JENIC CRNGANU ANALIZ MATEMATIC EDITURA FUNDAIEI UNIVERSITARE Dunrea de Jos Galai JENIC CRNGANU ANALIZMATEMATIC Conf.dr. JENIC CRNGANU ANALIZ MATEMATIC EDITURA FUNDAIEI UNIVERSITARE Dunrea de Jos Galai, 2006 Referent tiinific: Conf.univ.dr. Petru V Universitatea Dunrea de Jos Galai C U P R I N S PREFA..7 CAP. 1. MULIMI. RELAII. FUNCII. 9 CAP.2. SPAII METRICE. IRURI N SPAII METRICE...17 2.1.Spaii metrice. Definiie. Exemple..17 2.2. iruri n spaii metrice.19 2.3. iruri n spaii metrice particulare..22 2.4. Spaii metrice complete..31 2.5. Elemente de topologie n spaii metrice...33 CAP.3. SERII DE NUMERE REALE...44 3.1. Serii convergente. Serii divergente...44 3.2. Serii cu termeni pozitivi..48 3.3. Serii cu termeni oarecare..59 3.4. Serii alternate...61CAP.4. FUNCII NTRE SPAII METRICE...65 4.1. Limita unei funcii ntr-un punct.65 4.2. Funcii continue71 4.3. Proprieti ale funciilor continue...754.4. Funcii uniform continue.79 CAP.5. DERIVABILITATEA I DIFERENIABILITATEA FUNCIILOR REALE DE VARIABIL REAL .83 5.1.Proprieti de baz ale derivatei.83 5.2. Difereniala unei funcii87 5.3. Derivate i difereniale de ordin superior.88 CAP.6. DERIVABILITATEA I DIFERENIABILITATEA FUNCILOR DE MAI MULTE VARIABILE.96 6.1.Derivata dup o direcie. Derivate pariale de ordinul nti96 6.2. Difereniabilitatea funciilor reale de mai multe variabile...99 6.3. Difereniabilitatea funciilor compuse.105 6.4. Derivate pariale i difereniale de ordin superior.108 6.5. Funcii i sisteme de funcii implicite..118 6.6. Extreme locale pentru funcii reale de mai multe variabile.127 CAP. 7. INTEGRALA RIEMANN......143 7.1. Primitiva unei funcii reale de variabil real...143 7.2. Integrala definit......153 7.3. Aplicaii ale integralei definite.158 CAP. 8. INTEGRALE IMPROPRII........166 8.1. Integrale improprii de spea nti...166 8.2. Integrale improprii de spea a doua..173 8.3. Integralele lui Euler..178 CAP. 9. IRURI I SERII DE FUNCII.......183 9.1.iruri de funcii...183 9.2. Serii de funcii......191 9.3 Serii de puteri....196 CAP. 10. INTEGRALE CU PARAMETRU......211 CAP. 11. INTEGRALE CURBILINII..222 11.1. Integrale curbilinii de spea nti.....222 11.2. Integrale curbilinii de spea a doua.....232 CAP. 12. INTEGRALE MULTIPLE..........244 12.1.Integrale duble....244 12.2. Integrale de suprafa...262 12.3. Integrale triple....271 BIBLIOGRAFIE279 P R E F A Lucrareadefareprezintovariantmbuntitacursuluipublicat anterior de catre autor. Ea prezint noiuni fundamentale ale analizei matematice cum ar fi cele de limit, continuitate, difereniabilitate, integrabilitate, etc. Acest material reprezint rodul activitii universitare din ultimii ani, cursuri inuteladiferitefacultialeUniversitiiDunreadeJosdinGalai,dectre autor. Pentruomaibunnelegereachestiunilorteoretice,carteaare numeroaseobservaii,exemple,problemepropusesprerezolvareiprobleme rezolvate. PrezentulcursseadreseazstudenilordinanulIaifacultilorcuprofil tehniciuniversitar,profesorilordinliceecareipregtescexamenelede definitivare sau grad, ct i tuturor celor care doresc s nvee i s aprofundeze matematica modern a zilelor noastre. Tuturor cititorilor mei, studeni, profesori de matematica, ingineri, interesai de rezolvarea unor probleme matematice, autorul le ureaz lectur interesant i s gseasc n paginile lucrrii ceea i doresc. nncheiere,insexprimmulumiridomnilorconf.dr.PetruViconf.dr. Ion Miric, pentru rbdarea i atenia cu care au citit ntregul manuscris, fcnd observaii utile, de care am inut seama n redactarea final a lucrrii. Autorulrmnendatorattuturoraceloracareivortrimitesugestii,alte punctedevederesauvoraveaamabilitateadea-isemnalaeventualeleerori structurate n lucrare. Galai, septembrie, 2006 J. Crnganu Referenitiinifici : Conf. univ. dr. Petru V Conf. univ. dr. Ion Miric Universitatea Dunrea de Jos Galai - 9 - CAPITOLUL1 MULIMI. RELAII. FUNCII FieX,YdoumuliminevideiXxY={(x,y):xX,yY},produsullor cartezian. Definiia1.1.SenumeterelaiebinarntreelementelemulimilorXiY tripletul = (X,Y,G), undeG X x Y se numete graficul relaiei . Dac (x,y) Gspunem c x este n relaia cu y i scriemxy. Se numete domeniu al relaiei multimeaD() = { xX : ()yY astfel nct (x,y)G }. Se numete codomeniu al relaiei mulimea Im() = { yY : ()xX astfel nct (x,y)G }. DacX = Y atunci se numete relaie binar pe X (sau relaie pe X). Dintre relaiile definite ntre elementele aceleiai mulimi se disting relaiile de echivalena i de ordine. Definiia 1.2. Fie X . O relaie pe X se numete relaie de echivalen dac(E1) este reflexiv: () xX xx; (E2) este simetric: () x, y X astfel nctxy yx; (E3) este tranzitiv: () x, y, z X astfel nctxy iyz xz. Dac xX definimCx = { yX : yx } clasa de echivalen a lui x. Dindefiniierezultimediaturmtoareleproprietialeclaselorde echivalen: 1. ()xX Cx ; 2. dac x, yX, xy Cx Cy = ; 3. xy Cx = Cy ; 4. X xUCx = X. - 10 - MulimeanotatX/={Cx :xX}senumetemulimeaclaselorde echivalen. Definiia 1.3. O relaie pe X, notatse numete relaie de ordine pe X dac(O1) este reflexiv: () xX x x; (O2) este antisimetric: () x,yX astfel nct x y i y x x = y; (O3) este tranzitiv: () x,y,zX astfel nct x y i y z x z. Perechea ( X, ) se numete mulime ordonat. Dac () x,yX avem x y sau y x, relaia de ordine se numete relaie de ordine total, iar ( X, ) mulime total ordonat. Exemple. 1.DacXatuncirelaiadeincluziuneesteorelaiedeordinepe mulimea prilor lui X, mulime notat cu P(X). 2.(N*,I)(Irelaiadedivizibilitate)esteordonatdarnuestetotal ordonat. Definiia 1.4.Fie ( X , ) o mulime ordonat i A X, nevid. Un element mX se numete minorant pentru A dac m x, ()xA. Un element MX se numete majorant pentru A dac x M, ()xA. DacmXesteminorantimAatuncimsenumetecelmaimic element al mulimii A i se noteaz m = minA. DacMXestemajorantiMAatunciMsenumetecelmaimare element al mulimii A i se noteaz M = maxA. Observaie.DacAareuncelmaimic(respectivcelmaimare) element, din proprietatea de antisimetrie rezult c acesta este unic. DacsubmulimeaA Xare minorani (respectiv majorani) spunem c Aesteminoratsaumrginitinferior(respectivmajoratsaumrginit superior). Mulimea A se numete mrginit dac este minorat i majorat. - 11 - Definiia1.5.DacA admite minorani(respectiv majorani)imulimea minoranilor (respectiv a majoranilor) lui A are un cel mai mic (respectiv cel mai mare)element,acestasenumetemargineinferioarsauinfimum(respectiv margine superioar sau supremum) i se noteaz infA (respectiv supA). Observaii. 1.DacexistinfA(respectivsupA),dinproprietateadeantisimetrie rezult c acesta este unic. 2.DacAareuncelmaimic(respectivcelmaimare)elementatunci existinfA = minA (respectivsupA = maxA). Mulimea numerelor reale Pornind de la mulimea numerelor naturale N = { 0,1,2,} se poate face o construcie riguroas a mulimilor Z i Q (vezi [7]): Z = { 0,t1, t2,}- mulimea numerelor ntregi. Q = { nm: m,nZ, n 0 }- mulimea numerelor raionale. Pentru mulimea numerelor reale, notat cu R vom prezenta o construcie axiomatic. Definiia 1.6. Numim mulimea numerelor reale o mulime R nzestrat cu dou operaii algebrice: + adunarea,(x,y) x + y R; nmulirea,(x,y) xy R; i cu o relaie de ordine totalcare satisfac urmtoarele grupe de axiome (R,+,.) este corp comutativ, adic 1)() x,y,zR (x+y)+z = x+(y+z); 2)() x,yR x+ y = y+ x; 3)() 0R astfel nct0+ x = x, ()xR; 4)() xR, ()x = -xR astfel nctx+ (-x) = 0; 5)() x,y,zR (xy)z = x(yz); - 12 - 6)() x,yR xy = yx. 7)() 1R, 1 0 astfel nct 1.x = x, ()xR; 8)() xR, x 0, ()x-1 =x1R astfel nctx . x-1 =1; 9)() x,y,zR x(y+z) = xy+ xz. (R, ) este total ordonat i relaiaeste compatibil cu structura de corp, adic: 10) () xR x x; 11) () x,yR astfel nct x y i y x x = y; 12) () x,y,zR astfel nct x y i y z x z; 13) () x,yR avem x y sau y x; 14) () x,y,zR cu x y x + z y + z; 15) () x,y,zR cu x y i 0 z xz yz. Axioma de completitudine a lui Cantor-Dedekind: PentruoricesubmulimeAR,nevidimajoratexistmargine superioar, supAR. Observaii. 1.Pentru ()x,yR definim x-y = x+(-y) iar dac, n plus, y 0 atunci yx = xy-1. 2.Din axiomele lui R, cum 1R rezult c i elementele 2=1+1, 3=(1+1)+1, vor aparine lui R. Aceste elemente le vom numi numere naturale iar mulimea lor o vom nota cu N. Dac nN atunci nR i mulimea elementelor 0,1,-1,2,-2, o vom nota cu Z i se numete mulimea numerelor ntregi. Dac x,yZ, y 0, atunci xy-1R iar mulimea elementelor de forma xy-1 cu x,yZ, y 0 o vom numi mulimea numerelor raionale i o vom nota cu Q. S observm c N Z Q R.3.Relaiei de ordine i se poate ataa relaia 0 ) se vor numi numere pozitive(respectiv strict pozitive), iar numerele reale x pentru care x 0 (respectiv x < 0), se vor numi numere negative (respectiv strict negative). Vom nota prin R+- mulimea numerelor reale pozitive; R*+ - mulimea numerelor reale strict pozitive; R-- mulimea numerelor reale negative; R* - mulimea numerelor reale strict negative. Atunci R = R+ R -, R+ R- = {0}. Dac a, bR, a < b definim mulimile(a,b) = { xR : a < x < b }; [a,b] = { xR : a x b }; [a,b) ={ xR : a x < b }; (a,b] = { xR : a < x b }, numite i intervale mrginite. Prin definiie (a,a ) = [a,a) = (a,a] = ,[a,a] ={a}. Pe R se mai definesc i urmtoarele tipuri de intervale nemrginite: (-,a ) = { xR : x < a} , (-,a] = { xR : x a}; ( a, ) = { xR : x > a},[a, ) = { xR : x a}. OmulimeIRsenumeteintervaldacpentru()a,bIi a c b c I. Pentruoricenumrrealxdefinimmodululsauvaloareaabsolutaluix, notat IxI, prin '< 0 x daca , x0 x daca , xxDinaxiomaluiCantor-Dedekindidefiniiamarginiisuperioare(respectiv inferioare) obinem urmatoarele dou teoreme: Teorema1.1. Fie A R nevid i mrginit. Atunci() M = supA R i este caracterizat astfel : i)x M, () xA; ii)() > 0, () x A asfel nct x > M-. - 14 - Teorema1.2. Fie A R nevid i minorat.Atunci() m = infA R i este caracterizat astfel: i)m x, () xA; ii)() > 0, () x A astfel nct x < m + . Urmtoareateoremestecunoscutisubnumeledeproprietatealui Arhimede: Teorema1.3. Dac x > 0 i y > 0 atunci exist n N* asfel nctnx > y. Demonstraie. Presupunem prin reducere la absurd ca nx y, () nN*. FieA={nx:nN*}.AtunciAestenevidimajoratidinteorema1.1 exist M = supA R. Pentru = x > 0 exist xA astfel nct M-x < x M. CumxA,existn0N*astfelnctx=n0xiatuncivomavea M-x < n0x M, de unde M < ( n0+1)xA, care contrazice faptul c M = supA. Observaie.Mulimeanumerelorrealesemainumeteidreaptareal, deoarecese poate stabili o corespondenta bijectiv (bijecia lui Descartes) ntre elementele lui R i mulimea punctelor de pe o dreapt. Fie A R nevid. Dac A nu admite majorani, prin definiiesupA = +. Dac A nu admite minorani, prin definiieinfA = -. DefinimR=R{-,+}ivomnumiaceastamulimedreaptarealncheiat (sau mulimea extins a numerelor reale). Relaia de ordine uzual din R se extinde peR prin conveniile- < + ,- < x ,x < +, ()xR. Infelul acestaR devinetotalordonat iorice submulime nevidAR are att supremum ct si infimum. OperaiilealgebricealemulimiiRseextindlaRfrafinspestetot definite. Astfel se definesc: +x = x+ = , ()xR, x -; - 15 - - + x = x+ (-) = -, () xR, x +; '< > + 0 x daca ,0 x daca ,x xNu sunt definite operaiile: - , , 0. , 0 , etc Dac a,bR,a < b se definesc n R urmtoarele tipuri de intervale: (a,b) = { xR: a < x < b }; [a,b] = { xR: a x b }; [a,b) = { xR: a x 0 i fie > 0 astfel nct > 0 .Cum > + + k1 kn knn1 nn xxinf supxxinf lim ,existunrangn0astfelnct >+k1 kn k xxinf0, de unde rezult c( )0k1 kn k ,xx >+(2.3) Fie n n0; vom avea 000nn1 n2 n1 n1 nnnxxxxxxxx + i folosind (2.3) rezult ( ) ( )0 nn nnn n , x x00 >,sau echivalent( ) a xnn > , unde ( ) 0 x a00nn> . Obinematunci( ) ( )0nnnn n , a x > iprintrecerealalimit inferioar ( ) nnnnna inf lim x inf limCum > 0 este arbitrar rezult i demonstaia este ncheiat. - 30 - Observaie. Din teoremele 2.3.9. si 2.3.10. rezult c dac (xn) este un ir de numere reale strict pozitive astfel nct( ) Lxxlimn1 nn + ,unde 0 L + atunci ( ) L x limnnn . B.irurin spaiul metric Rk ,k 2 Fie spaiul metric Rk cu distana euclidian ( ) ( ) ( )kk1 i2i iR y , x , y x y x y , x d , x = (x1,x2,,xk), y =(y1,y2,,yk).Dac(xn)esteunirinRkatuncitermenulsugeneralxnestedeforma ( )k kn2n1n nR x ,..., x , x x ,deci unuiir (xn)dinRk i corespunde k iruri de numere reale( ) ( ) ( )kn2n1nx ,..., x , xnumite iruri componente. Conform propoziiei 2.2.1. un ir (xn)dinRkesteconvergentctrexRkdacinumaidac() >0,() nN astfel nct|| xn x|| < , () n n. Unir(xn)dinRkesteirCauchy(saufundamental)dacinumai dac () > 0, () nN astfel nct () m, n n avem < n mx x . Teorema2.3.11.Unir(xn)dinRk,( )kn2n1n nx ,..., x , x x esteconvergentnRkdacinumaidacirurilecomponente( ) ( ) ( )kn2n1nx ..., , x , x suntconvergente n R. Demonstraie.Presupunemc(xn)esteconvergentnRkifie ( )k 2 1knnx ,..., x , x x , R x x lim .Vom arta c( ) . k , 1 i , x xiin Fiek , 1 i si > 0; cum( ) n x, x n astfel nct( ) < n n , x xn. Cum( ) n , x x x xn iin rezultc( ) , x x x x , n nn iin < adic. x xiin Presupunemc( ) k 1, i R, x xiin ivomartac xnx, undex = (x1,x2,,xk)Rk. - 31 - Fie > 0; cum( ) n , x xi iin astfel nct( )kx x , n niini< . Lund{ }k 2 1n ,..., n , n max n rezult c () n n vom avea ( ) < kk x x x x2 k1 i2iin n,deci xnx. Observaie.Dinaceastteoremarezultcncazulconvergeneiavem ,_ knn2nn1nnnnx lim ,..., x lim , x lim x lim . Exemplu. Fie(xn) R2, 2 n ,1 nn, n xnnn,_,_+ . Avem( )2n1n nx , x x , unde n 1nn x , n2n1 nnx ,_+ .Cum1 n lim x limnn1nn rezult c( )1nxeste convergent. Cum e1n111lim x limnn2nn,_+ rezult c( )2nxeste convergent.n concluzie (xn) este convergent n R2 i ,_ e1, 1 x limnn. Observaie. Raionnd asemntor ca n demonstraia teoremei 2.3.11. se arat c un ir (xn) din Rk,( )kn2n1n nx ,..., x , x x este ir Cauchy n Rk dac i numai dac irurile( ) ( ) ( )kn2n1nx ..., , x , xsunt iruri Cauchy n R. 2.4. Spaii metrice complete Fie (X,d) un spaiu metric. Din teorema 2.2.1. rezult c, dac (xn) este un ir de puncte din X, convergent, atunci el este ir Cauchy. Reciproca nu este n general adevrat. Exemplu.FieX=(0,1],d(x,y)=|x-y|,xn = n1,()n1.Cum(xn)este convergent n R rezult c (xn) este ir Cauchy n R, deci n X. - 32 - CumX 0 x limnn rezult c (xn) nu este convergent n X. Definiia2.4.1.Unspaiumetric(X,d)ncareoriceirCauchyeste convergent se numete spaiu metric complet. Definiia2.4.2.Unspaiuvectorialnormaticompletsenumetespaiu Banach. Observaie.Folosind teorema lui Cauchy rezult c R, Rk, k 2 sunt spaii Banach relativ la distana euclidian. Definiia 2.4.3.Fie (X,d) un spaiu metric. O funcie f : X X se numete contracie dac exist [0,1) astfel nctd(f(x),f(y))d(x,y), () x,y X. Teorema2.4.1.(Principiulcontracieisauteoremadepunctfixalui Banach). Fie (X,d) un spaiu metric complet i f : X X o contracie. Atunci f are un unic punct fix, adic() X, unic, astfel nctf() = . Demonstraie. Unicitatea. Presupunem prin absurd c exist1,2 X, 1 2astfelnctf(1)=1if(2)=2.Atunci00,cum[0,1)rezultc0 limnn iatunci()>0,() nN astfel nct n 0 astfel nct B(x,r) D. Prin definiie este o mulime deschis. O mulime F X se numete nchis dac CF = X\F este deschis. Exemple.1.Dac(X,d)esteunspaiumetricatunciiXsuntideschisei nchise. 2.Dac(X,d)esteunspaiumetricatuncioricebiladeschisaesteo multime deschisa si orice bila inchisa este o multime inchisa. Intr-adevar, fie D = B(x,r), x X, r > 0 i yD. Fie 0 < r1 < r-d(y,x). Atunci B(y,r1) D, deoarece daca zB(y,r1) d(z,y) 0 este multime deschisa si orice interval de forma [x-,x+] este o mulime nchis. 3.DacX=Rcumetricaeuclidiana,intervaleledeforma[a,b],[a,),(-,b] sunt multimi inchise. 4. MulimeaA = {xR :1 < x 2} nu este nicinchis nici deschis. 5. MulimeaA = {(x,y)R2 : 1< x < 3,-1 < y < 1} este deschis iar B = {(x, y) R2: x2 - y2 1}este nchis. Teorema 2.5.1. Fie (X,d) spaiu metric. Atunci1. O reuniune oarecare de mulimi deschise este o mulime deschisa iar o intersecie finit de mulimi deschise este o mulime deschis. 2.Oreuniunefinitademultimiinchiseesteomultimeinchisaiaro intersectie oarecare de multimi inchise este o multime inchisa. Demonstraie. 1. Fie (Di)iI o familie oarecare de submulimi deschise ale lui X i D = I iiD.Dac D = atunci D este deschisa.DacD,fiexD;atunci()i0 IastfelincatxD0iiconform definitiei () r > 0 astfel incat B(x,r) D0i D, deci D este deschis. Fie D1, D2,, Dn, nN*, mulimi deschise ale lui X i D = n1 iiD. Dac D = atunci D este deschis.Dac D , fie xD; atunci xDi, () I =n , 1i conform definitiei ()ri > 0, i= n , 1astfel ncat B(x,ri) Di, () i =n , 1 . Fie r = n , 1 iminri. Atunci B(x,r) B(x,ri) Di, () i =n , 1 , de unde B(x,r) n1 iiD =D, deci D este deschisa. 2. Rezult imediat din 1) folosind formulele lui de Morgan. - 35 - Observaii. 1. Dac (X,d) este un spaiu metric, submulimile lui X formate dintr-unsingur element sunt mulimi nchise i folosind teorema 2.5.1 rezult c mulimile finite sunt nchise, fiind o reuniune finit de mulimi nchise. 2. O intersectie oarecare de multimi deschise nu este in general o multime deschisa.In acest sens fie X = R cu metrica euclidiana si Dn = (-n1,n1), nN*. Evident Dn este deschisa () n N* si 1 nnD = {0}, care nu este deschisa. 3. Fie (X,d) spatiu metric si d = {D X: D multime deschisa} P(X). Atunci d are urmatoarele proprietai (ce rezulta din teorema 2.5.1): (T1) X, d;(T2) Orice reuniune de multimi din d apartine lui d; (T3) Orice intersectie finita de multimi din d apartine lui d.Spuneminacestcaz cad esteotopologie pe X numita topologia indusa de metrica d iar perechea (X, d) se numeste spatiu topologic. In particular daca X=Rn,n1sidestedistantaeuclidianaatuncitopologiaindusadedovom nota cu 0 si o vom numi topologia uzuala sau naturala a lui Rn. Incontinuare,oridecateorivomvorbideRnfaraafacevreomentiune speciala il vom considera inzestrat cu topologia naturala. Fie (X,d) spatiu metric si A X, nevid. Definiia2.5.2.UnpunctxAsenumestepunctinteriormultimiiAdaca() V(x) astfel incat V A, sau echivalent () r > 0 astfel incat B(x,r) A. Notamcu 0A(sauIntA)={xA:xpunctinteriormultimiiA}sionumim interiorul lui A. Definiia2.5.3.UnpunctxXsenumetepunctdeaderenpentru mulimea A dac ()V(x), AV , sau echivalent()r > 0, AB(x,r) . Notmcu _A ={xX:xpunctdeaderenpentru A} i o numim aderen sau nchiderea lui A. - 36 - Definiia2.5.4.UnpunctxXsenumetepunctdeacumularepentruA daca () V(x), A (V\{x}) , sau echivalent () r > 0, A (B(x,r)\{x}) . Notm cu A = {xX :x punct de acumulare pentru A} si o numim multimea derivata a lui A.Un punct xA care nu este punct de acumulare pentru A se numeste izolat pentruA.NotamcuIzA={xA:xpunctizolatpentruA}sionumimmultimea punctelor izolate ale lui A. SeobservacaunpunctxAesteizolatdacasinumaidaca()V(x) astfelincat A V = {x}. Definim multimeaFrA = _ACA, numita si frontiera lui A. Exemple. 1. Fie X = R i A X, A = (-,1) U (2,3] U {5}. Atunci 0A =(-,1)U(2,3), _A =(-,1]U[2,3]U{5},A=(-,1]U[2,3], IzA = {5}, FrA = {1,2,3,5}. 2. X = R, A = (0,1) Q. Atunci 0A=, _A=[0,1], A=[0,1], IzA = , FrA =[0,1] 3. (X,d) spaiu metric i A X, finit. Atunci 0A=,_A=A,A = ,IzA = A,FrA = A.Observaie.Dindefiniiiledaterezultimediatc,dac(X,d)esteun spaiu metric i A, B X sunt nevide atunci: 1. A A A , A A ; 2. A B 0A0B,A B, A B; 3. AUB 8 7 6B A ,B A =A UB, (AUB) = A U B; 4. 8 7 6B A =A B,B A A B. Cum primele dou proprietisunt evidente, s artm de exemplu a doua egalitate de la proprietatea 3); celelalte se demonstreaz analog. - 37 - Fiex B A ;dacxA UBatuncixA ixB,deci()r1,r2 >0astfel nct A B(x,r1) = , B B(x,r2) = . Lund r = min(r1,r2) > 0 obinem(AUB) B(x,r) = (A B(x,r)) U (BB(x,r)) = , care contrazice faptul c x B A . Reciproc, dac xA UB, cum A AUB, B AUB, rezultA B A ,B B A , deci x B A . Teorema 2.5.2.Fie (X,d) spaiu metric i A X, nevid. Atunci 1. CA =CAi CA = }CA. 2. A este deschis iA este nchis.3. A este deschis A =A. 4. A este nchis A =A . Demonstraie.1. x CA x A () r > 0, B(x, r) A () r > 0, B(x, r) CA x CA .Analog se arat c CA = }CA.2. Fie xA; atunci () r > 0 astfel nct B(x, r) A. Vom arta c B(x,r) A;fieyB(x,r)i00astfelnctB(x,r)CA,deciB(x,r)A=,care contrazice faptul c xA. Teorema 2.5.3.(de caracterizare a punctelor aderente cu ajutorul irurilor). Fie(X,d)spaiumetriciAX,A.AtuncixAexistunir(xn)A astfel nctxn x.Demonstraie. Fie xA; atunci () nN*, A B(x,n1) , deci ()xnAB(x,n1),()nN*.Obinemastfelunir(xn)Acud(xn,x)< n1,() nN*,adic xn x. Reciproc, dac (xn) A, xn x, atunci () > 0, () nN astfel nct () n n, xnB(x,). Astfel () > 0, B(x, ) A , adic xA. innd cont de definiia punctului de acumulare, analog cu teorema 2.5.3. obinem: Teorema2.5.4.(decaracterizareapunctelordeacumularecuajutorul irurilor).Fie(X,d)spaiumetriciAX,A.AtuncixAexistunir(xn) A, xn x, () nN astfel nctx x limnn . Definiia 2.5.5.Fie (X, d) spaiu metric i A X, A . O familie (Di) iI de pri ale lui X se numete acoperire a mulimii A dacA I iUDi. Dac J I i A J iUDi spunem c (Di) iJ este o subacoperire a lui (Di) iI pentru A. DactoatemulimileDi,iI,suntdeschisespunemc(Di)iIesteo acoperire deschis. - 39 - Definiia2.5.6.OsubmulimeKaunuispaiumetric(X,d)senumete compactdacdinoriceacoperiredeschissepoateextrageosubacoperire finit. Exemple. 1. X = R, K = (0,1).Atunci K nu este compact. Este evident c familia (In)nN*, unde In = (n1,1) formeaz o acoperire deschis pentru K. DacaKarficompacta()JN*finitaastfelincatKJ nUIn.Luandm=maxJ rezulta( 0,1) J nUIn = ( m1,1) contradictie. 