Principii de Baza in Calculul Neliniar

7/31/2019 Principii de Baza in Calculul Neliniar

1/23Page 1 of 23

m masa structurii

Principii de baz n calculul liniar/neliniar al structurilor supuse aciunilor seismice.

Toat aceast teorie pornete de la ecuaia diferenial a micrii care n forma eigeneral este prezentat astfel:

( ) +

( ) + ( ) = ( ) Unde s-a notat cu:

c coeficientul de amortizare k rigiditatea structurii (n domeniu liniar) x(t) acceleraia terenului n amplasament

Aceast ecuaie mai poate fi scris i sub forma urmtoare:

( ) + ( ) + ( ) = ( ) Unde se va nota cu:

= 2

= 2

fraciunea din amortizarea critic

=

= 2

Din nlocuirea ecuaiilor de mai sus rezult urmtoarea form a ecuaiei difereniale amicrii:

( ) + 2 ( ) + 2 ( ) = ( ) Din aceast ecuaie se pot deduce dou ipoteze de lucru pentru reducerea rspunsuluiseismic structural i anume:

1. reducerea amplitudinii acceleraiei seismice

2. creterea amortizrii structurii

Dac ecuaia diferenial a micrii va fi scris sub forma:


2/23Page 2 of 23

( ) + ( ) + ( ) = ( )

Unde:

( ) = 0 sin ( )

F(t) funcie periodic a crei perioad este:

=2

Rezolvarea acestei ecuaii difereniale de ordin II conduce la obinerea soluiei:

( ) = ( 1 cos + 2 sin ) +F0 sin (t )

m (n2 2 ) 2 + 4 n2 2

Din aceast soluie se observ c pentru a reduce rspunsul seismic structural alstructurii trebuie ca pulsaiile celor 2 entiti (structura i foa perturbatoare) s fiediferite, pentru a evita apariia fenomenului de rezonan.

(n2 2 ) 2 se afl la numitor Cu ct (n2 2 ) 2 0 rezult c x(t) .Aceste ipoteze de lucru ne conduc la urmtoarele 2 concepte de izolare structural:

A. Sisteme pasive a. Izolarea bazei are ca efect reducerea acceleraiei terenului asupra structurii prinintroducerea unui element intermediar care amortizeaz elimin din miscareaseismic frecvenele nalte ale acesteia.

b. Sisteme de amortizare care utilizeaz capacitatea de disipare a energiei amaterialelor (amortizare vscoas sau prin histerezis) B. Sisteme active sisteme care ndeprteaz perioadele fundamentale de vibraieale structurii de perioada de vibraie a forei perturbatoare. Din categoria (a) a sistemelor pasive de amortizare a vibraiilor prin izolarea bazei facparte urmtoarele tipuri de elemente:


3/23Page 3 of 23

Izolatori elastomerici: aici s-au dezvoltat mai multe tipuri de izolatori elastomerici(reazem elastic cu diafragme orizontale din oel sau cu miez din plumb). Izolatori ai bazei prin frecare.

Aceste sisteme sunt eficace i se folosesc pentru structuri de mic i medie nlime,deoarece aceste sunt caracterizate prin perioade mici de vibraie (frecvene mari).

Din categoria (b) a sistemelor pasive de amortizare a vibraiilor fac parte urmtoareletipuri de elemente: TMD-urile: sisteme de disipare cu mas acordat, TLD-urile: sisteme de disipare cu mas lichid acordat, Amortizori care disip energia prin frecare, sau altfel spus transform energia

cinetic indus de seism n structur n energie termic (prin frecarea a 2 elementeaflate n contact) Amortizori care disip energia prin deformarea plastic a unor sisteme specialeintroduse ca i legturi ntre elementele principale ale structurii, Amortizori care disip energia prin materiale vsco-elastice, Amortizori care disip energia prin fluide vscoase.

