Camp de Probabilitate SITE

7/24/2019 Camp de Probabilitate SITE

http://slidepdf.com/reader/full/camp-de-probabilitate-site 1/14

TEORIA PROBABILITĂŢILOR ŞI STATISTICĂMATEMTICĂ-UNITATEA DE ÎNVĂŢARE 1

Dr. Liana Manu IosifescuOctombrie 2011

CUPRINS.

1.Câmp de probabilitate Evenimente. Definiţia clasică a probabilităţii…………………………………….1

Cậmp de evenimente. Definiţia axiomatică a probabilităţii………………………2 Proprităţile probabilităţii……………………………………………………...….3 Probabilitate condiţionată……………………………………………………...… !c"eme clasice de probabilitatate……………………………………………...…

2. Exerciţii re#olvate………………………………………………………………..…$3. test……………………………………………………………………………..…..12

EvenimentePrin eveniment se %nţele&e re#'ltat'l 'n'i experiment (este o noţi'ne primară).Eveniment'l care se reali#ea#ă c' certit'dine %ntr*o experienţă %l vom n'mi

eveniment sigur +i %l vom nota c' Ω . Eveniment'l care n' se reali#ea#ă niciodată %l vomn'mi eveniment imposibil +i %l vom nota c' Φ . Eveniment'l complementar ( contrar) al'n'i eveniment A este acel eveniment care se reali#ea#ă at'nci +i n'mai at'nci când n'se reali#ea#ă A. Eveniment'l complementar %l vom nota A .

,om scrie K A∈ dacă eveniment'l A aparţine 'nei familii de evenimente K .Dacă reali#area eveniment'l'i A implică reali#area eveniment'l'i B vom scrie

B A⊂ . !e sp'ne că eveniment'l A este favorabil prod'cerii eveniment'l'i B. -n

eveniment A este elementar dacă A B ⊂ implică ∅= B sa' B=A. Pentr' 'n eveniment

arbitrar avem implicaţiile/ Ω⊂⊂∅ A relaţia de implicare constit'ind o relaţie de

ordine parţială.Operaţii cu evenimente. Ca +i relaţiile dintre evenimente operaţiile c' evenimente s'ntoperaţii lo&ice +i vor fi simboli#ate ca %n teoria m'lţimilor.

Do'ă evenimente a căror reali#are sim'ltană este ec"ivalentă c' eveniment'l

imposibil se n'mesc incompatibile +i vom scrie ∅=∩ B A 0 %n ca# contrar evenimentele

se n'mesc compatibile ( ∅≠∩ B A ). iind date evenimentele A +i B se introd'ce

eveniment'l care constă %n reali#area eveniment'l'i A +i nereali#area eveniment'l'i Bnotat B A B A ∩=− .

rice re'ni'ne de evenimente arbitrare se poate scrie ca o re'ni'ne de evenimente

incompatibile (prin dis'ncţia nk A A B

k

j jk k ...21

1

1 =−=

−

=

n

k k

n

k k B A

11 == =⇒ )

Definiţia claic! a "#$%a%ili&!ţii!e n'me+te probabilitate a eveniment'l'i A +i se notea#ă (A) raport'l dintre

n'măr'l m de ca#'ri favorabile prod'cerii eveniment'l'i A +i n'măr'l total n de re#'ltate

1



ale experiment'l'i considerate e&al posibile/ ( )n

m A = din definiţie re#'ltând

proprietăţile/

1. ( ) 14 ≤≤ A

2. ( ) ( ) 14 =Ω=Φ

3. ( ) ( ) ( ) B A B A +=∪ dacă ∅≠∩ B A . ( ) ( ) A A −=1

5. ( ) ( ) B A B A ≤⇒⊂

C'(" )e e*eni(en&e+!ă considerăm Φ≠Ω si ( )ΩP m'lţimea părţilor l'i Ω .

Definiţie, familie nevidă ( )Ω⊂ P K se n'me+te corp !e p"rţi (m'lţimi) dacă/i) K A K A ∈⇒∈∀ii) K B A K B A ∈∪⇒∈∀

O%e#*aţie, 6xioma ii) este ec"ivalentă c'

) ii ′

n

k

k n K An # n K A A A1

21 2...