2. (X,d) spatiu metric, K = {x1, x2,, xn} X finita. Atunci K este compacta. Intr-adevar, fie (Di)I io acoperire deschis pentru K, deci K I iUDi. CumxiK,existki I,astfelnctxi Dik,i= n , 1 .Atunci(Dik)n , 1 iesteo subacoperirefinit pentru K. Teorema2.5.5.Oricesubmultimecompactaaunuispatiumetriceste inchisa si marginita. Demonstratie.Fie K X compact i xK. Evident avem K *N nUB(x,n), deci(B(x,n))n1 esteoacoperiredeschisapentruK.CumKestecompacta existaJN*,finitaastfelincatKJ nUB(x,n).Fien0 =maxJsi atuncivomaveaK B(x,n0), deci K este marginita. Vom arata in continuare ca multimea K este inchisa sau echivalent K = K . Cum K Keste suficient sa aratam ca K K. Presupunem prin absurd caK K, deci exista xKsi xK. Cum xK rezulta ca () yK avem y x i cum X este separat, pentru() yK, () ry > 0 astfel incat B(x, ry) B(y, ry) = . Familia(B(y,ry))ykformeazaoacoperiredeschisapentruK,deci()y1, y2,, ynK astfel inct K n1 iy i) r , y ( Bi. Dar B(x,riy) B(y,riy) = , () i = n , 1 . - 40 - Lund r = n , 1 imin riy obtinem B(x,r) B(yi,riy) = , () i =n , 1 , de undeB(x,r) K = , contradictie. Observaie.Reciprocaacesteiteoremenuesteingeneraladevarata. Se poate arata ca, daca X este finit dimensional atunci K X este compacta daca si numai daca K este inchisa si marginita. RezultacaomultimeKRnestecompactadacasinumaidacaeste inchisa si marginita. Teorema 2.5.6. Fie (X,d) spatiu metric. Atunci K X este compacta daca si numai daca orice sir de puncte (xn) din K are un subsir convergent la un punctdin K. Demonstraie. Presupunem mai intai ca K este compacta si fie (xn) un sir de puncte din K. Presupunem prin absurd ca (xn) nu contine nici un subsir convergent; deci multimea termenilor sai nu are nici un punct de acumulare. AtuncipentruoricexK,()rx >0astfelincatB(x,rx)continecelmultun numarfinitdetermeniaisirului (xn)(in cazcontrar ar exista un subsir al lui (xn) care sa convearga la x). Famlia(B(y,ry))ykconstituieoacoperiredeschisapentru Ksi cumKeste compacta se poate extrage o subacoperire finita, deci exista y1, y2,, ymK si r1,r2,,rm >0astfelincatK m1 ii) r , y ( Bi.Cum(xn)K m1 ii) r , y ( Biiarfiecare dintre bilele B(yi,ri) contine cel mult un numar finit de termeni ai sirului (xn) rezult ca sirul (xn) are un numar finit de termeni, contradictie. Pentru a demonstra reciproca acestei teoreme se poate consulta [11]. Teorema 2.5.7. Fie (X,d) spatiu metric, K X, compacta si A K, inchisa. Atunci A este compacta. Demonstratie.Fie(Di)iIoacoperiredeschisaaluiA.CumX\Aeste deschisa si K I iUDi (X\A) rezult c familia ((Di)iI, X\A) este o acoperire- 41 - deschisapentruK.CumKestecompacta()i1,i2,,inIastfelincat K n1 kkiD(X\A)iatunciAn1 kkiDdeci(kiD )n , 1 k esteosubacoperirefinita pentru A. Probleme propuse 1. Fie X = N* i d: X XR, d(x,y) = yxln . Sa se arate ca( X,d ) este un spaiu metric i s se determine B(3, 21), B[3, 21]. 2.Ssearatecdistanaeuclidianad:RnRnR,d(x,y)= ( )n1 i2i iy x , ()x,yRn, x = (x1, x2,, xn), y = (y1, y2,, yn) este o distanta pe Rn. Pentru n = 2 sa se determine imaginea geometrica a bileiB((2,-1),3) relativ la d si la distanta d1, unde d1(x,y) = x1-y1 + x2-y2, () x,yR2, x = (x1, x2), y = (y1,y2). 3.FieX=L ={(xn)R:(xn)marginit}id:XXR,d(x,y)= = n n1 ny x sup ,()x,yX,x=(xn),y=(yn).Sasearateca(X,d)esteunspatiu metric. 4.Fie (X1,d1),(X2,d2) spatii metrice, X = X1 X2, d: XXR,d(x,y) = ) y , x ( d ) y , x ( d2 222 1 121+ ,() x, y X, x = (x1,x2), y = (y1,y2). S se arate c (X,d) este un spatiu metric. 5. Fie d1, d2 metrici pe X. Spunem ca d1 si d2 sunt echivalente, d1 d2 daca 1d =2d. Sa se arate cad1 d2 () m, M > 0 astfel incat md1(x,y) d2(x,y) M d1(x,y), () x, yX. 6. Sa se arate ca pe Rn urmatoarele metrici sunt echivalente: d(x,y) =n1 i2i i) y x ( , d1(x,y) =n1 ii iy x , d2(x,y) = i in , 1 iy x max , () x, y Rn, x = (x1,x2,,xn), y = (y1,y2, , yn). Maimult,oricedoumetricipeRn,saumaigeneral,peunspatiufinit dimensional sunt echivalente. - 42 - 7.Fie(X,d)spatiumetric,(xn),(yn)XdouasiruriCauchy.Atuncisirul (d(xn,yn)) este un sir Cauchy in R+.8. Sa se arate ca L este un spatiu Banach relativ la norma x = n1 nx sup, () x = ( xn)n1. 9.Fie(X,d)spatiumetric,AX,compacta,aX\A.Atuncid(a, A) =) x , a ( d supA x > 0si exista x0Aasfel incat d(a, A) = d(a, x0). 10. Fie sirurile date prin termenul general xn = (1+n1)n, yn = (1+n1)n+1. Atunci a) irul (xn) este strict crescator iar sirul (yn) este strict descrescator.b)Sirurile(xn)si (yn) sunt convergente la o aceeasi limita. Limita comuna se noteaza cu e. Sa se arate ca 2 < e < 3. c)Folosindsirurile(xn),(yn)sasearatecasirulcutermenulgeneral zn = 1+ 21++n1 - ln n, este convergent. Limita sa se noteaz cu c. Sa se arate ca c (0,1). 11. Sa se studieze convergenta sirurilor date prin termenul general: a) xn = n1 k2k1;b) xn = n1 kk1; c) xn = n1 kkkq a , unde q < 1, ak 2, () k 1. 12. Fie x0 > 0 i xn =21(xn-1 + 1 nxa), () n 1, unde a > 0. Sa se arate ca (xn) este convergent si are limitaa .13.Fie(xn),(yn)Rastfelincat(yn)estestrict crescator si divergent .Sa se arate ca daca ()n 1 nn 1 nn y yx xlim++ = LR, atunci exista si nnn yxlim = L. (Lema lui Stolz-Cesaro) 14. Sa se arate, folosind exercitiul 13, ca daca (xn) este un sir de numere strict pozitive iar n1 nn xxlim+ = L R , atunci exista si nnnx lim = L. - 43 - 15. Fie (xn) un sir de numere reale. Sa se arate ca (xn) contine cel putin un subsir monoton. Sa se deduca de aici ca multimea punctelor limita a unui sir este nevida. 16. Sa se calculeze nnx inf lim , nnx sup lim , pentru a) xn = sin4n ; b) xn = (-1)n1 n 2n+. 17. Daca (xn), (yn) R sunt doua siruri marginite, atunci: a) ) y x sup( limn nn+ nnx sup lim +nny sup lim ; b)) y x inf( limn nn+ nnx inf lim +nny inf lim ; c)) y x sup( limn nn (nnx sup lim )(nny sup lim )(xn 0, yn 0); d)) y x inf( limn nn (nnx inf lim )(nny inf lim )(xn 0, yn 0). 18. Sa se arateca sirul cu termenul general xn = (2nn)n1(cos ,n! n,n nn ... 2 1 + + +),e convergent si sa se determine limita sa. 19.Sasedeterminea>0astfelincatf:RR,f(x)= a x12+safieo contractie. 20. Fie f :[a, b] [ a,b ] derivabila astfel incat ] b , a [ xsup |f(x)| = < 1. Atunci f este o contractie. 21. Sa se arate ca ecuatiax3 + 12x - 1= 0 are o singura radacina pe [0, 1].Sa se determine aceasta radacina cu aproximaie de patru zecimale. 22. Sa se studieze daca urmatoarele submultimi ale lui R2 sunt marginite, deschise, inchise. a) A = [0,1) x (1,2]; b) A = {(x,y)R2 : x = y, y[1,3] }; c) A = {( x,y)R2 : x2 - y2< 1}; d) A = [1,2) ({ n1: n 1} (2, 3] ) . Pentru fiecare sa se indice A, A ,A , IzA, FrA.. - 44 - CAPITOLUL 3 SERII DE NUMERE REALE 3.1. Serii convergente. Serii divergente Fie( )1 n nxunirdenumerereale.irului( )1 n nxiatamirul 1 n n) S (, undeS1 = x1,S2= x1 + x2, ..., Sn = x1 + x2 +...+ xn,... ncazulncareirul( )nS esteconvergenti arelimitaS sepoate scrie ( ) + + + + + + + 1 nn n 2 1 n 2 1nnnx ... x ... x x x ... x xlimSlimS ,decisedun sens sumei cu o infinitate de termeni. Definiia3.1.1.Senumesteseriedetermengeneral nx perecheade iruri( )1 n n 1 n) S ( , ) x ( , unde( )nSse numete irul sumelor pariale. O serie se noteazformalastfel 1 nN nn n*x , xsaux1+ x2+...+ xn+... Definiia 3.1.2. O serie 1 nnxse numeteconvergent, pe scurt (C), dac irul sumelor pariale (Sn)este convergent.n acest caznnS lim S se numete suma serieii scriem S x1 nn . ncazcontrarseriasenumetedivergent, pescurt(D).Prinnaturaunei seriinelegem proprietatea sa de a fi convergent sau divergent. - 45 - Exemple. 1.Fie seria1 nnR q , q , numit i seria geometric. n acest caz nnq x iq 1q qq ... q q x ... x x S1 nn 2n 2 1 n + + + + + + +, pentru q 1i Sn= npentru q =1. Rezult c (Sn)este convergent dac i numai dacq< 1in acest caz .q 1qS limnn Rezult,deci,cseriageometric 1 nnq esteconvergent 1 q < in acest caz q 1qq1 nn. 2. Fie seria1 nn1, numita i seriaarmonic. nacestcaz n1xn i n1...211 Sn+ + + .Vomartac(Sn)nueir Cauchy. Presupunemprin absurd c (Sn) este ir Cauchy, deciN n ) ( , 0 ) ( > astfelnct( n n , m ) ( avem. S Sn m < Lund,21 N n ) (0 astfelnct 0n n , m ) ( avem 21S Sn m< . Pentru m = 2n0 i n = n0obinem0 0 0n n 2n 21...2 n11 n1S S0 0+ ++++ < 21. Pe de alta parte, ,21n 21. nn 21...2 n11 n1000 0 0 > + ++++ contradicie. n concluzie (Sn) este divergent, deci seria armonic este divergent. - 46 - Proprietai generale ale seriilor Teorema3.1.1.Dacuneiserii 1 nnx iseeliminsauiseadaugun numr finit de termeni atunci natura seriei nu se schimb; n caz de convergen se modific doar suma. Demonstraie.Presupunemceliminmtermenii ki2i1ix ... , x , x ,unde i1< i2 ik unde k 2 1i i ix ... x x s + + , de unde rezult c(Tn)esteconvergentdacinumaidac(Sn)esteconvergentideciseria A \ N nn*x , unde A = {i1, i2,,i k} are aceeai natur cu seria iniial1 nnx . Cellalt caz se trateaz analog. Teorema 3.1.2. (Condiia necesar de convergen). Dac seria 1 nnxeste convergent, atunci. 0 x limnn Demonstraie.FieSn =x1+x2+...+xni. S lim Snn Atuncixn =Sn -Sn-1, ( ) 2 n , de unde. 0 S S x limnn Observaii. 1.Reciproca nu este n general adevrat. n acest sens considerm seria armonic1 nn1, care este divergent i 0n1lim x limnnn . - 47 -2.Dacpentruoserie 1 nnx avemc0 x limnn saunuexist,atunci seria este divergent. Exemplu. Fie seria .1 n 2n1 n+ n acest caz 0211 n 2nxn + , deci seria+1 n1 n 2neste divergenta. Teorema 3.1.3. (Criteriul lui Cauchy). Seria 1 nnx este convergent dac i numai dac pentru( ) ( ) N n , 0 > astfel nct( )n n i( ) 1 p avem . x ... x xp n 2 n 1 n < + + ++ + + Demonstraie.FieSn =x1 +x2 +...+xn.Vomavea( ) ( )n1 nnS C x este convergentiar(Sn)esteconvergentdacinumaidacesteirCauchy () > 0 () n Nastfel nct( ) n ni( ) 1 p avem ( ) , 0 S Sn p n> < +( ) N n astfelnct( ) n n i( ) 1 p avem . x ... x xp n 2 n 1 n < + + ++ + + Exemplu.Fieseria. R x ,) 1 n ( nnx cos1 n+Vomartacaceastserieeste convergent folosind criteriul lui Cauchy. Fie.*N p n, 0, >Vom avea + + ++ + + p n 2 n 1 nx ... x x( )( )( )( )( )( )+ + +++ ++ ++1 p n p nx p n cos...2 n 1 nx 1 n cos( )( ) ( )( ) ( )( ) + + ++ ++ +++ +1 p n p n1...3 n 2 n12 n 1 n1+ +++ ++++++1 p n1p n1...3 n12 n12 n11 n1=,1 n11 p n11 n1 Fie 1]11ni atunci( ) , n n ( ) 1 p vom avea, x ... x xp n 2 n 1 n < + + ++ + +deciseria( )+1 n1 n nnx cos este convergenta. Teorema3.1.4.Dacseriile 1 nnx i 1 nny suntconvergenteiR , , atunci seria ( ) + 1 nn ny xeste convergent i( ) + + 1 nn1 nn1 nn ny x y x . Demonstraie.Rezultimediatfolosindirurilesumelorparialeasociate seriilor date. 3.2. Serii cu termeni pozitivi Definiia 3.2.1. O serie 1 nnxse numete cu termenipozitivi dac exist *0 n astfelnct( )0 nn n , 0 x .Deobiceiconsiderm1 n0 ,deci ( ) 1 n , 0 xn . Observaie.Dacseria 1 nnx estecutermenipozitivi,atunciirul sumelor pariale (Sn) este monoton cresctor.ntr-adevr,Sn+1 - Sn = xn+1 0, ( ) n 1. Teorema3.2.1.(Criteriulmonotoniei).Oserie 1 nnx cutermenipozitivi esteconvergentdacinumaidacirulsumelorpariale( )nS estemrginit superior. - 49 - Demonstraie. evident. " " Presupunem c( )nSeste mrginit superior. Cum( )nSesteimonotoncresctor,dinteoremaluiWeierstrassrezultceste convergent deci seria 1 nnxeste convergent. Sremarcmfaptulc,dacseriacutermenipozitivi 1 nnx este divergent atunci+ nnS limi astfel vom scrie+ 1 nnx . Exemplu.Fieseria1 ,n11 n>,numitiseriaRiemann(sauseria armonic generalizat). Vomavea n1xni + + + n1...211 Sn.FienN*imNastfelnct 2m n < 2m+1. Vom avea : ( ) ( )( )1 222111211211212...414212 1n1...1 2121...151...91817161514131211 S1 1 1 1 1 m1 mm mm n > i ( ) . 