C6

Termotehnică şi maşini termice

6. Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

Acest capitol prezintă transformările energetice care au loc în procesul de curgere. Este abordată curgerea monodimensională, staţionară prin ajutaje şi prin reţelele de palete.

Ajutajul este un tub scurt, profilat, în care se produce transformarea entalpiei gazului în energie cinetică sau invers.

6.1 Ecuaţiile mişcării staţionare, monodimensionale, adiabate a gazelor

6.1.1 Proprietăţile stării frânate

Considerăm curgerea adiabată, monodimensională, staţionară a unui fluid. Ecuaţia primului principiu al termodinamicii pentru acest caz (2.62) se poate scrie sub forma:

(6.1)

În ecuaţia energiei (6.1) s-au considerat două stări: starea actuală a curgerii, notată fără indice, şi o stare în care viteza fluidului este nulă, notată cu indicele “0”. Această stare, în care viteza fluidului este nulă, poate reprezenta o stare reală sau o stare teoretică. Se defineşte starea frânată, starea în care viteza fluidului este zero.

Fig. 6.1

Orice curgere a unui gaz cu o viteză nenulă poate ajunge în starea frânată prin transformarea integrală a energiei cinetice în entalpie. Dacă curgerea de la starea actuală la starea frânată este izentropică (adiabată, reversibilă), se obţine presiunea maximă p0

(teoretică), figura 6.1. În realitate, starea frânată care se poate obţine printr-o curgere adiabata ireversibilă are aceeaşi valoarea a entalpiei frânate dată de formula (6.1), dar presiunea reală a gazului comprimat este mai mică decât presiunea maximă p0, iar entropia stării ce reprezintă entalpia frânată este mai mare decât entropia fluidului în starea actuală de curgere.

175

Termodinamica curgerii gazelor şi vaporilor

Diferenţa între entalpia frânată şi entalpia fluidului la un moment dat reprezintă energia cinetică a unităţii de masă, nefiind influenţată de ireversibilitatea procesului.

În figura 6.2 este prezentat un ajutaj pentru care s-a definit o suprafaţă de control. Parametrii de intrare sunt notaţi cu indicele “i”, iar cei de ieşire cu “e”.

Fig. 6.2

Ecuaţiile ce descriu curgerea unui gaz prin ajutajul din figura 6.2 sunt:

- ecuaţia conservării masei:

(6.2)

- ecuaţia energiei, obţinută prin particularizarea ecuaţiei primului principiu:

(6.3)

Pentru un proces izentropic şi un fluid incompresibil din ecuaţia fundamentală a termodinamicii, obţinem:

(6.4)

(6.5)

Ecuaţia (6.5) poartă numele de ecuaţia lui Bernoulli.

- ecuaţia transformării de stare adiabate pentru un gaz perfect este:

(6.6)

176


6.1.2 Viteza sunetului într-un gaz perfect

În cazul gazelor, care sunt fluide compresibile, orice mică perturbaţie (variaţii mici ale presiunii faţă de valoarea medie) apărută se propagă în masa gazului sub forma unor unde a căror viteză este egală cu viteza sunetului. Această viteză este un parametru important în curgerea fluidelor compresibile.

În figura 6.3 este prezentată schematic o posibilitate de producere a perturbaţilor în masa unui gaz.

Fig. 6.3

Prin deplasarea pistonului de la capătul tubului se produce o perturbaţie caracterizată de o mică modificarea a parametrilor în masa gazului, care se deplasează sub forma unei unde ce are viteza c, figura 6.3 a. Pentru un observator legat de frontul de undă al perturbaţiei, situaţia parametrilor gazului este prezentată în figura 6.3 b. Considerăm o suprafaţă de control definită de frontul de undă. În partea stângă a acestei suprafeţe parametrii gazului sunt perturbaţi, iar în partea dreaptă parametrii gazului sunt neperturbaţi. Considerând curgerea staţionară într-o vecinătate a suprafeţei de control, bilanţul energetic se poate scrie:

(6.7)

După efectuarea calculelor, expresia de mai sus devine:

(6.8)

177


(6.9)

Legea conservării masei într-o vecinătate a suprafeţei de control ne permite scrierea următoarei relaţii:

(6.10)

După efectuarea calculelor şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, obţinem:

(6.11)

Ecuaţia fundamentală a termodinamicii pentru un proces izentropic este:

(6.12)

Combinând relaţiile (6.9) şi (6.12), obţinem:

(6.13)

Eliminând din relaţiile (6.11) şi (6.13), obţinem:

(6.14)

Relaţia (6.14) ne arată că pătratul vitezei de propagare a micilor perturbaţii (viteza sunetului) în masa gazului este egal cu derivata parţială a presiunii la densitate în condiţii izentropice ( ).

