Bazelemecanisme

7/16/2019 Bazelemecanisme

http://slidepdf.com/reader/full/bazelemecanisme 1/255

A d r i a n a C O M Ă N E S C U

D i n u C O M Ă N E S C U Ile an a D U G Ă E Ş E S C U

A d r i a n B O U R E C I

BAZELE

MODELĂRII MECANISMELOR

M l l i i m P O L I T E H N I C A P R E S SHIICIIros t i , 2010



CUPRINS

1. M o d e l are a s t r u c t u ra l ă a l a n ţ u r i l o r c i n e m a t i c e ş i a m e ca n i s m e l o r p l a n e 9 1.1. C onsideraţii generale 9 1.2. Teorema de echivalare a cuplelor superioare 9 1.3. Soluţii structurale pentru lanţurile cinematice cu grad de mobilitate nul.

G rupe modulare pasive 10 1.4. Soluţii structurale pentru lanţurile cinematice cu grad de mobilitateunitar. G rupe modulare active monomobile 14

1.5. Soluţii structurale pentru lanţurile cinematice bimobile. Grupe modulare active bimobile 15

1.6. Proiectarea structural-constructivă a unui sistem bimobil pentru piciorulunei platforme păş itoare 18

1.7. Caracteristici structural-constructive ale unor sisteme pentru controlul optimal al maşinilor agricole 22

2. M o d e l a re a c i n e m a t i că a g ru p e l o r m o d u l a re p a s i ve ş i a c t i ve 29 2.1. C onsideraţii teoretice 29 2.2. Modelul poz iţional-cinematic al bipletei de translaţie 30 2.3. Modelul poziţional-cinematic al diadei RRR 32 2.4. Modelul poziţional-cinematic al diadei RRT 33 2.5. Modelul poziţional-cinematic al diadei RTR 35 2.6. Modelul poziţional-cinematic al diadei TR T 37 2.7. Modelul poziţional-cinematic al diadei RTT 39 2.8. Modelul poz iţional-cinematic al triadei 6R 422.9. Modelul poziţional-cinematic al grupei modulare active RTRR 44

3 . M o d e l a re a c i n e t o s t a t i că a g ru p e l o r m o d u l a re p a s i ve ş i a c t i ve 4 6 3.1. C onsideraţii teoretice 463.2. Module de calcul ierarhizate inferior 47 3.3. Modelul de calcul cinetostatic al diadei RRR 49 3.4. Modelul de calcul cinetostatic al diadei R R T 51 3.5. Modelul de calcul cinetostatic al diadei RTR 53 3.6. Modelul de calcul cinetostatic al diadei TR T 55 3.7. Modelul de calcul cinetostatic al diadei RTT 56 3.8. Modelul de calcul cinetostatic al triadei 6R 58

3.9. Modelul de calcul cinetostatic al tetradei 6R 603.10. Modelul de calcul cinetostatic al grupei modulare active iniţiale 623.11. Modelul de calcul cinetostatic al grupei modulare active 4R 633.12. Modelul de calcul cinetostatic al grupei modulare active RTR R 653.13. Modelul de calcul cinetostatic al grupei modulare bimobile 5R 68

4 . M o d e l a rea c i n e m a t i c ă a r o b o ţ i l o r p ă ş i t o r i cu se cv e n ţ ă f i xă 7 1 4.1. Soluţii constructive şi structurale 71 4.2. Modelarea structural-c inematică a robotului păş itor tip gândac 72 4.3. Modelarea structural-c inematică a robotului păş itor tip crab 78

4.4. Modelarea structural-cinematică a robotului păş itor tip păianjen 83

5. M o d e l a re a d e p l a să r i i p l a t f o rm e l o r b i p e d e 90 5.1. Modele privind stategiile de deplasare a roboţilor bipezi 90 5.2. Modele de deplasare a platformei roboţilor bipezi 92

7



5.3. Modele de deplasare pentru elementul de execuţie al pedipulatorulul... 95 5.4. Modele structurale pentru roboţi bipezi 98 5.5. Algoritmul programului de modelare a deplasării robotului biped

în sis temul start-stop 1015.6. P arametrii cineto-dinamici pentru modelarea deplasării robotului

biped în sis temul start-stop 103

6 . M o d e l a re a c i n e t o -d i n a m i că a m e ca n i s m e l o r - a p l i ca ţ i i 1 08

7 . M o d e l a re a sc h e m e l o r c i n e m a t i ce a l e m e ca n i s m e l o r î n m e d i i a va n s a t e d e p r o i e c t a r e 258

7.1. P roiectarea schemei cinematice a mecanismului R -R R R -R R T 258 7.2. P roiectarea schemei cinematice a mecanismului R -R R R -R R T 2627.3. Modelarea unui element cinematic 265

8 . B ib l i og ra f i e 269

8



1. MODEL A REA STRUCTURAL ĂA LANŢURILOR CINEMATICE Ş l A MECANISMELOR PLANE

1 .1 . Con s id e ra ţ i i g ene ra lePentru sinteza structurală a mecanismelor plane, inclusiv a mecanismelor cu came

se utilizează soluţiile lanţurilor cinematice existente în literatura de specialitate. Acestea auconstituit obiectul de cercetare a mai multor generaţii şi au fost utilizate pentru diverse

categorii de mecanisme constituind totodată sursa unor soluţii constructive pentru roboţiiseriali sau paraleli.

Lanţul cinematic sau sistemul cinematic este un ansamblu de elemente cinematiceconectate prin cuple cinematice.

Gradul său de libertate L se calculează prin diferenţa dintre gradele de libertate aleelementelor considerate libere şi condiţiile de legătură impuse de cuplele cinematice.

Notând prin n numărul elementelor, prin c numărul cuplelor inferioare (de rotaţiesau translaţie în cazul sistemelor plane) şi prin s numărul cuplelor superioare, relaţiagradului de libertate L, cunoscută ca formula lui Cebâşev, este

L-?>n-2c-s (1.1)

în cazul mecanismelor monomobile, relaţia (1.1) particularizată sub forma

2c + s - 3 r c + 4 = 0 (1-2)

se cunoaşte ca relaţia lui Grubler.Transformarea unui lanţ cinematic având cuple superioare într-un lanţ cinematic

echivalent exclusiv cu cuple inferioare se face prin egalitatea

3n - 2c - s = 3(/î + ri) - 2(c + c')v ' v ' (1.3)

astfel că

c '=(3n '+ j ) /2 O- 4)

unde c', n'e N sunt respectiv cuplele cinematice inferioare şi elementele cinematiceadăugate în lanţ. Relaţia (1.4) conduce prin particularizare la clas ica teoremă deechivalare a cuplelor superioare.

1 .2 . Teo rem a de ech i va la re a cu p le lo r su pe r io a reTeorema de echivalare a cuplelor superioare este particularizarea relaţiei (1.4)

pentru s = 1, n'=1, ceea ce determină c' = 2 astfel că teorema are următoarea formulare:O cuplă superioară este echivalentă cu un element cinematic şi două cuple cinematiceinferioare p lasate în centrele de curbură ale curbelor ce determ ină cu pla superioarărespectivă (fig. 1.1).

Cuplele cinematice inferioare sunt de rotaţie pentru centre de curbură situate ladistanţă finită (fig.1.1.a) sau de trans laţie pentru cele plasate la infinit (fig.1.1 .b,c).Echivalarea este instantanee, fiind dependentă de poziţia elementelor în contact.

9



Teorema de echivalare este utilizată atât pentru analiza cât şl pontru sintezastructurală a mecanismelor plane cu came.

Fig.1.1

Din soluţiile structurale ale lanţurilor cinematice fundamentale plane (care au numaicuple cinematice inferioare) se pot obţine soluţii având cuple cinematice superioare, ocuplă superioară impunând substituirea unui element şi a două cuple cinematice inferioare(de rotaţie şi/sau de translaţie). Acesta este motivul pentru care atenţia cercetătorilor s-afocalizat către sinteza lanţurilor fundamentale.

1 .3 . So lu ţ i i s t ruc tu ra le pen t ru l an ţu r i l e c i nemat i ce cu g radd e m o b i l it a t e n u l . G r u p e m o d u l a r e p a s i vePentru sinteza structurală a mecanismelor plane, inclusiv a mecanismelor cu came

se utilizează soluţiile lanţurilor cinematice existente.Se acceptă în consecinţă ca relaţie a gradului de libertate L pentru lanţurile

cinematice plane fundamentale relaţiaL = 3/î - 2c (1.5)

Elementele cinematice şi contururile independente sunt definite prin clasa dată denumărul cuplelor cinematice adiacente. Astfel, un element de clasă i are i cuple

cinematice inferioare.Rezultă deci că pentru un lanţ cinematic fundamental plan cu n elemente

cinematice şi c cuple cinematice se pot scrie următoarele relaţii:

10



I > , d - 7)c = —

2

L = n 2 - £ ( ; - 3 k (1.8)

lW fiind numărul de contururi independente.

Relaţiile precedente evidenţiază următoarele:

- numărul total al elementelor de clase impare este par, adică = 2 h ;

- gradul de libertate nu este influenţat de numărul elementelor ternare n, .

Din relaţiile anterioare se pot obţine ecuaţiile generale de sistematizare a lanţurilorcinematice plane sub forma

n = 2 (N - ] ) + L = 2N + M+ ]

c = 3(N - l) + L = 3N + M

n2 - L = £ ( / - 3 ) n ,1=4

n-L = Y J(i~2)n i =2(N-\)

Ecuaţiile (1.11) se soluţionează în numere întregi pozitive şi deci

(1.10)

(1.11)

n>n,>L> 0 (1.12)

minn, - L n — L

n,- > n , > 0 i>3 (1.13)i—3 i-2

fiind utilizate în sinteza structurală a lanţurilor cinematice fundamentale plane.

P entru lanţurile cinematice cu gradul de mobilitate nul, M= 0 ceea ce co respundeunui grad de libertate L=3, se deduc relaţiile

n = 2N + \ c = 3N (1.14)astfel că

n2 - 3 = £ ( / ' - 3 ) «

f=4h - 3 = Y (t - 2)n = 2(N -1)

n (1.15)Relaţiile (1.10) pot fi rescrise ca

n-\ = 2N + M c = 3N + M(1.16)

saum = 2N + M c = 3N+M (1.17)

m fiind numărul elementelor mobile (w = « - l ) , i a r A ' >0 , M > 0 .Relaţiile (1.17) şi (1.15) au fost utilizate pentru sistematizarea lanţurilor cinematice

cu M = 0 şi N = 1,2,3,4, cunoscute ca fiind grinzile Baranov (Baranov t russes -BT), şicare sunt prezentate în tabelul 1.1. Acestea, în număr de 33, sunt menţionate în literaturade specialitate.

11



Tabelul 1.1

12



Tabelul 1.1 (continuare)

Din soluţiile grinzilor Baranov - prin eliminarea unui element, cuplele cinematice ale«cestuia devenind cuple potenţiale - se obţin grupele modulare pasive.

Grupa modulară pasivă este un lanţ cinematic deschis, nedecompo zabil,caracterizat p rintr-un grad de mo bilitate nul.

în literatura de specialitate sunt menţionate 13 astfel de grupe, în tabelul 1.2ncestea fiind puse în corelaţie cu grinzile Baranov. Grupele modulare pasive (GMP) seconectează într-un sis tem prin cuplele potenţiale, o cerinţă esenţială fiind ca acestea sănu fie legate la acelaşi element cinematic.

Tabelul 1.2

Gr i n d a B a ra n o v (B T ) G r u p a m o d u l a r ă p a s i v ă(GM P )

a ^ o B T 1 / \ G M P 1

B T 2

A AA \> G M P 2

B T 2

GM P 3

13




1 .4 . So lu ţ i i s t ruc tu ra le pen t ru l an ţu r i l e c i nemat i ce cu g rad dem o b i l i t a t e u n i t a r . G r u p e m o d u l a r e a c t i ve m o n o m o b i l e

Lanţurile cinematice cu un grad de mobilitate (M = 1), adică gradul de libertate (L =4)au ca relaţii caracteristice relaţiile (1.17, 1.15). Soluţiile acestora sunt redate în tabelul 1.3pentru lanţurile cu N= 1, 2, 3.

Tabelul 1.3

4®

CE I O i X )n P

14

Din aceste lanţuri, precum şi din cel cu N= O generator al bipletei (ansamblu formatdin două elemente conectate printr-o cuplă cinematică) se pot obţine grupele modulareactive cu un grad de mobilitate. Acestea se obţin analog celor pasive, adică prinollminarea unui element cuplele acestuia devenind cuple potenţiale, de legătură în diverseilsteme.

Grupa mod ulară activă cu un grad de mobilitate reprezintă un lanţ cinematict l osch is , nedecom pozabil şi cu o cuplă cinematică activă.

C âteva dintre aces te grupe modulare active cu un grad de mobilitate suntprezentate în tabelul 1.4.

Tabelul 1.4

Astfel, prima grupă modulară se obţine din biletă, cea de a doua din lanţulpatrulater, următoarele două din lanţul cinematic Watt, iar ultimele din lanţul cinematicStephenson.

1 .5 . So lu ţ i i s t ruc tu ra le pen t ru l an ţu r i l e c i nemat i ce b imob i l e .G r u p e m o d u l a r e a c t i ve b i m o b i l e

Pentru lanţurile cinematice bimobile (M=2, L=5) relaţiile caracteristice sunt:

n = 2N + 3 c = 3 N + 2 (1-18)

rt2-5 = £ ( ; - 3 )n , . « - 4 = T (<- 2 ) n i (1-19)1=4 i=3

deduse din (1.10, 1.11).

15



Soluţiile acestor lanţuri cinematice bimobile pentru /\fc1,2,3 sunt rodnlo In tnbolul 1.5.

Tabelul 1.5




Din lanţurile menţionate se pot obţine grupe modulare active cu două grade demobilitate. Acestea sunt nedecompozabile, cuplele potenţiale fiind cele ale elementuluiollmlnat din structură. Câteva dintre aceste grupe modulare sunt prezentate în tabelul 1.6.

Tabelul 1.6

0 c nLanţurile cinematice stau la baza proiectării structurale şi constructive a sistemelor

mecanice cu diverse grade de mobilitate.Includerea soluţiilor în software-uri avansate de proiectare oferă avantaje deosebite

In ceea ce priveşte proiectarea, optimizarea, simularea şi animarea sistemelor.în cazul sistemelor bimobile sau multimobile, implementarea acestora ar presupum»

o serie de etape de cercetare care includ:• specificarea pos ibilelor baze şi efectori,• verificarea acestora prin modelul structural invers caracterizat printr-un grad du

mobilitate instantaneu nul,• se lectarea soluţiilor optime structural-constructive pe baza acelor soluţii cu

includ un număr minim de grupe modulare pasive,• amplasarea în structură a cuplelor cinematice active (actuatori),• selectarea prin modele structurale directe a sis temelor optime structural-

constructive, care să conţină un număr minim de grupe modulare active şipasive.

Astfel, piciorul bimobil al platformei Stewart (fig.1.2) are la bază lanţul cinematiclilcontur şi cu două grade de mobilitate (fig.1.3), care este menţionat în tabelul 1.5.

17



RTR(1,2) RTR(4,5)

RRR(3,6)

RTRR(4,5,6)

RTRR(1,2,3)

Modelul structural invers (fig. 1.4) este constituit din trei grupe modulare pasive detip diadă, iar modelul structural direct (fig.1.5) este compus din două grupe modulareactive de tip RTRR.

Fig.1.2 Fig.1.3

Fig.1.4 Fig.1.5

1 .6 . P r o i e c t ar e a s t r u c t u r a l - co n s t r u c t i vă a u n u i s i s t e m b i m o b i lp e n t r u p i c i o r u l u n e i p l a tf o r m e p ă ş i t o a r e

P roiectarea unui astfel de picior, numit şi pedipulator, se face pe baza unui lanţcinematic plan cu gradul de libertate L = 5, ceea ce corespunde unui grad de mobilitateM = 2 (gradul de mobilitate exprimă numărul gradelor de libertate ale sistemului în raportcu unul dintre elementele sale).

Din cele 40 de lanţuri cinematice plane cu trei contururi independente stabilite înliteratura de specialitate şi prezentate în tabelul 1.5 se selectează lanţul din figurai .6.

4

Fig.1.6

Etapele de lucru sunt următoarele:1 . S t a b i l i r e a ca ra c t e r i s t i c i l o r s t r u c t u ra l e a l e l a n ţ u l u i c i n e m a t i c se l e c t a t .

1.1. Caracter is t ic i s t ru ctu rale:- numărul total de elemente cinematice n = 9- numărul cuplelor cinematice inferioare (cuple de rotaţie sau detranslaţie care sunt caracterizate printr-un număr de restricţii k = 2în plan)

c= 11

18



număr de contururi independente N = c-n + 1

N = 11 - 9 + 1

= 3

clasa contururilor independente cl| = 4 c Im = 4clin = 5

1.2. Determinarea gradului de mobi l i tate:

M=3 (n-1) - 2 c M= 3 x 8 - 2 x 1 1 = 2

2 . S e l ec t a re a p o s i b i l e i b a ze ş i a e f e c t o ru l u i p e n t ru so l u ţ i i l e s t r u c t u ra l e .La selectarea bazei şi efectorului trebuie să se aibă în vedere următoarele teoreme:

11. Efectorul trebuie să aibă în raport cu baza o mişcare plan-paralelă dependentă de doiparametri independenţi în conformitate cu gradul de mobilitate M= 2 cerut sistemului.T2. Efectorul nu poate fi adiacent bazei.T3. Baza şi efectorul nu pot aparţine aceluiaşi lanţ patrulater (fig.1.7.a), aceluiaşi lanţ Watt(flg.1.7.b) sau S tephenson (fig.1.7.c).

a)

Q - -O

-O

b)

Fig.1.7c)

2.1. Pe baza teorem elor anter ioare se real izează m atr icea p osib i le lor baze ş l

n toc t o r i .

elementul 1 2 3 4 5 6 7 8 91 0 0 0 0 0 1 1 1 02 0 0 0 0 0 1 1 1 0

3 0 0 0 0 0 1 1 1 04 0 0 0 0 0 1 1 1 05 0 0 0 0 0 0 1 1 06 1 1 1 1 0 0 0 1 17 1 1 1 1 1 0 0 0 18 1 1 1 1 1 1 1 0 19 0 0 0 0 0 1 1 0 0

Observaţ ie: Matricea este pătrată, simetrică şi cu elementele diagonalei principalenule (baza nu poate fi în acelaşi timp efector).

2.2. Selectarea un ei baze ş i a un ui efector din m atr icea anter ioară. Se poatettloge de exemplu drept bază elementul cinematic 1 şi efector elementul cinematic 6.

14



2.3. Modelu l s t ruc tura l invers. Modelul structural invers estu cnnu lorlzat printr-un grad de mobilitate instantaneu M ins f= 0 ceea ce corespunde impunerii a doi parametripentru efector. Acest lucru se realizează prin conectarea printr-o cuplă inferioară a bazeicu efectorul. în cazul menţionat modelul structural invers este redat în figurai .8.

Modelul structural invers trebuie să conţină exclusiv grupe modulare pasive, adicălanţuri cinematice deschise, nedecompozabile şi grad de mobilitate zero.

în literatura de specialitate sunt menţionate 13 grupe modulare pasive, altele

putând fi obţinute din cele 33 grinzi Baranov.Se remarcă faptul că efectorul trebuie să aparţină primei grupe modulare pasiveconectată la bază.

Un sistem este cu atât mai performant cu cât conţine un număr minim de grupemodulare pasive.

în cazul menţionat se observă în figurai .9 grupele modulare pasive constituente alemodelului invers.

Fig.1.8 Fig.1.9

S e pun în evidenţă (fig.1.9) grupa modulară pasivă GMP (2, 3, 4, 5, 6, 9) identificată(fig. 1.10) ca GM P 5 şi grupa modulară pas ivă de tip diadă GMP (7, 8) (fig. 1.11).

Fig.1.10 Fig.1.11

Modelul invers are conexiunea de grupe modulare prezentată în figurai .12.

Fig.1.12

20

3 . A m p l a sa re a cu p l e l o r a c t i ve i n m o d e l u l s t r u c t u ra l d i r e c t . Amplasareai uplelor active în sistem trebuie să satisfacă următoarele teoreme:

TI. intr-un contur de clasa IV poate fi amplasată cel mult o cuplă activă.T2. într-un lanţ cinematic Watt sau Stephenson poate fi amplasată cel mult o cuplă

nctlvă.Modelul direct este optim construit cu un număr minim de grupe modulare.Din examinarea lanţului cinematic (fig.1.6) se observă următoarele:

• în conturul I (patrulater) poate fi inclusă cel mult o cuplă cinematică activă;• în conturul l+ll (structură Watt) poate fi amplasată cel mult o cuplă activă;• în conturul III pot fi amplasate două cuple cinematice active, adică pentru o

grupă modulară activă cu M= 2 acestea ar putea fi între elementele (5,6), (6,7),(7,8), (8,9) existând astfel C2

4 = 6 soluţii, adică

(5,6)+(6,7) (6,7)+(7,8)(5,6)+(7,8) (6,7)+(8,9)(5,6)+(8,9) (7,8)+(8,9)

In cazul în care se utilizează cuplele cinematice active (7,8) şi (8,9) modelul structural

(tiu 1.13) este constituit dintr-o singură grupă modulară activă cu M=2 (fig. 1.14), căreia i se

Corespunzător modelului structural (fig.1.13) se poate realiza un model constructivi <1 acela din figura 1.15.

Mecanismul pedipulator bimobil are capacitatea de a atinge cu extremitateanloctorului (elementul de execuţie 6) orice punct dintr-un domeniu plan determinat.

21



1 .7 . Ca r ac t e r i s t i c i s t r u c t u r a l -co n s t r u c t i ve a l e u n o r s l s t o m ep e n t r u co n t r o l u l o p t i m a l a l m a ş i n i l o r a g r i co l e

Maşinile agricole conţin diferite sisteme destinate poziţionării, reglării sau pentruasigurarea controlului diverselor subansambluri sau elemente de execuţie. Majoritateaacestor sisteme utilizează mecanisme hibride mecano - hidraulice cu unul sau mai multegrade de mobilitate. în acest subcapitol sunt evidenţiate diversele categorii de mecanisme,care au drept scop ridicarea substanţială a performanţelor echipamentelor cu utilizarelargă în agricultură.

Mecanismele de poziţionare şi reglare a diverselor subansambluri sau elemente deexecuţie au în general două grade de mobilitate şi includ grupe modulare active de tipulRTRR. Cele două grade de mobilitate sunt determinate de una dintre următoarelenecesităţi funcţionale:

• poz iţionarea unui punct din planul unui element în mişcare plan-parale lă în oricepunct din planul mecanismului. Acesta este cazul mecanismului de reglare alrabatorului (fig.1.16) specific combinelor de recoltat cereale;

• poz iţionarea unui element din mecanis m cu rol de execuţie astfel încât un punctal său să rămână pe o traiectorie dată (de obicei cerc), concomitent cu

precizarea poziţiei sale unghiulare în raport cu sistemul de referinţă fix, cerinţeimpuse de procesul tehnologic, aspecte reliefate în cazul mecanismelor demanipulare (fig.1.17-fig.1.19).

7 E

Fig.1.12

22



Mecanismul de reglare al rabatorulul combinelor de recoltat cereale (fig. 1.16)licbule să confere punctului R de prindero ul rubatorului o poziţie corespunzătoare, astfelincAt rabatorul - subansamblu de bază al hederului combinei să lucreze în raport cucnlolalte subansambluri ale maşinii în condiţiile optime impuse de caracteristicilemorfologice ale plantelor din cultură. P unctul R aparţine elementului cinematic 8.

Pentru mecanismul respectiv cu două grade de mobilitate se poate construi unmodel cinematic invers caracterizat prin grad de mobilitate instantaneu M ins , = 0, destinatntablllrii caracteristicilor cinematice ale cuplelor active T1 şi T2 şi un model direct (M = 2)

pontru determinarea caracteristicilor dinamice ale acestora.Modelul cinematic invers (fig.1.16 b) este constituit dintr-o conexiune de grupe

modulare pasive de tip diadă. Modelul direct (fig. 1.16 c) conţine două grupe modulareactive cu un grad de mobilitate de tipul RTRR.

Mecanismul încărcător de furaje (fig.1.17 a) având două grade de mobilitate poate fltiatat în mod similar. Structura sa modulară corespunzătoare modelului invers este redatăIn figura 1.17 b, iar aceea a modelului direct utilizată pentru stabilirea caracteristicilordinamice în figurai .17 c.

8

Fig.1 -17

23



Mecanismul autoîncărcătorului pentru sere (fig.1.18 a) are modelul Invors In figura1.18b, iar pe acela direct în figura 1.18 c, acestea putând fi utilizate pentru analiza cineto-dinamică a sistemului.

b . c.

Fig.1.18

în mod similar se poate aborda mecanismul de manipulare din figura 1.19 a. îrvederea unor cercetări ulterioare se redau atât modelul invers (fig.1.19 b) cât şi modelul 1

direct (fig.1.19c). Analiza cinematică şi cea dinamică sunt specifice sistemelor bimobile,inspirate din tehnica roboţilor.

24



10

Fig.1.19

25

Aparatul de tăiere specific combinelor moderne de recoltat aro timpi < aracterlsticăfuncţională de bază posibilitatea de flotare a cuţitului, astfel încât acesta să poată urmărimicrorelieful solului atât în plan longitudinal, cât şi în plan transversal. Sistemul deas igurare a flotării cuţitului este alcătuit din cinci mecanisme - unul central şi patru p lasatesimetric faţă de axa longitudinală a combinei - care au drept elemente de intrare cuţitulaparatului de tăiere, iar ca elemente de ieşire axul de acţionare al distribuitorului hidraulic,în cazul în care denivelările depăşesc cota h m m . Datorită acestui fapt, concluziile asupra

funcţionalităţii sistemului se pot trage din analiza unui singur mecanism.Mecanismul cu o structură variabilă comportă trei etape de funcţionare distincte în

funcţie de mărimea denivelărilor li ale microreliefului zonei de lucru, şi anume pentru:

a ) h < h m i„

b) h m i n < h < h m a x ş ic ) h > h n m .

a ) h < h n m . Sistemul de flotare al cuţitului nu este afectat datorită faptului căsubsistemul cuţit - patină - scut (fig.1.20) asigură imobilitatea cuţitului - elementul deintrare al mecanismului. Acest subsistem este constituit din două elemente cinematice

mobile (patina şi scutul) articulate respectiv în A şi A'cu elementul 1 (cuţitul), între aces teaexistând o legătură superioară în A . în poziţia extremă a patinei, cupla cinematicăsuperioară din A devine o cuplă cinematică de rotaţie, subsistemul transformându-se într-un ansamblu rigid cu elementul cinematic 1 (cuţitul) al mecanismului de flotare.

o

o¥JS

Fig.1.20

b ) <h< hnm . Asupra cuţitului 1 se exercită forţa F de interacţiune cu soluldeterminând rotaţia acestuia în jurul articulaţiei din A (fig.1.21). Din schema cinematică(fig.1.21,a) se observă că între elementele cinematice 6 şi 7 lucrează la compresiune unresort, care se reglează astfel încât în poziţia limită superioară a cuţitului acesta să se afleîn stare necomprimată şi comprimată extrem în poziţia limită inferioară a cuţitului.

26



Poziţia cuţitului este pusă în evidenţă de senzorul 4, care are o mişcare plan-paralelă şi care are o cuplă cinematică de rotaţie în E cu elementul 1 şi o cuplă cinematicănuperioară în F cu elementul de acţionare al distribuitorului hidraulic.

Conexiunea grupelor modulare este redată în figurai.21 c.

27



c ) '»>A niax. Cuţitul este în poziţia limită superioară, resortul în starn nocomprlmatâ,iar senzorul 4 a atins poziţia extremă în cupla din F(fig.1.22). Cupla cinematică superioarădin F se transformă într-o cuplă de rotaţie şi elementul cinematic FW de acţionare adistribuitorului hidraulic are o mişcare de rotaţie în raport cu punctul W. Distribuitorulhidraulic comandă sis temul mecano - hidraulic de ridicare a hederului.

Fig.1.22

în această fază de funcţionare singura forţă perturbatoare a sistemului este forţa deinteracţiune cu solul.

28



2 . MODELAREA CINEMATICĂA GRUPELOR MODULARE PASIVE Ş l ACTIVE

2 .1 . Con s id e ra ţ i i t eo re t i ceModelarea cinematică a mecanismelor plane are în vedere principiul fundamental

lormare al mecanismelor. Conform acestuia mecanismul plan este constituit din grupemodulare active şi pasive, numărul şi natura lor fiind dependente de gradul de mobilitate,

nimirtrul de contururi independente, numărul de elemente cinematice şi cuple cinematicealo Nlstomului.

Modelele cinematice pentru grupele modulare pasive şi active se bazează pe teoriamultlpletelor.

Multipleta este un lanţ cinematic plan cu M grade de mobilitate şi N contururiiMiliipondente. M stabileşte respectiv numărul de parametri independenţi de poziţii (P/F),iln viteze (P/V) şi acceleraţii (PIA), în timp ce N determină numărul ecuaţiilor vectorialeinili'pendente de contur asociate multipletei, respectiv 2N ecuaţii scalare de poziţii.Numărul parametrilor dependenţi de poziţii (PDP), respectiv de viteze ( P D V ) şi acceleraţii(I 'DA ) este egal cu 2/Vîn cazul sistemelor determinate. Parametrii dependenţi de poziţie

îmi II mărimi liniare şi/sau unghiulare. Se remarcă faptul că suma numărului de parametriimlitpendenţi şi dependenţi (respectiv de poziţii, viteze şi acceleraţii) este egală cu 3m, mfiind numărul de elemente cinematice ale lanţului cinematic.

O multipletă se transformă într-o grupă modulară pasivă prin impunerea a Mparametri (cei independenţi ai multipletei), ceea ce conduce la anularea gradului de

bllltate, parametrii independenţi devenind parametri impuşi pentru grupa modularăIMisIvă (GMP). în mod similar se poate trata cazul grupelor modulare active (GMA).

Funcţiile implicite de poziţii sunt de forma

f i ( x l ,x 2 , . . .x M y ] ,y 2 , . . .y p ) = 0 ( 2 -1 )

in care / = 1 -> M , p = \->2N, xk fiind parametri independenţi de poziţii (P I P ) şi y,parametri dependenţi de poziţii (PDP). Sistemul (2.1) este liniar în cazul în care toţiparametrii dependenţi de poziţii sunt mărimi liniare şi neliniar în caz contrar.

Prin derivarea în raport cu timpul a funcţiilor implicite de poziţii se obţin relaţiile

d f ' d f ' (2.2)

X^+I: j r -y j=°x k d y j

• •

III cnre prin Xk se noteaz ă parametrii independenţi de viteze (PIV), iar prin y ; parametrii

ilnpendenţi de viteze (PDV). Sistemul de viteze dedus din (2.2) are forma:

= B (2.3)

In care

H M * ; ! (2'4)

Im

B =dxk NI

Derivând în raport cu timpul relaţiile (2.2) se obţin următoarele:

d f " d 2 f ' ' d f " d 2 f ' *1 ^ + 2 X 1 - 1 ^ - * * yj =o

d x k d x k d y j d y d y td y k

99



din care se deduce sistemul de acceleraţii în care A este matricea coctidonţllor

y, = c

necunoscutelor (2.4), iar matricea unicoloană C es te dată de

Cdf " d2 f- ' ' d2 f ' '

' dxb 'dxkdyj 'dyjdyk

(2.7)

(2.8)

2 .2 . Mode lu l poz i ţ i ona l - c i nemat i c a l b ip le te i de t rans la ţ i eBipleta de translaţie (fig.2.1) este un sistem format din două elemente cinematice

conectate printr-o cuplă cinematică de translaţie. Gradul de mobilitate este exprimat caMbipieta = 3 •2 - 2 • 1 = 4 , astfel că numărul parametrilor independenţi în raport cu un

sistem de referinţă arbitrar este 4, distribuţia acestora între cele două elemente cinematice(tabelul 2.1) putând fi respectiv 3+1 sau 2+2.

Y

A

d

Fig.2.1Tabelul 2.

Distribuţianumărului de

parametriindependenţi

întreelementelecinematice

Modelulpoziţional-cinematic

Parametriindependenţi de

poziţiiPIP


vitezePIV


acceleraţiiPIA

Xj — x ^ — XA• •

Xl =XA =X\A Xl =XA =X2 ABipleta

de 3+1 BPTX2=YA =YIA X2 = Y A = Y2A

translaţie3+1 BPT

X-} = co xs = e

x4 = S X4 = S = i l JC4 = s = s2 I

Xi=Xa = XA XI = X A = X\A = X A =X2A

2+2 BCT x 2 =Ya= YA X2=YA=Y\A x2 = VA = Y2A2+2 BCTX-ţ = X g — XB JC3 =XB = X\B X, = XB =X2B

x 4 = yfi = YB X4 =YB = Y\B X4 = Y B =Y2B

30

Parametrii dependenţi corespunzători fiecărui model sunt menţionaţi în tabelul 2.2.

Tabelul 2.2

Modelulpoziţional-cinematic

Parametriidependenţi de

poziţiiPDP


vitezePDV


acceleraţiiPDA

BP Tyx=XB=XB y, =XB=X\B y, — x B = X2B

BP Ty2=YB=YB y2=YB=Y\B "2 = Yb = Y2B

BCTy, =<p y, =co y, =eBCTy2=s

• •

y2 = s = i l•• • •

y2 = S = S 2

P entru bipleta de translaţie se poate scrie ecuaţia vectorială în raport cu un s istemlin mlorinţă arbitrar adoptat sub forma

OĂ + ĂB = OB <2-9)m lilvnlentă cu următorul sistem de funcţii implicite de poziţii

XA - XB + s cos cp= 0 (2.10)

K / l - y B + j'sin<p = 0

i mu nu aceeaşi formă independent de modelul adoptat pentru distribuţia parametrilor.Având în vedere relaţiile (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8), în tabelul 2.3 se prezintă sintetic

Iul de determinare a parametrilor dependenţi corespunzător celor două modele expuse

nnlurlor. Tabelul 2.3

Modulull«>/l|kxiali IIHIIIUltlC


poziţiiPDP

Parametriidependenţi de viteze

PDV

Parametrii dependenţi de acceleraţiiPDA

HP TXB = XA + s cos 2 costp

Y2B = Y2A + s2sin cp +

+ 2ilcos(p + secoscp-«o2 sin (p

BCTXA - XB + s cos cp =

K j4 -yf l + îsin<p = 0

0) 1A \ = B

sl|

II- s sin cp cos (pilA = \\

| s cos cp sin cp||

B _ - ( X l A - X I S l-(Y\A-Y\B) 1 C =

-

k4 =c

IM I-ss inm cos cpl

A =s cos (p sin (p|j

'X2A-X2B- N

2sl • co •sin cp - 5(02 cos <p,Y2A-Y2B- N

+ 2il co cos(p-i(D2 sin (p/

31

în particular, modelul BPT poate fi utilizat pentru determinanţii parametrilor unuipunct dintr-un element cinematic a cărui stare de mişcare este cunoscută.

Modelul BCT este aplicabil prin impunerea parametrilor independenţi pentru analizapoziţional-cinematică a unei diade RTR, cuplele de rotaţie plasate respectiv în A şi B fiindcoliniare cu ghidajul cuplei de translaţie dintre elementele 1 şi 2.

2 .3 . Mod e lu l po z i ţ i ona l - c i nem at i c a l d iade i RRR

Modelul diadei RRR din figura 2.2 poate fi obţinut prin particularizarea modeluluiunei biplete de rotaţie pentru care se utilizează o distribuţie 2+2 a parametriloiindependenţi, analog cazului precedent.

"X

Fig.2.2

Parametrii impuşi pentru diada RRR sunt redaţi în tabelul 2.4.

Tabelul 2.4

Modelul

poziţionalcinematic

Parametrii impuşi de

poziţiiPIP


vitezePIV


acceleraţiiPIA

Xx=Xa = XAx, =xA = X\A jci =X A = X2A

RRRXl =v A = YA x2 = Y A = Y\A X2 = Y A = Y2A

— — XCX3 =Xc =X\C x-i =Xc = X2C

x4=Yc = YC jc4 =Yc = Y\C " 4 =Yc= Y2C i

Parametrii dependenţi ai diadei RRR, aceiaşi cu cei ai bipletei de rotaţie cu odistribuţie 2+2 a parametrilor independenţi sunt menţionaţi în tabelul 2.5.

Tabelul 2.5

Parametriidependenţi de poziţii

PDP


PDV

Parametrii

dependenţi de acceleraţii

PDA

.Vi = <pl•

y, = col• •

y, = el

y2 = <p2•

y2 =co2 y2 =e 2

32

Ecuaţia vectorială de contur asociată diadei are următoarea formă:

OĂ + AB = OC + CB <2-11)

llln cnre se deduc funcţiile implicite de poziţii:

XA + AB • cos cpl - XC - CB • cos cp2 = 0

YA + AB- s i n y l - Y C - C B • sincp2 = 0(2.12)

Utilizând relaţiile (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8) se stabileşte algoritmul de calcul pentruilBltirmlnarea parametrilor dependenţi prezentat în tabelul 2.6.

Tabelul 2.6

Parametrii

iltipondenţi de poziţii PDP

Parametrii

dependenţi de viteze PDV

Parametrii

dependenţi de acceleraţii PDA

\ 1 • Ml cos (pl - XC - CB cos <p21 ( i AII sinipl-KC-CB sin(p2=

colA =B

w2

— sin cpl CB sin (p2

AB coscpl - C B cos(p2

b _ - ( X l Â - X l C ţ

- ( m - n c ) l

llel II4 = c||e2||

|-/4Bsin(pl CBsin(p2|A =

| <4ficos(pl -C 6cos(p2||

(X2A-X2C-

- — 0)12 AB cos (pl +

^+o)22CBcos(p2 J

(Y2A-Y2C- \- -0)l2Afîsin(pl +

^+co22Cfisin(p2 J

Modulul poziţional-cinematic este determinat prin parametrii geometrici constanţi(AII, CB), parametrii impuşi şi parametrii dependenţi.

Poziţia critică a diadei RRR se obţine prin anularea determinantului matricei A şi

i nint.punde (pl = (p2 + kn adică poziţiilor în care elementele cinematice se suprapun sau

Miml In prelungire.

2 .4 . Mod e lu l p oz i ţ i on a l -c i n em at i c a l d iade i RRTModelul structural al diadei RRT este prezentat în figura 2.3. Diada RRT se poate

iihtlno din tripleta formată din elementele 1,2, j şi cuplele cinematice B (de rotaţie) şi C(lin translaţie).

Gradul de mobilitate al tripletei este M lrjplem =3- 3 - 2 - 2 = 5. Dacă se adoptă

illatrlbuţia parametrilor independenţi 2+0+3,, adică doi parametri pentru elementul 1, 0|i nmnetrl pentru elementul 2 şi respectiv trei parametri pentru elementul j, atunci aceştia

l-ii tl adoptaţi conform notaţiilor din tabelul 2.7.

33



Fig.2.3

Parametrii din tabelul 2.7 devin pentru diada RRT parametri impuşi, P reprezentând

un punct pe ghidajul corpului j al cărui versor este u şi care are starea de mişcare binedeterminată.

Tabelul 2.7

Parametrii independenţi depoziţii

PIP

Parametrii independenţi deviteze

PIV

Parametrii independenţide acceleraţii

PIA

X1=Xa=XA XI = XA =X\A•• • •

jc, =xA =X2A

X2=Ya=YA xi = Ya = Y\A x 2 = YA = Y2A

JC3 = Xp = XP JC3 = X p = XIP x ţ , = XP=X2P

X4=Yp= YP x4 = Yp = Y \P X4 =Yp= Y2P

JR5 = a xs = a = al Xf = a = a2

Parametrii dependenţi pentru tripletă, dar şi pentru diada RRT sunt cei menţionaţi întabelul 2.8.

Tabelul 2.8

Parametrii dependenţide poziţii

PDP

Parametrii dependenţide viteze

PDV

Parametriidependenţi de acceleraţii

PDA

VI = «pl y\ =®i y i =el

y2 = PC = s• • •

y2 =PC = s = s\• • • • ••

y2 = PC = s = s 2

Ecuaţia vectorială de contur este scrisă sub forma

OĂ + JB = ~OP + ~PC + CB (2.13

34



Mim conduce la următoarele ecuaţii indepondente de poziţii

XA - XP + AB cos (pl - 5 cos a - CB cos(a + P) = 0

YA-YP+ AB sin cpl - sin a - CB sin(a + p) = 0

(2.14)

Utilizând relaţiile (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8) se pot determina parametrii dependenţi

prin nlflorltmul menţionat în tabelul 2.9. Tabelul 2.9

Parametrii

XA - XP + AB cos (pl - s cos a - CB cos(a + P) = 0

YA - YP+ABsin (pl - sin a - CB sin(a + P) = 0

Parametrii

col4IM

— sin cpl - c o s a

AB cos cpl - s in a

- (X IA - X\P + ral sin a + C fial sin(a + P)

[Y\A -Y\P- î laco s a - C Bal cos(a + P))|

Parametrii dependenţi de acceleraţii PDA

= C

A =

(

- A B sin cpl - c o s a

AB coscpl —sin a

X 2 A - X 2 P - c o l2Aficoscpl+a2(ssina+CBsin(a+P)+al 2 ( co sa +C B co s(a +P ) +

+ 2 a l s l s i n a

K2A - K 2P -«1 2 ABsincpl-a2(5cosa+CBcos(a+P)+al 2 (5sina+CBsin(a+P)

- 2al •s i •cosa

Anulând determinantul matricei A se obţine soluţia cpl = a + &7t/2 care(nioitpunde poziţiilor în care elementul cinematic 1 este perpendicular pe ghidajul de

V«r«or u.