1 n ,yyxxn1 nn1 n + +(3.2)Atuncia)Dac seria 1 nnyeste convergent, rezult c i seria 1 nnxeste convergent. b)Dac seria 1 nnxeste divergent, rezult c i seria 1 nnyeste divergent. - 51 -Demonstraie. Din (3.2) vom avea( ) 2 n ,yyxx..., ,yyxx,yyxx1 nn1 nn23231212 .nmulindmembrucumembruaceste inegalitiobinem 1n1nyyxx ,adic( ) 1 n , yyxxn11n .Demonstraiasencheie folosind teorema 3.2.2. Teorema 3.2.4. (Criteriul comparaiei la limit). Fieseriile( ) 1 n , 0 y , x cu , y , xn n1 nn1 nn > .Presupunemcexist Lyxlimnnn . Atunci a)Dac( ) , 0 Lrezult c cele dou serii au aceeai natura. b)DacL=0iseria 1 nny esteconvergent,rezultciseria1 nnxeste convergenta, iar dac seria 1 nnxeste divergent, rezult c i seria 1 nnyeste divergent. c) Dac+ Li seria 1 nnxeste convergent, rezult c i seria 1 nny esteconvergent,iardacseria 1 nny estedivergent,rezultciseria 1 nnx este divergent. Demonstraie. a)Dac( ) ( ) N n , , 0 L0 , astfel nct ( )0nnn n ,2L 3yx2L < < , sau echivalent( )0 n n nn n , y2L 3x y2L < < .Demonstraia se ncheie folosind teorema 3.2.2. - 52 -b)Cum L = 0,( ) N n0 , astfel nct( )0nnn n , 1yx sau echivalent( )0 n nn n , y x i demonstraia se ncheie folosind din nou teorema 3.2.2. c)Dac( ) N n , L0 + astfel nct( )0nnn n , 1yx sau echivalent( )0 n nn n , y x i demonstraia se ncheie folosind din nou teorema 3.2.2. Exemplu. Fie seria + 1 n 1 n 31. Cumseria1 n21n1 este divergenta i ( ) + , 031n1 n 31lim21n, rezult c + 1 n 1 n 31 este divergenta. Teorema. 3.2.5. (Criteriul condensrii). Fie) x (n un ir descresctor de numere pozitive. Atunci seriile 1 nnxi0 n2nnx 2 au aceeai natur. Demonstraie.Fie( Sn)irulsumelorparialeasociatseriei 1 nnx i(Tn) irulsumelorparialeasociatseriei 0 n2nnx 2 .Fie *N n iN m astfelnct 1 m m2 n 2+< .AtunciSn = x1+x2++xnx1+x2++x1 21 m+ = = x1 + (x2+x3)+(x4+x5+x6+x7)++(xm2++ x1 21 m+) m 22m222 1x 2 ... x 2 x 2 x + + + + mT ,adic. T Sm n (3.3) Cum n 2m avem + + + + + + m22 1 n 2 1 nx ... x x x ... x x S... ) x x x x ( ) x x ( x x8 7 6 5 4 3 2 1+ + + + + + + + + + ++) x ... x (m 1 m2 1 2 , T21x 2 ... x 2 x 2 x xm m21 m322222 1 + + + + + carempreuncu(3.3) conduce la, T S T21m n m de unde rezult imediat concluzia teoremei. - 53 -Exemplu. Fie seria 2 n.n ln n1 Avem n ln n1xn ,deci(xn)esteunirdenumerepozitivemonoton descresctor. Pedealtparte 1 n 1 n 1 nn nn2nln2 n12 ln 212 x 2n,careestedivergent, deci seria dat este divergent. Teorem 3.2.6. (Criteriul raportului sau al lui DAlambert). Fie seria >1 nn n1. )n ( , 0 x , xAtuncia)Dac()k[0,1) iN n0 astfelnct 0n1 nn )n ( , kxx +rezultcseria 1 nnxeste convergent. b)DacN n ) (0 astfel nct1xxn1 n+,() n n0, rezult c seria 1 nnxeste divergent. Demonstraie.a)Frarestrngegeneralitateaputempresupune n0 = 1 i atunci 1. )n ( , x k ... x k kx x11 n2 n21 n n Cum 1 n 1 n1 n1 11 nk x x k ,careesteconvergenta,dinteorema3.2.2. rezult ca i seria1 nnx este convergenta. b) Vom avea xn xn-1 xn-2 x0n> 0,() n n0, deci0 x limnn i din teorema 3.1.2 rezult c seria este divergent. - 54 -Consecin. (Criteriul raportului la limit). Fie seria 1 nnx , cu xn>0,. 1 n ) ( Presupunem c. Lxxlim ) (n1 nn + Atunci a)Dac L < 1 rezult c seria 1 nnxeste convergent. b)Dac L > 1 rezult c seria 1 nnxeste divergent. Demonstraie.a)FieL1 nn n1. )n ( , 0 x , xAtuncia)Dac) 1 , 0 [ )k ( iN n0 astfel nct ,n n ) k, ( x0nn rezult c seria 1 nn x este convergent. b)DacN n ) (0 astfel nct0nnn n ) , ( 1 x rezult c seria 1 nnxeste divergent. . - 55 -Demonstraie.a)Vomavea 0nnn n ) ( , k x icumseria 1 nnk este convergent,folosind teorema3.2.2rezultciseria on nnx este convergenta, deci seria1 nnxeste convergenta. b)Vomaveaxn 1, 0n n ) ( ,deci0 x limnn i din teorema 3.1.2 rezult c seria este divergent. Consecin. (Criteriul rdcinii la limit). Fie seria ( ) . 1 n , 0 x , xn1 nn > Presupunem c exist L x limnnn . Atuncia) Dac L1, rezult c seria1 nnxeste divergent. Demonstraie. a)Fie L Atuncia)Dac exist k>1 iN n0 astfel nct( )01 nnn n , k 1xxn ,_+, rezult cseria 1 nnxeste convergent. b)Dac existN n0 , astfel nct( )01 nnn n , 1 1xxn ,_+, rezult c seria 1 nnxestedivergent. Demonstraie. a)Frarestrngegeneralitatea,putempresupunen0 =1iatunci , 1 n ) ( , kx nx nx1 n 1 n n + + de unde 1 n 1 n n3 3 22 2 1kx nx nx..... .......... ..........kx x 2 x 2kx x x+ + Adunnd aceste inegaliti obinem ) x ... x x ( k nx x ... x x1 n 3 2 1 n n 2 1 + ++ + + + + + , adic, 1 n ) ( ), x x S ( k nx S1 1 n n 1 n n + + + de unde , 1 n ) ( , kx kx nx kx ) 1 k ( S1 1 n 1 n 1 n < + + i atunci , 1 n ) ( ,1 kkxS1n . Presupunem c existL 1xxn lim1 nnn,_+ .Atunci a) Dac L>1, rezult c seria 1 nnxeste convergent. b) Dac L k > 1. Din definiia limitei( ) N no astfel nct( )01 nnn n , k 1xxn ,_+ifolosindteorema3.2.8rezultcseria 1 nnx este convergenta. b)Dindefiniialimitei( ) N no ,astfelnct( )01 nnn n , 1 1xxn ,_+i folosind teorema 3.2.8rezult c seria 1 nnxeste divergent. Exemplu. Fie seria ( )( )1 nn 2 ... 6 . 4 . 21 n 2 ... 5 . 3 . 1. n acest caz ( )( )( ) 1 n , 0n 2 ... 6 4 21 n 2 ... 5 3 1xn > i 12111 n 22 n 2n lim 1xxn limn1 nnn< ,_++,_ + , deci seria 1 nnxeste divergent. Teorema 3.2.9. (Criteriul logaritmic). Fie seria ( ) 1 n , 0 x , xn1 nn >. Atunci a)Dac( ) 1 k > iN n0 astfel nct( )0nn n , kn lnx1ln rezult c seria 1 nnxeste convergent. - 58 - b)Dac( ) N n0 , astfel nct ( )0nn n , 1n lnx1ln , rezult c seria 1 nnxeste divergent. Demonstratie. a)Fr a restrnge generalitatea, putem presupune n0 = 1 si atunci( ) 1 n , n ln kx1lnn , de unde( ) , 1 n , nx1kn sau echivalent( ) . 1 n ,n1xk n Cumseria 1 nkn1esteconvergent(deoarecek>1),folosindteorema3.2.2 rezult c i seria 1 nnxeste convergent. b)Presupunem din nou n0 = 1 i atunci( ) 1 n , n lnx1lnn , de unde( ) 1 n ,n1xn , i cum seria 1 nn1 este divergenta, folosid din nou teorema 3.2.2 rezult c i seria 1 nnxeste divergenta. Folosindteorema3.2.9idefiniialimiteiseobineimediatcriteriul logaritmic la limit: Fie seria ( ) . 1 n , 0 x , xn1 nn > Presupunem c ( ) Ln lnx1lnlimnn . Atunci:a)Dac L > 1, rezult c seria 1 nnxeste convergent. b)Dac L < 1, rezult c seria 1 nnxeste divergent. Exemplu. Fie seria 1 n2nn ln. - 59 -nacestcaz,( ) 2 n , 0nn lnx2 n > i ( ), 1 2n lnn ln ln n ln 2limn lnx1lnlimnnn> de unde rezult c seria1 nnxeste convergenta. 3.3. Serii cu termeni oarecare Definiia3.3.1.OserieR x , xn1 nnsenumetecutermenioarecare dac are o infinitate de termeni pozitivi i o infinitate de termeni negativi. Definiia3.3.2.Oserie 1 nnx cutermenioarecaresenumeteabsolut convergent( pe scurt (AC)), dac seria modulelor1 nnxeste convergent. O serie 1 nnxcu termeni oarecare se numete semiconvergent dac este convergent, dar nu este absolut convergent. Teorema3.3.1. O serie absolut convergent este convergent. Demonstraie. Presupunem c seria 1 nnxeste absolut convergent. Din criteriul lui Cauchy, pentru( ) ( ) N n , 0 > astfel nct( ) n n i( ) 1 p avem < + + ++ + + p n 2 n 1 nx ... x xi atunci( ) ( ) N n , 0 > astfel nct( ) n ni( ) 1 p avem < + + + + ++ + + + + + p n 2 n 1 n p n 2 n 1 nx ... x x x ... x xi folosind din nou criteriul lui Cauchy rezult c seria1 nnxeste convergenta. - 60 -Exemplu.Fieseria. R x ,1 nnx sin1 n3+nacestcaz 1 nnx sinx3n+ i ( ) . 1 n ,n11 n11 nnx sinx233 3n ++ Cum) C (n11 n 23folosindteorema3.2.2, rezult c) C ( x1 nn ,deci ) C . A ( x1 nn i din teorema 3.3.1 rezult c ) C ( x1 nn . Teorema 3.3.2. (Criteriul lui Dirichlet). Fieseria 1 nnx cuirulsumelorparialemrginit.Dac(yn)esteunir monoton descresctor cu limita zero, atunci seria n1 nny x este convergent. Demonstraie. Fie kn1 kk nn1 kk ny x T , x S i M>0 astfel nct( ) . 1 n , M Sn Pentru *N p , n vom avea: + + + + + + + + + p n p n 2 n 2 n 1 n 1 n n p ny x ... y x y x T T( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + + 1 p n p n p n 1 n 2 n 2 n n 1 n 1 nS S y ... S S y S S y( ) ( ) + + + + + + + + + + + + + p n p n p n 1 p n 1 p n 2 n 1 n 1 n n 1 nS y y y S ... y y S S y( ) ( ) + + + + + + + + + + + + + p n p n p n 1 p n 1 p n 2 n 1 n 1 n n 1 nS y y y S ... y y S S y( ) ( ) + + + + + + + + + + p n p n 1 p n 2 n 1 n 1 nMy y y M ... y y M My( ) ( ) + + + + + + + + + + p n p n 1 p n 2 n 1 n 1 nMy y y M ... y y M My 21 nMy 2+ (am folosit faptul c yn>0 i (yn) monoton descresctor). Fie0 > ; cum( ) N n , 0 yn astfel nct( ) n n , avem M 2yn Cum(xn)estemonotondescresctori0 x limnn rezult, conform criteriului lui Leibniz, c seria ( )n111 n1 neste convergent.Observaie.Cumseriamodulelor( ) 1 n 1 n1 nn1n11 estedivergent rezult c seria este semiconvergent. Probleme propuse 1.Folosind definiia, s se studieze natura seriilor: a) ( )+1 n1 n n1 ; b) ( )( )+ +1 n2 n 1 n n1, c)1 q , nq1 nn + +; k) ( ) ( )( ) ( )0 x , b , a , x1 n b ... 1 b b1 n a ... 1 a an1 n> + + + +; l)0 a ,3 2a1 nn nn>+;m) n1 n2 n 31 n 2,_+; n) +2 nn n 21 312; o) 1 nn nn ln; p) R x ,x nnx cos1 n2 3+; q) 1 nnnx sin; r) ( )2 n 3111 n1 n+ ;s)( )n2 nnn11 . t)( )( )n1 n21 n n1 n 2n1 ,_ +; 3.S se determine valorile parametrului real x pentru care seriile urmtoare sunt convergente: a)x ln1 nn ; b) n0 nx 1x 1,_+. 4.S se arate c seria 3 a ,3a 5 21 nn1 n 1 n0, a>1; b)irul cu termenul general n1 kk n2k! cosxeste convergent. - 64 -6.S se arate c seria0 n! n1 esteconvergent i are suma e. 7.Ssearateca,dacseria 1 nnnx convergeatunciiseria 1 nnxconverge. 8.S se arate c, dac seria 1 n2nx este convergent, atunciseria 1 nnnx este absolut convergent. - 65 - CAPITOLUL4 FUNCII NTRE SPAII METRICE 4.1. Limita unei funcii ntr-un punct Fie( ) ( )2 1d , Y , d , Xdou spaii metrice. Dac0 r , Y b , X a > vomnotacu( ) r , a B i( ) r b, B bileledeschisenXi respectiv n Y. Problemalimiteintr-unpunctconstancercetareacomportriifunciein vecintateaunui punct fixat, mai precis ce se ntmpl cu valorilefunciei atunci cnd argumentul su se apropie "din ce n ce mai mult" de punctul fixat. Deoarece comportarea funciei n vecintatea unui punct fixat se poate pune chiar dac funcia nu este definit n acel punct, dar trebuie s existe puncte din vecintatealuincarefunciasfiedefinit,punctuldattrebuiesfiede acumulare. FieY X A : f iA a . Definiia 4.1.1. Un punctY L se numete limita funcieifn punctul a i se noteaz( ) x f lim La x dac( ) ( ) ( ) U , L V (a)astfelnct( ) a x , A U x rezult( ) V x f . Teorema 4.1.1. (de caracterizare a limitei ntr-un punct). FieY X A : f ,A a i Y L . Urmtoarele afirmaii sunt echivalente a)( ) x f lim La x ; b) ( ) ( ) 0 , 0 > > astfelnct( ) a x , A x cu( ) < a , x d1rezultd2(f(x), L) < ; c)( )( ) a x a, x A, xn n n rezult c( ) L x fn . - 66 -Demonstraie. a) b)Fie0 > i( ) ( ) L L, B V ;atunci( ) ( ) a U astfelnct ( ) a x , A U x rezult( )V x f .Cum( ) ( ) 0 , a U > astfelnct ( ) U , a B iatunci( ) a x , A x cu( ) < a , x d1rezultx ( ) U , a B ideci ( ) ) , L ( B V x f , adic( ) < L ), x f ( d2. b)c)Fie( ) a x , a x , A xn n n i; 0 > dinb)( ) 0 > astfelnct ( ) a x , A x cu( ) < a , x d1 avem( ) < L ), x f ( d2. Cum( ) N n , a xn astfel nct( ) n navem d1(xn, a) < ( ) ( ) n n , , a B xn i atunci( ) < L ), x f ( dn 2, ( ) n n ,adic( ) L x fn . c)a)Presupunemprinabsurdc )V ( (L)astfelnct( ) ( ) a U ( ) a x , A U xU U astfelnct( ) V x fU .Lund( ) an1a, B Un ,_ , ( ) 1 n rezultcexistunir( ) An1, a B xn ,_ , a xn ,decia xn astfelnct ( ) ( ) 1 n , V x fn , care contrazice faptul c( ) L x fn . Observaie.Dinaceastteoremrezultc,dacexistdouiruri ( ) ( ) { } a \ A x , xn n ,convergentectreaastfelnct( ) ( )nnnnx f lim x f lim saucel puin una nu exist atunci funcia f nu are limit n punctul a. Exemplu.Fiefuncia( ) { } R 0 , 0 \ R : f2 ,( )2 2y xxyy , x f+ .Fieirul (zn) ( ) { } 0 , 0 \ R2,( ) 0 , 0n,nzn ,_ , unde , R. Avem( )2222nn nn nz f+ 2 2 + , adic limita irului( ) ( )nz fdepinde de i . Astfel, spre exemplu fie ( ) 0 , 0n1,n1zn ,_i( )21z f limnn ; - 67 -( ) 0,0n1,n2z'n ,_i ( )52z' f limnn ,deci ( )( ) ( )( ) y x, f lim0,0 y x, . Observaie.Dindefiniiacuirurialimiteiuneifunciintr-unpuncti