8/6/2019 calcul neliniar 2

1/6

MODELUL MICROPLANURILOR N ANALIZA NELINIAR ASTRUCTURILOR DE BETON ARMAT

Dan Vasile BOMPA 1)

ndrumtor, prof. dr. ing. Traian ONE2)

Rezumat

Analiza structural n care se ia n considerare comportamentul neliniar al materialelor componentedevine tot mai necesar n calculul structurilor noi sau a celor care urmeaz s le fie determinat gradul deavarie. n ultimele decenii metodele numerice de calcul a eforturilor i tensiunilor au ctigat o dezvoltareputernic. Rolul acestei lucrri este de a prezenta partea teoretic a modelului microplanurilor, dezvoltat deBaant pentru analiza structurilor de beton armat. n lucrare sunt prezentate conceptele teoretice care au

pus bazele modelului i o parte din mbuntirile actuale.

1. Introducere

Prin analiza static neliniar a structurilor se ncearc obinerea unui rezultat cares reflecte comportarea reala a materialului. Datorit dezvoltrii metodei elementului finit,a sistemelor hardware si programelor de calcul a dus, n timp, la mbuntirea ischimbarea metodelor de calcul, posibilitatea rafinrii rezultatelor. Metodele de analizneliniar asistat de calculator au cunoscut o dezvoltare enorm pe fondul unui proces decercetare intens n realizarea modelrii constitutive a comportamenului neliniar alelementelor de oel, beton armat i mixte. S-a ncercat dezvoltarea a unor algoritmi de

analiz ct mai sofisticai, dar usor de implementat. Metodele, combinate cu procedeelede proiectare n domeniul plastic i realizarea modelrii n detaliu a elementelor formeazbazele unui nou, complex proces care cstig teren n faa metodelor clasice dedimensionare.

Elementele structurale din beton armat sunt realizate din dou elelementecompozite cu proprieti mecanice diferite. Dup cum se tie betonul este un material carese comport excelent n compresiune, dar nu se poate conta pe rezistena lui la ntindere.Barele de armtur, n schimb, sunt capabile s preia forele puternice de ntindere.Comportarea post-critic a materialului se poate mpri n 3 paliere elementare: elastic,propagarea fisurilor i post-critic. Pentru a avea un rspuns ct mai fidel, comparabil curealitatea, n cadrul programelor de analiz avansat s-au implementat relaii neliniare de

comportare a betonului n conlucrare cu armtura precum: rigidizarea ntinderii, legeaaderen-lunecare, curegerea lenta sau influena umiditii, etc. De-a lungul timpului s-audezvoltat numeroase modele bazate pe elasticitate, plasticitate, mecanica fisurrii sau adegradrii. Metodele bazate pe mecanica degradrii permit ca rigiditatea elastic amaterialului s fie redus treptat ca rezultat al acumulrii de eforturi i a deformaiiloraprute. Acest lucru se manifest prin pierderea volumului mecanic sau reducereacapacitii de a absorbi energia elastic. n multe cazuri practice, comportamentulpostcritic al betonului armat n compresiune poate fi caracterizat prin plasticitate. Totuimodelarea plastic nu poate acoperi toate neliniaritile care apar n elemente analizate.Elasto-plasticul este conceptul de baz a strii limt de calcul, dar n momentul n care____________________________________1) Student anul VI Studii aprofundate, Secia Structuri Speciale n Construcii i Proiectare Asistat deCalculator, Facultatea de Construcii, Universitatea Tehnic din Cluj-Napoca2) Universitatea Tehnic din Cluj-Napoca

8/6/2019 calcul neliniar 2

2/6

este nevoie s se simuleze comportarea postcritic, o verificare sub aspectul degradriieste folositoare n simularea colapsului sau aflarea performanelor structurii avariate.n funcie de elementul verificat se alege o anumit metod de calcul. De exemplu pentrustructuri n cadre de oel analiza prin metoda elementului la nivel de fibr. Pentruelementele de beton armat se pot folosi teoriile clasice plastice, modelarea strut-and-tie,dar trebuie introduse o mulime de aspecte de comportare postcritic. Pentru corpurile

solide de tipul planeelor sau a structurilor de tip shell una dintre metodele cele maidezvoltate este modelul microplanurilor.

