BARTHA - Hidraulica 2

I. I. BarthaBartha VV. . JavgureanuJavgureanu N. N. MarcoieMarcoie

HidraulicăHidraulică

I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie. Hidraulic , Vol. II:

Lucrarea se adreseaz studen ilor i speciali tilor din domeniul hidrotehnicii, hidroameliora iilor i ingineriei mediului, dar poate fi oportun pentru o sfer mai larg de specialit i.

Referen i: dr. ing. Mihail Lucadr. ing. Ilie Rusu

Manualul cuprinde no iuni de hidraulica curgerilor cu nivel liber, mi c ri poten iale, mi carea aluviunilor, hidraulic subteran i no iuni de modelare hidraulic . În fiecare capitol aspectele teoretice sunt exemplificate prin probleme practice concrete reprezentative.

Lucrare finan at de GRANT; Cod CNCSIS: 33371/2004

ISBN 973-730-039-4

© I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie

Ap rut în 2004.

Prefa

Acest manual are scopul de a-i sprijini pe cei care înva Hidraulic ,

pentru a o folosi în solu ionarea problemelor tehnice i tiin ifice.

Prin con inutul s u, modul de expunere, lucrarea este adresat

studen ilor, dar poate fi folosit i de speciali tii care vin în contact cu

probleme din domeniul hidraulicii, pentru l rgirea i aprofundarea

cuno tin elor i pentru rezolvarea unor probleme tehnice.

Manualul este structurat pe 11 capitole i cuprinde mi c rile efluente,

hidraulica albiilor deschise, no iuni de mi c ri bifazice de ap – solid,

hidraulica subteran i no iuni de modelare hidraulic . Sunt descrise

aspectele teoretice - fizice i matematice – ale fenomenelor, precum i

aplica iile acestora în domeniul Hidrotehnicii, Ingineriei Mediului i altor

ramuri ale tehnicii. Fiecare capitol cuprinde i câteva exemple concrete,

care înlesnesc în elegerea expunerilor. S-a renun at la anumite metode

dep ite istoric prin posibilit ile oferite de tehnica modern de calcul.

Prin manual se dore te punerea la îndemâna celor interesa i a unui

material didactic i tehnico- tiin ific în sfera hidraulicii aplicate.

Lucrarea este rezultatul unei îndelungate experien e didactice i

tehnico- tiin ifice, al unor colabor ri fructuoase între speciali ti din ri cu

limb oficial identic i între genera ii diferite.

Mul umim i pe aceast cale tuturor celor care ne-au sprijinit sub

diferite forme, atât moral, cât i material în elaborarea i apari ia acestui

manual.

Autorii

EDITURA „PERFORMANTICA“, Ia i, B-DUL CAROL I, nr. 3-5,

[email protected] tel./fax. 0232 214763

EDITUR ACREDITAT DE CNCSIS BUCURE TI, 1142/30.06.2003

Descrierea CIP a Bibliotecii Na ionale a României:

BARTHA Iosif Hidraulic - Vol. 2 / Iosif Bartha, Vasile JAVGUREANU, Nicolae MARCOIE – Ia i: Performantica, 2004 560 p., 24 cm, ISBN 973-730-039-4

I. JAVGUREANU Vasile II. MARCOIE Nicolae

CZU 532(075.8) B 35

Referen i tiin ifici: Dr. ing. Mihail Luca Dr. ing. Ilie Rusu

Consilier editorial: Prof. univ. dr. Traian D. St nciulescu

Secretar editorial: Octav P une

© Toate drepturile asupra acestei edi ii apar in Autorilor i Editurii „PERFORMANTICA“, Ia i, România

Hidraulică vol. II 5

CUPRINS

11. Mişcări efluente ...................................................................................13 11.1 Curgerea permanentă prin orificii............................................ 13 11.1.1 Curgerea prin orificii mici, libere ............................ 14 11.1.2 Curgerea prin orificii mici, înecate........................... 22 11.1.3 Curgerea prin orificii mari, libere............................. 23 11.1.4 Curgerea prin orificiile stăvilarelor

în albii orizontale...................................................... 25 11.1.5 Curgerea prin orificii cu vârtej.................................. 31 11.2 Curgerea permanentă prin ajutaje............................................ 32 11.2.1 Curgerea prin ajutajul cilindric exterior.................... 32 11.2.2 Tipuri de ajutaje folosite în tehnică.......................... 35 11.2.3 Conducte scurte privite ca ajutate............................. 38 11.3 Jeturi lichide............................................................................. 39 11.3.1 Jetul liber................................................................... 40 11.3.2 Jetul înecat................................................................ 46 11.4 Curgerea lichidelor prin orificii şi ajutaje cu sarcină variabilă.................................................................. 47 11.4.1 Timpul de golire al rezervoarelor.............................. 47 11.4.2 Timpul de egalizare al nivelului în două rezervoare......................................................... 49 11.5 Deversoare............................................................................... 50 11.5.1 Teoria fundamentală a debitului............................... 52 11.5.2 Clasificarea deversoarelor......................................... 53 11.5.3 Deversoare cu perete subţire..................................... 61 11.5.4 Deversoare cu profil gros.......................................... 67 11.5.5 Deversoare cu profil curb.......................................... 71 11.5.6 Deversorul cu prag lat............................................... 76 11.5.7 Alte tipuri de deversoare........................................... 78 11.6 Aplicaţii.................................................................................... 85

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 6

12. Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă......................... 93 12.1 Noţiuni generale....................................................................... 93 12.1.1 Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor........ 94 12.2 Legile curgerii uniforme a lichidelor în albii regulate ............ 95 12.2.1 Relaţia generală a curgerii uniforme în canale......... 95 12.2.2 Distribuţia vitezelor pe secţiune................................ 96 12.2.3 Curenţi aeraţi............................................................. 98 12.2.4 Instabilitatea mişcării uniforme................................ 99 12.3 Calculul hidraulic al albiilor regulate deschise în mişcare uniformă............................................................... 100 12.3.1 Problema de verificare a canalelor în mişcare uniformă.................................................. 100 12.3.2 Problema de dimensionare a canalelor în mişcare uniformă................................................ 100 12.4 Calculul hidraulic al canalelor închise.................................... 114 12.4.1 Calculul hidraulic al canalelor circulare................... 114 12.5 Calculul tehnico-economic al canalelor.................................. 118 12.6 Viteze admisibile pe canale..................................................... 119 12.7 Pierderi locale de sarcină în curenţi permanenţi cu nivel liber......................................................... 121 12.8 Aplicaţii.................................................................................... 126

13. Mişcarea permanentă lent (gradual) variată a lichidelor cu suprafaţă liberă.............................................................. 134 13.1 Ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent (gradual) variate a curenţilor cu nivel liber............................. 135 13.2 Studiul energetic al curenţilor permanenţi cu suprafaţă liberă.................................................................... 137 13.2.1 Energia specifică a curentului şi a secţiunii.............. 137 13.2.2 Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul curentului....................................................... 138 13.2.3 Stările curenţilor permanenţi.................................... 139 13.2.4 Recunoaşterea stării curentului................................. 144 13.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcare lent (gradual) variată.............................. 145 13.3.1 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă lent variată pentru I > 0..................................................... 145

13.3.2 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă gradual variată pentru I = 0..................................................... 155 13.3.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă gradual variată pentru I < 0..................................................... 156 13.4 Metode de calcul ale curbelor suprafeţei libere în albii cilindrice şi prismatice................................................ 158 13.4.1 Exponentul hidraulic al albiei................................... 158 13.4.2 Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate în albii regulate prin metoda exponentului hidraulic al albiei (B. A. Bahmetev).......................... 161 13.4.3 Calculul suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată prin metoda diferenţelor finite....................................................... 169 13.4.4 Construirea curbelor suprafeței libere pe râuri cu albie majoră sau albii bifurcate............................. 172 13.4.5 Principalele tipuri de probleme la calculul suprafeţei libere în mişcare permanentă gradual variată........................................................... 173 13.5 Aplicaţii.................................................................................... 175

14. Mişcarea permanentă rapid variată a lichidelor cu suprafaţă liberă.................................................................................... 189 14.1 Saltul hidraulic......................................................................... 189 14.1.1 Formele saltului hidraulic......................................... 190 14.1.2 Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic în albii orizontale...................................................... 194 14.1.3 Ecuaţia saltului hidraulic în albii dreptunghiulare cu pantă mare.................................. 201 14.2 Alte forme de mişcări permanente rapid variate ale curenţilor cu suprafaţă liberă............................................. 202 14.2.1 Pragul urcător............................................................ 202 14.2.2 Treaptă coborâtoare.................................................. 204 14.2.3 Prag de fund.............................................................. 205 14.2.4 Pilă în albie................................................................ 206 14.3 Aplicaţii.................................................................................... 206


15. Racordarea biefurilor.......................................................................... 211 15.1 Propagarea perturbaţiilor în albii deschise.............................. 211 15.2 Trasarea curbei suprafeţei libere la racordarea biefurilor.................................................................................. 214 15.2.1 Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) la schimbare de pantă.............................. 215 15.2.2 Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) prin construcţii cu lame efluente............. 223 15.3 Relaţii de calcul ale mărimilor hidraulice în racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente.............................. 230 15.3.1 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de fund al vitezei............................................................ 230 15.3.2 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de suprafaţă al vitezei.................................................... 234 15.4 Aplicaţii.................................................................................... 235

16. Disiparea energiei. Disipatori de energie........................................... 245 16.1 Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare................................... 245 16.2 Controlul racordării în bieful aval fără construcţii speciale de disipare a energiei................................................. 247 16.3 Controlul racordării şi disipării energiei cu salt înecat în bazine disipatoare................................................................ 249 16.3.1 Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare simple........................................................................ 249 16.3.2 Bazine disipatoare complexe.................................... 254 16.3.3 Alte forme de bazine disipatoare de energie............. 257 16.4 Racordarea biefurilor şi disiparea energiei în jeturi libere...... 260 16.5 Racordarea biefurilor prin căderi în trepte.............................. 265 16.6 Calculul hidraulic al canalelor rapide (jilipuri)....................... 267 16.6.1 Calculul jilipurilor cu pereţi netezi........................... 267 16.6.2 Calculul jilipurilor cu macrorugozitate artificială................................................................... 270 16.6.3 Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată........... 274 16.7 Aplicaţii.................................................................................... 282


17. Mişcarea nepermanentă a lichidelor cu suprafaţă liberă................ 287 17.1 Consideraţii generale. Tipuri de unde...................................... 287

17.2 Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii................................. 288 17.2.1 Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional.......................................................... 288 17.2.2 Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant................ 289 17.2.3 Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant............ 292 17.2.4 Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 293 17.2.5 Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 295 17.2.6 Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........... 297 17.3 Metode de integrare ale ecuaţiilor Saint-Venant..................... 299 17.4 Noţiuni privind caracteristicile. Condiţii iniţiale şi la limită........................................................................................ 300 17.5 Scheme cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor Saint Venant............................................................................. 303 17.5.1 Principiul metodei cu diferenţe finite....................... 303 17.5.2 Schemă implicită în patru puncte.............................. 305 17.5.3 Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor Saint Venant.............................................................. 312 17.6 Unde de translaţie.................................................................... 314 17.7 Valuri....................................................................................... 316 17.7.1 Definiţii. Clasificarea valurilor................................. 316 17.7.2 Valuri marine. Acţiunea valurilor asupra construcţiilor................................................. 317 17.8 Aplicaţii.................................................................................... 320

18. Curgeri bifazice.................................................................................... 331 18.1 Difuzie, dispersie, mişcări polifazice, curgeri stratificate....... 331 18.1.1 Difuzia laminară........................................................ 332 18.1.2 Difuzia turbulentă..................................................... 333 18.1.3 Dispersia turbulentă.................................................. 335 18.2 Curgeri polifazice şi mişcări stratificate.................................. 336 18.2.1 Curgeri polifazice...................................................... 337 18.2.2 Curgeri stratificate..................................................... 338 18.3 Mişcarea aluviunilor................................................................ 339 18.3.1 Caracterizarea aluviunilor prin prisma transportului hidraulic............................................... 340 18.3.2 Despre conceptul de concentraţie............................. 346


18.3.3 Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor....... 347 18.3.4 Mişcarea aluviunilor târâte....................................... 350 18.3.5 Mişcarea aluviunilor în suspensie............................. 360 18.3.6 Cazuri practice de mişcări bifazice lichid-solid................................................................ 364 18.4 Hidraulica mişcării gheţurilor.................................................. 388 18.4.1 Mişcarea zaiului........................................................ 388 18.4.2 Mişcarea(plutirea) sloiurilor..................................... 390 18.4.3 Condiţiile formării şi menţinerii podului de gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.................... 391 18.4.4 Curgerea apei sub podul de gheaţă........................... 396 18.5 Aplicaţii.................................................................................... 398

19. Mişcări potenţiale................................................................................ 404 19.1 Noţiuni generale. Definiţii....................................................... 404 19.2 Mişcări potenţiale plane........................................................... 407 19.2.1 Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul funcţiilor analitice de variabile complexe................. 410 19.2.2 Exemple tratare indirectă a mişcărilor potenţiale plane.......................................................... 411 19.3 Metode de tratare directă a problemelor de mişcări potenţiale plane........................................................... 417 19.3.1 Metoda transformărilor conforme............................. 417 19.3.2 Metoda analitică aproximativă prin diferenţe finite.......................................................................... 422 19.3.3 Metode experimentale............................................... 424 19.4 Aplicaţii.................................................................................... 426

20. Mişcarea apelor subterane.................................................................. 431 20.1 Schema teoretică a curgerii permanente a apei subterane în regim saturat........................................................................ 432 20.1.1 Schematizarea curgerii.............................................. 433 20.1.2 Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)...... 434 20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy............... 435 20.1.4 Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate............. 436 20.1.5 Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate a legii lui Darcy............................................................ 438

20.1.6 Mişcarea apei subterane în medii poroase


stratificate.................................................................. 439 20.2 Bazele hidrodinamice ale filtraţiei........................................... 442 20.2.1 Spectrul hidrodinamic............................................... 445 20.2.2 Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei cu ajutorul spectrului hidrodinamic.......................... 446 20.2.3 Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă............... 448 20.2.4 Mişcări plane verticale în medii poroase neomogene, anizotrope............................................. 449 20.2.5 Mişcări plane verticale în medii ortotrope................ 450 20.2.6 Mişcări plane orizontale............................................ 451 20.2.7 Spectrul hidrodinamic în medii neomogene, anizotrope.................................................................. 453 20.2.8 Metode pentru construirea spectrului hidrodinamic.............................................................. 455 20.3 Calculul filtraţiei prin metode hidraulice................................ 455 20.3.1 Mişcarea uniformă a apelor subterane...................... 455 20.3.2 Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor subterani.................................................................... 457 20.3.3 Ipoteza lui Dupuit generalizată................................. 464 20.3.4 Ipoteza lui Hooghoudt............................................... 469 20.3.5 Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani cu nivel liber.............................................................. 469 20.4 Calculul hidraulic al captărilor apelor subterane..................... 473 20.4.1 Captarea apelor subterane prin puţuri....................... 473 20.4.2 Mişcarea apelor subterane spre drenuri.................... 497 20.5 Filtraţia apei prin corpul construcţiilor din pământ................. 502 20.5.1 Filtraţia prin corpul barajelor de pământ.................. 503 20.5.2 Filtraţia prin corpul digurilor.................................... 516 20.6 Aplicaţii................................................................................... 520

21. Elemente de modelare hidraulică....................................................... 525 21.1 Noţiuni generale. Modele utilizate în modelarea hidraulică 525 21.1.1 Modele fizice şi numerice......................................... 525 21.2 Modele hidraulice.................................................................... 527 21.2.1 Consideraţii preliminare............................................ 527 21.2.2 Modele hidraulice convenţionale.............................. 528 21.2.3 Modele hidraulice distorsionate................................ 529 21.2.4 Modele de tip Froude şi Reynolds............................. 531


21.3 Modelarea curgerilor cu suprafaţă liberă şi cu pat fix............. 532 21.3.1 Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor deschise..................................................................... 532 21.3.2 Modelarea structurilor hidrotehnice.......................... 536 21.3.3 Modele mixte............................................................ 537 21.3.4 Modelarea curgerilor sub presiune............................ 538 21.3.5 Modelarea schemelor de amenajare a râurilor.......... 539 21.3.6 Tehnica modelării hidraulice.................................... 539 21.4 Aplicaţii.................................................................................... 542

Bibliografie................................................................................................. 545

Anexe............................................................................................................549


CAPITOLUL 11

MIŞCĂRI EFLUENTE

Curgerea permanentă a fluidelor din recipienţi prin secţiuni relativ mici, într-un spaţiu ocupat de acelaşi sau de alt fluid se numeşte mişcare efluentă. În categoria acestor mişcări se încadrează curgerea prin orificii şi ajutaje, jeturile (vânele) de fluid rezultate, curgerea peste deversoare, cu lama deversantă aferentă. Aceste mişcări se caracterizează prin curburi pronunţate ale liniilor de curent şi, implicit, variaţii importante ale parametrilor geometrici şi hidraulici – secţiune de curgere, viteză, presiune şi nivel (la curgeri cu nivel liber) – în lungul curentului. La trecerea prin secţiunea de curgere curentul ia forma vânei lichide care se menţine, cu variaţii de formă, şi după trecerea în mediul aval. În raport cu variabila timp, aceste mişcări pot fi permanente (staţionare) sau nepermanente. Se studiază pe larg mişcările staţionare şi numai câteva cazuri practice de mişcări variabile cu timpul.

11.1. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN ORIFICII

Se numeşte orificiu o deschizătură în peretele sau fundul unui rezervor, prin care fluidele curg, conturul fiind în întregime în contact cu fluidul în mişcare. Rolul obişnuit al unui orificiu este măsurarea sau controlul curgerii. După dimensiunea pe verticală a orificiilor în raport cu sarcina (presiunea) sub care lucrează acestea pot fi mici şi mari. La orificiile mici (fig. 11.1) se poate considera că sarcina este constantă pe orificiu, pe când la orificiile mari (fig. 11.2) sarcina este şi trebuie considerată variabilă pe secţiunea orificiului. După condiţiile de curgere orificiile pot funcţiona liber (v. fig. 11.1) sau înecat (fig. 11.2). La orificiile libere vâna lichidă se dezvoltă în gaz şi descrie o anumită traiectorie, în general parabolică pe când la orificiile înecate vâna se dezvoltă în acelaşi fluid din care este format jetul şi păstrează o poziţie aproximativ orizontală.


Fig. 11.1. Orificiu mic liber Fig. 11.2. Orificiu mare liber

Fig. 11.3. Orificiu cu funcţionare înecată

Curentul de lichid se dezlipeşte de muchia orificiului la paramentul amonte, sau dacă muchia amonte este rotunjită, aceasta are rol de dirijare a liniilor de curent. În această privinţă se întâlnesc orificii cu muchii ascuţite, teşite şi rotunjite. Orificiile pot avea diferite forme geometrice, de obicei regulate, însăcele mai des întâlnite în practică sunt cele circulare şi dreptunghiulare. Legile curgerii prin orificii sunt comune tuturor fluidelor, însăcoeficienţii determinaţi experimental se referă în special la apă.

11.1.1. Curgerea prin orificii mici, libere

Convenţional se consideră orificiu mic, acel orificiu la care înălţimea secţiunii sale d este cel mult H/10. Elementele analizate se referă la contracţie, viteză, debit şi traiectoria vânei lichide.

H>>dH

d

1

2

H~d

HH

d

H


10. Contracţia vânei lichide

Urmărind spectrul curgerii prin orificii se observă că firele de curent din recipient descriu traiectorii curbe, convergente spre orificiu, curbura lor fiind mai pronunţată în apropierea orificiului. La orificiile cu muchii ascuţite firele de curent se dezlipesc de perete la muchia amonte şi datorită inerţiei îşi păstrează curbura. La distanţa δ de perete firele de curent devin paralele, vâna având secţiune minimă. Această secţiune poartă numele de secţiune contractată(fig. 11.4).

Pentru secţiuni particulare – cerc cu diametrul „d” şi pătrat cu latura „a” – distanţa de la peretele amonte (secţiune de dezlipire) la secţiunea contractată este δ = 0,6d sau δ=0,5a.Raportul secţiunii contractate Ac şi secţiunea orificiului A este coeficientul de contracţie: ε=Ac/A (11.1)

Fig. 11.4. Contracţia vânei lichide

Mărimea coeficientului de contracţie depinde de caracterul contracţiei care poate fi completă, imperfectă şi incompletă. Contracţia completă are loc dacă pereţii şi fundul recipientului nu influenţează curbura firelor de curent. Se consideră contracţia completă dacă muchia orificiului este la o distanţă de trei ori mai mare dată de elementele perturbatoare decât mărimea orificiului. Contracţia imperfectă are loc dacă orificiul se află mai aproape de elementele de perturbare decât cele arătate anterior; iar contracţia este incompletă dacăorificiul se află lângă peretele lateral sau pe fundul rezervorului. Coeficientul de contracţie variază în limite destul de largi; experimentele arată ε Є (0,56; 0,67), iar calculele teoretice, prin aplicarea teoremei impulsului, conduc la

01

24

22

2

=+−ϕ

επ

ε (11.2)

AA

δ

c


cu valori ),,(ε 6070...5620∈ . Teoria mişcărilor potenţiale, prin transformări conforme, indică:

611,02

=+

=π

πε (11.3)

20. Viteza şi debitul fluidului la orificii mici

Se consideră un orificiu mic, cu muchie ascuţită în peretele vertical al unui rezervor cu două camere (fig. 11.5.). Orificiul se consideră cu funcţionare liberă, nivelul amonte constant, în cele două camere 1 şi 2 presiunea gazului deasupra lichidului fiind p1, respectiv p2, astfel încât curgerea are loc din rezervorul 1 către 2. Particulele de fluid urmează traiectorii curbe, mc fiind una dintre ele, cu punctul m în camera 1, iar c în 2, în centrul jetului din secţiunea contractată.

Fig. 11.5. Curgerea prin orificiul mic

Aplicând ecuaţia energiei între punctele m şi c, rezultă:

mccc

mmm hrz

p

g

uzh

p

g

u+++=+++

γγ2

21

2

22 (11.4)

Cu exprimarea pierderilor sub forma (8.1. – vol 1)g

uhr c

mc 2

2

ζ= , se obţine:

]2

[21

1 212

γζ

pp

g

uHgu m

c

−++

+= (11.5)

Relaţia (11.5) exprimă în general legătura între viteza în secţiunea contractatăşi sarcina pe orificiu.

mm

Um

c

c

m

Uc

P1 P2

V0

Plan de referinta

12

H

h

zz

d


Vitezele în lungul diferitelor linii de curent diferă şi în locul lor se utilizează viteza medie de apropiere, v0. În secţiunea contractată profilul de viteză este cvasiuniform şi în loc de uc se utilizează viteza medie vc, cu acceptarea corecţiei Coriolis αc = 1. Cantitatea:

ζ

ϕ+

=1

1, (11.6)

este coeficientul de viteză şi după înlocuirile necesare (11.5.) devine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++=

γ

αϕ 21

20

22

pp

g

vHgvc , (11.7)

relaţie care poate fi folosită şi pentru gaze când detenta lor sub diferenţa de presiune p1 - p2 este neglijabilă şi se utilizează greutatea lor specifică la presiunea medie. Când presiunea în cele două rezervoare este aceeaşi, p1 = p2, se obţine:

0

20 2)

2(2 gH

g

vHgvc ϕ

αϕ =+= , (11.8)

unde H0 este sarcina totală sub care lucrează orificiul. Uneori şi viteza de apropiere este nesemnificativă şi utilizarea numai a sarcinii H în calcule nu introduce erori semnificative. Coeficientul ζ la orificii mici are valori între 0,02…0,08, coeficientul de viteză φ variind în limitele 0,96…0,99. Coeficientul de viteză poate fi privit ca raportul vitezei medii reale a fluidului prin orificiu şi vitezei teoretice a unui fluid eulerian, dată de relaţia lui Toricelli, φ=vc/vt. Utilizând ecuaţia de continuitate se obţine debitul orificiului:

)(2)(2 210

210

γμ

γεϕ

ppHg

ppHgAVAQ cc

−+=

−+== (11.9)

în care εϕμ = (11.10) este coeficientul de debit cu valori între 0,59 şi 0,66.


Experienţele lui Bazin evidenţiază repartiţia vitezelor şi presiunilor în secţiunea orificiului (tab. 11.1, fig. 11.6).

Fig. 11.6. Repartiţia vitezei şi presiunii relative în secţiunea orificiului

Distribuţia relativă a vitezei în secţiunea orificiului Tabelul 11.1

0r

r0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

gH

u

20,636 0,636 0,645 0,652 0,660 0,670 0,680 0,688 0,703 0,703

Variaţiei de viteză în secţiunea orificiului îi corespunde şi o variaţie de presiune, presiunea maximă fiind în centrul orificiului, cu valoarea ~ 0,6γH,scăzând spre contur la zero. În general coeficientul de viteză este subunitar datorită pierderilor de energie, dar la orificii verticale s-au obţinut experimental şi valori uşor supraunitare (1,01…1,04), care s-au explicat prin presupunerea că, din cauza variaţiei continue de formă a vânei pe traiectorie s-ar putea să se producă presiuni vacumetrice în unele puncte.

A

A

0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0.6

h0

r0.703

0.636

0.703

H

r

ru2gH

h=pH

r


30. Factorii care influenţează coeficientul de debit

a. Viteza de acces. Relaţiile prezentate sunt valabile când rezervorul din care are loc curgerea are o secţiune mare în raport cu secţiunea orificiului. Pentru orificii la capăt de conductă, cu secţiune de curgere în conductă relativ mică, coeficientul de debit creşte cu reducerea secţiunii amonte de curgere (fig. 11.7 şi fig. 11.8), dar este dependent şi de sarcină.

Fig. 11.7. Orificiu circular la capăt Fig. 11.8. Variaţia lui μ cu de conductă în perete normal pe axa sarcina totală şi raportul secţiunilor conductei şi orificiului

Într-o asemenea situaţie, înlocuind viteza de acces din ecuaţia de continuitate, se obţine:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=

42

42

2

112

1

2

D

dgHA

D

d

gHAQ μμ

μ

μ (11.11)

Pentru orificiu în interiorul conductei, în mod asemănător, se obţine:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−

=4

221

42

21

2

112

1

2

D

dppgA

D

d

ppgA

Q μγ

μ

μ

γμ

(11.12)

care se foloseşte şi pentru gaze însă greutatea specifică a gazului se determinăpentru presiunea medie sau, ( )215,0 ppp += .

d

H=

p/

DV0

µ= f ( , H )dD 0

0,5

0,45

0,400,350,300,25

d/D

5 10 15 20 250,59

0,60

0,61

0,62

0,63

H (m)0


b. Forma muchiei orificiului La orificii cu muchie ascuţită jetul se dezlipeşte la muchia orificiului.

Practic nu se pot obţine muchii ascuţite, dar se poate realiza dezlipirea şi contracţia completă. La orificii cu muchie rotunjită, rotunjirea are rol de dirijare a firelor de lichid şi contracţia nu mai este completă (fig. 11.9.). Dacă rotunjirea are raza r, coeficientul de debit creşte cu aceasta astfel: pentru orice procent de rotunjire (r/d = 0,01), μ creşte cu 3,1%. Constatarea este valabilă pentru r/d ≤ 0,1. Rotunjiri mai pronunţate ale muchiei orificiului conduc la creşterea substanţială a coeficientului de debit care poate ajunge chiar la valoarea de 0,98 însă legea variaţiei coeficientului de debit diferă.

Fig. 11.9. Efectul rotunjirii muchiei orificiului asupra contracţiei.

c. Rugozitatea peretelui în jurul orificiului, în funcţie de mărimea sa, are efect asupra componentelor vitezei de lângă perete. Creşterea rugozităţii reduce viteza la paramentul amonte şi, implicit, contracţia. Un orificiu cu parament amonte şlefuit are coeficient de debit cu până la 2 % mai mic decât orificiul în perete cu parament amonte aspru.

d. Vâscozitatea crescândă a lichidului implică creşterea coeficientului de debit tot pe seama reducerii contracţiei datorită micşorării componentelor tangenţiale la parament ale vitezei.

40. Traiectoria şi inversia jetului

a. Traiectoria. Pentru sarcini pe orificiu de H = 6…7 m, efectul frecării jetului cu aerul se poate neglija, traiectoria fiind parabolică. Se consideră un orificiu mic în peretele vertical al unui rezervor şi se urmăreşte traiectoria unei particule din centrul de greutate al jetului din secţiunea contractată (fig. 11.10.).

d

r


În punctul O particula este lansatăcu viteza vc şi este acţionată de acceleraţia gravitaţională g, mişcarea pe orizontală poate fi considerată uniformă, iar pe verticală accelerată, neglijându-se frecările cu aerul. După timpul tparticula ajunge în punctul M(x,z), coordonatele drumului parcurs de particulă după cele două direcţii fiind:

Fig. 11.10. Traiectoria jetului

2

2

1gtz

tvx c

⎩⎨⎧

=

=

(11.13)

Dacă din aceste ecuaţii parametrice ale traiectoriei se elimină timpul, rezultă:

2

2

2cv

xgz = (11.14)

sau după înlocuirea vitezei de lansare cu (11.8), rezultă

0

2

2

4 H

xz

ϕ= (11.15)

Se observă traiectoria parabolică a jetului dacă frecarea cu aerul este neglijată. Ecuaţia traiectoriei jetului este uneori folosită la determinarea coeficientului de viteză. Măsurându-se sarcina constantă H0 şi perechea de coordonate (x, z), în lungul traiectoriei, având ca origine a axelor de coordonate centrul secţiunii contractate, rezultă, după prelucrări statistice, coeficientul de viteză ϕ.

b. Inversia jetului. Jetul rezultat de la diferite forme de orificii prezintă un fenomen interesant şi anume: inversia jetului.

Forma jetului este asemănătoare cu cea a orificiului numai până la secţiunea contractată. În (fig. 11.11) sunt prezentate formele succesive ale jetului în lungul traiectoriei.

x

z

H

Vc

g

X

Z

M(x,z)

0


Fig. 11.11. Inversia jetului lichid

După parcurgerea acestor forme jetul revine la secţiunea iniţială şi, ciclic ia cele patru forme în lungul său dacă nu este dispersat de frecarea cu aerul şi de tensiunea superficială. În lungul jetului se observă un fenomen de răsucire al acestuia, secţiunile succesive având formele relative din fig. 11.11.

11.1.2. Curgerea prin orificii mici, înecate

Se consideră un rezervor compartimentat de un perete vertical în care este practicat un orificiu mic. Nivelul constant în ambele compartimente este deasupra muchiei superioare a orificiului, între compartimente existând diferenţa de nivel H = H1 - H2 (fig. 11.12).

Fig. 11.12. Orificiu înecat

Procedând în mod analog ca la orificiul cu funcţionare liberă, rezultă:

0

200 2)

2(2

1

1gH

g

vHgVc ϕ

α

ζ=+

+= (11.16)

respectiv debitul:

02gHAQ μ= (11.17)

1

0

2c

c1 2A A c

Vc

V0

a

PaH

H H

H


sau când viteza de apropiere se poate neglija: 1 22 2 ( )Q A gH A g H Hμ μ= = − (11.18)

De remarcat este faptul că în cazul orificiilor mici înecate coeficientul de debit este cu circa 2 % mai mic decât la orificii libere.

11.1.3. Curgerea prin orificii mari, libere

Orificiul se consideră mare dacă dimensiunea acestuia pe verticală este de acelaşi ordin de mărime cu sarcina sub care are loc curgerea. Astfel, sarcina în diferite puncte pe o verticală nu poate fi considerată constantă şi viteza diferăapreciabil. Se consideră un orificiu mare, de formă oarecare, care descarcă apă în atmosferă sub sarcină constantă (fig. 11.13).

Fig. 11.13. Curgerea prin orificiul mare

În calcule orificiul mare se împarte într-o infinitate de orificii mici, de fâşii orizontale, care pot fi considerate dreptunghiuri elementare de înălţime dH. Pe un astfel de orificiu elementar se admite sarcina H şi viteza pe secţiune constante. Debitul elementar al unui astfel de orificiu mic virtual este:

gHdHHbdQ 2)(μ= (11.19)

Admiţând coeficientul de debit constant pentru toate fâşiile elementare, debitul total se obţine prin integrarea relaţiei

dHHHbgQH

H∫=

2

1

)(2μ (11.20)

Integrala se poate efectua dacă se cunoaşte funcţia b(H). Astfel, pentru un orificiu mare, de formă dreptunghiulară b(H) = b şi se obţine:

Pa

H b(H)

dHdH

H2

1

p=paH

)(23

2 2

3

12

3

2 HHgbQ −= μ (11.21)

Pentru orificii mari cu muchie ascuţită şi contracţie completă se poate accepta μ = 0,6 fără a comite erori apreciabile (sub 5 %). La orificii dreptunghiulare, chiar relaţia orificiilor mici asigură o precizie acceptabilă folosind sarcina medie:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−=2

2)( 2112

HHgHHbQ μ (11.22)

Coeficientul de debit pentru orificiile mari cu contracţie incompletăsau imperfectă variază în limite largi, între 0,65 şi 0,95 (tab. 11.2)

Coeficientul de debit pentru orificii mari Tabelul 11.2

Nr.

Felul orificiului μ

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Orificii mijlocii, contracţie perfectă…….................................................. Orificii mari, contracţie perfectă……………………............................... Orificii de fund cu contracţie laterală perfectă, după gradul de perfecţie…………………………………............................................. Orificii de fund cu contracţie laterală redusă…………............................. Orificii de fund cu intrare laterală racordată…………............................. Orificii de fund prevăzute cu stavile cu pereţi curbi, netezi

Tip a α=45o…………………………………………………............................ α=60o……......……………………………………….............................. α=70o………..……………………………………….............................. Tip b a/r<=1………………......…………………………….............................

0,63 0,70

0,65-0,70 0,70-0,75 0,80-0,85

0,80-0,85 0,85-0,90 0,90-0,95

0,90


11.1.4. Curgerea prin orificiile stăvilarelor în albii orizontale

Deschiderile stăvilarelor sunt considerate orificii mari. Ele pot fi pe creasta deversantă a unui deversor, amonte de o cădere într-o albie sau într-o albie cu fund continuu. Primele cazuri de stăvilar se calculează ca orificii mari având contracţie completă, incompletă sau imperfectă, însă orificiul de stăvilar în albie cu fund continuu prezintă particularităţi şi se calculează diferit.

10. Curgerea liberă sub stăvilare

Orificiul de stavilă funcţionează liber atunci când nivelul apei din aval se găseşte sub muchia superioară a orificiului (fig. 11.14). În albie de secţiune dreptunghiulară firele de curent se curbează numai pe verticală, de sus în jos, curentul suferind o contracţie pe verticală, secţiunea contractată fiind, aproximativ, la o distanţă egală cu înălţimea orificiului. Adâncimea contractată(hc) este:

ch aε= ⋅ (11.23)

unde a este deschiderea orificiului pe verticală, iar εεεε - coeficientul de contracţie.

H

a

HH

~a

01

202

v0/2g

h c=

a

α0

Vc

0 0

Fig. 11.14. Orificiu de stavilă liber


Viteza în secţiunea contractată se obţine din ecuaţia energiei, scrisăsecţiunilor 0 - c.

g

vh

g

vH

g

v cc

cc

222

22

2

200 ζ

αα++=+ (11.24)

În secţiunea contractată distribuţia vitezelor este cvasiuniformă şi se poate accepta αc = 1, rezultând:

)(2)2

(21

102

200

2 ccc hHghg

vHgV −=−+

+= ϕ

α

ζ (11.25)

Valorile coeficientului de viteză se încadrează în limitele 0,92…1,0. Debitul curs rezultă din ecuaţia de continuitate în mişcare permanentă:

)(2)(2 0202 aHgabhHgabVAQ ccc εμεϕ −=−== (11.26)

Atât studiile teoretice cât şi cele experimentale arată dependenţa coeficienţilor ε, ϕ şi μ de deschiderea relativă a stăvilarului a/H2. (tab. 11.3.).

Variaţia coeficienţilor ε, ϕ şi μ cu deschiderea relativă a stăvilarului Tabelul 11.3.

Deschiderea relativă a

stăvilarului a/H2

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

Coeficient de contracţie pe

verticală εεεε 0,615 0,617

0,620

0,622

0,625

0,629

0,633

0,638

0,645

0,652

0,661

0,672

Coeficient de debit μμμμ 0,611 0,61

2 0,613

0,614

0,614

0,616

0,617

0,619

0,621

0,623

0,625

0,628

Coeficient de viteză ϕϕϕϕ 0,994 0,99

2 0,990

0,987

0,983

0,979

0,974

0,969

0,963

0,955

0,946

0,933

Cele arătate anterior sunt pentru stăvilarele verticale. În cazul stăvilarelor înclinate amonte (fig. 11.15) peretele stavilei are rol de dirijare a firelor de curent şi se modifică coeficienţii de contracţie, vitezăşi de debit.


Fig. 11.15. Orificiu de stavilă înclinată spre amonte

După Jukovski coeficientul de contracţie se exprimă prin:

1

0 22

2sin

2sin1

sin2

cos1

1

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

+= ∫k

kk

ttg

k

dk

k

π

θθ

θθθ

πε (11.27)

iar deschiderea relativă este:

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=kk

kk

ttg

k

dk

k

ttg

H

a π

θθ

θθθ

0 22

2

2sin

2sin1

sin2

cos (11.28)

în care πk este unghiul stavilei faţă de orizontală, iar t- numere pozitive oarecare pentru calibrarea ecuaţiei (11.28). Integrala

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

=k

kk

ttg

k

dkI

π

θθ

θθθ

0 22

2sin

2sin1

sin2

cos (11.29)

se soluţionează numeric (ex. metoda trapezelor), astfel fiind posibilădeterminarea lui ε şi a/H din relaţiile:

Ik

k

+=

π

πε (11.30)

şi

k

k

ttg

H

a2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ε

(11.31)

Experienţele confirmă justeţea relaţiei lui Jukovski (fig. 11.16)

hθ

a

H c


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,60

0,64

0,68

0,72

0,76

0,80

0,84

0,88

0,92

0,96

10

a/H

ε θ

0o

10o

20o

30o

45o

o90

Fig. 11.16. Graficul funcţiei ε=f(a/H, θ)

Debitul specific tranzitat pe sub stavilă este:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= θεθμ ,2,H

aaHgab

H

aQ (11.32)

Mărimea coeficientului de debit se determină experimental, fiindcă nu există posibilităţi teoretice de calcul nici pentru μ, nici pentru ϕ. Graficul din fig. 11.17. arată dependenţa μ(a/H, θ). Aproximarea empirică a coeficientului de debit conduce la relaţia:

( )( )θ

θμ00178,0151,0

05055,00256,1−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=H

a (11.33)

pentru care erorile nu depăşesc ± 2 %.


0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,3 0,4 0,5 0,60,56

0,58

0,60

0,68

0,70

0,72

0,74

0,76

0,78

0,80

0,82

0,84

0,86

0,88

0,90

0,92

a/H

μθ

100

020

030

045

090

Fig. 11.17. Graficul funcţiei μ=f(a/H, θ)

Pe baza celor arătate la curgerea liberă sub stavile înclinate pot fi construite stăvilare regulatoare automate de debit dacă stavila înclinată este mobilă şi este acţionată de nivelul apei din amonte cu ajutorul unui flotor (fig.11.18). Caracteristica de reglaj a unui astfel de stăvilar corespunde fig. 11.19, care are elementele constructive: b = 1 m; a = 0,18 m; R = 1,03 m. Funcţionarea liberă a stăvilarului se asigură prin existenţa pragului de fund.

Fig. 11.18. Schema stăvilarului cu mască flotabilă1) stăvilar vertical, 2) oblon mobil, 3) flotor, 4) articulaţie cilindrică, 5) braţele flotorului, 6) instalaţia de manevrare a stavilei verticale, 7) prag de fund.

Ra

H

h

h

p

12

3

4

5

6

7

θQ

c

a

12

4

5 3 7

Fig. 11.19. Curba de reglaj a stăvilarului cu mască flotabilă.

20. Curgerea înecată sub stăvilare

Orificiul de stavilă funcţionează înecat când nivelul apei din aval se găseşte deasupra muchiei superioare a orificiului (fig. 11.20).

Fig. 11.20. Orificiu de stavilă cu funcţionare înecată

La aceste orificii debitul tranzitat se calculează tot cu o relaţie de forma (11.26), dar în care sarcina sub care are loc curgerea este: Z0 = H02 - hz (11.34) Nu se foloseşte în loc de hz valoarea hav fiindcă în general hz < hav şi ar conduce la supradimensionări (uneori chiar cu 50 %). Relaţia pentru calculul lui hz, după M.D.Certousov (utilizând ecuaţia teoremei impulsului), este:

22

2 2 HH

hnnnh av

z ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+= (11.35)

în care:

H

a

HH01

202

v0/2g

z z

h h

z z

hc z

av

0 ' '0

α0

Δ cresterea debitului

fata de stavila

plana verticala

stavilavertic

ala

480 490 500 510 520 5300,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4Hmax

Hmin

H

q(l/sm)

H(m)

q min

q n q max


( )

( )aHh

ahan

av

av22

2

2

1,1

1,2

βμε

εβαμ

−

−= (11.36)

cu 2H

hav=β .

11.1.5. Curgerea prin orificii cu vârtej

Dacă orificiul este în plan orizontal şi are o secţiune mare în raport cu sarcina H, se formează o depresiune care coboară din ce în ce mai mult, iar mişcarea ia caracterul unui vârtej dacă există vreo cauză a unei mişcări excentrice (fig. 11.21).

d

r

z

r

z

H

0

P

P0

0u

u0

Fig. 11.21. Curgerea prin orificiu de fund cu vârtej

Acest vârtej, cu axa verticală trecând prin centrul orificiului, se suprapune mişcării de curgere prin orificiu. Mişcării considerată pornită din repaus (fluidul fiind considerat eulerian), i se poate aplica ecuaţia curgerii pe linia de vârtej între două puncte oarecare, unul pe marginea pâlniei la suprafaţă(cu parametrii r0 şi p0) şi unul în interior (cu parametri r şi p).

g

upz

g

upz

22

2200

0 ++=++γγ

(11.37)

unde u şi u0 sunt viteze de rotaţie datorită vârtejului. Echilibrarea forţei centrifugale necesită respectarea relaţiei:

gr

u

dr

dp 2γ= (11.38)


Diferenţiind prima ecuaţie faţă de r şi ţinând seamă că z este independent de r, se obţine:

dr

duu

gdr

dp γ−= (11.39)

Din ultimele două ecuaţii rezultă:

0)(

==+dr

rud

dr

duru (11.40)

sau

r

ruu 00= (11.41)

ceea ce arată că circulaţia este constantă pentru orice cerc de rotaţie în jurul axului pâlniei. Dacă punctul de coordonate (r, p) este situat tot pe suprafaţa pâlniei, p = p0, rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

20

2

20

20

0

11

2 rrg

ruzz (11.42)

Debitul orificiului este mai mic în cazul formării pâlniei, deoarece lichidul este îndepărtat de orificiu de către vârtej. Dacă se iau precauţii ca apa să fie perfect liniştită nu se va forma pâlnia.

11.2. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN AJUTAJE

Ajutajele sunt conducte foarte scurte, de diferite forme, care sunt ataşate etanş orificiilor. Curgerea prin aceste ajutaje diferă substanţial de curgerea prin orificii prin faptul că peretele ajutajului are rol de dirijare a vânei lichide. Ajutajele pot fi exterioare şi interioare, în funcţie de partea orificiului la care se ataşează, iar după formă pot fi cilindrice, conice (convergente, divergente), conoidale, speciale etc.

11.2.1. Curgerea prin ajutajul cilindric exterior

Ataşând exterior unui orificiu circular cu muchie ascuţită un tub cilindric, cu acelaşi diametru, având lungimea câteva diametre, se obţine un ajutaj cilindric exterior (fig. 11.22).

Fig. 11.22. Ajutaj cilindric exterior

Dacă muchia amonte a ajutajului este ascuţită jetul se dezlipeşte de perete şi formează secţiunea contractată Ac = ε A. Dacă lungimea ajutajului îndeplineşte condiţia l < 1,5 D jetul rămâne dezlipit, nu atinge peretele ajutajului şi iese în atmosferă, funcţionând aproape ca un orificiu. Antrenarea aerului de către jet creează vârtejuri de aer între peretele ajutajului şi jet, fapt care într-o oarecare măsură influenţeazăparametrii curgerii. Dacă lungimea ajutajului l > 1,5 D jetul se lipeşte de peretele tubului în aval de secţiunea contractată şi iese în atmosferă cu secţiune egală cu cea a ajutajului.

Aplicând ecuaţia energiei între secţiunea 0 şi e se obţine viteza la ieşire:

02gHVe ϕ= (11.43)

cu

ζα

ϕ+

=e

1 şi g

vHH

2

20

0

α+= (11.44)

Coeficientul 1~eα , iar D

li λζζ += . În cazul lungimii mici a ajutajului

(l/D = 3…5) pierderile liniare se pot neglija, ţinând cont numai de pierderea la

Vc VeAD

V0HH0

c

e

e

i

i

0V0/2g

h

h

l


intrare cu muchii vii, deci 5,0~ =iζζ . În aceste condiţii 82,0~ϕ . Pentru

secţiunea de ieşire coeficientul de contracţie, 1==A

Aeeε , ecuaţia debitului

devenind:

00 282,02 gHAgHAQ e ≅= ϕε (11.45)

Comparativ cu debitul orificiului de acelaşi diametru, debitul ajutajului este mai mare cu circa 34 %. În secţiunea contractată, între vâna lichidă şi peretele ajutajului existăun spaţiu de vârtejuri unde presiunea este mai mică decât cea atmosferică. Viteza în secţiunea contractată este superioară vitezei din secţiunea de intrare sau de ieşire. În secţiunea contractată 98,0~ϕ şi 64,0~ε , rezultând Vc = Vi/0,64 şi 06,0~ζ .

Ecuaţia energiei, scrisă secţiunilor 0 - c, cu 1≅cα şi

0282,0 gHVc = , permite calculul presiunii în secţiunea contractată cu relaţia:

074,0 Hp

h cvac −≅=

γ (11.46)

Valoarea presiunii vacuumetrice măsurate în secţiunea contractată indică valori hvac ~ 0,75 H0, apropiată de valoarea calculată. Această presiune vacuumetrică nu poate fi inferioară presiunii de vaporizare în cazul funcţionării normale a ajutajului. Acceptând în loc de pv

vidul absolut rezultă mCA33,075,0 0 −≥− H , sau mCA77,130 ≤H . La sarcini

H0 superioare, la care în secţiunea contractată se atinge presiunea de vaporizare, în ajutaj apar fenomene de cavitaţie şi de dezlipire a jetului de peretele ajutajului ceea ce atrage după sine scăderea coeficientului de debit. Reducerea acestui coeficient la valori apropiate coeficientului de debit caracteristic orificiilor nu are loc brusc, datorită antrenării şi circulaţiei aerului între jet şi peretele ajutajului (cel puţin pentru ajutaje cu diametre de ordinul milimetrilor). Viteza mare a jetului antrenează aerul spre ieşire în apropierea suprafeţei jetului, iar lângă peretele ajutajului are loc intrarea aerului (fig. 11.23). În secţiunea contractată presiunea este inferioară presiunii atmosferice – mişcarea aerului cu turbioane are loc cu pierderi de energie – şi orificiul funcţionează la sarcina H0 - hvac. Acceptând în relaţie H0, va fi influenţat μ . Prin experimentări chiar s-a remarcat un histerezis al coeficientului de debit (fig. 11.24).


Fig. 11.23. Circulaţia în ajutaj Fig. 11.24. Variaţia coeficientului de debit după dezlipire la ajutaj cu fenomene de cavitaţie Lungimi ale ajutajului de peste (3…5)D implică scăderea coeficientului de debit (şi viteză) datorită creşterii pierderilor liniare. Pentru

02,0=λ lungimea ajutajului care asigură acelaşi coeficient de debit ca orificiul este l = 55 D.

11.2.2. Tipuri de ajutaje folosite în tehnică

Ajutajele sunt frecvent folosite în tehnică în diferite scopuri: mărirea coeficientului de debit faţă de orificiu; realizare de jet compact sau destrămat; instrumente pentru măsurare sau de limitare a debitului etc. Deseori

mCA130 >H , iar evitarea fenomenelor de cavitaţie se realizează prin

modelarea formei în lung a ajutajului. Se utilizează ajutaje conice (convergente şi divergente), conoidale, combinate şi, uneori ajutaje interioare tip Borda. Principalele lor caracteristici corespund (tab. 11.4).

În tehnica hidroameliorativă ajutajele sunt frecvente ca duză de aspersor, (conic convergent - cilindric), elemente de distribuţie la microirigaţie prin rampe perforate (ajutaje cilindrice şi conic convergente). În tehnologia hidromecanizării se întâlnesc ajutaje la hidromonitoare (conic convergent - cilindric); în hidroenergetică la ajutajele turbinelor Pelton; la furtune de pompieri şi duze pentru stingerea incendiilor; jetul fântânilor arteziene se obţine cu diferite forme de ajutaje lucrând la sarcini diferite, deseori variabile. Motoarele termice cu aprindere prin scânteie sau prin compresie utilizeazăfrecvent ajutajele la carburatoare, injectoare, stropitoare, duze de purjare etc. În tehnica pulverizării în diferite scopuri se utilizează tot ajutaje de diferite forme.

hvac

L

d

ajut

aj

orifi

ciuH

μ0,6 0,82

3

5

10

120


Tehnica propulsiei prin jet precum şi tehnica militară, adeseori apeleazăla ajutaje şi orificii.

Tipuri de ajutaje şi caracteristicile lor Tabelul 11.4

Schema ajutajului Denumire.

Caracteristici hidraulice utilizate

Valoarea coeficientului de debit

1 2 3 Ajutaje exterioare

1. Ajutaj cilindric exterior normal l = (3…5) d, cu muchie ascuţită

82,0=μ

2. Ajutaj cilindric exterior normal l = (3…5) d,cu muchie rotunjită

)97,0...82,0∈μ

90,0=mμ

β

3. Ajutaj cilindric exterior înclinat l = (3…5) d cu muchie ascuţită

β 0 10 20 30

μ 0,82 0,80 0,78 0,76

β 40 50 60

μ 0,75 0,73 0,72

β

4. Ajutaj conic convergent

946,0max =μ pentru12413o=β

β μ β μ

90 0,873 15 0,94260 0,892 13,24 0,946 45 0,909 11 0,938 36 0,920 7 0,90830 0,925 6 0,896 22 0,931 5 0,88318 0,937 4 0,857

6 0,82

d

l

l

R


5. Ajutaj conoidal l = 0,6 d Este profilat după forma vânei

994,0...956,0=μ

6. Ajutaj conic divergent cu muchia rotunjită. μ este raportat la secţiunea

cea mai mică. Vâna este lipitănumai pentru oo 7...5=β şi

are gol la mijloc

3,2...96,0=μ

7. Ajutaj conic convergent divergent

3,25,1 −=μ

3,2max =μ pt. 16min

=A

Aiesire

a

b

d

D

D

8. Ajutaj: a) conic-convergent (pompieri) b) conoidal-cilindric (hidromonitor)

ϕμ == ;2

1

D

d 4

3 ′′φ 983,0=μ

8

31′′φ 959,0=μ

9. Ajutajul turbinei Pelton. Injector 97,0≅μ

β

βτ


Ajutaje interioare (tip Borda) 1. Ajutaj cilindric interior 1.1. Ajutaj conic divergent interior Dl 5,2≅Forma ajutajului influenţeazăpuţin coeficientul de debit

52,051,0 −=μ

11.2.3. Conducte scurte privite ca ajutaje

Evacuarea apelor din spatele digurilor, barajelor, curgerea prin podeţe tubulare sub presiune (fig. 11.25) – când lungimea conductelor este relativ micăîn raport cu diametrul - poate fi privită curgere prin ajutaje, debitul descărcat fiind :

gHAQ 2μ= (11.47)

Coeficientul de debit depinde de forma conductei (circulară, dreptunghiularăetc.), de forma intrării în conductă, şi raportul L/D. Dacă DL 50≤ coeficientul μ corespunde (tab. 11.5) în caz contrar pierderile se calculează ca pentru conducte scurte.

Coeficienţii de debit pentru conducte scurte, asimilate ca ajutaje Tabelul 11.5

Intrare în conductă

L (m)

D (m) 0,305 0,46 0,61 0,915 1,22 1,525 1,83

Buză tăiatăoblic

3,05 6,10 9,15

12,20 15,25

0,86 0,79 0,73 0,68 0,65

0,89 0,84 0,80 0,76 0,73

0,91 0,87 0,83 0,80 0,77

0,92 0,90 0,87 0,85 0,83

0,93 0,91 0,89 0,88 0,86

0,94 0,92 0,90 0,89 0,88

0,94 0,93 0,91 0,90 0,89

Intrare dreaptă cu muchii vii

3,05 6,10 9,15

12,20 15,25

0,80 0,74 0,69 0,65 0,62

0,81 0,77 0,73 0,70 0,68

0,80 0,78 0,75 0,73 0,71

0,79 0,77 0,76 0,74 0,73

0,77 0,76 0,75 0,74 0,73

0,76 0,75 0,74 0,74 0,73

0,75 0,74 0,74 0,73 0,72


Fig. 11.25. Conductă scurtă de golire, asimilată ca ajutaj.

De fapt aceste conducte de golire sunt privite ca ajutaje atâta timp cât profilul vitezei în lungul conductei nu este stabilizat, stratul limită nu este dezvoltat pe întreaga secţiune (fig. 11.26). La intrarea în conductă profilul de viteză este uniform apoi se dezvoltă stratul limită care, la anumită distanţă de la intrare, se extinde pe întreaga secţiune:

• în laminar DRl es 03,0= ;

• în turbulent Dls 50≈ .

Fig. 11.26. Profilul de viteză în conducte scurte asimilate cu ajutaje

11.3. JETURI LICHIDE

După cum s-a mai arătat vâna lichidă aval de orificiu sau ajutaj se poate dezvolta în aer - vână liberă – sau în acelaşi lichid-vână înecată. Deşi există studii teoretice numeroase, descrierea jetului conţine numeroşi coeficienţi determinaţi experimental.

D

HV0

lsv

u~c u=c u(r)

u(r)

u(r)δ δ

i


11.3.1. Jetul liber

În 11.1.1. s-au studiat caracteristicile jetului liber de la orificii, pentru sarcini mici (H = 6…7 m), lansate după orizontală şi cât timp frecarea cu aerul se poate neglija.

Într-un caz mai general, se consideră un jet lansat dintr-un orificiu, sub unghi θ faţă de verticală, secţiunea contractată fiind la distanţa R de la origine, iar originea la o distanţă b faţă de un plan orizontal arbitrar P (fig. 11.27.). Se consideră axa x pe orizontală, iar z pe verticală şi se aplică unui tronson din jetul aruncat teorema mişcării centrului de masă.

Fig. 11.27. Traiectoria vânei de lichid în aer

Ecuaţia mişcării este: MM r M g= (11.48) cu proiecţiile pe axele de coordonate:

0M

M

X

Z g

⎧ =⎪⎨

= −⎪⎩

(11.48’)

Condiţiile iniţiale ale acestui sistem sunt:

t=0 sin

cosM

M

X R

Z R

θ

θ

=⎧⎨

=⎩ şi 0

0

sin

cos

M

M

X V

Z V

θ

θ

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

(11.49)

cu gHV 20 ϕ=

Integrând ecuaţiile (11.48’) în condiţiile (11.49) se obţine:

R

θ

Xo

b

M(x,z)

PB

X0

V0

rM

ΖΜ

XM

x


⎩⎨⎧

=

=

θ

θ

cos

sin

01

01

VC

VC

y

x; ⎩⎨⎧

=

=

θ

θ

cos

sin

2

2

RC

RC

z

x

coordonatele traiectoriei devenind:

( )

( ) 2

sin 2 sin

1cos 2 cos

2

M

M

X R gH t

Z R gH t gt

θ φ θ

θ φ θ

⎧ = +⎪⎨⎪ = + −⎩

(11.50)

După eliminarea timpului din sistemul (11.50), se obţine: 2

2 2 2 2

1

4 2 sin 4 sinM M M

R RZ ctg X X

H H Hθ

φ φ θ φ θ

⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟

⎝ ⎠ (11.51)

sau ( ) ( )2 2 2 2 22 sin 2 sin 4 sin 0M M MX H R X R H Zφ θ θ φ θ− + + + ⋅ = (11.52)

Bătaia jetului X0 rezultă din ecuaţia (11.52) în care ZM = - b, ( ) ( )2 2 2 2 22 sin 2 sin 4 sin 0M MX H R X R H bφ θ θ φ θ− + + − ⋅ = (11.53)

deci prima soluţie a acestei ecuaţii este:

( ) ( )22 2 2 2 2sin 2 sin sin 2 sin 4 sinMX H R H R R H bφ θ θ φ θ θ φ θ= + + + − − ⋅ (11.54)

Bătaia maximă a vânei 0X se obţine prin anularea primei derivate a funcţiei (11.54) în raport cu variabila θ . Termenii care conţin R, în general, se pot neglija, datorită distanţei mici dintre secţiunea orificiului şi cea contractată, obţinând: 2 2 2 22 sin 2 4 sin 0M M MX HX H Zφ θ φ θ− + ⋅ = (11.52’) şi

( )22 2 2 2sin 2 sin 2 4 sinMX H H H bφ θ φ θ φ θ= + + ⋅ (11.54’)

Când b este neglijabil se obţine relaţia cunoscută: 22 sin 2MX Hφ θ= (11.55) În toate cazurile ecuaţiile (11.54, 11.54’, 11.55) prezintă un maxim pentru

045=θ , fiind neglijată frecarea cu aerul. Particulele de lichid vor fi dispersate de o parte şi alta a punctului B, unde centrul de masă întâlneşte planul P. Pentru jetul vertical 0=θ înălţimea de ridicare maximă rezultă:

g

VH

22

20

ϕ= , (11.56)

însă această înălţime este teoretică, fiind neglijată frecarea cu aerul.


La presiuni mai mari de 6…7 mCA, de ordinul 10…35 mCA, bătaia maximă a jetului se obţine pentru unghi de lansare faţă de orizontală între 30…40o. Înălţimea de ridicare şi bătaia maximă sunt mai mici, datorităpierderilor de energie prin frecări interne şi cu aerul. Lansarea jetului depinde de forma ajutajului. Jetul de apă iese în atmosferă în general compact, dar după un anumit parcurs nu mai are unitate ci este format din trâmbe secundare care, la rândul lor, se descompun pe traseu până la picături şi cad în această formă. Forţele care participă la destrămarea jetului sunt: cele rezultate din diferenţe de presiune interioare, rezistenţa aerului şi tensiunea superficială, iar ca forţăstabilizatoare - vâscozitatea. În fig. 11.28. se reprezintă schematic structura jetului de apă. Datorită fenomenelor de destrămare - pulverizare se formează o zonare a jetului în lungime şi în secţiune transversală. Zona 1: este vână compactă, transparentă în centru, care se subţiază spre aval şi dispare la sfârşitul sectorului I. Zona 2: este compusă din fire de lichid cu bule de aer, începe la suprafaţa jetului din sectorul I (în secţiunea 1) şi formează exteriorul jetului I şi miezul sectorului II. Dispare la sfârşitul sectorului II. Zona 3: este compusă din picături izolate şi fire de lichid care se mişcă în aer; ea începe în sectorul II la suprafaţă şi formează tot jetul din sectorul III. Zona de picături şi fire de lichid în aer sau cu bule de aer are aspect alb-lăptos şi nu este transparentă.

Fig. 11.28. Structura jetului de apă în aer

S ec to r I S ec to r II S ec to r III

1

1

2

2

3

3z ona I

zon a II

z ona II

zona IIIzon a III


Studiile efectuate asupra jetului liber, dezvoltat în atmosferă, arată căînălţimea jetului vertical este:

Hg

VHHHV Δ−=Δ−=

22

20

ϕ (11.57)

unde HΔ reprezintă pierderile de energie. Prin analogie cu pierderile de energie liniare

g

V

d

HKH V

2

2

1=Δ (11.59)

sau

g

V

d

HKH

2

2

2=Δ (11.59’)

Admiţând 22

20 V

V=

ϕşi notând χ=

d

K1 ecuaţiile 11.59 şi 11.59’ devin

H

HHV

χ+=

1 (relaţia lui geruL ) (11.60)

şi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=d

HKHHV

21 (11.60’)

χ are dimensiunea 1−L şi valori [ ]0228,0;0014,0∈χ pentru d = 10…50 mm. Coeficientul χ poate fi calculat după relaţia:

( )2

4

101

105,2

D+

⋅=

−

χ (11.61)

D fiind diametrul jetului în origine, exprimat în m. Între coeficienţii K1 şi K2 există relaţia:

d

HK

KK

2

21

1−

= (11.62)

Pe o anumită lungime a jetului acesta este compact, apoi pulverizat (fig. 11.29). Lungimea jetului compact este indiferentă de înclinarea sa; înfăşurătoarea jetului compact la diferite unghiuri de lansare faţă de orizontalăeste un cerc cu raza Rc = Hc. Înălţimea părţii compacte HC a jetului se defineşte convenţional astfel: lungimea de la ajutaj până în secţiunea în care jetul transportă, într-un cerc cu diametrul de 38 cm, 90 % din debitul ajutajului de


lansare şi într-un cerc cu diametrul de 26 cm 75 % din debitul ajutajului. Această înălţime se defineşte: VCC HRH β== (11.63)

Valorile coeficientului β corespund tabelului 11.6. Se mai poate utiliza relaţia empirică:

( )

1

363

42,5

104,21

03044,01

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

++=

dd

eHH C (11.64)

Curba înfăşurătoare a jetului (partea compactă şi pulverizată), în coordonate polare este (fig. 11.29) Vp HR α= (11.65)

cu valorile lui α conform tabelului 11.7.

Fig. 11.29. Traseul jetului lichid în atmosferă

Valorile coeficientului ( )Hβ

Tabelul 11.6 ( )mHV 7 9,5 12 14,5 17,2 20 24,5 26,8 30,5 35 40 48,5

β 0,840 0,840 0,835 0,825 0,815 0,805 0,785 0,760 0,725 0,690 0,650 0,600

Valorile coeficientului ( )θα

Tabelul 11.7 ( )0θ

0 15 30 45 60 75 90

α 1,40 1,30 1,20 1,12 1,07 1,03 1,00

Hv

Lmax

Rc=HcRp

compact

pulverizat

H

L0θ

La presiuni de peste 7 mCA bătaia maximă a jetului se realizeazăpentru unghiuri 045<θ , fiind cuprinse între 30…40o. Mărimea relativă a celor trei sectoare ale jetului poate fi modificatăprin construcţia ajutajului în funcţie de destinaţia jetului. Astfel pentru combaterea incendiilor se potriveşte structura jetului din sectorul II, pentru irigaţie prin stropire structura jetului din sectorul III (picături), injectoarele de combustibil ale motoarelor sau pentru împrăştiat ierbicide, insecticide, fungicide lucrează în domeniul zonei pulverizate (uneori se utilizeazăinjectoare sonice). Jeturile de plasmă la tăierea metalelor sau jeturile de apă ale hidromonitoarelor au nevoie de jeturi compacte cât mai lungi. Pulverizarea jetului este mai pronunţată dacă jetului i se atribuie o mişcare elicoidală. Aspersoarele asigură jet destrămat şi prin rotirea lor, mărimea picăturilor de ploaie artificială de 1 – 2 mm trebuie să fie distribuită uniform pe o distanţă cât mai mare. Duzele conic – convergente - cilindrice asigură acest deziderat (uneori chiar se foloseşte spărgător de jet) la presiuni 2 - 6 bar, şi viteză de rotaţie 1 - 3 rot/min. Dispozitivul care asigură rotirea este şi spărgător de jet (turbină, prism sau cupă). Unghiul de lansare a jetului este de 32o faţă de orizontală, bătaia după Pikalora fiind: L = 0,42 H + 1000 d, (11.66) (relaţia este valabilă pentru H/d > 1000). La jetul de hidromonitor, cu presiune de lucru 3 - 15 bar, lungimea de bătaie este:

3 2415,0 dHL θ= (11.67) unde θ este unghiul de lansare faţă de orizontală H în m, iar d în mm. Relaţia este recomandată pentru 00 32...5=θ , d = 5…50 mm şi H = 30…80 mCA. La fântâni decorative se folosesc diferite forme de ajutaje cu efecte variate şi jeturi de diferite feluri. Jeturile în aer îndreptate în direcţie opusă produc prin ciocnire o formăde disc în plan vertical de formă circulară. Încărcate electric jeturile se atrag sau se resping în funcţie de încărcare electrică. Jetul fragmentat de vibrarea ajutajului se foloseşte la imprimante cu jet de cerneală. Tronsoanele de jet încărcate electrostatic sunt deflectate diferenţiat de câmp magnetic comandat, care, împreună cu deplasarea uniformăa hârtiei pe direcţie ortogonală formează matricea de imprimare.


11.3.2. Jetul înecat

Spre deosebire de jetul liber, la cel înecat procesul de amestec dintre fluidul injectat şi mediu joacă un rol important, determinând structura jetului (fig. 11.30).

Fig. 11.30. Structura jetului înecat

Un jet înecat este format dintr-un nucleu - cu mişcare ordonată şi viteză constantă V0 (viteza de lansare) – şi o parte turbulentă – în care vitezele scad pe direcţia radială din cauza frânării şi amestecului cu fluidul înconjurător. Nucleul scade în diametru în lungul zonei iniţiale; pentru un jet rotund conicitatea nucleului fiind 00

2 15...14=θ . În zona principală viteza maximăeste în axa jetului dar scade treptat până la stingerea jetului (V = 0) după o lege hiperbolică de forma: xconstvm /= (11.68)

Conicitatea divergentă a jetului înecat este 001 30...20=θ şi depinde

de forma ajutajului şi de natura fluidului. Bătaia jetului este distanţa de la ajutaj până la secţiunea 3 unde jetul se stinge. Calculul jetului înecat este o operaţie complexă şi se bazează pe numeroşi coeficienţi experimentali. Viteza axială depinde de diametrul şi forma ajutajului şi de distanţa x. Experienţele arată că presiunea în lungul jetului practic este constantă şi egală cu ceea a mediului ambiant. Vitezele în interiorul jetului depind de distanţa de la axă-coordonata rşi de viteza iniţială V0. În punctul B, definit prin coordonatele (x, r), viteza este:

2

2

3

1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

xm R

r

v

v (11.69)

z o n a p r in c ip a laz o n a in i t ia l a

θθV o V o

V o V 1

r R x

x

n u c le u

p a r t et u r b u le n t a

V o

1 2 3

B

R x

x0

v2 = 1 4 - 1 5

o

1= 2 0 - 3 0

r


Dacă D0 = 2R0 este diametrul iniţial al jetului, atunci:

m

x

v

v

R

R 0

0

3,3= (11.70)

iar distanţa de bătaie xx aRx /max = (11.71)

unde ax = 0,066…0,076 este un coeficient experimental. Cunoaşterea structurii jetului submers are importanţă mare la realizarea motoarelor cu ardere internă cu injecţie, a motoarelor cu jet (rachete), turbinelor cu gaz, ventilaţii, dispersia apei calde în emisar ş.a. Elementele constructive ale ajutajelor au rol determinant în caracteristicile jeturilor rezultate şi necesită studii experimentale fiindcărezultatele sunt valabile numai pentru fiecare construcţie în parte. Ataşarea unui jet de lichid la un perete adiacent este efectul Coandă. Jetul poate adera la un perete plan sau curb, pe o lungime mare şi poate fi deflectat cu unghiuri mari (chiar până la 1800). Efectul a fost observat în 1910 de inventatorul şi omul de ştiinţă român Henri Coandă. Efectul Coandă are numeroase aplicaţii tehnice din domenii diferite.

11.4. CURGEREA LICHIDELOR PRIN ORIFICII ŞI AJUTAJE SUB SARCINĂ VARIABILĂ

Curgerea lichidelor prin orificii, ajutaje, conducte scurte sub sarcinăvariabilă are loc la golirea rezervoarelor, lacurilor de acumulare, la egalizarea nivelului între două rezervoare - ecluze, când nivelul lichidului are variaţii în timp, deci mişcarea este nepermanentă. Variaţia nivelului în rezervoare este relativ lentă în timp şi pentru intervale scurte se poate asimila mişcarea cu una permanentă. Se va dezbate problema timpului de golire al rezervoarelor şi timpul de egalizare în două rezervoare.

11.4.1. Timpul de golire al rezervoarelor

Se consideră un rezervor a cărei secţiune orizontală S(h) este o funcţie de cota h. Acest rezervor se goleşte printr-un orificiu, de secţiune A şi având coeficient de debit μ (fig. 11.31). Rezervorul poate fi alimentat cu un debit Qa.


Fig. 11.31. Schema pentru calculul timpului de golire al unui rezervor

10. Debit de alimentare nul Volumul de apă descărcat de orificiu în timpul dt este egal cu scăderea volumului din rezervor:

dtghAdhhS 2)( μ=− (11.72)

După separarea variabilelor, rezultă:

dhh

hS

gAdt

)(

2

1

μ−= (11.73)

Golirea rezervorului de la cota h0 la cota h1 are loc în timpul t0-1, care se obţine prin însumarea timpilor elementari

∫∫ −==−

1

0

)(

2

11

0

10

h

h

dhh

hS

gAdtt

μ (11.74)

Problema este soluţionată dacă se cunoaşte funcţia S(h), exact sau printr-o metodă de integrare aproximativă.

10.a. În cazul unui rezervor prismatic S(h) = const., rezultând:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

2

1

12

1

0102

2hh

gA

St

μ (11.75)

La golirea totală (h1 = 0) se obţine:

)(

2

2

2

00

0

hQ

W

hgA

Sht

orifg ==

μ (11.76)

deci timpul de golire este dublu faţă de timpul necesar curgerii aceluiaşi volum sub sarcină constantă h0.

10.b. În cazul unui rezervor oarecare (ex. lacuri de acumulare) S(h)este arbitrară şi se recurge la soluţionarea ecuaţiei (11.74) prin diferenţe finite.Diferenţa de nivel h0 - h1 se împarte în ‚n’ părţi, fiecărei cote hi corespunzând o suprafaţă Si (determinată prin planimetrare).

A

S(h)

Qa

μ1

0dh h

h

h


( )( )

( )∑∑+

++−

+

−+==

n

ii

iiiin

ihh

hhSS

gAtt

1 1

11

110

2

1

μ (11.77)

20. Debit de alimentare existent, Qa

Variaţia de volum în rezervor pe înălţimea dh este egală cu produsul diferenţei debitului evacuat şi de alimentare şi timpul dt

( )dtQghAdhhS a−=− 2)( μ (11.78)

rezultând

∫−

−=−

1

02

)(10

h

h a

dhQghA

hSt

μ (11.79)

Când integrala nu se poate rezolva prin calcule riguroase se recurge la diferenţe finite:

( )( )

( )∑ ∑−+

−+==

−

−−−

n n

aiii

iiiii

QhhgA

hhSStt

1 1 1

1110 2

1

μ (11.80)

Debitul de alimentare poate fi constant sau o funcţie oarecare (de obicei de timp-hidrograf afluent).

11.4.2. Timpul de egalizare al nivelului în două rezervoare

Se consideră două rezervoare cu secţiunile orizontale S1 şi S2

constante, legate între ele printr-un orificiu (ajutaj, conductă scurtă) cu caracteristicile μ şi A. Cotele luciului apei în cele două rezervoare sunt z, respectiv z’ peste planul orizontal al axului orificiului, diferenţa de nivel fiind h = z - z’ (fig. 11.32). În timpul dt din rezervorul R1 curge prin orificiu în R2 volumul de lichid:

dtzzgAdW )(2 ′−= μ (11.81)

Scăderea de volum în R1 este: dzSdW 1−= (11.82) iar creşterea de volum în R2

zdSdW ′= 2 . (11.83) Egalizarea acestor volume conduce la:

dtzzgAzdSdzS )(221 ′−=′=− μ (11.84)


Fig. 11.32. Schema pentru calculul timpului de egalizare a nivelului în două rezervoare.

Secţiunile orizontale S1 şi S2 fiind constante se poate scrie:

2112 SS

dzzd

S

zd

S

dz

+

−′=

′=− (11.85)

Făcând substituirea z - z’ = h şi dz - dz’ = dh, se obţine

21

2

SS

dhSdz

+= (11.86)

Din dtzzgAdzS )(21 ′−=− μ se determină dt,

( ) ( ) ghSSA

dhSS

zzgA

dzSdt

22 21

211

+−=

′−−=

μμ,

sau integrat în intervalul [h, 0], rezultă:

( ) ( ) hQSS

hSS

gASS

hSSt

21

21

21

21 22

2+

=+

=μ

(11.87)

unde Qh este debitul orificiului înecat lucrând la sarcina h.

11.5. DEVERSOARE

Prin deversor se înţelege o construcţie sau o instalaţie peste care curge un lichid cu suprafaţă liberă. Standardele definesc deversoarele drept construcţii hidrotehnice dispuse într-un curent cu suprafaţă liberă în scopul menţinerii unui nivel sau pentru măsurarea debitelor.

h

z'

dz'

dz

z

R1 R2

S1 S2

,Aμ


Elementele deversoarelor corespund (fig. 11.33).

Fig. 11.33. Elementele deversoarelor

1. Caracteristicile geometrice sunt: forma profilului transversal(rezultat printr-o secţiune verticală în lungul curgerii 11.33.a); creasta saucoronamentul (c) deversorului este linia punctelor cu cotă maximă de pe deschidere; grosimea (δ) a deversorului este gabaritul profilului transversal la creastă; lungimea (b) a deversorului este lungimea crestei; pragul amonte (p1) şi aval (p) reprezintă înălţimea crestei peste fundul biefului amonte şi aval; forma deschiderii deversorului din vederea aval (fig. 11.33.b); înclinările deversorului faţă de verticală, direcţia curentului sau a crestei faţă de orizontală.

2. Elementele hidraulice determină fenomenul şi caracteristicile curgerii şi sunt caracterizate prin: sarcina pe deversor (H) este diferenţa dintre cota nivelului apei (măsurată la o distanţă de 2…3H în amonte) şi cota coronamentului; sarcina totală (H0) este sarcina corectată cu termenul cinetic de apropiere ( gVhv 2/2

0α= ); viteza de apropiere (V0) cu care soseşte curentul

la deversor; debitul (Q) descărcat; căderea (z) - este diferenţa de nivel amonte

β

B/2

δ

b/2

c.

Ho H

h= v /2g

pp

hz z

θ

(2...3)H

δP.S.

L.D.

P.I.

α 02

0

0n

V

Qa.

1

v

dhh

B/2

b/2

b.

c


- aval; căderea totală (z0) este căderea corectată cu termenul cinetic de apropiere; adâncimea de înecare (hn) este diferenţa dintre cota luciului aval şi cota crestei deversorului; lama deversantă (LD) este jetul de lichid care trece prin deschidere şi este limitată de pânza superioară (PS) şi inferioară (PI).

11.5.1. Teoria fundamentală a debitului

Dezvoltarea formulelor debitului descărcat datează din începuturile istoriei teoriei hidraulice şi în principal se referă la forma dreptunghiulară a deschiderii. Sunt uzuale două căi de a ajunge la relaţia generală a deversoarelor: împărţirea lamei în fâşii orizontale cu înălţime dh şi considerarea curgerii prin fâşie ca la orificii mici, apoi însumarea debitelor elementare şi prin utilizarea teoremei produselor de la analiza dimensională (1.2.2. – vol 1). Conform figurii 11.33. debitul elementar este:

( ) dhhhgbdQ v ⋅+= 2μ (11.86)

care se integrează pe domeniul [0, H], obţinând:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= 2

3

2

3

23

2vv hhHgbQ μ (11.87)

Notând cu m0 coeficientul de debit al deversorului pentru funcţionare normală

μ3

20 =m (11.88)

rezultă

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−= 2

3

2

3

00 2 vhHbmQ (11.89)

Când hv este neglijabil (H/p1 foarte mic) rezultă:

2

3

00 2 HgbmQ ≅ (11.90)

Termenul cinetic hv este o funcţie de debit, deci relaţiile (11.89 şi 11.90) sunt implicite şi soluţionarea lor necesită iteraţii succesive de calcul. Când termenul cinetic hv este atât de mic în comparaţie cu sarcina Hîncât este neglijabil, se obţine:

2

3

0 2 HgbmQ ≅ (11.91)


Uzual se utilizează relaţiile (11.90) şi (11.91), uneori efectul termenului cinetic asupra debitului fiind inclus în coeficientul de debit. În decursul timpului s-au întreprins numeroase experienţe asupra deversoarelor. Deşi experimentările individuale sunt consistente, rezultatele mai multor cercetări dau valori diferite cu abateri de câteva procente între ele. Coeficientul de debit pentru funcţionare normală m0 se numeşte coeficient de formă şi depinde de profilul transversal al deversorului (caracteristică principală). Coeficientul de debit al deversorului: ...2110 kkmmm ⋅⋅⋅⋅⋅= εσ (11.93)

este un produs al coeficientului de formă şi coeficienţilor de corecţie ai factorilor care influenţează curgerea - înecarea, contracţia, înclinarea, aerarea lamei, tensiunea superficială etc. Coeficienţii de corecţie sunt unitari pentru condiţii normale şi diferiţi de unitatea când sunt abateri de la normalitate. Formula (11.93) este aproximativă prin introducerea separată a corecţiilor. Coeficientul m este o funcţie complexă determinat de ansamblul fenomenului de curgere peste deversor (1.2.2). Prezentarea în continuare conţine clasificarea deversoarelor, calculul celor cu profil dreptunghiular, apoi alte forme de deversoare.

11.5.2. Clasificarea deversoarelor

Există o mare varietate de deversoare – ca tip, formă, funcţional – iar utilizarea lor depinde de o serie de criterii. Clasificarea deversoarelor se face în funcţie de parametri:

• geometrici - grosimea peretelui;

- forma profilului; - forma deschiderii; - înclinarea - crestei faţă de orizontală; - deversorului faţă de liniile de curent; - deversorului faţă de verticală; - forma în plan.

• hidraulici - felul racordării cu bieful aval; - condiţiile de acces al lichidului la deversor; - felul lamei deversante etc.


10. După grosimea peretelui deversoarele se împart în trei categorii: 10.a. cu perete subţire (sau muchie ascuţită) – fig. 11.34. – la care curgerea nu este influenţată de grosimea δ a crestei, lama deversantă se dezlipeşte de muchia amonte ca la orificii (excepţie făcând curgerea cu lamălipită)

Fig. 11.34. Deversor cu muchie ascuţită.

10.b. cu perete gros şi profil curb (fig. 11.35), la care lama deversantă se lipeşte de coronamentul deversorului. În această categorie se încadrează diferite forme ale profilului: deversoare poligonale sau curbe utilizate frecvent în practica inginerească.

Fig. 11.35. Deversoare cu profil gros şi curb: a, b) profil poligonal; c) profil curb

10.c cu prag lat (fig. 11.36) la care curgerea în partea centrală are caracteristici de curent gradual variat.

Fig. 11.36. Deversor cu prag lat

p

h

δ v /2g

H H

p

V0

02

0

av

1

α

H

δ

a

H

b

c

c

c

H

δ


20. După forma profilului deversoarele pot fi poligonale sau curbe (v. fig. 11.35).

30. După forma deschiderii: deversoarele, în general, au forme geometrice regulate simple – dreptunghiulară, trapezoidală, triunghiulară, circulară etc., sau compuse: proporţional (hiperbolic cu dreptunghi, dublu trapezoidal etc.), fig. 11.37.

Fig. 11.37. Formele deschiderii deversoarelor

Anumite forme ale deschiderii sunt specifice deversoarelor pentru măsurarea debitelor, altele sunt utilizate pentru descărcătoare sau alte scopuri tehnice.

40. Înclinarea deversoarelor se referă la: aşezarea lor în plan faţă de direcţia curentului – se disting deversoare normale (frontale), oblice şi paralele (fig. 11.38); poziţia crestei faţă de orizontală – existând deversoare cu creastăorizontală sau înclinată (fig. 11.40).

b

θ

b b

a b c

Fig.11.38. Înclinarea deversoarelor faţă de direcţia curentului a) normal, b) oblic, c) paralel

a bc

d

e


a

θ

b

υ

c

Fig. 11.39. Înclinarea paramentului amonte al deversorului faţă de verticalăa) normal, b) înclinat amonte, c) înclinat aval

a b

υ

Fig. 11.40. Înclinarea crestei deversorului faţă de orizontalăa) orizontal, b) înclinat

Înclinarea deversorului faţă de direcţia curentului se introduce în calcule prin coeficientul de debit (11.93) printr-un coeficient de corecţie k1 (tab. 11.8)

Corecţia înclinării deversorului faţă de direcţia curentului Tabelul 11.8

( )0θ 15 30 45 60 90

k1 0,86 0,91 0,94 0,96 1

50. După forma în plan există deversoare rectilinii, poligonale, curbe (arc de cerc, cerc), margaretă, crocodil etc. (fig. 11.41)

Fig. 11.41. Forma în plan a deversoarelor


Efectul formei în plan al deversorului se introduce în calcule prin corectarea coeficientului de debit (11.93) prin coeficientul k2. La deversor poligonal pentru calculul debitului se însumează lungimea crestelor rectilinii care compun deversorul; pentru fiecare se ţine seama de oblicitatea faţă de direcţia curentului. La deversoare în arc de cerc:

1

2 1p

Hnk −= (11.94)

în care n are valorile din tabelul 11.9.

Coeficienţi n pentru deversoare în arc de cerc Tabelul 11.9

Forma albiei ( )0θ

15 30 45 60 75 90 Albie lată 0,71 0,35 0,20 0,4 0,04 0,00

Albie îngustă 0,83 0,48 0,28 0,13 0,04 0,00

Criteriile hidraulice clasifică deversoarele după cum urmează:

60. După felul racordării cu bieful aval există deversoare neînecate, când adâncimea nivelului din bieful aval nu are influenţă asupra curgerii şi deversoare înecate, când poziţia nivelului din aval influenţează debitul descărcat de deversor (fig. 11.42). Adâncimea de înecare hn este diferenţa între cota luciului apei din bieful aval şi cota crestei deversorului şi poate avea valori negative şi pozitive. De obicei pentru hn > 0 intervine influenţa nivelului aval asupra debitului descărcat, dar la anumite deversoare efectele de înecare pot apare şi la valori negative ale lui hav.

Fig.11.42. Racordarea deversoarelor cu bieful avala) neînecat, b) înecat, c)efectul adâncimii de înecare asupra debitului descărcat

H-c

onst

hh _

avn

H-c

onst

hh

nav

+

a b cQ

înecat

neînecat

av


Efectul înecării asupra debitului descărcat se introduce prin coeficientul de înecare: )/( 0Hhf n=σ (11.95)

70. După condiţiile de acces al lichidului la deversor se disting: 70.a. deversoare fără contracţie laterală, când frontul de acces are lăţimea frontului deversant (fig. 11.43.a) şi 70.b. deversoare cu contracţie laterală, când lăţimea albiei amonte este superioară frontului deversant şi aceasta poate fi divizat de pile (fig. 11.43.b).

Fig. 11.43.. Condiţiile de acces al apei la deversor.

Efectul condiţiilor de acces, a contracţiei laterale asupra debitului descărcat se introduce prin coeficientul de contracţie care depinde de forma culeilor, pilelor, avansului acestora, lungimea câmpului deversant fată de lăţimea albiei de acces. 1( , , , , )f b B p Hε α= (11.96)

80. Forma lamei deversante depinde de profilul crestei deversorului şi de aerisirea spaţiului dintre lama deversantă, paramentul aval şi pereţii laterali. Se consideră ca tip fundamental forma lamei de la un deversor cu muchie ascuţită, fără contracţie laterală, vertical cu creastă orizontală, frontal şi lama aerisită (sub lama deversantă presiunea este aceeaşi ca la suprafaţa sa). Existenţa pragului amonte p1 implică convergenţa liniilor de curent spre deschizătura deversorului; firele de curent care formează lama se dezlipesc la muchia amonte a crestei în punctul F şi pânza inferioară a lamei se ridică(datorită inerţiei) şi dă naştere la contracţia de fund (fig. 11.44).

B=b B bVo Vo

a b


0,18H

N E

K

F

A

B

C

G LD

A

B

C

B'

'

''

H

'βγ

HH

p

c

1

Vo

Fig. 11.44. Forma lamei deversante perfecte

Proporţiile lamei deversante în raport cu sarcina H se menţin indiferent de

grosimea lamei astfel HDC 112,0= , HAC 668,0= ,

HHHGL

HFGHFDHFLHKNHAE

c 888,0 ,0,1

,40,0 ,27,0 ,4,1 ,15,0 ,22,0

==

=====

Diagrama presiunilor în secţiunea AC urmăreşte curba AB’C, are presiuni relative nule în punctele A şi C, iar presiunea maximă

Hp 18,0/max =γ este în punctul B poziţionată prin ACCB )4,0...3,0(~ . Curba

A’B’’C’ este epura teoretică a vitezei (după Toricelli), iar curba reală A’C’ este concavă (datorită variaţiei presiunii în lamă). Forma lamelor deversante este explicată prin teoremele generale ale hidrodinamicii prin „principiul debitului maxim”, care se poate enunţa astfel: forma stabilă a fenomenelor hidraulice este aceea care, în condiţii externe date, corespunde condiţiilor de curgere cu debit maxim. În funcţie de posibilitatea pătrunderii aerului pe sub lama deversantă, aceasta poate lua următoarele forme (fig. 11.45):

80.a. Lamă deversantă liberă (sau aerată). În acest caz atât pânza superioară cât şi cea inferioară a lamei deversante sunt supuse presiunii atmosferice. Dacă spaţiul de sub lamă este mărginit de pereţii laterali lama aerată se poate menţine numai prin aport artificial de aer atmosferic din afară. Lama în mişcarea sa antrenează în aval aer de sub lamă, deci trebuie asigurat prin instalaţia de aerare debitul necesar de aer care depinde de dimensiunile şi caracteristicile deversorului.

80.b. Lamă deversantă deprimată (sau neaerisită) se formează când aerarea spaţiului de sub lamă este împiedicată. Se formează la deversare fărăcontracţie laterală, când aerul de sub lama deversantă este antrenat parţial de către curent şi sub lamă se formează presiune vacuumetrică p < pa. Nivelul apei de sub pânză se va ridica la cotă superioară nivelului aval, iar diferenţa de presiune pe pânza superioară şi inferioară curbează mai puternic lama deversantă decât în cazul lamei aerate. Curbura mai pronunţată a lamei implicăcreşterea debitului descărcat faţă de lama deversantă aerată. Această formă de lamă deversantă ia naştere pentru H < 0,4 p1.

80.c. Lamă deversantă înecată dedesubt se formează în condiţiile asemănătoare ca şi lama deprimată însă în condiţiile H > 0,4 p1. În timp tot aerul de sub lamă este antrenat în aval şi spaţiul este ocupat de vârtejuri de lichid. Presiunea vacuumetrică de sub lamă este mai pronunţată şi curbarea sa la fel, ca şi debitul descărcat. Mişcarea vârtejurilor de sub lamă are şi un caracter pulsatoriu dând naştere la instabilitatea mişcării şi solicitarea suplimentară a construcţiei. În practica inginerească se evită lamele deversante deprimate şi înecate dedesubt prin utilizarea instalaţiilor de aerare sau modificarea paramentului aval al deversorului.

80.d. Lama deversantă aderentă sau lipită este cazul în care lama se lipeşte de paramentul aval. În cazul paramentului aval vertical sau înclinat înapoi această lamă ia naştere la sarcini mici, tensiunea superficială jucând rol important în lipire lamei de parament. De obicei se formează la sarcini sub 1 cm. La creşterea sarcinii lama se dezlipeşte, dând naştere la celelalte forme. La astfel de lamă coeficientul de debit (de formă) creşte datorită creşterii virtuale ale sarcinii pe seama presiunii vacuumetrice de sub lamă. În alte situaţii se creează chiar la sarcini mari lamă lipită prin modificarea paramentului aval al deversorului pentru evitarea presiunii vacuumetrice în spaţiul de sub lamă protejând astfel paramentul aval de solicitări suplimentare.

Fig. 11.45. Formele lamei deversante a) aerată, b) deprimată, c) înecată dedesubt, d) lipită.

p

Hpa

pa1

a

1p

Hap

H<0,4p1

p<pa

b

1p

H

H>=0,4p1

c

p1

d

H

11.5.3. Deversoare cu perete subţire.

Aceste deversoare convenţional se definesc prin 0,67/ ≤Hδ şi în deschidere pot avea forme geometrice regulate diferite. În general se folosesc ca deversoare de măsurare a debitului.

10. Deversorul cu deschidere dreptunghiulară. Aceste deversoare sunt cele mai simple din punct de vedere constructiv

şi au forma din fig. 11.33. Relaţia generală a debitului descărcat corespunde 11.5.1 şi au forma (11.89), (11.90) sau (11.91).

Deversorul de acest tip, fără contracţie laterală, cu lamă deversantăliberă, normală pe direcţia curentului, verticală, cu muchia crestei orizontalăeste deversorul perfect de tipul Bazin.

Pentru calculul coeficientului m0 este posibilă utilizarea unor relaţii, determinate prin prelucrarea datelor experimentale, după mai mulţi autori, astfel: 10.a. Bazin - pentru situaţia când termenul cinetic de apropiere este neglijabil:

H

m0027,0

405,00 += , (11.97)

al doilea termen ţinând seama de efectul tensiunii superficiale; - efectul vitezei de acces se întroduce prin corecţia:

( )2

1

2

1 55,01pH

Hm

++= , (11.98)

10.b. Rehbock, ţinând seama şi de viteza de acces:

Hp

Hm

001,0054,0404,0

10 ++= (11.99)

Relaţiile de mai sus sunt valabile pentru 5/ 1 <pH . Contracţia laterală, apărută la deversoare pentru care lungimea crestei (b) este inferioară lăţimii (B) a albiei, se introduce prin modificarea relaţiei (11.98) pentru m1 în:

2

1

4'1 55,01 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=pH

H

B

bm (11.100)

sau prin relaţia:

6,11000

)/(241,2025,0385,0

22'0

+

−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+=H

Bb

B

bm (11.101)

valabile pentru condiţiile 2...1/;m 8,003,0 ;m 3,0 11 <≤≤≥ pHHp şi b > 0,3 B. Curgerea înecată reclamă următoarele două condiţii: adâncimea de înecare să fie pozitivă 0>−= ZHhn şi raportul 75,0/0 <pZ în medie.

De ultima condiţie depind formele curgerii înecate: - lamă cufundată, pentru 75,0/3,0 0 << pZ ;

- lamă ondulată la suprafaţă, 15,0/0 <pZ ;

- lamă instabilă, pentru 3,0/15,0 0 << pZ .

La curgere înecată cu lamă descendentă coeficientul de înecare, după Bazin, este:

32,01H

Z

p

hn⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=σ (11.102)

Uneori se foloseşte în calcule σσ 05,1=′ , majorarea ţinând seama că la înecarea curgerii se întrerupe alimentarea cu aer sub pânza inferioară şi are loc o creştere virtuală a sarcinii, datorită depresiunii de sub muchia deversorului.

20. Deversoare cu deschidere triunghiulară. Acest tip de deversor este răspândit în practică pentru măsurarea

debitelor. Forma sa este de triunghi isoscel (fig. 11.46). Câmpul deversant se împarte în fâşii orizontale elementare de înălţime dh, lăţime x, de suprafaţă dA. Debitul elementar este:

dhghxdQ 2μ= (11.103)

cu

( )hHH

bx −= , (11.104)

Fig. 11.46. Deversor triunghiular

Integrând (11.103) în limitele [0, H] şi notând 2

2/θ

tgHb = se obţine:

xb

h

dh Hθ

dA


2/52215

8HgtgQ

θμ= (11.105)

Pentru 090=θ - deversor Thompson – cu 59,0=μ , relaţia de mai sus devine:

2/52/5 40,1~394,1 HHQ = (11.106) În realitate debitul se exprimă sub forma: 2/5CHQ = (11.107) unde C = 1,38…1,42, pentru H = 5…25 cm, calculabil cu:

gS

A

HC 21

002,0310,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= (11.108)

S - fiind secţiunea albiei de apropiere a curentului de deversor.

30. Deversorul cu deschidere trapezoidală. Se foloseşte la canale trapezoidale sau unde trebuie măsurate debite

mari. Deschiderea deversorului este mai mică decât ceea a canalului astfel că ia naştere contracţie laterală (fig. 11.47).

Debitul curs peste deversor poate fi considerat debitul descărcat de un deversor dreptunghiular cu lăţimea b şi de un deversor triunghiular cu unghiul de vârf θ : td QQQ +=

Fig. 11.47. Deversor trapezoidal

sau

2/52/3 2215

82 HgtgHgmbQ

θμ+=

cu considerarea lui m şi μ de la deversoarele aferente.

În cazul când 4/1=θtg ( 072/ =θ ) debitul deversorului se poate calcula cu relaţia: 2/386,1 bHQ = (11.109) Acest deversor poartă numele Cipoletti şi este caracterizat prin faptul că debitul descărcat de partea triunghiulară compensează efectul contracţiei laterale de la deversorul dreptunghiular.

b

H/2 /2θ θ


40. Deversorul cu deschidere circularăEste folosit pentru măsurarea debitelor. Acest lucru se poate întâmpla

când la un orificiu circular în perete subţire nivelul scade sub cel al muchiei superioare (fig. 11.48)

Calculul debitului se poate face cu relaţia:

gHmAQ 2= (11.110)

în care:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

2

1002,035,0S

A

H

Dm (11.111)

Fig. 11.48. Deversor circular

S fiind secţiunea de apropiere, iar A secţiunea de curgere.

50. Deversorul proporţional Se utilizează pentru măsurarea debitului în laboratoare. Are această

denumire fiindcă relaţia debitului este o funcţie liniară de sarcina H. Creasta deversorului este orizontală, de lungime b, iar umerii sunt curbe simetrice faţăde axa verticală (imagine oglindă), cu ecuaţia (fig. 11.49):

a

harctg

b

x

π

21−= (11.112)

Debitul descărcat de deversor este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=3

2a

hgambQ (11.113)

Coeficientul de debit m variază între 0,605 şi 0,625. Pentru b > 0,5 m, H > a şi a > 0,1m rezultă m = 0,614.

Fig. 11.49. Deversor proporţional

60. Condiţiile măsurătorilor de debit Atât la deversoare cu perete subţire cât şi la orificii şi ajutaje trebuiesc

respectate anumite condiţii referitoare la prelucrarea dispozitivelor şi amplasarea lor în curent. Ele sunt stipulate în standarde şi normative şi se referăla: - verticalitatea şi netezimea peretelui amonte; - muchia amonte trebuie să fie unghi drept, bine prelucrat şi suficient de subţire ca jetul să nu atingă creasta după dezlipirea de muchie;

D

HA

ba

x h H


- pereţii laterali şi fundul trebuie să permită contracţia perfectă şi laterală (unde este cazul), sau în cazul deversorului Bazin să fie eliminatăcontracţia laterală; - presiunea de sub lama de versanta să fie cea atmosferică; - canalul de apropiere să aibă secţiune uniformă pe distanţă suficientăpentru realizarea profilului de viteză „normal”; - suprafaţa liberă a apei unde se măsoară sarcina să fie lipsită de valuri şi unde; - trebuiesc cunoscute cu acurateţe dimensiunile dispozitivului de măsurare; - măsurarea sarcinii trebuie realizată cu acurateţe.

70. Măsurarea sarcinii hidraulice pe dispozitive de măsurare Sarcina pe dispozitive se măsoară cu manometre cu lichid de diferite tipuri sau cu ace de măsurare. La măsurătorile cu ace sarcina poate fi determinată în rezervoare de măsurare conectate la albie sau direct în canal. Rezervoarele reduc efectul valurilor care pot fi prezente în canale. Tubul de legătură între rezervor şi canal poate fi conectat de fundul sau de taluzul canalului (fig. 11.50). La măsurătorile de sarcină în rezervor trebuie verificată diferenţa de temperatură a fluidului din rezervor şi canal, şi în cazul existenţei acestei diferenţe la măsurători precise este obligatorie efectuarea corecţiilor de temperatură (referitoare la dilataţie). Rezervorul trebuie să aibă secţiune orizontală suficientă pentru eliminarea efectului tensiunii superficiale.

Fig. 11.50. Schema măsurării nivelului în albii deschise

Acul de măsurare trebuie să fie prevăzut cu riglă şi vernier respectiv deplasarea sa trebuie realizată cu şurub micrometric (fig. 11.51).

Fig.11.51. Ac de măsurare cu riglă, vernier şi şurub micrometric

h


Acul de măsurare trebuie să fie bine ascuţit şi trebuie să fie îndoit, trebuie să străpungă nivelul din rezervorul de măsurare de jos în sus (pentru reducerea efectului tensiunii superficiale). În timpul măsurătorii trebuie asigurată verticalitatea riglei şi a acului de măsurare, iar cota „0” a crestei deversorului trebuie stabilită cu acurateţe (precizie de 0,1 mm). Sarcina trebuie măsurată la distanţă suficientă de paramentul amonte al deversorului unde nu se mai resimte curbura lamei deversante asupra nivelului, la (3…4)H în amonte.

80. Precizia măsurătorilor. Determinările debitelor cu deversoare reprezintă nişte măsurători indirecte, iar precizia acestor măsurători depinde de precizia măsurătorilor directe. Măsurătorile directe sunt afectate de erori sistematice şi erori întâmplătoare, rezultând şi măsurătorile indirecte cu anumite erori. La măsurători indirecte ale mărimii A = f(B1,B2,…,Bn), eroarea relativărezultată este:

∑∑ ===n

ii

in

BB

B

A

AA

11

δεε

δ (11.114)

unde Aδ este eroarea relativă de determinare a mărimii A; Aε - eroarea absolută; iBε - eroarea absolută de măsurare a mărimii Bi măsurată direct,

iBδ - eroarea relativă de măsurare a mărimii determinante Bi.

La deversorul cu deschiderea dreptunghiulară debitul se determinăindirect după relaţia (11.91). Erorile relative referitoare la variabilele independente (m, b, H) vor fi: - pentru coeficientul de debit mQm δδ = ; (11.115)

- pentru lungimea crestei bQb δδ = , (11.116)

iar pentru sarcină

HH

H

H

dHQH δ

εδ

2

3

2

3

2

3=== (11.117)


Deversorul fiind executat şi montat pe poziţie, eroarea de măsurare a lungimii crestei devine eroare sistematică ca şi eroarea de determinare a coeficientului de debit. Eroarea relativă de măsurare a debitului cu un astfel de deversor devine:

HbmQ δδδδ2

3++= (11.118)

deci eroarea de măsurare a sarcinii se amplifică de 1,5 ori în eroarea de măsurare a debitului. Atingerea unui grad de precizie, impus prin toleranţă, cu grad de încredere P necesită un număr de repetiţii ale măsurătorilor directe şi care se determină din relaţia:

2

)(⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

≥ sPt

nε

(11.119)

în care t(P) este argumentul de probabilitate; ε - toleranţa măsurătorii, iar s eroarea standard (sau eroarea medie pătratică). Argumentul de probabilitate t(P) şi probabilitatea integrată sunt întabulate în tratate de calcul statistic. Dimensionarea unui deversor pentru măsurat debitul într-un anumit ecart (Qmin, Qmax) – ţine seama de precizia dorită, impusă prin toleranţa relativă

Qδ pentru Qmin în situaţia toleranţei absolute de măsurare a sarcinii Hε

(determinat de condiţiile de măsurare), rezultând:

Q

HH

δ

ε

22

3≥ şi

2/32 Hgm

Qb = (11.120)

În mod analog se poate pune problema şi la celelalte dispozitive de măsurare a debitului.

11.5.4. Deversoare cu profil gros

În această categorie se încadrează deversoarele care satisfac condiţia: HH 5,2/67,0 ≤≤ δ (11.121) Ele au profil poligonal (dreptunghi, trapez, triunghi etc.). Calculul debitului la deversoarele cu profil gros cu deschidere dreptunghiularăutilizează relaţia:

2/302 HgmbQ = (11.122)

influenţa vitezei de acces fiind introdusă prin sarcina dinamică H0. Coeficientul de debit variază în limite destul de largi ( )42,0...32,0∈m . Forma profilului corespunde fig. 11.52.

H

pvo

1

a b c

H

1pvo

δδ δ

ro

Hf θ

H

δ1 2

d

Hdh

h

1

e

n

2 θ θθ θ

Fig. 11.52. Deversoare cu profil gros poligonal

Coeficientul de debit de formă se poate determina cu relaţiile: - pentru profil dreptunghiular ascuţit (fig. 11.52.a) ( )Hm /5,205,032,00 δ−+= (11.123)

- pentru profil cu muchie rotunjită cu r0 = 0,2H (fig. 11.52.b)

H

Hm

/21

/5,21,036,00

δ

δ

+

−+= (11.124)

Relaţiile sunt valabile pentru 5,2/67,0 ≤≤ Hδ şi 3/1 ≥Hp .

Condiţia de acces pentru 3/1 <Hp afectează contracţia pe verticalăfapt de care se poate ţine seama prin: 1/13,01 pHKv += (11.125)

Pentru formele de profil din fig. 11.52.a,b,c, coeficientul de debit m0

este dat în tabelul 11.10. - la deversorul cu profil trapezoidal (fig. 11.52.d) coeficientul de formă depinde de înclinarea taluzului amonte şi aval. Când paramentul aval este vertical coeficienţii corespund (tab. 11.10), iar în situaţia înclinării paramentului aval (acesta favorizează o eventuală curgere în lama aderentă) sunt prezentaţi în (tab. 11.11).

Coeficientul de debit m0 la deversoare cu profil gros fără contracţie laterală. Tabelul 11.10.

H/δ

m0Pereţi

verticali muchii

vii

Parament amonte înclinat P1=f(ctgθ)

Muchie amonte rotunjită sau teşităr0/H sau f/H r0/H

0,5 1,0 1,5 ≥ 2,5 0,025 0,05 0,2 0,6 ≥ 1

0,0 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,2 0,366 0,372 0,377 0,380 0,382 0,372 0,374 0,377 0,380 0,382 0,4 0,356 0,365 0,373 0,377 0,381 0,365 0,368 0,374 0,377 0,381 0,6 0,350 0,361 0,370 0,376 0,380 0,361 0,364 0,370 0,376 0,380 0,8 0,345 0,357 0,368 0,375 0,379 0,357 0,361 0,368 0,375 0,379 1,0 0,342 0,355 0,367 0,374 0,378 0,355 0,359 0,366 0,374 0,378 2,0 0,333 0,349 0,363 0,371 0,377 0,349 0,354 0,363 0,371 0,377 4,0 0,327 0,345 0,361 0,370 0,376 0,345 0,350 0,360 0,369 0,376 8,0 0,324 0,343 0,360 0,369 0,376 0,343 0,348 0,359 0,369 0,376 ∞ 0,320 0,340 0,358 0,368 0,375 0,340 0,346 0,357 0,368 0,375

Coeficientul de debit m0 la deversoare cu perete gros cu înclinarea paramentului aval

Tabelul 11.11 Hp /1 2θctg H/δ

0,5 0,7 1,0 2,0

0,5…2 3 0,42 0,40 0,36 0,34 5 0,38 0,37 0,35 0,34 10 0,36 0,36 0,35 0,34

2…3 1 0,46 0,42 0,37 0,33 2 0,42 0,40 0,36 0,33

Contracţia laterală la aceste deversoare se introduce prin coeficientul de contracţie ε , sub forma :

∑−= ξεb

H 01,01 (11.126)

în care b este lungimea crestei deversante; H0 – sarcina totală; ξ - un coeficient care depinde de forma marginii obstacolului (fig. 11.53). În multe cazuri lungimea crestei deversorului este inferioară lăţimii canalului b < B şi este fragmentat de pile şi este mărginit de culei. ∑ξ se referă la toate marginile

care produc contracţie.


Fig. 11.53. Forma obstacolelor care produc contracţie şi valorile coeficienţilor ξ

Când pilele avansează faţă de paramentul amonte fig. 11.54 coeficienţii ξ se reduc conform (tab. 11.12).

Reducerea coeficienţilor ξ cu avansul pilelor Tabelul 11.12

Poziţia pilei

Forma pilelor Dreptunghiulară Circular

triunghiular Ogival

a=0 1ξ 2ξ 3ξ

a=0,5H 12

1ξ 23

2ξ 35

3ξ

a=H 14

1ξ 23

1ξ 35

2ξ

Fig. 11.54. Avansul pilei

Înecarea acestor deversoare se poate introduce în calcule prin relaţia

(11.102) sau prin valorile coeficientului de înecare ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0H

hnσ întabulate în

îndrumare de calcule hidraulice.

1=1,0

2=0,7

32=0,7 =0,4

a

a b i

- la deversorul cu profil triunghiular, de tip Keutner ( 25,121 == θθ ctgctg ) utilizat frecvent la descărcător de suprafaţă lateral la acumulări cu baraje de pământ, debitul se determină cu relaţia:

( )hHgbhmQ −= 00 2 , (11.127)

lama deversantă fiind influenţată de paramentul aval. Se disting patru forme de curgere peste acest deversor, astfel: - curgere liberă, cu: 5

0 10; 0; 1,258; 0,73 /nh dh m h H H p< < = = ;

- curgere înecată la limită, cu: 10

0 10; 0; 1,251; 0,7 /nh dh m h H H p> < = = ;

- curgere înecată cu:

100 11,174 1.29; 0; 0,965 ; 0,745 /

n n

H Hdh m h H H p

h h< < > = =

100 11, 29; 0; 1,240; 0,745 /

n

Hdh m h H H p

h≥ > = =

- curgere înecată ondulatorie, cu:

1010 /84,0 ;965,0 ;174,1 ;0 pHHh

h

Hm

h

Hh

nnn ==<> .

11.5.5. Deversoare cu profil curb

Deversoarele din această categorie au profilul curb sau conţin elemente de curbă. Se utilizează la realizarea părţii deversante a barajelor în scopul evitării, limitării presiunilor vacuumetrice pe paramentul aval sau dezlipirea lamei deversante. Există profile cu şi fără vacuum.

10. Deversoare cu profil curb fără vacuum sunt astfel concepute ca pe paramentul aval să nu apară vacuum. Paramentul aval este realizat astfel ca lama deversantă să se sprijine pe acesta. În cazul fluidului eulerian profilul care realizează această condiţie reproduce pânza inferioară a lamei deversante de la un deversor cu muchie ascuţită cu deschidere dreptunghiulară, fără contracţie laterală, cu lamă aerată, verticală sau înclinată în funcţie de paramentul amonte al barajului. Profilul de deversor astfel realizat – numit profil Bazin – nu îndeplineşte condiţiile datorită naturii reale ale lichidului.


Poziţia pânzei inferioare se poate trasa utilizând teoria mişcărilor potenţiale (se trasează spectrul mişcării pentru fluid eulerian) cu ajutorul căreia rezultă vitezele, debitul şi presiunea pe parament. Un astfel de deversor realizează această condiţie numai pentru sarcina HC = 0,888H, H fiind sarcina pe deversorul cu muchie ascuţită. Din aceste considerente se corectează curbura teoretică a deversorului astfel ca aceasta intră puţin în lama deversantă. Orice dezlipire, presiune vacumetrică sau suprapresiune afectează turbulenţa, poate conduce la cavitaţie şi reduce coeficientul de debit. Profile care „intră” puţin în lama deversantă şi realizeazăsuprapresiuni mici pe paramentul aval, au fost studiate de: de Marchi, Creager, Ofiterov, Smetana, WES (Waterway Experiment Station, Vicksburg). În continuare sunt prezentate profile de deversor Creager şi WES.

HH00 x

y

Tip A

0H0

H

Tip B

x

45

a

y

Hc

Fig. 11.55. Deversorul curb fără vacuum Creager

Debitul la aceste deversoare se calculează cu relaţia (11.122), sarcina sub care are loc curgerea fiind definită faţă de punctul cel mai înalt al profilului (fig. 11.55).

10.a. Deversorul cu profil curb Creager Profilul Creager se poate realiza cu paramentul amonte vertical (eventual retras din condiţii de economicitate) de tip A şi cu parament amonte înclinat la 450 (tip B) pentru condiţii de stabilitate sau de evacuare a gheţurilor. Curbura profilului se găseşte în tabele (tab. 11.13) pentru sarcina de calcul H = 1 m.


Coordonatele profilelor de deversor Creager pentru H = 1 m Tabelul 11.13

Tip A Tip B x y x y x y x y

0,0 0,126 1,2 0,397 0,0 0,043 1,2 0,480 0,1 0,036 1,4 0,565 0,1 0,010 1,4 0,665 0,2 0.007 1,7 0,870 0,2 0,000 1,7 0,992 0,3 0,000 2,0 1,22 0,3 0,005 2,0 1,377 0,4 0,007 2,5 1,96 0,4 0,023 2,5 2,14 0,6 0,060 3,0 2,82 0,6 0,090 3,0 3,06 0,8 0,142 3,5 3,82 0,8 0,189 3,5 4,08 1,0 0,257 4,0 4,93 1,0 0,321 4,0 5,24

Coordonatele profilelor pentru 1≠H se obţin prin înmulţirea valorilor din tabelul 11.13, cu sarcina de calcul H.

Hyy

Hxx

H

H

1

1

=

=

=

= (11.128)

Coeficientul de debit pentru sarcina de calcul H = Hmax, este m0 = 0,49 pentru tipul A şi m0 = 0,48 pentru tipul B. În cazul funcţionării deversoarelor la sarcini inferioare celei de calcul coeficienţii de debit sunt: - pentru profilul A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

max0 215,0785,049,0

H

Hm , când 8,0/ max ≤HH

şi (11.129)

( )max0 /12,088,049,0 HHm += , când 8,0/ max >HH

- pentru profilul B ( )max0 /310,085,048,0 HHm += , când 5,0...1,0/ max =HH

şi (11.130)

( ) 20/1max0 /48,0 HHm = , când 5,0/ max >HH .

Pentru sarcini H superioare celei de calcul sub lamă presiunea devine vacuumetrică şi conduce la creşterea coeficientului de debit. Experienţele lui Creager arată că la debite deversate cu peste 10 % superioare debitului la sarcina de calcul produc vibraţii periculoase şi poate să apară cavitaţia pe parament.


10.b. Deversorul cu profil WES Profilele curbe ale deversoarelor WES se compun din mai multe segmente de curbă însă curba principală are ecuaţia: yRHX n

cn 1−= (11.131)

celelalte fiind segmente de cerc. Paramentul amonte poate fi vertical (chiar şi retras) sau înclinat cu m = 1/1; 1/3; 2/3. Parametrii m0, R şi n şi elementele arcelor de cerc al profilelor sunt indicate în fig. 11.56.

Corecţiile pentru contracţie şi înecare corespund celor descrise la deversoare cu profil gros poligonale (11.5.4.).

20. Deversoare cu profil curb cu vacuum Aceste deversoare sunt profilate după curbe mai simple, arc de cerc sau

elipsă (fig. 11.57).

1

B

A

C

0R

D

a b c

H

pR

55...60

2b

b

H

a

Fig. 11.57. Deversoare cu profil curb cu vacuum Pe creasta şi paramentul aval al deversorului la contactul cu lama deversantă se formează presiune vacuumetrică. În practică valoarea presiunii vacuumetrice se limitează la 5...6 mCA pentru evitarea dezlipirii lamei deversante şi apariţiei cavitaţiei, care, la rândul său produce vibraţii, afecteazămaterialul paramentului şi stabilitatea construcţiei. Coeficientul de debit la deversoarele profilate după arc de cerc se poate calcula cu relaţia:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−+= 1

2 /09,0/501,03,0312,03

2pHRHm (11.132)

Pentru deversoarele profilate după arc de elipsă coeficientul de debit mdepinde de H/a şi b/a, variind în limite largi m = 0,487...0,577. Pentru b/a = 2...3, m = 0,552...0,554. Presiunea vacuumetrică pe parament are următoarele valori: - pentru profilare după arc de cerc hvac = (1,39...1,58)H0; - pentru profilare după arc de elipsă cu: - b/a = 2; hvac = (1,27...1,55)H0; - b/a=3; hvac = (1,34...1,63)H0. Înecarea acestor deversoare începe la hn/H = 0,15, iar coeficienţii de corecţie )/( Hhf n=σ sunt întabulaţi în îndrumătoare.


0,175H0,282H

Rc=0,2Hc

Rc=0,5Hc

cc

H H

n=1,85R=2,00mo=0,502

o c

x

y

Retragerea

vo/2g2 2/2gov

b

y

x

co

=0,497omR=1,939n=1,81

HHc

c

c=0,48HcR

c=0,22HcR

0,214H0,115H

m=2/

32/2gov

d

y

x

co

=0,495omR=1,873n=1,776

HH

c

c=0,45HcR

0,119H

m=

1/1

m=

1/3 y

c

0,139H0,237H

=0,21H

R

H Ho

Rc

c

/2gvo2

c=0,68Hc

c

cc

x

=0,500R=1,936mo

n=1,836

Fig. 11.56. Deversoare WES a). parament amonte vertical sau retras; b). parament amonte înclinat 2/3; c). parament

amonte înclinat 1/3; d). parament amonte înclinat 1/1; e). corecţia coeficientului de debit funcţie de înclinarea paramentului şi sarcină; f). corecţia coeficientului de debit funcţie de

sarcină şi înălţimea pragului.

11.5.6. Deversorul cu prag lat

Deversoarele cu prag lat se caracterizează prin 12...8/5,2 << Hδ cu limita superioară valabilă muchiilor vii, iar limita inferioară muchiilor rotunjite. La intrarea pe deversor lama prezintă o strangulare pronunţată, se formeazăadâncimea contractată pe deversor, inferioară celei critice, h < hcr după care urmează o mişcare gradual variată în starea rapidă a curentului. Neuniformitatea la intrare este mai pronunţată la muchii vii din cauza dezlipirii. Dacă 12/ >Hδ spre capătul aval, la aproximativ 3hcr amonte de muchia de ieşire, se formează hcr, iar în amonte curgere în stare lentă, racordată prin salt ondulat cu starea rapidă de la intrare. Când grosimea crestei δ este şi mai mare, zona de intrare este înecată şi pe creastă mişcarea este lentă fiind comandată de secţiunea de ieşire; deversorul se comportă ca un canal scurt. Pentru funcţionarea ca deversor curgerea este comandată din amonte, adâncimea pe prag h nu se modifică prin modificarea grosimei crestei.

H H

p

h h0

1

0

0

cr

1

1

12

34

δδ

δδ

Fig. 11.58. Forma suprafeţei libere pe deversorul cu prag lat în funcţie de δ

Calculul debitului deversorului cu prag lat se poate efectua cu relaţia (11.122), în care m0 depinde de condiţiile de intrare (forma muchiei) şi de înălţimea pragului amonte p1. Berezinski recomandă următoarele relaţii de calcul pentru m0:

- muchii vii şi p1/H < 3: Hp

Hpm

/75,046,0

/301,032,0

1

10

+

−+=

şi (11.133) m0 = 0,32 pentru 3/1 ≥Hp ;

- muchii rotunjite cu r = 0,2 H, pentru 3/1 <Hp :

Hp

Hpm

/5,12,1

/301,036,0

1

10

+

−+=

şi (11.134) m0 = 0,36, pentru 3/1 ≥Hp .

Particularitatea curgerii pe prag lat, cu comanda curgerii din amonte, permite stabilirea directă a debitului sub formele:

( )hHgbhQ −= 02ϕ

sau

3/201 2Q k kb gHφ= − (11.135)

cu k = h/H0. Relaţia (11.135), cu notaţia

kkm −= 10 ϕ (11.136)

capătă forma (11.122). Valorile coeficienţilor m0, k, φ corespund (tab. 11.14).