TMD-urile sunt sisteme de amortizare pasive care folosesc urmtorul mod de disipare a

energiei induse de cutremur n structur: Sunt amplasate la vrful structurii,

Sunt alctuite dintr -o mas adiional calculat n funcie de amortizarea necesari n funcie de masa total a structurii. Este legat de structur printr -un element elastic(cu rigiditate k) i un amortizor (cu caracteristica de amortizare c). Acest dispozitiv intr n lucru imediat dup nceperea micrii seismice el avnd o deplasare defazat cu /2

fa de deplasarea structurii.

TLD-urile sunt sisteme de amortizare pasive care se aseamn destul de mult cu TMD -urile singura diferen este c acestea reduc deplasrile la vrful structurii prin micarea


4/23Page 4 of 23

unui lichid n interiorul unui rezervor. Caracteristicile de rigiditate i amortizare suntdate de introducerea n rezervor a unui perete despritor, care mparte rezervorul n 2camere, n care se practic nite orificii (ale cror diametre sunt calculate n funcie denecesarul de amortizare) prin care lichidul trece dintr -o parte n alta.

n general aceste sisteme sunt folosite pentru structuri foarte nalte i au fost concepute

pentru reducerea micrilor orizontale produse de aciunea vntului (care estedefinitorie pentru acest tip de structuri). Ulterior aceste sisteme au fost implemenetate,cu rezultate foarte bune, i pentru protecia structurilor la aciuni seismice.

Friction dampers sau amortizori prin frecare, folosesc un alt mod de amortizare avibraiilor i anume transformarea energiei cinetice induse de cutremur n structur nenergie termic prin frecarea ntre 2 piese aflate n contact. Ca i sistem de disipare aenergiei este cel mai utilizat (la nivel global).

Amortizorii prin frecare sunt un caz particular al amortizorilor vscoi cu caracteristicineliniare. Pentru amortizorii vscoi neliniari fora care se dezvolt n ei n timpulmicrii este dat de relaia:

= ( ) | |

Din aceast relaie rezult caracteristicile (for de amortizare) pentru 2 cazuriparticulare de amortizori:

Amortizori liniari pentru =1 =

Amortizori prin frecare pentru =0 =

n cele 2 situaii reprezentarea grafic a comportrii amortizorului n funcie dedeplasare este:


5/23Page 5 of 23

Avantajul folosirii amortizorilor prin frecare este acela c sunt uor de realizat i secomport foarte bine la aciunile orizontale care se pot manifesta asupra structurii.Dezavantajele acestui tip de amortizor ns sunt multiple, dintre ele se pot menionaurmtoarele: Dificultatea meninerii pe durat ndelungat a proprietilor mecanice

coroziunea (care are influen direct asupra caracteristicilor de frecare) Deformarea din variaii de temperatur

Amortizorii care disip energia cinetic indus de cutremur prin deformaie plastic aunor sisteme adiionale, este un alt tip de sistem de protecie. Proiectarea tradiional astructurilor la aciunile seismice se bazeaz pe ductilitatea elementelor ce alctuiescstructura. Acest fapt a condus la ideea de a introduce nite sisteme adiionale nnodurile de legtur dintre sistemele clasice de protecie la seism (diagonale saucontravntuiri excentrice) i elementele principale ale structurii, care au rolul de aprelua energia indus de seism i a o disipa prin deformaii plastice. Aceste dispozitiveau o comportare histeretic stabil, comportare bun la oboseal i nu sunt sensibile ladiferenele de temperatur. O alt caracteristic, pentru care sunt folosite, este aceeac pot fi nlocuite foarte uor dup producerea unui cutremur. Totodat ele au ianumite dezavantaje pe care le enumerm n continuare:

Intr n lucru i ncep s disipe energia indus doar dup ce la nivelul elementelorstructurale se vor fi consumat deja importante deformaii plastice Au o comportare neliniar care depinde de materialul din care sunt alctuite, Cresc rigiditatea structurii o dat cu creterea amortizrii.

Din aceste cauze analiza care trebuie efectuat pentru dimensionarea lor este unafoarte greoaie i necesit un proces de calcul iterativ ndelung at.