2 .5 . Mod e lu l p oz i ţ i on a l -c i n emat i c a l d iade i RTRPentru diada RTR cu reprezentarea generală din figura 2.4, modelul poziţional-

i liimnatlc se determină utilizând bipleta formată din elementele cinematice 1 şi 2, acestealumi conectate prin cupla de translaţie 6. Pentru bipletă se utilizează distribuţia 2+2 a

imetrilor independenţi pentru cele două elemente, aceştia devenind parametri impuşijmntru diada RTR (tabelul 2.10).

35

Fig.2.4Tabelul 2.10

Modelulpoziţionaleinematic

Parametrii impuşi depoziţii

PIP

Parametrii impuşi deviteze

PIV

Parametrii impuşi deacceleraţii

PIA

x t = XA =XA xi =XA =Xl A xi = XA =X2A

RTRX2=Ya=YA

X2 = Y A = Y\A X2 = Y A = Y2A

x3 = Xc = XC xi,=Xc = X1C XI = Xc = X2C

x4 = yc = YCX4 =Yc = Y\C X4 = Yc =Y2C

Diada RTR are ca parametri geometrici constanţi AD.CB.a.p precizaţi în figura 2.4.

Parametrii dependenţi sunt redaţi în tabelul 2.11.

Tabelul 2.11


PDP


PDV


PDA

V| = (pl•

y i = « i

• •

y, =el

y2 = DB = s y2 =DB = s = sl y2= DB = s = s2

Ecuaţia vectorială de contur este

OĂ+ĂD+DB = OC + CB (2-15;

din care se deduc ecuaţiile de poziţii sub forma

XA - XC + AD cos cpl + s cos(«pl - a) •- CB cos(cpl - a + p) = 0 (2.16;

YA - YC + AD sin q>+ s sin(<pl - a ) - CB sin(cpl - a + p) = 0

36

Molaţllle (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8) sunt utilizate pentru determinarea parametrilor

Tabelul 2.12

P arameţrn dependenţi dejJ Oziţii P DP

XA - XC + AD cos <p +s cos((pl -a)-CB cos((pl - a +(3) = 0

YA-YC+ AD sin (pl+s sin((p1 - a) - CB sin((pl - a + p) = 0

P arametrii dependenţi de viteze PDV

= B

A =I - AD sin (pl - i sin((pl - a) +CB sin(cpl - a + p) cos(cpl - a

[| /\£>cos(pl + scos((pl -a)- C B cos((pl - a + P) sin((pl — a

B =- ( X M - x i c ţ

- ( m - n c )

Parametrii dependen i de acceleraţii PDA

elA

s 2

- / lDs in (p l - i s in ( (p l -a )+

ADcos ipl + icos((pl - a)—

I (x2A- X2C - (ol2 ( - Â£)cos(pl - cos((f

- (Y2A - Y2C +col2 ( - ADsin (pl - jsin((p

= C

C fîs in((p l-a + p) cos((pl-a)|

C Bcos((pl-a + p) sin((pl-a)|

1 - a)+ CBcos((pl - a +p)) - 2col •sl • sin(<pl - a)

- a) +CB sin((pl - a+p)) + 2col • 51 • cos((pl - a))

2.6. Modelu l poz i ţ i ona l - c i nemat i c a l d iade i TRTModelul constructiv al diadei TRT sub cea mai generală formă este prezentat în

otura unei cvadruplete constituită din elementele /', 1, 2 , /ş i cuplele A, Bşi C.



Gradul de mobilitate al cvadrupletei este M cvailrupltla = 3- 4 - 2 -3 = 6.

Adoptând o distribuţie a parametrilor independenţi 3+0+0+3, adică atribuind câtetrei parametrii elementelor i şi j rezultă parametrii independenţi pentru cvadrupletă şlrespectiv impuşi pentru diada TRT prezentaţi în tabelul 2.13.

Tabelul 2.13

Modelulpoziţionaleinematic

Parametrii impuşi depoziţii

PIP

Parametrii impuşi deviteze

PIV

Parametrii impuşi deacceleraţii

PIA

JC, = X p = XP JO =XP =X\P XI=XP = X2P

x2 =YP = YPX2 = Y p = Y\P X2 = Yp = Y2P

T R Tjr3 = al

XŢ , = al = al 1 XŢ , = al = al2

= = XQ • •jc4 = XQ = X\Q JC4 = XQ =X2 Q

H = YQ = YQ =YQ=Y2Q

H =a2 xe, =a2 = a21 XE =a2 = a22 1

în aceste condiţii, parametrii dependenţi sunt cei menţionaţi în tabelul 2.14.

Tabelul 2.14Parametrii

dependenţi de poziţiiPDP


PDV


PDA

yx=PA = il y l = PA = s\ = il 1 y^=PA = s\ = s\2

y2=QC = s2 y 2 =QC = s2 = s2\•• • • • •

y 2 = QC = s2 = s22

Pentru diada TRT se poate scrie ecuaţia de contur vectorială:

OP + ~pă + JB = OQ + QC + CB (2-17

din care prin proiecţia pe axele sistemului de referinţă fix se obţin ecuaţiile scalare

XP + s\cos a l + AB cos(al + (31) - XQ - 52 cos a2 - CB cos(a2 + (32) = 0

YP + s\sin al + ABsin(al + (31 >- YQ - s2sin a2 - CB si n (a 2 + (32) - 0 ( 2 ' 1 8

care determină un sis tem liniar în raport cu parametrii dependenţi i l şi s2.Diada TR T are ca parametri geometrici constanţi AB, CB, fJ\, /?2 precizaţi în figura 2.5.

38



Parametrii dependenţi de poziţii, viteze şl acceleraţii se obţin prin algoritmul dininliolul 2.15 ca urmare a relaţiilor (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8).

Tabelul 2.15

P arametrii dependenţi de poziţii PDP

B'=

sl= B'

s2|

cos al -cosa2||

sin al — sin a2[|

- {XP -XQ + AB cos(al + pi) - CB cos(a2 + P2)

- (K P - y( 2 + AB sin(al + pi)-C fisin(a 2 + p2))

A =


s i lA = Bs21

cosal -cosa2

sin al - s ina 2

II (XI />- al 1 •sl •sin al - al 1 •AB sin(al + p i ) - X 1(? +a21 •s2 •sin a2 +a21 •CBsin(a2 + p2))||

| (VIP + a l l •i 1 • cos al + al 1 •ABcos(al + pi) - Y\Q - a21 •s2 • cos a2 - a21 •CB cos(a2 + p2)|

P arametrii dependenţi de acceleraţii PDA

A =

s 12t = C

s22\\

cosal -cosa2

sin al - s ina2

' X 2P - al 2 •i l •sin al - al 2 •AB sin(al + pi) - X 2Q + a22 •s2 •sin a2 + a22 •CB sin(a2 + P2)

, -2 al 1 sl I - sinal + 2-a21s21-s ina2Y2P + al 2 •sl • cos al + al 2 •AB cos(al + pi) - Y2Q - a22 •s2 • cos a2 - a22 •CBcos(a2 +112) i

+2 al 1 •sl 1 •cos al - 2 • a21 • s21 •cos a2

hi/lţllle critice ale diadei TRT se pot determina prin anularea determinantului matricei A .

2 .7 . Mod e lu l p oz i ţ i on a l -c i n emat i c a l d iade i RTTDiada RTT are forma generală constructivă prezentată în figura 2.6.

Din punct de vedere structural, aceasta se poate obţine din tripleta formată din«lomontele 1, 2 , ; ' conectate prin cuplele cinematice S ş i C.

Deoarece gradul de mobilitate al tripletei este 5 (M l r i p l e l a = 3-3 — 2-2 = 5)

i'iihiino trii independenţi pot fi distribuiţi astfel: 2+0+3 între elementele 1, 2 şi j.

3B



1 cVp v a

0 i - X I

Fig.2.6

Diada RTT are ca parametri geometrici constanţi AD,CB,p l,/?2,/?3 precizaţi Trţfigura 2.6.

P arametrii impuşi ai diadei R TT sunt menţionaţi în tabelul 2.16, iar cei dependenţi îrtabelul 2.17.

Tabelul 2.16

Parametrii independenţi

de poziţiiPIP


de vitezePl V


de acceleraţiiPIA

x ]=XA=XA• •

jci = XA = X\A x, = X A =X2A

X2=Ya=YAX 2 = YA = Y\A "XL =Y A =Y2A

x3 = Xp = XP X3 = XP = XIP• • • •

x? i = Xp = X2P

X4=Yp= YP x4 = YP = Y\P X4

= Yp = Y2Pjc, = a

• •

J t5 = a = al• • • •

ars = a = a2

Tabelul 2.17


poziţiiPDP


vitezePDV


acceleraţiiPDA

yx=DB = sl• • •

y, = DB = sl = sl 1 y, = DB = sl = sl2

y2 = PC = s2• • •

y 2 = PC = s2 = s21 y2 = PC = s2 = s22

40

Ecuaţia vectorială do contur moolatfl auto exprimată prin

O A + Al) + DII = OP + PC + CB <2-19 )• lin i nro se deduc prin proiectarea pe axele sistemului de referinţă fix ecuaţiile de poziţii:

SA i A/)cos (u + (î3-(32 + pi )+ slcos(a + P 3 - P 2 ) - XP - s2cosa - C 6cos(a + (33)= 0 ^ ^

I \ r AD sin(a + p3 - p2 + pi)+ sl sin (a + p3 - P 2)- YP - s2sin a-CB sin(a + p3) = 0

S istemul (2.20) este liniar în raport cu parametrii dependenţi s l şi s2.Parametrii dependenţi se pot determina folosind relaţiile (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8) şi

Himflrlnd algoritmul din tabelul 2.18.Tabelul 2.18

P arametrii dependenţi de poziţii PDP

B'=

A

cos(a +=•

sin(a +

- (XA - XP + AD cos(i

- (YA - YP + AD sin(a

sl

s2|

P3-P2) -cosa

P 3-P2) -s in ai + p3-p2 + pl)-C Bco s(a + p3))

+ P 3-P 2 + P l)-C fis in(a + P3))


B =

s i lA]] = B

|s2l

^ j|cos(a + P 3-p2) -cosall

|sin(a + p3- p2 ) — sin aj|'X M - a l •AD •sin(a +P3 - P2 + p i ) - a l •sl •sin(a +P3 - P2)-N

X \ P + al •s2 •sin a + al •CBsin(a + P3) y

'Y\A + al •AD • cos(a +P3 - P2 + pi) + al •scos(a +P3 - P2)-N

yiP - al •s2 • cos a - al •CB cos(a + P3)

P arametrii dependenţi de acceleraţii PDA

sl2= C

A =

C =

| s22cos(a + p3 - p2 ) - c o s a

Sin(a + P 3 - P 2 ) - s i n a

X2/l-a2AD-sin(a + P 3-p2 +pi)-a2slsin(a + p3 -p 2) -

- X 2P + al • s2 •sin a + a2 •CBsin(a + P 3)-

- 2 •al •sl 1 •cos(a +P3 - P2)+2 •al • s21 • cos a

Y 2 A + a2 •AD • cos(a + p3 -p2 + p i ) +a2 s cos(a+P3 - p2)

- K 2 / >- a 2 s 2 c o s a - a 2 C B c o s ( a + p 3)-

- 2 •al •sl 1 •sin(a +P3 - P2)+ 2 •al • s21 •sin a

Analizând condiţiile în care determinantul matricei A se anulează, se pot stabilii "ndiţlllo în care diada RTT este într-o poziţie critică.

41

2 .8 . Mod e lu l po z i ţ i on a l -c i n emat i c a l t r i ade i 6Rîn subcapitolele precedente s-au prezentat modelele poziţlonal-clnematice aloi

grupelor modulare pasive de tip diadă. Acest mod de abordare poate fi adoptat pentru!orice alt tip de grupă modulară pasivă.

Astfel, pentru rezolvarea modelului triadei 6R din figura 2.7 se are în vederalmultipleta cu patru elemente denumită cvadrupletă şi care este formată din elementele 1,2, 3, 4 şi cuplele cinematice B, C ş i E.

P entru o distribuţie a parametrilor 2+0+2+2 (respectiv pentru elementele 1, 2, 3, 4)rezultă parametrii independenţi pentru cvadrupletă şi parametrii impuşi pentru triada 6Rprezentaţi în tabelul 2.19.

Tabelul 2.19

Parametrii impuşi de poziţiiPIP

Parametrii impuşi de vitezePIV

P arametrii impuşi de acceleraţii 1PIA •

Xj — X ^ — X /l x, = XA =X\A** ** Ix\ = X a = X2A

X2=Ya= YA X2 = Y A = Y\A X2 = Y A =Y2A

jc3 = Xd = XDxţ , = X D =X\D X3 = X D = X2D

x 4 = rD = YD x 4 = Y D = Y\D X4 = Y D =Y2D

X5 = X f=XF x5 =XF =X\F•• • •

jc5 = XF = X2F

X6=Y f=YFX6=YF = Y\F X6 = Y F = Y2F

Parametrii dependenţi (tabelul 2.20) completează cei trei parametri caracteristici afiecărui element.

Tabelul 2.20


PDP


PDV


PDA

jy, =<pi•

y, =0)1 y, =el

y2 = <p2y2 = 0)2 y2 =e2

y3 =<p3•

y3 = 0)3 y3 = e3

y4 = (p4•

y4 = 0)4• •

y4 =£4

42

în raport cu originea sistemului do tof«iinţA fix se pot scrie două ecuaţii vectoriale'in contur, adică

<)A + AB + BC = OD + DC

oĂ + JB + ~BE = OF + JE

ilin care se obţin prin proiecţia pe axele sistemului de referinţă fix ecuaţiile independente'In poziţii sub forma:

XA-XD + AB cos <p + BC • cos <p2 - DC • cos cp3 = 0YA-YD + AB •sin cpl + BC • sin cp2 - DC • sin ip3= 0

XA-XF + AB cos (pl+ BE •cos(cp2 + a ) - F E - coscp4 = 0 (2.22)

YA-YF + AB •sin cpl + BE •sin((p2 + a) - FE • sin (p4= 0

Urmărind relaţiile (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8) se pot determina parametrii dependenţi'lin algoritmul prezentat în tabelul 2.21.

Tabelul 2.21

XA - XD + AB • cos(pl +BC • cos cp2 -D C cos (p3 = 0

YA-YD + AB• sin (pl+ BC • sin <p2 - DC • sin cp3 = 0

XA-XF + AB • cos (pl+ B£ •cos((p2 + a )-FE- cos (p4= 0

YA-YF+ AB- sin (pl+ BE sin((p2 + a) - FE • sin <p4 = 0

Parametrii dependenţi de viteze PDV

col

A

0)2

co3o>4

= B

- A B sin cpl - BC sin (p2 DC sin (p3 0 - ( X 1 A - X1D)

ABcoscpl BC cos cp2 - DC cos (p3 0B =

- ( K 1 A - K1D

- ABsin (pl - BC sin((p2 + a) 0 F£sincp4B =

- ( X 1 A - X1F )

ABcos(pl BCcos((p2 + a) 0 - F£cos(p4 - ( y i A - Y1F)


el -AB sin(pl - B C sin cp2 DC sin cp3 0

e2= C

AB cos cpl BC cos (p2 - DC cos cp3 0= C A =

AB cos cpl BC cos (p2 - DC cos cp3

e3 — AB sin cpl -B C sin((p2 + a) 0 F£sinip4

e4 ABcos(pl BC cos(cp2+ a) 0 - FE cos (p4

- {XIA - X 2D - AB •0)12 • cos (pl - BC • co22 • cos (p2+DC • co32 cos q>3)

-(Y2A- Y2D - AB col2

•sin (pl - BC • o)22

•sin (p2 +DC •o)32

•sin <p3)-(X2A - X2F - AB • (ol2 •cos(pl - BE 0)22 • cos(cp2 + a) + FE •co42 •coscp4)

-(Y2A-Y2F -AB d)]2 sin cpl -BE (»2

2 sin(cp2 + a) + F £o )42 sincp4)

43



2 .9 . Mode lu l poz i ţ i ona l - c i nemat i c a l g rupe i modu ln re nc t i ve RTRRîn subcapitolele precedente s-au dezvoltat modele poziţlonnl-clnematice pentru

grupe modulare pasive.în cele ce urmează este tratată grupa modulară activă RTRR (fig.2.8) cupla

cinematică de translaţie B fiind o cuplă activă. Gradul de mobilitate al acesteia este

MRTRR

= 1 ( M f = 3- 3- 2- 4 = 1 Ea poate fi obţinută dintr-o tripletă formată dinelementele 1, 2, 3 şi cuple le cinematice B şi C. Gradul de mobilitate al tripletei esteMtnpieta = $ (Mtripleta = ' 3 - 2 - 3 = 5). P entru tripletă se poate accepta următoarea,distribuţie a parametrilor independenţi 2+1+2, adică doi pentru elementul 1, un parametripentru elementul 2 şi trei parametri pentru elementul 3.

Fig.2.8

Parametrii independenţi ai tripletei sunt menţionaţi în tabelul 2.22.Tabelul 2.22

Parametrii independenţide poziţiiPIP

Parametrii independenţide vitezePIV

Parametrii independenţide acceleraţiiPIA

— X ^ —Xl=XA= X\A x\=XA = X2A

X2=Ya=YA• •

XI = YA = Y\A• • • •

x i = Y A =Y2A

x3 = AB = s xi = AB = s = sl X} = AB = s = s 2

x4=XD = XDX4

=X D =X\D X4 = X D =X2D

x5 =YD =YD X5 = YD =YID• • ••x 5 = Y D = Y2D

Având în vedere parametrii independenţi nominalizaţi pentru tripletă se adopţipentru grupa modulară activă RTR R următoarele categorii de parametri, menţionaţi î ntabelul 2.23.

Tabelul 21

Parametrul independent de poziţiiPIP

Parametrul independentde viteze PIV

Parametrul independent!de acceleraţii PIA \

x3 = AB = s xj = AB = s = sl• • •• •• 1XŢ , = AB = s = s2 |

x t = XA = XA x,=XA= XIA "i=XA=X2A 1

44

Tabe lul 2.23 (continuare)

Parametrii impuşi de poziţiiPIP

P arametrii Impuşi deviteze PIV

Parametrii impuşide acceleraţii PIA

X2=YA=YA x2 = Y a = Y\A x2 = YA = Y2A

JU=XD=XD X4 =XD =X\D X4=XD=X2D

X5=Yd=YD

• •

jcs = YD = Y\D X5 = YD = Y2D

Se remarcă existenţa unui singur parametru independent (din mişcarea relativă ai lnmentelor cinematice 1 şi 2) şi a patru parametri impuşi.

Parametrii dependenţi ai grupei modulare active R TR R sunt menţionaţi în tabelul 2.24.

Tabelul 2.24


PDP


PDV


PDA

=cpl y, =coi• •

y, =el

y2 =cp3 y2=(o3 y2 =e3

Ca şi în cazurile precedente, se scrie ecuaţia vectorială de contur în raport cu"iililnea sistemului de referinţă fix sub forma

OĂ + ÂB + l iC = OD + DC (2.23)

• mo determină sistemul de ecuaţii de poziţie

XA + (AB + s) cos (pl - XD - DC cos <p3 = 0YA + (AB + s) sin (pl - YD - DC sin cp3 = 0 (2-24)

Parametrii dependenţi se determină utilizând relaţiile (2.1, 2.3 - 2.5, 2.7, 2.8),nliiorltmul fiind redat sintetic în tabelul 2.25.

Tabelul 2.25

Parametrii dependenţi de viteze PDV

L = B - (AB + s) • sin cpl CD sincp3 ~{X\A-X1D-s\ cos(p\]i)3 A = \ B = , .

(AB + s) • cos (pl - CD • cos (p3| - ( y iA~y iD-s l - s in (p l )


C "

llel - (AB + s) • sin (pl CD • sin (p3A — C , A =

||e3 (AB + s) • cos (pl -C Z) cos(p3- (X 2A - X 2D - s2 • cos (pl - col2 •(AB + s) • cos cpl +co32 •CD • cos cp3 - 2 • col •sl •sin cpl

- (Y2A - Y2D - s2 •sin (pl - col2 •(AB + s) •sin 3 = 0

FA +(AB +s) • sin (pl - ro - CD • sin <p3 = 0

4B



3 . MODEL AREA C I NETOSTATI CAA GRUPEL O R MODUL A RE PA SIVE Ş l ACT IVE

3 .1 . Cons ide ra ţ i i t eo re t i ce

Cinetostatica este secţiunea din teoria mecanismelor care tratează problemdeterminării componentelor torsorului de reacţiune din cuplele cinematice ale mecanismului.

La baza cinetostaticii se află principiul cinetostatic cunoscut totodată ca principiul liD'Alembert. într-o formulare generală, acesta statuează că într-un sistem mecaniisistemul forţelor exterioare şi cel al forţelor de inerţie dacă ar acţiona asupra acestuia aface echilibrul sistemului forţelor de reacţiune. Se remarcă faptul că sistemul forţelor dreacţiune are un caracter dinamic, fiind dependent de sistemul de acceleraţii. PrincipiuD'Alembert transformă astfel problema dinamică într-o problemă de statică.

Aşadar, pentru un mecanism plan cu m elemente mobile se pot scrie trei ecuaţii dechilibru pentru fiecare element cinematic, respectiv 3m ecuaţii pentru întreg sistemul. întrun astfel de mecanism pot exista atât cuple cinematice propriu-zise, care restrâng gradelde libertate dintre elementele cinematice în mişcare relativă, cât şi cuple cinematice activa

care conţin o componentă a torsorului de reacţiune în sensul unui grad de libertate permîn mişcarea relativă a elementelor.

Conform axiomei eliberării din mecanica clasică, orice cuplă cinematică estechivalentă cu un torsor de reacţiune ale cărui componente pot fi atât forţe direcţionate 1sensul gradelor de libertate de translaţie restricţionate, cât şi momente direcţionate Isensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

în mecanismele plane se întâlnesc cuple cinematice propriu-zise de rotaţie şi dtranslaţie, care sunt cuple cinematice inferioare şi care introduc două restricţii în mişcarerelativă a elementelor, adică constângerile k = 2, precum şi cuple superioare (de tipicamă-tachet sau cupla dintre dinţii a două roţi dinţate în angrenare) care introduc u

număr de constrângeri k = 1. în consecinţă, o cuplă cinematică propriu-zisă de rotaţieste echivalentă cu un torsor de reacţiune T (X ,y) cu două componente forţă, iar o cuplpropriu-zisă de translaţie este echivalentă cu un torsor de reacţiune x(N,CN) ale cărcomponente sunt forţa de reacţiune N direcţionată perpendicular pe direcţia de translaţşi momentul de reacţiune CN normal la planul de mişcare al elementului în translaţiC upla superioară de tipul celor menţionate anterior este echivalentă cu un torsor creacţiune i ( N ) , singura sa componentă fiind forţa de reacţiune N direcţionată pe normacurbelor din zona de contact a elementelor cinematice. în ansamblu, dacă un mecanisiplan are i cuple inferioare şi 5 cuple superioare rezultă că numărul de necunoscutcomponente ale torsorului de reacţiune din cuplele cinematice este 2i + s .

Bilanţul dintre numărul ecuaţiilor de echilibru şi cel al necunoscutelor introduse dcomponentele torsorului de reacţiune al ansamblului cuplelor cinematice este d3/n — 2i — s. Relaţia 3m-2i-s exprimă de fapt gradul de mobilitate al mecanismului plaicare este dat de relaţia M = 2>m-2i-s. Numărul ecuaţiilor de echilibru fiind mai mare anumărul necunoscutelor rezultă că din ecuaţiile de echilibru se mai pot determina Anecunoscute, care pot fi forţe sau momente, interioare sau exterioare, şi care asiguiechilibrul sistemului. Cele M necunoscute sunt în general componentele torsorului dreacţiune ale celor M cuple active ale mecanismului.

în ceea ce priveşte existenţa cuplelor active în sistemele plane, acestea pot fi:

• cuplă activă de rotaţie al cărei torsor de reacţiune este T ( X , Y , M ) , X şi Favânsemnificaţia menţionată anterior, M o componentă moment perpendiculară pplanul mişcării în sensul gradului de libertate permis în mişcarea relativăelementelor cinematice,

46

• cuplă activă de translntlo al cărei torsor de reacţiune este t (N. I .CN) , N şllCN având semnificaţia menţionată anterior, T o componentă forţă direcţionatăîn sensul gradului de libertate permis în mişcarea relativă a elementelorcinematice.

Având în vedere interpretarea gradului de mobilitate M al unui mecanism rezultăi rt un sistem mecanic plan conţine un număr de cuple cinematice active egal cu gradultftu do mobilitate. Grupele modulare active care includ astfel de cuple cinematice sunt

menţionate în principal în capitolul 1.Grupele modulare pasive conţin un număr de necunoscute componente ale

Im norului de reacţiune din cuplele cinematice egal cu numărul de ecuaţii de echilibru,rtoourece acestea sunt caracterizate de M =0.

Datorită observaţiei anterioare rezultă că cinetostatica se abordează modular în•mm Invers conexiunii grupelor modulare (v. cap. 1).

In ceea ce priveşte scrierea ecuaţiilor de echilibru pentru grupele modulare activefl/MMU pasive, acestea au în vedere metoda izolării corpurilor, metoda echilibrului părţilor şi

toda solidificării, metode existente în mecanica clasică.Pentru echilibrul unui element cinematic se pot utiliza convenabil fie:

• două ecuaţii de proiecţie de forţe şi o ecuaţie de momente,• o ecuaţie de proiecţie de forţe şi două de momente în raport cu puncte

coplanare mecanismului,• trei ecuaţii de momente în raport cu trei puncte coplanare şi necoliniare.Din observaţiile anterioare rezultă că în absenţa fenomenului de frecare ecuaţiile de

mihlllbru formează sisteme de ecuaţii liniare în raport cu necunoscutele, componente ale(umorului de reacţiune din cuplele cinematice ale mecanismului. Totodată, pentru•Iii lontizarea calculelor, a desfăşurării acestora în timp real, precum şi pentru evidenţiereaţi miorpretarea fizică a poziţiilor critice ale structurilor, modelele de calcul cinetostatic aleyiupnlor modulare - active şi pasive - determină în prima etapă numărul minim posibil de

unoscute ale torsorului de reacţiune din ansamblul cuplelor cinematice.

3.2 . Modu le de ca lcu l ie ra rh iza te in fe r io rCa module de ierarhizare inferioară în cinetostatică se consideră următoarele:• TF I - modulul de calcul al torsorului de inerţie al unui element cinematic în

mişcare plană,• RSF - modulul de calcul pentru reducerea unui sis tem de forţe dintr-un punct T

în punctul O,• P RF - modulul de calcul al proiecţiei unei forţe pe o direcţie dată.Torsorul de inerţie al unui element cinematic în mişcare plană se poate determina

I II miliţiile:F ^ - m ă , ( 3 1 )

M i - —JTe

In i mo m reprezintă masa elementului cinematic, J r este momentul masic de inerţie în

I<I|MII| cu punctul T centrul de masă al elementului, m şi J, reprezintă caracteristicile

ftlMli o ale elementului cinematic. în ecuaţia (3.1) aT este acceleraţia centrului de masă T

Dl corpului, iar e reprez intă acceleraţia unghiulară a corpului în mişcare plană, acestea

i iiniilltulnd caracteristicile dinamice ale elementului cinematic.in raport cu un sistem de referinţă fix (X O Y ) acceleraţia centrului de masă alKlimiontului este

(3.2)ar = x i i + y r j

47



sau utilizând notnţlllo din capitolul precedent

aT = X2T~i + Y2T~j (3.3)

Componentele forţei de inerţie Fi fiind FIX şi F1Y şi notând momentul de inerţiaM i prin Ml, atunci rezultă componentele torsorului de inerţie sub forma

FIX = -m • X 2T

FIY=-m•Y2TMI =-J te

(3.4 )1

In consecinţă, parametrii de intrare ai modulului TF I sunt redaţi în tabelul 3.1, i ^parametrii de ieşire în Tabelul 3.2.

Tabelul 3.1

Parametrii de intrare

Masa elementului cinematic m

Momentul masic de inerţie în raport cu punctul T JT = JT

Componentele acceleraţiei centrului de masă T X2T,Y2T

Acceleraţia unghiulară a elementului în mişcareplană

£

Tabelul 3. i

Parametrii de ieşire

Componentele torsorului de

inerţie FIX = -m • X 2T, FIY = -m • Y2T\ MI = -JT • £

Modulul de calcul RSF permite reducerea torsorului de forţe dintr-un punct T îijpunctul O (fig.3.1).

Fig.3.1

Vectorul forţă F = X + Y este un vector liber, în timp ce momentul CM din T esti

un vector legat şi este echivalent în punctul O cu momentul CMO = CM +OTx(X + Y).

48



P arametrii de intrare ai modulu lui MS I sunt rodaţi in tabelul 3.3, iar cel de ieşire înIhMuI 3.4.I Tabelul 3.3


|ţ i«ni li matele punctelor 7"şi O în raport cu un sistem de referinţă fix 1 T(xT, yT), 0(x0, yO)IfitMiiponenteie torsorului în punctul T X, Y, CM

Tabelul 3.4


( omponentele torsorului înpunctul O

X,Y , CMO

CM O = CM + OTx(X + Y)

CMO = CM -(yT- yO)X + (xT-xO)Y

Modulul de calcul P R F pentru proiecţia unei forţe F pe o direcţie dată (fig.3.2) esteM|illcltat pentru parametrii de intrare în tabelul 3.5, iar pentru cei de ieşire în tabelul 3.6.

Tabelul 3.5


Componentele forţei F X, YUnghiul direcţiei A cu axa Ox a

Tabelul 3.(1


i :umponentele forţei F pe direcţiile A şi-L A

pr&(F) = X cos a +Y sin a

pr1&(F) = -X sin or+K cos or

3.3. Mode lu l de ca l cu l c i ne tos ta t i c a l d iade i RRRPentru modelul cinetostatic al diadei RRR - grupă modulară pasivă - se utilizează

l iy i im 3.3 unde prin T, şi T2 se notează se notează centrele de masă ale elementelorilnnmatlce. Sunt figurate componentele torsorului de reacţiune din cele două cuple

mtice potenţiale, respectiv A şi C . în fiecare centru de masă es te plasat un torsor

I, I \,.)',,CMi) (i = 1,2) echivalent al sistemului forţelor exterioare şi al sistemului forţelor

ii " înnrţle plasate pe elementul cinematic i .

49



Parametrii de intrare pentru cinetostatica diadei RRR sunt menţionaţi în tabelul 3.7.

Tabelul 3.7


Coordonatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C (xC, yC) I

C oordonatele centrelor de masă T ifxT !, yT i), T2(XT2, yT 2)

Torsorul echivalent al sistemului de forte deinerţie şi al sistemului forţelor exterioare pentrufiecare element cinematic al grupei modulare

r , (X p y„CA/ , )

r2 (X 2 , y , ,CM 2 )

Algoritmul de calcul al parametrilor de ieşire este menţionat în tabelul 3.8. într-oprimă etapă, componentele reacţiunii din cupla cinematică A respectiv X, l,y / I se potdetermina din sistemul de ecuaţii obţinut prin izolarea elementului 1 şi scrierea ecuaţiei demomente în raport cu punctul B şi respectiv prin scrierea unei ecuaţii de momente pentruîntreaga diadă în raport cu punctul C. Scrierea ecuaţiilor de momente se face prinutilizarea modulului de calcul RSF.

Tabelul 3 i


Torsorul A • V = B

dereacţiune X/r, YN A =

-(yA-yB) xA-xB-(.yA-yC) xA-xC

în cupla AB =

- [CM, -(yT,-yB) X, +(xT, -xB) Y,]B =

-ICM, ~(yT t -yO-X, +(jr7", -xC) Y,+CM 2 -(yT, -yC) X2 +(xT,_ -xC) Y2]]_|

Torsoruldereacţiuneîn cupla C

XJ2, YJ2

X j 2 = - ( X n + X, +X 2 )

Y J2=-(YN+Y I+Y2)

Torsoruldereacţiuneîn cupla B

X21=-X12

Y21=-Y12

X 2 1 = - ( X , 1 +X , )

y 2 1 =-(y„ + y1)

50



Poziţia critică a diadei se poate obţlno din anularea determinantului matricei A .

C omponentele torsorului de reacţiune din cealaltă cuplă cinematică potenţială (IMII I I IO X12. Yji se pot determina din echilibrul de forţe ale întregii diade.

Prin izolarea elementului 1 (fig.3.4) şi echilibrul sistemului de forţe al acestuia se"hţln componentele torsorului de reacţiune X2l = -X l2,Y 21 =-Y l2 din cupla cinematică H .

3 .4 . Mod e lu l de ca l cu l c i ne to s ta t i c al d iade i RRTModelul cinetostatic al diadei RRT (fig.3.5) se construieşte utilizând semnificaţia

IMrametrilor menţionată în subcapitolul precedent. Astfel se notează cu I] centrele de masănln nlomentelor cinematice / = 1,2, iar cu t,(X,,y;C 7W,) torsorul în punctul T t echivalent ali' lomului de forţe exterioare şi al sistemului forţelor de inerţie aplicat elementului i. în cuplolo

' Hmmatlce potenţiale A şi C este figurat torsorul de reacţiune corespunzător.

51



P arametrii de intrare ai modelului cinetos tatic sunt rodaţi In tubului M.9.

Tabelul 3.1

P arametrii de intrare I

C oordonatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C (xC, yC) ICoordonatele centrelor de masă Ti(xTi, yTi), T 2(xT 2, yT 2)

Torsorul echivalent al sistemului de forţe de inerţieşi al sistemului forţelor exterioare pentru fiecareelement cinematic al grupei modulare

T2(X 2,Y 2,C M 2)

Algoritmul de calcul al parametrilor de ieşire este menţionat în tabelul 3.10. Astfel,într-o primă etapă se determină componentele torsorului de reacţiune din cupla cinematicăA , adică Xn,Y n dintr-un sistem de ecuaţii care se obţine respectiv din izolarea|elementului 1 şi scrierea unei ecuaţii de momente în raport cu B şi prin proiectareaforţelor ce acţionează asupra diadei pe direcţia de translaţie a cuplei cinematice r ,

U lterior, prin izolarea elementului 1 (fig.3.6) şi echilibrul forţelor corespunzătoare, s |determină torsorul de reacţiune din cupla cinematică B , respectiv X2I =-X n,Y 2l = -Y n

> X2

B

Fig.3.6

X2

Tabelul 3. fflj


Torsorul dereacţiune încupla A

Xii,Yji

Y„= B

A =

B =

-(yA-yB) xA-xB

cos(a) sin(a)

'-[CM, -(yT l-yB)X, +(xT l -xB)Y l + CM 2]

-[(X, +X2)cos(ctr) + (y, +r2)sin(or)]

Torsorul dereacţiune încupla B

X 2i=-X i2

Y 2 I =-

Y «

X21=-(Xn+X,)

Y» =~(Y II+Y I)

52



Ţabelu^J^conţinuare)


1 omorul110iinM (II ine111 cupla C

Nja,C N j2

N J2=-i-(X l, + X,+X 2)sin(a) + (Y n+Y,+Y2)cos(a))

CNj, = -[-(yA-yC)X il + (xA-xC)Y il +CM t-(yT, -yC)X, +(xT, -xC)Y, +

+ CM 2- (yT2 - yC)X2 + (xT2 - xC)F :]

Componenta N 2 a torsorului de reacţiune din C se determină prin proiectarea

tlnlomului de forţe al diadei pe o direcţie perpendiculară pe ghidajul cuplei de translaţie.

Componenta moment CN j2 a aceluiaşi torsor se obţine din ecuaţia care exprimă

momentul sistemului de forţe aplicat diadei în raport cu punctul C.Poziţia critică a diadei RRT în absenţa fenomenului de frecare se poate determina

(llli condiţia anulării determinantului matricei A .

3 .5 . Mod e lu l de ca l cu l c i ne to s ta t i c a l d iade i RTRPentru diada RTR (fig.3.7) se utilizează notaţii similare celorlalte diade.

53

P arametrii de intrare ai modulului cinetostatic sunt redaţi în tubului 11.

Tabelul 3.11


Coordonatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC)

Coordonatele centrelor de masă Ti(xTi, yTi), T2(XT2, yT 2)

Torsorul echivalent al sistemului de forţe de inerţieşi al sistemului forţelor exterioare pentru fiecareelement cinematic al grupei modulare

T2(X 2,Y 2,C M 2)

Algoritmul de calcul cinetostatic pentru diada RTR şi parametrii de ieşire sunprezentaţi în tabelul 3.12.

Tabelul 3.1


Torsoruldereacţiune încupla A

X/r, V/j

A

A =

B =

" =BJ

-(yA- yC) xA-xCcos( | -a) sin( , - a)

'-[CM, -(yr, -\C)X, +(xT l-xC)Yx +CM 2 ~(yT2 -vC)X2 +(xT2 -xC)Y2]l l-[(X A - co s f |- a ) +(y,+y2)sin( ,-a)]

Torsorulde

reacţiune încupla C

Xj2, Yj2

XJ2=-(Xn+X ]+X2)

Torsoruldereacţiune încupla B

N21=-N12

CN21=-CA/,2

W21 =- [ - ( * „ +X ,)s in( fl -a) + (Yn +Y l)cos(v 4 - y B ) X n +{xA-xB)Y n +CM, ~(yT t-yB)X, +(xT, -xB)\

într-o primă etapă se determină componentele torsorului de reacţiune din cuplcinematică A, adică X il,Y i, dintr-un sistem de ecuaţii care se obţine dintr-o ecuaţie dmomente în raport cu punctul C pentru forţele aplicate diadei şi respectiv dintr-o ecuaţlde proiecţie pe direcţia de translaţie a forţelor aplicate elementului 1 izolat.

Componentele X j2,Y j2 ale torsorului din C se determină din echilibrul forţei*

aplicat întregii diade. în ceea ce priveşte determinarea componentelor torsorului din /(acestea se obţin prin izolarea elementului 1.

Componenta N2l se stabileşte dintr-o ecuaţie de proiecţie de forţe pe o direcţi

perpendiculară translaţiei din B, iar CJV21 dintr-o ecuaţie de momente scrisă în raport o

punctul B pentru sistemul de forţe aplicat elementului 1.Ecuaţiile utilizează modulele de calcul cu ierarhizare inferioară de tipul RSF şi PRF

54



3 .6 . Mod e lu l de ca l cu l c i ne tos ta t i c a l d iade i TR TDiada TRT şi componentele torsorului de reacţiune din fiecare cuplă cinematică

Y12

Fig.3.9

Parametrii de intrare în modulul de calcul cinetostatic al diadei TRT sunt prezentaţiIM Mhelul 3.13.

Tabelul 3.13


i HUI donatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC)lonatele centrelor de masă Ti(xTi, yT,), T 2(XT2, yT 2)

loihoiul echivalent al sistemului de forte de inerţieţi ni nlstemului forţelor exterioare pentru fiecarejjjlwimnt cinematic al grupei modulare

T2(X 2,Y 2,C M 2)

55

Algoritmul de calcul şi parametrii de ieşire ai modulului de cnlcu! clnetostatic aljdiadei TRT sunt redaţi în tabelul 3.14.

Tabelul 3. U


Torsorulde

reacţiuneîn cuplaA

Nn,CNn

N _ (X, +X 2 ) cos { a 2 ) + (Y{ +y2)sin(a2)

cos(«, - a2)

CNn = -[-(yB - yA)X n + (xB - xA)Yu +CM, - (yT t - yA )X, + (xT t - xA)Yx |

Torsoruldereacţiuneîn cuplaC

Nj2,CN)2

_ (X,+X 2 )cos(a,) + (}'1+y2)sin(a2)

cos(a, - a 2 )

CN j2=-[-(yB-yC)X2l +(xB-xC)Y2l +CM 2 -(yT2 - yC)X2 + (xT2 -xC)Y,

Torsorulde

reacţiuneîn cuplaB

X21=-

X-12YZ1=-Y12

X\2 ~ j2 cos(a2 + P 2) + X2]Y12=-[N j2 s in(a2+/f 2) + K 2]

Intr-o primă etapă se determină respectiv reacţiunile N n şi N J 2 prin izolarea

elementelor cinematice 1 şi 2 (fig.3.9) şi scrierea ecuaţiei de proiecţie de forţe aplicat^elementului pe o direcţie perpendiculară cuplei de translaţie. Prin izolarea elementului 2 Iscrierea ecuaţiei de echilibru de forţe aplicate elementului se obţin respectiv X l2,Y n

Prin izolarea elementelor şi scrierea ecuaţiilor de momente în raport cu A şi respectiv //|

ale sistemului de forţe aplicat elementului izolat se determină componentele moment al<torsorului de reacţiune notate CNn şi CN j2.

3 .7 . Mod e lu l de ca l cu l c i n e tos ta t i c a l d iade i RTTCinetostatica diadei RTT (fig.3.10) se tratează în mod similar. Parametrii de intrar^

ai modulului de calcul sunt prezentaţi în tabelul 3.15

Fig. 4.10

56

Tabelul 3.15

Paramotrll do Intrare

Ci MI donatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC)( omdonatele centrelor de masă Ti(xTi, yTi), T2(XT2, yT 2)l umorul echivalent al sistemului de forţe de inerţieţi NI sistemului forţelor exterioare pentru fiecare

t'liunont cinematic al grupei modulare

T2(X 2,Y 2,C M 2)

Algoritmul de calcul cinetostatic este sintetizat în tabelul 3.16, unde sunt menţionaţii' u.imotrii de ieşire ai modulului.