=

∈⇒≥∈∈∀

6sociativitatea re'ni'nii %mpre'nă c' i) +i ii) implică fapt'l că 'n corp K este om'lţime nevidă de părţi %nc"isă %n raport c' re'ni'nea finită +i trecerea la complementară.P#$"$iţie, Dacă ( )Ω⊂ P K este 'n corp de părţi at'nci/1) K K ∈Φ∈Ω

2) ( ) K A K An

k k nk k ∈⇒⊂

=≤≤

11

3) K B A K B A ∈−⇒∈

Defini&ie, m'lţime nevidă ( )Ω⊂ P K se n'me+te σ *corp !e mulţimi ( corp borelian)dacă/i) K A K A ∈⇒∈∀

ii) ( # n

n # nn K A K A∈

∈ ∈⇒⊂∀

O%e#*aţie, !e constată că orice corp borelian de m'lţimi este +i corp de m'lţimireciproca n' este adevarată.Definiţie, m'lţime Ω in#estrată c' 'n corp (borelian) K de părţi se n'me+te c$mp

(borelian) !e evenimente. ,om nota acest câmp de evenimente K Ω .

Definiţie, -n sistem de evenimente K A A An∈...

21 c' proprietatea că ∅=∩ ji

A A

dacă ji ≠ n ji ...21 ∈ Ω==

n

i

i A1

sp'nem că formea#ă 'n sistem complet !e

evenimente sa' o !es%acere a l'i Ω .

Definiţia axiomatică a probabilităţii Definiţie, !e n'me+te probabilitate pe câmp'l de evenimente K Ω o f'ncţie de

m'lţime +→ & K / care satisface 'rmătoarele axiome/

i) ( ) K A K A ∈⇒∈∀ii) ( ) 1=Ω

iii) ( ) ( ) ( ) B A B A B A K B A +=∪⇒∅=∩∈∀

O%e#*aţie, 6xioma iii) este ec"ivalentă c' ∅=∩∈∀ jin A A K A A A ... 21 ji ≠

2



( )∑==

=

⇒∈

n

ii

n

ii

A A n ji11

...21

Definiţie, -n câmp de evenimente K Ω %n#estrat c' o probabilitate se n'me+te

c$mp !e probabilitate +i %l vom nota K Ω .

Definiţie, probabilitate σ *a!itiv" (complet aditivă) pe câmp'l borelian de evenimente

K Ω este o f'ncţie de m'lţime +→ & K / care satisface axiomele/

i) ( ) K A K A ∈⇒∈∀ii) ( ) 1=Ω

iii) ( ) ( )∑∈∈

∈ =

⇒∈≠∅=∩⊂∀

# n

n

# n

nnm # nn A A # nmnm A A K A

Prin definiţie 'n câmp borelian de evenimente K Ω %n#estrat c' o probabilitate

complet aditivă se n'me+te c$mp borelian !e probabilitate +i %l vom nota K Ω .

P#$"#ie&!ţile "#$%a%ili&!ţii

P#$"$iţie, Probabilitatea are 'rmătoarele proprietăţi/

1) ( ) ( ) ( ) A B B A B ∩−=−2) ( ) ( ) ( ) A B A B −=− +i ( ) ( ) B A ≤ dacă B A⊂3) ( ) ( ) A A −= 1

) ( ) 4=∅

5) ( ) 14 ≤≤ A

7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A B A B A B A +≤∪∩−+=∪

$) form'la l'i Poincar8/ /

( ) ( ) ( ) ( )

−+−∩∩+∩−=

=

−

<<<==∑∑∑

n

ii

n

k jik ji

ji ji

n

ii

n

ii

A A A A A A A A 1

1

11

1...

9) s'baditivitatea probabilităţii / ( )∑== ≤

n

ii

n

ii A A

11

:) ine&alitatea l'i ;oole / ( ) ( )111

−−≥

∑==

n A A n

ii

n

ii

P#$"$iţie, axioma continuităţii: Dacă # nn A

∈ este 'n +ir descendent de evenimente

at'nci/ ( )

=

∈∞→

# n

nnn

A A lim . Dacă # nn A

∈ este 'n +ir ascendent de evenimente

at'nci/ ( )

=

∈∞→

# nnnn

A A lim

P#$"$iţie, -n câmp de probabilitate %n care probabilitatea este finit aditivă +i %n care are

loc axioma contin'ităţii este 'n câmp borelian de probabilitate.

P#$%a%ili&a&e c$n)iţi$na&!ie K Ω 'n câmp de probabilitate +i K A∈ astfel %ncât ( ) 4> A

Definiţie, <'mim probabilitate condiţionată de eveniment'l A a eveniment'l'i B

expresia ( ) ( )

( ) ( ) A B

A

B A B

not

A=∩=

3



P#$"$iţie, A K Ω este câmp de probabilitate

Definiţie, Evenimentele A +i B se n'mesc in!epen!ente dacă ( ) ( ) ( ) B A B A =∩ .

