CAPITOLUL 7

CÂMP DE EVENIMENTE. CÂMP DE PROBABILITATE

7.1. Noţiuni fundamentale: evenimente; probabilitatea deproducere a evenimentelor.

DEFINIŢIE : Experienţa reprezintă orice act care poate firepetat în condiţii date. Aplicarea experienţei asupra unei populaţiidate se numeşte probă.

DEFINIŢIE : Evenimentul reprezintă orice rezultat al uneiexperienţe.

Noţiunea de eveniment în teoria probabilităţilor este legatăde producerea sau neproducerea unui fenomen (într-o experienţădată) şi nu de natura fenomenului.

EXEMPLUL 1 : La controlul de recepţie a mărfurilor : Experienţa constă în cercetarea unui lot de marfă, dacă

corespunde sau nu din punct de vedere al calităţii. Proba constă în cercetarea calităţii unei unităţi (unui articol)

din marfa respectivă. Evenimentele rezultate sunt :

-articolul este corespunzător; -articolul nu este corespunzător.

EXEMPLUL 2 : La aruncarea unui zar : Experienţa constă în crearea condiţiilor de aruncare a

zarului (masă, zar). Proba constă în aruncarea zarului şi citirea feţei. Evenimentele sunt asociate feţelor 1, 2, 3, 4, 5 sau 6.

DEFINIŢIE : Se numeşte eveniment elementarevenimentul care se poate realiza printr-o singură probă.

Dacă o experienţă are n rezultate posibile, vom notaevenimentele elementare cu nωω ,,1 Κ .

DEFINIŢIE : Notăm cu Ω mulţimea tuturor evenimentelorelementare, ,, 1 nωω Κ=Ω .

De exemplu, în cazul aruncării zarului, 6,5,4,3,2,1=Ω .

OBSERVAŢIE : Mulţimea Ω este evenimentul sigur(adică evenimentul care se poate realiza prin oricare din probe).

DEFINIŢIE : Evenimentul care nu se produce la nici oefectuare a experienţei se numeşte evenimentul imposibil, pe careîl notăm cu Φ .

DEFINIŢIE : Evenimentul care poate fie să se producă fiesă nu se producă în efectuarea unei experienţe se numeşteeveniment aleator (întâmplător).

Vom nota evenimentele aleatoare cu litere mari A, B, C, …Dacă evenimentele aleatoare pot fi observate de mai multe ori încondiţii identice se constată că ele se supun unor legităţi statistice.Teoria probabilităţilor studiază aceste legităţi, care permit să seprevadă desfăşurarea evenimentelor.

Fiecărui eveniment A îi corespunde un eveniment contrar(opus, complementar) care se realizează atunci şi numai atunci cândnu se realizează evenimentul A. Vom nota evenimentul contrar cuA sau C(A).

OBSERVAŢIE : Φ=Ω ; Ω=Φ .

DEFINIŢIE : Evenimentul A implică evenimentul B, dacărealizarea evenimentului A atrage după sine realizareaevenimentului B. Notăm BA ⊂ .

OBSERVAŢIE : Dacă A este un eveniment şi Ω esteevenimentul sigur, evident Ω⊂A .

DEFINIŢIE : Dacă BA ⊂ şi AB ⊂ , atunci evenimentele Aşi B sunt echivalente.

7.2. Operaţii cu evenimente

Fie evenimentele A şi B.

DEFINIŢIE : Evenimentul a cărui producere constă înproducerea a cel puţin unuia din evenimentele A şi B se numeşte

reuniunea (suma) evenimentelor. Se notează cu BA ∪ şi se citeşteA sau B.

DEFINIŢIE : Evenimentul care constă în producereasimultană a evenimentelor A şi B se numeşte intersecţia (produsul)evenimentelor. Se notează cu BA∩ şi se citeşte A şi B.

În general, Υn

iiAS

1=

= şi Ιn

iiAI

1=

= .

DEFINIŢIE : Două evenimente sunt incompatibile dacă nuse pot produce simultan. Deci Φ=∩ BA .

OBSERVAŢIE : Φ=∩ AA .

