ANALIZA STRUCTURAL N DOMENIUL NELINIAR Partea I-a Ciclul II Master Specializarea: Proiectarea construciilor civile i industriale n zone seismice Sem 2 anul universitar 2009-2010 Titular curs: prof. dr. ing. Dan CREU 1 1 CUPRINS 1 Generalitati..1 2Rolul plasticitatii in ingineria structurala.3 2.1.Introducere..3 2.2Modele de comportare pentru materiale in functie de legeatensiune-deformatie. Curbe reale si curbe simplificate...4 3Criteriidecurgereside cedare.9 3.1Spatiul tensiunilor haigh-westergaard.9 3.2Criterii de curgere independente de presiunea hidrostatica..12 3.2.1Generalitati.12 3.2.2 Criteriul de curgere Tresca.12 3.2.3Criteriul de curgere von Mises...14 3.3Criteriidecedaredependentede presiune..................................................15 3.3.1Caracteristicile suprafetei de cedare pentru un material izotrop15 3.3.2Criteriul Mohr - Coulomb (1900)..18 3.3.3Criteriul de cedare Drucker - Prager (1952)..22 3.3.4Criteriul tensiunii maxime de intindere (Rankine).24 3.4Materialeanizotrope.Criterii de curgere..263.4.1Criterii de curgere pentru materiale ortotrope26 4Relatiile tensiuni-deformatii pentrumateriale perfect plastice..27 4.1 Introducere27 4.1.1Limita elastica si functia de curgere..27 4.1.2.Criterii de incarcare si descarcare..28 4.2Potentialul plastic si regula de curgere..28 4.3Reguladecurgereasociatacufunctiadecurgerevon Mises....30 4.4Regula de curgere asociata criteriului de curgere Tresca..33 4.5Regula de curgere asociata cu criteriul de curgere Mohr Coulomb....................................................................................36 4.6Proprietatea de convexitate, normalitate si unicitate pentru 2 2 materialul ideal elasto-plastic...........................39 4.6.1Proprietatea de convexitate a suprafetei de curgere si denormalitateareguliide curgere..............39 4.6.2Unicitatea solutiei si conditia de normalitate ....41 4.7Relatiiincrementaletensiuni-deformatii specifice......42 4.7.1Relatii constitutive in termeni de constante elastice E si sauGsi K..............44 4.8Modelul Prandtl - Reuss (Teoria J2)46 4.9Modelul Drucker Prager.47 4.10Cazul general al materialului izotrop....49 5Formularea teoriei plasticitatii in metoda elementului finit54 5.1Introducere55 5.2Algoritmi pentru rezolvarea ecuatiilor neliniare...56 5.2.1 Metoda Newton Raphson....56 5.2.2 Metoda Newton - Raphson modificata..58 5.2.3Metoda quasi Newman (QN)....60 3 3 1GENERALITATI Proiectarearationala,dinpunctdevedereeconomic,astructuriloringeneralalcatuite dinmetalsaubetonarmat,presupuneacceptarea,incazulactiunilorseismicemajore,a incursiunilor in domeniul post-elastic de comportare a materialelor. Metodeleactualedeproiectareacceptadeterminareaeforturilorprintr-uncalculstatic elasticliniarincareforteleseismiceseintroducconventionalcaforteorizontalestatice. Acesteasuntdeterminateinipotezadisipariienergieiindusedeseismprinincursiuniin domeniul plastic ale grinzilor in zonele de imbinare cu elementele verticale stalpii precum si la baza stalpilor. Deplasarile in cazul comportarii post-elasticese obtin prin multiplicare cu inversul coeficientului de disipare .Controlulformariimecanismelordecedareserealizeazaprinexprimareaechilibrului global intre fortele statice seismice conventionale majorate proportional si momentele capabile ultime din sectiunile in care se formeaza articulatiile plastice. Inprezentsuntdisponibileprogramedecalculcareevalueazacomportareaneliniaraa structurilorplanedinbarelaactiuneaseismicavariabilaintimpdescrisaprintr-o accelerograma.Atingereacapacitatiiplasticeseconsideraprinformareaunorarticulatii plasticecontrolateprincurbedeinteractiunemoment-fortaaxiala.Acestmoddeabordare esteevidentsimplist,potrivituneiactivitaticurentedeproiectare,darlimitatlastructuricu forma regulata in plan si pe verticala. In cazul unei structuri cu o forma neregulata impusa de considerente arhitectonice si functionale nu sunt disponibile in prezent programe de aclcul care sa permita analiza spatiala cu considerarea comportarii neliniare la actiuni variabile in timp. Avandinvedereacesteconsiderente,efortuldecerectareatatpeplannationalcatsi internationalesteconcentratinelaborareaunorprogramedecalculcaresapermitavalidarea calcululuisimplificatprinanalizacomportariispatialeastructurilor.Dinacestpunctde vedere,lucrareaisipropuneinaceastafazacunoastereabazelorteoreticenecesareatingerii obiectivului propus. Se prezinta in lucrare: -criterii de curgere si de cedare; -bazeleteoreticealeteorieiplasticitatiiincazulmaterialelorcucomportareideal elasto-plastica; 4 4 -expresiilematriciicaracteristicilorfiziceelasto-plasticedelegaturaintretensiunisi deformatii specifice pe baza criteriilor de curgere Tresca si von Mises; -procedeele de rezolvare numerica a sistemelor de ecuatii neliniare (metoda Newton- Raphson, metoda Newton-Raphson modificata, metoda quasi Newton); Recentele cutremure din SUA Northridge (1994) si Japonia Kobe (1995) au repus in actualitatenecesitateacontinuariiinvestigatiilornumericesiexperimentaleincazul cobstructiilormetaliceingeneral.Structurilemetaliceconsiderateingeneralsigure,avand invederecapacitateamarederezistentasideductilitateamaterialuluiauprezentatoseriede avarii care, chiar daca nu au condus la colaps, au necesitat interventii dificile si costisitoare din punctdevederetehnic.Principaleleproblemeaufostinzonelenodurilorstalpi-fundatiesi grinzi-stalpi.Aparitiasipropagareafisurilorinsuduriledeimbinarecontinuateinstalpi precumsivoalareatalpilorsiinimilorsuntdeneacceptat,daraufostfrecventobservatela constructiile metalice din zonele afectate de seism.Caurmareaanalizelornumericeincarearticulatiileplasticeseconsideraconcentratein sectiuniprestabiliteprinatingereastariidecurgerecontrolatacuajutorulcurbelorde interactiuneM-Nconstituieprocedeepreasimpliste.Evidentcaoanalizanumerica,incare atatfortelecatsidomeniul de comportare se modificain timpul actiunilor variabile in timp, caracteristiceactiunilorseismice,estemareconsumatoare detimp, darsisusceptibilalaerori numerice.Cutoateacestea,investigareacomportariinodurilorincarederegulaserealizeaza celemaimarieforturinecesitamodelareaacestoracuelementefiniteplanesi/sau tridimensionale,intimpce pentrurestulelementelorcarenuexecutaincursiunisemnificative in domeniul post-elastic se pot folosi elemente de tip bara. De fapt ideea de baza este de a crea o biblioteca de macroelemente care sa permita modelarea nodurilor grida-stalpi-contravantuiri. Pentru aceasta, cunoasterea posibilitatilor oferite de tehnicile actuale incrementale de rezolvare numerica,precumsimodelarearealistaacomportariimaterialelorlaactiuniseismicesunt esentiale si constituie suportul de baza al lucrarii elaborate. 5 5 2ROLUL PLASTICITATII IN INGINERIA STRUCTURALA 2.1INTRODUCERE Proiectantii de structuri urmaresc de regula doua etape: I) Definirea campului de forte interne (calculul eforturilor) II) Stabilirea raspunsului materialului la aceste forte. Primulpasimplicaoanalizaacampurilordetensiuni.Aldoileanecesitacunostinte privind proprietatile materialelor. TeoriaElasticitatiiconsideraorelatieliniaraintretensiunisideformatiispecifice. Pentru ca teoria sa fie valabila trebuie cao oo =pcck. Structurilesuntcorpuricomplexecuostaredetensiunispatiala.Existasitensiuni secundare ce apar in timpul procesului de fabricatie si montaj. Combinarea tensiunilor initiale, secundaresiconcentrariledetensiunipotconduceladepasirealimiteideelasticitateceeace face necesara studierea comportarii dincolo de limita elastica. Teoriaplasticitatiireprezintaoextindereateorieielasticitatii.Aceastafurnizeaza informatiimairealisteprivindraspunsulelementelordeconstructii.Intelegerearolului caracteristicilorrelevantealematerialelorcaredefinescraspunsulacestoralaforteleaplicate este esentiala pentru un inginer. Atat teoria elasticitatii cat si teoria plasticitatii sunt valabile si se regasesc in natura.In cazul teoriei plasticitatii trebuie urmaritedoua aspecte: -stabilirearelatiilorintretensiunisideformatiispecificepentruunmaterialelasto-plastic cu consolidare sau cu degradare de rigiditate. - cunoasterea unor procedee numerice de rezolvare a ecuatiilor. Teorieiplasticitatiisebazeazapeun setderelatiiintretensiunisideformatiispecifice pentruostarecomplexadetensiunicarepotdescriecomportareapost-elastica.Regulilede deformatie observate pentru metale au fost confirmate de experimente.Recent, metodele TP au fostextinsesilastudiulcomportariimaterialelorgeologicecumsuntrocile,pamantulsi betonul. 6 6 2.2MODELEDECOMPORTAREPENTRUMATERIALEINFUNCTIEDE LEGEATENSIUNE-DEFORMATIE.CURBEREALESICURBE SIMPLIFICATE. Legaturadintrevectorultensiunilorosivectoruldeformatiilorspecificesreprezinta legea constitutiva a materialului. Pentruusurintareprezentariigraficearelatieio-sseconsiderapentruinceputcazul comportarii monoaxiale. Pentru intindere o1 > 0 si o2= o3 = 0si pentru compresiuneo3 < 0 si o2= o1 = 0. Cele mai cunoscutecurbe caracteristice o1 - s1 sau o3 - s3 vor fi reprezentate prin modele tipice de comportare. Acestea se pot asocia diferitelor materiale. a)Modelul liniar elastic a)b) c) modelul Hooke Figura 2.1 Modelul de comportare liniar-elastic se caracterizeaza printr-orelatie liniara biunivoca intretensiunisideformatii,independentdetimp.stareadetensiunesidedeformatiieste reversibila. Incarcarea si descarcarea se produc dupa aceeasi dreapta. b) Modelul elastic neliniar Acestasecaracterizeazaprintr-orelatieneliniaradeformao=E(o)s.Incarcareasi descarcarea se produc dupa acelasi drum. Un caz particular il reprezinta modelulbiliniar. a)b)c)d) Figura 2.2 oo s s o o=E(o)s E(o), s s E1 1 E1 1 E2 1 E2 1 o oo s s s ,E o= E s 7 7 Modelul(c)corespundecomportariipamanturilorsiumpluturilor.Modelul(c) caracterizeazacomportarearocilorcufisurareorientata.Inaintedeinchidereafisurilor comportarea este descrisa de constanta E1 si dupa inchiderea fisurilor de constanta E2. c)Modelul elasto-plastic Relatia o - s nu mai este liniara in acest caz si descarcarea nu mai are loc dupa aceeasi curbacuincarcarea.Seacceptaolegedecomportareliniaraladescarcare.Modelulpunein evidenta doua zone distincte de comportare. - o zona de comportare elastic liniara (A- B) o < op , comportare elasticas = se o = Es - o zona de comportare plastica B-C o > op , comportare plasticas = se + sp

a)b)c) d)e) Figura 2.3 Conformfigurii2.3asibdupadepasirealimiteideproportionalitateopapare fenomenuldeecruisare.Aceastaindicaodependentaatensiunilordinstadiulpost-elasticde deformatiaplasticaprodusa.Infigura2.3c)esteprezentatmodelulelasticperfectplastic Pentruo >op deformatiilespecificesuntnedefinite.In cazulrocilor,modelulelastic perfect plastic introduce o reducere a rezistentei in zona plastica aceasta fiind o consecinta a pierderii coeziunii. Pentru modelul descris in figura 2.3. b): o op op o s C C C B BB A s se sp o oop, spE, se E 1 E 1 E 1 Et 1 CB s E 1 se sp 8 8 ptpE Eo oos+ =1pentru o > op (2.1) d) Modelul rigid -plastic Se caracterizeaza prin deformatii specifice plastice mult mai mari decat cele elastice sp >> se. In consecinta deformatiile elastice pot fi neglijate. Figura 2.4 Pentru materialele perfect plastice limita de elasticitate se considera o marime constanta egala la intindere si la compresiuneo opipc= .Pentru materiale ecruisabile limita de plasticitate depinde de istoria incarcarii. e)Modelul vasco-elastic (Voight-Kelvin+resort elastic Hooke) In cazul acestui model se ia in considerare comportarea elastica a materialului la care se adauga si cresterea deformatiei in timp la efort constant. Figura 2.5 so o= +

'

+'

0001E EeEt(2.2) Cresterea deformatiilor in timp la tensiune constanta se numeste fluaj in cazul metalului si curgere lenta in cazul betonului. o op Rigid plastic cu ecruisare liniara s C B o op Rigid perfect plastic s CB s o0 /E s0 = o0 /E0 o1 o0 = E0s0 o1 = Es t oL =

so0 /E1 9 9 Viteza de deformatie depinde atat de marime lui o cat si de istoria incarcarilor la care a fostsupusmaterialul.Ladescarcaredeformatiileelasticeseanuleazaiarcelevascoasese recupereaza in timp. f)Material elasto-exponential cu consolidare Legea de comportare este: os o os o o=>|,

|

E dacak dacapnp(2.3) Figura 2.6 g)Material cu lege de comportare de tip Ramberg - Osgood Expresia legii este: so o= +