O soluţie particulară a ecuaţiei (6.14) se poate obţine pentru un gaz ideal utilizând expresia ecuaţiei transformării adiabate:

(6.15)

(6.16)

(6.17)

Din relaţia (6.17) observăm că viteza sunetului într-un gaz depinde atât de proprietăţile termodinamice ale acestuia (k şi R), cât şi de temperatura gazului. Pentru aer la 300K şi la 1000K viteza sunetului, ea este:

178


Mişcarea unui gaz este puternic influenţată de viteza sunetului: într-un fel se desfăşoară mişcarea gazului dacă viteza acestuia este mai mică decât viteza sunetului şi în alt fel dacă viteza gazului este mai mare ca cea a sunetului. Pentru a defini regimurile de curgere a unui gaz se introduce un criteriu adimensional, denumit criteriul lui Mach:

(6.18)

Dacă , spunem că mişcarea gazului este subsonică, iar dacă , spunem că mişcarea gazului este supersonică.

6.1.3 Caracterizarea ajutajelor funcţie de criteriul Mach

Considerăm un volum elementar al fluidului care se deplasează printr-un ajutaj de secţiune variabilă. Datorită modificării secţiunii, valorile parametrilor la un moment dat pe faţa din stânga a volumului de control p, w, T, , suferă o modificare infinitezimală p+dp, w+dw, T+dT, +d (fig. 6.4).

Fig. 6.4

Ecuaţia conservării masei poate fi scrisă sub forma:

(6.19)

(6.20)

În ecuaţia energiei în formă diferenţială:

(6.21)

Înlocuim diferenţiala entalpiei din ecuaţia fundamentală a termodinamicii (6.12), apoi exprimăm diferenţiala vitezei, pe care o introducem în relaţia (6.21):

179


(6.22)

(6.23)

(6.24)

Relaţia (6.24) permite analiza influenţei variaţiei secţiunii asupra curgerii prin ajutaje. Rezultatul discuţiei este sintetizat în figura 6.5:

Fig. 6.5

În regim subsonic , presiunea şi secţiunea ajutajului variază în acelaşi sens, astfel:

- pentru un ajutaj convergent, dacă secţiunea scade rezultă şi o scădere a presiunii , iar din ecuaţia (6.5) deducem o creştere a vitezei;

- pentru un ajutaj divergent, numit şi difuzor, dacă secţiunea creşte rezultă o creştere a presiunii şi o scădere a vitezei;

În regim supersonic , presiunea şi secţiunea ajutajului variază în sensuri opuse, astfel:

- pentru un ajutaj convergent, dacă secţiunea scade rezultă şi o creştere a presiunii , iar din ecuaţia (6.5) deducem o scădere a vitezei;

- pentru un ajutaj divergent, numit şi difuzor, dacă secţiunea creşte rezultă o scădere a presiunii şi o creştere a vitezei;

Dacă , acest lucru ne arată că viteza sunetului se poate atinge numai într-o secţiune a ajutajului, ca de exemplu secţiunea de ieşire a ajutajului convergent - dacă acesta lucrează în regim subsonic - sau în secţiunea de intrarea a

180


ajutajului divergent, dacă acesta lucrează în regim supersonic.

6.1.4 Parametrii frânaţi şi parametrii critici

Pornind de la relaţia (6.1), exprimăm viteza de curgere funcţie de parametrii stării frânate:

(6.25)

Din relaţia (6.16) înlocuim viteza sunetului în relaţia (6.24) şi obţinem:

(6.26)

(6.27)

Ţinând cont de ecuaţiile transformării izentropice, rezultă:

(6.28)

(6.29)

În condiţiile în care într-o secţiune a ajutajului se atinge viteza sunetului, curgerea se numeşte critică, iar parametrii acesteia se notează cu “*”. Valorile parametrilor critici funcţie de parametrii frânaţi se obţin din relaţiile (6.27), (6.28) şi (6.29), prin introducerea valorii 1 pentru criteriului M:

(6.30)

(6.31)

(6.32)

6.2 Ajutajul convergent

181


În figura 6.6 este prezentat un ajutaj convergent. În acest ajutaj, în cazul curgerii subsonice se produce transformarea energiei gazului, reprezentată prin entalpie în ecuaţia (6.5), în energie cinetică. În cazul regimului supersonic, ajutajul lucrează ca un compresor, mărind presiunea şi temperatura gazului, deci entalpia, în baza scăderii energiei cinetice.