DEFINIŢIE : Diferenţa evenimentelor A–B esteevenimentul care se produce atunci şi numai atunci când se produceA şi nu se produce B. Avem : BABA ∩=− .

Proprietăţi ale operaţiilor cu evenimente :

ABBA ∪=∪ ABBA ∩=∩)()( CBACBA ∪∪=∪∪ )()( CBACBA ∩∩=∩∩

AAA =∪ AAA =∩AA =Φ∪ Φ=Φ∩AΩ=Ω∪A AA =Ω∩Ω=∪ AA Φ=∩ AA

AA =)(Ω=Φ

ΙΥn

ii

n

ii AA

11 ==

=

DEFINIŢIE : O mulţime nevidă K de părţi ale lui Ω senumeşte corp de evenimente dacă :a) oricare ar fi evenimentul A din mulţimea K, atunci şi

evenimentul A aparţine mulţimii K.b) oricare ar fi evenimentele A şi B din mulţimea K,

BA ∪ aparţime mulţimii K.

CONSECINŢE :

a) K∈ΩDemonstraţie : dacă KA ⊂ , atunci şi KA ∈ , iar KAA ∈Ω=∪ ,conform proprietăţilor operaţiilor cu evenimente.b) K∈ΦDemonstraţie : deoarece K∈Ω , şi K∈Φ=Ω .c) Dacă KBA ∈, , atunci KBA ∈−Demonstraţie : KBABABA ∈∪=∩=− .d) Dacă KBA ∈, , atunci KBA ∈∩

DEFINIŢIE : O mulţime nevidă K de părţi ale lui Ω senumeşte corp borelian de evenimente, dacă :a) oricare ar fi evenimentul A din mulţimea K, atunci şi

evenimentul A aparţine mulţimii K.

b) oricare ar fi KAj ∈ , ,...2,1=j , atunci KAj

j ∈∞

=Υ1

.

DEFINIŢIE : Se numeşte câmp finit de evenimente, omulţime finită de evenimente elementare Ω pe care s-a definit uncorp de evenimente K. Se notează ),( KΩ .

DEFINIŢIE : Se numeşte câmp borelian de evenimente omulţime finită de evenimente elementare Ω peste care s-a definit uncorp borelian de evenimente.

OBSERVAŢIE : Din definiţia anterioară rezultă că înmulţimea evenimentelor câmpului ),( KΩ există o submulţime

nii ,...,1, =ω numită mulţimea evenimentelor elementare. Aceastămulţime are următoarele proprietăţi :1) Φ≠iω , ni ,...,1= .2) Φ=∩ ji ωω , ji ≠ .

3) Ω==Υ

n

ii

1

ω .

4) există cel puţin un eveniment ),( KA Ω∈ , iA ω≠ , ni ,...,1= ,astfel încât

piiA ωω ∪∪= ...1

, np ≤≤1 .

DEFINIŢIE : nEEE ,...,, 21 formează un sistem complet deevenimente, deoarece :

1) Ω==Υ

n

iiE

1

2) Φ=∩ ji EE , ji ≠ .

7.3. Conceptul de probabilitate

Pentru măsurarea şanselor de realizare a unui evenimentaleator s-a introdus noţiunea de probabilitate. Sunt cunoscute treidefiniţii ale noţiunii de probabilitate.

1. Definiţia axiomatică introduce probabilitatea ca o funcţie pdefinită pe un câmp de evenimente cu valori în mulţimeanumerelor reale.

2. Definiţia clasică a probabilităţii reduce conceptul deprobabilitate la cazul evenimentelor egal posibile.

3. Definiţia statistică exprimă probabilitatea cu ajutorulfrecvenţei de realizare a unui eveniment într-un număr marede experienţe realizate în aceleaşi condiţii.

DEFINIŢIA AXIOMATICĂ A PROBABILITĂŢII:

Fie ),( KΩ un câmp de evenimente.Funcţia RKP →Ω ),(: , care asociază oricărui eveniment

),( KA Ω∈ numărul real P(A), cu proprietăţile :1) 0)( ≥AP , oricare ar fi ),( KA Ω∈ ,2) 1)( =ΩP ,3) )()()( BPAPBAP ∪=∪ , oricare ar fi ),(, KBA Ω∈ ,

Φ=∩ BA ,se numeşte probabilitate.