'

+'Eabn(2.4) a, b si n fiind constante de materialFigura 2.7 h) Modulul tangent Et si modulul plastic Ep Aceste module sunt utilizate pentru proceduri incrementale d d de ps s s = +Legatura intre tensiuni incrementale si deformatii specifice incrementale: d E dto s =ppd E d s = o

Figura 2.8 oso = k snop s o b a s 1 E op o o B se sp E 1 ds s s ds do do A A B E 1 1 Et 1 Ep 10 10 1 1 1E E Et p= + (2.5) Seconsideraunparametrudeconsolidarecarevacaracterizadiferitelestadiide consolidare. Prin ipoteza modulul plastic Ep este o functie de acest parametru. Ep = Ep () Lucrul mecanic plastic:W dpp=os- deformatia plastica acumulata: ss = s2 / 1 p pp) d d (- incrementul deformatiei plastice efective: d d dpp ps s s =) Reguli de consolidare la incarcare - descarcare a)Consolidare izotropab) Consolidare cinematica Figura 2.9 Pentru consolidarea izotropa (figura 2.9 a): B C BC ' =o o = ( ) xPentru consolidarea cinematica (figura 2.9 b): B B A A ' ' =o o= c xp( )Pentru consolidarea independenta: BC > OAO ' A C ' B =o o =t t( )pentru o > 0 ) (c c o = o pentru o < 0 3CRITERII DE CURGERE SI DE CEDARE o s s C O B A A B o s B A O C A B 11 11 3.1SPATIUL TENSIUNILOR HAIGH-WESTERGAARD Aceastareprezentare este deosebit de utila in studiul teoriei plasticitatii si criteriilor de rupere. Tensorul starii de tensiune oij are sase componente distincte si independente. Deci am puteautilizaacestecomponentedreptcoordonateintr-unspatiucusasedimensiuni.Totusi aceastaestedificildereprezentat.Ceamaisimplaalternativaestedealuaceletreitensiuni principaleo1,o2,o3dreptcoordonate.AcestspatiusenumestespatiultensiunilorHaigh- Wastergaard. Figura 3.1 Fieostaredetensiuneexprimataprino1,o2,o3reprezentataprinpunctul P (o1, o2, o3). Vectorul de tensiuneOP poate fi descompus in doua componenteOP ON NP = + . ON OP n ==

'

+'o o o1 2 3131313, , , ,dar ONIp = + + = =13 331 2 31o o o undepI=13 NP OP ON = si conform relatiilor de mai sus: ON OP n p p p == , ,NP OP ON == ? Ao o o o o o1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ( , , ) , , , ,== p p p p p p s s sSe obtine: p = = + + = NP s s s J12223222o1 axa hidrostatica (o1 = o2 = o3) (stare de tensiune sferica) s1 =2o1 - o2 - o3 = 0 p N (p, p, p) planul deviator o1 + o2 + o3) =3 no3 o2 e1 12 12 Darp t = = NPoct3Inreprezentareavectorialademaisus,ON reprezinta deci componenta hidrostatica si vectorulNPreprezintacomponentadeviatoricasijastariidetensiuneexprimateintensiuni principale SaconsideramproiectiilevectoruluiNPpeaxeledecoordonateoipeunplan deviatoric. FIGURA 3.2 Conform figurii 3.2: e1162 1 1 = , ,== p =3 2 1 1s , s , s ' e NP cos ' NQ 1 , 1 , 261=16 s s s1 2 3, , 3 2 1s s s 261cos = pConsiderand pentrus2 + s3 = -s1 p cos =321sInlocuindu-l pe p se obtine: 2123cosJs= Folosind identitatea: cos cos cos 3 4 33 = si inlocuind pe cos din relatia de mai sus rezulta: Q N o1 p e1 pcos 2x/3 2x/3 2x/3 o3 o2 13 13 cos/33 3223 2131 2 = Js s J(3.1) Dar J2 = - (s1s2 +s2s3 + s1s3) cos/33 3223 213122 123 1 2 3 = + + +Js s s s s s s sDar s1 = - (s2 + s3) si J3 = s1s2s3si inlocuind in relatia de mai sus se obtine: cos/33 32323 2 = JJ(3.2) Aceasta relatie arata ca valoarea lui cos 3 este un invariant in raport cu J2 si J3. Se va putea arata ca o stare de tensiune(o1, o2, o3) se poate exprima prin (, p, ). Acesti parametrii se vor calcula in conditiile date de functiile de cedare, curgere sau rupere in spatiu. s J1 223= cos(3.3) Intr-o maniera similara se pot obtine ceilalti temeni ai tensorului deviatoric: s J2 22323=

'

+'cosx (3.4) s J3 22323= +

'

+'cosx (3.5) Relatiile sunt valabile daca o1 > o2 > o3si03 x. Deci tensiunile principale sunt:

)

`

|

,|'+

'

+'+

'

+

)

`

|

,|=

)

`

|

,|'+

'

+'+

'

+

)

`

|

,|=

)

`

|

,|xxpxxooo32cos32coscos323132cos32coscos322321Jppp(3.6) 3.2CRITERII DE CURGERE INDEPENDENTE DE PRESIUNEA HIDROSTATICA 14 14 3.2.1Generalitati Criteriidecurgereindependentedepresiuneahidrostaticasuntcriteriuldecurgere Tresca(1869)sicriteriuldecurgerevonMises(1913)sisuntutilizatefoartemultincazul metalelor. Criteriiledecurgeredefinesc limitadecomportareelasticliniara a unui material sub o stare compusa de tensiuni si se pot exprima cu relatii de forma: f (oij, k1, k2 ..............) = 0(3.7) in care ki sunt constante de material ( de exemplu o0sau t0 care reprezinta limitele de curgere pentru solicitarile de intindere simpla si de forfecare pura). Pentru materiale izotrope relatia (3.7) se poate scrie: f (o1, o2, o3, k1, k2 ..............) = 0 sauf (I1, J2, J3, k1, k2 ..............) = 0(3.8) sauf (,p,, k1, k2 ..............) = 0 Bridgmanaefectuatin1950experimentepemetalesiademonstratcapresiunea hidrostatica nu influenteaza apreciabil curgerea. In consecinta relatia se poate scrie: f (J2, J3, k1, k2 ..............) = 0 3.2.2Criteriul de curgere Tresca Acestcriteriu,stabilitin1964esteaplicatlametale.Conditiapentrudeterminarea limitei de curgere se exprima sub forma:tmax k . Fieo0limitadecurgeredeterminataexperimentalpentrusolicitareaaxialasimpla.In acest caz se obtinetomax=02 Pentruostaredetensiuniexprimatainfunctiedetensiunileprincipaleseobtin urmatoarele relatii explicite: In spatiu

o o o o0 2 3 02 2 2

o o o o0 1 3 02 2 2

o o o o0 1 2 02 2 2(3.9) 15 15 In plan o o2 02 2 ; o o1 02 2 ;o o o1 2 02 2

(3.10) Figura 3.3 Considerando1 > o2 > o3 criteriul de curgere se exprima: max , , ,1212121 2 1 3 3 2o o o o o o

'

+' k (3.11) 1213231 3 2o o x=+

'

+'

| = J k cos cos 0 60O O (3.12) sau f J J2 2 0230 , sin x o = +

'

+'= (3.12) sau f p px o , sin = +

'

+'= 2300(3.12) Presiuneahidrostaticanuinfluenteazasuprafatadecurgere.Criteriulesteindependent de I1 sau de . o2 o0 -o0 o0o1 -o0 o1 = 0 ootoxxy020231

'

+'+ '

+' =/ toxy0 A(=0,03 / 2 o = p ) 16 16 Figura 3.4 f J J J J k J k J k2 3 2332 222 4264 27 36 96 64 0 , = += (3.13) 3.2.3Criteriul de curgere von Mises Acestcriteriu,stabilitin1913esteaplicatlametale.Conditiapentrudeterminarea limitei de curgere se exprima in functie de tensiunile octaedrice. toctJ k = =23232. Criteriul se exprima cu relatia: f(J2) = J2 - k2 = 0(3.14) Fieo0limitadecurgeredeterminataexperimentalpentrusolicitareaaxialasimpla.In acest caz se obtinek = o03 Pentruostaredetensiuniexprimatainfunctiedetensiunileprincipaleseobtine urmatoarea relatie: o o o o o o1 223 221 3226++= k (3.15) Ecuatia obtinuta este ecuatia unui cilindru a carui intersectie cu planul deviator este uncerc de razap = 2k. Atat la criteriul Tresca cat si la criteriul von Mises k este limita de curgere la forfecare purao2=-o1.Valorileacestuiparametrusuntinsadiferiteconformcelordouacriterii. Raportul intre ele este: B( = 60) ootoxxy020221

'

+'+

'

+' =/ oox0 17 17 kkvMT= = =oo003223125 .IncazulcriteriuluivonMises,inplanuloxtxyreprezentareagraficaesteelipsade ecuatie ootoxxy020231

'

+'+ '

+' =/ 3.3 CRITERII DE CEDARE DEPENDENTE DE PRESIUNE. 3.3.1 Caracteristicile suprafetei de cedare pentru un material izotrop Cedarea pentru un material este definita uzual prin termeni dependenti de capacitatea de incarcare.Totusi,pentrumodelulperfectplasticcurgereaimplicaocedaredecilimitade curgere este deseori o limita de rezistenta. Ca si in cazul criteriilor de curgere, o forma generala a criteriilor de cedare poate fi data printr-o ecuatie avand pentru materialele anizotropeforma : f(oij, k1, k2 ,............ )= 0(3.16) si pentru materiale izotrope: f(o1, o2, o3, k1, k2 ,.........) = 0(3.17) f(I1, J2, J3, k1, k2 ,...........)=0(3.17) f(, p, , k1, k2 ,..............) = 0(3.17) Pentrumaterialeductile,cumestemetalul,curgereaesteindependentadepresiunea hidrostatica.Comportareamultormaterialenemetalicecumsuntterenul,rocilesibetonul, depindedenivelulpresiuniihidrostatice.DinacestmotivI1sitrebuiesafieprezentiin criteriile de cedare. Formageneralaasuprafeteidecedaref(I1,J2,J3)=0sauf(,p,)=0inspatiul tridimensionalpoatefidescrisaprintr-osectiunecuplanuldeviatoricsimeridianelesaledin planelemeridiane.Sectiuneatransversalaasuprafeteidecedareestecurbadeintersectiea acestei suprafete cu planul deviatoric care este perpendiculara pe axa hidrostatica cu =ct. Meridianele suprafetei de cedare sunt curbele de intersectie intre aceasta suprafata si un planmeridiancecontineaxahidrostatica=ct.Pentruunmaterializotrop,formasuprafetei 18 18 decedaretrebuiesafiesimetrica.Deaceeaestenecesarcainexperimentsaseurmareasca sectorul 0O - 60O celelalte stabilindu-se prin simetrie. Figura 3.5 Considerand o1 > o2 > o3 exista doua situatii extreme: 1) o1 = o2 > o31 = 60O

2) o1 > o2 = o32 = 0O

Valorile se obtin inlocuind in:cos =3212sJ

si tinand seama de : s1 11 2 3 1 2 3323= + += oo o o o o o J s s s s s s2 1 2 2 3 3 1= + +Rezulta astfel: 1) cos o o o oo o11 321 31 3232 33232612=

=

=J(3.18) 2) 1313223J 3 23cos22 13 123 12=oooo=oo= (3.19) Meridianulasociatlui=60senumestemeridianuldecompresiunedeoarecesituatia corespunde unei stari de tensiune cu compresiune intr-o singura directie.p =+ o o1 323 o1 = o2 > o3 o3 pc pc p o1p o2 intindere = 0 = 60 compresiune 19 19 oo oo ooo o o ooo oo o11 31 321 3 1 331 31 3233 323 32323

+=

+= +

+=

(3.20) Meridianulasociatlui=0senumestemeridianuldeintinderedeoarecesituatia corespunde unei stari de tensiune cu intindere intr-o singura directie.p =+ o o1 223o1 > o2 = o3 oo oo ooo o o ooo o o o13 21 221 2 2 121 2 2 1232323 323 3

=+

=

=

(3.21) =30estemeridiandeforfecaresicaracterizeazaosituatiedeforfecarepura 1201 3 3 1o o o o , ,p =+ ++=+o oo oo o1 21 21 2 23 3 Cele trei situatii sunt descrise de: Figura 3.6 3.3.2Criteriul Mohr - Coulomb (1900) Acestcriteriupoateficonsiderat ogeneralizareacriteriului Tresca.Ambeleconsidera valoaretensiuniitangentialemaximetmaxcamasuraacedariiunuimaterial.Totusiexistao o1o3 o1=o2 o3=o2 20 20 diferenta. Criteriul Tresca considera tk o valoare constanta in timp ce criteriul Mohr Coulomb il consideraca o valoare dependenta de o. t o = f( )(3.22) Functia f(o) se determina experimental. Intr-oreprezentaregraficacucerculluiMohr,dacacerculderazamaxima o o1 32

este tangent la curba intrinseca f(o) inseamna ca s-a atins starea limita. Figura 3.7 CualtecuvintecriteriulluiMohrdepindedetensiuneamedie.Ceamaisimplaforma pentrucurbaintrinsecaesteodreapta.Ecuatiaacesteidrepteestecunoscutacaecuatialui Coulomb (1773) t o = c tg (3.23) undecestefactoruldecoeziuneiaresteunghiulinterndefrecare.Acestidoi parametrii se determina experimental. Daca = 0 criteriul se reduce la criteriu Tresca cut = c si coeziunea devine egala cu tk de la forfecarea pura. t o o1 32

co3o1o t = c- otg tt o o tg 21 21 Figura 3.8 Fie o1 > o2 > o3. Criteriul Mohr Coulomb poate fi scris: |

oo + o + o= ootg sin2121c cos23 1 3 13 1(3.24) sau rearanjand relatia: oo1 312121+