Fig. 6.6

Dacă considerăm parametrii iniţiali ai gazului egali cu parametrii frânaţi, notaţi cu indicele zero, parametrii gazului într-o secţiune a ajutajului funcţie de parametrii frânaţi se determină cu formulele (6.27), (6.28) şi (6.29).

Dacă notăm cu A o secţiune oarecare a ajutajului, viteza şi debitul în această secţiune sunt:

(6.33)

S-a notat cu raportul dintre presiunea din secţiunea curentă a ajutajului şi presiunea frânată, considerată ca fiind presiunea din secţiunea de intrare a ajutajului. Pentru calculul debitului exprimăm, din ecuaţia adiabatei, densitatea în secţiunea curentă funcţie de densitatea frânată.

(6.34)

Debitul în secţiunea curentă va fi:

(6.35)

Se observă că debitul depinde de regimul de presiuni din ajutaj. Dacă considerăm presiunea p egală cu presiunea din secţiunea de ieşire, vom căuta o valoare

182


a raportului beta pentru care debitul devine maxim în ajutaj. Din relaţia (6.35) remarcăm că există două valori pentru care se anulează debitul, şi . Pentru a găsi o valoare care să maximizeze relaţia (6.34), ţinem seama de faptul că radicalul este o funcţie monotonă şi, în consecinţă, căutam maximul expresiei de sub radical. Pentru aceasta, anulăm derivata cantităţii de sub radical:

(6.36)

Se observă că valoarea lui beta, pentru care debitul este maxim, este similară cu relaţia (6.30). Debitul maxim se obţine prin înlocuirea expresiei lui beta critic în relaţia (6.34) şi obţinem:

(6.37)

În graficul din figura 6.6 sunt prezentate variaţiile presiunii în ajutaj pentru mai multe situaţii determinate de valorile diferite ale presiunii din secţiunea de ieşire. Astfel, atâta timp cât presiunea din secţiunea de ieşire rămâne egală cu presiunea stării frânate,

, în ajutaj nu există mişcare.Dacă presiunea în secţiunea de ieşire este mai mică decât presiunea frânată,

, gazul se accelerează în ajutaj, rezultând la ieşire o viteză dată de formula (6.33). Un caz special îl constituie momentul când presiunea, în secţiunea de ieşire, este egală cu presiunea critică, presiunea notă cu indicele c :

(6.38)

În aceste condiţii, debitul în ajutaj devine maxim, ajutajul prelucrează întreaga cădere de presiune astfel încât în secţiunea de ieşire viteza devine egală cu viteza sunetului. Denumim presiunea din secţiunea de ieşire presiune critică şi o notăm cu .

Dacă presiunea din exteriorul ajutajului scade sub valoarea presiunii critice, acest lucru nu mai modifică regimul de curgere din ajutaj, debitul rămâne la valoarea maximă, iar presiunea din secţiunea de ieşire rămâne la valoarea presiunii critice.

Destinderea gazului, în acest caz, este incompletă, cazul pc din figura 6.6. În secţiunea de ieşire apare o discontinuitate a valorilor presiunii gazului, care din punct de vedere fizic se manifestă printr-o undă de şoc ce disipează excesul de energie al curentului de gaz. Observăm că la funcţionarea în regim subsonic ajutajul convergent prezintă o limitare în funcţionare, viteza maximă posibilă care se obţine cu acest ajutaj nu poate depăşi viteza sunetului în condiţiile termodinamice ale secţiunii de ieşire.

6.3 Ajutajul divergent

Ajutajul convergent figura 6.7 se mai numeşte şi difuzor. În regim subsonic,

183


acest ajutaj transformă energia cinetică a gazului în entalpie; procesele din acest ajutaj sunt similare celui dintr-un compresor.

Fig. 6.7

Notăm cu indicii 1 şi 2 secţiunile de intrare şi de ieşire ale acestui tip de ajutaj. Din ecuaţia continuităţii energiei putem determina viteza şi presiunea în secţiunea de ieşire, dacă se cunosc parametrii din secţiunea de intrare:

(6.39)

(6.40)

Din formula (6.40) observăm limita de funcţionare a acestui ajutaj. Presiunea devine maximă atunci când viteza în secţiunea de ieşire se anulează. Punând condiţia

, rezultă :

(6.41)

În condiţia , în secţiunea de ieşire a ajutajului obţinem parametrii frânaţi ai curgerii, deci starea frânată nu reprezintă numai o stare teoretică, de calcul, ci poate fi obţinută în mod real cu un difuzor, în regim subsonic.