Această definiţie a fost enunţată de A.N.Kolmogorov(1929).

DEFINIŢIE : Un câmp de evenimente ),( KΩ înzestrat cu oprobabilitate P se numeşte câmp de probabilitate, şi se notează cu

),,( PKΩ .

DEFINIŢIE : Se numeşte probabilitate σ - aditivă (saucomplet aditivă) pe câmpul borelian de evenimente ),( KΩ ofuncţie RKP →Ω ),(: cu proprietăţile :1) 0)( ≥AP , oricare ar fi ),( KA Ω∈ ,2) 1)( =ΩP ,

3) ∞

=

∞

=

=

11

)(i

ii

i APAP Υ , oricare ar fi şirul ( ) ( )KA Nii ,* Ω∈∈ şi

Φ=∩ ji AA , oricare ar fi ji ≠ .

DEFINIŢIE : Un câmp borelian de evenimente ),( KΩînzestrat cu o probabilitate σ - aditivă se numeşte câmp boreliande probabilitate şi se notează ),,( PKΩ .

Consecinţe ale definiţiei axiomatice a probabilităţii:

C1. )(1)( APAP −=

Demonstraţie : Din proprietăţile operaţiilor cu evenimente ştim căΩ=∪ AA . Atunci )()()( APAPAAP +=∪ , deoareceΦ=∩ AA . Rezultă că )(1)( APAP −= .

C2. Dacă ),( KAi Ω∈ , ni ,...,1= cu proprietatea că Φ=∩ ji AA ,

oricare ar fi ji ≠ , nji ,...,1, = , atunci : ∞

=

∞

=

=

11

)(i

ii

i APAP Υ .

Demonstraţie : - folosim inducţia matematică .Pentru n=2, relaţia este adevărată, conform proprietăţii numarul 3din definiţia lui Kolmogorov.Presupunem că propoziţia este adevărată pentru n-1, adică

−

=

−

=

=

1

1

1

1

)(n

ii

n

ii APAP Υ . Notăm Υ

1

1

−

=

=n

iiAA . Rezultă astfel că putem

scrie n

n

ii AAA ∪=

−

=Υ1

1

.

Atunci =

−

=

=+=

n

iin

n

ii APAPAPAP

1

1

1

)()()(Υ .

C3. =

=n

iiP

1

1)(ω , unde nωωω ,...,, 21 sunt evenimentele elementare

ale mulţimii Ω .

Demonstraţie: Υn

ii

1=

Ω=ω şi Φ=∩ ji ωω , ji≠ . Atunci

1)(1

=Ω=

=

PPn

iiΥω , deci

=

=n

iiP

1

1)(ω .

C4. Dacă ),(, KBA Ω∈ şi BA ⊂ , atunci )()( BPAP ≤ .

Demonstraţie: Dacă BA ⊂ , atunci Υp

iiA

1=

= ω şi Υqp

iiB

+

=

=1

ω . Ştim că

Φ=∩ ji ωω , ji≠ .

Deci : =

=p

iiPAP

1

)()( ω şi = +=

+=p

i

q

piii PPBP

1 1

)()()( ωω . Dar

0)( ≥iP ω , de unde rezultă că )()( BPAP ≤ .

C5. Oricare ar fi evenimentul ),( KA Ω⊂ , este adevărată relaţia1)(0 ≤≤ AP .

Demonstraţie: Oricare ar fi ),( KA Ω∈ , Ω⊂⊂Φ A , deci vom avea)()()( Ω≤≤Φ PAPP , adică 1)(0 ≤≤ AP .

C6. Să considerăm o experienţă în care mulţimea evenimentelorelementare cuprinde evenimente egal posibile (exemplu: aruncarea

unui zar). Din C3. rezultă că n

P i1)( =ω . Fie ),( KA Ω∈ , unde

kiiA ωω ∪∪= ...1

. Atunci )(...)()(1 kii PPAP ωω ++= , deci

nkAP =)( .

