pr n1 Limita dsirului indeeffiniitt priin - sibiulcopiilor.ro · ANALIZA a 11- a - 3 - Culegere 3...

ANALIZA a 11- a - 1 -

Culegere

Limite de siruri 1

1 Limita sirului ddeeffiinniitt pprriinn axn

n :

- Fie sirul xn n 0 , definit prin : ax

n

n , unde Ra , fixat .

- Limita acestui sir are urmatoarele cazuri :

axn

nn

nlimlim

1 daca ,

1,1 daca , 0

1 daca ,

1 daca , 1

a

a

a

a

.

Exercitii :

1) ?3

1lim

n

n

…………………………………………………………………………………….

2)

3

2

2

1lim

2

nn

nnn =…………………..…………………………………………………..

3)

2

5

1lim

n

n

nn =……………..……………………………………………………………...

4) 54

32lim nn

nn

n

=…………………………………..………………………………………………...

5) 563

532lim 2 nn

nn

n n

n

=……………………………………………………………………………..

6)

2

11

2

11

2

11

2

11lim 242

.....n

n

= ……………………………………………

7) 23

35lim

n

n

n

=……………………………….……………………………………………………


Culegere

Limite de siruri 2

2 Limita sirului ddeeffiinniitt pprriinn nPxn :

- Fie sirul xn n 0 , definit prin : nPxn , unde P este o functie reala polinomiala :

ananananax kk

kkk

n nP

1

2

2

1

10 ..... , 00 a .

- Limita acestui sir definit printr-o functie polinomiala este limita termenului de grad maxim :

0 daca , -

0 daca ,

0

0

0limlimlima

anax

k

nnn

n

nP .

Exercitii :

1) 432lim2

nnn

=? ; …………………………………………………………………..

2) 6536lim45

nnnn

=? ; ………………………………………………………………

3) 100043lim36 nn

n

=? ; ………………………………………………………………..

4) nn

01.0lim3

=? ; ………………………………………………………………………….

5) nn

0001.0lim5

=? …………………………………………………………………………..


Culegere

Limite de siruri 3

3 Limita sirului ddeeffiinniitt pprriinn

nQ

nPxn :

- Fie sirul xn n 0 , definit prin :

nQ

nPxn , unde P si Q sunt functii polinomiale reale :

bnbnbnbnb

ananananax

mm

mmm

kk

kkk

nnQ

nP

1

2

2

1

10

1

2

2

1

10

.....

..... , unde k ,m 1 .

- Limita acestui sir definit printr-un raport de functii polinomiale : este limita raportului

termenilor de grad maxim ale celor doua functii :

mk

mk

mk

nQ

nP

b

a

b

a

nb

nax m

k

nnn

n

daca , 0

daca ,

daca ,

0

0

0

0

0

0limlimlim

Exercitii :

1) 14

25lim 2

3

nn

nnn

=? ; ……………………………………………………………………..

2) 1456

323lim 234

24

nnn

nnnn

=? ; ………………………………………………………………..

3) 5310

365lim 3

2

nn

nnn

=? ; ……………………………………………………………………

4) 1

lim 2

2

n

n

n

=? ; ……………………………………………………………………………...

5) 53

32lim 2

2

n

nn

=? ; ……………………………………………………………………………

6) nnn

nnnn

23

23

6

1523lim =? ; ………………………………………………………………..

7)

211lim

2

22!sin

n

n

n

n

n

n nn

=? ; ………………………………………………….

8)

nn

nnn

n32

1...3221...21lim =? ; ………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 4

9) 53

53lim 11

nn

nn

n

=? ; …………………………………………………………………………..

10)

n

n

n

nnn

n 5

14

15

1lim =? ; ………………………………………………………………..

11)

3

1

3

1

3

11

2

1

2

1

2

11lim ..........

22 nnn

=? ; ………………………………….

12) 13

13lim 1

n

nn

n

n

=? ; ………………………………………………………………………...

13)

12

1

13lim cos

3

2

n

n

n

nn

n

n =? ; ……………………………………………………

14)

n

n

n

nn

3

222

3

222 123121lim

......=? ; …………………………………………

15) 352

32lim 11

nn

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………..

16)

11

lim

nn

nn

n

=? , unde 0, ; ……………………………………………………...

17)

32

315lim 2

2

n

nnn

n

=? ; ………………………………………………………………...

18) 15

15lim 21

2

n

nn

n

n

=? ; ………………………………………………………………………...

19)

5

132lim 2

2

n

n

nn

nn

=? ; …………………………………………………………………

20)

2

1

63

2lim 2

2n

n n

n =? . …………………………………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 5

4 Limita uunneeii ppuutteerrii :

- Daca 0an , aan , 0a si xxn , atunci : aaxx

nn , adica :

lim lim lim

aa nn

xxn

n

nn

n

- Limita unei puteri se distribuie si bazei si exponentului .