Coeficienţii m0, k, φ pentru deversorul cu prag lat Tabelul 11.14

m0 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,385 φ 0,951 0,954 0,961 0,967 0,974 0,983 0,994 1,000 k 0,457 0,477 0,500 0,527 0,558 0,596 0,641 0,667

Contracţia laterală, după Berezinski este:

( )BbBbHp

a/1/

/2,01 4

31

−+

−=ε (11.137)

în care a = 0,19 pentru muchii de intrare vii şi a = 0,10 pentru muchii de intrare rotunjite. Pentru b/B < 0,2 şi p1/H > 3 coeficientul ε se calculează cu b/B = 0,2 şi p1/H = 3. Pentru hn/H0 = 0,78...0,83 deversorul se îneacă şi este necesarăutilizarea coeficientului de corecţie σ(hn/H0) (tab. 11.15).

Coeficientul de înecare σ(hn/H0) la deversorul cu prag lat Tabelul 11.15

hn/H0 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89 σ 1,00 0,955 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,90 0,87

hn/H0 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 σ 0,84 0,82 0,78 0,74 0,70 0,65 0,59 0,50 0,40


11.5.7. Alte tipuri de deversoare

Practica hidrotehnică utilizează şi alte tipuri de deversoare ca funcţional, poziţie, rol sau construcţie. Astfel sunt deversoarele laterale, pâlnie sau deversoarele sifon.

10. Deversoare laterale Se utilizează ca deversor de captare sau evacuator de protecţie. Are dispoziţia obişnuită laterală (fig. 11.59), lăsând curgerea liberă pe albia principală. Când nivelul apei din albia principală depăşeşte cota crestei deversorului o parte a debitului se evacuează peste deversorul lateral. Qam = Qav+Qd (11.138)

h

z

p

l

zp

z

hhα

Qam

Qav1

21

b1 a1Qd

1 2

0201I

I

Q

Q

Q

av

am

d

1

2

Fig. 11.59. Deversor lateral

Creasta deversorului poate fi paralelă cu fundul albiei principale sau diferit (ex. construit pentru a menţine sarcină constantă pe lungimea crestei). Când fundul albiei principale şi creasta sunt paralele lama deversantă şi nivelul din albia principală au variaţii substanţiale determinate de starea curentului din albie din amonte şi aval de deversor. Cel mai des întâlnit caz este când starea mişcării pe canal este lentă, atât amonte cât şi aval de deversor, în această situaţie secţiunea de comandăeste cea din aval (2), cota de comandă z2 corespunde lui Qav. Pe canal în amonte mişcarea este gradual variată după o curbă coborâtoare b1, în secţiunea (1) realizându-se o adâncime h01 > hcr. Nivelul din canal în lungul deversorului este crescător după o curbă de supraînălţare a1.

Debitul descărcat de deversor se poate calcula cu relaţia:

2/320 2 ZglmQ ld σ= (11.139)

în care

( ) 6/12 / lZl =σ (11.140)

şi ţine seama de variaţia sarcinii în lungul crestei. Coeficientul de formă m0 se determină după criteriile prezentate pentru deversoare. Dacă deversorul este aşezat oblic faţă de axa curentului din canalul

principal cu 40

1...

3

1=θtg atunci ( ) 10/1

2 / lZl =σ .

Fig. 11.60. Deversor lateral oblic

Dacă starea curentului în canal este rapidă atât în amonte cât şi în aval, adâncimea scade în lungul crestei (fig. 11.61). Secţiunea de comandă este în amonte (1).

Fig. 11.61. Linia luciului apei pe creasta deversorului lateral când starea mişcării apei în canalul principal este rapidă

Alte situaţii rezultă din combinarea stării de mişcare pe canalul principal din amonte aval şi în dreptul deversorului lateral (fig. 11.62).

h01<hcr h02<hcr

12

12

hcr

l

QamQav

Qd

θ

Fig. 11.62. Diverse forme ale luciului apei în lungul deversorului lateral funcţie de starea curentului din albia principală

20. Deversorul pâlnie Deversoarele pâlnie au forma în plan circulară, arc de cerc sau alte

forme; în majoritatea cazurilor secţiunea transversală este modelată după forma deversoarelor cu profil curb fără vacuum (fig. 11.63). Se folosesc în special ca evacuatoare de ape mari.

DR HH

p1

x

y

0

a

R

bb

Fig. 11.63. Deversor pâlnie. a). secţiune; b). vedere în plan

Deversorul pâlnie poate avea diferite regimuri de funcţionare, determinate de raportul H/R, astfel (fig. 11.63’). - la H/R < 0,46 deversor neînecat; - H/R = 0,46...0,8 deversor autoînecat;

h01>hcr h02<hcr1

2

h =h1 cr

~hcr

h >h01

1

hcr

1 02

2

hcr

>h

<hh01

1

cr02

h

2

>hcr

- H/R = 0,8...1,0 deversor autoînecat cu dispariţia formei de pâlnie a suprafeţei libere; - H/R = 1,0...1,6 aspect de curgere orificiu-ajutaj interior; - H/R > 1,6 aspect de curgere ajutaj interior.

HH

V02/2g

0 x

y

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4y/H0

x/H0

2

1,0

0,80,6

0,50,4 0,3

0,2

H/R=0

R=oo

0,2

0,3

0,4

0,50,6 0,8

priza inferioara

prizasuperioara

Fig. 11.63’. Forma lamei deversante la un deversor circular cu muchie ascuţită

La proiectarea acestor deversoare este recomandabilă funcţionarea lor neînecată, deci R > 2,2H şi profilul crestei să fie modelat după pânza inferioarăa lamei deversante. Pentru situaţii H < Hcalc deversorul funcţionează neînecat, iar pentru H > Hcalc apar fenomenele de înecare menţionate. Coeficientul de debit de formă m0, pentru limitele H/R = 0,2...0,38 şi p1/R = 0...1, se poate calcula cu relaţia:

( )[ ]3/210 /103,0/068,049,0 RpRHm −−−= (11.141)

iar debitul:

( ) 2/30 22 HgnbRmQ −= πε (11.142)

unde n este numărul pilelor de grosime b. Coeficientul de contracţie se calculează asemănător celor prezentate la 11.5.4.


30. Deversorul sifon

Deversorul sifon se foloseşte ca descărcător de protecţie fiind o construcţie formată dintr-un deversor cu profil curb, acoperit cu o capotă cu orificiu şi o mască, respectiv pereţi laterali (fig. 11.64). Paramentul aval al deversorului este prevăzut cu un „nas”. Descărcarea are loc într-o chiuvetă, adâncitură a canalului de derivaţie. Funcţionează ca un deversor lateral.

Fig. 11.64. Deversorul sifon

Când nivelul din canalul principal atinge cota crestei deversorului construcţia intră în funcţiune ca deversor. „Nasul” aruncă lama deversantă spre capotă, antrenând aerul în aval. Apa din bazinul aval împiedică intrarea aerului din aval. Când nivelul din canalul principal ajunge la nivelul măştii accesul aerului din amonte este oprit şi după un anumit timp, cât tot aerul din spaţiul dintre parament şi capotă este evacuat în aval (sifon amorsat) funcţionarea este ca al unui deversor cu sarcină în creştere - se realizează presiune vacuumetricăpe paramentul aval. După evacuarea aerului construcţia are o funcţionare de sifon sub sarcină H*. În prima fază debitul tranzitat este al unui deversor cu profil curb cu coeficient de debit m0, lucrând sub sarcina H şi lungimea crestei b. În faza a treia - de sifon - debitul tranzitat este al unei conducte în sifon secţiunea A = ab sub sarcina H* şi coeficientul de debit μ. Debitul evacuat în faza a treia este mult superior primei faze în special pe seama creşterii sarcinii. În faza intermediară debitul tranzitat este între debitele celorlalte forme de funcţionare.

H

a Dh

h H*nas


40. Module cu mască

Modulele sunt dispozitive statice pentru regularea - limitarea la valori prestabilite a debitelor derivate. Există două tipuri de astfel de dispozitive: - cu o mască (deversor - orificiu); - cu două măşti (deversor - orificiu cu contrajet)

40.a. Modul cu o mascăEste un dispozitiv rezultat dintr-un deversor cu profil triunghiular cu

creastă rotunjită şi o mască plasată deasupra, în coordonate, formând unghi de 135o faţă de direcţia curgerii care realizează un orificiu mare peste deversor. Paramentul amonte al deversorului face unghi de 55o faţă de orizontală, iar paramentul aval unghiul de 15o (fig. 11.65). Funcţionează ca un deversor - orificiu lateral.

Fig. 11.65. Modul cu o mască

În intervalul H = 0...a dispozitivul funcţionează ca deversor dupăcaracteristica: 2/3HQ α= (11.143) iar pentru H > a funcţionează ca orificiu mare după caracteristica: 2/1HQ β= (11.144)

Unghiul 0135=θ a măstii influenţează puternic coeficientul de contracţie care reduce debitul şi favorizează îndepărtarea saltului aval de dispozitiv. Dispozitivul menţine debitul în intervalul Qmin...Qmax, la Qnorm ± εQdomeniul minmax HHH −=Δ .

a

135

1555

AvalVana

Amonte

MascaSalt

Prag

H

Q

Qn

Qmin

Hmax

Hmin

Qmax

Δ H

q= H3/2α

q= Hβ 1/2


Există dispozitive standardizate X1, XX1, XXX1, L1 şi C1, plasate în module, fiecare deschidere fiind protejată de vană plană cu poziţie fixă închis sau deschis (fig. 11.66).

Fig. 11.66. Schema de montare a modulelor cu mască

40.b. Modul cu două măşti Este un dispozitiv asemănător modulelor cu o mască având însă două

măşti plasate deasupra deversorului. A doua mască este plasată mai sus faţă de deversor ca prima şi are înălţime limitată (fig. 11.66). Funcţionalul poate fi descris în funcţie de creşterea sarcinii faţă de cota pragului deversorului, astfel: - H = 0...a1 funcţionare ca deversor; - H = a1...a2 funcţionează ca orificiu cu prima mască în operare; - H = a2...H2 funcţionează ca orificiu cu a doua mască în operare (prima mască nu mai atinge apa); - H > H2 între cele două măşti se deversează apa, realizând un contracurent (jet) faţă de curentul principal derivat şi care devine mai important cu creşterea sarcinii.

Măştile şi contracurentul reduc coeficientul de debit al orificiului în funcţiune menţinând debitul între Qmax-Qmin, la QQnorm ε± pentru o variaţie a

sarcinii minmax HHH −=Δ mai mare ca la modulul cu o mască.


contracurent

orificiu

deversor

Qn

H

Qn+ Q- QQn Q

Ha a

12 1

Nivel nominal

Fig. 11.67. Modul cu două măşti

Există dispozitive standardizate X2, XX2, L2 şi C2.

11.6. APLICAŢII

10. Cele trei compartimente ale unui rezervor comunică prin douăorificii mici în pereţii de despărţire verticali şi cu exteriorul un orificiu mic în perete subţire, vertical (fig. 11.68). Caracteristicile orificiilor sunt: diametrele D1 = 40 mm, D2 = 50 mm şi D3 = 55 mm şi au coeficienţii de debit

605,0 ;600,0 21 == μμ şi 62,03 =μ . Primul compartiment este alimentat cu

debitul curs. Să se determine debitul orificiilor şi denivelarea în rezervoare dacă

sarcina totală este H = 3,80 m.

Fig. 11.68. Schema de calcul

Rezolvare. Conform ecuaţiei (11.9), cu p1 = p2 = 0 şi v0 = 0, se obţin sarcinile sub care are loc curgerea prin fiecare orificiu:

;22

121

2

1gA

QZ

μ= ;

222

22

2

2gA

QZ

μ= ;

223

23

2

3gA

QZ

μ=

z

zz

H1

2

3

D D D1 2 3

12 3

12

3

μ

μμ


Însumând sarcinile se obţine:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++=

23

23

22

22

21

21

2

321

111

2 AAAg

QZZZH

μμμ

sau

233

222

211

1112

AAA

gHQ

μμμ++

= ,

cu 4

2i

i

DA

π= rezultă:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×

+×

+×

×=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

4242422

43

23

42

22

41

21

2

055,062,0

1

050,0605,0

1

04,0600,0

18

8,381,9

1118

π

μμμπ DDD

gHQ

,

sau Q = 5,046 x 10-3 m3/s = 5,046 l/s. Sarcinile Z1, Z2, şi Z3 rezultă din primele ecuaţii, astfel:

( )m28,2

81,9204,060,0

410046,5422

223

1 =××××

××=

−

πZ

( )m92,0

81,9205,0605,0

410046,5422

223

2 =××××

××=

−

πZ

( )m60,0

81,92055,062,0

410046,5422

223

3 =××××

××=

−

πZ

Confirmate prin H = Z1 + Z2 + Z3 = 2,28 + 0,92 + 0,60 = 3,80 m.

20. În peretele vertical al unui rezervor se practică două orificii mici. Adâncimea lichidului în rezervor este h. Să se determine astfel poziţia orificiilor pe aceeaşi verticală a peretelui ca jeturile rezultate să bată în acelaşi punct în planul orizontal al fundului rezervorului (fig. 11.69), când ϕϕϕ == BA .


Fig.11.69. Schemă de calcul

Rezolvare. Axele de coordonate sunt trasate în secţiunea contractată; componentele vitezelor în jeturi fiind:

- pentru orificiul A: 12gHv Ax ϕ= şi gtvy = .

- pentru orificiul B: ( )22 hhgv Bx −= ϕ şi gtvy = .

Coordonatele particulelor la un moment dat în coordonatele considerate cu ϕϕϕ == BA sunt: - pentru orificiul A,

tvx x= sau gh

x

v

xt

x 2ϕ== ,

∫∫ ===tt

y gtgtdtdtvy0

2

0 21

sau 1

2

2

41

h

xy

ϕ= .

- pentru orificiul B,

tvx x ⋅= sau ( )22 hhg

x

v

xt

x −==

ϕ

( )2

2

22

421

hh

ygty

−==

ϕ.

Planul orizontal al fundului rezervorului are coordonatele: - pentru orificiul A

1

2

2

14 h

xhhy

ϕ=−= .

- pentru orificiul B

( )2

2

2

24 hh

xhy

−==

ϕ.

h

h

h

1

2

x

x

C

B

A

y


În condiţia aceleiaşi abscise x rezultă: h1 (h - h1) = h2 (h - h2) sau 02

11222 =−×+×− hhhhhh ,

cu soluţia

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−±=+×−±= 12

11

2

2 2242h

hhhhh

hhh

Soluţia h2 = h1, deci orificiile egal distanţate de la suprafaţă şi fund.

30. Debitul evacuat de un dren cu Q = 0,2...1 l/s se măsoară cu un ajutaj cilindric având coeficientul de debit μ = 0,80. Debitul trebuie măsurat cu o eroare relativă δQ = 5 0/00 când sarcina se poate măsura cu eroarea absolută εH = 1 mm. Să se dimensioneze ajutajul (fig. 11.70).

Fig. 11.70. Schemă de calcul.

Rezolvare. Debitul se măsoară indirect cu ajutajul, mărimea direct măsurată fiind sarcina H. Relaţia de transformare este (11.45) în care coeficientul de debit este μ = 0,8. Eroarea relativă a măsurătorilor indirecte este:

( )

H

H

H

dH

gHA

gHAd

Q

dQ

Q

QQ

ε

μ

μεδ

2

1

2

1

2

2=====

sau

m 1,0005,0001,0

21

21

===Q

HH

δ

ε

care corespunde debitului minim, rezultând:

mm.15m015,01,081,928,0

0002,04

2

4 min ==××××

×==

ππμ gh

Qd

H d

dren

limnigraf

rezervor

ajutaj


La debitul maxim sarcina va fi:

m.638,081,9015,08,0

001,022422

2

422

2max

max =××

×==

ππμ gd

QH

Sarcina fiind măsurată cu aceeaşi eroare precizia de măsurare a debitului creşte cu creşterea debitului.

40. Barajul unui lac de acumulare are golirea la fund formată dintr-o conductă cu D = 2,0 m şi coeficient de debit μ = 0,7. Cota geodezică a apei la nivel normal de exploatare este de 128 m, iar axul golirii de fund de 121 m. Debitul afluient din amonte este de Q0 = 5,5 m3/s. Curba suprafeţei lacului de acumulare pentru cotele caracteristice corespunde graficului din schema de calcul. Să se determine timpul de golire a lacului de la cota 128 m la cota 124 m.

HHH

Q

Q

AAA 128m

121m123

0

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6

h(m)

A(h)10 m6 2

HΔ

Fig. 11.71. Schema de calcul

Rezolvare. Într-un interval de timp dt în lac soseşte volumul Q0 dt şi

se evacuează prin golirea de fund ,2 dtgHAQdt gμ= diferenţa lor fiind egalăcu variaţia volumului apei din lac, respectiv:

AdHdtgHAdtQ g == 20 μ

de unde timpul de golire de la cota H1 la H2, rezultă:

∫ ∫−

=−

=1

2

1

200 2

1

2

H

H

H

H

g

gg

gA

QH

AdH

gAQgHA

AdHt

μμμ

Scriind ecuaţia în diferenţe finite, se obţine:

( )( )∑∑

−+

−+==

−

−−1

2 1

111 H

H ii

iiiii

KHH

HHAA

gAgtt

μ


unde

gA

QK

gμ0= şi

4

2DAg

π= .

Se lucrează pentru pasul de sarcină ΔH = Hi - Hi-1 = 1 m, rezultând:

22

m14,34

0,2=

×=

πgA ; /sm7985,0

81,914,37,0

5,5 0,5=×

=K ,

2,5s/m 145,081,914,37,0

11=

×=

gAgμ

Caracteristicile lacului, suprafaţa orizontală şi sarcina pe golire în funcţie de cote conform graficului din fig. 11.71.sunt:

Cota [m] Hi [m] 10-6Ai [m2]

128 7 4,7 127 6 4,1 126 5 3,0 125 4 1,7 124 3 0,9

Timpul de evacuare va fi: ( ) ( ) ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−=

7985,034

1109,07,1

7985,045

1107,10,3

7985,056

1100,31,4

7985,067

1101,47,4145,0

6666

t

54sec.25min 19orezile2s 754242 =×=t .

50. Debitul în intervalul Q = 0,2...0,5 m3/s se va măsura cu eroarea relativă admisă de δQ = 0,5% cu un deversor cu profil subţire fără contracţie laterală şi lamă deversantă aerată. Eroarea maximă de măsurare a sarcinii este εH = 1mm. Să se calculeze elementele deversorului.

Rezolvare. Deversorul de măsurare este perfect, tipul Bazin, relaţia de calcul a debitului fiind (11.91). Se acceptă la dimensionare coeficientul de debit de formă m0 = 0,405. Fiind cazul măsurătorilor indirecte, variabila H, conform (11.117) rezultă sarcina la debitul minim:

H

HQ

εδ

23

= sau m 3,0005,0001,0

23

23

min ===Q

HH

δ

ε


Lungimea crestei şi lăţimea canalului pe care se montează deversorul este:

m678,03,081,92405,0

2,0

2 2/32/3min0

min =××

==Hgm

Qb .

Rotunjind lăţimea de fund la b = 0,7 m, rezultă:

m294,081,927,0405,0

2,0

2

3/23/2

0

minmin =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

××=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

gbm

QH

şi

m541,081,927,0405,0

5,0

2

3/23/2

0

maxmax =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

××=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

gbm

QH

60. Un deversor cu profil WES, cu m0 = 0,502, trebuie să tranziteze debitul de calcul Q = 300 m3/s. Construcţia prezintă două câmpuri deversante, cu b = 14 m fiecare, având forma culei dreptunghiulară, iar pila este ogivală. Pragul deversorului în amonte p1 = 7m. Să se determine grosimea lamei deversante şi să se traseze profilul paramentului deversant pentru sarcina de calcul.

Rezolvare. Într-o primă aproximare se neglijează efectul contracţiei, rezultând sarcina totală:

( )m85,2

81,92142502,0

300 ;

2

3/2

0

3/2

00 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

××=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∑H

gbm

QH

Sarcina pe deversor în prima aproximare este:

g

VHH

2

200

0

α−=′

cu ( )∑+

=bHp

QV

10 care cu H~H0 este

( )( )m/s09,1

14285,27300

0 =×+

=V

rezultând m78,281,9209,11,1

85,22

2200

0 =×

×−=−=′

g

VHH

α

Cu H’ se calculează coeficientul de contracţie, pentru culee: ξc = 1, iar pentru pilă ξc = 0,4.

( ) 976,0142

78,24,02121,011,01 =

××+×−=−= ∑ ∑b

Hξε .


Se recalculează sarcina totală:

( )m90,2

81,92142976,0502,0

300

2

3/23/2

00 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

×××=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∑ gbm

QH

ε

şi sarcina H

( )( )m/s08,1

90,27142300

0 =+×

=V şi m83,281,9208,11,1

90,22

=×

×−=′′H .

Cu aceste valori se reiau iteraţiile rezultând: ;m90,2 ;976,0 0 =′′′= Hε şi H = Hc = 2,83 m.

Forma profilului este dată de ecuaţia: YHX c

85,085,1 0,2=

cu R1 = 0,5 Hc = 0,5 x 2,83 = 1,415 m R2 = 0,2 Hc = 0,2 x 2,83 = 0,566 m e1 = 0,282 Hc= 0,282 x 2,83 = 0,798 m e1 = 0,175 Hc = 0,175 x 2,83 = 0,495 m

Ecuaţia curbei profilului deversant este: 85,185,1

85,085,1

85,02605,0

83,22

1

2

1XXX

HY

c

=×

=×

=

Coordonatele profilului sunt: X 0,25 0,50 0,75 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 Y 0,01

6 0,05

7 0,12

1 0,20

7 0,43

7 0,74

4 1,12

5 1,57

6 2,09

6 2,68

4 şi sunt materializate în (fig. 11.72).

Fig. 11.72. Profilul WES pentru Hc = 2,83 m e

e

x

y

R

R

Sc 1:100

1

2

1

2


CAPITOLUL 12

MIŞCAREA UNIFORMĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Mişcarea cu suprafaţă liberă în albii este un domeniu foarte larg al ingineriei hidrotehnice. Astfel de mişcări au loc în albii regulate (canale, conducte cu secţiune parţial umplută) şi albii naturale. În raport cu variabila timp mişcarea lichidelor cu suprafaţă liberă poate fi permanentă (staţionară) şi nepermanentă (nestaţionară). În raport cu variabila spaţiu se întâlnesc:

- mişcări uniforme. - mişcări neuniforme - lent (gradual variate); - rapid variate.

În acest capitol se studiază mişcarea uniformă a lichidelor cu definirea caracteristicilor mişcării, calculul hidraulic de verificare şi de dimensionare, respectiv probleme speciale de calcul.

12.1. NOŢIUNI GENERALE

Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă este o mişcare permanentă (independentă de parametrul timp) la care liniile de curent sunt rectilinii şi paralele; parametrii hidraulici – viteză, secţiune udată – sunt constanţi în timp şi în lungul curentului; suprafaţa liberă este un plan înclinat paralel cu fundul albiei. Curgerea se produce datorită forţelor gravitaţionale prin „consumul” uniform al energiei specifice de poziţie în lungul curentului.

Astfel de mişcări se pot întâlni în albii regulate (artificiale). În general albiile (suportul solid al mişcării) geometric se împart în:

- albii regulate – prismatice, cilindrice, la care secţiunea depinde numai de adâncime A = A(h) şi care se obţin prin deplasarea paralelă a unei drepte cu poziţia sa iniţială pe o curbă sau linie frântă suport; - albii naturale (oarecare), la care secţiunea depinde atât de adâncime cât şi de poziţia în lungul curentului A = A(h, l).

Calitatea albiei şi variaţia acesteia se caracterizează prin rugozitatea albiei şi care, pentru o mişcare uniformă, trebuie să fie constantă în lungul curentului.


Mişcarea uniformă este mai mult o ipoteză, în general curgerea cu nivel liber nu este permanentă şi cu atât mai puţin uniformă datorităsensibilităţii foarte mari a curentului la cele mai mici forţe perturbatoare (variaţia de debit în timp şi în lungul albiei, modificarea rugozităţii în lungul albiei, influenţa curenţilor de aer de la suprafaţa liberă, neregularităţi ale perimetrului udat, construcţii diverse etc).

Mişcarea uniformă totuşi prezintă importanţă teoretică şi practică în calculele de dimensionare şi definirea altor tipuri de mişcări în raport cu aceasta.

Se poate considera mişcarea uniformă pe perioade scurte în albii regulate în curgere permanentă pe sectoare de canale lungi, rectilinii, cum sunt canalele de irigaţie, desecare – drenaj, de aducţiune al apei potabile, de evacuare a apelor uzate, de aducţiune şi fugă a hidrocentralelor, de navigaţie, de plutărit, de colmataj etc.

12.1.1. Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor.

Elementele geometrice ale unui canal sunt: - forma secţiunii transversale, cu elementele sale caracteristice; - profilul longitudinal, caracterizat de panta longitudinală.

Pentru exemplificare se definesc elementele caracteristice ale unui canal de secţiune trapezoidală (fig. 12.1).

b

h h

h

ϕ

BB

0 t

st

m=

ctg

h

v /2g

θ

α 2ο

οVo

I

Ih

ϕ

Fig.12.1. Elementele geometrice şi hidraulice ale albiilor regulate

Elementele geometrice se caracterizează prin: - lăţimea la fund a canalului b; - deschiderea totală Bt; - înclinarea taluzelor φ, caracterizat prin coeficientul unghiular al taluzului m = ctgφ; - panta longitudinală I = sinθ ~ tgθ.


Elementele hidraulice ale acestui canal sunt: - adâncimea curentului h, numită adâncime normală h0 în mişcarea uniformă; - secţiunea udată (vie) A, este secţiunea normală pe direcţia de curgere; - perimetrul udat (muiat) P, este lungimea conturului secţiunii vii mărginit de solid; - raza hidraulică R = A/P; - lăţimea relativă β = b/h0; - lăţimea la oglinda apei B; - rugozitatea pereţilor şi fundului k, exprimat sub formă absolută sau sub forma coeficientului de rugozitate n (după Manning, Forheimer, Pavlovski etc.) sau γ (după Bazin); - panta piezometrică Ip, variaţia cotei nivelului liber în lungul curentului; - panta hidraulică (energetică), Ih, Ie care reprezintă variaţia energiei specifice totale pe lungimea curentului; - adâncimea de siguranţă (garda) canalului hs; - debitul volumic al curentului Q, volumul de lichid W care trece în timpul t prin secţiunea vie, Q = W/t; - viteza medie V, definită prin V=Q/A.

În mişcarea uniformă, panta geometrică a canalului, panta piezometrică şi energetică sunt egale, iar liniile lor caracteristice sunt paralele. Parametrii geometrici şi hidraulici sunt constanţi în timp şi în lungul curentului la mişcări uniforme.

12.2. LEGILE CURGERII UNIFORME A LICHIDELOR ÎN ALBII REGULATE (CANALE).

Pentru curgeri în albii regulate cu adâncimea apei relativ mică, se poate accepta densitatea constantă, iar principalele legi care guverneazămişcarea uniformă se referă la conservarea masei şi viteza medie.

12.2.1. Relaţia generală a curgerii uniforme în canale

Prima lege respectată la curgeri uniforme în canale este conservarea masei (5.41).

Q = Ai Vi (12.1)


A doua lege este legătura între viteza medie şi elementele geometrice ale secţiunii care se exprimă sub forma (8.7)

RICV = (12.2) în care R este raza hidraulică, I – panta fundului, iar C (m1/2/s) coeficientul lui Chézy, exprimat sub formele (8.8) sau după transformarea coeficientului Darcy-Weisbach λ în coeficient de rugozitate după tabelul 8.5. Această lege se poate stabili parţial şi pe cale mecanică, presupunând un volum de control între două secţiuni normale „solidificate” şi mişcându-se uniform pe un plan

înclinat, rezultând )( RIfV = , sau prin „teorema produselor” din analiza

dimensională rezultând ( ) RInV ,...,, ρνϕ= . Aceste relaţii se calibrează experimental, obţinându-se C. După înlocuirea (12.2) în (12.1) se obţine debitul mişcării uniforme:

RIACQ = (12.3) sau notând

RACK = (12.4) unde K este modulul de debit, cu unitatea m3/s.

IKQ = (12.5) Modulul de debit este debitul pentru panta hidraulică unitară.

12.2.2. Distribuţia vitezelor pe secţiune

Într-un curent turbulent în medie uniform cu suprafaţă liberădistribuţia vitezelor urmează o lege logaritmică în secţiuni normale la perete (asemănător conductelor). Gradientul de viteză este mai mare lângă contur, izotahele urmează forma conturului (rezistenţele din frecare sunt uniform distribuite), excepţie făcând colţurile secţiunii unde izotahele se îndepărtează(fig. 12.2).

Viteza la fund este o viteză fictivă şi se obţine prin extrapolarea epurii vitezei din punctul cel mai de jos unde se poate măsura viteza.

Relaţiile între viteza medie, ceea de la suprafaţă, maximă şi ceea de la fund sunt după cum urmează:


u

u

h(1/5-1/6)h

u Z

hf

max

umax

sx

Z

1,21,00,80,60,40,2

y

x

a

b

cv

Fig. 12.2. Distribuţia vitezelor în curent cu nivel liber în mişcarea uniformă: a). distribuţia vitezei în secţiunea transversală; b). distribuţia vitezei în profil longitudinal;

c). distribuţia vitezei în plan.

Vuu

uV

Vu

s

s

f

52,1~29,1~

85,0~

6,0~

max

Legea logaritmică la distribuţia vitezei în albii dreptunghiulare (dupăPopescu St.) este dată de relaţia:

afp

ap

p

f

f

yz

k

h

k

h

k

b

k

zh

k

ky

k

kz

uulnlnln

lnlnln

0

δ−++

= (12.6)

iar în albii de secţiune trapezoidală:

ap

p

f

f

ap

p

f

f

yz

k

h

k

kmzb

k

kh

k

zh

k

kymzb

k

kz

uu

ln5,0

lnln

ln5,0

lnln

0 +++

−+−++

=

δ

γ (12.7)

în care s-au utilizat relaţiile: • uyz – viteza în punctul cu coordonatele (y, z); • u0 - viteza punctuală maximă; • z - cota punctului în care se calculează viteza; • y - ordonata punctului de calcul; • m - coeficientul unghiular al taluzului;

• kf - rugozitatea absolută a fundului canalului; • kp - rugozitatea absolută a pereţilor;


• ka - rugozitatea fictivă echivalentă ce ţine seama de frecarea cu aerul; • h - adâncimea apei în canal; • δ - coeficient care ţine seama de influenţa frecării cu aerul; • b - lăţimea la fund a canalului; • k - constantă.

Curentul uniform fiind foarte sensibil la perturbări, orice neuniformitate a secţiunii, pereţilor, rugozităţii, mişcarea aerului la suprafaţă, modifică epura vitezelor.

12.2.3. Curenţi aeraţi

În cazul canalelor cu pante mari agitaţia particulelor la suprafaţa liberăcreşte, iar energia cinetică datorită pulsaţiei vitezei turbulente normală pe direcţia principală a mişcării depăşeşte forţele gravitaţionale şi de tensiune superficială. Astfel, picături trec în aer prin suprafaţa liberă, recad în curent şi antrenează aer în curentul lichid. Bulele de aer sunt antrenate în aval, stratul de la suprafaţă căpătând un aspect de emulsie spumoasă.

La o astfel de curgere se disting patru straturi ale curentului, de jos în sus, astfel: lichid; lichid cu bule de aer; emulsie spumoasă şi aer cu picături de lichid (fig. 12.3).

Fig. 12.3. Stratificaţia curentului aerat.

Grosimea stratului de spumă creşte odată cu creşterea pantei, viteza de pulsaţie creşte, mai multe picături părăsesc suprafaţa liberă şi recad antrenând mai mult aer. Grosimea straturilor inferioare se micşorează. Volumul emulsiei (de lichid-aer) poate spori volumul de 7-8 ori faţă de volumul ce ar fi ocupat de lichid. Din acest considerent adâncimea curentului aerat este substanţial mai mare şi este necesară sporirea gardei canalului. Experienţele de laborator (Semenic, Brazova, D. Pavel) scot în evidenţă că până la pante

Lichid

Lichid cu bule aer

Emulsie lichid-aer

Aer cu picaturi de lichid

1

23

4

aIR

I =<0834,0

0784,0 (12.8)

curgerea este neaerată şi calculele se pot efectua cu relaţia (12.3). La pante I > Ia apa se aerează succesiv, de sus în jos, astfel că raportul volumului de apă şi volumul amestecului β = Vapă/Vamestec < 1. Afectând cu indicele „a” mărimile caracteristice curentului aerat, debitul de apă este:

IRCAQQ aaaa ββ == (12.9)

La pante Ia 0,542curentul se aerează până la fund. Coeficientul de aerare β se poate calcula suficient de exact cu relaţia:

FrFr

lg812,026,236

lg812,01 −=−=β (12.10)

unde Fr = v2/gh este numărul Froude. Aerarea curentului de la intrarea în bieful cu pantă superioară pantei de aerare se produce la o anumită lungime de parcurs, între punctul numit începutul mişcării aerate şi care corespunde cu distanţa la care, în bieful cu I>Ia stratul limită ajunge la suprafaţă. Procentul de aer corespunzător numărului Fr se atinge după o anumită lungime de parcurs a curentului.

12.2.4. Instabilitatea mişcării uniforme

În cazurile când viteza apei sau panta canalului sunt prea mari suprafaţa liberă a curentului nu mai este paralelă cu fundul, mişcarea devine nestabilă. Pe suprafaţa liberă apar unde călătoare, a căror înălţime la creastăpoate ajunge de două ori adâncimea normală.

Curgerea îşi pierde stabilitatea – după Vedernikov – când:

1>== FrxΠVcr

VxΠVe (12.11)

în care Ve este numărul Vedernikov; x = 2 la mişcări laminare şi x = 1/2 la mişcări turbulente; Π – factor de formă a canalului.

dA

dPRΠ −= 1 (12.12)

Pentru Ve < 1 mişcarea este stabilă, iar pentru Ve > 1 mişcarea se mai numeşte supertorenţială sau ondulatorie. Aceste fenomene de instabilitate sunt caracteristice albiilor de secţiune dreptunghiulară sau trapezoidală. Instabilitatea apare la pante între 2 şi 35 %, când R/P < 1/10. Fenomenul nu


apare la canale de secţiune triunghiulară, parabolică, semicirculară sau combinaţia pe verticală a acestor secţiuni cu dreptunghi, însă nu s-a găsit explicaţia de ce.

12.3. CALCULUL HIDRAULIC AL ALBIILOR REGULATE DESCHISE ÎN MIŞCARE UNIFORMĂ

Calculul hidraulic al albiilor regulate în mişcarea uniformă îmbracădouă aspecte: - problema de verificare a debitului transportat; - problema de dimensionare a canalului.

12.3.1. Problema de verificare a canalelor în mişcare uniformă

La astfel de probleme se determină debitele transportate de canale pentru forme date ale secţiunii, adâncime normală h0, coeficient de rugozitate n, panta fundului I cunoscute. Ştiind că pantele fundului, hidraulică (energetică) şi piezometrică coincid se utilizează relaţia generală a canalelor (12.3), din care rezultă debitul transportat. Atenţie mare trebuie acordată aprecierii coeficientului de rugozitate. Calculul coeficientului Chézy se efectuează dupărelaţia (8.8)sau relaţiile după tabelul 8.5, coeficienţii de rugozitate găsindu-se în tabelele 8.6 şi 8.7.

12.3.2. Problema de dimensionare a canalelor în mişcare uniformă

Problemele de dimensionare ale canalelor în mişcare uniformă în general matematic sunt nedeterminate – numărul necunoscutelor este mai mare decât numărul ecuaţiilor posibil de scris. Prin adăugarea unor condiţii suplimentare tehnice (geotehnice, de rezistenţă, hidraulice), tehnologice şi economice problema se poate aduce la determinare. La problemele de dimensionare se ivesc cazurile: - determinarea pantei longitudinale; - determinarea elementelor secţiunii transversale.


10. Determinarea pantei geometrice longitudinale Fiind date elementele geometrice ale secţiunii transversale, adâncimea

normală h0, coeficientul de rugozitate n şi debitul Q, panta fundului canalului rezultă din:

2

2

22

2

K

Q

RCA

QI == (12.13)

Practic se calculează pierderile de energie pe lungime unitară (panta hidraulică), dar în mişcarea uniformă pantele energetică, piezometrică şi geometrică a fundului canalului coincid (Ih = Ip = I), rezultând din (12.13) panta topografică a fundului.

20. Determinarea elementelor secţiunii transversale ale canalelor în mişcarea uniformă Elementele secţiunilor diferitelor forme de canale sunt determinate de două, trei sau mai multe variabile independente. Astfel la secţiunea triunghiulară, circulară, parabolică, dreptunghiulară două variabile independente definesc elementele secţiunii transversale (aria vie, perimetrul udat, raza hidraulică). La canale de secţiune trapezoidală, semieliptică trei variabile independente definesc elementele secţiunii, iar la alte forme, secţiuni compuse: dublu trapezoidală, policentrică, pantă dublă de taluz, clopot, ovoid, potcoavă, profile de galerii etc., variabilele independente sunt mai numeroase (fig. 12.4 şi 12.5).

θh R h h h

b2 variabile ( ,h) (R,h) (p,h)(b,h)

pϕ

h

b

θ

a/2

hb/2

m=

ctg θ

3 variabile ( ,h,b) (a,b,h)θ

h

h

b

b h

h

1

2

1 1

0

m 2

m1

m 1

m 2

(b,h1,h2,m1,m2,b1) (m1,m2,h1,h0)

Fig.12.4. Variabile care determină elementele secţiunii canalelor


b=2r

h=2r

r3/

2rr/

2

r

b=2r

h=3r

r

3r

60 60

B

B/2

H=

0,63

B

B/2

B

1 2

3

rr

3/2r

0 ,917r

0,583r

r/2

3r

3r

b=2r

h=3,

5r

r

r

3/4rp/4

r

p/2

b=2r

h=2,

5r

1/4r

r

3/4r

3/4r

3/2r

21/1

6r

5 /16r 11/16r

r/2

b= 2r

h=2r

4 5 6

r

r 5/8r 3/8r

r/2

b=2r

h=1,

5p

60 60

B/2

0,86

7B

B

H=

1,73

R

5/8r 3/8rr

13/12r r/3

r/6

3/4r

b=3r

h=1,

25r

7 8 9

r

r 2

1

b

h

r r

rr/

2r/

2

2r

b=2r

h=2r

b

h

θ

r

b1

10 11 12

Fig. 12.5. Elementele secţiunilor uzuale de canale închise folosite în tehnică


La dimensionare, din condiţia mişcării uniforme având la dispoziţie numai relaţia (12.3) sunt necesare condiţii suplimentare. Condiţiile tehnice, în majoritatea cazurilor, stabilesc o relaţie între două variabile independente sau determină (impune) una din variabile. Astfel: geotehnica poate impune panta taluzului canalului din condiţia de stabilitate; condiţiile de rezistenţă stabilesc paramentul p al parabolei sau raportul a/b al semielipsei la jgheaburi sau unele dimensiuni de colţ ale jgheaburilor policentrice; tehnologia impune, din condiţii de tipizare, lăţimea la fund sau panta taluzului la valori fixe. Condiţiile hidraulice pot fi impuse sub diferite aspecte: - limitarea vitezei medii (ex. viteză minimă sub aspectul transportului de aluviuni – neînămolire sau viteza maximă prin neeroziune); - optim hidraulic – canalul să transporte debitul dat, la pantălongitudinală şi rugozitate dată, la secţiune minimă.

Condiţiile economice la fel pot completa numărul ecuaţiilor propunând cost minim investiţiilor sau cheltuieli totale anuale minime.

20.a. Dimensionarea canalelor de secţiune trapezoidală Canalele trapezoidale sunt cele mai folosite în practică datorită unor avantaje tehnice în realizarea şi exploatarea lor. În general înclinarea taluzului, caracterizat prin coeficientul unghiular m = ctgθ, este determinată de condiţiile geotehnice (stabilitatea taluzului) sau tehnologice (de montare, turnare, lestare a îmbrăcăminţilor). La elemente: debit Q, coeficient unghiular al taluzului m, panta longitudinală I, coeficient de rugozitate n date, dimensionarea rămâne tot o problemă nedeterminată. Trebuiesc stabilite două necunoscute – h0 şi b, şi există o singură relaţie de calcul (12.3). Aducerea problemei la determinare se face prin impunerea la valori verosimile a uneia din variabile, de obicei b, sau se caută altă condiţie pentru stabilirea uneia din variabile sau a unei alte relaţii între variabile.

20.a1. Când este impusă una din variabile Se acceptă valoarea lăţimii la fund b cunoscută. Chiar cu o singură necunoscută – aceasta nu se poate explicita din relaţia (12.3), problema trebuie rezolvată printr-o metodă de aproximaţii succesive (coardei, Newton etc). Se mai cunosc câteva metode istorice, ca: metoda modelului abstract, metoda secţiunilor asemenea, metoda II Agroskin, tabele cu canale tipizate.

Fig. 12.6. Schemă pentru calculul canalelor trapezoidale

Cunoscând:

IKRIACQ == (12.3) pentru secţiunea trapezoidală elementele secţiunii sunt:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

++

+==

++=

+=

yRn

C

mhb

mhbh

P

AR

mhbP

mhbhA

1

12

)(

12

)(

20

00

20

00

(12.14)

Se impune o valoare iniţială lui h0 = hi şi un pas de calcul Δh. Calculul se conduce după schema logică din fig. 12.7. Calculul poate fi efectuat automat sau manual, în ultimul caz utilizându-se (tab. 12.1).

Fig. 12.7. Schema logică de calcul a adâncimii normale prin metoda iterativă

Dimensionarea canalelor trapezoidale Tabelul 12.1

Nr. crt.

hoi

(m) b

(m) Ai

(m) Pi

(m) Ri

(m) Ci

m1/2s-1Qi

m3/s Q

m3/s εQ

m3/s εh

(mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b

hθn I

m 0

START

C iteste:Q,m ,n,I,b ,hi , hh

h0 =hi

A=f1(b,m ,h0)P=f 2(b,m ,h0)R=A/PY=f(n,R)C=1/n Ry

h0=h0 + hQ i=AC R i

(Q-Qi)...0

> <h0=h0

1

<=1

h= h/10

Scrie:h0,b,m ,i,A ,P,R ,C,Q i

STOP

ε

Δ

Δ h ...ε h

Δ Δ

Δ

=

>

n,

Δ- h


Problema poate fi soluţionată şi grafic. Pentru câteva valori h0i se calculează elementele din tabelul 12.1. Pasul de calcul pentru hoi poate fi considerat 5...10 ori mai mare decât precizia impusă εh pentru h0. Se reprezintăgrafic (pe hârtie milimetrică) mărimile (Qi, h0i), pentru Δh acceptându-se pe ordonată cel puţin 1 cm. Curba Q = f(h0) obţinută, la valoarea debitului de dimensionare Q indică mărimea reală pentru h0 (fig. 12.8).

Fig. 12.8. Soluţia grafică a dimensionării canalelor trapezoidale

Calculele se conduc analog când se impune h0 şi se calculează b.

20.a2. Când se cunoaşte o relaţie monomă între b şi h0

Deseori se poate cunoaşte din condiţie de optim hidraulic sau tehnologic lăţimea relativă a canalelor trapezoidale, de forma b = βh0. Calculele în acest caz devin determinate:

( )

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

+=

++=

+=

y

y

m

mh

nC

m

mhR

mhP

mhA

20

20

20

20

12

1

12

12

)(

β

β

β

β

β

β

(12.14’)

Mărimile din (12.14’) înlocuite în (12.3) permit explicitarea lui h0 sub forma:

( )

( )

y

y

y

mI

mQnh

+

+

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+

++=

5,2

1

5,12/1

2/12

0

12

β

β (12.15)

Valoarea lăţimii relative poate fi dată de condiţia profilului hidraulic optim care poate fi formulat şi astfel: un canal de secţiune A dată pentru I, n, m cunoscut să

Qi(m3/s)

Q

h0(m)

citeste h

Q=f(h 0)0


transporte debit maxim. Utilizând pentru coeficientul Chezy relaţia putere dupăPavlovski

yRn

C1

= (12.16)

ecuaţia (12.3) se poate transforma în:

IRn

AQ y 2/11 += (12.17)

Pentru A, n, I constante, Q = max, dacă R = max, însă R = A/P este maxim pentru P = min. Primele două ecuaţii ale (12.14’) devin:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=++=

=+=

min12 20

20

mhP

constmhA

β

β (12.18)

Variabilele independente din (12.18) sunt β şi h0. Diferenţiind ecuaţiile se obţine:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++=

=++=

012

02

002

2000

ββ

ββ

dhdhmdP

dhdhmhdA (12.19)

Scăzând cele două relaţii după împărţirea primei cu h0, rezultă:

( )mm −+= 212β (12.20) La profil hidraulic optim rezultă R = h0/2, deci trapezul este circumscris şi (12.15) devine:

( )yy

mmI

Qnh

++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+=

5,2

1

22/1

2/1

012

2 (12.21)

20.b. Dimensionarea canalelor de secţiune triunghiulară La această formă de secţiune sunt două variabile independente, φ sau θşi h0 (fig. 12.9). În majoritatea cazurilor practice unghiul θ este impus din condiţii tehnice. Notând m = ctgθ, elementele secţiunii sunt (trapez cu b = 0):

Fig. 12.9. Schemă pentru canal triunghiular.

θ

h0ϕ


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

=

2

0

20

20

12

12

m

mhR

mhP

mhA

(12.22)

Utilizând pentru C relaţia putere (12.16), adâncimea normală este explicitabilă, sub forma:

( ) y

y

y

mI

mnQh

+

+

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +=

5,2

1

5,12/1

2/12

0

12 (12.23)

Relaţia se poate obţine uşor din (12.15) pentru b = β = 0. Profilul hidraulic optim pentru canale triunghiulare se defineşte

asemănător canalelor trapezoidale, rezultând:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

minsin

2 0

20

θ

θ

hP

constctghA (12.24)

Prin diferenţierea ecuaţiilor în raport cu variabilele h0 şi θ rezultă:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−=

=−=

0sin

cos2

sin

2

0sin

2

200

2

20

00

θθ

θ

θ

θθ

θ

dhdhdP

dh

dhctghdA (12.25)

din care rezultă:

2

1cos =θ sau 045

4==

πθ (12.26)

Mai simplu, din prima relaţie al sistemului (12.25) θctg

Ah =0 înlocuit în a

doua, se obţine:

min2sin

22

sin2

2===

θθθ

A

ctg

AP (12.27)

Cu A = const. Trebuie ca sin2θ = max, sau 2θ = π/2, respectiv θ = 450.


20.c. Dimensionarea canalelor de secţiune dreptunghiularăCanalele dreptunghiulare sunt destul de des întâlnite în practică

datorită uşurinţei lor de execuţie. Ele sunt totdeauna consolidate. Elementele acestei secţiuni sunt definite tot de două variabile independente – b, h0 (fig. 12.10).

Fig. 12.10. Schema pentru canal dreptunghiular.

Ca şi în cazul canalelor trapezoidale, chiar dacă se impune o variabilă din alte considerente, variabila necunoscută nu se poate explicita. De fapt şi canalul dreptunghiular este un caz particular de canal trapezoidal pentru θ = 900, m= ctg900 = 0. Elementele secţiunii sunt:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=

=

)2/(

2

00

0

0

hbbhR

hbP

bhA

(12.28)

20.c1. Când se impune una din variabile calculele se conduc asemănător ca la 20.a1.

20.c2 Când se cunoaşte o relaţie monomă între variabile Lăţimea relativă β = b/h0 aduce dimensionarea la o problemă determinatămatematic. Ecuaţiile (12.28) devin:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

=

0

0

20

2

2

hR

hP

hA

β

β

β

β

(12.29)

Din (12.3) rezultă:

( ) y

y

y

I

Qnh

+

+

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

5,2

1

5,12/1

2/1

0

2

β

β (12.30)

h

b


Canalele dreptunghiulare se folosesc şi ca jgheaburi şi condiţiile lor de rezistenţă pot stabili lăţimea relativă. Profilul hidraulic optim: canalul de secţiune dreptunghiulară sătransporte la secţiune constantă (A = ct) debit maxim şi care implică perimetru minim.

( )⎩

⎨⎧

=+=

==

min2 0

20

hP

consthA

β

β (12.31)

Diferenţiind ecuaţiile avem:

⎩⎨⎧

=++=

=+=

0)2(

02

00

2000

ββ

ββ

dhdhdP

dhdhhdA (12.32)

din care rezultă: βoptim = 2 sau b = 2h0 (12.33) Înlocuind elementele în (12.3) rezultă adâncimea normală la profil hidraulic optim.

yy

I

Qnh

+−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

5,2

1

2/1

2/1

0

2 (12.34)

20.d. Canale de alte secţiuni curbe 20.d1. Parabolă (fig.12.11). Aceste secţiuni se utilizează la canale în construcţia jgheaburilor. Condiţia de rezistenţă defineşte, de obicei, parametrul parabolei p = 1/4...1/20.

Fig. 12.11. Canal de secţiune parabolică.

Ecuaţia formei este x2 = 2py (12.35)

B

h

Y

X0


Elementele secţiunii sunt:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=

p

h

p

h

p

h

p

hpP

BhA

0000

0

212ln211

3

2

(12.36)

Celelalte calcule pot fi conduse ca la punctul 20.a1. Asemănător cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic optim din care rezultăparametrul parabolei.

20.d2. Semielipsă (fig. 12.12). Aceste secţiuni de jgheab se utilizeazăpentru debite mai mari decât cele parabolice.

Fig. 12.12. Canal semieliptic

Ecuaţia formei este:

12

2

2

2

=+b

y

a

x (12.37)

cu excentricitatea:

a

ba 22 −=ε (12.38)

Elementele secţiunii sunt:

( )[ ]⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅++=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

hh ttabAb

h

b

haB

2sin25,022

42

π

(12.39)

unde

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=2

222

a

h

a

hth

Pentru perimetrul udat se poate utiliza fie relaţia:

Y

X

0hxy

a

01

0

02

M


dttbtaPht

⋅+= ∫−

2

2222 cos4sin4π

, (12.40)

care poate fi integrată numeric, fie:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+= kEktEbP h ,2

,2π

(12.40’)

unde:

2

222

b

abk

−= , iar ( ) 2 2

0

, 1 sinu

hE t k k t dt= − ⋅ ⋅∫ este

integrala eliptică de speţa a doua ale cărei valori se găsesc intabulate în îndrumare matematice. Asemănător cazurilor precedente se poate defini profil hidraulic optim, rezultând (a/b)optim.

20.d3. Lănţişor (fig. 12.13) Se poate utiliza ca secţiune de jgheab, prezentând condiţii de

rezistenţă apreciabile pe secţiune.

Fig. 12.13. Canal lănţişor

Ecuaţia formei este:

[ ]lla

xhay ,- x,1cos ∈⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= (12.41)

în care a este parametrul lănţişorului,

f

fLa

84 22 −

= (12.42)

Elementele secţiunii udate sunt:

( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

+−−+= −

222

//

44

222

hfLf

hP

eeabbhA abab

(12.43)

l l

b b

h

f

A B

A' B'

-l -b0 b l x

y


în care:

λlnab = cu a

h

a

h

a

h 21 2

2

+++=λ ;

L – lungimea lănţişorului între punctele A şi B; a

lshaL ⋅= 2 .

Celelalte calcule se conduc asemănător punctului 20.a1. Asemănător cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic optim, rezultând (l/f)optim.

20.d4. Semicirculară (fig. 12.14) Sunt utilizate ca jgheaburi, confecţionate din diferite materiale de diferite dimensiuni.

Fig. 12.14. Canal semicircular.

Calculele de verificare, dimensionare pun probleme asemănătoare celorlalte cazuri. Ecuaţia formei este: 222 ryx =+ (12.44) Elementele secţiunii pentru gradul de umplere:

D

h0=α (12.45)

sunt:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

=

−=

rR

rP

rA

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

2

sin

sin2

2

(12.46)

Analizând secţiunile studiate din punct de vedere al optimului hidraulic se observă că forma secţiunii trebuie să admită raza hidraulicămaximă, respectiv perimetru minim.

r

D

h0

0 X

Y

ϕ

Pentru aceeaşi secţiune definit de curbă continuă A = ct perimetrul minim prezintă secţiunea semicirculară, apoi lănţişorul, parabola şi elipsa. Canalele săpate în pământ sunt realizate deseori cu secţiune poligonală. Pentru forme poligonale izoperimetrice, când laturile sunt date, putând avea lungimi diferite, secţiunea vie maximă se obţine pentru poligon circumscris. Dacălaturile sunt egale, rezultă că soluţia optimă este un poligon regulat. Dintre poligoanele regulate izoperimetrice, cel mai favorabil este cel cu număr mai mare de laturi, iar la limită, cercul. Dacă nu se dă mărimea laturilor poligonului, ci numai direcţiile lor, într-o ordine care să asigure convexitatea poligonului, iar orientările laturilor săînchidă poligonul, dintre poligoanele izoperimetrice, aria maximă este dată de un semipoligon care, împreună cu orizontala de nivel este circumscris unui cerc.

Observaţii. Alte forme de secţiuni de canal se calculează în mod asemănător celor prezentate, utilizându-se relaţia hidraulică pentru canale (12.3) şi expresiile specifice pentru secţiune şi perimetru. Atenţie deosebită trebuie acordată stabilirii coeficientului de rugozitate n care se găseşte intabulat în majoritatea tratatelor, îndrumătoarelor, cursurilor de hidraulică (v. tab.8.6) în funcţie de materialul canalului şi gradul său de prelucrare. În situaţia când canalul pe porţiuni de perimetru prezintă rugozităţi diferite, în calcule se foloseşte coeficientul de rugozitate echivalent ne, definit prin

∑∑

=i

iie P

Pnn (12.47)

pentru nmax/nmin < 2 şi

3/22/3

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

∑∑

i

iie P

nPn (12.48)

pentru nmax/nmin > 2. S-a notat ni coeficientul de rugozitate a porţiunii Pi al perimetrului. Dacă secţiunea de curgere este compusă, calculul se poate efectua pe baza celor prezentate sau prin descompunerea secţiunii în secţiuni simple caracteristice calculele fiind efectuate pentru acestea cu mărimile secţiunilor, perimetrele aferente solide şi rugozităţile caracteristice:


∑= iQQ (12.49)

Erorile rezultate sunt sub 2%.

12.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR ÎNCHISE

În tehnică se întâlnesc frecvent canale cu profil închis şi curgere cu nivel liber la canalizarea centrelor populate, galerii de aducţiune, drenuri etc. Ele pot avea în secţiune forme geometrice diferite: circulare, ovoid, clopot, potcoavă, secţiuni policentrice, secţiuni compuse etc. (v. fig. 12.5). Particularitatea acestor canale este că viteza medie maximă şi debitul maxim nu se obţin pentru secţiune de curgere plină. Calculul lor hidraulic este asemănător cu cele prezentate la 12.3 însă la proiectare dimensionarea lor la Qmax corespunde gradului de umplere pentru care secţiunea conduce debit maxim.

12.4.1. Calculul hidraulic al canalelor circulare

În cele ce urmează se prezintă particularităţile curgerii şi calculelor hidraulice pentru secţiune circulară (fig. 12.15).

Fig. 12.15. Schemă de calcul al canalelor circulare închise

Elementele secţiunii se definesc ca şi în cazul canalelor semicirculare (12.46). În cazul canalelor închise viteza medie şi debitul nu se obţin pentru secţiunea plină, ci pentru un grad de umplere oarecare. Se notează cu indicele „p” mărimile geometrice şi hidraulice corespunzătoare secţiunii pline. Pentru gradul de umplere α = h0/D, (h0 = 0...D) caracteristicile secţiunii parţial umplute sunt:

- aria relativă π

ϕϕ

2

sin−=

pA

A;

- perimetrul relativ π

ϕ

2=

pP

P;

h

D=

2r

0r

P,n

A 0

ϕ


- raza hidraulică relativăϕ

ϕϕ sin−=

pR

R.

Viteza medie şi debitul relativ vor fi:

3/2

sin⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

ϕ

ϕϕ

IRC

RIC

V

V

ppp

(12.50)

respectiv

3/2

sin

2

sin⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−==

ϕ

ϕϕ

π

ϕϕ

IRCA

RIAC

Q

Q

pppp

(12.51)

fiind acceptat pentru C relaţia lui Manning.

Maximizarea funcţiei V/Vp = f1(φ) implică 0)/(

=ϕd

VVd p din care rezultă

sinφ – φcosφ = 0, care admite soluţia 05,2574934,4 ≅= radϕ . Procedând asemănător pentru funcţia debitului relativ, avem: Q/Qp = f2(φ),

respectiv 0)/(

=ϕd

QQd p , din care rezultă 3φ - 5φcosφ + 2sinφ = 0, care admite

soluţia 04,302278,5 ≅= radϕ . În (tab. 12.2) sunt evidenţiate în funcţie de gradul de umplere elementele relative ale secţiunii, viteza şi debitul relativ.

Elementele secţiunii şi hidraulice relative la curgerea în canale circulare Tabelul 12.2

φD

h0=α0A

A

0P

P

0R

R

0V

V

0Q

Qgrad rad

1 2 3 4 5 6 7 8

180 π 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0257,5 4,494 0,81 0,871 0,715 1,217 1,140 0,992 302,4 5,278 0,94 0,974 0,840 1,160 1,104 1,076 360 2π 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0


Prin reprezentarea grafică în coordonate carteziene D

h

V

V 0

0

, ; şi

iD

h

Q

Q⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0

0

, se obţin grafice cu, curbele vitezelor şi debitelor relative în

conducte circulare cu curgere liberă (fig. 12.16), valabile tuturor canalelor circulare.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0 0,05

Detaliu pentrucurba debitelor

Q/Qp

V/V p

Q/QpV/Vp

H=

D=

h 0/D

α

Fig. 12.16. Grafic pentru calculul canalelor circulare

Pentru simplificare calculelor canalelor circulare închise se poate apela la graficul din fig. 12.16. Canalul circular la pantă longitudinală I, coeficient de rugozitate n la secţiune plină transportă debitul:

ID

CD

Qp 44

2π=

la viteza medie

ID

CVp 4= .

La un grad de umplere dat α din fig. 12.16 rezultă debitul relativ Q/Qp = KQ, respectiv viteza relativă V/Vp = KV. Debitul real al canalului considerat va fi: pQQKQ = (12.52)

respectiv viteza reală pVVKV = (12.53)


Alte forme de secţiuni de canale închise se calculează în mod asemănător. Fiecărei forme de secţiune i se construieşte câte un grafic al debitelor şi vitezelor relative în funcţie de gradul de umplere, apoi pentru condiţiile concrete date se determină debitul şi viteza la secţiunea plină (mai uşor de calculat decât pentru un anumit grad de umplere), iar, în final, pentru grad de umplere cunoscut, pe baza relaţiilor (12.51) şi (12.52), rezultă debitul şi viteza reală. În fig. 12.17 şi 12.18 sunt prezentate graficele debitelor şi vitezelor relative pentru secţiunea ovoid şi clopot.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0 0,05


QV

B

R=0,5BR'=1,5B

H=

1,5B

R'=1,5

B

r=0,2

5B0,1

α,β

Fig. 12.17. Grafic pentru calculul canalelor ovoidale

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0 0,05


QV

R=0,5D

H=

0,63

4D

0,1

R'=

D

α,β

α,β

Fig. 12.18. Grafic pentru calculul canalelor de secţiune clopot


12.5. CALCULUL TEHNICO-ECONOMIC AL CANALELOR

Condiţiile de realizare economice ale canalelor, pe lângă cele tehnice completează numărul ecuaţiilor şi aduc problema de dimensionare la determinare. Aceste condiţii economice pot viza minimizarea investiţiilor sau cheltuielilor anuale. În principiu elementele unei secţiuni de canal (arie vie, perimetru udat, rază hidraulică) se pot exprima sub forma:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

02

1

02

201

hK

KR

hKP

hKA

(12.54)

Panta hidraulică rezultată din (12.3), cu C după Pavlovski, este:

yy h

QK

hK

K

nhK

Q

RCA

QI

250

23

12

02

12

40

21

2

22

2

1++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== (12.55)

Energia pierdută anual la transportul debitului Q pe unitatea de lungime de canal este:

η

γ TIQE

⋅⋅⋅= (12.56)

în care η este randamentul ridicării apei, iar T durata anuală de funcţionare. Considerând pe preţul energiei unitare, cheltuielile totale anuale pentru energia pierdută pe unitate de lungime de canal sunt:

yy

eee

h

QK

h

KpTQpEC

250

34

250

33

++=

⋅

⋅⋅=⋅=

η

γ (12.57)

Cheltuielile de amortizarea investiţiei şi pentru întreţinere Ci sunt distribuite pe timpul normat de funcţionare Tn prin coeficientul de amortizare a = 1/Tn. Cheltuielile anuale pentru unitate de lungime de canal – amortismentul investiţiei şi reparaţiilor capitale – reprezintă parţial cheltuielile fixe K5, parte sunt proporţionale cu perimetru (îmbrăcăminţi) K6h0, altă parte fiind proporţionale cu secţiunea canalului (deblee, ramblee) K7h0

2, deci cheltuielile de amortizare sunt: 2

07065 hKhKKCa i ++=⋅ (12.58)


Cheltuielile totale anuale pentru unitate de lungime de canal devin:

20706525

0

34 hKhKK

h

QKCaCC

yieT +++=⋅+=+

(12.59)

Funcţia continuă a cheltuielilor totale admite un minim în raport cu variabila h0, deci:

( )

025

076260

34 =++

+−=

+hKK

h

QKy

dh

dCy

T (12.60)

Ecuaţia de mai sus se rezolvă printr-o metodă numerică de aproximaţii succesive sau grafic. Funcţia cheltuielilor anuale de exploatare (12.57) scade cu creşterea lui h0, iar amortismentele (15.58) cresc cu creşterea lui h0. Astfel, funcţia costului total anual (12.59) admite un minim. Practic, pentru câteva adâncimi normale se calculează valoarea costurilor, apoi punctele (Ce, h0)i; (aCi, h0)i şi (CT, h0)i se reprezintă grafic (fig. 12.19) care permite stabilirea soluţiei dorite.

C

h0Ce=K Q /h43 5+2y

aCi=K

+K h+

K hC t

5

6

72

Ctmin

(h0)ec

Fig. 12.19. Graficul cheltuielilor şi adâncimii economice pentru canale

Fără a se ţine seama de condiţii tehnice şi tehnologice calculul economic poate conduce uneori la adâncimi mari sau viteze mari pe canale. Aceste cazuri pot deveni dificile tehnologic sau pot, datorită vitezelor extreme, pune probleme în timpul funcţionării (depuneri, eroziuni).

12.6. VITEZE ADMISIBILE PE CANALE

Încă de la proiectare trebuie avut în vedere ca viteza medie pe canale să fie cuprinsă între o limită inferioară – viteză minimă admisă – şi o limităsuperioară – viteză maximă admisă.


10. Viteză de neeroziune La depăşirea limitei superioare admise a vitezei, curentul de apăerodează patul albiei. Asemenea limite superioare ale vitezei există pentru toate materialele. Valorile lor depind de caracteristicile materialelor care alcătuiesc patul albiei şi de caracteristicile hidraulice ale curgerii. În cazul canalelor de pământ din materiale coezive se poate utiliza formula orientativă, recomandată de S. A. Ghrişkan:

1,01max QkV = (12.61)

în care coeficientul k1 depinde de materialul patului albiei, astfel: - nisip lutos k1 = 0,53; - lut nisipos k1 = 0,57; - lut k1 = 0,62; - lut argilos k1 = 0,68; - argile k1 = 0,75...0.85. Se mai pot utiliza recomandările lui Agroskin (tab. 12.3)

Viteze maxime admisibile la materiale coezive pentru R = 1...3 m Tabelul 12.3

Nr. Materialul Vmax (m/s) Observaţii 1 2 3 4 5 6 7 8

Nisip argilos, nisip slab Nisip argilos compact Argilă nisipoasă uşoarăArgile nisipoase mijlocii Argile nisipoase compacte Argile moi Argile normale Argile grele

0,7...0,8 1,00

0,7...0,8 1,00

1,1...1,2 0,7

1,2...1,4 1,5...1,8

Pentru R > 3 m, Vmax se poate mări (R/3)0,1 ori

În cazul materialelor necoezive ale albiei (nisip, pietriş) viteza de neeroziune rezultă din relaţia lui Levi.

m

m D

RgDV

7lg3max = (12.62)

în care Dm este diametru mediu al particulelor materialului patului albiei, iar R– raza hidraulică. Relaţia este valabilă pentru R/Dm = 50...5000. Valorile orientative ale vitezei admisibile la material necoeziv ale patului albiei corespund (tab. 12.4).

Viteze maxime admisibile la materiale necoezive Tabelul 12.4.

Nr. Materialul Vmax (m/s) Nr. Materialul Vmax (m/s) 1 2 3 4 5

nisip fin nisip grăunţos loess pietriş mărunt pietriş mare

0,23 0,45

0,4...0,6 0,6 0,9

6 7 8 9

piatră spartăroci șistoase roci sedimentare roci dure

1,25 1,90 2,30 3,75

20. Viteza de neînămolire Viteza limită inferioară admisă în canale reprezintă, de obicei, viteza minimă necesară transportului hidraulic al solidelor. Sub această limită minimăsolidele (aluviunile) transportate se depun, producând colmatarea canalului. Această viteză limită minimă se pune în cazul când curentul de apă transportăaluviuni (în cazul irigaţiilor, hidroenergeticii, aducţiuni deschise de apă brutădin râuri) sau în cazul colectării şi transportului apelor uzate. În cazul transportului de aluviuni naturale determinarea aproximativăa vitezei de neînămolire se poate efectua cu relaţia: 2,0

2min QkV = (12.63) unde k2 este un coeficient care ia în considerare dimensiunile geometrice ale particulelor aluvionare şi mărimea hidraulică, astfel: • A = 0,55 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,3>w ; • A = 0,44 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,35,1 ≤≤ w ; • A = 0,33 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,1<w . În general nu se admit pe canale viteze medii sub 0,25 m/s, sub această limităse favorizează creşterea vegetaţiei acvatice. Există situaţii când criteriile vitezelor admisibile sunt în contradicţie, ex. pe canal de pământ viteza minimăadmisă rezultă superioară vitezei maxime admise. Contradicţia trebuie rezolvată prin căptuşirea canalului cu un material care admite viteze maxime superioare vitezei minime admise, dar căptuşeala să nu afecteze funcţionalul canalului.

12.7. PIERDERI LOCALE DE SARCINĂ ÎN CURENŢI PERMANENŢI CU NIVEL LIBER

Ca şi în cazul conductelor, pierderile locale de energie la curenţi permanenţi cu nivel liber se datoresc unor variaţii pe distanţe mici ale profilului vitezei – modificarea secţiunii, traseului, obstacole.


Pierderile de energie (sarcină) locale la curgeri cu nivel liber sunt însoţite de variaţia nivelului (cotei) luciului apei, aceasta fiind deformată faţăde suprafaţa liberă a curentului uniform. Pierderea locală de sarcină se exprimă sub forma sa generală (dată de Weisbach).

g

Vhr 2

2

⋅= ζ (12.64)

Calculele pot deveni complicate când pierderea locală este suma a mai multor pierderi elementare. În continuare se descriu câteva cazuri de pierderi locale la modificarea secţiunii de curgere, grătare, coturi.

10. Îngustarea secţiunii albiei (fig. 12.20). Curentul fiind caracterizat prin V1 şi A1 – viteza medie, respectiv secţiunea amonte şi V2 şi A2 – aceleaşi elemente aval de îngustare, coeficientul de rezistenţă locală depinde de forma îngustării. Pentru îngustare bruscă ζî = f(A2/A1), valorile corespunzând (tab. 12.5).

Fig. 12.20. Pierderea de sarcină la îngustarea de secţiune în curent liber

Coeficientul rezistenţei locale la îngustarea bruscă de secţiune Tabelul 12.5

A2/A1 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 ζî 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

La îngustare continuă se poate utiliza relaţia lui Hinds:

g

V

A

Akhr 2

12

2

1

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (12.65)

b b/ 2

Hh

v / 2 g h = v / 2 g

Hh

v / 2 g

11 2

2

Z

12

22

rH

22

1 21 2v vθ

ξ

cu k = 0,15. Pentru racordări foarte line θ < 120 valoarea lui k = 0,05. Scăderea de nivel la îngustare rezultă din ecuaţia energiei:

( )kg

VVhhz +

−=−=Δ 1

2

21

22

21 (12.66)

La intrare în canal cu suprafeţe riglate (hidrodinamică) se poate considera ζi = 0,05 în relaţia lui Weisbach.

20. Lărgirea secţiunii albiei La lărgire bruscă de secţiune (fig.12.21) se poate aplica formula lui Altschul.

( ) ( )

2

212

212

22 h

hh

g

VVhr

−−

−= (12.67)

hv

/2g

h v /2

g

h

b

b

112

222

1

2

0 br

2

21v v

v

1 2

Fig. 12.21. Lărgirea bruscă a canalului

Pierderile de sarcină sunt mai mici decât cele date de relaţia Borda. Când h1 şi h2 sunt apropiate, relaţia (12.67) se reduce la relaţia lui Borda. Creşterea nivelului apei faţă de nivelul amonte este:

( )( )

2

212

212

12 2h

hhVV

g

Vhhz

−+−=−=Δ (12.68)

La lărgire continuă de secţiune (fig. 12.22), pe porţiunea divergentă, pierderile de sarcină sunt:

( )

g

VVhr 2

221 −

=ψ (12.69)


în care ψ este un coeficient de atenuare, dependent de unghiul de divergenţă(tab. 12.6).

b

b

θ/21

2

v1 v2

Fig.12.22. Lărgire continuă de secţiune

Valorile coeficientului de atenuare ψ Tabel 12.6

θ0 20 40 ≥ 60 ψ 0,45 0,90 1,0

30. Coturi (fig. 12.23) Coeficientul de rezistenţă locală la coturi este funcţie de criterii adimensionale.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

180;;; 0 θ

υζ

RV

b

h

b

rf

mm

cc (12.70)

Fig. 12.23. Schema cotului canalului

Relaţia (12.70) se soluţionează prin aproximaţii din grafice întocmite în urma experimentărilor lui Shukry.

40. Grătare (fig. 12.24). Pierderile de sarcină la grătare se calculează cu formula lui Weisbach (12.64).

rθ

b

bv

vc


Barele grătarului sunt paralele pe verticală, iar ansamblul ocupă toatăsecţiunea de curgere şi formează unghiul θ cu orizontala.

Fig. 12.24. Grătar normal pe direcţia de curgere a curentului

Conform cercetărilor VODGEO, coeficientul de rezistenţă se determină cu relaţia:

θζ sin4,283,26,1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

l

b

b

l

bs

skg (12.71)

în care s şi l sunt grosimea, respectiv lăţimea unei bare, b – lumina între bare, θ – unghiul de înclinare a grătarului faţă de orizontală şi k – coeficient de formăa barelor (fig. 12.25). Se mai poate utiliza relaţia Kirschmar pentru grătar frontal:

θβζ sin3/4

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=b

sg (12.72)

în care β este un coeficient de formă a barelor grătarului (fig. 12.25).

Forma barei

grătarului ls s

δ= /2

6s

4ss/2

δ= /2s

s/2

s1,5s

3,5s

β 2,42 1,83 1,67 1,033 0,76 0,76 1,79 k 0,504 0,318 0,182 -

Fig. 12.25. Secţiunea barelor grătarelor şi coeficienţii lor de formă

Unghiul de înclinare a grătarului faţă de direcţia curentului în plan sunt date grafic în îndrumare de calcul hidraulic (Kiselev). Viteza medie a apei la curgerea prin grătare este limitată, astfel: - la intrarea în camera turbinelor Vm = 0,9...1,2 m/s; - la prize de apă Vm = 0,25...1,0 m/s.

hθv v

r

v


12.8. APLICAŢII

10. Să se determine debitul transportat de un canal de secţiune trapezoidală (fig.12.1) şi viteza medie în mişcarea uniformă cunoscând elementele: b = 1,00 m; h0 = 1,50 m; m = 1,5; n = 0,020 şi I = 0,5 ‰. Să se construiască cheia debitului pentru canal prin 8 puncte.

Rezolvare. Se utilizează relaţii (12.2), (12.3) respectiv (12.14).

( )

/sm873,2589,0875,4

m/s589,00002,0761,077,47

/sm77,47761,002,011

m761,0408,6/875,4/

m408,65,115,120,112

m875,4)5,15,10,1(5,1

3

0,56/16/1

220

200

=⋅=⋅==

=⋅==

===

===

=+⋅+=++=

=⋅+=+=

AVRIACQ

RICV

Rn

C

PAR

mhbP

mhbhA

Cheia limnimetrică rezultă din calcule asemănătoare pentru: hhh

iiΔ+=

−100 , cu m 2,0=Δh (tab. 12.6).

Cheia limnimetrică a canalului Tabelul 12.6

Nr. h0

(m) A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) Q

(m3/s) V

(m/s) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0,2 0,260 0,7211 0,1511 36,489 0,0521 0,2006 2 0,4 0,640 2,4422 0,2621 39,998 0,1853 0,2896 3 0,6 1,140 3,1633 0,3604 42,179 0,4082 0,3581 4 0,8 1,760 3,8844 0,4531 43,819 0,7342 0,4171 5 1,0 2,500 4,6056 0,5428 45,159 1,1763 0,4705 6 1,2 3,360 5,3267 0,6308 46,304 1,7475 0,5201 7 1,4 4,340 6,0478 0,7176 47,310 2,4598 0,5668

Reprezentând (Q, h0)i şi (V, h0)i se obţine graficul cheii limnimetrice (fig. 12.26).


Fig. 12.26. Cheia debitelor şi vitezei pentru canalul trapezoidal

20. Un canal dublu trapezoidal, folosit la evacuarea apelor la viitură(fig. 12.27) este caracterizat prin elementele: b1 = 2,0 m; h1 = 1,5 m; m1 = 1,0; n1 = 0,014; b2 = 4,0 m; h2 = 1,0 m; m2 = 1,5; n2 = 0,030 şi I = 2 ‰. Să se determine debitul transportat de canal în mişcarea permanentă şi uniformă.

b

bb hhn2

n12 2

1

m 1

m 2

12

Fig. 12.27. Schema de calcul a canalului dublu trapezoidal

Rezolvare. Întrucât nmax/nmin = 0,03/0,014 = 2,143 > 2 în calcule se consideră un coeficient de rugozitate echivalent, determinat cu ecuaţia (12.47). Elementele geometrice şi hidraulice sunt: - aria:

;m750,1950,1425,5

;m50,14)15,15,1120,20,42(1)22(

;m25,5)5,10,10,2(5,1)(

221

222111222

211111

=+=+=

=⋅+⋅⋅++⋅=+++=

=⋅+=+=

AAA

hmhmbbhA

hmbhA

- perimetrul:

m;848,17605,11243,6

m;605,115,11120,42122

m;243,6115,120,212

21

222222

221111

=+=+=

=+⋅+⋅=++=

=+⋅+=++=

PPP

mhbP

mhbP

0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3

Q (m 3/s )0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,2

1 ,40 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6

v (m /s)

h (m )

Q(h)

v(h)


- raza hidraulică:

;m107,1848,17750,19

===P

AR

- coeficient de rugozitate echivalent:

( ) ( );025,0

848,17030,0605,11014,0243,6

3/22/32/33/22/322

2/311 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

P

nPnPne

- coeficientul lui Chézy:

( ) /s;m683,40107,1025,011 0,56/16/1 === R

nC

e

- debitul transportat:

/s.m807,37002,0107,1683,4075,19 3=⋅⋅== RIACQ

30. Să se determine debitul maxim care poate fi transportat de un dren din olane de ceramică, cu D = 0,10 m, n = 0,013 şi I = 5‰. Se va calcula şi viteza medie corespunzătoare debitului maxim.

Rezolvare. Drenul se comportă ca un canal circular închis. Din (fig. 12.16) şi (tab. 12.2) rezultă: V/Vp = 1,104 Qmax/Qp = 1,076 Caracteristicile secţiunii pline sunt:

l/s 653,3/10653,310854,7465,0

m/s465,0005,0025,0596,41

/sm596,41025,0013,011

m025,0

m3142,01,0

m10854,74

1,04

333

0,56/16/1

2322

=⋅=⋅⋅==

=⋅==

===

=

=⋅==

⋅=⋅

==

−−

−

smAVQ

IRCV

Rn

C

R

DP

DA

ppp

ppp

p

p

p

p

ππ

ππ

Debitul maxim transportat de dren, la grad de umplere α = h0/D = 0,94 este: Qmax = 1,076Qp = 1,075·3,653=3,930 l/s

la care corespunde viteza medie: V = 1,104Vp = 1,104·0,465 = 0,513 m/s.

40. Un canal de irigaţii, de formă trapezoidală, calibrată prin dale mici de beton (n = 0,016), cu b = 1,00 m, m = 1,5, trebuie să transporte debitul Q = 4 m3/s la panta I = 0,2 ‰. Să se determine adâncimea normală în canal, analitic (prin aproximaţii succesive), precum şi viteza medie.

Rezolvare. La determinarea adâncimii normale se apelează la ecuaţia (12.3) şi elementele secţiunii trapezoidale (12.14). - aria: ( )00 mhbhA += ;

- perimetrul: 20 12 mhbP ++= ;

- raza hidraulică R = A/P;

- coeficientul lui Chézy 6/11R

nC = .

a) Soluţia analitică – prin aproximaţii succesive – metoda coardei – se poate folosi sub formă tabelară sau prin calcul automat. Se foloseşte schema din fig. 12.27.

Fig. 12.27. Schemă pentru metoda coardei.

Se calculează valorile funcţiei f(h0)=Q - Q0 pentru două valori ale lui h0, ca limită inferioară (h0i) şi superioară (h0s) între care se presupune a fi h0. Se

mediază limitele 2

00 siam

hhh

+= cu care se calculează Q - Q0. Când Q - Q0 > 0

se înlocuieşte h0s cu h0m în caz contrar hoi cu hom. Intervalul se mediază din nou

şi calculele se repetă până când 00 hhh soi ε<− (εh0 este toleranţa preciziei de

calcul). Rezultatele sunt date în tabelul 12.7. Când se foloseşte calculul automat, programul se întocmeşte după schema logică din (fig. 12.28).

h h

h

Q

h

Q00i 0m

0s

Fig. 12.28. Schemă logică pentru metoda coardei la dimensionarea canalelor.

Dimensionarea canalului trapezoidal prin metoda coardei după schema din (fig. 12.28).

Tabelul 12.7. Nr. crt

h0i

(m) h0s

(m) h0m

(m) A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s)

Q (m3/s)

Q-Q0 Obs.

1 1,40 - - 4,340 6,048 0,718 59,137 3,075 -0,925 < 2 - 1,70 - 6,035 7,129 0,846 60,788 4,773 +0,773 -3 1,705 1,70 1,55 5,154 6,589 0,782 59,993 3,867 -0,132 < 4 1,55 1,70 1,625 5,586 6,859 0,814 60,398 4,306 +0,306 > 5 1,55 1,625 1,587 5,368 6,724 0,798 60,197 4,083 +0,083 > 6 1,55 1,587 1,769 5,262 6,657 0,790 60,097 3,976 -0,024 < 7 1,569 1,588 1,579 5,319 6,693 0,795 60,151 4,033 +0,033 > 8 1,569 1,579 1,574 5,290 6,675 0,793 60,124 4,004 +0,0045 > 9 1,569 1,574 1,572 5,279 6,668 0,792 60,113 3,993 -0,0071 <

10 1,572 1,574 1,573 5,284 6,672 0,792 60,119 3,999 -0,0013 <

v = 0,757 m/s.

STAR T

C ite ste:b ,m ,n,t,Q 0 iε h 0, h 0 i, h 0s

lh 0s h 0 i- l > ε h0

h 0m =h 0s h 0 i+

2

A (hom ); P(hom ); R (hom );C (hom ); Q (hom )

h 0s h 0m=

Q (hom )-Q > 0=

0ih h= 0m

+i0h

h=

h s

2

A (h )0 ,P (h )0 ,R (h )0 ,C (h )0 ,V (h )0 ,

A , P , R , C , vS crie:h0

STO P

N u

D a

D a

N u

Prin calculul automat pentru 60 10−=hε se obţine Q = 4,000 m3/s;

v = 0,757 m/s; A = 5,286 m2; P = 6,672 m; R = 0,792 m; C = 60,120 m0,5/s; h0 = 1,573 m.

50. Un debuşeu din piatră rostuită, de formă trapezoidală trebuie sătransporte debitul Q = 4,0 m3/s, la panta I = 0,2 m = 1, şi lăţime la fund b = 0,8 m. Să se determine adâncimea curentului în mişcare permanentă şi uniformă.

Rezolvare. Panta canalului (debuşeului) este mare şi este de aşteptat ca pe aceasta să se formeze curenţi aeraţi. Aerarea parţială are loc pentru:

542,00784,0

0834,0<< I

R.

În această situaţie calculele sunt asemănătoare curenţilor neaeraţi, însăse lucrează cu elementele caracteristice curentului aerat (fig. 12.29).

IRCAQQ aaaaββ

11== ;

unde: β este coeficientul de aerare calculabil cu relaţia: 36/lg812,01 Fr−=β ;

3

2

A

B

g

QFr

α= .

Efectuând dimensionarea pentru curent neaerat rezultă: h0 = 0,464 m; A = 0,590 m2; P = 2,118 m; R = 0,279 m; C = 28,86 m0,5/s;

v = 6,78 m/s; Fr = 15,10; β = 1,306; 087,0279,0

0784,00784,00834,00834,0

==R

, deci

curentul se aerează pentru pante de peste I>0,087. În concluzie calculele se efectuează pentru curent aerat prin aproximaţii succesive; se dau valori debitului aerat Qa, apoi se dimensionează

canalul pentru debitul aerat şi cu relaţia QQa =β

1 se determină debitul lichid.

Aproximaţiile se efectuează în jurul valorii Qa = βQ obţinut pentru dimensionare la curent neaerat: Qa = βQ = 1,306·4 = 5,224 m3/s. Rezultatele calculelor sunt centralizate în (tab. 12.8).


Calculul canalului la curgere aerată Tabelul 12.8

Nr. crt

Qa

(m3/s)ha

(m)Aa

(m)Pa

(m)Ra

(m)Ca

(m0,5/s)va

(m/s)Fra β Q=Qa/β

(m3/s)1 5,22 0,5355 0,7151 2,3146 0,3090 29,365 7,299 15,631 1,2942 4,0334 2 5,21 0,5349 0,7141 2,313 0,3087 29,361 7,296 15,628 1,2943 4,02503 5,20 0,5344 0,7131 2,3115 0,3085 29,357 7,292 15,625 1,2943 4,0175 4 5,19 0,5338 0,7121 2,3100 0,3083 29,354 7,288 15,622 1,2944 4,0096 5 5,18 0,5333 0,7110 2,3085 0,3080 29,350 7,285 15,620 1,2945 4,00166 5,17 0,5328 0,7101 2,3069 0,3078 29,346 7,281 15,617 1,2945 3,9937

Se observă că în cazul acestui curent aerat adâncimea normală creşte cu Δh = 0,533 - 0,464 = 0,069 m, reprezentând 14,9 %.

B

b=0,8m

h =0,46mn=1

b=0,8m

h =0,533m

B

0 0a

a

aerat

neaerat

Partial aeratNeaerat

n=1

Fig. 12.29. Schema canalului curent neaerat şi aerat

60. Să se dimensioneze un canal trapezoidal căptuşit cu dale din beton (n = 0,014), pentru transportul debitului Q = 8 m3/s, la panta I = 0,2 ‰ m = 1,5 astfel ca viteza medie să fie cuprinsă în limitele vmin = 0,8 m/s, vmax = 1,4 m/s.

Rezolvare. În lipsa altor condiţii impuse se propune profil hidraulic optim:

( )mm −+= 212β , pentru care aria curgerii este:

( ) ( )mmhmhA −+=+= 222 12β , respectiv

mm

Ah

−+=

212.

Pentru vitezele impuse rezultă elementele limită:

4

22

2

max2max

2max

2

min

0,56/16/1maxmax

0,56/16/1minmin

maxmax

minmin

2max

2min

2

minmax

2

maxmin

1012,1089,145,720,10

8

/sm45,72089,1014,011

/sm15,69823,0014,011

m089,12179,2

2

m823,02647,1

2

m179,25,15,112

0,10

m647,15,15,112

714,5

m 0,108,0

8

m714,54,1

8

−⋅=⋅⋅

==

===

===

===

===

=−+

=

=−+

=

===

===

RCA

QI

Rn

C

Rn

C

hR

hR

h

h

V

QA

V

QA

422

2

min2min

2min

2

max 1098,4823,015,69714,5

8 −⋅=⋅⋅

==RCA

QI .

Fiindcă Imin < I < Imax este posibilă dimensionarea la profil hidraulic optim cu respectarea condiţiilor de limitare a vitezei. Conform relaţiei (12.21) elementele secţiunii sunt:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 22222

20

20

8/3

2

3/28/3

2

3/2

0

m039,85,15,112954,112

m183,1954,15,15,11212

m954,10002,05,15,112

8014,02

12

2

=−+=−+=

=−+=−+=⋅=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+=

mmhA

hmmhb

Imm

nQh

β

viteza medie în canal este:

m/s995,0039,88

===A

Qv ,

care se încadrează în limitele impuse.


CAPITOLUL 13

MIŞCAREA PERMANENTĂ LENT (GRADUAL) VARIATĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Mişcarea în albii deschise în general este nepermanentă, dar pe anumite perioade mişcarea poate fi permanentă. Formele de mişcare neuniformă sunt generate de modificările secţiunii albiilor în lungul curentului. Modificările de secţiune sunt prezente în albii naturale aproape pe întreaga lor lungime, dar şi albiile artificiale sunt împărţite în biefuri de către neregularităţi importante ale albiilor – modificări importante ale secţiunii, căderi, barări, secţiuni de reglare, alte construcţii şi instalaţii în albii. Chiar micile modificări ale secţiunii, rugozităţii produc modificarea, curbarea liniilor de curent. Curenţii cu suprafaţă liberă sunt foarte sensibili la perturbaţii, liniile de curent sunt uşor curbate ceea ce, chiar la debite constante, face ca mişcarea să nu aibă caracter uniform. Curenţii permanenţi cu suprafaţă liberă în raport cu curbura liniilor de curent se împart în: - curenţi lent (gradual) variaţi, la care curbura liniilor de curent este mică şi pe distanţe mici, în particular se pot considera drepte cvasiparalele; - curenţi rapid variaţi, la care curbura liniilor de curent este importantă pe distanţe mici, iar nici în particular liniile de curent nu pot fi considerate cvasiparalele.

Mişcările lent variate se soluţionează în general pe cale hidraulică, iar curenţii rapid variaţi prin metode hidraulice sau hidrodinamice (prin teoria mişcărilor potenţiale cu neglijarea anumitelor caracteristici).

Mişcările permanente neuniforme iau naştere când sunt deranjate condiţiile mişcării uniforme. Cum s-a mai menţionat, modificările secţiunii albiei, a rugozităţii sau elasticităţii patului albiei în lungul curentului implicămişcări neuniforme chiar pentru debite constante.

Mişcările permanente neuniforme sunt de fapt mişcări pe biefuri, cu mişcări lent variate, racordate la limitele lor prin mişcări rapid variate. Modul în care un curent permanent cu suprafaţă liberă reacţionează la perturbări depinde în mare măsură de caracteristicile sale energetice şi, în special, de raportul dintre energia cinetică şi cea potenţială.


În acest capitol se analizează energetic curenţii cu suprafaţă liberă, se deduce ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate, se analizeazăfizic forma suprafeţei libere a curenţilor lent variaţi, se prezintă metode de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale pentru albii regulate (canale) şi neregulate (albii naturale).

13.1. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A MIŞCĂRII PERMANENTE LENT (GRADUAL) VARIATE A CURENŢILOR CU NIVEL LIBER.

Mişcarea cu debit constant (Q = const.) în albii are caracter de neuniformitate însă pe un bief cu neregularităţi mici, curbura liniilor de curent este mică, pe distanţe mici acestea se pot considera (în particular), cvasiparalele, iar modificarea parametrilor hidraulici în lungul curentului este lentă. Stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării lent variate are la bazăecuaţia energiei (Bernoulli), aplicată unui tronson al unei albii oarecare (neregulate) între secţiunile 1 şi 2 (fig. 13.1). Se acceptă ipoteza că pierderile liniare în lungul curentului pe distanţe dl mici, sunt ca şi în cazul mişcării uniforme (12.13).

z

h

v /2g

dh

dh

hh

dl

ϕ

h y

0I 1

2

ll

sl

0

0

02 e

p

12

12

r

VV

α

hΔ

Fig. 13.1. Schemă a mişcării lent variate

Pentru pante mici ale fundului se acceptă: ϕϕ tgI ≅= sinşi pe distanţa dl panta energetică j şi piezometrică jp sunt egale. Aplicând ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2, obţinem:

rdhhp

g

Vhh

p

g

V+++=Δ+++ 2

22

221

12

11

22 γ

α

γ

α (13.1)


Acceptând α=const. şi p1=p2=0, rezultă:

( )( )

rdhg

VVhhdlI +

−=−−⋅

2

21

22

12

α (13.2)

Notând h2-h1=dh şi ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

g

Vd

g

VV

22

221

22 αα

, după înlocuire în (13.2)

şi împărţire cu dl, avem:

dl

dh

dl

g

Vd

dl

dhI r+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−2

2α

(13.3)

Albia oarecare este caracterizată de A=f(h, l), deci

A A

dA dl dhl h

∂ ∂= +

∂ ∂ (13.4)

Înlocuind viteza medie din ecuaţia de continuitate (V=Q/A), termenul:

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅∂

∂+

∂

∂−=⋅

dl

dh

h

A

l

A

gA

Q

dl

Vd

g 3

22

2αα

(13.5)

Sensul geometric al termenului hA ∂∂ / rezultă din fig.13.2.

Fig.13.2. Exprimarea termenului hA ∂∂ / .

Pentru h∂ infinit mic rezultă BhA =∂∂ / , deci:

dl

dh

dl

dhB

l

A

gA

Q

dl

dhI r+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+∂

∂−=−

3

2α (13.6)

Acceptând ipoteza referitoare la pierderile de energie liniare şi paralelismul liniei energetice şi piezometrice pe distanţe mici:

RCA

Q

K

Q

dl

dhjj r

p 22

2

2

2

==== (13.7)

după înlocuire, rezultă variaţia adâncimii apei în lungul curentului, ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate în albii oarecare, sub forma:

B

h

h

z

AA


3

2

2

22

2

1

1

A

B

g

Q

l

A

gA

RC

RCA

QI

dl

dh

⋅−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅−−

=α

α

(13.8)

Termenul

2 2

3m

Q B VFr

g A gh

α α⋅ = = (13.9)

este numărul Froude al mişcării. Ecuaţia (13.8) pentru albii regulate - cilindrice, prismatice (cu A = f(h), deci 0/ =∂∂ lA ), devine:

Fr

RCA

QI

A

B

g

QRCA

QI

dl

dh

−

−=

⋅−

−=

11

22

2

3

2

22

2

α (13.10)

Pentru mişcări uniforme h = h0 = c şi se obţine:

RIACQ = (12.3)

13.2. STUDIUL ENERGETIC AL CURENŢILOR PERMANENŢI CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Analiza porneşte de la exprimarea energiei specifice a secţiunii pentru curentul uniform. De aceea rezultatele sunt riguros valabile curenţilor uniformi, dar cu erori mici pot fi extinse şi curenţilor lent variaţi. La mişcări cu variaţii importante erorile sunt considerabile, totuşi analiza energetică permite stabilirea unor concluzii calitative.

13.2.1. Energia specifică a curentului şi a secţiunii.

Se consideră un curent permanent de lichid la care elementele în mişcarea uniformă sunt specificate în (fig. 13.3).

H

v /2g

Eh

z

e

E eE

h

z

v /2g

eE

E -E = E

L

α

αΔ

02

0

1

1

2

2

02

1 22

2

1

1

0 000

o ' 0 'I ,n

V

e

Fig. 13.3. Energia specifică a secţiunii şi curentului

Energia specifică a curentului se defineşte faţă de un plan de referinţă arbitrar fix 0-0, admiţându-se legea liniară de distribuţie a presiunilor pe verticala adâncimii:

zhg

Vz

p

g

VE ++=++=

22

22 α

γ

α (13.11)

Energia specifică a secţiunii e, este energia specifică faţă de planul de referinţă orizontal care trece prin punctul cel mai de jos al secţiunii:

2

22

22 gA

Qh

g

Vhe

αα+=+= (13.12)

La definirea energiei specifice a secţiunii planul de referinţă se modifică pentru fiecare secţiune în parte; valoarea sa depinde de parametrii mişcării: adâncime şi viteză medie.

13.2.2. Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul curentului.

Mişcarea în albii deschise se produce pe seama „consumului” energiei specifice ale curentului E, prin frecări parte din energie se transformă în căldură, deci:

0<dl

dE.

La curenţi uniformi consumul de energie are loc pe seama energiei specifice de poziţie fiindcă celelalte componente se menţin constanţe (h0 = c şi v = c), deci:

Idl

dz

dl

dE== sau e = const. (13.13)

La mişcări neuniforme în albii neregulate însă au loc modificări ale energiei specifice a secţiunii în lungul curentului, astfel

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅∂

∂+

∂

∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

dl

dh

l

A

l

A

gA

Q

dl

dh

g

V

dl

d

dl

dh

dl

de3

22

2

αα (13.14)

sau conform (13.3) şi (13.7).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=

2

20

22

2

1K

KI

RCA

QI

dl

dhI

dl

de r (13.15)

în care K0 este modulul de debit corespunzător mişcării uniforme, iar K pentru mişcarea permanentă neuniformă. Pentru mişcări uniforme ;0/ =dldh 0/ =∂∂ lA şi K0=K, deci variaţia energiei specifice a secţiunii este nulă (ec. 13.13). Pentru mişcări neuniforme se disting două cazuri: 10. Pentru K > K0 rezultă A > A0 şi V < V0. Pentru pante pozitive în sensul curgerii I > 0 se obţine de/dl > 0, deci energia specifică a secţiunii creşte în lungul curentului. 20. Pentru K < K0 corespund A < A0 şi V > V0, rezultând de/dl < 0, deci energia specifică a secţiunii scade în lungul curentului. În ambele situaţii modificarea energiei specifice a secţiunii se datoreşte modificării pierderilor de energie. Dacă la curent uniform pierderea de energie este exact diferenţa de energie de poziţie datorită pantei geometrice, la mişcare neuniformă cu V < V0 pierderile sunt mai mici, pe când pentru V > V0 pierderile de sarcină sunt mai mari decât în mişcarea uniformă.

13.2.3. Stările curenţilor permanenţi

Analiza funcţiei energiei specifice a secţiunii pentru albii regulate (cilindrice, prismatice), pentru care A = f(h) evidenţiază că funcţia continuăe(h) pentru h > 0 admite un minim pentru debit Q dat în punctul (emin, hcr). Minimalizând funcţia (13.12), prin anularea derivatei în raport cu variabila h

0113

2

3

2

=−=⋅−= BgA

Q

dh

dA

gA

Q

dh

de αα (13.16)

se obţine valoarea adâncimii critice hcr. Adâncimea critică se determină din condiţia

13

2

=⋅A

B

g

Qα sau

crB

A

g

Q⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

32α (13.17)

deci depinde de forma secţiunii şi debitul transportat. Explicitarea adâncimii critice este posibilă doar pentru câteva forme de secţiune (dreptunghi, triunghi, parabolă), la celelalte secţiuni relaţia se soluţionează prin metode numerice, de aproximări succesive.

10. Calculul manual comportă operaţiuni de completare a (tab. 13.1).

Calculul adâncimii critice Tabelul 13.1

Nr. crt

h (m)

B (m)

A (m2)

A3/B (m5)

αQ2/g (m5)

1 2 3 4 5 6

Când coloanele 5 şi 6 sunt egale sau suficient de apropiate pentru o eroare de calcul Δh, pentru h calculul se consideră terminat.

20. Calculul grafic se realizează prin reprezentarea coloanelor 2 şi 5 (fig.13.4), apoi pentru αQ2/g se obţine hcr.

Fig. 13.4. Grafic pentru stabilirea adâncimii critice

30. Calculul automat după metoda coardei se realizează după schema logică din fig. 13.5. Se impun ca date iniţiale valori hi < hcr, h > hcr respectiv precizia de calcul Δh. Calculul se opreşte prin condiţia preciziei de calcul.

α

h

A /BQ

h

g

cr

2

3

g,Q, elementele dateCiteste: α,ale sectiunii

h ,i h ,s Δh

START

αQ /g2

Δh( sh - :i) h.

Ai, Bi, Ai/Bi

As, Bs, As/Bs

3

3

hhm

2

i=h + s

Am, Bm, Am/Bm3

α0

Q 2- AmBm4

3).:( hh =m crsh m= h

mhi h=

ih cr= h

Scrie: h ,crAcr, Bcr

STOP

<

=<

>

=

>

Fig. 13.5. Schemă logică pentru calculul adâncimii critice

Adâncimii critice îi corespund elementele critice ale curentului şi secţiunii (Acr, Vcr, Icr). Energia specifică a secţiunii pentru albii cilindrice şi prismatice pentru un debit Q depinde numai de adâncimea curentului.

)(2

)(2

2

hgA

Qhhe

α+= (13.18)

Funcţia e(h) are două asimptote: h = 0 fiindcă 0→h corespunde ∞→e şi e(h) = h fiindcă ∞→h corespunde ∞→e . Energia specifică minimă a secţiunii la diferite debite este:

( ) crcrmcrcrcr

crcr

cr

hhhAB

Ah

gA

Qe +=+=+=

2

1

22 2

3

2

2

min

α (13.19)

situându-se pe o dreaptă în coordonatele (e, h). h

eQ

Q Q

h

h

h

ee

h2

cr

1

min h=0

cr

1

23

e=h

Stare

lenta

Stare

rapida

e=1/

2(hm

) cr+h cr

Starerapida

Fig. 13.6. Variaţia energiei specifice a secţiunii

Graficul din (fig. 13.6) evidenţiază că acelaşi debit Q poate fi transportat de o albie la aceeaşi energie specifică a secţiunii pentru douăadâncimi diferite:

1. h > hcr, stare lentă fluvială a curentului, pentru care energia potenţială are prepondere mai mare faţă de energia cinetică, V < Vcr;

2. h < hcr, stare rapidă torenţială a curentului, pentru care energia cinetică are o pondere mai mare decât cea potenţială, V > Vcr; 3. Adâncimii critice hcr îi corespunde starea critică a curentului, la care corespund elemente critice: Vcr, Icr respectiv emin.

Particularizând cele prezentate secţiunii dreptunghiulare, cu notaţia q=Q/b se obţin:

hgh

q

hgb

Qhe +=+=

2

2

22

2

22

αα (13.18’)

din care:

( )α

heghq

−=

2 (13.20)

Din (13.17) rezultă:

3

2

g

qhcr

α= (13.21)

respectiv din (13.18), cu h = hcr.


crcrcr hhhe2

3

2

1min =+= (13.22)

care arată că la secţiuni dreptunghiulare la starea critică energia specifică a secţiunii se compune 2/3 din energia potenţială şi 1/3 energie cinetică. Debitul specific maxim se obţine pentru adâncimea critică şi are valoarea:

3/2max cr

gq h

α= (13.23)

Funcţia q(h) are forma din fig. 13.7.

Fig. 13.7. Variaţia debitului specific q = f(h) la albii de secţiune dreptunghiulară.

Viteza critică este:

α

cr

crcr

gh

h

qV == max (13.24)

Stării critice a curentului în mişcare uniformă îi corespunde panta critică din (fig. 12.3) şi (fig. 13.17), sub forma:

crcr

crcr

BC

gPI

2α= (13.25)

care pentru albii foarte largi (P~B) devine 2cr

crC

gI

α= .

Graficul funcţiei (13.24) are forma din (fig. 13.8).

Fig. 13.8. Starea curentului la diferite pante în mişcare uniformă.

h

h

h

qq

cr

max

h

II

hcr

crStare

lentaStare

rapida

Observaţii. Pentru secţiuni triunghiulare şi parabolice adâncimea critică este explicitată, astfel: - la secţiune triunghiulară:

52

22

gm

Qhcr

α= (13.26)

- la secţiune parabolică:

4

2

64

27

gP

Qhcr

α⋅= (13.27)

13.2.4. Recunoaşterea stării curentului.

Recunoaşterea stării curentului are importanţă în multe probleme de dimensionare şi verificare a funcţionării sistemelor hidraulice deschise. Starea curentului se determină în funcţie de mai multe elemente, comparând caracteristicile curentului cu cele critice: crcrcr IIVVhh ;; , sau în baza

numărului Froude, când prin modificarea relaţiei (17.17) rezultă numărul Froude critic (tab. 13.2).

12

==mcr

crcr gh

VFr

α (13.28)

Caracterizarea stării curentului Tabelul 13.2

Criteriul Starea curentului lentă critică rapidă

Adâncime h > hcr h = hcr h < hcr

Viteză V < Vcr V = Vcr V > Vcr

Pantă I < Icr I = Icr I > Icr

Numărul Froude Fr < 1 Fr = 1 Fr > 1

13.3. ANALIZA CALITATIVĂ A FORMEI SUPRAFEŢEI LIBERE A LICHIDELOR ÎN MIŞCARE LENT (GRADUAL) VARIATĂ.

În mişcarea permanentă lent variată, suprafaţa liberă a lichidelor este curbată şi se numeşte, impropriu, remuu (vâltoare). Standardele definesc curbe de supraînălţare sau pozitive şi curbe de coborâre a nivelului – curbe negative. Atât curbele de supraînălţare cât şi cele de coborâre pot fi de mai multe categorii în funcţie de natura singularităţilor care le produc şi de starea curentului – lentă, rapidă sau critică. Analiza calitativă a formelor şi tipurilor curbelor suprafeţei libere în mişcare permanentă lent variată în albii cilindrice sau prismatice se face cu ajutorul ecuaţiei diferenţiale (13.10). Această ecuaţie exprimă legea variaţiei adâncimii în lungul curentului. Prin integrarea ecuaţiei se obţine relaţia de calcul a suprafeţei libere a lichidului. Se întâlnesc trei situaţii de pantă diferite faţă de care atât analiza calitativă a suprafeţei libere, cât şi integrarea ecuaţiei diferenţiale prezintăparticularităţi, astfel I > 0; I = 0 şi I < 0.

13.3.1. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă lent variată pentru I > 0.

Se modifică forma relaţiei (13.10) astfel: - la numărător.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=−

2

20

2

2222

2

11

1K

KI

I

Q

RCAI

RCA

QI

punându-se în evidenţă 020

20

220 / RCAIQK == modulul de debit aferent

mişcării uniforme, caracterizat de h0 şi K2=A2C2R modulul de debit corespunzător unei adâncimi curente h.

- la numitor se notează: crcr

cr NB

A

g

Q==

32α, corespunzătoare adâncimii

critice hcr şi B/A3=N, corespunzătoare unei adâncimi curente h în mişcarea lent variată, obţinându-se:

2021

1 cr

Kdh KI

NdlN

−=

−

(13.29)

Necesitatea acestei forme a ecuaţiei rezultă din constatarea că forma suprafeţei libere a lichidului depinde de poziţia adâncimii variabile h în mişcarea lent variată faţă de adâncimea normală h0 şi de adâncimea critică hcr.

Ecuaţia (13.29) exprimă tocmai această dependenţă. În funcţie de poziţia suprafeţei adâncimii normale h0 faţă de adâncimea critică hcr, pe profilul longitudinal al albiei există trei situaţii: - linia adâncimii normale este deasupra liniei adâncimii critice, situaţie corespunzătoare stării lente a curentului în mişcarea uniformă (fig. 13.9.a). Liniile celor două adâncimi cu linia fundului împart domeniul curgerii în trei zone: a - peste linia adâncimii normale; b - între liniile adâncimii normale şi critice; c - între liniile adâncimii critice şi fundului. - linia adâncimii normale este situată între linia adâncimii critice şi fundului, caz caracteristic stării rapide a curentului în mişcarea uniformă (fig. 13.9.b). Curentul, şi în acest caz prezintă trei zone: a, b, c; - liniile adâncimii normale şi critice coincid, caz caracteristic stării critice curentului. Dispare zona b, curentul fiind împărţit în zonele a şi c (fig. 13.9.c). În fig. 13.9. linia adâncimilor normale s-a notat cu N - N, iar cea a adâncimilor critice cu C - C.

0<I<Icr

a

b

c

CC

NN

N

N

C

Ca

b

c

a

c

N==C

I>Icr I=Icr

a) b) c)

Miscare uniforma in stare lenta

Miscare uniforma in stare rapida Miscare uniforma in

stare critica

N==C

Fig. 13.9. Cazuri de situaţii ale adâncimii normale şi critice şi zonarea curentului pentru I > 0.

Adâncimea curentă h în cazul mişcării permanente lent variate este situată într-o zonă din figura 13.9; în funcţie de situaţie suprafaţa liberă are caracteristici diferite bine definite fiecărui caz în parte.

10. Cazul pantei pozitive, starea mişcării uniforme lentă 0 hcr, V < Vcr, Fr < 1. Adâncimea curentului h în mişcarea lent variată poate fi situată în cele trei zone a, b, c (fig. 13.9.a).

10.a. - Zona a este caracterizată prin h > h0 şi h > hcr. Conform relaţiei (13.29) pentru h > h0, rezultă K > K0, deci numărătorul ecuaţiei este pozitiv. Pentru h > hcr şi N > Ncr, deci şi numitorul este pozitiv. Variaţia adâncimii în lungul curentului este pozitivă, dh/dl > 0, adâncimea creşte din amonte spre aval. Pe albie în zona a se formează o curbă de supraînălţare tip a1 (fig. 13.10). Acest tip al suprafeţei libere este întâlnită frecvent în practică, când un canal lent (0 < I< Icr) este barat de deversor, stăvilar, pile, baraj sau alte obstacole în albie.

hh

N

NC '

C '

a

b

c

0 < I < I c r

c

b

c r0

1

1

1

Fig. 13.10. Suprafaţă liberă în mişcare gradual variată la albii lente 0 < I < Icr.

Variaţia energiei specifice în lungul curbei a1 creşte spre aval, semnul lui de/dl coincide cu semnul numărătorului (13.15). Energia specifică a secţiunii are valoare minimă la adâncimea critică şi spre aval adâncimea h se îndepărtează de cea critică. Adâncimea teoretică pe bief de lungime nedefinită în zona a este cuprinsă în limitele: ( )∞= ,0hh .

O analiză succintă a funcţiei (13.29) permite stabilirea asimptotelor şi direcţia curburii suprafeţei libere, astfel: - în amonte h→h0, K→K0 rezultând dh/dl→0, deci în partea superioarăsuprafaţa liberă tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme;

- în aval h→∞, K→∞, N→∞, deci K02/K2→0 şi Ncr/N→0. Astfel

dh/dl→I, în partea inferioară suprafaţa liberă tinde asimptotic la orizontală. Forma curbei este concavă şi teoretic se întinde în amonte la infinit.

Practic curba se consideră terminată unde adâncimea h în mişcare lent variatădiferă puţin de adâncimea normală h0.

Rezultatele analizelor sunt centralizate în tabelul 13.3. zona a. Forma curbei la o barare corespunde fig. 13.11.

h h

h

N

N

0 Ncr. Numărătorul ecuaţiei (13.29) este negativ, iar numitorul pozitiv, deci dh/dl < 0, adâncimea scăzând din amonte spre aval ca şi energia specifică a secţiunii (conform 13.15). Adâncimea curentului hє(h0, hcr). Curba suprafeţei libere coborâtoare are formă convexă şi este de tipul b1 (fig. 13.10).

Asimptotele suprafeţei libere sunt: - în amonte h→h0 (analiza este identică cazului a) şi suprafaţa liberătinde asimptotic la suprafaţa corespunzătoare mişcării uniforme; - în aval h→hcr, respectiv N→Ncr şi dl/dh→−∞ care arată că în aval teoretic curba b1 are asimptotă normala la linia adâncimilor critice. Rezultatele analizelor corespund zonei b din tabelul 13.3.

Întrucât în apropierea adâncimii critice mişcarea nu mai respectă ipoteza de lent (gradual) variată, curbura liniilor de curent este importantă, practic în zona terminală aval, (13.29) nu mai este valabilă. Adâncimea h în jurul adâncimii critice are variaţie rapidă în lungul curentului şi suprafaţa liberă se dispune după altă lege decât (13.29).

Astfel de curbe coborâtoare b1 se întâlnesc pe canale cu pantăcaracteristică stării lente (0 < I < Icr) la căderi sau creşteri bruşte ale pantei (fig. 13.12).

Fig. 13.12. Curba de coborâre b1 la o cădere pe canal.

Analiza curbelor suprafeţei libere în mişcare lent variată pentru 0 

> 0

0KK > > 0 crNN > > 0 > 0 pozitivă

supraînălţare a1

b crhh

hh

>

< 0

0KK < < 0 crNN > > 0 < 0 negativăcoborâre

b1

c crhh

hh

<

< 0

0KK < < 0 crNN < < 0 > 0 pozitivă

supraînălţare c1

În calcule curba b1 se întinde în amonte teoretic la infinit, iar practic până adâncimea amonte pe curba b1 diferă cel mult cu eroarea de calcul faţă h0. În partea aval, în apropierea adâncimii critice ipoteza curburii mici nu mai este valabilă, deci în aval curba b1 se consideră terminată unde încă se poate accepta curbura mică a liniilor de curent.

10.c. - Zona c este caracterizată prin 0 < h < hcr, deci K < K0 şi N < Ncr. Atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt negative, deci dh/dl > 0 (conform tabelului 13.3 zona c), deci adâncimea creşte spre aval dupăo curbă de supraînălţare de tipul c1. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, iar adâncimea se aproprie de adâncimea critică.

În capătul aval al curbei c1, h→hcr, respectiv N→Ncr şi numitorul ecuaţiei (13.29) tinde la zero, fapt care arată că la hcr în mişcare are loc o discontinuitate. În apropierea adâncimii critice curbura liniilor de curent este pronunţată, nu se respectă ipoteza mişcării gradual variate. În apropierea adâncimii critice mişcarea este descrisă de altă lege, a mişcării rapid variate

h

h

N

NC

C

0<I<Icr

b0

cr

1

(care se prezintă în capitolul 14). Alura curbei este concavă, fiind prezentată în (fig. 13.10).

Astfel de curbe c1 sunt frecvente în practică, când într-un canal cu 0 < I < Icr o construcţie (stavilă parţial ridicată, barare cu deversor) produce mişcarea în stare rapidă (fig. 13.13). Curbele de tipul c1 se întâlnesc la racordarea biefurilor (cap. 15).

CC

N

N

I< Ic rc 1

CC

NN

Fig. 13.13. Forme de curbe de supraînălţare tip c1.

20. Cazul pantei pozitive, starea rapidă a mişcării uniforme I > Icr.

În cazul albiei cu mişcare uniformă în stare rapidă curentul este divizat de liniile fundului, luciului apei în mişcare uniformă şi linia adâncimii critice tot în trei zone a, b, c (conform fig. 13.9.b). Adâncimea curentă h poate fi situată în aceste zone.

20.a. Zona a este caracterizată prin h > hcr > h0, rezultând K > K0 şi N > Ncr, atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitive, deci dh/dl > 0, ceea ce arată că adâncimea curentului în mişcare gradual variatăcreşte spre aval. Adâncimea aparţine domeniului hє(hcr, ∞). În aval h→∞, astfel K→∞ şi N→∞, rezultând dh/dl→I, deci curba de supraînălţare convexăa suprafeţei libere tinde asimptotic la un plan orizontal. În partea amonte h→hcr, N→Ncr şi numitorul ecuaţiei (13.29) tine la zero, care indicădiscontinuitate a funcţiei şi mişcării pentru h = hcr. Asimptota la curba teoreticăa suprafeţei libere este normala la linia adâncimilor critice. În apropierea adâncimii critice nu se respectă ipoteza mişcării lent variate, curbura liniilor de curent este importantă şi fenomenul fizic de fapt este descris de altă lege. Curba de supraînălţare a2 este redată în (fig. 13.14). Rezultatele analizei corespund tabelului 13.4.

h

h

C

CN

N

a

bc

a

b

c

2

2

2

0

c r

Fig. 13.14. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii rapide I > Icr.

În practică curbe de supraînălţare a2 se formează în canale rapide la bararea acestora cu stăvilare, deversoare, praguri (fig. 13.15).

N

N

C

CI>Icr

2

C

C

N

NI>Icr

2

Fig. 13.15. Forme de curbe de supraînălţare tip a2.

Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I > Icr. Tabelul 13.4

Zona crhh

hh

0

0KK Semn

numărător

0/ dldecrNN


a crhh

hh

>

> 0


supraînălţare a2

b crhh

hh

>

< 0

0KK > > 0 crNN < < 0 < 0 negativăcoborâre

b2

c crhh

hh

<

< 0


supraînălţare c2

Energia specifică a secţiunii în lungul curbei a2 creşte spre aval (de/dl > 0), adâncimea se îndepărtează de adâncimea critică spre aval.

20.b. Zona b este caracterizată de h0 < h < hcr. Pentru h > h0 rezultă K > K0, deci numitorul ecuaţiei (13.29) pozitiv, iar h < hcr implică N < Ncr, deci numitorul negativ, pe ansamblu dh/dl < 0 arătând faptul că adâncimea în mişcarea gradual variată scade spre aval. Suprafaţa liberă concavă este o curbăde coborâre tip b2 (v.fig.13.14). În amonte h→hcr, N→Ncr arată că asimptota la curba teoretică este normala la linia adâncimilor critice însă în apropierea adâncimii critice curbura liniilor de curent este importantă, nu se respectăipoteza mişcării lent variate şi mişcarea aici este guvernată de alte legi.

În aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval suprafaţa liberă a apei tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme.

Curba b2 spre aval se îndepărtează de linia adâncimilor critice, K > K0, deci energia specifică a secţiunii creşte spre aval (pierderile de energie prin frecare în curent sunt inferioare câştigului de energie pe seama pantei (energie de poziţie) care permite accelerarea curentului lichid. Rezultatele analizelor corespund zonei b din tabelul 13.4.

În practică curbe de coborâre b2 se întâlnesc pe canale rapide – jilipuri (fig. 13.16).

Fig. 13.16. Curbă de coborâre b2 pe jilip.

20.c. Zona c este caracterizată de hє(0, h0), astfel pentru h < h0 şi K < K0, rezultă numărătorul ecuaţiei (13.29) negativ şi h < hcr, N < Ncr, numitorul este tot negativ, deci dh/dl > 0 arată creşterea adâncimii spre aval după o curbă de supraînălţare convexă de tipul c2. În amonte adâncimea poate descreşte nedefinit, iar în aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval curba c2 tinde asimptotic la linia adâncimilor normale. Forma curbei corespunde (fig. 13.14), iar analizele sunt centralizate în tabelul 13.4 (zona c). Cum de/dl < 0, energia specifică a secţiunii scade spre aval, în lungul curbei c2

adâncimea creşte spre adâncimea critică. Curbe c2 se întâlnesc pe canale rapide la schimbare de pantă sau după

un evacuator pe canal rapid care realizează adâncimi la evacuare inferioare adâncimii normale (fig. 13.17).

C

C

N

N

bI I c r

2


C

NN

N

N

C

I>IcrI>Icr

22

1

1

1

c2

2

C

Nc 2

I>Icr

hc

Fig. 13.17. Forme ale curbei de supraînălţare c2.

30. Cazul stării critice a curentului I = Icr. Curentul în acest caz este caracterizat prin h0 = hcr şi prin suprapunerea celor două adâncimi zona b dispare, rămânând zonele a şi c (v. fig. 13.9.c). Adâncimea curentă h în mişcare gradual variată poate fi situată în cele două zone menţionate.

30.a. Zona a este caracterizată prin h > h0 = hcr, rezultând K > K0 şi N > Ncr, deci atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitivi, deci dh/dl > 0, adâncimea curentului crescând din amonte spre aval după o curbă de supraînălţare tip a3 (fig. 13.18). Energia specifică a secţiunii de/dl > 0astfel şi aceasta creşte spre aval odată cu îndepărtarea adâncimii de cea critică.

În aval h→∞, K→∞, N→∞ rezultând dh/dl = I = Icr. Practic curba suprafeţei libere este o orizontală.