DEFINIŢIA CLASICĂ A PROBABILITĂŢII:

Probabilitatea unui eveniment ),( KA Ω⊂ este egală curaportul dintre numărul cazurilor favorabile produceriievenimentului A şi numărul total de cazuri posibile.

7.4. Probabilităţi condiţionate

DEFINIŢIE : Fie ),,( PKΩ un câmp borelian deprobabilitate. Fie ),,(, PKBA Ω∈ cu 0)( ≠AP . Să presupunem căapariţia evenimentului B este condiţionată de apariţia evenimentuluiA. Vom nota această probabilitate condiţionată cu )(BPA sau

)/( ABP . Atunci )/()(

)()( ABPAP

BAPBPA =∩= .

Proprietăţi ale probabilităţilor condiţionate:

Proprietatea 1 :)(,, BPK AΩ este un câmp (chiar borelian) de

probabilitate.

Demonstraţie: Verificăm ipotezele :1. 0)( ≥BPA deoarece 0)( ≥∩ BAP şi 0)( >AP2. 1)( =ΩAP

1)()(

)()()( ==Ω∩=Ω

APAP

APAPPA

3. )()()( 2121 BPBPBBP AAA +=∪

=∩∪∩=∩∪=∪)(

)]()[()(

])[()( 212121 AP

ABABPAP

ABBPBBPA

)()()(

)()(

)(21

21 BPBPAP

ABPAP

ABPAA +=∩+∩=

În această demonstraţie avem în vedere faptul căΦ=∩ 21 BB şi ABBABAB ∩∩=∩∩∩ 2121 )()( .

Proprietatea 2 :Dacă 0)( ≠AP şi 0)( ≠BP , atunci este adevărată

relaţia )()()()( APBPBPAP BA ⋅=⋅ .

Demonstraţie:

)()()(

APBAPBPA

∩= , de unde )()()( BPAPBAP A⋅=∩

)()()(

BPABPAPB

∩= , de unde )()()( APBPABP A⋅=∩

Cum )()( ABPBAP ∩=∩ , avem )()()()( APBPBPAP BA ⋅=⋅şi proprietatea 2 este demonstrată.

DEFINIŢIE : Evenimentele ),(, KBA Ω∈ suntindependente dacă )()()( BPAPBAP ⋅=∩ .

7.5. Formule de calcul ale probabilităţilor în cazul operaţiilor cuevenimente

1) Reuniunea evenimentelor incompatibile:

==

=

n

kk

n

kk APAP

11

)(Υ , dacă Φ=∩ ji AA , ji ≠ .

Demonstraţia este imediată, prin metoda inducţiei matematice,utilizând axioma 3 din definiţia axiomatică a probabilităţii.

2) Reuniunea evenimentelor compatibile:)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ (*)

Demonstraţie : Evenimentele A şi B se mai pot scrie astfel:)()( BABAA ∩∪∩=)()( ABABB ∩∪∩=

Deci )()()( BABABABA ∩∪∩∪∩=∪ . Evenimentele dinparanteze sunt independente două câte două.

)()()()( BAPBAPBAPBAP ∩+∩+∩=∪ (α ))()()( BAPBAPAP ∩+∩=)()()( BAPBAPBP ∩+∩=

Din relaţia (α ) scădem cele două relaţii de mai sus şi obţinem:)()()()( BAPBPAPBAP ∩−=−−∪ , de unde rezultă

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ .

În general, fie sistemul de evenimente compatibileKAA n ⊂,..., 1 . Probabilitatea producerii a cel puţin unuia dintre

aceste evenimente este:

= < <<=

++∩∩+∩−=

n

i ji kjikjijii

n

ii AAAPAAPAPAP

11

...)()()(Υ)...()1( 21

1n

n AAAP ∩∩∩−+ + . Această formulă se numeşteformula lui Poincaré.