2. Dezvoltarea modelului

Analiza fisurrii a materialelor casante heterogene, precum betonul sau altemateriale, necesit luarea n vedere fisuarea progresiv. Acest tip de fisuarare se poatecalcula cu aa numita metod a fisurii band, n care comportamentul materialului, aflat n zona de cretere a fisurilor, este descris de o relaie triaxial tensiune-deformaie.Aceast relaie este una format incremental i path-dependent. Pentru aceasta Bazanti Oh au dezvoltat o teorie prin care relaiile constitutive care acioneaz n

microstructur sunt scrise pentru mai multe planuri planuri cu orientare diferit, numitemicroplanuri. Aceste planuri pot fi imaginate ca fiind planuri slabe n micro-structur,planuri tangente a unei unor sfere elementare care realizez continuumul; precuminterfeele, planurile de contact dintre particule, planurile microfisurilor [Fig.1a]. Ideea de adefini comportamentul inelastic, independent pe planuri cu orientare diferit, i-a venit luiTaylor (1938) n procesul de determinare a caracteristicilor plastice a metalelorpolicristaline. Ipoteza a fost aceea c tensiunile pe un asemenea plan sunt componenterezolvate a tensorului tensiunilor macroscopice, numit limitator static / staic constraint,sau c componentele deformaiilor pe un asemenea plan sunt componentele rezolvate atensorului deformaiilor macroscopice, numit i limitator cinematic / kinematic constraint.Aceast idee dezvoltat n teoria plasticitii, de Batdorf i Budianski (1949), poartnumele de teoria lunecrii/slip theory, n care tensiunile care acioneaz pe planuridiferite de lunecare sunt obinute prin rezolvarea tensiunilor macroscopice aplicate i adeformaiilor plastice (lunecri) din toate planurile suprapuse. Varianta 3D a modelului esteconstruit pe baza relaiilor uniaxiale ntre tensiuni i deformaii pe planuri i pentru diferiteorientri n material.

Componentele deformaiilor pe un microplan sunt luate ca i proieciile tensoruluideformaiilor macroscopice (abordarea kinematic constraint) din care sunt calculate

deformaiile normale i tangeniale. Componenta normal a deformaiilor microplanuluieste apoi descompus ntr-o parte volumetric, cea a deformaiilor normale i una

Fig. 1: Microplanuri ntr-un punct macroscopic. (a) punct macroscopic, (b) planmacroscopic, (c) planurile slabe din element

8/6/2019 calcul neliniar 2

3/6

deviatoric pentru a modela realistic betonul dominat de ncrcri de compresiuni i de acontrola valoarea iniial a coeficientului lui Poisson. Diviziunea face ca n momentele derelaxare postcritic majoritatea deformaiilor din ntindere sunt concentrate n componentadeviatoric care este de fapt ntinderea n direcie normal cu fisura i cu compresiunean direcia paralel cu fisura. Justificarea mpririi mai vine i din din teoria materialelorcompozite: se tie c pentru limitatotul cinematic modelat prin cuplarea paralel (Voigt

1889) i limitatorul static prin cuplarea serial (Reuss 1929) reprezint limite superioarei, respectiv inferioare a rigiditii materialului. Comportamentul real al betonului armateste ntre ele cele dou limite extreme.

Simplitatea modelului este datort faptului c proprietile constitutive alematerialului sunt date exclusiv de relaii a componentelor tensiuni-deformaie amicroplanurilor. tiind legea tensiune-deformaie pentru fiecare microplan component,rigiditatea macroscopic i tensorii tensiunilor sunt calculai prin integrarea tensiunilorpeste toate microplanurile.

De-a lungul deceniilor, pe baza unor cercetri intense s-a obinut un progresgradual n dezvoltarea modelului de calcul, de la clasicul deja M1 pn la recentul M5.Aceast mbuntire vine pe seama implementrii n algoritmi a aspectelor de

compoartare neliniar a betonului: microfisurarea, lunecarea, frecarea, confinarea intern,nchiderea porilor, dizlocarea stratului de acoperire, etc.

