SOLICITĂRI AXIALE -...

2.SOLICITRI AXIALE

2.1 Generaliti

O bar dreapt este supus la ntindere sau la compresiune dac n seciunile sale transversale exist fore axiale.

ntr-o seciune, dac fora axial N este orientat spre exteriorul seciunii, solicitarea este de ntindere, iar dac acioneaz spre interiorul seciunii, solicitarea este de compresiune. Analiza celor dou solicitri este identic, diferind doar sensul forei axiale, dar exist unele diferene. Aa cum s-a artat n capitolul 1, fora axial din seciunea barei este egal cu suma proieciilor forelor din stnga sau din dreapta seciunii, pe direcia axei barei.

Reprezentarea variaiei forei axiale n lungul axei barei reprezint diagrama de fore axiale. n figura 2.1, pentru bara solicitat prin forele 2F, 6F i 10F s-a trasat diagrama N, reprezentnd forele axiale pozitive deasupra unei axe de referin, paralel cu axa barei, iar valorile negative ale forelor axiale sub aceast ax.

Fig. 2.1

ELEMENTE DE REZISTENA MATERIALELOR

Forele axiale s-au calculat astfel:

N1-2=2F, N2-3=2F-6F=-4F, N3-4=2F-6F+10F=6F.

Se observ c fora axial maxim este Nmax = 6F.

Pentru stabilirea relaiilor de calcul ale tensiunilor i deplasrilor considerm o bar dreapt de seciune constant supus la ntindere de ctre fora F, conform figurii 2.2. Secionnd bara cu un plan normal pe axa barei, rezult N=F.

Fig. 2.2

n seciunea barei iau natere tensiunile normale , iar acestea nsumate pe ntreaga seciune A echivaleaz cu fora axial

N= dAA . (2.1)

Conform ipotezei lui Bernoulli, toate fibrele barei se lungesc cu aceeai cantitate, deoarece o seciune plan i normal la axa barei, nainte de solicitarea acesteia rmne plan i normal la axa barei i dup solicitarea acesteia, deci lungirile specifice sunt constante pe ntreaga seciune. Aplicnd legea lui Hooke ( = E), se constat c tensiunea este constant pe ntreaga seciune. Relaia (2.1) rezult sub forma

N= A

dA =A . (2.2)

Tensiunea normal produs la ntindere sau compresiune este:

= AN

, (2.3)

unde N este fora axial din seciune i A este aria seciunii. Unitatea de msur pentru tensiune este N/mm2 sau MPa.

26

2.SOLICITRI AXIALE

n aplicaii se efectueaz urmtoarele calcule de rezisten:

1) Verificare pentru bara de seciune constant

ef = AN

a ; [N/mm2],[MPa] (2.4)

n care N este fora axial maxim, luat din diagrama de variaie a acesteia n lungul barei, iar a este rezistena admisibil a materialului barei.

Dac bara nu este de seciune constant, iar fora axial este constant ca n figura 2.3, calculul de verificare se efectueaz n seciunea net cu aria cea mai mic.

Fig. 2.3

Astfel tensiunile n cele trei seciuni sunt:

max332211 2d)h(bF,

d)h(bF,

hbF =

=

== .

Seciunea n care se produce cea mai mare tensiune se numete seciune periculoas.

Atunci cnd bara este realizat din tronsoane cu seciuni diferite (fig. 2.4) calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare tronson n parte.

Astfel, pentru primul tronson din diagrama N rezult c Nmax = 3F, iar tensiunea maxim

A3F

1 = .

Pentru al doilea tronson Nmax= 9F, iar tensiunea maxim

AF4,5

2A9F

2 == .

Deci, tensiunea maxim n bar este 2 .

27


Fig. 2.4

Dac bara este dintr-un material care se comport deosebit la ntindere fa de compresiune, cum este cazul fontei sau a altor materiale, calculul de verificare trebuie efectuat pentru fiecare solicitare n parte. Astfel, pentru bara din figura 2.5 solicitat prin forele 3F i 8F, condiiile ca bara s reziste sunt:

Fig. 2.5

,A5F

,A3F

acc

att

=

=

at fiind rezistena admisibil a materialului la traciune, iar ac rezistena admisibil a materialului la compresiune.

Atunci cnd materialele au aceeai comportare la ntindere i la compresiune, calculul de verificare se face la fora axial maxim.