În amonte h→hcr=h0 apare nedeterminare în ecuaţie, de fapt mişcarea în apropierea adâncimii critice este guvernată de altă lege, nu a mişcării gradual variate.

Fig. 13.18. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii critice I = Icr.

Racordarea nivelului amonte depinde în special de adâncimea normalăa curentului şi are loc prin mişcare rapid variată. Acest tip de curbă se întâlneşte la racordarea unui canal în stare rapidă la un rezervor (fig. 13.19).

h = h

ca=N = C

=N = C0 c r

3

3

Fig. 13.19. Curba de supraînălţare a3 şi formele de racordare cu nivelul din canal în stare critică.

Rezultatele analizelor sunt sintetizate în tabelul 13.5.

Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I=Icr

Tabelul 13.5

Zona crhh

hh

≡0

00KK

Semn numărător

0/ dldecrNN


a crhh

hh

≡

>

0

0


supraînălţare a3

c crhh

hh

≡

<

0

0


supraînălţare c3

30.b. Zona c este caracterizată prin h < h0 ≡ hcr, rezultând K < K0 şi N < Ncr, respectiv atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt negative, astfel încât dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte din amonte spre aval după o curbă de supraînălţare tip c3 (fig.13.18). De fapt adâncimea creşte astfel încât defineşte o suprafaţă orizontală. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, adâncimea în lungul curentului creşte spre adâncimea critică.

În amonte adâncimea poate descreşte nedefinit, iar în aval se racordeazăcu adâncimea normală în stare critică. Rezultatele analizelor corespund tabelului 13.5, zona c.

Curba de supraînălţare c3 se întâlneşte la racordare, la schimbarea de pantă a biefurilor rapide cu biefuri cu Icr sau la ieşirea de sub un stăvilar sau trecere peste deversor, bieful aval având pantă critică (fig. 13.20).

h = hI= Ic r

a

0 c r

3


I>IcrI=Icr

CCc

I=Icr

CCc

3

3

Fig. 13.20. Curbe de supraînălţare c3.

13.3.2. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcare permanentă gradual variată pentru I = 0.

Panta canalului fiind nulă mişcarea uniformă nu poate avea loc şi astfel axa normală a curentului teoretic este la infinit. Există doar axa critică şi linia fundului care împarte mişcarea în două domenii b şi c, respectiv peste şi sub axa critică (fig. 13.21). Mişcarea are loc datorită „consumului” din energia specifică potenţială (adâncime) sau cinetică. Ecuaţia diferenţială (13.10) se particularizează pentru I = 0, devenind:

3

2

2

2

1A

B

g

QK

Q

dl

dh

⋅−

−=

α (13.10’)

În această ecuaţie, asemănător (13.3.1), se face modificarea numitorului, notând:

crcr

cr NB

A

g

Q==

32α,

şi B/A3 = N, obţinându-se:

N

NKQ

dl

dh

cr−

−=

1

/ 22

(13.30)

Fig. 13.21. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii orizontale, I = 0. C C

b

c c

b

I=0

0

0

10. Zona b este caracterizată prin h > hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30) este negativ (Q şi K au valori pozitive finite), iar numitorul pozitiv, întrucât N > Ncr, deci dh/dl < 0. Adâncimea curentului scade spre aval în lungul unei curbe de coborâre convexe de tipul b0. În partea amonte a curbei adâncimea poate creşte nedefinit, iar în aval, când h→hcr, în ecuaţia (13.30) apare discontinuitate. Curba teoretică b0 în partea sa aval are tangentă o verticală, normală la linia adâncimii critice. În apropierea adâncimii critice variaţia adâncimii nu respectă ipoteza mişcării gradual variate, curbura firelor de curent fiind importantă. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, adâncimea curentă spre aval descreşte spre adâncimea critică. În practica inginereascăastfel de curbe b0 se formează în canale construite în palier.

20. Zona c este caracterizată prin h < hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30) rămâne neschimbat (ca în cazul 10), iar numitorul negativ (N < Ncr), rezultând dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte spre aval, variind teoretic în intervalul hє(0, hcr). În albie se formează o curbă de supraînălţare concavă de tipul c0 (fig.13.21). În amonte adâncimea poate să coboare nedefinit, iar în aval, când h→hcr, apare discontinuitate în ecuaţia (13.30), care arată că spre aval curba suprafeţei libere tinde asimptotic la normala la adâncimea critică. În apropierea adâncimii critice mişcarea este rapid variată şi este descrisă de altălege.

Astfel de curbe c0 iau naştere în albii orizontale la ieşirea curentului de apă de sub stavile sau la trecerea peste deversoare.

13.3.3. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor în mişcarea permanentă gradual variată pentru I < 0.

În cazul pantei negative mişcarea uniformă nu are sens fizic. În ecuaţia (13.10) se evidenţiază valoarea negativă a pantei prin înlocuirea I’=|I|, obţinând:

3

2

2

2

1A

B

g

QK

QI

dl

dh

⋅−

−′−=

α (13.10’’)

Numitorul ecuaţiei se transformă identic cu cele descrise la (13.3.1), obţinând:

N

N

K

QI

dl

dh

cr−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′−

=

1

2

2

(13.31)

Curentul este împărţit de axa critică C - C în subdomeniile b şi c (fig. 13.22). Numărătorul ecuaţiei totdeauna este negativ şi arată că energia specifică a secţiunii scade spre aval pentru ambele subdomenii.

Fig. 13.22. Suprafaţa liberă în mişcarea gradual variată în canale cu pantănegativă I < 0

10. Zona b este caracterizată prin h > hcr, rezultând N > Ncr, deci numitorul ecuaţiei (13.31) este pozitiv, obţinându-se dh/dl < 0. Adâncimea curentului scade spre aval după o curbă de coborâre convexă tip b’. Adâncimea în aval scade spre adâncimea critică astfel şi energia specifică a secţiunii scade tinzând spre valoarea sa minimă la hcr. În amonte adâncimea poate creşte nedefinit în funcţie de lungimea albiei, iar în aval, când h→hcr în ecuaţia (13.31) apare nedeterminare, care arată că suprafaţa liberă teoretică tinde asimptotic la normala liniei adâncimii critice. În vecinătatea adâncimii critice curbura liniilor de curent este pronunţată, nu respectă ipoteza mişcării gradual variate, deci în această zonă curgerea este rapid variată şi este guvernată de alte legi. Astfel de curbe ale suprafeţei libere se întâlnesc în canale cu dublu flux.

20. Zona c este caracterizată prin h < hcr, respectiv N < Ncr, rezultând dh/dl > 0 şi creşterea adâncimii spre aval în mişcare lent (gradual) variată. Curba suprafeţei libere de supraînălţare este concavă de tipul c1.

Spre aval când adâncimea tinde către adâncimea critică este valabilăconstatarea de la punctul 10. Curbe c’ ale suprafeţei libere se întâlnesc în cazuri asemănătoare curbelor c0, canalul având însă pantă negativă.

h I<0

b

c

c

b'

'

cr

C


13.4. METODE DE CALCUL ALE CURBELOR SUPRAFEŢEI LIBERE ÎN ALBII CILINDRICE ŞI PRISMATICE.

Integrarea ecuaţiei diferenţiale ale mişcării permanente lent variate (13.10) a avut o evoluţie lungă datorită dificultăţilor de ordin matematic. Existămai multe soluţii de integrare în cazuri particulare sau aproximaţii, în forme analitice sau grafice, majoritatea lor prezentând mai mult importanţă istorică. În cele ce urmează se vor prezenta două metode: prima posibilă de aplicat şi în cazul unui calcul manual, iar al doilea prin metoda diferenţelor finite.

13.4.1. Exponentul hidraulic al albiei.

Pentru orice albie de formă regulată este satisfăcută relaţia exponenţială:

x

h

h

K

K⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′

′′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′

′′2

(13.32)

în care: K’ este modulul de debit corespunzător adâncimii h’; K’’ – modulul de debit corespunzător adâncimii h’’, iar x un exponent constant pentru o albie dată şi care depinde de forma secţiunii transversale şi rugozitate, purtând numele de exponentul hidraulic al albiei. Relaţia (13.32) nu are fundamentare teoretică strictă şi în general este aproximativă. A fost propus de B. A. Bahmetev pentru a putea integra ecuaţia diferenţială a mişcării gradual variate (13.10).

Curba

)(1 hfRACK == (13.33) caracterizează dependenţa modulului de debit şi adâncime (curba plină din fig.13.23), iar )(2

2/ hfhK x =⋅= χ (13.34) aproximează modulul de debit printr-o funcţie de altă formă (curba punctatădin fig. 13.23).


Fig. 13.23. Variaţia modulului de debit cu adâncimea şi aproximaţia sa.

Luând pe curba (13.34) punctele M’(K’, h’) şi M’’(K’’, h’’)corespunzătoare intervalului de adâncime hє(h’, h’’) prin logaritmarea ecuaţiei (13.32) se obţine exponentul hidraulic al albiei:

h

hK

K

hh

KKx

′

′′′

′′

=′−′′

′−′′=

lg

lg

lglglglg

2 (13.35)

În acest mod se obţine relaţia (13.34), care este o relaţie aproximativă a modulului de debit pe intervalul de adâncime considerat. Trecând relaţia (13.35) la limită, pentru h’→h’’ se obţine:

hd

Kdx

lglg

2= (13.36)

care este exponentul hidraulic al albiei la adâncimea dată h. Dacă coeficientul Chézy C se calculează după o relaţie monomă cu exponent y=const., pentru albii regulate există posibilitatea calculării unor relaţii pentru exponentul hidraulic al albiei prin dezvoltări în serie. În general valorile exponentului hidraulic sunt cuprinse între 2...6. Tehnica actuală de calcul permite obţinerea cu uşurinţă a exponentului hidraulic al albiei din relaţia (13.35). Conform relaţiei (13.32) indicele hidraulic x ar fi constant. Calculând x din (13.35) acesta reprezintă o valoare medie a indicelui x, situată între x’ şi x” corespunzători adâncimilor h’ şi h’’. În urma celor arătate se pot rezuma următoarele: - dacă pentru coeficientul C se utilizează o relaţie monomă cu puterea y = const., atunci pentru albii largi dreptunghiulare şi parabolice, albii dreptunghiulare înguste şi albii triunghiulare, indicele x nu depinde de h, deci relaţia (13.32) se poate considera exactă;

h

K

M'

M'' K=AC R

K= h

h''

h'

K' K''

x/2


- pentru albii dreptunghiulare, parabolice (excepţie cele menţionate anterior), eliptice, circulare, trapezoidale etc. x depinde de h şi relaţia (13.32) este aproximativă; - pentru albii neregulate şi regulate închise, relaţia (13.32) este neriguroasă, însă este posibilă folosirea ei în calcule practice.

Relaţii explicite de calcul aproximativ al exponentului hidraulic al albiei sunt prezentate în (tab. 13.6).

Exponentul hidraulic al albiei pentru secţiuni particulare. Tabelul 13.6

Forma albiei Relaţia de calcul pentru x Valorile lui xpentru y = 1/6

Observaţii

trapez isoscel

( )

( )2

2

12

1221

123

m

my

m

myx

++

++−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=

β

β-

m – coeficient

unghiular al taluzului

h

b=β

dreptunghi ( ) ( )2

22123

++−+=

βyyx

2

66,233,3

+−

β h

b=β

dreptunghi foarte larg ( )y23 +≈ 33,3≈

dreptunghi foarte îngust 2≈ 2≈

triunghi ( )y25 +≈ 33,5≈

parabolăfoarte largă ( )y24 +≈ 3,4≈

Există şi grafice pentru determinarea exponentului hidraulic al albiei x.

13.4.2. Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate în albii regulate prin metoda exponentului hidraulic al albiei (B. A. Bahmetev)

Integrarea ecuaţiei diferenţiale a mişcării permanente lent variate (13.10) se face separat pentru următoarele categorii de pantă: panta talvegului pozitivă (I > 0), nulă (I = 0) şi negativă (I < 0), relaţia necesitând transformări de formă diferite.

10. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate în albii regulate cu pantă pozitivă Integrarea ecuaţiei (13.10) presupune modificarea formei acesteia, atât la numărător cât şi la numitor punându-se în evidenţă (K0/K)2, rezultând:

2

02

2

0

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=

K

K

gP

BIC

K

K

Idl

dh

α (13.37)

Se notează,

gP

BICj

2α= (13.38)

obţinând:

2

0

2

0

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

=

K

Kj

K

K

Idl

dh (13.39)

Adâncimea relativă având notaţia: 0/ hh=η (13.40)

se obţine η0hh = sau în formă diferenţială ηdhdh 0= . Raportul (K0/K)2 se

înlocuieşte din relaţia de definiţie a exponentului hidraulic al albiei:

xx

h

h

K

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

η

10

2

0 ,

în (13.39) obţinându-se:


j

Ij

Idl

dhx

x

x

x

−

−=

−

−

=η

η

η

ηη 11

1

11

0 (13.41)

în care variabilele sunt l şi η. După separarea variabilelor obţinem:

( )1

10 −

−+=x

djddl

h

I

η

ηη (13.42)

Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, aflate la distanţa L1

respectiv L2 de origine, cu notaţia L = L1 - L2, respectiv η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0, conform fig. 13.24, rezultând:

Fig. 13.24. Condiţiile integrării ecuaţiei (13.10) pentru I > 0.

( ) ( )∫ −−+−=−

2

11

112120

η

η η

ηηη

x

djLL

h

I (13.43)

Atât j cât şi x depind de h, însă pentru tronsoane de canal cu variaţie limitată a adâncimii hє(h1, h2), j poate fi considerată constantă la valoarea sa medie, rezultând:

( )∫ −−+−=

2

11

1120

η

η η

ηηη

xm

djL

h

I (13.44)

Introducând notaţia:

( ) ∫ −−=

1,

x

dx

η

ηηϕ (13.45)

se obţine:

( ) ( ) ( )[ ]1122120

,,1 xxjLh

Im ηϕηϕηη −−−−= (13.46)

h h

LLL

h

Q=c

I>0

N

N

0 1 2

0 1

2

1

2

S-au notat: L – lungimea tronsonului de canal la capetele căruia sunt caracteristice h1 în amonte şi h2 în aval, η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0 fiind adâncimile relative la capetele tronsonului faţă de adâncimea normală h0.

m

mmm Pg

BCIj

⋅

⋅⋅⋅=

2α. (13.47)

Valorile medii Cm, Bm şi Pm se pot calcula ca medie a mărimilor C1, B1 şi P1

respectiv C2, B2 şi P2. Chiar la un calcul al lui jm cu elementele Cm, Bm şi Pm

determinate cu adâncimea mediată2

21 hhhm

+= , valoarea sa diferă

nesemnificativ faţă de calculul anterior. Funcţia φ(η, x) se calculează prin dezvoltare în serie, astfel: - pentru η<1

( ) ...13121

,13121

++

++

++

+=+++

xxxx

xxx ηηηηηϕ , (13.48)

iar pentru η>1

( ) ...13121

,31211

+−

+−

+−

=−−−

xxxx

xxx ηηηηϕ (13.49)

Constantele de integrare ale funcţiei (13.45) au fost considerate nule, iar valorile pentru diferite perechi de valori (η, x) sunt intabulate în anexe. Pentru valori η şi x intermediare celor existente în tabele se permite interpolarea liniară, după relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]1212

11 ,,,, xx

xx

xxxx ηϕηϕηϕηϕ −

−

−+= (13.50)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xxxx abab

aa ,,,, ηϕηϕ

ηη

ηηηϕηϕ −

−

−+= (13.51)

şi schema:

η x x1 ... x ... x2

ηa

ηηb

φ(ηa, x1) ... φ(ηa, x) ... φ(ηa, x2)

φ(η, x)

φ(ηb, x1) ... φ(ηb, x) ... φ(ηb, x2)

Observaţii: 10.a. În albii de pământ cu rugozitate mare la calculul curbei a1 se poate considera j = 0, acesta având influenţă mică asupra calculelor. Pentru celelalte tipuri de curbe parametrul j trebuie luat în calcul. Deşi j depinde de adâncime el s-a considerat constant la integrare. Pe un sector de canal cu mişcarea permanentă gradual variată modificarea parametrului j cu adâncimea în calculul suprafeţei libere, este neglijabilă în majoritatea cazurilor. Parametrul j trebuie considerat la valoarea sa medie, determinată cu (13.47). Eventual se poate impune o condiţie de toleranţă relativă pentru j, astfel:

jj

jj

m

δ<− 21 (13.52)

10.b. Indicele hidraulic al albiei se determină cu relaţia (13.35), considerând pentru calculul lui xi, parametrii h’ = h0 la care corespunde K’ = K0 şi h” = hi la care corespunde K” = Ki. Asigurarea preciziei de calcul impune limitarea abaterilor relative ale exponenţilor hidraulici ai albiei pentru adâncimile de calcul, astfel:

xx

xx

m

δ<− 21 (13.53)

În calcule orientative abaterea relativă maximă poate fi δx = 0,1, iar la calcule mai precise δx = 0,05.

20. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate în albii regulate orizontale. În cazul pantei nule I = 0 ecuaţia (13.10’) trebuie modificată faţă de parametri caracteristici axei critice a curentului, atât la numărător, cât şi la numitor se evidenţiază termenul (Kcr/K)2.

Cu schimbarea 2

2

2

2

K

KI

K

Q crcr= respectiv

22

3

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

=⋅

K

K

P

B

g

CI

A

B

g

Q crcrαα şi

notaţia:

P

B

g

CIj cr

cr

2⋅⋅=

α (13.54)

se obţine:


2

2

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=

K

Kj

K

KI

dl

dh

crcr

crcr

(13.55)

Notând adâncimea relativă,

crh

h=ξ (13.56)

rezultă h = hcrξ, respectiv dh = hcrdξ. Înlocuind (K/Kcr)

2 = ξx , după înlocuire (13.55) devine:

x

cr

cr

xcr

xcrcr

j

Ij

I

dl

dh

ξ

ξ

ξξ

−=

−

−

=

1

1

,

respectiv după separarea variabilelor:

( ) ξξ djdlh

I xcr

cr

cr −= (13.57)

Se integrează ecuaţia pentru adâncimile curente h1 şi h2, caracteristice uneia din curbele suprafeţei libere pentru albii orizontale, aflate la distanţele L1, respectiv

L2 de o origine. Se utilizează notaţiile L = L2 - L1 şi crh

h11 =ξ , respectiv

crh

h22 =ξ (fig. 13.25).

Fig. 13.25. Condiţiile integrării ecuaţiei (13.10’) pentru I = 0.

Rezultă:

( ) ( )∫ ++ −+

−=−2

1

11

1212 1

1ξ

ξ

ξξξ xxcr

cr

cr

xdjLL

h

I.

hh

h

L

C CQ

I=0

1

cr 2

1

2

LL

Acceptând pe tronsonul de calcul jcrm = const, rezultă:

( ) ( )11

1212 1

1 ++ −+

−−= xxcrm

cr

cr

xjL

h

Iξξξξ (13.58)

Calculatoarele simple permit efectuarea facilă a operaţiilor. Totuşi literatura mai veche conţine şi forma:

( ) ( ) ( )[ ]112212 ,, xxjLh

Icrm

cr

cr ξϕξϕξξ −−−= (13.58’)

în care:

( )1

,1

+=

+

xx

xξξϕ (13.59)

Valorile funcţiei φ(ξ, x) sunt intabulate în anexe. Între valorile intabulate se permite interpolarea liniară ca şi în cazul pantei pozitive. Pentru calculul jcrm şi x trebuiesc respectate condiţiile descrise la pantăpozitivă.

30. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate în albii regulate cu pantă negativă (I < 0). În cazul canalelor cu pantă inversă, I < 0, se pleacă de la ecuaţia (13.10”) unde, |I|=I’. Modificarea ecuaţiei se face faţă de o curgere virtual inversă cu panta I’. Se pune în evidenţă (K0’/K)2 atât la numitorul cât şi la numărătorul ecuaţiei, obţinând:

2

02

2

0

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

⋅

⋅⋅′⋅−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+

′−=

K

K

Pg

BCI

K

K

Idl

dh

α (13.60)

Notând:

P

B

g

CIj

2⋅′⋅=′

α (13.61)

se obţine:

2

0

2

0

1

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′

+

′−=

K

Kj

K

K

Idl

dh (13.62)

Introducând adâncimea relativă

0h

h′

=ς (13.63)

cu forma diferenţială ςdhdh 0′= şi

( ) xKK ς/1/ 20 =′ , (13.62’)

ecuaţia (13.62) se transformă în

0 1x

x

h dI

dl j

ς ς

ς

′ +′=

′ − (13.64)

în care variabilele sunt l şi ζ. După separarea variabilelor se obţine:

( )1

110 +

+′+−=+

−′=

′

′xx

x djdd

jdl

h

I

ς

ςςς

ς

ς (13.65)

Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, caracteristice uneia din curbele suprafeţei libere pentru albii regulate cu pantă inversă, aflate la distanţele L1, respectiv L2 de origine. Se utilizează notaţiile L=L2-L1 şi

0

11 h

h

′=ς , respectiv

0

22 h

h

′=ς (fig. 13.26), obţinându-se:

Fig. 13.26. Condiţiile integrării ecuaţiei (13.10”) pentru I < 0.

hh

h h

L

Q

Q '

12

C

C

I < 0

1

2

c r0'

12

LL

( ) ( ) ( )2

1

2 1 2 10

11x

I dL L j

h

ς

ς

ςς ς

ς

′′− = − − + +

′ +∫ .

Variaţia j’ pentru intervalul adâncimilor (h1, h2) este mică şi se poate considera j’m = const., obţinându-se

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 10

1 , ,m

IL j x x

hς ς φ ς φ ς

′′= − − + + −⎡ ⎤⎣ ⎦′

(13.66)

cu notaţia:

( ),1x

dx

ςφ ς

ς=

+∫ (13.67)

Valorile φ(ζ, x) sunt întabulate în anexe, calculate prin dezvoltare în serie a funcţiei (13.67), astfel: - pentru ζ < 1:

( ) ...13121

,13121

1 ++

−+

++

−+=+++

xxxcx

xxx ςςςςςϕ (13.68)

iar pentru ζ > 1:

( ) ...13121

,31211

2 +−

−−

+−

−=−−−

xxxcx

xxx ςςςςϕ (13.69)

Constanta de integrare c1 = 0, iar constanta c2 se determină astfel ca pentru ζ = 1 valorile funcţiei φ(ζ, x) calculate după (13.68) şi (13.69) să fie egale, ceea ce corespunde condiţiei de continuitate a funcţiei.

Parametrul 'mj se calculează cu valorile mediate Bm, Pm şi Cm, fiecare

fiind media acestor parametri determinaţi adâncimilor h1 şi h2. Calculul exponenţilor hidraulici ai albiei se realizează în mod asemănător prezentat la punctul 1 şi pentru precizia calculului trebuie să se satisfacă condiţia de toleranţă (13.53). Soluţionarea calculului curbelor suprafeţei libere pentru toate cazurile de pantă se poate realiza pe baza unui program unic de calcul automat, care progresiv solicită datele de intrare. În cazul depăşirii condiţiei de toleranţă a exponentului hidraulic se înjumătăţeşte ecartul de adâncimi până la încadrarea în toleranţă.


13.4.3. Calculul suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată prin metoda diferenţelor finite

Calculele pentru trasarea suprafeţei libere a apei în mişcarea gradual variată se pot efectua pe baza ecuaţiei energiei specifice şi conservării masei sau prin trecerea la diferenţe finite a ecuaţiilor (13.8), în cazul albiilor oarecare, sau (13.10) în cazul albiilor regulate.

10. Ecuaţia energiei (Bernoulli) în diferenţe finite

Mişcarea permanentă gradual variată în albii deschise are loc cu modificarea lentă în spaţiu a parametrilor mişcării, fără curburi importante ale firelor de lichid. Prima lege aplicabilă acestor mişcări se referă la conservarea masei exprimată de ecuaţia de continuitate (5.41). constQAV ii == (5.41)

A doua lege se referă la conservarea energiei, exprimată de ecuaţia energiei (6.51) conform fig. 13.27.

Fig. 13.27. Schemă pentru deducerea ecuaţiei mişcării

Pentru distanţă finită ∆L între secţiunile 1-2, rezultă:

21

2111

1

2222

2 22 −+++=++ hrg

vpz

g

vpz

α

γ

α

γ (13.70)

Înlocuind pierderile prin

LK

Qhr Δ=− 2

2

21 (13.71)

iar p1 = p2 = pa se obţine:

LK

Q

g

vz

g

vz Δ++=+

2

2211

1

222

2 22

αα (13.72)

Δ

z

Δ

z

0 0

L

Q = c

z

A h

Vh A

V

p 12

2

2 2

21 1

1

1

a

sau

LK

Q

g

vvzzz Δ+

−=−=Δ

2

2222

211

12 2

αα (13.73)

unde K este modulul de debit mediu pe tronsonul de calcul de lungime ∆L.

2

21 KKK

+= (13.74)

Relaţia (13.73) arată că pierderea medie de energie specifică pe tronsonul ∆Leste media aritmetică a pierderilor de energie de la capetele tronsonului. Înlocuind vitezele medii din ecuaţia de continuitate se obţine:

LK

Q

AAg

Qzzz Δ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=Δ

2

2

22

22

1

12

12 2

αα (13.75)

Dacă pe tronsonul de calcul intervin şi pierderi locale de energie, efectul lor se poate introduce prin coeficienţii lor de rezistenţă hidraulică ζ(13.75) devenind:

( ) LK

Q

AAK

Qzzz Δ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−=Δ ∑ 2

2

22

22

1

12

2

12 1αα

ς (13.76)

Calculul suprafeţei libere se realizează într-o direcţie, din aval spre amonte sau invers, în funcţie de parametrii cunoscuţi. Construirea curbei suprafeţei libere presupune cunoaşterea parametrilor z, A, K, într-o secţiune precum şi Q, ∆L şi ζ. Tronsoanele de calcul pot avea pas constant sau variabil. Este recomandabil ca tronsonul să prezinte o pantă relativ uniformă. Pentru explicaţii se consideră secţiuni de pornire 1, fiind cunoscute z1, h1, A1, K1, respectiv Q, ∆L şi ζ. Calculele se realizează prin iteraţii succesive: se propune o valoare verosimilă z2’ determinând A2’, h2’, respectiv ∆z’ (din partea a doua a ecuaţiei (13.76)). Din prima parte a ecuaţiei (13.76) rezultă: zzz ′Δ+=′′ 12 .

Dacă admzzz ε<′−′′ 22 , (εzadm fiind toleranţa pentru determinarea valorii

lui z2), calculul se consideră terminat. În caz contrar se adoptă o nouă valoare lui z2 ca fiind media aritmetică:

2

222

zzz

′′+′=′′′ (13.77)

Iteraţiile se repetă până la satisfacerea condiţiei de toleranţă pentru calculul valorii z2. Se poate accepta εzadm= 0,001. Calculul poate fi efectuat


manual sau după program. În cazul calculului manual datele se centralizează în tabele de forma (tab. 13.7).

Calculul suprafeţei libere prin diferenţe finite în mişcarea gradual variată Tabelul 13.7

Tronson ∆L (m)

Secţiunea 1 Secţiunea 2 Km

(m3/s)∆z Obs.z1

(m)A1

(m2)K1

(m3/s)z2

(m)A2

(m2)K2

(m3/s)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Metoda diferenţelor finite este aplicabilă şi albiilor naturale, la care împărţirea în sectoare de calcul trebuie să ţină seama ca panta să fie cât mai uniformă. Pentru fiecare secţiune în parte trebuie cunoscute A = f1(h), P = f2(h), K = f3(h)care implică şi aprecierea corectă a rugozităţii în fiecare secţiune. Curbele menţionate se întocmesc pe baza ridicărilor batimetrice. Este necesară şi trasarea unui profil longitudinal riguros al albiei pentru evidenţierea sectoarelor de calcul (având panta fundului relativ uniformă şi continuă).

20. Trecerea la diferenţe finite a ecuaţiei (13.8)

Conform fig. 13.1. ecuaţia (13.8) se scrie în diferenţe finite sub forma:

22

2 2

2

3

1

1

m m

mm m m

m

m

C RQ AI

g A lA C Rh

Bl Q

g A

α

α

⎛ ⎞⋅ Δ− −⎜ ⎟

⋅ ΔΔ ⎝ ⎠=Δ ⋅

−

(13.78)

Ecuaţia este valabilă şi pentru albiile naturale nu numai albiilor de secţiune regulată. Aplicarea ecuaţiei trebuie realizată pe tronsoane de albie cu panta Iuniformă, lungimea tronsonului de calcul ∆l poate fi variabilă. (Cu cât ∆l este mai mic precizia calculelor creşte). Pentru cazul albiilor naturale este necesarăcunoaşterea în secţiunile de calcul a funcţiilor A = f1(h), P = f2(h), R = f3(h), C = f4(h), B = f5(h), care se determină prin ridicarea profilului longitudinal şi secţiunilor prin măsurători topo-batometrice. Pentru albii regulate aceste funcţii sunt calculabile. Mărimile Am, Pm, Rm, Cm, Bm reprezintă valorile medii ale acestor mărimi la capetele sectorului de calcul.

Conform fig. 13.1. calculul parcurge albia din amonte spre aval (se poate şi invers) şi pentru Q, h1, A1, R1, n1, C1, B1 ∆l, n2 cunoscute presupune următoarele: - se presupune o valoare ∆h’ verosimilă rezultând h2’, A2’, R2’, C2’, B2’.

- se calculează valorile medii Am, Rm, Cm, Bm. - din (13.78) aplicată, rezultă ∆h” care se compară cu valoarea ∆h’propusă.

În situaţia |∆h”-∆h’| < ε∆h calculul se consideră terminat, ε∆h fiind toleranţa impusă pentru calculul lui ∆h. În caz contrar se refac calculele cu un

nou 2

hhh

′′Δ+′Δ=′′′Δ până la încadrarea în precizia de calcul impusă.

Precizia de calcul poate fi considerată ε∆h = 1 mm.

13.4.4. Construirea curbelor suprafeţei libere pe râuri cu albie majoră sau albii bifurcate

La construirea curbei suprafeţei libere pe cursuri de apă cu albie majoră sau ramificată, secţiunea transversală trebuie considerată o secţiune compusă (fig. 13.28, 13.29).

As Ap

0

0

Ap As

Fig. 13.28. Albie compusă cu albie majoră – Ap şi albie minoră - As

brat secundar

brat principal

ls

lp

1

2Sect x-x

Fig. 13.29. Albie ramificată braţ principal – Ap, lp şi braţ secundar – As, ls


La albie compusă se împarte albia cu un plan vertical 0-0 în albie minoră şi majoră, lungimea celor două fiind aceeaşi. La albie ramificată lungimile braţului principal şi secundar pot diferi. Debitul total transportat se poate considera suma debitelor pentru albia principală şi secundară calculate separat: sp QQQ += (13.79)

În capetele albiei compuse respectiv ramificate căderile de nivel sunt identice: sp zzz Δ=Δ=Δ (13.80)

În calculul căderii se acceptă forma simplificată (neglijarea primului termen) a ecuaţiei (13.75)

pp

pp l

K

Qz

2

2

=Δ şi ss

ss l

K

Qz

2

2

=Δ (13.81)

din care:

p

ppp l

zKQ

Δ= şi

s

sss l

zKQ

Δ= (13.82)

Pentru albii compuse ecuaţia de continuitate devine:

( )l

zKKQ sp

Δ+= (13.83)

l fiind lungimea sectorului, iar pentru albii ramificate:

ps

psp

s

psp

p

p

l

z

l

lKK

l

lKK

K

QQ

Δ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+= (13.84)

S-au admis valorile medii ale modulelor de debit pe sector calculate la capetele acestuia cu relaţia:

( )22

21

2

2

1KKK += (13.85)

13.4.5. Principalele tipuri de probleme la calculul suprafeţei libere în mişcare permanentă gradual variată

Construirea suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variatăîntruneşte mai multe tipuri de probleme, principalele categorii fiind încadrate în două grupe:


10. Cunoscând debitul Q, panta I, geometria albiei, şi două adâncimi, se cere stabilirea distanţei dintre aceste adâncimi. Lungimea curbei se determină din ecuaţiile (13.46, 13.58, 13.66 sau 13.78). În calcule manuale se respectă următorul breviar: - se calculează adâncimea normală h0 (unde este cazul) şi cea criticăhcr; - în funcţie de pantă, adâncimi la capetele tronsonului h1, h2 şi adâncimi normale şi critice se stabileşte tipul curbei; - se calculează adâncimile relative (η, ξ sau ζ); - se calculează elementele geometrice B, A, P, I şi hidraulice C, K, j şi x, care se mediază; - se verifică dacă x şi j pe sectorul de calcul, între adâncimi se încadrează în toleranţă; - în cazul neîncadrării lui x şi j în toleranţă se reconsideră adâncimile, intervalul ∆h = |h1-h2| se înjumătăţeşte, recalculând una din adâncimile caracteristice, scurtându-se sectorul de calcul. Cu noile valori se reface calculul anterior prezentat; - cu elementele determinate se calculează sau se extrag din tabele valorile funcţiilor φ(η, x), sau φ(ξ, x),sau φ(ζ, x) care se interpolează; - aplicând una din relaţiile (13.46, 13.58, 13.66, sau 13.78) se calculează lungimea sectorului de albie.

20. Cunoscând debitul Q, panta albiei I, rugozitatea, lungimea sectorului de calcul şi o adâncime la un capăt de sector se cere determinarea adâncimii la celălalt capăt al sectorului. Problema se poate rezolva prin ambele metode prezentate.

Prin metoda exponentului hidraulic al albiei, adâncimea necunoscută nu este explicitabilă şi se apelează la aproximaţii succesive, utilizând procedeul de la punctul 10. Se propune adâncimii necunoscute o valoare arbitrară verosimilă, calculându-se lungimea sectorului care, apoi, se compară cu lungimea dată a sectorului. În caz de diferenţe se modifică verosimil adâncimea necunoscută. Calculele se consideră terminate când abaterea între lungimea dată şi cea calculată este în intervalul abaterilor admisibile.

Calculele pot fi conduse şi prin metoda diferenţelor finite descrise la 13.4.3, paragraful 1.

Pentru calculul „remuurilor” după metoda exponentului hidraulic al albiei sunt întocmite programe pentru calculul automat (un singur program


pentru metodă) cu limbaj conversaţional, facilităţi de calcul şi prezentare a rezultatelor numeric şi grafic.

Aceleaşi afirmaţii sunt valabile şi pentru metoda diferenţelor finite. În cazul construirii curbei suprafeţei libere în albii naturale, importanţă

mare trebuie acordată împărţirii cursului de apă în sectoare. Se lucrează cu valori medii ale elementelor hidraulice (de la capetele tronsoanelor) care se consideră caracteristici reale.

Împărţirea în sectoare de calcul se face diferit în funcţie de datele hidrometrice disponibile. Când există profil longitudinal şi secţiuni transversale se caută ca pe tronson suprafaţa liberă să aibă pantă constantă, secţiunea vie sănu sufere variaţii bruşte. Se caută sectoare fără variaţie importantă a secţiunii, în caz contrar sectoare convergente sau divergente. Diferenţele de nivel ale apei pe sector nu trebuie să depăşească ∆z=0,75m (valoarea nu trebuie consideratăca o limită absolută).

În cazul existenţei confluenţilor, secţiunea respectivă trebuie considerată limită de sector pentru a fi respectată condiţia mişcării permanente (Q = const.).

13.5. APLICAŢII

10. Să se construiască graficul energiei specifice în scţiunea transversală a unui canal dreptunghiular, având b = 2,0 m, pentru debitele Q1 = 1,0 m3/s, Q2 = 2,0 m3/s şi Q3 = 3,0 m3/s. Tot pentru aceste debite să se calculeze elementele critice ale curentului în mişcarea uniformă (α = 1,05, n = 0,015).

Rezolvare. Energia specifică a secţiunii se obţine dând valori lui hinferioare şi superioare lui hcr în ecuaţia (13.18), corespunzătoare secţiunii dreptunghiulare.

ghb

Qhe

2

2⋅+=

α,

Rezultatele sunt date în (tab. 13.8) şi (fig. 13.30). Minima funcţiei este pe

dreapta crhe32

= .

Din relaţia (13.21) se obţine adâncimea critică:

32

2

gb

Qhcr

⋅=

α,


iar din (13.24) şi (13.25) vcr şi Icr.

cr

cr A

Qv = ;

crcrcrcr RCA

QI

22

2

= .

Elementele sunt calculate în tab. 13.9.

Tabelul 13.8 Nr. crt.

Q1 = 1,0 m3/s Q2 = 2,0 m3/s Q3 = 3,0 m3/s h (m) e (m) h (m) e (m) h (m) e (m)

1 0,10 1,438 0,25 1,106 0,35 1,333 2 0,15 0,745 0,30 0,895 0,40 1,153 3 0,20 0,534 0,35 0,787 0,45 1,045 4 0,25 0,464 0,40 0,734 0,50 0,982 5 0,299 0,449 0,475 0,712 0,622 0,933 6 0,35 0,459 0,60 0,749 0,70 0,946 7 0,40 0,484 0,70 0,809 0,80 0,988 8 0,50 0,554 0,80 0,884 0,90 1,049 9 1,00 1,013 1,00 1,054 1,00 1,120

Tabelul 13.9 Q

(m3/s) hcr

(m) Acr

(m2) Pcr

(m) Rcr

(m) Ccr

(m0,5/s)Icr

(10-3) vcr

(m/s) emin

(m) 1,00 0,299 0,598 2,598 0,230 52,20 4,45 1,671 0,4492,00 0,475 0,950 2,949 0,322 55,19 4,52 2,106 0,7123,00 0,622 1,244 3,244 0,384 56,83 4,69 2,411 0,933

b

h

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,10,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

e(m)

Q(m/s)3

1,0

2,0

3,0h(m

)

h

h

e

1

2

Fig. 13.30. Graficul energiei specifice a secţiunii pentru canalul dreptunghiular cu b = 2,0 m.


20. Să se determine starea mişcării uniforme într-un canal trapezoidal cu b = 1,0 m, I = 0,2 ‰, h0 = 1,57 m, m = 1,5, n = 0,016 care transpotă debitul Q = 4 m3/s, v = 0,757 m/s.

Rezolvare. Stabilirea stării curentului se face pe baza tabelului 13.2, în prealabil calculându-se elementele critice ale curentului.

Din relaţia (13.17) prin aproximaţii succesive se determină hcr (tab. 13.10).

Tabelul 13.10 Nr. crt.

h (m)

A (m2)

B (m)

A3/B αQ2/g

1 0,8 1,760 3,40 1,603

1,713

2 0,9 2,115 3,70 2,5573 0,81 1,794 3,43 1,684 4 0,82 1,829 3,46 1,767 5 0,812 1,801 3,436 1,700 6 0,813 1,804 3,439 1,708 7 0,814 1,808 3,442 1,717

Elementele critice ale curentului şi secţiunii sunt: hcr = 0,813 m.

322

2

22

2

0,56/16/1

22

1056,3459,089,54804,1

4

/sm89,54459,0016,011

m459,0931,3804,1

m931,35,11813,02112

m/s217,2804,1

0,4

−⋅=⋅⋅

==

===

===

=+⋅+=++=

===

crcrcrcr

crcr

cr

crcr

crcr

crcr

RCA

QI

Rn

C

P

AR

mhbP

A

Qv

Numărul Froude pentru curent este:

( ) ( )

067,057,15,1157,1

57,15,121

81,9

405,1233

2

30

30

02

=⋅+

⋅⋅+⋅=

+

+⋅=

mhbh

mhb

g

QFr

α

Întrucât: h0 = 1,57 m > hcr = 0,813 m

v0 = 0,757 m/s < vcr = 2,217 m/s I = 0,2 ‰ < Icr = 3,56‰ Fr = 0,067 < Frcr = 1 rezultă că starea mişcării este lentă.

30. Să se dimensioneze un canal trapezoidal pentru transportul debitului Q = 10 m3/s la profil hidraulic optim şi stare critică a mişcării uniforme, cunoscând m = 1,5 şi n = 0,017.

Rezolvare. Necunoscutele sunt h0, b, I însă h0 = hcr şi I = Icr. Pentru calculul necunoscutelor se pot scrie ecuaţiile:

( )

B

A

g

Q

mmh

b

RIACQ

32

2

0

12

=⋅

−+==

=

α

β

ştiind:

( )( )

2

6/1

0

20

22

12

12

122

120

mhB

Rn

C

hR

mmhP

mmhA

+=

=

=

−+=

−+=

din condiţia stării critice rezultă:

( )2

326

02

12

12

mh

mmh

g

Q

+

−+=

⋅α sau

( )5 3

2

22

0

12

12

mmg

mQh

−+

+⋅=

α,

deci:

( )

m328,15,15,11281,9

5,111005,125 3

2

22

0 =

−+

+⋅⋅=h

Din condiţia profilului hidraulic optim rezultă lăţimea la fund:


( ) ( ) m804,05,15,11328,1212 220 =−+⋅=−+= mmhb ,

iar din ecuaţia mişcării uniforme, panta:

322

2

22

2

1062,3664,094,59713,3

10 −⋅=⋅⋅

==RCA

QI .

40. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei într-un tronson de canal convergent, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 100 m3/s; n = 0,016, b1 = 40 m, b4 = 15 m, L = 37,5 m, I = 1‰, h1 = 0,3 m, α = 1,1, g = 9,81 m/s2 şi εz = 0,01.

b

L=15m L=15m L=7,5m

L=37,5m

Δ Δ Δ

ΑΑ

Β

Β

1

2

3

440m

30m

20m

15m

Q

hb

h

h

h

0,30

0,47

3

0,82

5

1,33

0

cr

0 C 1

Sectiunea B-B

Sectiunea A-A

h(m)

Fig. 13.31. Schema calculului nivelului pe un tronson de canal convergent.

Rezolvare. Soluţionarea problemei este posibilă prin aplicarea diferenţelor finite în mişcarea gradual (lent) variată, (13.74), deşi modificarea parametrilor geometrici şi hidraulici este importantă. Pasul de calcul al lungimii ∆L trebuie să fie mic, astfel ca pe această distanţă firele de curent săpoată fi considerate drepte paralele. Micşorarea lăţimii canalului implicămodificarea continuă a adâncimii normale şi critice, întrucât b = f(L) intervine prin expresiile (12.3) şi (13.17).

Pentru calcule se transcrie ecuaţia 13.17, pentru parcurgere sens din amonte spre aval:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=′′Δ

Δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=′Δ

+

+

1

2

2

221

2 11

2

ii

ii

zzz

LK

Q

AAg

Qz

α

,

cu zzz ε<′′Δ−′Δ .

Adâncimea în secţiunea i+1 este: ILhzzh iiii ⋅Δ++−= ++ 11

Plecând cu elementele cunoscute în secţiunea 1 cu pasul ∆L se calculează elementele secţiunii 2, apoi 3 şi 4. Rezultatele sunt prezentate în (tab. 13.11). S-a considerat plan de referinţă orizontala care trece pe fundul secţiunii 1. Pentru secţiunea 3 sunt date iteraţiile calculului, iar alura suprafeţei libere se observă din profilul longitudinal (fig. 13.31). Adâncimile normală şi critică pentru cele 4 secţiuni au valorile înscrise în (tab. 13.12) şi sunt redate tot în profilul longitudinal.

Tabelul 13.12. Secţiunea b

(m) h0

(m) hcr

(m) 1 40 1,18 0,89 2 30 1,42 1,08 3 20 1,87 1,414 15 2,31 1,71

Întrucât nivelul este situat sub linia adâncimilor h0 şi hcr şi h0 > hcr

suprafaţa liberă este o curbă de tip c1.

Tab

elul

13.

11

Sec

ţi-

unea

∆L

(m

) b (m

) z (m

) h (m

) A

(m

2 ) R

(m

) C

(m

0,5 /s

)K

(m

3 /s)

22

1

11

ii

AA

−+

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

++

22

1

11

21

ii

KK

∆z’

∆z”

1

40

0,30

0,

30

12,0

0 0,

296

51,0

1 33

2,8

15

-1,9

78*1

0-36,

313*

10-6

-0,1

62

-0,1

58

2 30

0,

458

0,47

3 14

,19

0,45

9 54

,88

527,

4 -6

,945

*10-4

2,

660*

10-6

+

0,01

0 -0

,292

3 20

0,

75

0,76

5 15

,30

0,71

1 59

,04

761,

5 -1

,203

*10-4

2,

500*

10-6

-0,2

99

-0,3

42

3 20

0,

80

0,81

5 16

,30

0,75

4 59

,62

843,

6 -1

,293

*10-3

2,47

3*10

-6-0

,354

-0

,352

3 20

0,

81

0,82

5 16

,50

0,76

2 59

,73

860,

4 7,

5 -1

,161

*10-3

9,48

7*10

-7-0

,508

-0

,512

4 15

1,

33

19,9

5 1,

130

63,7

8 13

53

50 Un jilip de secţiune dreptunghiulară, cu b = 1,20 m, n = 0,017, I = 0,1 şi h0 = 0,6 m transportă debitul Q = 6 m3/s. Să se determine adâncimea apei în capătul aval al jilipului ştiind adâncimea la intrare h1 = 1,20 m şi lungimea L = 45 m. Se consideră α = 1,1, g = 9,81 m/s2 şi δx = 0,05.

h

h

h

h

L

b

1

c r

0

2

I

b 2

Fig. 13.32. Schema curgerii pe jilip.

Rezolvare. Adâncimea critică este:

mgb

Qhcr 41,1

2,181,9

61,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

α.

Fiindcă h0 < hcr starea curgerii pe jilip este rapidă. În capătul amonte h1 = 1,2 m, este situat între h0 şi hcr, deci pe jilip suprafaţa apei se dispune după o curbăde coborâre tip b2. Adâncimea în capătul aval al jilipului se obţine prin calcule iterative a lungimii, dând valori lui h2 în intervalul h1 şi h0. Prin aplicarea relaţiilor 13.4.2. paragraful 1, se obţin valorile din (tab. 13.13).

Tab

elul

13.

13.

Măr

imea

h (m

)η

A

(m2 )

P

(m)

Pm

(m)

R

(m)

C

(m0,

5 7s)

Cm

(m0,

5 /s)

K

(m3 /s

)j m

x

x mδx (%

)φ(

η,x)

L

(m

)h 0

0,6

- 0,

72

2,40

-

0,30

0 -

- 18

,97

- -

- -

- -

h 11,

2 2,

000

1,44

0 3,

60

- 0,

400

50,4

9 -

45,9

9 -

2,55

5 -

- 0,

240

-

h 2

0,70

0 1,

170

0,84

0 2,

600

3,10

0 0,

323

48,7

3 49

,61

23,2

6 10

,68

2,64

8 2,

601

3,6

0,72

5 23

,20

0,63

1,

05

0,75

6 2,

46

3,03

0,

307

48,3

2 49

,41

20,2

5 10

,84

2,68

0 2,

618

4,8

1,11

2 45

,8

0,63

1 1,

052

0,75

7 2,

462

3,03

1 0,

308

48,3

3 49

,41

20,2

9 10

,84

2,67

8 2,

616

4,7

1,10

3 45

,25

0,63

2 1,

053

0,75

8 2,

464

3,03

2 0,

308

48,3

3 49

,41

20,3

4 10

,84

2,68

0 2,

617

4,8

1,09

1 44

,77

A

dânc

imea

în c

apăt

ul a

val a

l jil

ipul

ui h

2 =

0,6

31 m

.

60. Un canal trapezoidal rectiliniu, având b = 1,5 m, m = 1, n = 0,016 şi I = 0,002 transportă debitul Q = 8 m3/s în mişcare uniformă. Un deversor frontal ridică nivelul apei la adâncimea h = 2,3 m în secţiunea amonte de deversor. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei prin metoda exponentului hidraulic al albiei şi prin diferenţe finite prin cel puţin 10 puncte. Se consideră α = 1,05 şi δx = 0,01.

Rezolvare. Se calculează adâncimea normală a apei în mişcare uniformă h0 = 1,30 m şi adâncimea critică hcr = 1,124 m. Se stabileşte tipul curbei:

- h0 > hcr starea curgerii uniforme este lentă. - h > h0 rezultă curbă în zona a de tipul a1.

a. Construirea suprafeţei libere prin metoda exponentului hidraulic al albiei.

a.1. Se dau 10 valori adâncimii apei respectând condiţia 1,30 < h < 2,40 m conform fig. 13.33.

l1-2l2-3l3-4l4-5l5-66-7ll7-8l8-9l9-10

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90 2,00

2,10

2,20

2,30h

=1,

124

h =

1,30

cr 0

I=0,002

124 38 7 6 510 9

Fig. 13.33. Linia suprafeţei libere a apei în canal.

Aplicând ecuaţiile din 13.4.2. paragraful 1, se determină distanţele dintre secţiunile învecinate lij. Calculul complet este prezentat pentru secţiunile 1 şi 2, celelalte rezultate fiind centralizate în tab. 13.14.

a.2. Se calculează A, P, B, R, C, K, pentru h1 şi h2 şi x faţă de h0. h1 = 2,30 m h2 = 2,20 m h0 = 1,30 m

( )mhbhA += A1 = 8,74 m2 A2 = 8,14 m2 A0 = 3,64 m2

212 mhbP ++= P1 = 8,00 m P2 = 7,72 m P0 = 5,18 m

PAR /= R1 = 1,092 m R2 = 1,054 m R0 = 0,703 m

6/11R

nC =

C1 = 63,42 m0,5/s C2 = 63,05 m0,5/s C0 = 58,94 m0,5/s

RACK = K1 = 579,2 m3/s K2 = 526,9 m3/s K0 = 179,9 m3/s

mhbB 2+= B1 = 6,10 m B2 = 5,90 m B0 = 4,10 m

0

0

/lg

/lg2

hh

KKx =

x1 = 4,098 x2 = 4,085.

a.3. Exponentul hidraulic mediu este xm = 4,092 şi se verifică

încadrarea exponenţilor hidraulici în toleranţă.

01,0003,0092,4

085,4098,421 =⋅<=−

=−

xx

xx

m

δ .

a.4. Fiind satisfăcută condiţia de toleranţă lungimea l1-2 se poate stabili cu un singur pas de calcul din relaţia:

( ) ( ) ( )[ ] xxjI

hL amavmamav ,,10 ηϕηϕηη −−−−=

653,086,781,9

00,6002,0235,6305,1 22

=⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

m

mmm P

B

g

ICj

α

ştiind: Cm = 63,235 m0,5/s; Pm = 7,86 m şi Bm = 6,00 m. Adâncimile relative sunt:

769,130,1

30,2

0

11 ===

h

hη şi 692,1

30,1

20,2

0

22 ===

h

hη .

Se extrag din tabele φ(η, x) şi se interpolează, obţinând:


φ(η1, x1) = 0,0592 şi φ(η2, x2) = 0,0688, rezultând:

( )( )[ ] m 2,520688,00592,0653,01692,1769,1002,030,1

21 =−−−−=−l

b. Construirea suprafeţei libere prin metoda diferenţelor finite.

Pentru distanţele dintre secţiunile 1...10 din (tab. 13.14). se aplică ec. (13.74) obţinând valorile din (tab. 13.15). Iteraţiile calculelor pentru z, respectiv h nu sunt redate, ele având mersul din 13.4.2. paragraful 2. Compararea valorii adâncimilor din tabelele 13.14. şi 13.15. indică o concordanţă bună a celor două metode când condiţiile de toleranţă sunt respectate. S-a luat planul de referinţă la baza secţiunii 1. S-a calculat cu asemenea precizii pentru a pune în evidenţăcorectitudinea.

Ele

men

tele

cur

bei d

e su

praî

nălţa

re d

e ti

p a 1

cal

cula

te d

upă

met

oda

expo

nent

ului

hid

raul

ic a

l alb

iei

T

abel

ul 1

3.14

Secţ.

h (m)

ηA

(m

2 ) P

(m

) P

m

(m)

R

(m)

C

(m0,

5 /s)

Cm

(m0,

5 /S)

K

(m3 /s

) B

(m

) B

m

(m)

j mx

x m∆x

(%

) φ(

η,x)

l

(m)

L

(m)

1 2,

30

1,76

9 8,

74

8,00

0

1,09

2 63

,42

579,

2 6,

10

4,09

8

0,

0592

0,00

0 7,

860

63

,235

6,

00

0,65

3 4,

092

0,30

52

,2

2 2,

20

1,69

2 8,

14

7,72

0 1,

054

63,0

5 52

6,9

5,90

4,

085

0,06

88

52,2

7,58

0 62

,860

5,

80

0,64

7 4,

079

0,32

52

,7

3 2,

10

1,61

5 7,

56

7,44

0 1,

016

62,6

7 47

7,6

5,70

4,

072

0,08

05

104,

9

7,29

9 62

,470

5,

60

0,64

1 4,

065

0,36

53

,7

4 2,

00

1,53

8 7,

00

7,15

7 0,

978

62,2

7 43

1,1

5,50

4,

057

0,09

63

158,

6

7,01

6 62

,065

5,

40

0,63

5 4,

050

0,35

53

,9

5 1,

90

1,46

2 6,

46

6,87

4 0,

940

61,8

6 38

7,4

5,30

4,

043

0,11

53

212,

5 6,

733

61,6

45

5,20

0,

628

4,03

5 0,

40

56,3

6

1,80

1,

385

5,94

6,

591

0,90

1 61

,43

346,

4 5,

10

4,02

7 0,

1413

26

8,8

6,45

0 61

,205

5,

00

0,62

1 4,

018

0,45

58

,6

7 1,

70

1,30

8 5,

44

6,30

8 0,

862

60,9

8 30

8,0

4,90

4,

009

0,17

62

327,

4

6,16

7 60

,745

4,

80

0,61

5 4,

001

0,40

62

,8

8 1,

60

1,23

1 4,

96

6,02

5 0,

823

60,5

1 27

2,3

4,70

3,

993

0,22

71

390,

2 5,

884

60,2

60

4,60

0,

608

3,98

5 0,

43

70,4

9

1,50

1,

154

4,50

5,

743

0,78

4 60

,01

239,

1 4,

50

3,97

6 0,

3069

46

0,6

5,60

2 59

,750

4,

40

0,60

0 3,

966

0,50

90

,2

10

1,40

1,

077

4,06

5,

460

0,74

4 59

,49

208,

3 4,

30

3,95

6 0,

4614

55

0,8

h 0

1,

30

- 3,

64

5,18

-

0,70

3 58

,94

- 17

9,9

4,10

-

- -

- -

-

Ele

men

tele

cur

bei d

e su

praî

nălţa

re d

e ti

p a 1

calc

ulat

ă du

pă m

etod

a di

fere

nţel

or f

init

e Tab

elul

13.

15

Secţiune

l (m

) L

(m

) h (m

) A

(m

2 ) R

(m

) C

(m

0,5 /s

) K

(m

3 /s)

21

2

11

+

−i

iA

A(x

10-3

)

⎟⎟ ⎠⎞⎜⎜ ⎝⎛

++2

12

11

21

ii

KK (x

10-6

)

∆Z1

(x10

-3)

∆Z2

(x10

-3)

Z (m)

1

0,

000

2,30

0 8,

740

1,09

2 63

,421

57

9,18

2,

3000

52

,2

-2,0

01

3,29

1 4,

40

4,14

2 52

,20

2,20

0 8,

140

1,05

4 63

,050

52

6,92

2,

3044

52

,7

-2,4

05

3,99

3 5,

40

5,23

3

104,

9 2,

100

7,56

0 1,

016

62,6

67

447,

58

2,30

98

53,7

-2

,944

4,

888

6,40

6,

72

4 15

8,6

1,99

9 6,

995

0,97

8 62

,266

43

0,63

2,

3162

53

,9

-3,5

22

6,02

8 8,

80

8,73

5 21

2,5

1,90

0 6,

460

0,94

0 61

,856

38

7,37

2,

3250

56

,3

-4,3

79

7,50

0 12

,6

16,6

6 26

8,8

1,80

0 5,

940

0,90

1 61

,426

34

6,38

2,

3376

58

,6

-5,5

10

9,45

0 16

,2

16,6

7

327,

4 1,

699

5,43

5 0,

862

60,9

72

307,

67

2,35

38

62,8

-6

,950

12

,06

24,6

24

,7

8 39

0,2

1,59

8 4,

951

0,82

2 60

,496

27

1,59

2,

3784

70

,4

-8,8

78

15,6

0 39

,8

39,9

9 46

0,6

1,49

7 4,

487

0,78

2 59

,996

23

8,09

2,

4182

90

,2

-11,

633

20,5

1 78

,4

78,6

10

550,

8 1,

395

4,03

9 0,

742

59,4

62

206,

80

2,49

66


CAPITOLUL 14

MIŞCAREA PERMANENTĂ RAPID VARIATĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Mişcarea permanentă rapid variată faţă de cea lent (gradual) variată prezintă următoarele caracteristici mai importante: - curbura liniilor de curent este mare, astfel încât repartiţia presiunilor pe secţiunea vie A diferă de distribuţia hidrostatică, iar pierderile de sarcină locale nu pot fi neglijate în raport cu cele liniare; - domeniul D în care se produce mişcarea rapid variată este definit de două secţiuni drepte S’ şi S’’ situate una faţă de alta la distanţa l = l’’ - l’relativ mică. Forţele de vâscozitate de tip Newton la frontiera domeniului sunt neglijabile faţă de forţele tangenţiale datorate vâscozităţii şi turbulenţei din interiorul domeniului; - în interiorul domeniului D există deseori zone de vârtejuri şi de „apă moartă”, despărţite de curentul principal prin suprafeţe de discontinuitate pentru viteze.

Datorită mai ales acestor zone, nu există în prezent o soluţie generalăpentru mişcările rapid variate. Există însă o metodă generală de studiu a acestor mişcări. Ea se bazează în primul rând pe ecuaţia energiei care stabileşte pierderile de energie, iar celelalte caracteristici ale mişcării se determină cu ajutorul teoremei impulsului şi al ecuaţiei de continuitate. Pierderile de energie iau naştere în interiorul domeniului şi nu sunt reflectate în ecuaţia teoremei cantităţii de mişcare.

În acest capitol se studiază câteva mişcări rapid variate, mai des întâlnite în practică, astfel: saltul hidraulic, mişcări neuniforme la singularităţi în albii – prag urcător, coborâtor, prag de fund, pile.

14.1. SALTUL HIDRAULIC

Saltul hidraulic este fenomenul hidraulic de trecere a curentului de la starea rapidă la cea lentă.

În capitolul 13 ecuaţia (13.8), respectiv (13.10) au permis analiza formelor suprafeţei libere în mişcarea lent variată, însă s-a constatat căpentru curbele care se apropie de hcr relaţiile în apropierea lui hcr nu sunt valabile, curbura firelor de curent este mai mare. Pentru h = hcr apare


discontinuitate în ecuaţii. De fapt în apropierea şi la trecerea adâncimii curente h prin adâncimea critică hcr, curbura firelor de curent este pronunţată, se schimbă orientarea curburii firelor de curent sau apar discontinuităţi în mişcare.

Fenomenul hidraulic de mişcare rapid variată prin care se face trecerea de la starea rapidă a curentului – caracterizată de adâncimi inferioare celei critice – la starea lentă – caracterizată prin adâncimi superioare celei critice – se numeşte salt hidraulic. De fapt discontinuitatea din ecuaţia (13.8) este rezolvată de natură prin saltul hidraulic, în domeniu fiind prezente zone de curent principal, vârtejuri, zone de antrenare de aer în curent care conturbă substanţial suprafaţa liberă.

Variaţiile parametrilor hidraulici prin salt nu sunt bruşte, ci rapide în lungul saltului. Parte din energia cinetică a curentului prin salt se transformăîn energie potenţială, fenomenul însă este caracterizat prin pierderi importante de energie. Trecerea curentului de la starea lentă la stare rapidă (ex. schimbare de pantă) se face fără conturbarea suprafeţei libere, însă la adâncimea hcr se schimbă orientarea curburii suprafeţei libere.

Conturbarea importantă a suprafeţei libere prin salt şi păstrarea suprafeţei libere la trecerea adâncimii curente prin adâncimea critică în funcţie de direcţie (de la starea rapidă la lentă sau invers) are explicaţii energetice.

14.1.1. Formele saltului hidraulic

Prin experimentări s-a observat că saltul hidraulic are forme variate. După sistematizarea efectuată de Bradley şi Peterka se disting 5 forme caracteristice în funcţie de numărul Froude (Fr) al curgerii de la intrarea în salt.

10. Saltul ondulat (fig. 14.1), ia naştere pentru Fr’ = 1...3. Trecerea de la adâncimea de intrare în salt h’ la cea de ieşire h’’ are loc printr-o ridicare bruscă a nivelului, urmată de o serie de ondulaţii în jurul nivelului aval. Prima ondulaţie, care reprezintă saltul, depăşeşte nivelul aval. Este caracterizat prin disipare slabă de energie.


h '

h ' 'h

h

EΔ

C C

c ra v

Fig. 14.1. Saltul ondulat Fr’ = 1...3

20. Saltul incipient (fig. 14.2), are loc pentru Fr’ = 3...6. Saltul apare ca o ridicare relativ bruscă a suprafeţei libere, care are o formăneregulată, cu mici încreţituri care apar datorită unor mici vârtejuri transversale apropiată de suprafaţa liberă. Schimbarea profilului vitezei are loc gradat; disiparea energiei este slabă.

h h 'h ' '

hh

EΔ

C C

a mc r

a v

Fig. 14.2. Saltul incipient Fr’ = 3...6

30. Saltul cu jet oscilant (fig. 14.3) se formează pentru Fr’ = 6...20. Faţă de starea lentă a curentului aval, în amonte viteza este substanţial mai mare şi are aspectul unui jet care pătrunde în curentul din aval, cu care se amestecă după un anumit parcurs. Jetul este individualizat, dar nu-şi păstrează stabilitatea pe verticală. Produce o ridicare locală a suprafeţei libere. Când jetul este dirijat după axa curentului există o tendinţăde formare a unui vârtej de suprafaţă, cu întoarcerea curentului şi antrenare de aer. Disiparea energiei este moderată. În aval jetul oscilant produce valuri care se propagă la distanţe apreciabile. Acest tip de salt reprezintă forma de trecere spre saltul perfect.

h h

EΔ

C C

a mc r

a v

h 'h ' ' h

Fig. 14.3. Saltul cu jet oscilant Fr’ = 6...20


40. Saltul stabil (perfect) (fig. 14.4) ia naştere pentru Fr’ = 20...80. Este forma caracteristică de salt. Jetul, format din curentul rapid din amonte, pătrunde sub curentul lent din aval şi se menţine stabil pe patul albiei pe o distanţă de circa 70% din lungimea saltului, după care se produce integrarea rapidă a jetului în curentul aval. Deasupra jetului se formează un curent de întoarcere, compus din câteva vârtejuri cu ax orizontal. Suprafaţa liberă este înclinată. În zona vârtejurilor şi în zona de amestec a jetului cu curentul aval turbulenţa are intensitate foarte mare, care conduce la disipări intense de energie, care ajunge la 30...70 % din energia specifică din amonte (în funcţie de Fr’). Zona vârtejurilor este caracterizatăprin antrenare puternică de aer, cu aspect alb lăptos. Sub efectul turbulenţei suprafaţa liberă se destramă, în interiorul vârtejurilor pătrund numeroase bule de aer, care sunt antrenate şi în zona de amestec a jetului cu curentul aval şi sunt antrenate şi în aval până ce ajung la suprafaţă sub efectul forţei arhimedice. Saltul are poziţie relativ stabilă, secţiunile de intrare şi ieşire se deplasează puţin în lungul curentului. Suprafaţa liberă în aval rămâne relativ netedă.

h h '

h ' 'h h

a

EΔ

a mc r a v

C C

lsI I

IE '

E ' '

Fig. 14.4. Saltul perfect Fr’ = 20...80

Caracteristicile saltului perfect. Acest tip de salt poate fi privit ca o undă staţionară la care se observă două zone distincte, între care există un schimb continuu de particule: - zona superficială, I, în care particulele sunt antrenate într-o mişcare de vârtej cu axe aproape orizontale, transversale pe curent, în care este antrenată şi o importantă cantitate de aer; - zona inferioară, II, care se prezintă ca un curent – jet – care se lărgeşte pe verticală spre aval şi apoi se integrează în curentul aval, antrenând în mişcare şi o parte din bulele de aer din zona I. Distribuţia vitezelor în lungul saltului are forma din fig. 14.5.


u 1+

-C C

Fig. 14.5. Distribuţia vitezei în saltul hidraulic perfect

Parametrii hidraulici la intrare în salt se notează cu –’- iar la ieşire cu –”- caracteristice fiind : a). secţiunile de intrare A’ şi de ieşire A”; b). adâncimile de intrare h’ şi de ieşire h”, numite şi adâncimi reciproce sau conjugate; c). lungimea saltului ls este distanţa în lungul curentului între secţiunile de intrare şi de ieşire; d). supraînălţarea în salt, a = h”-h’; e). energia pierdută prin salt ∆E = E’-E”.

5. Saltul dezvoltat (violent) are loc pentru Fr’ > 80 (fig. 14.6). Păstrează aspectele saltului perfect privind formarea vârtejurilor de suprafaţă, antrenarea aerului, generarea turbulenţei accentuate. Creşte intensitatea disipării energiei care poate ajunge la 80 % din energia specificăa curentului amonte. Pentru acest tip de salt este caracteristică instabilitatea poziţiei pe albie, prezintă o mişcare de pendulare, deplasându-se spre aval, apoi revenind spre amonte. Această mişcare de pendulare amonte – aval generează valuri în aval. Datorită turbulenţei pronunţate, pulsaţiile presiunii solicită construcţiile hidrotehnice şi materialele din care acestea sunt realizate.

h h

EΔ

C C

a mc r

a v

h 'h ' ' h

Fig. 14.6. Saltul violent Fr’ > 80.

14.1.2. Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic în albii orizontale.

Analiza curentului într-o albie orizontală la ieşirea de sub o stavilăarată stare rapidă şi conform cu cele prezentate în capitolul 13 adâncimea creşte spre aval după o curbă de supraînălţare c0. Dacă albia este suficient de lungă şi se termină cu o cădere, curentul revine la stare lentă şi suprafaţa liberă coboară spre adâncimea critică după o curbă de coborâre b0. Trecerea de la starea rapidă (curba c0) la starea lentă (curba b0) se realizează prin discontinuitatea suprafeţei libere, prin saltul hidraulic (fig. 14.7.)

a

hzon a d eva rte ju ri

cu ren tp r in c ip a l

NA V '

V ''B

D b0

le

' '' h

h ''

hc r

h '

B '

A 'N '

eem in e '' e '0

C0

rD '

R ''

R '

Fig. 14.7. Energetica saltului hidraulic

Trecerea de la starea rapidă la starea lentă după o suprafaţă

continuă ABD nu este posibilă, hg

ve +

⋅=

2

2α, de/dl = dhr/l, întrucât z

= c şi hr creşte spre aval, deci dhr/dl > 0, iar pentru I = 0, de/dl < 0. Pentru suprafaţa liberă ABD, ultima condiţie este satisfăcută pe porţiunea AB, dar pe porţiunea BD graficul energiei specifice e indică creşterea, de/dl > 0. Energia specifică ar trebui să urmeze curba A’B’D’, însă creşterea B’D’ este imposibilă. Contradicţia este rezolvată prin apariţia saltului hidraulic prin care graficul energiei specifice urmăreşte curba A’D’ (prin salt), apoi în curba b0 D’B’. În curba c0 energia specifică urmăreşte curba N’A’. Fie secţiunile ΄ şi ˝ două secţiuni drepte situate aval şi amonte de salt (fig. 14.8.). Se acceptă în aceste secţiuni o repartiţie hidrostatică a presiunii. Se consideră volumul de control mărginit de secţiunile ΄, ˝, pereţii canalului cilindric, şi suprafaţa liberă pentru care se aplică ecuaţia teoremei impulsului sub forma (6.82)

( ) GFFvvQF pp +″

+′

+′′′′−′′⋅= ββρ (6.82)


h'

h'h''

h''

eΔ

h

hcr

emin e'' e' e

Fp' V'

V''

GFp''

' ''h''

hcr

h'

G

G'A' G''

A'' G

h

(h')= (h'')

(h)

h'

h''

ls

θ

θ θ θ

Fig. 14.8. Schemă pentru calculul ecuaţiei saltului hidraulic

Proiectând ecuaţia după axa albiei, se obţine

( ) 0=″

−′

+′′′′−′′⋅ pp FFvvQ ββρ

în care:

p GF p A h Aγ′ ′′ ′ ′= = ⋅ şi

p GF p A h Aγ″ ″′′ ′′ ′′= = ⋅

cu hG’ şi hG” adâncimile centrelor de greutate ale secţiunilor A’ şi A”.Explicitând vitezele din ecuaţia de continuitate:

A

Qv

′=′ şi

A

Qv

′′=′′

după înlocuire şi gruparea termenilor se obţine ecuaţia saltului hidraulic:

AhAg

QAh

Ag

QGG ′′⋅″

+′′

⋅′′=′⋅

′+

′

⋅′ 22 ββ (14.1)

Pentru o secţiune cilindrică (sau prismatică) dată toate elementele geometrice variabile sunt în funcţie de adâncimea h, deci se poate defini funcţia

( )2

G

Qh h A

g A

βθ = ⋅ + ⋅ (14.2)

care este funcţia saltului. Ecuaţia (14.1) arată că funcţia saltului ia valori egale în secţiunile de intrare şi ieşire din salt pentru adâncimile conjugate h’ şi h”. În domeniul h∈(0, ∞) funcţia (14.2) este continuă, iar pentru: h→0 rezultă θ(h)→∞, şi h→∞ rezultă θ(h)→∞,


însă pentru valori finite pentru h, θ(h) ia valori finite, deci funcţia saltului

admite un minim pentru ( )

0=dh

hdθ.

Efectuând derivata

( )

dh

Ahd

dh

dA

gA

Q

dh

hd G )(2

2 ⋅+⋅

⋅−=

βθ

conform figurii 14.9. rezultă: - pentru o creştere dh a adâncimii, creşterea momentului static este:

Fig. 14.9. Schema derivării momentului static hGA.

22)()(

2hBhAhA

hhBhhAAh GGG

Δ−Δ⋅=⋅−

ΔΔ⋅+Δ+=Δ .

Trecând la limită, pentru ∆h→0, cantitatea

( ) ( )A

h

hBhA

dh

hAd

h

hAh

GG

h=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Δ

Δ+Δ⋅

=⋅

=Δ

⋅Δ

→Δ→Δ

2limlim

2

00

respectiv dA/dh = B. După înlocuiri se obţine:

13

2

=⋅⋅

A

B

gA

Qβ (14.3)

Pentru β~1 funcţia saltului este minimă pentru Fr=1, adică pentru adâncimea critică, hcr (fig. 14.10).

h''

h'h

eΔ

e(h)

e(h)(h)

e'' e'

cr

(h)

h

Fig. 14.10. Graficul funcţiei saltului şi energiei specifice ale secţiunii în salt

B

h

dh

hA

G

dA

G

x'

x

10. Calculul parametrilor saltului hidraulic Se urmăreşte determinarea adâncimilor conjugate h’ şi h”, a energiei specifice pierdute prin salt, ∆e, creşterea nivelului prin salt, a şi lungimea saltului, ls.

10.a. Calculul adâncimilor conjugate a1. La calculul manual, cunoscând una dintre adâncimile conjugate, cu ajutorul funcţiei saltului prin calcul analitic (dacă este posibil) sau iterativ se poate determina cealaltă adâncime ştiind că pentru adâncimile reciproce, situate sub şi deasupra adâncimii critice, funcţia saltului ia valori identice. Mai este necesară cunoaşterea debitului şi a formei secţiunii transversale ale albiei. Se presupune cunoscută h’. Cu (14.2) se determină θ(h’): Se compară h’ cu hcr apoi cu valori pentru h” în partea opusă lui hcr faţă de unde este situat h’ prin calcul iterativ se calculează θ(h”) după (tab. 14.1).

Calculul adâncimilor conjugate ale saltului Tabelul 14.1

Adâncimea A hG θ(h) h' h"

Calculul se consideră terminat când, pentru eroarea admisă,

hhh ii ′′<″

−″

+ ε1 este satisfăcută condiţia ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

<′<⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ″

+1ii hhh θθθ .

a2. La calculul grafic se reprezintă funcţia saltului (fig. 14.10) pentru albia cu forma secţiunii transversale şi debitul Q cunoscute, calculându-se valoarea funcţiei saltului pentru câteva adâncimi inferioare şi superioare adâncimii critice. Graficul trebuie să aibă scara corespunzătoare preciziei de calcul. Cunoscând una dintre adâncimile reciproce din grafic rezultă cealaltă.

a3. Calculul automat se efectuează pe bază de program întocmit după schema logică după a1 (fig. 14.11). În prealabil sau combinat trebuie calculată şi adâncimea critică (după 13.2.3).


Fig. 14.11. Schemă logică pentru calculul adâncimilor conjugate prin aproximaţii succesive.

Programul simplu poate fi scris în unul dintre limbajele de programare. În cazul albiilor de secţiune dreptunghiulară funcţia saltului se particularizează, prin A’ = b⋅h’; A” = b⋅h”, hG’ = h’/2, hG” = h”/2 şi q = Q/b,

' 2 2 '' 2

2 2

q h q h

gh gh

β β′ ′′⋅ ⋅+ = +

′ ′′ (14.4)

Cunoscând una dintre adâncimile conjugate cealaltă se poate explicita pentru β΄ = β˝ = β, obţinând:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′′

⋅+

′′=′ 1

81

2 3

2

hg

qhh

β

sau (14.5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′

⋅+

′=′′ 1

81

2 3

2

hg

qhh

β


Acceptând β ≈ α şi utilizând (13.21) ecuaţiile (14.5) se mai pot scrie.

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

′+

′=′′

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−

′′+

′′=′

18

12

18

12

3

3

3

3

h

hhh

h

hhh

cr

cr

(14.6)

sau cu (hcr/h)3 = Fr.

( )

( )1812

1812

−′+′

=′′

−′′+′′

=′

rFh

h

rFh

h (14.7)

A doua adâncime conjugată rezultă din calcule aproximativ cu 2,5...4% superioară valorilor obţinute experimental. Diferenţele dintre rezultatele teoretice şi experimentale sunt puse pe seama aerării şi transportului în aval a aerului înglobat în curentul de lichid.

10.b. Energia pierdută în saltul hidraulic Pierderile de energie prin saltul hidraulic se datoresc turbulenţei intense în salt, a transportului de masă dintre cele două zone şi dintre macrovârtejuri şi atmosferă, precum şi datorită energiei consumate pentru întreţinerea mişcării macrovârtejurilor. Frecările la suprafaţa solidă a albiei sunt mici în comparaţie cu celelalte pierderi. Scriind diferenţa energiilor specifice la intrare şi ieşire din salt, avem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′⋅+′′−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′+′=′′−′=Δ

g

vh

g

vheee

22

22

21 αα

(14.8)

care, particularizată secţiunii dreptunghiulare, devine:

( )

hh

hhe

′′′

′−′′=Δ

4

3

(14.9)

10.c. Creşterea nivelului prin saltul hidraulic Creşterea de nivel prin salt are loc prin transformarea energiei cinetice de la intrare în energie potenţială la ieşire cu valoarea: hha ′−′′= (14.10)

10.d. Lungimea saltului hidraulic Lungimea saltului, ls, se defineşte de obicei ca lungimea zonei de

macrovârtejuri, măsurată de-a lungul albiei. Până în prezent nu există o teorie unitară asupra lungimii saltului şi din acest considerent există pentru definirea sa un mare număr de relaţii semiempirice şi empirice. O informaţie asupra lungimii saltului furnizează teorema produselor a analizei dimensionale, care conduce la )( rFfhls ′⋅′= (14.11) fiind considerate mărimi care influenţează h’, v’, ρ şi g în cazul canalelor de secţiune dreptunghiulară. De tipul relaţiei (14.11) sunt formulele:

- Smetana ( )3183 −+′′= rFhls (14.12)

- Woycicki ( )2412188160

−′−+′′

= rFrFh

ls (14.13)

care pentru Fr’ < 250 mărginesc inferior şi superior lungimile experimental obţinute. Tot relaţiile de această formă este: - relaţia lui M. D. Certousov

( ) 81,013,10 −′′= rFhls (14.14)

Alte relaţii empirice exprimă lungimea saltului în albii dreptunghiulare în funcţie de h”: - Safranez ls = 4,5⋅h” (14.15) - Bradley – Peterka ls = 6,15⋅h”, 40 ≤ Fr’ ≤ 120 (14.16)

Multe relaţii exprimă lungimea saltului în funcţie de înălţimea acesteia:

,ls m a= ⋅ (14.17)cu m = 5...7, astfel: - Kumin – Smetana ls = 6·a (14.18) - Iamandi ls = 6,52·a (lgFr’)-0,43 (14.19)

În albii de secţiune trapezoidală, pentru calcule preliminare se poate utiliza relaţia lui Posey şi Hsing

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′−′′+′′⋅=

B

BBhls 415 (14.20)

Pentru lucrări hidrotehnice importante lungimea saltului se determinăexperimental pe modele hidraulice.


14.1.3. Ecuaţia saltului hidraulic în albii dreptunghiulare cu pantă mare

În cazul unui canal uniform de secţiune dreptunghiulară şi pantă I ≠ 0 legătura între adâncimile conjugate, într-o primă aproximaţie, se poate stabili conform fig. 14.12, astfel:

Fig. 14.12. Schemă pentru calculul adâncimilor conjugate în canale cu pantă

Presiunile relative în punctele M’ şi M” sunt respectiv p1 = γ·h’ şi p2 = γ·h”şi se consideră ca la 14.1.2. Greutatea lichidului pe unitate de lăţime este:

( )

MMhh

G ′′′⋅′′+′⋅

=2

γ.

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului volumului de control sub forma (6.82) şi proiectând pe orizontală, pentru albie de lăţime unitară, rezultă: ( ) 0cos =⋅+′′−′+′′′′−′′⋅ ϕββρ GpFpFvvq (14.21) care pentru β’=β”=1 devine:

( ) ( ) zhhhhvvq Δ′′+′⋅+′′⋅−′⋅=′′−′⋅ γγγρ2

1

2

1

2

1 22 (14.22)

Utilizând ecuaţia de continuitate pentru lăţimea unitară h’v’ = h”v”, dupăîmpărţire prin γ ecuaţia (14.22) devine

022 2

1222

223 =′⋅′

+′′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′⋅′+Δ⋅′+′−′′⋅Δ−′′

g

vhh

g

vhzhhhzh (14.23)

din care se determină pe h” în funcţie de h’. Din ecuaţia energiei scrise secţiunilor de intrare şi ieşire din salt, cu α1 = α2 = 1, rezultă

2

22

21 vv

zhhhr−

+Δ+′′−′= (14.24)

pierderea de sarcină în salt. Înălţimea saltului în canale înclinate de secţiune dreptunghiulară se poate determina cu relaţia empirică propusă de G. N. Kosiakova

h'

'v' /2g

h''

''v'' /2g

hα α

' ''

h

zI

M''M'

l

le

Ss

Sf

2 2

r1-2

( )Iaaî ⋅−= 75,11 (14.25)

a fiind înălţimea saltului în albie orizontală. Lungimea saltului se poate calcula cu relaţia (14.17) pentru panta canalului I < 1/3.

14.2. ALTE FORME DE MIŞCĂRI PERMANENTE RAPID VARIATE ALE CURENŢILOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Saltul hidraulic este singura mişcare rapid variată care se poate produce într-un canal uniform. Alte tipuri de mişcări rapid variate se produc în canale uniforme cu singularităţi. Pe anumite porţiuni scurte în raport cu lungimea canalului singularităţile produc pierderi locale de energie şi redistribuţia energiei specifice pe termenii – cinetic şi potenţial.

14.2.1. Pragul urcător este o construcţie într-un canal uniform care produce variaţia rapidă a pantei fundului. Poate fi bruscă sau treptată, aceasta din urmă poate fi realizată după plan înclinat sau profilat hidrodinamic (fig. 14.13).

he h e

d

h

e h h e

d

e h h e

d

le lele

a b c

v v1 1

1 22 2

r

11 2 2 1 1 2 2

Fig. 14.13. Forma pragului urcător

În funcţie de starea mişcării din amonte forma suprafeţei libere ia forme diferite. Pentru analize se consideră o treaptă urcătoare de înălţime d, situatăpe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Treapta este profilatăhidrodinamic, astfel încât într-o primă aproximaţie se pot neglija pierderile de sarcină (fluid eulerian). Se consideră două secţiuni drepte, amonte şi aval de treaptă, suficient de departe pentru a se putea admite în vecinătatea lor liniile de curent drepte paralele. Fundul canalului, secţiunile considerate şi suprafaţa liberă definesc volumul de control (fig. 14.14). În secţiunea 1 sarcina hidrodinamică, faţă de planul fundului canalului amonte (pentru α = 1) este:

11

21

1 2eh

g

vH =+= ,

iar în secţiunea 2:

dedhg

vH +=++= 22

22

2 2.

Pentru lichid eulerian H1 = H2 şi e1 =e2 + d.

h

d

h

1 2le

wv v

h

h

h

h

e

e ( h )11 2

1

2

c r

2 1

BB

N

N

M M

e e

1

21

2

2 1

2 1

2

d

Fig. 14.14. Analiza suprafeţei libere la prag urcător

În cazul stării lente a curentului se observă căg

vBNBN

g

v

22

22

2211

21 =<= ,

respectiv 222111 hNMNMh =>= , deci:

1

22

21

1

22

1

22

22 2222h

g

v

g

vh

g

ve

g

vdedh <−+=−=−+=+

şi suprafaţa liberă coboară la prag urcător. Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru canal de secţiune dreptunghiulară şi lichid eulerian (s-au neglijat frecările), se obţine:

( )

022 2

2

1

222

21 =

⋅−

⋅+

+−

gh

q

gh

qdhh αα (14.26)

în care q = Q/b şi α1 = α2 = α. Ţinând seama de natura reală a lichidului se obţine:

( )

022 2

2

1

2

21

222

21 =

⋅−

⋅+−

+−

gh

q

gh

qd

gh

qdhh αας (14.27)

în care ζ este coeficientul de rezistenţă a pragului urcător (cap. 12). Linia energiei coboară datorită pierderilor de sarcină (fig. 14.13a). În mod analog se poate demonstra că în cazul stării rapide a curentului nivelul creşte după pragul urcător (ne situăm pe curba energiei specifice a secţiunii sub adâncimea critică).

14.2.2. Treaptă coborâtoare Pentru analize se consideră treaptă coborâtoare (fig. 14.15) cu

înălţimea d situată pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Se acceptă ipoteze asemănătoare treptei urcătoare.

wv v

h

h

h

h

e

1 1 2

2

1

BB

N

N

M M

e e

2

12

1

1 2

1 2

2

d

eh

d

he

12

c r

Fig. 14.15. Analiza suprafeţei libere la prag coborâtor

Faţă de planul de referinţă – fundul canalului aval, pentru

α1 = α2 = 1 rezultă dedhg

vH +=++= 11

21

1 2şi 22

22

2 2eh

g

vH =+= , întrucât

pentru lichid eulerian H1=H2, se obţine e1 + d = e2. În cazul stării lente a curentului

g

vBNBN

g

v

22

22

2211

21 =>= , respectiv 222111 hNMNMh =<= , deci:

2

21

22

2

21

2

21

11 2222h

g

v

g

vh

g

ve

g

vdedh <−+=−=−+=+

şi suprafaţa liberă creşte la pragul coborâtor. Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru volumul de control W(neglijând frecările), se obţine:

( )

022 2

2

1

222

21 =

⋅−

⋅+−

+

gh

q

gh

qhdh αα (14.28)

Ţinând seama de pierderile de sarcină, avem:

( )

0222 2

2

1

2

21

222

21 =

⋅−

⋅+⋅+−

+

gh

q

gh

qd

gh

qhdh αας (14.29)

Valoarea coeficientului de rezistenţă locală la pragul coborâtor are valori negative (ζ = -0,5...-1,0).

Ecuaţiile (14.27) şi (14.29) reprezintă legătura funcţională între adâncimile de dinainte şi după singularitate.


În cazul stării rapide a curentului la prag coborâtor nivelul apei scade după acesta.

14.2.3. Prag de fund (fig. 14.16) Această singularitate produce o variaţie a adâncimii curentului,

forma suprafeţei libere poate fi explicat calitativ prin combinarea efectelor de la pragul urcător şi coborâtor. La intrarea pe prag şi pe aceasta are loc o coborâre a nivelului apoi la trecerea după prag nivelul creşte.

he

v /

2g

h e

v /

2g

h

d

α

α

12

22

1

1

r1 - 2

22

F p2Fp1

F F 2

W

V 1 V 2

1 2

l e

1l l

Fig. 14.16. Analiza suprafeţei libere la pragul de fund

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului cu β1 = β2 = 1( ) 0212121 =++++−⋅ llpp FFFFVVQρ (14.30)

pentru canal de secţiune dreptunghiulară, acceptând pe feţele pragului distribuţia hidrostatică a presiunii Fl1 = γbd (2h1-d)/2 şi Fl2=γbd(2h2-d)/2, respectiv cu Fp1 = γbh1

2/2 şi Fp2=γbh22/2 şi utilizând Fr1=v1

2/gh1, obţinem:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅=

1

2

11

12 21

218

2 h

d

h

dFr

hh (14.31)

care este relaţia între h1 şi h2. Pierderea de sarcină produsă de treaptă este:

( )( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⋅−−=

−−−=

212

2121

2

11

21

22

21/

/1

21

2 hh

hhFr

h

hh

g

vvhhhr (14.32)

Coeficientul de rezistenţă hidraulică a pragului în forma de exprimare Weisbach devine:

1/1

211

12

2

1

2 −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Fr

hh

h

hpς (14.33)


14.2.4. Pilă în albie

Pilele de pod constituie un exemplu de discontinuitate în canale uniforme şi se referă la modificarea lăţimii canalului (fig. 14.17).

Fenomenul de mişcare are caracter spaţial şi din acest considerent metoda utilizată anterior nu este indicată. Pentru coeficientul de rezistenţălocală ζ se folosesc relaţiile empirice.

Cel mai frecvent caz este atunci când starea mişcării este lentă atât în amonte cât şi în aval.

Pila produce în amonte o supraînălţare ∆h = h1 - h2. Adâncimea din aval poate fi considerată adâncimea normală, h2 = h0, in amonte formându-se o curbă de supraînălţare a1.

hh

v / 2 g

h

v / 2 gh

α

αh l e

1

c r2

12

22

r

Fig. 14.17. Forma suprafeţei libere la pile

Supraînălţarea ∆h se poate calcula cu relaţia lui Rehbock

( ) ( )[ ]g

v

gh

vhhh

2114,09

22

2

223

21 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−++⋅=−=Δ τμτμμμ (14.34)

unde μ este un coeficient adimensional (μ ≈ 0,8 la pile de formăhidrodinamică şi μ ≈ 0,4 la pile de secţiune dreptunghiulară), iar τ = Ap/Aeste reducerea relativă a secţiunii datorită pilelor (Ap – secţiunea ocupată de pile, A – secţiunea vie la h0).

14.3. APLICAŢII

10. Să se determine parametrii saltului hidraulic care se formeazăîntr-un canal de secţiune trapezoidală, cunoscând: b = 1,2 m; m = 1,50; Q = 8 m3/s; h’ = 0,5 m şi α = α0 = 1,0.


Rezolvare. a. Determinarea adâncimii conjugate

În canale trapezoidale adâncimile conjugate nu se pot explicita reciproc, ele se calculează cu ajutorul funcţiei salt prin aproximaţii succesive (calcul manual sau automat) sau grafic.

( ) ( )

( )

mhb

mhbh

bB

bBhh

mhbhA

hAhAg

QAh

Ag

Qh

G

GG

+

+⋅=

+

+⋅=

+=

′′=′′′′+′′

⋅′′=′⋅′+

′

⋅′=

236

23

20

20 θ

ααθ

a.1. Aproximaţii succesive prin calcul manual Se calculează cu elementele cunoscute θ(h’) apoi se dau valori

pentru h” > hcr, utilizând metoda coardei. Se calculează elementele A”, hG”şi θ(h”). Calculul se consideră terminat când |h”i+1-h”i| ≤ εh, care se admite εh = 1,0 cm. Rezultatele sunt centralizate în (tab. 14.2).

Tabelul 14.2 h

(m) A

(m2) hG

(m) θ(h) (m3)

0,50 0,975 0,218 6,904 1,50 5,175 0,588 4,298 2,0 8,400 0,762 7,177 1,90 7,695 0,727 6,443 1,95 8,044 0,745 6,800 1,96 8,114 0,748 6,873 1,97 8,185 0,751 6,948

a.2. Aproximaţiile prin calcul automat folosesc schema logică din fig. 14.11. Pentru limita inferioară a domeniului de variaţie a lui h” se consideră h” = hcr. Valorile obţinute pentru εh = 10-4 m, sunt:

h” = 1,964 m; hG” = 0,7494 m;

A” = 8,1435 m2; θ(h”) = 6,9042 m3; θ(h”) - θ(h’) = 4,5·10-4; δ(θ) = 0,065 ‰.


b. Înălţimea saltului a = h” - h’ = 1,96 - 0,50 = 1,46 m.

c. Energia specifică pierdută prin salt

mCA92,1114,881,92

896,1

975,081,92

850,0

22

2

2

2

2

2

2

2

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅⋅+=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡′′

⋅+′′−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡′

⋅+′=′′−′=Δ

Ag

Qh

Ag

Qheee

αα

d. Lungimea saltului

m 4,662,4

2,496,124196,15415 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′

′−′′+′′=

B

BBhls

B” = b + 2mh” = 1,2 + 2⋅3⋅1,96 = 12,96 m B’=b + 2mh’ = 1,2+2·3·0,5=4,2 m

e. Calculul grafic al adâncimii conjugate se face cu ajutorul epurii funcţiei saltului. Pentru diverse valori ale lui h se construieşte graficul θ(h)şi e(h) apoi din grafic se extrag h”, a, şi ∆e (tab. 14.3 şi fig. 14.18).

Tabelul 14.3 h

(m) θ(h) (m3)

e(h) (m)

h (m)

θ(h) (m3)

e(h) (m)

0,45 7,899 5,032 1,20 3,540 1,452 0,50 6,904 3,931 1,30 3,706 1,495 0,60 5,502 2,655 1,40 3,960 1,553 0,70 4,608 2,015 1,50 4,298 1,622 0,80 4,038 1,685 1,60 4,717 1,698 0,90 3,693 1,519 1,70 5,214 1,780 1,00 3,516 1,447 1,80 5,789 1,866 1,05 3,479 1,434 1,90 6,443 1,955 1,087 3,472 1,431 1,964 6,903 2,013 1,10 3,473 1,432 2,00 7,177 2,047


θ

1 2 3 4 5 6

3 4 5 6 7 80 ,2

0 ,4

0,6

0,8

1,0

1 ,2

1 ,4

1 ,6

1 ,8

2 ,0

a=1,

46 m

e= 1,90 m

hcr

e(h )

(h)

h '= 0 ,5 m

h ''= 1 ,96 m

e '' e '(m )

e(m )

h(m )

θ

3Δ

Fig. 14.18. Calculul grafic al elementelor saltului

20. Să se determine tipul şi parametrii saltului hidraulic care se formează într-un canal orizontal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 4 m3/s; b=2,0 m şi h”=1,50 m; (α=1,09).

Rezolvare. Adâncimea critică:

m763,0281,9

409,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅

⋅=

bg

Qhcr

α

Prima adâncime conjugată a saltului:

m325,0150,1763,0

81250,1

1812

33

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′+

′′=′

h

hhh cr

Înălţimea saltului: A = h” - h’ = 1,50-0,325 = 1,175 m Energia specifică pierdută prin salt:

( ) ( )

m83,0325,050,14

325,050,14

33

=⋅⋅

−=

′′′

′−′′=Δ

hh

hhe

Lungimea saltului (după Kumin şi Smetana) ls = 6(h” - h’) = 6(1,50 - 0,325) = 7,05 m

Numărul Fr’:

( )

( )9,11

325,0281,9

432

2

32

22

=⋅⋅

=′

=′

′=′

hgb

Q

hg

vrF

Tipul saltului: pentru 6 < Fr’ < 20, salt cu jet oscilant.


CAPITOLUL 15

RACORDAREA BIEFURILOR

Se defineşte bief un sector al unei albii deschise, cuprins între douădiscontinuităţi ale acesteia care determină, în general, o schimbare accentuată a tipului de curgere. Astfel pot fi privite ca discontinuităţi: trecerea bruscă de la o pantă la alta (schimbare de pantă), trecerea curentului peste deversoare sau orificii, căderea pe o treaptă sau pe mai multe trepte, trecerea peste un prag, prag urcător, trecerea prin lărgiri sau îngustări de secţiune ş.a. Astfel de discontinuităţi ale albiei influenţează substanţial nivelul şi forma suprafeţei libere a curentului. Mişcarea permanentă a unui curent cu suprafaţă liberă se compune dintr-o succesiune de biefuri, cu mişcări gradual variate de diferite tipuri (determinate de caracteristicile fiecărui bief), racordate în dreptul discontinuităţilor, pe porţiuni mai scurte, de mişcări permanente rapid variate. De obicei discontinuităţile mici, neimportante influenţeazănesemnificativ suprafaţa liberă şi sunt luate eventual în calcul ca o modificare a rugozităţii sau se neglijează. Modificările importante ale continuităţii albiei determină variaţii importante ale nivelului şi trebuiesc luate în seamă în calcule. Starea mişcării pe biefuri influenţează hotărâtor fenomenele hidraulice de pe biefuri şi racordarea lor în dreptul discontinuităţilor.

15.1. PROPAGAREA PERTURBAŢIILOR ÎN ALBII DESCHISE

Se cunoaşte că starea mişcării într-o albie deschisă poate fi lentăsau rapidă. Forţa de greutate are un rol determinant în cazul mişcărilor cu suprafaţă liberă, mişcările fiind caracterizate şi de numărul Froude. Fie mişcarea unui lichid cu viteza v la adâncimea h, caracterizată de numărul Fr = v2/gh, într-un canal dreptunghiular. Valoarea critică Fr = 1 delimiteazăcele două stări ale curentului. Se consideră un val plan călător izolat care se deplasează cu celeritatea c într-un lichid greu, de adâncime h, aflat iniţial în repaus, iar ABCD o suprafaţă de control fixă în raport cu sistemul de referinţă (fig. 15.1.b).

lh

h

Δ

a .

e

e

Wb .

B

C

A D

- c- ( c - v )Δ

hΔ

h

Fig. 15.1. Schemă pentru calculul celerităţii

Se presupune că l >> h şi ∆h << h, respectiv forma valului se conservă. Se acceptă că liniile de curent sunt paralele între ele în dreptul secţiunilor AB şi CD şi că repartiţia presiunii este după legea hidrostaticii. În ipoteza modelului de lichid eulerian vitezele pe secţiunile AB şi AC sunt uniforme şi nu există frecare. Aplicând volumului W teorema impulsului se obţine:

[ ]222

1hhhgVhc Δ+Δ⋅⋅=Δ⋅⋅ (15.1)

Ecuaţia conservării masei arată că: ( ) ( )hhVchc Δ+⋅Δ−=⋅ (15.2) Din cele două ecuaţii se obţine celeritatea undei (volumului)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⋅+≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

⋅+=h

hgh

h

hghc

4

31

2

31

2

1

(15.3)

care pentru ∆h << h conduce la relaţia lui Lagrange

ghc = (15.4)

Revenind la mişcarea din canalul dreptunghiular şi admiţând căperturbaţiile care se propagă în canal au caracteristicile valului considerat şi că există sau nu o mişcare în acel canal rezultă următoarele:

a). la echilibrul static al lichidului perturbaţiile se propagă cu viteza c în toate direcţiile, valul având forma unui cerc care se lărgeşte dupăraza r cu viteza c (fig. 15.2.a);

b). la mişcarea în stare lentă în canal Fr < 1, cghv =+< şi o

perturbaţie se propagă în amonte cu viteza |c-v|, iar spre aval |c+v|; (fig. 15.2.b);

c). în starea critică a mişcării din canal Fr = 1 şi |v|=|c| şi o perturbaţie spre amonte nu se propagă, produce un front de undă staţionar,

iar spre aval viteza de propagare este |c+v|. Unda propagată în formă de cercuri va fi tangentă în amonte la punctul de perturbare; (fig. 15.2.c);

d). în starea rapidă a curentului din canal |v|>|c|, iar perturbaţiile nu se pot propaga în amonte, ele sunt antrenate în aval (fig. 15.2.d).

Unghiul de propagare a frontului undei se defineşte prin:

v

carcsin=θ (15.5)

şi are valori diferite în funcţie de starea curentului: în stare rapidă θ < π/2, în stare critică θ = π/2, starea lentă θ > π/2, iar în echilibru static θ = π.

y

x x

y

x

y

x

a) v=0 b) v<c

c) v=cd) v>c

t1t2 t3

t4

t1t2 t3 t4

t1t2 t3

t4θ

Fig. 15.2. Formele de propagare a undei solitare în funcţia vitezei din canal.

Prin urmare, mişcarea lichidelor în canale regulate (prismatice, cilindrice) în privinţa stării curentului se mai poate caracteriza după cum o perturbaţie se poate sau nu propaga spre amonte. Observaţia este valabilă în

canale regulate dacă se consideră Fr = v2/ghm, respectiv mghc ≈ şi

hm = A/B. Constatările prezintă importanţă în racordarea biefurilor: în stare lentă perturbaţiile se propagă din aval spre amonte; secţiunile de comandăfiind situate în aval şi în starea rapidă din amonte spre aval, secţiunile de comandă fiind situate în amonte.


15.2. TRASAREA CURBEI SUPRAFEŢEI LIBERE LA RACORDAREA BIEFURILOR

Orice trasare şi calcul a suprafeţei libere într-un canal comportăurmătoarele operaţii: - recunoaşterea stării curentului pe biefuri; - stabilirea secţiunilor de comandă şi calculul cotelor luciului apei în aceste secţiuni; - stabilirea fenomenelor hidraulice, calculul şi trasarea propriu-zisăa suprafeţei libere.

Starea curentului pe bief se stabileşte pentru o mişcare presupusăuniformă şi pentru condiţiile efective de adâncimi rezultate conform celor prezentate la 13.2.4.

Secţiunile de comandă, ca regulă generală, pentru biefuri lente în mişcare uniformă sunt situate în extremitatea aval, iar pentru biefuri rapide aceste secţiuni se găsesc în extremitatea amonte. (v. paragraful precedent). O secţiune de comandă este caracterizată prin faptul că impune o cotădeterminată suprafeţei libere care, în general, depinde de debit. Aceastăcotă, numită cotă de comandă arată dispunerea suprafeţei libere faţă de adâncimea normală şi ceea critică.

În funcţie de această dispunere a cotei suprafeţei libere pe bieful analizat rezultă mişcarea uniformă sau gradual variată – tipul curbei. În concordanţă cu neregularitatea geometrică a canalului, la limita biefurilor rezultă fenomenele hidraulice ale mişcării rapid variate la racordare. În eventualitatea schimbării stării curentului pe bief se poate localiza şi singura formă de mişcare rapid variată pe canalul uniform – saltul hidraulic. Plecând de la secţiunile de comandă, din aproape în aproape se pot determina (calcula) parametrii fenomenelor hidraulice de pe bief şi se poate construi suprafaţa liberă.

În funcţie de discontinuităţile pe canal (acestea biefează canalul) întâlnindu-se mai multe tipuri de racordare a două biefuri, astfel: - racordare la schimbare de pantă; - racordare cu lame efluente; - alte tipuri de racordări.

15.2.1. Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) la schimbare de pante.

Racordarea biefurilor la schimbarea pantei geometrice evidenţiazăpatru situaţii caracteristice, după cum urmează: - racordare bief lent cu bief lent; - racordare bief rapid cu bief rapid; - racordare bief lent cu bief rapid; - racordare bief rapid cu bief lent. Elementele biefului amonte se notează cu indicele 1, iar a biefului aval cu 2.

10. Racordarea bief lent cu bief lent În această situaţie există două posibilităţi în funcţie de adâncimile normale din cele două biefuri în cazul pantelor pozitive şi câte un caz pentru panta biefului amonte nulă sau negativă.

10.a. Adâncimea normală în primul bief este superioară adâncimii din bieful 2, h01 > h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I1 < I2 < Icr. Adâncimea critică pentru Q = ct este unică şi este situată sub adâncimile normale.

Pentru ambele biefuri lente secţiunea de comandă este în extremitatea aval. Pe bieful 2, fără alte condiţii în aval mişcarea este uniformă, iar această adâncime comandă mişcare uniformă pe bieful 2. În secţiunea amonte a biefului 2 adâncimea este h02, identică cu adâncimea în secţiunea aval a biefului 1, care este secţiune de comandă, respectiv cota luciului apei, cotă de comandă. Astfel pe bieful 1, bief lent adâncimea de comandă este situată în zona b, hcr < h < h01 şi pe bieful 1 este mişcare gradual variată după o curbă de coborâre de tipul b1 (fig. 15.3).

Fig. 15.3. Racordarea a douăbiefuri lente la schimbare de pantă: 0 < I1 < I2 < Icr.

10.b. Adâncimea normală pe primul bief este inferioară adâncimii din bieful 2, h01 < h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I2 < I1 < Icr. Adâncimea critică în mişcare permanentă (Q = ct) este unică pentru ambele biefuri (secţiunea transversală identică). Secţiunile de comandă pentru ambele

h

hh

Ν1

C 01

b1N1

N2

Mu

N2cr02

0<I1<Icr

0<I2<IcrC

biefuri sunt în avalul lor, deci pe bieful 2 fără alte condiţii se comandăadâncimea normală h02 care se menţine pe tot bieful 2. Adâncimea în secţiunea aval a biefului 1 este adâncimea normală din bieful 2, fiind situatăîn zona a a biefului 1. Astfel, suprafaţa liberă de pe bieful 1 este o curbă de supraînălţare de tipul a1. (fig. 15.4).

Fig. 15.4. Racordarea a două biefuri lente la schimbare de pantă: 0 < I2 < I1 < Icr.

În aceste două cazuri analizate nici un alt tip de curbă a suprafeţei libere nu se poate forma în afara celor menţionate.

10.c. Bieful 1 este în palier, iar bieful 2 cu pantă pozitivă şi curgere normală lentă, deci I1 = 0, 0 < I2 < Icr. Adâncimea critică este unică în mişcarea permanentă, pe bieful 1 există numai două zone a şi b. Bieful 2, cu mişcare normală lentă, fără alte condiţii în aval se instalează (se comandă) adâncime normală; se realizează mişcarea uniformă pe bief. Pentru bieful 1 în secţiunea aval se comandă adâncimea normală de pe bieful 2, situată în zona b al biefului 1, deci pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o curbă b0 (fig. 15.5).

10.d. Situaţie asemănătoare se întâmplă când panta biefului 1 este negativă, I1 < 0, celelalte elemente menţinându-se ca în cazul c. Pe bieful 2 va fi mişcare uniformă, iar pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o curbă b’ (fig. 15.6).

h h h h

b0 b '

I1= 0

C

0 < I2 < I c r 0 < I2 < Ic r

I1< 0C

C C

M u

M u

c r0 2 c r 0 2

Fig. 15.5. Racordarea bief cu panta Fig. 15.6. Racordarea bief cu panta nulă cu bief lent negativă cu bief lent

hh

h

N1

CN1

N2

N2

C'

Mua1

01

02

cr0<I1<Icr

0<I2<Icr

20. Racordarea bief rapid cu bief rapid Panta ambelor biefuri este superioară pantei critice, deci adâncimile normale vor fi inferioare adâncimii critice. Există două cazuri în funcţie de mărimea relativă a pantelor celor două biefuri.

20.a. Pentru Icr < I1 < I2 rezultă h01 > h02. Ambele biefuri fiind rapide într-o mişcare uniformă, conform 15.1 secţiunile de comandă pentru ambele biefuri sunt situate în amonte. Pe bieful 1 în amonte nefiind condiţionări se va stabili mişcare uniformă, deci pe bieful 1 se comandăadâncime normală h01. Această adâncime se menţine până în avalul biefului 1 şi devine adâncime de comandă pentru bieful 2. Această adâncime pe bieful 2 este situată în zona b (între linia adâncimii normale şi critice), deci pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o curbă de coborâre de tipul b2, (fig. 15.7).

Fig. 15.7. Racordarea a două biefuri rapide la schimbarea de pantă: Icr < I1 < I2.

20.b. Pentru Icr < I2 < I1 se satisface condiţia adâncimilor normale hcr > h02 > h01. În curgere uniformă ambele biefuri sunt în stare rapidă, deci secţiunile de comandă sunt situate în amontele biefurilor. Pe bieful 1 în secţiunea amonte nefiind impuse alte condiţii, se stabileşte adâncimea normală care se menţine pe tot bieful şi devine adâncime de comandă pentru bieful 2. În bieful 2, h01 este situată în zona c, deci pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o curbă crescătoare de tipul c2. (fig. 15.8).

Fig. 15.8. Racordarea a douăbiefuri rapide la schimbarea de pantă: IcrIcr

I2>Icr

h h h

C

N1

01

N2

N1 02cr

C

N2c2

I1>IcrI2>Icr

Mu

30. Racordarea bief lent cu bief rapid

În această situaţie se disting trei cazuri, în funcţie de panta biefului 1 care este inferioară pantei critice, I1 < Icr şi poate lua valori pozitive, zero sau negative. Starea curgerii pe bieful 1 este lentă. Pe bieful 2 panta este superioară celei critice, I2 > Icr, şi starea curentului este rapidă. Pentru secţiune identică pe cele două biefuri, la mişcarea permanentă adâncimea critică (respectiv axa critică) este unică. Pentru bieful amonte în starea lentă a curgerii secţiunea de comandă este situată în aval, la schimbarea de pantă, iar pentru bieful aval rapid secţiunea de comandă este în amonte, tot la schimbarea de pantă. Secţiunea de comandă fiind comună celor două biefuri, fără a avea condiţii suplimentare referitoare la cota (adâncimea) de comandă, nivelul în această secţiune se obţine cunoscând legea fenomenelor naturale care tind sa-şi minimizeze energia specifică, rezultând pentru secţiunea de comandă(de schimbare a pantei) adâncimea critică hcr. Chiar dacă presupunem panta biefului 2 I2→∞, cădere pe bief lent, caz în care biefurile nu se influenţeazăreciproc şi în secţiunea aval al biefului 1 adâncimea este cea critică.

30.a. Pentru 0 < I1 < Icr < I2 sunt caracteristice h02 > hcr > h01. Pe bieful 1 nivelul coboară de la cel normal în amonte la hcr în aval după o curbă de coborâre convexă de tipul b1, iar pe bieful 2 scăderea adâncimii continuu de la hcr spre adâncimea normală h02 în zona b după o curbă de coborâre concavă de tipul b2. Schema nivelurilor şi variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul canalului sunt vizualizate în fig. 15.9.

Fig. 15.9. Racordarea bief lent cu bief rapid 0< I1 < Ic r< I2.

Acest tip de racordare permite stabilirea următoarelor observaţii: - trecerea de la starea lentă la cea rapidă a curentului are un aspect continuu, dar comportă o coborâre pronunţată a suprafeţei libere în jurul secţiunii de comandă – de schimbare a pantei. În această secţiune are loc

h

h

h

e

l

0 1

c r

0 2

b1

b2

0 < I1< Ic r

I2 > Ic r

schimbarea inflexiunii suprafeţei libere. Curgerea curentului în jurul secţiunii are un pronunţat caracter de neuniformitate datorită modificărilor importante în structura curentului – trecerea de la profilul de vitezăcaracteristică stării lente la profilul de viteză proprie stării rapide. Redistribuirea vitezelor apare şi la celelalte forme de racordare tratate. - starea mişcării de pe bieful 1, cu I1 < Icr, se menţine lentă, oricât de mare ar fi panta biefului 2, la limită când I2 > ∞, cădere pe canal, tot principiul curgerii cu minimizarea energiei specifice a secţiunii aratăcoborârea în capătul biefului 1 a adâncimii la hcr. (Datorită neuniformităţii mişcării hcr se obţine ceva mai amonte de cădere fig. 15.10).

Fig. 15.10. Schema nivelului în apropierea căderii.

30.b. Situaţia I1 = 0 şi I2 > Icr conduce la racordarea materializată în

figura 15.11, cu curba b0 pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2. 30.c. Pentru I1 < 0 şi I2>Icr racordarea scoate în evidenţă curba b’ a suprafeţei libere pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2. (fig. 15.12).

h

h

C

cr

02 N2

Cb2

b0

N2h

h

C

C

I1<0I2>Icr

cr

02 N2

N2

b'

b2

Fig. 15.11. Racordarea bief lent cu I1 = 0 Fig. 15.12. Racordarea bief lent cu I1 < 0cu bief rapid I2 > Icr cu bief rapid I2>Icr

La racordare bief lent cu bief rapid cele două biefuri nu se influenţează reciproc. Adâncimea critică corespunzătoare energiei specifice minime din secţiunea de comandă are rolul hotărâtor.

0,7hh h01 cr

b1

0< I1< Icr

cr

I2=

lhcr

40. Racordare bief rapid cu bief lent Bief 1, rapid, este caracterizat de h01 < hcr, respectiv I1 > Icr, secţiunea de comandă fiind situată în capătul amonte al biefului. Fără alte condiţii suplimentare adâncimea în secţiunea de comandă este cea normalăh01, care determină mişcare uniformă pe bief. Bieful 2, lent, este caracterizat de h02 > hcr, respectiv I2 < Icr şi secţiunea de comandă este în avalul biefului. Fără condiţii suplimentare în secţiunea de comandă adâncimea este cea normală, h02, care determină pe bieful 2 mişcare uniformă pentru I2 > 0. La racordarea celor două biefuri adâncimea trebuie să treacă de la h01 < hcr la h02 > hcr care implică apariţia saltului hidraulic. Poziţia saltului depinde de valoarea adâncimilor normale de pe cele două biefuri; cel puţin una din adâncimile normale trebuie să fie una din adâncimile conjugate ale saltului hidraulic. La analiza fenomenului, într-o primă ipoteză, se poate accepta căadâncimea normală din bieful 2 este adâncimea de ieşire din salt, h02 = h”. Adâncimii de ieşire din salt h” îi corespunde o adâncime de intrare h’, calculabilă prin funcţia saltului. În funcţie de mărimea h’ faţă de adâncimea normală de pe bieful 1, h01 se întâlnesc trei situaţii distincte, astfel:

40.a. dacă h’ > h01, adâncimea de intrare în salt trebuie să creascăla h’ pentru a satisface condiţiile funcţiei saltului. În această situaţie saltul se formează pe bieful 2, între schimbarea de pantă şi secţiunea de intrare în salt interpunându-se o curbă de supraînălţare c1 prin care adâncimea creşte de la h01 la h’. (fig. 15.13).

h

h h 'h " = h h

CN1

0 1M u N2

N 1

0 1

0 2 0 2C

N 2M u

s a lt

I1> Ic r

0 < I2 < I c r

C 1

Fig. 15.13. Racordare bief rapid cu bief lent cu salt pe bieful 2.

40.b. în situaţia h’ = h01, saltul se formează cu secţiunea de intrare situată în secţiunea schimbării de pantă, în rest pe ambele biefuri fiind menţinută mişcarea uniformă (fig. 15.14).

h

h = h 'h "= h h

CN1

0 1M u N2

N 1

0 10 2 0 2

C

N 2M u

sa lt

I1> Ic r

0 < I2 < I c r

Fig. 15.14. Racordarea bief rapid cu bief lent cu începutul saltului la schimbarea de pantă

40.c. când pentru h” = h02 rezultă h’ < h01 se remarcă faptul că cea mai mică adâncime pe canal este h01, deci adâncimea de intrare în salt va fi h’ = h01, rezultând h” < h02, deci saltul se formează pe bieful 1. Între h” şi h02 pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o curbă de tipul a2 (fig. 15.15).

hh

CN 1

0 1

M u

N 2

N 10 1

a 2

0 2C

N 2M u

I1> I c r

0 < I2 < I c r

h = h ' h "

l s l

s a l t a 2

Fig. 15.15. Racordare bief lent cu bief rapid cu salt pe bieful 1

ObservaţieÎn situaţia când bieful 2 este orizontal sau are pantă negativă, bieful

are lungime limitată şi mişcarea pe tot bieful 2 este permanentă neuniformă, cu fenomene de mişcări gradual, eventual rapid variate.

În condiţia 40.a, de formare a saltului pe bieful 2, pe acest bief în ordine suprafaţa liberă se dispune curbă c0, salt, curbă b0 în cazul pantei nule şi curbă c’, salt, curbă b’ în cazul pantei negative. Pe bieful 1 mişcarea se menţine uniformă.

În condiţia 40.b saltul se formează la schimbarea de pantă, pe bieful 1 se menţine mişcarea uniformă, iar pe bieful 2 suprafaţa liberă urmează o curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.

În condiţia 40.c pe bieful 1 în ordine este mişcare uniformă, salt, curbă a2, iar pe bieful 2 curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.

50. Racordarea a trei biefuri la schimbare de pantă Combinaţiile multiple care există la racordarea a trei biefuri fac ca toate posibilităţile să nu fie prezentate aici. Metoda generală de studiu se va examina pentru un singur caz particular pentru a pune în evidenţă principiile folosite în analiză. Se consideră un canal prismatic uniform format din trei biefuri care în mişcare uniformă ar avea, în ordine spre aval, starea curentului rapidă – lentă – rapidă. În funcţie de lungimea biefului 2 fenomenele de mişcare permanentă lent şi rapid variată întâlnite sunt diferite şi au fost prezentate în punctele 10...40 pentru racordarea a două câte două biefuri la schimbare de pantă. În cele ce urmează, lungimea biefului 2 se consideră astfel încât saltul hidraulic să se formeze pe traseul acestui bief (fig. 15.16), iar panta patului albiei este pozitivă, 0 < I2 < Icr.

h

h

h ' h " h

h

h

C

N1

S 1 I1> Ic r0 1

M u

N 1 C 1

0 2

N 2 N 2b 1

N3c r

c r

0 3N 3

C

S 2

0 Ic r

b 2

s a lt

Fig. 15.16. Schema suprafeţei libere la racordare a trei biefuri la schimbare de pantă (R – L –R)

Secţiunea S1 din amonte este secţiunea de comandă pentru bieful 1 şi fără condiţii suplimentare, comandă mişcare uniformă pe acest bief. Secţiunea S2 este secţiune de comandă a biefurilor 2 şi 3. S-a considerat căpe bieful 2 starea mişcării revine la starea lentă după saltul care se formeazăpe acest bief (vezi 15.2.1 punct 40.a). În partea amonte a biefului suprafaţa liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c1, urmată de salt hidraulic, apoi o curbă de coborâre b1 care se sfârşeşte în secţiunea de comandă S2, unde adâncimea este cea critică. Pe bieful 3 suprafaţa liberă va urma o curbăde coborâre de tipul b2 (vezi fig. 15.9). Racordarea a trei sau mai multe biefuri se analizează dupăraţionamentele prezentate anterior, fiecărui caz în parte. Fiecărui bief i se determină, după caz, adâncimea normală, critică, starea curentului, se stabilesc secţiunile de comandă cu parametrii hidraulici corespunzători şi se


analizează calitativ fenomenele de mişcări permanente – uniforme, lent şi rapid variate pe biefuri. Fiecare element se calculează conform celor prezentate în capitolele 11, 12, 13 şi 14.

15.2.2. Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme) prin construcţii cu lame efluente

În unele situaţii, din necesităţi tehnice, curenţii cu suprafaţă liberăsunt trecuţi peste deversoare, prin orificii, dând naştere la lame efluente, jeturi, cu starea rapidă a mişcării în aval. Cele mai simple racordări cu lame efluente sunt cele cu deversoare de diferite tipuri – cu muchie ascuţită, profil gros, profil practic sau cu prag lat (fig. 15.17), racordările prin orificii mari de stavilă simple sau combinate cu praguri (fig. 15.18). În funcţie de raportul mărimilor hidraulice înainte şi dupăconstrucţie, în bieful aval forma racordării poate fi diferită. În bieful aval se disting trei forme de racordare referitoare la epura vitezei după construcţie, astfel:

p

HH

EE

v /2g

h h h

α 02

0 V0

0

1

c cr av

a

HH

EE

v /2g02

α

00V

0

h hhcr avc

b

HH

v /2gα20

E

hhav

c

c0V 0

0

0

E

Fig. 15.17. Racordare cu lame deversante


Fig. 15.18. Racordare cu lame efluente create de orificii

- racordare cu regim de fund al vitezei în bieful aval; - racordare cu regim de suprafaţă al vitezei în bieful aval; - racordare cu regim mixt al vitezei în bieful aval.