=sincossincos c c(3.25) Cu urmatoarele notatii: fcc/cossin=

21 si fct/cossin=

+21 relatia (3.19) se scrie: o o1 31f ft c/ / =(3.26) Dacao1=0sio3=0atunciestevorbadeosolicitareuniaxialasisepoatepunein evidentasemnificatianumitorilor:fc/reprezintarezistentalacompresiunesift/rezistentala intindere. De multe ori este convenabil sa se introduca un parametru mmffct= =+

//sinsin11 Cu aceasta noua notatie ecuatia poate fi scrisa: m fco o1 3 =/ pentru o1 > o2 > o3. Considerand o1 - o3 = o0 curbele de cedare in planul o1 - o2 pot fi trasate pentru diferite valori ale lui m. De exemplu: o2/fc/ 1 -1 1 0.17 0.588 m = 1 m = 1.7 m = 5.83 o1/fc/ 23 1o + o = 0 22 22 Figura 3.9 Forma in spatiu a suprafetei de cedare necesitafolosirea relatiilor:

)

`

|

,|'+

'

+x'+

'

xp +

)

`

|

,|=

)

`

|

,|'+

'

+x'+

'

x+

)

`

|

,|=

)

`

|

,|ooo32cos32coscos323132cos32coscos3J 2ppp2321 oo1 312121+

=sincossincos c c se obtine: 0 cos c sin3cos3J3sin J sin I31) , J , I ( f22 1 2 1= '+

'

x+ +'+

'

x+ + = (3.27) sau: 0 cos 6 c sin3cos3sin 3 sin 2 ) , , ( f = '+

'

x+ p +'+

'

x+ p + = p (3.21) cu 0 60. Suprafata limita corespunde unei piramide hexagonale neregulate. Meridianele sunt linii dreptesisectiunileprintr-unplanxsunthexagoaneneregulate.Suntnecesarenumaidoua caracteristici pentru a trasa acest hexagon pt0 si pc0. pc0 pt0pt0 o1 po3 = 0 -1 o2 60 t c o3o3 23 23 Figura 3.10 Inlocuind in relatia (3.21) = 0 si = 0 se obtin pt0 si pc0. Se procedeaza analog si pentru = 0 si = 60. 33 26 0+= px p sin sin cos c ptccf02 636 13= +=

+cossinsinsin/(3.28) respectiv pcccf02 636 13=

=

cossinsinsin/(3.29) pptc0033=

+sinsin O famile de curbe Mohr - Coulomb obtinute cu sectiuni transversale in planul x, pentru diferitevalorialeluisuntdateinfigura3.11normalizate inraportcufc/.Hexagonuldin planulo1-o2esteintersectiapiramideicuplanuldecoordonateo3=0.Dacaf f mc t/ /= = = 0 1,hxagonulvadevenihexagon regulat si este identic cu ceea ce se obtine utilizand modelul Tresca. Pentru a obtine o mai buna aproximatie cand apar tensiuni de intindere, de cele mai multe ori se combina criteriul Mohr - Coulomb curezistenta maxima la intindere. Astfelseobtineuncriteriucutrei parametrii. Sunt necesare doua stari de tensiune pentru a determina c si (doua solicitari) si numai una pentru a determina rezistenta maxima de intindere. pc0 pt0 o1/fc o3/fc o2/fc pc0 ctg c 3 = 0o = 60o = 30o 24 24 Figura 3.11 Curba de cedare in planul deviator 3.3.3Criteriul de cedare Drucker - Prager (1952) Acestcriteriuesteomodificareacriteriuluivon Mises. Influenta presiunii hidrostatice privindcedareaesteintrodusaprinintermediulunuitermensuplimentarinexpresialuivon Mises. f I J I J k ( , )1 2 1 20 = += (3.30) sau f k ( , ) p p = += 6 2 0(3.30) unde si k sunt constante dematerial. Cand = 0 ecuatia se reduce la criteriul von Mises. Ecuatiainspatiultensiunilorprincipaleesteunconcirculardrept.Meridianulsi sectiunea cu planul deviator sunt prezentate in figura 3.12. a) sectiunea din planul deviatorb) planul meridian = 0o Figura 3.12 Suprafata de cedare hexagonala asociata curbelor Mohr - Coulomb este convenabila din punct de vedere matematic numai in problema in care este evidenta suprafata folosita din cele sase.Dacaaceastainformatienuestecunoscutainavans,colturilehexagonuluipotcrea dificultatimatematicedeosebiteinobtinereasolutiei.CriteriulDrucker-Prageresteo aproximatie a criteriului Mohr - Coulomb si poate fi facuta prin potrivirea laturilor pe con. Deexemplu,dacacerculDrucker-PragerestecircumscrishexagonuluiMohr- Coulomb sau daca suprafetele coincid in lungul meridianelor de compresiune pc unde = 60, constantele si k se obtin functie de constantele c si . 3k p0p0 o1 po3o2 p0 k 20= pk 20= p 25 25 3 sin 3cos c 6k = (3.31) =

23 3sinsin Conulcorespunzatorconstantelordemaisusestecircumscrispiramideihexagonalesi reprezintaolimitaexterioaraasuprafeteidecedare Mohr-Coulomb.Pede alta parte conul interior care trece prin meridianul de intindere pt unde = 0 va avea constantele: kc= +63 3cossin (3.32) =+23 3sinsin TotusiaproximatiadataprinconulinteriorsauexteriorsuprafeteidecedareMohr- Coulomb poate fi nepotrivita pentru cateva stari de tensiune. O alta aproximatie poate fi facuta prin meridianul de forfecare si poate fi mai potrivita. Criteriul Drucker - Prager pentru o stare detensiunebiaxialaestereprezentatprinintersectiaconuluicircularcuplanuldecoordonate o3 = 0. Curba de cedare se determina inlocuind in suprafata de cedare o 3 = 0. o o o oo o ( )1 2 121 2 2213+ ++ = k sau: ( )( ) ( ) ( ) 1 3 1 6 6 3 021222 21 2 1 22 ++ + += o o oo o o k kceea ce reprezinta ecuatia unei elipse. Figura 3.13 Drucker -Prager o1 o3 Mohr - Coulomb o2 -o2 -o1 -o3 60o pt pc 26 26 3.3.4Criteriul tensiunii maxime de intindere (Rankine) Acest criteriu a fost prezentat in 1876 si este aplicabil in cazul materialelor fragile. omax o0 (3.33) Ecuatia:o1 =oo o2 =ooo3 = oo este ecuatia suprafetei de cedare, care este formata din trei plane perpendiculare pe axele o1 , o2si o3. Figura 3.14 Cand se folosesc variabilele p, si sau I1, J2 si suprafata de cedare poate fi descrisa complet prin ecuatii in interiorul0 60 f I J J I ( , , ) cos1 2 2 1 02 3 3 0 o = += (3.34) f ( , , ) cos p p o = += 2 3 00(3.34) Figura3.15 o1 o3 o0 o2 o0 o0 = 60 0230 to = p o = 30 pc0 pt0 o1 0 0 c6o = ppo3 p = 0 = 0 o2 = 0 1 221 27 27 Betonul,rocile,terenulauobunacomportarelacompresiune.Subincarcaride compresiune are loco confinarea, si ca urmare, acest tip de material poate avea o comportare ductilasicedareprinforfecare.Subincarcarideintindereseobservaocedarefragilasio foarte joasa rezistenta. DeseoricriteriulRankinesecombinacucriteriulTrescasauvonMisespentrua aproximacomportarea larupereaunorastfeldematerialeReprezentareagraficacorespunde ladouasuprafeteasociatelaocedareprinforfecarelacompresiunesiprinintinderela intindere. Figura 3.16 3.4MATERIALEANIZOTROPE.CRITERII DE CURGERE Majoritatea materialelor sunt anizotrope. Criteriul general f (oij, k1, k2 ..............)=0 depinde de prea multi parametrii ce definesc materialul. 3.4.1Criterii de curgere pentru materiale ortotrope. Infiecarepunctexistatreiplanedesimetrieelastica.Intersectiileacestorplanesunt axele de anizotropie. Criteriul de curgere propus de Hill (1950) in raport cu aceste axe:0 1 a a a a a a ) ( f2yx 62xz 52yz 42y x 32x z 22z y 1 ij=t + t + t + oo + oo + oo = o (3.35) unde a1..a6 reprezinta parametrii ce definesc materialul. = 0 = 60 32ot o = 3t6otp Tresca von Mises o 3to1 o3o2 = 0 28 28 Ecuatia este o expresie quadratica in tensiuni reprezentand partea din energie care guverneaza atingereacurgeriilamaterialeortotrope.DinacestmotivcriteriulHillesteconsiderato extindere a criteriului von Mises.Lipsatermenilorliniariimplicaipotezacamaterialullucreazaidenticlaintinderesila compresiunesicapresiunea hidrostatica nu influenteaza curgerea. Parametrii materialului pot fideterminatidintreiexperimentedeintinderesimplaindirectiaaxelorprincipalede anizotropiesitreitestedeforfecareinplaneledesimetrie.NotandcuX,Y,Zrezistentele la intindere si S21, S13 si S23 rezistentele la forfecare se obtine: 21 1 112 2 2aY Z X= +aS42321=21 1 122 2 2aX Z Y= +aS51321=21 1 132 2 2aY X Z= +aS62121=Dacamaterialulestetransversalizotrop(simetrierotationalafatadeaxez),criteriul definitdeaceastaecuatietrebuiesaramanainvariantpentruaxelexsiyarbitrare.Rezulta :a1 = a2 ; a4 = a5 ;a6 = 2 ( a1 + 2a3) Pentru material izotrop, particularizand in continuare rezulta6a1 = 6a2 = 6a3 = a4 = a5 = a6 si se obtine criteriul von Mises. Observatie:Lamaterialeanizotropeschimbareaaxelorimplicaschimbareaformeisuprafetei de cedare. 4RELATIILE TENSIUNI-DEFORMATII PENTRUMATERIALE PERFECT PLASTICE. 4.1 INTRODUCERE Situatiaincaredeformatiileplasticesedezvoltasubcampconstantdetensiuni caracterizeaza comportarea perfect sau ideal plastica. In cazul solicitarii monoaxiale diagrama o-s este prezentata in figura 4.1: F(oij)= k suprafata de curgere 29 29 a)b) Figura 4.1 Ipotezacomportariiperfectplasticeamaterialuluisimplificasubstantialanaliza problemelorstructuralesipermiteelaborareaunormodelesimplesidirecte necesare stabilirii capacitatii portante a structurilor. Comportareaunuimaterialsubostarecomplexadetensiunicareimplicasase componentedetensiunesisasecomponentededeformatiispecificenupoatefireprezentata printr-o relatie liniara. 4.1.1Limita elastica si functia de curgere Limitadomeniuluielasticdecomportarealunuimaterialsubtoatecombinatiilede tensiuni a fost definita ca o functie de curgere de forma f(oij , k) = F ( oij) - k(4.1) Pentruunmaterialidealplasticfunctiadecurgereseconsiderainvariantasideci parametrulkramaneconstant.Inconsecintasuprafatadecurgereestefixainspatiu(figura 1.b). 4.1.2.Criterii de incarcare si descarcare Insituatiauneideformatiiplasticecontinue,stareadetensiunitrebuiesaramanape suprafata de curgere. Aceasta situatie se numeste incarcare. In situatia unei stari de tensiune a careireprezentareesteininteriorulsuprafeteidecurgere, nu se dezvolta deformatii plastice si toate deformatiile incrementale vor fi elastice. Aceasta situatie se numeste descarcare. Seconsideraatingerea limitei plastice sub o stare de tensiuni oij caracterizata printr-un vector (figura 1.b). Daca la aceasta stare de tensiune se adauga o crestere incrementala a starii detensiunedoij,pentru un material ideal plastic la care dezvoltarea de deformatii plastice are locfaracresteridetensiune,implicanecesitateacaincarcareaaditionaladoijsafieinplanul tangent. Conditia se scrie sub forma. o s doijincarcare incarcare ElasticF(oij)< k oij descarcare oij doijdescarcare 30 30 f k dffdijijij( , ) ooo = = = 0 0(4.2) acesta fiind criteriul de incarcare. Criteriul asociat unei descarcari (asociat unor deformatii elastice) este: f k dffdijijij( , ) ooo = = 0 0(4.3) Tensoruldeformatiilorspecificetotaleincrementaleseconsideracafiindosumade tensori ai deformatiilor specifice incrementale elastice si plastice. d d dij ijeijps s s = + (4.4) 4.2POTENTIALUL PLASTIC SI REGULA DE CURGERE Regula de curgere este o apreciere cinematica necesara pentru deformatiiplastice. Componentele tensorului deformatiilor plastice incrementaledijpspot fi reprezentate geometric printr-unvectorcunouacomponenteinspatiul deformatiilor (figura 2). Regula de curgere va decidedirectiilevectoruluideformatiilorplasticeincrementaledijps .Incazulcomportarii elastice,deformatiile elastice se pot obtine ca derivata energiei complementare de deformatie, in raport cu tensorul oij. sO ooijijij=In1928vonMisesapropusunconceptsimilardefunctiedepotentialplastic,careesteo functie scalara cu variabile tensoriale g(oij). Ecuatia curgerii plastice se poate scrie sub forma: d dgijpijs o= (4.5) incared-factorscalarpozitivdeproportionalitatecareestenenulnumaicandapar deformatii plastice. Ecuatia g(oij) este o hipersuprafata de potential plastic in spatiul cu noua dimensiuni al tensiunilor.Cosinusiidirectoriainormaleilaaceastahipersuprafatainpunctuloijvorfi proportionali cu componentele ogij. 31 31 Vectorulcurgeriiplasticedijps esteunvectorliberinspatiultensiunilorcudirectia normala la hipersuprafata potentialului plastic. Figura 4.2 Dacafunctia de curgere si functia potentialului plastic coincid f = g. Atuncid dfijpijs o= (4.6) sicurgereaplasticasedezvoltaindirectianormaleilasuprafatadecurgere.Ecuatia(4.6)se numestereguladecurgereasociatadeoarececurgereaplasticaesteasociatacucriteriulde cedare.Dacaf=gregula decurgereesteneasociata.VonMisesfolosesteregulade curgere asociata pentru a obtine relatii intre tensiuni si deformatii plastice pentrumetale.Reguladecurgereasociataestevalabilapentrumaterialeplasticeireversibilelacare lucrul mecanic produs de deformatia plastica nu poate fi recuperat. Legeatensiuni-deformatiispecificeamaterialelorlacareseaplicareguladecurgere asociata va rezulta ca o solutie unica. Aceasta regula face posibila formulareaecuatiilor teoriei plasticitatii si prin considerarea unor suprafete de curgere cu forme complexe. 4.3REGULA DE CURGERE ASOCIATA CU FUNCTIA DE CURGERE VON MISES. Functiade curgere conform criteriului von Mises este:f(oij) = J2 - k2 = 0(4.7) si se va considera si functie de potential.Regula curgerii plastice este: oija oijb oijc oijd dsijp

