Seminarul 1 Algebre Boole. Relaţii binare

1.Algebre Boole.

Definiţie. Se numeşte algebră Boole o mulţime nevidă A pe care s-au definit operaţiile algebrice: “ ”, „ ”, „ ”, faţă de care sunt verificate următoarele axiome:1) A B = B A A B = B A ( comutativitatea )2) A (B C ) = (A B) C A (B C ) = (A B) C ( asociativitatea )3) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C ) ( distributivitatea) 4) A ( B A) = A A (B A) = A ( absorbţia) 5) (A A ) B = B (A A ) B = B ( complementaritatea ).Aplicaţii. a). Pe P( ), unde reprezintă o mulţime nevidă se definesc operaţiile obişnuite cu mulţimi: “ ” (reuniunea ); „ ” (intersecţia); „ ” ( trecerea la complementară). Să se arate că aceste operaţii definesc pe P( ) o structură de algebră Boole.b). Pe mulţimea R = {0,1}se definesc operaţiile: “ ”, „ ”, „ ”, după cum urmează;x y = x +y – xy ; x y = xy ; 0 = 1, 1 = 0, primele două operaţii fiind concentrate în următoarele tabele:

| 0 1 | 0 1 ---- -------------- ------------------ 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 0 1 1 | 0 1

Să se arate că aceste operaţii determină pe R = {0,1}, o structură de algebră Boole.

2. Relaţii binare Fie A şi B două mulţimi nevide. O submulţime R A B, se numeşte relaţie

binară între elementele mulţimii A şi elementele mulţimii B. Pentru o pereche ordonată (a,b) A B, putem avea (a,b) R, caz în care scriem a R b şi citim „ a este în relaţia R cu b” , sau avem (a,b) R, caz în care scriem , şi citim „ a nu este în relaţia R cu b” Aşadar x R y (x,y) A B, şi R = { (x,y) A B | x R y }. Mulţimea A se numeşte domeniul relaţiei R, iar mulţimea B se numeşte codomeniul relaţiei R. În cazul particular în care A=B, spunem că avem o relaţie între elementele mulţimii A, sau mai simplu o relaţie pe mulţimea A. Proprietăţi ale relaţiilor. Fie R o relaţie pe mulţimea A. a). Spunem că relaţia R este o relaţie reflexivă x R x , ( ) x A. Exemple de relaţii reflexive: relaţia de egalitate a numerelor, relaţia de congruenţă modulo n, relaţia de congruenţă a triunghiurilor, relaţiile de inegalitate , relaţiile de incluziune a mulţimilor

etc.b). Spunem că relaţia R este o relaţie simetrică dacă x R y y R x; x,y A. Exemple de relaţii de ordine binare simetrice: relaţia de egalitate a numerelor, relaţia de congruenţă modulo n, relaţia de congruenţă a triunghiurilor, relaţia de paralelism a dreptelor din plan sau din spaţiu,etc.

c). Spunem că relaţia R este o relaţie antisimetrică dacă din x R y şi y R x x = y. Exemple de relaţii binare antisimetrice: relaţiile de inegalitate , relaţiile de incluziune a mulţimilor , etc.d). Spunem că relaţia R este o relaţie tranzitivă dacă din x R y şi y R z x R z. Exemple de relaţii binare tranzitive: relaţia de egalitate a numerelor, relaţia de congruenţă modulo n, relaţia de congruenţă a triunghiurilor, relaţia de paralelism a dreptelor din plan sau din spaţiu,etc.Definiţia 1. O relaţie R pe mulţimea A se numeşte relaţie de echivalenţă dacă este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Exemple de relaţii binare de echivalenţă: relaţia de egalitate a numerelor, relaţia de congruenţă modulo n, relaţia de congruenţă a triunghiurilor, etc.Definiţia 2. O relaţie R pe mulţimea A se numeşte relaţie de ordine dacă este reflexivă, antisimetrică şi tranzitivă. Exemple de relaţii binare de ordine: relaţiile de inegalitate , relaţiile de incluziune a mulţimilor , etc. Fie A o mulţime nevidă oarecare şi R o relaţie de echivalenţă pe A. Pentru fiecare element x A definim R = {y A | x R y }( se mai notează cu ). Familia A/ R = { R , x

A.} reprezintă o partiţie a lui A sau mulţimea factor (cât) a lui A prin R. Pentru M A/ R un element x A astfel încât M = R , se numeşte reprezentant al clasei de echivalenţă M. A/ R este o partiţie a lui A deoarece:

- orice clasă de echivalenţă este o submulţime nevidă a lui A deoarece are cel puţin un element ( reprezentant)

- două clase de echivalenţă diferite nu au nici un element comun- reuniunea tuturor claselor de echivalenţă este egală cu mulţimea A.