2) Dimensionarea barei de seciune constant

28

2.SOLICITRI AXIALE

Anec = a

N ; [mm

2] (2.5)

unde N este fora axial maxim din diagrama de variaie a forei axiale;

3) Determinarea forei capabile

Ncap = Aef a. [N] (2.6)

Din legea lui Hooke rezult expresia lungirii specifice

=EAN

E= , (2.7)

iar expresia deformaiei (lungirii) totale a barei este

EAN== ll . (2.8)

Se observ c lungirea l este cu att mai mic cu ct produsul dintre modulul de elasticitate E al materialului i aria seciunii transversale A este mai mare. De aceea produsul EA se numete modul de rigiditate la ntindere-compresiune al seciunii transversale.

La o bar dreapt format din mai multe tronsoane cu seciuni i materiale diferite, solicitat prin fore axiale, deformaia axial a acesteia este dat de relaia

l = =

n

i ii

ii

AElN

1 , (2.9)

unde Ni , n [N], este fora axial care acioneaz pe fiecare interval; Ai, n [mm2], este aria suprafeei seciunii barei; li, n [mm], este lungimea intervalului i Ei , n [N/mm2] sau [MPa], este modulul de elasticitate longitudinal al materialului.

Pentru traciune (ntindere), forele axiale, tensiunile i deformaiile sunt pozitive, iar pentru compresiune ele sunt negative.

n aplicaii se folosesc i urmtoarele relaii de calcul funcie de deformaiile impuse:

- de verificare

alEANll = , [mm] (2.10)

n care la este lungirea admis;

- de dimensionare,

29


anec lE

NlA

= ; [mm2] (2.11)

- calculul forei axiale capabile

EAll

N acap

= . [N] (2.12)

Dac n calcule este necesar s se foloseasc ambele forme de relaii de calcul, att cea de rezisten, ct i cea de rigiditate, atunci se alege soluia care le asigur pe amndou, adic cea mai mare valoare pentru dimensionare sau verificare i cea mai mic valoare pentru for capabil.

Aplicaia 1

O bar de aluminiu cu seciunea 3x30 mm2, solicitat la ntindere cu fora F = 1,5 kN, are pe o poriune de 40mm seciunea 3x10 mm2 (fig. 2.6). S se calculeze tensiunea maxim n bar i lungirea total a acesteia. Se d E = 7104 MPa.

Fig. 2.6

Rezolvare

Verificarea barei trebuie efectuat n seciunea de arie minim, rezultnd

50MPa3x101500

AN

min

===ef .

Lungirea barei este

.Ab

A2a

ENl

21

+=

nlocuind cu datele problemei, se obine

30

2.SOLICITRI AXIALE

mm.0,12103

403032002

1071500l 4 =

+

=

Aplicaia 2

O lamel de cupru cu seciunea dreptunghiular h = 1,5b este solicitat la ntindere prin fora F = 1200 N (fig. 2.7). S se dimensioneze lamela i s se calculeze lungirea total. Se dau: a = 40 MPa, E = 11104 MPa.

Fig. 2.7

Rezolvare

Utiliznd relaia de dimensionare, se obine

Anec = 230mm401200 = .

Dar A = bh = 1,5b2, rezultnd b = 4,47 mm, h = 6,72 mm.

Lungirea total este

.0,009mm301011

251200l 4 ==

Aplicaia 3

Bara din oel (fig. 2.8) cu seciunea circular de diametru d = 40 mm este solicitat prin forele 2F i 5F. S se determine sarcina capabil a barei i lungirea total. Se dau: a = 150 MPa, E = 21104 MPa.

Rezolvare

Trasnd diagrama de variaie a forei axiale rezult c Nmax = 3F. Sarcina capabil este

Ncap = aAef = 3F, de unde

31


N62832440

3150F

2

== .

Fig. 2.8

Lungirea total a barei este

.EA3Fa

EA2Fbl =

nlocuind cu datele problemei, se obine

( ) mm0,033130315024001021

62832l 4 ==

.

Deci bara se scurteaz cu 0,033 mm.

2.2 Concentrarea tensiunilor

Orice variaie brusc de seciune, ca de exemplu, degajri, guri, canale, filete etc., reprezint un concentrator de tensiune. n zona concentrrilor, distribuia tensiunilor nu se repartizeaz uniform pe suprafaa seciunii transversale, producndu-se un efect de concentrare a tensiunilor.