Racordării cu regim de fund al vitezei îi este caracteristică situaţia că pe profilul vitezei în secţiune, viteza maximă este situată în apropierea patului albiei (fig. 15.19.a). Asemenea situaţie se întâlneşte în cazul când curentul efluent atinge fundul albiei în imediata vecinătate a construcţiei.

Regimul de suprafaţă este caracterizat prin viteze maxime pe secţiune în apropierea suprafeţei libere. Este caracteristică evacuatorilor cu prag aval (fig. 15.19.b).

0 v

ha b

h

v0

Fig. 15.19. Profilul vitezei în albii deschise: a) regim de fund al vitezei; b) regim de suprafaţă al vitezei

10. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente în regim de fund al vitezei Se presupune un evacuator (construcţie) cu lamă efluentă – deversor sau orificiu mare – în canal prismatic, iar bieful aval (2) de lungime cunoscută. Pentru pantă pozitivă, I2 > 0, şi bief de lungime mare, spre capătul aval al biefului curgerea permanentă este (sau tinde) uniformă. La pantă I2 ≤ 0 curgerea permanentă este neuniformă. Lama deversantă sau jetul aval de construcţie ajunge la fundul albiei în secţiunea contractată c-c unde adâncimea de obicei este minimă şi

hh

a

EEV0

0

c

av

h

h

EE0V0

c

av

se numeşte adâncime contractată hc. Excepţie face situaţia când adâncimea la piciorul construcţiei este superioară adâncimii normale din bieful 2 hc

’ > h02 şi poate să fie caracteristică pentru I2 > Icr. Adâncimea în secţiunea contractată este inferioară adâncimii critice, hc < hcr.

10.a. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru 0 < I2 < Icr

Când lungimea biefului 2 este mare spre aval se obţine adâncimea normală, h02 > hcr. Adâncimea în secţiunea contractată este inferioarăadâncimii critice hc < hcr, deci pe traseul biefului adâncimea creşte de la hc

la h02 trecând prin adâncimea critică, caz în care se formează saltul hidraulic. Adâncimea de ieşire din salt este adâncimea normală din aval h” = h02. Lama deversantă fiind lipită de fundul albiei aval distribuţia vitezei pe verticală este caracteristică regimului de fund.

E E

p

ph

h 'h "= h

l l

0

1

c

c

C C

sa lt

c 1 s

c 0 20 < I2< Ic r

M u

c1

lama deversanta

Fig. 15.20. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei, 0 < I2 < Icr, cu salt îndepărtat

În funcţie de raportul adâncimii contractate şi a celei de intrare în salt există trei situaţii distincte: - pentru hc < h’, între adâncimea contractată şi saltul hidraulic se interpune o curbă de supraînălţare caracteristică pantei 0 < I2 < Icr de tipul c1. Aval de salt mişcarea este uniformă cu adâncimea h02 comandată fărăalte condiţii din avalul biefului (fig. 15.20). - pentru hc = h’ saltul hidraulic se formează exact din adâncimea contractată, forma de racordare pe bieful 2 conţinând: lama deversantă, saltul, apoi mişcarea uniformă. (fig. 15.21). Se numeşte racordare cu salt apropiat.

E E

p

p

h = h 'h"= h

0

1

c

c

C C

salt

c02

0< I2< Icr

M pu

lama

deversanta

Fig. 15.21. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei 0 < I2 < Icr, cu salt apropiat

- pentru hc > h’, rezultă că nu există condiţii pentru dezvoltarea unui salt perfect. În această situaţie saltul avansează spre amonte şi acoperăparţial lama deversantă formându-se un salt înecat (fig. 15.22). Presupunând adâncimea de intrare în salt h’ = hc din funcţia saltului rezultă h” < h02. Raportul σî = h”/h02 este supraunitar şi caracterizează gradul de înecare al saltului şi se numeşte coeficient de înecare.

E E

p

p

h

0

1

C

salt inecat

c

02

0<I2<Icr

Mulama

deversanta

h

N

Fig. 15.22. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei 0 < I2 < Icr, cu salt înecat

Raţionamentele anterior prezentate la punctul 10.a pentru 0 < I2 < Icr, pot fi extinse şi pentru I2 ≤ 0. Pentru aceste situaţii, între lama deversantă se pot interpune curbe de supraînălţare c0 sau c’ în funcţie de panta de racordare cu salt îndepărtat. Bieful 2 are lungime finită şi după salt se formează curbă de coborâre b0 sau b’ în funcţie de panta albiei. În cazul unui orificiu mare de fund (de stavilă), formele de racordare pentru I2 < Icr sunt asemănătoare cu cazul anterior prezentat (fig. 15.23).

E E

a h h'h" h

0

c

c

c

C10<I<Icr

C

ab

c

MuMu

salt

02

Fig. 15.23. Racordare cu lamă efluentă (orificiu mare) în regim de fund al vitezei: a) cu salt îndepărtat; b) cu salt apropiat; c) cu salt înecat

Fenomenele de racordare sunt asemănătoare şi în cazul unei construcţii de racordare combinată (fig. 15.24).

h

h'h"=h

EE0

c

c

c

C1 02

0<I<Icr

a

b

cMu

Mu

Mu

Fig. 15.24. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei la construcţie combinată(deversor cu stavilă): a) cu salt îndepărtat: b) cu salt apropiat; c) cu salt înecat

10.b. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru I2 > Icr

Starea curentului în mişcare uniformă este rapidă h02 < hcr. Dupăconstrucţie în secţiunea contractată se formează adâncimea contractată hc

inferioară adâncimii critice hcr. Secţiunea de comandă este secţiunea contractată cu adâncimea hc. În funcţie de mărimea hc comparativ cu hcr se întâlnesc trei situaţii distincte: - hc < hcr, adâncimea este situată în zona c în bieful 2, rapid, deci suprafaţa liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c2 (fig. 15.25), care în aval tinde asimptotic la linia adâncimilor normale.

E E

p

p

0

1

2

C

c02

2 cr

N

hh h

C

I2 > Icrc

c

Fig. 15.25. Racordarea cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei cu bieful aval rapid hc < h02

- hc = hcr pe bieful 2 se comandă adâncimi normale care se menţine pe tot bieful; - hc > hcr, este o situaţie întâlnită la căderi mici, debite specifice evacuate mari şi panta albiei biefului 2 mare. Adâncimea contractată de comandă este situată în zona b, pe bief suprafaţa liberă dispunându-se dupăo curbă de coborâre b2 (fig. 15.26).

E E

p

p

0

1

2

C

02

2 cr

N

b

I > Icrch h

h

Fig. 15.26. Racordarea cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei cu bieful aval rapid h02 < hc < hcr

20. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente în regim de suprafaţă şi mixt al vitezei. Formele de racordare caracterizate prin regim de suprafaţă şi mixt al vitezei sunt strâns legate între ele şi se examinează în comun. Aceste forme de racordare se întâlnesc la evacuatorii la care la piciorul aval există o cădere. Mişcarea efluentă poate fi creată de deversoare sau orificii de stavilăpe cădere. La astfel de evacuatori la racordarea cu bieful aval se produc fenomene hidraulice complexe şi complicate, cu regim de suprafaţă şi mixt al vitezelor. Se consideră o construcţie de racordare (fig. 15.27) având caracteristică pragul vertical din aval.

EE

d

h

h

0

c

02

a

d

EE0

h02

hc

Fig. 15.27. Schemele construcţiilor de racordare cu regim de suprafaţă şi mixt al vitezelor

Unui anumit debit Q îi corespunde pentru panta 0 < I2 < Icr o anumită adâncime normală h02. În funcţie de mărimea d în raport cu h02 se întâlnesc mai multe forme de racordare în bieful 2, astfel:

20.a. h02 < d, de pe pragul de înălţime d lama (jetul) curge asemănător cazului 1, cu formele de racordare în regim de fund al vitezei în bieful 2, cu salt îndepărtat, apropiat sau înecat.

20.b. h02 ≈ d, lama deversantă pleacă de pe prag aproape în poziţie orizontală şi se menţine la suprafaţă, dând naştere la regim de suprafaţă a


vitezei. Sub jet se formează vârtejuri, de fapt avem de a face cu un salt de suprafaţă neînecat pentru care hc = h’ şi h” = h02. (fig. 15.28.a). O astfel de situaţie însă este instabilă, orice modificare a nivelului aval produce schimbări radicale în structura curgerii la racordare. Scăderea nivelului h02 implică fenomene de racordare descrise la 20a, iar creşterea nivelului produce ridicarea lamei şi înecarea saltului de suprafaţă, care apare ca o undă în apropierea pragului (fig. 15.28.b).

h hcr 02C

N20 v

h

h

0 v

h hcr 02

N2

C

h hcr

02

h

vN2C

h h

h

v

h

v

cr 02

N2C

hh

cr02

N2C

vv

h h

a) Salt de suprafataneînecat

b) Salt de suprafataînecat

c) Salt de fund înecat

d) Salt de suprafataneînecat

Salt de fund înecat

e) Salt de suprafataînecat

Salt de fundînecat

Fig. 15.28. Formele de racordare în aval de prag în regim de suprafaţă şi mixt al vitezei.

Creşterea nivelului aval poate produce formarea saltului de fund înecat (fig. 15.28.c). Proporţia de vârtejuri în acest caz este mare. Creşterea debitului, implicit a nivelului aval, conduce la o racordare în regim mixt al vitezelor, cu salt de suprafaţă neînecat, urmat de salt de fund înecat (fig. 15.28.d). Lama care pleacă de pe prag este deviată în sus în saltul neînecat de suprafaţă, recade pe fund schimbând regimul vitezelor şi formează un salt de fund înecat. Creşterea debitului, implicit a adâncimii aval, împinge spre amonte cele două salturi, înecându-se şi saltul de suprafaţă (fig. 15.28.e). Prima parte a acestei racordări este caracterizată de regim de suprafaţă a vitezelor, iar partea a doua prin regim de fund.


15.3. RELAŢII DE CALCUL ALE MĂRIMILOR HIDRAULICE ÎN RACORDAREA BIEFURILOR PRIN CONSTRUCŢII CU LAME EFLUENTE

Trasarea suprafeţei libere la aceste tipuri de racordări – poziţionarea în lungul albiei şi pe verticală a fenomenelor hidraulice – necesită cunoaşterea tuturor mărimilor hidraulice caracteristice. Calculul unei părţi din aceste mărimi au fost dezbătute, celelalte sunt prezentate în cele ce urmează.

15.3.1. Relaţii de calcul pentru racordări în regim de fund al vitezei

Se prezintă modul de calcul al adâncimii contractate hc şi a poziţiei sale în lungul curentului, secţiunea în care se ajunge la această adâncime.

10. Calculul adâncimii contractate Pentru generalizare se consideră o schemă combinată de construcţie care realizează racordarea a două biefuri cu lame efluente (fig. 15.29). Scriind ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2 faţă de planul de referinţă 0 - se obţine:

E E

HH

p '

a

p

h

l l

l

v / 2 g

h

z z0

V 0

0

c

1b

0 2

0

0

2

2

0

1 02

α

1

0

Fig. 15.29. Schemă pentru calculul adâncimii contractate

g

v

g

vh

g

vaHpE cc

c 2222

2220

0 ⋅+⋅

+=⋅

+++= ςαα

(15.6)

Folosind notaţia:

ςα

ϕ+

=1

(15.7)

se obţine

2

2

0 2 ϕ⋅+=

g

vhE c

c (15.8)

Ţinând seama de ecuaţia de continuitate scrisă secţiunii 2, Q = Ac·Vc, ecuaţia (15.8) devine:

22

2

0 2 cc Ag

QhE

⋅⋅+=

ϕ (15.9)

Ecuaţia (15.9), de sens pur energetic, este prima relaţie fundamentală a racordării biefurilor în regim de fund al vitezelor şi permite calculul adâncimilor contractate prin metode numerice (aproximaţii succesive). În continuare se particularizează ecuaţia pentru secţiune dreptunghiulară. Făcând înlocuirile q = Q/b şi Ac=b·hc, se obţine:

22

2

0 2 cc hg

qhE

⋅⋅+=

ϕ (15.10)

sau

( )c

chEg

qh

−=

02ϕ (15.10’)

Se observă că adâncimea contractată este dată de o ecuaţie algebrică de gradul 3 care se poate soluţiona cu relaţia generală de calcul sau prin aproximaţii succesive. Întrucât hc << E0, la prima iteraţie se permite utilizarea relaţiei aproximative.

02 Eg

qhc

⋅≅

ϕ (15.11)

apoi

( )102 −−

=ci

cihEg

qh

ϕ (15.12)

Calculele se consideră terminate când ccici hhh ε<− −1 (15.13)

unde toleranţa calculului εhc = 0,001 satisface cerinţele tehnice (practice). În tratatele de hidraulică există tabele şi grafice pentru calculul adâncimii contractate, întocmite în valori relative (E0/hcr; hc/hcr). În calcule importanţă mai mare prezintă mărimea coeficientului de viteză φ care, pentru calcule preliminare, pentru câteva tipuri de condiţii de


curgere, se poate adopta din (tab. 15.1). Pentru construcţii de racordare de mare importanţă coeficientul de viteză φ şi condiţiile de racordare se stabilesc experimental pe modele hidraulice.

Valorile coeficientului de viteză Tabelul 15.1

Nr crt Condiţia de curgere φ1 Curgere dintr-un orificiu în atmosferă, liber 1,00...0,97 2 Curgere dintr-un orificiu de stavilă de fund 1,00...0,95 3 Cădere fără stavile 1,00 4 Căderi cu stavile 1,00...0,97

5

Deversor cu profil practic fără stavile: - parament deversant de lungime mică 1,00 - parament deversant de lungime mijlocie 0,95 - parament deversant de lungime mare 0,90

6 Deversoare cu stavile 0,95...0,85 7 Deversoare cu contur poligonal 0,90...0,80 8 Deversoare cu prag lat 0,95...0,85

Pentru parament deversant cu rugozitate mărită valoarea lui φ se poate micşora cu 5 % (piatră cioplită, brută etc).

20. Calculul distanţei la care se formează adâncimea contractată Determinarea distanţei la care ia naştere adâncimea contractată hc

prezintă importanţă practică atât pentru poziţionarea în lungul curentului a elementelor hidraulice de racordare, cât şi pentru controlul racordării biefurilor. Această distanţă lb se calculează funcţie de tipul construcţiei care produce mişcarea efluentă.

20.a. La deversorul cu muchie ascuţită cu lamă aerată, aceastădistanţă de bătaie a lamei se compune din două elemente (fig. 15.30 a).

10 lllb += (15.14) l0 fiind distanţa măsurată pe orizontală de la muchia deversorului până la punctul de cotă maximă a pânzei inferioare şi are valoarea l0 = 0,27H (v. 11.5.2.pct.8).


H H

h

h

px

y

yp

l l l

V0

00

1

max

yb

0 1

1

x

aFig. 15.30. Calculul distanţei de bătaie a lamei deversante

Notând cu v viteza medie a particulelor din secţiunea de origine a axelor de coordonate, o particulă din centrul de greutate al lamei în timpul t

parcurge distanţa după orizontală x = vt, iar pe verticală 2

2

1gty = . Viteza

particulei fiind dată de relaţia ghv 2ϕ= se obţine:

yhx ⋅= ϕ2 , (15.15)

respectiv

max1 2 yhl ⋅= ϕ (15.15’)

conform 11.5.2.pct.8, ymax = p + 0,446H (15.16) şi h = 0,554H (15.17) Bătaia lamei se consideră distanţa pe orizontală de la muchia deversorului şi până la centrul lamei care atinge patul albiei biefului aval.

20.b. La deversorul cu prag lat (fig. 15.30 b) distanţa de bătaie a lamei este

lb = l1 (15.18) se acceptă

( ) 01 112 Hmh −−= (15.19)

şi

21

0

hHh −= (15.20)

H0

h1

l =lb 1b


Considerând ymax = p+h1/2 distanţa de bătaie a lamei este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=22

2 110

hp

hHlb ϕ (15.21)

20.c. La deversor cu profil curb când lama se dezlipeşte de paramentul aval (fig. 15.31), rezultă:

Fig. 15.31. Bătaia lamei la deversor cu profil curb cu lamă dezlipită

l0 = 0,3H; h1 = 0,64H; φ = 1; h = H0 - h1/2 = 0,68H0; ymax = p+h1/2 = p + 0,32H0, respectiv:

( )032,065,13,0 HpHHlb ++= (15.22)

20.d. La stăvilar în albie continuă (orificiu de fund) distanţa la care se formează adâncimea contractată faţă de paramentul amonte al stavilei se poate determina aproximativ din relaţia (fig. 11.14)

lb = (2...3) a (15.23)

20.e. La deversoare cu profil practic la care lama deversantă nu se dezlipeşte de parament, adâncimea contractată este la piciorul aval al taluzului. Afirmaţia este valabilă şi pentru canale rapide la care adâncimea hc este adâncimea curbei de supraînălţare sau de coborâre în secţiunea aval a jilipului.

15.3.2. Relaţii de calcul pentru racordări în regim de suprafaţă al vitezei

În cazul racordării în regim de suprafaţă al vitezei, cu evacuator cu prag în aval (fig. 15.32) relaţiile de calcul pentru saltul de suprafaţă rezultădin ecuaţia energiei şi cantităţii de mişcare, după cum urmează:

H

p

l l

0 1

b

h h1

l


Fig. 15.32 Schema pentru calculul racordării în regim de suprafaţă al vitezei

220 2

cosc

chg

qhdE

⋅⋅+=−

ϕθ (15.24)

şi

( ) 2222

coscos2

hdhhhhgh

qcc

c

′′−+=′′−′′

⋅θθ

α (15.25)

S-a considerat hc adâncimea de intrare în saltul de suprafaţă.

15.4. APLICAŢII

10. Să se analizeze şi să se poziţioneze elementele hidraulice de racordare a două biefuri la schimbarea de pantă a canalului de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 10 m3/s; b = 4 m; n = 0,016; α = 1,1; I1 = 5 ‰ I2 = 0,5 ‰. Bieful 2 se termină cu o cădere, iar adâncimea maximă a apei pe acest bief h2max = 1,70 m.

Rezolvare. a. Se calculează adâncimile normale pe biefuri. (tab. 15.2)

Tabelul 15.2 Bief h0

(m) A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) Q

(m3/s) 1 0,81 3,24 5,62 0,577 57,0 9,92 2 1,84 7,36 7,68 0,958 62,1 10,00

b. Se calculează adâncimea critică

m89,0481,9

101,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

α

EEh

h

0

c

02

p

H

p

θ d h"Vc

1

Vo

c. Analiza stării curentului şi a tipului de racordare h01 < hcr →bief 1 rapid

→racordare cu salt hidraulic h02 > hcr →bief 2 lent

d. Poziţionarea saltului hidraulic. Se presupune că saltul se formează pe bieful 2, adâncimea de ieşire din salt fiind adâncimea maximăde pe bieful 2, deci h” = h2max. Conjugata acesteia este:

m40,0170,189,0

81270,1

1812

33

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′+

′′=′

h

hhh cr

Adâncimea minimă pe canal este h01 = 0,81 m, deci saltul se va forma pe bieful 1, elementele de racordare fiind: pe bieful 1 MU, salt, a2, iar pe bieful 2 curba b1. (fig. 15.33).

e. Calculul parametrilor elementelor de racordare. e.1. Calculul elementelor saltului.

- adâncimile conjugate: h’ = h01 = 0,81 m

m98,0181,089,0

81281,0

1812

33

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′+

′=′′

h

hhh cr

(nu s-a ţinut seama de panta biefului 1). - lungimea saltului

ls = 6(h”-h’) = 6(0,98-0,81)=1,62 m. e.2. Curba a2 se formează între adâncimile h1a2 = h” = 0,98 m şi

h2a2 = h2max = 1,70 m

Tabelul 15.3. h

(m) η A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) K

(m3/s) x xm φ(η,x) jm

h01 0,81 - 3,24 5,62 0,577 57,0 140,3 - - - -

h1a2 0,98 1,21 3,92 5,96 0,658 58,3 185,3 2,92 2,88

0,523 1,207

h2a2 1,70 2,10 6,80 7,40 0,919 61,6 401,7 2,84 0,146

medii 6,28 59,95


( ) ( ) ( )[ ]

( )( )[ ] m132523,0146,0207,1121,11,2005,081,0

1 12121

012

=−−−−=

=−−−−= ηϕηϕηη ma jI

hL

e.3. Lungimea biefului 2 (a curbei b2). Această curbă se formeazăîntre adâncimile h1b1 = h2max = 1,70 m şi h2b2 = h0cr = 0,89 m

Tabelul 15.4. h

(m) η A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) K

(m3/s) x xm φ(η,x) jm

h02 1,84 - 7,36 7,68 0,958 62,1 447,4 - - - -

h1b1 1,70 0,924 6,80 7,40 0,919 61,6 401,7 2,73 2,77

1,372 0,121

h2b2 0,89 0,484 3,56 5,78 0,616 57,7 161,22 2,81 0,503

medii 6,59 59,65

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )[ ] m1192372,1503,0121,01924,0484,00005,084,1

1 12122

021

=−−−−=

=−−−−= ηϕηϕηη mb jI

hL

0,81

0,98

1,70

0.89

1 1 921321 ,36

M usa lt a 2

b1

C r

N02

N01

Fig. 15.33. Parametrii elementelor hidraulice la racordarea biefurilor

20. Să se traseze linia luciului apei şi să se poziţioneze fenomenele hidraulice pentru racordarea a două biefuri la schimbare de pantă a canalului, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 10 m3/s; b = 4 m; n = 0,016; I1 = 5 %; I2 = 0; l2 = 200 m; α = 1,1. Bieful 2 se termină cu o cădere.


Rezolvare. a. Se calculează adâncimea normală pe bieful 1 şi cea critică pentru

canal, respectiv panta critică (tab. 15.5) Tabelul 15.5

h01

(m) A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) K

(m3/s) Q

(m3/s) 0,382 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8 10,0

m89,0481,9

101,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

α

( ) 00395,0

616,07,5756,3

1022

2

22

2

=⋅⋅

=⋅⋅

=cr

crRCA

QI

b. Racordarea este pentru bief rapid – bief lent, care are loc cu salt hidraulic dacă curgerea pe bieful 2 revine la starea lentă. În acest caz racordarea are ca elemente:

Bief 1 – MU; bief 2 – curbă c0, salt, curbă b0. Dacă bieful nu are lungime suficientă poate lipsi saltul şi curba b0. Se presupune acest ultim caz la limită, când curba c0 se formează pe bieful 2 între adâncimile h01 şi hcr şi se calculează lungimea sa.

Tabelul 15.6 h

(m) ξ A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) K

(m3/s) xm Cm Pm jm LC0

0,382 0,429 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8 3,03 54,7 5,27 0,980 74,0

0,89 1,0 3,56 5,78 0,616 57,7 161,1

(Calculele s-au efectuat conform capitolului 13).

Întrucât lungimea maximă posibilă a curbei c0 este inferioarălungimii canalului, curgerea revine la starea lentă, deci pe bieful 2 existăcurbă c0, salt şi curbă b0. Saltul racordează cele două curbe; adâncimea de intrare în salt este adâncimea de ieşire din curba c0, iar adâncimea de ieşire din salt este adâncimea de intrare în curba b0. Aceste adâncimi nu se cunosc ca mărime. Curba c0 se formează între adâncimile h1c1 = h01 şi h2c1 = h’, iar curba b0 între adâncimile h1b0 = h” şi h2b0 = hcr.


c. Soluţionarea problemei este posibilă grafo – analitic. Se dau valori pentru h1b0 pentru care se calculează lb0, h’ şi ls (tab. 15.7) şi (tab. 15.8). Perechile de valori (h1b0, lb0)i şi (h’, ls)i se reprezintă grafic din aval spre amonte pe bieful 2. (fig. 15.34). Pentru câteva valori arbitrare h2c0∈(h1c0, hcr) se calculează lungimea curbei c0 (tab. 15.9) şi perechile de valori (h2c0 lco)i se reprezintă pe acelaşi grafic din amonte spre aval. La intersecţia curbei c0 cu linia adâncimilor de intrare în salt se găseşte adâncimea căutată h’ = h2c0 cu care se recalculează lungimea lC0, h”, ls, apoi lb0.

Calculul curbei b0

Tabelul 15.7. h

(m) ξ A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) K

(m3/s) xm Cm Pm jm Lb0

h2b0 0,89

1 3,56 5,78 0,616 57,7 - - - - - -

1,40 1,573 5,60 6,80 0,824 60,5 307,6 2,86 59,1 6,29 0,959 157

1,41 1,584 5,64 6,82 0,827 60,6 310,6 2,85 59,15 6,30 0,959 163

1,42 1,596 5,68 6,84 0,830 60,6 313,6 2,85 59,15 6,31 0,957 171

1,43 1,607 5,72 6,86 0,834 60,6 316,7 2,85 59,15 6,32 0,956 179

1,44 1,618 5,76 6,88 0,837 60,7 319,8 2,85 59,2 6.33 0,956 186

1,45 1,629 5,80 6,90 0,841 60,7 322,9 2,85 59,2 6,34 0,955 194

h1b0 1,413 1,588 5,652 6,826 0,828 60,6 34,5 2,85 59,15 6,30 0,959 165

Calculul parametrilor saltului Tabelul 15.8.

h" (m) 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,413

h' (m) 0,524 0,519 0,414 0,509 0,504 0,499 0,517

ls (m) 5,3 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 7,4


Calculul curbei c0

Tabelul 15.9. h

(m) ξ A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) K

(m3/s) xm Cm

(m0,5/s) Pm

(m) jm LC0

(m)

h1c0

0,382 0,429 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8 - - - - -

0,50 0,562 2,00 5,00 0,400 53,6 67,9 3,09 52,65 4,88 0,980 26,6

0,55 0,618 2,20 5,10 0,431 54,3 78,5 3,08 53.00 4,93 0,983 36,8

0,60 0,674 2,40 5,20 0,462 55,0 89,7 3,08 53,35 4,98 0,987 46,4

h2c0

0,517 0,581 2,068 5,034 0,411 53,9 71,4 3,08 52,80 4,89 0,983 30,0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 200

L(m)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

h(m)

200 l(m) 190 180 170 160 150 0

linia h'

linia Co

linia boh"=bo

h1Co=0,382 h2Co=h'=0,517

lCo=30 mls=5,4 m

Lbo=165 m

h"=h1bo=1,413 m h2bo=hc =0,89 m

Co

Fig. 15.34. Soluţia grafo-analitică

Din figură se obţine h2C0 = h’ = 0,517 m la care corespund h” = h1bo = 1,413 m; lC0 = 30,0 m; ls = 5,4 m şi lb2 = 165 m, valori corespunzătoare ultimelor linii din tabelul 15.7 şi 15.9. L = lC0 + ls + lb0 = 30 + 5,4 + 65 = 100,4 m În calcule s-a utilizat:

Ls = 6(h”-h’) şi 21

21

/lg

/lg2

hh

KKxm = .

30. Să se arate elementele hidraulice ale racordării a trei biefuri la schimbare de pantă a unui canal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: q = 1,5 m3/s·m; h01 = 0,2 m; h03 = 0,5 m; h2max = 1,2 m şi α = 1,1.

Rezolvare. Se determină adâncimea critică şi se analizează starea mişcării pe biefuri

m63,081,9

5,11,13

23

2

=⋅

=⋅

=g

qhcr

α.

Fiindcă h01 < h03 < hcr pe biefurile 1 şi 3 mişcarea este rapidă(torenţială), iar pe bieful 2 – cel puţin pe o porţiune – starea curentului este lentă (h2max > hcr). Localizarea saltului se face astfel: h2max se considerăadâncimea de ieşire din salt (h”) şi se calculează conjugata sa (h’) care se va compara cu h01.

m28,012,163,0

8122,1

1812

33

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′+

′′=′

h

hhh cr

Întrucât h’ > h01 saltul se formează pe bieful 2, între salt şi h01 (de pe bieful 1) se interpune o curbă de supraînălţare c (care în funcţie de panta biefului 2 poate fi: c1 - pentru I2 > 0, c0 – pentru I2 = 0 şi c’ – pentru I2 < 0) între adâncimile h01 şi h’. Pe bieful 2, după salt, mişcarea este lentă (fluvială), iar pe bieful 3 rapidă. La schimbarea de pantă bief 2 – bief 3 adâncimea curentului este hcr. Pe bieful 2, după salt, avem o curbă de coborâre b (în funcţie de pantă b1, b0

sau b’), iar pe bieful 3 curba de coborâre b2, între adâncimile hcr şi h03. Schema nivelurilor corespunde (fig. 15.35).

hh ' h " h

h

C

N1

0 1 c r

0 3N 3

C

h c r

B ie f 1 B ie f 2 B ie f 3M is c a r e p e rm a n e n ta

s i u n ifo rm ac u rb a t ip

C s a lt c u r b a t ipb c u rb a b2

r

r

Fig. 15.35. Schematizarea curgerii pe cele trei biefuri


40. Pe un canal de secţiune dreptunghiulară, cu b = 2,0 m; I = 1‰ şi n = 0,018 este amplasat un stăvilar pe toată lăţimea acestuia, având deschiderea a = 0,4 m. Să se determine adâncimea apei amonte de stăvilar şi elementele specifice fenomenelor de racordare în aval pentru debitul tranzitat Q = 4 m3/s. Se consideră α = 1,1.

Rezolvare.a. Adâncimea amonte de stăvilar rezultă din relaţia:

( )( )

agba

QHaHgbaQ ⋅+

⋅⋅⋅=⇒⋅−⋅⋅= ε

μεμ

22

2

2

00

şi

g

vHH

2

20

0 −= , cu 0

0 hb

Qv

⋅≈ .

Valorile μ = f1(a/H) şi ε = f2(a/H) sunt intabulate. Calculele se efectuează prin iteraţii. Pentru o valoare arbitrară a/H = 0,1 avem μ = 0,611 şi ε = 0,615, respectiv

( )

m66,34,0615,081,9224,0611,0

42

2

0 =⋅+⋅⋅⋅⋅

=H .

m64,381,9255,01,1

66,3 ;m55,066,32

4~

2

0 =⋅

⋅−==

⋅Hv .

Pentru 11,064,3

4,0==

H

a rezultă μ = 0,611 şi ε = 0,615 elementele

anterior calculate fiind corecte, deci adâncimea amonte de stăvilar este H = 3,64 m. b. Elemente de racordare în bieful aval.

b.1. Se calculează adâncimea normală h0 şi critică hcr.

Tabelul 15.10

h01 = 1,58 mh0

(m) A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) Q

(m3/s) 1,58 3,16 5,16 0,612 51,19 4,002

m765,0281,9

41,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

α.

b.2. Adâncimea contractată după stăvilar hc şi distanţa unde se formează lc.

hc = ε·a = 0,615·0,4 = 0,246 m; lc = (2...3)a = (2...3)0,4 = 0,8...1,2 m.

hc < hcr, h0 > hcr rezultă racordare cu salt hidraulic.

b.3. Pentru stabilirea poziţiei saltului se consideră hc = h’, se calculează conjugata sa h” care se compară cu h0.

m79,11246,0765,0

812246,0

1812

33

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′+

′=′′

h

hhh cr .

h" > h0 rezultă saltul este îndepărtat şi de fapt adâncimea de ieşire din salt h” este h0. Între adâncimea contractată şi adâncimea de intrare în salt este o curbă de supraînălţare c1.

b.4. Elementele saltului: - adâncimea de ieşire: h” = h0 = 1,58 m - adâncimea de intrare:

m301,0158,1765,0

81258,1

1812

33

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

′′+

′′=′

h

hhh cr .

- lungimea saltului: ls = 6(h”-h’) = 6(1,58-0,301) = 7,67 m. - viteza la intrare:

m/s64,6301,02

4=

⋅=

′⋅=′

hb

Qv .

- numărul Fr’:

⇒=⋅

=′⋅

′=′ 9,14

301,081,9

64,6 22

hg

vrF salt cu jet oscilant.

b.5. Elementele curbei c1 (tab. 15.11) Tabelul 15.11.

h (m)

η A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s)

K (m3/s)

x φ(η,x)

h0 1,58 - 3,16 5,16 0,612 51,19 126,5 - -

h1=hc 0,246 0,156 0,492 2,492 0,197 42,38 9,25 2,82 0,156

h2=h’ 0,301 0,191 0,602 2,602 0,231 43,52 12,60 2,78 0,191

Valori medii 2,547 42,95 2,80

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )[ ] m 0,9156,0191,0162,01156,0191,0001,058,1

1

162,0547,22

81,995,42001,01,1

05,0014,080,2

78,282,2

12120

1

22

21

=−−−−=

=−−−−=

=⋅⋅⋅

=⋅=

<=−

=−

=

ηϕηϕηη

α

δ

mC

m

mim

mx

jI

hl

P

B

g

hj

x

xx

δx - se încadrează în toleranţă. Elementele calculate corespund fig. 15.36.

H = 3 ,6 6 m

H = 3 ,6 4 m

a = 0 ,4 h = 0 ,2 4 6 m h '= 0 ,3 0 1 mh "= h = 1 ,5 8 m

h = 0 ,7 6 5 m

0

cC 1 c r

C

M p us a lt

0V = 0 ,5 5 m /s0

0 ,8 -1 ,2 m 9 ,0 m 7 ,6 7 m

v /2 g02

α

Fig. 15.36. Valorile parametrilor saltului hidraulic

Capitolul 16

DISIPAREA ENERGIEI. DISIPATORI DE ENERGIE

Una din cele mai importante probleme a racordării biefurilor o constituie controlul şi disiparea energiei curentului evacuat în bieful aval. Această energie suplimentară, de multe ori ocazională, nu este economic săfie recuperată prin construcţii şi instalaţii anume şi din acest considerent se disipează controlat, altfel putând afecta siguranţa construcţiilor hidrotehnice.

16.1. Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare

Construcţiile de racordare – evacuare cu lame efluente creeazăstare rapidă a curentului, cu viteze mari (la racordări cu salt îndepărtat) şi conduc la erodarea albiei aval, producând afuieri. Pe o anumită distanţă în aval de construcţia de racordare se produce disiparea energiei suplimentare a curentului. Fie o construcţie de racordare cu deversor având profil practic care evacuează în aval debitul maxim Qmax (fig. 16.1).

E

E

HH

p

h

ll

h

0

0

c

10

02

c

1c

lΔ

h''h'

l

EEΔ

EΔ s

EΣ Δ

C1

E 0av

salt

0<I

consolidare grea a albiei lr

risberma

groapaafuere

1 2

3

4

lama deversanta

linia energetica

2<Icr

Fig. 16.1. Schema disipării energiei la un evacuator fără construcţii speciale de disipare

Curentul evacuat accelerează în lamă până în secţiunea contractatăapoi îşi diminuează viteza prin curba de supraînălţare c1 şi salt până se ajunge mai în aval la o distribuţie corespunzătoare regimului lent din aval. Din energia totală E0 din amonte în aval se ajunge la E0av disipându-se în total

1 l C sE E E E∑Δ = Δ + Δ + Δ , parte în lamă ΔEl, parte în curba c1,

ΔEC1, iar restul în salt ΔEs.


Controlul disipării înseamnă disiparea unor anumite cantităţi de energie prin lamă, curba c1 şi salt, proporţiile, la rândul lor, pot fi modificate prin elemente de construcţie sau calitatea suprafeţelor de contact – prin modificarea rugozităţii. Atât pe parament, cât şi în lungul curbei c1 pot fi prevăzute artificial anumite macrorugozităţi, iar saltul poate fi controlat, în sensul poziţiei sale în lungul curentului prin construcţii pentru disipare care îneacă saltul în poziţie impusă. Viteza, respectiv energia cinetică mare în lungul lamei deversante, curbei c1 şi salt conduc la turbulenţă sporită şi pulsaţia presiunii care poate să afecteze construcţia în ansamblu prin eroziunea materialului. Din acest considerent deversorul şi albia în aval până la secţiunea de ieşire din salt se consolidează astfel să reziste acţiunii dinamice ale apei. Chiar şi în aval de salt există o turbulenţă mai mare a curentului faţă de o secţiune mult în aval, o energie reziduală nedisipată, care poate produce antrenarea materialelor albiei. Din acest considerent în aval de salt albia se protejează cu o saltea elastică de material neantrenabil, rizbermă. Din condiţii de micşorare a investiţiilor rizberma se realizează numai pe o anumită parte a zonei de tranziţie (de revenire a profilului de viteză, la cel normal din aval), în aval acceptându-se o anumită posibilitate de antrenare de către curent a materialelor patului albiei, unde se şi realizează groapa de afuieri. Datorită celor arătate, în majoritatea cazurilor de racordare cu salt se controlează disiparea energiei prin construcţii adecvate, reducându-se, din condiţii economice, lungimea pe care se produce disiparea, racordarea făcându-se prin salt înecat. Înecarea saltului are loc prin construcţii speciale „disipatoare de energie”. Cea mai simplă construcţie pentru controlul disipării energiei este „bazinul disipator de energie” care este posibil de realizat în trei variante: prin adâncirea radierului, cu prag încastrat în radier şi mixt (fig. 16.2)

l ba

l b

b l bc

d

hav

d hav d dd hav

12

Fig. 16.2. Tipuri de bazine disipatoare simple: a) cu adâncirea radierului; b) cu prag; c) mixt.

Bazinele simple de disipare cu prag continuu uneori prezintăinconveniente, mai ales la evacuarea apei cu aluviuni, ele se colmatează,

rămân parţial umplute cu apă şi permit dezvoltarea vegetaţiei (nu se comportă bine la numere Fr’ < 20). Uneori se utilizează prag întrerupt, în formă de dinţi, numiţi dinţi Rehbock (propuşi prima dată de T. Rehbock în 1927).

La lucrări importante se utilizează bazine disipatoare cilindrice sau combinate, sau bazine complexe cu dinţi deflectori, dinţi de disipare, prag cu redane. Bazinele disipatoare, care apropie jetul de construcţia de racordare, sunt uneori evitate şi se preferă disiparea energiei în jeturi libere prin aer sau în contact cu o saltea de apă. Construcţiile de racordare folosesc trambuline sau instalaţii mai complicate care realizează jeturi destrămate. În anumite situaţii, ca diferenţă de cotă apreciabilă între douăbiefuri, pante mari pe distanţe apreciabile, pentru economicitatea construcţiei hidrotehnice se pot utiliza disipatori de energie speciali: în cascadă – căderi în trepte, canale rapide – jilipuri. Căderile în trepte pot avea sau nu pe fiecare treaptă bazin disipator sau jilipurile pot fi echipate cu macrorugozităţi. În unele situaţii chiar paramentul deversor este prevăzut cu trepte mici. Situaţiile concrete, hidraulice, condiţiile naturale – orografice, geologice – şi economice, sunt argumente pentru diversificarea controlului disipării energiei.

16.2. CONTROLUL RACORDĂRII ÎN BIEFUL AVAL FĂRĂ CONSTRUCŢII SPECIALE DE DISIPARE A ENERGIEI

În cazul unei racordări cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei, disiparea energiei fără construcţii speciale de disipare are loc în lungul lamei deversante, a curbei de supraînălţare de tip c, în saltul hidraulic şi pe o porţiune aval de salt unde curentul încă prezintă energie specifică rezidualăpeste valoarea caracteristică curentului lent în aval, în forma existenţei macroturbulenţei. (v. fig. 16.1.). În general, porţiunea aval de construcţie, cu viteze mari şi energie specifică peste cea caracteristică curentului lent din aval se protejează prin îmbrăcarea perimetrului cu material rezistent. Prima porţiune se consolidează cu elemente de construcţii rigide care suportăviteze mari – forţe hidrodinamice mari, iar mai în aval, zona macroturbulenţei se protejează printr-o îmbrăcăminte elastică – rizbermă. Problemele puse la disiparea energiei în acest caz nu sunt de control al disipării propriu-zise, ci de determinarea distanţelor care trebuie

consolidate cu elemente de construcţie rigide şi elastice. În zona disipărilor intense – lamă efluentă, curbă de supraînălţare de tip c şi salt – se consolidează cu elemente rigide, masive, iar zona de tranziţie (cu macroturbulenţă) cu disipări mai puţin intense se consolidează elastic. Lungimea de consolidare masiv rigidă este: lm = l0 + l1 + lc + ls (16.1) cu l0 + l1 lungimea de bătaie a lamei, lc lungimea curbei c, şi ls lungimea saltului. Lungimea rizbermei este: lr = χ·ltr (16.2) unde ltr este lungimea zonei de tranziţie (macroturbulentă) şi χ un coeficient subunitar, de reducere a lungimii rizbermei din condiţii economice. Zona de tranziţie, aval de saltul hidraulic, se caracterizează prin energie suplimentară reziduală datorată macroturbulenţei – pulsaţii de vitezăşi presiune mai intense decât cele caracteristice curentului lent din aval. Pe un anumit parcurs aceste fenomene de macroturbulenţă se „sting”. Lungimea zonei cu fenomene de macroturbulenţă se estimează (M. S. Vâzgo) astfel:

02

4,0h

nlzt = (16.3)

Experienţele pentru albii betonate arată lzt = (2,5...3)ls. Pentru χ = 1lungimea consolidării elastice (rizbermei) este lungimea zonei de tranziţie. Acceptând anumite afuieri în aval lungimea rizbermei se poate reduce (χ < 1) din condiţii economice. Introducând noţiunea de coeficient al capacităţii de erodare al albiei k

neeroziunev

vk = , (16.4)

unde v este viteza medie a apei, iar vneeroziune este viteza care nu produce eroziune şi admiţând în capătul aval al rizbermei k = 1,1...1,2, respectând χ = 0,65...0,7 pentru h”/h’ < 8 şi χ = 0,75...0,80 pentru h”/h’ ≥ 8 rizberma se scurtează. Viteza de neerodare se poate calcula cu relaţia:

6

1

0236,4 hdvneeroziune ⋅= (16.5)

unde d este diametru mediu al particulelor albiei (m). Relaţia este valabilăpentru 0,2 mm < d < 100 mm.


La o eventuală racordare cu salt apropiat sau înecat problemele sunt analoage.

16.3. CONTROLUL RACORDĂRII ŞI DISIPĂRII ENERGIEI CU SALT ÎNECAT ÎN BAZINE DISIPATOARE

Forţarea înecării saltului hidraulic prin construcţii speciale contribuie la intensificarea disipării energiei, respectiv la reducerea lungimii albiei consolidate. Aceste construcţii sunt bazinele disipatoare simple sau complexe (cu dinţi deflectori, prag dinţat, redane – dinţi de dimensiuni mari), radier cilindric sau combinat.

16.3.1. Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare simple

Bazinele disipatoare simple se utilizează în cazul debitelor relativ mici la corectarea torenţilor, evacuatorii de ape mari la baraje cu căderi şi debite relativ mici, în sisteme de irigaţii, desecări, drenaje, alimentări cu apă, canalizări etc. Pot fi realizate în trei variante conform fig. 16.2.

10. Bazin disipator simplu realizat prin adâncirea radierului. Problemele de calcul hidraulic se referă la determinarea adâncimii bazinului şi a lungimii acestuia.

Se consideră un bazin disipator realizat prin adâncirea radierului (fig. 16.3) în albie de secţiune dreptunghiulară.

EE p

p0 n 1

c

0 2

z0 1

H

h

hb a z

d

Δ Δz 0

z ' z v /2 g

h

α0 0

V 0

V

2

l l l1 s

Fig. 16.3. Schemă pentru calcul hidraulic al bazinului disipator simplu cu adâncirea radierului

În cazul limită de salt apropiat conjugata adâncimii contractate este adâncimea apei în bazin. hc" = hbaz (16.6)

Din considerente geometrice, rezultă: d = hba z- h02 - Δz (16.7) sau d = hc” - h02 - Δz (16.7’) Se lucrează pe secţiune dreptunghiulară luând în calcul debitul specific q = Q/b. Mărimea Δz0 se determină considerând ieşirea din bazin prag urcător, obţinând:

2

0 2 2022

qz

g hϕΔ =

⋅ ⋅ (16.8)

în care ςα

ϕ+

=1

este coeficientul de viteză la prag , valoarea sa depinde

de ζ care se obţine din îndrumătoare de calcul hidraulic. Denivelarea Δz este:

2

0 22 c

qz z

g h

α ⋅Δ = Δ −

″⋅ (16.9)

Calculul se conduce iterativ, la prima iteraţie adâncimea contractatăcalculându-se, cu:

g

vHpE

2

20

01

⋅++=

α (16.10)

conform 15.3.1., pct 10. Cu valoarea hc1 obţinută, rezultă d1. Se corecteazăsarcina de calcul cu adâncimea bazinului. E0i+1 = E0i + di (16.11) Calculul se consideră terminat când: di+1 - di < εd (16.12) εd fiind eroarea admisă în calculul adâncimii bazinului (se poate accepta εd = 1 mm). Pentru asigurarea racordării biefului aval cu salt înecat adâncimea bazinului de disipare trebuie mărită astfel ca în bazinul disipator să rezulte un salt înecat, deci hbaz = σî·hc” (16.6’) σî fiind coeficientul de înecare al saltului (σî = 1,05...1,1). Astfel, adâncirea radierului va fi: d = σ·hc” - (h02 + Δz) (16.7’)

În cazul albiilor de secţiune trapezoidală adâncimea contractată se poate calcula aproximativ conform metodologiei prezentate – lama


deversantă are grosime mică în secţiunea contractată – iar conjugata adâncimii contractate rezultă din funcţia saltului. Pentru siguranţa înecării saltului în bazin coeficientul de înecare trebuie considerat σî = 1,1, intervenind în calcule aproximaţii la calculul adâncimii contractate. Celelalte considerente sunt valabile de la albii de secţiune dreptunghiulară. Există tabele şi nomograme în îndrumătoare de calcul hidraulic pentru diferite elemente hidraulice pentru calcule manuale, însă prin programare în limbaje simple, calculul poate fi uşor automatizat. Lungimea bazinului disipator simplu se va trata în comun pentru cele trei tipuri.

20. Bazin disipator simplu cu prag în bieful aval Calculul hidraulic în acest caz constă în determinarea înălţimii pragului şi lungimii bazinului disipator de energie. Se prezintă cazul disipatorului cu prag în albie de secţiune dreptunghiulară (fig. 16.4).

E pp

0 1

c

0 1

H

h

hb a z

d

z

z ' z

h

0 0V 0

V

l l l0 1 s

H

H

1

Δ

0 2

Fig. 16.4. Schema pentru calculul hidraulic al bazinului disipator simplu cu prag

Asigurarea unei racordări cu salt înecat cu un coeficient de înecare σî presupune adâncime din bazin hbaz = σî·hc” (16.13) unde hc” este conjugata adâncimii contractată hc’. Coeficientul de înecare se poate considera σî = 1,05...1,10. Pe de altă parte, din condiţii geometrice, conform figurii, rezultă: hbaz = d + H1 (16.14) obţinând înălţimea pragului: d = σî·hc” - H1 (16.15) Calculele se desfăşoară în ordinea: se determină sarcina E0 şi se stabileşte coeficientul de viteză φ, apoi adâncimea contractată hc, conjugata acesteia hc”, adâncimea în bazin hbaz şi viteza medie din bazin v, respectiv termenul cinetic corespunzător acestei viteze α·v2/2g.

Pragul bazinului disipator, în prima ipoteză, se consideră deversor cu funcţionare liberă. Din ecuaţia acestuia

2/3012 Hgmq ⋅= (16.16)

cu coeficientul de debit m caracteristic, se determină la debitul specific sarcina totală H01. Scăzând din sarcina totală termenul cinetic corespunzător vitezei medii din bazin (obţinut pentru hbaz) se obţine sarcina pe deversor H1. Apoi, din relaţia (16.15) rezultă înălţimea pragului d. Din comparaţia înălţimii pragului d şi adâncimii normale din aval h02 rezultă două situaţii:

20.a. d > h02, pragul disipatorului funcţionează liber şi calculele întocmite sunt corecte;

20.b. d < h02, pragul disipatorului funcţionează înecat deci este valabilă relaţia

2/3012 Hgmq ⋅⋅= σ (16.17)

unde σ este coeficientul de înecare al pragului disipatorului, dependent de

adâncimea de înecare ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

01

02

01 H

dhf

H

hf nσ .

În acest caz se refac calculele pentru valori mai mici ale lui di decât cele obţinute anterior, respectându-se relaţia (16.14). Se determină H01i, apoi σ şi qi. Perechile de valori (di, qi) se reprezintă grafic din care, la q rezultăînălţimea pragului. Calculul iterativ poate fi automatizat. La bazinul disipator cu prag este obligatorie verificarea racordării cu bieful aval de pragul disipatorului care trebuie să fie cu salt hidraulic înecat. Calculele sunt identice celor prezentate anterior, energia specificăcare generează adâncimea contractată fiind:

g

vhE baz 2

2

01

⋅+=

α.

În cazul obţinerii unui salt îndepărtat se prevede un al doilea prag (fig. 16.5).

E pp

0 1

c

01

H

d

baz1

021

V 0

V

H

E0 1

h

h c1h b az2

d2h

l lbaz1 baz2

h

Fig. 16.5. Bazin disipator dublu cu prag


Obligativitatea verificării racordării cu salt înecat şi după al doilea bazin cu prag rămâne valabilă, calculele fiind asemănătoare. Când disipatorul este realizat pentru racordarea cu bieful aval al unui orificiu de fund (de stavilă), saltul se îneacă asemănător în bazinul disipator de energie. Pentru sarcina totală E0 şi deschidere a a stăvilarului date, debitul evacuat se calculează pentru orificiul de fund înecat (v. 11.1.4). Pentru debitul Q şi sarcina E0 date, trebuie calculată deschiderea a a stavilei ca orificiu mare de fund cu funcţionare înecată. Elementele hidraulice şi geometrice ale disipatorului în rest se calculează asemănător celor prezentate.

30. Bazin disipator simplu, combinat (prin adâncirea radierului şi prag). În situaţia când adâncirea radierului pentru obţinerea bazinului disipator d este mare şi realizarea sa pune probleme tehnice sau este prea scumpă se pot construi bazine disipatoare mixte. De fapt, dacă condiţiile tehnice nu impun forma bazinului disipator, este normal să se studieze la proiectare variantele tuturor bazinelor simple de disipare şi să se adopte varianta economică. Considerentul tehnic sau economic stabileşte mărimea adâncimii radierului d1, apoi înălţimea pragului d2 rezultă din:

d2 = d - d1 (16.18) unde d = f(hbaz) (16.19) Schema de calcul corespunde fig. 16.6. Se acceptă d1 (adâncirea radierului) cunoscut ca şi E0. Se calculează adâncimea contractată hc şi conjugată a acesteia hc”.

E p

p

0 1

c

H

h

h b a z

d

z

h

0V

V

12

H 1

Δ

0 2

dd

H

b a z l

Fig. 16.6. Bazin disipator simplu, combinat

Din condiţia racordării cu salt înecat hbaz = σî·hc” (16.6’) iar din condiţia geometrică


hbaz = H1 + d1 + d2 (16.20) rezultă înălţimea pragului d2. Racordarea cu bieful 2 aval de pragul bazinului disipator este obligatorie şi se verifică acest deziderat.

40. Lungimea bazinelor disipatoare simple. Lungimea bazinelor disipatoare simple este: lbaz = l0 + l1 + ls (16.21)

Elementele din relaţia (16.21) au fost determinate anterior. Saltul fiind înecat, el se dezvoltă pe o lungime mai mică decât un salt perfect. Din acest considerent lungimea saltului se reduce cu un coeficient subunitar β = 0,7...0,8, lungimea bazinului devenind: lbaz = l0 + l1 + β·ls (16.22) O incorectă determinare a lungimii saltului conduce la nerealizarea obiectivului tehnic de înecare a saltului şi scumpeşte construcţia. În cazul construcţiilor importante soluţia definitivă a disipatorului se verifică pe modele hidraulice în laboratoare. Aval de bazinul disipator de energie albia se consolidează elastic – cu risbermă – pe o lungime de cel puţin 3h02.

Observaţii. Bazinele disipatoare simple sunt recomandate pentru numere Froude din secţiunea contractată Frc = 20...80. La numere Frc = 1...6, saltul ondulat produce o ridicare a suprafeţei libere în zona bazinului, ceea ce impune supraînălţarea gărzii bazinului disipator. La numere Frc = 6...20, saltul cu jet oscilant produce valuri şi impune tot o ridicare a gărzii. La numere Frc > 80 – salt violent, bazinul disipator simplu rezultă de gabarite mari şi devine costisitor. Saltul neavând poziţie stabilă, oscilează în jurul unei poziţii medii şi produce valuri necesitând creşterea lungimii şi adâncimii bazinului. Chiar şi pentru Frc = 20...80 zonele de „apă moartă” la ieşirea din bazin devin adevărate capcane pentru materialele solide transportate, iar transportul hidraulic al materialelor abrazive distruge materialul de construcţie (betonul) la ieşirea din bazinul disipator.

16.3.2. Bazine disipatoare complexe

Pentru micşorarea dimensiunilor bazinelor disipatoare, cu menţinerea sau chiar îmbunătăţirea condiţiilor de disipare şi a racordării cu bieful aval se utilizează diferite dispozitive ce transformă bazinele de

disipare simple în complexe. Ele pot fi folosite cu rezultate bune şi la numere Frc < 20. Se prezintă câteva soluţii de bazine disipatoare complexe dupăBradley şi Peterka care pot fi considerate forme standard.

10. Bazinul disipator USBR – II Acest tip de bazin este recomandat pentru căderi mari, cu Frc > 16,

care asigură formarea unui salt stabil. Foloseşte elemente suplimentare de disipare şi control, dinţi deflectori şi prag dinţat la ieşire (fig. 16.7)

D in t i d e fle c to r iP ra g d in ta t

P a n ta 2 :1

h c

22b = h c

c= h1b

1h = h c

0 .1 5 h ''0 .1 5 h ''

h = 0 .2 h ' '2

L b

a

θ

3

4

5

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

d

e

4 6 8 1 0 1 2 1 4

6

8

1 0

1 2

L buc

chh g v

0 4 8 1 2 1 6 2 00

4

8

1 2

1 6

2 0

2 4

2 8

0.81.2

1.01.1

0.9

h g v m in

c

b

L b

α h a v

α

F r

F r

F r

Fig. 16.7. Disipator de energie USBR – II a). vedere; b). suprafaţă liberă în bazin; c): adâncimea hav necesar;

d). lungimea bazinului; e). înclinarea suprafeţei libere.

Dinţii deflectori nu au rol disipativ direct, ci de control; jumătate din lama incidentă pătrunde printre dinţi şi rămâne în regim de fund, iar cealaltă jumătate este dirijată într-o zonă intermediară. Lama deversantă este fracţionată. Începutul saltului este localizat în zona de intrare iar jeturile deflectate măresc turbulenţa şi, implicit, disiparea energiei. Dimensiunile dinţilor deflectori, a pragului dinţat de la ieşire şi lungimea bazinului sunt funcţii de hc, conjugata sa hc” şi numărul Frc (conform fig. 16.7. c, d, e). Pragul dinţat de la ieşire micşorează eroziunea de după disipator şi împiedică colmatarea bazinului. Acest prag dinţat fracţionează curentul la ieşirea din disipator şi prin intensificarea transferului de masă şi turbulenţei asigură autocurăţirea disipatorului.

Fracţionarea jetului şi deflectarea unei părţi măreşte lungimea de disipare a energiei reziduale, iar eroziunile după ieşirea din bazin sunt mai mari. La căderi mari, cu vc > 25 m/s, pot să se manifeste efecte cavitaţionale la muchiile vii ale dinţilor deflectori care se previn prin rotunjirea muchiilor dinţilor, determinate prin studii de laborator.

20. Bazin disipator USBR – III Acest tip de bazin disipator este recomandat pentru căderi relativ

mici, Frc > 16, viteză în secţiunea contractată vc < 15 m/s şi evacuare de apărelativ curată (fără material abraziv, gheaţă sau material flotabil de dimensiuni mari).

Ca elemente suplimentare se utilizează dinţi deflectori, şi şicane(dinţi mari în interiorul bazinului), fig. 16.8.

Şicanele sunt atacate direct de jetul incident şi suportă un impact puternic. Prin impact se intensifică disiparea energiei şi poziţionarea începutului saltului la intrarea în bazin este mai bine controlată. Muchiile vii ale şicanelor sunt cele mai eficiente pentru disipare, dar sunt sensibile la cavitaţie.

d)

T

a)

T

b)

e)c)

Fig. 16.8. Disipator de energie USBR – III a) vedere în perspectivă; b) profilul suprafeţei liber; c) determinarea lui hav;

d) determinarea lungimii bazinului; e) determinarea înălţimii dinţilor şi redanelor.


30. Bazinul disipator USBR - IV Aceste bazin disipator se utilizează pentru Frc = 6...20. Se

utilizează ca elemente suplimentare dinţi deflectori mari (fig. 16.9). Este un bazin disipator pentru salt oscilant, cu generare de valuri în aval, care se menţin şi după pragul aval al disipatorului. La unele forme se utilizează şi alte elemente pentru fracţionarea jetului (grătar fix) şi dispozitive pentru atenuarea valurilor.

2h c min

c2h

Fata superioaracu inclinare de 5°

bL

Spatiu liber

i=1:2

2b

1b

1b / 2b =1,25

Fig. 16.9. Disipator de energie USBR – IV

16.3.3. Alte forme de bazine disipatoare de energie

Bazinele disipatoare paralepipedice sau apropiate de această formăsunt soluţii tehnice care controlează bine disiparea energiei excedentare, dar la numere Frc mari lungimea şi implicit costurile lor devin prohibitive. Când se acceptă o racordare mai violentă cu bieful aval, se găsesc soluţii care realizează disiparea în mare măsură în bieful aval, dar care să nu pericliteze stabilitatea construcţiei. Aceste soluţii au o puternică influenţă pe lungimi considerabile asupra biefului aval, generează oscilaţii, valuri şi afuieri importante. Din această categorie fac parte soluţiile: disipator cu treaptă de cădere şi dirijare, disipatorul cilindric circular şi radier cilindric combinat.

10. Disipatorul cu treaptă de cădere şi dirijare În această soluţie barajul se termină cu o treaptă de înălţime d,

profilată cilindric şi având unghi θ la ieşire astfel ca jetul să fie dirijat în sus (fig. 16.10). Se recomandă pentru zone cu sloiuri, cu material flotabil transportat însemnat şi căderi relativ mici.

Pentru a realiza efect minim asupra albiei se caută ca racordarea săaibă loc cu salt de suprafaţă liber sau înecat (v. fig 15.18. a şi b). Celelalte


forme de racordare în regim mixt al vitezei – şi cu salt de fund – afecteazăalbia din aval prin afuieri importante. Sunt sensibile la variaţia debitului şi, implicit, a nivelului aval.

H'H

d θhav

Fig. 16.10. Soluţie de racordare şi disipare cu treaptă de cădere

20. Disipatorul cilindric Este alcătuit dintr-un bazin cilindric circular, cu unghi la centru de

90o, având generatoarea inferioară la nivelul patului albiei aval şi terminându-se cu un prag aval care împiedică antrenarea materialului erodat din aval să pătrundă în disipator (fig. 16.11). Disiparea energiei are loc în cele două turbioane, unul de suprafaţă în bazin, celălalt de fund, aval de construcţie.

H

v /2g

h

h

h

45

0

c

c

av

R

2cα

Fig. 16.11. Disipator cilindric circular

Disiparea este sensibilă la variaţia debitului şi nivelului aval. Radierul disipatorului este puternic solicitat şi necesită construcţii masive. Jetul aruncat în aval produce eroziuni puternice chiar şi în terenuri rezistente (ex. la barajul Rihand – India s-a produs o groapă de eroziune de 28 m adâncime în granit după câteva deversări). Soluţia s-a aplicat la baraje cu înălţime de până la 140 m.

30. Disipator cu radier cilindric combinat Acest disipator de energie se compune dintr-o cuvă cilindrică, de

rază R care se prelungeşte în aval cu o suprafaţă plană înclinată faţă de orizontală cu 8o. Pe această suprafaţă plană sunt plasaţi dinţi de fracţionare rotunjiţi (pentru a rezista la viteze mari). Radierul se termină cu o placăplană înclinată cu 8o faţă de orizontală şi are rol de dirijare a jetului. Muchia


de ieşire din disipator are cotă superioară albiei aval (fig. 16.12). Raza de curbură a bazinului depinde de sarcina totală H0 şi Frc. Studiile de laborator s-au întreprins pentru barajul Angostura. Se păstrează ideea deflectării jetului de orizontală cu 16o, iar dinţii deflectori cu 45o. Deflectarea diferită a jetului atenuează efectul de impact asupra albiei aval.

Fig. 16.12. Disipator cu radier cilindric combinat

Fracţionarea lamei intensifică turbulenţa şi transferul de masă şi, implicit disiparea.

Disipatorul este sensibil la variaţia nivelului aval însă mai puţin decât disipatorul cilindric.

Barajul de la Porţile de Fier I are un astfel de bazin disipator însăfără dinţi reflectori. (fig. 16.13).

69.50 Nivelmaxim

63.00 Nivel minimde functionare

55.20

35.037

30.0023.0018.50

45.50 Nivel maxim aval

Nivel minim aval pentru navigatie

35.1031.10

26.00

19.00

Voal de etansare Drenaje

30.6127.468

R=10.30

27.0021.70 31.15

Fig. 16.13. Disipatorul barajului deversor de la Porţile de Fier I

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,63

4

5

6

7

8

9

10

11

R/H0

Fr =

V /

gh

cc

c

c.


Observaţii generale asupra bazinelor disipatoare de energie. Din analiza bazinelor disipatoare de energie se poate observa căsoluţii cu aplicabilitate generală există numai pentru lucrări mici. La lucrări cu cădere mare şi mijlocie şi debite considerabile, fiecare situaţie se analizează în particular, iar dintre soluţiile plauzibile cea acceptată se diferenţiază în urma experimentărilor de laborator, pe modele hidraulice. Trebuiesc respectate totuşi câteva reguli generale, astfel: - bazinele disipatoare trebuie să fie autocurăţitoare; - coeficientul pentru înecarea saltului va avea valoarea cu atât mai ridicată, cu cât nivelul aval se cunoaşte cu mai puţină exactitate; - trebuie avută în vedere la proiectarea şi realizarea disipatoarelor dinamica albiei aval datorită eroziunilor care au efect asupra nivelului aval; - soluţiile cu dinţi de disipare, şicane, redane, prag dinţat trebuie aplicate cu grijă şi executate cu protecţia muchiilor şi întreţinute corespunzător, altfel acestea pot periclita siguranţa întregii construcţii.

16.4. RACORDAREA BIEFURILOR ŞI DISIPAREA ENERGIEI ÎN JETURI LIBERE

Racordarea cu lamă sau jet liber se utilizează la căderi mari – la baraje deversoare, canale rapide în consolă sau conducte de evacuare – unde se formează jeturi cu viteză mare, cu traiectorie lungă, astfel ca locul de impact din aval să nu influenţeze fundaţia construcţiei. Disiparea energiei poate fi puternică în jetul destrămat, înainte ca acesta să atingă suprafaţa apei din aval sau poate fi realizat prin impactul jetului (lamei) compact cu salteaua de apă din aval. Disiparea în jetul destrămat este complicată, necesită multăexperienţă şi modelare hidraulică şi nu se dezbate aici. În a doua soluţie, jetul compact se realizează pe o suprafaţădeversantă netedă, fără discontinuităţi, canal rapid sau trambulină în consolă, uneori convergentă având în final un prag (nas) de dirijare plan sau curb a lamei deversate. (fig. 16.14).


E

laf

avh

Ty

Curba de coborare de tip bII

hcr0H

t

z c

hcα

2h

Fig. 16.14. Racordare de biefuri cu jeturi libere a) cu trambulină; b) deversor cu profil practic;

c) jilip cu trambulină în consolă.

La contactul jetului cu bieful aval se creează o groapă de eroziune. Din acest considerent jetul trebuie lansat suficient de departe astfel ca groapa de eroziune să nu influenţeze stabilitatea construcţiei. Prin eroziune salteaua de apă se dezvoltă până la dimensiunile corespunzătoare disipării energiei (poate să ajungă până la adâncimi de 20...30 m). Prin calcule hidraulice se urmăresc parametrii hidraulici ai consolei (canalului rapid) stabilirea locului de impact al jetului şi dimensiunile gropii de eroziune.

10. Calculul parametrilor jetului Lama de apă evacuată sub sarcina E0, accelerează pe parament (sau

în canalul rapid) fiind lansată cu viteza vc de pe trambulină şi parcurge traiectoria în aer până la întâlnirea saltelei de apă în aval cu adâncimea hav, apoi sub apă unde realizează o groapă de eroziune cu adâncimea totală her. (fig. 16.15). Din cauza transformării locale a mişcării, unghiul de lansare αj

nu coincide cu unghiul trambulinei αt (măsurate ambele faţă de orizontală cu semn plus în direcţie ascendentă). Originea axelor se consideră în centrul

jetului lansat, peste muchia trambulinei la 2

cos jch α⋅, hc fiind adâncimea

contractată (v. 15.3.1). Înclinarea paramentului aval sau al jilipului este αp.


ap

αj

x

VC

αc

βαp

αt

z

H

EEO

x

y

hC R

αt

δc αi

LC

Ler

VC

Vt

hCcosa2

β

havher

Fig. 16.15. Schema de calcul a racordării cu jet

Bătaia lamei în aer rezultă din traiectoria balistică a particulei din originea axelor de coordonate

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

⋅=

22

22

sinsincos

cjj

jcc v

gy

g

vL αα

α (16.23)

în care 2

cos jcc

hy

αδ += .

Viteza de lansare a jetului liber este

( )jcc hEgv αϕ cos5,02 0 ⋅−= (16.24)

unde φ este coeficientul de viteză. Pentru deversor cu profil practic în calcule orientative (după Skrebkov) φ este:

H

HE −−= 0155,01ϕ (16.25)

La evacuatori cu galerii sub presiune φ = μ. La jilipuri cu trambulină, vc se poate accepta viteza la sfârşitul curbei de coborâre b2. Jetul lansat se lărgeşte în plan în lungul traiectoriei, unghiul de divergenţă (de o parte a planului de simetrie) θ fiind:

c

cc

v

gR

vh

arctg

2

1+

=θ (16.26)

Sub nivelul apei din aval lama parcurge o traiectorie rectilinie având înclinarea unghiului de incidenţă la suprafaţă αi – formată de tangenta la traiectoria jetului în aer cu orizontala de sub jet. Astfel distanţa de bătaie la fundul gropii de eroziune este:


i

ercer tg

hLL

α+= (16.27)

Unghiul de incidenţă a jetului este:

jc

cji v

gtgarctg

α

δαα

222

cos

2

⋅

⋅+= (16.28)

Viteza jetului în secţiunea de incidenţă este:

gzvi 2ϕ= (16.29)

Bătaia jetului depinde de unghiul de lansare αj şi de aerarea sa pe traiectorie. Unghiul de lansare a jetului faţă de orizontală, în secţiunea de desprindere αj se determină pe baza graficului din fig. 16.16 (după Orlov), cunoscând: β =αp + αt (16.30) unghiul format de parament şi tangenta trambulinei la punctul de desprindere, respectiv R/hc. Unghiul α format de paramentul aval şi direcţia de lansare a jetului în secţiunea de desprindere rezultă din graficul din fig. 16.16.a, sub forma α/β = f(β, R/hc). Din relaţia între unghiuri se obţine: αj = αt – (β – α) (16.31) unghiurile αt şi αj se consideră pozitive pentru pantă inversă. Graficul din fig. 16.16.b permite calculul lui αj la devierea jetului

prin suprafaţă plană la jilip cu trambulină în consolă, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

c

Tj

h

yf ,β

β

α.

Se observă că lungimea planului de deviere este YT = (0,5...3)hc.

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.9

0.95

=0.98

R/h

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1 2 3

20°30°

40°50°

60°70°

80°

a b

α β ββ−α

α

α

α

β

βαβ

β=10ο

β

α

αβ

h

R

v

h y

c

p

t

jc

j

c

j

T

c yThc

Fig. 16.16. Diagrama pentru calculul unghiului de lansare a jetului: a). trambulină curbă, b). trambulină plană

Pe traseul său jetul liber încorporează aer şi se descompune cu atât mai mult cu cât viteza de lansare este mai mare. Concentraţia de aer în jet S = 1 – γam/γapă după un parcurs pe orizontală de minimum x/hc ≥ 20, ajunge la valoarea S = 0,8. Aerarea micşorează bătaia jetului, distanţa reală fiind KLc în care K < 1 se determină din fig. 16.17 (după Isacenko, Camisvihi şi Kamenev) în funcţie de numărul Froude la secţiunea de lansare.

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

030 40 50 60 70 80 90 100 110 120

K

=V c

2

ghcrF

Fig. 16.17. Factorul de corecţie a lungimii de bătaie a jetului

20. Dimensiunile gropii de eroziune. După Mirţhulava adâncimea gropii de eroziune în terenuri necoezive

este

avi

i

ier h

ctgvwqh ⋅+

⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 25,0

175,01

sin5,24,2

α

αη (16.32)

în care q este debitul specific; η un coeficient de trecere de la o vitezămedie la cea reală (η = 1,5...2) şi w mărimea hidraulică a particulelor terenului necoeziv.

( )

0

900

75,1

2

γ

γγ

⋅

−=

dgw m (16.33)

s-au notat: d90 – diametrul particulelor cu 90 % din curba granulometrică; γm şi γ0 – greutăţile specifice ale materialului solid şi apei aerate γ0 = (1-S) γapă (16.34) (se poate considera S = 0,8). Cu oarecare aproximaţie relaţia (16.32) se poate folosi şi pentru terenuri stâncoase. Pâlnia de eroziune în terenuri necoezive, după Mihalev, pe fund se dezvoltă după un cerc de rază Rer = 0,215her·ctg αi (16.35) situat pe axa jetului incident submers la care se duc tangente la unghiul taluzului natural (fig. 16.18.a). În terenuri stâncoase forma şi mărimea gropii de eroziune (după Iudiţki) are forma din fig. 16.18.b.


h

h

2h

h

b=2h +4,5h

α Vi

Rer

er

av

hav=0ercr

er

er

unghiul taluzuluinatural

i

a) b)

1:1,

51:3

Fig. 16.18. Groapa de eroziune la racordarea jeturilor libere

16.5. RACORDAREA BIEFURILOR PRIN CĂDERI ÎN TREPTE

Configuraţia terenului în anumite situaţii impune racordarea a douăbiefuri la diferenţe de cote apreciabile, pe distanţe relativ mici, cu pante generale mari. Construirea unei singure trepte de cădere ar necesita lucrări agabaritice, neeconomice şi dificil de realizat tehnic. În asemenea situaţii căderea totală se divizează în mai multe trepte, rezultând o succesiune de căderi sau căderi în trepte. Aceste racordări cu căderi în trepte pot fi realizate cu trepte simple sau cu bazine disipatoare cu prag pe fiecare treaptă. Ultima soluţie este mai economică, reducându-se lungimea treptelor şi, implicit, a întregii construcţii. La pante longitudinale mai mici şi prima soluţie poate fi luată în considerare (ex. la canale colectoare lângă drumuri în pantă). Secţiunea transversală a căderilor în trepte este dreptunghiulară sau trapezoidală (cu taluz abrupt). În continuare se prezintă calculul hidraulic al căderilor în trepte cu prag disipator pe fiecare treaptă care asigură înecarea saltului în bazin. fig. 16.19.

Fig. 16.19. Schema căderilor în trepte

Racordarea cu căderi în trepte se poate realiza în mai multe variante: cu trepte diferite – în funcţie de configuraţia terenului – sau cu


trepte egale – situaţie în care căderea hidraulică z1 = z2 = ... = zi sau când căderea topografică este egală p1 = s1 = s2 = ... = si. Se prezintă pe larg calculul hidraulic în ultimul caz, când căderea geometrică este egală pe fiecare treaptă: p1 = s1= s2 = ... =si = p/i (16.36) Fiecare treaptă se calculează separat.

Treapta întâi (de intrare) comportă operaţii de calcul hidraulic ca la bazin disipator simplu cu prag de disipare 16.3.1 pct. 2.

g

vHsE

2

20

101

⋅++=

α,

pragul de la intrare fiind considerat deversor cu prag lat având înălţimea pragului amonte nul. Această energie specifică defineşte adâncimea contractată pe prima treaptă hc1. Conjugata adâncimii contractate hc1”defineşte adâncimea apei în bazinul disipator al primei trepte hbaz1 = σî·hc1”şi viteza medie la această adâncime v1 = Q/A1. Geometric rezultă înălţimea pragului disipator al primei trepte C1 = hbaz1 – H1. Pentru profilul deversorului pragului 1, din relaţia debitului rezultăsarcina totală H01, respectiv după scăderea termenului cinetic αv1

2/2g, sarcina H1. Se verifică dacă deversorul cu prag lat (de la intrare) funcţionează liber sau înecat. În cazul funcţionării înecate se refac calculele pentru acest regim de funcţionare. Se determină lungimea bazinului l1.

Treapta a doua lucrează cu energia specifică totală E02 = s2 + C1 + H01, care defineşte adâncimea contractată pe a doua treaptă hc2. Înecarea saltului pe această treaptă înseamnă hbaz2 = σî·hc2” = H2 + C2. Având hbaz2 rezultă v2

şi din relaţia debitului pragului H02, apoi H2 şi, ulterior C2. Se verificăfuncţionarea pragului treptei 1 la descărcarea pe treapta a doua. În cazul funcţionării înecate al pragului disipator 1 se reface calculul înălţimii pragului 1. Ulterior se calculează lungimea bazinului disipator pe treapta a doua, şi l2. Celelalte trepte intermediare se calculează identic cu treapta a doua.

Ultima treaptă (de ieşire) este de fapt un bazin disipator realizat prin adâncirea radierului şi se calculează conform 16.3.1 pct. 1, energia specifică la care lucrează ultima treaptă fiind E0(i-1) = pi + Ci-1 + H0(i-1) + d. Se calculează adâncirea radierului d şi lungimea bazinului li. Cu ajutorul elementelor geometrice calculate se stabilesc cotele de execuţie ale fundului fiecărui bazin şi ale pragurilor de disipare, precum şi distanţele pe profilul longitudinal.


Pragurile fiecărei trepte trebuiesc prevăzute cu barbacane pentru golirea lor şi pentru a asigura spălarea materialului solid transportat.

16.6. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR RAPIDE (JILIPURI)

16.6.1. Calculul jilipurilor cu pereţi netezi

Jilipurile sunt canale rapide care racordează două biefuri de canal în regim lent situate la diferenţă de cotă apreciabilă. Atât lăţimea la fund cât şi secţiunea de curgere pe jilip şi pe biefurile lente racordate sunt diferite; viteza pe jilip fiind considerabil mai mare secţiunea sa transversală este mai mică. Din acest considerent din componenţa racordării face parte un tronson de intrare convergent, canalul rapid (jilipul) propriu-zis şi tronsonul de ieşire divergent. Biefurile amonte şi aval pot avea secţiuni de diferite forme (regulate sau neregulate) confuzorul, difuzorul şi jilipul au forme regulate şi sunt consolidate (fig. 16.20). În continuare se analizează în parte calculul hidraulic al zonei de intrare, al canalului rapid propriu-zis şi al zonei de ieşire (liniştitorului). Problemele ridicate fiind foarte diverse, se analizează numai aspectele cele mai des întâlnite în practică.

b B

b ie f a m o n te in t ra re c o n fu zo r j i lip ie s ire d ifu z o r l in is t ito r b ie f a v a l

H H h

hh h

dh

V0 0i= 0 c r

0

i> ic rb2 s a lt

b a z a v

ia v2

ia mh 0

Fig. 16.20. Schema racordării cu canal rapid (jilip)

10. Zona de intrare poate fi controlată de deversor, stăvilar sau poate să fie liberă (s-au analizat la cap. 14). Bieful amonte prin confuzor aduce secţiunea biefului amonte la secţiunea jilipului. Confuzorul, scurt, se construieşte orizontal, iar racordarea poate fi cu timpane verticale, normale

pe direcţia curentului sau oblic, sau racordare cu suprafeţe riglate (fig. 16.21), aceste forme influenţând coeficientul de contracţie.

b B b B b B

a. b. c.

ξ =1,0 ξ = 0,7 ξ = 0,4

Fig. 16.21. Forme de racordare a zonei de intrare: a). cu timpan vertical drept; b). cu timpan vertical înclinat; c). cu suprafeţe riglate.

În cazul intrării cu înălţimea pragului nulă, la schimbare de pantă se formează adâncimea critică, corespunzătoare debitului şi secţiunii canalului rapid. În zona de intrare nivelul variază conform celor analizate la îngustare de secţiune având coeficientul de contracţie ξ menţionat pe fig. 16.21.

20. Zona canalului rapid propriu-zis se caracterizează prin stare rapidă a mişcării lent variate după o curbă de coborâre de tipul b2 sau de supraînălţare de tipul c2. Când zona de intrare este controlată de deversor sau stăvilar, adâncimea contractată după acestea poate ajunge la valori inferioare adâncimii normale de pe curentul rapid hc < h0, respectiv adâncimea de intrare pe canalul rapid poate fi inferioară adâncimii normale, caz în care pe jilip este curbă de supraînălţare c2 Cel mai des însă se întâlneşte situaţia când intrarea pe jilip are loc cu hcr şi pe canalul rapid avem o curbă b2 a suprafeţei libere.

În ambele situaţii calculul hidraulic al canalului rapid constă în trasarea suprafeţei libere a apei şi determinarea adâncimii apei h2 în capătul aval al jilipului de lungime dată.

30. Zona de ieşire (liniştitorul) trebuie să asigure o racordare cu salt înecat al jilipului cu bieful aval. Adâncimea h2 la capătul biefului rapid se consideră adâncimea de intrare în salt h2 = h’. Conjugata sa h” dacă este superioară adâncimii aval este necesară înecarea saltului într-un bazin disipator simplu. Bazinul disipator se poate realiza în toate cele trei variante prezentate la 16.3.1.

Adâncimea apei în bazin trebuie să fie: hbaz = σî·h” (16.6’)

În cazul bazinului disipator realizat prin adâncirea radierului calculele necesită iteraţii succesive, întrucât necunoscuta – adâncimea bazinului d – lungeşte canalul rapid şi, implicit, modifică adâncimea h2 = h’. Bieful lent din aval totdeauna are lăţimea la bază mai mare decât al canalului rapid, deci canalul rapid se racordează cu bieful aval printr-un tronson divergent. Unghiul de divergenţă θ pe acest tronson trebuie să fie suficient de

mic ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=12

1...

8

1θtg pentru ca pe traseul său să se respecte caracteristicile

mişcării gradual variate şi să nu apară vâne instabile. Saltul hidraulic înecat se formează în acest tronson divergent, deci disipatorul de energie este în canal divergent (fig. 16.22).

h ' h "

l s '

d

' "

Bθ

bQ = cV ' V "

' "

Fig. 16.22. Saltul spaţial în difuzor

Neglijând reacţiunea pereţilor laterali, din teorema impulsului rezultă:

( ) bhBhvvQ 2

2

1

2

1′′⋅−⋅′⋅=′−′′⋅ γγρ (16.37)

iar din ecuaţia de continuitate: bhvBhvQ ⋅′′⋅′′=⋅′⋅′= (16.38) Din cele două ecuaţii rezultă necunoscutele h” şi v”. Lungimea saltului este:

θtglB

Bll

s

ss

⋅⋅+

⋅=

′

1,0 (16.39)

în care ls este lungimea saltului într-un canal de secţiune dreptunghiulară de lăţime B. Atenţie trebuie acordată unghiului de divergenţă care trebuie săsatisfacă condiţia θ < 8o.

Observaţie. Utilizarea în variante a jilipurilor sau canalelor cu căderi în trepte necesită justificare tehnică şi economică (în special).


16.6.2. Calculul jilipurilor cu macrorugozitate artificială

Din necesităţi tehnice uneori pe racordarea a două biefuri lente cu un jilip adâncimea minimă a apei, hmin, sau viteza maximă limită, vmax sunt impuse (canale de plutărit, scări de peşte), iar datorită pantei, aceste elemente nu se pot realiza pe jilip obişnuit. Pe fundul jilipului, iar uneori şi pe pereţii lor laterali, se prevăd obstacole din construcţie pentru reducerea vitezei curentului sau mărirea adâncimii. Aceste obstacole se numesc macrorugozităţi artificiale. Se realizează sub formă de redane, şicane, nervuri, mici trepte, alveole de formă specială etc. Prin aceste elemente de construcţie se ajunge la creşterea suficientă a rugozităţii astfel ca la pante de până la 15 % să se realizeze viteze medii admisibile (fig. 16.23). Calculul hidraulic al jilipului şi în acest caz se efectuează dupărelaţia lui Chézy, dimensionând tipul de macrorugozitate artificială astfel ca valoarea coeficientului C realizată să conducă la viteze admisibile. Din condiţia mişcării uniforme rezultă:

RIA

Q

RI

vC == (16.40)

Parametrii canalului rapid se definesc în afara macrorugozităţilor. Prin experimentări s-au stabilit formule empirice între geometria şi amplasamentul macrorugozităţilor şi coeficientul lui Chézy, C. Macrorugozitatea de fund este caracterizată de parametrii

0

0 şi h

bh== β

σα (16.41)

în care: h0 este adâncimea normală (peste macrorugozitate); b – lăţimea la fund a canalului; σ – înălţimea macrorugozităţii artificiale.

Fig. 16.23. Tipuri de macrorugozităţi

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )

(8 )

h

bb 0

0 .1 5 σ

σ λ

(7 )

(6 )

(5 )

λ


În tabelul 16.1 sunt prezentate relaţiile de calcul pentru coeficientul lui Chézy, valabile primelor patru tipuri de macrorugozitate pentru pantă I = 15 %, cu domeniul lor de valabilitate, factorul de corecţie χ pentru pante

diferite de 15%, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ii

CC

χ%15 , şi echidistanţa de plasare a lor pe jilip, λ.

În cazul treptelor de fund relaţiile empirice sunt:

- pentru tipul 5 αβ ⋅−⋅+= 67,0101000

3aC

- pentru tipul 6 αβ ⋅−⋅+= 33,1101000

9bC

.

Valorile parametrilor a şi b depind de panta jilipului (tab. 16.2).

Coe

fici

entu

l Ché

zy p

entr

u m

acro

rugo

zita

ţi

Tab

elul

16.

1 T

ipul

de

mac

ro-

rugo

zita

te

%15

pant

ape

ntru

10

00=

IC

Dom

eniu

l de

vala

bili

tate

al

rela

ţiei.

Ech

idis

tan ţ

a λ

dint

re

mac

roru

gozi

tăţi

Fac

toru

l de

core

cţie

χ pe

ntru

pa

nta

I4%

7%

10

%

15%

20

%

1 11

6,1

- 6,

1α -

1,2

β 5

≤α

≤ 12

λ

= 8

σ0,

75

0,85

0,

93

1,00

1,

00

2 85

,5 –

3,9

α –

0,8β

3,

5 ≤

α≤

8 1

≤β

≤ 6

λ =

8σ

0,75

0,

80

0,90

1,

00

1,00

3 ra

cord

area

cu

muc

hii a

scuţ

ite

47,5

– 1

,2α

+ 0

,1β

3 ≤

α≤

8 λ

= 8

σ0,

90

1,00

1,

10

1,00

0,

90

reda

ne r

otun

jite

50

,5 –

3,3

α +

0,2

β5

≤α

≤ 12

λ

= 8

σ0,

90

1,00

1,

10

1,06

0,

90

4 R

edan

e sc

urte

alt

erna

nte

54,5

– 2

,1α

– 0,

33β

2 ≤

α≤

5 λ

= 4

σ1,

00

1,00

1,

00

1,00

1,

00

dinţ

i alt

erna

nţi î

n şa

h 52

– 5

,1α

– 0,

8β2

≤α

≤ 5

λ =

4σ

1,00

1,

00

1,00

1,

00

1,00

Parametrii a şi b pentru trepte de fund Tabelul 16.2

Tipul Parametru Panta I(%)6 9 12

5 a 19 21 22 6 b 33 36 38

În cazul nervurilor verticale pe pereţii laterali (tipul 7) se definesc parametrii

cc b

bs

b

hm == şi 0

cu notaţii corespunzătoare fig. 16.23. Se aplică relaţia empirică

( )11000

21 −+⋅= szmzC

.

Valorile parametrilor z1 şi z2, domeniul de valabilitate a ecuaţiei şi echidistanţa λ/σ sunt redate în (tab 16.3).

Parametrii z1 şi z2 pentru nervuri laterale Tabelul 16.3 I (%) z1 z2 Domeniu de utilizare

6 35,5 121 0,12 < m < 0,5 1,08 < s < 1,02 10 < λ/σ < 12

10 39,5 126 15 59,5 131

În cazul redanelor de fund şi nervuri laterale (tipul 8) relaţiile empirice de calcul sunt:

- pentru panta I = 6 %: 38,18861471000

α⋅−−⋅= sC

- pentru panta I = 10 %: 32,28731551000

α⋅−−⋅= sC

- pentru panta I = 15 %: 3321652511000

α⋅−−⋅= sC

Jilipul se echipează cu macrorugozităţi pe o porţiune din lungimea sa, în partea aval. Peste macrorugozităţi se menţine adâncimea normală h0

corespunzătoare lui C stabilit prin macrorugozitate. În confuzor şi pe prima


parte a canalului rapid curentul accelerează, iar macrorugozităţile se pun unde adâncimea de ieşire din curba b2 este h2 = h0 + σ. (fig. 16.24).

Depinzând de funcţionalul jilipului cu macrorugozitate artificialăacesta poate să fie prevăzut cu un bazin disipator de energie (ex. la descărcătorul de suprafaţă lateral al lacurilor de acumulare) sau fără astfel de bazin (ex. jilipuri de plutărit).

σλ

h

zona de Miscare uniforma linistitoraccelerare

confuzorprin curba b2

h =c, v=c cu saufara baz in disipatoro

o

in

Fig. 16.24. Echiparea jilipului cu macrorugozităţi

16.6.3. Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată

La evacuatori sau la racordarea biefurilor lente la diferenţe de cote mari, pe distanţe relativ mici (cu pante mari) se pot utiliza canale cu trepte cu curgere aerată. Pe de o parte sunt asemănătoare căderilor în trepte, însămărimea treptelor este mai mică, nu au bazin disipator şi peste trepte curgerea este aerată. Pe de altă parte pot fi asemănătoare cu jilipuri cu macrorugozităţi – forma acestora fiind trepte mici – la care linia vârfului treptelor formează un pseudo-fund imaginar peste care are loc curgerea aerată (fig. 16.25). De fapt curentul principal se sprijină pe perna de „apămoartă” de pe trepte, care este recirculată, sub formă de vârtejuri.

b)Fig. 16.25. Canal cu trepte în curgere aerată: a). schema curgerii;

b). evacuatorul în trepte la barajul Clywedog UK.

θ

p

l

Kp

h0

V0

curent aerat

vartejuri

a)

0τ


Mişcarea vârtejurilor de pe trepte este întreţinută de transmiterea energiei de la curentul principal prin efortul tangenţial τ0 prin transfer de impuls. Pe primele trepte de la intrare curentul este neaerat, dar dupătrecerea peste câteva trepte se antrenează puternic aerul de la suprafaţă. Antrenarea de aer în apă are loc când energia cinetică a pulsaţiilor turbulente ale vitezei la suprafaţă depăşeşte efectul forţelor gravitaţionale şi de tensiune superficială şi se exprimă prin mărimea pulsaţiei vitezei v’ normale pe direcţia curgerii, astfel

bd

v⋅

>′ρ

σ8 (16.42)

şi θcos⋅>′ bvv (16.43)

în care ρ este densitatea apei; db – diametrul bulelor de aer, iar θ – unghiul pseudo-fundului cu orizontala. Antrenarea de aer are loc când ambele condiţii sunt satisfăcute şi v’ > 0,1...0,3 m/s, pentru bule de aer având db = 8...40 mm. Efectul plutirii este atenuat de forţe hidrodinamice şi bulele sunt antrenate în aval. Soluţia grafică a ecuaţiilor 16.42 şi 16.43 limiteazăzona curgerii aerate (fig. 16.26).

0,0001 0,001 0,01 0,1 1

db (m)

V'(m/S)

0,05

0,1

1

75o

60o45

o30o

0o

(16.

43)

(16.42)

antrenareaer

θ

Fig. 16.26. Pulsaţia critică a vitezei pentru antrenare de aer

Începutul aerării curentului corespunde punctului unde stratul limită turbulent atinge suprafaţă liberă. De la intrarea pe canalul în trepte grosimea saltului limită creşte spre aval, curentul neaerat având o mişcare permanentă lent variată, apoi, de la punctul de început al aerării mişcarea este tot gradual variată până la încorporarea unui volum de aer de echilibru al curentului după care acesta devine uniform. (fig. 16.27). Pentru curentul aerat cantitatea de aer antrenat este un important parametru de calcul. Curentul îşi creşte volumul şi, implicit, adâncimea. Odată cu creşterea concentraţiei de aer scad frecările.


h

h

h

Lp

lθ

C

c

I

I

I

y

zona de cresterestrat limita

0

neaerat

aerat

gradual variat

uniform0τ

Fig. 16.27. Zonarea curgerii în canale cu trepte în curgere aerată

Fig. 16.28. Aspectul curgerii în canal cu trepte în curgere aerată

Disiparea intensă a energiei în lungul curentului aerat, chiar cu reducerea forţelor de frecare prin aerare, reduc impulsul curentului aerat faţăde cel neaerat (prin scăderea densităţii amestecului faţă de densitatea apei). Întreţinerea mişcării vârtejurilor pe trepte disipează mare parte a energiei. În funcţie de pantă curentul poate să fie şi parţial aerat. Se prezintă pe scurt: începutul curentului aerat, grosimea stratului limită, caracteristicile curentului uniform şi disiparea energiei.

10. Începutul curgerii aerate Începutul mişcării corespunde punctului de dispariţie a presiunii

vacumetrice de pe fundul albiei. Fenomenul prezintă asemănări cu efectul instalaţiilor de aerare ale lamelor deversante deprimate.

Experienţele au condus la definirea adâncimii critice limită la intrare pentru curgeri aerate, care depinde de debit, pantă şi geometria treptelor.

Relaţia:

( )

1,057 0, 465c lh p

p l= − (16.44)

delimitează curgerea aerată de formele de curgere cu lamă efluentă şi salt hidraulic. Relaţia:

( )

( )1,276

0,0916 /c lh

p lp

−= ⋅ (16.45)

zonează curgerea cu lamă efluentă şi salt hidraulic (fig. 16.29); s-au notat: (hc)l – adâncimea critică limită la intrare, p şi l – înălţimea şi lungimea treptelor.

Fig. 16.29. Adâncimea de început a mişcării aerate

Relaţiile sunt valabile pentru limitele 0,2 ≤ p/l ≤ 1,25 ; θ < 52o şi hI > hc. Localizarea punctului de început al aerării (LI, hI) este definită prin relaţiile (obţinute prin teorema π şi calibrate experimental):

( ) 356,00796,0sin719,9 Frk

L

p

I ⋅= θ (16.46)

( ) 296,004,0sin4034,0 Frk

h

p

I ⋅=−

θ (16.47)

respectiv

( )17,0

133,0sin06106,0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

I

p

I

I

L

k

L

hθ (16.48)

în care:

c

Curgere aerata

Curgere cu lama deversantaSalt hidraulic inecatSalt

hidraulic liber p/l

/p)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

l

16.44

16.45

(h


( )3

2

cossin θθ ⋅⋅=

pg

qFr apa ; (16.49)

înălţimea macrorugozităţii θcos⋅= pk p (16.50)

θ – unghiul de înclinare a pseudo-fundului faţă de orizontală şi qapă – debitul specific de apă. Creşterea grosimii stratului limită turbulent pe canal în trepte este de 2,9 ori mai mare decât pe un canal lis. Punctul de început al aerării se deplasează spre aval o dată cu creşterea debitului. Forma intrării pe canal în trepte are influenţă mare asupra poziţiei punctului de început al aerării. (La parametrul unui baraj deversor curbiliniu la intrare se introduc câteva trepte mai mici însă prin efectul acestora nu se mai poate defini creşterea grosimii stratului limită turbulent).

20. Caracteristicile curentului aerat uniform La canale în trepte suficient de lungi, spre capătul aval curentul

tinde la parametrii mişcării uniforme. Se folosesc uzual următoarele noţiuni:

20.a. Adâncimea normală h0, caracteristică pentru concentraţia medie de aer Cm.

( )dyChY

∫ −=90

0

0 1 (16.51)

unde: C este concentraţia volumică de aer la adâncimea y peste pseudo-fund, iar Y90 adâncimea la care concentraţia de aer este de 90 %. (Y şi Y90 se măsoară normal pe pseudo-fund). Adâncimea normală caracteristică se defineşte convenţional în intervalul h0Є(0, Y90). La adâncimi peste Y90

măsurătorile sunt incerte.

20.b. Concentraţia volumică medie de aer este

90

0

090

11 90

Y

hdyC

YC

Y

m −=⋅= ∫ (16.52)

adâncimea normală fiind definită prin ( )mCYh −= 1900 (16.53)


Concentraţia medie de aer în echilibru în canale netede (fărămacrorugozitate) este: θsin9,0 ⋅=eC (16.54)

iar în albii cu rugozitate foarte mare (în albii naturale de munte): 08,0sin44,1 −⋅= θeC (15.54’)

În canale cu trepte în curgere aerată concentraţia medie de aer în echilibru este între valorile date de ecuaţiile 16.54 şi 16.54’ (tab. 16.4).

20.c. Coeficientul Darcy – Weisbach în condiţiile aerării, a curgerii amestecului de apă – aer, λa se reduce faţă de curgerea apei, λ. Prin teorema π, după calibrări experimentale s-a obţinut:

( )0,514

0,5 1 0,6281

a e

e e

Ctgh

C C

λ

λ

⎧ ⎫⎡ ⎤−⎪ ⎪= +⎨ ⎬⎢ ⎥

−⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭ (16.55)

Pentru λ se poate utiliza relaţia valabilă pentru canale pavate cu piatră.

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=

R

k p

4sin1,87,1lg2,3 θλ (16.56)

Coeficientul Darcy – Weisbach pentru curentul aerat λa scade cu creşterea concentraţiei de aer în echilibru. Rezultate aproape identice se obţin pentru canale netede şi foarte rugoase (fig. 16.30). Valorile λa/λ se regăsesc în (tab. 16.4).

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,00

Ce

a/λ λ

Fig. 16.30. Coeficientul Darcy – Weisbach relativ în funcţie de concentraţia medie de aer


Concentraţia medie de aer în echilibru, coeficientul Darcy – Weisbach relativ şi Y90/h0 la canale în trepte

Tabelul 16.4. θ Ce Y90/h0 λa/λ p/l 0 0 1,00 1,00 0

7,5 0,1608 1,192 0,964 0,132 15 0,2411 1,318 0,867 0,268

22,5 0,3100 1,449 0,768 0,414 30 0,4104 1,696 0,632 0,577

37,5 0,5693 2,322 0,430 0,767 45 0,6222 2,647 0,360 1,00 60 0,6799 3,124 0,277 1,732

20.d. Viteza medie v0 şi adâncimea normală h0. Prin aplicarea ecuaţiei teoremei impulsului şi continuităţii se obţine

viteza medie şi adâncimea normală.

30

0

sin8sau sin

8

acra v

vR

gv

λ

θθ

λ

⋅=⋅= (16.57)

respectiv

( )

00 3 3 3 sau 8 sin 8 1 sin

aa a

cr cr e

Yh

h h C

λ λ

θ θ= =

⋅ − (16.58)

unde hcr este adâncimea critică definită pentru curent neaerat. Profilul de viteză pe canale de secţiune dreptunghiulară în trepte în curgere aerată, aproximată cu o funcţie putere este:

N

h

v

v

v/1

0max⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (16.59)

cu N = 3,5...4 faţă de canale rapide lise unde N ~ 6. Viteza maximă se obţine în apropierea suprafeţei libere.

20.e. Disiparea energiei în curent aerat. Curentul aerat este caracterizat prin frecări mari pe fundul în trepte.

Mare parte a energiei se disipează prin întreţinerea mişcării vârtejurilor de sub pseudo-fund.

Pentru curent aerat uniform pierderea relativă de energie la canal cu intrare liberă este:


2

0

0

max

1cos

21

32

cr

cr

cr

h h

h hhr

pH

h

θ α⎛ ⎞

+ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= −

+∑ (16.60)

iar la canal cu intrare controlată de stăvilar

2

0

0

0max

1cos

21

cr

cr

cr

h h

h hhr

H pH

h

θ α⎛ ⎞

+ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠= −

+∑ (16.61)

în care Hmax este căderea hidraulică, ∑p – căderea geometrică, H0 – sarcina totală sub care lucrează stăvilarul la intrare şi α coeficientul lui Coriolis. Înlocuind hcr/h0 din (16.58) se obţin: - pentru intrare liberă:

1/3 2/3

max

18 sin 2 8 sin

132

a a

cr

hr

pH

h

λ λα

θ θ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠= −

+∑ (16.60’)

- pentru intrare controlată de stavilă:

1/3 2/3

0max

18 sin 2 8 sin

1

a a

cr

hr

H pH

h

λ λα

θ θ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠= −+∑

(16.61’)

În cazul ∑p/hcr > 20 mai mult de 80 % din Hmax se disipează pe canalul cu trepte cu curgere aerată (fig. 16.31).

Canal cu trepte si curgere aerataInfasuratoarea pierderilor

Curgeri neaerateCurgeri aerate pe pat neted

20 40 60 80 100 120

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

hr /Hmax

p/hcrΣ0

Fig. 16.31. Energia disipată în diferite curgeri


Energia reziduală în avalul curentului pe canal cu trepte în curgere aerată este:

3/23/1

max sin82

1cos

sin8

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

θ

λαθ

θ

λ aarez

H

h

Energia reziduală rezultă din accelerarea curentului aerat spre aval şi din micşorarea factorului de fricţiune cu aerarea. Energia reziduală trebuie disipată la racordarea cu bieful aval lent prin bazine disipatoare simple care asigură salt hidraulic înecat.

16.7. APLICAŢII

10. Două biefuri ale canalului cu secţiune dreptunghiulară sunt separate cu un deversor Bazin. Se cunosc: Q = 6 m3/s; b = 3,0 m; n = 0,016; i=1 ‰; p1 = 1,4 m; p = 2,50 m; α = 1,1 şi φd = 0,98. Să se dimensioneze un bazin prin adâncirea radierului şi fund orizontal pentru disiparea energiei (φp = 0,95; σî = 1,1 şi β = 0,75).

E E p

p

0n 1

c

02

z01

H

h

hbaz

d

Δ Δz 0

v /2g

h

α

s

V 0

V

2

0 bc

H0 h

l l l l

l baz

β

Fig. 16.33. Bazin disipator simplu

Rezolvare. a. Se dimensionează canalul în MU şi se calculează adâncimea critică

h0

(m) A

(m2) P

(m) R

(m) C

(m0,5/s) Q

(m3/s) 1,29 3,87 5,58 0,694 58,8 5,99


765,0381,9

61,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

αm

b. Calculul deversorului b.1. Coeficientul de debit

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

2

1

55,010027,0

405,0pH

H

Hm

În prima ipoteză m = 0,405 şi rezultă sarcina totală pe deversor:

m08,181,923405,0

6

2

3/23/2

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

gmb

QH

Pentru H ~ H0 rezultă:

( ) ( )

m/s81,008,14,13

6

010 =

+=

+=

Hpb

Qv

şi

m04,181,92

81,01,108,1

2

220

0 =⋅

⋅−=

⋅−=

g

vHH

α.

Se recalculează: m, H0, b0 şi H rezultând m = 0,448; H0 = 1,01 m; v0 = 0,84 m/s; H = 0,96 m. După o nouă iteraţie se obţin: m = 0,447; H0 = 1,01; v0 = 0,84 m/s; H = 0,94 m care rămân la fel la această precizie după o nouăiteraţie.

c. Calculul disipatorului. Adâncirea radierului fiind necunoscută la prima iteraţie nu se ia în calcule.

c.1. energia specifică a curentului. E0 = H0 + p = 1,01 + 2,5 = 3,51 m

c.2. adâncimea contractată.

( )cd

chEgb

Qh

−⋅=

02ϕ

se calculează prin iteraţii, prima dată neglijându-se hc de sub radical

m229,051,381,92398,0

61 =

⋅⋅⋅=ch


a doua iteraţie:

( )

m235,0229,051,381,92398,0

62 =

−⋅⋅⋅=ch

a treia iteraţie

( )

m236,0235,051,381,92398,0

63 =

−⋅⋅⋅=ch

(hc2 – hc3) = 0,001 m ≤ εhc = 1 mm, deci hc = 0,236 m.

c.3. conjugata adâncimii contractate şi adâncimea bazinului sunt:

m84,11236,0

765,081

2

236,0181

2

33

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=′′

c

crc

h

hhh

hbaz = σî h” = 1,1·1,84 = 2,02 m.

c.4.

m09,002,2

1

29,195,0

1

381,92

611

2 2222

2

2202

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=Δ

bazp hhgb

Qz

ϕ

c.5. adâncimea bazinului d = hbaz – h02 - ∆z = 2,02 – 1,29 – 0,09 = 0,64 m

Se modifică E0, ca fiind E0 = p + H0 + d = 2,5 + 1,01 + 0,64 = 4,15 m, pentru care rezultă: hc = 0,233 m; h” = 1,85 m; hbaz = 2,03 m; ∆z = 0,09 m şi d = 0,65 m.

Refăcând calculele pentru E0 = 2,5 + 1,01 + 0,65 = 4,16 m, se obţin: hc = 0,233 m; h” = 1,85 m; hbaz = 2,03 m; ∆z = 0,09 m şi d = 0,65 m.

c.6. lungimea bazinului este: lbaz = lb + β·ls = 2,90 + 0,75·9,70 = 10,18 m

- lungimea saltului: ls = 6(h” – h’) = 6(1,85 – 0,233) = 9,70 m - lungimea de bătaie a lamei:

( )

( ) m90,297,0445,065,05,297,067,0

01,1447,0297,027,0

445,067,0

227,0

2/3

2/30

=⋅++⋅

⋅⋅+⋅=

=⋅++⋅

⋅+= Hdp

H

HmHlb


20. Să se dimensioneze disipatorul de energie a golirii de fund orizontale a unui lac de acumulare, cunoscând: D = 1,5 m; H = 0,8 m; ∑ζ = 3,9. Apa se evacuează într-un canal de secţiune trapezoidală, având: b = 1,5 m; i = 1‰; n = 0,02; m = 2 şi h0 = 1,54 m. Se consideră α = 1,1; σs = 1,1; φ = 0,95 şi β = 0,75.

H = 8 m

D = 1 , 5 m

h = 0 , 7 3 m

h = 3 , 4 7 m h = 1 , 5 4 m

z = 0 , 8 5 m

d = 1 ,0 8 m

x = 3 , 9 4 m l = 1 4 , 1 6 m

vm a x = 8 , 4 m / s

c

m a x m a x

0 2b a z

Z

X

s e c t 1 - 1 s e c t 2 - 2 s e c t 3 - 3 s e c t 4 - 4

1 2 3

1 2 3

4

4

0 ,0 00 , 0 0

Fig. 16.34. Bazin disipator la golirea de fund.

Rezolvare. Între galerie şi disipator se interpune o zonă intermediară de dirijare a jetului. Cea mai simplă soluţie constructivă este o chiunetă de secţiune mixtă (semicircular + dreptunghiular) construită astfel încât să evite desprinderea jetului. Pentru o galerie cu ieşire orizontală rezultă un contur parabolic descris de ecuaţia:

22max2

xv

gz = ,

unde vmax = 1,5Q/A; A – secţiunea galeriei. Se acceptă un disipator cu adâncirea radierului de secţiune dreptunghiulară (cu b = D = 1,5 m) fără deflectare a jetului. Se calculează elementele:

a. Debitul descărcat şi viteza în galerie:

m/s60,55,1

9,494

/m 9,91,19,3

881,92

4

5,12

4

220

322

=⋅

=⋅

==

=+

⋅⋅⋅=

+

⋅⋅=

∑

ππ

π

ας

π

D

Q

A

Qv

sHgD

Q


b. Viteza maximă de ieşire din galerie: m/s40,860.55,15,1 0max =⋅=⋅= vv .

c. La această viteză a apei în capătul aval al tronsonului intermediar rezultă adâncimea (contractată)

m79,05,14,8

9,9

max

=⋅

=⋅

=bv

Qhc .

d. Calculul disipatorului: - conjugata adâncimii contractate

m15,3179,05,181,9

9,91,181

2

79,01

81

2 32

2

32

2

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⋅⋅

⋅⋅+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

⋅⋅

⋅⋅+=′′

c

c

hbg

Qhh

α

- adâncimea în bazin: hbaz = σs·h” = 1,1·3,15 = 3,47 m.

- denivelarea la ieşirea din bazin:

m85,047,3

1

54,195,0

1

5,181,92

9,911

2 2222

2

2202

22

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅⋅⋅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=Δ

bazhhgb

Qz

ϕ

- adâncimea bazinului: d = hbaz – h0 - ∆z = 3,47 – 1,54 – 0,85 = 1,08 m.

- lungimea saltului: ls = 6(h” – hc) = 6(3,14 – 0,79) = 18,88 m

- lungimea bazinului disipator: lbaz = β·ls = 0,75·18,88 = 14,16 m

e. Elementele tronsonului intermediar: - forma longitudinală a tronsonului – parabolă cu ecuaţia:

222

22max

0695,040,82

81,9

2xxx

v

gz ⋅=

⋅=

⋅=

- lungimea tronsonului intermediar se obţine pentru z = d, deci:

m94,381,9

08,140,822 22max =

⋅⋅=

⋅⋅=

g

dvx

- tronsonul de legătură este o suprafaţă riglată după arc de parabolăîn lung, sprijinit pe un semicerc în amonte şi dreaptă orizontală în aval.


CAPITOLUL 17

MIŞCAREA NEPERMANENTĂ A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

17.1. CONSIDERAŢII GENERALE. TIPURI DE UNDE

În albiile naturale şi artificiale regimul de curgere se modificăcontinuu datorită variaţiei în timp a unor condiţiilor naturale - infiltraţii, precipitaţii, evaporaţii, precum şi condiţiilor de exploatare a albiilor - consumuri de apă, ecluzări, barări etc. Cu excepţia precipitaţiilor care produc scurgeri importante, condiţiile naturale pot fi în general neglijate în analiza regimurilor de curgere în albii. Modul de exploatare al albiilor este cel care determină de fapt regimul de curgere în albii. Variabilitatea condiţiilor naturale şi a modului de exploatare a albiilor fac ca regimul de curgere să fie nepermanent, respectiv mişcarea apei să fie variabilă în timp, fapt ce determină apariţia unor unde a căror principalăcaracteristică este că transportă debit (unde de translaţie). Regimul de curgere nepermanent se consideră gradual variat dacăundele de translaţie sunt longitudinale (mişcarea are loc preponderent pe direcţia canalului) şi de adâncime redusă (întreaga secţiune transversală fiind afectată de deplasarea perturbaţiei). Regimul de curgere nepermanent se consideră rapid variat când apar unde cu front abrupt (în general la mişcarea bruscă a stavilelor, ruperi de baraje etc). Undele pot fi directe (când se propagă spre aval) şi inverse (când se propagă spre amonte). Dacă o undă determină supraînălţarea nivelului suprafeţei libere a apei se numeşte undă pozitivă, iar dacă determină coborârea nivelului suprafeţei libere se numeşte undă negativă. Atât undele directe cât şi inverse pot fi pozitive sau negative. În canale se pot întâlni următoarele tipuri de unde (fig. 17.1): - undă pozitivă directă (undă de umplere), apare când debitul creşte într-o secţiune amonte (fig. 17.1.a.);

- undă pozitivă inversă (undă de stăvilire), apare când debitul se reduce într-o secţiune aval (fig. 17.1.b.);

- undă negativă directă (undă de flux), apare când debitul se reduce într-o secţiune amonte (fig. 17.1.c.).


- undă negativă inversă (undă de golire), apare când debitul creşte într-o secţiune aval (fig. 17.1.d.).

Fig. 17.1. Principalele tipuri de unde în mişcare nepermanentă cu suprafaţă liberă

17.2. ECUAŢIILE MIŞCĂRII NEPERMANENTE ÎN ALBII

17.2.1. Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional

În mişcare nepermanentă viteza apei are componente şi în planul secţiunii transversale a albiei, iar pentru modelarea matematică a mişcării nepermanente este necesar să se apeleze la schematizări simplificate, care săîncorporeze doar aspectele cu influenţă esenţială asupra proceselor reale şi, de multe ori să se ignore cele de importanţă secundară. După ce se stabilesc ecuaţiile ce modelează procesul fizic în aspectele lui principale, tratarea lor matematică sau numerică nu alterează natura fizică a procesului analizat dacă tratarea respectivă este executată corect. De obicei se realizează o schematizare unidimensională, astfel încât curgerea nepermanentă în albii este descrisă prin evoluţia în timp, în orice secţiune transversală, a două variabile dependente şi anume: cota suprafeţei libere a apei y (sau adâncimea apei h) şi debitul Q (sau viteza medie în secţiune V). Aceste variabile dependente definesc starea mişcării în raport cu douăvariabile independente: poziţia spaţială în lungul albiei x (faţă de o origine aleasă convenabil) şi timpul t (faţă de momentul apariţiei perturbaţiei).

a)

Corpul undei

Frontul undei

Pozitia initiala asuprafetei libere

b)

Pozitia initiala asuprafetei libere Limita undei

c)

Pozitia initiala a suprafetei libere

Limita undei

d)

Pozitia initiala asuprafetei libere

Limita undei


Aşadar sunt necesare două ecuaţii care să lege între ele variabilele dependente şi independente care apar în curgerea nepermanentă în albii. Aceste două ecuaţii provin din legile de conservare ale masei, cantităţii de mişcare şi energiei mecanice. Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional, împreună cu ecuaţiile ce descriu mişcarea unidimensională nepermanentă au fost formulate de Barré de Saint-Venant la 1871 la Academia Franceză în lucrarea: “Théorie et equations generales du mouvement non-permanent des eaux courantes”, şi sunt:

- curgerea este unidimensională cu viteză uniformă în secţiune transversală şi suprafaţă liberă orizontală în direcţia transversală; - curbura liniilor de curent este redusă şi acceleraţiile după verticală, neglijabile, astfel încât distribuţia de presiune în secţiune transversală este hidrostatică; - efectele turbulenţei şi a frecărilor cu patul albiei sunt descrise de relaţiile identice cu cele din mişcarea permanentă; - panta medie a canalului în lungul curentului este suficient de redusă, astfel încât se poate aproxima cos α cu orizontala şi sin α ≈ tg α ≈S0; - forma secţiunii transversale a canalului se admite arbitrară şi variabilă în lungul albiei, dar cu variaţii lente care să nu afecteze puternic curbura liniilor de curent; În literatura de specialitate ecuaţiile mişcării nepermanente în albii deschise sunt denumite ecuaţiile Saint-Venant. Pentru analiza mişcării apei în canale se pot utiliza mai multe forme ale ecuaţiilor Saint-Venant, care, faţă de forma lor iniţială, au suferit în timp generalizări şi îmbunătăţiri.

17.2.2. Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant

Pentru deducerea formei integrale a ecuaţiilor Saint-Venant se consideră (fig. 17.2.) un volum de control în domeniul (x, t) delimitat de douăsecţiuni transversale (plasate la poziţiile x = x1 şi x = x2 în lungul curentului) şi încadrat între două momente consecutive de timp (t = t1 şi respectiv t = t2 ). După Cunge, forma integrală a ecuaţiei de continuitate (conservarea masei) derivă din următorul enunţ: cantitatea netă de masă intrată în volumul de control în intervalul (t1 ÷ t2) trebuie să fie egală cu masa volumului acumulat în volumul de control în acelaşi interval.


Egalând cantitatea de masă intrată cu masa volumului de control în intervalul (t1 ÷ t2), rezultă forma integrală a ecuaţiei de continuitate pentru un fluid incompresibil:

dt)Q(Qdx)A(A2

1

21

2

1

12

t

txx

x

xtt ⋅−=⋅− ∫∫ (17.1)

în care V este viteza considerată uniformă în secţiune transversală, iar A - aria secţiunii vii. V şi A sunt funcţii de x şi t, astfel încât debitul va fi: Q = A ⋅ V = Q(x,t) (17.2) Relaţia (17.1) reprezintă forma integrală a ecuaţiei de continuitate.

Fg

FfFp2

Fp1

x1 x2 x0

y

z

a)

B

z

z

b( )

a

b-

ξ

h

z

yxf

0

c)

Fm1

Fm2

Fp2Fp1 x0

b)

y

ξ

ξ

ξ

Fig. 17.2. Schemă pentru deducerea ecuaţiilor mişcării nepermanente

Notaţiile din fig. 17.2. au următoarele semnificaţii: Fp – forţe de presiune exercitate în secţiunile transversale x1 şi x2, Fm – forţe de presiune datorate neuniformităţii secţiunii transversale în lungul albiei, Fg – componenta greutăţii proprii a masei de apă din volum, orientată după axa x, Ff – forţe de rezistenţă datorate vâscozităţii şi frecărilor la patul albiei, zf – cota fundului albiei faţă de un plan de referinţă, z – cota suprafeţei libere a apei în canal, h – adâncimea apei în albie, B – lăţimea la luciul apei, ξ – adâncime oarecare a


apei, dξ – creşterea infinitezimală a adâncimii apei, b(ξ) – lăţimea albiei la adâncimea ξ. Definind cantitatea de mişcare ca produsul dintre masă şi viteză, iar fluxul (sau debitul) de cantitate de mişcare ca produsul dintre debitul masic (ρVA) şi viteza V, forma integrală a ecuaţiei de conservare a cantităţii de mişcare derivă din următorul enunţ: modificarea cantităţii de mişcare din volumul de control în intervalul (t1÷t2) trebuie să fie egală cu fluxul net de cantitate de mişcare intrat în volumul de control pe acelaşi interval, plus integrala forţelor exterioare ce acţionează asupra volumului de control, pe intervalul (t1÷t2). Plecând de la acest enunţ se obţine forma integrală a ecuaţiei de conservare a cantităţii de mişcare (17.3):

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫

⋅⋅−+⋅⋅−

−−+⋅−⋅=⋅−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

2

1

21

2

1

12

t

t

x

xf0

t

t

x

x2

t

tx1x1

t

txx

x

xtt

dtdx)SA(SgdtdxIg

dt])(I)[(Igdt]V)(QV)[(Qdx)Q(Q

(17.3)

unde I1 şi I2 sunt notaţii şi au valorile:

ξξξρ d)b(x,][h(x)Ih(x)

01 ⋅⋅−= ∫ ,

şi

ξξ

ξ dx

)b(x,][h(x)I

consth

h(x)

02 ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂−=

=∫ ,

unde S0 reprezintă panta fundului albiei şi Sf – panta de frecare. Ecuaţiile (17.1) şi (17.3) sunt ecuaţiile integrale care guverneazăcurgerea unidimensională şi nepermanentă, în schematizarea presupusă de ipotezele lui Saint-Venant. La deducerea lor s-a impus condiţia ca variabilele dependente (Q sau V şi h sau y) sau mărimile hidraulice care depind de acestea (A, B, Sf etc.) să fie funcţii continue şi/sau derivabile şi nu s-a limitat volumul de control din domeniul (x, t) la dimensiunile infinitezimale dx şi respectiv dt. Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant este foarte rar utilizată în aplicaţii practice, deoarece integrarea ecuaţiilor în această formă este foarte dificilă. De cele mai multe ori se utilizează forma diferenţială a acestor ecuaţii, mult mai uşor de aplicat practic. În paragraful următor se prezintă forma diferenţială a acestor ecuaţii.


