ

Γ Φ=⋅=Φ′ ∫ SS dlA ,

deoarece 0∫Γ

=dl . Deci, şi din punct de vedere al calculului fluxului magnetic,

potenţialul vector A se determină până la o constantă vectorială arbitrară K. Vom arăta că div A se poate alege arbitrar. Într-adevăr, un câmp de vectori se poate descompune în două componente aditive: una potenţială, caracterizată printr-un rotor nul, şi una solenoidală, caracterizată prin divergenţa sa nulă,

sp AAA += , (8.27)

cu

0rot p =A şi 0div s =A . (8.28)

Aplicând rotorul relaţiei (8.27), se obţine cu vrot BA = ,

sspv rotrotrot AAAB =+= ,

de unde rezultă că, din perspectiva determinării lui Bv, componenta Ap poate fi aleasă arbitrar, şi ca urmare, şi pdiv A se poate alege arbitrar. Aplicând acum divergenţa relaţiei (8.27) se obţine:

psp divdivdivdiv AAAA =+= .


Pe de altă parte, s-a văzut că div Ap se poate alege arbitrar, de unde rezultă că şi membrul întâi al relaţiei de mai sus se poate alege arbitrar:

Adiv ⇒ arbitrar, (8.29)

cum de altfel s-a subliniat şi în paragraful 5.4. În diferitele ecuaţii ale câmpului electromagnetic, apar relaţii care pot avea forme mai simple, prin alegerea convenabilă a divergenţei potenţialului magnetic vector. Această alegere, poartă denumirea de condiţia Lorenz şi poate lua diferite forme, în funcţie de regimul câmpului electromagnetic. Fie S12 o suprafaţă de discontinuitate (figura 8.20), în care nu există o pânză de flux magnetic. Aplicând formula (8.26) unui contur Γ foarte aplatizat, scurt şi extrem de strâmt, se poate scrie:

02211S ≅⋅+⋅=ΔΦ Γ ΔlAΔlA , (8.30)

deoarece fluxul ΓΔΦS este practic nul ( 21d ΔlΔl ==Δ<< lg ), iar segmentul Δl este suficient de mic pentru ca vectorii A1 şi A2 să nu varieze în lungul său şi deci să poată fi consideraţi constanţi. S-au neglijat, de asemenea, contribuţiile segmentelor de lungime d g la calculul circulaţiei (8.30) a potenţialului magnetic vector. Scriind segmentele orientate cu ajutorul versorului tangent la suprafaţa de discontinuitate, t1 uΔl lΔ= şi t2 uΔl lΔ−= , se obţine,

( ) 0t21 =⋅− uAA , (8.31)

rezultând

t2t1 AA = , (8.32)

ceea ce înseamnă că se conservă componenta tangenţială a potenţialului magnetic vector.

S12l1

l2

tu

A2A1

d g

Fig. 8.20

12nn ≡

tu)( nGn ××

nG ×

G

Fig. 8.21


Formula (8.31) se mai poate pune şi sub o altă formă. Notând 21 AAG −= şi descompunând pe G după tangenta şi normala la suprafaţa de separaţie (figura 8.21), se poate scrie:

( ) ( )nGnnGnG ⋅+××= .

Înlocuind pe G astfel descompus în (8.31), se obţine

( )[ ] ( )( ) 0=⋅⋅+⋅×× tt unnGunGn

sau, deoarece 0t =⋅ un ,

( )[ ] 0=⋅×× tunGn .

Întrucât cei doi factori ai produsului scalar de mai sus sunt omoparaleli, iar 0t ≠u , rezultă că

( ) 0=×× nGn .

Pe de altă parte, deoarece vectorii n şi nG × sunt perpendiculari, iar 012 ≠= nn , rămâne

0=× nG

sau, înlocuind notaţia folosită, rezultă

( ) 01212 =−× AAn ,

adică

0rots =A . (8.33)

Aplicaţie. Se va determina potenţialul magnetic vector A, în cazul curentului de intensitate i, ce străbate un conductor circular drept, de rază a, infinit lung (figura 8.22), realizat dintr-un material nemagnetic (μ = μ0). Pentru simplitatea notaţiei se va renunţa în cele ce urmează la indicele „v” pentru inducţia magnetică, atât

zz uu −=′

ϕ≡ BB


în vid, cât şi interiorul conductorului nemagnetic. În primul rând, trebuie stabilită forma liniilor de câmp ale lui A. Deoarece conductorul este infinit de lung şi, deoarece din motive de simetrie cilindrică, liniile câmpului magnetic sunt cercuri concentrice, inducţia magnetică nu are componente axiale sau radiale, ci doar tangenţiale ( ϕ= BB ), iar variaţia modulelor mărimilor electromagnetice, în raport cu coordonatele cilindrice z şi ϕ, sunt nule. În aceste condiţii, formula BA =rot va avea, în coordonate cilindrice, următoarea expresie:

ϕϕ

ϕ

ϕ

=∂∂ u

uuu

B

ArAAr

r

rzr

zr

001 ,

de unde rezultă, ϕ=∂

∂− B

rAz , cu Az de forma

( ) ( ) 01 KrfrAz += (8.34)

şi ( )

0=∂

∂ ϕ

rrA

sau 1KrA =ϕ , deci cu ϕA de forma

r

KA 1=ϕ . (8.35)

În cele ce urmează, se calculează circulaţia potenţialului vector de-a lungul unei linii circulare de câmp magnetic Γr, cu ajutorul relaţiei (8.26). Observând că inducţia magnetică nu are componentă axială, rezultă că fluxul magnetic ∫

ΓΓ ⋅=Φ

rr

dlAS este nul. Deoarece circulaţia lui A este nulă se poate

scrie şirului de egalităţi:

022ddd 1 =π=π===⋅=⋅ ϕΓ

ϕΓΓ

ϕΓ

∫∫∫∫ rr

KrAlAlAlrrrr

uAdlA ,

adică 01 =K , şi cu (8.35)

0=ϕA . (8.36)

Pe de altă parte, deoarece s-a văzut că divergenţa potenţialului vector se poate alege arbitrar (8.29), se va lua div A = 0 sau, în coordonate cilindrice,


( ) ( ) 01=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

ϕ∂

∂+

∂∂ ϕ

zAr

Ar

rAr

zr ,

unde, aşa cum s-a arătat mai sus, ultimele două derivate sunt nule. Rămâne în

consecinţă ( ) 0=∂

∂r

rAr , sau integrând , 2KrAr = , de unde rezultă r

KAr2= .

În sfârşit, calculând fluxul potenţialului vector prin suprafaţa închisă cilindrică Slat∪Sb1∪Sb2 (figura 8.22), atât pentru Ai, cât şi Ae, şi folosind condiţia de etalonare 0div =A , rezultă

0ddivV

==⋅ ∫∫∫∫∫ΣΣ

vAdAA .

Acest flux nul se va descompune într-unul prin suprafaţa laterală Slat şi un altul prin cele două baze Sb1 şi Sb2:

( ) =−⋅+=′⋅+⋅+⋅ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∪ b2Sb1SlatSb2Sb1latS

ddddd AAAAAA zzrzS

zr uuAuAuAuA

02ddd 2

latS

2

latS

2

latS

=π==== ∫∫∫∫∫∫ lrr

KAr

KAr

KAAr ,

în care raportul 1/r s-a plasat ca factor al integralei de suprafaţă, calculul efectuându-se pentru o valoare fixată a coordonatei r. Rezultă 02 =K şi, prin urmare,

0=rA . (8.37)

Concluzia care se impune este că, deoarece 0=ϕA (8.36) şi 0=rA (8.37), rezultă zAA = , ceea ce implică faptul că potenţialul magnetic vector este un vector paralel cu cilindrul considerat, având direcţia axei Oz ( )zAuA = . Înmulţind relaţia (8.34) cu versorul zu , notând zK uA 00 = şi ff =1 rezultă

( ) ( ) 0AuA += zrfr , (8.38)

relaţie care confirmă faptul că potenţialul magnetic vector se determină până la o constantă arbitrară. După ce s-a dedus care este forma liniilor de câmp ale potenţialului magnetic vector, urmează calculul propriu-zis al acestuia, în interiorul şi în exteriorul cilindrului (figura 8.23). Aplicând teorema lui Ampère unei linii circulare de câmp de rază ar < , se obţine câmpul din interiorul cilindrului:


22

0i

μ2 raiBr π

π=π , de unde, cu 2

20

i 2 μ

ariB

π= , pentru ar < ;

aplicând apoi aceeaşi teoremă unei linii circulare de rază ar > , se obţine câmpul din exteriorul lui:

iBr 0e2 μ=π , de unde riB

π=

2μ0

e , pentru ar > .

Aplicând formula (8.26) de calcul al fluxului magnetic cu ajutorul circulaţiei potenţialului magnetic vector, se obţine

• în interior,

∫π−=

rll

arilA

02

0i d

2 μ , de unde rezultă 2

20

i 4 μ

ariA

π−= , ar < şi

• în exterior,

∫∫ π−

π−=

r

a

a

rlli

llarilA d

2μ

d2 μ 0

02

0e , de unde rezultă ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πμ

−=ariA ln

21

20

e , ar > .

Pentru ar = , se verifică continuitatea potenţialului vector la suprafaţa

cilindrului, acesta având modulul ( )π

−=4μ0iaA . Semnul minus semnifică faptul

P′ld ′


că orientarea potenţialului vector este antiparalelă densităţii curentului din cilindru.

2. Potenţialul magnetic scalar neuniform

După cum s-a subliniat în paragraful 8.6.3, în domeniile în care 0rot v =H , se poate defini o mărime scalară de punct Vm, numit potenţial

magnetic scalar, astfel încât să se poată scrie,

mv gradV−=H . (8.39)

Considerăm o buclă închisă de curent Γ, parcursă de un curent de intensitate i (figura 8.24). Dacă înmulţim scalar, membru cu membru, formula Biot – Savart – Laplace (8.11) cu un vector constant şi arbitrar k, se obţine

( ) dAkRldkRkRldkB ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×′

π=′⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

π=⋅

×′π

=⋅ ∫∫ ∫ΓΓ Γ

30

30

30

v tro4μ

4μ

4μ

Ri

Ri

Ri .

Simbolul prim semnifică faptul că vectorul R are originea P′ , variabilă pe curbă, în timp ce extremitatea P, în care se calculează câmpul, este fixă. Deoarece

0vdi 3 =′RR , integrandul devine ( ) 33 dgratro

RRRkkR ′⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×′ . Ca urmare,

produsul scalar se poate scrie:

( ) ∫∫∫∫ΓΓ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

′∂∂

π=⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ′⋅

π=⋅

S3

0

S3

0v 4

μdgra4μ

KRx

kiR

ix

dARdARkkB ,

adică

kdARdARkkB ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

π−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′⋅

π=⋅ ∫∫∫∫

ΓΓ S3

0

S3

0v grad

4μdgra

4μ

Ri

Ri .

Deoarece k este arbitrar rezultă

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅π

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

π−= ∫∫∫∫

ΓΓ S3

0

S3

0v grad

4μgrad

4μ

Ri

Ri dARdARB .


În această ultimă expresie succesiunea operaţiilor de integrare şi derivare a fost

intervertită, acestea fiind independente între ele. Deoarece Γ

Γ

Ω=⋅

∫∫S

3RdAR

reprezintă definiţia unghiul solid sub care „se vede” curba Γ, din punctul P, în care se calculează câmpul şi potenţialul magnetic, putem scrie, cu

mv0v gradV−=μ= HB ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

π= Γ4

gradgrad miV .

Rezultă

m0m 4ViV +Ω

π= Γ . (8.40)

Constanta de integrare Vm0 se poate adopta nulă într-un punct P0, din care curba Γ „se vede” sub un unghi solid nul. În acest caz, formula devine,

ΓΩπ

=4miV . (8.41)

Potenţialul magnetic scalar este definit în punctele în care 0rot v =H . Deoarece orientarea câmpului magnetic depinde de sensul curentului din spiră, urmează ca, în virtutea relaţiei mv gradV−=H , potenţialul magnetic scalar să depindă, la rândul său, de acest sens. Ţinând cont de modul în care a fost definit unghiul solid la paragraful 3.3.1, rezultă că în situaţia în care din punctul de calcul al potenţialului sensul de referinţă al curentului este „văzut” ca fiind cel trigonometric, rezultă Vm > 0; evident, sensului orar îi corespunde Vm < 0. Semnul potenţialului este dictat de semnul care rezultă din calculul unghiului solid. Se consideră un punct curent aparţinând unei curbe închise Γ, care descrie această curbă într-un sens dat, pornind dintr-un punct


şi revenind în acelaşi punct. În cele ce urmează, se va arăta că în situaţia în care curba înlănţuie o spiră parcursă de curent, potenţialul, definit de (8.41), va avea valori diferite în două puncte infinit apropiate (asimilate aceluiaşi punct), astfel încât să fie respectată teorema lui Ampère. Din acest motiv, acest tip de potenţial poartă denumirea de potenţial magnetic scalar neuniform. Pentru exemplificare considerăm o spiră plană (figura 8.25), perpendiculară pe planul figurii, străbătută de un curent de intensitate i, şi un contur închis Γ, parcurs de punctul curent în sensul indicat în figură, punct care trece prin punctele 1, 2, 3, 4 şi 5. Punctul 5 este considerat a fi în vecinătatea punctului 1 (între punctele 4 şi 1), iar punctele 2 şi 4 sunt cuprinse în planul spirei. În graficul şi tabelul din figura 8.26, sunt redate valorile unghiului solid, care conform formulei (8.41) determină valoarea potenţialelor magnetice scalare neuniforme din punctele amintite mai sus. Considerând că punctul 5 → 1 (în sensul de parcurgere a curbei), se calculează diferenţa care există între potenţialele Vm1 şi Vm5:

( ) iiiVVU =π−Ωπ

−Ωπ

=−=Γ 444 115m1mmm ,

rezultat în concordanţă cu teorema lui Ampère. Repetând raţionamentul pentru un contur închis care nu înlănţuie o spiră parcursă de curent, potenţialele Vm1 şi Vm5 rezultă egale, fiind şi în această situaţie verificată teorema lui Ampère:

044 115m1mmm =Ω

π−Ω

π=−=Γ

iiVVU .

Ω 1 Ω1 2 0 3 −Ω3 4 2π−4π 5 Ω1−4π

15 ≡

181

9. STAREA DE MAGNETIZARE

Cea de a patra stare a corpurilor, privită din perspectiva teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic, este starea de magnetizare. În cele ce urmează, se va introduce mărimea primitivă care caracterizează starea unui corp foarte mic, magnetizat. Se va introduce apoi şi mărimea derivată care caracterizează starea de magnetizare a unui corp masiv magnetizat în general neuniform, precum şi cea a unei pânze subţiri magnetizată transversal. Alte aspecte legate de această stare vor fi de asemenea prezentate în cuprinsul acestui capitol.

9.1. Momentul magnetic

Dacă un mic corp, care nu este străbătut de curenţi de conducţie, este plasat în vid, într-un câmp magnetic exterior, şi dacă asupra lui se exercită acţiuni ponderomotoare (forţe şi cupluri), se spune că micul corp este magnetizat. La rândul său, el produce o inducţie magnetică în vidul în care este plasat, mărime notată cu ( )rBv (indicele „v” având tocmai această semnificaţie). Mărimea primitivă vectorială, notată cu m, care caracterizează starea de magnetizare a micului corp se numeşte moment magnetic. Această mărime fizică se poate introduce prin consideraţii similare cu cele utilizate la paragraful 4.1.1, cu prilejul introducerii momentului electric p, şi din acest motiv nu se va mai reveni asupra lor. Se reţin doar rezultatele obţinute, potrivit cărora, prin analogie, la introducerea unui mic corp magnetizat într-un câmp magnetic exterior de inducţie ( )rBv , forţa exercitată asupra micului corp este

( ) ( ) vv gradgrad BmBmF ⋅=⋅= , (9.1)

expresie valabilă sub ambele forme, când 0rot v =B , şi numai sub prima formă, în cazul în care 0rot v ≠B . De asemenea, momentul cuplului în raport cu o origine O a vectorului de poziţie r este (figura 9.1)

O

rm

Bv

Fig. 9.1

182 9. STAREA DE MAGNETIZARE

( ) vvO grad BmBmrM ×+⋅×= . (9.2)

Pentru 0=r , cuplul exercitat asupra micului corp este

vBmC ×= . (9.3)

Pe componente, relaţia (9.1) se scrie astfel:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

zBm

yBm

xBmF

zB

my

Bm

xB

mF

zBm

yBm

xBmF

zz

zy

zxz

yz

yy

yxy

xz

xy

xxx

vvv

vvv

vvv

, (9.4)

obţinându-se un sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute mx, my, mz. Aceste componente se pot determina, în principiu, cunoscând repartiţia în fiecare punct a domeniului a inducţiei magnetice în vid – şi prin urmare cunoscând derivatele ei – şi măsurând componentele Fx, Fy, Fz ale forţei. Cunoscând componentele momentului magnetic de-a lungul axelor de coordonate, rezultă vectorul moment magnetic al micului corp:

kjim zyx mmm ++= .

9.2. Magnetizaţia

Caracterizarea unui corp masiv magnetizat se face cu ajutorul unei mărimi derivate, care descrie local starea de magnetizare a corpului. Această mărime se defineşte ca limita raportului dintre momentul magnetic elementar Δm al unui element de volum v′Δ şi volumul acestuia pentru 0→′Δv (figura 9.2):

vvv ′

=′Δ

Δ=

→′Δ dlim

0

dmmM (9.5)

Mărimea fizică astfel obţinută M, se numeşte magnetizaţia în punctul către care tinde elementul de volum. Menţionăm că simbolul „d” utilizat mai sus, nu reprezintă o diferenţială a lui m sau v, ci doar limitele către care tind Δm şi v′Δ .

v′Δ

9. STAREA DE MAGNETIZARE 183

Momentul magnetic al întregului corp magnetizat se calculează cu ajutorul integralei de volum, efectuate pe domeniul spaţial ocupat de corp (V)

∫∫∫ ′=V

d vMm . (9.6)

În cazul unei foiţe magnetizate transversal (figura 9.3), se defineşte magnetizaţia de suprafaţă sau „puterea foiţei magnetice” cu ajutorul limitei

AAA d

lim0s

dmmM =ΔΔ

=→Δ

,

unde Δm este momentul magnetic al foiţei elementare de arie ΔA. Momentul magnetic al întregii foiţe se calculează cu ajutorul integralei de suprafaţă

∫∫=S

s d AMm . (9.7)

Starea de magnetizare se manifestă sub două forme: magnetizare temporară, când momentul magnetic ( )vt Bm şi magnetizaţia ( )vt BM sunt dependente de inducţia magnetică exterioară în care este plasat corpul, şi magnetizare permanentă, când corpul prezintă o stare de magnetizare independentă de câmpul magnetic exterior. Această din urmă situaţie se întâlneşte în cazul magneţilor permanenţi, componente indispensabile multor aparate şi dispozitive. Mărimile corespunzătoare se notează cu mp şi Mp. Desigur, pot să apară corpuri pentru care sunt prezente ambele forme de magnetizare, când momentul magnetic, respectiv magnetizaţia, se obţin prin superpoziţie:

pt mmm += , (9.8)

respectiv

pt MMM += . (9.9)

9.3. Unităţi de măsură

Unităţile de măsură în SI se stabilesc folosind formulele de definiţie ale mărimilor, pe baza următoarelor ecuaţii dimensionale, după cum urmează:


• pentru momentul magnetic,

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]=⋅=

⋅

⋅== 2

vLI

LIF

LFBCm 1 ampère metru pătrat (A m2),

• pentru magnetizaţie,

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ]

[ ][ ] ==

⋅==

LI

LLI

LmM 3

2

3 1 ampère pe metru (A /m),

• pentru magnetizaţia de suprafaţă,

[ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ] ==⋅

== IL

LILmM 2

2

2s 1 ampère (A).