Comparativ cu modelele clasice constitutive bazate pe invariani tensoriali, modelulmicroplanurilor are numeroase avantaje: (i) o lege constitutiv formulat vectorial esteconceptual mai simpli clar n comparaie cu formularea tensorial, (ii) reprezentareavectorial poate da direct deformaiile, (iii) efectul vertex, o caracteristic important abetonului nu este prezent n formularea tensorial, (efectul vertex reste valabil pentrumaterialele care se comport plastic i sunt n stare de tensiune, suprafeele de curgere amecanismelor plastice de lunecare distincte se interesectez ntr-un spaiu de tensiuni deforma unui vertex, aceast tip de comportare este diferit fa de cel al materialelor care au osuprafa de curgere lin), (iv) combinaiile succesive ncrcare-descrcare asigur acomplex path-dependence i reproduc automat efectul Bauschinger i comportareahisteretic sub ncrcare ciclic,(effectul bauschinger se refer la acea proprietate amaterialelor unde caracteristicile tensiune-deformaie se schimb datorit distribuieitensiunilor microscopice ale materialului, ex: o cretere a rezistenei la ntindere pe bazacretereii rezistenei la compresiune), (v) n timpul ncrcrii ciclice, oboseala estesimulat automat prin acumularea unor tensiuni reziduale la nivelul microplanurilor dupfiecare etap de ncrcare, (vi) anizotropia poate fi implementat uor prin scriereaproprietilor constitutive a unui microplan dependent de orientarea sa.

Penultimul model, M4f ddea un rspuns satisfctor comportrii betonului n

Fig. 2: (a) deformaiile componente a unui microplan general (b) direciile normalelor unuimicroplan pentru un sistem de 21 de microplane per hemisfer (c) direciile normalelor

unui microplan pentru un sistem de 28 de microplane per hemisfer

8/6/2019 calcul neliniar 2

4/6

compresiune i forfecare cu o simulare bun a ntregului proces de fisurare (nainte, ntimpul atingerii nivelului critic i dup fisuare). M5, formulat teoretic, ncearc s aduc ombuntire pentru momentul formrii fisurilor complete n care forele de coeziune(bridging stresses) sunt reduse la zero. Comparat cu modelul fisurilor aletorii / smearedcrack model cel prezentat n M4 nu este destul de fidel ca i rspuns pentru momentul ncare fisura atinge maximul. Problema vine din localizarea fisurii bandi fenomenului de

stress-locking care poate aprea. n momentul de ncrcare maxim dup atingerearezistenei ultime, tensiunile dintre fisuri ar trebui s fie zero, n schimb rmne o rmi.Limitatoul cinematic presupune c vectorii deformaiilor pe micorplanuri sunt proiecii atensorului deformaiilor. Datorit acestei ipoteze, n procesul de deschidere a fisurii seproduc tensiuni mari de ntindere n microplanurile din zona paralel adiacent fisurii i ncele care sunt nclinate din fisur. Aceste microplanuri nclinate produc contracie lateralmare. Din acest motiv tensiunile nu scad niciodat la zero i contribuie la existena acelorfore tranveral prin fisura deschis larg.

3. Relaiile modelului

Prin modelul microplanului, comportamentul constitutiv al materialului estecaracterizat prin relaii ntre tensiuni i eforturi scrise vectorial acionnd pe planuri cuorientare distinct din material (microplanuri). Calculul tensorului macroscopic altensiunilor i deformaiilor este determinat considernd contribuia toturor componentelortensiunilor i deformaiilor de pe toate planurile.

Orientrile microplanelor sunt caracterizate prin vectorul unitate normal n cucomponentele i i j dup direciile ortogonale. Microplanul poate fi limitat/mrginit ctretensorul macroscopic ....ij sub form cinematic sau static.n formularea cu limitator cinematic, care face posibil s descrie plastifierea ntr-o manierstabil, vectorul deformaiilor ....N din [Fig. 2a] este proiecia lui ....ij. Componentele acestui

vector sunt ....Ni=....ijnj, Deformaia normal pe microplan este: ....N=Nij....ij,

....N= Nij....ij, unde Nij=ninj (1)

Deformaia medie, numit cea volumetric, ....V,i cea deviatoric, ....D, pe un microplan sepot introduce dup cum urmeaz.