6.4. Ajutajul convergent-divergent (Laval)

Pentru obţinerea vitezelor de curgere supersonice se utilizează ajutajul convergent-divergent (prescurtat con-div) sau Laval, după numele celui care l-a inventat (fig. 6.8). Este singurul ajutaj care permite trecerea gazului de la curgerea cu viteze subsonice la curgerea cu viteze supersonice.

184


Fig. 6.8

Considerând curgerea gazului prin ajutaj ca pornind de la parametrii frânaţi notaţi cu indicele zero, gazul se accelerează în porţiunea convergentă. O dimensionare corectă a ajutajului impune ca presiunea p la ieşirea din ajutaj să fie egală cu presiunea exterioară (cazul “d” din grafic). O altă condiţie obligatorie este ca în secţiunea minimă parametrii curgerii să devină critici, adică în secţiunea minimă viteza gazului trebuie să devină egală cu cea a sunetului, deci valoarea criteriului Mach este unu. În graficul din figură, acest caz este reprezentat de situaţia “d”. Dacă toate aceste condiţii sunt îndeplinite, atunci ajutajul este dimensionat corect şi permite destinderea completă a gazului, deci transformarea entalpiei în energie cinetică; viteza la ieşirea din ajutaj este supersonică, este viteza maximă posibilă ce se poate obţine din energia stării frânate.

Observăm că acest ajutaj este compus din două părţi: la intrare, un ajutaj convergent care lucrează la limită, adică în secţiunea minimă se obţine viteza maximă posibilă (viteza sunetului); urmează un ajutaj divergent, care lucrează în regim supersonic. Viteza la intrare în ajutajul divergent este egală cu viteza sunetului, datorită creşterii secţiunii gazul se destinde în continuare, viteza acestuia crescând la valori supersonice.

Orice altă valoare a presiunii p la ieşirea din ajutaj, diferită de valoarea cazului “d”, determină o destindere incompletă a gazului în ajutaj, caz în care viteza finală este mai mică decât viteza maximă posibilă.

Pentru valori ale presiunii ce se apropie de valoarea cazului “d”, în partea divergentă a ajutajului apar unde de şoc ce produc disiparea parţială e energiei gazului. Dacă presiunea în exteriorul ajutajului este mai mică decât valoarea cazului “d”, undele de şoc se formează chiar în secţiunea de ieşire.

185


Concluzia ce se poate trage este că pentru o anumită diferenţă de presiune rezultă o anumită geometrie a ajutajului, iar aceasta este unică. Dacă se modifică regimul de presiuni, trebuie modificată şi geometria ajutajului. Acest lucru a determinat ca la sistemele moderne de propulsie cu jet ajutajele convergent-divergente să aibă geometrie variabilă.

6.5 Undele de şoc normale ce apar la curgerea gazelor perfecte prin ajutaje

În cazul curgerii gazelor prin conducte, schimbarea regimului de curgere de la viteze supersonice la viteze subsonice se face de multe ori brusc, într-o zonă îngustă în care valorile parametrilor curgerii - viteza, presiunea, temperatura, densitatea - prezintă salturi importante. Funcţiile ce descriu aceşti parametrii prezintă, din punct de vedere matematic, discontinuităţi. Zona în care valorile parametrilor curgerii prezintă discontinuităţi poartă numele de undă de şoc.

Undele de şoc apar şi se dezvoltă şi în cazul exploziilor; frontul undă în acest caz se propagă cu viteză mare, saltul de presiune în unda de şoc este mare, astfel încât impactul cu diferitele obiecte este distructiv.

Fig. 6.9

În figura 6.9 este reprezentată o undă de şoc normală. Pentru analiza acesteia, se defineşte un volum de control ce include numai unda de şoc, reprezentat punctat. Parametrii curgerii pe faţa din stânga se vor nota cu indicele x, iar parametrii pe faţa din stânga vor fi notaţi cu indicele y.