9.4. Modelul amperian al stării de magnetizare

Similar manierei în care s-a echivalat un mic corp polarizat electric cu un dipol electric (modelul coulombian), se va echivala şi un mic corp magnetizat cu o buclă de curent de dimensiuni foarte reduse (modelul amperian).

9.4.1. Vectorul arie

Mărimea geometrică cu ajutorul căreia se defineşte modelul amperian al stării de magnetizare numit buclă de curent, este vectorul arie. În figura 9.4 este reprezentată o curbă închisă Γ, care mărgineşte o suprafaţă deschisă SΓ, având normala orientată conform regulii burghiului drept cu sensul de parcurgere a curbei. Se notează cu r vectorul de poziţie al punctului curent P de pe curbă, în raport cu originea O a referenţialului, observând că rd coincide cu elementul orientat de linie al curbei. Cu aceste elemente vectorul arie se defineşte, după cum urmează:


∫Γ

Γ ×= rrA d21 . (9.10)

Pentru a arăta că AΓ este un invariant în raport cu alegerea originii vectorului de poziţie, se va alege o nouă origine O′ şi se va demonstra că vectorul arie definit cu ajutorul vectorului de poziţie r ′ , având originea în O′ , rămâne nemodificat. Avem cu notaţiile din figura 9.4:

0rrr −=′ , rr dd =′ şi 0d =∫Γ

r ;

ΓΓΓΓ

Γ =×−×=′×′=′ ∫∫∫ ArrrrrrA dd21d

21

0 .

O altă proprietate a vectorului arie este dată de egalitatea

∫∫Γ

Γ =S

dAA , (9.11)

valabilă indiferent de forma suprafeţei SΓ delimitată de curba Γ. Pentru a demonstra această proprietate, se înmulţeşte scalar relaţia (9.11) cu un vector constant şi arbitrar k:

( )∫ ∫∫∫Γ ΓΓ

Γ ⋅×=⋅×=⋅×⋅S

rotd)(21)d(

21 dArkrrkkrrAk , (9.12)

unde s-a aplicat teorema lui Stokes, şi în care sensul elementului de arie dA s-a asociat după regula burghiului drept cu sensul elementului de linie rd al conturului închis Γ (conform convenţiei amintite anterior). În continuare, se evaluează rotorul produsului vectorial de mai sus. Avem, cu 3div =r ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−=∇⋅−∇=××∇=× rkrkrkrkrkrk graddivrot

( ) kkkkjikrrrk 2333 =−=++−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= zyxzyx kkkz

ky

kx

k ,

unde s-au folosit relaţiile

( ) ikjir=++

∂∂

=∂∂ zyx

xx şi, similar, jr

=∂∂

y şi kr

=∂∂

z.

Înlocuind în (9.12), avem


∫∫∫∫ΓΓ

Γ ⋅=⋅=⋅SS

221 dAkdAkAk ,

şi, întrucât vectorul constant k este arbitrar, rezultă relaţia (9.11).

9.4.2. Bucla de curent

Deoarece dimensiunea fizică a momentului magnetic al unui mic corp magnetizat rezultă pe baza produsului dintre dimensiunea unui curent şi dimensiunea unei arii (conform celor prezentate în paragraful 9.3), se întrevede posibilitatea echivalării micului corp, aflat în stare de magnetizare, cu o spiră conductoare foarte mică, aflată în stare electrocinetică, numită buclă de curent. Aceasta are vectorul arie AΓ, iar curentul de conducţie care o străbate, numit şi curent amperian, este de intensitate i (figura 9.5). Denumirea de curent amperian face referire la ipoteza lansată de Ampère, potrivit căreia aceşti curenţi ar exista fizic, la scară microscopică. Produsul

Γ= Am ib (9.13)

defineşte mărimea fizică vectorială numită de moment magnetic al buclei de curent. În sistemul SI, unitatea de măsură este un ampere metru pătrat (1 A·m2). Problemele în care intervin corpuri masive magnetizate se rezolvă pe baza ideii echivalării acestora cu structuri alcătuite din bucle de curent deci, mai concis spus, pe baza unei distribuţii de curenţi amperieni. Repartiţia acestora trebuie să fie de aşa natură, încât să se regăsească acţiunile ponderomotoare, exercitate în câmp magnetic extern, asupra corpului masiv magnetizat, iar inducţiile proprii ale curenţilor amperieni trebuie să fie identice cu cele ale corpului magnetizat. Pentru a verifica dacă această echivalenţă este posibilă, trebuie să se demonstreze mai întâi teoremele de echivalenţă ale unui mic corp magnetizat, cu o buclă de curent, ceea ce ar permite generalizarea rezultatelor obţinute pentru corpurile masive magnetizate. Echivalenţa dintre cele două entităţi microscopice se demonstrează pe baza identităţii expresiilor forţei şi cuplului ce acţionează asupra buclei de curent, respectiv a micului corp magnetizat, în situaţia în care ambele sunt plasate în acelaşi câmp magnetic extern. În plus, inducţia magnetică proprie a buclei trebuie să fie identică cu cea a micului corp magnetizat.

9.4.3. Echivalenţa dintre un mic corp magnetizat şi o buclă de curent


A. Echivalenţa din punct de vedere al acţiunilor ponderomotoare.

Calculul forţei Se consideră o mică buclă de curent de moment Γ= Am ib , situată într-un câmp magnetic exterior de inducţie ( )rBv (figura 9.6). Forţa care se exercită asupra buclei, se obţine prin integrarea forţelor elementare Laplace, care acţionează asupra tuturor elementelor de linie rd ale buclei:

∫∫ΓΓ

×== vdd BrFF i

Înmulţind scalar această relaţie cu un vector arbitrar şi constant k, rezultă:

( ) ( ) rkBkBrFk dd vv ∫∫ΓΓ

⋅×=⋅×=⋅ ii .

Aplicând teorema lui Stokes şi observând că bucla, fiind foarte mică, inducţia în vecinătatea ei se poate considera uniformă, se obţine

( ) ( ) ∫∫∫∫ΓΓ

⋅×=⋅×=⋅S

vvS

rotrot dAkBdAkBFk ii .

Cu (9.11), (9.13) şi bmdA =i , relaţia de mai sus se mai poate scrie succesiv:

( )[ ] [ ][ ]

( ) ( ) ( )

( ).grad

)(divgrad)()()(

vb

vbvbvb

vvvb

vvb

vvbvb

Bmk

BmBmBm

BBBm

BkBkmBkBkmkBmFk

⋅⋅=

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂⋅=

=−⋅⋅==⋅∇−∇⋅⋅=××∇⋅=⋅

zk

yk

xk

zk

yk

xk

zyx

zyx

Deoarece k este un vector arbitrar, se deduce expresia vectorială forţei sub forma:

( ) ( ) vbvb gradgrad BmBmF ⋅=⋅= , (9.14)


relaţie identică cu forţa (9.1), exercitată asupra unui mic corp magnetizat. S-a demonstrat astfel echivalenţa din punctul de vedere al forţei, dintre un mic corp polarizat şi un dipol. Calculul cuplului Momentul rezultant al forţelor elementare vdd BrF ×= i , în raport cu punctul O (figura 9.6), exercitate asupra buclei de curent situate într-un câmp magnetic, se obţine prin integrarea momentelor elementare ( )vd Brr ×× i , pe curba închisă Γ a buclei:

∫Γ

××= )d( vO B rrM i .

Înmulţind scalar relaţia cu un vector constant şi arbitrar k, se obţine

[ ] ( ) ( )[ ] rrkB B rrk B rrkMk d )d( )d( vvvO ∫∫∫ΓΓΓ

⋅××=×⋅×=××⋅=⋅ iii .

Aplicând formula lui Stokes şi ţinând seama de dimensiunile foarte mici ale

buclei ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛== Γ

Γ∫∫ bS

mAdA ii , se poate scrie

( )[ ] ( )[ ] =××⋅=⋅××=⋅ ∫∫Γ

rkBmdArkBMk vbS

vO rotroti

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]{ }kBrrBkmkBrrBkm ⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅= vvbvvb rotrotrot .

Dezvoltând primul termen din interiorul acoladei cu ajutorul formulei ( ) GG rotgradrot ϕ+ϕ=ϕ , avem,

( ) ( ) ( )[ ]{ }kBrkrBkrBmMk ⋅−⋅+×⋅⋅=⋅ vvvbO rotrotgrad .

Pe de altă parte,

( ) ( ) ( ) vvvvv rotrotgradgradgrad BrrBBrrBrB ×+×+⋅+⋅=⋅ ,

în care

( ) vvvvvvvv grad BkjirrrrB =++=∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅ zyxzyx BBBz

By

Bx

B .

Deoarece 0rot =r şi 0rot v =B (absenţa curenţilor de conducţie), rămâne


( ) ( ) vvv gradgrad BrBrB ⋅+=⋅ ,

şi deci produsul scalar OMk ⋅ devine,

( ) ( )[ ]{ }kBrkBrkBmMk ⋅−×⋅+×⋅=⋅ vvvbO rotgrad .

Pentru 0=r rămâne

( ) ( )vbvbO BmkkBmMk ×⋅=×⋅=⋅ ,

şi cum k este arbitrar, putem scrie momentul cuplului

vbO BmCM ×== , (9.15)

formulă identică cu (9.3). Echivalenţa dintre micul corp magnetizat şi bucla de curent este aşadar demonstrată, şi din punctul de vedere al cuplului.

B. Echivalenţa din punct de vedere al inducţiilor magnetice proprii

Pentru a demonstra această echivalenţă, se consideră un mic corp magnetizat, de moment m, şi o buclă de curent de moment mm =b . Ne propunem să arătăm că ele produc într-un acelaşi punct O*, de vector de poziţie relativ R, inducţii magnetice egale. În acest scop, plasăm în O* bucle auxiliare de curent identice, de moment magnetic *

bm , orientate arbitrar (figura 9.7). Micul corp şi bucla produc în punctul O* inducţiile Bvm şi Bvb, presupuse distincte. Cele două bucle auxiliare fiind identice, produc în punctele A şi G inducţii magnetice *

vB egale. În acord cu echivalenţa acţiunilor poderomotoare, demonstrată anterior, forţele Fm şi Fb sunt la rândul lor egale:

FFF == bm . (9.16)

Bvb

Fm Fbmbm

R R

mb* mb

*

Bvm

O* O*

Bv*

Fig. 9.7

A G

Bv*


Deoarece fiecare ansamblu luat în parte formează un sistem fizic izolat, suma vectorială a momentelor în raport cu punctul O* este nulă în ambele cazuri:

( ) 0vm*bm =×+×− BmFR (9.17)

şi

( ) 0vb*bb =×+×− BmFR . (9.18)

Scăzând ultimele două relaţii, membru cu membru, şi ţinând seama de (9.16) rezultă

vb*bvm

*b BmBm ×=× . (9.19)

Este de remarcat, însă, că nu întotdeauna egalitatea a două produse vectoriale, în care câte unul din factori sunt identici (în cazul de faţă *

bm ), conduce la egalitatea celorlalţi doi factori (Bvm şi Bvb). Pentru a justifica această afirmaţie, se consideră cazul particular, prezentat în figura 9.8, în care vectorii confundaţi, reprezentaţi de formula (9.19), sunt perpendiculari pe un plan P care include vectorii Bv, Bvb, presupuşi distincţi, şi vectorul *

bm . Din (9.19) rezultă egalitatea modulelor celor doi membri:

2vb*b1vm

*b sinsin α=α BmBm sau 2vb1vm sincos β=α BB ,

relaţie din care rezultă că pot exista doi vectori Bvm şi Bvb care să satisfacă (pentru o direcţie oarecare dată a vectorului *

bm ) relaţia (9.19), fără ca de aici să rezulte egalitatea acestora. Cei doi vectori sunt identici numai pentru cazul în care relaţia (9.19) este valabilă pentru orice orientare a vectorului *

bm . Această corespunde cazului general din figura 9.7, în care s-a ales arbitrar orientarea vectorului *

bm . În acest caz, se poate scrie

vbvm BB = ,

ceea ce confirmă şi egalitatea inducţiilor magnetice ale micului corp magnetizat şi buclei de curent.

/ 2

*bm

vm* Bm ×b vb

* Bm ×b

vmB

vbB

Fig. 9.8


9.5. Curenţii amperieni

Se consideră un corp masiv magnetizat, în general, neuniform. Pe baza echivalenţei dintre un mic corp magnetizat şi o buclă de curent, se înlocuieşte

fiecare element de volum al corpului cu o buclă elementară de curent. În mod curent, prin curenţi amperieni se înţelege ansamblul curenţilor de conducţie, ai buclelor elementare de curent, echivalent stării de magnetizare a corpului. (figura 9.9). Excesul curenţilor amperieni de un sens faţă de cei de sens contrar care traversează o suprafaţă SΓ, care se sprijină pe o curbă închisă Γ din interiorul corpului, reprezintă curentul amperian prin acea suprafaţă. Aşa cum se observă cu uşurinţă, există trei poziţii relative ale buclelor elementare de curent faţă de această suprafaţă: bucle care nu intersectează suprafaţa SΓ, şi deci nu contribuie la curentul amperian prin aceasta, bucle care o intersectează de două ori, dar în sensuri opuse, şi care de asemenea nu contribuie la curentul prin SΓ, şi bucle care intersectează suprafaţa o singură dată, înlănţuind conturul Γ, singurele care contribuie la curentul total diferit de zero prin suprafaţa considerată. Relaţia care stabileşte relaţia de legătură dintre magnetizaţia dată


M(r) şi curentul amperian se obţine din condiţia egalităţii dintre modulul momentului magnetic elementar al unui element de volum şi modulul momentului magnetic elementar al buclei de curent echivalente (figura 9.10):

bdd mm = , adică bmb dd AihAM Δ=Δ .

de unde,

rM dcosddd m ⋅=α== rMhMi .

9.5.1. Densitatea de suprafaţă a curenţilor amperieni

Curentul amperian prin SΓ se obţine integrând curenţii elementari de mai sus, pe întregul contur Γ:

∫∫ΓΓ

⋅=⋅= ri dd tΓSm uMrM , (9.20)

unde, rd

dt

ru = este versorul tangenţial la curba Γ, într-un punct curent al ei.

Pentru caracterizarea unei magnetizaţii neuniforme a unui corp, echivalentă cu o repartiţie neuniformă, dar continuă a curenţilor amperieni, se introduce densitatea curentului amperian cu ajutorul limitei

nnrJA

iAi

A ddlim)( mm

0m =ΔΔ

=→Δ

,

în care n este versorul normal la SΓ într-un punct curent al ei. Curentul amperian prin SΓ se poate, deci, exprima şi cu ajutorul integralei de suprafaţă

∫∫Γ

⋅=S

mΓSm d Ai nJ . (9.21)

Egalând expresiile curenţilor daţi de (9.20) şi (9.21) şi aplicând teorema lui Stokes avem:

∫ ∫∫∫∫Γ ΓΓ

⋅=⋅=⋅SS

m rotd dAMrMdAJ .

Deoarece suprafaţa SΓ este arbitrară, se pot egala integranzii integralelor de suprafaţă:


MJ rotm = . (9.22)

Din această relaţie rezultă că un corp uniform magnetizat este caracterizat de o densitate nulă a curenţilor amperieni (Jm = 0).

9.5.2. Densitatea de linie a curenţilor amperieni

În cazul unei suprafeţe de discontinuitate a magnetizaţiei, apare la suprafaţa ei o pânză curenţi amperieni, după cum rezultă din figura 9.11. Caracterizarea locală a pânzei se face cu ajutorul limitei

tm

0ml lim uJ ′Δ

Δ=

→Δ li

l, (9.23)

În această formulă tu′ reprezintă un versor tangent la suprafaţa de discontinuitate S12 şi perpendicular pe direcţiile celor două magnetizaţii. Densitatea de curent Jml se calculează în funcţie de magnetizaţiile M1 şi M2, de pe o faţă şi pe alta a suprafeţei, cu ajutorul formulei (9.20), aplicată unei contur închis de forma unui mic dreptunghi foarte aplatizat (figura 9.12). Grosimea d g a dreptunghiului se consideră extrem de redusă (d g << Δl), încât contribuţia vectorilor M1 şi M2, la calculul circulaţiei pe conturul Γ, se poate neglija, de-a lungul cele două laturi transversale:

( ) llJ Δ⋅−=⋅+⋅=Δ t122211ml uMMΔlMΔlM .

tu′

tu

1Δl

2Δltu′

12n


Cu notaţia 12 MMV −= şi cu 12tt nuu ×′= ,

( ) ( ) t1212ttml uVnnuVuV ′⋅×=×′⋅=⋅=J .

Deoarece vectorii Vn ×12 şi tu′ sunt omoparaleli, urmează

Vn ×= 12mlJ

şi vectorul

t12ml uVnJ ′×= ,

adică

( )1212ml MMnJ −×= (9.24)

sau

MJ sml rot= . (9.25)

În cazul particular al suprafeţei de discontinuitate dintre un corp magnetizat şi vidul din exteriorul său (figura 9.13), se obţine cu M2 = 0, MM ≡1 , n12 = n şi

cu (9.24)

nMJ ×=ml , (9.26)

unde n este versorul la suprafaţa de separaţie, având întotdeauna sensul dirijat din spre corp spre vid.

9.6. Inducţia magnetică în vid a corpurilor magnetizate

9.6.1. Inducţia magnetică a unui mic corp magnetizat

În cele ce urmează, se va calcula inducţia magnetică într-un punct P(x, y, z), situat la o distanţă orientată R de un mic corp magnetizat, de moment m, constant ca orientare şi ca modul, plasat într-un punct ),,(P zyx′ . În acest scop, se plasează în punctul P o buclă de curent de moment Γ= Am ib , de asemenea constant ca orientare şi ca modul. Micul corp magnetizat produce în P o inducţie Bvm(P), care urmează să se determine, precum şi o forţă Fb care acţionează asupra buclei. La rândul său, bucla de curent produce în P′ o inducţie


)P(vb ′B , precum şi o forţă Fm care acţionează asupra micului corp magnetizat (figura 9.14). Micul corp şi bucla formează un sistem fizic izolat şi, în consecinţă, satisfac condiţia de echilibru Fb + Fm= 0. Ţinând seama de (9.1) şi (9.14), această condiţie are forma

( ) ( ) vbvmb dgragrad BmBm ′⋅−=⋅ sau, cu ( ) ( )⋅−=⋅′ graddgra , ( ) ( ) vbvmb gradgrad BmBm ⋅=⋅ .

Efectuăm produsul scalar al ambilor membri ai acestei relaţii cu un vector constant şi arbitrar a:

( )[ ] ( )[ ]vbvmb gradgrad BmaBma ⋅⋅=⋅⋅ .

Folosind egalitatea (prezentată în Anexa A.3, punctul 1.)

( )[ ] ( )GKKGKK ⋅⋅=⋅ 1221 gradgrad

(în care G este un vector variabil, iar K1 şi K2 doi vectori constanţi şi arbitrari) şi înlocuind Γ= Am ib avem în continuare, folosind teorema Biot–Savart–Laplace

IB ′π

=4μ0

vbi , în care ∫

Γ ′′×′

=′3RRldI .

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]ImaImaBaA grad4

grad4

grad 00vm ⋅⋅

πμ

−=′⋅⋅π

μ=⋅⋅Γ

iii ,

unde II −=′ , ∫Γ

×′= 3R

RldI şi RR ′−= ( )RR ′=cu .