Amortizorii vsco-elastici folosesc capacitile de amortizare mari ale materialelor vsco-elastice care pot disipa energie prin deformarea la for tietoare. Ca i structur acetia

se aseamn foarte bine cu unii amortizori prin frecare doar c la interfaa dintre celedo elemente (care se deplaseaz relativ unul fa de cellalt) este introdus un materialcu caracteristici elastice.

Avantajul folosirii acestor amortizori este acela c ei se comport n general liniar(deoarece la realizarea lor se folosesc materiale elastice). Acest lucru conduce la o


6/23Page 6 of 23

simplificare a analizei i a calculului de dimensionare. Aceast caracteristic decomportare liniar le confer capacitatea de a disipa energia produs de seisme severesau de a atenua deplasrile foarte mici produse de aciunea vntului. Pe lng acesteavantaje se poate meniona faptul c au i cteva dezavantaje majore care pot fi puse nbalan cu caracteristicile foarte bune de amortizare i anume:

Sunt dependente de variaiile de temperatur Sunt dependente de variaiile de frecven.

Am lsat la sfrit prezentarea amortizorilot vscoi, deoarece este un sistem care estefoarte des folosit n ultima vreme i care are capaciti de disipare foarte bune precum iposibiliti de utilizare multiple. Ideea de la care s-a pornit a fost una des ntlnit nindustria constructoare de automobile i anume amortizorii de maini. Pornind de laaceast idee i prin intermediul unor studii amnunite asupra comportrii structurilor

dotate cu aceste dispozitive, s -a demonstrat utilitatea folosirii acestora pentru proteciastructurilor civile. Marea majoritate a acestor amortizori folosesc n componena lorfluide cu caracteristici vscoase. Aceste dispozitive opun o rezisten foarte mic atuncicnd sunt solicitate de fore aplicate cu vitez foarte mic ns au capaciti deamortizare foarte bune atunci cnd aceste fore sunt aplicate cu viteze mari. Ecuaiacare guverneaz comportarea acestora am prezentat -o i la amortizorii prin frecare, nso mai prezentm nc o dat dar cu forma general a acesteia:

= ( ) | |

Unde s-a notat cu:

F fora dezvoltat de amortizor, v viteza relativ dintre capetele amortizorului c coeficientul de amortizare exponentul amortizrii

Amortizorii vscoi sunt utilizai deoarece (precum se vede i din formula de mai sus) eisunt direct dependeni de viteza relativ care se dezvolt ntre punctele de prindere aleamortizorului. Acest fapt explic i sistemul folosit pentru amortizare i anume: fora deamortizare nu este cuplat cu forele de inerie din structur. Din reprezentarea grafica vitezei i a amplitudinii micrii dar i a faptului c viteza este egal cu derivata deordin I a deplasrii rezult c aceste dou componente sunt defazate cu /2 (altfel spuscnd deformata este maxim viteza este 0 i cnd deformata este 0 viteza este maxim). n teorie forele din amortizor nu se adaug la forele care se dezvolt n structurdeoarece acestea apar atunci cnd deformaiile structurii sunt foarte mici. Modelul careguverneaz comportarea acestui dispozitiv este modelul Maxwell: amortizor i arcmontai n serie.


7/23Page 7 of 23

Disiparea de energie n amortizorii vscoi poate fi reprezentat cu ajutorul urmtoruluigrafic:

Aria haurat reprezint lucrul mecanic efectuat de amortizor.

Pe lng aceste avantaje prezentate mai sus, mai menionm i faptul c acestedispozitive depind de variaia de temperatur i frecven. Aceste dezavantaje pot fifoarte uor contracarate prin modaliti specifice de execuie, care nu influeneaz

costul acestora.

n cele ce urmeaz, vom prezenta aplicabilitatea acestor sisteme de amortizare pe uncaz concret.

nainte de a detalia calculul, metodele i rezultatele obinute pentru dimensionaresistemului de consolidare i prezentarea concluziilor la care am ajuns, voi face o mic

prezentare a sistemului structural al cldirii.