Exercitii :

1)

2

1lim

12

n

n

n

=? ; ……………………………………………………………………………….

2)

3

1lim

14

35

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………………..

3)

1lim

12

n

n n

n

n

=? ; ……………………………………………………………………………

4)

n

nn

n

1lim

32

=? ; …………………………………………………………………………….

5)

433

32lim

1

nn

nn n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………...

6)

3

1lim

132

52

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………………

7)

4

1lim

23

12

2

n

n

n

=? ; ……………………………………………………………………………..

8)

nn

nn

n

n 3lim 2

2 13

2

=? ; ………………………………………………………………………...

9)

n

n n

nn

n

1lim

1

12

=? ; …………………………………………………………………………

10)

534

53lim

132

2

nn

nn n

n

n

=? . ……………………………………………………………………...


Culegere

Limite de siruri 6

5 Limita rraaddiiccaalluulluuii :

- Daca xxn , 0xn , Nk , 2k , atunci : kkn xx adica :

lim lim k nn

kn

nxx

- Limita radicalului este egala cu radicalul limitei .

Exercitii :

1) 1

limn

n

n

=? ; …………………………………………………………………………………

2) 52

2

12

3lim

nn

nnn

=? ; ………………………………………………………………………….

3) 5443

32lim

nn

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………….

4) 5lim3

2

2

15 n

n

n

=? ; …………………………………………………………………………………

5)

3

1lim

325

162

2

nn

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………….

6) n

n

n

1lim

=? ; …………………………………………………………………………………

7) 33

23

36

13lim

nn

nnn

=? ; ………………………………………………………………………..

8) 635

6352lim 1

nn

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………….

9) 3lim5

24

34

12

6532

nn

nn

n

=? ; ……………………………………………………………………………

10)

5

1lim

52

63

3

nn

nn

n

=? . …………………………………………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 7

6 Limita llooggaarriittmmuulluuii :

- Daca xxn , 0xn , 0x atunci : 1 , 0 , log log aaxx ana

adica :

lim log log lim xx nn

anan

- Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei .

Exercitii :

1)

12

1loglim

2

1

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………….

2)

5100

110lim 2

2

lgn

nn

=? ; ……………………………………………………………………….

3)

n

nn

n

1lim

53

ln =? ; ………………………………………………………………………..

4)

32

1loglim 5

nn

nn

n

=? ; ……………………………………………………………….

5)

5723

532loglim 3 nn

nn

n

=? ; …………………………………………………………………….

6)

13

1loglim 3 n

n

n

=? ; …………………………………………………………………………..

7)

152

3loglim 2

2

5nn

nnn

=? ; ………………………………………………………………….

8)

n

n

n

11lim

34

ln =? ; ………………………………………………………………………..

9)

nn

nn

n 54

32loglim 2

=? ; …………………………………………………………………….

10)

1093

1053lim 11

lgnn

nn

n

=? . ……………………………………………………………………..


Culegere

Limite de siruri 8

1 Adunarea :

- Fie xn si yn

doua siruri .

- Tinand seama de aritmetica din R se poate rezuma in tabelul de mai jos limita sumei a doua

siruri :

xnn

lim yn

nlim yx nn

n

lim

Nu are sens

Important :

- Daca sirurile xn si yn

au limita (finita sau infinita) si daca suma limitelor are sens ,

atunci sirul yx nn are limita si limita sumei este egala cu suma limitelor , adica :

yxyx nn

nn

nnn

limlimlim .

Exercitii :

1)

n

n

n

n

2

1

3lim =? ;

2) 32limnn

n

=? ;

3)

32

1

1lim

2

n

n

n

nn

=? ;

4)

2

2

1lim

n

n

n

=? ;

5)

13lim

n

nn

n

=? .


Culegere

Limite de siruri 9

2 Produsul :

- Procedand ca in cazul adunarii , limita produsului a doua siruri este prezentata in tabelul de

mai jos :

xnn

lim yn

nlim yx nn

n

lim

0

0

0

0

0 Nu are sens

Important :


au limita (finita sau infinita) si daca produsul limitelor are sens ,

atunci sirul yx nn are limita si limita produsului este egala cu produsul limitelor , adica :

)lim()lim(lim yxyx nn

nn

nnn

.

Exercitii :

1) 21

lim 2

3

n

n n

n

=? ;

2) 123

5lim

n

nn

n

=? ;

3) nn

n

n

2

46

13lim

=? ;

4) 1

1lim

2

3 3

n

nn

n

=? ;

5) 21lim2 n

nn =? .