17.2.3. Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant

Aceste forme ale ecuaţiilor diferenţiale se deduc din formele integrale (17.1) şi (17.3) dacă se admite că variabilele dependente şi mărimile influenţate de ele sunt funcţii continue şi derivabile în raport cu variabilele independente xşi t. Prin dezvoltări în jurul valorilor de la momentul iniţial t1, sau respectiv din secţiunea amonte x1) şi reţinând doar primii doi termeni ai acestor dezvoltări, prin prelucrări ulterioare, formele diferenţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant, (după R. Popa), devin: - pentru ecuaţia de continuitate:

0x

Q

t

A=

∂

∂+

∂

∂; (17.4)

- pentru ecuaţia de conservare a cantităţii de mişcare (dinamică):

( )

0SAgSx

hAg

x

VQ

t

Qf0 =⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−∂

∂⋅⋅+

∂

⋅∂+

∂

∂ (17.5)

unde semnificaţia termenilor de mai sus este aceeaşi ca şi pentru forma integrală. Formele diferenţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant pot fi scrise şi în forme echivalente pentru alte perechi de variabile, prin simple transformări matematice, plecând de la relaţiile (17.4) şi (17.5). Astfel: - variabile dependente sunt debitul Q(x,t) şi adâncimea apei h(x,t);

0x

Q

B

1

t

h=

∂

∂⋅+

∂

∂ (17.6)

( ) 0SSAgx

hAg

A

Q

xt

Q0f

2

=−⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂ (17.7)

- variabile dependente sunt debitul Q(x,t) şi cota suprafeţei libere a apei y(x,t);

0x

Q

B

1

t

y=

∂

∂⋅+

∂

∂ (17.8)

0SAgx

yAg

A

Q

xt

Qf

2

=⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂ (17.9)

- variabile dependente sunt viteza V(x,t) şi adâncimea apei h(x,t);

0x

A

B

V

x

hV

x

V

B

A

t

h

consth

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂

=

(17.10)


( ) 0SSgx

hg

x

VV

t

V0f =−⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂ (17.11)

- variabile dependente sunt viteza V(x,t) şi cota suprafeţei libere a apei y(x,t)

0x

A

B

VS

x

yV

x

V

B

A

t

y

consth0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂

=

(17.12)

0Sgx

yg

x

VV

t

Vf =⋅+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (17.13)

Perechile de ecuaţii de la (17.6) la (17.13) sunt echivalente doar în cazul mişcărilor nepermanente gradual variabile şi dacă variabilele dependente şi mărimile ce depind de aceste variabile sunt funcţii continue şi cel puţin o dată derivabile în raport cu variabilele independente x şi t. Alegerea uneia sau altei forme este în funcţie de problema ce trebuie rezolvată.

17.2.4. Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant

În practica hidrotehnică sunt multe situaţii de curgeri care nu satisfac în totalitate ipotezele ce stau la baza modelului unidimensional în baza căruia au fost deduse ecuaţiile Saint-Venant. Acest lucru se datorează faptului căalbiile naturale nu au o rugozitate constantă în secţiune transversală, viteza nu este constantă în secţiune transversală, frecările cu patul albiei minore şi majore au valori diferite, curbura şi panta patului albiei pot prezenta variaţii bruşte. Din acest motiv s-a încercat adaptarea acestor ecuaţii astfel încât să se poatămodela cât mai fidel procesele respective. Dacă albia nu are rugozitate constantă în secţiune transversală (ce conduce la viteză neuniformă în secţiune transversală), ecuaţia de conservare a cantităţii de mişcare trebuie corectată cu coeficientul lui Boussinesq, astfel:

0gASx

zgA

A

Q

xt

Qf

2

B =+∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂β (17.14)

unde debitul Q este produsul dintre viteza medie pe secţiune şi aria acesteia, iar βB este coeficientul Boussinesq:

AV

dyh

2

B

0y

2y

B

∫ ⋅⋅

=

ν

β (17.15)


unde s-a folosit V pentru viteza medie în secţiune (Q = V⋅A), iar νy şi hy

reprezintă viteza medie pe verticală şi, respectiv, adâncimea la distanţătransversală y faţă de malul de referinţă. În cazul existenţei unui aport lateral de debit, notând cu q debitul lateral afluent pe unitatea de lungime de albie (exprimat în m2/s), ecuaţia dinamică devine:

0qVDgASx

zgA

A

Q

xt

Qf

2

B =⋅−⋅−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂β (17.16)

unde D are expresii diferite, în funcţie de natura debitului lateral. La albii de lăţimi mari, trebuie ţinut cont de forţele de rezistenţăexercitate pe suprafaţa apei de către vânt, care pot să aibă o pondere însemnatăîn bilanţul cantităţii de mişcare. Efectul vântului a fost introdus printr-un nou termen în ecuaţia dinamică sub forma:

0cosBWVqgADSx

zgA

A

Q

xt

Qw

2f

2

B =⋅⋅−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂αξβ (17.17)

unde W este viteza vântului, al cărei vector face unghiul αw cu sensul pozitiv al axei Ox, iar ξ este coeficientul adimensional de rezistentă datorat vântului. Aportul lateral de debit determină modificarea ecuaţiei de continuitate, iar aceasta trebuie completată cu un nou termen astfel:

0qx

Q

t

zB =−

∂

∂+

∂

∂ (17.18)

Ecuaţiile (17.17) şi (17.18) au fost obţinute pe baza altor ipoteze decât cele în care au fost obţinute perechile de ecuaţii de la (17.6) la (17.13) şi nu sunt echivalente. Termenii sau coeficienţii care apar în ecuaţiile Saint-Venant pot fi precizați astfel:

Panta de frecare Sf, se poate calcula ca pentru mişcarea uniformă, sub forma:

2

2

22

2

2

2

fK

Q

RAC

Q

RC

VS === , (17.19)

în care C este coeficientul Chézy, R - raza hidraulică, K - modulul de debit (debitanţa), iar V - viteza medie în secţiune transversală.

Coeficientul Chézy poate fi exprimat, fie prin intermediul coeficientului Strickler - Ks, fie cu ajutorul coeficientului de rugozitate Manning - n, astfel încât modulul de debit va fi:


32s ARKK ⋅= sau 32AR

n

1K = (17.20)

şi K=K(h) sau K=K(z). Pentru o albie cu rugozitate neuniformă în secţiune transversală, problema coeficientului Chézy se tratează ca pentru cazul mişcării uniforme. Termenul Sf va apare în ecuaţia dinamică sub forma:

2f

K

QQS = , (17.21)

Pierderile prin frecare sunt cuantificate cu semnul adecvat, în funcţie de sensul curgerii pe albie la un moment dat. Deci, dacă se foloseşte formula Manning pentru coeficientul Chézy, ecuaţia (17.17) se va scrie:

0cosBWVqgADRA

QQngA

x

zgA

A

Q

xt

Qw

2342

22

B =⋅⋅−−−+∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂αξβ (17.22)

Problema afluenţilor se poate trata diferit funcţie de mărimea acestora comparativ cu albia principală. Pentru un afluent cu debit mic, aportul lateral se poate introduce sub forma unui debit distribuit q = Qa/Δx, unde Qa este debitul afluentului, iar Δx, este un segment de albie de lungime redusă din jurul confluenţei. Pentru un afluent de dimensiuni apreciabile, analiza regimului nepermanent pe cursul inferior al afluentului, se poate trata ca o problemă de mişcare nepermanentă pentru un sistem de albii interconectate.

Coeficientul de rezistenţă datorat vântului ξ se exprimă în funcţie de densitatea apei ρ, densitatea aerului ρa şi un coeficient de frecare la suprafaţăcR, prin relaţia:

ρ

ρξ a

Rc ⋅= (17.23)

Dificultatea constă în evaluarea corectă a coeficientului de frecare cR

care, conform experienţelor, depinde nu numai de adâncimea apei, ci şi de înălţimea şi celeritatea undelor de suprafaţă (valuri) create de vânt. Valorile reprezentative ale lui se plasează în domeniul cR = (1,5 ÷ 2,6)10-3, pentru vânturi de la slabe spre puternice.

17.2.5. Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant

De multe ori este posibil să se obţină forme simplificate ale ecuaţiilor de curgere, forme adecvate pentru modelarea mai multor situaţii fizice întâlnite în practica hidrotehnică. Dacă problemele analizate admit simplificări, se poate


reduce efortul pentru analiza comportamentului sistemului analizat - în raport cu factorii esenţiali care îl influenţează. Ecuaţia dinamică (17.11) se poate scrie sub forma:

t

V

g

1

x

V

g

V

x

hSS 0f

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−= (17.24)

şi neglijând ultimul termen din membrul drept se obţine ecuaţia dinamicăvalabilă în mişcarea permanentă şi neuniformă, adică:

x

V

g

V

x

hSS 0f

∂

∂−

∂

∂−= (17.25)

Renunţând şi la ultimii doi termeni din membrul drept al ecuaţiei (17.25) se obţine: Sf = S0, (17.26) Această ecuaţie este valabilă în mişcarea permanentă şi uniformă, la care panta liniei energiei, panta suprafeţei libere şi panta fundului sunt egale între ele. Ecuaţia debitului devine:

0f SKSKQ == (10.27)

adică ecuaţia mişcării permanente şi uniforme. Un alt mod de abordare a simplificării ecuaţiilor Saint-Venant se bazează pe analiza ordinului de mărime al termenilor din ecuaţia dinamică. Fiecare termen din ecuaţia (17.13) scrisă sub forma:

0Sx

z

x

V

g

V

t

V

g

1f =+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂, reprezintă o pantă, şi anume:

* t

V

g ∂

∂1 reprezintă panta liniei energiei datorată variaţiei vitezei în

timp (acceleraţiei);

* ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂=

∂

∂

g

V

xt

V

g

V

2

2

reprezintă panta datorată sarcinii cinetice în

spaţiu, din mişcarea permanentă;

* x

z

∂

∂ reprezintă panta suprafeţei libere;

* Sf reprezintă panta de frecare, datorată rezistenţei la curgere opusă de frecările vâscoase şi la maluri.


Primii doi termeni sunt termeni inerţiali (sau pante de accelerare) şi există situaţii de curgere nepermanentă pe albii naturale, în care ponderea lor este neglijabilă. Astfel, renunţând la diverşi termeni din ecuaţia dinamică, se obţin modele simplificate. Modelele rezultate din ecuaţia dinamică (17.7) în variabile dependente Q şi h, prin renunţarea la unii termeni sunt prezentate mai jos:

( ) 0SSAgx

hAg

A

Q

xt

Q0f

2

=−⋅⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂

Modelul undei cinematice se obţine prin neglijarea termenilor inerţiali şi de presiune şi este utilizat mai ales în analize hidrologice.

Modelul undei de difuzie este o ecuaţie cu derivate parţiale de tip parabolic, şi poate constitui o aproximaţie bună pentru analiza remuurilor în albii barate de diverse construcţii.

17.2.6. Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant

Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii în formele date de la (17.6) la (17.13) sunt sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi de tip hiperbolic, care pentru rezolvare pot fi transformate în ecuaţii liniare de ordinul doi cu coeficienţi constanţi. Metoda de liniarizare a acestor ecuaţii este bazată pe teoria oscilaţiilor de mică amplitudine, care porneşte de la ipoteza că toate elementele hidraulice ale mişcării oscilatorii sunt mici şi că, în consecinţă, pătratele acestor mărimi şi produsele lor sunt neglijabile, fiind infiniţi mici de ordin superior, în raport cu mărimile care conţin factor o mărime perturbaţie. Liniarizarea ecuaţiilor mişcării, permite găsirea unor soluţii generale utilizând metode analitice de calcul. Plecând de la forma ecuaţiilor Saint-Venant în variabile Q şi y, notând cu indice zero toate mărimile de referinţă ce caracterizează regimul permanent, respectiv Q0, h0, A0, V0, K0 şi cu litere mici mărimile numite perturbaţii, q, ζ, a,

Modelul undei cinematice

Modelul undei de difuzie fără inerţie

Modelul undei de difuzie cu inerţie convectivă

Modelul dinamic complet


ν, k, la un moment dat, t, ca urmarea a variaţiei consumului sau a perturbaţiei induse artificial, mărimile corespunzătoare vor fi Q, h, A, V, K:

Q = Q0 + q – debitul scurs, h = h0 + ζ – adâncimea curentului, A = A0 + a – aria secţiunii de scurgere, V = V0 + ν – viteza curentului, K = K0 + k – modulul de debit.

Problema a fost tratată diferit funcţie de cum este orientată axa x faţăde sensul curgerii.

10. Când axa x este orientată în sensul curgerii În condiţiile stării de mişcare permanentă, ecuaţiile mişcării în coordonate Q şi Y au expresia:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+∂

∂⋅+

∂

∂

constQ

0K

Q

s

V

g

V

s

Y

0

20

20000

(17.26)

În condiţiile producerii perturbaţiilor, ecuaţiile Saint-Venant pot fi scrise sub forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=∂

++

∂

+∂

=+

++

∂

+∂⋅

++

∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂

0s

q)(Q

t

a)(A

0k)(K

q)(Q

s

)(V

g

)(V

tg

1

ss

Y

200

20

20000 νννζ

(17.27)

Stabilind expresiile derivatelor ce intră în ecuaţia (17.27) şi eliminând variabila v, ecuaţiile liniarizate devin: - ecuaţia de continuitate:

0s

q

tB0 =

∂

∂+

∂

∂⋅

ζ (17.28)

Ecuaţia dinamică:

( ) 0stts

V2s

Vct

2

02

22

02

2

2

=∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂⋅∂

∂⋅⋅+

∂

∂⋅−⋅

∂

∂ ζα

ζβ

ζζζ (17.29)

în care:

00

02 hgB

Agc ⋅≅⋅= (17.30)

unde c (m/s) este celeritatea,


0

2

0 h

cJ

χα

⋅⋅= şi

00 V

g2J

⋅⋅=β , (17.31)

cu dimensiunile: α (m/s2) şi β (1/s), iar χ este exponentul hidraulic al albiei.

20. Când axa x este orientată în sensul contrar curgerii Adoptând un nou sistem de referinţă în care axa x este orientată în sens invers curgerii şi schimbând semnul pantei hidraulice J0 = - J0, precum şi a vitezei în mişcare permanentă V0 = - V0, folosind aceleaşi notaţii pentru c2, α şi β, ecuaţia dinamicii devine:

( ) 0stts

V2s

Vct

2

02

22

02

2

2

=∂

∂⋅−

∂

∂⋅+

∂⋅∂

∂⋅⋅−

∂

∂⋅−⋅

∂

∂ ζα

ζβ

ζζζ (17.32)

În ecuaţia de continuitate nu apar modificări, astfel încât ea rămâne în forma (17.28).

17.3. METODE DE INTEGRARE ALE ECUAŢIILOR SAINT-VENANT

Ecuaţiile Saint-Venat sunt în fapt un sistem de ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul 2, neliniare, de tip hiperbolic. Soluţionarea pe cale analitică a acestor mişcări este foarte complicată, pentru găsirea soluţiilor în probleme inginereşti, însă a fost realizată de cercetători români, aplicând calculul operaţional cu transformata Laplace asupra ecuaţiilor mişcării sub formă liniarizată (S. Hâncu, Lucica Roşu ş.a). Metodele analitice au avantajul că sunt mai expeditive decât cele numerice şi, în plus, oferă mijloacele unei analize calitative, globale, a fenomenelor hidraulice analizate. Soluţionarea pe cale numerică a ecuaţiilor Saint-Venant presupune găsirea unei serii de valori numerice ale variabilelor dependente V (sau Q) şi h(sau y), pe baza cărora se poate construi distribuţia lor în timp şi spaţiu.

Metodele numerice admit ca necunoscute valorile variabilelor dependente, dintr-un număr finit de puncte (nodurile de reţea) din domeniul (x, t) de interes. Metodele numerice prezintă avantajul că reproduc mai fidel fenomenul fizic studiat decât metodele analitice (deoarece în aplicarea metodelor numerice nu se fac ipotezele simplificatoare asupra ecuaţiilor mişcării aşa cum se întâmplă când se aplică metode analitice). Ele au însădezavantajul că oferă rezultate doar într-un număr limitat de puncte, selectate în


raport cu precizia de calcul dorită, spre deosebire de metodele analitice la care soluţia cuprinde toate punctele din domeniu. Ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc printr-o serie de ecuaţii algebrice numite ecuaţii de aproximare (sau ecuaţii discretizate), având ca necunoscute valorile discrete (din nodurile de reţea) ale variabilelor dependente. Ecuaţiile de aproximare se pot obţine pe două căi matematice distincte, fie prin metode bazate pe dezvoltări în serii Taylor, fie prin metode bazate pe integrare. Metodele bazate pe dezvoltări în serii Taylor generează aşa numite scheme (metode) cu diferenţe finite care pot fi de tip explicit sau implicit. Metodele bazate pe integrare includ fie formulări bazate pe metode variaţionale, fie formulări bazate pe reziduuri ponderate. Probleme din hidraulica albiilor deschise se abordează cel mai frecvent prin metode cu diferenţe finite (MDF). Datorită naturii hiperbolice a sistemului de ecuaţii, se poate aborda problematica ecuaţiilor Saint-Venant printr-o metodă specifică numită metoda caracteristicilor (MC) – devenită în ultima vreme metodă etalon la care se raportează noile metode de integrare a ecuaţiilor mişcării. Metodele bazate pe scheme în diferenţe finite, deşi permit calculul parametrilor mişcări (cote şi debite) într-un număr finit de puncte din domeniul de interes (x, t), prezintă avantajul unei relative uşurinţe în programare, precum şi analiza ecuaţiilor mişcării în formă cât mai completă. Schemele de tip implicit sunt cele mai avantajoase pentru aplicaţii practice deoarece nu sunt supuse criteriului de stabilitate a algoritmului. Alegerea uneia sau alteia dintre metodele menţionate anterior, rămâne la latitudinea utilizatorului în funcţie de problema concretă ce trebuie rezolvată, însă trebuie asigurată corectitudinea calculelor şi corecta interpretare a rezultatelor.

17.4. NOŢIUNI PRIVIND CARACTERISTICILE. CONDIŢII INIŢIALE ŞI LA LIMITĂ

Ecuaţiile Saint-Venant în formele diferenţiale de la (17.6) la (17.13) descriu conservarea masei şi a cantităţii de mişcare în termeni cu derivate parţiale ale variabilelor dependente. Determinarea acestor variabile dependente se face de cele mai multe ori pe cale numerică. Dintre metodele de integrare pe cale numerică, metoda caracteristicilor descrie mai bine propagarea în lungul


curentului a undelor singulare cu discontinuităţi, când se menţine caracterul lent variabil în timp şi spaţiu al mişcării. Se defineşte ca perturbaţie fie discontinuitatea derivaţiei unei variabile dependente (cum ar fi ∂h/∂x sau ∂Q/∂t), fie discontinuitatea unor parametri fizici (panta fundului, dimensiuni geometrice, rugozitate etc.) din ecuaţiile Saint – Venant. Orice perturbaţie apărută la momentul t = 0 într-o secţiune x = xM pe albie, se propagă în timp spre aval şi spre amonte după traiectoriile reprezentate prin curbele C+ şi respectiv C- din planul (x,t) (fig. 17.3). Perturbaţia respectivăva influenţa starea mişcării în domeniul (x,t) cuprins între cele două curbe, numit domeniul de influenţă al punctului M. Pe de altă parte, condiţiile curgerii într-un punct P(x,t) din planul (x,t) sunt influenţate doar de perturbaţiile care apar în domeniul SPD delimitat de axa 0 - x şi curbele C+ şi C- ce se intersectează în P (fig. 17.3.b). Orice s-ar întâmpla în afara acestui domeniu de dependenţă nu afectează starea mişcării din P.

domeniu deinfluenta

domeniu de dependenta

C C

xMx

C C

S D

M

t

x

t

P(x,t)

- +

- +

Fig. 17.3. Propagarea perturbaţiei în curgerea pe albie

Dacă perturbaţia apare ca undă de mică amplitudine într-o curgere cu adâncime redusă, curbele C+ şi C- după care se propagă aceasta în planul (x,t)

se numesc caracteristici, iar celeritatea ei este B

Agc = , (cu A/B = H,

adâncimea hidraulică - egală cu adâncimea pentru albii dreptunghiulare). Ecuaţiile caracteristicilor sunt date de:

B

AgV

dt

dx⋅±= (17.33)

şi acestea sunt corecte în cazul micilor perturbaţii dar incorecte pentru unde cu front abrupt, la care apare o discontinuitate a variabilei dependente însăşi, în


speţă a adâncimii apei (cazul ruperilor de baraje sau stavile ridicate instantaneu). Cele trei regimuri de curgere definite în raport cu starea critică, se diferenţiază şi prin alura caracteristicilor din planul (x, t), (fig. 17.4). În regimul lent de mişcare, celeritatea perturbaţiei este mai mare decât

viteza medie a curentului ( VBgA ⟩/ ), iar starea mişcării din punctul P(x,t)

este influenţată de condiţiile din amonte cât şi din cele din aval (fig. 17.4.a).

La curgere critică( VBgA =/ ), una dintre vitezele caracteristice de

propagare devine nulă iar caracteristica corespunzătoare - de exemplu C- în (fig. 10.4.b) apare ca o dreaptă verticală în planul (x, t). În acest caz starea din P nu este influenţată de condiţiile de curgere din aval de la x > xP.

Pentru regimul rapid de mişcare ( VBgA ⟨/ ), ambele caracteristici

sunt orientate în acelaşi sens (spre aval pentru unde directe şi spre amonte pentru unde inverse), iar starea lui P nu este influenţată de condiţiile din aval (curgere în sensul pozitiv al axei 0x) sau amonte (curgere inversă).

t

x

P

C- C+

a)

t

x

P

C-

C+

b)

t

xc)

P

C-C+ C- C+

Fig. 17.4. Structura caracteristicilor funcţie de regimul de curgere a). regim lent, b). regim critic, c). regim rapid de mişcare

Pentru integrarea ecuaţiilor mişcării trebuie precizate condiţiile iniţialeşi la limita domeniului de analiză a curgerii (condiţii la limită sau de contur). Mărimile debitelor şi adâncimilor apei pe un tronson de albie la momentul (t = 0), constituie condiţii iniţiale ale problemei mişcării nepermanente. În cazul tronsoanelor de albie ce nu sunt delimitate la nici o extremitate de construcţii care pot introduce discontinuităţi în curgere (caz în care pot să nu mai fie respectate ipotezele care au stat la baza deducerii ecuaţiilor Saint-Venant), se poate considera mişcare permanentă şi uniformă, astfel încât în fiecare secţiune debitele sunt egale cu debitul de la capătul


amonte al tronsonului la timpul (t = 0), şi adâncimile sunt egale cu adâncimea normală. În cazul în care un tronson este delimitat la o extremitate de construcţii care introduc discontinuităţi în curgere (stavile, praguri, deversoare, ramificaţii, prize etc), atunci se poate considera pe tronson mişcare permanentă gradual variată corespunzătoare debitului egal cu debitul prin acele construcţii. Prin integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate se obţin adâncimile apei în secţiunile de calcul, care, împreună cu debitele, considerate egale cu debitul prin acele construcţii în fiecare secţiune, constituie condiţiile iniţiale ale problemei pe tronsonul respectiv.

Condiţiile la limită sunt de trei tipuri: Q = Q(t) – dat, sau h = h(t)–dat, sau Q = Q(h) – dat. Dacă pe albie există diverse construcţii, aceasta se împarte în tronsoane astfel încât fiecare tronson să fie delimitat de una dintre extremităţile canalului şi/sau de către o construcţie. Împărţirea albiei în tronsoane în acest mod este impusă de faptul că debitele de la extremităţile acesteia, debitele prin respectivele construcţii constituie condiţii limită (sau de contur) pentru fiecare tronson în parte. Astfel tratarea tronsoanelor poate fi efectuată secvenţial – pe aceste tronsoane fiind respectate ipotezele Saint Venant. Secţiunile cu discontinuităţi se mai numesc şi joncţiuni interne, iar relaţiile care pot fi scrise într-o astfel de secţiune se numesc şi condiţii la limite interne sau condiţii de compatibilitate, şi în general sunt date de legea de conservare a masei (ecuaţia de continuitate) şi de legea de conservare a energiei. În ceea ce priveşte debitele de la capătul amonte al albiei şi ale construcţiilor din canal, valorile acestora de regulă se cunosc sau sunt date tabelar; la un timp curent valorile debitelor pot fi determinate prin interpolare - liniară, spline cubică etc.

17.5. SCHEME CU DIFERENŢE FINITE PENTRU INTEGRAREA ECUAŢIILOR SAINT-VENANT

17.5.1. Principiul metodei cu diferenţe finite

Principiul metodei cu diferenţe finite îl constituie înlocuirea funcţiilor cu variabile continue prin funcţii definite de un număr finit de puncte din domeniul de interes. Aceste puncte discrete alcătuiesc reţeaua de calcul, iar funcţiile de argument discret asociate nodurilor de reţea se numesc funcţii de


reţea. Derivatele parţiale se înlocuiesc prin expresii în diferenţe finite, iar ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc prin ecuaţii de aproximare cu diferenţe finite de forma unor ecuaţii algebrice liniare sau neliniare în raport cu funcţiile de reţea. Schemele cu diferenţe finite corespund diverselor maniere prin care derivatele parţiale şi termenii nederivativi din ecuaţiile originare se exprimă cu ajutorul funcţiilor de reţea. În categoria schemelor cu diferenţe de tip explicit intră acelea la care variabilele dependente dintr-un nod de reţea, xj, la timpul de calcul ti+1, se pot calcula folosind în totalitate datele cunoscute din câteva noduri vecine, de la momentul de timp trecut ti. În aceste scheme termenii nederivativi şi derivatele variabilelor dependente se aproximează astfel încât calculul variabilelor dependente se poate face separat pentru fiecare nod, la momentul ti+1, prin relaţii explicite. Pentru asigurarea stabilităţii soluţiei trebuie respectat criteriul de stabilitate (Courant – Friedrichs - Lewy):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+≤Δ

cV

Δxmint

j (17.34)

în care Δt este pasul temporal, Δx – pasul spaţial, V – viteza medie iar c – celeritatea. Datorită acestei restricţii alegerea pasului de timp si spaţial este limitată, iar răspândirea în aplicaţii practice este limitată deşi au un algoritm simplu şi uşor de programat. În schemele cu diferenţe finite de tip implicit variabilele curente dintr-un nod de reţea xj, la timpul curent de calcul ti+1, nu se pot calcula direct, folosind în relaţiile datele cunoscute de la momentul ti, din nodurile vecine. În aceste scheme termenii nederivativi şi derivatele variabilelor dependente se aproximează astfel încât variabilelor dependente necunoscute din nodul xj sunt legate de cele din mai multe noduri vecine (xj+1, sau xj-1 şi xj+1) si nu pot fi calculate decât simultan pentru toate nodurile spaţiale de la momentul ti+1, prin rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare sau neliniare. Dacă ecuaţiile de aproximare formează un sistem neliniar în raport cu necunoscutele, rezolvarea acestuia se face iterativ până la atingerea unui criteriu de convergenţă pe fiecare pas de timp Δt. Deoarece schemele implicite nu sunt supuse restricţiei de stabilitate ele au cunoscut o largă dezvoltare.


17.5.2. Schemă implicită în patru puncte

În continuare se prezintă o schemă implicită pentru integrarea ecuaţiilor Saint-Venant, dedusă pentru albii prismatice trapezoidale şi dreptunghiulare. Pentru rezolvare am ales forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant în variabile dependente Q şi y, (17.8) şi (17.9). Ecuaţia de continuitate fără aport lateral:

0x

Q

t

yB =

∂

∂+

∂

∂⋅ (17.8)

Ecuaţia dinamică:

0Sx

yAg

A

Q

xt

Qf

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∂

∂⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂ (17.9)

Ecuaţiile de aproximare a sistemului Saint-Venant sunt construite în jurul punctului P într-o celulă de calcul (fig. 17.5.) Derivatele spaţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate în punctul P prin:

( ) ( ) ( )[ ]nj

nj

1nj

1n1j ff1ff

Δx

1

x

f−⋅−+−⋅=

∂

∂ ++++

1θθ (17.35)

Derivatele temporale ale ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate în punctul P prin:

( ) ( ) ( )[ ]nj

1nj

n1j

1n1j ff1ff

Δt

1

t

f−⋅−+−⋅=

∂

∂ ++

++ ϕϕ (17.36)

Δ

ϕ Δ (1 − ϕ )Δ

(1 − θ )Δ

θ Δ

Δ

t

n + 1

n

j j+ 1

x

t

x x

t

t

P

pu nc t necun oscu tpu nc t cun oscu t

Fig. 17.5. Noduri de reţea folosite în schema implicită în 4 puncte


Termenii nederivativi sunt aproximaţi în punctul P prin:

( )( )[ ] ( ) ( )[ ]nj

n1j

n1j

1n1j f1f1f1ff ⋅−+⋅⋅−+⋅−+⋅⋅= ++

++ ϕϕθϕϕθ (17.37)

unde ( );tx, njff nj Δ⋅Δ⋅= θ - coeficient de pondere temporal, ϕ - coeficient de

pondere spaţial, Δx – pasul spaţial, iar Δt – pasul temporal. Trebuie menţionat că coeficienţii de pondere spaţiali şi temporali au valori cuprinse între 0 şi 1. Pentru φ = 0,5 ecuaţiile (17.35) şi (17.36) dau schema clasică a lui Preissman din care rezultă: pentru θ = 0 - schema este complet explicită, pentru θ = 1 - schema este complet implicită, iar pentru θ = 0,5 – schema este implicită centrată în 4 puncte. Cunge recomandă o valoare θ ≥ 0,67 pentru asigurarea preciziei şi stabilităţii numerice a algoritmului. Introducerea schemei lui Preissman în ecuaţiile (17.8) şi (17.9) conduce la ecuaţiile algebrice liniare pentru fiecare perechi de puncte adiacente (j şi j+1).

01111111 =+⋅+⋅+⋅+⋅ ++ GΔQDΔQCΔyBΔyA jjjj (17.38)

02212212 =+⋅+⋅+⋅+⋅ ++ GΔQDΔQCΔyBΔyA jjjj (17.39)

unde: - y, Q jj ΔΔ - incremenţii debitului şi cotei de la timpul n la n + 1 în

punctul j; - y, Q 1j1j ++ ΔΔ - incremenţii debitului şi cotei de la timpul n la n + 1

în punctul j + 1; - G,D,C,B,A,G,D,C,B,A 2222211111 - coeficienţii ce sunt calculaţi cu valorile cunoscute la timpul n. Deoarece A = A(y) si B = B(y), variabilele dependente în ecuaţiile

(17.8) şi (17.9) sunt Q şi y. Pentru f = Q sau f = y, pentru că fΔff n1n Δ+=+ , se obţine:

⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ+=

Δ+=

+

+

yyy

QQQn1n

n1n

Înlocuind f ff n1n Δ+=+ în (17.35) şi rearanjând ecuaţia se obţine:

( ) ( )[ ]j1jnj

n1j ffff

x

1

x

fΔ−Δ−−

Δ=

∂

∂++ θ (17.40)

Similar se procedează pentru ecuaţia (17.36):


( )[ ]j1j f1ft

1

t

fΔ⋅−+Δ⋅

Δ=

∂

∂+ ϕϕ (17.41)

şi pentru ecuaţia (17.37): ( ) f1ff j1j ⋅−+⋅= + ϕϕ (17.42)

Pentru o funcţie de două variabile F = F(Q,y) discretizarea se poate face astfel:

F FF n1n Δ⋅+=+ θ (17.43)

( ) ( ) ...1111

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅=

++ jjjjQ

F

Q

F

y

F

y

FΔF ϕϕϕϕ (17.44)

(păstrând doar derivata de ordinul 1) Utilizând relaţiile (17.40) la (17.44) în ecuaţiile (17.8) şi (17.9) s-au determinat - prin identificare - coeficienţii ecuaţiilor (17.38) şi (17.39). Toţi coeficienţii sunt determinaţi pentru secţiunea j şi pentru momentul de timp n.

Astfel, aplicarea relaţiilor (17.40), (17.41), (17.42) ecuaţiei de continuitate (17.8), conduce la:

10. t

yB

t

yB

∂

∂=

∂

∂⋅ , unde ( ) B1BB j1j ⋅−+⋅= + ϕϕ .

j1j yt

1y

Δtt

yΔ⋅

Δ

−+Δ⋅=

∂

∂+

ϕϕ

20. ( ) ( )j1jj1j QQx

QQx

1

x

QΔ−Δ⋅

Δ+−⋅

Δ=

∂

∂++

θ

Prin identificare au rezultat coeficienţii ecuaţiei (17.38):

Bt

A1 ⋅Δ

=ϕ

(17.45)

Bt

1B1 ⋅

Δ

−=

ϕ (17.46)

x

C1Δ

+=θ

(17.47)

x

D1Δ

−=θ

(17.48)

( )j1j1 QQx

1G −⋅

Δ= + (17.49)


Corectitudinea expresiilor coeficienţilor ecuaţiei (17.38) s-a verificat dimensional.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 121

11

11

11

11

−−−−− ⋅===⋅=⋅= TLG ; LD ; LC ; TLB ; TLA .

121][][ −−+ =⋅=Δ⋅ TLLLTyA 1j1 ;

1211 ][][ −− =⋅=⋅ TLLLTΔyB j ;

12131][][ −−−+ =⋅=Δ⋅ TLTLLQC 1j1 ;

12131][][ −−− =⋅=Δ⋅ TLTLLQD j1 .

Ecuaţia algebrică liniarizată (17.38) este omogenă dimensional.

Aplicarea relaţiilor de la (17.40) la (17.44) ecuaţiei dinamice (17.9), conduce la:

10. j1j Qt

1Q

tt

QΔ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ

−+Δ⋅

Δ=

∂

∂+

ϕϕ

20. ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

x

A

A

Q

x

Q

A

Q2

A

Q

x

22

( ) ( )j1jj1j QQx

QQx

1

x

QΔ−Δ⋅

Δ+−⋅

Δ=

∂

∂++

θ

unde ( )j1j A

Q1

A

Q

A

Q⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

ϕϕ ,

( ) ( )

( ) ( );jj1j1jj1j

j1jj1j

yByBx

AAx

1

AAx

AAx

1

x

A

Δ⋅−Δ⋅⋅Δ

+−⋅Δ

=

=Δ−Δ⋅Δ

+−⋅Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂

+++

++

θ

θ

( )2

j

2

1j

2

A

Q1

A

Q

A

Q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

ϕϕ .

30. ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ−Δ⋅Δ

+−⋅Δ

⋅⋅=∂

∂⋅⋅ ++ j1jj1j yy

xyy

x

1Ag

x

yAg

θ

40. ( ) ( )ASgSAgSAgSAg ffff Δ⋅⋅⋅+Δ⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ θθ

40.1 ( ) ( ) ( )[ ]jf1jff SA1SAgSAg ⋅⋅−+⋅⋅⋅=⋅⋅

+ϕϕ .


40.2. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]j1jj1j

j

f

1j

f

j

f

1j

ff

11A gQ

S1

Q

S

Y

S1

Y

SAgSAg

ωϕωϕγϕγϕθϕ

ϕϕϕθθ

⋅−+⋅+⋅−+⋅⋅⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂⋅⋅⋅⋅=Δ⋅⋅⋅

++

++

unde s-au folosit următoarele notaţii ajutătoare:

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−+⋅

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

+++

+

+1j1j

2

1jf

1j

f1j A

B5

P

m12S

3

2

Y

Sγ ;

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−+⋅

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=

jj

2

jf

j

fj A

B5

P

m12S

3

2

Y

Sγ ;

2

1j

1j

1j

f1j

K

Q2

Q

S

+

+

+

+ ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=ω ;

2j

j

j

fj

K

Q2

Q

S⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂=ω

.

40.3. ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]j1jf

j1jff

B1BS g

Y

A1

Y

ASgAS g

⋅−+⋅⋅⋅⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂⋅⋅⋅⋅=Δ⋅⋅⋅

+

+

ϕϕθ

ϕϕθθ

Din 10 + 20 + 30 + 40 = 0, prin identificarea coeficienţilor, rezultă:

( ) ( )

( ) 1jf

1j1j

2

2

BSg

AgBxA

Q

xAgA

+

++

⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅Δ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−Δ

⋅⋅=

ϕθ

γϕθθθ

(17.50)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) jf

jj

2

2

B1S g

1Agx

AgBxA

QB

⋅−⋅⋅⋅

+⋅−⋅⋅⋅+Δ

⋅⋅−⋅Δ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

ϕθ

γϕθθθ

(17.51)

( ) 1j2 AgxA

Q2

tC +⋅⋅⋅⋅+

Δ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+Δ

= ωϕθθϕ

(17.52)


( ) ( ) j2 1-AgxA

Q2

t

1-D ωϕθ

θϕ⋅⋅⋅⋅+

Δ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−Δ

= (17.53)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) SAgYYx

1A g

AAx

1

A

QQQ

x

1

A

Q2G

fj1j

j1j

2

j1j2

⋅⋅+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−⋅Δ

⋅⋅

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−⋅Δ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−⋅Δ

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

+

++

(17.54)

S-au verificat dimensional coeficienţii ecuaţiei (17.39), rezultând.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 232

12

12

222

222 TLG ; TD ; TC ; TLB ; TLA −−−−− ⋅===⋅=⋅=

Înlocuind în (17.39) rezultă:

232212 ][][ −−

+ =⋅=Δ⋅ TLLTLyA j ;

23222 ][][ −− =⋅=⋅ TLLTLΔyB j ;

231312 ][][ −−−

+ =⋅=Δ⋅ TLTLTQC 1j ;

231312 ][][ −−− =⋅=Δ⋅ TLTLTQD j .

Şi ecuaţia algebrică liniarizată (17.39) este omogenă dimensional.

10. Algoritmul dublului baleiaj

Ecuaţiile (17.38) şi (17.39) trebuie rezolvate în orice punct de calcul, pentru orice pas de timp Δt în perioada de calcul. Ele formează un sistem de ecuaţii algebrice liniare şi pot fi rezolvate dacă şi condiţiile la limită sunt de asemenea liniarizate în termenii ΔQ şi Δy, prin aplicarea oricărei metode de soluţionare. Algoritmul dublului baleiaj este o aplicare a schemei lui Preissmann şi Cunge la ecuaţiile (17.38) şi (17.39). Prin acest algoritm se calculează valorile debitelor şi cotelor în punctul j la momentul de timp n+1 utilizând coeficienţi flotanţi şi relaţii de recurenţă între aceştia. Presupunând că există o relaţie liniară de tipul ΔQj = Ej Δyj + Fj (17.55) se poate determina o relaţie între Δyj şi incremenţii variabilelor dependente Δyşi ΔQ pentru punctul j+1. Aceasta se demonstrează înlocuind ecuaţia (17.55) în ecuaţiile (17.38) şi (17.39) obţinându-se:


⎪⎩

⎪⎨⎧

=+⋅+⋅+++⋅

=+⋅+⋅+++⋅

++

++

0)(

0)(

22122212

11111111

GΔQDΔQCΔyEDBΔyA

GΔQDΔQCΔyEDBΔyA

jjjjj

jjjjj (17.56)

Din sistemul de ecuaţii (17.56) se poate determina o relaţie între Δyj şi incremenţii variabilelor dependente Δy şi ΔQ pentru punctul j+1.

j11

j111j

j11

11j

j11

1j EDB

FDGQ

EDB

Cy

EDB

Ay

+

+−Δ⋅

+−Δ⋅

+−=Δ ++ (17.57)

Ecuaţia (17.57) se poate scrie: 3jj2j1j1jj OQ Oy Oy +Δ⋅+Δ⋅=Δ + (17.58)

unde:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+

+−=

+−=

+−=

j11

j113j

j11

12j

j11

11j

EDB

FDGO

EDB

CO

EDB

AO

(17.59)

Dacă se elimină Δyj între ecuaţiile (17.57) şi exprimând ΔQj+1 ca o funcţie de Δyj+1 se obţine:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )j112j221

j11j22j22j11

1jj112j221

j112j2211j

EDBCEDBC

EDBFDGEDBFDG -

yEDBCEDBC

EDBAEDBAQ

+−+

++−++

−Δ⋅+−+

+−+−=Δ ++

(17.60)

şi ( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−+

++−++=

+−+

+−+=

+

+

j112j221

j22j11j11j221j

j112j221

j221j1121j

EDBCEDBC

EDBFDGEDBFDGF

EDBCEDBC

EDBAEDBAE

(17.61)

Aşadar există o relaţie liniară de forma indicată de ecuaţia(17.55). Este demonstrat deci că dacă relaţia (17.55) este corectă pentru orice punct j atunci este corectă pentru oricare din punctele următoare. Mai mult, ecuaţia (17.55) defineşte câteva relaţii de recurenţă astfel:


Ej+1 = f(Ej, A1, B1,…); Fj+1 = f(Ej, Fj, A1, B1,…). Coeficienţii Ej+1 şi Fj+1 se pot calcula pentru orice punct j+1 dacă se cunosc coeficienţii Ej şi Fj, din punctele anterioare j. A treia relaţie:

3jj2j1j1jj OQ Oy Oy +Δ⋅+Δ⋅=Δ + (17.62)

având coeficienţii determinaţi cu relaţia (17.59) permite calculul valorii lui Δyj

când incremenţii Δy şi ΔQ sunt cunoscuţi în punctul j+1. Aceste relaţii de recurenţă sugerează o metodă pentru calculul lui yn+1

şi Qn+1 pentru toate punctele j = 1, 2,…,N-1, N dintr-un canal. Condiţiile limitătrebuie liniarizate local. Atunci condiţiile limită trebuie exprimate în modul următor:

Pentru prima condiţie limită, j = 1, (la frontiera amonte) este necesarăcunoaşterea relaţiei ΔQ1 = E1 Δy1 +F1, (altfel spus trebuie cunoscuţi coeficienţii E1 şi F1).

Pentru a doua condiţie limită, j = N, este necesară cunoaşterea lui ΔyN.

17.5.3. Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor Saint-Venant

Această metodă de rezolvare a ecuaţiilor Saint-Venant conduce cel mai repede la aflarea soluţiilor ecuaţiilor Saint-Venant. Definiţia schematică a unei scheme rectangulare este dată în fig. 17.6: o reţea de noduri cu punctul P, proiectat în planul (xOt), Δx fiind distanţa spaţială şi Δt - distanţa temporală dintre punctele din reţea.

Δ

noduri vecine

Δ

t

tj+1

tj

xj-1 xj xj+1 x

L RM

P

nod curent de calcul

t

x

Fig. 17.6. Noduri de reţea folosite în schema explicită de integrare a ecuaţiilor Saint-Venant


Condiţiile cunoscute, VL, hL şi VR, hR, la timpii t = t, sunt utilizate pentru exprimarea explicită a condiţiilor necunoscute, VP, hP, după un pas Δt, adică la timpul t = t + Δt, unde V reprezintă viteza punctuală consideratăconstantă în secţiune transversală, iar h este înălţimea apei în canal. Derivatele parţiale a ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate cu ajutorul diferenţelor finite astfel:

t

hh

t

h

t

VV

x

V

x2

hh

x

h

x2

VV

x

V

MP

P

MP

P

LR

M

LR

M

Δ

−=

∂

∂

Δ

−=

∂

∂

Δ

−=

∂

∂

Δ

−=

∂

∂

(17.63)

Pentru un canal prismatic, prin înlocuirea acestor ecuaţii în ecuaţia de continuitate, rezultă:

( ) ( )[ ]RLMRLMMP VVhhhVx2

th h −+−

Δ+=

Δ (17.64)

Apoi, prin înlocuirea ecuaţiilor de mai sus în ecuaţia dinamică, rezultă:

( ) ( ) ( )e

LRLRM

MP SSgx2

hhg

x2

VVV

t

VV−=

Δ

−+

Δ

−+

Δ

−0 (17.65)

unde S0 reprezintă panta fundului, iar Se este panta energetică.

24/3

h

PPe n

R

VVJ

P

= şi tgn

R2

4/3hP Δ=Γ (17.66)

unde RhP reprezintă raza hidraulică în secţiunea corespunzătoare punctului P, iar n- coeficientul lui Manning. Simplificat, se poate scrie: 0VV P

2P =Γ−Γ+ β (17.67)

unde:

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ+−Δ

Δ+−

Δ+= 0t Sghh

x2

tgVVV

x2

ΔtV RLRLMMβ (17.68)

Din această ecuaţie rezultă:

( )[ ]1/22P 4-

2

1V βΓ+Γ+Γ= (17.69)

Metoda explicită prin diferenţe finite permite determinarea adâncimii apei, hP, la un timp fix, Δt, cu ajutorul ecuaţiei de continuitate scrisă anterior, apoi se determină viteza, Vp, în punctul P.

Numărul şi tipul condiţiilor la limită necesare pentru obţinerea unei soluţii sunt descrise în partea aplicativă. Pentru obţinerea unei soluţii stabile, este necesar întotdeauna să se respecte criteriul de stabilitate al lui Courant:

( )cV

Δxt

+≤Δ (17.70)

unde: ( ) ( )LPRP ttt ttt −=Δ−=Δ sau

şi ( ) ( )LPRP xxx xxx −=Δ−=Δ u as .

17.6. UNDE DE TRANSLAŢIE

Aşa cum s-a amintit în paragraful 17.1., mişcarea caracterizată printr-o variaţie bruscă a adâncimii apei (când apar unde cu front abrupt), se numeşte mişcare nepermanentă rapid variată, undele fiind numite adeseori în literatura de specialitate – unde de translaţie sau unde de inundaţie. Aceste tipuri de unde apar de obicei la deschiderea bruscă a unor stavile, ecluze, în anumite situaţii de exploatare a centralelor hidroelectrice, sau în cazul ruperilor de baraje. Tot undă de translaţie se consideră şi fenomenul numit mascaret, dat de un flux mareic care înaintează pe un râu de dimensiuni apreciabile (ex. pe fluviul Amazon). În acest caz, ipotezele care stau la baza modelului unidimensional în baza cărora au fost deduse ecuaţiile Saint – Venant nu mai sunt valabile. Dacă curbura liniilor de curent nu este neglijabilă, mai mult, nu se poate admite o distribuţie hidrostatică a presiunii în secţiune transversală, atunci ecuaţiile Saint - Venant în forma de la (17.6) la (17.13) nu mai sunt valabile şi nici consideraţiile anterioare legate de aceste ecuaţii. Variaţia bruscă a suprafeţei apei, este determinată de o variaţie bruscăa debitului ∆Q (fig. 17.7). Această variaţie bruscă (perturbaţie) este unda de inundaţie, care formează o discontinuitate ∆h, numită frontul undei. După perturbaţie, corpul undei se dezvoltă paralel cu suprafaţa liberă a apei, debitul corpului undei fiind Q + ∆Q. Pentru unda pozitivă directă (17.7.c) şi unda negativă inversă(17.7.d), variaţia de debit este pozitivă, ∆Q > 0, iar pentru unda pozitivăinversă (17.7.a) şi pentru unda negativă directă (17.7 b), variaţia de debit este negativă, ∆Q < 0.

Frontul undei se poate prezenta sub diferite forme. Dacă unda este pozitivă, 11 hhh >Δ+ , frontul undei poate fi format dintr-o sigură undă sau dintr-o succesiune de unde mai mici, separate sau nu, frontul undei este mai curând concav şi rămâne stabil. Dacă unda este negativă, 11 hhh <Δ+ , frontul va lua forma unei curbe continue, este mai curând convex şi devine instabil. După Chow, acest lucru poate fi explicat considerând unda ca o sumăde unde mai mici plasate una peste alta. Fiecare undă mică se deplasează cu

celeritatea ghc = , undele mici de la partea superioară a undei au o celeritate

mai mare decât cele de la bază. În consecinţă, pentru undele pozitive, undele mici de la partea superioară a undei absorb undele mici de la baza undei, rezultând un front de undă mai abrupt. În cazul undelor negative, undele mici de la partea superioară a undei se deplasează mai repede decât cele de la bază, rezultând o undă cu un front din ce în ce mai puţin abrupt.

a) Unda pozitiva inversa

h1

V(+)1

C (-)

h2

Δh>0

Q Q+ΔQ

ΔQ<0

b) Unda negativa directa

h2

V(+)1

C (+)

h1

ΔQ<0

Δh<0

Q+ΔQ Q

h1

V(+)1

C (+)Δh>0

h2

Q+ΔQ Q

ΔQ>0

c) Unda pozitiva directa

h2

V(+)1

C (-)

h1

ΔQ>0

d) Unda negativa inversa

Δh<0

Q+ΔQQ

stare initiala perturbatie perturbatie stare initiala

perturbatie stare initiala perturbatiestare initiala

t

t

t

t

Fig. 17.7. Tipuri de unde de translaţie

Viteza de propagare a undelor de translaţie pozitive sau negative - celeritatea, se deduce prin aplicarea ecuaţiei teoremei impulsului între douăsecţiuni situate de o parte şi de alta a frontului undei. Pentru un canal de secţiune dreptunghiulară celeritatea undelor este (fig. 17.7):

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅±=±

1

2

1

211 1

2 h

h

h

hghVct (17.71)

Semnul (-) corespunde undelor inverse, iar semnul (+) corespunde undelor directe. Dacă se neglijează termenii pătratici, ec. (17.71) se poate aproxima prin:

111 2

31

h

hghVc

Δ⋅+±≅ sau ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ⋅+±≅

111 4

31

h

hghVc (17.72)

Relaţia (17.72) este valabilă pentru unde de amplitudine nu foarte mică.

Pentru unde de amplitudine foarte mică la care 11

12 <<−

h

hh, sau

hhh ≅≅ 12 , ecuaţia (17.72) devine:

( ) ghVct ±=± (17.73)

Relaţia (17.73) reprezintă celeritatea undei lungi (undă de gravitaţie de adâncime redusă) şi de amplitudine redusă în ape cu V = 0 (v. ec. 17.33)

17.7. VALURI

17.7.1. Definiţii. Clasificarea valurilor

Valurile sunt forme pe care le ia suprafaţa apei sub acţiunea impulsurilor de presiune, datorate vântului, mişcării navelor, seismelor etc. Poziţia iniţială orizontală a suprafeţei apei este modificată de impulsurile de presiune. Forţa gravitaţională determină valurile obişnuite – gravitaţionale, iar forţele capilare determină doar mici încreţituri la suprafaţa apei numite valuri de capilaritate. Forţa de frecare a vântului cu suprafaţa apei în repaos produce valurile de vânt – valuri întreţinute, acestea îşi continuă mişcarea şi dupăîncetarea acţiunii vântului şi se numesc valuri libere sau hulă. Suprapunerea valurilor libere cu cele întreţinute determină valurile mixte şi valurile de interferenţă – date de suprapunerea valurilor reflectate cu cele incidente în zona construcţiilor din apă.

Mareele se datorează forţelor de atracţie ale soarelui, şi în principal, ale lunii. Ele sunt caracterizate prin flux (ridicarea nivelului) şi reflux(coborârea nivelului). Fluxul are o durată mai mică decât refluxul. La flux,


adâncimea apei creşte, în consecinţă creşte şi celeritatea. Dacă fluxul pătrunde pe albia unui râu care se îngustează spre amonte, unda mareică poate căpăta amplitudine mare (mascaret). Există ţări în care energia mareică a fost captatăpentru producerea de energie hidroelectrică (centrala Rance - Franţa).

Valurile de vânt sunt cele mai frecvente; ele se formează la viteze ale apei de peste 1 m/s; pentru o viteză a vântului între 0,5 şi 1 m/s suprafaţa liberăa apei doar se încreţeşte. Dezvoltarea valurilor este funcţie de adâncimea bazinului, lungimea luciului de apă parcursă de val, de intensitatea şi durata vântului. Elementele valului produs de vânt (fig. 17.8) sunt: ∆h - înălţimea valului, măsurată pe verticală de la creastă până la partea inferioară; λ - lungimea de undă a valului, distanţa pe orizontală între crestele a douăvaluri învecinate; c - celeritatea, viteza de propagare a crestei valului pe orizontală; τ - perioada valului, timpul necesar pentru parcurgerea de către creasta valului a lungimii de undă λ; h/λ - curbura valului; vz - viteza orbitală de mişcare a particulelor la diverse adâncimi; D – fetchul valurilor, lungimea luciului de apă supusă acţiunii vântului.

C

h

x

y

λ

ψ=ct.

Traiectorii

Δh

Fig. 17.8. Elementele valului de vânt

17.7.2. Valuri marine. Acţiunea valurilor asupra construcţiilor

După von Gerstner, studiul valurilor marine pleacă de la ipoteza căacestea satisfac riguros condiţia de continuitate precum şi condiţia ca presiunea sa fie constantă pe suprafaţa liberă a apei.


Astfel: a. Toate moleculele fluide descriu în planurile secţiunii drepte a

valului orbite circulare, mişcându-se cu viteză uniformă şi în aceeaşi perioadăde timp. Toate particulele care au centrul orbitei pe aceeaşi verticală au mişcări sincrone şi în concordanţă de fază; vitezele sunt dirijate, la vârful orbitelor, în sensul de propagare a valului. Centrele orbitelor se află pe suprafaţa apei liniştite (iniţial imobile).

b. Razele orbitelor descresc repede cu adâncimea y, după legea

exponenţială λ

π y

e2

−, λ fiind lungimea de undă

c. Perioada T este dată de relaţia:

T = g

πλ2, (17.74)

iar celeritatea:

c = π

λ

2

g, (17.75)

T şi c iau aceleaşi valori ca pentru ape adânci. d. Fiecare particulă lichidă este supusă în timpul mişcării la presiunea

la care era supusă în poziţia de repaus. Suprafeţele de nivel sunt generate de curbe corespunzând poziţiilor actuale ale punctelor care se găsesc, în stare de echilibru, în acelaşi plan orizontal.

e. Curbele de presiune au forma unei trohoide circulare (fig. 17.9), care este curba descrisă de un punct interior unui cerc care se rostogoleşte pe o

dreaptă; raza cercului este π

λ

2şi punctul care descrie trohoida este la distanţa a

de centrul său. Când punctul care descrie curba este situat chiar pe circumferinţa de raza a0, trohoida este o cicloidă. Între lungimea valului l şi

amplitudinea a0 există relaţia, 02 a⋅= πλ , deci 00 gac = .

Fig. 17.9. Val marin trohoidal

C

λ

a0

aC

trohoida

Cicloida

Linii izobare


După Mateescu, o relaţie mai riguroasă pentru calculul valurilor de amplitudine finită în apă adâncă este:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=T

txa

T

txa

T

tx

a

y

λπ

λ

π

λπ

λ

π

λπ 6cos

2

34cos2cos 2

22

(17.76)

iar celeritatea se exprimă prin:

2/122

12 ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=λ

π

π

λ agc (17.77)

Pentru calculul energiei valurilor se pleacă fie de la teoria lui Stokes, fie a lui Gertsner. Energia potenţială calculată între două creste consecutive se poate exprima prin:

4

2λγaEp = , (17.78)

iar energia totală prin:

2

2λγaEt = ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

valde mmkg

(17.79)

unde γ reprezintă greutatea specifică a apei. Relaţia (17.79) permite evaluarea impactului valurilor asupra construcţiilor hidrotehnice. Efectul dinamic se exercită mai mult la suprafaţa apei şi scade rapid cu adâncimea datorită legii de repartiţie a vitezei:

λ

πy

euu2

0

−

= (17.80)

Dacă se admite faptul că presiunea hidrostatică variază proporţional cu adâncimea, atunci presiunea totală la nivelul oglinzii apei se poate scrie apt γ2= (17.81)

unde a reprezintă amplitudinea valului deasupra nivelului static (fig. 17.10), care este în funţie de tipul mării sau oceanului (ex. Marea Mediterană

m 52 ≅a ). Există, de asemenea, formule semiempirice pentru calculul presiunilor suplimentare datorate valurilor atât deasupra nivelului apei liniştite cât şi în adâncime.


h

0.00

γh γh

a

2γh

Fig. 17. 10. Presiunea valurilor pe dig

17.8. APLICAŢII

10. Să se determine prin metoda implicită debitele şi cotele apei în trei secţiuni (amonte, mijloc şi aval) ale unui canal de secţiune trapezoidală având următoarele caracteristici: lăţimea la bază a canalului: b = 5,0 m, debitul în mişcare permanentă şi uniformă: q = 3,0 m3/s, panta longitudinală a canalului: S0 = 0,001, coeficientul unghiular al taluzului: m = 1,5, coeficientul de rugozitate după Strikler: k = 40 (n = 0,025), lungimea canalului: L = 10 km, cota fundului canalului în amonte yf1 = 100 m. Hidrograful afluent în canal este redat în tab. 17.1. şi fig. 17.11, secţiunea j = 0, şi are următoarele caracteristici: Qmin = 5 m3/s, Qmax = 7 m3/s, cu timpul de creştere a debitului tu = 3600 s după o lege liniară.

Rezolvare. S-au impus, pentru determinarea coeficienţilor ecuaţiilor algebrice liniare (17.38) şi (17.39), valorile coeficientului de pondere spaţial: φ = 0,5, şi al coeficientului de pondere temporal: θ = 0,7. Pentru algoritmul dublului parcurs de soluţionare a ecuaţiilor algebrice liniare, condiţiile limită furnizează fie valorile coeficienţilor, E1, F1, fie valorile incrementului ΔyN. Condiţia limită în amonte s-au ales de forma:

Q = Q(t) dat (tab. 17.1. şi fig. 17.11; secţiunea j = 0) Se poate determina E1 şi F1 astfel încât ΔQ1 = Q(tn + Δt) - nQ1 .

Din ecuaţia (17.55) ΔQ1 depinde de Δy1, dar poate fi independent de Δy1

utilizând o condiţie limită arbitrară. Impunând:

E1 = 0 rezultă F1 = Q(tn + Δt) - nQ1 .

Deci oricare ar fi valoare calculată Δy1, ΔQ1 va fi întotdeauna egală cu valoarea condiţiei limită.


Condiţia limită în aval s-au ales astfel ca în aval să fie un nivel impus (în cazul de faţă am impus nivel corespunzător regimului de mişcare permanentă şi uniformă). Aşadar: QN = k AN (R2/3)

NN

2

NN y

P

m1

3

4

A

B

3

5QQ Δ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=Δ

În acelaşi timp va exista o relaţie de tipul: ΔQN = EN ΔyN + FN

şi ΔQN şi ΔyN se determină prin rezolvarea sistemului:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

Δ⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅−

NN

N

N

N

2

N F

0

y

Q

E1

P

m1

3

4

A

B

3

5Q1

Pentru canalul de secţiune trapezoidală parametrii ce intervin în ecuaţiile liniarizate au expresiile: ( )fjjjj yym2bB −⋅⋅+= ;

( ) ( )[ ]fjjfjjj yymbyyA −⋅+⋅−= ;

( ) 2fjjjj m1yy2bP +⋅−⋅+= ;

j

jj P

AR = ;

32

jj PAkK ⋅⋅= ;

2j

2j

fjK

QS = .

unde b este lăţimea la fund a canalului, B – lăţimea la luciul apei, m – coeficientul unghiular al taluzului, A – aria secţiunii transversale, P – perimetrul udat; R – raza hidraulică, k – coeficient de frecare datorat rugozităţii (după Strickler), iar K – debitanţa. Pentru efectuarea automată a calculelor s-a întocmit un program de calcul, pe baza relaţiilor descrise anterior, alegând un pas de calcul temporal Δt = 100 s, pasul spaţial Δx =1000 m (rezultând un număr n = 11 noduri de calcul), timpul total de calcul fiind Tmax = 10800 s. Rezultatele sunt prezentate sub formă numerică în (tab. 17.1), iar sub formă grafică în (fig. 17.11). şi (fig. 17.12).


Variaţia debitelor şi cotelor în secţiunile de calcul Tabelul 17.1

Timp (s)Debit Q (mc/s) Cotă (m)

j = 0 j = 5 j = 10 j = 0 j = 5 j = 10

0 1 2 3 4 5 6

0 5 2,876 3,005 100,722 95,619 90,625

100 5,056 3,243 2,975 100,764 95,635 90,622

200 5,111 3,02 3,039 100,853 95,623 90,629

300 5,167 3,017 2,976 100,835 95,639 90,622

400 5,222 2,815 3,028 100,84 95,617 90,628

500 5,278 2,809 2,968 100,833 95,616 90,621

600 5,333 2,903 2,991 100,855 95,606 90,624

700 5,389 3,031 2,986 100,865 95,613 90,623

800 5,444 3,103 3,016 100,87 95,624 90,627

900 5,5 3,14 3,026 100,872 95,636 90,628

1000 5,556 3,16 3,027 100,879 95,642 90,628

1100 5,611 3,181 3,009 100,889 95,644 90,626

1200 5,667 3,17 2,989 100,895 95,643 90,624

1300 5,722 3,112 2,974 100,897 95,641 90,622

1400 5,778 3,025 2,969 100,899 95,636 90,621

1500 5,833 2,943 2,973 100,905 95,629 90,622

1600 5,889 2,879 2,985 100,913 95,62 90,623

1700 5,944 2,823 3,001 100,919 95,612 90,625

1800 6 2,765 3,018 100,923 95,604 90,627

1900 6,056 2,717 3,031 100,926 95,598 90,629

2040 6,111 2,693 3,037 100,931 95,593 90,629

2100 6,167 2,7 3,036 100,938 95,59 90,629

2200 6,222 2,728 3,029 100,943 95,59 90,628

2300 6,278 2,771 3,017 100,947 95,592 90,627

2400 6,333 2,83 3,002 100,951 95,597 90,625

2500 6,389 2,907 2,985 100,956 95,604 90,623

2600 6,444 3,004 2,969 100,961 95,614 90,621

2700 6,5 3,116 2,956 100,966 95,625 90,62

2800 6,556 3,235 2,949 100,971 95,637 90,619

2900 6,611 3,36 2,947 100,975 95,651 90,618

3000 6,667 3,491 2,952 100,98 95,665 90,619

3100 6,722 3,629 2,961 100,985 95,68 90,62

3200 6,778 3,769 2,976 100,99 95,695 90,622

3300 6,833 3,908 2,995 100,994 95,71 90,624

3400 6,889 4,044 3,016 100,998 95,724 90,627


Tabelul 17.1 (continuare)0 1 2 3 4 5 6

3500 6,944 4,178 3,037 101,003 95,738 90,629

3600 7 4,309 3,057 101,008 95,752 90,632

3700 7 4,439 3,073 101,01 95,766 90,634

3800 7 4,558 3,087 101,012 95,778 90,635

3900 7 4,678 3,093 101,013 95,791 90,636

4000 7 4,793 3,095 101,013 95,802 90,636

4100 7 4,906 3,09 101,013 95,814 90,636

4200 7 5,013 3,078 101,014 95,825 90,634

4300 7 5,113 3,06 101,014 95,835 90,632

4400 7 5,208 3,036 101,014 95,845 90,629

4500 7 5,299 3,006 101,014 95,854 90,626

4600 7 5,388 2,973 101,015 95,862 90,622

4700 7 5,475 2,939 101,015 95,871 90,617

4800 7 5,56 2,903 101,015 95,879 90,613

4900 7 5,645 2,869 101,015 95,887 90,609

5000 7 5,728 2,838 101,015 95,894 90,605

5100 7 5,811 2,811 101,015 95,902 90,602

5200 7 5,892 2,79 101,015 95,909 90,599

5300 7 5,971 2,777 101,015 95,916 90,598

5400 7 6,047 2,772 101,015 95,923 90,597

5500 7 6,121 2,777 101,015 95,93 90,598

5600 7 6,192 2,793 101,015 95,937 90,6

5700 7 6,259 2,821 101,015 95,943 90,603

5800 7 6,323 2,86 101,015 95,949 90,608

5900 7 6,383 2,911 101,015 95,954 90,614

6000 7 6,439 2,972 101,015 95,959 90,622

6100 7 6,491 3,044 101,015 95,964 90,63

6200 7 6,539 3,126 101,015 95,969 90,64

6300 7 6,584 3,215 101,015 95,973 90,651

6400 7 6,625 3,313 101,015 95,977 90,662

6500 7 6,663 3,416 101,015 95,981 90,674

6600 7 6,698 3,525 101,015 95,984 90,687

6700 7 6,729 3,637 101,015 95,987 90,699

6800 7 6,758 3,753 101,015 95,99 90,712

6900 7 6,783 3,872 101,015 95,993 90,725

7000 7 6,807 3,992 101,015 95,995 90,738

7100 7 6,828 4,114 101,015 95,997 90,751

7200 7 6,847 4,236 101,015 95,999 90,764


Tabelul 17.1 (continuare)0 1 2 3 4 5 6

7300 7 6,864 4,358 101,015 96,001 90,777

7400 7 6,879 4,479 101,015 96,002 90,789

7500 7 6,893 4,599 101,015 96,004 90,801

7600 7 6,905 4,718 101,015 96,005 90,813

7700 7 6,916 4,835 101,015 96,006 90,824

7800 7 6,926 4,949 101,015 96,007 90,836

7900 7 6,935 5,061 101,015 96,008 90,846

8000 7 6,942 5,171 101,015 96,009 90,857

8100 7 6,949 5,277 101,015 96,009 90,867

8200 7 6,955 5,38 101,015 96,01 90,877

8300 7 6,96 5,479 101,015 96,011 90,886

8400 7 6,965 5,575 101,015 96,011 90,895

8500 7 6,969 5,667 101,015 96,012 90,903

8600 7 6,973 5,755 101,015 96,012 90,911

8700 7 6,976 5,839 101,015 96,012 90,919

8800 7 6,979 5,92 101,015 96,013 90,926

8900 7 6,982 5,996 101,015 96,013 90,933

9000 7 6,984 6,068 101,015 96,013 90,939

9100 7 6,986 6,137 101,015 96,013 90,945

9200 7 6,988 6,201 101,015 96,013 90,951

9300 7 6,989 6,262 101,015 96,014 90,956

9400 7 6,991 6,319 101,015 96,014 90,961

9500 7 6,992 6,372 101,015 96,014 90,965

9600 7 6,993 6,422 101,015 96,014 90,97

9700 7 6,994 6,469 101,015 96,014 90,974

9800 7 6,995 6,513 101,015 96,014 90,977

9900 7 6,995 6,553 101,015 96,014 90,981

10000 7 6,996 6,591 101,015 96,014 90,984

10100 7 6,997 6,626 101,015 96,014 90,987

10200 7 6,997 6,658 101,015 96,015 90,99

10300 7 6,997 6,688 101,015 96,015 90,992

10400 7 6,998 6,715 101,015 96,015 90,994

10500 7 6,998 6,741 101,015 96,015 90,997

10600 7 6,998 6,764 101,015 96,015 90,999

10700 7 6,998 6,785 101,015 96,015 91

10800 7 6,999 6,805 101,015 96,015 91,002


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Timp (sec)

Deb

it (m

c/se

c)

Q = f(t) în secţiunea j = 0Q = f(t) în secţiunea j = 5

Q = f(t) în secţiunea j = 10

Fig. 17.11. Variaţia debitului în canal, Q = f(t), în secţiunile j = 0 (amonte, L = 0), j = 5 (L = 5 km) şi j = 10 (aval, L = 10 km)

Fig. 17.12. Variaţia cotelor suprafeţelor libere ale apei, y = f(t) în secţiunile j = 0 (amonte, L = 0), j = 5 (L = 5 km) şi j = 10 (aval, L = 10 km)

Metoda implicită în patru puncte implică determinarea – prin identificare - a coeficienţilor ecuaţiilor algebrice liniare (17.38) şi (17.39) şi rezolvarea sistemului format din aceste ecuaţii. Rezolvarea sistemului format din ecuaţiile (17.38) şi (17. 39) se poate face relativ uşor prin algoritmul dublului baleiaj, însă condiţiile limită trebuie liniarizate în aceeaşi termeni Δyşi ΔQ.

90

92

94

96

98

100

102

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

T imp (sec)

Cot

a ni

velu

lui a

pei (

m)

Y = f(t) în sect iunea j = 0 Y = f(t) în sect iunea j = 5Y = f(t) în sect iunea j = 10

Pentru exemplul de calcul ales (care respectă ipotezele modelului unidimensional) pentru un coeficient de pondere temporal θ = 0,7 şi un coeficient de pondere spaţial φ = 0,5, algoritmul numeric a fost stabil indiferent de pasul spaţial şi temporal ales în calcul. De fapt pentru θ = 0,7 algoritmul este la limită stabil, pentru θ < 0,67 algoritmul devine instabil numeric. Dificultatea metodei constă în faptul că liniarizarea ecuaţiilor şi a condiţiilor limită precum şi determinarea coeficienţilor ecuaţiilor liniarizate, este relativ greoaie şi destul de laborioasă.

20. Să se determine prin metoda explicită parametri hidraulici, din 1000 în 1000 m (debite, viteze, adâncimi), de-a lungul unui canal de secţiune dreptunghiulară având următoarele caracteristici: lăţimea la bază a canalului: b = 5,0 m, panta longitudinală a canalului: S0 = 0,001, coeficientul de rugozitate după Manning n = 0,02, lungimea canalului: L = 6 km. Hidrograful afluent în canal este redat în (fig. 17.13) şi are următoarele caracteristici: Qmin = 8,249 m3/s, Qmax = 50 m3/s, cu timpul de creştere a debitului tu = 1200 s, timp de descreştere tc = 3600 s, după o lege liniară.

Rezolvare. După metoda descrisă la pct. 17.5.3., pentru canalul de secţiune dreptunghiulară, ecuaţiile se rescriu în diferenţe finite astfel: - pentru adâncimi:

[ ])V(Vh)h(hVx2

thh j

1ij1i

ji

j1i

j1i

ji

ji

1ji +−+−

+ −+−Δ

Δ+=

- pentru viteze:

[ ]1/221ji )4(

2

1V βΓ+Γ+Γ−=+

cu ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Δ+−Δ

Δ+−

Δ

Δ+= +−+− 0tSg)h(h

x2

tg)V(VV

x2

tV j

1ij

1ij1i

j1i

ji

jiβ şi

( )tgn

R2

4/31jih

Δ=Γ

+

Condiţii iniţiale: la (t = 0) s-a considerat mişcarea permanentă şi

uniformă, corespunzătoare debitului Q0 = Qmin = 8,249 m3/s, 2/10

3/2 SRn

1V h= ,

rezultând adâncimea normală hn = 1,2 m. Condiţiile limită în amonte s-au ales de forma Q = Q(t), (fig. 17.13),

iar în aval s-a considerat de asemenea mişcare permanentă, debitul în secţiunea aval rezultând din ecuaţia de continuitate:

11 +++ = ji

ji

1ji AVQ .


Pentru efectuarea automată a calculelor s-a întocmit de asemenea un program de calcul, pe baza relaţiilor descrise anterior alegând un pas de calcul temporal Δt = 1 s, pasul spaţial Δx = 100 m (rezultând un număr n = 61 secţiuni de calcul), timpul total de calcul fiind Tmax = 15000 s. Viteza medie a apei în canal este V = 1,3748 m/s, celeritatea undelor de gravitație c = 3,4310 m/s, pasul temporal pentru care este asiguratăstabilitatea algoritmului fiind Δtmin = 10,4039 s. Rezultatele sub formă grafică sunt prezentate în continuare (fig. 17.13 la 17.24).

Fig. 17.13. Condiţie limită amonte. Fig. 17.14. Variaţia debitului în secţiunile Hidrograful afluent în canal de calcul

Fig. 17.15 Variaţia adâncimii apei în timp Fig. 17.16. Variaţia vitezei în timp în secţiunile de calcul în secţiunile de calcul


Fig. 17.17 Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.18 Variaţia adâncimii apei în funcţie de debit în secţiunea 1 (L = 0) funcţie de debit în secţiunea 11 (L = 1 km)

Fig. 17.19 Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.20 Variaţia adâncimii apei în funcţie de debit în secţiunea 21 (L = 2 km) funcţie de debit în secţiunea 31 (L = 3 km)

Fig. 17.21. Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.22. Variaţia adâncimii apei în funcţie de debit în secţiunea 41 (L = 4 km) funcţie de debit în secţiunea 51 (L = 5 km)


Fig. 17.23. Condiţia limită aval: 11 +++ = ji

ji

1ji AVQ . Variaţia adâncimii apei în funcţie de

debit în aval (secţiunea 61; L = 6 km)

Fig. 17.24. Variaţia adâncimii apei în timp şi în lungul canalului


Metoda explicită, deşi permite determinarea variabilelor dependente funcţie de variabilele dependente de la momentul de timp trecut, este supusăcriteriului de stabilitate. Din acest motiv, deşi atractivă din punct de vedere al programării, rularea programului durează mult. Acest impediment poate fi surmontat prin utilizarea unor calculatoare de mare putere. Nu s-au observat nici un fel de fenomene de instabilitate numerică a algoritmului (pentru paşii spaţiali şi temporali aleşi), ceea ce recomandă aceastămetodă pentru analiza parametrilor hidraulici în cazul mişcării nepermanente în canale deschise. Metodele prezentate şi programele realizate pot fi utilizate, de asemenea, în calculele de propagare ale viiturilor pe albii naturale, precum şi în analiza fenomenelor hidraulice de pe albii cu diverse construcții hidrotehnice.


Capitolul 18

CURGERI BIFAZICE

Apa în natură, din punct de vedere al ştiinţelor de bază ale hidrotehnicii (hidrologie, hidraulică) este privită ca fluid omogen. Aceastăipoteză corespunde în analiza multor fenomene. În albii naturale însă, împreună cu apa se mişcă şi aluviuni, iar în perioade de iarnă şi diferite formaţiuni de gheaţă, astfel încât lichidul în mişcare nu mai poate fi considerat omogen. Influenţa antropică asupra mediului antrenează în albii diferiţi poluanţi, în formă de soluţie sau particule solide distincte care modifică calitatea lichidului în mişcare din punct de vedere chimic sau fizic (temperatură, densitate). Mişcarea lichidului neomogen pune noi probleme care în general pot fi cuprinse în noţiunea de amestec. Fenomenul de amestec, distribuţia diferitelor substanţe sunt descrise de legile difuziei. În acest capitol se tratează legile generale ale difuziei şi utilizarea lor, mişcarea aluviunilor şi ale diferitelor formaţiuni de gheaţă (hidraulica râurilor pe timp de îngheţ).

18.1. DIFUZIE, DISPERSIE, MIŞCĂRI POLIFAZICE, CURGERI STRATIFICATE

Este cunoscut că oricărei acţiuni reciproce îi corespunde o caracteristică extensivă şi una intensivă. Modificarea energetică în urma unei acţiuni reciproce este proporţională cu modificarea caracteristicii extensive, coeficientul de proporţionalitate fiind caracteristica intensivă. Difuzia, în acest sens, este caracterizată de ecuaţiile de bilanţ. Condiţia utilizării ecuaţiilor de bilanţ este cunoaşterea caracteristicilor extensive şi intensive, respectiv ai coeficienţilor de conductivitate. La fenomenul de schimb de substanţă caracteristica extensivă este masa acesteia, iar distribuţia intensivă a acesteia este caracterizată de densitate sau concentraţie. La curgerea apei (fluidului) substanţa amestecată poate fi în soluţie sau în fază solidă. Pentru ambele cazuri caracteristica extensivă este densitatea volumică (concentraţia). La transport de fază solidă distribuţia concentraţiei trebuie privită pentru elemente de volum la care se poate neglija natura discretă a aluviunilor.


Pe baza ecuaţiilor de bilanţ se poate ajunge la ecuaţiile care descriu procesele, însă definirea tensorilor (coeficienţilor) de conductivitate se bazează, în general, pe experimente. Fenomenul de difuzie a fost analizat întâi la curgeri stratificate, ecuaţiile diferenţiale ale difuziei studiind difuzia soluţiilor şi căldurii, coeficientul de conductivitate fiind denumit coeficient de difuzie. Se presupune că acest coeficient de difuzie este asemenea pentru soluţii, căldură şi prin analogia Reynolds şi pentru impuls. Coeficientul de difuzie pentru impuls la curgeri laminare priveşte vâscozitatea, iar la curgeri turbulente se poate vorbi de coeficient de difuzie turbulent. Coeficientul de difuzie D se referă totdeauna la schimb conductiv de substanţă.

18.1.1. Difuzia laminară

Difuzia laminară apare la masa fluidă statică sau în mişcare laminară şi este produsă de mişcarea browniană (difuzie moleculară).

10. În lichid în repaus din ecuaţiile de bilanţ se ajunge la legea lui Fick a difuziei:

x

CDM

∂

∂−= (18.1)

în care M este schimbul specific de substanţă (pe unitatea de suprafaţă); C – concentraţia substanţei difuzante (caracteristica intensivă); x – distanţa măsurată normal pe suprafaţă, iar D – coeficientul de difuzie (conductivitate). Relaţia (18.1) arată că schimbul de substanţă pe suprafaţa dată este proporţional cu gradientul concentraţiei pe direcţia normalei la suprafaţa de schimb. Utilizând ecuaţia conservării masei se obţine:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

Mz

y

My

x

Mx

t

C (18.2)

Pentru coeficient de difuzie constant (în timp şi spaţiu) după înlocuirea în (18.1) se obţine a doua lege a lui Fick:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

C

y

C

x

CD

t

C (18.3)

sau în mişcare unidimensională

2

2

x

CD

t

C

∂

∂=

∂

∂ (18.3’)


care arată ca variaţia temporală a concentraţiei este proporţională cu modificarea locală a gradientului concentraţiei. Practic, coeficientul de difuzie deseori depinde de concentraţie şi în medii neomogene depinde şi de spaţiu D = f(C, x, y, z). Orice fenomen de difuzie se poate aduce la forma:

( )CgradDdivt

C⋅=

∂

∂ (18.4)

Ecuaţia difuziei este soluţionabilă în condiţii iniţiale şi de frontierădate, pentru un coeficient de difuzie constant.

20. În cazul lichidului în mişcare laminară ecuaţiile de bilanţconţin şi termenii curgerii convective, de forma ( )VC ⋅ . Pentru mişcări

unidimensionale ( )0 ,0 ,uV relaţia (18.3’) devine:

2

2

x

CDx

x

Cu

t

C

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ (18.3”)

Efectul difuziei laminare în cazul cursurilor de apă este nesemnificativ, dar în lacuri (pe lângă difuzia turbulentă) nu se poate neglija.

18.1.2. Difuzia turbulentă

În curgeri turbulente valorile mărimilor fizice au variaţie stohastică, iar în calcule se operează cu valorile lor mediate în timp şi cu produsul pulsaţiilor mediate după Reynolds. Modificarea concentraţiei în curgeri turbulente este cauzată de transportul conductiv, pe de o parte, şi de transportul convectiv, pe de altăparte. Transportul conductiv este produs de difuzia moleculară şi turbulentă. În cursuri de apă faţă de difuzia turbulentă cea moleculară este neglijabilă. Ecuaţiile diferenţiale de bază se pot deduce din ecuaţiile de bilanţ pentru mişcarea turbulentă, respectiv din ecuaţia conservării masei. Se scrie ecuaţia conservării masei pentru volumul de control paralelipipedic elementar dx, dy, dz, considerând densitatea constantă şi mediile temporale ale mărimilor pulsatorii ca sume ale valorilor medii şi pulsaţiilor.

Ţinând seama de continuitatea curgerii turbulente şi considerând fluxul de masă al difuziei turbulente proporţional cu gradientul de concentraţie mediu (pe baza analogiei cu legea difuziei moleculare) se


obţine ecuaţia diferenţială a difuziei convective la curgerile spaţiale turbulente ( )wvuV , , ale fluidelor incompresibile:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

CD

zy

CD

yx

CD

x

z

Cw

y

Cv

x

Cu

t

C

tztytx

(18.4)

Primul termen al membrului stâng ţine seama de variaţia în timp a concentraţiei, următorii trei termeni exprimă transportul de substanţă(fluxul) convectiv datorită vitezei fluidului, iar membrul drept descrie transportul conductiv de substanţă datorită turbulenţei. Mărimile barate reprezintă valori medii temporale. În formă generală se poate scrie:

( ) ( )CgradDdivCVdivt

C⋅=⋅+

∂

∂ (18.5)

Soluţionarea ecuațiilor necesită cunoaşterea condiţiilor iniţiale, de frontieră şi ale expresiilor componentelor vitezei şi factorului de difuzie. Factorul de difuzie a fost studiat, în general, pentru mişcări bidimensionale – axial simetrice şi plane. Factorul de difuzie la schimbul de impuls la amestecul turbulent este proporţional cu lungimea de amestec „l” după Prandtl:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅′≅=′

⋅′≅=′

luD

lvD

yy

xx

ν

ν (18.6)

sau

y

uyxy

∂

∂′⋅−= νρτ (18.7)

Se poate presupune că factorul de difuzie pentru substanţă şi căldură este identic cu factorul de flux referitor la impuls. La mişcări plane – la adâncimea y:

( ) ( )02*00 /1/1 yyvyyIy −⋅=−⋅⋅= ργτ

- în interiorul volumului de control factorul de difuzie este:

( )

dx

duyyv

D yy0

2* /1−

=′=ν (18.8)

Considerând distribuţia vitezei sub forma:


y

v

dy

du

y

y

V

v

V

u

⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+=

χχ*

0

* cu ,ln11 ,

după înlocuire în (18.8) se obţine: ( )0* /1 yyvyD yy −⋅⋅=′= χν (18.9)

unde jRgv ⋅⋅=* este viteza de frecare la perete. (La curgeri cu nivel

liber ihgv ⋅⋅= 0* , i fiind panta hidraulică).

Pentru relaţia de distribuţie a vitezei, conform (18.9) factorul de difuzie la suprafaţa liberă şi la frontieră este nul şi la mijlocul adâncimii maxim. Considerând χ = 0,4, după medierea în timp (integrare) valoarea factorului de difuzie este:

*0*0 067,015

1vyvyDy ⋅⋅=⋅= (18.10)

Factorul de difuzie pe direcţie transversală după Edler şi Fischer este:

*023,0 vyDz ⋅⋅= (18.11) Raportând coeficientului de difuzie la produsul vitezei de frecare la perete cu adâncimea, se obţine un complex adimensional

1*0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⋅ vy

Di .

Din acest considerent trebuie remarcat faptul că factorul de difuzie molecular – laminar este o constantă a substanţei, iar factorul de difuzie turbulent depinde de parametrii mişcării. În albii neregulate valoarea factorului de difuzie turbulent are variaţii mari atât în secţiune cât şi în lungul curentului. În albii regulate variaţia factorului de difuzie turbulent este mai graduală, dar există.

18.1.3. Dispersia turbulentă

Dificultăţile stabilirii factorului de difuzie turbulent au condus la introducerea noţiunii de dispersie turbulentă. Fenomenul de amestec prin dispersie este descris ca un fenomen unidimensional. Descrierea difuziei utilizează vitezele şi concentraţiile locale pe când în dispersie se operează cu valorile medii pe secţiune (V, Cm), astfel:


⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

x

CD

xx

CV

t

C mL

mm (18.12)

unde DL este factorul de dispersie longitudinal şi depinde de factorii de dispersie şi componentele vitezei în secţiune (v, w). Factorul de difuzie turbulent caracterizează numai schimbul conductiv de substanţă. Factorul de dispersie are rol în schimbul conductiv longitudinal şi convectiv pe secţiune. Prin utilizarea noţiunii de dispersie fenomenele difuziei convective spaţiale şi plane se pot transforma în fenomene unidimensionale. Ecuaţia diferenţială a dispersiei longitudinale a fost soluţionatăanalitic pentru câteva cazuri simple. Experienţele lui Elder pentru mişcări bidimensionale au stabilit valoarea factorului de dispersie longitudinal *09,5 vyDL ⋅⋅= (18.13)

respectiv DL/Dy = 5,9/0,067 = 88. Factorul de dispersie longitudinal este mult mai mare decât cel transversal. La poluări punctuale ale apelor curgătoare la început mişcarea poluantului are formă de jet, apoi pe o lungime iniţială se deplasează ca într-un difuzor, apoi se distribuie pe toată secţiunea. Vârtejurile transversale şi mişcările elicoidale influenţează factorul de dispersie, precum şi lungimea tronsonului iniţial.

18.2. CURGERI POLIFAZICE ŞI MIŞCĂRI STRATIFICATE

În curburi naturale, canale şi conducte deseori se întâlnesc curgeri de fluide eterogene. Chiar şi apa transportă materiale străine – chimic organice sau anorganice, iar fizic în soluţie sau solide, în formă de granule, (incluzând şi gheaţa). Prezenţa materialelor „străine” sub 2% permite considerarea fluidului omogen, însă peste această valoare implică curgeri bi-sau polifazice. În industria chimică, a materialelor de construcţii, în minerit şi prelucrarea minereurilor, în colectarea şi tratarea apelor uzate, manipularea materialelor granulare se utilizează deseori transportul hidraulic sau pneumatic. Mişcarea aluviunilor şi diferitelor formaţiuni de gheaţă pe cursuri naturale sau în canale este tot o formă de mişcare bifazică. Se


prezintă succint mişcările fluidelor neomogene cu reliefarea aspectelor care trebuiesc luate în considerare la astfel de curgeri.

18.2.1. Curgeri polifazice

Vorbim de curgeri polifazice dacă într-un mediu continuu se mişcăîn acelaşi timp şi medii în altă stare. Mediul continuu poate fi lichid sau gaz, iar alte medii pot fi considerate solid, lichid sau gazos. Ex: împreunăcu apa se mişcă şi / sau particule solide, bule de gaz şi / sau picături de lichid imiscibil cu apa, sau în curentul de aer se mişcă şi / sau particule solide şi / sau picături de lichid. Dacă fazele fluidelor în mişcare se separădupă densitate, curgerea este stratificată. Fluidul bi – sau polifazic poate avea comportări diferite în curgere: de fluid newtonian: Bingham, pseudoplastic, plastic sau dilatant. Dacă fazele constituente ale fluidului în mişcare nu au interacţiune chimică se poate vorbi de curgerea unui amestec; totdeauna există o diferenţă între vitezele fazelor amestecului. În funcţie de caracteristicile fazelor constituente şi viteza medie a amestecului se disting curgeri suspensionale în amestec omogen (concentraţia masică uniform distribuităpe secţiune) şi un amestec eterogen (concentraţia masică neuniformă), respectiv curgeri cu diferite formaţii de fund (mobile sau imobile) şi suspensie eterogenă deasupra. După Graf, Acaroglu, Wiedenroth delimitarea tipurilor de curgere sub presiune ale amestecului de apă - aluviuni este în funcţie de viteza medie a amestecului, de pierderi de energie (fig. 18.1).

Fig. 18.1. Delimitarea curgerii amestecului bifazic:

1. în suspensie omogenă2. în suspensie eterogenă3. în suspensie şi transport de

fund mobil4. în suspensie, transport de

fund şi depuneri5. de înfundare (colmatare)

1

2

3

4

5

log v1 vcr 10

regim dedepunere

regim de trans. in

1,0

0,1

0,01

conc

entr

atie

dim

inua

ta

conc

entr

atie

cons

tant

a

I c

I n

log

I n

suspensie


Asemănător este transportul pneumatic, faza purtătoare fiind un gaz (aer), iar a doua fază particule solide. La mişcări bifazice de lichid – gaz a doua fază este formată din bule de gaz (la transport eterogen concentraţia de gaz pe verticală este invers dispusă faţă de solid).

La transport polifazic sunt de soluţionat mai multe probleme de bază, printre care se pot menţiona: - distribuţia spaţială a fazelor constituente; - definirea vitezei amestecului şi fazelor constituente; - viteze limită (de transport suspensional şi de înfundare); - pierderi de energie în mişcare; - realizarea şi menţinerea amestecului ş.a.

Aceste probleme se pot soluţiona, în general, pe două căi: prin descrierea statistică a mişcării particulelor elementare sau prin analiza mişcării amestecului, ambele transcrise în simbolism matematic. La studiile anterior menţionate este necesară cunoaşterea următoarelor proprietăţi ale particulelor elementare (particule solide sau bule de gaz): dimensiunile particulelor, curba granulometrică, mărimea hidraulică (viteza de sedimentate) a particulelor solide sau de ascensiune ale bulelor de gaz, forma geometrică a particulelor. Legile generale ale mişcării pot fi stabilite pe bază de bilanţ, cu definirea corectă a mărimilor intensive şi extensive şi prin scrierea unui număr suficient de ecuaţii. Mişcărilor bi – sau polifazice le rămâne valabilă relaţia lui Chézy însă gradientul hidraulic (panta liniei energetice) diferă faţă de mişcarea fluidului omogen.

18.2.2. Curgeri stratificate

Curgerea fluidelor cu densităţi diferite (imiscibile) în câmp gravitaţional conduce la separarea fazelor, mişcarea devenind stratificată. Dacă diferenţele de densitate sunt considerabile (gaz şi lichid) uneori chiar se pot neglija influenţele reciproce (curgerea apelor uzate în reţele de canalizare). Dacă diferenţele de densitate sunt mici şi curgerea puternic turbulentă apar dificultăţi de stabilire a suprafeţei de separaţie. Curgerile stratificate apar datorită diferenţelor de temperatură(curenţi marini, curenţi în lacuri de răcire), conţinutului de aluviuni, sare. În acest caz se poate vorbi de curgeri în două sau mai multe straturi sau curgere de fluid cu densitate continuu variabilă.

Cea mai simplă curgere de acest tip este curgerea în două straturi (bistratificat). Suprafaţa de separaţie permanentă este linie de curent şi i se poate aplica ecuaţia energiei. Se poate arăta că pierderea de energie măsurată pe suprafaţa de separaţie se calculează cu acceleraţia redusă a gravitaţiei

ggm

′=−

ρ

ρρ 12 (18.14)

cu ρ1 < ρ2, fiind densităţile celor două fluide iar ρm densitatea medie. Curgerea stratificată este caracterizată prin distribuţie diferită a vitezei şi efortului unitar tangenţial faţă de curgerea fluidelor omogene. La curgeri turbulente apare amestecul între straturi, iar fenomenele de difuzie existente sunt greu de scris matematic.

18.3. MIŞCAREA ALUVIUNILOR

Deseori împreună cu apa curg şi materialele solide care, generic sunt numite aluviuni. Originea aluviunilor este naturală sau artificială, compoziţia minerală sau, ocazional, organică. În curgeri se considerăaluviunile de origine minerală, eventual la transport premeditat se considerăoriginea lor organică cu caracteristicile aferente. Problemele complicate ale provenienţei aluviunilor prin eroziune, din bazinul de recepţie şi albii ale cursurilor naturale este tratată de hidrologie. În cele ce urmează aluviunile se consideră particule de roci sau cristale ale mineralelor (grosiere şi fine). În funcţie de mişcare se disting aluviuni de fund, care alunecă şi se rostogolesc pe fundul albiei şi aluviuni în suspensie. La aluviuni de fund problemele ridicate se referă la: - stabilirea stării limită de antrenare şi mişcare din poziţie statică; - determinarea cantităţii de aluviuni de fund.

La aluviuni în suspensie problemele se referă la: - determinarea distribuţiei concentraţiei de aluviuni în suspensie; - stabilirea cantităţii de aluviuni transportate în suspensie (debitul de greutate sau volumic).

O formă aparte a mişcării aluviunilor în cursuri de apă importante este migrarea „recifelor de aluviuni, de bare fluviale”.

Pentru descrierea mişcării trebuie avut în vedere astfel de parametri care să caracterizeze ambele tipuri de aluviuni, dar şi materialul albiei. Este

importantă caracterizarea particulelor de aluviuni individuale, dar şi a materialului aluvionar în ansamblu.

18.3.1. Caracterizarea aluviunilor prin prisma transportului hidraulic

Din punct de vedere al mişcării aluviunilor prezintă importanţămare: densitatea (greutatea specifică) lor, mărimea, forma geometrică şi distribuţia lor pe dimensiuni, mărimea lor hidraulică (sau viteza de sedimentare), forţele care acţionează particula în curentul de lichid.

10. Densitatea aluviunilor Masa, respectiv greutatea specifică, este dependentă de natura materialului transportat şi variază în limite largi: de la bule de gaz, lemn, minerale etc (la transport industrial). În cazul aluviunilor naturale, de provenienţă minerală

3 t/m8,2...1,2=sρ , dar în râuri cel mai des 3 t/m65,2=sρ , această ultimăvaloare fiind frecvent utilizată în calcule. Uneori se utilizează densitatea relativă faţă de densitatea fluidului purtător ρρ /s , sau densitatea relativăsubmersă 1/ −ρρ s .

20. Forma şi mărimea geometrică a aluviunilor Geometric, ca formă şi mărime, aluviunile sunt neuniforme. Înlocuirea formei reale cu cea sferică nu este suficientă (deşi este indicat a se folosi o singură mărime geometrică caracteristică).

20. a. Mărimea particulei Este general acceptată caracterizarea mărimii particulei pentru

unul din dimensiunile liniare de mai jos: - diametrul de sedimentare – diametrul particulei sferice de densitate egală cu particule naturale având ambele aceeaşi viteză de sedimentare; - diametrul de sitare – latura ochiului pătratic de sită prin care tocmai trece particula naturală; - diametrul nominal – diametrul sferei de volum egal cu al particulei naturale.

Cel mai uşor diametru de stabilit este cel de sedimentare şi de sitare. De obicei pentru d < 0,1 mm se utilizează diametrul de sedimentare, iar pentru d ≥ 0,1 mm diametrul de sitare.


20. b. Forma particulei Convenţional forma particulei se caracterizează prin „sfericitate”,

ca raportul între suprafaţa particulei şi a unei sfere de volum egal cu cel al particulei. Pentru nisipuri sfericitatea este apropiată de 2.

Coeficientul de formă Heywood este raportul dintre volumul particulei şi diametrul la puterea a treia a cercului înfăşurător al proiecţiei particulei în poziţia cea mai stabilă:

3d

wk p

= (18.15)

Particulele sferice au 524,06/ == πk , iar aluviunile naturale k~0,4. În studiul teoretic al mişcării particulelor individuale acestea se asimilează cu sfere sau elipsoide fictive de volum echivalent. Calitatea suprafeţei particulelor prezintă importanţă în definirea rezistenţei de înaintare a lor în fluid şi a fenomenelor de abraziune.

20. c. Caracterizarea geometrică a ansamblului de aluviuni

Aluviunile fiind neomogene, ca mărime şi formă, ele în ansamblu se caracterizează prin curba granulometrică, repartiţia relativă a masei particulelor pe mărime. În calcule însă, nu se pot considera toate diametrele din curba granulometrică, trebuie definit pentru tot materialul solid o singură mărime: diametrul determinant.

După diferiţi autori definirea diametrului determinant nu este unitară şi în comparaţia rezultatelor sau utilizarea relaţiilor obţinute trebuie ţinut seama de condiţiile considerate.

Astfel uneori diametrul determinant este considerat d50, sau d60, sau media a 10 fracţiuni granulometrice dm = 0,1(d5 + d15 + ... +d95), sau a 9 fracţiuni granulometrice dm = (d10 + d20 + ... +d90) / 9, sau media ponderată a diametrelor la procentele de greutate din curba granulometrică

∑∑

=ii

im dp

pd

/.

Diametrul caracteristic dc se defineşte pe baza curbei granulometrice, construită în scară aritmetică, astfel ca suprafeţele haşurate din fig. 18.2 să fie egale.


b

aAs

Ai

Diametru (mm)dc

Proc

ente

cum

ulat

e de

gre

utat

e

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

10090

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Fig. 18.2. Definirea mărimii şi neuniformităţii aluviunilor pe baza curgerii granulometrice scalare

Repartiţia particulelor pe fracţiuni este caracterizată de coeficientul de neuniformitate, u = d60 / d10, sau de coeficientul de fineţe dupăSchoklitsch f = a / b, ca raport a suprafeţelor de peste şi de sub curba granulometrică în scări aritmetice (la compararea mai multor tipuri de aluviuni scările graficelor trebuie să fie identice), sau coeficientul de uniformitate după Kramer, uk = Ai / As, ca raport al suprafeţelor cuprinse între verticala diametrului minim şi curbă granulometrică (în scarăaritmetică) împărţită de orizontala d50 în Ai şi As. Definirea diferenţiată a mărimii geometrice a particulelor îngreunează generalizarea relaţiilor fizice obţinute pentru deplasarea aluviunilor în curentul fluid.

30. Mărimea hidraulică a particulelor şi viteza lor de sedimentare

30.a. Mărimea hidraulică w0 a unei particule este viteza sa uniformă de cădere într-un lichid în repaus teoretic infinit sub acţiunea gravitaţiei la temperatură dată. Valoarea sa este descrisă de legea lui Stokes, rezultată din condiţia limită când forţa de rezistenţă la înaintare se egalizează cu greutatea submersă (Fr = G-FA), sub forma:

( )1/3

40 −= ρρ s

RC

gdw (18.16)

în care: Fr este forţa de rezistenţă la înaintare (cu cele două componente – de presiune şi la frecare); G – greutatea particulei; FA – forţa arhimedică;


CR – coeficient de rezistenţă la înaintare; d – diametrul particulei; (ρs / ρ-1)– densitatea relativă submersă a particulei. În regimul laminar de mişcare

CR = 24 / Res, cu ν

dws

⋅= 0Re , rezultând altă formă a legii lui Stokes.

( )1/18

2

0 −⋅

= ρρν

s

gdw (18.16’)

Legea lui Stokes este aplicabilă în următoarele condiţii: - particulele solide au formă sferică; - particulele sunt solide netede, nu există alunecare între particulăşi fluid, ci frecarea este între stratul de lichid aderent şi lichidul exterior; - sedimentarea are loc în fluid infinit; - particulele sunt suficient de mari, ca faţă de mărimea lor fluidul să poată fi considerat mediu continuu; - rezistenţa de înaintare depinde numai de vâscozitate.

Prima condiţie în general nu este satisfăcută, următoarele trei pot fi neglijate. Ultima condiţie este satisfăcută numai pentru particule cu d ≤ 0,05 mm, (Res ≤ 0,1) însă practic se poate utiliza legea lui Stokes la aluviuni naturale, cu ρs = 2,65 t/m3, până la d ≤ 0,08 m.

Pentru ρs = 2,65 t/m3 relaţia (18.26’) devine:

ν

2

0

dkw l= (18.16”)

Efectul temperaturii asupra mărimii hidraulice intervine major prin coeficientul de vâscozitate. Mărimea hidraulică a particulelor mai mari (în regimul de tranziţie şi turbulent) se poate determina din relaţia:

( )dC

gw s

R

1/3

40 −= ρρ (18.17)

bazată pe egalarea greutăţii submerse cu forţa de rezistenţă la înaintare şi în care CR(Res) este coeficientul de rezistenţă la înaintare a particulei (fig. 18.3).


bile de cuartnisip natural

nisip de cuartspart

laminar tran

zitie

turb

ulen

t

C R

0,1 0,5 1 5 10 50 100 300

300

100

50

10

5

0,50,3

Res

Fig. 18.3. Coeficientul de rezistenţă la înaintare al particulelor solide CR = f(Res)

Efectul formei particulei (abaterea de la sfera teoretică) se poate lua în considerare prin CR a coeficientului de formă Heywood, k.

30.b. Viteza de sedimentare w este viteza de cădere liberă a particulelor solide în grup într-un fluid în repaus limitat. Astfel, viteza de sedimentare este influenţată de concentraţia volumică de aluviuni şi limitarea spaţiului. Pentru L / d = 100 (L fiind dimensiunea orizontală a fluidului) viteza de sedimentare scade cu 2,5 % faţă de mărimea hidraulică, astfel că, în cazuri practice acest efect se poate neglija. Efectul concentraţiei volumice asupra vitezei de sedimentare este exprimată de: w / w0 = (1 – C)n (18.18) cu n = 2,5...4,5 (Maude şi Whitmore, J. Florea şi Robescu).

40. Forţele care acţionează asupra particulelor solide în curent de fluid.

Asupra unei particule solide aflată într-un curent de fluid orizontal acţionează forţe statice şi dinamice. Forţele statice sunt: greutatea G şi forţa arhimedică FA. Forţele dinamice se datoresc acţiunii fluidului în mişcare. Pentru curgeri unidimensionale şi permanente forţele dinamice se compun din: rezistenţa la înaintare FR; portanţa FP; forţa laterală FL – cu două componente Fgv (datorită gradientului de viteză pe secţiunea normalăa curentului) şi forţa Magnus FM (datorită rotaţiei particulei în curent) – forţa de frecare FF etc. (fig. 18.4). Greutatea în fluid a particulei genereazătendinţă de depunere; rezistenţa la înaintare este forţa motrică de transport,

portanţa şi forţa laterală au tendinţa de a aduce particula spre centrul curentului. În funcţie de dimensiunea particulei unele din aceste forţe sunt predominante şi ele se reduc la o rezultantă şi un moment.

Fig. 18.4. Forţele care acţionează asupra unei particule solide într-un curent unidimensional

Forţele statice (greutatea şi cea arhimedică) se exprimă sub forma: ( )ρρ −⋅=− spA gWFG (18.19)

Forţele dinamice au expresiile: - rezistenţa la înaintare:

Av

CF RR 2

2

⋅⋅= ρ ; (18.20)

- portanţa:

Av

CF PP 2

2

⋅⋅= ρ ; (18.21)

- forţa laterală datorită gradientului de viteză: ( ) 1Γ⋅−⋅= sgv vvF ρ ; (18.22)

- forţa Magnus: ( ) 2Γ⋅−⋅= sM vvF ρ ; (18.23)

în care: Wp este volumul particulei; ρs şi ρ – densitatea particulei solide şi a lichidului purtător; A – suprafaţa proiecţiei particulei; vs şi v – viteza medie a fluidului purtător şi particulei solide; Г – circulaţia vitezei pentru conturul C al particulei; CR şi Cp – coeficienţii de rezistenţă la înaintare, respectiv de portanţă. Poziţia particulei solide în curentul de fluid depinde de Res, referitor la viteza curentului principal, astfel: - Res < 5,5 – toate orientările particulei sunt posibile;

- 5,5 ≤ Res ≤ 200 – orientare stabilă în poziţia rezistenţei maxime; - Res > 200 - poziţie neprecizabilă.

δ

ω

CF ,F ,F ,F

F

F

MG

F

u

v

x

zA p gv M

RR

Amestecurilor bifazice de lichid – solid totdeauna le este caracteristică diferenţa vitezei medii a fazelor constituente

0≠−=Δ svvv (18.24)

În cazuri limită, când wv →→ sv ,0 , iar la începutul mişcării,

pentru 0 , =< santrenare vvv . Diferenţa de viteză a fazelor se caracterizează prin „alunecarea”, A.

( )sFrFrfs eavv //1 −⋅=−=A (18.25)

unde: Fr şi Frs sunt numerele Froude ale fazelor amestecului

gd

wFr

gh

vFr s

20

2

şi == .

18.3.2. Despre conceptul de concentraţie

Concentraţia este cantitatea unui element în unitatea de amestec, iar indicele concentraţiei cantitatea unui element în unitatea de material purtător. În cazul amestecurilor de solid – apă se disting concentraţiile: de volum, masic şi de greutate, respectiv indicele acestor concentraţii. La amestec de aluviuni – apă aceste noţiuni se definesc prin relaţiile, după cum urmează:

1. a. Concentraţia de volum C = Ws / Wh (18.26) b. Indicele concentraţiei de volum C’ = Ws / Wa (18.27)

2. a. Concentraţia de debit (volumic) sau de transport CT = Qs /Qh (18.28) b. Indicele concentraţiei de transport CT’ = Qs / Qa (18.29)

3. a. Concentraţie masică – turbiditate Cm = Ms / Wh (18.30) b. Indicele concentraţiei masice Cm’ = Ms / Wa (18.31)

4. a. Concentraţia de greutate CG = Gs / Wh (18.32) b. Indicele concentraţiei de greutate CG’ = Gs / Wa (18.33)


S-au notat: Ws, Wa, Wh - volumul de material solid, apă şi de amestec; Qs, Qa, Qh – debitul volumic de solid, apă şi amestec; Ms - masa solidului, Gs – greutatea solidului.

Ţinând seama de conservarea masei şi alunecare, dependenţa reciprocă a acestor indicatori, pentru mişcări staţionare, este exprimată prin expresiile:

( ) ( )

(18.40)

(18.39) (18.38) 1

C

(18.37) 1

(18.36) C-1

CC

(18.35) 1 (18.34) 1

1

T

CC

CCC

C

C

CC

CCC

CC

sG

sm

T

T

T

T

TT

⋅=

⋅=′

+

′=

′⋅−

′=

′

′=

−′=⋅−

−=

γ

ρ

A

AA

A

Analiza relaţiilor arată că la amestecuri eterogene datorităimposibilităţii de omogenizare a densităţii fazelor constituente (excepţie ρs = ρa) şi a existenţei alunecării, concentraţia de volum totdeauna este superioară concentraţiei de transport.

18.3.3. Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor

10. Forţe critice de antrenare Du Boys în 1879 a introdus noţiunea forţei de antrenare a aluviunilor, care, prin efortul tangenţial de fund, explică mişcarea aluviunilor. Efortul tangenţial de fund este Ih ⋅⋅= γτ 0 (18.41)

unde: γ este greutatea specifică a apei, h – adâncimea apei, I – panta suprafeţei libere. Expresia forţei de la antrenare după Du Boys ţine seama numai de frecările pe fund, nu şi de forţele interne ale curentului de antrenare a aluviunilor (datorită pulsaţiilor turbulente). Deşi azi teoria Du Boys este depăşită, expresia forţei de antrenare este un parametru important în caracterizarea curgerii în albii. Pe baza relaţiei Du Boys rezultă teoria clasică a forţei, respectiv, efortului tangenţial de antrenare.


Forţa de antrenare, proporţională cu proiecţia particulei de

diametru d, IHd

FH ⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= γ

πφ

4

2

, egalată cu greutatea submersă

( )γγπ

−⋅

= s

dG

6

3

permite stabilirea efortului critic

( )γγτ −⋅⋅= sc dfc (18.42)

unde fc (factorul de rezistenţă adimensional) este constant. Astfel, antrenării unei particule de diametru d şi densitate submersă (ρs – ρ) îi corespunde o forţă constantă. Pentru calcule aproximative încă pot fi folosite relaţii bazate pe teoria forţei de antrenare constante, astfel pentru particule cu ρ = 2,65 t/m3

şi d ≥ 0,0145 cm. τc = 7,593·10-4·d (N/cm2) şi d ≤ 0,0145 cm τc = 1,785·10-4·d0,118 (N/cm2) diametrul fiind exprimat în cm. Experimentările lui Shields au arătat că pentru particule de diametru d şi densitate ρs în curent de apă de adâncime h şi pantă hidraulică I – efortul critic de antrenare depinde de viteza de frecare la perete

ghIv =* , respectiv factorul adimensional fc depinde de numărul

Reynolds calculat cu viteza de frecare şi diametrul particulei

( )

( )ss

c Fdv

Fd

fc ∗=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=−

= Re*

νγγ

τ (18.43)

20. Viteze critice de antrenare Starea limită de echilibru a aluviunilor, pe lângă forţele de antrenare, se poate caracteriza şi prin viteză (medie sau de fund), iar teoria bazată pe viteze critice este teoria impactului. Apa în mişcare dezvoltă un impact asupra particulei de diametrul d proporţional cu proiecţia particulei

g

vdFH

22

4⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅= γ

πφ

care, egalată cu greutatea submersă, permite calculul vitezei critice

( )1/ −⋅= ρρ sc gdconstv (18.44)

Pentru condiţiile date (tip de particulă monogranulară şi temperatură) viteza critică este o constantă şi din acest considerent teoria impulsului se mai

numeşte teoria vitezei critice. În literatură se găsesc multe expresii ale vitezei critice, exemple fiind: - pentru aluviuni cu ρs = 2,61...2,65 t/m3 (Bogardi – Yen).

(cm/s) 30

(cm/s) 5,2145,0

38,0fund

cc

cc

dv

dv

⋅=

⋅=

cu dc în mm. - pentru particule de cărbune măcinat cu:

- 0,1 < dc < 1,3 mm 27,0

fund 3,11 cc dv ⋅= (cm/s)

- 1,3 < dc < 4 mm 85,0

fund 10 cc dv ⋅= (cm/s) Experienţele şi teoria lui Levi diferă de cele prezentate, viteza medie critică fiind exprimată faţă de rugozitatea relativă a albiei d / h (d – mărimea particulelor, h – adâncimea apei) sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

d

hgdvc 7

14,1 (18.45)

pentru 10 < h / d < 60 şi

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=d

hgdvc 7

ln4,1 (18.46)

pentru h / d > 60. Valorile vitezei critice din cele două relaţii ale lui Levi, pentru h / d = 60 diferă foarte mult, subliniind că acestea pot doar aproxima realitatea, însă evidenţiază modificarea vitezelor critice cu netezimea relativă pe lângă alţi factori.

30. Cantitatea aluviunilor târâte Cantitatea de aluviuni de fund (târâte), teoretic se poate determina din combinarea capacităţii de transport a cursului de apă cu parametrii specifici ai particulelor. Se poate presupune proporţionalitatea lucrului mecanic necesar pentru mişcarea aluviunilor târâte cu cel efectuat de curentul lichid, sau proporţionalitatea debitului de greutate de aluviuni cu forţele de transport, respectiv puterea acestora. Din ambele rezultă debitul aluviunilor târâte în interdependenţă cu parametrii hidraulici ai cursului de apă. Teoria lui H.A. Einstein, fizic demonstrată şi devenită clasică, se bazează pe introducerea funcţiei de transport a aluviunilor târâte şi exprimă


mărimea şi cantitatea de aluviuni târâte în funcţie de debitul variabil de lichid al cursului.

40. Transportul aluviunilor în suspensie Noile teorii ale mişcării aluviunilor în suspensie au bază comunăcu forţele interne ale mişcării turbulente: amestecul turbulent datorităpulsaţiilor de viteză echilibrează tendinţa de depunere şi menţine în suspensie particulele aluvionare. Aproximări apreciabile asigură teoria difuziei şi teoria transportului turbulent de aluviuni, însă fiecare teorie cunoscută are aspectele sale criticabile şi sunt în modernizare continuă. Introducerea efectelor parametrilor hidrologici în compararea capacităţii de transport cu cantitate reală de aluviuni în mişcare este de importanţă majoră. Parametrii hidromecanici determină capacitatea de transport, aceasta însă este limita superioară a aluviunilor posibile de transportat. Cantitatea reală transportatăînsă totdeauna este inferioară capacităţii de transport şi este determinată de parametrii hidrologici.

18.3.4. Mişcarea aluviunilor târâte

Particulele necoezive ale patului albiei în anumite condiţii de curgere se mobilizează: de fapt sistemul de acţiuni (forţe) de antrenare egalează forţele de stabilitate (de repaus). Nici azi tot mecanismul acestei mişcări nu este stăpânit complet. Limita de repaus – mişcare a particulelor este starea critică. La creşterea vitezei lichidului particulele aluvionare se pun în mişcare patul rămânând neted. La o continuă creştere a vitezei unitatea fundului se destramă, luând naştere diferite formaţiuni de fund: rifluri, apoi dune – cu pantă amonte dulce şi aval abruptă şi deplasare lentă spre aval. Riflurile şi dunele sunt formaţiuni de fund de aceeaşi categorie, doar intensitatea lor diferă. Creşterea în continuare a vitezei conduce la netezirea albiei (ale dunelor), o stare limită care, uneori, poate să şi lipsească. Apoi, la creşterea vitezei se formează antidunele, valurile de la suprafaţă influenţând transportul târât, patul devenind sinusoidal. Antidunele se mişcă lent spre amonte. Cu toate cercetările existente nici azi nu există o explicaţie acceptabilă a dezvoltării diferitelor formaţiuni de fund.


10. Stările limită a miscării aluviunilor

Regimul de mişcare a aluviunilor tratează pe lângă stările limită – de punere în mişcare, formarea riflurilor, dunelor, netezirea albiei, antidunelor – şi debitul târât. Se disting mai multe stări limită, iar acestea au fost determinate, în general, grafic. În condiţiile date – aluviuni cu diametrul d, densitate ρs, lichid de vâscozitate ν şi densitate ρ – studiile presupun că parametrii stărilor limită sunt constanţi. Delimitarea cantitativă a diferitelor stări de mişcare, de dezvoltare a formaţiunilor de fund se poate efectua pe baza factorului albiei b(numărul adimensional, Bogárdi)

∗∗

==⋅

=Frv

gd

Ih

db

12

(18.47)

care parţial corespunde cu factorul de rezistenţă adimensional fc al lui Shields

( )ψ

ρρ1

1/1

=−= sbfc (18.48)

în care ψ este intensitatea cursului de apă (celelalte mărimi au fost definite anterior). Tot Bogárdi, prin metodele analizei dimensionale, a ajuns la parametrul f0 care caracterizează stările limită ale transportului de aluviuni:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅

⋅= ∗

−1./ ; ; ;

3/13/20 ρρνν

s

dv

d

h

g

dFf (18.49)

Utilizând datele experimentale din literatură s-a obţinut:

NN

A

d

g

d

v

gdb ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

==−

∗

13/13/21 βν

β (18.50)

unde A = ν2/3·d-1/3. Pentru g = 9,81 m/s2 şi T = 20 0C rezultă A = 4,691·10-3 cm, iar pentru ρs = 2,65 t/m3 şi N = 0,882.

Relaţia (18.50) reprezentată în fig. 18.5 delimitează mişcarea aluviunilor cu diferite formaţiuni de fund.


rifluri

b=0,0

8523

(d/A

)0.88

2

0,1 2 4 6 8 2 4 6 8 20 40 60 80 2 4 6 8 2 310 10 100 1000

g

b=0,2

102(

d/A)

0,01

0,05

0,1

dA ν

=d

2/3

Fr*

0,5

b=v

2=

gd1

*

1

10

2030

b=4,5

85(d

/A)

pat n

eted

0.882

b=2,8

44(d

/A)

b=0,5

829(

d/A)

0.882

0.882

0.882

Repau

s

ρ 3=2,65 t/m

10-1/3 = d (cm)4,961. (cm)

-3

s

dune

tranz

itie

(nete

d)

antid

une

T=20oC

b=12

Fig. 18.5. Zonarea formaţiunilor de fund în funcţie de factorul albiei constante

În baza legii rezistenţei albiilor aluviale Grade şi Ranga Gaju au delimitat formaţiile de fund în funcţie de parametrii R /d şi I / (ρs / ρ – 1), R fiind raza hidraulică. În funcţie de aceşti parametrii factorul fc de rezistenţăadimensional, devine:

d

RIfc

s

⋅−

=1/ ρρ

(18.51)

produsul a două mărimi adimensionale. Reprezentând grafic, în coordonate logaritmice, valorile experimentale pentru diferite formaţii de fund (fig. 18.6) s-au putut trasa limitele zonelor stării de repaus, rifluri şi dune, tranziţie şi antidune. Se observă că limita stării de repaus are loc pentru fc = 0,05, care în scară logaritmică face unghi de 45o şi corespunde forţei constante pentru antrenarea aluviunilor. Dreptele de delimitare ale stărilor rifluri, dune cu tranziţia, şi aceasta cu antidunele face unghi sub 45o cu orizontala ceea ce arată că starea mişcării aluviunilor este variabilă chiar în cazul forţelor de antrenare constante.


10 20 40 60 10 200 400 600 10 2000 4000 6000 10 20000 10

Tranzitie

Antidune

Repaus

Rifluri sidune

R/d

10-2

2 3 4 5

-310

10-4

-52 10.

ρρ

/s

-1I

τ(γ −γ)

=0,05ds

0

Fig. 18.6. Zonarea fracţiunilor de fund în raport cu parametrul I / (ρs / ρ – 1)şi netezimea relativă

Numai forţa de antrenare singură nu poate caracteriza mişcarea aluviunilor, aceasta depinde şi de alţi parametri: de netezimea relativă (R / d) şi I / (ρs / ρ – 1) şi trebuiesc luaţi în considerare. De fapt forţele de antrenare ale aluviunilor sunt variabile.