Infrastructura este realizat ntr -o incint de perei mulai cu grosimea de 80 cm care aufost realizai nainte de nceperea executrii subsolurilor. Structura de rezisten asubsolului a fost realizat din perei cu grosimi de 20, 40, 50 i 80 cm cu grinzi i planeecu grosimea de 30 cm. La intersecia pereilor din infrastructur i n continuareastlpilor din suprastructur au fost introduse elemente metalice continue de la cota 0,00pn la radier. n anumite zone, pe direcia scurt a cldirii, au fost introduse i grinzi

metalice ntre profilele metalice verticale din perei. Acestea au avut un rol binedeterminat pe toat perioada execuiei infrastructurii (ele asigurnd sprijinirea n planorizontal a pereilor mulai).


8/23Page 8 of 23

Suprastructura cldirii a fost realizat n ntregime din profile metalice singureleelemente de beton armat care se ntlnesc sunt planeele. Sistemul folosit pentruprotecia la seism este unul foarte des ntlnit i anume cadre cu contravntuiriexcentrice cu link-uri. Acest sistem se bazeaz pe disiparea energiei induse decutremur prin deformarea plastic a link -urilor, care sunt elemente special calculateastfel nct s aib o capacitate de deformare plastic foarte mare dar i o poziionareoptim n structur astfel nct dup producerea unui seism link -urile deteriorate spoat fi nlocuite foarte uor. Pentru elementele verticale ale structurii au fost folositeseciuni compuse de tip cruce de Malta, grinzile au fost realizate din profile laminatede tip HEA500 iar contravntuirile au fost realizate din tevi laminate cu diametre de 273i 324 mm i grosimi de 17,5, 28 i 40 mm. Acest sistem structural este foarte des folosit n proiectarea curent a structurilor metalice tocmai din motivele enunate mai sus.

Soluia adoptat pentru consolidarea cldirii a fost aleas dup studierea mai multorvariante posibile, varianta cu introducerea unor amortizori vscoi pentru disipareaenergiei induse de cutremur fiind optim din toate punctele de vedere (costuri,mentenan, execuie, timp de realizare, posibiliti de modificare a spaiului interior,samd).

Metoda de calcul i rezultatele obinute

Pentru a putea nelege calea pe care am urmat -o pentru stabilirea caracteristicilorsistemului de disipare a energiei cu ajutorul amortizorilor vscoi trebuie sa ne oprimpuin asupra prevederilor din codul de proiectare la seism aflat n vigoare n momentulde fa P100-1/2006.

n capitolul 4.5.3 sunt prezentate metodele de calcul structural, cazurile de aplicare ale

acestora, principiile de baz ale fiecrei metode, modurile de aplicare precum isistemele structurale de baz care trebuie considerate. Pornind de la aceste principii amconsiderat c metoda de calcul care simuleaz cel mai bine comportarea cldiriiconsolidate (cu amortizori) este metoda calculului dinamic neliniar. Prin intermediulacestui calcul se obine rspunsul n timp al structurii prin integrarea direct a ecuaiilordifereniale ale micrii, folosind accelerograme reale i accelerograme artificiale.Modelul considerat trebuie suplimentat cu reguli care s descrie comportareaelementelor sub aciuni ciclice de ncrcare -descrcare cu incursiuni n domeniul post -elastic.

Calculul dinamic neliniar a fost efectuat cu ajutorul programului SAP2000.


9/23Page 9 of 23

Modelul de calcul considerat pentru analiza dinamic neliniar a fost realizat cu ajutorulelementelor de tip frame (pentru grinzi, diagonale i stlpi) i membrane pentruplanee. Pentru modelarea amortizorilor s -a folosit elementul de tip link/support -damper -nonlinear. n cele ce urmeaz voi face o detaliere a acestor elemente precum ia altor parametri de care s -a inut cont n modelarea structurii.

sunt definite ntre 2 noduri

Elementele de tip frame

Aceste elemente sunt folosite pentru modelarea componentelor liniare ale structurii(grinzi, stlpi, contravntuiri, diagonale, etc). Ele au urmtoarele caracteristici principale:

au atribuit o seciune transversal au atribuit un material

pentru analize neliniare se pot defini la captele acestui element zone plastice.