Tabelul 3.16


1 oinorul

lininaoţluneIn I upla A

X/r, V/i

XA

[Y

A =

B =

"l = Bi .

cos(a2) sin(a2)cos(şo, - «r,) sin($9, - of,)

"-[(X, +X 2)cos(cc2) + (K l +y2)sin(«2)]"

- [X, cos(^ - a,) +K, - a,)]

1< II torul(IU(«•Acţiune(n i tipia CTimorul00

iimoţluneJ |l cupla B

NJ2, CNJ2

N j2 = - [- (X , +X 2 + X f l)sin(a 2) + (y; +y2+r( 1 )cos(a 2 )]

CN ]2=-[CM i - (yT, - yC)X t + (jcTi-xC)Y t +

+ CM 2- (yT2 - yC)X2 + (xT2 - xC)Y2 -(yA- yC)Xn + (xA - xC)Yn |

1< II torul(IU(«•Acţiune(n i tipia CTimorul00

iimoţluneJ |l cupla B

N21=-N 12

CN21=-CN,2

Na = - [- ( X , + X fl )s in(p, -a,) + (K, +K n)cos(ţo, -«,)]

C7V21 = -[CM, - (yT; - yB )X, + (xT t - xB)Yt, - (yA - yB)X t[ + (xA - xlf

intr-o primă etapă se determină componentele , y,, ale torsorului de reacţiune dinh ilinlr-un sistem de ecuaţii obţinut astfel: ecuaţia de proiecţie de forţe pe direcţia cupleir"Miţlale de translaţie din C pentru întreaga diadă şi prin izolarea elementului 1 ecuaţia

57



Componenta CN j2 a torsorului de reacţiune din C se detormlnft dlntr-o ecuaţie demomente a sistemului de forţe aplicat întregii diade. Componenta C/V,, a torsorului d«reacţiune din B se obţine prin izolarea elementului 1 şi dintr-o ecuaţie de momente scris!în raport cu punctul B .

3 .8 . M o d e l u l d e c a l c u l c i n e t o s t a t i c a l t r i a d e i 6 R

Grupa modulară pasivă de tip triadă 6R (fig.3.12) se tratează în mod similarcelorlalte grupe modulare pasive.

Parametrii de intrare cu semnificaţia lor sunt menţionaţi în tabelul 3.17.

Tabelul 3.1

Parametrii de intrare j

Coordonatele cuplelor cinematiceA(xA, yA), B(xB, yB), C (xC, yC), lD(xD, yD), E(xE, yE), F(xF, yF)

Coordonatele centrelor de masăT^xTi, yT^, T 2(xT 2, yT2), T 3(xT 3,

yT3), T4(XT4, yT4)

Torsorul echivalent al sistemului de forţe deinerţie şi al sistemului forţelor exterioare pentrufiecare element cinematic al grupei modulare

r . C X . ^ . C M , )

T2(X 2,Y 2,C M 2)

T,(X„Y„CM })

r 4 ( x 4 , y 4 , c y w 4 )

Algoritmul de calcul cinetostatic şi parametrii de ieşire sunt redaţi în tabelul 3.1(Astfel, într-o primă etapă se determină componentele torsorului de reacţiune din cupleipotenţiale A şi D respectiv Xn,Y n şi X ,K j3. S istemul de patru ecuaţii cu patr

necunoscute se obţine după cum urmează: izolarea elementului 1 şi scrierea unei ecuajde momente în raport cu B pentru forţele aplicate asupra sa, izolarea elementului 3 j



«ciioroa unei ecuaţii de momente în raport cu (' pentru forţele aplicate asupra sa, izo larea(duiumului format din elementele 1, 2 şl 3 şl scrierea unei ecuaţii de momente în raport cuI r.il în sfârşit pentru întreaga triadă o ecuaţie de momente în raport cu punctul F pentruînting sistemul de forţe aplicat asupra sa. într-o etapă ulterioară din echilibrul de forţonpllcnt triadei se obţin componentele XkA ,Y k4 ale torsorului de reacţiune din F. Prini i >l.tioa respectiv a elementelor 1, 3, 4 şi ecuaţii de echilibru de forţe pentru acestea se

tiotarmlnă respectiv componentele torsorului de reacţiune X 2I ,K 2I în B, X 2 i ,Y 2 i '

n c

ŞiXU,YM î n E.

Tabelul 3.18


I omorulilainncţlune

In uipla A

I omorullininncţluneIn cupla D

Xn, Yh

Xj3, Yj3 B=

4xn Y„ XJ} Yp]=B

'-(yA-yB) xA-xB 0 0

0 0 — (yD - yC) xD-xCA —

-(yA — yE) xA-xE -(yD- yE) xD-xE

-(yA- yF) xA-xF -(yD-yF) xD-xF

-[CM,-W-yB) X, +(xT l-xB)Y l]

- [C M, -C y ţ - y Q X , +(x% -xQY\]—[CM, -(yŢ-yE)X t +(xT l-xE)Y ] +CM 2 ~(yT2 -yE)X2 +(xT2 -xE)Y2 +

+CM, -(}%-yE)X, +(xT, -xE)YJ

-[CM, -(yŢ-yF)X, +(xT t-xF)Y t +CM 2 -(yT2 -yF)X1 +{xT2 -xF)Y2 +

+CM } -(yT } -yF)X, +(xT, -xF)Y, +CM4 -(yT4-yF)X4 +(xT4 -xF)Y 41

I umorulilninncţluneIn cuplaF

Xk4, Yk4

X t 4 =- (X , , +X , , , + X , +X 2 + X 3 + X 4 )

I miorulilninncţluneIII cupla B

X21=*-Xl2Y2l=-Yi2

X2l = -(X il + X,)

l umorulUninncţluneIII I upla C

X23=-Xs2Yzr-Yv

X 2 3 = - ( X , 3 + X , )

l umorulilninncţluneIn cuplaf

Xzf^-XgY3P-Y43

XM = - ( X t 4 + X 4 )

YM=-(Yk4+Y4)

nu



3 .9 . Mod e lu l de ca l cu l c i ne tos ta t i c a l t e t rade l 6RPentru cinetostatica tetradei 6R, grupă modulară pasivă (fig.3.13) parametrii d

intrare cu semnificaţia tor sunt redaţi în tabelul 3.19.

• Y 2

C M 2

* Y .

' B

E Q

©

Y 3 ^

C M 3

^— • X 3

Fig.3.13

Tabelul 3.1


Coordonatele cuplelor cinematiceA(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC),D(xD, yD), E(xE, yE), F(xF, yF)

Coordonatele centrelor de masă T,(xTi, yTi), T 2(XT2, yT 2), T 3(xT 3, yT 3), T 4(xT 4, yT4)

Torsorul echivalent al sistemului deforţe de inerţie şi al sistemuluiforţelor exterioare pentru fiecareelement cinematic al grupeimodulare

z l(X i,Y„CM l) ; T 2(X 2,Y 2,C M2y,

T 3 (X 3 ,y3 ,C M 3 );T 4 (X 4 ,y4 ,C M 4 )

Algoritmul de calcul cinetostatic şi parametrii de ieşire sunt sintetizaţi în tabelul 3.20.

Tabelul 3.


Torsorul dereacţiune încupla B

Xl2=-X2iYl2=-Y21

A[X n Yn X13 Yj=B

A =

-(yB-yC) xB-xC 0 0

0 0 -{yE-yD) xE-xD

yB - yA -(xB-xA) yE-yA -(xE-xA)

-(yB-yF) xB-xF -(yE-yF) xE-xF

Kfl




I orsorul deII .noţiune în cupla E

Xl3=-X3i Yi3=-Y3i B =

-[CM 2-(yT2-yC)X2+(xT2

-[CM,-(yT,-yD)X,+(xT }

-[CM l-(yT l-yA)X l+(xT l

-[CM l-(yT l-yF)X l+(xT l-

+ CM 2- (yT2 - yF)X2 + (xT2 -+ CM (yT> - yF)X } + (xT, -

+ CM 4-(yT4-yF)X i+(xTA-

-XC)Y 2)

-xD)Y,]

-xA)Y t j

xF)Y, +

xF)Y2 +xF)Y, +

XF)Y a]

I ijrsorul deinncţlune în cupla A

Xn, Yn

lorsorul demncţiune în cupla F X/4, Yj4

' j l -(Yn+Y l+Y2+Y,+Y4)

lorsorul deinncţlune în cupla C X42=-X24 Y42

=

~ Y2442 — (X|2 + X 2 )

Y42 =~(Y I2 + Y2)

lorsorul demncţiune în cupla D

X43=-X34 Y43=- Y34X 4 , = - (X I 3 + X 3 )y4, = -(y B +y 3 )

Urmărind algoritmul din tabelul 3.20 se observă că într-o primă etapă se determinăiponentele torsorului de reacţiune din B şi E, respectiv X12,K 12 şi X 13,y13. Acestea

l a obţin dintr-un sistem liniar de patru ecuaţii cu patru necunoscute obţinut astfel: izolarea•Imnentului 2 şi scrierea unei ecuaţii de momente în raport cu C pentru forţele aplicate

ii'inpra sa, izolarea elementului 3 şi scrierea unei ecuaţii de momente în raport cu D|i«iilru forţele aplicate asupra sa, izolarea elementului 1 şi scrierea unei ecuaţii deinoinente în raport cu A pentru forţele aplicate asupra sa şi respectiv izolarea sistemuluilimitat din elementele 2, 3, 4 şi scrierea unei ecuaţii de momente în raport cu punctul Fptntru forţele aplicate asupra subsistemului (fig.3.14).

Fig.3.14

61



Fig.3.14 (con t inua re )

Din echilibrul forţelor pentru elementul cinematic 1 izolat se determinăcomponentele Xn,Y n ale torsorului de reacţiune din A. Componentele XJ4,YJ4 ale Itorsorului de reacţiune din F se determină din ecuaţiile de echilibru de forţe aplicaţiitriadei. P rin izolarea elementelor cinematice 2 şi 3 şi echilibrul forţelor aplicate asupr iacestora se obţin componentele torsorului de reacţiune X41 ,Y 42 din C „ respectiv X43, J ',I, Idin D.

Se remarcă utilizarea modulului de calcul RSF în scrierea diverselor ecuaţii damomente.

3 .10 . Mode lu l de ca l cu l c i ne tos ta t i c a l g rupe i modu la reac t i ve i n i ţ i a l e

Grupa modulară activă iniţială este prezentată în figura 3.15 şi este constituită dintr-un element şi o cuplă cinematică activă de rotaţie.

Parametrii de intrare pentru clnetostatlcn acesteia sunt redaţi în tabelul 3.21.

Tabelul 3.21


|< rdonatele cuplei cinematice active O O ţxO , y O ^

|< ."ordonatele centrului de masă Ti (xT i .yT i )

1 lorsorul echivalent al sistemului de forţe de inerţie1 fl nl sistemului forţelor exterioare pentru elementul|i Inomatic

r . C X . C M , )

Parametrii de ieşire sunt menţionaţi în tabelul 3.22.Tabelul 3.22


lorsorul de reacţiune în Y, - -Vi upla cinematică activă O

1n ' îi upla cinematică activă O

c , - ( C M l-(yT l-yO)X l+ (xT { - xO)Y,)

3 .11. Mod e lu l de ca l cu l c i ne tos ta t i c a l g ru pe i m od u la re ac t i ve 4RGrupa modulară activă 4R (fig.3.16) are gradul de mobilitate egal cu unitatea

I I / ( 3 - 2 - 4 = 1) şi este o structură utilizabilă în robotică. Cupla de rotaţie activă din Bilolurmlnă din punct de vedere cinematic şi dinamic echilibrul sistemului. Scopul calculului• înntostatic este în principal determinarea momentului C 2I = -C 12 componentă a torsorului(I* inacţiune din cupla cinematică activă, care permite alegerea unui actuator adecvat

63



P arametrii de intrare pentru calculul cinetostatic sunt cel mnnţlonnţl In tabelul 3 .231

Parametrii de ieşire precum şi algoritmul lor de calcul sunt prezentaţi In tabelul 3 .24,

Necunoscutele sistemului sunt componentele torsorului de reacţiune din cupleljcinematice respectiv în A, X 21 - X i2,Y 21--YI2.C-21 _ Ci2 in

y32 în C şi X j 3 ,K j 3 în D. Pentru cele trei elemente ale grupei modulare2 3 = -X 32 ,Y 2

se pot scrie nouă ecuaţii de echilibru şi deoarece sunt nouă necunoscute sistemul est|determinat.

Tabelul 3.2 i


Coordonatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD,yD)

C oordonatele centrelor de masă T i(xT i, yT i), T 2(xT 2, yT 2), T 3(xT 3, yT 3)

Torsorul echivalent al sistemului de forţede inerţie şi al sistemului forţelorexterioare pentru fiecare element

cinematic al grupei modulare

(XpK pC M,)

T2(X 2,Y 2,C M 2)

r , ( X „ K „ C M , )

Tabelul 3 .241


Torsoruldereacţiuneîn cupla D

Xj3, Yj3

A • = B

A =

YJ>

- (yD - yC) xD - xC

-(yD- yA) xD-xA

- [ C M , -(yT, - yC)X, + (JRT, -xC)Y,]

- [C M , - (>'7-, - yA)X } + (xT y - xA)Y, +

CM - - (yT2 - yA)X 2 + (xT2-xA)Y 2+C M t -(yT, -yC)X, + (AT, - jrCjy, ]J

Torsoruldereacţiune

în cupla A

XN, YJ 1X„ =-(X J} + X,+X2+X,)

yn =-(Yj3 + Y,+Y2+Y,)

Torsoruldereacţiuneîn cupla C

X23=-X32

Y23—~Y32

X 2, = - ( * . , + X , )

Y21=-(YJ,+Y })

Torsoruldereacţiuneîn cuplaactivă B

X2I= -X12

Y2I= -

Y12

CN2I=

-C N12

X 2] = - ( X , , + X , )

Y» =-(lr«+l'1)

c 2 1 = -[-(yA - yB)X n + (xA - xB)Y n

+ CM, - (yT, - vfl)X, + (xT, - xB)Y, ]

64



într-o primă etapă se deduc componentele X j7i ,Y jX alo torsorului do reacţiune dini iipln cinematică D dintr-un sistem liniar de două ecuaţii cu două nocunoscute. Acesta senliţlno astfel: izolarea elementului 3 şi scrierea ecuaţiei de momente în raport cu punctuli pontru sis temul de forţe ce acţionează asupra sa şi din sc rierea ecuaţiei de momente îniMport cu punctul A pentru sistemul de forţe ce acţionează asupra grupei modulare. Dini" lillibrul de forţe ce acţionează asupra întregii grupe modulare se obţin componentelei'T.orulu i de reacţiune din A cupla potenţială. P rin izolarea elementului 3 (fig.3.17)

11 illn echilibrul forţelor aplicate asupra sa se deduc componentele X23 ,Y 23 ale torsorului•i" reacţiune din cupla cinematică C . P rin izolarea elementului 1 şi din echilibrul forţelorn|illcate asupra sa se deduc componentele X2l,Y 2l, iar din ecuaţia de momente în raporti ii punctul li a sis temului de forţe se obţine momentul din cupla cinematică activă ( ', , .1 ' mponentele torsorului de reacţiune din cupla cinematică activă B sunt X2l,Y 2i şi C 21.

3 .12 . Mode lu l de ca l cu l c i ne tos ta t i c a l g rupe i modu la react i ve RTRR

Grupa modulară activă RTRR (fig.3.18) este un sistem mecanic cu aplicaţii multipli'In i onstrucţia s istemelor de reglare şi poz iţionare ş i în robotică pentru structura braţelortul iot sau a sistemelor de deplasare şi poziţionare a platformelor păşitoare. Gradul do

illltate este unitar (M = 3 • 3 - 2 •4 = 1), cupla activă fiind de transla ţie în B .Parametrii de intrare pentru modulul cinetostatic al grupei modulare active RTRR

•unt menţionaţi în tabelul 3.25.Parametrii de ieşire şi algoritmul pentru determinarea componentelor torsorului de

lUBOţlune din cuplele cinematice sunt prezentaţi în tabelul 3.26. Aceste componente înnunmr de nouă sunt respectiv următoarele: Yn în A ,

N,, yVl2, r2 1 = -T a, CN2l =- C 1 2 în cupla activă de translaţie din 6,- X i v Y n =-y23 C şi XJ},Y J3 în D.în acelaşi timp, pentru cele trei elemente cinematice se pot scrie nouă ecuaţii de

lohlllbru.

Y23

Fig.3.17

05



Tabelul 3.


C oordonatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C (xC, yC), D(xD,yDC oordonatele centrelor de masă T I(XT I, yT ,), T2(XT2, yT 2), T 3(xT 3, yT 3)

Torsorul echivalent al sistemului de forţede inerţie şi al sistemului forţelorexterioare pentru fiecare elementcinematic al grupei modulare

T2(X 2,Y 2,C M 2)

t}(X„Y„CM,)

Tabelul 3.

Parametrii de i e ş i r e

Torsorul dereacţiune în cupla D Xj3, YJ3

= B

4 =

B =

-(yD-yC) xD-xC

-(yD-yA) xD-xA

-[CM,-(yT,-yC)X,+(xT }-xC)Y,]- [CM , - (y r, - yA)X, + (xT \ - xA)K, +

+ CM 2- (yT2 - yA)X 2 + (xT2 - X A ) Y 2 +

+ CM| -(yT l-yA)X l +(xT l -xA)Y,]Torsorul dereacţiune în cupla A XN, Y)I

X il=-{X ft + X l+X2+X,)

Yn =-(Yj,+Y1+Y2+Y,)

66



Tabelul 3.26 (continuam)Tomorul deInncţlune în cupla C

X23=-X32

Y23=^32

X2,=-(XJ, + X,)

Y2i=-(Y ji+Y })

I umorul denmcţlune în cupla

ncllvă B

T21=-T 12

N21=-N 12

CN21=

-C N12

r21 = - [(X , , + X ,) cos «3,) + (Y n + y,) sin(p,) I

N21 =-[- (X, , +X 1 ) s in ( W ) + (y„ +y,)cos(^)]

CN2l = -[-(y/1 - yB)Xn +(xA- xB)Y i[ ++ CM, - (yT t - yB)X l + (xT, - xB)Y t ]

Pentru cinetostatica grupei modulare active RTRR se determină în prima etapă"Hiponentele X j3,Y j3 ale torsorului de reacţiune din cupla cinematică potenţială din I ) .

A» n»toa rezultă dintr-un sistem liniar de două ecuaţii cu două necunoscute astfel: selinlfliiză elementul 3 (fig.3.19) şi se scriu ecuaţiile de momente în raport cu punctul Cpaiitru forţele aplicate asupra acestuia şi în raport cu punctul A pentru sistemul de forţeIjillunt întregii grupe modulare.

Yj3

Fig.3.19

Din echilibrul sistemului de forţe aplicat întregii grupe modulare se pot determina

Miponentele X il,Y 2l ale torsorului de reacţiune din cupla potenţială A . Din echilibrul de

(nt(« uplicat elementului 3 izolat se obţin componentele X23 ,Y 23 ale torsorului de reacţiune

|ln cupla cinematică C .Componentele torsorului de reacţiune din cupla activă de translaţie B se pot stabili

ftilii i/olarea elementului 1. Componentele forţă N2VT2la\e torsorului din B se obţin prin

|IMlimitarea forţelor aplicate asupra elementului 1 respectiv pe o direcţie perpendicularărilincţlol de translaţie şi pe direcţia ghidajului cuplei de translaţie. Componenta moment a«i «lulaşl torsor se determină din ecuaţia de momente în raport cu punctul B a sistemului•n torţe aplicat elementului 1.

67



La baza algoritmului stau modulele de calcul de ierarhizare Inloilonrfi prezentatecapitolul 3.2, denumite R S F şi PR F , utilizate pentru calculul momentului în raport cupunct şi respectiv pentru determinarea proiecţiilor unor forţe pe o direcţie şi perpendiculape aceasta.

3 .1 3 . M o d e l u l d e c a l c u l c i n e t o s t a t i c a l g r u p e i m o d u l a r e

b i m o b i i e 5 Rîn cazul unor structuri utilizate în robotică se întâlnesc grupe modulare active

două grade de mobilitate. O astfel de grupă modulară este aceea de tipul 5R (fig.3.20),|gradul său de mobilitate fiind (M = 3-4-2-5 = 2), iar cuplele active de rotaţie fiind plasaţiîn C şi D.

Y I

Y 2

C M I

C M 2

X, C M 4

Fig.3.20

Parametrii de intrare pentru modulul cinetostatic aferent sunt prezentaţi în tabelul 3.27.Tabelul 3.1


Coordonatele cuplelor cinematice A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC), D(xD,yD), E(xE, yE

Coordonatele centrelor de masă Ti(xT-i, yTi), T2(XT2, yT 2), T 3(xT 3, yT 3), T 4(xT 4, y T4 j

Torsorul echivalent al sistemuluide forţe de inerţie şi al sistemului

forţelor exterioare pentru fiecareelement cinematic al grupeimodulare

^(XpFpCM,)

T2(X 2,Y 2,CM 2)

r 4(X4,y4,CA/4)

68

Parametrii de ieşire şi algoritmul do calcul pentru componentele torsorului defuncţiune din cuplele cinematice sunt redaţi în tabelul 3.28.

Tabelul 3.28


I " M i o r u lI Ai » i « i ţ i u n eI n c u p l aA

f n i m n u l•H ' r t ' i ţ l u n e

i m l i p i i i

Xn, V / f

A-\Xn ] = BU > J

' - (yA - v B ) xA- xB\A =-(yA-yE) xA-xEj

- [CM, - (yT, - yB)X l + (xTx - xB)Yl ] 1B= ~[CM 4 - (yT4 - yE)X4 + (xT4 - xE)Y4 + C M, - (yT, - yE)X, + (xR, - xE)Y, +

+ C M 2 - ( y T 2 - yE)X2+(xT2 - xE)Y2 +CM, -(yT t - yE)X t +(xT { - xE)Y,

I " M i o r u lI Ai » i « i ţ i u n eI n c u p l aA

f n i m n u l•H ' r t ' i ţ l u n e

i m l i p i i iXj4, Yj4

X>4 =~(X il+X1+X2 + X, + X i)

Y l4=-(Yn+Y l+Y2+Y,+Y4)

l i i i ' i o n j li l ni i ' t i i i ţ l u n eH M Hilnn

X2i=-X12

Y21=-Y12

X2I = -(Xn+X t)

y» =-vn+y,)i

1 1 ' M i o r u l' I nW a n ţ l u n eh i c u p l ammD

1 " M i o r u lP< » " i ' i ţ l u n eI n c u p l aw l l v f t C

X34=-

X43Y34=-

Y43C34=-C43

XM=-(X jA+X4)YM=-(Y ]4+YA)

CM = -[-(yE - yD)X J4 + (xE - xD)Y j4

+ CM 4-(yT4 - yD)X4 + (xT4 - xD)Y4 ]

1 1 ' M i o r u l' I nW a n ţ l u n eh i c u p l ammD

1 " M i o r u lP< » " i ' i ţ l u n eI n c u p l aw l l v f t C

X23= -X32

Y23= -

Y32C23=

-C 32

X 2 3 = — ( X 4 3 + X , )

K 2 3 = - ( K 4 , + K , )c 2 , = - [ C 4 3 - (yD - yC)X„ + (xD - xC)Y4y

+ CM ,-(yT,- yC)X, + (xT, - xC)Y,]

într-o primă etapă se determină componentele X , ,, F , , ale torsorului de reacţiunetui i iipla cinematică potenţială A. Acestea se obţin dintr-un sistem liniar de două ecuaţii

•i iloufi necunoscute care exprimă următoarele: ecuaţia de momente în raport cu punctulli pentru forţele care acţionează asupra elementului 1 izolat (fig.3.21) şi ecuaţia de

nonte în raport cu punctul E pentru sistemul de forţe care acţionează asupra întregiiUiupo modulare (v. fig.3.20).

69



Din ecuaţia de echilibru a sistemului de forţe, care acţionează asupra întregii gru

modulare, se obţin componentele X j4,Y J4 ale torsorului de reacţiune din cupla cinematic

potenţială din E .Pentru determinarea componentelor X 21 =-X ]2,Y 2] =-Y 2l ale torsoruluireacţiune din cupla propriu-zisă B se utilizează ecuaţia de echilibru al forţelor aplicaasupra elementului cinematic 1 izolat (v. fig.3.21).

Componentele X 3 4 = - X 4 3 , y 3 4 = - y 4 3 , C 3 4 = - C 4 3 ale torsorului de reacţiune dcupla cinematică activă D se determină prin izolarea elementului 4 (v. fig.3.21)respectiv din echilibrul de forţe aplicat elementului şi din ecuaţia de momente faţăpunctul D pentru sistemul de forţe aplicat asupra acestuia. în final, din ecuaţiileechilibru pentru elementul cinematic 3 izolat se deduc componenteiXn = -X n, y „ = - y „, c „ = -C „ ale torsorului de reacţiune din cupla cinematică activă C ,

70



4 . MODELAREA CINEMATICĂ A ROBOŢILOR PĂŞITORI CUSECVENŢĂ FIXĂ

4 .1 . So lu ţ i i cons t ruc t i ve ş i s t ruc tu ra leRoboţii cu secvenţă fixă aparţin generaţiei a doua de roboţi şi sunt acei roboţi de tip

lnn| robot sau roboţi mobili, la care amplitudinea şi succesiunea mişcărilor rămân imuabile.în general, acestea sunt sisteme cu o structură mecanică cu un grad de mobilitate.

Pentru ilustrarea acestei categorii de roboţi se prezintă în cele ce urmează câţivaMIII roroboţi păşitori cu caracteristici biomorfe, sis teme echipate cu diverse categorii de•miiori - tactili, de proximitate, de sunet şi de lumină.

Mic ro robo t u l păş i t o r gândac (fig.4.1) are şase elemente de susţinere şi deplasare• picioare, câte trei pe fiecare latură.

Fig. 4.1

Sistemul este acţionat printr-un singur micromotor, care acţionează douăiiiiicanisme identice plasate simetric transversal. Fiecare mecanism, la rândul său,ileltirmină mişcarea simultană a celor trei picioare situate pe aceeaşi latură.

Robotul aparţine clasei de roboţi cu secvenţă fixă, deoarece amplitudinea şimu cosiunea deplasării picioarelor - elementele de susţinere şi deplasare nu pot fiiniiillllcate.

Mic ro robo t u l păş i to r t i p c rab redat în figura 4.2 este o soluţie de acelaşi tip.

71



Sistemul este acţionat de un micromotor conectat la trei mecanisme conectateiparalel şi amplasate simetric transversal. Fiecare dintre aceste mecanisme are un singur Igrad de mobilitate şi două elemente cu rol de susţinere şi deplasare.

Microrobotul de tip păianjen este prezentat în figura 4.3.

Soluţia este un mecanism cu un singur grad de mobilitate, robotul având doiMelemente cu rol de deplasare şi susţinere alternativă cu un element central. Acest elementcentral poate roti întreg mecanismul pentru amplasarea sistemului în vederea schimbăil!traiectoriei de deplasare.

4 .2 . Mode la rea s t ruc tu ra l - c i nemat i că a robo tu lu i păş i t o r t i p gândacRobotul tip gândac din figura 4.1 are pentru cele două mecanisme paraleli

acţionate de acelaşi micromotor schema cinematică din figura 4.4.

Susţinerea şi deplasarea sistemului este realizată prin elementele cinematice 3, fl

7 care realizează contactul cu suprafaţa de sprijin în punctele T3,T A,T 7 prin acţionar»!elementului 1 prin cupla cinematică activă A. Mecanismul plan are m = 7 ele men llcinematice şi un număr de 10 cuple cinematice de rotaţie. în consecinţă, mecanismul allîn raport cu platforma - corpul gândacului un grad de mobilitate ( M =3 •7 - 2 •10 « MModelul structural (fig.4.5) are schema de conexiuni din figura 4.6.

72

R R R ( 6 . 7 ) °

R R R ( 4 , 5 ) °

| RRR(2,3 c |O BO OB

C i M A l ( O l )

A ? D<> 0 6 C iC j )

O

Fig. 4.5 Fig. 4.6

Prin contactul punctiform cu suprafaţa de sprijin a elementelor cinematice 3, 4 şi 7n'»i|iectiv în punctele r 3 , r4 , r7 se realizează totodată transportul platformei în raport cuRolul Acţionarea fiind realizată prin acelaşi micromotor, rezultă că mecanismul are un grad

iii» mobilitate. în această fază mecanismul are un număr de opt elemente, zece cuple1 nînmatice inferioare de rotaţie şi trei cuple superioare ca urmare a contactului«limentelor 3, 4 şi 7 cu solul, ceea ce conduce la M =3-8 — 210— 3 = 1. Acest modelMtuctural (fig.4.7) are N =13 - 8 = 5 contururi independente şi în acesta se echivalează1 ţiplele superioare conform teoremei de echivalare a cuplelor superioare.

Fig. 4.7

Construcţia microrobotului (fig.4.1) arată o extremitate plată a extremităţii piciorului,Mllol încât transportul platformei poate fi explicat după cum urmează. Plasarea alternativăh nlomentelor cinematice 3, 4 şi 7 pe suprafaţa de sprijin determină solidarizareaInstantanee a respectivului picior cu elementul fix, platforma fiind eliberată. MecanismulHM» ncelaşi număr de elemente cinematice ş i acelaş i număr de cuple cinematice şi decilinului său de mobilitate este unitar ( M =3 - 7 - 2 1 0 = 1). Urmărind modelul s tructuralniiiiirlor (v. fig.4.5) se constată existenţa conexiunilor grupelor modulare din figura 4.7.

Oricare dintre acestea presupune conectarea la bază a unei grupe active modulare1 ii un grad de mobilitate de tipul 4R şi a două grupe modulare pasive de tip diadă RRR.

Pentru microrobotul de referinţă (v. fig.4.1) şi modelul structural din figura 4.5r immetrii geometrici constanţi sunt redaţi în tabelul 4.1. Modelul cinematic şi parametriiilapondenţi, aferenţi fiecărui modul de calcul sunt prezentaţi sintetic în tabelul 4.2. Notaţiileţi modelele poziţional cinematice sunt în concordanţă cu acelea expuse în capitolul 2.

73

Tabelul 3.15

Parametrii geometrici constanţi [m]

AB = 0.002; BC = 0.015; DC = 0.005; BE = 0.005; GE = 0.015; 67^=0.005;

BF = 0.015

X4 = 0; K4 = 0; X M =0 ; yiA = 0; X 2 ^=0 ; Y2A=0

XD = 0.015; YD = -0.002 ; X1D = 0; K1£> = 0; X2D = 0; Y2D = 0

XG = -0.015; YG = -0.002 ; X I G =0 ; K1G = 0; X2G=0; Y2G=0

DT3 = 0.015 ; BT4 = 0.015 ; GT1 = 0.015

Parametrul independent

<ple[0,27t] ; cpl = <pl(r) rad ; cplOe [0,360°J ; tplO = cplOf/)[°]

toi = 1 sec-1 ; sl = 0 sec -'

Tabelul 4.2

Modelul Parametrii dependenţi de poziţii

BPT(B)XB(i) = /4Bcoscpl

YB{t) = /ÎS -sin cpl

RRR(2,3)XB(t) - XD + BC • cos <p2 - DC •cos (p3 = 0

YB{t) - YD + BC • sin cp2 - DC • sin cp3 = 0

RRR(4,5)XB(t) - XG + BE cos <p4 - GE • cos <p5 = 0

YB(t) - YG + BE • sin <p4 - GE • sin <p5 = 0

RRR(6,7)XB(t) - XG + BF cos cp6 - GF • cos <p7 = 0

YB(t) - KG + BF • sin <p6 - GF • sin cp7 =0

BPT(T3)XT3(t) = XD + DT3 •cos((p3 +TC)

YT3(t) = YD + DT3 •sin(cp3 +TC)

BPT(T4)XT4(t) = XB + BT4 •cos(cp4 + n)

YT4(t) = YB+ BT4 •sin(cp4 + 7t)

BPT(T7)XTl(t) = XG + GT1 •cos((p7 + n)

YTl(t) = YG + GT1 •sin(tp7 + 7t)

Modelul P arametrii dependenţi de viteze

BPT(B)X1 B(t) = -col • y4B • sin ipl

Y\B(t) = col/4Bcos(pl

RRR(2,3)

A

- BC -sin cp 2

SCcos(p2 -

co2

co3

DC

DC

= C

sin (p3 _ - (X 1S )|

•cos (p3 ' ~ - (K lf i)

RRR(4,5)

A

- BE • sin (p4 GE

BE • cos cp4 - GE

co4

0)5sin

•co

= C

cp5 . - ( X l f i - X 1 G |

scp5 ~ - ( n f l - y i G ) l

74

RRR(6,7)

0)6A = C

0)7

II— BF • sin <p6 GF • sin cp7 - ( X l f l - X 1 G |

~~ | BF • cos (p6 - G F - cos (p7|' ~ - (K l f l - n G ) f l

BPT(T3)

X173(0 = -0)3 •£>73 •sin(cp3 +TI)

Y\T3(t) = 0)3 •£>73 •cos((p3 + jt)

BPT(T4)X 174(0 = X lfl - o )4 S 74 s in (<p4 + îr)

Y\T4(t) = Y\B + 0)4 •BT4 •cos((p4 + 7t)

BPT(T7)X\Tl(t) = -0)7 •GT1 • sin(<p7 + 7t)

Y\Tl(t) = 0)7 •GT1 • cos(cp7 + n)

Modelul Parametrii dependenţi de acceleraţii

BPT(B)

X2B(t) = -0)12 •AS cos (pl

Y2B{t) = -col2 •AB • sin (pl

RRR(2,3)

D =

A =

- ( X 2 B-

-[Y2B-

A

-B C sir

BC • cos

-B C co2

- BC • 0)2

e2

E 3

)(p;

<p22 (2 .s

= D

£)Csincp3

- D C c o s ( p 3

:os(p2 + £)Cco3

in ş2 + DC w32

•cos(p3|

•sin(p3)j

RRR(4,5)

D = - (

A =

X2B-X

Y2B - Y

A

- BE • sii

BE • cos

2 G-BE

2 G-BE

e4e5

i(p'

(p4

O)^

0 ) 4

= D

+ G £ • sin (p5

- GE • cos (p5

t2 cos(p4 + G £-

t2 -sin(p4 + G £-

o)52 •cos(p5/

to52 •sin tp5)

RRR(6,7)

D = - (

A =

X2B-X

{Y2B-Y

A

- BF si

BF • cos

2G-BF

2 G-BE

E 6

E 7

icp

(p6

•col

0 ) {

= D

5 GF • sin q>7

- GF • cos (p7

52 -cos(p6 + G£-

>2 sin(p6 + G £-

0)72 •cos (p7

u>72 •sincp7)

BPT(T3)X 273(0 = -0 )32 • DT3 • cos((p3 +n) - e3 •DT3 •sin((p3 +%)

Y2T3(t) = -co32 •DT3 • sin(cp3 + 7t)+e3 • DT3 • cos((p3 + n)

BPT(T4)

X 2T4(t) = X2B - co42 •BT4 • cos((p4 +TU)- E4 •BT4 • sin((p4 + n)

7274(0 = Y2B - co42 •BT4 • sin(cp4 +TI) + e4 •BT4 • cos((p4 +TI)

BPT(T7)X 277(0 = -0)72 •G 77 •cos(cp7 + i t) - e7 •G 77 •sin((p7 +TT)

Y2T1(1) = -o)72 •G 77 •sin((p7 +TT)+el • GT1 • cos(q)7 +TI)

75

Variaţia parametrilor dependenţi, caracteristici fiecărui grupe modulare este redatUîn figura 4.8. Corelarea diagramelor de poziţii, viteze şi acceleraţii rospoctlv (<p20,co2,r.2),](<p30.ca3.s3), ((p40,to4,e4), (<p50,co5,e5), (ip60,o)6,e6), (<p70,<»7,£7) constituie un argumentpentru corectitudinea modelării cinematice a mecanismului păşitor.

4>20k

<>30k

150135-"

120105"", 90 "

756045--30"15" i

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

e2w

e3k

1-0.85-0.7-0.55-0.4-

" 0.25-0 .1

-0.05'-0.2 f

-0.35-0.5

0 4

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

«2 16

E4k

£5k

10.850.7

0.55

0.1

-0.35

-

' • -1 1;o 4 • 8-4 20 24 28N j2 36

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

Fig. 4.10

76



Fig. 4.8 (con t inua re )

-0.009

-0.01Y T 3 k - 0 - 0 1 1

'-0.012

™ M ) . 0 1 3• ' • • - 0 . 0 1 4

Y T 7 I ^0.015

-0.016

-0.017

~° 0 1 4 0 2 5 - 0 . 0 2 - 0 01 5- 0 01-0. 005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

X T 3k)X T 4k)X T 7k

Fig. 4.9

Traiectoria extremităţii picioarelor în raport cu sistemul de referinţă ataşat platformeiBhln prezentată în figura 4.9.

Pentru a analiza modelul de deplasare a microrobotului este necesar să seHI mărească variaţia în timp a amplitudinii verticale a traiectoriei extremităţii fiecărui picior.Ai nete curbe sunt prezentate în figura 4.10.

Astfel se observă că realizarea contactului cu solul se face în următoareanuccosiune (v. fig. 4.10): aproximativ simultan cu punctele T3,TI aparţinând elementelor% ţl 7, ulterior în acelaşi mod cu TI,TA pentru elementele 7 şi 4 şi în final prin punctul T3uilunt pe elementul 3.

-0 .009

-0.01Y T3M).011

- 0 .0 12

Y T 4 M ) , 01 3

• • ' • - 0 . 0 1 4Y T7N).015

- 0 . 0 1 6

-0 .017

" ° ' ° 1 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

kFig. 4.10

77



4 .3 . Mode la rea s t ruc tu ra l - c i nemat i că a robo tu lu i păş i t o r t i p c rabMicrorobotul păşitor tip crab (v. fig.4.2) are trei mecanisme plane conectate paralol

la actuatorul de rotaţie - micromotorul, care determină acţionarea elementului cinematic 1,Schema cinematică a mecanismului este redată în figura 4.11, iar modelul structural Inraport cu elementul platformă este prezentat în figura 4.12. Se verifică gradul de mobilitatsunitar al mecanismului, (M =3 - 9 - 2 1 3 = 1) care are m = 9 elemente cinematice yl13 cuple cinematice.

Fig. 4.12

Din conexiunea grupelor modulare din figura 4.13 se observă existenţa unei grupimodulare active iniţială şi a unor grupe modulare pasive de tip diadă RRR.

RRR(8,9) ^

K O

RRR(6,7) ( S j R R R ( 2 , 3 ) c

RRR(4,5) p

B B

G M A I ( O l )

O G 1 O D ~

iD O G

°

Fig. 4.13

78

în cazul în care se amplnnnn/fl un picior po sol (elementul cinematic 8 sau 4)Ijindul de mobilitate rămâno unltnr (M i 9 213 l) modificându-se conexiuneagiupelor modulare.

Pentru microrobotul de referinţă (v. fig.4.2) şi modelul structural din figura 4.12lniiiimetrii geometrici constanţi sunt redaţi în tabelul 4.3. Modelul cinematic şi parametriiilnpondenţi, aferenţi fiecărui modul de calcul sunt prezentaţi sintetic în tabelul 4.4. Notaţiileţi modelele poziţional-cinematice sunt în concordanţă cu cele expuse în capitolul 2.

