Banda lui Mobius - Clifford A. Pickover lui Mobius...CLIFFORD A. PICKOVER a obtinut doctoratul...

8
CLIFFORD A. PICKOVER a obtinut doctoratul in fizicd, lalJniversitatea Yale. in p r ez ent lucr eazd,la IBM T J. \flatson Research Center. A primit patruzeci de premii pentru inovaqii gi trei premii pentru activitatea sa de cerce- tare. Este unul dintre cei mai repvta\i gi prolifici autori de p opularizare a ;tiingei. Numeroasele sale cdrtj au fost traduse in italiani, francezl,, greacd", germani, japonezd, chinezd, coreeani, portughezd, spanioli, rurci 9i poloni. Succesul lor se datoreazi neobiqnuitei sale creativit;li, care se exprimi deopotrivi in ;tiinqi, inginerie si grafici realizatd, pe cal- culator. Site-ul siu de pe Internet a fost vizitat de 200 000 de utilizatori. Cirqi: A Passion for Mathematics (]Wrley,20A5), Sex, Drwg, Einstein, and Eloes (Smart Publications, 2005), Calcwlws and Pizza (\7iley, 20A3),The Paradox of God. and the Science of Omniscience (Palgrave/St. Martin's Press, 2002), The Stars of Heaaen (Oxford University Press, 2001,), The Zen of Magic Sqwares, Circles, and Stars (Princeton University Press, 2001), Dreaming The Futwre (Prometheus, 2001), 'Wonders of Nwmbers (Oxford {Jniversity Press, 2000), The Girl Who Gave Birth to Rab b it s (Prometheus, 2 000 ), S urfin g T hro ugh H yp er sp ace (Oxford University Press, 1999), The Science of Aliens (Basic Books, 1.998), Time: A Trazteler's Gwid,e (Oxford University Press, 1,998), Strange Brains and Geniws: The Secvet Liaes of Eccentric Scientists and Mad,men (Plenum, 1,998), Tbe Alien IQ Tesq (Basic Books, 1997), The Loom of God (Plenum, 1997), Black. Holes - A Traveler's Gwidrc (\7iley, 1996) 9i Keys to Infinity (\7iley, 1,995). CLIFFORD A. PICKOVER BANDA LUI MOBIUS Miraculoasa bandi a doctorului August Mobius in matem aticd,, j ocuri, liter atur d, artd", tehnologie si cosmologie Traducere din englez|, de DIANA CONSTANTINESCU-ALTAMER HUMANITAS BUCURESTI

Transcript of Banda lui Mobius - Clifford A. Pickover lui Mobius...CLIFFORD A. PICKOVER a obtinut doctoratul...

  • CLIFFORD A. PICKOVER a obtinut doctoratul infizicd, lalJniversitatea Yale. in p r ez ent lucr eazd,la IBM T J.\flatson Research Center. A primit patruzeci de premiipentru inovaqii gi trei premii pentru activitatea sa de cerce-tare. Este unul dintre cei mai repvta\i gi prolifici autori dep opularizare a ;tiingei. Numeroasele sale cdrtj au fost tradusein italiani, francezl,, greacd", germani, japonezd, chinezd,coreeani, portughezd, spanioli, rurci 9i poloni. Succesul lorse datoreazi neobiqnuitei sale creativit;li, care se exprimideopotrivi in ;tiinqi, inginerie si grafici realizatd, pe cal-culator. Site-ul siu de pe Internet a fost vizitat de 200 000de utilizatori.

    Cirqi: A Passion for Mathematics (]Wrley,20A5), Sex,Drwg, Einstein, and Eloes (Smart Publications, 2005),Calcwlws and Pizza (\7iley, 20A3),The Paradox of God. andthe Science of Omniscience (Palgrave/St. Martin's Press,2002), The Stars of Heaaen (Oxford University Press,2001,), The Zen of Magic Sqwares, Circles, and Stars(Princeton University Press, 2001), Dreaming The Futwre(Prometheus, 2001), 'Wonders of Nwmbers (Oxford{Jniversity Press, 2000), The Girl Who Gave Birth toRab b it s (Prometheus, 2 000 ), S urfin g T hro ugh H yp er sp ace(Oxford University Press, 1999), The Science of Aliens(Basic Books, 1.998), Time: A Trazteler's Gwid,e (OxfordUniversity Press, 1,998), Strange Brains and Geniws: TheSecvet Liaes of Eccentric Scientists and Mad,men (Plenum,1,998), Tbe Alien IQ Tesq (Basic Books, 1997), The Loomof God (Plenum, 1997), Black. Holes - A Traveler's Gwidrc(\7iley, 1996) 9i Keys to Infinity (\7iley, 1,995).