C$(en&a#ii/1. independenţa %nseamnă ( ) ( ) B B

A=

2. definiţia este ec"ivalentă c' oricare dintre relaţiile/

i) ( ) ( ) ( ) B A B A =∩ii) ( ) ( ) ( ) B A B A =∩

iii) ( ) ( ) ( ) B A B A =∩

Re./la )e 0n(/lţi#e a "#$%a%ili&!ţil$#

ie nii A

≤≤1 o familie finită de evenimente astfel %ncât 41

≠

=

n

ii

A 0

at'nci/

( ) ( ) ( ) ( )n A A A A A A

n

ii

A A A A A n 121211

...3211

...−

∩∩∩∩=

=

Considerăm !es%acerea (sistem'l complet de evenimente) ( ) ∅=∩≤≤ jinii A A A 1

ji ≠ +i ( ) ni A A i

n

i

i ...21 4 1

=≠Ω== . Dacă ( ) 4 ≠∈ B K B at'nci are loc/

$#(/la l/i Ba2e, ( )( ) B

A B A B A ii

i=

$#(/la "#$%a%ili&!ţii &$&ale, ( ) ( ) ( )i

n

ii

A B A B ∑=

=1

Scheme clasice de probabilitatatea. Schema lui Poisson/ este folosită %n re#olvarea problemelor %n care se cere probabilitatea reali#ării de k ori a 'n'i eveniment %ntr*o experienţă care constă %n

efect'area a n probe independente at'nci când se c'noa+te probabilitatea i p a reali#ării

eveniment'l'i %n fiecare din cele n probe.

!ă considerăm n 'rne n' ' ' ...

21 fiecare 'rnă conţinând bile albe +i bile

ne&re %n proporţii date. ie ia n'măr'l de bile albe din 'rna i

' +i ib n'măr'l de bile

ne&re din 'rna i' . Probabilitatea de a extra&e o bilă albă din 'rna i

' este/

niba

a p

ii

ii ...21 =

+= iar probabilitatea de a extra&e o bilă nea&ră din 'rna i

' este/

niba

b(

ii

ii ...21 =

+= . Evident 1=+ ii ( p ni ...21 = .

!e extra&e câte o bilă din fiecare 'rnă +i se cere să se afle probabilitatea ca dincele n bile extrase k să fie albe.

ie i A eveniment'l care constă %n fapt'l că s*a extras o bilă albă din 'rna i

' .

Eveniment'l care răsp'nde favorabil este cel constit'it din k evenimente A +i nk

evenimente A o sit'aţie posibilă fiindnk k iiiii

A A A A A ∩∩∩∩∩∩+

......11

2 . =ntr'cât

re#'ltatele extra&erilor s'nt independente probabilitatea acest'i eveniment este

nk k nk k iiiiiiiiii(( p p p A A A A A ............

12111 2 ++

=

∩∩∩∩∩∩ .



<otăm c' ; eveniment'l care constă %n apariţia de k ori a bilei albe +i de nk ori a

bilei ne&re. 6t'nci ( )

ori6ori

...2

21

11

......

An)k k

iii

iiiii

n

nk k

A A A A A B

∩∩∩∩∩∩=

+ . -rmea#ă că

( )( ) ( )∑ ++

=

∩∩∩∩∩∩= An)k k

iiiiiiii

An)k k

iiiiiiii

n

nk k

n

nk k

(( p p p A A A A A B

ori6ori

...

ori6ori

...2

21

121

21

11

............ Constatăm că d'pă aceea+i re&'lă se calc'lea#ă coeficient'l l'i k *

din polinom'l

( ) ( )∏=

+=n

ii

i

i( * p *

1

deci a+a vom determina simpl' probabilitatea cer'tă.

b. Schema lui ernoulli ! sc"ema bilei revenite) re#olvă problemele %n care se cere să secalc'le#e probabilitatea reali#ării 'n'i eveniment de k ori %ntr*o serie de n probeindependente când se c'noa+te probabilitatea p a reali#ării eveniment'l'i %ntr*o sin&'ră probă.

!e pres'p'ne că cele n 'rne din sc"ema l'i Poisson a' aceea+i compo#iţie. 6

extra&e câte o bilă din fiecare 'rnă este ec"ivalent c' a 'tili#a o sin&'ră 'rnă +i a refacecompo#iţia d'pă fiecare extra&ere (adică a reintrod'ce bila la loc %n 'rnă). Polinom'l

devine ( ) ( ) n( p* * += iar coeficient'l l'i k * care dă probabilitatea că'tată va fik nk k

n( p+ −

.

c. Schema lui ernoulli "n mai multe culori (sc,ema multinomial"). Considerăm o 'rnă

care conţine bile de k c'lori/ k + + + ...