Tabelul 4.3

Parametrii geometrici constanţi [m]

AS = 0.002; SC = 0.008; DC = 0.008; C £ = 0.02; G F =0.013;EF = 0.007 ; BE = B C + CE

nc = 0.008; P 'C '= 0.008; C '£'=0. 02 ; G 'F '= 0.013; £'£ '=0. 00 7; BE'=BC'+C'E'

X4 = 0; YA = 0 ; X M = 0 ; Y\A = 0\ X 2A = 0; Y2A = 0

XD = 0.005; YD = 0.008; X1D = 0; K1D = 0; X 2D = 0; K2D = 0

XD'=-0.005; YD'= 0.008; X 1D '=0; K 1D '=0; X 2 D '=0; K 2D '=0XG = 0.013; YG = 0.01; X1G = 0; K1G = 0; X 2 G =0 ; K2G = 0

XG'= -0.013; YG'= 0.01; X 1G '=0; K 1G '=0; X 2G '=0; y2 G '=0

£74 = 0.015 ; £ T 8 = 0.015


cpl e [0,2TT] ; (pl=<pl(f) rad ; <pl0e [0,360°

wl = 1 sec"1 ; el = 0 se

; <pl0 = ip l0(f)[°]

c"1

Tabelul 4.4


BPT(B)XB(t) = AB • cos cpl

YB(t) = AB • sin (pl

RRR(2,3)XB(t) - XD + BC • cos <p2 - DC •cos <p3 = 0

YB{t) - YD + BC • sin cp2 - DC •sin <p3 = 0

BPT(E)X£(r) = XB + BE • cos cp2

YE(t) = YB+ BE • sin <p2

RRR(4,5)XE(t) -XG + EF-cos<p4-G F cosq>5 = 0

YE(t) -YG + EF sin cp4 - G F •sin <p5 = 0

RRR(6,7)XB(t) - XD +BC cos <p6 - D'C cos cp7 = 0

YB{t) - YD'+BC'•sin <p6 - D'C '- sin <p7 = 0

BPT(E')XE'(t) = XB + B£'cos(p6

YE{t) = YB + BE' sin(p6

RRR(8,9)X£' (/) - XG'+E' F'• cos q>8 - G

1Fcos <p9 = 0

YE (t) - YG'+E'Fsin <p8 - G' F'- sin q>9 = 0

BPT(T4)XT4{t) = X£ + £74 •cos((p4 + n)

YT4(t) = YE+ £74 •sin((p4 +TC)

BPT(T8)X78(r) = X£'+£'78 •cos((p8 +TT)

K78(0 = K£'+£'78 •sin(cp8 +TT)

79

Tabolul4 < / (coiitlnunre)

Modelul Parametrii dependenţi de vlto/o

BPT(B)X\B(t) = -col • AB •sin (pl

Y\B(t) = a > \ - AB- cos(pl

RRR(2,3)

I M I4\ = c

I M I- BC- sin(p2 DC • sin <p3 _ ^ H X 1 B I

~~ | SC• cos(p2 - DC• cos(p3 J - ( y iB )

BPT(E)XI E(t) = XIB - 0 )3 •BE •s i n 2

RRR(4,5)A =

||o)4||A = <

|(o5||

- EF • s i n ( p 4 GF • s i n c p 5

EF • cos (p4 - GF • cos ip5 H i -

- (X1£ (0 -X1G)

- ( y i £ ( 0 - y i c )

RRR(6,7)A =

A

j-BC'sin(p6 D'C'

SC'cos(p6 -D'C

o)6|= <

co7||

sin(p7'•COS (p"

; c =- ( X l B - X l D ' l

- ( y i s - y i D ' )

BPT(E')X IE' (t) = X1B - 0 ) 6 • BE'- sin q>6

Y1E' (t) = K 1 B + 0)6 BE'- cos (p6

RRR(8,9)

A

-E'F'- s i n ( p 8 G'F's

E'F' cos(p8 -G'F'-

co8

0)9inq

COS

= (

9 II

(p9|; c =

- ( X 1 £ ' ( 0 - X 1 G ' ) |

- ( y i £ ' ( 0 - y i G ' )

BPT(T4)X 174(0 = X1E - 0)4 •£74 •sin((p4 + T t)

yi74(0 = Y 1 £ + 0)4 •£74 • cos((p4 + T t)

BPT(T8)X 178(0 = X 1 £'-o)8 •£' 78 •sin((p8 + i t )

y i 7 8 ( 0 = y i £ ' + c o 8 • £ ' 7 8 •cos((p8 + i t )


BPT(B)X 2 f i ( 0 = -o )l2 AB- c o s (pl

y 2 B ( 0 = -(ol2 A B sin(pl

RRR(2,3)

e2A =D

E3

I I - B C - sin <p2 DC- s i n ( p 3

1 BC • cos (p2 - DC • cos (p3

| - ( x 2 B - B C - c o 2

2

-cos(p2 +DC o)3

2

-cos(p3)~ | - ( y 2 B - B C o)22 •sin(p2 +DC co32 •sin(p3)|

BPT(E)X 2£(0 = X 2B - o)22 • BE • c o s < p 2 - s 2 •BE • sin(«p2)

Y 2£(0 = Y2B - o)22 • B£ •sin (p 2 + e 2 •BE • cos((p2)

80

R R R ( 4 , 5 )

D =- ( X2E(t)-y

(Y2E(t) -

A.

- EF s i r

EF • c o s

<2 G-EF

Y 2 G - E F

I :4

c 5

î t p ^

c p 4

• a

• a

= D

l GF • s i n c p 5

- GF • c o s q > 5

) 42

c o s < p 4 + G £ c o 52

c o s i p 5

42

• s i n c p 4 + GE • o ) 52

• s i n c p 5 )

R R R ( 6 , 7 )

D= "

A =

~(X2 B-X

-(Y2B-Y

A

- BC'- s i n

BC'- c o s

2 D'-BC'

2 D'-BC'-

E 6

e 7

t p f

i p 6

0 ) 6

0 ) 6

= D

D'C'- s i n c p 7 I I

- D'C'-cos<p7||

2 •c o s c p 6 + D' C ' - o ) 72 •c o s c p 7 ;

2s i n ( p 6 + Z ) ' C ' - o ) 7

2s i n = - ( X2E'(t)~

( K 2 £ ' ( 0 -

A

- E' F' s i n

£ ' £ ' c o s

X2 G'-E'

Y2G-E'

E 8

E 9

( p 8

q ) 8

F ' - c

= D

G ' £ ' s i n c p 9

-G'F'- c o s c p 9

) ) 82 •c o s c p 8 + G '

o 8

2

• s i n c p 8 + G ' Z

r' - c o 9

2- c o s c p ?

: ' 0 ) 9

2

s i n ( p 9

>

B P T ( T 4 )X 2 £ 4 ( r ) = X 2E - c o 4

2- ET4 • c o s ( c p 4 + TI) - E 4 • ET 4 •s i n ( 42

• ET4 • s i n ( 82

• E'T4 • s i n ( c p 8 + i t ) + E 8 • £ T 8 • c o s ( < p 8 + i t )

Variaţia parametrilor dependenţi şi corelarea acestora, care justifică exactitateaMiudolării, este redată în figura 4.14.

4 0 0 Ţ350- •

3 0 0 "1 1

*2 0l 250" "1 2 0 0 - •

150-"' M O k l o o - -

• • < « 50- -

- 5 0 - 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

- î o o - * -0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

Fig. 4 . 1 0

81



Fig. 4.14 (cont inuare)

82



Traiectoria extremităţii fiecărui picior rospectiv a punctelor 7'4 şi 7'8 este prezentatăIu tlgura 4.15.

-0.005-0.0065

- 0 . 0 0 8

Y T4k - ° 0 0 9 5

_ -0.011-0.0125

-0.014-0.0155

-0.017-0.0185

- 0 . 0 2-0.04 -0.032-0.024-0.016-0.008 0 0.008 0.016 0.024 0.032 0.04

X T 4 k , X T 8 k

Fig. 4.15

Variaţia în timp a amplitudinii verticale a extremităţii picioarelor (punctele 74 şi 7 8),ilic.trată în figura 4.16, arată faptul că plasarea pe suprafaţa de evoluţie a microrobotulul«o Ince decalat în timp, ceea ce justifică aserţiunea făcută anterior privind transportuli 'liittormei prin amplasarea alternativă a elementelor cinematice 4 şi 8 pe sol şi implicit prin'iodizarea instantanee a acestora.

YT4k

Y T 8 k

-0.005

-0.0065- 0 . 0 0 8

-0.0095-0.011

•-0.0125-0.014

-0.0155-0.017

-0.0185- 0 . 0 2

Fig. 4.16

4 .4 . M o d e l a r e a s t r u c t u r a l - c i n e m a t i c ă a r o b o t u l u i p ă ş i t o rt i p p ă i a n j e n

Microrobotul păşitor de tip păianjen din figura 4.3 este echipat cu două mecanisme(ilfliie conectate paralel la un micromotor de acţionare, ambele având aceleaşi elementei iiiumatice tip picior. S chema cinematică a mecanismului în raport cu platforma esteimliitâ în figura 4.17.

83



Fig. 4.17

Mecanismul are ca şi cele anterioare gradul de mobilitate unitar, un număr de noulelemente cinematice mobile şi 13 cuple cinematice de rotaţie (W =3-9 — 213 = 1). Modolustructural este prezentat în figura 4.18, iar conexiunea grupelor modulare în figura 4.19.

Fig. 4.18

Fig. 4.19

Se demonstrează în cele ce urmează acelaşi mod de deplasare prin solidarizareinstantanee alternativă a fiecărui element cinematic tip picior.

84

Pentru modelul structural din figura 4.18 parametrii geometrici constanţi sunt redaţiin inliolul 4.5. Modelul cinematic şi parametrii dependenţi, aferenţi fiecărui modul de calcul,•lini prezentaţi sintetic în tabelul 4.6. Notaţiile şi modelele poziţional-cinematice sunt înim rdanţă cu cele expuse în capitolul 2.

Tabelul 4.5

P arametrii geometrici cons tanţi [m]

AB = 0.001; SC = 0.01; GC = 0.011; DE = 0.009; FE = 0.033;

BH =0.01; GH = 0.011; IJ = 0.009 ; KJ = 0.033; HI = 0.024; CD = 0.024

XA = 0\ KA = 0; X1A = 0; Y]A = 0; X2A = 0; Y2A = 0

XG = -0.001; YG = 0.012; X\G = 0 ; Y\G = 0\ X2G = 0; Y2G = 0

XF = -0.01; YF = 0.013; X\F =0; K1F=0; X2F=0; Y2F = 0

IT4 = 0.05 ; DTS = 0.05


cpl e [0,2?t] ; (pl = cpl(0 rad ; cplOe [0,360°j ; cpl 0 = cpl 0(0 [°]

col = 1 sec -' ; el = 0 sec -1

Tabelul 4.6


BPT(B)XB(t) = AB • coscplYB{t) = AB • sin (pl

RRR(2,3)XB(t)~ XG + BH • cos cp2 — GH • cos cp3 = 0

YB(t) -YG + BH • sin cp2 - GH • sin cp3 = 0

BPT(I)XI{t) = XB + BI • coscp2

YI{t) = YB+ Bl •sin cp2

RRR(4,5)XI (t) -XK + 1J- cos cp4 -K J • cos <p5 = 0

YI(t) -YK + IJ • sin cp4 - KJ • sin <p5 = 0

RRR(6,7)XB(t) -XG + BC coscp6 - GC • coscp7 = 0

YB(t) - YG + BC • sin cp6 - GC • sin cp7 = 0

BPT(D)XD(t) = XB + BD • cos (p6

YD(t) = YB+ BD • sin cp6

RRR(8,9)XD(t) -XF + DE• cos cp8 -FE cos <p9 = 0

YD(t)-YF +DE-sincp8- FE• sin<p9 = 0

BPT(T4) AT4(0 = XI + IT4 • cos(cp4 + Tt)YT4(t) -YI + 1T4 • sin(<p4 + Tt)

BPT(T8)XTS(t) = XD+ DT& • cos(cp8 + Tt)

YTS(t) = YD + DTS • sin(cp8 + Tt)

85

hilmlul • n (i iHitlmutro )

Modelul Parametrii dependenţi do vllo/n

BPT(B)XlB(f) = -col •AB •sin (pl

Y\B(t) = col •ABcoscpl

RRR(2,3)A =

-4

- BH • sin cp2BH cos(p2 -

co2

co3

jH

GH

= C

• sin cp3• cos cp3

; c =- ( X 1 B )- (K1B)

BPT(I)X l / ( r) = X lB -co 2 - B/ sin<p2

Yll(t) = Y\B + a>2- Bl • cosq>2

RRR(4,5)

A =

A

- IJ • sin (p4 KJ s

IJ • cos (p4 - KJ •

o)4l|

co5||

incp5 1

:os(p5|

C

; c =|( X l / ( 0 - X l X |

- ( y i / ( 0 - K i / f ) |

RRR(6,7)

A =

A

- BC sin(p6

BC • cos (p6 —

0)6

o)7

JC

GC

= C

sin(p7

• cos cp7; c =

- ( X 1 B )

- (K1B)

BPT(D)X\D(t)= XlB-o>6 BD sincp6

Y\D(t) = K lB + o)6- BZ) cos(p6

RRR(8,9)A =

||co8||

F9

!_

- DE • sin (p8 FE • sin <p9

DE • cos (p8 -FE- cos (p9

c

; c =- ( X I D ( O - X I F )

- ( y i D ( / ) - y i F )

BPT(T4)X 17"4(/) = X1 / - co4 •1TA • sin (cp4 + TC)

Y\TA(t) = Y\I + co4 • /74 •cos(cp4 +TC)

BPT(T8)X ir8(/ ) = X lD -a )8 D r8s in ((p 8 + ic)

yi78(/) = Y\D +co8 •DTS • cos(cp8 + TC)


BPT(B)X2B(t) = -col2 •AB - cosq)l

Y2B(t) = -col2 •AB -sin cpl

RRR(2,3)

e2A =D

E3

- Btf • sin cp2 G // • sin (p3

BH • cos q>2 - GH • cos <p3

\-{x2B-BH • co22

• cos<p2 + GH • co32

•cos<p3)" 1 - (Y2B - BH • co22 •sin cp2 + GH • co32 •sin cp3)|

BPT(I)X 2/(0 = X 2B - co22 •Bl • coscp2 - E2 •Bl •sin cp2

K2/ (0 = Y2B -co22 •Bl • sin <p2 +E2 •Bl • coscp2

86

RRR(4,5)

D = - ( X2I(t)-X

[Y2I(i)-Y

A

- IJ • sin

IJ • cos

'2K-U

'2K-IJ

64

E5

ip4

•0)

•O)

= D

KJ • sin <p5

- KJ • cos ip5

42 •cos cp4 + KJ

42 • sin cp4 + KJ

•CO52 cos(P5L

o)52 • sin CP5) |

RRR(6,7)

D =

A =

I I - (X 2 B-

| - ( Y 2 B -

A

- BC • sir

BC •cos

BC 0)6

BH 0)6

E6

E7

icpl

cp6

2-c2 .<

S GC • sin cp7

- GC • cos ip7

:os (p6 +GC • co7

>n ip6 +GC • co7

2 •coscp7l

• sin tp7)|

B P T ( D ) X 2D(t) = X 2B - co62

•BD •cos <p6 - e6 BD •sin tp6Y2D(c) = Y2B - co62 • BD •sin tp6 + e6 •BD •cos<p6

RRR(8,9)

D =

- (

A =

<2 D(t)->

Y2D(t)-\

A

-D E si

DE • co;

(2 F-D

'2 F-Dl

e8

E9

n <p

ipS

E-

Z-c

= D

8 F£sincp9

- FE • cos (p9

J )82 •cos cp8 + FI

o82 • sin cp8 + FE

;-o)92 cosip9

•o)92 sin<p9)

B P T ( T 4 )X274(/) = X 2/ - o )4 2 •/r4-cos(ip4 + 7t)-e4 /r4- s in(p4

Y2T4{t) = Y2I - 0)42 • IT4 • sin(cp4 + 7t)+ e4 •1T 4 • coscp4

B P T ( T 8 )X27*8(0 = X2D-(0&

7DTS • cos(cp8 + j t) - e8 •DT& • sin <p8

K2r8(/) = Y2D - o)82 •DT& • sin(cp8 + 7t)+ e8 •DT& •cos(p8

Variaţia parametrilor dependenţi pentru un ciclu cinematic (fig.4.20) permite corelarea«i fvjtora şi verificarea corectitudinii elaborării algoritmului prezentat în tabelul 4.6.

m

250'235'220'

205"'190"175--160145--130- -115100

<>40k

H 1 1 1 1 1 1 1-0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

200-

180-160'140-

, 120' 100

8 0 -

6040"r

20-—1 1 1 1 1 1 1 (- -t 1

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40k

Fig. 4.10

87

-3.2- •

400Ţ360"'320"!'

<b60k28°"'

V 240"'2 0 0 - '

<P™k 160"'. . . . 120""

8 0 " "

40"-

Fig. 4.20 (continuare)

<°7k -0.04• . . .

- 0 . 1 2

-0.

m9k -0.04 "I0. 4

• • • • -0.08-"* • . . •-0.12""- 0 . 1 6 -

- 0 . 2

«H H 132.36 40

0.2Ţ0.16-0.12"

E 6 O.OS-_ 0.04"E?k -0.04•• • • -0.08

-0.12" "-0.16""-0.2

0.2

0.16o . r0.08

0.04

88



Traiectoria punctelor / 4 şl / h , extremităţile picioarelor 4 ş l a In rnport cu sistemde referinţă ataşat platformei, esto rodată în figura 4.21.

\T \

Y T8k

0-0.003-0.006

-0.009- 0 . 0 1 2

"-0.015- 0 . 0 1 8-0.021-0.024-0.027

' -0.08-0.064-0.048-0.032-0.016 0 0.016 0.032 0.048 0.064 0.08

XT 4k,XT8k

Fig. 4.21

Se remarcă faptul că cele două traiectorii sunt total distincte, astfel încât se pilinge concluzii în ceea ce priveşte sistemul de deplasare al robotului. Deoarece punctede minim nu sunt situate la aceeaşi co tă relevă următoarele : deplasa rea microrobotului Eumllzează prin plasarea alternativă a picioarelor acestuia pe suprafaţa de sprijinlinscularea întregului mecanism în raport cu piciorul de sprijin. în figura 4.22 snvldenţiază variaţia în timp a amplitudinii verticale a traiectoriei punctelor extreme alpicioarelor notate prin 74 şi T8 în raport cu platforma.

0-0.003-0.006

Y T4k- 0 . 0 1 2

-0.015Y r 8 k - 0 . 0 1 8

• • • • -0.021-0.024-0.027

-0.0312 16 20 24 28 32 36 40

kFig.4.22

In momentul amplasării piciorului pe sol mecanismul are acelaşi grad de mobilitattimipectivul element fiind solidarizat instantaneu cu solul, modelul structural fiind constituilintr-o grupă modulară activă GMA(9,0,1,6,7) obţinută dintr-un lanţ cinematic de tipi'•lophenson (v. cap. 1) şi două grupe modulare pasive de tip diadă RRR.

89



5. MODEL A REA DEPL A SĂRI I PL A TFORMEL OR B I PEDE

5 .1 . Mo de le p r i v i nd s ta teg i i l e de dep las a re a robo ţ i l o r b ipeziDin analiza modului de deplasare a unor roboţi bipezi, inclusiv a unor videoclipi

promoţionale existente pe internet rezultă că în cazul acestei categorii de roboţi exist;două sisteme de deplasare în raport cu poziţia iniţială adoptată - ca fiind cea în ciUpicioarele sunt paralele şi plasate simetric în raport cu platforma, şi anume:

- mişca rea platformei se realizează în sistemul start-stop în trei timpi (fig.5.1).prima fază unul dintre picioare rămâne pe sol, are loc mişcarea piciorului conexpoz iţia următoare în raport cu platforma şi amplasarea sa pe sol. în timpul al dolltpiciorul prim sau ambele determină deplasarea platformei într-o nouă poziţiereferinţă. în timpul al treilea are loc mişcarea acestui picior în raport cu platforinacesta fiind adus paralel cu cel amplasat pe sol şi aşezat pentru susţineriplatformei;

Platforma

PedipulatorII

Pedipulator

w

2T 3T 4T 5T 6T

Fig. 5.1

Pentru vizualizarea modelului de deplasare s-a realizat animaţia pentru o platforrrbipedă dotată cu două pedipulatoare cu o structură plană 6R. Modelul acestui pedipulnt

este redat în figura 5.2:

Fig. 5.2

9 0



mişcarea platformei se realizansA continuu astfel încât alternativ unul dintre picioareeste în transport în raport cu aceasta, piciorul de sprijin determinând în generalmişcarea acesteia (fig.5.3).

_ i •

T 2T 3T 4T 5T 6T

Fig. 5.3

Pentru modelarea cinematică şi dinamică a mişcării robotului este important să seulmtirve necesitatea adoptării a trei sisteme de referinţă (fig.5.4): sistemul de referinţă fix|Si, /f) - solidar cu suprafaţa de sprijin, un sistem de referinţă ataşat plaformei (X P,Y P) laiiflin se raportează pedipulatoarele în transport şi un sistem de referinţă ataşat extremităţii

91

Schema cinematică adoptată pentru pedipulator oslo ronntitiilm | < baza celui malsimplu lanţ cinematic, monoconturcu trei grade de mobilitato. Colo liol jjindo de mobllltatosunt necesare pentru a se putea adapta extremitatea piciorului In configuraţia terenului,Elementul 6 al fiecărui pedipulator este solidar cu corpul platformei în mişcare. Acţionare»fiecărui pedipulator în raport cu platforma 6, precum şi a platformei în raport cu elementulde execuţie 3 al pedipulatorului se realizează prin motoare (actuatori) situate respectiv Iricuplele cinematice C, D şi F, acestea fiind în consecinţă cuplele active ale sistemului.

Pedipulatorul poate avea diverse scheme cinematice, obţinute ca soluţii alulanţurilor cinematice plane cu trei grade de mobilitate şi un număr diferit de conturuilindependente.

O astfel de soluţie bicontură, inspirată dintr-o construcţie japoneză, este redată Infigura 5.5.

Fig. 5.5

Cuplele active ale acestui sistem sunt situate în C, D şi K, elementul 8 fiind solidsticu platforma robot, iar elementul de execuţie este 7.

Soluţiile cinematice adoptate pentru pedipulatoarele platformelor mobile bipede polfi de tipul celor din figurile 5.2 sau 5.3. Acestea asigură atât poziţia orizontală a platformeiîn timpul deplasării cât şi posibilitatea adaptării elementului de execuţie al pedipulatoruluila microrelieful suprafeţei de evoluţie al robotului.

5 .2 . Mo de le de dep lasa re a p la t fo rm e i robo ţ i l o r b ipez iîn raport cu sistemul de referinţă fix (X f ,Y f) ataşat suprafeţei de sprijin (v. fig.5 '1)

platforma îşi păstrează cota constantă. Două puncte caracteristice ale sale sunt natul»

respectiv Pi(XP1, YP1) şi P2(XP2, YP2). Presupunând terenul amenajat plan rezultă YPI= YP2 = const.Valorile parametrilor XP1 şi XP2 depind de timp şi de modelul de deplasai"

adoptat. în cele ce urmează se exemplifică modele de deplasare atât în sistemul start-stopcât şi în cazul mişcării continue în regim permanent.

92

D e p l a s a r e a p l a t f o r m e i I n s i s t e m u l s t a r t - s t o p . Corespunzător unei perioade T

(v llg.5.1) în intervalul de timp f i e (T,2T) platforma poate avea în raport cu sistemul deînlorinţă legi de mişcare variate. Pentru exemplificare sunt prezentate modelele demişcare cu variaţie liniară, parabo lică şi sinusoidală.

Mod elu l de deplasare cu legea de m işcare l in iară. Pentru deplasarea platformeine adoptă o viteză de translaţie orizontală v în intervalul de timp considerat T. Originea

«intomului de referinţă fix în raport cu ace la ataşat platformei este definită prin XPO = 0 şiYPO<0, ecuaţiile de mişcare corespunzătoare punctelor caracteristice Pi şi P2 fiind

XPln =XP0 + v(t\-T)

XP2, XP\n+P\P2

YPln = YPO

YP2n=YP tl(5.1)

Diagramele de variaţie pentru perioada T a parametrilor sunt prezentate în figura 5.6:

0 .8008

YP1

0.7992

0.801

0 . 8 0 0 80.801

Y P 2XI 0.8

0.79920 7 9 9 :0

,0.15

0.5

XP2.,

1

0.95

Fig. 5.6

Modelu l de deplasare cu legea de m işcare parabol ică. în cazul acestui modeli uibele de variaţie ale parametrilor X71(rl) şi respectiv XP2(t\) sunt constituite din douăan o de parabolă racordate la mijlocul intervalului, ecuaţiile modelului fiind următoarele:

fie (7,7 + 7/2)

fie (7 + 7/2,27)

X P l(fl) = 2 - - fl 2 — 4— rl +2p7 7

X P l(fl) = - J r - f l 2 +8— fl —7p7 7

(5.2)

ypi(fi) = -YPO

XP2(t\) = XP$t$ + P\P2 YP2(t\) = KPl(tl)

9 3



S crierea ecuaţiilor are în vedere figura 5.1 ş l doi» nu >li>|iltirwtioii platformei dlungime P\P2 în faza în care timpul notat cu /I aparţino Intoivnliilui |/ '/ | cu un pas />o cotă constantă YPO în raport cu suprafaţa de sprijin.

Fig. 5.7

Prin elaborarea unui program de calcul adecvat ecuaţiilor (5.2) se obţin diagramolnde variaţie (v. fig.5.7) ale parametrilor platformei în faza de deplasare /I e [T,2T] . S-au

adoptat valorile P1P2 = 0.15 m, p = 0.8 m, m > = 0.8 m, T = 4 sec.

Modelu l de deplasare cu legea de miş care s inu soid a lă. Pentru modelul cu legde mişcare sinusoidală parametrii de acceleraţii pentru X P l(f l)ş i respecţiXP2(t\) variază după o lege sinusoidală reprodusă complet într-o perioadă T, astfel cecuaţiile modelului sunt următoarele:

t\e[T,2T]XP\{t\) = ^ , T

fl sin2 n

KPl(fl) = -YPO (5.3

XP2{t\) = XP$t$ + P\P2 YP2(t\) = KPl(fl)

94



Variaţia paramotrlloi platformei pantru Intorvalul de deplasare /l e |/',27'| es teprezentată în figura 5.8, valorlln adoptate fiind / 'l/ '2 = (). l5m, ;/ )- () .« m, m ) « 0 . 8 m,I 4 sec.

0.801

0.8005

YPlk 0.8

0.7995

0.799

0.801

0.8005

Y P \ 0.8

0.7995

0.799

Fig. 5.8

5 .3 . Mode le de dep lasa re pen t ru e lemen tu l de execu ţ i ea l p e d i p u l a t o r u l u i

Elementului de execuţie al pedipulatorului (talpa piciorului - elementul cinematic 3pentru soluţia cinematică din figura 5.4, respectiv 7 pentru aceea din figura 5.5), indiferentiln schema cinematică adoptată, i se pot impune în raport cu sistemul de referinţă fix(Xt, Yf) legi de mişcare diverse. Ca şi în cazul platformei sunt de preferat acele legi careimlgură continuitatea funcţiilor de acceleraţie pentru o variaţie în consecinţă a forţelor doliiniţle. în cele ce urmează se vor prezenta modelele de deplasare ale elementului de

MKncuţie conform acestor legi raportate atât la sistemul de referinţă fix(X / , K / ), cât şi lanitilomul de referinţă (X p,Y p) ataşat plaformei. Corespunzător unei perioade T în

Hilnrvalul de timp te [o,r] (v. fig.5.1) elementul de execuţie poate avea în raport cu

•Internul de referinţă legi de mişcare variate.

M o d e l u l d e d e p l a sa re cu l e g e a d e m i şca re l i n i a ră . Se adoptă o viteză deiiiinslaţie orizontală v în intervalul de timp considerat te [0,7"]. Originea sistemului delolorlnţă fix în raport cu acela ataşat platformei este definită prin (X P 0 , Y P 0 ) .

Coordonatele punctelor caracteristice A şi B ale elementului de execuţie sunt

i V /t,M ),(X fi,K fi)î n sistemul de referinţă fix, respectiv (xA,yA), (xB,yB)\n sistemuli'inllormei. Se consideră AB parametrul geometric constant al elementului de execuţie(nfoctor), unghiul de înc linare al efectorului fiind 0.

9 5



P rin modificarea unghiului de înclina re al elemontulul du «•»••• uţlo AII so pof at.icapante ale microreliefului suprafeţei de evoluţie a robotului

Ecuaţiile de mişcare în sistemul de referinţă fix suni urmAlonmlti

/ e [o ,7 ]

te [0,T/2]

te (7/2,7]

XB(t) = XA{t) +AB cos{0)

XA(t) -c\ + k\t

YA(t) = c2 + kt

YA(t) = YA(T / 2) - YA(t - 7 / 2 )

YB{t) = YA(t) + AB •sin(G)

(5.-1)

Raportat la sistemul de referinţă ataşat platformei aceleaşi puncte caracteristice aiecuaţiile:

xA{t)=XA(t) xB(t) = XB(t)

yA(t) = YPO + YA(t) yB(t) = YPO + YB(t)

Variaţia în timp a parametrilor poziţionali este redată în figura 5.9.

0.2

(5.5)

0 X At . X A

F R A M E , X B F R A M E ' C X B F R A M E , i

Fig. 5.9

Graficul este trasat pentru o viteză de translaţie orizontală v = 0.2 m/s în intervalul

de timp 7 = 4s. Originea sistemului de referinţă fix în raport cu acela ataşat platformei eslndefinită de XP0 = 0;YP0 = -0,8 m.

M o d e l u l d e d e p l a s a r e c u l e g e a d e m i ş c a r e p a r a b o l i c ă . Pentru aceeaşi perioadAT, raportarea făcându-se la sistemul de referinţă fix, parametrii XA(r)şi XB(t) variază linliuîn timp ce yA(/)şi KB(r)sunt reprezentate din arce de parabolă racordate respectiv la 77-1

şi 37/4. Ecuaţiile de mişcare sunt următoarele:t e [0,7] XA(t) = c t

re [0,7/4] YA(t) = &-~t2', re (7/4,37/4] YA(t) = —^t^+^t-pj l

te (37/4,7] YA(t) = -£rtp 2 16/7 (5.6)

t + Sp

XB(t) = XA(t) + AB • c o s ( 9 ) YB(t) = YA(t) + AB • s i n ( 0 )

96



tur variaţia acestora este prezontn tă In f igu ra 5.10.

0 0.1 0.2 0.3 0.4

O x \ . X A p R A M E . X BF R A M E . C X B

F R A M E , i 0 4

Fig. 5.10

Ecuaţiile parametrilor în sistemul de referinţă al platformei sunt cele din relaţia (5.5).

Variaţia acestora în sistemul de referinţă al platformei este redată în figura 5.11.

0.6 -0.6

y A F R A M E• • •

y B F R A M E

e eCyB.

0 . 6 5

0.7 ;

F R A M E . i 0 . 7 5

0.1 0.2 0.3 0.4

0 x V x A F R A M E ' x B F R A M E ' C x B F R A M E , i 0 4

Fig. 5.11

M o d e l u l d e d e p l a s a r e c u l e g e a d e m i ş c a r e s i n u s o i d a l ă . Procedând în modfjlmilar cazurilor anterioare se construieşte modelul sinusoidal. Se scriu ecuaţiileparametrilor punctelor A şi 6 în sistemul de referinţă fix sub forma

te [0,7]

te [0,7/2]

te (7 /2 ,7 ]

XA(t) = e-t

-t-TAT1)5.7)

97



variaţia acestora într-o perioadă T fiind redată în figura 5.1?

.- 1.559217-10"17 o05 L_ i i I0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 X \ . X A F R A M E ' X B F R A M E ' C X B F R A M E , i 0 4

Fig. 5.12

Modelele de deplasare realizate pentru platformă şi efectorul pedipulatorului invederea modelării cinematice şi dinamice a unui robot biped sunt aplicabile indiferent ilasoluţia cinematică adoptată pentru construcţia acestuia. Acestea stabilesc caracteristicii»cinematice în sistemele de referinţă corespunzătoare, şi anume: fix, ataşat suprafeţei (l|sprijin a robotului şi cel ataşat platformei de lucru a acestuia.

Modelele se utilizează pentru a se stabili caracteristicile cinematice şi dinamice al#actuatorilor plasaţi în cuplele active ale robotului în funcţie de strategia de deplasări'

adoptată.

5 .4 . Mode le s t ruc tu ra le pen t ru robo ţ i b i pez iPentru înţelegerea deplină a modului de deplasare a unui robot biped se prezintfl 1(1

figura 5.13 platforma păşitoare echipată cu două picioare (pedipulatoare) notate I şi II.în sistemul start-stop (v. fig.5.1) într-un ciclu te [0,37"] fiecare picior şi platforma ay

o mişcare succesivă. Pedipulatorul similar celui din figura 5.5 este un mecanism plan oytrei grade de mobilitate (M = 3 - 7 - 2 - 9 = 3) şi două contururi independente {N =9-1 * 2)|E lementul 7 de execuţie al piciorului - talpa şi platforma 8 devin alternativ bazrt I

mecanismului cu aceleaşi cuple cinematice active şi pot avea legi de mişcare de acellfltip sau diferite, aşa cum s-a prezentat anterior.

M o d e l u l d i r e c t a l s t r u c t u r i i c o m p o r t ă d o u ă a s p e c t e , ş i a n u m e :- situaţia de mişcare a pedipulatorului în raport cu corpul platformei 8, caz în catf

cuplele active (actuatorii) determină poziţionarea elementului 7 de execuţio alpedipulatorului în raport cu aceasta şi implicit faţă de sistemul de referinţă fix ataşaisuprafeţei de evoluţie a robotului;

- situaţia de deplasare a platformei 8 în raport cu elementul 7 de execuţio »|

pedipulatorului, caz în care aceleaşi cuple active A ,£ ,F s un t utilizate ponlnitransportul acesteia implicit faţă de sistemul de referinţă fix.

Lanţul cinematic plan, bicontur şi trei grade de mobilitate, asociat mecanismuluipedipulator din figura 5.13 este redat în figura 5.14.

98



Fig. 5.13

Fig. 5.14

Cuplele cinematice active sunt amplasate în A,E,F , respectiv între elementele(ilimmatice (8,1), (8,4) şi (2,5). Elementul 8 este solidar cu platforma, iar elementul de•Mocutie este 7.

în prima situaţie, când elementul de execuţie 7 este mişcat prin actuatori în raport(Ml corpul platformei, modelul structural direct are conexiunea grupelor modulare din figurah Ift Aceasta conţine trei grupe modulare active iniţiale (GM AI) formate de fiecare cuplăm Hvfi respectiv cu elementele cinematice 1, 6 şi 5 şi două grupe modulare pasive de tipI il UI

99



Fig. 5.15

în cazul în care elementul de execuţie 7 este amplasat pe sol, actuatorii determinadeplasarea platformei 8. Modelul structural direct este constituit, conform conexiunii

grupelor modulare din figura 5.16, din două grupe modulare active, şi anume: prima datipul 4R cu trei elemente şi cu un grad de mobilitate, cea de a doua fiind de tipul 5R avAmlpatru elemente şi cu două grade de mobilitate.

Fig. 5.16

M o d e l e s t r u c t u ra l e i n ve rse . în general, modelul invers - cinematic sau dinamic •în robotică presupune stabilirea caracteristicilor actuatorilor (cuplelor cinematice activo) Infuncţie de parametrii elementului de execuţie. în cazul roboţilor bipezi, ca şi în cti/ulmodelului direct, se pot distinge două situaţii, şi anume: cazul în care se consideră naelement de execuţie elementul de execuţie al pedipulatorului şi situaţia în care acesta oul)chiar corpul platformei.

Se remarcă faptul că în ambele situaţii sistemul este echivalent cu o structuilavând un grad de mobilitate instantaneu Mmst = 0, ceea ce-i conferă acesteia unicitsl»»determinării.

De asemenea, lanţul cinematic asociat acestei structuri are gradul de mobilitnl»egal cu zero şi un număr de contururi independente superior cu o unitate faţă de lanţulmecanismului robot.

Lanţul cinematic asociat modelului invers (fig.5.17) al mecanismului pedipulator nitdin figura 5.13 are trei contururi independente, zero grade de mobilitate şi este acel.^indiferent de elementul ales ca bază, şi anume 8 - corpul platformei în prima situaţie, sall!7 elementul de execuţie al pedipulatorului pentru cea de a doua situaţie.

Conexiunea grupelor modulare (fig.5.18) este similară în ambele situaţii, lilnilformată din trei grupe modulare pasive de tip diadă RRR.

100



7=8

F ig. 5.17 F ig. 5.18

5 .5 . A l g o r i t m u l p r o g r a m u l u i d e m o d e l ar e a d e p l a să r i i

r o b o t u l u i b i p e d î n s i s t e m u l s t a r t -s t o pProgramul de modelare a deplasării unui robot biped trebuie să includă aspectele

lit.nolice prezentate anterior privind modelele de deplasare ale platformei şi elementuluiii» oxecuţie, modelele structurale directe şi inverse, precum şi particularităţileMecanismului, care realizează legătura dintre platforma şi elementul de contact cuanprafaţa de sprijin, denumit element de execuţie al pedipulatorului. In consecinţă, acesta»l met urează adecvat informaţiile din §§ 5.2 şi 5.3 într-o succes iune de secvenţe expuse înIlUiun 5.19, indiferent de structura mecanică adoptată pentru mecanismul pedipulator.

Algoritmul conţine op t secve nţe (v. fig.5.19) ce se parcurg succesiv pentru a se

ruina realiza deplasarea robotului biped în sistemul start-stop, conform diagramei dinliguia 5.1.

Prima secvenţă trebuie să menţioneze caracteristici de deplasare ale robotuluil>|>nd, cum ar fi:

perioada Ta unui pas;amplitudinea deplasării orizontale a platformei, respectiv a elementului execuţie(p);amplitudinea deplasării verticale a elementului de execuţie (pp);coordonatele iniţiale ale originii sistemului de referinţă fix în raport cu sistemulde referinţă ataşat platformei (XPO, YPO);

unghiul de înclinare a elementului de execuţie în raport cu axa OX a sistemuluide referinţă fix (0).

Secvenţa a doua include caracteristicile geometrice şi masice ale mecanismuluiliBillpulator în funcţie de soluţia cinematică adoptată. Se menţionează caracteristicile

MI» şi unghiulare ale elementelor cinematice, coordonatele cuplelor de conexiune lal'inilormă în raport cu sistemul de referinţă ataşat acesteia.

Secvenţa a treia este destinată selectării unui model de deplasare a elementului de«••ui nţlo (KL) exprimat atât în sistemul de referinţă fix (XK,YK,XL,YL), cât şi în acelaataşat platformei (xK,yK,xL,yL). Se poate adopta unul dintre modelele prezentate în

6 ti li sau se pot construi altele similare. S e nominalizează extremităţile A"şi L alealuiiinnţului de execuţie (fig.5.13) prin notaţiile adecvate soluţiei cinematice alese.in secvenţa a patra, conform schemei cinematice adoptate, se include modelul

• limmatlc invers al situaţiei de mişcare a elementului de execuţie în raport cu sis temul deM'lurlntă ataşat platformei. în principiu, se determină în funcţie de parametrii impuşi într-o

101

perioadă T pentru elementul de execuţie prin modelul adoptat In Bocvonţa anterioarăparametrii cinematici caracteristici cuplelor cinematice active. Asttol, pentru mecanismupedipulator 9R (v. fig.5.13) modelul cinematic invers (v. fig.5.17) al situaţiei de mişcareelementului 7 de execuţie în raport cu sistemul de referinţă ataşat platformei 8 stabileşpentru o perioadă T în funcţie de parametrii (xK(t),yK(t)) şi (xL(t),yL(t)) determinaţi prlmodelul de deplasare adoptat, caracteristicile unghiulare ale cuplelor cinematice activ»A,E şi F , adică <pA(t), (pE(t ) şi yF(t).

Secvenţa 1.

Secvenţa 2.

Secvenţa 3.

Secvenţa 4.

Secvenţa 5.

Secvenţa 6.

Caracter is t ic i de m işcare ale ro botu lu i b iped

Carac ter is t i c i geom etr ice ş i m as ice a lemecan ismu lu i robo t b iped

Selectarea m od elului de deplasare a elementu luide execu ţ ie în s is tem ul de refer inţă f ix

Modelu l c inem at ic invers al s i tuaţ ie i de mişcare ae lementu lu i de execuţ ie în rapor t cu s is temul de

refer inţă ataşat plat form ei

Modelu l d inam ic d i rec t a l s i tuaţ ie i de m işcare ae lem entu lu i d e execuţ ie în rapor t cu s is temul de

refer inţă ataşat plat form ei

Selectarea m od elului de deplasare ap la t formei în s is tem ul de re fer in ţă f i x

Secvenţa 7.

Secvenţa 8.

Modelu l c inemat ic inverp la t formei în rapor t c u s i

e lementu lu i de exec

s al s i tu aţ ie i de m işcare astern ul de refer inţă ataşatu ţ i e p resupus imob i l

Modelu l d inamic d i rec t a l s i tuaţ ie i de mişcare ap la t formei în rapor t cu e lementu l de execuţ ie

p resupus imob i l

Fig. 5.19

102

Secvenţa a c incea includo modolul dinamic direct al situaţiei de mişcare aplnmentului 7 de execuţie în raport cu sistemul referinţă ataşat platformei. în principiu,in i'Bs ta s tabileşte în funcţie de s tructura modelului, caracteristicile masice ş i poziţiaimitrelor de masă ale elementelor cinematice şi parametrii (xK(t),yK(t)) şi (xL( t ) , yL ( ţ t)) ainlomentului de execuţie momentele caracteristice pentru aceeaşi perioadă T ale cuplelori inomatice active. Astfel, în cazul structurii 9R (v. fig.5.13) se determină MA (t), ME(t ) şiMi (I), momentele caracteristice în cuplele cinematice active.

Secvenţa a şasea este dedicată selectării unui model de deplasare pentrulilntformă în sistemul de referinţă fix. Se poate adopta unul dintre modelele elaborate în

?, sau se pot construi altele în mod similar. P unctele caracteristice platformei P I şi P2

mint actualizate în cazul fiecărei soluţii cinematice adoptate pentru pedipulator. Ca urmare,/'I şi P2 devin pentru structura 9R respectiv A şi E. Se stabilesc astfel pentru intervalul| l ,2T\ respectiv parametrii XA(t),YA(t)ş\ XE(t),YE(t).

Secvenţa a şaptea este dedicată modelului cinematic invers al situaţiei de mişcareII platformei 8 în raport cu sistemul de referinţă ataşat elementului de execuţie, presupusImobil şi în contact cu suprafaţa de evoluţie a robotului. în consecinţă, în funcţie deimiametrii punctelor P1 şi P2 caracteristici intervalului considerat, adică XP1(?),_ YP'\{t),

Vl^l f), YP2(t), se determină parametrii specifici cuplelor cinematice active. în cazuli.lnlomului 9R pentru pedipulator (v. fig.5.13) parametrii platformei sunt exprimaţiI>rln XA(t), YA{ t), XE(t), YE(t), iar parametrii cuplelor cinematice active devin <PA(/)> E O Şi

' M O .

Secvenţa a opta dezvoltă modelul dinamic direct (v. fig.5.16) al situaţiei de mişcaren platformei 8 în raport cu sistemul de referinţă ataşat elementului de execuţie, presupusimobil şi în contact cu suprafaţa de evoluţie a robotului. Pe baza caracteristicilor masice şii Inematice se stabilesc momentele M A(t),ME(t),MF(t )din cuplele cinematice active.

