198225300 BARTHA Hidraulica 2

I. I. BarthaBartha VV. . JavgureanuJavgureanu N. N. MarcoieMarcoie

HidraulicăHidraulică

I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie. Hidraulică, Vol. II:

Lucrarea se adresează studenţilor şi specialiştilor din domeniul

hidrotehnicii, hidroamelioraţiilor şi ingineriei mediului, dar poate fi oportună pentru o sferă mai largă de specialităţi. Referenţi: dr. ing. Mihail Luca

dr. ing. Ilie Rusu

Manualul cuprinde noţiuni de hidraulica curgerilor cu nivel liber,

mişcări potenţiale, mişcarea aluviunilor, hidraulică subterană şi noţiuni de modelare hidraulică. În fiecare capitol aspectele teoretice sunt exemplificate prin probleme practice concrete reprezentative.

Lucrare finanţată de GRANT; Cod CNCSIS: 33371/2004

ISBN 973-730-039-4 © I. Bartha, V. Javgureanu, N. Marcoie Apărută în 2004.

Prefaţă

Acest manual are scopul de a-i sprijini pe cei care învaţă Hidraulică,

pentru a o folosi în soluţionarea problemelor tehnice şi ştiinţifice.

Prin conţinutul său, modul de expunere, lucrarea este adresată

studenţilor, dar poate fi folosită şi de specialiştii care vin în contact cu

probleme din domeniul hidraulicii, pentru lărgirea şi aprofundarea

cunoştinţelor şi pentru rezolvarea unor probleme tehnice.

Manualul este structurat pe 11 capitole şi cuprinde mişcările efluente,

hidraulica albiilor deschise, noţiuni de mişcări bifazice de apă – solid,

hidraulica subterană şi noţiuni de modelare hidraulică. Sunt descrise

aspectele teoretice - fizice şi matematice – ale fenomenelor, precum şi

aplicaţiile acestora în domeniul Hidrotehnicii, Ingineriei Mediului şi altor

ramuri ale tehnicii. Fiecare capitol cuprinde şi câteva exemple concrete,

care înlesnesc înţelegerea expunerilor. S-a renunţat la anumite metode

depăşite istoric prin posibilităţile oferite de tehnica modernă de calcul.

Prin manual se doreşte punerea la îndemâna celor interesaţi a unui

material didactic şi tehnico-ştiinţific în sfera hidraulicii aplicate.

Lucrarea este rezultatul unei îndelungate experienţe didactice şi

tehnico-ştiinţifice, al unor colaborări fructuoase între specialişti din ţări cu

limbă oficială identică şi între generaţii diferite.

Mulţumim şi pe această cale tuturor celor care ne-au sprijinit sub

diferite forme, atât moral, cât şi material în elaborarea şi apariţia acestui

manual.

Autorii

EDITURA „PERFORMANTICA“, Iaşi, B-DUL CAROL I, nr. 3-5,

[email protected] tel./fax. 0232 214763

EDITURĂ ACREDITATĂ DE CNCSIS BUCUREŞTI, 1142/30.06.2003

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României: BARTHA Iosif Hidraulică - Vol. 2 / Iosif Bartha, Vasile JAVGUREANU, Nicolae MARCOIE – Iaşi: Performantica, 2004 560 p., 24 cm, ISBN 973-730-039-4 I. JAVGUREANU Vasile II. MARCOIE Nicolae CZU 532(075.8) B 35

Referenţi ştiinţifici: Dr. ing. Mihail Luca Dr. ing. Ilie Rusu Consilier editorial:

Prof. univ. dr. Traian D. Stănciulescu

Secretar editorial: Octav Păuneţ

© Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Autorilor şi Editurii „PERFORMANTICA“, Iaşi, România

Hidraulică vol. II 5

CUPRINS

11. Mişcări efluente ...................................................................................13

11.1 Curgerea permanentă prin orificii............................................ 13

11.1.1 Curgerea prin orificii mici, libere ............................ 14

11.1.2 Curgerea prin orificii mici, înecate........................... 22

11.1.3 Curgerea prin orificii mari, libere............................. 23

11.1.4 Curgerea prin orificiile stăvilarelor

în albii orizontale...................................................... 25

11.1.5 Curgerea prin orificii cu vârtej.................................. 31

11.2 Curgerea permanentă prin ajutaje............................................ 32

11.2.1 Curgerea prin ajutajul cilindric exterior.................... 32

11.2.2 Tipuri de ajutaje folosite în tehnică.......................... 35

11.2.3 Conducte scurte privite ca ajutate............................. 38

11.3 Jeturi lichide............................................................................. 39

11.3.1 Jetul liber................................................................... 40

11.3.2 Jetul înecat................................................................ 46

11.4 Curgerea lichidelor prin orificii şi ajutaje

cu sarcină variabilă.................................................................. 47

11.4.1 Timpul de golire al rezervoarelor.............................. 47

11.4.2 Timpul de egalizare al nivelului în

două rezervoare......................................................... 49

11.5 Deversoare............................................................................... 50

11.5.1 Teoria fundamentală a debitului............................... 52

11.5.2 Clasificarea deversoarelor......................................... 53

11.5.3 Deversoare cu perete subţire..................................... 61

11.5.4 Deversoare cu profil gros.......................................... 67

11.5.5 Deversoare cu profil curb.......................................... 71

11.5.6 Deversorul cu prag lat............................................... 76

11.5.7 Alte tipuri de deversoare........................................... 78

11.6 Aplicaţii.................................................................................... 85

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae 6

12. Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă......................... 93

12.1 Noţiuni generale....................................................................... 93

12.1.1 Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor........ 94

12.2 Legile curgerii uniforme a lichidelor în albii regulate ............ 95

12.2.1 Relaţia generală a curgerii uniforme în canale......... 95

12.2.2 Distribuţia vitezelor pe secţiune................................ 96

12.2.3 Curenţi aeraţi............................................................. 98

12.2.4 Instabilitatea mişcării uniforme................................ 99

12.3 Calculul hidraulic al albiilor regulate deschise

în mişcare uniformă............................................................... 100

12.3.1 Problema de verificare a canalelor

în mişcare uniformă.................................................. 100

12.3.2 Problema de dimensionare a canalelor

în mişcare uniformă................................................ 100

12.4 Calculul hidraulic al canalelor închise.................................... 114

12.4.1 Calculul hidraulic al canalelor circulare................... 114

12.5 Calculul tehnico-economic al canalelor.................................. 118

12.6 Viteze admisibile pe canale..................................................... 119

12.7 Pierderi locale de sarcină în curenţi

permanenţi cu nivel liber......................................................... 121

12.8 Aplicaţii.................................................................................... 126

13. Mişcarea permanentă lent (gradual) variată a

lichidelor cu suprafaţă liberă.............................................................. 134

13.1 Ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent

(gradual) variate a curenţilor cu nivel liber............................. 135

13.2 Studiul energetic al curenţilor permanenţi

cu suprafaţă liberă.................................................................... 137

13.2.1 Energia specifică a curentului şi a secţiunii.............. 137

13.2.2 Variaţia energiei specifice a secţiunii în

lungul curentului....................................................... 138

13.2.3 Stările curenţilor permanenţi.................................... 139

13.2.4 Recunoaşterea stării curentului................................. 144

13.3 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a

lichidelor în mişcare lent (gradual) variată.............................. 145

13.3.1 Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a

lichidelor în mişcarea permanentă lent

variată pentru I > 0..................................................... 145

lichidelor în mişcarea permanentă gradual

variată pentru I = 0..................................................... 155


lichidelor în mişcarea permanentă gradual

variată pentru I < 0..................................................... 156

13.4 Metode de calcul ale curbelor suprafeţei libere

în albii cilindrice şi prismatice................................................ 158

13.4.1 Exponentul hidraulic al albiei................................... 158

13.4.2 Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate

în albii regulate prin metoda exponentului

hidraulic al albiei (B. A. Bahmetev).......................... 161

13.4.3 Calculul suprafeţei libere în mişcarea

permanentă gradual variată prin metoda

diferenţelor finite....................................................... 169

13.4.4 Construirea curbelor suprafeței libere pe râuri

cu albie majoră sau albii bifurcate............................. 172

13.4.5 Principalele tipuri de probleme la calculul

suprafeţei libere în mişcare permanentă

gradual variată........................................................... 173

13.5 Aplicaţii.................................................................................... 175

14. Mişcarea permanentă rapid variată a lichidelor cu

suprafaţă liberă.................................................................................... 189

14.1 Saltul hidraulic......................................................................... 189

14.1.1 Formele saltului hidraulic......................................... 190

14.1.2 Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic

în albii orizontale...................................................... 194

14.1.3 Ecuaţia saltului hidraulic în albii

dreptunghiulare cu pantă mare.................................. 201

14.2 Alte forme de mişcări permanente rapid variate

ale curenţilor cu suprafaţă liberă............................................. 202

14.2.1 Pragul urcător............................................................ 202

14.2.2 Treaptă coborâtoare.................................................. 204

14.2.3 Prag de fund.............................................................. 205

14.2.4 Pilă în albie................................................................ 206

14.3 Aplicaţii.................................................................................... 206


15. Racordarea biefurilor.......................................................................... 211

15.1 Propagarea perturbaţiilor în albii deschise.............................. 211

15.2 Trasarea curbei suprafeţei libere la racordarea

biefurilor.................................................................................. 214

15.2.1 Racordarea biefurilor în albii regulate

(uniforme) la schimbare de pantă.............................. 215

15.2.2 Racordarea biefurilor în albii regulate

(uniforme) prin construcţii cu lame efluente............. 223

15.3 Relaţii de calcul ale mărimilor hidraulice în racordarea

biefurilor prin construcţii cu lame efluente.............................. 230

15.3.1 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de

fund al vitezei............................................................ 230

15.3.2 Relaţii de calcul pentru racordări în regim de

suprafaţă al vitezei.................................................... 234

15.4 Aplicaţii.................................................................................... 235

16. Disiparea energiei. Disipatori de energie........................................... 245

16.1 Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare................................... 245

16.2 Controlul racordării în bieful aval fără construcţii

speciale de disipare a energiei................................................. 247

16.3 Controlul racordării şi disipării energiei cu salt înecat

în bazine disipatoare................................................................ 249

16.3.1 Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare

simple........................................................................ 249

16.3.2 Bazine disipatoare complexe.................................... 254

16.3.3 Alte forme de bazine disipatoare de energie............. 257

16.4 Racordarea biefurilor şi disiparea energiei în jeturi libere...... 260

16.5 Racordarea biefurilor prin căderi în trepte.............................. 265

16.6 Calculul hidraulic al canalelor rapide (jilipuri)....................... 267

16.6.1 Calculul jilipurilor cu pereţi netezi........................... 267

16.6.2 Calculul jilipurilor cu macrorugozitate

artificială................................................................... 270

16.6.3 Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată........... 274

16.7 Aplicaţii.................................................................................... 282


17. Mişcarea nepermanentă a lichidelor cu suprafaţă liberă................ 287

17.1 Consideraţii generale. Tipuri de unde...................................... 287

17.2 Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii................................. 288

17.2.1 Ipotezele care stau la baza modelului

unidimensional.......................................................... 288

17.2.2 Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant................ 289

17.2.3 Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant............ 292

17.2.4 Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 293

17.2.5 Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant........ 295

17.2.6 Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant........... 297

17.3 Metode de integrare ale ecuaţiilor Saint-Venant..................... 299

17.4 Noţiuni privind caracteristicile. Condiţii iniţiale şi la

limită........................................................................................ 300

17.5 Scheme cu diferenţe finite pentru integrarea ecuaţiilor

Saint Venant............................................................................. 303

17.5.1 Principiul metodei cu diferenţe finite....................... 303

17.5.2 Schemă implicită în patru puncte.............................. 305

17.5.3 Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor

Saint Venant.............................................................. 312

17.6 Unde de translaţie.................................................................... 314

17.7 Valuri....................................................................................... 316

17.7.1 Definiţii. Clasificarea valurilor................................. 316

17.7.2 Valuri marine. Acţiunea valurilor

asupra construcţiilor................................................. 317

17.8 Aplicaţii.................................................................................... 320

18. Curgeri bifazice.................................................................................... 331

18.1 Difuzie, dispersie, mişcări polifazice, curgeri stratificate....... 331

18.1.1 Difuzia laminară........................................................ 332

18.1.2 Difuzia turbulentă..................................................... 333

18.1.3 Dispersia turbulentă.................................................. 335

18.2 Curgeri polifazice şi mişcări stratificate.................................. 336

18.2.1 Curgeri polifazice...................................................... 337

18.2.2 Curgeri stratificate..................................................... 338

18.3 Mişcarea aluviunilor................................................................ 339

18.3.1 Caracterizarea aluviunilor prin prisma

transportului hidraulic............................................... 340

18.3.2 Despre conceptul de concentraţie............................. 346


18.3.3 Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor....... 347

18.3.4 Mişcarea aluviunilor târâte....................................... 350

18.3.5 Mişcarea aluviunilor în suspensie............................. 360

18.3.6 Cazuri practice de mişcări bifazice

lichid-solid................................................................ 364

18.4 Hidraulica mişcării gheţurilor.................................................. 388

18.4.1 Mişcarea zaiului........................................................ 388

18.4.2 Mişcarea(plutirea) sloiurilor..................................... 390

18.4.3 Condiţiile formării şi menţinerii podului de

gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.................... 391

18.4.4 Curgerea apei sub podul de gheaţă........................... 396

18.5 Aplicaţii.................................................................................... 398

19. Mişcări potenţiale................................................................................ 404

19.1 Noţiuni generale. Definiţii....................................................... 404

19.2 Mişcări potenţiale plane........................................................... 407

19.2.1 Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul

funcţiilor analitice de variabile complexe................. 410

19.2.2 Exemple tratare indirectă a mişcărilor

potenţiale plane.......................................................... 411

19.3 Metode de tratare directă a problemelor de

mişcări potenţiale plane........................................................... 417

19.3.1 Metoda transformărilor conforme............................. 417

19.3.2 Metoda analitică aproximativă prin diferenţe

finite.......................................................................... 422

19.3.3 Metode experimentale............................................... 424

19.4 Aplicaţii.................................................................................... 426

20. Mişcarea apelor subterane.................................................................. 431

20.1 Schema teoretică a curgerii permanente a apei subterane

în regim saturat........................................................................ 432

20.1.1 Schematizarea curgerii.............................................. 433

20.1.2 Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)...... 434

20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy............... 435

20.1.4 Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate............. 436

20.1.5 Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate a

legii lui Darcy............................................................ 438

20.1.6 Mişcarea apei subterane în medii poroase


stratificate.................................................................. 439

20.2 Bazele hidrodinamice ale filtraţiei........................................... 442

20.2.1 Spectrul hidrodinamic............................................... 445

20.2.2 Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei

cu ajutorul spectrului hidrodinamic.......................... 446

20.2.3 Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă............... 448

20.2.4 Mişcări plane verticale în medii poroase

neomogene, anizotrope............................................. 449

20.2.5 Mişcări plane verticale în medii ortotrope................ 450

20.2.6 Mişcări plane orizontale............................................ 451

20.2.7 Spectrul hidrodinamic în medii neomogene,

anizotrope.................................................................. 453

20.2.8 Metode pentru construirea spectrului

hidrodinamic.............................................................. 455

20.3 Calculul filtraţiei prin metode hidraulice................................ 455

20.3.1 Mişcarea uniformă a apelor subterane...................... 455

20.3.2 Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor

subterani.................................................................... 457

20.3.3 Ipoteza lui Dupuit generalizată................................. 464

20.3.4 Ipoteza lui Hooghoudt............................................... 469

20.3.5 Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani

cu nivel liber.............................................................. 469

20.4 Calculul hidraulic al captărilor apelor subterane..................... 473

20.4.1 Captarea apelor subterane prin puţuri....................... 473

20.4.2 Mişcarea apelor subterane spre drenuri.................... 497

20.5 Filtraţia apei prin corpul construcţiilor din pământ................. 502

20.5.1 Filtraţia prin corpul barajelor de pământ.................. 503

20.5.2 Filtraţia prin corpul digurilor.................................... 516

20.6 Aplicaţii................................................................................... 520

21. Elemente de modelare hidraulică....................................................... 525

21.1 Noţiuni generale. Modele utilizate în modelarea hidraulică 525

21.1.1 Modele fizice şi numerice......................................... 525

21.2 Modele hidraulice.................................................................... 527

21.2.1 Consideraţii preliminare............................................ 527

21.2.2 Modele hidraulice convenţionale.............................. 528

21.2.3 Modele hidraulice distorsionate................................ 529

21.2.4 Modele de tip Froude şi Reynolds............................. 531


21.3 Modelarea curgerilor cu suprafaţă liberă şi cu pat fix............. 532

21.3.1 Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor

deschise..................................................................... 532

21.3.2 Modelarea structurilor hidrotehnice.......................... 536

21.3.3 Modele mixte............................................................ 537

21.3.4 Modelarea curgerilor sub presiune............................ 538

21.3.5 Modelarea schemelor de amenajare a râurilor.......... 539

21.3.6 Tehnica modelării hidraulice.................................... 539

21.4 Aplicaţii.................................................................................... 542

Bibliografie................................................................................................. 545

Anexe............................................................................................................549


CAPITOLUL 11

MIŞCĂRI EFLUENTE

Curgerea permanentă a fluidelor din recipienţi prin secţiuni relativ

mici, într-un spaţiu ocupat de acelaşi sau de alt fluid se numeşte mişcare

efluentă. În categoria acestor mişcări se încadrează curgerea prin orificii şi

ajutaje, jeturile (vânele) de fluid rezultate, curgerea peste deversoare, cu lama

deversantă aferentă.

Aceste mişcări se caracterizează prin curburi pronunţate ale liniilor de

curent şi, implicit, variaţii importante ale parametrilor geometrici şi hidraulici –

secţiune de curgere, viteză, presiune şi nivel (la curgeri cu nivel liber) – în

lungul curentului. La trecerea prin secţiunea de curgere curentul ia forma vânei

lichide care se menţine, cu variaţii de formă, şi după trecerea în mediul aval.

În raport cu variabila timp, aceste mişcări pot fi permanente

(staţionare) sau nepermanente. Se studiază pe larg mişcările staţionare şi numai

câteva cazuri practice de mişcări variabile cu timpul.

11.1. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN ORIFICII

Se numeşte orificiu o deschizătură în peretele sau fundul unui

rezervor, prin care fluidele curg, conturul fiind în întregime în contact cu

fluidul în mişcare. Rolul obişnuit al unui orificiu este măsurarea sau controlul

curgerii.

După dimensiunea pe verticală a orificiilor în raport cu sarcina

(presiunea) sub care lucrează acestea pot fi mici şi mari. La orificiile mici

(fig. 11.1) se poate considera că sarcina este constantă pe orificiu, pe când la

orificiile mari (fig. 11.2) sarcina este şi trebuie considerată variabilă pe

secţiunea orificiului.

După condiţiile de curgere orificiile pot funcţiona liber (v. fig. 11.1)

sau înecat (fig. 11.2). La orificiile libere vâna lichidă se dezvoltă în gaz şi

descrie o anumită traiectorie, în general parabolică pe când la orificiile înecate

vâna se dezvoltă în acelaşi fluid din care este format jetul şi păstrează o poziţie

aproximativ orizontală.


Fig. 11.1. Orificiu mic liber Fig. 11.2. Orificiu mare liber

Fig. 11.3. Orificiu cu funcţionare înecată

Curentul de lichid se dezlipeşte de muchia orificiului la paramentul

amonte, sau dacă muchia amonte este rotunjită, aceasta are rol de dirijare a

liniilor de curent. În această privinţă se întâlnesc orificii cu muchii ascuţite,

teşite şi rotunjite.

Orificiile pot avea diferite forme geometrice, de obicei regulate, însă

cele mai des întâlnite în practică sunt cele circulare şi dreptunghiulare.

Legile curgerii prin orificii sunt comune tuturor fluidelor, însă

coeficienţii determinaţi experimental se referă în special la apă.

11.1.1. Curgerea prin orificii mici, libere

Convenţional se consideră orificiu mic, acel orificiu la care înălţimea

secţiunii sale d este cel mult H/10.

Elementele analizate se referă la contracţie, viteză, debit şi traiectoria

vânei lichide.

H>>dH

d

1

2

H~d

H

H

d

H


10. Contracţia vânei lichide

Urmărind spectrul curgerii prin orificii se observă că firele de curent

din recipient descriu traiectorii curbe, convergente spre orificiu, curbura lor

fiind mai pronunţată în apropierea orificiului. La orificiile cu muchii ascuţite

firele de curent se dezlipesc de perete la muchia amonte şi datorită inerţiei îşi

păstrează curbura. La distanţa δ de perete firele de curent devin paralele, vâna

având secţiune minimă. Această secţiune poartă numele de secţiune contractată (fig. 11.4).

Pentru secţiuni particulare – cerc cu

diametrul „d” şi pătrat cu latura

„a” – distanţa de la peretele amonte

(secţiune de dezlipire) la secţiunea

contractată este δ = 0,6d sau δ=0,5a. Raportul secţiunii contractate Ac şi

secţiunea orificiului A este coeficientul

de contracţie:

ε=Ac/A (11.1)

Fig. 11.4. Contracţia vânei lichide

Mărimea coeficientului de contracţie depinde de caracterul contracţiei

care poate fi completă, imperfectă şi incompletă. Contracţia completă are loc

dacă pereţii şi fundul recipientului nu influenţează curbura firelor de curent. Se

consideră contracţia completă dacă muchia orificiului este la o distanţă de trei

ori mai mare dată de elementele perturbatoare decât mărimea orificiului.

Contracţia imperfectă are loc dacă orificiul se află mai aproape de elementele

de perturbare decât cele arătate anterior; iar contracţia este incompletă dacă

orificiul se află lângă peretele lateral sau pe fundul rezervorului.

Coeficientul de contracţie variază în limite destul de largi;

experimentele arată ε Є (0,56; 0,67), iar calculele teoretice, prin aplicarea

teoremei impulsului, conduc la

01

24

22

2

=+−ϕ

επ

ε (11.2)

AA

δ

c


cu valori ),,(ε 6070...5620∈ . Teoria mişcărilor potenţiale, prin transformări

conforme, indică:

611,02

=+

=π

πε (11.3)

20. Viteza şi debitul fluidului la orificii mici

Se consideră un orificiu mic, cu muchie ascuţită în peretele vertical al

unui rezervor cu două camere (fig. 11.5.). Orificiul se consideră cu funcţionare

liberă, nivelul amonte constant, în cele două camere 1 şi 2 presiunea gazului

deasupra lichidului fiind p1, respectiv p2, astfel încât curgerea are loc din

rezervorul 1 către 2.

Particulele de fluid urmează traiectorii curbe, mc fiind una dintre ele,

cu punctul m în camera 1, iar c în 2, în centrul jetului din secţiunea contractată.

Fig. 11.5. Curgerea prin orificiul mic

Aplicând ecuaţia energiei între punctele m şi c, rezultă:

mccc

mmm hrz

p

g

uzh

p

g

u+++=+++

γγ2

2

1

2

22 (11.4)

Cu exprimarea pierderilor sub forma (8.1. – vol 1)g

uhr c

mc2

2

ζ= , se obţine:

]2

[21

1 21

2

γζ

pp

g

uHgu m

c

−++

+= (11.5)

Relaţia (11.5) exprimă în general legătura între viteza în secţiunea contractată

şi sarcina pe orificiu.

mm

Um

c

c

m

Uc

P1 P2

V0

Plan de referinta

12

H

h

zz

d


Vitezele în lungul diferitelor linii de curent diferă şi în locul lor se

utilizează viteza medie de apropiere, v0. În secţiunea contractată profilul de

viteză este cvasiuniform şi în loc de uc se utilizează viteza medie vc, cu

acceptarea corecţiei Coriolis αc = 1. Cantitatea:

ζ

ϕ+

=1

1, (11.6)

este coeficientul de viteză şi după înlocuirile necesare (11.5.) devine:

−++=

γ

αϕ 21

20

22

pp

g

vHgvc , (11.7)

relaţie care poate fi folosită şi pentru gaze când detenta lor sub diferenţa de

presiune p1 - p2 este neglijabilă şi se utilizează greutatea lor specifică la

presiunea medie.

Când presiunea în cele două rezervoare este aceeaşi, p1 = p2, se obţine:

0

2

0 2)2

(2 gHg

vHgvc ϕ

αϕ =+= , (11.8)

unde H0 este sarcina totală sub care lucrează orificiul. Uneori şi viteza de

apropiere este nesemnificativă şi utilizarea numai a sarcinii H în calcule nu

introduce erori semnificative.

Coeficientul ζ la orificii mici are valori între 0,02…0,08, coeficientul

de viteză φ variind în limitele 0,96…0,99. Coeficientul de viteză poate fi privit

ca raportul vitezei medii reale a fluidului prin orificiu şi vitezei teoretice a unui

fluid eulerian, dată de relaţia lui Toricelli, φ=vc/vt. Utilizând ecuaţia de continuitate se obţine debitul orificiului:

)(2)(2 210

210

γµ

γεϕ

ppHg

ppHgAVAQ cc

−+=

−+== (11.9)

în care

εϕµ = (11.10)

este coeficientul de debit cu valori între 0,59 şi 0,66.


Experienţele lui Bazin evidenţiază repartiţia vitezelor şi presiunilor în

secţiunea orificiului (tab. 11.1, fig. 11.6).

Fig. 11.6. Repartiţia vitezei şi presiunii relative în secţiunea orificiului

Distribuţia relativă a vitezei în secţiunea orificiului

Tabelul 11.1

0r

r

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

gH

u

2

0,636

0,636

0,645

0,652

0,660

0,670

0,680

0,688

0,703

0,703

Variaţiei de viteză în secţiunea orificiului îi corespunde şi o variaţie de

presiune, presiunea maximă fiind în centrul orificiului, cu valoarea ~ 0,6γH, scăzând spre contur la zero. În general coeficientul de viteză este subunitar

datorită pierderilor de energie, dar la orificii verticale s-au obţinut experimental

şi valori uşor supraunitare (1,01…1,04), care s-au explicat prin presupunerea

că, din cauza variaţiei continue de formă a vânei pe traiectorie s-ar putea să se

producă presiuni vacumetrice în unele puncte.

A

A

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.6h0

r

0.703

0.636

0.703

H

r

r

u2gH

h=pH

r


30. Factorii care influenţează coeficientul de debit

a. Viteza de acces. Relaţiile prezentate sunt valabile când rezervorul

din care are loc curgerea are o secţiune mare în raport cu secţiunea orificiului.

Pentru orificii la capăt de conductă, cu secţiune de curgere în conductă relativ

mică, coeficientul de debit creşte cu reducerea secţiunii amonte de curgere

(fig. 11.7 şi fig. 11.8), dar este dependent şi de sarcină.

Fig. 11.7. Orificiu circular la capăt Fig. 11.8. Variaţia lui µ cu

de conductă în perete normal pe axa sarcina totală şi raportul secţiunilor

conductei şi orificiului

Într-o asemenea situaţie, înlocuind viteza de acces din ecuaţia de

continuitate, se obţine:

+=

−

=

4

2

4

22

112

1

2

D

dgHA

D

d

gHAQ µµ

µ

µ (11.11)

Pentru orificiu în interiorul conductei, în mod asemănător, se obţine:

+

−=

−

−

=4

221

4

2

21

2

112

1

2

D

dppgA

D

d

ppgA

Q µγ

µ

µ

γµ

(11.12)

care se foloseşte şi pentru gaze însă greutatea specifică a gazului se determină

pentru presiunea medie sau, ( )215,0 ppp += .

d

H=p/

DV0

µ= f ( , H )dD 0

0,5

0,45

0,40

0,350,300,25

d/D

5 10 15 20 250,59

0,60

0,61

0,62

0,63

H (m)0


b. Forma muchiei orificiului

La orificii cu muchie ascuţită jetul se dezlipeşte la muchia orificiului.

Practic nu se pot obţine muchii ascuţite, dar se poate realiza dezlipirea şi

contracţia completă. La orificii cu muchie rotunjită, rotunjirea are rol de dirijare

a firelor de lichid şi contracţia nu mai este completă (fig. 11.9.). Dacă rotunjirea

are raza r, coeficientul de debit creşte cu aceasta astfel: pentru orice procent de

rotunjire (r/d = 0,01), µ creşte cu 3,1%. Constatarea este valabilă pentru

r/d ≤ 0,1.

Rotunjiri mai pronunţate ale muchiei orificiului conduc la creşterea

substanţială a coeficientului de debit care poate ajunge chiar la valoarea de 0,98

însă legea variaţiei coeficientului de debit diferă.

Fig. 11.9. Efectul rotunjirii muchiei

orificiului asupra contracţiei.

c. Rugozitatea peretelui în jurul orificiului, în funcţie de mărimea sa,

are efect asupra componentelor vitezei de lângă perete. Creşterea rugozităţii

reduce viteza la paramentul amonte şi, implicit, contracţia. Un orificiu cu

parament amonte şlefuit are coeficient de debit cu până la 2 % mai mic decât

orificiul în perete cu parament amonte aspru.

d. Vâscozitatea crescândă a lichidului implică creşterea coeficientului

de debit tot pe seama reducerii contracţiei datorită micşorării componentelor

tangenţiale la parament ale vitezei.

40. Traiectoria şi inversia jetului

a. Traiectoria. Pentru sarcini pe orificiu de H = 6…7 m, efectul

frecării jetului cu aerul se poate neglija, traiectoria fiind parabolică.

Se consideră un orificiu mic în peretele vertical al unui rezervor şi se

urmăreşte traiectoria unei particule din centrul de greutate al jetului din

secţiunea contractată (fig. 11.10.).

d

r


În punctul O particula este lansată

cu viteza vc şi este acţionată de

acceleraţia gravitaţională g,

mişcarea pe orizontală poate fi

considerată uniformă, iar pe

verticală accelerată, neglijându-se

frecările cu aerul. După timpul t particula ajunge în punctul M(x,z),

coordonatele drumului parcurs de

particulă după cele două direcţii

fiind:

Fig. 11.10. Traiectoria jetului

2

2

1gtz

tvx c

=

=

(11.13)

Dacă din aceste ecuaţii parametrice ale traiectoriei se elimină timpul,

rezultă:

2

2

2cv

xgz = (11.14)

sau după înlocuirea vitezei de lansare cu (11.8), rezultă

0

2

2

4 H

xz

ϕ= (11.15)

Se observă traiectoria parabolică a jetului dacă frecarea cu aerul este

neglijată. Ecuaţia traiectoriei jetului este uneori folosită la determinarea

coeficientului de viteză. Măsurându-se sarcina constantă H0 şi perechea de

coordonate (x, z), în lungul traiectoriei, având ca origine a axelor de coordonate

centrul secţiunii contractate, rezultă, după prelucrări statistice, coeficientul de

viteză ϕ.

b. Inversia jetului. Jetul rezultat de la diferite forme de orificii

prezintă un fenomen interesant şi anume: inversia jetului.

Forma jetului este asemănătoare cu cea a orificiului numai până la

secţiunea contractată. În (fig. 11.11) sunt prezentate formele succesive ale

jetului în lungul traiectoriei.

x

z

H

Vc

g

X

Z

M(x,z)

0


Fig. 11.11. Inversia jetului lichid

După parcurgerea acestor forme jetul revine la secţiunea iniţială şi,

ciclic ia cele patru forme în lungul său dacă nu este dispersat de frecarea cu

aerul şi de tensiunea superficială. În lungul jetului se observă un fenomen de

răsucire al acestuia, secţiunile succesive având formele relative din fig. 11.11.

11.1.2. Curgerea prin orificii mici, înecate

Se consideră un rezervor compartimentat de un perete vertical în care

este practicat un orificiu mic. Nivelul constant în ambele compartimente este

deasupra muchiei superioare a orificiului, între compartimente existând

diferenţa de nivel H = H1 - H2 (fig. 11.12).

Fig. 11.12. Orificiu înecat

Procedând în mod analog ca la orificiul cu funcţionare liberă,

rezultă:

0

2

00 2)2

(21

1gH

g

vHgVc ϕ

α

ζ=+

+= (11.16)

respectiv debitul:

02gHAQ µ= (11.17)

1

0

2c

c1 2A A c

Vc

V0

a

PaH

H H

H


sau când viteza de apropiere se poate neglija:

1 22 2 ( )Q A gH A g H Hµ µ= = − (11.18)

De remarcat este faptul că în cazul orificiilor mici înecate coeficientul

de debit este cu circa 2 % mai mic decât la orificii libere.

11.1.3. Curgerea prin orificii mari, libere

Orificiul se consideră mare dacă dimensiunea acestuia pe verticală este

de acelaşi ordin de mărime cu sarcina sub care are loc curgerea. Astfel, sarcina

în diferite puncte pe o verticală nu poate fi considerată constantă şi viteza diferă

apreciabil.

Se consideră un orificiu mare, de formă oarecare, care descarcă apă în

atmosferă sub sarcină constantă (fig. 11.13).

Fig. 11.13. Curgerea prin orificiul mare

În calcule orificiul mare se împarte într-o infinitate de orificii mici, de

fâşii orizontale, care pot fi considerate dreptunghiuri elementare de înălţime

dH. Pe un astfel de orificiu elementar se admite sarcina H şi viteza pe secţiune

constante.

Debitul elementar al unui astfel de orificiu mic virtual este:

gHdHHbdQ 2)(µ= (11.19)

Admiţând coeficientul de debit constant pentru toate fâşiile elementare, debitul

total se obţine prin integrarea relaţiei

dHHHbgQH

H∫=

2

1

)(2µ (11.20)

Integrala se poate efectua dacă se cunoaşte funcţia b(H). Astfel, pentru un

orificiu mare, de formă dreptunghiulară b(H) = b şi se obţine:

Pa

H b(H)

dHdH

H2

1

p=pa

H

)(23

22

3

12

3

2 HHgbQ −= µ (11.21)

Pentru orificii mari cu muchie ascuţită şi contracţie completă se poate accepta

µ = 0,6 fără a comite erori apreciabile (sub 5 %). La orificii dreptunghiulare,

chiar relaţia orificiilor mici asigură o precizie acceptabilă folosind sarcina

medie:

+−=

22)( 21

12

HHgHHbQ µ (11.22)

Coeficientul de debit pentru orificiile mari cu contracţie incompletă

sau imperfectă variază în limite largi, între 0,65 şi 0,95 (tab. 11.2)

Coeficientul de debit pentru orificii mari

Tabelul 11.2 Nr

.

Felul orificiului µ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Orificii mijlocii, contracţie perfectă……..................................................

Orificii mari, contracţie perfectă……………………...............................

Orificii de fund cu contracţie laterală perfectă, după gradul de

perfecţie………………………………….............................................

Orificii de fund cu contracţie laterală redusă………….............................

Orificii de fund cu intrare laterală racordată………….............................

Orificii de fund prevăzute cu stavile cu pereţi curbi, netezi

Tip a

α=45o…………………………………………………............................

α=60o……......………………………………………..............................

α=70o………..………………………………………..............................

Tip b

a/r<=1………………......…………………………….............................

0,63

0,70

0,65-0,70

0,70-0,75

0,80-0,85

0,80-0,85

0,85-0,90

0,90-0,95

0,90


11.1.4. Curgerea prin orificiile stăvilarelor în albii orizontale

Deschiderile stăvilarelor sunt considerate orificii mari. Ele pot fi pe

creasta deversantă a unui deversor, amonte de o cădere într-o albie sau într-o

albie cu fund continuu. Primele cazuri de stăvilar se calculează ca orificii mari

având contracţie completă, incompletă sau imperfectă, însă orificiul de stăvilar

în albie cu fund continuu prezintă particularităţi şi se calculează diferit.

10. Curgerea liberă sub stăvilare

Orificiul de stavilă funcţionează liber atunci când nivelul apei din aval

se găseşte sub muchia superioară a orificiului (fig. 11.14). În albie de secţiune

dreptunghiulară firele de curent se curbează numai pe verticală, de sus în jos,

curentul suferind o contracţie pe verticală, secţiunea contractată fiind,

aproximativ, la o distanţă egală cu înălţimea orificiului. Adâncimea contractată

(hc) este:

ch aε= ⋅ (11.23)

unde a este deschiderea orificiului pe verticală, iar εεεε - coeficientul de

contracţie.

H

a

HH

~a

0

1

202

v0/2g

hc= a

α0

Vc

0 0

Fig. 11.14. Orificiu de stavilă liber


Viteza în secţiunea contractată se obţine din ecuaţia energiei, scrisă

secţiunilor 0 - c.

g

vh

g

vH

g

v cc

cc

222

22

2

2

00 ζαα

++=+ (11.24)

În secţiunea contractată distribuţia vitezelor este cvasiuniformă şi se

poate accepta αc = 1, rezultând:

)(2)2

(21

102

2

00

2 ccc hHghg

vHgV −=−+

+= ϕ

α

ζ (11.25)

Valorile coeficientului de viteză se încadrează în limitele 0,92…1,0.

Debitul curs rezultă din ecuaţia de continuitate în mişcare permanentă:

)(2)(2 0202 aHgabhHgabVAQ ccc εµεϕ −=−== (11.26)

Atât studiile teoretice cât şi cele experimentale arată dependenţa coeficienţilor

ε, ϕ şi µ de deschiderea relativă a stăvilarului a/H2. (tab. 11.3.).

Variaţia coeficienţilor ε, ϕ şi µ cu deschiderea relativă a stăvilarului

Tabelul 11.3. Deschiderea

relativă a

stăvilarului

a/H2

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

Coeficient de

contracţie pe

verticală εεεε

0,615

0,61

7

0,62

0

0,62

2

0,62

5

0,62

9

0,63

3

0,63

8

0,64

5

0,65

2

0,66

1

0,67

2

Coeficient de

debit µµµµ

0,611

0,61

2

0,61

3

0,61

4

0,61

4

0,61

6

0,61

7

0,61

9

0,62

1

0,62

3

0,62

5

0,62

8

Coeficient de

viteză ϕϕϕϕ

0,994

0,99

2

0,99

0

0,98

7

0,98

3

0,97

9

0,97

4

0,96

9

0,96

3

0,95

5

0,94

6

0,93

3

Cele arătate anterior sunt pentru stăvilarele verticale.

În cazul stăvilarelor înclinate amonte (fig. 11.15) peretele stavilei are

rol de dirijare a firelor de curent şi se modifică coeficienţii de contracţie, viteză

şi de debit.


Fig. 11.15. Orificiu de stavilă înclinată spre amonte

După Jukovski coeficientul de contracţie se exprimă prin:

1

0 22

2sin

2sin1

sin2

cos1

1

−

+

+= ∫k

kk

ttg

k

dk

k

π

θθ

θθθ

πε (11.27)

iar deschiderea relativă este:

∫

+

=

kk

kk

ttg

k

dk

k

ttg

H

a π

θθ

θθθ

0 22

2

2sin

2sin1

sin2

cos

(11.28)

în care πk este unghiul stavilei faţă de orizontală, iar t- numere pozitive

oarecare pentru calibrarea ecuaţiei (11.28). Integrala

∫

+

=k

kk

ttg

k

dkI

π

θθ

θθθ

0 22

2sin

2sin1

sin2

cos

(11.29)

se soluţionează numeric (ex. metoda trapezelor), astfel fiind posibilă

determinarea lui ε şi a/H din relaţiile:

Ik

k

+=

π

πε (11.30)

şi

k

k

ttg

H

a2

=

ε (11.31)

Experienţele confirmă justeţea relaţiei lui Jukovski (fig. 11.16)

hθ

a

Hc


0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,60

0,64

0,68

0,72

0,76

0,80

0,84

0,88

0,92

0,96

10

a/H

ε θ

0o

10o

20o

30o

45o

o90

Fig. 11.16. Graficul funcţiei ε=f(a/H, θ)

Debitul specific tranzitat pe sub stavilă este:

−

= θεθµ ,2,

H

aaHgab

H

aQ (11.32)

Mărimea coeficientului de debit se determină experimental, fiindcă nu

există posibilităţi teoretice de calcul nici pentru µ, nici pentru ϕ. Graficul din

fig. 11.17. arată dependenţa µ(a/H, θ). Aproximarea empirică a coeficientului

de debit conduce la relaţia:

( )( )θ

θµ00178,0151,0

05055,00256,1

−

−=

H

a (11.33)

pentru care erorile nu depăşesc ± 2 %.


0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,3 0,4 0,5 0,60,56

0,58

0,60

0,68

0,70

0,72

0,74

0,76

0,78

0,80

0,82

0,84

0,86

0,88

0,90

0,92

a/H

µθ

100

020

030

045

090

Fig. 11.17. Graficul funcţiei µ=f(a/H, θ)

Pe baza celor arătate la curgerea liberă sub stavile înclinate pot fi

construite stăvilare regulatoare automate de debit dacă stavila înclinată este

mobilă şi este acţionată de nivelul apei din amonte cu ajutorul unui flotor

(fig.11.18). Caracteristica de reglaj a unui astfel de stăvilar corespunde

fig. 11.19, care are elementele constructive: b = 1 m; a = 0,18 m; R = 1,03 m.

Funcţionarea liberă a stăvilarului se asigură prin existenţa pragului de fund.

Fig. 11.18. Schema stăvilarului

cu mască flotabilă

1) stăvilar vertical, 2) oblon mobil, 3) flotor,

4) articulaţie cilindrică, 5) braţele flotorului,

6) instalaţia de manevrare a stavilei verticale,

7) prag de fund.

Ra

H

h

h

p

12

3

4

5

6

7

θQ

c

a

1

2

4

5 37

Fig. 11.19. Curba de reglaj a stăvilarului

cu mască flotabilă.

20. Curgerea înecată sub stăvilare

Orificiul de stavilă funcţionează înecat când nivelul apei din aval se

găseşte deasupra muchiei superioare a orificiului (fig. 11.20).

Fig. 11.20. Orificiu de stavilă cu funcţionare înecată

La aceste orificii debitul tranzitat se calculează tot cu o relaţie de forma

(11.26), dar în care sarcina sub care are loc curgerea este:

Z0 = H02 - hz (11.34)

Nu se foloseşte în loc de hz valoarea hav fiindcă în general hz < hav şi ar

conduce la supradimensionări (uneori chiar cu 50 %). Relaţia pentru calculul

lui hz, după M.D.Certousov (utilizând ecuaţia teoremei impulsului), este:

2

2

2 2 HH

hnnnh av

z

−−+= (11.35)

în care:

H

a

HH0

1

202

v0/2g

zz

h h

zz

h

c zav

0 ''0

α0

∆ cresterea debitului

fata de stavila

plana verticala

stavila vertic

ala

480 490 500 510 520 5300,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4Hmax

Hmin

H

q(l/sm)

H(m)

qm

in

qn

qm

ax


( )

( )aHh

ahan

av

av22

2

2

1,1

1,2

βµε

εβαµ

−

−= (11.36)

cu 2H

hav=β .

11.1.5. Curgerea prin orificii cu vârtej

Dacă orificiul este în plan orizontal şi are o secţiune mare în raport cu

sarcina H, se formează o depresiune care coboară din ce în ce mai mult, iar

mişcarea ia caracterul unui vârtej dacă există vreo cauză a unei mişcări

excentrice (fig. 11.21).

d

r

z

r

z

H

0

P

P0

0u

u0

Fig. 11.21. Curgerea prin orificiu de fund cu vârtej

Acest vârtej, cu axa verticală trecând prin centrul orificiului, se

suprapune mişcării de curgere prin orificiu. Mişcării considerată pornită din

repaus (fluidul fiind considerat eulerian), i se poate aplica ecuaţia curgerii pe

linia de vârtej între două puncte oarecare, unul pe marginea pâlniei la suprafaţă

(cu parametrii r0 şi p0) şi unul în interior (cu parametri r şi p).

g

upz

g

upz

22

22

00

0 ++=++γγ

(11.37)

unde u şi u0 sunt viteze de rotaţie datorită vârtejului. Echilibrarea forţei

centrifugale necesită respectarea relaţiei:

gr

u

dr

dp 2γ= (11.38)


Diferenţiind prima ecuaţie faţă de r şi ţinând seamă că z este

independent de r, se obţine:

dr

duu

gdr

dp γ−= (11.39)

Din ultimele două ecuaţii rezultă:

0)(

==+dr

rud

dr

duru (11.40)

sau

r

ruu 00= (11.41)

ceea ce arată că circulaţia este constantă pentru orice cerc de rotaţie în jurul

axului pâlniei.

Dacă punctul de coordonate (r, p) este situat tot pe suprafaţa pâlniei,

p = p0, rezultă:

−=−

2

0

2

2

0

2

0

0

11

2 rrg

ruzz (11.42)

Debitul orificiului este mai mic în cazul formării pâlniei, deoarece

lichidul este îndepărtat de orificiu de către vârtej.

Dacă se iau precauţii ca apa să fie perfect liniştită nu se va forma

pâlnia.

11.2. CURGEREA PERMANENTĂ PRIN AJUTAJE

Ajutajele sunt conducte foarte scurte, de diferite forme, care sunt

ataşate etanş orificiilor. Curgerea prin aceste ajutaje diferă substanţial de

curgerea prin orificii prin faptul că peretele ajutajului are rol de dirijare a vânei

lichide.

Ajutajele pot fi exterioare şi interioare, în funcţie de partea orificiului

la care se ataşează, iar după formă pot fi cilindrice, conice (convergente,

divergente), conoidale, speciale etc.

11.2.1. Curgerea prin ajutajul cilindric exterior

Ataşând exterior unui orificiu circular cu muchie ascuţită un tub

cilindric, cu acelaşi diametru, având lungimea câteva diametre, se obţine un

ajutaj cilindric exterior (fig. 11.22).

Fig. 11.22. Ajutaj cilindric exterior

Dacă muchia amonte a ajutajului este ascuţită jetul se dezlipeşte de

perete şi formează secţiunea contractată Ac = ε A. Dacă lungimea ajutajului îndeplineşte condiţia l < 1,5 D jetul rămâne

dezlipit, nu atinge peretele ajutajului şi iese în atmosferă, funcţionând aproape

ca un orificiu. Antrenarea aerului de către jet creează vârtejuri de aer între

peretele ajutajului şi jet, fapt care într-o oarecare măsură influenţează

parametrii curgerii.

Dacă lungimea ajutajului l > 1,5 D jetul se lipeşte de peretele tubului

în aval de secţiunea contractată şi iese în atmosferă cu secţiune egală cu cea a

ajutajului.

Aplicând ecuaţia energiei între secţiunea 0 şi e se obţine viteza la

ieşire:

02gHVe ϕ= (11.43)

cu

ζα

ϕ+

=e

1 şi

g

vHH

2

2

00

α+= (11.44)

Coeficientul 1~eα , iar D

li λζζ += . În cazul lungimii mici a ajutajului

(l/D = 3…5) pierderile liniare se pot neglija, ţinând cont numai de pierderea la

Vc VeAD

V0

HH0

c

e

e

i

i

0V0/2g

h

h

l


intrare cu muchii vii, deci 5,0~ =iζζ . În aceste condiţii 82,0~ϕ . Pentru

secţiunea de ieşire coeficientul de contracţie, 1==A

Aeeε , ecuaţia debitului

devenind:

00 282,02 gHAgHAQ e ≅= ϕε (11.45)

Comparativ cu debitul orificiului de acelaşi diametru, debitul ajutajului este

mai mare cu circa 34 %.

În secţiunea contractată, între vâna lichidă şi peretele ajutajului există

un spaţiu de vârtejuri unde presiunea este mai mică decât cea atmosferică.

Viteza în secţiunea contractată este superioară vitezei din secţiunea de intrare

sau de ieşire. În secţiunea contractată 98,0~ϕ şi 64,0~ε , rezultând

Vc = Vi/0,64 şi 06,0~ζ .

Ecuaţia energiei, scrisă secţiunilor 0 - c, cu 1≅cα şi

0282,0 gHVc = , permite calculul presiunii în secţiunea contractată cu relaţia:

074,0 Hp

h cvac −≅=

γ (11.46)

Valoarea presiunii vacuumetrice măsurate în secţiunea contractată indică valori

hvac ~ 0,75 H0, apropiată de valoarea calculată.

Această presiune vacuumetrică nu poate fi inferioară presiunii de

vaporizare în cazul funcţionării normale a ajutajului. Acceptând în loc de pv

vidul absolut rezultă mCA 33,075,0 0 −≥− H , sau mCA 77,130 ≤H . La sarcini

H0 superioare, la care în secţiunea contractată se atinge presiunea de vaporizare,

în ajutaj apar fenomene de cavitaţie şi de dezlipire a jetului de peretele

ajutajului ceea ce atrage după sine scăderea coeficientului de debit. Reducerea

acestui coeficient la valori apropiate coeficientului de debit caracteristic

orificiilor nu are loc brusc, datorită antrenării şi circulaţiei aerului între jet şi

peretele ajutajului (cel puţin pentru ajutaje cu diametre de ordinul milimetrilor).

Viteza mare a jetului antrenează aerul spre ieşire în apropierea suprafeţei

jetului, iar lângă peretele ajutajului are loc intrarea aerului (fig. 11.23). În

secţiunea contractată presiunea este inferioară presiunii atmosferice – mişcarea

aerului cu turbioane are loc cu pierderi de energie – şi orificiul funcţionează la

sarcina H0 - hvac. Acceptând în relaţie H0, va fi influenţat µ . Prin experimentări

chiar s-a remarcat un histerezis al coeficientului de debit (fig. 11.24).


Fig. 11.23. Circulaţia în ajutaj Fig. 11.24. Variaţia coeficientului de debit

după dezlipire la ajutaj cu fenomene de cavitaţie

Lungimi ale ajutajului de peste (3…5)D implică scăderea

coeficientului de debit (şi viteză) datorită creşterii pierderilor liniare. Pentru

02,0=λ lungimea ajutajului care asigură acelaşi coeficient de debit ca orificiul

este l = 55 D.

11.2.2. Tipuri de ajutaje folosite în tehnică

Ajutajele sunt frecvent folosite în tehnică în diferite scopuri: mărirea

coeficientului de debit faţă de orificiu; realizare de jet compact sau destrămat;

instrumente pentru măsurare sau de limitare a debitului etc. Deseori

mCA 130 >H , iar evitarea fenomenelor de cavitaţie se realizează prin

modelarea formei în lung a ajutajului. Se utilizează ajutaje conice (convergente

şi divergente), conoidale, combinate şi, uneori ajutaje interioare tip Borda.

Principalele lor caracteristici corespund (tab. 11.4).

În tehnica hidroameliorativă ajutajele sunt frecvente ca duză de

aspersor, (conic convergent - cilindric), elemente de distribuţie la microirigaţie

prin rampe perforate (ajutaje cilindrice şi conic convergente). În tehnologia

hidromecanizării se întâlnesc ajutaje la hidromonitoare (conic convergent -

cilindric); în hidroenergetică la ajutajele turbinelor Pelton; la furtune de

pompieri şi duze pentru stingerea incendiilor; jetul fântânilor arteziene se

obţine cu diferite forme de ajutaje lucrând la sarcini diferite, deseori variabile.

Motoarele termice cu aprindere prin scânteie sau prin compresie utilizează

frecvent ajutajele la carburatoare, injectoare, stropitoare, duze de purjare etc. În

tehnica pulverizării în diferite scopuri se utilizează tot ajutaje de diferite forme.

hvac

L

d

ajutaj

orificiuH

µ0,6 0,82

3

5

10

12

0


Tehnica propulsiei prin jet precum şi tehnica militară, adeseori apelează

la ajutaje şi orificii.

Tipuri de ajutaje şi caracteristicile lor

Tabelul 11.4

Schema ajutajului

Denumire.

Caracteristici hidraulice

utilizate

Valoarea coeficientului

de debit

1 2 3

Ajutaje exterioare

1. Ajutaj cilindric exterior

normal

l = (3…5) d,

cu muchie ascuţită

82,0=µ

2. Ajutaj cilindric

exterior normal

l = (3…5) d, cu muchie rotunjită

)97,0...82,0∈µ

90,0=mµ

β

3. Ajutaj cilindric exterior

înclinat l = (3…5) d cu muchie ascuţită

β 0 10 20 30

µ 0,82 0,80 0,78 0,76

β 40 50 60

µ 0,75 0,73 0,72

β

4. Ajutaj conic convergent

946,0max =µ pentru

12413o=β

β µ β µ

90 0,873 15 0,942

60 0,892 13,24 0,946

45 0,909 11 0,938

36 0,920 7 0,908

30 0,925 6 0,896

22 0,931 5 0,883

18 0,937 4 0,857

6 0,82

d

l

l

R


5. Ajutaj conoidal

l = 0,6 d Este profilat după forma vânei

994,0...956,0=µ

6. Ajutaj conic divergent cu

muchia rotunjită.

µ este raportat la secţiunea

cea mai mică. Vâna este lipită

numai pentru oo 7...5=β şi

are gol la mijloc

3,2...96,0=µ

7. Ajutaj conic convergent

divergent 3,25,1 −=µ

3,2max =µ pt. 16min

=A

Aiesire

a

b

d

D

D

8. Ajutaj: a) conic-convergent

(pompieri)

b) conoidal-cilindric

(hidromonitor)

ϕµ == ;2

1

D

d

4

3 ′′φ 983,0=µ

8

31′′φ 959,0=µ

9. Ajutajul turbinei Pelton.

Injector

97,0≅µ

β

βτ


Ajutaje interioare (tip Borda)

1. Ajutaj cilindric interior

1.1. Ajutaj conic divergent

interior

Dl 5,2≅

Forma ajutajului influenţează

puţin coeficientul de debit

52,051,0 −=µ

11.2.3. Conducte scurte privite ca ajutaje

Evacuarea apelor din spatele digurilor, barajelor, curgerea prin podeţe

tubulare sub presiune (fig. 11.25) – când lungimea conductelor este relativ mică

în raport cu diametrul - poate fi privită curgere prin ajutaje, debitul descărcat

fiind :

gHAQ 2µ= (11.47)

Coeficientul de debit depinde de forma conductei (circulară, dreptunghiulară

etc.), de forma intrării în conductă, şi raportul L/D. Dacă DL 50≤ coeficientul

µ corespunde (tab. 11.5) în caz contrar pierderile se calculează ca pentru

conducte scurte.

Coeficienţii de debit pentru conducte scurte, asimilate ca ajutaje

Tabelul 11.5 Intrare în

conductă

L

(m)

D (m)

0,305 0,46 0,61 0,915 1,22 1,525 1,83

Buză tăiată

oblic

3,05

6,10

9,15

12,20

15,25

0,86

0,79

0,73

0,68

0,65

0,89

0,84

0,80

0,76

0,73

0,91

0,87

0,83

0,80

0,77

0,92

0,90

0,87

0,85

0,83

0,93

0,91

0,89

0,88

0,86

0,94

0,92

0,90

0,89

0,88

0,94

0,93

0,91

0,90

0,89

Intrare

dreaptă cu

muchii vii

3,05

6,10

9,15

12,20

15,25

0,80

0,74

0,69

0,65

0,62

0,81

0,77

0,73

0,70

0,68

0,80

0,78

0,75

0,73

0,71

0,79

0,77

0,76

0,74

0,73

0,77

0,76

0,75

0,74

0,73

0,76

0,75

0,74

0,74

0,73

0,75

0,74

0,74

0,73

0,72


Fig. 11.25. Conductă scurtă de golire, asimilată ca ajutaj.

De fapt aceste conducte de golire sunt privite ca ajutaje atâta timp cât

profilul vitezei în lungul conductei nu este stabilizat, stratul limită nu este

dezvoltat pe întreaga secţiune (fig. 11.26). La intrarea în conductă profilul de

viteză este uniform apoi se dezvoltă stratul limită care, la anumită distanţă de la

intrare, se extinde pe întreaga secţiune:

• în laminar DRl es 03,0= ;

• în turbulent Dls 50≈ .

Fig. 11.26. Profilul de viteză în conducte scurte asimilate cu ajutaje

11.3. JETURI LICHIDE

După cum s-a mai arătat vâna lichidă aval de orificiu sau ajutaj se

poate dezvolta în aer - vână liberă – sau în acelaşi lichid-vână înecată. Deşi

există studii teoretice numeroase, descrierea jetului conţine numeroşi

coeficienţi determinaţi experimental.

D

HV0

lsv

u~cu=c u(r)

u(r)

u(r)δ δ

i


11.3.1. Jetul liber

În 11.1.1. s-au studiat caracteristicile jetului liber de la orificii, pentru

sarcini mici (H = 6…7 m), lansate după orizontală şi cât timp frecarea cu aerul

se poate neglija.

Într-un caz mai general, se consideră un jet lansat dintr-un orificiu, sub

unghi θ faţă de verticală, secţiunea contractată fiind la distanţa R de la origine,

iar originea la o distanţă b faţă de un plan orizontal arbitrar P (fig. 11.27.). Se

consideră axa x pe orizontală, iar z pe verticală şi se aplică unui tronson din

jetul aruncat teorema mişcării centrului de masă.

Fig. 11.27. Traiectoria vânei de lichid în aer

Ecuaţia mişcării este:

MM r M g=ɺɺ (11.48)

cu proiecţiile pe axele de coordonate:

0M

M

X

Z g

=

= −

ɺɺ

ɺɺ (11.48

’)

Condiţiile iniţiale ale acestui sistem sunt:

t=0 sin

cos

M

M

X R

Z R

θ

θ

=

= şi 0

0

sin

cos

M

M

X V

Z V

θ

θ

=

=

ɺ

ɺ (11.49)

cu gHV 20 ϕ=

Integrând ecuaţiile (11.48’) în condiţiile (11.49) se obţine:

R

θ

Xo

b

M(x,z)

PB

X0

V0

rM

ΖΜ

XM

x


=

=

θ

θ

cos

sin

01

01

VC

VC

y

x;

=

=

θ

θ

cos

sin

2

2

RC

RC

z

x

coordonatele traiectoriei devenind:

( )

( ) 2

sin 2 sin

1cos 2 cos

2

M

M

X R gH t

Z R gH t gt

θ φ θ

θ φ θ

= + = + −

(11.50)

După eliminarea timpului din sistemul (11.50), se obţine:

2

2 2 2 2

1

4 2 sin 4 sinM M M

R RZ ctg X X

H H Hθ

φ φ θ φ θ

= − + + −

(11.51)

sau

( ) ( )2 2 2 2 22 sin 2 sin 4 sin 0M M MX H R X R H Zφ θ θ φ θ− + + + ⋅ = (11.52)

Bătaia jetului X0 rezultă din ecuaţia (11.52) în care ZM = - b,

( ) ( )2 2 2 2 22 sin 2 sin 4 sin 0M MX H R X R H bφ θ θ φ θ− + + − ⋅ = (11.53)

deci prima soluţie a acestei ecuaţii este:

( ) ( )2

2 2 2 2 2sin 2 sin sin 2 sin 4 sinMX H R H R R H bφ θ θ φ θ θ φ θ= + + + − − ⋅ (11.54)

Bătaia maximă a vânei 0

X se obţine prin anularea primei derivate a

funcţiei (11.54) în raport cu variabila θ .

Termenii care conţin R, în general, se pot neglija, datorită distanţei

mici dintre secţiunea orificiului şi cea contractată, obţinând:

2 2 2 22 sin 2 4 sin 0M M MX HX H Zφ θ φ θ− + ⋅ = (11.52’)

şi

( )2

2 2 2 2sin 2 sin 2 4 sinMX H H H bφ θ φ θ φ θ= + + ⋅ (11.54’)

Când b este neglijabil se obţine relaţia cunoscută:

22 sin 2MX Hφ θ= (11.55)

În toate cazurile ecuaţiile (11.54, 11.54’, 11.55) prezintă un maxim pentru 045=θ , fiind neglijată frecarea cu aerul.

Particulele de lichid vor fi dispersate de o parte şi alta a punctului B,

unde centrul de masă întâlneşte planul P.

Pentru jetul vertical 0=θ înălţimea de ridicare maximă rezultă:

g

VH

22

2

0

ϕ= , (11.56)

însă această înălţime este teoretică, fiind neglijată frecarea cu aerul.


La presiuni mai mari de 6…7 mCA, de ordinul 10…35 mCA, bătaia

maximă a jetului se obţine pentru unghi de lansare faţă de orizontală între

30…40o. Înălţimea de ridicare şi bătaia maximă sunt mai mici, datorită

pierderilor de energie prin frecări interne şi cu aerul. Lansarea jetului depinde

de forma ajutajului.

Jetul de apă iese în atmosferă în general compact, dar după un anumit

parcurs nu mai are unitate ci este format din trâmbe secundare care, la rândul

lor, se descompun pe traseu până la picături şi cad în această formă. Forţele

care participă la destrămarea jetului sunt: cele rezultate din diferenţe de

presiune interioare, rezistenţa aerului şi tensiunea superficială, iar ca forţă

stabilizatoare - vâscozitatea. În fig. 11.28. se reprezintă schematic structura

jetului de apă. Datorită fenomenelor de destrămare - pulverizare se formează o

zonare a jetului în lungime şi în secţiune transversală.

Zona 1: este vână compactă, transparentă în centru, care se subţiază spre aval şi

dispare la sfârşitul sectorului I.

Zona 2: este compusă din fire de lichid cu bule de aer, începe la suprafaţa

jetului din sectorul I (în secţiunea 1) şi formează exteriorul jetului I şi miezul

sectorului II. Dispare la sfârşitul sectorului II.

Zona 3: este compusă din picături izolate şi fire de lichid care se mişcă în aer;

ea începe în sectorul II la suprafaţă şi formează tot jetul din sectorul III. Zona

de picături şi fire de lichid în aer sau cu bule de aer are aspect alb-lăptos şi nu

este transparentă.

Fig. 11.28. Structura jetului de apă în aer

S ec to r I S ec to r II S ec to r III

1

1

2

2

3

3

z ona I

zon a II

z ona II

zona IIIzon a III


Studiile efectuate asupra jetului liber, dezvoltat în atmosferă, arată că

înălţimea jetului vertical este:

Hg

VHHHV ∆−=∆−=

22

2

0

ϕ (11.57)

unde H∆ reprezintă pierderile de energie. Prin analogie cu pierderile de energie

liniare

g

V

d

HKH V

2

2

1=∆ (11.59)

sau

g

V

d

HKH

2

2

2=∆ (11.59’)

Admiţând 2

2

2

0 VV

=ϕ

şi notând χ=d

K1 ecuaţiile 11.59 şi 11.59’ devin

H

HHV

χ+=

1 (relaţia lui geruL ɺɺ ) (11.60)

şi

−=

d

HKHHV

21 (11.60’)

χ are dimensiunea 1−L şi valori [ ]0228,0;0014,0∈χ pentru d = 10…50 mm.

Coeficientul χ poate fi calculat după relaţia:

( )2

4

101

105,2

D+

⋅=

−

χ (11.61)

D fiind diametrul jetului în origine, exprimat în m.

Între coeficienţii K1 şi K2 există relaţia:

d

HK

KK

2

21

1−

= (11.62)

Pe o anumită lungime a jetului acesta este compact, apoi pulverizat

(fig. 11.29). Lungimea jetului compact este indiferentă de înclinarea sa;

înfăşurătoarea jetului compact la diferite unghiuri de lansare faţă de orizontală

este un cerc cu raza Rc = Hc. Înălţimea părţii compacte HC a jetului se defineşte

convenţional astfel: lungimea de la ajutaj până în secţiunea în care jetul

transportă, într-un cerc cu diametrul de 38 cm, 90 % din debitul ajutajului de


lansare şi într-un cerc cu diametrul de 26 cm 75 % din debitul ajutajului.

Această înălţime se defineşte:

VCC HRH β== (11.63)

Valorile coeficientului β corespund tabelului 11.6. Se mai poate

utiliza relaţia empirică:

( )

1

363

42,5

104,21

03044,01

−

−

++=

dd

eHH C (11.64)

Curba înfăşurătoare a jetului (partea compactă şi pulverizată), în

coordonate polare este (fig. 11.29)

Vp HR α= (11.65)

cu valorile lui α conform tabelului 11.7.

Fig. 11.29. Traseul jetului lichid în atmosferă

Valorile coeficientului ( )Hβ

Tabelul 11.6 ( )mHV 7 9,5 12 14,5 17,2 20 24,5 26,8 30,5 35 40 48,5

β 0,840 0,840 0,835 0,825 0,815 0,805 0,785 0,760 0,725 0,690 0,650 0,600

Valorile coeficientului ( )θα

Tabelul 11.7

( )0θ 0 15 30 45 60 75 90

α 1,40 1,30 1,20 1,12 1,07 1,03 1,00

Hv

Lmax

Rc=Hc

Rp

compact

pulverizat

H

L0

θ

La presiuni de peste 7 mCA bătaia maximă a jetului se realizează

pentru unghiuri 045<θ , fiind cuprinse între 30…40o.

Mărimea relativă a celor trei sectoare ale jetului poate fi modificată

prin construcţia ajutajului în funcţie de destinaţia jetului. Astfel pentru

combaterea incendiilor se potriveşte structura jetului din sectorul II, pentru

irigaţie prin stropire structura jetului din sectorul III (picături), injectoarele de

combustibil ale motoarelor sau pentru împrăştiat ierbicide, insecticide,

fungicide lucrează în domeniul zonei pulverizate (uneori se utilizează

injectoare sonice). Jeturile de plasmă la tăierea metalelor sau jeturile de apă ale

hidromonitoarelor au nevoie de jeturi compacte cât mai lungi. Pulverizarea

jetului este mai pronunţată dacă jetului i se atribuie o mişcare elicoidală.

Aspersoarele asigură jet destrămat şi prin rotirea lor, mărimea

picăturilor de ploaie artificială de 1 – 2 mm trebuie să fie distribuită uniform pe

o distanţă cât mai mare. Duzele conic – convergente - cilindrice asigură acest

deziderat (uneori chiar se foloseşte spărgător de jet) la presiuni 2 - 6 bar, şi

viteză de rotaţie 1 - 3 rot/min. Dispozitivul care asigură rotirea este şi spărgător

de jet (turbină, prism sau cupă). Unghiul de lansare a jetului este de 32o faţă de

orizontală, bătaia după Pikalora fiind:

L = 0,42 H + 1000 d, (11.66)

(relaţia este valabilă pentru H/d > 1000).

La jetul de hidromonitor, cu presiune de lucru 3 - 15 bar, lungimea de

bătaie este:

3 2415,0 dHL θ= (11.67)

unde θ este unghiul de lansare faţă de orizontală H în m, iar d în mm. Relaţia

este recomandată pentru 00 32...5=θ , d = 5…50 mm şi H = 30…80 mCA.

La fântâni decorative se folosesc diferite forme de ajutaje cu efecte

variate şi jeturi de diferite feluri.

Jeturile în aer îndreptate în direcţie opusă produc prin ciocnire o formă

de disc în plan vertical de formă circulară. Încărcate electric jeturile se atrag sau

se resping în funcţie de încărcare electrică.

Jetul fragmentat de vibrarea ajutajului se foloseşte la imprimante cu

jet de cerneală. Tronsoanele de jet încărcate electrostatic sunt deflectate

diferenţiat de câmp magnetic comandat, care, împreună cu deplasarea uniformă

a hârtiei pe direcţie ortogonală formează matricea de imprimare.


11.3.2. Jetul înecat

Spre deosebire de jetul liber, la cel înecat procesul de amestec dintre

fluidul injectat şi mediu joacă un rol important, determinând structura jetului

(fig. 11.30).

Fig. 11.30. Structura jetului înecat

Un jet înecat este format dintr-un nucleu - cu mişcare ordonată şi

viteză constantă V0 (viteza de lansare) – şi o parte turbulentă – în care vitezele

scad pe direcţia radială din cauza frânării şi amestecului cu fluidul înconjurător.

Nucleul scade în diametru în lungul zonei iniţiale; pentru un jet rotund

conicitatea nucleului fiind 00

2 15...14=θ . În zona principală viteza maximă

este în axa jetului dar scade treptat până la stingerea jetului (V = 0) după o lege

hiperbolică de forma:

xconstvm /= (11.68)

Conicitatea divergentă a jetului înecat este 00

1 30...20=θ şi depinde

de forma ajutajului şi de natura fluidului.

Bătaia jetului este distanţa de la ajutaj până la secţiunea 3 unde jetul se

stinge.

Calculul jetului înecat este o operaţie complexă şi se bazează pe

numeroşi coeficienţi experimentali. Viteza axială depinde de diametrul şi forma

ajutajului şi de distanţa x. Experienţele arată că presiunea în lungul jetului

practic este constantă şi egală cu ceea a mediului ambiant.

Vitezele în interiorul jetului depind de distanţa de la axă-coordonata r

şi de viteza iniţială V0. În punctul B, definit prin coordonatele (x, r), viteza este:

2

2

3

1

−=

xm R

r

v

v (11.69)

z o n a p r in c ip a laz o n a in i t ia l a

θθ

V o V o

V o V 1

r R x

x

n u c le u

p a r t et u r b u le n t a

Vo

1 2 3

B

R x

x0

v

2= 1 4 - 1 5

o

1= 2 0 - 3 0

r


Dacă D0 = 2R0 este diametrul iniţial al jetului, atunci:

m

x

v

v

R

R 0

0

3,3= (11.70)

iar distanţa de bătaie

xx aRx /max = (11.71)

unde ax = 0,066…0,076 este un coeficient experimental.

Cunoaşterea structurii jetului submers are importanţă mare la

realizarea motoarelor cu ardere internă cu injecţie, a motoarelor cu jet (rachete),

turbinelor cu gaz, ventilaţii, dispersia apei calde în emisar ş.a.

Elementele constructive ale ajutajelor au rol determinant în

caracteristicile jeturilor rezultate şi necesită studii experimentale fiindcă

rezultatele sunt valabile numai pentru fiecare construcţie în parte.

Ataşarea unui jet de lichid la un perete adiacent este efectul Coandă.

Jetul poate adera la un perete plan sau curb, pe o lungime mare şi poate fi

deflectat cu unghiuri mari (chiar până la 1800). Efectul a fost observat în 1910

de inventatorul şi omul de ştiinţă român Henri Coandă. Efectul Coandă are

numeroase aplicaţii tehnice din domenii diferite.

11.4. CURGEREA LICHIDELOR PRIN ORIFICII ŞI

AJUTAJE SUB SARCINĂ VARIABILĂ

Curgerea lichidelor prin orificii, ajutaje, conducte scurte sub sarcină

variabilă are loc la golirea rezervoarelor, lacurilor de acumulare, la egalizarea

nivelului între două rezervoare - ecluze, când nivelul lichidului are variaţii în

timp, deci mişcarea este nepermanentă. Variaţia nivelului în rezervoare este

relativ lentă în timp şi pentru intervale scurte se poate asimila mişcarea cu una

permanentă.

Se va dezbate problema timpului de golire al rezervoarelor şi timpul

de egalizare în două rezervoare.

11.4.1. Timpul de golire al rezervoarelor

Se consideră un rezervor a cărei secţiune orizontală S(h) este o funcţie

de cota h. Acest rezervor se goleşte printr-un orificiu, de secţiune A şi având

coeficient de debit µ (fig. 11.31). Rezervorul poate fi alimentat cu un debit

Qa.


Fig. 11.31. Schema pentru calculul timpului de

golire al unui rezervor

10. Debit de alimentare nul

Volumul de apă descărcat de orificiu în timpul dt este egal cu scăderea

volumului din rezervor:

dtghAdhhS 2)( µ=− (11.72)

După separarea variabilelor, rezultă:

dhh

hS

gAdt

)(

2

1

µ−= (11.73)

Golirea rezervorului de la cota h0 la cota h1 are loc în timpul t0-1, care

se obţine prin însumarea timpilor elementari

∫∫ −==−

1

0

)(

2

11

0

10

h

h

dhh

hS

gAdtt

µ (11.74)

Problema este soluţionată dacă se cunoaşte funcţia S(h), exact sau printr-o

metodă de integrare aproximativă.

10.a. În cazul unui rezervor prismatic S(h) = const., rezultând:

−=−

2

1

12

1

0102

2hh

gA

St

µ (11.75)

La golirea totală (h1 = 0) se obţine:

)(

2

2

2

00

0

hQ

W

hgA

Sht

orifg ==

µ (11.76)

deci timpul de golire este dublu faţă de timpul necesar curgerii aceluiaşi volum

sub sarcină constantă h0.

10.b. În cazul unui rezervor oarecare (ex. lacuri de acumulare) S(h)

este arbitrară şi se recurge la soluţionarea ecuaţiei (11.74) prin diferenţe finite.

Diferenţa de nivel h0 - h1 se împarte în ‚n’ părţi, fiecărei cote hi corespunzând

o suprafaţă Si (determinată prin planimetrare).

A

S(h)

Qa

µ1

0dh h

h

h


( )( )

( )∑∑+

++−

+

−+==

n

ii

iiiin

ihh

hhSS

gAtt

1 1

11

1

102

1

µ (11.77)

20. Debit de alimentare existent, Qa

Variaţia de volum în rezervor pe înălţimea dh este egală cu produsul

diferenţei debitului evacuat şi de alimentare şi timpul dt

( )dtQghAdhhS a−=− 2)( µ (11.78)

rezultând

∫−

−=−

1

02

)(10

h

h a

dhQghA

hSt

µ (11.79)

Când integrala nu se poate rezolva prin calcule riguroase se recurge la diferenţe

finite:

( )( )

( )∑ ∑−+

−+==

−

−−−

n n

aiii

iiiii

QhhgA

hhSStt

1 1 1

11

102

1

µ (11.80)

Debitul de alimentare poate fi constant sau o funcţie oarecare (de obicei de

timp-hidrograf afluent).

11.4.2. Timpul de egalizare al nivelului în două rezervoare

Se consideră două rezervoare cu secţiunile orizontale S1 şi S2

constante, legate între ele printr-un orificiu (ajutaj, conductă scurtă) cu

caracteristicile µ şi A. Cotele luciului apei în cele două rezervoare sunt z,

respectiv z’ peste planul orizontal al axului orificiului, diferenţa de nivel fiind h

= z - z’ (fig. 11.32).

În timpul dt din rezervorul R1 curge prin orificiu în R2 volumul de

lichid:

dtzzgAdW )(2 ′−= µ (11.81)

Scăderea de volum în R1 este:

dzSdW 1−= (11.82)

iar creşterea de volum în R2 zdSdW ′= 2 . (11.83)

Egalizarea acestor volume conduce la:

dtzzgAzdSdzS )(221′−=′=− µ (11.84)


Fig. 11.32. Schema pentru calculul timpului de egalizare

a nivelului în două rezervoare.

Secţiunile orizontale S1 şi S2 fiind constante se poate scrie:

2112 SS

dzzd

S

zd

S

dz

+

−′=

′=− (11.85)

Făcând substituirea z - z’ = h şi dz - dz’ = dh, se obţine

21

2

SS

dhSdz

+= (11.86)

Din dtzzgAdzS )(21′−=− µ se determină dt,

( ) ( ) ghSSA

dhSS

zzgA

dzSdt

22 21

211

+−=

′−−=

µµ,

sau integrat în intervalul [h, 0], rezultă:

( ) ( ) hQSS

hSS

gASS

hSSt

21

21

21

21 22

2+

=+

=µ

(11.87)

unde Qh este debitul orificiului înecat lucrând la sarcina h.

11.5. DEVERSOARE

Prin deversor se înţelege o construcţie sau o instalaţie peste care curge

un lichid cu suprafaţă liberă. Standardele definesc deversoarele drept

construcţii hidrotehnice dispuse într-un curent cu suprafaţă liberă în scopul

menţinerii unui nivel sau pentru măsurarea debitelor.

h

z'

dz'

dz

z

R1 R2

S1S2

,Aµ


Elementele deversoarelor corespund (fig. 11.33).

Fig. 11.33. Elementele deversoarelor

1. Caracteristicile geometrice sunt: forma profilului transversal

(rezultat printr-o secţiune verticală în lungul curgerii 11.33.a); creasta sau

coronamentul (c) deversorului este linia punctelor cu cotă maximă de pe

deschidere; grosimea (δ) a deversorului este gabaritul profilului transversal la

creastă; lungimea (b) a deversorului este lungimea crestei; pragul amonte (p1)

şi aval (p) reprezintă înălţimea crestei peste fundul biefului amonte şi aval;

forma deschiderii deversorului din vederea aval (fig. 11.33.b); înclinările

deversorului faţă de verticală, direcţia curentului sau a crestei faţă de

orizontală.

2. Elementele hidraulice determină fenomenul şi caracteristicile

curgerii şi sunt caracterizate prin: sarcina pe deversor (H) este diferenţa dintre

cota nivelului apei (măsurată la o distanţă de 2…3H în amonte) şi cota

coronamentului; sarcina totală (H0) este sarcina corectată cu termenul cinetic

de apropiere ( gVhv 2/2

0α= ); viteza de apropiere (V0) cu care soseşte curentul

la deversor; debitul (Q) descărcat; căderea (z) - este diferenţa de nivel amonte

β

B/2

δ

b/2

c.

Ho H

h= v /2g

pp

hz z

θ

(2...3)H

δP.S.

L.D.

P.I.

α 02

0

0

n

V

Qa.

1

v

dhh

B/2

b/2

b.

c


- aval; căderea totală (z0) este căderea corectată cu termenul cinetic de

apropiere; adâncimea de înecare (hn) este diferenţa dintre cota luciului aval şi

cota crestei deversorului; lama deversantă (LD) este jetul de lichid care trece

prin deschidere şi este limitată de pânza superioară (PS) şi inferioară (PI).

11.5.1. Teoria fundamentală a debitului

Dezvoltarea formulelor debitului descărcat datează din începuturile

istoriei teoriei hidraulice şi în principal se referă la forma dreptunghiulară a

deschiderii.

Sunt uzuale două căi de a ajunge la relaţia generală a deversoarelor:

împărţirea lamei în fâşii orizontale cu înălţime dh şi considerarea curgerii prin

fâşie ca la orificii mici, apoi însumarea debitelor elementare şi prin utilizarea

teoremei produselor de la analiza dimensională (1.2.2. – vol 1).

Conform figurii 11.33. debitul elementar este:

( ) dhhhgbdQ v ⋅+= 2µ (11.86)

care se integrează pe domeniul [0, H], obţinând:

( )

−+= 2

3

2

3

23

2vv hhHgbQ µ (11.87)

Notând cu m0 coeficientul de debit al deversorului pentru funcţionare normală

µ3

20 =m (11.88)

rezultă

−= 2

3

2

3

00 2 vhHbmQ (11.89)

Când hv este neglijabil (H/p1 foarte mic) rezultă:

2

3

00 2 HgbmQ ≅ (11.90)

Termenul cinetic hv este o funcţie de debit, deci relaţiile (11.89 şi

11.90) sunt implicite şi soluţionarea lor necesită iteraţii succesive de calcul.

Când termenul cinetic hv este atât de mic în comparaţie cu sarcina H

încât este neglijabil, se obţine:

2

3

0 2 HgbmQ ≅ (11.91)


Uzual se utilizează relaţiile (11.90) şi (11.91), uneori efectul

termenului cinetic asupra debitului fiind inclus în coeficientul de debit.

În decursul timpului s-au întreprins numeroase experienţe asupra

deversoarelor. Deşi experimentările individuale sunt consistente, rezultatele

mai multor cercetări dau valori diferite cu abateri de câteva procente între ele.

Coeficientul de debit pentru funcţionare normală m0 se numeşte

coeficient de formă şi depinde de profilul transversal al deversorului

(caracteristică principală).

Coeficientul de debit al deversorului:

...2110 kkmmm ⋅⋅⋅⋅⋅= εσ (11.93)

este un produs al coeficientului de formă şi coeficienţilor de corecţie ai

factorilor care influenţează curgerea - înecarea, contracţia, înclinarea, aerarea

lamei, tensiunea superficială etc. Coeficienţii de corecţie sunt unitari pentru

condiţii normale şi diferiţi de unitatea când sunt abateri de la normalitate.

Formula (11.93) este aproximativă prin introducerea separată a

corecţiilor. Coeficientul m este o funcţie complexă determinat de ansamblul

fenomenului de curgere peste deversor (1.2.2).

Prezentarea în continuare conţine clasificarea deversoarelor, calculul

celor cu profil dreptunghiular, apoi alte forme de deversoare.

11.5.2. Clasificarea deversoarelor

Există o mare varietate de deversoare – ca tip, formă, funcţional – iar

utilizarea lor depinde de o serie de criterii.

Clasificarea deversoarelor se face în funcţie de parametri:

• geometrici

- grosimea peretelui;

- forma profilului;

- forma deschiderii;

- înclinarea - crestei faţă de orizontală;

- deversorului faţă de liniile de curent;

- deversorului faţă de verticală;

- forma în plan.

• hidraulici

- felul racordării cu bieful aval;

- condiţiile de acces al lichidului la deversor;

- felul lamei deversante etc.


10. După grosimea peretelui deversoarele se împart în trei categorii:

10.a. cu perete subţire (sau muchie ascuţită) – fig. 11.34. – la care

curgerea nu este influenţată de grosimea δ a crestei, lama deversantă se

dezlipeşte de muchia amonte ca la orificii (excepţie făcând curgerea cu lamă

lipită)

Fig. 11.34. Deversor cu muchie ascuţită.

10.b. cu perete gros şi profil curb (fig. 11.35), la care lama

deversantă se lipeşte de coronamentul deversorului. În această categorie se

încadrează diferite forme ale profilului: deversoare poligonale sau curbe

utilizate frecvent în practica inginerească.

Fig. 11.35. Deversoare cu profil gros şi curb: a, b) profil poligonal; c) profil curb

10.c cu prag lat (fig. 11.36) la care curgerea în partea centrală are

caracteristici de curent gradual variat.

Fig. 11.36. Deversor cu prag lat

p

h

δ

v /2g

H H

p

V0

02

0

av

1

α

H

δ

a

H

b

c

c

c

H

δ


20. După forma profilului deversoarele pot fi poligonale sau curbe

(v. fig. 11.35).

30. După forma deschiderii: deversoarele, în general, au forme

geometrice regulate simple – dreptunghiulară, trapezoidală, triunghiulară,

circulară etc., sau compuse: proporţional (hiperbolic cu dreptunghi, dublu

trapezoidal etc.), fig. 11.37.

Fig. 11.37. Formele deschiderii deversoarelor

Anumite forme ale deschiderii sunt specifice deversoarelor pentru

măsurarea debitelor, altele sunt utilizate pentru descărcătoare sau alte scopuri

tehnice.

40. Înclinarea deversoarelor se referă la: aşezarea lor în plan faţă de

direcţia curentului – se disting deversoare normale (frontale), oblice şi paralele

(fig. 11.38); poziţia crestei faţă de orizontală – existând deversoare cu creastă

orizontală sau înclinată (fig. 11.40).

b

θ

bb

a bc

Fig.11.38. Înclinarea deversoarelor faţă de direcţia curentului

a) normal, b) oblic, c) paralel

ab

c

d

e


a

θ

b

υ

c

Fig. 11.39. Înclinarea paramentului amonte al deversorului faţă de verticală

a) normal, b) înclinat amonte, c) înclinat aval

a b

υ

Fig. 11.40. Înclinarea crestei deversorului faţă de orizontală

a) orizontal, b) înclinat

Înclinarea deversorului faţă de direcţia curentului se introduce în

calcule prin coeficientul de debit (11.93) printr-un coeficient de corecţie k1

(tab. 11.8)

Corecţia înclinării deversorului faţă de direcţia curentului

Tabelul 11.8

( )0θ 15 30 45 60 90

k1 0,86 0,91 0,94 0,96 1

50. După forma în plan există deversoare rectilinii, poligonale, curbe

(arc de cerc, cerc), margaretă, crocodil etc. (fig. 11.41)

Fig. 11.41. Forma în plan a deversoarelor


Efectul formei în plan al deversorului se introduce în calcule prin

corectarea coeficientului de debit (11.93) prin coeficientul k2. La deversor

poligonal pentru calculul debitului se însumează lungimea crestelor rectilinii

care compun deversorul; pentru fiecare se ţine seama de oblicitatea faţă de

direcţia curentului.

La deversoare în arc de cerc:

1

2 1p

Hnk −= (11.94)

în care n are valorile din tabelul 11.9.

Coeficienţi n pentru deversoare în arc de cerc

Tabelul 11.9 Forma albiei ( )0θ

15 30 45 60 75 90

Albie lată 0,71 0,35 0,20 0,4 0,04 0,00

Albie îngustă 0,83 0,48 0,28 0,13 0,04 0,00

Criteriile hidraulice clasifică deversoarele după cum urmează:

60. După felul racordării cu bieful aval există deversoare neînecate,

când adâncimea nivelului din bieful aval nu are influenţă asupra curgerii şi

deversoare înecate, când poziţia nivelului din aval influenţează debitul

descărcat de deversor (fig. 11.42). Adâncimea de înecare hn este diferenţa

între cota luciului apei din bieful aval şi cota crestei deversorului şi poate avea

valori negative şi pozitive. De obicei pentru hn > 0 intervine influenţa nivelului

aval asupra debitului descărcat, dar la anumite deversoare efectele de înecare

pot apare şi la valori negative ale lui hav.

Fig.11.42. Racordarea deversoarelor cu bieful aval

a) neînecat, b) înecat, c)efectul adâncimii de înecare asupra debitului descărcat

H-const

hh _

av

n

H-const

hhn

av

+

a b cQ

înecat

neînecat

av


Efectul înecării asupra debitului descărcat se introduce prin coeficientul de

înecare:

)/( 0Hhf n=σ (11.95)

70. După condiţiile de acces al lichidului la deversor se disting:

70.a. deversoare fără contracţie laterală, când frontul de acces are

lăţimea frontului deversant (fig. 11.43.a) şi

70.b. deversoare cu contracţie laterală, când lăţimea albiei amonte

este superioară frontului deversant şi aceasta poate fi divizat de pile

(fig. 11.43.b).

Fig. 11.43.. Condiţiile de acces al apei la deversor.

Efectul condiţiilor de acces, a contracţiei laterale asupra debitului

descărcat se introduce prin coeficientul de contracţie care depinde de forma

culeilor, pilelor, avansului acestora, lungimea câmpului deversant fată de

lăţimea albiei de acces.

1( , , , , )f b B p Hε α= (11.96)

80. Forma lamei deversante depinde de profilul crestei deversorului

şi de aerisirea spaţiului dintre lama deversantă, paramentul aval şi pereţii

laterali. Se consideră ca tip fundamental forma lamei de la un deversor cu

muchie ascuţită, fără contracţie laterală, vertical cu creastă orizontală, frontal şi

lama aerisită (sub lama deversantă presiunea este aceeaşi ca la suprafaţa sa).

Existenţa pragului amonte p1 implică convergenţa liniilor de curent spre

deschizătura deversorului; firele de curent care formează lama se dezlipesc la

muchia amonte a crestei în punctul F şi pânza inferioară a lamei se ridică

(datorită inerţiei) şi dă naştere la contracţia de fund (fig. 11.44).

B=b B bVo Vo

a b


0,18H

N E

K

F

A

B

C

G LD

A

B

C

B'

'

''

H

'βγ

HH

p

c

1

Vo

Fig. 11.44. Forma lamei deversante perfecte

Proporţiile lamei deversante în raport cu sarcina H se menţin indiferent de

grosimea lamei astfel HDC 112,0= , HAC 668,0= ,

HHHGL

HFGHFDHFLHKNHAE

c 888,0 ,0,1

,40,0 ,27,0 ,4,1 ,15,0 ,22,0

==

=====

Diagrama presiunilor în secţiunea AC urmăreşte curba AB’C, are

presiuni relative nule în punctele A şi C, iar presiunea maximă

Hp 18,0/max =γ este în punctul B poziţionată prin ACCB )4,0...3,0(~ . Curba

A’B’’C’ este epura teoretică a vitezei (după Toricelli), iar curba reală A’C’ este

concavă (datorită variaţiei presiunii în lamă).

Forma lamelor deversante este explicată prin teoremele generale ale

hidrodinamicii prin „principiul debitului maxim”, care se poate enunţa astfel:

forma stabilă a fenomenelor hidraulice este aceea care, în condiţii externe date, corespunde condiţiilor de curgere cu debit maxim. În funcţie de posibilitatea pătrunderii aerului pe sub lama deversantă,

aceasta poate lua următoarele forme (fig. 11.45):

80.a. Lamă deversantă liberă (sau aerată). În acest caz atât pânza

superioară cât şi cea inferioară a lamei deversante sunt supuse presiunii

atmosferice. Dacă spaţiul de sub lamă este mărginit de pereţii laterali lama

aerată se poate menţine numai prin aport artificial de aer atmosferic din afară.

Lama în mişcarea sa antrenează în aval aer de sub lamă, deci trebuie asigurat

prin instalaţia de aerare debitul necesar de aer care depinde de dimensiunile şi

caracteristicile deversorului.

80.b. Lamă deversantă deprimată (sau neaerisită) se formează când

aerarea spaţiului de sub lamă este împiedicată. Se formează la deversare fără

contracţie laterală, când aerul de sub lama deversantă este antrenat parţial de

către curent şi sub lamă se formează presiune vacuumetrică p < pa. Nivelul apei

de sub pânză se va ridica la cotă superioară nivelului aval, iar diferenţa de

presiune pe pânza superioară şi inferioară curbează mai puternic lama

deversantă decât în cazul lamei aerate. Curbura mai pronunţată a lamei implică

creşterea debitului descărcat faţă de lama deversantă aerată. Această formă de

lamă deversantă ia naştere pentru H < 0,4 p1.

80.c. Lamă deversantă înecată dedesubt se formează în condiţiile

asemănătoare ca şi lama deprimată însă în condiţiile H > 0,4 p1. În timp tot

aerul de sub lamă este antrenat în aval şi spaţiul este ocupat de vârtejuri de

lichid. Presiunea vacuumetrică de sub lamă este mai pronunţată şi curbarea sa

la fel, ca şi debitul descărcat. Mişcarea vârtejurilor de sub lamă are şi un

caracter pulsatoriu dând naştere la instabilitatea mişcării şi solicitarea

suplimentară a construcţiei. În practica inginerească se evită lamele deversante

deprimate şi înecate dedesubt prin utilizarea instalaţiilor de aerare sau

modificarea paramentului aval al deversorului.

80.d. Lama deversantă aderentă sau lipită este cazul în care lama se

lipeşte de paramentul aval. În cazul paramentului aval vertical sau înclinat

înapoi această lamă ia naştere la sarcini mici, tensiunea superficială jucând rol

important în lipire lamei de parament. De obicei se formează la sarcini sub

1 cm. La creşterea sarcinii lama se dezlipeşte, dând naştere la celelalte forme.

La astfel de lamă coeficientul de debit (de formă) creşte datorită creşterii

virtuale ale sarcinii pe seama presiunii vacuumetrice de sub lamă.

În alte situaţii se creează chiar la sarcini mari lamă lipită prin

modificarea paramentului aval al deversorului pentru evitarea presiunii

vacuumetrice în spaţiul de sub lamă protejând astfel paramentul aval de

solicitări suplimentare.

Fig. 11.45. Formele lamei deversante

a) aerată, b) deprimată, c) înecată dedesubt, d) lipită.

p

Hpa

pa1

a

1p

Hap

H<0,4p1

p<pa

b

1p

H

H>=0,4p1

c

p1

d

H

11.5.3. Deversoare cu perete subţire.

Aceste deversoare convenţional se definesc prin 0,67/ ≤Hδ şi în

deschidere pot avea forme geometrice regulate diferite. În general se folosesc

ca deversoare de măsurare a debitului.

10. Deversorul cu deschidere dreptunghiulară.

Aceste deversoare sunt cele mai simple din punct de vedere constructiv

şi au forma din fig. 11.33. Relaţia generală a debitului descărcat corespunde

11.5.1 şi au forma (11.89), (11.90) sau (11.91).

Deversorul de acest tip, fără contracţie laterală, cu lamă deversantă

liberă, normală pe direcţia curentului, verticală, cu muchia crestei orizontală

este deversorul perfect de tipul Bazin.

Pentru calculul coeficientului m0 este posibilă utilizarea unor relaţii,

determinate prin prelucrarea datelor experimentale, după mai mulţi autori,

astfel:

10.a. Bazin - pentru situaţia când termenul cinetic de apropiere este

neglijabil:

H

m0027,0

405,00 += , (11.97)

al doilea termen ţinând seama de efectul tensiunii superficiale;

- efectul vitezei de acces se întroduce prin corecţia:

( )2

1

2

1 55,01pH

Hm

++= , (11.98)

10.b. Rehbock, ţinând seama şi de viteza de acces:

Hp

Hm

001,0054,0404,0

1

0 ++= (11.99)

Relaţiile de mai sus sunt valabile pentru 5/ 1 <pH .

Contracţia laterală, apărută la deversoare pentru care lungimea crestei

(b) este inferioară lăţimii (B) a albiei, se introduce prin modificarea relaţiei

(11.98) pentru m1 în:

2

1

4

'

1 55,01

+

+=

pH

H

B

bm (11.100)

sau prin relaţia:

6,11000

)/(241,2025,0385,0

22

'

0+

−+

+=

H

Bb

B

bm (11.101)

valabile pentru condiţiile 2...1/;m 8,003,0 ;m 3,0 11 <≤≤≥ pHHp şi

b > 0,3 B.

Curgerea înecată reclamă următoarele două condiţii: adâncimea de

înecare să fie pozitivă 0>−= ZHhn şi raportul 75,0/0 <pZ în medie.

De ultima condiţie depind formele curgerii înecate:

- lamă cufundată, pentru 75,0/3,0 0 << pZ ;

- lamă ondulată la suprafaţă, 15,0/0 <pZ ;

- lamă instabilă, pentru 3,0/15,0 0 << pZ .

La curgere înecată cu lamă descendentă coeficientul de înecare, după Bazin,

este:

32,01H

Z

p

hn

+=σ (11.102)

Uneori se foloseşte în calcule σσ 05,1=′ , majorarea ţinând seama că la

înecarea curgerii se întrerupe alimentarea cu aer sub pânza inferioară şi are loc

o creştere virtuală a sarcinii, datorită depresiunii de sub muchia deversorului.

20. Deversoare cu deschidere triunghiulară.

Acest tip de deversor este răspândit în practică pentru măsurarea

debitelor. Forma sa este de triunghi isoscel (fig. 11.46).

Câmpul deversant se împarte în fâşii

orizontale elementare de înălţime dh, lăţime

x, de suprafaţă dA. Debitul elementar este:

dhghxdQ 2µ= (11.103)

cu

( )hHH

bx −= , (11.104)

Fig. 11.46. Deversor triunghiular

Integrând (11.103) în limitele [0, H] şi notând 2

2/θ

tgHb = se obţine:

xb

h

dhH

θdA


2/52

215

8HgtgQ

θµ= (11.105)

Pentru 090=θ - deversor Thompson – cu 59,0=µ , relaţia de mai sus devine:

2/52/5 40,1~394,1 HHQ = (11.106)

În realitate debitul se exprimă sub forma:

2/5CHQ = (11.107)

unde C = 1,38…1,42, pentru H = 5…25 cm, calculabil cu:

gS

A

HC 21

002,0310,0

+

+= (11.108)

S - fiind secţiunea albiei de apropiere a curentului de deversor.

30. Deversorul cu deschidere trapezoidală.

Se foloseşte la canale trapezoidale sau unde trebuie măsurate debite

mari. Deschiderea deversorului este mai mică decât ceea a canalului astfel că ia

naştere contracţie laterală (fig. 11.47).

Debitul curs peste deversor poate fi

considerat debitul descărcat de un deversor

dreptunghiular cu lăţimea b şi de un

deversor triunghiular cu unghiul de vârf θ :

td QQQ +=

Fig. 11.47. Deversor trapezoidal

sau

2/52/3 2215

82 HgtgHgmbQ

θµ+=

cu considerarea lui m şi µ de la deversoarele aferente.

În cazul când 4/1=θtg ( 072/ =θ ) debitul deversorului se poate

calcula cu relaţia:

2/386,1 bHQ = (11.109)

Acest deversor poartă numele Cipoletti şi este caracterizat prin faptul

că debitul descărcat de partea triunghiulară compensează efectul contracţiei

laterale de la deversorul dreptunghiular.

b

H/2 /2θ θ


40. Deversorul cu deschidere circulară

Este folosit pentru măsurarea debitelor. Acest lucru se poate întâmpla

când la un orificiu circular în perete subţire nivelul scade sub cel al muchiei

superioare (fig. 11.48)

Calculul debitului se poate face cu relaţia:

gHmAQ 2= (11.110)

în care:

+

+=

2

1002,035,0S

A

H

Dm (11.111)

Fig. 11.48. Deversor circular

S fiind secţiunea de apropiere, iar A secţiunea de curgere.

50. Deversorul proporţional

Se utilizează pentru măsurarea debitului în laboratoare. Are această

denumire fiindcă relaţia debitului este o funcţie liniară de sarcina H. Creasta

deversorului este orizontală, de lungime b, iar umerii sunt curbe simetrice faţă

de axa verticală (imagine oglindă), cu ecuaţia (fig. 11.49):

a

harctg

b

x

π

21−= (11.112)

Debitul descărcat de deversor este:

−=

32

ahgambQ (11.113)

Coeficientul de debit m variază între 0,605

şi 0,625. Pentru b > 0,5 m, H > a şi

a > 0,1m rezultă m = 0,614. Fig. 11.49. Deversor proporţional

60. Condiţiile măsurătorilor de debit

Atât la deversoare cu perete subţire cât şi la orificii şi ajutaje trebuiesc

respectate anumite condiţii referitoare la prelucrarea dispozitivelor şi

amplasarea lor în curent. Ele sunt stipulate în standarde şi normative şi se referă

la:

- verticalitatea şi netezimea peretelui amonte;

- muchia amonte trebuie să fie unghi drept, bine prelucrat şi suficient

de subţire ca jetul să nu atingă creasta după dezlipirea de muchie;

D

HA

b

ax h

H


- pereţii laterali şi fundul trebuie să permită contracţia perfectă şi

laterală (unde este cazul), sau în cazul deversorului Bazin să fie eliminată

contracţia laterală;

- presiunea de sub lama de versanta să fie cea atmosferică;

- canalul de apropiere să aibă secţiune uniformă pe distanţă suficientă

pentru realizarea profilului de viteză „normal”;

- suprafaţa liberă a apei unde se măsoară sarcina să fie lipsită de valuri

şi unde;

- trebuiesc cunoscute cu acurateţe dimensiunile dispozitivului de

măsurare;

- măsurarea sarcinii trebuie realizată cu acurateţe.

70. Măsurarea sarcinii hidraulice pe dispozitive de măsurare

Sarcina pe dispozitive se măsoară cu manometre cu lichid de diferite

tipuri sau cu ace de măsurare. La măsurătorile cu ace sarcina poate fi

determinată în rezervoare de măsurare conectate la albie sau direct în canal.

Rezervoarele reduc efectul valurilor care pot fi prezente în canale. Tubul de

legătură între rezervor şi canal poate fi conectat de fundul sau de taluzul

canalului (fig. 11.50).

La măsurătorile de sarcină în rezervor trebuie verificată diferenţa de

temperatură a fluidului din rezervor şi canal, şi în cazul existenţei acestei

diferenţe la măsurători precise este obligatorie efectuarea corecţiilor de

temperatură (referitoare la dilataţie). Rezervorul trebuie să aibă secţiune

orizontală suficientă pentru eliminarea efectului tensiunii superficiale.

Fig. 11.50. Schema

măsurării nivelului în albii

deschise

Acul de măsurare trebuie să fie prevăzut cu riglă şi vernier

respectiv deplasarea sa trebuie realizată cu şurub micrometric

(fig. 11.51).

Fig.11.51. Ac de măsurare cu riglă, vernier şi şurub micrometric

h


Acul de măsurare trebuie să fie bine ascuţit şi trebuie să fie îndoit,

trebuie să străpungă nivelul din rezervorul de măsurare de jos în sus (pentru

reducerea efectului tensiunii superficiale).

În timpul măsurătorii trebuie asigurată verticalitatea riglei şi a acului

de măsurare, iar cota „0” a crestei deversorului trebuie stabilită cu acurateţe

(precizie de 0,1 mm).

Sarcina trebuie măsurată la distanţă suficientă de paramentul amonte

al deversorului unde nu se mai resimte curbura lamei deversante asupra

nivelului, la (3…4)H în amonte.

80. Precizia măsurătorilor.

Determinările debitelor cu deversoare reprezintă nişte măsurători

indirecte, iar precizia acestor măsurători depinde de precizia măsurătorilor

directe.

Măsurătorile directe sunt afectate de erori sistematice şi erori

întâmplătoare, rezultând şi măsurătorile indirecte cu anumite erori.

La măsurători indirecte ale mărimii A = f(B1,B2,…,Bn), eroarea relativă

rezultată este:

∑∑ ===n

ii

in

BB

B

A

AA

11

δεε

δ (11.114)

unde Aδ este eroarea relativă de determinare a mărimii A; Aε - eroarea

absolută; iBε - eroarea absolută de măsurare a mărimii Bi măsurată direct,

iBδ - eroarea relativă de măsurare a mărimii determinante Bi.

La deversorul cu deschiderea dreptunghiulară debitul se determină

indirect după relaţia (11.91).

Erorile relative referitoare la variabilele independente (m, b, H) vor fi:

- pentru coeficientul de debit

mQm δδ = ; (11.115)

- pentru lungimea crestei

bQb δδ = , (11.116)

iar pentru sarcină

HH

H

H

dHQH δ

εδ

2

3

2

3

2

3=== (11.117)


Deversorul fiind executat şi montat pe poziţie, eroarea de măsurare a

lungimii crestei devine eroare sistematică ca şi eroarea de determinare a

coeficientului de debit.

Eroarea relativă de măsurare a debitului cu un astfel de deversor

devine:

HbmQ δδδδ2

3++= (11.118)

deci eroarea de măsurare a sarcinii se amplifică de 1,5 ori în eroarea de

măsurare a debitului.

Atingerea unui grad de precizie, impus prin toleranţă, cu grad de

încredere P necesită un număr de repetiţii ale măsurătorilor directe şi care se

determină din relaţia:

2)(

≥ s

Ptn

ε (11.119)

în care t(P) este argumentul de probabilitate; ε - toleranţa măsurătorii, iar

s eroarea standard (sau eroarea medie pătratică). Argumentul de probabilitate

t(P) şi probabilitatea integrată sunt întabulate în tratate de calcul statistic.

Dimensionarea unui deversor pentru măsurat debitul într-un anumit

ecart (Qmin, Qmax) – ţine seama de precizia dorită, impusă prin toleranţa relativă

Qδ pentru Qmin în situaţia toleranţei absolute de măsurare a sarcinii Hε

(determinat de condiţiile de măsurare), rezultând:

Q

HH

δ

ε

22

3≥ şi

2/32 Hgm

Qb = (11.120)

În mod analog se poate pune problema şi la celelalte dispozitive de

măsurare a debitului.

11.5.4. Deversoare cu profil gros

În această categorie se încadrează deversoarele care satisfac condiţia:

HH 5,2/67,0 ≤≤ δ (11.121)

Ele au profil poligonal (dreptunghi, trapez, triunghi etc.).

Calculul debitului la deversoarele cu profil gros cu deschidere dreptunghiulară

utilizează relaţia:

2/3

02 HgmbQ = (11.122)

influenţa vitezei de acces fiind introdusă prin sarcina dinamică H0. Coeficientul

de debit variază în limite destul de largi ( )42,0...32,0∈m .

Forma profilului corespunde fig. 11.52.

H

p

vo

1

a b c

H

1p

vo

δδ δ

ro

H

f θ

H

δ1 2

d

H

dhh

1

e

n

2 θ θθ θ

Fig. 11.52. Deversoare cu profil gros poligonal

Coeficientul de debit de formă se poate determina cu relaţiile:

- pentru profil dreptunghiular ascuţit (fig. 11.52.a)

( )Hm /5,205,032,00 δ−+= (11.123)

- pentru profil cu muchie rotunjită cu r0 = 0,2H (fig. 11.52.b)

H

Hm

/21

/5,21,036,00

δ

δ

+

−+= (11.124)

Relaţiile sunt valabile pentru 5,2/67,0 ≤≤ Hδ şi 3/1 ≥Hp .

Condiţia de acces pentru 3/1 <Hp afectează contracţia pe verticală

fapt de care se poate ţine seama prin:

1/13,01 pHK v += (11.125)

Pentru formele de profil din fig. 11.52.a,b,c, coeficientul de debit m0 este dat în tabelul 11.10.

- la deversorul cu profil trapezoidal (fig. 11.52.d) coeficientul de

formă depinde de înclinarea taluzului amonte şi aval. Când paramentul aval

este vertical coeficienţii corespund (tab. 11.10), iar în situaţia înclinării

paramentului aval (acesta favorizează o eventuală curgere în lama aderentă)

sunt prezentaţi în (tab. 11.11).

Coeficientul de debit m0 la deversoare cu profil gros fără contracţie laterală.

Tabelul 11.10.

H/δ

m0 Pereţi

verticali

muchii

vii

Parament amonte înclinat

P1=f(ctgθ) Muchie amonte rotunjită sau teşită

r0/H sau f/H r0/H 0,5 1,0 1,5 ≥ 2,5 0,025 0,05 0,2 0,6 ≥ 1

0,0 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385 0,385

0,2 0,366 0,372 0,377 0,380 0,382 0,372 0,374 0,377 0,380 0,382

0,4 0,356 0,365 0,373 0,377 0,381 0,365 0,368 0,374 0,377 0,381

0,6 0,350 0,361 0,370 0,376 0,380 0,361 0,364 0,370 0,376 0,380

0,8 0,345 0,357 0,368 0,375 0,379 0,357 0,361 0,368 0,375 0,379

1,0 0,342 0,355 0,367 0,374 0,378 0,355 0,359 0,366 0,374 0,378

2,0 0,333 0,349 0,363 0,371 0,377 0,349 0,354 0,363 0,371 0,377

4,0 0,327 0,345 0,361 0,370 0,376 0,345 0,350 0,360 0,369 0,376

8,0 0,324 0,343 0,360 0,369 0,376 0,343 0,348 0,359 0,369 0,376

∞ 0,320 0,340 0,358 0,368 0,375 0,340 0,346 0,357 0,368 0,375

Coeficientul de debit m0 la deversoare cu perete gros

cu înclinarea paramentului aval

Tabelul 11.11

Hp /1 2θctg H/δ

0,5 0,7 1,0 2,0

0,5…2

3 0,42 0,40 0,36 0,34

5 0,38 0,37 0,35 0,34

10 0,36 0,36 0,35 0,34

2…3 1 0,46 0,42 0,37 0,33

2 0,42 0,40 0,36 0,33

Contracţia laterală la aceste deversoare se introduce prin coeficientul

de contracţie ε , sub forma :

∑−= ξεb

H 01,01 (11.126)

în care b este lungimea crestei deversante; H0 – sarcina totală; ξ - un coeficient

care depinde de forma marginii obstacolului (fig. 11.53). În multe cazuri

lungimea crestei deversorului este inferioară lăţimii canalului b < B şi este

fragmentat de pile şi este mărginit de culei. ∑ξ se referă la toate marginile

care produc contracţie.


Fig. 11.53. Forma obstacolelor

care produc contracţie şi valorile

coeficienţilor ξ

Când pilele avansează faţă de paramentul amonte fig. 11.54

coeficienţii ξ se reduc conform (tab. 11.12).

Reducerea coeficienţilor ξ cu avansul pilelor

Tabelul 11.12

Poziţia

pilei

Forma pilelor

Dreptunghiulară Circular

triunghiular

Ogival

a=0 1ξ 2ξ 3ξ

a=0,5H 1

2

1ξ 2

3

2ξ 3

5

3ξ

a=H 1

4

1ξ 2

3

1ξ 3

5

2ξ

Fig. 11.54. Avansul pilei

Înecarea acestor deversoare se poate introduce în calcule prin relaţia

(11.102) sau prin valorile coeficientului de înecare

0H

hnσ întabulate în

îndrumare de calcule hidraulice.

1=1,0

2=0,7

32=0,7 =0,4

a

ab i

- la deversorul cu profil triunghiular, de tip Keutner

( 25,121 == θθ ctgctg ) utilizat frecvent la descărcător de suprafaţă lateral la

acumulări cu baraje de pământ, debitul se determină cu relaţia:

( )hHgbhmQ −= 00 2 , (11.127)

lama deversantă fiind influenţată de paramentul aval.

Se disting patru forme de curgere peste acest deversor, astfel:

- curgere liberă, cu:

50 10; 0; 1,258; 0,73 /nh dh m h H H p< < = = ;

- curgere înecată la limită, cu:

100 10; 0; 1,251; 0,7 /nh dh m h H H p> < = = ;

- curgere înecată cu:

100 11,174 1.29; 0; 0,965 ; 0,745 /

n n

H Hdh m h H H p

h h< < > = =

100 11, 29; 0; 1,240; 0,745 /

n

Hdh m h H H p

h≥ > = =

- curgere înecată ondulatorie, cu:

1010 /84,0 ;965,0 ;174,1 ;0 pHHh

h

Hm

h

Hh

nnn ==<> .

11.5.5. Deversoare cu profil curb

Deversoarele din această categorie au profilul curb sau conţin

elemente de curbă. Se utilizează la realizarea părţii deversante a barajelor în

scopul evitării, limitării presiunilor vacuumetrice pe paramentul aval sau

dezlipirea lamei deversante. Există profile cu şi fără vacuum.

10. Deversoare cu profil curb fără vacuum sunt astfel concepute ca

pe paramentul aval să nu apară vacuum. Paramentul aval este realizat astfel ca

lama deversantă să se sprijine pe acesta. În cazul fluidului eulerian profilul care

realizează această condiţie reproduce pânza inferioară a lamei deversante de la

un deversor cu muchie ascuţită cu deschidere dreptunghiulară, fără contracţie

laterală, cu lamă aerată, verticală sau înclinată în funcţie de paramentul amonte

al barajului.

Profilul de deversor astfel realizat – numit profil Bazin – nu

îndeplineşte condiţiile datorită naturii reale ale lichidului.


Poziţia pânzei inferioare se poate trasa utilizând teoria mişcărilor

potenţiale (se trasează spectrul mişcării pentru fluid eulerian) cu ajutorul căreia

rezultă vitezele, debitul şi presiunea pe parament. Un astfel de deversor

realizează această condiţie numai pentru sarcina HC = 0,888H, H fiind sarcina

pe deversorul cu muchie ascuţită.

Din aceste considerente se corectează curbura teoretică a deversorului

astfel ca aceasta intră puţin în lama deversantă. Orice dezlipire, presiune

vacumetrică sau suprapresiune afectează turbulenţa, poate conduce la cavitaţie

şi reduce coeficientul de debit.

Profile care „intră” puţin în lama deversantă şi realizează

suprapresiuni mici pe paramentul aval, au fost studiate de: de Marchi, Creager,

Ofiterov, Smetana, WES (Waterway Experiment Station, Vicksburg).

În continuare sunt prezentate profile de deversor Creager şi WES.

HH00 x

y

Tip A

0H0

H

Tip B

x

45

a

y

Hc

Fig. 11.55. Deversorul curb fără vacuum Creager

Debitul la aceste deversoare se calculează cu relaţia (11.122), sarcina

sub care are loc curgerea fiind definită faţă de punctul cel mai înalt al profilului

(fig. 11.55).

10.a. Deversorul cu profil curb Creager

Profilul Creager se poate realiza cu paramentul amonte vertical

(eventual retras din condiţii de economicitate) de tip A şi cu parament amonte

înclinat la 450 (tip B) pentru condiţii de stabilitate sau de evacuare a gheţurilor.

Curbura profilului se găseşte în tabele (tab. 11.13) pentru sarcina de

calcul H = 1 m.


Coordonatele profilelor de deversor Creager pentru H = 1 m

Tabelul 11.13 Tip A Tip B

x y x y x y x y

0,0 0,126 1,2 0,397 0,0 0,043 1,2 0,480

0,1 0,036 1,4 0,565 0,1 0,010 1,4 0,665

0,2 0.007 1,7 0,870 0,2 0,000 1,7 0,992

0,3 0,000 2,0 1,22 0,3 0,005 2,0 1,377

0,4 0,007 2,5 1,96 0,4 0,023 2,5 2,14

0,6 0,060 3,0 2,82 0,6 0,090 3,0 3,06

0,8 0,142 3,5 3,82 0,8 0,189 3,5 4,08

1,0 0,257 4,0 4,93 1,0 0,321 4,0 5,24

Coordonatele profilelor pentru 1≠H se obţin prin înmulţirea valorilor

din tabelul 11.13, cu sarcina de calcul H.

Hyy

Hxx

H

H

1

1

=

=

=

= (11.128)

Coeficientul de debit pentru sarcina de calcul H = Hmax, este m0 = 0,49

pentru tipul A şi m0 = 0,48 pentru tipul B.

În cazul funcţionării deversoarelor la sarcini inferioare celei de calcul

coeficienţii de debit sunt:

- pentru profilul A

+=

max

0 215,0785,049,0H

Hm , când 8,0/ max ≤HH

şi (11.129)

( )max0 /12,088,049,0 HHm += , când 8,0/ max >HH

- pentru profilul B

( )max0 /310,085,048,0 HHm += , când 5,0...1,0/ max =HH

şi (11.130)

( ) 20/1

max0 /48,0 HHm = , când 5,0/ max >HH .

Pentru sarcini H superioare celei de calcul sub lamă presiunea devine

vacuumetrică şi conduce la creşterea coeficientului de debit. Experienţele lui

Creager arată că la debite deversate cu peste 10 % superioare debitului la

sarcina de calcul produc vibraţii periculoase şi poate să apară cavitaţia pe

parament.


10.b. Deversorul cu profil WES

Profilele curbe ale deversoarelor WES se compun din mai multe

segmente de curbă însă curba principală are ecuaţia:

yRHX nc

n 1−= (11.131)

celelalte fiind segmente de cerc. Paramentul amonte poate fi vertical (chiar şi

retras) sau înclinat cu m = 1/1; 1/3; 2/3. Parametrii m0, R şi n şi elementele

arcelor de cerc al profilelor sunt indicate în fig. 11.56.

Corecţiile pentru contracţie şi înecare corespund celor descrise la

deversoare cu profil gros poligonale (11.5.4.).

20. Deversoare cu profil curb cu vacuum

Aceste deversoare sunt profilate după curbe mai simple, arc de cerc sau

elipsă (fig. 11.57).

1

B

A

C

0

R

D

ab c

H

pR

55...60

2b

b

H

a

Fig. 11.57. Deversoare cu profil curb cu vacuum

Pe creasta şi paramentul aval al deversorului la contactul cu lama

deversantă se formează presiune vacuumetrică. În practică valoarea presiunii

vacuumetrice se limitează la 5...6 mCA pentru evitarea dezlipirii lamei

deversante şi apariţiei cavitaţiei, care, la rândul său produce vibraţii, afectează

materialul paramentului şi stabilitatea construcţiei.

Coeficientul de debit la deversoarele profilate după arc de cerc se

poate calcula cu relaţia:

( )

+−−+= 1

2/09,0/501,03,0312,0

3

2pHRHm (11.132)

Pentru deversoarele profilate după arc de elipsă coeficientul de debit m

depinde de H/a şi b/a, variind în limite largi m = 0,487...0,577. Pentru

b/a = 2...3, m = 0,552...0,554.

Presiunea vacuumetrică pe parament are următoarele valori:

- pentru profilare după arc de cerc hvac = (1,39...1,58)H0;

- pentru profilare după arc de elipsă cu: - b/a = 2; hvac = (1,27...1,55)H0;

- b/a=3; hvac = (1,34...1,63)H0. Înecarea acestor deversoare începe la hn/H = 0,15, iar coeficienţii de

corecţie )/( Hhf n=σ sunt întabulaţi în îndrumătoare.


0,175H

0,282H

Rc=0,2Hc

Rc=0,5Hc

c

cH H

n=1,85R=2,00mo=0,502

o c

x

y

Retragerea

vo/2g2 2

/2gov

b

y

x

co

=0,497omR=1,939n=1,81

HHc

c

c=0,48HcR

c=0,22HcR

0,214H

0,115H

m=2/3

2/2gov

d

y

x

co

=0,495omR=1,873n=1,776

HH

c

c=0,45HcR

0,119Hm=1/1

m=1/3 y

c

0,139H

0,237H

=0,21H

R

H Ho

Rc

c

/2gvo2

c=0,68Hc

c

c

c

x

=0,500R=1,936mo

n=1,836

Fig. 11.56. Deversoare WES

a). parament amonte vertical sau retras; b). parament amonte înclinat 2/3; c). parament

amonte înclinat 1/3; d). parament amonte înclinat 1/1; e). corecţia coeficientului de debit

funcţie de înclinarea paramentului şi sarcină; f). corecţia coeficientului de debit funcţie de

sarcină şi înălţimea pragului.

11.5.6. Deversorul cu prag lat

Deversoarele cu prag lat se caracterizează prin 12...8/5,2 << Hδ cu

limita superioară valabilă muchiilor vii, iar limita inferioară muchiilor rotunjite.

La intrarea pe deversor lama prezintă o strangulare pronunţată, se formează

adâncimea contractată pe deversor, inferioară celei critice, h < hcr după care

urmează o mişcare gradual variată în starea rapidă a curentului.

Neuniformitatea la intrare este mai pronunţată la muchii vii din cauza dezlipirii.

Dacă 12/ >Hδ spre capătul aval, la aproximativ 3hcr amonte de muchia de

ieşire, se formează hcr, iar în amonte curgere în stare lentă, racordată prin salt

ondulat cu starea rapidă de la intrare. Când grosimea crestei δ este şi mai

mare, zona de intrare este înecată şi pe creastă mişcarea este lentă fiind

comandată de secţiunea de ieşire; deversorul se comportă ca un canal scurt.

Pentru funcţionarea ca deversor curgerea este comandată din amonte,

adâncimea pe prag h nu se modifică prin modificarea grosimei crestei.

H H

p

h h0

1

0

0

cr

1

1

1

2

3

4

δδ

δδ

Fig. 11.58. Forma suprafeţei libere pe deversorul cu prag lat în funcţie de δ

Calculul debitului deversorului cu prag lat se poate efectua cu relaţia

(11.122), în care m0 depinde de condiţiile de intrare (forma muchiei) şi de

înălţimea pragului amonte p1. Berezinski recomandă următoarele relaţii de

calcul pentru m0:

- muchii vii şi p1/H < 3: Hp

Hpm

/75,046,0

/301,032,0

1

10

+

−+=

şi (11.133)

m0 = 0,32 pentru 3/1 ≥Hp ;

- muchii rotunjite cu r = 0,2 H, pentru 3/1 <Hp :

Hp

Hpm

/5,12,1

/301,036,0

1

10

+

−+=

şi (11.134)

m0 = 0,36, pentru 3/1 ≥Hp .

Particularitatea curgerii pe prag lat, cu comanda curgerii din amonte,

permite stabilirea directă a debitului sub formele:

( )hHgbhQ −= 02ϕ

sau

3/2

01 2Q k kb gHφ= − (11.135)

cu k = h/H0. Relaţia (11.135), cu notaţia

kkm −= 10 ϕ (11.136)

capătă forma (11.122). Valorile coeficienţilor m0, k, φ corespund (tab. 11.14).

Coeficienţii m0, k, φ pentru deversorul cu prag lat

Tabelul 11.14

m0 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,385

φ 0,951 0,954 0,961 0,967 0,974 0,983 0,994 1,000

k 0,457 0,477 0,500 0,527 0,558 0,596 0,641 0,667

Contracţia laterală, după Berezinski este:

( )BbBbHp

a/1/

/2,01 4

31

−+

−=ε (11.137)

în care a = 0,19 pentru muchii de intrare vii şi a = 0,10 pentru muchii de intrare

rotunjite. Pentru b/B < 0,2 şi p1/H > 3 coeficientul ε se calculează cu b/B = 0,2

şi p1/H = 3.