Demonstraţie: Se utilizează inducţia matematică.În etapa de verificare, pentru 2=n , se obţine relaţia (*)

care a fost demonstrată.Se presupune proprietatea adevărată pentru k evenimente

compatibile, cu nk ≤ şi se demonstrează că formula lui Poincaréeste adevărată şi pentru n+1 evenimente. Atunci:

=

∩

−+

=

∪

=

−

=+

=+

=

+

=1

11

11

1

1

1

)( n

n

kkn

n

kkn

n

kk

n

kk AAPAPAPAAPAP ΥΥΥΥ

∩−+

==

+−=

ΥΥn

knkn

n

kk AAPAPAP

111

1

)()( .

În primul şi al treilea termen al acestei relaţii se utilizeazăformula Poincaré, adevărată pentru n evenimente compatibile.Rezultă :

<<=<=

+

=

+

=

−∩∩+∩−=

n

kjikjikji

jijiji

n

kk

n

kk AAAPAAPAPAP

;1,,;1,

1

1

1

1

)()()(Υ

−++

=Ι1

1

)1(...n

kk

n AP

EXEMPLU: Problema concordanţelor

O urnă conţine n bile numerotate 1,2,…,n. Se extrag pe rândtoate bilele din urnă. Se numeşte concordanţă de rang k evenimentulca la extragerea de rang k să apară bila cu numărul k. Fie Ak acesteveniment. Să se determine probabilitatea de a avea cel puţin oconcordanţă.

Rezolvare: Fie A evenimentul de a avea cel puţin o

concordanţă. Rezultă că Υn

kkAA

1=

= , iar evenimentele sunt

compatibile.Se aplică formula lui Poincaré.

nnnAP k

1!

)!1()( =−= , oricare ar fi nk ,...,2,1= .

)1(1

!)!2()(

−=−=∩

nnnnAAP ji

, oricare ar fi nji ,...,2,1, = , şi ji ≠ .

……………………………………………………………………..

!1

1 nAP

n

kk =

=Ι

Rezultă : +−

−⋅=⋅−++−

−= = <=

−

)1(111)1(...

)1(11)( 2

1 ;1,

1

nnC

nn

nnnnAP n

n

k

n

jiji

n

!1)1(...

!31

!211

!1)1(...

)2)(1(1 113

nnnnnC nn

n ⋅−+++−=⋅−++−−

+ −−

3) Formula de înmulţire a probabilităţilor:

TEOREMA 1: Fie ),,( PKΩ un câmp de probabilitate şi fiefamilia de evenimente KAAA n ⊂),...,,( 21 independente în totalitatealor. Atunci, probabilitatea producerii simultane a celor n evenimenteeste egală cu produsul probabilităţilor acestor evenimente:

∏==

=

n

kk

n

kk APAP

11

)(Ι .

Demonstraţie : Se face prin inducţie după n.Pentru n=2, etapa de verificare, rezultă din definiţia

independenţei a două evenimente: )()()( 2121 APAPAAP ⋅=∩Presupunem teorema adevărată pentru k evenimente

)( nk ≤ şi o demonstrăm pentru n+1 evenimente:

=⋅

=

∩

=∩∩∩ +=

+=

+ )()...( 11

11

121 n

n

kkn

n

kknn APAPAAPAAAAP ΙΙ

∏∏+

=+

=

=⋅

=1

11

1

)()()(n

kkn

n

kk APAPAP

TEOREMA 2: Într-un câmp de probabilitate ),,( PKΩ fiefamilia de evenimente KAAA n ⊂),...,,( 21 astfel încât probabilitatea

Φ≠),...,,( 21 nAAAP . Atunci:

)...|(...)|()|()( 112131211

−=

∩∩⋅⋅∩⋅⋅=

nn

n

kk AAAPAAAPAAPAPAP Ι

Demonstraţie: Se poate demonstra fie prin inducţie, fieprin definiţia probabilităţilor condiţionate. Aplicăm a doua metodă:

)()( 11 APAP =

)()()|(

1

2112 AP

AAPAAP ∩=

)()()|(

21

321213 AAP

AAAPAAAP∩

∩∩=∩

………………………………………..