Culegere

Limite de siruri 10

3 Catul :

- Tabelul de mai jos sintetizeaza limita catului a doua siruri :

xnn

lim yn

nlim

y

x

n

n

nlim

0 0

0

0

0

0

Nu are sens

0 0 Nu are sens

Important :


au limita (finita sau infinita) si daca raportul limitelor are sens ,

atunci sirul

y

x

n

n are limita si limita catului este egala cu catul limitelor , adica :

)lim(

)lim(

limy

x

y

x

nn

nn

n

n

n

.

- In cazul operatiei 0

1 avem urmatoarele rezultate :

1. Daca 0 xn si 0lim xnn

, atunci : xn

n

1lim .

2. Daca 0 xn si 0lim xnn

, atunci : xn

n

1lim .


Culegere

Limite de siruri 11

Exercitii :

1) 3

12lim n

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………………..

2) n

nnn 3

lim

2 =? ; ……………………………………………………………………………..

3) 1

3

2

lim

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………………….

4) 1

3lim

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………………….

5) 1

3

1

lim

n

n

n

=? . ………………………………………………………………………………..


Culegere

Limite de siruri 12

4 Radicali :

- Se demonstreaza urmatorul rezultat :

a) Daca xn , atunci knx , 2 , kNk .

b) Daca - xn , atunci - 12knx , 2 , kNk .

Deci si aici avem regula :

Limita radicalului este egala cu radicalul limitei , adica :

k nn

kn

nxx limlim .

Important :

- De retinut ca : 1lim

n

n

n .

Exercitii :

1) nnn

3lim2 =? ; …………………………………………………………………………….

2) 5 353lim nnn

n

=? ; ……………………………………………………………………..

3) 1

limn

n

n

=? ; ………………………………………………………………………………..

4) 1

lim 2n

n

n

=? ; ……………………………………………………………………………….

5) 1

lim

2

n

n

n

=? . ………………………………………………………………………………...


Culegere

Limite de siruri 13

5 Puteri :

- Se considera sirurile : yx nn , cu 0 , 0 , xx nn .

- In acest caz tabelul contine informatiile :

xnn

lim yn

nlim xn

y

n

n

lim

1

0

10

0

0

0 0

0 0

0

0 0 Nu are sens

0 Nu are sens

1 Nu are sens

Important :

- Daca xn

yn are sens pentru orice n , iar sirurile xn si y

n au limite (finite sau infinite)

si daca xnn

yn

nlimlim

are sens , atunci sirul xn

yn are limita si mai mult :

limn

xn

yn = xn

n

yn

nlimlim

adica limita se distribuie in baza si exponent .


Culegere

Limite de siruri 14

Exercitii :

1) 1lim1

nn

n

=? ; ……………………………………………………………………………….

2)

n

n

n

n

11lim

1

3

=? ; ……………………………………………………………………………...

3)

n

n

n

n

12lim

1

4

=? ; ……………………………………………………………………………..

4) 21lim n n

n

=? ; .........................................................................................................................

5) 13lim 13

1

n n

n

n

=? . …………………………………………………………………………...


Culegere

Limite de siruri 15

6 Logaritmi :

- Se adopta urmatoarele conventii :

I. loga

si 0loga

, daca 1a .

II. loga

si 0loga

, daca 1,0a .

Cu aceste conventii :

a) Daca 0xn si xn , atunci :

1,0 daca , -

1 daca , log

a

axna

.

b) Daca 0xn si 0xn , atunci :

1,0 daca ,

1 daca , - log

a

axna

.

Regula unificatoare in acest caz se poate formula astfel :

Limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei , adica :

)lim(logloglim xx nn

anan

.

Exercitii :

1) )1

(lnlim 2n

n

n

=? ; …………………………………………………………………………….

2) )1

log(lim

2

2n

n

n

=? ; …………………………………………………………………………..

3) )1

3log(lim 2

2

3

n

nnn

=? ; ……………………………………………………………………….

4) )12

log(lim 23

1

nn

n

n

=? ; ...............................................................................................................

5) )510

3log(lim

10

1

n

n

n

=? . ……………………………………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 16

In cadrul acestui capitol vom studia si urmatoarele tipuri de siruri remarcabile la

care prin aplicarea metodelor mai sus amintite si discutate , folosite pt. calcularea limitelor , se

ajunge la cazul de nedeterminare : 1

.

Pentru a rezolva aceste limite si a inlatura acest caz de nedeterminare vom utiliza

formulele de mai jos specifice fiecarui sir remarcabil in parte .

1 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn

xn

x n

11 ccuu xn :

- Se arata ca :

exn

xn

n

11lim , daca

xn

nlim sau altfel scris : e

xn

x

x

n

n

11lim .