Definiţia 3. Reprezentarea grafică a elementelor(perechilor) lui R se numeşte graful relaţiei R . Aplicaţii.

1). Pe mulţimea E= {1,2,3,4}se consideră următoarele relaţii:a). R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2),(2,3), (2,4).(3,4)}b). R = {(1,2), (1,3), (2,1), (3,1), (3,4), (4,3)}c). R = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),(2,3), (3,1).(3,2),(3,3),(3,4)}d). R = {(1,1), (1,2),(2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}e). R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1).(3,2),(3,3),(3,4),(4,1) (4,2).(4,3),(4,4) }.Să se cerceteze dacă relaţiile sunt reflexive, simetrice,tranzitive, de echivalenţă. Să se reprezinte grafurile lor. 2). Pe mulţimea E= {-5,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Z se defineşte relaţia binară R astfel: x R y x - y = 2(x-y). Să se stabilească dacă R este o relaţie de echivalenţă şi în caz afirmativ să se stabilească clasele de echivalenţă.3). Pe mulţimea numerelor naturale N definim relaţia a R b | a – b | este multiplu de 2. Să se arate că această relaţie este de echivalenţă. Să se determine clasele de echivalenţă pe care această relaţie de echivalenţă le determină pe mulţimea N.4). În planul P se consideră un punct fix O, iar între punctele planului se defineşte relaţia R astfel: M R M OM =O M . Să se demonstreze că relaţia R este o relaţie de echivalenţă. Care sunt clasele de echivalenţă ?5). Se consideră mulţimea E = { 1, 2, 3, 4, 5. 6}.a). Să se reprezinte graful relaţiei “ ” pe mulţimea E.b). Să se reprezinte graful relaţiei “ ” pe mulţimea E.c). Să se reprezinte graful relaţiei “divide” pe mulţimea E.6). Să se arate că relaţia binară R definită pe mulţimea nu merelor reale strict pozitive prin:

x R y ln - lnx = ln - lny, este o relaţie de echivalenţă. Să se determine clasele de echivalenţă.7). Fie R , S,T . Să se arate că:a). (S T) R = (S R) (T R), unde operaţia reprezintă compunerea relaţiilorb). (S R) .= R S ;c). (S T) = S T ;d). (S T) = S T .Rezolvare.a). Arătăm mai întâi că (S T) R (S R) (T R). Fie (x,y) (S T) R

( ) z B, astfel încât (x,z) S T şi (z, y) R. Din faptul că (x,z) S T (x,z) S sau (x,z) T. Dacă (x,z) S şi cum (z, y) R (x,y) S R şi de aici (x,y) (S R) (T R). Dacă (x,z) T şi cum (z, y) R (x,y) (S R) (T R ). În continuare vom demonstra inegalitatea inversă adică (S R) (T R) (S T) R . Pentru aceasta fie (x,y)

(S R) (T R) (x,y) S R sau (x,y) T R. Dacă (x,y) S R ( ) z B, astfel încât (x,z) S şi (z, y) R sau (x,z) T şi (z, y) R. Aşadar (x,z) S T şi (z, y)

R şi prin urmare (x,y) (S T) R .b). Fie (x, y) (S R) (y,x) S R, adică ( ) z B, astfel încât (y,z) S şi (z,x) R de unde rezultă că (z, y) S şi (x,z) R de unde avem (x,y) S T . În continuare vom demonstra incluziunea inversă.

Seminarul 2

Aplicaţii la capitolul funcţii reale de variabilă reală

1. Se consideră funcţiile reale de variabilă reală:

Să se determine funcţiile . Rezolvare. sau

sau încă

2. Să se determine funcţia astfel încât să satisfacă egalitatea: (1) Rezolvare. În egalitatea pe care trebuie să o satisfacă funcţia f îl înlocuim pe x cu 1-x şi obţinem relaţia: adică

(2)Adunând relaţiile (1) şi (2), obţinem: de unde rezultă

Înmulţind această ultimă relaţie cu 2, obţinem:

.

Scăzând din relaţia (2), ultima relaţie rezultă:

.

3. Există funcţii cu proprietatea că , unde a şi b sunt numere reale distincte iar n este un număr natural impar?Rezolvare.Pentru x=0, obţinem Pe de altă parte, pentru x=b, avem: Din cele două egalităţi de mai înainte rezultă că . (1). Să considerăm funcţia Funcţia g este injectivă şi surjectivă, deci este bijectivă. Prin urmare pentru rezultă că

adică . Această ultimă relaţie vine în contradicţie cu relaţia (1).