Pentru hn/H0 = 0,78...0,83 deversorul se îneacă şi este necesară

utilizarea coeficientului de corecţie σ(hn/H0) (tab. 11.15).

Coeficientul de înecare σ(hn/H0) la deversorul cu prag lat

Tabelul 11.15 hn/H0 0,80 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,87 0,88 0,89

σ 1,00 0,955 0,99 0,98 0,97 0,96 0,95 0,93 0,90 0,87

hn/H0 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98

σ 0,84 0,82 0,78 0,74 0,70 0,65 0,59 0,50 0,40


11.5.7. Alte tipuri de deversoare

Practica hidrotehnică utilizează şi alte tipuri de deversoare ca

funcţional, poziţie, rol sau construcţie. Astfel sunt deversoarele laterale, pâlnie

sau deversoarele sifon.

10. Deversoare laterale

Se utilizează ca deversor de captare sau evacuator de protecţie. Are

dispoziţia obişnuită laterală (fig. 11.59), lăsând curgerea liberă pe albia

principală. Când nivelul apei din albia principală depăşeşte cota crestei

deversorului o parte a debitului se evacuează peste deversorul lateral.

Qam = Qav+Qd (11.138)

h

z

p

l

zp

z

hh

α

Qam

Qav1

21

b1 a1

Qd

1 2

0201

I

I

Q

Q

Q

av

am

d

1

2

Fig. 11.59. Deversor lateral

Creasta deversorului poate fi paralelă cu fundul albiei principale sau

diferit (ex. construit pentru a menţine sarcină constantă pe lungimea crestei).

Când fundul albiei principale şi creasta sunt paralele lama deversantă şi nivelul

din albia principală au variaţii substanţiale determinate de starea curentului din

albie din amonte şi aval de deversor.

Cel mai des întâlnit caz este când starea mişcării pe canal este lentă,

atât amonte cât şi aval de deversor, în această situaţie secţiunea de comandă

este cea din aval (2), cota de comandă z2 corespunde lui Qav. Pe canal în amonte

mişcarea este gradual variată după o curbă coborâtoare b1, în secţiunea (1)

realizându-se o adâncime h01 > hcr. Nivelul din canal în lungul deversorului

este crescător după o curbă de supraînălţare a1.

Debitul descărcat de deversor se poate calcula cu relaţia:

2/3

20 2 ZglmQ ld σ= (11.139)

în care

( ) 6/1

2 / lZl =σ (11.140)

şi ţine seama de variaţia sarcinii în lungul crestei. Coeficientul de formă m0 se

determină după criteriile prezentate pentru deversoare.

Dacă deversorul este aşezat oblic faţă de axa curentului din canalul

principal cu 40

1...

3

1=θtg atunci ( ) 10/1

2 / lZl =σ .

Fig. 11.60. Deversor lateral oblic

Dacă starea curentului în canal este rapidă atât în amonte cât şi în aval,

adâncimea scade în lungul crestei (fig. 11.61). Secţiunea de comandă este în

amonte (1).

Fig. 11.61. Linia luciului apei pe

creasta deversorului lateral când starea

mişcării apei în canalul principal este

rapidă

Alte situaţii rezultă din combinarea stării de mişcare pe canalul

principal din amonte aval şi în dreptul deversorului lateral (fig. 11.62).

h01<hcr

h02<hcr

12

12

hcr

l

Qam

QavQd

θ

Fig. 11.62. Diverse forme ale luciului

apei în lungul deversorului lateral

funcţie de starea curentului din albia

principală

20. Deversorul pâlnie

Deversoarele pâlnie au forma în plan circulară, arc de cerc sau alte

forme; în majoritatea cazurilor secţiunea transversală este modelată după forma

deversoarelor cu profil curb fără vacuum (fig. 11.63). Se folosesc în special ca

evacuatoare de ape mari.

DR HH

p1

x

y

0

a

R

b

b

Fig. 11.63. Deversor pâlnie. a). secţiune; b). vedere în plan

Deversorul pâlnie poate avea diferite regimuri de funcţionare,

determinate de raportul H/R, astfel (fig. 11.63’).

- la H/R < 0,46 deversor neînecat;

- H/R = 0,46...0,8 deversor autoînecat;

h01>hcr

h02<hcr

12

h =h1 cr

~hcr

h >h01

1

hcr

1 02

2

hcr

>h

<hh01

1

cr

02h

2

>hcr

- H/R = 0,8...1,0 deversor autoînecat cu dispariţia formei de pâlnie

a suprafeţei libere;

- H/R = 1,0...1,6 aspect de curgere orificiu-ajutaj interior;

- H/R > 1,6 aspect de curgere ajutaj interior.

HH

V02/2g

0 x

y

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4y/H0

x/H0

2

1,0

0,80,6

0,50,4 0,3

0,2

H/R=0

R=oo

0,2

0,3

0,4

0,50,6 0,8

priza inferioara

priza

superioara

Fig. 11.63’. Forma lamei deversante la un deversor circular cu muchie ascuţită

La proiectarea acestor deversoare este recomandabilă funcţionarea lor

neînecată, deci R > 2,2H şi profilul crestei să fie modelat după pânza inferioară

a lamei deversante. Pentru situaţii H < Hcalc deversorul funcţionează neînecat,

iar pentru H > Hcalc apar fenomenele de înecare menţionate.

Coeficientul de debit de formă m0, pentru limitele H/R = 0,2...0,38 şi

p1/R = 0...1, se poate calcula cu relaţia:

( )[ ]3/2

10 /103,0/068,049,0 RpRHm −−−= (11.141)

iar debitul:

( ) 2/3

0 22 HgnbRmQ −= πε (11.142)

unde n este numărul pilelor de grosime b. Coeficientul de contracţie se

calculează asemănător celor prezentate la 11.5.4.


30. Deversorul sifon

Deversorul sifon se foloseşte ca descărcător de protecţie fiind o

construcţie formată dintr-un deversor cu profil curb, acoperit cu o capotă cu

orificiu şi o mască, respectiv pereţi laterali (fig. 11.64). Paramentul aval al

deversorului este prevăzut cu un „nas”. Descărcarea are loc într-o chiuvetă,

adâncitură a canalului de derivaţie. Funcţionează ca un deversor lateral.

Fig. 11.64. Deversorul sifon

Când nivelul din canalul principal atinge cota crestei deversorului

construcţia intră în funcţiune ca deversor. „Nasul” aruncă lama deversantă spre

capotă, antrenând aerul în aval. Apa din bazinul aval împiedică intrarea aerului

din aval.

Când nivelul din canalul principal ajunge la nivelul măştii accesul

aerului din amonte este oprit şi după un anumit timp, cât tot aerul din spaţiul

dintre parament şi capotă este evacuat în aval (sifon amorsat) funcţionarea este

ca al unui deversor cu sarcină în creştere - se realizează presiune vacuumetrică

pe paramentul aval.

După evacuarea aerului construcţia are o funcţionare de sifon sub

sarcină H*. În prima fază debitul tranzitat este al unui deversor cu profil curb cu

coeficient de debit m0, lucrând sub sarcina H şi lungimea crestei b.

În faza a treia - de sifon - debitul tranzitat este al unei conducte în

sifon secţiunea A = ab sub sarcina H* şi coeficientul de debit µ.

Debitul evacuat în faza a treia este mult superior primei faze în special

pe seama creşterii sarcinii.

În faza intermediară debitul tranzitat este între debitele celorlalte

forme de funcţionare.

H

a Dh

hH*

nas


40. Module cu mască

Modulele sunt dispozitive statice pentru regularea - limitarea la valori

prestabilite a debitelor derivate. Există două tipuri de astfel de dispozitive:

- cu o mască (deversor - orificiu);

- cu două măşti (deversor - orificiu cu contrajet)

40.a. Modul cu o mască

Este un dispozitiv rezultat dintr-un deversor cu profil triunghiular cu

creastă rotunjită şi o mască plasată deasupra, în coordonate, formând unghi de

135o faţă de direcţia curgerii care realizează un orificiu mare peste deversor.

Paramentul amonte al deversorului face unghi de 55o faţă de orizontală, iar

paramentul aval unghiul de 15o (fig. 11.65).

Funcţionează ca un deversor - orificiu lateral.

Fig. 11.65. Modul cu o mască

În intervalul H = 0...a dispozitivul funcţionează ca deversor după

caracteristica:

2/3HQ α= (11.143)

iar pentru H > a funcţionează ca orificiu mare după caracteristica:

2/1HQ β= (11.144)

Unghiul 0135=θ a măstii influenţează puternic coeficientul de

contracţie care reduce debitul şi favorizează îndepărtarea saltului aval de

dispozitiv.

Dispozitivul menţine debitul în intervalul Qmin...Qmax, la Qnorm ± εQ

domeniul minmax HHH −=∆ .

a

135

1555

AvalVana

Amonte

Masca

Salt

Prag

H

Q

Qn

Qmin

Hmax

Hmin

Qmax

∆ H

q= H3/2α

q= Hβ 1/2


Există dispozitive standardizate X1, XX1, XXX1, L1 şi C1, plasate în

module, fiecare deschidere fiind protejată de vană plană cu poziţie fixă închis

sau deschis (fig. 11.66).

Fig. 11.66. Schema de montare a

modulelor cu mască

40.b. Modul cu două măşti

Este un dispozitiv asemănător modulelor cu o mască având însă două

măşti plasate deasupra deversorului. A doua mască este plasată mai sus faţă de

deversor ca prima şi are înălţime limitată (fig. 11.66).

Funcţionalul poate fi descris în funcţie de creşterea sarcinii faţă de

cota pragului deversorului, astfel:

- H = 0...a1 funcţionare ca deversor;

- H = a1...a2 funcţionează ca orificiu cu prima mască în operare;

- H = a2...H2 funcţionează ca orificiu cu a doua mască în

operare (prima mască nu mai atinge apa);

- H > H2 între cele două măşti se deversează apa, realizând un

contracurent (jet) faţă de curentul principal derivat şi care devine mai important

cu creşterea sarcinii.

Măştile şi contracurentul reduc coeficientul de debit al orificiului în

funcţiune menţinând debitul între Qmax-Qmin, la QQnorm ε± pentru o variaţie a

sarcinii minmax HHH −=∆ mai mare ca la modulul cu o mască.


contracurent

orificiu

deversor

Qn

H

Qn+ Q- QQn Q

Ha a

12 1

Nivel nominal

Fig. 11.67. Modul cu două măşti

Există dispozitive standardizate X2, XX2, L2 şi C2.

11.6. APLICAŢII

10. Cele trei compartimente ale unui rezervor comunică prin două

orificii mici în pereţii de despărţire verticali şi cu exteriorul un orificiu mic în

perete subţire, vertical (fig. 11.68). Caracteristicile orificiilor sunt: diametrele

D1 = 40 mm, D2 = 50 mm şi D3 = 55 mm şi au coeficienţii de debit

605,0 ;600,0 21 == µµ şi 62,03 =µ . Primul compartiment este alimentat cu

debitul curs.

Să se determine debitul orificiilor şi denivelarea în rezervoare dacă

sarcina totală este H = 3,80 m.

Fig. 11.68. Schema de calcul

Rezolvare. Conform ecuaţiei (11.9), cu p1 = p2 = 0 şi v0 = 0, se obţin

sarcinile sub care are loc curgerea prin fiecare orificiu:

;22

1

2

1

2

1gA

QZ

µ= ;

222

22

2

2gA

QZ

µ= ;

223

23

2

3gA

QZ

µ=

z

z

zH1

2

3

D D D1 2 3

12 3

1

23

µ

µµ


Însumând sarcinile se obţine:

++=++=

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

321

111

2 AAAg

QZZZH

µµµ

sau

2

33

2

22

2

11

111

2

AAA

gHQ

µµµ++

= ,

cu 4

2

ii

DA

π= rezultă:

×+

×+

×

×=

=

++

=

4242422

4

3

2

3

4

2

2

2

4

1

2

1

2

055,062,0

1

050,0605,0

1

04,0600,0

18

8,381,9

1118

π

µµµπ DDD

gHQ

,

sau Q = 5,046 x 10-3

m3/s = 5,046 l/s.

Sarcinile Z1, Z2, şi Z3 rezultă din primele ecuaţii, astfel:

( )

m 28,281,9204,060,0

410046,5422

223

1 =××××

××=

−

πZ

( )

m 92,081,9205,0605,0

410046,5422

223

2 =××××

××=

−

πZ

( )

m 60,081,92055,062,0

410046,5422

223

3 =××××

××=

−

πZ

Confirmate prin H = Z1 + Z2 + Z3 = 2,28 + 0,92 + 0,60 = 3,80 m.

20. În peretele vertical al unui rezervor se practică două orificii mici.

Adâncimea lichidului în rezervor este h.

Să se determine astfel poziţia orificiilor pe aceeaşi verticală a peretelui

ca jeturile rezultate să bată în acelaşi punct în planul orizontal al fundului

rezervorului (fig. 11.69), când ϕϕϕ == BA .


Fig.11.69. Schemă de calcul

Rezolvare. Axele de coordonate sunt trasate în secţiunea contractată;

componentele vitezelor în jeturi fiind:

- pentru orificiul A: 12gHv Ax ϕ= şi gtvy = .

- pentru orificiul B: ( )22 hhgv Bx −= ϕ şi gtvy = .

Coordonatele particulelor la un moment dat în coordonatele considerate

cu ϕϕϕ == BA sunt:

- pentru orificiul A,

tvx x= sau gh

x

v

xt

x 2ϕ== ,

∫∫ ===tt

y gtgtdtdtvy0

2

0 2

1 sau

12

2

4

1

h

xy

ϕ= .

- pentru orificiul B,

tvx x ⋅= sau ( )22 hhg

x

v

xt

x −==

ϕ

( )2

2

22

42

1

hh

ygty

−==

ϕ.

Planul orizontal al fundului rezervorului are coordonatele:

- pentru orificiul A

1

2

2

14 h

xhhy

ϕ=−= .

- pentru orificiul B

( )2

2

2

24 hh

xhy

−==

ϕ.

h

h

h

1

2

x

x

C

B

A

y


În condiţia aceleiaşi abscise x rezultă:

h1 (h - h1) = h2 (h - h2) sau

02

112

2

2 =−×+×− hhhhhh ,

cu soluţia

−±=+×−±= 1

2

11

2

22242

hhh

hhhhh

h

Soluţia h2 = h1, deci orificiile egal distanţate de la suprafaţă şi fund.

30. Debitul evacuat de un dren cu Q = 0,2...1 l/s se măsoară cu un

ajutaj cilindric având coeficientul de debit µ = 0,80. Debitul trebuie măsurat cu

o eroare relativă δQ = 5 0/00 când sarcina se poate măsura cu eroarea absolută

εH = 1 mm. Să se dimensioneze ajutajul (fig. 11.70).

Fig. 11.70. Schemă de calcul.

Rezolvare. Debitul se măsoară indirect cu ajutajul, mărimea direct

măsurată fiind sarcina H. Relaţia de transformare este (11.45) în care

coeficientul de debit este µ = 0,8.

Eroarea relativă a măsurătorilor indirecte este:

( )

H

H

H

dH

gHA

gHAd

Q

dQ

Q

QQ

ε

µ

µεδ

2

1

2

1

2

2=====

sau

m 1,0005,0

001,0

2

1

2

1===

Q

HH

δ

ε

care corespunde debitului minim, rezultând:

mm. 15m 015,01,081,928,0

0002,04

2

4 min ==××××

×==

ππµ gh

Qd

H d

dren

limnigraf

rezervor

ajutaj


La debitul maxim sarcina va fi:

m. 638,081,9015,08,0

001,022422

2

422

2max

max =××

×==

ππµ gd

QH

Sarcina fiind măsurată cu aceeaşi eroare precizia de măsurare a debitului creşte

cu creşterea debitului.

40. Barajul unui lac de acumulare are golirea la fund formată dintr-o

conductă cu D = 2,0 m şi coeficient de debit µ = 0,7. Cota geodezică a apei la

nivel normal de exploatare este de 128 m, iar axul golirii de fund de 121 m.

Debitul afluient din amonte este de Q0 = 5,5 m3/s. Curba suprafeţei lacului de

acumulare pentru cotele caracteristice corespunde graficului din schema de

calcul.

Să se determine timpul de golire a lacului de la cota 128 m la cota

124 m.

HHH

Q

Q

AAA 128m

121m123

0

0

2

4

6

8

1 2 3 4 5 6

h(m)

A(h)10m6 2

H∆


Rezolvare. Într-un interval de timp dt în lac soseşte volumul Q0 dt şi

se evacuează prin golirea de fund ,2 dtgHAQdt gµ= diferenţa lor fiind egală

cu variaţia volumului apei din lac, respectiv:

AdHdtgHAdtQ g == 20 µ

de unde timpul de golire de la cota H1 la H2, rezultă:

∫ ∫−

=−

=1

2

1

200 2

1

2

H

H

H

H

g

gg

gA

QH

AdH

gAQgHA

AdHt

µµµ

Scriind ecuaţia în diferenţe finite, se obţine:

( )( )

∑∑−+

−+==

−

−−1

2 1

111H

H ii

iiiii

KHH

HHAA

gAgtt

µ


unde

gA

QK

gµ0= şi

4

2DAg

π= .

Se lucrează pentru pasul de sarcină ∆H = Hi - Hi-1 = 1 m, rezultând:

22

m 14,34

0,2=

×=

πgA ; /sm 7985,0

81,914,37,0

5,5 0,5=×

=K ,

2,5s/m 145,081,914,37,0

11=

×=

gAgµ

Caracteristicile lacului, suprafaţa orizontală şi sarcina pe golire în

funcţie de cote conform graficului din fig. 11.71.sunt:

Cota [m] Hi [m] 10-6

Ai [m2]

128 7 4,7

127 6 4,1

126 5 3,0

125 4 1,7

124 3 0,9

Timpul de evacuare va fi:

( ) ( ) ( ) ( )

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−+

−=

7985,034

1109,07,1

7985,045

1107,10,3

7985,056

1100,31,4

7985,067

1101,47,4145,0

6666

t

54sec.25min 19ore zile2s 754242 =×=t .

50. Debitul în intervalul Q = 0,2...0,5 m

3/s se va măsura cu eroarea

relativă admisă de δQ = 0,5% cu un deversor cu profil subţire fără contracţie

laterală şi lamă deversantă aerată. Eroarea maximă de măsurare a sarcinii este

εH = 1mm. Să se calculeze elementele deversorului.

Rezolvare. Deversorul de măsurare este perfect, tipul Bazin, relaţia de

calcul a debitului fiind (11.91). Se acceptă la dimensionare coeficientul de debit

de formă m0 = 0,405. Fiind cazul măsurătorilor indirecte, variabila H, conform

(11.117) rezultă sarcina la debitul minim:

H

HQ

εδ

2

3= sau m 3,0

005,0

001,0

2

3

2

3min ===

Q

HH

δ

ε


Lungimea crestei şi lăţimea canalului pe care se montează deversorul este:

m 678,03,081,92405,0

2,0

2 2/32/3min0

min =××

==Hgm

Qb .

Rotunjind lăţimea de fund la b = 0,7 m, rezultă:

m 294,081,927,0405,0

2,0

2

3/23/2

0

minmin =

××=

=

gbm

QH

şi

m 541,081,927,0405,0

5,0

2

3/23/2

0

maxmax =

××=

=

gbm

QH

60. Un deversor cu profil WES, cu m0 = 0,502, trebuie să tranziteze

debitul de calcul Q = 300 m3/s. Construcţia prezintă două câmpuri deversante,

cu b = 14 m fiecare, având forma culei dreptunghiulară, iar pila este ogivală.

Pragul deversorului în amonte p1 = 7m.

Să se determine grosimea lamei deversante şi să se traseze profilul

paramentului deversant pentru sarcina de calcul.

Rezolvare. Într-o primă aproximare se neglijează efectul contracţiei,

rezultând sarcina totală:

( )

m 85,281,92142502,0

300 ;

2

3/2

0

3/2

0

0 =

××=

=

∑H

gbm

QH

Sarcina pe deversor în prima aproximare este:

g

VHH

2

2

00

0

α−=′

cu ( )∑+

=bHp

QV

1

0 care cu H~H0 este ( )( )

m/s 09,114285,27

3000 =

×+=V

rezultând m 78,281,92

09,11,185,2

2

2200

0 =×

×−=−=′

g

VHH

α

Cu H’ se calculează coeficientul de contracţie, pentru culee:

ξc = 1, iar pentru pilă ξc = 0,4.

( ) 976,0142

78,24,02121,011,01 =

××+×−=−= ∑

∑b

Hξε .


Se recalculează sarcina totală:

( )m 90,2

81,92142976,0502,0

300

2

3/23/2

0

0 =

×××=

=

∑ gbm

QH

ε

şi sarcina H

( )( )m/s 08,1

90,27142

3000 =

+×=V şi m 83,2

81,92

08,11,190,2

2

=×

×−=′′H .

Cu aceste valori se reiau iteraţiile rezultând:

;m 90,2 ;976,0 0 =′′′= Hε şi H = Hc = 2,83 m.

Forma profilului este dată de ecuaţia:

YHX c85,085,1 0,2=

cu R1 = 0,5 Hc = 0,5 x 2,83 = 1,415 m

R2 = 0,2 Hc = 0,2 x 2,83 = 0,566 m

e1 = 0,282 Hc= 0,282 x 2,83 = 0,798 m

e1 = 0,175 Hc = 0,175 x 2,83 = 0,495 m

Ecuaţia curbei profilului deversant este:

85,185,1

85,0

85,1

85,02605,0

83,22

1

2

1XXX

HY

c

=×

=×

=

Coordonatele profilului sunt: X 0,25 0,50 0,75 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

Y 0,01

6

0,05

7

0,12

1

0,20

7

0,43

7

0,74

4

1,12

5

1,57

6

2,09

6

2,68

4

şi sunt materializate în (fig. 11.72).

Fig. 11.72. Profilul WES pentru Hc = 2,83 m

e

e

x

y

R

R

Sc 1:100

1

2

1

2


CAPITOLUL 12

MIŞCAREA UNIFORMĂ A LICHIDELOR

CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Mişcarea cu suprafaţă liberă în albii este un domeniu foarte larg al

ingineriei hidrotehnice. Astfel de mişcări au loc în albii regulate (canale,

conducte cu secţiune parţial umplută) şi albii naturale.

În raport cu variabila timp mişcarea lichidelor cu suprafaţă liberă poate

fi permanentă (staţionară) şi nepermanentă (nestaţionară).

În raport cu variabila spaţiu se întâlnesc:

- mişcări uniforme. - mişcări neuniforme - lent (gradual variate); - rapid variate.

În acest capitol se studiază mişcarea uniformă a lichidelor cu definirea

caracteristicilor mişcării, calculul hidraulic de verificare şi de dimensionare,

respectiv probleme speciale de calcul.

12.1. NOŢIUNI GENERALE

Mişcarea uniformă a lichidelor cu suprafaţă liberă este o mişcare

permanentă (independentă de parametrul timp) la care liniile de curent sunt

rectilinii şi paralele; parametrii hidraulici – viteză, secţiune udată – sunt

constanţi în timp şi în lungul curentului; suprafaţa liberă este un plan înclinat

paralel cu fundul albiei. Curgerea se produce datorită forţelor gravitaţionale

prin „consumul” uniform al energiei specifice de poziţie în lungul curentului.

Astfel de mişcări se pot întâlni în albii regulate (artificiale).

În general albiile (suportul solid al mişcării) geometric se împart în:

- albii regulate – prismatice, cilindrice, la care secţiunea depinde

numai de adâncime A = A(h) şi care se obţin prin deplasarea paralelă a unei

drepte cu poziţia sa iniţială pe o curbă sau linie frântă suport;

- albii naturale (oarecare), la care secţiunea depinde atât de adâncime

cât şi de poziţia în lungul curentului A = A(h, l). Calitatea albiei şi variaţia acesteia se caracterizează prin rugozitatea

albiei şi care, pentru o mişcare uniformă, trebuie să fie constantă în lungul

curentului.


Mişcarea uniformă este mai mult o ipoteză, în general curgerea cu

nivel liber nu este permanentă şi cu atât mai puţin uniformă datorită

sensibilităţii foarte mari a curentului la cele mai mici forţe perturbatoare

(variaţia de debit în timp şi în lungul albiei, modificarea rugozităţii în lungul

albiei, influenţa curenţilor de aer de la suprafaţa liberă, neregularităţi ale

perimetrului udat, construcţii diverse etc).

Mişcarea uniformă totuşi prezintă importanţă teoretică şi practică în

calculele de dimensionare şi definirea altor tipuri de mişcări în raport cu

aceasta.

Se poate considera mişcarea uniformă pe perioade scurte în albii

regulate în curgere permanentă pe sectoare de canale lungi, rectilinii, cum sunt

canalele de irigaţie, desecare – drenaj, de aducţiune al apei potabile, de

evacuare a apelor uzate, de aducţiune şi fugă a hidrocentralelor, de navigaţie, de

plutărit, de colmataj etc.

12.1.1. Parametrii geometrici şi hidraulici ai canalelor.

Elementele geometrice ale unui canal sunt:

- forma secţiunii transversale, cu elementele sale caracteristice;

- profilul longitudinal, caracterizat de panta longitudinală.

Pentru exemplificare se definesc elementele caracteristice ale unui

canal de secţiune trapezoidală (fig. 12.1).

b

h h

h

ϕ

BB

0 t

st

m=ctg

h

v /2g

θ

α 2ο

οVo

I

Ih

ϕ

Fig.12.1. Elementele geometrice şi hidraulice ale albiilor regulate

Elementele geometrice se caracterizează prin:

- lăţimea la fund a canalului b;

- deschiderea totală Bt;

- înclinarea taluzelor φ, caracterizat prin coeficientul unghiular al

taluzului m = ctgφ;

- panta longitudinală I = sinθ ~ tgθ.


Elementele hidraulice ale acestui canal sunt:

- adâncimea curentului h, numită adâncime normală h0 în mişcarea

uniformă;

- secţiunea udată (vie) A, este secţiunea normală pe direcţia de curgere;

- perimetrul udat (muiat) P, este lungimea conturului secţiunii vii

mărginit de solid;

- raza hidraulică R = A/P;

- lăţimea relativă β = b/h0; - lăţimea la oglinda apei B;

- rugozitatea pereţilor şi fundului k, exprimat sub formă absolută sau

sub forma coeficientului de rugozitate n (după Manning, Forheimer, Pavlovski

etc.) sau γ (după Bazin);

- panta piezometrică Ip, variaţia cotei nivelului liber în lungul

curentului;

- panta hidraulică (energetică), Ih, Ie care reprezintă variaţia energiei

specifice totale pe lungimea curentului;

- adâncimea de siguranţă (garda) canalului hs;

- debitul volumic al curentului Q, volumul de lichid W care trece în

timpul t prin secţiunea vie, Q = W/t; - viteza medie V, definită prin V=Q/A.

În mişcarea uniformă, panta geometrică a canalului, panta

piezometrică şi energetică sunt egale, iar liniile lor caracteristice sunt paralele.

Parametrii geometrici şi hidraulici sunt constanţi în timp şi în lungul curentului

la mişcări uniforme.

12.2. LEGILE CURGERII UNIFORME A LICHIDELOR

ÎN ALBII REGULATE (CANALE).

Pentru curgeri în albii regulate cu adâncimea apei relativ mică, se

poate accepta densitatea constantă, iar principalele legi care guvernează

mişcarea uniformă se referă la conservarea masei şi viteza medie.

12.2.1. Relaţia generală a curgerii uniforme în canale

Prima lege respectată la curgeri uniforme în canale este conservarea

masei (5.41).

Q = Ai Vi (12.1)


A doua lege este legătura între viteza medie şi elementele geometrice

ale secţiunii care se exprimă sub forma (8.7)

RICV = (12.2)

în care R este raza hidraulică, I – panta fundului, iar C (m1/2

/s) coeficientul lui

Chézy, exprimat sub formele (8.8) sau după transformarea coeficientului

Darcy-Weisbach λ în coeficient de rugozitate după tabelul 8.5. Această lege se

poate stabili parţial şi pe cale mecanică, presupunând un volum de control între

două secţiuni normale „solidificate” şi mişcându-se uniform pe un plan

înclinat, rezultând )( RIfV = , sau prin „teorema produselor” din analiza

dimensională rezultând ( ) RInV ,...,, ρνϕ= .

Aceste relaţii se calibrează experimental, obţinându-se C.

După înlocuirea (12.2) în (12.1) se obţine debitul mişcării uniforme:

RIACQ = (12.3)

sau notând

RACK = (12.4)

unde K este modulul de debit, cu unitatea m3/s.

IKQ = (12.5)

Modulul de debit este debitul pentru panta hidraulică unitară.

12.2.2. Distribuţia vitezelor pe secţiune

Într-un curent turbulent în medie uniform cu suprafaţă liberă

distribuţia vitezelor urmează o lege logaritmică în secţiuni normale la perete

(asemănător conductelor). Gradientul de viteză este mai mare lângă contur,

izotahele urmează forma conturului (rezistenţele din frecare sunt uniform

distribuite), excepţie făcând colţurile secţiunii unde izotahele se îndepărtează

(fig. 12.2).

Viteza la fund este o viteză fictivă şi se obţine prin extrapolarea epurii

vitezei din punctul cel mai de jos unde se poate măsura viteza.

Relaţiile între viteza medie, ceea de la suprafaţă, maximă şi ceea de la

fund sunt după cum urmează:


u

u

h

(1/5-1/6)h

u

Z

h

f

max

umax

s

x

Z

1,21,00,80,60,40,2

y

x

a

b

cv

Fig. 12.2. Distribuţia vitezelor în curent cu nivel liber în mişcarea uniformă: a). distribuţia

vitezei în secţiunea transversală; b). distribuţia vitezei în profil longitudinal;

c). distribuţia vitezei în plan.

Vuu

uV

Vu

s

s

f

52,1~29,1~

85,0~

6,0~

max

Legea logaritmică la distribuţia vitezei în albii dreptunghiulare (după

Popescu St.) este dată de relaţia:

afp

ap

p

f

f

yz

k

h

k

h

k

b

k

zh

k

ky

k

kz

uulnlnln

lnlnln

0

δ−++

= (12.6)

iar în albii de secţiune trapezoidală:

ap

p

f

f

ap

p

f

f

yz

k

h

k

kmzb

k

kh

k

zh

k

kymzb

k

kz

uu

ln5,0

lnln

ln5,0

lnln

0 +++

−+−++

=

δ

γ (12.7)

în care s-au utilizat relaţiile:

• uyz – viteza în punctul cu coordonatele (y, z);

• u0 - viteza punctuală maximă;

• z - cota punctului în care se calculează viteza;

• y - ordonata punctului de calcul;

• m - coeficientul unghiular al taluzului;

• kf - rugozitatea absolută a fundului canalului;

• kp - rugozitatea absolută a pereţilor;


• ka - rugozitatea fictivă echivalentă ce ţine seama de frecarea cu aerul;

• h - adâncimea apei în canal;

• δ - coeficient care ţine seama de influenţa frecării cu aerul;

• b - lăţimea la fund a canalului;

• k - constantă.

Curentul uniform fiind foarte sensibil la perturbări, orice neuniformitate a

secţiunii, pereţilor, rugozităţii, mişcarea aerului la suprafaţă, modifică epura

vitezelor.

12.2.3. Curenţi aeraţi

În cazul canalelor cu pante mari agitaţia particulelor la suprafaţa liberă

creşte, iar energia cinetică datorită pulsaţiei vitezei turbulente normală pe

direcţia principală a mişcării depăşeşte forţele gravitaţionale şi de tensiune

superficială. Astfel, picături trec în aer prin suprafaţa liberă, recad în curent şi

antrenează aer în curentul lichid. Bulele de aer sunt antrenate în aval, stratul de

la suprafaţă căpătând un aspect de emulsie spumoasă.

La o astfel de curgere se disting patru straturi ale curentului, de jos în

sus, astfel: lichid; lichid cu bule de aer; emulsie spumoasă şi aer cu picături de

lichid (fig. 12.3).

Fig. 12.3. Stratificaţia curentului aerat.

Grosimea stratului de spumă creşte odată cu creşterea pantei, viteza de

pulsaţie creşte, mai multe picături părăsesc suprafaţa liberă şi recad antrenând

mai mult aer. Grosimea straturilor inferioare se micşorează. Volumul emulsiei

(de lichid-aer) poate spori volumul de 7-8 ori faţă de volumul ce ar fi ocupat de

lichid. Din acest considerent adâncimea curentului aerat este substanţial mai

mare şi este necesară sporirea gardei canalului.

Experienţele de laborator (Semenic, Brazova, D. Pavel) scot în

evidenţă că până la pante

Lichid

Lichid cu bule aer

Emulsie lichid-aer

Aer cu picaturi de lichid

1

2

3

4

aIR

I =<0834,0

0784,0 (12.8)

curgerea este neaerată şi calculele se pot efectua cu relaţia (12.3).

La pante I > Ia apa se aerează succesiv, de sus în jos, astfel că raportul

volumului de apă şi volumul amestecului β = Vapă/Vamestec < 1. Afectând cu

indicele „a” mărimile caracteristice curentului aerat, debitul de apă este:

IRCAQQ aaaa ββ == (12.9)

La pante Ia 0,542 curentul se aerează până la fund.

Coeficientul de aerare β se poate calcula suficient de exact cu relaţia:

FrFr

lg812,026,236

lg812,01 −=−=β (12.10)

unde Fr = v2/gh este numărul Froude.

Aerarea curentului de la intrarea în bieful cu pantă superioară pantei

de aerare se produce la o anumită lungime de parcurs, între punctul numit

începutul mişcării aerate şi care corespunde cu distanţa la care, în bieful cu

I>Ia stratul limită ajunge la suprafaţă. Procentul de aer corespunzător numărului

Fr se atinge după o anumită lungime de parcurs a curentului.

12.2.4. Instabilitatea mişcării uniforme

În cazurile când viteza apei sau panta canalului sunt prea mari

suprafaţa liberă a curentului nu mai este paralelă cu fundul, mişcarea devine

nestabilă. Pe suprafaţa liberă apar unde călătoare, a căror înălţime la creastă

poate ajunge de două ori adâncimea normală.

Curgerea îşi pierde stabilitatea – după Vedernikov – când:

1>== FrxΠVcr

VxΠVe (12.11)

în care Ve este numărul Vedernikov; x = 2 la mişcări laminare şi x = 1/2 la

mişcări turbulente; Π – factor de formă a canalului.

dA

dPRΠ −= 1 (12.12)

Pentru Ve < 1 mişcarea este stabilă, iar pentru Ve > 1 mişcarea se mai numeşte

supertorenţială sau ondulatorie. Aceste fenomene de instabilitate sunt

caracteristice albiilor de secţiune dreptunghiulară sau trapezoidală.

Instabilitatea apare la pante între 2 şi 35 %, când R/P < 1/10. Fenomenul nu


apare la canale de secţiune triunghiulară, parabolică, semicirculară sau

combinaţia pe verticală a acestor secţiuni cu dreptunghi, însă nu s-a găsit

explicaţia de ce.

12.3. CALCULUL HIDRAULIC AL ALBIILOR REGULATE

DESCHISE ÎN MIŞCARE UNIFORMĂ

Calculul hidraulic al albiilor regulate în mişcarea uniformă îmbracă

două aspecte:

- problema de verificare a debitului transportat;

- problema de dimensionare a canalului.

12.3.1. Problema de verificare a canalelor în mişcare uniformă

La astfel de probleme se determină debitele transportate de canale

pentru forme date ale secţiunii, adâncime normală h0, coeficient de rugozitate

n, panta fundului I cunoscute. Ştiind că pantele fundului, hidraulică (energetică)

şi piezometrică coincid se utilizează relaţia generală a canalelor (12.3), din care

rezultă debitul transportat. Atenţie mare trebuie acordată aprecierii

coeficientului de rugozitate. Calculul coeficientului Chézy se efectuează după

relaţia (8.8)sau relaţiile după tabelul 8.5, coeficienţii de rugozitate găsindu-se în

tabelele 8.6 şi 8.7.

12.3.2. Problema de dimensionare a canalelor

în mişcare uniformă

Problemele de dimensionare ale canalelor în mişcare uniformă în

general matematic sunt nedeterminate – numărul necunoscutelor este mai mare

decât numărul ecuaţiilor posibil de scris.

Prin adăugarea unor condiţii suplimentare tehnice (geotehnice, de

rezistenţă, hidraulice), tehnologice şi economice problema se poate aduce la

determinare.

La problemele de dimensionare se ivesc cazurile:

- determinarea pantei longitudinale;

- determinarea elementelor secţiunii transversale.


10. Determinarea pantei geometrice longitudinale

Fiind date elementele geometrice ale secţiunii transversale, adâncimea

normală h0, coeficientul de rugozitate n şi debitul Q, panta fundului canalului

rezultă din:

2

2

22

2

K

Q

RCA

QI == (12.13)

Practic se calculează pierderile de energie pe lungime unitară (panta

hidraulică), dar în mişcarea uniformă pantele energetică, piezometrică şi

geometrică a fundului canalului coincid (Ih = Ip = I), rezultând din (12.13) panta

topografică a fundului.

20. Determinarea elementelor secţiunii transversale

ale canalelor în mişcarea uniformă Elementele secţiunilor diferitelor forme de canale sunt determinate de

două, trei sau mai multe variabile independente. Astfel la secţiunea

triunghiulară, circulară, parabolică, dreptunghiulară două variabile

independente definesc elementele secţiunii transversale (aria vie, perimetrul

udat, raza hidraulică). La canale de secţiune trapezoidală, semieliptică trei

variabile independente definesc elementele secţiunii, iar la alte forme, secţiuni

compuse: dublu trapezoidală, policentrică, pantă dublă de taluz, clopot, ovoid,

potcoavă, profile de galerii etc., variabilele independente sunt mai numeroase

(fig. 12.4 şi 12.5).

θh R h h h

b2 variabile ( ,h) (R,h) (p,h)(b,h)

pϕ

h

b

θ

a/2

hb/2

m=ctg θ

3 variabile ( ,h,b) (a,b,h)θ

h

h

b

bh

h

1

2

11

0

m2

m1

m1

m 2

(b,h1,h2,m1,m2,b1) (m1,m2,h1,h0)

Fig.12.4. Variabile care determină elementele secţiunii canalelor


b=2r

h=2r r

3/2r

r/2

r

b=2r

h=3r

r

3r

60 60

B

B/2

H=0,63B

B/2

B

1 2

3

rr

3/2r

0 ,917r

0,583r

r/2

3r

3r

b=2r

h=3,5r

r

r

3/4rp/4

r

p/2

b=2r

h=2,5r

1/4r

r

3/4r

3/4r

3/2r

21/16r

5/16r 11/16r

r/2

b=2r

h=2r

4 5 6

r

r 5/8r 3/8r

r/2

b=2r

h=1,5p

60 60

B/2

0,867B

B

H=1,73R

5/8r 3/8r

r13/12r r/3

r/6

3/4r

b=3r

h=1,25r

7 8 9

r

r 2

1

b

h

r r

rr/2

r/2

2r

b=2r

h=2r

b

h

θ

r

b1

10 11 12

Fig. 12.5. Elementele secţiunilor uzuale de canale închise folosite în tehnică


La dimensionare, din condiţia mişcării uniforme având la dispoziţie

numai relaţia (12.3) sunt necesare condiţii suplimentare.

Condiţiile tehnice, în majoritatea cazurilor, stabilesc o relaţie între

două variabile independente sau determină (impune) una din variabile. Astfel:

geotehnica poate impune panta taluzului canalului din condiţia de stabilitate;

condiţiile de rezistenţă stabilesc paramentul p al parabolei sau raportul a/b al

semielipsei la jgheaburi sau unele dimensiuni de colţ ale jgheaburilor

policentrice; tehnologia impune, din condiţii de tipizare, lăţimea la fund sau

panta taluzului la valori fixe.

Condiţiile hidraulice pot fi impuse sub diferite aspecte:

- limitarea vitezei medii (ex. viteză minimă sub aspectul transportului

de aluviuni – neînămolire sau viteza maximă prin neeroziune);

- optim hidraulic – canalul să transporte debitul dat, la pantă

longitudinală şi rugozitate dată, la secţiune minimă.

Condiţiile economice la fel pot completa numărul ecuaţiilor

propunând cost minim investiţiilor sau cheltuieli totale anuale minime.

20.a. Dimensionarea canalelor de secţiune trapezoidală

Canalele trapezoidale sunt cele mai folosite în practică datorită unor

avantaje tehnice în realizarea şi exploatarea lor. În general înclinarea taluzului,

caracterizat prin coeficientul unghiular m = ctgθ, este determinată de condiţiile

geotehnice (stabilitatea taluzului) sau tehnologice (de montare, turnare, lestare

a îmbrăcăminţilor).

La elemente: debit Q, coeficient unghiular al taluzului m, panta

longitudinală I, coeficient de rugozitate n date, dimensionarea rămâne tot o

problemă nedeterminată. Trebuiesc stabilite două necunoscute – h0 şi b, şi

există o singură relaţie de calcul (12.3).

Aducerea problemei la determinare se face prin impunerea la valori

verosimile a uneia din variabile, de obicei b, sau se caută altă condiţie pentru

stabilirea uneia din variabile sau a unei alte relaţii între variabile.

20.a1. Când este impusă una din variabile

Se acceptă valoarea lăţimii la fund b cunoscută.

Chiar cu o singură necunoscută – aceasta nu se poate explicita din

relaţia (12.3), problema trebuie rezolvată printr-o metodă de aproximaţii

succesive (coardei, Newton etc). Se mai cunosc câteva metode istorice, ca:

metoda modelului abstract, metoda secţiunilor asemenea, metoda II Agroskin,

tabele cu canale tipizate.

Fig. 12.6. Schemă pentru calculul canalelor

trapezoidale

Cunoscând:

IKRIACQ == (12.3)

pentru secţiunea trapezoidală elementele secţiunii sunt:

=

++

+==

++=

+=

yRn

C

mhb

mhbh

P

AR

mhbP

mhbhA

1

12

)(

12

)(

2

0

00

2

0

00

(12.14)

Se impune o valoare

iniţială lui h0 = hi şi un pas

de calcul ∆h. Calculul se

conduce după schema

logică din fig. 12.7.

Calculul poate fi efectuat

automat sau manual, în

ultimul caz utilizându-se

(tab. 12.1).

Fig. 12.7. Schema logică de calcul a

adâncimii normale prin metoda iterativă

Dimensionarea canalelor trapezoidale

Tabelul 12.1 Nr.

crt.

hoi

(m)

b (m)

Ai (m)

Pi (m)

Ri (m)

Ci m

1/2s

-1

Qi m

3/s

Q m

3/s

εQ m

3/s

εh (mm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

b

hθn I

m 0

START

C iteste:Q,m ,n,I,b ,hi , h

h

h0 =hi

A=f1(b,m ,h0)

P=f 2(b,m ,h0)

R=A/PY=f(n,R)C=1/n Ry

h0=h0 + h

Q i=AC R i

(Q-Qi)...0

> <h0=h0

1

<=

1

h= h/10

Scrie:h0,b,m ,i,A ,P,R ,C,Q i

STOP

ε

∆

∆ h ...ε h

∆ ∆

∆

=

>

n,

∆- h


Problema poate fi soluţionată şi grafic. Pentru câteva valori h0i se

calculează elementele din tabelul 12.1. Pasul de calcul pentru hoi poate fi

considerat 5...10 ori mai mare decât precizia impusă εh pentru h0. Se reprezintă

grafic (pe hârtie milimetrică) mărimile (Qi, h0i), pentru ∆h acceptându-se pe

ordonată cel puţin 1 cm. Curba Q = f(h0) obţinută, la valoarea debitului de

dimensionare Q indică mărimea reală pentru h0 (fig. 12.8).

Fig. 12.8. Soluţia grafică a dimensionării

canalelor trapezoidale

Calculele se conduc analog când se impune h0 şi se calculează b.

20.a2. Când se cunoaşte o relaţie monomă între b şi h0

Deseori se poate cunoaşte din condiţie de optim hidraulic sau

tehnologic lăţimea relativă a canalelor trapezoidale, de forma b = βh0.

Calculele în acest caz devin determinate:

( )

++

+=

++

+=

++=

+=

y

y

m

mh

nC

m

mhR

mhP

mhA

20

20

2

0

2

0

12

1

12

12

)(

β

β

β

β

β

β

(12.14’)

Mărimile din (12.14’) înlocuite în (12.3) permit explicitarea lui h0 sub forma:

( )

( )

y

y

y

mI

mQnh

+

+

+

+

++=

5,2

1

5,12/1

2/12

0

12

β

β (12.15)

Valoarea lăţimii relative poate fi dată de condiţia profilului hidraulic optim care

poate fi formulat şi astfel: un canal de secţiune A dată pentru I, n, m cunoscut să

Qi(m3/s)

Q

h0(m)

citeste h

Q=f(h 0)

0


transporte debit maxim. Utilizând pentru coeficientul Chezy relaţia putere după

Pavlovski

yRn

C1

= (12.16)

ecuaţia (12.3) se poate transforma în:

IRn

AQ y 2/11 += (12.17)

Pentru A, n, I constante, Q = max, dacă R = max, însă R = A/P este maxim

pentru P = min.

Primele două ecuaţii ale (12.14’) devin:

( )

( )

=++=

=+=

min12 2

0

2

0

mhP

constmhA

β

β (12.18)

Variabilele independente din (12.18) sunt β şi h0. Diferenţiind ecuaţiile se

obţine:

( )

( )

=+++=

=++=

012

02

00

2

2

000

ββ

ββ

dhdhmdP

dhdhmhdA (12.19)

Scăzând cele două relaţii după împărţirea primei cu h0, rezultă:

( )mm −+= 212β (12.20)

La profil hidraulic optim rezultă R = h0/2, deci trapezul este circumscris şi

(12.15) devine:

( )yy

mmI

Qnh

++

−+=

5,2

1

22/1

2/1

0

12

2 (12.21)

20.b. Dimensionarea canalelor de secţiune triunghiulară

La această formă de secţiune sunt două variabile independente, φ sau θ

şi h0 (fig. 12.9). În majoritatea cazurilor practice unghiul θ este impus din

condiţii tehnice. Notând m = ctgθ, elementele secţiunii sunt (trapez cu b = 0):

Fig. 12.9. Schemă pentru canal triunghiular.

θ

h0ϕ


+=

+=

=

2

0

2

0

2

0

12

12

m

mhR

mhP

mhA

(12.22)

Utilizând pentru C relaţia putere (12.16), adâncimea normală este explicitabilă,

sub forma:

( ) y

y

y

mI

mnQh

+

+

+

+=

5,2

1

5,12/1

2/12

0

12 (12.23)

Relaţia se poate obţine uşor din (12.15) pentru b = β = 0.

Profilul hidraulic optim pentru canale triunghiulare se defineşte

asemănător canalelor trapezoidale, rezultând:

==

==

minsin

2 0

2

0

θ

θ

hP

constctghA (12.24)

Prin diferenţierea ecuaţiilor în raport cu variabilele h0 şi θ rezultă:

=−=

=−=

0sin

cos2

sin

2

0sin

2

200

2

2

0

00

θθ

θ

θ

θθ

θ

dhdhdP

dh

dhctghdA (12.25)

din care rezultă:

2

1cos =θ sau 045

4==

πθ (12.26)

Mai simplu, din prima relaţie al sistemului (12.25) θctg

Ah =0 înlocuit în a

doua, se obţine:

min2sin

22

sin2

2===

θθθ

A

ctg

AP (12.27)

Cu A = const. Trebuie ca sin2θ = max, sau 2θ = π/2, respectiv θ = 450.


20.c. Dimensionarea canalelor de secţiune dreptunghiulară

Canalele dreptunghiulare sunt destul de des întâlnite în practică

datorită uşurinţei lor de execuţie. Ele sunt totdeauna consolidate. Elementele

acestei secţiuni sunt definite tot de două variabile independente – b, h0

(fig. 12.10).

Fig. 12.10. Schema pentru canal dreptunghiular.

Ca şi în cazul canalelor trapezoidale, chiar dacă se impune o variabilă din alte

considerente, variabila necunoscută nu se poate explicita. De fapt şi canalul

dreptunghiular este un caz particular de canal trapezoidal pentru θ = 900,

m= ctg900 = 0.

Elementele secţiunii sunt:

+=

+=

=

)2/(

2

00

0

0

hbbhR

hbP

bhA

(12.28)

20.c1. Când se impune una din variabile calculele se conduc

asemănător ca la 20.a1.

20.c2 Când se cunoaşte o relaţie monomă între variabile

Lăţimea relativă β = b/h0 aduce dimensionarea la o problemă determinată

matematic. Ecuaţiile (12.28) devin:

( )

+=

+=

=

0

0

2

0

2

2

hR

hP

hA

β

β

β

β

(12.29)

Din (12.3) rezultă:

( ) y

y

y

I

Qnh

+

+

+

+=

5,2

1

5,12/1

2/1

0

2

β

β (12.30)

h

b


Canalele dreptunghiulare se folosesc şi ca jgheaburi şi condiţiile lor de

rezistenţă pot stabili lăţimea relativă.

Profilul hidraulic optim: canalul de secţiune dreptunghiulară să

transporte la secţiune constantă (A = ct) debit maxim şi care implică perimetru

minim.

( )

=+=

==

min2 0

2

0

hP

consthA

β

β (12.31)

Diferenţiind ecuaţiile avem:

=++=

=+=

0)2(

02

00

2

000

ββ

ββ

dhdhdP

dhdhhdA (12.32)

din care rezultă:

βoptim = 2 sau b = 2h0 (12.33)

Înlocuind elementele în (12.3) rezultă adâncimea normală la profil hidraulic

optim.

yy

I

Qnh

+−

=

5,2

1

2/1

2/1

0

2 (12.34)

20.d. Canale de alte secţiuni curbe

20.d1. Parabolă (fig.12.11). Aceste secţiuni se utilizează la canale în

construcţia jgheaburilor. Condiţia de rezistenţă defineşte, de obicei, parametrul

parabolei p = 1/4...1/20.

Fig. 12.11. Canal de secţiune parabolică.

Ecuaţia formei este

x2 = 2py (12.35)

B

h

Y

X

0



+++

+=

=

p

h

p

h

p

h

p

hpP

BhA

0000

0

212ln211

3

2

(12.36)

Celelalte calcule pot fi conduse ca la punctul 20.a1. Asemănător

cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic optim din care rezultă

parametrul parabolei.

20.d2. Semielipsă (fig. 12.12). Aceste secţiuni de jgheab se utilizează

pentru debite mai mari decât cele parabolice.

Fig. 12.12. Canal semieliptic

Ecuaţia formei este:

12

2

2

2

=+b

y

a

x (12.37)

cu excentricitatea:

a

ba 22 −=ε (12.38)


( )[ ]

⋅++=

−=

hh ttabAb

h

b

haB

2sin25,0

224

2

π

(12.39)

unde

−=

2

222

a

h

a

hth

Pentru perimetrul udat se poate utiliza fie relaţia:

Y

X

0hx

y

a

01

0

02

M


dttbtaPht

⋅+= ∫−

2

2222 cos4sin4π

, (12.40)

care poate fi integrată numeric, fie:

( )

+= kEktEbP h ,

2,2

π (12.40’)

unde:

2

222

b

abk

−= , iar ( ) 2 2

0

, 1 sin

u

hE t k k t dt= − ⋅ ⋅∫ este

integrala eliptică de speţa a doua ale cărei valori se găsesc intabulate în

îndrumare matematice.

Asemănător cazurilor precedente se poate defini profil hidraulic optim,

rezultând (a/b)optim.

20.d3. Lănţişor (fig. 12.13)

Se poate utiliza ca secţiune de jgheab, prezentând condiţii de

rezistenţă apreciabile pe secţiune.

Fig. 12.13. Canal lănţişor


[ ]lla

xhay ,- x,1cos ∈

−= (12.41)

în care a este parametrul lănţişorului,

f

fLa

8

4 22 −= (12.42)

Elementele secţiunii udate sunt:

( )

( )

+−=

+−−+= −

222

//

44

222

hfLf

hP

eeabbhA abab

(12.43)

l l

b b

h

f

A B

A' B'

-l -b0

b l x

y


în care:

λlnab = cu a

h

a

h

a

h 21

2

2

+++=λ ;

L – lungimea lănţişorului între punctele A şi B; a

lshaL ⋅= 2 .

Celelalte calcule se conduc asemănător punctului 20.a1.

Asemănător cazurilor precedente se poate defini profilul hidraulic

optim, rezultând (l/f)optim.

20.d4. Semicirculară (fig. 12.14)

Sunt utilizate ca jgheaburi, confecţionate din diferite materiale de

diferite dimensiuni.

Fig. 12.14. Canal semicircular.

Calculele de verificare, dimensionare pun probleme asemănătoare

celorlalte cazuri.


222 ryx =+ (12.44)

Elementele secţiunii pentru gradul de umplere:

D

h0=α (12.45)

sunt:

( )

−=

=

−=

rR

rP

rA

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

2

sin

sin2

2

(12.46)

Analizând secţiunile studiate din punct de vedere al optimului

hidraulic se observă că forma secţiunii trebuie să admită raza hidraulică

maximă, respectiv perimetru minim.

r

D

h0

0 X

Y

ϕ

Pentru aceeaşi secţiune definit de curbă continuă A = ct perimetrul

minim prezintă secţiunea semicirculară, apoi lănţişorul, parabola şi elipsa.

Canalele săpate în pământ sunt realizate deseori cu secţiune poligonală. Pentru

forme poligonale izoperimetrice, când laturile sunt date, putând avea lungimi

diferite, secţiunea vie maximă se obţine pentru poligon circumscris. Dacă

laturile sunt egale, rezultă că soluţia optimă este un poligon regulat. Dintre

poligoanele regulate izoperimetrice, cel mai favorabil este cel cu număr mai

mare de laturi, iar la limită, cercul.

Dacă nu se dă mărimea laturilor poligonului, ci numai direcţiile lor,

într-o ordine care să asigure convexitatea poligonului, iar orientările laturilor să

închidă poligonul, dintre poligoanele izoperimetrice, aria maximă este dată de

un semipoligon care, împreună cu orizontala de nivel este circumscris unui

cerc.

Observaţii. Alte forme de secţiuni de canal se calculează în mod asemănător celor

prezentate, utilizându-se relaţia hidraulică pentru canale (12.3) şi expresiile

specifice pentru secţiune şi perimetru.

Atenţie deosebită trebuie acordată stabilirii coeficientului de rugozitate

n care se găseşte intabulat în majoritatea tratatelor, îndrumătoarelor, cursurilor

de hidraulică (v. tab.8.6) în funcţie de materialul canalului şi gradul său de

prelucrare.

În situaţia când canalul pe porţiuni de perimetru prezintă rugozităţi

diferite, în calcule se foloseşte coeficientul de rugozitate echivalent ne, definit

prin

∑∑

=i

iie P

Pnn (12.47)

pentru nmax/nmin < 2 şi

3/22/3

=

∑∑

i

iie P

nPn (12.48)

pentru nmax/nmin > 2.

S-a notat ni coeficientul de rugozitate a porţiunii Pi al perimetrului.

Dacă secţiunea de curgere este compusă, calculul se poate efectua pe

baza celor prezentate sau prin descompunerea secţiunii în secţiuni simple

caracteristice calculele fiind efectuate pentru acestea cu mărimile secţiunilor,

perimetrele aferente solide şi rugozităţile caracteristice:


∑= iQQ (12.49)

Erorile rezultate sunt sub 2%.

12.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR ÎNCHISE

În tehnică se întâlnesc frecvent canale cu profil închis şi curgere cu

nivel liber la canalizarea centrelor populate, galerii de aducţiune, drenuri etc.

Ele pot avea în secţiune forme geometrice diferite: circulare, ovoid, clopot,

potcoavă, secţiuni policentrice, secţiuni compuse etc. (v. fig. 12.5).

Particularitatea acestor canale este că viteza medie maximă şi debitul

maxim nu se obţin pentru secţiune de curgere plină.

Calculul lor hidraulic este asemănător cu cele prezentate la 12.3 însă la

proiectare dimensionarea lor la Qmax corespunde gradului de umplere pentru

care secţiunea conduce debit maxim.

12.4.1. Calculul hidraulic al canalelor circulare

În cele ce urmează se prezintă particularităţile curgerii şi calculelor

hidraulice pentru secţiune circulară (fig. 12.15).

Fig. 12.15. Schemă de calcul al

canalelor circulare închise

Elementele secţiunii se definesc ca şi în cazul canalelor semicirculare (12.46).

În cazul canalelor închise viteza medie şi debitul nu se obţin pentru

secţiunea plină, ci pentru un grad de umplere oarecare.

Se notează cu indicele „p” mărimile geometrice şi hidraulice

corespunzătoare secţiunii pline. Pentru gradul de umplere α = h0/D, (h0 = 0...D)

caracteristicile secţiunii parţial umplute sunt:

- aria relativă π

ϕϕ

2

sin−=

pA

A;

- perimetrul relativ π

ϕ

2=

pP

P;

h

D=2r

0

r

P,n

A

0

ϕ


- raza hidraulică relativă ϕ

ϕϕ sin−=

pR

R.

Viteza medie şi debitul relativ vor fi:

3/2

sin

−==

ϕ

ϕϕ

IRC

RIC

V

V

ppp

(12.50)

respectiv

3/2

sin

2

sin

−−==

ϕ

ϕϕ

π

ϕϕ

IRCA

RIAC

Q

Q

pppp

(12.51)

fiind acceptat pentru C relaţia lui Manning.

Maximizarea funcţiei V/Vp = f1(φ) implică 0)/(

=ϕd

VVd p din care rezultă

sinφ – φcosφ = 0, care admite soluţia 05,2574934,4 ≅= radϕ .

Procedând asemănător pentru funcţia debitului relativ, avem: Q/Qp = f2(φ),

respectiv 0)/(

=ϕd

QQd p, din care rezultă 3φ - 5φcosφ + 2sinφ = 0, care admite

soluţia 04,302 278,5 ≅= radϕ .

În (tab. 12.2) sunt evidenţiate în funcţie de gradul de umplere

elementele relative ale secţiunii, viteza şi debitul relativ.

Elementele secţiunii şi hidraulice relative la curgerea în canale circulare

Tabelul 12.2

φ

D

h0=α 0A

A

0P

P

0R

R

0V

V

0Q

Q

grad rad

1 2 3 4 5 6 7 8

180 π 0,5 0,5 0,5 1,0 1,0 1,0

257,5 4,494 0,81 0,871 0,715 1,217 1,140 0,992

302,4 5,278 0,94 0,974 0,840 1,160 1,104 1,076

360 2π 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0


Prin reprezentarea grafică în coordonate carteziene D

h

V

V 0

0

, ; şi

iD

h

Q

Q

0

0

, se obţin grafice cu, curbele vitezelor şi debitelor relative în

conducte circulare cu curgere liberă (fig. 12.16), valabile tuturor canalelor

circulare.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0 0,05

Detaliu pentru

curba debitelor

Q/Qp

V/V p

Q/Qp

V/Vp

H=D

=h0/D

α

Fig. 12.16. Grafic pentru calculul canalelor circulare

Pentru simplificare calculelor canalelor circulare închise se poate apela la

graficul din fig. 12.16.

Canalul circular la pantă longitudinală I, coeficient de rugozitate n la

secţiune plină transportă debitul:

ID

CD

Qp44

2π=

la viteza medie

ID

CVp4

= .

La un grad de umplere dat α din fig. 12.16 rezultă debitul relativ Q/Qp = KQ,

respectiv viteza relativă V/Vp = KV. Debitul real al canalului considerat va fi:

pQQKQ = (12.52)

respectiv viteza reală

pVVKV = (12.53)


Alte forme de secţiuni de canale închise se calculează în mod asemănător.

Fiecărei forme de secţiune i se construieşte câte un grafic al debitelor şi

vitezelor relative în funcţie de gradul de umplere, apoi pentru condiţiile

concrete date se determină debitul şi viteza la secţiunea plină (mai uşor de

calculat decât pentru un anumit grad de umplere), iar, în final, pentru grad de

umplere cunoscut, pe baza relaţiilor (12.51) şi (12.52), rezultă debitul şi viteza

reală.

În fig. 12.17 şi 12.18 sunt prezentate graficele debitelor şi vitezelor

relative pentru secţiunea ovoid şi clopot.

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0 0,05

Detaliu pentru

curba debitelor

Q

V

B

R=0,5B

R'=1,5B

H=1,5B

R'=1,5B

r=0,25B

0,1

α,β

Fig. 12.17. Grafic pentru calculul canalelor ovoidale

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

0 0,05

Detaliu pentru

curba debitelor

Q

V

R=0,5D

H=0,634D

0,1

R'=D

α,β

α,β

Fig. 12.18. Grafic pentru calculul canalelor de secţiune clopot


12.5. CALCULUL TEHNICO-ECONOMIC AL CANALELOR

Condiţiile de realizare economice ale canalelor, pe lângă cele tehnice

completează numărul ecuaţiilor şi aduc problema de dimensionare la

determinare. Aceste condiţii economice pot viza minimizarea investiţiilor sau

cheltuielilor anuale.

În principiu elementele unei secţiuni de canal (arie vie, perimetru udat,

rază hidraulică) se pot exprima sub forma:

=

=

=

0

2

1

02

2

01

hK

KR

hKP

hKA

(12.54)

Panta hidraulică rezultată din (12.3), cu C după Pavlovski, este:

yy h

QK

hK

K

nhK

Q

RCA

QI

25

0

2

3

12

0

2

1

2

4

0

2

1

2

22

2

1++

=

== (12.55)

Energia pierdută anual la transportul debitului Q pe unitatea de

lungime de canal este:

η

γ TIQE

⋅⋅⋅= (12.56)

în care η este randamentul ridicării apei, iar T durata anuală de funcţionare.

Considerând pe preţul energiei unitare, cheltuielile totale anuale pentru

energia pierdută pe unitate de lungime de canal sunt:

yy

eee

h

QK

h

KpTQpEC

25

0

3

4

25

0

3

3

++=

⋅

⋅⋅=⋅=

η

γ (12.57)

Cheltuielile de amortizarea investiţiei şi pentru întreţinere Ci sunt

distribuite pe timpul normat de funcţionare Tn prin coeficientul de amortizare

a = 1/Tn. Cheltuielile anuale pentru unitate de lungime de canal –

amortismentul investiţiei şi reparaţiilor capitale – reprezintă parţial cheltuielile

fixe K5, parte sunt proporţionale cu perimetru (îmbrăcăminţi) K6h0, altă parte

fiind proporţionale cu secţiunea canalului (deblee, ramblee) K7h02, deci

cheltuielile de amortizare sunt:

2

07065 hKhKKCa i ++=⋅ (12.58)


Cheltuielile totale anuale pentru unitate de lungime de canal devin:

2

0706525

0

3

4 hKhKKh

QKCaCC

yieT +++=⋅+=+

(12.59)

Funcţia continuă a cheltuielilor totale admite un minim în raport cu

variabila h0, deci:

( )

025

07626

0

3

4 =+++

−=+

hKKh

QKy

dh

dCy

T (12.60)

Ecuaţia de mai sus se rezolvă printr-o metodă numerică de aproximaţii

succesive sau grafic.

Funcţia cheltuielilor anuale de exploatare (12.57) scade cu creşterea

lui h0, iar amortismentele (15.58) cresc cu creşterea lui h0. Astfel, funcţia

costului total anual (12.59) admite un minim.

Practic, pentru câteva adâncimi normale se calculează valoarea

costurilor, apoi punctele (Ce, h0)i; (aCi, h0)i şi (CT, h0)i se reprezintă grafic

(fig. 12.19) care permite stabilirea soluţiei dorite.

C

h0Ce=K Q /h4

3 5+2y

aCi=K +K h+K h

C t

5

6

7

2

Ctmin

(h0)ec

Fig. 12.19. Graficul cheltuielilor şi adâncimii economice pentru canale

Fără a se ţine seama de condiţii tehnice şi tehnologice calculul

economic poate conduce uneori la adâncimi mari sau viteze mari pe canale.

Aceste cazuri pot deveni dificile tehnologic sau pot, datorită vitezelor extreme,

pune probleme în timpul funcţionării (depuneri, eroziuni).

12.6. VITEZE ADMISIBILE PE CANALE

Încă de la proiectare trebuie avut în vedere ca viteza medie pe canale

să fie cuprinsă între o limită inferioară – viteză minimă admisă – şi o limită

superioară – viteză maximă admisă.


10. Viteză de neeroziune

La depăşirea limitei superioare admise a vitezei, curentul de apă

erodează patul albiei. Asemenea limite superioare ale vitezei există pentru toate

materialele. Valorile lor depind de caracteristicile materialelor care alcătuiesc

patul albiei şi de caracteristicile hidraulice ale curgerii.

În cazul canalelor de pământ din materiale coezive se poate utiliza

formula orientativă, recomandată de S. A. Ghrişkan:

1,01max QkV = (12.61)

în care coeficientul k1 depinde de materialul patului albiei, astfel:

- nisip lutos k1 = 0,53;

- lut nisipos k1 = 0,57;

- lut k1 = 0,62;

- lut argilos k1 = 0,68;

- argile k1 = 0,75...0.85.

Se mai pot utiliza recomandările lui Agroskin (tab. 12.3)

Viteze maxime admisibile la materiale coezive pentru R = 1...3 m

Tabelul 12.3 Nr. Materialul Vmax (m/s) Observaţii

1

2

3

4

5

6

7

8

Nisip argilos, nisip slab

Nisip argilos compact

Argilă nisipoasă uşoară

Argile nisipoase mijlocii

Argile nisipoase compacte

Argile moi

Argile normale

Argile grele

0,7...0,8

1,00

0,7...0,8

1,00

1,1...1,2

0,7

1,2...1,4

1,5...1,8

Pentru R > 3 m,

Vmax se poate mări

(R/3)0,1

ori

În cazul materialelor necoezive ale albiei (nisip, pietriş) viteza de

neeroziune rezultă din relaţia lui Levi.

m

m D

RgDV

7lg3max = (12.62)

în care Dm este diametru mediu al particulelor materialului patului albiei, iar R

– raza hidraulică. Relaţia este valabilă pentru R/Dm = 50...5000. Valorile

orientative ale vitezei admisibile la material necoeziv ale patului albiei

corespund (tab. 12.4).

Viteze maxime admisibile la materiale necoezive

Tabelul 12.4. Nr. Materialul Vmax (m/s) Nr. Materialul Vmax (m/s)

1

2

3

4

5

nisip fin

nisip grăunţos

loess

pietriş mărunt

pietriş mare

0,23

0,45

0,4...0,6

0,6

0,9

6

7

8

9

piatră spartă

roci șistoase

roci sedimentare

roci dure

1,25

1,90

2,30

3,75

20. Viteza de neînămolire

Viteza limită inferioară admisă în canale reprezintă, de obicei, viteza

minimă necesară transportului hidraulic al solidelor. Sub această limită minimă

solidele (aluviunile) transportate se depun, producând colmatarea canalului.

Această viteză limită minimă se pune în cazul când curentul de apă transportă

aluviuni (în cazul irigaţiilor, hidroenergeticii, aducţiuni deschise de apă brută

din râuri) sau în cazul colectării şi transportului apelor uzate.

În cazul transportului de aluviuni naturale determinarea aproximativă

a vitezei de neînămolire se poate efectua cu relaţia:

2,0

2min QkV = (12.63)

unde k2 este un coeficient care ia în considerare dimensiunile geometrice ale

particulelor aluvionare şi mărimea hidraulică, astfel:

• A = 0,55 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,3>w ;

• A = 0,44 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,35,1 ≤≤ w ;

• A = 0,33 pentru aluviuni cu mărimea hidraulică mm/s 5,1<w .

În general nu se admit pe canale viteze medii sub 0,25 m/s, sub această limită

se favorizează creşterea vegetaţiei acvatice. Există situaţii când criteriile

vitezelor admisibile sunt în contradicţie, ex. pe canal de pământ viteza minimă

admisă rezultă superioară vitezei maxime admise. Contradicţia trebuie

rezolvată prin căptuşirea canalului cu un material care admite viteze maxime

superioare vitezei minime admise, dar căptuşeala să nu afecteze funcţionalul

canalului.

12.7. PIERDERI LOCALE DE SARCINĂ ÎN CURENŢI

PERMANENŢI CU NIVEL LIBER

Ca şi în cazul conductelor, pierderile locale de energie la curenţi

permanenţi cu nivel liber se datoresc unor variaţii pe distanţe mici ale profilului

vitezei – modificarea secţiunii, traseului, obstacole.


Pierderile de energie (sarcină) locale la curgeri cu nivel liber sunt

însoţite de variaţia nivelului (cotei) luciului apei, aceasta fiind deformată faţă

de suprafaţa liberă a curentului uniform.

Pierderea locală de sarcină se exprimă sub forma sa generală (dată de

Weisbach).

g

Vhr

2

2

⋅= ζ (12.64)

Calculele pot deveni complicate când pierderea locală este suma a mai

multor pierderi elementare.

În continuare se descriu câteva cazuri de pierderi locale la modificarea

secţiunii de curgere, grătare, coturi.

10. Îngustarea secţiunii albiei (fig. 12.20).

Curentul fiind caracterizat prin V1 şi A1 – viteza medie, respectiv

secţiunea amonte şi V2 şi A2 – aceleaşi elemente aval de îngustare, coeficientul

de rezistenţă locală depinde de forma îngustării. Pentru îngustare bruscă

ζî = f(A2/A1), valorile corespunzând (tab. 12.5).

Fig. 12.20. Pierderea de

sarcină la îngustarea de

secţiune în curent liber

Coeficientul rezistenţei locale la îngustarea bruscă de secţiune

Tabelul 12.5

A2/A1 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

ζî 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

La îngustare continuă se poate utiliza relaţia lui Hinds:

g

V

A

Akhr

21

2

2

1

2

−= (12.65)

b b

/ 2

Hh

v / 2 g h = v / 2 g

Hh

v / 2 g

1

12

2

Z

12

22

rH

22

1 2

1 2v v

θ

ξ

cu k = 0,15. Pentru racordări foarte line θ < 120 valoarea lui k = 0,05.

Scăderea de nivel la îngustare rezultă din ecuaţia energiei:

( )kg

VVhhz +

−=−=∆ 1

2

2

1

2

221 (12.66)

La intrare în canal cu suprafeţe riglate (hidrodinamică) se poate

considera ζi = 0,05 în relaţia lui Weisbach.

20. Lărgirea secţiunii albiei

La lărgire bruscă de secţiune (fig.12.21) se poate aplica formula lui

Altschul.

( ) ( )

2

2

12

2

12

22 h

hh

g

VVhr

−−

−= (12.67)

hv /2g

h

v /2g

h

b

b

112

222

1

2

0 br

2

21vv

v

1 2

Fig. 12.21. Lărgirea bruscă a canalului

Pierderile de sarcină sunt mai mici decât cele date de relaţia Borda.

Când h1 şi h2 sunt apropiate, relaţia (12.67) se reduce la relaţia lui Borda.

Creşterea nivelului apei faţă de nivelul amonte este:

( )( )

2

2

1221

212

2h

hhVV

g

Vhhz

−+−=−=∆ (12.68)

La lărgire continuă de secţiune (fig. 12.22), pe porţiunea divergentă,

pierderile de sarcină sunt:

( )

g

VVhr

2

2

21 −=ψ (12.69)


în care ψ este un coeficient de atenuare, dependent de unghiul de divergenţă

(tab. 12.6).

b

b

θ/2

1

2

v1 v2

Fig.12.22. Lărgire continuă de secţiune

Valorile coeficientului de atenuare ψ

Tabel 12.6

θ0 20 40 ≥ 60

ψ 0,45 0,90 1,0

30. Coturi (fig. 12.23)

Coeficientul de rezistenţă locală la coturi este funcţie de criterii

adimensionale.

⋅=

180;;; 0 θ

υζ

RV

b

h

b

rf

mm

cc (12.70)

Fig. 12.23. Schema cotului canalului

Relaţia (12.70) se soluţionează prin aproximaţii din grafice întocmite

în urma experimentărilor lui Shukry.

40. Grătare (fig. 12.24).

Pierderile de sarcină la grătare se calculează cu formula lui Weisbach

(12.64).

r

θ

b

bv

vc


Barele grătarului sunt paralele pe verticală, iar ansamblul ocupă toată

secţiunea de curgere şi formează unghiul θ cu orizontala.

Fig. 12.24. Grătar normal pe direcţia de

curgere a curentului

Conform cercetărilor VODGEO, coeficientul de rezistenţă se

determină cu relaţia:

θζ sin4,283,2

6,1

++

+=

l

b

b

l

bs

skg (12.71)

în care s şi l sunt grosimea, respectiv lăţimea unei bare, b – lumina între bare,

θ – unghiul de înclinare a grătarului faţă de orizontală şi k – coeficient de formă

a barelor (fig. 12.25).

Se mai poate utiliza relaţia Kirschmar pentru grătar frontal:

θβζ sin

3/4

=

b

sg (12.72)

în care β este un coeficient de formă a barelor grătarului (fig. 12.25).

Forma

barei

grătarului

l

s

s

δ= /2

6s

4s

s/2

δ= /2s

s/2

s

1,5s

3,5s

β 2,42 1,83 1,67 1,033 0,76 0,76 1,79

k 0,504 0,318 0,182 - Fig. 12.25. Secţiunea barelor grătarelor şi coeficienţii lor de formă

Unghiul de înclinare a grătarului faţă de direcţia curentului în plan

sunt date grafic în îndrumare de calcul hidraulic (Kiselev).

Viteza medie a apei la curgerea prin grătare este limitată, astfel:

- la intrarea în camera turbinelor Vm = 0,9...1,2 m/s;

- la prize de apă Vm = 0,25...1,0 m/s.

h

θv v

r

v


12.8. APLICAŢII

10. Să se determine debitul transportat de un canal de secţiune

trapezoidală (fig.12.1) şi viteza medie în mişcarea uniformă cunoscând

elementele: b = 1,00 m; h0 = 1,50 m; m = 1,5; n = 0,020 şi I = 0,5 ‰. Să se

construiască cheia debitului pentru canal prin 8 puncte.

Rezolvare. Se utilizează relaţii (12.2), (12.3) respectiv (12.14).

( )

/sm 873,2589,0875,4

m/s 589,00002,0761,077,47

/sm 77,47761,002,0

11

m 761,0408,6/875,4/

m 408,65,115,120,112

m 875,4)5,15,10,1(5,1

3

0,56/16/1

220

200

=⋅=⋅==

=⋅==

===

===

=+⋅+=++=

=⋅+=+=

AVRIACQ

RICV

Rn

C

PAR

mhbP

mhbhA

Cheia limnimetrică rezultă din calcule asemănătoare pentru:

hhhii

∆+=−100 , cu m 2,0=∆h (tab. 12.6).

Cheia limnimetrică a canalului

Tabelul 12.6 Nr. h0

(m)

A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

Q (m

3/s)

V (m/s)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 0,2 0,260 0,7211 0,1511 36,489 0,0521 0,2006

2 0,4 0,640 2,4422 0,2621 39,998 0,1853 0,2896

3 0,6 1,140 3,1633 0,3604 42,179 0,4082 0,3581

4 0,8 1,760 3,8844 0,4531 43,819 0,7342 0,4171

5 1,0 2,500 4,6056 0,5428 45,159 1,1763 0,4705

6 1,2 3,360 5,3267 0,6308 46,304 1,7475 0,5201

7 1,4 4,340 6,0478 0,7176 47,310 2,4598 0,5668

Reprezentând (Q, h0)i şi (V, h0)i se obţine graficul cheii limnimetrice

(fig. 12.26).


Fig. 12.26. Cheia debitelor şi vitezei

pentru canalul trapezoidal

20. Un canal dublu trapezoidal, folosit la evacuarea apelor la viitură

(fig. 12.27) este caracterizat prin elementele: b1 = 2,0 m; h1 = 1,5 m; m1 = 1,0;

n1 = 0,014; b2 = 4,0 m; h2 = 1,0 m; m2 = 1,5; n2 = 0,030 şi I = 2 ‰. Să se

determine debitul transportat de canal în mişcarea permanentă şi uniformă.

b

bb

hhn

2

n12 2

1

m 1

m 2

12

Fig. 12.27. Schema de calcul a canalului dublu trapezoidal

Rezolvare. Întrucât nmax/nmin = 0,03/0,014 = 2,143 > 2 în calcule se

consideră un coeficient de rugozitate echivalent, determinat cu ecuaţia (12.47).

Elementele geometrice şi hidraulice sunt:

- aria:

;m 750,1950,1425,5

;m 50,14)15,15,1120,20,42(1)22(

;m 25,5)5,10,10,2(5,1)(

221

222111222

211111

=+=+=

=⋅+⋅⋅++⋅=+++=

=⋅+=+=

AAA

hmhmbbhA

hmbhA

- perimetrul:

m; 848,17605,11243,6

m; 605,115,11120,42122

m; 243,6115,120,212

21

222222

221111

=+=+=

=+⋅+⋅=++=

=+⋅+=++=

PPP

mhbP

mhbP

0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3

Q (m 3/s )0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0

1 ,2

1 ,40 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6

v (m /s)

h (m )

Q(h)

v(h)


- raza hidraulică:

;m 107,1848,17

750,19===

P

AR

- coeficient de rugozitate echivalent:

( ) ( );025,0

848,17

030,0605,11014,0243,63/2

2/32/33/22/3

222/3

11 =

+=

+=

P

nPnPne

- coeficientul lui Chézy:

( ) /s;m 683,40107,1025,0

11 0,56/16/1 === Rn

Ce

- debitul transportat:

/s.m 807,37002,0107,1683,4075,19 3=⋅⋅== RIACQ

30. Să se determine debitul maxim care poate fi transportat de un dren

din olane de ceramică, cu D = 0,10 m, n = 0,013 şi I = 5‰. Se va calcula şi

viteza medie corespunzătoare debitului maxim.

Rezolvare. Drenul se comportă ca un canal circular închis. Din

(fig. 12.16) şi (tab. 12.2) rezultă:

V/Vp = 1,104

Qmax/Qp = 1,076

Caracteristicile secţiunii pline sunt:

l/s 653,3/10653,310854,7465,0

m/s 465,0005,0025,0596,41

/sm 596,41025,0013,0

11

m 025,0

m 3142,01,0

m 10854,74

1,0

4

333

0,56/16/1

2322

=⋅=⋅⋅==

=⋅==

===

=

=⋅==

⋅=⋅

==

−−

−

smAVQ

IRCV

Rn

C

R

DP

DA

ppp

ppp

p

p

p

p

ππ

ππ

Debitul maxim transportat de dren, la grad de umplere α = h0/D = 0,94 este:

Qmax = 1,076Qp = 1,075·3,653=3,930 l/s

la care corespunde viteza medie:

V = 1,104Vp = 1,104·0,465 = 0,513 m/s.

40. Un canal de irigaţii, de formă trapezoidală, calibrată prin dale mici

de beton (n = 0,016), cu b = 1,00 m, m = 1,5, trebuie să transporte debitul Q = 4

m3/s la panta I = 0,2 ‰. Să se determine adâncimea normală în canal, analitic

(prin aproximaţii succesive), precum şi viteza medie.

Rezolvare. La determinarea adâncimii normale se apelează la ecuaţia

(12.3) şi elementele secţiunii trapezoidale (12.14).

- aria: ( )00 mhbhA += ;

- perimetrul: 2

0 12 mhbP ++= ;

- raza hidraulică R = A/P;

- coeficientul lui Chézy 6/11R

nC = .

a) Soluţia analitică – prin aproximaţii succesive – metoda coardei – se

poate folosi sub formă tabelară sau prin calcul automat. Se foloseşte schema

din fig. 12.27.

Fig. 12.27. Schemă pentru metoda coardei.

Se calculează valorile funcţiei f(h0)=Q - Q0 pentru două valori ale lui

h0, ca limită inferioară (h0i) şi superioară (h0s) între care se presupune a fi h0. Se

mediază limitele 2

00 siam

hhh

+= cu care se calculează Q - Q0. Când Q - Q0 > 0

se înlocuieşte h0s cu h0m în caz contrar hoi cu hom. Intervalul se mediază din nou

şi calculele se repetă până când 00 hhh soi ε<− (εh0 este toleranţa preciziei de

calcul). Rezultatele sunt date în tabelul 12.7. Când se foloseşte calculul

automat, programul se întocmeşte după schema logică din (fig. 12.28).

h h

h

Q

h

Q00i 0m

0s

Fig. 12.28. Schemă logică pentru metoda coardei la dimensionarea canalelor.

Dimensionarea canalului trapezoidal prin metoda coardei după schema din

(fig. 12.28).

Tabelul 12.7. Nr.

crt

h0i (m)

h0s (m)

h0m

(m)

A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s

)

Q (m

3/s)

Q-Q0 Obs

.

1 1,40 - - 4,340 6,048 0,718 59,137 3,075 -0,925 <

2 - 1,70 - 6,035 7,129 0,846 60,788 4,773 +0,773 -

3 1,705 1,70 1,55 5,154 6,589 0,782 59,993 3,867 -0,132 <

4 1,55 1,70 1,625 5,586 6,859 0,814 60,398 4,306 +0,306 >

5 1,55 1,625 1,587 5,368 6,724 0,798 60,197 4,083 +0,083 >

6 1,55 1,587 1,769 5,262 6,657 0,790 60,097 3,976 -0,024 <

7 1,569 1,588 1,579 5,319 6,693 0,795 60,151 4,033 +0,033 >

8 1,569 1,579 1,574 5,290 6,675 0,793 60,124 4,004 +0,0045 >

9 1,569 1,574 1,572 5,279 6,668 0,792 60,113 3,993 -0,0071 <

10 1,572 1,574 1,573 5,284 6,672 0,792 60,119 3,999 -0,0013 <

v = 0,757 m/s.

START

C ite ste:b ,m ,n,t,Q 0 i

ε h 0, h 0 i, h 0s

lh 0sh 0 i- l > ε h0

h 0m =h 0s

h 0 i+

2

A (hom ); P(hom ); R (hom );

C (hom ); Q (hom )

h 0sh 0m=

Q (hom )-Q>0=

0ih h= 0m

+i

0hh

=h s

2

A (h )0 ,

P (h )0 ,

R (h )0 ,

C (h )0 ,

V (h )0 ,

A , P , R , C , vS crie:h0

STOP

Nu

D a

D a

Nu

Prin calculul automat pentru 60 10−=hε se obţine Q = 4,000 m

3/s;

v = 0,757 m/s; A = 5,286 m2; P = 6,672 m; R = 0,792 m; C = 60,120 m

0,5/s;

h0 = 1,573 m.

50. Un debuşeu din piatră rostuită, de formă trapezoidală trebuie să

transporte debitul Q = 4,0 m3/s, la panta I = 0,2 m = 1, şi lăţime la fund

b = 0,8 m. Să se determine adâncimea curentului în mişcare permanentă şi

uniformă.

Rezolvare. Panta canalului (debuşeului) este mare şi este de aşteptat

ca pe aceasta să se formeze curenţi aeraţi. Aerarea parţială are loc pentru:

542,00784,0

0834,0<< I

R.

În această situaţie calculele sunt asemănătoare curenţilor neaeraţi, însă

se lucrează cu elementele caracteristice curentului aerat (fig. 12.29).

IRCAQQ aaaaββ

11== ;

unde: β este coeficientul de aerare calculabil cu relaţia:

36/lg812,01 Fr−=β ;

3

2

A

B

g

QFr

α= .

Efectuând dimensionarea pentru curent neaerat rezultă:

h0 = 0,464 m; A = 0,590 m2; P = 2,118 m; R = 0,279 m; C = 28,86 m

0,5/s;

v = 6,78 m/s; Fr = 15,10; β = 1,306; 087,0279,0

0784,00784,00834,00834,0

==R

, deci

curentul se aerează pentru pante de peste I>0,087. În concluzie calculele se efectuează pentru curent aerat prin

aproximaţii succesive; se dau valori debitului aerat Qa, apoi se dimensionează

canalul pentru debitul aerat şi cu relaţia QQa =β

1 se determină debitul lichid.

Aproximaţiile se efectuează în jurul valorii Qa = βQ obţinut pentru

dimensionare la curent neaerat:

Qa = βQ = 1,306·4 = 5,224 m3/s.

Rezultatele calculelor sunt centralizate în (tab. 12.8).


Calculul canalului la curgere aerată

Tabelul 12.8 Nr.

crt

Qa (m3/s)

ha

(m)

Aa (m)

Pa (m)

Ra (m)

Ca (m0,5/s)

va (m/s)

Fra β Q=Qa/β (m3/s)

1 5,22 0,5355 0,7151 2,3146 0,3090 29,365 7,299 15,631 1,2942 4,0334

2 5,21 0,5349 0,7141 2,313 0,3087 29,361 7,296 15,628 1,2943 4,0250

3 5,20 0,5344 0,7131 2,3115 0,3085 29,357 7,292 15,625 1,2943 4,0175

4 5,19 0,5338 0,7121 2,3100 0,3083 29,354 7,288 15,622 1,2944 4,0096

5 5,18 0,5333 0,7110 2,3085 0,3080 29,350 7,285 15,620 1,2945 4,0016

6 5,17 0,5328 0,7101 2,3069 0,3078 29,346 7,281 15,617 1,2945 3,9937

Se observă că în cazul acestui curent aerat adâncimea normală creşte cu

∆h = 0,533 - 0,464 = 0,069 m, reprezentând 14,9 %.

B

b=0,8m

h =0,46mn=1

b=0,8m

h =0,533m

B

00a

a

aerat

neaerat

Partial aeratNeaerat

n=1

Fig. 12.29. Schema canalului curent neaerat şi aerat

60. Să se dimensioneze un canal trapezoidal căptuşit cu dale din beton

(n = 0,014), pentru transportul debitului Q = 8 m3/s, la panta I = 0,2 ‰

m = 1,5 astfel ca viteza medie să fie cuprinsă în limitele vmin = 0,8 m/s, vmax = 1,4 m/s.

Rezolvare. În lipsa altor condiţii impuse se propune profil hidraulic

optim:

( )mm −+= 212β , pentru care aria curgerii este:

( ) ( )mmhmhA −+=+= 222 12β ,

respectiv

mm

Ah

−+=

212.

Pentru vitezele impuse rezultă elementele limită:

4

22

2

max2max

2max

2

min

0,56/16/1maxmax

0,56/16/1minmin

maxmax

minmin

2max

2min

2

min

max

2

max

min

1012,1089,145,720,10

8

/sm 45,72089,1014,0

11

/sm 15,69823,0014,0

11

m 089,12

179,2

2

m 823,02

647,1

2

m 179,25,15,112

0,10

m 647,15,15,112

714,5

m 0,108,0

8

m 714,54,1

8

−⋅=⋅⋅

==

===

===

===

===

=−+

=

=−+

=

===

===

RCA

QI

Rn

C

Rn

C

hR

hR

h

h

V

QA

V

QA

4

22

2

min

2

min

2

min

2

max 1098,4823,015,69714,5

8 −⋅=⋅⋅

==RCA

QI .

Fiindcă Imin < I < Imax este posibilă dimensionarea la profil hidraulic

optim cu respectarea condiţiilor de limitare a vitezei.

Conform relaţiei (12.21) elementele secţiunii sunt:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 22222

20

20

8/3

2

3/28/3

2

3/2

0

m 039,85,15,112954,112

m 183,1954,15,15,11212

m 954,10002,05,15,112

8014,02

12

2

=−+=−+=

=−+=−+=⋅=

=

−+

⋅⋅=

−+=

mmhA

hmmhb

Imm

nQh

β

viteza medie în canal este:

m/s 995,0039,8

8===

A

Qv ,

care se încadrează în limitele impuse.

Bartha Iosif, Javgureanu Vasile, Marcoie Nicolae

134

CAPITOLUL 13

MIŞCAREA PERMANENTĂ LENT (GRADUAL) VARIATĂ A

LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Mişcarea în albii deschise în general este nepermanentă, dar pe

anumite perioade mişcarea poate fi permanentă.

Formele de mişcare neuniformă sunt generate de modificările secţiunii

albiilor în lungul curentului. Modificările de secţiune sunt prezente în albii

naturale aproape pe întreaga lor lungime, dar şi albiile artificiale sunt împărţite

în biefuri de către neregularităţi importante ale albiilor – modificări importante

ale secţiunii, căderi, barări, secţiuni de reglare, alte construcţii şi instalaţii în

albii. Chiar micile modificări ale secţiunii, rugozităţii produc modificarea,

curbarea liniilor de curent.

Curenţii cu suprafaţă liberă sunt foarte sensibili la perturbaţii, liniile

de curent sunt uşor curbate ceea ce, chiar la debite constante, face ca mişcarea

să nu aibă caracter uniform.

Curenţii permanenţi cu suprafaţă liberă în raport cu curbura liniilor de

curent se împart în:

- curenţi lent (gradual) variaţi, la care curbura liniilor de curent este

mică şi pe distanţe mici, în particular se pot considera drepte cvasiparalele;

- curenţi rapid variaţi, la care curbura liniilor de curent este

importantă pe distanţe mici, iar nici în particular liniile de curent nu pot fi

considerate cvasiparalele.

Mişcările lent variate se soluţionează în general pe cale hidraulică, iar

curenţii rapid variaţi prin metode hidraulice sau hidrodinamice (prin teoria

mişcărilor potenţiale cu neglijarea anumitelor caracteristici).

Mişcările permanente neuniforme iau naştere când sunt deranjate

condiţiile mişcării uniforme. Cum s-a mai menţionat, modificările secţiunii

albiei, a rugozităţii sau elasticităţii patului albiei în lungul curentului implică

mişcări neuniforme chiar pentru debite constante.

Mişcările permanente neuniforme sunt de fapt mişcări pe biefuri, cu

mişcări lent variate, racordate la limitele lor prin mişcări rapid variate. Modul

în care un curent permanent cu suprafaţă liberă reacţionează la perturbări

depinde în mare măsură de caracteristicile sale energetice şi, în special, de

raportul dintre energia cinetică şi cea potenţială.


În acest capitol se analizează energetic curenţii cu suprafaţă liberă, se

deduce ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate, se analizează

fizic forma suprafeţei libere a curenţilor lent variaţi, se prezintă metode de

rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale pentru albii regulate (canale) şi neregulate

(albii naturale).

13.1. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A MIŞCĂRII PERMANENTE

LENT (GRADUAL) VARIATE A CURENŢILOR

CU NIVEL LIBER.

Mişcarea cu debit constant (Q = const.) în albii are caracter de

neuniformitate însă pe un bief cu neregularităţi mici, curbura liniilor de curent

este mică, pe distanţe mici acestea se pot considera (în particular),

cvasiparalele, iar modificarea parametrilor hidraulici în lungul curentului este

lentă.

Stabilirea ecuaţiei diferenţiale a mişcării lent variate are la bază

ecuaţia energiei (Bernoulli), aplicată unui tronson al unei albii oarecare

(neregulate) între secţiunile 1 şi 2 (fig. 13.1). Se acceptă ipoteza că pierderile

liniare în lungul curentului pe distanţe dl mici, sunt ca şi în cazul mişcării

uniforme (12.13).

z

h

v /2g

dh

dh

hh

dl

ϕ

hy

0

I 12

l

l

sl

0

0

02

e

p

1

2

12

r

V

V

α

h∆

Fig. 13.1. Schemă a mişcării lent variate

Pentru pante mici ale fundului se acceptă:

ϕϕ tgI ≅= sin

şi pe distanţa dl panta energetică j şi piezometrică jp sunt egale.

Aplicând ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2, obţinem:

rdhhp

g

Vhh

p

g

V+++=∆+++ 2

2

2

221

1

2

11

22 γ

α

γ

α (13.1)


136

Acceptând α=const. şi p1=p2=0, rezultă:

( )( )

rdhg

VVhhdlI +

−=−−⋅

2

2

1

2

212

α (13.2)

Notând h2-h1=dh şi ( )

=

−

g

Vd

g

VV

22

22

1

2

2 αα, după înlocuire în (13.2)

şi împărţire cu dl, avem:

dl

dh

dl

g

Vd

dl

dhI r+

=−2

2α

(13.3)

Albia oarecare este caracterizată de A=f(h, l), deci

A A

dA dl dhl h

∂ ∂= +

∂ ∂ (13.4)

Înlocuind viteza medie din ecuaţia de continuitate (V=Q/A), termenul:

( )

⋅

∂

∂+

∂

∂−=⋅

dl

dh

h

A

l

A

gA

Q

dl

Vd

g 3

22

2

αα (13.5)

Sensul geometric al termenului hA ∂∂ / rezultă din fig.13.2.

Fig.13.2. Exprimarea termenului hA ∂∂ / .

Pentru h∂ infinit mic rezultă BhA =∂∂ / , deci:

dl

dh

dl

dhB

l

A

gA

Q

dl

dhI r+

+

∂

∂−=−

3

2α (13.6)

Acceptând ipoteza referitoare la pierderile de energie liniare şi paralelismul

liniei energetice şi piezometrice pe distanţe mici:

RCA

Q

K

Q

dl

dhjj r

p 22

2

2

2

==== (13.7)

după înlocuire, rezultă variaţia adâncimii apei în lungul curentului, ecuaţia diferenţială a mişcării permanente lent variate în albii oarecare, sub forma:

B

h

h

z

A

A


3

2

2

22

2

1

1

A

B

g

Q

l

A

gA

RC

RCA

QI

dl

dh

⋅−

∂

∂⋅−−

=α

α

(13.8)

Termenul

2 2

3

m

Q B VFr

g A gh

α α⋅ = = (13.9)

este numărul Froude al mişcării.

Ecuaţia (13.8) pentru albii regulate - cilindrice, prismatice (cu

A = f(h), deci 0/ =∂∂ lA ), devine:

Fr

RCA

QI

A

B

g

QRCA

QI

dl

dh

−

−=

⋅−

−=

11

22

2

3

2

22

2

α (13.10)

Pentru mişcări uniforme h = h0 = c şi se obţine:

RIACQ = (12.3)

13.2. STUDIUL ENERGETIC AL CURENŢILOR

PERMANENŢI CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Analiza porneşte de la exprimarea energiei specifice a secţiunii pentru

curentul uniform. De aceea rezultatele sunt riguros valabile curenţilor uniformi,

dar cu erori mici pot fi extinse şi curenţilor lent variaţi. La mişcări cu variaţii

importante erorile sunt considerabile, totuşi analiza energetică permite

stabilirea unor concluzii calitative.

13.2.1. Energia specifică a curentului şi a secţiunii.

Se consideră un curent permanent de lichid la care elementele în

mişcarea uniformă sunt specificate în (fig. 13.3).

138

H

v /2g

Eh

z

e

Ee

Eh

z

v /2g

e

E

E -E = E

L

α

α∆

02

0

1

1

2

2

02

1 2

2

2

1

1

0 000

o ' 0 'I,n

V

e

Fig. 13.3. Energia specifică a secţiunii şi curentului

Energia specifică a curentului se defineşte faţă de un plan de

referinţă arbitrar fix 0-0, admiţându-se legea liniară de distribuţie a presiunilor

pe verticala adâncimii:

zhg

Vz

p

g

VE ++=++=

22

22 α

γ

α (13.11)

Energia specifică a secţiunii e, este energia specifică faţă de planul

de referinţă orizontal care trece prin punctul cel mai de jos al secţiunii:

2

22

22 gA

Qh

g

Vhe

αα+=+= (13.12)

La definirea energiei specifice a secţiunii planul de referinţă se

modifică pentru fiecare secţiune în parte; valoarea sa depinde de parametrii

mişcării: adâncime şi viteză medie.

13.2.2. Variaţia energiei specifice a secţiunii în lungul curentului.

Mişcarea în albii deschise se produce pe seama „consumului” energiei

specifice ale curentului E, prin frecări parte din energie se transformă în

căldură, deci:

0<dl

dE.

La curenţi uniformi consumul de energie are loc pe seama energiei specifice de

poziţie fiindcă celelalte componente se menţin constanţe (h0 = c şi v = c), deci:

Idl

dz

dl

dE== sau e = const. (13.13)

La mişcări neuniforme în albii neregulate însă au loc modificări ale

energiei specifice a secţiunii în lungul curentului, astfel

⋅

∂

∂+

∂

∂−=

+=

dl

dh

l

A

l

A

gA

Q

dl

dh

g

V

dl

d

dl

dh

dl

de3

22

2

αα (13.14)

sau conform (13.3) şi (13.7).

−=−=−=

2

2

0

22

2

1K

KI

RCA

QI

dl

dhI

dl

de r (13.15)

în care K0 este modulul de debit corespunzător mişcării uniforme, iar K pentru

mişcarea permanentă neuniformă.

Pentru mişcări uniforme ;0/ =dldh 0/ =∂∂ lA şi K0=K, deci variaţia

energiei specifice a secţiunii este nulă (ec. 13.13).

Pentru mişcări neuniforme se disting două cazuri:

10. Pentru K > K0 rezultă A > A0 şi V < V0. Pentru pante pozitive în

sensul curgerii I > 0 se obţine de/dl > 0, deci energia specifică a secţiunii creşte

în lungul curentului.

20. Pentru K < K0 corespund A < A0 şi V > V0, rezultând de/dl < 0,

deci energia specifică a secţiunii scade în lungul curentului.

În ambele situaţii modificarea energiei specifice a secţiunii se

datoreşte modificării pierderilor de energie. Dacă la curent uniform pierderea

de energie este exact diferenţa de energie de poziţie datorită pantei geometrice,

la mişcare neuniformă cu V < V0 pierderile sunt mai mici, pe când pentru

V > V0 pierderile de sarcină sunt mai mari decât în mişcarea uniformă.

13.2.3. Stările curenţilor permanenţi

Analiza funcţiei energiei specifice a secţiunii pentru albii regulate

(cilindrice, prismatice), pentru care A = f(h) evidenţiază că funcţia continuă

e(h) pentru h > 0 admite un minim pentru debit Q dat în punctul (emin, hcr).

Minimalizând funcţia (13.12), prin anularea derivatei în raport cu

variabila h

0113

2

3

2

=−=⋅−= BgA

Q

dh

dA

gA

Q

dh

de αα (13.16)

se obţine valoarea adâncimii critice hcr.

Adâncimea critică se determină din condiţia

140

13

2

=⋅A

B

g

Qα sau

crB

A

g

Q

=

32α (13.17)

deci depinde de forma secţiunii şi debitul transportat.

Explicitarea adâncimii critice este posibilă doar pentru câteva forme

de secţiune (dreptunghi, triunghi, parabolă), la celelalte secţiuni relaţia se

soluţionează prin metode numerice, de aproximări succesive.

10. Calculul manual comportă operaţiuni de completare a (tab. 13.1).

Calculul adâncimii critice

Tabelul 13.1

Nr.

crt

h (m)

B (m)

A (m

2)

A3/B (m

5)

αQ2/g (m

5)

1 2 3 4 5 6

Când coloanele 5 şi 6 sunt egale sau suficient de apropiate pentru o eroare de

calcul ∆h, pentru h calculul se consideră terminat.

20. Calculul grafic se realizează prin reprezentarea coloanelor 2 şi 5

(fig.13.4), apoi pentru αQ2/g se obţine hcr.

Fig. 13.4. Grafic pentru stabilirea adâncimii critice

30. Calculul automat după metoda coardei se realizează după schema

logică din fig. 13.5. Se impun ca date iniţiale valori hi < hcr, h > hcr respectiv

precizia de calcul ∆h. Calculul se opreşte prin condiţia preciziei de calcul.

α

h

A /B

Q

h

g

cr

2

3

g,Q, elementele dateCiteste:α,ale sectiuniih ,i

h ,s ∆h

START

αQ /g2

∆h(sh - :i) h.

Ai, Bi, Ai/Bi

As, Bs, As/Bs

3

3

hhm

2

i=h + s

Am, Bm, Am/Bm3

α0

Q 2-AmBm4

3).:(

hh =m cr

sh m= h

mhih=

ih cr= h

Scrie: h ,crAcr, Bcr

STOP

<

=<

>

=

>

Fig. 13.5. Schemă logică pentru calculul adâncimii critice

Adâncimii critice îi corespund elementele critice ale curentului şi

secţiunii (Acr, Vcr, Icr).

Energia specifică a secţiunii pentru albii cilindrice şi prismatice pentru

un debit Q depinde numai de adâncimea curentului.

)(2

)(2

2

hgA

Qhhe

α+= (13.18)

Funcţia e(h) are două asimptote:

h = 0 fiindcă 0→h corespunde ∞→e şi

e(h) = h fiindcă ∞→h corespunde ∞→e .

Energia specifică minimă a secţiunii la diferite debite este:

( ) crcrmcr

crcr

crcr

cr

hhhAB

Ah

gA

Qe +=+=+=

2

1

22 2

3

2

2

min

α (13.19)

142

situându-se pe o dreaptă în coordonatele (e, h).

h

e

Q

QQ

h

h

h

ee

h2

cr

1

minh=0

cr

1

23

e=h

Stare lenta

Stare rapida

e=1/2(hm) cr+h cr

Starerapida

Fig. 13.6. Variaţia energiei specifice a secţiunii

Graficul din (fig. 13.6) evidenţiază că acelaşi debit Q poate fi

transportat de o albie la aceeaşi energie specifică a secţiunii pentru două

adâncimi diferite:

1. h > hcr, stare lentă fluvială a curentului, pentru care energia

potenţială are prepondere mai mare faţă de energia cinetică, V < Vcr;

2. h < hcr, stare rapidă torenţială a curentului, pentru care energia

cinetică are o pondere mai mare decât cea potenţială, V > Vcr;

3. Adâncimii critice hcr îi corespunde starea critică a curentului, la

care corespund elemente critice: Vcr, Icr respectiv emin.

Particularizând cele prezentate secţiunii dreptunghiulare, cu notaţia

q=Q/b se obţin:

hgh

q

hgb

Qhe +=+=

2

2

22

2

22

αα (13.18’)

din care:

( )α

heghq

−=

2 (13.20)

Din (13.17) rezultă:

3

2

g

qhcr

α= (13.21)

respectiv din (13.18), cu h = hcr.


crcrcr hhhe2

3

2

1min =+= (13.22)

care arată că la secţiuni dreptunghiulare la starea critică energia specifică a

secţiunii se compune 2/3 din energia potenţială şi 1/3 energie cinetică.

Debitul specific maxim se obţine pentru adâncimea critică şi are

valoarea:

3/2

max cr

gq h

α= (13.23)

Funcţia q(h) are forma din fig. 13.7.

Fig. 13.7. Variaţia debitului specific q = f(h)

la albii de secţiune dreptunghiulară.

Viteza critică este:

α

cr

crcr

gh

h

qV == max (13.24)

Stării critice a curentului în mişcare uniformă îi corespunde panta

critică din (fig. 12.3) şi (fig. 13.17), sub forma:

crcr

crcr

BC

gPI

2α= (13.25)

care pentru albii foarte largi (P~B) devine 2

cr

crC

gI

α= .

Graficul funcţiei (13.24) are forma din (fig. 13.8).

Fig. 13.8. Starea curentului la diferite

pante în mişcare uniformă.

h

h

h

q

q

cr

max

h

II

hcr

cr

Starelenta

Starerapida

144

Observaţii. Pentru secţiuni triunghiulare şi parabolice adâncimea

critică este explicitată, astfel:

- la secţiune triunghiulară:

52

22

gm

Qhcr

α= (13.26)

- la secţiune parabolică:

4

2

64

27

gP

Qhcr

α⋅= (13.27)

13.2.4. Recunoaşterea stării curentului.

Recunoaşterea stării curentului are importanţă în multe probleme de

dimensionare şi verificare a funcţionării sistemelor hidraulice deschise. Starea

curentului se determină în funcţie de mai multe elemente, comparând

caracteristicile curentului cu cele critice: crcrcr IIVVhh ⋮⋮⋮ ;; , sau în baza

numărului Froude, când prin modificarea relaţiei (17.17) rezultă numărul

Froude critic (tab. 13.2).

12

==mcr

crcr gh

VFr

α (13.28)

Caracterizarea stării curentului

Tabelul 13.2

Criteriul Starea curentului

lentă critică rapidă

Adâncime h > hcr h = hcr h < hcr Viteză V < Vcr V = Vcr V > Vcr Pantă I < Icr I = Icr I > Icr

Numărul Froude Fr < 1 Fr = 1 Fr > 1

13.3. ANALIZA CALITATIVĂ A FORMEI SUPRAFEŢEI

LIBERE A LICHIDELOR ÎN MIŞCARE

LENT (GRADUAL) VARIATĂ.

În mişcarea permanentă lent variată, suprafaţa liberă a lichidelor este

curbată şi se numeşte, impropriu, remuu (vâltoare).

Standardele definesc curbe de supraînălţare sau pozitive şi curbe de coborâre a nivelului – curbe negative. Atât curbele de supraînălţare cât şi cele

de coborâre pot fi de mai multe categorii în funcţie de natura singularităţilor

care le produc şi de starea curentului – lentă, rapidă sau critică.

Analiza calitativă a formelor şi tipurilor curbelor suprafeţei libere în

mişcare permanentă lent variată în albii cilindrice sau prismatice se face cu

ajutorul ecuaţiei diferenţiale (13.10). Această ecuaţie exprimă legea variaţiei

adâncimii în lungul curentului. Prin integrarea ecuaţiei se obţine relaţia de

calcul a suprafeţei libere a lichidului.

Se întâlnesc trei situaţii de pantă diferite faţă de care atât analiza

calitativă a suprafeţei libere, cât şi integrarea ecuaţiei diferenţiale prezintă

particularităţi, astfel I > 0; I = 0 şi I < 0.

13.3.1. Analiza calitativă a formei suprafeţei libere a lichidelor

în mişcarea permanentă lent variată pentru I > 0.

Se modifică forma relaţiei (13.10) astfel:

- la numărător.

−=

⋅−=−

2

2

0

2

2222

2

11

1K

KI

I

Q

RCAI

RCA

QI

punându-se în evidenţă 0

2

0

2

0

22

0 / RCAIQK == modulul de debit aferent

mişcării uniforme, caracterizat de h0 şi K2=A2C2R modulul de debit

corespunzător unei adâncimi curente h.

- la numitor se notează: crcr

cr NB

A

g

Q==

32α, corespunzătoare adâncimii

critice hcr şi B/A3=N, corespunzătoare unei adâncimi curente h în mişcarea lent

variată, obţinându-se:

146

2

0

21

1 cr

Kdh KI

NdlN

−=

−

(13.29)

Necesitatea acestei forme a ecuaţiei rezultă din constatarea că forma

suprafeţei libere a lichidului depinde de poziţia adâncimii variabile h în

mişcarea lent variată faţă de adâncimea normală h0 şi de adâncimea critică hcr.

Ecuaţia (13.29) exprimă tocmai această dependenţă.

În funcţie de poziţia suprafeţei adâncimii normale h0 faţă de

adâncimea critică hcr, pe profilul longitudinal al albiei există trei situaţii:

- linia adâncimii normale este deasupra liniei adâncimii critice, situaţie

corespunzătoare stării lente a curentului în mişcarea uniformă (fig. 13.9.a).

Liniile celor două adâncimi cu linia fundului împart domeniul curgerii în trei

zone: a - peste linia adâncimii normale; b - între liniile adâncimii normale şi

critice; c - între liniile adâncimii critice şi fundului.

- linia adâncimii normale este situată între linia adâncimii critice şi

fundului, caz caracteristic stării rapide a curentului în mişcarea uniformă

(fig. 13.9.b). Curentul, şi în acest caz prezintă trei zone: a, b, c; - liniile adâncimii normale şi critice coincid, caz caracteristic stării

critice curentului. Dispare zona b, curentul fiind împărţit în zonele a şi c

(fig. 13.9.c).

În fig. 13.9. linia adâncimilor normale s-a notat cu N - N, iar cea a adâncimilor

critice cu C - C.

0<I<Icr

a

b

c

CC

NNN

N

C

C

a

b

c

a

c

N==C

I>Icr I=Icr

a) b) c)

Miscare uniforma in stare lenta

Miscare uniforma in stare rapida Miscare uniforma in

stare critica

N==C

Fig. 13.9. Cazuri de situaţii ale adâncimii normale şi critice

şi zonarea curentului pentru I > 0.

Adâncimea curentă h în cazul mişcării permanente lent variate este

situată într-o zonă din figura 13.9; în funcţie de situaţie suprafaţa liberă are

caracteristici diferite bine definite fiecărui caz în parte.

10. Cazul pantei pozitive, starea mişcării uniforme lentă 0 hcr, V < Vcr, Fr < 1. Adâncimea

curentului h în mişcarea lent variată poate fi situată în cele trei zone a, b, c

(fig. 13.9.a).

10.a. - Zona a este caracterizată prin h > h0 şi h > hcr. Conform relaţiei

(13.29) pentru h > h0, rezultă K > K0, deci numărătorul ecuaţiei este pozitiv.

Pentru h > hcr şi N > Ncr, deci şi numitorul este pozitiv. Variaţia adâncimii în

lungul curentului este pozitivă, dh/dl > 0, adâncimea creşte din amonte spre

aval. Pe albie în zona a se formează o curbă de supraînălţare tip a1 (fig. 13.10).

Acest tip al suprafeţei libere este întâlnită frecvent în practică, când un canal

lent (0 < I< Icr) este barat de deversor, stăvilar, pile, baraj sau alte obstacole în

albie.

hh

N

NC '

C '

a

b

c

0 < I < I c r

c

b

c r

0

1

1

1

Fig. 13.10. Suprafaţă liberă în mişcare gradual variată la albii lente 0 < I < Icr.

Variaţia energiei specifice în lungul curbei a1 creşte spre aval, semnul

lui de/dl coincide cu semnul numărătorului (13.15). Energia specifică a

secţiunii are valoare minimă la adâncimea critică şi spre aval adâncimea h se

îndepărtează de cea critică.

Adâncimea teoretică pe bief de lungime nedefinită în zona a este

cuprinsă în limitele: ( )∞= ,0hh .

O analiză succintă a funcţiei (13.29) permite stabilirea asimptotelor şi

direcţia curburii suprafeţei libere, astfel:

- în amonte h→h0, K→K0 rezultând dh/dl→0, deci în partea superioară

suprafaţa liberă tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme;

148

- în aval h→∞, K→∞, N→∞, deci K02/K2

→0 şi Ncr/N→0. Astfel

dh/dl→I, în partea inferioară suprafaţa liberă tinde asimptotic la orizontală.

Forma curbei este concavă şi teoretic se întinde în amonte la infinit.

Practic curba se consideră terminată unde adâncimea h în mişcare lent variată

diferă puţin de adâncimea normală h0.

Rezultatele analizelor sunt centralizate în tabelul 13.3. zona a. Forma

curbei la o barare corespunde fig. 13.11.

h h

h

N

N

0 < I< Ic r

a

c r 0

1

C

C

Fig. 13.11. Curba de supraînălţare a1 la bararea unui curent lent.

10.b. Zona b este caracterizată prin hcr < h < h0, deci K < K0 şi N >

Ncr. Numărătorul ecuaţiei (13.29) este negativ, iar numitorul pozitiv, deci dh/dl < 0, adâncimea scăzând din amonte spre aval ca şi energia specifică a secţiunii

(conform 13.15). Adâncimea curentului hє(h0, hcr). Curba suprafeţei libere

coborâtoare are formă convexă şi este de tipul b1 (fig. 13.10).

Asimptotele suprafeţei libere sunt:

- în amonte h→h0 (analiza este identică cazului a) şi suprafaţa liberă

tinde asimptotic la suprafaţa corespunzătoare mişcării uniforme;

- în aval h→hcr, respectiv N→Ncr şi dl/dh→−∞ care arată că în aval

teoretic curba b1 are asimptotă normala la linia adâncimilor critice. Rezultatele

analizelor corespund zonei b din tabelul 13.3.

Întrucât în apropierea adâncimii critice mişcarea nu mai respectă ipoteza

de lent (gradual) variată, curbura liniilor de curent este importantă, practic în

zona terminală aval, (13.29) nu mai este valabilă. Adâncimea h în jurul

adâncimii critice are variaţie rapidă în lungul curentului şi suprafaţa liberă se

dispune după altă lege decât (13.29).

Astfel de curbe coborâtoare b1 se întâlnesc pe canale cu pantă

caracteristică stării lente (0 < I < Icr) la căderi sau creşteri bruşte ale pantei

(fig. 13.12).

Fig. 13.12. Curba de coborâre b1

la o cădere pe canal.

Analiza curbelor suprafeţei libere în mişcare lent variată pentru 0 

> 0

0KK >

> 0

crNN >

> 0

> 0

pozitivă

supraînălţare

a1

b crhh

hh

>

< 0

0KK <

< 0

crNN >

> 0

< 0

negativă

coborâre

b1

c crhh

hh

<

< 0

0KK <

< 0

crNN <

< 0

> 0

pozitivă

supraînălţare

c1

În calcule curba b1 se întinde în amonte teoretic la infinit, iar practic

până adâncimea amonte pe curba b1 diferă cel mult cu eroarea de calcul faţă h0.

În partea aval, în apropierea adâncimii critice ipoteza curburii mici nu mai este

valabilă, deci în aval curba b1 se consideră terminată unde încă se poate accepta

curbura mică a liniilor de curent.

10.c. - Zona c este caracterizată prin 0 < h < hcr, deci K < K0 şi

N < Ncr. Atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt negative, deci

dh/dl > 0 (conform tabelului 13.3 zona c), deci adâncimea creşte spre aval după

o curbă de supraînălţare de tipul c1. Energia specifică a secţiunii scade spre

aval, iar adâncimea se aproprie de adâncimea critică.

În capătul aval al curbei c1, h→hcr, respectiv N→Ncr şi numitorul

ecuaţiei (13.29) tinde la zero, fapt care arată că la hcr în mişcare are loc o

discontinuitate. În apropierea adâncimii critice curbura liniilor de curent este

pronunţată, nu se respectă ipoteza mişcării gradual variate. În apropierea

adâncimii critice mişcarea este descrisă de altă lege, a mişcării rapid variate

h

h

N

N

C

C

0<I<Icr

b0

cr

1

150

(care se prezintă în capitolul 14). Alura curbei este concavă, fiind prezentată în

(fig. 13.10).

Astfel de curbe c1 sunt frecvente în practică, când într-un canal cu

0 < I < Icr o construcţie (stavilă parţial ridicată, barare cu deversor) produce

mişcarea în stare rapidă (fig. 13.13). Curbele de tipul c1 se întâlnesc la

racordarea biefurilor (cap. 15).

C

C

N

N

I< Ic rc 1

C

C

N

N

Fig. 13.13. Forme de curbe de supraînălţare tip c1.

20. Cazul pantei pozitive, starea rapidă a mişcării uniforme I > Icr.

În cazul albiei cu mişcare uniformă în stare rapidă curentul este divizat

de liniile fundului, luciului apei în mişcare uniformă şi linia adâncimii critice

tot în trei zone a, b, c (conform fig. 13.9.b). Adâncimea curentă h poate fi

situată în aceste zone.

20.a. Zona a este caracterizată prin h > hcr

> h0, rezultând K > K0 şi N > Ncr, atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitive, deci

dh/dl > 0, ceea ce arată că adâncimea curentului în mişcare gradual variată

creşte spre aval. Adâncimea aparţine domeniului hє(hcr, ∞). În aval h→∞, astfel K→∞ şi N→∞, rezultând dh/dl→I, deci curba de supraînălţare convexă

a suprafeţei libere tinde asimptotic la un plan orizontal. În partea amonte

h→hcr, N→Ncr şi numitorul ecuaţiei (13.29) tine la zero, care indică

discontinuitate a funcţiei şi mişcării pentru h = hcr. Asimptota la curba teoretică

a suprafeţei libere este normala la linia adâncimilor critice. În apropierea

adâncimii critice nu se respectă ipoteza mişcării lent variate, curbura liniilor de

curent este importantă şi fenomenul fizic de fapt este descris de altă lege. Curba

de supraînălţare a2 este redată în (fig. 13.14). Rezultatele analizei corespund

tabelului 13.4.

h

h

C

C

N

N

a

b

c

a

b

c

2

2

2

0

c r

Fig. 13.14. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii rapide I > Icr.

În practică curbe de supraînălţare a2 se formează în canale rapide la

bararea acestora cu stăvilare, deversoare, praguri (fig. 13.15).

N

N

C

C

I>Icr

2

C

C

N

NI>Icr

2

Fig. 13.15. Forme de curbe de supraînălţare tip a2.

Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I > Icr. Tabelul 13.4

Zona

crhh

hh

⋮

⋮ 0

0KK ⋮

Semn

numărător

0/ ⋮dlde

crNN ⋮

Semn

numitor

0/ ⋮dldh

Tip curbă

a crhh

hh

>

> 0

0KK >

> 0

crNN >

> 0

> 0

pozitivă

supraînălţare

a2

b crhh

hh

>

< 0

0KK >

> 0

crNN <

< 0

< 0

negativă

coborâre

b2

c crhh

hh

<

< 0

0KK <

< 0

crNN <

< 0

> 0

pozitivă

supraînălţare

c2

Energia specifică a secţiunii în lungul curbei a2 creşte spre aval

(de/dl > 0), adâncimea se îndepărtează de adâncimea critică spre aval.

152

20.b. Zona b este caracterizată de h0 < h < hcr. Pentru h > h0 rezultă

K > K0, deci numitorul ecuaţiei (13.29) pozitiv, iar h < hcr implică N < Ncr,

deci numitorul negativ, pe ansamblu dh/dl < 0 arătând faptul că adâncimea în

mişcarea gradual variată scade spre aval. Suprafaţa liberă concavă este o curbă

de coborâre tip b2 (v.fig.13.14). În amonte h→hcr, N→Ncr arată că asimptota la

curba teoretică este normala la linia adâncimilor critice însă în apropierea

adâncimii critice curbura liniilor de curent este importantă, nu se respectă

ipoteza mişcării lent variate şi mişcarea aici este guvernată de alte legi.

În aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval suprafaţa liberă a apei

tinde asimptotic la suprafaţa caracteristică mişcării uniforme.

Curba b2 spre aval se îndepărtează de linia adâncimilor critice, K > K0,

deci energia specifică a secţiunii creşte spre aval (pierderile de energie prin

frecare în curent sunt inferioare câştigului de energie pe seama pantei (energie

de poziţie) care permite accelerarea curentului lichid. Rezultatele analizelor

corespund zonei b din tabelul 13.4.

În practică curbe de coborâre b2 se întâlnesc pe canale rapide – jilipuri

(fig. 13.16).

Fig. 13.16. Curbă de coborâre b2 pe jilip.

2

0.c. Zona c este caracterizată de hє(0, h0), astfel pentru h < h0 şi

K < K0, rezultă numărătorul ecuaţiei (13.29) negativ şi h < hcr, N < Ncr,

numitorul este tot negativ, deci dh/dl > 0 arată creşterea adâncimii spre aval

după o curbă de supraînălţare convexă de tipul c2. În amonte adâncimea poate

descreşte nedefinit, iar în aval h→h0, K→K0 şi dh/dl→0 arată că în aval curba

c2 tinde asimptotic la linia adâncimilor normale. Forma curbei corespunde

(fig. 13.14), iar analizele sunt centralizate în tabelul 13.4 (zona c). Cum

de/dl < 0, energia specifică a secţiunii scade spre aval, în lungul curbei c2

adâncimea creşte spre adâncimea critică.

Curbe c2 se întâlnesc pe canale rapide la schimbare de pantă sau după

un evacuator pe canal rapid care realizează adâncimi la evacuare inferioare

adâncimii normale (fig. 13.17).

C

C

N

N

bI I c r

2


C

NN

N

N

C

I>IcrI>Icr

2

2

1

1

1

c2

2

C

N

c 2

I>Icr

h c

Fig. 13.17. Forme ale curbei de supraînălţare c2.

