1. Notiuni fundamentale. Mediu poros si mediu fisurat. Roca colectoare, zacamant de hidrocarburi1.1. Mediu poros i mediu fisuratCorpurile solide pot conine spaii lipsite de materie solid, numite goluri. Aceste goluri, care, de fapt, sunt spaii ocupate de fluide, mbrac o gam larg de dimensiuni i se clasific n: interstiii moleculare (n cazul dimensiunilor foarte mici), pori (n cazul dimensiunilor moderate), caverne i fisuri (care au dimensiuni relativ mari).Un corp care prezint pori se numete corp poros sau mediu poros. De regul, porii comunic ntre ei, asigurnd fluidului proprietatea de continuitate, Mediul solid care prezint caverne i fisuri intercomunicante se numete mediu fisurat permeabil sau, mai simplu, mediu fisurat. n cazul n care mediul poros este strbtut de fisuri intercomunicante, fluidele pot circula att prin sistemul de fisuri ct i prin matricea poroas, n condiiile n care forele capilare pot juca un rol important.1.2. Roc colectoareMediile poroase i mediile fisurate care prezint acumulri de hidrocarburi fluide se numesc roci colectoare. Rocile colectoare sunt constituite din roci sedimentare i, uneori, din roci metamorfice sau roci eruptive (vulcanice).Rocile sedimentare se mpart n roci detritice (sau clastice) i roci de precipitaie chimic (numite i roci neclastice). Rocile detritice sunt reprezentate, n general, de nisipuri i gresii; n aceste roci sunt cantonate aproximativ 60% din rezervele mondiale de hidrocarburi fluide. Rocile neclastice, care sunt roci carbonatice (calcare i dolomite), constituie sediul acumulrilor ce reprezint aproape 40% din rezervele mondiale de hidrocarburi fluide. Rocile metamorfice sunt cunoscute ca roci colectoare n cteva zcminte din California,.Rocile detritice sunt constituite din particule de roc.Rocile colectoare detritice s-au format prin sedimentarea particulelor de roc, odat cu scderea vitezei curentului de ap .Proprietile rocilor detritice sunt dependente de: natura rocilor din care provin, distana de transport a materialelor, cile de transport, condiiile biochimice din bazinele de sedimentare, adncimea bazinelor, distana dintre locurile de sedimentare i rm, sortarea depunerilor etc.1.3. Zcmnt de hidrocarburiRocile colectoare constituie locul de depozitare a ieiului, gazelor naturale i apei. O acumulare de iei, gaze i ap (sau doar de gaze i ap) ntr-o roc colectoare mrginit de frontiere impermeabile (reprezentate de strate marnoase, argiloase, falii etane prin amplitudinea sriturilor sau prin materialele impermeabile depuse pe falie etc.), care prezint potenial de exploatare n condiii tehnico-economice date, constituie un zcmnt de hidrocarburi.Formarea ieiului i gazelor, potrivit ipotezei organice, din substane de origine animal i vegetal depozitate odat cu sedimentele, n mri nchise, i transformate chimic sub aciunea bacteriilor, presiunii, temperaturii, catalizatorilor i radioactivitii, a avut loc n anumite roci din clasa pelitelor (clasa rocilor cu diametrul particulelor mai mic de 0,01 mm), reprezentate de rocile marnoase i argiloase. Sub aciunea sedimentelor depuse ulterior, hidrocarburile au migrat din aceste roci n rocile colectoare. Forma, tipul i poziia capcanelor sunt determinate de particulariti structurale, stratigrafice i hidrodinamice. Factorii structurali care determin existena capcanelor sunt cutele, faliile normale sau inverse i intruziunile (inclusiv diapirismul).Tipul i forma capcanei determin schema de amplasare a sondelor de extracie a ieiului. Cunoaterea condiiilor de formare a zcmntului ofer posibilitatea stabilirii preliminare a formelor energiei de zcmnt capabile s mping fluidele spre sonde

2. Presiunea initiala si temperature de zacamant.1.4. Presiunea iniial i temperatura de zcmntHidrocarburile fluide din zcmnt sunt asociate cu cmpuri scalare ale presiunii i temperaturii. Cmpul iniial de presiune din zcmnt este definit de cmpul hidrostatic, potrivit cruia presiunea unui lichid omogen incompresibil, aflat n echilibru sub aciunea gravitaiei, crete liniar cu adncimea. Presiunea iniial de zcmnt este, prin definiie, egal cu valoarea presiunii gsite, la deschiderea zcmntului, n planul orizontal determinat de limita inferioar iniial a zonei saturate cu hidrocarburi. n general, aceast limit este reprezentat de contactul iniial apiei sau apgaze, iar presiunea iniial a zcmintelor de hidrocarburi poate fi aproximat prin presiunea hidrostatic dat de o coloan de ap de densitate medie a = 1.038 kg/m3, avnd nlimea egal cu adncimea zcmntului, msurat fa de gura sondei.n acest sens, se poate observa c presiunea relativ pf a fluidului din zcmnt este o component a presiunii litostatice pl, definit ca greutatea coloanei litostatice (formate din roci i din fluidele care satureaz rocile permeabile) pe unitatea de arie, astfelpl = pf + pr + p0 ,(1.1)unde pr este presiunea relativ existent ntre particulele rocii la adncimea respectiv, iar p0 este presiunea atmosferic.Deoarece presiunea litostatic la o adncime dat este constant, difereniind relaia (1.1) rezult cdpr = dpf ,(1.2)prin scderea presiunii fluidelor n timpul exploatrii zcmntului, presiunea la contactul dintre granulele rocii crete.Admind c densitatea coloanei de roci este constant i egal cu densitatea medie a acesteia i innd seama c, n timpul formrii zcmntului, a existat o comunicaie permanent a apei de zcmnt cu apa din bazinul de sedimentare, presiunea rocii crete liniar cu adncimea,pr = r g z ,(1.3)presiunea relativ a apei din vecintatea zcmntului este dat de legea hidrostaticiipa = a g z .(1.4)Ca urmare, relaia (1.1) devinepl = p0 + (a + r) g z(1.5)

Figura 1.1 Variaiile presiunii litostatice i componentelor acesteia cu adncimeai indic o variaie liniar a presiunii litostatice cu adncimea z (figura 1.1).

(1.6)unde pa este presiunea absolut a apei, iar C este o constant, ale crei valori sunt pozitive pentru zcmintele suprapresurizate (dreapta b din figura 1.1), respectiv negative pentru zcmintele subpresurizate (dreapta a).Pentru un zcmnt de hidrocarburi normal presurizat, avnd contactul apiei la adncimea hat i contactul gazeiei la adncimea hgt, presiunea absolut iniial n zonele de iei i de gaze variaz conform legii hidrostaticii, astfel

(1.7)

(1.8)unde pat, ca presiune absolut, are expresia

(1.9)iar hg este adncimea limitei superioare a zonei de gaze.

