Beton Armat 2 Partea a 2-a

B.A. II

STAREA LIMITĂ ULTIMĂ LASTAREA LIMITĂ ULTIMĂ LASTAREA LIMITĂ ULTIMĂ LA STAREA LIMITĂ ULTIMĂ LA FORŢĂ TĂIETOAREFORŢĂ TĂIETOARE

Conform Eurocod EN 1992-1-1

Şef lucrări dr.ing. Eugen LozincăCatedra Construcţii de Beton Armat

UNIVERSITATEA

TEHNICA

B.A. II Metoda de calcul din EN 1992-1-1

Metoda de calcul din EN 1992-1-1Metoda de calcul din EN 1992-1-1

Este denumită “The variable strut inclination method”

Se bazează pe modelul grinzii cu zăbrele (Ritter-Mörsch)zăbrele (Ritter-Mörsch)

Ecuaţiile din EN 1992-1-1 au la bază o importantă componentă empirică


UNIVERSITATEA

TEHNICA

2


Elemente care nu necesită armături transversale pentru preluarea forţei tăietoare

Într-un element nefisurat, forţa tăietoare este

p p ţ

, ţpreluată prin eforturi principale de compresiune şi întindere în beton. Depăşirea rezistenţei la ş p ş ţîntindere a betonului duce la apariţia fisurilor înclinate în inima grinzii.g

Fisurile delimitează o serie de “dinţi” de beton, încastraţi în zona comprimatăîncastraţi în zona comprimată.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

3



Transmiterea forţei tăietoare se face în această situaţie

p p ţ

prin următoarele mecanisme:

- Forţe de lunecare preluate de betonul din zona ţ pcomprimată

- Forţe de frecare între feţele fisurilorForţe de frecare între feţele fisurilor

- Forţe datorate efectului de dorn al armăturilor longitudinalelongitudinale


UNIVERSITATEA

TEHNICA

4


Elemente care nu necesită armături transversale pentru preluarea forţei tăietoarep p ţ

Dacă fisurile nu afectează transmiterea eforturilor de lunecare, eforturile de forfecare au, pe înălţimea

secţiunii, o distribuţie cu o valoare maximă, constantă â î


UNIVERSITATEA

TEHNICA

5

din axa neutră şi până la armătura întinsă.


Elemente care nu necesită armături transversale pentru preluarea forţei tăietoarep p ţ

Dacă fisurile nu transmit deloc forfecare, “dintele” ,lucrează ca o consolă sub acţiunea forţei transmisă prin

aderenţă de armătura longitudinală.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

6



Situaţia reală este intermediară între cele două cazuri

p p ţ

extreme, iar un model analitic de calcul este dificil de realizat.

În consecinţă s-a adoptat o formulă empirică, care conţine toţi factorii importanţi puşi în evidenţă de î i iîncercările experimentale:

- dimensiunile secţiunii: bw şi d

- proprietăţile mecanice ale betonului: fck

coeficient l de armare longit dinală întinsă: ρ A /b dŞef lucrări dr.ing. Eugen LozincăCatedra Construcţii de Beton Armat

UNIVERSITATEA

TEHNICA

7

- coeficientul de armare longitudinală întinsă: ρl=As/bwd



⇒ Forţa tăietoare capabilă:

p p ţ

( )[ ] ( ) dbkVdbkfkCV wcpminminc,Rdwcp

/cklc,Rdc,Rd σνσρ 11

31100 +=≥+=


UNIVERSITATEA

TEHNICA

8



⇒ Forţa tăietoare capabilă:

p p ţ

( )[ ] ( ) dbkVdbkfkCV wcpminminc,Rdwcp


31100 +=≥+=


UNIVERSITATEA

TEHNICA

9



Dacă valoarea de proiectare a forţei tăietoare, VEd, lt tă di i d f bilă bi ţi d

p p ţ

rezultată din cea mai defavorabilă combinaţie de încărcări:

c,RdEd VV <

NU ESTE NECESARĂ ARMĂTURĂ TRANSVERSALĂ pentru preluarea forţei tăietoare generată de încărcările

exterioare aplicate şi eventual din precomprimare


UNIVERSITATEA

TEHNICA

10



!!! Chiar dacă nu sunt necesare armături pentru forţă tăi t d ăt ă t lă i i ă

p p ţ

tăietoare, se prevede o armătură transversală minimă:

( )sw f/fA 080( ) ykckmin,ww

sww f/f.

sbA 080=>= ρρ

Ob 1 A tă ăt ă i i ă t it l l t lObs.1: Această armătură minimă se poate omite la elemente la care este posibilă redistribuirea transversală a încărcărilor, ca spre exemplu la plăci (pline, nervurate sau chesonate).