30. Cazul stării critice a curentului I = Icr.

Curentul în acest caz este caracterizat prin h0 = hcr şi prin

suprapunerea celor două adâncimi zona b dispare, rămânând zonele a şi c (v.

fig. 13.9.c). Adâncimea curentă h în mişcare gradual variată poate fi situată în

cele două zone menţionate.

30.a. Zona a este caracterizată prin h > h0

= hcr, rezultând K > K0 şi

N > Ncr, deci atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt pozitivi,

deci dh/dl > 0, adâncimea curentului crescând din amonte spre aval după o

curbă de supraînălţare tip a3 (fig. 13.18). Energia specifică a secţiunii de/dl > 0

astfel şi aceasta creşte spre aval odată cu îndepărtarea adâncimii de cea critică.

În aval h→∞, K→∞, N→∞ rezultând dh/dl = I = Icr. Practic curba

suprafeţei libere este o orizontală.

În amonte h→hcr=h0 apare nedeterminare în ecuaţie, de fapt mişcarea în

apropierea adâncimii critice este guvernată de altă lege, nu a mişcării gradual

variate.

Fig. 13.18. Suprafaţa liberă în mişcare gradual variată în albii critice I = Icr.

Racordarea nivelului amonte depinde în special de adâncimea normală

a curentului şi are loc prin mişcare rapid variată. Acest tip de curbă se

întâlneşte la racordarea unui canal în stare rapidă la un rezervor (fig. 13.19).

h = h

c

a=N = C

=N = C0 c r

3

3

154

Fig. 13.19. Curba de supraînălţare a3 şi formele de racordare

cu nivelul din canal în stare critică.

Rezultatele analizelor sunt sintetizate în tabelul 13.5.

Analiza curbei suprafeţei libere în mişcare gradual variată pentru I=Icr

Tabelul 13.5

Zona

crhh

hh

≡0

0⋮

0KK ⋮

Semn

numărător

0/ ⋮dlde

crNN ⋮

Semn

numitor

0/ ⋮dldh

Tip curbă

a crhh

hh

≡

>

0

0

0KK >

> 0

crNN >

> 0

> 0

pozitivă

supraînălţare

a3

c crhh

hh

≡

<

0

0

0KK <

< 0

crNN <

< 0

> 0

pozitivă

supraînălţare

c3

30.b. Zona c este caracterizată prin h < h0 ≡ hcr, rezultând K < K0 şi

N < Ncr, respectiv atât numărătorul cât şi numitorul ecuaţiei (13.29) sunt

negative, astfel încât dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte din amonte

spre aval după o curbă de supraînălţare tip c3 (fig.13.18). De fapt adâncimea

creşte astfel încât defineşte o suprafaţă orizontală. Energia specifică a secţiunii

scade spre aval, adâncimea în lungul curentului creşte spre adâncimea critică.

În amonte adâncimea poate descreşte nedefinit, iar în aval se racordează

cu adâncimea normală în stare critică. Rezultatele analizelor corespund

tabelului 13.5, zona c.

Curba de supraînălţare c3 se întâlneşte la racordare, la schimbarea de

pantă a biefurilor rapide cu biefuri cu Icr sau la ieşirea de sub un stăvilar sau

trecere peste deversor, bieful aval având pantă critică (fig. 13.20).

h = h

I= Ic r

a

0 c r

3


I>IcrI=Icr

CCc

I=Icr

CCc

3

3

Fig. 13.20. Curbe de supraînălţare c3.


în mişcare permanentă gradual variată pentru I = 0.

Panta canalului fiind nulă mişcarea uniformă nu poate avea loc şi

astfel axa normală a curentului teoretic este la infinit. Există doar axa critică şi

linia fundului care împarte mişcarea în două domenii b şi c, respectiv peste şi

sub axa critică (fig. 13.21). Mişcarea are loc datorită „consumului” din energia

specifică potenţială (adâncime) sau cinetică.

Ecuaţia diferenţială (13.10) se particularizează pentru I = 0, devenind:

3

2

2

2

1A

B

g

QK

Q

dl

dh

⋅−

−=

α (13.10’)

În această ecuaţie, asemănător (13.3.1), se face modificarea

numitorului, notând:

crcr

cr NB

A

g

Q==

32α,

şi B/A3 = N, obţinându-se:

N

NKQ

dl

dh

cr−

−=

1

/ 22

(13.30)

Fig. 13.21. Suprafaţa liberă în mişcare

gradual variată în albii orizontale, I = 0.

C C

b

c c

b

I=0

0

0

156

10. Zona b este caracterizată prin h > hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30)

este negativ (Q şi K au valori pozitive finite), iar numitorul pozitiv, întrucât

N > Ncr, deci dh/dl < 0. Adâncimea curentului scade spre aval în lungul unei

curbe de coborâre convexe de tipul b0. În partea amonte a curbei adâncimea

poate creşte nedefinit, iar în aval, când h→hcr, în ecuaţia (13.30) apare

discontinuitate. Curba teoretică b0 în partea sa aval are tangentă o verticală,

normală la linia adâncimii critice. În apropierea adâncimii critice variaţia

adâncimii nu respectă ipoteza mişcării gradual variate, curbura firelor de curent

fiind importantă. Energia specifică a secţiunii scade spre aval, adâncimea

curentă spre aval descreşte spre adâncimea critică. În practica inginerească

astfel de curbe b0 se formează în canale construite în palier.

2

0. Zona c este caracterizată prin h < hcr. Numărătorul ecuaţiei (13.30)

rămâne neschimbat (ca în cazul 10), iar numitorul negativ (N < Ncr), rezultând

dh/dl > 0, deci adâncimea curentului creşte spre aval, variind teoretic în

intervalul hє(0, hcr). În albie se formează o curbă de supraînălţare concavă de

tipul c0 (fig.13.21). În amonte adâncimea poate să coboare nedefinit, iar în aval,

când h→hcr, apare discontinuitate în ecuaţia (13.30), care arată că spre aval

curba suprafeţei libere tinde asimptotic la normala la adâncimea critică. În

apropierea adâncimii critice mişcarea este rapid variată şi este descrisă de altă

lege.

Astfel de curbe c0 iau naştere în albii orizontale la ieşirea curentului de

apă de sub stavile sau la trecerea peste deversoare.


în mişcarea permanentă gradual variată pentru I < 0.

În cazul pantei negative mişcarea uniformă nu are sens fizic. În ecuaţia

(13.10) se evidenţiază valoarea negativă a pantei prin înlocuirea I’=|I|, obţinând:

3

2

2

2

1A

B

g

QK

QI

dl

dh

⋅−

−′−=

α (13.10’’)

Numitorul ecuaţiei se transformă identic cu cele descrise la (13.3.1), obţinând:

N

N

K

QI

dl

dh

cr−

+′−

=

1

2

2

(13.31)

Curentul este împărţit de axa critică C - C în subdomeniile b şi c (fig. 13.22).

Numărătorul ecuaţiei totdeauna este negativ şi arată că energia specifică a

secţiunii scade spre aval pentru ambele subdomenii.

Fig. 13.22. Suprafaţa liberă în mişcarea

gradual variată în canale cu pantă

negativă I < 0

1

0. Zona b este caracterizată prin h > hcr, rezultând N > Ncr, deci

numitorul ecuaţiei (13.31) este pozitiv, obţinându-se dh/dl < 0. Adâncimea

curentului scade spre aval după o curbă de coborâre convexă tip b’. Adâncimea

în aval scade spre adâncimea critică astfel şi energia specifică a secţiunii scade

tinzând spre valoarea sa minimă la hcr. În amonte adâncimea poate creşte

nedefinit în funcţie de lungimea albiei, iar în aval, când h→hcr în ecuaţia

(13.31) apare nedeterminare, care arată că suprafaţa liberă teoretică tinde

asimptotic la normala liniei adâncimii critice. În vecinătatea adâncimii critice

curbura liniilor de curent este pronunţată, nu respectă ipoteza mişcării gradual

variate, deci în această zonă curgerea este rapid variată şi este guvernată de alte

legi. Astfel de curbe ale suprafeţei libere se întâlnesc în canale cu dublu flux.

2

0. Zona c este caracterizată prin h < hcr, respectiv N < Ncr, rezultând

dh/dl > 0 şi creşterea adâncimii spre aval în mişcare lent (gradual) variată.

Curba suprafeţei libere de supraînălţare este concavă de tipul c1.

Spre aval când adâncimea tinde către adâncimea critică este valabilă

constatarea de la punctul 10. Curbe c’ ale suprafeţei libere se întâlnesc în cazuri

asemănătoare curbelor c0, canalul având însă pantă negativă.

hI<0

b

c

c

b'

'

cr

C


158

13.4. METODE DE CALCUL ALE CURBELOR SUPRAFEŢEI

LIBERE ÎN ALBII CILINDRICE ŞI PRISMATICE.

Integrarea ecuaţiei diferenţiale ale mişcării permanente lent variate

(13.10) a avut o evoluţie lungă datorită dificultăţilor de ordin matematic. Există

mai multe soluţii de integrare în cazuri particulare sau aproximaţii, în forme

analitice sau grafice, majoritatea lor prezentând mai mult importanţă istorică. În

cele ce urmează se vor prezenta două metode: prima posibilă de aplicat şi în

cazul unui calcul manual, iar al doilea prin metoda diferenţelor finite.

13.4.1. Exponentul hidraulic al albiei.

Pentru orice albie de formă regulată este satisfăcută relaţia

exponenţială:

x

h

h

K

K

′

′′=

′

′′2

(13.32)

în care: K’ este modulul de debit corespunzător adâncimii h’; K’’ – modulul de

debit corespunzător adâncimii h’’, iar x un exponent constant pentru o albie

dată şi care depinde de forma secţiunii transversale şi rugozitate, purtând

numele de exponentul hidraulic al albiei. Relaţia (13.32) nu are fundamentare teoretică strictă şi în general este

aproximativă. A fost propus de B. A. Bahmetev pentru a putea integra ecuaţia

diferenţială a mişcării gradual variate (13.10).

Curba

)(1 hfRACK == (13.33)

caracterizează dependenţa modulului de debit şi adâncime (curba plină din

fig.13.23), iar

)(2

2/ hfhK x =⋅= χ (13.34)

aproximează modulul de debit printr-o funcţie de altă formă (curba punctată

din fig. 13.23).


Fig. 13.23. Variaţia modulului de debit

cu adâncimea şi aproximaţia sa.

Luând pe curba (13.34) punctele M’(K’, h’) şi M’’(K’’, h’’) corespunzătoare intervalului de adâncime hє(h’, h’’) prin logaritmarea ecuaţiei

(13.32) se obţine exponentul hidraulic al albiei:

h

hK

K

hh

KKx

′

′′′

′′

=′−′′

′−′′=

lg

lg

lglg

lglg2 (13.35)

În acest mod se obţine relaţia (13.34), care este o relaţie aproximativă a

modulului de debit pe intervalul de adâncime considerat.

Trecând relaţia (13.35) la limită, pentru h’→h’’ se obţine:

hd

Kdx

lg

lg2= (13.36)

care este exponentul hidraulic al albiei la adâncimea dată h.

Dacă coeficientul Chézy C se calculează după o relaţie monomă cu

exponent y=const., pentru albii regulate există posibilitatea calculării unor

relaţii pentru exponentul hidraulic al albiei prin dezvoltări în serie. În general

valorile exponentului hidraulic sunt cuprinse între 2...6. Tehnica actuală de

calcul permite obţinerea cu uşurinţă a exponentului hidraulic al albiei din

relaţia (13.35).

Conform relaţiei (13.32) indicele hidraulic x ar fi constant. Calculând

x din (13.35) acesta reprezintă o valoare medie a indicelui x, situată între x’ şi x” corespunzători adâncimilor h’ şi h’’. În urma celor arătate se pot rezuma următoarele:

- dacă pentru coeficientul C se utilizează o relaţie monomă cu puterea

y = const., atunci pentru albii largi dreptunghiulare şi parabolice, albii

dreptunghiulare înguste şi albii triunghiulare, indicele x nu depinde de h, deci

relaţia (13.32) se poate considera exactă;

h

K

M'

M'' K=AC R

K= h

h''

h'

K' K''

x/2


160

- pentru albii dreptunghiulare, parabolice (excepţie cele menţionate

anterior), eliptice, circulare, trapezoidale etc. x depinde de h şi relaţia (13.32)

este aproximativă;

- pentru albii neregulate şi regulate închise, relaţia (13.32) este

neriguroasă, însă este posibilă folosirea ei în calcule practice.

Relaţii explicite de calcul aproximativ al exponentului hidraulic al

albiei sunt prezentate în (tab. 13.6).

Exponentul hidraulic al albiei pentru secţiuni particulare.

Tabelul 13.6

Forma albiei Relaţia de calcul pentru x Valorile lui x

pentru y = 1/6

Observaţii

trapez isoscel

( )

( )2

2

12

1221

123

m

my

m

myx

++

++−

−

+++=

β

β

-

m –

coeficient

unghiular al

taluzului

h

b=β

dreptunghi ( ) ( )

2

22123

++−+=

βyyx

2

66,233,3

+−

β

h

b=β

dreptunghi

foarte larg

( )y23 +≈

33,3≈

dreptunghi

foarte îngust

2≈

2≈

triunghi

( )y25 +≈

33,5≈

parabolă

foarte largă

( )y24 +≈

3,4≈

Există şi grafice pentru determinarea exponentului hidraulic al albiei x.

13.4.2. Soluţionarea ecuaţiei mişcării gradual variate în albii

regulate prin metoda exponentului hidraulic al albiei

(B. A. Bahmetev)

Integrarea ecuaţiei diferenţiale a mişcării permanente lent variate

(13.10) se face separat pentru următoarele categorii de pantă: panta talvegului

pozitivă (I > 0), nulă (I = 0) şi negativă (I < 0), relaţia necesitând transformări

de formă diferite.

10. Integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual

variate în albii regulate cu pantă pozitivă Integrarea ecuaţiei (13.10) presupune modificarea formei acesteia, atât

la numărător cât şi la numitor punându-se în evidenţă (K0/K)2, rezultând:

2

0

2

2

0

1

1

−

−

=

K

K

gP

BIC

K

K

Idl

dh

α (13.37)

Se notează,

gP

BICj

2α= (13.38)

obţinând:

2

0

2

0

1

1

−

−

=

K

Kj

K

K

Idl

dh (13.39)

Adâncimea relativă având notaţia:

0/ hh=η (13.40)

se obţine η0hh = sau în formă diferenţială ηdhdh 0= . Raportul (K0/K)2 se

înlocuieşte din relaţia de definiţie a exponentului hidraulic al albiei:

xx

h

h

K

K

=

=

η

10

2

0 ,

în (13.39) obţinându-se:


162

j

Ij

Idl

dhx

x

x

x

−

−=

−

−

=η

η

η

ηη 1

11

11

0 (13.41)

în care variabilele sunt l şi η. După separarea variabilelor obţinem:

( )1

10 −

−+=x

djddl

h

I

η

ηη (13.42)

Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, aflate la distanţa L1

respectiv L2 de origine, cu notaţia L = L1 - L2, respectiv η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0,

conform fig. 13.24, rezultând:

Fig. 13.24. Condiţiile integrării ecuaţiei

(13.10) pentru I > 0.

( ) ( )∫ −−+−=−

2

11

11212

0

η

η η

ηηη

x

djLL

h

I (13.43)

Atât j cât şi x depind de h, însă pentru tronsoane de canal cu variaţie limitată a

adâncimii hє(h1, h2), j poate fi considerată constantă la valoarea sa medie,

rezultând:

( )∫ −−+−=

2

11

112

0

η

η η

ηηη

xm

djL

h

I (13.44)

Introducând notaţia:

( ) ∫ −−=

1,

x

dx

η

ηηϕ (13.45)

se obţine:

( ) ( ) ( )[ ]112212

0

,,1 xxjLh

Im ηϕηϕηη −−−−= (13.46)

h h

LL

L

h

Q=c

I>0

N

N

0 1 2

0 1

2

1

2

S-au notat: L – lungimea tronsonului de canal la capetele căruia sunt

caracteristice h1 în amonte şi h2 în aval, η1 = h1/h0 şi η2 = h2/h0 fiind adâncimile

relative la capetele tronsonului faţă de adâncimea normală h0.

m

mmm Pg

BCIj

⋅

⋅⋅⋅=

2α. (13.47)

Valorile medii Cm, Bm şi Pm se pot calcula ca medie a mărimilor C1, B1 şi P1

respectiv C2, B2 şi P2. Chiar la un calcul al lui jm cu elementele Cm, Bm şi Pm

determinate cu adâncimea mediată 2

21 hhhm

+= , valoarea sa diferă

nesemnificativ faţă de calculul anterior.

Funcţia φ(η, x) se calculează prin dezvoltare în serie, astfel:

- pentru η<1

( ) ...13121

,13121

++

++

++

+=+++

xxxx

xxx ηηηηηϕ , (13.48)

iar pentru η>1

( ) ...13121

,31211

+−

+−

+−

=−−−

xxxx

xxx ηηηηϕ (13.49)

Constantele de integrare ale funcţiei (13.45) au fost considerate nule,

iar valorile pentru diferite perechi de valori (η, x) sunt intabulate în anexe.

Pentru valori η şi x intermediare celor existente în tabele se permite

interpolarea liniară, după relaţiile:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]12

12

11 ,,,, xx

xx

xxxx ηϕηϕηϕηϕ −

−

−+= (13.50)

( ) ( ) ( ) ( )[ ]xxxx abab

aa ,,,, ηϕηϕ

ηη

ηηηϕηϕ −

−

−+= (13.51)

şi schema:

η x x1 ... x ... x2

ηa

⋮

η

⋮

ηb

φ(ηa, x1) ... φ(ηa, x) ... φ(ηa, x2)

⋮

φ(η, x)

⋮

φ(ηb, x1) ... φ(ηb, x) ... φ(ηb, x2)

164

Observaţii: 1

0.a. În albii de pământ cu rugozitate mare la calculul curbei a1 se

poate considera j = 0, acesta având influenţă mică asupra calculelor. Pentru

celelalte tipuri de curbe parametrul j trebuie luat în calcul. Deşi j depinde de

adâncime el s-a considerat constant la integrare. Pe un sector de canal cu

mişcarea permanentă gradual variată modificarea parametrului j cu adâncimea

în calculul suprafeţei libere, este neglijabilă în majoritatea cazurilor. Parametrul

j trebuie considerat la valoarea sa medie, determinată cu (13.47). Eventual se

poate impune o condiţie de toleranţă relativă pentru j, astfel:

jj

jj

m

δ<− 21 (13.52)

10.b. Indicele hidraulic al albiei se determină cu relaţia (13.35),

considerând pentru calculul lui xi, parametrii h’ = h0 la care corespunde

K’ = K0 şi h” = hi la care corespunde K” = Ki. Asigurarea preciziei de calcul

impune limitarea abaterilor relative ale exponenţilor hidraulici ai albiei pentru

adâncimile de calcul, astfel:

xx

xx

m

δ<− 21 (13.53)

În calcule orientative abaterea relativă maximă poate fi δx = 0,1, iar la calcule

mai precise δx = 0,05.


variate în albii regulate orizontale.

În cazul pantei nule I = 0 ecuaţia (13.10’) trebuie modificată faţă de

parametri caracteristici axei critice a curentului, atât la numărător, cât şi la

numitor se evidenţiază termenul (Kcr/K)2.

Cu schimbarea 2

2

2

2

K

KI

K

Q crcr= respectiv

22

3

2

⋅=

⋅

K

K

P

B

g

CI

A

B

g

Q crcrαα şi

notaţia:

P

B

g

CIj cr

cr

2⋅⋅=

α (13.54)

se obţine:


2

2

1

−

−=

K

Kj

K

KI

dl

dh

crcr

crcr

(13.55)

Notând adâncimea relativă,

crh

h=ξ (13.56)

rezultă h = hcrξ, respectiv dh = hcrdξ. Înlocuind (K/Kcr)

2 = ξx , după înlocuire (13.55) devine:

x

cr

cr

xcr

xcrcr

j

Ij

I

dl

dh

ξ

ξ

ξξ

−=

−

−

=

1

1

,

respectiv după separarea variabilelor:

( ) ξξ djdlh

I xcr

cr

cr −= (13.57)

Se integrează ecuaţia pentru adâncimile curente h1 şi h2, caracteristice uneia din

curbele suprafeţei libere pentru albii orizontale, aflate la distanţele L1, respectiv

L2 de o origine. Se utilizează notaţiile L = L2 - L1 şi crh

h11 =ξ , respectiv

crh

h22 =ξ (fig. 13.25).

Fig. 13.25. Condiţiile integrării ecuaţiei

(13.10’) pentru I = 0.

Rezultă:

( ) ( )∫++ −

+−=−

2

1

1

1

1

2121

1ξ

ξ

ξξξ xxcr

cr

cr

xdjLL

h

I.

hh

h

L

C C

Q

I=0

1

cr 2

1

2

L

L

166

Acceptând pe tronsonul de calcul jcrm = const, rezultă:

( ) ( )1

1

1

2121

1 ++ −+

−−= xxcrm

cr

cr

xjL

h

Iξξξξ (13.58)

Calculatoarele simple permit efectuarea facilă a operaţiilor. Totuşi literatura

mai veche conţine şi forma:

( ) ( ) ( )[ ]112212 ,, xxjLh

Icrm

cr

cr ξϕξϕξξ −−−= (13.58’)

în care:

( )1

,1

+=

+

xx

xξξϕ (13.59)

Valorile funcţiei φ(ξ, x) sunt intabulate în anexe. Între valorile

intabulate se permite interpolarea liniară ca şi în cazul pantei pozitive.

Pentru calculul jcrm şi x trebuiesc respectate condiţiile descrise la pantă

pozitivă.


variate în albii regulate cu pantă negativă (I < 0).

În cazul canalelor cu pantă inversă, I < 0, se pleacă de la ecuaţia

(13.10”) unde, |I|=I’. Modificarea ecuaţiei se face faţă de o curgere virtual

inversă cu panta I’. Se pune în evidenţă (K0’/K)2 atât la numitorul cât şi la

numărătorul ecuaţiei, obţinând:

2

0

2

2

0

1

1

′

⋅

⋅⋅′⋅−

′+

′−=

K

K

Pg

BCI

K

K

Idl

dh

α (13.60)

Notând:

P

B

g

CIj

2⋅′⋅=′

α (13.61)

se obţine:

2

0

2

0

1

1

′′−

′+

′−=

K

Kj

K

K

Idl

dh (13.62)

Introducând adâncimea relativă

0h

h

′=ς (13.63)

cu forma diferenţială ςdhdh 0′= şi

( ) xKK ς/1/2

0 =′ , (13.62’)

ecuaţia (13.62) se transformă în

0 1x

x

h dI

dl j

ς ς

ς

′ +′=

′ − (13.64)

în care variabilele sunt l şi ζ. După separarea variabilelor se obţine:

( )1

110 +

+′+−=+

−′=

′

′xx

x djdd

jdl

h

I

ς

ςςς

ς

ς (13.65)

Se integrează ecuaţia pentru adâncimile h1 şi h2, caracteristice uneia

din curbele suprafeţei libere pentru albii regulate cu pantă inversă, aflate la

distanţele L1, respectiv L2 de origine. Se utilizează notaţiile L=L2-L1 şi

0

11 h

h

′=ς , respectiv

0

22 h

h

′=ς (fig. 13.26), obţinându-se:

Fig. 13.26. Condiţiile

integrării ecuaţiei (13.10”)

pentru I < 0.

hh

h h

L

Q

Q '

12

C

C

I < 0

1

2

c r

0'

12

L

L

168

( ) ( ) ( )2

1

2 1 2 1

0

11x

I dL L j

h

ς

ς

ςς ς

ς

′′− = − − + +

′ +∫ .

Variaţia j’ pentru intervalul adâncimilor (h1, h2) este mică şi se poate considera

j’m = const., obţinându-se

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 2 1 1

0

1 , ,m

IL j x x

hς ς φ ς φ ς

′′= − − + + − ′

(13.66)

cu notaţia:

( ),1x

dx

ςφ ς

ς=

+∫ (13.67)

Valorile φ(ζ, x) sunt întabulate în anexe, calculate prin dezvoltare în

serie a funcţiei (13.67), astfel:

- pentru ζ < 1:

( ) ...13121

,13121

1 ++

−+

++

−+=+++

xxxcx

xxx ςςςςςϕ (13.68)

iar pentru ζ > 1:

( ) ...13121

,31211

2 +−

−−

+−

−=−−−

xxxcx

xxx ςςςςϕ (13.69)

Constanta de integrare c1 = 0, iar constanta c2 se determină astfel ca

pentru ζ = 1 valorile funcţiei φ(ζ, x) calculate după (13.68) şi (13.69) să fie

egale, ceea ce corespunde condiţiei de continuitate a funcţiei.

Parametrul 'mj se calculează cu valorile mediate Bm, Pm şi Cm, fiecare

fiind media acestor parametri determinaţi adâncimilor h1 şi h2.

Calculul exponenţilor hidraulici ai albiei se realizează în mod

asemănător prezentat la punctul 1 şi pentru precizia calculului trebuie să se

satisfacă condiţia de toleranţă (13.53).

Soluţionarea calculului curbelor suprafeţei libere pentru toate cazurile

de pantă se poate realiza pe baza unui program unic de calcul automat, care

progresiv solicită datele de intrare.

În cazul depăşirii condiţiei de toleranţă a exponentului hidraulic se

înjumătăţeşte ecartul de adâncimi până la încadrarea în toleranţă.


13.4.3. Calculul suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată prin metoda diferenţelor finite

Calculele pentru trasarea suprafeţei libere a apei în mişcarea gradual

variată se pot efectua pe baza ecuaţiei energiei specifice şi conservării masei

sau prin trecerea la diferenţe finite a ecuaţiilor (13.8), în cazul albiilor oarecare,

sau (13.10) în cazul albiilor regulate.

10. Ecuaţia energiei (Bernoulli) în diferenţe finite

Mişcarea permanentă gradual variată în albii deschise are loc cu

modificarea lentă în spaţiu a parametrilor mişcării, fără curburi importante ale

firelor de lichid.

Prima lege aplicabilă acestor mişcări se referă la conservarea masei

exprimată de ecuaţia de continuitate (5.41).

constQAV ii == (5.41)

A doua lege se referă la conservarea energiei, exprimată de ecuaţia

energiei (6.51) conform fig. 13.27.

Fig. 13.27. Schemă pentru deducerea

ecuaţiei mişcării

Pentru distanţă finită ∆L între secţiunile 1-2, rezultă:

21

2

1111

2

2222

22−+++=++ hr

g

vpz

g

vpz

α

γ

α

γ (13.70)

Înlocuind pierderile prin

LK

Qhr ∆=− 2

2

21 (13.71)

iar p1 = p2 = pa se obţine:

LK

Q

g

vz

g

vz ∆++=+

2

22

111

2

222

22

αα (13.72)

∆

z

∆

z

0 0

L

Q = c

z

A h

Vh A

V

p12

2

2 2

2

1 1

1

1

a

170

sau

LK

Q

g

vvzzz ∆+

−=−=∆

2

22

22

2

1112

2

αα (13.73)

unde K este modulul de debit mediu pe tronsonul de calcul de lungime ∆L.

2

21 KKK

+= (13.74)

Relaţia (13.73) arată că pierderea medie de energie specifică pe tronsonul ∆L

este media aritmetică a pierderilor de energie de la capetele tronsonului.

Înlocuind vitezele medii din ecuaţia de continuitate se obţine:

LK

Q

AAg

Qzzz ∆+

−=−=∆

2

2

2

2

2

2

1

1

2

122

αα (13.75)

Dacă pe tronsonul de calcul intervin şi pierderi locale de energie,

efectul lor se poate introduce prin coeficienţii lor de rezistenţă hidraulică ζ

(13.75) devenind:

( ) LK

Q

AAK

Qzzz ∆+

−+=−=∆ ∑ 2

2

2

2

2

2

1

1

2

2

12 1αα

ς (13.76)

Calculul suprafeţei libere se realizează într-o direcţie, din aval spre

amonte sau invers, în funcţie de parametrii cunoscuţi.

Construirea curbei suprafeţei libere presupune cunoaşterea

parametrilor z, A, K, într-o secţiune precum şi Q, ∆L şi ζ. Tronsoanele de calcul

pot avea pas constant sau variabil. Este recomandabil ca tronsonul să prezinte o

pantă relativ uniformă. Pentru explicaţii se consideră secţiuni de pornire 1,

fiind cunoscute z1, h1, A1, K1, respectiv Q, ∆L şi ζ. Calculele se realizează prin

iteraţii succesive: se propune o valoare verosimilă z2’ determinând A2’, h2’, respectiv ∆z’ (din partea a doua a ecuaţiei (13.76)). Din prima parte a ecuaţiei

(13.76) rezultă:

zzz ′∆+=′′12 .

Dacă admzzz ε<′−′′22 , (εzadm fiind toleranţa pentru determinarea valorii

lui z2), calculul se consideră terminat. În caz contrar se adoptă o nouă valoare

lui z2 ca fiind media aritmetică:

2

222

zzz

′′+′=′′′ (13.77)

Iteraţiile se repetă până la satisfacerea condiţiei de toleranţă pentru

calculul valorii z2. Se poate accepta εzadm= 0,001. Calculul poate fi efectuat


manual sau după program. În cazul calculului manual datele se centralizează în

tabele de forma (tab. 13.7).

Calculul suprafeţei libere prin diferenţe finite în mişcarea gradual variată

Tabelul 13.7

Tronson

∆L (m)

Secţiunea 1 Secţiunea 2

Km (m

3/s)

∆z

Obs. z1

(m)

A1 (m

2)

K1 (m

3/s)

z2 (m)

A2 (m

2)

K2 (m

3/s)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Metoda diferenţelor finite este aplicabilă şi albiilor naturale, la care împărţirea

în sectoare de calcul trebuie să ţină seama ca panta să fie cât mai uniformă.

Pentru fiecare secţiune în parte trebuie cunoscute A = f1(h), P = f2(h), K = f3(h) care implică şi aprecierea corectă a rugozităţii în fiecare secţiune. Curbele

menţionate se întocmesc pe baza ridicărilor batimetrice. Este necesară şi

trasarea unui profil longitudinal riguros al albiei pentru evidenţierea sectoarelor

de calcul (având panta fundului relativ uniformă şi continuă).

20. Trecerea la diferenţe finite a ecuaţiei (13.8)

Conform fig. 13.1. ecuaţia (13.8) se scrie în diferenţe finite sub forma:

22

2 2

2

3

1

1

m m

mm m m

m

m

C RQ AI

g A lA C Rh

Bl Q

g A

α

α

⋅ ∆− −

⋅ ∆∆ =∆ ⋅

−

(13.78)

Ecuaţia este valabilă şi pentru albiile naturale nu numai albiilor de secţiune

regulată.

Aplicarea ecuaţiei trebuie realizată pe tronsoane de albie cu panta I uniformă, lungimea tronsonului de calcul ∆l poate fi variabilă. (Cu cât ∆l este

mai mic precizia calculelor creşte). Pentru cazul albiilor naturale este necesară

cunoaşterea în secţiunile de calcul a funcţiilor A = f1(h), P = f2(h), R = f3(h), C = f4(h), B = f5(h), care se determină prin ridicarea profilului longitudinal şi

secţiunilor prin măsurători topo-batometrice. Pentru albii regulate aceste funcţii

sunt calculabile.

Mărimile Am, Pm, Rm, Cm, Bm reprezintă valorile medii ale acestor

mărimi la capetele sectorului de calcul.

172

Conform fig. 13.1. calculul parcurge albia din amonte spre aval (se

poate şi invers) şi pentru Q, h1, A1, R1, n1, C1, B1 ∆l, n2 cunoscute presupune

următoarele:

- se presupune o valoare ∆h’ verosimilă rezultând h2’, A2’, R2’, C2’, B2’.

- se calculează valorile medii Am, Rm, Cm, Bm. - din (13.78) aplicată, rezultă ∆h” care se compară cu valoarea ∆h’ propusă.

În situaţia |∆h”-∆h’| < ε∆h calculul se consideră terminat, ε∆h fiind

toleranţa impusă pentru calculul lui ∆h. În caz contrar se refac calculele cu un

nou 2

hhh

′′∆+′∆=′′′∆ până la încadrarea în precizia de calcul impusă.

Precizia de calcul poate fi considerată ε∆h = 1 mm.

13.4.4. Construirea curbelor suprafeţei libere

pe râuri cu albie majoră sau albii bifurcate

La construirea curbei suprafeţei libere pe cursuri de apă cu albie

majoră sau ramificată, secţiunea transversală trebuie considerată o secţiune

compusă (fig. 13.28, 13.29).

As Ap

0

0

Ap As

Fig. 13.28. Albie compusă cu albie majoră – Ap şi albie minoră - As

brat sec

undar

bratprincipal

ls

lp

1

2Sect x-x

Fig. 13.29. Albie ramificată braţ principal – Ap, lp şi braţ secundar – As, ls


La albie compusă se împarte albia cu un plan vertical 0-0 în albie

minoră şi majoră, lungimea celor două fiind aceeaşi.

La albie ramificată lungimile braţului principal şi secundar pot diferi.

Debitul total transportat se poate considera suma debitelor pentru albia

principală şi secundară calculate separat:

sp QQQ += (13.79)

În capetele albiei compuse respectiv ramificate căderile de nivel sunt

identice:

sp zzz ∆=∆=∆ (13.80)

În calculul căderii se acceptă forma simplificată (neglijarea primului

termen) a ecuaţiei (13.75)

p

p

pp l

K

Qz

2

2

=∆ şi s

s

ss l

K

Qz

2

2

=∆ (13.81)

din care:

p

ppp l

zKQ

∆= şi

s

sss l

zKQ

∆= (13.82)

Pentru albii compuse ecuaţia de continuitate devine:

( )l

zKKQ sp

∆+= (13.83)

l fiind lungimea sectorului, iar pentru albii ramificate:

ps

p

sps

p

spp

p

l

z

l

lKK

l

lKK

K

QQ

∆

+=

+= (13.84)

S-au admis valorile medii ale modulelor de debit pe sector calculate la capetele

acestuia cu relaţia:

( )2

2

2

1

2

2

1KKK += (13.85)

13.4.5. Principalele tipuri de probleme la calculul suprafeţei

libere în mişcare permanentă gradual variată

Construirea suprafeţei libere în mişcarea permanentă gradual variată

întruneşte mai multe tipuri de probleme, principalele categorii fiind încadrate în

două grupe:


174

10. Cunoscând debitul Q, panta I, geometria albiei, şi două adâncimi,

se cere stabilirea distanţei dintre aceste adâncimi. Lungimea curbei se

determină din ecuaţiile (13.46, 13.58, 13.66 sau 13.78).

În calcule manuale se respectă următorul breviar:

- se calculează adâncimea normală h0 (unde este cazul) şi cea critică

hcr;

- în funcţie de pantă, adâncimi la capetele tronsonului h1, h2 şi

adâncimi normale şi critice se stabileşte tipul curbei;

- se calculează adâncimile relative (η, ξ sau ζ); - se calculează elementele geometrice B, A, P, I şi hidraulice C, K, j şi x, care se mediază;

- se verifică dacă x şi j pe sectorul de calcul, între adâncimi se

încadrează în toleranţă;

- în cazul neîncadrării lui x şi j în toleranţă se reconsideră adâncimile,

intervalul ∆h = |h1-h2| se înjumătăţeşte, recalculând una din adâncimile

caracteristice, scurtându-se sectorul de calcul. Cu noile valori se reface calculul

anterior prezentat;

- cu elementele determinate se calculează sau se extrag din tabele

valorile funcţiilor φ(η, x), sau φ(ξ, x),sau φ(ζ, x) care se interpolează;

- aplicând una din relaţiile (13.46, 13.58, 13.66, sau 13.78) se

calculează lungimea sectorului de albie.

20. Cunoscând debitul Q, panta albiei I, rugozitatea, lungimea sectorului

de calcul şi o adâncime la un capăt de sector se cere determinarea adâncimii la

celălalt capăt al sectorului. Problema se poate rezolva prin ambele metode

prezentate.

Prin metoda exponentului hidraulic al albiei, adâncimea necunoscută nu

este explicitabilă şi se apelează la aproximaţii succesive, utilizând procedeul de

la punctul 10. Se propune adâncimii necunoscute o valoare arbitrară verosimilă,

calculându-se lungimea sectorului care, apoi, se compară cu lungimea dată a

sectorului. În caz de diferenţe se modifică verosimil adâncimea necunoscută.

Calculele se consideră terminate când abaterea între lungimea dată şi cea

calculată este în intervalul abaterilor admisibile.

Calculele pot fi conduse şi prin metoda diferenţelor finite descrise la

13.4.3, paragraful 1.

Pentru calculul „remuurilor” după metoda exponentului hidraulic al

albiei sunt întocmite programe pentru calculul automat (un singur program


pentru metodă) cu limbaj conversaţional, facilităţi de calcul şi prezentare a

rezultatelor numeric şi grafic.

Aceleaşi afirmaţii sunt valabile şi pentru metoda diferenţelor finite.

În cazul construirii curbei suprafeţei libere în albii naturale, importanţă

mare trebuie acordată împărţirii cursului de apă în sectoare. Se lucrează cu

valori medii ale elementelor hidraulice (de la capetele tronsoanelor) care se

consideră caracteristici reale.

Împărţirea în sectoare de calcul se face diferit în funcţie de datele

hidrometrice disponibile. Când există profil longitudinal şi secţiuni transversale

se caută ca pe tronson suprafaţa liberă să aibă pantă constantă, secţiunea vie să

nu sufere variaţii bruşte. Se caută sectoare fără variaţie importantă a secţiunii,

în caz contrar sectoare convergente sau divergente. Diferenţele de nivel ale apei

pe sector nu trebuie să depăşească ∆z=0,75m (valoarea nu trebuie considerată

ca o limită absolută).

În cazul existenţei confluenţilor, secţiunea respectivă trebuie

considerată limită de sector pentru a fi respectată condiţia mişcării permanente

(Q = const.).

13.5. APLICAŢII

10. Să se construiască graficul energiei specifice în scţiunea

transversală a unui canal dreptunghiular, având b = 2,0 m, pentru debitele

Q1 = 1,0 m3/s, Q2 = 2,0 m

3/s şi Q3 = 3,0 m

3/s. Tot pentru aceste debite să se

calculeze elementele critice ale curentului în mişcarea uniformă (α = 1,05, n = 0,015).

Rezolvare. Energia specifică a secţiunii se obţine dând valori lui h

inferioare şi superioare lui hcr în ecuaţia (13.18), corespunzătoare secţiunii

dreptunghiulare.

ghb

Qhe

2

2⋅+=

α,

Rezultatele sunt date în (tab. 13.8) şi (fig. 13.30). Minima funcţiei este pe

dreapta crhe3

2= .

Din relaţia (13.21) se obţine adâncimea critică:

32

2

gb

Qhcr

⋅=

α,


176

iar din (13.24) şi (13.25) vcr şi Icr.

cr

cr A

Qv = ;

crcrcr

crRCA

QI

22

2

= .

Elementele sunt calculate în tab. 13.9.

Tabelul 13.8

Nr.

crt.

Q1 = 1,0 m3/s Q2 = 2,0 m

3/s Q3 = 3,0 m

3/s

h (m) e (m) h (m) e (m) h (m) e (m)

1 0,10 1,438 0,25 1,106 0,35 1,333

2 0,15 0,745 0,30 0,895 0,40 1,153

3 0,20 0,534 0,35 0,787 0,45 1,045

4 0,25 0,464 0,40 0,734 0,50 0,982

5 0,299 0,449 0,475 0,712 0,622 0,933

6 0,35 0,459 0,60 0,749 0,70 0,946

7 0,40 0,484 0,70 0,809 0,80 0,988

8 0,50 0,554 0,80 0,884 0,90 1,049

9 1,00 1,013 1,00 1,054 1,00 1,120

Tabelul 13.9

Q (m

3/s)

hcr (m)

Acr (m

2)

Pcr (m)

Rcr (m)

Ccr (m

0,5/s)

Icr

(10-3

)

vcr

(m/s)

emin (m)

1,00 0,299 0,598 2,598 0,230 52,20 4,45 1,671 0,449

2,00 0,475 0,950 2,949 0,322 55,19 4,52 2,106 0,712

3,00 0,622 1,244 3,244 0,384 56,83 4,69 2,411 0,933

b

h

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,10,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

e(m)

Q(m/s)3

1,0

2,0

3,0

h(m

)

h

h

e

1

2

Fig. 13.30. Graficul energiei specifice a secţiunii

pentru canalul dreptunghiular cu b = 2,0 m.


20. Să se determine starea mişcării uniforme într-un canal trapezoidal

cu b = 1,0 m, I = 0,2 ‰, h0 = 1,57 m, m = 1,5, n = 0,016 care transpotă debitul

Q = 4 m3/s, v = 0,757 m/s.

Rezolvare. Stabilirea stării curentului se face pe baza tabelului 13.2, în

prealabil calculându-se elementele critice ale curentului.

Din relaţia (13.17) prin aproximaţii succesive se determină hcr

(tab. 13.10).

Tabelul 13.10

Nr.

crt.

h (m)

A (m

2)

B (m)

A3/B αQ2/g

1 0,8 1,760 3,40 1,603

1,713

2 0,9 2,115 3,70 2,557

3 0,81 1,794 3,43 1,684

4 0,82 1,829 3,46 1,767

5 0,812 1,801 3,436 1,700

6 0,813 1,804 3,439 1,708

7 0,814 1,808 3,442 1,717

Elementele critice ale curentului şi secţiunii sunt: hcr = 0,813 m.

3

22

2

22

2

0,56/16/1

22

1056,3459,089,54804,1

4

/sm 89,54459,0016,0

11

m 459,0931,3

804,1

m 931,35,11813,02112

m/s 217,2804,1

0,4

−⋅=⋅⋅

==

===

===

=+⋅+=++=

===

crcrcrcr

crcr

cr

crcr

crcr

crcr

RCA

QI

Rn

C

P

AR

mhbP

A

Qv

Numărul Froude pentru curent este:

( ) ( )

067,057,15,1157,1

57,15,121

81,9

405,12

33

2

3

0

3

0

02

=⋅+

⋅⋅+⋅=

+

+⋅=

mhbh

mhb

g

QFr

α

Întrucât:

h0 = 1,57 m > hcr = 0,813 m

178

v0 = 0,757 m/s < vcr = 2,217 m/s

I = 0,2 ‰ < Icr = 3,56‰ Fr = 0,067 < Frcr = 1

rezultă că starea mişcării este lentă.

30. Să se dimensioneze un canal trapezoidal pentru transportul

debitului Q = 10 m3/s la profil hidraulic optim şi stare critică a mişcării

uniforme, cunoscând m = 1,5 şi n = 0,017. Rezolvare. Necunoscutele sunt h0, b, I însă h0 = hcr şi I = Icr. Pentru

calculul necunoscutelor se pot scrie ecuaţiile:

( )

B

A

g

Q

mmh

b

RIACQ

32

2

0

12

=⋅

−+==

=

α

β

ştiind:

( )( )

2

6/1

0

20

22

12

1

2

122

120

mhB

Rn

C

hR

mmhP

mmhA

+=

=

=

−+=

−+=

din condiţia stării critice rezultă:

( )

2

326

02

12

12

mh

mmh

g

Q

+

−+=

⋅α sau

( )5

32

22

0

12

12

mmg

mQh

−+

+⋅=

α,

deci:

( )m 328,1

5,15,11281,9

5,111005,125 3

2

22

0 =

−+

+⋅⋅=h

Din condiţia profilului hidraulic optim rezultă lăţimea la fund:


( ) ( ) m 804,05,15,11328,1212 220 =−+⋅=−+= mmhb ,

iar din ecuaţia mişcării uniforme, panta:

3

22

2

22

2

1062,3664,094,59713,3

10 −⋅=⋅⋅

==RCA

QI .

40. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei într-un tronson de

canal convergent, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 100 m3/s;

n = 0,016, b1 = 40 m, b4 = 15 m, L = 37,5 m, I = 1‰, h1 = 0,3 m, α = 1,1, g = 9,81 m/s

2 şi εz = 0,01.

b

L=15m L=15m L=7,5m

L=37,5m

∆ ∆ ∆

ΑΑ

Β

Β

1

2

3

4

40m

30m

20m

15m

Q

h

b

h

h

h

0,30

0,473

0,825

1,330

cr

0 C 1

Sectiunea B-B

Sectiunea A-A

h(m)

Fig. 13.31. Schema calculului nivelului pe un tronson de canal convergent.

Rezolvare. Soluţionarea problemei este posibilă prin aplicarea

diferenţelor finite în mişcarea gradual (lent) variată, (13.74), deşi modificarea

parametrilor geometrici şi hidraulici este importantă. Pasul de calcul al

lungimii ∆L trebuie să fie mic, astfel ca pe această distanţă firele de curent să

poată fi considerate drepte paralele. Micşorarea lăţimii canalului implică

modificarea continuă a adâncimii normale şi critice, întrucât b = f(L) intervine

prin expresiile (12.3) şi (13.17).

Pentru calcule se transcrie ecuaţia 13.17, pentru parcurgere sens din

amonte spre aval:

180

−=′′∆

∆+

−

⋅=′∆

+

+

1

2

2

22

1

2 11

2

ii

ii

zzz

LK

Q

AAg

Qz

α

,

cu zzz ε<′′∆−′∆ .

Adâncimea în secţiunea i+1 este:

ILhzzh iiii ⋅∆++−= ++ 11

Plecând cu elementele cunoscute în secţiunea 1 cu pasul ∆L se

calculează elementele secţiunii 2, apoi 3 şi 4. Rezultatele sunt prezentate în

(tab. 13.11). S-a considerat plan de referinţă orizontala care trece pe fundul

secţiunii 1.

Pentru secţiunea 3 sunt date iteraţiile calculului, iar alura suprafeţei

libere se observă din profilul longitudinal (fig. 13.31).

Adâncimile normală şi critică pentru cele 4 secţiuni au valorile

înscrise în (tab. 13.12) şi sunt redate tot în profilul longitudinal.

Tabelul 13.12.

Secţiunea b (m)

h0 (m)

hcr (m)

1 40 1,18 0,89

2 30 1,42 1,08

3 20 1,87 1,41

4 15 2,31 1,71

Întrucât nivelul este situat sub linia adâncimilor h0 şi hcr şi h0 > hcr

suprafaţa liberă este o curbă de tip c1.

Tabelul 13.11

Secţi-

unea

∆L (m)

b (m)

z (m)

h (m)

A (m

2)

R (m)

C (m

0,5/s)

K (m

3/s) 22

1

11

ii AA−

+

+

+22

1

11

2

1

ii KK

∆z’ ∆z”

1

40

0,30

0,30

12,00

0,296

51,01

332,8

15

-1,978*10-3

6,313*10-6

-0,162 -0,158

2

30

0,458

0,473

14,19

0,459

54,88

527,4

-6,945*10-4

2,660*10-6

+0,010 -0,292

3

20

0,75

0,765

15,30

0,711

59,04

761,5 -1,203*10-4

2,500*10-6

-0,299 -0,342

3

20

0,80

0,815

16,30

0,754

59,62

843,6 -1,293*10-3

2,473*10-6

-0,354 -0,352

3

20

0,81

0,825

16,50

0,762

59,73

860,4

7,5

-1,161*10-3

9,487*10-7

-0,508 -0,512

4

15

1,33

19,95

1,130

63,78

1353

50 Un jilip de secţiune dreptunghiulară, cu b = 1,20 m, n = 0,017,

I = 0,1 şi h0 = 0,6 m transportă debitul Q = 6 m3/s. Să se determine adâncimea

apei în capătul aval al jilipului ştiind adâncimea la intrare h1 = 1,20 m şi

lungimea L = 45 m. Se consideră α = 1,1, g = 9,81 m/s2 şi δx = 0,05.

h

h

h

h

L

b

1

c r

0

2

I

b2

Fig. 13.32. Schema curgerii pe jilip.

Rezolvare. Adâncimea critică este:

mgb

Qhcr 41,1

2,181,9

61,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

α.

Fiindcă h0 < hcr starea curgerii pe jilip este rapidă. În capătul amonte h1 = 1,2

m, este situat între h0 şi hcr, deci pe jilip suprafaţa apei se dispune după o curbă

de coborâre tip b2.

Adâncimea în capătul aval al jilipului se obţine prin calcule iterative a

lungimii, dând valori lui h2 în intervalul h1 şi h0. Prin aplicarea relaţiilor 13.4.2.

paragraful 1, se obţin valorile din (tab. 13.13).

Tabelul 13.13. Mărimea

h (m)

η A (m

2)

P (m)

Pm (m)

R (m)

C (m

0,57s)

Cm (m

0,5/s)

K (m

3/s)

jm x xm δx (%)

φ(η,x) L (m)

h0

0,6

-

0,72

2,40

-

0,300

-

-

18,97

-

-

-

-

-

-

h1

1,2

2,000

1,440

3,60

-

0,400

50,49

-

45,99

-

2,555

-

-

0,240

-

h2

0,700

1,170

0,840

2,600

3,100

0,323

48,73

49,61

23,26

10,68

2,648

2,601

3,6

0,725

23,20

0,63

1,05

0,756

2,46

3,03

0,307

48,32

49,41

20,25

10,84

2,680

2,618

4,8

1,112

45,8

0,631

1,052

0,757

2,462

3,031

0,308

48,33

49,41

20,29

10,84

2,678

2,616

4,7

1,103

45,25

0,632

1,053

0,758

2,464

3,032

0,308

48,33

49,41

20,34

10,84

2,680

2,617

4,8

1,091

44,77

Adâncimea în capătul aval al jilipului h2 = 0,631 m.

60. Un canal trapezoidal rectiliniu, având b = 1,5 m, m = 1, n = 0,016

şi I = 0,002 transportă debitul Q = 8 m3/s în mişcare uniformă. Un deversor

frontal ridică nivelul apei la adâncimea h = 2,3 m în secţiunea amonte de

deversor. Să se construiască curba suprafeţei libere a apei prin metoda

exponentului hidraulic al albiei şi prin diferenţe finite prin cel puţin 10 puncte.

Se consideră α = 1,05 şi δx = 0,01.

Rezolvare. Se calculează adâncimea normală a apei în mişcare

uniformă h0 = 1,30 m şi adâncimea critică hcr = 1,124 m.

Se stabileşte tipul curbei:

- h0 > hcr starea curgerii uniforme este lentă.

- h > h0 rezultă curbă în zona a de tipul a1.

a. Construirea suprafeţei libere prin metoda exponentului hidraulic al

albiei.

a.1. Se dau 10 valori adâncimii apei respectând condiţia

1,30 < h < 2,40 m conform fig. 13.33.

l1-2l2-3l3-4l4-5l5-66-7ll7-8l8-9l9-10

1,40

1,50

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

2,20

2,30h =1,124

h =1,30

cr

0

I=0,002

124 38 7 6 510 9

Fig. 13.33. Linia suprafeţei libere a apei în canal.

Aplicând ecuaţiile din 13.4.2. paragraful 1, se determină distanţele

dintre secţiunile învecinate lij. Calculul complet este prezentat pentru secţiunile

1 şi 2, celelalte rezultate fiind centralizate în tab. 13.14.

a.2. Se calculează A, P, B, R, C, K, pentru h1 şi h2 şi x faţă de h0. h1 = 2,30 m h2 = 2,20 m h0 = 1,30 m

( )mhbhA += A1 = 8,74 m2 A2 = 8,14 m

2 A0 = 3,64 m

2

212 mhbP ++= P1 = 8,00 m P2 = 7,72 m P0 = 5,18 m

PAR /= R1 = 1,092 m R2 = 1,054 m R0 = 0,703 m

6/11R

nC =

C1 = 63,42 m0,5

/s C2 = 63,05 m0,5

/s C0 = 58,94 m0,5

/s

RACK = K1 = 579,2 m3/s K2 = 526,9 m

3/s K0 = 179,9 m

3/s

mhbB 2+= B1 = 6,10 m B2 = 5,90 m B0 = 4,10 m

0

0

/lg

/lg2

hh

KKx =

x1 = 4,098 x2 = 4,085.

a.3. Exponentul hidraulic mediu este xm = 4,092 şi se verifică

încadrarea exponenţilor hidraulici în toleranţă.

01,0003,0092,4

085,4098,421 =⋅<=−

=−

xx

xx

m

δ .

a.4. Fiind satisfăcută condiţia de toleranţă lungimea l1-2 se poate stabili

cu un singur pas de calcul din relaţia:

( ) ( ) ( )[ ] xxjI

hL amavmamav ,,10 ηϕηϕηη −−−−=

653,086,781,9

00,6002,0235,6305,1 22

=⋅

⋅⋅⋅=

⋅=

m

mmm P

B

g

ICj

α

ştiind: Cm = 63,235 m0,5

/s; Pm = 7,86 m şi Bm = 6,00 m.

Adâncimile relative sunt:

769,130,1

30,2

0

11 ===

h

hη şi 692,1

30,1

20,2

0

22 ===

h

hη .

Se extrag din tabele φ(η, x) şi se interpolează, obţinând:


φ(η1, x1) = 0,0592 şi φ(η2, x2) = 0,0688, rezultând:

( )( )[ ] m 2,520688,00592,0653,01692,1769,1002,0

30,121 =−−−−=−l

b. Construirea suprafeţei libere prin metoda diferenţelor finite.

Pentru distanţele dintre secţiunile 1...10 din (tab. 13.14). se aplică ec.

(13.74) obţinând valorile din (tab. 13.15).

Iteraţiile calculelor pentru z, respectiv h nu sunt redate, ele având

mersul din 13.4.2. paragraful 2.

Compararea valorii adâncimilor din tabelele 13.14. şi 13.15. indică o

concordanţă bună a celor două metode când condiţiile de toleranţă sunt

respectate.

S-a luat planul de referinţă la baza secţiunii 1.

S-a calculat cu asemenea precizii pentru a pune în evidenţă

corectitudinea.

Elementele curbei de supraînălţare de tip a1 calculate după metoda exponentului hidraulic al albiei

Tabelul 13.14

Secţ.

h

(m)

η

A

(m2)

P

(m)

Pm (m)

R

(m)

C

(m0,5/s)

Cm

(m0,5/S)

K

(m3/s)

B

(m)

Bm (m)

jm

x

xm

∆x (%)

φ(η,x)

l

(m)

L

(m)

1

2,30

1,769

8,74

8,000

1,092

63,42

579,2

6,10

4,098

0,0592

0,000 7,860

63,235

6,00

0,653

4,092

0,30

52,2

2

2,20

1,692

8,14

7,720

1,054

63,05

526,9

5,90

4,085

0,0688

52,2

7,580

62,860

5,80

0,647

4,079

0,32

52,7

3

2,10

1,615

7,56

7,440

1,016

62,67

477,6

5,70

4,072

0,0805

104,9

7,299

62,470

5,60

0,641

4,065

0,36

53,7

4

2,00

1,538

7,00

7,157

0,978

62,27

431,1

5,50

4,057

0,0963

158,6

7,016

62,065

5,40

0,635

4,050

0,35

53,9

5

1,90

1,462

6,46

6,874

0,940

61,86

387,4

5,30

4,043

0,1153

212,5

6,733

61,645

5,20

0,628

4,035

0,40

56,3

6

1,80

1,385

5,94

6,591

0,901

61,43

346,4

5,10

4,027

0,1413

268,8

6,450

61,205

5,00

0,621

4,018

0,45

58,6

7

1,70

1,308

5,44

6,308

0,862

60,98

308,0

4,90

4,009

0,1762

327,4

6,167

60,745

4,80

0,615

4,001

0,40

62,8

8

1,60

1,231

4,96

6,025

0,823

60,51

272,3

4,70

3,993

0,2271

390,2

5,884

60,260

4,60

0,608

3,985

0,43

70,4

9

1,50

1,154

4,50

5,743

0,784

60,01

239,1

4,50

3,976

0,3069

460,6

5,602

59,750

4,40

0,600

3,966

0,50

90,2

10

1,40

1,077

4,06

5,460

0,744

59,49

208,3

4,30

3,956

0,4614

550,8

h0 1,30 - 3,64 5,18 - 0,703 58,94 - 179,9 4,10 - - - - - -

Elementele curbei de supraînălţare de tip a1 calculată după metoda diferenţelor finite

Tabelul 13.15

Secţi

une

l (m)

L (m)

h (m)

A (m

2)

R

(m)

C (m

0,5/s)

K

(m3/s)

2

1

2

11

+

−ii AA

(x10-3

)

+

+2

1

2

11

2

1

ii KK

(x10-6

)

∆Z1

(x10-3

)

∆Z2 (x10

-3)

Z (m)

1

0,000

2,300

8,740

1,092

63,421

579,18

2,3000

52,2

-2,001

3,291

4,40

4,14

2

52,20

2,200

8,140

1,054

63,050

526,92

2,3044

52,7

-2,405

3,993

5,40

5,23

3

104,9

2,100

7,560

1,016

62,667

447,58

2,3098

53,7

-2,944

4,888

6,40

6,72

4

158,6

1,999

6,995

0,978

62,266

430,63

2,3162

53,9

-3,522

6,028

8,80

8,73

5

212,5

1,900

6,460

0,940

61,856

387,37

2,3250

56,3

-4,379

7,500

12,6

16,6

6

268,8

1,800

5,940

0,901

61,426

346,38

2,3376

58,6

-5,510

9,450

16,2

16,6

7

327,4

1,699

5,435

0,862

60,972

307,67

2,3538

62,8

-6,950

12,06

24,6

24,7

8

390,2

1,598

4,951

0,822

60,496

271,59

2,3784

70,4

-8,878

15,60

39,8

39,9

9

460,6

1,497

4,487

0,782

59,996

238,09

2,4182

90,2

-11,633

20,51

78,4

78,6

10

550,8

1,395

4,039

0,742

59,462

206,80

2,4966


CAPITOLUL 14

MIŞCAREA PERMANENTĂ RAPID VARIATĂ

A LICHIDELOR CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ

Mişcarea permanentă rapid variată faţă de cea lent (gradual)

variată prezintă următoarele caracteristici mai importante:

- curbura liniilor de curent este mare, astfel încât repartiţia

presiunilor pe secţiunea vie A diferă de distribuţia hidrostatică, iar pierderile

de sarcină locale nu pot fi neglijate în raport cu cele liniare;

- domeniul D în care se produce mişcarea rapid variată este definit

de două secţiuni drepte S’ şi S’’ situate una faţă de alta la distanţa l = l’’ - l’ relativ mică. Forţele de vâscozitate de tip Newton la frontiera domeniului

sunt neglijabile faţă de forţele tangenţiale datorate vâscozităţii şi turbulenţei

din interiorul domeniului;

- în interiorul domeniului D există deseori zone de vârtejuri şi de

„apă moartă”, despărţite de curentul principal prin suprafeţe de

discontinuitate pentru viteze.

Datorită mai ales acestor zone, nu există în prezent o soluţie generală

pentru mişcările rapid variate. Există însă o metodă generală de studiu a

acestor mişcări. Ea se bazează în primul rând pe ecuaţia energiei care

stabileşte pierderile de energie, iar celelalte caracteristici ale mişcării se

determină cu ajutorul teoremei impulsului şi al ecuaţiei de continuitate.

Pierderile de energie iau naştere în interiorul domeniului şi nu sunt reflectate

în ecuaţia teoremei cantităţii de mişcare.

În acest capitol se studiază câteva mişcări rapid variate, mai des

întâlnite în practică, astfel: saltul hidraulic, mişcări neuniforme la

singularităţi în albii – prag urcător, coborâtor, prag de fund, pile.

14.1. SALTUL HIDRAULIC

Saltul hidraulic este fenomenul hidraulic de trecere a curentului de la

starea rapidă la cea lentă.

În capitolul 13 ecuaţia (13.8), respectiv (13.10) au permis analiza

formelor suprafeţei libere în mişcarea lent variată, însă s-a constatat că

pentru curbele care se apropie de hcr relaţiile în apropierea lui hcr nu sunt

valabile, curbura firelor de curent este mai mare. Pentru h = hcr apare


discontinuitate în ecuaţii. De fapt în apropierea şi la trecerea adâncimii

curente h prin adâncimea critică hcr, curbura firelor de curent este

pronunţată, se schimbă orientarea curburii firelor de curent sau apar

discontinuităţi în mişcare.

Fenomenul hidraulic de mişcare rapid variată prin care se face

trecerea de la starea rapidă a curentului – caracterizată de adâncimi

inferioare celei critice – la starea lentă – caracterizată prin adâncimi

superioare celei critice – se numeşte salt hidraulic. De fapt discontinuitatea

din ecuaţia (13.8) este rezolvată de natură prin saltul hidraulic, în domeniu

fiind prezente zone de curent principal, vârtejuri, zone de antrenare de aer în

curent care conturbă substanţial suprafaţa liberă.

Variaţiile parametrilor hidraulici prin salt nu sunt bruşte, ci rapide în

lungul saltului. Parte din energia cinetică a curentului prin salt se transformă

în energie potenţială, fenomenul însă este caracterizat prin pierderi

importante de energie.

Trecerea curentului de la starea lentă la stare rapidă (ex. schimbare

de pantă) se face fără conturbarea suprafeţei libere, însă la adâncimea hcr se

schimbă orientarea curburii suprafeţei libere.

Conturbarea importantă a suprafeţei libere prin salt şi păstrarea

suprafeţei libere la trecerea adâncimii curente prin adâncimea critică în

funcţie de direcţie (de la starea rapidă la lentă sau invers) are explicaţii

energetice.

14.1.1. Formele saltului hidraulic

Prin experimentări s-a observat că saltul hidraulic are forme variate.

După sistematizarea efectuată de Bradley şi Peterka se disting 5 forme

caracteristice în funcţie de numărul Froude (Fr) al curgerii de la intrarea în

salt.

10. Saltul ondulat (fig. 14.1), ia naştere pentru Fr’ = 1...3. Trecerea

de la adâncimea de intrare în salt h’ la cea de ieşire h’’ are loc printr-o

ridicare bruscă a nivelului, urmată de o serie de ondulaţii în jurul nivelului

aval. Prima ondulaţie, care reprezintă saltul, depăşeşte nivelul aval. Este

caracterizat prin disipare slabă de energie.


h '

h ' '

hh

E∆

C C

c ra v

Fig. 14.1. Saltul ondulat Fr’ = 1...3

20. Saltul incipient (fig. 14.2), are loc pentru Fr’ = 3...6. Saltul

apare ca o ridicare relativ bruscă a suprafeţei libere, care are o formă

neregulată, cu mici încreţituri care apar datorită unor mici vârtejuri

transversale apropiată de suprafaţa liberă. Schimbarea profilului vitezei are

loc gradat; disiparea energiei este slabă.

h h '

h ' 'h

h

E∆

C C

a mc r

a v

Fig. 14.2. Saltul incipient Fr’ = 3...6

30. Saltul cu jet oscilant (fig. 14.3) se formează pentru

Fr’ = 6...20. Faţă de starea lentă a curentului aval, în amonte viteza este

substanţial mai mare şi are aspectul unui jet care pătrunde în curentul din

aval, cu care se amestecă după un anumit parcurs. Jetul este individualizat,

dar nu-şi păstrează stabilitatea pe verticală. Produce o ridicare locală a

suprafeţei libere. Când jetul este dirijat după axa curentului există o tendinţă

de formare a unui vârtej de suprafaţă, cu întoarcerea curentului şi antrenare

de aer. Disiparea energiei este moderată. În aval jetul oscilant produce valuri

care se propagă la distanţe apreciabile. Acest tip de salt reprezintă forma de

trecere spre saltul perfect.

hh

E∆

C C

a mc r

a v

h 'h ' ' h

Fig. 14.3. Saltul cu jet oscilant Fr’ = 6...20


40. Saltul stabil (perfect) (fig. 14.4) ia naştere pentru

Fr’ = 20...80. Este forma caracteristică de salt. Jetul, format din curentul

rapid din amonte, pătrunde sub curentul lent din aval şi se menţine stabil pe

patul albiei pe o distanţă de circa 70% din lungimea saltului, după care se

produce integrarea rapidă a jetului în curentul aval. Deasupra jetului se

formează un curent de întoarcere, compus din câteva vârtejuri cu ax

orizontal. Suprafaţa liberă este înclinată. În zona vârtejurilor şi în zona de

amestec a jetului cu curentul aval turbulenţa are intensitate foarte mare, care

conduce la disipări intense de energie, care ajunge la 30...70 % din energia

specifică din amonte (în funcţie de Fr’). Zona vârtejurilor este caracterizată

prin antrenare puternică de aer, cu aspect alb lăptos. Sub efectul turbulenţei

suprafaţa liberă se destramă, în interiorul vârtejurilor pătrund numeroase

bule de aer, care sunt antrenate şi în zona de amestec a jetului cu curentul

aval şi sunt antrenate şi în aval până ce ajung la suprafaţă sub efectul forţei

arhimedice.

Saltul are poziţie relativ stabilă, secţiunile de intrare şi ieşire se

deplasează puţin în lungul curentului. Suprafaţa liberă în aval rămâne relativ

netedă.

h h '

h ' 'h h

a

E∆

a m

c ra v

C C

ls

I I

IE '

E ' '

Fig. 14.4. Saltul perfect Fr’ = 20...80

Caracteristicile saltului perfect. Acest tip de salt poate fi privit ca

o undă staţionară la care se observă două zone distincte, între care există un

schimb continuu de particule: - zona superficială, I, în care particulele sunt antrenate într-o

mişcare de vârtej cu axe aproape orizontale, transversale pe curent, în care

este antrenată şi o importantă cantitate de aer; - zona inferioară, II, care se prezintă ca un curent – jet – care se

lărgeşte pe verticală spre aval şi apoi se integrează în curentul aval,

antrenând în mişcare şi o parte din bulele de aer din zona I. Distribuţia

vitezelor în lungul saltului are forma din fig. 14.5.


u 1+

-

C C

Fig. 14.5. Distribuţia vitezei în saltul hidraulic perfect

Parametrii hidraulici la intrare în salt se notează cu –’- iar la ieşire

cu –”- caracteristice fiind :

a). secţiunile de intrare A’ şi de ieşire A”;

b). adâncimile de intrare h’ şi de ieşire h”, numite şi adâncimi

reciproce sau conjugate;

c). lungimea saltului ls este distanţa în lungul curentului între

secţiunile de intrare şi de ieşire;

d). supraînălţarea în salt, a = h”-h’; e). energia pierdută prin salt ∆E = E’-E”.

5. Saltul dezvoltat (violent) are loc pentru Fr’ > 80 (fig. 14.6).

Păstrează aspectele saltului perfect privind formarea vârtejurilor de

suprafaţă, antrenarea aerului, generarea turbulenţei accentuate. Creşte

intensitatea disipării energiei care poate ajunge la 80 % din energia specifică

a curentului amonte. Pentru acest tip de salt este caracteristică instabilitatea

poziţiei pe albie, prezintă o mişcare de pendulare, deplasându-se spre aval,

apoi revenind spre amonte. Această mişcare de pendulare amonte – aval

generează valuri în aval. Datorită turbulenţei pronunţate, pulsaţiile presiunii

solicită construcţiile hidrotehnice şi materialele din care acestea sunt

realizate.

hh

E∆

C C

a mc r

a v

h '

h ' ' h

Fig. 14.6. Saltul violent Fr’ > 80.

14.1.2. Ecuaţia fundamentală a saltului hidraulic

în albii orizontale.

Analiza curentului într-o albie orizontală la ieşirea de sub o stavilă

arată stare rapidă şi conform cu cele prezentate în capitolul 13 adâncimea

creşte spre aval după o curbă de supraînălţare c0. Dacă albia este suficient de

lungă şi se termină cu o cădere, curentul revine la stare lentă şi suprafaţa

liberă coboară spre adâncimea critică după o curbă de coborâre b0. Trecerea de la starea rapidă (curba c0) la starea lentă (curba b0) se

realizează prin discontinuitatea suprafeţei libere, prin saltul hidraulic

(fig. 14.7.)

a

hzon a d ev a rte ju ri

cu ren tp r in c ip a l

NA

V '

V ''B

D b0

le

' ''h

h ''

hc r

h '

B '

A '

N 'e

em in e '' e '0

C0

r

D '

R ''

R '

Fig. 14.7. Energetica saltului hidraulic

Trecerea de la starea rapidă la starea lentă după o suprafaţă

continuă ABD nu este posibilă, hg

ve +

⋅=

2

2α, de/dl = dhr/l, întrucât z

= c şi hr creşte spre aval, deci dhr/dl > 0, iar pentru I = 0, de/dl < 0. Pentru

suprafaţa liberă ABD, ultima condiţie este satisfăcută pe porţiunea AB, dar

pe porţiunea BD graficul energiei specifice e indică creşterea, de/dl > 0. Energia specifică ar trebui să urmeze curba A’B’D’, însă creşterea B’D’ este

imposibilă. Contradicţia este rezolvată prin apariţia saltului hidraulic prin

care graficul energiei specifice urmăreşte curba A’D’ (prin salt), apoi în

curba b0 D’B’. În curba c0 energia specifică urmăreşte curba N’A’. Fie secţiunile ΄ şi ˝ două secţiuni drepte situate aval şi amonte de

salt (fig. 14.8.). Se acceptă în aceste secţiuni o repartiţie hidrostatică a

presiunii. Se consideră volumul de control mărginit de secţiunile ΄, ˝, pereţii

canalului cilindric, şi suprafaţa liberă pentru care se aplică ecuaţia teoremei

impulsului sub forma (6.82)

( ) GFFvvQF pp +″

+′

+′′′′−′′⋅= ββρ (6.82)


h'

h'

h''

h''

e∆

h

hcr

emin e'' e' e

Fp'V'

V''

GFp''

' ''h''

hcr

h'

G

G'A' G''

A''G

h

(h')= (h'')

(h)

h'

h''

ls

θ

θ θ θ

Fig. 14.8. Schemă pentru calculul ecuaţiei saltului hidraulic

Proiectând ecuaţia după axa albiei, se obţine

( ) 0=″

−′

+′′′′−′′⋅ pp FFvvQ ββρ

în care:

p GF p A h Aγ′ ′′ ′ ′= = ⋅ şi

p GF p A h Aγ″ ″′′ ′′ ′′= = ⋅

cu hG’ şi hG” adâncimile centrelor de greutate ale secţiunilor A’ şi A”. Explicitând vitezele din ecuaţia de continuitate:

A

Qv

′=′ şi

A

Qv

′′=′′

după înlocuire şi gruparea termenilor se obţine ecuaţia saltului hidraulic:

AhAg

QAh

Ag

QGG ′′⋅″

+′′

⋅′′=′⋅

′+

′

⋅′ 22 ββ (14.1)

Pentru o secţiune cilindrică (sau prismatică) dată toate elementele

geometrice variabile sunt în funcţie de adâncimea h, deci se poate defini

funcţia

( )2

G

Qh h A

g A

βθ = ⋅ + ⋅ (14.2)

care este funcţia saltului. Ecuaţia (14.1) arată că funcţia saltului ia valori egale în secţiunile

de intrare şi ieşire din salt pentru adâncimile conjugate h’ şi h”. În domeniul h∈(0, ∞) funcţia (14.2) este continuă, iar pentru:

h→0 rezultă θ(h)→∞, şi h→∞ rezultă θ(h)→∞,


însă pentru valori finite pentru h, θ(h) ia valori finite, deci funcţia saltului

admite un minim pentru ( )

0=dh

hdθ.

Efectuând derivata

( )

dh

Ahd

dh

dA

gA

Q

dh

hd G )(2

2 ⋅+⋅

⋅−=

βθ

conform figurii 14.9. rezultă:

- pentru o creştere dh a adâncimii, creşterea momentului static este:

Fig. 14.9. Schema derivării momentului static hGA.

22

)()(2h

BhAhAh

hBhhAAh GGG

∆−∆⋅=⋅−

∆∆⋅+∆+=∆ .

Trecând la limită, pentru ∆h→0, cantitatea

( ) ( )

Ah

hBhA

dh

hAd

h

hAh

GG

h=

∆

∆+∆⋅

=⋅

=∆

⋅∆

→∆→∆

2limlim

2

00

respectiv dA/dh = B. După înlocuiri se obţine:

13

2

=⋅⋅

A

B

gA

Qβ (14.3)

Pentru β~1 funcţia saltului este minimă pentru Fr=1, adică pentru

adâncimea critică, hcr (fig. 14.10).

h''

h'

h

e∆

e(h)

e(h)(h)

e'' e'

cr

(h)

h

Fig. 14.10. Graficul funcţiei saltului şi energiei specifice ale secţiunii în salt

B

h

dh

hA

G

dA

G

x'

x

10. Calculul parametrilor saltului hidraulic

Se urmăreşte determinarea adâncimilor conjugate h’ şi h”, a

energiei specifice pierdute prin salt, ∆e, creşterea nivelului prin salt, a şi

lungimea saltului, ls.

10.a. Calculul adâncimilor conjugate

a1. La calculul manual, cunoscând una dintre adâncimile conjugate,

cu ajutorul funcţiei saltului prin calcul analitic (dacă este posibil) sau iterativ

se poate determina cealaltă adâncime ştiind că pentru adâncimile reciproce,

situate sub şi deasupra adâncimii critice, funcţia saltului ia valori identice.

Mai este necesară cunoaşterea debitului şi a formei secţiunii transversale ale

albiei.

Se presupune cunoscută h’. Cu (14.2) se determină θ(h’): Se

compară h’ cu hcr apoi cu valori pentru h” în partea opusă lui hcr faţă de

unde este situat h’ prin calcul iterativ se calculează θ(h”) după (tab. 14.1).

Calculul adâncimilor conjugate ale saltului

Tabelul 14.1

Adâncimea A hG θ(h) h'

h"

Calculul se consideră terminat când, pentru eroarea admisă,

hhh ii ′′<″

−″

+ ε1 este satisfăcută condiţia ( )

″

<′<

″

+1ii hhh θθθ .

a2. La calculul grafic se reprezintă funcţia saltului (fig. 14.10)

pentru albia cu forma secţiunii transversale şi debitul Q cunoscute,

calculându-se valoarea funcţiei saltului pentru câteva adâncimi inferioare şi

superioare adâncimii critice. Graficul trebuie să aibă scara corespunzătoare

preciziei de calcul. Cunoscând una dintre adâncimile reciproce din grafic

rezultă cealaltă.

a3. Calculul automat se efectuează pe bază de program întocmit

după schema logică după a1 (fig. 14.11). În prealabil sau combinat trebuie

calculată şi adâncimea critică (după 13.2.3).


Fig. 14.11. Schemă logică pentru calculul adâncimilor conjugate

prin aproximaţii succesive.

Programul simplu poate fi scris în unul dintre limbajele de programare.

În cazul albiilor de secţiune dreptunghiulară funcţia saltului se

particularizează, prin A’ = b⋅h’; A” = b⋅h”, hG’ = h’/2, hG” = h”/2 şi q = Q/b,

' 2 2 '' 2

2 2

q h q h

gh gh

β β′ ′′⋅ ⋅+ = +

′ ′′ (14.4)

Cunoscând una dintre adâncimile conjugate cealaltă se poate explicita

pentru β΄ = β˝ = β, obţinând:

−

′′

⋅+

′′=′ 1

81

2 3

2

hg

qhh

β

sau (14.5)

−

′

⋅+

′=′′ 1

81

2 3

2

hg

qhh

β


Acceptând β ≈ α şi utilizând (13.21) ecuaţiile (14.5) se mai pot scrie.

−

′+

′=′′

−

′′+

′′=′

18

12

18

12

3

3

3

3

h

hhh

h

hhh

cr

cr

(14.6)

sau cu (hcr/h)3 = Fr.

( )

( )1812

1812

−′+′

=′′

−′′+′′

=′

rFh

h

rFh

h (14.7)

A doua adâncime conjugată rezultă din calcule aproximativ cu 2,5...4%

superioară valorilor obţinute experimental. Diferenţele dintre rezultatele

teoretice şi experimentale sunt puse pe seama aerării şi transportului în aval

a aerului înglobat în curentul de lichid.

10.b. Energia pierdută în saltul hidraulic

Pierderile de energie prin saltul hidraulic se datoresc turbulenţei

intense în salt, a transportului de masă dintre cele două zone şi dintre

macrovârtejuri şi atmosferă, precum şi datorită energiei consumate pentru

întreţinerea mişcării macrovârtejurilor. Frecările la suprafaţa solidă a albiei

sunt mici în comparaţie cu celelalte pierderi.

Scriind diferenţa energiilor specifice la intrare şi ieşire din salt,

avem:

′′⋅+′′−

′+′=′′−′=∆

g

vh

g

vheee

22

2

2

2

1 αα (14.8)

care, particularizată secţiunii dreptunghiulare, devine:

( )

hh

hhe

′′′

′−′′=∆

4

3

(14.9)

10.c. Creşterea nivelului prin saltul hidraulic

Creşterea de nivel prin salt are loc prin transformarea energiei

cinetice de la intrare în energie potenţială la ieşire cu valoarea:

hha ′−′′= (14.10)

10.d. Lungimea saltului hidraulic

Lungimea saltului, ls, se defineşte de obicei ca lungimea zonei de

macrovârtejuri, măsurată de-a lungul albiei. Până în prezent nu există o

teorie unitară asupra lungimii saltului şi din acest considerent există pentru

definirea sa un mare număr de relaţii semiempirice şi empirice.

O informaţie asupra lungimii saltului furnizează teorema

produselor a analizei dimensionale, care conduce la

)( rFfhls ′⋅′= (14.11)

fiind considerate mărimi care influenţează h’, v’, ρ şi g în cazul canalelor de

secţiune dreptunghiulară.

De tipul relaţiei (14.11) sunt formulele:

- Smetana ( )3183 −+′′= rFhls (14.12)

- Woycicki ( )2412188160

−′−+′′

= rFrFh

ls (14.13)

care pentru Fr’ < 250 mărginesc inferior şi superior lungimile experimental

obţinute. Tot relaţiile de această formă este:

- relaţia lui M. D. Certousov

( ) 81,0

13,10 −′′= rFhls (14.14)

Alte relaţii empirice exprimă lungimea saltului în albii

dreptunghiulare în funcţie de h”:

- Safranez ls = 4,5⋅h” (14.15)

- Bradley – Peterka ls = 6,15⋅h”, 40 ≤ Fr’ ≤ 120 (14.16)

Multe relaţii exprimă lungimea saltului în funcţie de înălţimea

acesteia:

,ls m a= ⋅ (14.17) cu m = 5...7, astfel:

- Kumin – Smetana ls = 6·a (14.18)

- Iamandi ls = 6,52·a (lgFr’)-0,43 (14.19)

În albii de secţiune trapezoidală, pentru calcule preliminare se

poate utiliza relaţia lui Posey şi Hsing

′

′−′′+′′⋅=

B

BBhls 415 (14.20)

Pentru lucrări hidrotehnice importante lungimea saltului se determină

experimental pe modele hidraulice.


14.1.3. Ecuaţia saltului hidraulic în albii dreptunghiulare

cu pantă mare

În cazul unui canal uniform de secţiune dreptunghiulară şi pantă

I ≠ 0 legătura între adâncimile conjugate, într-o primă aproximaţie, se poate

stabili conform fig. 14.12, astfel:

Fig. 14.12. Schemă pentru calculul adâncimilor

conjugate în canale cu pantă

Presiunile relative în punctele M’ şi M” sunt respectiv p1 = γ·h’ şi p2 = γ·h”

şi se consideră ca la 14.1.2. Greutatea lichidului pe unitate de lăţime este:

( )

MMhh

G ′′′⋅′′+′⋅

=2

γ.

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului volumului de control sub forma (6.82)

şi proiectând pe orizontală, pentru albie de lăţime unitară, rezultă:

( ) 0cos =⋅+′′−′+′′′′−′′⋅ ϕββρ GpFpFvvq (14.21)

care pentru β’=β”=1 devine:

( ) ( ) zhhhhvvq ∆′′+′⋅+′′⋅−′⋅=′′−′⋅ γγγρ2

1

2

1

2

1 22 (14.22)

Utilizând ecuaţia de continuitate pentru lăţimea unitară h’v’ = h”v”, după

împărţire prin γ ecuaţia (14.22) devine

022

2

1

222223 =

′⋅′+′′

′⋅′+∆⋅′+′−′′⋅∆−′′

g

vhh

g

vhzhhhzh (14.23)

din care se determină pe h” în funcţie de h’. Din ecuaţia energiei scrise secţiunilor de intrare şi ieşire din salt, cu

α1 = α2 = 1, rezultă

2

2

2

2

1 vvzhhhr

−+∆+′′−′= (14.24)

pierderea de sarcină în salt.

Înălţimea saltului în canale înclinate de secţiune dreptunghiulară se

poate determina cu relaţia empirică propusă de G. N. Kosiakova

h'

'v' /2g

h''

''v'' /2g

h

α α

' ''

h

zI

M''

M'

l

le

Ss

Sf

2 2

r1-2

( )Iaaî ⋅−= 75,11 (14.25)

a fiind înălţimea saltului în albie orizontală.

Lungimea saltului se poate calcula cu relaţia (14.17) pentru panta

canalului I < 1/3.

14.2. ALTE FORME DE MIŞCĂRI PERMANENTE

RAPID VARIATE ALE CURENŢILOR


Saltul hidraulic este singura mişcare rapid variată care se poate

produce într-un canal uniform. Alte tipuri de mişcări rapid variate se produc

în canale uniforme cu singularităţi. Pe anumite porţiuni scurte în raport cu

lungimea canalului singularităţile produc pierderi locale de energie şi

redistribuţia energiei specifice pe termenii – cinetic şi potenţial.

14.2.1. Pragul urcător este o construcţie într-un canal uniform

care produce variaţia rapidă a pantei fundului. Poate fi bruscă sau treptată,

aceasta din urmă poate fi realizată după plan înclinat sau profilat

hidrodinamic (fig. 14.13).

he he

d

h

e h h e

d

e h h e

d

le lele

a b c

v v1

1

1 22

2

r

11 2

2 11

22

Fig. 14.13. Forma pragului urcător

În funcţie de starea mişcării din amonte forma suprafeţei libere ia

forme diferite.

Pentru analize se consideră o treaptă urcătoare de înălţime d, situată

pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Treapta este profilată

hidrodinamic, astfel încât într-o primă aproximaţie se pot neglija pierderile

de sarcină (fluid eulerian). Se consideră două secţiuni drepte, amonte şi aval

de treaptă, suficient de departe pentru a se putea admite în vecinătatea lor

liniile de curent drepte paralele. Fundul canalului, secţiunile considerate şi

suprafaţa liberă definesc volumul de control (fig. 14.14).

În secţiunea 1 sarcina hidrodinamică, faţă de planul fundului

canalului amonte (pentru α = 1) este:

11

2

11

2eh

g

vH =+= ,

iar în secţiunea 2:

dedhg

vH +=++= 22

2

22

2.

Pentru lichid eulerian H1 = H2 şi e1 =e2 + d.

h

d

h

1 2le

wv v

h

h

h

h

e

e ( h )1

1 2

1

2

c r

2 1

B

BN

N

M M

e e

1

21

2

2 1

2 1

2

d

Fig. 14.14. Analiza suprafeţei libere la prag urcător

În cazul stării lente a curentului se observă că g

vBNBN

g

v

22

2

22211

2

1 =<= ,

respectiv 222111 hNMNMh =>= , deci:

1

22

21

1

22

1

22

222222

hg

v

g

vh

g

ve

g

vdedh <−+=−=−+=+

şi suprafaţa liberă coboară la prag urcător.

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru canal de secţiune

dreptunghiulară şi lichid eulerian (s-au neglijat frecările), se obţine:

( )

022 2

2

1

22

2

2

1 =⋅

−⋅

++

−gh

q

gh

qdhh αα (14.26)

în care q = Q/b şi α1 = α2 = α. Ţinând seama de natura reală a lichidului se obţine:

( )

022 2

2

1

2

2

1

22

2

2

1 =⋅

−⋅

+−+

−gh

q

gh

qd

gh

qdhh αας (14.27)

în care ζ este coeficientul de rezistenţă a pragului urcător (cap. 12). Linia

energiei coboară datorită pierderilor de sarcină (fig. 14.13a).

În mod analog se poate demonstra că în cazul stării rapide a

curentului nivelul creşte după pragul urcător (ne situăm pe curba energiei

specifice a secţiunii sub adâncimea critică).

14.2.2. Treaptă coborâtoare

Pentru analize se consideră treaptă coborâtoare (fig. 14.15) cu

înălţimea d situată pe un canal uniform cu pantă nulă în exteriorul treptei. Se

acceptă ipoteze asemănătoare treptei urcătoare.

wv v

h

h

h

h

e

1 1 2

2

1

B

BN

N

M M

e e

2

12

1

1 2

1 2

2

d

e

h

d

h

e1

2

c r

Fig. 14.15. Analiza suprafeţei libere la prag coborâtor

Faţă de planul de referinţă – fundul canalului aval, pentru

α1 = α2 = 1 rezultă dedhg

vH +=++= 11

2

11

2 şi 22

2

22

2eh

g

vH =+= , întrucât

pentru lichid eulerian H1=H2, se obţine e1 + d = e2. În cazul stării lente a

curentului

g

vBNBN

g

v

22

2

22211

2

1 =>= , respectiv 222111 hNMNMh =<= , deci:

2

2

1

2

22

2

12

2

111

2222h

g

v

g

vh

g

ve

g

vdedh <−+=−=−+=+

şi suprafaţa liberă creşte la pragul coborâtor.

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului pentru volumul de control W

(neglijând frecările), se obţine:

( )

022 2

2

1

22

2

2

1 =⋅

−⋅

+−+

gh

q

gh

qhdh αα (14.28)

Ţinând seama de pierderile de sarcină, avem:

( )

0222 2

2

1

2

2

1

22

2

2

1 =⋅

−⋅

+⋅+−+

gh

q

gh

qd

gh

qhdh αας (14.29)

Valoarea coeficientului de rezistenţă locală la pragul coborâtor are valori

negative (ζ = -0,5...-1,0).

Ecuaţiile (14.27) şi (14.29) reprezintă legătura funcţională între

adâncimile de dinainte şi după singularitate.


În cazul stării rapide a curentului la prag coborâtor nivelul apei

scade după acesta.

14.2.3. Prag de fund (fig. 14.16)

Această singularitate produce o variaţie a adâncimii curentului,

forma suprafeţei libere poate fi explicat calitativ prin combinarea efectelor

de la pragul urcător şi coborâtor. La intrarea pe prag şi pe aceasta are loc o

coborâre a nivelului apoi la trecerea după prag nivelul creşte.

h

e

v /2g

he

v /2g

h

d

α

α

12

22

1

1

r1 - 2

22

F p2

Fp1F F 2

W

V 1 V 2

12

l e

1l l

Fig. 14.16. Analiza suprafeţei libere la pragul de fund

Aplicând ecuaţia teoremei impulsului cu β1 = β2 = 1

( ) 0212121 =++++−⋅ llpp FFFFVVQρ (14.30)

pentru canal de secţiune dreptunghiulară, acceptând pe feţele pragului

distribuţia hidrostatică a presiunii Fl1 = γbd (2h1-d)/2 şi Fl2=γbd(2h2-d)/2,

respectiv cu Fp1 = γbh12/2 şi Fp2=γbh2

2/2 şi utilizând Fr1=v12/gh1, obţinem:

−−

−+⋅=

1

2

1

11

2 212

182 h

d

h

dFr

hh (14.31)

care este relaţia între h1 şi h2.

Pierderea de sarcină produsă de treaptă este:

( )( )

−⋅−−=

−−−=

2

12

2

121

2

11

2

1

2

221

/

/1

21

2 hh

hhFr

h

hh

g

vvhhhr (14.32)

Coeficientul de rezistenţă hidraulică a pragului în forma de

exprimare Weisbach devine:

1/1

211

12

2

1

2 −

−+

=

Fr

hh

h

hpς (14.33)


14.2.4. Pilă în albie

Pilele de pod constituie un exemplu de discontinuitate în canale

uniforme şi se referă la modificarea lăţimii canalului (fig. 14.17).

Fenomenul de mişcare are caracter spaţial şi din acest considerent

metoda utilizată anterior nu este indicată. Pentru coeficientul de rezistenţă

locală ζ se folosesc relaţiile empirice.

Cel mai frecvent caz este atunci când starea mişcării este lentă atât

în amonte cât şi în aval.

Pila produce în amonte o supraînălţare ∆h = h1 - h2. Adâncimea din

aval poate fi considerată adâncimea normală, h2 = h0, in amonte

formându-se o curbă de supraînălţare a1.

h

h

v / 2 g

h

v / 2 g

h

α

αh l e

1

c r

2

12

22

r

Fig. 14.17. Forma suprafeţei libere la pile

Supraînălţarea ∆h se poate calcula cu relaţia lui Rehbock

( ) ( )[ ]g

v

gh

vhhh

2114,09

2

2

2

2

23

21

+−−++⋅=−=∆ τµτµµµ (14.34)

unde µ este un coeficient adimensional (µ ≈ 0,8 la pile de formă

hidrodinamică şi µ ≈ 0,4 la pile de secţiune dreptunghiulară), iar τ = Ap/A

este reducerea relativă a secţiunii datorită pilelor (Ap – secţiunea ocupată de

pile, A – secţiunea vie la h0).

14.3. APLICAŢII

10. Să se determine parametrii saltului hidraulic care se formează

într-un canal de secţiune trapezoidală, cunoscând: b = 1,2 m; m = 1,50; Q = 8 m

3/s; h’ = 0,5 m şi α = α0 = 1,0.


Rezolvare.

a. Determinarea adâncimii conjugate În canale trapezoidale adâncimile conjugate nu se pot explicita

reciproc, ele se calculează cu ajutorul funcţiei salt prin aproximaţii

succesive (calcul manual sau automat) sau grafic.

( ) ( )

( )

mhb

mhbh

bB

bBhh

mhbhA

hAhAg

QAh

Ag

Qh

G

GG

+

+⋅=

+

+⋅=

+=

′′=′′′′+′′

⋅′′=′⋅′+

′

⋅′=

23

6

2

3

20

20 θ

ααθ

a.1. Aproximaţii succesive prin calcul manual Se calculează cu elementele cunoscute θ(h’) apoi se dau valori

pentru h” > hcr, utilizând metoda coardei. Se calculează elementele A”, hG”

şi θ(h”). Calculul se consideră terminat când |h”i+1-h”i| ≤ εh, care se admite

εh = 1,0 cm. Rezultatele sunt centralizate în (tab. 14.2).

Tabelul 14.2

h (m)

A (m

2)

hG (m)

θ(h) (m

3)

0,50 0,975 0,218 6,904

1,50 5,175 0,588 4,298

2,0 8,400 0,762 7,177

1,90 7,695 0,727 6,443

1,95 8,044 0,745 6,800

1,96 8,114 0,748 6,873

1,97 8,185 0,751 6,948

a.2. Aproximaţiile prin calcul automat folosesc schema logică din

fig. 14.11. Pentru limita inferioară a domeniului de variaţie a lui h” se

consideră h” = hcr.

Valorile obţinute pentru εh = 10-4 m, sunt:

h” = 1,964 m;

hG” = 0,7494 m;

A” = 8,1435 m2;

θ(h”) = 6,9042 m3;

θ(h”) - θ(h’) = 4,5·10-4

;

δ(θ) = 0,065 ‰.


b. Înălţimea saltului a = h” - h’ = 1,96 - 0,50 = 1,46 m. c. Energia specifică pierdută prin salt

mCA 92,1114,881,92

896,1

975,081,92

850,0

22

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⋅⋅+−

⋅⋅+=

=

′′

⋅+′′−

′

⋅+′=′′−′=∆

Ag

Qh

Ag

Qheee

αα

d. Lungimea saltului

m 4,662,4

2,496,124196,15415 =

−+⋅=

′

′−′′+′′=

B

BBhls

B” = b + 2mh” = 1,2 + 2⋅3⋅1,96 = 12,96 m

B’=b + 2mh’ = 1,2+2·3·0,5=4,2 m

e. Calculul grafic al adâncimii conjugate se face cu ajutorul epurii

funcţiei saltului. Pentru diverse valori ale lui h se construieşte graficul θ(h) şi e(h) apoi din grafic se extrag h”, a, şi ∆e (tab. 14.3 şi fig. 14.18).

Tabelul 14.3

h (m)

θ(h) (m

3)

e(h) (m)

h (m)

θ(h) (m

3)

e(h) (m)

0,45 7,899 5,032 1,20 3,540 1,452

0,50 6,904 3,931 1,30 3,706 1,495

0,60 5,502 2,655 1,40 3,960 1,553

0,70 4,608 2,015 1,50 4,298 1,622

0,80 4,038 1,685 1,60 4,717 1,698

0,90 3,693 1,519 1,70 5,214 1,780

1,00 3,516 1,447 1,80 5,789 1,866

1,05 3,479 1,434 1,90 6,443 1,955

1,087 3,472 1,431 1,964 6,903 2,013

1,10 3,473 1,432 2,00 7,177 2,047


θ

1 2 3 4 5 6

3 4 5 6 7 80 ,2

0 ,4

0,6

0,8

1,0

1 ,2

1 ,4

1 ,6

1 ,8

2 ,0

a=1,46 m

e= 1,90 m

hcr

e(h )

(h)

h '= 0 ,5 m

h ''= 1 ,96 m

e '' e '(m )

e(m )

h(m )

θ

3∆

Fig. 14.18. Calculul grafic al elementelor saltului

20. Să se determine tipul şi parametrii saltului hidraulic care se

formează într-un canal orizontal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând:

Q = 4 m3/s; b=2,0 m şi h”=1,50 m; (α=1,09).

Rezolvare.

Adâncimea critică:

m 763,0281,9

409,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅

⋅=

bg

Qhcr

α

Prima adâncime conjugată a saltului:

m 325,0150,1

763,081

2

50,1181

2

33

=

−

+=

−

′′+

′′=′

h

hhh cr

Înălţimea saltului:

A = h” - h’ = 1,50-0,325 = 1,175 m

Energia specifică pierdută prin salt:

( ) ( )

m 83,0325,050,14

325,050,1

4

33

=⋅⋅

−=

′′′

′−′′=∆

hh

hhe

Lungimea saltului (după Kumin şi Smetana)

ls = 6(h” - h’) = 6(1,50 - 0,325) = 7,05 m

Numărul Fr’:

( )

( )9,11

325,0281,9

432

2

32

22

=⋅⋅

=′

=′

′=′

hgb

Q

hg

vrF

Tipul saltului: pentru 6 < Fr’ < 20, salt cu jet oscilant.


CAPITOLUL 15

RACORDAREA BIEFURILOR

Se defineşte bief un sector al unei albii deschise, cuprins între două

discontinuităţi ale acesteia care determină, în general, o schimbare

accentuată a tipului de curgere. Astfel pot fi privite ca discontinuităţi:

trecerea bruscă de la o pantă la alta (schimbare de pantă), trecerea curentului

peste deversoare sau orificii, căderea pe o treaptă sau pe mai multe trepte,

trecerea peste un prag, prag urcător, trecerea prin lărgiri sau îngustări de

secţiune ş.a. Astfel de discontinuităţi ale albiei influenţează substanţial

nivelul şi forma suprafeţei libere a curentului.

Mişcarea permanentă a unui curent cu suprafaţă liberă se compune

dintr-o succesiune de biefuri, cu mişcări gradual variate de diferite tipuri

(determinate de caracteristicile fiecărui bief), racordate în dreptul

discontinuităţilor, pe porţiuni mai scurte, de mişcări permanente rapid

variate. De obicei discontinuităţile mici, neimportante influenţează

nesemnificativ suprafaţa liberă şi sunt luate eventual în calcul ca o

modificare a rugozităţii sau se neglijează. Modificările importante ale

continuităţii albiei determină variaţii importante ale nivelului şi trebuiesc

luate în seamă în calcule. Starea mişcării pe biefuri influenţează hotărâtor

fenomenele hidraulice de pe biefuri şi racordarea lor în dreptul

discontinuităţilor.

15.1. PROPAGAREA PERTURBAŢIILOR

ÎN ALBII DESCHISE

Se cunoaşte că starea mişcării într-o albie deschisă poate fi lentă

sau rapidă. Forţa de greutate are un rol determinant în cazul mişcărilor cu

suprafaţă liberă, mişcările fiind caracterizate şi de numărul Froude. Fie

mişcarea unui lichid cu viteza v la adâncimea h, caracterizată de numărul

Fr = v2/gh, într-un canal dreptunghiular. Valoarea critică Fr = 1 delimitează

cele două stări ale curentului.

Se consideră un val plan călător izolat care se deplasează cu

celeritatea c într-un lichid greu, de adâncime h, aflat iniţial în repaus, iar

ABCD o suprafaţă de control fixă în raport cu sistemul de referinţă

(fig. 15.1.b).

l

h

h

∆

a .

e

e

Wb .

B

C

A D

- c- ( c - v )∆

h∆

h

Fig. 15.1. Schemă pentru calculul celerităţii

Se presupune că l >> h şi ∆h << h, respectiv forma valului se

conservă. Se acceptă că liniile de curent sunt paralele între ele în dreptul

secţiunilor AB şi CD şi că repartiţia presiunii este după legea hidrostaticii. În

ipoteza modelului de lichid eulerian vitezele pe secţiunile AB şi AC sunt

uniforme şi nu există frecare.

Aplicând volumului W teorema impulsului se obţine:

[ ]22

2

1hhhgVhc ∆+∆⋅⋅=∆⋅⋅ (15.1)

Ecuaţia conservării masei arată că:

( ) ( )hhVchc ∆+⋅∆−=⋅ (15.2)

Din cele două ecuaţii se obţine celeritatea undei (volumului)

∆⋅+≅

∆⋅+=

h

hgh

h

hghc

4

31

2

31

2

1

(15.3)

care pentru ∆h << h conduce la relaţia lui Lagrange

ghc = (15.4)

Revenind la mişcarea din canalul dreptunghiular şi admiţând că

perturbaţiile care se propagă în canal au caracteristicile valului considerat şi

că există sau nu o mişcare în acel canal rezultă următoarele:

a). la echilibrul static al lichidului perturbaţiile se propagă cu

viteza c în toate direcţiile, valul având forma unui cerc care se lărgeşte după

raza r cu viteza c (fig. 15.2.a);

b). la mişcarea în stare lentă în canal Fr < 1, cghv =+< şi o

perturbaţie se propagă în amonte cu viteza |c-v|, iar spre aval |c+v|; (fig. 15.2.b);

c). în starea critică a mişcării din canal Fr = 1 şi |v|=|c| şi o

perturbaţie spre amonte nu se propagă, produce un front de undă staţionar,

iar spre aval viteza de propagare este |c+v|. Unda propagată în formă de

cercuri va fi tangentă în amonte la punctul de perturbare; (fig. 15.2.c);

d). în starea rapidă a curentului din canal |v|>|c|, iar perturbaţiile

nu se pot propaga în amonte, ele sunt antrenate în aval (fig. 15.2.d).

Unghiul de propagare a frontului undei se defineşte prin:

v

carcsin=θ (15.5)

şi are valori diferite în funcţie de starea curentului: în stare rapidă θ < π/2, în

stare critică θ = π/2, starea lentă θ > π/2, iar în echilibru static θ = π.

y

x x

y

x

y

x

a) v=0 b) v<c

c) v=cd) v>c

t1t2 t3

t4

t1t2

t3 t4

t1t2 t3

t4θ

Fig. 15.2. Formele de propagare a undei solitare în funcţia vitezei din canal.

Prin urmare, mişcarea lichidelor în canale regulate (prismatice,

cilindrice) în privinţa stării curentului se mai poate caracteriza după cum o

perturbaţie se poate sau nu propaga spre amonte. Observaţia este valabilă în

canale regulate dacă se consideră Fr = v2/ghm, respectiv mghc ≈ şi

hm = A/B.

Constatările prezintă importanţă în racordarea biefurilor: în stare lentă perturbaţiile se propagă din aval spre amonte; secţiunile de comandă fiind situate în aval şi în starea rapidă din amonte spre aval, secţiunile de

comandă fiind situate în amonte.


15.2. TRASAREA CURBEI SUPRAFEŢEI LIBERE

LA RACORDAREA BIEFURILOR

Orice trasare şi calcul a suprafeţei libere într-un canal comportă

următoarele operaţii:

- recunoaşterea stării curentului pe biefuri;

- stabilirea secţiunilor de comandă şi calculul cotelor luciului apei

în aceste secţiuni;

- stabilirea fenomenelor hidraulice, calculul şi trasarea propriu-zisă

a suprafeţei libere.

Starea curentului pe bief se stabileşte pentru o mişcare presupusă

uniformă şi pentru condiţiile efective de adâncimi rezultate conform celor

prezentate la 13.2.4.

Secţiunile de comandă, ca regulă generală, pentru biefuri lente în

mişcare uniformă sunt situate în extremitatea aval, iar pentru biefuri rapide

aceste secţiuni se găsesc în extremitatea amonte. (v. paragraful precedent).

O secţiune de comandă este caracterizată prin faptul că impune o cotă

determinată suprafeţei libere care, în general, depinde de debit. Această

cotă, numită cotă de comandă arată dispunerea suprafeţei libere faţă de

adâncimea normală şi ceea critică.

În funcţie de această dispunere a cotei suprafeţei libere pe bieful

analizat rezultă mişcarea uniformă sau gradual variată – tipul curbei. În

concordanţă cu neregularitatea geometrică a canalului, la limita biefurilor

rezultă fenomenele hidraulice ale mişcării rapid variate la racordare. În

eventualitatea schimbării stării curentului pe bief se poate localiza şi singura

formă de mişcare rapid variată pe canalul uniform – saltul hidraulic. Plecând

de la secţiunile de comandă, din aproape în aproape se pot determina

(calcula) parametrii fenomenelor hidraulice de pe bief şi se poate construi

suprafaţa liberă.

În funcţie de discontinuităţile pe canal (acestea biefează canalul)

întâlnindu-se mai multe tipuri de racordare a două biefuri, astfel:

- racordare la schimbare de pantă;

- racordare cu lame efluente;

- alte tipuri de racordări.

15.2.1. Racordarea biefurilor în albii regulate

(uniforme) la schimbare de pante.

Racordarea biefurilor la schimbarea pantei geometrice evidenţiază

patru situaţii caracteristice, după cum urmează:

- racordare bief lent cu bief lent;

- racordare bief rapid cu bief rapid;

- racordare bief lent cu bief rapid;

- racordare bief rapid cu bief lent.

Elementele biefului amonte se notează cu indicele 1, iar a biefului aval cu 2.

10. Racordarea bief lent cu bief lent

În această situaţie există două posibilităţi în funcţie de adâncimile

normale din cele două biefuri în cazul pantelor pozitive şi câte un caz pentru

panta biefului amonte nulă sau negativă.

10.a. Adâncimea normală în primul bief este superioară adâncimii

din bieful 2, h01 > h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I1 < I2 < Icr. Adâncimea

critică pentru Q = ct este unică şi este situată sub adâncimile normale. Pentru ambele biefuri lente secţiunea de comandă este în

extremitatea aval. Pe bieful 2, fără alte condiţii în aval mişcarea este

uniformă, iar această adâncime comandă mişcare uniformă pe bieful 2. În

secţiunea amonte a biefului 2 adâncimea este h02, identică cu adâncimea în

secţiunea aval a biefului 1, care este secţiune de comandă, respectiv cota

luciului apei, cotă de comandă. Astfel pe bieful 1, bief lent adâncimea de

comandă este situată în zona b, hcr < h < h01 şi pe bieful 1 este mişcare

gradual variată după o curbă de coborâre de tipul b1 (fig. 15.3).

Fig. 15.3. Racordarea a două

biefuri lente la schimbare de

pantă: 0 < I1 < I2 < Icr.

10.b. Adâncimea normală pe primul bief este inferioară adâncimii

din bieful 2, h01 < h02. Este satisfăcută condiţia 0 < I2 < I1 < Icr. Adâncimea

critică în mişcare permanentă (Q = ct) este unică pentru ambele biefuri

(secţiunea transversală identică). Secţiunile de comandă pentru ambele

h

hh

Ν1

C 01

b1N1

N2

Mu

N2cr

02

0<I1<Icr

0<I2<Icr

C

biefuri sunt în avalul lor, deci pe bieful 2 fără alte condiţii se comandă

adâncimea normală h02 care se menţine pe tot bieful 2. Adâncimea în

secţiunea aval a biefului 1 este adâncimea normală din bieful 2, fiind situată

în zona a a biefului 1. Astfel, suprafaţa liberă de pe bieful 1 este o curbă de

supraînălţare de tipul a1. (fig. 15.4). Fig. 15.4. Racordarea a

două biefuri lente la

schimbare de pantă:

0 < I2 < I1 < Icr.

În aceste două cazuri analizate nici un alt tip de curbă a suprafeţei libere nu

se poate forma în afara celor menţionate.

10.c. Bieful 1 este în palier, iar bieful 2 cu pantă pozitivă şi curgere

normală lentă, deci I1 = 0, 0 < I2 < Icr. Adâncimea critică este unică în

mişcarea permanentă, pe bieful 1 există numai două zone a şi b. Bieful 2, cu

mişcare normală lentă, fără alte condiţii în aval se instalează (se comandă)

adâncime normală; se realizează mişcarea uniformă pe bief. Pentru bieful 1

în secţiunea aval se comandă adâncimea normală de pe bieful 2, situată în

zona b al biefului 1, deci pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o

curbă b0 (fig. 15.5).

10.d. Situaţie asemănătoare se întâmplă când panta biefului 1 este

negativă, I1 < 0, celelalte elemente menţinându-se ca în cazul c. Pe bieful 2

va fi mişcare uniformă, iar pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o

curbă b’ (fig. 15.6).

h h h h

b0b '

I1= 0

C

0 < I2 < Ic r 0 < I2< Ic r

I1< 0

CC C

M u

M u

c r0 2 c r 0 2

Fig. 15.5. Racordarea bief cu panta Fig. 15.6. Racordarea bief cu panta

nulă cu bief lent negativă cu bief lent

hh

h

N1

CN1

N2

N2

C'

Mua1

01

02

cr0<I1<Icr

0<I2<Icr

20. Racordarea bief rapid cu bief rapid

Panta ambelor biefuri este superioară pantei critice, deci adâncimile

normale vor fi inferioare adâncimii critice. Există două cazuri în funcţie de

mărimea relativă a pantelor celor două biefuri.

20.a. Pentru Icr < I1 < I2 rezultă h01 > h02. Ambele biefuri fiind

rapide într-o mişcare uniformă, conform 15.1 secţiunile de comandă pentru

ambele biefuri sunt situate în amonte. Pe bieful 1 în amonte nefiind

condiţionări se va stabili mişcare uniformă, deci pe bieful 1 se comandă

adâncime normală h01. Această adâncime se menţine până în avalul biefului

1 şi devine adâncime de comandă pentru bieful 2. Această adâncime pe

bieful 2 este situată în zona b (între linia adâncimii normale şi critice), deci

pe acest bief suprafaţa liberă se dispune după o curbă de coborâre de tipul

b2, (fig. 15.7).

Fig. 15.7. Racordarea a

două biefuri rapide la

schimbarea de pantă:

Icr < I1 < I2.

20.b. Pentru Icr < I2 < I1 se satisface condiţia adâncimilor normale

hcr > h02 > h01. În curgere uniformă ambele biefuri sunt în stare rapidă, deci

secţiunile de comandă sunt situate în amontele biefurilor. Pe bieful 1 în

secţiunea amonte nefiind impuse alte condiţii, se stabileşte adâncimea

normală care se menţine pe tot bieful şi devine adâncime de comandă pentru

bieful 2. În bieful 2, h01 este situată în zona c, deci pe acest bief suprafaţa

liberă se dispune după o curbă crescătoare de tipul c2. (fig. 15.8).

Fig. 15.8. Racordarea a două

biefuri rapide la schimbarea de

pantă:

IcrIcr

I2>Icr

h h h

C

N1

01

N2

N1 02cr

C

N2

c2

I1>Icr

I2>Icr

Mu

30. Racordarea bief lent cu bief rapid

În această situaţie se disting trei cazuri, în funcţie de panta biefului

1 care este inferioară pantei critice, I1 < Icr şi poate lua valori pozitive, zero

sau negative. Starea curgerii pe bieful 1 este lentă. Pe bieful 2 panta este

superioară celei critice, I2 > Icr, şi starea curentului este rapidă. Pentru

secţiune identică pe cele două biefuri, la mişcarea permanentă adâncimea

critică (respectiv axa critică) este unică.

Pentru bieful amonte în starea lentă a curgerii secţiunea de

comandă este situată în aval, la schimbarea de pantă, iar pentru bieful aval

rapid secţiunea de comandă este în amonte, tot la schimbarea de pantă.

Secţiunea de comandă fiind comună celor două biefuri, fără a avea

condiţii suplimentare referitoare la cota (adâncimea) de comandă, nivelul în

această secţiune se obţine cunoscând legea fenomenelor naturale care tind

sa-şi minimizeze energia specifică, rezultând pentru secţiunea de comandă

(de schimbare a pantei) adâncimea critică hcr. Chiar dacă presupunem panta

biefului 2 I2→∞, cădere pe bief lent, caz în care biefurile nu se influenţează

reciproc şi în secţiunea aval al biefului 1 adâncimea este cea critică.

30.a. Pentru 0 < I1 < Icr < I2 sunt caracteristice h02 > hcr > h01. Pe

bieful 1 nivelul coboară de la cel normal în amonte la hcr în aval după o

curbă de coborâre convexă de tipul b1, iar pe bieful 2 scăderea adâncimii

continuu de la hcr spre adâncimea normală h02 în zona b după o curbă de

coborâre concavă de tipul b2. Schema nivelurilor şi variaţia energiei

specifice a secţiunii în lungul canalului sunt vizualizate în fig. 15.9.

Fig. 15.9. Racordarea bief lent cu

bief rapid 0< I1 < Ic r< I2.

Acest tip de racordare permite stabilirea următoarelor observaţii:

- trecerea de la starea lentă la cea rapidă a curentului are un aspect

continuu, dar comportă o coborâre pronunţată a suprafeţei libere în jurul

secţiunii de comandă – de schimbare a pantei. În această secţiune are loc

h

h

h

e

l

0 1

c r

0 2

b1

b2

0< I1< Ic r

I2 > Ic r

schimbarea inflexiunii suprafeţei libere. Curgerea curentului în jurul

secţiunii are un pronunţat caracter de neuniformitate datorită modificărilor

importante în structura curentului – trecerea de la profilul de viteză

caracteristică stării lente la profilul de viteză proprie stării rapide.

Redistribuirea vitezelor apare şi la celelalte forme de racordare tratate.

- starea mişcării de pe bieful 1, cu I1 < Icr, se menţine lentă, oricât

de mare ar fi panta biefului 2, la limită când I2 > ∞, cădere pe canal, tot

principiul curgerii cu minimizarea energiei specifice a secţiunii arată

coborârea în capătul biefului 1 a adâncimii la hcr. (Datorită neuniformităţii

mişcării hcr se obţine ceva mai amonte de cădere fig. 15.10).

Fig. 15.10. Schema nivelului

în apropierea căderii.

30.b. Situaţia I1 = 0 şi I2 > Icr conduce la racordarea materializată în

figura 15.11, cu curba b0 pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2.

30.c. Pentru I1 < 0 şi I2>Icr racordarea scoate în evidenţă curba b’ a

suprafeţei libere pe bieful 1 şi b2 pe bieful 2. (fig. 15.12).

h

h

C

cr

02 N2

Cb2

b0

N2h

h

C

C

I1<0I2>Icr

cr

02 N2

N2

b'

b2

Fig. 15.11. Racordarea bief lent cu I1 = 0 Fig. 15.12. Racordarea bief lent cu I1 < 0 cu bief rapid I2 > Icr cu bief rapid I2>Icr

La racordare bief lent cu bief rapid cele două biefuri nu se

influenţează reciproc. Adâncimea critică corespunzătoare energiei specifice

minime din secţiunea de comandă are rolul hotărâtor.

0,7hh h01

cr

b1

0< I1< Icr

cr

I2=

lhcr

40. Racordare bief rapid cu bief lent

Bief 1, rapid, este caracterizat de h01 < hcr, respectiv I1 > Icr,

secţiunea de comandă fiind situată în capătul amonte al biefului. Fără alte

condiţii suplimentare adâncimea în secţiunea de comandă este cea normală

h01, care determină mişcare uniformă pe bief.

Bieful 2, lent, este caracterizat de h02 > hcr, respectiv I2 < Icr şi

secţiunea de comandă este în avalul biefului. Fără condiţii suplimentare în

secţiunea de comandă adâncimea este cea normală, h02, care determină pe

bieful 2 mişcare uniformă pentru I2 > 0.

La racordarea celor două biefuri adâncimea trebuie să treacă de la

h01 < hcr la h02 > hcr care implică apariţia saltului hidraulic. Poziţia saltului

depinde de valoarea adâncimilor normale de pe cele două biefuri; cel puţin

una din adâncimile normale trebuie să fie una din adâncimile conjugate ale

saltului hidraulic.

La analiza fenomenului, într-o primă ipoteză, se poate accepta că

adâncimea normală din bieful 2 este adâncimea de ieşire din salt, h02 = h”.

Adâncimii de ieşire din salt h” îi corespunde o adâncime de intrare

h’, calculabilă prin funcţia saltului. În funcţie de mărimea h’ faţă de

adâncimea normală de pe bieful 1, h01 se întâlnesc trei situaţii distincte,

astfel:

40.a. dacă h’ > h01, adâncimea de intrare în salt trebuie să crească

la h’ pentru a satisface condiţiile funcţiei saltului. În această situaţie saltul se

formează pe bieful 2, între schimbarea de pantă şi secţiunea de intrare în salt

interpunându-se o curbă de supraînălţare c1 prin care adâncimea creşte de la

h01 la h’. (fig. 15.13).

h

h h '

h "= h h

C

N1

0 1

M u N2

N 1

0 1

0 2 0 2C

N 2M u

s a lt

I1> Ic r

0 < I2 < I c r

C 1

Fig. 15.13. Racordare bief rapid cu bief lent cu salt pe bieful 2.

40.b. în situaţia h’ = h01, saltul se formează cu secţiunea de intrare

situată în secţiunea schimbării de pantă, în rest pe ambele biefuri fiind

menţinută mişcarea uniformă (fig. 15.14).

h

h = h 'h "= h h

C

N1

0 1

M u N2

N1

0 1

0 2 0 2C

N 2M u

sa lt

I1> Ic r

0 < I2 < I c r Fig. 15.14. Racordarea bief rapid cu bief lent cu începutul saltului la schimbarea de pantă

40.c. când pentru h” = h02 rezultă h’ < h01 se remarcă faptul că cea

mai mică adâncime pe canal este h01, deci adâncimea de intrare în salt va fi

h’ = h01, rezultând h” < h02, deci saltul se formează pe bieful 1. Între h” şi

h02 pe bieful 1 suprafaţa liberă se dispune după o curbă de tipul a2

(fig. 15.15).

hh

C

N 1

0 1

M u

N 2

N 1

0 1

a 2

0 2

C

N 2

M u

I1> I c r

0 < I2 < I c r

h = h ' h "

l s l

s a l t a 2

Fig. 15.15. Racordare bief lent cu bief rapid cu salt pe bieful 1

Observaţie

În situaţia când bieful 2 este orizontal sau are pantă negativă, bieful

are lungime limitată şi mişcarea pe tot bieful 2 este permanentă neuniformă,

cu fenomene de mişcări gradual, eventual rapid variate.

În condiţia 40.a, de formare a saltului pe bieful 2, pe acest bief în

ordine suprafaţa liberă se dispune curbă c0, salt, curbă b0 în cazul pantei nule şi curbă c’, salt, curbă b’ în cazul pantei negative. Pe bieful 1 mişcarea

se menţine uniformă.

În condiţia 40.b saltul se formează la schimbarea de pantă, pe bieful

1 se menţine mişcarea uniformă, iar pe bieful 2 suprafaţa liberă urmează o

curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.

În condiţia 40.c pe bieful 1 în ordine este mişcare uniformă, salt,

curbă a2, iar pe bieful 2 curbă b0 sau b’ în funcţie de panta acestuia.

50. Racordarea a trei biefuri la schimbare de pantă

Combinaţiile multiple care există la racordarea a trei biefuri fac ca

toate posibilităţile să nu fie prezentate aici. Metoda generală de studiu se va

examina pentru un singur caz particular pentru a pune în evidenţă principiile

folosite în analiză.

Se consideră un canal prismatic uniform format din trei biefuri care

în mişcare uniformă ar avea, în ordine spre aval, starea curentului rapidă –

lentă – rapidă. În funcţie de lungimea biefului 2 fenomenele de mişcare

permanentă lent şi rapid variată întâlnite sunt diferite şi au fost prezentate în

punctele 10...4

0 pentru racordarea a două câte două biefuri la schimbare de

pantă.

În cele ce urmează, lungimea biefului 2 se consideră astfel încât

saltul hidraulic să se formeze pe traseul acestui bief (fig. 15.16), iar panta

patului albiei este pozitivă, 0 < I2 < Icr.

h

h

h 'h " h

h

h

C

N1

S1 I1> Ic r0 1

M u

N 1 C 1

0 2

N 2 N 2b 1

N3c r

c r

0 3N 3

C

S 2

0 Ic r

b 2

s a lt

Fig. 15.16. Schema suprafeţei libere la racordare a trei biefuri

la schimbare de pantă (R – L –R)

Secţiunea S1 din amonte este secţiunea de comandă pentru bieful 1

şi fără condiţii suplimentare, comandă mişcare uniformă pe acest bief.

Secţiunea S2 este secţiune de comandă a biefurilor 2 şi 3. S-a considerat că

pe bieful 2 starea mişcării revine la starea lentă după saltul care se formează

pe acest bief (vezi 15.2.1 punct 40.a). În partea amonte a biefului suprafaţa

liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c1, urmată de salt hidraulic,

apoi o curbă de coborâre b1 care se sfârşeşte în secţiunea de comandă S2,

unde adâncimea este cea critică. Pe bieful 3 suprafaţa liberă va urma o curbă

de coborâre de tipul b2 (vezi fig. 15.9).

Racordarea a trei sau mai multe biefuri se analizează după

raţionamentele prezentate anterior, fiecărui caz în parte. Fiecărui bief i se

determină, după caz, adâncimea normală, critică, starea curentului, se

stabilesc secţiunile de comandă cu parametrii hidraulici corespunzători şi se


analizează calitativ fenomenele de mişcări permanente – uniforme, lent şi

rapid variate pe biefuri. Fiecare element se calculează conform celor

prezentate în capitolele 11, 12, 13 şi 14.

15.2.2. Racordarea biefurilor în albii regulate (uniforme)

prin construcţii cu lame efluente

În unele situaţii, din necesităţi tehnice, curenţii cu suprafaţă liberă

sunt trecuţi peste deversoare, prin orificii, dând naştere la lame efluente,

jeturi, cu starea rapidă a mişcării în aval.

Cele mai simple racordări cu lame efluente sunt cele cu deversoare

de diferite tipuri – cu muchie ascuţită, profil gros, profil practic sau cu prag

lat (fig. 15.17), racordările prin orificii mari de stavilă simple sau combinate

cu praguri (fig. 15.18).

În funcţie de raportul mărimilor hidraulice înainte şi după

construcţie, în bieful aval forma racordării poate fi diferită. În bieful aval se

disting trei forme de racordare referitoare la epura vitezei după construcţie,

astfel:

p

H

H

EE

v /2g

h h h

α 02

0 V0

0

1

c cr av

a

HH

EE

v /2g02

α

00V0

hhhcr avc

b

HH

v /2gα20

E

hhav

c

c0V

0

0

0

E

Fig. 15.17. Racordare cu lame deversante


Fig. 15.18. Racordare cu lame efluente

create de orificii

- racordare cu regim de fund al vitezei în bieful aval;

- racordare cu regim de suprafaţă al vitezei în bieful aval;

- racordare cu regim mixt al vitezei în bieful aval.