5 .6 . Pa ramet r i i c i ne to -d inam ic i pen t ru mode la rea dep lasă r i ir o b o t u l u i b i p e d în s i s t e m u l s t a r t -s t o pPentru determinarea parametrilor cineto-dinamici pentru modelarea deplasării unei

liliillorme bipede se parcurg secvenţele algoritmului prezentat anterior.Astfel, în cazul bipedului din figura 5.13 se aleg caracteristicile geometrice şi pentru

Hnplasarea acestuia, menţionate în tabelul 5.1.

103



în funcţie de faza de mişcare (v.corespunzătoare elementului 7 de execuţie (v.parametrii cuplelor cinematice K ,L şi respectiv

fig.5.1) HO adoplA LIMTUI de mişcaro§5.3), sau plnltnrmnl li (v i)r>2), stabilindA, E.

Tabelul 5.1

Parametrii geometrici constanţi aimecanismului platformei [m]

LK = 0.015;LB = 0. l2 ;/. (' O l .AII 0.03;CD = 0.03

ED = 0.03;L F = 0.1 \\GK =0.11; Fi / 0.015; AE = 0.015

P arametrii de poziţie iniţiali pentrucuplele cinematice K şi F [m]

XK0 = -0.015; YK0 = 0; XL0 = 0; YKl) = 0

P arametrii de poziţie iniţiali pentrucuplele cinematice A şi E [m]

XA = 0; YA = 0.13; XE = 0.01; YE = 0.13

Masa elementului 7 (talpa) [kg] ml = 0.5Masa elementului 8 (platforma) [kg] /«8 = 1Perioada [s] r = 50Amplitudinea deplasării orizontaleph pentru elementul de execuţie 7

al pedipulatorului [m]

ph = 0.03

Amplitudinea deplasării verticale pvpentru elementul de execuţie 7 alpedipulatorului [m]

pv = 0.01

Legea de mişcare pentru pentruelementul de execuţie 7 alpedipulatorului

liniară

Legea de mişcare pentru platforma 8 liniară

Fig. 5.21

Parametrii poziţionali cinematici ai elementeloi

cinematice pentru legi de mişcare date ale elementului 7de execuţie şi respectiv ai platformei 8 (v. fig.5.13 şi 5.20)se pot obţine cu ajutorul modelului structural invers(v. fig.5.17 şi 5.18). G rupele modulare pasive implicalosunt redate în figura 5.21, unde se menţionează totodatflparametrii poziţionali dependenţi.

1 04



Prin utilizarea modelului poziţional cinematic al diadei RRR (v. §2.3) se stabilescparametrii poziţionali dependenţi «p (v. fig.5.21) cu ajutorul cărora se obţin caracteristicilecuplelor cinematice active A,E,F din modelul structural direct (v. fig.5.15 şi 5.16)mnlizându-se controlul poziţional al sistemului.

în faza în care are loc deplasarea pedipulatorului, modelul structural directovldenţiază grupele modulare din figura 5.22.

a)

V65

X65 '

Y 25 * M 25

••X M

b)

• X84

L l »X 72

Fig. 5.22

105

Pentru determinarea componentelor active din cuplnln cinematice active suutilizează modulele de calcul cinetostatic al următoarelor grupo modularo: grupa modulampasivă diadă RRR (v. §3.3) şi grupa modulară activă iniţială (v. §3.10).

Astfel, pentru intervalul de timp te [o,r] se determină parametrii cineto-dinamici .ilcuplelor active respectiv A[(pl0,M8l], £[<p40,M84], F[(p50-cp20,M25] care au semnificaţiaunghiului de rotaţie şi momentului specific, a căror variaţie este redată în figura 5.23.

J

La deplasarea celui de al doilea pedipulator (v. fig.5.1) se stabilesc pe intervalulfe[27\37"] aceiaşi parametri A[tpl0,A/8l], £fo>40,Am], F[<p50-cp20,Af25] reprezentaţi infigura 5.24 prin utilizarea aceloraşi secvenţe de calcul.

300

250$10j

200<M0j

150(ţ>50j—<)20j

100

50.

M 81 j

M84j

M25:• ~0 . 1

100 120 140 160t2j

"0.2.

100 120 140 160t2i

Fig. 5.24

în faza re [7\27"] în care are loc deplasarea platformei modelul structural direcl(v. fig.5.16) include două grupe modulare active, şi anume: prima de tipul 4R cu treielemente şi cu un grad de mobilitate, cea de a doua fiind de tipul 5R cu patru elementecu două grade de mobilitate. Modelele cinetostatice corespunzătoare sunt detaliate m§.3.11 şi respectiv §.3.13.

P arametrii unghiulari (v. fig.5.21) se determină cu ajutorul modelului structuralinvers.

Grupele modulare corespunzătoare modelului direct sunt redate în figura 5.25.

10 6

X72

Fig. 5.25

Variaţia parametrilor A[(plO,M8l], fi[(p40,Af84], F [<p50-(p20,A/25] specifici cuplelornctive reprezentând unghiul de rotaţie şi momentul în intervalul de timp te \r,2T\,parametrii redaţi în figura 5.26 se determină prin utilizarea secvenţei de calcul şi amodulelor de calcul precizate anterior. Aceştia permit realizarea controlului mişcării

bipedului în faza de transport al platformei.300

250<>10|— 200

1504>50—4>20

100

5040 60 80 100

Hi40 60 80 100

ti i

0.014

0.006 40 60 80 100t1|

Fig. 5.26

107

40 60 80 100t1|



6 . MO DEL A REA CINETO-DINA MIC AA M E C A N IS M E L O R P L A N E M O N O M O H I L I

Modelarea cineto-dinamică a unui mecanism presupune determinarea parametrilorpoziţional-cinematici ai elementelor cinematice şi a torsorulul de reactlune din fiecarocuplă cinematică, inclusiv din cele active.

In cazul mecanismelor plane mono sau multicontur, mono sau multimobile soutilizează modelele poziţional-cinematice ale grupelor modulare pasive şi active (v. cap. 2)şi modelele dinamice ale aceloraşi structuri expuse anterior (v. cap. 3).

Mecanismele prezentate reprezintă soluţii constructive, desprinse din diversoechipamente şi pot avea diverse aplicaţii practice.

6 .1 . M o d e l ar e a c i n e t o - d i n a m i că a m e ca n i sm u l u i p l an R - RRR- RRT6 .1 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i s m u l u i

Mecanismul plan (fig.6.1) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi /=7 cuplocinematice inferioare, as tfel încât gradul de mobilitate este M = 3-5 — 2-7 = 1, fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematică

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constanţiai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modularesunt redaţi în tabelul 6.1.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;

- grupa modulară pasivă de tip RR R formată din elementele cinematice 2, 3, cuplelecinematice din 6 şi CBD fiind cuple cinematice potenţiale;

- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 4, 5.Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic

de tip Watt în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul de execuţie şlcupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .1 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u iParametrii geometrici constanţi corepunzători fiecărei grupe modulare sunt

următorii:

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB := 0.35Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC := 0.7 DC := 0.5

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) EF := 0.32 _ a0 := 0 _ p - Q

10 8

•g«o><2o ££ 2O o» o

ni

ou-

Ow

-ss-

î

f~l o O oVI o o cS

m r- l/l IOII II II IIoa U < >-s 05 « UJ

S oO

a>

a o| s•S :EQ) u? E

S 2

J5 10Qfl.

e ;=uo £o g11 g

(00)oCB0

CDcn1

UjQ>§O

UJ(MLU

J XJ IU ^

LU T- =x x 5:=ţr N CDN m oO.ţr oQ. > CO

O i - oIU> "0- II 0;ai Q- >-

•C ° IIO ||ă d -

- o X X

'g JQ->

£L °CV IIO" oSi II

cIcS.O o•Q " .== tj- -o- aQ . . • •t .-tr NI(0 N 0O .*;D. >Q. . .

1c

o o * £•S m

S "Q o.

CD>> ^iOQ

CQX X

M. ®g *

o O

rj 112 o

II

o'O° ll 2

X X 2:= CD-SN CDn a) oo .-S oa. > ra

m

sT0) diCD E

c"§ -

Q. R< CN•8$. a. ««

' CN :=a m'

S CN•A ^TT • •£ s-2 gfi

m<

c.ro—cncooo

V. E0) o£ a>jo o

I E

« 1•2 E<« roQ o.

, ofc; oo

d <

< D> n

-o"<

x x m

= ib «ţr N CDN CD oO ~ oQ. > CD

-o-<a

NOCL

Determinarea parametrilor dependenţi ai grupelor modulare în succes iuni utconectării acestora este redată în tabelul 6.2.

Tabelul 6 2

G r upa m odu la r ă ac t i v ă ( A , 1 ) - G M A I ( A , 1 )

P a r am e t r ii p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :XA:= 0.618 YA:= 0.440 k := 0.. 36

2-Jt

P ar am e t r i i de v i t ez ei m p u ş i :

X1A:= 0 Y 1 A - 0io1 := 1

P a r a m e t r i i d ea c c e l e r a ţ i i i m p u ş i :

X2A:=0[ Y2A:=0e1 := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XBj( := XA +AB cos(<>1|< YBk:=YA + AB sin(<(i1h)>Det e r m ina r ea pa r am e t r i l o r de v i t ez ed e p e n d e n ţ i :

X1Bj,:=-o>1 ABsin(01|() Y1Bk:=to1 ABcos^k)

Det e r m ina r ea pa r am e t r i l o r de ac c e le r a ţ i id e p e n d e n ţ i :X2Bk := -0)12 AB cos ($1 k) Y2BK :=-oyl2 • AB • sin (<>1„)

Variaţia parametrilor poziţionali,de viteze şi acceleraţii dependenţi

8 12 16 20 24 28 32 36 40

G r u p a m o d u l a r ă p a s i v ă R R R ( 2 , 3 )

P a r am e t r i i poz i ţ i ona l ii m p u ş i :

XB k, Y B k calculaţianterior;X 0: =0 Y O := 0

P ar am e t r i i de v i t ez ei m p u ş i :

X1B k, Y1Bk - calculaţianterior;X10:= 0 Y 10 :=0

? '

P ar am e t r i i de ac c e le r a ţ i ii m p u ş i :

X2B k, Y2B k - calculaţi anterior;X20 := 0 Y20 := 0

Det e r m ina r ea pa r am e t r i l o r poz i ţ i ona l idependent? :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:420 := 270 <Ţ30 := 330

i|2 := (J20-180

CŢS3 := <S0180

GivenXBK-XO+ BC cos(<ţe) -O C cos(43) = oYBk - YO +BCsin(<£) - OC sin(<Q) = 0solk :=Find(cţe, <3)

:=S0lk180

M=S0lk430kJ n

Variaţia parametrilorpoziţionali dependenţi

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

D e t er m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i te z e d e p e n d e n ţ i :

A„:=

Ck :=

-BC SINŢTJCK) OC -S IN N)

BC cos(<|2k) -OC cos n)

-(xiBk-0)

Variaţia parametrilorde viteze dependenţi

-(Y1B k-0)

solV|( :=lsolve(Ak,C|<)

' « V:= SOlvk ÎS in 30 ?4 78 32 36 40

11 0

Ţa^eţu^^^conţinuare)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i id e p e n d e n ţ i :

[X2BK-0- BC-(oS2k)2-cos(<t2k) + OC-(«0^2-cos(<|O^

{Y 2B k- 0 - BC (coeh)2 sin(<CK) + OC (co3k)

2 sin(4Qk)]

»olak:= lsolve(Ak, Dk)

D«

v f 3 *;:=solak

Variaţia parametrilorde acceleraţii dependenţi

<2*

E3H

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I CD e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XQ:= XO+ OCCOS(43K) YCk:=YO + O C -S IN^

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1Q:=-(fl3k- OC- sin (((Qk) Y1 Ck := co3k OC cos (<0k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q := -(MSK)2 OC COS (<3|< - E3k-OC-sin(()3k) Y2Ck :=-(co3k)2 OC sin (<0 + e3k OC-cos(<t3k)

Tra i ec t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g ra f u l v i t e zeip u n c t u l u i C

H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i C

03 3

0.17

K 0

-0.17

-0.33

-0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.6

*C „

- 1 -0. 75 -0 .5 - 0.25 0 0.25 0.5

X1C*

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I E

X§<:=XD+ DE cos <|0k-

Determinarea parametr i lor pozi ţ ional i depend enţ i : r xYEk:=YD +DE-sinl <Qk — —

Determinarea parametri lor de vi teze dependenţi :

X1Eq<= -co3k- DE -sin | j)3k - j Y1 Ek := o)3k- DE • cos )3k - ^

Determinarea parametri lor de acceleraţ i i dependenţi :

X2^=-(ifl3k)

2

D E - c o s ^- - e3k D E - s i n -

Y2Ek := -(O K)2 • DE sin f <0k - j +E3k- DE -cos ^ - | j

111

Tra i e c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g ra f u l v i t e ze ip u n c t u l u i E

H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i E

' - 1 -0.7 5 - 0.5 -0. 25 0 0.25 0.5- l "0.5 0 0.5

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 )

P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l ii m p u ş i :

EF := 0.32 XP:=0 YP := -0.2

XE k, Y E k- calculaţi anterior;

Paramet r i i de v i tezei m p u ş i :

X 1 P - 0 Y1 P :— 0

X1E k, Y1E k - calculaţianterior;

P a ra m e t r i i d e a cc e l e ra ţi ii m p u ş i :

X2P:=0 Y2P := 0J

X2E k, Y 2E k- calculaţi anterior;

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :

s := 0.09

Valorile iniţiale<40 := 160

180

GivenXEfc- XP+ EF cos(<ţ>4) - s = 0

Y E k -YP + EFsin(i>4) = 0

so lk:= Find(cţ)4, s)

> 0

:= SOlk

180(|40k:= <(4k


200

170

140110

•40 K 80

50S<-100<-100

20

- 1 0

- 4 0

" 7 0

- 1 0 00 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e zed e p e n d e n ţ i :


Ak:=

Ck:=

- E F - s in ^ -1

EF cos n) 0 y

-(X1E*-0)"

- (Y1E k -0 )

solvk := lsolve(Ak, C j

w4k:= solvk

0 4 8 12 16 20 24 26 32 36 40

k

11 2

^belu^^Jconţinuare)


-[x2E k-0 -EF-( (o4 k )2 cos(<|4k)]

- ( Y 2 E k -0-EF (<o4k)

2

sin(<Hk)]

8olak := lsolve(Ak, Dk)

s2k

:= solak

/


S2K

-0.5

- 2

"3.5

" 50 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

6 .1 .3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e ca n i sm u l u i

Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiunodin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiulcinetostatic sau principiul lui D'Alembert.

Componentele torsorului de reacţiune pot fi forţe şi momente. Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformăproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componenteletorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pas ive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulară

pasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unuimecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C ine to s ta t i c a d iade i RRT(4 ,5 )Forţa tehnologică (R7) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invers

vitezei pistonului 5.RTk:=i f(s1k<0,RT,-RT)> R T : = - 8

Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie alelementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.

Torsorul echivalent din centrul de masă Tj are forma (X,, Yj, CMj) şi este torsorulechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeexterioare aplicate acestuia.

To rs o ru l e ch i v a l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 4 | T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 5

:= 0 Y4k := 0 CM 4k:=0 X5k :=RT k Y5k:=0 CM5k:=0

A k:=" - (Y E k -YF k ) X^ -XFv"

1 0Bk:=

- [ C M 4 k - (YE k -Y F k ) .X4 k + ( X ^ - X F k )Y 4 k ] l

~(X\1 + XEfc-1)

solRRTk := lsolve(Ak, Bk)f X 3 V

solRRTk

113

N05K:=-(Y34k+ Y 4k + Y 5k) CN05, :=- [ - (YE k - Y F k) X34<+ (XEK - XF^ • Y34k]

4 0

3 2

2 4

1 6

8

N 0 5 k 0

, . . " 8

- 1 6

- 2 4

- 3 2

- 4 00 4 8 1 2 16 2 0 24 28 32 36 4

k

0

2 -10~

1.4 -10~

8 10"

2 -10~

-4-10~

CN05k - 1 10 ~

m m m ~ 1.6 10~

-2 .2 -10~

-2 . 8 -1 0 "

-3 . 4 -1 0 "

-4-10~

6

6

7

6

6

6

6

6

0v -4 8 12 ie 20 24 28 32 36

k

0

11 4

2 . C in e tos ta t i c a d iade i RRR(2 ,3 )

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 2 T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 3

X : =0 Y 2 k : = 0 C M 2k:=0Y 3 k :=-Y34k

C M3k := (Y E k - YD) •X3\ - (XŞ, - XD) •Y 34k

A k:=" - ( Y B k - Y C k ) X B -X q,"

- ( Y B k - Y D ) X B k - X D

B k:=< 0 >

-C M 3 k j

, Y 1 2 k /

:= solRRR k solRRR k := lsolve(Ak, BiJ

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

3 . C i n e t o s t a t i ca g ru p e i m o d u l a re a c t i ve

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 1 To rs o ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a 0

X 1 k : = - X 1 ^ Y 1 k : = - Y 1 2 k

C M 1 k : = ( Y B k - 0 ) X 1 ^ c - ( X B k - 0 ) Y 1 2 k

X 0 1 k : = - X 1 k Y 0 1 k : - Y 1 k M E k : = - C M 1 k

Y 0 1

;O H ^

- 6

- 1 0

8 16 24 32 40k

20

- 2 8

" 4 0

r -8 16 24 32 40

k

2014

82

- 4Y01k "10

« n a » - 1 6

"2 2"2 8"3 4- 4 0- 1 0

<5"8 - 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 10

X 01 k

108

M E k 0

—

- 1 00 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k

116

6 .2 . Mode la rea c ine to -d inam ică a mecan ismu lu i p lan R-RRR-RRT

6 .2 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i s m u l u i

Mecanismul plan (fig.6.2) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi /= 7 cuplecinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M= 3 -5 -2 -7 = 1 fiind în

concordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematicănctlvă de rotaţie A .

<p2

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constanţini sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modularesunt redaţi în tabelul 6.3.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RR R formată din elementele cinematice 2, 3, cuplele

cinematice din S ş i O fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 4, 5.

Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematicde tip Watt în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul de execuţie şlcupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 . 2 . 2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i sm u l u i

Parametrii geometrici constanţi corepunzători fiecărei grupe modulare sunturmătorii:

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB = 0.06

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC = 0.3 OC :=0.1

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) DE = 0.4 a 0 : =0 i p - Q

117

-ntt> < "O Ib° o s;O CD N Q>

o ®Ş x x s r

: —1 CD 5:•Of o

ro < CD-O~ <5

<

co~ CD-<? .roCD

3|

01o —0 CD •CD N :

aR 5

1 E : ^iq tu m

tu e VR ' V i L21 5

•ooN

>

>•Q-

3CLpCDDQ.CD3

B) < "On ' OO CD NCD N H IC D ® = :

S x x

>P-11 <

> p

IIo

00 fel

H i

c\o 5 liCD 3

0 ® II1

oo3wof3<-t->

0011o

oO)

' ' "0< T3 COO -ţ CD N 0>N ACD =: 3• • ' ' ®

& S:- ^

3&3

<"D5- '0CD NN S XCD = :

X X

II oO "O "II po

CU < X>O oO CD IM(1 N i 'M CD = :CD

Ş x x— CD•

X *

00-N>CD

Oc

-<2.2.

CD

CD "D C3~ CO

oi cBl3 o.CD t> |1:3'

§ 1o 3

CD

O »IIOco!3

r : 33•Oc

tu <o 5-'O CDCD NCD ®R £=: 5-

5 ,fi- oa • •lyiO

' "0"O tuo r<N 0)•1 3•• CD

0) <« OII ST_ CD

-s. =r •=••. u s - a ~

ta Qg f" <5

3|3

e ~wi xII "0- IID .P

IIo

< "O

®

x x a

II O

p<<§II -o

11 -<m

o ™ O-<

- g . 1 1

Q) Q) < "O3 8 CD'S3 ® N-5--® CD ® = :

S S X XS - S F

oco -<r.— ro

O|Q ^•=7

•o oSJ m

I 11

o P=r1=3

u o0) fij1 M ifi) CD3 Q.®=: 3'

« îO 5

Oc•otu3oo.c

130)

V)<•D> <30DOH'S01

COI-

OD-Con

Ot*i

On CD

= 300

= 300

= 400

= 1

OvO

2

8 8

CD

Or O -

m

aK H

mo

IO

S O1 SiCD »

aS î

P

Determinarea parametrilor dependenţi ai grupelor modulare în succesiuneaconectării acestora este redată în tabelul 6.4.

Tabelul 6.4

G ru p a m o d u l a ră ac t i v ă (A , 1 ) - G M A I (A , 1 )

P a r a m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :XA:= 0.3 YA := 0.1 k:=0.. 36» J »

2k

P a ra m e t r i i d e v i t e z ei m p u ş i :

X1 A:= 0 ^ Y1A := 0col := 1

P a r a m e t r i i d ea c c e l e r a ţ i i i m p u ş i :

X2A:=0 Y2A := 0e1 := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XE^:=XA+ AB C O S ^ YBk:=YA + AB sin(<|>1k)»

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z ed e p e n d e n ţ i :X1 B< := -col AB • sin (<>1 K) Y1B k:= 0)1 AB cos (<t>1ţ)

J

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i id e p e n d e n ţ i :

X2B,, := -col2 AB • cos ($1k) Y2B k := -toi2 • AB • sin (<>1 k)


' 0 4 6 12 16 20 24 28 32 36 40

G r u p a m o d u l a r ă £as i vă_RRR(2 ,3 )

P a r a m e t r i i p o z i ţ i o n a l ii m p u ş i :

XBk, YBk - calculaţi anterior;XO:= 0 YO := 0


X1 BK, Y1Bk- calculaţi anterior;X10:=0 Y10 := 0

P a ra m e t r i i d e a c c e l e ra ţ i ii m p u ş i :

X2B k, Y2B k - calculaţi anterior;X20:= 0 Y20 := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:420 := 2001 (|S0 340

42 := tb20 •——— (tS:=(|fl0 —180 ţ 180

GivenXB k- XO+ BC cos(<|2) - OC cos(4Q) = 0

Y B k - YO + BC sin(42) - OC sin(i(a) =0

solk:= Find{(ţe,<îG)

' « T: = S O l k

1 8 0

UkJ L«>ao k J 7C


0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40k

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :

Ak:=

Ck:=

-BCsin((|2k) OCsin(<|3k)

BC cos(<ţe -OC-cos(<|)3k)

- (X 1 B . -0 )


- (Y 1 B k -0 )

solvk:= lsolve(Ak, C j

M2k

(03k

: = S O l v k

0 4 81216202428323840

k

II')

j^ihohin^jconţ^


D k : :- [ x 2 B k - 0 - B C (o i2k)2 cos( i tek) + OC-(co3 k )2-cos(<t3k )]

- [ Y 2 B k - 0 - BC (ctC k)2 sin(<tek) + OC (o)3k)2 sin (<t8k)]

s o l a k := l so i ve (A k , D ^

E2k

E 3 k

:= solak


e2„

E 3 „

0 4 8 1 2 1 6 2 0 2 4 2 8 3 2 3 8

k

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I C

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :X Q : = X O + O C c o s ( ( | Qk) Y C k := YO + OC s in( ( )3 k)

D e t e r m i n a r e a p a r am e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X 1 Q : = -co3k- OC- sin (<ţak) Y1 C k := w3k- OC- c os (<|3k)

J

D e t e r m i n a r e a p a r am e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ ii d e p e n d e n ţ i :

X 2 Q : = - ( w 3 k ) 2 - O C - c o s (<tak) - ESn-OC-sinţitaiJ Y2C k := - (a j3 k )2 - O C - s i n ( < t6k ) + e S K - O C - c o s ^

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g r a f u l v i t e z e ip u n c t u l u i C

H o d o g r a f u l a c c e l e r a ţ i e ip u n c t u l u i C

0 0 .05A

0.05 •- 0 . 0 2 0 0 2 5 / 0.012 ( ^0 . 0 4

v c k

- 0 . 0 6

- 0 . 0 8

y YICj, 0

- 0 . 0 2 5 cr Y2CK-0.025

" 0 . 063

-0.1- 0 . 1

0 0 .02 0 .04 0 .06 0 .08

x q ,

.1-0 .1 -0 .05 0 0 .05 0 .1

X1Q,

-0.05 -0 .013 0 .025 0 .063 0 .1

X2Q,

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I D

Determinarea parametr i lor pozi ţ ional i dependenţ i :

X D k := XO + OD-cos(<|>3k + ji ) YDk := Y O + O D sin(<ţ>3k + jt)j

Determinarea parametr i lor de v i teze dependenţ i :

X1 D k := -(o3k OD-sin(< t)3k + rc) Y 1 := a)3k-OD-cos(<ţ>3k + 7t)>

Determinarea parametr i lor de acceleraţ i i dependenţ i :

X 2D k := -(a)3k)2-OD-cos((|)3 k + jt) - e3k-OD-sin(<t>3k + ic)

Y2D|< := -(co3k)2 OD-sin(<t>3k + JC) + e3kOD-cos(<!>3k + jt)

120

^belu^^^continuare)

Tra i e c t o r i a p u n c t u l u i D H o d o g ra f u l v i t e ze ip u n c t u l u i D

H o d o g r a f u l a c c e l e r aţ i e ip u n c t u l u i D

-0.3 -0. 23 -0.15 -0.075 0

xq,-0.4 -0.25 -0.1 0.05

X2q,

3 ru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 )


DE :=0.4 XP:=0 YP :=YEXDk, Y Dk

|i0 :=0 _ a0 := 0

K Jt|l:=|iO a := aO

180 180


X1P:= 0 Y1P := 0X1 Dk, Y 1D k

P a ra m e t r i i d e a cc e l e raţ i ii m p u ş i :

X2P:=0 Y2P :=0X2D k, Y2Dk

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:i(40 :=200 S :=0.09

i|4:= i|40180

GivenXQ, - XP+ DE cos(44) - s cos(a) = 0

Y Dk- YP + DE sin(c|4) - s sin(a) = 0

solk:=Find(<>4, s)

:=solk

1801)401,:= <4kJ t




Ak:=-DE sin(((4k) -cos(a)

DE cos($4^ -sin(a)Ck:=

-(Y1Dk-0)

solvk:= lsolve(Ak, C^

' «>V

. s1:=solvk

121

Dk::- [X 2P (- 0 - D E orfk)2 cos((ţ4k)]

- [ Y 2 D k - 0 - D E ( t o 4 k ) 2 s i n |

solak := lsolve(A k, D k

s2k

=solak

JnhvhţnOUco^


6 . 2 . 3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e ca n i sm u l u i

Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiuno

din cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiulcinetostatic sau principiul lui D'Alembert.Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele sunt

direcţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformi!problema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentelotorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulari

pasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C in e tos ta t i c a d iade i RRT(4 ,5)Forţa tehnologică (RT) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invers

vitezei pistonului 5.RTk := if(s1 k < 0, R T,-R T)

Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie fii

elementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xy, Yj, CMj) şi este torsorul

echivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţoexterioare aplicate acestuia.

]o r so ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 4 || To rs o ru l e ch i v a l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 5

X : =0 Y 4k := 0 C M 4k:=0 I X 5 k :=RT k Y 5 k :=0 C M 5k:=0

A k := ~ - ( Y D k - Y E k ) X D k - X E k

1 0B k :=

0

_ - ( X 4 k 1 +X 5 k 1)

solRRT k:= lsolve(Ak, B^

V

:= solRRTkY 34k /

12 2



10 10

6

2Y3 4k

- 2

- 6

JV—l0 8 16 24 32 4

k

010

0 8 16 24 32 40

k

1

Y34k

—- 1

D

6

-10 "6 - 2 2 6 10

X34k

N05K:=-- ( Y 3 4 k + Y 4 k + Y 5 k ) CN05k := - { - ( Y D , , - YEk) X3 4k + ( X D k - X E k ) Y34 ,, J

o m " "1

10

68 10"" 1 A

2N05k

m m m - 2

- 6

-4-10"17

CN05,

1.6-10-16

-2.8 10"16

100 8 16 24 32 to

- t m"1 6

k0 8 16 24 32 40

k

123

2. C ine to s ta t i c a d iad e i RRR(2 ,3 )

To rs o ru l ec h i v a l en t pen t ru e l emen tu l 2 To rs o ru l ec h i v a l en t pen t ru e l emen tu l 3

X^:=0 Y2k:=0 CM2k:=0Y3k:=-Y34k

CM3k := (Y Dk-Y O )-X34 k- (XD k-XO)-Y34t ,

Ak :=" - (YO-YCn) XO-XC k"

-(YO -Y Bk) XO - XBk

-[-(YO- YCk) X3k + (XO - XCk)••+ CM3k | 'Bk ~ -£-(YO- YBk) X3k + (XO - XBk) Y3|< + CM3|(] ,

solRRRk:= lsolve(Ak, BiJ(X03k^

:= solRRR<I v o ^ J

X03,

-10-30

-50

Y03k

-12

- 2 0

Y03k

-12

- 2 0

12 4

X12 k := - (X 0 3 k +X 2 k + X 3k) Y12k := -(Y 03k + Y ^ + Y3k)

16 24 32 40 16 24 32 40

X12K


To rs o ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 1 To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X1k:=-X13, Y1k:=-Y12k

CM1k :=(YB)( - YA) X12k - (XBk - XA) Y12|<

X01k:=-X1k Y01k:=-Y1k MEk:=-CM1k

A = T

Y01K

-12

- 2 0 -40 -24 -8 24 40

X01K

ME K

2

1.6

1 .2

0 .8

0.4

JV±8 16 24 32 40

125



6 .3 . M o d e l ar e a c l n e t o - d i n a m l că a m e ca n i sm u l u i p l an R - RRR-RRT

6 .3 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i sm u l u i

Mecanismul plan (fig.6.3) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi i=7 cuplacinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate esto M 3 - 5 - 2 - 7 = 1 fiind inconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sis tem, şi anume cupla cinemalii |

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constan|lai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modulamsunt redaţi în tabelul 6.5.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RR R formată din elementele cinematice 2, 3, cuplelo

cinematice din 6 şi D fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip R R T formată din elementele cinematice 4, 5.

Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematicde tip Stephenson în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul doexecuţie şi cupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 . 3 . 2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i sm u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB := 0.18

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) B C - 0 . 4 8 DC := 0 .5

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) EF := 0.82 > CTO := 0 > ^ = Q

1 26

'O<0

c

3'S0)c

oo0)TJ(0ECD•Co<f)

OU-I -OP

O -Q

£ k >) | •o :

ca3

o3

IA3

a>TJo2

o Eţflca>*o<0L>COO

o o

ia X NJC - -

o

00 «->

o O

2 £ kj Q

00-+OII

Cj03IItijCQ

33E

v i'EC0OO)Ecoo<0E0)co

0>•oo

- 1f , 1 <

( c

a.13 P

fsoi 00

o |1s

. . oE :=

~

o |11 §

LL C0LU CL

O

.UJ

coCM i :CD

„W i-a

V - X Ş

O -ca y-x >-<0 +a><Q-> ,

-W.:.; oL U T - B - . Z .XX

= ai-S*?•ţf N 0) EgŞ 8 2Q-*> co <a1 1 1 a .

11q .D ->aj -o"c o.2> " CL

p s§ g £CL CL >

CL£ 6

. 1111 w

X IIIO15-32 -j§°oS 11o *co a

cI

a

Q) •:

CB NÎ5 0 •0. ,

O10a- f

ODdCD

V

jj o2 8

fl) 0)^ E& 2Q CL

co

co co i — w

x x

a>bo E8 2 CC CC, 0-

~ II. C0 m

:= CD•ti" Ng şQ. >

OII

O O11

Q oII

. . -3C D „CMX s)>- 11 X

X X CC

<0<Ntu

CD —,-tr N a>N J ) OO .t; oO. > C0

csc

21 -t j « ..:s (N gh -S- 3 cag:= ai oC.tr N ®m N CD oh O o«0 Q - > CCo. , . ,

CQ<

cCC(0cooocCDE

ai o

C CDca o1 1

« ifl) <012 Sca <aQ CL

oII<

CM- c

o a>11 "g

< CD

X -Sî sX X <0 :=

CD

T3:= C

:= CD•tr NG £C L >

^S; CDCD C:0 So 2

CC' 0.

-c.<

< 1

NOa.

.O .ic -JE

ai «5«

ţ iCD

CIc

râ.JcCN =>

co —: N CD

CD O-t oII > CC

CQCM

S 2 > -- CQ JJ

0) CDQ.CQ > - CM

. £ > i Xa QQ • •CD S -

i =xx roS:= bi^C .tr N CDCO N Q) oo O«0 Q- > C00- , , .

Determinarea parametrilor dependenţi al grupelor mnilulmn III succesiunii»conectării acestora este redată în tabelul 6.6.

Tabelul 6 6

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A ,1 ) - GM A I f A , l )

P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :X A := 0 Y A := 0.37 K :=0. . 36

> 1

2-JT,1 K :=K —


X1 A := 0 Y 1A := 00)1 := 1

Paramet r i i dea cce l e ra ţ i i i m p u ş i :

X 2A :« 0 Y 2A := 01£1 := 0

De te rm i na rea pa rame t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XBj<=XA +AB cos(<>1|() YBk:=YA + ABsin(<>1k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e zed e p e n d e n ţ i :X1E^=-0)1 AB sin(())1k) Y1Bk:=0)1 AB cos(<>1k)»D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i id e p e n d e n ţ i :

X2E := -0)12 AB cos ($1J Y2Bk := -0)12 • AB sin (<»1 J


12 16 20 24 28 32 36 .

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 )

P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l i Pa ram et r i i de v i teze Param et r i i de acc e le ra ţ i ii m p u ş i : i m p u ş i : i m p u ş i :

XBk, YBk- calculaţianterior; X1 Bk, Y1Bk - calculaţianterior; X2Bk, Y2B k - calculaţi anterior;X O := 0 Y O := 0 X 10 := 0 Y I O := 0 X 20 := 0 Y 2 0 := 0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:< 20:=250 <|30-190

1)2:= <e0-180

(ta := 4G0 ——180

GivenXBK - XD+ BC cos(<)2) - DC cos(<|3) = 0Y B k- YD +BC sin(<t2) - DC-sin(<S) = 0solk := Find(<2, <G)

:=solk>o k N 180

W K


12 16 20 24 26 32 36 40

Ak :=

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :

-BC s in k) DC-sin(<t3k)

BC cosţcpk) -DC cos (<Q|

["-(xiBk-0)"

^[ - ( Y I B k - 0 )

solvk:= lsolve(Ak, C j


(02kco3i

: = SO l Vk

v0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

1 28

Tabolul 6.6 (continuare


I X2B k-0-BC (o£k)2 cos(<|ek) + DC(oJ 3k)2 cos((|e ]

-[Y2Bk-0-BC-(ffl2h)2-sin(42K) + DC-((o3k)

2sin(<tSk)]


solak :=lsolve(Ak, D^

:=solakt3k

£2k£3»

0.4

0.2" 0" 0 . 2

-0.4

" 0 . 6

- 0 . 8

- 1

12 16 20 24 28 :V «1


D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :xq, := XO +OC •cos ((tSk) YCk :=YO + OC sin ((tSk)

I

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X1Q :=-w3k OC sin ((jQ^ Y1 Ck := oJ3k OC cos (<0k)»

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q:=-(o)3k)2 OC cosţctQn) - e3k OC-sin n) Y2Ck:=-(io3k)

2 OC sin((|6k) + e3kOCcos

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g r a f u l v i t e z eip u n c t u l u i C


-0.2S "0.22 -0.19 -0.16 "0.13 "0.1

XC ,

-0.15 "0.1 -0.05 0 0 05

X1C,

"0 24 - 0 06 0 08 0 24 0 4

X2C,

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I E

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XE k:=XBk+ BE-cos(<|2k+ ir) YE k:= Y Bk+ BE sin(<t2k+ jt)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X1^:=X1^-ra3kBEsin(<tek+ jt) Y1E k:=Y1Bk +to3k BE cos(<|2k +it)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i d e p e n d e n ţ i :X2Ş<:=X2B<-(to3k)

2 BEcos(<(2k +7t) - e3k BE sin(<|2k +iu)

Y2Ek:= Y 2B k- (u3|,)Z BE sin(<|ek+ n) + E3k BE cos(ijek+ n)

129

lutw l i i l 6.6 (cont inuau *)

T r a ie c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g ra f u l v l t o zo l H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i E p u n c t u l u i E

0.880.12

A O I I

0.76

Y E k

« — 0 . 6 4

0.52

0.04

Y 1E k

— — - 0 . 0 4

"0.12

0.1*

V 2 E ,II 0.04

-0 .08 V o4 "0.24 -0 .08 0.08 0.24 0.4

- c .2 -0 .0 4 0.12 0.28 0.44

X E k

- ( .4 "0. 24 -0 .0 8 0.08 0.24 0 4

X 2E k


P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l i

i m p u ş i :EF := 0.82 XP:=0 YP:=YF

J »


Paramet r i i de v i teze

i m p u ş i :X1P:= 0 Y1P := 0X1E k, Y1Ek - calculaţianterior;

Paramet r i i de acce le ra ţ i i

i m p u ş i :X2P:=0 Y2P :=0


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :

s := 0.06Valorile iniţiale:440 := 340

44:= <B40 — —

180GivenXE|(- XP+ EFcos(<|4) - s cos(a) = 0

YEk - YP + EF sin (<>4) - s sin(a) = 0

soik:=Find (<)4, s)

r<t4k^:=sol

U J180

<>4Uk :=it


12 16 20 24 28 32 36 40


-EFsin(<|4k) -cos(a)Ak:=

EFcos(<>4k) -sin(a)

-(X1E.-0)

(Y1E k-0)

soivk :=lsolve(Ak,Ck)


C k:=

vs1ky

: = S O l v k

1 30

Tabelul 6.6

D o l o rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i< lopendent i :


Dk- [ x2 ^ -0 -E F (a i 4 k )2c o s ( ( | 4 k ) ] 0.32

0.24

/ »/ iDk

-[Y2Ek-O-EF.(co4k)2sin(04k)] _0.16

e4 * 0.08/ /" A

/ \ / i \lOltk

[<4,,

= lsolve(Ak, Dk) n . 0 0 8

-0.16

"0.24

"0.32

/ \ / •»

•8k:= solak

4 6 12 16 20 24 28 32 36 40

k


Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiune

din cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiuldnetostatic sau principiul lui D'Alembert.Componentele torsorului de reacţiune pot fi forţe şi momente. Forţele sunt

dlrocţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntillrocţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformăproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentelelorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modularăpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unuimecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă alirupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C ine tos ta t i ca d iade i RRT(4 ,5 )Forţa tehnologică (RT) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invers

vitezei pistonului 5.RTk:= if(s1k<0,RT,-RT)

Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie a

clementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xj, Yj, CMj) şi este torsoruochivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeoxterioare aplicate acestuia.

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e le m e n t u l 4 T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 5

X4k:= 0 Y4k := 0 CM4k:=0 X5 k :=RT k Y5k := 0 CM 5k:=0

"-(YE.-YFk) XEk-XF,"A

k:=

1 0B k:=

0

solRRTk:= lso lve(Ak, Bk),Y24k /

:= soIRRTk

131

N05k:=-(Y24k+Y4k+Y5K) CN05k:=-[-{YEl(-YFl<)X24<+(XEk-XFi<)Y24k]

10 r

N05k

"14

" 2 %

L T8 16 24 32

k0

s io""

2 IO"'8

-1 io"'6

CN05

- 7 10~

6

-1 io",s

J

0 8 1(h

24 32k

IO

1 3 2

•14

•2 0- 1 0 " 6 - 2 2 6 1 0

X54k

2 . C ine to s t a t i ca d iad e i RRR(2 ,3 )


X2j<:=X24k Y2k:=Y24k

CM2k ^(YEk - Y B j -X24, - (X^ - XBk) • Y24k

X2ţ( := 0 Y3k := 0 CM3k :=0

1 33

Ak:=(YBk YCk) XBk XQ<

-(YB k-YD) XBk-XDjB k:-

"{CM2k (YB„ YC k)X^(XBk XQjY2k|'

-[CM2k (Yllk YD)X^(XBk XD)Y2k|

solRRRk :=lsolve(Ak, B^ : solRRRk

X1 2K

16 24 32 40

k

Y12 K

0 8 16 24 32 40

k

1 4 7 10

X1 2K

xo^-ţxi^+x^+x^) Y03k:=-(Y12k +Y2k+ Y3J

1 3 4

20:H—lX32

K1 1

— 'J C- 2 0 0 8 16 24 32 40

Y

10 —

- 1 0 —0

3 2 K : = - ( Y 1 2K + Y2„)

- n /8 16 24 32 40

10

- 1 0-2 0 -1 2 " 4 4 12

X32„

20


To rs o ru l e ch i v a l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 1 To rs o ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X1k:= -X1Ş, Y1k:=-Y12k

CM1k := (Y B k- Y A ) X 1 2 k - ( X B k -XA) Y12k

X01k:=-X1k Y01k:= -Y 1k ME k:=-CM1l<

13 5



6 .4 . Mode la rea c ine to -d inam lcă a mecan lnmu lu l p lan R-RRR-RRR


Mecanismul plan (fig.6.4) este constituit din m = 5 elomontn cinematice şi b= 7 cuplucinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M ,V 5 - 2 - 7 = l fiind IIIconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şl anume cupla cinematici

activă de rotaţie A.