Obs.2: Armătura minimă poate, de asemenea, lipsi la elemente secundare (ex: la buiandrugi cu deschidere < 2 m) care nu contribuiede manieră semnificativă la rezistenţa şi stabilitatea structurii


UNIVERSITATEA

TEHNICA

11

de manieră semnificativă la rezistenţa şi stabilitatea structurii.


Elemente CARE NECESITĂ armături transversale pentru preluarea forţei tăietoare

Dacă valoarea de proiectare a forţei tăietoare, VEd, lt tă di i d f bilă bi ţi d

p p ţ

rezultată din cea mai defavorabilă combinaţie de încărcări:

c,RdEd VV ≥

ESTE NECESARĂARMĂTURĂ TRANSVERSALĂ pentru preluarea forţei tăietoare generată de încărcările

exterioare aplicate şi eventual din precomprimare


UNIVERSITATEA

TEHNICA

12



Se bazează pe modelul grinzii cu zăbrele (Ritter-Mörsch)

p p ţ

Grinda este modelată ca o grindă cu zăbrele plană:

talpa comprimată reprezintă zona comprimată de p co p ep e o co p debeton (din încovoiere)

talpa întinsă reprezintă armătura longitudinală întinsătalpa întinsă reprezintă armătura longitudinală întinsă

montanţii întinşi reprezintă etrierii

diagonalele modelează bielele comprimate din beton formate în inima grinzii


UNIVERSITATEA

TEHNICA

13


Elemente CARE NECESITĂ armături transversale pentru preluarea forţei tăietoarep p ţ

Grindă lungă cu armăturile principale (de rezistenţă)Zona Bielă

comprimată de beton

comprimată înclinată

Armătura întinsă Etrieri întinşi


UNIVERSITATEA

TEHNICA

14

Modelul de grindă cu zăbrele



Se presupune că toate fisurile înclinate fac acelaşi unghi θcu axa grinzii acesta fiind şi unghiul de înclinare al

p p ţ

cu axa grinzii, acesta fiind şi unghiul de înclinare al diagonalelor grinzii cu zăbrele.

G i di l l t i i i ă i i ii bGrosimea diagonalelor este grosimea minimă a inimii, bw.

Se presupune de asemenea că la SLU toate elementele grinzii cu zăbrele sunt în domeniul plastic, respectiv în etrieri şi armăturile longitudinale efortul unitar este fywd, respectiv f în talpa comprimată este egal cu f iar înrespectiv fyd, în talpa comprimată este egal cu fcd, iar în betonul diagonalelor cu fcd2 = νfcd (redus din cauza stării biaxiale de eforturi).


UNIVERSITATEA

TEHNICA

15

)



Modelul adoptat în EC2 nu ţine seama de eforturile de lunecare preluate prin zona comprimată şi prin frecarea

p p ţ

lunecare preluate prin zona comprimată şi prin frecarea între fetele fisurii înclinate.

V ifi l f ţă tăi tVerificarea la forţă tăietoare presupune:

I. Verificarea la compresiune a bielelor de beton (diagonalele GZ)

II. Verificarea la întindere a armăturii transversale (montanţii GZ)

III. Verificarea armăturii longitudinale la întinderea


UNIVERSITATEA

TEHNICA

16

gsuplimentară generată de forţa tăietoare



I. Verificarea la compresiune a bielelor de beton

w

2dEdEd fVsin/V

≤==θσ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

17

2cdww

cw fcossinzbcoszb

≤⋅

=⋅

=θθθ

σ




Pentru a ţine cont de starea biaxială de eforturi (întindere-compresiune), rezistenţa la compresiune a betonului se

⎪⎫

corectează astfel:

ckck

cdck

cdcd

ff.ff.