2 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn xnx n11

ccuu 0xn ,, 0xn ssaauu 0xn :

- Se arata ca :

exxxex n x

xx

n x n

n

n

n nnnn

1lim : scris altfelsau 0 , 0lim daca , 1lim1

00

1

.

exxxex n x

xx

n x n

n

n

n nnnn

1lim : scris altfelsau 0 , 0lim daca , 1lim1

00

1

.


Culegere

Limite de siruri 17

Exercitii :

1)

1

11lim

32

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………….

2)

1

11lim 2

32

n

nn

n

=? ; …………………………………………………………………….

3)

1

11lim

12

n

n

n

=? ; ………………………………………………………………………

4)

11lim 2

5

n

nn

n

=? ; …………………………………………………………………………

5)

nn

nn

n2

11lim

63

=? ; ……………………………………………………………………….

6)

43

21lim

2

nn

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………...

7)

1

2lim

13

n

nn

n

=? ; …………………………………………………………………………….

8)

n

nn

n

1lim

12

=? ; ……………………………………………………………………………..

9)

n

n

n

nnn

n 3

131lim

121

=? ; ……………………………………………………………….

10)

n

n

n

nnn

n

1

5

15lim

3546

=? ; ……………………………………………………………...

11)

nn

nn

n

11

1

11lim

12

=? . ………………………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 18

3 Sirul tip ddeeffiinniitt pprriinn x

x

n

nsin ccuu 0xn :

- Se arata ca :

1sin

lim x

x

n

n

n

daca 0xn sau altfel scris : 1sin

lim0

x

x

n

n

xn

.


x

n

n tg

ccuu 0xn :

- Se arata ca :

1lim x

xtg

n

n

n

daca 0xn sau altfel scris : 1lim0

x

xtg

n

n

x n

.


a

n

x n

1 ccuu 0xn ,, 0a :

- Se arata ca :

ax

a

nn

xn

ln1

lim

daca 0xn sau altfel scris : ax

a

n

x

x

n

n

ln1

lim0

.


Culegere

Limite de siruri 19

Exercitii :referitoare la cele trei tipuri de siruri mai sus studiate

1) 1

sin13

32lim 2

2

n

n

n

n

n

=? ; …………………………………………………………………

2) n

tgnn

1lim =? ; ………………………………………………………………………………..

3) n

tgn

nnn

2

2 11sin13lim =? ; …………………………………………………………..

4) 1

2sin

2

1lim 2

2

n

n

n

n

n

=? ; …………………………………………………………………...

5) 1

1sin3lim

2

nnn

n

=? ; ………………………………………………………………..

6)

3

1sin4lim

n

n

n

=? ; …………………………………………………………………………..

7) 21

13lim

nn

ntgn

n

=? ; ………………………………………………………...

8) 12lim1

n

n

n =? ; ……………………………………………………………………………...

9) 33lim 1

112

nn

nn =? ; …………………………………………………………………………..

10) 13lim1

n

n

n =? ; ………………………………………………………………………………

11)

13lim

12

nn

n

=? ; …………………………………………………………………………….

12) 15lim 1

12 nn

nn =? ; …………………………………………………………………………

13) 151lim1

n

n

n =? ; ………………………………………………………………………

14) 12lim 32

2

n

n

n

n =? . …………………………………………………………………………...


Culegere

Limite de siruri 20

1 Cazul :

- De obicei in aceste cazuri , in care apar radicali de diferiti ordini , limita se rezolva

rationalizand radicalii , se dau factori comuni termenii de grad cel mai mare , se amplifica fractiile cu

conjugatele aferente fiecarei expresii pana se ajunge la o forma mai simpla eliminandu-se astfel cazul

de nedeterminare : .

Exercitii :

1) 351lim nn

n

=? ; ………………………………………………………………………..

2) 11lim2 nn

n

=? ; ……………………………………………………………………

3) 11lim22 nnnn

n

=? ; …………………………………………………………

4) nnnnn

lim =? ; ……………………………………………………………….

5) 3221lim nnnn

=? ; ………………………………………………………..

6) nnnnn

1lim23 3

=? ; ………………………………………………………………...

7) annnnn

3 2313lim =? , unde Ra ; …………………………………………...

8) 32limnn

n

=? ; ………………………………………………………………………………...

9) 3

.....21lim 2

222 n

n

n

n

=? ; ……………………………………………………………….

10) 34

12lim

nn

nn

n

=? ; ……………………………………………………………………

11) nn

n

53lim =? ; ………………………………………………………………………………...