Figura 1.2 Variaia presiunii iniiale n zonele de gaze i de iei ale unui zcmnt normal presurizatDac n relaia (1.6) se introduce corecia de densitate a prin substituiaC = a g z , (1.10)ecuaia (1.6) devine

(1.11)Temperatura de zcmnt este definit de gradientul geotermic, a crui mrime gt este egal cu diferena dintre temperatura Tz a zcmntului i temperatura medie multianual T0 a suprafeei solului, raportat la adncimea z a zcmntului, adic

(1.12)

Folosind modulul gradientului geotermic gt sau treapta geotermic tg, conform relaiei (1.12), temperatura de zcmnt se poate exprima astfel

(1.14)ca valoare estimativ, care poate fi confirmat sau infirmat de msurtorile de temperatur care se efectueaz n sonde, folosindu-se termometrul de adncime.3. Proprietatile fizice ale mediilor poroase: porozitatea, aria specifica1.5.1. PorozitateaPorozitatea este proprietatea mediilor poroase de a prezenta spaii lipsite de materie solid, numite generic pori., este raportul dintre volumul porilor Vp i volumul brut Vb al domeniului ocupat de roca poroas. Conform acestei definiii, coeficientul m poate fi exprimat astfel

(1.15)unde Vs, s reprezint volumul, respectiv densitatea prii solide a rocii (matricei acesteia), iar b densitatea brut sau aparent, definit n raport cu volumul brut Vb.Dup modul de formare, porozitatea se clasific n porozitate primar i porozitate secundar. Porozitatea primar este porozitatea depozitelor de sedimente rezultat n urma proceselor de compactare i cimentare, iar porozitatea secundar este rezultatul proceselor geologice suportate de rocPorozitatea secundar este definit de fisurile aprute i de cavitile generate de procesele de dizolvare la care sunt supuse unele roci calcaroase.Coeficientul de porozitate volumic (pe scurt porozitatea) determin capacitatea de acumulare a fluidelor n roca colectoare.Porozitatea mai poate fi apreciat i prin coeficientul de porozitate superficial, exprimat prin relaia

(1.17)unde Ab este aria brut (total) a unei seciuni plane oarecare prin mediul poros, iar Ap aria porilor, determinat prin analiza microscopic a seciunii plane considerate. Dac se consider c seciunea de arie Ab este reprezentativ pentru un cilindru de roc avnd o anumit nlime, atunci se poate admite c porozitatea superficial este egal cu porozitatea volumic.1.5.2. Aria specificAria specific are dimensiunea inversului unei lungimi (L1) i este definit ca aria total a suprafeelor interstiiilor coninute n unitatea de volum brut al rociin cazul modelului rocii fictive formate din particule sferice de acelai diametru d, aria specific este dat de formulaAs = 6(1 m)/d ,(1.18)care, pentru d = de, poate fi aplicat unei roci cu granulaie neuniform. Generalitatea acestei relaii poate fi extins prin admiterea presupunerii c particulele de roc nu sunt sferice, ci poliedrice, i au aria lateral de na ori mai mare dect aria sferei. S-a stabilit c na variaz, n mod frecvent, ntre 1,2 i 1,5. Dac toate particulele de roc au aproximativ aceeai valoare a lui na, relaia (1.18) devineAs = 6na(1 m)/de .(1.19)4. Proprietatile fizice ale mediilor poroase: permeabilitatea, compresibilitatea1.5.3. PermeabilitateaPrin definiie, permeabilitatea este proprietatea mediului poros de a permite micarea oricrui fluid prin el, sub aciunea unui gradient de presiune, n condiiile n care mediul poros este saturat integral cu acel fluid. legea lui Darcy exprimat, pentru micarea unidimensional, sub forma

(1.21)unde k este permeabilitatea, vscozitatea dinamic a fluidului, iar Q debitul volumic care traverseaz o suprafa de arie total (brut) A, sub aciunea gradientului de presiune (p1 p2)/l.Conductivitatea unui fluid ntr-un mediu poros se numete mobilitate i are, conform relaiei (1.21) corelat cu legea lui Ohm i cu formula rezistivitii electrice, expresia = k/ ,(1.22)care corespunde unei mrimi ce depinde parial de fluid (prin intermediul vscozitii) i parial de mediul poros (prin permeabilitatea acestuia). Permeabilitatea k are dimensiunile unei arii (L2) i se prezint ca o msur a mediei ptratelor diametrelor porilor.Permeabilitatea mediilor poroase poate fi afectat de o serie de factori. Astfel, compactarea rocii duce la reducerea att a porozitii ct i a permeabilitii. n cazul cnd roca colectoare conine minerale argiloase, la contactul acestora cu ap dulce sau cu ap de alt mineralizaie dect cea din zcmnt, permeabilitatea rocii se micoreaz, ca urmare a proprietii argilelor de tip montmorillonitic de a absorbi ap i de a-i mri astfel volumul. Permeabilitatea rocii colectoare se poate determina prin msurtori pe carote, din date de carotaj i din date de cercetare a sondelor prin modificarea debitelor acestora.

(1.23)se calculeaz permeabilitatea respectiv.CompresibilitateaCompresibilitatea rocii colectoare este o proprietate important pentru studiul micrii fluidelor n zcmintele de hidrocarburi. Definit ca proprietatea corpurilor de a-i micora volumul sub aciunea forelor de compresiune

(1.24)unde Vb este volumul brut al rocii, iar p reprezint presiunea hidrostatic aplicat din exterior.Pe baza relaiei dintre volumul brut, volumul porilor, volumul prii solide i porozitate, formula (1.24) poate fi scris sub forma

care se reduce la relaia

(1.25)unde r este coeficientul de compresibilitate a porilor, numit i compresibilitatea efectiv a rocii colectoare, iar s este coeficientul de compresibilitate a prii solide (matricei rocii).Coeficientul de compresibilitate a porilor, pentru roci colectoare formate din calcare sau gresii, variaz ntre 0,29109 Pa1 i 3,625109 Pa1.

5. Statica fluidelor de zacamant: saturatiile rocii colectoare in fluide, tensiunile interfaciale si presiunea capilara.1.6 . Statica fluidelor din zcmnt1.6.1. Saturaiile rocii colectoare n fluideSpaiile goale ale unui mediu poros sau fisurat pot fi ocupate de unul sau mai multe lichide nemiscibile i, eventual, de aer sau de un alt gaz. Pentru a se stabili volumul spaiilor goale ocupat de fiecare fluid s-a introdus noiunea de saturaie a mediului poros n raport cu un fluid, definit astfelsf = Vf/Vp ,(1.26)unde Vf este volumul fluidului din mediul poros, iar Vp volumul spaiilor goale ale acestuia. Dac n mediul poros se afl n fluide nemiscibile, de volume Vf, cu f = 1, 2, , n, atunci se poate scrie relaia

(1.27)

(1.28)i se numete ecuaia saturaiilor.1.6.2. Tensiunile interfaciale i presiunea capilarForele care exprim aciunea molecular dintre diferite faze solide, lichide i gazoase ntr-un zcmnt de hidrocarburi se numesc fore capilare. Aceast denumire se datoreaz faptului c una din cele mai evidente manifestri ale existenei lor o constituie comportarea unui lichid ntr-un tub capilar.Energia necesar efecturii lucrului mecanic pentru crearea unei uniti de arie a suprafeei libere se numete energie superficial a acelui lichid.O noiune utilizat mai frecvent dect energia superficial este tensiunea superficial, definit ca fora care acioneaz tangenial la suprafaa liber pe o linie de lungime unitar pe care este perpendicular, pentru crearea unei noi uniti de arie a suprafeei libere. n acest sens, tensiunea superficial este numeric egal cu energia superficial.. Dac suprafaa delimiteaz dou lichide sau un lichid de un corp solid se folosete noiunea de tensiune interfacial.

Figura 1.3 Starea de echilibru a apei n contact cu aerul atmosferic, ntr-un tub capilar vertical

(1.36)cunoscut sub numele de formula lui Young.