Fig.6.4

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constan|lai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modulau»sunt redaţi în tabelul 6.7.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;

- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 2, 3, cuplelocinematice din 6 şi CBD fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 4, 5, cuplolo

cinematice din E şi G fiind cuple cinematice potenţiale.Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic


6 .4 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c al m e ca n i s m u l u i

P arametrii geometrici constanţi corepunzători fiecărei grupe modulare suniurmătorii:

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB := 0.1Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC := 0.8 DC := 0.3

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) EF := 1.6 GF := 0.4

1 36

c3 O"-XCD ,—C V)oo £ oua> Oi•a Oica

nm

F csa) as£ aio a£c/)

o E

Oo

~0~D

hCH00

d s t « -

7 o - o oll H 11 ll llS •r P o "a

£ X s.

— ^o o(O oo

o oII II II II IIO k. O y k.Q kj CQ Q CO

£ :E

«oNCO

3_oCO0CDo)

1LU

O

LU

LU

CM

LUCM

CD

jx LULU ~x x 2:= ffi -S?ŢR N (DN CD OO .t: oCL > CO

£ X

oII

o>

oII

oCM . .>

- c

o 0)II *o «>CM **

oo -X X

aiNg &

o.'>

>nlut"

Tf TJ =2 Js -s- « 2® S := iii ®Q>fc .-TR N cuo co N CD o0 £ o ~ oCO 5! CL > CO1 ^ i i i

OOdco

0)

J) o! Si

• s i0) ®* E& 2J5 coQ o.

mCM

CQ> Q

^ T- I I I

OC0 >- <MO> ;X uI CQ

C0 t- oX X 2 i

: = CD

•rT N0) A): = CD

•rT N A> FN CD o MO C3CL >i i

co1

coCL

oII

O oo " 2II £o-

D >- II. o Q

° " *

x x re:= biţr N 0)N o oO oQ - > CO

C

c

ci•c ^0) ..e :•§•2 g2 ?-

mty

citu

2oQ)oOca

co<wCcacocooo*£CD

. Eai °c a>

co o1 1

a» «aîsca coQ a

^ ofc; oo

<X X

== Clgo ,-Şo. >

oII

<

CM>

- CO CD

,1 1< CD

^ 9X

®-o:= F

® CD

® F° £o 2<0 C0• Q_

•AiII

NOa.

i ? - >2CS

LU _C0 j?

o)-S- i 2p « ®

: N a)• Q) o

o ~ oII > <A

coCM

TJ £>c m _a> * t- coQ.C0 >- C\

•8 >- ^xCD r- nis x x 2«> a>E: = CD —

N CDco N CD OJs O & o«0 Q. > CO. , ,

I)otormlnarea parametrilor dependenţi al grupdor moilulnro In succesiuniiconectării acestora este redată în tabelul 6.8.

Tabelul 6 l l

G r u p a m o d u l a r ă a c t i v ă ( A ,1 ) G MA I (A I )

P a r a m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :

XA := -0.8 YA := 0 .05_ K :=0 . . 36

2 n

P a r a me t r i i d e v i t e z ei m p u ş i :

X1A :=0 Y1A := 0J

0)1 := 1

P a r a me t r i i d ea c c e l e r a ţ i i i m p u ş i :

X2 A > 0 Y2A := 0e1 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XB K := XA + AB COS^IK) YB K := YA + AB SIN (<Ţ>1K)

D e te r m i n a r e a p a r a me t r i l o r d e v i t e z ed e p e n d e n ţ i :X1 EJ< := -COL AB SIN (C)>1 K) Y1 BK := W1 AB COS (<|I1 „)»

D e te r m i n a r e a p a r a me t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i

d e p e n d e n ţ i :X2EK:=-CO1 AB COS^LJ Y2B K := -U1 AB SIN(<(>1K)


P a r a me t r i i p o z i ţ i o n a l i P a r a me t r i i d e v i t e z e P a r a me t r i i d e a c c e l e r a ţ i ii m p u ş i : i m p u ş i : i m p u ş i :

XBk, YBk - calculaţi anterior, X1 Bk, Y1Bk- calculaţi anterior X2B k, Y2B k - calculaţi anterior;XO:= 0 YO := 0 X10 : = 0 Y1 0 := 0 X 2 0 := 0 Y 2 0 := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i

d e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:<T£0:=10 <(G0 := 100

<(2 := <J20—— DS := DSO—^ ^ 180 180

»

GivenX B K - X D + BC COS(<|2) - DCCOS(I)G) = 0

Y B K - Y D + BC SIN(<(2) - DC-SIN(<TQ) = 0

SOIK:= FIND(<TE,<|3)

:= SOLK

180:= SOLK :=

W n W

Variaţia parametrilor

poziţionali dependenţi

o 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40


' - B C SIN(<T2K) DC SIN((|ak)N

BC C O S ^ - D C COSŢIFSIŢ)

-(xiE -0)'

A K : :


Ck::- ( Y 1 B K - 0 )

SOLVK := LSOIVE(AK, C J CO3K

= S O i V kO 4 8 12

13 8

Tabolul6.6 continuare

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i Variaţia parametrilord e p e n d e n ţ i : de acceleraţii dependenţi

Dk:-|~X2^< - 0 - BC ((FL2K)2-COS(<|2K) + D C - ^ ) 2 COS(TŢ3K)]

0.4

0.3 \ /Dk:-

F Y2B K - 0 - BC-(afiJ 2-sin((|E^ + DC-(<O3K)2SIN(<T3K)]0.2

^ o.1 _\ /

•OLAK := LSOLVE(AK> D^ — — " 0e 3 k - 0 1

\ \ / V

:= SOLAK

" " " - 0 . 2

- 0 . 3

- 0 . 4

4 8 12 16 20 24 28 32 36 4C

k

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I CD e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XQ<:=XD+ DCCOS(<TSK)

Y C K :=YD+ DCSIN(<T3|<)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X1Q:= -CO3K DC SIN(<TFLK)

>

Y1CK := CO3K DC COS(I|FLK)


X2Q := -(CO3K)2 • DC COS ( ^ J - E3K DC SIN (<|SK)

Y2CK:= - ( c o 3 k ) 2 • DC SIN (<)3K) + E 3 k DC COS(<TBK)

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g r a f u l v i t e z e i H o d o g r a f u l a c c e l e r a ţ i e ip u n c t u lu i C ^ ^


XE|<:= XD+ DE COs(c|GK+ J t)

Y E K :=YD+ DESIN(I|FIK+ TC)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X 1 : = -CO3K DE SIN (<(3K + IT)

>

Y1EK := TO3K-DE-COS(<|8K + Jt)


X2Ş<:= -(U 3K )2 DE COS(((3K+ J t) - E3K DE SIN(<Ţ3K + J t)

Y2EK :=-(W3K )2DESIN(<|QK+ JI) + £3KDECOS(<|)3K + J t)

1 3 9

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g r a f u l v l t e z o li D u nc tu lu i J E ^

H o d o g r a f u l a c c e l e r a ţ i e ip u n c t u l u i E

0 011

0004

VDU04

-0 01?-0 1 - 0 07 -0 04 - 0 01 0 0!

X1E.0.01 004 0 07 0 1

Gr u p a mo d u l a r ă p a s i v ă R R R ( 4 ,5 )


EF:=1.6 GF :=0.4



X1 P:= 0 Y 1P :=0J

X1E k, Y 1E k-calculaţi anterior;

P a r a me t r i i d e a c c e l e r a ţ i ii m p u ş i :

X2P := 0 Y2P := 0J

X2E k, Y 2E k-calculaţi anterloi,

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:i))40 := 10 ((50 := 260

\:=i(40180

<6 := <150180

Given

XEK- XG+ EF cos(<(4) - GF cos(<|6) = 0Y E H -Y G + EF sin(<|4)-GF sin(<(5) = 0

solk:=Find(<4. <5)

=solk

>o kN

180

t<|60kj J i U J


0 4 8 12 16 2 0 24 2 8 3 2 36 4 0

k

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e zed e p e n d e n ţ i : Variaţia parametrilorde viteze dependenţi

CK:=

-EF sin(<)4K) GF sin(<t6k)

EF cos(i(4k) -G F cos(<|6k)

(X1E . -0 )

- ( Y 1 E K - 0 )

solvk:= is o lve .C j

(04k

v«5ky

12 16 20 24 26 32 36 40

k

=solvk

14 0

D e t erm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i Variaţia parametrilord e p e n d e n ţ i : de acceleraţii dependenţi

| X2Ek-0-EF-((fl4k)2-cos((j4k) + GF-(co5k)

2-cos(i)6k)]X2E k-0-EF-((fl4k)2-cos((j4k) + GF-(co5k)

2-cos(i)6k)]0.16k

- [Y2E k-0- EF ((o4kf sin($4k) + GF-(ofik)2-sin(<|6k)] _ 01 2

0 06

\ /

\1

•olak :=lsolve(Ak, Dk)™ 0

^ \ /

:=solak

"0.12

-0 .16

U x:=solak 4 6 12 16 20 24 28 32 36 40

k

6 .4 .3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e ca n i s m u l u iCinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiune

din cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiul

cinetostatic sau principiul lui D'Alembert.Componentele torsorului de reacţiune pot fi forţe şi momente. Forţele sunt

direcţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.


în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M =0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modularăpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unui

mecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C ine to s t a t i ca d iade i RRR(4 ,5 )Cuplul (C=50Nm) este aplicat asupra elementului de execuţie, în sens invers vitezei

unghiulare a elementului 5.Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie al

elementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (X h Yj, CMj) şi este torsorul

echivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeexterioare aplicate acestuia.

T o r s o r u l ec h i v a l e n t p e n t r u e l em e n t u l 4 T o r s o r u l ec h i v a l e n t p e n t r u e l em e n t u l 5 1

X4k:=0 Y4k := 0 CM4k:=0X5k:=RT k Y5k :=0

CM5k :=if(<o5k< 0, C, -C )

"-(Y E .-Y F ,) XE,<-XFk~

k'~ -(Y E k-YG) XEk-XG( ° 1

Bk:=l -CM5k J

solRRTk:= lsolve(Ak, B^( X34^

:=solklY34k J

14 1



Y0 5

E=T4

142

XOŞ< :=-X34, Y05k:= -Y34k

- 4 0 0 "2 4 0 - 8 0 8 0 2 4 0 4 0 0

X05k

2 . C ine to s ta t i c a d iad e i RRR(2 ,3)


X :=0 Y2k := 0 CM2k:=0X :=-X 3^ Y 3k:=-Y34k

CM3k :=(YE k - YD) X3^- (XE|<- XD) Y34k

Y i 2

1 43



Ak:=(YB K YCK) XBK XQ

-(YBk-YD) XBk-XD•„1-

«I

CM3k/

solRRRk := lsolve(Ak, Bk) solRRRk

X 1 2 k Y 1 2 k

Y 1 2 k

- 2 0 0 - 1 2 0 " 4 0 40 120 200

X12k

Y03k:=-(Y12k+Y3k)

X 03 k Y 03 k

L T16 24 32 40

k

Y 03k

200

120

4 0

. - 4 0

" 1 2 0

- 2 0 0- 4 0 "2 8 "1 6 - 4 8 2 0

X 03 k

1 4 4

To rs o ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 1 To rs o ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a 0

X1k:=-X13< Y1k:=-Y12k

CM1k := (Y Bk-Y A) X 12 k - ( X B k -XA) Y12k

X01k:= -X1k Y01k:=-Y1k ME k:=-CM1

145





Mecanismul plan (fig.6.5) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi i=7 cuplucinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este AF = 3 - 5 - 2 - 7 = 1 fiind IIIconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinemntli n

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici conslnn|lai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modulamsunt redaţi în tabelul 6.9.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modularo:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1,- grupa modulară pasivă de tip RR R formată din elementele cinematice 2, 3, cuploln

cinematice din S ş i D fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip R R T formată din elementele cinematice 4, 5.

Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinemallode tip Stephenson în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul di

execuţie şi cupla cinematică activă adiacentă bazei.6 .5 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u i

P arametrii geometrici cons tanţi corepunzători fiecărei grupe modulare M I I I Iurmătorii:

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB :=0.3

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC := 1.3 DC := 0.9

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) jta := 90EF :=1 .45 i / 3 = 0 > 180

146

o E

0 0 Q )

•c o

O 0)2

1u O

O 9

I •VO O>n in

m N no oi — —

CQ ly k.^ O) kj

o\o

IIu ^a Cs

S :Efi

S £3

> r o

NCC0>3_oCO0cuco

1LU

CMi X

o J=II ®

^ I 0LL COLU 0.

LU oCM ~

0 0 I I S

- L U gUJ i - _X X co:c:= ai 2 £•ŢR N ® E

w g ş 8 2 co o. > co co

W II " >a»>">-ii

LL o"Q-•2>X „ CMII V° 11 Q - îdQ-T - ,T5XX co

sI O oCL > «

ii va.

T» §. f io Q)

9. o

o«n. . c>o ° f"

o 3 coOi ®n C .tr N ®1 U N J I o>< >5 O ±: o® TO Q. > co

I I I I

a

ji O

•S :E

oII

o OCM

CQCM

II >- •a.

l j c U

<o co O coQ CL CQ O .

•Q_

> ^x »m£==§X X r c:= ai ® ®

N ® ES Ş 8 2C L ' > CO C0I , , Q-

. . -T— OO > - II

. O O

x x 2:= ai ®•ST"

n ®N ® oO OQ . > C0

cf ic

,£>oT3:a oî '^5E= CD_ .-ŢŢ N CDco N

s °ca Q.0. ,

CQ<

ccoU)coo

E E

.. I Ofes 00

IIo <<

T- o CD> II "g

< CD

^ SiX ®

OII

2 ^

£X

•= ai•s So ,-ŞCL >

"O: = £

2 ;E® ai® Fo 2"> co• CL

<

<

NoCL

'23 ro

c; — '2— ai

>2 i__co cn.2 §

§ 2ro ®N 0)2 8> ro

i «cCD

SCCDCM

C0 JÎ_ IC T- CQQ.C0 >- CM

i XA . *CQ • •

CD S -i x x 5

ai «B£ -rT N ®CO N CD O»= o ota o. > ro<X , , .

Dttermlnaron parametrilor dependenţi al grupolor modulara In succeslunnconectării acestora osto rodată în tabelul 6.10.

Tabelul 6

G r u g a j r i o d u l a r ă a c t i v ă ( A , 1 | - G M A I (A , I

P a r a m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :XA:= 1.65 YA := 0 k:=0.. 36

> J J

2k4>1k:=k36


X 1 A - 0 Y 1 A :=0col := 1

P a r a m e t r i i d ea c c e l e r a ţ i i i m p u ş i

X2A:= 0 Y2A :=0I

e1 := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XBk XAi- AB cos(<>1k) YBk:=Y A + AB sinţ n)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z ed e p e n d e n ţ i :X1 Eţ( :=-<o1 AB • sin ($1K) Y 1B k:= a)1 AB cos(i(i1k)

J


X2E(< :=-0)12 AB cos (<>1K) Y2Bk :=-(o12 AB sin(<>1K)


8 12 16 20 24 28 32 36 40

G r u p a m o d u l a r ă p a s i v ă R R R ( 2 , 3 )


XBk, YBk - calculaţi anterionXD:=0 YD-0 .7


X1 Bk, Y1Bk - calculaţianterionX1D-0 Y1D-0

i

P a ra m e t r i i d e a c c e l e ra ţ i ii m p u ş i :

X2Bk, Y2Bk - calculaţi anterior;X2D:= 0 Y2D := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:(jeo :=190 430:= 300

<12:= <20 ——180

K= <30

180

GivenXBk - XD+ BC cos (42) - DC cos (43) = 0

Y B k - Y D + BC -sin(42) - DC sin(43) = 0

solk:= Find(42,43)

:= solk180

:= solk := — — •

U J [ w j n


12 16 20 24 28 32 36 4 0


A k:=

C k:=

—BC sin(<(2k) DC sin(43k)

BCcos(42k) -DCcos(43k)

-(X1Bk-0)


- ( Y 1 B k - 0 )

solvK := lsolve (A k, CK):= solVk

148

^be ţu^U^c on ţ i nuam]

D o t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i id e p e n d e n ţ i :

{ X2Bk - 0 - BC-(cc2k)2 cos((tek) + DC (co3k)

2 cos(«tQk)]

-|~Y2Bk- 0 - BC (cu2k)2 sin(<ţ2k) + D C ^a S ^s i n ^]

«olak := lsolve(A k, D^

f r M := solak


e 12 16 20 24 28 32 36 40

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I CD e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :Xq,:=XD+ DCcos(<|3k) Y C k :=Y D + DC sin (<(0^

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1 Q<:=-co3k DC sin (<Gk) Y1 C k := co3k DC cos (<(2>

D e t erm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q := -(afli,)2 DC- cos (<(0^- £3k- DC sin((|flk)

Y 2C k:=-(ca3k)2 DC sin(<tflk) + e ^ DC cos (<(3^

Tra i ec to r i a punc tu l u i C Hodog ra fu l v i t ez e i

p u n c t u l u i C

H o d o g r a f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i C

-0.24 -0.08 008

X1Ch-0.2 4 -0.08 0 08 054 0.4

X2Ck


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :X^:=XB K + BEcos(i|2k)

Y E k:= Y B k+ BEsin(<|2k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :-ca2k BE sin(<l2k)

Y 1E k:=Y1B k + o)2k BE cos(<|2|^

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i d e p e n d e n ţ i :X2Ş<:= X2B|c -(o£k)2-BE cos(()ek) - E2k BE sin(<t2k)

Y 2E k:= Y2B k -(OCK)2 BE s i n ^ + e2k BE cos((ŢEK)

14 9

l i i l ' t 'liil 6.10 (continuam

Tra i e c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g ra f u l v i t e zeip u n c t u l u i E

H o d o ( | i n f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i E

-0.3 "0.22



EF := 1.45 XP := XF YP := 0



X1P:=0 Y1P:=0

X1Ek, Y1Ek - calculaţianterior;

P a ra m e t r i i d e a cc e l e raţ i ii m p u ş i :

X2P:=0 Y2P:=0


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:<>40 := 80 s := 0.09

(:= MO180

GivenX E - X P + EF-cos(<(>4) - s cos(ot) = 0

Y E k - Y P + EF sin(4>4) - ssin(oc) = 0

solk:= Find(()>4, s)

'Vk)•= solk

S k)

180<(40k:= (Kk

K


12 16 20 24 28 32 36 4 0


—EF sin(<ţ4k) - cos (a ) N

EF-cos((t4k) -s in (a)


C k:=-(X1Ek-0)

-(Y1E k-0)

solvk := lsolve(A k, Ck)

:= solvk

150

^be j u^^^c on ţ i nua ro )


[ x 2 Ş ( - 0 - EF (co4k)2-cos

- [ Y 2 E k - 0 - E F - ( ( o 4k ) 2 sin

solak:= lsolve(A k, D k)

:= solak


0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

k


Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiunedin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiulcinetostatic sau principiul lui D'Alembert.

Componentele torsorului de reacţiune pot fi forţe şi momente. Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformăproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentele

torsorului de reacţiune din cuple.în cazul grupelor modulare pas ive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modularăpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unuimecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C in e tos ta t i c a d iade i RRT(4 ,5)

Forţa tehnologică (R T ) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens inversvitezei pistonului 5.R T k :=i f (s1k <0 ,R T , -R T ) ^ R T : =50


Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (X;, Yp CM,) şi este torsorulechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeexterioare aplicate acestuia.

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 4 T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 5XEy:= 0 Y 5k := if(s1 k< 0, R T .-R T)

X4k := 0 Y 4 k :=0 CM4 k :=0XEy:= 0 Y 5k := if(s1 k< 0, R T .-R T)

X4k := 0 Y 4 k :=0 CM4 k :=0C M 5k := 0

151



A k: -(VI„ VI0 XEk XFv'

0 1•k

0

VBk

so lk := lsolve(A k, B k)kY 24K

!- »0lk

F = Tc

15 2

N05K := ~(X2\ + X4< +XŞ< CNI05, :=-[-(YE K - Y F j • X24, -t- (X^ - XFij • Y24k |

N05K

"2-10 "

-4-10"15

CN05K _

-fi 10

15

"8 -10~15

-1-10"14

T r6 24 32 40

k

2 . C in e tos ta t i c a d iad e i RRR(2 ,3 )

T o r s o r u l ec h i v a l e n t p e n t r u e le m e n t u l 2 T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 3

X ^ : = - X 2 4 K Y 2 K : = - Y 2 4 K

CM2K := (YE K - Y B ^ X 2 \ - (XE* - XBK) V24K

XŞ<:=0 Y3K := 0 CM 3 K : = 0

15 3



CM>-

rto>

ll.ICCM>

h ?X+

&III

l e f ix



3 . C i ne tos ta t i c a g rupe i modu l a re ac t i v e

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 1 To rs o ru l do ronc f l une d i n c up l a 0

X1k:=-X1^ Y1k:=-Y12k

CM1k := (YBk-YA) X12k- (XB k-XA) Y12KX01k := -X 1k Y01k Y1k ME k:=-CM1k

200

120

40

X 0 1 „— -

- 1 2 0

" 2 0 00 6 16 24 32 40

k

10 (

6

2

Y 0 1 k

_ _ _ - 2 C

"6 C

- 1 0 C 0 8 16 24 32 40

k

100

60

20Y 01k

"2 0

" 6 0X

30 "

22

14 /ME k

" 2 30 -12 0 "40 40 120 200

X01k

"10 L

0 8 16 24 32 40

k

156





Mecanismul plan (fig.6.6) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi b=7 cucinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M = 3-5 — 2-7 = 1 fiindconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinemalactivă de rotaţie A.

yf

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modusunt redaţi în tabelul 6.11.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulari- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic t;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 2, 3, cup

cinematice din 6 şi O fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 4, 5.

Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinemde tip Watt în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul de execuţicupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .6 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l -c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u iParametrii geometrici constanţi corepunzători fiecărei grupe modulare i

următorii:


Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC :=0.3 OC :=0.1Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 )

a := 90-— -DE:=0.4 [ y? = o , 1 8 0

w

'r~.CD—

XJCC

£

îsO£

03®2o

to®o

:=KOOCDCOo

CO<D 3"o a:E .§®: =.E «o2 J jj(0 ma o

ore

« t ?:E Q-<o> .E >re o"m 11

re ••a <x

w-3aE -.— COCOreC o.2 ••N

'£ <® >~ K I CDE wl™<0 Ore !'•a <

X « •

CD<

<>II.v

CD

reCD

CDOo Oo reCD CD

•n3 1—

II oi'co

>-0)E

T2- rerenc

w reIU< re

r— cMTII hII imrrf CD

fl)X O

m<c\j

1III.

00C\•

3TIIofCvX

5 Kcu C

• I

3 S

•S sI

ccf2ufs

f i " oa 3 li.

E 8

O

i >

crf> IIcâ DX X

reI §N BO Cf- 'S- ^a 3 a o

:= O. g ji.Js E J? QCD '

SÎS

cCD"Oc

CD

Q.CD"O

CD

£

£

S 1o . • o©

II

C0£~ K 00

OII

Ol

Oco+OX

I

O x

OII ai© :c 00c/ iCi IO11

rO

& %

cu> aC)Ol+ •n (O c (> LJ. •

i r

m %>- UI V

Mode lu l c i nemat i c a l mec an i s mu lu i Carac ter i s t i c igeomet r i c e [ mm]

Mode lu l s t r uc t u ra l

XA = 300AB = 60OC = 100DE =

400BC = 300OD = 300

R-RRR-RRT

J^haluUU^conţin^


Dk:=- [x2E -0- BC og,,)2 cos^n) + OC-(o)3k)

2 cos(<|6k)]

-[Y2B k- 0 - BC-(dfi|,)2-8in(4eJ + OC (to3|<)2 sin((tSk)] _

solak:= lsolve(Ak, D^

:=solakE3k


0 4 8 12 16 20 24 28

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I CD e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XQ:= XO+ OC cos(<t3|<)

YCk:=YO+ OC s i n ţ^D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X1Q:=-M3k-OC Sin(<t3k)

>

Y1Ck :=o)3kOC-cos (<0k)

D e t e r m i n a r e a p a r am e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q<:=-(to3k)2 OC c o s J - e3k OC sinţipk)

Y2Ck:= - (a â^ OC sinţiPn) + e3k OC cosţftGk)

T r a i ec t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g r a f u l v i t e z eip u n c t u l u i C


-0.02 0.02 O.W

X1Ck

0.05 -0.02 0.01 0.04 0.07 0,1X2Ck

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I D

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XC^= XO+ ODcos(<t3k +Jt) YDk:=Y O+ OD sin(<Sk +it)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :Xiq<:=X10 -<a2k OD sin(<|3k +jt) Y 1Dk:=Y10+ co2k OD cos(<)ak + Jt)

J

D e t e r m i n a r e a p a r am e t r i l o r d e a c c e l e r aţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2q (:= X20 - ( ( f l 3 k ) 2 OD cos(i |)3k+ n ) - E 3 k OD sin(<j)3k+ J t )

>

Y2Dk:=Y 20 - ( ( o 3 | < ) 2 OD sin(<tflk + i t ) + E 3 k OD cos((tSk+ j t )

160

^belu^l^conţlnuare)


H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i D

G r u p a m o d u l a r ă p a s i v ă RRT(4,5)


DE := 0.4 X P - O Y P - OJ J

XDk, Y D k- calculaţi anterior;


X1P:=0 Y1P :=0

X1Dk, Y1Dk - calculaţianterior;

P a ra m e t r i i d e a cc e l e ra ţ iii m p u ş i :

X2P~0 i Y2P :=0

X2Dk, Y 2D k- calculaţi anterior;

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:i(40 := 80 s := 0.09

i|4 := ((40180

GivenXq,-XP + DE cos(<(4) - s cos(a) = 0

Y D k - YP + DE sin(<ţ>4) - s sin(a) = 0

solk:=Find(<4, s)

:=solk

180<K0k := <Hh

Jt


•Hk

Sk

12 16 20 24 28 32 36 40

k

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e zed e p e n d e n ţ i : Variaţia parametrilorde viteze dependenţi

Ak:=

Ck:=

-DE sin((|4|j -cos (a)

DEcos((|4^ -sin(a)

"-(X1Q<- 0)

-(Y1Dk-0)

solvj :=lsolve(Ak,C|<)

:=solvj,

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

"**k

»1k )

161

Inbolul 6.12 (conţinutul


Dk:=- [ x 2 q < - 0 - DE-((o4j2-oos(<|4j]

-[Y2Dk-0-DE-(o)4k)2-sin


=solak


12 16 20 24 28 32 36 411

k


Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiunndin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiulcinetostatic sau principiul lui D'Alembert.

Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformaproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentoli'torsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pas ive, la care gradul de mobilitate M = 0, numfliulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulampasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversn Igrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modulmflpasivă din sistem).

1 . C ine tos ta t i ca d iade i RRT(4 ,5 )

Forţa tehnologică (RT) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invoib

vitezei pistonului 5.R Tk:= if(s1k< 0, RT,-RT)

Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie itlelementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.

Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (X;, Y j: CM,) şi este torsoiulechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de fort»exterioare aplicate acestuia.


X\:=0 Y4k := 0 CM4k :=0 X :=0 Y 5k:=if(s1k<0,RT,-RT)CM5k :=0

162

N05K:=-(X34<+ X\+ XSK) C N O \. (YL>K VI J x :i i , (Mi XFK) Y34K

N 0 5 k

" 5 - 1 0

X 4 : =-( X ^+ N05K) Y 45K :=-(Y5K)

X 4 5 k Y 4 5 k

10

6

2

• "2

"6

- 1 00 8 1 6 2 4 32 4 0

k

Y 4 5 k

2. C ine to s ta t i c a d iad e i RRR(2 ,3)

T o r s o r u l e c h i v a le n t p e n t r u e l em e n t u l 2 T o r s o r u l ec h i v a l e n t p e n t r u e l em e n t u l 3

X :=0 Y2K :=0 CM2K :=0X ^ := -X 3^ Y 3k:=-Y34k

CM3k := (YDk - 0) - (xq , - 0) • Y34k

Ak:="-(Y D.-YC ,) X - X Q

-(YD.-YB,) XC^XB,Bk:=

-[-(0 - YCj X^+(0 - XQ,) • Y3k +CM3k] "

[-(0-Y C k) •Xc|<+(0-Xq<)-X3(+CM3k]

solk:= lsolve(Ak, Bk)'xo3<x

,Y03k;:=solk

164




T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 1

X 1 K : = - X 1 ^ Y 1 K : = - Y 1 2 K


X 2 1

J

Y 2 1

ME

To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X 0 1 K : = - X 1 K Y 0 1 K : = - Y 1 K M E K : = - C M 1 K

A = Tt

Y 0 1

Y1

f

166





Mecanismul plan (fig.6.7) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi f=7 cuplei inomatice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M =3-5 — 2-7 = 1 fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematicăactivă de rotaţie A .

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constanţini sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modularoBunt redaţi în tabelul 6.13.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 2, 3, cuplelocinematice din 6 şi O fiind cuple cinematice potenţiale;

- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 4, 5.Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic


6 .7 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l -c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u i

Parametrii geometrici constanţi corepunzători fiecărei grupe modulare suniurmătorii:

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) O A : = 0 . 3

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) A B := 1.1 C B := 0. 6

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 )D E : = 1 , £ = 0 , A : = 0

167

®

5

Sc

®~®00

«o

«5®o<0: £<goa>cc

<0-3ai o

8 O"o .«.<0 <

<FL-3aE•— co"<0 «co °•J - II.'no .

o:E ••t> oE > -(0 o« As

« 1 ?E Q-<*« C r-® .E ><0 o"m II(0 -0. <

K (OCM | "

m<+

<>-

II

coTScVa

„ oO -O

4"»rei-— 2 (U

0)oO oO coM< 0>

T33 L.II o

M u.>-

<uE(0renC

CN

reM cu< re— c2T i -IIRRF 01

OX o

m<

oV0)cC0

- CO<0- 33 Oa reE o— I

< ^

CM>- O- II

< 6CM C\x x

ca>"O

ctuCL<D

a>Erereo.

§ 5

®re

o

m mO O

o

S o

I î% Şj-

a> i>O x

m<+o>i

<>

•O

¥

M o d e l u l c i n e m a t i c al m e c a n i s m u l u i C a ra c t e r i s t i c ig e o m e t r i c e [ m ]

M o d e l u l s t r u c t u r a

*y XC = 1.2YC = 0.6OA = 0.3CB = 0.6

AB = 1.1CD = 1

DE = 1

R - R R R - R R T

ItţholuUU^conţiţ^


- [x2A k - 0 - AB ( A2K )2COS(<tek) + CB-((O3K)2-COS(<tek)]

- [ Y Z A K - 0 - A B (C CE K)2-SIN((T2K) + CB (M 3 K ) 2 S I N ( < P 3K ) ]

SOLAK := LSO LVE (AK , D K )

' e V

D K :

e3k:= SOLAK


0 4 a 12 16 20 24 28 32 36 40

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I DD e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :Xq<:= XC+ CD cos n)

»

Y D K := Y C + C DS IR I ( ( (Q K )

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X 1 q< := - W 3 K C D SIN (<Ţ3K)

Y 1 D K : = (O3K C D COS(<|0K )


X 2Q ( := - ( O K ) 2 •C D COS ( (P * ) - E 3 K C D S IN

Y 2 D „ -(AFL^2 CD-SIN(I|FLK) + E3K C D COSŢIFQIJ

Tra i ec t o r i a p u n c t u l u i D H o d o g ra f u l v i t e zeip u n c t u l u i D H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i D

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I B

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :X B |<:= X C + C B - C O S ^ Y B K : = Y C + C B S I N ( (T S K )

J

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i ::= -ttf lk C B SIN (TŢGK) Y 1 B K := M3K C B • COS (IŢS^


X2Q < := -(R A3 K )2 •C B COS (4G K) - £3 K C B S IN(<|0K )

Y 2 B K : = - ( M 3 K ) 2 C B S IN( (|E K ) + E 3K C B COS (<|3K )

170

Tra i ec t o r i a p u n c t u l u i B H o d o g ra f u l v i t e zeip u n c t u l u i B

H o d o g r a f u l a c c e l e r aţ i ei

8 16 24 32 400 8 16 24 32 40

0 0.04 0.08 0.12 0.16 0 2



D E : = 1 X P : = 0 Y P : = 0

XDk, Y D k- calculaţianterior;


X 1 P - 0 Y 1 P := 0

X1Dk, Y1Dk - calculaţianterior;


X 2 P : = 0 Y 2 P - 01

X2Dk, Y 2D k- calculaţi anterior;

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:1 ( 4 0 - 1 6 0 S : = 0 . 0 9

<M := M O — —180

GivenX C | < - X P + D E C O S ( 4 4) = 0

Y D K - Y P + D E SI N (<(4) - S = 0

S O L K := FIND(<|4, S)

:= SOLK

180<4 0 K : = <KK

K


•Hk

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze

d e p e n d e n ţ i :- D E S I N («KK ) ~ R

D E C O S ( H <) 0 Y


de viteze dependenţi

-(xiq<-o)

- ( Y 1 D K - 0 )

SOLVJJ : = LSO LV E(A K , C ^

:= SOLVK

l s 1 k J

0 4 B 12 16 20 24 28 32 36 40

171

l'ubolul 6.16 (continuau


-[x2q,- 0 - D E • (CO 4^2• C O S ( (^K ) ]

_ - [ Y 2 D K - 0 - D E (O )4K ) 2 - S I N ( ( T 4K )] _

S O L AK:= LSO LVE (A

K, D ^

£4, "


vs 2k ,

-800

"1200"1600"2000

» /

:= SOLAK


Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiunndin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiul

cinetostatic sau principiul lui D'Alembert.Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformaproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentei"torsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M = 0, numănilecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulaipasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă tigrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modulampasivă din sistem).

1 . C ine to s ta t i c a d iad e i RRT(4 ,5 )Forţa tehnologică (R T ) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invorti

vitezei pistonului 5.R T K : = I F ( S 1 K < 0 , R T , - R T )


Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xj, Yy, CMj) şi este torsomlechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de foiţnexterioare aplicate acestuia.


X 4< := 0 Y 4 K : = 0 C M 4 K : = 0X ^ : = I F ( S 1 K < 0 , R T , - R T ) Y 5 K : = 0

C M 5 K := 0

A K : =

" - ( Y D K - Y E , ) X C ^- X E , "

1 0 B K : =\

0 "

SO LK := LSO LVE (AK , B J

R X 3 4 <

^Y 3 4 K

\

:= SOLK

/

172

2. C lno toa tn t l cn d iade i RRR(2 ,3)

T o r s o r u l e c h i v al en t p e n t r u e l em e n t u l 2 To rs o ru l ec h i v a l en t pen t ru el emen tu l : i 1

X ^ : = 0 Y 2 K : = 0 C M 2 K : = 0X \ : = - X 3 \ Y 3 K : = - Y 3 4 K 1

C M 3 K : = ( Y D K - Y C ) X 3 \ - ( X Q < - X C ) Y 3 4 K j

A K : =

" - ( Y A . - Y B , ) X A K - X B , "

- ( Y A K - Y C ) X A N - X C

B k : =0

[ - {Y A K - Y C ) - X ^, + ( X A K - X C ) - X ^+ C M 2 K + C M3K |

S o l k : = l s o l v e ( A K , B|<)

Y 1 2 K\ K /

:= s o l k

174

X03,:=»-(X13<+ x ^) Y 03 k:=-(Y12k+ Y 3k+ Y2„)

X 03 k Y 03 k

16 24 32 40

" 1 0

" 2 0 - 1 2 - 4 4 1 2 2 0

X03k

Y 2 3 k : = - ( Y 3 k + Y 0 3 J

2

- 2 . 8

10

6

Y23k ^ \ a T8 16 24 32 4C

k

8 16 24 32 40

k

10

6

2

Y23k

_ _ " 2

" 6

" 1 0" 4 " 2 . 8 " 1 . 6 " 0 . 4 0 . 8

X2 3k

2

175




T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e le m e n t u l 1 To rs o ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a 0 i

X 1 K : =- X 1 ^ Y 1 K : = - Y 1 2 K

C M 1 K : = ( Y B K - Y A ) X 1 2 K - ( X B K - X A ) Y 1 2 K

X 0 1 K : = - X 1 K Y 0 1 K : = - Y 1 K M E K : = - C M 1 K ]

0.8

- 0 . 4X 0 1 k

- 1

~2.B

" 4 0 8 16 24 32 40

k

10

6

Y 0 1 k \

- 1 0 —0A

16 24 32 40

k

1 0

6

2

Y 0 1 k

" 6

2

1 . 2

0 . 4 1

M E k 1

—" 2 . 8 " 1 . 6 " 0 . 4 0 . 8 2

X 0 1 k

0 8 1 6 2 4 3 2 4 0

k

17 6




6 .8 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i sm u l u i

Mecanismul plan (fig.6.8) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi /'=7 cuplecinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M =3-5 -2 -7 = 1 fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematicăactivă de rotaţie A.


Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 2, 3, cuplele

cinematice din 6 şi D fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 4, 5.

Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic

de tip Watt în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul de execuţie şicupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .8 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l -c i n e m a t i c a l m e ca n i sm u l u i



Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC := 0.39 DC := 0.4Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) IC

a := 90EF:=0.625i

1 8 0

177

co

CO

QJ•Ot2

<<s(3

>e_>

ore

'2re3T3OEco3k -

O

d> 3•a a

= E . i oa> :=.E re <s £S «5 >-(0 a> -Q. o °o II o

re < II

X U)

« 1 ?î a <® .s >

Ere om

11 ""0 J JQ- 5

<0-3Q.E;z iore "

.2 II

N *

._ O0) <Ere ore

oo<+<>-

II.

CO

co<

3II.CQ>

CQ<

CQCV]

3III•fc\jX

Oocre

re"

<> 33 oQ-reE <•>— i

CDCM>

IIm ciCM CMX X

o ...S £

.2 2> "goT3 S - o

^ II.

$ O1 >

crf> IIcă ciX X

c0)"O

cCDQ.CB"O

<uErere

V -re |i.CD O> &

IIi

oII

O Oa o

roE i o•= K COC/3 o I T"CU CM o

II.

^

o

DQ %

X >•I ^

of CQX >

ot fII.

je

M o d e l u l c i n e m a t i c a l m e c a n i s m u l u i C a r a c t e r i s t i c i g e o me t r i ce [ m l M o d e l u l s t r u c t u r a l

YA = 0.4XD = 0.055XF = -0.04AB = 0.13DC = 0.4BC =0.39CE = 0.05EF = 0.625

R - R R R - R R T

l 'ubolul 6.16 (continuau>

D e te r m i n a r e a p a r a me t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i id e p e n d e n ţ i :

Dk:=-[x2Ş< - 0 - BC-(ofii02-co9(^+ DC-(o)3k)

2 cos((tS|<)]

-[Y2Bk - 0 - BC (o£j2 sin(<ek) + DC (<a3k)2-sin(<|Sk)]

solak :=lsolve(Ak, D|<

:=solak£3kJ


0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I CD e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :

XQ:=XD+ DC COS (<0

YCk := YD + DC -S in^D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X1Q:=-co3k DC s in ţ^

Y1 Ck := <o3kDC cos (tOi

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e ac c e l e r aţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q:=-(co3k)2 DC cos((|flk) - E3k DC sin(<tQk)

I

Y2Ck:=—(oo3k)2 DC sin(<ţ3|<) +E3kDC-cos(<)3k)

T r a i ec t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g r a f u l v i t e ze ip u n c t u l u i C


-023 -0.2-0. 1 -0 .06 -0.02 0.02 0 06

X1Ck

-0. 1 "0 05 0 0.05 0.1


D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XEk:=XD +DE cos(<t3k) YEk:=YD+ DE-sin

D e t er m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t ez e d e p e n d e n ţ i :X1^ := -a)3k' DE sin Y1 Ek := W3k DE cos («PK)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r aţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2^=-(co3k)2

DE cos((t3k) - e3k DE sin(<(3^Y2Ek:= -(aflk)

2-DE -sin(<flJ + e3k DE cos(<|ak)

180

Tra i e c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g ra f u l v i t e zei H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i E p u n c t u l u i E

0.320.28

"-N0.28

0.24

YE|,

0.16

0.08

0.16Y1E„

0.04

-0.08 J?0.16

! Y2Eit

II 0.04

"0.08 j )"0 2.1 "0.06 -0.02 0.02 0.06 0.1

9.4 "0.37 - 034 -0.3 1 "0.26 "0.25

XE k

-0.2..1 -0 .05 0 0.05 0.1

X2E k

Gr j p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 ,5 )


EF:= 0.625 XP :=XF YP :=0J J



X1P:=0 Y1P :=0

X1Ek, Y1Ek - calculaţianterior;

P a ra m e t r i i d e a cce l e ra ţ i i

i m p u ş i :X 2 P : = 0 Y 2 P : = 0JX2E k, Y 2E k-calculaţi anterior;

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:040 := 300 s := 0.06

<|A : =180

GivenXEk- XP+ EF C0S(((4) -s cos (a) = 0

YE K- YP + EF sin(i|4) - s-sin(a) = 0

solk:=Find(<)4,s)

:=solk

180(HOK" <>4k

7t


A K : =


—EF sin(<>4k) -cos (a)

EF-cos(<)4k) -sin(a)

' " [- ( Y I E k - 0 )

solvk:= lsolve(Ak,C|()


0 6 16 24 32 40

S O l V j ,

181

I n h t t l u l 6.30 continuata)


Dk:=-[x2 -0- E F -(io4|j2 cos

-[Y2Ek-0-EF-(co4k)2sin(<|rtk)]

solak:= lsolve(Ak, D j


E4k:= solak



Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformăproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentolotorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M= 0, numânil

ecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulai Apasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversfl •grupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modulai rpasivă din sistem).

1 . C ine to s ta t i c a d iad e i RRT(4 ,5 )

Forţa tehnologică (RJ) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invorivitezei pistonului 5.

RTk:= if(s1k< 0,RT,-RT)Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţio nlelementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.

Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xj, Yj, CMj ) şi este torsomlechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţ«exterioare aplicate acestuia.

To rs o ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 4 To rs o ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 5

X ^ - O Y 4k := 0 CM4k := 0X^:=0 Y5k := i f (s1k<0,RT,-RT)

CM5k := 0

182



A K :=•- {Y E K - Y F K ) X Ş , - X F Y "

0 1B K : =(

0 N

- Y 5 K

SOL K:= LSOLVE(AK,B|()' X3V

L Y 3 4 K >

:= SOLK

I V 1

N()!>K (X :I J , X<Y , X\) I.NOBK. |

10

N05K

-6

- 1 0

0 8 16 24 32 40

k

"5-10

2 . C ine to s ta t i ca d iad e i RRR(2 ,3 )

u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 2 T o r s o r u l e c h i v a l e n t p e n t r u e l e m e n t u l 3 |

X^ :=0 Y2k:=0 CM2k:=0X^ : = - X3 ^ Y3k :=-Y34k

CM3k := (YEk - YD)-X3\ - (XE* - XD) Y34k

"-(YD -YCK) XD-XQ<~B k:=

[ - [ - ( YD -YCk)-X2|( +(XD -Xq<)Y3 k+ CM3K|A k : -

- ( Y D -Y B k) XD-XBKB k:= L [ -(YD - YBk)X^+ X D - X B ^ X ^-i- CM3K]

S0lk:= lsolve(Ak, B j(XOq,"

i, Y03kt

:= solk

184



50

30

10

X03k

- 1 0

- 3 0

- 5 0 0 8 16 24 32

k

10

10

6

2

Y03k

- 2

- 6

- 1 0 8 16 24 32 4

k

0

10

6

2

Y03k ^

" 6

- 10_10 "2 4 - 8 8 24 4(

X03k

185




T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 1 To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X 1 K : = - X 1 % Y 1 K : = - Y 1 2 K


X 01 K := - X 1 K Y 0 1 K : = - Y 1 K M E K : = - C M 1 K

Y 2 1

186



6 .9 . Mode la rea c ine to -d inam ică a mecan ismu lu i p lan R-RRT-RRR

6 . 9 . 1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i sm u l u i

Mecanismul plan (fig.6.9) este cons tituit din m = 5 elemente cinematice ş i A= 7 cuplecinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M = 3-5 — 2-7 = 1 fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematicăactivă de rotaţie A .

Fig.6.9


Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 2, 3;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 4, 5, cuplele

cinematice din B =Dş i F fiind cuple cinematice potenţiale;Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic

de tip Stephenson în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul deexecuţie şi cupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .9 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l -c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) A B := 0 . 12

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) Ka := 9 0B C : = 0 . 3 6 > ^ = 0 , 1 8 0

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) D E := 0. 6 F E := 0. 45

187

CQCDC2<ncao3co

CDk_ffl

- aoE

o

CDQ.3

00

I -C CD(D —Q- 3® CD•O £

CO*-*O c

£ 73co 0)COa. aj

«5co® coCO o

% «5E ®t offl coffl :=O «o

oa>coo

in -i i) 3•o o.t i o® 5 . "£ ro <ffl I- CV]£ a> >-CO mQ. o o

O II10 <

CMX

CDNCD>(D .—-a <>o._ 3 II~ 9-:CO O<5 !'.a.

in -3aE .Z <ococo

. 2 ii

o -a. in— o

l s £co

<X 3

_ OCO II0- <

X

K I (ICM | C

II

coe c CDNo co <D

CD <

N < >O + <DQ < •oi» >-O II. o

CQ 'ZCD >- <DE E£ £co coQ w aCO oo co£ CQ £co c < (0c <D + cE T3

C< Ei-

<D CD II CDOl a

V of4—'CD

O •o X a

CQ<

3II.

co">

CQ<

3III.a?CM>-

CD<

3IIIofCMX

coV-0)0)Oo • •co U).V 3"O Q. °:= E •"•£ — 0-a> 51e >

2 °.2 o.&• >-

"3 . u o

8. !§-!'._ Q. CL5 £ x

a> — cgcocoa

(D . -~a i/>-._ 3 °

•C A. II.% E o-E" >cocoa CL

X

cooII.

oCQ

cCl>TJcCDnCI)73V-ocCDFCOm ona> II.CO (f )

CD>

coEc/) oCI) CM•p CMo II(0>

O

OII

<no

o%II.

CLX

CD Iof co

C5 x >

DQ +CL .>-I J

A<

y- cj-ct.

/ 4

y j BSD

/ ^ i: 0/ " ]

CC 3 4

-o=p -

XF = -0.1

AB = 0.12K/4 = 0.5SC = 0.36

DE = 0.6= 0.45

^ibeluhfrl^co^


Dk:=-[x2Eţ(- X2P- BC-(co2k)

2 C0s(<(2k)]

-[v2B k- Y2P - BC (co2k)2 sin(<t2k)] _

solak:= lsolve(Ak, D|<

: = s o l a k


«a.


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i

d e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:00 := 280 i(60 := 350

K= <H0

180<6 := <60 — -

180GivenXBk-XF-f BE cos(i|4) - FE cos(i(6) = 0

Y B k- YF + BE sin(4>4) - FE sin(<(6) = 0

solk:= Find((ţ4, ()S)

4 * k

:=solk

>0 ks

180 V k^

Kv<|6k,




Ck:=

-BE •sin(<)4k) FEsin(<|6k)

^BE cos($4k) -F E COS K)

-(X1B.-0)

-(Y1B k-0)

solvjţ lsolve(Ak, C j

'<o4k":=solvk

u)5k

190

-[x2E -0 - BE-(co4k)2-cos(<t4k) + FE (co5k)

2-cos(<t6k) |

- [ Y 2 B k -0-BE (io4k)2 sin(<|4k)+ FE-(a6k)

2 sin(i)6k)] _k~

solak := lsolve(Ak, Dk)

f4k

e5k

= solak


E 5 k


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XE|<:= XF+ FE cos(i|6k)

YEk:= YF + FEsin((f6k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1 Eţ := -co5k FE sin (<|6k)

Y1Ek:= afikFEcosfiten)


X2^=-((o5k)2 FE cos (46 - f5k FE sinţife^

Y2Ek:=-((o5k)2 FE sin(<t6n) + E5k FE cos(i|5k)

T ra i e c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g ra f u l v i t e zeip u n c t u l u i E


-0 04 "0.024 "0.008 0 008 0 024 0 04

X1Ek

06 "0 02 0 02 0 06 0 1



Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în seniiul grndolor de libertate de rotaţie răpite.

191

Principiul clnotostatic se aplică în absenţa fenomenului do frecare şi transformaproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentolntorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pas ive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modul, IMpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversăgrupelor modulare din sis tem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modul, unpasivă din sistem).

1 . C ine tos ta t i ca d iade i RRR(4 ,5 )

Cuplul (M) este aplicat asupra elementului de execuţie, în sens invers vite/niunghiulare a elementului cinematic 5.

Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie .ilelementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.

Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xy, Yy, CMj) şi este torsorulechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţnexterioare aplicate acestuia.

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 4 | To rs o ru l e ch i v a l e n t p e n t ru e l e m e n t u l !>

X4)< := 0 Y4k:=0 CM4k:=0 XEţţ:= 0 Y5k:=0 CM5k:= if(co5k< 0, M , M)

Ak:="-(YF-YEk) XF-XEK"

-(YF-YB ,,) XF - XBkB k:=

-[-(YF - YEk) X^+ (XF-XE k) Y5k + CMbk|'

__[_(YF - YBk) XŞ<+ (XF - X <) Y5k+ CMbk|

solk:= lsolve(Ak, B|<)J 0 5 k v

:= solk

192



r

2 0

- 2 8

400 8 16 24 32 4

k

0

50

30

10Y05k

" 3 0

- 5 0 L0J\8 16 24 32 40

k

50

30

10

Y0 5k

- m

- 3 0

- 5 0 _ 4 0 " 2 8 " 1 6 " 4 8

X0 5k

20

X 2 4 k :=-(X0^+ XEfc+ X4„) Y 2 4 k : = - ( Y 0 5 k + Y 5 k + Y 4 J

40

28

16

X24k 1 1L50 "

3 0.

10Y24k

- m

- 3 0

0 8 16 24 32

k

40" 5 0

0 8 16 24 32 40

k

5 0

3 0

10

Y2 4k

- 3 0

" 5 0 _

>0 - 8 4 16 28X24k

4 0

19.1

2. C ino tos ta t l cn d iod e i RRT(2 ,3)

To rs o ru l ec h i v a l en t pen t ru e l emen tu l 2 T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l e m e n t u l 3

X^:=-X24< Y2k:=-Y24k CM2k:=0X^ :=0 Y3k :=l f(s1 kS0,R T,-RT) CM3k: <

RT := 10

20

14

8

X 1 2 k

_ ^ ^ 2

- 4

- 1 0 w0 8 16 2 4 32 40

k

50

30

10Y 1 2 k

- 3 0

" 5 0 \ J8 16 24k r32 4 0

5 0

30

10

Y 1 2 „

- m

- 3 0

—50_ €5 - 1 3 7 11

X 1 2 k

5

194

N 0 3 H CN 03,:=-[- (Y B,-Y C>) X I V (XEk- XC j Y1!„ - (YBK - Y C j (XB,- XqJ Y8 k]

2 0

e

10

6 p .

- 4

N 0 3 k

- 2 8

J L2

C N 0 3 k

_ _ _ - 2

- 6

4 00 8 1 6 24 32 40

k

0 8 16 24

k

32 40


T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 1 T o r s o r u l d e r e ac ţ i u n e d i n c u p l a O

X 1 k : = - X 1 3 < Y 1 k : = - Y 1 2 k


X 01 k := - X 1 k Y 0 1 k : = - Y 1 k M E K : = - C M 1 k

X 2 1

5 0

3 0

10

Y01 k

- 1 0

" 3 0 €5

M E k ^

" 3 W" 5 0 _

5 - 1 3 7 11 1 5

X 0 1 k

0 8 16 24 32 40

k

195



6 .10 . Modo ln ren c lne to -d inam ică a mecan ismu lu i p ion R-RRT-RRR

6 .1 0 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i sm u l u i

Mecanismul plan (fig.6.10) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi 1*7

cuple cinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M =3 - 5 - 2 - 7 = l fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematicrt

activă de rotaţie A .

Fig.6.10

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constanţiai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modular»sunt redaţi în tabelul 6.19.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip R R T formată din elementele cinematice 2, 3;- grupa modulară pasivă de tip RR R formată din elementele cinematice 4, 5, cuplol"

cinematice din Dşi Ffiind cuple cinematice potenţiale;

Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinemtiliide tip Stephenson în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul ci»execuţie şi cupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .1 0 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i sm u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) A B := 0 .1 2

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) Ka := 9 0 —B C : = 0 . 3 6 J ^ = 0 , 1 8 0

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) D E := 0. 4 F E := 0. 45

196

O)

<O"3Q>•Qi5

CD

Eo0)O)o

<2Z0)OrereO

O B

s.B £o io e

Oa

o u o -u o -r^ i 8(N oHa iai

-o < •CQ s <

- —

CQ O

II IIK. CQ

VOS ^ 2O O

Q ^ U05 « =Q

t. Tto OII II

Q k.

in*F

CCCCCC>e>in

SJ•re | 3<S ,. E3 £ O"OoE

i" o5 S

a> a>? E

& ««S reQ A.

> r oNCO3OCOo®O)

« O

P >

O

CM-Q ~ L

Q M

X X 2: = ® ®.ţr N ®N o oO .t: oCL > (0

oII

O ' I L

. . T Oo > II

11 O U -U. „ IM> 11 X

X X 2I:= ® ®•RT N ®N cu oO OL > RO

c*C W>s tu

:= TF -Î •= .IŢ

| : = ® ®C ~ N ®<0 N ® OI O £ U«i c l > ro

i i i

OCQ

C : =0)Ero

CVS <0

CD oCM

X X ro:c:= ® ® ®

N ® £S Ş 8 2CL >ROROI . , Q.

O .

oII

o CL. „ II CMO 11 >

O. II O®5->- II

II V2

11OL*3 CL t - — ,

O X X ro

S 8o ~ oCL > RO

T> S

O Q>11 G -Om J J rngTj ^

CN= J sS ® ••0 5 £ UŞ-ii CQ 'lM* i o« Q. >, a. , ,

CQ<

in»cro4—COcoOOU«

. Eq> O

C «<0 CT•S B

« iq> roÎS »-<5 roQ i

L, I 0N 00

oII

O <

< - CO ®r<> I I ?

O < ®O II CM £II V ®

X X ro:=

:=.® ® ®ŢR N ® py ® " 5O s o 5®-> ® roI I

<1

II

NOCL

23 ro. . 3

j >o ^jo O)

. 3 §

§ 2ro ®N ®® O.•e o> ro

ci CQCM

CQq> mQ.CQ >- CM0 iCO • •:sm<-Si x x ®® ®t r N 0)C0 N 0) o«s o -Ş oco o. 5 ro01

Determlnnron pnrametrllor dependenţi ai grupelor modularo în succeslunnnconectării acestora este redată în tabelul 6.20.

Tabelul 6.M

Grupa modu la ră ac t i vă (A ,1 ) - GMAI (A ,1 )

P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :XA:=0 YA:=0.5 k:=0.. 361 » >

2JC


X1 A:- 0 Y1A := 0

0)1 := 1

P a ra m e t r i i d ea cce l e ra ţ i i i m p u ş i :

X2A:=0 Y2A:=0

El :=0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XB|(:=XA+ AB-cos(<>1|< YBk:= YA + A B s i n ^


X1 := -0)1 AB sin ($11< Y1 Bk := 0)1AB cos (<>1 k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i

d e p e n d e n ţ i :X2Bk := -0)12 AB cos (<>1 Y2Bk := -0)12 • AB sin (<>1,)J


0 10 20 30 «

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T( :2,3)


BC :=0.36 XP:=0 YP:=0>XBk, Y B k- calculaţi anterior;


X1P:=0 Y1P :=0X1B k, Y 1Bk-calculaţi anterior;

Paramet r i i de acce le ra ţ i ii m p u ş i :

X2P:=0i Y2P :=0X2Bk, Y 2B k- calculaţi anterior,

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:<£0 := 250 s :=0.06

42 := <20-180

GivenXB|<- XP+ BC cos(((2) - s cos(a) = 0

Y B k- YP + BC sin(<}£) - s sin(a) = 0

solk:= Find(i|e, s)

=solk (teok:=<ek.-180


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :'-BC sin((|2k) -cos (a)

Ak:= .v BC cos k) -sin(a)

-(XIBk-XIP) '

-(Y1Bk-Y1P)

solv|(:= lsolve(Ak, Ck)


C k:=

<°2k=solvk

198

D eter m i na r ea pa r am e t r i l o r de ac c e l e r a ţ iid e p e n d e n ţ i :

-[x2Bk-X2P-BC'(ca2k)2cos(<t2|<)]

Dk r

_-[_Y2Bk-V2P - BC (co2k)2-sin(ctC^J _


M :=solak


MOD ELU L B IPLET EI PEN T R U D ET ER MIN AR EA PAR AMET R ILOR PU N C T U LU I D

D e te r m i na r ea pa r ame t r i l o r poz i ţ i ona l i dependen ţ i :XC|(:=XBk+ BDcos(i|2k)

J

YDk:= YBk+ BD sin(<|£k)

Dete rm ina rea pa ramet r i l o r de v i teze d e p e n d e n ţ i :XiP(:=-tfl2k BD sin^k)

Y1Dk:=0)2k BD cosţJCfc)

D ete r m i na r ea pa r ame t r i l o r de ac c e l e r a ţ i i dependen ţ i :

X2q<:=-((fl2k)2 BDcos k) - E2k BD sin(itek)

Y2Dk:=-(tfl2k)2 BD sin(<t2k) + e2k BD cosţilCj

T r a i ec to r i a punc tu l u i D H odog r a fu l v i t ez e ip u n c t u l u i D

H odog r a fu l ac c e l e r a ţ i e ip u n c t u l u i D

-0.1 "006 0.02 0.06 0.1-0. 1 "0. 06 - 0.02 0.02 0.06 0.1

199

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (4 ,5 ) j


XD YDk - calculaţianterior;XF:= -0.1 YF := 0


X1 Du, Y1D|< - calculaţianterior;X1 F:= 0 Y1F :=0


X2Dk, Y2Dk - calculaţi anterior;X2F:=0 Y2F :=0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:00 := 320 <60 := 350

k=<>40180

<6:= <60180

GivenXQ<- XF+ DEcos(<(4) - FE cos(46) = 0

Y D k-Y F + DE sin(<(4) - FE sin(<(5) = 0solk:=Find(tj)4, <6)

f 4*0^ 180:=solk

180

, < t e k >lt60kJ 7t


0 B 16 24 32 40


Ak:= ' - D E s i n ţ^ F E -sinţi^DE-cos -FEcos(<|6k)

-(X1B.-0)C k : = -(Y 1 Bk - O)

solvk:= lsolve(Ak, Ci,)

k:=solvk


24 32 40



Dk:=-[x2E - 0 - DE-((o4k)

2'Cos(<t4k) + F E ofi^ cosţitfik)]

- [Y2B k-0- DE ((04kf sin(<(4k) + FE(<o5k)2sin(<|>6k)]

solak :=lsolve(Ak, Dk)

solak

£5»

' • O

0 8 16 24 32 40

200

Tabelul 6.20 ^conţhŢua re)

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I ED e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XE|<=XF+ FEcos(<t6|<) Y E k:=YF+ FE-sin(<|6k)


X1^ := —io5k- FE sinf^k) Y1 Ek :=to5k FE cos (46I


X2Ek := -(cifik)2• FE • cos (<5k) - e5k- FE • sin»

Y 2E k :=-(o)6k)2 -FE -s in (<t6k) + E 5 k F E co s (< | 6k )

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g r a f u l v i t e z e ip u n c t u l u i E

H o d o g r a f u l a c c e l e r a ţ i e ip u n c t u l u i E

0 3 0.31 0.32 0 33 0 34 0.35 •003 -0.01 001 003 006-0.2 "0.14 -0.08 -0.02 0 04 0.1

6 . 1 0 . 3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e c a n i s m u l u i


Componentele torsorului de reacţiune pot fi fo r ţe şi momente . Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformAproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentolntorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modularăpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C i n e to s ta t i c a d i a d e i R R R ( 4 ,5 )Asupra elementului 5 acţionează un cuplu M în sens invers vitezei unghiulare a

elementului 5.Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie al

elementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.Torsorul echivalent din centrul de masă Tj are forma (X j : Yj, CMj) şi este torsorul

echivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeexterioaro aplicate acestuia.

2 0 1



1

T ors o ru l ec h i v a len t pen t ru e lem en t u l 4 T o rs o ru l ec h i v alon t pon t ru e lemen t u l 5 |

X 4 n : = 0 Y 4 k : = 0 C M 4 k : = 0 XEţ;:= 0 Y 5 k : = 0 C M 5 k : l f ( i o 5 k S O , M , M ) 1

" - ( Y D k - Y E , ) X D ^ - X E , "

k " _ - ( Y D k - Y F ) X D k - X F

0

B k : = [ - (CM5k)J

s o l k : = l s o l v e ( A k , B k ) S O l k

l Y 2 4 k J

50

j L" 3 0- 5 0 0 8 16 24 32 4

k

0

Y 2 4 k

- 4

0

00 8 1 6 24 32 4

k

0

40

24

8

Y 2 4 k

_ _ " 8

" 2 4

"40_ N o50 "3 0 "1 0 10 30 50

X 2 4 k

202



X 0 ^: = - X 2 4 ( Y 0 5 K : = - Y 2 4 K

50

30

10

X 05 k

- 3 0 r u4

2

Y 05k

" 2

0 8 16 24 32 40

k

0 8 16 24 32 40

k

4C

2'

Y 05 k

- 2 4

"5 0 "3 0 "1 0 10 30 50

X 05 k

2. C in e tos ta t i ca d iad e i RRT(2 ,3 )


X :=-X24, Y2k:=-Y24k

C M 2 K :=(YDk - YB,) X2^- (xq, - XB,) • Y24kX ^ : = 0 Y 3 K : = 0 C M 3 K : = 0

X 12

B = To

Y 42

x2

N03

V3 I O — • X42

D

rCNo3

V -

c m 3

c = t 3

Xa

203

A k : =

" - ( Y B k - Y Ck) X B K - X Q '

0 1B k :=

f (Y l l k YC ,) X.V i (XIV X Q j Y 2 k + C M 2 k ]

Y ? k

s o l k : = l s o l v e ( A k , B|<)X H

: » s o l k

40

28

16

X 1 2 k

m m m 4

" 8

208 16 24 32

k

0

4

2

Y 1 2 k

- f

- 2

"4 C

0 8 1 6 24 32 4

k

0

40

24

8

Y 1 2 k

— — " 8

" 2 4

- 4 0 _>0 ~8 4 16 28 40

X 1 2 k

N03 , : = - ( x 3 < + X ^ - H x i a ) C N 0 3 , := - [ - ( Y B k - Y C , ) ( X ^ + X 1 + ( X B , - X Q ,) ( Y 2 k + Y 1 î j ]

40

28

16N 03 k

_ _ 4

- 8- 2 0

10

6

2

C N 0 3 k

_ _ " 2

" 6

40

28

16N 03 k

_ _ 4

- 8- 2 0

J\

10

6

2

C N 0 3 k

_ _ " 2

" 6

" V

40

28

16N 03 k

_ _ 4

- 8- 2 0 0 8 16 24 32 40

K

0 8 16 24 32 40

K


T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u l 1 T o r s o r u l d e r e ac ţ i u n e d i n c u p l a O |

X 1 K : =-X 1% Y 1 K : = -Y12 K

C M 1 K := ( Y B K - Y A ) X 1 2 K - ( X B K - X A ) Y 12 K

X 01K :=-X1K Y 0 1 K : = - Y 1 K M E K : = - C M 1 K I

204



X21

M E k

" 0 . 8

0 8 16 24 32 40

205

0 O O^ •t - *c c cT3 •0 •0fi> fi) fi)

3 3 30 0 0a a ac_ c coi iu s)-T • *fi>< a>< fi»T3 T3 iu

01 fi) O(0 (0 >-¥

< "fi><

<")1<i»

H 3J >J3 U LH 3J^ Ioyj w

0 > Om CD >'ii 'li 'li0 O O.cn - Ol

- Ota tuII 'ii0 0

SIIO

c-\3

o

CDţ053CD

caCDO3CD

Oa<D

9. .ş-O3Dl

OO00w3

OO3•Oc3N0)t

CDO0)<

C"OCD

3oa.c_0)CD05c3

O5'CD

3ai

o

3(DOfi)3>3cc

O Q.C CD•OQ) -5'

§ s

o oCDt fi)D)O=• cn0)t fi)

P m B)

CD

C/) CQ O CQ® 5 5 50 "O ® T3CT W 3 CD01 3 ffl TCD 3 =* 3

3 O O O» * G . & $

CQC CD"O oCD fi)3 1-

P - l

0)a. 3s 3

§ 5'2. £Dax —„ NET am °

crfi)Nfi)ic3

CD_CD3CD3

= -

o »-2-iS« | O |• — * n ţ .

cn Q)c —3 cn-i £2.® CDa , TI0) 3 ^

EL 3 '5> E 2.

- -o5>"o 8Lcr fi) CD® 3 ®C 3 o

CD "