Considerând curgerea gazului staţionară, ecuaţiile pentru volumul de control sunt următoarele:

- ecuaţia energiei :

(6.42)

- ecuaţia continuităţii:

(6.43)

- ecuaţia impusului:

186


(6.44)

Din relaţia (6.42) rezultă egalitatea entalpiilor frânate, deci şi egalitatea temperaturilor: (6.45)

Relaţia (6.27), particularizată pentru cele două stări, permite scrierea relaţiilor:

(6.46)

(6.47)

Împărţind cele două relaţii, obţinem:

(6.48)

În ecuaţia de continuitate, exprimăm densitatea din expresia ecuaţiei de stare a gazului perfect, şi obţinem:

(6.49)

În relaţia (6.49), exprimăm viteza funcţie de criteriul Mach şi viteza sunetului:

(6.50)

(6.51)

Combinând relaţiile (6.48) cu (6.51) vom obţine:

(6.52)

187


Relaţia (6.52) poartă numele de relaţia lui Fanno, iar reprezentarea grafică a curbei corespunzătoare este prezentată în figura 6.10:

Fig. 6.10

Punctul a corespunde valorii . Porţiunea de curbă aflată deasupra punctului a se caracterizează prin valori , deci viteze subsonice, iar porţiunea de curbă aflată sub punctul a corespunde valorilor , deci vitezelor supersonice. Deoarece porţiunea de sub punctul a reprezintă partea din spatele undei de şoc, iar porţiunea situată deasupra punctului a reprezintă porţiunea din faţa undei de şoc, din principiul al doilea, pentru un proces adiabat în unda de şoc se impune condiţia , rezultă că unda de şoc, în cazul curgerii gazelor, se formează numai la schimbarea regimului de curgere de la viteze supersonice la viteze subsonice.

Dacă prelucrăm ecuaţia impulsului, obţinem următoarea relaţie:

(6.53)

(6.54)

(6.55)

188


(6.56)

Relaţia de mai sus poartă denumirea de relaţia lui Rayleigh şi este reprezentă în figura 6.10. Punctul b reprezintă punctul pentru care . Segmentul de curbă situat deasupra acestui punct reprezintă zona curgerii subsonice , iar segmentul de curbă de sub punctul b reprezintă zona curgerii supersonice .

Exemplul E 6.1

Un debit de 10000 Nm3/h gaz metan (MCH4=16 kg/kmol) intră într-o staţie de distribuţie la presiunea p1=0,2 MPa şi viteza w1=25 m/s. Din staţie, acest debit este distribuit în mod egal pe patru conducte la presiunea p2=0,12 MPa şi viteza w2=20 m/s. Temperatura mediului este 20C.Să se determine: a) Debitul masic de metan ce intră în staţie; b) Diametrul conductei pe care intră gazul în staţie; c) Diametrele conductelor de distribuţie.

Soluţie:a) Debitul masic îl determinăm din debitul volumic, utilizând densitatea la starea normală, calculată din legea lui Avogadro:

b) Diametrul conductei de intrare îl determinăm din ecuaţia de continuitate.Densitatea gazului în starea 1 se determină din ecuaţia de stare:

;

c) Debitele pe cele patru conducte de distribuţie fiind egale, la fel şi parametrii gazului, rezultă că debitul de intrare este repartizat uniform pe conductele de distribuţie, deci că o conductă de distribuţie va primi un sfert din debitul masic intrat în staţie:

Exemplul E 6.2

189


Să se dimensioneze un ajutaj care să asigure destinderea unui debit de

oxigen, de la presiunea p1=0,15 MPa şi t1=27C până la presiunea p2=0,1MPa. (MO2=32 kg/kmol; k=1,4).

Soluţie:Considerând p1 presiunea frânată, determinăm temperatura critică:

Deoarece p2>p*, pentru destinderea completă a oxigenului între cele două presiuni se utilizează un ajutaj convergent. Deoarece nu se precizează viteza sau secţiunea de intrare, se dimensionează numai secţiunea de ieşire, iar secţiunea de intrare se stabileşte din condiţii constructive.Se determină parametrii în secţiunea de ieşire:

Secţiunea o determinăm din ecuaţia de continuitate:

Exemplul E 6.3

Într-un ajutaj se destinde complet CO2 de la bar şi

până la presiunea exterioară bar. Să se determine tipul ajutajului şi secţiunile

caracteristice ( , ).

Soluţie:Calculăm presiunea critică:

Deoarece se va utiliza un ajutaj convergent-divergent. Se vor calcula secţiunile

critică şi de ieşire. Pentru început, determinăm parametrii în secţiunea critică:

190


Determinăm parametrii în secţiunea de ieşire si valoarea acesteia:

191

C6

Documents

Transcript of C6