6. Ecuatia liniara a filtrarii unui flui d monofazic sau multifazic 2.1.1. Ecuaia liniar a filtrrii unui fluid monofazicEcuaia dinamicii fluidelor monofazice n medii poroase a fost stabilit pe cale experimental, sub form macroscopic, de ctre inginerul francez Henri Darcy (1856), n cadrul unor experimente de filtrare a apei de alimentare a oraului Dijon. Ecuaia astfel obinut se numete ecuaia lui Darcy. Pe de alt parte, ecuaiile scalare microscopice Navier Stokes extinse la micarea turbulent guverneaz i micarea fluidelor n medii poroase i se reduc la ecuaiile micrii laminare n interstiiile n care tensiunile turbulente sunt neglijabilea artat c ecuaia lui Darcy poate fi obinut din ecuaiile Navier StokesExperimentele lui Darcy au constat din filtrarea apei printr-un strat de nisip neconsolidat, coninut ntr-un tub cilindric vertical, prevzut la capete cu dou site, dou prize manometrice i dou racorduri destinate circulaiei apei prin nisip, de sus n jos. Valorile debitului de ap Q msurate pentru diferite diferene de nivel h1 h2 (indicate de cele dou tuburi manometrice) i pentru anumite valori ale lungimii l a stratului de nisip dintre prizele manometrice au condus la dependena

(2.1)cunoscut sub numele de ecuaia lui Darcy, unde C este un coeficient care, pentru experimentele de filtrare izoterm a apei, depinde doar de permeabilitatea k a stratului de nisip.Prin folosirea vitezei de filtrare, definit astfelv = Q/A ,(2.2)unde A: este aria total (brut) a seciunii transversale a tubului cu nisip, micarea fluidului n mediul poros capt atributul continuitii n ntregul domeniu ocupat de sistemul rocfluid i ecuaia (2.1) mbrac forma

(2.3)undekf = C/A(2.4)se numete coeficient de filtrare.Notnd cu vr viteza real a fluidului n mediul poros i cu Ap aria porilor din seciunea de arie brut A, se poate scrie ecuaiaQ = vr Ap = v A ,(2.5)din care rezult c ntre viteza real i viteza de filtrare exist interdependenavr = v/m ,(2.6)unde m este porozitatea., iar coeficientul kf este funcie att de permeabilitatea nisipului, ct i de densitatea i vscozitatea ale lichidului, conform relaiei

(2.7)

Figura 2.1 Aparat pentru studiul legii filtrrii liniare a unui lichidConsidernd, n cadrul filtrrii unui lichid printr-un tub nclinat (figura 2.1), dou seciuni transversale infinitezimal distanate, panta liniei piezometrice poate fi exprimat (cu notaiile din figura 2.1) astfel

din care se obine

(2.8)i relaia (2.3) ia forma

(2.9)unde derivata dh/dx este negativ, deoarece creterea distanei x este asociat cu scderea nlimii piezometrice h.

(2.10)i ecuaia (2.9) devine

(2.11)sau. Relaia (2.11) corespunde fluidelor incompresibile i se reduce la forma

(2.14)care pe baza expresiei (2.7), devine

(2.15)unde p* se numete presiune redus (la planul de referin) i are expresiap* = p g z ,(2.16)n care semnul minus corespunde cazului n care axa Oz este vertical descendent.Deoarece ecuaia lui Darcy, sub oricare din formele (2.1), (2.3), (2.12) sau (2.15), exprim variaia liniar a debitului sau a vitezei de filtrare cu mrimea gradientului sarcinii hidraulice, potenialului sau presiunii reduse, ea se numete ecuaia liniar a filtrrii.innd seama c ecuaia lui Darcy este independent de direcia micrii, n cazul micrii tridimensionale raportate la sistemul de axe cartezian, componentele vitezei de filtrare pot fi exprimate prin relaiile

(2.17)echivalente cu ecuaia

(2.18)care reprezint ecuaia lui Darcy sub form vectorial, corespunztoare micrii unui lichid monofazic ntr-un mediu poros omogen, cnd forele de inerie sunt neglijabile.7. Domeniul de existenta a ecutatiei lui Darcy. Ecuatia neliniara a filtrarii.2.1.2. Domeniul de existen a ecuaiei lui Darcy. Volumul mare de date experimentale prezentate n literatura de specialitate, cu referire la valabilitatea ecuaiei lui Darcy, indic faptul c domeniul de existen a ecuaiei liniare a filtrrii este mrginit inferior i superior de valori limit ii i is ale gradientului sarcinii hidraulice. Acest gradient este definit, n cazul micrii unidimensionale, astfel

(2.20)i, ca urmare, forma (2.9) a ecuaiei lui Darcy devinev = kf i .(2.21)Graficul vitezei de filtrare n funcie de gradientul hidraulic i poate fi mprit, n general, n cinci zone (figura 2.2) i anume: zona fr micare, zona preliniar, zona liniar (zona lui Darcy), zona postliniar laminar i zona postliniar turbulent.Zona fr micare poate exista numai n cazul mediilor poroase cu un coninut ridicat de particule coloidale, cnd forele electrostatice (superficiale) dintre lichid i particulele solide sunt suficient de puternice pentru a contracara gradientul hidraulic aplicat fluidului. Aceast zon se ntinde de la i = 0 pn la gradientul i0 necesar amorsrii micrii fluidului.

Figura 2.2 Graficul vitezei de filtrare n raport cu gradientul sarcinii hidrauliceZona preliniar apare n cazul mediilor poroase superficial active, reprezentate prin argile i marne, n prezena apei.Zona liniar sau zona lui Darcy este descris de ecuaia (2.21), dac io = 0, (dreapta a din figura 2.2) i corespunde situaiilor n care efectele forelor electromoleculare i ale forelor de inerie asupra micrii fluidului n mediul poros sunt neglijabile n raport cu cele ale forelor de frecare. Cnd io este diferit de zero, zona liniar este definit de ecuaiav = kf (i io) , cu io < i < is ,(2.22)corespunztoare dreptei b (figura 2.2).Zona postliniar laminar corespunde intervalului de valori ale gradientului hidraulic n care micarea fluidului este nc laminar, dar creterea progresiv a forelor de inerie determin abaterea graficului v(i) de la dreapta lui Darcy.2.1.3. Ecuaia neliniar a filtrriin condiiile n care mediile poroase nu prezint fore electromoleculare la contactul dintre fluid i particulele solide, domeniul legilor filtrrii (graficul a din figura 2.2) este format din domeniul legii liniare (legea lui Darcy, descris de ecuaia (2.21)), continuat cu domeniile legilor postliniare laminar, respectiv turbulent, care sunt considerate mpreun sub denumirea de domeniul legii neliniare a filtrrii. Aceast lege neliniar a filtrrii a fost exprimat de Forchheimer, pentru condiii staionare, sub forma

(2.24)unde

(2.25)iar h este un coeficient de rezisten hidraulic.n cazul filtrrii nestaionare a fluidelor n zcmnt, ecuaia neliniar (2.24) trebuie completat cu termenul nestaionar (care ine seama de variaia n timp a vitezei de filtrare) i devine

(2.26)unde c este un coeficient care se determin experimental, pentru fiecare caz particular.