Făcând încă o dată apel la identitatea folosită mai sus, vom putea scrie

RR −=′

Fm Fb

iR

m

mb

Bvb

Bvm

P

P

Fig. 9.14


( ) ( ) ( )IamBaA ⋅⋅π

μ−=⋅⋅Γ grad

4grad 0

vmii . (9.27)

Aplicând teorema lui Stokes,

∫∫Γ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=⋅

S3rot dAaRIa

R,

şi cum dimensiunile buclei sunt mult mai mici decât distanţa R, dintre ea şi micul corp, se poate aproxima astfel:

ρAaRAdAaRIa ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×≅⋅ ΓΓ

Γ∫∫ 3S

3 rotrotRR

,

unde s-a folosit notaţia ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×= aRρ 3rot

R.

Revenind la egalitatea (9.27) avem

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ρmAρAmBaA grad4

grad4

grad 00vm ⋅⋅

πμ

−=⋅⋅π

μ−=⋅⋅ ΓΓΓ

iii ,

de unde, ΓA fiind un vector arbitrar rezultă

( ) ( )ρmBa grad4

grad 0vm ⋅

πμ

−=⋅i . (9.28)

Calculul rotorului de mai sus, notat cu ρ, furnizează egalităţile

( ) ( ) 33333 gradgradgraddivdivRRRRRRaaRRaRaaRρ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅−⋅+−=

(deoarece 0)/div( 3 =RR şi operatorii diferenţiali ce operează asupra constantei vectoriale a sunt nuli). Revenind la egalitatea (9.28), avem:

( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅

πμ

−=⋅ 30

vm gradgrad4

gradRRamBa .

Folosind identitatea prezentată în Anexa A.3, punctul 2.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]FKKFKK gradgradgradgrad 1221 ⋅⋅=⋅⋅ ,

în care F este un vector variabil, iar K1 şi K2 doi vectori constanţi arbitrari, se obţine


( ) ( ) ( ) ( )[ ]GaRmaBa grad4

gradgrad4

grad 03

0vm ⋅

πμ

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅

πμ

−=⋅R

,

unde s-a notat ( ) 3gradRRmG = . Întrucât a = const., rezultă

( ) ( )[ ]GaBa ⋅π

μ−=⋅ grad

4grad 0

vm .

Integrând avem

( ) 00

vm 4K+⋅

πμ

−=⋅ GaBa .

Admiţând că la infinit (R→∞) inducţia magnetică a micului corp magnetizat este nulă, rezultǎ cu 0lim vm =

∞→B

R, o valoare nulǎ a constantei de integrare K0 şi deci

( )GaBa ⋅π

μ−=⋅

40

vm .

Pentru că a este ales arbitrar, revenind la notaţia lui G, rezultă

( ) ( ) 30

vm grad4μP

RRmB ⋅

π−= (9.29)

sau, deoarece m = const.,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

π−= 3

0vm grad

4μP

RRmB . (9.30)

Dezvoltând gradientul, aşa cum s-a procedat la obţinerea formulei (4.29), se obţine

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

⋅π

= 350

vm3

4μP

RRmRRmB . (9.31)

Aşa cum se poate observa, formulele (9.29), (9.30), (9.31) au aceeaşi structură ca şi formulele (4.27), (4.28), (4.29) din paragraful care priveşte câmpul electric în vid al unui mic corp polarizat.


9.6.2. Inducţia magnetică a unui corp masiv magnetizat

Se consideră un corp masiv, magnetizat neuniform, ce ocupă domeniul spaţial VΣ, şi un punct P exterior acestuia, aşa cum se poate observa în figura 9.15. În scopul determinării inducţiei magnetice în punctul exterior de observaţie, se exprimă pentru început inducţia magnetică elementară produsă în acel punct de un element de volum al corpului, centrat în punctul P′, având momentul magnetic v′=′ dMmd :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅′

π−= 3

0vm grad

4μd

RRmdB ,

expresie obţinută conform formulei (9.30). Se înmulţeşte scalar expresia de mai sus cu un vector constant şi arbitrar a şi se păstrează din cei patru termeni ai dezvoltării (obţinute pe baza relaţiei 2. din anexa A.2), numai termenul nenul al gradientului produsului scalar. Avem conform identităţii din anexa A.3, punctul 1. şi cu ( ) ( )⋅−=⋅′ graddgra

( ) vR

′′⋅⋅π

=⋅ ddgra4μd 3

0vm

RaMBa ,

simbolurile prim semnificând operaţii vectoriale privind originea vectorului relativ R, precum şi elemente care sunt sediul unor surse de câmp, în speţă sediul unei magnetizaţii. Integrând pe întregul domeniu VΣ, se obţine

( )∫∫∫Σ

′′⋅⋅π

=⋅V

30

vm ddgra4μ v

RRaMBa .

Integrandul se calculează dezvoltând divergenţa expresiei

( ) ,dgravdi

trotrovdi

33m3

333

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′⋅−⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×′⋅−′⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××′

RRR

RRRRaRaMJRa

RaMMRaRaM

v′d


în care s-a făcut înlocuirea mtro JM =′ . Din această relaţie, cu 0vdi 3 =′RR

rezultă integrandul

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××′+

×⋅=′⋅⋅ 33

m3 vdidgra

RRRRaMRJaRaM .

Revenind la calculul integralei, obţinem cu ajutorul teoremei Gauss – Ostrogradsky

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

′⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ××+

×⋅

π=⋅ ∫∫∫∫∫

ΣΣ

AR

'vR

dd4μ

3V

3m0

vm nRaMRJaBa .

Efectuând o permutare a factorilor dublului produs vectorial obţinem

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⋅×+

×⋅

π=⋅ ∫∫∫∫∫

ΣΣ

AR

'vR

dd4μ

3V

3m0

vmRaMnRJaBa .

Pe de altă parte,

mlJMn −=× şi 3ml

3ml RRRJaRaJ ×

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⋅− ,

şi deci

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′×

+×

π⋅=⋅ ∫∫∫∫∫

ΣΣ

AR

'vR

dd4μ

3ml

V3

m0vm

RJRJaBa .

Întrucât a este arbitrar, rezultă

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′

×+

×π

= ∫∫∫∫∫ΣΣ

AR

'vR

dd4μ

P3

ml

V3

m0vm

RJRJB , (9.32)

o expresie de tip amperian de forma (8.12) şi (8.13). Trebuie observat că, în prezenţa unui corp masiv magnetizat, apar nu numai densităţi de curent amperieni în interiorul corpului, dar, în mod obligatoriu, şi densităţi de curent amperieni de linie la suprafaţa lui. În cazul în care în proximitatea corpului masiv se găsesc şi n corpuri mici magnetizate, cu


momentele magnetice m1, m2, …, mn, inducţia magnetică rezultantă se obţine prin superpoziţie:

( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅−+′×

+×

π= ∫∫ ∑∫∫∫

Σ =Σ

n

k k

kk R

AR

'vR 1

33ml

V3

m0vm grad)(dd

4μP RmRJRJB .

9.7. Caracterizarea câmpului magnetic în interiorul corpurilor

Aşa cum s-a văzut, pe parcursul celui de al doilea capitol, inducţia magnetică în vid a fost definită cu ajutorul relaţiei vm BvF ×= q , în care Fm este forţa magnetică exercitată asupra unui mic corp de probă în mişcare uniformă, rectilinie şi încărcat cu o sarcină electrică q. Pentru a defini inducţia magnetică în interiorul unui corp, printr-un procedeu similar cu cel folosit în vid, este necesară practicarea unei cavităţi vide, foarte mici, Σ, în care se introduce corpul de probă în mişcare, în vederea măsurării forţei magnetice exercitate asupra lui

(figura 9.16). Experienţa, care este în mod evident una pur teoretică, arată, însă, că forţa depinde de forma şi de orientarea cavităţii, ceea ce conduce la o infinitate de posibile forţe magnetice, şi deci la o definire neunivocă a inducţiei magnetice. Acest fapt se explică prin apariţia unei inducţii magnetice proprii a cavităţii Bp, produsă de curenţii amperieni, localizaţi pe faţa interioară a cavităţii Σ, inducţie care depinde de forma şi orientarea acesteia. Inducţia proprie se suprapune inducţiei magnetice existente înainte de practicarea cavităţii, pe care o notăm cu B′ , şi o numim provizoriu inducţie magnetică de calcul, deoarece nu

există o posibilitate de a fi definită în interiorul corpului printr-un procedeu experimental, similar cu cel utilizat în vid. Inducţia rezultantă din vidul cavităţii se obţine prin superpoziţie:

∫∫Σ

′×π

+′=+′= AR

d4μ

3ml0

pcavvRJBBBB .

Folosind formula (9.26), care exprimă densitatea curenţilor amperieni la suprafaţa dintre corp şi vid, inducţia Bv cav devine

( )∫∫Σ

′××π

+′=+′= AR

d4μ

30

pcavvRnMBBBB , (9.33)


în care singura mărime teoretic măsurabilă este Bv cav, cea din membrul întâi. Cele două mărimi B′ şi M se pot determina prin rezolvarea sistemului de două ecuaţii cu două necunoscute, obţinute prin particularizarea relaţiei de mai sus, măsurând inducţiile Bv cav1 şi Bv cav2 din două cavităţi distincte. Întrucât curenţii amperieni, cu densitatea de linie Jml, produc un câmp magnetic, nu numai în interiorul, ci şi în exteriorul cavităţii, care modifică câmpul magnetic explorat, se alege o cavitate în formă de fantă mică şi extrem de plată, echivalentă cu o dublă pânză de curent (figura 9.17), despre care se ştie că are în exterior o inducţie nulă, iar în interior o inducţie egală cu produsul dintre permeabilitatea vidului şi produsul vectorial dintre Jml şi normala uν la dubla pânză de curent a fantei (8.17). În acest caz, Bv cav este

( ) νν ××μ+′=+′= uuMBBBB 0pcavv . (9.34)

Pentru determinarea inducţiei de calcul B′ şi a magnetizaţiei M, se consideră două orientări particulare ale fantei şi se măsoară inducţia din vidul fantelor astfel orientate. Orientările convenabile sunt cea a unei fante perpendiculare pe magnetizaţia locală şi cea a unei fante paralele cu aceeaşi magnetizaţie.

9.7.1. Inducţia magnetică în corpuri

Dacă fanta „se roteşte” astfel încât să devină perpendiculară pe magnetizaţie (figura 9.18), adică uν ⎢⎢M, ţinând seama că 0=× νuM , formula (9.34) devine

BB M ′=⊥fv . (9.35)

Se numeşte inducţie magnetică B dintr-un punct în interiorul unui corp,

νu

νuM

Fig. 9.19

νu

M

Fig. 9.18


limita către care tinde inducţia magnetică din vidul unei fante perpendiculare pe magnetizaţia locală, când dimensiunile fantei tind omotetic către punctul considerat:

MBB ⊥→

= fv0limf

. (9.36)

În aceste condiţii, inducţia de calcul este chiar inducţia definită mai sus:

BB =′ . (9.37)

9.7.2. Intensitatea câmpului magnetic în corpuri

Dacă fanta „se roteşte” astfel încât să devină paralelă cu magnetizaţia, adică uν ⊥ M (figura 9.19), formula (9.34) devine, cu (9.37) şi cu ( ) MuuM −=×× νν ,

MBB M 0fv μ−= . (9.38)

Se numeşte intensitatea câmpului magnetic H, dintr-un punct situat în interiorul unui corp, limita către care tinde raportul dintre inducţia magnetică din vidul unei fante paralele cu magnetizaţia locală şi permeabilitatea vidului, când dimensiunile fantei tind omotetic către punctul considerat:

MBH fv01

0 lim→

−μ=f

. (9.39)

Cu această definiţie, formula (9.38) devine:

MBH 00 μ−=μ

sau

( )MHB +μ= 0 , (9.40)

iar exprimând intensitatea câmpului magnetic se obţine

( )MBH 01

0 μ−μ= − . (9.41)

Consideraţiile de mai sus, referitoare la cazul particular al câmpului magnetic dintr-o fantă, justifică formula (9.40), care reprezintă o lege a teoriei câmpului electromagnetic. Aceste consideraţii nu constituie o demonstraţie a legii, (deoarece, aşa cum se ştie, legile nu se demonstrează prin deducţii


matematice, ci se constată pe cale experimentală), ci doar o justificare în cazul particular al practicării unei fante în interiorul corpului. În concluzie, pentru caracterizarea câmpului magnetic în interiorul corpurilor, nu este suficientă o singură mărime fizică, aşa cum este cazul în vid, ci sunt necesare două mărimi. Este o problemă de convenţie alegerea perechii de mărimi, care poate fi B şi M sau B şi H, pentru caracterizarea câmpului magnetic în corpuri.

9.7.3. Teoremele lui Remus Răduleţ ale tensiunii şi fluxului magnetic

Considerăm o fantă de orientare arbitrară, dată de versorul normal uν, practicată în interiorul unui corp masiv magnetizat (figura 9.20). Relaţia (9.34) se scrie cu (9.37) astfel:

( )MuuBB ××μ+= ννν 0fv (9.42)

sau efectuând dublul produs vectorial şi folosind (9.40)

( )MuuHB ⋅μ+μ= ννν 00fv . (9.43)

Înmulţind scalar relaţia (9.42) cu uν, obţinem (cu 0=× νν uu ) relaţia

ννν ⋅=⋅ uBuB fv , (9.44)

relaţie numită teorema fluxului magnetic, deoarece intervine la definirea fluxului magnetic în corpuri, cu ajutorul mărimii măsurabile νfvB :

νu

tu


∫∫∫∫ νν ⋅=⋅S

fvS

d AuBdAB .

Înmulţind scalar relaţia (9.43) cu versorul tangent la fantă ut, obţinem (cu 0t =⋅ν uu ) relaţia

( ) ttfv1

0 uHuB ⋅=⋅μ ν− , (9.45)

relaţie numită teorema tensiunii magnetice, deoarece intervine la definirea tensiunii magnetice în corpuri, cu ajutorul mărimii măsurabile νfvB :

ldC

tfv1

0C

∫∫ ⋅μ=⋅ ν− uBdlH .

Dacă materialul este izotrop, vectorii B şi H au aceeaşi orientare (figura 9.21).

9.8. Potenţialul magnetic scalar al corpurilor magnetizate

Expresiile analitice ale potenţialul magnetic scalar al unui mic corp magnetizat, precum şi cel al corpurilor masive magnetizate, în general neuniform, vor fi deduse în cadrul acestui subcapitol folosind rezultatele similare privind corpurile polarizate

9.8.1. Potenţialul magnetic scalar al unui mic corp magnetizat

Se consideră un mic corp magnetizat, plasat în vid, şi mica buclă de curent cu care este echivalentă. Se pot identifica următoarele două căi de determinare a potenţialului magnetic scalar.

SOLUŢIA I

Potenţialul micului corp magnetizat se determină cu ajutorul formulei

( ) ( ) ∫ ⋅−=P

0Pv0mm PP dlHVV ,

în care Hv rezultă din (9.30) prin împărţire cu μ0:

tuνu


( ) Ψπ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

π−= grad

41grad

41P 3v R

RmH ,

în care, 3RRm ⋅

=Ψ .

Alegând ( ) ( ) 0PP m0m == ∞VV , avem:

( ) ( )[ ]RV Ψ−π

−=Ψπ

−=Ψ⋅π

−=⋅−= ∫∫∫∞∞

∞

041d

41grad

41P

P

0P

P

0P

0P

Pvm dldlH

sau

( )RR

V 1grad41

41P 3m ⋅

π−=

⋅π

= mRm . (9.46)

SOLUŢIA a II-a

Echivalând micul corp magnetizat cu o buclă de curent, văzută din punctul în care se calculează potenţialul magnetic scalar sub unghiul solid ΩΓ, se obţine

( ) ∫∫Γ

Γ⋅

π=Ω

π=

S3m 44

PR

iiV dAR .

Deoarece dimensiunile buclei sunt foarte mici, vectorul R /R3 se menţine practic constant pentru toate punctele micii suprafeţe SΓ, şi deci poate fi plasat ca factor, în faţa integralei de suprafaţă

( ) ∫∫Γ

π≅

S3m 4

P dARR

iV ;

pe de altă parte Γ

Γ

=∫∫ AdAS

, rezultând

( ) 3m 41P

RiV RA ⋅

π= Γ

sau, cu Γ= Am ib ,


( ) 3b

m 41P

RV Rm ⋅

π= .

9.8.2. Potenţialul magnetic scalar al unui corp masiv magnetizat

Procedând formal ca la paragraful 4.8.2, obţinem cu v′= dMdm

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡′

′−+′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛′

π= ∫∫∫ ∫∫∫

Σ ΣV Vm dvdidvdi

41P v

Rv

RV MM

Introducând sarcinile de magnetizaţie

Mvdi0mv ′μ−=ρ şi nM ⋅μ=ρ 0mv

(echivalente formal cu expresiile (4.24) şi (4.26) ale sarcinilor electrice de polarizaţie), se obţine un rezultat asemănător cu cel dat de formula (4.44):

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛′ρ

+′ρμπ

= ∫∫∫ ∫∫Σ ΣV

msmv

0m dd

41P A

Rv

RV , (9.47)

adică o formulă de tip coulombian. Unităţile de măsură în sistemul internaţional de unităţi (SI) sunt pentru:

• densitatea de volum a sarcinilor de magnetizaţie, [ρmv] = 1 weber/metru cub (Wb/m3),

• densitatea de suprafaţă a sarcinilor de magnetizaţie, [ρms] = 1 weber/metru pătrat (Wb/m2),

• potenţialul magnetic scalar [Vm] = 1 ampère (A).

9.9. Permeabilitatea

Experienţa arată că, dacă se introduce un corp magnetizabil într-un câmp magnetic exterior H, acesta se magnetizează temporar, proporţional cu intensitatea câmpului magnetic în care este introdus. Apare o magnetizaţie temporară HM mt χ= , proporţionalitatea fiind dată de χm care este o constantă de material adimensională, numită susceptivitate magnetică. Dacă în relaţia (9.40)

( )MHB +μ= 0


se înlocuieşte M cu Mt (în ipoteza absenţei unor magnetizaţii permanente, adică a unor magneţi permanenţi) se obţine

( ) HHB r0m0 1 μμ=χ+μ= .

Mărimea adimensională mr 1 χ+=μ se numeşte permeabilitate relativă şi caracterizează proprietatea materialului de a se magnetiza temporar. Produsul

r0μμ=μ defineşte mărimea fizică numită permeabilitate. Rezultă,

HB μ= . (9.48)

9.10. Clasificarea materialelor în funcţie de magnetizarea lor

Materialele magnetizabile temporar sub influenţa unui câmp magnetic exterior se împart din punctul de vedere al proprietăţilor lor magnetice în două clase: materiale diamagnetice şi materiale paramagnetice. Materialele cu o permeabilitate relativă foarte mare, formează o categorie aparte de materiale, numite materiale feromagnetice, cu numeroase şi importante aplicaţii în tehnică. Permeabilitatea relativă a materialelor neferomagnetice este foarte apropiată de unitate. În aceste cazuri, se pot considera 1r ≅μ şi 0μ≅μ .