)...()...(|121

211

1 −

−

= ∩∩∩∩∩∩=

n

nn

iin AAAP

AAAPAAP Ι

Înmulţim între ele expresiile din membrul stâng şi dinmembrul drept şi simplificăm. Rezultă :

)...(|)|()( 21

1

1121 n

n

iin AAAPAAPAAPAP ∩∩∩=

⋅⋅⋅−

=ΙΚ

EXEMPLU : Un lot de piese conţine 5% piese rebut.Controlul de calitate stabileşte ca regulă de acceptare a lotuluicondiţa ca la 5 verificări consecutive să nu fie nici o piesă rebut.Care este probabilitatea de acceptare a lotului?

Rezolvare: Fie Ak evenimentul ca piesa controlatălacontrolul de ordinul k să fie corespunzătoare, fie A evenimentul calotul să fie acceptat. Atunci: 54321 AAAAAA ∩∩∩∩= .Evenimentele nu sunt independente, deoarece orice realizare a unuiadintre ele influenţează realizarea celorlalte prin modificareaproporţiei de piese corespunzătoare din lot.

)|()|()|()|()()( 432153214213121 AAAAAPAAAAPAAAPAAPAPAP ∩∩∩⋅∩∩⋅∩⋅⋅=

Avem: 10095)( 1 =AP ;

9994)|( 12 =AAP ;

9893)|( 213 =∩ AAAP ;

9792)|( 3214 =∩∩ AAAAP ;

9691)|( 43215 =∩∩∩ AAAAAP .

Deci: 77,09691

9792

9893

9994

10095)( =⋅⋅⋅⋅=AP .

7.6. Formula probabilităţilor totale

Fie nAAA ,...,, 21 un sistem complet de evenimente alcâmpului ),( KΩ . Adică Ω=∪∪ nAA Κ1 şi Φ=∩ ji AA , unde

nji ,,1, Κ= , ji ≠ .Fie ),( KX Ω∈ evenimentul care se realizează condiţionat

când unul din evenimentele Ai se realizează. Cunoscând )( iAP şi)(XP

iA , ni ,,1 Κ= , să se determine P(X).

TEOREMĂ : Probabilitatea unui eveniment X ce se producecondiţionat de unul din evenimentele nAAA ,...,, 21 care formează unsistem complet de evenimente este :

=

⋅=n

iAi XPAPXP

i1

)()()( (formula probabilităţii totale)

Demonstraţie: Putem scrie :

)()()( 21 XAXAXAX n ∩∪∪∩∪∩= Κ .Vom arăta că : Φ=∩∩∩ )()( XAXA ji .

Φ=∩Φ=∩∩=∩∩∩ XXAAXAXA jiji )()()( , ji ≠ .

=∩=∩∪∪∩∪∩= =

n

iin XAPXAXAXAPXP

121 )()]()()[()( Κ

=

⋅=n

iAi XPAP

i1

)()( deoarece )()()( XPAPXAPiAii ⋅=∩

şi)(

)()(i

iA AP

XAPXPi

∩= .

7.7. Formula lui Bayes

Considerând aceleaşi ipoteze ca şi în cazul formuleiprobabilităţilor totale : Ω=∪∪ nAA Κ1 şi Φ=∩ ji AA , unde

nji ,,1, Κ= , ji ≠ , notăm cu ),( KX Ω∈ evenimentul care serealizează când unul din evenientele Ai , ni ,,1 Κ= , se realizează.

Problema: Să se determine probabilitatea evenimentelor Aiîn ipoteza realizării evenimentului X, adică =)( iX AP ?

=

⋅

⋅= n

iAi

Aiix

XPAP

XPAPAP

i

i

1)()(

)()()( (formula lui Bayes)

Demonstraţie:

)()()(

i

iA AP

XAPXPi

∩= şi )(

)()(XP

XAPAP iiX

∩= . Rezultă că:

⋅=⋅ )()()()( iXAi APXPXPAPi

)(

)()()(

XPXPAP

AP iAiiX

⋅= .

Vom înlocui P(X) cu formula probabilităţii totale şi obţinem :

=

⋅

⋅= n

iAi

Aiix

XPAP

XPAPAP

i

i

1

)()(

)()()( .