folosindfaptulclimitaunuiirdepunctedintr-unspaiumetricesteunic, rezultcdacY X A : f arelimitnA a atunciaceastlimiteste unic. DacR Y , R X iR R A : f ,( ) x f f , f se numete funcie real. DacR Y , 2 k , R Xk i, R R A : fk f=f(x1,x2,...,xk),fsenumete funcierealdevariabil vectorial( ), x ,..., x , x xk 2 1sau de k variabile reale x1, x2,...,xk . Dac mR Y , R X ,2 mi( ) x f f , R R A : fm , atunci( ) ( ) A x , R x fm , deci( ) x feste de forma( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f ,..., x f , x f x fm 2 1 ,( ) A x , unde R A : f ,..., f , fm 2 1 . nacestcaz,funciafestedeforma( )m 2 1f ,..., f , f f ionumimfuncie vectorial de variabil real. Dac2 m , R Y , 2 k , R Xm k i( ) x f f , R R : fm k atunci f este de forma ( )m 2 1f ,..., f , f f ionumimfuncievectorialdevariabilvectorial ( )k 2 1x ,..., x , x x sau de k variabile reale x1, x2,...,xk. Folosinddefiniia limitei cu iruri i teorema de caracterizare a convergenei unui ir n spaiul metric1 m , Rm , se obine imediat Teorema4.1.2.Ofuncie( )m 2 1m kf ,..., f , f f , R R A : f arelimitnA a egalcu( )mm 2 1R L ,..., L , L L dacinumaidacexistsimultan ( ) m , 1 i , L x f limi ia x . n acest caz( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x f lim ,..., x f lim , x f lim x f limma x2a x1a x a x . - 68 - n continuare vom considera funcii cu valori reale( ) R d , X A : f . Teorema4.1.3.FieR X A : g , f iA a .Dac( ) ( ) R L x f lim1a x , R L ) x ( g lim2a x atunci a)exist( )( )2 1a xL L x g f lim + +; b)exist ( )( )2 1a xL L x fg lim ; c)exist( )21a xLLxgflim ,_, dac0 L2 i( ) 0 x g ,( ) A x . Demonstraie. Rezult imediat folosind definiia cu iruri a limitei unei funcii ntr-un punct i proprietile cunoscute de la iruri. Teorema 4.1.4. (Criteriul majorrii). FieR X A : g , f ,A a i( ) a V astfel nct( ) ( ) ( ) a x , A V x , x g L x f , unde LR. Dac( ) ( ) 0 x g lima x atunci ( ) ( ) L x f lima x . Demonstraie.Fie( ) a x , a x , A xn n n . Cuma xn ,( ) N n0 ,astfel nct( )0 nn n , V x i atunci ( ) ( ) ( )0 n nn n , x g L x f . Cum( ) ( ) 0 x g lima x rezult( ) 0 x gni atunci( ) L x fn , deci( ) ( ) L x f lima x . Exemplu. Fie limita ( ) ( )( )2 22 20 , 0 y , xy x1sin y x lim++. Cum2 22 22 2y xy x1sin ) y x ( + ++ ,( )( ) ( ) 0 , 0 y , x i( ) ( )( )2 20 , 0 y , xy x lim + = 0 rezult c ( ) ( )( )2 22 20 , 0 y , xy x1sin y x lim++ = 0. n continuare vom considera funcii reale de variabile reale,R R A : f . Dac a este punct de acumulare pentru mulimea ( ) { } a x : A x a , A A1< - 69 -atunci vom spune c a este punct de acumulare din stnga pentru A, adic este satisfcut definiia punctului de acumulare, utilizndu-se doar puncteleA xcu a x < . Analog, dac a este punct de acumulare pentru mulimea( ) { } a x : A x , a A A2> , atunci vom spune c a este punct de acumulare din dreapta pentru A. Definiia 4.1.2. FieR R A : f ,A a , i( ) a , A A1 . Funcia f are limit la stnga n punctul a, egal cu Ls dac 1Afare limit n punctula,adic( ) ( )sL V ,( ) ( ) a U astfelnct( ) a x , A U x1 ,avem ( ) V x f . Vom nota aceasta prin( ) x f lim La xa xssauf(a + 0), ( ) x f lima x + . Limitele la stnga i la dreapta ntr-un punct se numesc limite laterale. Teorema 4.1.5. FieR R A : f i 1A a .Atunci( ) x f lim La xa xs< dacinumaidacpentruoriceirstrictcresctor ( )1 nA x cua xn avem( )s nL x f . Demonstraie. Presupunem c exist). x ( f lim La xa xs dacinumaidacpentruoriceirstrictdescresctor ( ) A xncua xn avem( )d nL x f . Legturadintrelimitauneifunciintr-unpunctilimitelelateralenacel punct este dat de: Teorema 4.1.7.FieR R A : f i 2 1A A a . Funcia f are limit n punctul a dac i numai dac exist limitele laterale i acestea sunt egale. n acest caz L = Ls = Ld. Demonstraie.Dac( ) ( ) x f lim La x atuncirezultimediatc( ) L Ls iLd = L. Reciproc,presupunemc( ) x f lim La xa xs< ( ) x f lim La xa xd> .Vomartac ( ) ( ) L x f lima xs dL L . Fie0 > ; atunci( ) 0 " , 0 ' > > astfel nct ( ) a x , A x < cu < ' a x ( ) < sL x fi ( ) a x A, x > cu " a x < ( ) L x fd< . Lund( ) ' ', ' min rezultcpentru( ) a x , A x cu < a x avem ( ) < sL x f , unde Ls = Ld, deci( ) ( )d sa xL L L x f lim . Observaie. Fie R R A : f iA a . Dac a t i Lt , pentru a defini( ) L x f lima xfolosimaceeaidefiniie4.1.1curemarcacnacestcaz considerm vecinti ale punctului t . Trecndla caracterizarea cu iruri va rezultac( ) L x f lima xdacinumaidac( )( ) a x , A xn n ,cua x limnn (nR ) rezult cL ) f(x limnn (n R). - 71 - 4.2. Funcii continue Fie( )1d , X , ( )2d , Yspaii metrice iY X A : f . Definiia4.2.1.FunciafestecontinunpunctulA a dac ( ) ( ) ( )( ) ( ) a U , a f V astfel nct( ) A U x rezult( ) V x f . n caz contrar, funcia f este discontinu nA a . Intuitiv, funcia f este continu nA adac f(x) este "orict de aproape" de ( ) a fde ndat ce x este suficient de aproape de a. Observaie.DacA aeste un punct izolat atunci orice funcieY A : f este continu n punctul a. Analog cu teorema 4.1.1 obinem Teorema 4.2.1. (de caracterizare a continuitii ntr-un punct). Fie Y X A : f iA a . Urmtoarele afirmaii sunt echivalente a)f este continu n a; b)( ) ( ) 0 , 0 > > astfel nct( ) A, x cu( ) < a , x d1 rezult ( ) < f(a) f(x), d2; c)( )( ) a x , A xn n rezult c( ) nx f f(a). Demonstraie. Analog cu demonstraia teoremei 4.1.1. Observaie.Din teoremele 4.1.1 i 4.2.1 rezult c dacA A a atunciY X A : f este continu n punctul a dac i numai dac () ( ) ( ) a f x f lima x. Definiia4.2.2.FunciaY X A : f estecontinupeAdaceste continu n toate punctele din A. Exemplu. FieR R : fk , liniar, adic ( ) ( ) ( ) y f x f y x f + + ,( ) R , , kR y , x . - 72 -Se arat c o aplicaie liniar f pe Rk este de forma ( ) , x c x fk1 ii i ( ) ( )kk 2 1R x ,..., x , x x , unde( )kk 2 1R c ,..., c , c c . Dac kR a ,( )k 2 1a ,.., a , a a este fixat i kR x ,( )kk 2 1R x ,..., x , x x este arbitrar, atunci: ( ) ( ) ( ) ( )2 1k1 i2i i2 1k1 i2ik1 ii i ia x c a x c a f x f,_,_ a x c .(am considerat pe Rk norma euclidian). Va rezulta c( ) ( ) a f x f lima x, deci f estecontinu n a i cum a este arbitrar rezult c f estecontinu pe Rk. n particular, funciile proiecieR R : prki ,( )i ix x pr ,() ( )kk 2 1R x ,..., x , x x ,k , 1 i , sunt continue pe Rk. Teorema4.2.2.Ofuncie m kR R A : f ,( )m 2 1f ,..., f , f f , 1 m , 1 k este continunpunctulA a dac inumaidacfunciilef1,f2,,fmsunt continuen a. Demonstraie.Rezultdindefiniiacontinuitiicuiruriiteoremade caracterizare a convergenei unui ir n spaiul metric Rm,1 m . Observaie. Din aceast teorem i exemplul anterior rezult c o aplicaie liniar m kR R : f este continu pe Rk. Teorema 4.2.3. (de caracterizare a continuitii pe un spaiu). Fie( )1d , X , ( )2d , Y spaiimetriceiY X : f .Atunciurmtoareleafirmaii sunt echivalente a)f este continu pe X; b)( ) Y D , deschis( ) D f1 este deschis n X; c)( ) Y F , nchis( ) F f1 este nchis n X; d)( ) ( ) ( ) A f A f X A . - 73 - Demonstraie.a) d)FieA X i( ) A f y ,( ) x f y , cuA x . CumA x ,( )( ) A xn astfel nctx xn . Cum f este continu n x, rezult( ) ( ) y x f x fn , deci( ) A f y i astfel am artat c( ) ( ) A f A f . d)c)FieF Y,nchis,adicF F nY,ifieA=f -1(F).Conform ipotezei: ( ) ( ) A f A f ( ) ( ) F F F f f1 , de unde( ) A ) F ( f ) A ( f f A1 1 , i cumA A , rezultA A , deci( ) F f A1 este nchis n X. c) b)FieY D , deschis; atunciF = Y \ D este nchis. Conform ipotezei,( ) ( ) D \ Y f F f1 1 este nchis n X, de unde ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) D f D f \ Y f \ X F f \ X1 1 1 1 ,icumf 1(F)estenchis,rezultcf 1(D) este deschis. b) a)Fie a X. Vom arta c feste continu n a. Fie( ) ( ) Y , a f B D ,deschis.Conformipotezei f-1(D) Xeste deschis i cumaf-1(D),( ) 0 > astfelnctB( ) , a f-1(D),deunderezultc ( ) ( ) ( ) ( ) , a f B , a B f , adic f este continu n a. Fie{ } Y X a \ A : f ,undeaA.Dacexist( ) Y L x f lima x ,atunci funcia Y A : f , ( )( ) { }'a x dacLa \ A x dacx fx f prelungete funciafi este continu n punctula. n acest caz, spunem c feste prelungirea prin continuitate a lui f. Exemplu. Fie{ } R 0 \ R : f ,( )xx sinx f . - 74 -Cum( ) 1 x f lim0 x,funciafpoate fiprelungitprincontinuitatenpunctul0. Prelungirea ei este funciaR R : f ,( )'0 x dac10x dac xx sinx f . Definiia4.2.3.Oaplicaie( ) ( )2 1d , Y d , X : f senumeteizomorfism topologic sau homeomorfism dac: a)f este bijectiv; b)funciilefi 1f sunt continue. nacestcaz,spunemcspaiileXiYsunthomeomorfe.Oaplicaiece satisface condiia b) se mai numete i bicontinu. Sobservmcdacf estehomeomorfismatuncii 1festeun homeomorfism. DacY X : f esteunhomeomorfismspunemcspaiilemetrice( )1d , X , ( )2d , Ysunt homeomorfe. Exemplu. FunciaR R : f ,( )5x x f este homeomorfism a lui R pe R. Definiia 4.2.4. O aplicaie( ) ( )2 1d , Y d , X : f se numete izometrie dac a)f este bijectiv; b)( ) ( ) ( ) ( ) y , x d y f , x f d1 2 ,( ) X y , x . n acest caz, spunem c spaiile metrice( )1d , X ,( )2d , Ysunt izometrice.Sobservmcdacf esteizometriedelaXlaYatuncii 1festeo izometrie de la Y la X. Exemplu. Fie nR a i n nR R : f ,( ) a x x f + . Este evident faptul cfeste o bijecie, iar ( ) ( ) ( ) ( ) y x a y a x y f x f + + ,( )nR y , x , deci f este o izometrie. Rezult c orice translaie este o izometrie. Sobservm,deasemenea,coriceizometrieesteunhomeomorfism.ntr-adevr, fie( ) ( )2 1d , Y d , X : f izometrie. - 75 - Vom arta c f este continu. FieX x0 i0 > , arbitrar. Vom avea: ( ) ( ) ( ) , x f B f01( ) ( ) ( ) { } , x f B x f : X x0 ( ) ( ) ( ) { } < 0 2x f , x f d : X x { } < ) x , x ( d : X x0 1B(x0, ), deci f este continu n x0 i atunci peX. Analog se arat c 1f este continu. 4.3. Proprieti ale funciilor continue Teorema 4.3.1. Fie( )1d , X , ( )2d , Yspaii metrice iY X : f , continu. Dac X A este compact, atunci( ) A feste compact n Y. Demonstraie.Fie( )I i iDoacoperiredeschisnYpentru( ) A f ,adic ( ) A fiI iD ,Y Di deschis( ) I i . Atunci A f 1(f(A)) f 1( ) ( )i1I iiI iD f D Cum f este continu, din teorema 4.2.3,( )i1D f este deschis n X,( ) I i i cum A este compact n X, existI J , finit astfel nct( )i1J iD f A , de undef(A) f J i(f 1(Di)) = J if(f 1(Di)) J iDi adic( )J i iD este o subacoperire finit pentru( ) A f . Prin urmare,( ) A feste compact n Y. Corolarul 4.3.1. Orice funcie continu pe un compact dintr-un spaiu metric este mrginit. Demonstraie.Dac( ) ( )2 1d , Y d , X : f estecontinuiAXeste compact, din teorema 4.3.1 rezult c f(A) este compact i atunci este nchis i mrginitn Y. - 76 - Definiia 4.3.1.Fie( ) R d , X : f ,X A i( ) x f sup MA x ,( ) x f inf mA x . Spunem c: i)FunciafiatingemargineainferioarpeAdac( ) A a astfelnct ( ) a f m . ii)Funcia fiatinge marginea superioar pe A dac( ) A b astfel nct ( ) b f M . iii)FunciaiatingemarginilepeAdaciatingemargineasuperioar ct i marginea inferioar. Teorema4.3.2.