9.10.1. Corpuri diamagnetice şi paramagnetice

Aceste corpuri sunt lineare din punctul de vedere al comportării lor sub acţiunea unui câmp magnetic exterior, adică, pentru diferite valori crescătoare sau descrescătoare ale câmpului magnetic, punctul curent al magnetizaţiei descrie o dreaptă. Corpurile diamagnetice se caracterizează prin faptul că se magnetizează slab în sens opus câmpului magnetic în care sunt introduse (figura 9.22), ceea ce corespunde unei susceptivităţi magnetice negative ( )0m <χ , cu valori absolute foarte apropiate de zero, şi prin faptul că moleculele lor sunt nepolare, adică au un moment magnetic nul în absenţa unui câmp magnetic exterior. Din această categorie fac parte cuprul ( )6

r 10101 −⋅−=μ , argintul ( )6r 10251 −⋅−=μ ,

bismutul ( )6r 101701 −⋅−=μ . Explicaţia

microscopică a fenomenului se poate formula pe baza unui model simplificat al atomului, care, aşa

Fig. 9.22

H

M


cum se ştie, are mai multe orbite situate în planuri diferite, pe care se deplasează electronii. Simplificarea constă în considerarea unui model constituit din numai două orbite identice, situate în planuri paralele, pe care se rotesc cu viteze egale, dar în sensuri diferite, cei doi electroni, astfel încât momentul magnetic microscopic al atomului este nul în absenţa câmpului magnetic 00micr ==Hm (figura 9.23,a). La stabilirea unui câmp magnetic H, cu orientarea indicată în figura 9.23,b, ia naştere conform regulii lui Lenz, un câmp electric indus E de formǎ circulară (figura 9.23,b), al cărui sens este de aşa natură încât efectul lui să se opună cauzei care îl produce. Acest efect se manifestă prin apariţia unui câmp magnetic propriu Hp – antiparalel cu câmpul magnetic H – asociat după regula burghiului drept cu câmpul electric indus care îl produce. Asupra electronilor încărcaţi cu sarcini negative şi plasaţi în câmpul electric, acţionează forţe electrice Fe, omoparalele între ele şi antiparalele cu câmpul electric. Această împrejurare, are ca efect frânarea electronului de pe orbita superioară şi accelerarea celui de pe orbita inferioară, ceea ce corespunde în ansamblu, rotirii unei sarcini punctuale negative, în sensul prezentat în figura 9.23,c. În sfârşit, acestui sens îi corespunde un curent de convecţie de sens opus, echivalent cu o buclă de curent

de moment magnetic dirijat în jos – după cum rezultă aplicând regula burghiului drept. Momentul acesta microscopic este, evident, diferit de zero 0micr ≠m şi antiparalel cu câmpul magnetic inductor. Magnetizaţia corpurilor diamagnetice este numită de deformare şi este independentă de temperatură. Corpurile paramagnetice au o magnetizaţie slabă dirijată în sensul câmpului magnetic exterior care o induce, ceea ce corespunde unei susceptivităţi magnetice pozitive ( )0m >χ (figura 9.24). Din

Htd

d

H

M

Fig. 9.24


această categorie fac parte aluminiul ( )6r 10221 −⋅+=μ , aerul

( )6r 104,01 −⋅+=μ , platina ( )6

r 103301 −⋅+=μ . Moleculele acestor corpuri sunt polare, au un moment magnetic propriu, dar, în absenţa unui câmp magnetic exterior, sunt orientate haotic (figura 9.25,a). În prezenţa câmpului, molecule acestor corpuri se orientează de aşa manieră, încât suma momentelor magnetice dintr-un element de volum este nenulă şi dirijată în sensul câmpului (figura 9.25,b). Acest tip de magnetizaţie se numeşte de orientare. Susceptivitatea lor este invers proporţională cu temperatura absolută

Tconst.

m =χ .

9.10.2. Corpuri feromagnetice

Aceste materiale sunt nelineare şi se caracterizează prin faptul că introduse într-un câmp magnetic exterior, se magnetizează intens în sensul câmpului magnetic (figura 9.26). Permeabilitatea relativă a acestor materiale variază între limite foarte largi (μr = 10 …105). Ca exemple s-ar putea enumera: fierul, cobaltul, nichelul etc. Dependenţa inducţiei magnetice B de câmpul magnetic H nu este o dreaptă, deoarece permeabilitatea μ a acestor materiale depinde de câmp. De asemenea, inducţia magnetică depinde şi de succesiunea anterioară de stări prin care a trecut materialul, ea putând fi diferită de zero la câmp magnetic nul. Această din urmă proprietate se întâlneşte mai ales la corpurile cu magnetizaţie permanentă, adică la magneţii permanenţi. Ridicarea experimentală a curbei B = f(H) se poate efectua cu ajutorul montajului

H = 0 H

(a) (b)

Fig. 9.25


ilustrat în figura 9.27, care cuprinde un tor confecţionat din materialul feromagnetic supus analizei, bobinat cu două înfăşurări din fire conductoare izolate. Dacă se întrerupe sau se stabileşte curentul în prima înfăşurare (primară, numitǎ de excitaţie), în înfăşurarea secundară se induce un curent, pus în evidenţǎ cu ajutorul unui galvanometru balistic. Se demonstrează cu uşurinţă din teorema lui Ampère, că variaţia câmpului magnetic este proporţională cu variaţia intensităţii curentului ΔI din circuitul de excitaţie, conform formulei

Ir

NH Δπ

=Δ2

1 , (9.49)

în care N1 este numărul de spire al bobinei primare, iar r raza medie a torului. Variaţia corespunzătoare a inducţiei magnetice este dată de relaţia

max2

tB αΔ=ΔNARKB , (9.50)

unde Δαmax este variaţia maximă a indicatorului galvanometrului balistic, A este aria secţiunii torului, KB constanta galvanometrului balistic, N2 este numărul de spire al bobinei secundare, iar Rt rezistenţa electrică a circuitului secundar. Într-adevăr, sarcina care a străbătut circuitul secundar, tiq Δ=Δ , este în intervalul Δt proporţională cu deviaţia maximă Δαmax a galvanometrului: maxB αΔ=Δ Kti sau ( ) ( ) maxBt2tsect2t /// αΔ=Δ=ΔΔϕΔ=Δ KRBANtRtNtRe . Din ultima egalitate, rezultǎ ΔB dat de (9.50) (În şirul de egalităţi de mai sus s-au folosit relaţiile: t/ Rei = , tNe ΔϕΔ= /sect2 şi BAΔ=ϕΔ sect , în care Δϕsect este variaţia fluxului magnetic prin secţiunea torului).


În regim staţionar, curba B = f(H) se poate trasa mărind treptat modulul intensităţii câmpului magnetic H, prin creşterea curentului de excitaţie din circuitul primar. Dacă la începutul măsurării materialul torului este demagnetizat, se obţine curba (a) de primă magnetizare (figura 9.28). Curba atinge un punct (b), după care creşterea lui B odată cu H este nesemnificativă, atingând o valoare de saturaţie practic constantă. Acest proces de saturaţie poate fi explicat pe baza unei teorii care depăşeşte cadrul propus al acestei lucrări. Rezumând, sunt implicate mici domenii microscopice, cu un număr mare de atomi având momentele magnetice orientate în acelaşi sens în interiorul fiecărui domeniu, care, astfel, prezintă fiecare o magnetizaţie cu caracter permanent. Diferitele domenii au însă momentele proprii orientate haotic. La aplicarea unui câmp magnetic, domeniile tind să se orienteze în direcţia câmpului aplicat. La orientarea aproape completă a tuturor domeniilor, magnetizaţia M atinge o valoare limită Ms, care se numeşte magnetizaţie de saturaţie. La saturaţie, Ms >>H. Proprietăţile feromagnetice dispar dacă temperatura depăşeşte o anumită limită (punctul Curie), care la fier este de 760°C, iar la nichel 360°C. Demagnetizarea se obţine magnetizând materialul până la saturaţie şi apoi supunându-l unor câmpuri magnetice exterioare alternative de amplitudine din ce în ce mai mică. Dacă, după ce s-a parcurs o parte din curba de primă magnetizare până la valoarea Hmax, se micşorează treptat curentul, şi deci H, se constată că valorile lui B rămân superioare celor obţinute la prima magnetizare. Pentru H = 0, B nu se anulează, ci rămâne la o valoare Br, numită inducţie magnetică remanentă. Pentru a se obţine anularea inducţiei, este necesar să se inverseze sensul curentului de excitaţie şi deci sensul câmpului magnetic inductor. Intensitatea câmpului magnetic inductor Hc, necesară anulării inducţiei magnetice, se numeşte câmp magnetic coercitiv. Continuând creşterea în sens invers a câmpului până la valoarea –Hmax şi revenind, adică crescând din nou valoarea lui H până la valoarea +Hmax , se parcurge o curbă închisă numită ciclul de histerezis magnetic. Se pot trasa diferite cicluri de histerezis pentru diverse limite ale lui Hmax. Există un ciclu limită, care le cuprinde pe toate şi care caracterizează materialul.

B

HO

Br

-Br

Hc

-Hc

a

b

Hmax

-Hmax

Fig. 9.28


Pentru caracterizarea materialului în jurul unei anumite stări, definită de o pereche de valori H şi B (corespunzând unui punct pe caracteristica nelineară),

se definesc următoarele permeabilităţi magnetice relative (figura 9.29):

• permeabilitatea relativă statică (totală):

HB0

r μ=μ , (9.51)

care variază cu H atingând un maxim, pentru a scădea apoi şi a tinde către unitate, când H→∞. Într-adevăr,

( ) 1μ

μlim0

0r =

+=μ

∞→ HMH

H.

• permeabilitatea magnetică relativă diferenţială

direct sens00difr lim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δμ

Δ=μ

→Δ HB

H, (9.52)

care este proporţională cu panta curbei de magnetizare, în sens direct, în punctul P, definit de perechea (H, B).

• permeabilitatea magnetică relativă reversibilă Dacă se scade câmpul magnetic corespunzător punctului P cu H ′Δ , înainte de a se atinge saturaţia, şi apoi se măreşte din nou cu aceeaşi valoare, se descrie un mic ciclu histerezis atât de îngust, încât se poate asimila cu un segment de dreaptă, mai puţin înclinat faţă de abscisă decât tangenta la curbă în punctul P:

rev00revr lim ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′Δμ

′Δ=μ

→′Δ HB

H. (9.53)

Această permeabilitate este caracterizată prin faptul că este mai mică decât ambele μr şi μr dif. Ea atinge un maximum pentru B = 0, când coincide cu permeabilitatea în origine a curbei de primă magnetizare. Aceasta se numeşte permeabilitate magnetică relativă iniţială şi este definită de limita:

B

H

B

H

B

H

PB′Δ

H ′Δ

OFig. 9.29


0,000inr lim

==→Δ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δμ

Δ=μ

BHH HB . (9.54)

În regim nestaţionar se mai manifestă fenomenul de vâscozitate magnetică (post efect magnetic), conform căruia ΔB nu ia instantaneu valoarea de regim staţionar, corespunzătoare unei anumite valori ΔH. În acest regim se defineşte permeabilitatea dinamică, caracterizată de valori mai mici decât cele de regim staţionar, având o dependenţă invers proporţională cu frecvenţa. În material se produc, de asemenea, pierderi de energie, care, pe unitatea de volum şi pentru un ciclu, sunt proporţionale cu aria ciclului de histerezis.

Clasificarea materialelor feromagnetice

Materialele feromagnetice pot fi clasificate în următoarele două categorii: 1. Materiale feromagnetice moi (în sensul că se magnetizează uşor, acestea putând fi însă „dure” din punct de vedere mecanic) au un câmp coercitiv redus de ordinul 80 A/m, un ciclu histerezis îngust şi permeabilităţi magnetice foarte mari. Materialul cel mai reprezentativ din această categorie este aşa-numitul fier moale, cu un adaos de cel mult 4 % siliciu, în scopul de a se reduce pierderile de energie în câmpurile alternative. Unele aliaje feromagnetice moi, cu permeabilităţi foarte mari, au denumiri industriale precum permalloy (78,5 % Ni, 21,5 % Fe). Materialele moi se utilizează la fabricarea circuitelor magnetice ale maşinilor, aparatelor şi transformatoarelor electrice. 2. Materiale feromagnetice dure sunt caracterizate printr-un câmp coercitiv mare, de ordinul a 4000 A/m, inducţie remanentă mare şi permeabilităţi reduse. Cel mai frecvent material feromagnetic dur este oţelul cu circa 1% carbon. Se utilizează şi diverse alte aliaje cu câmp magnetic coercitiv foarte mare cu denumiri industriale precum Alnico (12% Al, 20% Ni, 5% Co, 53% Fe). Materialele dure se utilizează în special la confecţionarea magneţilor permanenţi. În figura 9.30 se prezintă comparativ porţiunile superioare ale ciclurilor histerezis a două materiale feromagnetice, unul moale cu aria ciclului foarte mică şi altul dur, cu aria foarte mare. Diferenţa esenţială dintre ele constă în valoarea câmpului magnetic coercitiv, şi nu în valoarea inducţiei magnetice remanente.

B

HO

Fig. 9.30


9.10.3. Feritele

O clasă specială de materiale feromagnetice sunt feritele – combinaţii ale oxizilor de fier (Fe2O3) cu oxizi ai metalelor bivalente. Din punct de vedere microscopic, magnetizarea lor prezintă anumite deosebiri faţă de aceea a materialelor feromagnetice propriu-zise, şi de aceea se consideră adesea o categorie aparte de materiale feromagnetice, fiind numite materiale ferimagnetice. În cazul feritelor, reţeaua cristalină se compune din două sau mai multe subreţele de ioni metalici, cu momente magnetice antiparalele, astfel încât magnetizaţia lor rezultă din diferenţa magnetizaţiilor acestor subreţele, ceea ce conduce la inducţii remanente şi de saturaţie relativ mici. Înrudite cu feritele, sunt materialele cu o structură cristalină asemănătoare, în care magnetizaţiile subreţelelor se compensează total, caracteristică ce are drept consecinţă anularea proprietăţilor feromagnetice, acestea fiind numite materiale antiferomagnetice. Cel mai vechi material feromagnetic cunoscut este magnetita (oxidul salin de fier, Fe2O3 + FeO), care este o ferită naturală. Din punct de vedere tehnologic, feritele sunt materiale ceramice obţinute prin sinterizare, proces descris sintetic în cele ce urmează: pulberea oxizilor componenţi se amestecă împreună cu anumiţi lianţi, se presează în matriţe de oţel supunându-se la temperaturi înalte de circa 1000 … 1400°C. Sinterizarea, efectuată în prezenţa unui câmp magnetic intens, conduce la ferite anizotrope cu calităţi superioare. Feritele au valori joase ale inducţiei remanente şi de saturaţie de ordinul 0,1 … 0,4 T şi, spre deosebire de materialele feromagnetice obişnuite, au o rezistivitate foarte mare, de ordinul 102 … 106 Ωm, faţă de rezistivităţile foarte reduse, cuprinse între 10–6…10–7 Ωm ale materialelor feromagnetice propriu-zise. Aceste proprietăţi înscriu feritele în categoria materialelor semiconductoare, şi le fac apte pentru utilizare la frecvenţe înalte, frecvenţe la care materialele feromagnetice obişnuite nu pot fi utilizate, din cauza pierderilor mari care apar datorită curenţilor turbionari intenşi, apăruţi ca urmare a rezistivităţii lor scăzute. Feritele din mangan-zinc sau nichel-zinc sunt materiale magnetice moi cu denumiri industriale ca: manifer sau ferroxcube. Prezenţa oxidului de zinc micşorează punctul Curie până la valori joase de circa 110°C, aşa încât permeabilitatea maximă se atinge la temperaturi de circa 30°C. Pierderile în fier (constând în pierderi prin histerezis şi pierderi prin curenţi turbionari) sunt foarte mici. Feritele de bariu sau cobalt sunt materiale magnetice dure, cu denumiri industriale ca: maniperm sau magnadur. Feritele sunt în momentul de faţă materiale indispensabile utilizate la fabricarea echipamentelor de calcul, difuzoarelor, antenelor magnetice, aparatelor de măsură, maşinilor şi transformatoarelor de puteri mici etc.

215

10. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI MAGNETIC

10.1. Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar

Câmpul magnetic staţionar se caracterizează prin mărimi invariabile în timp şi prin prezenţa curenţilor electrici de conducţie staţionari (regim de curent continuu). Un caz particular îl reprezintă câmpul magnetostatic, caracterizat prin absenţa curenţilor electrici de conducţie.

10.1.1. Teorema lui Ampère

Teorema lui Ampère reprezintă un caz particular al unei legi de evoluţie – legea circuitului magnetic – a cărei prezentare excede cadrului propus al acestei lucrări, restrâns doar la mărimi şi fenomene invariabile în timp. Teorema, prezentată în capitolul precedent pentru câmpul magnetic în vid, are următorul enunţ: „În regim staţionar, tensiunea magnetomotoare de-a lungul unei curbe închise Γ este egală cu solenaţia calculată prin orice suprafaţă deschisă SΓ , mărginită de curba Γ”.

Teorema enunţată sub o formă integrală (globală) are următoare expresie matematică:

ΓΓ Θ= SmmU sau ∫Γ

ΓΘ=⋅ SdlH , (10.1)

în care ∫∫Γ

Γ ⋅=ΘS

S dAJ este solenaţia, respectiv intensitatea curenţilor de

conducţie care traversează orice suprafaţă deschisă mărginită de curba închisă Γ. Forma locală (diferenţială) a teoremei se obţine transformând integrala curbilinie, de pe conturul închis Γ, într-o integrală se suprafaţă, cu ajutorul teoremei lui Stokes:

∫∫∫∫ΓΓ

⋅=⋅SS

rot dAJdAH .

Deoarece suprafaţa SΓ este aleasă arbitrar, rezultă egalitatea integranzilor, similar modului de obţinere a expresiei (8.23)

JH =rot . (10.2)

216 10. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI MAGNETIC

În vecinătatea unei suprafeţe de separaţie dintre două medii diferite, parcurse de o pânză de curent de densitate de linie Jl, suprafaţă care separă două medii

distincte, unde sunt prezente câmpurile magnetice H1 şi H2 (figura 10.1), formula (10.1) se particularizează astfel:

lJ Δ≅⋅+⋅ l2211 ΔlHΔlH . (10.3)

Ţinând cont de versorii reprezentaţi în figura 10.1 şi înlocuind segmentele orientate cu lΔ= l1 uΔl şi lΔ−= l2 uΔl , unde t12l unu ×= , se obţine după efectuarea calculelor şi înmulţirea scalară cu ut ( )ltl JuJ = :

( ) l1212 JHHn =−× , (10.4)

unde n12 este versorul normal la suprafaţă dirijată dinspre mediul 1 spre mediul 2. Rezultă

lsrot JH = , (10.5)

( )1212srot HHnH −×= fiind simbolul rotorului de suprafaţă al vectorului câmp magnetic H. Dacă suprafaţa de separaţie nu cuprinde o pânză de curent (Jl = 0), atunci din (10.3) rezultă continuitatea componentei tangenţiale a câmpului magnetic:

t2t1 HH = . (10.6)

10.1.2. Legea fluxului magnetic

Legea fluxului magnetic reflectă o proprietate structurală intrinsecă a câmpului electromagnetic, şi anume caracterul conservativ al fluxului magnetic. Legea este enunţată în urma unor rezultate experimentale, fiind una cu un

tu

12nlu

10. LEGILE ŞI TEOREMELE CÂMPULUI MAGNETIC 217

caracter general, valabilă deci oricând şi oriunde. Trebuie remarcat faptul că enunţul acesteia este valabil în orice regim, general variabil, şi nu numai în regimurile static şi staţionar: „În orice regim şi în orice mediu, fluxul magnetic, prin orice suprafaţa închisă Σ, este nul”. Legea enunţată sub o forma integrală (globală) are următoarele exprimări matematice

0=ΦΣ sau ∫∫Σ

=⋅ 0dAB . (10.7)

Forma locală a legii se obţine aplicând în membrul întâi teorema Gauss – Ostrogradsky

∫∫∫Σ

=V

0ddiv vB .