8. Ecuatia continuitatii. Forma generala, forma microscopica pentru un fluid monofazic.2.2. Ecuaia continuitiiPrin folosirea noiunii de vitez de filtrare, definit de ecuaia (2.2), studiul micrii fluidelor n medii poroase se transfer din domeniul mediilor fluide discontinue n cel al mediilor fluide continue, fapt care confer tuturor parametrilor micrii atributul de continuitate. Ecuaia de bilan masic a unei faze aparinnd unui fluid multifazic care traverseaz i ocup un domeniu de control microscopic sau macroscopic, n condiiile existenei unor surse de fluid pozitive sau negative (care emit, respectiv care extrag fluid din domeniul de control), ale transferului interfazic de mas i ale reaciilor chimice se exprim, n raport cu o durat de timp precizat, astfelmasa intrat masa ieit + masa datorat surselor + masa transferat interfazic ++ masa de reacie chimic = masa acumulat .(2.29)Aceast formulare a ecuaiei de continuitate este valabil i n cazul micrii unui fluid monofazic, cu observaia c masa transferat ntre faze i masa de reacie sunt, n mod evident, nule2.2.1. Ecuaia microscopic a continuitii pentru un fluid monofazic

Figura 2.3 Domeniu paralelipipedic infinitezimal de controlpentru bilanul masic al unui fluid monofazicPentru obinerea ecuaiei microscopice a continuitii n coordonate carteziene este avantajos s se aleag, ca domeniu de control, un paralelipiped de dimensiuni infinitezimale, raportat la un sistem de axe carteziene paralele cu muchiile paralelipipedului (figura 2.3).

(2.32)este debitul masic specific datorat surselor.Dac micarea fluidului este axial simetric sau radial sferic, este convenabil s se foloseasc ecuaia continuitii n coordonate cilindrice

(2.33)respectiv n coordonate sferice

(2.34)unde s-a considerat, pentru simplificare, c sursele sunt absente.Ecuaia (2.31) mai poate fi scris sub forma

(2.35)unde are expresia (2.19).

9. Ecuatia continuitatii: forma macroscopica pentru un fluid monofazic. Ecuatia de stare2.2.2. Ecuaia macroscopic a bilanului material pentru un fluid monofazic

Figura 2.6 Domeniu de control macroscopic pentru bilanul masicConsidernd un domeniu macroscopic de control (figura 2.6) i notnd cu Qmi, Qme debitele masice medii care intr printr-o parte din suprafaa domeniului, respectiv iese prin cealalt parte a acestei suprafee n intervalul de timp infinitezimal dt, ecuaia macroscopic a bilanului material se exprim astfel

unde Qms este debitul masic datorat surselor, M masa total a fluidului din volumul de control la timpul t, iar dM masa acumulat n timpul dt. Aceast ecuaie mai poate fi scris sub formaMi Me + Ms = Mt+t Mt ,(2.36)unde: Mi = Qmi t, Me = Qme t, Ms = Qms t, dM M = Mt+t Mt, dt t.Ecuaia (2.36) se exprim, n mod frecvent, n condiii standard i, prin simplificare cu densitatea fluidului n condiii standard, devine o ecuaie volumic, de forma:volumul de fluid intrat prin frontiera zcmntului volumul ieit prin aceast frontier ++ volumul datorat surselor = volumul de fluid existent n zcmnt la un timp de exploatare volumul de fluid aflat n zcmnt n momentul iniial,(2.37)utilizat n cadrul modelelor zerodimensionale (de tip volumic) asociate micrii fluidelor monofazice n medii poroase.2.3. Ecuaiile de stareEcuaia de stare reprezint o corelaie ntre parametrii de stare (presiune, volum sau densitate i temperatur) ai unui fluid. n cazul fluidelor monofazice, ecuaia de stare are forma general implicitf(p, , T) = 0(2.51)i se particularizeaz, n funcie de tipul fluidului, astfel: = 0 = const(2.52) pentru lichidele incompresibile;

pentru lichide compresibile, respectiv

(2.55)pentru gaze reale, undeR = Ru/M(2.56)este constanta gazului, exprimat n J/(kgK), iar Ru = 8.314,3 J/(kmolK) reprezint constanta universal a gazelor.

10. Miscarea unidimensionala, stationara a unui lichid incompresibil intron mediu poros omogen:3.1. Micarea unidimensional ntr-un mediu poros omogen

Figura 3.1 Domeniul micrii unidimensionale a unui lichidprintr-un mediu poros omogenFie un mediu poros omogen i izotrop, de form paralelipipedic (figura 3.1), avnd feele laterale impermeabile i bazele (perpendiculare pe axa Ox) permeabile. Prin acest mediu poros filtreaz un lichid incompresibil, ntre presiunile pc i ps (pc > ps) constante n timp pentru ca micarea s fie staionar la debitul volumic Q.Ecuaiile fundamentale ale micrii sunt: ecuaia filtrrii liniare (a lui Darcy) (2.18), ecuaia continuitii (2.31) i ecuaia de stare (2.51), care se reduc, n condiiile existenei unei singure componente a vitezei de filtrare i incompresibilitii lichidului, la relaiile

(3.1)nlocuind prima i a treia ecuaie (3.1) n cea de a doua, se obine ecuaia diferenial a micrii

(3.2)a crei soluiep = ax + b .(3.3)este asociat cu condiiile la limitela x = 0 , p = ps ; la x = l , p = pc .(3.4)Punnd soluiei (3.3) condiiile la limite (3.4) se obin egalitile

care conduc la expresiile constantelor de integrare

i legea variaiei presiunii (3.3) devine

(3.5)Introducnd derivata dp/dx obinut din expresia (3.5) n prima relaie (3.1) se gsete formula vitezei de filtrare

(3.6)care, nlocuit n ecuaia macroscopic a continuitii

,(3.7)unde A este aria suprafeei seciunii transversale prin mediul poros, d pentru debitul volumic formula

(3.8)

11. Miscarea radial, plana, stationara a unui lichid incompresibil intron mediu poros omogen.3.2.1. Micarea radial planO sond care strbate ntreaga grosime a stratului productiv i primete fluid prin peretele ei natural se numete sond perfect din punct de vedere hidrodinamic. Dac stratul productiv este orizontal i are grosimea h constant, iar sonda produce, la o presiune constant ps, dintr-o zon cilindric coaxial avnd pe frontiera exterioar, de raz rc, presiunea constant pc (figura 3.2). micarea este staionar radial plan n sens generalizat. Notaiile folosite n figura 3.2 au urmtoarele semnificaii: rs raza sondei, rc raza conturului (frontierei) de alimentare, ps presiunea dinamic de adncime a sondei (msurat la adncimea medie a intervalului perforat), pc presiunea static a stratului productiv, numit i presiune pe conturul de alimentare. Condiia ca presiunea pc s fie constant, asigurnd caracterul staionar al micrii generate de sond, este ca, prin frontiera exterioar de raz rc, care trebuie s fie permeabil i poart numele de frontier de alimentare, s ptrund n zona de drenaj a sondei o cantitate de lichid egal cu cea produs de sond.

Figura 3.2 Configuraia micrii radial plane a unui lichid printr-un mediu poros omogen

(3.9)unde viteza radial, care este singura component a vitezei de filtrare, este dat de legea lui Darcy

(3.10)Din relaiile (3.9) i (3.10) rezult ecuaia diferenial a micrii

(3.11)care se integreaz succesiv astfel

conducnd la soluiap = a ln r + b ,(3.12)ce reprezint legea variaiei presiunii i este asociat, aa cum rezult din figura 3.2, cu condiiile la limitela r = rs , p = ps ; la r = rc , p = pc .(3.13)Prin nlocuirea condiiilor (3.13) n relaia (3.12) astfel

se gsesc expresiile celor dou constante de integrare

i legea variaiei presiunii (3.12) devine

(3.14)Dac se nlocuiete derivata dp/dr a presiunii obinut din relaia (3.14) n ecuaia lui Darcy (3.10), se stabilete formula vitezei de filtrare

(3.15), deci aria acestei seciuni esteA = 2 r h , (3.16)conduce la formula debitului volumic de lichid incompresibil produs de sond

Figura 3.3 Graficele presiunii i vitezei de filtrare n funcie de raz, n condiiile micrii radial plane staionare a unui lichid

(3.17)n figura 3.3 sunt trasate graficele de variaie a presiunii i vitezei de filtrare n funcie de raz. Se constat c valorile maxime ale gradienilor presiunii i vitezei se nregistreaz n vecintatea sondei, fapt care pune n eviden importana major a acestei zone asupra debitului produs de sond.Raportul dintre debitul sondei i presiunea diferenial la care produce aceasta se numete indice de productivitate a sondei i are, pe baza relaiei (3.17), expresia

(3.18)Indicele de productivitate specific este raportul dintre Ip i grosimea h a stratului productiv, adic

(3.19) iar mrimeaC = k h(3.20)poart numele de capacitate de producie a stratului colector de hidrocarburi. Parametrii Ip i Ips caracterizeaz n mod direct performana sondei de extracie.