20. Forţa critică de antrenare

După cum s-a arătat efortul critic de antrenare τc, pentru aluviuni cu diametrul d, densitatea submersă relativă (ρs / ρ – 1), este o mărime

variabilă cu ν

dv ⋅= ∗

∗Re (Shields). Conform constatările lui Garde şi

Ranga Raju că valoarea forţelor de antrenare depinde nu numai de produsul pantă hidraulică – adâncime, se explică de ce efectele sunt diferite la acelaşi produs (adâncime mare şi pantă mică, respectiv adâncime mică şi pantămare). Separat trebuie analizat efectul adâncimii, a pantei şi altor mărimi hidraulice asupra efectului de antrenare. Utilizând rezultatele experimentale din literatură s-a contat pe exprimarea factorului de rezistenţă adimensional fc ca funcţii a trei variabile, de forma:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=− d

h

g

dFfc ,

3/13/2ν (18.52)

şi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

=−

Ig

dFfc ,

3/13/2ν (18.53)

Calibrarea pe cale statistică a funcţiilor (18.52) şi (18.53) este:

275,2

000.620−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=d

h

A

dfc (18.52’)

şi

66,089,0

8,57 IA

dfc ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

(18.53’)

cu 3/13/2 −⋅= gA ν . Soluţia grafică a funcţiei (18.52’) din fig. 18.7 evidenţiază relaţii practice între fc, d / A şi (h / d)c, mărimea din urmă fiind netezimea critică.

h/d

2 3 40,0001

γ)(γ

-d

f =

1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10

2345

80,001

0,018

5432

2345

80,1

1,082 -1/3

2/3

=1

gv d

-1/3

2/3

=10

gv d-1/3

2/3

=100

gv d

c

2

(h/d)

1,96

f =

c

2

(h/d)

1103

f =

c

2

(h/d)

620000

f =

-2-2,75f =620000(d/A) (h/d)

Inceput miscare

c

τ 1

cc

Fig. 18.7. Factorul de rezistenţă adimensional în funcţie de netezimea relativă


Graficul funcţiei (18.53’) din fig. 18.8 stabileşte panta hidraulicăcritică (Ic) pentru care particulele necoezive intră în mişcare.

I0,00001

γ)(γ

-d

f =

2345

80,01

0,18

5432

2345

81,0

82

Inceput miscare

τ 1

cc

.0,66

f =57,8 I

.0,66

f =7,46 I .

0,66

f =1,28 I

-1/3.

2/3

=1

v g

d

-1/3.

2/3

=10

v g

d

-1/3.

2/3

=100

v g

d

cf =57,8(d/A) I-0,89 0,66

cc

c

2 3 4 5 6 8 0,0001 4 6 8 0,001 2 4 6 0,01 2 4 8 0,1

Fig. 18.8. Factorul de rezistenţă adimensional în funcţie de panta hidraulică

Relaţiile (18.52’) şi (18.53’) realizate în condiţii de laborator au fost confirmate prin măsurători în cursuri naturale (Dunăre) pentru particule de diametru 20...40 mm urmărite prin marcaj izotopic, însă au evidenţiat şi faptul că la debite foarte mari şi pante mici trebuiesc introduse noi forme de relaţii.

30. Viteze critice

Asemănător cu legea efortului de antrenare constant (teoria frecării), după teoria clasică a impactului, pentru o particulă cu diametrul dşi densitate ρs cunoscute îi corespunde o anumită viteză critică vc, exprimabilă prin complexul adimensional care devine tot o mărime variabilă:

( )1/ −

=ρρ s

c

gd

vNe (18.54)


Neill a caracterizat mişcarea prin complexul adimensional al mobilităţii (un număr Froude)

( )1/

12

−⋅

⋅=

ρρ sc

c

dg

vNe (18.55)

şi a determinat variabilitatea acesteia cu rugozitatea relativă dc / h. Complexul adimensional (18.55) este măsura vitezei critice pentru particule date, deci este variabilă cu rugozitatea relativă. Rugozitatea albiei este datăde particule încă în repaus. Prelucrând datele experimentale din literatură s-a obţinut relaţia între complexul adimensional de mobilitate şi rugozitatea relativă, sub forma:

( )

2,02

5,21/

−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

− h

d

d

v c

sc

c

ρρ (18.56)

din care în condiţii date rezultă viteza critică de antrenare. Vitezele critice pentru particule solide date sunt variabile; ele depind de distribuţia vitezei şi pulsaţia acesteia. Experimentele de laborator au arătat că pentru particule cu dc > 1...2 mm vitezele critice depind şi de lăţimea albiei. Viteza critică se mai caracterizează prin complexul adimensional

( )1/

0−

=ρρ s

c

gh

vB (18.57)

în care se evidenţiază adâncimea apei. Variaţia complexului adimensional B0 în funcţie de netezimea relativă h / d şi d / A corespunde fig. 18.9, rezultând o corelaţie strânsă între aceste mărimi.

( )

405,0

7,11/

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=− d

h

gh

v

s

c

ρρ (18.58)

La definirea vitezei critice trebuie luată în considerare şi panta hidraulică I care se face prin complexul adimensional

∗

==v

v

ghI

vB cc

c , (18.59)

care calibrată devine:

6,18,1

61044 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅== −

∗ d

h

A

d

v

v

ghI

v cc (18.60)


h/d

2 3 40,01

1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10

2345

8

0,1

18

5432

2345

810

82

1/3=1;

v g

d2/3

h/d=1680; B =0,085.

B =0,085.h/d=250;2/3

d

v g=10;

1/3

1/3=100;

v g2/3h/d=35;d B =0,085.

0

0

0

c

(ρ /ρ−1)

-0,405=1,7 (h/d)gh

v

s

1/3v g

d2/3

=d/A0

c

(ρ /ρ

−1)

B =

ghv s

10

1

100

Fig. 18.9. Graficul ( )

3 t/m65,2pentru 1/

==−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

sd

hf

sgh

cvρ

ρρ

Graficul din fig. 18.10 permite stabilirea vc / v* la diametrul d al particulei, adâncime h şi temperatură dată, apoi din fig. 18.7 se obţine:

( ) ( )d

Ih

dfc

ss

c

1/ −

⋅=

−=

ρργγ

τ (18.61)

din care rezultă panta critică Ic.

h/d

2 3 411 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10

2345

810

1008

5432

2345

81000

82

*v ghI

=v

/v

cc

1,6

c v

/v

=0,

175

(h/d

)

*

1,6

c v

/v

=0,

0027

8(h/

d)

*

1,6

c v

/v

=0,

0000

44(h

/d)

*

=10

0

d -1/3

2/3

v g

=10

d -1/3

2/3

v g

=1

d -1/3

2/3

v g

1/6(h/d)

1/8-1/32/3 )v g

d(*v /v =0,000044c

Fig. 18.10. Graficul ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=d

hf

ghI

cv


40. Debitul aluviunilor târâte

Debitul specific solid târât (de greutate, masă sau volum) se poate stabili: - cu ajutorul relaţiilor teoretice; - pe baza experienţelor de laborator şi - prin relaţii empirice calibrate în urma măsurătorilor în natură.

Cele mai răspândite relaţii teoretice sunt după Kalinske şi Einstein, cele experimentale după Schoklitsch, Egiazaroff şi Meyer – Peter, Müller. Din punct de vedere al fundamentării fizice relaţiile Einstein şi Meyer – Peter, Müller sunt cele mai potrivite.

Parametrii caracteristici ai transportului târât după Einstein sunt:

( ) ( ) 2/132/11/−−

⋅⋅−= dgq

ss

t ρργ

φ (18.62)

şi

( ) ( )

00

11/

f

d

Ih

d ss =

−=−

⋅=

τ

γγρρψ (18.63)

prima ecuaţie fiind intensitatea transportului de aluviuni, iar a doua intensitatea curgerii. Relaţiile între ψφ şi sunt aproximate prin funcţii putere

33,3014,0 −⋅= ψφ

sau funcţii exponenţiale ψφ ⋅−⋅= 391,0150,2 e Toate relaţiile fundamentate fizic şi matematic pot fi exprimate în funcţie de parametrii transportului târât după Einstein. Astfel relaţia Meyer – Peter, Müller după Ning Chien este:

2/3

188,04

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ψφ (18.64)

Utilizând notaţiile:

dvv

qq

s

tt

⋅⋅=

∗

∗ (18.65)

şi

( )ds γγ

ττ

−=∗ 0 (18.66)


Garde şi Albertson au exprimat relaţia Meyer – Peter sub forma:

( ) ( ) 2/32/1188,04 −⋅=⋅ ∗∗∗ ττtq (18.67)

Parametrul ∗tq este identic cu parametrul lui Kalinske, iar ψτ /1=∗ arată

legătura cu relaţia (18.63). Analiza comparativă a şapte relaţii pentru debitul târât pentru patru râuri (după Vanoni) a evidenţiat şi abateri de peste 100%. Se consideră însăcă debitul târât exprimat de funcţia ψ se bucură de cea mai mare încredere. Analiza relaţiilor debitului solid târât interpretează fizic parametrii fluxului. Astfel în parametrul φ după Einstein qs / γs este debitul specific volumic, care raportat la d, (qs / γs·d) este o viteză, ca măsură a debitului specific volumic al particulelor cu diametru unitar. Această valoare

raportată la viteza dinamică potenţială a lui Barr, ( )1/ −ρρ sgd exprimăparametrul adimensional φ a lui Einstein. Expresiile debitului solid târât conţin parametrii lichidului şi solidului şi mărimi fizice calitative ale curgerii. Nu sunt luate în considerare mărimile caracteristice turbulenţei, deşi acestea au influenţă majoră. Lipsa lor din relaţii se datoreşte inexistenţei datelor experimentale. Relaţii general valabile pentru debitul solid pot fi considerate acelea care conţin mărimea particulelor, panta hidraulică, debitul lichid, densitatea solidului şi lichidului, temperatura şi uneori chiar lăţimea albiei, însă stabilirea unor astfel de relaţii întâmpină multe greutăţi. Cel mai important parametru în definirea debitului solid târât este intensitatea curgerii ψ a lui Einstein. Dificultăţile studiului teoretic al transportului târât au condus la măsurători în natură şi prelucrarea lor, însă precizia instrumentelor de măsurat şi a debitelor lasă de dorit. Cele arătate explică lipsa unei relaţii generale pentru debitul solid târât. Relaţia Meyer – Peter, Müller are forma:

( ) ( ) 3/23/2

3/12/3

1/25,0074,0 sssg

p gg

dIhn

n⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⋅⋅⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

γγγγ (18.68)

în care np şi ng sunt coeficienţii de rugozitate după Manning pentru pat şi granule (inclusiv microrelieful patului) şi gs – debitul solid specific de greutate exprimat în N/s·m. Celelalte mărimi au fost definite anterior. Coeficientul de rugozitate a patului este:

gg ghn λ/8/6/1= (18.69)


λg fiind calculat cu Re = 4h·v / υ şi d90 / 4h. În practică sunt utilizate relaţii modificate (Schoklitsch, Meyer – Peter, Einstein), orientative, de formele: - Karausev

QdIhKG cb

s ⋅⋅⋅⋅= ∗χα (18.70)

- Bogàrdi

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅′′=

⋅′=

⋅=

′′

′

bs

bs

bs

haG

vaG

QaG

(18.71)

- Haszpra

( ) ( ) 2/3mN/s cs dbIhag ⋅+⋅⋅=⋅ (18.72)

în care a, b, a’, b’, a”, b”, α, β, χ sunt coeficienţi. Relaţia lui Simons defineşte debitul solid târât în funcţie de formaţiunile de fund şi deplasarea lor, astfel:

( ) 121 C

hvnq ds +−= (18.73)

în care: n este porozitatea aluviunilor; C1 – debit solid independent de forma formaţiunilor de fund (C1 = 0 pentru fund total acoperit de dune); vd – viteza medie de deplasare a dunelor şi h – adâncimea medie. În timpul deplasării materialul solid târât îşi modifică granulaţia prin uzură, abraziune, spargere, descompunere, solubilizare, selectare. Prin modelare matematică a particulelor sferice şi mişcarea lor pe sectoarele de râu Stelczer arată micşorarea diametrului prin:

31

300

1 kteddd tk −⋅−=Δ − (18.74)

în care: Δd (mm) este reducerea diametrului, d0 (mm) – diametrul iniţial, t (ore) – durata mişcării, t1 (ore) – durata de staţionare, k1 (ore-1) şi k2 (m

3/ore) parametrii de uzură ai aluviunilor.

18.3.5. Mişcarea aluviunilor în suspensie

Mişcarea aluviunilor în suspensie este descrisă de mai multe teorii, însă, în cele ce urmează, se prezintă teoria transportului turbulent în suspensie, considerată cea mai verosimilă. Parametri ai concentraţiei şi debitului au fost prezentaţi parte în 18.3.1 şi 2, respectiv la 18.3.3.


La mişcarea aluviunilor în suspensie participă aluviuni fine, provenite din eroziune şi care intră în mică măsură în compoziţia patului albiei. De aceea debitul solid în suspensie efectiv este determinat de debitul solid disponibil intrat în albie şi nu de capacitatea de transport. Debitul solid în suspensie efectiv este deseori inferior capacităţii de transport şi transportul în suspensie este atunci nesaturat şi nu se poate stabili prin formule, ci prin măsurători directe. Problema care prezintă interes practic este cea referitoare la depunerea aluviunilor în suspensie şi distribuţia lor pe verticală.

10. Teoria transportului turbulent de aluviuni în suspensie

Distribuţia pe verticală a aluviunilor în suspensie se exprimă prin concentraţia C(y), dependentă de distanţa de la fund. Într-o tratare mai simplă distribuţia aluviunilor se poate deduce prin teoria difuziei turbulente. Admiţând regimul staţionar, sub acţiunea gravitaţiei, în absenţa turbulenţei, ar exista un flux descendent de particule solide, cu viteza w care ar micşora concentraţia. Ea se menţine constantă cu un flux egal şi de sens invers prin difuzia turbulentă, sub acţiunea componentei v’ a pulsaţiei vitezei. Bilanţul aluviunilor în suspensie, conform fig. 18.11 se poate scrie astfel:

Fig. 18.11. Schema de calcul al concentraţiei aluviunilor în suspensie

( ) ( )wvdy

dy

dCCwv

dy

dy

dCC −′⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−=+′⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

22din care cu notaţia Ds = v’dy / 2 coeficient al difuziei turbulente se obţine:

h

y

dy

w v'

v'

v'+w

v'-w

C+dC/2

C(y)

C-dC/2


0=+dy

dCDCw s (18.75)

care pentru stare de echilibru este identic cu relaţia O’Braien – Christiansen

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′⋅−= ∫

y

a s

a

D

dywCC ρexp/ (18.76)

în care Ds’ = ρ·Ds.

20. Relaţiile transportului aluviunilor în suspensie

Distribuţia concentraţiei pe verticală se exprimă în funcţie de cea măsurată la distanţa a de fund Ca, conform relaţiei (18.76). Integrarea ecuaţiei respective necesită cunoaşterea Ds’ = ρ·Ds.

În ipoteza că Ds’ este independent de y rezultă:

( )′−⋅⋅

−

= sD

ayw

a eCC

ρ

/ (18.77)

De fapt Ds’ este dependent de y şi stabilirea sa este una din problemele dificile ale transportului în suspensie. În cazul schimbului de impuls se cunoaşte coeficientul difuziei turbulente D’ = ρ D, însă proporţia Ds’ / D’ nu este cunoscută. Azi este încă acceptat identitatea celor doi coeficienţi. În această ipoteză valoarea sa se poate determina din relaţia efortului unitar tangenţial

( )dy

dvDhyIh ′=−⋅⋅= /1γτ

sau

( )

dydv

hyIhDDs /

/1−⋅=′=

′ γ (18.78)

Cunoscând distribuţia vitezei pe verticală, se poate determina gradientul acesteia la o adâncime y respectiv DS. Relaţia (18.76) se integrează, de obicei pe baza graficului funcţiei 1 / Ds’ = f(y – a). În lipsa epurii vitezei ridicate experimental se poate utiliza epura teoretică Prandtl – Karman.

( )hyvv

v

mm

/ln1/

1 0+

⋅+=

χ

ρτ (18.79)

În acest caz gradientul vitezei devine:


y

ghI

y

v

ydy

dv

⋅=

⋅=

⋅= ∗

χχχ

ρτ /0 (18.80)

sau

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅⋅⋅=h

yIHgyDs 1χ (18.81)

Coeficientul difuziei turbulente în apropierea fundului şi suprafeţei libere este apropiat de zero, iar la mijloc este maxim.

Practic Ds poate fi înlocuit cu valoarea sa medie pe secţiunea Dsm

care este:

15

/0 ρτhDsm = (18.82)

După înlocuire (18.77) devine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

y

a

a dyh

wCC

ρτ /

15exp/

0

(18.83)

Făcând substituirea adimensională

∗

===v

w

ghI

wwt

ρτ /0

(18.84)

şi efectuarea integralei (18.83) va fi:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

= h

ayt

a eCC15

/ (18.85)

Parametrul adimensional t ţine seama de mărimea particulelor solide – prin viteza de sedimentare – şi de caracteristicile curentului – prin viteza de frecare v*. Cunoscând distribuţia concentraţiei şi legea distribuţiei vitezei se poate determina debitul specific solid în suspensie.

( ) ( )∫ ⋅⋅=h

a

s dyyvyCq (18.86)

Relaţiile empirice pentru determinarea concentraţiei medii C şi a debitului solid în suspensie sunt legate de debit, viteză, pantă şi adâncimea pe secţiune. Relaţiile au forma putere, formal asemănătoare cu (18.71).

Legătura debitului solid şi lichid este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

⋅=

QCQ

QCQ

QCQ

s

ms

s

γgreutate

masic (18.87)

30. Depunerea aluviunilor în suspensie

În cursuri naturale sau canale la scăderea vitezei sub o anumitălimită o parte din aluviuni în suspensie se depun producând înnămolirea. Viteza medie din albie pentru care fenomenul se produce este viteza criticăde înnămolire. Această viteză nu se poate determina din teoria prezentată anterior. Colmatarea se produce selectiv, după mărimea aluviunilor şi distanţa parcursă în albie. Vitezele critice de înnămolire apelează la relaţii empirice, dintre care se aminteşte formula Zamarin:

- pentru w ≥ 0,002 m/s 5,1

216,0 RI

Cwv G

cr = (18.88)

- pentru w < 0,002 m/s 5

81,9 RI

wCv G

cr = (18.88’)

unde vcr este viteza medie (m/s); CG – concentraţia de greutate (N/m3); w – mărimea hidraulică medie (m/s); R - raza hidraulică (m); I – panta luciului apei.

18.3.6. Cazuri practice de mişcări bifazice lichid – solid.

În multe cazuri teoria mişcării aluviunilor găseşte aplicaţii practice în diferite ramuri tehnice. Dintre acestea se menţionează hidrotransportul, colmatarea conductelor şi îndepărtarea aluviunilor din apele naturale prin sedimentare.

10. Hidrotransportul Exploatarea şi transportul materialelor solide granulate pe cale hidraulică (pneumatică) este una din metodele tehnologiei de azi. Este aplicat nu numai în balastiere, lucrări de pământ, minerit, dar şi în multe alte ramuri industriale.


Problemele de curgere ale hidroamestecurilor eterogene sub presiune se referă la regimurile de transport, diferenţa de viteză a fazelor hidroamestecului, viteza critică de antrenare, pierderi de energie, realizarea energiei hidraulice pentru hidrotransport, realizarea amestecului etc.

10.a. Regimul de transport al aluviunilor în conducte orizontaleAluviunilor din apă fiindu-le caracteristică mărimea hidraulică, la

transportul lor hidraulic avem de-a face cu amestec bifazic. Transportul acestor amestecuri trebuie conceput ca o curgere în care exisă o acţiune reciprocă a două medii, în rest independente, caracterizate prin aceea căunul poate fi în repaus, iar celălalt în mişcare.

La amestecuri cu concentraţii mici vâscozitatea depinde nesemnificativ de natura materialului solid, ea este dată de vâscozitatea mediului purtător (vâscozitatea aparentă este mai mare la amestecuri datorită densităţii acestora). La transportul amestecului bifazat fărădepuneri, cu concentraţii mici, fiecare particulă se mişcă independent, urmând direcţia forţei rezultante (inclusiv forţele din ciocniri reciproce şi cu pereţii). Dintre forţele care acţionează asupra particulelor numai unele sunt preponderente, ele depinzând de mărimea granulelor de solid şi de condiţiile de curgere.

Pentru mărimi de particule şi concentraţii date, în funcţie de vitezăexistă următoarele stări de transport (fig. 18.12):

- viteza de curgere este inferioară vitezei de antrenare, faza solidăeste în repaus pe fundul conductei, iar faza lichidă curge în spaţiul liber. Este starea caracteristică regimului de colmatare (obturare);

- viteza fazei lichide din spaţiul liber este egală cu viteza de antrenare, iar particulele din stratul superior al depunerilor neconsolidate sunt rostogolite de curent. Avem regim limită de antrenare;

- creşterea vitezei fazei lichide implică antrenarea particulelor din stratul superior la o deplasare în salturi. Se creează neuniformităţi în depuneri (respectiv ale secţiunii de curgere), viteze ale lichidului şi salturi de particule diferenţiate, neregularităţi accentuate ale depunerilor şi ale secţiunii de curgere, regim de deplasare cu dune (depozite izolate),

- creşterea continuă a vitezei în conductă netezeşte stratul de aluviuni, care parţial este în repaus, parţial alunecă (pat fix şi mobil coexistent), totodată sunt şi particule care se mişcă în salturi şi în suspensie. Este regimul de transport cu pat fix;


- mărirea vitezei mobilizează tot stratul de aluviuni într-o mişcare lentă, existând o mare cantitate de particule ce se deplasează în salturi şi în suspensie, regim de transport cu pat mobil;

- vitezele continuu crescânde implică creşterea pulsaţiilor turbulente, care antrenează tot materialul aluvionar în suspensie şi mişcare în salturi. Distribuţia materialului solid şi epura vitezei pe secţiunea conductei sunt asimetrice (concentraţie mare şi viteză mică spre fund). În acest caz regimul de transport este neuniform, cu amestec în suspensie eterogenă;

- vitezele care depăşesc substanţial pe cele de antrenare conduc la profil de viteză axial cvasisimetric (sau simetric) şi o distribuţie a concentraţiei de aluviuni nesimetrică, cvasisimetrică sau chiar simetrică. Transportul este pseudo-omogen sau omogen.

Deducţii asemănătoare există pentru variaţia turbidităţii sau mărimii particulelor, ceilalţi parametrii fiind menţinuţi constanţi. Pentru delimitarea regimurilor de curgere există întocmite diferite abace, grafice.

7 6 5 4 3 2 1

z z z z z z z

v v v v v v v

mC mC Cm Cm mCmC mC

fig. 18.12. Regimurile de transport ale amestecurilor bifazice

10.b. Diferenţa de viteză între fazele hidroamestecurilor După cum s-a arătat, la curgerile bifazice de lichid – solid

(hidroamestec) totdeauna există o diferenţă de viteză a fazelor constituente. Particulele de solid, în funcţie de mărimea lor, sunt transportate

diferenţiat de curent în raport cu forţele preponderente. Pentru analiză se consideră constantă densitatea şi cunoscută relaţia între dimensiunea particulei şi mărimea sa hidraulică. Totodată, curentul lichid se considerăturbulent şi grosimea substratului vâscos determinabilă.

Particula solidă este considerată mică dacă diametrul său este mult inferior grosimii substratului vâscos, mare când diametrul său este mult superior grosimii substratului vâscos. Particulele mijlocii se situează între limitele anterior menţionate. Diametrul particulei, viteza apei şi solidului sunt mărimi determinante în analiza următoare.


O particulă mică într-un curent de turbulenţă ridicată este rapid accelerată datorită masei sale reduse şi rezistenţei mari la înaintare faţă de pulsaţiile turbulente ale vitezei. Prin mişcarea sa particula ajunge şi în substratul vâscos unde va fi frânată. Prin portanţă, forţele laterale şi vitezăde sedimentare se reîntoarce în curentul turbulent, unde este reaccelerată. Fenomenul se repetă continuu. Din acest mecanism al mişcării rezultădiferenţa de viteză între viteza apei şi cea a particulei, care poate fi caracterizată prin alunecarea A (18.25).

Scăderea vitezei medii a amestecului atrage după sine frânări mai dese, datorită creşterii grosimii substratului vâscos şi tendinţei mai accentuate de sedimentare, deci alunecarea creşte. La viteze mari substratul vâscos este subţire, practic se anulează forţa laterală datorită efectului Magnus, iar particula ajunge mai rar în filmul laminar (este transportată mai mult de curentul turbulent) şi alunecarea se micşorează.

Particulele de mărime mijlocie se comportă asemănător cu particulele mici, însă au inerţie mai mare şi participă mai greu la schimbul de impuls. Pe când o particulă mică este animată de pulsaţiile turbulente ale unei viteze reduse, particulele mijlocii sunt antrenate spre traiectorii de salt, mărindu-se alunecarea lor. Creşterea diametrului particulelor mici şi mijlocii, pentru viteze constante de transport, implică creşterea alunecării.

Pentru particule mari forţele masice sunt considerabile şi ele sunt transportate mai mult prin târâre, rostogolire şi saltaţie. Considerând particula din fig. 18.4 pe generatoarea conductei, având diametrul determinant d, în mişcarea de rostogolire cu viteza unghiulară ω şi de înaintarea vs, când viteza medie a curentului este v, prin explicitarea circulaţiei vitezei Г2 în funcţie de ω

ωπ

2

2

2

d⋅=Γ (18.89)

se obţine o forţă laterală datorită efectului Magnus ( ) ssM vdvvkF ⋅−⋅⋅= 2ρ

care se suprapune forţei arhimedice şi portanţei. Astfel particulele mari sunt ridicate şi antrenate în curentul turbulent. Aici se micşorează (până la anulare) forţa laterală şi particulele recad pe fundul conductei, descriind traiectorii de saltaţie. Deplasarea particulelor mari este condiţionatăhotărâtor de forţa Magnus. Cum mişcarea acestor particule este puţin influenţată de filmul laminar alunecarea lor este mai mică în raport cu diametrul lor. Alunecarea particulelor mici şi mijlocii depinde hotărâtor de mărimea lor hidraulică, însă la particule mari aceasta are importanţă redusă.


Forţele preponderente pentru particule mari diferă de cele pentru particule mici şi mijlocii, deci şi mişcarea lor este guvernată de legi diferite. S-a arătat că alunecarea depinde de viteza de curgere, de diametrul particulelor şi mărimea lor hidraulică, de forţele de rezistenţă la înaintare şi greutatea submersă. Totodată, creşterea diametrului conductei reduce frecvenţa antrenării unei particule în substratul laminar, deci reduce alunecarea. După cele arătate, în expresia alunecării intervine numărul Froude al curgerii amestecului în conductă precum şi al particulei solide (Fr = v2 / gD şi Frs = w2 / gd). Deoarece creşterea vitezei atrage după sine micşorarea alunecării, iar creşterea diametrului particulelor măreşte alunecarea, funcţia alunecării va avea forma (18.25). Între Frs şi d există relaţiile: - regim laminar w0 = f(d2), deci Frs = f(d3) - regim de tranziţie w0 = f(d), deci Frs = f(d) - regim turbulent, zonă netedă w0 = f(d1/2), deci Frs = f(d1/3) - regim turbulent, zonă rugoasă w0 = f(d1/2), deci Frs = const.

Alunecarea unei particule pe un tronson de conductă orizontalăeste determinată de numărul ciocnirilor de peretele conductei. La turbidităţi mici numărul ciocnirilor este practic independent de numărul particulelor prezente, deci alunecarea nu depinde de concentraţie.

Experienţe pentru şapte diametre de nisip cuarţos şi aluviuni naturale (ρs = 2,6 t/m3) conduc la funcţia alunecării din figura 18.13, respectiv ecuaţia (18.90)

A 25,05,0529,04975,0

−⋅−⋅= sa FrFre (18.90) care admite coeficient de corelaţie, r = 0,91.

*

*

* *

* *

**

*

*

+

+++++ +

+

^

^ ^^ ^

^^

^^

^^

^

^

xx

x

xx

xx

x

x

xx

xxx

xo

o

o

0o

d(mm)aluviuni naturale0,4...0,80,3...0.40,2..0,30,16...0,20,10...0,160,063...0,10 <0,063

*

+

^

^^

o

oo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,002

0,003

0,004

0,0050,0060,0070,0080,009

0,01

0,02

0,04

0,08

0,1

0,2

0,3

vg D

gdw.

0,5a

A

Fig. 18.13. Graficul funcţiei de alunecare

Scăderea alunecării cu viteza de transport (a apei în cazul de faţă) şi creşterea acesteia odată cu mărimea particulei este evidenţiată în figura 18.14 care indică viteza relativă (vs / va) şi alunecarea (A = 1-vs / va) pentru particule cu d = 0,16...0,20 mm şi 0,3...0,4 mm.

Fig. 18.14. Viteza relativă a celor două faze şi alunecarea în funcţie de viteza de transport şi mărimea particulelor

d=0,16..0,2d=0,3...0,4

v /vs a

A

1 2 3 4 5

0,8

0,9

1,0

0,0

0,1

0,2

va(m/s)

v /v s

a

=1-

v /v s

aA

10.c. Viteza critică de antrenare O altă mărime importantă la curgerea bifazică de apă – solid este

viteza critică de antrenare, respectiv viteza critică de depunere, însă nu există o defalcare clară între aceste două definiţii. Câteva relaţii specifice pentru aceste mărimi sunt: - după Ziulikov

λ

gCwvcr

802,0 25,0 ⋅⋅⋅= ; (18.91)

- după Jufin

63153 CDvcr ⋅⋅= ; (18.92)

- după Newitt, Durand, Condolios, Sinclair

( )1/ −⋅⋅= ρρ scr Dgkv (18.93)

- după Trains

( )

D

scr Ck

Dgv

⋅⋅

⋅−=

λ

ρρ 1/ (18.94)

unde: CD – este un coeficient după Durand şi Condolios. Mai există relaţii asemănătoare elaborate de Robinson, Graf, Wilson, Howard, O’Brien, Tarevski etc. Din definiţia funcţiei de alunecare se poate defini viteza critică de antrenare drept limita acestei funcţii când vs→0, pentru care se obţine: ( ) 1/ =⋅ − sFrFrfea , (18.95) deci viteza maximă a fluidului portant pentru care transportul solid este nul. Din ecuaţia (18.90) conform (18.95) rezultă:

5,0

336,2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

d

Dwvcr (18.96)

Efectul concentraţiei volumice supra vitezei critice de depunere intervine prin viteza de sedimentare în grup. w / w0 = (1 – C)n (18.97) unde w0 este mărimea hidraulică, w – viteza de sedimentare, iar n = 3,2. Viteza critică de antrenare (respectiv de depunere) prezintăimportanţă în definirea colmatării conductelor şi a condiţiilor de spălare a acestora. Pentru particule cu d < 0,4 mm, cu mărimea hidraulică calculatădupă relaţia Stokes rezultă:

( ) 2,35,075,0 12043 CDdvcr −⋅⋅⋅= (18.98)


iar pentru particule cu d ≥ 0,4 mm, cu mărimea hidraulică calculată dupăBudryck:

( )12,157115,11 3

0 −⋅+= dd

w (18.99)

viteza limită a transportului suspensional este:

( )( ) 2,3375,0

5,0

112,15710078,0 Cdd

Dvcr −−⋅+⋅= (18.100)

Relaţiile 18.98 şi 18.100 se racordează cu valorile experimentale (fig. 18.15)

D(mm)250200165150125100

valori experimentale

5.10 10 2.10 5.10 10 2.10 5.10 10 2.10 4.10 8.100,01

0,05

0,1

0,5

1,0

2,0

d(mm)

Stoke

s

Wied

enro

th

-4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1

v(m

/s)

Fig. 18.15. Viteza critică de transport suspensional

10.d. Pierderi de energie la hidrotransport în conducte Transportul hidraulic al solidului fiind în exclusivitate în

suspensie, pentru o curgere staţionară într-un tronson de conductăorizontală de lungime ΔL, o particulă solidă trebuie să se afle pe aceeaşi cotă medie (fig. 18.16). Transportul fără alunecare este caracterizat prin


viteza medie v, iar particulele solide prin mărimea lor hidraulică (sau viteza de sedimentare) w0. Compensarea traiectoriei de depunere, corespunzătoare mărimii hidraulice, permite calculul energiei necesare pentru menţinerea particulei la cotă constantă,

( )L

hgwE spartpart

Δ

Δ⋅−=Δ ρρ (18.101)

Conform figurii 18.16:

v

w

L

h 0=Δ

Δ (18.102)

şi ecuaţia (18.101) devine:

( )v

wgwE spartpart

0⋅−=Δ ρρ (18.103)

Pentru toate particulele din volumul de control rezultă:

( ) ∑⋅−=Δ partss Wv

wgE 0ρρ (18.104)

fig. 18.16. Transport solid în suspensie, fără alunecare

Ţinând seama că ΣWpart = ws = C·W, pierderea de energie pentru materialul solid este:

( )v

wgWCE ss

0⋅−⋅=Δ ρρ (18.105)

sau exprimată în pantă hidraulică,

( )v

wC

W

EI s

ss

01/ −=⋅

Δ= ρρ

γ (18.106)

Panta hidraulică pentru faza lichidă (apă) este exprimată prin relaţia lui Darcy – Weisbach,

g

v

DI a 2

2

⋅=λ

. (18.107)

Δ

Δ

v = v

w

L

s

o

1 2

1 2

h


Panta hidraulică pentru amestec fără alunecare este suma pantelor hidraulice pentru cele două faze

( )v

wC

g

v

DIII ssah

02

1/2

−+⋅=+= ρρλ

, (18.108)

o valoare mai mare din punct de vedere teoretic nefiind posibilă. Exprimatăsub forma uzuală (18.108) devine:

ws

a

ah

v

wDg

IC

IIψ

ρ

ρ

λ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

⋅

−301

2. (18.109)

Se constată că pierderea suplimentară de energie pentru transportul solidului este proporţională cu concentraţia de volum şi caracteristicile materialului solid. Curba pantei hidraulice, sumă a două pante – a apei (curbă tip putere) şi a solidului (hiperbolă) – este tangentă spre extremităţi la curba putere, respectiv hiperbolă (axa I). Curba sumă este continuă, iar la extremităţi tinde la +∞. La valori finite ale vitezei, I este finit, deci funcţia admite un minim. Alura pantei hidraulice în funcţie de viteză şi concentraţie – la amestec fără alunecare, pentru conducte PVC – G, Dn 165 mm şi aluviuni cu ρs = 2,59, w = 4,526·10-3 m/s, la υ = 1,2·10-6 m2/s este prezentată în fig. 18.17.

0,03 0,04 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 30,1

0,2

0,3

0,5

1,0

2

3

45

10

20

30

Cm (kg/m )

v(m/s)

Cm =0

20

10

5

2

1000

I

3

Fig. 18.17. Panta hidraulică pentru conducte din PVC – G, cu Dn 165 mm transportând hidroamestec în diverse concentraţii, fără alunecare

În literatura de specialitate relaţiile deduse pentru panta hidraulicăa amestecului se referă mai mult la transportul fără alunecare. Florea Julieta şi Robescu indică determinarea pierderilor de presiune prin considerarea unui lichid echivalent pentru care coeficienţii λe, ke, γe, Ree se determină experimental. Tot aici, pe baza unui model simplificat se obţine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=h

sheeeeh v

wfC

g

v

D

kI 0

2

12

Reρ

ρ

ρ

ρλ , (18.110)

unde: f este un coeficient numeric ce ţine seama de frecare, f = k·f0, k < 1fiind coeficient de atenuare, iar f0 = tg α0, α0 – unghiul de înclinare al conductei pentru care particulele solide încep să alunece singure înapoi. Determinarea parametrilor se poate efectua cu suficientă precizie, însă ke

ţine seama de şlefuirea conductei prin transport şi de eventuale depuneri aderente care se estimează greu. O altă relaţie dedusă pe cale semiteoretică este relaţia dată de Newitt:

( ) Nsa

ah

v

wDgk

IC

IIψρρ

λ=−

⋅

⋅⋅=

⋅

−1/

23

(18.111)

Pierderea de energie la transportul hidroamestecului bifazic, eterogen, cu alunecarea fazelor constituente este suma pierderilor distribuite pentru transportul apei şi energiei necesare particulelor pentru compensarea traiectoriei de cădere. Relaţia (18.108), valabilă pentru amestec omogen, fără alunecarea fazelor, trebuie corectată, în sensul că fiecare fază este caracterizată prin viteza sa medie. Astfel, ecuaţia (18.108) devine:

( )s

ssah v

wC

g

v

DIII 0

2

1/2

−+⋅=+= ρρλ

(18.112)

Aplicând ecuaţia de continuitate pentru transport suspensional, fărădepuneri, cu alunecare, A·v + As·vs = Ah·vh (18.113) şi ţinând seama de ecuaţia de definiţie a alunecării (A = 1 - vs / v), se obţine viteza medie a apei şi solidului în funcţie de viteza medie a amestecului:

hvC

v⋅−

=A1

1 şi hs v

Cv

⋅−

−=

AA

1

1 (18.114)


S-au notat: v – viteza apei; vs – viteza solidului; vh – viteza amestecului, respectiv A, As şi Ah secţiunile corespunzătoare de curgere a apei, solidului şi amestecului. După înlocuirea vitezelor în ecuaţia pantei hidraulice teoretice se obţine:

( ) h

shh v

wCC

g

v

CDI 0

2

2 1

11

21

1⋅

−

⋅−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

⋅−⋅=

AA

A ρ

ρλ (18.115)

Analiza ecuaţiei (18.115) arată că panta hidraulică creşte odată cu alunecarea atât pentru faza lichidă cât şi solidă. Exprimând panta hidraulică pentru transportul amestecului eterogen cu alunecare sub formă uzuală se obţine:

D

d

gd

w

v

Dg

IC

II

h

s

a

ah ⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

−

−⋅=

⋅

− 0

2/3

21

1/2

A

ρρ

λ (18.116)

sau

Ba

ss

a

ah

Fr

Fr

D

d

IC

IIψ

ρρ

λ=⋅

−

−⋅=

⋅

−5,1

5,0

1

1/2

A (18.117)

În ecuaţia de mai sus valorile mărimilor Ia şi Fra se calculează cu viteza medie a fazei lichide, v = vh(1 – A ·C)-1. Dacă sedimentarea particulelor este influenţată de concentraţia volumică, sub forma (18.98), funcţia ψB se corectează sub forma:

( )nBB C−=

′ 1ψψ (18.118) Atunci şi în relaţia alunecării trebuie să ţinem seama de diferenţa între mărimea hidraulică şi viteza de sedimentare a particulelor. Alura pantei hidraulice păstrează forma din figura 18.17 însăpentru o concentraţie masică dată se îndepărtează mai mult de panta hidraulică a apei în funcţie de alunecare. Îndepărtarea curbei pantei a amestecului de cea a apei este mai pronunţată la viteze mici, scăderea vitezei conducând la creşterea alunecării. Comparând relaţia semiteoretică a lui Newitt (18.111) cu ecuaţia (18.117) se observă, că cele două relaţii sunt formal asemenea, respectiv constanta k este definită prin:

D

dk

A−=

1

1 sau

( )D

dCk

n

A−

−=

1

1 (18.119)

În relaţia lui Newitt pentru amestecuri neomogene 2k / λ = 1100.


Minimalizând panta hidraulică pentru transportul amestecului eterogen cu alunecare se obţine viteza optimă de transport sub forma:

( )( )

( )

3/1

0

1

1/1

min ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⋅⋅⋅⋅−=

AA

λ

ρρ sI

wDgCCv

h (18.120)

respectiv panta corespunzătoare acestei viteze:

( )

3/12

0min 1

1/

2

3

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

−⋅

⋅=

A

ρρλ sh

wC

DgI (18.121)

Relaţiile (18.120 şi 18.121) sunt teoretice şi s-au obţinut prin extrapolarea funcţiei (18.115) pentru orice viteză a amestecului. În realitate valoarea vitezei vIh min poate fi inferioară vitezei critice de antrenare, caz în care fenomenele de transport hidraulic urmează alte legi. Forma curbei pantei hidraulice reale corespunde figurii 18.18.

Patulc criticd dunep neteds curat23,000c

16,400 d

8,200 d

4,900 d

2,300 p

1,350 s1,252 s

0,877s0,731 s

0,649 s0,518s

0,5 10 1010

10Vcr

V(m/s)

I a

I

0 1

-2

-1

ψ

I h

Fig. 18.18. Panta hidraulică reală la curgerea hidroamestecurilor

10.e. Realizarea amestecului şi energiei pentru transport Amestecul materialelor solide de transportat cu faza lichidă – apă –

se realizează diferenţiat, în funcţie de tehnologia aplicată, astfel: - în bazine speciale cu agitatoare; - cu amestec direct la săpare sub jet (tip hidromonitor);


- cu amestec direct al materialului solid dezlocat la săpare mecanică sub apă; - cu antrenare de material solid prin ejectoare.

Transportul propriu-zis al hidroamestecului prin conducte poate fi realizat în circuit deschis sau închis. La circuit închis agentul de transport este recirculat.

Din punct de vedere al energiei pentru hidrotransport aceasta se poate realiza gravitaţional – dacă există diferenţă de cotă – sau prin echipament hidromecanic – prin pompare. În ansamblu, energia hidraulicăpentru hidrotransport poate fi realizată prin pompare asupra hidroamestecului sau asupra agentului de transport, în al doilea caz fiind necesare instalaţii de încărcare.

În cazul pompării directe a hidroamestecului se utilizează pompe speciale – volumice sau rotative. Organele maşinilor în contact cu hidroamestecul sunt protejate cu materiale antiabrazive. Pompele de hidroamestec au construcţie specială, numărul palelor rotorice este mai mic (2...4 pale) şi de formă specială. Pompele de hidroamestec funcţioneazătotdeauna înecat. Datorită uzurii durata lor de funcţionare este mică, 500...1000 ore (rar 2000 ore) şi randamentul lor energetic este cu 20...25% inferior pompelor de apă curată.

În cazul pompării agentului de transport (apa) prin ejectoare are loc transferul energiei hidraulice la particule solide sau se utilizează instalaţii de încărcare complexe, de tipul instalaţiei cu camere de ecluzare sau instalaţii cu tuburi de încărcare (fig. 18.20). Instalaţia de hidrotransport cu încărcare prin camere de ecluzare – fig. 18.19 – realizată în cadrul Institutului de Cercetări Hidrotehnice, are următorul funcţional: materialul granular se aduce în stare uscată la partea superioară a instalaţiei (cu banda transportoare sau cu cupe (6)) şi se descarcă în rampa distribuitoare (7), care dirijează materialul solid alternativ către camerele de stocare (5) la presiunea atmosferică. Din camera de stocare, după închiderea clapetei (93) şi punerea camerei (5) sub presiune de către sertăraşul (12), respectiv deschiderea clapetei (91), materialul solid se transferă gravitaţional în camera de antrenare (4), de unde prin jetul ejectorului (2), creat de pompe de apă (1) este antrenat ca hidroamestec eterogen în conducta de hidrotransport (3) şi dus la distanţa de transport, unde faza lichidă şi solidă se separă. Faza lichidă (apa) se recirculă. Procesul este automatizat hidraulico – mecanic prin sistemul de comandă cu program (11) având servomotor hidraulic, distribuitor şi verine comandate. Materialul solid practic se „ecluzează” de la presiunea


atmosferică la presiunea necesară hidrotransportului, în „ecluză”, în camera de antrenare a ejectorului realizându-se hidroamestecul.

Legendă: 1. Pompă de apă; 2. Ejector; 3. Conductă de hidrotransport; 4. Cameră de antrenare; 5. Cameră de stocare; 6. Bandă transportoare; 7. Rampă distribuitoare; 8. Gură de alimentare cu preaplin; 9. Clapetă de închidere – deschidere; 10. Cilindru hidraulic (servomotor); 11. Sistem hidraulic de comandă cu program; 12. Sertăraş de scoatere şi punere sub presiune a camerelor.

Fig. 18.19. Instalaţie cu camere de ecluzare. Schemă de principiu.

Concentrația volumică poate ajunge chiar peste 50%, crescând randamentul energetic global pentru transportul solidului. Se pot transporta materiale cu granulaţia maximă 1/5 din diametrul conductei de hidrotransport. Evitarea înfundării instalaţiei presupune spălarea sa înainte de oprire. Materialele granulare fine se pot transporta hidraulic cu instalaţia de hidrotransport cu tuburi de încărcare (fig. 18.20) care utilizează pentru transport energia hidraulică a apei industriale creată de pompa de apă, cu presiunea adecvată distanţei de transport. Încărcarea hidroamestecului se realizează cu o pompă de noroi prin tuburi de încărcare. Reducerea amestecării hidroamestecului cu apa industrială în tuburile de încărcare se realizează prin sistemul „go-devil”. Instalaţia din figura 18.20, realizată la Universitatea PolitehnicăBucureşti, lucrează secvenţial cu două tuburi de încărcare T1, T2. Are în componenţă o unitate de încărcare a hidroamestecului (bazin de hidroamestec – BH, pompă de noroi – PI şi reţeaua de aspiraţie şi refulare aferentă acesteia), o unitate de pompare a apei industriale (bazin de apă


industrială – BAI, pompă pentru apă – PAI şi conductele de aspiraţie şi refulare aferente), două tuburi de încărcare T1 şi T2 cu câte doi robineţi fluture la fiecare capăt de tub de încărcare în derivaţie (V1...8), reţeaua de hidrotransport – RHT, conducta de recirculare a apei industriale – CAI, go-devil – G şi robineţi de reglaj grosier – VRG. Robineţii fluture sunt acţionaţi electromecanic (închis sau deschis) la comanda sesizării deplasării go-devil la capăt de tub de încărcare.

Legendă: BH – Bazin de colectare hidroamestec; BAI – Bazin apă industrială; PI – Pompă de înecare; PAI – Pompă de apă industrială; T1, T2 – Tuburi de încărcare; RHT – Reţea de hidrotransport; V1...V8 – Vane fluviale; V1’, V2’ – Vană aspiraţie PAI, respectiv PI; VRG 1, VRG 2 – Vană reglaj grosier debit PAI, respectiv PI; CAI – conductă de recirculare apăindustrială; G – go-devil.

Fig. 18.20. Instalaţie cu două tuburi de încărcare. Schemă de principiu.

Instalaţia lucrează secvenţial, în două faze, în același timp un tub se încarcă cu hidroamestec, celălalt se descarcă. În faza I, tubul T1 are robineţii V3 şi V7 în poziţie deschisă; pompa PAI alimentează tubul cu apă industrială împingând hidroamestecul din tub în reţeaua de hidro-transport. Tot în această fază tubul T2 se încarcă cu hidroamestec cu ajutorul pompei de noroi PI, robineţii V2 şi V6 având poziţie deschisă. Apa industrială se recirculă. Faza I durează cât go-devil în ambele tuburi ajunge de la un capăt la celălalt al tuburilor de încărcare (ele au poziţie şi direcţie de deplasare opuse). Când go-devil trece prin secţiunea de comandă senzorul emite semnalul de schimbare a stării robineţilor

BH

BAI

PI PAI

V'1V7 V1

RHT

L

Deversare

T2

V5 V3

V6 V4

V8 V2

1T

l

V'2

2T

1T

CA

I

VR

G 2

VR

G 1

Faza II

l

V8 V2

V6 V4

V5 V3

V7 V1

Faza I

VR

G 22V' 1T

BH

1T

PIT2

2T

RHT

L

VR

G 1

BAI

CA

I 1V'

PAI

Deversare


fluture; V2, 6, 3, 7 se închid V1, 5, 4, 8 se deschid începând faza II al ciclului. Tubul T2 se descarcă de hidroamestec, iar tubul T1 se încarcă. La instalaţia de hidrotransport cu tuburi de încărcare concentraţia de volum poate ajunge la 55% favorizând randamentul energetic global al instalaţiei. Pompa de noroi este mai puţin solicitată, presiunea pentru hidrotransport este realizată de pompa de apă. Ca dezavantaj se poate aminti uzura robineţilor fluture V1...8, mişcarea nepermanentă la manevrarea robineţilor, şi lungimea mare (rectilinie) a tuburilor de încărcare.

20. Colmatarea conductelor reţelelor

S-a specificat, că în multe situaţii viteza apei pe diferite sectoare de conductă este inferioară celei de proiectare, pentru diferite perioade putând fi chiar nulă. În aceste condiţii aluviunile din apă se depun, formând depozite de diferite consistenţe. Existenţa carbonaţilor în apă poate consolida depunerile dacă perioadele de stagnare sunt mari. Apa conţine şi o serie de săruri, care în anumite condiţii de temperatură şi funcţie de natura pereţilor conductei pot precipita, formând depuneri pe periferie. Depunerile formate prin sedimentare şi precipitare se pot suprapune, dând naştere la colmatări mixte. Chiar în cazul reţelelor îngropate, în conducte se dezvoltămicroorganisme (de natura algelor brune) care favorizează colmatarea biologică. Colmatarea, indiferent de natura sa, micşorează secţiunea de curgere, modifică rugozitatea conductelor, măreşte pierderile de energie, compromite uniformitatea distribuţiei presiunilor şi debitelor, îngreuneazăşi scumpeşte exploatarea reţelelor de conducte şi deseori poate obtura total secţiunea, scoţând din funcţiune tronsoane întregi.

20.a. Modele teoretice de colmatare Aluviunilor din apă le este caracteristică mărimea hidraulică (sau

de sedimentare), care dacă nu este compensată de pulsaţiile turbulente ale vitezei – pe planul normal al direcţiei de curgere – conduce la sedimentarea selectivă în funcţie de mărimea lor. Întâi se depun particulele nisipoase, apoi praful şi argila. Aluviunile se depun stratificat pe dimensiuni în perioadele când viteza pe conductă scade sub valoarea vitezei de antrenare. Când stagnarea are loc pe perioade scurte, aluviunile depuse nu se consolidează, depunerile persistă într-o stare vâsco-plastică, iar creşterea vitezei apei le antrenează în suspensie.


Conductele unei reţele sunt poziţionate în pantă şi contrapantă, iar noroiul separat din apă (în stare vâsco-plastică) sub diferenţă de densitate curge lent spre punctele de cotă inferioară în timpul debitelor nule pe conducte.

Existenţa carbonaţilor în noroi şi apă, în perioadele lungi de stagnare consolidează parţial aluviunile. La transportul apei brute există în apă şi resturi vegetale, care au un adevărat rol de „armătură” şi îngreuneazămobilizarea depunerilor. Evoluţia colmatării este din aval spre amonte şi în punctele joase.

20.b. Colmatarea prin sedimentare La colmatarea prin sedimentare cu aluviuni consolidate, parametrii geometrici ai secţiunii se modifică în funcţie de grosimea depunerilor (fig. 18.21).

Fig. 18.21. Elementele secţiunii la colmatarea prin sedimentare

Exprimând în funcţie de unghiul φ mărimea relativă a parametrilor geometrici şi hidraulici (în raport cu situaţia necolmatată) – aria, perimetrul, raza hidraulică şi gradul de colmatare – se obţine: - secţiunea relativă,

( )ϕϕπ

sin2

11

0

−−=A

A; (18.122)

- perimetrul relativ,

π

ϕ

π

ϕ 2/sin

21

0

+−=P

P; (18.123)

- raza hidraulică relativă,

ϕ

D

D -

hh

d

0

A

b

A

0

c

0


( )

π

ϕ

π

ϕ

ϕϕπ

2/sin

21

sin2

11

0 +−

−−=

R

R (18.124)

- gradul de colmatare,

( )2/cos12

1

0

ϕα −==D

h, (18.125)

în care: unghiul φ este exprimat în radiani, mărimile cu indice zero corespund conductei necolmatate, iar fără indice, situaţie colmatate.

20.c. Colmatarea prin precipitare Precipitarea substanţelor din soluţie (carbonaţi, sulfaţi) pe pereţii conductelor micşorează secţiunea de curgere şi măreşte rugozitatea. Fenomenul are intensitate mai redusă şi grosimea stratului format este mai mică. În special în cazul conductelor din oţel s-au observat precipitări de 1...3 mm, care se suprapun cu ruginirea. Elementele relative ale secţiunii de curgere, conform fig. 18.22 sunt:

Fig. 18.22. Elementele secţiunii la colmatarea prin precipitare

- secţiunea relativă,

2

00⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

D

D

A

A; (18.126)

- perimetrul, raza hidraulică şi gradul de colmatare

000 D

D

R

R

P

P===α . (18.127)

Colmatarea mixtă are loc, conform fig. 18.23, atât prin sedimentare cât şi precipitare. Calculul elementelor relative ale secţiunii se efectuează prin combinarea relaţiilor (18.122...18.127).

0 0

Dh

D


În perioadele de folosire intensă a conductei, depunerile consolidate sunt erodate prin fenomenele de abraziune, iar grosimea lor se micşorează. Eroziunea depunerilor este neuniformă şi astfel se creeazăneuniformităţi pe conducte, chiar macrorugozităţi aleatoare. Modificarea elementelor secţiunii de curgere şi a rugozităţii conductelor majorează pierderile de energie în funcţie de gradul de colmatare şi de creştere a rugozităţii.

Fig. 18.23. Elementele secţiunii la colmatarea mixtă

Panta hidraulică este exprimată cu relaţia lui Darcy-Weisbach, pentru care coeficientul λ este descris de o relaţie monomă de tip putere, caracteristică turbulenţei de tranziţie, de forma:

ab

k

Dc Re⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛′=λ . (18.128)

Prin înlocuirea D = 4R şi v = Q / A, se obţine: ( ) 221 +−+−−+ ⋅⋅⋅⋅= ababa

a QkARcI (18.129)

unde: c, c’, a, b , sunt constante, determinate experimental. Particularizând ecuaţia (18.129), cu indicele zero pentru conducta fără colmatare şi fără indice pentru situaţia colmatată, panta hidraulicărelativă este:

( ) baba

a

c

k

k

A

A

R

R

I

I−+−−+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0

2

0

1

0

(18.130)

Rezolvarea ecuaţiei gradului de colmatare (18.125 şi 18.127), împreună cu (18.130), conduce la panta hidraulică a conductei colmatate. Admiţând pentru λ relaţia Lamont T3, cu c’ = 0,2149, b = -0,129 şi a = -0,115, pentru colmatarea prin sedimentare, (18.130) devine:

129,0

0

885,1

0

244,1

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−

k

k

A

A

R

R

I

I

a

c , (18.131)

00

D

h'D

h'

D D-h

h

a

ϕ

b


iar pentru colmatarea prin precipitare

129,0

0

014,5

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

k

k

D

D

I

I

a

c , (18.132)

Se observă că relaţiile (18.131 şi 18.132) sunt supraunitare; la limită, în situaţia necolmatată sunt egale cu unitatea, deci în cazul colmatării pantele hidraulice cresc. Soluţionarea acestor ecuaţii este înlesnită prin graficele din fig. 18.24 şi 18,25, pentru colmatarea prin sedimentare, respectiv precipitare. Determinarea pantelor hidraulice în situaţia conductelor colmatate presupune cunoaşterea creşterii relative a rugozităţii şi a gradului de colmatare (separat pentru depunerile prin sedimentare şi precipitare). Eventualele colmatări punctuale, la noduri sau schimbări de pantă se compară asemănător cu rezistenţele locale.

1.0

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

0.45

0.4

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.1

0.05

01000

500400300

200

100

5040

30

20

10

543

2

1

α= ba

ϕ0

hD

-h 0 D 0

kc kp1.02.04.0

10.025.0

50.0

100.0

I caI

hα

=D 0

Fig. 18.24. Grafic pentru calculul pantei hidraulice pe conductele colmatate prin sedimentare.


D 0

0

D 1

5

10

2550

75100

α=

0D D

DD 0α=

aI I c

2.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.02.07.08.09.010.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

Fig. 18.25. Grafic pentru calculul pantei hidraulice pe conductele colmatate prin precipitare

30. Decantarea în curent de apă cu suprafaţă liberă Analiza decantării aluviunilor în suspensie în curent cu suprafaţăliberă implică modificarea concentraţiei în timp şi spaţiu. Dintre rezolvările existente se prezintă pe scurt soluţia lui Dobbins. Modificarea în timp a concentraţiei într-un punct la distanţăconstantă de la fund, unde viteza v = dx / dt, este dată de ecuaţia:

y

Cw

y

CD

t

Cs

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

(18.133)

în care Ds este coeficientul de difuzie al suspensiilor. Ecuaţia a fost rezolvată în cazul respectării următoarelor ipoteze:

- concentraţia în secţiunea de intrare este constantă;

- valoarea coeficientului de difuzie D şi viteza în bazin sunt constante. Din acest considerent soluţia aproximează numai efectul negativ al turbulenţei asupra decantării.

Camp a modificat forma soluţiei Dobbois, exprimând rata decantărilor. Excluzând posibilitatea antrenării în suspensie a materialelor odată depuse, rata decantării se poate exprima în funcţie de trei parametrii adimensionali: wH / 2D; w / w0 şi αn.

După Camp măsura decantării depinde de caracteristicile de decantare a suspensiilor şi de particularităţile hidraulice ale bazinului de decantare. Într-un bazin teoretic aluviunile se mişcă cu rezultanta vitezei apei şi mărimii hidraulice, şi aluviunile de acelaşi fel se mişcă pe traiectorii paralele. Toate particulele care au viteză de sedimentare w superioară lui w0 – definită de lungimea L adâncimea H şi viteza v din bazinul de decantare se vor depune – conform fig. 18.26.

L

H

a

b

c f

e

dv

w

vw0

Fig. 18.26. Decantarea suspensiilor

Din particulele suspensiilor cu w < w0 numai o parte se decantează, conform figurii, fracţia bc / ac. Tot din figură rezultă:

BL

Q

BL

VBH

L

VHw

⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅=0 (18.134)

respectiv

Q

wLBwwr

⋅⋅== 0/ (18.135)

unde: B este lăţimea decantorului; Q debitul, iar r – fracţia de decantare. Cantitatea w0 = Q / LB, cu dimensiunea vitezei , defineşte debitul specific pe suprafaţa decantorului sau încărcarea de suprafaţă.

Fracţia de decantare r este măsura decantării suspensiilor cu w <w0. Cantitatea de suspensii decantate la debit Q dat depinde de suprafaţa orizontală a bazinului decantor şi nu depinde de adâncimea H.

Încărcarea de suprafaţă w0 este de fapt viteza de sedimentare a acelor mărimi de suspensii care se decantează în totalitate. Suspensiile cu w < w0

se decantează parţial. α1,...,αn sunt rădăcinile reale pozitive în ordine ale ecuaţiei

transcendente

α

αα D

Hw

D

Hwctg 2

2

2

⋅

−⋅

= (18.136)

Fracţia de decantare r în funcţie de parametrii adimensionali wH / 2D şi w / w0 corespunde familiei de curbe din fig. 18.27. Utilizarea practică a graficului presupune cunoaşterea coeficientului de difuzie D. Presupunerea D = const, implică, distribuţia parabolică a vitezei în bazinul decantor. În aceste ipoteze, acceptând calculul lui λ cu coeficient de rugozitate n = 0,024, parametrul adimensional

00

0 1221221222 w

w

L

H

w

w

V

w

V

w

D

wH⋅=⋅== (18.137)

Soluţia Dobbins în interpretarea lui Camp permite dimensionarea aproximativă a bazinelor decantoare.

0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 10 20 40 60 1000

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0

1,51,21,11,00,90,80,70,60,5

0,4

0,3

0,2

0,1

=wwo

wH2D

r

Fig. 18.27. Diagrama Camp pentru dimensionarea decantoarelor


18.4. HIDRAULICA MIŞCĂRII GHEŢURILOR

În condiţii de iarnă, la temperaturi sub 0oC, de durată, în albii deschise (artificiale, naturale) apare gheaţa, starea solidă a apei, care se mişcă împreună cu starea lichidă (zai, sloi, gheaţă plutitoare) sau creeazăcondiţii speciale de mişcare în prezenţa podului de gheaţă. Mişcarea gheţii este asemănătoare mişcării aluviunilor, zaiul poate fi comparat cu aluviunile în suspensie, iar sloiurile şi gheaţa plutitoare cu aluviunile de fund, cu specificaţia că densitatea gheţii este inferioară densităţii apei lichide care schimbă direcţia de mişcare pe verticală. Diferenţa fundamentală între aluviuni şi gheaţă este provenienţa lor. În condiţii de iarnă albia, din punct de vedere al mecanicii fluidului, este sursă (pozitivă sau negativă) de gheaţă. Formarea, dispariţia gheţii, problemele sale termodinamice sunt tratate de alte discipline (hidrologie, termodinamică). Se prezintă pe scurt din punct de vedere hidraulic, mişcarea zaiului, sloiurilor şi gheţii plutitoare, precum şi curgerea în prezenţa podului de gheaţă.

18.4.1. Mişcarea zaiului

Zaiul poate fi privit ca material solid în suspensie, cu densitate mai mică decât a apei, asupra sa acţionând rezultanta propriei greutății şi a forţei arhimedice, cu orientare în sus. Presupunând că zaiul este format din particule individuale de gheaţă (fără legături de coeziune sau adeziune), mişcarea sa în curentul lichid este asemănătoare cu mişcarea aluviunilor în suspensie şi i se poate aplica teoria sedimentării cu constatarea că tendinţa aglomerării particulelor este spre suprafaţa liberă.

10. Mişcarea liberă a zaiului Faza solidă (zai) fiind mai uşoară decât apa, mişcarea ei este

ascendentă. Conform teoriei suspensiilor Cartens-Vanoni, transportul de particule de gheaţă pe unitatea de suprafaţă la distanţa y de fund, la concentraţia C, sub acţiunea vitezei de ridicare wg este contrabalansată spre direcţia gradientului de concentraţie negativ de către difuzia turbulentă. Coeficientul de difuzie turbulent al particulelor de gheaţă (prin analogie) poate fi considerat egal cu coeficientul de difuzie turbionar, Dg ≈Dy.


Notând , pentru mişcări plane, wg=- w şi yj=h –y (fig. 18.11) se obţine ecuaţia diferenţială caracteristică

j

gj dy

dCDwC −=⋅ (18.138)

care are soluţia (cunoscând pe Dg)

∗⋅⋅

−

−=

V

w

j

j

a

j

y

a

ah

yh

C

C χ)( (18.139)

în care a este o distanţă de fund unde se cunoaşte concentraţia de zai Ca,

iar χ -constanta lui Karman.

20. Mişcarea zaiului sub podul de gheaţă Pariset şi Hausser au studiat mişcarea zaiului sub podul de gheaţă. Ipotezele lor simplificatoare sunt: - curgerea sub podul de gheaţă este permanentă, efectul malurilor este neglijabil; - la intrarea sub podul de gheaţă particulele de gheaţă ale zaiului au aceeaşi viteză de ridicare w şi sunt uniform distribuite pe secţiune; - particula ridicată până la podul de gheaţă se lipeşte de acesta şi nu se mai mişcă; - curgerile datorită diferenţei de densitate sunt neglijabile; - efectul albiei asupra turbulenţei este inferior efectului podului de gheaţă. Au dedus separarea (lipirea) particulelor de zai de podul de gheaţăîn funcţie de doi parametri adimensionali: numărul Rouse- Ro şi distanţa adimensională X

v

w

g

CRo ⋅=

4,0şi X=

v

w

h

x⋅ (18.140)

unde : C este coeficientul lui Chézy. Raportul cantităţii de particule faţă de cea de la intrare în medie

C (X, Ro) este prezentat în figura 18.28. Dreapta limită din stânga graficului corespunde teoriei separării în mişcare laminară (pentru X=1 toate particulele de zai se lipesc de podul de gheaţă). Dificultăţile practice de aplicare a graficului se datoresc necunoaşterii mărimii hidraulice a particulelor de zai w. Experimental se poate determina această mărime, cunoscând la intrare debitul de zai şi variaţia longitudinală a concentraţiei medii de zai.


0 1 2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

123

0,50,2

0,1 0,01

0,4 g V

c=0R

w

X= x wh v

C (

X,

R ) 0

Fig. 18.28. Mişcarea zaiului sub podul de gheaţăGraficul C (X, Ro)

18.4.2. Mişcarea (plutirea) sloiurilor

Pentru plutirea gheţii la suprafaţa apei Schoklitsch a introdus relaţia G = m vs ·B (18.141) în care: G este debitul de gheaţă plutitoare în m2/s, m- intensitatea transportului de gheaţă plutitoare; vs - viteza de suprafaţă, iar B - lățimea oglinzii apei. În cunoaşterea vitezei medii v se introduce corecţia αg = vs/v, obţinând intensitatea transportului de gheaţă plutitoare

Q

hGm

g

⋅⋅=

α

1 (18.142)

h fiind adâncimea medie, iar Q-debitul lichid. Intensitatea transportului depinde direct de debitul de gheaţă şi adâncimea medie şi invers proporţional cu debitul lichid, deci este o funcţie de mărimi hidrologice şi morfologice. Înlocuind R ~ A/B ~h se obţine

IhCB

Gm

⋅⋅= (18.143)

Adâncimea apei, debitul lichid şi particularităţile locale ale albiei sunt în strânsă interdependenţă.


Pentru analiza influenţei albiei la transportul sloiurilor se scrie ecuaţia de continuitate (pentru transport de gheaţă) între doua secţiuni, cu indicele 1 pentru secţiunea amonte şi x în aval: m1 vs1 B1=mx vsx Bx (18.144)

După înlocuiri se obţine

m1α1 1

1

h

Q= mx αx

x

x

h

Q, (18.145)

sau presupunând α1 = αx

x

xx h

Qm

h

Qm ⋅=⋅

1

11

(18.146)

Identitatea acoperirii cu gheaţă plutitoare în cele două secţiuni presupune:

x

x

h

Q

h

Q=

1

1 (18.147)

La mişcare permanenta Q1 =Qx, rezultă:

1

1 h

hmm x

x = . (18.148)

Blocarea gheţii (formarea podului de gheaţă) în acţiunea x presupune mx = 1, întrucât intensitatea de transport este totală, însă în secţiunea 1,

xhhm /11 = (18.149) Relaţia (18.149) arată că în secţiunea x se formează pod de gheaţă

dacă intensitatea transportului în secţiunea amonte este raportul adâncimilor în cele două secţiuni. Astfel se poate aproxima acoperirea cu gheaţă din secţiunea amonte care produce blocaj (pod de gheaţă) în aval şi care este raportul adâncimilor medii în cele două secţiuni.

18.4.3. Condiţiile formării şi menţinerii podului de gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.

Formarea zaiului şi sloiurilor este stopată de podul de gheaţă. Serviciul hidrologic al râului St. Lawrence din Canada a stabilit următoarele reguli pentru formaţiunile de gheaţă:

- pod de gheaţă neted la viteza medii mai mici de 0,4 m/s, fărăvaluri produse de vânt;

- podul de gheaţă se dezvoltă spre amonte dacă viteza medie este sub 0,7 m/s şi nu intră sloiurile sub podul de gheaţă;


- la pod de gheaţă dezvoltat viteza medie poate creşte până la 0,8 m/s fără să afecteze integritatea podului de gheaţă;

- la viteze medii de 0,8...1,0 m/s chiar dacă se formează podul de gheaţă, în funcţie de condiţii climatice se poate aştepta la ruperea acestuia;

- la viteze medii de peste 1,0 m/s , în general, nu se formează pod de gheaţă.

Valorile menţionate sunt inferioare observaţiilor de pe Dunăre. Pe baza experienţelor de laborator şi observaţiilor de teren Pariset

şi Hausser au pus bazele formării podului de gheaţă ţinând seama de următoarele ipoteze: - grosimea podului de gheaţă în albii relativ înguste se poate determina dacă în capătul său amonte gheaţa plutitoare nu poate intra sub pod; - la albii largi grosimea gheţii este determinată de presiunea gheţii; - dezvoltarea spre amonte a podului de gheaţă depinde de grosimea podului de gheaţă şi diferenţa dintre cantitatea de gheaţă plutitoare sositădin amonte şi intrată sub podul de gheaţă; - dezvoltarea spre amonte a podului stagnează dacă gheaţa plutitoare sosită este transportată sau dacă viteza apei este prea mare şi gheaţa plutitoare intră sub podul de gheaţă sau dacă sub presiune podul se rupe. În aceste ultime două cazuri se pot forma zăpoare (baraje de gheaţă).

Condiţiile formării podului de gheaţă au fost sistematizate în tabelul 18.1 pentru albii largi şi înguste, conform notaţiilor din (fig. 18.29).

h

h

h

hh

V Vu1

2

g g2

g1

1 2

ρ

ρg

Fig.18.29 Formarea podului de gheaţă

Condiţiile formării podului de gheaţă Tabelul 18.1

Pod de gheaţă mobil Pod de gheaţă stabil

Albie largăα > 0

YhCB

Q

BChQ

>⋅⋅

⋅⋅⋅>

41

2

2

21053,0

YhCB

Q

BChQ

<⋅⋅

⋅⋅⋅<

41

2

2

21053,0

Albie îngustăα < 0

ygh

v

h

h

gh

v

g

>

>

>

1

1

1

2

33,0

109,02

gcrg qq < gcrg qq >

antrenat prin plutire se depune

ygh

v

h

h

gh

v

g

<

<

<

1

1

1

2

33,0

109,02

Factorul α= vs / v depinde de lăţimea albiei, de unghiul de frecare al gheţii, de componenta greutăţii pe direcţia curgerii, de tensiunea tangenţială, de forţele dezvoltate la contactul cu malurile şi de presiunea hidrodinamică din amonte. În relaţiile din tabelul 18.1 parametrii determinanţi sunt: debitul lichid Q , viteza apei v, adâncimea amonte de podul de gheaţă h1, coeficientul lui Chézy C, grosimea gheţii hg şi debitul specific de gheaţă qg.

Mărimile Y, y depind de densitatea relativă a gheţii, raportul grosimii gheţii şi adâncimii curentului, respectiv de rugozitatea gheţii.

Situaţia podului de gheaţă stabil şi instabil este zonat în fig. 18.30, suprafaţa de sub „clopot” corespunzând podului de gheaţă stabil.


0 0,5 1,00

1 10

2 10

3 10

instabil

stabil

.

.

.

AA'

A''A'''

B''B'''

B'

C

C'

C''

D

D'

D''

-3

-3

-3

g 1

QC

B h2

2

2

1.

.

inst

abil

h /h

h=0,33

Fig. 18.30 Zonarea formei podului de gheaţă in funcţie de grosimea relativă a gheţii si debitul de apă relativă

Analiza graficului evidenţiază: a. Indiferent de grosimea relativă a podului de gheaţă, acesta poate

fi stabil numai în condiţiile:

crhCB

Q

hC

VBΩ=

⋅=

⋅

⋅⋅ 4

12

2

21

2

2

(18.150)

Ωcr fiind un complex adimensional (pentru ρg = 0,98 t/m3 şi μ = 1,28*10-3

Nsm-2, Ωcr = 2,8*10-3 ). Astfel, se poate determina debitul maxim până la care podul de gheaţă este stabil:

BChQ cr ⋅⋅Ω≤ 21 (18.151)

Dacă condiţia (18.151) nu este satisfăcută, grosimea bucăţilor de gheaţă individuală creşte, se unesc mai multe sloiuri şi până nu apare blocaj din aval nu se formează pod de gheaţă stabil. Aceasta arată că albia îngustăşi adâncă este favorabilă transportului de gheaţă (uneori este chiar recomandabilă divizarea albiei prin construcţii de dirijare longitudinală).

b. În grafic se poate urmări dezvoltarea podului de gheaţă în condiţiile mişcării permanente. Grosimea gheţii în capătul său amonte totdeauna este inferioară unei treimi din adâncimea apei. Punctele caracteristice podului de gheaţă stabil în capătul amonte sunt situate totdeauna în stânga hg/h1 < 0,33. Punctele din capătul amonte se pot situa în stânga (pct A) sau dreapta (B') curbei de echilibru. În cazul punctului B' albia este îngustă şi grosimea gheţii suportă forţele care o acţionează, dar grosimea poate fi influenţată şi de transportul de gheaţă de sub pod. În cazulA albia este largă şi grosimea gheţii insuficientă pentru preluarea forţelor în dezvoltarea sa şi podul se îngroaşă punctul deplasându-se în A'. Dacăgheaţa din amonte intra sub podul de gheaţă şi se lipeşte de pod punctul B' se poate deplasa până în B” şi chiar până în B”’. Prin mişcarea podului însă, sau schimbarea adâncimii, poate reveni în zona stabilă (ex. crescând h1).

c. La debit variabil sunt posibile două situaţii în funcţie de modificarea adâncimii cu debitul, reprezentate prin mişcarea punctelor caracteristice C şi D.

Pentru albii înguste, un exemplu de relaţie caracteristică corespunde (fig. 18.31).

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,15

0,10

0,05

0

v2gh1

=f(hg/h1)0,109

g 1/hh

v/ 2g

h 1

Fig. 18.31 Corelaţia vitezei relative şi grosimii relative a gheţii.

Din corelaţia din figură se observă că unei viteze mai mari în amonte îi corespunde o muchie amonte mai groasă a podului de gheaţă, respectiv adâncimii mai mari din amonte îi corespunde o muchie amonte mai subţire.

Limita superioară a curbei corespunde pentru hg / h1 = 0,33 şi

v/ .109,02 1 =⋅ hg Peste aceste valori forţele suplimentare rezultate din curgere sub podul de gheaţă în albie îngustă nu mai pot fi echilibrate de forţele arhimedice suplimentare prin creşterea grosimii gheţii şi podul de


gheaţă se prăbuşeşte. Aceasta este una din posibilităţile apariţiei zăporului (barajului de gheaţă). Dacă remuul creat creşte adâncimea h1 şi micşoreazăviteza amonte v podul de gheaţă se poate dezvolta din nou.

În cazul când viteza la intrare sub podul de gheaţă este destul de mare, sloiurile intră sub podul de gheaţă şi în mişcarea lor se comportă ca aluviunile târâte însă în contact cu tavanul de gheaţă al podului.

Capacitatea de transport de gheaţă al curentului de sub pod se descrie, prin analogie, cu relaţiile caracteristice aluviunilor târâte (Meyer- Peter, Einstein).

În cazul transportului de gheaţă 1-ρg/ρ = 0,08, astfel

2

2

08,008,0~08,0v

dC

IR

dd=

⋅⋅=

γτψ (18.152)

în care d este diametrul echivalent al gheţii antrenate sub podul de gheaţă; C – coeficientul lui Chézy si v – viteza medie a fazei lichide.

Capacitatea transportului de gheaţă rezultă din ecuaţia Qgcr=0,81 Φ d3/2 (18.153)

Funcţiile Ψ şi Φ sunt funcţiile lui Einstein, definite la 18.3.4. Când debitul de gheaţă din amonte qg >qgcr are loc oprirea gheţii

mobile sub podul de gheaţă care este o a doua posibilitate de apariţie a zăpoarelor.

18.4.4. Curgerea apei sub podul de gheaţă

Datorită schimbării condiţiei de curgere cu nivel liber în curgere sub presiune se reduce capacitatea de transport a secţiunii. În consecinţăapariţia podului de gheaţă produce creşterea nivelului în secţiunea amonte, respectiv o curbă de supraînălţare.

Distribuţia vitezei sub podul de gheaţă este influenţată de rugozitatea tavanului de gheaţă. Distribuţia vitezei sub podul de gheaţă are efect asupra stabilităţii acestuia şi asupra schimbului de căldură prin gheaţăcare au efect revers şi asupra coeficientului de frecare.

Neglijând efectul malurilor – curgerea are frontieră superioară şi inferioară. Rugozitatea celor două suprafeţe diferind, viteza maximă se obţine mai aproape de suprafaţa mai netedă (fig. 18.32.a).

H

h

h

τ

τ

a

v

v

n

n

v

v

2

1

max

1

2

2

1

2

1

v

v

v

h

hH

2

max

1

2

1

n

n

00

0 1 2 3 4 5 6

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

α

η =

= 1nn2

1hH1

b

Fig. 18.32. a) Distribuţia vitezei şi efortului unitar tangenţial b) Funcţia η (α)

Viteza maximă unică definită din distribuţiile vitezei pe cele douăsuprafeţe defineşte poziţia vitezei maxime. Notând raportul coeficienţilor de rugozitate α = n1 / n2, rezultă: 5,0lg6,0/11 +== αη Hh (18.154) care se poate determină şi din graficul din fig. 18.32.b. Rugozitatea suprafeţei podului de gheaţă în funcţie de depunere de zai sau fără, cu dezvoltare în timp după Pavlovski, are valorile din (tab. 18.2).

Coeficientul de rugozitate al podului de gheaţă Tabelul 18.2

Vârsta podului de gheaţă (zile)

Valoarea lui nCu depunere de zai Fără depunere de zai

< 10 10...20 20...60 60...80 80...100

0,150 0,100 0,050 0,040 0,030

0,050 0,040 0,030 0,025 0,015

Larsen, pentru condiţiile Suediei, în condiţiile de depunere de zai recomandă n2 = 0,026. Pariset şi Hausser, pentru condiţiile Canadei, la formarea podului de gheaţă recomandă 0,033 < n2 < 0,040, iar mai târziu 0,022 < n2 < 0,0286. Valorile menţionate corespund anumitor lăţimi ale podului. Coeficientul de rugozitate mediu pentru toată secţiunea albiei este:

( )75,1

275,1

1

1

67,1 ηαη ⋅+=

nnm (18.155)

în care : HhHh / şi / 2211 == ηη . Notând cu Q debitul albiei fără pod de gheaţă la adâncimea H şi Q’ debitul în prezenţa podului de gheaţă de grosime hg pentru aceeaşi sarcină H, după introducerea H – hg = β·H, debitul relativ este:

ββ ⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=′

1

3/2

1

63,02

1

n

n

n

n

Q

Q mm (18.156)

Pierderea relativă de sarcină la transportul debitului Q fără şi cu prezenţa podului de gheaţă este:

2

1

3/42

2

1

4,02

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Δ

′Δ

n

n

n

n

H

H mm ββ (18.157)

Măsurătorile experimentale indică reducerea capacităţii de transport cu 20...30 %.

18.5. APLICAŢII

10. Un tronson de râu cu maluri abrupte este caracterizat de lăţimea B = 20 m, panta I = 0,75 %, coeficientul de rugozitate n = 0,023. Să se determine condiţiile de transport ale aluviunilor târâte cu diametrele caracteristice d = 5; 10; 20; 30 şi 40 mm când densitatea aluviunilor este ρs = 2650 kg/m3 la temperatura T = 20 oC.

Rezolvare: Se calculează: - netezimea relativă h / d; - complexul adimensional B o=1,7 (h/d)1,7 cu relaţia (18.58);

- viteza critică la antrenare ( )1/0 −= ρρ scr ghBv din (18.57);

- debitul corespunzător acestei viteze Qcr = B·h·Vcr;


- viteza de frecare ghIV =∗ ;

- 3/13/2 −⋅ g

d

υ împreună cu

- 2∗

=v

gdb stabileşte tipul formaţiunii de fund cu

3/13/2 −⋅ d

d

ν

(fig. 18.5);

- 1/ −ρρ s

I stabileşte tipul formaţiunilor de fund împreună cu

h / d (fig. 18.6); Calculele se efectuează prin iteraţii, variabila fiind adâncimea.

Rezultatele sunt prezentate în (tab 18.3).

Tabelul 18.3 d Elementul de calcul

0,005 0,01 0,02 0,03 0,04

h (m) 0,50 0,82 1,33 1,78 2,19 h / d 100 82 66,5 59,33 57,75 B0 0,263 0,285 0,311 0,325 0,336

Vc (m/s) 0,749 1,040 1,441 1,746 2,000 Qc (m

3/s) 7,49 17,05 38,33 62,16 87,63 V* (m/s) 0,0610 0,0774 0,0990 0,1143 0,1265

d/(ν2/3·g-1/3) 106,3 212,7 425,4 638,0 850,7 b=gd / V*

2 13,18 16,38 20,02 22,53 24,52 Pct Dune→

Tranziţie Tranziţie Tranziţie Tranziţie→

antidune Tranziţie→

antidune S-a considerat ν = 1,01·10-6 m2/s.

Un calcul asemănător poate stabili refacerea unei balastiere (granulaţia maximă) în timpul unei viituri.

20. Să se determine viteza minimă (critică), viteza fazelor şi pierderea de energie la Vh = 1,5 Vcr pe o conductă de transport hidraulic la exploatarea nisipului cu diametrul caracteristic dc = 0,60 mm, ρs = 2,60 t/m3, conducta având diametrul D = 200 mm şi lungimea L = 650 m, dacă concentraţia masică este Cm = 364 kg/m3.


Rezolvare: - mărimea hidraulică după Budryck (18.99) este:

( ) ( ) mm/s 29,9116,02,15716,015,11

12,157115,11 33 =−⋅+=−⋅+= d

dw

c

- concentraţia de volum (18.39)

14,02600

364===

s

mCC

ρ

- viteza critică de transport, pentru alunecare A = 1, din relaţia (18.96)

m/s 02,20006,0

2,009129,0336,2336,2

5,05,0

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=d

DwVcr

- viteza hidroamestecului m/s 03,302,25,15,1 =⋅=⋅= crh VV

- numărul Froude pentru hidroamestec

679,42,081,9

03,3 22

=⋅

=⋅

=Dg

VFr h

a

- numărul Froude al materialului solid

416,1006,081,9

09129,0 22

=⋅

=⋅

=dg

wFrs

- alunecarea A – după relaţia (18.90) ( ) ( ) 174,04975,04975,0

25,05,025,05,0 416,1679,425,0529,0 =⋅=⋅=−− ⋅⋅−⋅⋅− ee ss FrFrA

- viteza fazei lichide (apei) şi solide (18.115)

m/s 106,303,314,0174,01

11

1=⋅

⋅−=

⋅−= ha V

CV

A

m/s 566,203,314,0174,01

174,011

1=⋅

⋅−

−=

⋅−

−= hs V

CV

AA

- diferenţa de vitezăm/s 54,0566,2106,3 =−=−=Δ sa VVV

- coeficientul Darcy – Weisbach (după Şevelev) 034,02,0021,0021,0 3,03,0 =⋅=⋅= −−Daλ

- panta hidraulică pentru apă curată

07955,081,92

03,32,0

034,02

22

=⋅

⋅=⋅=g

V

DI h

a

λ


- panta hidraulică la transportul amestecului (18.117) ( ) ( ) 08772,014,07338,0107955,01 =⋅+=⋅+= CII Bah ψ

cu

7338,0679,4

416,1

2,0

0006,0

174,01

11000

2600

034,0

2

1

1/25,1

5,0

5,1

5,0

=⋅−

−⋅=⋅

−

−⋅=

a

ssB

Fr

Fr

D

d

A

ρρ

λψ

- pierderea de sarcinămCA 02,5765008772,0 =⋅=⋅= LIh hr

30. Pentru determinarea colmatării pe o conductă din azbociment cu D = 200 mm, rugozitate k = 0,2 mm şi care transportă debitul Q = 50 l/s, pe distanţa L = 72 m s-a măsurat pierderea de presiune hr = 5,267 mCA. În urma depunerilor s-a mărit şi rugozitatea la kc = 0,8 mm. Să se stabilească gradul şi stratul colmatării echivalente prin sedimentare dacă pentru conductele mari este valabilă relaţia Lamont T3.

Rezolvare: - coeficientul λ după Lamont T3 este

( ) ( ) 0206,0200

2,03152482149,0/Re2149,0

129,0115,0129,0115,0 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=⋅⋅=−− Dkλ

- numărul Reynolds

3152481001,1

2,0592,1Re

6=

⋅

⋅=

⋅=

−ν

DV

- viteza medie pe conducta curată

m/s 592,12,005,044

22=

⋅

⋅=

⋅==

ππ D

Q

A

QV

- coeficientul vâscozităţii cinematice pentru temperatura T = 200 C /sm 1001,1 26−⋅=ν

- panta hidraulică pe conducta curată

0133,081,92

592,1

2,0

0206,0

2

22

=⋅

⋅=⋅=g

v

DI a

λ

- panta hidraulică pe conducta colmatată

07305,072

267,5===

L

hI r

c


Conform graficului din fig. 18.24 pentru 493,50133,0/07305,0/ ==ac II şi 42,0/8,0/ ==kkc

îi corespunde gradul de colmatare

43,0==D

hα

respectiv stratul colmatării m 086,02,043,0 =⋅=⋅= Dh α .

40. Să se determine lungimea unui deznisipator pentru reţinerea particulelor cu d = 0,2 mm, în proporţie de r1 = 1,0 când viteza medie în disipator este V = 0,1 m/s, adâncimea utilă H = 2,0 m, temperatura T = 20 0C şi densitatea nisipului ρs = 2,6 t/m3.

Rezolvare: Mărimea hidraulică a particulelor având diametrul d > 0,05 mm, se determină pe baza ecuaţiei (18.17) şi (fig. 18.3) din care rezultă coeficientul de rezistenţă la înaintare CR

( ) ( )sRsR

fCdC

gw Re şi 1/

34

=⋅−⋅= ρρ

Mărimea hidraulică se calculează prin iteraţii succesive

- pentru m/s02445,00002,0110002600

781,9

34

7 =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅=⇒= wCR

la care numărul Res pentru ν = 1,01·10-6 m2/s este:

84,41001,1

0002,002445,0Re

6=

⋅

⋅=

⋅=

−ν

dws

• pentru Res = 4,84 rezultă CR = 8,5; w = 0,0222 m/s şi Res = 4,4 • pentru Res = 4,4 rezultă CR = 9,0; w = 0,0216 m/s şi Res = 4,28 • pentru Res = 4,28 rezultă CR ~ 9,0 şi w = 0,0216 m/s

- conform ecuaţiei (18.137)

352,2610,0

0216,0122122

2===

⋅

V

w

D

Hw.


- din graficul Camp din (fig. 18.27):

• pentru r1 = 1,0 şi 352,262

=⋅

D

Hw, se obţine 5,1

0

=w

w , respectiv

w0 = 0,0144 m/s.

Conform (fig. 18.26) rezultă L = H / w0 = 2,0 / 0,0144 ≈ 139 m. Prin neglijarea difuziei turbulente:

w = w0 = 0,0216 m/s şi L = 2,0 / 0,0216 = 92,6 m.


CAPITOLUL 19

MIŞCĂRI POTENŢIALE

19.1. NOŢIUNI GENERALE. DEFINIŢII

În studiul mişcării mediilor continue (vol. I) s-a definit că mişcarea poate fi descompusă în mişcare de translaţie, de rotaţie şi mişcare de deformaţie - care la rândul ei poate fi liniară, unghiulară şi de rotaţie.

La transformarea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare a lichidelor perfecte (ec. Euler ) sub forma Helmoltz – Gromeka – Lamb

( ) 022

2

=+⋅+⋅+⋅∂

∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

wvu

dzdydx

dzwdyvdxut

vpUd zyx ωωω

ρ (19.1)

s-a stabilit că mişcările nerotaţionale, deci 0=== zyx ωωω , se numesc

mişcări potenţionale, deci viteza de rotaţie:

0x y z

i j k

dV dr

dx dy dz

ω ω ω ω= = =

(19.2)

unde zyx ωωω , , sunt componentele vitezei de rotaţie după cele trei axe,

wvu ,, vitezele de translaţie, kji , , versorii axelor de coordonate, dzdydx , ,componentele razei vectoare dr . Cum 0≠dr trebuie ca 0ω = . Vârtejul se poate exprima sub forma :

021

21

=∂

∂

∂

∂

∂

∂=⋅=

wvuzyx

kji

Vrotω (19.3)

sau:


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂−

∂

∂=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂=

021

021

021

y

u

x

vx

w

z

uz

v

y

w

z

y

x

ω

ω

ω

(19.4)

Sistemul (19.4) reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca

vectorul viteză v să derive dintr-o funcţie potenţial ϕ , astfel:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

zw

yv

xu

ϕ

ϕ

ϕ

(19.5)

sau:

z

ky

jx

igradV∂

∂+

∂

∂+

∂

∂==

ϕϕϕϕ (19.6)

Funcţia scalară ),,( zyxϕ este potenţialul de viteze şi genereazămişcarea irotaţională. Pentru diverse valori constante ale funcţiei potenţial: czyx =),,(ϕ (19.7) se obţin suprafeţele echipotenţiale, locul geometric al punctelor cu potenţial constant. Proprietăţile suprafeţelor echipotenţiale sunt :

a. Vectorul viteză este normal la suprafaţa echipotenţială în orice punct, în orice moment.

dzz

dyy

dxx

dzwdyvdxusdVdsVsdV∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅+⋅+⋅=⋅⋅=⋅

∧ ϕϕϕ),cos( (19.8)

Potenţialul ctzyx =),,(ϕ ⇒ 0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyx

ϕϕϕ, deci produsul

0),cos( =⋅⋅∧

sdVdsV (19.9)


Cum 0≠V , 0≠ds rezultă 0),cos( =∧

sdv , deci unghiul format de V

şi sd este unghi drept.

b. Suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează. Pe linia de intersecţie a celor două suprafeţe echipotenţiale, în fiecare punct, viteza ar trebui să aibă două direcţii diferite, corespunzătoare normalelor la cele două suprafeţe, ceea ce nu este posibil din punct de vedere fizic. În cazul limită cele două suprafeţe echipotenţiale pot fi tangente, respectându-se în acest caz proprietatea a), caz întâlnit doar în punctele singulare ale domeniului (puncte extreme). Circulaţia vitezei, în lungul unei curbe, definită prin integrala:

∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅=Γ )( dzwdyvdxusdV (19.10)

pe o curbă închisă este nulă.

Fig. 19.1. Circulaţia vitezei pentru mişcări potenţiale

Înlocuind componentele vitezelor funcţie de potenţialul ϕ se obţine:

0=−===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Γ ∫∫ AA

A

Acc

c ddzz

dyy

dxx

ϕϕϕϕϕϕϕ

(19.11)

Pentru un arc de curbă circulaţia vitezei este:

AB

B

A

AB d ϕϕϕ −==Γ ∫ (19.12)

Circulaţia vitezei în lungul unui arc de curbă pentru mişcări potenţiale nu depinde de forma curbei, ci doar de valoarea potenţialului vitezelor ϕ în punctele extreme ale curbei. Ecuaţia de continuitate, scrisă pentru lichide incompresibile sub forma

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

y

v

x

u, (19.13)

prin înlocuirea componentelor vitezei, devine:

x

y

z

A

B

Mds

VtV

C


02

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyx

ϕϕϕ (19.14)

Ecuaţia (19.14) reprezintă ecuaţia lui Laplace, deci funcţia ϕ

satisfăcând această ecuaţie, este o funcţie armonică. Mişcările potenţiale au o largă aplicabilitate în tehnică, acest tip de mişcare fiind valabil la curgerea lichidelor în regim laminar, în acest domeniu incluzându-se şi mişcările apei subterane. În unele cazuri se folosesc mişcările potenţiale pentru rezolvarea unor probleme de mişcare chiar în regimul turbulent de curgere, prin măsurători experimentale aducându-se corecţiile necesare rezultatelor teoretice.

19.2. MIŞCĂRI POTENŢIALE PLANE

Se numesc mişcări plane acele mişcări la care deplasările sunt importante după două direcţii, deci după a treia direcţie elementele mişcării sunt nule. Deci câmpul de viteze este paralel cu un plan fix (luat ca referinţăx0y) şi nu depinde de distanţa la plan (de cota z). Viteza ( ) ( )( )yxtvuxtV ,,0,,, = . Pentru ca un fluid să aibă o astfel de mişcare, este necesar şi suficient ca factorii care determină mişcarea să fie aceiaşi în orice plan paralel cu planul fix. Astfel, mişcarea potenţială plană poate fi studiată ca mişcarea unui strat foarte subţire de lichid situat pe un plan. Proprietăţile acestor mişcări potenţiale plane derivă din proprietăţile mişcărilor potenţiale în spaţiu, prezentate anterior. Componentele vitezei sunt :

x

u∂

∂=

ϕ şi

yv

∂

∂=

ϕ (19.15)

unde 22 vuV += sau ϕgradV = . Ecuaţia de continuitate scrisă mişcării potenţiale plane devine:

0=∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u sau 0

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

yx

ϕϕ (19.16)

Condiţia de irotaţionalitate este:

02

1=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂=

y

u

x

vzω (19.17)


Circulaţia vitezei este:

( ) ϕϕϕϕ

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂=⋅+⋅=Γ ∫∫∫ ddy

ydx

xdyvdxu (19.18)

Pentru mişcarea potenţială plană, permanentă, liniile echipotenţiale îşi păstrează poziţia în timp. Liniile de curent coincid cu traiectoria. Din definiţia liniei de curent rezultă :

v

dy

u

dx= sau 0=⋅−⋅ dxvdyu (19.19)

Din ecuaţia de continuitate rezultă:

y

v

x

u

∂

−∂=

∂

∂ )( (19.20)

Pentru integrarea ecuaţiei (19.19) este suficientă condiţia (19.20) care arată că există o funcţie Ψ care satisface relaţia : dxvdyud ⋅−⋅=Ψ (19.21) sau

dxx

dyy

d∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂=Ψ (19.22)

deci:

y

u∂

Ψ∂= şi

xv

∂

Ψ∂−= (19.23)

Funcţia ),( yxΨ se numeşte funcţia curent şi are proprietăţile: a. este constantă în lungul unei linii de curent (v. ec. 19.19); b. verifică ecuaţia de continuitate

022

=∂∂

Ψ∂−

∂∂

Ψ∂=

∂

∂+

∂

∂

yxyxy

v

x

u; (19.24)

c. verifică condiţia de irotaţionalitate

02

2

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Ψ∂

∂

∂−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

Ψ∂−

∂

∂

yxyyxx; (19.25)

d. funcţiile de curent şi potenţial verificând ecuaţia lui Laplace sunt funcţii armonice conjugate. Legătura între ele se exprimă prin condiţia Cauchy – Riemann

yx ∂

Ψ∂=

∂

∂ϕ şi

xy ∂

Ψ∂−=

∂

∂ϕ; (19.26)


e. cele două familii de curbe cyx =Ψ ),( şi cyx =),(ϕ sunt ortogonale.

Fig. 19.2. Reprezentarea mişcării potenţiale plane permanente

Din definiţia liniilor de curent se cunoaşte că vitezele sunt tangente la acestea în fiecare punct (componenta normală a vitezei este nulă). Debitul dintre două linii de curent se calculează considerând două linii de curent infinit apropiate 1Ψ şi 2Ψ . Două puncte a şi b de pe cele două linii de curent au coordonatele ),( yxa şi ),( dyydxxb +− (fig. 19.3).

Fig. 19.3. Calculul debitului dintre două linii de curent

cbvacudq ⋅+⋅=

Ψ=∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂=⋅−⋅= ddx

xdy

ydxvdyudq

Rezultă

12

2

1

Ψ−Ψ=Ψ= ∫Ψ

Ψ

dq (19.27)

Studiul şi rezolvarea problemelor la mişcările potenţiale plane se poate efectua prin metode indirecte, metode directe şi metode experimentale.

ψ

ϕ

1

1

x

y ψ2

ϕ2

3ϕ

ψ34ψ


19.2.1. Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul funcţiilor analitice de variabilă complexă

Cu ajutorul funcţiilor de variabilă complexă se pot trata problemele de mişcări potenţiale plane în două moduri: indirect sau direct. În cazul tratării indirecte se dă un potenţial complex şi se cere să se studieze mişcarea potenţială plană care îi corespunde.

Funcţiile de bază care exprimă proprietăţile curgerii potenţiale plane – ),( yxϕ şi ),( yxΨ – sunt legate între ele prin ecuaţiile care exprimă în teoria

funcţiilor de variabilă complexă condiţiile Cauchy – Riemann. Asociaţia complexă formată din cele două funcţii de două variabile reale ),(i),( yxyx Ψ⋅+ϕ , este o funcţie de variabilă complexă Ψ⋅+= izw ϕ)( (19.28)

cu variabila θθθ ierryxz ⋅=⋅+=⋅+= )sini(cosi . Pentru orice mişcare potenţială se poate găsi o funcţie de variabilăcomplexă )(zw , a cărei parte reală este potenţialul vitezelor, iar partea imaginară este funcţia curent. Cunoaşterea acestei funcţii complexe, dupăsepararea părţii reale şi imaginare, permite stabilirea elementelor hidraulice caracteristice. Viteza complexă se obţine prin derivarea potenţialului complex

Ψ⋅+= i)( ϕzw în raport cu variabila complexă yxz ⋅+= i :

xxdx

dw

∂

∂⋅+

∂

∂=

ψϕi , iar

yx ∂

∂−=

∂

Ψ∂ ϕ

deci

vuyxdx

dw⋅−=

∂

∂⋅−

∂

∂= ii

ϕϕ

Modulul vitezei complexe este viteza V , determinată prin compunere ca în (fig. 19.4):

Vvudx

dw=+= 22

Fig. 19.4. Compunerea vitezelor la mişcările potenţiale plane

α

V

x

y

v

u1

i


În cazul tratării directe se dau domeniul în care are loc mişcarea potenţială plană şi condiţiile la limită pentru viteză şi se cere potenţialul complex )(zw care corespunde acestei mişcări; dacă se poate determina potenţialul complex mişcarea poate fi studiată complet, pe o cale analoagătratării indirecte. Tratarea directă a problemelor de mişcări potenţiale plane este adeseori foarte dificilă. Metodele de tratare directă sunt: 1) compunerea unor mişcări cunoscute din studiul unor probleme indirecte, rezolvarea unor probleme la limită pentru funcţiile potenţial şi de curent ),( yxϕ şi ),( yxΨ sau potenţialul complex )(zw ; 2) metoda transformărilor conforme ale domeniilor de mişcare pe domenii studiate; 3) metoda analitică aproximativă prin diferenţe finite (metoda reţelelor); 4) metode experimentale.

19.2.2. Exemple de tratare indirectă a mişcărilor potenţiale plane

Cunoscute fiind familiile liniilor ϕ şi Ψ , mişcarea este determinată, putând fi studiată din punct de vedere cinematic prin spectrul mişcării.

10. Curent plan paralel Se consideră curentul definit prin potenţialul complex: zazw ⋅=)( (19.29)

unde 21 i aaa ⋅−= este o constantă complexă. Funcţia complexă în acest caz devine: ψϕ ⋅+=⋅−⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅−= i)(i)i)(i()( 212121 xayayaxayxaazwFuncţia potenţial este: yaxa ⋅+⋅= 21ϕ (19.30) iar funcţia curent: xaya ⋅−⋅= 21ψ (19.31) Liniile de curent şi cele echipotenţiale se obţin pentru valori constante ale lui ϕ şi Ψ , deci:

⎩⎨⎧

=⋅−⋅

=⋅+⋅

cxaya

cyaxa

21

21

curent de liniilepentru -

ialeechipotentliniilepentru - (19.31’)

Ecuaţiile reprezintă două familii de drepte ortogonale (fig. 19.5) având înclinările:

2

1

a

atg −=α şi

1

2

a

atg =β


Componentele vitezei sunt 1ax

u =∂

∂=

ϕ şi 2ay

v =∂

∂=

ϕ, iar viteza

22

21 aaV += .

Fig. 19.5. Curent potenţial plan paralel

20. Mişcarea între laturile unui unghi drept În acest caz potenţialul complex este: 2)( zazw ⋅= (19.32)

a fiind o constantă reală. Deci

ψϕ ⋅+=⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅=⋅+⋅= ii2)i()( 222 yxayaxayxazw Funcţia potenţial este: 22 yaxa ⋅−⋅=ϕ , (19.33) iar funcţia curent: yxa ⋅⋅⋅= 2ψ (19.34) Liniile de curent şi cele echipotenţiale formează două familii de hiperbole echilaterale având drept asimptote axele de coordonate şi bisectoarele (fig. 19.6).

Fig. 19.6. Curent potenţial plan în interiorul unui unghi drept

α

β

x

y

ψ

ϕ6

87ψ

6ψ

5ψ

4ψ

3ψ

ψ21ψ

5ϕ

4ϕ

ϕ3

ϕ2

ϕ1

x

y

ψ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ψ

ϕ

ϕ


30. Curent potenţial în interiorul laturilor unui unghi α Potenţialul complex care generează mişcarea este:

( )a

w z zπ

αα

π

⋅= ⋅ (19.35)

Aplicând relaţia lui Moivre se obţine :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅+⋅⋅⋅

= θα

πθ

α

π

π

α α

π

sinicos)( ra

zw (19.36)

Funcţia potenţial este:

cra

=⋅⋅⋅

= θα

π

π

αϕ α

π

cos (19.37)

respectiv funcţia curent:

cra

=⋅⋅⋅

= θα

π

π

αψ α

π

sin (19.38)

Pentru diverse valori ale lui α se obţin: a. 0=α – curent plan paralel;

b.2

πα = ( ) ( ) cyx

ar

ar

a=−⋅=−⋅⋅=⋅⋅= 222222

2sincos

22cos

2θθθϕ

cyxarara

=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= θθθψ cossin2sin2

22

reprezintă două familii de hiperbole, curgere sub unghi drept;

c.4

πα = (fig. 19.7)

cra

=⋅⋅= θϕ 4cos4

4

cra

=⋅⋅= θψ 4sin4

4

Fig. 19.7. Curent potenţial plan

în interiorul unui unghi 4

πα =

αx

y

ϕ

ϕ

ψ


d.2

3πα = (fig. 19.8);

Fig. 19.8. Curent potenţial plan sub un unghi 2

3πα =

e. πα 2= (fig. 19.9);

Fig. 19.9. Curent potenţial plan sub un unghi πα 2=

40. Sursă punctiformă. Izvor Această mişcare este generată de potenţialul complex zczw ln)( ⋅= (19.39)

unde c este o constantă reală. Variabila

θθθ i)sini(cosi erryxz ⋅=⋅+⋅=⋅+= (19.40) determină potenţialul complex

ψϕθθ ⋅+=⋅⋅+⋅=⋅⋅= iilnln)( i crcerczw Funcţia potenţial este: constrc =⋅= lnϕ , (19.41) iar funcţia curent: constc =⋅= θψ . (19.42) În coordonate polare const=ϕ reprezintă cercuri concentrice, iar

const=ψ reprezintă drepte convergente (fig. 19.10).

ψ

ϕ

ϕ

α

r

c

rr =∂

∂=

ϕv

Debitul este:

crQ r ⋅⋅=⋅⋅⋅= ππ 2v2 ⇒ π⋅

=2

Qc .

Pentru sursa pozitivă (izvor pozitiv) 02

>⋅

=π

Qc ;

Pentru sursa negativă (izvor negativ) 02

<⋅

=π

Qc

Fig. 19.10. Sursă plană (izvor)

50. Mişcarea produsă de un vârtej rectiliniu infinit Dacă un vârtej infinit lung produce în planul normal pe el o mişcare a particulelor de fluid, mişcarea este o rotaţie potenţială. Potenţialul complex are forma:

( ) rccerczczw lnilnilni)( i ⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−=⋅⋅−= θθ (19.43) Funcţia potenţial constc =⋅= θϕ (19.44) reprezintă drepte convergente, iar funcţia curent constrc =⋅−= lnψ (19.45) reprezintă cercuri concentrice (fig. 19.11). Componentele vitezei sunt:

0v =∂

∂=

rrϕ

; vc

r rθ

ψ∂= − = −

∂ Circulaţia vitezei este :

cr N ⋅⋅−=⋅⋅⋅=Γ ππ 2v2 ⇒ π⋅

Γ−=

2c

θ x

yVr

r

c=Q/2 >0

c=Q/2 <0

ϕ ψ

π

π


În cazul rotaţiei potenţiale circulaţia Γ joacă rolul debitului, iar Nv

este viteza indusă de vârtej.

Fig. 19.11. Mişcarea potenţială plană produsă de un vârtej rectiliniu infinit

60. Spectrul mişcării produs de două surse punctiforme Mişcarea în acest caz este caracterizată prin potenţialul complex:

az

azQzw

−

+⋅

⋅= ln

2)(

π (19.46)

unde constanta reală a2 este distanţa dintre cele două surse punctiforme. Prin înlocuirea:

1i1

θeraz ⋅=+ şi 2iθeraz ⋅=−

se obţine:

( )212

1

2iln

2)( θθ

ππ−

⋅⋅+⋅

⋅=

Q

r

rQzw (19.46’)

Funcţia potenţial este:

constln2 2

1 =⋅⋅

=r

rQ

πϕ (19.47)

şi funcţia curent:

( ) const2 21 =−⋅

⋅= θθ

πψ

Q (19.48)

Liniile de curent sunt locul geometric al punctelor sub care segmentul

21OO se vede sub unghi constant, cercuri ce trec prin 1O şi 2O , centrul lor aflându-se pe axa ordonatelor. Spectrul este format din două familii de cercuri ortogonale, cercurile lui Appolonius.


Când 0→a , iar valoarea aQ ⋅⋅2 este finită şi maQ =⋅⋅2 , mişcarea se numeşte dipol.

( ) ( )2222 2

2

2

11

2 az

m

az

aQ

azaz

Q

dz

dw

−⋅⋅=

−⋅

⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−⋅

⋅=

πππ

20 2lim

z

m

dz

dwa ⋅⋅

=→ π

Funcţia

cz

mzw +

⋅⋅−=

π2)( (19.49)

este potenţialul complex al mişcării potenţiale dipol. Spectrul mişcării este dat de cercuri care trec prin dipol având centrele pe axele de coordonate (fig. 19.12).

Fig. 19.12. Spectrul mişcării potenţiale produsă de două surse punctiforme aflate la distanţa 2a

19.3. METODE DE TRATARE DIRECTĂ A PROBLEMELOR DE MIŞCĂRI POTENŢIALE PLANE

19.3.1. Metoda transformărilor conforme

Prin metoda transformărilor conforme se pot studia mişcări mai complicate prin transformarea unui domeniu d în care se produc, într-un alt domeniu D pentru care se poate determina sau se cunoaşte potenţialul complex al mişcării (fig. 19.13). Când se dă funcţia de variabilă complexă )(zw sunt uşor de determinat caracteristicile mişcării plane. Însă în general se dă domeniul

θθ

α

2a

r

r

x

y

0 01 2

1

2

1 2


mişcării, cu condiţiile de contur ale mişcării şi trebuie determinată funcţia )(zw . Aceasta se poate face folosind transformarea conformă a domeniului şi

conturului care-l limitează într-un domeniu pentru care există o funcţie potenţial complex cunoscut. O transformare )(zZZ = a unui domeniu d dintr-un plan z într-un domeniu D dintr-un plan Z se numeşte conformă, dacă funcţia )(zZ este olomorfă în d şi dacă derivata ei nu se anulează în acest domeniu (dacă se îndeplinesc condiţiile Cauchy – Riemann în punctul respectiv). Transformarea conformă păstrează asemănarea figurilor infinit mici (deci asigurăproporţionalitatea arcelor elementare şi egalitatea unghiurilor între curbe, precum şi a sensurilor de parcurgere ale acestora). Conform teoriei lui Riemann există întotdeauna posibilitatea transformării conforme a unui domeniu simplu conex într-altul simplu conex. În plus se respectă principiul unicităţii şi al corespondenţei sensului de parcurgere a conturului: prin parcurgerea conturului lăsând la stânga domeniul supus transformării, domeniul transformat de asemenea rămâne la stânga conturului nou obţinut.

Fig. 19.13. Transformare conformă

Viteza complexă în planul transformat se exprimă prin raportul între viteza complexă în planul iniţial şi derivata funcţiei de transformare. Dacă se consideră o mişcare în planul z reprezentată prin potenţialul complex )(zw şi funcţia de transformare )(zZZ = , atunci potenţialul complex al mişcării corespunzătoare din planul Z se obţine din )(zw înlocuind pe z cu funcţia )(Zzobţinută prin inversarea funcţiei de transformare )(zZ . Deci, din planul Z,

zZ

u

Z

z

z

w

Z

ZzwVU

d/div

dd

dd

d))((d

i−

=⋅==− (19.50)


Circulaţia în planul transformat este egală cu circulaţia în planul iniţial. Dacă se consideră mişcarea potenţială din exteriorul conturului închis c situat în planul z, dată de potenţialul complex ψϕ i)( +=zw atunci circulaţia

∫=Γc

c ϕd se poate calcula, observând că pe conturul închis c, care este o linie

de curent ( const.=cψ ) 0d =cψ , deci cccw ψϕ iddd += . Rezultă

( ) ∫∫ ∫ ===Γcc c

c z

zwzw

d)(d

ddϕ . În mod analog, circulaţia cΓ în lungul conturului

C are expresia ( )( )

∫∫∫ =⋅==ΓcCC

C zz

zwZ

Z

z

dz

zwZ

Z

Zzwd

d)(d

ddd)(d

dd

d, aşadar

cC Γ=Γ (19.51)

În studiul mişcărilor potenţiale plane se întâlnesc numeroase exemple de funcţii de transformare conformă. Transformările conforme prezintăimportanţă practică prin funcţia omografică, prin funcţii raţionale, exponenţiale, logaritmice, trigonometrice.

Transformarea omograficăc

dad-bc

dcz

bazZ -z 0, , ≠≠

+

+= poate fi

descompusă în trei transformări elementare: hzZ += , în care h este un număr complex reprezentând o translaţie; kzZ = , reprezentând o omotetie pentru knumăr real şi pozitiv, o rotaţie pentru k număr complex de modul unitate şi o

omotetie combinată cu o rotaţie pentru k număr complex oarecare; z

Z1

= ,

reprezentând o inversiune (care transformă un cerc oarecare într-un cerc oarecare, un cerc care trece prin origine într-o dreaptă oarecare, o dreaptăoarecare într-un cerc care trece prin origine, o dreaptă care trece prin origine într-o dreaptă care trece prin origine). Transformarea conformă

0 ,2

≠+= zz

bzZ , (19.52)

se numeşte transformarea Jukovski. Aceasta transformă cercul de rază b cu centrul în origine într-un segment de dreaptă de lungime 4b, aşezat pe axa 0Xdin planul transformat, centrat faţă de origine şi parcurs de două ori (o tăieturăîn planul complex Z). Pentru punctele cercului θiebz = rezultă

)sin i(cos)sin i(coseei -ii θθθθθθ −++=+=+= bbbbYXZ , 0 ,cos2 == YbZ θ (19.53)


Când θ variază de la 0 la π, X variază de la -2b la 2b, deci semicercul superior este reprezentat pe partea superioară a segmentului din planul transformat; analog, când θ variază de la π la 2π, X variază de la -2b la 2b, deci semicercul inferior este reprezentat pe partea inferioară segmentului din planul transformat. Transformarea Jukovski (19.53) transformă cercul de rază a > bcu centrul pe axa 0y, pe axa 0x sau într-un punct oarecare al planului într-un arc de cerc, un profil Jukovski simetric sau un profil Jukovski oarecare (fig. 19.14).

aB

b=a

y

A

x

C

D

B' A'

X

Y

D

C

4b

aB

b

y

A

x

C

D

B' A'

X

Y

D'

C'

4b

aB

y

A

x

C

b

aB

b

y

A

x

C

B'

X

Y

2b2b

B'

X

Y

2b2b

A'

A'

Plan transformatPlan initial

Fig. 19.14. Transformarea Jukovski


În practică se foloseşte şi metoda transformărilor conforme în şir, folosindu-se o serie de transformări intermediare cunoscute (fig. 19.15).

η ζY

X

Zy

x1

2 e

4eξ

→=−−− zeζ 2

→+=−−−−−−−ζ

ζe

Z

Fig. 19.15. Transformare conformă în şir

Transformările conforme sunt utilizate la rezolvarea unor probleme de mişcări potenţiale plane. Fie curba închisă c în planul yxz i+= , iar în planul

YXZ i+= curba C obţinută prin transformare conformă ( )Zgz = . Dacă)(zw este potenţialul complex al unei mişcări potenţiale plane în jurul

conturului c, atunci funcţia ))(()( ZgwZW = (19.54) reprezintă potenţialul complex al unei mişcări potenţiale plane în jurul conturului C (fig 19.16).

(c) (c)

( ) ( ) ( )[ ]( )zgfZWZgzzw =→=→ )( Fig. 19.16. Transformare conformă la stabilirea potenţialului complex

în jurul unui contur oarecare Deoarece ( ) ),(i),()())(w()(i),( YXYXZWZgx,yyxzw Ψ+Φ===+= ψϕ (19.55) rezultă că în punctele omoloage din cele două plane Φ=ϕ şi Ψ=ψ , aşadar liniilor echipotenţiale şi liniilor de curent din planul z le corespund tot linii


echipotenţiale şi linii de curent din planul Z. Deci, deoarece conturul c este o linie de curent, atunci şi C este tot o linie de curent. Se poate aşadar studia mişcarea plană potenţială în jurul unui contur Cdin planul Z, care necesită cunoaşterea potenţialului W(Z). Studiul se poate reduce la studiul unei mişcări potenţiale plane în jurul unui contur c din planul z de potenţial complex w(z), dacă se cunoaşte transformarea conformă a unui domeniu în celălalt – lucru posibil conform teoriei Riemann. Dacă curba c din planul z este un cerc cu central în origine şi rază a, potenţialul complex al

mişcării de translaţie în jurul cercului este ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∞ z

azVzw

2

. Dacă se

cunoaşte funcţia care transformă domeniul din exteriorul conturului c în domeniul din exteriorul conturului C, )(Zgz = , atunci mişcarea în jurul conturului C este dată de potenţialul complex

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== ∞ )(

)())(()(2

Zg

aZgVZgwZW (19.56)

Câteva exemple de folosire a transformărilor conforme sunt redate în (fig. 19.17).

19.3.2. Metoda analitică aproximativă prin diferenţe finite

Metoda constă în principiu în determinarea spectrului mişcării potenţiale plane prin integrarea cu diferenţe finite a ecuaţiei lui Laplace

0sau ,0 =Δ=Δ ψϕ într-un domeniu (d) mărginit de o curbă simplă închisă c, din planul x0y, unde sunt definite condiţiile limită ale problemei. Domeniul mişcării se împarte cu ajutorul unui caroiaj (sau alte tipuri de reţele – triunghiulare, hexagonale). Ecuaţia lui Laplace

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

u

x

u (19.57)

se transformă într-o ecuaţie liniară cu diferenţe finite care se poate rezolva prin metode cunoscute. Pentru n noduri interioare ale reţelei rezultă n ecuaţii algebrice. Pentru nodurile din vecinătatea conturului elementele diferenţiale se pot calcula prin interpolare (liniară sau spline cubică), obţinându-se tot ecuaţii algebrice.


Determinarea valorilor funcţiei ψ în nodurile reţelei permite trasarea

liniilor de curent, determinarea vitezelor din relaţiile y

vy

u∂

∂−=

∂

∂=

ψψ , ,

determinarea presiunilor (cu relaţia lui Bernoulli), determinarea debitului printr-o curbă oarecare. Metoda este cu atât mai precisă cu cât reţeaua este mai deasă. Prin această metodă se pot rezolva problemele legate de curgerea peste deversoare, peste clapete etc.

( ) →= ∞ zVzw →+= 2

Z

aZz ( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∞ Z

aZVZW

2

( ) →= Zzw →= Zz ( ) ZzW =

( ) →+= Z1

Zzw →= Zz ( )Z

ZzW1

+=

Fig. 19.17. Exemple de transformări conforme


19.3.3. Metode experimentale

10. Metoda Praşil materializează liniile de curent cu ajutorul unui colorant - permanganat de potasiu presărat pe fundul unei cuve foarte plată. Lichidul dizolvă o parte din cristale şi soluţia colorată este antrenată pe firul de curent, vizualizându-se astfel mişcarea (fig. 19.18). Pentru vizualizarea liniilor de curent de la suprafaţa lichidului se poate utiliza praf de licopodium, de aluminiu sau diverşi plutitori.

Fig. 19.18. Colorarea firelor de curent cu cristale de permanganat de potasiu

20. Metoda Hele Shaw foloseşte o mişcare laminară între doi pereţi plani paraleli aşezaţi la distanţă foarte mică. Vizualizarea firelor de curent se face cu ajutorul unui număr suficient de mare de injectoare fine din care iese un lichid colorat (fig. 19.19). Mişcarea fiind laminară, firele de curent îşi păstreazăindividualitatea.

Fig. 19.19. Vizualizarea liniilor de curent în metoda experimentală Helle Shaw

30. Metoda analogiei electrohidrodinamică se bazează pe analogia formală între ecuaţiile mişcării potenţiale plane şi ecuaţiile propagării curentului electric într-un mediu rezistiv omogen, prezentată mai jos.