Racordării cu regim de fund al vitezei îi este caracteristică situaţia

că pe profilul vitezei în secţiune, viteza maximă este situată în apropierea

patului albiei (fig. 15.19.a). Asemenea situaţie se întâlneşte în cazul când

curentul efluent atinge fundul albiei în imediata vecinătate a construcţiei.

Regimul de suprafaţă este caracterizat prin viteze maxime pe

secţiune în apropierea suprafeţei libere. Este caracteristică evacuatorilor cu

prag aval (fig. 15.19.b).

0 v

ha b

h

v0

Fig. 15.19. Profilul vitezei în albii deschise: a) regim de fund al vitezei;

b) regim de suprafaţă al vitezei

10. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame efluente în

regim de fund al vitezei

Se presupune un evacuator (construcţie) cu lamă efluentă –

deversor sau orificiu mare – în canal prismatic, iar bieful aval (2) de

lungime cunoscută. Pentru pantă pozitivă, I2 > 0, şi bief de lungime mare,

spre capătul aval al biefului curgerea permanentă este (sau tinde) uniformă.

La pantă I2 ≤ 0 curgerea permanentă este neuniformă.

Lama deversantă sau jetul aval de construcţie ajunge la fundul

albiei în secţiunea contractată c-c unde adâncimea de obicei este minimă şi

h

ha

EEV0

0

c

av

h

h

EE0V0

c

av

se numeşte adâncime contractată hc. Excepţie face situaţia când adâncimea

la piciorul construcţiei este superioară adâncimii normale din bieful 2

hc’ > h02 şi poate să fie caracteristică pentru I2 > Icr. Adâncimea în secţiunea

contractată este inferioară adâncimii critice, hc < hcr.

10.a. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru 0 < I2 < Icr

Când lungimea biefului 2 este mare spre aval se obţine adâncimea

normală, h02 > hcr. Adâncimea în secţiunea contractată este inferioară

adâncimii critice hc < hcr, deci pe traseul biefului adâncimea creşte de la hc

la h02 trecând prin adâncimea critică, caz în care se formează saltul

hidraulic. Adâncimea de ieşire din salt este adâncimea normală din aval

h” = h02.

Lama deversantă fiind lipită de fundul albiei aval distribuţia vitezei

pe verticală este caracteristică regimului de fund.

E E

p

ph

h 'h "= h

l l

0

1

c

c

C C

sa lt

c 1 s

c 0 2

0< I2< Ic r

M u

c1

lama

deversa

nta

Fig. 15.20. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei,

0 < I2 < Icr, cu salt îndepărtat

În funcţie de raportul adâncimii contractate şi a celei de intrare în

salt există trei situaţii distincte:

- pentru hc < h’, între adâncimea contractată şi saltul hidraulic se

interpune o curbă de supraînălţare caracteristică pantei 0 < I2 < Icr de tipul

c1. Aval de salt mişcarea este uniformă cu adâncimea h02 comandată fără

alte condiţii din avalul biefului (fig. 15.20).

- pentru hc = h’ saltul hidraulic se formează exact din adâncimea

contractată, forma de racordare pe bieful 2 conţinând: lama deversantă,

saltul, apoi mişcarea uniformă. (fig. 15.21). Se numeşte racordare cu salt apropiat.

E E

p

p

h =h '

h"=h

0

1

c

c

C C

salt

c

02

0< I2< Icr

M pu

lama

deversa

nta

Fig. 15.21. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei

0 < I2 < Icr, cu salt apropiat

- pentru hc > h’, rezultă că nu există condiţii pentru dezvoltarea

unui salt perfect. În această situaţie saltul avansează spre amonte şi acoperă

parţial lama deversantă formându-se un salt înecat (fig. 15.22). Presupunând

adâncimea de intrare în salt h’ = hc din funcţia saltului rezultă h” < h02.

Raportul σî = h”/h02 este supraunitar şi caracterizează gradul de înecare al

saltului şi se numeşte coeficient de înecare.

E E

p

p

h

0

1

C

salt inecat

c

02

0<I2<Icr

Mu

lama

deversa

nta

h

N

Fig. 15.22. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei 0 < I2 < Icr, cu salt înecat

Raţionamentele anterior prezentate la punctul 10.a pentru

0 < I2 < Icr, pot fi extinse şi pentru I2 ≤ 0. Pentru aceste situaţii, între lama

deversantă se pot interpune curbe de supraînălţare c0 sau c’ în funcţie de

panta de racordare cu salt îndepărtat. Bieful 2 are lungime finită şi după salt

se formează curbă de coborâre b0 sau b’ în funcţie de panta albiei.

În cazul unui orificiu mare de fund (de stavilă), formele de

racordare pentru I2 < Icr sunt asemănătoare cu cazul anterior prezentat

(fig. 15.23).

E E

a hh'

h" h

0

c

c

c

C10<I<Icr

C

ab

c

MuMu

salt

02

Fig. 15.23. Racordare cu lamă efluentă (orificiu mare) în regim de fund al vitezei: a) cu salt

îndepărtat; b) cu salt apropiat; c) cu salt înecat

Fenomenele de racordare sunt asemănătoare şi în cazul unei

construcţii de racordare combinată (fig. 15.24).

h

h'h"=h

EE0

c

c

c

C1 02

0<I<Icr

a

b

cMu

Mu

Mu

Fig. 15.24. Racordare cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei la construcţie combinată

(deversor cu stavilă): a) cu salt îndepărtat: b) cu salt apropiat; c) cu salt înecat

10.b. Fenomene hidraulice pe bieful 2 pentru I2 > Icr

Starea curentului în mişcare uniformă este rapidă h02 < hcr. După

construcţie în secţiunea contractată se formează adâncimea contractată hc

inferioară adâncimii critice hcr. Secţiunea de comandă este secţiunea

contractată cu adâncimea hc. În funcţie de mărimea hc comparativ cu hcr se

întâlnesc trei situaţii distincte:

- hc < hcr, adâncimea este situată în zona c în bieful 2, rapid, deci

suprafaţa liberă se dispune după o curbă de supraînălţare c2 (fig. 15.25), care

în aval tinde asimptotic la linia adâncimilor normale.

E E

p

p

0

1

2

C

c02

2 cr

N

hh h

C

I2 > Icr

c

c

Fig. 15.25. Racordarea cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei cu

bieful aval rapid hc < h02

- hc = hcr pe bieful 2 se comandă adâncimi normale care se menţine

pe tot bieful;

- hc > hcr, este o situaţie întâlnită la căderi mici, debite specifice

evacuate mari şi panta albiei biefului 2 mare. Adâncimea contractată de

comandă este situată în zona b, pe bief suprafaţa liberă dispunându-se după

o curbă de coborâre b2 (fig. 15.26).

E E

p

p

0

1

2

C

02

2 cr

N

b

I > Icr

chh

h

Fig. 15.26. Racordarea cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei cu

bieful aval rapid h02 < hc < hcr

20. Racordarea biefurilor prin construcţii cu lame

efluente în regim de suprafaţă şi mixt al vitezei.

Formele de racordare caracterizate prin regim de suprafaţă şi mixt

al vitezei sunt strâns legate între ele şi se examinează în comun. Aceste

forme de racordare se întâlnesc la evacuatorii la care la piciorul aval există o

cădere. Mişcarea efluentă poate fi creată de deversoare sau orificii de stavilă

pe cădere. La astfel de evacuatori la racordarea cu bieful aval se produc

fenomene hidraulice complexe şi complicate, cu regim de suprafaţă şi mixt

al vitezelor.

Se consideră o construcţie de racordare (fig. 15.27) având

caracteristică pragul vertical din aval.

EE

d

h

h

0

c

02

a

d

EE0

h02

hc

Fig. 15.27. Schemele construcţiilor de racordare cu regim de suprafaţă şi mixt al vitezelor

Unui anumit debit Q îi corespunde pentru panta 0 < I2 < Icr o

anumită adâncime normală h02.

În funcţie de mărimea d în raport cu h02 se întâlnesc mai multe

forme de racordare în bieful 2, astfel:

20.a. h02 < d, de pe pragul de înălţime d lama (jetul) curge

asemănător cazului 1, cu formele de racordare în regim de fund al vitezei în

bieful 2, cu salt îndepărtat, apropiat sau înecat.

20.b. h02 ≈ d, lama deversantă pleacă de pe prag aproape în poziţie

orizontală şi se menţine la suprafaţă, dând naştere la regim de suprafaţă a


vitezei. Sub jet se formează vârtejuri, de fapt avem de a face cu un salt de

suprafaţă neînecat pentru care hc = h’ şi h” = h02. (fig. 15.28.a). O astfel de

situaţie însă este instabilă, orice modificare a nivelului aval produce

schimbări radicale în structura curgerii la racordare.

Scăderea nivelului h02 implică fenomene de racordare descrise la

20a, iar creşterea nivelului produce ridicarea lamei şi înecarea saltului de

suprafaţă, care apare ca o undă în apropierea pragului (fig. 15.28.b).

h hcr 02

C

N20 v

h

h

0 v

h hcr 02

N2

C

hh

cr02

h

vN2

C

h h

h

v

h

v

cr 02

N2

C

hh

cr02

N2

C

vv

h h

a) Salt de suprafataneînecat

b) Salt de suprafata

înecat

c) Salt de fund înecat

d) Salt de suprafataneînecat

Salt de fund înecat

e) Salt de suprafataînecat

Salt de fundînecat

Fig. 15.28. Formele de racordare în aval de prag în regim de suprafaţă şi mixt al vitezei.

Creşterea nivelului aval poate produce formarea saltului de fund

înecat (fig. 15.28.c). Proporţia de vârtejuri în acest caz este mare.

Creşterea debitului, implicit a nivelului aval, conduce la o

racordare în regim mixt al vitezelor, cu salt de suprafaţă neînecat, urmat de

salt de fund înecat (fig. 15.28.d). Lama care pleacă de pe prag este deviată în

sus în saltul neînecat de suprafaţă, recade pe fund schimbând regimul

vitezelor şi formează un salt de fund înecat.

Creşterea debitului, implicit a adâncimii aval, împinge spre amonte

cele două salturi, înecându-se şi saltul de suprafaţă (fig. 15.28.e). Prima

parte a acestei racordări este caracterizată de regim de suprafaţă a vitezelor,

iar partea a doua prin regim de fund.


15.3. RELAŢII DE CALCUL ALE MĂRIMILOR

HIDRAULICE ÎN RACORDAREA BIEFURILOR

PRIN CONSTRUCŢII CU LAME EFLUENTE

Trasarea suprafeţei libere la aceste tipuri de racordări –

poziţionarea în lungul albiei şi pe verticală a fenomenelor hidraulice –

necesită cunoaşterea tuturor mărimilor hidraulice caracteristice. Calculul

unei părţi din aceste mărimi au fost dezbătute, celelalte sunt prezentate în

cele ce urmează.

15.3.1. Relaţii de calcul pentru racordări

în regim de fund al vitezei

Se prezintă modul de calcul al adâncimii contractate hc şi a poziţiei

sale în lungul curentului, secţiunea în care se ajunge la această adâncime.

10. Calculul adâncimii contractate

Pentru generalizare se consideră o schemă combinată de construcţie

care realizează racordarea a două biefuri cu lame efluente (fig. 15.29).

Scriind ecuaţia energiei între secţiunile 1 şi 2 faţă de planul de

referinţă 0 - se obţine:

E E

HH

p '

a

p

h

l l

l

v / 2 g

h

z z

0

V 0

0

c

1

b

0 2

0

0

2

2

0

1 02

α

1

0

Fig. 15.29. Schemă pentru calculul adâncimii contractate

g

v

g

vh

g

vaHpE cc

c2222

222

00 ⋅+

⋅+=

⋅+++= ς

αα (15.6)

Folosind notaţia:

ςα

ϕ+

=1

(15.7)

se obţine

2

2

02 ϕ⋅

+=g

vhE c

c (15.8)

Ţinând seama de ecuaţia de continuitate scrisă secţiunii 2,

Q = Ac·Vc, ecuaţia (15.8) devine:

22

2

02 c

cAg

QhE

⋅⋅+=

ϕ (15.9)

Ecuaţia (15.9), de sens pur energetic, este prima relaţie

fundamentală a racordării biefurilor în regim de fund al vitezelor şi permite

calculul adâncimilor contractate prin metode numerice (aproximaţii

succesive).

În continuare se particularizează ecuaţia pentru secţiune

dreptunghiulară. Făcând înlocuirile q = Q/b şi Ac=b·hc, se obţine:

22

2

02 c

chg

qhE

⋅⋅+=

ϕ (15.10)

sau

( )c

chEg

qh

−=

02ϕ (15.10’)

Se observă că adâncimea contractată este dată de o ecuaţie

algebrică de gradul 3 care se poate soluţiona cu relaţia generală de calcul

sau prin aproximaţii succesive. Întrucât hc << E0, la prima iteraţie se

permite utilizarea relaţiei aproximative.

02 Eg

qhc

⋅≅

ϕ (15.11)

apoi

( )102 −−

=ci

cihEg

qh

ϕ (15.12)

Calculele se consideră terminate când

ccici hhh ε<− −1 (15.13)

unde toleranţa calculului εhc = 0,001 satisface cerinţele tehnice (practice).

În tratatele de hidraulică există tabele şi grafice pentru calculul

adâncimii contractate, întocmite în valori relative (E0/hcr; hc/hcr).

În calcule importanţă mai mare prezintă mărimea coeficientului de

viteză φ care, pentru calcule preliminare, pentru câteva tipuri de condiţii de


curgere, se poate adopta din (tab. 15.1). Pentru construcţii de racordare de

mare importanţă coeficientul de viteză φ şi condiţiile de racordare se

stabilesc experimental pe modele hidraulice.

Valorile coeficientului de viteză

Tabelul 15.1

Nr

crt

Condiţia de curgere

φ 1 Curgere dintr-un orificiu în atmosferă, liber 1,00...0,97

2 Curgere dintr-un orificiu de stavilă de fund 1,00...0,95

3 Cădere fără stavile 1,00

4 Căderi cu stavile 1,00...0,97

5

Deversor cu profil practic fără stavile:

- parament deversant de lungime mică 1,00

- parament deversant de lungime mijlocie 0,95

- parament deversant de lungime mare 0,90

6 Deversoare cu stavile 0,95...0,85

7 Deversoare cu contur poligonal 0,90...0,80

8 Deversoare cu prag lat 0,95...0,85

Pentru parament deversant cu rugozitate mărită valoarea lui φ se

poate micşora cu 5 % (piatră cioplită, brută etc).

20. Calculul distanţei la care se formează

adâncimea contractată Determinarea distanţei la care ia naştere adâncimea contractată hc

prezintă importanţă practică atât pentru poziţionarea în lungul curentului a

elementelor hidraulice de racordare, cât şi pentru controlul racordării

biefurilor.

Această distanţă lb se calculează funcţie de tipul construcţiei care

produce mişcarea efluentă.

20.a. La deversorul cu muchie ascuţită cu lamă aerată, această

distanţă de bătaie a lamei se compune din două elemente (fig. 15.30 a).

10 lllb += (15.14)

l0 fiind distanţa măsurată pe orizontală de la muchia deversorului până la

punctul de cotă maximă a pânzei inferioare şi are valoarea l0 = 0,27H (v. 11.5.2.pct.8).


H H

h

h

px

y

yp

l l l

V0

00

1

max

yb

0 1

1

x

a Fig. 15.30. Calculul distanţei de bătaie a lamei deversante

Notând cu v viteza medie a particulelor din secţiunea de origine a

axelor de coordonate, o particulă din centrul de greutate al lamei în timpul t

parcurge distanţa după orizontală x = vt, iar pe verticală 2

2

1gty = . Viteza

particulei fiind dată de relaţia ghv 2ϕ= se obţine:

yhx ⋅= ϕ2 , (15.15)

respectiv

max1 2 yhl ⋅= ϕ (15.15’)

conform 11.5.2.pct.8,

ymax = p + 0,446H (15.16)

şi

h = 0,554H (15.17)

Bătaia lamei se consideră distanţa pe orizontală de la muchia

deversorului şi până la centrul lamei care atinge patul albiei biefului aval.

20.b. La deversorul cu prag lat (fig. 15.30 b) distanţa de bătaie a

lamei este

lb = l1 (15.18)

se acceptă

( ) 01 112 Hmh −−= (15.19)

şi

2

10

hHh −= (15.20)

H0

h1

l =lb 1b


Considerând ymax = p+h1/2 distanţa de bătaie a lamei este:

+

−=

222 11

0

hp

hHlb ϕ (15.21)

20.c. La deversor cu profil curb când lama se dezlipeşte de

paramentul aval (fig. 15.31), rezultă:

Fig. 15.31. Bătaia lamei la deversor

cu profil curb cu lamă dezlipită

l0 = 0,3H; h1 = 0,64H; φ = 1; h = H0 - h1/2 = 0,68H0; ymax = p+h1/2 = p + 0,32H0, respectiv:

( )032,065,13,0 HpHHlb ++= (15.22)

20.d. La stăvilar în albie continuă (orificiu de fund) distanţa la care

se formează adâncimea contractată faţă de paramentul amonte al stavilei se

poate determina aproximativ din relaţia (fig. 11.14)

lb = (2...3) a (15.23)

2

0.e. La deversoare cu profil practic la care lama deversantă nu se

dezlipeşte de parament, adâncimea contractată este la piciorul aval al

taluzului. Afirmaţia este valabilă şi pentru canale rapide la care adâncimea

hc este adâncimea curbei de supraînălţare sau de coborâre în secţiunea aval a

jilipului.

15.3.2. Relaţii de calcul pentru racordări în regim

de suprafaţă al vitezei

În cazul racordării în regim de suprafaţă al vitezei, cu evacuator cu

prag în aval (fig. 15.32) relaţiile de calcul pentru saltul de suprafaţă rezultă

din ecuaţia energiei şi cantităţii de mişcare, după cum urmează:

H

p

l

l0 1

b

h h1

l


Fig. 15.32 Schema pentru

calculul racordării în regim de

suprafaţă al vitezei

220

2cos

c

chg

qhdE

⋅⋅+=−

ϕθ (15.24)

şi

( ) 2222

coscos2

hdhhhhgh

qcc

c

′′−+=′′−′′

⋅θθ

α (15.25)

S-a considerat hc adâncimea de intrare în saltul de suprafaţă.

15.4. APLICAŢII

10. Să se analizeze şi să se poziţioneze elementele hidraulice de

racordare a două biefuri la schimbarea de pantă a canalului de secţiune

dreptunghiulară, cunoscând: Q = 10 m3/s; b = 4 m; n = 0,016; α = 1,1;

I1 = 5 ‰ I2 = 0,5 ‰. Bieful 2 se termină cu o cădere, iar adâncimea

maximă a apei pe acest bief h2max = 1,70 m.

Rezolvare.

a. Se calculează adâncimile normale pe biefuri. (tab. 15.2)

Tabelul 15.2

Bief h0 (m)

A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

Q (m

3/s)

1 0,81 3,24 5,62 0,577 57,0 9,92

2 1,84 7,36 7,68 0,958 62,1 10,00

b. Se calculează adâncimea critică

m 89,0481,9

101,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

α

EE

h

h

0

c

02

p

H

p

θ dh"

Vc

1

Vo

c. Analiza stării curentului şi a tipului de racordare

h01 < hcr →bief 1 rapid →racordare cu salt hidraulic h02 > hcr →bief 2 lent d. Poziţionarea saltului hidraulic. Se presupune că saltul se

formează pe bieful 2, adâncimea de ieşire din salt fiind adâncimea maximă

de pe bieful 2, deci h” = h2max. Conjugata acesteia este:

m 40,0170,1

89,081

2

70,1181

2

33

=

−

+=

−

′′+

′′=′

h

hhh cr

Adâncimea minimă pe canal este h01 = 0,81 m, deci saltul se va

forma pe bieful 1, elementele de racordare fiind: pe bieful 1 MU, salt, a2, iar

pe bieful 2 curba b1. (fig. 15.33).

e. Calculul parametrilor elementelor de racordare.

e.1. Calculul elementelor saltului.

- adâncimile conjugate:

h’ = h01 = 0,81 m

m 98,0181,0

89,081

2

81,0181

2

33

=

−

+=

−

′+

′=′′

h

hhh cr

(nu s-a ţinut seama de panta biefului 1).

- lungimea saltului

ls = 6(h”-h’) = 6(0,98-0,81)=1,62 m.

e.2. Curba a2 se formează între adâncimile h1a2 = h” = 0,98 m şi

h2a2 = h2max = 1,70 m

Tabelul 15.3. h

(m)

η A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s)

K (m3/s)

x xm φ(η,x) jm

h01 0,81 - 3,24 5,62 0,577 57,0 140,3 - - - -

h1a2 0,98 1,21 3,92 5,96 0,658 58,3 185,3 2,92

2,88

0,523

1,207 h2a2 1,70 2,10 6,80 7,40 0,919 61,6 401,7 2,84 0,146

medii 6,28 59,95


( ) ( ) ( )[ ]

( )( )[ ] m 132523,0146,0207,1121,11,2005,0

81,0

1 1212

1

012

=−−−−=

=−−−−= ηϕηϕηη ma jI

hL

e.3. Lungimea biefului 2 (a curbei b2). Această curbă se formează

între adâncimile h1b1 = h2max = 1,70 m şi h2b2 = h0cr = 0,89 m

Tabelul 15.4. h

(m)

η A (m2)

P (m)

R (m)

C (m0,5/s)

K (m3/s)

x xm φ(η,x) jm

h02 1,84 - 7,36 7,68 0,958 62,1 447,4 - - - -

h1b1 1,70 0,924 6,80 7,40 0,919 61,6 401,7 2,73

2,77

1,372

0,121 h2b2 0,89 0,484 3,56 5,78 0,616 57,7 161,22 2,81 0,503

medii 6,59 59,65

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )[ ] m 1192372,1503,0121,01924,0484,00005,0

84,1

1 1212

2

021

=−−−−=

=−−−−= ηϕηϕηη mb jI

hL

0,81

0,98

1,70

0.89

1 1 921321 ,36

M u

sa lt a 2

b1

C r

N02

N01

Fig. 15.33. Parametrii elementelor hidraulice la racordarea biefurilor

20. Să se traseze linia luciului apei şi să se poziţioneze fenomenele

hidraulice pentru racordarea a două biefuri la schimbare de pantă a

canalului, de secţiune dreptunghiulară, cunoscând: Q = 10 m3/s; b = 4 m;

n = 0,016; I1 = 5 %; I2 = 0; l2 = 200 m; α = 1,1. Bieful 2 se termină cu o

cădere.


Rezolvare.

a. Se calculează adâncimea normală pe bieful 1 şi cea critică pentru

canal, respectiv panta critică (tab. 15.5)

Tabelul 15.5

h01 (m)

A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

K (m

3/s)

Q (m

3/s)

0,382 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8 10,0

m 89,0481,9

101,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

α

( ) 00395,0

616,07,5756,3

1022

2

22

2

=⋅⋅

=⋅⋅

=cr

crRCA

QI

b. Racordarea este pentru bief rapid – bief lent, care are loc cu salt

hidraulic dacă curgerea pe bieful 2 revine la starea lentă. În acest caz

racordarea are ca elemente:

Bief 1 – MU; bief 2 – curbă c0, salt, curbă b0. Dacă bieful nu are

lungime suficientă poate lipsi saltul şi curba b0. Se presupune acest ultim

caz la limită, când curba c0 se formează pe bieful 2 între adâncimile h01 şi

hcr şi se calculează lungimea sa.

Tabelul 15.6 h

(m)

ξ A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

K (m

3/s)

xm Cm Pm jm LC0

0,382 0,429 1,528 4,764 0,321 51,7 44,8

3,03

54,7

5,27

0,980

74,0 0,89 1,0 3,56 5,78 0,616 57,7 161,1

(Calculele s-au efectuat conform capitolului 13).

Întrucât lungimea maximă posibilă a curbei c0 este inferioară

lungimii canalului, curgerea revine la starea lentă, deci pe bieful 2 există

curbă c0, salt şi curbă b0. Saltul racordează cele două curbe; adâncimea de

intrare în salt este adâncimea de ieşire din curba c0, iar adâncimea de ieşire

din salt este adâncimea de intrare în curba b0. Aceste adâncimi nu se cunosc

ca mărime. Curba c0 se formează între adâncimile h1c1 = h01 şi h2c1 = h’, iar

curba b0 între adâncimile h1b0 = h” şi h2b0 = hcr.


c. Soluţionarea problemei este posibilă grafo – analitic. Se dau

valori pentru h1b0 pentru care se calculează lb0, h’ şi ls (tab. 15.7) şi

(tab. 15.8). Perechile de valori (h1b0, lb0)i şi (h’, ls)i se reprezintă grafic din

aval spre amonte pe bieful 2. (fig. 15.34). Pentru câteva valori arbitrare

h2c0∈(h1c0, hcr) se calculează lungimea curbei c0 (tab. 15.9) şi perechile de

valori (h2c0 lco)i se reprezintă pe acelaşi grafic din amonte spre aval. La

intersecţia curbei c0 cu linia adâncimilor de intrare în salt se găseşte

adâncimea căutată h’ = h2c0 cu care se recalculează lungimea lC0, h”, ls, apoi

lb0.

Calculul curbei b0

Tabelul 15.7. h

(m)

ξ A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

K (m

3/s)

xm Cm Pm jm Lb0

h2b0 0,89

1 3,56 5,78 0,616 57,7 - - - - - -

1,40 1,573 5,60 6,80 0,824 60,5 307,6 2,86 59,1 6,29 0,959 157

1,41 1,584 5,64 6,82 0,827 60,6 310,6 2,85 59,15 6,30 0,959 163

1,42 1,596 5,68 6,84 0,830 60,6 313,6 2,85 59,15 6,31 0,957 171

1,43 1,607 5,72 6,86 0,834 60,6 316,7 2,85 59,15 6,32 0,956 179

1,44 1,618 5,76 6,88 0,837 60,7 319,8 2,85 59,2 6.33 0,956 186

1,45 1,629 5,80 6,90 0,841 60,7 322,9 2,85 59,2 6,34 0,955 194

h1b0 1,413

1,588

5,652

6,826

0,828

60,6

34,5

2,85

59,15

6,30

0,959

165

Calculul parametrilor saltului

Tabelul 15.8. h" (m) 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,413

h' (m) 0,524 0,519 0,414 0,509 0,504 0,499 0,517

ls (m) 5,3 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7 7,4


Calculul curbei c0

Tabelul 15.9. h

(m)

ξ A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

K (m

3/s)

xm Cm

(m0,5

/s)

Pm

(m)

jm LC0

(m)

h1c0

0,382

0,429

1,528

4,764

0,321

51,7

44,8

-

-

-

-

-

0,50 0,562 2,00 5,00 0,400 53,6 67,9 3,09 52,65 4,88 0,980 26,6

0,55 0,618 2,20 5,10 0,431 54,3 78,5 3,08 53.00 4,93 0,983 36,8

0,60 0,674 2,40 5,20 0,462 55,0 89,7 3,08 53,35 4,98 0,987 46,4

h2c0

0,517

0,581

2,068

5,034

0,411

53,9

71,4

3,08

52,80

4,89

0,983

30,0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 200

L(m)

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

h(m)

200 l(m) 190 180 170 160 150 0

linia h'

linia Co

linia boh"=bo

h1Co=0,382h2Co=h'=0,517

lCo=30 mls=5,4 m

Lbo=165 m

h"=h1bo=1,413 mh2bo=hc=0,89 m

Co

Fig. 15.34. Soluţia grafo-analitică

Din figură se obţine h2C0 = h’ = 0,517 m la care corespund

h” = h1bo = 1,413 m; lC0 = 30,0 m; ls = 5,4 m şi lb2 = 165 m, valori

corespunzătoare ultimelor linii din tabelul 15.7 şi 15.9.

L = lC0 + ls + lb0 = 30 + 5,4 + 65 = 100,4 m În calcule s-a utilizat:

Ls = 6(h”-h’) şi 21

21

/lg

/lg2

hh

KKxm = .

30. Să se arate elementele hidraulice ale racordării a trei biefuri la

schimbare de pantă a unui canal de secţiune dreptunghiulară, cunoscând:

q = 1,5 m3/s·m; h01 = 0,2 m; h03 = 0,5 m; h2max = 1,2 m şi α = 1,1.

Rezolvare.

Se determină adâncimea critică şi se analizează starea mişcării pe

biefuri

m 63,081,9

5,11,13

2

3

2

=⋅

=⋅

=g

qhcr

α.

Fiindcă h01 < h03 < hcr pe biefurile 1 şi 3 mişcarea este rapidă

(torenţială), iar pe bieful 2 – cel puţin pe o porţiune – starea curentului este

lentă (h2max > hcr). Localizarea saltului se face astfel: h2max se consideră

adâncimea de ieşire din salt (h”) şi se calculează conjugata sa (h’) care se va

compara cu h01.

m 28,012,1

63,081

2

2,1181

2

33

=

−

+=

−

′′+

′′=′

h

hhh cr

Întrucât h’ > h01 saltul se formează pe bieful 2, între salt şi h01 (de

pe bieful 1) se interpune o curbă de supraînălţare c (care în funcţie de panta

biefului 2 poate fi: c1 - pentru I2 > 0, c0 – pentru I2 = 0 şi c’ – pentru I2 < 0)

între adâncimile h01 şi h’. Pe bieful 2, după salt, mişcarea este lentă (fluvială), iar pe bieful 3

rapidă. La schimbarea de pantă bief 2 – bief 3 adâncimea curentului este hcr.

Pe bieful 2, după salt, avem o curbă de coborâre b (în funcţie de pantă b1, b0

sau b’), iar pe bieful 3 curba de coborâre b2, între adâncimile hcr şi h03.

Schema nivelurilor corespunde (fig. 15.35).

hh '

h " h

h

C

N1

0 1c r

0 3N 3

C

h c r

B ie f 1 B ie f 2 B ie f 3

M is c a r e p e rm a n e n tas i u n ifo rm a

c u rb a t ipC

s a ltc u r b a t ip

bc u rb a b2

r

r

Fig. 15.35. Schematizarea curgerii pe cele trei biefuri


40. Pe un canal de secţiune dreptunghiulară, cu b = 2,0 m; I = 1‰

şi n = 0,018 este amplasat un stăvilar pe toată lăţimea acestuia, având

deschiderea a = 0,4 m.

Să se determine adâncimea apei amonte de stăvilar şi elementele

specifice fenomenelor de racordare în aval pentru debitul tranzitat

Q = 4 m3/s. Se consideră α = 1,1.

Rezolvare.

a. Adâncimea amonte de stăvilar rezultă din relaţia:

( )( )

agba

QHaHgbaQ ⋅+

⋅⋅⋅=⇒⋅−⋅⋅= ε

µεµ

22

2

2

00

şi

g

vHH

2

2

00 −= , cu

0

0 hb

Qv

⋅≈ .

Valorile µ = f1(a/H) şi ε = f2(a/H) sunt intabulate.

Calculele se efectuează prin iteraţii. Pentru o valoare arbitrară

a/H = 0,1 avem µ = 0,611 şi ε = 0,615, respectiv

( )

m 66,34,0615,081,9224,0611,0

42

2

0 =⋅+⋅⋅⋅⋅

=H .

m 64,381,92

55,01,166,3 ;m 55,0

66,32

4~

2

0 =⋅

⋅−==

⋅Hv .

Pentru 11,064,3

4,0==

H

a rezultă µ = 0,611 şi ε = 0,615 elementele

anterior calculate fiind corecte, deci adâncimea amonte de stăvilar este

H = 3,64 m.

b. Elemente de racordare în bieful aval.

b.1. Se calculează adâncimea normală h0 şi critică hcr.

Tabelul 15.10

h01 = 1,58 m

h0 (m)

A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

Q (m

3/s)

1,58 3,16 5,16 0,612 51,19 4,002

m 765,0281,9

41,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

α.

b.2. Adâncimea contractată după stăvilar hc şi distanţa unde se

formează lc.

hc = ε·a = 0,615·0,4 = 0,246 m; lc = (2...3)a = (2...3)0,4 = 0,8...1,2 m.

hc < hcr, h0 > hcr rezultă racordare cu salt hidraulic.

b.3. Pentru stabilirea poziţiei saltului se consideră hc = h’, se

calculează conjugata sa h” care se compară cu h0.

m 79,11246,0

765,081

2

246,0181

2

33

=

−

+=

−

′+

′=′′

h

hhh cr .

h" > h0 rezultă saltul este îndepărtat şi de fapt adâncimea de ieşire din salt

h” este h0. Între adâncimea contractată şi adâncimea de intrare în salt este o

curbă de supraînălţare c1.

b.4. Elementele saltului:

- adâncimea de ieşire: h” = h0 = 1,58 m

- adâncimea de intrare:

m 301,0158,1

765,081

2

58,1181

2

33

=

−

+=

−

′′+

′′=′

h

hhh cr .

- lungimea saltului:

ls = 6(h”-h’) = 6(1,58-0,301) = 7,67 m.

- viteza la intrare:

m/s 64,6301,02

4=

⋅=

′⋅=′

hb

Qv .

- numărul Fr’:

⇒=⋅

=′⋅

′=′ 9,14

301,081,9

64,6 22

hg

vrF salt cu jet oscilant.

b.5. Elementele curbei c1 (tab. 15.11)

Tabelul 15.11. h

(m)

η A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

K (m

3/s)

x φ(η,x)

h0 1,58 - 3,16 5,16 0,612 51,19 126,5 - -

h1=hc 0,246 0,156 0,492 2,492 0,197 42,38 9,25 2,82 0,156

h2=h’ 0,301 0,191 0,602 2,602 0,231 43,52 12,60 2,78 0,191

Valori medii 2,547 42,95 2,80

( ) ( ) ( )[ ]

( )( )[ ] m 0,9156,0191,0162,01156,0191,0001,0

58,1

1

162,0547,2

2

81,9

95,42001,01,1

05,0014,080,2

78,282,2

12120

1

22

21

=−−−−=

=−−−−=

=⋅⋅⋅

=⋅=

<=−

=−

=

ηϕηϕηη

α

δ

mC

m

mim

mx

jI

hl

P

B

g

hj

x

xx

δx - se încadrează în toleranţă.

Elementele calculate corespund fig. 15.36.

H = 3 ,6 6m

H = 3 ,6 4m

a= 0 ,4 h = 0 ,2 4 6mh '= 0 ,3 0 1m

h "= h = 1 ,5 8mh = 0 ,7 6 5m

0

c

C 1 c r

C

M p us a lt

0

V = 0 ,5 5m /s0

0 ,8 -1 ,2m 9 ,0m 7 ,6 7m

v /2 g02

α

Fig. 15.36. Valorile parametrilor saltului hidraulic

Capitolul 16

DISIPAREA ENERGIEI. DISIPATORI DE ENERGIE

Una din cele mai importante probleme a racordării biefurilor o

constituie controlul şi disiparea energiei curentului evacuat în bieful aval.

Această energie suplimentară, de multe ori ocazională, nu este economic să

fie recuperată prin construcţii şi instalaţii anume şi din acest considerent se

disipează controlat, altfel putând afecta siguranţa construcţiilor hidrotehnice.

16.1. Noţiuni generale. Tipuri de disipatoare

Construcţiile de racordare – evacuare cu lame efluente creează

stare rapidă a curentului, cu viteze mari (la racordări cu salt îndepărtat) şi

conduc la erodarea albiei aval, producând afuieri. Pe o anumită distanţă în

aval de construcţia de racordare se produce disiparea energiei suplimentare a

curentului.

Fie o construcţie de racordare cu deversor având profil practic care

evacuează în aval debitul maxim Qmax (fig. 16.1).

E

E

HH

p

h

ll

h

0

0

c

10

02

c

1c

l∆

h''h'

l

E

E∆

E∆ s

EΣ ∆

C1

E 0av

salt

0<I

consolidare grea a albiei lr

risberma

groapaafuere

1 2

3

4

lama deversa

nta

linia energetica

2<Icr

Fig. 16.1. Schema disipării energiei la un evacuator fără construcţii speciale de disipare

Curentul evacuat accelerează în lamă până în secţiunea contractată

apoi îşi diminuează viteza prin curba de supraînălţare c1 şi salt până se

ajunge mai în aval la o distribuţie corespunzătoare regimului lent din aval.

Din energia totală E0 din amonte în aval se ajunge la E0av disipându-se în

total 1 l C sE E E E∑∆ = ∆ + ∆ + ∆ , parte în lamă ∆El, parte în curba c1,

∆EC1, iar restul în salt ∆Es.


246

Controlul disipării înseamnă disiparea unor anumite cantităţi de

energie prin lamă, curba c1 şi salt, proporţiile, la rândul lor, pot fi modificate

prin elemente de construcţie sau calitatea suprafeţelor de contact – prin

modificarea rugozităţii. Atât pe parament, cât şi în lungul curbei c1 pot fi

prevăzute artificial anumite macrorugozităţi, iar saltul poate fi controlat, în

sensul poziţiei sale în lungul curentului prin construcţii pentru disipare care

îneacă saltul în poziţie impusă.

Viteza, respectiv energia cinetică mare în lungul lamei deversante,

curbei c1 şi salt conduc la turbulenţă sporită şi pulsaţia presiunii care poate

să afecteze construcţia în ansamblu prin eroziunea materialului. Din acest

considerent deversorul şi albia în aval până la secţiunea de ieşire din salt se

consolidează astfel să reziste acţiunii dinamice ale apei. Chiar şi în aval de

salt există o turbulenţă mai mare a curentului faţă de o secţiune mult în aval,

o energie reziduală nedisipată, care poate produce antrenarea materialelor

albiei. Din acest considerent în aval de salt albia se protejează cu o saltea

elastică de material neantrenabil, rizbermă. Din condiţii de micşorare a

investiţiilor rizberma se realizează numai pe o anumită parte a zonei de tranziţie (de revenire a profilului de viteză, la cel normal din aval), în aval

acceptându-se o anumită posibilitate de antrenare de către curent a

materialelor patului albiei, unde se şi realizează groapa de afuieri. Datorită celor arătate, în majoritatea cazurilor de racordare cu salt

se controlează disiparea energiei prin construcţii adecvate, reducându-se, din

condiţii economice, lungimea pe care se produce disiparea, racordarea

făcându-se prin salt înecat. Înecarea saltului are loc prin construcţii speciale

„disipatoare de energie”. Cea mai simplă construcţie pentru controlul

disipării energiei este „bazinul disipator de energie” care este posibil de

realizat în trei variante: prin adâncirea radierului, cu prag încastrat în radier

şi mixt (fig. 16.2)

l b

a

l

b

b l b

c

d

hav

dhav d

d

dhav

1

2

Fig. 16.2. Tipuri de bazine disipatoare simple: a) cu adâncirea radierului;

b) cu prag; c) mixt.

Bazinele simple de disipare cu prag continuu uneori prezintă

inconveniente, mai ales la evacuarea apei cu aluviuni, ele se colmatează,

rămân parţial umplute cu apă şi permit dezvoltarea vegetaţiei (nu se

comportă bine la numere Fr’ < 20). Uneori se utilizează prag întrerupt, în

formă de dinţi, numiţi dinţi Rehbock (propuşi prima dată de T. Rehbock

în 1927).

La lucrări importante se utilizează bazine disipatoare cilindrice sau

combinate, sau bazine complexe cu dinţi deflectori, dinţi de disipare, prag

cu redane.

Bazinele disipatoare, care apropie jetul de construcţia de racordare,

sunt uneori evitate şi se preferă disiparea energiei în jeturi libere prin aer sau

în contact cu o saltea de apă. Construcţiile de racordare folosesc trambuline

sau instalaţii mai complicate care realizează jeturi destrămate.

În anumite situaţii, ca diferenţă de cotă apreciabilă între două

biefuri, pante mari pe distanţe apreciabile, pentru economicitatea

construcţiei hidrotehnice se pot utiliza disipatori de energie speciali: în

cascadă – căderi în trepte, canale rapide – jilipuri. Căderile în trepte pot avea

sau nu pe fiecare treaptă bazin disipator sau jilipurile pot fi echipate cu

macrorugozităţi. În unele situaţii chiar paramentul deversor este prevăzut cu

trepte mici.

Situaţiile concrete, hidraulice, condiţiile naturale – orografice,

geologice – şi economice, sunt argumente pentru diversificarea controlului

disipării energiei.

16.2. CONTROLUL RACORDĂRII ÎN BIEFUL AVAL FĂRĂ

CONSTRUCŢII SPECIALE DE

DISIPARE A ENERGIEI

În cazul unei racordări cu lamă efluentă în regim de fund al vitezei,

disiparea energiei fără construcţii speciale de disipare are loc în lungul lamei

deversante, a curbei de supraînălţare de tip c, în saltul hidraulic şi pe o

porţiune aval de salt unde curentul încă prezintă energie specifică reziduală

peste valoarea caracteristică curentului lent în aval, în forma existenţei

macroturbulenţei. (v. fig. 16.1.). În general, porţiunea aval de construcţie, cu

viteze mari şi energie specifică peste cea caracteristică curentului lent din

aval se protejează prin îmbrăcarea perimetrului cu material rezistent. Prima

porţiune se consolidează cu elemente de construcţii rigide care suportă

viteze mari – forţe hidrodinamice mari, iar mai în aval, zona

macroturbulenţei se protejează printr-o îmbrăcăminte elastică – rizbermă.

Problemele puse la disiparea energiei în acest caz nu sunt de

control al disipării propriu-zise, ci de determinarea distanţelor care trebuie

248

consolidate cu elemente de construcţie rigide şi elastice. În zona disipărilor

intense – lamă efluentă, curbă de supraînălţare de tip c şi salt – se

consolidează cu elemente rigide, masive, iar zona de tranziţie (cu

macroturbulenţă) cu disipări mai puţin intense se consolidează elastic.

Lungimea de consolidare masiv rigidă este:

lm = l0 + l1 + lc + ls (16.1)

cu l0 + l1 lungimea de bătaie a lamei, lc lungimea curbei c, şi ls lungimea

saltului.

Lungimea rizbermei este:

lr = χ·ltr (16.2)

unde ltr este lungimea zonei de tranziţie (macroturbulentă) şi χ un coeficient

subunitar, de reducere a lungimii rizbermei din condiţii economice.

Zona de tranziţie, aval de saltul hidraulic, se caracterizează prin

energie suplimentară reziduală datorată macroturbulenţei – pulsaţii de viteză

şi presiune mai intense decât cele caracteristice curentului lent din aval. Pe

un anumit parcurs aceste fenomene de macroturbulenţă se „sting”.

Lungimea zonei cu fenomene de macroturbulenţă se estimează (M. S.

Vâzgo) astfel:

02

4,0h

nlzt = (16.3)

Experienţele pentru albii betonate arată lzt = (2,5...3)ls. Pentru χ = 1

lungimea consolidării elastice (rizbermei) este lungimea zonei de tranziţie.

Acceptând anumite afuieri în aval lungimea rizbermei se poate reduce

(χ < 1) din condiţii economice.

Introducând noţiunea de coeficient al capacităţii de erodare al albiei k

neeroziunev

vk = , (16.4)

unde v este viteza medie a apei, iar vneeroziune este viteza care nu produce

eroziune şi admiţând în capătul aval al rizbermei k = 1,1...1,2, respectând

χ = 0,65...0,7 pentru h”/h’ < 8 şi χ = 0,75...0,80 pentru h”/h’ ≥ 8 rizberma

se scurtează.

Viteza de neerodare se poate calcula cu relaţia:

6

1

0236,4 hdvneeroziune ⋅= (16.5)

unde d este diametru mediu al particulelor albiei (m). Relaţia este valabilă

pentru 0,2 mm < d < 100 mm.


La o eventuală racordare cu salt apropiat sau înecat problemele sunt

analoage.

16.3. CONTROLUL RACORDĂRII ŞI DISIPĂRII ENERGIEI

CU SALT ÎNECAT ÎN BAZINE DISIPATOARE

Forţarea înecării saltului hidraulic prin construcţii speciale

contribuie la intensificarea disipării energiei, respectiv la reducerea lungimii

albiei consolidate. Aceste construcţii sunt bazinele disipatoare simple sau

complexe (cu dinţi deflectori, prag dinţat, redane – dinţi de dimensiuni

mari), radier cilindric sau combinat.

16.3.1. Calculul hidraulic al bazinelor disipatoare simple

Bazinele disipatoare simple se utilizează în cazul debitelor relativ

mici la corectarea torenţilor, evacuatorii de ape mari la baraje cu căderi şi

debite relativ mici, în sisteme de irigaţii, desecări, drenaje, alimentări cu

apă, canalizări etc. Pot fi realizate în trei variante conform fig. 16.2.

1

0. Bazin disipator simplu realizat prin adâncirea radierului.

Problemele de calcul hidraulic se referă la determinarea adâncimii

bazinului şi a lungimii acestuia.

Se consideră un bazin disipator realizat prin adâncirea radierului

(fig. 16.3) în albie de secţiune dreptunghiulară.

EE p

p0 n 1

c

0 2

z0 1

H

h

h b a z

d

∆ ∆z 0

z 'z v /2 g

h

α0

0V 0

V

2

l l l1 s Fig. 16.3. Schemă pentru calcul hidraulic al bazinului disipator simplu

cu adâncirea radierului

În cazul limită de salt apropiat conjugata adâncimii contractate este

adâncimea apei în bazin.

hc" = hbaz (16.6)

250

Din considerente geometrice, rezultă:

d = hba z- h02 - ∆z (16.7)

sau

d = hc” - h02 - ∆z (16.7’)

Se lucrează pe secţiune dreptunghiulară luând în calcul debitul specific

q = Q/b. Mărimea ∆z0 se determină considerând ieşirea din bazin prag urcător, obţinând:

2

0 2 2

022

qz

g hϕ∆ =

⋅ ⋅ (16.8)

în care ςα

ϕ+

=1

este coeficientul de viteză la prag , valoarea sa depinde

de ζ care se obţine din îndrumătoare de calcul hidraulic.

Denivelarea ∆z este:

2

022 c

qz z

g h

α ⋅∆ = ∆ −

″⋅ (16.9)

Calculul se conduce iterativ, la prima iteraţie adâncimea contractată

calculându-se, cu:

g

vHpE

2

2

0

01

⋅++=

α (16.10)

conform 15.3.1., pct 10. Cu valoarea hc1 obţinută, rezultă d1. Se corectează

sarcina de calcul cu adâncimea bazinului.

E0i+1 = E0i + di (16.11)

Calculul se consideră terminat când:

di+1 - di < εd (16.12)

εd fiind eroarea admisă în calculul adâncimii bazinului (se poate accepta

εd = 1 mm).

Pentru asigurarea racordării biefului aval cu salt înecat adâncimea

bazinului de disipare trebuie mărită astfel ca în bazinul disipator să rezulte

un salt înecat, deci

hbaz = σî·hc” (16.6’)

σî fiind coeficientul de înecare al saltului (σî = 1,05...1,1).

Astfel, adâncirea radierului va fi:

d = σ·hc” - (h02 + ∆z) (16.7’)

În cazul albiilor de secţiune trapezoidală adâncimea contractată se

poate calcula aproximativ conform metodologiei prezentate – lama


deversantă are grosime mică în secţiunea contractată – iar conjugata

adâncimii contractate rezultă din funcţia saltului. Pentru siguranţa înecării

saltului în bazin coeficientul de înecare trebuie considerat σî = 1,1,

intervenind în calcule aproximaţii la calculul adâncimii contractate.

Celelalte considerente sunt valabile de la albii de secţiune dreptunghiulară.

Există tabele şi nomograme în îndrumătoare de calcul hidraulic pentru

diferite elemente hidraulice pentru calcule manuale, însă prin programare în

limbaje simple, calculul poate fi uşor automatizat.

Lungimea bazinului disipator simplu se va trata în comun pentru

cele trei tipuri.

20. Bazin disipator simplu cu prag în bieful aval

Calculul hidraulic în acest caz constă în determinarea înălţimii

pragului şi lungimii bazinului disipator de energie. Se prezintă cazul

disipatorului cu prag în albie de secţiune dreptunghiulară (fig. 16.4).

E p

p

0 1

c

0 1

H

h

hb a z

d

z

z 'z

h

00

V 0

V

l l l0 1 s

H

H

1

∆

0 2

Fig. 16.4. Schema pentru calculul hidraulic al bazinului disipator simplu cu prag

Asigurarea unei racordări cu salt înecat cu un coeficient de înecare

σî presupune adâncime din bazin

hbaz = σî·hc” (16.13)

unde hc” este conjugata adâncimii contractată hc’. Coeficientul de înecare se

poate considera σî = 1,05...1,10.

Pe de altă parte, din condiţii geometrice, conform figurii, rezultă:

hbaz = d + H1 (16.14)

obţinând înălţimea pragului:

d = σî·hc” - H1 (16.15)

Calculele se desfăşoară în ordinea: se determină sarcina E0 şi se

stabileşte coeficientul de viteză φ, apoi adâncimea contractată hc, conjugata

acesteia hc”, adâncimea în bazin hbaz şi viteza medie din bazin v, respectiv

termenul cinetic corespunzător acestei viteze α·v2/2g.

252

Pragul bazinului disipator, în prima ipoteză, se consideră deversor

cu funcţionare liberă. Din ecuaţia acestuia

2/3

012 Hgmq ⋅= (16.16)

cu coeficientul de debit m caracteristic, se determină la debitul specific

sarcina totală H01. Scăzând din sarcina totală termenul cinetic corespunzător

vitezei medii din bazin (obţinut pentru hbaz) se obţine sarcina pe deversor

H1. Apoi, din relaţia (16.15) rezultă înălţimea pragului d. Din comparaţia

înălţimii pragului d şi adâncimii normale din aval h02 rezultă două situaţii:

20.a. d > h02, pragul disipatorului funcţionează liber şi calculele

întocmite sunt corecte;

20.b. d < h02, pragul disipatorului funcţionează înecat deci este

valabilă relaţia 2/3

012 Hgmq ⋅⋅= σ (16.17)

unde σ este coeficientul de înecare al pragului disipatorului, dependent de

adâncimea de înecare

−=

=

01

02

01 H

dhf

H

hf nσ .

În acest caz se refac calculele pentru valori mai mici ale lui di decât

cele obţinute anterior, respectându-se relaţia (16.14). Se determină H01i, apoi

σ şi qi. Perechile de valori (di, qi) se reprezintă grafic din care, la q rezultă

înălţimea pragului. Calculul iterativ poate fi automatizat.

La bazinul disipator cu prag este obligatorie verificarea racordării

cu bieful aval de pragul disipatorului care trebuie să fie cu salt hidraulic

înecat. Calculele sunt identice celor prezentate anterior, energia specifică

care generează adâncimea contractată fiind:

g

vhE baz

2

2

01

⋅+=

α.

În cazul obţinerii unui salt îndepărtat se prevede un al doilea prag

(fig. 16.5).

E p

p

0 1

c

01

H

d

baz1

021

V 0

V

H

E01

h

h c1

h baz2

d2

h

l lbaz1 baz2

h

Fig. 16.5. Bazin disipator dublu cu prag


Obligativitatea verificării racordării cu salt înecat şi după al doilea

bazin cu prag rămâne valabilă, calculele fiind asemănătoare.

Când disipatorul este realizat pentru racordarea cu bieful aval al

unui orificiu de fund (de stavilă), saltul se îneacă asemănător în bazinul

disipator de energie. Pentru sarcina totală E0 şi deschidere a a stăvilarului

date, debitul evacuat se calculează pentru orificiul de fund înecat (v. 11.1.4).

Pentru debitul Q şi sarcina E0 date, trebuie calculată deschiderea a a stavilei

ca orificiu mare de fund cu funcţionare înecată.

Elementele hidraulice şi geometrice ale disipatorului în rest se

calculează asemănător celor prezentate.

30. Bazin disipator simplu, combinat (prin adâncirea radierului

şi prag). În situaţia când adâncirea radierului pentru obţinerea bazinului

disipator d este mare şi realizarea sa pune probleme tehnice sau este prea

scumpă se pot construi bazine disipatoare mixte. De fapt, dacă condiţiile

tehnice nu impun forma bazinului disipator, este normal să se studieze la

proiectare variantele tuturor bazinelor simple de disipare şi să se adopte

varianta economică.

Considerentul tehnic sau economic stabileşte mărimea adâncimii

radierului d1, apoi înălţimea pragului d2 rezultă din:

d2 = d - d1 (16.18)

unde

d = f(hbaz) (16.19)

Schema de calcul corespunde fig. 16.6.

Se acceptă d1 (adâncirea radierului) cunoscut ca şi E0. Se

calculează adâncimea contractată hc şi conjugată a acesteia hc”.

E p

p

0 1

c

H

h

h b a z

d

z

h

0V

V

1

2

H 1

∆

0 2

dd

H

b a z l Fig. 16.6. Bazin disipator simplu, combinat

Din condiţia racordării cu salt înecat

hbaz = σî·hc” (16.6’)

iar din condiţia geometrică


254

hbaz = H1 + d1 + d2 (16.20)

rezultă înălţimea pragului d2.

Racordarea cu bieful 2 aval de pragul bazinului disipator este

obligatorie şi se verifică acest deziderat.

40. Lungimea bazinelor disipatoare simple.

Lungimea bazinelor disipatoare simple este:

lbaz = l0 + l1 + ls (16.21)

Elementele din relaţia (16.21) au fost determinate anterior. Saltul fiind

înecat, el se dezvoltă pe o lungime mai mică decât un salt perfect. Din acest

considerent lungimea saltului se reduce cu un coeficient subunitar

β = 0,7...0,8, lungimea bazinului devenind:

lbaz = l0 + l1 + β·ls (16.22)

O incorectă determinare a lungimii saltului conduce la nerealizarea

obiectivului tehnic de înecare a saltului şi scumpeşte construcţia.

În cazul construcţiilor importante soluţia definitivă a disipatorului

se verifică pe modele hidraulice în laboratoare.

Aval de bazinul disipator de energie albia se consolidează elastic –

cu risbermă – pe o lungime de cel puţin 3h02.

Observaţii. Bazinele disipatoare simple sunt recomandate pentru

numere Froude din secţiunea contractată Frc = 20...80. La numere

Frc = 1...6, saltul ondulat produce o ridicare a suprafeţei libere în zona

bazinului, ceea ce impune supraînălţarea gărzii bazinului disipator. La

numere Frc = 6...20, saltul cu jet oscilant produce valuri şi impune tot o

ridicare a gărzii. La numere Frc > 80 – salt violent, bazinul disipator simplu

rezultă de gabarite mari şi devine costisitor. Saltul neavând poziţie stabilă,

oscilează în jurul unei poziţii medii şi produce valuri necesitând creşterea

lungimii şi adâncimii bazinului.

Chiar şi pentru Frc = 20...80 zonele de „apă moartă” la ieşirea din

bazin devin adevărate capcane pentru materialele solide transportate, iar

transportul hidraulic al materialelor abrazive distruge materialul de

construcţie (betonul) la ieşirea din bazinul disipator.

16.3.2. Bazine disipatoare complexe

Pentru micşorarea dimensiunilor bazinelor disipatoare, cu

menţinerea sau chiar îmbunătăţirea condiţiilor de disipare şi a racordării cu

bieful aval se utilizează diferite dispozitive ce transformă bazinele de

disipare simple în complexe. Ele pot fi folosite cu rezultate bune şi la

numere Frc < 20.

Se prezintă câteva soluţii de bazine disipatoare complexe după

Bradley şi Peterka care pot fi considerate forme standard.

10. Bazinul disipator USBR – II

Acest tip de bazin este recomandat pentru căderi mari, cu Frc > 16,

care asigură formarea unui salt stabil. Foloseşte elemente suplimentare de

disipare şi control, dinţi deflectori şi prag dinţat la ieşire (fig. 16.7)

D in t i d e fle c to r i

P ra g d in ta t

P an ta 2 :1

h c

2

2b = h c

c=h1b

1h = h c

0 .1 5 h ''0 .1 5 h ''

h = 0 .2 h ' '2

L b

a

θ

3

4

5

4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6

d

e

4 6 8 1 0 1 2 1 4

6

8

1 0

1 2

L buc

chh g v

0 4 8 1 2 1 6 2 00

4

8

1 2

1 6

2 0

2 4

2 8

0.81.2

1.01.1

0.9

h g v m in

c

b

L b

α h a v

α

F r

F r

F r

Fig. 16.7. Disipator de energie USBR – II

a). vedere; b). suprafaţă liberă în bazin; c): adâncimea hav necesar;

d). lungimea bazinului; e). înclinarea suprafeţei libere.

Dinţii deflectori nu au rol disipativ direct, ci de control; jumătate

din lama incidentă pătrunde printre dinţi şi rămâne în regim de fund, iar

cealaltă jumătate este dirijată într-o zonă intermediară. Lama deversantă este

fracţionată. Începutul saltului este localizat în zona de intrare iar jeturile

deflectate măresc turbulenţa şi, implicit, disiparea energiei. Dimensiunile

dinţilor deflectori, a pragului dinţat de la ieşire şi lungimea bazinului sunt

funcţii de hc, conjugata sa hc” şi numărul Frc (conform fig. 16.7. c, d, e).

Pragul dinţat de la ieşire micşorează eroziunea de după disipator şi

împiedică colmatarea bazinului. Acest prag dinţat fracţionează curentul la

ieşirea din disipator şi prin intensificarea transferului de masă şi turbulenţei

asigură autocurăţirea disipatorului.

256

Fracţionarea jetului şi deflectarea unei părţi măreşte lungimea de

disipare a energiei reziduale, iar eroziunile după ieşirea din bazin sunt mai

mari.

La căderi mari, cu vc > 25 m/s, pot să se manifeste efecte

cavitaţionale la muchiile vii ale dinţilor deflectori care se previn prin

rotunjirea muchiilor dinţilor, determinate prin studii de laborator.

20. Bazin disipator USBR – III

Acest tip de bazin disipator este recomandat pentru căderi relativ

mici, Frc > 16, viteză în secţiunea contractată vc < 15 m/s şi evacuare de apă

relativ curată (fără material abraziv, gheaţă sau material flotabil de

dimensiuni mari).

Ca elemente suplimentare se utilizează dinţi deflectori, şi şicane

(dinţi mari în interiorul bazinului), fig. 16.8.

Şicanele sunt atacate direct de jetul incident şi suportă un impact

puternic. Prin impact se intensifică disiparea energiei şi poziţionarea

începutului saltului la intrarea în bazin este mai bine controlată. Muchiile vii

ale şicanelor sunt cele mai eficiente pentru disipare, dar sunt sensibile la

cavitaţie.

d)

T

a)

T

b)

e)c) Fig. 16.8. Disipator de energie USBR – III

a) vedere în perspectivă; b) profilul suprafeţei liber; c) determinarea lui hav;

d) determinarea lungimii bazinului; e) determinarea înălţimii dinţilor şi redanelor.


30. Bazinul disipator USBR - IV

Aceste bazin disipator se utilizează pentru Frc = 6...20. Se

utilizează ca elemente suplimentare dinţi deflectori mari (fig. 16.9). Este un

bazin disipator pentru salt oscilant, cu generare de valuri în aval, care se

menţin şi după pragul aval al disipatorului. La unele forme se utilizează şi

alte elemente pentru fracţionarea jetului (grătar fix) şi dispozitive pentru

atenuarea valurilor.

2h c min

c2h

Fata superioara

cu inclinare de 5°bL

Spatiu liber

i=1:2

2b

1b

1b / 2b =1,25

Fig. 16.9. Disipator de energie USBR – IV

16.3.3. Alte forme de bazine disipatoare de energie

Bazinele disipatoare paralepipedice sau apropiate de această formă

sunt soluţii tehnice care controlează bine disiparea energiei excedentare, dar

la numere Frc mari lungimea şi implicit costurile lor devin prohibitive. Când

se acceptă o racordare mai violentă cu bieful aval, se găsesc soluţii care

realizează disiparea în mare măsură în bieful aval, dar care să nu pericliteze

stabilitatea construcţiei. Aceste soluţii au o puternică influenţă pe lungimi

considerabile asupra biefului aval, generează oscilaţii, valuri şi afuieri

importante.

Din această categorie fac parte soluţiile: disipator cu treaptă de

cădere şi dirijare, disipatorul cilindric circular şi radier cilindric combinat.

10. Disipatorul cu treaptă de cădere şi dirijare

În această soluţie barajul se termină cu o treaptă de înălţime d,

profilată cilindric şi având unghi θ la ieşire astfel ca jetul să fie dirijat în sus

(fig. 16.10). Se recomandă pentru zone cu sloiuri, cu material flotabil

transportat însemnat şi căderi relativ mici.

Pentru a realiza efect minim asupra albiei se caută ca racordarea să

aibă loc cu salt de suprafaţă liber sau înecat (v. fig 15.18. a şi b). Celelalte


258

forme de racordare în regim mixt al vitezei – şi cu salt de fund – afectează

albia din aval prin afuieri importante. Sunt sensibile la variaţia debitului şi,

implicit, a nivelului aval.

H'H

d θhav

Fig. 16.10. Soluţie de racordare şi disipare cu treaptă de cădere

20. Disipatorul cilindric

Este alcătuit dintr-un bazin cilindric circular, cu unghi la centru de

90o, având generatoarea inferioară la nivelul patului albiei aval şi

terminându-se cu un prag aval care împiedică antrenarea materialului erodat

din aval să pătrundă în disipator (fig. 16.11). Disiparea energiei are loc în

cele două turbioane, unul de suprafaţă în bazin, celălalt de fund, aval de

construcţie.

H

v /2g

h

h

h

45

0

c

c

av

R

2cα

Fig. 16.11. Disipator cilindric circular

Disiparea este sensibilă la variaţia debitului şi nivelului aval.

Radierul disipatorului este puternic solicitat şi necesită construcţii masive.

Jetul aruncat în aval produce eroziuni puternice chiar şi în terenuri rezistente

(ex. la barajul Rihand – India s-a produs o groapă de eroziune de 28 m

adâncime în granit după câteva deversări). Soluţia s-a aplicat la baraje cu

înălţime de până la 140 m.

30. Disipator cu radier cilindric combinat

Acest disipator de energie se compune dintr-o cuvă cilindrică, de

rază R care se prelungeşte în aval cu o suprafaţă plană înclinată faţă de

orizontală cu 8o. Pe această suprafaţă plană sunt plasaţi dinţi de fracţionare

rotunjiţi (pentru a rezista la viteze mari). Radierul se termină cu o placă

plană înclinată cu 8o faţă de orizontală şi are rol de dirijare a jetului. Muchia


de ieşire din disipator are cotă superioară albiei aval (fig. 16.12). Raza de

curbură a bazinului depinde de sarcina totală H0 şi Frc. Studiile de laborator

s-au întreprins pentru barajul Angostura. Se păstrează ideea deflectării

jetului de orizontală cu 16o, iar dinţii deflectori cu 45

o. Deflectarea diferită a

jetului atenuează efectul de impact asupra albiei aval.

Fig. 16.12. Disipator cu radier cilindric combinat

Fracţionarea lamei intensifică turbulenţa şi transferul de masă şi,

implicit disiparea.

Disipatorul este sensibil la variaţia nivelului aval însă mai puţin

decât disipatorul cilindric.

Barajul de la Porţile de Fier I are un astfel de bazin disipator însă

fără dinţi reflectori. (fig. 16.13).

69.50 Nivelmaxim

63.00 Nivel minimde functionare

55.20

35.037

30.00

23.00

18.50

45.50 Nivel maxim aval

Nivel minim aval pentru

navigatie35.10

31.10

26.00

19.00

Voal de etansare Drenaje

30.6127.468

R=10.30

27.0021.70 31.15

Fig. 16.13. Disipatorul barajului deversor de la Porţile de Fier I

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,63

4

5

6

7

8

9

10

11

R/H0

Fr =V / gh

cc

c

c.


260

Observaţii generale asupra bazinelor disipatoare de energie. Din analiza bazinelor disipatoare de energie se poate observa că

soluţii cu aplicabilitate generală există numai pentru lucrări mici.

La lucrări cu cădere mare şi mijlocie şi debite considerabile, fiecare

situaţie se analizează în particular, iar dintre soluţiile plauzibile cea

acceptată se diferenţiază în urma experimentărilor de laborator, pe modele

hidraulice.

Trebuiesc respectate totuşi câteva reguli generale, astfel:

- bazinele disipatoare trebuie să fie autocurăţitoare;

- coeficientul pentru înecarea saltului va avea valoarea cu atât mai

ridicată, cu cât nivelul aval se cunoaşte cu mai puţină exactitate;

- trebuie avută în vedere la proiectarea şi realizarea disipatoarelor

dinamica albiei aval datorită eroziunilor care au efect asupra nivelului aval;

- soluţiile cu dinţi de disipare, şicane, redane, prag dinţat trebuie

aplicate cu grijă şi executate cu protecţia muchiilor şi întreţinute

corespunzător, altfel acestea pot periclita siguranţa întregii construcţii.

16.4. RACORDAREA BIEFURILOR ŞI DISIPAREA

ENERGIEI ÎN JETURI LIBERE

Racordarea cu lamă sau jet liber se utilizează la căderi mari – la

baraje deversoare, canale rapide în consolă sau conducte de evacuare – unde

se formează jeturi cu viteză mare, cu traiectorie lungă, astfel ca locul de

impact din aval să nu influenţeze fundaţia construcţiei.

Disiparea energiei poate fi puternică în jetul destrămat, înainte ca

acesta să atingă suprafaţa apei din aval sau poate fi realizat prin impactul

jetului (lamei) compact cu salteaua de apă din aval.

Disiparea în jetul destrămat este complicată, necesită multă

experienţă şi modelare hidraulică şi nu se dezbate aici.

În a doua soluţie, jetul compact se realizează pe o suprafaţă

deversantă netedă, fără discontinuităţi, canal rapid sau trambulină în

consolă, uneori convergentă având în final un prag (nas) de dirijare plan sau

curb a lamei deversate. (fig. 16.14).


E

laf

avh

Ty

Curba de coborare de tip bII

hcr

0H

t

z c

hc

α

2h

Fig. 16.14. Racordare de biefuri cu jeturi libere

a) cu trambulină; b) deversor cu profil practic;

c) jilip cu trambulină în consolă.

La contactul jetului cu bieful aval se creează o groapă de eroziune.

Din acest considerent jetul trebuie lansat suficient de departe astfel ca

groapa de eroziune să nu influenţeze stabilitatea construcţiei. Prin eroziune

salteaua de apă se dezvoltă până la dimensiunile corespunzătoare disipării

energiei (poate să ajungă până la adâncimi de 20...30 m).

Prin calcule hidraulice se urmăresc parametrii hidraulici ai consolei

(canalului rapid) stabilirea locului de impact al jetului şi dimensiunile gropii

de eroziune.

10. Calculul parametrilor jetului

Lama de apă evacuată sub sarcina E0, accelerează pe parament (sau

în canalul rapid) fiind lansată cu viteza vc de pe trambulină şi parcurge

traiectoria în aer până la întâlnirea saltelei de apă în aval cu adâncimea hav,

apoi sub apă unde realizează o groapă de eroziune cu adâncimea totală her.

(fig. 16.15). Din cauza transformării locale a mişcării, unghiul de lansare αj

nu coincide cu unghiul trambulinei αt (măsurate ambele faţă de orizontală cu

semn plus în direcţie ascendentă). Originea axelor se consideră în centrul

jetului lansat, peste muchia trambulinei la 2

cos jch α⋅, hc fiind adâncimea

contractată (v. 15.3.1). Înclinarea paramentului aval sau al jilipului este αp.


262

ap

αj

x

VC

αc

βαp

αt

z

H

E

EO

x

y

hCR

αt

δc αi

LC

Ler

VC

Vt

hCcosa2

β

havher

Fig. 16.15. Schema de calcul a racordării cu jet

Bătaia lamei în aer rezultă din traiectoria balistică a particulei din

originea axelor de coordonate

−+

⋅=

2

2

22

sinsincos

c

jjjc

cv

gy

g

vL αα

α (16.23)

în care 2

cos jcc

hy

αδ += .

Viteza de lansare a jetului liber este

( )jcc hEgv αϕ cos5,02 0 ⋅−= (16.24)

unde φ este coeficientul de viteză. Pentru deversor cu profil practic în

calcule orientative (după Skrebkov) φ este:

H

HE −−= 0155,01ϕ (16.25)

La evacuatori cu galerii sub presiune φ = µ. La jilipuri cu

trambulină, vc se poate accepta viteza la sfârşitul curbei de coborâre b2.

Jetul lansat se lărgeşte în plan în lungul traiectoriei, unghiul de

divergenţă (de o parte a planului de simetrie) θ fiind:

c

cc

v

gR

vh

arctg

2

1+

=θ (16.26)

Sub nivelul apei din aval lama parcurge o traiectorie rectilinie având

înclinarea unghiului de incidenţă la suprafaţă αi – formată de tangenta la

traiectoria jetului în aer cu orizontala de sub jet. Astfel distanţa de bătaie la

fundul gropii de eroziune este:


i

ercer tg

hLL

α+= (16.27)

Unghiul de incidenţă a jetului este:

jc

cji

v

gtgarctg

α

δαα

22

2

cos

2

⋅

⋅+= (16.28)

Viteza jetului în secţiunea de incidenţă este:

gzvi 2ϕ= (16.29)

Bătaia jetului depinde de unghiul de lansare αj şi de aerarea sa pe traiectorie.

Unghiul de lansare a jetului faţă de orizontală, în secţiunea de

desprindere αj se determină pe baza graficului din fig. 16.16 (după Orlov),

cunoscând: β =αp + αt (16.30)

unghiul format de parament şi tangenta trambulinei la punctul de

desprindere, respectiv R/hc.

Unghiul α format de paramentul aval şi direcţia de lansare a jetului

în secţiunea de desprindere rezultă din graficul din fig. 16.16.a, sub forma

α/β = f(β, R/hc). Din relaţia între unghiuri se obţine:

αj = αt – (β – α) (16.31)

unghiurile αt şi αj se consideră pozitive pentru pantă inversă.

Graficul din fig. 16.16.b permite calculul lui αj la devierea jetului

prin suprafaţă plană la jilip cu trambulină în consolă,

=

c

Tj

h

yf ,β

β

α.

Se observă că lungimea planului de deviere este YT = (0,5...3)hc.

120

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

0.9

0.95

=0.98

R/h

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1 2 3

20°

30°

40°

50°

60°70°

80°

a b

α β ββ−α

α

α

α

β

βαβ

β=10ο

β

α

αβ

h

R

v

h y

c

p

t

jc

j

c

j

T

c yT

hc

Fig. 16.16. Diagrama pentru calculul unghiului de lansare a jetului:

a). trambulină curbă, b). trambulină plană

264

Pe traseul său jetul liber încorporează aer şi se descompune cu atât

mai mult cu cât viteza de lansare este mai mare. Concentraţia de aer în jet

S = 1 – γam/γapă după un parcurs pe orizontală de minimum x/hc ≥ 20, ajunge

la valoarea S = 0,8. Aerarea micşorează bătaia jetului, distanţa reală fiind

KLc în care K < 1 se determină din fig. 16.17 (după Isacenko, Camisvihi şi

Kamenev) în funcţie de numărul Froude la secţiunea de lansare.

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

030 40 50 60 70 80 90 100 110 120

K

=V c2

ghcrF

Fig. 16.17. Factorul de corecţie a lungimii de bătaie a jetului

20. Dimensiunile gropii de eroziune.

După Mirţhulava adâncimea gropii de eroziune în terenuri necoezive

este

avi

i

ier h

ctgvwqh ⋅+

⋅−

−= 25,0

175,01

sin5,24,2

α

αη (16.32)

în care q este debitul specific; η un coeficient de trecere de la o viteză

medie la cea reală (η = 1,5...2) şi w mărimea hidraulică a particulelor

terenului necoeziv.

( )

0

900

75,1

2

γ

γγ

⋅

−=

dgw m (16.33)

s-au notat: d90 – diametrul particulelor cu 90 % din curba granulometrică;

γm şi γ0 – greutăţile specifice ale materialului solid şi apei aerate

γ0 = (1-S) γapă (16.34)

(se poate considera S = 0,8).

Cu oarecare aproximaţie relaţia (16.32) se poate folosi şi pentru

terenuri stâncoase.

Pâlnia de eroziune în terenuri necoezive, după Mihalev, pe fund se

dezvoltă după un cerc de rază

Rer = 0,215her·ctg αi (16.35)

situat pe axa jetului incident submers la care se duc tangente la unghiul

taluzului natural (fig. 16.18.a). În terenuri stâncoase forma şi mărimea

gropii de eroziune (după Iudiţki) are forma din fig. 16.18.b.


h

h

2h

h

b=2h +4,5h

α Vi

Rer

er

av

hav=0ercr

er

er

unghiul taluzuluinatural

i

a) b)

1:1,5

1:3

Fig. 16.18. Groapa de eroziune la racordarea jeturilor libere

16.5. RACORDAREA BIEFURILOR PRIN CĂDERI

ÎN TREPTE

Configuraţia terenului în anumite situaţii impune racordarea a două

biefuri la diferenţe de cote apreciabile, pe distanţe relativ mici, cu pante

generale mari. Construirea unei singure trepte de cădere ar necesita lucrări

agabaritice, neeconomice şi dificil de realizat tehnic. În asemenea situaţii

căderea totală se divizează în mai multe trepte, rezultând o succesiune de

căderi sau căderi în trepte.

Aceste racordări cu căderi în trepte pot fi realizate cu trepte simple

sau cu bazine disipatoare cu prag pe fiecare treaptă. Ultima soluţie este mai

economică, reducându-se lungimea treptelor şi, implicit, a întregii

construcţii. La pante longitudinale mai mici şi prima soluţie poate fi luată în

considerare (ex. la canale colectoare lângă drumuri în pantă).

Secţiunea transversală a căderilor în trepte este dreptunghiulară sau

trapezoidală (cu taluz abrupt).

În continuare se prezintă calculul hidraulic al căderilor în trepte cu

prag disipator pe fiecare treaptă care asigură înecarea saltului în bazin.

fig. 16.19.

Fig. 16.19. Schema căderilor în trepte

Racordarea cu căderi în trepte se poate realiza în mai multe

variante: cu trepte diferite – în funcţie de configuraţia terenului – sau cu


266

trepte egale – situaţie în care căderea hidraulică z1 = z2 = ... = zi sau când

căderea topografică este egală p1 = s1 = s2 = ... = si.

Se prezintă pe larg calculul hidraulic în ultimul caz, când căderea

geometrică este egală pe fiecare treaptă:

p1 = s1= s2 = ... =si = p/i (16.36)

Fiecare treaptă se calculează separat.

Treapta întâi (de intrare) comportă operaţii de calcul hidraulic ca

la bazin disipator simplu cu prag de disipare 16.3.1 pct. 2.

g

vHsE

2

2

0101

⋅++=

α,

pragul de la intrare fiind considerat deversor cu prag lat având înălţimea

pragului amonte nul. Această energie specifică defineşte adâncimea

contractată pe prima treaptă hc1. Conjugata adâncimii contractate hc1”

defineşte adâncimea apei în bazinul disipator al primei trepte hbaz1 = σî·hc1”

şi viteza medie la această adâncime v1 = Q/A1. Geometric rezultă înălţimea

pragului disipator al primei trepte C1 = hbaz1 – H1.

Pentru profilul deversorului pragului 1, din relaţia debitului rezultă

sarcina totală H01, respectiv după scăderea termenului cinetic αv12/2g,

sarcina H1. Se verifică dacă deversorul cu prag lat (de la intrare)

funcţionează liber sau înecat. În cazul funcţionării înecate se refac calculele

pentru acest regim de funcţionare. Se determină lungimea bazinului l1.

Treapta a doua lucrează cu energia specifică totală

E02 = s2 + C1 + H01,

care defineşte adâncimea contractată pe a doua treaptă hc2. Înecarea saltului

pe această treaptă înseamnă hbaz2 = σî·hc2” = H2 + C2. Având hbaz2 rezultă v2

şi din relaţia debitului pragului H02, apoi H2 şi, ulterior C2. Se verifică

funcţionarea pragului treptei 1 la descărcarea pe treapta a doua. În cazul

funcţionării înecate al pragului disipator 1 se reface calculul înălţimii

pragului 1. Ulterior se calculează lungimea bazinului disipator pe treapta a

doua, şi l2.

Celelalte trepte intermediare se calculează identic cu treapta a doua.

Ultima treaptă (de ieşire) este de fapt un bazin disipator realizat

prin adâncirea radierului şi se calculează conform 16.3.1 pct. 1, energia

specifică la care lucrează ultima treaptă fiind E0(i-1) = pi + Ci-1 + H0(i-1) + d.

Se calculează adâncirea radierului d şi lungimea bazinului li.

Cu ajutorul elementelor geometrice calculate se stabilesc cotele de

execuţie ale fundului fiecărui bazin şi ale pragurilor de disipare, precum şi

distanţele pe profilul longitudinal.


Pragurile fiecărei trepte trebuiesc prevăzute cu barbacane pentru

golirea lor şi pentru a asigura spălarea materialului solid transportat.

16.6. CALCULUL HIDRAULIC AL CANALELOR RAPIDE

(JILIPURI)

16.6.1. Calculul jilipurilor cu pereţi netezi

Jilipurile sunt canale rapide care racordează două biefuri de canal

în regim lent situate la diferenţă de cotă apreciabilă. Atât lăţimea la fund cât

şi secţiunea de curgere pe jilip şi pe biefurile lente racordate sunt diferite;

viteza pe jilip fiind considerabil mai mare secţiunea sa transversală este mai

mică. Din acest considerent din componenţa racordării face parte un tronson

de intrare convergent, canalul rapid (jilipul) propriu-zis şi tronsonul de ieşire

divergent. Biefurile amonte şi aval pot avea secţiuni de diferite forme

(regulate sau neregulate) confuzorul, difuzorul şi jilipul au forme regulate şi

sunt consolidate (fig. 16.20).

În continuare se analizează în parte calculul hidraulic al zonei de

intrare, al canalului rapid propriu-zis şi al zonei de ieşire (liniştitorului).

Problemele ridicate fiind foarte diverse, se analizează numai aspectele cele

mai des întâlnite în practică.

b B

b ie f a m o n te in t ra re c o n fu zo r j i lip ie s ire d ifu z o r l in is t ito r b ie f a v a l

H Hh

h

h h

d

h

V0 0

i= 0 c r

0

i> ic r

b2 s a lt

b a z a v

ia v2

iamh

0

Fig. 16.20. Schema racordării cu canal rapid (jilip)

10. Zona de intrare poate fi controlată de deversor, stăvilar sau

poate să fie liberă (s-au analizat la cap. 14). Bieful amonte prin confuzor

aduce secţiunea biefului amonte la secţiunea jilipului. Confuzorul, scurt, se

construieşte orizontal, iar racordarea poate fi cu timpane verticale, normale

268

pe direcţia curentului sau oblic, sau racordare cu suprafeţe riglate

(fig. 16.21), aceste forme influenţând coeficientul de contracţie.

b B b B b B

a. b. c.

ξ =1,0 ξ = 0,7 ξ = 0,4

Fig. 16.21. Forme de racordare a zonei de intrare: a). cu timpan vertical drept;

b). cu timpan vertical înclinat; c). cu suprafeţe riglate.

În cazul intrării cu înălţimea pragului nulă, la schimbare de pantă se

formează adâncimea critică, corespunzătoare debitului şi secţiunii canalului

rapid. În zona de intrare nivelul variază conform celor analizate la îngustare

de secţiune având coeficientul de contracţie ξ menţionat pe fig. 16.21.

20. Zona canalului rapid propriu-zis se caracterizează prin stare

rapidă a mişcării lent variate după o curbă de coborâre de tipul b2 sau de

supraînălţare de tipul c2. Când zona de intrare este controlată de deversor

sau stăvilar, adâncimea contractată după acestea poate ajunge la valori

inferioare adâncimii normale de pe curentul rapid hc < h0, respectiv

adâncimea de intrare pe canalul rapid poate fi inferioară adâncimii normale,

caz în care pe jilip este curbă de supraînălţare c2 Cel mai des însă se

întâlneşte situaţia când intrarea pe jilip are loc cu hcr şi pe canalul rapid

avem o curbă b2 a suprafeţei libere.

În ambele situaţii calculul hidraulic al canalului rapid constă în

trasarea suprafeţei libere a apei şi determinarea adâncimii apei h2 în capătul

aval al jilipului de lungime dată.

30. Zona de ieşire (liniştitorul) trebuie să asigure o racordare cu salt

înecat al jilipului cu bieful aval. Adâncimea h2 la capătul biefului rapid se

consideră adâncimea de intrare în salt h2 = h’. Conjugata sa h” dacă este

superioară adâncimii aval este necesară înecarea saltului într-un bazin

disipator simplu. Bazinul disipator se poate realiza în toate cele trei variante

prezentate la 16.3.1.

Adâncimea apei în bazin trebuie să fie:

hbaz = σî·h” (16.6’)

În cazul bazinului disipator realizat prin adâncirea radierului

calculele necesită iteraţii succesive, întrucât necunoscuta – adâncimea

bazinului d – lungeşte canalul rapid şi, implicit, modifică adâncimea h2 = h’. Bieful lent din aval totdeauna are lăţimea la bază mai mare decât al

canalului rapid, deci canalul rapid se racordează cu bieful aval printr-un

tronson divergent.

Unghiul de divergenţă θ pe acest tronson trebuie să fie suficient de

mic

=

12

1...

8

1θtg pentru ca pe traseul său să se respecte caracteristicile

mişcării gradual variate şi să nu apară vâne instabile. Saltul hidraulic înecat

se formează în acest tronson divergent, deci disipatorul de energie este în

canal divergent (fig. 16.22).

h ' h "

l s '

d

' "

Bθ

bQ = c

V ' V "

' "

Fig. 16.22. Saltul spaţial în difuzor

Neglijând reacţiunea pereţilor laterali, din teorema impulsului

rezultă:

( ) bhBhvvQ 2

2

1

2

1′′⋅−⋅′⋅=′−′′⋅ γγρ (16.37)

iar din ecuaţia de continuitate:

bhvBhvQ ⋅′′⋅′′=⋅′⋅′= (16.38)

Din cele două ecuaţii rezultă necunoscutele h” şi v”.

Lungimea saltului este:

θtglB

Bll

s

ss

⋅⋅+

⋅=

′

1,0 (16.39)

în care ls este lungimea saltului într-un canal de secţiune dreptunghiulară de

lăţime B. Atenţie trebuie acordată unghiului de divergenţă care trebuie să

satisfacă condiţia θ < 8o.

Observaţie. Utilizarea în variante a jilipurilor sau canalelor cu

căderi în trepte necesită justificare tehnică şi economică (în special).


270

16.6.2. Calculul jilipurilor cu macrorugozitate artificială

Din necesităţi tehnice uneori pe racordarea a două biefuri lente cu

un jilip adâncimea minimă a apei, hmin, sau viteza maximă limită, vmax sunt

impuse (canale de plutărit, scări de peşte), iar datorită pantei, aceste

elemente nu se pot realiza pe jilip obişnuit. Pe fundul jilipului, iar uneori şi

pe pereţii lor laterali, se prevăd obstacole din construcţie pentru reducerea

vitezei curentului sau mărirea adâncimii. Aceste obstacole se numesc

macrorugozităţi artificiale. Se realizează sub formă de redane, şicane,

nervuri, mici trepte, alveole de formă specială etc. Prin aceste elemente de

construcţie se ajunge la creşterea suficientă a rugozităţii astfel ca la pante de

până la 15 % să se realizeze viteze medii admisibile (fig. 16.23).

Calculul hidraulic al jilipului şi în acest caz se efectuează după

relaţia lui Chézy, dimensionând tipul de macrorugozitate artificială astfel ca

valoarea coeficientului C realizată să conducă la viteze admisibile. Din

condiţia mişcării uniforme rezultă:

RIA

Q

RI

vC == (16.40)

Parametrii canalului rapid se definesc în afara macrorugozităţilor.

Prin experimentări s-au stabilit formule empirice între geometria şi

amplasamentul macrorugozităţilor şi coeficientul lui Chézy, C.

Macrorugozitatea de fund este caracterizată de parametrii

0

0 şi h

bh== β

σα (16.41)

în care: h0 este adâncimea normală (peste macrorugozitate); b – lăţimea la

fund a canalului; σ – înălţimea macrorugozităţii artificiale.

Fig. 16.23. Tipuri de macrorugozităţi

(1 )

(2 )

(3 )

(4 )

(8 )

h

bb0

0 .1 5 σ

σ λ

(7 )

(6 )

(5 )

λ


În tabelul 16.1 sunt prezentate relaţiile de calcul pentru coeficientul

lui Chézy, valabile primelor patru tipuri de macrorugozitate pentru pantă

I = 15 %, cu domeniul lor de valabilitate, factorul de corecţie χ pentru pante

diferite de 15%,

=

ii

CC

χ%15 , şi echidistanţa de plasare a lor pe jilip, λ.

În cazul treptelor de fund relaţiile empirice sunt:

- pentru tipul 5 αβ ⋅−⋅+= 67,0101000

3aC

- pentru tipul 6 αβ ⋅−⋅+= 33,1101000

9bC

.

Valorile parametrilor a şi b depind de panta jilipului (tab. 16.2).

Coeficientul Chézy pentru macrorugozitaţi

Tabelul 16.1

Tipul de

macro-

rugozitate

%15 pantapentru 1000

=IC

Domeniul de valabilitate al

relaţiei.

Echidistanţa λ dintre

macrorugozităţi

Factorul de corecţie χ pentru

panta I 4% 7% 10% 15% 20%

1 116,1 - 6,1α - 1,2β 5 ≤ α ≤ 12

λ = 8σ

0,75 0,85 0,93 1,00 1,00

2 85,5 – 3,9α – 0,8β 3,5 ≤ α ≤ 8

1 ≤ β ≤ 6

λ = 8σ

0,75 0,80 0,90 1,00 1,00

3

racordarea cu muchii ascuţite

47,5 – 1,2α + 0,1β

3 ≤ α ≤ 8

λ = 8σ

0,90 1,00 1,10 1,00 0,90

redane rotunjite

50,5 – 3,3α + 0,2β

5 ≤ α ≤ 12

λ = 8σ

0,90 1,00 1,10 1,06 0,90

4

Redane scurte alternante

54,5 – 2,1α – 0,33β

2 ≤ α ≤ 5

λ = 4σ

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

dinţi alternanţi în şah

52 – 5,1α – 0,8β

2 ≤ α ≤ 5

λ = 4σ

1,00 1,00 1,00 1,00 1,00

Hidraulică vol. II

273

Parametrii a şi b pentru trepte de fund

Tabelul 16.2

Tipul Parametru Panta I(%) 6 9 12

5 a 19 21 22

6 b 33 36 38

În cazul nervurilor verticale pe pereţii laterali (tipul 7) se definesc

parametrii

cc b

bs

b

hm == şi 0

cu notaţii corespunzătoare fig. 16.23.

Se aplică relaţia empirică

( )11000

21 −+⋅= szmzC

.

Valorile parametrilor z1 şi z2, domeniul de valabilitate a ecuaţiei şi

echidistanţa λ/σ sunt redate în (tab 16.3).

Parametrii z1 şi z2 pentru nervuri laterale

Tabelul 16.3

I (%) z1 z2 Domeniu de utilizare

6 35,5 121 0,12 < m < 0,5

1,08 < s < 1,02

10 < λ/σ < 12 10 39,5 126

15 59,5 131

În cazul redanelor de fund şi nervuri laterale (tipul 8) relaţiile

empirice de calcul sunt:

- pentru panta I = 6 %: 38,18861471000

α⋅−−⋅= sC

- pentru panta I = 10 %: 32,28731551000

α⋅−−⋅= sC

- pentru panta I = 15 %: 3321652511000

α⋅−−⋅= sC

Jilipul se echipează cu macrorugozităţi pe o porţiune din lungimea

sa, în partea aval. Peste macrorugozităţi se menţine adâncimea normală h0

corespunzătoare lui C stabilit prin macrorugozitate. În confuzor şi pe prima


274

parte a canalului rapid curentul accelerează, iar macrorugozităţile se pun

unde adâncimea de ieşire din curba b2 este h2 = h0 + σ. (fig. 16.24).

Depinzând de funcţionalul jilipului cu macrorugozitate artificială

acesta poate să fie prevăzut cu un bazin disipator de energie (ex. la

descărcătorul de suprafaţă lateral al lacurilor de acumulare) sau fără astfel

de bazin (ex. jilipuri de plutărit).

σλ

h

zona de Miscare uniforma linistitoraccelerare

confuzorprin curba b2

h =c, v=c cu saufara baz in disipatoro

o

in

Fig. 16.24. Echiparea jilipului cu macrorugozităţi

16.6.3. Calculul canalelor cu trepte în curgere aerată

La evacuatori sau la racordarea biefurilor lente la diferenţe de cote

mari, pe distanţe relativ mici (cu pante mari) se pot utiliza canale cu trepte

cu curgere aerată. Pe de o parte sunt asemănătoare căderilor în trepte, însă

mărimea treptelor este mai mică, nu au bazin disipator şi peste trepte

curgerea este aerată. Pe de altă parte pot fi asemănătoare cu jilipuri cu

macrorugozităţi – forma acestora fiind trepte mici – la care linia vârfului

treptelor formează un pseudo-fund imaginar peste care are loc curgerea

aerată (fig. 16.25). De fapt curentul principal se sprijină pe perna de „apă moartă” de pe trepte, care este recirculată, sub formă de vârtejuri.

b) Fig. 16.25. Canal cu trepte în curgere aerată: a). schema curgerii;

b). evacuatorul în trepte la barajul Clywedog UK.

θ

p

l

Kp

h0

V0

curent aerat

vartejuri

a)

0τ

Hidraulică vol. II

275

Mişcarea vârtejurilor de pe trepte este întreţinută de transmiterea

energiei de la curentul principal prin efortul tangenţial τ0 prin transfer de

impuls. Pe primele trepte de la intrare curentul este neaerat, dar după

trecerea peste câteva trepte se antrenează puternic aerul de la suprafaţă.

Antrenarea de aer în apă are loc când energia cinetică a pulsaţiilor turbulente

ale vitezei la suprafaţă depăşeşte efectul forţelor gravitaţionale şi de tensiune

superficială şi se exprimă prin mărimea pulsaţiei vitezei v’ normale pe

direcţia curgerii, astfel

bd

v⋅

>′ρ

σ8 (16.42)

şi

θcos⋅>′ bvv (16.43)

în care ρ este densitatea apei; db – diametrul bulelor de aer, iar θ – unghiul

pseudo-fundului cu orizontala. Antrenarea de aer are loc când ambele

condiţii sunt satisfăcute şi v’ > 0,1...0,3 m/s, pentru bule de aer având

db = 8...40 mm. Efectul plutirii este atenuat de forţe hidrodinamice şi bulele

sunt antrenate în aval. Soluţia grafică a ecuaţiilor 16.42 şi 16.43 limitează

zona curgerii aerate (fig. 16.26).

0,0001 0,001 0,01 0,1 1

db (m)

V'(m/S)

0,05

0,1

1

75o

60o

45o30

o0o

(16.43)

(16.42)

antrenareaer

θ

Fig. 16.26. Pulsaţia critică a vitezei pentru antrenare de aer

Începutul aerării curentului corespunde punctului unde stratul

limită turbulent atinge suprafaţă liberă. De la intrarea pe canalul în trepte

grosimea saltului limită creşte spre aval, curentul neaerat având o mişcare

permanentă lent variată, apoi, de la punctul de început al aerării mişcarea

este tot gradual variată până la încorporarea unui volum de aer de echilibru

al curentului după care acesta devine uniform. (fig. 16.27).

Pentru curentul aerat cantitatea de aer antrenat este un important

parametru de calcul. Curentul îşi creşte volumul şi, implicit, adâncimea.

Odată cu creşterea concentraţiei de aer scad frecările.


276

h

h

h

L

p

lθ

C

c

I

I

I

y

zona de cresterestrat limita

0

neaerat

aerat

gradual variat

uniform0τ

Fig. 16.27. Zonarea curgerii în canale cu trepte în curgere aerată

Fig. 16.28. Aspectul curgerii în canal cu trepte în curgere aerată

Disiparea intensă a energiei în lungul curentului aerat, chiar cu

reducerea forţelor de frecare prin aerare, reduc impulsul curentului aerat faţă

de cel neaerat (prin scăderea densităţii amestecului faţă de densitatea apei).

Întreţinerea mişcării vârtejurilor pe trepte disipează mare parte a energiei.

În funcţie de pantă curentul poate să fie şi parţial aerat.

Se prezintă pe scurt: începutul curentului aerat, grosimea stratului

limită, caracteristicile curentului uniform şi disiparea energiei.

10. Începutul curgerii aerate

Începutul mişcării corespunde punctului de dispariţie a presiunii

vacumetrice de pe fundul albiei. Fenomenul prezintă asemănări cu efectul

instalaţiilor de aerare ale lamelor deversante deprimate.

Experienţele au condus la definirea adâncimii critice limită la

intrare pentru curgeri aerate, care depinde de debit, pantă şi geometria

treptelor.

Hidraulică vol. II

277

Relaţia:

( )

1,057 0, 465c l

h p

p l= − (16.44)

delimitează curgerea aerată de formele de curgere cu lamă efluentă şi salt

hidraulic.

Relaţia:

( )

( )1,276

0,0916 /c l

hp l

p

−= ⋅ (16.45)

zonează curgerea cu lamă efluentă şi salt hidraulic (fig. 16.29); s-au notat:

(hc)l – adâncimea critică limită la intrare, p şi l – înălţimea şi lungimea

treptelor.

Fig. 16.29. Adâncimea de început

a mişcării aerate

Relaţiile sunt valabile pentru limitele 0,2 ≤ p/l ≤ 1,25 ; θ < 52o şi

hI > hc.

Localizarea punctului de început al aerării (LI, hI) este definită prin

relaţiile (obţinute prin teorema π şi calibrate experimental):

( ) 356,00796,0sin719,9 Fr

k

L

p

I ⋅= θ (16.46)

( ) 296,004,0sin4034,0 Fr

k

h

p

I ⋅=−

θ (16.47)

respectiv

( )17,0

133,0sin06106,0

⋅=

I

p

I

I

L

k

L

hθ (16.48)

în care:

c

Curgere aerata

Curgere cu lama

deversantaSalt hidraulic inecatSalt

hidraulic

liber p/l

/p)

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

l

16.44

16.45

(h


278

( )3

2

cossin θθ ⋅⋅=

pg

qFr apa

; (16.49)

înălţimea macrorugozităţii

θcos⋅= pk p (16.50)

θ – unghiul de înclinare a pseudo-fundului faţă de orizontală şi qapă – debitul

specific de apă.

Creşterea grosimii stratului limită turbulent pe canal în trepte este

de 2,9 ori mai mare decât pe un canal lis.

Punctul de început al aerării se deplasează spre aval o dată cu

creşterea debitului.

Forma intrării pe canal în trepte are influenţă mare asupra poziţiei

punctului de început al aerării. (La parametrul unui baraj deversor curbiliniu

la intrare se introduc câteva trepte mai mici însă prin efectul acestora nu se

mai poate defini creşterea grosimii stratului limită turbulent).

20. Caracteristicile curentului aerat uniform

La canale în trepte suficient de lungi, spre capătul aval curentul

tinde la parametrii mişcării uniforme.

Se folosesc uzual următoarele noţiuni:

20.a. Adâncimea normală h0, caracteristică pentru concentraţia

medie de aer Cm.

( )dyChY

∫ −=90

0

0 1 (16.51)

unde: C este concentraţia volumică de aer la adâncimea y peste pseudo-

fund, iar Y90 adâncimea la care concentraţia de aer este de 90 %. (Y şi Y90 se

măsoară normal pe pseudo-fund). Adâncimea normală caracteristică se

defineşte convenţional în intervalul h0Є(0, Y90). La adâncimi peste Y90

măsurătorile sunt incerte.

20.b. Concentraţia volumică medie de aer este

90

0

090

11 90

Y

hdyC

YC

Y

m −=⋅= ∫ (16.52)

adâncimea normală fiind definită prin

( )mCYh −= 1900 (16.53)

Hidraulică vol. II

279

Concentraţia medie de aer în echilibru în canale netede (fără

macrorugozitate) este:

θsin9,0 ⋅=eC (16.54)

iar în albii cu rugozitate foarte mare (în albii naturale de munte):

08,0sin44,1 −⋅= θeC (15.54’)

În canale cu trepte în curgere aerată concentraţia medie de aer în

echilibru este între valorile date de ecuaţiile 16.54 şi 16.54’ (tab. 16.4).

20.c. Coeficientul Darcy – Weisbach în condiţiile aerării, a curgerii

amestecului de apă – aer, λa se reduce faţă de curgerea apei, λ. Prin teorema

π, după calibrări experimentale s-a obţinut:

( )0,514

0,5 1 0,6281

a e

e e

Ctgh

C C

λ

λ

− = +

− (16.55)

Pentru λ se poate utiliza relaţia valabilă pentru canale pavate cu

piatră.

( )

⋅+⋅=

R

k p

4sin1,87,1lg2,3 θλ (16.56)

Coeficientul Darcy – Weisbach pentru curentul aerat λa scade cu

creşterea concentraţiei de aer în echilibru. Rezultate aproape identice se

obţin pentru canale netede şi foarte rugoase (fig. 16.30). Valorile λa/λ se

regăsesc în (tab. 16.4).

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,00

Ce

a/λ λ

Fig. 16.30. Coeficientul Darcy – Weisbach relativ în funcţie de

concentraţia medie de aer


280

Concentraţia medie de aer în echilibru, coeficientul Darcy – Weisbach

relativ şi Y90/h0 la canale în trepte

Tabelul 16.4.

θ Ce Y90/h0 λa/λ p/l 0 0 1,00 1,00 0

7,5 0,1608 1,192 0,964 0,132

15 0,2411 1,318 0,867 0,268

22,5 0,3100 1,449 0,768 0,414

30 0,4104 1,696 0,632 0,577

37,5 0,5693 2,322 0,430 0,767

45 0,6222 2,647 0,360 1,00

60 0,6799 3,124 0,277 1,732

20.d. Viteza medie v0 şi adâncimea normală h0.

Prin aplicarea ecuaţiei teoremei impulsului şi continuităţii se obţine

viteza medie şi adâncimea normală.

30

0

sin8sau sin

8

acra v

vR

gv

λ

θθ

λ

⋅=⋅= (16.57)

respectiv

( )

00 33 3

sau 8 sin 8 1 sin

aa a

cr cr e

Yh

h h C

λ λ

θ θ= =

⋅ − (16.58)

unde hcr este adâncimea critică definită pentru curent neaerat.

Profilul de viteză pe canale de secţiune dreptunghiulară în trepte în

curgere aerată, aproximată cu o funcţie putere este:

N

h

v

v

v/1

0max

= (16.59)

cu N = 3,5...4 faţă de canale rapide lise unde N ~ 6. Viteza maximă se

obţine în apropierea suprafeţei libere.

20.e. Disiparea energiei în curent aerat.

Curentul aerat este caracterizat prin frecări mari pe fundul în trepte.

Mare parte a energiei se disipează prin întreţinerea mişcării vârtejurilor de

sub pseudo-fund.

Pentru curent aerat uniform pierderea relativă de energie la canal cu

intrare liberă este:

Hidraulică vol. II

281

2

0

0

max

1cos

21

3

2

cr

cr

cr

h h

h hhr

pH

h

θ α

+ ⋅ = −

+∑ (16.60)

iar la canal cu intrare controlată de stăvilar

2

0

0

0max

1cos

21

cr

cr

cr

h h

h hhr

H pH

h

θ α

+ ⋅ = −

+∑ (16.61)

în care Hmax este căderea hidraulică, ∑p – căderea geometrică, H0 – sarcina

totală sub care lucrează stăvilarul la intrare şi α coeficientul lui Coriolis.

Înlocuind hcr/h0 din (16.58) se obţin:

- pentru intrare liberă:

1/3 2/3

max

1

8 sin 2 8 sin1

3

2

a a

cr

hr

pH

h

λ λα

θ θ

−

+ ⋅ ⋅ ⋅ = −

+∑ (16.60’)

- pentru intrare controlată de stavilă:

1/3 2/3

0max

1

8 sin 2 8 sin1

a a

cr

hr

H pH

h

λ λα

θ θ

−

+ ⋅ ⋅ ⋅ = −

+∑ (16.61’)

În cazul ∑p/hcr > 20 mai mult de 80 % din Hmax se disipează pe

canalul cu trepte cu curgere aerată (fig. 16.31).

Canal cu trepte si curgere aerata

Infasuratoarea pierderilor

Curgeri neaerate

Curgeri aerate pe pat neted

20 40 60 80 100 120

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

hr /Hmax

p/hcrΣ0

Fig. 16.31. Energia disipată în diferite curgeri


282

Energia reziduală în avalul curentului pe canal cu trepte în curgere

aerată este:

3/23/1

max sin82

1cos

sin8

−

⋅⋅+

⋅=

θ

λαθ

θ

λ aarez

H

h

Energia reziduală rezultă din accelerarea curentului aerat spre aval

şi din micşorarea factorului de fricţiune cu aerarea.

Energia reziduală trebuie disipată la racordarea cu bieful aval lent

prin bazine disipatoare simple care asigură salt hidraulic înecat.

16.7. APLICAŢII

10. Două biefuri ale canalului cu secţiune dreptunghiulară sunt

separate cu un deversor Bazin. Se cunosc: Q = 6 m3/s; b = 3,0 m;

n = 0,016; i=1 ‰; p1 = 1,4 m; p = 2,50 m; α = 1,1 şi φd = 0,98. Să se

dimensioneze un bazin prin adâncirea radierului şi fund orizontal pentru

disiparea energiei (φp = 0,95; σî = 1,1 şi β = 0,75).

EE p

p

0n 1

c

02

z01

H

h

hbaz

d

∆ ∆z 0

v /2g

h

α

s

V0

V

2

0 b

c

H0 h

l l

l l

l baz

β

Fig. 16.33. Bazin disipator simplu

Rezolvare.

a. Se dimensionează canalul în MU şi se calculează adâncimea

critică

h0 (m)

A (m

2)

P (m)

R (m)

C (m

0,5/s)

Q (m

3/s)

1,29 3,87 5,58 0,694 58,8 5,99

Hidraulică vol. II

283

765,0381,9

61,13

2

2

32

2

=⋅

⋅=

⋅=

gb

Qhcr

αm

b. Calculul deversorului

b.1. Coeficientul de debit

++

+=

2

1

55,010027,0

405,0pH

H

Hm

În prima ipoteză m = 0,405 şi rezultă sarcina totală pe deversor:

m 08,181,923405,0

6

2

3/23/2

0 =

⋅⋅=

=

gmb

QH

Pentru H ~ H0 rezultă:

( ) ( )

m/s 81,008,14,13

6

01

0 =+

=+

=Hpb

Qv

şi

m 04,181,92

81,01,108,1

2

22

0

0 =⋅

⋅−=

⋅−=

g

vHH

α.

Se recalculează: m, H0, b0 şi H rezultând m = 0,448; H0 = 1,01 m; v0 = 0,84 m/s; H = 0,96 m. După o nouă iteraţie se obţin: m = 0,447; H0 = 1,01; v0 = 0,84 m/s; H = 0,94 m care rămân la fel la această precizie după o nouă

iteraţie.

c. Calculul disipatorului. Adâncirea radierului fiind necunoscută la

prima iteraţie nu se ia în calcule.

c.1. energia specifică a curentului.

E0 = H0 + p = 1,01 + 2,5 = 3,51 m

c.2. adâncimea contractată.

( )cd

chEgb

Qh

−⋅=

02ϕ

se calculează prin iteraţii, prima dată neglijându-se hc de sub radical

m 229,051,381,92398,0

61 =

⋅⋅⋅=ch


284

a doua iteraţie:

( )

m 235,0229,051,381,92398,0

62 =

−⋅⋅⋅=ch

a treia iteraţie

( )

m 236,0235,051,381,92398,0

63 =

−⋅⋅⋅=ch

(hc2 – hc3) = 0,001 m ≤ εhc = 1 mm, deci hc = 0,236 m.

c.3. conjugata adâncimii contractate şi adâncimea bazinului sunt:

m 84,11236,0

765,081

2

236,0181

2

33

=

−

+=

−

+=′′

c

crc

h

hhh

hbaz = σî h” = 1,1·1,84 = 2,02 m.

c.4.

m 09,002,2

1

29,195,0

1

381,92

611

2 2222

2

22

02

22

2

=

−

⋅⋅⋅=

−

⋅=∆

bazp hhgb

Qz

ϕ

c.5. adâncimea bazinului

d = hbaz – h02 - ∆z = 2,02 – 1,29 – 0,09 = 0,64 m

Se modifică E0, ca fiind E0 = p + H0 + d = 2,5 + 1,01 + 0,64 = 4,15 m,

pentru care rezultă: hc = 0,233 m; h” = 1,85 m; hbaz = 2,03 m; ∆z = 0,09

m şi d = 0,65 m.

Refăcând calculele pentru E0 = 2,5 + 1,01 + 0,65 = 4,16 m, se obţin:

hc = 0,233 m; h” = 1,85 m; hbaz = 2,03 m; ∆z = 0,09 m şi d = 0,65 m.

c.6. lungimea bazinului este:

lbaz = lb + β·ls = 2,90 + 0,75·9,70 = 10,18 m

- lungimea saltului: ls = 6(h” – h’) = 6(1,85 – 0,233) = 9,70 m

- lungimea de bătaie a lamei:

( )

( ) m 90,297,0445,065,05,297,067,0

01,1447,0297,027,0

445,067,0

227,0

2/3

2/3

0

=⋅++⋅

⋅⋅+⋅=

=⋅++⋅

⋅+= Hdp

H

HmHlb

Hidraulică vol. II

285

20. Să se dimensioneze disipatorul de energie a golirii de fund

orizontale a unui lac de acumulare, cunoscând: D = 1,5 m; H = 0,8 m; ∑ζ = 3,9. Apa se evacuează într-un canal de secţiune trapezoidală, având:

b = 1,5 m; i = 1‰; n = 0,02; m = 2 şi h0 = 1,54 m.

Se consideră α = 1,1; σs = 1,1; φ = 0,95 şi β = 0,75.

H = 8 m

D = 1 , 5 m

h = 0 , 7 3 m

h = 3 , 4 7 mh = 1 , 5 4 m

z = 0 , 8 5 m

d = 1 ,0 8 m

x = 3 , 9 4 m l = 1 4 , 1 6 m

vm a x = 8 , 4 m / s

c

m a x m a x

0 2b a z

Z

X

s e c t 1 - 1 s e c t 2 - 2 s e c t 3 - 3 s e c t 4 - 4

1 2 3

1 2 3

4

4

0 ,0 0

0 , 0 0

Fig. 16.34. Bazin disipator la golirea de fund.

Rezolvare.

Între galerie şi disipator se interpune o zonă intermediară de dirijare

a jetului. Cea mai simplă soluţie constructivă este o chiunetă de secţiune

mixtă (semicircular + dreptunghiular) construită astfel încât să evite

desprinderea jetului. Pentru o galerie cu ieşire orizontală rezultă un contur

parabolic descris de ecuaţia:

2

2

max2x

v

gz = ,

unde vmax = 1,5Q/A; A – secţiunea galeriei.

Se acceptă un disipator cu adâncirea radierului de secţiune

dreptunghiulară (cu b = D = 1,5 m) fără deflectare a jetului.

Se calculează elementele:

a. Debitul descărcat şi viteza în galerie:

m/s 60,55,1

9,494

/m 9,91,19,3

881,92

4

5,12

4

220

322

=⋅

=⋅

==

=+

⋅⋅⋅=

+

⋅⋅=

∑

ππ

π

ας

π

D

Q

A

Qv

sHgD

Q


286

b. Viteza maximă de ieşire din galerie:

m/s 40,860.55,15,1 0max =⋅=⋅= vv .

c. La această viteză a apei în capătul aval al tronsonului intermediar

rezultă adâncimea (contractată)

m 79,05,14,8

9,9

max

=⋅

=⋅

=bv

Qhc .

d. Calculul disipatorului:

- conjugata adâncimii contractate

m 15,3179,05,181,9

9,91,181

2

79,01

81

2 32

2

32

2

=

−

⋅⋅

⋅⋅+=

−

⋅⋅

⋅⋅+=′′

c

c

hbg

Qhh

α

- adâncimea în bazin:

hbaz = σs·h” = 1,1·3,15 = 3,47 m.

- denivelarea la ieşirea din bazin:

m 85,047,3

1

54,195,0

1

5,181,92

9,911

22222

2

22

02

22

2

=

−

⋅⋅⋅=

−

⋅=∆

bazhhgb

Qz

ϕ

- adâncimea bazinului:

d = hbaz – h0 - ∆z = 3,47 – 1,54 – 0,85 = 1,08 m.

- lungimea saltului:

ls = 6(h” – hc) = 6(3,14 – 0,79) = 18,88 m

- lungimea bazinului disipator:

lbaz = β·ls = 0,75·18,88 = 14,16 m

e. Elementele tronsonului intermediar:

- forma longitudinală a tronsonului – parabolă cu ecuaţia:

22

2

2

2

max

0695,040,82

81,9

2xxx

v

gz ⋅=

⋅=

⋅=

- lungimea tronsonului intermediar se obţine pentru z = d, deci:

m 94,381,9

08,140,822 22

max =⋅⋅

=⋅⋅

=g

dvx

- tronsonul de legătură este o suprafaţă riglată după arc de parabolă

în lung, sprijinit pe un semicerc în amonte şi dreaptă orizontală în aval.


CAPITOLUL 17

MIŞCAREA NEPERMANENTĂ A LICHIDELOR


17.1. CONSIDERAŢII GENERALE. TIPURI DE UNDE

În albiile naturale şi artificiale regimul de curgere se modifică

continuu datorită variaţiei în timp a unor condiţiilor naturale - infiltraţii,

precipitaţii, evaporaţii, precum şi condiţiilor de exploatare a albiilor -

consumuri de apă, ecluzări, barări etc. Cu excepţia precipitaţiilor care produc

scurgeri importante, condiţiile naturale pot fi în general neglijate în analiza

regimurilor de curgere în albii. Modul de exploatare al albiilor este cel care

determină de fapt regimul de curgere în albii.

Variabilitatea condiţiilor naturale şi a modului de exploatare a albiilor

fac ca regimul de curgere să fie nepermanent, respectiv mişcarea apei să fie

variabilă în timp, fapt ce determină apariţia unor unde a căror principală

caracteristică este că transportă debit (unde de translaţie).

Regimul de curgere nepermanent se consideră gradual variat dacă

undele de translaţie sunt longitudinale (mişcarea are loc preponderent pe

direcţia canalului) şi de adâncime redusă (întreaga secţiune transversală fiind

afectată de deplasarea perturbaţiei). Regimul de curgere nepermanent se

consideră rapid variat când apar unde cu front abrupt (în general la mişcarea

bruscă a stavilelor, ruperi de baraje etc).

Undele pot fi directe (când se propagă spre aval) şi inverse (când se

propagă spre amonte). Dacă o undă determină supraînălţarea nivelului

suprafeţei libere a apei se numeşte undă pozitivă, iar dacă determină coborârea

nivelului suprafeţei libere se numeşte undă negativă. Atât undele directe cât şi

inverse pot fi pozitive sau negative.

În canale se pot întâlni următoarele tipuri de unde (fig. 17.1):

- undă pozitivă directă (undă de umplere), apare când debitul creşte

într-o secţiune amonte (fig. 17.1.a.);

- undă pozitivă inversă (undă de stăvilire), apare când debitul se

reduce într-o secţiune aval (fig. 17.1.b.);

- undă negativă directă (undă de flux), apare când debitul se reduce

într-o secţiune amonte (fig. 17.1.c.).


- undă negativă inversă (undă de golire), apare când debitul creşte

într-o secţiune aval (fig. 17.1.d.).

Fig. 17.1. Principalele tipuri de unde în mişcare nepermanentă cu suprafaţă liberă

17.2. ECUAŢIILE MIŞCĂRII NEPERMANENTE ÎN ALBII

17.2.1. Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional

În mişcare nepermanentă viteza apei are componente şi în planul

secţiunii transversale a albiei, iar pentru modelarea matematică a mişcării

nepermanente este necesar să se apeleze la schematizări simplificate, care să

încorporeze doar aspectele cu influenţă esenţială asupra proceselor reale şi, de

multe ori să se ignore cele de importanţă secundară.

După ce se stabilesc ecuaţiile ce modelează procesul fizic în aspectele

lui principale, tratarea lor matematică sau numerică nu alterează natura fizică a

procesului analizat dacă tratarea respectivă este executată corect.

De obicei se realizează o schematizare unidimensională, astfel încât

curgerea nepermanentă în albii este descrisă prin evoluţia în timp, în orice

secţiune transversală, a două variabile dependente şi anume: cota suprafeţei

libere a apei y (sau adâncimea apei h) şi debitul Q (sau viteza medie în secţiune

V). Aceste variabile dependente definesc starea mişcării în raport cu două

variabile independente: poziţia spaţială în lungul albiei x (faţă de o origine

aleasă convenabil) şi timpul t (faţă de momentul apariţiei perturbaţiei).

a)

Corpul undei

Frontul undei

Pozitia initiala a

suprafetei libere

b)

Pozitia initiala a

suprafetei libere Limita undei

c)

Pozitia initiala a

suprafetei libere

Limita undei

d)

Pozitia initiala a

suprafetei libereLimita undei


Aşadar sunt necesare două ecuaţii care să lege între ele variabilele

dependente şi independente care apar în curgerea nepermanentă în albii. Aceste

două ecuaţii provin din legile de conservare ale masei, cantităţii de mişcare şi

energiei mecanice.

Ipotezele care stau la baza modelului unidimensional, împreună cu

ecuaţiile ce descriu mişcarea unidimensională nepermanentă au fost formulate

de Barré de Saint-Venant la 1871 la Academia Franceză în lucrarea: “Théorie et equations generales du mouvement non-permanent des eaux courantes”, şi sunt:

- curgerea este unidimensională cu viteză uniformă în secţiune

transversală şi suprafaţă liberă orizontală în direcţia transversală;

- curbura liniilor de curent este redusă şi acceleraţiile după verticală,

neglijabile, astfel încât distribuţia de presiune în secţiune transversală este

hidrostatică;

- efectele turbulenţei şi a frecărilor cu patul albiei sunt descrise de

relaţiile identice cu cele din mişcarea permanentă;

- panta medie a canalului în lungul curentului este suficient de redusă,

astfel încât se poate aproxima cos α cu orizontala şi sin α ≈ tg α ≈S0;

- forma secţiunii transversale a canalului se admite arbitrară şi

variabilă în lungul albiei, dar cu variaţii lente care să nu afecteze puternic

curbura liniilor de curent;

În literatura de specialitate ecuaţiile mişcării nepermanente în albii

deschise sunt denumite ecuaţiile Saint-Venant. Pentru analiza mişcării apei în

canale se pot utiliza mai multe forme ale ecuaţiilor Saint-Venant, care, faţă de

forma lor iniţială, au suferit în timp generalizări şi îmbunătăţiri.

17.2.2. Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant

Pentru deducerea formei integrale a ecuaţiilor Saint-Venant se

consideră (fig. 17.2.) un volum de control în domeniul (x, t) delimitat de două

secţiuni transversale (plasate la poziţiile x = x1 şi x = x2 în lungul curentului) şi

încadrat între două momente consecutive de timp (t = t1 şi respectiv t = t2 ). După Cunge, forma integrală a ecuaţiei de continuitate (conservarea

masei) derivă din următorul enunţ: cantitatea netă de masă intrată în volumul de control în intervalul (t1 ÷ t2) trebuie să fie egală cu masa volumului acumulat în volumul de control în acelaşi interval.


Egalând cantitatea de masă intrată cu masa volumului de control în

intervalul (t1 ÷ t2), rezultă forma integrală a ecuaţiei de continuitate pentru un

fluid incompresibil:

dt)Q(Qdx)A(A2

1

21

2

1

12

t

txx

x

xtt ⋅−=⋅− ∫∫ (17.1)

în care V este viteza considerată uniformă în secţiune transversală, iar A - aria

secţiunii vii. V şi A sunt funcţii de x şi t, astfel încât debitul va fi:

Q = A ⋅ V = Q(x,t) (17.2)

Relaţia (17.1) reprezintă forma integrală a ecuaţiei de continuitate.

Fg

Ff

Fp2

Fp1

x1 x2 x

0

y

z

a)

B

z

z

b( )

a

b-

ξ

h

z

yx

f

0

c)

Fm1

Fm2

Fp2Fp1 x0

b)

y

ξ

ξ

ξ

Fig. 17.2. Schemă pentru deducerea ecuaţiilor mişcării nepermanente

Notaţiile din fig. 17.2. au următoarele semnificaţii: Fp – forţe de

presiune exercitate în secţiunile transversale x1 şi x2, Fm – forţe de presiune

datorate neuniformităţii secţiunii transversale în lungul albiei, Fg – componenta

greutăţii proprii a masei de apă din volum, orientată după axa x, Ff – forţe de

rezistenţă datorate vâscozităţii şi frecărilor la patul albiei, zf – cota fundului

albiei faţă de un plan de referinţă, z – cota suprafeţei libere a apei în canal,

h – adâncimea apei în albie, B – lăţimea la luciul apei, ξ – adâncime oarecare a


apei, dξ – creşterea infinitezimală a adâncimii apei, b(ξ) – lăţimea albiei la

adâncimea ξ.

Definind cantitatea de mişcare ca produsul dintre masă şi viteză, iar

fluxul (sau debitul) de cantitate de mişcare ca produsul dintre debitul masic

(ρVA) şi viteza V, forma integrală a ecuaţiei de conservare a cantităţii de mişcare derivă din următorul enunţ: modificarea cantităţii de mişcare din volumul de control în intervalul (t1÷t2) trebuie să fie egală cu fluxul net de cantitate de mişcare intrat în volumul de control pe acelaşi interval, plus integrala forţelor exterioare ce acţionează asupra volumului de control, pe intervalul (t1÷t2). Plecând de la acest enunţ se obţine forma integrală a ecuaţiei de conservare a cantităţii de mişcare (17.3):

∫ ∫∫ ∫

∫∫∫

⋅⋅−+⋅⋅−

−−+⋅−⋅=⋅−

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

21

2

1

21

2

1

12

t

t

x

xf0

t

t

x

x2

t

tx1x1

t

txx

x

xtt

dtdx)SA(SgdtdxIg

dt])(I)[(Igdt]V)(QV)[(Qdx)Q(Q

(17.3)

unde I1 şi I2 sunt notaţii şi au valorile:

ξξξρ d)b(x,][h(x)Ih(x)

01 ⋅⋅−= ∫ ,

şi

ξξ

ξ dx

)b(x,][h(x)I

consth

h(x)

02 ⋅

∂

∂−=

=∫ ,

unde S0 reprezintă panta fundului albiei şi Sf – panta de frecare.

Ecuaţiile (17.1) şi (17.3) sunt ecuaţiile integrale care guvernează

curgerea unidimensională şi nepermanentă, în schematizarea presupusă de

ipotezele lui Saint-Venant. La deducerea lor s-a impus condiţia ca variabilele

dependente (Q sau V şi h sau y) sau mărimile hidraulice care depind de acestea

(A, B, Sf etc.) să fie funcţii continue şi/sau derivabile şi nu s-a limitat volumul

de control din domeniul (x, t) la dimensiunile infinitezimale dx şi respectiv dt. Forma integrală a ecuaţiilor Saint-Venant este foarte rar utilizată în

aplicaţii practice, deoarece integrarea ecuaţiilor în această formă este foarte

dificilă. De cele mai multe ori se utilizează forma diferenţială a acestor ecuaţii,

mult mai uşor de aplicat practic. În paragraful următor se prezintă forma

diferenţială a acestor ecuaţii.