....D=....N-....V, ....V=....kk/3, ....D=2/3(....N-....S) (2)

....S vectorul de expansiune (deformaia normal a microplanurilor i caracterizeaz

confinearea lateral a microplanului i crearea fisurilor care apar normal microplanurilor.Pentru a caracteriza deformaiile tangeniale (din tiere) pe microplan trebuie definite doudirecii de coordonate Mi L, definite de vectorii ordinatori mi lcu componentele mii liaflate n plan.Pentru simplitate vectorii m se iau normali axelor x1, x2 sau x3.Mrimile componentelor deformaiilor tangeniale pe microplan in direciile lui mi lsunt....M=mi(ijnj) i ....L=li(ijnj). Datorit simetriei tensorului ij, componentele deformaieitangeniale se pot scrie:

M= Mijij , L= Lijij (3)

unde tensorii simetrici:

Mij=(minj+ mjni)/2;Lij=(linj+ ljni)/2; (4)

8/6/2019 calcul neliniar 2

5/6

M,Nsunt coordonatele ortogonale ale componentelor vectorilor mii li.

N= Nijij , M =Mijij , L= Lijij (5)

Se face o difereniere ntre notarea pentru limitatorul static fa de cel cinematic.

Pentru deformaiile eN, eV, eD, eMi eL, legea constitutiv are tensiunile corespondente: sN,sV, sDi sL, pentru limitatorul cinematic, care nu sunt aceleai tensiuni ca i N, V, DiLn limitatorul static.

Conform principiului lucrului mecanic virtual (Bazant i al. 2000a).

(6)

(7)

(8)

unde este suprafataa unei hemisfere unitate. Evaluarea numeric se face prin punctede integrare Gauss optimizat pentru suprafa sferic.

4. Concluzii

Modelarea constitutiv a materialelor cvasicasante precum betonul este o problemcontinu n care dezvoltarea a venit treptat. Modelul microplanurilor se dovedete a fi ounealt fiabil pentru analiza neliniar datorit acestei mbuntiri graduale. Un modelputernic care se evideniaz prin simplicitatea conceptului. Combinat cu metoda fisuriiband, n care relaxarea deformaiilor este limitat pe o zon cu o lime bine definit,acest model d un rspuns bun n analiza elementelor de beton armat pentru situaii post-critice.

Bibiliografie1. Zdenk P. Baant and Byung H Oh, Microplane Model for Fracture Analysis of Concretestructures, Center for Concrete and Geomaterials2. Zdenk P. Baant, F.ASCE, and Ferhun C. Caner, Microplane Model M5 with Kinematicand Static Constraints for Concrete Fracture and Anelasticity. I: Theory, Journal ofEngineering Mechanics, ASCE, JANUARY 2005, DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2005)131:1(31)3. Zdenk P. Baant and Michele Brocca, Compressive Failure, Large-Strain Ductility andSize Effect in Concrete: Microplane Model, European Congress on ComputationalMethods in Applied Sciences and Engineering, Eccomas 2000, Barcelona, 11-14 sept2000

4. Zdenek P. Bazant a,*, Giovanni Di Luzio b,*, Nonlocal microplane model with strain-softening yield limits, International Journal of Solids and Structures 41 (2004) 720972405. Ellen Kuhl and Ekkehard Ramm, On the linearization of the microplane model,

sij sD Nij

ij

3

sL Lij+ sM Mij+:=

sij

D 3

2

.

sij

d:=

ij sV ij sijD

+:=

8/6/2019 calcul neliniar 2

6/6

Mechanics of Cohesive-Frictional Materials, 3, 343-364 (1998)6. Michael Schurig, The Vertex Effect in Polycrystalline Materials, phd thesis, Fakultat furMaschinenbau, Berlin7. Jin-Keun Kim and Yun Lee, Development of Microplane Model Based on Degree ofHydration Concept, ACI Materials Journal, Title no. 104-M358. T.One, T. Clipii, A. Ciucureanu, Betonul Structural, Editura Societii Academice Matei

Teiu Botez, Iasi 20069. Chiorean Cosmin, Aplicatii software pentru analiza neliniara a structurilor in cadre, UT-PRES Publisher, ISBN (10) 973-662-231-2; ISBN(13) 978-973-662-231-1, pp.339, 2006