Fenomen hidrodinamic Fenomen electrodinamic Potenţialul de viteză φ Potenţialul electric ULinia echipotenţială φ = ct. Linia echipotenţială U = ct. Elementul unei linii de curent = ds Elementul unei linii de curent = ds


Viteza s

v∂

∂=

ϕ Intensitatea curentului

s

Uci

∂

∂=

(c – coeficient de conductibilitate) Linia de curent, suprafaţa liberă sau Linia de curent, sau suprafaţa hidroizolatoare sn dd ⊥ electroizolatoare sn dd ⊥

0=∂

∂

n

ϕ 0=

∂

∂

n

U

În (fig. 19.20) se prezintă aplicarea metodei la studiul mişcării potenţiale plane prin aspiratorul unei turbine. Dacă se creează o diferenţă de potenţial între şinele conducătoare 1 şi 2 se stabileşte un curent electric în stratul de electrolit prin rezistenţele (R3 şi R4) şi un alt curent prin potenţiometru (R1 şi R2). Se fixează contactul 3 şi se deplasează creionul conductor 4 astfel încât galvanometrul G să indice 0; în acest fel se trasează o linie echipotenţială.

electrolit

izolator

V

AAc

K

R1 R2

V

R4R3

1

G

R

3

R1 R2

R4R3

3

2

4

1

4

Fig. 19.20. Aplicarea metodei analogiei electrohidrodinamice la studiul mişcării potenţiale plane prin aspiratorul unei turbine


19. 4. APLICAŢII

10. Să se studieze mişcarea potenţială plană caracterizată prin

potenţialul complex a). czzw =)( , 0>∈ Rc , Cz ∈ ; b). czzw i)( = , 1i −= , 0>∈ Rc , Cz ∈Rezolvare. a. Variabila z se poate scrie în sistemul de coordonate

xOy : yxz i+=

Deci cycxyxczw i)i(i)( +=+=+= ψϕ . Rezultă cx=ϕ şi cy=ψ . Pentru ikcx ==ϕ se obţine o familie de drepte paralele cu axa Oy (linii de egal potenţial). Pentru ijcy ==ψ se obţine o familie de drepte paralele cu axa Ox (linii de curent). Reprezentarea grafică a celor două familii de drepte (fig. 19.21) dăspectrul hidrodinamic al mişcării.

Fig. 19. 21. Spectrul hidrodinamic al mişcării caracterizate prin potenţialul complex czzw =)(

Componentele vitezei sunt:

Cx

u =∂

∂=

ϕ; 0=

∂

∂=

yv

ϕ

Deci, în orice punct al planului, viteza are numai componenta ∞== vcu . Analiza spectrului arată că este vorba de o mişcare permanentă uniformă pe direcţia x . Deci zvzw ∞=)( .

b. Se procedează analog punctului a.Variabila z se poate scrie în sistemul de coordonate xOy : yxz i+=

y

0 x

=const

=constϕ

ψ


Deci cycxzw −=+= ii)( ψϕ . Rezultă cy−=ϕ şi cx=ψ . Se obţine pentru: ikcy =−=ϕ – reprezintă familia liniilor de potenţial (drepte paralele cu axa Ox )

ijcx ==ψ – reprezintă familia liniilor de curent (drepte paralele cu axa Oy ) Spectrul hidrodinamic (fig. 19.22) este inversat faţă de cazul

precedent. Componentele vitezei sunt 0=∂

∂=

xu

ϕ şi cy

v −=∂

∂=

ϕ, deci viteza

are numai componenta după axa y , ∞=−= vcv . Este vorba deci de o mişcare

permanentă uniformă pe direcţia y . Rezultă zvzw ∞= i)( .

Fig 19. 22. Spectrul hidrodinamic al mişcării caracterizate prin potenţialul complex

czzw i)( =

20. Să se traseze spectrul hidrodinamic al mişcării cu potenţialul zCzw e)( ⋅= , RC ∈ , Cz ∈ .

Rezolvare. Variabila z se scrie în sistemul de coordonate xOy : yxz i+=

Deci potenţialul complex devine:

yxyx CCzw ii eee)( ⋅⋅=⋅= + , unde

yyy sinicosei += . Rezultă:

yCyCzw xx sineicose)( ⋅⋅⋅+⋅⋅=

y

0x

=const

=constϕ

ψ


ψϕ i)( +=zw

Deci =⋅⋅= yC x coseϕ const. – familia liniilor echipotenţiale;

=⋅⋅= yeC x sinψ const. – familia liniilor de curent. Componentele vitezei sunt:

yCx

v xx cose ⋅⋅=

∂

∂=

ϕ

yCy

v xy sine ⋅⋅−=

∂

∂=

ϕ

Pentru 1=C , ]2,0[ π∈y , ]5,0[∈x şi ψϕ Δ=Δ rezultă

0=ϕ 0=x 57,1=y 0=ψ 0=x 0=y 5=x 57,1=y 5=x 0=y

10,0=ϕ 0=x 47,1=y 10,0=ψ 0=x 1,0=y

5=x 57,1=y 5=x 41073,6 −⋅=y

20,0=ϕ 0=x 39,1=y 20,0=ψ 0=x 20,0=y

5=x 569,1=y 31034,1 −⋅=y

00,1=ϕ 0=x 0=y 00,1=ψ 0=x 57,1=y

5=x 564,1=y 5=x 31073,6 −⋅=y

Prin reprezentare în planul xOy rezultă spectrul hidrodinamic din (fig 19.23).

Fig. 19. 23. Spectrul hidrodinamic al mişcării caracterizate prin potenţialul complex

zCzw e)( ⋅=

x

y

0

=1,00

5

/2

ψ

=1,00ϕ

=0ϕ

=0ψ

π


30. Să se traseze diagrama distribuţiei presiunilor hidrodinamice pe un stăvilar plan dreptunghiular cu deschiderea 2,0=a m şi adâncimea apei în amonte 4=H m (fig. 19.24).

Fig. 19.24. Distribuţia presiunilor pe stavilă în regim hidrostatic

Rezolvare. În regim hidrostatic (stavilă total închisă) distribuţia presiunilor este liniară (fig. 19.24). Prin deschiderea stavilei, mişcarea apei către stăvilar se poate asimila cu mişcarea potenţială spre o sursă negativă, având potenţialul complex

zq

zw ln2

)(π

−= unde b

Qq =

În coordonate polare se scrie : θie⋅= rz şi )i(ln

2eln

2i)( i θ

ππψϕ θ +−=⋅−=+= r

qr

qzw

Liniile echipotenţiale şi de curent rezultă din =−= rq

ln2π

ϕ const.,

respectiv =−= θπ

ψ2

qconst., adică primele sunt cercuri concentrice cu centrul

în polul O , iar celelalte reprezintă un fascicul de drepte radiale (convergente în pol), (fig. 19.25). Viteza are direcţie de asemenea radială

r

q

r

rx

⋅⋅−=

∂

∂=

π

ϕ

2v

iar produsul r⋅v are valoarea constantă pentru =q const., în ipoteza unei

valori mici a raportului Ha . Linia paramentului amonte al stăvilarului este o linie de curent pe care o notăm Axa −−−0 . Pe această linie putem scrie

AAaaxx rrr ⋅=⋅=⋅ vvv , adică Har Aaxx ⋅=⋅=⋅ vvv

a

HDistributiapresiunilor inregim hidrostatic

0


Aplicând ecuaţia Bernoulli pe această linie între secţiunile aA − şi xA − , cu planul de referinţă la fundul canalului rezultă

g

ag

pr

gH ax

xA

2v

2v

2v 222

+=++=+γ

în care a

H Aa

vv

⋅= şi

x

Ax r

H vv

⋅= .

Deci aHa

H

gA −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1

2v

2

22

şi aH

a

gA

+=

22

2v

Rezultăx

Ax r

Hv ⋅=v , 2

222 v

vx

Ax

r

H⋅= şi 2

222

2v

x

x

r

H

aH

a

g⋅

+=

Ţinând cont de relaţiile anterioare rezultă

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

+−−=⋅

+−−

++= − 1

16105,941

23

2

22

2

222

x

x

x

x

x

x rr

r

H

aH

arH

r

H

aH

ar

aH

aH

p

γ

care este legea de distribuţie a presiunilor pe stăvilar în regim dinamic (fig. 19.25). Pentru câteva valori ale lui xr între ara = şi HrA = rezultăpresiunile în punctele respective:

2,0=xr 05,3=γp 5,0=xr 21,3=γp

1=xr 85,2=γp 2=xr 93,1=γp

3=xr 96,0=γp 4=xr 0≅γp

Fig. 19.25. Distribuţia presiunilor pe stavilă în regim dinamic

0

r

a

A

x

a

=constψ

=constϕ


CAPITOLUL 20

MIŞCAREA APELOR SUBTERANE

Mişcarea apelor subterane face parte din problema generală a mişcării fluidelor prin medii poroase, particularizarea constând în natura celor două faze inseparabile:

- faza solidă – mediul poros este roca dezagregată sau fisurată; - faza lichidă – apa subterană. În prealabilul studiului se fac câteva referiri succinte asupra fazei

lichide si solide.

a. Faza lichidă – apa subterană se găseşte în roca permeabilă sub următoarele forme: - apă legată, sub forma apei de higroscopicitate şi apa peliculară sunt reţinute într-un strat subţire în jurul particulelor solide prin forţe de absorbție şi de adeziune. Aceste forme de apă sunt strâns legate de scheletul solid, nu participă la mişcare şi nu transmit presiunea; - apa capilară este reţinută prin acţiunea tensiunii superficiale în interspaţiile dintre particulele de solid. Această formă de apă se mişcă sau este în echilibru sub acţiunea forţelor capilare şi gravitaţiei şi transmite presiunea; - apa gravitaţională ocupă restul spaţiului din scheletul solid şi se supune legilor gravitaţiei. Această apă liberă constituie partea activă a apei subterane, de această apă se ocupă hidraulica subterană. Anumite aspecte, mai generale, sunt studiate de hidrogeologie.

b. Faza solidă este constituită din pământ (geotehnic), sol (pedologic) şi mai rar roci fisurate. Terenul este întotdeauna neomogen şi anizotrop. Totuşi în studiul mişcării se obţin rezultate satisfăcătoare pentru practica inginereascăconsiderând domeniul mişcării - în totalitate sau pe porţiuni - omogen şi izotrop.Principalele caracteristici geometrice ale fazei solide reprezintă curbagranulometrică, diametrul caracteristic şi forma particulelor, porozitatea (indicele porilor), porozitatea de cedare şi de reţinere. Presupunerea omogenităţii şi izotropiei scheletului solid, la care se adaugă forma geometrică a domeniului, se numeşte schematizarea condiţiilor


naturale. Natura este însăşi realitatea (în toată complexitatea ei), pe care o considerăm prin intermediul schemei sale. Operaţia de schematizare este foarte importantă în calculele referitoare la mişcarea apei subterane (ca de altfel în orice calcul tehnic). Schematizarea terenurilor permeabile se referă atât la caracteristicile lor de a lăsa apa să treacă, cât şi la cauzele care provoacă mişcarea şi care în calcule se materializează prin condiţiile de margine şi iniţiale. Calculele de mişcare ale apelor subterane se fac pe scheme. De aici rezultă că oricât de bun şi exact ar fi calculul, la o schemă necorespunzătoare, rezultatele sunt eronate. Totdeauna există o incertitudine asupra corectitudinii schemei - proprietăţile terenului se determină prin sondaje (deseori în poziţie arbitrară), între ele caracteristicile terenului fiind considerate identice sau mediate. Mişcarea apelor subterane numită filtraţie, infiltraţie sub acţiunea gravitaţiei şi aplicaţiile sale în ingineria civilă şi a mediului se numeşte hidraulică subterană. Aplicarea legilor din hidrodinamica apelor subterane necesităschematizarea mediului şi a condiţiilor de margine. Metodele de soluţionare a infiltraţiilor se pot realiza prin: - metode analitice; - metode numerice iterative; - metode grafice prin aproximaţii succesive; - metode analogice (electrice, hidraulice); - metode experimentale (la scară naturală sau modele). Se apelează la ipoteze simplificatoare privind cinematica curenţilor, ca: - ipoteza Dupuit-Forchheimer, prin care se consideră că liniile de curent sunt paralele cu un plan dat; - ipoteza Dupuit generalizată, prin care liniile de curent sunt orizontale în strate foarte permeabile şi verticale în strate foarte puţin permeabile; - ipoteza Hooghoudt, în care în zonele cu surse punctiforme se consideră liniile de curent radiale.

20.1. SCHEMA TEORETICĂ A CURGERII PERMANENTE A APEI SUBTERANE ÎN REGIM SATURAT

Mişcarea apei subterane, când toţi porii sunt ocupaţi de apă se numeşte filtraţie. Când parte din goluri este ocupată şi de aer (fază gazoasă) se vorbeşte de infiltraţie. În funcţie de direcţia mişcării în diferite domenii ale ştiinţei se


utilizează diferite denumiri pentru mişcarea fazei fluide (exfiltraţie, penetraţie, percolaţie şa).

20.1.1. Schematizarea curgerii

La curgerea permanentă a apei subterane în regim saturat mişcarea prin golurile dintre particulele solide ale scheletului se înlocuieşte cu o mişcare aparentă care ar avea loc pe toată secţiunea ocupată şi de scheletul solid şi de apă (pori) cu condiţia ca debitul volumic în ambele cazuri să fie identic (fig. 20.1).

AgpA

Ag , Vr , VAΣ

Fig. 20.1. Schema filtraţiei permanente

vv ⋅=⋅= AAQ rr (20.1)

unde ∑= gr AA este aria reală a golurilor într-o secțiune; pA - aria secţiunii

particulei; A

An g∑

= - porozitatea; vr – viteza reală a apei pe secţiunea porilor;

v - viteza aparentă pe secţiunea; ∑ ∑+= pg AAA .

Ţinând seama de porozitate, viteza reală este

nrv

v = (20.2)

(De fapt apa nu circulă pe întreaga secţiune a porilor, parte este ocupată de apa strâns legată, parte de apa capilară. Suprafaţa din goluri ocupată de apă strâns legată şi apă capilară raportată la secţiunea totală este porozitatea de reţinere

rn , în restul golurilor, caracterizate de porozitatea de cedare cn , curge apa

gravitaţională. Astfel, cr nnn += şi viteza de mişcare considerată uniformă

este c

rc n

vv = ).


20.1.2. Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)

Relaţia între gradientul hidraulic I şi caracteristicile cinematice ale curentului de apă subteran au fost stabilite de H. Darcy în 1856. Experienţele efectuate conform schemei din (fig. 20.2), pe un material poros (nisip cu pietrişcu porozitatea n = 0,38) au vizat stabilirea debitului filtrat sub sarcină şi secţiune aparentă cunoscute: 21 hhh −=Δ ; I h L= Δ (20.3) A rezultat că, într-o mişcare permanentă debitul filtrat este în dependență liniară cu secţiunea aparentă, gradientul hidraulic şi un factor de proporţionalitate k numit coeficientul filtraţiei.

IkAL

hkAQ ⋅⋅=

Δ⋅⋅= (20.4)

Caracteristici material: 58 % din greutate d = 0,77 mm 13 % din greutate d = 1,10 mm 12 % din greutate d = 2,00 mm 17 % pietrişn = 0,38

Fig. 20.2. Schema instalaţiei lui H. Darcy

În determinări, mişcarea apei este ascendentă pentru a asigura regim saturat. Coeficientul de filtraţie are semnificaţia unei viteze aparente pentru gradientul hidraulic unitar. Scriind ecuaţia (20.4) pentru viteza aparentă între două secţiuni infinit vecine se obţine forma diferenţială a legii lui Darcy. IkdLdhk ⋅=⋅=v (20.5)

Materialpermeabil

Q

LA

Δh

20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy

Legea liniară a lui Darcy pentru viteza aparentă a filtraţiei a fost confirmată de numeroase studii experimentale pentru anumite limite. Ea corespunde pentru mişcarea apei subterane atunci când se pot neglija forţele de inerţie, deci pentru viteze şi, implicit, numere Reynolds mici. Legea lui Darcy este valabilă numai pentru o parte a regimului de curgere laminar şi este limitată atât superior cât şi inferior (fig. 20.3).

Fig. 20.3. Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy

Exprimând gradientul hidraulic, în forma uzuală după Weisbach,

gd

I2v2

⋅=λ

(20.6)

cu

ba

+==Re

(Re)λλ (20.7)

în care: ν

d⋅=

vRe , iar a şi b - coeficienţi. Graficul formei funcţiei (Re)λ

evidenţiază limita de valabilitate a legii lui Darcy (fig. 20.4) pentru 'ReRe cr< .

Valoarea 'Re cr după diferiţi autori şi medii permeabile diferite, ia valori dupăcum urmează:

Fig. 20.4. Valabilitatea legii lui Darcy

V

Q

I

Imin

minV Vmax

lg λλ = a

R e

aλ =R e

+ b λ = b

L a m in a r T u rb u le n tL e g e a lu iD a ra y

lg R eR eR e 'c r c r

- Pavlovschi: 9....5,7v

23,075,01

Re 10' <⋅

⋅+

=ν

d

ncr ,

unde n - porozitatea, 10d - diametrul efectiv;

- Lindquist: 4v

Re' =⋅

=ν

mcr

d pentru nisip omogen;

- Schneebeli: 5v

Re' =⋅

=ν

mcr

d pentru nisip omogen;

2v

Re 10' =⋅

=ν

dcr pentru nisip neomogen;

- Mind şi Subert

2)1(6

vRe' =

−⋅

⋅=

n

dcr

αν cu α - coeficient de formă (1,3….1,4).

Limita inferioară a legii lui Darcy corespunde gradientului hidraulic iniţial de la care are loc filtraţia. Valoarea sa variază cu umiditatea, însăminima gradientului iniţial corespunde saturaţiei. Experimental s-a demonstrat că legea liniară a lui Darcy este valabilăpentru 0,03 ‰ ≤ I ≤ 5 %.

20.1.4. Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate

Exprimând coeficientul filtraţiei din (20.4) şi înlocuind gradientul hidraulic din (20.7) se obţine:

2 2

2

v v 2 2 21 v ν

Re 2

p

d g dk k

aI a ad g

ρ γ γ

ρ μ μ

⋅= = = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⋅

(20.8)

în care adk p

2= este coeficientul de permeabilitate.

Acesta depinde numai de caracteristicile mediului poros pe când coeficientul de filtraţie depinde şi de caracteristicile fazei fluide prin greutatea specifică γ şi coeficientul dinamic al vâscozităţii μ .

Dimensional coeficientul de permeabilitate este o suprafaţă ( 2L ) şi se poate determina după relaţii empirice, de forma: x

p ndck ⋅⋅= 2

astfel:


- după Schlichter: 3,32 ndck p ⋅⋅= ;

- după Bahmetev: 3/42 ndck p ⋅⋅= ;

- după Casagrande: 285,04,1 ekkp ⋅= ;

în care c este o constantă, n - porozitatea, e - indicele porilor, iar 85,0k -

coeficientul de filtraţie pentru 10 °C şi un indice al porilor de 0,85. Coeficientul filtraţiei depinde de diametrul particulelor, de suprafaţa lor specifică, de porozitate, precum şi de vâscozitate şi greutatea specifică a apei, deci de temperatură. Dependenţa coeficientului de filtraţie de temperatură se defineşte prin relaţiile variaţiei vâscozităţii şi greutăţii specifice a apei. Coeficientul de filtraţie este influenţat de conţinutul de aer din materialul permeabil care obturează parţial interstiţiile. Mişcarea apei în regim nesaturat este afectată de prezenţa aerului care blochează parte din pori. Chiar apa cu conţinut de aer dacă circulă prin porii mediului, prin eliberarea parţială a aerului absorbit modifică, reduce coeficientul de infiltraţie. Fenomenul are o anumită dinamică în timp până când se ajunge la o stare de echilibru. Precizarea variaţiei coeficientului de infiltraţie în timp nu se poate aprecia teoretic şi poate fi diferită chiar la acelaşi material permeabil în funcţie de temperatură, grad de aerare a apei etc (fig. 20.5).

Fig. 20.5. Variaţia coeficientului de infiltraţie în timp

Alt factor care influenţează hotărâtor coeficientul de infiltraţie este tasarea. Orientativ efectul tasării intervine prin relaţia:

3

030

01

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⋅=α

α n

nkk (20.9)

în care 0k şi 0n sunt coeficientul de infiltraţie, respectiv porozitatea iniţială, iar

α - indicele de tasare (raportul volumului aparent după şi înainte de tasare).

saturat

nesaturat

k(m/s)

Coeficientul de infiltrație este influenţat şi de colmatarea mediului permeabil. Colmatarea poate fi de natură fizică, chimică sau biologică. Aprecierea cantitativă a efectului colmatării asupra coeficientului de infiltraţie se poate realiza numai prin măsurători experimentale. Determinarea coeficientului de infiltraţie se efectuează în laborator şi pe teren după metode specifice acceptate diferitelor domenii (geotehnică, pedologie, culturi irigate, hidrogeologie, hidraulică subterană etc.).

20.1.5. Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate a legii lui Darcy

Mişcarea apei subterane pentru 'ReRe cr> este descrisă de alte legi

decât cea liniară a lui Darcy. Pentru crReRe > , mişcarea este turbulentă şi b=λ (constant). Panta

hidraulică în expresia lui Weisbach este:

gd

bI

2v2

⋅= sau ⋅⋅

=b

dg2v IkI t ⋅= (20.10)

în care, prin bdgkt /2 ⋅= s-a definit un coeficient valabil pentru mişcările

turbulente şi care depinde de diametrul particulelor mediului permeabil, respectiv de suprafaţa specifică de solid şi porozitate (prin b).

După Shneebeli n

ndckt

−

⋅=

1

310 , unde c este o constantă, iar după

Escande 5,01008,7 dkt ⋅= .

Pentru crcr ReReRe' << dependenţa vitezei filtraţiei este mai

complicată, ba += Re/λ , pentru gradientul hidraulic rezultând expresia:

2vv ⋅+⋅= βαI (20.11) Lindquist, pentru aceasta zonă a aproximat viteza aparentă prin:

IkIba

dgtr ⋅=⋅

+

⋅=

Re)(v

2

ν (20.12)

Pentru medii permeabile omogene 1100=a şi 12=b , iar pentru medii permeabile neomogene 1100=a şi 30=b .


20.1.6. Mişcarea apei subterane în medii poroase stratificate

Apa subterană este cantonată sau se mişcă în stratele permeabile sub acţiunea gravitaţiei. Stratele permeabile şi impermeabile alternează, în interiorul lor putând exista diferite incluziuni cu caracteristici permeabile diferite (fig. 20.6).

Fig. 20.6. Apa subterană în acvifer stratificat

Mişcarea apei subterane poate avea loc sub presiune (fig. 20.7) liniile de curent fiind drepte paralele, iar liniile echipotenţiale normale pe acestea. În lungul curentului nivelul piezometric scade spre aval.

piezometre

linii de curent

gros

ime

stra

t

acoperis

strat purtator

bil

linii

echi

pote

ntia

le

Stratificare sol

impermeabil

permeabil

purt

ator

I Nivel piezometric

Fig. 20.7. Mişcarea sub presiune a apelor subterane

În situaţia când nivelul apei subterane nu ajunge la tavanul impermeabil, mişcarea este cu nivel liber, pe toată suprafaţa liberă presiunea fiind constantă şi egală cu cea atmosferică. Mişcarea are loc cu “consum” de energie de poziţie, nivelul liber scade continuu în lungul curentului (fig. 20.8).


Fig. 20.8. Mişcarea cu nivel liber a apelor subterane

Filtraţia (infiltraţia) poate avea direcţie orizontală (qvasiorizontală) sau verticală. În mediul poros stratificat fiecărui strat j îi corespunde un coeficient de filtrație (infiltraţie), jk . Presupunând că mişcarea se supune legii lui Darcy,

rezultă: 10. La mişcare orizontală (fig. 20.9) alegând axa de coordonate x în

direcţia mişcării debitul specific filtrat pe fiecare strat este:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

Iakq

Iakq

Iakq

333

222

111

(20.13)

respectiv debitul specific total filtrat este:

ja akIIakakakqqqq )()( 33211321 ⋅∑=⋅+⋅+⋅=++= (20.14)

Acceptând o mişcare ipotetic uniformă pe tot domeniul avem: eq k a I= ⋅ ⋅ (20.14’)

în care produsul ( )e jT k a k a= ⋅ = ⋅∑ (20.15)

poartă numele de transmitivitatea mediului poros. Coeficientul de filtraţie global (echivalent) este:

( ) j

ej

k ak

a

⋅=∑∑

(20.16)


S-a notat ∑= jaa . Mişcarea în fiecare strat are loc sub aceeaşi sarcinăpiezometrică (respectiv panta I)

k1

k2

k3

linie piezometricaTavan impermeabil

a1

2a

3a

pat impermeabilx

1

2

3

qq

q

q

Fig. 20.9. Definirea transmisivităţii şi coeficientului de filtraţie echivalent la mişcări paralele cu stratificaţie

20. La mişcarea verticală (fig. 20.10) debitul specific filtrat (pe unitate de suprafaţă) este acelaşi pentru toate stratele, deci şi viteza aparentă, însămişcarea are loc sub sarcini diferite, deci

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=−−

⋅=

⋅=−−

⋅=

⋅=−−

⋅=

3

343

3

433

2

232

2

322

1

121

1

211

vsau v

vsau v

vsau v

k

ahh

a

hhk

k

ahh

a

hhk

k

ahh

a

hhk

(20.17)

Însumând relaţiile (20.17) se obţine:

∑=−=Δj

j

k

ahhh v41 (20.18)

sau

∑

Δ=

j

j

k

ah

v (20.19)


Fig. 20.10. Filtraţia pe verticală

20.2. BAZELE HIDRODINAMICE ALE FILTRAŢIEI

Acceptând modelul filtraţiei (Darcy) şi ţinând seama că nu este necesară determinarea vitezei şi presiunii pentru fiecare particulă fluidă, mişcării apelor subterane i se pot aplica ecuaţiile clasice ale hidrodinamicii (Navier – Stokes), scrise sub forma:

1

v 1

1

du pFx Rx

dt x

d pFy Ry

dt y

dw pFz Rz

dt z

ρ

ρ

ρ

⎧ ∂= − ⋅ +⎪

∂⎪⎪ ∂

= − ⋅ +⎨∂⎪

⎪ ∂= − ⋅ +⎪

∂⎩

(20.20)

în care u, v, w, sunt componentele vitezei V după axele de coordonate; Fx, Fy,

Fz - componentele forţei masice pentru unitatea de masă; z

p

y

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂,, -

componentele forţei elastice, iar Rx, Ry, Rz - componentele forţei tangenţiale (de frecare). Se urmăreşte obţinerea componentelor vitezei în funcţie de sarcina piezometrică şi caracteristicile mediului poros. Viteza aparentă a filtraţiei (supusă legii lui Darcy) fiind foarte mică se acceptă neglijarea forţelor de inerţie (rezultate din acceleraţie), deci

0v

===dt

dw

dt

d

dt

du (20.21)


În câmpul gravitaţional componentele forţei masice pentru masăunitară sunt: ,0=Fx 0=Fy şi gFz −= (20.22) Termenii caracteristici forţei elastice se determină conform (fig. 20.11), considerând o linie de curent subteran în mediu poros raportat la un sistem cartezian. Liniile de curent pe distanţe mici respectă ipoteza Dupuit – Forchheimer (sunt paralele şi qvasiorizontale).

Fig. 20.11. Mişcarea în lungul liniei de curent

Sarcina totală este:

zp

H +=γ

(20.23)

Se derivează sarcina în raport cu axele de coordonate, obţinând:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−∂

∂=

∂

∂⋅

∂

∂⋅+=

∂

∂∂

∂⋅=

∂

∂⋅

∂

∂⋅=

∂

∂∂

∂⋅=

∂

∂⋅

∂

∂⋅=

∂

∂

11

sau1

1

1sau

1

1sau

1

z

Hg

z

p

z

p

z

Hy

Hg

y

p

y

p

y

Hx

Hg

x

p

x

p

x

H

ργ

ργ

ργ

(20.24)

Componentele forţei de frecare rezultă din proiecţia acesteia şi se determină prin egalarea lucrului mecanic realizat de acestea pe unitatea de greutate de lichid pe distanţa ds cu pierderea de energie: dHgmdsR ⋅⋅=⋅− ; cu m = 1 kg , rezultă:

k

VgIg

ds

dHgR ⋅−=⋅−=⋅−= (20.25)

Proiecţiile forţei de frecare sunt:


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅−=

⋅−=

⋅−=

k

wgRz

kgRy

k

ugRx

v (20.26)

şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării (20.20) devin:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂

∂⋅−=

∂

∂⋅−=

∂

∂⋅−=

z

Hkw

y

Hk

x

Hku

v (20.27)

Ecuaţiile (20.27) sunt ecuaţiile diferenţiale ale mişcării apelor subterane supuse legii lui Darcy şi arată că proiecţiile vitezei aparente ale filtraţiei sunt derivatele parţiale ale unei funcţii spaţiale cHk +⋅−=ϕ

)( cHkgradgradV +⋅−== ϕ (20.28) Mişcarea apelor subterane supuse legii lui Darcy este deci o mişcare potenţială. Astfel, studiul mișcării apelor subterane supuse legii lui Darcy se poate realiza prin teoria mişcărilor potenţiale. Funcţiile ),,( zyxϕ şi ),,( zyxH satisfac ecuaţia de continuitate, rezultând ecuaţia lui Laplace 02 =∇ ϕ , respectiv 02 =∇ H , ambele fiind funcţii armonice. Din ecuaţia liniilor de curent şi irotaţionalităţii se obţine conjugata funcţiei potenţial, funcţia curent ),,( zyxψ . Proprietăţile funcţiilor potenţial şi curent sunt prezentate în cap 19. Integrarea ecuaţiilor Laplace permite determinarea funcţiei ),,( zyxHdin care, apoi, se pot determina componentele vitezei şi presiunea. În cazul mişcărilor plane (ex. plan verticale) potenţialul vitezelor, care satisface ecuaţia lui Laplace:

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

zx

ϕϕ (20.29)

poate constitui partea reală a unei funcţii f de variabilă complexă


ψϕ iZf +=)( (20.30) unde izxZ += (20.31) este variabila complexă. Funcţia ),( zxψ este funcţia curent care, pentru c=ψ descrie o familie de linii de curent. Între funcţiile ϕ şi ψ există condiţiile Cauchy – Rienmann

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∂

∂−=

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂

wxz

uzxψϕ

ψϕ

(20.32)

20.2.1 Spectrul hidrodinamic

Reprezentarea grafică a familiilor de curbe czx =),(ϕ şi czx =),(ψ

în planul complex izxZ += este spectrul hidrodinamic. De obicei, reprezentarea se face astfel încât între două curbe vecine, în întregul domeniu de mişcare (sau pe zone), diferenţa între două echipotenţiale ϕϕϕ Δ=−+ ii 1 săfie constantă; la fel şi diferenţa între valorile a două linii de curent vecine

.1 constjj =Δ=−+ ψψψ Altfel se obţine un spectru hidrodinamic de

dreptunghiuri curbilinii, cu raportul laturilor ./ constns =ΔΔ (fig. 20.12).

Δn

Δs

ϕi-1i+1 ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

ψ

ψ

ψ

j+1

j

j-1

Δs

Δn

ψ

ψ

ψ

Fig. 20.12. Spectrul hidrodinamic în medii poroase omogene

Prin construcţia grafică ψϕ Δ=Δ se obţine un spectru hidrodinamic pătratic. În pătratele curbilinii se pot înscrie cercuri. Marginile domeniului mişcării pot fi linii de curent (contur impermeabil) sau linii echipotenţiale (zone de alimentare) precum şi alte linii.


Proprietăţile spectrului hidrodinamic în medii permeabile omogene şi izotrope sunt: - liniile de curent şi echipotenţiale formează spectru ortogonal; - liniile echipotenţiale nu se intersectează între ele, la fel şi liniile de curent (excepţie puncte singulare teoretice); - pentru ψϕ Δ=Δ spectrul hidrodinamic este pătratic; - spectrul hidrodinamic nu depinde de valoarea absolută a coeficientului de filtraţie k , ci numai de raportul acestor coeficienţi din diferite zone ale domeniului de filtraţie.

20.2.2. Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei cu ajutorul spectrului hidrodinamic

Spectrul hidrodinamic permite calculul tuturor parametrilor hidraulici ai filtraţiei. Se presupune cunoscut spectrul hidrodinamic reprezentat la scară în coordonatele planului izxZ += .

10. Gradientul hidraulic şi viteza de filtraţie medie se determină pe baza figurii 20.13 din legea lui Darcy, scrisă în diferenţe finite:

Fig. 20.13. Calculul gradientului hidraulic şi vitezei de filtraţie

s

HI

Δ

Δ= (20.33)

s

Hk

s Δ

Δ⋅=

Δ

Δ=

ϕv (20.34)

Se poate determina numai viteza medie pe celulă pe secțiunea 1⋅Δn . În cazul când se doreşte o precizie mai bună este necesară îndesirea liniilor echipotenţiale pe un grafic la scară adecvată. Viteza determinată este viteza

Δs

Δn

ϕ

ϕ

ϕ

ΔH

ψi

i+1ψ

ψ


aparentă a filtraţiei. Viteza reală de mişcare rezultă din (20.2 ) cu porozitatea nînlocuită cu porozitatea de cedare cn .

Relaţia (20.33) permite construirea diagramei de repartiţie a gradienţilor hidraulici în lungul conturului de ieşire al curenţilor din mediul permeabil, necesară la verificarea stabilităţii locale.

20. Debitul filtrat este suma debitelor filtrate de-a lungul tuburilor de curent mărginite de două linii de curent ( )ii ψψ ,1+

iqq Δ∑= (20.35)

în care

( ) Hs

nknq

iiii Δ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ

Δ=⋅Δ=Δ v (20.36)

Dacă spectrul este construit pentru .const=Δϕ şi cs

n=

Δ

Δ, atunci iqΔ

este identic pentru fiecare tub de curent şi Hkcqi Δ⋅⋅=Δ (20.37)

Spectrul fiind format din 1+M linii de curent, M tuburi de curent, debitul total filtrat este: HkcMq Δ⋅⋅⋅= (20.38)

Dacă HΔ este o fracţiune din diferenţa totală de nivel minmax HHH −= ,

definită de 1+N linii echipotenţiale

N

H

N

HHH =

−=Δ minmax (20.39)

şi debitul specific total filtrat devine

HcN

Mq ⋅⋅= (20.40)

În cazul unui spectru hidrodinamic pătratic 1=c . Calculul poate fi efectuat şi în cazul liniilor de curent şi echipotenţiale fracţiuni din întreg.

30. Distribuţia presiunilor. Presiunea într-un punct oarecare se stabileşte cunoscând sarcina totalăH şi cota punctului z , cu condiţia ca cele două mărimi să fie luate în raport cu acelaşi plan de referinţă, deci ( )zHp −⋅= γ (20.41)


Relaţia permite calculul diagramelor de subpresiune la diferite construcţii hidrotehnice la nivelul tălpii fundaţiei sau în anumite strate, necesare verificării stabilităţii generale sau locale. Un exemplu este prezentat în (fig. 20.14).

Fig. 20.14. Diagrama subpresiunilor la o construcţie hidrotehnică

20.2.3. Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă

Pe suprafaţa liberă presiunea este cea atmosferică, în presiuni manometrice 0=p . Neglijând ascensiunea capilară din (20.23) rezultă zH = şi czk +⋅=ϕ (20.42) Pe lângă condiţia (20.42), generală pentru orice mişcare, în regimul permanent se mai adaugă condiţia ca forma suprafeţei libere să fie o linie de curent. În mişcare permanentă suprafaţa liberă are poziţie constantă, deci

0=dt

dz (20.43)

Din acest considerent rezultă că componenta vitezei normală la suprafaţa liberă este nulă

0=nv şi 0=∂

∂

n

ϕ sau 0=

∂

∂

s

ψ, (20.44)

deci suprafaţa liberă este o linie de curent (fig. 20.15).

Fig. 20.15. Spectrul hidrodinamic şi condiţiile de margine la filtraţia cu nivel liber

100

(%)H

9080706050403020100

90 80 70 60 50 40 30 20 10

ϕ=100 ϕ=0

ψ1

ψ2

ψ3

ψ=3.5


Frontul de alimentare AB este o echipotenţială, 1HH = . Suprafaţa liberă BC şi patul impermeabil AD sunt linii de curent, 0/ =∂∂ nH . Ieşirea CD se numeşte zona de izvorâre şi este caracterizată de zH = . În unele situaţii particulare chiar în mişcare permanentă suprafaţa liberă nu este linie de curent (ex. drenaj alimentat de la suprafaţă în regim permanent – fig. 20.16) - suprafaţa liberă în punctul 0 este o linie echipotenţială.

A

0ϕ

ψ

a b

q

Fig. 20.16. Poziţii extreme ale suprafeţei libere: a. suprafaţa liberă – echipotenţială (orizontală în 0); b. suprafaţă liberă – linie de curent pe verticală.

20.2.4. Mişcări plane verticale în medii poroase neomogene, anizotrope

În cazul general viteza filtraţiei este produsul dintre tensorul k şi gradientul hidraulic gradHkV ⋅−= (20.45)

în care tensorul k , simetric are expresia

zzzx

xzxx

kk

kkk = (20.46)

cu condiţia zxxz kk = .

Ecuaţia de continuitate pentru lichid incompresibil, în mişcarea permanentă este:

0=∂

∂+

∂

∂=

z

w

x

uVdiv (20.47)

Componentele vitezei sunt:

z

Hk

x

Hkw

z

Hk

x

Hku

zzzx

xzxx

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂−=

(20.48)


Înlocuind (20.48) în (20.47) se obţine:

0xx xz zx zz

H H H Hk k k k

x x z z x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (20.49)

Dacă x şi z sunt direcţiile principale ale tensorului k , atunci

0== zxxz kk şi se obţine:

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂

∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂

∂

∂

z

Hk

zx

Hk

x zzxx (20.50)

Pentru mediul omogen şi izotrop kkk zzxx == şi (20.50) se

transformă în ecuaţia lui Laplace (20.29).

20.2.5. Mişcări plane verticale în medii ortotrope

Mediul ortotrop este un mediu cu anizotropie regulată în care ./ constkk xxzz =

Mişcarea într-un mediu ortotrop poate fi studiată cu ajutorul unei mişcări dintr-un mediu izotrop printr-o distorsionare corespunzătoare a domeniului. Se presupune că direcţiile în mediul ortotrop sunt x şi y. Se va distorsiona mediul după o singură direcţie (x).

λ

xX = şi Z = z (20.51)

X şi Z fiind coordonatele în mediul distorsionat (fig. 20.16’).

k xx

k zz kkZZ

XX

X

Zz

x

Mediu real Mediu distorsionat

Fig. 20. 16’. Distorsionarea mediului ortotrop

Debitele specifice pe feţele mediilor sunt pentru mediul real:

zx

Hkq x

xxx ΔΔ

Δ= şi x

z

Hkq z

zzz ΔΔ

Δ⋅= ,

iar pentru mediul distorsionat:

ZX

Hkq X

XXX ΔΔ

Δ= şi X

Z

Hkq Z

ZZZ ΔΔ

Δ⋅=


Din condiţia egalităţii debitelor şi sarcinilor din cele două medii Xx qq = ; Zz qq = ; Xx HH = şi Zz HH = ,

ţinând cont de (20.51) rezultă:

XXxx kk λ= ; ZZzz kkλ

1= .

Punând condiţia izotropiei mediului distorsionat kkk ZZXX == , se obține:

zz

xx

k

k=λ (20.52)

şi

zzxx kkk ⋅= (20.53)

20.2.6. Mişcări plane orizontale

Mişcările spaţiale care au loc pe domenii extinse în plan orizontal şi cu dimensiuni reduse pe verticală pot fi tratate ca mişcări plane, admiţând ipoteza lui Dupuit, aceea că liniile de curent sunt orizontale. Mediul poros poate fi stratificat, în calcule lucrându-se cu transmisivitatea T, (20.15) sau coeficientul de filtraţie echivalent k, (20.16). Debitul unitar poate fi scris: qradHTq −= (20.54)

în care T este tensorul transmitivităţii, în cazul general de mediu poros

neomogen şi anizotrop având forma:

yyyx

xyxx

TT

TTT = (20.55)

unde yxxy TT = .

Ecuaţia (20.54) se poate scrie:

y

HT

x

HTq xyxxx

∂

∂−

∂

∂−=

(20.56)

y

HT

x

HTq yyyxy

∂

∂−

∂

∂−=

sau


jy

hT

x

HTi

y

HT

x

HTq yyyxxyxx ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂−= 20.57)

Dacă x şi y sunt direcţiile principale ale tensorului T atunci

0== yxxy TT şi

respectiv (20.57) devine:

jy

HTi

x

HTq yyxx

∂

∂−

∂

∂−= (20.57’)

Transmitivitatea definită prin (20.15) se referă la toate stratele cuprinse între patul impermeabil şi suprafaţa liberă sub acoperişul impermeabil (la filtraţia sub presiune). Ecuaţia de continuitate în mişcarea permanentă şi alimentare de la suprafaţă cu debitul unitar ( )yxq , , care este pozitivă pentru “venituri“ – precipitaţii şi irigaţii – şi negativă pentru “pierderi“ - evaporaţie, transpiraţie, este:

( ), 0xx xy yx yy

H H H HT T T T q x y

x x y y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (20.59)

Când x şi y sunt direcţiile principale de anizotropie (20.59) devine:

( ), 0xx yy

H HT T q x y

x x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (20.59’)

Particularizând ecuaţiile pentru mediu izotrop TTT yyxx == şi 0== yxxy TT ,

avem:

( ), 0H H

T T q x yx x y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (20.59”)

10. În mişcare sub presiune ( ) .constakT ==∑ (nu depinde de

coordonate) şi se obţine (fig. 20.17.a)

2 2

2 20

H H q

x y T

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (20.60)

20. În mişcare cu nivel liber în mediu omogen şi izotrop khT ⋅= cu hadâncimea apei şi k = const. (fig. 20.17.b), avem:


0H H q

h hx x y y k

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (20.61)

30. Pentru pat impermeabil orizontal şi admis ca plan de referinţă H = h, rezultă (fig.20.17.c)

2 2

2 22 0

H H q

x y k

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (20.62)

suprafata piezometrica

a1

a2

a3

1kk2

3k

Tk

H h

suprafata libera

Plan 0 Plan 0 Plan 0

suprafata libera

h=Hk

a b c

Fig. 20.17. Cazuri de filtraţii plane orizontale

20.2.7. Spectrul hidrodinamic în medii neomogene, anizotrope

În cazul mediilor permeabile oarecare cele două familii de curbe ale spectrului hidrodinamic ( )ψϕ, nu mai sunt ortogonale şi nici nu se formează o reţea regulată de patrulatere curbe. Debitul în lungul unui tub de curent (între două linii de curent) rămâne constant, proprietate derivate din ecuaţia continuităţii. La limita a două zone, fiecare din zone fiind omogenă şi izotropă va exista o refracţie a liniilor de curent, asemănătoare refracţiei luminii, dupălegea (fig.20.18);

2

1

2

1

k

k

tg

tg=

θ

θ (20.63)

Fig. 20.18. Refracţia liniilor de curent la limita mediilor permeabile

k1

k2

θ2 V2

V1 π/2θ1


Câteva cazuri particulare, des întâlnite în practică, sunt prezentate în cele ce urmează.

10. Limita mediu permeabil - impermeabil

01 ≠k , 2

0 112

πθθ =⇒∞=⇒= tgk

Deci liniile de curent sunt paralele cu limita stratelor (fig. 20.19.a).

20. Ieşirea din mediu permeabil în mediu foarte permeabil (saltea drenantă) este caracterizată prin:

1 2,k k , deci ,01 ⇒θtg respectiv 01 ⇒θ

,2 ∞⇒θtg respectiv 22π

θ ⇒

în stratul superior liniile de curent sunt aproape normale pe suprafaţa de separaţie a stratelor, iar în stratul inferior liniile de curent sunt aproape paralele cu suprafaţa de separaţie (fig. 20.19.b).

30. Ieşire din mediu permeabil0, 21 ≠∞= kk deci 02 =θtg şi 02 =θ

arată direcţia normală a liniilor de curent la suprafaţa de ieşire (fig. 20.19.c).

k1=∞ψ

k2=0 k2

k2>>k1

k1≠0 k1 ψ

k2≠0

a b c

Fig. 20.19. Cazuri particulare de refracţie

În medii permeabile anizotrope liniile de curent şi echipotenţiale se intersectează sub unghiul (fig. 20.20).

xxzz

zzxx

kk

tgkctgkarctg

−

+=

ββα (20.64)


Fig. 20.20. Spectrul hidrodinamic în medii permeabile anizotrope

20.2.8. Metode pentru construirea spectrului hidrodinamic

Principalele metode pentru construirea spectrului hidrodinamic sunt: - metode analitice: * metoda funcţiilor de variabilă complexă; * metoda transformărilor conforme; * alte metode analitice; - metode numerice: * metoda diferenţelor finite; * metoda reziduurilor ponderate (Galerkin şi Ritz, element finit, element de frontieră, dual reciprocităţii); - metode de laborator * modelare fizică; * modelare analogică; - metoda grafică prin aproximaţii succesive.

În ultima perioadă metodele numerice au căpătat o dezvoltare amplă, dar se apelează şi la metode analitice şi de laborator (în special pentru calibrarea metodelor numerice).

20.3. CALCULUL FILTRAŢIEI PRIN METODE HIDRAULICE

20.3.1. Mişcarea uniformă a apelor subterane

Mişcarea uniformă a apelor subterane se defineşte ca mişcarea permanentă rectilinie cu elementele hidraulice şi geometrice constante în lungul curentului. Liniile de curent sunt drepte paralele cu patul impermeabil, care trebuie să fie un plan, iar suprafaţa liberă este paralelă cu patul impermeabil. Pe suprafaţa liberă a curentului subteran presiunea este egală cu presiunea atmosferică (fig. 20.21).

x

z

0

z=const

k

k

zz

xx

βα

ϕ

ψ


Fig. 20.21. Mişcarea uniformă a apelor subterane

În secţiunea transversală (verticală) a curentului subteran presiunea se repartizează după legea hidrostaticii în câmp gravitaţional. Secţiunile normale pe liniile de curent (ex. 0,1,2) sunt suprafeţele echipotenţiale. Vitezele de curgere fiind foarte mici se permite neglijarea termenului cinetic ( )gv 2/2 în raport cu termenii poziţionali şi piezometrici ( γ/pzH += ). Mişcarea are loc prin “consum“ din sarcina piezometrică dH pe distanţa ds. Pentru inclinaţii mici ale patului impermeabil panta geometrică şi piezometrică coincid.

ds

dHtgI −=≈= θθsin (20.65)

În mediu permeabil omogen şi izotrop, cu mişcarea supusă legii lui Darcy, viteza aparentă a filtraţiei este:

Ikds

dHku ⋅=⋅= (20.65’)

iar prin aplicarea continuităţii pentru secţiunea normală 0A debitul curentului

subteran este: IkAQ ⋅= 0 (20.66)

Secţiunea normală A0 defineşte adâncimea normală h0 care este constantă în lungul curentului. Termenul cinetic fiind foarte mic adâncimea critică nu are sens fizic. Energia specifică a curentului este e = h, creşte liniar cu adâncimea, în coordonate e - h fiind o dreaptă la 45° care trece prin originea axelor. Soluţionarea problemelor de mişcare uniformă a curenţilor subterani se poate face şi prin metode hidrodinamice, utilizând funcţia de variabilăcomplexă. Potenţialul complex w = aZ cu 21 aiaa ⋅−= constanta complexă şi

izxZ += variabilă complexă, definesc mişcarea plan paralelă verticală.

k

Hh =const

dH

0 1 2

s

I

dsz

0

θ

0

0


Alegerea constantelor reale a1 si a2 poate defini orice mişcare uniformăsubterană.

20.3.2. Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor subterani

La studiul mişcării permanente lent variate a apei subterane se admite ipoteza lui Dupuit (ipoteză cinematica asupra liniilor de curent) prin care liniile de curent sunt paralele intre ele, în particular putând fi considerate orizontale. O consecinţă a acestei ipoteze este distribuţia uniformă a vitezelor şi gradienţilor hidraulici pe verticală.

10. Ecuaţia diferenţială a mişcării rezultă din legea lui Darcy aplicatăcurentului de filtraţie permanent lent variat (fig. 20.22).

Fig. 20.22. Mişcarea permanentă lent variată a apelor subterane

Viteza aparentă a filtraţiei este : kIv = (20.66) în care

ds

dhi

ds

dhtg

ds

dHI −=−=−= θ (20.67)

obţinând

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=ds

dhikv (20.68)

sau din condiţia continuităţii pentru curent permanent

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−==ds

dhiAkAvQ (20.69)

θ

00

ds

dH

H2

k

1

ih

Idh

2

H1

Mişcarea permanentă lent variată a apelor subterane poate avea loc pentru diferite înclinaţii ale patului albiei: pozitivă, orizontală sau negativă, însă plană. Integrarea ecuaţiei diferenţiale (20.69) se realizează pentru albii prismatice sau cilindrice subterane.

20. Integrarea ecuaţiei diferenţiale pentru pantă pozitivă, i>0 Comparând elementele mişcării curentului subteran lent variat (caracterizat prin v şi h) cu curentul uniform (caracterizat prin v0 şi h0) la aceeaşi pantă i şi debit Q rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=ds

dhiAkkiA0

Notând cu η=0AA , ecuaţia de mai sus devine:

ids

dh⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

η

11 (20.70)

care este expresia diferenţială a suprafeţei libere. Adâncimea normală h 0 împarte domeniul mişcării în două zone:

a – peste adâncimea normală (h>h 0 ) şi b – sub adâncimea normală (h<h 0 )

(fig. 20.23)

Fig. 20.23 Curbele suprafeţei libere ale apei subterane în mişcare permanentă lent variată pentru i >0

a. În zona a h>h0 , A>A0 , η >1 , deci 0>ds

dh, deci adâncimea apei în

lungul curentului (spre aval) creşte.

Pentru h→h 0 (în amonte ), A→A 0 , η →1 şi ds

dh →0, adică în amonte

curba suprafeţei libere tinde asimptotic la linia adâncimii normale.

b

Na

a

bN

k(suprainaltare)

(coborare)

1 2

h1

h0 hh2

i>0

s1 ss2

În aval, pentru h→∞, A →∞,η →∞ şi ds

dh →i, ceea ce arată că în

partea aval curba suprafeţei libere tinde asimptotic la orizontală. Curba din zona a este de supraînălţare cu concavitatea în sus.

b. În zona b: h< h0, A< A0, η <1, deci ds

dh< 0 arată că adâncimea

curentului subteran scade spre aval. În amonte, pentru h→h 0 , constatările de la pct. a) rămân valabile,

curba suprafeţei libere tinde asimptotic la linia adâncimilor normale.

În aval, pentru h→0, A→0, η →0 şi ds

dh →∞, deci suprafaţa liberă

(teoretic) tinde asimptotic la normala patului impermeabil. Curba coborâtoare din zona b are concavitatea în jos. Spre sfârşitul curbei, în aval, nu se respectă ipoteza lui Dupuit, în această zonă curbura liniilor de curent este pronunţată şi nu pot fi considerate drepte paralele qvasiorizontale. În această zonă ecuaţia diferenţială fizic nu este valabilă. Integrarea ecuaţiei diferenţiale se realizează pentru o albie subteranăde secţiune dreptunghiulară cu A=bh şi A 0 =bh 0 rezultând 0hh=η .

Diferenţiind ultima expresie ηdhdh 0= şi înlocuind în (20.70) se

obţine

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

η

η 110 i

ds

dh sau

10 −+=

η

ηη

dd

h

ids (20.71)

Integrând ecuaţia între secţiunile 1 si 2 se obţine:

11

ln1

212

0 −

−+−=

⋅

η

ηηη

h

si (20.72)

unde 022 hh=η , 011 hh=η şi 12 sss −= .

Debitul specific al curentului subteran este :

2

)(2

)( 2122

21 hhki

s

hhkq

++

−= (20.73)

30. Integrarea ecuaţiei diferenţiale pentru pat impermeabil orizontal, i = 0 În acest caz ecuaţia diferenţială (20.69) devine:

ds

dhAkQ −= (20.74)

Adâncimea normală nu are sens fizic (h 0 →∞). Pe tot domeniul

filtraţiei nivelul liber coboară spre aval, 0<dsdh .

Pentru h→0, A→0, şi −∞→dsdh , tangenta la curba suprafeţei libere teoretice este verticală (normală la patul impermeabil orizontal). În avalul curbei nu se respectă ipoteza lui Dupuit, în această zona liniile de curent au curburi însemnate şi nu pot fi considerate drepte orizontale (qvasiorizontale). Curba are concavitatea orientată spre patul impermeabil (fig. 20.24).

k

h

h 90

curba coboratoare

i=0ss

s1

2

1

2

Fig. 20.24. Curba suprafeţei libere a apei subterane în mişcare permanentă lent variată pentru i=0

Ecuaţia (20.74) se poate scrie:

Ak

Q

ds

dh−= (20.75)

Pentru albie subterană de secţiune dreptunghiulară hbA ⋅= şi utilizând debitul specific bQq = (20.75) devine:

dsk

qhdh −= (20.76)

care integrat pentru limitele h 1 şi h 2 , la care corespund s 1 şi s 2 cu s 2 -s 1 =s, se obţine:

s

hh

k

q

2

22

21 −

= (20.77)

Curba suprafeţei libere a apei subterane pentru pat impermeabil orizontal este o parabolă – parabola lui Dupuit.

40. Integrarea ecuaţiei mişcării pentru panta negativă a patului impermeabil i<0 Se transcrie ecuaţia diferenţială a mişcării cu notația ii ′= , deci în

sensul invers mişcării ar fi posibilă o mişcare uniformă ikAQ ′′=′ 0 şi (20.69)

capătă forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−′−=ds

dhiAkQ (20.78)

Egalând debitele mişcării lent variate şi a unei curgeri uniforme inverse rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+′−=′′ds

dhiAkikA0

sau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+′−=

ζ

11i

ds

dh (20.79)

unde 0AA ′=ζ .

Fiindcă 0<dsdh curba suprafeţei libere este strict descrescătoare în lungul curentului, iar pentru partea sa aval este valabilă constatarea de la punctul 3 – tangenta la curba teoretică a suprafeţei libere este normală la patul impermeabil, însă în zona aval a curbei teoretice nu se respectă ipoteza lui Dupuit (fig. 20.25).

khQh 90

h'

Q'

curba coboratoare

i<0

ss

s1

2

1

2

0

Fig.20.25. Curba suprafeţei libere a apei subterane în mişcare permanentă lent variată pentru i< 0

Integrarea ecuaţiei (20.79) se face pentru o albie subterană de secţiune dreptunghiulară având 0hh ′=ζ şi bQq = .

După separarea variabilelor avem :

1h

'

0 ++−=

′ ζ

ζζ

ddds

i

care integrată în limitele h 1 şi h 2 , la care corespund s 1 şi s 2 cu s=s 2 -s 1 ,conduce la:

11

lnh

s'

1

221

0 +

++−=

′ ζ

ζζζ

i (20.80)

Debitul specific filtrat este:

( ) ( )

2212

22

21 hhik

s

hhkq

+′−

−= (20.81)

50. Infiltraţia mixtă sub presiune şi cu nivel liber

Dacă un strat permeabil are grosime a0 şi coeficientul de filtraţie k 0 ,

patul şi acoperişul impermeabil fiind orizontale, iar nivelul în amonte h 1 >a 0 ,

iar în aval h 2 <a 0 , mişcarea apei subterane este mixtă (fig. 20.26). Pe anumitălungime l 1 filtraţia are loc sub presiune, iar pe restul, de lungime l 2 , cu nivel liber. Debitul specific (pe unitate de lăţime) pe cele două zone este acelaşi şi se poate scrie:

2

22

20

01

0100 2l

hak

l

ahkaq

−=

−= (20.82)

0k a0

h1

h2

l 1 2lL

Fig. 20.26. Infiltraţia mixtă

Adăugând condiţia geometrică L=l 1 +l 2 se obţine:

2 2

1 0 0 20 0 0 2

h a a hq a k k

L L

− −= + (20.83)

60. Calculul infiltraţiilor în terenuri neomogene Se analizează mişcarea permanentă lent variată pe pat impermeabil orizontal (20.3.2 pct. 3) în ipoteza modificării permeabilităţii stratului omogen, menţinerii debitului specific filtrat si al adâncimilor la capetele curbei. Se poate scrie:

2

22

21

21

22

21

1 22 L

hhk

L

hhkq

−=

−= (20.84)

în care L 1 şi L 2 sunt distanţate între aceleaşi adâncimi h 1 şi h 2 la acelaşi debit

filtrat q în medii permeabile cu coeficienţi de filtraţie k 1 , respectiv k 2 , rezultând

2

2

1

1

k

L

k

L= (20.85)

Se poate concluziona că la aceleaşi condiţii de margine are loc curgerea aceluiaşi debit în două medii permeabile diferite, dacă lungimile liniilor de curent sunt invers proporţionale cu coeficienţii de filtraţie (fig. 20.27). Bazându-se pe această concluzie se poate soluţiona problema filtraţiei în medii neomogene.

h1

h2

L1

k1

k2

L2

h1

h2

k1<k2

Fig. 20.27. Proporţionalitatea drumului şi coeficientului filtraţiei

În fig. 20.28 se prezintă filtraţia printr-un mediu permeabil neomogen, zona centrală fiind mai puţin permeabilă.


h1 h'

h''h2

l1 le l2

Le

k km

kh1 h'

h'' h2

l1 lm l2

k

echivalent omogenneomogen

Fig. 20.28. Echivalarea filtraţiei din mediu permeabil neomogen cu unul omogen

Conform pct. 6, ecuaţia (20.85) lungimea echivalentă l e a miezului cu

coeficient de filtrare k m şi lungime l m este:

m

me k

kll ⋅= (20.86)

Drumul total al filtraţiei în mediul neomogen este L=l 1 +l m +l 2 , iar în

mediul omogen echivalent em

m Llk

kll =++ 21 .

Debitul filtrat este:

( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−=

−=

21

22

21

22

21

22

lk

kll

hhk

L

hhkq

mm

e

(20.87)

Cotele suprafeţei libere la limita miezului sunt:

( )eL

lhhhh 12

221

21 −−=′ (20.88)

şi

( )eL

lhhhh 22

221

22 −+=′′ (20.89)

20.3.3. Ipoteza lui Dupuit generalizată

La folosirea ipotezei lui Dupuit trebuie verificat dacă liniile de curent într-adevăr sunt orizontale sau aproape de orizontală. Există situaţii în cazul terenurilor stratificate, cum sunt cele cu două straturi cu permeabilitate foarte diferită, cu stratul mai puţin permeabil la suprafaţă, când această ipoteză nu se mai poate admite.


Fig. 20.29. Spectrul liniilor de curent care justifică admiterea ipotezei lui Dupuit generalizată

Din figura 20.29 se vede că în anumite zone, ipoteza liniilor de curent orizontale este inadmisibilă, liniile respective fiind verticale. S-a pus problema generalizării ipotezei lui Dupuit, admiţând că liniile de curent sunt în diferite zone orizontale sau verticale. Generalizarea ipotezei lui Dupuit are şi un suport teoretic ( paragraful 20.2.7, fig. 20.19b). Astfel, dacă raportul coeficienţilor este 100/ 12 =kk , se

obţin următoarele perechi de valori ale unghiurilor 1θ şi 2θ (tab 20.1)

Tabelul 20.1

1θ o20 o10 o5

2θ 100/ 12 =kk 88 87 84

În practică s-a dovedit că este suficient ca raportul 10/ 12 >kkpentru ca ipoteza lui Dupuit – generalizată să fie satisfăcătoare.

10. Ecuaţiile mişcării Se examinează două cazuri, după cum mişcarea în stratul superior este descendentă sau ascendentă. Mişcarea descendentă (fig. 20.30.a). Se scrie condiţia continuităţii pe un element diferenţial dx . Este evident că linia piezometrică (y) este sub nivelul apei ( 1H ). Debitul care intră prin stânga:

dxdx

ydka

dx

dykaqst 2

2

0000 2

1+−=


SP

SL

k

k0 a0

a

dy

dx

yH1 k

k

dx

a0

a

SP

SL

dH

HH

0

2

a b

Fig. 20.30. Schema pentru stabilirea ecuaţiei infiltraţiei în cazul ipotezei lui Dupuit generalizate:

a. mişcarea descendentă; b. – mişcarea ascendentă; SL – suprafaţa liberă; SP – suprafaţa piezometrică

Debitul care iese prin dreapta:

dxdx

ydka

dx

dykaqdr 2

2

0000 2

1−−=

Debitul care intră prin stratul superior semipermeabil:

dxa

yHkq

−= 1

Scriind bilanţul drst qqq =+ se obţine ecuaţia diferenţială:

02

12

2

=−

+λ

yH

dx

yd; aa

k

k0

0=λ (20.90)

Mişcarea ascendentă (fig. 20.30.b) Procedând similar ca mai sus, se obţine ecuaţia:

02

22

2

=−

−λ

HH

dx

Hd, aa

k

k0

0=λ (20.91)

20. Integrarea ecuaţiilor mişcării Ecuaţiile diferenţiale (20.90) şi (20.91) sunt liniare şi omogene, integralele lor fiind de forma:

λλ

xx

eCeCyH−

+=− 211 şi (20.92)

λλ

xx

eCeCHH−

+=− 432 (20.93)


Constantele ,1C 2C , 3C şi 4C se determină punând condiţiile de

margine care diferă de la problemă la problemă. Pentru exemplificare se dezvoltă problema infiltraţiilor sub un baraj aşezat pe două straturi cu kk >0 (fig. 20.29).

Se împarte domeniul în trei fragmente şi se notează cu 0y cota

piezometrică a apei din stratul permeabil de adâncime la limita dintre fragmentele I şi II şi cu 'H la limita dintre fragmentele II şi III (fig. 20.31, pe care s-au figurat şi coordonatele Ox, Oy respectiv Ox, OH ale fragmentelor I şi III).

Fig. 20.31. Infiltraţia sub un baraj pe terenuri cu două strate: SP – suprafaţa piezometrică

Condiţiile de margine în fragmentul I: 21010,0 CCyHyyx +=−→== şi

1 1 2 2, 0 0x y H C e C e C−∞ +∞= −∞ = → = + → =

În final se obţine:

( ) λ

x

eyHHy 011 −−= (20.94)

Condiţiile de margine în fragmentul III:

( ) 430'',0 CCaaHHHx +=+−→== şi

00, 3430 =→+=→+=+∞= −∞+∞ CeCeCaaHx

În final rezultă:

( )[ ] λ

x

eaaHaaH−

+−++= 0'

0 (20.95)


În fragmentul II se presupune că mişcarea are loc numai în stratul inferior foarte permeabil, astfel că debitul are expresia:

0

'0

00 B

HykaqII

−= (20.96)

În vederea găsirii expresiilor lui 0y şi 'H se scrie ecuaţia debitului la

ieşirea din fragmentul I şi la intrarea în fragmentul III:

λλλ 01

00

0

0100

000

yHkae

yHka

dx

dykaq

X

x

XI

−=

−=−=

==

şi (20.97)

λλλ )()( 0

00

0

000

000

aaHkae

aaHka

dx

dHkaq

X

x

XIII

+−′=

+−′=−=

=

−

=

(20.98)

Scriind egalitatea celor trei debite ''IIII QQQ == se obţine:

[ ])(2 01

010 aaH

BHy +−

+−=

λ

λ (20.99)

[ ])(2

)(' 010

0 aaHB

aaH +−+

++=λ

λ (20.100)

iar expresia debitului devine:

λ20

100

+

Δ=

B

HkaqII , 1 1 0( )H H a aΔ = − + (20.101)

Remarcă. Formulele (20.96 – 20.99) arată că expresia debitului IIq se poate obţine considerând că mişcarea are loc numai în stratul de jos dupăipoteza lui Dupuit şi admiţând că cele două fragmente laterale au fiecare o lăţime echivalentă egala cu λ ; în acest ultim caz linia piezometrică (fictivă) ar fi o linie dreaptă, desenată punctat pe figura 20.31. Faţă de linia piezometrică fictivă, liniile piezometrice reale sunt mai coborâte în fragmentul I şi mai ridicate în fragmentul III. Ecuaţiile acestor linii piezometrice sunt (20.94 şi 20.95), care după înlocuirea expresiilor lui 0y şi

H ′ 20.99 şi 20.100 devin:

λ

λ

λx

eHB

y 10 2

Δ+

=Δ ; yHy −=Δ 1 ; aak

k0

0=λ (20.102)

şi


λ

λ

λx

eHB

H−

Δ+

=Δ 10 2

; )( 0 aaHH +−=Δ ; aak

k0

0=λ (20.103)

Formula (20.101) şi trasarea liniei piezometrice fictive se poate generaliza, notând lăţimile echivalente ale fragmentului I şi III cu LΔ şi 'LΔ . Deci sub forma generală ecuaţia debitului s-ar scrie:

'0

100 LBL

HqaqII

Δ++Δ

Δ= (20.104)

20.3.4. Ipoteza lui Hooghoudt Hooghoudt a folosit cu succes, cu ocazia studierii calculului drenajului orizontal sistematic, o ipoteză cinematică în care liniile de curent sunt radiale în jurul drenului, orizontale în restul domeniului, exceptând un domeniu restrâns unde sunt verticale. Posibilitatea folosirii acestei ipoteze rezultă din analizarea spectrului liniilor de curent determinat cu ajutorul analogiei electrice, reprezentat în figura 20.32. Pe această figură s-au delimitat trei zone: zona în care liniile de curent au o direcţie preponderent verticală (V), orizontală (O) şi radială (R). Evident, această delimitare nu este strictă. Zona cea mai întinsă este (O), dar ponderea cea mai mare o are câteodată zona (R). De cele mai multe ori (în cazul mediilor omogene) zona verticală are o pondere redusă.

L/2 L/2

q

N

S

v

R0

2

3

1

D0

Fig.20.32. Schema pentru stabilirea ipotezelor cinematice asupra liniilor de curent la drenurile orizontale sistematice:

N – zona infiltraţiei în regim aerat (nesaturat); S – zona infiltraţiei în regim saturat; 1 – dren tubular; 2 – patul impermeabil; 3 – suprafaţa liberă; V – zona liniilor de curent verticale;

O – zona liniilor de curent orizontale; R – zona liniilor de curent radiale


Calculul hidraulic pentru drenajul sistematic cu dren situat la distanţăde patul impermeabil se dezvoltă la disciplina de specialitate.

20.3.5. Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani cu nivel liber

Mişcarea nepermanentă cu nivel liber a curenţilor subterani implicăvariaţia parametrilor hidraulici în timp şi spaţiu.

10. Ecuaţia diferenţială a mişcării Se consideră un element de volum al stratului acvifer cuprins între stratul impermeabil orizontal şi nivelul liber al apei, de secţiunea dydx ⋅ şi înălţime h, unde sarcina hidrodinamică faţă de planul de referinţă z=0 este H(fig. 20.33).

Fig. 20.33. Schema pentru ecuaţia diferenţială a filtraţiei nepermanente cu nivel liber

Se admite ipoteza lui Dupuit şi distribuţia uniformă a vitezelor dupădirecţii orizontale.

Componentele vitezei V (u,v), după Darcy, sunt:

x

Hku x

∂

∂−= şi

y

Hkv y

∂

∂−= (20.105)

iar debitele specifice corespunzătoare sunt:

x

Hhkhuq xx

∂

∂−=⋅⋅= 1 şi

y

Hhkhvq yy

∂

∂−=⋅⋅= 1 (20.106)

dt

z

H

qy+qy

dyyht

qx

qy

dxdy

nc

v

uky

kx

y

0 x

zε

x dxxqq

+ x

stra

t im

perm

eabi

l


Mediului permeabil îi este caracteristică porozitatea de cedare cn . Se

admite o alimentare de la suprafaţă a acviferului cu debitul specific ε (pe unitate de suprafaţă). Ecuaţia conservării masei pentru volumul de control considerat (lichidul se consideră incompresibil) ţine seama de bilanţul volumelor intrate şi ieşite din volumul de control în timpul dt, diferenţele (în plus sau minus) modificând volumul de apă înmagazinată în porozitatea de cedare, deci nivelul volumului de control. Elementele bilanţului sunt: - după axa x

dxdydtx

qdydtdx

x

qqq xx

xx∂

∂−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂+−

- după axa y

dxdydty

qdxdtdy

y

qqq yy

yy∂

∂−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+−

- aportul alimentării de la suprafaţă dxdydtε

- modificarea volumului de apă din volumul de control în intervalul porozităţii de cedare

dtt

Hdxdyndt

t

hdxdyn cc

∂

∂=

∂

∂

(fiindcă stratul impermeabil s-a considerat orizontal, deci H=z+h, cu z=c şi dH=dh) Din conservarea masei rezultă:

0=∂

∂+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

∂

∂−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂

∂

∂−

t

Hn

y

Hhk

yx

Hhk

x cyx ε (20.106)

care este ecuaţia lui Boussinesq. Ecuaţia este valabilă şi pentru pat impermeabil oarecare. Când patul impermeabil este orizontal şi se confundă cu planul xoy, H=h şi (20.106) devine:

0222

22

2

22

=∂

∂+−

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

−∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

−t

hn

y

hk

x

hk

c

yx

ε (20.107)

În cazul unui mediu omogen şi izotrop kkk yx == , deci:


022

2

2

2

2

=∂

∂⋅+−

∂

∂−

∂

∂−

t

h

k

n

ky

h

x

h cε (20.108)

În mişcarea permanentă, cu aport de la suprafaţă, 0=∂

∂

t

h avem:

02

2

2

2

2

=+∂

∂+

∂

∂

ky

h

x

h ε (20.109)

iar fără aport de la suprafaţă:

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

h

x

h sau 02 =∇ h (20.110)

Integrarea acestor ecuaţii pentru diferite condiţii iniţiale şi de margine concrete permite determinarea funcţiei )(2 xyfh = , care reprezentată pentru h=c defineşte hidroizohipsele (locul geometric al punctelor cu aceeaşi cotăgeodezică a suprafeţei libere a curentului de apă subteran). Ecuaţiile lui Boussinesq sunt valabile cu condiţia respectării ipotezei lui Dupuit, curenţi subterani orizontali (qvasiorizontali) de mică adâncime. Ecuaţia (20.106) şi alte forme ale sale sunt dificile de integrat. Se cunosc câteva metode de integrare (Boussinesq, Polubarinova-Kocina, Barenblatt etc). Soluţiile practice pleacă de la ecuaţia Boussinesq liniarizată, când

hH ≅ , h fiind media adâncimilor h în timp şi spaţiu, având forma:

cc ny

H

x

H

n

hk

t

H ε+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

(20.111)

care, fără termenul de alimentare de la suprafaţă se reduce la ecuaţia de transmitere a căldurii a lui Fourier:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

22

y

H

x

H

t

Hχ (20.112)

cu cn

hk=2χ .

Există câteva soluţii analitice pentru cazuri particulare ale ecuaţiei lui Boussinesq: ridicarea bruscă a nivelului la frontul de alimentare vertical sau înclinat al mediului permeabil pe pat impermeabil orizontal; ridicarea cu vitezăconstantă a nivelului în aceleaşi condiţii; drenaj orizontal sistematic pe pat impermeabil orizontal; infiltraţia nepermanentă datorită variaţiei periodice a


apei din rezervor; ridicarea-coborârea bruscă a nivelului din rezervor; infiltraţii nepermanente în terenuri stratificate particulare. În ultima perioadă a căpătat mare anvergură soluţionarea numericăprin diferite metode a infiltraţiei nepermanente care însă necesită calibrare, validare prin soluţii exacte sau metode experimentale.

20.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CAPTĂRILOR APELOR SUBTERANE

Exploatarea apelor subterane, modificarea parametrilor acviferelor în diferite scopuri (limitare, reducere a poluării, coborârea-creşterea nivelului freatic, alimentarea acviferelor, protecţia lor) se face cu lucrări inginereşti de captare – îmbogățire a acviferelor de tip vertical – puţuri sau orizontal –drenuri (galerii drenante). În funcţie de tipul acviferului interceptat există captări în strat acvifer sub presiune şi în strat acvifer cu nivel liber. În funcţie de poziţionarea captării în stratul acvifer se disting captări (puţuri, drenuri) perfecte, lucrări care se sprijină pe patul impermeabil şi captări imperfecte – când lucrarea hidrotehnică de captare este plasată peste patul impermeabil. Formele de captare prin puţuri (foraje, fântâni) diferind de formele de captare prin drenuri (galerii drenante), fiecare prezentând anumite particularități, se vor trata diferenţiat. Se dezbat numai problemele hidraulice nu şi tehnica şi tehnologia de realizare şi exploatare a captărilor.

20.4.1. Captarea apelor subterane prin puţuri.

Prin puţ înţelegem construcţia verticală de captare a apelor subterane. Apa subterană poate fi cantonată în depozit de apa subterană sub presiune sau cu nivel liber, poate constitui un curent subteran, un curent subteran cu alimentare dintr-un front de alimentare de la suprafaţă, un depozit subteran alimentat cu apă din infiltraţii de la suprafaţă ş.a. Puţurile pot lucra individual, în şir sau în grup în funcţie de scopul pe care le satisfac. Puţurile utilizate pentru injecţia apei în stratul permeabil în diferite scopuri se numesc puţuri absorbante. Calculul lor hidraulic poate fi întreprins prin metode hidrodinamice (metoda funcţiilor de variabilă complexă)sau prin metode hidraulice.


Din punct de vedere hidrodinamic puţurile se consideră surse punctiforme sau izvoare – pozitive (absorbante) sau negative (debitante sau de extracţie).

10. Puţ perfect cu nivel liber alimentat radial Un puţ săpat până la patul impermeabil într-un depozit subteran teoretic infinit (ca întindere la suprafaţă) cu nivel liber se numeşte perfect. Alimentarea sa se realizează numai prin peretele lateral al puţului.

a. Soluţia problemei prin metoda hidraulică Se consideră un puţ perfect de rază 0r într-un depozit acvifer cu nivel

liber caracterizat prin coeficientul de filtraţie k şi grosime H ( mediu omogen şi izotrop, patul impermeabil orizontal). Prin extragerea debitului Q, nivelul în puţ coboară şi după un timp acest nivel hidrodinamic se stabilizează la adâncimea 0h , respectiv denivelarea în puţ 0hHs −= . Apa din depozit curge

radial către puţ. Denivelarea din puţ influenţează pe o anumită distanţă (rază) nivelul apei subterane în care se formează o „pâlnie de depresie”. Situaţia de echilibru conduce la un regim staţionar: debitul extras, denivelarea, pâlnia de depresie fiind constante (fig. 20.34).

H

hh

dh

r drR

r

sr

dr

θ

Q

D

Q 0

k

i=0

0

r

I

y

x

Suprafata

de depresie

Nivel hidrodinamic

ϕ

ψ ψ

Fig. 20.34. Puţ perfect alimentat radial (în depozit)

Cât timp nu se extrage apa din puţ nivelul în acesta se situează la nivelul hidrostatic al apei subterane. Extrăgând un debit Q=c nivelul in puţcoboară până la 0h care rămâne constant cât timp debitul extras este constant.


Adâncimea 0h din puţ defineşte nivelul hidrodinamic care pe o distanţă R (razăde acţiune) influenţează nivelul apei subterane formându-se suprafaţa (pâlnia) de depresie. În mediu permeabil omogen şi izotrop această pâlnie de depresie este axial simetrică. Puţul realizat are raza constructivă 0r , iar apa pătrunde în puţ pe toatăsuprafaţa laterală a acesteia. La o distanţă r de puţ sarcina hidrodinamică staţionară în strat (la debitul Q=c) este h. La distanţa dr sarcina creşte cu dh. Acceptând aproximarea curbei suprafeţei libere cu coarda se poate defini panta hidrodinamică I:

dr

dhI =

Suprafaţa curgerii radiale către puţ la distanţa r de centru este: rhA π2= Alimentarea fiind laterală în toate secţiunile cilindrice conform continuităţii debitul este acelaşi cu cel extras, deci:

dr

dhrhkAkIQ π2== (20.113)

Separând variabilele, rezultă:

r

dr

k

Qhdh

π2= (20.114)

care este ecuaţia diferenţială a suprafeţei de depresie. Integrând ecuaţia avem:

crk

Qh+= ln

22

2

πConstanta de integrare se determină prin condiţia limită: 0rr = , 0hh = ,

rezultând:

0

20 ln

22r

k

Qhc

π−=

care înlocuit conduce la:

0

20

2 lnr

r

k

Qhh

π=− (20.115)

care este ecuaţia suprafeţei libere în coordonate cilindrice. Pentru condiţia limită Rr → (raza de influenţă a puţului), sarcina dinamică tinde la sarcina statică Hh → şi rezultă debitul puţului la denivelarea s.


( )2 2

0

0 0

12

2

ln / ln /

skHsk H h H

QR r R r

ππ−⎛ ⎞

⋅ ⎜ ⎟⋅ − ⎝ ⎠= = (20.116)

Variaţia debitului cu denivelarea este neliniară şi este influenţată relativ puţin de raza puţului. Raza de acţiune a puţului în medii permeabile diferite are valori informative de: - R=250...500 m în nisipuri mijlocii; - R=700...1000 m în nisipuri grosiere. Valorile razei de acţiune depind de denivelare şi coeficientul de filtraţie şi orientativ pot fi calculate cu relaţiile:

- Sichardt ksR ⋅≅ 300 ;

- Kusakin kHsR ⋅≅ 575 . Parametrii hidraulici calculaţi orientativ trebuie verificaţi prin extracţii de probă (pompări de probă) în regim nepermanent. Se întocmesc curbele de variaţie a denivelării în timp la debit constant extras şi curbele de revenire a denivelării în timp la oprirea extracţiei. Determinarea caracteristicilor mediului permeabil se pot realiza prin teste de pompare din puţ în regim nepermanent, având făcute măsurători de nivel şi într-un puţ de observaţie. Se pot utiliza metodele Neuman, Theis, Cooper-Jacob, Hantush şi pachetul de programe AQUIFER TEST.

a.1. Înălţimea de izvorâre Din analiza spectrului de infiltraţiei către puţuri perfecte în strate acvifere cu nivel liber se constată că între nivelul apei din puţ şi nivelul de racordare a suprafeţei de depresie la suprafaţa exterioară a puţului există o diferenţă ihΔ numită‚ “înălţime de izvorâre”. Suprafaţa reală de depresie şi cea

teoretică diferă în apropierea puţului – datorită acceptării ipotezei lui Dupuit şi în apropierea puţului. Efectul înălţimii de izvorâre se resimte asupra suprafeţei de depresie în jurul puţului până la distanţa de circa 0100r . Ea nu afecteazădebitul puţului.


Fig. 20.34’. Înălţimea de izvorâre la puţuri în strat acvifer cu nivel liber

Valoarea înălţimii de izvorâre, după observațiile lui Schneebeli rezultădin grafice fig. 20.34’’.

o

0

o

ox xx x

x

o

^

o

x

^

Boulton

Hall

Zee Peterson siBockBobbit si Caldwell

0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 2000

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

10 roQ/ kπ

.

π Q/ ko(h + h ) -h o

2 2

3

Δ i

Fig. 20.34”. Grafic pentru stabilirea înălţimii de izvorâre

Pentru puţul perfect cu alimentare radială în calculul suprafeţei reale de depresie în loc de (20.115) se va utiliza:

( )22

00

lni

Q rh h h

k rπ= + Δ +

⋅ (20.115’)

b. Soluţia problemei prin metoda hidrodinamică Puţul de pompare în acvifer cu nivel liber alimentat radial poate fi privit ca o sursă (izvor) negativă, mişcarea fiind descrisă de potenţialul complex:

( ) zQ

zw ln2π

−= (20.117)

cu variabilă complexă: θirez = (20.118) exprimată în forma Euler în coordonate polare.

~100 r

r

h hh

Δ

r

h

NHS

0

i

0

o

i

Suprafata

reala de depresie

Suprafata teoretica

de depresie


După înlocuirea variabilei şi efectuarea calculelor se obţine:

( ) θππ 2

ln2

Qir

Qzw −−= (20.119)

Partea reală a funcţiei este potenţialul care generează mişcarea şi se egalează cu sarcina hidrodinamică pentru acvifer cu nivel liber:

ckh

rQ

+−=−=2

ln2

2

πϕ (20.120)

Funcţia curent este:

θπ

ψ2Q

= (20.121)

Reprezentarea grafică c=ϕ (cercuri concentrice r=c) şi c=ψ (drepte care trec prin origine c=θ ) permite obţinerea spectrului hidrodinamic (v. fig. 20.34). Din (20.120) cu condiţiile la limită de la generatoarea puţului 0rr = şi

0hh = se obţine constanta de integrare, care conduce la relaţia (20.115) –

ecuaţia suprafeţei libere.

20. Puţ imperfect cu nivel liber alimentat radial (în depozit) La un puţ imperfect talpa acestuia nu ajunge la patul impermeabil

(fig. 20.35). Talpa poate fi impermeabilă sau permeabilă.

ht

s

h

TH

Rr

Hk

0

0

o

Nivel de influenta

NHS

NHD

Fig. 20.35. Puţ imperfect

La alimentarea puţului participă numai stratul de grosime 0H din

grosimea totală H a stratului acvifer. Cu notaţiile din figură debitul puţului alimentat numai lateral (talpăimpermeabilă) este:


( )2 2

0 0 04

0 0

0

2

ln

k H h t h tQ

R h hr

π − −= ⋅ ⋅ (20.122)

La puţul imperfect cu alimentare şi pe talpă debitul este:

( )2 2

0 0 0 04

0 0

0

0,5 2

ln

k H h t r h tQ

R h hr

π − + −= ⋅ ⋅ (20.122’)

Cantităţile

4

0

0

0

2h

th

h

t −⋅ şi 4

0

0

0

0 25,0h

th

h

ht −⋅

+ (20.123)

sunt corecţiile lui Forchheimer al puţurilor imperfecte faţă de cele perfecte. Grosimea de influenţă 0H (stratul care alimentează puţul) aproximativ

se poate determina cu relaţia

( )tsTH +==34

34

0 (20.124)

Determinări experimentale evidenţiază valorile din (tab. 20.2).

Grosimea activă a stratului acvifer Tabelul 20.2.

Denivelarea tTs −=

0,2 T 0,3 T 0,5 T 0,8 T 1,0 T

Zona activăkTH =0

1,3 T 1,5 T 1,7 T 1,85 T 2,0 T

30. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial Puţul străpunge acoperişul impermeabil ajungând cu coloana filtrantăpână la patul impermeabil orizontal şi captează apa din stratul impermeabil de grosime a şi coeficient de filtraţie k. Curgerea în stratul permeabil are loc sub presiune de la sarcina H (în rezervor) la 0h adâncimea din puţ, deci denivelare

0hHs −= . Nivelul 0h este situat peste tavanul impermeabil. Puţul are raza 0r

şi raza de influenţă R (fig. 20.36).


H

s

h

Rr

h

r dr

a

dh

0

0k

Q

NHS

Fig. 20.36. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial

a. Soluţia problemei prin metoda hidraulicăPâlnia de depresie este a suprafeţei piezometrice. Extrăgând debitul Q

din puţ nivelul în puţ coboară de la nivelul hidrostatic (NHS) la cel hidrodinamic 0h , realizându-se denivelarea 0hHs −= . Sarcina piezometrică la

distanţa r de puţ este h, crescând spre exterior cu dh la distanţa dr. Panta piezometrică se defineşte prin dsdhI = , iar la distanţa r în strat corespunde aria de curgere raA π2= . Conform legii lui Darcy

dr

dhrakAhIQ π2==

Separând variabilele se obţine ecuaţia diferenţială a pâlniei de depresie a suprafeţei piezometrice

r

dr

ka

Qdh

π2= (20.125)

Integrând ecuaţia rezultă:

crka

Qh += ln

2π

Constanta de integrare se determină din condiţia de margine, pentru

00 hhrr =→= , respectiv

00 ln2

rka

QhC

π−=

Înlocuind constanta de integrare rezultă ecuaţia suprafeţei piezometrice de depresie


0

0 ln2 r

r

ka

Qhh

π=− (20.126)

Pentru condiţia de margine r=R avem h=H, obţinând debitul

( )

00

0

ln2

ln2

rR

kas

rR

hHkaQ

ππ=

−= (20.127)

Debitul unui astfel de puţ depinde liniar de denivelare.

b. Soluţia problemei prin metoda hidrodinamică Puţul de pompare în acvifer sub presiune alimentat radial este o sursănegativă, mişcarea fiind descrisă de potenţialul complex

za

Qzw ln

2)(

π−= (20.128)

Cu variabila complexă (20.118) rezultă

θππ a

Qir

a

Qzw

2ln

2)( −−= (20.129)

Funcţia potenţial care generează mişcarea este

ln2

Qr

aϕ

π= − (20.130)

iar funcţia curent

θπ

ψa

Q

2−= (20.131)

Potenţialul mişcării apei subterane este ckh +−=ϕ . Din egalarea potenţialelor avem

ckhra

Q+=ln

2π Pentru condiţia de margine 0rr = şi 0hh = rezultă valoarea constantei

de integrare 00ln2

khra

QC −=

π, care înlocuit defineşte ecuaţia suprafeţei

piezometrice de depresie

0

0 ln2 r

r

ak

Qhh

π=− (20.132)

Cu condiţia de margine Rr → , Hh → rezultă debitul

00

0

ln2

ln)(2

rR

aks

rR

hHakQ

ππ=

−= (20.133)


Componentele vitezei în coordonate polare sunt: - după rază

ar

Q

rvr π

ϕ

2−=

∂

∂= (20.134)

- după tangentă

0=∂

∂=

θ

ϕθv (20.135)

40. Puţ imperfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial Puţul imperfect sub presiune străpunge tavanul impermeabil şi talpa sa se opreşte intermediar în mediul permeabil. Curgerea apei către puţ este o mişcare spaţială, radial sferică (fig. 20.37).

H

s

h

Rr

h

a

0

0

Q

NHS

t

Fig. 20.37. Puţ imperfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial

Calculul hidraulic al mişcării radial sferice este mai complicat şi se găseşte în tratatele “petroliştilor”. În unele ipoteze simplificatoare sunt cunoscute două relaţii: - Kozeny

0

0

21 5 cos

ln 2

kts r tQ

R r t a

π π⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

(20.136)

- Muskat

R

a

a

t

a

t

a

ta

t

a

t

r

a

ktsQ

4ln

125,01875,01

125,0875,0ln

4ln2

21

2

0

−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−Γ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−Γ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Γ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Γ

−

=π

(20.137)

în care Γ este o funcţie Euleriană de speţa II-a de forma


∫∞

−=Γ0

1)( dyeyx yx , pentru 0>x (20.137’)

şi valorile sale se găsesc calculate în tabele matematice în funcţie de argument. S-a încercat şi echivalarea puţului imperfect cu un puţ perfect fictiv cu

DDf α= (D – diametrul puţului imperfect; fD - diametrul puţului perfect

fictiv) pe baza relaţiei lui Muskat. Valoarea lui α se extrage din grafice în funcţie de at şi tD .

50. Puţ perfect cu alimentare radială mixtă La un puţ perfect în strat acvifer sub presiune cu alimentare radialămixtă nivelul din puţ coboară sub tavanul impermeabil. În apropierea puţului mişcarea este cu nivel liber (există pâlnia de depresie a nivelului),iar în rest mişcarea are loc sub presiune (suprafaţa piezometrică a pâlniei de depresie). Calculul hidraulic se face separat, prin metoda fragmentelor legate în serie (fig. 20.38).

H

s

Rr

a

0

0

NHS

2R

h

Fragment cunivel liber

Fragment subpresiune

Fragment subpresiune

k

1

Q

D

Fig. 20.38. Puţ perfect cu alimentare radială mixtă

Pentru fragmentul sub presiune, între 1RR − , debitul este

1ln

)(2RR

aHkaQ

−=

π

Pentru fragmentul cu nivel liber avem

( )

01

20

2

ln rR

hakQ

−=

π

Din egalitatea debitelor şi eliminarea lui 1R se obţine


( )

0

20

2

ln2

rR

haHakQ

−−=

π (20.138)

60. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată de la suprafaţăSe consideră un puţ perfect în mediu permeabil alimentat cu apă din

infiltraţii de la suprafaţă cu debitul specific ε ( )23 smm .

H

h

Rr

h

r dr

dh

0

0

k

Q

ε

Fig. 20.39. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată de la suprafaţă

Debitul total al puţului este debitul de alimentare din infiltraţii de la suprafaţă επ 2RQ = (20.139) Debitul curentului subteran la distanţa r de puţ este ( )222 rRrQQQQ rrR −=⋅⋅−=−=− πεεπ (20.139’) şi satisface relaţia lui Darcy

dr

dhkrhAkIQ rR ⋅⋅==− π2 (20.140)

deci

drrkr

dr

k

Rdhh ⋅−=⋅

22

2 εε (20.141)

care este ecuaţia diferenţială a suprafeţei de depresie. Integrând ecuaţia pentru condiţiile de margine 0rr = , 0hh = în regim staţionar, rezultă

( )20

2

0

220 2

ln rrkr

r

k

Rhh −−=−

εε (20.142)

care este ecuaţia suprafeţei de depresie.


Cu condiţia de margine Hh = , Rr = din (20.142) rezultă raza de influenţă R pentru condiţiile concrete date, apoi, cu ajutorul ecuaţiei (20.142) se poate trasa curba suprafeţei libere.

70. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată dintr-o sursă liniară de suprafaţă (lac, râu, canal)

Calculul hidraulic al acestui puţ se realizează prin metoda hidrodinamică – “metoda imaginilor”. Se introduce virtual un puţ fictiv, dispus simetric faţă de linia de alimentare, având un debit pozitiv egal cu cel al puţului real. Se produce o mişcare identică celei reale, în care linia de alimentare (malul râului) este o suprafaţă echipotenţială, intersectată normal de liniile de curent (fig. 20.40).

H

s

h

r

a

0

0k

L L

θ

θrB rA

A

B

y

x

B A

B A

x

h

M ϕ

ψ

Fig. 20.40. Puţ perfect alimentat cu apă infiltratădintr-o sursă liniară de suprafaţă (mal)

a. Mişcare sub presiuneFuncţia de variabilă complexă care descrie mişcarea este aceea a două

izvoare cu debitul Q− în A şi Q+ în B

)ln(2

)( Lza

QzwB −=

π şi )ln(

2)( Lz

a

QzwA +−=

πdeci

( ) ( ) ( ) ln2B A

Q z Lw z w z w z

a z Lπ

−= + =

+ (20.143)


Scriind această funcţie pentru un punct oarecare M din domeniul mişcării avem variabilele complexe (sub forma Euler) pentru cele două puţuri BiQ

BerLz =− şi AiQAerLz =+

ecuaţia (20.143) devenind

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= AB

A

B ir

r

a

Qzw θθ

πln

2)( (20.144)

Funcţia potenţial care generează mişcarea

A

B

r

r

a

Qln

2πϕ = (20.145)

se egalează cu potenţialul hidraulic al mişcării subterane în strat sub presiune ckh +−=ϕ (20.146)

Pentru suprafaţa oglindă (mal) condiţia de margine este Lrr BA == şi Hh = , rezultând

A

B

r

r

ka

QhH ln

2π=− (20.147)

ecuaţia suprafeţei piezometrice (suprafaţa de depresie piezometrică). Când puţul realizează debitul permanent Q se produce denivelarea

0hHs −= , iar pentru condiţiile de margine 0hh = , 0rrA = şi 02 rLrB −= , se

obţine:

0

0

0

0

0

2ln

22

ln

)(2

r

rLkas

r

rLhHka

Q−

=−

−=

ππ (20.148)

b. Mişcare cu nivel liber În cazul când mişcarea are loc cu nivel liber potenţialul hidraulic este ckh +−= 2ϕ (20.149) Procedând în mod asemănător punctului a se obţine ecuaţia suprafeţei de depresie

A

B

r

r

k

QhH ln22

π=− (20.150)

Pentru condiţiile de margine 0=y , 0rrA = , 02 rLrB −= şi 0hh =

rezultă debitul puţului:


( ) ( )

0

0

0

0

0

20

2

2ln

2ln

r

rLhHks

r

rLhHk

Q−

+=

−

−=

ππ (20.151)

Relaţiile de calcul al debitului pentru puţul în strat acvifer sub presiune

şi nivel liber se identifică dacă se pune condiţia 2

0hHa

+= , deci se consideră

mişcare sub presiune în stratul cu nivel liber de grosimea medie menţionată.

80. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune în curent uniform Soluţionarea problemei apelează la metoda hidrodinamică – funcţii de variabilă complexă. Mişcarea se compune dintr-o curgere uniformă (de translaţie) şi o curgere către puţ (sursă negativă). Sursa negativă în curent plan paralel deformează spectrul hidrodinamic al acestuia pe o anumită zonă, influenţa mai puternică resimţindu-se în apropierea puţului (fig. 20.41).

2b

b/2

b/2

θ π= /2

b/

θ πψ

ψ

ϕ

π

==0

y

x

A - punct de stagnare

Hh ak

j

h

x

0

0

curba de depresie

A

Fig. 20.41. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune în curent uniform

Curentul uniform este caracterizat prin 00 kju = .

Potenţialul complex pentru mişcarea plan paralelă este zvzw 0)( = , iar

pentru sursă punctiformă za

Qzw ln

2)(

π−= .


Funcţia complexă care descrie mişcarea este însumarea celor douăcurgeri

210 ln2

)( za

Qzvzw

π−= (20.152)

După înlocuirea variabilei complexe iyxz +=1 şi θirez =2 cu

22 yxr += , x

yarctg=θ şi separarea părţii reale şi imaginare se obţine

220 ln

2yx

a

Qxv +−=

πϕ

θπ

ψ ⋅−=a

Qyv

20 (20.153)

Zona de influenţă a puţului corespunde pentru 0=ψ , respectiv în

amonte pentru by = rezultă πθ = , respectiv ππ

⋅−=a

Qbv

20 0 (liniile de

curent nu sunt afectate în exterior). Zona de influenţă a puţului în amonte este

02av

Qb = (20.154)

Punctul de stagnare A se obţine pentru condiţia

0=⋅+= ivuV (20.155) însă

02 220 =

+−=

∂

∂=

yx

x

a

Qv

xu

π

ϕ (20.156)

şi

02 22

=+

−=∂

∂=

yx

y

a

Q

yv

π

ϕ (20.157)

Punctul A este situat pe axa x, deci 0=Ay şi ππ

b

av

Qx ==

02şi sarcina

Hh = . În calculul suprafeţei piezometrice (de depresie) se egalează funcţia potenţial a mişcării cu cel hidrodinamic pentru strat acvifer sub presiune

ckh +−=ϕ , deci

ckhyxa

Qxv +−=+− 22

0 ln2π


care pentru condiţia de margine 0=y , 0rx = şi 0hh = permite calculul

constantei şi ecuaţia suprafeţei piezometrice devine

0

000 ln2

)()(r

r

a

Qrxvhhk

π=−+− (20.157’)

Din condiţia Hh = , Axx = şi 0=Ay rezultă debitul puţului

( ) ( )

0

00

0

0

ln

2

ln

2

r

xrxav

r

xhHak

QA

A

A

−+

−=

ππ (20.158)

Lăţimea frontului de captare a puţului în amonte este 02 avQb = . Cu

cât 0v este mai mic se măreşte lăţimea frontului de captare şi distanţa de la puţpână la punctul de stagnare. Pentru 00 =v se obţine puţul perfect în acvifer sub

presiune cu alimentare radială. În exteriorul 0=ψ este partea necaptată a curentului subteran. Spectrul mişcării se construieşte prin trasarea funcţiilor ϕ şi ψ , ţinând seama de legătura cu coordonatele carteziene şi polare, astfel: - pentru funcţia ϕ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+=

22

0

ln

xry

rb

vx

π

ϕ

(20.159)

- pentru funcţia ψ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

θπ

ψ

θ

b

vy

yctgx

0

(20.160)

Pentru puţ perfect în curent subteran uniform cu nivel liber mersul calculelor este asemănător, însă cu constatarea că potenţialul hidraulic

este ckh +−= 2ϕ şi funcţia izvorului zQ

zw ln2

)(π

−= .


90. Puţ perfect în acvifer sub presiune, fără alimentareEste cazul din figura 20.36, în care acviferul sub presiune se întinde

nelimitat în toate direcţiile. Acviferul este lipsit de alimentare, deci cedarea apei către puţ se face pe seama rezervei proprii a zăcământului. Mecanismul de cedare a apei poate fi descris pe scurt astfel: - presupunând o pompare continuă, cu debit constant, aceasta duce la scăderea continuă a nivelului în puţ, şi deci la scăderea continuă a presiunii în strat; - scăderea presiunii în strat duce la cedarea apei pe două căi: – prin decomprimarea apei, care are ca efect cedarea rezervei elastice; – prin micşorarea porilor pământului sub acţiunea forţei de apăsare a stratului superior, care nu mai este echilibrată de presiunea apei din pori care scade continuu datorită pompării; - scăderile de presiune, generate de scăderea continuă a nivelului în puţ, se propagă concentric, ca nişte unde, în jurul puţului care antreneazăcedarea apei pe întinderi din ce în ce mai mari ale stratului. Cedarea apei se consideră proporţională cu scăderea de presiune. Coeficientul de proporţionalitate este coeficientul de cedare S al stratului, definit ca fiind cantitatea de apă cedată pe unitatea de suprafaţă a stratului (pe toată grosimea stratului) la scăderea cotei piezometrice cu o unitate. Figura 20.41 ilustrează cele descrise mai sus. Pe ea se arată situaţia iniţială a suprafeţei piezometrice şi apoi două situaţii tranzitorii, la momentul tşi dtt + . Aspectul lor pune în evidenţă caracterul nepermanent al fenomenului şi extinderea continuă a zonei de alimentare. Volumul de apă pompat din puţ în intervalul de timp dt este egal cu volumul cedat de strat în limita zonei haşurate, proporţional cu ordonata dintre cele două suprafeţe piezometrice. Ecuaţia de mişcare fiind legea lui Darcy, ecuaţia de bază a fenomenului se obţine dintr-o ecuaţie de continuitate. Simetria axială a mişcării sugerează folosirea coordonatelor cilindrice (în spaţiu) şi polare (în plan). Mişcarea este plană şi ),( trHH = , ),( trvv = nu sunt funcţii de θ deoarece mişcarea este simetrică faţă de axa Oz .

Fig. 20.41. Puţ perfect în acvifer sub presiune, fără alimentare

Notând cu q debitul prin suprafaţa cilindrică de rază r şi înălţime arezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂

∂−==

r

HrakVraq ππ 2)2( (20.161)

Ecuaţia de continuitate se obţine scriind că diferenţa de debit pe suprafeţele care delimitează coroana de raze r şi drr + provine din cedarea apei în tubul corespunzător, datorită scăderii cotei piezometrice în timp. Volumul cedat în timpul dt este:

dtt

HdrSrdW

∂

∂⋅= π2

În acelaşi interval de timp, prin pereţii tubului circulă un volum dtdq ⋅ . Egalând cele două, ţinând seama de concordanţa semnelor rezultă:

dtdrt

HSrdr

r

qdq

∂

∂=

∂

∂−=− π2 (20.162)

S-a pus semnul minus fiindcă la 0>∂

∂

t

H, 0<dq , cu debitul

considerat pozitiv în sensul axelor (respective după r). Înlocuind derivata lui q din (20.162) se obţine ecuaţia:

t

H

ak

S

r

H

rr

H

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ 12

2

(20.163)

Această ecuaţie este de fapt ecuaţia (20.112) Fourier transformată în coordonate polare (pentru ah = şi simetrie axială). Se observă că în ambele ecuaţii apare produsul ka . Ecuaţia (20.163) se întâlneşte şi la conducţia căldurii şi pune în evidenţă analogia între fenomenele de conducţie şi mişcarea laminară a apelor subterane. Această analogie se foloseşte în sensul că rezultate obţinute mult înainte în domeniul termodinamicii pot fi folosite direct în hidraulica subterană. Astfel, ecuaţia (20.163) a fost rezolvată mai înainte în termodinamică, iar soluţia a fost folosită de Theis pentru elaborarea unei metode pentru calculul puţurilor. Cu condiţiile de unicitate corespunzătoare problemei din figura 20.41 şi anume: la 0<t , 0Hh = şi la 0≥t , 0HH → pentru ∞→r , soluţia este:

∫∞ − ⋅

=−u

u

u

due

ak

QHH

π40 , (20.164)

în care:

akt

Sru

4

2

= (20.165)

Integrala din formula (20.164) este “integrala logaritmică”:

)()( uWduu

euE

u

u

i ==−− ∫∞ −

, (20.165’)

care se găseşte tabelată. Soluţia (20.164) se poate scrie:

)(40 uW

ak

QHH

π=− (20.166)

Funcţia )(uW se poate lua din tabel. Ţinând seama că pentru valori mici ale lui u (deci t suficient de mare) rezultă:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≅−−=bu

uEuW i

1ln)()( ,

cu 781,1577,0 == eb , se poate scrie soluţia aproximativă (pentru t foarte mare):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=−

Srb

akt

ak

QHH 20

4ln

4π (20.167)


100. Puţ perfect în acvifer cu suprafaţa liberă, fără alimentare Ecuaţia generală în coordonate carteziene este (20.111), cu 0=ε .

Ecuaţia este greu de integrat, fiind neliniară în h. Ea se poate liniariza şi aduce la forma (20.163) dacă se scrie debitul conform ecuaţiei (20.161), considerând

ha = , adâncimea medie a curentului subteran. Ecuaţia (20.111) se transformăîn (cu 0=ε ):

02

2

2

2

=∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

t

h

hk

n

y

h

x

h e ,

care în coordonate polare (fig. 20.34) se scrie astfel:

t

h

hk

n

r

h

rr

h e

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ 12

2

, (20.168)

deci ecuaţia de aceeaşi formă cu (20.163). Concluzia este că pentru mişcarea cu suprafaţă liberă se poate da o soluţie aproximativă de tipul celei de la punctul precedent:

)(40 uW

hk

QhH

π=− , (20.169)

unde:

hkt

nru e

4

2 ⋅= (20.170)

La acviferele cu suprafaţă liberă, coeficientul de cedare (egal cu en )

nu atinge de la început valoarea normală. La începutul pompării apa este cedatămai greu şi coeficientul de cedare este mai mic. Pe măsură ce timpul de pompare creşte, coeficientul de cedare creşte, din ce în ce mai încet, stabilindu-se practic după un anumit timp, dat de formula empirică:

,1035,5 0

5

k

SHTp

⋅= ],[ sm (20.171)

unde S este coeficientul de cedare, 0H – grosimea acviferului, k – coeficientul

de filtraţie.

110. Grup de puţuri Se consideră un sistem de n puţuri, dintr-un acvifer sub presiune,

prezentate în plan şi în secţiune verticală în figura 20.42. Puţurile sunt aşezate la distanţe mai mici decât raza lor de influenţă şi acţiunile lor interferează. Ca urmare, suprafaţa piezometrică a stratului – iniţial orizontală – capătă o formăcomplicată. În figura 20.42, linia curbă plină reprezintă o secţiune verticală prin


suprafaţa piezometrică. Ea exprimă legea de variaţie a presiunii în stratul de apă. Se observă că sub acţiunea pompării, acviferul se descarcă de presiune, ceea ce este avantajos pentru stabilitatea stratului impermeabil care constituie tavanul pânzei de apă. Fie că este vorba de stabilitate sau de captarea unui debit de apă, interesează relaţiile care să dea cotele piezometrice şi debitele. Problema, deşi complicată, se poate rezolva cu ajutorul metodei generale a potenţialului. În acest caz mişcarea este plană (deoarece se produce între cele două straturi impermeabile paralele) şi ecuaţia de bază se scrie:

),( yxp

zkkH ϕγ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−

Potenţialul ϕ se obţine scriind că el este suma potenţialelor celor npuţuri:

1 1

ln2

n ni

i ii i

Qr C

aφ φ

π= =

= = +∑ ∑ (20.172)

Fig. 20.42. Grup de puţuri în acvifer sub presiune

Ecuaţia generală a suprafeţei piezometrice se scrie deci sub forma:

Cra

QkH

n

ii

i +⋅⋅

=− ∑=1

ln2 π

(20.173)

În cazul unui acvifer cu nivel liber formula se modifică astfel:

CrQh

kn

ii

i +=− ∑=1

2

ln22 π

(20.174)

Restul formulelor se modifică în mod analog.


Determinarea constantei C depinde de formularea problemei. De fapt problema comportă 1+n constante arbitrare: constanta C şi cele n debite iQ .

Formularea 1. Dacă sunt date adâncimile în puţuri (cele n adâncimi

ih0 ) şi o condiţie la limita razei de influenţă a grupului (la Rrrr n ≅≅≅≅ …21

există 0HH = ) se pot scrie 1+n ecuaţii care determină cele 1+n constante:

constanta C şi cele n debite iQ .

Formularea 2. Dacă sunt date debitele iQ , cu ajutorul condiţiei la

limita razei de influenţă ( 0HH = pentru punctul ),,( 21 nrrrM … la distanţa R )

se determină constanta C şi rezultă ecuaţia suprafeţei piezometrice:

∑=⋅⋅⋅

+=n

i

ii R

rQ

akHH

10 ln

21

π (20.175)

Cu ajutorul acestei ecuaţii se poate calcula presiunea efectivă din stratul acvifer. Se calculează raza de influenţă, se aleg debitele iQ (de obicei

egale între ele QQQQ n === …21 ) şi cu ajutorul relaţiei (20.175) se calculeazăcotele în diferite puncte, inclusiv cotele la marginea puţurilor.

Formularea 3. Se presupun debitele iQ cunoscute şi egale între ele

( QQQQ n === …21 ) şi se cere să se determine valoarea lui Q astfel ca într-un

punct dat ),( 21 nrrrM ′′′′ … să existe o cotă piezometrică dată H ′ . Problema revine

la a calcula debitul Q care realizează o anumită descărcare de presiune a acviferului într-un punct critic M ′ şi este de fapt o completare a formulării 2. În condiţiile menţionate, ecuaţia (20.175) se scrie:

∑=

′

⋅⋅⋅+=′

n

i

ii R

rQ

akHH

10 ln

21

π,

din care rezultă debitul:

( )[ ]n

n rrrR

HHakQ

′⋅′⋅′

′−⋅⋅⋅=

…21

0

ln)(2 π

(20.176)

120. Viteza admisibilă la intrarea apei în puţUnul dintre criteriile de bază la dimensionarea puţurilor este

stabilitatea mecanică a stratului acvifer în imediata vecinătate a puţului. Aici se înregistrează vitezele reale de filtrare cele mai mari şi este posibilăantrenarea particulelor constituente al mediului poros, iar în exploatarea puţurilor nu este admisă această antrenare întrucât s-ar distruge structura naturală a mediului permeabil şi se înnisipează puţul.

Debitul extras din puţ trebuie limitat la valorile impuse de condiţiile de stabilitate a mediului permeabil. - pentru puţ în strat acvifer sub presiune admavrQ 02π≤ (20.177)

- iar în puţ în strat acvifer cu nivel liber

admvhrQ 002π≤ (20.178)

unde: 0r se referă la raza exterioară a coroanei de filtru a puţului.

Vitezele admisibile ale vitezei de intrare sunt: - după Sichardt

15k

vadm =

- iar după Abramov 365 kvadm =

Standardele româneşti stabilesc vitezele admisibile la valorile din (tab. 20.3).

Vitezele admisibile de intrare a apei în puţuri Tabelul 20.3.

Conţinutul în nisip al stratului de mediu permeabil captat

admv(m/s)

60% particule cu d < 1 mm 0,002 40% particule cu d < 0,5 mm 0,001 40% particule cu d < 0,25 mm 0,0005

130. Puţ absorbant perfect în acvifer cu suprafaţa liberăPuţul absorbant – sursă pozitivă – este un puţ în care se introduce un

debit de apă în diferite scopuri (îmbogăţirea stratului acvifer, apa uzată epuratăetc). Nivelul apei în puţ este superior nivelului hidrostatic din mediul permeabil şi apa din puţ se infiltrează în stratul permeabil (fig. 20.43).


Fig. 20.43. Puţ absorbant perfect

Suprafaţa liberă din acvifer în urma creşterii nivelului în puţ cu Hhs −= 0 în regim staţionar este:

0

220 ln

r

r

k

Qhh

π=− (20.179)

iar debitul distribuit de puţ acviferului

( )

0

220

lnr

RHhk

Q−

=π

(20.180)

20.4.2. Mişcarea apelor subterane spre drenuri

Drenurile sunt construcţii longitudinale, executate sub formă de tuburi permeabile, canale sau şanţuri, care captează (drenează) apa din pământ. Ele sunt folosite pentru captarea apelor subterane în scopul folosirii lor sau în scopul controlului nivelului şi presiunii acviferelor, sau în scopul îndepărtării apei în exces (desecare sau drenare). Folosite în scopuri diverse, drenurile sunt construcţii foarte răspândite şi cu forme de realizare – şi implicit condiţii de calcul – foarte variate.

10. Drenul perfect în acvifer sub presiune alimentat lateralSchema acestui dren este prezentată în figura 20.44. Drenul se

numeşte perfect, deoarece este permeabil şi captează apa în întreaga grosime a stratului acvifer, respectiv străpunge stratul până la patul impermeabil. Mişcarea în stratul acvifer este uniformă şi se produce sub diferenţa de sarcină 00 hHs −= . Problema principală este calculul debitului, care se rezolvădirect, debitul specific (pe unitatea de lungime de dren) fiind:

h

s

h

rR

dr

dH

r

k

NHSI

Q

0

0


L

kasakJaVVaq ===⋅= )1( (20.181)

s h

H a

H

xL

Put de observatie

Tavan impermeabil

A

kAcvifer V

XX Plan de referinta

Pat impermeabil

q q

V

Linia piezometrica

0

0

Dre

n

Fro

nt d

eal

imen

tare

Fig. 20.44. Drenul perfect în acvifer sub presiune alimentat radial

În funcţie de debit, rezultă denivelarea sau sarcina necesară a drenului: )/(kaqLs = .

Linia piezometrică are ecuaţia:

xak

qhH

⋅+= 0 , (20.182)

şi este linia dreaptă care uneşte nivelele extreme.

20. Drenul perfect în acvifer cu suprafaţă liberă, cu pat orizontal, alimentat lateral

Schema acestui dren este arătată în figura 20.45. Considerând un dren de lungime mare, problema se poate reduce la modelul filtraţiei plane pe pat orizontal. Pentru calculul debitului şi suprafeţei libere se aplică relaţia mişcării permanente variate pentru 0=I (parabola lui Dupuit):

( )

L

hHkq

2

20

20 −

= ; (20.183)

xk

qhh

220 +=′ (20.184)

Ultima ecuaţie descrie curba suprafeţei libere trasată pe figura 20.45 cu linie întreruptă, adică în ipoteza că se racordează la înălţimea 0h din dren

(ipoteza Dupuit). În realitate, din cauza condiţiilor speciale existente la trecerea de la masivul de pământ la spaţiul liber din dren, suprafaţa liberă efectivă


rămâne mai sus. Apa intră în dren nu numai pe înălţimea 0h , ci pe o înălţime

mai mare ihh Δ+0 . Apare o zonă de izvorâre de înălţime ihΔ .

Curba reală a suprafeţei libere va fi dată de relaţia:

xk

qhhh i

2)( 2

0 +Δ+= (20.185)

După Polubarinova-Kocina înălţimea de izvorâre la peretele vertical al unui dren poate fi determinată cu ajutorul graficului din figura 20.46, stabilit pe cale analitică.

Fig. 20.45. Drenul perfect în acvifer cu suprafaţa liberă, alimentat lateral

Fig. 20.46. Abacă pentru calculul înălţimii de izvorâre la drenuri cu perete filtrant vertical

30. Drenajul sistematic Drenajul sistematic este realizat din tuburi închise, canale, şanţuri la

echidistanţă (perfecte sau imperfecte), în scopul evacuării excesului de umiditate provenită de la infiltraţii de la suprafaţă. Atât infiltraţia, cât şi mişcarea apei spre drenuri este variabilă în timp, deci o mişcare nepermanentă. Diferite soluţii ale ecuaţiilor mişcării, în diferite condiţii concrete sunt prezentate în lucrări de specialitate de calcul al infiltraţiilor, desecări, drenaje.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.10

0.2

0.3

0.4

0.50.6

0.7

0.80.9

1

0.5

Δhj

H0

H0h

0HL =0


40. Infiltraţia din canale şi drenuri Un canal de pământ în care nivelul apei se află deasupra nivelului

pânzei subterane se comportă ca un dren invers, din care apa se infiltrează în pământ, alimentând pânza subterană. Fenomenul poate să fie şi dirijat în cazul când serveşte la îmbogăţirea unei pânze subterane din care apa se captează în scopuri utile. În figura 20.47.a se arată aspectul mişcării apei, care se infiltreazădintr-un canal şi se mişcă apoi într-un teren permeabil, în care nivelul pânzei subterane este situat mult mai jos decât fundul canalului. La ieşirea din canal, liniile de curent sunt normale la suprafaţa taluzurilor şi fundului, apoi se curbează în jos şi după o oarecare distanţă devin paralele. În această zonă apa infiltrată se mişcă pe verticală, pe o lăţime 0B , cu panta hidraulică

1=ΔΔ= zzJ , deci debitul infiltrat de unitatea de lungime a canalului va fi:

kBkJBVBq 000 === (20.185’)

Lăţimea 0B a putut fi determinată teoretic, rezultând formula:

ChBB +=0 ,

în care coeficientul C se ia din tabelul 20.4 în funcţie de panta taluzurilor canalului şi de raportul între oglinda apei şi adâncimea apei în canal. În terenuri fine se face simţită şi influenţa capilarităţii, care face săcrească 0B . În cazul când pânza subterană este mai aproape (fig. 20.47b)

debitul scade.

Valorile coeficientului C pentru lăţimea frontului de infiltraţie Tabelul 20.4. B/h 0 2 4 6 8 12 16 20

m=0 2,80 - - - - - - - m=1 - 2,00 2,70 3,15 3,45 3,85 4,10 - m=1,5 - - 2,25 2,70 3,00 3,40 3,70 - m=2 - - 1,80 2,30 2,65 3,10 3,40 3,60 m=2,5 - - - 2,05 2,40 2,85 3,15 3,35


h

B

B

p=p a

t

0a)

b)

Fig. 20.47. Infiltraţia dintr-un canal de pământ

Infiltraţia apei de irigaţie din brazde poate fi privită ca o mişcare asemănătoare celei prezentate însă este mult mai complicată. Parametrii hidraulici în lungul brazdei variază datorită infiltraţiei, iar frontul de avans întâlneşte un mediu permeabil nesaturat în care tensiunea superficială şi chiar forţele moleculare joacă rol important. Mişcarea este dependentă de timp şi spaţiu (lungul brazdei) şi uneori la udarea prin brazde se utilizează la alimentarea lor două trepte la debit. Irigaţia subterană recurge la distribuirea apei din conducte îngropate care funcţionează cu presiuni manometrice mici (linia piezometrică nu depăşeşte suprafaţa terenului). Conducta de distribuţie subterană poate fi privităca un dren invers, ea alimentează pânza subterană, iar prin ridicarea acesteia se umectează stratul de sol activ (fig. 20.48).

Fig. 20.48. Irigaţia subterană prin alimentarea pânzei freatice

Irigarea subterană prin ridicarea nivelului freatic se poate aplica în situaţia când patul impermeabil se află la o adâncime mică şi există un control al alimentării drenurilor respective asupra nivelului freatic. Totuşi distanţa dintre drenuri la faza de drenare şi la faza de distribuţie, pentru aceleaşi condiţii, diferă. La faza de distribuţie din drenuri

k

t

0

p/

t=0

γ


distanţa între acestea este mai mică. Experienţele arată reducerea coeficientului de filtraţie la faza de distribuţie faţă de faza de drenare. Explicaţia fenomenului de modificare a coeficientului de filtraţie k la acelaşi mediu permeabil, deci coeficient de permeabilitate unic, pk , rezultă din calitatea apei. La faza de

drenare se colectează apă subterană având un anumit grad de aerare, iar la faza de distribuţie se utilizează apă de la suprafaţă având conţinut de aer absorbit mai mare. Apa de suprafaţă distribuită în subteran are tendinţa de a aduce conţinutul de aer absorbit la caracteristicile apei subterane prin eliberare din aerul absorbit. Această cantitate de aer eliberat blochează porii mediului permeabil reducându-i coeficientul de filtraţie. Problemele menţionate sunt de pionierat şi necesită studii sistematice aprofundate.