dsijp

dsijp

Potential plastic g(oij) = f(oij)=ct colt plat plan tangent a b cc d dsijp

32 32 d dfd sijpijijs o = =(4.8) in care sij este tensorul deviator al tensiunilorsi d este un factor de proportionalitate. ddaca J k sau J k dar dJdaca J k si dJ = = > = =|,

|

0 00 022222222 Ecuatia(4.8)poatefiexprimataintermenidecomponentealedeformatiilorspecifice incrementale si ale tensiunilor. dsdsdsddddxpxypyzpzxypxyxzpxzzypzysssttt = = = = = =2 2 2 (4.9) Relatia(4.9)estecunoscutacaecuatiaPrandtlReusssiafostpropusain1924de Prandtl.AcestaextinseseecuatiileLevy-vonMisessiascrisprimadatarelatiiletensiuni-deformatiispecificeincazulstariiplanededeformatiepentruunmaterialelastic-perfect plastic.Reuss,in1930,aextinsecuatiileluiPrandtllacazultridimensionaldandforma generalaaecuatiilor(4.9).Relatiaintredeformatiaplasticincrementaladijps sifunctiade curgere von Mises f = J2 sau regula de curgere asociata criteriului de curgere von Mises poate fireprezentatagraficinspatiulcutreidimensiunialtensiunilornormaleprincipale.Este comodcaaceastareprezentaresafiefacutainplanultensiunilorhidrostaticesauinplanul deviator (figura 4.3) Planul hidrostaticPlanul deviator Figura4.3 Normalalasuprafatadecurgereesteparalelacuplanulx(=0)siesteindirectie radiala.Aceastadirectieesteparalelacudirectiaproiectieivectoruluidetensiune dsijptoctdoctp sij F ( oij) = k oij ooctdsoctp o1 , ds1p o3 , ds3po2 , ds2p 33 33 corespunzatoroijpeplanuldeviator,careesteevidentvectorulcomponentelortensorului deviator al tensiunilor sij. Ecuatiile (4.8) si (4.9) arata ca incrementul deformatiei plasticedijpsdepinde numai de stareacurentaatensiunilordeviatoricesijnusideincrementultensiunilordoijcareeste implicatnumai pentru a mentine curgerea plastica. Deformatia volumica in stadiul plastic este nula :d d siipiis = = 0(4.10) respectiv doctps = 0 Inconsecintapentruincrementuldeformatieielastice se va aplicalegea lui Hooke, iar pentru incrementul deformatiei plastice se va aplica regula de curgere: dEdEd d sdKdsGd sij ij kk ij ijkkijijsoo o o =+ + = + +19 2(4.11) Ecuatia (4.11) poate fi separata in doua expresii, una pentru incrementul deformatiei de volum si una pentru incrementul deformatiei de forfecare (deviator). ddKiikkso=3 ddsGd sijijijs = +2 pentru i = j(4.12) Sau in termeni expliciti: ? A ? Az y x z y x xd32d d dE1d o + o o + o + o o = s (4.13) dGdyz yz yz t t = +12KE= 3 1 2 ( ) , p K Kkkoct kk V= = = =oo s s3 (4.14) cu K = modulul volumic In cazul deformatiilor plastice mari, deformatiile elastice pot fi neglijate si materialul se poate idealiza ca un material perfect rigid plastic. In aceasta situatied dij ijps s = . Pentru un astfel de material relatia tensiuni-deformatii specifice se scrie sub forma: ij ijs d d = ssau explicit: 34 34 dsdsdsddddxxyyzzxyxyxzxzzyzysssttt = = = = = =2 2 2(4.15) AceastaecuatieestecunoscutacaecuatiaLevy-vonMises.In1870StVenanta propusprimadataca axele principale ale deformatiei specifice sa concida cu axele principale detensiune.Relatiagenerala(4.15)afostobtinutain1871deLevysiindependentdevon Misesin1913.Relatiasepoatescrieexplicitobtinandtreitermenipentrudeformatiile specifice plastice liniare si trei pentru cele unghiulare sau de forfecare. d dx x y zs o o o =+

|2312 si similar celelalte doua (4.16) d dyz yz t = 2si similar celelalte doua (4.17) 4.4REGULA DE CURGERE ASOCIATA CRITERIULUI DE CURGERE TRESCA Functia de curgere se poate scrie in ipoteza o1 > o2 > o3: f(oij, k) = F(oij) - 2k = o1 - o3 - 2k = 0(4.18) Conform teoriei curgerii plastice adoptate se poate scrie (ds1p, ds2p, ds3p ) = d(1, 0, -1) d > 0(4.19) sau: d dfddps o11= =d dfdps o220 = = (4.20) d dfddps o33= = Expresiisimilarepotfiobtinutepentrucincicombinatiiposibileprivindvalorile algebricealetensiunilorprincipale.Deformatiilespecificeincrementalepotfireprezentate geometric in planul deviator asociat conditiei o1 > o2 > o3. o1 , ds1p o1 - o2 = 2k o3 - o2 = 2k o1 - o3 = 2k dsijp o1 - o3 = 2k o1 - o2 = 2k A A Boij 35 35 a)b) Figura 4.4 In cazul special in care o1 > o2 = o3 situatia se simplifica deoarece tensiunile tangentiale maxime sunt egale cu limita de curgere k nu numai in planul la 45O paralel cu axa x2dar si in planul paralel cu axa x3. In aceasta situatie este posibil sa se considere ca limita de forfecare se poate obtine in lungul a doua plane cu tmax. omax = o1 ; omin = o3 ; (ds1p, ds2p, ds3p ) = d(1, 0, -1) d > 0 sau: omax = o1 ; omin = o2 ; (ds1p, ds2p, ds3p ) = d(1, -1, 0) d > 0 Sepoateconsiderain acestfelca vectorulincremnentuluideformatiilorplasticeesteo combinatie liniara a celor doi vectori de mai sus. (ds1p, ds2p, ds3p ) = d(1, -1, 0) + d(1, 0, -1)pentru d > 0sid > 0 Acest caz apare in situatia in care starea curenta de tensiune oij corespunde punctelor asociate muchiilorprismeihexagonale(punctul A), vectorul se va aseza pe directia normala la planele adiacente. Acest punct angular al unei suprafete potentiale poate fi considerat ca un caz limita al unei suprafete netede care contine acest punct. (figura 4.4b) Ingeneral,intr-unpunctangularincareseintersecteazamaimultesuprafetenetede, deformatiilespecificesepotexprimacaocombinbatieliniaraaacelorvresteriincrementale date prin normalele la suprafetele care se intersecteaza: = o = sn1 kijkkpijdfd d (4.21) Desigur, daca suprafata de curgere constituie o suprafata plana,acolo nu se poate scrie orelatieunicaintretensiunisideformatiilespecificeincrementale.Ingeneralcorespondenta intre vectorii deformatiilor specifice plastice incrementaledijpssi vectorul starii de tensiune oij nu este posibila intotdeauna. SepoatearatacaenergiaplasticaincrementaladWpesteintotdeaunaunicdeterminata prin magnitudinea deformatiei plastice dW d d d k dpp p piip= + + = o s o s o s s1 1 2 2 3 32max(4.22) o3 , ds3p o2 , ds2p o3 - o2 = -2k o3 - o1 = -2ko3 - o1 = -2k o2 - o1 = -2k 36 36 dps corespunde celei mai mari componente a vectorului deformatiilor specifice incrementale.dps = iipdmaxs . Exemplu Fie un punct pe latura AB de ecuatie o1 - o3 = 2k Componentele vectoruluideformatiilor plastice incrementale sunt:dps20 =d dp ps s1 3= dW d d d d k d k dpp p p piip p= + + == = o s o s o s o o s s s1 1 2 2 3 3 1 3 1 12 2 ( )max Daca punctul asociat starii de tensiune coincide cu A,o2 = o3 si o1 = o3 + 2k dW k d d dpp p p= + + + o s o s o s3 1 2 2 3 32dar in starea plastica sV = 0 (conditia de incompresibilitate) + + = d d dp p ps s s1 2 30Se obtine in acest caz: dW k dpp= 21sDeci ecuatia (4.22) este valabila pentru orice punct pe hexagon. Consideramo0limita de curgere pentru o solicitare monoaxiala si cazul starii plane de tensiune oo103= ,oo203= sid cps1=to o o omaxmax min=

= +

'

+' =212 3 30 0ko03 = k(forfecare pura) Deformatiile specifice plastice incrementale in directiile o1 sio2sunt: (ds1p, ds2p) = d(1, -1) = (c, -c) dW k d k ccpiip= = = 2 2230maxso 37 37 4.5REGULA DE CURGERE ASOCIATA CU CRITERIUL DE CURGEREMOHR - COULOMB Unelematerialefragilecumarfibetonulsauterenulseidealizeazauneori inanalizele numericecamaterialeidealelasto-plasticesiinacestcazcriteriulMohr-Coulombpoatefi acceptatcauncriteriudecurgere.SuprafatadecurgereMohr-Coulombesteopiramida hexagonala neregulata. Functia de curgere se scrie sub forma: oo1 312121+