ff

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⇒

⎪⎪⎪

⎬⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=

140160 21

12

ν

ν

ckcd

cck

cd .;ff

⎟⎠

⎜⎝

⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎬

==

⎟⎠

⎜⎝ 250

0

501

25060 21

γ

ν


UNIVERSITATEA

TEHNICA

18

cc

cd ; ⎪⎭

γγ




( )⎩⎨⎧

+≈

θθθθθ 250190

sintancot/cossind.z

Cum:

Înlocuind, valoarea maximă a forţei tăietoare, asociată

( )⎩ =+= θθθθθ 2501 sin.tancot/cossin

ffdb ck ⎟⎞

⎜⎛1360

zdrobirii betonului din diagonalele comprimate, este:

θθ tancot

fdb.V

ckck

w

max,Rd +

⋅⎟⎠

⎜⎝−⋅⋅

= 2501360


UNIVERSITATEA

TEHNICA

19




Eurocodul EN 1992-1-1 limitează înclinarea bielelor la:

1524522 ≥≥⇒°≤≤° θθ cot.

ck ffdbV ⎟⎞

⎜⎛° 1124022 ck ffdbV ⎟

⎞⎜⎛° 118045

ckck

w fdb.Vmax,Rd

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

2501124022

ckck

w fdb.Vmax,Rd

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅=

250118045


UNIVERSITATEA

TEHNICA

20




Dacă bielele comprimate înclinate de beton nu rezistă, astfel încât este necesară mărirea

°>⇒> ° 4545 θmax,Rd

VVEdbeton nu rezistă, astfel încât este necesară mărirea secţiunii sau a clasei de beton.

Dacă se limitează unghiul fisurilor°<⇒< ° 2222 θVVEdDacă se limitează unghiul fisurilor înclinate la , respectiv .

Dacă se calculează:

<⇒< 22θmax,Rd

VVEd°= 22θ 52.cot =θ

°° << 4522 VVVDacă se calculează:<<max,Rdmax,Rd

VVV Ed

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

=°<⎥⎤

⎢⎡

=<° −− EdEd VsinVsin 504525022 11 θθ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

21⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ ⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=<⎥⎦

⎢⎣

=<

ckck

wcdw ffdb.

sin.zfb

sin.

2501180

504550222

θθ



II. Verificarea la întindere a armăturii transversale

Asw – aria totală a secţiunilor braţelor erticale ale n i

VEdAswσswθ

z≈0,9dbraţelor verticale ale unui plan de etrieri;

s – distanţa (pasul) dintre ţ (p )etrieri

dEd fV

≤=σ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

22

ywd

sw

sw f

scotzA

≤= θσ




θθσcotzf

VsAfcotzA

Vywd

Edswywd

Edsw ⋅

≥⇒≤=Dinθcotzfs

sA ywdsw

Cum: 15190 .,/ffywd;d.z ssywk ==≈ γγy ssywk γγ

θcotdf.V

sA

ywk

Edsw⋅⋅

≥780


UNIVERSITATEA

TEHNICA

23

ywk




Deci, după determinarea (alegerea) unghiului θ, condiţia d i t ţă i f ţ tăi t tă dde rezistenţă impune ca forţa tăietoare generată de încărcări să fie inferioară forţei tăietoare capabile:

θcotdfAVV ksw

RdEd ⋅⋅=≤ 780 θcotdf.s

VV ywks,RdEd =≤ 780


UNIVERSITATEA

TEHNICA

24




Pentru a respecta condiţia de non-fragilitate, respectiv pentru a evita ruperea bruscă a etrierilor în momentul pe u ev upe e b usc e e o o e ufisurării betonului, trebuie prevăzută o armare transversală minimă:

ywk

ckw

minsw

ff

b.sA

sA sw 080=≥

ywk

fA

⇓


UNIVERSITATEA

TEHNICA

25ywk

ckmin

w

sww f

f.

sbA

w080=≥= ρρ



III. Verificarea armăturii longitudinale la întinderea suplimentară generată de forţa tăietoaresuplimentară generată de forţa tăietoare

ww

O

VEdcot θ

MEd

Ftd

Ecuaţia de moment în O: ⋅−⋅=θcoszVzFM Ed

tdEd


UNIVERSITATEA

TEHNICA

26

Ecuaţia de moment în O:

⇓2θsin

zFM tdEd




MEd θθ cotV.FcotV.zMF EdtdEdEd

td ⋅=Δ⇒⋅+= 5050

Forţa de întindere din armătura longitudinală sporeşte faţă de valoarea generată de momentul încovoietorfaţă de valoarea generată de momentul încovoietor

datorită componentei orizontale a forţelor de compresiune din bielele înclinate de beton.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

27




θcotVF =Δ 50 θcotV.F Edtd ⋅=Δ 50

La proiectare trebuie să se ţină cont de acest supliment tât l t bili t l d idi i î tatât la stabilirea punctelor de ridicare şi întrerupere a

armăturilor longitudinale, cât şi la ancorarea armăturilor în zona de reazem


UNIVERSITATEA

TEHNICA

28

armăturilor în zona de reazem.




lbd

llbd

La reazemele marginale simplu rezemate, chiar dacă MEd=0, efortul în armatură la faţa reazemului nu este nul În consecinţă


UNIVERSITATEA

TEHNICA

29

efortul în armatură la faţa reazemului nu este nul. În consecinţă, pe reazem, armătura trebuie ancorată la forţa ΔFtd.



Dacă reprezentăm grafic modul de variaţie al funcţiilor:

( )θθ cots

A/sA

cotzfV

sA swswEdsw 145 =°⇒=

θθ cotsscotzfs ywd ⋅

( )/ ( ) θθ cotF/FcotV.F tdtdEdtd =°ΔΔ⇒⋅=Δ 4550

( ) θθθθ tancotVV

tancotfzbV

max,Rd

max,Rdcdwmax,Rd +

=°

⇒+⋅

=2

452


UNIVERSITATEA

TEHNICA

30



1.8

2.0

AswFΔ

1.2

1.4

1.6

( )°45swswsA/

sA

sAswtdFΔ

0.8

1.0

1.2

( )°ΔΔ 45

maxRd

tdtd

V

F/F

maxRdV

0.2

0.4

0.6( )°45max,Rd

max,Rd

Vmax,RdV

0.0

0.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90( )°θ


UNIVERSITATEA

TEHNICA

31



Pe măsură ce scade înclinarea θ a diagonalelor, tit t ă d ăt ă t lăcantitatea necesară de armătură transversală se

reduce, însă creşte forţa suplimentară de întindere din armătura longitudinalădin armătura longitudinală

Valoarea maximă a forţei de compresiune din bielele înclinate de beton corespunde unghiului θ = 45°înclinate de beton corespunde unghiului θ = 45


UNIVERSITATEA

TEHNICA

32


Calculul practic pentru grinzile cu ETRIERI VERTICALI

Problema de VERIFICARE (Caz I)

Se cunosc: b h A A s f f şi VSe cunosc: b, h, As1, Asw, s, fcd, fywd şi VEd

Se cere: Să se verifice dacă VRd ≥ VEd

Dacă se cunoaşte VEd ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒ −

2

1 250cdw

EdzfbVsin.θPas 1

Dacă °< 22θ Dacă °<<° 4522 θ Dacă

Grinda cedează la

°> 45θ

forţă tăietoare prin zdrobirea diagonalei comprimate de betond

d.z;.cot⇓

≈= 9052θ

fcotd

d.z

θ⋅⇓

≈ 90Pas 2


UNIVERSITATEA

TEHNICA

33

ywdswRd fAsd.V ⋅= 252 ywdswRd fA

scotd.V θ

= 90



Problema de VERIFICARE (Caz II)

Se cunosc: b h A A s f fSe cunosc: b, h, As1, Asw, s, fcd, fywd

Se cere: Capacitatea la forţă tăietoare VRd

ÎÎn acest caz, unghiul θ se determină astfel încât să se realizeze echilibrul de forţe în nodurile GZ, respectiv punând condiţia:

Pas 1s,Rdmax,Rd VV =

⎟⎞

⎜⎛

⇒=+

θθθ

cotzfsA

tancotzfb

ywdswcdw 2

⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎛

−= −

111

2

1

cdftanθ

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

1ywdw fρ

Identic cu cel asociat problemei de verificare (Caz I)Pas 2


UNIVERSITATEA

TEHNICA

34



Problema de DIMENSIONARE

Se cunosc: b h A f f VSe cunosc: b, h, As1, fcd, fywd , VEd

Se cere: Armătura transversală necesară (Asw, s)

Se calculează capacitatea la forţă tăietoare a betonului simplu (nearmat):Pas 1

( )[ ] ( ) dbkVdbkfkCV min/ 31100 +≥+( )[ ] ( ) dbkVdbkfkCV wcpminminc,Rdwcp


31100 +=≥+=

Dacă VEd < VRd,c nu este necesară armătură transversală. Aceasta se dispune pe criterii constructive.

Dacă VEd > VRd,c ESTE NECESARĂ armătură transversală pentru

preluarea forţei tăietoare.


UNIVERSITATEA

TEHNICA

p p p ţ

35



Problema de DIMENSIONARE

Se cunosc: b h A f f VSe cunosc: b, h, As1, fcd, fywd , VEd

Se cere: Armătura transversală necesară (Asw, s)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= −

2

1 250cdw

EdzfbVsin.θPas 2 Se determină:

Dacă °< 22θ Dacă °<<° 4522 θ Dacă °> 45θ

Se impune mărirea inimii secţiunii de

betonEdsw VA

d.z;.cot

≥

⇓

≈= 9052θ

VA

d.z

Edsw ≥

⇓

≈ 90Pas 3


UNIVERSITATEA

TEHNICA

36

betonywd

Edswfd.s ⋅⋅

≥252 θcotfd.s ywd

Edsw⋅⋅

≥90


Grinzi cu ETRIERI ÎNCLINAŢI

Talpa comprimată Biele Talpa întinsă Etrieri înclinaţi

αθ cotcot +

( )θαθ

AcotcotcotzfbV cdwmax,Rd

++

=1 22

( )

( )αθ

ααθ

cotcotV.F

sincotcotzfsAV

Edtd

ywdsw

s,Rd

−=Δ

+⋅=

50


UNIVERSITATEA

TEHNICA

37

( )Edtd


Grinzi cu ETRIERI ÎNCLINAŢI

Talpa comprimată Biele Talpa întinsă Etrieri înclinaţi

Di i il î li i d f dDispunerea etrierilor înclinaţi reduce forţa de compresiune în biela diagonală şi măreşte astfel forţa tăietoare care poate fi preluată de betontăietoare care poate fi preluată de beton.

Dispunerea etrierilor înclinaţi reduce forţa de întindere din armatura longitudinală


UNIVERSITATEA

TEHNICA

38

întindere din armatura longitudinală.


Lungimea de

Grinzi cu armături longitudinale înclinateancorare

Asw,i Asw,i

αsinfAV ydi,swi,wd ⋅=

EC2 impune o distanţă maximă între punctele de ridicare a barelor înclinate:

( )

EC2 impune ca cel puţin 50% din forţa tăietoare să

( )αcotd.s +≤ 160


UNIVERSITATEA

TEHNICA

39

EC2 impune ca cel puţin 50% din forţa tăietoare să fie preluată cu armătură sub formă de etrieri.


Condiţia de evitare a cedării casante (fragile)

Pentru a evita apariţia unei cedări casante prin zdrobirea diagonalei comprimate de beton este necesar ca forţa tăietoare ce produce intrarea în curgere a etrierilor să fie inferioară forţei tăietoare la care se zdrobeşte

°=45θ

diagonala de beton. Deoarece valoarea maximă a forţei de compresiune din diagonala de beton corespunde unui unghi θ=45°, din condiţia:

=≤ 45θmax,RdS,Rd VV

se obţine cantitatea maxim admisă

4444444444444 84444444444444 76

de armătură transversală:

86

ywdcdwmax,sw

ywdcd

wmax,sw

ff

sinb.

sA

ffb.

sA 22 5050

α⋅=⋅=


UNIVERSITATEA

TEHNICA

40

Grinzi cu etrieri verticali Grinzi cu etrieri înclinaţi

Beton Armat 2 Partea a 2-a

Documents

Transcript of Beton Armat 2 Partea a 2-a