21 . ie i p probabilitatea de a extra&e o bilă de

c'loarea i+ 0 ne prop'nem să calc'lăm probabilitatea eveniment'l'i ca %n cele n probe

independente reintrod'când %n 'rnă de fiecare dată bila extrasă să apară de in ori bila

de c'loarea i+ ....21 k i =∀ sit'aţie posibilă este 'rmătoarea/

oriori

222111............

21 k n

k k k

norin

A A A A A A A A A ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩

Probabilitatea acest'i eveniment este k n

k

nn p p p ...21

21c' nnnn

k =+++ ...

21 . C'm

eveniment'l se poate exprima %n>>..>

>

21 k nnn

n sit'aţii distincte (incompatibile do'ă câte

do'ă) re#'ltă că probabilitatea cer'tă este nnnn p p pnnn

nk

n

k

nn

k

k =+++ ... ...>>..>

>2121

21

21

.d. Schema bilei nerevenite- !e consideră o 'rnă care conţine # bile de do'ă c'lori A +i

B %n n'măr de 1 # +i respectiv 2 # extra&ând'*se c' probabilităţile p

#

# p == 1

1 +i

respectiv p #

#

#

# #

#

# p −=−=−== 11 112

2 . ,om nota p # # =1 +i ( ) p # # −= 12 .

Din 'rnă extra& n bile fără a p'ne bila extrasă %napoi %n 'rnă +i se cere probabilitatea de a obţine k bile de c'loarea celor având probabilitatea p de a fi extrase.

5



-tili#ând definiţia clasică a probabilităţii n'măr'l ca#'rilor posibile esten

# + iar

al celor favorabile( )

k n

#

k

# p p+ + −

−1 probabilitatea cer'tă fiind/ ( )

n

#

k n

#

k

#

+

+ + p p

−−1

'nde n'măr'l k

de bile extrase (de c'loarea celor având probabilitatea p) satisface/

( )( ) ( ) #pnk p # n min14max ≤≤−− .!c"ema bilei nerevenite este 'n ca# partic'lar al schemei lui Pol#a. =n acest ca#

extra&erile se fac c' revenire astfel %ncât %naintea 'rmătoarei extra&eri se p'n %n 'rnă1+ j bile de c'loarea bilei extrase. !e cere probabilitatea obţinerii a k bile de c'loarea

celor de probabilitate p %n primele k extra&eri +i apoi a nk bile de cealaltă c'loare %n'rmătoarele nk .

Probabilitatea de a obţine k bile de c'loarea celor de probabilitate p %n primele k extra&eri +i nk de cealaltă c'loare %n 'rmătoarele nk extra&eri este/

( )

( ) ( )

( )

( ) jncc

jk nc

jk cc

jc

kjcc

c

jk cc

jk c

jcc

jc

cc

c p

k 1

1...

11

1...

21

2

21

2

21

2

21

1

21

1

21

1

−++

+−+

+++

+

++−++

−+

++

+

+=

aceasta repre#entând probabilitatea obţinerii a k bile de c'loarea 1c +i a nk de c'loarea

2c %n orice altă ordine deci probabilitatea cer'tă este k

k

n p+ .

C'm ( pcc

c p

cc

c=−=

+=

+ 1

21

2

21

1 # cc =+

21 notând α = #

j probabilitatea cer'tă

devine/( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )α α α

α α α α

11...211

1...1...

−+++

−−++−++

n

k n(((k p p p+ k

n care pentr' 1−= j +i

#

1−=α este c"iar sc"ema anterioară

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( )n

#

k n

p #

k

#pk

n +

+ +

n

k n p(# p # p # k #p #p #p+

−−=

−+++−−−−−−−−−−⇔ 1

11...211

11...1111...1

α α α

e. Schema bilei nerevenite "n mai multe culori / Considerăm o 'rnă %n care se află in bile

de c'loarea ji+ i

...21 = . !e extra& n jnnnn +++< ...

21 bile fără a p'ne la loc bila

extrasă +i se cere probabilitatea ca din cele n bile extrase ik să fie de c'loarea i

+ .

-tili#ând tot definiţia clasică a probabilităţii( bilele se extra& sim'ltan) obţinem

n'măr'l că#'rilor posibile j

j

k k k

nnn+

+++

+++

...

...