Figura 3.4 Graficul debitului volumic n funcie de presiunea diferenial n condiiile micrii radial plane staionare a unui lichidDin relaiile (3.17) i (3.18) se observ c indicele de productivitate reprezint panta graficului Q(pc ps), numit diagram indicatoare (figura 3.4). n domeniul de valabilitate a ecuaiei lui Darcy (2.18), limitat superior de punctul critic C, diagrama indicatoare este linia dreapt descris de ecuaia (3.18), iar n domeniul filtrrii neliniare este o curb cu panta descresctoare.Se definete presiunea medie ponderat cu aria zonei de drenaj a sondei prin relaia

(3.21)n care

iar presiunea este dat de ecuaia (3.14). nlocuind aceste expresii n formula (3.21) result

12. Miscarea unui lichid incompresibil generate de o sonda amplasata excentric intron zacamant cu contur de alimentare circular.3.2.2. Micarea generat de o sond amplasat excentricFie micarea generat de o sond n condiiile menionate n paragraful 3.2.1, cu singura deosebire c sonda este amplasat excentric, la distana fa de centrul conturului circular de alimentare de raz rc.Pentru studiul acestei micri se poate folosi metoda funciilor de variabil complex, asociat micrilor poteniale plane. n acest sens se observ c, dac se definete funcia

(3.22)componentele vitezei, exprimate, conform legii lui Darcy, astfel

(3.23)

Figura 3.5 Sistemul de dou surse plane echivalent micrii generate de o sond amplasat excentriciau forma

(3.24)care arat c micarea bidimensional a lichidelor incompresibile monofazice n medii poroase omogene se comport ca o micare potenial, avnd potenialul de vitez . Neglijnd raza rs a sondei n raport cu raza rc a conturului de alimentare, sonda poate fi asimilat cu o distribuie liniar de surse negative. Potenialul complex al micrii generate de sond n planul xOy din figura 3.5 este dat de relaia

(3.25)unde z = x + i y, Q bt este debitul volumic de iei exprimat n condiii de suprafa (z1 = x + + i y = z + .introdus n relaia (3.21), d pentru presiune formula

(3.30)unde r1, r2 sunt coordonatele bipolare definite n figura 3.5, iar 0 este valoarea potential

Figura 3.6 Ilustrarea condiiei ca punctul M s aparin frontierei exterioare a zonei de drenaj a sondei excentriceDac M aparine frontierei de raz rs, prima condiie la limit ia forma

(3.31)(3.32)nlocuind condiiile la limite (3.31), (3.32) n ecuaia (3.30) se obin expresiileDin relaiile (3.33) rezult pentru constanta C i debitul Q al sondei expresiile(3.34)

(3.35) n relaia (3.30), legea variaiei presiunii n coordonate bipolare devine

(3.36)13. Miscarea unui lichid incompresibil generate de o sonda intron zacamant cu contur de alimentare liniar.3.2.3. Micarea generat de o sond ntr-un zcmnt cu frontier liniar de alimentareDac, n condiiile din paragraful precedent, se noteaz distana finit a sondei fa de contur (rc ) cu d i se admite c frontiera de alimentare are raza de curbur infinit, atunci aceast frontier va fi practic liniar i de lungime infinit. Pentru extinderea domeniului micrii de la semiplanul superior la ntreg planul xOy, se introduce o surs fictiv pozitiv, de intensitate +Q, simetric fa de conturul de alimentare (figura 3.7).nsumnd potenialele complexe ale celor dou surse, exprimate sub forma

(3.38)unde

se obine pentru potenialul complex al micrii rezultante expresia

(3.39)

Figura 3.7 Sistemul de dou surse echivalent micrii generate de o sond situat n vecintatea unei frontiere liniare infinite de alimentarePentru separarea prii reale a potenialului complex (3.39), se scriu numerele complexe z1 i z2 astfel

la r1 = rs i r2 = 2d , p = ps ; la r1 = r2 , p = pc . (3.40)Punnd aceste condiii ecuaiei presiunii (3.30) se obine sistemul

(3.41)

ce permite exprimarea debitului volumic sub forma

(3.42)Dac se nlocuiete a doua relaie (3.41) n ecuaia (3.30) i se trece la coordonate carteziene, legea de variaie a presiunii devine

(3.43)n cazul n care frontiera de alimentare are lungimea finit, egal cu 2a, iar sonda este amplasat simetric fa de extremitile frontierei, relaia (3.42) ia forma

(3.44).Se definete curba izobar ca fiind locul geometric al punctelor din planul micrii n care presiunea are o valoare constant cunoscut. Pentru a se stabili forma i parametrii unei izobare pentru micarea studiat n acest paragraf, se folosete legea de variaie a presiunii (3.43), n care se impune ca presiunea s aib valoarea constant p1, ceea ce implic egalarea argumentului logaritmului cu c2, conform relaiei

(3.45)care arat c izobara p = p1 are forma unui cerc. a crui ecuaie general este

(3.48)

14. Legea refractiei liniilor de current intro succesiune de medii poroase cu permeabilitati zonal constant.

Figura 3.8 Schema refraciei liniilor de curent pe frontiera comun a dou zone de permeabiliti diferiten cazul micrii unui fluid printr-o succesiune de medii poroase cu permeabiliti zonal constante, se produce un fenomen de refracie a liniilor de curent, care const din schimbarea direciei de micare a fluidului la traversarea frontierei care separ dou domenii cu permeabiliti diferite. Se consider micarea bidimensional a unui lichid pe frontiera comun S a domeniilor D1 i D2, avnd permeabilitile diferite k1, respectiv k2 (figura 3.8). La traversarea frontierei S, debitul i presiunea lichidului trebuie s rmn constante. Condiiile de continuitate a debitului i presiunii pe suprafaa S se exprim astfel

(3.51)p1 = p2 pe suprafaa S .(3.52)

innd seama c = v1n i = v2n (componentele normale ale vitezelor de filtrare), relaia (3.51) se reduce la egalitatea

(3.53)Componentele tangeniale ale vitezelor de filtrare sunt

(3.56)Prin mprirea relaiei (3.57) la ecuaia (3.53) se obine forma

n care, conform figurii 3.8, v1s/v1n = tg 1, v2s/v2n = tg 2, deci

pe suprafaa S ,(3.58)ecuaie care exprim matematic legea refraciei liniilor de curent.Din relaia (3.58) se observ c, n cazurile n care normala la frontiera comun este coliniar (1 = 0) sau ortogonal cu direcia micrii (1 = /2), liniile de curent nu se refract la traversarea suprafeei comune.15. Miscarea unidimensioanala intron mediu poros cu permeabilitate zonal constatnta, in cazul frontierei commune perpendiculare pe directia miscarii.Micrile de acest tip se ntlnesc n cazul filtrelor constituite din pachete de nisip de granulaii diferite i n cazul succesiunilor de strate orizontale permeabile.