    CLIFFORD A. PICKOVER

    BANDA LUI MOBIUSMiraculoasa bandi

    a doctorului August Mobiusin matem aticd,, j ocuri, liter atur d, artd",

    tehnologie si cosmologie

    Traducere din englez|, deDIANA CONSTANTINESCU-ALTAMER

    HUMANITASBUCURESTI

  • 330 BANDA LUI MOBIUS

    Madachy, Joseph 5., Mad,achy's' Mathematical Recreations, NewYork: Dover,1979 (7). ,

    M.C. Escher Foundation, Site-ul oficial al lui M.C. Escher: http://w-ww.mcescher.com. *

    Pappas, Theoni, The Joy of Mathematics, San Carlos, California:\flide\(orldPublishing/Tetra,7989. I

    Mcibius, August, Ge sammehe'Werh.e,Editori : Richard Baltzer, FelixKlein gi \flilhelm Scheibner,4 vol., I-eipzig: retipirire, Dr. ManinSindig oHg, \fliesba den,'1967 .

    O'Connor, John J. gi Edmund F. Robertson, ,,August FerdinandMcibius" (scurti biografie),

    http ://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Mobius.html.

    Peterson, Ivars, ,,Mcibius in the Playground", Ivars Peterson's MathTrek, Science News Online (22 mai 1999),

    http ://www.sciencenews. org/ sn-arc99 / 5 22-99 / mathland.htm.

    Peterson, Ivars, ,,More than Just a Plane Game", Ivars Peterson's,Math Trek, Science News Online (74 martie 1998),

    http ://www.sciencenews.orglsn-arc98 / 3 _1 4 _98 / mathland.htm.

    Peterson, Ivars, ,,Recycling topology", Ivars Peterson's Math Trek,Science Neuts Online (28 septembrie 1996),

    http ://www.sciencenews. org/ sn-ar c9 6 / 9 J8 _96 / mathland.htm.

    Peterson, Ivars, ,Mcibius and his Band", Science Netos Online,758,nr. 2 (8 iulie 2000), hrp ://www.sciencenews.orglani cles/ZOOOOZOg/mathtrek.asp.

    rJ(eisstein, Eric, Math\7orld, site gdzduit de Volfram Web, intra-rea,"Polyhedral Formula", http://mathworld.wolfram.com/PolyhedralFormula.html. (Di o definigie a formulei poliedrului,stabiliti de Euler.)

    \flells, David, Tbe Penguin Diaionary of Curious and InterestingGeometry, Londra: Penguin Books, 1998.

    \Tikipedia Encyclopedia, intr ar ea,,Mobius Strip ",http ://en.wikipedia. orglwiki/M % F6bius-strip.

    CUPRINS

    MulpmiriLimerick-uri MobiusIntroducere

    1. Magicienii lui Mobius . . .2. Noduri, civilizaqie, autism

    9i pribugirea figurilor ferl' fege

    7

    9

    t125

    32

    3.OscurtibiografiealuiMobius .... 564. Tehnologie, jucirii, molecule gi brevete 745. Aventuri stranii in topologie gi dincolo de ea . . . 1,046. Cosmos,realitate,transcenden\Fl ,... 1727. Jocuri, labirinturi, artd., rrruzici ;i arhitecturi . . . 21,98. Literaturi gi film 2559. Concluzii . . .. 280Soluqii 291Referinge si apendice 303Bibliografie 3ll

  • s

    MAGtCtENil LUt nnOelUs

    Mrjbiws este an nwme familiar tn orice casd - cel pupin,in cele cw pretenpii de'cwlturd matematicd,-- mwfumitdunei jucdrii topologice. Dar Awgwst Mribius a inflwen{atrnat erndtica k mwlte nia e lwri [. . . J M o ;tenire a lwi rno demdreprezintd o nlare parte a aplicapiilor matematicii dinziua de astdzi.

    Ian Stewart, ,,Mogtenirea moderni a lui Mcibius",in Miibiws and. His Band.