21

21 iar n'măr'l ca#'rilor favorabile este

j

j

k

n

k

n

k

n+ + + .... 2

2

1

1 deci probabilitatea cer'tă este

j

j

j

j

k k k

nnn

k

n

k

n

k

n

+

+ + +

+++

+++

...

...

21

21

2

2

1

1

....

.

f. Schema lui Pascal: Considerăm 'rna din sc"ema l'i ;erno'lli din care fac extra&eri

(revenite) până la obţinerea primei bile albe. Probabilitatea ca la extra&erea k să se obţină prima bilă albă este 1−k p( . &enerali#are a acesteia este ?timpul !e ateptare/.

!e consideră 'n eveniment care are probabilitatea de a se reali#a e&ală c' p.

Efect'ăm k probe independente până când eveniment'l se reali#ea#ă de n ori ( )nk ≥ .

Probabilitatea coresp'n#ătoare va fi/ nk ( p+ nk nn

k ≥−−

−

1

1 %ntr'cât %n 'ltima probă

eveniment'l are loc.

7



Observaţie-&epartiţia geometric" -k

k p( p = este @&enerali#atăA de repartiţia binomial"

negativ"- 41

≥=−+

k ( p+ p k nk

k k n .

E3e#ciţii #e$l*a&e1. !ă se afle probabilitatea ca 'n n'măr 1444≤n să fie p'terea %ntrea&ă a 'n'i alt n'măr nat'ral.

olutie/ =ntr'cat 321444 = vom calc'la n'măr'l ca#'rilor posibile cercetând câte

p'teri ale n'merelor 31≤k s'nt mai mici dacât 3141444 = 0deci pentr' 11≥k n'mai

14442 <k adica exista 31*11B1*3 ca#'ri posibile (pătratele n'merelor nat'rale din

interval'l [ ]3111 c' excepţia pătratelor si c'b'rilor perfecte din acest interval 2$2517 . C'm 14:

214442 << 0 $7314443 << 0 5 514445 << 0 3

714447 << 03

$1444$ << există pentr' cifre/ [ ] ( ):9:2 −∈ (9B5B3B2x2)24 de ca#'ri posibile.

6ceste evenimente fiind incompatibile do'ă câte do'ă probabilitatea cer'tă va fi/

1444

19224 ++

4. Care este probabilitatea ca l'ând 'n n'măr nat'ral la %ntâmplare c'b'l sa' să se

termine in 29

olutie/n

n

nn

k n

k nnaaamaaaam # m ++=⇔=⇔∈ ∑

−

= −

−

−

2

41114

1414...

Dacă ⇒+∑= −

= −

−2

41

1414n

nnk

k nnot

aa A nnaa Am ++=

−114 'ltimele do'ă cifre ale l'i 3

m

s'nt date de expresia/ ( )31

14nn

aa +− deoarece

( ( +++++=−−

2

11

233143143

nnnnaa Aaa A Am

( 3

114

nnaa ++

− astfel problema se red'ce la a cerceta câte n'mere de cel m'lt do'ă

cifre a' c'b'l terminat %n 29. ie322233314314314:414 babbaanbban +⋅+⋅+=⇒≤≤+= deci 'ltimele do'ă cifre ale

'n'i n'măr dintr*o s'tă s'nt date de expresia 32143 bab +⋅ . Ca acest n'măr să se termine

%n 29 treb'ie ca b2 +i apoi ca n'măr'l =+⋅⋅⋅ 2143 a

9124 +⋅= a să se termine %n 29 7sa'1 ==⇒ aa . Există %n concl'#ie do'ă n'mere (12

+i 72) al căror c'b se termină %n 39 probabilitatea cer'tă fiind144

2= p .

5+ -n lift 'rcă c' k persoane %ntr*o clădire c' n etae. Care este probabilitatea ca la 'neta să coboare cel m'lt o persoanăolutie/ Dacă nF probabilitatea ca la 'n eta să coboare cel m'lt o persoană este n'lă(probabilitatea eveniment'l'i imposibil) %ntr'cât n'măr'l persoanelor depă+e+te n'măr'l

etaelor. =n ca#'l k n ≥ n'măr'l ca#'rilor favorabile este cel al f'ncţiilor inective nk % ...21...21/ → adică ( ) ( ) k

n Ak nnn =+−− 1...1 iar al celor posibile al

f'ncţiilor definite mai s's/k

n

k An = 0 probabilitatea cer'tă este k nn

Ak

k

n ≥daca .