(Weierstrass).DacAesteosubmulimecompacta spaiului metric( ) d , XiR A : f este continu atunci f este mrginit pe A i i atinge marginile. Demonstraie.Din corolarul 4.3.1 avem c( ) A feste mrginit n R. Fie( ) x f sup MA xi( ) x f inf mA x . Din definiia marginii inferioare exist un ir( ) A xnastfel nct( ) m x fni cumAestecompact,existunsubir( )nkx allui( ) A xn ,convergentlaun punct din A, nkxa A. Cum f este continu, avem f ( )nkx ( ) a f i cum f ( )nkx m , folosind unicitatea limitei unui ir convergent ntr-un spaiu metric, rezult f(a) = m. Folosinddefiniiamarginiisuperioaresearatnmodasemntorc ( ) A b astfel nct f(b) = M. Observaie.nparticular,dacR X ,A=[a,b],R b , a ,b a < seobine teorema lui Weierstrass cunoscut din liceu: Teorema 4.3.3. Dac f: [a, b] R este continu atunci f este mrginit i i atinge marginile pe [a, b]. - 77 -Definiia4.3.2.Fie( ) d , X spaiumetric.OsubmulimeX A senumete conex dac nu exist dou mulimi deschiseX D , D2 1cu proprietile i) A D1 , A D1 ; ii) 2 1D D A ; iii) A D D2 1 . n caz contrar, spunem c Aesteneconex. Spunemcspaiulmetric( ) d , X esteconexdacnuexistdoumulimi deschiseX D , D2 1nevide i disjunte astfel nct 2 1D D X . Exemple. 1.R A ,A = (-2, 1] [5, 6) nu este conex. 2. 2R A ,( ) { } 3 y x 1 : R y , x A2 2 2< + < este o mulime conex. Teorema4.3.4.OsubmulimenevidR A esteconexdacinumai dac A este interval. Pentru demonstraiese poate consulta [11]. Teorema 4.3.5.Fie( ) ( )2 1d , Y , d , Xspaii metrice,X A , conex iY A : f , continu. Atuncif(A)este conex n Y. Demonstraie.Presupunemprinabsurdc( ) A f nuesteconex.Atunci exist dou mulimi nevideY D , D2 1deschise astfel nct ( ) A f D D2 1,( ) A f D1,( ) A f D1 i( )2 1D D A f . Cum f este continu, mulimile( ) ( )212 111D f D~, D f D~ sunt deschise nX. nplus, D~, D~2 1,( ) ( ) A D f D f A D~D~21112 1( ) A D D f2 11, A D~, A D~2 1,iar 2 1D~D~A ,ceeacearatcAesteneconex, absurd. Corolarul 4.3.2. (Teorema valorii intermediare). Fie( ) d , X unspaiumetric,X A ,conex,R A : f ,continuiA b , a astfel nct( ) ( ) b f a f < . Atunci( ) ( ) ( ) ( ) b f , a f ,( ) A c , astfel nct( ) c f . - 78 - Demonstraie.Dinteorema4.3.5rezultc( ) A f esteconexnRidin teorema 4.3.4( ) A feste un interval n R. Cum( ) ( ) ( ) A f b f , a f rezult( ) ( ) ( ) ( ) A f b f , a f i demonstraia este ncheiat. Teorema 4.3.6.Fie( ) R d , X : g , f , continue iR . Atunci a)g , f , fg , g f +sunt continue pe X; b) gf (unde( ) ( ) X x , 0 x g ) este continu pe X; c)feste continu peX. Demonstraie. Rezult imediat folosind caracterizarea cu iruri. Teorema4.3.7.Fie( ) R d , X A : f ,continunA a i( ) 0 a f .Atunciexist o vecintate V a lui a astfel nct f are semn constant peA V . Demonstraie.Frarestrnge generalitateaspresupunemc( ) 0 a f > . FieR astfelnct( ) 0 a f > > .Atunci( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a f a f , a f + ,nRicumf este continu n a,( ) V (a) astfel nct( ) A V x avem( ) ( ) ( ) ( ) + a f , a f x f , de unde( ) ( ) 0 a f x f > > ,( ) A V x . Continuitate lateral Definiia 4.3.3. FieR D : f ,R D iD Int a . i) Funcia f este continu la stnga n a dac ( ) ( ) ( ) a f 0 a f . ii)Funcia f este continu la dreapta n a dac ( ) ( ) ( ) a f 0 a f + . Folosindteoremadecaracterizarealimiteiuneifunciintr-unpunctcu ajutorul limitelor laterale (teorema 4.1.7) se obine: Teorema 4.3.8. FieR D : f ,R DiD Int a . Atunci f este continu n a dac i numai dac i numai dac este continu la stnga i la dreapta n a. - 79 - 4.4. Funcii uniform continue Definiia 4.4.1. O funcie f: ( ) ( )2 1d , Y d , X se numete uniform continu pe X dacpentru( ) ( ) 0 , 0 > > astfelnct( ) X y , x cu( ) < y , x d1 rezult ( ) ( ) ( ) < y f , x f d2. Observaii.1. n timp ce noiunea de continuitate are un caracter local, cea de uniform continuitate are un caracter global, ea definindu-se pe o mulime. 2.Dindefiniierezultc,dacexistdouiruri( ) ( ) X y , xn n astfelnct ( ) 0 y , x dn n 1i( ) ( ) ( )n n 2y f , x f d 0 atunci f nueste uniform continu 3.Dindefiniierezultc,dacfesteuniformcontinupeXatuncifeste continu pe X. Exemplu. Fie funcia f : (0,1]R,( )x1x f . Lund1 n ,n 21y ,n1xn n avem0 y xn n i( ) ( ) n y f x fn n,decif nu este uniform continu pe (0,1]. S observm totui c f este continu pe (0,1]. Dinacest exemplu rezult c o funcie continu nu este n general uniform continu. Teorema 4.4.1. (Cantor). Fie( ) ( )2 1d , Y , d , Xspaii metrice X A , compact i Y A : f continu. Atunci f este uniform continu pe A. Demonstraie. Presupunem prin absurd c f nu este uniform continu, deci 0 ) (0 > asfel nct( ) 0 > ,( ) A y , x cu( ) < y , x d1 i( )0 2) y ( f ), x ( f d . Lund n1 ,cu1 n ,rezultcexistdouiruri(xn),(yn)dinAcu d1(xn,yn)atunci1 b aa b> + . 4.FieR R : f ,( ) x cos e x fx .S secalculeze ( )( ) x fn,unde *N n is se aproximeze funcia f printr-un polinom de grad trei n vecintatea originii. 5.Ssearatecpolinomul( )! nx...! 1x1 x Pn+ + + nupoateaveardcini multiple. 6.Ssearatececuaia0 1 nx xn + ,3 n aredourdcinipozitive n n, cu proprietile0n , 1n . 7.SsescrieformulaMac-LaurincurestdeordinnsubformaLagrange pentru funciile: a)R R : f , ( ) sin x f x; b)( ) R , 1 : f , ( ) ( ) x 1 ln x f + ; c)( ) R , 1 : f , ( ) x 1 x f + . 8. S se studieze extremele locale ale funciilor: a)R R : f , ( ) arctg 2 x x f x; b)( ) R , 0 : f , ( ) x sin e x fx cos2 . - 96 - CAPITOLUL6 DERIVABILITATEA I DIFERENIABILITATEA FUNCIILOR DE MAI MULTE VARIABILE 6.1. Derivata dup o direcie. Derivate pariale de ordinul nti. Fie A Rn, n2, deschis, aA if : A R, f = f(x1, x2, , xn). Pornind de la definiia derivatei din cazul funciilor reale de variabil reala suntem tentai s definim derivata funciei f n punctul a pornind de la raportul a x) a ( f ) x ( f, pentru x a, ns acest raport nu are sens ntruct x-a este un vector i nu este definit mprirea unui scalar la un vector. Dacamdefiniderivatafunciei f n a prin a x) a ( f ) x ( flima x,raportuldatare sens ns nu vom obine o definiie satisfctoare deoarece considernd funcia cuvalorilef(x)=f(x1,x2,,xn)=x1,pentru x= (x1, x2,, xn)A,aceastanu ar avea derivat n origine n sensul menionat. Vom defini mai nti derivata dup o direcie. Fie r > 0 astfel nctB(a, r) A i s Rn un versor, deci s = (s1, s2,, sn), IIsII = 2n2221s ... s s + + = 1. Fiefunciag:(-r,r) R,g(t)=f(a+ts).Sobservmc, pentru t(-r, r) avem a + ts B (a, r) A, deoarece IIa + ts aII = IItsII = ItI IIsII = ItI < ri deci funcia g este bine definit. Definiia 6.1.1. Funcia f este derivabila n punctul a dup versorul s dac funcia g este derivabil n t = 0 iar g(0) se numete derivata lui f n punctul a i se noteaz prin) a (dsdf. - 97 - Observaie. Conform definiiei avem: ) a (dsdf= g(0) = t) a ( f ) ts a ( flimt) 0 ( g ) t ( glim0 t 0 t + . Fie B ={ }n , 2 1e ..., e , ebaza canonic din Rn, e1 = (1, 0, 0,, 0),e2 = (0, 1, 0,, 0), , en = (0, 0, 0,, 0,1). Definiia6.1.2.Funciafestederivabilparialnpunctulanraportcu variabila xi, in , 1 dac f este derivabil n punctul a dup versorul s = ei. Numrul) a (dedfisenumetederivataparialafuncieifnpunctulan raport cu variabila xi i se noteaz prin ) a (xfi sau ) a ( f'xi. Observm, deci,) a (xfi=) a (dedfi= + t) a ( f ) te a ( flimi0 t t) a ,..., a , a ( f ) a ,..., a , t a , a ,..., a , a ( flimn 2 1 n 1 i i 1 i 2 10 t ++ ,n i 1 . Notnd cu xi = ai + t, pentrun i 1 , obinem: ) a (xfi= i in 2 1 n 1 i i 1 i 2 1a x a x) a ,..., a , a ( f ) a ,..., a , x , a ,..., a , a ( flimi i+ . Caz particular. n = 2, f : A R2 R, f = f(x,y), a = (x0, y0) A. 00 0 0x x0 0x x) y , x ( f ) y , x ( flim ) y , x (xf0; 00 0 0y y0 0y y) y , x ( f ) y , x ( flim ) y , x (yf0. Definiia6.1.3.Funciafestederivabilparialnpunctuladaceste derivabil parial n a n raport cu toate variabilele x1, x2, x3,, xn. n acest caz se poate defini ,_ ) a (xf),..., a (xf), a (xf) a ( gradfn 2 1, numit i gradientul funciei f n punctul a. - 98 - Definiia6.1.4.FunciafestederivabilparialpeAdaceste derivabil parial n toate punctele dinA. n acest caz se pot defini funciile , A x ) ( ), x (xfx , n , 1 i , R A :xfi i numiteiderivateleparialedeordinul nti ale funciei f. Funciafestede clas C1 pe A i scriem fC1(A), dac f admite derivate pariale de ordinul nti pe A i acestea sunt continue pe A. n capitolul 5 am vzut c, dac f este derivabil ntr-un punct, atunci f este continu n acel punct. n cazul funciilor de mai multe variabile, rezultatul nu mai este adevrat. Dac o funcie este derivabil ntr-un punct dup un versor s, nu rezultneapratcfestecontinunacestpunct.nacestsensconsiderm funcia:'+ ) 0 , 0 ( ) y , x ( daca , 0) 0 , 0 ( ) y , x ( daca ,x ) x y (x) y , x ( f , R R : f8 2 252 Atunci funcia f este derivabil n origine dup orice versor 2R s , dar f nu este continu n origine. Observaie. Dac gi(xi) = f(a1, a2, , ai-1, xi, ai+1,, an), atunci n 1, i ), (a g'a x) (a g ) (x glim (a)xfi ii ii i i ia xii i . De aici rezult i metoda practic de calcul al derivatelor pariale i anume oderivatparialnraportcuunadinvariabileseobinederivndfunciafn raportcuaceeavariabilconformregulilordederivaredelafunciareal,de variabil real, celelalte variabile considerndu-se constante. Exemplu. Fie funciaR R D : f2 , f(x,y) = x3y+ln(x2+y2). Atunci . D ) y , x )( ( ,y xy 2x ) y , x (yf, D ) y , x )( ( ,y xx 2y x 3 ) y , x (xf2 232 22 ++ ++ - 99 - Fie, R R A : fm n ) f ,..., f , f ( fm 2 1 , unde n,m2 , A este deschis i a A . Definiia 6.1.5. Funcia f este derivabil parial n punctul a n raport cu variabila xi, i n , 1 dac toate funciile f1, f2, , fm, sunt derivabile parial n punctul a in raport cu variabila xi. In acest caz . n , 1 i , ) a (xf),..., a (xf), a (xf) a (xfimi2i1i,_ Definiia6.1.6.Funciafestederivabilparialnpunctuladaceste derivabil parial n punctul a n raport cu toate variabilele x1, x2,, xn. n acest caz se poate defini matricea notat (R) M(a)xf...(a)xf(a)xf...... .......... .......... ..........(a)xf... (a)xf(a)xf(a)xf...(a)xf(a)xf(a)) ' (a)(sauf Jmxnnm2m1mn22212n12111f,_ , numit matricea jacobian a lui f n punctul a. Dac m = n atunci ) R ( M ) a ( Jn f , iar d = detJf(a), se numete determinantul funcional al funciilor f1, f2, , fn, n raport cu variabilele x1, x2,, xn n punctul a i se noteaz: detJf(a) =)) a () x ( D) f ( Dsau )( a () x ,..., x , x ( D) f ,..., f . f ( Dn 2 1n 2 1. 