  • 26 BANDA LUI MOBIUS

    Pe vremea cind eram in clasa a treia, am patticipat laziua dena$tere a unui vecin, iar petrecerea s-a trans{ormatintr-un spectacol de magie. Un magician cu pilirie inalti,neagrd, ttti-" d"t o band; care pdrea obqinuti prin alipireac"pJtelot unei panglici lucioase, in a9a fel incdt aceasta sifa'rmezeo bucll alungiti' El avea trei astfel de bucle - unaera rogie, alta albastrX,i^, ""^

    de-a treia-mov' Magicianul

    se numea domnul Magic. Foarte original.Domnul Magic zambise cAnd trasase cAte o linie neagrl

    de-a lungul axel fiec;reia dintre lungile fAqii de material'Era e*aci ca marcaieleintrempte dintie benzile unei gosele(fig. 1.1). Apoi ariiase fAEiile audienqei. Un pu;ti se repeziset;"p"u mina pe ele, dar domnul Magic spusese ceva degenul: ,,Ribdare !"

    MAGrcrENrr rur MOsrus 27

    Am fost entuziasmat gi am continuat si tai banda rogiepini cind am ajuns in punctul de plecare al decupajuluirneu. Bucdqile de panglici ro;ie au cdzut de o parte gi de alta,formind doui inele total separate. ,,Migto", am spus, degiir:r realitate nu eram prea impresionat. Totugi, mi intrebamcc va urma.

    ,,Acum, taie-le gi pe celelalte."Arn aprobat din cap. Dupi ce am terminat si cu cea

    rlbastri, am constatat ci aceasta a format o singuri bandi,rlc doui ori mai lungi decAt ceainigiall,. Cineva a aplaudar..l',1 mi-a intins banda rdmasl, - pe cea mov. Am tiiat-o qil)c aceasta, iar ea a format doui inele intrepitrunse, asemi-rritoare ochiurilor unui lanq.

    Fiecare culoare se comporta cu totul altfel ... asta chiart:ra misto! Cele trei benzi aveau proprietiqi total diferite,,lc9i mi se pdruseri identice. Ciqiva ani mai tirziu, miste-riosul truc mi*a fost explicat de un prieten. Buclele rosie,albastri si mov fuseseri $eatefiecarein alt mod atunci cAndsc alipiseri capetele panglicilor. Bucla obginuti din panglicar'.rsie fusese cel mai simplu de realizat. Fusese o bucle obig-rruiti, fi.cute feri a fi risuciti nici micar o dati panglica,('xact ca in cazulunei benzi transportoare sau al unei curelegroase din cauciuc. Bucla albastri, in schimb, era exactlrrimoasa bande a lui Mobius, formati prin risucirea celortloud capete ale panglicii cu 180 de grade unafagd.de cealalti,irrainte de alipirea acestora. De reguli, metoda este cunos-t:uti sub numele de ,,semirisucire". Iar bucla mov fuseseIormati prin risucirea unui capit de panglici fagd, de celilaltcr-r 360 de grade inainte de alipirea lor.

    Arstdzi, aceastd scamatorie este cunoscuti sub numele de'l'rucul Benzilor Afgane. Aqa o numesc deseori magicienii,,lrrr nu sdm de unde i-ar putea proveni numele. In specta-t'trle, a fost prezentati astfel incepind de pe la 1904.

    in conformitate cu cele scrise de Martin Gardnerin Matbe-tnatics, Magic and Mystery, cele mai timpurii referinqe

    o bands Mobius, ., iinn l;lrr,, de-a lunsul axei.

    Eram un copil timid gi bine-crescut. Probabil ci domnulMagic simqise'acest lucru, Pentru cd mi-a dat o foarfecd",,Tiiere, taie banda de-a lungul ei, exact pe linie", a spu:''ardtdndn-milinia

    inrrerupti de pe una dintre fagiile de material.

  • 28 BANDA LUI MOBIUS

    p rivito are la utihzar ea b enzii lui M obius in s camatoriile desalon apar in ediqia englez6" din 1882 a cdrgri lui GastonTis s andi er, L e s r 6 cr 6 ati o n s s ci e ntifi q u e s, pt;,bltcatl, inigial laParis, in 1881. Carl Brema, un american carefabrrcatot felulde jucirioare magiie, producea frecvent Benzi Afgane in 1920,utilizAnd gifon in loi de hirtie. Tn 1,926,James A. Nelsona descris o metodi de pregdtire a gtraifului de hirtie astfelca cele doui jumitagirezultateprin tiiere sd"formeze un lanqde uei inele intrepitrunse (fig. t.2).