Culegere

Limite de siruri 21

12) nnn

1lim =? ; …………………………………………………………………………

13) nnnnn

22lim =? ; …………………………………………………………………

14) nnnnn

223lim =? ; ………………………………………………………………..

15) nnnn

1lim2

=? ; ………………………………………………………………………

16) nnnn

1lim =? ; ……………………………………………………………………

17) nnnnnn

211lim =? ; ……………………………………………………..

18) nnnnn

lim =? ; ……………………………………………………………….

19) nnnnnn

22lim =? ; ………………………………………………………...

20) nnnn

3 23lim =? ; ………………………………………………………………………...

21) 3 233 23lim nnnn

n

=? ; …………………………………………………………………

22) 3 33 23312lim nnn

n

=? ; …………………………………………………………..

23) 12

1lim

nn

nn

n

=? ; …………………………………………………………………….

24) 33 1

1lim

nn

nn

n

=? ; …………………………………………………………………………

25) 2limn

n

n =? ; ………………………………………………………………………………

26) n

nnnnnn

1sinlim =? ; ………………………………………………

27) nnnnn

23ln3lnlim22 =? . ……………………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 22

2 Cazul

:

- Acest caz de nedeterminare se elimina aducand expresiile la o forma mai simpla , se restrang

sumele , se simplifica dupa caz , se dau factori comuni fortati .

Exercitii :

1) 13

...321lim 2

nn

n

n

=? ;

2)

213

1

lim1

nnn

kkn

k

n

=? ;

3) 22

lim1

n

n

kn

k

n

=? ;

4)

nnn

n

n

lim =? ;

5) 5 2

3

1lim

n

nnn

=? ;

6) nnn

nnnn 2

lim2

2

=? ;

7) 3523

32lim

nn

nn

n

=? ;

8)

n

en

n

1lnlim =? ;

9) e

en

n

n

1ln

1lnlim

3

=? ;

10) nn

nnn

3ln

1lnlim 8

2

=? ;

11) en

enn

n

n24

2

ln

lnlim

=? ;

12) n

n

n 3ln1

2ln1lim

=? ;

13) nn

kn

k

n

1lim 22

1

3

=? ;

14)

n

k

n

k

n kk

kk

1

1

3

2

lim =? ;

15)

C

kk

n

n

k

n3

3

1

3

lim

=? ;

16) 2

lim 5

1

3

n

knn

k

n

=? ;

17) 43

32lim

nn

nn

n

=? ;

18)

n

en

n

1lnlim

2

=? ;

19) e

en

n

n

1ln

1lnlim 2

5

=? ;

20)

nnn

nnn

2ln

1lnlim 36

3

=? ;

21) en

enn

n

n36

23

ln

lnlim

=? ;

22) 121

2lim

2

nnnn

nnnn

=? .


Culegere

Limite de siruri 23

3 Cazul 0 :

- In acest caz de nedeterminare vom folosi metodele si formulele mai sus studiate , de fapt o

combinatie intre tot ce s-a studiat pana acum .

Exercitii :

1) nn

n

n

1sin

1lim

2

=? ; ……………………………………………………………………………

2)

1

2

1lim

n

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………

3) 12lim 1

1

n

n

n =? ; …………………………………………………………………………….

4) 13lim 1

1

nn

n

n =? ; ………………………………………………………………………...

5) e

n

nn

n 1

132lim =? ; ……………………………………………………………………….

6)

32

2lnlim

n

nn

n

=? ; …………………………………………………………………………

7) n

tgnn

1lim

3 =? ; …………………………………………………………………………….

8)

1

2lim 2

2

nn

nnn

n

=? ; …………………………………………………………………..

9)

1lim 1enn nn

n

n

=? ; …………………………………………………………………...

10) 1ln2lnlim222 nnn

n

=? ; …………………………………………………………

11)

3

1

3

1lim

2

nn

n

nn =? . ………………………………………………………………...


Culegere

Limite de siruri 24

4 Cazul 1 :

- In acest caz de nedeterminare se recomanda utilizarea structurii :

eyn

y

y

n

n

1lim1

0

Exercitii :

1)

en

n

n2lim

1

=? ; ………………………………………………………………………………

2)

n

n

n

1sin1lim =? ; ……………………………………………………………………………

3)

n

nn

n 2

1lnlim 2

2

=? ; …………………………………………………………………………...

4)

1

1lim 2

2 1

12

n

nn n

nn

n

=? ; …………………………………………………………………...

5)

3lim

111

cba nnn

n

n

=? ; ………………………………………………………………………..

6)

12

32lim 2

21

2

nn

n n

n

n

=? ; …………………………………………………………………….

7)

1ln1lim

n

nn

n

=? ; ………………………………………………………………………….