Deoarece integrala de volum este valabilă pentru orice domeniu VΣ, rezultă

0div =B . (10.8)

Aplicând formula (10.7) unei mici suprafeţe plate, închise Σ12 de formă paralelipipedică, extrem de mică, cu cele două feţe mai mari ale sale situate de o parte şi de alta ale unei suprafeţe de separaţie dintre două medii diferite 1 şi 2, rezultă

( ) l1212 JBBn =−⋅ , (10.9)

adică

0divs =B . (10.10)

Efectuând în formula (10.9) produsele scalare, se obţine continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice:

n2n1 BB = . (10.11)

Dacă μ1 şi μ2 sunt permeabilităţile celor două medii omogene şi izotrope, α1 şi α2 unghiurile pe care cele două câmpuri le formează faţă de normala la suprafaţă (figura 10.2), atunci se poate scrie, în absenţa unei pânze de curent, ţinând seama de continuitatea componentelor normale

1

2

1

2B1

B2

Fig. 10.2


ale inducţiei şi componentelor tangenţiale ale câmpului,

2

1

t22

t11

n2

t2

n1

t1

2

1

tg

tg

μμ

=μμ

==α

α

HH

BBBB

. (10.12)

Această expresie reprezintă teorema refracţiei liniilor de câmp magnetic. Deoarece conform legii fluxului magnetic ( 0div =B ), inducţia magnetică B poate fi considerată ca derivând dintr-un potenţial magnetic vector A, se poate scrie

AB rot= . (10.13)

10.1.3. Legea legăturii dintre inducţie, câmp şi magnetizaţie

Această lege (numită şi legea constitutivă magnetică) este una generală, întrucât este valabilă în orice moment şi în orice regim, atât pentru materiale lineare, cât şi pentru materiale nelineare. La introducerea unui corp într-un câmp magnetic exterior, acesta se magnetizează (fiind caracterizat local de magnetizaţia M) şi creează, astfel, un câmp magnetic propriu, care se compune vectorial cu cel exterior, obţinându-se un câmp magnetic rezultant, de inducţie B şi de intensitate H. Enunţul legii este: „În oricare punct al unui corp, aflat în câmp magnetic, şi pentru orice moment de timp, inducţia magnetică B este proporţională cu suma vectorială dintre intensitatea câmpului magnetic H şi magnetizaţia locală M a corpului.” Legea exprimă, aşa cum s-a văzut şi în capitolul precedent, relaţia de legătură dintre mărimile locale B, H, şi M, neavând o formă globală (integrală):

( )MHB +μ= 0 . (10.14)

După cum se ştie deja, magnetizaţia M poate avea două componente, una temporară Mt, dependentă de câmpul magnetic exterior, şi una permanentă Mp independentă de acest câmp

pt MMM += . (10.15)

10.1.4. Legea magnetizaţiei temporare


Legea magnetizaţiei temporare exprimă dependenţa magnetizaţiei tem-porare a unui corp de intensitatea câmpului magnetic exterior, în care acesta a fost introdus. Relaţia de dependenţă, ( )HMM tt = , este specifică fiecărui material magnetic în parte, putând fi una lineară, respectiv nelineară, atribute care se folosesc pentru caracterizarea diferitelor substanţe. Pentru un mediu izotrop şi linear, legea magnetizaţiei temporare are forma

HM mt χ= , (10.16)

unde, χm este o constantă adimensională de material numită susceptivitate magnetică. Relaţiile (10.14), (10.15) şi (10.16) se pot restrânge într-una singură, înlocuind magnetizaţia M în (10.4), astfel:

( ) ( )[ ]pm0pm0 1 MHMHHB +χ+μ=+χ+μ= .

Suma adimensională

mr 1 χ+=μ (10.17)

se numeşte permeabilitate magnetică relativă, iar produsul

r0μμ=μ (10.18)

se numeşte permeabilitate magnetică sau pe scurt, permeabilitate. Formula restrânsă devine

p0MHB μ+μ= . (10.19)

În absenţa componentei permanente, relaţia are forma

HB μ= (10.20)

şi exprimă relaţia de legătură dintre B şi H în medii liniare. În medii nelineare, această relaţie se exprimă grafic prin curba de magnetizare, aşa cum s-a văzut în capitolul 9.

10.2. Energia magnetică

Pentru determinarea energiei magnetice din interiorul unui domeniu linear, este necesar să fie cunoscută, spre a fi integrată, densitatea de volum a acestei energii. Deoarece expresia acesteia din urmă rezultă din teorema mai generală a energiei electromagnetice, teorie ce depăşeşte cadrul propus al fenomenelor invariabile în timp din acest volum, se va prezenta o demonstraţie


simplificată a expresiei acestei densităţi, pe baza unui exemplu concret al unei bobine lungi cu miez de permeabilitate μ, parcurse de curent. În acest scop, din teorema lui Ampère rezultă relaţia

iNlH = , (10.21)

în care l este lungimea bobinei lungi, N numărul de spire, i intensitatea curentului, iar H intensitatea câmpului magnetic din bobină (relaţie demonstrată în paragraful 8.6). Bobina este alimentată la bornele sale sub o tensiunea u, iar variaţia fluxului magnetic total prin spirele bobinei, într-un interval de timp td , este direct proporţională cu această tensiune:

tu dd =Φ , (10.22)

unde Φ este fluxul magnetic prin suprafaţa elicoidală care se sprijină pe cele N spire ale bobinei. Admiţând un câmp uniform în interiorul bobinei, fluxul fascicular se determină pe baza expresiei

AHAB μ==Φ f ,

unde A este aria secţiunii bobinei. Fluxul magnetic total, prin toate spirele bobinei, este fΦ=Φ N . Puterea electromagnetică absorbită pe la bornele bobinei este

iup = . (10.23)

Înmulţind această relaţie cu intervalul de timp elementar td , se obţine folosind relaţiile de mai sus, energia elementară înmagazinată în câmpul magnetic al bobinei, pe durata acestui interval:

( ) HHlAN

lHHNAN

lHtiuW ddddd m μ=μ=Φ== .

Integrând, se obţine,

0mbob

2

m 2WVHW +μ= ,

în care lAV =bob este volumul bobinei, iar Wm0 este o constantă de integrare cu dimensiunile unei energii. Admiţând că pentru H = 0 energia bobinei este nulă, rezultă Wm0= 0. Cu wm= Wm/Vbob rezultă densitatea de volum a energiei magnetice, în medii liniare şi izotrope:

HB ⋅==21

21

m HBw . (10.24)


Energia magnetică dintr-un domeniu complex 0DΣ , mărginit de o

suprafaţă închisă Σ0, care include un subdomeniu Vf conductor, străbătut de un curent de conducţie de densitate J, şi n bobine străbătute de curenţii i1, i2, …, ik, …, in (figura 10.3), se obţine prin integrarea densităţii de volum a energiei

∫∫∫∫∫∫ΣΣ

⋅=⋅=

0D0Dm drot

21d

21 vvW AHHB .

Ţinând cont de relaţia

( ) ( ) JAHAHAHAAH ⋅+×=⋅+×=⋅ divrotdivrot ,

se obţine

∫∫∫ ∫∫∫Σ

⋅+×=

0D Vm d

21 d)(div

21

j

vvW JAHA

sau

∫∫∑ ∫∫∫∫Σ= Γ

⋅×+⋅+⋅=0

01

m d)(21d

21d

21 AlSvW

n

k kk

jV

nHAAJAJ .

Dar,

dlAdlAAJ ⋅=⋅⋅=⋅ kkk iSJlS d şi kk

Φ=⋅∫Γ

dlA .

. . .

. . .

J

n0

ik

i1

in

Vf

0

D 0

Fig. 10.3


Deoarece

∫∫∫ΣΣ

⋅×=⋅×0

0tt0

0 d)(d)( AA nHAnHA ,

rezultă

∫∫∑∫∫∫Σ=

⋅×+Φ+⋅=0

0tt1

m d)(21d

21 AivW

n

kkk

jV

nHAAJ . (10.25)

În absenţa unui curent de conducţie al corpului masiv (J = 0) şi pentru o frontieră a domeniului considerată la infinit ( ∞Σ→Σ0 ), rezultă

∑=

Φ=n

kkkiW

1m 2

1 . (10.26)

10.3. Unicitatea şi superpoziţia câmpurilor magnetice staţionare

Se consideră un domeniu mărginit de o suprafaţă închisă Σ0, în interiorul căreia se găsesc n circuite filiforme parcurse de curent ( )nkik ,,2,1, K= , o pânză se curent cu densitatea de linie Jl şi un corp masiv, aflat în stare electrocinetică caracterizată de densitatea de curent J. Mediul prezent în interiorul suprafeţei închise este linear şi omogen. În cele ce urmează, se va demonstra că aceste surse ale câmpului magnetic staţionar produc un câmp magnetic unic. Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar sunt:

JH =rot ; ( ) 0div =μH ; ( )0t0 ΣΣ =×× HnHn ,

lsrot JH = ; ( ) k

k

Φ=⋅μ∫∫Γ

dAHS

;

(10.27)

acestea admit soluţii unice, când se cunosc următoarele condiţii de unicitate:

• J în fiecare punct, • ik sau Φk pentru fiecare circuit filiform de contur Γk, • Ht sau At în fiecare punct al frontierei Σ0.

Demonstraţia acestei teoreme de unicitate are două părţi: I. condiţiile de unicitate sunt nule (ecuaţiile sunt omogene) şi II. condiţiile sunt nenule (ecuaţiile sunt neomogene).


I. Problema omogenă: se consideră nule următoarele mărimi: J = 0, Jl = 0, Φk = 0, respectiv Ht = 0. Sistemul de ecuaţii devine:

0rot =H ; ( ) 0div =μH ; ( ) 00

=×× ΣnHn ,

0rots =H ; ( ) 0S

=⋅μ∫∫Γ

dAH

k

,

conducând conform (10.25) la Wm = 0. Pe de altă parte,

∫∫∫Σ

μ=

0D

2m d

21 vHW

este o sumă de pătrate, şi deci Wm > 0. Contradicţia nu poate fi eliminată decât dacă admitem că soluţiile ecuaţiilor omogene sunt identic nule: H = 0.

II. Problema neomogenă: admitem că ar exista două soluţii distincte H ′ şi H ′′ care satisfac ecuaţiile (10.27), după cum urmează:

0rot =′H 0rot =′′H

lsrot JH =′ lsrot JH =′′

( ) 0div =′μH ( ) 0div =′′μH

( ) 0S

=⋅′μ∫∫Γ

dAH

k

( ) 0S

=⋅′′μ∫∫Γ

dAH

k

( )0t0 ΣΣ =×′× HnHn ( )

0t0 ΣΣ =×′′× HnHn .

Scăzând membru cu membru cele două seturi de ecuaţii şi notând se obţine:

( )( )

( ) ,0

0

0div0rot

0rot

0d

Sd

d

ds

d

=××

=⋅μ

=μ=

=

Σ

Γ

∫∫

nHn

dAH

HH

H

k


un sistem omogen de ecuaţii care admite în conformitate cu prima parte a demonstraţiei, soluţii identic nule: Hd ≡ 0, adică HH ′′≡′ . Superpoziţia câmpurilor magnetice. O justificare diferită de cea prezentată la paragraful 8.2, privind superpoziţia acestor câmpuri, se bazează pe unicitatea soluţiilor ecuaţiilor câmpului magnetic, demonstrată mai sus. Fie Js o fracţiune

din densitatea J a curentului, astfel încât să putem scrie ∑=

=n

ss

1JJ . Toate

fracţiunile produc conform teoremei de unicitate câte o soluţie unică Hs, astfel încât ss JH =rot , pentru s = 1, 2, …, n. Sumând membru cu membru aceste ecuaţii se obţine

∑∑ ∑== =

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

ss

n

s

n

sss

11 1rotrot JHH ,

adică

JH =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑

=

n

ss

1rot .

Comparând această relaţie cu

JH =rot ,

rezultă, în conformitate cu teorema de unicitate, că sursa J, care apare în membrii drepţi, produce câmpuri unice. Adică,

∑=

=n

ss

1HH .

10.4. Ecuaţiile lui Poisson şi Laplace pentru potenţialul magnetic vector

O metodă de determinare a câmpului magnetic staţionar se bazează pe calculul prealabil al potenţialului magnetic vector A. În acord cu teoria ecuaţiei lui Poisson, prezentată la paragraful 5.4, se poate scrie,

BA rotΔ −= ,


în care, B se poate exprima, fie cu legea legăturii ( )MHB +μ= 0 , fie cu ajutorul formulei HB μ= . Prima formă a ecuaţiei lui Poisson este

MHA rotrotΔ 00 μ−μ−= ,

adică

( ) ( )m00 rotΔ JJMJA +μ−=+μ−= . (10.28)

A doua formă a ecuaţiei lui Poisson se poate scrie

( ) ( ) HHHHA rotgradrotΔ μ−×μ−=μ×∇−=μ−=

sau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ×

μμ

+μ−= HHA 2gradrotΔ , dar ABH rot==μ

deci

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

μ

μ+μ−= AJA rotgradΔ

2. (10.29)

Dacă permeabilitatea este constantă μ = const. şi J = 0, ecuaţia cu derivate parţiale poartă denumirea de ecuaţia lui Laplace pentru potenţialul magnetic vector:

0Δ =A .

Soluţii ale ecuaţiilor lui Poisson Pentru μ = const., ecuaţia lui Poisson se reduce la JA μ−=Δ sau, pe componente,

xx JA μ−=Δ , cu soluţia ∫∫∫∞

πμ

=D

d4

vRJ

A xx ,

yy JA μ−=Δ , cu soluţia ∫∫∫∞

πμ

=D

d4

vRJ

A yy ,

zz JA μ−=Δ , cu soluţia ∫∫∫∞

πμ

=D

d4

vRJ

A zz .


Înmulţind aceste soluţii cu versorii triortogonali i, j, k şi adunând, se obţine, într-un punct P, aflat la distanţa R de elementul de volum vd ,

( ) ∫∫∫πμ

=D

d4

P vRJA . (10.30)

Dacă domeniul D se reduce la domeniul ocupat de o singură spiră cu aria secţiunii S şi de contur Γ (figura 10.4), se obţine cu lSv ′= dd şi J S = i

( ) ∫Γ

′π

μ=

Ri ldA

4P , (10.31)

în care, simbolul prim ataşat elementului de linie semnifică faptul că acesta este sediul unei surse de câmp. Regăsirea teoremei lui Biot – Savart – Laplace Aplicăm rotorul formulei (10.31). Se obţine cu AB rot=

R

i ldB′

πμ

= ∫Γ

rot4

Calculăm integrandul:

ldldldld ′+′×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′×∇=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ′ rot11grad11rot

RRRR.

Deoarece

31grad

RRR

−= şi 0rot =′ld , rezultă 31rot

RRRldld ×′

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′ .

R

O

r′

r

iJS

P

P

dl

Fig. 10.4


Înlocuind în expresia inducţiei magnetice, se obţine teorema Biot-Savart-Laplace:

( ) ∫Γ

×′π

μ= 34

PR

i RldB .

În mod similar, se transformă formula (10.30) obţinându-se

( ) vR

′×π

μ= ∫∫∫ d

4P

D3RJB ,

unde domeniul tridimensional D este ocupat de corpul aflat în stare electrocinetică.

10.5. Condiţii de trecere şi condiţii la limită în câmpul magnetic

În problemele de determinare a câmpului magnetic staţionar, în configuraţii de câmp date, câmp rezultat din integrarea unor ecuaţii cu derivate parţiale, apare necesitatea determinării constantelor de integrare şi a valorilor proprii care apar în soluţiile acestor ecuaţii. Există două tipuri de condiţii: condiţii de trecere şi condiţii la limită. Condiţii de trecere. 1. În vecinătatea unei suprafeţe de discontinuitate dintre două medii distincte, separate de o pânză de curent de densitate de linie Jl , teorema lui Ampère lsrot JH = ia forma

( ) l1212 JHHn =−× ,

în care n12 este versorul normal la suprafaţa de discontinuitate. Presupunând absenţa unei pânze superficiale de curent (Jl = 0) şi dacă tu′ şi tu sunt doi versori perpendiculari, cuprinşi în planul de discontinuitate, astfel încât

( ) GHHu ≡−⊥′ 21t , relaţia devine, cu tt12 uun ×′= ,

( ) ( ) ( ) 0tttttt =′⋅−⋅′=×′× uGuuGuuuG .

Dar, 0t =′⋅ uG , şi deci 0tt =′Gu . Cum 0t ≠′u , rezultă Gt = 0 conducând la 0t2t1 =− HH . Rezultă continuitatea componentei tangenţiale a câmpului

magnetic, în absenţa pânzei de curent, conform egalităţii

t2t1 HH = .


2. În proximitatea unei suprafeţe de discontinuitate, legea fluxului magnetic 0divs =B va lua forma

( ) 01212 =−⋅ BBn ,

de unde rezultă continuitatea componentei normale a inducţiei magnetice:

n2n1 BB = .

3° În absenţa unei pânze de flux magnetic, potenţialul magnetic vector satisface relaţia 0rots =A , adică

( ) 01212 =−× AAn ,

relaţie care cu ajutorul unor transformări asemănătoare cu cele de la punctul 1., conduce la continuitatea componentei tangenţiale a potenţialului magnetic vector:

t2t1 AA = . Condiţii la limită Pentru determinarea univocă a câmpului magnetic din interiorul unui domeniu, mărginit de o suprafaţă închisă Σ0, este necesar să se cunoască: – fie componenta tangenţială a câmpului magnetic în orice punct al suprafeţei

0t ΣH ,

– fie componenta tangenţială a potenţialului magnetic vector, de asemenea în orice punct al suprafeţei:

0t ΣA .

10.6. Circuite magnetice lineare

Pentru cele mai multe aplicaţii practice, se urmăreşte obţinerea unor inducţii şi fluxuri magnetice cu valori cât mai ridicate; astfel elementele de excitaţie (sursele de câmp – bobinele parcurse de curenţi sau magneţii permanenţi) se plasează pe miezuri realizate din material feromagnetic sau se înseriază acestor miezuri. Se foloseşte, în acest mod, proprietatea materialelor feromagnetice, care prezintă permeabilităţi ridicate, ca unei valori date a câmpului magnetic să-i corespundă inducţii, respectiv fluxuri magnetice, mult mai mari decât cele care se obţin în cazul materialelor paramagnetice sau


diamagnetice. Acest aspect este înfăţişat cantitativ printr-un exemplu ilustrativ, în paragraful următor. Se numeşte circuit magnetic ansamblul format din corpuri feromagnetice ce formează trasee închise, aflate în contact direct sau separate prin foarte înguste interstiţii de aer, şi de sursele de câmp magnetic (elemente se excitaţie), care pot fi bobine parcurse de curenţi de conducţie sau magneţi permanenţi

10.6.1. Influenţa miezului feromagnetic

În interiorul unei bobine lungi, parcurse de un curent de intensitate i, de diametru 2b şi având N0 spire pe unitatea de lungime, se introduce pe axa de simetrie o vergea feromagnetică de diametru 2a < 2b şi de permeabilitate relativă μr. Se doreşte să se calculeze de câte ori creşte fluxul fascicular al bobinei şi de câte ori este mai mare fluxul din interiorul vergelei, faţă de fluxul fascicular din aerul din jurul vergelei. Întrucât se conservă componenta tangenţială a câmpului la suprafaţa vergelei, rezultă că intensitatea câmpului magnetic din interiorul vergelei este egală cu cea din restul bobinei: iNH 0= . Inducţiile magnetice din aer şi din vergea, precum şi fluxurile corespunzătoare sunt:

• în aer iNHB 0000 μ=μ= ⇒ ( )2200 abiNab −πμ=Φ − ,

• în miez iNHB 0r0r0fe μμ=μμ= ⇒ 20r0fe aiN πμμ=Φ .

Inducţia magnetică în aerul bobinei, atât înainte de introducerea vergelei, cât şi după aceea, este HB 00 μ= . Fluxul magnetic fascicular prin secţiunea πb2 înainte introducere are valoare

2000 biN πμ=Φ ,

iar după introducere

( )2200

20r0fe abiNaiNab −πμ+πμμ=Φ+Φ − .

Raportul lor pentru b / a = 4 şi μr = 1000 este

43,631

2

2

r

0

fe =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−μ

=Φ

Φ+Φ −

ab

ab

ab .