=sincossincos c c(4.26) sau in forma compacta: m o1 - o3 = fc o1>o2>o3 (4.27) Figura 4.5 Incazulutilizariiacestuicriteriudeplasticitatepentruaobtineexpresiilepentru deformatiaspecificaplasticaincrementalad d si dp p ps s s1 2 3, trebuieconsideratetreicazuri privind pozitia punctului asociat curgerii: cazul 1 -pe una din fetele laterale ale suprafetei piramidale cazul 2 -pe o muchie a piramidei cazul 3 -la apex (in varful piramidei) Cazul 1: o2 , ds2p d1 (m, 0, -1) d2 (m, -1,0) d1 (0, m, -1) d3 (0, -1, m) d4 (-1, 0,m) d5 (-1, m,0) o1 o3 o2 A B 38 38 Seconsideracapunctulasociatstariidetensiuneceproduceatingereastariilimitade curgereseaflapesuprafataplanaABundeo1>o2>o3.Conformreguliidecurgerevomavea urmatoarele valori ale cresterii incrementale a deformatiilor specifice plastice: ds1p = dm ; ds2p = 0 ; ds1p = -d d > 0 (ds1p, ds2p, ds3p ) = d(m, 0, -1) Infigura4.5suntprezentateseturiledevaloriceseobtinpentrualte5combinatii algebrice posibile ale tensiunilor principale. In toate cazurile avem: d d d d d mp p pvps s s s 1 2 31 + + = = ( ) cu1ffm/t/c> =Pentru m > 1regulade curgere indica o crestere de volum cu exceptia situatiei m = 1 candseajungelamodelulTrescadematerial.Sepoatepuneinevidentaparteaasociata compresiunii volumului:d dcps =respectiv intinderii:d m dtps =. Astfel de separari se pot face si pe celelalte cinci fete ale piramidei: ddmtpcpss=astfel incat: d d dVPtpcps s s = Incrementul energiei plastice: dW d d d mpp p p= + + = o s o s o s o o 1 1 2 2 3 3 1 3( )dsaus =pc/cpd f dWsaus =pt/c pdmfdWCazul 2: Punctul care descrie starea de tensiune se afla pe o muchie a piramidei hexagonale care contine punctul A.o1 > o2 = o3si cele doua plane (care se intersecteaza) au ecuatiile:mo1 - o3 = fC 39 39 mo1 - o2 = fC Se poate aplica descompunerea liniara asociata punctelor singulare: (ds1p, ds2p, ds3p ) = d1(m, 0, -1) + d2(m, -1, 0) = [ (d1+ d2)m, - d2, - d1] Inacestmodvectoruldeformatiilorspecificeincrementaleplasticeseaflaintre normalelelaceledouasuprafeteadiacente.Pentrucelelaltecincimuchiiseobtinrelatii similare. Modificarea volumului in stadiul plastic estedVPs =[ (d1+ d2)m - (d1+ d2) in care se evidentiaza cele doua parti: dcPs= (d1+ d2) dtPs=(d1+ d2)m astfel incat: d d dVPtpcps s s = Se poate observa ca pentru m > 1 se obtinedVPs > 0 Incrementul energiei plasticedW d d d m m f d dpp p pC= + + = + = + o s o s o s o o o o 1 1 2 2 3 3 1 3 1 1 2 2 1 2( )d ( )d ( )/ Cazul 3: Punctulasociatatingeriicurgeriiseaflainvarfulpiramidei.Toatemarimilese calculeaza intr-o maniera similara. 4.6PROPRIETATEA DE CONVEXITATE, NORMALITATE SI UNICITATE PENTRU MATERIALUL IDEAL ELASTO-PLASTIC Conditiadeireversabilitateadeformatieiplasticeimplicadisipareadeenergie pozitiva intr-unciclu.Caoconsecinta,suprafatadecurgeretrebuiesafieconvexaiardeformatiile specificeplasticesuntnormalelasuprafata.Conditiadenormalitategaranteazaunicitatea solutiei.Acesteproprietatigeneralesevorputeaextindesiincazulmaterialelorcu consolidare. 4.6.1Proprietatea de convexitate a suprafetei de curgere si de normalitate a regulii de curgere. 40 40 Deoarece deformatiile plastice sunt ireversibile lucrul mecanic asociat acestora nu poate firecuperatladescarcare.Aceasta inseamnaca lucrul mecanic efectuat pentru o modificare a deformatiei plastice este intotdeauna pozitiv. Conditia de ireversibilitate va impune restrictii relatiilor intre tensiuni si deformatii. a) b)c) Figura 4.6 Fieostaredetensiuneoij*ininteriorulsuprafeteidecurgere.Laocresterea incarcarilorexterioarestareadetensiunevaurmadrumulABC(figura4.6)panalaatingerea stariidecurgere.Panainacestmomentlucrulmecanicproduscorespundeunordeformatii elastice.Sapresupunemcaincarcarileexterioarementinpentruuntimpscurtstareade tensiuneoijpesuprafatadecurgeresisedezvoltadeformatiiplasticeastfelincatlucrul mecanicceseproduceesteasociatnumaiacestora.Dacaincarcarileexterioaresuplimentare dispar, starea de tensiune revine din situatia oij la situatia oij*. Drumul de descarcare CDEeste elastic.Pentruoricemodificareastariidetensiuneindomeniulelastic,comportareaeste elastica si complet reversibila, indiferent de drumul parcurs de la oij* la oij si invers, iar energia consumataesterecuperata.Lucrulmecanicplasticprodusdeincarcarileexterioarepeciclul incarcare-descarcareesteunscalarsicorespundeprodusuluidintreoij-oi*jsiincrementul vectorului deformatiilor specifice plasticedijps . Cerinta ca acesta sa fie pozitiv implica: dsijp oij f (oij) = 0 oij , dsijp dsijp oij -oij* dsijp dsijp oij -oij* C B D A oij* dsijp 41 41 (oij - oij* )dijps> 0 Conditiaexprimataprinprodusulscalardemaisusconducelanecesiateacaunghiul intre cei doi vectori sa fie 90O. -Suprafatadecurgeresafieconvexa.Dacanuesteindeplinitaaceastaconditieeste contrazisa restrictia de mai sus, unghiurile rezultand > 90O (figura 4.6 b). -Vectoruldeformatiilor specificeincrementale,dijps trebuiesafienormallasuprafata decurgereintr-unpunctcurentsauintrenormalelelasuprafeteleadiacentedacapunctuleste pe muchie (figura 4.6 c). Caracterulireversibilaldeformatieiplasticeimpunecaincrementullucruluimecanic plastic sa fie pozitiv. dW d dfdP ij ijPijij= => o s oo0 Produsulscalarintreoijsivectorulnormallahipersuprafatadecurgereestepozitiv. MultiplicatoruldtrebuiesafiepozitivpentrucadWsafiepozitiv,astfelincatconditiade ireversibilitate a deformatiei plastice sa fie satisfacuta. Suprafata de curgere are expresia: f = F - k = 0 decioof Fij ij=ceea ce permite scrierea: nF ddFd dWijij P =oo =Festeofunctieomogenadegradulnintensiunilamajoritateateoriilordecurgereaplicate pentru metale. 4.6.2Unicitatea solutiei si conditia de normalitateSeconsidera ca problema care se analizeaza admite doua solutii, ambele corespunzand uneistarideincarcaredatadTipeAT.SeconsideraovariatiededeplasareduipeAusio modificare a fortelor masice dFi pe V (figura 4.7). Lucrul mecanic virtual considerand campul de deplasari ui si integrand pe V: = + +Vij ijVi iAi iAi idV d d dV du dF dA du dT dA du dTu Ts o****

42 42 Figura 4.7 ConsiderandapoioaltastareastfelincatdTi(c)=dTi(b)peAT,siconditiide continuitateexprimateindeplasaripeAusatisfacute:dui(c)=dui(b) sidFi (c)=dFi(b)prin scaderea ecuatiilor de echilibru corespunzand celor doua situatii se poate scrie: ( )( )( ) ( ) ( ) ( )d d d d dVijbVijbijbijco o s s =0ceea ce impune ca integrantul sa fie nul. dI = AdoijAdsij =Adoij(Adsije +Adsijp) Integrantul poate fi scris ca o forma patratica in tensiuni sau deformatii specifice si este oformapatraticapozitivdefinita.PentrucarelatiasafieadevaratatrebuiecaAdoij=0sau Adsij = 0 ceea ce arata unicitatea solutiei. Pentru deformatiile specifice elastice, conform legii lui Hooke generalizate, AdoijAdsije este pozitiv definit. Pentru produsul scalar AdoijAdsijp sunt posibile trei situatii: Cazul1:Ambelesolutiisuntvalabileindomeniulplastic.Cumipotezadebazaaconsiderat materialul ideal elasto-plastic, ) a (ijdo , ) b (ijdosi respectiv A doij trebuie sa fie in planul tangent la suprafatadecurgere.CumAdijPs estenormallasuprafatadecurgereinseamnacaprodusul scalar AdoijAdsij nu este negativ si este nul. Cazul 2:Solutiile corespund unei descarcari si Pijds A =0 Rezulta ca dI este pozitiv definit (dI = AdoijAdsij ) Cazul3:Osolutieesteasociataincarcariid si dijaijP ao s( ) ( )sialtacorespundeunei descarcari d si dijbijP bo s( ) ( ). Atunci: ) b ( Pijaij) b ( Pij) b (ij) b ( PijaijbijPij ijd d d d d d d d d soso = soo = so ACumvectoruldijbo( )asociatuneidescarcarivafiininteriorulsuprafeteidecurgere,acestava faceununghiobtuzcudijP bs( )normallasuprafatadecurgeref,produsulscalarvafideci: d dijbijP bo s( ) ( ) 0 deunderezulta: 0 d d d d) b ( Pijaij) b ( Pij ij> so= so A ceeaceconducela egalitateacelordouasolutii deoareceordineain carese impun cele doua solutii nu trebuie sa AU ATdTi Fi V oij ,sij , ui 43 43 afectezesemnulproduselor A A d dij ijPo s.Incazcontrardacavalorilecelordouasolutiis-ar inversaarapareaoschimbaredesemnceeacenucorespundesituatieiincareambele solutii conduc la atingerea domeniului plastic de comportare. 4.7RELATII INCREMENTALE TENSIUNI - DEFORMATII SPECIFICE Inanalizelenumericeingineresticeamaiuzualaestemetodaincrementalafolosind rigiditatea tangenta. Relatiile constitutive obtinute nu pot fi aplicate direct. Incrementul deformatiei specifice totale se poate considera sub forma:pijeij ijd d d s + s = sin care: d D dijeijkl kls o =darokl = p oij + sij = I1/3 + sijiar sij = 2Geij s oij ij ijKIGs = +19121 In final rezulta:ddIKdsGijeijijs o = +19 2 iar d dfijpijs o=Prin adunarea celor doua componente se obtine: pijeij ijd d d s + s = s = D dijkl klo +dfijo= +dIKdsGijij19 2o +dfijo In aceasta relatie d este un factor nedeterminat cu valoarea: d = 0 daca (f < 0) sau daca (f= 0 si df < 0) d > 0 daca f = 0 si df = 0 Conditiacastarea de tensiuni oijasociata atingerii curgerii, modificata cu incrementul doij, sa se afle pe suprafata de curgere se scrie: f(oij+ doij) = f(oij) + df= f(oij) Aceasta relatie implica: 44 44 df = 0 =oofdijij0 Darklijkl kl ijklpkl kl ijkl ijfC d d C ) d d ( C dos = ss = o (4.30) Rezulta : dfC dfCfijijkl klrsrstutuosos= (4.31) respectiv: d CCf fCfCfdij ijklijmnmn pqpqklrsrstutuklooooss =

| Termenuldinparantezareprezintatensorulelasto-plastic saumodulultangentpentru un material ideal elasto - plastic. C CCf fCfCfijklepijklijmnmn pqpqklrsrstutu= ooos(4.32) Relatiile obtinute constituie cea mai generala formulare a ecuatiei constitutive pentru un materialidealelasto-plastic.Sepoatevedeacaincrementultensiunilorpoatefideterminat unicprinfunctiadecurgeref(oij)siprinincrementuldeformatieidsij.Sepoateobservade asemeneaca,daca stareadetensiuneestecunoscutasi incrementuldeformatieispecificeeste prescris,incrementul tensiunilorpoate fi determinat. Daca insa se cunoaste starea de tensiune siseprescrieincrementultensiuniloratunciincrementuldeformatieispecificeasociatnueste unic determinat deoarece d depinde de dsij si deci este nedeterminat. 4.7.1Relatii constitutive in termeni de constante elastice E si sau G si K 45 45 ComponenteletensoruluiconstantelorelasticeCijkl,tensorcarefacelegaturaintre tensorultensiuniloroijsitensoruldeformatiilorsij(oij=Cijklsij),pentruunmaterialelastic liniar si izotrop, se pot scrie sub forma: |

o o + o o + o o +=jk il jl ik kl ij ijkl2 121 2EC (4.33) iar modulul volumic: p = ooct = Kskk

KEGE=

=+ 3 1 2 2 1 Prin substitutie in relatia (4.31) a relatiei (4.33) se obtine: dfdfdf f fijijijkk ijrs rs rsrsosos ooooo=+

+

'

+'1 21 22(4.34) Dar =

+123 23K GK Gexpresia (4.34) devine: dfdK GGfdf f K GGfijijijkk ijrs rs rsrsosos ooooo=+

+ '

+'3 263 262(4.35) Daca se substituie ecuatia (4.33) in relatia (4.30) se obtine: |

o oo ++o +o s ++ s += oij mnnm ijij kk ij ijf2 1 1E f1Ed d2 1 1Ed1Ed(4.36) sau in termeni de G si K : |

o oo'+

'

+oo s + = oij mnnm ijij kk ij ijfG32KfG 2 d Kd Gde 2 d (4.37) in care deij = dsij - dskkoij incrementul tensorului deviator al deformatiilor specifice. Pentru o serie de materiale functia de curgere este exprimata ca functie de invaraintii I1 si J2 avand forma generala: f(oij) = F( I1 ,J2) - k = 0 Se poate scrie: 46 46 ooof fII fJJij ij ij= +1122sau: oof fI JfJsijij ij= +1 2 212 (4.38) in careJ s sij ji 212= iarooij ijkks = +3 Expresia (4.37) devine: |

+ oo s + = oij2 2ij1ij kk ij ijsJfJGIfK 3 d Kd Gde 2 dIn care d are forma: dKdfIGJfJs deKfIGfJkk mn mns=

'

+' +

'

+'+

'

+'391 2 21222(4.39) 4.8MODELUL PRANDTL - REUSS (TEORIA J2) Aceasta teorie deriva din criteriul de curgere von Mises: f =J2- k = 0 (4.40) si este cel mai simplu model pentru materialul ideal elasto-plastic. Substituind functia de curgere f in relatia (4.39) se obtine d: dGJs deGs deJmn mnmn mn = =22 2ij mn mnij kk ij ij2ij kk ij ijJs s GdeKd Gde 2 sJGd Kd Gde 2 do s + = o s + = oddIKdsGdfij ijijijs o o= + + =19 2dIKdsGs deJ Jsijijmn mnij12 29 212o + + == + +dIKdsGs deksijijmn mnij129 2 2o(4.41) d Gde Kds Gdeksij ij kk ijmn mnijo s o = +222(4.42) 47 47 Satisfacerea regulii de curgere presupune: J2 = k2si dffd s dsijij ij ij= = =oo 0 Termenul smn demn reprezinta cresterea de energie s de s de demn mn mn mnemnp= + (4.43) si dedsGmnemn=2dJ2 = smn dsmn= 0 Ecuatia (4.93) se reduce las de s demn mn mn mnp=indicandcaindomeniulelasticcresterealucruluimecanicsedatoreazanumaideformatiei plastice. d d dkkpkk kkes s s == 0 ceea ce implica o modificare de volum nula in domeniul plastic d ddIKkk kkes s = =13 Crestereadeformatieispecificeplasticearenumaicomponentedatededeviatorul deformatiilor specifice: ijij2ijpijs dJdfd d =o =o = siar cresterea de energie acumulata prin deformatii plastice este: dW d d s d J d kp ij ijpij ij= = = = o s o 2 222 Rezulta: ddWks deks dekpmn mnpmn mn = = =2 2 22 2 2 Pentru d = 0 ecuatia constitutiva se reduce la legea lui Hooke in forma diferentiala. In concluzie, materialul Prandtl - Reuss se caracterizeaza prin: -deformatiileplasticeincrementaledepinddevalorileefectivealetensoruluideviatoral tensiunilor si de valorile incrementale doij care au condus la aceasta stare; -directiileprincipalealetensoruluideformatiilorspecificeincrementalesialetensorului tensiunilor coincid; - deformatiile specifice de volum in domeniul plastic sunt nule; -magnitudineadeformatiilorspecificeplasticeincrementaleestedeterminatadescalaruld care este raportat la incrementul energiei plastice acumulate dWp. 48 48 4.9MODELUL DRUCKER - PRAGER Suprafata de curgere conform criteriului Drucker - Prager este: f =J2+ I1 - k unde si k sunt constante pozitive ce depind de material. Relatia intre tensiuni si deformatii corespunzand acestei functii de curgere este ddIKdsGdfij ijijijs o o= + +19 2 ooof fI JfJssJijij ij ijij= + = +1 2 2 212 2 In acesteconditii rezulta: ddIKdsGdsJij ijij ijijs o o = + + +