Figura 3.9 Domeniul micrii unidimensionale n cazul normalei la frontiera comun coliniar cu direcia micriiConfiguraia domeniului unei astfel de micri, cnd mediul poros este constituit din dou zone de permeabiliti k1, respectiv k2 este prezentat n figura 3.9.Indexnd cu 1, respectiv 2 mrimile corespunztoare celor dou zone, ecuaia lui Darcy i ecuaia microscopic a continuitii, asociate cu ecuaia de stare (2.52) se reduc la

(3.59)din care rezult ecuaiile difereniale ale micrii n cele dou pachete permeabile

(3.60)care au soluiile

(3.61)Dac se introduc condiiile la limite la x = 0 , p1 = ps ; la x = l , p2 = pc ;la x = l1 , p1 = p2 i v1 = v2 ,(3.62)se obin expresiile celor patru constante de integrare

iar legile de variaie a presiunii n cele dou zone devin

(3.63)

(3.64)care indic egalitatea vitezelor, deci faptul c prin cele dou pachete permeabile filtreaz acelai debit de lichid.

(3.66)Identificnd ecuaiile (3.65) i (3.66) se obine pentru permeabilitatea medie relaia

(3.67) 16. Miscarea undimensionala intron mediu poros cu permeabilitatea zonal constanta, in cazul frontierei commune paralele cu directia miscarii.Aceast micare este descris de ecuaiile fundamentale (3.59), care conduc la ecuaiile difereniale (3.60) cu soluiile (3.61). Conform figurii 3.10, cele patru condiii la limite suntla x = 0 , p1 = p2 = ps , la x = l , p1 = p2 = pc .(3.69)

Figura 3.10 Domeniul micrii unidimensionale n cazul normalei la frontiera comun perpendiculare pe direcia micriiPrin nlocuirea condiiilor (3.69) n relaiile (3.61) se obin expresiile constantelor de integrare

iar ecuaiile presiunii n cele dou domenii (3.61) capt forma

(3.70)

(3.71)Debitele filtrate prin cele dou domenii se nsumeaz pentru aflarea debitului total

(3.72)se stabilete ecuaia permeabilitii medii

(3.73)

17. Miscarea radial plana intron mediu poros cu permeabilitate zonal constanta, in cazul forntierei commune perpendicular pe directia miscarii.

Figura 3.11 Domeniul micrii radial plane n cazul normalei la frontiera comun coliniare cu direcia micriiDac ntr-o zon cilindric, coaxial cu sonda, de raz ro, permeabilitatea stratului productiv are valoarea modificat k1, iar n restul zonei de drenaj a sondei permeabilitatea este cea original k2 (figura 3.11), micarea radial plan a ieiului spre sond se desfoar n dou domenii concentrice cu permeabiliti diferite. Permeabilitatea modificat poate fi inferioar celei originale atunci cnd, n timpul forrii sondei, s-a produs blocarea parial a porilor ca efect al ptrunderii apei din fluidul de circulaie, care a determinat umflarea mineralelor argiloase din componena rocii colectoare, sau poate fi superioar permeabilitii originale n urma aplicrii unui proces de acidizare sau de fisurare hidraulic.Ecuaiile fundamentale ale micrii, pentru cele dou zone cu permeabiliti diferite, sunt: ecuaia lui Darcy

(3.75) ecuaia continuitii

(3.76) ecuaia de stare a lichidului incompresibil (2.52).(3.77)cu soluiile

(3.78)asociate cu condiiile la limitela r = rs , p1 = ps ; la r = rc , p2 = pc ,la r = ro , p1 = p2 i v1 = v2 ,(3.79)Punnd condiiile la limite (3.79) ecuaiilor (3.78) astfel se obin expresiile celor patru constante de integrare

care se nlocuiesc n ecuaiile (3.78) rezultnd formulele

(3.80)Se gsesc expresiile vitezelor de filtrare

(3.81)unde factorul de volum al ieiului bt asigur exprimarea debitului n condiii de suprafa.Relaia (3.82) poate fi scris sub forma

unde factorul de volum al ieiului bt asigur exprimarea debitului n condiii de suprafa.(3.83)unde permeabilitatea medie km are expresia

18. Efectul Skin

Figura 3.12 Presiunile difereniale n zona cu permeabilitate modificat, n contextul determinrii factorului de skinAa cum s-a mai precizat, existena zonei de permeabilitate modificat k1 poate fi rezultatul unei blocri pariale a porilor sau al unor operaii de acidizare ori fisurare hidraulic. Modificarea permeabilitii n zona de raz ro impune aplicarea unei cderi de presiune suplimentare pentru ca sonda s produc acelai debit ca n cazul permeabilitii constante. Cderea de presiune suplimentar poate fi pozitiv cnd k1 < k2, respectiv negativ cnd k1 > k2.Presiunile difereniale n domeniul cuprins ntre razele ro i rs n prezena, respectiv n absena zonei cu permeabilitate modificat (figura 3.12) au expresiile

(3.85)

unde , po sunt valorile presiunii la raza ro, n prezena, respectiv n absena modificrii de permeabilitate, iar ps presiunea dinamic de adncime a sondei. Scznd a doua relaie (3.85) din prima, se gsete expresia cderii de presiune suplimentare

(3.86)Fenomenul de modificare a permeabilitii stratului productiv n zona imediat nvecinat sondei este cunoscut sub numele de efect skin sau efect de deteriorare i este caracterizat cantitativ prin factorul de skin, definit ca o cdere de presiune suplimentar adimensional, prin egalitatea

(3.87)care, pe baza ecuaiei (3.86), devine

(3.88)Valoarea factorului de skin este pozitiv n cazul cnd k1 < k2, respectiv negativ atunci cnd k1 > k2.

(3.89)permind calcularea factorului de skin, n condiiile cunoaterii debitului i permeabilitii originale, astfel

(3.90)19. Miscarea radial plana intron mediu poros cu permeabilitate zonal contstanta, in cazul frontierei commune paralele cu directia miscarii.Aceast micare corespunde situaiei n care sonda produce dintr-o succesiune de strate comunicante suprapuse i este prezentat schematizat, pentru cazul particular a dou strate orizontale, n figura 3.13.

Figura 3.13 Domeniul micrii radial plane n cazul normalei la frontiera comun perpendiculare pe direcia micriiCondiiile la limite asociate ecuaiilor (3.78) sunt, n acest caz,la r = rs , p1 = p2 = ps , la r = rc , p1 = p2 = pc , (3.91)i duc la urmtoarele expresii ale constantelor de integrare

nlocuind aceste formule n ecuaiile (3.78) se obin ecuaiile presiunilor n cele dou zone

(3.92)ecuaiilor vitezei de filtrare

(3.93)Debitele celor dou pachete permeabile suprapuse se stabilesc pe baza ecuaiei (3.7) i, prin nsumare, se obine debitul total astfel

(3.94)Ecuaia (3.94) poate fi exprimat sub forma (3.83); prin identificarea ecuaiilor (3.83) i (3.94), asociat nu folosirea notaiei h1 + h2 = h, se gsete expresia permeabilitii medii

(3.95)