Prin urmare, introducerea vergelei are drept efect mărirea fluxului fascicular de 63,43 ori. Raportul dintre fluxul din vergea şi cel din aerul din jurul ei este


66,661

2rfe =

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

μ=

ΦΦ

−

abab

,

calcul pentru care au fost considerate aceleaşi date numerice. Vergeaua feromagnetică are drept efect „concentrarea” puternică a liniilor de câmp în interiorul ei.

10.6.2. Tubul de flux şi “legea” lui Ohm pentru circuite magnetice

Se consideră ansamblul liniilor de câmp magnetic aflate în interiorul a două curbe închise Γ1 şi Γ2, care formează un tub de flux, aşa cum se poate observa în figura 10.5. Tensiunea magnetică de-a lungul liniei mediane a tubului

de flux, situată între două secţiuni S1 şi S2, este:

f

2

1

2

1

f2

1

2

1m

dd Φ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μ=⋅

μΦ

=⋅μ

=⋅= ∫∫∫∫ All

AU dlBdlH .

Integrala ∫ μ=

2

1m

dAlR se numeşte reluctanţa tubului de flux, iar relaţia

fmm Φ= RU (10.32)

poartă denumirea improprie de lege a lui Ohm pentru circuite magnetice, datorită asemănării formale cu expresia integrală particulară al legii lui Ohm pentru circuitele electrice u = R i. Din acest motiv reluctanţa se mai numeşte şi rezistenţă magnetică. Tubul de flux se caracterizează prin absenţa dispersiei de-a lungul său şi printr-o inducţie magnetică considerată omogenă în secţiune. Dacă secţiunea tubului este constantă, intensitatea câmpului magnetic în lungul


tubului este constantă.Ca o consecinţa a legii fluxului magnetic, fluxul prin orice suprafaţă transversală tubului se conservă, ceea ce justifică denumirea de tub de flux. Unitatea de măsură a reluctanţei în SI, se deduce astfel:

[ ] [ ][ ]

1

2f

mm H1

m1mA1

mH1

A1Wb1A1 −=

⋅⋅==

Φ=

UR (henry–1).

Valoarea reciprocă a reluctanţei se numeşte permeanţă m

1R

=Λ şi are

unitatea de măsură un henry (H).

10.6.3. Teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice

Prima teoremă se referă la un nod al unei reţele magnetice, adică punctul de concurenţă a minimum două laturi ale circuitului considerat. În figura 10.6 este reprezentat un astfel de nod (a), la care sunt conectate na laturi (asimilabile unor tuburi de flux). Este, de asemenea, reprezentat sensul de referinţă (arbitrar) al fluxului fascicular al fiecărei laturi în parte. Se consideră suprafaţa închisă Σa, ce înglobează nodul (a), având normala într-un punct curent al său, orientată spre exteriorul suprafeţei, în concordanţă cu convenţia aplicabilă suprafeţelor închise. Se aplică legea fluxului magnetic suprafeţei închise, obţinându-se relaţia

0=⋅∫∫Σ

dABa

.

Deoarece laturile au fost asimilate unor tuburi de flux, rezultă ca liniile câmpului

anfΦanS


magnetic se regăsesc în totalitate în interiorul laturilor, suprafaţa Σa nefiind traversată de linii de câmp, decât la suprafeţele de intersecţie ale sale cu laturile circuitului (Sk). Astfel, integrala de suprafaţă se exprimă printr-o sumă de integrale de suprafaţă, după cum urmează:

01 S

=⋅∑ ∫∫=

an

k k

dAB .

Integrala reprezentând termenul general al sumei corespunde fluxului fascicular al laturii k, afectat de semnul plus în situaţia coincidenţei sensului de referinţă al fluxului fascicular cu sensul elementului orientat de arie dA (dat de normala exterioară la suprafaţă), şi de semnul minus în cazul necoincidenţei acestora. Pentru exemplul particular, ilustrat în figura 10.6, se obţine suma algebrică:

0ff3f2f1f =Φ++Φ++Φ−Φ−Φ ank ...... ,

ceea ce se poate scrie concis prin următoare sumă algebrică (termenii sunt afectaţi de semn)

( )

0f =Φ∑∈ ak

k . (10.33)

Enunţul teoremei: „Suma algebrică a fluxurilor magnetice fasciculare, ale laturilor concurente într-un nod al unui circuit magnetic, este nulă.” A doua teoremă se referă la o buclă de reţea, prin buclă înţelegând un contur închis format din laturi ale reţelei considerate, căruia i se ataşează un sens arbitrar de parcurgere, un exemplu fiind reprezentat în figura 10.7. Pentru bucla


cu număr de ordine (p) a unui circuit magnetic sunt reprezentate tensiunile magnetice la borne, ale tuturor laturilor componente, calculate prin aer, de-a lungul curbelor deschise orientate Ck. Se observă că reuniunea acestor curbe formează un contur închis Γp, trasat în întregime prin aer, căruia i se ataşează sensul arbitrar de parcurgere a buclei (p), reprezentat în figura 10.7. Aplicând teorema lui Ampère acestui contur închis şi observând că oricare suprafaţă deschisă, mărginită de curba Γp, nu este străbătută de curenţi de conducţie obţinem

0S =Θ=⋅∫Γ

Γp

pdlH ,

sau descompunând integrala curbilinie cu ajutorul sumei algebrice

01 C

=⋅∑ ∫=

pn

k k

dlH ,

unde np este numărul total de laturi care formează bucla (p). Pentru exemplul prezentat, această sumă algebrică se poate scrie explicit sub forma:

0m2m1m =−+− nUUU K ,

unde tensiunile ale căror sens de referinţă coincide cu sensul de parcurgere a buclei au fost notate cu semnul plus, spre deosebire de cazul când aceste sensuri nu coincid, atunci când tensiunile au fost notate cu semnul minus. Sintetic suma algebrică se poate scrie:

0)(

m =∑∈ pk

kU , (10.34)

relaţie pe care se bazează enunţul teoremei: „Suma algebrică a tensiunilor magnetice la bornele laturilor care formează o buclă a unui circuit magnetic este nulă.” Se consideră sensurile de referinţă ale mărimilor Umk, ik, Φfk, reprezentate în figura 10.7, şi curba deschisă orientată Cik trasată prin interiorul materialului feromagnetic. Se observă că Cik şi Ck formează o curbă închisă Γk, căreia i se ataşează sensul antiorar de parcurgere. Suprafaţa deschisă kΓS , mărginită de curba Γk, are elementul orientat de arie dA cu sensul ieşind din planul figurii. Aplicând teorema lui Ampère conturului Γk, se scrie


∫ ∫∫Γ Γ

⋅=⋅k kS

dAJdlH

sau explicitând integralele şi ţinând cont că J ↑↓ dA rezultă

kkk UU Θ−=− mlm ,

unde Umlk reprezintă tensiunea magnetică în lungul laturii k. Ţinând cont de relaţia (10.32) avem

kkkk RU Θ−Φ= fmm ,

unde Rmk este reluctanţa laturii k. Înlocuind această expresie în (10.34) se obţine forma utilizată în mod curent pentru analiza circuitelor magnetice

( ) ( )

∑∑∈∈

Θ=Φpk

kpk

kkR fm . (10.35)

Observaţii

1. Ca şi în cazul primei teoreme a lui Kirchhoff, şi în cazul relaţiei (10.35), este de remarcat caracterul algebric al sumelor care intervin, semnele termenilor rezultând în urma comparării sensurilor de referinţă alese cu sensul de parcurgere a buclei.

2. Analiza unui circuit magnetic cu n noduri şi l laturi presupune, în scopul determinării fluxurilor fasciculare ale laturilor, scrierea teoremei întâi a lui Kirchhoff în n – 1 noduri şi a celei de a doua teoreme pe l – n + 1 bucle independente.

3. Pe baza relaţiilor matematice stabilite în cuprinsul acestui capitol, se pot face următoarele corespondenţe între mărimile care intervin în studiul circuitelor magnetice şi cele omoloage ale circuitelor electrice:

B ↔ J, H ↔ E, Φf ↔ i, Um ↔ U,

Rm ↔ R, Λ ↔ G, θ ↔ e, μ ↔ σ.

Aplicaţie. Să se determine intensităţile câmpurilor magnetice Hf şi Hδ din miezul şi din întrefierul circuitului magnetic din figura 10.8. Soluţia I. Aplicând teorema lui Ampère şi legea fluxului magnetic rezultă sistemul de ecuaţii


INHlH =δ+ δff , pe conturul Γ, 00fr0 =μ−μμ δHAHA ,

pe suprafaţa Σ cu soluţiile

δμ+

=rf

f liNH şi

δμ+μ

=δrf

rl

iNH ,

în care Γ este curba închisă prin circuitul magnetic, iar Σ cuprinde un pol. Soluţia a II-a. Se aplică teorema a doua a lui Kirchhoff (10.35) conturului închis Γ care trece prin miez şi prin întrefier:

( ) INRR =Φ+ δ fmmf ,

în care,

A

lRr0

fmf μμ

= şi A

R0

m μδ

=δ .

Rezultă fluxul fascicular

δμ+

μμ=Φ

rf

r0f l

iAN şi inducţia δμ+

μμ=

rf

r0l

iNB .

Odată determinată inducţia, rezultă câmpul magnetic în fier şi în întrefier

δμ+

=μμ

=rfr0

f liNBH şi

δμ+μ

=μ

=δrf

r

0 liNBH .

Fig. 10.8

r

N

i

A

A

lf


10.7. Circuite magnetice nelineare

Circuitele magnetice neliniare se caracterizează prin dependenţa nelineară a inducţiei magnetice de intensitatea câmpului, din diferitele laturi ale circuitului magnetic. Relaţia grafică de legătură poate fi dată fie local (punctual) , sub forma ( )HfB 1= , reprezentarea grafică numindu-se curbă de magnetizare (figura 10.9,a), fie global, sub forma ( )ml2f Uf=Φ , reprezentarea purtând denumirea de caracteristică magnetică (figura 10.9,b). Deoarece reluctanţele nu

sunt cunoscute, ele fiind dependente de permeabilitate, teoremele lui Kirchhoff se exprimă sub forma:

•( )

0f =Φ∑∈ ak

k – prima teoremă, referitoare la un nod (a),

•( ) ( )

∑∑∈∈

Θ=pk

kpk

kUml – a doua teoremă, referitoare la o buclă (p).

Problemele curente ale circuitelor magnetice constau în determinarea fluxurilor magnetice fasciculare, din diferitele laturi ale unui circuit magnetic, când se cunosc configuraţia circuitului, solenaţiile şi caracteristicile magnetice ale laturilor componente.

Legarea în serie, în paralel şi mixtă a laturilor pasive, nelineare.

Legarea în serie. Dacă se cunosc caracteristicile magnetice a două laturi pasive (fără bobine parcurse de curent), legate în serie, se cere să se determine grafic caracteristica

( )mf UΦ , Um fiind tensiunea magnetică la bornele ansamblului. Caracteristica se determină punct cu punct, adunând la câte un flux dat, abscisele Um1 şi Um2

Fig. 10.9(b)(a)

f

UmlOO

B

H


corespunzătoare. Este de remarcat faptul că, în cazul laturilor pasive, tensiunea magnetică la bornele acestora coincide cu tensiunea magnetică determinată prin interiorul acestora, ca o consecinţă a teoremei lui Ampère, în absenţa solenaţiei. Legarea în paralel Pentru determinarea grafică a caracteristicii

( )mf UΦ , se adună la câte o tensiune magnetică dată fluxurile Φf1 şi Φf2 corespunzătoare. Montaj serie-paralel În figura 10.10,a se reprezintă un montaj serie-paralel şi caracteristicile magnetice ale celor trei laturi (figura 10.10,b). Se doreşte să se determine caracteristica

( )mf UΦ a ansamblului. Problema se rezolvă în două etape: în prima, se construieşte prin adunarea ordonatelor caracteristica ( )mf UΦ′ a celor două laturi legate în paralel, iar în cea de a doua, prin adunarea absciselor caracteristicilor ( )mf UΦ′ şi ( )m0f UΦ . Aplicaţie. Pentru electromagnetul din figura 10.11,a, se cunosc următoarele date: numărul de spire N, aria A a secţiunii, lungimea întrefierului δ, precum şi caracteristica magnetică a electromagnetului ( )mfe UΦ . Să se determine valoarea pe care trebuie să o aibă solenaţia iN , pentru a obţine în întrefier un flux magnetic Φf0 impus. Porţiunile de circuit din fier şi întrefierul sunt conectate în serie, cea corespunzătoare fierului având caracteristica dată ( )mfe UΦ , iar cea corespunzătoare întrefierului având caracteristica lineară Δ, dată de relaţia

fmm Φ= RU , în care AR 0m /2 μδ= . Adunând abscisele celor două caracteristici, se obţine caracteristica ( )mf UΦ . De la ordonata fluxului fascicular dat Φf0, se trasează o paralelă cu axa absciselor, până întâlneşte curba într-un punct P; din acest punct, se duce o paralelă cu axa ordonatelor până

mU ′


întâlneşte axa absciselor, în punctul de abscisă care dă valoarea necesară a solenaţiei (figura 10.11,b) cerute în enunţ.

10.8. Forţe generalizate în câmpul magnetic

Aceste forţe se manifestă cu precădere în câmpul magnetic al bobinelor străbătute de curenţi de conducţie. Din acest motiv, se consideră n bobine, care datorită tensiunilor la borne aplicate, sunt străbătute de curenţii care produc

câmpul magnetic. Puterea absorbită de bobine este ∑=

=n

kkk iup

1. Înmulţind cu un

interval elementar de timp td , obţinem cu kk tu Φ= dd energia magnetică elementară absorbită de sistem în absenţa lucrului mecanic:

m1

dd Win

kkk =Φ∑

=.

Dacă sub acţiunea forţelor magnetice se execută şi un lucru mecanic,

energia elementară absorbită ∑=

Φn

kkki

1d trebuie să acopere pe lângă creşterea

elementară a energiei din câmpul magnetic mdW şi lucrul mecanic elementar:

∑∑==

+=Φl

sss

n

kkk xXWi

1m

1ddd ,

în care, Xs sunt forţele generalizate, xs coordonatele generalizate, iar l numărul gradelor de libertate ale sistemului. Acest bilanţ se rescrie astfel:

∑∑==

−Φ=l

sss

n

kkk xXiW

11m ddd . (10.36)


Pe de altă parte, privind energia din câmpul magnetic ca pe o funcţie de fluxuri şi de coordonate generalizate ( )KK ,,;,, 2121mm xxWW ΦΦ= , aceasta are variaţia elementară

s

l

s sk

n

k km x

xWWW ddd

1

m

1

m ∑∑== ∂

∂+Φ

Φ∂∂

= (10.37)

1. Dacă fluxurile se menţin constante (Φk = const.), rezultă şi 0d =Φk . Prin identificarea relaţiilor de mai sus, se obţine,

.

m

constkss x

WX=Φ∂

∂−= . (10.38)

2. Dacă se menţin curenţii constanţi (ik = const.), se înlocuieşte în (10.36) produsul kki Φd :

( ) kkkkkk iii ddd Φ−Φ=Φ .

Se obţine,

∑∑∑===

+Φ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−Φ

l

sss

n

kkk

n

kkk xXiWi

111m ddd .

Se numeşte coenergie magnetică mărimea fizică definită prin diferenţa:

∑=

−Φ=n

kkk WiW

1m

*m . (10.39)

Bilanţul energetic va fi

∑ ∑= =

+Φ=n

k

l

ssskk xXiW

1 1

*m .ddd (10.40)

Pe de altă parte, coenergia câmpului magnetic, ca funcţie de curenţi şi de coordonatele generalizate ( )KK ,,;,, 2121

*m

*m xxWW ΦΦ= , are variaţia

elementară

s

l

s sk

n

k kx

xWi

iWW ddd

1

*m

1

*m*

m ∑∑== ∂

∂+

∂∂

= (10.41)


Dacă se menţin constanţi curenţii ik = const. şi 0d =ki , identificând ultimele două relaţii, se obţine

.

*m

constkiss x

WX=

∂∂

+= . (10.42)

Observaţie. În medii liniare, *mm WW = , iar forţele (10.38) şi (10.42) constituie

doar un mod de calcul, rezultatul fiind acelaşi.

10.9. Câmpul magnetostatic

Câmpul magnetostatic se caracterizează prin absenţa curenţilor de conducţie (J = 0) şi prin absenţa variaţiei în raport cu timpul a mărimilor

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≡

∂∂ 0t

. În aceste condiţii, transformările energetice sunt inexistente.

10.9.1. Ecuaţiile câmpului magnetostatic

Aceste ecuaţii rezultă din ecuaţiile câmpului magnetic staţionar, în care J = 0: 1. Teorema lui Ampère

∫Γ

=⋅ 0dlH ; 0rot =H ; rezultă mgradV−=H .

2. Legea fluxului magnetic

∫∫Σ

=⋅ 0dAB ; 0div =B ; rezultă AB rot= .

3. Legea legăturii dintre inducţie, câmp şi magnetizaţie

( )MHB +μ= 0 .

4. Legea magnetizaţiei temporare

HM mt χ= .


10.9.2. Ecuaţia Poisson în funcţie de sarcinile de magnetizaţie.

Utilizând teoria ecuaţiei lui Poisson pentru potenţialul scalar, prezentată la paragraful 5.4, se obţine înlocuind câmpul de vectori G cu H.

HdivΔ m −=V , (10.43)

în care, membrul al doilea se calculează aplicând divergenţa formulei 3. Se

obţine cu 2. 0

vm

0

0 divdivdivμ

ρ=

μμ−

=−=MMH , în care ρvm este densitatea de

volum a sarcinilor de magnetizaţie. Deci,

0

vmm μ

ρ−=ΔV , (10.44)

cu soluţia dată de formula celor trei potenţiale (paragraful 5.4.3). Pentru ∞Σ→Σ , ultimii doi termeni ai formulei se anulează şi rămâne

vR

V d4

1

D

vm

0m ∫∫∫

∞

ρπμ

= . (10.45)

10.9.3. Ecuaţia lui Poisson în funcţie de curenţii amperieni.

Utilizând din nou informaţiile de la paragraful. 5.4, se obţine înlocuind câmpul de vectori G cu B

BA rotΔ −= , (10.46)

în care, membrul al doilea se calculează aplicând rotorul relaţiei 3. Se obţine cu 1.:

( ) m000 rotrotrotrot JMMHB μ=μ=+μ= ,

unde Jm este densitatea curenţilor amperieni. Deci,

m0Δ JA μ−= . (10.47)

Pe componente, cu soluţiile pentru ∞Σ→Σ , vom avea:


xx JA m0Δ μ−= ⇒ ∫∫∫∞

πμ

=D

m0 d4

vR

JA xx ,

yy JA m0Δ μ−= ⇒ ∫∫∫∞

πμ

=D

m0 d4

vR

JA y

y ,

zz JA m0Δ μ−= ⇒ ∫∫∫∞

πμ

=D

m0 d4

vR

JA zz .