'

+'129 2 2 iar :dK dGJs deK Gkk mn mns=++3922 Deformatia plastica de volum este:d dkkps = 3Aceasta arata ca deformatia plastica trebuie sa fie insotita de cresteri de volum daca = 0, aceastafiindoproprietatede dilatare si in acelasi timp o consecinta a dependentei functiei de curgere de presiunea hidrostatica prin intermediul lui I1. Rezulta ca orice suprafata de curgere deschisa la un capat indica o crestere de volum in cazul deformarii plastice.Geometric, aceasta se poate descrie: Figura 4.8 dijpasdijpsdijpbsp P 49 49 Unde:dijpbs reprezinta cresterea de volum, =131Iiarp = 22JDacasuprafatadecurgereestedeschisainzonatensiunilornegative,componenta orizontaladijpbs este intotdeauna pozitiva indicand o crestere de volum. Incrementul deformatiei specifice totale a volumului : d d dkk kkekkps s s = +rezulta: 2kkkk1 mn mn21kkK 9 Gd K 33dI dJG3K 9dId +|

s +'+

'

s s o'+

'

+ = sS-a tinut seama ca smn = omn - okkdemn = dsmn - dskk ; okk = I1/3siomndskk = okk dsmn = 0 pentru m = n = 0pentru m = n Se poate obtine prin grupare de tensori si k =J2 + I1 conform regulii de curgere mn mn2 1kkdk3K 9 GKGk 3dI 2d s o+ + = srespectiv: '+

'

o + o s + = oij ij2ij kk ij ijK 3 sJGd Kd Gde 2 dsaud C dij ijmnepmno s =in care: '+

'

o + +o + o o'+

'

+ o =mn mn22ij ij2mn ij inepijmnK 3 sJGK 9 GK 3 sJGG32K G 2 C 4.10CAZUL GENERAL AL MATERIALULUI IZOTROP Pentru un material izotrop general, suprafata de curgere poate fi scrisa sub forma:f ( I1,J2, J3) = 0 oooof fII fJJ fJJij ij ij ij= + +112233 50 50 sau: oofB B s B tijij ij ij= + +0 1 2 in care B0, B1 si B2 sunt: BfI01=;BfJ12=; BfJ23= sij sunt componentele tensorului deviator al tensiunilor:sJijij=o2 tij sunt patratele componentelor tensorului deviator al tensiunilor ij 2 kj ikij3ijJ32s sJt o=o=Pentru cele trei criterii enuntate anterior se pot obtine coeficientii B: - criteriul von Mises:f = J2 - k2 B0 = 0, B1 = 1, B2 = 0 - criteriul Drucker - Prager :f = J2 + I1 - k B0 = , B1 = 1/(2 J2) , B2 = 0 - criteriul Mohr - Coulomb :f I JJcij( ) sin sin cos sin cos o xx = + +

'

+' + +

'

+' 13 3 3 31 22 Avand in vedere ca: cos =3212sJ rezulta: cos 33 32323 =JJ De asemenea: JJJctgJ2325223 34 332= =sin JJctgJ3232332 31 33== sin Expresiile coeficientilor B se pot calcula din functia f si se obtine: 3sinIfB10== ; 51 51 )`|,||

'+

'

x+ +|

'+

'

x+ +'+

'

x+ == 3 ctg3ctg3sin3 ctg3ctg 1J 23sinJfB2 21; '+

'

x+ '+

'

x+ ==3 sin J 23cos 3 sin3sinJfB2 32 - Criteriul Tresca: 03sin J 2 ) , J ( f0 2 2= o '+

'

x+ = BfI010 = =; BfJ Jctg ctg12 23133 = =+

'

+'+ +

'

+'

|xxsin;BfJ J23 2332 3= = +

'

+'xcossin Pentru alte criterii de curgere se vor obtine in mod relatii similare. Inaplicatiiledeelementfinitrelatiileconstitutivealematerialelorsuntreflectateprin matricea de rigiditate a materialelor elasto - plastice: Cijmnep d C dij ijklepklo s =C C Cijklepijkl ijklp= +Cijkl reprezinta tensorul constantelor elastice pentru domeniul elastic de comportare. |

o o + o o + o o +=jk il jl ik kl ij ijkl2 121 2ECiarCijklpeste tensorul constantelor asociat deformatiilor plastice considerand modulul tangent de elasticitate. tursturspqklpq mnijmnpijklfCfCf fCCoooo= 52 52 Notand cuH Cfij ijmnmn=o si turstursfCfhoo=Se obtine: CH Hhijklp ij kl= Dar oofB B s B tijij ij ij= + +0 1 2 Avand in vedere ca: t s s Jij ik kj ij= 232o ; t s s Jii ik ki= 232; J s sij ji 212=t s s s J s s s s Jij ij ik kj ij ij ij jk ki=

'

+'= =2332 3ot t s s J s s J Jij ij ik kj ij ik kj ij=

'

+'

'

+' =2323232 2 22o oH Cfij ijmnmn=o|

o o + o o + o o +jm in jn im mn ij2 121 2E B B s B tmn mn mn 0 1 2o + +|

o o + o o + o o =mj in jn im mn ij2 1G 2B B s B tmn mn mn 0 1 2o + + ==

+ + +

'

+' =+

+ +

'

+'231 2211 20 0 1 2 0 1 2G B B B s B t G B B s B tij ij ij ij ij ij ijo ooij mnijmnijfG 2fCfho=oo=11 20 1 2+

+ +

'

+' =o B B s B tij ij ij =+

+ +

'

+'211 20 1 2G B B s B tij ij ijo B B s B tij ij ij 0 1 2o + + = =+

+ + +

'

+'2 311 2223603122 22221 2 3G B B J B J B B J Relatiiles-auobtinultinandu-seseamadeproprietatilesimboluluiluiKroneckeroijsi de proprietatile inmultirii tensorilor. Vectorii tensiunilor si deformatiilor specifice incrementale sunt: {do} = { dox, doy, doz, dtyz, dtxz, dtxy } {do} = { dsx, dsy, dsz, dyz, dxz, dxy } in care dyz = 2 dsyz

respectiv vectorul asociat tensorului H esteHij = { Hx, Hy, Hz, Hyz, Hxz, Hxy } in care: 53 53 H G B B s B t G B B s B s s s Jx x x x x xy xz=+

+ +

'

+' =+

+ + + +

'

+'

|211 2211 2230 1 2 0 1 22 2 22 ? AH G B s B t G B s B s s s s s syz xz yz xz xz xy yz y yz z= + = + + + 2 21 2 1 2 TensorulCijklepin forma matriceala devine: ? A? A? AC C Cep p= +in care conform legii lui Hooke pentru materiale elastice liniare si izotrope: ? ACK G K G K GK G K G K GK G K G K GGGG=+ + +

|4323230 0 02343230 0 02323430 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 ? A|

=2xyxy zx2zxxy yz zx yz2yzxy z zx z yz z2zy xy y xz y yz y z2yxy x xz x yz x z x y x2xpHH H H simH H H H HH H H H H H HH H H H H H H H HH H H H H H H H H H Hh1CTinand cont de expresiile KEGE=

=+ 3 1 2 2 1 se obtine:

K G E + =

+4311 2 1 si

K G E= +23 1 2 1 54 54 5.APLICAREAMETODEIELEMENTULUIFINITLAOBINEREA RSPUNSULUISTRUCTURILORSUPUSELAACIUNISTATICEI DINAMICE 5.1 INTRODUCERE Stadiuldecomportareal unei structuri depinde att de valoarea ncrcrilor exterioare, ct i de caracteristicile fizico-mecanice ale materialelor care intr n alctuirea elementelor de rezisten.Pentruacontrolastadiileparcursedestructur sepoatefolosimetodaelementului finitcuformularendeplasri(MEF). Punctul deplecareal metodei l constituie un cmp de deplasriaproximativecare,ngeneral,nusatisfaccondiiiledecontinuitatepefrontierele elementelorfinite.Identificareastadiuluidecomportaresepoatefacelanivelde"punct material"(controlndnivelultensiunilor)saulanivel"global"(controlndeforturile secionale). PrimulmoddeabordareestegeneraliutilizeazprocedeeleTeorieiPlasticitii. Momentul atingeriilimitei de curgere se stabilete pe baza unui criteriu de plasticitate asociat moduluidecomportareamaterialului.Deoareceaceastprocedurnecesituntimp considerabil de calcul i de prelucrare a rezultatelor, n analizele inginereti este folosit numai la studiul comportrii unor zone de interes deosebit sau atunci cnd nu poate fi aplicat teoria barelor. Al doilea mod de abordare este destinat structurilor din bare sau alctuite din elemente carepotfireduselaaxalor.n acestcaz, stadiul de comportare este furnizat de relaia dintre eforturilesecionaleicurbalimitdeinteraciunestabilitpentrumaterialecucomportare ideal elasto-plastic, specifice structurilor din oel. Acest mod de analiz este mult mai simplu imaiapropiatdecalcululinginerescalconstruciilormetalice.Spredeosebiredeprima manierdeabordare,prinaceastprocedurnupoatefievideniatzonapecareseextind incursiunilendomeniulelasto-plastic,acesteareducndu-selaniveluluneiseciuni.Astfel, zonadearticulaieplastic sereducelaoseciunecare,nteoriabarelor,devineoarticulaie punctual. n ambele moduri de abordare, rspunsul n domeniul elasto-plastic se obine prin calcul incremental"pas-cu-pas",stadiuldecomportarefiindcontrolatlafinalulfiecruipas.n funciedestadiulatins,semenineconstantsausecorecteazmatriceaderigiditate.De asemenea,severificrealizareaechilibruluii,dacestenecesar,seefectueazcorecii specifice procedului numeric de rezovare. 5.2UTILIZAREATEORIEIPLASTICITIINMEF,NCAZULMEDIILOR CONTINUE DEFORMABILE Condiiadeechilibrupoatefiexprimatlaoricemoment de solicitare corespunztoare ncrcrii sau descrcrii folosind principiul lucrului mecanic virtual [C1]: + =Vi iAi iVij ijdV u q dA u T dV o o os o(5.1) ncare iu o suntdeplasrilevirtualeincrementale, ijos suntdeformaiilespecificevirtuale incrmentale, iTsunt fore distribuite pe suprafaa corpului, iar iqsunt forele masice. n form matriceal, ecuaia lucrului mecanic virtual se scrie: + =VTATVTdV dA dV q u T u (5.2) 55 55 n care? A3 2 1u u uT= u ,? A3 2 1u u uTo o o = u ? Axy zx yz z y xT s s s = ,? Axy zx yz z y xTo o o os os os = ? Axy zx yz z y xTt t t o o o = n cazul analizei geometrice liniare sau n analize bazate pe ipoteza micilor deformaii, BU =iU B = (5.3) n careU este vectorul deplasrilor nodale. Acesta se poate exprima ca o funcie de cmpul de deplasri acceptatu , cu relaiaU N u =(5.4) n careN este matricea funciei de interpolare a deplasrilor, denumit i funcie de form. MatriceaBdelegturntredeformaiilespecifice ideplasrilenodaleUare expresia:N L B = n careL este matricea operatorului diferenial, |