sunt definite ntre 3 sau 4 noduri,

Element de tip membrane

Aceste elemente sunt des utilizate n modelarea componentelor plane ale structurilor de obicei pentru planee deoarece ele prin definiie sunt elemente care preiau idistribuie eforturi (au rigiditate) doar n planul determinat de punctele de definiie, nplanele perpendiculare ele au rigiditate zero. Ele sunt folosite n calculul structurilordoar pentru a realiza efectul de aib rigid i de a transmite ncrcrile verticale de la

nivelelel structurii la componentele orizontale i verticale ale acesteia. Caracteristicileprincipale ale membranelor sunt:

au atribuit o seciune transversal (cu ajutorul creia este calculat rigiditatea nplanul ei), au atribuit un material.

sunt definite ntre 2 noduri (sau ntr -un reazem)

Element de tip link/support -damper -nonlinearAceste elemente au fost folosite pentru modelarea componentelor de amortizare maiexact a amortizorilor. Link/support-damper -nonlinear este un element general cuajutorul cruia se pot modela n programul SAP2000 diferite tipuri de elemente cucaracteristici liniare sau neliniare. Ele au fost introduse tocmai pentru a putea definidiferite sisteme de protecie antiseismic la structurile civile i pentru a putea analizaaceste structuri speciale. Sunt, prin definiie, elemente liniare (dar pot fi i punctuale) i

au urmtoarele caracteristici:

pot avea caracteristici liniare sau neliniare,


10/23Page 10 of 23

Pentru definirea caracteristicilor neliniare ale elementelor de tip damper se vor urmapaii descrii mai jos:

nu au definita o seciune transversal i nici un material

se va alege din meniul Define Section properties Link/Support Properties,

pentru definirea unui nou tip de element neliniar se vor urma pasii:

se alege Add New Property unde se va defini tipul de element neliniar pe care l

folosim n analiz (n cazul nostru Link/Support Type = Damper), se introduc valorilepentru greutatea/masa amortizorului (n csuele Mass i Weight dup care se vaa lege tipul de comportare i direcia dup care va aciona (n coloana Direction se vor


11/23Page 11 of 23

bifa axele locale ale elementului pentru care se vor defini proprietile liniare/neliniare prin confirmarea/bifarea casuei corespunztoare din coloana NonLinear) n fereastra care apare (dup apasarea butonului Modify/Show for U... se vorintroduce valorile pentru coeficientul de amortizare i pentru rigiditatea efectiv aacestuia (pentru calculul liniar) i valori pentru coeficientul de amortizare, rigiditatea

efectiv i exponentul amortizrii (pentru calculul neliniar). Aceste valori se obinfolosind formulele de calcul din FEMA 356 sau FEMA 273 (din capitolele 9 din ambelecri) pe care le voi prezenta i explicita n continuare.

Pentru calculul coeficientului de amortizare al amortizorului se utilizeaz o metod decalcul care pornete de la coad la cap mai exact se stabilete o amortizare int astructurii , care ne conduce la valori mici ale eforturilor n elementele structurii,conform unui calcul spectral simplificat pe baza unor spectre elastice de rspuns

calculate (conform P100-2006, Anexa A.7) cu formula: ( ) 5% = ( ) =5% (1)

Unde:

( ) =5% - spectrul elastic de rspuns pentru componentele acceleraiei terenului namplasament corespunztor fraciunii din amortizarea critic convenional 0 = 5%

( )

5% - spectrul elastic de rspuns pentru componentele acceleraiei terenului n

amplasament corespunztor fraciunii din amortizarea critic convenional 0 5% factor de corecie care ine cont de amortizare, care se determin cu relaia:

= 105+ 0,55 (2) Dup ce se stabilete valoarea efectiv a amortizrii structurii , se calculeaz cuajutorul formulei

= + (3)

valoarea amortizrii care trebuie s o dezvolte sistemul de disipare a energiei.

Unde:

- amortizarea sistemului de disipare a energiei

- amortizarea intrinsec a structurii (are valori care variaz ntre 2%-5% n funcie detipul de structur, legturile ntre elementele structurii, s.a.)

n continuare, calculul se desfoar n funcie de tipul de analiz folosit (time historyliniar sau neliniar).