c fi)< 3: St S» 2a 8< 3c cn

a Q.CD

3Q. Q.CD

c O0 "U c

T3 •6'c—t DO CD JDaCD

TIH O

3'H

~~~ o" CD —H3CDO05

3ao»

3a0'

Oţ3a

3

3ao» CD CD<

cn' CLT3 Q.3'3 ' O Q.3'c CD CDc CD 3 CD

cnCD

3CD3 ®

CD3CD

0 CD 3_cx CD CD3' O CDCD 3 ' OQ. CD 3'3 ' 3 CD—ţ 0) 3

CLCDCDXCDO

o S»O C3^ Q.c 3

CU<C

3OC ®"S. <a, ®

8 ?CT. CDS<aCL E5' a

O)

ro =:' 3

"Oc-cn

r oCaCL

l i-cn Hi.

FIT.Â W

O3'O3M

-cn o— oo 3CD cnQ.CDT3CD3Q.CD_3

OOCDcnT3C3N0)t

CD HH - •CD = =3 3CD ®

C

Oc3CD-CO.•Ofi)—*

O)3CD

=CQa 5Q -O5 ®® 33 oCD Q.=r. c

5"

CDOCDt—1CD<QţCTDCD

2. - • ffl b.

3 Go OCL 3cn

n

ŢICQ'O)

c 2.03 03=; 3

M o d e l u l c i n e m a t i c a l m e c a n i s m u l u i âracţer i s ţ i cêomeţr i c^m^ M o d e l u l s t r u c t u ra l

XC = -0.7YE = 0.4OA = 0.15CB = 0.4AB = 0.7

CD = 0.57£>£ = 0.16

YC = -0.25

R-RRR-RRT

Determinarea parametrilor dependenţi ai grupelor modulare în succesiuneaconectării acestora este redată în tabelul 6.22.

Tabelul 6.22

Grupa modu la ră ac t i vă (A ,1 ) - GMAI (A ,1 )

P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :XO:=0 YO := 0 k:=0.. 36

I I »

2-jt


X1 A:= 0 Y1A := 0

<o1 := 1

P a ra m e t r i i d ea c c e l er a ţ i i i m p u ş i

X2A:=0i Y2A :=0

e1 := 0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :XB|( := XA +ABCOS K) Y Bk:=YA + ABsin(<>1k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i lo r d e v i t e zed e p e n d e n ţ i :X1Bk:=-ai1 AB sin(<J >1Y1Bk:=u1 AB cos(<>1k)>D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i

d e p e n d e n ţ i :X2Bk := —col2 •AB • cos (<>1 k) Y2Bk := -col2 • AB -Sin (<>1 k)


0 10 20 30 40



XAk, Y/V - calculaţi anterior;XO:= 0 YO := 0


X1/V, Y1A<-calailaţi anterior;X1Q:=0 YIO :=0


X2A k, Y2Ak - calcuiaţi anterior;X20:=0 Y20 :=0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:i)20:= 120 <00 :=90

<t2:=<|20— <S:=<S0 —180 180

GivenX/V -XC + AB cos(<t2) - CB cos(<ta) = o

Y A k-Y C + AB Sin(<t2) - CB sin(<(Q) = 0

solk:=FincJ«e, <G)

<2k

<Sk=solk

<eok

<eok

18071

42k



Ak:=

Ck :=

-AB sin(<|e^ CB sin(<|ak)

AB cosf k) -C B cos(<Sk)

-(X1Ak- o)


(Y1A k-0)

solVk :=lsolve(Ak, C

co2k

v"3 k y

:=solvk

208

-[x2/\ - 0 - AB-((o2|<)2-cos(ij£k) + CB (io3k)2 co£

Dk:=-[Y2A k- 0- AB-(co2k)

2 sin(<ţek) + CB (co3k)2 sin(<tBk)] _

solak:= lsolve(Ak, Dk)

:=solake3kJ


M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I DD e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :xq<:= XC+ CD cos(<ta

k)

»

YDk := YC + CDsin(iţ3k)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :Xiqt:=-<o3kCDsin((|Qk)

>

Y1Dk:= o)3kCDcos((t3k)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l er a ţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q( := -(ifl3|<)2 CD cos ((p3k) - e3k- CD sin (JSK)I

Y2Dk:= -(afl^2 CD sinţiPi,) + e3k CD cos n)

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i D H o d o g r a f u l v i t e z e ip u n c t u l u i D

H o d o g r a f u l a c c e l e r a ţ i e ip u n c t u l u i D

-088 "078 "064 "0.52 "0.4

XD .

> 002

-004

- 0 4 " 0 24 "0 08 0.08 0.24 0 4X I D ,

- 0 2 -008 004 0.16 0.28

X2D»

M O D E L U L B I P L E T E I P E N T R U D E T E R M I N A R E A P A R A M E T R I L O R P U N C T U L U I B

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XBj,:= XC+ CB cos(i)3k) YBk := YC + CB sin (<G|<>D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :X1E^= -co3k' CB • sin («taj Y1 Bk := <o3k- CB •cos (cţQk)


X2E := -(oân)2 • CB cos (<flk) - e3k CB sin (<£3k)J

Y2Bk :=-(aâij2 CB sinfipj + e3k CB cos((|3k)

209

Tra i e c t o r i a p u n c t u l u i B H o d o g ra f u l v i t e ze ip u n c t u l u i B

H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i B

-0. 9 - 0 82 "0 74 "0 66 "0 58 "0 5 "02 -012 - 004 0 04 0.12 0.2-0.2 "0.1 0 0.1 0.2



DE := 0.16 XP := 0 YP:=YE) 1XDk, Y D k- calculaţi anterior;


X1 P:= 0 Y1P :=0X1 Di Y1 Dk-calculaţi anterior


X2P:= 0 Y2P := 0X2Dk, Y 2D k- calculaţi anterior;

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale:$40 := 20 s := 0.09

=040180

GivenXC^XP-H DE-cos (<>4) - s cos (oc)= 0

Y Dk-Y P + DE sin (04) - s sin (a) = 0

solk:=Find(<>4, s)

Sk= solk 180

04Ok:= 04k71


D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze

d e p e n d e n ţ i :


de viteze dependenţi

Ak:='-DE sin(04k) -cos (a)

DE cos(04k) -s in (a)

Ak:=-D E sin(04k) -c os (a)

DE cos(04k) -sin(a)

solVk — lsolve(Ak, Ck)

:=solVks1kV K /

210

6 . 1 1 . 3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e ca n i sm u l u i


Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.


în cazul grupelor modulare pas ive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărul

ecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modularăpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unuimecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C ine to s t a t i ca d iad e i RRT(4 ,5)Forţa tehnologică (RT) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invers

vitezei pistonului 5.RTk:= if(s1k< 0,RT,-RT)


Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xj, Yj, CMj) şi este torsorulechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeexterioare aplicate acestuia.


X\ := 0 Y4k := 0 CM4k :=0X^:=if(s1k<0,RT,-RT) Y5k:=0

CM5k:= 0


D„:=-[x2Q<-0-DE (co4k)

2 COS

-[Y2Dk-0-DE(a)4k)S

-sin(<t<

solak:= lsolve(Ak, D|<

:=solak


S2L

211

A k : ="-{YDh-YEIO x q . - X E ,

1 0B k : -

|CM-1k (VI^ VI J X<V i (XQ< X E j Y ^ I

( H 1 i Xfcl)

solRRT k := lsolve(Ak , Bn)

Y3 4k\K

80lRRTk

1 0 r —

6

2

X34 k

mmim^m ~2

- 6

- 1 00 8 16 24 32 40

k

20

14

8

Y 34 k

m m m m m m 2

- 4

" 1 0

i r8 16 24 32 4 0

k

20

14

8

Y 34 k

^ ^ ^ ^ 2

- 4

" 1 0 .10 - 6 - 2 2 6 10

X34 k

212

N05k:«-(Y34k+Y 4k+Y5k) CN05k:=-[-(Y Dk-YE J X3\ > (XQ<- XE^Y34k]

CN05K

O 8 16 24 32 40

2. C in e tos ta t i c a d iad e i RRR(2 ,3)

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 2 T o r s o r u l ec h i v a l e n t p e n t r u e l em e n t u l 3

X ^ - 0 Y 2K := 0 C M 2 K : =0X 3 < : = - X 3 4 K Y 3 K : = - Y 3 4 K

C M 3 K := (Y D K - Y C ) •X34 K - ( x q < - XC) X34<

Y43 •

f ^ ™ ^ ^ " X 4 3

/ D

3 >

B ,

Y12

X2

A = T 9

CM3 X3

C = T . 03

213



Ak:=(YAk YC) XAk-XC

-(YAK -YBJ XAk-XB,B k:-

0 >

v-CM3k;

solRRRk:= lsolve(Ak, BK)J 12 k y

:=solRRRk

20

12

X 1 2 k ^

- 1 2

200

r u8 16 24 32 40

k

10 -

Y 12„ ^

- 2

" 5 L

0

f u16 24 32 4C

k

1C

Y 12 k

" 2

"2 0 "1 2 " 4 4 12 20

X 1 2 k

X 0 ^ : =

40

2 4

X 0 3 k

- 2 4

" 4 0

L

0

- ( x i ^ + x ^ + x ş , )

i _ r8 16 24 32

k

10

Y 0 3 K : =

20

12

4

Y 0 3 k

^ ^ ^ ^ - 4

- 1 2

- 2 0

= - ( Y 1 2 K + Y 2 K + Y 3 K )

ir

0 8 16 24 32

k

40

214

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 1 To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X1K :=-XIG< Y 1K :=-Y12K


X01K :=-X1K Y 01 K :=-Y1K M E K :=-CM1K

20 -

12

X 01 k

- 1 2

10 -

Y 01 k

- 2 V

- 5 ru"2 0 L

0 8 16 24 32 40

k

0 8 16 24 32 411

k

10 -

7

4Y 01 k

" 2

- 5 L

- 2 - 1 2 "4 4 12 20

X 01 k

2 -

0.8

-0 .4 'M E k

m^mmt16

- 2 . 8

- 4 0 V A ^8 16 24 32 40

k

215



6 .12 . Modo ln ron c lne to -d lnam ică a mecnn lam i i l u l p l nn R-RRT-RRR

6 .1 2 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i s m u l u i

Mecanismul plan (fig.6.12) este constituit din m = 5 olomonto cinematice şi i= 7cuple cinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M 3 - 5 - 2 - 7 = 1 fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematică

activă de rotaţie A .

Fig.6.12


Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:

- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip R R T formată din elementele cinematice 2, 3;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 4, 5, cuplele

cinematice din C ş i E fiind cuple cinematice potenţiale;Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic


6 .1 2 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) OA := 0.1

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) AB := 0.4 f p _ o a := 0

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) CD := 0.6 DE := 0.2

216

Vou5Eoo>o>,_

o E.2

0)o«coO

OQ

K >

- O -tuO -tu

Om \J

cntN %

Ho i <o i <So O

inoo

\o <N© o

O CQCQ re

hjQ

V

S> o£ 8 1.5 : =

® ro

co i g Q

Q CL O

>C0N(0a>ziCO0CD(O1

OCD _q>

O

(M ..o i O

8 »

X X:== (D-tr NS şQ->

X Ş >:= OE lCD <D"55 E8 2co <oI CL

LUoII

LULUX X=_ ®-tr NS şC L >

cIc&§ v ; «o"O ^

: r f

turf

•9: -S-15"t a

S := iii OFC ŢR ISI CD<0 N CD O

O ~ OG CL > CO^ i i i

Om

ai

î i

_33'CO•gX:o

< CD

J f r < o- -J e ta

«£<:= OX X CBŢZ= AI ® ®

N A) ES Ş 8 2Q_"> C0 <0i i i CL

CL II 0;aia.?c: >- -•C ° IIO II ^3 A . T -

o X X

3==®

CL>

o"QII -

CL OCM IIX vi:= 2

COo "CD°ăi 11

O 13

C0 .

C|

c

8 -a >n:a ci•fa ^

ai ..EC0 NÎS °f Q.o. ,

oc i

. . aO CNen

CN :=3 jTai ®NI a)a) o.t: o> co

m<

cro* *

tocoo

ai. Eai °

5 ai^ o•S E

4- 1m o* E6 2<o ro

Q C L

i I ofc; oo

o "ii O

. O ?. o

o

liOX X

o<M> ~

- Co a)

O ®II s 8

o ^ l

= ««

— ®

o ,-ŞCL >

< 1

<

NOQ .

C4o".

>23 re. . 3

i >2 £in _co cn

RA.S

P * ®: N 0)• n u

© £ oII > <0

e"1

<<M

- < i0> <

i X X - ţ

t ~ N CD2 g ş 8

cl"5 coCL. i i i

Determinarea parametrilor dependenţi ai grupelor modulare în succesiunonconectării acestora este redată în tabelul 6.24.

Tabelul 6.24

G r u p a mo d u l a r ă a c t i v ă ( A ,1 ) - G MA I ( A ,1 )

P a r a m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i .X0:=0 Y0: =0 k:=0.. 36

' ' ' |

2 Jt


X1 A:= 0 Y1A := 0>

0)1 := 1

P a r a me t r i i d ea c c e l e r a ţ i i i m p u ş i :

X2A := 0 Y2A := 0e1 := 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :X B K :=XA+ AB COS(<>1 ij Y B K := YA + AB-sin($1|J

J

D e te r m i n a r e a p a r a me t r i l o r d e v i t e z ed e p e n d e n ţ i :X1 BK := -col •A B Sin (01J Y1 B K := <o1 A B COS (01 K)>D e te r m i n a r e a p a r a me t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i


X2Bk := -0)12 • AB • cos ($1 k) Y2Bk := -o>12 • AB sin (01 k)


G r u p a m o d u l a r ă p a s i v ă R R T ( 2 3)


AB := 0.4 X P := 0 Y P : =0> >

XAk, YAk - calculaţi anterior;

P a r a me t r i i d e v i t e z e i mp u ş i :X1 P := 0 Y 1P := 0

X1Ak, Y 1A k-calculaţi anterior;

P a r a me t r i i d e a c c e l e r a ţ i ii m p u ş i :

X 2P := 0 Y 2P := 0

X2Ak, Y 2A k-calculaţi anterior;

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:<t20 := 350 s := 0.06

<e := «teo180

GivenXAk-XP+ AB cos (02) •

Y A k -YP + AB sin (02) •

so lk:= Find(<|2, s)

- s cos (a ) = 0

- s sin(a) = 0

= solk <teok:=<ţek -180


D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z e d e p e n d e n ţ i :-AB-sin((t2k) -cos(a)N

A k:=


AB cos (02k) -sin (a) /

- (x i /v-x ip)

(Y1A k -Y1P)

solvk:= lsolve(Ak, Ck)

w2k:= solvk

218

- [x2A<- X2P- AB ( G ^ C O S ]

_ - [ v 2 A k - Y2P - AB (ca2k)2 sin(<tek)] _

solak:= lsolve(A k, Dk)

D k:=

e2k

s2k

:= sola k


16 24 32 40

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I C

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :

XQc:= s

k i

Y C k :=BC

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X 1 Q : = s 1 k j

Y 1C k:= 0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i d e p e n d e n ţ i :X2Q:=s2 k |

Y 2C k := 0

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I DD e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :X q, :=X E + DE-cos(i|6k) Y D k :=Y E + DE -sin(i|6k)

J

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X ip , :=X1E -DE o )5k Sin((t6j Y1D k:=Y 1E + DE w5kcos(<)6k)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e a cce l e ra ţ i i d e p e n d e n ţ i :X2C|<:= X 2E - DE t5k sin (i)6k) - DE -(afi^2-cos((|fiJ

J

Y 2D k:= Y2E + DE e5k cos(()6k) - D E ^ / s i n ^

219

H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i D

0.08

0.072 \ y0.064 \ /

DK

0 056 V y0 048

0.04

0.1

0.06

0.02Y 2D k

^ — - 0 . 0 2

-0 . 0 6

/ ^0.8 0 .86 0.92 0.98 1.04 1.1

X 0 k

- 0 . 2 - 0 . 12 -0 04 0 .04 0.12 0 .2

X 1D k

-0 .2 - 0. 14 - 0.08 - 0.02 0 04 0 1

X2Dk

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (4 ,5 )


XC k, YCk - calculaţi

anterior;XE := 1 Y E :=0.25


X1C k, Y1Ck - calculaţi

anterior;X1 E := 0 Y 1E :=0


X2C k, Y2C k - calculaţi anterior;

X 2E := 0 Y 2E := 0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:040 :=320 050 :=250

04:= 040 —180

i := <60180

GivenX Q - X E + C D COS (04) - DE COS (05) = 0

Y C k - Y E + C D s in (04) - DE sin (06) = 0

solk:= Find(04,<(6)

>k>

>c O 180:= SOlk

,<|5k> 05Ok; 7t ,<t6k/




A k:=

C k:=

- C D sin(04k) DE sin(05k)

00X05(04!,) -DE -COS k)

-(xiq<-o)

- ( Y 1 C k - 0 )

solvk := lsolve(A k, C k)

(o4k

0)5kV K /:= SOlvk

220

Inhttlul 6.30 continuata)


-[_X2q,- 0 - CD-(<o4k)2 • cos (c|4k) + DE (ofik)2 -cos (<t6k)]

Dk:=-[Y2C k - 0 - CD-((Mk)

2s i n ( c ) 4 k ) + DE ( t f l 5 k ) 2 - S i n ( i (6 k ) ]


=solak


e6k

16 24 32 40

k



Componentele torsorului de reacţiune pot fi fo r ţe şi momen te . Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.


în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M =0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modularăpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unuimecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă agrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularăpasivă din sistem).

1 . C i n e t o s t a t i c a d i a d e i R R R (4 , 5 )Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie al

elementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.Torsorul echivalent din centrul de masă 7}are forma (X y, Yj, CM,) şi este torsorul

echivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţe

exterioare aplicate acestuia. Asupra elementului 4 in poziţie mediana actioneaza o forţaverticala RT=-50 N. P arametrii punctului T de aplicaţie a forţei R T sunt:CD , i CD , ,

XTk :=XQ +— cos (<>4k) YTk :=YCk +— sin (<>4k)

T o r s o r u l e c h i v a l e n t p e n t r u e l e m e n t u l 4 T o r s o r u l e c h i v a l e n t p e n t r u e l e m e n t u l 5 1

X4k:=0 Y4k :=RT CM4k:=(XTk-XC k)-RT XEfc :=0 Y5k:= 0 CM5k:=0

A k:="-(Yck-Y D k) xq.-xq,"

- ( Y C k - Y E ) XQ<-XE

B k:=-{-(YC k - YDk) - X4, + (XQ - Xt^•Y4k + CM4k]

- [ - ( Y C k - Y E ) X 4 k + (Xq , -XE) -Y4k]

solRRTk := lsolve(Ak, B|<' X 3 V

, Y 3 V:= solRR Rk

221



2. C in e tos ta t i ca d iade i RRT(2 ,3 )

T o r s o r u l e c h i v a le n t p e n t r u e l em e n t u l 2 T o r s o r u l e c h i v a le n t p e n t r u e le m e n t u l 3

X^:=0 Y2 k :=0 CM2k:=0Y 3 k :=-Y34 k

CM3k := (Y C k - Y Bk) X34, - ( X Q - XB,) Y 34k

iY2

X12Y 43

x2

A = T,CN03J

""" B =

I / O1

\ V

Io S o s

223



A k :="-(YA k Y B j X A k -X B k"

1 0B k : -

| CMi'k (YA fc YBk) X * i (XA, XB k)Y 2 k]'

(X'\ 1 . X\ 1)

so lRRT k:= lsolve(A k, B ^, V 1 2 k ,

«olRRT k

- 6 0

r

X1 2k \ /

—96

\ J

- 1 0 8

40 —

24

Y12 k gr

- 2 4

0 8 16 24 32 40k

0 8 16 24 32 40k

30

24

18

12

6

Y l 2 k 0

- 6

- 1 2

- 1 8

- 2 4

- 3 0" 1 10 -1 06 "102 -9 8 - 94 "9 0 "86 " 82 "78 "7 4

X12|j

- 7 0

N 0 3 k : = - (Y1 2k +Y 2 k +Y 3k ) CN03k := -C M 3 k

60

48

36

N03k

m m ^ ^ 24

12

6

5.4

4.8CN03k

s w 4 2

3.6 y v0 8 16 24 32 40

k

0 8 16 24 32 40

k

224




| To rso ru l e ch i v a l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 1 To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X 1 k :=- X 1^ Y 1 k:=-Y12 k

I CM1k := (Y B k- Y A ) X 1 2 k - ( X B k -XA) Y12k

X01 k:=-X1k Y 01 k:=-Y1k M E k:=-CM1k

225



6 .1 3 . M o d o l a r ea c i n e t o - d i n a m i că a m e ca n i sm u l u i p ln n R - RRR- RRR

6 .1 3 .1 . M o d e l u l s t r u c t u r a l a l m e ca n i s m u l u i

Mecanismul plan (fig.6.13) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi i-7cuple cinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M = 3- 5- 2- 7 =1 fiind inconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematlcrt

Principalele caracteristici constructive, structurale şi parametrii geometrici constanţiai sistemului, parametrii impuşi şi cei dependenţi corespunzători fiecărei grupe modulaiosunt redaţi în tabelul 6.25.

Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 2, 3, cuplolo

cinematice din 6 şi D fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 4, 5, cuplelo

cinematice din C ş i F fiind cuple cinematice potenţiale;Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematicde tip Stephenson în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul doexecuţie şi cupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .1 3 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e ca n i s m u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB = 0.1

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC = 0.8 DC :=0.3

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) CE = 1.8 FE :=0.25

226

- ocn

oII

<

<X X

aiÎ SQ - >

<CM- cO 0)

II-g< CD

^ £

X - g:= E

® CD03 p0 2® CO1 a.

o V)II

'2(N 3 ro(N.O, '2 SU jg O)cis- 3 3

ro.®

oît - ;

t =

CO

ro"L.CD

N (DCD Oo -w O

II • > CO

±6 1 1

CQ _,, ^t- m

A M >- CM.®> i XO jJCQ • •:s CD T- ==i X X J

i i of c . t ; - N CD(0 N Q) oO CJ"8 CL'5 CO0-

£ &

m01

X § |:= O2 2<D CD

ăi E8 2C0 CO, D-

X X g:== oi —, - t r N CDN m oo oCL> CO

:= ii ®fc=" NG g S« Q. >| |

Ocvj

X § >:= O2 S

ăi ® ®N CD E£ 8 2" > c o c o

I I CL

X X 2:= iii ®•ti' N CDN a> oo ~ oCL > C0

Determinarea parametrilor dependenţi ai grupelor modulare în succesiune.!conectării acestora este redată în tabelul 6.26.

Tabelu l 6. M

Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) - GM A I (A , 1 )

P a ra m e t r i i p o z i ţ i o n a l i i m p u ş i :XA:=0 YA := 0 k: =0.. 36J > J

2-TC= ~3fT


X 1 A : = 0 Y 1 A := 0J0)1 := 1

P a ra m e t r i i d ea cce l e ra ţ i i i m p u ş i :

X 2 A : = 0 Y 2 A := 01£1 := 0

De term i na rea pa rame t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :X B K :=X A + A B cos(<)>1k) Y B K := Y A + AB • Sin(<>1 k)

Dete rm inarea pa ramet r i l o r de v i tezed e p e n d e n ţ i :

X 1 BK : = - 0 ) 1 A B s i n (<Ţ>11< Y 1B K :=(FL 1 A B cos(<)I1K)


X2BK := -0 )1 2 A B •co s ($1 k) Y 2 B K := -0)1 2 A B •s i n ( 01 J


10 20 30 40


P a ram e t r i i p o z i ţ io n a l ii m p u ş i :

XBk, YBk - calculaţi anterior;X O : = 0 Y O := 0

Paramet r i i de v i teze impuş i :X1 Bk, Y1Bk- calculaţi anteriorX 1 0 : = 0 Y I O : = 0


X2Bk, Y 2Bk- calculaţi anterior;X 2 0 : = 0 Y 2 0 : = 0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:1)2 0:= 1 0 <(30 := 8 0

<12:= <e0 ——180

=430——180

GivenXBK-XD+ BC cos(42) - DC cos(46) = 0

Y B K - Y D + BC sin(42) - DC sin(43) = 0

solk:= Find(4£,03)

180:= SOlk

U k J [<t3okJ K



Ak:=

C k:=

- B C s inţ k) DC sin(4Qk)

BC-cos(42k) -DC-cos(4Sk)

- ( X 1 B K - 0 )

- ( Y 1 B K - 0 )


solvk:=lsolve(A k,Ck)

o)2k

w3k:= SOlvk 0 e 10 24 3? 40

228

Dk:=-[x2E|<- 0 - BC-(co2k)

2-cos(<|eh) + DC-((o3|<2•cos(<t3k)J

- [ Y 2 B k - 0 - BC (o£k)2-sin(i|ek) + DC-(co3k)

2-sin(i|)3k)]

solak := lsolve(Ak, Dij

:= solak

j

^beju^^^conţinuar^


16 24 32 40


D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XC V=XD+ DC cos (<{3^

Y C k:= YD + DC-sin (<(3

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1Q := -co3k- DC - sin((jâ^

>

Y 1C k := OJ 3k-DC-COs(<|flk)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r aţ i i d e p e n d e n ţ i :

X2Q := -((03k)2 DC cos ((f3k) - e3k- DC- sin (<(0

Y 2C k:=-(io3k)2-DC-sin(<t3k) + e3k-DC cos(<10^

T r a i e c t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g r a f u l v i t e z e ip u n c t u l u i C


229

Iuliului (126 (continuare)

a m o d u l a r ă gaslvă RRR(4, f t1P a r a m e t r i i p o z i ţ i o n a l i

i m p u ş i :XC k, Y Ck - calculaţi anterior;X F - 2. 6 YF := 0.4


XlCk, Y1Ck - calculaţianteriorX1 F := 0 Y 1F :=0

P n r mn o t r l l d e a c c e l e r a ţ i iI m p u ş i :

X 2 C k , Y2Ck - calculaţi anterior;X2F := 0 Y3F : 0

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:<A0 := -10 $50:= 280

1:= i(4018 0

<6 := (160180

GivenXQţ- XF+ CE COS (i(4) - FE cos(i)6) = 0

Y C k - Y F + CE sin(i(4) - FEsin(<(6) = 0solk:= Find($4,((6)

>K > >o kN

180:= solk

180

,160k/ K


A k:=

C k:

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e v i t e z ed e p e n d e n ţ i :

- C E Sin (<t4k) F E s i n ( i |6k) N

CE-cos(<t4k) -FEcos(((6k)- ( X I Q - O )

- ( Y 1 C k - 0 )

solvi, := lsolve(A k, C ^


(04k

co5k

:=sol^


Dk :=-[x2q i-0 -CE( (o4k)2cos(i))4k) + FE-(io5k)2-cos(<t6k)]

-[Y2Ck-0-CE-(co4k)2sin(i|4k) + FE((o5k)2sin(<(6k)]


solak:= lsolve(A k, D jr a \

k I := solak

230

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :X E K : = X F + F E - C O S ^K )

Y E k :=Y F + FE Sin(<ţ5|<)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1 :=-0)6k- FE • sin (cp>

Y 1E k := w5k-F E •cos ((j5k)


X 2 ^ := -(co5k)2 •FE cos (<|6k) - e5k- FE sin(<|6k)

Y 2E k:= -((o5k)2 FE sin (<6k) + iSieFEcosţitSk)

6 . 1 3 . 3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e ca n i sm u l u i

Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţiunedin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază principiiicinetostatic sau principiul lui D'Alembert.

Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele sunidirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transform;!

problema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentolitorsorului de reacţiune din cuple.în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M = 0, număru

ecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulargpasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unumecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă egrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularipasivă din sistem).

1 . C in e tos ta t i c a d iad e i RRR(4 ,5 )

Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţie aelementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.

Torsorul echivalent din centrul de masă Tj are forma (X y, Yj, CMj) şi este torsoruechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţeexterioare aplicate acestuia.

231

Asuprit olnmontulul 4 acţionează în punctul medlnn I o torfA oxtorloară verticalaf?7"=50N.

XT k:=Xq,+ cos(()4k) YTk:=YCk + slnf^J

To rso ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 4 | To rso ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 5

X4k:=0 Y4k:=RT CM4k := (XTk - XQ<) • RT XŞ< := 0 Y5k := 0 CM5k := 0

T-(YC k -YE k ) XQ<- XEk

k " [ - ( Y C k - Y F ) X Q - X F

"-[-{YC k-YEk)-X4k+ (XQ (-X E k)Y 4 k + CM4k|K ~L - { " (YC k -YF).X4k +(x q <-XF) Y4k+CM4k] j

solk:= lsolve(Ak, Bk)f X 2 M

: = S O l k

232


http://slidepdf.com/reader/full/bazelemecanisme 222/25519.1

2 . C ine to s ta t i c a d iade i RRR(2 ,3 )

To rso ru l e ch i va l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 2 T o r s o r u l e c h i v a le n t p e n t r u e l e m e n t u l 3

X2ţ,:=-X24< Y 2k:=-Y24k

C M2k:= (YC k - Y B k) -X24k- (XQ, - XBk) •Y 24k

X ^ := 0 Y 3k := 0 CM3k := 0

| " - (YB k - Y C | J X B k - X Q , "

k ' - ( Y B k - YD) XBk - XDB k:=

" - [ - ( Y B k - Y C j-X îj, + (XBj,- XQ ) Y 2k + CM2k] 1

_ - [- ( Y B k - YD) X ^+ (X B k-XD) Y2 k + CM2k] J

solk:= lsolve(Ak, B k)f xu^

:= solkl ™ J

- 4 "2.8 "1. 6 "0. 4 0.8 2

X12k

Y 12 k

1

0 .6

0.2

" 0 . 2

- 0 . 6

234



Y 03k~ -(Y 12 k+ Y 2 k + Y 3J

X03 K Y 0 3 k

Y03 K

235




T o r s o r u l e c h i v a le n t p e n t r u e l em e n t u l 1 To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a O

X 1 k :=-X 1^ Y 1 k:=-Y12 k

C M 1 K := ( Y B K - Y A ) X 1 2 K - ( X B K - X A ) Y 1 2 K

X01 k:=-X1k Y 01 k:=-Y1k M E k:=-CM1 k

A /8 16 24 32 40

kX01K

236




6 .1 4 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i sm u l u i

Mecanismul plan (fig.6.14) este constituit din m = 5 elemente cinematice şicuple cinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M = 3-5 — 2-7 = 1 fiind în

concordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematicăactivă de rotaţie A .

|y


Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RR R formată din elementele cinematice 2, 3, cuplele

cinematice din B şi D fiind cuple cinematice potenţiale;

- grupa modulară pasivă de tip RRT formată din elementele cinematice 4, 5.Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematicde tip Stephenson în care s-au nominalizat ca bază un element ternar, elementul doexecuţie şi cupla cinematică activă adiacentă bazei.

6 .1 4 .2 . M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c al m e ca n i s m u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB :=0.12Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC :=0.55 DC :=0.28

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) na := 90 - —

CE :=0.4 ^ fi = Q t 180

237

J^bvluh^ţţJconţ^


X 2 ^- 0 - B C (tu2kf cos{((ek) + D C - ţo â / cosţitGk)]Dk:=

V 2 B k - 0 - BC- co2k sinin(<|2k) + DC(co3k)2sin(4S k)]

solak:= lsolve(Ak, Dk)

:= solake3k)

Vnrlnţla parametrilorde acceleraţii dependenţi

0 8 16 24 32 40

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I C

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :

XQ<:= XD+ DC-cos (( K)Y C k := YD + D C s i n ţ^

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1Q<:=-o>3k'DCsin(<t3k)

J

Y1 C k :=co^ DC cos ((pn)


X2Q := -( otf^2 ' DC cos (iPn) - c3k- DC sin (cJ 3k)

Y 2C k:=-(co3k)2 DC sin(<jflk) + E3k DC cos (<3|<

Tra i ec t o r i a p u n c t u l u i C H o d o g ra f u l v i t e zeip u n c t u l u i C

H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e i^ ^ ^ j j u n c t u j u ^ ^ ^ ^ ^

015 - 009 "003 0 03 0 09

240

CE :=0.4 X P := 0 Y P :=0I >

XC k, Y C k- calculaţi anterior;


X1 P := 0 Y 1P :=0

X1C k, Y1Ck - calculaţianterior;


X 2P := 0 Y 2 P - 0J

X2C k, Y 2C k- calculaţi anterior;

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valorile iniţiale<>40 := 340

n

s := 0.06

l := 040-180

GivenX Q - X P + CE cos(<)4) - s cos (a) = 0

Y C k -Y P + CE•sin(<>4) - s sin(a) = 0

solk := Find(cţ4, s)

' • O:= solk

. S k

180HOk := <>4kî l


16 24 32 40



-DC sin^,) -cos(a)DCcos(<ti4k) -sin (a)

- ( X 1 Q - 0 )

—(v 1 ck— o)

solvk:= lsolve(Ak, CK)

'co4k~

Ck :=

vs1ky

:=solvk



- [x 2 Q - 0 - DC (co4k)2 cos(<|4k

- [ Y 2 C k - 0 - DC-(co4|<)2-sin(<KK)]

solak:= lsolve(A k, D^

feV

:=solak

241

6 .1 4 .3 . M o d e l u l c i n e t o s t a t i c a l m e ca n i s m u l u i

Cinetostatica are drept scop determinarea componenţilor torsorului de reacţiunodin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza clnotostatlefi nro Io bază principiulcinetostatic sau principiul lui D'Alembert.

Componentele torsorului de reacţiune pot fi for ţe şi momente . Forţele suntdirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momentele suni

direcţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transformn

problema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componentelotorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M = 0, numărulecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modulariipasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică a unulmecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversă .1grupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modularrtpasivă din sistem).

1 . C ine tos ta t i ca d iade i RRT(4 ,5 )Forţa tehnologică (RT) este aplicată asupra elementului de execuţie, în sens invers

vitezei pistonului 5.R T k : = i f ( s 1 k < 0 , R T , - R T ) > R Ţ = 8 N m


Torsorul echivalent din centrul de masă 7} are forma (Xy, Y), CMj) şi este torsorulechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de forţoexterioare aplicate acestuia.

T o r s o r u l ec h i v a l e n t p en t r u el e m e n t u l 4 | To rs o ru l e ch i v a l e n t p e n t ru e l e m e n t u l 5 |

X^:=0 Y4k:=0 CM4k:=0 j X :=0 Y5k :=RTk CM5k:=0 j

F = T ,

242

[- (Y C k -Y E K ) X Q - X E JA k :=

L 0 1

' - [C M 4 k - (YC k - YE „) -X ^+ (XQ - XEK) •Y 4 k ] '

' L - (Y 4 k 1 + Y 5 k l )

solRRT k := lsolve(A k, B|<) := SOlRRTk

: V24 k y ^ ^

0 8 16 24 32 40

k

:

2Y24k

" 6

- 1 00

H A16 24 32 40

k

10

Y 2 4 k ^

" 1 0" 5 " 3 "1 1 3

X 2 4 k

5

N 0 5 k : = - ( Y 2 4 k + Y 4 k + Y5|ţ) C N 0 5 , : = - [ - ( Y C k -- Y E k ) - X 2 4 k + ( X C k - X E k ) Y 2 4 k ]

II1.2 io"'6

1 I I0.6

0 .24 10~ 17

CN05kN 05k

^ ^ ^ ^ " 0 . 2 — - 4 , 0 - " i0 . 6 - 1 .2 10"16 i

- 10 8 16 24 32 40

k0 8 16 24 32

k

0

243



2. C lne to a ta t l ca d iad e i RRR(2 ,3 )

To rs o ru l ec h i v a l en t pen t ru e l emen tu l 4 To rs o ru l ec h i v a l en t pen t ru e l emen tu l 5

X ^ : = - X 2 4 Y 2 k :=-Y24k

C M2k := (Y C k - YBk ) •X24, - (XQ , - XBK) Y 24k

X ^ := 0 Y 3 k :=0 CM3 k :=0

A k :=" - ( Y B . - Y C , ) X B k - X Q

- ( Y B k - Y D ) X B k - X DB k :=

0

_ - [ - ( Y B k - Y C k ) - X + (X B K -X C g -Y2k]_

so lRRR k:= lsolve(A k, Bk) := SO IRRRk

20 1

« ujz 0 8 16 24

k l32 40

20

12

" 1 2

" 2 00 8 16 24 32 40

k

20

12

4

Y 12 k

- 1 2

- 2 0 _>0 "1 2 " 4 4 12

X 12 k

20

244

Y 03k:=-(Y12k+ Y 2k+ Y3„)

20

X03 k Y 03 k

0 8 16 24 32 40 0 B 16 2 4 32 40

20

Y03k

" 1 2

- 2 0"20 "12 "4 4 12 20

X03ji

20 |

12

4

X23 k

- 4

" 1 2

- 2 0

X23<:=-X02|(

ru16 24 32 4C

k

2 0

12

4

Y 23 k

m m m m ^ " 4

- 1 2

- 2 0

Y23k :=-Y03k

0 8 1 6 24 32

k

40

2 0

1 2

4

Y 2 3 k

" 4

- 1 2

" 2 0 _ \0 " 1 2 " 4 4 12 2

X 2 3 k

0

245



3 . C l n o t o s l n t i cn g ru p e i m o d u l a re a c t i ve

T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u el e m e n t u l 1 T o r s o r u l do r a n c ţ l u n e d i n cu p l a O

X1k:=-X1^ Y1k:=-Y12k

CM1k := (Y B k - Y A ) - X 1 2 k - ( X B k -X A) -Y 1 ,

X01k X1k Y01k Y1k MEk:=-CM1k

X 01 k

246



6 .15 . Mode la rea c ine to -d inam ică a mecan ismu lu i p lan R-RRR-RRR

6 .1 5 .1 . M o d e l u l s t r u c t u ra l a l m e ca n i s m u l u i

Mecanismul plan (fig.6.15) este constituit din m = 5 elemente cinematice şi i= 7cuple cinematice inferioare, astfel încât gradul de mobilitate este M =3-5 — 2-7 = 1 fiind înconcordanţă cu existenţa unei singure cuple active în sistem, şi anume cupla cinematică

activă de rotaţie A.

Fig.6.15


Mecanismul este constituit din punct de vedere structural din trei grupe modulare:- grupa modulară activă constituită din cupla activă din A şi elementul cinematic 1;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 2, 3, cuplele

cinematice din 6 şi D fiind cuple cinematice potenţiale;- grupa modulară pasivă de tip RRR formată din elementele cinematice 4, 5, cuplele

cinematice din E ş i G fiind cuple cinematice potenţiale;Se observă că modelul structural al mecanismului se obţine dintr-un lanţ cinematic


6.15.2. M o d e l u l p o z i ţ i o n a l - c i n e m a t i c a l m e c a n i s m u l u i


Gru p a m o d u l a ră a c t i vă (A , 1 ) AB :=0.061

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R R (2 , 3 ) BC :=0.61 DC :=0.33

Gru p a m o d u l a ră p a s i vă R R T(4 , 5 ) FE := 1.3 GF :=0.15

247

OCOCD

3®.Qro

£.So5®

roo

in®oro:=>ooCDcoo

<>•0) 3TJ Q.'C E o* *<D II.

Ero S

0) Y2

roCL 0>o o

o LI oro

X

2

II.

CU

•g '5-o._ 3 !'.= 9-<a> .b >Ero om «RO ^ II

CL <X 3

oS "0 • •c

o -

oa <,_ >ai i^E 2RJ ci(5 .".

a 5

CQ<

+<

jl.

Ilf>

O ia)

m<

3II.

co>

m<

3III.mCM> -

ttfCMX

cro- ro"

(0- 33 OQ-roE "— i

mCM> -

mCM CMx X

S S•2 $X£ c oH - <3 II

Q. 3 S <•= Q- 3 ^<D '

EroI ™

(D"O

CCDQ-CD•o

CDEro| §® II.ro oCD &

roE

l °t: ooo&

<3-

J L 11

s §

o oO D o

<8-

IS

8 '<" &

crs O> ^

Si-ii

af mx >-

Inhttlul 6.30 (continua ta)

D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ i i


-[x2E\<-0-BC((o2|<)2cos((|2k) + DC(to3k)2cos(itek)]

- [Y2B K - 0 - BC (<o2k)2

sin{(ţ2|<) + DC-(o]3k)2

sin((|)3k)]


Dk:=

« V:= solak

Vnrlaţin parametrilorde acceleraţii dependenţi

0 2 B

0.8

16 24 32 40


D e t e r m i n a r e a p a r a m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :XQ<:=XD+ DCcos(i|S k)

Y C k:= YD + DCsin(i(ak)


X1Q:=-(o3k DC sin((jak)

Y1 C k := o3k DC COS (ipi,)

D e t e r m i n a r e a p a r am e t r i l o r d e a c c e l e r a ţ ii d e p e n d e n ţ i :

X2Q 1:=-(ia3k)

2

DCcos((t0k) -e3 k DC sinţip,,) >

Y 2C k:=-(io3|<)2 DCsin(<|Q^+ ^- D C - c o s ^

250

1806 := 60

80:= 20 tu

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l i d e p e n d e n ţ i :X : =X D + DE cos(<)0k+ 6)

>Y E k :=Y D + DE -sin(<|0k + e)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :X1^:=-co3kDEsin( ( t f lk+ e)

Y 1E k:=io3k DE cos((ţ3k+ e)


X2^:=-(ffl3k)2 DE cos(<|)3k + e) - e3k DE-sin(<|)3k + 9)1

Y 2E k:=-(to3 k)2 DE sin(<|3k + e) + e3k DE-cos(<tQ k+ e)

T r a ie c t o r i a p u n c t u l u i E H o d o g ra f u l v i t e ze ip u n c t u l u i E


-0 005-0.003-0 001 0 001 0 003 0 005

X2E*



XE k, YEk - calculaţianterior;XG :=0.936+XA YG :=01


X1E k, Y1Ek - calculaţianterior;X1G:= 0 Y1G := 0

J

P a ra m e t r i i d e a cce l e ra ţ i ii m p u ş i :

X2E k, Y2Ek - calculaţi anterior;X2G := 0 ^ Y2G :=0

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r p o z i ţ i o n a l id e p e n d e n ţ i :Valori estimative ale parametrilor dependenţi:$40 := 320 <60 :=75

n-- <40

180c)6 := <160

180

GivenXE |(- X G + FE -cos(<|>4) - GF cos(<|5) = 0

Y E k - Y G + FE sin(<ţ4) - GF sin(<(6) = 0

solk:= Find (04, (ţ6)

' •O >o kN

180:= SOlk

,<f60k/ jt


16 24 32 40

251

l'ubolul 6.16 (continuau>


A k:=

Ck:=

'- F E - s in n ) GF •sin(i)6k) "

FEcos(<|i4k) -G F cos(<|6k) ^

- ( X 1 E k - 0 )- ( Y 1 E k - 0 )

solvk:= lsolve(Ak, C k)

:= solV|<' « O

V l l l l l l | l i l I n l o i

d e viteze dependenţi

» 4 k 0 08

0 8 16 24 32 40



D k:=-[x2E |<- 0 - FE -((o4k)

2 cos(i|4k) + GF-((o5k)2 cos(<(fik)]

- [ Y 2 E k - 0 - F E ((o4k)2-sin($4k) + GF-{o)5k)

2 sin(<(6k)]

solak:= lsolve(A k, D j

:= solak16 24

M OD E L U L B I P L E TE I P E N TR U D E TE R M I N A R E A P A R A M E TR I L OR P U N C TU L U I F

X l v = X G + GFcos(iţ6 k)

Y F k := YG + G F -s in n)

D e t e rm i n a re a p a ra m e t r i l o r d e v i t e ze d e p e n d e n ţ i :XIF^— X I G - GF io5k sin(i|6k)

Y1 F k:= Y1G + GF afik COs(<|e^


X2F k:= X2G - Q F - e - s I n ^ - GF -(<B5J 2-COS(I|6^>

Y 2F k:= Y2G + GF e5k cos(«t6k) - GF (co5^2 sinfiţe^

Tra i e c t o r i a p u n c t u l u i F H o d o g ra f u l v i t e ze ip u n c t u l u i F

H o d o g ra f u l a cce l e ra ţ i e ip u n c t u l u i F

1.26 1 2631.2661.2691.2721.275

XFK

-o oro ooeo wai . 0 0 2 0 006 0.01

XI F„b.OOSO 0020.0 010.00 40.007 0.01

X 2F k

252

Cinetostatica are drept scop determinarea componentelor torsorului de reacţdin cuplele cinematice ale unui sistem. Analiza cinetostatică are la bază princcinetostatic sau principiul lui D'Alembert.

Componentele torsorului de reacţiune pot fi fo r ţe şi momente . Forţeledirecţionate în sensul gradelor de libertate de translaţie răpite, iar momenteledirecţionate în sensul gradelor de libertate de rotaţie răpite.

Principiul cinetostatic se aplică în absenţa fenomenului de frecare şi transfcproblema dinamică într-o problemă de statică, în care necunoscutele sunt componertorsorului de reacţiune din cuple.

în cazul grupelor modulare pasive, la care gradul de mobilitate M =0, nurrecuaţiilor de echilibru este egal cu numărul necunoscutelor, adică o grupă modipasivă este static determinată. Acest fapt justifică abordarea cinetostatică amecanism, rezolvarea pe grupe modulare, algoritmul urmărind conexiunea inversgrupelor modulare din sistem (calculul cinetostatic se porneşte cu ultima grupă modipasivă din sistem).

1 . C ine tos ta t i ca d iade i RRFt (4 ,5 )Calculul cinetostatic se face în acest caz neglijându-se torsorul de inerţiielementelor cinematice şi alte categorii de forţe exterioare.

Torsorul echivalent din centrul de masă Tj are forma (Xj, Yj, CMj) şi este torsechivalent al sistemului de forţe de inerţie propriu elementului şi al sistemului de fexterioare aplicate acestuia.Asupra elementului 4 acţionează în punctul median P 4 o 1exterioară verticală RT=-50.

X P 4, := X ^ + — 'COS (<>4k) Y P 4 k := Y E k + — S i n

T o r s o r u l e c h i v a l e n t p e n t r u e l e m e n t u l 4 T o r s o r u l e c h i v a l en t p e n t r u e l em e n t u

X4< := 0 Y 4 k := R T

C M 4 k := - ( Y P 4 k - Y E |ţ) X4j( + (X P 4, - X E ,) •Y 4 k

X Ş <:=0 Y 5 k := 0 C M 5 k : =0

Y4

253



A k : -(Y E k YFk) XE|, - XFj,

- ( Y E k - Y Q ) X E k - X GBk

[ (V I , . V I k) H > (X lk XFjJ Y4k + CM4k|

| (VI k Y fl) , (XEk XG) Y 4k+ CM4k|

solRRRk:= lsolve(Ak, B ^f X H

solRRRkl V 3 4 k J

4 0

36 . 8

3 6" 3 0 - 2 8 . 4 " 2 6 . 8 " 2 6 . 2 - 2 3 . 6 " 2 2

X 3 4 j

254

2. C ine tos ta t i ca d iade i RRR(2 ,3 )

Aspura elementului 2, la mijloc, in punctul P2 actioneaza o torta exterioara RT=-50.

RT := -50

BC BCX P ^:= XBk + — cos (<£>„ Y P 2k :=Y B k + — • sin («PK)

255



T o r s o r u l e c h l v n l o n t p e n t r u e l e m e n t u l 2 T o r s o r u l e c h i v a l e n t p o n t r u e l e m e n t u l 3

X2,: 0 Y2k:=RT

CM2k :=-(YP2k - YB„) • Xîţ, + (XPÎţ, - XE • Y2k

xq, X3-V Y3k :• Y34k

CM3k (YEK YD) X34, (XEK XD) Y34k

AK :=

"-(YBK-YCK) XBK-XCK"

- ( Y B K - Y D ) X B K - X D

-{-(YBK - YC„) X^+(XBk - XQJ •Y2K +CM2K]

K - [ - (Y B K - YD) X^+(XBJ, - XD) Y2K +CM2K +CM3K]

solRRRK:= lsolve(AK, BN)r x i ^ i

:= solRRRKl v i 2 k J

0

- 2

- 4X 1 2 k

- e

- 1 0 V A8 16 24 32 40

k

Y 1 2 k

35

33 ^

250 8 16 24 32 40

k

Y 1 2 k

35

25- 1 0 " 8 " 6 - 4 - 2 0

X 1 2 k

Y 03K :=-(Y12K +Y 2 K + Y 3 J

X 0 3 K Y 0 3 K

60.8

Y 0 3 k

. 6 8 . 4

- 2 3 - 2 2 . 6 - 2 2 . 2 - 2 1 . 8 - 2 1 . 4 " 2 1

X 0 3 k

256

T o r s o r u l e c h i v a le n t p e n t r u e l em e n t u l 1 To rso ru l d e re a c ţ i u n e d i n cu p l a 0

X1k:=-X ig< Y 1 k :=-Y12k

C M 1 k := ( Y B k - Y A ) X 1 2 k - ( XB k - X A) Y 12k

X01 k:=-X1k Y 01 k:=-Y1k M E k:=-CM1k

257



7 . MODELAREA SCHEMELOR CINEMATICEA LE MECA NISMELOR ÎN MEDII A VA NSA TE DE PROIECTARE

S istemele integrate C AD/C AM/CAE /P DM reprezintă instrumente de lucru eficlonto Inactivităţile de proiectare în diverse domenii, precum ingineria mecanică, industria automobili>l(iiaeronautica etc.

Software-ul CATIA (Compu ter A ided Threedimens ional In terac t ive Ap pl icat ions ) iuti n

alcătuire de tip modular şi este unul dintre sistemele integrate cele mai utilizate, cu ajutniulcăruia se poate realiza proiectarea unor produse performante.

7 .1 . P r o i e c t ar e a sc h e m e i c i n e m a t i ce a m e ca n i sm u l u i R - RRR- RRTPentru a efectua schema cinematică a mecanismului din figura 7.1 se utilizează aplii n|i i

Sketcher din CATIA V5.

Fig.7.1- Schema cinematică a mecanismului R-RRR-RRT

Aceasta oferă utilizatorului posibilitatea folosirii unui set de comenzi care permite creai unşi/sau modificarea elementelor cinematice ale schiţei. Stabilirea unei noi dimensiuni a unulelement cinematic al unei schiţe determină atât modificarea geometriei cât şi corpultridimensional care se obţine pe baza schiţei respective.

Etapele ce trebuie parcurse pentru a realiza schema cinematică a mecanismului suniurmătoarele:

- se deschide aplicaţia S ketcher urmând paşii:START — MECHANICAL DES IGN — SKETCHER;

^ C A TIA V 5

I EN OW A VS Ele

bnfrastructure

nalysis 6t Simulation

AE£lant

Machmmg

^®git a l Mockup

s 1 9 . \

Edil yiew Insert Ioob ndow tJelp

& Eart Design

P âsembly Design

Jâ ^Sketcher

• îe/ Product Funcţonal Toleranclng 8l Annotetion

•Wâ &eld Design

* Bold Toollng Design

r - V j f :

258



se alege planul în care se va lucra (xy, xz, yz). Pentru a edita această schemă

se alege planul xy IIpe ecran apar instrumentele necesare desenării şi aplicării constrângerilorschiţei;

3 C A T I A V 5 [ P a r t l ]

Q Start ENOVIAVS Fta Edit \

y t c=>p S Z P

e m o v i A

tew Insert Ţoob Wlndow Hali

• •o '

rO• H !

O • i l .

/ •

/i 7 1•

s at

C o n s t r a i n t s D e f i n e d

f in Di a lo g Box

C o n s t r a i n t

^ ^ Fi x T o g e t h e r

A n i m a t e C o n s t r a i n t

^ ^ E d i t M u l ti -C o n s tr a in

se construieşte elementul cinematic A B utilizând opţiunea Line. Se precizeazăcoordonatele punctului de început, lungimea dorită a liniei şi unghiul;se aplică constrângere dimensională pentru stabilirea mărimii elementuluicinematic utilizând opţiunea Const ra in ts .

se pune în evidenţă faptul că punctul A este o cuplă fixă prin aplicareaconstrângerii geometrice. Constrângerile geometrice se activează cu iconulConst ra in t, ceea ce determină apariţia pe ecran a meniului Const ra in t

Def in i t ion . Se execută clic pe căsuţa din faţa constrângerii Fix,

O CATA V5 • ;t>»r«X *EJ Start ENOV1A VS file£dit yew Iruert Ioots tfindow telp

se construieşte elementul cinematic B C utilizând opţiunea Line. Se trasează o

linie verticală pornind din punctul B şi apoi se aplică o constrângeredimensională pentru stabilirea mărimii elementului cinematic utilizând opţiuneaConst ra in ts ,

25')



în originea sistemului de referinţă • • • • • osto minut punctul D. Se uneştepunctul C cu D. Cupla D fiind fixă, se va aplica o constrângere geometricăutilizând opţiunea Const ra in t Def in i t ion

în continuare se va construi triunghiul echilateral CDE. Se trasează elementulcinematic CE obţinându-se punctul E. Se uneşte punctul E cu D.

se aplică constrângere dimensională pentru stabilirea mărimii elementelorcinematice CE şi ED utilizând opţiunea Const ra in ts .

se trasează o dreaptă paralelă cu axa Ox pentru care se alege constrângereaFix utilizând opţiunea Const ra in ts .

se trasează o linie care uneşte punctul E cu axa desenată anterior. Se activeazăiconul Const ra in t . Pe ecran apare meniul Const ra in t Def in i t ion şi se executăclic pe căsuţa din faţa constrângerii Coinc idence.

- manivela A B execută o mişcare de rotaţie completă de 360°. P entru a pune înevidenţă această mişcare se alege opţiunea Animate Const ra in ts şi seprecizează limitele de mişcare (Fi rs t Value şi Last va lue) şi numărul de paşi.Acest instrument este necesar la studiul geometriei schiţei (se poate verificacorectitudinea aplicării constrângerilor dimensionale). în eticheta A c t i o n s segăsesc următoarele opţiuni: Run Back An imat ion, Pause, Stop şi Ru n

An imat ion . în eticheta Opt ions se găsesc: One Shot (realizează o singurămişcare), Reverse (se efectuează mişcarea inversă), Loop sau Repeat.

260


http://slidepdf.com/reader/full/bazelemecanisme 248/2552ftl



7 .2 . P r o i e c tar e a s c h e m e i c i n e m a t i c e a m e c a n i s m u l u i R - RRR- RRTPentru a efectua schema cinematică a mecanismului (JIn flgum 7.2 se utilizeazrt

caţia S ketcher din CATIA V5.

Fig.7.2- Schema cinematică a mecanismului R-RRR-RRT

Etapele ce trebuie parcurse pentru a realiza schema cinematică a mecanismului

- se deschide aplicaţia S ketcher urmând paşii:START — MECHANICAL DESIGN — SKETCHER ;

- se alege planul în ca r ţ^e va lucra (xy, xz, yz). Pentru a edita această schemă

se alege planul xy ISSH.- pe ecran apar instrumentele neces are desenării şi aplicării constrângerilor

schiţei;- se construieşte elementul cinematic A B utilizând opţiunea L ine . Se precizează

coordonatele punctului de început, lungimea dorită a liniei şi unghiul;

» t ENOVIAVS Rte Etft ytew [nstrt Ioote Window Heb

se aplică constrângere dimecinematic utilizând opţiunea C

se pune în evidenţă faptulconstrângerii geometrice. CoConst raint , ceea ce determDef in i t ion. Se execută clic pese trasează elementul cineconstrângerea dimensională e

se continuă trasarea elementulintroduce constrângerea dimeeste fix.în prelungirea elementului cine

PartBody



- pentru a pune în evidenţă mişcare manivelei A B se alege opţiunea Animate

Const ra in ts şi se precizează limitele de mişcare (Fi rs t Value şi Last va lue) şinumărul de paşi.

264

• »«< INOVIAV» [M Iman loot» pdw trt>

7 .3 . Mode la rea unu i e lemen t c i nemat i c

Modelarea elementelor cinematice ale unui mecanism se poate realiza cu ajutoruaplicaţiei Part Design. Această aplicaţie permite proiectarea reperelor 3D. Modelaretpiesei porneşte de la realizarea profilului 2D într-un plan de referinţă (în cazul nosta

planulxOy) ,

piesa 3D obţinându-se prin extrudare sau revoluţie.Etapele ce trebuie parcurse pentru a realiza modelarea elementelor cinematice dircomponenţa mecanismului sunt următoarele:

- se deschide aplicaţia P art Des ign urmând paşii:S T ART MEC H AN ICAL DES I GN — PAR T DES I GN ;

0 CATIA V5

Start ENOVIAV5 File Edit View Insert lools Window Help

1nfrastructure

llechanical Design

« 'Şhape

Analysis & Simulation

AECPlant

Machining

^j^Digital Mockup

- Part Design

>1

Dl• Assembly Des ign

• Sketcher

• P roduct F uncţional To lerancing & Annotationy u / '

* %/L - Weld Design

* Mold Tooling Design

r r

- pe ecran apare o casetă de dialog ce permite alegerea numelui fişierului. Se execută cll(pe butonul OK şi pe ecran se deschide fereastra principală a aplicaţiei Part Design;

265

• Do not show thls dalog at startup

| O OK | <> Cancet |

- se alege planul în care se va lucra (xy, xz, yz). Pentru a edita această schemă se alegoplanul x y şi apoi se execută clic pe butonul Sketcher . Selectarea acestui plan îndocumentul Part l .CATPart duce la apariţia pe ecran a liniilor de caroiaj;- primul element cinematic pe care îl vom modela este manivela AB. Acesta poate fi

desenat utilizând figurile geometrice predefinite din bara Prof i te-,

• O & 9 O CD 0

- corpul manivelei s-a realizat utilizând comanda Elongated Hole® ;

- cu ajutorul comenzii Const ra in t Def in i t ion se stabileşte simetria piesei faţă de cele douăaxe:

- se execută dublu clic pe fiecare linie pentru a stabili lungimea şi lăţimea e lementuluicinematic.

266



M o r e » 1

- se desenează un cerc cu diametrul de 5 mm utilizând opţiunea Circ le din bara cunelte;

- se execută clic pe iconul Exi t workbenchu şi apoi cu ajutorul opţiunii Pad

fereastra Pad Def in i t ion , în dreptul casetei Length se va stabili dimensiunea reperuluilungul axei Oz. E xtrudarea se realizează perpendicular pe planul ales (x O y ) . Reperdevine un model 3D parametrizat, ale cărui dimensiuni pot fi modificate ulterior;

First Urnit

Type: [Dimension • j

Length: 3SS53 E§

Profile/Surface

Selection: Sketch.l

• Thick

I• Mirrored extent

Reverse Dlrectlon j

• CATIA V5 [P artl ]

- pentru realizarea bosa jului, vom se lecta suprafaţa superioa ră a piesei şi se va ap(aplicaţia de desenare executând clic cu ajutorul mouse-ului pe pictograma Sketch EJReperul va fi vizualizat în planul xOy , în care va fi trasat profilul unui cerc, cu ajuto

pictogramei Circ le O . Se revine la vizualizarea 3D a reperului;

S tart E NO VIA V5 File Edit View Insert lo ols Window

- se selectează comanda Pad &J precizând diemensiunea bosajului pe direcţia Oi

caseta Length (3,5 mm);

267



P a d D e f i n i t i o n

Q j t m t ENOVIAVS filo [ i l » y iow [nsor l Iods ţtfllulow I H

|r ' 'ji | o o % -*J I

C U Mirrored extent

Reverse Directlon

_> CATIA V5 • [manivela.CA TP art]

se obţine elementul cinematic dorit modelat cu ajutorul unui soft specializat.

• St*" ENOVIA VS Ffe Ed* »ew Insert Xools Window (jelp

3 F®

d

254



BI BL I OGRAFI E

1. A l e xa n d ru , P . & co l a b . , Proiec tarea fu nc ţ iona lă a m ecanismelor , Editura Lux

Bazelemecanisme

Documents

Transcript of Bazelemecanisme