6. 6vem n &ropiţe. Dăm dr'm'l deodată la k bile. !tiind că fiecare bilă intră %n câte o&ropiţa care este probabilitatea ca %n fiecare &ropiţa să avem cel p'tin o bilă

olutie/ Cele k bile pot intra %n cele n &ropiţe %n k n mod'ri diferite (ca#'ri posibile).

$



,om calc'la probabilitatea eveniment'l'i contrar iar probabilitatea cer'tă va fi/

( )[ ]1321

1...1−

−++−+−−=n

n 'nde am notat c' 11 −≤≤ n j

j

probabilitatea ca j &ropiţe să fie &oale. -tili#ând definiţia clasică a probabilităţii obţinem/

( ) ( )k nnk

k

nk

k

n n+

n

n+

n

n+

1...

2

1 1

1

2

2

1

1=−=−=

− deci probabilitatea cer'tă va fi/

( ) 1214 111...

21

11

−

−

−−+−

−+

−−= n

n

k

n

n

k

n

k

n+

n

n+

n+

n+ .

bservaţii/ Pentr' k=n evident ( ) ( ) >1...1> 111 n+ + n+ n

n

n

n

nn

n

nn

n

n

k =−++−−⇔= −−

( ) ( )∑=

+−− +−−n

j

jn

n

n j+ jn

1

1111 repre#inta n'mar'l s'rectiilor de la n...21 la ea insasi>

si evident 4=⇒< nk . !e p'tea 'tili#a form'la l'i PoincarG .7. !e formea#ă 'n lot de 34 sportivi băieţi +i fete aparţinând la trei cl'b'ri. !portivii s'ntec"ipaţi %n c'lorile cl'b'rilor cărora le aparţin +i an'me ro+' albastr' +i ne&r'. !a secalc'le#e probabilităţile de extra&ere din &r'p al 'n'i sportiv de sex dat +i aparţinând'n'i cl'b an'me +i probabilităţile de extra&ere din &r'p al 'n'i sportiv al 'n'i cl'b dat +ide 'n an'me sex.oluţie/ <otăm c' + v.a. repre#entând c'loarea cl'b'l'i care poate l'a valorile ro+'albastr' +i ne&r'. <otăm c' v.a. repre#entând sex'l care poate l'a valorile baiat sa'fată.

,om alcăt'i tablo'l de mai os c' toate cele 34 'nităţi statistice de interes.-nitatea statistică este repre#entată de sex (bHf) scris %n c'loarea cl'b'l'i (ro+' albastr'+i ne&r') de exempl' % repre#inta 'n baiat aparţinând cl'b'l'i c' ec"ipament ros'.

% f % % f %f f f % % %f % f % f %f % f % f %% % f % % f

Calc'l'l int'itiv al probabilităţilor condiţionate se face pornind de la tabel'ldistrib'ţiei de frecvenţe absol'te de mai os %n care pe linii a' fost scrise c'lorile

cl'b'rilor ( )321

+ + + +i pe coloane sex'l ( )210 0 . Pe partea "a+'rată a tabel'l'i am

trec't frecvenţele de apariţie a fiecăr'i tip de 'nitate statistică ji0 + 321=i

21= j de exempl' n'măr'l 912 = % repre#intă n'măr'l băieţilor ( 10 ) de la cl'b'l

2+ (albastr'). Distrib'ţiile mar&inale i % vor repre#enta n'măr'l de sportivi proveniţi de

la fiecare cl'b iar j % n'măr'l de băieţi (j=1) sa' fete (j=2).$ i % S & S1 8% S48f f i

C18#$/ 5 1 7

C48al%&#/ 9 5 13

C58ne.#/ $ 11

f & 1$ 13 34

Probabilitatea de a extra&e 'n sportiv de sex j aparţinând cl'b'l'i de c'loare i este

9



( )i

ij

i j %

% + 0 =I iar probabilitatea de a extra&e 'n sportiv aparţinând cl'b'l'i de c'loare i

de sex j este ( ) j

ij

ji %

% 0 + =I . De exempl' ( ) ( )

13

9II

2

1221 ===

%

% A B + 0 .