12/23Page 12 of 23

Pentru analiza liniar procedeul de calcul folosit este urmtorul:

= (4) Pentru un sistem cu 1 grad de libertate dinamic care este echipat cu un amortizor liniari supus unei micri sinusoidale de tip:

( ) = 0 sin ( ) (5)

Unde:

( ) variaia n timp a micrii sistemului (structur i amortizor)

0 amplitudinea micrii

pulsaia micrii

Rspunsul n uniti de for al sistemului este:

( ) = 0 sin ( + ) (6)

Unde:

( ) variaia n timp a rspunsului (n uniti de for) structurii

0 amplitudinea rspunsului

defazajul care apare ntre excitaie i rspunsul structurii.

Energia disipat de amortizor se definete ca fiind lucrul mecanic al forei dezvoltate deamortizor i se poate determina cu ajutorul formulei:

= (7)

Unde:

fora dezvoltat n amortizor = (8)

coeficientul de amortizare al amortizorului

viteza

Prin nlocuirea relaiei (8) n (7) se obine:

=

= 22

0 = 02 2

2( ) ( )

20 = 0

2 (9)

= (10)


13/23Page 13 of 23

= 2 0 (11)

0 = (12) Introducnd n relaia (9) formulele (10), (11) i (12) se obine:

= 02 = 02 = 2 02 = 2 02 0 (13) =

20 (14)

Unde i sunt explicitate n figura de mai jos:

- energia disipat de sistemul de amortizare ntr -un ciclu de micare armonic

- energia total de deformaie elastic a structurii

n cazul structurilor supuse la aciuni seismice 0 , rezult c formula de calculpentru amortizarea introdus de sistemul de disipare a energiei se poate scrie:

=2

(15)

Extrapolnd relaia de mai sus de la un sistem cu 1 GLG la un sistem cu n GLD vomobine formula general de calcul pentru coeficienii de amortizare ai sistemului de

disipare:

= 2

(16)

Unde:

- suma energiillor disipate de amortizorii din structur - energia de deformaie elastic (sau lucrul mecanic efectuat de forele tietoare de

nivel). = i (17)

- forele tietoare de nivel


14/23Page 14 of 23

i deplasarea relativ de nivel

Energia de amortizare se poate scrie sub forma:

= 2 0 = 2 2 (18) Unde:

deplasarea relativ axial ntre capetele amortizorului. Din experimentele efectuate s -a constatat c odat cu creterea amortizrii sistemuluirspunsul structurii pe modurile superioare este redus la valori foarte mici (raportate larspunsul pe modurile fundamentale) practic neglijabile. Consecina acestui fenomeneste considerarea n calcul doar a perioadelor fundamentale de vibraie ale structurii ide aici se ajunge la o metod de calcul simplificat pentru calculul coeficienilor de

amortizare ai amortizorilor.

= 2 2 2 2 (19) = 1

T [ ]1 = 1T2 [ ]1 = 2 2 = 4 22 2 (20)

Unde:

[ ] - matricea de rigiditate a structurii MDOF (Multiple degree of freedom = n GLD)

[ ] - matricea maselor de nivel a structurii MDOF 1 - vectorul valorilor proprii de vibraie a structurii MDOF

- unghiul format de axa amortizorului i planul orizontal al nivelului


15/23Page 15 of 23

valoarea proprie de vibraie a nivelului i (deplasarea niveluilui i n modulfundamental de vibraie al structurii)

Dup efectuarea nlocuirilor n relaiile de mai sus se obine forma final a relaiei decalcul pentru coeficienii de amortizare:

= 2 2

4 2 (21) Unde:

masa nivelului i

valoarea proprie relativ de vibraie a amortizorului j (deplasarea axial relativ ntre capetele amortizorului n modul fundamental de vibraie al structurii)

n mod evident, se poate observa c din formula de mai sus se poate determina uncoeficient de amortizare unic pentru toi amortizorii din structur. Totui, n urmaexperimentelor efectuate, s -a observat c este mai eficient s se introduc amortizori cucoeficieni de amortizare mai mari la nivelele inferioare. Aceti coeficieni pot fideterminai din coeficientul unic scalat cu raportul ntre forele tietoare de nivel de laparter i cele de la nivelele superioare.