20.5. FILTRAŢIA APEI PRIN CORPUL CONSTRUCŢIILOR DIN PĂMÂNT

Barajele, digurile şi batardourile din pământ sunt construcţii masive supuse acţiunii apei sub sarcini diferite de până peste o sută metri coloană de apă. Sub sarcina hidraulică apa circulă prin porii masivelor de pământ, formând curenţi în zona umedă a construcţiilor. Umezirea unei părţi a construcţiei de pământ şi acţiunea forţelor hidrodinamice au implicaţii asupra stabilităţii masivelor. Curenţii prin aceste construcţii transportă diferite debite care prezintă importanţă diferită de la caz la caz. Filtraţia prin construcţiile de pământ îmbracă aspecte diferite: existămişcări care pot fi tratate drept curgeri permanente (ex: baraje,batardouri, diguri ale acumulărilor permanente), în alte cazuri mişcarea este nepermanentăcu variaţii regulate sau oarecare (ex: digurile de apărare împotriva inundaţiilor). Masivele de pământ ale construcţiilor pot fi medii permeabile omogene izotrope sau neomogene în funcţie de tipul construcţiei, tehnologia de realizare etc. Construcţiile din pământ au diferite condiţii de fundare din punct de vedere al filtraţiei şi, uneori, există îmbunătăţiri ale acesteia sau se utilizeazăelemente de construcţie care reduc sau îmbunătăţesc condiţiile de filtrare a apei.


20.5.1. Filtraţia prin corpul barajelor de pământ

Filtraţia prin baraje de pământ poate fi privită ca un caz de mişcare permanentă în ipotezele cele mai nefavorabile de funcţionare. Construcţia este solicitată de apa reţinută în lac la care variaţia nivelului în timp este mică. Ipotezele de calcul cele mai nefavorabile sunt acoperitoare şi totodată posibile să apară în exploatare. Rezultatele calculelor folosesc la determinarea stabilităţii taluzurilor, stabilitatea barajului, stabilitatea terenului de fundaţie etc. Reducerea infiltraţiilor prin corpul barajelor se realizează prin nuclee cu permeabilitate redusă, ecrane (măşti), iar coborârea suprafeţei libere a apei infiltrate – în scopul reducerii pământului umectat din corpul barajului – se realizează prin diferite forme de drenaj – prism drenant, dren, saltea drenantă, banchetă de anrocament ş.a. Barajele din pământ pot fi omogene sau neomogene – neomogenitate creată de nucleu, mască ş.a. În concordanţă cu marea varietate de combinaţii de soluţii constructive şi calculele hidraulice diferă de la un caz la caz, dar principial se pot găsi soluţii aproximative, acoperitoare pe cale hidraulică sau hidrodinamică. Soluţionarea filtraţiei prin baraje de pământ pe cale hidraulică a fost elucidată de N.N. Pavlovski.

10. Filtraţia prin baraj de pământ omogen fundat pe pat impermeabil orizontal Se consideră barajul omogen din (fig. 20.49).

HH

d

hl

ϕ

yh θ

a

t

m H xs

s s

B

m h

θ

b

1

0

1

1 0 2 a

00

1'1 2

1

0

N

C

B

AA'

A"

M0

1"

i=0a 2

m 1

m2

k

y

x

Fig. 20.49. Filtraţia prin baraj de pământ omogen pe strat impermeabil orizontal


Mărimile din figură definesc secţiunea transversală a barajului şi condiţiile hidraulice limită din biefurile amonte şi aval. Aceste mărimi sunt cunoscute, precum şi coeficientul de filtraţie k. La filtraţia cu nivel liber mişcarea are loc prin prelingere, adică curba de depresie (nivelul liber) AB are punctual de ieşire B deasupra punctului C, corespunzătoare contactului cu nivelul apei din aval. Segmentul BC este zona de prelingere. Secţiunile 1′′ (trece prin muchia amonte a coronamentului) şi 2′′ (trece prin punctul B – de apariţie a apei pe taluzul aval) sunt secţiuni de separaţie şi împart corpul barajului (secţiunea transversală) în trei fragmente. Calculele filtraţiei pe cele trei fragmente diferă, însă se respectă condiţia de continuitate (debitul specific filtrat pe cele trei fragmente este acelaşi).

a. Fragmentul amonte este limitat de taluzul amonte şi secţiunea de separaţie 1′′

Rezistenţele hidraulice care apar la mişcarea curentului de filtraţie, în primul fragment, determină pierderile de sarcină şi în consecinţă coborârea nivelului de la punctul A la A ′′ . hHa −= 0 (20.186)

Fig. 20.50. Filtraţia prin segmentul amonte

Linia taluzului amonte AM este izobară (echipotenţială) şi îi este caracteristică

constp

yH =+=γ

0 (20.187)

În mod analog secţiunea de ieşire EA ′′ trebuie să fie echipotenţială. Liniile de curent sunt normale pe cele echipotenţiale, au o curbură pronunţată şi sunt cvasiparalele între ele.


Firele de curent reale se înlocuiesc cu fire virtuale orizontale, echivalente, de ordonată z, grosime dz şi lungime )(1 dzml += (20.188) Pierderile de sarcină în segmentul amonte au valoarea a, rezultând panta hidraulică pentru firul de curent virtual considerat

1( )

aI

m d z=

+ (20.189)

Debitul specific filtrat pe secţiunea dzdA ⋅= 1 este:

1( )

kadq kIdA dz

m d z= =

+ (20.190)

Însumarea debitelor elementare pe domeniul ],[ 0Haz ∈ permite

obţinerea debitului specific (pe 1 m lăţime)

ad

Hd

m

akq

+

+⋅= 0

1

ln (20.191)

sau înlocuind hHa −= 0 şi 10 HdH =+ , rezultă:

hH

H

m

hHkq

−

−=

1

1

1

0 ln)(

(20.192)

Relaţia (20.192) supraapreciază pierderile pe fragmentul amonte, subapreciind debitul specific filtrat şi se recomandă corecţia sa. După Dachler: )( 0 hHkq −= ε (20.193)

unde:

1

93,112,1

m+=ε

sau pe baza teoriei hidrodinamice a filtraţiei

12

1)(cos

1

θ

π

θ

ε = (20.194)

b. Fragmentul central se consideră situat între secţiunile 1′ şi 2. Între aceste secţiuni are loc o mişcare permanentă gradual variată pe pat impermeabil orizontal şi i se aplică relaţia lui Dupuit (parabola), respectând continuitatea:

( )

s

hhkq a

2

22 −= (20.195)

în care 0atha += .

c. Fragmentul aval În cazul schemei prezentate pe taluzul aval apare o zonă de prelingere

şi aceasta totdeauna există pentru 22 πθ <

yθ

t

ky

0 N

C

2

m2

θ2

lz

dz t

aC

B

G

k1

2 N

0

m2

Fig. 20.51. Schemă explicativă Fig. 20.52. Calculul hidraulic al a spectrului mişcării pe fragmentului aval fragmentul aval

Segmentul CN de pe taluzul aval este o linie echipotenţială şi liniile de curent sunt normale pe ea. Curba suprafeţei libere fiind o linie de curent trebuie să fie normală la suprafaţa echipotenţială CN. În acelaşi timp pe suprafaţa curbei de depresie presiunea este constantă, cea atmosferică, 0== app . Curba

de depresie ar trebui să aibă forma din fig. 20.51, cu sarcina yH = , care ar trebui să crească spre aval (în lungul curentului). Acest fapt este imposibil energetic, energia specifică scade continuu spre aval. Existenţa pierderilor de energie pe fragmentul aval evidenţiază micşorarea spre aval a cotei suprafeţe libere. În concluzie apa nu poate ieşi pe taluz în punctul C; este inevitabilăapariţia zonei de prelingere. Debitul filtrat pe fragmentul aval se calculează conform fig. 20.52, fragmentul fiind împărţit prin orizontala nivelului aval în două subfragmente: - subfragmentul 1 (deasupra nivelului aval), în care filtraţia (cu debitul specific 1q ) are loc sub sarcină variabilă (z) şi - subfragmentul (sub nivelul aval), în care filtraţia (cu debitul specific

2q ) are loc sub sarcină constantă 0a .

În calcule hidraulice se introduce o aproximare privind secţiunea limită 2, care în loc de verticala punctului B ia coarda arcului de cerc BG, cu originea în N (piciorul taluzului aval).


Parte din debitul filtrat iese în atmosferă pe taluzul aval, în zona de prelingere BC, iar altă parte în zona CN, sub nivelul din aval. Ca şi pe fragmentul amonte şi pe cele două subfragmente aval tuburile elementare de curent reale se înlocuiesc cu tuburi elementare orizontale virtuale de grosime dz. Debitul specific total filtrat este: 21 qqq += (20.196)

În zona subfragmentului aval superior, 1, lungimea firului de curent este:

2sinθ

zl = (20.197)

iar pierderile de sarcină sunt zhr = . Rezultă panta hidraulică

22

sinsin

θθ

===z

z

l

hrI (20.198)

şi debitul elementar dzkdAIkdq ⋅⋅⋅=⋅⋅= 21 sin1 θ (20.199)

respectiv, prin integrare pe domeniul ],0[ 0az ∈ , debitul specific

201 sinθkaq = (20.200)

În zona subfragmentului aval inferior, 2, lungimea firului de curent este (20.197), iar pierderile de sarcină 0ahr = . Rezultă panta hidraulică

z

aI 20 sinθ

= (20.201)

şi debitul specific elementar

z

dzakdq ⋅⋅= 202 sinθ (20.202)

iar după integrare pe domeniul ],[ 0 ahaz ∈

0

202 lnsina

hakq a⋅⋅= θ (20.203)

Debitul total filtrat este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=+=

02021 ln1sin

a

hakqqq aθ (20.204)

Dacă secţiunea limită 2 se consideră verticală, debitul specific este:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=

020

020 ln1

1ln1

a

h

mak

a

htgakq aaθ (20.205)

În virtutea continuităţii, debitele filtrate pe cele trei fragmente (ecuaţiile 20.193, 20.195 şi 20.204) sunt egale. Numărul necunoscutelor în aceste trei ecuaţii este 4 şi anume h , 0a , s

şi q. Pentru rezolvarea sistemului acesta se completează, din condiţia geometrică, cu 0201 lhmHmBs a −−−= (20.206)

în care 121 )( HmmbB ++=

şi kql =0

Sistemul de ecuaţii rezultat este:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−−=

+=

−=

−=

shmHmBkq

ahakqs

hhkq

hHkq

a

a

a

201

020

22

0

)ln1(sin2

)(

θ

ε

(20.207)

Sistemul de ecuaţii (20.207) este valabil şi pentru cazul când bieful aval este uscat ( 0=t şi 0aha = ).

Sistemul de ecuaţii se rezolvă printr-o metodă matematică sau grafo-analitică. După calculul necunoscutelor se construieşte prin puncte curba de depresie. Întâi se trasează curba suprafeţei libere pe fragmentul de mijloc cu ecuaţia

( )02 2

lxk

lhy −−= (20.208)

Începutul curbei este în punctul A′ , iar sfârşitul în B . Curba se construieşte prin puncte pentru ],[ 00 lslx +∈ .

La trasarea curbei de depresie pe fragmentul amonte, între punctele Aşi A′ trebuie să respecte următoarele condiţii:


- în punctul A , tangenta la curba de depresie este normală la linia taluzului amonte; - în punctul A′ curba de depresie din fragmentul amonte şi central au tangentă comună şi face cu orizontala unghiului ϕ (ce se obţine prin diferenţierea ecuaţiei 20.208 şi pentru condiţia de margine hy → ), obţinând:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

kh

qarctgϕ (20.209)

Racordarea curbei de depresie în punctual B este tangenţială la taluzul aval. Forma curbei de depresie depinde de raportul kq , elementele geometrice ale barajului şi condiţiile hidraulice din bieful amonte şi aval.

20. Filtraţia prin baraj de pământ cu nucleu, fundat pe teren impermeabil orizontal

Caracteristica nucleului unui baraj este aceea că coeficientul său de filtraţie Nk este mult mai mic decât al umpluturii. Din acest considerent, chiar

şi în cazul unei grosimi mici a nucleului, pierderile de sarcină pe acesta sunt importante, curba de depresie coborând apreciabil. Nucleul în cele mai multe cazuri are secţiune trapezoidală şi pinten de încastrare în patul impermeabil (fig. 20.53).

Hh

lh'

δ

h"a

tθθ

δ ccb

δ

l l s s

m h

0

M 1 00

2

1

N

KA'

A

LB

C

N

kN

1 2

0

2 a

2

0

x

y

k

m 1

m2

N

Fig. 20.53. Curba de depresie în baraj cu nucleu fund pe pat impermeabil orizontal


Pentru simplificare se consideră un nucleu echivalent de secţiune dreptunghiulară cu

2

21 δδδ

+=N

Calculul filtraţiei este analog cu cele prezentate la pct.1 fragmentul de mijloc însă este divizat în trei subfragmente, deci parabola lui Dupuit se calculează pe subfragmente obţinând sistemul de ecuaţii:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=

+=

−′′=

′′−′=

′−=

−=

020

020

222

22

122

0

)ln1(sin

2)(

2)(

2)(

)(

lhmss

ahakq

lhhkq

hhkq

lhhkq

hHkq

a

a

a

N

θ

δ

ε

(20.210)

Necunoscutele sunt 0h , 0a , q , s , h′ şi h ′′ . Sistemul se rezolvă

printr-o metodă matematică, numerică sau grafo-analitică. Calculele pot fi rezolvate prin înlocuire virtuală a nucleului cu un prism echivalent de mediu poros cu coeficient de filtraţie k şi lăţime echivalentă

N

Ne k

kl δ= (20.211)

şi lucrând cu baraj omogen cu (sistemul de ecuaţii 20.207):

N

Neechiv k

kclcb δ+=+= 22 (20.212)

30. Baraj de pământ cu ecran fundat pe teren impermeabil orizontal

Prin ecranul puţin permeabil care formează paramentul amonte al barajului se produc pierderi de sarcină importante, suprafaţa curbei de depresie coborând mult. Din condiţii hidraulice şi de stabilitate ecranele se execută cu grosime variabilă, crescătoare de la suprafaţă spre adâncime (fig. 20.54). În calcule se va considera un ecran de grosime constantă, eδ .


Fig. 20.54. Curba de depresie în baraj cu ecran fundat pe pat impermeabil orizontal

Dacă BA′ este poziţia curbei de depresie, suprafeţele de separaţie sunt 1 şi 2 care trec prin punctele E şi B. Segmentul AE este normal pe suprafaţa taluzului. Pentru fragmentele de mijloc şi aval sunt caracteristice consideraţiile (şi ecuaţiile) de la punctul 1. Fragmentul ecranului din amonte se poate schematiza conform fig. 20.55 în două subfragmente – zona superioară şi zona inferioară.

Hd

δ

d

h

z

dh

ξ

z

s'l

0

kee

II

ID

e

A'A"

E0

A

1' 1

1θ

ζ

ξ

ζ

m 1

Fig. 20.55. Schema de calcul al fragmentului amonte

Ducând normale la taluzul amonte din A′ , linia AD împarte ecranul în subfragmente.


Debitul total filtrat este suma debitelor filtrate pe cele douăsubfragmente: 21 qqq += (20.213) Ecuaţiile celor două subzone se determină separat.

a. Zona superioară Se consideră firul de curent rectiliniu şi normal la taluz. Poziţia firului este definit din coordonata z, respectiv grosimea ζd , debitul elementar fiind:

ζδ

ζ dz

kIdkdqe

ee ⋅== (20.214)

dar

1sinθ

ζdz

d = , (20.215)

şi

dzz

kdqe

e1

1 sin1θδ

⋅= (20.216)

Însumarea 1dq pe intervalul ],[ 00 ehHzz −∈ conduce la relaţia

( )[ ]

1

20

20

1 sin2 θδe

ee zhHkq

−−= (20.217)

unde 10 sinθδez = .

Pentru simplificarea soluţiei se poate admite hhe =

( )[ ]

1

2220

1 sin2sin

θδ

αδ

e

ee hHkq

−−≅ (20.218)

b. Zona inferioară La calculul lui 2q se foloseşte de schema echivalentă. Firul de curent de calcul este de grosime ζd în ecran şi ξd în umplutură. Geometric rezultă:

1sinθζξ dd = (20.219)

Lungimea firului în ecran este eδ , iar pe porţiunea orizontală ξ1ml = .

Partea înclinată a firului de curent, situată în limitele ecranului, se înlocuieşte cu o lungime echivalentă, sub aspectul pierderilor de sarcină, cu dimensiunea transversală ξd


1sinθδeek

kl ⋅=′ (20.220)

În zona inferioară filtraţia are loc sub sarcina constantă ehH −0 , iar

drumul filtraţiei este lll +′=′′ .

Fig. 20.56. Schema înlocuirii situaţiei reale cu o schemă echivalentă

Debitul elementar filtrat când se face aproximaţia hhe = , este:

ξξ

ξ dml

hHkdkIdq

1

02

+′

−⋅=⋅= (20.221)

Integrând ecuaţia în limitele 001 zhH −−=ξ şi 002 zH −=ξ se obţine:

)()(

ln)(

)(001

001

1

0

102

2

1hzHml

zHml

m

hHk

ml

dhHkq

−−+′

−+′−=

+′−= ∫

ξ

ξξ

ξ (20.222)

Pentru secţiunea întreaga a barajului se poate scrie sistemul:

2 21 0 0

1

2 0 1 0 0

1 1 0 0

1 2

2 2

0 20

0 2

( )

2 sin

( )ln

( )

1( )

2

sin 1 ln

e

a

a

a

q H h z

k

q H h l m H z

k m l m H z h

qq q

k k

q h h

k s

q ha

k a

s s m h

δ θ

θ

⎧ − −=⎪

⎪⎪ ′− + −

=⎪′ + − −⎪

⎪= +⎪

⎨⎪ −

=⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ = +⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

= −⎩

(20.223)

l' l=m

d

δ

d

l"1

e

ζ

ξ

ξ


cu 1010 sinθδeHmBs −−= .

Rezolvând sistemul de ecuaţii se găsesc cele 6 mărimi necunoscute

0a , h , s , 1q , 2q şi q .

40. Baraj de pământ cu dren Barajele de pământ sunt prevăzute deseori cu drenuri la piciorul aval.

Drenajul piciorului aval poate fi de 4 tipuri caracteristice, care genereazădiverse moduri de calcul al curbei de depresie.

θ θ

y

xs

θ

θ θ θt t t

a

C

B

2

b

bancheta dren

2

c 2

saltea

d12 C

d2

2

C

prism

d3

2

C

h0

B

Fig. 20.57. Scheme de drenaj şi forma curbelor de depresie

- Cazul a nu introduce nici o modificare a problemei filtraţiei, bancheta având rol de sprijinire a taluzului înmuiat şi de prevenire a sufoziei. Poziţionarea curbei de depresie se face analog cu primul caz prezentat. - Când barajul este prevăzut cu dren pe talpa fundaţiei (cazul b) profilul se împarte în două fragmente – amonte şi mijloc, fragmentul amonte calculându-se analog cu cele prezentate. În fragmentul din mijloc dacă se neglijează adâncimea mică a apei în dren comparativ cu dimensiunile barajului se obţine

s

h

s

hh

k

q

2~

2

220

2 −= (20.224)

care completat cu ecuaţiile

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

−=

00

0 )(

lss

hHk

qε

(20.225)

permit calculul lui h , q şi s .


Curba de depresie pe fragmentul de mijloc se obţine prin reprezentarea ecuaţiei (20.208). Drenul trebuie să aibă capacitatea de evacuare a întregului debit filtrat, în caz contrar există pericolul deversării sale şi apariţia apei pe taluz. Când drenul funcţionează normal curba de depresie se racordează cu aceasta după o tangentă verticală. - În cazul c al drenajului cu saltea (fig. 20.58), secţiunea barajului se împarte în fragmentul amonte (care se calculează în mod analog celor prezentate) şi fragmentul central (principal).

H yly

y

xs s

l

A

11'

kA'

0

0 B

2D

x

y

0

dr

1 2

Fig. 20.58. Curba de depresie la baraj drenat cu saltea

Problema aparte este determinarea drl care rezultă din relaţia lui

Dupuit pentru un dren

k

qldr 2

= (20.226)

Sistemul de ecuaţii ce se obţine este:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−−=

=

−=

01

2

0

2

2

)(

lk

qss

s

hkq

hHkq ε

(20.227)

din care se determină q , h şi s . Valoarea kqy =0 .

Într-un caz simplificat, când 0=drl , rezultă 01 lss += şi trebuie

determinat h şi de reprezentat curba de depresie.

- În cazul d, 22 πθ > . Între prisma de anrocament şi umplutură se intercalează un filtru invers pentru prevenirea sufoziei. Curba de depresie se racordează diferenţiat cu paramentul aval înclinat, în raport cu adâncimea t din aval. Când limtt < există o zonă de prelingere (caz 1d ) şi curba de depresie se racordează tangent la o verticală ridicată din punctul B. În lipsa apei din aval ( 0=t ) zona de prelingere există totdeauna, la fel pentru limtt < .

Pentru h

qmftt p )(lim == curba de depresie este normală la suprafaţa

banchetei de anrocamente (cazul 2d ), iar pentru limtt > racordarea se face dupăo orizontală (cazul 3d ).

Valorile )( pmf

Tabelul 20.5.

pm 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

)( pmf 0,725 0,439 0,312 0,240 0,195

20.5.2. Filtraţia prin corpul digurilor

Digurile sunt lucrări hidrotehnice longitudinale pe cursuri de apă şi au rolul de apărare împotriva inundaţiilor. Sunt construite din pământ provenit din zona dig-mal. Tehnologia lor de execuţie implică anizotropie, coeficientul de filtraţie pe orizontală este mult superior celei pe verticală, vkk >>0 . Din acest

considerent infiltraţia are loc pe orizontală, schimbul de masă pe verticală este neglijabil. Digurile, cu înălţimi între 125,0 … m, sunt calculate pentru o anumităprobabilitate de depăşire a nivelului în funcţie de importanţa obiectivelor apărate. Ele trebuie să reziste la acţiunea apei, taluzurile trebuie să fie stabilite. Faţă de baraje, digurile longitudinale de apărare prezintă unele particularităţi de structură şi funcţionale, după cum urmează: - digurile sunt protejate doar cu covor vegetal; - nu sunt prevăzute cu ecrane, nuclee, decât cele de importanţă majoră; - drenajul corpului digurilor nu este asigurat; - în intervalul incintei protejate, la distanţă determinată, sunt prevăzute


cu un canal drenant deschis pentru drenarea fundaţiei şi drenarea parţială a digului (fig. 20.59); - funcţionalul lor diferă de cel al barajelor; digurile vin în contact cu apa la viituri, care au durată limitată (de la câteva ore la zile, eventual perioadămai lungă în cazul Dunării); - variaţia nivelului în exteriorul digurilor este nepermanentă şi, de obicei neregulată şi bruscă (în special la creştere), conform hidrografului de viitură. Hidrograful luat în calcul este cel modificat de încorsetarea râului prin îndiguire; - umiditatea digurilor înainte de viitură se consideră la valoarea capacităţii de reţinere rn .

H(Q)

0t

t

W

N

kk

0

y

0

fundatie permeabila

max

curgere de baza

Canal deinterceptie

Fig. 20.59. Schema digului, canalului de intercepţie şi hidrograful de viitură

10. Infiltraţia nepermanentă în diguri anizotrope Se presupune corpul digului mediu omogen şi anizotrop, umiditatea sa la apariţia viiturii fiind la valoarea porozităţii de reţinere rn . Apa infiltrată din

viitură circulă în porii reprezentând capacitatea de cedare cn .

În momentul iniţial ( 0=t ) avansul apei în corpul digului este: 0

0=

=tx (20.228)

Se consideră digul din fig. 20.60, mişcarea fiind plană verticală. Corpul digului se împarte în fire de curent finite de secţiune 1⋅= aA , iar presiunea la frontul de avans al apei cea atmosferică.


H=variabil

x dx

aPa

1

Fig. 20.60. Schema infiltraţiei nepermanente orizontale într-un dig anizotrop ( vkk >>0 )

Pe firul de secţiune 1⋅a frontul infiltraţiei în momentul t a ajuns la distanţa x. După timpul dt frontul avansează cu dx sub sarcina H. Ecuaţia mişcării se obţine din legea lui Darcy şi de conservare a masei, astfel: - viteza aparentă a infiltraţiei este:

x

HkIkv 00 =⋅= (20.229)

- volumul de apă infiltrat din viitură în timpul dt pe suprafaţa firului 1⋅a este egal cu volumul porozităţii de cedare pe distanţa dx (apa se

înmagazinează în porozitatea de cedare): dxnadtva c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 11 (20.230)

După înlocuirea vitezei aparente şi separarea variabilelor avem

dtn

Hkxdx

c

0= (20.231)

Integrând ecuaţia, avem

∫=t

c

Hdtn

kx

0

02 (20.232)

Integrala ∫t

Hdt0

este suprafaţa hidrografului nivelurilor viiturii din

momentul creşterii nivelului peste firul considerat până în momentul considerat t (fig. 20.61).


t

HH variabil

H.dt=A0

x(t)

t

H

t

Fig. 20.61. Schema de calcul a integralei (20.232)

În această situaţie avansul este:

An

kx

c

02= (20.233)

sau admiţând un hidrograf discretizat în dreptunghi, cu tHA ⋅= ,

tHn

kx

c

⋅= 02 (20.234)

Calculele trebuie efectuate pentru fiecare fir de curent la momente analoage. De obicei calculele se efectuează în diferenţe finite. Ecuaţia frontului de umectare într-un masiv de pământ omogen şi izotrop cu front de alimentare vertical la ridicarea bruscă a apei se obţine din integrarea ecuaţiei Boussinesq (20.) sub forma

tn

kHx

c

618,1= (20.235)

iar pentru front la alimentare înclinat

2

618,0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+= mH

x

Hn

tk

c

β (20.236)

în care ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=υ

βkH

mf , s-a stabilit experimental.


20.6. APLICAŢII

10. Două drenuri paralele, aşezate pe patul impermeabil orizontal la distanţa L, colectează apa, infiltrată uniform de pe interspaţiul dintre drenuri cu debitul specific ε . Să se determine cota maximă a suprafeţei libere şi poziţia acesteia dintre drenuri cunoscând adâncimile apei în drenuri 1h şi 2h şi

coeficientul de filtraţie k. Aplicaţia numerică: 5105 −⋅=k m/s, 50=L m; 10=ε mm/zi, 5,01 =h m, 8,02 =h m şi 00,2=H m.

H

hh

h

xL

k

h

x21

max

1

ε

2

Rezolvare: Drenurile fiind lungi mişcarea poate fi considerată planăverticală pentru care se poate scrie ecuaţia lui Boussinesq, pentru mişcarea permanentă (20.109)

022

22

=+∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

kx

h

ε

care integrată este:

022 21

22

=+++ CxCxk

h ε

Constantele de integrare rezultă din condiţiile de margine: - pentru 0=x , 1hh = şi 22

12 hC −=

- pentru Lx = , 2hh = şi k

L

L

hhC

22

22

21

1

ε−

−=

Ecuaţia curbei de depresie este:

xk

Lx

kx

L

hhhh ⋅

⋅+⋅−⋅

−−=

εε 222

212

1

- distanţa x pentru max=h se obţine prin anularea derivatei funcţiei


0)( =dxxdh din care se obţine

ε22

22

21

max

k

L

hhLx

h

−−=

=, iar

k

Lk

L

hhhhhh

442

2222

21

22

212

1max

⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−=

ε

ε

- debitul specific în secţiunea 1 este:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−−=−=

k

Lx

kL

hhk

dx

dhkhqx

εε222

21

care pentru drenul 1 devine:

L

hhkLq

22

21

1 22−

+−=ε

iar pentru drenul 2:

L

hhkLq

22

21

2 22−

+=ε

cu Lqqq ε==+ 21 .

Pentru aplicaţia numerică se obţin 68,26

max=

hx m

898,1max =h m

61 10088,3 −⋅−=q /smm3

62 10699,2 −⋅=q /smm3

20. Un curent acvifer uniform sub presiune caracterizat prin panta %1=I , 0,3=a , 3102,1 −⋅=k m/s şi 10=H m trebuie captat de o linie de

puţuri perfecte având raza lor de execuţie 15,00 =r m (fig. 20.41). Să se

determine distanţa dintre puţuri, debitul unui puţ şi coordonatele punctului de stagnare dacă denivelarea în puţuri este de 3s = m.

Rezolvare - curentul subteran are viteza:

5230 102,110102,1 −−− ⋅=⋅⋅=⋅= Ikv m/s

- debitul unui puţ este (20.158):


0

00

0

ln

)(2

ln

2

r

xrxav

r

xaks

QA

A

A

−+=

ππ

- coordonatele punctului de stagnare 0=Ay

ππ

b

av

QxA ==

02

unde b2 este zona de influenţă a puţului. Necunoscutele Q şi Ax nu se pot explicita, soluţionarea problemei fiind iterativă. Prin aproximaţii succesive se obţine: 40,24=Ax m 52,5=Q l/s

rezultând 65,76== Axb π m. Distanţa dintre puţuri este: 3,15365,7622 =⋅=b m

30. Dintr-un acvifer cu nivel liber cu 18=H m se pompeazăqvasiconstant debitul 5,25=Q l/s la o denivelare 85,1=s m într-un puţ perfect

cu raza 125,00 =r m (fig. 20.34). Denivelarea într-un piezometru aflat la

801 =r m este de 5,6=s cm. Să se determine coeficientul de filtraţie al stratului acvifer.

Rezolvare Aplicând ecuaţia curbei suprafeţei libere pentru puţul perfect în strat

acvifer cu nivel liber alimentat radial (20.115) pentru 80=r m şi 935,17065,000,18 =−=−= sHh m se obţine

( ) ( )4

220

120

2 1062,8125,080

ln15,16935,17

0255,0ln −⋅=

−=

−=

ππ r

r

hh

Qk m/s

cu 15,1685,100,180 =−=−= sHh m.

40. Să se determine debitul specific filtrat şi poziţia curbei de depresie în cazul unui baraj de pământ omogen fundat pe strat impermeabil orizontal (fig. 20.49), cunoscând: 171 =H m, 150 =H m, 12=b m, 4=t m, 31 =m ,

22 =m şi 6103 −⋅=k m/s.


Rezolvare Se calculează:

32175,043,18311 ==== oarcctgarcctgmθ rad

2 2 2 26,56 0, 46365oarcctgm arcctgθ = = = = rad

447,056,26sinsin 2 ==θ

293,1

)32175,0(cos

1

)(cos

1

32175,0221

1

===⋅

π

θ

π

θ

ε

9717)23(12)( 121 =⋅++=++= HmmbB m

5215397010 =⋅−=⋅−= HmBs m

400 +=+= ataha

00201 244)4(252 aahmss a −=+−=−=6

0 103 −⋅== qkql6

001 103244 −⋅−−=−= qalss

Sistemul de ecuaţii (20.207) devine:

( ) [ ]

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⋅⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⋅⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⋅−−

+−⋅=

−=

−⋅=−⋅⋅=−=

−

−

−

−

−−

0

00

6

0

00

6

020

60

20

2622

660

4ln1103414,1

4ln156,26sin103ln1sin

103244)4(103

2

)15(10879,3)15(103293,1)(

a

aa

a

aa

a

hkaq

qa

ah

s

hhkq

hhhHkq

a

a

θ

ε

cu necunoscutele q , h şi 0a .

Soluţia sistemului este: 61076,5 −⋅=q m3 / sm 514,13=h m

0725,20 =a m

respectiv 855,391 =s m

921,10 =l m

855,39=s m


Unghiul ϕ (ec. 20.209) este:

oarctgkh

qarctg 086,8

514,131031076,5

6

6

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−

−

ϕ

Curba de depresie se trasează în coordonate ),( yx prin câteva puncte

(amonte la 0l apoi din 5 în 5 m, până la întâlnirea cu taluzul aval).

Pct. 1 2 3 4 5 6 7 x 0,00 1,921 5 10 20 30 39,855 y 15,00 13,514 13,069 12,312 10,638 8,646 6,073

Obs. Taluz amonte

la 0l După parabolă Dupuit (20.208) Taluz aval

17,015,0

4,0

y

x

12

34 5

67

0

1:3

1:2


CAPITOLUL 21

ELEMENTE DE MODELARE HIDRAULICĂ

21.1 NOŢIUNI GENERALE. MODELE UTILIZATE ÎN MODELAREA HIDRAULICĂ

Aşa cum o definea Sharp, modelarea hidraulică este „o artă practicăbazată pe ştiinţă”. Bazele modelării - analiza dimensională şi teoria similitudinii – au fost prezentate în cap I. (vol. I). În acest capitol se vor face referiri la modele utilizate în diverse ramuri ale hidraulicii. Modelarea hidraulică operează cu două tipuri de modele: modele fizice şi modele numerice:

21.1.1. Modele fizice şi numerice Un model fizic este un dispozitiv precis, utilizat pentru a prezice comportamentul unui fenomen fizic. „Predicţia” unui astfel de dispozitiv este corectă, doar dacă modelul fizic este corect proiectat. O reproducere la scară mică a unui fenomen fizic poate reprezenta un model valid doar dacă caracteristicile importante ale fenomenului fizic redus pe model, sunt corelate cu cele ale fenomenului fizic real – prototip – de către anumite constante de proporţionalitate care satisfac anumite condiţii. De regulă constantele de proporţionalitate se numesc scări, iar condiţiile care trebuie satisfăcute de scările de proporţionalitate – criterii de similitudine. La începuturile modelării hidraulice, criteriile de similitudine erau derivate din relaţii matematice (de regulă ecuaţii diferenţiale) ce descriau natura fenomenului fizic investigat. Aşadar, gradul de încredere al criteriilor de similitudine determinate în acest mod depindea în întregime de gradul de încredere al relaţiilor matematice utilizate. Dacă însă relaţiile matematice care descriu un fenomen nu se cunosc, atunci nici criteriile de similitudine nu pot fi cunoscute. Se ajunge astfel la o situaţie paradoxală ca un model fizic să fie mai util pentru acele cazuri care nu pot fi formulate teoretic. Modul de abordare actual al modelării fizice se bazează pe analizădimensională. Această metodă oferă criterii de similitudine din studiul dimensional al caracteristicilor fundamentale ale fenomenului fizic studiat şi nu

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae526

din relaţiile matematice care descriu fenomenul fizic. Pentru criteriile de similitudine obţinute în acest mod nu există riscul unor interpretări greşite (care pot fi inerente în cazul unor formulări matematice). De altfel, teoria actuală a modelelor fizice este strâns legată de teoria dimensională. După Yalin, teoria modelelor poate fi privită simplu ca „o interpretare precisă a teoriei dimensionale” şi nu poate fi înţeleasă în afara teoriei dimensionale. Convenţional, modelele fizice utilizate pentru studiul unor fenomene hidraulice şi care lucrează cu apă se numesc modele hidraulice. În afară de modelele hidraulice există şi modele aerodinamice care au cunoscut o dezvoltare în anii 1960 şi 1970 – modelarea în curenţi de aer. Principalul lor avantaj constă în faptul că pot fi construite la o scară de 10 ori mai mică decât modelele hidraulice clasice. Însă ele prezintă dezavantajul schimbării frecvente a sticlei (sau plexiglasului) cu care sunt acoperite - pentru modificarea rugozităţii. Ele sunt utilizate în principal pentru studii preliminare în proiectarea schemelor de amenajare a râurilor. Aşa cum s-a menţionat în capitolul 19, există modele analogice, bazate pe analogia formală între ecuaţiile mişcării unii fluid şi ecuaţiile propagării curentului electric într-un mediu rezistiv omogen. În ultimii ani datorită dezvoltării tehnicii de calcul automat, precum şi a metodelor matematice de integrare a ecuaţiilor diferenţiale, modelele numerice cunosc o dezvoltare rapidă. Ele sunt aplicate în multe ramuri ale hidraulicii: curgeri cu nivel liber uni şi bidimensionale, curgeri sub presiune, curgeri subterane etc. Principala deosebire între un model fizic şi un model numeric constăîn faptul că un model numeric necesită formularea ecuaţiilor ce descriu fenomenul fizic, în timp ce pentru un model fizic este suficient să identifice forţele care acţionează şi de aici să formuleze parametri de similitudine. Alegere a unui model fizic sau numeric de soluţionare a unui fenomen depinde de o serie de criterii: factori limitativi, precizia cerută, flexibilitate, timp şi costuri necesare. Un criteriu de alegere a unui tip de model, poate fi „credibilitatea” unui tip de model care a dat rezultate bune pentru tipuri de probleme similare cu cele de studiat. Oricum, un criteriu poate fi considerat şi „puterea de convingere intuitivă a unui model hidraulic”. O tendinţă actuală constă în utilizarea complementară a modelelor fizice şi numerice: modelul fizic dă datele pentru calibrarea modelului numeric. De exemplu se poate utiliza un model numeric pentru determinarea parametrilor loviturii de berbec într-o hidrocentrală, dar modelul fizic este


necesar pentru a determina corect coeficienţii pierderilor de sarcină în castelul de echilibru a cărui geometrie este atât de complexă, încât aceşti coeficienţi nu se pot calcula precis pe cale teoretică. În (tab. 21.1) se prezintă schematizat rolul modelelor fizice şi numerice.

Utilizarea modelelor fizice şi numerice în hidraulicăTabelul 21.1.

Domeniu Problemă Modele hidraulice

Modele numerice

Hidraulica structurilor hidrotehnice

- caracteristicile descărcătorului, energie disipată

pt. geometrie complexă

pt. geometrie simplă

- curgeri aerate necesare doar cu formule empirice

- eroziuni necesare doar cu formule empirice

- curgeri sub presiune

probleme locale pentru geometrie

complexă

utilizate în principal

- curgeri subterane rar utilizate utilizate în principal

Scheme de amenajare a râurilor

- curgeri permanente şi nepermanente în râuri

probleme locale cu geometrie complexă mai mult pentru

geometrie simplă, probleme uni şi bidimensionale

- transport de fund probleme locale - transport în suspensie

necesare

- lacuri -------------- utilizate în principal

21.2. MODELE HIDRAULICE

21.2.1. Consideraţii preliminare

Legile care guvernează fenomenele fizice sunt exprimate în forma unor relaţii matematice între cantităţile implicate. Un fenomen fizic trebuie definit într-un mod adecvat generării unor relaţii matematice. O „definiţie cantitativă” a unui fenomen fizic se sprijină pe dezvăluirea unor seturi de n cantităţi independente: a1, a2, a3, ..., an (21.1) care sunt necesare şi suficiente pentru a descrie în mod complet fenomenul. Aceste cantităţi independente ai necesare pentru a completa definiţia unui


fenomen se numesc parametri caracteristici (ai fenomenului); pot fi pozitivi sau negativi, dimensionali sau adimensionali, constante sau variabile. Un fenomen fizic, având o „geometrie specificată”, poate avea – ori îi putem atribui – un număr nelimitat de proprietăţi cantitative care pot fi notate A1, A2, A3, ... Aj, .... De fapt, percepţia unui fenomen este dată de percepţia principalelor lui proprietăţi. Orice proprietate cantitativă A a unui fenomen trebuie corelată cu n parametri caracteristici ai de către anumite relaţii funcţionale: A = fA(a1, a2, a3, ..., an) (21.2) Forma relaţiilor funcţionale descrise depinde de natura proprietăţii A şi diversele proprietăţi ale fenomenului studiat sunt funcţii diferite de aceeaşi nparametri caracteristici. În plus, forma fA a relaţiei funcţionale (21.2) depinde de „geometria specificată” a fenomenului; orice variaţie a condiţiilor la limităinduce o variaţie a formei funcţiei fA (corespunzătoare unei proprietăţi A). De exemplu, curbele coeficientului de rezistenţă la curgerea unui lichid în jurul unui cilindru sau a unei sfere nu sunt identice. Deşi relaţia (21.2) apare ca o funcţie de n „variabile”, parametrii caracteristici nu sunt neapărat variabile cantitative. De exemplu, acceleraţia gravitaţională g este constantă atât pe model cât şi pe prototip. Însă deşi, de cele mai multe ori şi densitatea ρ şi vâscozitatea ν sunt considerate constante, condiţiile de curgere de pe model şi prototip pot să difere substanţial, astfel încât acestea să fie variabile.

21.2.2. Modele hidraulice convenţionale

Modelele hidraulice sunt preferate de multe ori deoarece nu implicănici un fel de formulări matematice ale fenomenelor studiate. De exemplu se cunoaşte foarte bine care sunt parametri curgerii pe un pat granular mediu erodabil, astfel se pot stabili foarte bine criteriile de similitudine în cazul transportului de sedimente. Însă dacă se încearcă să se stabilească aceste criterii din ecuaţiile matematice ale transportului de sedimente se ajunge la dificultăţi serioase. Acest lucru se datorează faptului că în prezent practic nici o ecuaţie a transportului de sedimente nu poate fi privită drept cunoscută în adevăratul sens al cuvântului. Alt avantaj constă în faptul că determinarea scărilor de modelare nu depinde de natura prototipului (pantă, debit, adâncimea curgerii), nici de caracteristicile prototipului care apar în criteriile de similitudine, nici în relaţiile de scară.


Dar, deşi atât pe model cât şi pe prototip g este constantă şi este unul dintre parametrii caracteristici, când se proiectează modele hidraulice convenţionale, trebuie să se selecteze pentru cei trei parametri independenţi dimensional a1 = ρ, a2 = ν, a3 = g, scările λρ = 1; λν = 1; λg = 1 (21.3) Dar, din criteriile de similitudine dinamică, dacă toate scările sunt egale cu unitatea, atunci nu se poate realiza un model dinamic similar la scară redusă. Datorită acestor dificultăţi, de multe ori se alege soluţia proiectării modelelor care să atingă similitudinea doar a unei proprietăţi particulare, sau a unui set de proprietăţi particulare.

21.2.3. Modele hidraulice distorsionate

De multe ori, în modelarea hidraulică se utilizează scări diferite pentru lungimi, ceea ce afectează similitudinea geometrică şi în consecinţăsimilitudinea dinamică. În (fig. 21.1.) se prezintă un model la scarădistorsionată λy = 2(λx = λz).pentru un râu cu lăţime mare.

0

y

x

u'max

u''max

a).

λy=2λz

B

2·5 h Bc 2·5 h

b).

h

θ'

θ''

Fig. 21.1. Model hidraulic distorsionat

Raportul lăţime/adâncime este de două ori mai mic, iar unghiul de înclinare al taluzului modelului este de două ori mai mare. Acest lucru afectează inevitabil caracteristicile mecanice ale curgerii (distribuţia de viteze pe model şi prototip nu mai este aceeaşi, nici punctul corespunzător vitezei maxime locale nu mai este acelaşi). De asemenea şi structura curenţilor secundari poate fi afectată. Utilizarea modelelor distorsionate se justifică adesea în situaţiile la care interesează anumite sectoare ale curgerii; de exemplu (fig. 21.1.b) interesează parametrii curgerii în „zona centrală” şi nu în apropierea malurilor.


Întrucât curgerea în regiunea centrală poate fi tratată ca fiind bidimensională(independentă de raportul B/h – şi de λz/λy), distorsiunea nu afecteazăsimilitudinea curgerii şi consecinţele sale (de ex. transportul de sedimente) pe lăţimea Bc. Acest raţionament este corect, datorită faptului că există o regiune

centrală „substanţială” şi pe model, ''cB . Majoritatea râurilor naturale au o

valoare mare a raportului lăţime/adâncime şi de aceea, dacă distorsiunea λy/λx

nu este exagerată se poate realiza pe model o zonă centrală. „Dimensiunea curgerii” în regiunea centrală este dată de adâncimea h, şi de aceea proprietăţile curgerii - şi consecinţele lor – dependente de h vor fi scalate în scara adâncimilor λy. De exemplu în cazul curgerii turbulente într-un râu, lungimea dunelor de sedimentare va fi Λ ≈ 2πh. Întrucât λΛ ≈ λh = λy, lungimea dunelor va fi redusă la scară pe modelul distorsionat. Dacă modelul este distorsionat de unul din factori (lungime), numărul dunelor dintr-o regiune AB, va fi de două ori mai mic pe model decât pe prototip (fig. 21.2).

patru dune

A'

B'

B''doua A''

λλ

=2y

x

dune

Fig. 21.2. Model distorsionat al dunelor pe patul albiei

În modelarea cu modele distorsionate, valoarea admisă λy/λz depinde de problema care se studiază. De exemplu, dacă se modelează curgerea peste deversoare – în general structuri hidraulice, raportul λy/λz nu poate fi decât unitar. În cazul modelării râurilor şi a mareelor Yalin recomandă o valoare

2/3yx λλ = .


21.2.4. Modele de tip Froude şi Reynolds

În cazul curgerilor neuniforme cu suprafaţă liberă, acceleraţia gravitaţională g este un parametru caracteristic propriu. În acest caz, aşa cum s-a menţionat anterior, prezenţa celor trei parametri g, ρ şi ν, împiedicărealizarea similitudinii dinamice pe modelul hidraulic, şi convenţia actuală este să se proiecteze modele prin considerarea criteriului Froude

gh

FrX2

1ν

== (21.4)

şi ignorarea criteriului Reynolds

ν

hX

vRe2 == (21.5)

În practica modelării hidraulice, importanţa criteriului Reynolds scade progresiv pe măsura creşterii valorii (a numărului Reynolds). Convenţional, modelele realizate pe baza criteriului Froude se numesc modele Froude, iar cele realizate pe baza criteriului Reynolds - modele Reynolds. Când se modelează o curgere cu suprafaţă liberă, practica uzuală este să se construiască un model cât mai mare posibil, pentru creşterea numărului Reynolds şi, în consecinţă, reducerea influenţei frecărilor vâscoase. La un model Froude, proiectat după

1=Frλ ; 2/32/32/1

Re hhg λ

λ

λλλ

ν

== (21.6)

chiar dacă el are λh şi deci λRe suficient de mari pentru a elimina influenţa vâscozităţii din miezul turbulent, se poate resimţi influenţa datorată vâscozităţii pe patul albiei modelului, unde aceasta este determinată de

1Rev

Re −∗∗ == c

h

kk ss

ν (21.7)

unde v* reprezintă viteza de frecare la perete, ks – rugozitatea patului, c – coeficientul de frecare. Când se modelează râuri sau valuri mareice, coeficientul de frecare

∗

=vv

c (21.8)

este esenţial să fie redus la scară în mod adecvat. Întrucât într-un model froudian distorsionat 2/1

v yh λλλ == (21.9)


în timp ce

2/1v

x

y

λ

λλ =

∗ (21.10)

scara lui c trebuie să fie

y

xc

λ

λλ = (21.11)

Modelul patului rugos trebuie ajustat astfel încât să se respecte (21.11). Doar în cazul unui model Froude distorsionat, valoarea coeficientului de frecare pe model şi prototip este aceeaşi. 21.3. MODELAREA CURGERILOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ ŞI CU PAT FIX

21.3.1. Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor deschise

10. Consideraţii generaleNumărul de scară se defineşte ca fiind raportul valorii unei mărimi

din natură (sau prototip) Xp şi a valorii aceleaşi mărimi de pe model Xm,

Xm

XpX = (21.12)

Viteza de frecare la perete este

ρτ /v 0=∗ (21.13)

cu τ0 efortul unitar tangenţial definit ca

ghJJgRh ρρτ ≅=20 (21.14)

unde Rh este raza hidraulică egală cu adâncimea albiei pentru albii foarte largi (înălţime hidraulică), iar J – panta fundului albiei. Greutatea specifică a sedimentelor sub apă este ( )gss ρργ −= (21.15)

unde ρs este densitatea sedimentelor, iar ρ – densitatea apei.

20. Modele nedistorsionate Pentru modelarea mişcării apei este necesar să se asigure criteriul de similitudine Froude. În acest caz simplu, scările de modelare verticale şi orizontale sunt identice: L = h, şi conform criteriului Froude (2.14),

2/12/1 hLV == (21.16)

Scara de modelare a pantei este evident unitară. Numărul de scară a debitului este

( ) 2/5LVLhQ ==∧ (21.17)

unde ( )∧ este o notaţie ce caracterizează un număr de scară. Modelul este perfect definit de alegerea doar a numărului de scarăgeometric L. Problema care se pune este de a verifica dacă forţele de frecare sunt scalate în aceeaşi manieră. În hidraulica râurilor se foloseşte adesea formula lui Manning-Strickler:

2/13/2 JKRV h= (21.18)

cu următoarea formulă empirică pentru modulul de coeficientul de rugozitate K:

6/1/26 dK = (21.19) unde d reprezintă diametrul caracteristic al elementelor rugozităţii pentru un pat fix. Pentru un râu de lăţime mare (curgere bidimensională), viteza devine

2/13/26/1

26Jh

dV = (21.20)

unde h reprezintă adâncimea apei. Comparând relaţia (21.20) cu relaţia lui Darcy – Weisbach:

λ

ghJV

8= (21.21)

rezultă coeficientul de frecare λ ca o funcţie de rugozitatea relativă h/d, astfel:

6/1

935.21

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=d

h

λ (21.22)

Relaţia (21.22) este adevărată pentru 5 < h/d < 500, iar majoritatea râurilor naturale se încadrează în aceste limite, exceptând cele foarte largi (sau estuarele cu adâncimi mari şi sedimente fine). Consecinţa relaţiei (21.22) este că dimensiunile coeficientului de frecare λ vor fi aceleaşi atât pe model cât şi pe prototip dacă raportul h/d este acelaşi; deci elementele rugozităţii pot fi scalate în scara geometrică. Acest lucru este însă valabil dacă condiţiile de curgere pe model sunt aceleaşi ca în prototip, altfel spus curgere în turbulenţă rugoasă pe model (fig. 21.3).


turbulenta rugoasa

model

prototip

Nr. Reynolds

Coe

ficie

nt d

e fr

ecar

e

turbulenta neteda

Fig. 21.3. Coeficientul de frecare λ pe model şi pe prototip

Trecerea de la regimul de tranziţie la cel turbulent este dat de

2004

Re =HR

dλ (21.23)

cu raza hidraulică dată în aceeaşi manieră ca în relaţia (21.18). Aceasta conduce la un număr Reynold pe model

6/7

2350 Re−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⟩

h

d (21.24)

ceea ce arată o limitare a alegerii libere a lungimii scării geometrice. Deci, dacă curgerea pe model nu este în turbulenţă rugoasă, rugozitatea modelului trebuie să compenseze acest efect. Acest lucru se poate realiza pe un model „neted” cu valori mici a raportului d/h, pentru a se obţine o bună reprezentare a suprafeţei libere a apei şi a gradienţilor energetici. Dar în acest caz nu se mai respectă distribuţia de viteză în secţiune transversală, care poate fi importantă în problema studiată. După Manning – Strickler, numărul de scară al coeficientului de rugozitate după Strickler devine

( ) 3/22/1 Khh =∧ şi ( ) 6/1−=∧ hK (21.25) În concluzie se poate spune că la utilizarea modelelor nedistorsionate trebuie îndeplinite trei condiţii principale: - numărul Froude trebuie să fie acelaşi pe model şi prototip; - rugozitatea modelului trebuie aleasă corect; - curgerea pe model trebuie să fie turbulentă.

30. Modele distorsionate În cazul utilizării modelelor distorsionate, scara vitezelor trebuie

corelată cu scara adâncimilor, şi din criteriul de similitudine Froude rezultă:

2/1

hV∧∧

= . (21.26) Numărul de scară a debitului este

( ) 2/3LhVLhQ ==∧ . (21.27) Scara pantelor este egală cu coeficientul de distorsionare e:

eLhJ ==∧∧∧

/ (21.28) unde e este subunitar conform definiţiei numărului de scară. O altă particularitate a modelului distorsionat este modificarea formei secţiunii transversale, implicând variaţia razei hidraulice care depinde de raportul h/L. Considerând relaţia Darcy – Weisbach pentru asigurarea similitudinii frecării, numărul de scară pentru coeficientul de frecare λ este

( )L

R

h

R

L

h

V

JR hhh =⋅==∧ 2 λ (21.29)

ceea ce arată că numărul de scară a rugozităţii depinde de raza hidraulică, şi de aceea o similitudine completă este imposibilă. Dar, în cazul râurilor largi se

poate aproxima raza hidraulică Rh cu adâncimea h, deci e=∧

λ . Aceasta conduce la următoarea relaţie a numărului de scară:

( ) eh

d=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=∧3/1

λ . (21.30)

Relaţia (21.30) se poate rescrie în forma 3/ ehd =∧∧

, ceea ce înseamnăcă mărimea relativă a rugozităţii elementelor variază cu cubul coeficientului de distorsionare. Cu cât modelul este mai distorsionat cu atât rugozitatea elementelor variază mai mult, ceea ce conduce la probleme de calibrare a modelului. Pe de altă parte, distorsionarea, prin modificarea profilului de vitezăpe verticală, produce o exagerare a curenţilor secundari în coturi. De obicei , în hidraulica râurilor, distorsionarea modelului este limitată la 1/e < 3 sau 4. Numărul de scară al coeficientului de rugozitate rezultă din

( ) 1 2/16/1 =∧ eKh . (21.31)


21.3.2. Modelarea structurilor hidrotehnice

Modelarea structurilor hidrotehnice este probabil cel mai uzual tip de modelare hidraulică deoarece este relativ ieftină, uşor de realizat şi de interpretat. Curgerea peste şi în jurul structurilor hidrotehnice implică componente verticale semnificative, de aceea trebuie lucrat cu un model nedistorsionat. Deoarece curgerea are loc sub efectul gravităţii, modelele de curgere cu suprafaţă liberă în jurul structurilor hidrotehnice trebuie scalate conform criteriului Froude. Pentru a asigura independenţa fată de efectele de scară şi pentru o bună precizie a măsurătorilor, modelul trebuie să fie suficient de mare, iar scările într-un domeniu cuprins între 10 şi 60 – care este uzual în practica modelării hidraulice. Rugozitatea modelului nu este atât de importantă, de aceea nu este necesară calibrarea modelului, el trebuie construit cât mai neted posibil.

Modelarea structurilor hidrotehnice înecate poate fi realizată pe modele distorsionate sau nedistorsionate, a căror număr de scară geometricăeste în jur de 100, completate de unul sau mai multe modele detaliate la o scarămai mare (30 la 60) care nu trebuie distorsionate. Protecţia acestor structuri împotriva corpurilor străine, a sloiurilor de gheaţă, este greu de studiat pe model datorită dificultăţilor legate de realizarea similitudinii acestor plutitori.

Curgerea peste deversoare şi alte tipuri de evacuatori – canale de evacuare, sifoane, stavile, podeţe, trepte etc. se studiază pe modele nedistorsionate. Modelarea disipatoarelor de energie şi a bazinelor de liniştire implică utilizarea unui pat mobil. Uneori pentru reprezentarea paturilor coezive trebuie realizate teste calitative cu mixturi de nisip şi adeziv sau cu diverse tipuri de plastifianţi. Problema principală care se pune la modelarea curgerilor sub presiune din diverse structuri hidrotehnice – staţii de pompare, turnuri de răcire, canalizări etc. este evitarea apariţiei vârtejurilor şi a vibraţiei acestor structuri. La modelarea structurilor hidrotehnice s-au observat două tipuri de probleme: antrenarea de aer (curgeri bifazice) şi apariţia vortexurilor.

Curgerea bifazică nu este corect simulată într-un model redus la scarădeoarece formarea bulelor de aer este un fenomen de tensiune superficială şi cu acelaşi tip de lichid pe model şi prototip, bulele vor fi aproximate la aceeaşi mărime. Pentru a simula adecvat amestecul aer-apă este necesar să se lucreze cu un model la scară cât mai mare. Modelele de sifon de exemplu lucreazăcontinuu într-un amestec de aer-apă. Modelele sunt bazate pe criteriul Froude,


dar trebuie ţinut seama că antrenarea de aer pe model va fi mai redusă decât pe prototip. În problema disipatoarelor de energie trebuie amintit că o mare cantitate de aer antrenată pe prototip, are întotdeauna efectul unei disipări mai intense a energiei. Din acest punct de vedere, transpunerea rezultatelor de pe un model care lucrează cu amestec aer-apă în prototip, nu poate avea consecinţe negative.

Vortexurile trebuie evitate în structurile hidrotehnice cu curgere înecată deoarece afectează caracteristicile acestora şi permit intrarea plutitorilor. Modelarea se referă la posibilitatea formării vortexurilor şi recomandări pentru evitarea apariţiei acestora. Pentru o corectă reprezentare a vortexurilor, este necesar să existe o scalare exactă a efectelor gravitaţiei, vâscozităţii şi tensiunii superficiale. Aceasta înseamnă un model nedistorsionat. Încă nu s-a ajuns să se formuleze reguli de transpunere a rezultatelor de pe model pe prototip, existând în literatura de specialitate doar recomandări în acest sens. Prima recomandare este să se construiască un model la o scară cât mai mare (de la 10 la 20), iar apoi să se realizeze proiectarea structurilor cu viteze de curgere mai mari decât cele date de criteriul Froude. Utilizarea unor viteze mai mari distorsioneazăinevitabil curgerea pe model şi rezultatele trebuie interpretate cu precauţie.

21.3.3. Modele mixte

Sarcina principală a modelelor mixte (în special a modelelor de evacuatori ai structurilor hidrotehnice) este determinarea compoziţiei jeturilor. Experimentele pe model evidenţiază modul cum modificările în proiectarea structurilor hidrotehnice pot influenţa compoziţia şi dispersia jetului. Modelarea compoziţiei jeturilor este foarte complicată de faptul cădispersia jeturilor se datorează unor mecanisme diferite: deşi unul poate fi predominant, celelalte pot influenţa în multe cazuri (fig. 21.4):

1. antrenarea de aer la jetul efluent, care este guvernată de momentul jetului, geometria evacuatorului, şi turbulenţă (diferenţa de densitate nu este importantă). Modelarea implică numere Reynolds destul de mari, şi criteriul Froude.

2. ridicarea jetului datorită portanţei cu amestec datorat turbulenţei; trebuie introdus criteriul densimetric Froude;


3. împrăştierea convectivă peste suprafaţa jetului depinzând de criteriul densimetric Froude şi de criteriul densimetric Reynolds. Aceastăultimă condiţie introduce o distorsiune în model;

4. masa transportată de efluenţi de curenţii de aer înconjurători; 5. difuzia şi dispersia datorate turbulenţei; 6. în cazul unei descărcări termice, determinarea pierderilor de căldură

prin suprafaţa răcitorului necesită un model distorsionat.

(1)

(2)

(3) (5) (4)

Fig. 21.4. Etapele modelării dispersiei unui jet în aer liber

Aşadar modelarea unui jet în aer liber trebuie făcută pe stadii de evoluţie a jetului. Stadiile 1, 2 şi 5 necesită similitudine geometrică, modele nedistorsionate rezonabil de mari, cu variaţia densităţii la fel ca în prototip. Stadiile 3 şi 6 necesită un model distorsionat. Reproducerea stadiului 4 se poate realiza atât cu modele distorsionate cât şi nedistorsionate.

21.3.4. Modelarea curgerilor sub presiune

Scopul unui astfel de model poate fi determinarea coeficienţilor pierderilor de sarcină într-un castel de echilibru, pentru modelarea pe cale numerică mişcării nepermanente într-o hidrocentrală. În aceste modele nu intră efectul forţei gravitaţionale şi criteriul Froude poate fi ignorat. Diferenţa de presiune depinde de numărul Reynolds şi necesită similitudine geometrică:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=Δ

L

D

d

DVDF

V

p hhh ,,2 νρ (21.32)

unde Dh reprezintă diametrul hidraulic.


Dacă curgerea este în totalitate în turbulenţă rugoasă, forţele datorate vâscozităţii sunt neglijabile. În aceste condiţii, dacă există similitudine geometrică între model şi prototip, relaţia (21.32) devine

const2 =Δ

V

p

ρ. (21.33)

Nu există număr de scară al vitezelor; modelul este valabil pentru orice debit care asigură un număr Reynolds suficient de mare astfel încât curgerea să fie turbulent rugoasă. Metoda utilizată pentru determinarea coeficienţilor pierderilor de sarcină constă în mai multe teste cu diverse numere Reynolds pentru a se stabili valorile limită peste care coeficienţii pierderilor de sarcină devin constanţi.

21.3.5. Modelarea schemelor de amenajare a râurilor

Modelele structurilor care acoperă o arie mică sunt numite convenţional „modele de structuri hidrotehnice”, în care lungimea râului supus modelării este atât de redusă încât forţele de frecare pot fi ignorate. Modelele în care interesul este centrat pe râul însuşi, se numesc „modele de scheme de amenajare”. În acest caz forţele de frecare sunt evident importante în curgerea apei în lungul râului. Principala operaţie în lucrul pe model este calibrarea. Deşi râurile au în general o structură destul de compactă (astfel încât dimensiunile orizontale şi verticale sunt comparabile), în lungul râului, raportul dintre distanţelor orizontale şi verticale are valori foarte mari. În multe circumstanţe este posibil să se utilizeze un model distorsionat, în special pentru porţiuni foarte lungi de râuri cu lunci inundabile. Problemele studiate pe astfel de modele diverse sunt: - utilizarea structurilor hidrotehnice ale râului pentru îmbunătăţirea condiţiilor naturale; - protecţia împotriva inundaţiilor; - structurile transversale râurilor şi văilor (amplasarea podurilor); - amplasarea balastierelor; - navigaţia pe râuri.

21.3.6. Tehnica modelării hidraulice

În modelarea hidraulică trebuie parcurse succesiv următoarele etape: construcţia propriu-zisă a modelului, calibrarea, studiul însăşi şi, în final, interpretarea rezultatelor.


10. Pentru construcţia propriu-zisă a modelului este necesar un rezervor etanş realizat de obicei din cărămidă sau beton, care conţine modelul, sau, pentru modele de dimensiuni mici, rezervorul se poate construi şi din oţel (fig. 21.5).

Fig. 21.5 Exemplu de model hidraulic

Metoda cea mai uzuală pentru reproducerea cu acurateţe a secţiunii transversale a unui râu, constă în utilizarea unor şabloane. Configuraţia corectăa suprafeţei este apoi obţinută prin umplerea cu grijă între şabloane cu mortar de ciment. De asemenea, se mai pot utiliza fâşii metalice care urmăresc liniile de contur în loc de şabloane care reprezintă secţiunile transversale.

Controlul şi exploatarea unui model constă în menţinerea unui debit în amonte şi a unui nivel în aval cu o precizie foarte mare. Pentru curgeri permanente acest lucru se realizează relativ simplu - manual, dar pentru curgeri nepermanente acest lucru se realizează prin stavile sau vane acţionate de către un calculator.

20. Calibrarea. Pentru râuri de lungime apreciabilă la care pierderea de sarcină de-a lungul râului este un parametru esenţial, calibrarea poate deveni foarte anevoioasă şi poate fi foarte dificil să se obţină pe model vitezele şi nivelurile observate în natură. Metoda clasică de calibrare constă în împrăştierea de pietre cu muchie ascuţită pe patul albiei, ori adeziv – dacă viteza este mare. Pentru simularea vegetaţiei de pe maluri se poate utiliza plasă de sârmă. Dacă este necesară o rezistenţa mai mare a patului albiei şi a malurilor se poate ataşa de fund cuie sau ştifturi extinse până deasupra suprafeţei libere a apei.


Dacă efectul rugozităţii albiei este atât de mare încât afectează corecta reprezentare a profilului patului albiei, atunci se pot aplica diverse metode: înclinarea modelului – construcţia cu o pantă exagerată, sau lucrul pe model cu un debit mai mic decât cel rezultat din criteriul Froude. Primul pas în calibrare constă în corecta reprezentare a regimului de curgere. Dacă studiul reclamă mişcare nepermanentă, atunci al doilea pas constă în reprezentarea mişcării nepermanente sau a acelor caracteristici ale mişcării nepermanente care ar putea fi similare prototipului, corelate spaţial şi temporal. Baza calibrării unui model hidraulic pleacă de la ideea că dacămodelul poate reproduce un trecut fenomen natural (prototip), el ar trebui să fie capabil să prezică efectele care vor surveni dacă prototipul este modificat în diverse forme. De exemplu, un model care poate reproduce forme ale suprafeţei apei observate într-un râu, ar trebui să poată prezice nivelurile apei care ar rezulta din modificări ale patului albiei. Calibrarea şi verificarea unui model este foarte importantă înainte de începerea propriu-zisă a studiului sau cu cât scările modelului sunt mai îndepărtate de scările rezultate din „criteriile ideale de scalare”.

30. Măsurători şi instrumentar de măsurare. Pe multe modele hidraulice prima sursă de informaţie este observaţia vizuală a curgerii, obţinutăcu ajutorul unor coloranţi, plutitori sau fire textile din lână fixate pe pat sau pe maluri. Măsurătorile pe modele cu pat fix se limitează în general la măsurarea vitezelor şi a nivelurilor. Dificultatea măsurării vitezelor constă în faptul că adâncimea apei este redusă, de asemenea şi vitezele apei pot fi reduse (de ordinul cm/s). Tubul Pitot nu se mai foloseşte datorită dificultăţilor legate de precizia citirilor indusă de fluctuaţiile nivelului apei în tub. Cel mai utilizat dispozitiv este micromorişca cu rotor de plastic (cu diametru de ordinul mm). Pentru determinarea vitezei curenţilor de suprafaţă, încă se mai utilizează metoda cronofotografică, ce constă în fotografierea pe model a unor plutitori iluminați. În ultima perioadă s-au dezvoltat aparate bazate pe efect Laser Doppler, dar care sunt foarte costisitoare şi nu foarte uşor de exploatat. Pentru măsurarea nivelurilor în mişcare permanentă se folosesc rigle şi ace de măsurare. Pentru mişcări nepermanente gradual variabile se folosesc înregistratoare de nivel conectate la un calculator electronic, iar pentru mişcări nepermanente rapid variabile - indicatoare capacitive.


Există situaţii, în special la structuri hidrotehnice– deversoare, la care cunoaşterea presiunii este esenţială pentru corecta proiectare a acestora. Principala dificultate în măsurarea presiunii constă în antrenarea aerului în apă, care poate distorsiona măsurătorile.

21.4. APLICAŢII

10. Se consideră un râu prototip având raportul lăţime/adâncime '/' hB = 32. Să se determine ponderea „zonei centrale” a curgerii pe un model

nedistorsionat şi pe un model distorsionat cu 4=x

y

λ

λ.

Rezolvare. Utilizând un model nedistorsionat, întrucât lăţimea totală a curgerii afectată de maluri este de ordinul 2 x 2,5 h = 5 (fig. 21.1.b.), pentru prototip rezultă:

275325''

''5'

'

'

=−=−=−

≅h

B

h

hB

h

Bc şi 84,03227

'

'

≅≅B

Bc .

Deci 84 % din lăţimea prototipului se află în zona centrală a modelului nedistorsionat.

Un model cu 4=x

y

λ

λ nu este distorsionat foarte tare faţă de

standardele actuale de modelare. Pe modelul distorsionat 841

32""

==h

B.

În acest caz

354

325

""

""5"

"

"

=−=−=−

=h

B

h

hB

h

Bc şi 375,083

"

"

==B

Bc .

Aşadar când se utilizează un model distorsionat, doar 37,5 % din lăţimea prototipului se află în zona centrală a modelului distorsionat. Este evident că în acest caz este mai indicată modelarea pe model nedistorsionat.

20. Se consideră un râu prototip având o lungime de 2000 m, şi un coeficient de rugozitate după Strickler K = 45. Adâncimea medie a apei este aproximativ 2 m, iar viteza medie 0,3 m/s. Să se arate care este cel mai indicat tip de model pentru modelarea curgerii în râu.


Rezolvare. Se studiază modelarea pe un model nedistorsionat şi pe un model distorsionat cu un coeficient de distorsiune 1/4.

a. Modelarea curgerii pe model nedistorsionat. Presupunem că lungimea maximă pe care se poate realiza modelul în laborator este 20 m, numărul scării geometrice nu poate fi mai mare decât

100m20m2000

'"

===L

LL . Aplicând criteriul de similitudine Froude (21.16),

rezultă numărul de scară pentru viteze 10100 2/12/1 === LV . Deci adâncimea apei pe model va fi

cm 2m02,0100

m 2'" ====

L

hh .

Analog, viteza apei pe model va fi

cm/s 3m/s03,010

m/s 3,0'v" ====

VV .

Pentru aceste valori ale adâncimii şi vitezei pe model, pentru un

coeficient de viscozitate cinematic 10 6−=ν m2/s, aplicând criteriul Reynolds (21.5), rezultă numărul Reynolds

60010

03,002,0""Re 6 =

⋅==

−ν

hV.

Utilizând relaţia (21.25) rugozitatea pe model va fi:

97100

45'" 6/16/1 ≅==

−−L

KK .

Analiza modelării pe model nedistorsionat relevă următoarele aspecte: - intervin probleme de măsurare a vitezei şi nivelului pe model datorită valorilor mici ale acestora; - numărul Reynolds pe model nu este suficient de mare pentru a garanta curgerea turbulentă; numărul Reynolds calculat pe prototip are valoarea 600.000; - rugozitatea modelului după Strickler 97"≅K (după Manning

01,0"≅K ) este aproape imposibil de realizat practic fiind apropiată de cea a sticlei.


b. Modelarea curgerii pe model distorsionat. Aplicând relaţia pentru numărul de scară rezultă numărul de scarăpentru adâncimi

254

1004

===∧ Lh .

Deci adâncimea apei pe model va fi

cm 8m08,025

m 2'" ====

∧

h

hh .

Aplicând criteriul de similitudine Froude (21.26), rezultă numărul de

scară pentru viteze 525 2/12/1

===∧∧

hV . Analog, viteza apei pe model va fi

cm/s 6m/s06,05m/s 3,0'v

" ====∧

VV .

Numărul Reynolds pe model va fi:

480010

08,006,0""Re 6 =

⋅==

−ν

hV, mai apropiat de curgerea turbulentă

decât în cazul modelului nedistorsionat. Rugozitatea după Strickler rezultă din aplicarea (21.31)

5,3841

2545''

"2/1

6/12/16/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅=⋅⋅==∧

∧eK

KK h

K.

După Manning 026,05,38

1" ==K .

Analizând rezultatele obţinute pe modelul distorsionat (comparativ cu modelul nedistorsionat) rezultă că modelul distorsionat este indicat pentru modelare.


B I B L I O G R A F I E

1. Acaroglu, E.R. – Friction Factors in Solid Material Laden Systems. Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Hy. 4, 1972;

2. Altsul, D.A. – Ghidravliceskie soprovlitenia, Izd. Nerva, Moskva, 1982; 3. Bartha, I. – Măsurarea vitezei fazei lichide şi solide a hidroamestecurilor,

Hidrotehnica, vol. 36, nr. 3-4, 1991; 4. Bartha, I., Giurma, I., Rusu, I., Zahariea, D. – Nonhomogeneous Two-

Phase Flow Under Pressure of the Mixture Water – Alluviums in Low Concentration in Horizontal Circular Pipes, Proceedings of Conference on Modeling Fluid Flow, Budapest, 2003;

5. Bartha, I., Javgureanu, V. – Hidraulică, vol. 1, Ed. Tehnică, Chişinău, 1998;

6. Bartha, I., Marcoie, N. – Hydraulic Calculus of Stepped Canals with Skimming Flow, Buletinul Institutului Politehnic Iaşi, Tom XLVII(LI), Fasc. 1-4, Hidrotehnică, 2001;

7. Bartha, I., Popia, A., Leibu, H. – Influenţa turbidităţii şi a colmatării conductelor asupra distribuţiei presiunii pe reţelele de irigaţii, Hidrotehnica, vol. 31, nr. 6, 1986;

8. Bartha, I., Sfredel, I. – Regulator de debit pe canale cu stavilă planăverticală şi oblon mobil acţionat de flotor, Hidrotehnica, vol. 35, nr. 8, 1990;

9. Blidaru, E. – Hidraulică, vol. I, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1964;

10. Blidaru, E. – Hidraulică, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965;

11. Bogárdi, J. – Hidromechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984; 12. Bogárdi, J., Kozák, M. – Hidraulika I, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982; 13. Bogárdi, J., Kozák, M. – Hidraulika II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984; 14. Castanny, G. – Traité pratique des eaux souterraines, Dunod, Paris,

1963; 15. Certousov, M.D. – Hidraulică. Curs special, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1966; 16. Chanson, H. – Hydraulic Design of Stepped Cascades, Channels, Weirs

and Spillways, Pergamon Press, Brisbane, Australia, 1994; 17. Chow, V.T. – Open Channel Hydraulics, Mc. Graw Hill, New York,

1959;


18. Cioc, D. – Hidraulică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983; 19. Cioc, D., Trofin, E., Iamadi, C., Tatu, G., Mănescu, M., Damian, R.,

Sandu, L., Gall, B. – Hidraulică, Culegere de probleme, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973;

20. Ciugaev, R.R. – Ghidravlika, Ed. Energoizdat, Leningrad, 1982; 21. Cunge, J.A., Holly, Jr.F.M., Verwey, A. – Practical aspects of

computational river hydraulics. Pitman Publ. Ltd., London, 1980;

22. David – Ungureanu, E., Gogonea, S., Ene, H. – Hidrodinamica mediilor poroase neomogene, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989;

23. Dumitrescu, D. – Opere Alese, Ed. Academiei, Bucureşti, 1999; 24. Dumitrescu, D., Răzvan, E. – Disiparea energiei şi disipatori de energie,

Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971; 25. Florea, J., Robescu, D. – Hidrodinamica instalaţiilor de transport

hidropneumatic şi de depoluare a apei şi a aerului. Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982;

26. Florea, J., Robescu, D., Petrovici, I., Stamatoiu, D. – Dinamica fluidelor polifazice şi aplicaţiile ei tehnice, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987;

27. Ghinescu, P., Solomon, M. – Hidromecanizarea în construcţii, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1969;

28. Giurconiu, M., Mirel, I., Retezan, A., Sârbu, I. – Hidraulica construcţiilor şi instalaţiilor hidroedilitare, Ed. Facla, Timişoara, 1989;

29. Giuma, R. – Modelarea matematică si simularea numerică a proceselor de curgere a apelor subterane şi de transport de poluanţi în acvifere cu nivel liber, Teză de Doctorat, Iaşi, 2004;

30. Graf, W.H., Altinakar, M.S. – Hidraulique fluviale; Tome I, Press Polytechniques et Universitairea de Romandes, Laussane, 1993;

31. Hâncu, S., Marin, G. – Mişcări potenţiale, Curs litografiat, UŞAMV, Fac. De Îmbunătăţiri Funciare, Bucureşti, 1998;

32. Hâncu, S., Stănescu, P., Platagea, Gh. – Hidrologie agricolă, Ed. Ceres, Bucureşti, 1971;

33. Hâncu, S., Rus, E., Dan P., Teodoreanu, Gh. – Hidraulica sistemelor de irigaţie cu funcţionare automată, Ed. Ceres, Bucureşti, 1982;

34. Hâncu, S. ş.a. – Hidraulică aplicată. Simularea numerică a mişcării nepermanente a fluidelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985;


35. Ionescu, D., Gh. – Introducere în hidraulică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1977;

36. Javgureanu, V., Bartha, I. – Acţionări hidraulice şi pneumatice, Ed. Tehnica – Info, Chişinău, 2002;

37. King, H.W., Wisler, C.O., Woodburn, J.G. – Hydraulics, Fifth Edition, John Wiley & Sons, INC, New York, London, 1948;

38. Kiselev, P.G. – Îndreptar pentru calcule hidraulice, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1988;

39. Kozák, M. – Hidraulică, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971; 40. Loiskandl, W. – Hydraulik, Universität für Bodenkultur, Wien, 1997; 41. Luca, M. – Hidraulică tehnică, vol. I, Mişcarea permanentă în canale, Ed

Tehnopress, Iaşi, 1998; 42. Luca, M., Bartha, I., Popia, A. – Some Hydraulic Characteristics of the

Nozzles Used in Trickle Irrigation, Bul, Institutului Politehnic Iaşi, Tom XXVIII(XXXII), Fasc. 1-4, Secţia V, 1982;

43. Luca, O. – Hidraulica mişcărilor permanente, Ed. H.G.A., Bucureşti, 2000;

44. Marcoie, N., Cismaru, C., Agafiţei, M., Nistor, A., Gabor, V. – Model calculator pentru curgeri nepermanente în canale de irigaţii de secţiune trapezoidală, Bul. I.P.I., Tom XLVI(L), “Mecanica fluidelor - I”, secţia “Construcţii de Maşini”, Iaşi, 22 sept. 2000, p. 305-309;

45. Marinov, A.M. – Hidrodinamica apelor subterane, Ed. Printech, Bucureşti, 2000;

46. Mateescu, C. – Hidraulică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1963; 47. Novak, P., Cabelka, J. – Models in Hydraulic Engineering, Pitman

Publishing Ltd., 1981; 48. Pietraru, V. – Calculul infiltraţiilor, Ed. Ceres, Bucureşti, 1970; 49. Popa, R. – Elemente de hidrodinamica râurilor, Ed. Didactică şi

Pedagogică, RA, Bucureşti, 1997; 50. Preissmann, A. – Propagation des intumescences dans les canaux et

riviers, 1st Congres de l’assoc. Francaise de calcul, Grenoble, 1961;

51. Ramos, C.M. – Models for Study of the Hydrodynamic Actions on Hydraulic Structures, LNEC, Portugal, NATO Modeling, 1988;

52. Roman, P., Grigorescu, N.V.M. – Hidrotransport, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989;


53. Roman, P., Isbăşoiu, E.C., Bălan, C. – Probleme speciale de hidromecanică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987;

54. Rusu, I. I. – Fenomene în hidroelasticitate, Ed. Junimea, Iaşi, 1998 55. Roşu, L. – Dimensionarea şi verificarea canalelor de irigaţii cu

funcţionare automatizată, Ovidius University Press, Constanţa, 1999;

56. Sharp, J.J. – Hydraulic Modeling, Butterworths, 1981; 57. Turcan, R. – Mişcarea fluidelor prin medii poroase, Ed. Digital Data,

Cluj – Napoca, 2005; 58. Vischer, D.L., Hager, W.H. – Energy Dissipators, A.A. Balkema,

Rotterdam, Brookfield, 1995; 59. Yalin, M.S. – Theory of Hydraulic Models, Queen’s University at

Kingston, Canada, Macmillan Civil Engineering Hydraulics, The Macmillan Press, 1971;

60. Yalin, M.S. – Fundamentals of Hydraulic Physical Modeling, NATO Modeling, 1988;

61. ***Unsteady flow in open channels, Water Resources Publ., Fort Collins, Colorado, USA, 1975.

Hidraulic vol. II 549

Anexa 1 Valorile func iei )( pentru albiile cu pant pozitiv 0i

x2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,151 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,203 0,201 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,25 0,255 0,252 0,251 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,30 0,309 0,304 0,302 0,301 0,301 0,300 0,300 0,300 0,300 0,35 0,365 0,357 0,354 0,352 0,351 0,351 0,351 0,350 0,350 0,40 0,424 0,411 0,407 0,405 0,404 0,403 0,402 0,401 0,401 0,45 0,485 0,468 0,461 0,458 0,456 0,455 0,454 0,452 0,452 0,50 0,549 0,527 0,517 0,513 0,510 0,508 0,507 0,504 0,503 0,55 0,619 0,590 0,575 0,570 0,566 0,563 0,561 0,556 0,555 0,60 0,693 0,657 0,637 0,630 0,625 0,620 0,617 0,611 0,608 0,61 0,709 0,671 0,650 0,642 0,637 0,632 0,628 0,622 0,619 0,62 0,727 0,685 0,663 0,655 0,649 0,644 0,640 0,634 0,630 0,63 0,741 0,699 0,676 0,668 0,661 0,656 0,652 0,645 0,641 0,64 0,758 0,714 0,689 0,681 0,674 0,668 0,664 0,657 0,652 0,65 0,775 0,729 0,703 0,694 0,687 0,681 0,678 0,668 0,664 0,66 0,792 0,744 0,717 0,707 0,700 0,693 0,688 0,680 0,675 0,67 0,810 0,760 0,731 0,721 0,713 0,704 0,700 0,692 0,687 0,68 0,829 0,776 0,746 0,735 0,726 0,719 0,713 0,704 0,694 0,69 0,848 0,792 0,761 0,749 0,740 0,732 0,726 0,716 0,710 0,70 0,867 0,809 0,776 0,793 0,754 0,746 0,739 0,728 0,722 0,71 0,887 0,826 0,791 0,778 0,768 0,759 0,752 0,741 0,734 0,72 0,907 0,844 0,807 0,793 0,782 0,773 0,766 0,754 0,746 0,73 0,928 0,862 0,823 0,808 0,797 0,787 0,780 0,767 0,759 0,74 0,950 0,881 0,840 0,824 0,812 0,802 0,794 0,780 0,772 0,75 0,972 0,900 0,857 0,841 0,828 0,817 0,808 0,794 0,785 0,76 0,996 0,920 0,874 0,857 0,844 0,833 0,823 0,808 0,798 0,77 1,020 0,940 0,892 0,874 0,860 0,849 0,838 0,822 0,811 0,78 1,045 0,961 0,911 0,892 0,877 0,865 0,854 0,837 0,825 0,79 1,071 0,983 0,930 0,911 0,895 0,882 0,870 0,852 0,839 0,80 1,098 1,006 0,950 0,930 0,913 0,899 0,887 0,867 0,854 0,81 1,127 1,030 0,971 0,949 0,932 0,917 0,904 0,883 0,869 0,82 1,156 1,055 0,993 0,970 0,952 0,936 0,922 0,900 0,885 0,83 1,178 1,081 1,016 0,992 0,972 0,955 0,940 0,917 0,901 0,84 1,221 1,109 1,040 1,014 0,993 0,975 0,960 0,935 0,918 0,85 1,256 1,138 1,065 1,033 1,016 0,997 0,980 0,954 0,933 0,86 1,293 1,139 1,092 1,063 1,039 1,020 1,002 0,974 0,954 0,87 1,333 1,202 1,120 1,090 1,064 1,044 1,025 0,995 0,973 0,88 1,375 1,237 1,151 1,118 1,091 1,069 1,049 1,017 0,994 0,89 1,421 1,275 1,183 1,148 1,120 1,096 1,075 1,040 1,016 0,90 1,472 1,316 1,218 1,181 1,151 1,126 1,103 1,066 1,039

0,905 1,499 1,339 1,237 1,199 1,168 1,142 1,118 1,080 1,052 0,910 1,527 1,362 1,257 1,218 1,185 1,158 1,134 1,094 1,065 0,915 1,557 1,386 1,278 1,237 1,204 1,175 1,150 1,109 1,079 0,920 1,589 1,412 1,300 1,257 1,223 1,193 1,167 1,124 1,093


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,925 1,622 1,440 1,323 1,279 1,243 1,212 1,185 1,141 1,108 0,930 1,658 1,469 1,348 1,302 1,265 1,232 1,204 1,158 1,124 0,935 1,696 1,500 1,374 1,327 1,288 1,254 1,225 1,177 1,141 0,940 1,738 1,534 1,403 1,354 1,313 1,278 1,247 1,197 1,159 0,945 1,782 1,570 1,434 1,382 1,339 1,304 1,271 1,218 1,179 0,950 1,831 1,610 1,467 1,413 1,368 1,331 1,297 1,241 1,200 0,955 1,885 1,654 1,504 1,447 1,400 1,361 1,325 1,267 1,223 0,960 1,945 1,702 1,545 1,485 1,436 1,394 1,356 1,295 1,248 0,965 2,013 1,758 1,592 1,528 1,476 1,431 1,391 1,327 1,277 0,970 2,092 1,820 1,645 1,577 1,522 1,474 1,431 1,363 1,310 0,975 2,184 1,896 1,708 1,634 1,576 1,524 1,479 1,455 1,349 0,980 2,297 1,985 1,784 1,705 1,642 1,586 1,537 1,457 1,395 0,985 2,442 2,100 1,882 1,795 1,726 1,665 1,611 1,523 1,456 0,990 2,646 2,264 2,019 1,922 1,844 1,776 1,714 1,615 1,539 0,995 3,000 2,544 2,250 2,137 2,043 1,965 1,889 1,771 1,680 1,000 1,001 3,728 2,766 2,184 1,977 1,790 1,646 1,508 1,310 1,138 1,005 2,997 2,139 1,647 1,477 1,329 1,216 1,107 0,954 0,826 1,010 2,652 1,865 1,419 1,265 1,138 1,031 0,936 0,792 0,681 1,015 2,415 1,704 1,291 1,140 1,022 0,922 0,836 0,703 0,602 1,020 2,307 1,591 1,193 1,053 0,940 0,847 0,766 0,641 0,547 1,025 2,197 1,504 1,119 0,986 0,879 0,789 0,712 0,594 0,504 1,030 2,117 1,432 1,061 0,932 0,827 0,742 0,668 0,555 0,469 1,035 2,031 1,372 1,010 0,886 0,785 0,702 0,632 0,522 0,440 1,040 1,966 1,320 0,967 0,846 0,748 0,668 0,600 0,495 0,415 1,045 1,908 1,274 0,929 0,811 0,716 0,638 0,572 0,470 0,393 1,050 1,857 1,234 0,898 0,780 0,688 0,612 0,548 0,448 0,374 1,060 1,768 1,164 0,838 0,727 0,609 0,566 0,506 0,411 0,342 1,070 1,693 1,105 0,790 0,683 0,599 0,529 0,471 0,381 0,315 1,08 1,627 1,053 0,749 0,646 0,564 0,497 0,441 0,355 0,291 1,09 1,573 1,009 0,713 0,613 0,534 0,469 0,415 0,332 0,272 1,10 1,522 0,969 0,680 0,584 0,507 0,444 0,392 0,312 0,254 1,11 1,477 0,933 0,652 0,558 0,483 0,422 0,323 0,294 0,239 1,12 1,436 0,901 0,626 0,534 0,461 0,402 0,354 0,279 0,225 1,13 1,398 0,872 0,602 0,512 0,442 0,384 0,337 0,265 0,212 1,14 1,363 0,846 0,581 0,493 0,424 0,368 0,292 0,252 0,201 1,15 1,331 0,821 0,561 0,475 0,407 0,353 0,308 0,240 0,191 1,16 1,301 0,798 0,542 0,458 0,391 0,339 0,295 0,229 0,181 1,17 1,273 0,776 0,525 0,443 0,377 0,326 0,283 0,218 0,173 1,18 1,247 0,756 0,510 0,428 0,364 0,314 0,272 0,209 0,165 1,19 1,222 0,737 0,495 0,414 0,352 0,302 0,262 0,200 0,167 1,20 1,199 0,719 0,480 0,401 0,341 0,292 0,252 0,192 0,150 1,21 1,177 0,702 0,467 0,389 0,330 0,282 0,243 0,185 0,144 1,22 1,156 0,686 0,454 0,378 0,320 0,272 0,235 0,178 0,138 1,23 1,136 0,671 0,442 0,368 0,310 0,263 0,227 0,171 0,132 1,24 1,117 0,657 0,431 0,358 0,301 0,255 0,219 0,164 0,127 1,25 1,098 0,643 0,420 0,348 0,292 0,247 0,212 0,158 0,122 1,26 1,081 0,630 0,410 0,339 0,284 0,240 0,205 0,153 0,117 1,27 1,065 0,618 0,400 0,330 0,276 0,233 0,199 0,147 0,113 1,28 1,049 0,606 0,391 0,332 0,269 0,226 0,193 0,142 0,108 1,29 1,033 0,594 0,382 0,314 0,262 0,220 0,187 0,137 0,104 1,30 1,018 0,582 0,373 0,306 0,255 0,214 0,182 0,133 0,100 1,31 1,004 0,571 0,365 0,299 0,248 0,208 0,171 0,129 0,097


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,32 0,990 0,561 0,357 0,292 0,242 0,203 0,170 0,125 0,094 1,33 0,977 0,551 0,349 0,285 0,236 0,197 0,167 0,121 0,090 1,34 0,964 0,542 0,341 0,279 0,230 0,192 0,162 0,117 0,087 1,35 0,952 0,533 0,334 0,273 0,225 0,187 0,158 0,113 0,084 1,36 0,940 0,524 0,328 0,267 0,219 0,183 0,153 0,110 0,081 1,37 0,928 0,516 0,322 0,261 0,214 0,178 0,149 0,107 0,079 1,38 0,917 0,508 0,316 0,255 0,209 0,174 0,145 0,104 0,076 1,39 0,906 0,500 0,310 0,250 0,205 0,169 0,142 0,101 0,074 1,40 0,896 0,492 0,304 0,245 0,200 0,165 0,138 0,098 0,071 1,41 0,886 0,484 0,298 0,240 0,196 0,161 0,135 0,095 0,069 1,42 0,876 0,477 0,293 0,235 0,192 0,158 0,131 0,092 0,067 1,43 0,866 0,470 0,288 0,231 0,188 0,154 0,128 0,090 0,065 1,44 0,856 0,463 0,283 0,226 0,184 0,151 0,125 0,087 0,063 1,45 0,847 0,456 0,278 0,222 0,180 0,147 0,122 0,085 0,061 1,46 0,838 0,450 0,273 0,218 0,176 0,144 0,119 0,083 0,059 1,47 0,829 0,444 0,268 0,214 0,173 0,141 0,116 0,081 0,057 1,48 0,821 0,438 0,263 0,210 0,169 0,138 0,113 0,079 0,056 1,49 0,813 0,432 0,259 0,206 0,166 0,135 0,111 0,077 0,054 1,50 0,805 0,426 0,255 0,202 0,163 0,132 0,109 0,075 0,053 1,55 0,767 0,399 0,235 0,185 0,148 0,119 0,097 0,066 0,046 1,60 0,733 0,376 0,218 0,170 0,135 0,108 0,087 0,058 0,040 1,65 0,707 0,355 0,203 0,157 0,124 0,098 0,079 0,052 0,035 1,70 0,675 0,336 0,189 0,145 0,114 0,090 0,072 0,047 0,031 1,75 0,650 0,318 0,177 0,135 0,105 0,083 0,066 0,042 0,027 1,80 0,626 0,303 0,166 0,126 0,097 0,076 0,060 0,038 0,024 1,85 0,605 0,289 0,156 0,118 0,090 0,070 0,055 0,034 0,022 1,90 0,585 0,276 0,147 0,111 0,084 0,065 0,050 0,031 0,019 1,95 0,566 0,264 0,139 0,104 0,079 0,060 0,046 0,028 0,017 2,00 0,549 0,253 0,132 0,098 0,074 0,056 0,043 0,026 0,016 2,1 0,518 0,233 0,119 0,087 0,065 0,048 0,037 0,022 0,013 2,2 0,490 0,216 0,108 0,078 0,057 0,042 0,032 0,018 0,011 2,3 0,466 0,201 0,098 0,070 0,051 0,037 0,028 0,016 0,009 2,4 0,444 0,188 0,090 0,064 0,049 0,033 0,024 0,013 0,008 2,5 0,424 0,176 0,082 0,058 0,041 0,030 0,022 0,012 0,006 2,6 0,405 0,165 0,076 0,053 0,037 0,027 0,019 0,010 0,005 2,7 0,389 0,155 0,070 0,048 0,034 0,024 0,017 0,009 0,005 2,8 0,374 0,146 0,065 0,044 0,031 0,022 0,015 0,008 0,004 2,9 0,360 0,138 0,060 0,041 0,028 0,020 0,014 0,007 0,003 3,0 0,346 0,131 0,056 0,038 0,026 0,018 0,012 0,006 0,003 3,5 0,294 0,103 0,041 0,027 0,018 0,012 0,008 0,004 0,002 4,0 0,255 0,084 0,031 0,020 0,012 0,008 0,005 0,002 0,001 4,5 0,226 0,070 0,025 0,015 0,009 0,006 0,004 0,001 5,0 0,203 0,060 0,020 0,012 0,009 0,004 0,003 0,001 6,0 0,168 0,046 0,014 0,008 0,004 0,003 0,001 0,001 7,0 0,145 0,036 0,010 0,005 0,003 0,002 0,001 8,0 0,126 0,029 0,009 0,004 0,002 0,001 0,001 9,0 0,110 0,024 0,006 0,003 0,001 0,001 0,000 10,0 0,100 0,021 0,005 0,002 0,001 0,001 0,000 20,0 0,093 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000


Anexa 2 Valorile func iei )( pentru albii cu fund orizontal ( 0i )

x2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,0000 0 0 0 0 0 0 0

0,05 0,0001 0 0 0 0 0 0 0 0,10 0,0003 0,0001 0 0 0 0 0 0 0,15 0,0011 0,0004 0,0001 0,0001 0 0 0 0 0,20 0,0027 0,0010 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,25 0,0052 0,0022 0,0009 0,0007 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,30 0,0090 0,0042 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0002 0,35 0,0113 0,0073 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0011 0,0006 0,40 0,0213 0,0116 0,0064 0,0048 0,0036 0,0027 0,0021 0,0012 0,45 0,0304 0,0175 0,0102 0,0079 0,0061 0,0047 0,0037 0,0023 0,50 0,0497 0,0252 0,0156 0,0124 0,0098 0,0078 0,0063 0,0040 0,55 0,0554 0,0352 0,0229 0,0185 0,0151 0,0123 0,0101 0,0068 0,60 0,0720 0,0478 0,0324 0,0268 0,0223 0,0186 0,0156 0,0109 0,61 0,0756 0,0506 0,0346 0,0288 0,0240 0,0201 0,0161 0,0120 0,62 0,0794 0,0537 0,0369 0,0308 0,0259 0,0217 0,0183 0,0131 0,63 0,0833 0,0567 0,0394 0,0330 0,0278 0,0235 0,0198 0,0143 0,64 0,0874 0,0599 0,0419 0,0353 0,0298 0,0253 0,0215 0,0156 0,65 0,0915 0,0632 0,0446 0,0387 0,0320 0,0272 0,0232 0,0170 0,66 0,0958 0,0667 0,0474 0,0402 0,0343 0,0292 0,0250 0,0185 0,67 0,1003 0,0703 0,0504 0,0429 0,0367 0,0314 0,0270 0,0201 0,68 0,1048 0,0740 0,0535 0,0457 0,0392 0,0337 0,0291 0,0218 0,69 0,1095 0,0779 0,0564 0,0486 0,0418 0,0361 0,0313 0,0236 0,70 0,1143 0,0820 0,0600 0,0517 0,0446 0,0387 0,0336 0,0256 0,71 0,1193 0,0861 0,0635 0,0549 0,0476 0,0414 0,0361 0,0276 0,72 0,1244 0,0905 0,0672 0,0582 0,0507 0,0442 0,0387 0,0298 0,73 0,1297 0,0950 0,0710 0,0617 0,0539 0,0472 0,0415 0,0322 0,74 0,1351 0,0996 0,0750 0,0654 0,0573 0,0504 0,0444 0,0347 0,75 0,1406 0,1044 0,0791 0,0693 0,0609 0,0537 0,0475 0,0374 0,76 0,1463 0,1093 0,0834 0,0733 0,0646 0,0572 0,0507 0,0402 0,77 0,1552 0,1144 0,0879 0,0775 0,0685 0,0608 0,0541 0,0432 0,78 0,1582 0,1197 0,0925 0,0818 0,0726 0,0647 0,0577 0,0464 0,79 0,1643 0,1252 0,0974 0,0864 0,0769 0,0687 0,0615 0,0497 0,80 0,1707 0,1309 0,1024 0,0911 0,0814 0,0729 0,0655 0,0533 0,81 0,1772 0,1367 0,1075 0,0961 0,0861 0,0774 0,0697 0,0571 0,82 0,1838 0,1426 0,1130 0,1012 0,0910 0,0820 0,0741 0,0610 0,83 0,1906 0,1488 0,1186 0,1066 0,0961 0,0869 0,0788 0,0652 0,84 0,1976 0,1552 0,1245 0,1122 0,1014 0,0920 0,0836 0,0697 0,85 0,2046 0,1618 0,1305 0,1179 0,1070 0,0973 0,0887 0,0744 0,86 0,2120 0,1685 0,1368 0,1239 0,1127 0,1028 0,0941 0,0793 0,87 0,2195 0,1755 0,1432 0,1302 0,1188 0,1087 0,0997 0,0845 0,88 0,2272 0,1826 0,1499 0,1367 0,1250 0,1147 0,1056 0,0900 0,89 0,2350 0,1900 0,1569 0,1434 0,1315 0,1210 0,1117 0,0958 0,90 0,2430 0,1976 0,1640 0,1504 0,1383 0,1276 0,1181 0,1018 0,91 0,2512 0,2054 0,1714 0,1576 0,1454 0,1345 0,1248 0,1082 0,92 0,2596 0,2134 0,1791 0,1651 0,1527 0,1391 0,1318 0,1149 0,93 0,2681 0,2216 0,1870 0,1729 0,1603 0,1417 0,1391 0,1220 0,94 0,2769 0,2301 0,1952 0,1809 0,1682 0,1569 0,1468 0,1294


0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,95 0,2858 0,2388 0,2036 0,1892 0,1764 0,1650 0,1548 0,1371 0,96 0,2949 0,2477 0,2123 0,1973 0,1849 0,1734 0,1631 0,1453 0,97 0,3042 0,2568 0,2213 0,2067 0,1938 0,1822 0,1717 0,1538 0,98 0,3137 0,2662 0,2306 0,2159 0,2029 0,1913 0,1808 0,1627 0,99 0,3234 0,2760 0,2402 0,2255 0,2124 0,201 0,1902 0,1721 1,00 0,3333 0,286 0,250 0,2353 0,2222 0,2111 0,200 0,182 1,01 0,3434 0,296 0,260 0,2455 1,2324 0,221 0,210 0,192 1,02 0,3537 0,306 0,271 0,256 0,243 0,231 0,221 0,203 1,03 0,3643 0,317 0,281 0,267 0,254 0,242 0,232 0,214 1,04 0,375 0,328 0,292 0,278 0,265 0,254 0,243 0,226 1,05 0,386 0,339 0,304 0,289 0,277 0,265 0,255 0,238 1,06 0,397 0,350 0,316 0,301 0,289 0,278 0,268 0,250 1,07 0,408 0,362 0,328 0,314 0,301 0,290 0,281 0,264 1,08 0,420 0,374 0,340 0,326 0,314 0,303 0,294 0,278 1,09 0,432 0,386 0,353 0,339 0,327 0,317 0,308 0,292 1,10 0,444 0,399 0,366 0,353 0,341 0,331 0,322 0,307 1,11 0,456 0,412 0,380 0,367 0,355 0,346 0,337 0,323 1,12 0,468 0,425 0,394 0,381 0,370 0,361 0,352 0,339 1,13 0,481 0,438 0,408 0,396 0,385 0,376 0,368 0,356 1,14 0,493 0,452 0,422 0,411 0,401 0,392 0,385 0,374 1,15 0,507 0,466 0,437 0,426 0,417 0,409 0,402 0,392 1,16 0,520 0,480 0,453 0,442 0,433 0,426 0,420 0,411 1,17 0,534 0,495 0,469 0,458 0,450 0,444 0,438 0,431 1,18 0,548 0,510 0,485 0,475 0,468 0,462 0,457 0,452 1,19 0,562 0,525 0,501 0,493 0,486 0,481 0,477 0,473 1,20 0,576 0,541 0,518 0,511 0,505 0,501 0,497 0,496 1,21 0,591 0,557 0,536 0,529 0,524 0,521 0,519 0,519 1,22 0,605 0,573 0,554 0,548 0,544 0,541 0,541 0,548 1,23 0,620 0,591 0,572 0,567 0,564 0,563 0,563 0,568 1,24 0,635 0,607 0,591 0,587 0,585 0,585 0,586 0,594 1,25 0,651 0,624 0,610 0,607 0,607 0,608 0,610 0,620 1,26 0,667 0,642 0,630 0,628 0,629 0,631 0,635 0,648 1,27 0,683 0,660 0,650 0,650 0,652 0,655 0,661 0,677 1,28 0,699 0,678 0,671 0,672 0,675 0,680 0,687 0,707 1,29 0,716 0,697 0,692 0,694 0,699 0,706 0,714 0,738 1,30 0,732 0,716 0,714 0,717 0,724 0,732 0,743 0,770 1,31 0,749 0,735 0,736 0,741 0,749 0,759 0,772 0,808 1,32 0,767 0,775 0,759 0,766 0,775 0,787 0,820 0,837 1,33 0,784 0,785 0,782 0,791 0,802 0,816 0,832 0,873 1,34 0,802 0,796 0,806 0,816 0,829 0,845 0,864 0,909 1,35 0,820 0,817 0,830 0,842 0,853 0,876 0,897 0,947 1,36 0,839 0,838 0,855 0,869 0,887 0,907 0,930 0,986 1,37 0,857 0,860 0,881 0,897 0,916 0,939 0,965 1,027 1,38 0,876 0,882 0,907 0,925 0,947 0,972 1,001 1,059 1,39 0,895 0,905 0,933 0,954 0,978 1,006 1,038 1,112 1,40 0,905 0,928 0,960 0,983 1,010 1,041 1,076 1,157 1,41 0,930 0,951 0,988 1,013 1,043 1,077 1,115 1,203 1,42 0,954 0,975 1,016 1,044 1,077 1,114 1,155 1,251 1,43 0,975 0,999 1,045 1,076 1,111 1,151 1,196 1,300 1,44 0,995 1,024 1,075 1,108 1,147 1,190 1,238 1,351 1,45 1,016 1,049 1,105 1,141 1,183 1,230 1,282 1,403 1,46 1,037 1,074 1,136 1,175 1,210 1,270 1,327 1,457 1,47 1,059 1,100 1,167 1,210 1,258 1,312 1,373 1,513 1,48 1,081 1,127 1,199 1,245 1,297 1,355 1,420 1,571


0 1 2 3 4 5 6 7 8 1,49 1,103 1,154 1,232 1,281 1,337 1,399 1,469 1,680 1,50 1,125 1,181 1,266 1,313 1,378 1,445 1,519 1,691 1,52 1,170 1,237 1,335 1,395 1,462 1,538 1,623 1,819 1,54 1,217 1,295 1,406 1,474 1,551 1,637 1,732 1,954 1,56 1,265 1,355 1,480 1,557 1,644 1,740 1,847 2,098 1,58 1,315 1,417 1,558 1,644 1,741 1,849 1,969 2,250 1,60 1,365 1,481 1,638 1,734 1,843 1,963 2,097 2,412 1,62 1,417 1,546 1,722 1,829 1,948 2,082 2,232 2,582 1,64 1,470 1,614 1,808 1,926 2,059 2,207 2,373 2,762 1,66 1,525 1,684 1,898 2,028 2,174 2,338 2,521 2,953 1,68 1,581 1,756 1,992 2,134 2,294 2,475 2,677 3,154 1,70 1,638 1,830 2,088 2,244 2,420 2,618 2,840 3,360 1,72 1,696 1,907 2,188 2,358 2,551 2,767 3,011 3,590 1,74 1,756 1,986 2,292 2,477 2,687 2,924 3,190 3,825 1,76 1,817 2,067 2,399 2,600 2,829 3,087 3,378 4,073 1,78 1,880 2,150 2,510 2,728 2,976 3,257 3,574 4,335 1,80 1,944 2,236 2,624 2,861 3,130 3,434 3,779 4,609 1,82 2,009 2,324 2,743 2,999 3,289 3,619 3,994 4,898 1,84 2,076 2,414 2,866 3,141 3,455 3,812 4,218 5,202 1,86 2,145 2,507 2,992 3,288 3,627 4,013 4,452 5,520 1,88 2,215 2,603 3,123 3,442 3,806 4,222 4,697 5,855 1,90 2,286 2,701 3,258 3,600 3,992 4,440 4,952 6,205 1,92 2,359 2,802 3,397 3,764 4,185 4,660 5,218 6,573 1,94 2,434 2,906 3,542 3,933 4,384 4,902 5,490 6,959 1,96 2,510 3,012 3,690 4,109 4,591 5,147 5,785 7,363 1,98 2,587 3,121 3,841 4,290 4,806 5,401 6,086 7,786 2,00 2,667 3,232 4,000 4,477 5,028 5,655 6,400 8,228 2,05 2,872 3,524 4,415 4,972 5,619 6,370 7,241 9,425 2,10 3,087 3,834 4,862 5,508 6,263 7,143 8,168 10,76 2,15 3,313 4,164 5,342 6,088 6,962 7,987 9,188 12,25 2,20 3,549 4,512 5,856 6,720 7,721 8,909 10,31 13,90 2,25 3,797 4,882 6,407 7,386 8,543 9,912 11,53 15,73 2,30 4,056 5,272 6,996 8,109 9,431 11,00 12,87 17,75 2,35 4,326 5,684 7,625 8,885 10,39 12,18 14,33 19,98 2,40 4,608 6,119 8,294 9,716 11,42 13,47 15,93 22,43 2,45 4,902 6,577 9,008 10,61 12,53 14,85 17,66 25,12 2,50 5,208 7,059 9,766 11,56 13,72 16,35 19,53 28,08 2,55 5,527 7,565 10,57 12,57 15,00 17,96 21,56 31,30 2,60 5,859 8,097 11,42 13,65 16,37 19,70 23,76 34,83 2,65 6,203 8,655 12,33 14,80 17,84 21,56 26,16 38,68 2,70 6,561 9,240 13,29 16,03 19,40 23,57 28,70 42,87 2,75 6,932 9,854 14,30 17,33 21,08 25,71 31,46 47,42 2,80 7,317 10,49 15,37 18,71 22,86 28,01 34,42 52,36 2,85 7,716 11,17 16,49 20,17 24,75 30,47 37,61 57,71 2,90 8,130 11,87 17,68 21,72 26,77 33,09 41,02 63,51 2,95 8,557 12,60 18,93 23,35 28,91 35,89 46,68 69,77 3,00 9,000 13,36 20,25 25,08 31,18 38,87 48,60 76,53 3,5 14,29 22,92 37,52 48,30 62,39 80,84 105,1 178,8 4,0 21,33 36,57 64,0 85,18 113,8 152,4 200,1 372,4 4,5 30,38 55,23 102,5 140,5 193,3 266,7 369,0 711,7 5,0 41,67 79,86 156,0 219,9 310,6 440,0 625,0 1271 6,0 72,0 151,2 324,0 477,2 705,4 1046 1555 3463 7,0 114,3 259,3 600,0 918,9 1412 2175 3361 8085 8,0 170,7 413,7 1024 1621 2574 4102 6554 16850


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 242,0 625,0 1640 2674 4374 7177 11810 32210

10,0 333,3 903,0 2500 4184 7027 11840 20000 57500


Anexa 3 Valorile func iei )( pentru albiile cu pant negativ ( 0i )

x2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

0 1 2 3 4 5 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,099 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,148 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,196 0,198 0,199 0,200 0,200 0,25 0,244 0,246 0,248 0,250 0,250 0,30 0,291 0,295 0,297 0,299 0,300 0,35 0,336 0,342 0,346 0,348 0,349 0,40 0,380 0,389 0,393 0,396 0,397 0,45 0,422 0,434 0,440 0,444 0,445 0,50 0,463 0,477 0,485 0,490 0,493 0,55 0,502 0,518 0,528 0,534 0,539 0,60 0,540 0,558 0,571 0,579 0,585 0,61 0,547 0,566 0,579 0,588 0,594 0,62 0,554 0,574 0,587 0,596 0,603 0,63 0,562 0,581 0,595 0,605 0,612 0,64 0,569 0,589 0,602 0,613 0,620 0,65 0,576 0,596 0,610 0,621 0,629 0,66 0,583 0,604 0,618 0,630 0,638 0,67 0,590 0,611 0,626 0,633 0,646 0,68 0,597 0,619 0,634 0,646 0,654 0,69 0,603 0,626 0,641 0,653 0,662 0,70 0,610 0,633 0,649 0,661 0,670 0,71 0,617 0,640 0,657 0,668 0,678 0,72 0,624 0,648 0,664 0,676 0,686 0,73 0,630 0,655 0,672 0,683 0,694 0,74 0,637 0,662 0,679 0,691 0,702 0,75 0,643 0,668 0,686 0,698 0,709 0,76 0,649 0,675 0,693 0,705 0,717 0,77 0,656 0,681 0,700 0,712 0,724 0,78 0,662 0,688 0,707 0,720 0,731 0,79 0,668 0,694 0,713 0,727 0,738 0,80 0,674 0,700 0,720 0,734 0,746 0,81 0,680 0,706 0,727 0,741 0,753 0,82 0,686 0,712 0,733 0,748 0,760 0,83 0,692 0,718 0,740 0,755 0,766 0,84 0,698 0,724 0,746 0,761 0,773 0,85 0,704 0,730 0,752 0,767 0,780 0,86 0,710 0,736 0,758 0,774 0,786 0,87 0,715 0,742 0,764 0,780 0,792 0,88 0,721 0,748 0,770 0,786 0,799 0,89 0,727 0,754 0,776 0,792 0,805 0,90 0,732 0,760 0,781 0,798 0,811 0,91 0,738 0,765 0,787 0,804 0,817 0,92 0,743 0,771 0,793 0,810 0,823 0,93 0,749 0,777 0,799 0,815 0,829 0,94 0,754 0,782 0,804 0,820 0,835 0,95 0,759 0,787 0,809 0,826 0,840


0 1 2 3 4 5 0,96 0,764 0,793 0,815 0,831 0,847 0,97 0,770 0,798 0,820 0,837 0,851 0,98 0,775 0,803 0,825 0,842 0,857 0,99 0,780 0,809 0,830 0,847 0,861 1,00 0,785 0,813 0,834 0,851 0,867 1,01 0,790 0,817 0,840 0,856 0,872 1,02 0,795 0,823 0,845 0,862 0,876 1,03 0,800 0,827 0,850 0,866 0,881 1,04 0,805 0,831 0,855 0,871 0,887 1,05 0,810 0,836 0,859 0,875 0,891 1,06 0,815 0,841 0,864 0,879 0,895 1,07 0,819 0,846 0,869 0,884 0,900 1,08 0,824 0,851 0,873 0,888 0,904 1,09 0,828 0,856 0,877 0,892 0,908 1,10 0,833 0,860 0,881 0,897 0,912 1,11 0,837 0,864 0,886 0,901 0,916 1,12 0,842 0,868 0,891 0,905 0,920 1,13 0,846 0,872 0,895 0,909 0,924 1,14 0,851 0,876 0,899 0,913 0,927 1,15 0,855 0,880 0,903 0,917 0,927 1,16 0,859 0,884 0,907 0,921 0,935 1,17 0,864 0,888 0,911 0,925 0,938 1,18 0,868 0,892 0,915 0,928 0,942 1,19 0,872 0,896 0,918 0,931 0,946 1,20 0,876 0,900 0,921 0,935 0,949 1,21 0,880 0,904 0,925 0,939 0,952 1,22 0,884 0,908 0,929 0,943 0,955 1,23 0,888 0,912 0,932 0,946 0,958 1,24 0,892 0,916 0,935 0,949 0,961 1,25 0,896 0,919 0,938 0,952 0,964 1,26 0,900 0,922 0,942 0,955 0,967 1,27 0,904 0,927 0,945 0,958 0,970 1,28 0,908 0,830 0,948 0,961 0,973 1,29 0,911 0,934 0,952 0,964 0,975 1,30 0,915 0,937 0,955 0,966 0,978 1,31 0,919 0,940 0,958 0,969 0,981 1,32 0,922 0,943 0,961 0,972 0,984 1,33 0,926 0,947 0,964 0,974 0,986 1,34 0,930 0,951 0,967 0,977 0,989 1,35 0,933 0,954 0,970 0,980 0,991 1,36 0,937 0,957 0,973 0,983 0,993 1,37 0,940 0,960 0,976 0,986 0,995 1,38 0,944 0,963 0,979 0,989 0,997 1,39 0,947 0,966 0,981 0,991 0,998 1,40 0,951 0,969 0,984 0,993 1,000 1,41 0,954 0,972 0,986 0,995 1,002 1,42 0,957 0,975 0,989 0,998 1,004 1,43 0,960 0,978 0,992 1,001 1,006 1,44 0,964 0,980 0,995 1,003 1,008 1,45 0,967 0,983 0,997 1,005 1,010 1,46 0,970 0,986 1,000 1,007 1,012 1,47 0,973 0,989 1,002 1,009 1,013 1,48 0,977 0,991 1,005 1,010 1,015 1,49 0,980 0,994 1,007 1,012 1,017


0 1 2 3 4 5 1,50 0,983 0,997 1,009 1,014 1,019 1,55 0,987 1,010 1,020 1,023 1,028 1,60 1,012 1,022 1,030 1,032 1,034 1,65 1,026 1,033 1,039 1,040 1,040 1,70 1,039 1,044 1,048 1,047 1,046 1,75 1,052 1,054 1,057 1,053 1,051 1,80 1,064 1,064 1,065 1,059 1,056 1,85 1,075 1,073 1,072 1,065 1,060 1,90 1,086 1,082 1,079 1,070 1,064 1,95 1,097 1,090 1,085 1,074 1,067 2,00 1,107 1,098 1,090 1,078 1,070 2,10 1,126 1,112 1,100 1,085 1,075 2,20 1,144 1,125 1,109 1,092 1,079 2,30 1,161 1,137 1,117 1,097 1,083 2,40 1,176 1,148 1,124 1,102 1,086 2,50 1,190 1,157 1,131 1,106 1,089 2,60 1,204 1,166 1,137 1,110 1,091 2,70 1,216 1,174 1,142 1,113 1,093 2,80 1,228 1,181 1,146 1,116 1,095 2,90 1,239 1,188 1,150 1,119 1,097 3,0 1,249 1,194 1,154 1,121 1,098 3,5 1,293 1,218 1,165 1,129 1,102 4,0 1,324 1,237 1,176 1,134 1,105 4,5 1,351 1,251 1,183 1,137 1,107 5,0 1,373 1,260 1,188 1,139 1,109 6,0 1,405 1,272 1,195 1,142 1,110 8,0 1,447 1,290 1,201 1,144 1,110

10,0 1,471 1,298 1,203 1,145 1,110

Ane

xa 4

Valo

rile

inte

gral

ei lo

garit

mic

e

x

xi

dxx

ex

Ex

W/

)(

)(

xa

1 x

a 2

x a

3 x

a 4

x a

5 x

a 6

x a

7 x

a 8

x a

9 x

a 10

-15

33,9

6 33

,27

32,8

6 32

,58

32,3

5 32

,17

32,0

2 31

,88

31,7

6 10

-14

31,6

6 30

,97

30,5

6 30

,27

30,0

5 29

,87

29,7

1 29

,58

29,4

6 10

-13

29,3

6 28

,66

28,2

6 27

,97

27,7

5 27

,56

27,4

1 27

,28

27,1

6 10

-12

27,0

5 26

,36

25,9

6 25

,67

25,4

4 25

,26

25,1

1 24

,97

24,8

6 10

-11

24,7

5 24

,06

23,6

5 23

,36

23,1

4 22

,96

22,8

1 22

,67

22,5

5 10

-10

22,4

5 21

,76

21,3

5 21

,06

20,8

4 20

,66

20,5

0 20

,37

20,2

5 10

-9

20,1

5 19

,45

19,0

5 18

,76

18,5

4 18

,35

18,2

0 18

,07

17,9

5 10

-8

17,8

4 17

,15

16,7

4 16

,46

16,2

3 16

,05

15,9

0 15

,76

15,6

5 10

-7

15,5

4 14

,85

14,4

4 14

,15

13,9

3 13

,75

13,6

0 13

,46

13,3

4 10

-6

13,2

4 12

,55

12,1

4 11

,85

11,6

3 11

,45

11,2

9 11

,16

11,0

4 10

-5

10,9

4 10

,24

9,84

9,

55

9,33

9,

14

8,99

8,

86

8,74

10

-4

8,63

7,

94

7,53

7,

25

7,02

6,

84

6,69

6,

55

6,44

10

-3

6,33

5,

64

5,23

4,

95

4,73

4,

54

4,39

4,

26

4,14

10

-2

4,04

3,

35

2,96

2,

68

2,47

2,

30

2,15

2,

03

1,92

10

-1

1,82

1,

22

0,91

0,

70

0,56

0,

45

0,37

0,

31

0,26

1

0,21

9 0,

049

0,01

3 0,

0038

0,

0011

3,

6·10

-4

1,2·

10-4

3,

1·10

-5

1,2·

10-5


BARTHA - Hidraulica 2

Documents

Transcript of BARTHA - Hidraulica 2