Înmulţind componentele potenţialului vector cu versorii i, j, k şi adunând, se obţine

vRD

d4

m0 ∫∫∫∞

πμ

=JA . (10.48)

10.10. Magneţi permanenţi

Materialele feromagnetice care prezintă o magnetizaţie proprie constantă M = Mp, chiar şi atunci când nu sunt plasate într-un câmp magnetic exterior care să le magnetizeze, fac parte din clasa celor care poartă denumirea de magneţi permanenţi. Pentru a studia câteva din proprietăţile mai importante ale acestor materiale, ne vom referi la o bară dreptunghiulară, magnetizată permanent. Pentru simplificarea prezentării teoretice, vom admite ipoteza că în interiorul magnetului nu există efecte de margine, adică vectorul magnetizaţiei permanente Mp şi intensitatea câmpului magnetic Hi sunt câmpuri uniforme, paralele cu axa


de simetrie. Liniile de câmp magnetic din figura 10.12,a le aproximează deci pe cele reale din figura 10.12,b. Întrucât nu există curenţi de conducţie, vom scrie că circulaţia câmpului magnetic de-a lungul curbei închise Γ din figura 10.13 este nulă:

0=⋅∫Γ

dlH

sau

( ) ( )

01

a2e

2

m1i =⋅+⋅ ∫∫ dlHdlH ,

în care sensurile pozitive adoptate pentru câmpurile din interiorul (indice „m”), respectiv exteriorul (indice „a”) magnetului se aleg omoparalele cu sensul dl de parcurgere a curbei închise Γ. Cu aceste sensuri, tensiunea magnetică din bară rezultă negativă,

( ) ( )

∫∫ ⋅−=⋅1

a2e

2

m1i dlHdlH ,

deoarece pe porţiunea din aer a conturului, câmpul magnetic şi elementul de linie sunt omoparaleli, şi deci 0e >⋅dlH . Integrala din membrul întâi fiind negativă, rezultă că produsul scalar 0i <⋅dlH , adică, în interiorul barei, vectorul Hi este în realitate antiparalel cu vectorul dl . Concluzia care se impune este că în interiorul magnetului permanent, câmpul magnetic este antiparalel cu magnetizaţia (figura 10.14), iar liniile câmpului magnetic sunt dirijate de la polul superior, denumit polul nord, la cel inferior, denumit polul sud, atât prin interiorul magnetului, cât şi prin exteriorul său. (Spectrul real al câmpului din interior este reprezentat – aşa cum s-a menţionat deja– în figura 10.12,b.). În aceste condiţii, Hi fiind antiparalel cu Mp se poate scrie:

pdi MH N−= , cu 10 d << N , (10.49)


în care parametrul adimensional Nd se numeşte coeficient de demagnetizare. Legătura dintre mărimile magnetice din interiorul barei este:

( )pi0i MHB +μ= (10.50)

Întrucât în problemele practice se operează cu câmpuri şi inducţii, care aşa cum s-a văzut sunt mărimi măsurabile, şi mai puţin cu magnetizaţii, se va elimina magnetizaţia permanentă Mp între relaţiile (10.49) şi (10.50). Se obţine următoarea relaţie între modulul inducţiei şi cel al câmpului:

id

d0i

1 HN

NB −μ= , (10.51)

care este ecuaţia unei drepte Δ, situate în cadranele II şi IV ale sistemului de coordonate (Bi ; Hi) (figura 10.15). Ramura curbei de histerezis din cadranul al doilea poartă denumirea de curbă de demagnetizare a materialului. Punctul de intersecţie P dintre această curbă şi dreapta Δ poartă denumirea de punct de funcţionare a magnetului permanent. Este de menţionat că dreapta Δ se mai poate trasa şi aproximativ, cunoscând doar curba de demagnetizare a materialului. Într-adevăr, ea este asimilabilă cu diagonala dreptunghiului OABC. Densitatea de volum a energiei din câmpul magnetic este proporţională cu produsul Bi Hi, astfel încât reprezentarea grafică a acestei densităţi în funcţie de variabila axei OBi are forma dată de curba al cărei subgrafic este haşurat în figura 10.15. Punctul de maxim al acestei curbe coincide cu destul de bună aproximaţie ordonatei punctului de funcţionare P, care, ca urmare, corespunde

condiţiei de energie maximă, şi deci de utilizare optimă a magnetului permanent. Prezintă interes două cazuri particulare care se vor prezenta în cele ce urmează. Bara lungă (vergeaua magnetizată longitudinal) (figura 10.16). Deoarece sarcinile magnetice de suprafaţă care produc câmpul magnetic sunt reduse cantitativ, din cauza suprafeţelor mici ale polilor şi, în plus, sunt depărtate de centrul magnetului, câmpul magnetic interior se poate

Bi

HiO

wm

Br

-Hc

P

AB

C

Fig. 10.15

ms

ms

Mp

Fig. 10.16


neglija: 0i ≅H . Deoarece inducţia 0i ≠B rezultă din formula (10.49) 0d ≅N , iar din (10.50) rezultă p0i MB μ= . Bara plată (pastila magnetizată transvesal) (figura 10.17). Densitatea de

suprafaţă a sarcinilor magnetice este, conform celor prezentate în paragraful 9.8,

( ) p012p012120s0ms div Mμ=⋅μ=−⋅μ−=μ−=ρ nMMMnM ,

unde s-a considerat M2 = 0 şi M1 = Mp, iar n12 este versorul normal dirijat ca în figură. Prin analogie cu câmpul electric al dublului strat de sarcini electrice, câmpul magnetic al dublului strat de sarcini magnetic se scrie

( ) ( ) p120

p012

0

msi MnnH −=−

μ

μ=−

μρ

=M

.

Deci, rezultă

pi MH −= , Bi = 0 şi Nd = 1.

O explicaţie fizică a faptului că inducţia magnetică din interiorul pastilei este neglijabilă, se poate da cu ajutorul curenţilor amperieni de pe suprafaţa laterală foarte îngustă a pastilei. Intensitatea lor este redusă, fiind în plus foarte depărtaţi de centrul pastilei, ceea ce face ca inducţia magnetică în interior să fie neglijabilă. Spectrul câmpului magnetic H se stabileşte cu ajutorul densităţii de suprafaţă a sarcinilor de magnetizaţie egale cu p0Mμ+ , pe faţa polului nord, şi

p0Mμ− , pe cea a polului sud. Pe suprafaţa laterală, produsul scalar 12p nM ⋅ fiind nul, sarcinile de suprafaţă sunt nule. În aceste condiţii, câmpul este asemănător cu cel a unui dipol. Spectrul inducţiei magnetice B se determină cu ajutorul densităţii de linie a curenţilor amperieni, care sunt nuli pe feţele polilor, şi egali cu 12pml nMJ ×= pe suprafaţa laterală. În aceste condiţii, inducţia magnetică este asemănătoare cu cea a unei bobine (figura 10.18).

ms

ms

Mp

n12

Fig. 10.17


În concluzie, trebuie reţinut faptul că liniile de câmp ale lui H şi B coincid în exteriorul magnetului, dar sunt de sens opus în interiorul lui. Se pune, deci, în evidenţă efectul demagnetizant din interior, explicabil prin orientarea câmpului magnetic, dinspre sarcinile de magnetizaţie pozitive, de la polul nord, spre cele negative, de la polul sud.

Circuitul magnetic cu magnet permanent

Magneţii permanenţi se utilizează în diferite dispozitive şi aparate care reclamă prezenţa unei zone de câmp magnetic constant. Această zonă este de regulă întrefierul dintre polii unui circuit magnetic, ca cel din figura 10.19, constituit dintr-un magnet permanent în formă de bară dreptunghiulară şi două braţe feromagnetice de permeabilitate μ foarte mare, întrerupte de întrefier. Permeabilitatea acestor braţe trebuie să fie foarte mare, (μ→∞) pentru ca intensitatea câmpului magnetic în braţe să fie neglijabilă: 0/ ≅μ= BH . Se pune problema determinării câmpului Hf şi a inducţiei Bf din interiorul magnetului permanent, dacă sunt cunoscute următoarele: curba de demagnetizare a magnetului, precum şi caracteristicile geometrice ale circuitului magnetic, Af, lf şi δ. Se notează cu Aδ aria secţiunii din zona mediană a întrefierului, unde sunt concentrate cu preponderenţă liniile de câmp, ştiut fiind

Fig. 10.18

N

S

He

Hi

ms

ms

Mp


faptul că, pentru conservarea componentei tangenţiale a câmpului magnetic în puncte aflate în aerul întrefierului, liniile de câmp se curbează din ce în ce mai pronunţat spre extremitatea sa. Problema se reduce la aflarea coordonatelor punctului de funcţionare a magnetului (P), care, aşa cum s-a văzut, se află la intersecţia dintre curbă şi dreapta Δ, dreaptă a cărei ecuaţie trebuie determinată. În acest scop, se va scrie că circulaţia lui H, pe curba închisă Γ, şi fluxul lui B, prin suprafaţa închisă Σ, au valori nule:

0ff =+ δδlHlH (10.52) 0ffd0 =−μ δδ ABKAH , (10.53)

unde coeficientul adimensional Kd ( 10 d << K ) ţine seama de faptul că nu toate liniile de câmp ale lui Bf participă la fluxul total prin Σ, deoarece o parte din linii se scad din cauza dispersiei. Eliminând pe Hδ între ecuaţiile de mai sus, se obţine ecuaţia dreptei Δ:

ffd

f0f H

AKlABδ

μ−= δ . (10.54)

Punctul P, de intersecţie al acestei drepte cu curba de demagnetizare, are deci coordonatele Hf şi Bf , a căror determinare s-a cerut. În cele ce urmează, se pune problema alegerii lungimii (lf) a materialului din care este realizat magnetul permanent, în ipoteza cunoaşterii volumului (Vf) ocupat de acesta, în scopul obţinerii unei inducţii magnetice impuse (Bf 0). Ţinând cont că volumul magnetului este Vf = Af lf, se calculează tangenta unghiului α, din figura 10.20:


δ

μ=δ

μ==α δδ

f

2f

d

s0

fd

f0s

f

fs H

tgV

lAKK

AKlAKBK ,

de unde

α= tgf Kl , (10.55)

în care se notează

δμ

δ=

AKVK

K0s

fd ,

şi în care Ks este o constantă de scară. Din (10.55) rezultă că pentru a obţine o anumită valoare impusă a inducţiei (Bf 0), cu ajutorul unui magnet confecţionat dintr-un material magnetic moale, (figura 10.21,a) este necesar un unghi α mare, respectiv tg α mare, adică un magnet permanent cu o lungime lf mare. Pentru un material dur, urmând un raţionament similar, rezultă o lungime lf mică (figura 10.21,b). Evident, în aceste condiţii, soluţia tehnică este folosirea unor magneţi permanenţi confecţionaţi din materiale feromagnetice dure.

(a) (b)

B

H

B

H

Bf0Bf0

Fig. 10.21

249

11. INDUCTIVITĂŢI

11.1. Bobina electrică

Se numeşte inductivitate (inductanţă) a unei spire conductoare de contur Γ, parcursă de un curent de conducţie de intensitate i, raportul

i

L ΓΦ= S , (11.1)

unde ∫∫Γ

Γ ⋅=ΦS

S dAB este fluxul magnetic prin orice suprafaţă deschisă SΓ, care

se sprijină pe contur (figura 11.1). De cele mai multe ori, în aplicaţiile practice, inducţia magnetică, respectiv fluxul magnetic, create de o singură spiră sunt insuficiente. Acest neajuns este înlăturat prin folosirea mai multor spire înseriate, a căror inducţie, respectiv flux, pot fi „amplificate” de prezenţa unui material magnetic cu permeabilitate mare, dispus în interiorul spirelor. S-a realizat astfel ceea ce se numeşte o bobină electrică (figura 11.2). O definiţie a acesteia ar putea fi: „Se numeşte bobină (sau inductor) un dispozitiv electromagnetic realizat cu un conductor filiform formând o înfăşurare compactă cu N spire, dispuse în general pe un suport realizat dintr-un material feromagnetic numit miez.” În interiorul unei bobine fără miez feromagnetic, inducţia magnetică creşte proporţional cu numărul de spire al acesteia. Fluxul magnetic ΓΦS se

S

B

i

Fig. 11.1 Fig. 11.2

i

iS

t

250 11. INDUCTIVITĂŢI

concentrează cu preponderenţă pe suprafaţa elicoidală care se sprijină pe spire Φt – numit fluxul total al bobinei – şi în mod nesemnificativ pe restul suprafeţei

0≅Φ′ . Din acest motiv, se admite aproximaţia

ttS Φ≅Φ′+Φ=Φ Γ .

Fluxul magnetic fascicular Φf (corespunzător suprafeţei mărginite de o singură spiră) (figura 11.3) se exprimă cu ajutorul raportului

N

tf

Φ=Φ , (11.2)

în care N este numărul de spire. Raportul

i

Ni

L ft Φ=

Φ= (11.3)

se numeşte inductivitatea proprie a bobinei. Pentru o bobină de lungime l şi arie a secţiunii A, inductivitatea proprie are, cu AH0f μ=Φ , valoarea

i

NAHL 0μ= .

Aplicând teorema lui Ampère, s-a obţinut modulul intensităţii câmpului

11. INDUCTIVITĂŢI 251

magnetic liNH = , rezultând deci

Λ==

μ

=μ

= 2

m

2

0

220 N

RN

Al

Nl

ANL , (11.4)

unde A

lR0

m μ= este reluctanţa bobinei, iar Λ permeanţa acesteia.

Unitatea de măsură a inductivităţii în SI rezultă din următoare ecuaţie dimensională ce derivă din (11.1):

[ ] [ ][ ] H1

A1Wb1

==Φ

=i

L (henry).

Unitatea de măsură a permeabilităţii rezultă din prima egalitate a expresiei (11.4), pe baza ecuaţiei dimensionale:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ][ ][ ]

[ ][ ] m

H12 ====μlL

llL

AlL (henry pe metru).

Energia din câmpul magnetic al bobinei se poate exprima în funcţie de inductivitatea proprie, utilizând relaţia (10.26), pentru n = 1, şi relaţia (11.3)

L

LiiW2t2

tm 21

21

21 Φ

==Φ= . (11.5)

Densitatea de volum a energiei se calculează din

bobftm 21

21

21

21 VHB

NlHABNiNiW ==Φ=Φ= ,

în care lAV =bob este volumul bobinei. Cu bob/VWw = , rezultă densitatea de volum a energiei magnetice

HBw21

=

sau vectorial,

HB ⋅=21w . (11.6)


11.2. Inductivităţi proprii şi mutuale, utile şi de dispersie

În diferite aparate, maşini sau transformatoare electrice apar situaţii în care fluxurile produse de unele bobine le înlănţuie pe cele produse de alte bobine, şi reciproc, constituind ceea ce se numeşte un circuit magnetic cu bobine cuplate magnetic. În figura 11.4 sunt reprezentate două bobine 1 şi 2, situate una în a-

propierea celeilalte, având N1 şi N2 spire parcurse de curenţi electrici de conducţie. Pentru a nu încărca desenul, s-au reprezentat doar fluxurile magnetice ale curentului i1 din prima bobină şi anume:

• Φf11 - fluxul fascicular produs de i1 care înlănţuie toate spirele bobinei 1,

• Φd21 - fluxul de dispersie produs de i1 care nu străbate bobina 2,

• Φf21 - fluxul fascicular produs de i1 care trece prin bobina 2.

Se convine ca între sensurile de referinţă ale fluxurilor şi sensurile de referinţă ale curenţilor din bobine să existe regula de asociere a burghiului drept. Fluxul Φf11 este întotdeauna pozitiv. Aceste fluxuri definesc următoarele inductivităţi: a) inductivitatea proprie

01

11f111 >

Φ=

iN

L . (11.7)

b) inductivitatea mutuală

1

21f221 i

NL Φ= , (11.8)

poate fi pozitivă sau negativă, după cum sensurile de referinţă ale curenţilor i1 şi i2 determină (după regula burghiului drept) sensuri de referinţă pentru fluxuri în concordanţă (acelaşi sens) sau în opoziţie (sensuri opuse). c) inductivitatea de dispersie

1

21d121d i

NL

Φ= . (11.9)


Alte trei inductivităţi L22, L12 şi Ld12 se definesc în mod similar, scrierea relaţiilor lor rezumându-se formal la intervertirea indicilor „1” şi „2”. Între fluxurile fasciculare există relaţia evidentă:

21f21d11f Φ+Φ=Φ

sau, cu (11.7), (11.8) şi (11.9),

2

121

1

121d

1

111N

iLN

iLN

iL+= ,

adică

212

121d11 L

NNLL += .

Mărimea 212

121u L

NNL = se numeşte inductivitate utilă. În mod

asemănător, se defineşte inductivitatea utilă Lu12, prin intervertirea indicilor „1” şi „2”. Rezultă în final

21u21d11 LLL += , (11.10)

şi similar

2u112d22 LLL += .

Produsul inductivităţilor proprii se transformă astfel:

( ) ( )

2

12f21d2

1

21f21d1

2

22f2

1

11f12211 i

Ni

Ni

Ni

NLLΦ+ΦΦ+Φ

=ΦΦ

=⋅ .

Neglijând fluxurile de dispersie se obţine cu (11.7) şi (11.8)

12212211 LLLL ⋅≅⋅ .

Aşa cum se va demonstra la paragraful privind formula lui Neumann pentru inductivităţi, există egalitatea

L21 = L12 = M,

unde M este notaţia pentru inductivităţile mutuale. Rezultă deci,


22211 MLL =⋅ . (11.11)

În problemele practice, se operează cu coeficientul de cuplaj definit de raportul

2211 LL

Mk = . (11.12)

şi/sau cu coeficientul de dispersie

21 k−=σ . (11.13)

Pentru cuplajul perfect k = 1 şi σ = 0, iar pentru cuplajul nul (bobine necuplate magnetic) k = 1 şi σ = 1.

11.3. Ecuaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi

Se consideră o reţea magnetică liniară cu l laturi şi n noduri, având bobinele cuplate magnetic, pentru care sunt valabile ecuaţiile lui Kirchhoff

0)(

f =Φ∑∈ ak

k şi ∑∑∈∈

Θ=Φ)()(

fmpk

kpk

kkR , (11.14)

în care (a) este un nod al reţelei, iar (p) o buclă a reţelei, iar solenaţia unei laturi este kkk iN=Θ . Rezolvând sistemul de l ecuaţii, cu l necunoscute, se obţin fluxurile magnetice fasciculare din laturi. În latura k fluxul magnetic fascicular este

lkljkjkkk ...... ΘΛ++ΘΛ++ΘΛ+ΘΛ=Φ 2211f . (11.15)

Coeficienţii de proporţionalitate au dimensiunile unor permeanţe; permeanţa Λkj dintre laturile k şi j, numită permeanţa de transfer, este definită de raportul

j

jkkj Θ

Φ=Λ

≠Θ 0f, (11.16)

în care, cu excepţia solenaţiei 0≠Θ j , toate celelalte solenaţii sunt nule. Pe de altă parte, inductivitatea mutuală dintre aceleaşi laturi este

j

jkk

kj i

NL

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛Φ

=≠Θ 0f

. (11.17)


Prin raportarea ultimilor două relaţii şi făcând înlocuirea jjj iN=Θ , se obţine

kjjkkj NNL Λ= . (11.18)

Pentru k = j şi -1mR=Λ , se obţine relaţia cunoscută, m

2 / RNL = . Înmulţind relaţia (11.15) cu Nk şi făcând înlocuirea kkkN Φ=Φ f , rezultă, cu (11.18), relaţia

nkiLiNNNN

LN

l

jjkjjjk

l

j jk

kjl

jjkjkk ,,2,1,

111K===ΘΛ=Φ ∑∑∑

===. (11.19)

Scriind dezvoltat, se obţin ecuaţiile lui Maxwell pentru inductivităţi:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+++=Φ

+++=Φ

+++=Φ

llllll

ll

ll

iL...iLiL

iL...iLiL

iL...iLiL

2211

22221212

12121111

M.

Energia magnetică din câmpul magnetic al bobinelor se obţine înlocuind expresia (11.19) în (10.26):

∑∑= =

=l

k

l

jjkkj iiLW

1 1m 2

1 . (11.20)

11.4. Formula lui Neumann pentru inductivităţi mutuale

Această formulă se referă la două spire filiforme de formă oarecare Γ1 şi

2SΓ


Γ2, străbătute de curenţii de conducţie i1 şi i2 (figura 11.5). Inductivitatea mutuală L21 este dată de raportul

∫∫∫ΓΓ

⋅=⋅=Φ

=2

211

2S21

11

2121

11 dlAdABiii

L ,

în care ∫Γπ

μ=

1 12

1101 4 R

i dlA .