    PARTI

    sUPRAPUSE

    5r LTPTTE

    INTREAGA BANDA

    ARE DOUA

    RASUCIRI iNDIRECTIA SAGETII

    Metoda tui James A. Nelson o"tJ?;Jii," a benzii ,,masice" de hartie,ata incat cele doud jumatali rezultate prin tdiere sd formeze un lan!

    de trei inele intrePdtrunse.(Dupd Martin Gardner, Mathematics, Magic and Mystery.)

    in 1948, magicianul Stanley Collins a descris un alt ffucfascinant, ficut cu o bandi rlsuciti gi un inel. A pus un micinel metalic pe un straif de hirtie sau material textil' apoia unit ."pete1" gtraifului, dar numai dupi ce l-a risucit detrei ori, pentru aforma o bucli inchisi. Ca de obicei, magi-cianul tiia straiful pe mijloc (cum ai decupa de-a lungul liniei

    MAGICIENII LUI MOBIUS 29

    de marca) central a unei ;osele) pAni cAnd ajungea in puncfulclc pornire, rezultdnd astfel o bandd, mare innodati in jurulinelului.

    in ziua de astdzi, magicianul profesionist Dennis Regling,care practici,magia evanghelici" pentru ;colile de duminicigi taberele religioase, utilizeazd, magSabenziilui Mobius pentrul intiri credinga in Dumnezeu. Exact ca domnul Magic,l)ennis folosegte buclele in slujbele evanghelice, chemdndla el trei voluntari. Apoi pune cele trei mari bucle pe capetelevoluntarilor 9i explici: ,, ...dupi cum ne-a creat Dumnezeu,tlcsi suntem la fel din multe puncte de vedere, El a dat fie-eiruia si niste daruri deosebite. Asta ne face si fim cu toqiiLrnici in ochii lui Dumnezeu." $i taie cele trei bucle diferitcu o foarfeci, obqinAnd cele trei rezultatediferite, prezentateitntertor.

    Eric Reamer, un alt magician evanghelic profesionist, seloloseste, de asemenea, de cele trei bucle pentru a-gi pro-rrrova religia. Eric apargine unui cult national evanghelic care,prin iluzionism, i;i propune sd aduci ,,Adevirul Evanghelieilr"ri Isus Cristos" in lumea celor ,,nevoiasi". Intai, el aratd,publicului bucla nerisuciti gi spune: ,,Ador cercurile ! Suntc:xtraordinare ! Nu au inceput gi nici sfArgit, iar asta imirtminteste de Dumnezeu !" Apoi, vorbeste despre asemdnareacu eternitatea lui Isus si rupe bucla, pentru a forma douirrlte bucle, separate, dar identice, care ii simbolizeazd, pel)umnezeu Tatnl qi Fiul.

    Urmitorul pas este prezentarea buclei complet risucite5i explicarea faptului cn Biblia ne invaqi cdDumnezeu ne-acreat dup; propriul Sdu chip si ci ,,L-a trimis pe Isus ca si-Lprimim in inimile noastre gi si fim pe veci alituri de El!"I'lric taie bucla, creAnd alte doui, intrepS.trunse.

    in final, Eric prezintd adevdratabucli a lui Mobius, semi-r':isuciti, si zice: ,,Dumnezeu trebuie si ne fi iubit foarte multclin moment ce L-a trimis la noi pe unicul Siu Fiu, nu creded ?"Apoi ii cere auditoriului sd-gi imagineze cdt de mare ffebuie

  • 30 BANDA LUI MOBIUS

    si fi fost dragostea Lui. Tnind bucla lui Mobius, Ie aratdcelorprezengicd aceasta i;i dublase lungimea. Eric afirmi ci truculfolosegte de asemeneala predarea unor lecqii despre prie-tenie gi cisitorie.