Studiile teoretice i experimentale au demonstrat c tensiunea maxim

minmax A

N= prezint corect starea se tensiune din seciune, dar la o distan

suficient de mare de zona n care apare variaia de seciune, iar n apropierea acesteia, distribuia tensiunilor este neuniform, conform figurii 2.9.

Pentru orice variant de concentrator (fig. 2.9, a,b,c), tensiunea maxim se poate calcula cu relaia

32

2.SOLICITRI AXIALE

nkk ==min

max AN

, (2.13)

n care k este coeficientul de concentrare a tensiunilor la solicitare static, iar n este tensiunea nominal, ntr-o seciune deprtat de concentrator.

Fig. 2.9

Valorile coeficientului de concentrare a tensiunilor depind numai de configuraia geometric a concentratorilor i de tipul de solicitare, ns doar pentru materialele cu comportare liniar elastic. Coeficientul poate fi determinat prin calcul sau experimental. Rezultatele acestor determinri sunt prezentate sub form de diagrame n literatura de specialitate.

Deformaia global a barei nu este influenat semnificativ de prezena concentratorilor de tensiuni. Concentratorii de tensiuni au un efect deosebit de periculos n cazul materialelor fragile, la care tensiunea maxim poate produce

33


ruperea. Dac materialul este tenace, atunci efectul de concentrare dup atingerea limitei de curgere a materialului nu se mai manifest.

2.3 Bare i sisteme de bare static nedeterminate

Un sistem este static nedeterminat atunci cnd numrul ecuaiilor de echilibru static nu este suficient pentru determinarea reaciunilor din reazeme sau eforturilor din bare. Pentru rezolvarea acestor sisteme se folosesc, pe lng ecuaiile de echilibru static i condiiile suplimentare de deformaie. Numrul condiiilor de deformaie trebuie s fie egal cu gradul de nedeterminare static, adic cu diferena dintre numrul necunoscutelor i numrul ecuaiilor de echilibru static.

Un mod foarte folosit este scrierea ecuaiilor de deformaii prin deducere fizico-geometric, observndu-se particularitile deformrii fiecrui sistem n parte.

Se prezint, n continuare, cteva tipuri de sisteme de bare static nedeterminate, solicitate axial, la care rezolvarea ecuaiilor de deformaii se bazeaz pe considerente fizico-geometrice.

2.3.1 Bara dublu articulat la capete

Fie bara dreapt articulat la ambele capete (fig. 2.10), de rigiditate constant EA, solicitat axial prin fora F, aplicat n punctul 3.

Fig. 2.10

34

2.SOLICITRI AXIALE

Sistemul este simplu static nedeterminat. Reaciunile H1 i H2 din cele dou articulaii rezult din sistemul format din ecuaia de echilibru static i din condiia de deformaie, adic deplasarea relativ a articulaiilor 1 i 2 este nul:

=+=+=

=+

0.EA

F)b(HEA

aH;0lll

F;HH

113213tot

21

(2.14)

Din rezolvarea sistemului (2.14) rezult H1= lFb

i H2= lFa

. Cunoscnd

valorile reaciunilor se poate trasa diagrama de fore axiale N, ca n figura 2.10.

Metoda de calcul poate fi folosit i n cazul general, cnd n lungul barei se aplic mai multe fore, iar rigiditatea este variabil.

2.3.2 Bare cu seciune neomogen

Se consider o bar cu seciune neomogen, format din mai multe elemente din materiale diferite, dar toate avnd aceeai lungime, cum ar fi cabluri cu fire din diverse materiale, stlpi din beton armat etc. Se admite c elementele componente sunt dispuse simetric n jurul centrului de greutate al seciunii transversale. Spre exemplificare, se reprezint o astfel de bar, format din trei elemente cu rigiditi diferite, conform figurii 2.11, avnd aceeai lungime l. Asupra barei acioneaz fora de compresiune F, for care se distribuie n cele trei bare componente sub forma eforturilor necunoscute N1, N2 i N3.