n cazul utilizrii amortizorilor cu comportare neliniar calculul se desfoar la fel ca i

pentru amortizorii cu comportare liniar diferena ntre acetia este dat doar de relaiacu care se determin fora de amortizare din amortizor:

= (22)

Unde:

exponentul amortizrii

Considernd acelai SDOF ca i n calculul de mai sus putem scrie urmtoarea relaie:

( ) = 0 cos ( ) (23 )

Introducnd relaiile (22) i (23) n relaia (7) i dup efectuarea operaiilor se obine:

= ( 0 )1+ | cos 1+ ( ) |2 0 dt (24) Se face nlocuirea:

= 2 =2

(25)

nlocuind (25) n relaia (24) i efectund toate operaiile se obine:


16/23Page 16 of 23

= 2 2+ 01+

2 (1+ 2 )(2+ )

(26)

Unde:

(t) - funcia Gamma care pentru valori reale ale variabilei t are forma:

( ) = 1

0 (27) Folosind aceeai extrapolare ca i n cazul sistemelor cu amortizori liniari, putem scriepentru un MDOF cu amortizori neliniari urmtoarea relaie:

= 2 2 (28) Presupunnd c toi amortizorii din structur au aceeai valoare pentru , i nlocuindrelaia (26) i (28) n relaia (15) i efectund operaiile se va obine:

= 1+ 1+

2 2 2 (29)

Unde:

deplasarea relativ ntre capetele amortizorului.

deplasarea nivelului i

Deoarece am considerat n calcul numai comportarea n modurile fundamentale devibraie ale structurii, se pot scrie urmtoarele relaii:

= = (30)

nlocuind relaia (30) n relaia (29) se obine formula general de calcul pentruamortizarea sistemului de disipare din structur:

= 1+ 1+

2 1 2

2 (31 )

Folosind relaiile (21) i (31) se pot determina coeficienii de amortizare pentruamortizorii care vor fi introdui n structur.

Pentru modelarea structurii cu amortizori s-au folosit urmtoarele convenii:

La elementele de tip Link/Support Type se vor modifica axele locale astfel nctaxele locale 1 ale acestora s fie definite ca vectorul ce trece prin nodurile i i j aleelementelor. Am recurs la acest artificiu pentru a putea obine (n urma analizei)direct valorile de deplasare i vitez n lungul amortizorului. Aceste valori suntnecesare pentru calculul forelor din amortizori precum i a energiei disipate deacetia.


17/23Page 17 of 23

Caracteristicile de amortizare i rigiditate se vor calcula cu ajutorul unui fisierexcel

n fiierul menionat mai sus se introduc urmtoarele date: sporul de amortizareintrodus n cldire, perioada de vibraie pe direcia considerat, unghiurile subcare sunt dispui amortizorii, numrul de amortizori pe nivel (pe direcia

considerat), masele de nivel, vectorul propriu de vibraie corespunztorperioadei de vibraie considerate, modulul de elasticitate al diagonalei careconine amortizorul, aria seciunii diagonalei, lungimea acesteia, nlimea total acldirii i exponentul vitezei (pentru amortizori cu comportare neliniar). Datelenecesare pentru modelarea amortizorilor sunt marcate cu culoare albastr(pentru amortizori liniari i pentru cei neliniari).

Modelele de articulaii plastice folosite n analiza structural au fost definite conform

FEMA 356.

Rotirile n articulaiile plastice au fost calculate de program conform FEMA 356:

Articulaie plastic de tip Hinge

Articulaiile plastice reprezint zone ale elementelor structurale pe care se manifest ise dezvolt deformaiile plastice ale acestora. Ele sunt zone poteniale, ateptate, princare datorit deformaiilor plastice se produce disiparea de energie. De ac eeaarticulaiile plastice poteniale pot fi definite i atribuite pentru diferitele tipuri desolicitri care produc deformaii platice n elementele structurale: ncovoiere (n cazulgrinzilor i al elementelor de tip link), efort axial cu efort de ncovoiere pe dou direcii(pentru stlpi), efort axial (pentru contravntuiri i / sau unii stlpi), for tietoare (ncazul elementelor de tip link).