17.2.3. Forma diferenţială a ecuaţiilor Saint-Venant

Aceste forme ale ecuaţiilor diferenţiale se deduc din formele integrale

(17.1) şi (17.3) dacă se admite că variabilele dependente şi mărimile influenţate

de ele sunt funcţii continue şi derivabile în raport cu variabilele independente x

şi t. Prin dezvoltări în jurul valorilor de la momentul iniţial t1, sau

respectiv din secţiunea amonte x1) şi reţinând doar primii doi termeni ai acestor

dezvoltări, prin prelucrări ulterioare, formele diferenţiale ale ecuaţiilor

Saint-Venant, (după R. Popa), devin:

- pentru ecuaţia de continuitate:

0x

Q

t

A=

∂

∂+

∂

∂; (17.4)

- pentru ecuaţia de conservare a cantităţii de mişcare (dinamică):

( )

0SAgSx

hAg

x

VQ

t

Qf0 =⋅⋅+

−

∂

∂⋅⋅+

∂

⋅∂+

∂

∂ (17.5)

unde semnificaţia termenilor de mai sus este aceeaşi ca şi pentru forma

integrală.

Formele diferenţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant pot fi scrise şi în

forme echivalente pentru alte perechi de variabile, prin simple transformări

matematice, plecând de la relaţiile (17.4) şi (17.5). Astfel:

- variabile dependente sunt debitul Q(x,t) şi adâncimea apei h(x,t);

0x

Q

B

1

t

h=

∂

∂⋅+

∂

∂ (17.6)

( ) 0SSAgx

hAg

A

Q

xt

Q0f

2

=−⋅⋅+

∂

∂⋅⋅+

∂

∂+

∂

∂ (17.7)

- variabile dependente sunt debitul Q(x,t) şi cota suprafeţei libere a

apei y(x,t);

0x

Q

B

1

t

y=

∂

∂⋅+

∂

∂ (17.8)

0SAgx

yAg

A

Q

xt

Qf

2

=⋅⋅+

∂

∂⋅⋅+

∂

∂+

∂

∂ (17.9)

- variabile dependente sunt viteza V(x,t) şi adâncimea apei h(x,t);

0x

A

B

V

x

hV

x

V

B

A

t

h

consth

=

∂

∂+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂

=

(17.10)


( ) 0SSgx

hg

x

VV

t

V0f =−⋅+

∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂ (17.11)

- variabile dependente sunt viteza V(x,t) şi cota suprafeţei libere a apei

y(x,t)

0x

A

B

VS

x

yV

x

V

B

A

t

y

consth0 =

∂

∂+

+

∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂

=

(17.12)

0Sgx

yg

x

VV

t

Vf =⋅+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ (17.13)

Perechile de ecuaţii de la (17.6) la (17.13) sunt echivalente doar în

cazul mişcărilor nepermanente gradual variabile şi dacă variabilele dependente

şi mărimile ce depind de aceste variabile sunt funcţii continue şi cel puţin o

dată derivabile în raport cu variabilele independente x şi t. Alegerea uneia sau

altei forme este în funcţie de problema ce trebuie rezolvată.

17.2.4. Forme generalizate ale ecuaţiilor Saint-Venant

În practica hidrotehnică sunt multe situaţii de curgeri care nu satisfac

în totalitate ipotezele ce stau la baza modelului unidimensional în baza căruia

au fost deduse ecuaţiile Saint-Venant. Acest lucru se datorează faptului că

albiile naturale nu au o rugozitate constantă în secţiune transversală, viteza nu

este constantă în secţiune transversală, frecările cu patul albiei minore şi majore

au valori diferite, curbura şi panta patului albiei pot prezenta variaţii bruşte.

Din acest motiv s-a încercat adaptarea acestor ecuaţii astfel încât să se poată

modela cât mai fidel procesele respective.

Dacă albia nu are rugozitate constantă în secţiune transversală (ce

conduce la viteză neuniformă în secţiune transversală), ecuaţia de conservare a

cantităţii de mişcare trebuie corectată cu coeficientul lui Boussinesq, astfel:

0gASx

zgA

A

Q

xt

Qf

2

B =+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂β (17.14)

unde debitul Q este produsul dintre viteza medie pe secţiune şi aria acesteia, iar

βB este coeficientul Boussinesq:

AV

dyh

2

B

0y

2y

B

∫ ⋅⋅

=

ν

β (17.15)


unde s-a folosit V pentru viteza medie în secţiune (Q = V⋅A), iar νy şi hy

reprezintă viteza medie pe verticală şi, respectiv, adâncimea la distanţă

transversală y faţă de malul de referinţă.

În cazul existenţei unui aport lateral de debit, notând cu q debitul

lateral afluent pe unitatea de lungime de albie (exprimat în m2/s), ecuaţia

dinamică devine:

0qVDgASx

zgA

A

Q

xt

Qf

2

B =⋅−⋅−

+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂β (17.16)

unde D are expresii diferite, în funcţie de natura debitului lateral.

La albii de lăţimi mari, trebuie ţinut cont de forţele de rezistenţă

exercitate pe suprafaţa apei de către vânt, care pot să aibă o pondere însemnată

în bilanţul cantităţii de mişcare. Efectul vântului a fost introdus printr-un nou

termen în ecuaţia dinamică sub forma:

0cosBWVqgADSx

zgA

A

Q

xt

Qw

2f

2

B =⋅⋅−−−

+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂αξβ (17.17)

unde W este viteza vântului, al cărei vector face unghiul αw cu sensul pozitiv al

axei Ox, iar ξ este coeficientul adimensional de rezistentă datorat vântului.

Aportul lateral de debit determină modificarea ecuaţiei de continuitate,

iar aceasta trebuie completată cu un nou termen astfel:

0qx

Q

t

zB =−

∂

∂+

∂

∂ (17.18)

Ecuaţiile (17.17) şi (17.18) au fost obţinute pe baza altor ipoteze decât

cele în care au fost obţinute perechile de ecuaţii de la (17.6) la (17.13) şi nu

sunt echivalente.

Termenii sau coeficienţii care apar în ecuaţiile Saint-Venant pot fi

precizați astfel:

Panta de frecare Sf, se poate calcula ca pentru mişcarea uniformă, sub

forma:

2

2

22

2

2

2

fK

Q

RAC

Q

RC

VS === , (17.19)

în care C este coeficientul Chézy, R - raza hidraulică, K - modulul de debit

(debitanţa), iar V - viteza medie în secţiune transversală.

Coeficientul Chézy poate fi exprimat, fie prin intermediul

coeficientului Strickler - Ks, fie cu ajutorul coeficientului de rugozitate

Manning - n, astfel încât modulul de debit va fi:


32s ARKK ⋅= sau 32AR

n

1K = (17.20)

şi K=K(h) sau K=K(z). Pentru o albie cu rugozitate neuniformă în secţiune transversală,

problema coeficientului Chézy se tratează ca pentru cazul mişcării uniforme.

Termenul Sf va apare în ecuaţia dinamică sub forma:

2f

K

QQS = , (17.21)

Pierderile prin frecare sunt cuantificate cu semnul adecvat, în funcţie

de sensul curgerii pe albie la un moment dat. Deci, dacă se foloseşte formula

Manning pentru coeficientul Chézy, ecuaţia (17.17) se va scrie:

0cosBWVqgADRA

QQngA

x

zgA

A

Q

xt

Qw

2342

22

B =⋅⋅−−−+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂αξβ (17.22)

Problema afluenţilor se poate trata diferit funcţie de mărimea acestora

comparativ cu albia principală. Pentru un afluent cu debit mic, aportul lateral se

poate introduce sub forma unui debit distribuit q = Qa/∆x, unde Qa este debitul

afluentului, iar ∆x, este un segment de albie de lungime redusă din jurul

confluenţei. Pentru un afluent de dimensiuni apreciabile, analiza regimului

nepermanent pe cursul inferior al afluentului, se poate trata ca o problemă de

mişcare nepermanentă pentru un sistem de albii interconectate.

Coeficientul de rezistenţă datorat vântului ξ se exprimă în funcţie de

densitatea apei ρ, densitatea aerului ρa şi un coeficient de frecare la suprafaţă

cR, prin relaţia:

ρ

ρξ a

Rc ⋅= (17.23)

Dificultatea constă în evaluarea corectă a coeficientului de frecare cR

care, conform experienţelor, depinde nu numai de adâncimea apei, ci şi de

înălţimea şi celeritatea undelor de suprafaţă (valuri) create de vânt. Valorile

reprezentative ale lui se plasează în domeniul cR = (1,5 ÷ 2,6)10-3

, pentru

vânturi de la slabe spre puternice.

17.2.5. Forme simplificate ale ecuaţiilor Saint-Venant

De multe ori este posibil să se obţină forme simplificate ale ecuaţiilor

de curgere, forme adecvate pentru modelarea mai multor situaţii fizice întâlnite

în practica hidrotehnică. Dacă problemele analizate admit simplificări, se poate


reduce efortul pentru analiza comportamentului sistemului analizat - în raport

cu factorii esenţiali care îl influenţează.

Ecuaţia dinamică (17.11) se poate scrie sub forma:

t

V

g

1

x

V

g

V

x

hSS 0f

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−= (17.24)

şi neglijând ultimul termen din membrul drept se obţine ecuaţia dinamică

valabilă în mişcarea permanentă şi neuniformă, adică:

x

V

g

V

x

hSS 0f

∂

∂−

∂

∂−= (17.25)

Renunţând şi la ultimii doi termeni din membrul drept al ecuaţiei

(17.25) se obţine:

Sf = S0, (17.26)

Această ecuaţie este valabilă în mişcarea permanentă şi uniformă, la care panta

liniei energiei, panta suprafeţei libere şi panta fundului sunt egale între ele.

Ecuaţia debitului devine:

0f SKSKQ == (10.27)

adică ecuaţia mişcării permanente şi uniforme.

Un alt mod de abordare a simplificării ecuaţiilor Saint-Venant se

bazează pe analiza ordinului de mărime al termenilor din ecuaţia dinamică.

Fiecare termen din ecuaţia (17.13) scrisă sub forma:

0Sx

z

x

V

g

V

t

V

g

1f =+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂, reprezintă o pantă, şi anume:

* t

V

g ∂

∂1 reprezintă panta liniei energiei datorată variaţiei vitezei în

timp (acceleraţiei);

*

∂

∂=

∂

∂

g

V

xt

V

g

V

2

2

reprezintă panta datorată sarcinii cinetice în

spaţiu, din mişcarea permanentă;

* x

z

∂

∂ reprezintă panta suprafeţei libere;

* Sf reprezintă panta de frecare, datorată rezistenţei la curgere opusă de

frecările vâscoase şi la maluri.


Primii doi termeni sunt termeni inerţiali (sau pante de accelerare) şi

există situaţii de curgere nepermanentă pe albii naturale, în care ponderea lor

este neglijabilă.

Astfel, renunţând la diverşi termeni din ecuaţia dinamică, se obţin

modele simplificate.

Modelele rezultate din ecuaţia dinamică (17.7) în variabile dependente

Q şi h, prin renunţarea la unii termeni sunt prezentate mai jos:

( ) 0SSAgx

hAg

A

Q

xt

Q0f

2

=−⋅⋅+

∂

∂⋅⋅+

∂

∂+

∂

∂

Modelul undei cinematice se obţine prin neglijarea termenilor inerţiali

şi de presiune şi este utilizat mai ales în analize hidrologice.

Modelul undei de difuzie este o ecuaţie cu derivate parţiale de tip

parabolic, şi poate constitui o aproximaţie bună pentru analiza remuurilor în

albii barate de diverse construcţii.

17.2.6. Forme liniarizate ale ecuaţiilor Saint-Venant

Ecuaţiile mişcării nepermanente în albii în formele date de la (17.6) la

(17.13) sunt sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi de tip hiperbolic, care

pentru rezolvare pot fi transformate în ecuaţii liniare de ordinul doi cu

coeficienţi constanţi. Metoda de liniarizare a acestor ecuaţii este bazată pe

teoria oscilaţiilor de mică amplitudine, care porneşte de la ipoteza că toate

elementele hidraulice ale mişcării oscilatorii sunt mici şi că, în consecinţă,

pătratele acestor mărimi şi produsele lor sunt neglijabile, fiind infiniţi mici de

ordin superior, în raport cu mărimile care conţin factor o mărime perturbaţie.

Liniarizarea ecuaţiilor mişcării, permite găsirea unor soluţii generale

utilizând metode analitice de calcul.

Plecând de la forma ecuaţiilor Saint-Venant în variabile Q şi y, notând

cu indice zero toate mărimile de referinţă ce caracterizează regimul permanent,

respectiv Q0, h0, A0, V0, K0 şi cu litere mici mărimile numite perturbaţii, q, ζ, a,

Modelul undei cinematice

Modelul undei de difuzie fără inerţie

Modelul undei de difuzie cu inerţie convectivă

Modelul dinamic complet


ν, k, la un moment dat, t, ca urmarea a variaţiei consumului sau a perturbaţiei

induse artificial, mărimile corespunzătoare vor fi Q, h, A, V, K: Q = Q0 + q – debitul scurs,

h = h0 + ζ – adâncimea curentului,

A = A0 + a – aria secţiunii de scurgere,

V = V0 + ν – viteza curentului,

K = K0 + k – modulul de debit.

Problema a fost tratată diferit funcţie de cum este orientată axa x faţă de sensul curgerii.

10. Când axa x este orientată în sensul curgerii

În condiţiile stării de mişcare permanentă, ecuaţiile mişcării în

coordonate Q şi Y au expresia:

=

=+∂

∂⋅+

∂

∂

constQ

0K

Q

s

V

g

V

s

Y

0

20

20000

(17.26)

În condiţiile producerii perturbaţiilor, ecuaţiile Saint-Venant pot fi

scrise sub forma:

=∂

++

∂

+∂

=+

++

∂

+∂⋅

++

∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂

0s

q)(Q

t

a)(A

0k)(K

q)(Q

s

)(V

g

)(V

tg

1

ss

Y

200

20

20000 νννζ

(17.27)

Stabilind expresiile derivatelor ce intră în ecuaţia (17.27) şi eliminând variabila

v, ecuaţiile liniarizate devin:

- ecuaţia de continuitate:

0s

q

tB0 =

∂

∂+

∂

∂⋅

ζ (17.28)

Ecuaţia dinamică:

( ) 0stts

V2s

Vct

2

02

22

02

2

2

=∂

∂⋅+

∂

∂⋅+

∂⋅∂

∂⋅⋅+

∂

∂⋅−⋅

∂

∂ ζα

ζβ

ζζζ (17.29)

în care:

00

02 hgB

Agc ⋅≅⋅= (17.30)

unde c (m/s) este celeritatea,


0

2

0 h

cJ

χα

⋅⋅= şi

00 V

g2J

⋅⋅=β , (17.31)

cu dimensiunile: α (m/s2) şi β (1/s), iar χ este exponentul hidraulic al albiei.

20. Când axa x este orientată în sensul contrar curgerii

Adoptând un nou sistem de referinţă în care axa x este orientată în sens

invers curgerii şi schimbând semnul pantei hidraulice J0 = - J0, precum şi a

vitezei în mişcare permanentă V0 = - V0, folosind aceleaşi notaţii pentru c2, α şi

β, ecuaţia dinamicii devine:

( ) 0stts

V2s

Vct

2

02

22

02

2

2

=∂

∂⋅−

∂

∂⋅+

∂⋅∂

∂⋅⋅−

∂

∂⋅−⋅

∂

∂ ζα

ζβ

ζζζ (17.32)

În ecuaţia de continuitate nu apar modificări, astfel încât ea rămâne în

forma (17.28).

17.3. METODE DE INTEGRARE ALE ECUAŢIILOR

SAINT-VENANT

Ecuaţiile Saint-Venat sunt în fapt un sistem de ecuaţii cu derivate

parţiale de ordinul 2, neliniare, de tip hiperbolic.

Soluţionarea pe cale analitică a acestor mişcări este foarte complicată,

pentru găsirea soluţiilor în probleme inginereşti, însă a fost realizată de

cercetători români, aplicând calculul operaţional cu transformata Laplace

asupra ecuaţiilor mişcării sub formă liniarizată (S. Hâncu, Lucica Roşu ş.a).

Metodele analitice au avantajul că sunt mai expeditive decât cele numerice şi,

în plus, oferă mijloacele unei analize calitative, globale, a fenomenelor

hidraulice analizate.

Soluţionarea pe cale numerică a ecuaţiilor Saint-Venant presupune

găsirea unei serii de valori numerice ale variabilelor dependente V (sau Q) şi h

(sau y), pe baza cărora se poate construi distribuţia lor în timp şi spaţiu.

Metodele numerice admit ca necunoscute valorile variabilelor

dependente, dintr-un număr finit de puncte (nodurile de reţea) din domeniul

(x, t) de interes. Metodele numerice prezintă avantajul că reproduc mai fidel

fenomenul fizic studiat decât metodele analitice (deoarece în aplicarea

metodelor numerice nu se fac ipotezele simplificatoare asupra ecuaţiilor

mişcării aşa cum se întâmplă când se aplică metode analitice). Ele au însă

dezavantajul că oferă rezultate doar într-un număr limitat de puncte, selectate în


raport cu precizia de calcul dorită, spre deosebire de metodele analitice la care

soluţia cuprinde toate punctele din domeniu.

Ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc printr-o serie de ecuaţii

algebrice numite ecuaţii de aproximare (sau ecuaţii discretizate), având ca

necunoscute valorile discrete (din nodurile de reţea) ale variabilelor

dependente. Ecuaţiile de aproximare se pot obţine pe două căi matematice

distincte, fie prin metode bazate pe dezvoltări în serii Taylor, fie prin metode

bazate pe integrare.

Metodele bazate pe dezvoltări în serii Taylor generează aşa numite

scheme (metode) cu diferenţe finite care pot fi de tip explicit sau implicit.

Metodele bazate pe integrare includ fie formulări bazate pe metode

variaţionale, fie formulări bazate pe reziduuri ponderate.

Probleme din hidraulica albiilor deschise se abordează cel mai

frecvent prin metode cu diferenţe finite (MDF).

Datorită naturii hiperbolice a sistemului de ecuaţii, se poate aborda

problematica ecuaţiilor Saint-Venant printr-o metodă specifică numită metoda caracteristicilor (MC) – devenită în ultima vreme metodă etalon la care se

raportează noile metode de integrare a ecuaţiilor mişcării.

Metodele bazate pe scheme în diferenţe finite, deşi permit calculul

parametrilor mişcări (cote şi debite) într-un număr finit de puncte din domeniul

de interes (x, t), prezintă avantajul unei relative uşurinţe în programare, precum

şi analiza ecuaţiilor mişcării în formă cât mai completă. Schemele de tip

implicit sunt cele mai avantajoase pentru aplicaţii practice deoarece nu sunt

supuse criteriului de stabilitate a algoritmului.

Alegerea uneia sau alteia dintre metodele menţionate anterior, rămâne

la latitudinea utilizatorului în funcţie de problema concretă ce trebuie rezolvată,

însă trebuie asigurată corectitudinea calculelor şi corecta interpretare a

rezultatelor.

17.4. NOŢIUNI PRIVIND CARACTERISTICILE.

CONDIŢII INIŢIALE ŞI LA LIMITĂ

Ecuaţiile Saint-Venant în formele diferenţiale de la (17.6) la (17.13)

descriu conservarea masei şi a cantităţii de mişcare în termeni cu derivate

parţiale ale variabilelor dependente. Determinarea acestor variabile dependente

se face de cele mai multe ori pe cale numerică. Dintre metodele de integrare pe

cale numerică, metoda caracteristicilor descrie mai bine propagarea în lungul


curentului a undelor singulare cu discontinuităţi, când se menţine caracterul

lent variabil în timp şi spaţiu al mişcării.

Se defineşte ca perturbaţie fie discontinuitatea derivaţiei unei variabile

dependente (cum ar fi ∂h/∂x sau ∂Q/∂t), fie discontinuitatea unor parametri

fizici (panta fundului, dimensiuni geometrice, rugozitate etc.) din ecuaţiile

Saint – Venant.

Orice perturbaţie apărută la momentul t = 0 într-o secţiune x = xM pe

albie, se propagă în timp spre aval şi spre amonte după traiectoriile reprezentate

prin curbele C+ şi respectiv C-

din planul (x,t) (fig. 17.3). Perturbaţia respectivă

va influenţa starea mişcării în domeniul (x,t) cuprins între cele două curbe,

numit domeniul de influenţă al punctului M. Pe de altă parte, condiţiile curgerii

într-un punct P(x,t) din planul (x,t) sunt influenţate doar de perturbaţiile care

apar în domeniul SPD delimitat de axa 0 - x şi curbele C+ şi C-

ce se

intersectează în P (fig. 17.3.b). Orice s-ar întâmpla în afara acestui domeniu de

dependenţă nu afectează starea mişcării din P.

domeniu de

influenta

domeniu de

dependenta

C C

xM

x

C C

S D

M

t

x

t

P(x,t)

- +

- +

Fig. 17.3. Propagarea perturbaţiei în curgerea pe albie

Dacă perturbaţia apare ca undă de mică amplitudine într-o curgere cu

adâncime redusă, curbele C+ şi C-

după care se propagă aceasta în planul (x,t)

se numesc caracteristici, iar celeritatea ei este B

Agc = , (cu A/B = H,

adâncimea hidraulică - egală cu adâncimea pentru albii dreptunghiulare).

Ecuaţiile caracteristicilor sunt date de:

B

AgV

dt

dx⋅±= (17.33)

şi acestea sunt corecte în cazul micilor perturbaţii dar incorecte pentru unde cu

front abrupt, la care apare o discontinuitate a variabilei dependente însăşi, în


speţă a adâncimii apei (cazul ruperilor de baraje sau stavile ridicate

instantaneu).

Cele trei regimuri de curgere definite în raport cu starea critică, se

diferenţiază şi prin alura caracteristicilor din planul (x, t), (fig. 17.4).

În regimul lent de mişcare, celeritatea perturbaţiei este mai mare decât

viteza medie a curentului ( VBgA ⟩/ ), iar starea mişcării din punctul P(x,t)

este influenţată de condiţiile din amonte cât şi din cele din aval (fig. 17.4.a).

La curgere critică( VBgA =/ ), una dintre vitezele caracteristice de

propagare devine nulă iar caracteristica corespunzătoare - de exemplu C- în

(fig. 10.4.b) apare ca o dreaptă verticală în planul (x, t). În acest caz starea din P

nu este influenţată de condiţiile de curgere din aval de la x > xP.

Pentru regimul rapid de mişcare ( VBgA ⟨/ ), ambele caracteristici

sunt orientate în acelaşi sens (spre aval pentru unde directe şi spre amonte

pentru unde inverse), iar starea lui P nu este influenţată de condiţiile din aval

(curgere în sensul pozitiv al axei 0x) sau amonte (curgere inversă).

t

x

P

C- C+

a)

t

x

P

C-

C+

b)

t

xc)

P

C-C+ C- C+

Fig. 17.4. Structura caracteristicilor funcţie de regimul de curgere

a). regim lent, b). regim critic, c). regim rapid de mişcare

Pentru integrarea ecuaţiilor mişcării trebuie precizate condiţiile iniţiale

şi la limita domeniului de analiză a curgerii (condiţii la limită sau de contur). Mărimile debitelor şi adâncimilor apei pe un tronson de albie la

momentul (t = 0), constituie condiţii iniţiale ale problemei mişcării

nepermanente.

În cazul tronsoanelor de albie ce nu sunt delimitate la nici o

extremitate de construcţii care pot introduce discontinuităţi în curgere (caz în

care pot să nu mai fie respectate ipotezele care au stat la baza deducerii

ecuaţiilor Saint-Venant), se poate considera mişcare permanentă şi uniformă,

astfel încât în fiecare secţiune debitele sunt egale cu debitul de la capătul


amonte al tronsonului la timpul (t = 0), şi adâncimile sunt egale cu adâncimea

normală.

În cazul în care un tronson este delimitat la o extremitate de construcţii

care introduc discontinuităţi în curgere (stavile, praguri, deversoare, ramificaţii,

prize etc), atunci se poate considera pe tronson mişcare permanentă gradual

variată corespunzătoare debitului egal cu debitul prin acele construcţii. Prin

integrarea ecuaţiei mişcării permanente gradual variate se obţin adâncimile apei

în secţiunile de calcul, care, împreună cu debitele, considerate egale cu debitul

prin acele construcţii în fiecare secţiune, constituie condiţiile iniţiale ale problemei pe tronsonul respectiv.

Condiţiile la limită sunt de trei tipuri: Q = Q(t) – dat, sau h = h(t)–dat, sau Q = Q(h) – dat. Dacă pe albie există diverse construcţii, aceasta se împarte în

tronsoane astfel încât fiecare tronson să fie delimitat de una dintre extremităţile

canalului şi/sau de către o construcţie. Împărţirea albiei în tronsoane în acest

mod este impusă de faptul că debitele de la extremităţile acesteia, debitele prin

respectivele construcţii constituie condiţii limită (sau de contur) pentru fiecare

tronson în parte. Astfel tratarea tronsoanelor poate fi efectuată secvenţial – pe

aceste tronsoane fiind respectate ipotezele Saint Venant.

Secţiunile cu discontinuităţi se mai numesc şi joncţiuni interne, iar

relaţiile care pot fi scrise într-o astfel de secţiune se numesc şi condiţii la limite interne sau condiţii de compatibilitate, şi în general sunt date de legea de

conservare a masei (ecuaţia de continuitate) şi de legea de conservare a

energiei.

În ceea ce priveşte debitele de la capătul amonte al albiei şi ale

construcţiilor din canal, valorile acestora de regulă se cunosc sau sunt date

tabelar; la un timp curent valorile debitelor pot fi determinate prin interpolare -

liniară, spline cubică etc.

17.5. SCHEME CU DIFERENŢE FINITE PENTRU

INTEGRAREA ECUAŢIILOR SAINT-VENANT

17.5.1. Principiul metodei cu diferenţe finite

Principiul metodei cu diferenţe finite îl constituie înlocuirea funcţiilor

cu variabile continue prin funcţii definite de un număr finit de puncte din

domeniul de interes. Aceste puncte discrete alcătuiesc reţeaua de calcul, iar

funcţiile de argument discret asociate nodurilor de reţea se numesc funcţii de


reţea. Derivatele parţiale se înlocuiesc prin expresii în diferenţe finite, iar

ecuaţiile cu derivate parţiale se înlocuiesc prin ecuaţii de aproximare cu

diferenţe finite de forma unor ecuaţii algebrice liniare sau neliniare în raport cu

funcţiile de reţea.

Schemele cu diferenţe finite corespund diverselor maniere prin care

derivatele parţiale şi termenii nederivativi din ecuaţiile originare se exprimă cu

ajutorul funcţiilor de reţea.

În categoria schemelor cu diferenţe de tip explicit intră acelea la care

variabilele dependente dintr-un nod de reţea, xj, la timpul de calcul ti+1, se pot

calcula folosind în totalitate datele cunoscute din câteva noduri vecine, de la

momentul de timp trecut ti. În aceste scheme termenii nederivativi şi derivatele

variabilelor dependente se aproximează astfel încât calculul variabilelor

dependente se poate face separat pentru fiecare nod, la momentul ti+1, prin

relaţii explicite.

Pentru asigurarea stabilităţii soluţiei trebuie respectat criteriul de

stabilitate (Courant – Friedrichs - Lewy):

+≤∆

cV

∆xmint

j (17.34)

în care ∆t este pasul temporal, ∆x – pasul spaţial, V – viteza medie iar

c – celeritatea.

Datorită acestei restricţii alegerea pasului de timp si spaţial este

limitată, iar răspândirea în aplicaţii practice este limitată deşi au un algoritm

simplu şi uşor de programat.

În schemele cu diferenţe finite de tip implicit variabilele curente

dintr-un nod de reţea xj, la timpul curent de calcul ti+1, nu se pot calcula direct,

folosind în relaţiile datele cunoscute de la momentul ti, din nodurile vecine. În

aceste scheme termenii nederivativi şi derivatele variabilelor dependente se

aproximează astfel încât variabilelor dependente necunoscute din nodul xj sunt

legate de cele din mai multe noduri vecine (xj+1, sau xj-1 şi xj+1) si nu pot fi

calculate decât simultan pentru toate nodurile spaţiale de la momentul ti+1, prin

rezolvarea unui sistem de ecuaţii algebrice liniare sau neliniare. Dacă ecuaţiile

de aproximare formează un sistem neliniar în raport cu necunoscutele,

rezolvarea acestuia se face iterativ până la atingerea unui criteriu de

convergenţă pe fiecare pas de timp ∆t. Deoarece schemele implicite nu sunt

supuse restricţiei de stabilitate ele au cunoscut o largă dezvoltare.


17.5.2. Schemă implicită în patru puncte

În continuare se prezintă o schemă implicită pentru integrarea

ecuaţiilor Saint-Venant, dedusă pentru albii prismatice trapezoidale şi dreptunghiulare. Pentru rezolvare am ales forma diferenţială a ecuaţiilor

Saint-Venant în variabile dependente Q şi y, (17.8) şi (17.9).

Ecuaţia de continuitate fără aport lateral:

0x

Q

t

yB =

∂

∂+

∂

∂⋅ (17.8)

Ecuaţia dinamică:

0Sx

yAg

A

Q

xt

Qf

2

=

+

∂

∂⋅+

∂

∂+

∂

∂ (17.9)

Ecuaţiile de aproximare a sistemului Saint-Venant sunt construite în

jurul punctului P într-o celulă de calcul (fig. 17.5.)

Derivatele spaţiale ale ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate în

punctul P prin:

( ) ( ) ( )[ ]nj

nj

1nj

1n1j ff1ff

∆x

1

x

f−⋅−+−⋅=

∂

∂ ++++

1θθ (17.35)

Derivatele temporale ale ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate

în punctul P prin:

( ) ( ) ( )[ ]nj

1nj

n1j

1n1j ff1ff

∆t

1

t

f−⋅−+−⋅=

∂

∂ ++

++ ϕϕ (17.36)

∆

ϕ ∆ (1 − ϕ )∆

(1 − θ )∆

θ ∆

∆

t

n+ 1

n

j j+ 1

x

t

x x

t

t

P

punc t ne cunoscu t

punc t cun oscu t Fig. 17.5. Noduri de reţea folosite în schema implicită în 4 puncte


Termenii nederivativi sunt aproximaţi în punctul P prin:

( )( )[ ] ( ) ( )[ ]nj

n1j

n1j

1n1j f1f1f1ff ⋅−+⋅⋅−+⋅−+⋅⋅= ++

++ ϕϕθϕϕθ (17.37)

unde ( );tx, njff nj ∆⋅∆⋅= θ - coeficient de pondere temporal, ϕ - coeficient de

pondere spaţial, ∆x – pasul spaţial, iar ∆t – pasul temporal.

Trebuie menţionat că coeficienţii de pondere spaţiali şi temporali au

valori cuprinse între 0 şi 1. Pentru φ = 0,5 ecuaţiile (17.35) şi (17.36) dau

schema clasică a lui Preissman din care rezultă: pentru θ = 0 - schema este

complet explicită, pentru θ = 1 - schema este complet implicită, iar pentru

θ = 0,5 – schema este implicită centrată în 4 puncte. Cunge recomandă o

valoare θ ≥ 0,67 pentru asigurarea preciziei şi stabilităţii numerice a

algoritmului.

Introducerea schemei lui Preissman în ecuaţiile (17.8) şi (17.9)

conduce la ecuaţiile algebrice liniare pentru fiecare perechi de puncte adiacente

(j şi j+1).

01111111 =+⋅+⋅+⋅+⋅ ++ G∆QD∆QC∆yB∆yA jjjj (17.38)

02212212 =+⋅+⋅+⋅+⋅ ++ G∆QD∆QC∆yB∆yA jjjj (17.39)

unde:

- y, Q jj ∆∆ - incremenţii debitului şi cotei de la timpul n la n + 1 în

punctul j; - y, Q 1j1j ++ ∆∆ - incremenţii debitului şi cotei de la timpul n la n + 1

în punctul j + 1;

- G,D,C,B,A,G,D,C,B,A 2222211111 - coeficienţii ce sunt

calculaţi cu valorile cunoscute la timpul n. Deoarece A = A(y) si B = B(y), variabilele dependente în ecuaţiile

(17.8) şi (17.9) sunt Q şi y. Pentru f = Q sau f = y, pentru că f∆ff n1n ∆+=+ ,

se obţine:

∆+=

∆+=

+

+

yyy

QQQn1n

n1n

Înlocuind f ff n1n ∆+=+ în (17.35) şi rearanjând ecuaţia se obţine:

( ) ( )[ ]j1jnj

n1j ffff

x

1

x

f∆−∆−−

∆=

∂

∂++ θ (17.40)

Similar se procedează pentru ecuaţia (17.36):


( )[ ]j1j f1ft

1

t

f∆⋅−+∆⋅

∆=

∂

∂+ ϕϕ (17.41)

şi pentru ecuaţia (17.37):

( ) f1ff j1j ⋅−+⋅= + ϕϕ (17.42)

Pentru o funcţie de două variabile F = F(Q,y) discretizarea se poate

face astfel:

F FF n1n ∆⋅+=+ θ (17.43)

( ) ( ) ...11

11

+

∂

∂⋅−+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅−+

∂

∂⋅=

++ jjjjQ

F

Q

F

y

F

y

F∆F ϕϕϕϕ (17.44)

(păstrând doar derivata de ordinul 1)

Utilizând relaţiile (17.40) la (17.44) în ecuaţiile (17.8) şi (17.9) s-au

determinat - prin identificare - coeficienţii ecuaţiilor (17.38) şi (17.39). Toţi

coeficienţii sunt determinaţi pentru secţiunea j şi pentru momentul de timp n. Astfel, aplicarea relaţiilor (17.40), (17.41), (17.42) ecuaţiei de continuitate (17.8), conduce la:

10. t

yB

t

yB

∂

∂=

∂

∂⋅ , unde ( ) B1BB j1j ⋅−+⋅= + ϕϕ .

j1j yt

1y

∆tt

y∆⋅

∆

−+∆⋅=

∂

∂+

ϕϕ

20. ( ) ( )j1jj1j QQ

xQQ

x

1

x

Q∆−∆⋅

∆+−⋅

∆=

∂

∂++

θ

Prin identificare au rezultat coeficienţii ecuaţiei (17.38):

Bt

A1 ⋅∆

=ϕ

(17.45)

Bt

1B1 ⋅

∆

−=

ϕ (17.46)

x

C1∆

+=θ

(17.47)

x

D1∆

−=θ

(17.48)

( )j1j1 QQx

1G −⋅

∆= + (17.49)


Corectitudinea expresiilor coeficienţilor ecuaţiei (17.38) s-a verificat

dimensional.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 121

11

11

11

11

−−−−− ⋅===⋅=⋅= TLG ; LD ; LC ; TLB ; TLA .

121][][ −−+ =⋅=∆⋅ TLLLTyA 1j1 ;

1211 ][][ −− =⋅=⋅ TLLLT∆yB j ;

12131][][ −−−+ =⋅=∆⋅ TLTLLQC 1j1 ;

12131][][ −−− =⋅=∆⋅ TLTLLQD j1 .

Ecuaţia algebrică liniarizată (17.38) este omogenă dimensional.

Aplicarea relaţiilor de la (17.40) la (17.44) ecuaţiei dinamice (17.9),

conduce la:

10. j1j Qt

1Q

tt

Q∆⋅

∆

−+∆⋅

∆=

∂

∂+

ϕϕ

20.

∂

∂⋅

−

∂

∂⋅

⋅=

∂

∂

x

A

A

Q

x

Q

A

Q2

A

Q

x

22

( ) ( )j1jj1j QQx

QQx

1

x

Q∆−∆⋅

∆+−⋅

∆=

∂

∂++

θ

unde ( )j1j A

Q1

A

Q

A

Q

⋅−+

⋅=

+

ϕϕ ,

( ) ( )

( ) ( );jj1j1jj1j

j1jj1j

yByBx

AAx

1

AAx

AAx

1

x

A

∆⋅−∆⋅⋅∆

+−⋅∆

=

=∆−∆⋅∆

+−⋅∆

=

∂

∂

+++

++

θ

θ

( )2

j

2

1j

2

A

Q1

A

Q

A

Q

⋅−+

⋅=

+

ϕϕ .

30. ( ) ( ) ( )

∆−∆⋅

∆+−⋅

∆⋅⋅=

∂

∂⋅⋅ ++ j1jj1j yy

xyy

x

1Ag

x

yAg

θ

40. ( ) ( )ASgSAgSAgSAg ffff ∆⋅⋅⋅+∆⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅ θθ

40.1 ( ) ( ) ( )[ ]jf1jff SA1SAgSAg ⋅⋅−+⋅⋅⋅=⋅⋅

+ϕϕ .


40.2. ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]j1jj1j

j

f

1j

f

j

f

1j

ff

11A g Q

S1

Q

S

Y

S1

Y

SAgSAg

ωϕωϕγϕγϕθϕ

ϕϕϕθθ

⋅−+⋅+⋅−+⋅⋅⋅⋅=

∂

∂⋅−

+

∂

∂⋅+

∂

∂⋅−+

∂

∂⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅

++

++

unde s-au folosit următoarele notaţii ajutătoare:

( )

⋅−

+⋅⋅⋅=

∂

∂=

+++

+

+1j1j

2

1jf

1j

f1j A

B5

P

m12S

3

2

Y

Sγ ;

( )

⋅−

+⋅⋅⋅=

∂

∂=

jj

2

jf

j

fj A

B5

P

m12S

3

2

Y

Sγ ;

2

1j

1j

1j

f1j

K

Q2

Q

S

+

+

+

+ ⋅=

∂

∂=ω ;

2j

j

j

fj

K

Q2

Q

S⋅=

∂

∂=ω

.

40.3. ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ]j1jf

j1jff

B1BS g

Y

A1

Y

ASgAS g

⋅−+⋅⋅⋅⋅=

∂

∂⋅−+

∂

∂⋅⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅

+

+

ϕϕθ

ϕϕθθ

Din 10 + 20 + 30 + 40 = 0, prin identificarea coeficienţilor, rezultă:

( ) ( )

( ) 1jf

1j1j

2

2

BSg

AgBxA

Q

xAgA

+

++

⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅⋅+⋅∆

⋅

−

∆⋅⋅=

ϕθ

γϕθθθ

(17.50)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) jf

jj

2

2

B1S g

1Agx

AgBxA

QB

⋅−⋅⋅⋅

+⋅−⋅⋅⋅+∆

⋅⋅−⋅∆

⋅

=

ϕθ

γϕθθθ

(17.51)

( ) 1j2 AgxA

Q2

tC +⋅⋅⋅⋅+

∆⋅

⋅+

∆= ωϕθ

θϕ (17.52)


( ) ( ) j2 1-AgxA

Q2

t

1-D ωϕθ

θϕ⋅⋅⋅⋅+

∆⋅

⋅−

∆= (17.53)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) SAgYYx

1A g

AAx

1

A

QQQ

x

1

A

Q2G

fj1j

j1j

2

j1j2

⋅⋅+

−⋅

∆⋅⋅

+

−⋅

∆⋅

−

−⋅

∆⋅

⋅=

+

++

(17.54)

S-au verificat dimensional coeficienţii ecuaţiei (17.39), rezultând.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 232

12

12

222

222 TLG ; TD ; TC ; TLB ; TLA −−−−− ⋅===⋅=⋅=

Înlocuind în (17.39) rezultă:

232212 ][][ −−

+ =⋅=∆⋅ TLLTLyA j ;

2322

2 ][][ −− =⋅=⋅ TLLTL∆yB j ;

231312 ][][ −−−

+ =⋅=∆⋅ TLTLTQC 1j ;

231312 ][][ −−− =⋅=∆⋅ TLTLTQD j .

Şi ecuaţia algebrică liniarizată (17.39) este omogenă dimensional.

10. Algoritmul dublului baleiaj

Ecuaţiile (17.38) şi (17.39) trebuie rezolvate în orice punct de calcul,

pentru orice pas de timp ∆t în perioada de calcul. Ele formează un sistem de

ecuaţii algebrice liniare şi pot fi rezolvate dacă şi condiţiile la limită sunt de

asemenea liniarizate în termenii ∆Q şi ∆y, prin aplicarea oricărei metode de

soluţionare.

Algoritmul dublului baleiaj este o aplicare a schemei lui Preissmann şi

Cunge la ecuaţiile (17.38) şi (17.39). Prin acest algoritm se calculează valorile

debitelor şi cotelor în punctul j la momentul de timp n+1 utilizând coeficienţi

flotanţi şi relaţii de recurenţă între aceştia.

Presupunând că există o relaţie liniară de tipul

∆Qj = Ej ∆yj + Fj (17.55)

se poate determina o relaţie între ∆yj şi incremenţii variabilelor dependente ∆y

şi ∆Q pentru punctul j+1. Aceasta se demonstrează înlocuind ecuaţia (17.55) în

ecuaţiile (17.38) şi (17.39) obţinându-se:


=+⋅+⋅+++⋅

=+⋅+⋅+++⋅

++

++

0)(

0)(

22122212

11111111

G∆QD∆QC∆yEDB∆yA

G∆QD∆QC∆yEDB∆yA

jjjjj

jjjjj (17.56)

Din sistemul de ecuaţii (17.56) se poate determina o relaţie între ∆yj şi

incremenţii variabilelor dependente ∆y şi ∆Q pentru punctul j+1.

j11

j111j

j11

11j

j11

1j EDB

FDGQ

EDB

Cy

EDB

Ay

+

+−∆⋅

+−∆⋅

+−=∆ ++ (17.57)

Ecuaţia (17.57) se poate scrie:

3jj2j1j1jj OQ Oy Oy +∆⋅+∆⋅=∆ + (17.58)

unde:

+

+−=

+−=

+−=

j11

j113j

j11

12j

j11

11j

EDB

FDGO

EDB

CO

EDB

AO

(17.59)

Dacă se elimină ∆yj între ecuaţiile (17.57) şi exprimând ∆Qj+1 ca o funcţie de

∆yj+1 se obţine:

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )j112j221

j11j22j22j11

1jj112j221

j112j2211j

EDBCEDBC

EDBFDGEDBFDG -

yEDBCEDBC

EDBAEDBAQ

+−+

++−++

−∆⋅+−+

+−+−=∆ ++

(17.60)

şi

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

+−+

++−++=

+−+

+−+=

+

+

j112j221

j22j11j11j221j

j112j221

j221j1121j

EDBCEDBC

EDBFDGEDBFDGF

EDBCEDBC

EDBAEDBAE

(17.61)

Aşadar există o relaţie liniară de forma indicată de ecuaţia(17.55).

Este demonstrat deci că dacă relaţia (17.55) este corectă pentru orice

punct j atunci este corectă pentru oricare din punctele următoare. Mai mult,

ecuaţia (17.55) defineşte câteva relaţii de recurenţă astfel:


Ej+1 = f(Ej, A1, B1,…); Fj+1 = f(Ej, Fj, A1, B1,…). Coeficienţii Ej+1 şi Fj+1 se pot calcula pentru orice punct j+1 dacă se

cunosc coeficienţii Ej şi Fj, din punctele anterioare j. A treia relaţie:

3jj2j1j1jj OQ Oy Oy +∆⋅+∆⋅=∆ + (17.62)

având coeficienţii determinaţi cu relaţia (17.59) permite calculul valorii lui ∆yj

când incremenţii ∆y şi ∆Q sunt cunoscuţi în punctul j+1.

Aceste relaţii de recurenţă sugerează o metodă pentru calculul lui yn+1

şi Qn+1 pentru toate punctele j = 1, 2,…,N-1, N dintr-un canal. Condiţiile limită

trebuie liniarizate local. Atunci condiţiile limită trebuie exprimate în modul

următor:

Pentru prima condiţie limită, j = 1, (la frontiera amonte) este necesară

cunoaşterea relaţiei ∆Q1 = E1 ∆y1 +F1, (altfel spus trebuie cunoscuţi

coeficienţii E1 şi F1).

Pentru a doua condiţie limită, j = N, este necesară cunoaşterea lui ∆yN.

17.5.3. Schemă explicită de integrare a ecuaţiilor Saint-Venant

Această metodă de rezolvare a ecuaţiilor Saint-Venant conduce cel

mai repede la aflarea soluţiilor ecuaţiilor Saint-Venant.

Definiţia schematică a unei scheme rectangulare este dată în fig. 17.6:

o reţea de noduri cu punctul P, proiectat în planul (xOt), ∆x fiind distanţa

spaţială şi ∆t - distanţa temporală dintre punctele din reţea.

∆

noduri vecine

∆

t

tj+1

tj

xj-1 xjxj+1

x

L R

M

P

nod curent de calcul

t

x

Fig. 17.6. Noduri de reţea folosite în schema explicită

de integrare a ecuaţiilor Saint-Venant


Condiţiile cunoscute, VL, hL şi VR, hR, la timpii t = t, sunt utilizate

pentru exprimarea explicită a condiţiilor necunoscute, VP, hP, după un pas ∆t, adică la timpul t = t + ∆t, unde V reprezintă viteza punctuală considerată

constantă în secţiune transversală, iar h este înălţimea apei în canal.

Derivatele parţiale a ecuaţiilor Saint-Venant sunt aproximate cu

ajutorul diferenţelor finite astfel:

t

hh

t

h

t

VV

x

V

x2

hh

x

h

x2

VV

x

V

MP

P

MP

P

LR

M

LR

M

∆

−=

∂

∂

∆

−=

∂

∂

∆

−=

∂

∂

∆

−=

∂

∂

(17.63)

Pentru un canal prismatic, prin înlocuirea acestor ecuaţii în ecuaţia de

continuitate, rezultă:

( ) ( )[ ]RLMRLMMP VVhhhVx2

th h −+−

∆+=∆

(17.64)

Apoi, prin înlocuirea ecuaţiilor de mai sus în ecuaţia dinamică, rezultă:

( ) ( ) ( )e

LRLRM

MP SSgx2

hhg

x2

VVV

t

VV −=

∆

−+

∆

−+

∆

−0 (17.65)

unde S0 reprezintă panta fundului, iar Se este panta energetică.

24/3

h

PPe n

R

VVJ

P

= şi tgn

R

2

4/3hP ∆=Γ (17.66)

unde RhP reprezintă raza hidraulică în secţiunea corespunzătoare punctului P,

iar n- coeficientul lui Manning.

Simplificat, se poate scrie:

0VV P2

P =Γ−Γ+ β (17.67)

unde:

( ) ( )

∆+−

∆

∆+−

∆+= 0t Sghh

x2

tgVVV

x2

∆tV RLRLMMβ (17.68)

Din această ecuaţie rezultă:

( )[ ]1/22P 4-

2

1V βΓ+Γ+Γ= (17.69)

Metoda explicită prin diferenţe finite permite determinarea adâncimii

apei, hP, la un timp fix, ∆t, cu ajutorul ecuaţiei de continuitate scrisă anterior,

apoi se determină viteza, Vp, în punctul P.

Numărul şi tipul condiţiilor la limită necesare pentru obţinerea unei

soluţii sunt descrise în partea aplicativă.

Pentru obţinerea unei soluţii stabile, este necesar întotdeauna să se

respecte criteriul de stabilitate al lui Courant:

( )

cV

∆xt

+≤∆ (17.70)

unde: ( ) ( )LPRP ttt ttt −=∆−=∆ sau

şi ( ) ( )LPRP xxx xxx −=∆−=∆ u as .

17.6. UNDE DE TRANSLAŢIE

Aşa cum s-a amintit în paragraful 17.1., mişcarea caracterizată printr-o

variaţie bruscă a adâncimii apei (când apar unde cu front abrupt), se numeşte

mişcare nepermanentă rapid variată, undele fiind numite adeseori în literatura

de specialitate – unde de translaţie sau unde de inundaţie. Aceste tipuri de unde

apar de obicei la deschiderea bruscă a unor stavile, ecluze, în anumite situaţii

de exploatare a centralelor hidroelectrice, sau în cazul ruperilor de baraje. Tot

undă de translaţie se consideră şi fenomenul numit mascaret, dat de un flux

mareic care înaintează pe un râu de dimensiuni apreciabile (ex. pe fluviul

Amazon).

În acest caz, ipotezele care stau la baza modelului unidimensional în

baza cărora au fost deduse ecuaţiile Saint – Venant nu mai sunt valabile.

Dacă curbura liniilor de curent nu este neglijabilă, mai mult, nu se

poate admite o distribuţie hidrostatică a presiunii în secţiune transversală,

atunci ecuaţiile Saint - Venant în forma de la (17.6) la (17.13) nu mai sunt

valabile şi nici consideraţiile anterioare legate de aceste ecuaţii.

Variaţia bruscă a suprafeţei apei, este determinată de o variaţie bruscă

a debitului ∆Q (fig. 17.7).

Această variaţie bruscă (perturbaţie) este unda de inundaţie, care

formează o discontinuitate ∆h, numită frontul undei. După perturbaţie, corpul

undei se dezvoltă paralel cu suprafaţa liberă a apei, debitul corpului undei fiind

Q + ∆Q. Pentru unda pozitivă directă (17.7.c) şi unda negativă inversă

(17.7.d), variaţia de debit este pozitivă, ∆Q > 0, iar pentru unda pozitivă inversă (17.7.a) şi pentru unda negativă directă (17.7 b), variaţia de debit este

negativă, ∆Q < 0.

Frontul undei se poate prezenta sub diferite forme. Dacă unda este

pozitivă, 11 hhh >∆+ , frontul undei poate fi format dintr-o sigură undă sau

dintr-o succesiune de unde mai mici, separate sau nu, frontul undei este mai

curând concav şi rămâne stabil. Dacă unda este negativă, 11 hhh <∆+ , frontul

va lua forma unei curbe continue, este mai curând convex şi devine instabil.

După Chow, acest lucru poate fi explicat considerând unda ca o sumă

de unde mai mici plasate una peste alta. Fiecare undă mică se deplasează cu

celeritatea ghc = , undele mici de la partea superioară a undei au o celeritate

mai mare decât cele de la bază. În consecinţă, pentru undele pozitive, undele

mici de la partea superioară a undei absorb undele mici de la baza undei,

rezultând un front de undă mai abrupt. În cazul undelor negative, undele mici

de la partea superioară a undei se deplasează mai repede decât cele de la bază,

rezultând o undă cu un front din ce în ce mai puţin abrupt.

a) Unda pozitiva inversa

h1

V(+)1

C (-)

h2

∆h>0

Q Q+∆Q

∆Q<0

b) Unda negativa directa

h2

V(+)1

C (+)

h1

∆Q<0

∆h<0

Q+∆Q Q

h1

V(+)1

C (+)

∆h>0

h2

Q+∆Q Q

∆Q>0

c) Unda pozitiva directa

h2

V(+)1

C (-)

h1

∆Q>0

d) Unda negativa inversa

∆h<0

Q+∆QQ

stare initiala perturbatie perturbatie stare initiala

perturbatie stare initiala perturbatiestare initiala

t

t

t

t

Fig. 17.7. Tipuri de unde de translaţie

Viteza de propagare a undelor de translaţie pozitive sau negative -

celeritatea, se deduce prin aplicarea ecuaţiei teoremei impulsului între două

secţiuni situate de o parte şi de alta a frontului undei. Pentru un canal de

secţiune dreptunghiulară celeritatea undelor este (fig. 17.7):

( )

+⋅±=±

1

2

1

211 1

2 h

h

h

hghVct (17.71)

Semnul (-) corespunde undelor inverse, iar semnul (+) corespunde

undelor directe.

Dacă se neglijează termenii pătratici, ec. (17.71) se poate aproxima

prin:

1

112

31

h

hghVc

∆⋅+±≅ sau

∆⋅+±≅

1

114

31

h

hghVc (17.72)

Relaţia (17.72) este valabilă pentru unde de amplitudine nu foarte

mică.

Pentru unde de amplitudine foarte mică la care 11

12 <<−

h

hh, sau

hhh ≅≅ 12 , ecuaţia (17.72) devine:

( ) ghVct ±=± (17.73)

Relaţia (17.73) reprezintă celeritatea undei lungi (undă de gravitaţie de

adâncime redusă) şi de amplitudine redusă în ape cu V = 0 (v. ec. 17.33)

17.7. VALURI

17.7.1. Definiţii. Clasificarea valurilor

Valurile sunt forme pe care le ia suprafaţa apei sub acţiunea

impulsurilor de presiune, datorate vântului, mişcării navelor, seismelor etc.

Poziţia iniţială orizontală a suprafeţei apei este modificată de impulsurile de

presiune. Forţa gravitaţională determină valurile obişnuite – gravitaţionale, iar

forţele capilare determină doar mici încreţituri la suprafaţa apei numite valuri de capilaritate. Forţa de frecare a vântului cu suprafaţa apei în repaos produce

valurile de vânt – valuri întreţinute, acestea îşi continuă mişcarea şi după

încetarea acţiunii vântului şi se numesc valuri libere sau hulă. Suprapunerea valurilor libere cu cele întreţinute determină valurile mixte şi valurile de interferenţă – date de suprapunerea valurilor reflectate cu

cele incidente în zona construcţiilor din apă.

Mareele se datorează forţelor de atracţie ale soarelui, şi în principal,

ale lunii. Ele sunt caracterizate prin flux (ridicarea nivelului) şi reflux

(coborârea nivelului). Fluxul are o durată mai mică decât refluxul. La flux,


adâncimea apei creşte, în consecinţă creşte şi celeritatea. Dacă fluxul pătrunde

pe albia unui râu care se îngustează spre amonte, unda mareică poate căpăta

amplitudine mare (mascaret). Există ţări în care energia mareică a fost captată

pentru producerea de energie hidroelectrică (centrala Rance - Franţa).

Valurile de vânt sunt cele mai frecvente; ele se formează la viteze ale

apei de peste 1 m/s; pentru o viteză a vântului între 0,5 şi 1 m/s suprafaţa liberă

a apei doar se încreţeşte. Dezvoltarea valurilor este funcţie de adâncimea

bazinului, lungimea luciului de apă parcursă de val, de intensitatea şi durata

vântului.

Elementele valului produs de vânt (fig. 17.8) sunt: ∆h - înălţimea

valului, măsurată pe verticală de la creastă până la partea inferioară;

λ - lungimea de undă a valului, distanţa pe orizontală între crestele a două

valuri învecinate; c - celeritatea, viteza de propagare a crestei valului pe

orizontală; τ - perioada valului, timpul necesar pentru parcurgerea de către

creasta valului a lungimii de undă λ; h/λ - curbura valului; vz - viteza orbitală de

mişcare a particulelor la diverse adâncimi; D – fetchul valurilor, lungimea

luciului de apă supusă acţiunii vântului.

C

h

x

y

λ

ψ=ct.

Traiectorii

∆h

Fig. 17.8. Elementele valului de vânt

17.7.2. Valuri marine. Acţiunea valurilor asupra construcţiilor

După von Gerstner, studiul valurilor marine pleacă de la ipoteza că

acestea satisfac riguros condiţia de continuitate precum şi condiţia ca presiunea

sa fie constantă pe suprafaţa liberă a apei.


Astfel:

a. Toate moleculele fluide descriu în planurile secţiunii drepte a

valului orbite circulare, mişcându-se cu viteză uniformă şi în aceeaşi perioadă

de timp. Toate particulele care au centrul orbitei pe aceeaşi verticală au mişcări

sincrone şi în concordanţă de fază; vitezele sunt dirijate, la vârful orbitelor, în

sensul de propagare a valului. Centrele orbitelor se află pe suprafaţa apei

liniştite (iniţial imobile).

b. Razele orbitelor descresc repede cu adâncimea y, după legea

exponenţială λ

π y

e 2

−, λ fiind lungimea de undă

c. Perioada T este dată de relaţia:

T = g

πλ2, (17.74)

iar celeritatea:

c = π

λ

2

g, (17.75)

T şi c iau aceleaşi valori ca pentru ape adânci.

d. Fiecare particulă lichidă este supusă în timpul mişcării la presiunea

la care era supusă în poziţia de repaus. Suprafeţele de nivel sunt generate de

curbe corespunzând poziţiilor actuale ale punctelor care se găsesc, în stare de

echilibru, în acelaşi plan orizontal.

e. Curbele de presiune au forma unei trohoide circulare (fig. 17.9),

care este curba descrisă de un punct interior unui cerc care se rostogoleşte pe o

dreaptă; raza cercului este π

λ

2 şi punctul care descrie trohoida este la distanţa a

de centrul său. Când punctul care descrie curba este situat chiar pe

circumferinţa de raza a0, trohoida este o cicloidă. Între lungimea valului l şi

amplitudinea a0 există relaţia, 02 a⋅= πλ , deci 00 gac = .

Fig. 17.9. Val marin trohoidal

C

λ

a0

a

C

trohoida

Cicloida

Linii izobare


După Mateescu, o relaţie mai riguroasă pentru calculul valurilor de

amplitudine finită în apă adâncă este:

−+

−+

−=

T

txa

T

txa

T

tx

a

y

λπ

λ

π

λπ

λ

π

λπ 6cos

2

34cos2cos

2

22

(17.76)

iar celeritatea se exprimă prin:

2/12

21

2

+=

λ

π

π

λ agc (17.77)

Pentru calculul energiei valurilor se pleacă fie de la teoria lui Stokes,

fie a lui Gertsner. Energia potenţială calculată între două creste consecutive se

poate exprima prin:

4

2λγaEp = , (17.78)

iar energia totală prin:

2

2λγaEt =

⋅

valde m

mkg (17.79)

unde γ reprezintă greutatea specifică a apei.

Relaţia (17.79) permite evaluarea impactului valurilor asupra

construcţiilor hidrotehnice. Efectul dinamic se exercită mai mult la suprafaţa

apei şi scade rapid cu adâncimea datorită legii de repartiţie a vitezei:

λ

πy

euu2

0

−

= (17.80)

Dacă se admite faptul că presiunea hidrostatică variază proporţional cu

adâncimea, atunci presiunea totală la nivelul oglinzii apei se poate scrie

apt γ2= (17.81)

unde a reprezintă amplitudinea valului deasupra nivelului static (fig. 17.10),

care este în funţie de tipul mării sau oceanului (ex. Marea Mediterană

m 52 ≅a ).

Există, de asemenea, formule semiempirice pentru calculul presiunilor

suplimentare datorate valurilor atât deasupra nivelului apei liniştite cât şi în

adâncime.


h

0.00

γh γh

a

2γh

Fig. 17. 10. Presiunea valurilor pe dig

17.8. APLICAŢII

10. Să se determine prin metoda implicită debitele şi cotele apei în trei

secţiuni (amonte, mijloc şi aval) ale unui canal de secţiune trapezoidală având

următoarele caracteristici: lăţimea la bază a canalului: b = 5,0 m, debitul în

mişcare permanentă şi uniformă: q = 3,0 m3/s, panta longitudinală a canalului:

S0 = 0,001, coeficientul unghiular al taluzului: m = 1,5, coeficientul de

rugozitate după Strikler: k = 40 (n = 0,025), lungimea canalului: L = 10 km,

cota fundului canalului în amonte yf1 = 100 m.

Hidrograful afluent în canal este redat în tab. 17.1. şi fig. 17.11,

secţiunea j = 0, şi are următoarele caracteristici: Qmin = 5 m3/s, Qmax = 7 m

3/s,

cu timpul de creştere a debitului tu = 3600 s după o lege liniară.

Rezolvare. S-au impus, pentru determinarea coeficienţilor ecuaţiilor

algebrice liniare (17.38) şi (17.39), valorile coeficientului de pondere spaţial:

φ = 0,5, şi al coeficientului de pondere temporal: θ = 0,7.

Pentru algoritmul dublului parcurs de soluţionare a ecuaţiilor algebrice

liniare, condiţiile limită furnizează fie valorile coeficienţilor, E1, F1, fie valorile

incrementului ∆yN.

Condiţia limită în amonte s-au ales de forma:

Q = Q(t) dat (tab. 17.1. şi fig. 17.11; secţiunea j = 0)

Se poate determina E1 şi F1 astfel încât ∆Q1 = Q(tn + ∆t) - nQ1 .

Din ecuaţia (17.55) ∆Q1 depinde de ∆y1, dar poate fi independent de ∆y1

utilizând o condiţie limită arbitrară. Impunând:

E1 = 0 rezultă F1 = Q(tn + ∆t) - nQ1 .

Deci oricare ar fi valoare calculată ∆y1, ∆Q1 va fi întotdeauna egală cu valoarea

condiţiei limită.


Condiţia limită în aval s-au ales astfel ca în aval să fie un nivel impus

(în cazul de faţă am impus nivel corespunzător regimului de mişcare

permanentă şi uniformă). Aşadar:

QN = k AN (R2/3)

NN

2

NN y

P

m1

3

4

A

B

3

5QQ ∆⋅

+⋅−

⋅⋅=∆

În acelaşi timp va exista o relaţie de tipul:

∆QN = EN ∆yN + FN şi ∆QN şi ∆yN se determină prin rezolvarea sistemului:

=

∆

∆⋅

−

+⋅−

⋅⋅−

NN

N

N

N

2

N F

0

y

Q

E1

P

m1

3

4

A

B

3

5Q1

Pentru canalul de secţiune trapezoidală parametrii ce intervin în

ecuaţiile liniarizate au expresiile:

( )fjjjj yym2bB −⋅⋅+= ;

( ) ( )[ ]fjjfjjj yymbyyA −⋅+⋅−= ;

( ) 2fjjjj m1yy2bP +⋅−⋅+= ;

j

jj

P

AR = ;

32

jj PAkK ⋅⋅= ;

2j

2j

fjK

QS = .

unde b este lăţimea la fund a canalului, B – lăţimea la luciul apei, m –

coeficientul unghiular al taluzului, A – aria secţiunii transversale,

P – perimetrul udat; R – raza hidraulică, k – coeficient de frecare datorat

rugozităţii (după Strickler), iar K – debitanţa.

Pentru efectuarea automată a calculelor s-a întocmit un program de

calcul, pe baza relaţiilor descrise anterior, alegând un pas de calcul temporal

∆t = 100 s, pasul spaţial ∆x =1000 m (rezultând un număr n = 11 noduri de

calcul), timpul total de calcul fiind Tmax = 10800 s.

Rezultatele sunt prezentate sub formă numerică în (tab. 17.1), iar sub

formă grafică în (fig. 17.11). şi (fig. 17.12).


Variaţia debitelor şi cotelor în secţiunile de calcul Tabelul 17.1

Timp (s)

Debit Q (mc/s) Cotă (m)

j = 0 j = 5 j = 10 j = 0 j = 5 j = 10

0 1 2 3 4 5 6

0 5 2,876 3,005 100,722 95,619 90,625

100 5,056 3,243 2,975 100,764 95,635 90,622

200 5,111 3,02 3,039 100,853 95,623 90,629

300 5,167 3,017 2,976 100,835 95,639 90,622

400 5,222 2,815 3,028 100,84 95,617 90,628

500 5,278 2,809 2,968 100,833 95,616 90,621

600 5,333 2,903 2,991 100,855 95,606 90,624

700 5,389 3,031 2,986 100,865 95,613 90,623

800 5,444 3,103 3,016 100,87 95,624 90,627

900 5,5 3,14 3,026 100,872 95,636 90,628

1000 5,556 3,16 3,027 100,879 95,642 90,628

1100 5,611 3,181 3,009 100,889 95,644 90,626

1200 5,667 3,17 2,989 100,895 95,643 90,624

1300 5,722 3,112 2,974 100,897 95,641 90,622

1400 5,778 3,025 2,969 100,899 95,636 90,621

1500 5,833 2,943 2,973 100,905 95,629 90,622

1600 5,889 2,879 2,985 100,913 95,62 90,623

1700 5,944 2,823 3,001 100,919 95,612 90,625

1800 6 2,765 3,018 100,923 95,604 90,627

1900 6,056 2,717 3,031 100,926 95,598 90,629

2040 6,111 2,693 3,037 100,931 95,593 90,629

2100 6,167 2,7 3,036 100,938 95,59 90,629

2200 6,222 2,728 3,029 100,943 95,59 90,628

2300 6,278 2,771 3,017 100,947 95,592 90,627

2400 6,333 2,83 3,002 100,951 95,597 90,625

2500 6,389 2,907 2,985 100,956 95,604 90,623

2600 6,444 3,004 2,969 100,961 95,614 90,621

2700 6,5 3,116 2,956 100,966 95,625 90,62

2800 6,556 3,235 2,949 100,971 95,637 90,619

2900 6,611 3,36 2,947 100,975 95,651 90,618

3000 6,667 3,491 2,952 100,98 95,665 90,619

3100 6,722 3,629 2,961 100,985 95,68 90,62

3200 6,778 3,769 2,976 100,99 95,695 90,622

3300 6,833 3,908 2,995 100,994 95,71 90,624

3400 6,889 4,044 3,016 100,998 95,724 90,627


Tabelul 17.1 (continuare)

0 1 2 3 4 5 6

3500 6,944 4,178 3,037 101,003 95,738 90,629

3600 7 4,309 3,057 101,008 95,752 90,632

3700 7 4,439 3,073 101,01 95,766 90,634

3800 7 4,558 3,087 101,012 95,778 90,635

3900 7 4,678 3,093 101,013 95,791 90,636

4000 7 4,793 3,095 101,013 95,802 90,636

4100 7 4,906 3,09 101,013 95,814 90,636

4200 7 5,013 3,078 101,014 95,825 90,634

4300 7 5,113 3,06 101,014 95,835 90,632

4400 7 5,208 3,036 101,014 95,845 90,629

4500 7 5,299 3,006 101,014 95,854 90,626

4600 7 5,388 2,973 101,015 95,862 90,622

4700 7 5,475 2,939 101,015 95,871 90,617

4800 7 5,56 2,903 101,015 95,879 90,613

4900 7 5,645 2,869 101,015 95,887 90,609

5000 7 5,728 2,838 101,015 95,894 90,605

5100 7 5,811 2,811 101,015 95,902 90,602

5200 7 5,892 2,79 101,015 95,909 90,599

5300 7 5,971 2,777 101,015 95,916 90,598

5400 7 6,047 2,772 101,015 95,923 90,597

5500 7 6,121 2,777 101,015 95,93 90,598

5600 7 6,192 2,793 101,015 95,937 90,6

5700 7 6,259 2,821 101,015 95,943 90,603

5800 7 6,323 2,86 101,015 95,949 90,608

5900 7 6,383 2,911 101,015 95,954 90,614

6000 7 6,439 2,972 101,015 95,959 90,622

6100 7 6,491 3,044 101,015 95,964 90,63

6200 7 6,539 3,126 101,015 95,969 90,64

6300 7 6,584 3,215 101,015 95,973 90,651

6400 7 6,625 3,313 101,015 95,977 90,662

6500 7 6,663 3,416 101,015 95,981 90,674

6600 7 6,698 3,525 101,015 95,984 90,687

6700 7 6,729 3,637 101,015 95,987 90,699

6800 7 6,758 3,753 101,015 95,99 90,712

6900 7 6,783 3,872 101,015 95,993 90,725

7000 7 6,807 3,992 101,015 95,995 90,738

7100 7 6,828 4,114 101,015 95,997 90,751

7200 7 6,847 4,236 101,015 95,999 90,764


Tabelul 17.1 (continuare)

0 1 2 3 4 5 6

7300 7 6,864 4,358 101,015 96,001 90,777

7400 7 6,879 4,479 101,015 96,002 90,789

7500 7 6,893 4,599 101,015 96,004 90,801

7600 7 6,905 4,718 101,015 96,005 90,813

7700 7 6,916 4,835 101,015 96,006 90,824

7800 7 6,926 4,949 101,015 96,007 90,836

7900 7 6,935 5,061 101,015 96,008 90,846

8000 7 6,942 5,171 101,015 96,009 90,857

8100 7 6,949 5,277 101,015 96,009 90,867

8200 7 6,955 5,38 101,015 96,01 90,877

8300 7 6,96 5,479 101,015 96,011 90,886

8400 7 6,965 5,575 101,015 96,011 90,895

8500 7 6,969 5,667 101,015 96,012 90,903

8600 7 6,973 5,755 101,015 96,012 90,911

8700 7 6,976 5,839 101,015 96,012 90,919

8800 7 6,979 5,92 101,015 96,013 90,926

8900 7 6,982 5,996 101,015 96,013 90,933

9000 7 6,984 6,068 101,015 96,013 90,939

9100 7 6,986 6,137 101,015 96,013 90,945

9200 7 6,988 6,201 101,015 96,013 90,951

9300 7 6,989 6,262 101,015 96,014 90,956

9400 7 6,991 6,319 101,015 96,014 90,961

9500 7 6,992 6,372 101,015 96,014 90,965

9600 7 6,993 6,422 101,015 96,014 90,97

9700 7 6,994 6,469 101,015 96,014 90,974

9800 7 6,995 6,513 101,015 96,014 90,977

9900 7 6,995 6,553 101,015 96,014 90,981

10000 7 6,996 6,591 101,015 96,014 90,984

10100 7 6,997 6,626 101,015 96,014 90,987

10200 7 6,997 6,658 101,015 96,015 90,99

10300 7 6,997 6,688 101,015 96,015 90,992

10400 7 6,998 6,715 101,015 96,015 90,994

10500 7 6,998 6,741 101,015 96,015 90,997

10600 7 6,998 6,764 101,015 96,015 90,999

10700 7 6,998 6,785 101,015 96,015 91

10800 7 6,999 6,805 101,015 96,015 91,002


0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

Timp (sec)

Debit (m

c/sec)

Q = f(t) în secţiunea j = 0



Fig. 17.11. Variaţia debitului în canal, Q = f(t), în secţiunile

j = 0 (amonte, L = 0), j = 5 (L = 5 km) şi j = 10 (aval, L = 10 km)

Fig. 17.12. Variaţia cotelor suprafeţelor libere ale apei, y = f(t) în secţiunile

j = 0 (amonte, L = 0), j = 5 (L = 5 km) şi j = 10 (aval, L = 10 km)

Metoda implicită în patru puncte implică determinarea – prin

identificare - a coeficienţilor ecuaţiilor algebrice liniare (17.38) şi (17.39) şi

rezolvarea sistemului format din aceste ecuaţii. Rezolvarea sistemului format

din ecuaţiile (17.38) şi (17. 39) se poate face relativ uşor prin algoritmul

dublului baleiaj, însă condiţiile limită trebuie liniarizate în aceeaşi termeni ∆y

şi ∆Q.

90

92

94

96

98

100

102

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

T imp (sec)

Cota

niv

elulu

i ap

ei (

m)

Y = f(t) în sect iunea j = 0



Pentru exemplul de calcul ales (care respectă ipotezele modelului

unidimensional) pentru un coeficient de pondere temporal θ = 0,7 şi un

coeficient de pondere spaţial φ = 0,5, algoritmul numeric a fost stabil indiferent

de pasul spaţial şi temporal ales în calcul. De fapt pentru θ = 0,7 algoritmul

este la limită stabil, pentru θ < 0,67 algoritmul devine instabil numeric.

Dificultatea metodei constă în faptul că liniarizarea ecuaţiilor şi a

condiţiilor limită precum şi determinarea coeficienţilor ecuaţiilor liniarizate,

este relativ greoaie şi destul de laborioasă.

20. Să se determine prin metoda explicită parametri hidraulici, din

1000 în 1000 m (debite, viteze, adâncimi), de-a lungul unui canal de secţiune

dreptunghiulară având următoarele caracteristici: lăţimea la bază a canalului: b = 5,0 m, panta longitudinală a canalului: S0 = 0,001, coeficientul de rugozitate

după Manning n = 0,02, lungimea canalului: L = 6 km.

Hidrograful afluent în canal este redat în (fig. 17.13) şi are următoarele

caracteristici: Qmin = 8,249 m3/s, Qmax = 50 m

3/s, cu timpul de creştere a

debitului tu = 1200 s, timp de descreştere tc = 3600 s, după o lege liniară.

Rezolvare. După metoda descrisă la pct. 17.5.3., pentru canalul de

secţiune dreptunghiulară, ecuaţiile se rescriu în diferenţe finite astfel:

- pentru adâncimi:

[ ])V(Vh)h(hVx2

thh j

1ij1i

ji

j1i

j1i

ji

ji

1ji +−+−

+ −+−∆

∆+=

- pentru viteze:

[ ]1/221ji )4(

2

1V βΓ+Γ+Γ−=+

cu

∆+−

∆

∆+−

∆

∆+= +−+− 0tSg)h(h

x2

tg)V(VV

x2

tV j

1ij

1ij1i

j1i

ji

jiβ şi

( )tgn

R2

4/31jih

∆=Γ

+

Condiţii iniţiale: la (t = 0) s-a considerat mişcarea permanentă şi

uniformă, corespunzătoare debitului Q0 = Qmin = 8,249 m3/s, 2/1

03/2 SR

n

1 V h= ,

rezultând adâncimea normală hn = 1,2 m.

Condiţiile limită în amonte s-au ales de forma Q = Q(t), (fig. 17.13),

iar în aval s-a considerat de asemenea mişcare permanentă, debitul în secţiunea

aval rezultând din ecuaţia de continuitate:

11 +++ = ji

ji

1ji AVQ .


Pentru efectuarea automată a calculelor s-a întocmit de asemenea un

program de calcul, pe baza relaţiilor descrise anterior alegând un pas de calcul

temporal ∆t = 1 s, pasul spaţial ∆x = 100 m (rezultând un număr n = 61

secţiuni de calcul), timpul total de calcul fiind Tmax = 15000 s.

Viteza medie a apei în canal este V = 1,3748 m/s, celeritatea undelor

de gravitație c = 3,4310 m/s, pasul temporal pentru care este asigurată

stabilitatea algoritmului fiind ∆tmin = 10,4039 s.

Rezultatele sub formă grafică sunt prezentate în continuare (fig. 17.13

la 17.24).

Fig. 17.13. Condiţie limită amonte. Fig. 17.14. Variaţia debitului în secţiunile

Hidrograful afluent în canal de calcul

Fig. 17.15 Variaţia adâncimii apei în timp Fig. 17.16. Variaţia vitezei în timp

în secţiunile de calcul în secţiunile de calcul


Fig. 17.17 Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.18 Variaţia adâncimii apei în

funcţie de debit în secţiunea 1 (L = 0) funcţie de debit în secţiunea 11 (L = 1 km)

Fig. 17.19 Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.20 Variaţia adâncimii apei în

funcţie de debit în secţiunea 21 (L = 2 km) funcţie de debit în secţiunea 31 (L = 3 km)

Fig. 17.21. Variaţia adâncimii apei în Fig. 17.22. Variaţia adâncimii apei în

funcţie de debit în secţiunea 41 (L = 4 km) funcţie de debit în secţiunea 51 (L = 5 km)


Fig. 17.23. Condiţia limită aval: 11 +++ = j

ij

i1j

i AVQ . Variaţia adâncimii apei în funcţie de

debit în aval (secţiunea 61; L = 6 km)

Fig. 17.24. Variaţia adâncimii apei în timp şi în lungul canalului


Metoda explicită, deşi permite determinarea variabilelor dependente

funcţie de variabilele dependente de la momentul de timp trecut, este supusă

criteriului de stabilitate.

Din acest motiv, deşi atractivă din punct de vedere al programării,

rularea programului durează mult. Acest impediment poate fi surmontat prin

utilizarea unor calculatoare de mare putere.

Nu s-au observat nici un fel de fenomene de instabilitate numerică a

algoritmului (pentru paşii spaţiali şi temporali aleşi), ceea ce recomandă această

metodă pentru analiza parametrilor hidraulici în cazul mişcării nepermanente în

canale deschise.

Metodele prezentate şi programele realizate pot fi utilizate, de

asemenea, în calculele de propagare ale viiturilor pe albii naturale, precum şi în

analiza fenomenelor hidraulice de pe albii cu diverse construcții hidrotehnice.


Capitolul 18

CURGERI BIFAZICE

Apa în natură, din punct de vedere al ştiinţelor de bază ale

hidrotehnicii (hidrologie, hidraulică) este privită ca fluid omogen. Această

ipoteză corespunde în analiza multor fenomene.

În albii naturale însă, împreună cu apa se mişcă şi aluviuni, iar în

perioade de iarnă şi diferite formaţiuni de gheaţă, astfel încât lichidul în

mişcare nu mai poate fi considerat omogen. Influenţa antropică asupra

mediului antrenează în albii diferiţi poluanţi, în formă de soluţie sau

particule solide distincte care modifică calitatea lichidului în mişcare din

punct de vedere chimic sau fizic (temperatură, densitate).

Mişcarea lichidului neomogen pune noi probleme care în general

pot fi cuprinse în noţiunea de amestec. Fenomenul de amestec, distribuţia

diferitelor substanţe sunt descrise de legile difuziei.

În acest capitol se tratează legile generale ale difuziei şi utilizarea

lor, mişcarea aluviunilor şi ale diferitelor formaţiuni de gheaţă (hidraulica

râurilor pe timp de îngheţ).

18.1. DIFUZIE, DISPERSIE, MIŞCĂRI POLIFAZICE,

CURGERI STRATIFICATE

Este cunoscut că oricărei acţiuni reciproce îi corespunde o

caracteristică extensivă şi una intensivă. Modificarea energetică în urma

unei acţiuni reciproce este proporţională cu modificarea caracteristicii

extensive, coeficientul de proporţionalitate fiind caracteristica intensivă.

Difuzia, în acest sens, este caracterizată de ecuaţiile de bilanţ.

Condiţia utilizării ecuaţiilor de bilanţ este cunoaşterea caracteristicilor

extensive şi intensive, respectiv ai coeficienţilor de conductivitate.

La fenomenul de schimb de substanţă caracteristica extensivă este

masa acesteia, iar distribuţia intensivă a acesteia este caracterizată de

densitate sau concentraţie. La curgerea apei (fluidului) substanţa

amestecată poate fi în soluţie sau în fază solidă. Pentru ambele cazuri

caracteristica extensivă este densitatea volumică (concentraţia). La transport

de fază solidă distribuţia concentraţiei trebuie privită pentru elemente de

volum la care se poate neglija natura discretă a aluviunilor.


Pe baza ecuaţiilor de bilanţ se poate ajunge la ecuaţiile care descriu

procesele, însă definirea tensorilor (coeficienţilor) de conductivitate se

bazează, în general, pe experimente.

Fenomenul de difuzie a fost analizat întâi la curgeri stratificate,

ecuaţiile diferenţiale ale difuziei studiind difuzia soluţiilor şi căldurii,

coeficientul de conductivitate fiind denumit coeficient de difuzie. Se

presupune că acest coeficient de difuzie este asemenea pentru soluţii,

căldură şi prin analogia Reynolds şi pentru impuls. Coeficientul de difuzie

pentru impuls la curgeri laminare priveşte vâscozitatea, iar la curgeri

turbulente se poate vorbi de coeficient de difuzie turbulent. Coeficientul de

difuzie D se referă totdeauna la schimb conductiv de substanţă.

18.1.1. Difuzia laminară

Difuzia laminară apare la masa fluidă statică sau în mişcare

laminară şi este produsă de mişcarea browniană (difuzie moleculară).

10. În lichid în repaus din ecuaţiile de bilanţ se ajunge la legea lui

Fick a difuziei:

x

CDM

∂

∂−= (18.1)

în care M este schimbul specific de substanţă (pe unitatea de suprafaţă);

C – concentraţia substanţei difuzante (caracteristica intensivă); x – distanţa

măsurată normal pe suprafaţă, iar D – coeficientul de difuzie

(conductivitate). Relaţia (18.1) arată că schimbul de substanţă pe suprafaţa

dată este proporţional cu gradientul concentraţiei pe direcţia normalei la

suprafaţa de schimb.

Utilizând ecuaţia conservării masei se obţine:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

Mz

y

My

x

Mx

t

C (18.2)

Pentru coeficient de difuzie constant (în timp şi spaţiu) după înlocuirea în

(18.1) se obţine a doua lege a lui Fick:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

2

2

z

C

y

C

x

CD

t

C (18.3)

sau în mişcare unidimensională

2

2

x

CD

t

C

∂

∂=

∂

∂ (18.3’)


care arată ca variaţia temporală a concentraţiei este proporţională cu

modificarea locală a gradientului concentraţiei.

Practic, coeficientul de difuzie deseori depinde de concentraţie şi

în medii neomogene depinde şi de spaţiu D = f(C, x, y, z). Orice fenomen de difuzie se poate aduce la forma:

( )CgradDdivt

C ⋅=

∂

∂ (18.4)

Ecuaţia difuziei este soluţionabilă în condiţii iniţiale şi de frontieră

date, pentru un coeficient de difuzie constant.

20. În cazul lichidului în mişcare laminară ecuaţiile de bilanţ

conţin şi termenii curgerii convective, de forma ( )VC ⋅ . Pentru mişcări

unidimensionale ( )0 ,0 ,uV relaţia (18.3’) devine:

2

2

x

CDx

x

Cu

t

C

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ (18.3”)

Efectul difuziei laminare în cazul cursurilor de apă este

nesemnificativ, dar în lacuri (pe lângă difuzia turbulentă) nu se poate

neglija.

18.1.2. Difuzia turbulentă

În curgeri turbulente valorile mărimilor fizice au variaţie

stohastică, iar în calcule se operează cu valorile lor mediate în timp şi cu

produsul pulsaţiilor mediate după Reynolds.

Modificarea concentraţiei în curgeri turbulente este cauzată de

transportul conductiv, pe de o parte, şi de transportul convectiv, pe de altă

parte. Transportul conductiv este produs de difuzia moleculară şi

turbulentă. În cursuri de apă faţă de difuzia turbulentă cea moleculară este

neglijabilă. Ecuaţiile diferenţiale de bază se pot deduce din ecuaţiile de

bilanţ pentru mişcarea turbulentă, respectiv din ecuaţia conservării masei.

Se scrie ecuaţia conservării masei pentru volumul de control

paralelipipedic elementar dx, dy, dz, considerând densitatea constantă şi

mediile temporale ale mărimilor pulsatorii ca sume ale valorilor medii şi

pulsaţiilor.

Ţinând seama de continuitatea curgerii turbulente şi considerând

fluxul de masă al difuziei turbulente proporţional cu gradientul de

concentraţie mediu (pe baza analogiei cu legea difuziei moleculare) se


obţine ecuaţia diferenţială a difuziei convective la curgerile spaţiale

turbulente ( )wvuV , , ale fluidelor incompresibile:

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

CD

zy

CD

yx

CD

x

z

Cw

y

Cv

x

Cu

t

C

tztytx

(18.4)

Primul termen al membrului stâng ţine seama de variaţia în timp a

concentraţiei, următorii trei termeni exprimă transportul de substanţă

(fluxul) convectiv datorită vitezei fluidului, iar membrul drept descrie

transportul conductiv de substanţă datorită turbulenţei. Mărimile barate

reprezintă valori medii temporale.

În formă generală se poate scrie:

( ) ( )CgradDdivCVdivt

C ⋅=⋅+

∂

∂ (18.5)

Soluţionarea ecuațiilor necesită cunoaşterea condiţiilor iniţiale, de

frontieră şi ale expresiilor componentelor vitezei şi factorului de difuzie.

Factorul de difuzie a fost studiat, în general, pentru mişcări bidimensionale

– axial simetrice şi plane.

Factorul de difuzie la schimbul de impuls la amestecul turbulent

este proporţional cu lungimea de amestec „l” după Prandtl:

⋅′≅=′

⋅′≅=′

luD

lvD

yy

xx

ν

ν (18.6)

sau

y

uyxy

∂

∂′⋅−= νρτ (18.7)

Se poate presupune că factorul de difuzie pentru substanţă şi

căldură este identic cu factorul de flux referitor la impuls.

La mişcări plane – la adâncimea y:

( ) ( )02*00 /1/1 yyvyyIy −⋅=−⋅⋅= ργτ

- în interiorul volumului de control factorul de difuzie este:

( )

dx

duyyv

D yy0

2

* /1−=′=ν (18.8)

Considerând distribuţia vitezei sub forma:


y

v

dy

du

y

y

V

v

V

u

⋅=

+

⋅+=

χχ*

0

* cu ,ln11 ,

după înlocuire în (18.8) se obţine:

( )0* /1 yyvyD yy −⋅⋅=′= χν (18.9)

unde jRgv ⋅⋅=* este viteza de frecare la perete. (La curgeri cu nivel

liber ihgv ⋅⋅= 0* , i fiind panta hidraulică).

Pentru relaţia de distribuţie a vitezei, conform (18.9) factorul de

difuzie la suprafaţa liberă şi la frontieră este nul şi la mijlocul adâncimii

maxim.

Considerând χ = 0,4, după medierea în timp (integrare) valoarea

factorului de difuzie este:

*0*0 067,015

1vyvyDy ⋅⋅=⋅= (18.10)

Factorul de difuzie pe direcţie transversală după Edler şi Fischer

este:

*023,0 vyDz ⋅⋅= (18.11)

Raportând coeficientului de difuzie la produsul vitezei de frecare

la perete cu adâncimea, se obţine un complex adimensional

1*0

=

⋅ vy

Di .

Din acest considerent trebuie remarcat faptul că factorul de difuzie

molecular – laminar este o constantă a substanţei, iar factorul de difuzie

turbulent depinde de parametrii mişcării. În albii neregulate valoarea

factorului de difuzie turbulent are variaţii mari atât în secţiune cât şi în

lungul curentului. În albii regulate variaţia factorului de difuzie turbulent

este mai graduală, dar există.

18.1.3. Dispersia turbulentă

Dificultăţile stabilirii factorului de difuzie turbulent au condus la

introducerea noţiunii de dispersie turbulentă. Fenomenul de amestec prin

dispersie este descris ca un fenomen unidimensional.

Descrierea difuziei utilizează vitezele şi concentraţiile locale pe

când în dispersie se operează cu valorile medii pe secţiune (V, Cm), astfel:


∂

∂

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂

x

CD

xx

CV

t

C mL

mm (18.12)

unde DL este factorul de dispersie longitudinal şi depinde de factorii de

dispersie şi componentele vitezei în secţiune (v, w). Factorul de difuzie

turbulent caracterizează numai schimbul conductiv de substanţă. Factorul

de dispersie are rol în schimbul conductiv longitudinal şi convectiv pe

secţiune. Prin utilizarea noţiunii de dispersie fenomenele difuziei

convective spaţiale şi plane se pot transforma în fenomene unidimensionale.

Ecuaţia diferenţială a dispersiei longitudinale a fost soluţionată

analitic pentru câteva cazuri simple.

Experienţele lui Elder pentru mişcări bidimensionale au stabilit

valoarea factorului de dispersie longitudinal

*09,5 vyDL ⋅⋅= (18.13)

respectiv

DL/Dy = 5,9/0,067 = 88.

Factorul de dispersie longitudinal este mult mai mare decât cel

transversal.

La poluări punctuale ale apelor curgătoare la început mişcarea

poluantului are formă de jet, apoi pe o lungime iniţială se deplasează ca

într-un difuzor, apoi se distribuie pe toată secţiunea. Vârtejurile transversale

şi mişcările elicoidale influenţează factorul de dispersie, precum şi

lungimea tronsonului iniţial.

18.2. CURGERI POLIFAZICE ŞI

MIŞCĂRI STRATIFICATE

În curburi naturale, canale şi conducte deseori se întâlnesc curgeri

de fluide eterogene. Chiar şi apa transportă materiale străine – chimic

organice sau anorganice, iar fizic în soluţie sau solide, în formă de granule,

(incluzând şi gheaţa). Prezenţa materialelor „străine” sub 2% permite

considerarea fluidului omogen, însă peste această valoare implică curgeri

bi-sau polifazice.

În industria chimică, a materialelor de construcţii, în minerit şi

prelucrarea minereurilor, în colectarea şi tratarea apelor uzate, manipularea

materialelor granulare se utilizează deseori transportul hidraulic sau

pneumatic. Mişcarea aluviunilor şi diferitelor formaţiuni de gheaţă pe

cursuri naturale sau în canale este tot o formă de mişcare bifazică. Se


prezintă succint mişcările fluidelor neomogene cu reliefarea aspectelor care

trebuiesc luate în considerare la astfel de curgeri.

18.2.1. Curgeri polifazice

Vorbim de curgeri polifazice dacă într-un mediu continuu se mişcă

în acelaşi timp şi medii în altă stare. Mediul continuu poate fi lichid sau

gaz, iar alte medii pot fi considerate solid, lichid sau gazos. Ex: împreună

cu apa se mişcă şi / sau particule solide, bule de gaz şi / sau picături de

lichid imiscibil cu apa, sau în curentul de aer se mişcă şi / sau particule

solide şi / sau picături de lichid. Dacă fazele fluidelor în mişcare se separă

după densitate, curgerea este stratificată.

Fluidul bi – sau polifazic poate avea comportări diferite în curgere:

de fluid newtonian: Bingham, pseudoplastic, plastic sau dilatant.

Dacă fazele constituente ale fluidului în mişcare nu au interacţiune

chimică se poate vorbi de curgerea unui amestec; totdeauna există o

diferenţă între vitezele fazelor amestecului. În funcţie de caracteristicile

fazelor constituente şi viteza medie a amestecului se disting curgeri

suspensionale în amestec omogen (concentraţia masică uniform distribuită

pe secţiune) şi un amestec eterogen (concentraţia masică neuniformă),

respectiv curgeri cu diferite formaţii de fund (mobile sau imobile) şi

suspensie eterogenă deasupra.

După Graf, Acaroglu, Wiedenroth delimitarea tipurilor de curgere

sub presiune ale amestecului de apă - aluviuni este în funcţie de viteza

medie a amestecului, de pierderi de energie (fig. 18.1).

Fig. 18.1. Delimitarea curgerii

amestecului bifazic:

1. în suspensie omogenă

2. în suspensie eterogenă 3. în suspensie şi transport de

fund mobil 4. în suspensie, transport de

fund şi depuneri 5. de înfundare (colmatare)

1

2

3

4

5

log v

1 vcr 10

regim dedepunere

regim de trans. in

1,0

0,1

0,01

concentratie

diminuata

concentratie

constanta

I c

I n

log In

suspensie


Asemănător este transportul pneumatic, faza purtătoare fiind un gaz

(aer), iar a doua fază particule solide. La mişcări bifazice de lichid – gaz a

doua fază este formată din bule de gaz (la transport eterogen concentraţia de

gaz pe verticală este invers dispusă faţă de solid).

La transport polifazic sunt de soluţionat mai multe probleme de

bază, printre care se pot menţiona:

- distribuţia spaţială a fazelor constituente;

- definirea vitezei amestecului şi fazelor constituente;

- viteze limită (de transport suspensional şi de înfundare);

- pierderi de energie în mişcare;

- realizarea şi menţinerea amestecului ş.a.

Aceste probleme se pot soluţiona, în general, pe două căi: prin

descrierea statistică a mişcării particulelor elementare sau prin analiza

mişcării amestecului, ambele transcrise în simbolism matematic.

La studiile anterior menţionate este necesară cunoaşterea

următoarelor proprietăţi ale particulelor elementare (particule solide sau

bule de gaz): dimensiunile particulelor, curba granulometrică, mărimea

hidraulică (viteza de sedimentate) a particulelor solide sau de ascensiune ale

bulelor de gaz, forma geometrică a particulelor.

Legile generale ale mişcării pot fi stabilite pe bază de bilanţ, cu

definirea corectă a mărimilor intensive şi extensive şi prin scrierea unui

număr suficient de ecuaţii.

Mişcărilor bi – sau polifazice le rămâne valabilă relaţia lui Chézy

însă gradientul hidraulic (panta liniei energetice) diferă faţă de mişcarea

fluidului omogen.

18.2.2. Curgeri stratificate

Curgerea fluidelor cu densităţi diferite (imiscibile) în câmp

gravitaţional conduce la separarea fazelor, mişcarea devenind stratificată.

Dacă diferenţele de densitate sunt considerabile (gaz şi lichid) uneori chiar

se pot neglija influenţele reciproce (curgerea apelor uzate în reţele de

canalizare). Dacă diferenţele de densitate sunt mici şi curgerea puternic

turbulentă apar dificultăţi de stabilire a suprafeţei de separaţie.

Curgerile stratificate apar datorită diferenţelor de temperatură

(curenţi marini, curenţi în lacuri de răcire), conţinutului de aluviuni, sare. În

acest caz se poate vorbi de curgeri în două sau mai multe straturi sau

curgere de fluid cu densitate continuu variabilă.

Cea mai simplă curgere de acest tip este curgerea în două straturi

(bistratificat). Suprafaţa de separaţie permanentă este linie de curent şi i se

poate aplica ecuaţia energiei.

Se poate arăta că pierderea de energie măsurată pe suprafaţa de

separaţie se calculează cu acceleraţia redusă a gravitaţiei

ggm

′=−

ρ

ρρ 12 (18.14)

cu ρ1 < ρ2, fiind densităţile celor două fluide iar ρm densitatea medie.

Curgerea stratificată este caracterizată prin distribuţie diferită a

vitezei şi efortului unitar tangenţial faţă de curgerea fluidelor omogene.

La curgeri turbulente apare amestecul între straturi, iar fenomenele

de difuzie existente sunt greu de scris matematic.

18.3. MIŞCAREA ALUVIUNILOR

Deseori împreună cu apa curg şi materialele solide care, generic

sunt numite aluviuni. Originea aluviunilor este naturală sau artificială,

compoziţia minerală sau, ocazional, organică. În curgeri se consideră

aluviunile de origine minerală, eventual la transport premeditat se consideră

originea lor organică cu caracteristicile aferente.

Problemele complicate ale provenienţei aluviunilor prin eroziune,

din bazinul de recepţie şi albii ale cursurilor naturale este tratată de

hidrologie.

În cele ce urmează aluviunile se consideră particule de roci sau

cristale ale mineralelor (grosiere şi fine).

În funcţie de mişcare se disting aluviuni de fund, care alunecă şi se

rostogolesc pe fundul albiei şi aluviuni în suspensie.

La aluviuni de fund problemele ridicate se referă la:

- stabilirea stării limită de antrenare şi mişcare din poziţie statică;

- determinarea cantităţii de aluviuni de fund.

La aluviuni în suspensie problemele se referă la:

- determinarea distribuţiei concentraţiei de aluviuni în suspensie;

- stabilirea cantităţii de aluviuni transportate în suspensie (debitul

de greutate sau volumic).

O formă aparte a mişcării aluviunilor în cursuri de apă importante

este migrarea „recifelor de aluviuni, de bare fluviale”.

Pentru descrierea mişcării trebuie avut în vedere astfel de parametri

care să caracterizeze ambele tipuri de aluviuni, dar şi materialul albiei. Este

importantă caracterizarea particulelor de aluviuni individuale, dar şi a

materialului aluvionar în ansamblu.

18.3.1. Caracterizarea aluviunilor prin

prisma transportului hidraulic

Din punct de vedere al mişcării aluviunilor prezintă importanţă

mare: densitatea (greutatea specifică) lor, mărimea, forma geometrică şi

distribuţia lor pe dimensiuni, mărimea lor hidraulică (sau viteza de

sedimentare), forţele care acţionează particula în curentul de lichid.

10. Densitatea aluviunilor

Masa, respectiv greutatea specifică, este dependentă de natura

materialului transportat şi variază în limite largi: de la bule de gaz, lemn,

minerale etc (la transport industrial).

În cazul aluviunilor naturale, de provenienţă minerală 3 t/m8,2...1,2=sρ , dar în râuri cel mai des 3 t/m65,2=sρ , această ultimă

valoare fiind frecvent utilizată în calcule. Uneori se utilizează densitatea

relativă faţă de densitatea fluidului purtător ρρ /s , sau densitatea relativă

submersă 1/ −ρρ s .

20. Forma şi mărimea geometrică a aluviunilor

Geometric, ca formă şi mărime, aluviunile sunt neuniforme.

Înlocuirea formei reale cu cea sferică nu este suficientă (deşi este indicat a

se folosi o singură mărime geometrică caracteristică).

20. a. Mărimea particulei

Este general acceptată caracterizarea mărimii particulei pentru

unul din dimensiunile liniare de mai jos:

- diametrul de sedimentare – diametrul particulei sferice de

densitate egală cu particule naturale având ambele aceeaşi viteză de

sedimentare;

- diametrul de sitare – latura ochiului pătratic de sită prin care

tocmai trece particula naturală;

- diametrul nominal – diametrul sferei de volum egal cu al

particulei naturale.

Cel mai uşor diametru de stabilit este cel de sedimentare şi de sitare.

De obicei pentru d < 0,1 mm se utilizează diametrul de sedimentare, iar

pentru d ≥ 0,1 mm diametrul de sitare.


20. b. Forma particulei

Convenţional forma particulei se caracterizează prin „sfericitate”,

ca raportul între suprafaţa particulei şi a unei sfere de volum egal cu cel al

particulei. Pentru nisipuri sfericitatea este apropiată de 2.

Coeficientul de formă Heywood este raportul dintre volumul

particulei şi diametrul la puterea a treia a cercului înfăşurător al proiecţiei

particulei în poziţia cea mai stabilă:

3d

wk p

= (18.15)

Particulele sferice au 524,06/ == πk , iar aluviunile naturale k~0,4.

În studiul teoretic al mişcării particulelor individuale acestea se

asimilează cu sfere sau elipsoide fictive de volum echivalent.

Calitatea suprafeţei particulelor prezintă importanţă în definirea

rezistenţei de înaintare a lor în fluid şi a fenomenelor de abraziune.

20. c. Caracterizarea geometrică a ansamblului de aluviuni

Aluviunile fiind neomogene, ca mărime şi formă, ele în ansamblu

se caracterizează prin curba granulometrică, repartiţia relativă a masei

particulelor pe mărime. În calcule însă, nu se pot considera toate diametrele

din curba granulometrică, trebuie definit pentru tot materialul solid o

singură mărime: diametrul determinant. După diferiţi autori definirea diametrului determinant nu este

unitară şi în comparaţia rezultatelor sau utilizarea relaţiilor obţinute trebuie

ţinut seama de condiţiile considerate.

Astfel uneori diametrul determinant este considerat d50, sau d60,

sau media a 10 fracţiuni granulometrice dm = 0,1(d5 + d15 + ... +d95), sau a

9 fracţiuni granulometrice dm = (d10 + d20 + ... +d90) / 9, sau media

ponderată a diametrelor la procentele de greutate din curba granulometrică

∑∑

=ii

im dp

pd

/.

Diametrul caracteristic dc se defineşte pe baza curbei

granulometrice, construită în scară aritmetică, astfel ca suprafeţele haşurate

din fig. 18.2 să fie egale.


b

a

As

Ai

Diametru (mm)dc

Procente cumulate

de greutate

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

Fig. 18.2. Definirea mărimii şi neuniformităţii aluviunilor

pe baza curgerii granulometrice scalare

Repartiţia particulelor pe fracţiuni este caracterizată de coeficientul de neuniformitate, u = d60 / d10, sau de coeficientul de fineţe după

Schoklitsch f = a / b, ca raport a suprafeţelor de peste şi de sub curba

granulometrică în scări aritmetice (la compararea mai multor tipuri de

aluviuni scările graficelor trebuie să fie identice), sau coeficientul de

uniformitate după Kramer, uk = Ai / As, ca raport al suprafeţelor cuprinse

între verticala diametrului minim şi curbă granulometrică (în scară

aritmetică) împărţită de orizontala d50 în Ai şi As.

Definirea diferenţiată a mărimii geometrice a particulelor

îngreunează generalizarea relaţiilor fizice obţinute pentru deplasarea

aluviunilor în curentul fluid.

30. Mărimea hidraulică a particulelor

şi viteza lor de sedimentare

30.a. Mărimea hidraulică w0 a unei particule este viteza sa

uniformă de cădere într-un lichid în repaus teoretic infinit sub acţiunea

gravitaţiei la temperatură dată. Valoarea sa este descrisă de legea lui Stokes,

rezultată din condiţia limită când forţa de rezistenţă la înaintare se

egalizează cu greutatea submersă (Fr = G-FA), sub forma:

( )1/3

40 −= ρρ s

RC

gdw (18.16)

în care: Fr este forţa de rezistenţă la înaintare (cu cele două componente –

de presiune şi la frecare); G – greutatea particulei; FA – forţa arhimedică;


CR – coeficient de rezistenţă la înaintare; d – diametrul particulei; (ρs / ρ-1) – densitatea relativă submersă a particulei. În regimul laminar de mişcare

CR = 24 / Res, cu ν

dws

⋅= 0Re , rezultând altă formă a legii lui Stokes.

( )1/18

2

0 −⋅

= ρρν

s

gdw (18.16’)

Legea lui Stokes este aplicabilă în următoarele condiţii:

- particulele solide au formă sferică;

- particulele sunt solide netede, nu există alunecare între particulă

şi fluid, ci frecarea este între stratul de lichid aderent şi lichidul exterior;

- sedimentarea are loc în fluid infinit;

- particulele sunt suficient de mari, ca faţă de mărimea lor fluidul

să poată fi considerat mediu continuu;

- rezistenţa de înaintare depinde numai de vâscozitate.

Prima condiţie în general nu este satisfăcută, următoarele trei pot fi

neglijate. Ultima condiţie este satisfăcută numai pentru particule cu

d ≤ 0,05 mm, (Res ≤ 0,1) însă practic se poate utiliza legea lui Stokes la

aluviuni naturale, cu ρs = 2,65 t/m3, până la d ≤ 0,08 m.

Pentru ρs = 2,65 t/m3 relaţia (18.26’) devine:

ν

2

0

dkw l= (18.16”)

Efectul temperaturii asupra mărimii hidraulice intervine major prin

coeficientul de vâscozitate.

Mărimea hidraulică a particulelor mai mari (în regimul de tranziţie

şi turbulent) se poate determina din relaţia:

( )dC

gw s

R

1/3

40 −= ρρ (18.17)

bazată pe egalarea greutăţii submerse cu forţa de rezistenţă la înaintare şi în

care CR(Res) este coeficientul de rezistenţă la înaintare a particulei

(fig. 18.3).


bile de cuartnisip naturalnisip de cuart

spartlaminar tr

anzitie

turbulent

CR

0,1 0,5 1 5 10 50 100 300

300

100

50

10

5

0,5

0,3

Res

Fig. 18.3. Coeficientul de rezistenţă la înaintare al particulelor solide CR = f(Res)

Efectul formei particulei (abaterea de la sfera teoretică) se poate

lua în considerare prin CR a coeficientului de formă Heywood, k.

30.b. Viteza de sedimentare w este viteza de cădere liberă a

particulelor solide în grup într-un fluid în repaus limitat. Astfel, viteza de

sedimentare este influenţată de concentraţia volumică de aluviuni şi

limitarea spaţiului. Pentru L / d = 100 (L fiind dimensiunea orizontală a

fluidului) viteza de sedimentare scade cu 2,5 % faţă de mărimea hidraulică,

astfel că, în cazuri practice acest efect se poate neglija.

Efectul concentraţiei volumice asupra vitezei de sedimentare este

exprimată de:

w / w0 = (1 – C)n (18.18)

cu n = 2,5...4,5 (Maude şi Whitmore, J. Florea şi Robescu).

40. Forţele care acţionează asupra particulelor solide

în curent de fluid.

Asupra unei particule solide aflată într-un curent de fluid orizontal

acţionează forţe statice şi dinamice. Forţele statice sunt: greutatea G şi

forţa arhimedică FA. Forţele dinamice se datoresc acţiunii fluidului în

mişcare. Pentru curgeri unidimensionale şi permanente forţele dinamice se

compun din: rezistenţa la înaintare FR; portanţa FP; forţa laterală FL – cu

două componente Fgv (datorită gradientului de viteză pe secţiunea normală

a curentului) şi forţa Magnus FM (datorită rotaţiei particulei în curent) –

forţa de frecare FF etc. (fig. 18.4). Greutatea în fluid a particulei generează

tendinţă de depunere; rezistenţa la înaintare este forţa motrică de transport,

portanţa şi forţa laterală au tendinţa de a aduce particula spre centrul

curentului. În funcţie de dimensiunea particulei unele din aceste forţe sunt

predominante şi ele se reduc la o rezultantă şi un moment.

Fig. 18.4. Forţele care acţionează

asupra unei particule solide

într-un curent unidimensional

Forţele statice (greutatea şi cea arhimedică) se exprimă sub forma:

( )ρρ −⋅=− spA gWFG (18.19)

Forţele dinamice au expresiile:

- rezistenţa la înaintare:

Av

CF RR2

2

⋅⋅= ρ ; (18.20)

- portanţa:

Av

CF PP2

2

⋅⋅= ρ ; (18.21)

- forţa laterală datorită gradientului de viteză:

( ) 1Γ⋅−⋅= sgv vvF ρ ; (18.22)

- forţa Magnus:

( ) 2Γ⋅−⋅= sM vvF ρ ; (18.23)

în care: Wp este volumul particulei; ρs şi ρ – densitatea particulei solide şi a

lichidului purtător; A – suprafaţa proiecţiei particulei; vs şi v – viteza medie

a fluidului purtător şi particulei solide; Г – circulaţia vitezei pentru

conturul C al particulei; CR şi Cp – coeficienţii de rezistenţă la înaintare,

respectiv de portanţă.

Poziţia particulei solide în curentul de fluid depinde de Res,

referitor la viteza curentului principal, astfel:

- Res < 5,5 – toate orientările particulei sunt posibile;

- 5,5 ≤ Res ≤ 200 – orientare stabilă în poziţia rezistenţei maxime;

- Res > 200 - poziţie neprecizabilă.

δ

ω

C

F ,F ,F ,F

F

F

MG

F

u

v

x

zA p gv M

RR

Amestecurilor bifazice de lichid – solid totdeauna le este

caracteristică diferenţa vitezei medii a fazelor constituente

0≠−=∆ svvv (18.24)

În cazuri limită, când wv →→ sv ,0 , iar la începutul mişcării,

pentru 0 , =< santrenare vvv .

Diferenţa de viteză a fazelor se caracterizează prin „alunecarea”, A.

( )sFrFrf

s eavv //1

−⋅=−=A (18.25)

unde: Fr şi Frs sunt numerele Froude ale fazelor amestecului

gd

wFr

gh

vFr s

2

0

2

şi == .

18.3.2. Despre conceptul de concentraţie

Concentraţia este cantitatea unui element în unitatea de amestec,

iar indicele concentraţiei cantitatea unui element în unitatea de material

purtător. În cazul amestecurilor de solid – apă se disting concentraţiile: de

volum, masic şi de greutate, respectiv indicele acestor concentraţii. La

amestec de aluviuni – apă aceste noţiuni se definesc prin relaţiile, după cum

urmează:

1. a. Concentraţia de volum

C = Ws / Wh (18.26)

b. Indicele concentraţiei de volum

C’ = Ws / Wa (18.27)

2. a. Concentraţia de debit (volumic) sau de transport

CT = Qs /Qh (18.28)

b. Indicele concentraţiei de transport

CT’ = Qs / Qa (18.29)

3. a. Concentraţie masică – turbiditate

Cm = Ms / Wh (18.30)

b. Indicele concentraţiei masice

Cm’ = Ms / Wa (18.31)

4. a. Concentraţia de greutate

CG = Gs / Wh (18.32)

b. Indicele concentraţiei de greutate

CG’ = Gs / Wa (18.33)


S-au notat: Ws, Wa, Wh - volumul de material solid, apă şi de

amestec; Qs, Qa, Qh – debitul volumic de solid, apă şi amestec; Ms - masa

solidului, Gs – greutatea solidului.

Ţinând seama de conservarea masei şi alunecare, dependenţa

reciprocă a acestor indicatori, pentru mişcări staţionare, este exprimată prin

expresiile:

( ) ( )

(18.40)

(18.39) (18.38) 1

C

(18.37) 1

(18.36) C-1

CC

(18.35) 1 (18.34) 1

1

T

CC

CCC

C

C

CC

CCC

CC

sG

sm

T

T

T

T

TT

⋅=

⋅=′

+

′=

′⋅−

′=

′

′=

−′=⋅−

−=

γ

ρ

A

AA

A

Analiza relaţiilor arată că la amestecuri eterogene datorită

imposibilităţii de omogenizare a densităţii fazelor constituente (excepţie

ρs = ρa) şi a existenţei alunecării, concentraţia de volum totdeauna este

superioară concentraţiei de transport.

18.3.3. Ecuaţiile fundamentale ale mişcării aluviunilor

10. Forţe critice de antrenare

Du Boys în 1879 a introdus noţiunea forţei de antrenare a

aluviunilor, care, prin efortul tangenţial de fund, explică mişcarea

aluviunilor. Efortul tangenţial de fund este

Ih ⋅⋅= γτ 0 (18.41)

unde: γ este greutatea specifică a apei, h – adâncimea apei, I – panta

suprafeţei libere.

Expresia forţei de la antrenare după Du Boys ţine seama numai de

frecările pe fund, nu şi de forţele interne ale curentului de antrenare a

aluviunilor (datorită pulsaţiilor turbulente).

Deşi azi teoria Du Boys este depăşită, expresia forţei de antrenare

este un parametru important în caracterizarea curgerii în albii. Pe baza

relaţiei Du Boys rezultă teoria clasică a forţei, respectiv, efortului tangenţial de antrenare.


Forţa de antrenare, proporţională cu proiecţia particulei de

diametru d, IHd

FH ⋅⋅⋅

⋅= γ

πφ

4

2

, egalată cu greutatea submersă

( )γγπ

−⋅

= s

dG

6

3

permite stabilirea efortului critic

( )γγτ −⋅⋅= sc dfc (18.42)

unde fc (factorul de rezistenţă adimensional) este constant.

Astfel, antrenării unei particule de diametru d şi densitate

submersă (ρs – ρ) îi corespunde o forţă constantă.

Pentru calcule aproximative încă pot fi folosite relaţii bazate pe

teoria forţei de antrenare constante, astfel pentru particule cu ρ = 2,65 t/m3

şi d ≥ 0,0145 cm.

τc = 7,593·10-4·d (N/cm

2)

şi d ≤ 0,0145 cm

τc = 1,785·10-4·d

0,118 (N/cm

2)

diametrul fiind exprimat în cm.

Experimentările lui Shields au arătat că pentru particule de

diametru d şi densitate ρs în curent de apă de adâncime h şi pantă hidraulică

I – efortul critic de antrenare depinde de viteza de frecare la perete

ghIv =* , respectiv factorul adimensional fc depinde de numărul

Reynolds calculat cu viteza de frecare şi diametrul particulei

( )

( )ss

c Fdv

Fd

fc ∗=

⋅=

−= Re*

νγγ

τ (18.43)

20. Viteze critice de antrenare

Starea limită de echilibru a aluviunilor, pe lângă forţele de

antrenare, se poate caracteriza şi prin viteză (medie sau de fund), iar teoria

bazată pe viteze critice este teoria impactului. Apa în mişcare dezvoltă un

impact asupra particulei de diametrul d proporţional cu proiecţia particulei

g

vdFH

22

4⋅⋅

⋅= γ

πφ

care, egalată cu greutatea submersă, permite calculul vitezei critice

( )1/ −⋅= ρρ sc gdconstv (18.44)

Pentru condiţiile date (tip de particulă monogranulară şi temperatură) viteza

critică este o constantă şi din acest considerent teoria impulsului se mai

numeşte teoria vitezei critice. În literatură se găsesc multe expresii ale

vitezei critice, exemple fiind:

- pentru aluviuni cu ρs = 2,61...2,65 t/m3 (Bogardi – Yen).

(cm/s) 30

(cm/s) 5,21

45,0

38,0

fund

cc

cc

dv

dv

⋅=

⋅=

cu dc în mm.

- pentru particule de cărbune măcinat cu:

- 0,1 < dc < 1,3 mm

27,0

fund 3,11 cc dv ⋅= (cm/s)

- 1,3 < dc < 4 mm

85,0

fund 10 cc dv ⋅= (cm/s)

Experienţele şi teoria lui Levi diferă de cele prezentate, viteza

medie critică fiind exprimată faţă de rugozitatea relativă a albiei d / h

(d – mărimea particulelor, h – adâncimea apei) sub forma:

+=

d

hgdvc

714,1 (18.45)

pentru 10 < h / d < 60 şi

⋅=

d

hgdvc

7ln4,1 (18.46)

pentru h / d > 60.

Valorile vitezei critice din cele două relaţii ale lui Levi, pentru

h / d = 60 diferă foarte mult, subliniind că acestea pot doar aproxima

realitatea, însă evidenţiază modificarea vitezelor critice cu netezimea

relativă pe lângă alţi factori.

30. Cantitatea aluviunilor târâte

Cantitatea de aluviuni de fund (târâte), teoretic se poate determina

din combinarea capacităţii de transport a cursului de apă cu parametrii

specifici ai particulelor. Se poate presupune proporţionalitatea lucrului

mecanic necesar pentru mişcarea aluviunilor târâte cu cel efectuat de

curentul lichid, sau proporţionalitatea debitului de greutate de aluviuni cu

forţele de transport, respectiv puterea acestora.

Din ambele rezultă debitul aluviunilor târâte în interdependenţă cu

parametrii hidraulici ai cursului de apă.

Teoria lui H.A. Einstein, fizic demonstrată şi devenită clasică, se

bazează pe introducerea funcţiei de transport a aluviunilor târâte şi exprimă


mărimea şi cantitatea de aluviuni târâte în funcţie de debitul variabil de

lichid al cursului.

40. Transportul aluviunilor în suspensie

Noile teorii ale mişcării aluviunilor în suspensie au bază comună

cu forţele interne ale mişcării turbulente: amestecul turbulent datorită

pulsaţiilor de viteză echilibrează tendinţa de depunere şi menţine în

suspensie particulele aluvionare.

Aproximări apreciabile asigură teoria difuziei şi teoria

transportului turbulent de aluviuni, însă fiecare teorie cunoscută are

aspectele sale criticabile şi sunt în modernizare continuă. Introducerea

efectelor parametrilor hidrologici în compararea capacităţii de transport cu

cantitate reală de aluviuni în mişcare este de importanţă majoră. Parametrii

hidromecanici determină capacitatea de transport, aceasta însă este limita

superioară a aluviunilor posibile de transportat. Cantitatea reală transportată

însă totdeauna este inferioară capacităţii de transport şi este determinată de

parametrii hidrologici.

18.3.4. Mişcarea aluviunilor târâte

Particulele necoezive ale patului albiei în anumite condiţii de

curgere se mobilizează: de fapt sistemul de acţiuni (forţe) de antrenare

egalează forţele de stabilitate (de repaus). Nici azi tot mecanismul acestei

mişcări nu este stăpânit complet.

Limita de repaus – mişcare a particulelor este starea critică. La

creşterea vitezei lichidului particulele aluvionare se pun în mişcare patul

rămânând neted. La o continuă creştere a vitezei unitatea fundului se

destramă, luând naştere diferite formaţiuni de fund: rifluri, apoi dune – cu

pantă amonte dulce şi aval abruptă şi deplasare lentă spre aval. Riflurile şi

dunele sunt formaţiuni de fund de aceeaşi categorie, doar intensitatea lor

diferă.

Creşterea în continuare a vitezei conduce la netezirea albiei (ale

dunelor), o stare limită care, uneori, poate să şi lipsească. Apoi, la creşterea

vitezei se formează antidunele, valurile de la suprafaţă influenţând

transportul târât, patul devenind sinusoidal. Antidunele se mişcă lent spre

amonte.

Cu toate cercetările existente nici azi nu există o explicaţie

acceptabilă a dezvoltării diferitelor formaţiuni de fund.


10. Stările limită a miscării aluviunilor

Regimul de mişcare a aluviunilor tratează pe lângă stările limită –

de punere în mişcare, formarea riflurilor, dunelor, netezirea albiei,

antidunelor – şi debitul târât.

Se disting mai multe stări limită, iar acestea au fost determinate, în

general, grafic. În condiţiile date – aluviuni cu diametrul d, densitate ρs,

lichid de vâscozitate ν şi densitate ρ – studiile presupun că parametrii

stărilor limită sunt constanţi.

Delimitarea cantitativă a diferitelor stări de mişcare, de dezvoltare

a formaţiunilor de fund se poate efectua pe baza factorului albiei b

(numărul adimensional, Bogárdi)

∗∗

==⋅

=Frv

gd

Ih

db

12

(18.47)

care parţial corespunde cu factorul de rezistenţă adimensional fc al lui

Shields

( )ψ

ρρ1

1/1

=−= sbfc (18.48)

în care ψ este intensitatea cursului de apă (celelalte mărimi au fost definite

anterior).

Tot Bogárdi, prin metodele analizei dimensionale, a ajuns la

parametrul f0 care caracterizează stările limită ale transportului de aluviuni:

−

⋅

⋅= ∗

−1./ ; ; ;

3/13/20 ρρνν

s

dv

d

h

g

dFf (18.49)

Utilizând datele experimentale din literatură s-a obţinut:

NN

A

d

g

d

v

gdb

=

⋅==

−∗

13/13/21 βν

β (18.50)

unde A = ν2/3·d-1/3

. Pentru g = 9,81 m/s2 şi T = 20

0C rezultă

A = 4,691·10-3

cm, iar pentru ρs = 2,65 t/m3 şi N = 0,882.

Relaţia (18.50) reprezentată în fig. 18.5 delimitează mişcarea

aluviunilor cu diferite formaţiuni de fund.


rifluri

b=0,08523(d/A)0.882

0,1 2 4 6 8 2 4 6 8 20 40 60 80 2 4 6 8 2 310 10 100 1000

g

b=0,2102(d/A)

0,01

0,05

0,1

d

A ν=

d

2/3

Fr *

0,5

b=v2=

gd

1

*

1

10

20

30

b=4,585(d/A)

pat neted

0.882

b=2,844(d/A)

b=0,5829(d/A)

0.882

0.882

0.882

Repaus

ρ 3=2,65 t/m

10-1/3=

d (cm)

4,961. (cm)-3

s

dune

tranzitie

(neted)

antidune

T=20oC

b=12

Fig. 18.5. Zonarea formaţiunilor de fund în funcţie de factorul albiei constante

În baza legii rezistenţei albiilor aluviale Grade şi Ranga Gaju au

delimitat formaţiile de fund în funcţie de parametrii R /d şi I / (ρs / ρ – 1), R fiind raza hidraulică.

În funcţie de aceşti parametrii factorul fc de rezistenţă

adimensional, devine:

d

RIfc

s

⋅−

=1/ ρρ

(18.51)

produsul a două mărimi adimensionale.

Reprezentând grafic, în coordonate logaritmice, valorile

experimentale pentru diferite formaţii de fund (fig. 18.6) s-au putut trasa

limitele zonelor stării de repaus, rifluri şi dune, tranziţie şi antidune.

Se observă că limita stării de repaus are loc pentru fc = 0,05, care

în scară logaritmică face unghi de 45o şi corespunde forţei constante pentru

antrenarea aluviunilor. Dreptele de delimitare ale stărilor rifluri, dune cu

tranziţia, şi aceasta cu antidunele face unghi sub 45o cu orizontala ceea ce

arată că starea mişcării aluviunilor este variabilă chiar în cazul forţelor de

antrenare constante.


10 20 40 60 10 200 400 600 10 2000 4000 6000 10 20000 10

Tranzitie

Antidune

Repaus

Rifluri sidune

R/d

10-2

2 3 4 5

-310

10-4

-52 10.

ρρ

/s

-1I

τ(γ −γ)

=0,05ds

0

Fig. 18.6. Zonarea fracţiunilor de fund în raport cu parametrul I / (ρs / ρ – 1)

şi netezimea relativă

Numai forţa de antrenare singură nu poate caracteriza mişcarea

aluviunilor, aceasta depinde şi de alţi parametri: de netezimea relativă

(R / d) şi I / (ρs / ρ – 1) şi trebuiesc luaţi în considerare. De fapt forţele de

antrenare ale aluviunilor sunt variabile.