8)

n

kn

n

sin1lim =? ; ……………………………………………………………………………

9)

n

an

n

n

coslim

12

=? ; …………………………………………………………………….

10) nnnnn

n

132lim 22 =? . …………………………………………………………..


Culegere

Limite de siruri 25

Exercitiul 1 :

Sa se determine parametrii reali a , b si c astfel incat :

1)

321

lim

222

n

nna

n

; ………………………………………………………………….

2)

211

lim 2

242

an

nna

n

; ……………………………………………………………….

3)

3

2

15

11lim

22

n

n

an

na ; ……………………………………………………………………..

4) 113lim 3 23 annnnn

; ………………………………………………………….

5) 22142lim2 bannn

n

; ……………………………………………………

6) 01lim 3 3 bannn

; ………………………………………………………………….

7) 3

1756249lim

2234 cbnannnnn

; …………………………………...

8) 12lim2 cnbnann

n

; ………………………………………………………….

9) cnbannn

2lim =3 ; ………………………………………………………………...

10) 02lim234 cbnannn

n

; ……………………………………………………...

11) 1113lim23 23 bnnan

n

, 0, ba . …………………………………………


Culegere

Limite de siruri 26

Exercitiul 2 :

Sa se determine functiile RDf : , precizand domeniile lor de definitie :

1) e

xexxf

nx

nx

n

1lim

2

; ………………………………………………………………………..

2) 4

168lim 2

22

xx

xxxxf

n

n

n

; ……………………………………………………………

3)

1

41lim

2

xx

xxxf

n

n

n

; ………………………………………………………………...

4) x

xfnn

n

n

2

2lim , 0x ; ………………………………………………………………..

5) xxx

xxxxxf

n

n

n22

232

...1

...1lim

. …………………………………………………….


Culegere

Limite de siruri 27

Teorema lluuii CCeessaarroo SSttoollzz :

- Fie an n 1 si bn n 1

doua siruri de numere cu proprietatile :

1). 0 < b1 < b2 < ……. < bn (sir strict crescator ) ;

2). lim

bnn

;

3). R -

-

1

1lim

lbb

aa

nn

nn

n

atunci :

lim lb

a

n

n

n

Exercitii :

Utilizand lema lui Stolz-Cesaro sa se calculeze limitele sirurilor :

1)

nnn

1...

3

1

2

11

1lim =? ; ……………………………………………………….

2)

nnn ln

1...

3ln

1

2ln

11lim =? ; ………………………………………………………….

3) 121

...33321lim

2322

nnn

nnn

n

=? ; …………………………………………………….

4)

dnc

bna

dc

ba

dc

ba

nn

...2

21lim =? ; ……………………………………………

5) nn

n

n

...321lim =? ; ……………………………………………………………..

6) n

np

ppp

n1

...21lim

=? , Np * ; …………………………………………………………

7) n

nn

n

n

...321lim

32

=? ; …………………………………………………………………


Culegere

Limite de siruri 28

8)

nn

nn

n 2

...33221lim

=? ; ………………………………………………………...

9) n

CCC nnn

n2

2

2

3

2

2

1 ...lim

=? ; ………………………………………………………...

10)

n

np

pppp

n1

12...531lim

=? , Np * ; ……………………………………………..

11)

n

kn k

k

n 1 ...321

1lim =? ; ………………………………………………………..

12)

33

1...

2

11

1...

2

11

lim

n

nn

=? ; …………………………………………………………………..


Culegere

Limite de siruri 29

Teorema CCrriitteerriiuull CCaauucchhyy –– dd’’AAlleemmbbeerrtt (( ccrriitteerriiuull rraappoorrttuulluuii )) :

- Fie sirul xn cu 0xn , () n N* , pentru care exista : ax

x

n

n

n

1lim

- Atunci sirul : nnx are limita si mai mult :

1limlim a

x

xx

n

n

n

nn

n

.

Exercitii :

Utilizand lema lui Cauchy-d’Alembert sa se calculeze limitele sirurilor :

1) n

n

nlim =? , 2n ;

2)

n

n

n n

n

!3

!3lim

33

=? ;

3)

nn

n n

nnn 2...21lim

=? ;

4)

n

n n

naaa

!

...21lim

=? ;

5) nn

n n

nnln

lnlim =? ;

6) n

nn

n

!lim =? ;

7) 8!2

!lim

2

n

nn

n

=? ;

8)

n

n

n n

n

!2lim

12

=? ;

9)

n

n n

n

!2

!4lim 2

=? ;

10) n

n

kn kn

1

sin!lim

=? ;

Clasa a XI-a Analiza - 30

Cap. II : Limite de siruri

Limite de siruri

Exercitiul 1 :

Sa se calculeze limitele urmatoare :

1). 4

3lim

n

n

n

=……………………………………………………………………………………………

2). 23

13lim

n

n

n

=………………………………………………………………………………………

3). 14

13lim

n

n

n

=……………………………………………………………………………………….