=0000 00 00 0x yx zy zzyxLastfel nct Lu = nlocuindrelaiile(5.3)i(5.4)nrelaia(5.2) seobineecuaiadeechilibrucareguverneaz mecanica mediilor deformabile n ipoteza micilor deformaii: + =VTATVTdV dA dV q N T N B (5.5) sau R B =VTdVn care + =VTATdV dA q N T N R 56 56 este vectorul forelor nodale echivalente. Dac se consider c relaia ntre tensiuni i deformaii specifice este liniar,C = , C fiind matricea constantelor elastice, se obine ecuaia de echilibru pentru analize liniare, R KU =n care =VTdV B C B Keste matricea de rigiditate a structurii. ntr-oanalizelasto-plastic,relaiiledintretensiunile ideformaiilespecificesuntneliniareirelaia(5.5)esteoecuaieneliniarnfunciededeformaiilespecifice, respectivdedeplasrilenodaleU.Pentrurezolvareaecuaiei(5.5)seaplicmetodeiterative. ntructrelaiileconstitutiveelasto-plasticedepinddeistoriadeformaiilor,estenecesaro analizincrementalcare,pentruovariaieancrcriiexterioaresconduclavariaiile corespunztoare ale deplasrilor, deformaiilor specifice i tensiunilor. ntr-o astfel de analiz, ncrcareatotalResteaplicatincremental,pascu pas [C1]. La un pas de ncrcare m+1, ncrcarea se exprim prin: R R R1 1 + ++ =m m m Se presupun cunoscute soluiile Um, m, mla un pas anterior, iar la pasul m+1 asociat creterii ncrcriiRse poate scrie U U U + =+ m m 1 + =+ m m 1 Ecuaia (5.5) devine R F1 1 + +=m m(5.6) n care dVmVT m B F1 1 + += reprezint forele interne la pasul m+1. Rezult =+Vm T mVTdV dV B R B1 Pentrurezolvareaecuaieideechilibru(5.6)dintreforeleexterioare R1 + miforele interne F1 + msuntnecesaredoutipuridealgoritmepentrudeterminareaincrementului deplasrilorAUiatensiunilorincrementale.Primulalgoritmvarezolvaecuaiilede echilibruneliniar.SepotfolosimetodedinfamiliaNewton,cumarfimetodaNewton-RaphsonimetodaNewton-Raphsonmodificatprezentatencapitolul3.Aldoileaalgoritm estenecesarpentrudeterminareatensiunilorincrementalecorespunztoaredeformaiilor specifice incrementale , pentru o stare de tensiuni i o istorie a deformaiilor date [C1]. 5.3ALGORITMI PENTRU REZOLVAREA ECUATIILOR NELINIARE Considerand ca starea de tensiuni {o} este o functie de deplasarile {U} ecuatia (5.3) se poate scrie: +( (m+1){U}) = (m+1){F((m+1){U})} -(m+1){R}. 57 57 MetodeleiterativedetipNewtoncaresevorprezenta,constituieinformulareain deplasari metode de iterare a echilibrului. 5.3.1 Metoda Newton Raphson Saconsideramcalaiteratia(i-1)s-aobtinutaproximatiadeplasarilorreale (m+1){U}, (m+1){U}i-1. Sedezvoltainserie Taylor functia reziduala+( (m+1){U}) = 0 si neglijand termenii de ordin superior: +( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ } { } { } ( ) ( )m iUm m iUUU U m i++ + += + 1 1 1 1 11 1 0+ sau: FUU F R m iUi m i m( ) ( ){ }( ) ( ) ( ) ( ){ } { } { } ++=++1 11 1 10 Ain care s-au facut notatiile: { }( )AUi=( ) ( ) ( ){ } { }m m iU U+ +

1 1 1 si_ a{ } { }( ) ( ) ( ) ( )F F Ui m m i+ + =1 1 1 1 Se poate observa ca: ? A miUT epUVKFUB C B dV m i m i

= = ++ 111 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ){ } { }[ ] [ ] [ ]in care:[ ] ( ) ( ){ }CepUm i +1 1 = matricea elasto - plastica asociata deplasarilor ( ) ( ){ }m iU+1 1 ? A( )( )miK+

11 = matricea de rigiditate tangenta a structurii. Algoritmul de integrare Newton- Raphson este: ? A _ a _a _ a( )( ) ( )( ) ( )( )mi im miK U R F+

+ +

= 111 11A_a _a( )( )( )( )( ){ }mimiiU U U+ +

= +1 11A_a _a( )( )( ) m mU U+=10i = 1, 2, ... n, ... pana la atingereaconvergentei ( ) ( ) ( )[ ] [ ]m mK K+=1 0 _ a _ a( )( )( ) m mF F+=10 MetodaNewton-Raphsonareoratamaredeconvergentasiestequadratic convergenta.Totusitrebuiesaretinemcamatriceaderigiditatetangenta ( ) ( )[ ]m iK+1 1este factorizata si evaluata la fiecare pas al iteratiei, ceea ce poate fi prohibit. 58 58 Pedealtapartepentruunmaterialperfectplasticsaucudegradare,matriceade rigiditate tangenta poate deveni singulara sau neconditionata. Figura 5.1 Metoda Newton - Raphson 5.3.2 Metoda Newton - Raphson modificata Aceastametodaconsistainfolosireauneirigiditatitangenteconstantepentrutoate iteratiiledintr-unpasdeincarcare.Cualtecuvinte,matriceaderigiditatetangenta ( ) ( )[ ]m iK+1 1 din pasul de incarcare (m+1) in iteratia (i - 1) din interiorul acestui pas coincide cumatriceaderigiditatetangenta ( )[ ]nK evaluatainpasuldeincarcareanterior,nacurateearspunsuluiestesuficientdinpunctdevederepractic,darmaimicprin comparaiecumetodaacceleraieiliniare.Dacseproducincursiunindomeniulpostelastic, pasuldetimptrebuiealessuficientdemic.Sepoatecontrolaeroarearspunsuluicomparnd rezultatele a dou analize cu pai de timp diferii. Totui, convergena ctre soluia exact este o problem ce trebuie urmrit n orice tip de analiz numeric. 5.4.1 Matricea de rigiditate tangent Structurilepotfimodelatecuelementedetipbar,cuelementefinitedesuprafa i/saucuelementefinitetridimensionale.Dacstructurileprezintregularitatenplanipe vertical,cucelpuinunplandesimetrie,sepotrealizamodeleplanealeacestora.ncazul modelelor plane cu elemente finite de tip bar, solicitrile la care pot fi supuse barele pot fi de ntinderesaucompresiuneidencovoierecusaufrforaxialifortietoare.Pentru valori mari ale forelor de compresiune exist posibilitatea pierderii de stabilitate prin flambaj. Dacflambajulseproducendomeniulelastic,numaiexistposibilitateaformriide articulaiiplastice.Deaceea,elementelestructuraletrebuieastfelalctuitenctsfieevitate pierdereadestabilitatendomeniulelasticivoalareatlpilorsauaporiuniidininim comprimate (seciuni de clasa 1). n momentul n care elementele finite de tip bar cu rigiditate axial i/sau la ncovoiere seplastificlacapete,matriceaderigiditatesemodific.Coreciamatriceiderigiditate structuralsefacenumailasfritulpasuluidetimpncareunulsaumaimulteelementei modificstadiuldecomportare,prinintroducereaschimbrilorderigiditateasociate elementelor finite respective n matricea de rigiditate structural curent. n acest mod se evit reasamblarea matricei de rigiditate structurale. 5.4.1.1 Elementul finit de bar dublu articulat Elementulfinitdebardubluarticulatpoatefiorientatarbitrarnplanulstructuriii transmite numai for axial. 64 64 ab Fig. 5.1 Modele de comportare a elementului de bar dublu articulat: a plastificare la ntindere i compresiune; b plastificare la ntindere i flambaj la compresiune Fig. 5.2 Descompunerea relaiei biliniarel N A n dou componente

4u A

jo A 4P A

jN A2u A 3u A

2P A 3P A1u A io A2P A iN Aa b Fig. 5.3 Deformaiile, deplasrile nodale i forele nodale pentru elementul de bar dublu articulat Sepotconsideradoumoduridecomportareinelastic,ianumeplastificareattla ntinderectilacompresiune(fig.5.1,a)iplastificarelantinderedarflambajelasticla compresiune (fig. 5.1, b). Dup depirea limitei de curgere se poate ine seama de efectul de consolidare,considernddoucomponentedecomportarenparalel,unaelasticiuna inelastic (fig. 5.2) [P5]. Elementuldebardubluarticulatvaaveanumaideformaiiaxiale,corespunztoare modificrii de lungime i jl o o AA = A(5.25) 65 65 n care ioi josunt deplasrile capetelor barei n lungul axei sale (fig. 5.3, a). ntre creterile finitealedeplasrilornodaledin sistemul local i cele corespunztoare din sistemul global de axe (fig. 5.3, b) se poate scrie relaia de transformare o osin cossin cos4 32 1u uu ujiA + A = AA + A = A(5.26) unde lx= cosi ly= sin . nlocuind relaiile (5.26) n (5.25) se obine _ a

)

`

|

,|AAAA= A4321sin cos sin cosuuuul (5.27) sauu RA = Al .DinstadiulelasticdecomportaresecunoaterelaiaNA ElltA = A ,deunde rezultllA ENtA = A saul k NtA = A ,ncare tk esterigiditateaaxialabareii tE este moduldeelasticitatetangentnstareacurent(ncazulmaterialeloridealelasto-plastice, E Et= pentru pl plN N N i0 =tEpentru plN N s = ). Raportnd rigiditatea tangent la deplasrile nodale i innd seama de relaiaP R N A = A(fig. 5.3, b), se poate scrieR k R KtTt=(5.28) Se pot considera fore axiale iniiale n lungul elementului sau efectul variaiei uniforme detemperatur,prinforedencastrareperfectacrorvaloaretrebuiesfiemai micdect capacitatea limit asociat plastificrii elementului. 5.4.1.2 Elementul finit de bar cu rigiditate axial i la ncovoiere Elementeledeacesttippotfiorientatearbitrarnplanulncaresedescriestructura. Rigiditatea la ncovoiere se specific prin coeficienii matricei de rigiditate n sistemul local de axe. Se pot descrie condiii de margine diferite la capete (ncastrare sau articulaie) i se poate considera cazul n care seciunea transversal este variabil n lungul elementului, specificnd coeficieniipotriviiderigiditatelancovoiere.Deasemenea,sepoateconsideraefectulforei tietoareasupradeformaiilordinncovoiereisepoateineseamadeprezenaunorlegturi excentrice la capete datorate prinderilor, prin intermediul zonelor rigide. Plastificarea se poate produce doar n articulaiile plastice punctuale de la capetele elementului (fig. 5.4). Consolidarea materialului este aproximat prin dou componente n paralel, una elastic iunaelasto-plastic(fig.5.5).Componentaidealelasto-plasticcorespundearticulaiilor plastice de la capetele elementului n care momentul ncovoietor este constant, iar componenta elasticcorespundezoneideconsolidareamaterialului,ncaresepermitemomentului ncovoietorscreasc.Datoritacestuimodel,dacmomentulncovoietoriseciunea elementuluisuntconstante,atuncicurburairotireasuntdirectproporionale,iarrelaiile moment-rotireM imoment-curburM ( p 1 = )auaceeaiform(fig.5.6,a). Dacmomentulncovoietorsauseciuneavariaznlungulelementului,atuncicurburai rotireanumaisuntproporionale,iarrelaiilemoment-rotireimoment-curburpotsdifere (fig. 5.6, b) [P5]. 66 66 Unelementfinitcurigiditateaxialilancovoierepoateaveadeformaieaxiali deformaii din ncovoiere creia i corespund rotirile de la capetele i i j din figura 5.7.

element cu comportare elastic Fig. 5.4 Element finit de bar cu rigiditate axial i la ncovoiere Fig. 5.5 Descompunerea relaiei biliniareMn dou componente ab Fig. 5.6 Relaiile moment-rotire i moment-curbur 67 67 l A5u A6u A N A2u A5F A 6F A 2F A j A 4u AjM A3u A 1u A 4F Ai A

3F A1F A iM Aab Fig. 5.7 Deformaii, deplasri nodale i fore nodale creteri incrementale jjui

jv i jv jivij iu iv ab Fig. 5.8 Deplasri nodale n sistemul local de axe (a)i deformaiile produse de acestea (b) 5RELAIADETRANSFORMAREDINTRECRETERILE INCREMENTALE ALE DEFORMAIILOR I DEPLASRILOR ESTE

)

`

|

,|AAAAAA|

=

)

`

|

,|AAA6543211cos sin0cos sin0cos sin1cos sin0 sin cos 0 sin cosuuuuuul l l ll l l ljli oo(5.29a) sau u R A = A (5.29b) n relaia (5.29a), lx= cos , ly= sin , i ju u l= Ai ij i i o A + A = A ; ij j j o A + A = A ; lv vi jij

= (5.30) iu , ju , i , j , ivi jvsunt deplasrile la capetele elementului, n sistemul local de axe, iar ijreprezint rotirea axei barei datorat deplasrilor ivi jvale capetelor (fig. 5.8). Relaiile(5.29)sepotdemonstrapebazacorespondeneidintredeplasrilenodaledin sistemul local de axe i cele din sistemul general de axe. De exemplu, pentru nodul i se poate scrie3ui= i sin cos1 2u u vi = nlocuind n relaiile (5.30) rezult 68 68 lu u u uui osin cos sin cos4 5 1 23AAAA+ A = A , etc.(5.31) Atuncicndseatingevaloareamomentuluiplasticncomponentaelasto-plasticde comportare,seformeazoarticulaieplastic.ncomponentaelastic,momentulncovoietor continu s creasc. Rotirea articulaiei plastice constituie o msur a deformaiei plastice din ncovoiere.Creterilerotirilordinncovoiere io A i jo A produccreterialerotirilor articulaiilorplastice pl i,o A i pl j,o A ,caresedatoreaznumaimomentuluincovoietor.Se poate scrie urmtoarea relaie matriceal: )`|,|AA|

=)`|,|AAjipl jpl iD CB Aoooo,, (5.32) ncarecoeficieniiA,B,CiDdepinddepoziianoduluidecaptlacareseformeaz articulaiaplasticiauvalorinuledacelementullucreazndomeniulelasticsaudac eforturile n seciunea asociat nodului corespund stadiului elastic de comportare: Stadii de comportare ale seciunilor de captABCD Stadiu elastic la ambele capete0000 Articulaie plastic numai la captul i1 iiijkk00 Articulaie plastic numai la captul j00 jjijkk 1 Articulaii plastice la ambele capete 1001 Prinaceastformularenuseineseamadeinteraciuneadintredeformaiileaxiale inelasticeideformaiiledinncovoieredupformareaarticulaieiplastice.Caurmare, curgerea plastic are loc doar pe direcia momentului ncovoietor, nu i pe direcia normal la suprafaade curgere specific regulilor de curgere asociate materialelor cu comportare elasto-plastic.Aceastaconstituieoaltaproximaieamodeluluidebarconsiderat.Efectulforei axialeasupracapacitiiplasticelancovoiereesteluatnconsiderareprincurbade interaciune M N [P5]. nfigura5.9suntfigurateeforturilesecionalennodurileelementului,n sistemele de axe local i general. ab Fig. 5.9 Eforturile secionale la noduri n sistemul localde axe (a) i n sistemul de axe general (b) nstadiulelastic,sepot scrie urmtoarele relaii ntre variaiile eforturilor secionale i creterile deformaiilor axiale i de ncovoiere: 69 69 llEAN A = A(5.33) respectiv )`|,|AA|