20. Consideratii generale privind miscarile tridimensionale generate de sonde imperfecte dpdv hidrodinamic.Sondele care nu strbat n ntregime stratul productiv se numesc sonde imperfecte dup gradul de deschidere, iar cele care nu produc prin pereii lor naturali poart numele de sonde imperfecte dup modul de deschidere.Reducerea suprafeei de intrare a fluidului n sond determin apariia unor rezistene hidraulice suplimentare i deci a unor cderi de presiune suplimentare fa de cele existente n cazul sondei perfecte. Aceste rezistene hidraulice suplimentare fac ca debitul sondei imperfecte s fie mai mic dect debitul sondei perfecte. Efectul imperfeciunii sondei asupra debitului acesteia este caracterizat prin coeficientul de imperfecie, definit astfelci = Q/Qp ,(3.97)unde Q, Qp sunt debitele sondei imperfecte, respectiv perfecte, la aceeai presiune diferenial.Deoarece rezistenele hidraulice suplimentare sunt localizate n vecintatea sondei, efectul imperfeciunii sondei asupra debitului poate fi tratat ca un efect de pseudoskin sau ca o reducere fictiv a razei sondei. n acest mod, debitul sondei imperfecte poate fi exprimat sub una din urmtoarele forme echivalente

(3.98)

(3.99)unde p* este presiunea redus la un plan de referin (care nlocuiete presiunea p, pentru a se putea pune condiii la limite de presiune constant la adncimi diferite, innd seama de ecuaia hidrostaticii), Si factorul de pseudoskin corespunztor imperfeciunii sondei, iar rrs raza redus a sondei.(3.100)

(3.101)unde relaia de calcul a factorului de pseudoskin trebuie determinat pentru fiecare tip de imperfeciune a sondei.21. Miscarea radial sferica si miscarea zonal radial sferica.

Figura 3.14 Configuraia micrii radial sfericeAcest tip de micare se ntlnete atunci cnd sonda ptrunde n stratul productiv pe o adncime b foarte mic, practic neglijabil n raport cu grosimea h a acestuia. Ca urmare, gradul de penetrare a sondei

(3.102)este practic nul, iar liniile de curent sunt razele unei emisfere (figura 3.14). Micarea se studiaz n coordonate sferice, pentru ca viteza de filtrare s aib doar componenta radial

(3.103)

Soluia (3.106) arat c, ncepnd de la o anumit raz, fie ea rc, presiunea redus este, practic, o constant, notat cu . Punnd relaiei (3.106) condiiile la limite

la r = rs , ; la r = rc , (3.107)se determin constantele de integrare a i b sub forma

Astfel, legea de variaie a presiunii reduse la un plan de referin devine

(3.108)Dac se introduce n ecuaia lui Darcy (3.103) derivata presiunii reduse obinut din ecuaia (3.108) se gsete relaia de calcul a vitezei de filtrare

(3.109)Avnd n vedere c rs 10 m micarea poate fi considerat radial sferic, iar debitul poate fi calculat cu relaia (3.111), iar dac h 10 m se folosete ecuaia (3.114).

(3.116)pentru micarea zonal radial sferic.Identificnd ecuaiile (3.98) i (3.114) se gsete pentru factorul de pseudoskin aferent micrii zonal radial sferice expresia

(3.117)

22. Miscarea generate de o sonda partial penetranta. Miscarea generate de o sonda imperfect dupa modul de deschidere.Micarea generat de o sond parial penetrant

Figura 3.16 Graficul funciei definit prin relaia (3.122)Dac sonda strbate stratul productiv orizontal pe adncimea b inferioar grosimii h a acestuia, atunci gradul de penetrare (3.102) are o valoare subunitar, sonda este numit parial penetrant, iar micarea generat de ea este axial simetric. Acestei micri i corespunde ecuaia de continuitate n coordonate cilindrice (2.33) care, pe baza ecuaiei de stare (2.52), se reduce la forma

(3.118)unde componentele vitezei sunt date de legea lui Darcy astfel

(3.119)nlocuind expresiile (3.119) n relaia (3.118) se gsete ecuaia diferenial

(3.120)Aplicnd metoda Fourier Bernoulli, se obine o soluie sub form de serii, pe baza creia se determina formula debitului sondei.Muskat a soluionat, n limita unor aproximaii, problema micrii generate de o sond parial penetrat cu talpa permeabil, asimilnd sonda cu o distribuie liniar de surse i extinznd micarea n ntreg spaiul prin metoda surselor imagine. Formula debitului obinut de el poate fi adus la forma general (3.98), unde factorul de pseudoskin are expresia

(3.121)n care

(3.122)

este funcia lui Euler de spea a doua, iar gradul de penetrare definit prin relaia (3.102). Funcia f() este prezentat grafic n figura 3.16. Kozeny a gsit pentru factorul de pseudoskin aferent sondei parial penetrante ecuaia

(3.123)

Brons i Marting au stabilit c, dac lichidul este admis compresibil, factorul de pseudoskin poate fi exprimat astfel

(3.124)

Micarea generat de o sond imperfect dup modul de deschidereProblema micrii generate de o sond care produce prin perforaturi a fost soluionat de Muskat, asimilnd perforaturile cu surse negative i extinznd micarea n ntreg spaiul, prin introducerea surselor imagine fa de frontierele impermeabile ale stratului. S-a obinut astfel pentru Si din relaia debitului (3.98) expresia

(3.125)unde K0(x) este funcia Bessel de spea a doua modificat i de ordin zeron cazul sondei echipate cu coloane liuite, Dodson i Cardwell, aplicnd metoda transformrilor conforme, au stabilit pentru factorul de pseudoskin Si din ecuaia (3.98) formula

(3.127)unde m este numrul de iruri verticale de liuri, iar f fracia din aria coloanei reprezentat de aria liurilor. Aceast relaie constituie o bun aproximaie a lui Si dac f 0,3 i este o form particular a relaiei

23. Conuri de apa de talpa inactiva.3.6.4. Conuri de ap de talp inactiv

Figura 3.18 Configuraia micrii generate de o sond ntr-un zcmnt de iei cu ap de talp inactivn timpul formrii zcmntului de hidrocarburi, apa, care n procesul de migrare a trebuit s cedeze locul ieiului i gazelor, s-a separat gravitaional n partea inferioar a zcmntului i formeaz o zon de ap de talp sau o zon de ap marginal. Apa de talp poate fi activ sau inactiv dup cum frontul ap iei avanseaz sau nu spre sonda de extracie.n cazul apei de talp inactive, frontul ap iei ia, pe o anumit zon de sub talpa sondei, forma unui con cu vrful rotunjit (figura 3.18). Ca urmare, domeniul micrii generate de sond este mrginit n partea inferioar de frontul ap iei, care, la o anumit distan de sond, este orizontal, iar sub talpa sondei are form de con. Cu ct presiunea diferenial este mai mare, cu att nlimea conului este mai mare. ncepnd de la o anumit valoare a presiunii difereniale, numit valoare critic, conul de ap devine instabil, ptrunznd n sond i determinnd creterea masiv a fraciei de ap din debitul de fluid produs de sond. Pentru evitarea acestui fenomen, este necesar estimarea presiunii difereniale critice pc i impunerea restriciei p < pc.Notnd cu pa presiunea n planul orizontal al frontului ap iei (figura 3.18), condiia necesar stabilitii conului se poate exprima astfel

(3.128)unde pi este presiunea iniial a zcmntului, iar t densitatea ieiului. Identificnd relaiile (3.128) i (3.129), rezult condiia

(3.130)care arat c, pentru a se asigura stabilitatea frontului ap iei, este necesar ca diferena de presiune n orice punct de pe suprafaa conului (nainte i dup formarea acestuia) mprit la nlimea de ridicare a apei n acel punct s nu depeasc gradientul gravitaiei. tiind c presiunea pe conturul de alimentare (la raza rc i adncimea z fa de acoperiul stratului productiv, considerat ca plan de referin) este egal cu presiunea iniial de zcmnt, adic

acest punct de abscis z1 depete panta graficului membrului drept (dreptei c). n concluzie, nlimea conului stabil estehcon = h z2.24. Consideratii generale privind miscarile gravitationale in medii poroase. Ecuatia lui BoussinesqMicri gravitaionale

Figura 3.21 Ilustrarea frontierelor micrii gravitaionaleMicarea unui lichid ntr-un mediu permeabil datorat exclusiv aciunii gravitaiei (greutii lichidului) se numete micare gravitaional. Acest tip de micare prezint suprafa liber i, din acest motiv, se mai numete i micare cu suprafa liber.