6.2. Difereniabilitatea funciilor reale de mai multe variabile Fie nR A , deschis, a A iR A : f , f = f(x1, x2,, xn). Definiia6.2.1.Funciafestedifereniabilnpunctuladacexisto aplicaie liniar T:RnR astfel nct - 100 - 0a x) a x ( T ) a ( f ) x ( flima x (6.1) FunciafestedifereniabilpeAdacestedifereniabilnoricepunctdin A. Dacnotmcu ' a x daca, 0a x daca ,a x) a x ( T ) a ( f ) x ( f) x ( ,atunci(6.1)sescrie echivalent astfel: f(x) = f(a)+T(x-a)+ A x ) ( , a x ) x ( ,(6.2) undeR A : este continu n a i(a) = 0. Propoziia6.2.1.DacfestedifereniabilnaatunciaplicaialiniarT este unic. Demonstraie.PresupunemcexistT1,T2 :R Rn ,liniare, 2 1, continue n a,0 ) a ( ) a (2 1 , astfel nct f(x) = f(a)+T1(x-a)+ A x ) ( , a x ) x (1 ; f(x) = f(a)+T2(x-a)+ A x ) ( , a x ) x (2 . Notnd T =T1-T2, 1 2 i scznd cele dou relaii obinemT(x-a) = A x ) ( , a x ) x ( . Fie hnR , fixat i t > 0 suficient de mic astfel nct a+thA. Lundx = a+th obinem T(th) = , th ) th a ( + de unde tT(h) =t h ) th a ( + , adic T(h) =. h ) th a ( + Pentru t 0 obinem T(h) = 0 i cum hnR este arbitrar luat rezult T = 0, deci T1 = T2. Definiia6.2.2.AplicaialiniarTsenumetediferenialafuncieifn punctul a i noteaz T = df(a). - 101 - Observaie. Dac f R R :neste liniar atunci f este difereniabil n orice punct anR i df(a) = f. ntr-adevr,0a x) a ( f ) x ( f ) a ( f ) x ( flima x) a x ( f ) a ( f ) x ( flima x a x+ . n particular funciile proiecie pr R R :ni , pri(x1, x2,, xn) = xi,n i 1 sunt difereniabile n nR a ) ( i dpri(a) = pri,n , 1 i . Teorema 6.2.1. FieR R A : fn , difereniabil n punctul aA. Atunci: a) f este continu n a; b) f este derivabil n a dup orice versor nR si) s )( a ( df ) a (dsdf . n particular f este derivabil parial n a in , 1 i ) ( ), e )( a ( df ) a (xfii . Demonstraie. a) Cum f este difereniabil n punctul a, conform definiiei (vezi 6.2), existR R : Tn , liniar, T = df(a) iR A : , continu na, 0 ) a ( astfel nct f(x) = f(a)+T(x-a)+ ) x ( A x ) ( , a x (6.3) CumTesteliniar,estecontinuiatunci) a ( f ) x ( f lima x,adicfeste continu n a. b) Dac snR este un versor, din (6.3) avem ) s )( a ( df ) s ( T )) ts a (tt) s ( T ( limt) ts a ( t ) s ( tTlimtts ) ts a ( ) ts ( Tlimt) a ( f a ts a ) ts a ( ) a ts a ( T ) a ( flimt) a ( f ) ts a ( flim ) a (dsdf0 t 0 t 0 t0 t 0 t + + + ++ + + + + + + + Observaie. Cum a xlim0 ) x ( din (6.3) rezult c, pentru x ntr-o vecintate V a lui a avem aproximarea f(x)-f(a) T(x-a) = df(a)(x-a), deci creterea funciei f ntr-o vecintate a punctului a se poate aproxima printr-o cretere liniar. - 102 - Observaie.FieR R A : fn ,difereniabilna A .Funciileproiecie sunt difereniabile n a i dpri(a) = pri,n , 1 i ) ( . Notm cu dxi difereniala funciei pri n a, dxi = dpri(a), i= n , 1 . Pentru, R h ) (n h = (h1, h2,, hn) vom avea:, ) h ( dx ) a (xf) h )( a ( dpr ) a (xf) h ( pr ) a (xf) a (xfh ) e )( a ( df h e h ) a ( df ) h )( a ( dfn1 iiin1 in1 iiiiiin1 ii in1 iin1 ii i ,_ de unde n1 iiidx ) a (xf) a ( df , care reprezint expresia diferenialei de ordinul nti a lui f n a. Deci df(a): R Rneste o aplicaie liniar idf(a)(h) =nn 2 1n1 iiiR ) h ,..., h , h ( h ) ( , h ) a (xf . Din observaia anterioar rezult c pe o vecintate V a lui a avem aproximarea + n1 ii ii) a x )( a (xf) a ( f ) x ( f . Caz particular. n =2,, R R A : f2 f = f(x,y), a = (x0,y0) A ,df(x0, y0) =dy ) y , x (yfdx ) y , x (xf0 0 0 0+. Teorema 6.2.2. (Criteriu de difereniabilitate). Fie nR A , deschis,A aiR A : f . Dac f este derivabil parial ntr-o vecintateVa punctului a iar derivatele pariale sunt continue n a atunci f este difereniabil n a. Demonstraie.Fiea=(a1,a2,an) A ,r>0astfelnctB(a,r) A if este derivabil parial pe B(a,r). Pentru x B (a,r), vom avea : f(x) - f(a) = f(x1, x2,, xn) - f(a1, a2, an) = [f(x1, x2,, xn) - f(a1, x2,, xn)] + + [f(a1, x2,, xn) - f(a1, a2, xn)] ++ [f(a1, a2, an-1, xn) - f(a1, a2, an)]. - 103 - Cumfestederivabilparialnraportcux1peB(a,r),dinteoremalui Lagrangeaplicatfuncieig1(t)= f(t, x2, x3,, xn) pe intervalul nchis determinat de punctele x1 i a1 rezult c exist 1ntre x1 i a1 astfel nct f(x1, x2,, xn) - f(a1, x2,, xn) = (x1-a1) ) x ,..., x , (xfn 2 11. Procednd analog cu funcia g2(t) = f(a1, t, x2,, xn) pe intervalul nchis determinat de punctele x2 i a2 rezult c exist2 ntre a2 i x2 astfel nct: f(a1, x2,, xn) - f(a1, a2,, xn) = (x2-a2) ) x ,..., x , , a (xfn 3 2 12. Continundprocedeulipentrucelelalteparantezerezultcexist 1ntre x1 i a1, 2ntre a2 i x2, , nntre an i xn astfel nct f(x) - f(a) = (x1-a1) ) x ,..., x , (xfn 2 11+ ( x2-a2)) x ,..., x , , a (xfn 3 2 12++ (xn-an)) , a ,..., a , a (xfn 1 n 2 1n. Fie T: n1 iiin, x ) a (xf) x ( T , R R care evident este liniar i oricare x ) r , a ( B , x a , avem .a x)] a ,..., a , a (xf) ,..., a , a (xf)[ a x (......a x)] a ,..., a , a (xf) x ,..., x , , a (xf)[ a x (a x)] a ,..., a , a (xf) x ,..., x , (xf)[ a x (a x) a x ( T ) a ( f ) x ( fn 2 1nn 2 1nn nn 2 12n 3 2 122 2n 2 11n 2 111 1 ++ + Cum , 1a xa xi ipentrun , 1 i i derivatele pariale ale lui f sunt continue n a = (a1, a2,, an) rezult c exist limita membrului doi al egalitii pentru x a i esteegalcuzero.Prinurmare0a xa) T(x f(a) f(x)lima x ,decifeste difereniabil n punctul a. - 104 - Observaie.Dinaceastteoremrezultc,dac(A) C f1 ,atuncifeste difereniabil pe A. Exemplu. Fie funcia f:D R R2 , f(x,y) = arctgyx i (x0, y0) = (2, -1) D . Avem: D ) y , x )( ( ,y xyy1yx11) y , x (xf2 222 + +; D ) y , x )( ( ,y xx)yx(yx11) y , x (yf2 2 222 ++, deci) D ( C f1 i atunci f este difereniabil pe D, deci n (x0, y0) = (2, -1) idf(2, -1) = dy52dx51dy ) 1 , 2 (yfdx ) 1 , 2 (xf + . Dac h2R , h = (h1, h2), atunci df(2, -1)( h1, h2) = 2 1h52h51. Presupunemncontinuarecfestefuncievectorial,f:Am nR R , m 2 , f = (f1, f2, , fm), A deschis i a A . Definiia6.2.3.Funciafestedifereniabilnpunctuladacexisto aplicaie liniar T: m nR R , astfel nct 0a xa) T(x f(a) f(x)lima x , (6.4) sau echivalent (vezi cazul m = 1), dac exist T: m nR R , liniar iR A : m, continu n punctul a,0 ) a ( astfel nct f(x) = f(a)+T(x-a)+ A x ) ( , a x ) x ( . Caincazulm=1searatcaplicaialiniarTesteuniciprin definiie T se numete difereniala funciei f n punctul a i se noteaz T = df(a). Teorema6.2.3.FieA , Rn deschis,a ). f ,..., f , f ( f , R A : f , Am 2 1m Atunci funciafestedifereniabilnpunctuladacinumaidacfunciile m 2 1f ,..., f , fsunt difereniabile n a i n acest caz avem- 105 - df(a) = (df1(a),df2(a),, dfm(a)). Demonstraie. Fie T: m nR R liniar, T = (T1, T2,, Tm), unde Ti:R Rneste liniar,m , 1 i ) ( . Din proprietile normei euclidiene avem: , a x ) ( ,a x) a x ( T ) a ( f ) x ( fa x) a x ( T ) a ( f ) x ( fa x) a x ( T ) a ( f ) x ( fn1 ii i ii i i de unde rezult teorema. 6.3. Difereniabilitatea funciilor compuse Teorema6.3.1.Fieu:A B ,undeAm nR B , R suntdeschise,u = (u1, u2,, um), pR B : (m, n, p1 ),). ,..., , (p 2 1 Dacuestedifereniabilna A iestedifereniabilnB ) a ( u b , atunci f = pR A : u este difereniabil n a id f(a) = d) a ( du ) b ( . Demonstraie. Fie T = du(a) : m nR R , L = d . R R : ) b (p m Conformdefiniieidifereniabilitiiexistfunciile, R B : , R A :p m continuena, respectiv b, astfel nct0 ) b ( , 0 ) a ( iA x ) ( , a x ) x ( ) a x ( T ) a ( u ) x ( u + + ; B y ) ( , b y ) y ( ) b y ( L ) b ( ) y ( + + .(6.5) Lund n (6.5) y = u(x), cu x A obinem: A x ) ( , ) a ( u ) x ( u )) x ( u ( )) a ( u ) x ( u ( L )) a ( u ( )) x ( u ( + + , de unde rezult c . a x , A x ) ( ], ) x (a x) a x ( T)) x ( u ( )) x ( ( L [ a x ) a x )( T L ( ) a ( fa x ) x ( ) a x ( T )) x ( u ( ) a x ) x ( ) a x ( T ( L ) a ( f ) x ( f + + + + + + + + (6.6) Fie, R A : ' + + a x daca , oa x daca , ) x (a x) a x ( T)) x ( u ( )) x ( ( L) x (- 106 - Din (6.6) obinem:A x ) ( ), x ( a x ) a x )( T L ( ) a ( f ) x ( f + + .Vom arta c0 ) x ( lima x . Cum L este operator liniar, este continuu i atunci0 ) 0 ( L )) a ( ( L )) x ( ( L lima x . Cum u este continu n a i n b, rezult c0 ) b ( )) a ( u ( )) x ( u ( lima x . Cum TesteoperatorliniarexistM > 0, astfel nct nR x ) ( , x M ) x ( T , iatuncia x , A x ) ( , ) x ( M ) x (a x) a x ( T) x (a x) a x ( T + + +,deundeva rezulta c0 ) x (a x) a x ( T)) x ( u ( lima x +. n concluzie), a ( 0 ) x ( lima x deci f este difereniabil n a idf(a) = L T = d ) a ( du ) b ( . Observaie. Dac Ju(a), J (b), Jf(a) sunt matricile jacobiene ale funciilor u, , f, n a, b i respectiv a, din relaia df(a) = d ) a ( du ) b ( obinem) a ( J ) b ( J ) a ( Ju f , de unde rezult i formulele pentru calculul derivatelor pariale ale funciei f:n , 1 j , p , 1 i ) ( ), a (xu) b (u) a (xfjkm1 k kiji . nparticular,dacueste difereniabilpeAi estedifereniabilpe B, atunci f =u este difereniabil pe A in , 1 j , p , 1 i ) ( ,xuu xfjkm1 k kiji . Cazuri particulare. .yvv yuu yf ;xvv xuu xf ; 1 p , 2 m , 2 n )), y , x ( v ), y , x ( u ( ) y , x ( f . 1 + + - 107 - .yu)) y , x ( u ( 'yf ;xu)) y , x ( u ( 'xf ; 1 p , 1 m , 2 n )), y , x ( u ( ) y , x ( f . 2 . ) x ( ' vv) x ( ' uu) x ( ' f ; 1 p , 2 m , 1 n )), x ( v ), x ( u ( ) x ( f . 3 + Teorema 6.3.2. (Teorema de medie). FieAnR , deschis, f : AR difereniabil pe A i [a,b] un segment din A ([a,b]={(1- )a+b: ] 1 , 0 [ }).Atunciexist{ } ) 1 , 0 ( : b a ) 1 ( ) b , a ( + , astfel nctf(b)-f(a) = df( )(b-a). Demonstraie. Fie funciaR ] 1 , 0 [ : ,)) a b ( t a ( f ) t ( + . Cum funcia) a b ( t a ) t ( u , A ] 1 , 0 [ : u + este difereniabil pe [0,1] i f este difereniabil pe [a,b], rezult ceste difereniabil pe [0,1] i) a b ))( a b ( t a ( df ) a b ))( a b ( t a (xf) t ( 'n1 ii ii + + . Din teorema lui Lagrange exist) 1 , 0 ( astfel nct) ( ' ) 0 ( ) 1 ( , sau echivalent f(b) - f(a) = df(a+ ) a b ( )(b-a) i demonstraia este ncheiat lund= a+ ) b , a ( ) a b ( . Definiia6.3.1.Ofuncief:A R Rn senumeteomogendacexist p R astfel nct ( A x ) i t > 0 cu tx A avem f(tx) = tpf(x). Numrul real p se numete grad de omogenitate. Teorema 6.3.3. (Relaia lui Euler). Fie A nR deschis, f:AR , difereniabil i omogen cu grad de omogenitate p. Atunci pfxfxn1 i ii. Demonstraie.Fiefunciacuvalorileg(t)=f(tx)=f(tx1,tx2,,txn),unde x = (x1, x2,, xn) A , este fixat iar t V , unde V(1), astfel nct txA, ( V t ) .Evident avem g(t) = f(u(t)), unde u: V A , u =(u1, u2,, un), ui(t) = txi, i n , 1 . - 108 - CumfestedifereniabilpeAiaruestedifereniabilpeVrezultcg =u f este difereniabil pe V, deci derivabil pe V i n1 in1 i iiii)). t ( u (ufx ) t (tu)) t ( u (uf) t ( ' gPentru t = 1avem ui = xi, i =n , 1 , i atunci g(1) =n1 i ii) x (xfx. (6.7) Pe de alt parte cum f este omogen, avem: ) x ( f t ) tx ( fp , adic g(t) = tpg(1) i deci g(t) = ptp-1g(1), () tV. Pentrut=1obinemg(1)=pf(x),carecombinatcurelaia(6.7)ncheie demonstraia. 6.4. Derivate pariale i difereniale de ordin superior Definiia 6.4.1.Fie nR A , deschis, f:AR , derivabil parial pe A in 2 1xf,...,xf,xf, derivatele sale pariale de ordinul nti.Funciafestededouoriderivabilparialnpunctula A ,nraportcu variabilele xi i xj, unde i,jn , 1 dac funcia ixf este derivabil parial n punctul a n raport cu variabila xj. Derivataparialdeordinulntiafunciei ixfnpunctulanraportcu variabila xj se numete derivata parial de ordinul doi a funciei f n punctul a i se noteaz prin:( ) ) a (x xfaxfxj i2i j ,_ sau) a ( f"x xj i dac j i i ( ) ) a (xfaxfx2i2i i,_sau) a ( f"x2i dac j i. - 109 - Derivata) a (x xfj i2 cuj isenumeteiderivatmixtdeordinuldoinpunctul a. Funcia f este de dou ori derivabil parial n punctul a dac toate funciile n 2 1xf,...,xf,xf sunt derivabile parial n punctul a. FunciafestededouoriderivabilparialpeAdacestededouori derivabil parial n toate punctele din A. n acest caz se pot defini funciile( ) n , 1 j , i , xxfxx , R A :xfxi j i j,_ ,_numiteiderivatelepariale de ordinul doi ale lui f. Derivatele,_i jxfxcui j se numesc derivate pariale mixte de ordinul doi i se noteaz prin j i2i jx xfxfx ,_sau "x xj if . Pentru j = i acestea se noteaz prin 2i2i ixfxfx,_sau "x2if . Dac f:A R Rn este de dou ori variabil parial n punctul a vom nota cu(R) (a)x xfH(a)nj i2,_ i o vom numi matricea hessian a funciei f n a. Exemplu. Fie funcia f:D R R2 , f(x,y) = arctgxy. Ne propunem s determinm H(1,-2). Funcia f este derivabil parial pe D i .y xxx1xy11yfy xyxyxy11xf2 2222 2 222+++ ,_+ (derivatele pariale sunt calculate n punctul curent (x,y)). - 110 - Funciile yf,xf sunt derivabile parial pe D i2 2 2 222 2 22 22 2 22 2 22 2 22 22 2 22 2 22 2 2 22) (2) ( ) (2) ( ) (2 ) () (2y xxyyfy yfy xx yy xx x y xyfx x yfy xx yy xy y y xxfy x yfy xxyxfx xf+,_++ +,_ ++ + + ,_ +,_ (derivatele pariale sunt calculate n punctul curent) Vom avea ,_ ,_ 254253253254) 2 , 1 (yf) 2 , 1 (x yf) 2 , 1 (y xf) 2 , 1 (xf) 2 , 1 ( H22 2222. Derivateleparialedeordinsuperiorsevordefininmodasemntorcu derivatele pariale de ordinul doi. Astfel, derivatele pariale de ordinul trei se vor defini ca derivatele pariale de ordinul nti ale derivatelor pariale de ordinul doi. Continund recurent, vom putea defini derivatele pariale de ordin k2 ale funcieifcaderivateleparialedeordinulntialederivatelorparialede ordin k-1. De exemplu, dac f:D ), z , y , x ( f f , R R3 ,_,_ xfy z z y xf33222 36. Deasemenea,spunemcfestederivabil parial deordink nraportcu variabilaxi,i n , 1 dactoatederivateleparialedeordink-1suntderivabilen raport cu variabila xi. Derivateleparialedeordinsuperiorcalculatenraportcucelpuindou variabile diferite se numesc derivate pariale mixte. - 111 - Definiia 6.4.2. Fie AnR , deschis i f : AR . Funcia f este clas Ck pe A(k 2 )iscriem) A ( C fk dacfestedekoriderivabilparialpeAi derivatele pariale de ordinul k sunt continue pe A. Funcia f este de clas C pe A, f) A ( C dac f0 k ) ( ), A ( Ck . nexempluldatnacestsubcapitol(f(x,y)=arctgxy)amvzutc derivatele parialemixtede ordinul doi sunt egale. Acest lucru nu este adevrat ntotdeauna. n acest sens considerm funcia f : R R2 , ( ) ( )( ) ( )'+. 