=)`|,|AAjijj jiij iijik kk klEIMM(5.34) ncareAestearia,iarIestemomentuldeineriealseciuniitransversale.Pentruct EI = , matriceaderigiditatevafi |

=4 22 4lEIKencazulbareidubluncastrate(fig.5.10), respectiv |

=0 00 3lEIKe n cazul barei articulate n captul din dreapta (fig. 5.11). Fig. 5.10 Momente de ncastrare perfect ca efect alrotirii capetelor, la bara dublu ncastrat ( ct EI = ) Fig. 5.11 Momente de ncastrare perfect la bara ncastrat la un capt i articulat la cellalt ( ct EI = ) Dup formarea articulaiei plastice la cel puin unul din capetele barei, termenii matricei de rigiditate asociate comportrii ideal elasto-plastice devin B k D k kB k D k kC k A k kij jj jjii ij ijij ii ii===111*** (5.35) Relaiile(5.35)indictransformareandomeniulinelasticaelementuluifinitdebar dublu ncastrat ntr-un element finit cu una sau dou articulaii la capete. n sistemul local de axe, condiia de echilibru pentru un increment de deformaieo Ase exprim cu relaia F K A = Aep(5.36a) n care? Aj j j i i iTM T N M T N = F(5.36b) 70 70 i epKeste matricea de rigiditate obinut prin sumarea contribuiilor celor dou componente, elastic i inelastic. innd seama de relaia (5.29b), relaia (5.36a) se mai poate scrie F u R K A = Aep(5.37) nsistemulgeneraldeaxe,forelenodalealctuiescvectorul? A6 5 4 3 2 1P P P P P PT= P .ntre vectoriiforelornodaledinceledousistemedeaxe,localigeneral,existrelaiade transformareF R PT= , ca urmare este valabil relaia F R P A = AT(5.38) Dac se premultiplic relaia (5.37) cu TRi se ine seama de relaia (5.38), rezult P u K A = At(5.39) n care R K R KepTt= (5.40) reprezintmatricea de rigiditate tangent raportat la deplasrile nodale exprimate n sistemul general de axe. ncazulstructurilorncadre,articulaiileplasticeseformeaz,ngrinzi,lafaa stlpilor,iarnstlpilafaagrinzilor,deoarecezonadeprinderegrind-stlpseconsider indeformabil. Aceast comportare se modeleaz prin legturile rigide dintre nodurile definite de interseciile axelor elementelor i capetele elementului flexibil (fig. 5.4 i 5.5). ntre deplasrile nodului teoretic i ce formeaz vectorul ? Ai n i n i nTi nu u u, 3 , 2 , 1 ,A A A = Au(5.41) i deplasrile captului i al elementului deformabil care alctuiesc vectorul ? Ai i iTiu u u, 3 , 2 , 1A A A = Au (5.42) se pot scrie relaiile (fig. 5.4): i n i i n iu y u u, 3 , 1 , 1AA = A ; i n i i n iu x u u, 3 , 2 , 2A + A = A ; i n iu u, 3 , 3A = A(5.43) Cu relaii similare pentru nodul j se obine relaia matriceal dintre deplasri, )`|,|AA|

=)`|,|AAj ni njjiijixyxy,,1 0 0 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1uuuu(5.44) sau nu T u A = A(5.45) 71 71 Relaiadereducereaforelordencastrareperfectdelacapeteleelementelorn nodurile teroretice se scriu ntr-o manier similar. De exemplu, pentru nodul i,

i i nP P, 1 , 1A = A i i nP P, 2 , 2A = A(5.46) i i i i i i nP x P y P P, 2 , 1 , 3 , 3A + AA = ARelaia matriceal se va scrie sub forma )`|,|AA|

=)`|,|AAjij ji ij ni nx yx yPPPP1 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 10 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1,, (5.47) sau P T P A = ATn(5.48) Prin reducerea forelor nodale n nodurile teoretice, relaia de echilibru (5.39) devine n n tTP u T K T A = A(5.49) ab Fig. 5.12 Curbe de interaciune Elementul finit de bar solicitat la ncovoiere i for axial admite pentru fiecare capt doutipuridecurbedeinteraciune.Acesteadefinescstarealimitdeeforturinmomentul formriiarticulaieiplastice:plastificareprinncovoierespecificgrinzilorncovoiatefr foraxialsaucuforaxialneglijabil(fig.5.12,a);plastificareprinncovoierecufor axial(fig.5.12,b). Punctele de balans a,b, c, d i eforturile limit +plN ,

plN , +plMi

plMsestabilescnfunciedeformaseciuniiidetensiunileasociatelimitelordecurgerela ntindere i la compresiune [P5]. 5.3.2 Determinarea stadiului de lucru Rspunsurile static sau dinamic n cazul existenei incursiunilor n domeniul postelastic sestabilescprintr-uncalculincremental.ntr-unpasfinitdetimpt A ,pentruunsporde ncrcareP A ,secalculeazincremeniideplasrilornodale nu A iaideformaiilor elementului, A . Pe baza valorilor acestora din urm se calculeaz apoi valorile incrementale 72 72 aleeforturilornelemente, iF A ,respectiveforturiledelasfritulpasuluidetimp, i i iF F F A + =+1. Acestea se stabilesc pe baza proprietilor de la nceputul pasului de timp i a creterilorobinutenpasuldetimp.nprocesulderezolvarepascupasaecuaiilorde echilibru pot avea loc incursiuni n domeniul postelastic prin ncrcare sau descrcare, precum irevenirindomeniulelastic,deexempluprindescrcaredupoincursiunendomeniul inelastic. De aceea, relaia for-deplasare va fi neliniar, ca n figura 5.13.

Fig. 5.13 Exemplu de comportare neliniar Fig. 5.14 Rspuns liniar i neliniar n pasul de timp Momentulformriiuneiarticulaiiplasticesaualdescrcriidupoincursiunen domeniul plastic constituie un eveniment i este marcat n relaiau P printr-o schimbare de pant. ntre dou evenimente, relaiau P se consider liniar.ntr-unpasdetimpfinitt A ,potapreaunul saumaimulteevenimente.Apariiaunui eveniment n rspunsul structural se apreciaz pe baza strii de comportare a elementelor finite cealctuiescstructura.Liniarizarearspunsuluincadrulpasuluidetimparelabazstarea elementelordelanceputulpasului.Aceastprocedurestecorectnumaidacnuapar evenimentenpasuldetimp,rspunsulliniarfiindreprezentatdeliniantreruptdinfigura 5.14. Incrementul liniar al efortului se noteaz LF A . Linia continu din figura 5.14 marcheaz rspunsulneliniar,datoratproduceriievenimentelordinpasuldetimp.Seobservc acceptareauneicomportriliniare conduce la valori incorecte ale incremenilor deformaiilor. Sepoateacceptatotuicseobinaceleaideformaiidacseconsidersaunu neliniaritatea npasuldetimp,ntructpasuldetimpestescurt,iarrspunsulstructuriiesteafectat substanial de efectele de inerie i de amortizare. Ca urmare, incrementul neliniar al efortului n element, NLF A , se poate calcula prin urmtorul procedeu: (1) se noteaz cu t Aincrementul deformaiei unui element n pasul de timp i cuF Aincrementulefortuluineliniarcaretrebuiecalculat.Acestaseobineprinsumareade 73 73 subincremeni i iF A ,aacumsearatnfigura5.15.Seiniializeazlazerounfactorde scar i se seteaz un contor i al ciclului, la valoarea 1. Fig. 5.15 Calculul incrementului efortului n element (2) se seteaz t i A= A 1(5.50) Pentru starea curent a elementului, calculat la momentul de timp t, se determin incrementul efortului n element, iF A , corespunztor incrementului deformaiilor i A . (3)sedetermincoeficientul i corespunztorcreteriiincrementaleaeforturilorn elementcarevaproduceunnoueveniment,cumarfiformareauneiarticulaiiplasticesau descarcrea.Dacarelocdescrcare,valoarealuivafizero.Dacnuseproduce descrcare, valoarea lui careproduce o articulaie plastic la unul din capetele elementului se calculeaz cu relaii de tipulii ciFF FA

= (5.51) ncare cF esteefortulnelementasociatatingeriistriilimitdeplastificareconformcurbei deinteraciuneconsiderate, iF esteefortulnelementlanceputulcicluluii,iar iF A este incrementul efortului calculat pentru acest ciclu. Trebuie gsit cea mai mic valoare a lui i , considerndtoatecomponenteleeforturilornelement.Dac1 i ,atuncis-aprodusun evenimentnacestciclu.Dac1 >i ,nus-auprodusevenimentenacestpasdetimpise folosete valoarea1 =i . (4) Se adun i iF A laF Ai se fac modificrile de rigoare a datelor referitoare la starea elementului.(5) Dac1 i , Ase reducela A i 1i contorul ciclului se incrementeaz cu 1. Se repet etapele de calcul ncepnd cu pasul 2, pentru a controla dac s-au produs evenimente nalteelementefinite.Dac1 =i ,calcululincrementuluiforelorcareproducneliniaritate este complet. n calculul structurilor cu incursiuni n domeniul postelastic, este deosebit de important calculul corect al deformaiilor elementelor, deoarece acestea determin mrimea eforturilor i, totodat,indiccerinadeductilitateastructurii.Procedeuldecalculaleforturilor incrementaledescrismaisusstabileteivalorileincrementaleacumulatealedeformaiilor inelasticeasociate,nfiecarecicludeiteraiencadrulpasuluidetimpt A .Valorile deformaiilor de la sfritul fiecrui pas de timp servesc la calculul eforturilor corespunztoare tipului de element finit utilizat [P5]. 74 74 5.3.3 Compensarea echilibrului Dac nu apar evenimente n pasul de timp, rspunsul este liniar i la sfritul pasului de timpvorfisatisfcuteecuaiiledeechilibru.ncazcontrar,echilibrulvafisatisfcutpentruincremeniiliniari LF A aieforturilordinelemente,darnuipentruincremeniineliniari NLF A .Laniveldeelementfinit,echilibrulnecompensatcorespundeeforturilorneechilibrate din figura 5.14, NL L UF F F AA = A(5.52) Duptransformareaeforturilor neechilibratenforenodale i sumarea acestora pentru toate elementele, se obine vectorul forelor nodale neechilibrate UP A . Pentru a evita erorile ce potapreadinacumulareaeforturilorneechilibratenmaimulipaidetimp,seaplico ncrcaredecorecie:valorileincrementalealeforelornodaleneechilibrate UP A seintroduc cusemnschimbat, ca forenodale,lanceputulpasuluidetimpurmtor. La sfritulpasuluide timp, echilibrul este satisfcut dac se verific relaia P P P P = + +KL A M(5.53) n care MP , APiP reprezint vectorii forelor nodale provenite din forele de inerie, forele deamortizarei,respectiv,ncrcrileexterioarevariabilentimp. KLP este vectorul forelor la noduri provenite din eforturile n elemente de la sfritul pasului de timp, L KLP P P A + = (5.54) presupunndocomportareliniarnpasuldetimp.Atingereaunuistadiulimitncadrul pasului de timp va produce o actualizare a forelor neliniare de forma U KLP P A (5.55) Ca urmare, ecuaia de echilibru va fi U U KL A MP P P P P P A= A+ + (5.56) n care UP A este ncrcarea exterioar fictiv care trebuie aplicat n urmtorul pas de timp.Necesitateacoreciilorpentruasigurareaechilibruluiarputeafievitatprin subdivizarea pailor de timp oricnd apare un eveniment i iterarea echilibrului pn ce acesta esteatinsncadrulpasuluidetimpcurent.UnastfeldeprocedeuestemetodaNewton- Raphson, care este destul de complicat, mrete timpul de calcul i nu asigur o acuratee mai bun dect procedeele bazate pe pai de timp constani i corecii ale echilibrului. Dacstareadeeforturintr-oseciunedecaptaunuielementfinitesteninteriorul curbeilimitconsiderate,seciunearespectivse aflndomeniul elastic. n figura 5.16, a se aratsituaiancare,lasfritulpasuluidetimp,stareadeeforturincazulunuielementcu rigiditateaxialilancovoieresegsetenafaracurbeideinteraciune.nacestcazsevor aplicaforedecorecienpasuldetimpurmtorceluincares-aprodusevenimentul.Acest procedeunuestestrictcorectntructpresupunec,dupatingerealimiteidecurgere, rigiditatea axial rmne neschimbat i se modific doar rigiditatea la ncovoiere. n realitate, datorit interaciunii dintre deformaiile din for axial i moment incovoietor, ambele matrici derigiditateartrebuimodificate.Totui,procedeulesteacceptabilpentruanalizelepractice. 75 75 Deoarece rigiditatea axial rmne constant ntr-o articulaie plastic, n paii urmtori starea de eforturi va fi n afara curbei de interaciune, aa cum se arat n figura 5.16, b. ab Fig. 5.16 Corecia echilibrului n cazul depirii curbei de interaciune Deaceea,chiardacatingereastriilimitseproducelasfritulpasuluidetimp(stareade eforturidefinitdecombinaiaM-Nseaflpecurbadeintera