4). 24

14lim

1

n

n

n

=…………………………………………………………………………………….

5). 12lim n

nn =………………………………………………………………………………..

6).

3

22lim n

nn

n

=…………………………………………………………………………………..

7). 10

sinlimn

n

=………………………………………………………………………………………

8). 10

coslimn

n

=………………………………………………………………………………………

9). 4

lim

tgn

n

=………………………………………………………………………………………...

10). 3

lim

tgn

n

=………………………………………………………………………………………...

11). 1lim2 n

n

=……………………………………………………………………………………..

12). nnn

2lim =…………………………………………………………………………………...

13). 100lim2 nn

n

=…………………………………………………………………………...

14). nnn

23 61lim =………………………………………………………………………………



Limite de siruri

15). 23

56lim 2

2

n

nnn

=…………………………………………………………………………………...

16). 83

lim 2

2

n

n

n

=……………………………………………………………………………………..

17).

n

nn

n4

4411

lim

=…………………………………………………………………………….

18).

n

nn

n222 ...21

...21lim

=……………………………………………………………………………

19). n

n

n3

222 ...21lim

=…………………………………………………………………………….

20).

n

n

nnn222

...21

lim =………………………………………………………………………..

21).

nn

110lim

2

=……………………………………………………………………………………

22).

n

n

n

110lim =……………………………………………………………………………………

23).

n

n

n

2

1lim

3=……………………………………………………………………………………...

24).

1

3

25lim

n

n

=……………………………………………………………………………….

25).

nn

nn

n 7443

213lim

=…………………………………………………………………………...

26). 22

...21lim

n

n

n

n

=………………………………………………………………………….

Exercitiul 2 :

Sa se calculeze limita urmatoarelor siruri :

1). 501,03

1lim

n

nn

=……………………………………………………………………………

2).

1

5

23lim

n

n

=……………………………………………………………………………….



Limite de siruri

3). 12

12lim

1

n

n

n

=……………………………………………………………………………………..

4). 52

52lim 11

nn

nn

n

=……………………………………………………………………………………

5). 57433

53423lim

nnn

nnn

n

=…………………………………………………………………………….

6).

11

lim

nn

nn

n

=? , 0, .......................................................................................................

Exercitiul 3 :

Sa se discute si sa se calculeze dupa parametrul 0 :

1).

1lim n

n

n

=………………………………………………………………………………………...

2).

1lim 2n

n

n

=……………………………………………………………………………………….

3).

nn

nn

n

lim =…………………………………………………………………………………….

Exercitiul 4 :

Sa se calculeze limitele :

1). n

n

n

1

32lim 2

=………………………………………………………………………………………

2). 62

43lim 2

2

n

nn

=…………………………………………………………………………………….

3). 1

432lim 2

2

n

nnn

=……………………………………………………………………………...

4).

3417

124lim

nn

nn

n

=……………………………………………………………………………

5). 5

2lim 2

3

nn

n

n

=…………………………………………………………………………………

6). nnn

nn

n 32

172lim 34

23

=……………………………………………………………………………...



Limite de siruri

Exercitiul 5 :


1).

21

1...3221lim

nnn

nn

n

=? ; …………………………………………………………….

2). 1

...321lim

nn

n

n

=? ; ………………………………………………………………………

3).

3

...21lim 2

222n

n

nn

=? ; ……………………………………………………………….

4).

n

n

n3

222 12...31lim

=? . ………………………………………………………………….

Exercitiul 6 :

Sa se afle termenul general an , iar apoi sa se determine limitele urmatoarelor siruri :

1). 1412...3133222 nnnan ; …………………………………………......

2). 1212

...53

2

31

1222

nn

nan ; …………………………………………………….

3). 31

1...

532

1

421

1

nnnan ; ……………………………………………….

4). 19

1

11

1...

19

1

11

1

19

1

11

122 nnna ; ………………………………………………….

5). !1!...2!21!1 nnnan ; ………………………………………………………….

6). 2 , !

1...

!4

3

!3

2

!2

1

n

n

nan ; ……………………………………………………

7). 2...321321

nnCCCCa

nn

nnnnn . ………………………………………………….

Exercitiul 7 :

Sa se determine limitele urmatoarelor siruri :

1). n

n

n

nnn

n 5

14

15

1lim

=? ; ………………………………………………………………......



Limite de siruri

2). 12

1cos

13lim 3

2

n

nn

n

nn

n

=? ; …………………………………………………………

3). nnnnn

22lim =? ; …………………………………………………………………...