20. Forţa critică de antrenare

După cum s-a arătat efortul critic de antrenare τc, pentru aluviuni

cu diametrul d, densitatea submersă relativă (ρs / ρ – 1), este o mărime

variabilă cu ν

dv ⋅= ∗

∗Re (Shields). Conform constatările lui Garde şi

Ranga Raju că valoarea forţelor de antrenare depinde nu numai de produsul

pantă hidraulică – adâncime, se explică de ce efectele sunt diferite la acelaşi

produs (adâncime mare şi pantă mică, respectiv adâncime mică şi pantă

mare). Separat trebuie analizat efectul adâncimii, a pantei şi altor mărimi

hidraulice asupra efectului de antrenare.

Utilizând rezultatele experimentale din literatură s-a contat pe

exprimarea factorului de rezistenţă adimensional fc ca funcţii a trei

variabile, de forma:


⋅=

− d

h

g

dFfc ,

3/13/2ν (18.52)

şi

⋅=

−I

g

dFfc ,

3/13/2ν (18.53)

Calibrarea pe cale statistică a funcţiilor (18.52) şi (18.53) este:

275,2

000.620

−−

⋅

=

d

h

A

dfc (18.52’)

şi

66,0

89,0

8,57 IA

dfc ⋅

=

−

(18.53’)

cu 3/13/2 −⋅= gA ν .

Soluţia grafică a funcţiei (18.52’) din fig. 18.7 evidenţiază relaţii

practice între fc, d / A şi (h / d)c, mărimea din urmă fiind netezimea

critică.

h/d

2 3 40,0001

γ)(γ

-d

f =

1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10

2

345

80,001

0,018

543

2

2

345

80,1

1,08

2 -1/3

2/3

=1

g

v d

-1/3

2/3

=10

g

v d-1/3

2/3

=100

g

v d

c

2

(h/d)

1,96

f =

c

2

(h/d)

1103

f =

c

2

(h/d)

620000

f =

-2-2,75f =620000(d/A) (h/d)

Inceput miscare

c

τ

1

cc

Fig. 18.7. Factorul de rezistenţă adimensional în funcţie de netezimea relativă


Graficul funcţiei (18.53’) din fig. 18.8 stabileşte panta hidraulică

critică (Ic) pentru care particulele necoezive intră în mişcare.

I0,00001

γ)(γ

-d

f =

2

345

80,01

0,18

543

2

2

345

81,0

8

2Inceput miscare

τ

1

cc

.0,66

f =57,8 I

.0,66

f =7,46 I .

0,66

f =1,28 I

-1/3

.2/3

=1

v g

d

-1/3

.2/3

=10

v g

d

-1/3

.2/3

=100

v g

d

cf =57,8(d/A) I-0,89 0,66

cc

c

2 3 4 5 6 8 0,0001 4 6 8 0,001 2 4 6 0,01 2 4 8 0,1

Fig. 18.8. Factorul de rezistenţă adimensional în funcţie de panta hidraulică

Relaţiile (18.52’) şi (18.53’) realizate în condiţii de laborator au

fost confirmate prin măsurători în cursuri naturale (Dunăre) pentru particule

de diametru 20...40 mm urmărite prin marcaj izotopic, însă au evidenţiat şi

faptul că la debite foarte mari şi pante mici trebuiesc introduse noi forme de

relaţii.

30. Viteze critice

Asemănător cu legea efortului de antrenare constant (teoria

frecării), după teoria clasică a impactului, pentru o particulă cu diametrul d

şi densitate ρs cunoscute îi corespunde o anumită viteză critică vc,

exprimabilă prin complexul adimensional care devine tot o mărime

variabilă:

( )1/ −

=ρρ s

c

gd

vNe (18.54)


Neill a caracterizat mişcarea prin complexul adimensional al

mobilităţii (un număr Froude)

( )1/

12

−⋅

⋅=

ρρ sc

c

dg

vNe (18.55)

şi a determinat variabilitatea acesteia cu rugozitatea relativă dc / h.

Complexul adimensional (18.55) este măsura vitezei critice pentru particule

date, deci este variabilă cu rugozitatea relativă. Rugozitatea albiei este dată

de particule încă în repaus.

Prelucrând datele experimentale din literatură s-a obţinut relaţia

între complexul adimensional de mobilitate şi rugozitatea relativă, sub

forma:

( )

2,02

5,21/

−

=

− h

d

d

v c

sc

c

ρρ (18.56)

din care în condiţii date rezultă viteza critică de antrenare.

Vitezele critice pentru particule solide date sunt variabile; ele

depind de distribuţia vitezei şi pulsaţia acesteia. Experimentele de laborator

au arătat că pentru particule cu dc > 1...2 mm vitezele critice depind şi de

lăţimea albiei.

Viteza critică se mai caracterizează prin complexul adimensional

( )1/

0−

=ρρ s

c

gh

vB (18.57)

în care se evidenţiază adâncimea apei. Variaţia complexului adimensional

B0 în funcţie de netezimea relativă h / d şi d / A corespunde fig. 18.9,

rezultând o corelaţie strânsă între aceste mărimi.

( )

405,0

7,11/

−

=

− d

h

gh

v

s

c

ρρ (18.58)

La definirea vitezei critice trebuie luată în considerare şi panta

hidraulică I care se face prin complexul adimensional

∗

==v

v

ghI

vB cc

c , (18.59)

care calibrată devine:

6,18,1

61044

⋅

⋅== −

∗ d

h

A

d

v

v

ghI

v cc (18.60)


h/d

2 3 40,01

1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10

2

345

8

0,1

18

543

2

2

345

810

8

2

1/3=1;

v g

d

2/3h/d=1680; B =0,085.

B =0,085.h/d=250;2/3

d

v g=10;

1/3

1/3=100;

v g2/3

h/d=35;dB =0,085.

0

0

0

c

(ρ /ρ−1)

-0,405=1,7 (h/d)

gh

v

s

1/3v g

d

2/3=d/A

0c

(ρ /ρ

−1)

B =

gh

v s

10

1

100

Fig. 18.9. Graficul ( )

3 t/m65,2pentru

1/==

−

s

d

hf

sgh

cvρ

ρρ

Graficul din fig. 18.10 permite stabilirea vc / v* la diametrul d al

particulei, adâncime h şi temperatură dată, apoi din fig. 18.7 se obţine:

( ) ( )d

Ih

dfc

ss

c

1/ −

⋅=

−=

ρργγ

τ (18.61)

din care rezultă panta critică Ic.

h/d

2 3 411 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40 50 80 10 200 300 500 800 10 2000 10

2

345

810

1008

543

2

2

345

81000

8

2

*

v

ghI

=v /v

cc

1,6

c v /v =0,175 (h/d)

*

1,6

c v /v =0,00278(h/d)

*

1,6

c v /v =0,000044(h/d)

*

=100

d -1/3

2/3

v g

=10

d -1/3

2/3

v g

=1

d -1/3

2/3

v g

1/6

(h/d)1/8

-1/32/3 )v g

d(

*v /v =0,000044c

Fig. 18.10. Graficul

=

d

hf

ghI

cv


40. Debitul aluviunilor târâte

Debitul specific solid târât (de greutate, masă sau volum) se poate

stabili:

- cu ajutorul relaţiilor teoretice;

- pe baza experienţelor de laborator şi

- prin relaţii empirice calibrate în urma măsurătorilor în natură.

Cele mai răspândite relaţii teoretice sunt după Kalinske şi Einstein,

cele experimentale după Schoklitsch, Egiazaroff şi Meyer – Peter, Müller.

Din punct de vedere al fundamentării fizice relaţiile Einstein şi Meyer –

Peter, Müller sunt cele mai potrivite.

Parametrii caracteristici ai transportului târât după Einstein sunt:

( ) ( ) 2/132/11/

−−⋅⋅−= dg

qs

s

t ρργ

φ (18.62)

şi

( ) ( )

00

11/

f

d

Ih

d ss =

−=−

⋅=

τ

γγρρψ (18.63)

prima ecuaţie fiind intensitatea transportului de aluviuni, iar a doua

intensitatea curgerii.

Relaţiile între ψφ şi sunt aproximate prin funcţii putere

33,3014,0 −⋅= ψφ

sau funcţii exponenţiale

ψφ ⋅−⋅= 391,0150,2 e

Toate relaţiile fundamentate fizic şi matematic pot fi exprimate în

funcţie de parametrii transportului târât după Einstein. Astfel relaţia Meyer

– Peter, Müller după Ning Chien este:

2/3

188,04

−=

ψφ (18.64)

Utilizând notaţiile:

dvv

qq

s

tt

⋅⋅=

∗

∗ (18.65)

şi

( )ds γγ

ττ

−=∗ 0 (18.66)


Garde şi Albertson au exprimat relaţia Meyer – Peter sub forma:

( ) ( ) 2/32/1188,04 −⋅=⋅ ∗∗∗ ττtq (18.67)

Parametrul ∗tq este identic cu parametrul lui Kalinske, iar ψτ /1=∗ arată

legătura cu relaţia (18.63).

Analiza comparativă a şapte relaţii pentru debitul târât pentru patru

râuri (după Vanoni) a evidenţiat şi abateri de peste 100%. Se consideră însă

că debitul târât exprimat de funcţia ψ se bucură de cea mai mare încredere.

Analiza relaţiilor debitului solid târât interpretează fizic parametrii

fluxului. Astfel în parametrul φ după Einstein qs / γs este debitul specific

volumic, care raportat la d, (qs / γs·d) este o viteză, ca măsură a debitului

specific volumic al particulelor cu diametru unitar. Această valoare

raportată la viteza dinamică potenţială a lui Barr, ( )1/ −ρρ sgd exprimă

parametrul adimensional φ a lui Einstein.

Expresiile debitului solid târât conţin parametrii lichidului şi

solidului şi mărimi fizice calitative ale curgerii. Nu sunt luate în considerare

mărimile caracteristice turbulenţei, deşi acestea au influenţă majoră. Lipsa

lor din relaţii se datoreşte inexistenţei datelor experimentale.

Relaţii general valabile pentru debitul solid pot fi considerate

acelea care conţin mărimea particulelor, panta hidraulică, debitul lichid,

densitatea solidului şi lichidului, temperatura şi uneori chiar lăţimea albiei,

însă stabilirea unor astfel de relaţii întâmpină multe greutăţi.

Cel mai important parametru în definirea debitului solid târât este

intensitatea curgerii ψ a lui Einstein.

Dificultăţile studiului teoretic al transportului târât au condus la

măsurători în natură şi prelucrarea lor, însă precizia instrumentelor de

măsurat şi a debitelor lasă de dorit.

Cele arătate explică lipsa unei relaţii generale pentru debitul solid

târât. Relaţia Meyer – Peter, Müller are forma:

( ) ( ) 3/23/2

3/12/3

1/25,0074,0 sssg

p gg

dIhn

n⋅−

+−=⋅⋅⋅

ρρ

γγγγ (18.68)

în care np şi ng sunt coeficienţii de rugozitate după Manning pentru pat şi

granule (inclusiv microrelieful patului) şi gs – debitul solid specific de

greutate exprimat în N/s·m. Celelalte mărimi au fost definite anterior.

Coeficientul de rugozitate a patului este:

gg ghn λ/8/6/1= (18.69)


λg fiind calculat cu Re = 4h·v / υ şi d90 / 4h.

În practică sunt utilizate relaţii modificate (Schoklitsch, Meyer –

Peter, Einstein), orientative, de formele:

- Karausev

QdIhKG cb

s ⋅⋅⋅⋅= ∗χα (18.70)

- Bogàrdi

⋅′′=

⋅′=

⋅=

′′

′

bs

bs

bs

haG

vaG

QaG

(18.71)

- Haszpra

( ) ( ) 2/3mN/s cs dbIhag ⋅+⋅⋅=⋅ (18.72)

în care a, b, a’, b’, a”, b”, α, β, χ sunt coeficienţi.

Relaţia lui Simons defineşte debitul solid târât în funcţie de

formaţiunile de fund şi deplasarea lor, astfel:

( ) 12

1 Ch

vnq ds +−= (18.73)

în care: n este porozitatea aluviunilor; C1 – debit solid independent de

forma formaţiunilor de fund (C1 = 0 pentru fund total acoperit de dune);

vd – viteza medie de deplasare a dunelor şi h – adâncimea medie.

În timpul deplasării materialul solid târât îşi modifică granulaţia

prin uzură, abraziune, spargere, descompunere, solubilizare, selectare.

Prin modelare matematică a particulelor sferice şi mişcarea lor pe

sectoarele de râu Stelczer arată micşorarea diametrului prin:

31

3

001 kteddd tk −⋅−=∆ −

(18.74)

în care: ∆d (mm) este reducerea diametrului, d0 (mm) – diametrul iniţial,

t (ore) – durata mişcării, t1 (ore) – durata de staţionare, k1 (ore-1

) şi

k2 (m3/ore) parametrii de uzură ai aluviunilor.

18.3.5. Mişcarea aluviunilor în suspensie

Mişcarea aluviunilor în suspensie este descrisă de mai multe teorii,

însă, în cele ce urmează, se prezintă teoria transportului turbulent în

suspensie, considerată cea mai verosimilă.

Parametri ai concentraţiei şi debitului au fost prezentaţi parte în

18.3.1 şi 2, respectiv la 18.3.3.


La mişcarea aluviunilor în suspensie participă aluviuni fine,

provenite din eroziune şi care intră în mică măsură în compoziţia patului

albiei. De aceea debitul solid în suspensie efectiv este determinat de debitul

solid disponibil intrat în albie şi nu de capacitatea de transport. Debitul

solid în suspensie efectiv este deseori inferior capacităţii de transport şi

transportul în suspensie este atunci nesaturat şi nu se poate stabili prin

formule, ci prin măsurători directe. Problema care prezintă interes practic

este cea referitoare la depunerea aluviunilor în suspensie şi distribuţia lor pe

verticală.

10. Teoria transportului turbulent de aluviuni în suspensie

Distribuţia pe verticală a aluviunilor în suspensie se exprimă prin

concentraţia C(y), dependentă de distanţa de la fund. Într-o tratare mai

simplă distribuţia aluviunilor se poate deduce prin teoria difuziei turbulente.

Admiţând regimul staţionar, sub acţiunea gravitaţiei, în absenţa turbulenţei,

ar exista un flux descendent de particule solide, cu viteza w care ar micşora

concentraţia. Ea se menţine constantă cu un flux egal şi de sens invers prin

difuzia turbulentă, sub acţiunea componentei v’ a pulsaţiei vitezei.

Bilanţul aluviunilor în suspensie, conform fig. 18.11 se poate scrie

astfel:


al concentraţiei aluviunilor în

suspensie

( ) ( )wvdy

dy

dCCwv

dy

dy

dCC −′

⋅−=+′

⋅+

22

din care cu notaţia Ds = v’dy / 2 coeficient al difuziei turbulente se obţine:

h

y

dy

w v'

v'

v'+w

v'-w

C+dC/2

C(y)

C-dC/2


0=+dy

dCDCw s (18.75)

care pentru stare de echilibru este identic cu relaţia O’Braien – Christiansen

′⋅−= ∫

y

a s

a

D

dywCC ρexp/ (18.76)

în care Ds’ = ρ·Ds.

20. Relaţiile transportului aluviunilor în suspensie

Distribuţia concentraţiei pe verticală se exprimă în funcţie de cea

măsurată la distanţa a de fund Ca, conform relaţiei (18.76).

Integrarea ecuaţiei respective necesită cunoaşterea Ds’ = ρ·Ds.

În ipoteza că Ds’ este independent de y rezultă:

( )′−⋅⋅

−

= sD

ayw

a eCC

ρ

/ (18.77)

De fapt Ds’ este dependent de y şi stabilirea sa este una din

problemele dificile ale transportului în suspensie. În cazul schimbului de

impuls se cunoaşte coeficientul difuziei turbulente D’ = ρ D, însă proporţia

Ds’ / D’ nu este cunoscută. Azi este încă acceptat identitatea celor doi

coeficienţi. În această ipoteză valoarea sa se poate determina din relaţia

efortului unitar tangenţial

( )dy

dvDhyIh ′=−⋅⋅= /1γτ

sau

( )

dydv

hyIhDDs

/

/1−⋅=′=

′ γ (18.78)

Cunoscând distribuţia vitezei pe verticală, se poate determina

gradientul acesteia la o adâncime y respectiv DS. Relaţia (18.76) se

integrează, de obicei pe baza graficului funcţiei 1 / Ds’ = f(y – a). În lipsa epurii vitezei ridicate experimental se poate utiliza epura

teoretică Prandtl – Karman.

( )hyvv

v

mm

/ln1/

10

+⋅

+=χ

ρτ (18.79)

În acest caz gradientul vitezei devine:


y

ghI

y

v

ydy

dv

⋅=

⋅=

⋅= ∗

χχχ

ρτ /0 (18.80)

sau

−⋅⋅⋅=

h

yIHgyDs 1χ (18.81)

Coeficientul difuziei turbulente în apropierea fundului şi suprafeţei

libere este apropiat de zero, iar la mijloc este maxim.

Practic Ds poate fi înlocuit cu valoarea sa medie pe secţiunea Dsm

care este:

15

/0 ρτhDsm = (18.82)

După înlocuire (18.77) devine

−= ∫

y

a

a dyh

wCC

ρτ /

15exp/

0

(18.83)

Făcând substituirea adimensională

∗

===v

w

ghI

wwt

ρτ /0

(18.84)

şi efectuarea integralei (18.83) va fi:

−−

= h

ayt

a eCC15

/ (18.85)

Parametrul adimensional t ţine seama de mărimea particulelor

solide – prin viteza de sedimentare – şi de caracteristicile curentului – prin

viteza de frecare v*.

Cunoscând distribuţia concentraţiei şi legea distribuţiei vitezei se

poate determina debitul specific solid în suspensie.

( ) ( )∫ ⋅⋅=h

a

s dyyvyCq (18.86)

Relaţiile empirice pentru determinarea concentraţiei medii C şi a

debitului solid în suspensie sunt legate de debit, viteză, pantă şi adâncimea

pe secţiune. Relaţiile au forma putere, formal asemănătoare cu (18.71).

Legătura debitului solid şi lichid este:

⋅=

⋅=

⋅=

QCQ

QCQ

QCQ

s

ms

s

γgreutate

masic (18.87)

30. Depunerea aluviunilor în suspensie

În cursuri naturale sau canale la scăderea vitezei sub o anumită

limită o parte din aluviuni în suspensie se depun producând înnămolirea.

Viteza medie din albie pentru care fenomenul se produce este viteza critică de înnămolire.

Această viteză nu se poate determina din teoria prezentată anterior.

Colmatarea se produce selectiv, după mărimea aluviunilor şi distanţa

parcursă în albie.

Vitezele critice de înnămolire apelează la relaţii empirice, dintre

care se aminteşte formula Zamarin:

- pentru w ≥ 0,002 m/s 5,1

216,0 RI

Cwv G

cr = (18.88)

- pentru w < 0,002 m/s 5

81,9 RI

wCv G

cr = (18.88’)

unde vcr este viteza medie (m/s); CG – concentraţia de greutate (N/m3);

w – mărimea hidraulică medie (m/s); R - raza hidraulică (m); I – panta

luciului apei.

18.3.6. Cazuri practice de mişcări bifazice lichid – solid.

În multe cazuri teoria mişcării aluviunilor găseşte aplicaţii practice

în diferite ramuri tehnice. Dintre acestea se menţionează hidrotransportul, colmatarea conductelor şi îndepărtarea aluviunilor din apele naturale prin sedimentare.

10. Hidrotransportul

Exploatarea şi transportul materialelor solide granulate pe cale

hidraulică (pneumatică) este una din metodele tehnologiei de azi. Este

aplicat nu numai în balastiere, lucrări de pământ, minerit, dar şi în multe

alte ramuri industriale.


Problemele de curgere ale hidroamestecurilor eterogene sub

presiune se referă la regimurile de transport, diferenţa de viteză a fazelor

hidroamestecului, viteza critică de antrenare, pierderi de energie, realizarea

energiei hidraulice pentru hidrotransport, realizarea amestecului etc.

10.a. Regimul de transport al aluviunilor în conducte orizontale

Aluviunilor din apă fiindu-le caracteristică mărimea hidraulică, la

transportul lor hidraulic avem de-a face cu amestec bifazic. Transportul

acestor amestecuri trebuie conceput ca o curgere în care exisă o acţiune

reciprocă a două medii, în rest independente, caracterizate prin aceea că

unul poate fi în repaus, iar celălalt în mişcare.

La amestecuri cu concentraţii mici vâscozitatea depinde

nesemnificativ de natura materialului solid, ea este dată de vâscozitatea

mediului purtător (vâscozitatea aparentă este mai mare la amestecuri

datorită densităţii acestora). La transportul amestecului bifazat fără

depuneri, cu concentraţii mici, fiecare particulă se mişcă independent,

urmând direcţia forţei rezultante (inclusiv forţele din ciocniri reciproce şi cu

pereţii). Dintre forţele care acţionează asupra particulelor numai unele sunt

preponderente, ele depinzând de mărimea granulelor de solid şi de

condiţiile de curgere.

Pentru mărimi de particule şi concentraţii date, în funcţie de viteză

există următoarele stări de transport (fig. 18.12):

- viteza de curgere este inferioară vitezei de antrenare, faza solidă

este în repaus pe fundul conductei, iar faza lichidă curge în spaţiul liber.

Este starea caracteristică regimului de colmatare (obturare);

- viteza fazei lichide din spaţiul liber este egală cu viteza de

antrenare, iar particulele din stratul superior al depunerilor neconsolidate

sunt rostogolite de curent. Avem regim limită de antrenare;

- creşterea vitezei fazei lichide implică antrenarea particulelor din

stratul superior la o deplasare în salturi. Se creează neuniformităţi în

depuneri (respectiv ale secţiunii de curgere), viteze ale lichidului şi salturi

de particule diferenţiate, neregularităţi accentuate ale depunerilor şi ale

secţiunii de curgere, regim de deplasare cu dune (depozite izolate),

- creşterea continuă a vitezei în conductă netezeşte stratul de

aluviuni, care parţial este în repaus, parţial alunecă (pat fix şi mobil

coexistent), totodată sunt şi particule care se mişcă în salturi şi în suspensie.

Este regimul de transport cu pat fix;


- mărirea vitezei mobilizează tot stratul de aluviuni într-o mişcare

lentă, existând o mare cantitate de particule ce se deplasează în salturi şi în

suspensie, regim de transport cu pat mobil;

- vitezele continuu crescânde implică creşterea pulsaţiilor turbulente,

care antrenează tot materialul aluvionar în suspensie şi mişcare în salturi.

Distribuţia materialului solid şi epura vitezei pe secţiunea conductei sunt

asimetrice (concentraţie mare şi viteză mică spre fund). În acest caz regimul

de transport este neuniform, cu amestec în suspensie eterogenă;

- vitezele care depăşesc substanţial pe cele de antrenare conduc la

profil de viteză axial cvasisimetric (sau simetric) şi o distribuţie a

concentraţiei de aluviuni nesimetrică, cvasisimetrică sau chiar simetrică.

Transportul este pseudo-omogen sau omogen.

Deducţii asemănătoare există pentru variaţia turbidităţii sau mărimii

particulelor, ceilalţi parametrii fiind menţinuţi constanţi. Pentru delimitarea

regimurilor de curgere există întocmite diferite abace, grafice.

7 6 5 4 3 2 1

z z z z z z z

v v v v v v v

mC mC Cm Cm mCmC mC

fig. 18.12. Regimurile de transport ale amestecurilor bifazice

10.b. Diferenţa de viteză între fazele hidroamestecurilor

După cum s-a arătat, la curgerile bifazice de lichid – solid

(hidroamestec) totdeauna există o diferenţă de viteză a fazelor constituente.

Particulele de solid, în funcţie de mărimea lor, sunt transportate

diferenţiat de curent în raport cu forţele preponderente. Pentru analiză se

consideră constantă densitatea şi cunoscută relaţia între dimensiunea

particulei şi mărimea sa hidraulică. Totodată, curentul lichid se consideră

turbulent şi grosimea substratului vâscos determinabilă.

Particula solidă este considerată mică dacă diametrul său este mult

inferior grosimii substratului vâscos, mare când diametrul său este mult

superior grosimii substratului vâscos. Particulele mijlocii se situează între

limitele anterior menţionate. Diametrul particulei, viteza apei şi solidului

sunt mărimi determinante în analiza următoare.


O particulă mică într-un curent de turbulenţă ridicată este rapid

accelerată datorită masei sale reduse şi rezistenţei mari la înaintare faţă de

pulsaţiile turbulente ale vitezei. Prin mişcarea sa particula ajunge şi în

substratul vâscos unde va fi frânată. Prin portanţă, forţele laterale şi viteză

de sedimentare se reîntoarce în curentul turbulent, unde este reaccelerată.

Fenomenul se repetă continuu. Din acest mecanism al mişcării rezultă

diferenţa de viteză între viteza apei şi cea a particulei, care poate fi

caracterizată prin alunecarea A (18.25).

Scăderea vitezei medii a amestecului atrage după sine frânări mai

dese, datorită creşterii grosimii substratului vâscos şi tendinţei mai

accentuate de sedimentare, deci alunecarea creşte. La viteze mari substratul

vâscos este subţire, practic se anulează forţa laterală datorită efectului

Magnus, iar particula ajunge mai rar în filmul laminar (este transportată mai

mult de curentul turbulent) şi alunecarea se micşorează.

Particulele de mărime mijlocie se comportă asemănător cu

particulele mici, însă au inerţie mai mare şi participă mai greu la schimbul

de impuls. Pe când o particulă mică este animată de pulsaţiile turbulente ale

unei viteze reduse, particulele mijlocii sunt antrenate spre traiectorii de salt,

mărindu-se alunecarea lor. Creşterea diametrului particulelor mici şi

mijlocii, pentru viteze constante de transport, implică creşterea alunecării.

Pentru particule mari forţele masice sunt considerabile şi ele sunt

transportate mai mult prin târâre, rostogolire şi saltaţie. Considerând

particula din fig. 18.4 pe generatoarea conductei, având diametrul

determinant d, în mişcarea de rostogolire cu viteza unghiulară ω şi de

înaintarea vs, când viteza medie a curentului este v, prin explicitarea

circulaţiei vitezei Г2 în funcţie de ω

ωπ

2

2

2

d⋅=Γ (18.89)

se obţine o forţă laterală datorită efectului Magnus

( ) ssM vdvvkF ⋅−⋅⋅= 2ρ

care se suprapune forţei arhimedice şi portanţei. Astfel particulele mari sunt

ridicate şi antrenate în curentul turbulent. Aici se micşorează (până la

anulare) forţa laterală şi particulele recad pe fundul conductei, descriind

traiectorii de saltaţie. Deplasarea particulelor mari este condiţionată

hotărâtor de forţa Magnus. Cum mişcarea acestor particule este puţin

influenţată de filmul laminar alunecarea lor este mai mică în raport cu

diametrul lor. Alunecarea particulelor mici şi mijlocii depinde hotărâtor de

mărimea lor hidraulică, însă la particule mari aceasta are importanţă redusă.


Forţele preponderente pentru particule mari diferă de cele pentru particule

mici şi mijlocii, deci şi mişcarea lor este guvernată de legi diferite.

S-a arătat că alunecarea depinde de viteza de curgere, de diametrul

particulelor şi mărimea lor hidraulică, de forţele de rezistenţă la înaintare şi

greutatea submersă. Totodată, creşterea diametrului conductei reduce

frecvenţa antrenării unei particule în substratul laminar, deci reduce

alunecarea. După cele arătate, în expresia alunecării intervine numărul

Froude al curgerii amestecului în conductă precum şi al particulei solide

(Fr = v2 / gD şi Frs = w2 / gd).

Deoarece creşterea vitezei atrage după sine micşorarea alunecării,

iar creşterea diametrului particulelor măreşte alunecarea, funcţia alunecării

va avea forma (18.25).

Între Frs şi d există relaţiile:

- regim laminar w0 = f(d2), deci Frs = f(d3) - regim de tranziţie w0 = f(d), deci Frs = f(d) - regim turbulent, zonă netedă w0 = f(d1/2), deci Frs = f(d1/3) - regim turbulent, zonă rugoasă w0 = f(d1/2), deci Frs = const.

Alunecarea unei particule pe un tronson de conductă orizontală

este determinată de numărul ciocnirilor de peretele conductei. La turbidităţi

mici numărul ciocnirilor este practic independent de numărul particulelor

prezente, deci alunecarea nu depinde de concentraţie.

Experienţe pentru şapte diametre de nisip cuarţos şi aluviuni

naturale (ρs = 2,6 t/m3) conduc la funcţia alunecării din figura 18.13,

respectiv ecuaţia (18.90)

A 25,05,0529,0

4975,0−⋅−⋅= sa FrFre (18.90)

care admite coeficient de corelaţie, r = 0,91.

*

*

* *

**

**

*

*

+

+++++ +

+

^

^ ^^ ^

^^

^^

^^

^

^

xx

x

xx

x

x

x

x

xx

xxx

xo

o

o

0

o

d(mm)aluviuni naturale0,4...0,80,3...0.40,2..0,30,16...0,20,10...0,160,063...0,10 <0,063

*

+

^

^^

o

oo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100,002

0,003

0,004

0,005

0,006

0,0070,008

0,0090,01

0,02

0,04

0,08

0,1

0,2

0,3

vg D

gdw.

0,5

a

A

Fig. 18.13. Graficul funcţiei de alunecare

Scăderea alunecării cu viteza de transport (a apei în cazul de faţă)

şi creşterea acesteia odată cu mărimea particulei este evidenţiată în figura

18.14 care indică viteza relativă (vs / va) şi alunecarea (A = 1-vs / va) pentru

particule cu d = 0,16...0,20 mm şi 0,3...0,4 mm.

Fig. 18.14. Viteza relativă a

celor două faze şi

alunecarea în funcţie de

viteza de transport şi

mărimea particulelor

d=0,16..0,2

d=0,3...0,4

v /vs a

A

1 2 3 4 5

0,8

0,9

1,0

0,0

0,1

0,2

va(m/s)

v /v

sa

=1-v /v

sa

A

10.c. Viteza critică de antrenare

O altă mărime importantă la curgerea bifazică de apă – solid este

viteza critică de antrenare, respectiv viteza critică de depunere, însă nu

există o defalcare clară între aceste două definiţii. Câteva relaţii specifice

pentru aceste mărimi sunt:

- după Ziulikov

λ

gCwvcr

802,0 25,0 ⋅⋅⋅= ; (18.91)

- după Jufin

63153 CDvcr ⋅⋅= ; (18.92)

- după Newitt, Durand, Condolios, Sinclair

( )1/ −⋅⋅= ρρ scr Dgkv (18.93)

- după Trains

( )

D

scr Ck

Dgv

⋅⋅

⋅−=

λ

ρρ 1/ (18.94)

unde: CD – este un coeficient după Durand şi Condolios. Mai există relaţii

asemănătoare elaborate de Robinson, Graf, Wilson, Howard, O’Brien,

Tarevski etc.

Din definiţia funcţiei de alunecare se poate defini viteza critică de

antrenare drept limita acestei funcţii când vs→0, pentru care se obţine:

( )

1/ =⋅ − sFrFrfea , (18.95)

deci viteza maximă a fluidului portant pentru care transportul solid este nul.

Din ecuaţia (18.90) conform (18.95) rezultă:

5,0

336,2

⋅=

d

Dwvcr (18.96)

Efectul concentraţiei volumice supra vitezei critice de depunere intervine

prin viteza de sedimentare în grup.

w / w0 = (1 – C)n (18.97)

unde w0 este mărimea hidraulică, w – viteza de sedimentare, iar n = 3,2.

Viteza critică de antrenare (respectiv de depunere) prezintă

importanţă în definirea colmatării conductelor şi a condiţiilor de spălare a

acestora.

Pentru particule cu d < 0,4 mm, cu mărimea hidraulică calculată

după relaţia Stokes rezultă:

( ) 2,35,075,0 12043 CDdvcr −⋅⋅⋅= (18.98)


iar pentru particule cu d ≥ 0,4 mm, cu mărimea hidraulică calculată după

Budryck:

( )12,157115,11 3

0 −⋅+= dd

w (18.99)

viteza limită a transportului suspensional este:

( )( ) 2,33

75,0

5,0

112,15710078,0 Cdd

Dvcr −−⋅+⋅= (18.100)

Relaţiile 18.98 şi 18.100 se racordează cu valorile experimentale

(fig. 18.15)

D(mm)250

200165150

125100

valori experimentale

5.10 10 2.10 5.10 10 2.10 5.10 10 2.10 4.10 8.10

0,01

0,05

0,1

0,5

1,0

2,0

d(mm)

Stoke

s

Wiede

nrot

h

-4 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -1

v(m

/s)

Fig. 18.15. Viteza critică de transport suspensional

10.d. Pierderi de energie la hidrotransport în conducte

Transportul hidraulic al solidului fiind în exclusivitate în

suspensie, pentru o curgere staţionară într-un tronson de conductă

orizontală de lungime ∆L, o particulă solidă trebuie să se afle pe aceeaşi

cotă medie (fig. 18.16). Transportul fără alunecare este caracterizat prin


viteza medie v, iar particulele solide prin mărimea lor hidraulică (sau viteza

de sedimentare) w0. Compensarea traiectoriei de depunere, corespunzătoare

mărimii hidraulice, permite calculul energiei necesare pentru menţinerea

particulei la cotă constantă,

( )L

hgwE spartpart

∆

∆⋅−=∆ ρρ (18.101)

Conform figurii 18.16:

v

w

L

h 0=∆

∆ (18.102)

şi ecuaţia (18.101) devine:

( )v

wgwE spartpart

0⋅−=∆ ρρ (18.103)

Pentru toate particulele din volumul de control rezultă:

( ) ∑⋅−=∆ partss Wv

wgE 0ρρ (18.104)

fig. 18.16. Transport solid în suspensie,

fără alunecare

Ţinând seama că ΣWpart = ws = C·W, pierderea de energie pentru

materialul solid este:

( )v

wgWCE ss

0⋅−⋅=∆ ρρ (18.105)

sau exprimată în pantă hidraulică,

( )v

wC

W

EI s

ss

01/ −=⋅

∆= ρρ

γ (18.106)

Panta hidraulică pentru faza lichidă (apă) este exprimată prin

relaţia lui Darcy – Weisbach,

g

v

DI a

2

2

⋅=λ

. (18.107)

∆

∆

v = v

w

L

s

o

1 2

1 2

h


Panta hidraulică pentru amestec fără alunecare este suma pantelor

hidraulice pentru cele două faze

( )v

wC

g

v

DIII ssah

0

2

1/2

−+⋅=+= ρρλ

, (18.108)

o valoare mai mare din punct de vedere teoretic nefiind posibilă. Exprimată

sub forma uzuală (18.108) devine:

ws

a

ah

v

wDg

IC

IIψ

ρ

ρ

λ=

−

⋅=

⋅

−3

012

. (18.109)

Se constată că pierderea suplimentară de energie pentru transportul

solidului este proporţională cu concentraţia de volum şi caracteristicile

materialului solid.

Curba pantei hidraulice, sumă a două pante – a apei (curbă tip

putere) şi a solidului (hiperbolă) – este tangentă spre extremităţi la curba

putere, respectiv hiperbolă (axa I). Curba sumă este continuă, iar la

extremităţi tinde la +∞. La valori finite ale vitezei, I este finit, deci funcţia

admite un minim. Alura pantei hidraulice în funcţie de viteză şi concentraţie

– la amestec fără alunecare, pentru conducte PVC – G, Dn 165 mm şi

aluviuni cu ρs = 2,59, w = 4,526·10-3 m/s, la υ = 1,2·10-6 m2/s este

prezentată în fig. 18.17.

0,03 0,04 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1 2 30,1

0,2

0,3

0,5

1,0

2

3

4

5

10

20

30

Cm (kg/m )

v(m/s)

Cm =0

20

10

5

2

1000 I

3

Fig. 18.17. Panta hidraulică pentru conducte din PVC – G, cu Dn 165 mm transportând

hidroamestec în diverse concentraţii, fără alunecare

În literatura de specialitate relaţiile deduse pentru panta hidraulică

a amestecului se referă mai mult la transportul fără alunecare.

Florea Julieta şi Robescu indică determinarea pierderilor de

presiune prin considerarea unui lichid echivalent pentru care coeficienţii λe, ke, γe, Ree se determină experimental. Tot aici, pe baza unui model

simplificat se obţine

+

−+⋅

=

h

sheeeeh v

wfC

g

v

D

kI 0

2

12

Reρ

ρ

ρ

ρλ , (18.110)

unde: f este un coeficient numeric ce ţine seama de frecare, f = k·f0, k < 1

fiind coeficient de atenuare, iar f0 = tg α0, α0 – unghiul de înclinare al

conductei pentru care particulele solide încep să alunece singure înapoi.

Determinarea parametrilor se poate efectua cu suficientă precizie, însă ke

ţine seama de şlefuirea conductei prin transport şi de eventuale depuneri

aderente care se estimează greu.

O altă relaţie dedusă pe cale semiteoretică este relaţia dată de

Newitt:

( ) Nsa

ah

v

wDgk

IC

IIψρρ

λ=−

⋅

⋅⋅=

⋅

−1/

23

(18.111)

Pierderea de energie la transportul hidroamestecului bifazic,

eterogen, cu alunecarea fazelor constituente este suma pierderilor distribuite

pentru transportul apei şi energiei necesare particulelor pentru compensarea

traiectoriei de cădere. Relaţia (18.108), valabilă pentru amestec omogen,

fără alunecarea fazelor, trebuie corectată, în sensul că fiecare fază este

caracterizată prin viteza sa medie. Astfel, ecuaţia (18.108) devine:

( )s

ssah v

wC

g

v

DIII 0

2

1/2

−+⋅=+= ρρλ

(18.112)

Aplicând ecuaţia de continuitate pentru transport suspensional, fără

depuneri, cu alunecare,

A·v + As·vs = Ah·vh (18.113)

şi ţinând seama de ecuaţia de definiţie a alunecării (A = 1 - vs / v), se obţine

viteza medie a apei şi solidului în funcţie de viteza medie a amestecului:

hvC

v⋅−

=A1

1 şi hs v

Cv

⋅−

−=

A

A

1

1 (18.114)


S-au notat: v – viteza apei; vs – viteza solidului; vh – viteza amestecului,

respectiv A, As şi Ah secţiunile corespunzătoare de curgere a apei, solidului

şi amestecului.

După înlocuirea vitezelor în ecuaţia pantei hidraulice teoretice se

obţine:

( ) h

shh v

wCC

g

v

CDI 0

2

2 1

11

21

1⋅

−

⋅−

−+⋅

⋅−⋅=

A

A

A ρ

ρλ (18.115)

Analiza ecuaţiei (18.115) arată că panta hidraulică creşte odată cu

alunecarea atât pentru faza lichidă cât şi solidă.

Exprimând panta hidraulică pentru transportul amestecului

eterogen cu alunecare sub formă uzuală se obţine:

D

d

gd

w

v

Dg

IC

II

h

s

a

ah ⋅⋅

⋅

−

−⋅=

⋅

− 0

2/3

21

1/2

A

ρρ

λ (18.116)

sau

B

a

ss

a

ah

Fr

Fr

D

d

IC

IIψ

ρρ

λ=⋅

−

−⋅=

⋅

−5,1

5,0

1

1/2

A (18.117)

În ecuaţia de mai sus valorile mărimilor Ia şi Fra se calculează cu

viteza medie a fazei lichide, v = vh(1 – A ·C)-1. Dacă sedimentarea

particulelor este influenţată de concentraţia volumică, sub forma (18.98),

funcţia ψB se corectează sub forma:

( )nBB C−=

′1ψψ (18.118)

Atunci şi în relaţia alunecării trebuie să ţinem seama de diferenţa între

mărimea hidraulică şi viteza de sedimentare a particulelor.

Alura pantei hidraulice păstrează forma din figura 18.17 însă

pentru o concentraţie masică dată se îndepărtează mai mult de panta

hidraulică a apei în funcţie de alunecare. Îndepărtarea curbei pantei a

amestecului de cea a apei este mai pronunţată la viteze mici, scăderea

vitezei conducând la creşterea alunecării.

Comparând relaţia semiteoretică a lui Newitt (18.111) cu ecuaţia

(18.117) se observă, că cele două relaţii sunt formal asemenea, respectiv

constanta k este definită prin:

D

dk

A−=

1

1 sau

( )D

dCk

n

A−

−=

1

1 (18.119)

În relaţia lui Newitt pentru amestecuri neomogene 2k / λ = 1100.


Minimalizând panta hidraulică pentru transportul amestecului

eterogen cu alunecare se obţine viteza optimă de transport sub forma:

( )( )

( )

3/1

0

1

1/1

min

−

−⋅⋅⋅⋅−=

AA

λ

ρρ sI

wDgCCv

h (18.120)

respectiv panta corespunzătoare acestei viteze:

( )

3/12

0

min 1

1/

2

3

−

−⋅

⋅=

A

ρρλ sh

wC

DgI (18.121)

Relaţiile (18.120 şi 18.121) sunt teoretice şi s-au obţinut prin extrapolarea

funcţiei (18.115) pentru orice viteză a amestecului. În realitate valoarea

vitezei vIh min poate fi inferioară vitezei critice de antrenare, caz în care

fenomenele de transport hidraulic urmează alte legi. Forma curbei pantei

hidraulice reale corespunde figurii 18.18.

Patulc criticd dunep neteds curat23,000c

16,400 d

8,200 d

4,900 d

2,300 p

1,350 s

1,252 s

0,877s

0,731 s

0,649 s0,518s

0,5 10 10

10

10Vcr

V(m/s)

I a

I

0 1

-2

-1

ψ

I h

Fig. 18.18. Panta hidraulică reală la curgerea hidroamestecurilor

10.e. Realizarea amestecului şi energiei pentru transport

Amestecul materialelor solide de transportat cu faza lichidă – apă –

se realizează diferenţiat, în funcţie de tehnologia aplicată, astfel:

- în bazine speciale cu agitatoare;

- cu amestec direct la săpare sub jet (tip hidromonitor);


- cu amestec direct al materialului solid dezlocat la săpare

mecanică sub apă;

- cu antrenare de material solid prin ejectoare.

Transportul propriu-zis al hidroamestecului prin conducte poate fi

realizat în circuit deschis sau închis. La circuit închis agentul de transport

este recirculat.

Din punct de vedere al energiei pentru hidrotransport aceasta se

poate realiza gravitaţional – dacă există diferenţă de cotă – sau prin

echipament hidromecanic – prin pompare. În ansamblu, energia hidraulică

pentru hidrotransport poate fi realizată prin pompare asupra

hidroamestecului sau asupra agentului de transport, în al doilea caz fiind

necesare instalaţii de încărcare.

În cazul pompării directe a hidroamestecului se utilizează pompe

speciale – volumice sau rotative. Organele maşinilor în contact cu

hidroamestecul sunt protejate cu materiale antiabrazive. Pompele de

hidroamestec au construcţie specială, numărul palelor rotorice este mai mic

(2...4 pale) şi de formă specială. Pompele de hidroamestec funcţionează

totdeauna înecat. Datorită uzurii durata lor de funcţionare este mică,

500...1000 ore (rar 2000 ore) şi randamentul lor energetic este cu 20...25%

inferior pompelor de apă curată.

În cazul pompării agentului de transport (apa) prin ejectoare are loc

transferul energiei hidraulice la particule solide sau se utilizează instalaţii

de încărcare complexe, de tipul instalaţiei cu camere de ecluzare sau

instalaţii cu tuburi de încărcare (fig. 18.20).

Instalaţia de hidrotransport cu încărcare prin camere de ecluzare –

fig. 18.19 – realizată în cadrul Institutului de Cercetări Hidrotehnice, are

următorul funcţional: materialul granular se aduce în stare uscată la partea

superioară a instalaţiei (cu banda transportoare sau cu cupe (6)) şi se

descarcă în rampa distribuitoare (7), care dirijează materialul solid

alternativ către camerele de stocare (5) la presiunea atmosferică. Din

camera de stocare, după închiderea clapetei (93) şi punerea camerei (5) sub

presiune de către sertăraşul (12), respectiv deschiderea clapetei (91),

materialul solid se transferă gravitaţional în camera de antrenare (4), de

unde prin jetul ejectorului (2), creat de pompe de apă (1) este antrenat ca

hidroamestec eterogen în conducta de hidrotransport (3) şi dus la distanţa

de transport, unde faza lichidă şi solidă se separă. Faza lichidă (apa) se

recirculă. Procesul este automatizat hidraulico – mecanic prin sistemul de

comandă cu program (11) având servomotor hidraulic, distribuitor şi verine

comandate. Materialul solid practic se „ecluzează” de la presiunea


atmosferică la presiunea necesară hidrotransportului, în „ecluză”, în camera

de antrenare a ejectorului realizându-se hidroamestecul.

Legendă:

1. Pompă de apă; 2. Ejector; 3. Conductă de

hidrotransport; 4. Cameră de antrenare;

5. Cameră de stocare; 6. Bandă transportoare;

7. Rampă distribuitoare; 8. Gură de

alimentare cu preaplin; 9. Clapetă de

închidere – deschidere; 10. Cilindru hidraulic

(servomotor); 11. Sistem hidraulic de

comandă cu program; 12. Sertăraş de

scoatere şi punere sub presiune a camerelor.

Fig. 18.19. Instalaţie cu camere de

ecluzare.

Schemă de principiu.

Concentrația volumică poate ajunge chiar peste 50%, crescând

randamentul energetic global pentru transportul solidului. Se pot transporta

materiale cu granulaţia maximă 1/5 din diametrul conductei de

hidrotransport. Evitarea înfundării instalaţiei presupune spălarea sa înainte

de oprire.

Materialele granulare fine se pot transporta hidraulic cu instalaţia

de hidrotransport cu tuburi de încărcare (fig. 18.20) care utilizează pentru

transport energia hidraulică a apei industriale creată de pompa de apă, cu

presiunea adecvată distanţei de transport. Încărcarea hidroamestecului se

realizează cu o pompă de noroi prin tuburi de încărcare. Reducerea

amestecării hidroamestecului cu apa industrială în tuburile de încărcare se

realizează prin sistemul „go-devil”.

Instalaţia din figura 18.20, realizată la Universitatea Politehnică

Bucureşti, lucrează secvenţial cu două tuburi de încărcare T1, T2. Are în

componenţă o unitate de încărcare a hidroamestecului (bazin de

hidroamestec – BH, pompă de noroi – PI şi reţeaua de aspiraţie şi refulare

aferentă acesteia), o unitate de pompare a apei industriale (bazin de apă


industrială – BAI, pompă pentru apă – PAI şi conductele de aspiraţie şi

refulare aferente), două tuburi de încărcare T1 şi T2 cu câte doi robineţi

fluture la fiecare capăt de tub de încărcare în derivaţie (V1...8), reţeaua de

hidrotransport – RHT, conducta de recirculare a apei industriale – CAI, go-devil – G şi robineţi de reglaj grosier – VRG. Robineţii fluture sunt

acţionaţi electromecanic (închis sau deschis) la comanda sesizării deplasării

go-devil la capăt de tub de încărcare.

Legendă:

BH – Bazin de colectare hidroamestec;

BAI – Bazin apă industrială; PI – Pompă de

înecare; PAI – Pompă de apă industrială;

T1, T2 – Tuburi de încărcare; RHT – Reţea de

hidrotransport; V1...V8 – Vane fluviale;

V1’, V2’ – Vană aspiraţie PAI, respectiv PI;

VRG 1, VRG 2 – Vană reglaj grosier debit PAI,

respectiv PI; CAI – conductă de recirculare apă

industrială; G – go-devil.

Fig. 18.20. Instalaţie cu două

tuburi de încărcare.

Schemă de principiu.

Instalaţia lucrează secvenţial, în două faze, în același timp un tub

se încarcă cu hidroamestec, celălalt se descarcă.

În faza I, tubul T1 are robineţii V3 şi V7 în poziţie deschisă; pompa

PAI alimentează tubul cu apă industrială împingând hidroamestecul din tub

în reţeaua de hidro-transport. Tot în această fază tubul T2 se încarcă cu

hidroamestec cu ajutorul pompei de noroi PI, robineţii V2 şi V6 având

poziţie deschisă. Apa industrială se recirculă. Faza I durează cât go-devil în

ambele tuburi ajunge de la un capăt la celălalt al tuburilor de încărcare (ele

au poziţie şi direcţie de deplasare opuse). Când go-devil trece prin secţiunea

de comandă senzorul emite semnalul de schimbare a stării robineţilor

BH

BAI

PI PAI

V'1V7 V1

RHT

L

Deversare

T2

V5 V3

V6 V4

V8 V2

1T

l

V'2

2T

1T

CA

I

VR

G 2

VR

G 1

Faza II

l

V8 V2

V6 V4

V5 V3

V7 V1

Faza I

VR

G 22

V'1T

BH

1T

PI

T22T

RHT

L

VR

G 1

BAI

CA

I 1V'

PAI

Deversare


fluture; V2, 6, 3, 7 se închid V1, 5, 4, 8 se deschid începând faza II al ciclului.

Tubul T2 se descarcă de hidroamestec, iar tubul T1 se încarcă.

La instalaţia de hidrotransport cu tuburi de încărcare concentraţia

de volum poate ajunge la 55% favorizând randamentul energetic global al

instalaţiei. Pompa de noroi este mai puţin solicitată, presiunea pentru

hidrotransport este realizată de pompa de apă. Ca dezavantaj se poate

aminti uzura robineţilor fluture V1...8, mişcarea nepermanentă la manevrarea

robineţilor, şi lungimea mare (rectilinie) a tuburilor de încărcare.

20. Colmatarea conductelor reţelelor

S-a specificat, că în multe situaţii viteza apei pe diferite sectoare de

conductă este inferioară celei de proiectare, pentru diferite perioade putând

fi chiar nulă. În aceste condiţii aluviunile din apă se depun, formând

depozite de diferite consistenţe. Existenţa carbonaţilor în apă poate

consolida depunerile dacă perioadele de stagnare sunt mari. Apa conţine şi

o serie de săruri, care în anumite condiţii de temperatură şi funcţie de natura

pereţilor conductei pot precipita, formând depuneri pe periferie. Depunerile

formate prin sedimentare şi precipitare se pot suprapune, dând naştere la

colmatări mixte. Chiar în cazul reţelelor îngropate, în conducte se dezvoltă

microorganisme (de natura algelor brune) care favorizează colmatarea

biologică.

Colmatarea, indiferent de natura sa, micşorează secţiunea de

curgere, modifică rugozitatea conductelor, măreşte pierderile de energie,

compromite uniformitatea distribuţiei presiunilor şi debitelor, îngreunează

şi scumpeşte exploatarea reţelelor de conducte şi deseori poate obtura total

secţiunea, scoţând din funcţiune tronsoane întregi.

20.a. Modele teoretice de colmatare

Aluviunilor din apă le este caracteristică mărimea hidraulică (sau

de sedimentare), care dacă nu este compensată de pulsaţiile turbulente ale

vitezei – pe planul normal al direcţiei de curgere – conduce la sedimentarea

selectivă în funcţie de mărimea lor. Întâi se depun particulele nisipoase,

apoi praful şi argila. Aluviunile se depun stratificat pe dimensiuni în

perioadele când viteza pe conductă scade sub valoarea vitezei de antrenare.

Când stagnarea are loc pe perioade scurte, aluviunile depuse nu se

consolidează, depunerile persistă într-o stare vâsco-plastică, iar creşterea

vitezei apei le antrenează în suspensie.


Conductele unei reţele sunt poziţionate în pantă şi contrapantă, iar

noroiul separat din apă (în stare vâsco-plastică) sub diferenţă de densitate

curge lent spre punctele de cotă inferioară în timpul debitelor nule pe

conducte.

Existenţa carbonaţilor în noroi şi apă, în perioadele lungi de

stagnare consolidează parţial aluviunile. La transportul apei brute există în

apă şi resturi vegetale, care au un adevărat rol de „armătură” şi îngreunează

mobilizarea depunerilor. Evoluţia colmatării este din aval spre amonte şi în

punctele joase.

20.b. Colmatarea prin sedimentare

La colmatarea prin sedimentare cu aluviuni consolidate, parametrii

geometrici ai secţiunii se modifică în funcţie de grosimea depunerilor

(fig. 18.21).

Fig. 18.21. Elementele secţiunii la colmatarea prin

sedimentare

Exprimând în funcţie de unghiul φ mărimea relativă a parametrilor

geometrici şi hidraulici (în raport cu situaţia necolmatată) – aria, perimetrul,

raza hidraulică şi gradul de colmatare – se obţine:

- secţiunea relativă,

( )ϕϕπ

sin2

11

0

−−=A

A; (18.122)

- perimetrul relativ,

π

ϕ

π

ϕ 2/sin

21

0

+−=P

P; (18.123)

- raza hidraulică relativă,

ϕ

D

D

-hh

d

0

A

b

A

0

c

0


( )

π

ϕ

π

ϕ

ϕϕπ

2/sin

21

sin2

11

0 +−

−−=

R

R (18.124)

- gradul de colmatare,

( )2/cos12

1

0

ϕα −==D

h, (18.125)

în care: unghiul φ este exprimat în radiani, mărimile cu indice zero

corespund conductei necolmatate, iar fără indice, situaţie colmatate.

20.c. Colmatarea prin precipitare

Precipitarea substanţelor din soluţie (carbonaţi, sulfaţi) pe pereţii

conductelor micşorează secţiunea de curgere şi măreşte rugozitatea.

Fenomenul are intensitate mai redusă şi grosimea stratului format este mai

mică. În special în cazul conductelor din oţel s-au observat precipitări de

1...3 mm, care se suprapun cu ruginirea. Elementele relative ale secţiunii de

curgere, conform fig. 18.22 sunt:

Fig. 18.22. Elementele secţiunii la colmatarea prin

precipitare

- secţiunea relativă,

2

00

=

D

D

A

A; (18.126)

- perimetrul, raza hidraulică şi gradul de colmatare

000 D

D

R

R

P

P===α . (18.127)

Colmatarea mixtă are loc, conform fig. 18.23, atât prin

sedimentare cât şi precipitare. Calculul elementelor relative ale secţiunii se

efectuează prin combinarea relaţiilor (18.122...18.127).

0 0

Dh

D


În perioadele de folosire intensă a conductei, depunerile

consolidate sunt erodate prin fenomenele de abraziune, iar grosimea lor se

micşorează. Eroziunea depunerilor este neuniformă şi astfel se creează

neuniformităţi pe conducte, chiar macrorugozităţi aleatoare.

Modificarea elementelor secţiunii de curgere şi a rugozităţii

conductelor majorează pierderile de energie în funcţie de gradul de

colmatare şi de creştere a rugozităţii.

Fig. 18.23. Elementele secţiunii la

colmatarea mixtă

Panta hidraulică este exprimată cu relaţia lui Darcy-Weisbach,

pentru care coeficientul λ este descris de o relaţie monomă de tip putere,

caracteristică turbulenţei de tranziţie, de forma:

a

b

k

Dc Re⋅

′=λ . (18.128)

Prin înlocuirea D = 4R şi v = Q / A, se obţine:

( ) 221 +−+−−+ ⋅⋅⋅⋅= ababaa QkARcI (18.129)

unde: c, c’, a, b , sunt constante, determinate experimental.

Particularizând ecuaţia (18.129), cu indicele zero pentru conducta

fără colmatare şi fără indice pentru situaţia colmatată, panta hidraulică

relativă este:

( ) baba

a

c

k

k

A

A

R

R

I

I−+−−+

⋅

⋅

=

0

2

0

1

0

(18.130)

Rezolvarea ecuaţiei gradului de colmatare (18.125 şi 18.127),

împreună cu (18.130), conduce la panta hidraulică a conductei colmatate.

Admiţând pentru λ relaţia Lamont T3, cu c’ = 0,2149, b = -0,129

şi a = -0,115, pentru colmatarea prin sedimentare, (18.130) devine:

129,0

0

885,1

0

244,1

0

⋅

⋅

=

−−

k

k

A

A

R

R

I

I

a

c , (18.131)

00

D

h'

Dh'

D

D-h

h

a

ϕ

b


iar pentru colmatarea prin precipitare

129,0

0

014,5

0

⋅

=

−

k

k

D

D

I

I

a

c , (18.132)

Se observă că relaţiile (18.131 şi 18.132) sunt supraunitare; la

limită, în situaţia necolmatată sunt egale cu unitatea, deci în cazul

colmatării pantele hidraulice cresc. Soluţionarea acestor ecuaţii este

înlesnită prin graficele din fig. 18.24 şi 18,25, pentru colmatarea prin

sedimentare, respectiv precipitare. Determinarea pantelor hidraulice în

situaţia conductelor colmatate presupune cunoaşterea creşterii relative a

rugozităţii şi a gradului de colmatare (separat pentru depunerile prin

sedimentare şi precipitare). Eventualele colmatări punctuale, la noduri sau

schimbări de pantă se compară asemănător cu rezistenţele locale.

1.0

0.95

0.90

0.85

0.80

0.75

0.70

0.65

0.60

0.55

0.50

0.45

0.4

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.1

0.05

01000

500

400

300

200

100

50

40

30

20

10

5

4

3

2

1

α= ba

ϕ0

hD

-h

0

D 0

kc kp

1.0

2.0

4.0

10.0

25.0

50.0

100.0

I caI

hα

=D

0

Fig. 18.24. Grafic pentru calculul pantei hidraulice pe conductele

colmatate prin sedimentare.


D 00

D 1

5

10

25

50

75

100

α=

0D

D

DD 0

α=aI

I c2.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

2.07.0

8.0

9.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

0.5

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

Fig. 18.25. Grafic pentru calculul pantei hidraulice pe conductele colmatate prin

precipitare

30. Decantarea în curent de apă cu suprafaţă liberă

Analiza decantării aluviunilor în suspensie în curent cu suprafaţă

liberă implică modificarea concentraţiei în timp şi spaţiu. Dintre rezolvările

existente se prezintă pe scurt soluţia lui Dobbins.

Modificarea în timp a concentraţiei într-un punct la distanţă

constantă de la fund, unde viteza v = dx / dt, este dată de ecuaţia:

y

Cw

y

CD

t

Cs

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

(18.133)

în care Ds este coeficientul de difuzie al suspensiilor. Ecuaţia a fost

rezolvată în cazul respectării următoarelor ipoteze:

- concentraţia în secţiunea de intrare este constantă;

- valoarea coeficientului de difuzie D şi viteza în bazin sunt

constante. Din acest considerent soluţia aproximează numai efectul negativ

al turbulenţei asupra decantării.

Camp a modificat forma soluţiei Dobbois, exprimând rata decantărilor. Excluzând posibilitatea antrenării în suspensie a materialelor

odată depuse, rata decantării se poate exprima în funcţie de trei parametrii

adimensionali: wH / 2D; w / w0 şi αn.

După Camp măsura decantării depinde de caracteristicile de

decantare a suspensiilor şi de particularităţile hidraulice ale bazinului de

decantare. Într-un bazin teoretic aluviunile se mişcă cu rezultanta vitezei

apei şi mărimii hidraulice, şi aluviunile de acelaşi fel se mişcă pe traiectorii

paralele. Toate particulele care au viteză de sedimentare w superioară lui

w0 – definită de lungimea L adâncimea H şi viteza v din bazinul de

decantare se vor depune – conform fig. 18.26.

L

H

a

b

cf

e

dv

w

v

w0

Fig. 18.26. Decantarea suspensiilor

Din particulele suspensiilor cu w < w0 numai o parte se

decantează, conform figurii, fracţia bc / ac. Tot din figură rezultă:

BL

Q

BL

VBH

L

VHw

⋅=

⋅

⋅⋅=

⋅=0 (18.134)

respectiv

Q

wLBwwr

⋅⋅== 0/ (18.135)

unde: B este lăţimea decantorului; Q debitul, iar r – fracţia de decantare.

Cantitatea w0 = Q / LB, cu dimensiunea vitezei , defineşte debitul

specific pe suprafaţa decantorului sau încărcarea de suprafaţă. Fracţia de decantare r este măsura decantării suspensiilor cu

w <w0. Cantitatea de suspensii decantate la debit Q dat depinde de

suprafaţa orizontală a bazinului decantor şi nu depinde de adâncimea H.

Încărcarea de suprafaţă w0 este de fapt viteza de sedimentare a acelor

mărimi de suspensii care se decantează în totalitate. Suspensiile cu w < w0

se decantează parţial.

α1,...,αn sunt rădăcinile reale pozitive în ordine ale ecuaţiei

transcendente

α

αα D

Hw

D

Hwctg 2

2

2

⋅

−⋅

= (18.136)

Fracţia de decantare r în funcţie de parametrii adimensionali

wH / 2D şi w / w0 corespunde familiei de curbe din fig. 18.27.

Utilizarea practică a graficului presupune cunoaşterea

coeficientului de difuzie D. Presupunerea D = const, implică, distribuţia

parabolică a vitezei în bazinul decantor. În aceste ipoteze, acceptând

calculul lui λ cu coeficient de rugozitate n = 0,024, parametrul

adimensional

00

0 1221221222 w

w

L

H

w

w

V

w

V

w

D

wH⋅=⋅== (18.137)

Soluţia Dobbins în interpretarea lui Camp permite dimensionarea

aproximativă a bazinelor decantoare.

0,1 0,2 0,4 0,6 1 2 4 6 10 20 40 60 1000

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0

1,5

1,21,11,00,90,80,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

=wwo

wH2D

r

Fig. 18.27. Diagrama Camp pentru dimensionarea decantoarelor


18.4. HIDRAULICA MIŞCĂRII GHEŢURILOR

În condiţii de iarnă, la temperaturi sub 0oC, de durată, în albii

deschise (artificiale, naturale) apare gheaţa, starea solidă a apei, care se

mişcă împreună cu starea lichidă (zai, sloi, gheaţă plutitoare) sau creează

condiţii speciale de mişcare în prezenţa podului de gheaţă. Mişcarea gheţii

este asemănătoare mişcării aluviunilor, zaiul poate fi comparat cu aluviunile

în suspensie, iar sloiurile şi gheaţa plutitoare cu aluviunile de fund, cu

specificaţia că densitatea gheţii este inferioară densităţii apei lichide care

schimbă direcţia de mişcare pe verticală.

Diferenţa fundamentală între aluviuni şi gheaţă este provenienţa

lor. În condiţii de iarnă albia, din punct de vedere al mecanicii fluidului,

este sursă (pozitivă sau negativă) de gheaţă.

Formarea, dispariţia gheţii, problemele sale termodinamice sunt

tratate de alte discipline (hidrologie, termodinamică).

Se prezintă pe scurt din punct de vedere hidraulic, mişcarea

zaiului, sloiurilor şi gheţii plutitoare, precum şi curgerea în prezenţa podului

de gheaţă.

18.4.1. Mişcarea zaiului

Zaiul poate fi privit ca material solid în suspensie, cu densitate mai

mică decât a apei, asupra sa acţionând rezultanta propriei greutății şi a forţei

arhimedice, cu orientare în sus. Presupunând că zaiul este format din

particule individuale de gheaţă (fără legături de coeziune sau adeziune),

mişcarea sa în curentul lichid este asemănătoare cu mişcarea aluviunilor în

suspensie şi i se poate aplica teoria sedimentării cu constatarea că tendinţa

aglomerării particulelor este spre suprafaţa liberă.

1

0. Mişcarea liberă a zaiului

Faza solidă (zai) fiind mai uşoară decât apa, mişcarea ei este

ascendentă. Conform teoriei suspensiilor Cartens-Vanoni, transportul de

particule de gheaţă pe unitatea de suprafaţă la distanţa y de fund, la

concentraţia C, sub acţiunea vitezei de ridicare wg este contrabalansată spre

direcţia gradientului de concentraţie negativ de către difuzia turbulentă.

Coeficientul de difuzie turbulent al particulelor de gheaţă (prin

analogie) poate fi considerat egal cu coeficientul de difuzie turbionar,

Dg ≈Dy.


Notând , pentru mişcări plane, wg=- w şi yj=h –y (fig. 18.11) se

obţine ecuaţia diferenţială caracteristică

j

gj dy

dCDwC −=⋅ (18.138)

care are soluţia (cunoscând pe Dg)

∗⋅

⋅−

−=

V

w

j

j

a

j

y

a

ah

yh

C

C χ)( (18.139)

în care a este o distanţă de fund unde se cunoaşte concentraţia de zai Ca,

iar χ -constanta lui Karman.

20. Mişcarea zaiului sub podul de gheaţă

Pariset şi Hausser au studiat mişcarea zaiului sub podul de gheaţă.

Ipotezele lor simplificatoare sunt:

- curgerea sub podul de gheaţă este permanentă, efectul malurilor

este neglijabil;

- la intrarea sub podul de gheaţă particulele de gheaţă ale zaiului au

aceeaşi viteză de ridicare w şi sunt uniform distribuite pe secţiune;

- particula ridicată până la podul de gheaţă se lipeşte de acesta şi nu

se mai mişcă;

- curgerile datorită diferenţei de densitate sunt neglijabile;

- efectul albiei asupra turbulenţei este inferior efectului podului de

gheaţă.

Au dedus separarea (lipirea) particulelor de zai de podul de gheaţă

în funcţie de doi parametri adimensionali:

numărul Rouse- Ro şi distanţa adimensională X

v

w

g

CRo ⋅=

4,0 şi X=

v

w

h

x⋅ (18.140)

unde : C este coeficientul lui Chézy.

Raportul cantităţii de particule faţă de cea de la intrare în medie

C (X, Ro) este prezentat în figura 18.28. Dreapta limită din stânga graficului

corespunde teoriei separării în mişcare laminară (pentru X=1 toate

particulele de zai se lipesc de podul de gheaţă).

Dificultăţile practice de aplicare a graficului se datoresc

necunoaşterii mărimii hidraulice a particulelor de zai w. Experimental se

poate determina această mărime, cunoscând la intrare debitul de zai şi

variaţia longitudinală a concentraţiei medii de zai.


0 1 2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

12

3

0,5

0,2

0,1 0,01

0,4 g V

c=0

R

w

X=x w

h v

C (X, R ) 0

Fig. 18.28. Mişcarea zaiului sub podul de gheaţă

Graficul C (X, Ro)

18.4.2. Mişcarea (plutirea) sloiurilor

Pentru plutirea gheţii la suprafaţa apei Schoklitsch a introdus

relaţia

G = m vs ·B (18.141)

în care: G este debitul de gheaţă plutitoare în m2/s, m- intensitatea

transportului de gheaţă plutitoare; vs - viteza de suprafaţă, iar B - lățimea

oglinzii apei. În cunoaşterea vitezei medii v se introduce corecţia

αg = vs/v, obţinând intensitatea transportului de gheaţă plutitoare

Q

hGm

g

⋅⋅=

α

1 (18.142)

h fiind adâncimea medie, iar Q-debitul lichid. Intensitatea transportului

depinde direct de debitul de gheaţă şi adâncimea medie şi invers

proporţional cu debitul lichid, deci este o funcţie de mărimi hidrologice şi

morfologice. Înlocuind R ~ A/B ~h se obţine

IhCB

Gm

⋅⋅= (18.143)

Adâncimea apei, debitul lichid şi particularităţile locale ale albiei

sunt în strânsă interdependenţă.


Pentru analiza influenţei albiei la transportul sloiurilor se scrie

ecuaţia de continuitate (pentru transport de gheaţă) între doua secţiuni, cu

indicele 1 pentru secţiunea amonte şi x în aval:

m1 vs1 B1=mx vsx Bx (18.144)

După înlocuiri se obţine

m1α1 1

1

h

Q= mx αx

x

x

h

Q, (18.145)

sau presupunând α1 = αx

x

xx

h

Qm

h

Qm ⋅=⋅

1

11

(18.146)

Identitatea acoperirii cu gheaţă plutitoare în cele două secţiuni

presupune:

x

x

h

Q

h

Q=

1

1 (18.147)

La mişcare permanenta Q1 =Qx, rezultă:

1

1 h

hmm x

x = . (18.148)

Blocarea gheţii (formarea podului de gheaţă) în acţiunea x presupune mx = 1, întrucât intensitatea de transport este totală, însă în

secţiunea 1,

xhhm /11 = (18.149)

Relaţia (18.149) arată că în secţiunea x se formează pod de gheaţă

dacă intensitatea transportului în secţiunea amonte este raportul adâncimilor

în cele două secţiuni. Astfel se poate aproxima acoperirea cu gheaţă din

secţiunea amonte care produce blocaj (pod de gheaţă) în aval şi care este

raportul adâncimilor medii în cele două secţiuni.

18.4.3. Condiţiile formării şi menţinerii podului de gheaţă şi condiţiile formării zăpoarelor.

Formarea zaiului şi sloiurilor este stopată de podul de gheaţă.

Serviciul hidrologic al râului St. Lawrence din Canada a stabilit

următoarele reguli pentru formaţiunile de gheaţă:

- pod de gheaţă neted la viteza medii mai mici de 0,4 m/s, fără

valuri produse de vânt;

- podul de gheaţă se dezvoltă spre amonte dacă viteza medie este

sub 0,7 m/s şi nu intră sloiurile sub podul de gheaţă;


- la pod de gheaţă dezvoltat viteza medie poate creşte până la

0,8 m/s fără să afecteze integritatea podului de gheaţă;

- la viteze medii de 0,8...1,0 m/s chiar dacă se formează podul de

gheaţă, în funcţie de condiţii climatice se poate aştepta la ruperea acestuia;

- la viteze medii de peste 1,0 m/s , în general, nu se formează pod

de gheaţă.

Valorile menţionate sunt inferioare observaţiilor de pe Dunăre.

Pe baza experienţelor de laborator şi observaţiilor de teren Pariset

şi Hausser au pus bazele formării podului de gheaţă ţinând seama de

următoarele ipoteze:

- grosimea podului de gheaţă în albii relativ înguste se poate

determina dacă în capătul său amonte gheaţa plutitoare nu poate intra sub

pod;

- la albii largi grosimea gheţii este determinată de presiunea gheţii;

- dezvoltarea spre amonte a podului de gheaţă depinde de grosimea

podului de gheaţă şi diferenţa dintre cantitatea de gheaţă plutitoare sosită

din amonte şi intrată sub podul de gheaţă;

- dezvoltarea spre amonte a podului stagnează dacă gheaţa

plutitoare sosită este transportată sau dacă viteza apei este prea mare şi

gheaţa plutitoare intră sub podul de gheaţă sau dacă sub presiune podul se

rupe. În aceste ultime două cazuri se pot forma zăpoare (baraje de gheaţă).

Condiţiile formării podului de gheaţă au fost sistematizate în tabelul

18.1 pentru albii largi şi înguste, conform notaţiilor din (fig. 18.29).

h

h

h

hh

V Vu1

2

g g2

g1

1 2

ρ

ρg

Fig.18.29 Formarea podului de gheaţă

Condiţiile formării podului de gheaţă

Tabelul 18.1 Pod de gheaţă mobil

Pod de gheaţă stabil

Albie largă

α > 0

YhCB

Q

BChQ

>⋅⋅

⋅⋅⋅>

4

1

2

2

2

1053,0

Y

hCB

Q

BChQ

<⋅⋅

⋅⋅⋅<

4

1

2

2

2

1053,0

Albie îngustă

α < 0

ygh

v

h

h

gh

v

g

>

>

>

1

1

1

2

33,0

109,02

gcrg qq < gcrg qq >

antrenat prin plutire se depune

ygh

v

h

h

gh

v

g

<

<

<

1

1

1

2

33,0

109,02

Factorul α= vs / v depinde de lăţimea albiei, de unghiul de frecare

al gheţii, de componenta greutăţii pe direcţia curgerii, de tensiunea

tangenţială, de forţele dezvoltate la contactul cu malurile şi de presiunea

hidrodinamică din amonte. În relaţiile din tabelul 18.1 parametrii

determinanţi sunt: debitul lichid Q , viteza apei v, adâncimea amonte de

podul de gheaţă h1, coeficientul lui Chézy C, grosimea gheţii hg şi debitul

specific de gheaţă qg.

Mărimile Y, y depind de densitatea relativă a gheţii, raportul

grosimii gheţii şi adâncimii curentului, respectiv de rugozitatea gheţii.

Situaţia podului de gheaţă stabil şi instabil este zonat în fig. 18.30,

suprafaţa de sub „clopot” corespunzând podului de gheaţă stabil.


0 0,5 1,00

1 10

2 10

3 10

instabil

stabil

.

.

.

AA'

A''A'''

B''B'''

B'

C

C'

C''

D

D'

D''

-3

-3

-3

g 1

QC

B

h2

2

2

1. .

insta

bil

h /h

h=0,33

Fig. 18.30 Zonarea formei podului de gheaţă in funcţie de grosimea relativă a

gheţii si debitul de apă relativă

Analiza graficului evidenţiază:

a. Indiferent de grosimea relativă a podului de gheaţă, acesta poate

fi stabil numai în condiţiile:

crhCB

Q

hC

VBΩ=

⋅=

⋅

⋅⋅ 4

1

2

2

2

1

2

2

(18.150)

Ωcr fiind un complex adimensional (pentru ρg = 0,98 t/m3 şi µ = 1,28*10-3

Nsm-2, Ωcr = 2,8*10-3 ). Astfel, se poate determina debitul maxim până la

care podul de gheaţă este stabil:

BChQ cr ⋅⋅Ω≤ 2

1 (18.151)

Dacă condiţia (18.151) nu este satisfăcută, grosimea bucăţilor de

gheaţă individuală creşte, se unesc mai multe sloiuri şi până nu apare blocaj

din aval nu se formează pod de gheaţă stabil. Aceasta arată că albia îngustă

şi adâncă este favorabilă transportului de gheaţă (uneori este chiar

recomandabilă divizarea albiei prin construcţii de dirijare longitudinală).

b. În grafic se poate urmări dezvoltarea podului de gheaţă în

condiţiile mişcării permanente. Grosimea gheţii în capătul său amonte

totdeauna este inferioară unei treimi din adâncimea apei. Punctele

caracteristice podului de gheaţă stabil în capătul amonte sunt situate

totdeauna în stânga hg/h1 < 0,33. Punctele din capătul amonte se pot situa

în stânga (pct A) sau dreapta (B') curbei de echilibru. În cazul punctului B'

albia este îngustă şi grosimea gheţii suportă forţele care o acţionează, dar

grosimea poate fi influenţată şi de transportul de gheaţă de sub pod. În cazul A albia este largă şi grosimea gheţii insuficientă pentru preluarea forţelor în

dezvoltarea sa şi podul se îngroaşă punctul deplasându-se în A'. Dacă

gheaţa din amonte intra sub podul de gheaţă şi se lipeşte de pod punctul B' se poate deplasa până în B” şi chiar până în B”’. Prin mişcarea podului însă,

sau schimbarea adâncimii, poate reveni în zona stabilă (ex. crescând h1).

c. La debit variabil sunt posibile două situaţii în funcţie de

modificarea adâncimii cu debitul, reprezentate prin mişcarea punctelor

caracteristice C şi D. Pentru albii înguste, un exemplu de relaţie caracteristică corespunde

(fig. 18.31).

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

0,15

0,10

0,05

0

v

2gh1=f(hg/h1)0,109

g 1/hh

v/ 2gh1

Fig. 18.31 Corelaţia vitezei relative şi grosimii relative a gheţii.

Din corelaţia din figură se observă că unei viteze mai mari în

amonte îi corespunde o muchie amonte mai groasă a podului de gheaţă,

respectiv adâncimii mai mari din amonte îi corespunde o muchie amonte

mai subţire.

Limita superioară a curbei corespunde pentru hg / h1 = 0,33 şi

v/ .109,02 1 =⋅ hg Peste aceste valori forţele suplimentare rezultate din

curgere sub podul de gheaţă în albie îngustă nu mai pot fi echilibrate de

forţele arhimedice suplimentare prin creşterea grosimii gheţii şi podul de


gheaţă se prăbuşeşte. Aceasta este una din posibilităţile apariţiei zăporului

(barajului de gheaţă). Dacă remuul creat creşte adâncimea h1 şi micşorează

viteza amonte v podul de gheaţă se poate dezvolta din nou.

În cazul când viteza la intrare sub podul de gheaţă este destul de

mare, sloiurile intră sub podul de gheaţă şi în mişcarea lor se comportă ca

aluviunile târâte însă în contact cu tavanul de gheaţă al podului.

Capacitatea de transport de gheaţă al curentului de sub pod se

descrie, prin analogie, cu relaţiile caracteristice aluviunilor târâte (Meyer-

Peter, Einstein).

În cazul transportului de gheaţă 1-ρg/ρ = 0,08, astfel

2

2

08,008,0~08,0v

dC

IR

dd=

⋅⋅=

γτψ (18.152)

în care d este diametrul echivalent al gheţii antrenate sub podul de gheaţă;

C – coeficientul lui Chézy si v – viteza medie a fazei lichide.

Capacitatea transportului de gheaţă rezultă din ecuaţia

Qgcr=0,81 Φ d3/2 (18.153)

Funcţiile Ψ şi Φ sunt funcţiile lui Einstein, definite la 18.3.4.

Când debitul de gheaţă din amonte qg >qgcr are loc oprirea gheţii

mobile sub podul de gheaţă care este o a doua posibilitate de apariţie a

zăpoarelor.

18.4.4. Curgerea apei sub podul de gheaţă

Datorită schimbării condiţiei de curgere cu nivel liber în curgere sub

presiune se reduce capacitatea de transport a secţiunii. În consecinţă

apariţia podului de gheaţă produce creşterea nivelului în secţiunea amonte,

respectiv o curbă de supraînălţare.

Distribuţia vitezei sub podul de gheaţă este influenţată de

rugozitatea tavanului de gheaţă. Distribuţia vitezei sub podul de gheaţă are

efect asupra stabilităţii acestuia şi asupra schimbului de căldură prin gheaţă

care au efect revers şi asupra coeficientului de frecare.

Neglijând efectul malurilor – curgerea are frontieră superioară şi

inferioară. Rugozitatea celor două suprafeţe diferind, viteza maximă se

obţine mai aproape de suprafaţa mai netedă (fig. 18.32.a).

H

h

h

τ

τ

a

v

v

n

n

v

v

2

1

max

1

2

2

1

2

1

v

v

v

h

h

H

2

max

1

2

1

n

n

00

0 1 2 3 4 5 6

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

α

η =

= 1nn2

1hH1

b

Fig. 18.32. a) Distribuţia vitezei şi efortului unitar tangenţial b) Funcţia η (α)

Viteza maximă unică definită din distribuţiile vitezei pe cele două

suprafeţe defineşte poziţia vitezei maxime. Notând raportul coeficienţilor

de rugozitate α = n1 / n2, rezultă:

5,0lg6,0/11 +== αη Hh (18.154)

care se poate determină şi din graficul din fig. 18.32.b.

Rugozitatea suprafeţei podului de gheaţă în funcţie de depunere de

zai sau fără, cu dezvoltare în timp după Pavlovski, are valorile din

(tab. 18.2).

Coeficientul de rugozitate al podului de gheaţă

Tabelul 18.2

Vârsta podului de

gheaţă (zile)

Valoarea lui n

Cu depunere de zai Fără depunere de zai

< 10

10...20

20...60

60...80

80...100

0,150

0,100

0,050

0,040

0,030

0,050

0,040

0,030

0,025

0,015

Larsen, pentru condiţiile Suediei, în condiţiile de depunere de zai

recomandă n2 = 0,026.

Pariset şi Hausser, pentru condiţiile Canadei, la formarea

podului de gheaţă recomandă 0,033 < n2 < 0,040, iar mai târziu

0,022 < n2 < 0,0286. Valorile menţionate corespund anumitor lăţimi ale

podului.

Coeficientul de rugozitate mediu pentru toată secţiunea albiei este:

( )75,1

2

75,1

1

1

67,1 ηαη ⋅+=

nnm (18.155)

în care : HhHh / şi / 2211 == ηη .

Notând cu Q debitul albiei fără pod de gheaţă la adâncimea H şi

Q’ debitul în prezenţa podului de gheaţă de grosime hg pentru aceeaşi

sarcină H, după introducerea H – hg = β·H, debitul relativ este:

ββ ⋅=

=

′

1

3/2

1

63,02

1

n

n

n

n

Q

Q mm (18.156)

Pierderea relativă de sarcină la transportul debitului Q fără şi cu

prezenţa podului de gheaţă este:

2

1

3/4

2

2

1

4,02

1

=

=

∆

′∆

n

n

n

n

H

H mm ββ (18.157)

Măsurătorile experimentale indică reducerea capacităţii de

transport cu 20...30 %.

18.5. APLICAŢII

10. Un tronson de râu cu maluri abrupte este caracterizat de lăţimea

B = 20 m, panta I = 0,75 %, coeficientul de rugozitate n = 0,023. Să se

determine condiţiile de transport ale aluviunilor târâte cu diametrele

caracteristice d = 5; 10; 20; 30 şi 40 mm când densitatea aluviunilor este

ρs = 2650 kg/m3 la temperatura T = 20

oC.

Rezolvare:

Se calculează:

- netezimea relativă h / d;

- complexul adimensional B o=1,7 (h/d)1,7 cu relaţia (18.58);

- viteza critică la antrenare ( )1/0 −= ρρ scr ghBv din (18.57);

- debitul corespunzător acestei viteze Qcr = B·h·Vcr;


- viteza de frecare ghIV =∗ ;

- 3/13/2 −⋅ g

d

υ împreună cu

- 2

∗

=v

gdb stabileşte tipul formaţiunii de fund cu

3/13/2 −⋅ d

d

ν

(fig. 18.5);

- 1/ −ρρ s

I stabileşte tipul formaţiunilor de fund împreună cu

h / d (fig. 18.6);

Calculele se efectuează prin iteraţii, variabila fiind adâncimea.

Rezultatele sunt prezentate în (tab 18.3).

Tabelul 18.3

d Elementul

de calcul

0,005 0,01 0,02 0,03 0,04

h (m) 0,50 0,82 1,33 1,78 2,19

h / d 100 82 66,5 59,33 57,75

B0 0,263 0,285 0,311 0,325 0,336

Vc (m/s) 0,749 1,040 1,441 1,746 2,000

Qc (m3/s) 7,49 17,05 38,33 62,16 87,63

V* (m/s) 0,0610 0,0774 0,0990 0,1143 0,1265

d/(ν2/3·g

-1/3) 106,3 212,7 425,4 638,0 850,7

b=gd / V*2

13,18 16,38 20,02 22,53 24,52

Pct

Dune→

Tranziţie

Tranziţie Tranziţie Tranziţie→

antidune

Tranziţie→

antidune

S-a considerat ν = 1,01·10-6

m2/s.

Un calcul asemănător poate stabili refacerea unei balastiere

(granulaţia maximă) în timpul unei viituri.

20. Să se determine viteza minimă (critică), viteza fazelor şi

pierderea de energie la Vh = 1,5 Vcr pe o conductă de transport hidraulic la

exploatarea nisipului cu diametrul caracteristic dc = 0,60 mm, ρs = 2,60 t/m

3, conducta având diametrul D = 200 mm şi lungimea

L = 650 m, dacă concentraţia masică este Cm = 364 kg/m3.


Rezolvare:

- mărimea hidraulică după Budryck (18.99) este:

( ) ( ) mm/s 29,9116,02,15716,0

15,1112,1571

15,11 33 =−⋅+=−⋅+= dd

wc

- concentraţia de volum (18.39)

14,02600

364===

s

mCC

ρ

- viteza critică de transport, pentru alunecare A = 1, din relaţia

(18.96)

m/s 02,20006,0

2,009129,0336,2336,2

5,05,0

=

⋅=

⋅=

d

DwVcr

- viteza hidroamestecului

m/s 03,302,25,15,1 =⋅=⋅= crh VV

- numărul Froude pentru hidroamestec

679,42,081,9

03,322

=⋅

=⋅

=Dg

VFr h

a

- numărul Froude al materialului solid

416,1006,081,9

09129,0 22

=⋅

=⋅

=dg

wFrs

- alunecarea A – după relaţia (18.90) ( ) ( ) 174,04975,04975,0

25,05,025,05,0416,1679,425,0529,0 =⋅=⋅=

−− ⋅⋅−⋅⋅− ee ss FrFrA

- viteza fazei lichide (apei) şi solide (18.115)

m/s 106,303,314,0174,01

1

1

1=⋅

⋅−=

⋅−= ha V

CV

A

m/s 566,203,314,0174,01

174,01

1

1=⋅

⋅−

−=

⋅−

−= hs V

CV

A

A

- diferenţa de viteză

m/s 54,0566,2106,3 =−=−=∆ sa VVV

- coeficientul Darcy – Weisbach (după Şevelev)

034,02,0021,0021,0 3,03,0 =⋅=⋅= −−Daλ

- panta hidraulică pentru apă curată

07955,081,92

03,3

2,0

034,0

2

22

=⋅

⋅=⋅=g

V

DI h

a

λ


- panta hidraulică la transportul amestecului (18.117)

( ) ( ) 08772,014,07338,0107955,01 =⋅+=⋅+= CII Bah ψ

cu

7338,0679,4

416,1

2,0

0006,0

174,01

11000

2600

034,0

2

1

1/25,1

5,0

5,1

5,0

=⋅−

−⋅=⋅

−

−⋅=

a

ssB

Fr

Fr

D

d

A

ρρ

λψ

- pierderea de sarcină

mCA 02,5765008772,0 =⋅=⋅= LIh hr

30. Pentru determinarea colmatării pe o conductă din azbociment

cu D = 200 mm, rugozitate k = 0,2 mm şi care transportă debitul

Q = 50 l/s, pe distanţa L = 72 m s-a măsurat pierderea de presiune

hr = 5,267 mCA. În urma depunerilor s-a mărit şi rugozitatea la

kc = 0,8 mm. Să se stabilească gradul şi stratul colmatării echivalente prin

sedimentare dacă pentru conductele mari este valabilă relaţia Lamont T3.

Rezolvare:

- coeficientul λ după Lamont T3 este

( ) ( ) 0206,0200

2,03152482149,0/Re2149,0

129,0

115,0129,0115,0 =

⋅⋅=⋅⋅=

−− Dkλ

- numărul Reynolds

3152481001,1

2,0592,1Re

6=

⋅

⋅=

⋅=

−ν

DV

- viteza medie pe conducta curată

m/s 592,12,0

05,04422

=⋅

⋅=

⋅==

ππ D

Q

A

QV

- coeficientul vâscozităţii cinematice pentru temperatura T = 200 C

/sm 1001,1 26−⋅=ν

- panta hidraulică pe conducta curată

0133,081,92

592,1

2,0

0206,0

2

22

=⋅

⋅=⋅=g

v

DI a

λ

- panta hidraulică pe conducta colmatată

07305,072

267,5===

L

hI r

c


Conform graficului din fig. 18.24 pentru

493,50133,0/07305,0/ ==ac II şi 42,0/8,0/ ==kkc

îi corespunde gradul de colmatare

43,0==D

hα

respectiv stratul colmatării

m 086,02,043,0 =⋅=⋅= Dh α .

40. Să se determine lungimea unui deznisipator pentru reţinerea

particulelor cu d = 0,2 mm, în proporţie de r1 = 1,0 când viteza medie în

disipator este V = 0,1 m/s, adâncimea utilă H = 2,0 m, temperatura

T = 20 0C şi densitatea nisipului ρs = 2,6 t/m

3.

Rezolvare:

Mărimea hidraulică a particulelor având diametrul d > 0,05 mm, se

determină pe baza ecuaţiei (18.17) şi (fig. 18.3) din care rezultă coeficientul

de rezistenţă la înaintare CR

( ) ( )sRsR

fCdC

gw Re şi 1/

3

4=⋅−⋅= ρρ

Mărimea hidraulică se calculează prin iteraţii succesive

- pentru m/s 02445,00002,011000

2600

7

81,9

3

47 =⋅

−⋅=⇒= wCR

la care numărul Res pentru ν = 1,01·10-6

m2/s este:

84,41001,1

0002,002445,0Re

6=

⋅

⋅=

⋅=

−ν

dws

• pentru Res = 4,84 rezultă CR = 8,5; w = 0,0222 m/s şi Res = 4,4

• pentru Res = 4,4 rezultă CR = 9,0; w = 0,0216 m/s şi Res = 4,28

• pentru Res = 4,28 rezultă CR ~ 9,0 şi w = 0,0216 m/s

- conform ecuaţiei (18.137)

352,2610,0

0216,0122122

2===

⋅

V

w

D

Hw.


- din graficul Camp din (fig. 18.27):

• pentru r1 = 1,0 şi 352,262

=⋅

D

Hw, se obţine 5,1

0

=w

w , respectiv

w0 = 0,0144 m/s.

Conform (fig. 18.26) rezultă L = H / w0 = 2,0 / 0,0144 ≈ 139 m.

Prin neglijarea difuziei turbulente:

w = w0 = 0,0216 m/s şi L = 2,0 / 0,0216 = 92,6 m.


CAPITOLUL 19

MIŞCĂRI POTENŢIALE

19.1. NOŢIUNI GENERALE. DEFINIŢII

În studiul mişcării mediilor continue (vol. I) s-a definit că mişcarea

poate fi descompusă în mişcare de translaţie, de rotaţie şi mişcare de deformaţie

- care la rândul ei poate fi liniară, unghiulară şi de rotaţie.

La transformarea ecuaţiilor diferenţiale de mişcare a lichidelor perfecte

(ec. Euler ) sub forma Helmoltz – Gromeka – Lamb

( ) 022

2

=+⋅+⋅+⋅∂

∂+

++

wvu

dzdydx

dzwdyvdxut

vpUd zyx ωωω

ρ (19.1)

s-a stabilit că mişcările nerotaţionale, deci 0=== zyx ωωω , se numesc

mişcări potenţionale, deci viteza de rotaţie:

0x y z

i j k

dV dr

dx dy dz

ω ω ω ω= = =

(19.2)

unde zyx ωωω , , sunt componentele vitezei de rotaţie după cele trei axe,

wvu ,, vitezele de translaţie, kji , , versorii axelor de coordonate, dzdydx , ,

componentele razei vectoare dr . Cum 0≠dr trebuie ca 0ω = .

Vârtejul se poate exprima sub forma :

02

1

2

1=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=⋅=

wvuzyx

kji

Vrotω (19.3)

sau:


=

∂

∂−

∂

∂=

=

∂

∂−

∂

∂=

=

∂

∂−

∂

∂=

02

1

02

1

02

1

y

u

x

vx

w

z

uz

v

y

w

z

y

x

ω

ω

ω

(19.4)

Sistemul (19.4) reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca

vectorul viteză v să derive dintr-o funcţie potenţial ϕ , astfel:

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂=

zw

yv

xu

ϕ

ϕ

ϕ

(19.5)

sau:

z

ky

jx

igradV∂

∂+

∂

∂+

∂

∂==

ϕϕϕϕ (19.6)

Funcţia scalară ),,( zyxϕ este potenţialul de viteze şi generează

mişcarea irotaţională.

Pentru diverse valori constante ale funcţiei potenţial:

czyx =),,(ϕ (19.7)

se obţin suprafeţele echipotenţiale, locul geometric al punctelor cu potenţial

constant.

Proprietăţile suprafeţelor echipotenţiale sunt :

a. Vectorul viteză este normal la suprafaţa echipotenţială în orice

punct, în orice moment.

dzz

dyy

dxx

dzwdyvdxusdVdsVsdV∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅+⋅+⋅=⋅⋅=⋅

∧ ϕϕϕ),cos( (19.8)

Potenţialul ctzyx =),,(ϕ ⇒ 0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyx

ϕϕϕ, deci produsul

0),cos( =⋅⋅∧

sdVdsV (19.9)


Cum 0≠V , 0≠ds rezultă 0),cos( =∧

sdv , deci unghiul format de V

şi sd este unghi drept.

b. Suprafeţele echipotenţiale nu se intersectează.

Pe linia de intersecţie a celor două suprafeţe echipotenţiale, în fiecare

punct, viteza ar trebui să aibă două direcţii diferite, corespunzătoare normalelor

la cele două suprafeţe, ceea ce nu este posibil din punct de vedere fizic. În cazul

limită cele două suprafeţe echipotenţiale pot fi tangente, respectându-se în acest

caz proprietatea a), caz întâlnit doar în punctele singulare ale domeniului

(puncte extreme).

Circulaţia vitezei, în lungul unei curbe, definită prin integrala:

∫ ∫ ⋅+⋅+⋅=⋅=Γ )( dzwdyvdxusdV (19.10)

pe o curbă închisă este nulă.

Fig. 19.1. Circulaţia vitezei pentru mişcări potenţiale

Înlocuind componentele vitezelor funcţie de potenţialul ϕ se obţine:

0=−===

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Γ ∫∫ AA

A

Acc

c ddzz

dyy

dxx

ϕϕϕϕϕϕϕ

(19.11)

Pentru un arc de curbă circulaţia vitezei este:

AB

B

A

AB d ϕϕϕ −==Γ ∫ (19.12)

Circulaţia vitezei în lungul unui arc de curbă pentru mişcări potenţiale

nu depinde de forma curbei, ci doar de valoarea potenţialului vitezelor ϕ în

punctele extreme ale curbei.

Ecuaţia de continuitate, scrisă pentru lichide incompresibile sub forma

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

w

y

v

x

u, (19.13)

prin înlocuirea componentelor vitezei, devine:

x

y

z

A

B

Mds

VtV

C


02

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

zyx

ϕϕϕ (19.14)

Ecuaţia (19.14) reprezintă ecuaţia lui Laplace, deci funcţia ϕ

satisfăcând această ecuaţie, este o funcţie armonică. Mişcările potenţiale au o largă aplicabilitate în tehnică, acest tip de

mişcare fiind valabil la curgerea lichidelor în regim laminar, în acest domeniu

incluzându-se şi mişcările apei subterane. În unele cazuri se folosesc mişcările

potenţiale pentru rezolvarea unor probleme de mişcare chiar în regimul

turbulent de curgere, prin măsurători experimentale aducându-se corecţiile

necesare rezultatelor teoretice.

19.2. MIŞCĂRI POTENŢIALE PLANE

Se numesc mişcări plane acele mişcări la care deplasările sunt

importante după două direcţii, deci după a treia direcţie elementele mişcării

sunt nule. Deci câmpul de viteze este paralel cu un plan fix (luat ca referinţă

x0y) şi nu depinde de distanţa la plan (de cota z). Viteza ( ) ( )( )yxtvuxtV ,,0,,, = .

Pentru ca un fluid să aibă o astfel de mişcare, este necesar şi suficient

ca factorii care determină mişcarea să fie aceiaşi în orice plan paralel cu planul

fix.

Astfel, mişcarea potenţială plană poate fi studiată ca mişcarea unui

strat foarte subţire de lichid situat pe un plan. Proprietăţile acestor mişcări

potenţiale plane derivă din proprietăţile mişcărilor potenţiale în spaţiu,

prezentate anterior.

Componentele vitezei sunt :

x

u∂

∂=

ϕ şi

yv

∂

∂=

ϕ (19.15)

unde 22 vuV += sau ϕgradV = .

Ecuaţia de continuitate scrisă mişcării potenţiale plane devine:

0=∂

∂+

∂

∂

y

v

x

u sau 0

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

yx

ϕϕ (19.16)

Condiţia de irotaţionalitate este:

02

1=

∂

∂−

∂

∂=

y

u

x

vzω (19.17)


Circulaţia vitezei este:

( ) ϕϕϕϕ

==

∂

∂+

∂

∂=⋅+⋅=Γ ∫∫∫ ddy

ydx

xdyvdxu (19.18)

Pentru mişcarea potenţială plană, permanentă, liniile echipotenţiale îşi

păstrează poziţia în timp. Liniile de curent coincid cu traiectoria.

Din definiţia liniei de curent rezultă :

v

dy

u

dx= sau 0=⋅−⋅ dxvdyu (19.19)

Din ecuaţia de continuitate rezultă:

y

v

x

u

∂

−∂=

∂

∂ )( (19.20)

Pentru integrarea ecuaţiei (19.19) este suficientă condiţia (19.20) care

arată că există o funcţie Ψ care satisface relaţia :

dxvdyud ⋅−⋅=Ψ (19.21)

sau

dxx

dyy

d∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂=Ψ (19.22)

deci:

y

u∂

Ψ∂= şi

xv

∂

Ψ∂−= (19.23)

Funcţia ),( yxΨ se numeşte funcţia curent şi are proprietăţile:

a. este constantă în lungul unei linii de curent (v. ec. 19.19);

b. verifică ecuaţia de continuitate

022

=∂∂

Ψ∂−

∂∂

Ψ∂=

∂

∂+

∂

∂

yxyxy

v

x

u; (19.24)

c. verifică condiţia de irotaţionalitate

02

2

2

2

=

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂−=

∂

Ψ∂

∂

∂−

∂

Ψ∂−

∂

∂

yxyyxx; (19.25)

d. funcţiile de curent şi potenţial verificând ecuaţia lui Laplace sunt

funcţii armonice conjugate. Legătura între ele se exprimă prin condiţia Cauchy

– Riemann

yx ∂

Ψ∂=

∂

∂ϕ şi

xy ∂

Ψ∂−=

∂

∂ϕ; (19.26)


e. cele două familii de curbe cyx =Ψ ),( şi cyx =),(ϕ sunt

ortogonale.

Fig. 19.2. Reprezentarea mişcării potenţiale

plane permanente

Din definiţia liniilor de curent se cunoaşte că vitezele sunt tangente la

acestea în fiecare punct (componenta normală a vitezei este nulă). Debitul

dintre două linii de curent se calculează considerând două linii de curent infinit

apropiate 1Ψ şi 2Ψ . Două puncte a şi b de pe cele două linii de curent au

coordonatele ),( yxa şi ),( dyydxxb +− (fig. 19.3).

Fig. 19.3. Calculul debitului dintre

două linii de curent

cbvacudq ⋅+⋅=

Ψ=∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂=⋅−⋅= ddx

xdy

ydxvdyudq

Rezultă

12

2

1

Ψ−Ψ=Ψ= ∫Ψ

Ψ

dq (19.27)

Studiul şi rezolvarea problemelor la mişcările potenţiale plane se poate

efectua prin metode indirecte, metode directe şi metode experimentale.

ψ

ϕ

1

1

x

y ψ2

ϕ2

3ϕ

ψ3

4ψ


19.2.1. Studiul mişcărilor potenţiale cu ajutorul

funcţiilor analitice de variabilă complexă

Cu ajutorul funcţiilor de variabilă complexă se pot trata problemele de

mişcări potenţiale plane în două moduri: indirect sau direct.

În cazul tratării indirecte se dă un potenţial complex şi se cere să se

studieze mişcarea potenţială plană care îi corespunde.

Funcţiile de bază care exprimă proprietăţile curgerii potenţiale plane –

),( yxϕ şi ),( yxΨ – sunt legate între ele prin ecuaţiile care exprimă în teoria

funcţiilor de variabilă complexă condiţiile Cauchy – Riemann.

Asociaţia complexă formată din cele două funcţii de două variabile

reale ),(i),( yxyx Ψ⋅+ϕ , este o funcţie de variabilă complexă

Ψ⋅+= izw ϕ)( (19.28)

cu variabila θθθ ierryxz ⋅=⋅+=⋅+= )sini(cosi .

Pentru orice mişcare potenţială se poate găsi o funcţie de variabilă complexă )(zw , a cărei parte reală este potenţialul vitezelor, iar partea

imaginară este funcţia curent. Cunoaşterea acestei funcţii complexe, după

separarea părţii reale şi imaginare, permite stabilirea elementelor hidraulice

caracteristice.

Viteza complexă se obţine prin derivarea potenţialului complex

Ψ⋅+= i)( ϕzw în raport cu variabila complexă yxz ⋅+= i :

xxdx

dw

∂

∂⋅+

∂

∂=

ψϕi , iar

yx ∂

∂−=

∂

Ψ∂ ϕ

deci

vuyxdx

dw⋅−=

∂

∂⋅−

∂

∂= ii

ϕϕ

Modulul vitezei complexe este viteza V , determinată prin compunere

ca în (fig. 19.4):

Vvudx

dw=+= 22

Fig. 19.4. Compunerea vitezelor la mişcările potenţiale plane

α

V

x

y

v

u1

i


În cazul tratării directe se dau domeniul în care are loc mişcarea

potenţială plană şi condiţiile la limită pentru viteză şi se cere potenţialul

complex )(zw care corespunde acestei mişcări; dacă se poate determina

potenţialul complex mişcarea poate fi studiată complet, pe o cale analoagă

tratării indirecte. Tratarea directă a problemelor de mişcări potenţiale plane este

adeseori foarte dificilă. Metodele de tratare directă sunt: 1) compunerea unor

mişcări cunoscute din studiul unor probleme indirecte, rezolvarea unor

probleme la limită pentru funcţiile potenţial şi de curent ),( yxϕ şi ),( yxΨ sau

potenţialul complex )(zw ; 2) metoda transformărilor conforme ale domeniilor

de mişcare pe domenii studiate; 3) metoda analitică aproximativă prin diferenţe

finite (metoda reţelelor); 4) metode experimentale.

19.2.2. Exemple de tratare indirectă a mişcărilor potenţiale plane

Cunoscute fiind familiile liniilor ϕ şi Ψ , mişcarea este determinată,

putând fi studiată din punct de vedere cinematic prin spectrul mişcării.

10. Curent plan paralel

Se consideră curentul definit prin potenţialul complex:

zazw ⋅=)( (19.29)

unde 21 i aaa ⋅−= este o constantă complexă. Funcţia complexă în acest caz

devine:

ψϕ ⋅+=⋅−⋅⋅+⋅+⋅=⋅+⋅−= i)(i)i)(i()( 212121 xayayaxayxaazw

Funcţia potenţial este:

yaxa ⋅+⋅= 21ϕ (19.30)

iar funcţia curent:

xaya ⋅−⋅= 21ψ (19.31)

Liniile de curent şi cele echipotenţiale se obţin pentru valori constante

ale lui ϕ şi Ψ , deci:

=⋅−⋅

=⋅+⋅

cxaya

cyaxa

21

21

curent de liniilepentru -

ialeechipotent liniilepentru - (19.31’)

Ecuaţiile reprezintă două familii de drepte ortogonale (fig. 19.5) având

înclinările:

2

1

a

atg −=α şi

1

2

a

atg =β


Componentele vitezei sunt 1ax

u =∂

∂=

ϕ şi 2a

yv =

∂

∂=

ϕ, iar viteza

2

2

2

1 aaV += .

Fig. 19.5. Curent potenţial plan paralel

20. Mişcarea între laturile unui unghi drept

În acest caz potenţialul complex este:

2)( zazw ⋅= (19.32)

a fiind o constantă reală. Deci

ψϕ ⋅+=⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅=⋅+⋅= ii2)i()( 222 yxayaxayxazw


22 yaxa ⋅−⋅=ϕ , (19.33)


yxa ⋅⋅⋅= 2ψ (19.34)

Liniile de curent şi cele echipotenţiale formează două familii de

hiperbole echilaterale având drept asimptote axele de coordonate şi bisectoarele

(fig. 19.6).

Fig. 19.6. Curent potenţial plan în interiorul

unui unghi drept

α

β

x

y

ψ

ϕ6

8

7ψ

6ψ

5ψ

4ψ

3ψ

ψ2

1ψ

5ϕ

4ϕ

ϕ3

ϕ2

ϕ1

x

y

ψ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ψ

ϕ

ϕ


30. Curent potenţial în interiorul laturilor unui unghi α

Potenţialul complex care generează mişcarea este:

( )a

w z zπ

αα

π

⋅= ⋅ (19.35)

Aplicând relaţia lui Moivre se obţine :

⋅+⋅⋅

⋅= θ

α

πθ

α

π

π

α α

π

sinicos)( ra

zw (19.36)


cra

=⋅⋅⋅

= θα

π

π

αϕ α

π

cos (19.37)

respectiv funcţia curent:

cra

=⋅⋅⋅

= θα

π

π

αψ α

π

sin (19.38)

Pentru diverse valori ale lui α se obţin:

a. 0=α – curent plan paralel;

b. 2

πα = ( ) ( ) cyx

ar

ar

a=−⋅=−⋅⋅=⋅⋅= 222222

2sincos

22cos

2θθθϕ

cyxarara

=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= θθθψ cossin2sin2

22

reprezintă două familii de hiperbole, curgere sub unghi drept;

c. 4

πα = (fig. 19.7)

cra

=⋅⋅= θϕ 4cos4

4

cra

=⋅⋅= θψ 4sin4

4

Fig. 19.7. Curent potenţial plan

în interiorul unui unghi 4

πα =

αx

y

ϕ

ϕ

ψ


d. 2

3πα = (fig. 19.8);

Fig. 19.8. Curent potenţial plan sub un unghi 2

3πα =

e. πα 2= (fig. 19.9);

Fig. 19.9. Curent potenţial plan sub un unghi πα 2=

40. Sursă punctiformă. Izvor

Această mişcare este generată de potenţialul complex

zczw ln)( ⋅= (19.39)

unde c este o constantă reală.

Variabila

θθθ i)sini(cosi erryxz ⋅=⋅+⋅=⋅+= (19.40)

determină potenţialul complex

ψϕθθ ⋅+=⋅⋅+⋅=⋅⋅= iilnln)( i crcerczw


constrc =⋅= lnϕ , (19.41)


constc =⋅= θψ . (19.42)

În coordonate polare const=ϕ reprezintă cercuri concentrice, iar

const=ψ reprezintă drepte convergente (fig. 19.10).

ψ

ϕ

ϕ

α

r

c

rr =∂

∂=

ϕv

Debitul este:

crQ r ⋅⋅=⋅⋅⋅= ππ 2v2 ⇒ π⋅

=2

Qc .

Pentru sursa pozitivă (izvor pozitiv) 02

>⋅

=π

Qc ;

Pentru sursa negativă (izvor negativ) 02

<⋅

=π

Qc

Fig. 19.10. Sursă plană (izvor)

50. Mişcarea produsă de un vârtej rectiliniu infinit

Dacă un vârtej infinit lung produce în planul normal pe el o mişcare a

particulelor de fluid, mişcarea este o rotaţie potenţială. Potenţialul complex are

forma:

( ) rccerczczw lnilnilni)( i ⋅⋅−⋅=⋅⋅⋅−=⋅⋅−= θθ (19.43)

Funcţia potenţial

constc =⋅= θϕ (19.44)

reprezintă drepte convergente, iar funcţia curent

constrc =⋅−= lnψ (19.45)

reprezintă cercuri concentrice (fig. 19.11).

Componentele vitezei sunt:

0v =∂

∂=

rrϕ

; vc

r rθ

ψ∂= − = −

∂

Circulaţia vitezei este :

cr N ⋅⋅−=⋅⋅⋅=Γ ππ 2v2 ⇒ π⋅

Γ−=

2c

θ x

y

Vr

r

c=Q/2 >0

c=Q/2 <0

ϕ ψ

π

π


În cazul rotaţiei potenţiale circulaţia Γ joacă rolul debitului, iar Nv

este viteza indusă de vârtej.

Fig. 19.11. Mişcarea potenţială plană produsă

de un vârtej rectiliniu infinit

60. Spectrul mişcării produs de două surse punctiforme

Mişcarea în acest caz este caracterizată prin potenţialul complex:

az

azQzw

−

+⋅

⋅= ln

2)(

π (19.46)

unde constanta reală a2 este distanţa dintre cele două surse punctiforme.

Prin înlocuirea:

1i1

θeraz ⋅=+ şi 2iθeraz ⋅=−

se obţine:

( )21

2

1

2iln

2)( θθ

ππ−

⋅⋅+⋅

⋅=

Q

r

rQzw (19.46’)


constln2 2

1 =⋅⋅

=r

rQ

πϕ (19.47)

şi funcţia curent:

( ) const2

21 =−⋅⋅

= θθπ

ψQ

(19.48)

Liniile de curent sunt locul geometric al punctelor sub care segmentul

21OO se vede sub unghi constant, cercuri ce trec prin 1O şi 2O , centrul lor

aflându-se pe axa ordonatelor.

Spectrul este format din două familii de cercuri ortogonale, cercurile

lui Appolonius.


Când 0→a , iar valoarea aQ ⋅⋅2 este finită şi maQ =⋅⋅2 , mişcarea

se numeşte dipol.

( ) ( )2222 2

2

2

11

2 az

m

az

aQ

azaz

Q

dz

dw

−⋅⋅=

−⋅

⋅=

+−

−⋅

⋅=

πππ

20 2

limz

m

dz

dwa ⋅⋅

=→ π

Funcţia

cz

mzw +

⋅⋅−=

π2)( (19.49)

este potenţialul complex al mişcării potenţiale dipol. Spectrul mişcării este dat

de cercuri care trec prin dipol având centrele pe axele de coordonate

(fig. 19.12).

Fig. 19.12. Spectrul mişcării potenţiale produsă

de două surse punctiforme aflate la distanţa 2a

19.3. METODE DE TRATARE DIRECTĂ A PROBLEMELOR

DE MIŞCĂRI POTENŢIALE PLANE

19.3.1. Metoda transformărilor conforme

Prin metoda transformărilor conforme se pot studia mişcări mai

complicate prin transformarea unui domeniu d în care se produc, într-un alt

domeniu D pentru care se poate determina sau se cunoaşte potenţialul complex

al mişcării (fig. 19.13).

Când se dă funcţia de variabilă complexă )(zw sunt uşor de

determinat caracteristicile mişcării plane. Însă în general se dă domeniul

θθ

α

2a

r

r

x

y

0 0

12

1

2

1 2


mişcării, cu condiţiile de contur ale mişcării şi trebuie determinată funcţia

)(zw . Aceasta se poate face folosind transformarea conformă a domeniului şi

conturului care-l limitează într-un domeniu pentru care există o funcţie

potenţial complex cunoscut.

O transformare )(zZZ = a unui domeniu d dintr-un plan z într-un

domeniu D dintr-un plan Z se numeşte conformă, dacă funcţia )(zZ este

olomorfă în d şi dacă derivata ei nu se anulează în acest domeniu (dacă se

îndeplinesc condiţiile Cauchy – Riemann în punctul respectiv). Transformarea

conformă păstrează asemănarea figurilor infinit mici (deci asigură

proporţionalitatea arcelor elementare şi egalitatea unghiurilor între curbe,

precum şi a sensurilor de parcurgere ale acestora).

Conform teoriei lui Riemann există întotdeauna posibilitatea

transformării conforme a unui domeniu simplu conex într-altul simplu conex.

În plus se respectă principiul unicităţii şi al corespondenţei sensului de

parcurgere a conturului: prin parcurgerea conturului lăsând la stânga domeniul

supus transformării, domeniul transformat de asemenea rămâne la stânga

conturului nou obţinut.

Fig. 19.13. Transformare conformă

Viteza complexă în planul transformat se exprimă prin raportul între

viteza complexă în planul iniţial şi derivata funcţiei de transformare. Dacă se

consideră o mişcare în planul z reprezentată prin potenţialul complex )(zw şi

funcţia de transformare )(zZZ = , atunci potenţialul complex al mişcării

corespunzătoare din planul Z se obţine din )(zw înlocuind pe z cu funcţia )(Zz

obţinută prin inversarea funcţiei de transformare )(zZ . Deci, din planul Z,

zZ

u

Z

z

z

w

Z

ZzwVU

d/d

iv

d

d

d

d

d

))((di

−=⋅==− (19.50)


Circulaţia în planul transformat este egală cu circulaţia în planul

iniţial. Dacă se consideră mişcarea potenţială din exteriorul conturului închis c situat în planul z, dată de potenţialul complex ψϕ i)( +=zw atunci circulaţia

∫=Γc

c ϕd se poate calcula, observând că pe conturul închis c, care este o linie

de curent ( const.=cψ ) 0d =cψ , deci cccw ψϕ iddd += . Rezultă

( ) ∫∫ ∫ ===Γcc c

c z

zwzw

d

)(dddϕ . În mod analog, circulaţia cΓ în lungul conturului

C are expresia ( )( )

∫∫∫ =⋅==ΓcCC

C zz

zwZ

Z

z

dz

zwZ

Z

Zzwd

d

)(dd

d

d)(dd

d

d, aşadar

cC Γ=Γ (19.51)

În studiul mişcărilor potenţiale plane se întâlnesc numeroase exemple

de funcţii de transformare conformă. Transformările conforme prezintă

importanţă practică prin funcţia omografică, prin funcţii raţionale,

exponenţiale, logaritmice, trigonometrice.

Transformarea omografică c

dad-bc

dcz

bazZ -z 0, , ≠≠

+

+= poate fi

descompusă în trei transformări elementare: hzZ += , în care h este un număr

complex reprezentând o translaţie; kzZ = , reprezentând o omotetie pentru k

număr real şi pozitiv, o rotaţie pentru k număr complex de modul unitate şi o

omotetie combinată cu o rotaţie pentru k număr complex oarecare; z

Z1

= ,

reprezentând o inversiune (care transformă un cerc oarecare într-un cerc

oarecare, un cerc care trece prin origine într-o dreaptă oarecare, o dreaptă

oarecare într-un cerc care trece prin origine, o dreaptă care trece prin origine

într-o dreaptă care trece prin origine).

Transformarea conformă

0 ,2

≠+= zz

bzZ , (19.52)

se numeşte transformarea Jukovski. Aceasta transformă cercul de rază b cu

centrul în origine într-un segment de dreaptă de lungime 4b, aşezat pe axa 0X

din planul transformat, centrat faţă de origine şi parcurs de două ori (o tăietură

în planul complex Z). Pentru punctele cercului θiebz = rezultă

)sin i(cos)sin i(coseei -ii θθθθθθ −++=+=+= bbbbYXZ ,

0 ,cos2 == YbZ θ (19.53)


Când θ variază de la 0 la π, X variază de la -2b la 2b, deci semicercul

superior este reprezentat pe partea superioară a segmentului din planul

transformat; analog, când θ variază de la π la 2π, X variază de la -2b la 2b, deci

semicercul inferior este reprezentat pe partea inferioară segmentului din planul

transformat. Transformarea Jukovski (19.53) transformă cercul de rază a > b

cu centrul pe axa 0y, pe axa 0x sau într-un punct oarecare al planului într-un arc

de cerc, un profil Jukovski simetric sau un profil Jukovski oarecare

(fig. 19.14).

aB

b=a

y

A

x

C

D

B'A'

X

Y

D

C

4b

aB

b

y

A

x

C

D

B'A'

X

Y

D'

C'

4b

aB

y

A

x

C

b

aB

b

y

A

x

C

B'

X

Y

2b2b

B'

X

Y

2b2b

A'

A'

Plan transformatPlan initial

Fig. 19.14. Transformarea Jukovski


În practică se foloseşte şi metoda transformărilor conforme în şir,

folosindu-se o serie de transformări intermediare cunoscute (fig. 19.15).

η ζY

X

Zy

x1

2 e

4eξ

→=−−− zeζ 2

→+=−−−−−−−ζ

ζe

Z

Fig. 19.15. Transformare conformă în şir

Transformările conforme sunt utilizate la rezolvarea unor probleme de

mişcări potenţiale plane. Fie curba închisă c în planul yxz i+= , iar în planul

YXZ i+= curba C obţinută prin transformare conformă ( )Zgz = . Dacă

)(zw este potenţialul complex al unei mişcări potenţiale plane în jurul

conturului c, atunci funcţia

))(()( ZgwZW = (19.54)

reprezintă potenţialul complex al unei mişcări potenţiale plane în jurul

conturului C (fig 19.16).

(c) (c)

( ) ( ) ( )[ ]( )zgfZWZgzzw =→=→ )(

Fig. 19.16. Transformare conformă la stabilirea potenţialului complex

în jurul unui contur oarecare

Deoarece

( ) ),(i),()())(w()(i),( YXYXZWZgx,yyxzw Ψ+Φ===+= ψϕ (19.55)

rezultă că în punctele omoloage din cele două plane Φ=ϕ şi Ψ=ψ , aşadar

liniilor echipotenţiale şi liniilor de curent din planul z le corespund tot linii


echipotenţiale şi linii de curent din planul Z. Deci, deoarece conturul c este o

linie de curent, atunci şi C este tot o linie de curent.

Se poate aşadar studia mişcarea plană potenţială în jurul unui contur C

din planul Z, care necesită cunoaşterea potenţialului W(Z). Studiul se poate

reduce la studiul unei mişcări potenţiale plane în jurul unui contur c din planul

z de potenţial complex w(z), dacă se cunoaşte transformarea conformă a unui

domeniu în celălalt – lucru posibil conform teoriei Riemann. Dacă curba c din

planul z este un cerc cu central în origine şi rază a, potenţialul complex al

mişcării de translaţie în jurul cercului este ( )

+= ∞ z

azVzw

2

. Dacă se

cunoaşte funcţia care transformă domeniul din exteriorul conturului c în

domeniul din exteriorul conturului C, )(Zgz = , atunci mişcarea în jurul

conturului C este dată de potenţialul complex

+== ∞

)()())(()(

2

Zg

aZgVZgwZW (19.56)

Câteva exemple de folosire a transformărilor conforme sunt redate în

(fig. 19.17).

19.3.2. Metoda analitică aproximativă prin diferenţe finite

Metoda constă în principiu în determinarea spectrului mişcării

potenţiale plane prin integrarea cu diferenţe finite a ecuaţiei lui Laplace

0sau ,0 =∆=∆ ψϕ într-un domeniu (d) mărginit de o curbă simplă închisă c,

din planul x0y, unde sunt definite condiţiile limită ale problemei. Domeniul

mişcării se împarte cu ajutorul unui caroiaj (sau alte tipuri de reţele –

triunghiulare, hexagonale).

Ecuaţia lui Laplace

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

u

x

u (19.57)

se transformă într-o ecuaţie liniară cu diferenţe finite care se poate rezolva prin

metode cunoscute.

Pentru n noduri interioare ale reţelei rezultă n ecuaţii algebrice. Pentru

nodurile din vecinătatea conturului elementele diferenţiale se pot calcula prin

interpolare (liniară sau spline cubică), obţinându-se tot ecuaţii algebrice.


Determinarea valorilor funcţiei ψ în nodurile reţelei permite trasarea

liniilor de curent, determinarea vitezelor din relaţiile y

vy

u∂

∂−=

∂

∂=

ψψ , ,

determinarea presiunilor (cu relaţia lui Bernoulli), determinarea debitului

printr-o curbă oarecare. Metoda este cu atât mai precisă cu cât reţeaua este mai

deasă.

Prin această metodă se pot rezolva problemele legate de curgerea peste

deversoare, peste clapete etc.

( ) →= ∞ zVzw →+= 2

Z

aZz ( )

+= ∞ Z

aZVZW

2

( ) →= Zzw →= Zz ( ) ZzW =

( ) →+= Z

1 Zzw →= Zz ( )

ZZzW

1+=

Fig. 19.17. Exemple de transformări conforme


19.3.3. Metode experimentale

10. Metoda Praşil materializează liniile de curent cu ajutorul unui

colorant - permanganat de potasiu presărat pe fundul unei cuve foarte plată.

Lichidul dizolvă o parte din cristale şi soluţia colorată este antrenată pe firul de

curent, vizualizându-se astfel mişcarea (fig. 19.18). Pentru vizualizarea liniilor

de curent de la suprafaţa lichidului se poate utiliza praf de licopodium, de

aluminiu sau diverşi plutitori.

Fig. 19.18. Colorarea firelor de curent

cu cristale de permanganat de potasiu

20. Metoda Hele Shaw foloseşte o mişcare laminară între doi pereţi

plani paraleli aşezaţi la distanţă foarte mică. Vizualizarea firelor de curent se

face cu ajutorul unui număr suficient de mare de injectoare fine din care iese un

lichid colorat (fig. 19.19). Mişcarea fiind laminară, firele de curent îşi păstrează

individualitatea.