7.8. Scheme probabilistice clasice

Colectivităţile studiate în practică au caracteristici care ducla evenimente care se realizează după scheme teoreticeasemănătoare.

1. Schema urnei cu bile nerevenite:

Se consideră o urnă în care sunt bile albe şi bile negre. Fie„a” numărul bilelor albe şi „b” numărul bilelor negre. Fie N=a+bnumărul total de bile din urnă.

Se extrag succesiv n bile, fără a repune bilele înapoi (sau seextrag deodată n bile).

Se cere probabilitatea ),( βαnP ca din cele n bile extrase,α să fie albe şiβ să fie negre.

Soluţie: Numărul tuturor grupelor de n bile luate din cele Nbile este n

NC . Pentru a determina numărul cazurilor favorabileasociez fiecare grupă de α bile albe (în total α

aC grupe) cu fiecaregrupă ce conţineβ bile negre (în total β

bC grupe).Deci numărul total al cazurilor favorabilr este βα

ba CC ⋅ .Folosind definiţia clasică a probabilităţii se obţine relaţia :

nN

ban C

CCPβα

βα ⋅=),( , unde a+b=n şi n=+ βα .

Dacă notăm x=α (din n bile extrase x să fie albe), vomobţine:

nN

xnaN

xa

n CCCxP

−−⋅=)( .

Generalizare: Presupunem că în urnă sunt bile de s culori.Fie ak numărul bilelor de culoarea k ),,1( sk Κ= . Se extrag deodatăn bile. Care este probabilitatea ca xk bile să fie de culoarea k ?

Avem: Nas

kk =

=1

şi nxs

kk =

=1

. Se obţine relaţia următoare :

nN

xa

xa

xa

sn CCCC

xxxPs

s⋅⋅⋅

=...

),...,,(2

2

1

121

EXEMPLU:Într-un depozit sunt 30 televizoare , 18 de producţie străină

şi 12 de producţie românească, ambalate identic. Care esteprobabilitatea ca la o comandă de 10 televizoare, un magazin săprimească 6 străine şi 4 româneşti?

9,0667612)4,6( 10

30

410

610

10 ≈=⋅=C

CCP .

2. Schema urnei cu bila revenită (schema Bernoulli):

Se consideră o urnă în care sunt bile albe şi bile negre. Fie„a” numărul bilelor albe şi „b” numărul bilelor negre. Fie N=a+b

numărul total de bile din urnă. Se extrag n bile, de fiecare dată bilaextrasă introducându-se înapoi în urnă.

Se cere: probabilitatea ca din cele n bile extrase x bile să fiealbe.

Soluţie: Fie A evenimentul extragerii unei bile albe. NotămpAP =)( , deci pqAP −== 1)( .Fie

4444 34444 21 Κorixde

AsisiAsiA şi 4444 34444 21

orixnde

AsisiAsiA)(

...−

,

o succesiune în care A apare de x ori şi A apare de (n-x) ori.Probabilitatea unei astfel de succesiuni de evenimente

independente (rezultatul oricărei extrageri nu depinde deprecedentul) este :

xnx

orixndeorixde

qpAAAAAAP −

−

⋅=∩∩∩∩∩∩∩ ][)(

44444 344444 21 Κ4444 34444 21 Κ

Numărul succesiunilor distincte în care apare A de x ori şiA de (n-1) ori este, evident, x

nC . Deoarece aceste succesiuni suntincompatibile şi echiprobabile, rezultă relaţia:

xnxxnxxnn qp

xnxnqpCxP −−

−==

)!(!!)( .

OBSERVAŢIE: Probabilitatea de mai sus este egală cucoeficientul lui xt din dezvoltarea binomului nptq )( + .

EXEMPLU:Se consideră o urnă ce conţine 3 bile albe şi 4 bile negre.

Din această urnă se fac 3 extrageri cu revenire. Cu ce probabilitatese obţin 2 bile albe şi o bilă neagră?

315,0343108

74

73)2(

2233 ==⋅

=CP

Generalizare: Fie o urnă cu bile de s culori. Fie pkprobabilitatea extragerii unei bile de culoare k ),,1( sk Κ= .