4. Se consideră funcţia definită astfel Să se demonstreze că

funcţia este inversabilă şi să se determine inversa sa.

Rezolvare. Este cunoscut faptul că o funcţie este inversabilă dacă şi numai dacă ea este bijectivă. Prin urmare vom arăta că funcţia este bijectivă. În acest scop vom arăta mai întâi că funcţia este injectivă. Pentru aceasta fie astfel încât: Această condiţie este echivalentă cu egalitatea:

din care rezultă egalitatea

Astfel am arătat că funcţia este injectivă. În continuare vom arăta că funcţia este surjectivă. Pentru aceasta fie Vom arăta că există astfel încât

Faptul că , este echivalent cu

Aşadar funcţia este surjectivă şi cum este şi injectivă rezultă că funcţia este bijectivă. În continuare vom determina inversa funcţiei . Notăm cu inversa funcţiei adică . Funcţia fiind inversa funcţiei rezultă că şi

. Din , rezultă

.

5. Să se demonstreze că mulţimea numerelor întregi este numărabilă. Rezolvare. Definim funcţia astfel: Vom arăta că funcţia astfel definită este bijectivă. Arătăm mai întâi că funcţia este bijectivă. Pentru aceasta fie Dacă şi atunci este par iar

este impar, deci . Dacă şi atunci , deoarece . Dacă şi atunci , deoarece şi prin urmare

.

Să arătăm acum că funcţia este surjectivă. Dacă şi atunci , iar dacă atunci unde pentru că

6. Să se arate că nu există nici o funcţie cu proprietatea că

Rezolvare. Presupunând că există o astfel de funcţie îi vom da lui x pe rând valorile 0 şi 1. Pentru x=0, obţinem: Pentru x=1, obţinem: Cele două egalităţi obţinute sunt contradictorii. Contradicţia se datorează faptului că presupunerea de existenţă a funcţiei cu proprietatea respectivă este falsă. În concluzie nu există o astfel de funcţie.

7. Fie Să se arate că: a) Dacă X şi Y sunt submulţimi ale lui A, atunci şi b) Funcţia f este injectivă dacă şi numai dacă Rezolvare. a). Considerăm un element y, astfel încât

Fie acum un element y, astfel încât Pe de altă parte din faptul că . b). Incluziunea , aşa cum am văzut la punctul a) are loc pentru orice funcţie f. Vom arăta că dacă funcţia f este injectivă are loc şi implicaţia inversă, adică: Pentru aceasta fie Deoarece funcţia este injectivă rezultă că există un singur element x pentru care , prin urmare

Seminarul 3 Şiruri de numere reale.Aplicaţii

1. Se consideră şirul de numere reale , al cărei termen general este:

.

a). Să se arate că şirul , este un şir mărginit.

b). Să se calculeze

Rezolvare. Termenul general al şirului , se poate scrie sub o formă concentrată astfel:

Pe de altă parte putem scrie dubla inegalitate: din care se obţine prin inversarea termenilor acestei duble inegalităţi o nouă dublă inegalitate:

.

Însumând termenii dublei inegalităţi după k, rezultă:

sau încă:

adică:

. (1)

Din această dublă inegalitate reţinem doar a doua inegalitate

În plus , şi putem scrie:

şi prin urmare şirul , este mărginit.b). În dubla inegalitate (1), trecem la limită în raport cu şi avem:

de unde rezultă:

,

ceea ce este echivalent cu:

.

2. Se consideră şirul de numere reale , al cărei termen general este:

a). Să se calculeze

b). Să se găsească termenul de la care Rezolvare. a). Vom calcula mai întâi suma:

=

=

=

= .

Prin urmare termenul general al şirului , este:

.

Trecând la limită în expresia lui , avem:

b).

De aici rezultă că începând cu al 99-lea termen, toţi termenii şirului , sunt conţinuţi în mulţimea [a- 0,01: a+0,01].

3). Se consideră şirul , al cărui termen general este .

a). Să se calculeze

b). Să se arate că

Rezolvare.

=

= ln[ .

.

b). Considerăm şirul de numere reale, , unde . Acest şir este strict

crescător şi . De asemenea Şirul fiind strict crescător, rezultă

că

(1)

Pe de altă parte

adică relaţia (1), care este adevărată 4). Să se calculeze limita şirului al cărui termen general este

.