Fig. 19.19. Vizualizarea liniilor de curent în metoda experimentală Helle Shaw

30. Metoda analogiei electrohidrodinamică se bazează pe analogia

formală între ecuaţiile mişcării potenţiale plane şi ecuaţiile propagării

curentului electric într-un mediu rezistiv omogen, prezentată mai jos.

Fenomen hidrodinamic Fenomen electrodinamic Potenţialul de viteză φ Potenţialul electric U

Linia echipotenţială φ = ct. Linia echipotenţială U = ct.

Elementul unei linii de curent = ds Elementul unei linii de curent = ds


Viteza s

v∂

∂=

ϕ Intensitatea curentului

s

Uci

∂

∂=

(c – coeficient de conductibilitate)

Linia de curent, suprafaţa liberă sau Linia de curent, sau suprafaţa

hidroizolatoare sn dd ⊥ electroizolatoare sn dd ⊥

0=∂

∂

n

ϕ 0=

∂

∂

n

U

În (fig. 19.20) se prezintă aplicarea metodei la studiul mişcării

potenţiale plane prin aspiratorul unei turbine. Dacă se creează o diferenţă de

potenţial între şinele conducătoare 1 şi 2 se stabileşte un curent electric în

stratul de electrolit prin rezistenţele (R3 şi R4) şi un alt curent prin

potenţiometru (R1 şi R2). Se fixează contactul 3 şi se deplasează creionul

conductor 4 astfel încât galvanometrul G să indice 0; în acest fel se trasează o

linie echipotenţială.

electrolit

izolator

V

AAc

K

R1 R2

V

R4R3

1

G

R

3

R1 R2

R4R3

3

2

4

1

4

Fig. 19.20. Aplicarea metodei analogiei electrohidrodinamice la studiul

mişcării potenţiale plane prin aspiratorul unei turbine


19. 4. APLICAŢII

10. Să se studieze mişcarea potenţială plană caracterizată prin

potenţialul complex a). czzw =)( , 0>∈ Rc , Cz ∈ ; b). czzw i)( = , 1i −= ,

0>∈ Rc , Cz ∈

Rezolvare. a. Variabila z se poate scrie în sistemul de coordonate

xOy :

yxz i+=

Deci cycxyxczw i)i(i)( +=+=+= ψϕ .

Rezultă cx=ϕ şi cy=ψ .

Pentru ikcx ==ϕ se obţine o familie de drepte paralele cu axa Oy (linii de

egal potenţial).

Pentru ijcy ==ψ se obţine o familie de drepte paralele cu axa Ox (linii de

curent).

Reprezentarea grafică a celor două familii de drepte (fig. 19.21) dă

spectrul hidrodinamic al mişcării.

Fig. 19. 21. Spectrul hidrodinamic al mişcării

caracterizate prin potenţialul complex czzw =)(


Cx

u =∂

∂=

ϕ; 0=

∂

∂=

yv

ϕ

Deci, în orice punct al planului, viteza are numai componenta ∞== vcu .

Analiza spectrului arată că este vorba de o mişcare permanentă uniformă pe

direcţia x . Deci zvzw ∞=)( .

b. Se procedează analog punctului a.

Variabila z se poate scrie în sistemul de coordonate xOy :

yxz i+=

y

0 x

=const

=constϕ

ψ


Deci cycxzw −=+= ii)( ψϕ .

Rezultă cy−=ϕ şi cx=ψ .

Se obţine pentru: ikcy =−=ϕ – reprezintă familia liniilor de

potenţial (drepte paralele cu axa Ox )

ijcx ==ψ – reprezintă familia liniilor de curent (drepte paralele cu

axa Oy )

Spectrul hidrodinamic (fig. 19.22) este inversat faţă de cazul

precedent. Componentele vitezei sunt 0=∂

∂=

xu

ϕ şi c

yv −=

∂

∂=

ϕ, deci viteza

are numai componenta după axa y , ∞=−= vcv . Este vorba deci de o mişcare

permanentă uniformă pe direcţia y . Rezultă zvzw ∞= i)( .

Fig 19. 22. Spectrul hidrodinamic al mişcării

caracterizate prin potenţialul complex

czzw i)( =

20. Să se traseze spectrul hidrodinamic al mişcării cu potenţialul

zCzw e)( ⋅= , RC ∈ , Cz ∈ .

Rezolvare.

Variabila z se scrie în sistemul de coordonate xOy :

yxz i+=

Deci potenţialul complex devine:

yxyx CCzw ii eee)( ⋅⋅=⋅= + ,

unde

yyy sinicosei += .

Rezultă:

yCyCzw xx sineicose)( ⋅⋅⋅+⋅⋅=

y

0x

=const

=constϕ

ψ


ψϕ i)( +=zw

Deci =⋅⋅= yC x coseϕ const. – familia liniilor echipotenţiale;

=⋅⋅= yeC x sinψ const. – familia liniilor de curent.


yCx

v xx cose ⋅⋅=

∂

∂=

ϕ

yCy

v xy sine ⋅⋅−=

∂

∂=

ϕ

Pentru 1=C , ]2,0[ π∈y , ]5,0[∈x şi ψϕ ∆=∆ rezultă

0=ϕ 0=x 57,1=y 0=ψ 0=x 0=y

5=x 57,1=y 5=x 0=y

10,0=ϕ 0=x 47,1=y 10,0=ψ 0=x 1,0=y

5=x 57,1=y 5=x 41073,6 −⋅=y

20,0=ϕ 0=x 39,1=y 20,0=ψ 0=x 20,0=y

5=x 569,1=y 31034,1 −⋅=y

00,1=ϕ 0=x 0=y 00,1=ψ 0=x 57,1=y

5=x 564,1=y 5=x 31073,6 −⋅=y

Prin reprezentare în planul xOy rezultă spectrul hidrodinamic din

(fig 19.23).

Fig. 19. 23. Spectrul hidrodinamic al mişcării

caracterizate prin potenţialul complex zCzw e)( ⋅=

x

y

0

=1,00

5

/2

ψ

=1,00ϕ

=0ϕ

=0ψ

π


30. Să se traseze diagrama distribuţiei presiunilor hidrodinamice pe un

stăvilar plan dreptunghiular cu deschiderea 2,0=a m şi adâncimea apei în

amonte 4=H m (fig. 19.24).

Fig. 19.24. Distribuţia presiunilor pe stavilă

în regim hidrostatic

Rezolvare. În regim hidrostatic (stavilă total închisă) distribuţia

presiunilor este liniară (fig. 19.24).

Prin deschiderea stavilei, mişcarea apei către stăvilar se poate asimila

cu mişcarea potenţială spre o sursă negativă, având potenţialul complex

zq

zw ln2

)(π

−= unde b

Qq =

În coordonate polare se scrie :

θie⋅= rz şi )i(ln2

eln2

i)( i θππ

ψϕ θ +−=⋅−=+= rq

rq

zw

Liniile echipotenţiale şi de curent rezultă din =−= rq

ln2π

ϕ const.,

respectiv =−= θπ

ψ2

qconst., adică primele sunt cercuri concentrice cu centrul

în polul O , iar celelalte reprezintă un fascicul de drepte radiale (convergente în

pol), (fig. 19.25).

Viteza are direcţie de asemenea radială

r

q

r

rx

⋅⋅−=

∂

∂=

π

ϕ

2v

iar produsul r⋅v are valoarea constantă pentru =q const., în ipoteza unei

valori mici a raportului Ha .

Linia paramentului amonte al stăvilarului este o linie de curent pe care

o notăm Axa −−−0 . Pe această linie putem scrie

AAaaxx rrr ⋅=⋅=⋅ vvv , adică Har Aaxx ⋅=⋅=⋅ vvv

a

H

Distributia

presiunilor inregim hidrostatic

0


Aplicând ecuaţia Bernoulli pe această linie între secţiunile aA − şi

xA − , cu planul de referinţă la fundul canalului rezultă

g

ag

pr

gH ax

xA

2

v

2

v

2

v 222

+=++=+γ

în care a

H Aa

vv

⋅= şi

x

Ax r

H vv

⋅= .

Deci aHa

H

gA −=

−1

2

v2

22

şi aH

a

gA

+=

22

2

v

Rezultă x

Ax r

Hv ⋅=v ,

2

222 v

vx

Ax

r

H⋅= şi

2

222

2

v

x

x

r

H

aH

a

g⋅

+=

Ţinând cont de relaţiile anterioare rezultă

−⋅⋅−−=

−⋅

+−−=⋅

+−−

++= −

116

105,9412

3

2

22

2

222

x

x

x

x

x

xr

rr

H

aH

arH

r

H

aH

ar

aH

aH

p

γ

care este legea de distribuţie a presiunilor pe stăvilar în regim dinamic

(fig. 19.25). Pentru câteva valori ale lui xr între ara = şi HrA = rezultă

presiunile în punctele respective:

2,0=xr 05,3=γp 5,0=xr 21,3=γp

1=xr 85,2=γp 2=xr 93,1=γp

3=xr 96,0=γp 4=xr 0≅γp

Fig. 19.25. Distribuţia presiunilor pe

stavilă în regim dinamic

0

r

a

A

x

a

=constψ

=constϕ


CAPITOLUL 20

MIŞCAREA APELOR SUBTERANE

Mişcarea apelor subterane face parte din problema generală a mişcării

fluidelor prin medii poroase, particularizarea constând în natura celor două faze

inseparabile:

- faza solidă – mediul poros este roca dezagregată sau fisurată;

- faza lichidă – apa subterană.

În prealabilul studiului se fac câteva referiri succinte asupra fazei

lichide si solide.

a. Faza lichidă – apa subterană se găseşte în roca permeabilă sub

următoarele forme:

- apă legată, sub forma apei de higroscopicitate şi apa peliculară sunt

reţinute într-un strat subţire în jurul particulelor solide prin forţe de absorbție şi

de adeziune. Aceste forme de apă sunt strâns legate de scheletul solid, nu

participă la mişcare şi nu transmit presiunea;

- apa capilară este reţinută prin acţiunea tensiunii superficiale în

interspaţiile dintre particulele de solid. Această formă de apă se mişcă sau este

în echilibru sub acţiunea forţelor capilare şi gravitaţiei şi transmite presiunea;

- apa gravitaţională ocupă restul spaţiului din scheletul solid şi se

supune legilor gravitaţiei. Această apă liberă constituie partea activă a apei

subterane, de această apă se ocupă hidraulica subterană. Anumite aspecte, mai

generale, sunt studiate de hidrogeologie.

b. Faza solidă este constituită din pământ (geotehnic), sol (pedologic)

şi mai rar roci fisurate. Terenul este întotdeauna neomogen şi anizotrop. Totuşi

în studiul mişcării se obţin rezultate satisfăcătoare pentru practica inginerească

considerând domeniul mişcării - în totalitate sau pe porţiuni - omogen şi

izotrop. Principalele caracteristici geometrice ale fazei solide reprezintă curba

granulometrică, diametrul caracteristic şi forma particulelor, porozitatea (indicele porilor), porozitatea de cedare şi de reţinere.

Presupunerea omogenităţii şi izotropiei scheletului solid, la care se

adaugă forma geometrică a domeniului, se numeşte schematizarea condiţiilor


naturale. Natura este însăşi realitatea (în toată complexitatea ei), pe care o

considerăm prin intermediul schemei sale.

Operaţia de schematizare este foarte importantă în calculele referitoare

la mişcarea apei subterane (ca de altfel în orice calcul tehnic). Schematizarea

terenurilor permeabile se referă atât la caracteristicile lor de a lăsa apa să treacă,

cât şi la cauzele care provoacă mişcarea şi care în calcule se materializează prin

condiţiile de margine şi iniţiale.

Calculele de mişcare ale apelor subterane se fac pe scheme. De aici

rezultă că oricât de bun şi exact ar fi calculul, la o schemă necorespunzătoare,

rezultatele sunt eronate. Totdeauna există o incertitudine asupra corectitudinii

schemei - proprietăţile terenului se determină prin sondaje (deseori în poziţie

arbitrară), între ele caracteristicile terenului fiind considerate identice sau

mediate.

Mişcarea apelor subterane numită filtraţie, infiltraţie sub acţiunea

gravitaţiei şi aplicaţiile sale în ingineria civilă şi a mediului se numeşte

hidraulică subterană.

Aplicarea legilor din hidrodinamica apelor subterane necesită

schematizarea mediului şi a condiţiilor de margine.

Metodele de soluţionare a infiltraţiilor se pot realiza prin:

- metode analitice;

- metode numerice iterative;

- metode grafice prin aproximaţii succesive;

- metode analogice (electrice, hidraulice);

- metode experimentale (la scară naturală sau modele).

Se apelează la ipoteze simplificatoare privind cinematica curenţilor, ca:

- ipoteza Dupuit-Forchheimer, prin care se consideră că liniile de

curent sunt paralele cu un plan dat;

- ipoteza Dupuit generalizată, prin care liniile de curent sunt orizontale

în strate foarte permeabile şi verticale în strate foarte puţin permeabile;

- ipoteza Hooghoudt, în care în zonele cu surse punctiforme se

consideră liniile de curent radiale.

20.1. SCHEMA TEORETICĂ A CURGERII PERMANENTE

A APEI SUBTERANE ÎN REGIM SATURAT

Mişcarea apei subterane, când toţi porii sunt ocupaţi de apă se numeşte

filtraţie. Când parte din goluri este ocupată şi de aer (fază gazoasă) se vorbeşte

de infiltraţie. În funcţie de direcţia mişcării în diferite domenii ale ştiinţei se


utilizează diferite denumiri pentru mişcarea fazei fluide (exfiltraţie, penetraţie,

percolaţie şa).

20.1.1. Schematizarea curgerii

La curgerea permanentă a apei subterane în regim saturat mişcarea

prin golurile dintre particulele solide ale scheletului se înlocuieşte cu o mişcare aparentă care ar avea loc pe toată secţiunea ocupată şi de scheletul solid şi de

apă (pori) cu condiţia ca debitul volumic în ambele cazuri să fie identic

(fig. 20.1).

AgpA

Ag , Vr , VAΣ

Fig. 20.1. Schema filtraţiei permanente

vv ⋅=⋅= AAQ rr (20.1)

unde ∑= gr AA este aria reală a golurilor într-o secțiune; pA - aria secţiunii

particulei; A

An g∑

= - porozitatea; vr – viteza reală a apei pe secţiunea porilor;

v - viteza aparentă pe secţiunea; ∑ ∑+= pg AAA .

Ţinând seama de porozitate, viteza reală este

nrv

v = (20.2)

(De fapt apa nu circulă pe întreaga secţiune a porilor, parte este ocupată de apa

strâns legată, parte de apa capilară. Suprafaţa din goluri ocupată de apă strâns

legată şi apă capilară raportată la secţiunea totală este porozitatea de reţinere

rn , în restul golurilor, caracterizate de porozitatea de cedare cn , curge apa

gravitaţională. Astfel, cr nnn += şi viteza de mişcare considerată uniformă

este c

rc n

vv = ).


20.1.2. Legea fundamentală a filtraţiei (legea lui Darcy)

Relaţia între gradientul hidraulic I şi caracteristicile cinematice ale

curentului de apă subteran au fost stabilite de H. Darcy în 1856. Experienţele

efectuate conform schemei din (fig. 20.2), pe un material poros (nisip cu pietriş

cu porozitatea n = 0,38) au vizat stabilirea debitului filtrat sub sarcină şi

secţiune aparentă cunoscute:

21 hhh −=∆ ; I h L= ∆ (20.3)

A rezultat că, într-o mişcare permanentă debitul filtrat este în

dependență liniară cu secţiunea aparentă, gradientul hidraulic şi un factor de

proporţionalitate k numit coeficientul filtraţiei.

IkAL

hkAQ ⋅⋅=

∆⋅⋅= (20.4)

Caracteristici material:

58 % din greutate d = 0,77 mm



17 % pietriş

n = 0,38

Fig. 20.2. Schema instalaţiei lui H. Darcy

În determinări, mişcarea apei este ascendentă pentru a asigura regim

saturat.

Coeficientul de filtraţie are semnificaţia unei viteze aparente pentru

gradientul hidraulic unitar.

Scriind ecuaţia (20.4) pentru viteza aparentă între două secţiuni infinit

vecine se obţine forma diferenţială a legii lui Darcy.

IkdLdhk ⋅=⋅=v (20.5)

Materialpermeabil

Q

LA

∆h

20.1.3 Domeniul de valabilitate al legii lui Darcy

Legea liniară a lui Darcy pentru viteza aparentă a filtraţiei a fost

confirmată de numeroase studii experimentale pentru anumite limite. Ea

corespunde pentru mişcarea apei subterane atunci când se pot neglija forţele de

inerţie, deci pentru viteze şi, implicit, numere Reynolds mici.

Legea lui Darcy este valabilă numai pentru o parte a regimului de

curgere laminar şi este limitată atât superior cât şi inferior (fig. 20.3).

Fig. 20.3. Domeniul de valabilitate al

legii lui Darcy

Exprimând gradientul hidraulic, în forma uzuală după Weisbach,

gd

I2

v2

⋅=λ

(20.6)

cu

ba

+==Re

(Re)λλ (20.7)

în care: ν

d⋅=

vRe , iar a şi b - coeficienţi. Graficul formei funcţiei (Re)λ

evidenţiază limita de valabilitate a legii lui Darcy (fig. 20.4) pentru 'ReRe cr< .

Valoarea 'Re cr după diferiţi autori şi medii permeabile diferite, ia valori după

cum urmează:

Fig. 20.4. Valabilitatea legii

lui Darcy

V

Q

I

Imin

minV Vmax

lg λλ = a

R e

aλ =R e

+ b λ = b

L a m in a r T u rb u le n tL e g e a lu iD a ra y

lg R eR eR e 'c r c r

- Pavlovschi: 9....5,7v

23,075,0

1Re 10' <

⋅⋅

+=

ν

d

ncr ,

unde n - porozitatea, 10d - diametrul efectiv;

- Lindquist: 4v

Re' =⋅

=ν

mcr

d pentru nisip omogen;

- Schneebeli: 5v

Re' =⋅

=ν

mcr

d pentru nisip omogen;

2v

Re 10' =⋅

=ν

dcr pentru nisip neomogen;

- Mind şi Subert

2)1(6

vRe' =

−⋅

⋅=

n

dcr

αν cu α - coeficient de formă (1,3….1,4).

Limita inferioară a legii lui Darcy corespunde gradientului hidraulic iniţial de la care are loc filtraţia. Valoarea sa variază cu umiditatea, însă

minima gradientului iniţial corespunde saturaţiei.

Experimental s-a demonstrat că legea liniară a lui Darcy este valabilă

pentru 0,03 ‰ ≤ I ≤ 5 %.

20.1.4. Coeficientul de filtraţie şi de permeabilitate

Exprimând coeficientul filtraţiei din (20.4) şi înlocuind gradientul

hidraulic din (20.7) se obţine:

2 2

2

v v 2 2 2

1 v ν

Re 2

p

d g dk k

aI a a

d g

ρ γ γ

ρ µ µ

⋅= = = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⋅

(20.8)

în care adk p

2

= este coeficientul de permeabilitate.

Acesta depinde numai de caracteristicile mediului poros pe când

coeficientul de filtraţie depinde şi de caracteristicile fazei fluide prin greutatea

specifică γ şi coeficientul dinamic al vâscozităţii µ .

Dimensional coeficientul de permeabilitate este o suprafaţă ( 2L ) şi se

poate determina după relaţii empirice, de forma:

xp ndck ⋅⋅= 2

astfel:


- după Schlichter: 3,32 ndck p ⋅⋅= ;

- după Bahmetev: 3/42 ndck p ⋅⋅= ;

- după Casagrande: 2

85,04,1 ekk p ⋅= ;

în care c este o constantă, n - porozitatea, e - indicele porilor, iar 85,0k -

coeficientul de filtraţie pentru 10 °C şi un indice al porilor de 0,85.

Coeficientul filtraţiei depinde de diametrul particulelor, de suprafaţa

lor specifică, de porozitate, precum şi de vâscozitate şi greutatea specifică a

apei, deci de temperatură.

Dependenţa coeficientului de filtraţie de temperatură se defineşte prin

relaţiile variaţiei vâscozităţii şi greutăţii specifice a apei.

Coeficientul de filtraţie este influenţat de conţinutul de aer din

materialul permeabil care obturează parţial interstiţiile. Mişcarea apei în regim

nesaturat este afectată de prezenţa aerului care blochează parte din pori. Chiar

apa cu conţinut de aer dacă circulă prin porii mediului, prin eliberarea parţială a

aerului absorbit modifică, reduce coeficientul de infiltraţie. Fenomenul are o

anumită dinamică în timp până când se ajunge la o stare de echilibru.

Precizarea variaţiei coeficientului de infiltraţie în timp nu se poate aprecia

teoretic şi poate fi diferită chiar la acelaşi material permeabil în funcţie de

temperatură, grad de aerare a apei etc (fig. 20.5).

Fig. 20.5. Variaţia coeficientului de

infiltraţie în timp

Alt factor care influenţează hotărâtor coeficientul de infiltraţie este

tasarea. Orientativ efectul tasării intervine prin relaţia:

3

030

0

11

−−⋅=

α

α n

nkk (20.9)

în care 0k şi 0n sunt coeficientul de infiltraţie, respectiv porozitatea iniţială, iar

α - indicele de tasare (raportul volumului aparent după şi înainte de tasare).

saturat

nesaturat

k(m/s)

Coeficientul de infiltrație este influenţat şi de colmatarea mediului

permeabil. Colmatarea poate fi de natură fizică, chimică sau biologică.

Aprecierea cantitativă a efectului colmatării asupra coeficientului de infiltraţie

se poate realiza numai prin măsurători experimentale.

Determinarea coeficientului de infiltraţie se efectuează în laborator şi

pe teren după metode specifice acceptate diferitelor domenii (geotehnică,

pedologie, culturi irigate, hidrogeologie, hidraulică subterană etc.).

20.1.5. Legea filtraţiei în afara zonei de valabilitate

a legii lui Darcy

Mişcarea apei subterane pentru 'ReRe cr> este descrisă de alte legi

decât cea liniară a lui Darcy.

Pentru crReRe > , mişcarea este turbulentă şi b=λ (constant). Panta

hidraulică în expresia lui Weisbach este:

gd

bI

2

v2

⋅= sau ⋅⋅

=b

dg2v IkI t ⋅= (20.10)

în care, prin bdgkt /2 ⋅= s-a definit un coeficient valabil pentru mişcările

turbulente şi care depinde de diametrul particulelor mediului permeabil,

respectiv de suprafaţa specifică de solid şi porozitate (prin b).

După Shneebeli n

ndckt

−

⋅=

1

3

10 , unde c este o constantă, iar după

Escande 5,0

1008,7 dkt ⋅= .

Pentru crcr ReReRe' << dependenţa vitezei filtraţiei este mai

complicată, ba += Re/λ , pentru gradientul hidraulic rezultând expresia:

2vv ⋅+⋅= βαI (20.11)

Lindquist, pentru aceasta zonă a aproximat viteza aparentă prin:

IkIba

dgtr ⋅=⋅

+

⋅=

Re)(v

2

ν (20.12)

Pentru medii permeabile omogene 1100=a şi 12=b , iar pentru

medii permeabile neomogene 1100=a şi 30=b .


20.1.6. Mişcarea apei subterane în medii poroase stratificate

Apa subterană este cantonată sau se mişcă în stratele permeabile sub

acţiunea gravitaţiei. Stratele permeabile şi impermeabile alternează, în

interiorul lor putând exista diferite incluziuni cu caracteristici permeabile

diferite (fig. 20.6).

Fig. 20.6. Apa subterană în acvifer stratificat

Mişcarea apei subterane poate avea loc sub presiune (fig. 20.7) liniile

de curent fiind drepte paralele, iar liniile echipotenţiale normale pe acestea. În

lungul curentului nivelul piezometric scade spre aval.

piezometre

linii de curent

gro

sim

e s

tra

t

acoperis

strat purtator

pat impermeabil

linii

echip

ote

ntiale

Stratificare sol

impermeabil

permeabil

pu

rta

tor

I Nivel piezometric

Fig. 20.7. Mişcarea sub presiune a apelor subterane

În situaţia când nivelul apei subterane nu ajunge la tavanul

impermeabil, mişcarea este cu nivel liber, pe toată suprafaţa liberă presiunea

fiind constantă şi egală cu cea atmosferică. Mişcarea are loc cu “consum” de

energie de poziţie, nivelul liber scade continuu în lungul curentului (fig. 20.8).


Fig. 20.8. Mişcarea cu nivel liber a apelor subterane

Filtraţia (infiltraţia) poate avea direcţie orizontală (qvasiorizontală) sau

verticală. În mediul poros stratificat fiecărui strat j îi corespunde un coeficient

de filtrație (infiltraţie), jk . Presupunând că mişcarea se supune legii lui Darcy,

rezultă:

10. La mişcare orizontală (fig. 20.9) alegând axa de coordonate x în

direcţia mişcării debitul specific filtrat pe fiecare strat este:

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

Iakq

Iakq

Iakq

333

222

111

(20.13)

respectiv debitul specific total filtrat este:

ja akIIakakakqqqq )()( 33211321 ⋅∑=⋅+⋅+⋅=++= (20.14)

Acceptând o mişcare ipotetic uniformă pe tot domeniul avem:

eq k a I= ⋅ ⋅ (20.14’)

în care produsul

( )e jT k a k a= ⋅ = ⋅∑ (20.15)

poartă numele de transmitivitatea mediului poros. Coeficientul de filtraţie global (echivalent) este:

( ) j

e

j

k ak

a

⋅=∑∑

(20.16)


S-a notat ∑= jaa . Mişcarea în fiecare strat are loc sub aceeaşi sarcină

piezometrică (respectiv panta I)

k1

k2

k3

linie piezometrica

Tavan impermeabil

a1

2a

3a

pat impermeabil

x

1

2

3

q

q

q

q

Fig. 20.9. Definirea transmisivităţii şi coeficientului de filtraţie

echivalent la mişcări paralele cu stratificaţie

20. La mişcarea verticală (fig. 20.10) debitul specific filtrat (pe unitate

de suprafaţă) este acelaşi pentru toate stratele, deci şi viteza aparentă, însă

mişcarea are loc sub sarcini diferite, deci

⋅=−−

⋅=

⋅=−−

⋅=

⋅=−−

⋅=

3

343

3

433

2

232

2

322

1

121

1

211

vsau v

vsau v

vsau v

k

ahh

a

hhk

k

ahh

a

hhk

k

ahh

a

hhk

(20.17)

Însumând relaţiile (20.17) se obţine:

∑=−=∆j

j

k

ahhh v41 (20.18)

sau

∑

∆=

j

j

k

ah

v (20.19)


Fig. 20.10. Filtraţia pe verticală

20.2. BAZELE HIDRODINAMICE ALE FILTRAŢIEI

Acceptând modelul filtraţiei (Darcy) şi ţinând seama că nu este

necesară determinarea vitezei şi presiunii pentru fiecare particulă fluidă,

mişcării apelor subterane i se pot aplica ecuaţiile clasice ale hidrodinamicii

(Navier – Stokes), scrise sub forma:

1

v 1

1

du pFx Rx

dt x

d pFy Ry

dt y

dw pFz Rz

dt z

ρ

ρ

ρ

∂= − ⋅ +

∂ ∂

= − ⋅ +∂

∂= − ⋅ +

∂

(20.20)

în care u, v, w, sunt componentele vitezei V după axele de coordonate; Fx, Fy,

Fz - componentele forţei masice pentru unitatea de masă; z

p

y

p

x

p

∂

∂

∂

∂

∂

∂,, -

componentele forţei elastice, iar Rx, Ry, Rz - componentele forţei tangenţiale

(de frecare).

Se urmăreşte obţinerea componentelor vitezei în funcţie de sarcina

piezometrică şi caracteristicile mediului poros.

Viteza aparentă a filtraţiei (supusă legii lui Darcy) fiind foarte mică se

acceptă neglijarea forţelor de inerţie (rezultate din acceleraţie), deci

0v

===dt

dw

dt

d

dt

du (20.21)


În câmpul gravitaţional componentele forţei masice pentru masă

unitară sunt:

,0=Fx 0=Fy şi gFz −= (20.22)

Termenii caracteristici forţei elastice se determină conform

(fig. 20.11), considerând o linie de curent subteran în mediu poros raportat la

un sistem cartezian. Liniile de curent pe distanţe mici respectă ipoteza Dupuit –

Forchheimer (sunt paralele şi qvasiorizontale).

Fig. 20.11. Mişcarea în lungul

liniei de curent

Sarcina totală este:

zp

H +=γ

(20.23)

Se derivează sarcina în raport cu axele de coordonate, obţinând:

−

∂

∂=

∂

∂⋅

∂

∂⋅+=

∂

∂∂

∂⋅=

∂

∂⋅

∂

∂⋅=

∂

∂∂

∂⋅=

∂

∂⋅

∂

∂⋅=

∂

∂

11

sau1

1

1sau

1

1sau

1

z

Hg

z

p

z

p

z

Hy

Hg

y

p

y

p

y

Hx

Hg

x

p

x

p

x

H

ργ

ργ

ργ

(20.24)

Componentele forţei de frecare rezultă din proiecţia acesteia şi se

determină prin egalarea lucrului mecanic realizat de acestea pe unitatea de

greutate de lichid pe distanţa ds cu pierderea de energie:

dHgmdsR ⋅⋅=⋅− ;

cu m = 1 kg , rezultă:

k

VgIg

ds

dHgR ⋅−=⋅−=⋅−= (20.25)

Proiecţiile forţei de frecare sunt:


⋅−=

⋅−=

⋅−=

k

wgRz

kgRy

k

ugRx

v (20.26)

şi ecuaţiile diferenţiale ale mişcării (20.20) devin:

∂

∂⋅−=

∂

∂⋅−=

∂

∂⋅−=

z

Hkw

y

Hk

x

Hku

v (20.27)

Ecuaţiile (20.27) sunt ecuaţiile diferenţiale ale mişcării apelor

subterane supuse legii lui Darcy şi arată că proiecţiile vitezei aparente ale

filtraţiei sunt derivatele parţiale ale unei funcţii spaţiale cHk +⋅−=ϕ

)( cHkgradgradV +⋅−== ϕ (20.28)

Mişcarea apelor subterane supuse legii lui Darcy este deci o mişcare

potenţială.

Astfel, studiul mișcării apelor subterane supuse legii lui Darcy se

poate realiza prin teoria mişcărilor potenţiale.

Funcţiile ),,( zyxϕ şi ),,( zyxH satisfac ecuaţia de continuitate,

rezultând ecuaţia lui Laplace

02 =∇ ϕ , respectiv 02 =∇ H ,

ambele fiind funcţii armonice.

Din ecuaţia liniilor de curent şi irotaţionalităţii se obţine conjugata

funcţiei potenţial, funcţia curent ),,( zyxψ .

Proprietăţile funcţiilor potenţial şi curent sunt prezentate în cap 19.

Integrarea ecuaţiilor Laplace permite determinarea funcţiei ),,( zyxH

din care, apoi, se pot determina componentele vitezei şi presiunea.

În cazul mişcărilor plane (ex. plan verticale) potenţialul vitezelor, care

satisface ecuaţia lui Laplace:

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

zx

ϕϕ (20.29)

poate constitui partea reală a unei funcţii f de variabilă complexă


ψϕ iZf +=)( (20.30)

unde

izxZ += (20.31)

este variabila complexă.

Funcţia ),( zxψ este funcţia curent care, pentru c=ψ descrie o

familie de linii de curent. Între funcţiile ϕ şi ψ există condiţiile Cauchy –

Rienmann

=∂

∂−=

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂

wxz

uzxψϕ

ψϕ

(20.32)

20.2.1 Spectrul hidrodinamic

Reprezentarea grafică a familiilor de curbe czx =),(ϕ şi czx =),(ψ

în planul complex izxZ += este spectrul hidrodinamic. De obicei,

reprezentarea se face astfel încât între două curbe vecine, în întregul domeniu

de mişcare (sau pe zone), diferenţa între două echipotenţiale ϕϕϕ ∆=−+ ii 1 să

fie constantă; la fel şi diferenţa între valorile a două linii de curent vecine

.1 constjj =∆=−+ ψψψ Altfel se obţine un spectru hidrodinamic de

dreptunghiuri curbilinii, cu raportul laturilor ./ constns =∆∆ (fig. 20.12).

∆n

∆s

ϕi-1i+1 ϕ ϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

ψ

ψ

ψ

j+1

j

j-1

∆s

∆n

ψ

ψ

ψ

Fig. 20.12. Spectrul hidrodinamic în medii poroase omogene

Prin construcţia grafică ψϕ ∆=∆ se obţine un spectru hidrodinamic

pătratic. În pătratele curbilinii se pot înscrie cercuri.

Marginile domeniului mişcării pot fi linii de curent (contur

impermeabil) sau linii echipotenţiale (zone de alimentare) precum şi alte linii.


Proprietăţile spectrului hidrodinamic în medii permeabile omogene şi

izotrope sunt:

- liniile de curent şi echipotenţiale formează spectru ortogonal;

- liniile echipotenţiale nu se intersectează între ele, la fel şi liniile de

curent (excepţie puncte singulare teoretice);

- pentru ψϕ ∆=∆ spectrul hidrodinamic este pătratic;

- spectrul hidrodinamic nu depinde de valoarea absolută a

coeficientului de filtraţie k , ci numai de raportul acestor coeficienţi din diferite

zone ale domeniului de filtraţie.

20.2.2. Calculul parametrilor hidraulici ai filtraţiei

cu ajutorul spectrului hidrodinamic

Spectrul hidrodinamic permite calculul tuturor parametrilor hidraulici

ai filtraţiei. Se presupune cunoscut spectrul hidrodinamic reprezentat la scară în

coordonatele planului izxZ += .

10. Gradientul hidraulic şi viteza de filtraţie medie se determină pe

baza figurii 20.13 din legea lui Darcy, scrisă în diferenţe finite:

Fig. 20.13. Calculul gradientului hidraulic

şi vitezei de filtraţie

s

HI

∆

∆= (20.33)

s

Hk

s ∆

∆⋅=

∆

∆=

ϕv (20.34)

Se poate determina numai viteza medie pe celulă pe secțiunea 1⋅∆n .

În cazul când se doreşte o precizie mai bună este necesară îndesirea liniilor

echipotenţiale pe un grafic la scară adecvată. Viteza determinată este viteza

∆s

∆n

ϕ

ϕ

ϕ

∆H

ψi

i+1ψ

ψ


aparentă a filtraţiei. Viteza reală de mişcare rezultă din (20.2 ) cu porozitatea n

înlocuită cu porozitatea de cedare cn .

Relaţia (20.33) permite construirea diagramei de repartiţie a

gradienţilor hidraulici în lungul conturului de ieşire al curenţilor din mediul

permeabil, necesară la verificarea stabilităţii locale.

20. Debitul filtrat este suma debitelor filtrate de-a lungul tuburilor de

curent mărginite de două linii de curent ( )ii ψψ ,1+

iqq ∆∑= (20.35)

în care

( ) Hs

nknq

iiii ∆⋅

∆

∆=⋅∆=∆ v (20.36)

Dacă spectrul este construit pentru .const=∆ϕ şi cs

n=

∆

∆, atunci iq∆

este identic pentru fiecare tub de curent şi

Hkcqi ∆⋅⋅=∆ (20.37)

Spectrul fiind format din 1+M linii de curent, M tuburi de curent, debitul

total filtrat este:

HkcMq ∆⋅⋅⋅= (20.38)

Dacă H∆ este o fracţiune din diferenţa totală de nivel minmax HHH −= ,

definită de 1+N linii echipotenţiale

N

H

N

HHH =

−=∆ minmax (20.39)

şi debitul specific total filtrat devine

HcN

Mq ⋅⋅= (20.40)

În cazul unui spectru hidrodinamic pătratic 1=c . Calculul poate fi

efectuat şi în cazul liniilor de curent şi echipotenţiale fracţiuni din întreg.

30. Distribuţia presiunilor.

Presiunea într-un punct oarecare se stabileşte cunoscând sarcina totală

H şi cota punctului z , cu condiţia ca cele două mărimi să fie luate în raport cu

acelaşi plan de referinţă, deci

( )zHp −⋅= γ (20.41)


Relaţia permite calculul diagramelor de subpresiune la diferite

construcţii hidrotehnice la nivelul tălpii fundaţiei sau în anumite strate,

necesare verificării stabilităţii generale sau locale. Un exemplu este prezentat în

(fig. 20.14).

Fig. 20.14. Diagrama subpresiunilor la

o construcţie hidrotehnică

20.2.3. Mişcări plane verticale cu suprafaţă liberă

Pe suprafaţa liberă presiunea este cea atmosferică, în presiuni

manometrice 0=p .

Neglijând ascensiunea capilară din (20.23) rezultă

zH = şi czk +⋅=ϕ (20.42)

Pe lângă condiţia (20.42), generală pentru orice mişcare, în regimul

permanent se mai adaugă condiţia ca forma suprafeţei libere să fie o linie de

curent. În mişcare permanentă suprafaţa liberă are poziţie constantă, deci

0=dt

dz (20.43)

Din acest considerent rezultă că componenta vitezei normală la

suprafaţa liberă este nulă

0=nv şi 0=∂

∂

n

ϕ sau 0=

∂

∂

s

ψ, (20.44)

deci suprafaţa liberă este o linie de curent (fig. 20.15).

Fig. 20.15. Spectrul hidrodinamic şi condiţiile

de margine la filtraţia cu nivel liber

100

(%)H

90

80

70

60

50

40

30

20

10

0

90 80 70 60 50 40 30 20 10

ϕ=100 ϕ=0

ψ1

ψ2

ψ3

ψ=3.5


Frontul de alimentare AB este o echipotenţială, 1HH = . Suprafaţa

liberă BC şi patul impermeabil AD sunt linii de curent, 0/ =∂∂ nH . Ieşirea

CD se numeşte zona de izvorâre şi este caracterizată de zH = .

În unele situaţii particulare chiar în mişcare permanentă suprafaţa

liberă nu este linie de curent (ex. drenaj alimentat de la suprafaţă în regim

permanent – fig. 20.16) - suprafaţa liberă în punctul 0 este o linie

echipotenţială.

A

0ϕ

ψ

a b

q

Fig. 20.16. Poziţii extreme ale suprafeţei libere:

a. suprafaţa liberă – echipotenţială (orizontală în 0);

b. suprafaţă liberă – linie de curent pe verticală.

20.2.4. Mişcări plane verticale în medii

poroase neomogene, anizotrope

În cazul general viteza filtraţiei este produsul dintre tensorul k şi

gradientul hidraulic

gradHkV ⋅−= (20.45)

în care tensorul k , simetric are expresia

zzzx

xzxx

kk

kkk = (20.46)

cu condiţia zxxz kk = .

Ecuaţia de continuitate pentru lichid incompresibil, în mişcarea

permanentă este:

0=∂

∂+

∂

∂=

z

w

x

uVdiv (20.47)


z

Hk

x

Hkw

z

Hk

x

Hku

zzzx

xzxx

∂

∂−

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂−=

(20.48)


Înlocuind (20.48) în (20.47) se obţine:

0xx xz zx zz

H H H Hk k k k

x x z z x z

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (20.49)

Dacă x şi z sunt direcţiile principale ale tensorului k , atunci

0== zxxz kk şi se obţine:

0=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂

z

Hk

zx

Hk

x zzxx (20.50)

Pentru mediul omogen şi izotrop kkk zzxx == şi (20.50) se

transformă în ecuaţia lui Laplace (20.29).

20.2.5. Mişcări plane verticale în medii ortotrope

Mediul ortotrop este un mediu cu anizotropie regulată în care

./ constkk xxzz =

Mişcarea într-un mediu ortotrop poate fi studiată cu ajutorul unei

mişcări dintr-un mediu izotrop printr-o distorsionare corespunzătoare a

domeniului. Se presupune că direcţiile în mediul ortotrop sunt x şi y. Se va

distorsiona mediul după o singură direcţie (x).

λ

xX = şi Z = z (20.51)

X şi Z fiind coordonatele în mediul distorsionat (fig. 20.16’).

k xx

k zz k

kZZ

XX

X

Zz

x

Mediu real Mediu distorsionat

Fig. 20. 16’. Distorsionarea mediului ortotrop

Debitele specifice pe feţele mediilor sunt pentru mediul real:

zx

Hkq x

xxx ∆∆

∆= şi x

z

Hkq z

zzz ∆∆

∆⋅= ,

iar pentru mediul distorsionat:

ZX

Hkq X

XXX ∆∆

∆= şi X

Z

Hkq Z

ZZZ ∆∆

∆⋅=


Din condiţia egalităţii debitelor şi sarcinilor din cele două medii

Xx qq = ; Zz qq = ; Xx HH = şi Zz HH = ,

ţinând cont de (20.51) rezultă:

XXxx kk λ= ; ZZzz kkλ

1= .

Punând condiţia izotropiei mediului distorsionat kkk ZZXX == , se

obține:

zz

xx

k

k=λ (20.52)

şi

zzxx kkk ⋅= (20.53)

20.2.6. Mişcări plane orizontale

Mişcările spaţiale care au loc pe domenii extinse în plan orizontal şi cu

dimensiuni reduse pe verticală pot fi tratate ca mişcări plane, admiţând ipoteza

lui Dupuit, aceea că liniile de curent sunt orizontale. Mediul poros poate fi

stratificat, în calcule lucrându-se cu transmisivitatea T, (20.15) sau coeficientul

de filtraţie echivalent k, (20.16).

Debitul unitar poate fi scris:

qradHTq −= (20.54)

în care T este tensorul transmitivităţii, în cazul general de mediu poros

neomogen şi anizotrop având forma:

yyyx

xyxx

TT

TTT = (20.55)

unde yxxy TT = .


y

HT

x

HTq xyxxx

∂

∂−

∂

∂−=

(20.56)

y

HT

x

HTq yyyxy

∂

∂−

∂

∂−=

sau


jy

hT

x

HTi

y

HT

x

HTq yyyxxyxx

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−= 20.57)

Dacă x şi y sunt direcţiile principale ale tensorului T atunci

0== yxxy TT şi

respectiv (20.57) devine:

jy

HTi

x

HTq yyxx

∂

∂−

∂

∂−= (20.57’)

Transmitivitatea definită prin (20.15) se referă la toate stratele

cuprinse între patul impermeabil şi suprafaţa liberă sub acoperişul impermeabil

(la filtraţia sub presiune).

Ecuaţia de continuitate în mişcarea permanentă şi alimentare de la

suprafaţă cu debitul unitar ( )yxq , , care este pozitivă pentru “venituri“ –

precipitaţii şi irigaţii – şi negativă pentru “pierderi“ - evaporaţie, transpiraţie,

este:

( ), 0xx xy yx yy

H H H HT T T T q x y

x x y y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (20.59)

Când x şi y sunt direcţiile principale de anizotropie (20.59) devine:

( ), 0xx yy

H HT T q x y

x x y y

∂ ∂ ∂ ∂ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (20.59’)

Particularizând ecuaţiile pentru mediu izotrop TTT yyxx == şi 0== yxxy TT ,

avem:

( ), 0H H

T T q x yx x y y

∂ ∂ ∂ ∂ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (20.59”)

10. În mişcare sub presiune ( ) .constakT ==∑ (nu depinde de

coordonate) şi se obţine (fig. 20.17.a)

2 2

2 20

H H q

x y T

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (20.60)

20. În mişcare cu nivel liber în mediu omogen şi izotrop khT ⋅= cu h

adâncimea apei şi k = const. (fig. 20.17.b), avem:


0H H q

h hx x y y k

∂ ∂ ∂ ∂ + + =

∂ ∂ ∂ ∂ (20.61)

30. Pentru pat impermeabil orizontal şi admis ca plan de referinţă

H = h, rezultă (fig.20.17.c)

2 2

2 22 0

H H q

x y k

∂ ∂+ + =

∂ ∂ (20.62)

suprafata piezometrica

a1

a2

a3

1k

k2

3k

Tk

H h

suprafata libera

Plan 0 Plan 0 Plan 0

suprafata libera

h=H

k

a b c

Fig. 20.17. Cazuri de filtraţii plane orizontale

20.2.7. Spectrul hidrodinamic în medii neomogene, anizotrope

În cazul mediilor permeabile oarecare cele două familii de curbe ale

spectrului hidrodinamic ( )ψϕ, nu mai sunt ortogonale şi nici nu se formează o

reţea regulată de patrulatere curbe. Debitul în lungul unui tub de curent (între

două linii de curent) rămâne constant, proprietate derivate din ecuaţia

continuităţii.

La limita a două zone, fiecare din zone fiind omogenă şi izotropă va

exista o refracţie a liniilor de curent, asemănătoare refracţiei luminii, după

legea (fig.20.18);

2

1

2

1

k

k

tg

tg=

θ

θ (20.63)

Fig. 20.18. Refracţia liniilor de curent

la limita mediilor permeabile

k1

k2

θ2 V2

V1 π/2θ1


Câteva cazuri particulare, des întâlnite în practică, sunt prezentate în

cele ce urmează.

10. Limita mediu permeabil - impermeabil

01 ≠k , 2

0 112

πθθ =⇒∞=⇒= tgk

Deci liniile de curent sunt paralele cu limita stratelor (fig. 20.19.a).

20. Ieşirea din mediu permeabil în mediu foarte permeabil (saltea

drenantă) este caracterizată prin:

1 2,k k≪ , deci ,01 ⇒θtg respectiv 01 ⇒θ

,2 ∞⇒θtg respectiv 2

2

πθ ⇒

în stratul superior liniile de curent sunt aproape normale pe suprafaţa de

separaţie a stratelor, iar în stratul inferior liniile de curent sunt aproape paralele

cu suprafaţa de separaţie (fig. 20.19.b).

30. Ieşire din mediu permeabil

0, 21 ≠∞= kk deci 02 =θtg şi 02 =θ

arată direcţia normală a liniilor de curent la suprafaţa de ieşire (fig. 20.19.c).

k1=∞ψ

k2=0 k2

k2>>k1

k1≠0 k1 ψ

k2≠0

a b c

Fig. 20.19. Cazuri particulare de refracţie

În medii permeabile anizotrope liniile de curent şi echipotenţiale se

intersectează sub unghiul (fig. 20.20).

xxzz

zzxx

kk

tgkctgkarctg

−

+=

ββα (20.64)


Fig. 20.20. Spectrul hidrodinamic în medii

permeabile anizotrope

20.2.8. Metode pentru construirea spectrului hidrodinamic

Principalele metode pentru construirea spectrului hidrodinamic sunt:

- metode analitice: * metoda funcţiilor de variabilă complexă;

* metoda transformărilor conforme;

* alte metode analitice;

- metode numerice: * metoda diferenţelor finite;

* metoda reziduurilor ponderate (Galerkin

şi Ritz, element finit, element de

frontieră, dual reciprocităţii);

- metode de laborator * modelare fizică;

* modelare analogică;

- metoda grafică prin aproximaţii succesive.

În ultima perioadă metodele numerice au căpătat o dezvoltare amplă,

dar se apelează şi la metode analitice şi de laborator (în special pentru

calibrarea metodelor numerice).

20.3. CALCULUL FILTRAŢIEI PRIN METODE HIDRAULICE

20.3.1. Mişcarea uniformă a apelor subterane

Mişcarea uniformă a apelor subterane se defineşte ca mişcarea

permanentă rectilinie cu elementele hidraulice şi geometrice constante în lungul

curentului. Liniile de curent sunt drepte paralele cu patul impermeabil, care

trebuie să fie un plan, iar suprafaţa liberă este paralelă cu patul impermeabil. Pe

suprafaţa liberă a curentului subteran presiunea este egală cu presiunea

atmosferică (fig. 20.21).

x

z

0

z=const

k

k

zz

xx

βα

ϕ

ψ


Fig. 20.21. Mişcarea uniformă

a apelor subterane

În secţiunea transversală (verticală) a curentului subteran presiunea se

repartizează după legea hidrostaticii în câmp gravitaţional. Secţiunile normale

pe liniile de curent (ex. 0,1,2) sunt suprafeţele echipotenţiale. Vitezele de

curgere fiind foarte mici se permite neglijarea termenului cinetic ( )gv 2/2 în

raport cu termenii poziţionali şi piezometrici ( γ/pzH += ). Mişcarea are loc

prin “consum“ din sarcina piezometrică dH pe distanţa ds. Pentru inclinaţii

mici ale patului impermeabil panta geometrică şi piezometrică coincid.

ds

dHtgI −=≈= θθsin (20.65)

În mediu permeabil omogen şi izotrop, cu mişcarea supusă legii lui

Darcy, viteza aparentă a filtraţiei este:

Ikds

dHku ⋅=⋅= (20.65’)

iar prin aplicarea continuităţii pentru secţiunea normală 0A debitul curentului

subteran este:

IkAQ ⋅= 0 (20.66)

Secţiunea normală A0 defineşte adâncimea normală h0 care este

constantă în lungul curentului.

Termenul cinetic fiind foarte mic adâncimea critică nu are sens fizic.

Energia specifică a curentului este e = h, creşte liniar cu adâncimea, în

coordonate e - h fiind o dreaptă la 45° care trece prin originea axelor.

Soluţionarea problemelor de mişcare uniformă a curenţilor subterani

se poate face şi prin metode hidrodinamice, utilizând funcţia de variabilă

complexă.

Potenţialul complex w = aZ cu 21 aiaa ⋅−= constanta complexă şi

izxZ += variabilă complexă, definesc mişcarea plan paralelă verticală.

k

Hh =const

dH

01 2

s

I

dsz

0

θ

0

0


Alegerea constantelor reale a1 si a2 poate defini orice mişcare uniformă

subterană.

20.3.2. Mişcarea permanentă lent variată a curenţilor subterani

La studiul mişcării permanente lent variate a apei subterane se admite

ipoteza lui Dupuit (ipoteză cinematica asupra liniilor de curent) prin care liniile

de curent sunt paralele intre ele, în particular putând fi considerate orizontale. O

consecinţă a acestei ipoteze este distribuţia uniformă a vitezelor şi gradienţilor

hidraulici pe verticală.

10. Ecuaţia diferenţială a mişcării rezultă din legea lui Darcy aplicată

curentului de filtraţie permanent lent variat (fig. 20.22).

Fig. 20.22. Mişcarea permanentă

lent variată a apelor

subterane

Viteza aparentă a filtraţiei este :

kIv = (20.66)

în care

ds

dhi

ds

dhtg

ds

dHI −=−=−= θ (20.67)

obţinând

−=

ds

dhikv (20.68)

sau din condiţia continuităţii pentru curent permanent

−==

ds

dhiAkAvQ (20.69)

θ

00

ds

dH

H2

k

1

i

h

Idh

2

H1

Mişcarea permanentă lent variată a apelor subterane poate avea loc

pentru diferite înclinaţii ale patului albiei: pozitivă, orizontală sau negativă,

însă plană.

Integrarea ecuaţiei diferenţiale (20.69) se realizează pentru albii

prismatice sau cilindrice subterane.

20. Integrarea ecuaţiei diferenţiale pentru pantă pozitivă, i>0

Comparând elementele mişcării curentului subteran lent variat

(caracterizat prin v şi h) cu curentul uniform (caracterizat prin v0 şi h0) la

aceeaşi pantă i şi debit Q rezultă:

−=

ds

dhiAkkiA0

Notând cu η=0AA , ecuaţia de mai sus devine:

ids

dh

−=

η

11 (20.70)

care este expresia diferenţială a suprafeţei libere.

Adâncimea normală h 0 împarte domeniul mişcării în două zone:

a – peste adâncimea normală (h>h 0 ) şi b – sub adâncimea normală (h<h 0 )

(fig. 20.23)

Fig. 20.23 Curbele suprafeţei libere

ale apei subterane în

mişcare permanentă

lent variată pentru i >0

a. În zona a h>h0 , A>A0 , η >1 , deci 0>ds

dh, deci adâncimea apei în

lungul curentului (spre aval) creşte.

Pentru h→h 0 (în amonte ), A→A 0 , η→1 şi ds

dh→0, adică în amonte

curba suprafeţei libere tinde asimptotic la linia adâncimii normale.

b

Na

a

bN

k(suprainaltare)

(coborare)

12

h1

h0h

h2

i>0

s1 s

s2

În aval, pentru h→∞, A →∞,η→∞ şi ds

dh→i, ceea ce arată că în

partea aval curba suprafeţei libere tinde asimptotic la orizontală. Curba din

zona a este de supraînălţare cu concavitatea în sus.

b. În zona b: h< h0, A< A0, η <1, deci ds

dh< 0 arată că adâncimea

curentului subteran scade spre aval.

În amonte, pentru h→h 0 , constatările de la pct. a) rămân valabile,

curba suprafeţei libere tinde asimptotic la linia adâncimilor normale.

În aval, pentru h→0, A→0, η→0 şi ds

dh→∞, deci suprafaţa liberă

(teoretic) tinde asimptotic la normala patului impermeabil. Curba coborâtoare

din zona b are concavitatea în jos.

Spre sfârşitul curbei, în aval, nu se respectă ipoteza lui Dupuit, în

această zonă curbura liniilor de curent este pronunţată şi nu pot fi considerate

drepte paralele qvasiorizontale. În această zonă ecuaţia diferenţială fizic nu este

valabilă.

Integrarea ecuaţiei diferenţiale se realizează pentru o albie subterană

de secţiune dreptunghiulară cu A=bh şi A 0 =bh 0 rezultând 0hh=η .

Diferenţiind ultima expresie ηdhdh 0= şi înlocuind în (20.70) se

obţine

−=

η

η 110 i

ds

dh sau

10 −+=

η

ηη

dd

h

ids (20.71)

Integrând ecuaţia între secţiunile 1 si 2 se obţine:

1

1ln

1

212

0 −

−+−=

⋅

η

ηηη

h

si (20.72)

unde 022 hh=η , 011 hh=η şi 12 sss −= .

Debitul specific al curentului subteran este :

2

)(

2

)( 2122

21 hhki

s

hhkq

++

−= (20.73)

30. Integrarea ecuaţiei diferenţiale pentru pat

impermeabil orizontal, i = 0

În acest caz ecuaţia diferenţială (20.69) devine:

ds

dhAkQ −= (20.74)

Adâncimea normală nu are sens fizic (h 0→∞). Pe tot domeniul

filtraţiei nivelul liber coboară spre aval, 0<dsdh .

Pentru h→0, A→0, şi −∞→dsdh , tangenta la curba suprafeţei libere

teoretice este verticală (normală la patul impermeabil orizontal). În avalul

curbei nu se respectă ipoteza lui Dupuit, în această zona liniile de curent au

curburi însemnate şi nu pot fi considerate drepte orizontale (qvasiorizontale).

Curba are concavitatea orientată spre patul impermeabil (fig. 20.24).

k

h

h90

curba coboratoare

i=0

sss

1

2

1

2

Fig. 20.24. Curba suprafeţei libere a apei subterane în mişcare

permanentă lent variată pentru i=0


Ak

Q

ds

dh−= (20.75)

Pentru albie subterană de secţiune dreptunghiulară hbA ⋅= şi

utilizând debitul specific bQq = (20.75) devine:

dsk

qhdh −= (20.76)

care integrat pentru limitele h1 şi h

2, la care corespund s

1 şi s

2cu s

2-s

1=s, se

obţine:

s

hh

k

q

2

2

2

2

1 −= (20.77)

Curba suprafeţei libere a apei subterane pentru pat impermeabil

orizontal este o parabolă – parabola lui Dupuit.

40. Integrarea ecuaţiei mişcării pentru panta negativă a patului

impermeabil i<0 Se transcrie ecuaţia diferenţială a mişcării cu notația ii ′= , deci în

sensul invers mişcării ar fi posibilă o mişcare uniformă ikAQ ′′=′0 şi (20.69)

capătă forma:

−′−=

ds

dhiAkQ (20.78)

Egalând debitele mişcării lent variate şi a unei curgeri uniforme

inverse rezultă:

+′−=′′

ds

dhiAkikA0

sau

+′−=

ζ

11i

ds

dh (20.79)

unde 0AA ′=ζ .

Fiindcă 0<dsdh curba suprafeţei libere este strict descrescătoare în

lungul curentului, iar pentru partea sa aval este valabilă constatarea de la

punctul 3 – tangenta la curba teoretică a suprafeţei libere este normală la patul

impermeabil, însă în zona aval a curbei teoretice nu se respectă ipoteza lui

Dupuit (fig. 20.25).

khQ

h 90

h'

Q'

curba coboratoare

i<0

ss

s1

2

1

2

0

Fig.20.25. Curba suprafeţei libere a apei subterane în mişcare

permanentă lent variată pentru i< 0

Integrarea ecuaţiei (20.79) se face pentru o albie subterană de secţiune

dreptunghiulară având 0hh ′=ζ şi bQq = .

După separarea variabilelor avem :

1h

'

0 ++−=

′ ζ

ζζ

ddds

i

care integrată în limitele h1 şi h

2, la care corespund s

1 şi s

2 cu s=s

2-s

1,

conduce la:

1

1ln

h

s'

1

221

0 +

++−=

′ ζ

ζζζ

i (20.80)

Debitul specific filtrat este:

( ) ( )

22

1222

21 hhik

s

hhkq

+′−

−= (20.81)

50. Infiltraţia mixtă sub presiune şi cu nivel liber

Dacă un strat permeabil are grosime a0 şi coeficientul de filtraţie k 0 ,

patul şi acoperişul impermeabil fiind orizontale, iar nivelul în amonte h 1 >a 0 ,

iar în aval h 2 <a 0 , mişcarea apei subterane este mixtă (fig. 20.26). Pe anumită

lungime l 1 filtraţia are loc sub presiune, iar pe restul, de lungime l 2 , cu nivel

liber. Debitul specific (pe unitate de lăţime) pe cele două zone este acelaşi şi se

poate scrie:

2

22

20

0

1

0100

2l

hak

l

ahkaq

−=

−= (20.82)

0k a0

h1

h2

l 1 2lL

Fig. 20.26. Infiltraţia mixtă

Adăugând condiţia geometrică L=l 1 +l 2 se obţine:

2 2

1 0 0 2

0 0 02

h a a hq a k k

L L

− −= + (20.83)

60. Calculul infiltraţiilor în terenuri neomogene

Se analizează mişcarea permanentă lent variată pe pat impermeabil

orizontal (20.3.2 pct. 3) în ipoteza modificării permeabilităţii stratului omogen,

menţinerii debitului specific filtrat si al adâncimilor la capetele curbei. Se poate

scrie:

2

22

21

2

1

22

21

122 L

hhk

L

hhkq

−=

−= (20.84)

în care L 1 şi L 2 sunt distanţate între aceleaşi adâncimi h 1 şi h 2 la acelaşi debit

filtrat q în medii permeabile cu coeficienţi de filtraţie k 1 , respectiv k 2 ,

rezultând

2

2

1

1

k

L

k

L= (20.85)

Se poate concluziona că la aceleaşi condiţii de margine are loc

curgerea aceluiaşi debit în două medii permeabile diferite, dacă lungimile

liniilor de curent sunt invers proporţionale cu coeficienţii de filtraţie

(fig. 20.27).

Bazându-se pe această concluzie se poate soluţiona problema filtraţiei

în medii neomogene.

h1

h2

L1

k1

k2

L2

h1

h2

k1<k2

Fig. 20.27. Proporţionalitatea drumului şi coeficientului filtraţiei

În fig. 20.28 se prezintă filtraţia printr-un mediu permeabil neomogen,

zona centrală fiind mai puţin permeabilă.


h1 h'

h''h2

l1 le l2

Le

kkm

kh1 h'

h''h2

l1 lm l2

k

echivalent omogenneomogen

Fig. 20.28. Echivalarea filtraţiei din mediu permeabil neomogen cu unul omogen

Conform pct. 6, ecuaţia (20.85) lungimea echivalentă l e a miezului cu

coeficient de filtrare k m şi lungime l m este:

m

me k

kll ⋅= (20.86)

Drumul total al filtraţiei în mediul neomogen este L=l 1 +l m +l 2 , iar în

mediul omogen echivalent em

m Llk

kll =++ 21 .

Debitul filtrat este:

( ) ( )

++

−=

−=

21

22

21

22

21

22

lk

kll

hhk

L

hhkq

mm

e

(20.87)

Cotele suprafeţei libere la limita miezului sunt:

( )eL

lhhhh 12

221

21 −−=′ (20.88)

şi

( )eL

lhhhh 22

221

22 −+=′′ (20.89)

20.3.3. Ipoteza lui Dupuit generalizată

La folosirea ipotezei lui Dupuit trebuie verificat dacă liniile de curent

într-adevăr sunt orizontale sau aproape de orizontală. Există situaţii în cazul

terenurilor stratificate, cum sunt cele cu două straturi cu permeabilitate foarte

diferită, cu stratul mai puţin permeabil la suprafaţă, când această ipoteză nu se

mai poate admite.


Fig. 20.29. Spectrul liniilor de curent care justifică admiterea ipotezei lui Dupuit generalizată

Din figura 20.29 se vede că în anumite zone, ipoteza liniilor de curent

orizontale este inadmisibilă, liniile respective fiind verticale. S-a pus problema

generalizării ipotezei lui Dupuit, admiţând că liniile de curent sunt în diferite

zone orizontale sau verticale.

Generalizarea ipotezei lui Dupuit are şi un suport teoretic ( paragraful

20.2.7, fig. 20.19b). Astfel, dacă raportul coeficienţilor este 100/ 12 =kk , se

obţin următoarele perechi de valori ale unghiurilor 1θ şi

2θ (tab 20.1)

Tabelul 20.1

1θ o20 o10 o5

2θ 100/ 12 =kk 88 87 84

În practică s-a dovedit că este suficient ca raportul 10/ 12 >kk

pentru ca ipoteza lui Dupuit – generalizată să fie satisfăcătoare.

10. Ecuaţiile mişcării

Se examinează două cazuri, după cum mişcarea în stratul superior este

descendentă sau ascendentă.

Mişcarea descendentă (fig. 20.30.a).

Se scrie condiţia continuităţii pe un element diferenţial dx . Este

evident că linia piezometrică (y) este sub nivelul apei ( 1H ).

Debitul care intră prin stânga:

dxdx

ydka

dx

dykaqst 2

2

00002

1+−=


SP

SL

k

k 0 a 0

a

dy

dx

yH1 k

k

dx

a 0

a

SP

SL

dH

HH

0

2

a b Fig. 20.30. Schema pentru stabilirea ecuaţiei infiltraţiei

în cazul ipotezei lui Dupuit generalizate:

a. mişcarea descendentă; b. – mişcarea ascendentă;

SL – suprafaţa liberă; SP – suprafaţa piezometrică

Debitul care iese prin dreapta:

dxdx

ydka

dx

dykaqdr 2

2

00002

1−−=

Debitul care intră prin stratul superior semipermeabil:

dxa

yHkq

−= 1

Scriind bilanţul drst qqq =+ se obţine ecuaţia diferenţială:

02

1

2

2

=−

+λ

yH

dx

yd; aa

k

k0

0=λ (20.90)

Mişcarea ascendentă (fig. 20.30.b)

Procedând similar ca mai sus, se obţine ecuaţia:

02

2

2

2

=−

−λ

HH

dx

Hd, aa

k

k0

0=λ (20.91)

20. Integrarea ecuaţiilor mişcării

Ecuaţiile diferenţiale (20.90) şi (20.91) sunt liniare şi omogene,

integralele lor fiind de forma:

λλ

xx

eCeCyH−

+=− 211 şi (20.92)

λλ

xx

eCeCHH−

+=− 432 (20.93)


Constantele ,1C 2C , 3C şi 4C se determină punând condiţiile de

margine care diferă de la problemă la problemă.

Pentru exemplificare se dezvoltă problema infiltraţiilor sub un baraj

aşezat pe două straturi cu kk >0 (fig. 20.29).

Se împarte domeniul în trei fragmente şi se notează cu 0y cota

piezometrică a apei din stratul permeabil de adâncime la limita dintre

fragmentele I şi II şi cu 'H la limita dintre fragmentele II şi III (fig. 20.31, pe

care s-au figurat şi coordonatele Ox, Oy respectiv Ox, OH ale fragmentelor

I şi III).

Fig. 20.31. Infiltraţia sub un baraj pe terenuri cu două strate:

SP – suprafaţa piezometrică

Condiţiile de margine în fragmentul I:

21010,0 CCyHyyx +=−→== şi

1 1 2 2, 0 0x y H C e C e C−∞ +∞= −∞ = → = + → =

În final se obţine:

( ) λ

x

eyHHy 011 −−= (20.94)

Condiţiile de margine în fragmentul III:

( ) 430'',0 CCaaHHHx +=+−→== şi

00, 3430 =→+=→+=+∞= −∞+∞ CeCeCaaHx

În final rezultă:

( )[ ] λ

x

eaaHaaH−

+−++= 0

'

0 (20.95)


În fragmentul II se presupune că mişcarea are loc numai în stratul

inferior foarte permeabil, astfel că debitul are expresia:

0

'

000

B

HykaqII

−= (20.96)

În vederea găsirii expresiilor lui 0y şi 'H se scrie ecuaţia debitului la

ieşirea din fragmentul I şi la intrarea în fragmentul III:

λλ

λ 0100

0

0100

0

00

yHkae

yHka

dx

dykaq

X

x

XI

−=

−=−=

==

şi (20.97)

λλ

λ )()( 000

0

000

0

00

aaHkae

aaHka

dx

dHkaq

X

x

XIII

+−′=

+−′=−=

=

−

=

(20.98)

Scriind egalitatea celor trei debite ''IIII QQQ == se obţine:

[ ])(2

01

0

10 aaHB

Hy +−+

−=λ

λ (20.99)

[ ])(2

)(' 01

0

0 aaHB

aaH +−+

++=λ

λ (20.100)

iar expresia debitului devine:

λ20

100

+

∆=

B

HkaqII ,

1 1 0( )H H a a∆ = − + (20.101)

Remarcă. Formulele (20.96 – 20.99) arată că expresia debitului IIq se

poate obţine considerând că mişcarea are loc numai în stratul de jos după

ipoteza lui Dupuit şi admiţând că cele două fragmente laterale au fiecare o

lăţime echivalentă egala cu λ ; în acest ultim caz linia piezometrică (fictivă) ar

fi o linie dreaptă, desenată punctat pe figura 20.31.

Faţă de linia piezometrică fictivă, liniile piezometrice reale sunt mai

coborâte în fragmentul I şi mai ridicate în fragmentul III. Ecuaţiile acestor linii

piezometrice sunt (20.94 şi 20.95), care după înlocuirea expresiilor lui 0y şi

H ′ 20.99 şi 20.100 devin:

λ

λ

λx

eHB

y 1

0 2∆

+=∆ ; yHy −=∆ 1 ; aa

k

k0

0=λ (20.102)

şi


λ

λ

λx

eHB

H−

∆+

=∆ 1

0 2; )( 0 aaHH +−=∆ ; aa

k

k0

0=λ (20.103)

Formula (20.101) şi trasarea liniei piezometrice fictive se poate

generaliza, notând lăţimile echivalente ale fragmentului I şi III cu L∆ şi 'L∆ .

Deci sub forma generală ecuaţia debitului s-ar scrie:

'0

100 LBL

HqaqII

∆++∆

∆= (20.104)

20.3.4. Ipoteza lui Hooghoudt

Hooghoudt a folosit cu succes, cu ocazia studierii calculului drenajului

orizontal sistematic, o ipoteză cinematică în care liniile de curent sunt radiale în

jurul drenului, orizontale în restul domeniului, exceptând un domeniu restrâns

unde sunt verticale. Posibilitatea folosirii acestei ipoteze rezultă din analizarea

spectrului liniilor de curent determinat cu ajutorul analogiei electrice,

reprezentat în figura 20.32.

Pe această figură s-au delimitat trei zone: zona în care liniile de curent

au o direcţie preponderent verticală (V), orizontală (O) şi radială (R). Evident,

această delimitare nu este strictă. Zona cea mai întinsă este (O), dar ponderea

cea mai mare o are câteodată zona (R). De cele mai multe ori (în cazul mediilor

omogene) zona verticală are o pondere redusă.

L/2 L/2

q

N

S

v

R0

2

3

1

D0

Fig.20.32. Schema pentru stabilirea ipotezelor cinematice asupra liniilor de curent

la drenurile orizontale sistematice:

N – zona infiltraţiei în regim aerat (nesaturat); S – zona infiltraţiei în regim saturat; 1 – dren

tubular; 2 – patul impermeabil; 3 – suprafaţa liberă; V – zona liniilor de curent verticale;

O – zona liniilor de curent orizontale; R – zona liniilor de curent radiale


Calculul hidraulic pentru drenajul sistematic cu dren situat la distanţă

de patul impermeabil se dezvoltă la disciplina de specialitate.

20.3.5. Mişcarea nepermanentă a curenţilor subterani

cu nivel liber

Mişcarea nepermanentă cu nivel liber a curenţilor subterani implică

variaţia parametrilor hidraulici în timp şi spaţiu.

10. Ecuaţia diferenţială a mişcării

Se consideră un element de volum al stratului acvifer cuprins între

stratul impermeabil orizontal şi nivelul liber al apei, de secţiunea dydx ⋅ şi

înălţime h, unde sarcina hidrodinamică faţă de planul de referinţă z=0 este H

(fig. 20.33).

Fig. 20.33. Schema pentru ecuaţia

diferenţială a filtraţiei nepermanente

cu nivel liber

Se admite ipoteza lui Dupuit şi distribuţia uniformă a vitezelor după

direcţii orizontale.

Componentele vitezei V (u,v), după Darcy, sunt:

x

Hku x

∂

∂−= şi

y

Hkv y

∂

∂−= (20.105)

iar debitele specifice corespunzătoare sunt:

x

Hhkhuq xx

∂

∂−=⋅⋅= 1 şi

y

Hhkhvq yy

∂

∂−=⋅⋅= 1 (20.106)

dt

z

H

qy+qy

dyy

h

t

qx

qy

dx

dy

nc

v

uky

kx

y

0x

zε

xdxxq

q+

x

stra

t im

perm

eabil


Mediului permeabil îi este caracteristică porozitatea de cedare cn . Se

admite o alimentare de la suprafaţă a acviferului cu debitul specific ε (pe

unitate de suprafaţă).

Ecuaţia conservării masei pentru volumul de control considerat

(lichidul se consideră incompresibil) ţine seama de bilanţul volumelor intrate şi

ieşite din volumul de control în timpul dt, diferenţele (în plus sau minus)

modificând volumul de apă înmagazinată în porozitatea de cedare, deci nivelul

volumului de control. Elementele bilanţului sunt:

- după axa x

dxdydtx

qdydtdx

x

qqq xx

xx∂

∂−=

∂

∂+−

- după axa y

dxdydty

qdxdtdy

y

qqq yy

yy∂

∂−=

∂

∂+−

- aportul alimentării de la suprafaţă

dxdydtε

- modificarea volumului de apă din volumul de control în intervalul

porozităţii de cedare

dtt

Hdxdyndt

t

hdxdyn cc

∂

∂=

∂

∂

(fiindcă stratul impermeabil s-a considerat orizontal, deci H=z+h, cu z=c şi

dH=dh)

Din conservarea masei rezultă:

0=∂

∂+−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

t

Hn

y

Hhk

yx

Hhk

x cyx ε (20.106)

care este ecuaţia lui Boussinesq. Ecuaţia este valabilă şi pentru pat impermeabil

oarecare.

Când patul impermeabil este orizontal şi se confundă cu planul xoy,

H=h şi (20.106) devine:

0222

2

2

2

22

=∂

∂+−

∂

∂

−∂

∂

−t

hn

y

hk

x

hk

c

yx

ε (20.107)

În cazul unui mediu omogen şi izotrop kkk yx == , deci:


022

2

2

2

2

=∂

∂⋅+−

∂

∂−

∂

∂−

t

h

k

n

ky

h

x

h cε (20.108)

În mişcarea permanentă, cu aport de la suprafaţă, 0=∂

∂

t

h avem:

02

2

2

2

2

=+∂

∂+

∂

∂

ky

h

x

h ε (20.109)

iar fără aport de la suprafaţă:

02

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂

y

h

x

h sau 02 =∇ h (20.110)

Integrarea acestor ecuaţii pentru diferite condiţii iniţiale şi de margine

concrete permite determinarea funcţiei )(2 xyfh = , care reprezentată pentru

h=c defineşte hidroizohipsele (locul geometric al punctelor cu aceeaşi cotă

geodezică a suprafeţei libere a curentului de apă subteran).

Ecuaţiile lui Boussinesq sunt valabile cu condiţia respectării ipotezei

lui Dupuit, curenţi subterani orizontali (qvasiorizontali) de mică adâncime.

Ecuaţia (20.106) şi alte forme ale sale sunt dificile de integrat. Se

cunosc câteva metode de integrare (Boussinesq, Polubarinova-Kocina,

Barenblatt etc).

Soluţiile practice pleacă de la ecuaţia Boussinesq liniarizată, când

hH ≅ , h fiind media adâncimilor h în timp şi spaţiu, având forma:

cc ny

H

x

H

n

hk

t

H ε+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

2

(20.111)

care, fără termenul de alimentare de la suprafaţă se reduce la ecuaţia de

transmitere a căldurii a lui Fourier:

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂2

2

2

22

y

H

x

H

t

Hχ (20.112)

cu cn

hk=2χ .

Există câteva soluţii analitice pentru cazuri particulare ale ecuaţiei lui

Boussinesq: ridicarea bruscă a nivelului la frontul de alimentare vertical sau

înclinat al mediului permeabil pe pat impermeabil orizontal; ridicarea cu viteză

constantă a nivelului în aceleaşi condiţii; drenaj orizontal sistematic pe pat

impermeabil orizontal; infiltraţia nepermanentă datorită variaţiei periodice a


apei din rezervor; ridicarea-coborârea bruscă a nivelului din rezervor; infiltraţii

nepermanente în terenuri stratificate particulare.

În ultima perioadă a căpătat mare anvergură soluţionarea numerică

prin diferite metode a infiltraţiei nepermanente care însă necesită calibrare,

validare prin soluţii exacte sau metode experimentale.

20.4. CALCULUL HIDRAULIC AL CAPTĂRILOR

APELOR SUBTERANE

Exploatarea apelor subterane, modificarea parametrilor acviferelor în

diferite scopuri (limitare, reducere a poluării, coborârea-creşterea nivelului

freatic, alimentarea acviferelor, protecţia lor) se face cu lucrări inginereşti de

captare – îmbogățire a acviferelor de tip vertical – puţuri sau orizontal –

drenuri (galerii drenante).

În funcţie de tipul acviferului interceptat există captări în strat acvifer sub presiune şi în strat acvifer cu nivel liber. În funcţie de poziţionarea captării în stratul acvifer se disting captări (puţuri, drenuri) perfecte, lucrări care se sprijină pe patul impermeabil şi

captări imperfecte – când lucrarea hidrotehnică de captare este plasată peste

patul impermeabil.

Formele de captare prin puţuri (foraje, fântâni) diferind de formele de

captare prin drenuri (galerii drenante), fiecare prezentând anumite

particularități, se vor trata diferenţiat. Se dezbat numai problemele hidraulice

nu şi tehnica şi tehnologia de realizare şi exploatare a captărilor.

20.4.1. Captarea apelor subterane prin puţuri.

Prin puţ înţelegem construcţia verticală de captare a apelor subterane.

Apa subterană poate fi cantonată în depozit de apa subterană sub presiune sau

cu nivel liber, poate constitui un curent subteran, un curent subteran cu

alimentare dintr-un front de alimentare de la suprafaţă, un depozit subteran

alimentat cu apă din infiltraţii de la suprafaţă ş.a.

Puţurile pot lucra individual, în şir sau în grup în funcţie de scopul pe

care le satisfac.

Puţurile utilizate pentru injecţia apei în stratul permeabil în diferite

scopuri se numesc puţuri absorbante. Calculul lor hidraulic poate fi întreprins prin metode hidrodinamice

(metoda funcţiilor de variabilă complexă)sau prin metode hidraulice.


Din punct de vedere hidrodinamic puţurile se consideră surse punctiforme sau izvoare – pozitive (absorbante) sau negative (debitante sau de

extracţie).

10. Puţ perfect cu nivel liber alimentat radial

Un puţ săpat până la patul impermeabil într-un depozit subteran

teoretic infinit (ca întindere la suprafaţă) cu nivel liber se numeşte perfect.

Alimentarea sa se realizează numai prin peretele lateral al puţului.

a. Soluţia problemei prin metoda hidraulică Se consideră un puţ perfect de rază 0r într-un depozit acvifer cu nivel

liber caracterizat prin coeficientul de filtraţie k şi grosime H ( mediu omogen şi

izotrop, patul impermeabil orizontal). Prin extragerea debitului Q, nivelul în

puţ coboară şi după un timp acest nivel hidrodinamic se stabilizează la

adâncimea 0h , respectiv denivelarea în puţ 0hHs −= . Apa din depozit curge

radial către puţ. Denivelarea din puţ influenţează pe o anumită distanţă (rază)

nivelul apei subterane în care se formează o „pâlnie de depresie”. Situaţia de

echilibru conduce la un regim staţionar: debitul extras, denivelarea, pâlnia de

depresie fiind constante (fig. 20.34).

H

h

h

dh

r drR

r

sr

dr

θ

Q

D

Q 0

k

i=0

0

r

I

y

x

Suprafata

de depresie

Nivel hidrodinamic

ϕ

ψ ψ

Fig. 20.34. Puţ perfect alimentat radial (în depozit)

Cât timp nu se extrage apa din puţ nivelul în acesta se situează la

nivelul hidrostatic al apei subterane. Extrăgând un debit Q=c nivelul in puţ

coboară până la 0h care rămâne constant cât timp debitul extras este constant.


Adâncimea 0h din puţ defineşte nivelul hidrodinamic care pe o distanţă R (rază

de acţiune) influenţează nivelul apei subterane formându-se suprafaţa (pâlnia)

de depresie. În mediu permeabil omogen şi izotrop această pâlnie de depresie

este axial simetrică.

Puţul realizat are raza constructivă 0r , iar apa pătrunde în puţ pe toată

suprafaţa laterală a acesteia.

La o distanţă r de puţ sarcina hidrodinamică staţionară în strat (la

debitul Q=c) este h. La distanţa dr sarcina creşte cu dh. Acceptând aproximarea

curbei suprafeţei libere cu coarda se poate defini panta hidrodinamică I:

dr

dhI =

Suprafaţa curgerii radiale către puţ la distanţa r de centru este:

rhA π2=

Alimentarea fiind laterală în toate secţiunile cilindrice conform

continuităţii debitul este acelaşi cu cel extras, deci:

dr

dhrhkAkIQ π2== (20.113)

Separând variabilele, rezultă:

r

dr

k

Qhdh

π2= (20.114)

care este ecuaţia diferenţială a suprafeţei de depresie.

Integrând ecuaţia avem:

crk

Qh+= ln

22

2

π

Constanta de integrare se determină prin condiţia limită: 0rr = , 0hh = ,

rezultând:

0

20 ln

22r

k

Qhc

π−=

care înlocuit conduce la:

0

20

2 lnr

r

k

Qhh

π=− (20.115)

care este ecuaţia suprafeţei libere în coordonate cilindrice.

Pentru condiţia limită Rr → (raza de influenţă a puţului), sarcina

dinamică tinde la sarcina statică Hh → şi rezultă debitul puţului la

denivelarea s.


( )2 2

0

0 0

12

2

ln / ln /

skHsk H h H

QR r R r

ππ−

⋅ ⋅ − = = (20.116)

Variaţia debitului cu denivelarea este neliniară şi este influenţată relativ puţin

de raza puţului.

Raza de acţiune a puţului în medii permeabile diferite are valori

informative de:

- R=250...500 m în nisipuri mijlocii;

- R=700...1000 m în nisipuri grosiere.

Valorile razei de acţiune depind de denivelare şi coeficientul de

filtraţie şi orientativ pot fi calculate cu relaţiile:

- Sichardt ksR ⋅≅ 300 ;

- Kusakin kHsR ⋅≅ 575 .

Parametrii hidraulici calculaţi orientativ trebuie verificaţi prin extracţii

de probă (pompări de probă) în regim nepermanent. Se întocmesc curbele de

variaţie a denivelării în timp la debit constant extras şi curbele de revenire a

denivelării în timp la oprirea extracţiei.

Determinarea caracteristicilor mediului permeabil se pot realiza prin

teste de pompare din puţ în regim nepermanent, având făcute măsurători de

nivel şi într-un puţ de observaţie. Se pot utiliza metodele Neuman, Theis,

Cooper-Jacob, Hantush şi pachetul de programe AQUIFER TEST.

a.1. Înălţimea de izvorâre Din analiza spectrului de infiltraţiei către puţuri perfecte în strate

acvifere cu nivel liber se constată că între nivelul apei din puţ şi nivelul de

racordare a suprafeţei de depresie la suprafaţa exterioară a puţului există o

diferenţă ih∆ numită‚ “înălţime de izvorâre”. Suprafaţa reală de depresie şi cea

teoretică diferă în apropierea puţului – datorită acceptării ipotezei lui Dupuit şi

în apropierea puţului. Efectul înălţimii de izvorâre se resimte asupra suprafeţei

de depresie în jurul puţului până la distanţa de circa 0100r . Ea nu afectează

debitul puţului.


Fig. 20.34’. Înălţimea de izvorâre la puţuri

în strat acvifer cu nivel liber

Valoarea înălţimii de izvorâre, după observațiile lui Schneebeli rezultă

din grafice fig. 20.34’’.

o

0

o

oxx

x x

x

o

^

o

x

^

Boulton

Hall

Zee Peterson siBockBobbit si Caldwell

0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 6 8 10 20 40 60 80 100 2000

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

10 ro

Q/ kπ

.

π Q/ ko(h + h ) -h o

2 2

3

∆ i

Fig. 20.34”. Grafic pentru stabilirea înălţimii de izvorâre

Pentru puţul perfect cu alimentare radială în calculul suprafeţei reale

de depresie în loc de (20.115) se va utiliza:

( )22

0

0

lni

Q rh h h

k rπ= + ∆ +

⋅ (20.115’)

b. Soluţia problemei prin metoda hidrodinamică Puţul de pompare în acvifer cu nivel liber alimentat radial poate fi

privit ca o sursă (izvor) negativă, mişcarea fiind descrisă de potenţialul

complex:

( ) zQ

zw ln2π

−= (20.117)

cu variabilă complexă:

θirez = (20.118)

exprimată în forma Euler în coordonate polare.

~100 r

r

h hh

∆

r

h

NHS

0

i

0

o

i

Suprafata

reala de depresie

Suprafata teoretic

a

de depresie


După înlocuirea variabilei şi efectuarea calculelor se obţine:

( ) θππ 2

ln2

Qir

Qzw −−= (20.119)

Partea reală a funcţiei este potenţialul care generează mişcarea şi se egalează cu

sarcina hidrodinamică pentru acvifer cu nivel liber:

ckh

rQ

+−=−=2

ln2

2

πϕ (20.120)

Funcţia curent este:

θπ

ψ2

Q= (20.121)

Reprezentarea grafică c=ϕ (cercuri concentrice r=c) şi c=ψ (drepte

care trec prin origine c=θ ) permite obţinerea spectrului hidrodinamic

(v. fig. 20.34).

Din (20.120) cu condiţiile la limită de la generatoarea puţului 0rr = şi

0hh = se obţine constanta de integrare, care conduce la relaţia (20.115) –

ecuaţia suprafeţei libere.

20. Puţ imperfect cu nivel liber alimentat radial (în depozit)

La un puţ imperfect talpa acestuia nu ajunge la patul impermeabil

(fig. 20.35). Talpa poate fi impermeabilă sau permeabilă.

h

t

s

h

TH

Rr

H

k0

0

o

Nivel de influenta

NHS

NHD

Fig. 20.35. Puţ imperfect

La alimentarea puţului participă numai stratul de grosime 0H din

grosimea totală H a stratului acvifer.

Cu notaţiile din figură debitul puţului alimentat numai lateral (talpă

impermeabilă) este:


( )2 2

0 0 04

0 0

0

2

ln

k H h t h tQ

R h hr

π − −= ⋅ ⋅ (20.122)

La puţul imperfect cu alimentare şi pe talpă debitul este:

( )2 2

0 0 0 04

0 0

0

0,5 2

ln

k H h t r h tQ

R h hr

π − + −= ⋅ ⋅ (20.122’)

Cantităţile

4

0

0

0

2

h

th

h

t −⋅ şi 4

0

0

0

0 25,0

h

th

h

ht −⋅

+ (20.123)

sunt corecţiile lui Forchheimer al puţurilor imperfecte faţă de cele perfecte.

Grosimea de influenţă 0H (stratul care alimentează puţul) aproximativ

se poate determina cu relaţia

( )tsTH +==3

4

3

40 (20.124)

Determinări experimentale evidenţiază valorile din (tab. 20.2).

Grosimea activă a stratului acvifer

Tabelul 20.2. Denivelarea

tTs −=

0,2 T 0,3 T 0,5 T 0,8 T 1,0 T

Zona activă

kTH =0 1,3 T 1,5 T 1,7 T 1,85 T 2,0 T

30. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial

Puţul străpunge acoperişul impermeabil ajungând cu coloana filtrantă

până la patul impermeabil orizontal şi captează apa din stratul impermeabil de

grosime a şi coeficient de filtraţie k. Curgerea în stratul permeabil are loc sub

presiune de la sarcina H (în rezervor) la 0h adâncimea din puţ, deci denivelare

0hHs −= . Nivelul 0h este situat peste tavanul impermeabil. Puţul are raza 0r

şi raza de influenţă R (fig. 20.36).


H

s

h

Rr

h

r dr

a

dh

0

0k

Q

NHS

Fig. 20.36. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial

a. Soluţia problemei prin metoda hidraulică

Pâlnia de depresie este a suprafeţei piezometrice. Extrăgând debitul Q

din puţ nivelul în puţ coboară de la nivelul hidrostatic (NHS) la cel

hidrodinamic 0h , realizându-se denivelarea 0hHs −= . Sarcina piezometrică la

distanţa r de puţ este h, crescând spre exterior cu dh la distanţa dr. Panta

piezometrică se defineşte prin dsdhI = , iar la distanţa r în strat corespunde

aria de curgere raA π2= . Conform legii lui Darcy

dr

dhrakAhIQ π2==

Separând variabilele se obţine ecuaţia diferenţială a pâlniei de depresie

a suprafeţei piezometrice

r

dr

ka

Qdh

π2= (20.125)

Integrând ecuaţia rezultă:

crka

Qh += ln

2π

Constanta de integrare se determină din condiţia de margine, pentru

00 hhrr =→= , respectiv

00 ln2

rka

QhC

π−=

Înlocuind constanta de integrare rezultă ecuaţia suprafeţei

piezometrice de depresie


0

0 ln2 r

r

ka

Qhh

π=− (20.126)

Pentru condiţia de margine r=R avem h=H, obţinând debitul

( )

00

0

ln

2

ln

2

rR

kas

rR

hHkaQ

ππ=

−= (20.127)

Debitul unui astfel de puţ depinde liniar de denivelare.

b. Soluţia problemei prin metoda hidrodinamică Puţul de pompare în acvifer sub presiune alimentat radial este o sursă

negativă, mişcarea fiind descrisă de potenţialul complex

za

Qzw ln

2)(

π−= (20.128)

Cu variabila complexă (20.118) rezultă

θππ a

Qir

a

Qzw

2ln

2)( −−= (20.129)

Funcţia potenţial care generează mişcarea este

ln2

Qr

aϕ

π= − (20.130)

iar funcţia curent

θπ

ψa

Q

2−= (20.131)

Potenţialul mişcării apei subterane este ckh +−=ϕ . Din egalarea

potenţialelor avem

ckhra

Q+=ln

2π

Pentru condiţia de margine 0rr = şi 0hh = rezultă valoarea constantei

de integrare 00ln2

khra

QC −=

π, care înlocuit defineşte ecuaţia suprafeţei

piezometrice de depresie

0

0 ln2 r

r

ak

Qhh

π=− (20.132)

Cu condiţia de margine Rr → , Hh → rezultă debitul

00

0

ln

2

ln

)(2

rR

aks

rR

hHakQ

ππ=

−= (20.133)


Componentele vitezei în coordonate polare sunt:

- după rază

ar

Q

rvr π

ϕ

2−=

∂

∂= (20.134)

- după tangentă

0=∂

∂=

θ

ϕθv (20.135)

40. Puţ imperfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial

Puţul imperfect sub presiune străpunge tavanul impermeabil şi talpa sa

se opreşte intermediar în mediul permeabil. Curgerea apei către puţ este o

mişcare spaţială, radial sferică (fig. 20.37).

H

s

h

Rr

h

a

0

0

Q

NHS

t

Fig. 20.37. Puţ imperfect în strat acvifer sub presiune alimentat radial

Calculul hidraulic al mişcării radial sferice este mai complicat şi se

găseşte în tratatele “petroliştilor”.

În unele ipoteze simplificatoare sunt cunoscute două relaţii:

- Kozeny

0

0

21 5 cos

ln 2

kts r tQ

R r t a

π π = +

(20.136)

- Muskat

R

a

a

t

a

t

a

ta

t

a

t

r

a

ktsQ

4ln

125,01875,01

125,0875,0

ln4

ln22

1

2

0

−

−Γ⋅

−Γ

Γ⋅

Γ

−

=π

(20.137)

în care Γ este o funcţie Euleriană de speţa II-a de forma


∫∞

−=Γ0

1)( dyeyx yx

, pentru 0>x (20.137’)

şi valorile sale se găsesc calculate în tabele matematice în funcţie de argument.

S-a încercat şi echivalarea puţului imperfect cu un puţ perfect fictiv cu

DD f α= (D – diametrul puţului imperfect; fD - diametrul puţului perfect

fictiv) pe baza relaţiei lui Muskat. Valoarea lui α se extrage din grafice în

funcţie de at şi tD .

50. Puţ perfect cu alimentare radială mixtă

La un puţ perfect în strat acvifer sub presiune cu alimentare radială

mixtă nivelul din puţ coboară sub tavanul impermeabil. În apropierea puţului

mişcarea este cu nivel liber (există pâlnia de depresie a nivelului),iar în rest

mişcarea are loc sub presiune (suprafaţa piezometrică a pâlniei de depresie).

Calculul hidraulic se face separat, prin metoda fragmentelor legate în serie

(fig. 20.38).

H

s

Rr

a

0

0

NHS

2R

h

Fragment cunivel liber

Fragment sub

presiune

Fragment subpresiune

k

1

Q

D

Fig. 20.38. Puţ perfect cu alimentare radială mixtă

Pentru fragmentul sub presiune, între 1RR − , debitul este

1ln

)(2

RR

aHkaQ

−=

π

Pentru fragmentul cu nivel liber avem

( )

01

2

0

2

ln rR

hakQ

−=

π

Din egalitatea debitelor şi eliminarea lui 1R se obţine


( )

0

2

0

2

ln

2

rR

haHakQ

−−=

π (20.138)

60. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată de la suprafaţă

Se consideră un puţ perfect în mediu permeabil alimentat cu apă din

infiltraţii de la suprafaţă cu debitul specific ε ( )23 smm .

H

h

Rr

h

r dr

dh

0

0

k

Q

ε

Fig. 20.39. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată de la suprafaţă

Debitul total al puţului este debitul de alimentare din infiltraţii de la

suprafaţă

επ 2RQ = (20.139)

Debitul curentului subteran la distanţa r de puţ este

( )222 rRrQQQQ rrR −=⋅⋅−=−=− πεεπ (20.139’)

şi satisface relaţia lui Darcy

dr

dhkrhAkIQ rR ⋅⋅==− π2 (20.140)

deci

drrkr

dr

k

Rdhh ⋅−=⋅

22

2 εε (20.141)

care este ecuaţia diferenţială a suprafeţei de depresie. Integrând ecuaţia pentru

condiţiile de margine 0rr = , 0hh = în regim staţionar, rezultă

( )2

0

2

0

22

02

ln rrkr

r

k

Rhh −−=−

εε (20.142)

care este ecuaţia suprafeţei de depresie.


Cu condiţia de margine Hh = , Rr = din (20.142) rezultă raza de

influenţă R pentru condiţiile concrete date, apoi, cu ajutorul ecuaţiei (20.142) se

poate trasa curba suprafeţei libere.

70. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată dintr-o sursă liniară de

suprafaţă (lac, râu, canal) Calculul hidraulic al acestui puţ se realizează prin metoda

hidrodinamică – “metoda imaginilor”. Se introduce virtual un puţ fictiv, dispus

simetric faţă de linia de alimentare, având un debit pozitiv egal cu cel al puţului

real. Se produce o mişcare identică celei reale, în care linia de alimentare

(malul râului) este o suprafaţă echipotenţială, intersectată normal de liniile de

curent (fig. 20.40).

H

s

h

r

a

0

0k

L L

θ

θrB

rAA

B

y

x

B A

B A

x

h

M ϕ

ψ

Fig. 20.40. Puţ perfect alimentat cu apă infiltrată

dintr-o sursă liniară de suprafaţă (mal)

a. Mişcare sub presiune

Funcţia de variabilă complexă care descrie mişcarea este aceea a două

izvoare cu debitul Q− în A şi Q+ în B

)ln(2

)( Lza

QzwB −=

π şi )ln(

2)( Lz

a

QzwA +−=

π

deci

( ) ( ) ( ) ln2

B A

Q z Lw z w z w z

a z Lπ

−= + =

+ (20.143)


Scriind această funcţie pentru un punct oarecare M din domeniul

mişcării avem variabilele complexe (sub forma Euler) pentru cele două puţuri

BiQBerLz =− şi AiQ

AerLz =+

ecuaţia (20.143) devenind

( )

−+= AB

A

B ir

r

a

Qzw θθ

πln

2)( (20.144)

Funcţia potenţial care generează mişcarea

A

B

r

r

a

Qln

2πϕ = (20.145)

se egalează cu potenţialul hidraulic al mişcării subterane în strat sub presiune

ckh +−=ϕ (20.146)

Pentru suprafaţa oglindă (mal) condiţia de margine este Lrr BA == şi

Hh = , rezultând

A

B

r

r

ka

QhH ln

2π=− (20.147)

ecuaţia suprafeţei piezometrice (suprafaţa de depresie piezometrică).

Când puţul realizează debitul permanent Q se produce denivelarea

0hHs −= , iar pentru condiţiile de margine 0hh = , 0rrA = şi 02 rLrB −= , se

obţine:

0

0

0

0

0

2ln

2

2ln

)(2

r

rLkas

r

rLhHka

Q−

=−

−=

ππ (20.148)

b. Mişcare cu nivel liber

În cazul când mişcarea are loc cu nivel liber potenţialul hidraulic este

ckh +−= 2ϕ (20.149)

Procedând în mod asemănător punctului a se obţine ecuaţia suprafeţei

de depresie

A

B

r

r

k

QhH ln22

π=− (20.150)

Pentru condiţiile de margine 0=y , 0rrA = , 02 rLrB −= şi 0hh =

rezultă debitul puţului:


( ) ( )

0

0

0

0

0

2

0

2

2ln

2ln

r

rLhHks

r

rLhHk

Q−

+=

−

−=

ππ (20.151)

Relaţiile de calcul al debitului pentru puţul în strat acvifer sub presiune

şi nivel liber se identifică dacă se pune condiţia 2

0hHa

+= , deci se consideră

mişcare sub presiune în stratul cu nivel liber de grosimea medie menţionată.

80. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune în curent uniform

Soluţionarea problemei apelează la metoda hidrodinamică – funcţii de

variabilă complexă. Mişcarea se compune dintr-o curgere uniformă (de

translaţie) şi o curgere către puţ (sursă negativă). Sursa negativă în curent plan

paralel deformează spectrul hidrodinamic al acestuia pe o anumită zonă,

influenţa mai puternică resimţindu-se în apropierea puţului (fig. 20.41).

2b

b/2

b/2

θ π= /2

b/

θ πψ

ψ

ϕ

π

==0

y

x

A - punct de stagnare

Hh ak

j

h

x

0

0

curba de depresie

A

Fig. 20.41. Puţ perfect în strat acvifer sub presiune în curent uniform

Curentul uniform este caracterizat prin 00 kju = .

Potenţialul complex pentru mişcarea plan paralelă este zvzw 0)( = , iar

pentru sursă punctiformă za

Qzw ln

2)(

π−= .


Funcţia complexă care descrie mişcarea este însumarea celor două

curgeri

210 ln2

)( za

Qzvzw

π−= (20.152)

După înlocuirea variabilei complexe iyxz +=1 şi θirez =2 cu

22 yxr += , x

yarctg=θ şi separarea părţii reale şi imaginare se obţine

22

0 ln2

yxa

Qxv +−=

πϕ

θπ

ψ ⋅−=a

Qyv

20 (20.153)

Zona de influenţă a puţului corespunde pentru 0=ψ , respectiv în

amonte pentru by = rezultă πθ = , respectiv ππ

⋅−=a

Qbv

20 0 (liniile de

curent nu sunt afectate în exterior). Zona de influenţă a puţului în amonte este

02av

Qb = (20.154)

Punctul de stagnare A se obţine pentru condiţia

0=⋅+= ivuV (20.155)

însă

02 220 =

+−=

∂

∂=

yx

x

a

Qv

xu

π

ϕ (20.156)

şi

02 22

=+

−=∂

∂=

yx

y

a

Q

yv

π

ϕ (20.157)

Punctul A este situat pe axa x, deci 0=Ay şi ππ

b

av

Qx ==

02 şi sarcina

Hh = .

În calculul suprafeţei piezometrice (de depresie) se egalează funcţia

potenţial a mişcării cu cel hidrodinamic pentru strat acvifer sub presiune

ckh +−=ϕ , deci

ckhyxa

Qxv +−=+− 22

0 ln2π


care pentru condiţia de margine 0=y , 0rx = şi 0hh = permite calculul

constantei şi ecuaţia suprafeţei piezometrice devine

0

000 ln2

)()(r

r

a

Qrxvhhk

π=−+− (20.157’)

Din condiţia Hh = , Axx = şi 0=Ay rezultă debitul puţului

( ) ( )

0

00

0

0

ln

2

ln

2

r

xrxav

r

xhHak

QA

A

A

−+

−=

ππ (20.158)

Lăţimea frontului de captare a puţului în amonte este 02 avQb = . Cu

cât 0v este mai mic se măreşte lăţimea frontului de captare şi distanţa de la puţ

până la punctul de stagnare. Pentru 00 =v se obţine puţul perfect în acvifer sub

presiune cu alimentare radială. În exteriorul 0=ψ este partea necaptată a

curentului subteran.

Spectrul mişcării se construieşte prin trasarea funcţiilor ϕ şi ψ ,

ţinând seama de legătura cu coordonatele carteziene şi polare, astfel:

- pentru funcţia ϕ

−=

+=

22

0

ln

xry

rb

vx

π

ϕ

(20.159)

- pentru funcţia ψ

+=

=

θπ

ψ

θ

b

vy

yctgx

0

(20.160)

Pentru puţ perfect în curent subteran uniform cu nivel liber mersul

calculelor este asemănător, însă cu constatarea că potenţialul hidraulic

este ckh +−= 2ϕ şi funcţia izvorului zQ

zw ln2

)(π

−= .


90. Puţ perfect în acvifer sub presiune, fără alimentare

Este cazul din figura 20.36, în care acviferul sub presiune se întinde

nelimitat în toate direcţiile. Acviferul este lipsit de alimentare, deci cedarea

apei către puţ se face pe seama rezervei proprii a zăcământului.

Mecanismul de cedare a apei poate fi descris pe scurt astfel:

- presupunând o pompare continuă, cu debit constant, aceasta duce la

scăderea continuă a nivelului în puţ, şi deci la scăderea continuă a presiunii în

strat;

- scăderea presiunii în strat duce la cedarea apei pe două căi: – prin

decomprimarea apei, care are ca efect cedarea rezervei elastice; – prin

micşorarea porilor pământului sub acţiunea forţei de apăsare a stratului

superior, care nu mai este echilibrată de presiunea apei din pori care scade

continuu datorită pompării;

- scăderile de presiune, generate de scăderea continuă a nivelului în

puţ, se propagă concentric, ca nişte unde, în jurul puţului care antrenează

cedarea apei pe întinderi din ce în ce mai mari ale stratului. Cedarea apei se

consideră proporţională cu scăderea de presiune. Coeficientul de

proporţionalitate este coeficientul de cedare S al stratului, definit ca fiind

cantitatea de apă cedată pe unitatea de suprafaţă a stratului (pe toată grosimea

stratului) la scăderea cotei piezometrice cu o unitate.

Figura 20.41 ilustrează cele descrise mai sus. Pe ea se arată situaţia

iniţială a suprafeţei piezometrice şi apoi două situaţii tranzitorii, la momentul t

şi dtt + . Aspectul lor pune în evidenţă caracterul nepermanent al fenomenului

şi extinderea continuă a zonei de alimentare. Volumul de apă pompat din puţ în

intervalul de timp dt este egal cu volumul cedat de strat în limita zonei

haşurate, proporţional cu ordonata dintre cele două suprafeţe piezometrice.

Ecuaţia de mişcare fiind legea lui Darcy, ecuaţia de bază a

fenomenului se obţine dintr-o ecuaţie de continuitate. Simetria axială a mişcării

sugerează folosirea coordonatelor cilindrice (în spaţiu) şi polare (în plan).

Mişcarea este plană şi ),( trHH = , ),( trvv = nu sunt funcţii de θ deoarece

mişcarea este simetrică faţă de axa Oz .

Fig. 20.41. Puţ perfect în acvifer sub presiune, fără alimentare

Notând cu q debitul prin suprafaţa cilindrică de rază r şi înălţime a

rezultă:

∂

∂−==

r

HrakVraq ππ 2)2( (20.161)

Ecuaţia de continuitate se obţine scriind că diferenţa de debit pe

suprafeţele care delimitează coroana de raze r şi drr + provine din cedarea

apei în tubul corespunzător, datorită scăderii cotei piezometrice în timp.

Volumul cedat în timpul dt este:

dtt

HdrSrdW

∂

∂⋅= π2

În acelaşi interval de timp, prin pereţii tubului circulă un volum

dtdq ⋅ . Egalând cele două, ţinând seama de concordanţa semnelor rezultă:

dtdrt

HSrdr

r

qdq

∂

∂=

∂

∂−=− π2 (20.162)

S-a pus semnul minus fiindcă la 0>∂

∂

t

H, 0<dq , cu debitul

considerat pozitiv în sensul axelor (respective după r).

Înlocuind derivata lui q din (20.162) se obţine ecuaţia:

t

H

ak

S

r

H

rr

H

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ 12

2

(20.163)

Această ecuaţie este de fapt ecuaţia (20.112) Fourier transformată în

coordonate polare (pentru ah = şi simetrie axială).

Se observă că în ambele ecuaţii apare produsul ka .

Ecuaţia (20.163) se întâlneşte şi la conducţia căldurii şi pune în

evidenţă analogia între fenomenele de conducţie şi mişcarea laminară a apelor

subterane. Această analogie se foloseşte în sensul că rezultate obţinute mult

înainte în domeniul termodinamicii pot fi folosite direct în hidraulica subterană.

Astfel, ecuaţia (20.163) a fost rezolvată mai înainte în termodinamică,

iar soluţia a fost folosită de Theis pentru elaborarea unei metode pentru calculul

puţurilor.

Cu condiţiile de unicitate corespunzătoare problemei din figura 20.41

şi anume: la 0<t , 0Hh = şi la 0≥t , 0HH → pentru ∞→r , soluţia este:

∫∞ − ⋅

=−u

u

u

due

ak

QHH

π40 , (20.164)

în care:

akt

Sru

4

2

= (20.165)

Integrala din formula (20.164) este “integrala logaritmică”:

)()( uWduu

euE

u

u

i ==−− ∫∞ −

, (20.165’)

care se găseşte tabelată.

Soluţia (20.164) se poate scrie:

)(4

0 uWak

QHH

π=− (20.166)

Funcţia )(uW se poate lua din tabel. Ţinând seama că pentru valori

mici ale lui u (deci t suficient de mare) rezultă:

≅−−=

buuEuW i

1ln)()( ,

cu 781,1577,0 == eb , se poate scrie soluţia aproximativă (pentru t foarte mare):

⋅=−

Srb

akt

ak

QHH

20

4ln

4π (20.167)


100. Puţ perfect în acvifer cu suprafaţa liberă, fără alimentare

Ecuaţia generală în coordonate carteziene este (20.111), cu 0=ε .

Ecuaţia este greu de integrat, fiind neliniară în h. Ea se poate liniariza şi aduce

la forma (20.163) dacă se scrie debitul conform ecuaţiei (20.161), considerând

ha = , adâncimea medie a curentului subteran. Ecuaţia (20.111) se transformă

în (cu 0=ε ):

02

2

2

2

=∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

t

h

hk

n

y

h

x

h e ,

care în coordonate polare (fig. 20.34) se scrie astfel:

t

h

hk

n

r

h

rr

h e

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂ 12

2

, (20.168)

deci ecuaţia de aceeaşi formă cu (20.163).

Concluzia este că pentru mişcarea cu suprafaţă liberă se poate da o

soluţie aproximativă de tipul celei de la punctul precedent:

)(4

0 uWhk

QhH

π=− , (20.169)

unde:

hkt

nru e

4

2 ⋅= (20.170)

La acviferele cu suprafaţă liberă, coeficientul de cedare (egal cu en )

nu atinge de la început valoarea normală. La începutul pompării apa este cedată

mai greu şi coeficientul de cedare este mai mic. Pe măsură ce timpul de

pompare creşte, coeficientul de cedare creşte, din ce în ce mai încet, stabilindu-

se practic după un anumit timp, dat de formula empirică:

,1035,5 0

5

k

SHTp

⋅= ],[ sm (20.171)

unde S este coeficientul de cedare, 0H – grosimea acviferului, k – coeficientul

de filtraţie.

110. Grup de puţuri

Se consideră un sistem de n puţuri, dintr-un acvifer sub presiune,

prezentate în plan şi în secţiune verticală în figura 20.42. Puţurile sunt aşezate

la distanţe mai mici decât raza lor de influenţă şi acţiunile lor interferează. Ca

urmare, suprafaţa piezometrică a stratului – iniţial orizontală – capătă o formă

complicată. În figura 20.42, linia curbă plină reprezintă o secţiune verticală prin


suprafaţa piezometrică. Ea exprimă legea de variaţie a presiunii în stratul de

apă. Se observă că sub acţiunea pompării, acviferul se descarcă de presiune,

ceea ce este avantajos pentru stabilitatea stratului impermeabil care constituie

tavanul pânzei de apă. Fie că este vorba de stabilitate sau de captarea unui debit

de apă, interesează relaţiile care să dea cotele piezometrice şi debitele.

Problema, deşi complicată, se poate rezolva cu ajutorul metodei

generale a potenţialului. În acest caz mişcarea este plană (deoarece se produce

între cele două straturi impermeabile paralele) şi ecuaţia de bază se scrie:

),( yxp

zkkH ϕγ

=

+−=−

Potenţialul ϕ se obţine scriind că el este suma potenţialelor celor n

puţuri:

1 1

ln2

n ni

i ii i

Qr C

aφ φ

π= =

= = +∑ ∑ (20.172)

Fig. 20.42. Grup de puţuri în acvifer sub presiune

Ecuaţia generală a suprafeţei piezometrice se scrie deci sub forma:

Cra

QkH

n

ii

i +⋅⋅

=− ∑=1

ln2 π

(20.173)

În cazul unui acvifer cu nivel liber formula se modifică astfel:

CrQh

kn

ii

i +=− ∑=1

2

ln22 π

(20.174)

Restul formulelor se modifică în mod analog.


Determinarea constantei C depinde de formularea problemei. De fapt

problema comportă 1+n constante arbitrare: constanta C şi cele n debite iQ .

Formularea 1. Dacă sunt date adâncimile în puţuri (cele n adâncimi

ih0 ) şi o condiţie la limita razei de influenţă a grupului (la Rrrr n ≅≅≅≅ …21

există 0HH = ) se pot scrie 1+n ecuaţii care determină cele 1+n constante:

constanta C şi cele n debite iQ .

Formularea 2. Dacă sunt date debitele iQ , cu ajutorul condiţiei la

limita razei de influenţă ( 0HH = pentru punctul ),,( 21 nrrrM … la distanţa R )

se determină constanta C şi rezultă ecuaţia suprafeţei piezometrice:

∑=⋅⋅⋅

+=n

i

ii R

rQ

akHH

10 ln

2

1

π (20.175)

Cu ajutorul acestei ecuaţii se poate calcula presiunea efectivă din

stratul acvifer. Se calculează raza de influenţă, se aleg debitele iQ (de obicei

egale între ele QQQQ n === …21 ) şi cu ajutorul relaţiei (20.175) se calculează

cotele în diferite puncte, inclusiv cotele la marginea puţurilor.

Formularea 3. Se presupun debitele iQ cunoscute şi egale între ele

( QQQQ n === …21 ) şi se cere să se determine valoarea lui Q astfel ca într-un

punct dat ),( 21 nrrrM ′′′′ … să existe o cotă piezometrică dată H ′ . Problema revine

la a calcula debitul Q care realizează o anumită descărcare de presiune a

acviferului într-un punct critic M ′ şi este de fapt o completare a formulării 2.

În condiţiile menţionate, ecuaţia (20.175) se scrie:

∑=

′

⋅⋅⋅+=′

n

i

ii R

rQ

akHH

10 ln

2

1

π,

din care rezultă debitul:

( )[ ]n

n rrrR

HHakQ

′⋅′⋅′

′−⋅⋅⋅=

…21

0

ln

)(2 π (20.176)

120. Viteza admisibilă la intrarea apei în puţ

Unul dintre criteriile de bază la dimensionarea puţurilor este

stabilitatea mecanică a stratului acvifer în imediata vecinătate a puţului. Aici

se înregistrează vitezele reale de filtrare cele mai mari şi este posibilă

antrenarea particulelor constituente al mediului poros, iar în exploatarea

puţurilor nu este admisă această antrenare întrucât s-ar distruge structura

naturală a mediului permeabil şi se înnisipează puţul.

Debitul extras din puţ trebuie limitat la valorile impuse de condiţiile

de stabilitate a mediului permeabil.

- pentru puţ în strat acvifer sub presiune

admavrQ 02π≤ (20.177)

- iar în puţ în strat acvifer cu nivel liber

admvhrQ 002π≤ (20.178)

unde: 0r se referă la raza exterioară a coroanei de filtru a puţului.

Vitezele admisibile ale vitezei de intrare sunt:

- după Sichardt

15

kvadm =

- iar după Abramov 365 kvadm =

Standardele româneşti stabilesc vitezele admisibile la valorile din

(tab. 20.3).

Vitezele admisibile de intrare a apei în puţuri

Tabelul 20.3. Conţinutul în nisip al stratului de mediu

permeabil captat admv

(m/s)

60% particule cu d < 1 mm 0,002

40% particule cu d < 0,5 mm 0,001

40% particule cu d < 0,25 mm 0,0005

130. Puţ absorbant perfect în acvifer cu suprafaţa liberă

Puţul absorbant – sursă pozitivă – este un puţ în care se introduce un

debit de apă în diferite scopuri (îmbogăţirea stratului acvifer, apa uzată epurată

etc). Nivelul apei în puţ este superior nivelului hidrostatic din mediul permeabil

şi apa din puţ se infiltrează în stratul permeabil (fig. 20.43).


Fig. 20.43. Puţ absorbant perfect

Suprafaţa liberă din acvifer în urma creşterii nivelului în puţ cu

Hhs −= 0 în regim staţionar este:

0

22

0 lnr

r

k

Qhh

π=− (20.179)

iar debitul distribuit de puţ acviferului

( )

0

22

0

lnr

RHhk

Q−

=π

(20.180)

20.4.2. Mişcarea apelor subterane spre drenuri

Drenurile sunt construcţii longitudinale, executate sub formă de tuburi

permeabile, canale sau şanţuri, care captează (drenează) apa din pământ. Ele

sunt folosite pentru captarea apelor subterane în scopul folosirii lor sau în

scopul controlului nivelului şi presiunii acviferelor, sau în scopul îndepărtării

apei în exces (desecare sau drenare). Folosite în scopuri diverse, drenurile sunt

construcţii foarte răspândite şi cu forme de realizare – şi implicit condiţii de

calcul – foarte variate.

10. Drenul perfect în acvifer sub presiune alimentat lateral

Schema acestui dren este prezentată în figura 20.44. Drenul se

numeşte perfect, deoarece este permeabil şi captează apa în întreaga grosime a

stratului acvifer, respectiv străpunge stratul până la patul impermeabil.

Mişcarea în stratul acvifer este uniformă şi se produce sub diferenţa de

sarcină 00 hHs −= . Problema principală este calculul debitului, care se rezolvă

direct, debitul specific (pe unitatea de lungime de dren) fiind:

h

s

h

r

R

dr

dH

r

k

NHS

I

Q

0

0


L

kasakJaVVaq ===⋅= )1( (20.181)

s h

H a

H

x

L

Put de observatie

Tavan impermeabil

A

kAcvifer V

XX Plan de referinta

Pat impermeabil

q q

V

Linia piezometrica0

0

Dre

n

Fro

nt

de

alim

en

tare

Fig. 20.44. Drenul perfect în acvifer sub presiune alimentat radial

În funcţie de debit, rezultă denivelarea sau sarcina necesară a drenului:

)/(kaqLs = .

Linia piezometrică are ecuaţia:

xak

qhH

⋅+= 0 , (20.182)

şi este linia dreaptă care uneşte nivelele extreme.

20. Drenul perfect în acvifer cu suprafaţă liberă,

cu pat orizontal, alimentat lateral Schema acestui dren este arătată în figura 20.45. Considerând un dren

de lungime mare, problema se poate reduce la modelul filtraţiei plane pe pat

orizontal. Pentru calculul debitului şi suprafeţei libere se aplică relaţia mişcării

permanente variate pentru 0=I (parabola lui Dupuit):

( )

L

hHkq

2

2

0

2

0 −= ; (20.183)

xk

qhh

22

0 +=′ (20.184)

Ultima ecuaţie descrie curba suprafeţei libere trasată pe figura 20.45

cu linie întreruptă, adică în ipoteza că se racordează la înălţimea 0h din dren

(ipoteza Dupuit). În realitate, din cauza condiţiilor speciale existente la trecerea

de la masivul de pământ la spaţiul liber din dren, suprafaţa liberă efectivă


rămâne mai sus. Apa intră în dren nu numai pe înălţimea 0h , ci pe o înălţime

mai mare ihh ∆+0 . Apare o zonă de izvorâre de înălţime ih∆ .

Curba reală a suprafeţei libere va fi dată de relaţia:

xk

qhhh i

2)( 2

0 +∆+= (20.185)

După Polubarinova-Kocina înălţimea de izvorâre la peretele vertical al

unui dren poate fi determinată cu ajutorul graficului din figura 20.46, stabilit pe

cale analitică.

Fig. 20.45. Drenul perfect în acvifer cu suprafaţa liberă, alimentat lateral

Fig. 20.46. Abacă pentru calculul înălţimii de

izvorâre la drenuri cu perete

filtrant vertical

30. Drenajul sistematic

Drenajul sistematic este realizat din tuburi închise, canale, şanţuri la

echidistanţă (perfecte sau imperfecte), în scopul evacuării excesului de

umiditate provenită de la infiltraţii de la suprafaţă. Atât infiltraţia, cât şi

mişcarea apei spre drenuri este variabilă în timp, deci o mişcare nepermanentă.

Diferite soluţii ale ecuaţiilor mişcării, în diferite condiţii concrete sunt

prezentate în lucrări de specialitate de calcul al infiltraţiilor, desecări, drenaje.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.1

0

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.5

∆h j

H0

H0h

0HL

=0


40. Infiltraţia din canale şi drenuri

Un canal de pământ în care nivelul apei se află deasupra nivelului

pânzei subterane se comportă ca un dren invers, din care apa se infiltrează în

pământ, alimentând pânza subterană. Fenomenul poate să fie şi dirijat în cazul

când serveşte la îmbogăţirea unei pânze subterane din care apa se captează în

scopuri utile.

În figura 20.47.a se arată aspectul mişcării apei, care se infiltrează

dintr-un canal şi se mişcă apoi într-un teren permeabil, în care nivelul pânzei

subterane este situat mult mai jos decât fundul canalului. La ieşirea din canal,

liniile de curent sunt normale la suprafaţa taluzurilor şi fundului, apoi se

curbează în jos şi după o oarecare distanţă devin paralele. În această zonă apa

infiltrată se mişcă pe verticală, pe o lăţime 0B , cu panta hidraulică

1=∆∆= zzJ , deci debitul infiltrat de unitatea de lungime a canalului va fi:

kBkJBVBq 000 === (20.185’)

Lăţimea 0B a putut fi determinată teoretic, rezultând formula:

ChBB +=0 ,

în care coeficientul C se ia din tabelul 20.4 în funcţie de panta taluzurilor

canalului şi de raportul între oglinda apei şi adâncimea apei în canal.

În terenuri fine se face simţită şi influenţa capilarităţii, care face să

crească 0B . În cazul când pânza subterană este mai aproape (fig. 20.47b)

debitul scade.

Valorile coeficientului C pentru lăţimea frontului de infiltraţie

Tabelul 20.4. B/h 0 2 4 6 8 12 16 20

m=0 2,80 - - - - - - -

m=1 - 2,00 2,70 3,15 3,45 3,85 4,10 -

m=1,5 - - 2,25 2,70 3,00 3,40 3,70 -

m=2 - - 1,80 2,30 2,65 3,10 3,40 3,60

m=2,5 - - - 2,05 2,40 2,85 3,15 3,35


h

B

B

p=

pa

t

0

a)

b)

Fig. 20.47. Infiltraţia dintr-un canal de pământ

Infiltraţia apei de irigaţie din brazde poate fi privită ca o mişcare

asemănătoare celei prezentate însă este mult mai complicată. Parametrii

hidraulici în lungul brazdei variază datorită infiltraţiei, iar frontul de avans

întâlneşte un mediu permeabil nesaturat în care tensiunea superficială şi chiar

forţele moleculare joacă rol important. Mişcarea este dependentă de timp şi

spaţiu (lungul brazdei) şi uneori la udarea prin brazde se utilizează la

alimentarea lor două trepte la debit.

Irigaţia subterană recurge la distribuirea apei din conducte îngropate

care funcţionează cu presiuni manometrice mici (linia piezometrică nu

depăşeşte suprafaţa terenului). Conducta de distribuţie subterană poate fi privită

ca un dren invers, ea alimentează pânza subterană, iar prin ridicarea acesteia se

umectează stratul de sol activ (fig. 20.48).

Fig. 20.48. Irigaţia subterană prin

alimentarea pânzei freatice

Irigarea subterană prin ridicarea nivelului freatic se poate aplica în

situaţia când patul impermeabil se află la o adâncime mică şi există un control

al alimentării drenurilor respective asupra nivelului freatic.

Totuşi distanţa dintre drenuri la faza de drenare şi la faza de

distribuţie, pentru aceleaşi condiţii, diferă. La faza de distribuţie din drenuri

k

t

0

p/

t=0

γ


distanţa între acestea este mai mică. Experienţele arată reducerea coeficientului

de filtraţie la faza de distribuţie faţă de faza de drenare. Explicaţia fenomenului

de modificare a coeficientului de filtraţie k la acelaşi mediu permeabil, deci

coeficient de permeabilitate unic, pk , rezultă din calitatea apei. La faza de

drenare se colectează apă subterană având un anumit grad de aerare, iar la faza

de distribuţie se utilizează apă de la suprafaţă având conţinut de aer absorbit

mai mare. Apa de suprafaţă distribuită în subteran are tendinţa de a aduce

conţinutul de aer absorbit la caracteristicile apei subterane prin eliberare din

aerul absorbit. Această cantitate de aer eliberat blochează porii mediului

permeabil reducându-i coeficientul de filtraţie.