Ne interesează să determinăm probabilitatea ca din cele nbile extrase, kx bile să fie de culoarea k , ),,1( sk Κ= . Notândaceastă probabilitate cu ),...,,()( 21 sn xxxxP = , se arată că:

sxs

xx

nsn ppp

xxxnxxxxP ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅== Κ

Κ21

2121

21 !!!!),...,,()( , unde 0≥kx ,

nxs

kk =

=1

, 11

==

s

kkp . (lege multinominală)

EXEMPLU:Un magazin primeşte în cursul unei săptămâni 100 bucăţi

dintr-o anumită marfă provenită de la fabricile A, B, C.Probabilitatea ca marfa să provină de la fabrica A este de 0,6; de lafabrica B este de 0,2; de la fabrica C este de 0,2. Care esteprobabilitatea ca din cele 100 bucăţi primite, 60 să fi fost realizate lafabrica A, 30 la fabrica B, iar restul la C?

103060 )2,0()2,0()6,0(!10!30!60

!100 ⋅⋅⋅⋅

=p

3. Problema lui Pascal:

Fie o urnă Bernoulli. Fie X evenimentul ca prima bilă albăsă fie extrasă la extragerea de ordinul x. Fie A evenimentul deextragere a bilei albe şi A evenimentul de extragere a bilei negre.

Deci AAAAXorix

∩∩∩∩=−

44444 344444 21 Κ)1(

.

Ştiind că pAP =)( şi qAP =)( , atunci 1)( −⋅= xqpXP .Această lege se mai numeşte şi legea geometrică deoarece

este exprimată prin termenul general al unei progresii geometrice cuprimul termen p şi raţia q.

EXEMPLU:Într-un raft sunt cămăşi de acelaşi fel de talia I şi a-II-a în

proporţie de 49% (I) şi 51% (II), identic ambalate. Care esteprobabilitatea ca un cumpărător care doreşte o cămaşă de talia II săo găsească numai la a 6-a încercare?

6=x , 49,0=p , 51,0=q .0169,0)51,0(49,0)( 51 =⋅=⋅= −xqpXP .

4. Schema lui Poisson

Fie n urne care conţin bile albe şi negre în proporţii diferite:

Urna U1 : 111 =+ qp ; Urna U2 : 122 =+ qp ;…………………………. Urna Un : 1=+ nn qp .

Se extrage câte o bilă din fiecare urnă. Se cereprobabilitatea ca din cele n bile extrase, x să fie albe.

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+ nxx iiiiin qqpppxP ΚΚ121

)(

Acestă sumă conţine toate produsele a câte n factori formateîn moduri diferite, din care x probabilităţi pi şi (n-x) probabilităţi qi

),...,1( ni = . Suma de mai sus este dată de polinomul )(xPn care

conţine coeficienţii lui xt din dezvoltarea:)()()( 2211 nn qtpqtpqtp +⋅⋅+⋅+ Κ

OBSERVAŢIE : Urna Bernoulli este un caz particular alurnei Poisson când pppp n ==== Κ21 .

EXEMPLU:O firmă se aprovizionează de la 4 furnizori. Din datele

statistice deţinute se estimează că doi dintre furnizori onoreazăcontractele cu probabilitatea 0,8, iar ceilalţi doi cu probabilitatea0,9. Se cer probabilităţile următoarelor evenimente:a) toţi furnizorii onorează contractul;b) doar doi furnizori onorează contractul;c) nici un furnizor nu onorează contractul;d) cel puţin un furnizor onorează contractul.

Problema se încadrează în schema lui Poisson.8,01 =p , 8,02 =p , 9,03 =p , 9,04 =p

22 )1,09,0()2,08,0()( +⋅+= tttQa) 5184,0)4( 43214 =⋅⋅⋅= ppppP ;b) 0964,09,02,01,09,02,08,041,08,0)2( 2222

4 =⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=Pc) 0004,01,02,0)0( 22

4 =⋅=Pd) 9996,00004,01 =−=P