Articulaiile plastice poteniale sunt atribuite elementelor structurale punctual, acolounde este de ateptat s apar plastificri. Spre exemplu, o articulaie plastic potenialpentru ncovoiere ce trebuie atribuit unei grinzi, nu se va aplica la mijlocul deschideriiacesteia, ntruct din aciunea seismic nu este de atepat s apar plastificarea grinziirespective n seciunea de mijloc, ci n seciunile de capt.


18/23Page 18 of 23

Valorile limit ale rotirilor n zonele plastice poteniale pentru criteriile de acceptarepentru analizele neliniare sunt prezentate n tabele (pentru fiecare tip de structur nparte: metal, beton, zidrie, lemn, compozit) n FEMA 356. Pentru exemplificare amprezentm tabelul corespunztor structurilor metalice.


19/23Page 19 of 23

Introducerea articulaiilor plastice pe elementele structurii se realizeaz n modulurmtor:

se definesc prima dat tipurile de articulaii plastice n funcie de eforturile care leproduc (P, V, M, P-M- M)


20/23Page 20 of 23

Articulaie plastic la for axial

Articulaie plastic la for tietoare


21/23Page 21 of 23

Articulaie plastic la for axial cu momente ncovoietoare pe cele 2 direcii

la fiecare tip de articulaie n parte se introduc coeficienii de multiplicare airotirilor n csuele de la zona Acceptance Criteria (Plastic Deformation / SF). Aceticoeficieni se obin din tabelele corespunztoare din FEMA 356 (vezi paragrafulanterior).

Rezultate obinute n urma analizelor efectuate pe cele 2 structuri (existent iconsolidat):

Mrime de rspuns Varianta existent Varianta consolidat Deplasare maxim la vrf

[m] 0,6537 (la t = 7,3 s) 0,6971 (la t = 7,7 s)

Acceleraie absolutmaxim la vrf [m/s2 11,58 (la t = 7,2 s) ] 5,432 (la t = 7,6 s)

Deplasare relativ maximde nivel [m]

dr efectiv = 0,0875 m = 0,0243h

dr adm SLU

d

= 0,025h = 0,09 m

r efectiv = 0,0534 m = 0,0148h

dr adm SLU = 0,025h = 0,09 m Fora tietoare de baz [kN] 69785 30256

Perioade de vibraie [s] T1=1,5064 s T2=1,3602 s T3

T

=1,0727 s

1=2,6865 s T2=2,4154 s T3=2,1727 s

3,2869 (pentru 2%

amortizare)

0,8820 (pentru 17%

amortizare)


22/23Page 22 of 23

Din aceste dou grafice se poate observa c n cazul structurii existente energia deinput are o valoare de 120 MJ, valoare care se disip strict prin elementele structurii, n timp ce pentru structura consolidat cu amortizori energia de input are o valoare de100 MJ din care 32 MJ se disip prin sistemul de amortizare rmnnd ca doar 68 MJ sfie disipai prin elementele structurii.

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

E n e r g i e

( k N m

)

timp (sec)

Structura existent

Ei- Energia totala (kNm)

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

0 1 2 3 4 5 6 7 8

E n e r g i e

( k N

m )

timp (sec)

Structura consolidat cu amortizori vscoi

Ei- Energia totala (kNm)Ed - Energia de amortizare (kNm)Es+Eh- Energia produsa prin deformatii elastice + Energia histeretica (kNm)


23/23

0

50000

100000

150000

200000

250000

0 10 20 30 40

E n e r g i e

( k N m

)

timp (sec)

Structura consolidat cu amortizori vscoi

Ei- Energia totala (kNm)Ed - Energia de amortizare (kNm)Es+Eh- Energia produsa prin deformatii elastice + Energia histeretica (kNm)

Principii de Baza in Calculul Neliniar

Documents

Transcript of Principii de Baza in Calculul Neliniar