4). 2222lim22 nnnn

n

=? ; …………………………………………………….

5). nnn

3 31lim =? ; …………………………………………………………………………......

6). nnnnnn

211lim =? ; ………………………………………………………..

7). 21lim423

nnnnn

=? ; ……………………………………………………………

8). nnnnmn

n

...lim 21 =? , Rk …………………………………………

Exercitiul 8 :

Sa se determine limita urmatoarelor siruri :

1). 3

2

n

nan ; …………………………………………………………………………………...

2). 32

2

132

2

nn

nnan ;………………………………………………………………………….

3). 635

63521

nn

nn

na ;……………………………………………………………………………...

4). 132

5232

32

nn

nnnan ;………………………………………………………………………...

5). 2

653 2

n

nnan ;……………………………………………………………………………

6).

nnn

nnan

4 3

21

;……………………………………………………………………………

7). 3 23

2

3

13

nnn

nnan

……………………………………………………………………………



Limite de siruri

Exercitiul 9 :

Sa se calculeze limitele sirurilor :

1).

2

1lim

122

3

n

n

n

=…………………………………………………………………………………….

2).

3

1lim

34

13

3

n

n

n

=…………………………………………………………………………………….

3).

12

1lim 3

3 23

5

n

n n

n

n

=………………………………………………………………………………..

4).

572

47lim

342

2

nn

nn n

n

n

=…………………………………………………………………………….

5). 7lim5

3

3

1

1332

n

nn

n

=…………………………………………………………………………………...

Exercitiul 10 :

Sa se calculeze limita sirurilor :

1). 23

1log

2

2

3

1

n

nan =……………………………………………………………………………....

2). 235

12log

3

3

5

nn

nnan =…………………………………………………………………….........

3). 24

1log

7

nn

nnan =……………………………………………………………………

4). 1

log2

2

1

n

nan =………………………………………………………………………………...

5). 12

lg3

2

nn

nan =……………………………………………………………………………...

6). 2

32log

3

2

n

nn . ………………………………………………………………………………….



Limite de siruri

Exercitiul 11 :


1). nnan 24 ; …………………………………………………………………………….......

2). 3 232 nnnan ; …………………………………………………………………………

3). 12

2

3

n

nan . …………………………………………………………………………………

Exercitiul 12 :


1).

1lim

12

n

n n

n

n

=……..……………………………………………………………………………

2).

n

nn

n

1lim

32

=…………….……………………………………………………………………..

3).

12

32lim

1

n

nn

n

=…………………………………………………………………………………..

4).

2

1lim 2

23

n

nn

n

=…………………………………………………………………………………..

5).

n

n

n

nnn

n

1

5

15lim

3546

=…………………………………………………………….............

6).

nn

n

n

11

1

11lim

12

=………………………………………………………………..

Exercitiul 13 :


1). 13lim1

n

nn =……………………………………………………………………………………

2). 33lim 1

112

nn

nn =…………………………………………………………………………………

3). 13lim1

2

n

nn =……………………………………………………………………………………

4). 151lim1

n

n

n =…………………………………………………………………………….



Limite de siruri

Exercitiul 14 :


1). n

ea

n

n

1ln ;…………………………………………………………………………………..

2). e

ea

n

n

n

1ln

1ln 3

; …………………………………………………………………………………

3). en

ena

n

n

n 24

2

ln

ln

;……………………………………………………………………………….

4). n

nan

3ln1

2ln1

; ………………………………………………………………………………….

5). 1

132

ea

n

nn

n ; …………………………………………………………………………...

6). 32

2ln

n

nnan ………………………………………………………………………………….

Exercitiul 15 :


1). 1

lnlim 21

21

n

nen

n

n

=………………………………………………………………………………….

2).

n

k

k

n

k

k

n

e

1

1lim

=…………………………………………………………………………………………

3).

?

21

1

lim1

nnn

kkn

k

n

………………………………………………………………………….

4). ?11

lim1

3

n

kn

kkn

……………………………………………………………………………..

5).

?21

1lim

1

n

kn kkk……………………………………………………………………….

6). ?...21

1lim

1222

n

kn k……………………………………………………………………..

7). ?34

1682lim

12

23

2

n

kn kk

kkknn ..................................................................................



Limite de siruri

Exercitiul 17 :


1).

?2

1lim

1

n

kn kk……………………………………………………………………………….

2). ?...21

lim 222

n

n

nnn

……………………………………………………………………..

3).

?2121

2lim

11

1

n

kkk

k

n

………………………………………………………………………...

4).

?1

12lim

122

n

kn kk

k………………………………………………………………………………

5). ?23

13lim

12

2

n

kn kk

kkn …………………………………………………………………..

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