P(;IJ) 5H7 P(JI;) 5H1$P(;I6) 9H13 P(6I;) 9H1$P(;I<) H11 P(<I;) H1$P(IJ) 1H7 P(JI) 1H13P(I6) 5H13 P(6I) 5H13P(I<) $H11 P(<I) $H136plicarea form'lei probabilităţii condiţionate se face d'pă constr'irea tabel'l

frecvenţelor relative de mai os.$ i % S & S1 8% S48f pi

C18#$/ 5H34 1H34 7H34

C48al%&#/ 9H34 5H34 13H34

C58ne.#/ H34 $H34 11H34 p & 1$H34 13H34 1

6cestea se obţin prin %mpărţirea frecvenţelor absol'te la n'măr'l total (34) al

evenimentelor. Disp'nem astfel de probabilităţile ji 1 + ∩ j 1 +i ( )i+ care se vor

introd'ce %n form'la probabilităţii condiţionate ( )( )

i

i j

i j+

+ 0 + 0

∩=I /

( ) ( )

( ) 7

5

34H7

34H5I ==

∩=

&

& 1 & 1 ( )

( )( ) 1$

5

34H1$

34H5I ==

∩=

1

& 1 1 &

( )

( )

( ) 13

9

34H13

34H9

I ==

∩

= A

A 1

A 1 ( )

( )

( ) 1$

9

34H1$

34H9

I ==

∩

= 1

A 1

1 A

( ) ( )

( ) 11

34H11

34HI ==

∩=

#

# 1 # 1 ( )

( )( ) 1$

34H1$

34HI ==

∩=

1

# 1 1 #

( ) ( )

( ) 7

1

34H7

34H1I ==

∩=

&

&O &O ( )

( )

( ) 13

1

34H13

34H1I ==

∩=

O

&O O &

( ) ( )

( ) 13

5

34H13

34H5I ==∩=

A

AO AO ( )

( )

( ) 13

5

34H13

34H5I ==∩=

O

AO O A

( ) ( )

( ) 11

$

34H11

34H$I ==

∩=

#

# O # O ( )

( )

( ) 13

$

34H13

34H$I ==

∩=

O

# O O #

9. !e da' evenimentele independente nii A

≤≤1 având probabilităţile de reali#are

ni p A pii

...21 =∀= . Care este probabilitatea de a se reali#a 'n n'măr impar de

evenimente

:



oluţie/ Probabilitatea de a se reali#a k dintre cele n evenimente independente este e&ală*

conform sc"emei l'i Poisson * c' coeficient'l l'i k * din expresia polinom'l'i

( ) ( ) n

n

n

iii

* & * & &( * p * & +++=+=∏=

...21

1

'nde ii p( −=1 deci c' k

& .

Probabilitatea p de a se reali#a 'n n'măr impar de evenimente este ∑

+

= −

=2

1

112

n

k k

& p .

C'm ( )∑=

=n

k k

& &1

1 si ( ) ∑ ∑

=

+

= −

+=−2

4

2

1

1122

1

n

k

n

k k k

& & &

( ) ( ) ( )

2

211

2

111

∏=

−−=

−−=⇒

n

ii

p & &

p.

:. 'rnă conţine A bile albe +i ; ne&re. Din 'rnă se scot câte 'na ba + bile fie/a) p'nând'*se de fiecare dată bila extrasă %napoi b) nep'nând'*se niciodată bila extrasă %napoi

!e notea#ă c' 1 p si 2

p probabilităţile obţinerii %n cele do'ă variante de a bile

albe +i b ne&re. !ă se arate că dacă A=B +i a=b at'nci 21 p p ≤ .

oluţie/ Din sc"ema bilei revenite respectiv nerevenite obţinem/( )

=

+=

+

+

++

ba

B A

b

B

a

A

ba

baa

ba

+

+ + p

B A

B A+ p

2

1

( )

a A

a A

a A

A+ + p p −

−≤⇔≤

2

2

2212 . <otând ( )

( )

a A

a A

a+ a % −−

=2

22 ine&alitatea precedentă se scrie/

( ) ( )a % % ≤4 . Dar +ir'l ( )( ) # aa % ∈ fiind crescător e&alitatea are loc doar pentr' a4(ca# banal) ;. 'rnă conţine # bile dintre care albe. !e extra& la %ntâmplare n bile. Determinaţi probabilitatea ca la extra&erea j să se obţină bilă albă stiind că din cele n bile extrase k a' fost albe.

olutie/ ie k A eveniment'l ca e+antion'l de n bile să conţină k bile albe +i j

B

eveniment'l ca bila j extrasă să fie albă. ,om avea ca#'rile/

a)*extra&erilor revenite/ ( ) #

2 B

j= ( )

( )n

k nk k

n

k #

2 # 2 + A

−−= +i

( )

( )

1

11

1

−

−−−−

−

= n

k nk k

n

jk #

2 # 2 + B A

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) n

k

#

2 # 2 +

#

2

#

2 # 2 +

A

B B A A B

n

k nk k

n

n

k nk k

n

k

j jk

k j=

−

⋅−

==⇒ −

−

−−−

−1

11

1

14



b)* extra&erilor nerevenite/ ( )n

#

k n

2 #

k

2

k +

+ + A

−−= si ( )