    Vom aprofunda explicaqiile privito are la acest gen demagii ?n capitolele urmdtoare, cercetand chiar gi forme maineobignuite de bucle, dar deocamdad este amuzantsi obser-vdrrr cd abstracta lucrare de matematici a lui Mobius, in carea prezentat bucla sa cu peste un secol in urmd, este astdzifolositi pentru a pd.cdli copiii gi pentru magie evanghelici,destinati atragerii celor mici citre Isus gi adAncirii credingeiin divinitate.

    o Enigma transportoruluiPentru aceastd problemd de enigmisticd, haideyi sd ne imagindmca dr. M1bius a fost un inventator de mare succes, dar excentric.in cursul cdldtoriilor prin Saxonia, el ndscoce;te dispozitivul pentruexerciyiu fizic prezentatin fig. 1.3. Spera cd, intr-o bund zi, vabeneficia, impreund cu moStenitorii lui, de mulli bani de pe urmaingenioasei ma;indrii. Dar oare maSindria chiar funclioneazd? intimp ce domnul M6bius aleargd, transportorul se rofe;te sau esteblocat, fdcindu-l astfel sd ajunga la capatul benzii rulante 5i sdse prdbu;eascd in ad1nca r1pd de sub el? Ce efect are bandardsucitd in forma cifrei opt asupra modului de funcyionare adispozitivului? Sistemul de operare ar fi diferit dacd acea banddin formd de opt ar fi inlocqitd cu o bandd Mobius (o bucla semi-rasucitd)? Daca dispozitivul nu funcfioneazd, cum l-afi repara?Dispozitivul ar func,tiona altfel daca toate benzile lui ar fi rdsucite?(Consultali secliunea cu solulii pentru a afla r6spunsul.)

    MAGICIENII LUI MOBIUS

    Fig. 1.3Benzile transportorului domnului dr. Mobius s-ar roti fdrd problemedacd banda r5sucitd in forma cifrei opt ar fi inlocuitd cu o bandd

    care-i poartd numele? (Desen de Brian Mansfield.)

    Un cuv6nt despre locul lui Mcibius in istorie

    l< Faptul cd numele lui Mobius a rdmasin memoria noastrd gralieunei jucarii topologice este un accident al istoriei. Dar faptul cdel a observat un lucru simplu, pe care in doud mii de ani oricinel-ar fi putut observa, e plin de semnifica;ii - dupd cum e plin desemnifica;ii 5i faptul cd nimeni n-a fdcut-o, cu exceplia cazuluilui Listing, care a descoperit banda simultan si independent.

    lan Stewart, ,,Mo;tenirea modernd a lui Mobius",drn Mobius and His Band

    31

  • ffi

    NODURI, ClVlLIZATlE, AUTISM 5lPRABUTTREA FtcuRtLoR FAnA rrlr

    O dansatoare de varietew, o fatdPe nume Virginia, se dezbracd dintr-un foc!Dar citind SF n-a aeut noroc

    $i a murit swgrumatdincercknd sd se dezbrace ;i de-a lui

    Miibiws bandd roatd.

    Cyril Kornbluth, The [Jnfortwnate Topologist, 1.957

    NODURI, CIVILIZATIE, AUTISM 33

    Furnici in sfere

    Dacd v-as da o sferi goali pe diniuntru, cu o furnici inea, este ugor de observat ci sfera are doui feqe distincte. Ofurnicl ce se plimb? prin interiorul sferei nu poare ajungepe suprafaqa ei exterioari, iar o furnic; din exteiior rr., po"i.ajunge in interior.

    Un plan care se extinde in roare direcqiile pdni,lainfiniteste delimitat, de asemenea, de doui suprafeie - o furnicdce. se taritte p.e ury dintre ele nu poate ajunge pe cealalti.Chiar gi un obiect plan finit, c.r- ai fi o foaie Je hArtie ruptadin aceasti carte, este considerat a aveadoui fete daci nui se permite furnicii si rreaci pesre marginile teioase alehirtiei. Similar, un corp in formi de covrig,'gol pe dinduntru,sau un tor, are doui feqe. O cude de conserve are tot douifeqe. Prima suprafaqi cu o singuri faqi descoperitd si cerce-tatd" de oameni a fost banda lui Mobius. pire exagerar siafirmim ci nici o fiinqn de pe piminr n-a descris p"roprie-tigile suprafelelor cu o singuri fagdpdnnla mijlocul secjuluial XIX-lea, dar istoria gtiingei 9i a matematicii n-a inregisrratastfel de observaqii.

    Bandalui Mobius esre o suprafagdfascinanti cu o singurifaqi;i o singuri margine. DgpU cum am sugeratin capi6lulilnterior, pentru a creabanda nu trebuie decit si uniri celedoui cape.te ale_unei fAgii lungi de hirde, dupi ce aqi roritinprealabil unul dintre capete cu iB0 de grade in raporr cucelilalt. Rezulti o suprafaqe cu o singuri iagi, - un gAndicelsc poate tiri din ori.. prrrrtt al unei i"f.fai, *j*fA;;;oricare alt punct al ei gi nu rraverse azd nicioditd, marginea.in schimb, daci uniti capetele benzijfiri s-o risucigi, i"rrrl-tatul obginut va semini cu un cilindru sau cu un inel, in{'unctie de grosimea benzii. Deoarece un cilindru are douil'cqe, puteqi s-o coloraqi pe una dintre ele in rosu, iar peccalalti in verde. Dar incercagi si luaqi creionul d.