Fig. 2.11

35


Ecuaiile sistemului sunt:

-ecuaia de echilibru static

N1+N2+N3=F; (2.15)

-condiiile de deformaie; deformaiile celor trei bare sunt egale:

l1 = l2 = l3; 33

3

22

2

11

1

AEN

AEN

AEN

== ; (2.16)

Din sistemul de ecuaii (2.15) i (2.16) rezult eforturile necunoscute N1, N2 i N3. tiind c rapoartele (2.16) sunt egale i cu raportul dintre suma numrtorilor i suma numitorilor se obine

Nk = n

1ii

kk

AE

AFE. (2.17)

Tensiunile n bare sunt:

3

33

2

22

1

11 A

N,

AN

,AN

=== . (2.18)

Aplicaia 4

Un cablu aerian monofazat este format dintr-un miez de cupru, dou straturi de nveli izolator din policlorur de vinil (PCV) i un strat de plumb, ca n seciunea din figura 2.12. Cablul este solicitat la traciune printr-o for F = 15 kN. Se cere s se determine tensiunile n cele trei materiale. Se dau: ECu=E1=11104MPa, EPb = E2 = 17103 MPa, EPCV = E3 = 103 MPa.

Rezolvare

Pentru a calcula tensiunile n cele trei materiale trebuie cunoscute valorile forelor preluate de fiecare din acestea.

Ecuaia de echilibru din static este

F1+F2+F3 = F,

rezultnd o singur ecuaie cu trei necunoscute, problema fiind, deci dublu static nedeterminat.

Cele dou condiii suplimentare n deformaii se refer la faptul c cele trei materiale lucreaz mpreun i au deci, aceleai alungiri, adic

36

2.SOLICITRI AXIALE

1 = 2 = 3 sau 3

3

2

2

1

1

EEE == .

Fig. 2.12

Amplificnd numrtorii i numitorii fraciilor de mai sus cu ariile fiecrui material, se obine relaia

33221133

33

22

22

11

11

AEAEAEF

AEA

AEA

AEA

++===

Tensiunile n cele trei materiale sunt:

1

33

1

221

1

EAE

EAEA

F

++= ;

2

33

2

112

2

EAE

EAEA

F

++= ;

.

EAE

EAE

A

F

3

22

3

113

3

++=

Ariile celor trei materiale sunt:

A1 = ACu = 9,52 = 283,53 mm2,

A2 = APb = (20,52-17,52) = 358,14 mm2,

A3 = APcv = (17,52-9,52+23,52-20,52) = 1093,3 mm2.

37


Rezult valorile tensiunilor n cele trei materiale:

0,39MPa.358,14

0,11,7283,53

0,1111093,3

15000

6,65MPa,1093,3

1,70,1283,53

1,711358,14

15000

43MPa,1093,3

110,1358,14

111,7283,53

15000

3

2

1

=++

=

=++

=

=++

=

Pentru a se putea aprecia dac acest cablu rezist la fora de traciune dat, trebuie ca tensiunile calculate n cele trei materiale s fie inferioare rezistenelor admisibile ale materialelor respective, adic

1

2.SOLICITRI AXIALE

tEAN == . (2.21)

Fig. 2.13

Dac la unul din capetele barei drepte exist un joc (fig. 2.13, b), atunci relaia de deformaie este de forma

lt=lN+. (2.22)

2.3.4 Sisteme de bare paralele

Se consider o bar dreapt, rigid, orizontal suspendat prin trei tije sau cabluri verticale de lungimi i rigiditi diferite (l1, E1, A1, l2, E2, A2, l3, E3, A3) solicitat cu fora vertical F (Fig. 2.14).

Necunoscutele sunt eforturile N1, N2 i N3, iar sistemul este simplu static nedeterminat. Pe lng dou ecuaii de echilibru static se mai poate scrie i o condiie de deformaie.

Deoarece bara orizontal este rigid, ea rmne rectilinie, dar se deplaseaz n poziia AC, ca urmare a deformrii tijelor verticale. Obinndu-se triunghiuri asemenea n forma deformat, rezult sistemul de trei ecuaii:

39


=

++

+=+++==++

,

cll

cball

c);F(bcNc)b(aN0,MF;NNN

3231

21C

321

(2.21)

unde33

333

22

222

11

111 AE

lNl,

AElN

l,AElN

l === .

Fig. 2.14

Cazul prezentat este un caz particular, dar metoda de calcul poate fi folosit i la cazul general, cnd bara orizontal este susinut prin mai multe tije sau articulat la unul din capete (caz n care se consider c bara se rotete n jurul articulaiei) sau sistemul este solicitat cu mai multe fore.

40

SOLICITĂRI AXIALE -...

Documents

Transcript of SOLICITĂRI AXIALE -...