1

1

1

1

−−

−−

−−=n

#

k n

2 #

k

2

jk +

+ + B A

ie i+ eveniment'l de a se fi extras i bile albe %n primele j1 extra&eri. Evenimentele

i+ formea#ă 'n sistem complet de evenimente deci p'tem aplica form'la probabilităţii

totale +i avem/

( ) ( ) ( ) ==+−

−== ∑∑∑

−

=

−−

−−−

−−

−−

=

−

=

1

4

1

11

11

4

1

4

1

1

j

i

i 2

j #

i

j 2

#

j

#

i j

2 #

i

2

j

i

j

iii j j

+ + + +

+ +

j #

i 2 + + B B

( )( ) n

k

+ +

+

#

2

+

+ +

A

B B A A B

#

2

+

+ k n

2 #

k

2

n

#

n

#

k n

2 #

k

2

k

j jk

k j 2

#

2

# =⋅⋅==⇒== −−

−−

−−

−−

−−

1

1

1

1

1

1

<. Kra&erea de pe 'n avion as'pra alt'i avion poate să se prod'că de la 74444 sa'244m. Probabilitatea ca tra&erea să se prod'că de la 744m este 42 iar de la 44m 43.Probabilitatea doborârii avion'l'i inamic de la distanţa de 744m este 410 de la 44m 42iar de la 244m 4. Determinaţi probabilitatea ca tra&erea al cărei efect a fost doborâreaavion'l'i să se fi prod's de la 44m.

oluţie/ ie 3 eveniment'l care constă %n doborârea avion'l'i inamic. <otând c'1

A eveniment'l ca tra&erea să se facă de la 744m 2 A eveniment'l ca tra&erea să se facă

de la 44m +i 3 A eveniment'l ca tra&erea să se facă de la 244m evident 24

1= A

342

= A si 543

= A (evenimentele 321=ii A formând o partiţie a eveniment'l'i

si&'r * să se prod'că tra&erea). 6vem/ ( ) ( ) ( ) 425414321

=== 3 3 3 A A A

6plicând form'la l'i ;aLes re#'ltă/( )

( )

( ) ( )∑=

= 3

1

2

2

2

i Ai

A

3

3 A

3 A A

i

n'mitor'l acestei fracţii

repre#entând Mconform form'lei probabilităţii totale* (3) deci

( ) 45425434142434254

2 ⋅+⋅+⋅⋅= A

3

bservaţie/ sistem'l de evenimente 3.2.1=ii 3 A este 'n sistem complet de evenimente .

&e&1.Care este probabilitatea ca l'ând 'n n'măr nat'ral la %ntâmplare c'b'l să' să setermine in 11

4+ 6rătaţi că dacă ( ) ( ) B A B < at'nci ( ) ( ) A B A < +i ( ) ( ) B A B <

5+ =ntr*'n lift s'nt k persoane care pot cobor% la n etae. Pres'p'nând'*se că probabilitatea

ca o persoană să coboare la 'n an'mit eta este n

1

indiferent de persoană +i eta +i că

deci#iile l'ate de cele k persoane s'nt independente să se calc'le#e probabilitatea ca/a) exact j persoane să coboare la acela+i eta iar celelalte kj persoane să coboare la etaediferite (ca# n'meric/ 40 persoane la eta'l 20 +i celelate k40 la etaediferite0n=256k=72)

b) cele k persoane să coboare la j etae diferite/ la in etae câte i

k persoane ji ≤≤1 .

11



dacă/

=

=

∑

∑

=

= j

ii

j

iii

nn

k k n

1

1ca# n'meric/ $:3 21 === nn j +i

31 b)

23a)

21

21

====

k k

k k

6. =ntr*o 'rnă s'nt # bile n'merotate ( de la 1 la <) . !e scot n bile c' revenire +irespectiv fără revenire. Calc'laţi probabilitatea ca prod's'l n'merelor %nscrise pe bileleextrase sa fie par (%n fiecare ca#). 6plicaţie n'merică/<343n22

7. =ntr*o 'rnă s'nt câte n bile de trei c'lori/ 21cc si 3

c . <otăm c' n'măr'l bilelor

extrase de c'loarea 1c +i c' 8 al celor de c'loarea 3

c . !e cer/ ( )k 8 =

( )k 8 j 1 ==

( ) j 1 k 8 == +i semnificaţia acestor evenimente.

12



13



1

Camp de Probabilitate SITE

Documents

Transcript of Camp de Probabilitate SITE