Înlocuind, se obţine formula lui Neumann pentru inductivităţi

∫ ∫Γ Γ

⋅π

μ=

1 2 12

21021 4 R

L dldl . (11.21)

În această formulă R12 este distanţa variabilă dintre două elemente de linie 1dl şi 2dl ale celor două spire.

Observaţii 1. Ca urmare a comutativităţii produsului scalar a doi vectori din (11.21), rezultă egalitatea L12 = L21. 2. Dacă spirele sunt plane şi situate în plane perpendiculare între ele, L21 = 0. 3. Inductivitatea mutuală depinde exclusiv de configuraţia geometrică a celor două spire. 4. Inductivitatea mutuală este invers proporţională cu distanţa dintre spire. 5. Formula lui Neumann poate fi folosită şi pentru calculul inductivităţii proprii a unei spire, cu condiţia ca cele două contururi să fie luate în mod co-respunzător, adică să nu fie confundate, pentru a evita cazul R12 = 0, respectiv L21 → ∞ . Una din curbe se adoptă spre exemplu însăşi axa conductorului filiform, iar cea a doua, pe suprafaţa „interioară” a acestuia.

11.5. Inductivitatea liniei electrice aeriene bifilare

În situaţia în care conductoarele liniei bifilare (figura 11.6) sunt realizate din materiale feromagnetice, atunci fluxul magnetic din interiorul firelor nu poate fi neglijat şi trebuie luat în consideraţie la calculul inductivităţii. Va trebui, deci, calculată o inductivitate interioară, corespunzătoare câmpului magnetic din interiorul firelor şi o inductivitate exterioară corespunzătoare câmpului magnetic dintre fire. Inductivitatea interioară se calculează considerând un cilindru circular drept de permeabilitate relativă μr, de diametru 2a şi de lungime l. Energia din câmpul magnetic interior,


( ) 2i 2 arirH

π= (0 < r < a),

se exprimă astfel:

∫∫∫μ=V

2i

2i d

21

21 vHiL ,

unde rrlv d2d π= . Rezultă

π

μ=

πμ

= ∫ 8d

2 0

34

)1(i

lrralL

a.

în care indicele superior “(1)” indică inductivitatea interioară a unui singur ci-lindru, dintre cei doi ai liniei bifilare. Pentru cele două fire ale liniei inductivitatea interioară este de două ori mai mare:

4

r0i

μπ

μ=

lL .

Inductivitatea exterioară se calculează cu ajutorul inducţiei magnetice la distanţa x dintre axul primului fir şi un punct curent situat între cele două fire. Se obţine prin superpoziţie

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

πμ

=xDx

ixB 112

0 .

Fluxul magnetic exterior se obţine prin integrare:


aDli

aDa

aaDlixlxB

aD

a

lnlnln2

d)( 00ext π

μ≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−π

μ==Φ ∫

−

,

relaţie unde s-a folosit aproximaţia DaD ≅− . Inductivitatea exterioară este

aDl

iL ln0ext

ext πμ

=Φ

= .

Adunând inductivităţile interioară şi exterioară, se obţine inductivitatea liniei, pe lungimea l a ei:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ μ

+π

μ=

4ln r0

aDlL .

În situaţia în care conductoarele nu sunt feromagnetice, cel de al doilea termen se poate neglija:

aDlL ln0

πμ

= .

Pe de altă parte, s-a găsit următoarea capacitate dintre fire:

aDlC

ln

0επ= .

Mărimile lineice corespunzătoare se obţin prin împărţire cu lungimea l a liniei:

aDL ln0

l πμ

= , respectiv

aDC

ln

0l

επ= .

Expresia

000ll

11 cCL

=με

=

este viteza de propagare a luminii în vid.

259

ANEXA A. ELEMENTE DE ANALIZĂ VECTORIALĂ

A.1. Definiţii, identităţi vectoriale şi transformări integrale

1. Produsul scalar

( ) zzyyxx BABABABA ++=∠=⋅ BABA ,cos .

2. Produsul vectorial

( )zyx

zyx

BBBAAABAkji

nBABA =⋅∠=× ,sin ,

unde n este versorul normal pe planul celor doi vectori, având sensul stabilit de regula burghiului drept (sensul de rotaţie a burghiului este dat deplasând A peste B, după unghiul plan de măsură mai mică). 3. Produsul mixt

( ) ( ) ( )BACACBCBA ×⋅=×⋅=×⋅ .

4. Dublul produs vectorial

( ) ( ) ( )BACACBCBA ⋅−⋅=×× .

5. Gradientul unui câmp scalar

zyxvv ∂ϕ∂

+∂ϕ∂

+∂ϕ∂

=

ϕ

=ϕ∇≡ϕΣ

Σ

→Σ

∫∫kji

dA

0limgrad .

6. Divergenţa unui câmp vectorial

z

Gy

Gx

Gzyxv

zyxv ∂

∂+

∂

∂+

∂∂

=∂∂⋅+

∂∂⋅+

∂∂⋅=

⋅

=⋅∇≡Σ

Σ→Σ

∫∫ GkGjGidAG

GG0

limdiv

260 ANEXA A.

7. Rotorul unui câmp vectorial

=∂∂

×+∂∂

×+∂∂

×=

⋅

=×∇≡Γ

Γ→Γ

∫zyxAA

GkGjGindlG

GG max0limrot

zyx GGGzyx ∂∂

∂∂

∂∂

=

kji

,

unde nmax reprezintă normala unei suprafeţe mărginite de Γ, pentru care se obţine maximizarea circulaţiei. 8. Formula integrală a gradientului

vdgradV∫∫∫∫∫ΣΣ

ϕ=ϕdA .

9. Teorema Gauss – Ostrogradsky

∫∫∫∫∫ΣΣ

=⋅V

ddiv vGdAG .

10. Teorema lui Stokes

∫∫∫ΓΓ

⋅=⋅S

rot dAGdlG .

11. Derivate de orientare

• λ⋅=λ

ν graddd u

r

• ( )GuG graddd

⋅= νr,

unde uν este versorul direcţiei considerate (versorul vectorului de poziţie r). 12. Derivate substanţiale

• λ⋅+∂λ∂

=λ grad

dds v

tt,

• ( )GvGG gradd

ds ⋅+∂∂

=tt

,

unde v este vectorul vitezei.

ANEXA A. 261

13. Derivata substanţială de volum

∫∫∫∫∫∫λ

=λV

v

V

dd

dddd v

tv

t;

expresia

( )vλ+∂λ∂

=λ div

ddv

tt

se numeşte derivată de integrală de volum. 14. Derivata substanţială de flux

∫∫∫∫∫ΣΣ

=⋅V

f dd

ddd v

ttGdAG ;

expresia

( )vGGvGG×++

∂∂

= rotdivd

dftt

se numeşte derivată de integrală de flux.

A.2. Identităţi cu operatorul diferenţial ∇

1. ( ) ( ) ϕψ+ψϕ=ϕ∇ψ+ψ∇ϕ=ϕψ∇=ϕψ gradgradgrad .

2. ( ) ( ) ( )ABBAABBABA gradgradrotrotgrad ⋅+⋅+×+×=⋅ .

Demonstraţie

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇=⋅∇=⋅

↓↓BABABABAgrad ; calculăm separat expresiile

următoare:

( )↓↓↓

∇⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇× BABABA şi ( )

↓↓↓∇⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅∇=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇× ABBAAB ,

adică

262 ANEXA A.

( )ABABBA gradrotgrad ⋅+×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

↓ şi ( )BABABA gradrotgrad ⋅+×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅↓

.

3. ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅∇λ+λ∇⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ∇=λ∇=λ

↓↓GGGGGGdiv

GG divgrad λ+λ⋅= .

4. ( ) ( ) ( ) ( ) =×∇⋅−×∇⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇=×∇=×

↓↓BAABBABABABAdiv

BAAB rotrot ⋅−⋅= .

5. ( ) ( ) ( ) =×∇λ+×λ∇=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ×∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λ×∇=λ×∇=λ

↓↓GGGGGGrot

GG rotgrad λ+×λ= .

6. ( ) ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××∇+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××∇=××∇=×

↓↓BABABABArot

( ) ( ) ( ) ( )BABAABAB ∇⋅−⋅∇+⋅∇−∇⋅=

( ) ( )BAABABBA gradgraddivdiv ⋅−⋅+−= .

7. ( )zyx ∂λ∂

+∂λ∂

+∂λ∂

= kjiGdivgrad , unde z

Gy

Gx

G zyx∂∂

+∂

∂+

∂∂

==λ Gdiv .

8. ( ) ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂λ∂

+∂λ∂

+∂λ∂

⋅∇=λ∇⋅∇=λzyx

kjigraddiv

λ=∂λ∂

+∂λ∂

+∂λ∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂λ∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂λ∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂λ∂

∂∂

= Δ2

2

2

2

2

2

zyxzzyyxx.

Se notează operatorul ( ) ( )⋅Δ≡⋅∇⋅∇ , numindu-se laplacian.

ANEXA A. 263

9. ( ) ( ) ( ) 0rotdiv =∇×∇⋅=×∇⋅∇= GGG , deoarece ( ) 0=⋅∇×∇ (s-au folosit proprietăţile produsului mixt).

10. ( ) ( ) 0gradrot =

∂λ∂

∂λ∂

∂λ∂

∂∂

∂∂

∂∂

=λ∇×∇=λ

zyx

zyx

kji

, deoarece toţi minorii sunt

nuli. 11. ( ) ( ) ( ) ( ) GGGGGG Δdivgradrotrot −=∇⋅∇−⋅∇∇=×∇×∇= , unde

zyx GGG ΔΔΔΔ kjiG ++= .

A.3. Demonstrarea unor identităţi vectoriale

1. ( )[ ] ( )GkkGkk ⋅⋅=⋅⋅ 2112 gradgrad , în care k1 şi k2 sunt constante vectoriale, iar G un câmp vectorial. Demonstraţie. Primul membru se scrie succesiv:

( )

( ) ( ) ( )

( ).grad

grad

21

21

21

21

111212

Gkk

GkGkGk

GGGkGkk

⋅⋅=

=∂⋅∂

+∂⋅∂

+∂⋅∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅=⋅⋅

zk

yk

xk

zk

yk

xk

zyx

zyx

2. ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]GkkGkk gradgradgradgrad 1221 ⋅⋅=⋅⋅ , în care k1 şi k2 sunt constante vectoriale, iar G un câmp vectorial. Demonstraţie. Membrul întâi al identităţii se transformă succesiv:

( ) ( )[ ] ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

⋅=⋅⋅z

ky

kx

k zyxGGGkGkk 222121 gradgradgrad

( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

⋅+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

⋅=z

ky

kx

k zyxGkGkGk gradgradgrad 121212 .

Se transformă separat fiecare termen al sumei de mai sus. Pentru primul termen se calculează expresia:

( )

( ) ,grad

grad

1111

1111

GkGGG

GGGGk

⋅∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

⋅

xzk

yk

xk

x

zxk

yxk

xxk

x

zyx

zyx

264 ANEXA A.

relaţie obţinută intervertind odinea derivării. În mod similar, se obţin următoarele două relaţii:

( ) ( )GkGk gradgrad 11 ⋅∂∂

=∂∂

⋅yy

şi ( ) ( )GkGk gradgrad 11 ⋅∂∂

=∂∂

⋅zz

.

Înlocuind avem,

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ].gradgrad

gradgradgrad

gradgrad

12

121212

21

Gkk

GkGkGk

Gkk

⋅⋅=

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

=⋅⋅

zk

yk

xk zyx

265

ANEXA B. SOLUŢIA ECUAŢIEI LUI POISSON. FORMULA CELOR TREI POTENŢIALE

Ecuaţiile lui Poisson stabilesc doar relaţiile pe care le satisface potenţialul electrostatic V, nu şi soluţiile acestora. Pentru a determina însuşi potenţialul, se prezintă în prealabil formula lui Green, aplicabilă problemei de câmp privind soluţia ecuaţiilor lui Poisson. În acest scop, fie două funcţii scalare V şi U, în care V este potenţialul, iar U o funcţie scalară arbitrară. Se pot scrie următoarele egalităţi:

( ) ( ) VUVUVUVU 2graddiv ∇+∇⋅∇=∇⋅∇= şi

( ) ( ) UVUVUVUV 2graddiv ∇+∇⋅∇=∇⋅∇= . Scăzând aceste relaţii membru cu membru, se obţine

( ) UVVUUVVU 22div ∇−∇=∇−∇ .

Se integrează pe un volum VΣ, mărginit de suprafaţa închisă Σ, şi se aplică în membrul întâi teorema Gauss – Ostrogradsky, obţinându-se următoarea formulă a lui Green:

( ) ( ) vUVVUUVVU dV

22∫∫∫∫∫ΣΣ

∇−∇=⋅∇−∇ dA ,

cu dAndA = . Alegând RU /1= se obţine,

nVVV

∂∂

=⋅=∇⋅ gradnn , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=∇⋅RnR11n şi

0div1graddiv13

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇

RRRR .

Cu notaţia ( ) ( )⋅∇=⋅Δ 2 formula lui Green devine,

ARn

VnV

RvV

Rd11d1

V∫∫∫∫∫ΣΣ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=Δ .

266 ANEXA B.

Punctul P în care se calculează potenţialul V trebuie exclus din domeniul de integrare, deoarece pentru R → 0 1/R tinde către infinit, ceea ce se realizează cu ajutorul unei mici sfere Σ0, de rază R0, cu centrul în punctul P (figura. B.1). Domeniul rămas pentru integrare este cel cuprins între suprafaţa Σe a vechiului domeniu şi suprafaţa Σ0. Derivatele de forma n∂∂ / sunt orientate în spre exteriorul noului domeniu, inclusiv spre centrul sferei Σ0, în care, se va lua

0// Rn ∂−∂=∂∂ În aceste condiţii, membrul al doilea al formulei de mai sus trebuie descompus în două integrala de suprafaţă distincte, prima referitoare la suprafaţa Σe şi a doua la suprafaţa Σ0:

0eV

d11d11dΔ1 ARn

VnV

RA

RnV

nV

RvV

R ∫∫∫∫∫∫∫ΣΣΣ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

= .

Limitele pentru R → 0 ale termenilor referitori la suprafaţa Σ0 se calculează astfel:

∫∫∫∫Σ

→Σ

→=

∂∂

≤∂∂

00

max000000

0000d1limd1lim A

RV

RA

RV

R RR

041limd1lim 20

max00000e

max0000=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡π⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

=→

Σ→ ∫∫ R

RV

RA

RV

R RR

şi

ANEXA B. 267

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∫∫∫∫Σ

→Σ

→0

020000

00000

dlimd1lim ARVA

RRV

RR.44lim 2

02000

VRRV

Rπ−=π⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→

Înlocuind aceste limite, se obţine

VARn

VnV

RvV

Rπ−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

= ∫∫∫∫∫ΣΣ

4d11dΔ1e

eV

.

Observând că pentru Σ0→0 se revine la domeniul iniţial mărginit de Σ, se obţine relaţia

ARn

VnV

RvV

RV d11

41dΔ1

41

V∫∫∫∫∫ΣΣ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

π+

π−= ,

cunoscută sub denumirea de formula celor trei potenţiale, valabilă în medii liniare, omogene, izotrope şi fără polarizaţii permanente.

267

BIBLIOGRAFIE

1. Răduleţ R., Bazele teoretice ale electrotehnicii, vol. I, II, III, IV, Tipografia Ministerului Educaţiei şi Învăţământului, Bucureşti, 1954 – 1956

2. Răduleţ R., Sur les fondements de l’ éléctrodynamique macroscopique, Rev. Roum. Sci. Techn.–Électrotechn. et Énerg., 29, 2, Bucarest,1984

3. Răduleţ R., Bazele electrotehnicii – probleme, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

4. Timotin Al., Hortopan V., Ifrim A., Preda M., Lecţii de bazele electrotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică Bucureşti, 1970

5. Timotin Al., Elementul electromagnetic pasiv de circuit, Studii şi Cercetări de Energetică şi Electrotehnică, 21, 2, Bucureşti, 1971

6. Ţugulea A., Câmpul electromagnetic?, Editura Tehnică, Bucureşti, 1994 7. Ţugulea A, Ţugulea Al., E – invariant and D – invariant electrostatic

fields, Rev. Roum. Sci. Techn.–Électrotechn. et Énerg., 50, 3, Bucarest, 2005

8. Ţugulea A., Frăţiloiu Gh., Culegere de probleme rezolvate de electrotehnică, Partea I, Editura Divers Press

9. Moraru A., Bazele electrotehnicii Teoria câmpului electromagnetic, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2002

10. Moraru A., Frăţiloiu Gh., Bazele electrotehnicii. Culegere de probleme, Editura BIC ALL, Bucureşti, 1999

11. Hănţilă I. F. şi colectiv, Electrotehnică teoretică, vol. I, II, III, Editura Electra, Bucureşti, 2002–2004

12. Hănţilă I. F. şi colectiv, Câmpul electromagnetic staţionar în medii neliniare, Editura ICPE, Bucureşti, 1997

13. Frăţiloiu Gh., Ţugulea A., Electrotehnică şi electronică aplicată, Editura Didactică şi Pedagogică R. A.– Bucureşti, 1998

14. Andronescu Pl., Bazele electrotehnicii, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1972

15. Mocanu C. I., Teoria câmpului electromagnetic, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981

16. Şora C. – Bazele electrotehnicii, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982

17. Antoniu I. S., Bazele electrotehnicii, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1974

18. Fransua Al., Cănescu S., Electrotehnică şi electronică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti 1969

268 BIBLIOGRAFIE

19. Nemoianu C., Cristea N., Electrotehnică, ediţiile 1, 2, 3, Litografia I.P.B, Bucureşti, 1970 – 1976

20. Nemoianu C. şi colab., Determination of magnetic field in magnetic deflection coils, Rev. Roum. Sci. Techn.–Électrotechn. et Énerg., 24, 3, Bucarest, 1979

21. Preda M., Cristea P., Spinei F., Bazele electrotehnicii, vol. I, II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980

22. Flueraşu C., Bazele electrotehnicii, vol. I, Litografia Institutului Politehnic Bucureşti, 1990

23. Nicolae Al., Curs de bazele electrotehnicii, vol. I, II, Litografia I.P.B., Bucureşti, 1990

24. Tomescu Anca, Tomescu F.M.G, Bazele electrotehnicii, câmp electromagnetic, Editura Matrix Rom, Bucureşti, 2002

25. Ochiană L., Covrig M., Petre V., Electrotehnică, Editura Printech, Bucureşti, 1998

26. Mihai C. P., Electrotehnică aplicată, vol. I, Editura Printech, Bucureşti 2005

27. Nemoianu I. V., Nouveau modèle d’un petit corps magnétisé, Rev. Roum. Sci. Techn.–Électrotechn. et Énerg., 51, 2, Bucarest, 2006

28. Nemoianu I. V., Modèle d’étude du champ électromagnétique d’un transducteur inductif de déplacement à crémallière ferromagnétique, Rev. Roum. Sci. Techn.–Électrotechn. et Énerg., 47, 2, Bucarest, 2002

29. Cazacu E., Utilizarea materialelor diamagnetice în levitaţia electromagnetică, Editura Cartea Universitară, Bucureşti, 2004

30. Oprean Luminiţa, Hangan Adriana, Bota Andreea, Chimie anorganică: noţiuni teoretice şi aplicaţii practice, Editura Medicală Universitară „Iuliu Haţieganu”, Cluj – Napoca, 2007

I.v.nemoianu_CAMPUL ELECTROMAGNETIC (Regimurile Static Si Stationar)

Documents

Transcript of I.v.nemoianu_CAMPUL ELECTROMAGNETIC (Regimurile Static Si Stationar)