0 , 0 y , x daca , 00 , 0 y , x daca ,y xxy y x) y , x ( f2 23 3 Printr-un calcul simplu obinem ( )( ) . ) 0 , 0 ( ) y , x )( ( ,) y x (y x 4 y xx y , xyf; ) 0 , 0 ( ) y , x )( ( ,) y x (y x 4 y xy y , xxf2 2 22 2 4 42 2 22 2 4 4 + ++ de undey ) y , 0 (xf i0 y , 0 x ) ( , x ) 0 , x (yf . , 0y0limy) 0 , 0 ( f ) y , 0 ( flim, 0x0limx) 0 , 0 ( f ) 0 , x ( flim Cum0 y 0 y0 x 0 x rezult c f este derivabil parial n (0,0) i0 ) 0 , 0 (yf, 0 ) 0 , 0 (xf. Vom calcula acum derivatele mixte de ordinul doi n(0,0): , 1xxlimx) 0 , 0 (yf) 0 , x (yflim ) 0 , 0 (x yf, 1y0 ylimy) 0 , 0 (xf) y , 0 (xflim ) 0 , 0 (y xf0 x 0 x20 y 0 y2 deci ) 0 , 0 (y xf2 ) 0 , 0 (x yf2 . - 112 - Urmtorulrezultatfurnizeazocondiiesuficientcaresasigure egalitatea derivatelor pariale mixte de ordinul doi ntr-un punct. Teorema 6.4.1. (teorema lui Schwarz). Fie AnR , deschis i f:A R . Dac f are derivate pariale mixte j i2x xf i i j2x xf (i j) ntr-o vecintate V a lui a A, i funciile j i2x xf , i j2x xf sunt continue n a, atunci) a (x xfj i2 = ) a (x xfi j2 . (6.8) Demonstraie. Vom demonstra mai nti teorema pentru n = 2. Fie f : A ) y , x ( a , A a ), y , x ( f f , R A , R0 02 .Fie V = B(a,r) (a), pe care exist funciile,y xf2 x yf2 . Pentru (x,y)V, x x0 i y y0 considerm expresia E(x,y) = f(x,y)-f(x0,y)-f(x,y0)+f(x0,yo).(6.9) Fie I,J R dou intervale deschise astfel nct x0I, y0J i(x,y) J x IB(a,r). Fie funcia g : I ) y , t ( f ) y , t ( f ) t ( g , R0 ,(6.10) si atunci E (x,y) = g(x) - g(x0). CumfestederivabilparialnraportcuxpeV,rezultcgeste derivabila pe I i din teorema lui Lagrange exist ntre x0 i x, astfel nctE (x,y) = g(x) - g(x0) = (x-x0)g( ).(6.11) Dar, din (6.10),) y , (xf) y , (xf) ( g0' , i atunci folosind (6.11) obinem:E(x,y) = (x-x0)[) y , (xf) y , (xf0 ].(6.12) Fie funcia h : J R ,) , (xf) ( h . Din ipotez h este derivabil pe J i din teorema lui Lagrange exist ntre y0 i y astfel ncth(y) - h(y0) = (y-y0)h( ) = (y-y0) ) , (y xf2 , i atunci din (6.12) obinem: - 113 - E(x,y) = (x-x0)(h(y)-h(y0)) = (x-x0)(y-y0) ) , (y xf2 .(6.13) Schimbnd pe x cu y iraionnd analog gsim c exist un punct~ ntre x0 i x i un punct~ ntre y0 i y astfel nct E(x,y) = (x-x0)(y-y0) ) , (x yf2~~ . (6.14) Din (6.13) i (6.14) obinem ) , (y xf2 =)~,~(x yf2 . Fieunirdepuncte(xn,yn)Vastfelnct(xn,yn) (x0,y0),cuxn x0, yn y0.Atunciexistpunctele n n~, ntrex0ixnipunctele n n~, ntrey0iyn astfel nct) , (y xfn n2 = )~,~(x yfn n2 ,N n ) ( . Cum (xn,yn)(x0,y0) rezult c 0 n 0 n 0 n 0 ny~, y , x~, x , deci( ) ( ) ( ) ( )0 0 n n 0 0 n ny , x~,~, y , x , i folosind continuitatea funciilorx yf,y xf2 2 obinem( ) ( )0 020 02y , xx yfy , xy xf . Dacn>2,frarestrngegeneralitateaputempresupunei 0, astfel nct B(a,r) . A Atunci, pentruoricepunctx a x ), r , a ( B existunpunct pesegmentuldeschisde extremiti a i x astfel nct). a x )( ( f d)! 1 k (1) a x )( a ( f d! k1...... ) a x )( a ( f d! 21) a x )( a ( df! 11) a ( f ) x ( f1 k k2 ++ ++ + + +(6.16) Demonstraie.Fies= (s1, s2,, sn)nR , un versor. Dac t ) r , r ( , atunci x=a+tsA ) r , r ( B ix a ,dact 0 .Sconsidermfunciag:(-r,r) R , g(t) = f(a+ts) = f(a1+ ts1, a2+ ts2,, an+ tsn).Cumfestedek+1oridifereniabilpeArezultcgestedek+1ori difereniabilpe(-r, r). Vom calcula derivatele lui g pn la ordinul k+1. - 117 - Vom avea. )] t ( g [ )] ts a (xfs ... ) ts a (xfs [ ) ts a (xfs ...) ts a (x xfs s ... ) ts a (x xfs s ) ts a (xfs ) t ( g); r , r ( t ) ( ), ts a (xfs ... ) ts a (xfs ) ts a (xfs ) t ( g) 2 ( ' ) 2 (nn112n22nn 12n 12 122 1 21221"nn2211' ++ + + +++ + + + + + + ++ + ++ + Procednd inductiv obinem ) m ( ' ) m ()] t ( g [ ) t ( g , pentru m = 1, 2,, k+1.(6.17) Din formula lui Mac-Laurin cu rest de ordin k sub forma Lagrange aplicat funciei g gsim c pentru, 0 t ), r , r ( t ) ( existntre 0 i t astfel nct ) ( g)! 1 k (t) 0 ( g! kt... ) 0 ( g! 2t) 0 ( g! 1t) 0 ( g ) t ( g) 1 k (1 k) k (k"2'++ + + + + ++.(6.18) Cumx = a+ tsx-a = ts, din 6.17 obinem); a x )( a ( f d ) 0 ( g t... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........); a x )( a ( f d )] a (xf) a x ( ...) a (xf) a x [( ) a (xfs t ... ) a (xfs t ) 0 ( g t); a x )( a ( df ) a (xf) a x ( ...) a (xf) a x ( ) a (xfts ... ) a (xfts ) 0 ( tgk k k2 ) 2 (nn n11 12n22n2212212 " 2nn n11 1nn11' ++ + + ++ + + i) 1 k (nn111 k ) 1 k ( 1 k)] s a (xfs ... ) s a (xfs [ t ) ( g t+ + + + ++ + + = ), a x )( ( f d )] (xf) a x ( ... ) (xf) a x [()] s a (xfts ... ) s a (xfts [1 k ) 1 k (nn n11 1) 1 k (nn11 + + ++ + ++ ++ unde) x , a ( s a + . nlocuind derivatele gsite n 6.18 i innd cont c g(t) = f(x) iar g(0) =f(a), obinem formula (6.16). - 118 - Observaie.Dac) ( g)! 1 k (t) t ( R) 1 k (1 kk+++i) a x )( ( f d)! 1 k (1) x ( R~1 kk ++sunt resturiledeordinksubformaLagrangealeluigirespectivf,atunci,din 0t) t ( Rlimkk0 t,rezultcexist0a x) x ( R~limkka xinparticular0 ) x ( R~limka x,deci pentru x ntr-o vecintate V a lui a avem aproximarea ) a x )( a ( f d! k1... ) a x )( a ( df! 11) a ( f ) x ( fk + + + ,deci funcia se aproximeaz printr-un polinom de gradul k.n particular, pentru n = 2, f = f(x,y), a = (x0, y0) rezult c pentru (x,y) ntr-o vecintate V a lui (x0, y0) avem ), y y )( y , x (yf) x x )( y , x (xf) y , x ( f) y y , x x )( y , x ( df! 11) y , x ( f ) y , x ( f0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0+ + + aproximarea de ordinul nti, + + ) y y , x x )( y , x ( df! 11) y , x ( f ) y , x ( f0 0 0 0 0 0 + ) y y , x x )( y , x ( f d! 210 0 0 02+ + + ) y y )( y , x (yf) x x )( y , x (xf) y , x ( f0 0 0 0 0 0 0 0 , ) y y )( x x )( y , x (y xf2 ) y y )( y , x (yf) x x )( y , x (xf210 0 0 0220 0 02220 0 02211]1 + + +aproximarea de ordinul doi. 6.5. Funcii i sisteme de funcii implicite ConsidermecuaiaF(x,y)=0,undeF:D R R2 .Nepropunems rezolvm aceast ecuaie n raport cu x sau y. Exemple. 1.Fieecuaia4x-3y=5,(x,y)2R ,careestedeformaF(x,y)=0,unde F(x,y) = 4x-3y-5. Aceast ecuaie poate fi rezolvat n raport cu y i are o unic soluie y =35 4 x, deci exist o unic funcie f : R R , astfel nct y = f(x), unde - 119 - f(x)= 35 4 x, este soluie a ecuaiei. Analog ecuaia poate fi rezolvat n raportcu x. 2.Fieecuaiax-y2 =0,(x,y) 2R .Ecuaiaadmiteosingursoluien raportcuxianume x= y2,deci existounicfuncieg: R R , astfel nctx=g(y),undeg(y)=y2,este soluieaecuaiei. nraportcuy ecuaiaadmiteo infinitate de soluii pe [0, ), de exemplu: ' 21A x , xA x , x) x ( f unde A1,A2[0,),A1 A2 = [0,), A1 A2 = . Dintre acestea doar dou sunt continue i anume f1(x)= xi f2(x)= -x , oricare x ) , 0 [ . 3. Ecuaia x2+y2+3 = 0, (x,y) 2R nu are nici o soluie n raport cu x sau y. Fie ecuaia F(x1, x2,, xn, y) = 0 ,(6.19)unde F : A x BR x Rn R . Ecuaia (6.19) se scrie echivalentF(x,y) = 0,unde x = (x1, x2,, xn). Definiia 6.5.1. O funcieB A : f se numete soluie a ecuaiei (6.19)pe A dac F( ) x ,...., x , x ( f , x ,...., x , xn 2 1 n 2 1) = 0, ( ) ( ) x ,...., x , xn 2 1A , sau echivalentF(x, f(x)) = 0, ( ) x A . Dacexistosingurfuncief:ABcaresverificeecuaia(6.19)i eventual i alte condiii suplimentarespunem c funcia f este definit de ecuaia F(x,y) = 0. Funciile definite cu ajutorul ecuaiilor se numesc funcii definite implicit sau funcii implicite. - 120 - Teorema 6.5.1. (Teorema funciilor implicite). FieR B , 1 n , R An , deschise, (a, b)A x B i F:A x BR astfel nct 1)F(a, b)=0; 2) ( ) B V (b), V A, U (a), U astfel nct) V U ( C F1 ; 3) 0 ) b , a (yF. Atunci: a)ecuaia F (x,y) = 0 definete funcia y pe o vecintate a punctului (a,b), adicexistovecintate( ) a U0 ,ovecintate( ) b V0 iounicfuncie 0 0V U : f cu valorile y = f(x) astfel nct f(a) = bi F (x, f(x)) = 0, () xU0; b)f ) U ( C01 i 0yxiU x ) ( ,)) x ( f , x ( F)) x ( f , x ( F) x (xfi ; c)dac FCk (U x V), k2 , atunci fCk(U0). Demonstraie. a)Frarestrngegeneralitateaspresupunemc0 ) b , a (yF>.Cum funcia yF estecontinu pe U x V, () U1 (a), U1 U, V1(b), V1V astfel nct0 ) y , x (yF>, () (x,y)U1 x V1. Fie 1V , astfel nct < < b iV0 = (,) (b). Funcia) y , a ( F y se anuleaz n b, are derivat pozitiv pe V0 deci este strict cresctoare pe V0 iF(a,) < 0,F(a,) > 0.CumfunciaxF(x,)estecontinupeU1,existovecintate 1U U (a), U astfel nctF(x,) < 0, () xU . Deasemenea,cumfunciaxF(x,)estecontinupeU1,existo vecintate( )1U U , a U astfel nct F(x,) > 0, () xU . Fie) a ( U U U0 i vom avea- 121 - F(x,) < 0,F(x,) > 0, () xU0. Fie acum 0U x , arbitrar. Cum funcia y ) y , x ( F este continu pe [,], strictcresctoarepe[,]i0 ) , x ( F , 0 ) , x ( F > < ,rezultcexistununic punct( ) , yastfel nct0 ) y , x ( F . Deoarece 0U x afostalesarbitrarrezultcpentruoricepunctxU0, fixat, exist un singur punct yV0 astfel nctF(x,y) = 0. Definimf:U0 V0, f(x) = y i atunci f este bine definit i F(x, f(x)) =0, () xU0. Pentru x = a avemF(a,b) = 0 i cum b este singurul punct din V0 cu aceast proprietate deducem f(a) = b i demonstraia punctului a) este ncheiat. b)Sobservmmainticfestecontinuna.PentruvecintateaV0 aleasnmodarbitrar,din(a)existovecintateU0(a)astfelnctpentru orice xU0, f(x)V0, deci f este continu n a. Analog raionm pentrux U0 i atunci rezult c f este continu pe U0. Fie a = (a1, a2, , an), (a1, a2, ,ai-1, xi, ai+1,, an)U0, unde i n , 1iy = f (a1, a2, ,ai-1, xi, ai+1,, an)V0. Din Teorema lui Lagrange existntre ai i xi, ntre b i y astfel nct 0 = F(a1, a2, ,ai-1, xi, ai+1,, an, y) - F(a1, a2,, an, b) == F(a1, a2, ,ai-1, xi, ai+1,, an, y) - F(a1, a2,, ai-1, ai, ai+1,, an, y) + + F(a1, a2,, ai-1, ai, ai+1,, an, y) - F(a1, a2,, an, b) = =( ) ( ) ) b y ( , a ,..., a , ayF) a x ( y , a ,..., a , , a ,..., a , axFn 2 1 i i n 1 i 1 i 2 1i + + ,de unde rezult c ( ) + + y , a ,..., a , , a ,..., a , axFn 1 i 1 i 2 1