Domeniul micrii gravitaionale a unui lichid n medii poroase poate fi mrginit (figura 3.21) de frontiere de alimentare (pe care p* = const.), frontiere impermeabile (pentru care componenta normal a vitezei este nul, adic = 0), frontiere libere (caracterizate prin p* = p0 + g z i = 0) i frontiere umede (pentru care p* = p0 + g z), unde p0 este presiunea atmosferic, n variabila corespunztoare axei normale la frontiera respectiv, iar sensul axei Oz este ascendent.Micrile gravitaionale sunt eficiente n cazul zcmintelor cu grosime i/sau nclinare mare, avnd permeabilitatea efectiv fa de iei ridicat. Ecuaia lui BoussinesqSe consider micarea gravitaional tridimensional a unui lichid ntr-un mediu poros omogen i izotrop mrginit inferior de un plan orizontal impermeabil. Este avantajos s se formuleze ecuaia microscopic a continuitii pentru un element de volum definit de intersecia a patru plane verticale ortogonale, ntre care exist distanele dx, dy infinitezimale, cu suprafaa liber i planul orizontal impermeabil (figura 3.22). Dac se consider c densitatea i porozitatea m sunt constante, ecuaia continuitii (2.35) devine

(3.133)

Figura 3.22 Domeniu de control mrginit n partea superioar de suprafaa liber a lichiduluiAdmind ipotezele simplificatoare lui Dupuit (1863), potrivit crora liniile de curent sunt paralele cu planul impermeabil xOy, iar componentele orizontale ale vitezei sunt proporionale cu panta suprafeei libere i independente de z, se pot scrie relaiile

(3.134)

25. Miscarea gravitationala unidimensioanala nestationara.

Fie un tub vertical cu nlimea hi i diametrul interior d, care conine un mediu poros omogen, saturat cu iei n prezena apei interstiiale (figura 3.23. La momentul t = 0 tubul se deschide la partea inferioar pe ntreaga suprafa transversal i, ca urmare, ieiul se scurge gravitaional. Dup un timp t, suprafaa liber coboar la cota h, iar n vasul colector se va gsi un volum Np de iei, egal cu volumul ieiului scurs din zona cilindric de nlime hi h, conform relaieiNp = m A(hi h)(sti str) , (3.137)unde m este porozitatea.Debitul de iei drenat scade n timp i poate fi exprimat, pe baza relaiei (3.137), astfel

(3.138)

(ecuaia lui Darcy) scrise astfel

se obine formula

(3.139)

iar producia cumulativ variaz liniar cu timpul, conform relaieiNp = Q t .(3.141).Efectele capilare la ieirea din mediul poros, numite efecte de capt, determin anularea debitului de lichid n momentul n care suprafaa liber coboar la o anumit cot, notat n figura 3.23 cu hc. Neglijnd efectele capilare n zona suprafeei libere, relaia (3.142) este definit n domeniul h z > hc, n care gradientul de presiune poate fi aproximat astfel(3.143)iar ecuaia (3.139) ia forma

(3.144)Se identific expresia (3.144) cu relaia (3.138)

Dac se introduce notaia

(3.145)se obine ecuaia diferenial

(3.146)care se integreaz astfelcare exprim timpul dup care cota suprafeei libere este h.26. Miscarea gravitationala, axial simetrica stationara.O sond genereaz o micare gravitaional axial simetric dac se afl n centrul unui bloc de zcmnt de form cilindric, iar att nivelul static hc al lichidului ct i cel dinamic hs sunt situate sub frontiera superioar a stratului productiv (figura 3.24). Condiia ca micarea s fie gravitaional este deci hc h, unde h este grosimea stratului.Admind c, pe frontiera de raz rc, nivelul hc este invariabil n timp (astfel nct micarea s fie staionar), ecuaia lui Boussinesq (3.135) scris n coordonate cilindrice, se reduce la forma

Figura 3.24 Domeniul micrii gravitaionale axial simetrice

(3.148)asociat cu condiiile la limitela r = rs , h = hs ; la r = rc , h = hc . (3.150)se determin constantele de integrare

care, introduse n soluia (3.149) permit ecuaiei suprafeei libere a lichidului

(3.151)se obine expresia vitezei de filtrare

(3.153)care, n asociere cu ecuaia continuitii, conduce la formula debitului de lichid care traverseaz o suprafa cilindric de raz r i nlime h

(3.154)Ecuaia (3.154) include la numitor factorul de volum al ieiului, bt, pentru ca debitul s fie exprimat n condiii de suprafa.

27. Miscarea zonal gravitationala axiala simetrica stationara.

28. 29. Figura 3.25 Domeniul micrii zonal gravitaionale axial simetriceMicarea zonal gravitaionalaxial simetric staionarDomeniul micrii ieiului spre sond este format, n acest caz, dintr-o zon n care micarea este radial plan (ntre razele rc i r0) i o zon n care micarea este gravitaional (pentru r0 r rs). Aceast micare combinat se numete zonal gravitaional.Se introduc notaiile: hd nivelul static, hc grosimea stratului, hs nivelul dinamic, ca n figura 3.25. Debitul de iei este acelai n ambele zone i se exprim, tiind c pc = g hd i p0 = g hc, a doua ecuaie (3.155) devine

(3.156)

care permite scrierea ecuaiei debitului sub forma

(3.157)

28. Estimarea rezervoarelor de hidrocarburi prin metoda declinului de productie.Pentru caracterizarea ritmului de scdere a produciei unui zcmnt de iei s-a introdus noiunea de declin de producie, care poate fi definit ca declin efectiv

(3.158)sau declin nominal

(3.159)folosind date de producie provenite de la un mare numr de zcminte, a artat c graficele declinului de producie al zcmintelor pot fi caracterizate prin trei tipuri de declin nominal: constant, hiperbolic i armonic.Declinul de producie constantDac declinul de producie este constant, ecuaia (3.159) devine

(3.160)permind scrierea urmtoarei legi de variaie a debitului

(3.161)Producia cumulativ de iei este definit prin relaia

(3.163)Timpul de abandonare a zcmntului (durata exploatrii), definit pe baza debitului de abandonare Qa, stabilit pe criterii de natur economic, rezult din relaia (3.160) astfel

(3.164)Declinul de producie hiperbolicAcest tip de declin are expresia

(3.165)n care c, n sunt coeficientul, respectiv exponentul declinului. conduce la ecuaia debitului

(3.166)Producia cumulativ de iei este dat de relaia (3.162) asociat cu formula integrare se obine

(3.168)Timpul de abandonare rezult din ecuaia (3.166) astfel

(3.169)Declinul de producie armonicDeclinul armonic este cazul particular de declin hiperbolic corespunztor lui n = 1. Ca urmare, relaiile (3.165)(3.167) i (3.169) devin

(3.170)iar producia cumulativ de iei se exprim, pe baza ecuaiei (3.162) i celei de-a doua egaliti (3.170), astfel

(3.171)