    "olorrt1i.si faceqi acela;i lucru cu banda lui'Mobius. Este impo-sibil sn obqineti o fatd rosie gi una verde, d"oa.".e

    "r'" o

  • 34 BANDA LUI MOBIUS

    singuri fagn (fig. 2.1). Asta inseamni totodati ci puteqi trasao linie continui intre oricare dintre punctele benzri fdrd' se-itraversaqi marginea.

    Tentativd de colorare . *.r'1i3,',iJbius. Doi pictori sunt derutaticdnd incearcd sd oblind o faJi ro5ie 5i alta verde. Tocmai aceastd derutd

    este elementul-cheie al unei povestiri tragicomice intitulate

    ,,A. Botts si banda lui Mobius", prezentatd in capitolul B. Acolo, un pictor

    incearci in mod repetat sd coloreze doar o fatd a benzii lui Mobius

    Confecqionaqi-vi singuri _o bandd a,lui Mobius chiaracum si agezaqi-o pe o masi. Puneqi un deget pe o marginea ei, al't deget,'pe ,cealaltd". Pe unul qineli-l fix in timp ce-lplimbaqi pe al doilea de-a lungul marginii. In cele din urmi,i.getul aTlat in migcare va atinge fiecare punct al marginiigi se va lovi de cel fix, demonstrindu-ne clar cd banda areo singuri margine. De fapt, orice fAgie de hArtie semirisucitide ui numdi impar d€ ori este aseminitoare benzii luiMobius, deoarece toate fAgiile de acest gen au o singurisuprafaqi gi o singuri margine,

    ':Tliereabenzii

    Banda lui Mobius are numeroase proprietiqi fascinante.Daci o tdrali de-a lungul mijlocului ei, cum am vdzut incapitolul 1, cind am vorbit despre trucuri magice, in loc si

    NODURI, CIVILIZATIE, AUTISM 35

    obqinegi doudbenziseparare, veti avea doar o bandi lungi,cu doui semirisuciri.Dacd tiiati si aceasri noui bandi dJ-alungul mijlocului ei, obqinegi ahe doui, incoldcite una injurul celeilalte. Cu alte cuvinte, aceasti. a doua tiiere ducela formarea a doui benzi intrepitrunse.

    Daci insi tdiati o band; a lui Mobius pe o linie longiru-dinald, ailatd",faqd,'demargine, l" o dirtr.rgi egald cu .tr:i;din l;qimea ei, veqi obqine doui bucle - ,rtra Est" tot o bandaMobius, dar maiingusti, a doua este o bandi lungi, cu douirisuciri complete (o risucire completi este o iisucire de360 de grade). Incercati savizualizaqi. Agi aflat cE, efectu-ind tdiere_a pe mijlocwlbenzii lui Mobius, vi veqi inroarcein punctul de plecare al decupajului, tot pe mijlocul benzii.lnainte de intoarcere, parcurgegi banda, de-a lungul ei, osjnguri dati. in cehlali caz iisd,, daci incepe gi tdilerea la odistanqi de o treimedin liqimea benzii, nu veqi ajungelapunctul de_ incep_ut al decupajului decAt dupi ce vegi"par-curge banda de doui ori, deoarece la a doua ,,rotire;' liniade tiiere se va afla, fagl" deprima linie de tiiere, la o distangide inci o treime din letimea benzii.

    Cu a,lte cuvinte, tdilreapresupune doui parcurgeri aleintregii benzi Mobius inainre de ivd,intoarce in punltul deinceput gi duce la obqinerea a doud benzi (fig. 2.2).Haidegisi numim cele doui benzi rezuTtante bandiA si banda E.IJanda A este identici cu banda Mobius iniqialn, numai ci

    Fig.2.2Tdind o banda a lui Mobius pe o linie longitudinald aflata, fata de margine,

    la o distanfa egald cu o treime din lalimea ei, se obtin doud benzi -una este o banda Mobius ceva mai ingustd,

    cealaltd este o bandd lungd, cu patru semirdsuciri.