Problemele menţionate sunt de pionierat şi necesită studii sistematice

aprofundate.

20.5. FILTRAŢIA APEI PRIN CORPUL CONSTRUCŢIILOR

DIN PĂMÂNT

Barajele, digurile şi batardourile din pământ sunt construcţii masive

supuse acţiunii apei sub sarcini diferite de până peste o sută metri coloană de

apă. Sub sarcina hidraulică apa circulă prin porii masivelor de pământ, formând

curenţi în zona umedă a construcţiilor. Umezirea unei părţi a construcţiei de

pământ şi acţiunea forţelor hidrodinamice au implicaţii asupra stabilităţii

masivelor. Curenţii prin aceste construcţii transportă diferite debite care

prezintă importanţă diferită de la caz la caz.

Filtraţia prin construcţiile de pământ îmbracă aspecte diferite: există

mişcări care pot fi tratate drept curgeri permanente (ex: baraje,batardouri,

diguri ale acumulărilor permanente), în alte cazuri mişcarea este nepermanentă

cu variaţii regulate sau oarecare (ex: digurile de apărare împotriva inundaţiilor).

Masivele de pământ ale construcţiilor pot fi medii permeabile

omogene izotrope sau neomogene în funcţie de tipul construcţiei, tehnologia de

realizare etc.

Construcţiile din pământ au diferite condiţii de fundare din punct de

vedere al filtraţiei şi, uneori, există îmbunătăţiri ale acesteia sau se utilizează

elemente de construcţie care reduc sau îmbunătăţesc condiţiile de filtrare a apei.


20.5.1. Filtraţia prin corpul barajelor de pământ

Filtraţia prin baraje de pământ poate fi privită ca un caz de mişcare

permanentă în ipotezele cele mai nefavorabile de funcţionare. Construcţia este

solicitată de apa reţinută în lac la care variaţia nivelului în timp este mică.

Ipotezele de calcul cele mai nefavorabile sunt acoperitoare şi totodată posibile

să apară în exploatare.

Rezultatele calculelor folosesc la determinarea stabilităţii taluzurilor,

stabilitatea barajului, stabilitatea terenului de fundaţie etc.

Reducerea infiltraţiilor prin corpul barajelor se realizează prin nuclee

cu permeabilitate redusă, ecrane (măşti), iar coborârea suprafeţei libere a apei

infiltrate – în scopul reducerii pământului umectat din corpul barajului – se

realizează prin diferite forme de drenaj – prism drenant, dren, saltea drenantă,

banchetă de anrocament ş.a.

Barajele din pământ pot fi omogene sau neomogene – neomogenitate

creată de nucleu, mască ş.a.

În concordanţă cu marea varietate de combinaţii de soluţii constructive

şi calculele hidraulice diferă de la un caz la caz, dar principial se pot găsi soluţii

aproximative, acoperitoare pe cale hidraulică sau hidrodinamică.

Soluţionarea filtraţiei prin baraje de pământ pe cale hidraulică a fost

elucidată de N.N. Pavlovski.

10. Filtraţia prin baraj de pământ omogen fundat pe pat

impermeabil orizontal Se consideră barajul omogen din (fig. 20.49).

H

H

d

h

l

ϕ

yh θ

a

t

m H x

s

s

s

B

m h

θ

b

1

0

1

1 0 2 a

00

1'1 2

1

0

N

C

B

AA'

A"

M0

1"

i=0

a2

m 1

m2

k

y

x

Fig. 20.49. Filtraţia prin baraj de pământ omogen pe strat impermeabil orizontal


Mărimile din figură definesc secţiunea transversală a barajului şi

condiţiile hidraulice limită din biefurile amonte şi aval.

Aceste mărimi sunt cunoscute, precum şi coeficientul de filtraţie k.

La filtraţia cu nivel liber mişcarea are loc prin prelingere, adică curba

de depresie (nivelul liber) AB are punctual de ieşire B deasupra punctului C,

corespunzătoare contactului cu nivelul apei din aval. Segmentul BC este zona

de prelingere.

Secţiunile 1′′ (trece prin muchia amonte a coronamentului) şi 2′′ (trece

prin punctul B – de apariţie a apei pe taluzul aval) sunt secţiuni de separaţie şi

împart corpul barajului (secţiunea transversală) în trei fragmente. Calculele

filtraţiei pe cele trei fragmente diferă, însă se respectă condiţia de continuitate

(debitul specific filtrat pe cele trei fragmente este acelaşi).

a. Fragmentul amonte este limitat de taluzul amonte şi secţiunea de

separaţie 1′′

Rezistenţele hidraulice care apar la mişcarea curentului de filtraţie, în

primul fragment, determină pierderile de sarcină şi în consecinţă coborârea

nivelului de la punctul A la A ′′ .

hHa −= 0 (20.186)

Fig. 20.50. Filtraţia prin segmentul

amonte

Linia taluzului amonte AM este izobară (echipotenţială) şi îi este

caracteristică

constp

yH =+=γ

0 (20.187)

În mod analog secţiunea de ieşire EA ′′ trebuie să fie echipotenţială.

Liniile de curent sunt normale pe cele echipotenţiale, au o curbură pronunţată şi

sunt cvasiparalele între ele.


Firele de curent reale se înlocuiesc cu fire virtuale orizontale,

echivalente, de ordonată z, grosime dz şi lungime

)(1 dzml += (20.188)

Pierderile de sarcină în segmentul amonte au valoarea a, rezultând

panta hidraulică pentru firul de curent virtual considerat

1( )

aI

m d z=

+ (20.189)

Debitul specific filtrat pe secţiunea dzdA ⋅= 1 este:

1( )

kadq kIdA dz

m d z= =

+ (20.190)

Însumarea debitelor elementare pe domeniul ],[ 0Haz ∈ permite

obţinerea debitului specific (pe 1 m lăţime)

ad

Hd

m

akq

+

+⋅= 0

1

ln (20.191)

sau înlocuind hHa −= 0 şi 10 HdH =+ , rezultă:

hH

H

m

hHkq

−

−=

1

1

1

0 ln)(

(20.192)

Relaţia (20.192) supraapreciază pierderile pe fragmentul amonte,

subapreciind debitul specific filtrat şi se recomandă corecţia sa. După Dachler:

)( 0 hHkq −= ε (20.193)

unde:

1

93,112,1

m+=ε

sau pe baza teoriei hidrodinamice a filtraţiei

12

1)(cos

1

θ

π

θ

ε = (20.194)

b. Fragmentul central se consideră situat între secţiunile 1′ şi 2. Între

aceste secţiuni are loc o mişcare permanentă gradual variată pe pat impermeabil

orizontal şi i se aplică relaţia lui Dupuit (parabola), respectând continuitatea:

( )

s

hhkq a

2

22 −= (20.195)

în care 0atha += .

c. Fragmentul aval În cazul schemei prezentate pe taluzul aval apare o zonă de prelingere

şi aceasta totdeauna există pentru 22 πθ <

yθ

t

ky

0 N

C

2

m2

θ2

l

z

dz t

aC

B

G

k1

2 N

0

m2

Fig. 20.51. Schemă explicativă Fig. 20.52. Calculul hidraulic al

a spectrului mişcării pe fragmentului aval

fragmentul aval

Segmentul CN de pe taluzul aval este o linie echipotenţială şi liniile de

curent sunt normale pe ea. Curba suprafeţei libere fiind o linie de curent trebuie

să fie normală la suprafaţa echipotenţială CN. În acelaşi timp pe suprafaţa

curbei de depresie presiunea este constantă, cea atmosferică, 0== app . Curba

de depresie ar trebui să aibă forma din fig. 20.51, cu sarcina yH = , care ar

trebui să crească spre aval (în lungul curentului). Acest fapt este imposibil

energetic, energia specifică scade continuu spre aval. Existenţa pierderilor de

energie pe fragmentul aval evidenţiază micşorarea spre aval a cotei suprafeţe

libere. În concluzie apa nu poate ieşi pe taluz în punctul C; este inevitabilă

apariţia zonei de prelingere.

Debitul filtrat pe fragmentul aval se calculează conform fig. 20.52,

fragmentul fiind împărţit prin orizontala nivelului aval în două subfragmente:

- subfragmentul 1 (deasupra nivelului aval), în care filtraţia (cu debitul

specific 1q ) are loc sub sarcină variabilă (z) şi

- subfragmentul (sub nivelul aval), în care filtraţia (cu debitul specific

2q ) are loc sub sarcină constantă 0a .

În calcule hidraulice se introduce o aproximare privind secţiunea

limită 2, care în loc de verticala punctului B ia coarda arcului de cerc BG, cu

originea în N (piciorul taluzului aval).


Parte din debitul filtrat iese în atmosferă pe taluzul aval, în zona de

prelingere BC, iar altă parte în zona CN, sub nivelul din aval.

Ca şi pe fragmentul amonte şi pe cele două subfragmente aval tuburile

elementare de curent reale se înlocuiesc cu tuburi elementare orizontale virtuale

de grosime dz.

Debitul specific total filtrat este:

21 qqq += (20.196)

În zona subfragmentului aval superior, 1, lungimea firului de curent

este:

2sinθ

zl = (20.197)

iar pierderile de sarcină sunt zhr = . Rezultă panta hidraulică

2

2

sinsin

θθ

===z

z

l

hrI (20.198)

şi debitul elementar

dzkdAIkdq ⋅⋅⋅=⋅⋅= 21 sin1 θ (20.199)

respectiv, prin integrare pe domeniul ],0[ 0az ∈ , debitul specific

201 sinθkaq = (20.200)

În zona subfragmentului aval inferior, 2, lungimea firului de curent

este (20.197), iar pierderile de sarcină 0ahr = . Rezultă panta hidraulică

z

aI 20 sinθ

= (20.201)

şi debitul specific elementar

z

dzakdq ⋅⋅= 202 sinθ (20.202)

iar după integrare pe domeniul ],[ 0 ahaz ∈

0

202 lnsina

hakq a⋅⋅= θ (20.203)

Debitul total filtrat este:

+⋅⋅=+=

0

2021 ln1sina

hakqqq aθ (20.204)

Dacă secţiunea limită 2 se consideră verticală, debitul specific este:


+⋅⋅=

+⋅⋅=

02

0

0

20 ln11

ln1a

h

mak

a

htgakq aaθ (20.205)

În virtutea continuităţii, debitele filtrate pe cele trei fragmente

(ecuaţiile 20.193, 20.195 şi 20.204) sunt egale.

Numărul necunoscutelor în aceste trei ecuaţii este 4 şi anume h , 0a , s

şi q.

Pentru rezolvarea sistemului acesta se completează, din condiţia

geometrică, cu

0201 lhmHmBs a −−−= (20.206)

în care

121 )( HmmbB ++=

şi

kql =0

Sistemul de ecuaţii rezultat este:

−−−=

+=

−=

−=

shmHmBkq

ahakqs

hhkq

hHkq

a

a

a

201

020

22

0

)ln1(sin

2

)(

θ

ε

(20.207)

Sistemul de ecuaţii (20.207) este valabil şi pentru cazul când bieful

aval este uscat ( 0=t şi 0aha = ).

Sistemul de ecuaţii se rezolvă printr-o metodă matematică sau grafo-

analitică.

După calculul necunoscutelor se construieşte prin puncte curba de

depresie. Întâi se trasează curba suprafeţei libere pe fragmentul de mijloc cu

ecuaţia

( )0

2 2lx

k

lhy −−= (20.208)

Începutul curbei este în punctul A′ , iar sfârşitul în B . Curba se

construieşte prin puncte pentru ],[ 00 lslx +∈ .

La trasarea curbei de depresie pe fragmentul amonte, între punctele A

şi A′ trebuie să respecte următoarele condiţii:


- în punctul A , tangenta la curba de depresie este normală la linia

taluzului amonte;

- în punctul A′ curba de depresie din fragmentul amonte şi central au

tangentă comună şi face cu orizontala unghiului ϕ (ce se obţine prin

diferenţierea ecuaţiei 20.208 şi pentru condiţia de margine hy → ), obţinând:

−=

kh

qarctgϕ (20.209)

Racordarea curbei de depresie în punctual B este tangenţială la

taluzul aval.

Forma curbei de depresie depinde de raportul kq , elementele

geometrice ale barajului şi condiţiile hidraulice din bieful amonte şi aval.

20. Filtraţia prin baraj de pământ cu nucleu, fundat

pe teren impermeabil orizontal Caracteristica nucleului unui baraj este aceea că coeficientul său de

filtraţie Nk este mult mai mic decât al umpluturii. Din acest considerent, chiar

şi în cazul unei grosimi mici a nucleului, pierderile de sarcină pe acesta sunt

importante, curba de depresie coborând apreciabil. Nucleul în cele mai multe

cazuri are secţiune trapezoidală şi pinten de încastrare în patul impermeabil

(fig. 20.53).

Hh

lh'

δ

h"a

tθθ

δ ccb

δ

l l s s

m h

0

M 1 00

2

1

N

KA'

A

LB

C

N

kN

1 2

0

2 a

2

0

x

y

k

m 1

m2

N

Fig. 20.53. Curba de depresie în baraj cu nucleu fund pe pat impermeabil orizontal


Pentru simplificare se consideră un nucleu echivalent de secţiune

dreptunghiulară cu

2

21 δδδ

+=N

Calculul filtraţiei este analog cu cele prezentate la pct.1 fragmentul de

mijloc însă este divizat în trei subfragmente, deci parabola lui Dupuit se

calculează pe subfragmente obţinând sistemul de ecuaţii:

−−=

+=

−′′=

′′−′=

′−=

−=

020

020

2

22

22

1

22

0

)ln1(sin

2)(

2)(

2)(

)(

lhmss

ahakq

lhhkq

hhkq

lhhkq

hHkq

a

a

a

N

θ

δ

ε

(20.210)

Necunoscutele sunt 0h , 0a , q , s , h′ şi h ′′ . Sistemul se rezolvă

printr-o metodă matematică, numerică sau grafo-analitică.

Calculele pot fi rezolvate prin înlocuire virtuală a nucleului cu un

prism echivalent de mediu poros cu coeficient de filtraţie k şi lăţime

echivalentă

N

Ne k

kl δ= (20.211)

şi lucrând cu baraj omogen cu (sistemul de ecuaţii 20.207):

N

Neechiv k

kclcb δ+=+= 22 (20.212)

30. Baraj de pământ cu ecran fundat pe teren impermeabil

orizontal Prin ecranul puţin permeabil care formează paramentul amonte al

barajului se produc pierderi de sarcină importante, suprafaţa curbei de depresie

coborând mult. Din condiţii hidraulice şi de stabilitate ecranele se execută cu

grosime variabilă, crescătoare de la suprafaţă spre adâncime (fig. 20.54).

În calcule se va considera un ecran de grosime constantă, eδ .


Fig. 20.54. Curba de depresie în baraj cu ecran fundat pe pat impermeabil orizontal

Dacă BA′ este poziţia curbei de depresie, suprafeţele de separaţie sunt

1 şi 2 care trec prin punctele E şi B. Segmentul AE este normal pe suprafaţa

taluzului. Pentru fragmentele de mijloc şi aval sunt caracteristice consideraţiile

(şi ecuaţiile) de la punctul 1.

Fragmentul ecranului din amonte se poate schematiza conform

fig. 20.55 în două subfragmente – zona superioară şi zona inferioară.

Hd

δ

d

h

z

dh

ξ

z

s'l

0

kee

II

I

D

e

A'A"

E

0

A

1' 1

1θ

ζ

ξ

ζ

m 1

Fig. 20.55. Schema de calcul al fragmentului amonte

Ducând normale la taluzul amonte din A′ , linia AD împarte ecranul

în subfragmente.


Debitul total filtrat este suma debitelor filtrate pe cele două

subfragmente:

21 qqq += (20.213)

Ecuaţiile celor două subzone se determină separat.

a. Zona superioară Se consideră firul de curent rectiliniu şi normal la taluz. Poziţia firului

este definit din coordonata z, respectiv grosimea ζd , debitul elementar fiind:

ζδ

ζ dz

kIdkdqe

ee ⋅== (20.214)

dar

1sinθ

ζdz

d = , (20.215)

şi

dzz

kdqe

e1

1sin

1

θδ⋅= (20.216)

Însumarea 1dq pe intervalul ],[ 00 ehHzz −∈ conduce la relaţia

( )[ ]

1

2

0

2

01

sin2 θδe

ee zhHkq

−−= (20.217)

unde 10 sinθδez = .

Pentru simplificarea soluţiei se poate admite hhe =

( )[ ]

1

222

01

sin2

sin

θδ

αδ

e

ee hHkq

−−≅ (20.218)

b. Zona inferioară La calculul lui 2q se foloseşte de schema echivalentă. Firul de curent

de calcul este de grosime ζd în ecran şi ξd în umplutură. Geometric rezultă:

1sinθζξ dd = (20.219)

Lungimea firului în ecran este eδ , iar pe porţiunea orizontală ξ1ml = .

Partea înclinată a firului de curent, situată în limitele ecranului, se

înlocuieşte cu o lungime echivalentă, sub aspectul pierderilor de sarcină, cu

dimensiunea transversală ξd


1sinθδeek

kl ⋅=′ (20.220)

În zona inferioară filtraţia are loc sub sarcina constantă ehH −0 , iar

drumul filtraţiei este lll +′=′′ .

Fig. 20.56. Schema înlocuirii situaţiei reale

cu o schemă echivalentă

Debitul elementar filtrat când se face aproximaţia hhe = , este:

ξξ

ξ dml

hHkdkIdq

1

02

+′

−⋅=⋅= (20.221)

Integrând ecuaţia în limitele 001 zhH −−=ξ şi 002 zH −=ξ se obţine:

)(

)(ln

)()(

001

001

1

0

1

02

2

1hzHml

zHml

m

hHk

ml

dhHkq

−−+′

−+′−=

+′−= ∫

ξ

ξξ

ξ (20.222)

Pentru secţiunea întreaga a barajului se poate scrie sistemul:

2 2

1 0 0

1

2 0 1 0 0

1 1 0 0

1 2

2 2

0 2

0

0 2

( )

2 sin

( )ln

( )

1( )

2

sin 1 ln

e

a

a

a

q H h z

k

q H h l m H z

k m l m H z h

qq q

k k

q h h

k s

q ha

k a

s s m h

δ θ

θ

− −=

′− + −

=′ + − −

= +

−

= = +

= −

(20.223)

l' l=m

d

δ

d

l"1

e

ζ

ξ

ξ


cu 1010 sinθδeHmBs −−= .

Rezolvând sistemul de ecuaţii se găsesc cele 6 mărimi necunoscute

0a , h , s , 1q , 2q şi q .

40. Baraj de pământ cu dren

Barajele de pământ sunt prevăzute deseori cu drenuri la piciorul aval.

Drenajul piciorului aval poate fi de 4 tipuri caracteristice, care generează

diverse moduri de calcul al curbei de depresie.

θ θ

y

xs

θ

θ θ θt t t

a

C

B

2

b

bancheta dren

2

c 2

saltea

d1

2C

d2

2

C

prism

d3

2

C

h0

B

Fig. 20.57. Scheme de drenaj şi forma curbelor de depresie

- Cazul a nu introduce nici o modificare a problemei filtraţiei,

bancheta având rol de sprijinire a taluzului înmuiat şi de prevenire a sufoziei.

Poziţionarea curbei de depresie se face analog cu primul caz prezentat. - Când barajul este prevăzut cu dren pe talpa fundaţiei (cazul b)

profilul se împarte în două fragmente – amonte şi mijloc, fragmentul amonte

calculându-se analog cu cele prezentate. În fragmentul din mijloc dacă se

neglijează adâncimea mică a apei în dren comparativ cu dimensiunile barajului

se obţine

s

h

s

hh

k

q

2~

2

22

0

2 −= (20.224)

care completat cu ecuaţiile

−=

−=

00

0 )(

lss

hHk

qε

(20.225)

permit calculul lui h , q şi s .


Curba de depresie pe fragmentul de mijloc se obţine prin reprezentarea

ecuaţiei (20.208).

Drenul trebuie să aibă capacitatea de evacuare a întregului debit filtrat,

în caz contrar există pericolul deversării sale şi apariţia apei pe taluz. Când

drenul funcţionează normal curba de depresie se racordează cu aceasta după o

tangentă verticală.

- În cazul c al drenajului cu saltea (fig. 20.58), secţiunea barajului se împarte în fragmentul amonte (care se calculează în mod analog celor

prezentate) şi fragmentul central (principal).

H yl

y

y

xs s

l

A

11'

kA'

0

0B

2D

x

y

0

dr

1 2

Fig. 20.58. Curba de depresie la baraj drenat cu saltea

Problema aparte este determinarea drl care rezultă din relaţia lui

Dupuit pentru un dren

k

qldr

2= (20.226)

Sistemul de ecuaţii ce se obţine este:

−−=

=

−=

01

2

0

2

2

)(

lk

qss

s

hkq

hHkq ε

(20.227)

din care se determină q , h şi s . Valoarea kqy =0 .

Într-un caz simplificat, când 0=drl , rezultă 01 lss += şi trebuie

determinat h şi de reprezentat curba de depresie.

- În cazul d, 22 πθ > . Între prisma de anrocament şi umplutură se

intercalează un filtru invers pentru prevenirea sufoziei. Curba de depresie se

racordează diferenţiat cu paramentul aval înclinat, în raport cu adâncimea t din

aval. Când

limtt < există o zonă de prelingere (caz 1d ) şi curba de depresie

se racordează tangent la o verticală ridicată din punctul B. În lipsa apei din aval

( 0=t ) zona de prelingere există totdeauna, la fel pentru limtt < .

Pentru h

qmftt p )(lim == curba de depresie este normală la suprafaţa

banchetei de anrocamente (cazul 2d ), iar pentru limtt > racordarea se face după

o orizontală (cazul 3d ).

Valorile )( pmf

Tabelul 20.5.

pm 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

)( pmf 0,725 0,439 0,312 0,240 0,195

20.5.2. Filtraţia prin corpul digurilor

Digurile sunt lucrări hidrotehnice longitudinale pe cursuri de apă şi au

rolul de apărare împotriva inundaţiilor. Sunt construite din pământ provenit din

zona dig-mal. Tehnologia lor de execuţie implică anizotropie, coeficientul de

filtraţie pe orizontală este mult superior celei pe verticală, vkk >>0 . Din acest

considerent infiltraţia are loc pe orizontală, schimbul de masă pe verticală este

neglijabil.

Digurile, cu înălţimi între 125,0 … m, sunt calculate pentru o anumită

probabilitate de depăşire a nivelului în funcţie de importanţa obiectivelor

apărate. Ele trebuie să reziste la acţiunea apei, taluzurile trebuie să fie stabilite.

Faţă de baraje, digurile longitudinale de apărare prezintă unele

particularităţi de structură şi funcţionale, după cum urmează:

- digurile sunt protejate doar cu covor vegetal;

- nu sunt prevăzute cu ecrane, nuclee, decât cele de importanţă majoră;

- drenajul corpului digurilor nu este asigurat;

- în intervalul incintei protejate, la distanţă determinată, sunt prevăzute


cu un canal drenant deschis pentru drenarea fundaţiei şi drenarea parţială a

digului (fig. 20.59);

- funcţionalul lor diferă de cel al barajelor; digurile vin în contact cu

apa la viituri, care au durată limitată (de la câteva ore la zile, eventual perioadă

mai lungă în cazul Dunării);

- variaţia nivelului în exteriorul digurilor este nepermanentă şi, de

obicei neregulată şi bruscă (în special la creştere), conform hidrografului de

viitură. Hidrograful luat în calcul este cel modificat de încorsetarea râului prin

îndiguire;

- umiditatea digurilor înainte de viitură se consideră la valoarea

capacităţii de reţinere rn .

H

(Q)

0t

t

W

N

k

k

0

y

0

fundatie permeabila

max

curgere de baza

Canal deinterceptie

Fig. 20.59. Schema digului, canalului de intercepţie şi hidrograful de viitură

10. Infiltraţia nepermanentă în diguri anizotrope

Se presupune corpul digului mediu omogen şi anizotrop, umiditatea sa

la apariţia viiturii fiind la valoarea porozităţii de reţinere rn . Apa infiltrată din

viitură circulă în porii reprezentând capacitatea de cedare cn .

În momentul iniţial ( 0=t ) avansul apei în corpul digului este:

00

==t

x (20.228)

Se consideră digul din fig. 20.60, mişcarea fiind plană verticală.

Corpul digului se împarte în fire de curent finite de secţiune 1⋅= aA , iar

presiunea la frontul de avans al apei cea atmosferică.


H=variabil

x dx

aPa

1

Fig. 20.60. Schema infiltraţiei nepermanente orizontale într-un dig anizotrop ( vkk >>0 )

Pe firul de secţiune 1⋅a frontul infiltraţiei în momentul t a ajuns la

distanţa x. După timpul dt frontul avansează cu dx sub sarcina H.

Ecuaţia mişcării se obţine din legea lui Darcy şi de conservare a masei,

astfel:

- viteza aparentă a infiltraţiei este:

x

HkIkv 00 =⋅= (20.229)

- volumul de apă infiltrat din viitură în timpul dt pe suprafaţa firului

1⋅a este egal cu volumul porozităţii de cedare pe distanţa dx (apa se

înmagazinează în porozitatea de cedare):

dxnadtva c ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 11 (20.230)

După înlocuirea vitezei aparente şi separarea variabilelor avem

dtn

Hkxdx

c

0= (20.231)

Integrând ecuaţia, avem

∫=t

c

Hdtn

kx

0

02 (20.232)

Integrala ∫t

Hdt0

este suprafaţa hidrografului nivelurilor viiturii din

momentul creşterii nivelului peste firul considerat până în momentul considerat

t (fig. 20.61).


t

H

H variabil

H.dt=A0

x(t)

t

H

t

Fig. 20.61. Schema de calcul a integralei (20.232)

În această situaţie avansul este:

An

kx

c

02= (20.233)

sau admiţând un hidrograf discretizat în dreptunghi, cu tHA ⋅= ,

tHn

kx

c

⋅= 02 (20.234)

Calculele trebuie efectuate pentru fiecare fir de curent la momente

analoage. De obicei calculele se efectuează în diferenţe finite.

Ecuaţia frontului de umectare într-un masiv de pământ omogen şi

izotrop cu front de alimentare vertical la ridicarea bruscă a apei se obţine din

integrarea ecuaţiei Boussinesq (20.) sub forma

tn

kHx

c

618,1= (20.235)

iar pentru front la alimentare înclinat

2

618,0

−+= m

H

x

Hn

tk

c

β (20.236)

în care

=

υβ

kHmf , s-a stabilit experimental.


20.6. APLICAŢII

10. Două drenuri paralele, aşezate pe patul impermeabil orizontal la

distanţa L, colectează apa, infiltrată uniform de pe interspaţiul dintre drenuri cu

debitul specific ε . Să se determine cota maximă a suprafeţei libere şi poziţia

acesteia dintre drenuri cunoscând adâncimile apei în drenuri 1h şi 2h şi

coeficientul de filtraţie k. Aplicaţia numerică: 5105 −⋅=k m/s, 50=L m;

10=ε mm/zi, 5,01 =h m, 8,02 =h m şi 00,2=H m.

H

hh

h

x

L

k

h

x2

1

max

1

ε

2 Rezolvare: Drenurile fiind lungi mişcarea poate fi considerată plană

verticală pentru care se poate scrie ecuaţia lui Boussinesq, pentru mişcarea

permanentă (20.109)

022

22

=+∂

∂

kx

h

ε

care integrată este:

022

21

22

=+++ CxCxk

h ε

Constantele de integrare rezultă din condiţiile de margine:

- pentru 0=x , 1hh = şi 22

12 hC −=

- pentru Lx = , 2hh = şi k

L

L

hhC

22

2

2

2

11

ε−

−=

Ecuaţia curbei de depresie este:

xk

Lx

kx

L

hhhh ⋅

⋅+⋅−⋅

−−=

εε 22

2

2

12

1

- distanţa x pentru max=h se obţine prin anularea derivatei funcţiei


0)( =dxxdh din care se obţine

ε22

2

2

2

1

max

k

L

hhLx

h

−−=

=, iar

k

Lk

L

hhhhhh

442

22

2

2

2

1

2

2

2

12

1max

⋅+

−+

−−=

ε

ε

- debitul specific în secţiunea 1 este:

+−

−−−=−=

k

Lx

kL

hhk

dx

dhkhqx

εε22

2

2

1

care pentru drenul 1 devine:

L

hhkLq

2

2

2

11

22

−+−=

ε

iar pentru drenul 2:

L

hhkLq

2

2

2

12

22

−+=

ε

cu Lqqq ε==+ 21 .

Pentru aplicaţia numerică se obţin

68,26max

=h

x m

898,1max =h m

6

1 10088,3 −⋅−=q /smm3

6

2 10699,2 −⋅=q /smm3

20. Un curent acvifer uniform sub presiune caracterizat prin panta

%1=I , 0,3=a , 3102,1 −⋅=k m/s şi 10=H m trebuie captat de o linie de

puţuri perfecte având raza lor de execuţie 15,00 =r m (fig. 20.41). Să se

determine distanţa dintre puţuri, debitul unui puţ şi coordonatele punctului de

stagnare dacă denivelarea în puţuri este de 3s = m.

Rezolvare

- curentul subteran are viteza: 523

0 102,110102,1 −−− ⋅=⋅⋅=⋅= Ikv m/s

- debitul unui puţ este (20.158):


0

00

0

ln

)(2

ln

2

r

xrxav

r

xaks

QA

A

A

−+=

ππ

- coordonatele punctului de stagnare

0=Ay

ππ

b

av

QxA ==

02

unde b2 este zona de influenţă a puţului.

Necunoscutele Q şi Ax nu se pot explicita, soluţionarea problemei

fiind iterativă. Prin aproximaţii succesive se obţine:

40,24=Ax m

52,5=Q l/s

rezultând 65,76== Axb π m.

Distanţa dintre puţuri este: 3,15365,7622 =⋅=b m

30. Dintr-un acvifer cu nivel liber cu 18=H m se pompează

qvasiconstant debitul 5,25=Q l/s la o denivelare 85,1=s m într-un puţ perfect

cu raza 125,00 =r m (fig. 20.34). Denivelarea într-un piezometru aflat la

801 =r m este de 5,6=s cm. Să se determine coeficientul de filtraţie al

stratului acvifer.

Rezolvare

Aplicând ecuaţia curbei suprafeţei libere pentru puţul perfect în strat

acvifer cu nivel liber alimentat radial (20.115) pentru 80=r m şi

935,17065,000,18 =−=−= sHh m se obţine

( ) ( )4

22

0

1

2

0

21062,8

125,0

80ln

15,16935,17

0255,0ln −⋅=

−=

−=

ππ r

r

hh

Qk m/s

cu 15,1685,100,180 =−=−= sHh m.

40. Să se determine debitul specific filtrat şi poziţia curbei de depresie

în cazul unui baraj de pământ omogen fundat pe strat impermeabil orizontal

(fig. 20.49), cunoscând: 171 =H m, 150 =H m, 12=b m, 4=t m, 31 =m ,

22 =m şi 6103 −⋅=k m/s.


Rezolvare

Se calculează:

32175,043,18311 ==== oarcctgarcctgmθ rad

2 2 2 26,56 0, 46365oarcctgm arcctgθ = = = = rad

447,056,26sinsin 2 ==θ

293,1

)32175,0(cos

1

)(cos

1

32175,022

11

===⋅

π

θ

π

θ

ε

9717)23(12)( 121 =⋅++=++= HmmbB m

5215397010 =⋅−=⋅−= HmBs m

400 +=+= ataha

00201 244)4(252 aahmss a −=+−=−=

6

0 103 −⋅== qkql

6

001 103244 −⋅−−=−= qalss

Sistemul de ecuaţii (20.207) devine:

( ) [ ]

++⋅⋅=

=

++⋅⋅⋅=

+=

⋅−−

+−⋅=

−=

−⋅=−⋅⋅=−=

−

−

−

−

−−

0

00

6

0

00

6

0

20

6

0

2

0

2622

66

0

4ln1103414,1

4ln156,26sin103ln1sin

103244

)4(103

2

)15(10879,3)15(103293,1)(

a

aa

a

aa

a

hkaq

qa

ah

s

hhkq

hhhHkq

a

a

θ

ε

cu necunoscutele q , h şi 0a .

Soluţia sistemului este:

61076,5 −⋅=q m3 / sm

514,13=h m

0725,20 =a m

respectiv

855,391 =s m

921,10 =l m

855,39=s m


Unghiul ϕ (ec. 20.209) este:

oarctg

kh

qarctg 086,8

514,13103

1076,56

6

−=

⋅⋅

⋅−=

−=

−

−

ϕ

Curba de depresie se trasează în coordonate ),( yx prin câteva puncte

(amonte la 0l apoi din 5 în 5 m, până la întâlnirea cu taluzul aval).

Pct. 1 2 3 4 5 6 7

x 0,00 1,921 5 10 20 30 39,855

y 15,00 13,514 13,069 12,312 10,638 8,646 6,073

Obs. Taluz

amonte la 0l După parabolă Dupuit (20.208) Taluz

aval

17,015,0

4,0

y

x

12

34 5

6

7

0

1:3

1:2

Hidraulică vol. II

525

CAPITOLUL 21

ELEMENTE DE MODELARE HIDRAULICĂ

21.1 NOŢIUNI GENERALE. MODELE UTILIZATE

ÎN MODELAREA HIDRAULICĂ

Aşa cum o definea Sharp, modelarea hidraulică este „o artă practică

bazată pe ştiinţă”. Bazele modelării - analiza dimensională şi teoria

similitudinii – au fost prezentate în cap I. (vol. I). În acest capitol se vor face

referiri la modele utilizate în diverse ramuri ale hidraulicii.

Modelarea hidraulică operează cu două tipuri de modele: modele

fizice şi modele numerice:

21.1.1. Modele fizice şi numerice

Un model fizic este un dispozitiv precis, utilizat pentru a prezice

comportamentul unui fenomen fizic. „Predicţia” unui astfel de dispozitiv este

corectă, doar dacă modelul fizic este corect proiectat.

O reproducere la scară mică a unui fenomen fizic poate reprezenta un

model valid doar dacă caracteristicile importante ale fenomenului fizic redus pe

model, sunt corelate cu cele ale fenomenului fizic real – prototip – de către

anumite constante de proporţionalitate care satisfac anumite condiţii.

De regulă constantele de proporţionalitate se numesc scări, iar

condiţiile care trebuie satisfăcute de scările de proporţionalitate – criterii de similitudine.

La începuturile modelării hidraulice, criteriile de similitudine erau

derivate din relaţii matematice (de regulă ecuaţii diferenţiale) ce descriau natura

fenomenului fizic investigat. Aşadar, gradul de încredere al criteriilor de

similitudine determinate în acest mod depindea în întregime de gradul de

încredere al relaţiilor matematice utilizate. Dacă însă relaţiile matematice care

descriu un fenomen nu se cunosc, atunci nici criteriile de similitudine nu pot fi

cunoscute. Se ajunge astfel la o situaţie paradoxală ca un model fizic să fie mai

util pentru acele cazuri care nu pot fi formulate teoretic.

Modul de abordare actual al modelării fizice se bazează pe analiză

dimensională. Această metodă oferă criterii de similitudine din studiul

dimensional al caracteristicilor fundamentale ale fenomenului fizic studiat şi nu


526

din relaţiile matematice care descriu fenomenul fizic. Pentru criteriile de

similitudine obţinute în acest mod nu există riscul unor interpretări greşite (care

pot fi inerente în cazul unor formulări matematice).

De altfel, teoria actuală a modelelor fizice este strâns legată de teoria

dimensională. După Yalin, teoria modelelor poate fi privită simplu ca „o

interpretare precisă a teoriei dimensionale” şi nu poate fi înţeleasă în afara

teoriei dimensionale.

Convenţional, modelele fizice utilizate pentru studiul unor fenomene

hidraulice şi care lucrează cu apă se numesc modele hidraulice.

În afară de modelele hidraulice există şi modele aerodinamice care au

cunoscut o dezvoltare în anii 1960 şi 1970 – modelarea în curenţi de aer.

Principalul lor avantaj constă în faptul că pot fi construite la o scară de 10 ori

mai mică decât modelele hidraulice clasice. Însă ele prezintă dezavantajul

schimbării frecvente a sticlei (sau plexiglasului) cu care sunt acoperite - pentru

modificarea rugozităţii. Ele sunt utilizate în principal pentru studii preliminare

în proiectarea schemelor de amenajare a râurilor.

Aşa cum s-a menţionat în capitolul 19, există modele analogice,

bazate pe analogia formală între ecuaţiile mişcării unii fluid şi ecuaţiile

propagării curentului electric într-un mediu rezistiv omogen.

În ultimii ani datorită dezvoltării tehnicii de calcul automat, precum şi

a metodelor matematice de integrare a ecuaţiilor diferenţiale, modelele numerice cunosc o dezvoltare rapidă. Ele sunt aplicate în multe ramuri ale

hidraulicii: curgeri cu nivel liber uni şi bidimensionale, curgeri sub presiune,

curgeri subterane etc.

Principala deosebire între un model fizic şi un model numeric constă

în faptul că un model numeric necesită formularea ecuaţiilor ce descriu

fenomenul fizic, în timp ce pentru un model fizic este suficient să identifice

forţele care acţionează şi de aici să formuleze parametri de similitudine.

Alegere a unui model fizic sau numeric de soluţionare a unui fenomen

depinde de o serie de criterii: factori limitativi, precizia cerută, flexibilitate,

timp şi costuri necesare. Un criteriu de alegere a unui tip de model, poate fi

„credibilitatea” unui tip de model care a dat rezultate bune pentru tipuri de

probleme similare cu cele de studiat. Oricum, un criteriu poate fi considerat şi

„puterea de convingere intuitivă a unui model hidraulic”.

O tendinţă actuală constă în utilizarea complementară a modelelor

fizice şi numerice: modelul fizic dă datele pentru calibrarea modelului numeric.

De exemplu se poate utiliza un model numeric pentru determinarea

parametrilor loviturii de berbec într-o hidrocentrală, dar modelul fizic este

Hidraulică vol. II

527

necesar pentru a determina corect coeficienţii pierderilor de sarcină în castelul

de echilibru a cărui geometrie este atât de complexă, încât aceşti coeficienţi nu

se pot calcula precis pe cale teoretică.

În (tab. 21.1) se prezintă schematizat rolul modelelor fizice şi

numerice.

Utilizarea modelelor fizice şi numerice în hidraulică

Tabelul 21.1.

Domeniu Problemă Modele

hidraulice

Modele

numerice

Hidraulica

structurilor

hidrotehnice

- caracteristicile

descărcătorului,

energie disipată

pt. geometrie

complexă

pt. geometrie simplă

- curgeri aerate necesare doar cu formule

empirice

- eroziuni necesare doar cu formule

empirice

- curgeri sub

presiune

probleme locale

pentru geometrie

complexă

utilizate în principal

- curgeri subterane rar utilizate utilizate în principal

Scheme de

amenajare

a râurilor

- curgeri permanente

şi nepermanente în

râuri

probleme locale cu

geometrie complexă

mai mult pentru

geometrie simplă,

probleme uni şi

bidimensionale

- transport de fund probleme locale

- transport în

suspensie

necesare

- lacuri -------------- utilizate în principal

21.2. MODELE HIDRAULICE

21.2.1. Consideraţii preliminare

Legile care guvernează fenomenele fizice sunt exprimate în forma

unor relaţii matematice între cantităţile implicate. Un fenomen fizic trebuie

definit într-un mod adecvat generării unor relaţii matematice. O „definiţie

cantitativă” a unui fenomen fizic se sprijină pe dezvăluirea unor seturi de n cantităţi independente:

a1, a2, a3, ..., an (21.1)

care sunt necesare şi suficiente pentru a descrie în mod complet fenomenul.

Aceste cantităţi independente ai necesare pentru a completa definiţia unui


528

fenomen se numesc parametri caracteristici (ai fenomenului); pot fi pozitivi

sau negativi, dimensionali sau adimensionali, constante sau variabile.

Un fenomen fizic, având o „geometrie specificată”, poate avea – ori îi

putem atribui – un număr nelimitat de proprietăţi cantitative care pot fi notate

A1, A2, A3, ... Aj, .... De fapt, percepţia unui fenomen este dată de percepţia

principalelor lui proprietăţi. Orice proprietate cantitativă A a unui fenomen

trebuie corelată cu n parametri caracteristici ai de către anumite relaţii funcţionale: A = fA(a1, a2, a3, ..., an) (21.2)

Forma relaţiilor funcţionale descrise depinde de natura proprietăţii A

şi diversele proprietăţi ale fenomenului studiat sunt funcţii diferite de aceeaşi n

parametri caracteristici. În plus, forma fA a relaţiei funcţionale (21.2) depinde de

„geometria specificată” a fenomenului; orice variaţie a condiţiilor la limită

induce o variaţie a formei funcţiei fA (corespunzătoare unei proprietăţi A). De

exemplu, curbele coeficientului de rezistenţă la curgerea unui lichid în jurul

unui cilindru sau a unei sfere nu sunt identice.

Deşi relaţia (21.2) apare ca o funcţie de n „variabile”, parametrii

caracteristici nu sunt neapărat variabile cantitative. De exemplu, acceleraţia

gravitaţională g este constantă atât pe model cât şi pe prototip. Însă deşi, de cele

mai multe ori şi densitatea ρ şi vâscozitatea ν sunt considerate constante,

condiţiile de curgere de pe model şi prototip pot să difere substanţial, astfel

încât acestea să fie variabile.

21.2.2. Modele hidraulice convenţionale

Modelele hidraulice sunt preferate de multe ori deoarece nu implică

nici un fel de formulări matematice ale fenomenelor studiate. De exemplu se

cunoaşte foarte bine care sunt parametri curgerii pe un pat granular mediu

erodabil, astfel se pot stabili foarte bine criteriile de similitudine în cazul

transportului de sedimente. Însă dacă se încearcă să se stabilească aceste criterii

din ecuaţiile matematice ale transportului de sedimente se ajunge la dificultăţi

serioase. Acest lucru se datorează faptului că în prezent practic nici o ecuaţie a

transportului de sedimente nu poate fi privită drept cunoscută în adevăratul

sens al cuvântului.

Alt avantaj constă în faptul că determinarea scărilor de modelare nu

depinde de natura prototipului (pantă, debit, adâncimea curgerii), nici de

caracteristicile prototipului care apar în criteriile de similitudine, nici în relaţiile

de scară.

Hidraulică vol. II

529

Dar, deşi atât pe model cât şi pe prototip g este constantă şi este unul

dintre parametrii caracteristici, când se proiectează modele hidraulice

convenţionale, trebuie să se selecteze pentru cei trei parametri independenţi

dimensional a1 = ρ, a2 = ν, a3 = g, scările

λρ = 1; λν = 1; λg = 1 (21.3)

Dar, din criteriile de similitudine dinamică, dacă toate scările sunt egale cu

unitatea, atunci nu se poate realiza un model dinamic similar la scară redusă.

Datorită acestor dificultăţi, de multe ori se alege soluţia proiectării

modelelor care să atingă similitudinea doar a unei proprietăţi particulare, sau a

unui set de proprietăţi particulare.

21.2.3. Modele hidraulice distorsionate

De multe ori, în modelarea hidraulică se utilizează scări diferite pentru

lungimi, ceea ce afectează similitudinea geometrică şi în consecinţă

similitudinea dinamică. În (fig. 21.1.) se prezintă un model la scară

distorsionată λy = 2(λx = λz).pentru un râu cu lăţime mare.

0

y

x

u'max

u''max

a).

λy=2λz

B

2·5 h Bc 2·5 h

b).

h

θ'

θ''

Fig. 21.1. Model hidraulic distorsionat

Raportul lăţime/adâncime este de două ori mai mic, iar unghiul de

înclinare al taluzului modelului este de două ori mai mare. Acest lucru

afectează inevitabil caracteristicile mecanice ale curgerii (distribuţia de viteze

pe model şi prototip nu mai este aceeaşi, nici punctul corespunzător vitezei

maxime locale nu mai este acelaşi). De asemenea şi structura curenţilor

secundari poate fi afectată.

Utilizarea modelelor distorsionate se justifică adesea în situaţiile la

care interesează anumite sectoare ale curgerii; de exemplu (fig. 21.1.b)

interesează parametrii curgerii în „zona centrală” şi nu în apropierea malurilor.


530

Întrucât curgerea în regiunea centrală poate fi tratată ca fiind bidimensională

(independentă de raportul B/h – şi de λz/λy), distorsiunea nu afectează

similitudinea curgerii şi consecinţele sale (de ex. transportul de sedimente) pe

lăţimea Bc. Acest raţionament este corect, datorită faptului că există o regiune

centrală „substanţială” şi pe model, ''cB . Majoritatea râurilor naturale au o

valoare mare a raportului lăţime/adâncime şi de aceea, dacă distorsiunea λy/λx

nu este exagerată se poate realiza pe model o zonă centrală.

„Dimensiunea curgerii” în regiunea centrală este dată de adâncimea h, şi de

aceea proprietăţile curgerii - şi consecinţele lor – dependente de h vor fi scalate

în scara adâncimilor λy. De exemplu în cazul curgerii turbulente într-un râu,

lungimea dunelor de sedimentare va fi Λ ≈ 2πh. Întrucât λΛ ≈ λh = λy, lungimea

dunelor va fi redusă la scară pe modelul distorsionat. Dacă modelul este

distorsionat de unul din factori (lungime), numărul dunelor dintr-o regiune AB,

va fi de două ori mai mic pe model decât pe prototip (fig. 21.2).

patru dune

A'

B'

B''doua A''

λλ

=2y

x

dune

Fig. 21.2. Model distorsionat al dunelor pe patul albiei

În modelarea cu modele distorsionate, valoarea admisă λy/λz depinde

de problema care se studiază. De exemplu, dacă se modelează curgerea peste

deversoare – în general structuri hidraulice, raportul λy/λz nu poate fi decât

unitar.

În cazul modelării râurilor şi a mareelor Yalin recomandă o valoare 2/3

yx λλ = .

Hidraulică vol. II

531

21.2.4. Modele de tip Froude şi Reynolds

În cazul curgerilor neuniforme cu suprafaţă liberă, acceleraţia

gravitaţională g este un parametru caracteristic propriu. În acest caz, aşa cum

s-a menţionat anterior, prezenţa celor trei parametri g, ρ şi ν, împiedică

realizarea similitudinii dinamice pe modelul hidraulic, şi convenţia actuală este

să se proiecteze modele prin considerarea criteriului Froude

gh

FrX2

1

ν== (21.4)

şi ignorarea criteriului Reynolds

ν

hX

vRe2 == (21.5)

În practica modelării hidraulice, importanţa criteriului Reynolds scade

progresiv pe măsura creşterii valorii (a numărului Reynolds). Convenţional,

modelele realizate pe baza criteriului Froude se numesc modele Froude, iar cele

realizate pe baza criteriului Reynolds - modele Reynolds.

Când se modelează o curgere cu suprafaţă liberă, practica uzuală este

să se construiască un model cât mai mare posibil, pentru creşterea numărului

Reynolds şi, în consecinţă, reducerea influenţei frecărilor vâscoase.

La un model Froude, proiectat după

1=Frλ ; 2/32/32/1

Re hhg λ

λ

λλλ

ν

== (21.6)

chiar dacă el are λh şi deci λRe suficient de mari pentru a elimina influenţa

vâscozităţii din miezul turbulent, se poate resimţi influenţa datorată vâscozităţii

pe patul albiei modelului, unde aceasta este determinată de

1Rev

Re −∗∗ == c

h

kk ss

ν (21.7)

unde v* reprezintă viteza de frecare la perete, ks – rugozitatea patului,

c – coeficientul de frecare.

Când se modelează râuri sau valuri mareice, coeficientul de frecare

∗

=v

vc (21.8)

este esenţial să fie redus la scară în mod adecvat. Întrucât într-un model

froudian distorsionat

2/1v yh λλλ == (21.9)


532

în timp ce

2/1v

x

y

λ

λλ =

∗ (21.10)

scara lui c trebuie să fie

y

xc

λ

λλ = (21.11)

Modelul patului rugos trebuie ajustat astfel încât să se respecte

(21.11). Doar în cazul unui model Froude distorsionat, valoarea coeficientului

de frecare pe model şi prototip este aceeaşi.

21.3. MODELAREA CURGERILOR

CU SUPRAFAŢĂ LIBERĂ ŞI CU PAT FIX

21.3.1. Modelarea hidraulică a râurilor şi canalelor deschise

10. Consideraţii generale

Numărul de scară se defineşte ca fiind raportul valorii unei mărimi

din natură (sau prototip) Xp şi a valorii aceleaşi mărimi de pe model Xm,

Xm

XpX = (21.12)

Viteza de frecare la perete este

ρτ /v 0=∗ (21.13)

cu τ0 efortul unitar tangenţial definit ca

ghJJgRh ρρτ ≅=20 (21.14)

unde Rh este raza hidraulică egală cu adâncimea albiei pentru albii foarte largi

(înălţime hidraulică), iar J – panta fundului albiei.

Greutatea specifică a sedimentelor sub apă este

( )gss ρργ −= (21.15)

unde ρs este densitatea sedimentelor, iar ρ – densitatea apei.

20. Modele nedistorsionate

Pentru modelarea mişcării apei este necesar să se asigure criteriul de

similitudine Froude. În acest caz simplu, scările de modelare verticale şi

orizontale sunt identice: L = h, şi conform criteriului Froude (2.14),

2/12/1 hLV == (21.16)

Hidraulică vol. II

533

Scara de modelare a pantei este evident unitară.

Numărul de scară a debitului este

( ) 2/5LVLhQ ==∧ (21.17)

unde ( )∧ este o notaţie ce caracterizează un număr de scară.

Modelul este perfect definit de alegerea doar a numărului de scară

geometric L. Problema care se pune este de a verifica dacă forţele de frecare

sunt scalate în aceeaşi manieră.

În hidraulica râurilor se foloseşte adesea formula lui Manning-

Strickler:

2/13/2 JKRV h= (21.18)

cu următoarea formulă empirică pentru modulul de coeficientul de rugozitate

K:

6/1/26 dK = (21.19)

unde d reprezintă diametrul caracteristic al elementelor rugozităţii pentru un pat

fix.

Pentru un râu de lăţime mare (curgere bidimensională), viteza devine

2/13/2

6/1

26Jh

dV = (21.20)

unde h reprezintă adâncimea apei.

Comparând relaţia (21.20) cu relaţia lui Darcy – Weisbach:

λ

ghJV

8= (21.21)

rezultă coeficientul de frecare λ ca o funcţie de rugozitatea relativă h/d, astfel:

6/1

935.21

−

=

d

h

λ (21.22)

Relaţia (21.22) este adevărată pentru 5 < h/d < 500, iar majoritatea

râurilor naturale se încadrează în aceste limite, exceptând cele foarte largi (sau

estuarele cu adâncimi mari şi sedimente fine).

Consecinţa relaţiei (21.22) este că dimensiunile coeficientului de

frecare λ vor fi aceleaşi atât pe model cât şi pe prototip dacă raportul h/d este

acelaşi; deci elementele rugozităţii pot fi scalate în scara geometrică. Acest

lucru este însă valabil dacă condiţiile de curgere pe model sunt aceleaşi ca în

prototip, altfel spus curgere în turbulenţă rugoasă pe model (fig. 21.3).


534

turbulenta rugoasa

model

prototip

Nr. Reynolds

Co

eficie

nt de

fre

care

turbulentaneteda

Fig. 21.3. Coeficientul de frecare λ pe model şi pe prototip

Trecerea de la regimul de tranziţie la cel turbulent este dat de

2004

Re =HR

dλ (21.23)

cu raza hidraulică dată în aceeaşi manieră ca în relaţia (21.18). Aceasta conduce

la un număr Reynold pe model

6/7

2350 Re

−

⟩h

d (21.24)

ceea ce arată o limitare a alegerii libere a lungimii scării geometrice.

Deci, dacă curgerea pe model nu este în turbulenţă rugoasă,

rugozitatea modelului trebuie să compenseze acest efect. Acest lucru se poate

realiza pe un model „neted” cu valori mici a raportului d/h, pentru a se obţine o

bună reprezentare a suprafeţei libere a apei şi a gradienţilor energetici. Dar în

acest caz nu se mai respectă distribuţia de viteză în secţiune transversală, care

poate fi importantă în problema studiată.

După Manning – Strickler, numărul de scară al coeficientului de

rugozitate după Strickler devine

( ) 3/22/1 Khh =∧ şi ( ) 6/1−=∧ hK (21.25)

În concluzie se poate spune că la utilizarea modelelor nedistorsionate

trebuie îndeplinite trei condiţii principale:

- numărul Froude trebuie să fie acelaşi pe model şi prototip;

- rugozitatea modelului trebuie aleasă corect;

- curgerea pe model trebuie să fie turbulentă.

30. Modele distorsionate

În cazul utilizării modelelor distorsionate, scara vitezelor trebuie

corelată cu scara adâncimilor, şi din criteriul de similitudine Froude rezultă:

Hidraulică vol. II

535

2/1

hV∧∧

= . (21.26)

Numărul de scară a debitului este

( ) 2/3LhVLhQ ==∧ . (21.27)

Scara pantelor este egală cu coeficientul de distorsionare e:

eLhJ ==∧∧∧

/ (21.28)

unde e este subunitar conform definiţiei numărului de scară.

O altă particularitate a modelului distorsionat este modificarea formei

secţiunii transversale, implicând variaţia razei hidraulice care depinde de

raportul h/L.

Considerând relaţia Darcy – Weisbach pentru asigurarea similitudinii

frecării, numărul de scară pentru coeficientul de frecare λ este

( )L

R

h

R

L

h

V

JR hhh =⋅==∧2

λ (21.29)

ceea ce arată că numărul de scară a rugozităţii depinde de raza hidraulică, şi de

aceea o similitudine completă este imposibilă. Dar, în cazul râurilor largi se

poate aproxima raza hidraulică Rh cu adâncimea h, deci e=∧

λ . Aceasta

conduce la următoarea relaţie a numărului de scară:

( ) eh

d=

=∧

3/1

λ . (21.30)

Relaţia (21.30) se poate rescrie în forma 3/ ehd =∧∧

, ceea ce înseamnă

că mărimea relativă a rugozităţii elementelor variază cu cubul coeficientului de

distorsionare. Cu cât modelul este mai distorsionat cu atât rugozitatea

elementelor variază mai mult, ceea ce conduce la probleme de calibrare a

modelului. Pe de altă parte, distorsionarea, prin modificarea profilului de viteză

pe verticală, produce o exagerare a curenţilor secundari în coturi. De obicei , în

hidraulica râurilor, distorsionarea modelului este limitată la 1/e < 3 sau 4.

Numărul de scară al coeficientului de rugozitate rezultă din

( ) 1 2/16/1 =∧ eKh . (21.31)


536

21.3.2. Modelarea structurilor hidrotehnice

Modelarea structurilor hidrotehnice este probabil cel mai uzual tip de

modelare hidraulică deoarece este relativ ieftină, uşor de realizat şi de

interpretat.

Curgerea peste şi în jurul structurilor hidrotehnice implică componente

verticale semnificative, de aceea trebuie lucrat cu un model nedistorsionat.

Deoarece curgerea are loc sub efectul gravităţii, modelele de curgere cu

suprafaţă liberă în jurul structurilor hidrotehnice trebuie scalate conform

criteriului Froude. Pentru a asigura independenţa fată de efectele de scară şi

pentru o bună precizie a măsurătorilor, modelul trebuie să fie suficient de mare,

iar scările într-un domeniu cuprins între 10 şi 60 – care este uzual în practica

modelării hidraulice. Rugozitatea modelului nu este atât de importantă, de

aceea nu este necesară calibrarea modelului, el trebuie construit cât mai neted

posibil.

Modelarea structurilor hidrotehnice înecate poate fi realizată pe

modele distorsionate sau nedistorsionate, a căror număr de scară geometrică

este în jur de 100, completate de unul sau mai multe modele detaliate la o scară

mai mare (30 la 60) care nu trebuie distorsionate. Protecţia acestor structuri

împotriva corpurilor străine, a sloiurilor de gheaţă, este greu de studiat pe

model datorită dificultăţilor legate de realizarea similitudinii acestor plutitori.

Curgerea peste deversoare şi alte tipuri de evacuatori – canale de

evacuare, sifoane, stavile, podeţe, trepte etc. se studiază pe modele

nedistorsionate. Modelarea disipatoarelor de energie şi a bazinelor de liniştire

implică utilizarea unui pat mobil. Uneori pentru reprezentarea paturilor coezive

trebuie realizate teste calitative cu mixturi de nisip şi adeziv sau cu diverse

tipuri de plastifianţi.

Problema principală care se pune la modelarea curgerilor sub presiune din diverse structuri hidrotehnice – staţii de pompare, turnuri de răcire,

canalizări etc. este evitarea apariţiei vârtejurilor şi a vibraţiei acestor structuri.

La modelarea structurilor hidrotehnice s-au observat două tipuri de

probleme: antrenarea de aer (curgeri bifazice) şi apariţia vortexurilor.

Curgerea bifazică nu este corect simulată într-un model redus la scară

deoarece formarea bulelor de aer este un fenomen de tensiune superficială şi cu

acelaşi tip de lichid pe model şi prototip, bulele vor fi aproximate la aceeaşi

mărime. Pentru a simula adecvat amestecul aer-apă este necesar să se lucreze

cu un model la scară cât mai mare. Modelele de sifon de exemplu lucrează

continuu într-un amestec de aer-apă. Modelele sunt bazate pe criteriul Froude,

Hidraulică vol. II

537

dar trebuie ţinut seama că antrenarea de aer pe model va fi mai redusă decât pe

prototip.

În problema disipatoarelor de energie trebuie amintit că o mare

cantitate de aer antrenată pe prototip, are întotdeauna efectul unei disipări mai

intense a energiei. Din acest punct de vedere, transpunerea rezultatelor de pe un

model care lucrează cu amestec aer-apă în prototip, nu poate avea consecinţe

negative.

Vortexurile trebuie evitate în structurile hidrotehnice cu curgere

înecată deoarece afectează caracteristicile acestora şi permit intrarea

plutitorilor. Modelarea se referă la posibilitatea formării vortexurilor şi

recomandări pentru evitarea apariţiei acestora.

Pentru o corectă reprezentare a vortexurilor, este necesar să existe o

scalare exactă a efectelor gravitaţiei, vâscozităţii şi tensiunii superficiale.

Aceasta înseamnă un model nedistorsionat. Încă nu s-a ajuns să se formuleze

reguli de transpunere a rezultatelor de pe model pe prototip, existând în

literatura de specialitate doar recomandări în acest sens. Prima recomandare

este să se construiască un model la o scară cât mai mare (de la 10 la 20), iar

apoi să se realizeze proiectarea structurilor cu viteze de curgere mai mari decât

cele date de criteriul Froude. Utilizarea unor viteze mai mari distorsionează

inevitabil curgerea pe model şi rezultatele trebuie interpretate cu precauţie.

21.3.3. Modele mixte

Sarcina principală a modelelor mixte (în special a modelelor de

evacuatori ai structurilor hidrotehnice) este determinarea compoziţiei jeturilor.

Experimentele pe model evidenţiază modul cum modificările în proiectarea

structurilor hidrotehnice pot influenţa compoziţia şi dispersia jetului.

Modelarea compoziţiei jeturilor este foarte complicată de faptul că

dispersia jeturilor se datorează unor mecanisme diferite: deşi unul poate fi

predominant, celelalte pot influenţa în multe cazuri (fig. 21.4):

1. antrenarea de aer la jetul efluent, care este guvernată de momentul

jetului, geometria evacuatorului, şi turbulenţă (diferenţa de densitate nu este

importantă). Modelarea implică numere Reynolds destul de mari, şi criteriul

Froude.

2. ridicarea jetului datorită portanţei cu amestec datorat turbulenţei;

trebuie introdus criteriul densimetric Froude;


538

3. împrăştierea convectivă peste suprafaţa jetului depinzând de

criteriul densimetric Froude şi de criteriul densimetric Reynolds. Această

ultimă condiţie introduce o distorsiune în model;

4. masa transportată de efluenţi de curenţii de aer înconjurători;

5. difuzia şi dispersia datorate turbulenţei;

6. în cazul unei descărcări termice, determinarea pierderilor de căldură

prin suprafaţa răcitorului necesită un model distorsionat.

(1)

(2)

(3)(5) (4)

Fig. 21.4. Etapele modelării dispersiei unui jet în aer liber

Aşadar modelarea unui jet în aer liber trebuie făcută pe stadii de

evoluţie a jetului. Stadiile 1, 2 şi 5 necesită similitudine geometrică, modele

nedistorsionate rezonabil de mari, cu variaţia densităţii la fel ca în prototip.

Stadiile 3 şi 6 necesită un model distorsionat. Reproducerea stadiului 4 se poate

realiza atât cu modele distorsionate cât şi nedistorsionate.

21.3.4. Modelarea curgerilor sub presiune

Scopul unui astfel de model poate fi determinarea coeficienţilor

pierderilor de sarcină într-un castel de echilibru, pentru modelarea pe cale

numerică mişcării nepermanente într-o hidrocentrală.

În aceste modele nu intră efectul forţei gravitaţionale şi criteriul

Froude poate fi ignorat. Diferenţa de presiune depinde de numărul Reynolds şi

necesită similitudine geometrică:

=

∆

L

D

d

DVDF

V

p hhh ,,2 νρ

(21.32)

unde Dh reprezintă diametrul hidraulic.

Hidraulică vol. II

539

Dacă curgerea este în totalitate în turbulenţă rugoasă, forţele datorate

vâscozităţii sunt neglijabile. În aceste condiţii, dacă există similitudine

geometrică între model şi prototip, relaţia (21.32) devine

const2

=∆

V

p

ρ. (21.33)

Nu există număr de scară al vitezelor; modelul este valabil pentru

orice debit care asigură un număr Reynolds suficient de mare astfel încât

curgerea să fie turbulent rugoasă.

Metoda utilizată pentru determinarea coeficienţilor pierderilor de

sarcină constă în mai multe teste cu diverse numere Reynolds pentru a se stabili

valorile limită peste care coeficienţii pierderilor de sarcină devin constanţi.

21.3.5. Modelarea schemelor de amenajare a râurilor

Modelele structurilor care acoperă o arie mică sunt numite

convenţional „modele de structuri hidrotehnice”, în care lungimea râului supus

modelării este atât de redusă încât forţele de frecare pot fi ignorate. Modelele în

care interesul este centrat pe râul însuşi, se numesc „modele de scheme de

amenajare”. În acest caz forţele de frecare sunt evident importante în curgerea

apei în lungul râului. Principala operaţie în lucrul pe model este calibrarea.

Deşi râurile au în general o structură destul de compactă (astfel încât

dimensiunile orizontale şi verticale sunt comparabile), în lungul râului, raportul

dintre distanţelor orizontale şi verticale are valori foarte mari.

În multe circumstanţe este posibil să se utilizeze un model

distorsionat, în special pentru porţiuni foarte lungi de râuri cu lunci inundabile.

Problemele studiate pe astfel de modele diverse sunt:

- utilizarea structurilor hidrotehnice ale râului pentru îmbunătăţirea

condiţiilor naturale;

- protecţia împotriva inundaţiilor;

- structurile transversale râurilor şi văilor (amplasarea podurilor);

- amplasarea balastierelor;

- navigaţia pe râuri.

21.3.6. Tehnica modelării hidraulice

În modelarea hidraulică trebuie parcurse succesiv următoarele etape:

construcţia propriu-zisă a modelului, calibrarea, studiul însăşi şi, în final,

interpretarea rezultatelor.


540

10. Pentru construcţia propriu-zisă a modelului este necesar un

rezervor etanş realizat de obicei din cărămidă sau beton, care conţine modelul,

sau, pentru modele de dimensiuni mici, rezervorul se poate construi şi din oţel

(fig. 21.5).

Fig. 21.5 Exemplu de model hidraulic

Metoda cea mai uzuală pentru reproducerea cu acurateţe a secţiunii

transversale a unui râu, constă în utilizarea unor şabloane. Configuraţia corectă

a suprafeţei este apoi obţinută prin umplerea cu grijă între şabloane cu mortar

de ciment. De asemenea, se mai pot utiliza fâşii metalice care urmăresc liniile

de contur în loc de şabloane care reprezintă secţiunile transversale.

Controlul şi exploatarea unui model constă în menţinerea unui debit

în amonte şi a unui nivel în aval cu o precizie foarte mare. Pentru curgeri

permanente acest lucru se realizează relativ simplu - manual, dar pentru curgeri

nepermanente acest lucru se realizează prin stavile sau vane acţionate de către

un calculator.

20. Calibrarea. Pentru râuri de lungime apreciabilă la care pierderea de

sarcină de-a lungul râului este un parametru esenţial, calibrarea poate deveni

foarte anevoioasă şi poate fi foarte dificil să se obţină pe model vitezele şi

nivelurile observate în natură.

Metoda clasică de calibrare constă în împrăştierea de pietre cu muchie

ascuţită pe patul albiei, ori adeziv – dacă viteza este mare. Pentru simularea

vegetaţiei de pe maluri se poate utiliza plasă de sârmă. Dacă este necesară o

rezistenţa mai mare a patului albiei şi a malurilor se poate ataşa de fund cuie

sau ştifturi extinse până deasupra suprafeţei libere a apei.

Hidraulică vol. II

541

Dacă efectul rugozităţii albiei este atât de mare încât afectează corecta

reprezentare a profilului patului albiei, atunci se pot aplica diverse metode:

înclinarea modelului – construcţia cu o pantă exagerată, sau lucrul pe model cu

un debit mai mic decât cel rezultat din criteriul Froude.

Primul pas în calibrare constă în corecta reprezentare a regimului de

curgere. Dacă studiul reclamă mişcare nepermanentă, atunci al doilea pas

constă în reprezentarea mişcării nepermanente sau a acelor caracteristici ale

mişcării nepermanente care ar putea fi similare prototipului, corelate spaţial şi

temporal.

Baza calibrării unui model hidraulic pleacă de la ideea că dacă

modelul poate reproduce un trecut fenomen natural (prototip), el ar trebui să fie

capabil să prezică efectele care vor surveni dacă prototipul este modificat în

diverse forme. De exemplu, un model care poate reproduce forme ale suprafeţei

apei observate într-un râu, ar trebui să poată prezice nivelurile apei care ar

rezulta din modificări ale patului albiei.

Calibrarea şi verificarea unui model este foarte importantă înainte de

începerea propriu-zisă a studiului sau cu cât scările modelului sunt mai

îndepărtate de scările rezultate din „criteriile ideale de scalare”.

30. Măsurători şi instrumentar de măsurare. Pe multe modele

hidraulice prima sursă de informaţie este observaţia vizuală a curgerii, obţinută

cu ajutorul unor coloranţi, plutitori sau fire textile din lână fixate pe pat sau pe

maluri.

Măsurătorile pe modele cu pat fix se limitează în general la măsurarea

vitezelor şi a nivelurilor.

Dificultatea măsurării vitezelor constă în faptul că adâncimea apei este

redusă, de asemenea şi vitezele apei pot fi reduse (de ordinul cm/s). Tubul Pitot

nu se mai foloseşte datorită dificultăţilor legate de precizia citirilor indusă de

fluctuaţiile nivelului apei în tub. Cel mai utilizat dispozitiv este micromorişca

cu rotor de plastic (cu diametru de ordinul mm). Pentru determinarea vitezei

curenţilor de suprafaţă, încă se mai utilizează metoda cronofotografică, ce

constă în fotografierea pe model a unor plutitori iluminați. În ultima perioadă

s-au dezvoltat aparate bazate pe efect Laser Doppler, dar care sunt foarte

costisitoare şi nu foarte uşor de exploatat.

Pentru măsurarea nivelurilor în mişcare permanentă se folosesc rigle şi

ace de măsurare. Pentru mişcări nepermanente gradual variabile se folosesc

înregistratoare de nivel conectate la un calculator electronic, iar pentru mişcări

nepermanente rapid variabile - indicatoare capacitive.


542

Există situaţii, în special la structuri hidrotehnice– deversoare, la care

cunoaşterea presiunii este esenţială pentru corecta proiectare a acestora.

Principala dificultate în măsurarea presiunii constă în antrenarea aerului în apă,

care poate distorsiona măsurătorile.

21.4. APLICAŢII

10. Se consideră un râu prototip având raportul lăţime/adâncime

'/' hB = 32. Să se determine ponderea „zonei centrale” a curgerii pe un model

nedistorsionat şi pe un model distorsionat cu 4=x

y

λ

λ.

Rezolvare. Utilizând un model nedistorsionat, întrucât lăţimea totală a

curgerii afectată de maluri este de ordinul 2 x 2,5 h = 5 (fig. 21.1.b.), pentru

prototip rezultă:

275325'

'

'

'5'

'

'

=−=−=−

≅h

B

h

hB

h

Bc şi 84,032

27

'

'

≅≅B

Bc .

Deci 84 % din lăţimea prototipului se află în zona centrală a modelului

nedistorsionat.

Un model cu 4=x

y

λ

λ nu este distorsionat foarte tare faţă de

standardele actuale de modelare. Pe modelul distorsionat 84

132

"

"==

h

B.

În acest caz

354

325

"

"

"

"5"

"

"

=−=−=−

=h

B

h

hB

h

Bc şi 375,08

3

"

"

==B

Bc .

Aşadar când se utilizează un model distorsionat, doar 37,5 % din lăţimea

prototipului se află în zona centrală a modelului distorsionat.

Este evident că în acest caz este mai indicată modelarea pe model

nedistorsionat.

20. Se consideră un râu prototip având o lungime de 2000 m, şi un

coeficient de rugozitate după Strickler K = 45. Adâncimea medie a apei este

aproximativ 2 m, iar viteza medie 0,3 m/s. Să se arate care este cel mai indicat

tip de model pentru modelarea curgerii în râu.

Hidraulică vol. II

543

Rezolvare. Se studiază modelarea pe un model nedistorsionat şi pe un

model distorsionat cu un coeficient de distorsiune 1/4.

a. Modelarea curgerii pe model nedistorsionat.

Presupunem că lungimea maximă pe care se poate realiza modelul în

laborator este 20 m, numărul scării geometrice nu poate fi mai mare decât

100m 20

m 2000

'

"===

L

LL . Aplicând criteriul de similitudine Froude (21.16),

rezultă numărul de scară pentru viteze 10100 2/12/1 === LV .

Deci adâncimea apei pe model va fi

cm 2 m 02,0100

m 2'" ====

L

hh .

Analog, viteza apei pe model va fi

cm/s 3 m/s 03,010

m/s 3,0'v" ====

VV .

Pentru aceste valori ale adâncimii şi vitezei pe model, pentru un

coeficient de viscozitate cinematic 10 6−=ν m2/s, aplicând criteriul Reynolds

(21.5), rezultă numărul Reynolds

60010

03,002,0""Re

6=

⋅==

−ν

hV.

Utilizând relaţia (21.25) rugozitatea pe model va fi:

97100

45'"

6/16/1≅==

−−L

KK .

Analiza modelării pe model nedistorsionat relevă următoarele aspecte:

- intervin probleme de măsurare a vitezei şi nivelului pe model

datorită valorilor mici ale acestora;

- numărul Reynolds pe model nu este suficient de mare pentru a

garanta curgerea turbulentă; numărul Reynolds calculat pe prototip are valoarea

600.000;

- rugozitatea modelului după Strickler 97"≅K (după Manning

01,0"≅K ) este aproape imposibil de realizat practic fiind apropiată de cea a

sticlei.


544

b. Modelarea curgerii pe model distorsionat.

Aplicând relaţia pentru numărul de scară rezultă numărul de scară

pentru adâncimi

254

100

4===

∧ Lh .

Deci adâncimea apei pe model va fi

cm 8 m 08,025

m 2'" ====

∧

h

hh .

Aplicând criteriul de similitudine Froude (21.26), rezultă numărul de

scară pentru viteze 525 2/12/1

===∧∧

hV .

Analog, viteza apei pe model va fi

cm/s 6 m/s 06,05

m/s 3,0'v" ====

∧

VV .

Numărul Reynolds pe model va fi:

480010

08,006,0""Re

6=

⋅==

−ν

hV, mai apropiat de curgerea turbulentă

decât în cazul modelului nedistorsionat.

Rugozitatea după Strickler rezultă din aplicarea (21.31)

5,384

12545'

'"

2/1

6/12/16/1

=

⋅⋅=⋅⋅==

∧

∧eK

KK h

K.

După Manning 026,05,38

1" ==K .

Analizând rezultatele obţinute pe modelul distorsionat (comparativ cu

modelul nedistorsionat) rezultă că modelul distorsionat este indicat pentru

modelare.


B I B L I O G R A F I E

1. Acaroglu, E.R. – Friction Factors in Solid Material Laden Systems.

Journal of the Hydraulics Division, ASCE, Hy. 4, 1972;

2. Altsul, D.A. – Ghidravliceskie soprovlitenia, Izd. Nerva, Moskva, 1982;

3. Bartha, I. – Măsurarea vitezei fazei lichide şi solide a hidroamestecurilor,

Hidrotehnica, vol. 36, nr. 3-4, 1991;

4. Bartha, I., Giurma, I., Rusu, I., Zahariea, D. – Nonhomogeneous Two-

Phase Flow Under Pressure of the Mixture Water –

Alluviums in Low Concentration in Horizontal Circular

Pipes, Proceedings of Conference on Modeling Fluid Flow,

Budapest, 2003;

5. Bartha, I., Javgureanu, V. – Hidraulică, vol. 1, Ed. Tehnică, Chişinău,

1998;

6. Bartha, I., Marcoie, N. – Hydraulic Calculus of Stepped Canals with

Skimming Flow, Buletinul Institutului Politehnic Iaşi, Tom

XLVII(LI), Fasc. 1-4, Hidrotehnică, 2001;

7. Bartha, I., Popia, A., Leibu, H. – Influenţa turbidităţii şi a colmatării

conductelor asupra distribuţiei presiunii pe reţelele de irigaţii,

Hidrotehnica, vol. 31, nr. 6, 1986;

8. Bartha, I., Sfredel, I. – Regulator de debit pe canale cu stavilă plană

verticală şi oblon mobil acţionat de flotor, Hidrotehnica, vol.

35, nr. 8, 1990;

9. Blidaru, E. – Hidraulică, vol. I, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1964;

10. Blidaru, E. – Hidraulică, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1965;

11. Bogárdi, J. – Hidromechanika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984;

12. Bogárdi, J., Kozák, M. – Hidraulika I, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982;

13. Bogárdi, J., Kozák, M. – Hidraulika II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1984;

14. Castanny, G. – Traité pratique des eaux souterraines, Dunod, Paris,

1963;

15. Certousov, M.D. – Hidraulică. Curs special, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1966;

16. Chanson, H. – Hydraulic Design of Stepped Cascades, Channels, Weirs

and Spillways, Pergamon Press, Brisbane, Australia, 1994;

17. Chow, V.T. – Open Channel Hydraulics, Mc. Graw Hill, New York,

1959;


18. Cioc, D. – Hidraulică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983;

19. Cioc, D., Trofin, E., Iamadi, C., Tatu, G., Mănescu, M., Damian, R.,

Sandu, L., Gall, B. – Hidraulică, Culegere de probleme, Ed.

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973;

20. Ciugaev, R.R. – Ghidravlika, Ed. Energoizdat, Leningrad, 1982;

21. Cunge, J.A., Holly, Jr.F.M., Verwey, A. – Practical aspects of

computational river hydraulics. Pitman Publ. Ltd., London,

1980;

22. David – Ungureanu, E., Gogonea, S., Ene, H. – Hidrodinamica mediilor

poroase neomogene, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1989;

23. Dumitrescu, D. – Opere Alese, Ed. Academiei, Bucureşti, 1999;

24. Dumitrescu, D., Răzvan, E. – Disiparea energiei şi disipatori de energie,

Ed. Tehnică, Bucureşti, 1971;

25. Florea, J., Robescu, D. – Hidrodinamica instalaţiilor de transport

hidropneumatic şi de depoluare a apei şi a aerului. Ed.

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982;

26. Florea, J., Robescu, D., Petrovici, I., Stamatoiu, D. – Dinamica fluidelor

polifazice şi aplicaţiile ei tehnice, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1987;

27. Ghinescu, P., Solomon, M. – Hidromecanizarea în construcţii, Ed.

Tehnică, Bucureşti, 1969;

28. Giurconiu, M., Mirel, I., Retezan, A., Sârbu, I. – Hidraulica

construcţiilor şi instalaţiilor hidroedilitare, Ed. Facla,

Timişoara, 1989;

29. Giuma, R. – Modelarea matematică si simularea numerică a proceselor

de curgere a apelor subterane şi de transport de poluanţi în

acvifere cu nivel liber, Teză de Doctorat, Iaşi, 2004;

30. Graf, W.H., Altinakar, M.S. – Hidraulique fluviale; Tome I, Press

Polytechniques et Universitairea de Romandes, Laussane,

1993;

31. Hâncu, S., Marin, G. – Mişcări potenţiale, Curs litografiat, UŞAMV,

Fac. De Îmbunătăţiri Funciare, Bucureşti, 1998;

32. Hâncu, S., Stănescu, P., Platagea, Gh. – Hidrologie agricolă, Ed. Ceres,

Bucureşti, 1971;

33. Hâncu, S., Rus, E., Dan P., Teodoreanu, Gh. – Hidraulica sistemelor de

irigaţie cu funcţionare automată, Ed. Ceres, Bucureşti, 1982;

34. Hâncu, S. ş.a. – Hidraulică aplicată. Simularea numerică a mişcării

nepermanente a fluidelor, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1985;


35. Ionescu, D., Gh. – Introducere în hidraulică, Ed. Tehnică, Bucureşti,

1977;

36. Javgureanu, V., Bartha, I. – Acţionări hidraulice şi pneumatice, Ed.

Tehnica – Info, Chişinău, 2002;

37. King, H.W., Wisler, C.O., Woodburn, J.G. – Hydraulics, Fifth Edition,

John Wiley & Sons, INC, New York, London, 1948;

38. Kiselev, P.G. – Îndreptar pentru calcule hidraulice, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 1988;

39. Kozák, M. – Hidraulică, Tankönyvkiadó, Budapest, 1971;

40. Loiskandl, W. – Hydraulik, Universität für Bodenkultur, Wien, 1997;

41. Luca, M. – Hidraulică tehnică, vol. I, Mişcarea permanentă în canale, Ed

Tehnopress, Iaşi, 1998;

42. Luca, M., Bartha, I., Popia, A. – Some Hydraulic Characteristics of the

Nozzles Used in Trickle Irrigation, Bul, Institutului

Politehnic Iaşi, Tom XXVIII(XXXII), Fasc. 1-4, Secţia V,

1982;

43. Luca, O. – Hidraulica mişcărilor permanente, Ed. H.G.A., Bucureşti,

2000;

44. Marcoie, N., Cismaru, C., Agafiţei, M., Nistor, A., Gabor, V. – Model

calculator pentru curgeri nepermanente în canale de irigaţii

de secţiune trapezoidală, Bul. I.P.I., Tom XLVI(L),

“Mecanica fluidelor - I”, secţia “Construcţii de Maşini”, Iaşi,

22 sept. 2000, p. 305-309;

45. Marinov, A.M. – Hidrodinamica apelor subterane, Ed. Printech,

Bucureşti, 2000;

46. Mateescu, C. – Hidraulică, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,1963;

47. Novak, P., Cabelka, J. – Models in Hydraulic Engineering, Pitman

Publishing Ltd., 1981;

48. Pietraru, V. – Calculul infiltraţiilor, Ed. Ceres, Bucureşti, 1970;

49. Popa, R. – Elemente de hidrodinamica râurilor, Ed. Didactică şi

Pedagogică, RA, Bucureşti, 1997;

50. Preissmann, A. – Propagation des intumescences dans les canaux et

riviers, 1st Congres de l’assoc. Francaise de calcul, Grenoble,

1961;

51. Ramos, C.M. – Models for Study of the Hydrodynamic Actions on

Hydraulic Structures, LNEC, Portugal, NATO Modeling,

1988;

52. Roman, P., Grigorescu, N.V.M. – Hidrotransport, Ed. Tehnică,

Bucureşti, 1989;


53. Roman, P., Isbăşoiu, E.C., Bălan, C. – Probleme speciale de

hidromecanică, Ed. Tehnică, Bucureşti, 1987;

54. Rusu, I. I. – Fenomene în hidroelasticitate, Ed. Junimea, Iaşi, 1998

55. Roşu, L. – Dimensionarea şi verificarea canalelor de irigaţii cu

funcţionare automatizată, Ovidius University Press,

Constanţa, 1999;

56. Sharp, J.J. – Hydraulic Modeling, Butterworths, 1981;

57. Turcan, R. – Mişcarea fluidelor prin medii poroase, Ed. Digital Data,

Cluj – Napoca, 2005;

58. Vischer, D.L., Hager, W.H. – Energy Dissipators, A.A. Balkema,

Rotterdam, Brookfield, 1995;

59. Yalin, M.S. – Theory of Hydraulic Models, Queen’s University at

Kingston, Canada, Macmillan Civil Engineering Hydraulics,

The Macmillan Press, 1971;

60. Yalin, M.S. – Fundamentals of Hydraulic Physical Modeling, NATO

Modeling, 1988;

61. ***Unsteady flow in open channels, Water Resources Publ., Fort

Collins, Colorado, USA, 1975.


Anexa 1 Valorile funcţiei )(ηϕ pentru albiile cu pantă pozitivă 0>i

x

η 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50 5,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,151 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,203 0,201 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,200 0,25 0,255 0,252 0,251 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,30 0,309 0,304 0,302 0,301 0,301 0,300 0,300 0,300 0,300 0,35 0,365 0,357 0,354 0,352 0,351 0,351 0,351 0,350 0,350 0,40 0,424 0,411 0,407 0,405 0,404 0,403 0,402 0,401 0,401 0,45 0,485 0,468 0,461 0,458 0,456 0,455 0,454 0,452 0,452 0,50 0,549 0,527 0,517 0,513 0,510 0,508 0,507 0,504 0,503 0,55 0,619 0,590 0,575 0,570 0,566 0,563 0,561 0,556 0,555 0,60 0,693 0,657 0,637 0,630 0,625 0,620 0,617 0,611 0,608 0,61 0,709 0,671 0,650 0,642 0,637 0,632 0,628 0,622 0,619 0,62 0,727 0,685 0,663 0,655 0,649 0,644 0,640 0,634 0,630 0,63 0,741 0,699 0,676 0,668 0,661 0,656 0,652 0,645 0,641 0,64 0,758 0,714 0,689 0,681 0,674 0,668 0,664 0,657 0,652 0,65 0,775 0,729 0,703 0,694 0,687 0,681 0,678 0,668 0,664 0,66 0,792 0,744 0,717 0,707 0,700 0,693 0,688 0,680 0,675 0,67 0,810 0,760 0,731 0,721 0,713 0,704 0,700 0,692 0,687 0,68 0,829 0,776 0,746 0,735 0,726 0,719 0,713 0,704 0,694 0,69 0,848 0,792 0,761 0,749 0,740 0,732 0,726 0,716 0,710 0,70 0,867 0,809 0,776 0,793 0,754 0,746 0,739 0,728 0,722 0,71 0,887 0,826 0,791 0,778 0,768 0,759 0,752 0,741 0,734 0,72 0,907 0,844 0,807 0,793 0,782 0,773 0,766 0,754 0,746 0,73 0,928 0,862 0,823 0,808 0,797 0,787 0,780 0,767 0,759 0,74 0,950 0,881 0,840 0,824 0,812 0,802 0,794 0,780 0,772 0,75 0,972 0,900 0,857 0,841 0,828 0,817 0,808 0,794 0,785 0,76 0,996 0,920 0,874 0,857 0,844 0,833 0,823 0,808 0,798 0,77 1,020 0,940 0,892 0,874 0,860 0,849 0,838 0,822 0,811 0,78 1,045 0,961 0,911 0,892 0,877 0,865 0,854 0,837 0,825 0,79 1,071 0,983 0,930 0,911 0,895 0,882 0,870 0,852 0,839 0,80 1,098 1,006 0,950 0,930 0,913 0,899 0,887 0,867 0,854 0,81 1,127 1,030 0,971 0,949 0,932 0,917 0,904 0,883 0,869 0,82 1,156 1,055 0,993 0,970 0,952 0,936 0,922 0,900 0,885 0,83 1,178 1,081 1,016 0,992 0,972 0,955 0,940 0,917 0,901 0,84 1,221 1,109 1,040 1,014 0,993 0,975 0,960 0,935 0,918 0,85 1,256 1,138 1,065 1,033 1,016 0,997 0,980 0,954 0,933 0,86 1,293 1,139 1,092 1,063 1,039 1,020 1,002 0,974 0,954 0,87 1,333 1,202 1,120 1,090 1,064 1,044 1,025 0,995 0,973 0,88 1,375 1,237 1,151 1,118 1,091 1,069 1,049 1,017 0,994 0,89 1,421 1,275 1,183 1,148 1,120 1,096 1,075 1,040 1,016 0,90 1,472 1,316 1,218 1,181 1,151 1,126 1,103 1,066 1,039

0,905 1,499 1,339 1,237 1,199 1,168 1,142 1,118 1,080 1,052 0,910 1,527 1,362 1,257 1,218 1,185 1,158 1,134 1,094 1,065 0,915 1,557 1,386 1,278 1,237 1,204 1,175 1,150 1,109 1,079 0,920 1,589 1,412 1,300 1,257 1,223 1,193 1,167 1,124 1,093


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,925 1,622 1,440 1,323 1,279 1,243 1,212 1,185 1,141 1,108 0,930 1,658 1,469 1,348 1,302 1,265 1,232 1,204 1,158 1,124 0,935 1,696 1,500 1,374 1,327 1,288 1,254 1,225 1,177 1,141 0,940 1,738 1,534 1,403 1,354 1,313 1,278 1,247 1,197 1,159 0,945 1,782 1,570 1,434 1,382 1,339 1,304 1,271 1,218 1,179 0,950 1,831 1,610 1,467 1,413 1,368 1,331 1,297 1,241 1,200 0,955 1,885 1,654 1,504 1,447 1,400 1,361 1,325 1,267 1,223 0,960 1,945 1,702 1,545 1,485 1,436 1,394 1,356 1,295 1,248 0,965 2,013 1,758 1,592 1,528 1,476 1,431 1,391 1,327 1,277 0,970 2,092 1,820 1,645 1,577 1,522 1,474 1,431 1,363 1,310 0,975 2,184 1,896 1,708 1,634 1,576 1,524 1,479 1,455 1,349 0,980 2,297 1,985 1,784 1,705 1,642 1,586 1,537 1,457 1,395 0,985 2,442 2,100 1,882 1,795 1,726 1,665 1,611 1,523 1,456 0,990 2,646 2,264 2,019 1,922 1,844 1,776 1,714 1,615 1,539 0,995 3,000 2,544 2,250 2,137 2,043 1,965 1,889 1,771 1,680 1,000 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1,001 3,728 2,766 2,184 1,977 1,790 1,646 1,508 1,310 1,138 1,005 2,997 2,139 1,647 1,477 1,329 1,216 1,107 0,954 0,826 1,010 2,652 1,865 1,419 1,265 1,138 1,031 0,936 0,792 0,681 1,015 2,415 1,704 1,291 1,140 1,022 0,922 0,836 0,703 0,602 1,020 2,307 1,591 1,193 1,053 0,940 0,847 0,766 0,641 0,547 1,025 2,197 1,504 1,119 0,986 0,879 0,789 0,712 0,594 0,504 1,030 2,117 1,432 1,061 0,932 0,827 0,742 0,668 0,555 0,469 1,035 2,031 1,372 1,010 0,886 0,785 0,702 0,632 0,522 0,440 1,040 1,966 1,320 0,967 0,846 0,748 0,668 0,600 0,495 0,415 1,045 1,908 1,274 0,929 0,811 0,716 0,638 0,572 0,470 0,393 1,050 1,857 1,234 0,898 0,780 0,688 0,612 0,548 0,448 0,374 1,060 1,768 1,164 0,838 0,727 0,609 0,566 0,506 0,411 0,342 1,070 1,693 1,105 0,790 0,683 0,599 0,529 0,471 0,381 0,315 1,08 1,627 1,053 0,749 0,646 0,564 0,497 0,441 0,355 0,291 1,09 1,573 1,009 0,713 0,613 0,534 0,469 0,415 0,332 0,272 1,10 1,522 0,969 0,680 0,584 0,507 0,444 0,392 0,312 0,254 1,11 1,477 0,933 0,652 0,558 0,483 0,422 0,323 0,294 0,239 1,12 1,436 0,901 0,626 0,534 0,461 0,402 0,354 0,279 0,225 1,13 1,398 0,872 0,602 0,512 0,442 0,384 0,337 0,265 0,212 1,14 1,363 0,846 0,581 0,493 0,424 0,368 0,292 0,252 0,201 1,15 1,331 0,821 0,561 0,475 0,407 0,353 0,308 0,240 0,191 1,16 1,301 0,798 0,542 0,458 0,391 0,339 0,295 0,229 0,181 1,17 1,273 0,776 0,525 0,443 0,377 0,326 0,283 0,218 0,173 1,18 1,247 0,756 0,510 0,428 0,364 0,314 0,272 0,209 0,165 1,19 1,222 0,737 0,495 0,414 0,352 0,302 0,262 0,200 0,167 1,20 1,199 0,719 0,480 0,401 0,341 0,292 0,252 0,192 0,150 1,21 1,177 0,702 0,467 0,389 0,330 0,282 0,243 0,185 0,144 1,22 1,156 0,686 0,454 0,378 0,320 0,272 0,235 0,178 0,138 1,23 1,136 0,671 0,442 0,368 0,310 0,263 0,227 0,171 0,132 1,24 1,117 0,657 0,431 0,358 0,301 0,255 0,219 0,164 0,127 1,25 1,098 0,643 0,420 0,348 0,292 0,247 0,212 0,158 0,122 1,26 1,081 0,630 0,410 0,339 0,284 0,240 0,205 0,153 0,117 1,27 1,065 0,618 0,400 0,330 0,276 0,233 0,199 0,147 0,113 1,28 1,049 0,606 0,391 0,332 0,269 0,226 0,193 0,142 0,108 1,29 1,033 0,594 0,382 0,314 0,262 0,220 0,187 0,137 0,104 1,30 1,018 0,582 0,373 0,306 0,255 0,214 0,182 0,133 0,100 1,31 1,004 0,571 0,365 0,299 0,248 0,208 0,171 0,129 0,097


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,32 0,990 0,561 0,357 0,292 0,242 0,203 0,170 0,125 0,094 1,33 0,977 0,551 0,349 0,285 0,236 0,197 0,167 0,121 0,090 1,34 0,964 0,542 0,341 0,279 0,230 0,192 0,162 0,117 0,087 1,35 0,952 0,533 0,334 0,273 0,225 0,187 0,158 0,113 0,084 1,36 0,940 0,524 0,328 0,267 0,219 0,183 0,153 0,110 0,081 1,37 0,928 0,516 0,322 0,261 0,214 0,178 0,149 0,107 0,079 1,38 0,917 0,508 0,316 0,255 0,209 0,174 0,145 0,104 0,076 1,39 0,906 0,500 0,310 0,250 0,205 0,169 0,142 0,101 0,074 1,40 0,896 0,492 0,304 0,245 0,200 0,165 0,138 0,098 0,071 1,41 0,886 0,484 0,298 0,240 0,196 0,161 0,135 0,095 0,069 1,42 0,876 0,477 0,293 0,235 0,192 0,158 0,131 0,092 0,067 1,43 0,866 0,470 0,288 0,231 0,188 0,154 0,128 0,090 0,065 1,44 0,856 0,463 0,283 0,226 0,184 0,151 0,125 0,087 0,063 1,45 0,847 0,456 0,278 0,222 0,180 0,147 0,122 0,085 0,061 1,46 0,838 0,450 0,273 0,218 0,176 0,144 0,119 0,083 0,059 1,47 0,829 0,444 0,268 0,214 0,173 0,141 0,116 0,081 0,057 1,48 0,821 0,438 0,263 0,210 0,169 0,138 0,113 0,079 0,056 1,49 0,813 0,432 0,259 0,206 0,166 0,135 0,111 0,077 0,054 1,50 0,805 0,426 0,255 0,202 0,163 0,132 0,109 0,075 0,053 1,55 0,767 0,399 0,235 0,185 0,148 0,119 0,097 0,066 0,046 1,60 0,733 0,376 0,218 0,170 0,135 0,108 0,087 0,058 0,040 1,65 0,707 0,355 0,203 0,157 0,124 0,098 0,079 0,052 0,035 1,70 0,675 0,336 0,189 0,145 0,114 0,090 0,072 0,047 0,031 1,75 0,650 0,318 0,177 0,135 0,105 0,083 0,066 0,042 0,027 1,80 0,626 0,303 0,166 0,126 0,097 0,076 0,060 0,038 0,024 1,85 0,605 0,289 0,156 0,118 0,090 0,070 0,055 0,034 0,022 1,90 0,585 0,276 0,147 0,111 0,084 0,065 0,050 0,031 0,019 1,95 0,566 0,264 0,139 0,104 0,079 0,060 0,046 0,028 0,017 2,00 0,549 0,253 0,132 0,098 0,074 0,056 0,043 0,026 0,016 2,1 0,518 0,233 0,119 0,087 0,065 0,048 0,037 0,022 0,013 2,2 0,490 0,216 0,108 0,078 0,057 0,042 0,032 0,018 0,011 2,3 0,466 0,201 0,098 0,070 0,051 0,037 0,028 0,016 0,009 2,4 0,444 0,188 0,090 0,064 0,049 0,033 0,024 0,013 0,008 2,5 0,424 0,176 0,082 0,058 0,041 0,030 0,022 0,012 0,006 2,6 0,405 0,165 0,076 0,053 0,037 0,027 0,019 0,010 0,005 2,7 0,389 0,155 0,070 0,048 0,034 0,024 0,017 0,009 0,005 2,8 0,374 0,146 0,065 0,044 0,031 0,022 0,015 0,008 0,004 2,9 0,360 0,138 0,060 0,041 0,028 0,020 0,014 0,007 0,003 3,0 0,346 0,131 0,056 0,038 0,026 0,018 0,012 0,006 0,003 3,5 0,294 0,103 0,041 0,027 0,018 0,012 0,008 0,004 0,002 4,0 0,255 0,084 0,031 0,020 0,012 0,008 0,005 0,002 0,001 4,5 0,226 0,070 0,025 0,015 0,009 0,006 0,004 0,001 5,0 0,203 0,060 0,020 0,012 0,009 0,004 0,003 0,001 6,0 0,168 0,046 0,014 0,008 0,004 0,003 0,001 0,001 7,0 0,145 0,036 0,010 0,005 0,003 0,002 0,001 8,0 0,126 0,029 0,009 0,004 0,002 0,001 0,001 9,0 0,110 0,024 0,006 0,003 0,001 0,001 0,000 10,0 0,100 0,021 0,005 0,002 0,001 0,001 0,000 20,0 0,093 0,008 0,002 0,001 0,000 0,000 0,000


Anexa 2 Valorile funcţiei )(ξϕ pentru albii cu fund orizontal ( 0=i )

x

ξ 2,00 2,50 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00 4,50

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0,0000 0 0 0 0 0 0 0

0,05 0,0001 0 0 0 0 0 0 0 0,10 0,0003 0,0001 0 0 0 0 0 0 0,15 0,0011 0,0004 0,0001 0,0001 0 0 0 0 0,20 0,0027 0,0010 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0000 0,25 0,0052 0,0022 0,0009 0,0007 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 0,30 0,0090 0,0042 0,0020 0,0014 0,0010 0,0007 0,0005 0,0002 0,35 0,0113 0,0073 0,0037 0,0027 0,0020 0,0014 0,0011 0,0006 0,40 0,0213 0,0116 0,0064 0,0048 0,0036 0,0027 0,0021 0,0012 0,45 0,0304 0,0175 0,0102 0,0079 0,0061 0,0047 0,0037 0,0023 0,50 0,0497 0,0252 0,0156 0,0124 0,0098 0,0078 0,0063 0,0040 0,55 0,0554 0,0352 0,0229 0,0185 0,0151 0,0123 0,0101 0,0068 0,60 0,0720 0,0478 0,0324 0,0268 0,0223 0,0186 0,0156 0,0109 0,61 0,0756 0,0506 0,0346 0,0288 0,0240 0,0201 0,0161 0,0120 0,62 0,0794 0,0537 0,0369 0,0308 0,0259 0,0217 0,0183 0,0131 0,63 0,0833 0,0567 0,0394 0,0330 0,0278 0,0235 0,0198 0,0143 0,64 0,0874 0,0599 0,0419 0,0353 0,0298 0,0253 0,0215 0,0156 0,65 0,0915 0,0632 0,0446 0,0387 0,0320 0,0272 0,0232 0,0170 0,66 0,0958 0,0667 0,0474 0,0402 0,0343 0,0292 0,0250 0,0185 0,67 0,1003 0,0703 0,0504 0,0429 0,0367 0,0314 0,0270 0,0201 0,68 0,1048 0,0740 0,0535 0,0457 0,0392 0,0337 0,0291 0,0218 0,69 0,1095 0,0779 0,0564 0,0486 0,0418 0,0361 0,0313 0,0236 0,70 0,1143 0,0820 0,0600 0,0517 0,0446 0,0387 0,0336 0,0256 0,71 0,1193 0,0861 0,0635 0,0549 0,0476 0,0414 0,0361 0,0276 0,72 0,1244 0,0905 0,0672 0,0582 0,0507 0,0442 0,0387 0,0298 0,73 0,1297 0,0950 0,0710 0,0617 0,0539 0,0472 0,0415 0,0322 0,74 0,1351 0,0996 0,0750 0,0654 0,0573 0,0504 0,0444 0,0347 0,75 0,1406 0,1044 0,0791 0,0693 0,0609 0,0537 0,0475 0,0374 0,76 0,1463 0,1093 0,0834 0,0733 0,0646 0,0572 0,0507 0,0402 0,77 0,1552 0,1144 0,0879 0,0775 0,0685 0,0608 0,0541 0,0432 0,78 0,1582 0,1197 0,0925 0,0818 0,0726 0,0647 0,0577 0,0464 0,79 0,1643 0,1252 0,0974 0,0864 0,0769 0,0687 0,0615 0,0497 0,80 0,1707 0,1309 0,1024 0,0911 0,0814 0,0729 0,0655 0,0533 0,81 0,1772 0,1367 0,1075 0,0961 0,0861 0,0774 0,0697 0,0571 0,82 0,1838 0,1426 0,1130 0,1012 0,0910 0,0820 0,0741 0,0610 0,83 0,1906 0,1488 0,1186 0,1066 0,0961 0,0869 0,0788 0,0652 0,84 0,1976 0,1552 0,1245 0,1122 0,1014 0,0920 0,0836 0,0697 0,85 0,2046 0,1618 0,1305 0,1179 0,1070 0,0973 0,0887 0,0744 0,86 0,2120 0,1685 0,1368 0,1239 0,1127 0,1028 0,0941 0,0793 0,87 0,2195 0,1755 0,1432 0,1302 0,1188 0,1087 0,0997 0,0845 0,88 0,2272 0,1826 0,1499 0,1367 0,1250 0,1147 0,1056 0,0900 0,89 0,2350 0,1900 0,1569 0,1434 0,1315 0,1210 0,1117 0,0958 0,90 0,2430 0,1976 0,1640 0,1504 0,1383 0,1276 0,1181 0,1018 0,91 0,2512 0,2054 0,1714 0,1576 0,1454 0,1345 0,1248 0,1082 0,92 0,2596 0,2134 0,1791 0,1651 0,1527 0,1391 0,1318 0,1149 0,93 0,2681 0,2216 0,1870 0,1729 0,1603 0,1417 0,1391 0,1220 0,94 0,2769 0,2301 0,1952 0,1809 0,1682 0,1569 0,1468 0,1294


0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,95 0,2858 0,2388 0,2036 0,1892 0,1764 0,1650 0,1548 0,1371 0,96 0,2949 0,2477 0,2123 0,1973 0,1849 0,1734 0,1631 0,1453 0,97 0,3042 0,2568 0,2213 0,2067 0,1938 0,1822 0,1717 0,1538 0,98 0,3137 0,2662 0,2306 0,2159 0,2029 0,1913 0,1808 0,1627 0,99 0,3234 0,2760 0,2402 0,2255 0,2124 0,201 0,1902 0,1721 1,00 0,3333 0,286 0,250 0,2353 0,2222 0,2111 0,200 0,182 1,01 0,3434 0,296 0,260 0,2455 1,2324 0,221 0,210 0,192 1,02 0,3537 0,306 0,271 0,256 0,243 0,231 0,221 0,203 1,03 0,3643 0,317 0,281 0,267 0,254 0,242 0,232 0,214 1,04 0,375 0,328 0,292 0,278 0,265 0,254 0,243 0,226 1,05 0,386 0,339 0,304 0,289 0,277 0,265 0,255 0,238 1,06 0,397 0,350 0,316 0,301 0,289 0,278 0,268 0,250 1,07 0,408 0,362 0,328 0,314 0,301 0,290 0,281 0,264 1,08 0,420 0,374 0,340 0,326 0,314 0,303 0,294 0,278 1,09 0,432 0,386 0,353 0,339 0,327 0,317 0,308 0,292 1,10 0,444 0,399 0,366 0,353 0,341 0,331 0,322 0,307 1,11 0,456 0,412 0,380 0,367 0,355 0,346 0,337 0,323 1,12 0,468 0,425 0,394 0,381 0,370 0,361 0,352 0,339 1,13 0,481 0,438 0,408 0,396 0,385 0,376 0,368 0,356 1,14 0,493 0,452 0,422 0,411 0,401 0,392 0,385 0,374 1,15 0,507 0,466 0,437 0,426 0,417 0,409 0,402 0,392 1,16 0,520 0,480 0,453 0,442 0,433 0,426 0,420 0,411 1,17 0,534 0,495 0,469 0,458 0,450 0,444 0,438 0,431 1,18 0,548 0,510 0,485 0,475 0,468 0,462 0,457 0,452 1,19 0,562 0,525 0,501 0,493 0,486 0,481 0,477 0,473 1,20 0,576 0,541 0,518 0,511 0,505 0,501 0,497 0,496 1,21 0,591 0,557 0,536 0,529 0,524 0,521 0,519 0,519 1,22 0,605 0,573 0,554 0,548 0,544 0,541 0,541 0,548 1,23 0,620 0,591 0,572 0,567 0,564 0,563 0,563 0,568 1,24 0,635 0,607 0,591 0,587 0,585 0,585 0,586 0,594 1,25 0,651 0,624 0,610 0,607 0,607 0,608 0,610 0,620 1,26 0,667 0,642 0,630 0,628 0,629 0,631 0,635 0,648 1,27 0,683 0,660 0,650 0,650 0,652 0,655 0,661 0,677 1,28 0,699 0,678 0,671 0,672 0,675 0,680 0,687 0,707 1,29 0,716 0,697 0,692 0,694 0,699 0,706 0,714 0,738 1,30 0,732 0,716 0,714 0,717 0,724 0,732 0,743 0,770 1,31 0,749 0,735 0,736 0,741 0,749 0,759 0,772 0,808 1,32 0,767 0,775 0,759 0,766 0,775 0,787 0,820 0,837 1,33 0,784 0,785 0,782 0,791 0,802 0,816 0,832 0,873 1,34 0,802 0,796 0,806 0,816 0,829 0,845 0,864 0,909 1,35 0,820 0,817 0,830 0,842 0,853 0,876 0,897 0,947 1,36 0,839 0,838 0,855 0,869 0,887 0,907 0,930 0,986 1,37 0,857 0,860 0,881 0,897 0,916 0,939 0,965 1,027 1,38 0,876 0,882 0,907 0,925 0,947 0,972 1,001 1,059 1,39 0,895 0,905 0,933 0,954 0,978 1,006 1,038 1,112 1,40 0,905 0,928 0,960 0,983 1,010 1,041 1,076 1,157 1,41 0,930 0,951 0,988 1,013 1,043 1,077 1,115 1,203 1,42 0,954 0,975 1,016 1,044 1,077 1,114 1,155 1,251 1,43 0,975 0,999 1,045 1,076 1,111 1,151 1,196 1,300 1,44 0,995 1,024 1,075 1,108 1,147 1,190 1,238 1,351 1,45 1,016 1,049 1,105 1,141 1,183 1,230 1,282 1,403 1,46 1,037 1,074 1,136 1,175 1,210 1,270 1,327 1,457 1,47 1,059 1,100 1,167 1,210 1,258 1,312 1,373 1,513 1,48 1,081 1,127 1,199 1,245 1,297 1,355 1,420 1,571


0 1 2 3 4 5 6 7 8 1,49 1,103 1,154 1,232 1,281 1,337 1,399 1,469 1,680 1,50 1,125 1,181 1,266 1,313 1,378 1,445 1,519 1,691 1,52 1,170 1,237 1,335 1,395 1,462 1,538 1,623 1,819 1,54 1,217 1,295 1,406 1,474 1,551 1,637 1,732 1,954 1,56 1,265 1,355 1,480 1,557 1,644 1,740 1,847 2,098 1,58 1,315 1,417 1,558 1,644 1,741 1,849 1,969 2,250 1,60 1,365 1,481 1,638 1,734 1,843 1,963 2,097 2,412 1,62 1,417 1,546 1,722 1,829 1,948 2,082 2,232 2,582 1,64 1,470 1,614 1,808 1,926 2,059 2,207 2,373 2,762 1,66 1,525 1,684 1,898 2,028 2,174 2,338 2,521 2,953 1,68 1,581 1,756 1,992 2,134 2,294 2,475 2,677 3,154 1,70 1,638 1,830 2,088 2,244 2,420 2,618 2,840 3,360 1,72 1,696 1,907 2,188 2,358 2,551 2,767 3,011 3,590 1,74 1,756 1,986 2,292 2,477 2,687 2,924 3,190 3,825 1,76 1,817 2,067 2,399 2,600 2,829 3,087 3,378 4,073 1,78 1,880 2,150 2,510 2,728 2,976 3,257 3,574 4,335 1,80 1,944 2,236 2,624 2,861 3,130 3,434 3,779 4,609 1,82 2,009 2,324 2,743 2,999 3,289 3,619 3,994 4,898 1,84 2,076 2,414 2,866 3,141 3,455 3,812 4,218 5,202 1,86 2,145 2,507 2,992 3,288 3,627 4,013 4,452 5,520 1,88 2,215 2,603 3,123 3,442 3,806 4,222 4,697 5,855 1,90 2,286 2,701 3,258 3,600 3,992 4,440 4,952 6,205 1,92 2,359 2,802 3,397 3,764 4,185 4,660 5,218 6,573 1,94 2,434 2,906 3,542 3,933 4,384 4,902 5,490 6,959 1,96 2,510 3,012 3,690 4,109 4,591 5,147 5,785 7,363 1,98 2,587 3,121 3,841 4,290 4,806 5,401 6,086 7,786 2,00 2,667 3,232 4,000 4,477 5,028 5,655 6,400 8,228 2,05 2,872 3,524 4,415 4,972 5,619 6,370 7,241 9,425 2,10 3,087 3,834 4,862 5,508 6,263 7,143 8,168 10,76 2,15 3,313 4,164 5,342 6,088 6,962 7,987 9,188 12,25 2,20 3,549 4,512 5,856 6,720 7,721 8,909 10,31 13,90 2,25 3,797 4,882 6,407 7,386 8,543 9,912 11,53 15,73 2,30 4,056 5,272 6,996 8,109 9,431 11,00 12,87 17,75 2,35 4,326 5,684 7,625 8,885 10,39 12,18 14,33 19,98 2,40 4,608 6,119 8,294 9,716 11,42 13,47 15,93 22,43 2,45 4,902 6,577 9,008 10,61 12,53 14,85 17,66 25,12 2,50 5,208 7,059 9,766 11,56 13,72 16,35 19,53 28,08 2,55 5,527 7,565 10,57 12,57 15,00 17,96 21,56 31,30 2,60 5,859 8,097 11,42 13,65 16,37 19,70 23,76 34,83 2,65 6,203 8,655 12,33 14,80 17,84 21,56 26,16 38,68 2,70 6,561 9,240 13,29 16,03 19,40 23,57 28,70 42,87 2,75 6,932 9,854 14,30 17,33 21,08 25,71 31,46 47,42 2,80 7,317 10,49 15,37 18,71 22,86 28,01 34,42 52,36 2,85 7,716 11,17 16,49 20,17 24,75 30,47 37,61 57,71 2,90 8,130 11,87 17,68 21,72 26,77 33,09 41,02 63,51 2,95 8,557 12,60 18,93 23,35 28,91 35,89 46,68 69,77 3,00 9,000 13,36 20,25 25,08 31,18 38,87 48,60 76,53 3,5 14,29 22,92 37,52 48,30 62,39 80,84 105,1 178,8 4,0 21,33 36,57 64,0 85,18 113,8 152,4 200,1 372,4 4,5 30,38 55,23 102,5 140,5 193,3 266,7 369,0 711,7 5,0 41,67 79,86 156,0 219,9 310,6 440,0 625,0 1271 6,0 72,0 151,2 324,0 477,2 705,4 1046 1555 3463 7,0 114,3 259,3 600,0 918,9 1412 2175 3361 8085 8,0 170,7 413,7 1024 1621 2574 4102 6554 16850


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0 242,0 625,0 1640 2674 4374 7177 11810 32210

10,0 333,3 903,0 2500 4184 7027 11840 20000 57500

Anexa 3 Valorile funcţiei )(ζϕ pentru albiile cu pantă negativă ( 0<i )

x

ζ 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

0 1 2 3 4 5 0,05 0,050 0,050 0,050 0,050 0,050 0,10 0,099 0,100 0,100 0,100 0,100 0,15 0,148 0,150 0,150 0,150 0,150 0,20 0,196 0,198 0,199 0,200 0,200 0,25 0,244 0,246 0,248 0,250 0,250 0,30 0,291 0,295 0,297 0,299 0,300 0,35 0,336 0,342 0,346 0,348 0,349 0,40 0,380 0,389 0,393 0,396 0,397 0,45 0,422 0,434 0,440 0,444 0,445 0,50 0,463 0,477 0,485 0,490 0,493 0,55 0,502 0,518 0,528 0,534 0,539 0,60 0,540 0,558 0,571 0,579 0,585 0,61 0,547 0,566 0,579 0,588 0,594 0,62 0,554 0,574 0,587 0,596 0,603 0,63 0,562 0,581 0,595 0,605 0,612 0,64 0,569 0,589 0,602 0,613 0,620 0,65 0,576 0,596 0,610 0,621 0,629 0,66 0,583 0,604 0,618 0,630 0,638 0,67 0,590 0,611 0,626 0,633 0,646 0,68 0,597 0,619 0,634 0,646 0,654 0,69 0,603 0,626 0,641 0,653 0,662 0,70 0,610 0,633 0,649 0,661 0,670 0,71 0,617 0,640 0,657 0,668 0,678 0,72 0,624 0,648 0,664 0,676 0,686 0,73 0,630 0,655 0,672 0,683 0,694 0,74 0,637 0,662 0,679 0,691 0,702 0,75 0,643 0,668 0,686 0,698 0,709 0,76 0,649 0,675 0,693 0,705 0,717 0,77 0,656 0,681 0,700 0,712 0,724 0,78 0,662 0,688 0,707 0,720 0,731 0,79 0,668 0,694 0,713 0,727 0,738 0,80 0,674 0,700 0,720 0,734 0,746 0,81 0,680 0,706 0,727 0,741 0,753 0,82 0,686 0,712 0,733 0,748 0,760 0,83 0,692 0,718 0,740 0,755 0,766 0,84 0,698 0,724 0,746 0,761 0,773 0,85 0,704 0,730 0,752 0,767 0,780 0,86 0,710 0,736 0,758 0,774 0,786 0,87 0,715 0,742 0,764 0,780 0,792 0,88 0,721 0,748 0,770 0,786 0,799 0,89 0,727 0,754 0,776 0,792 0,805 0,90 0,732 0,760 0,781 0,798 0,811 0,91 0,738 0,765 0,787 0,804 0,817 0,92 0,743 0,771 0,793 0,810 0,823 0,93 0,749 0,777 0,799 0,815 0,829 0,94 0,754 0,782 0,804 0,820 0,835 0,95 0,759 0,787 0,809 0,826 0,840


0 1 2 3 4 5 0,96 0,764 0,793 0,815 0,831 0,847 0,97 0,770 0,798 0,820 0,837 0,851 0,98 0,775 0,803 0,825 0,842 0,857 0,99 0,780 0,809 0,830 0,847 0,861 1,00 0,785 0,813 0,834 0,851 0,867 1,01 0,790 0,817 0,840 0,856 0,872 1,02 0,795 0,823 0,845 0,862 0,876 1,03 0,800 0,827 0,850 0,866 0,881 1,04 0,805 0,831 0,855 0,871 0,887 1,05 0,810 0,836 0,859 0,875 0,891 1,06 0,815 0,841 0,864 0,879 0,895 1,07 0,819 0,846 0,869 0,884 0,900 1,08 0,824 0,851 0,873 0,888 0,904 1,09 0,828 0,856 0,877 0,892 0,908 1,10 0,833 0,860 0,881 0,897 0,912 1,11 0,837 0,864 0,886 0,901 0,916 1,12 0,842 0,868 0,891 0,905 0,920 1,13 0,846 0,872 0,895 0,909 0,924 1,14 0,851 0,876 0,899 0,913 0,927 1,15 0,855 0,880 0,903 0,917 0,927 1,16 0,859 0,884 0,907 0,921 0,935 1,17 0,864 0,888 0,911 0,925 0,938 1,18 0,868 0,892 0,915 0,928 0,942 1,19 0,872 0,896 0,918 0,931 0,946 1,20 0,876 0,900 0,921 0,935 0,949 1,21 0,880 0,904 0,925 0,939 0,952 1,22 0,884 0,908 0,929 0,943 0,955 1,23 0,888 0,912 0,932 0,946 0,958 1,24 0,892 0,916 0,935 0,949 0,961 1,25 0,896 0,919 0,938 0,952 0,964 1,26 0,900 0,922 0,942 0,955 0,967 1,27 0,904 0,927 0,945 0,958 0,970 1,28 0,908 0,830 0,948 0,961 0,973 1,29 0,911 0,934 0,952 0,964 0,975 1,30 0,915 0,937 0,955 0,966 0,978 1,31 0,919 0,940 0,958 0,969 0,981 1,32 0,922 0,943 0,961 0,972 0,984 1,33 0,926 0,947 0,964 0,974 0,986 1,34 0,930 0,951 0,967 0,977 0,989 1,35 0,933 0,954 0,970 0,980 0,991 1,36 0,937 0,957 0,973 0,983 0,993 1,37 0,940 0,960 0,976 0,986 0,995 1,38 0,944 0,963 0,979 0,989 0,997 1,39 0,947 0,966 0,981 0,991 0,998 1,40 0,951 0,969 0,984 0,993 1,000 1,41 0,954 0,972 0,986 0,995 1,002 1,42 0,957 0,975 0,989 0,998 1,004 1,43 0,960 0,978 0,992 1,001 1,006 1,44 0,964 0,980 0,995 1,003 1,008 1,45 0,967 0,983 0,997 1,005 1,010 1,46 0,970 0,986 1,000 1,007 1,012 1,47 0,973 0,989 1,002 1,009 1,013 1,48 0,977 0,991 1,005 1,010 1,015 1,49 0,980 0,994 1,007 1,012 1,017


0 1 2 3 4 5 1,50 0,983 0,997 1,009 1,014 1,019 1,55 0,987 1,010 1,020 1,023 1,028 1,60 1,012 1,022 1,030 1,032 1,034 1,65 1,026 1,033 1,039 1,040 1,040 1,70 1,039 1,044 1,048 1,047 1,046 1,75 1,052 1,054 1,057 1,053 1,051 1,80 1,064 1,064 1,065 1,059 1,056 1,85 1,075 1,073 1,072 1,065 1,060 1,90 1,086 1,082 1,079 1,070 1,064 1,95 1,097 1,090 1,085 1,074 1,067 2,00 1,107 1,098 1,090 1,078 1,070 2,10 1,126 1,112 1,100 1,085 1,075 2,20 1,144 1,125 1,109 1,092 1,079 2,30 1,161 1,137 1,117 1,097 1,083 2,40 1,176 1,148 1,124 1,102 1,086 2,50 1,190 1,157 1,131 1,106 1,089 2,60 1,204 1,166 1,137 1,110 1,091 2,70 1,216 1,174 1,142 1,113 1,093 2,80 1,228 1,181 1,146 1,116 1,095 2,90 1,239 1,188 1,150 1,119 1,097 3,0 1,249 1,194 1,154 1,121 1,098 3,5 1,293 1,218 1,165 1,129 1,102 4,0 1,324 1,237 1,176 1,134 1,105 4,5 1,351 1,251 1,183 1,137 1,107 5,0 1,373 1,260 1,188 1,139 1,109 6,0 1,405 1,272 1,195 1,142 1,110 8,0 1,447 1,290 1,201 1,144 1,110

10,0 1,471 1,298 1,203 1,145 1,110

A

nexa

4

Valo

rile

inte

gral

ei lo

garit

mic

e

∫∞−

⋅=

−=

x

xi

dxx

ex

Ex

W/

)(

)(

x

a 1

x a

2 x

a 3

x a

4 x

a 5

x a

6 x

a 7

x a

8 x

a 9

x a

10-1

5 33

,96

33,2

7 32

,86

32,5

8 32

,35

32,1

7 32

,02

31,8

8 31

,76

10-1

4 31

,66

30,9

7 30

,56

30,2

7 30

,05

29,8

7 29

,71

29,5

8 29

,46

10-1

3 29

,36

28,6

6 28

,26

27,9

7 27

,75

27,5

6 27

,41

27,2

8 27

,16

10-1

2 27

,05

26,3

6 25

,96

25,6

7 25

,44

25,2

6 25

,11

24,9

7 24

,86

10-1

1 24

,75

24,0

6 23

,65

23,3

6 23

,14

22,9

6 22

,81

22,6

7 22

,55

10-1

0 22

,45

21,7

6 21

,35

21,0

6 20

,84

20,6

6 20

,50

20,3

7 20

,25

10-9

20

,15

19,4

5 19

,05

18,7

6 18

,54

18,3

5 18

,20

18,0

7 17

,95

10-8

17

,84

17,1

5 16

,74

16,4

6 16

,23

16,0

5 15

,90

15,7

6 15

,65

10-7

15

,54

14,8

5 14

,44

14,1

5 13

,93

13,7

5 13

,60

13,4

6 13

,34

10-6

13

,24

12,5

5 12

,14

11,8

5 11

,63

11,4

5 11

,29

11,1

6 11

,04

10-5

10

,94

10,2

4 9,

84

9,55

9,

33

9,14

8,

99

8,86

8,

74

10-4

8,

63

7,94

7,

53

7,25

7,

02

6,84

6,

69

6,55

6,

44

10-3

6,

33

5,64

5,

23

4,95

4,

73

4,54

4,

39

4,26

4,

14

10-2

4,

04

3,35

2,

96

2,68

2,

47

2,30

2,

15

2,03

1,

92

10-1

1,

82

1,22

0,

91

0,70

0,

56

0,45

0,

37

0,31

0,

26

1 0,

219

0,04

9 0,

013

0,00

38

0,00

11

3,6·

10-4

1,

2·10

-4

3,1·

10-5

1,

2·10

-5


198225300 BARTHA Hidraulica 2

Documents

Transcript of 198225300 BARTHA Hidraulica 2