Rezolvare. Avem evident o nederminare de forma . Pentru înlăturarea acestei nedeterminări, aplicăm lema Stolz- Cesaro. Pentru aceasta notăm:

=

5). Să se arate că şirul cu termenul general

este convergent. Rezolvare. Vom arăta că acest şir este monoton şi mărginit de unde va rezulta că este convergent.În ceea ce priveşte mărginirea acestui şir pornim de la monotonia şirului

, unde . Ştim că acest şir este strict crescător de unde rezultă că

de unde obţinem prin logaritmare dubla inegalitate:

Prin sumare după valorile lui n, obţinem:

Aşadar şirul , este strict descrescător deci este monoton. De asemenea acest şir este şi mărginit deoarece Prin urmare şirul este convergent. Limita acestui şir se numeşte constanta lui Euler.

= )= c(constanta lui

Euler).Aplicaţie. Să se arate că

Rezolvare.

)= c

Scăzând cele două relaţii membru cu membru, obţinem:

.

6). Utilizând criteriul lui Cauchy, să se arate divergenţa şirului cu termenul general

.

Rezolvare. Ştim că un şir de numere reale este un şir Cauchy dacă .

Pentru şirul nostru luăm

Prin urmare a fost contrazisă definiţia unui şir Cauchy. Şirul , nu este un şir Cauchy şi prin urmare nu este convergent, deci este divergent7). Să se calculeze limita şirului , al cărui termen general este dat de relaţia de recurenţă: ,având condiţiile iniţiale Rezolvare. Relaţiei de recurenţă i se asociază ecuaţia caracteristică: ale cărei soluţii sunt: Aşadar termenul general al şirului , are expresia: sau

unde sunt constante care se vor determina pe baza condiţiilor iniţiale, mai precis în relaţia care defineşte pe , îi dăm pe rând lui n valorile 0,1 şi 2. Obţinem următorul sistem de trei ecuaţii cu trei necunoscute:

Prin urmare termenul general al şirului , este:

.

Subşirul termenilor de rang par are termenul general de forma şi în cosecinţă are

limita Subşirul termenilor de rang par are termenul general de forma şi prin urmare este un şir constant a cărui limită este egală cu termenul general al şirului, adică este egală cu 1. Prin urmare şirul , având două subşiruri ale căror limite sunt diferite, nu are limită.

Seminarul 4 Serii numerice.Aplicaţii

I. Să se studieze convergenţa următoarelor serii numerice:

1). 2). 3).

4). 5). 6).

7). 8). 9).

10). 11).

(discuţie după valorile paramatrului real .)

Rezolvare. 1). ~ , unde prin ~ am notat faptul că seria dată este

echivalentă ) are aceeaşi natură) ca şi seria . Dar această serie reprezintă un caz

particular al seriei armonice generalizate , adică al seriei

, care este convergentă pentru şi divergentă pentru În cazul nostru ,

deci seria este convergentă. Deoarece seria dată este convergentă cu o serie

convergentă rezultă că şi ea este convergentă.

2). ~ .Dar seia este divergentă şi prin urmare seria

este divergentă.

3). Seria este o serie alternată, adică o serie de forma cu . Pentru a

studia convergenţa unei astfel de serii se aplică criteriul lui Leibniz. În acest scop trebuie verificate cele două condiţii corespunzătoare acestui criteriu:a). Şirul este descrescător (strict descrescător)

b) .

În cazul nostru ; ,

deci şirul este strict descrescător.

Cele două condiţii din criteriul lui Leibniz fiind îndeplinite rezultă că seria este

convergentă.

4). Şi această serie este o serie alternată cu

, deoarece , iar

.

Prin urmare seria este convergentă.

5).Pentru seria , . De aici rezultă că

= ,

care este o serie divergentă. Aşadar seria

este divergentă.

6). Seria , este o serie cu termeni pozitivi şi pentru a stabili natura sa vom aplica

criteriul raportului (D’Alembert). Vom calcula limita

şi prin urmare seria este convergentă.

7). Pentru seria cu termeni pozitivi , termenul general este Aplicăm

criteriul radicalului (rădăcinii) al lui Cauchy. Avem:

.

Aşadar seria este convergentă . 8). Pentru seria cu termeni pozitivi

,

al cărui termen general este , aplicăm criteriul raportului (D’Alembert).

Avem:

Deci seria este convergentă.

9).Seria , are termenii pozitivi. Vom aplica criteriul raportului pentru a stabili natura

acestei serii.

,

ceea ce implică convergenţa seriei.

10). Seria , fiind o serie cu termeni pozitivi pentru stabilirea

naturii acesteia se poate aplica unul dintre criteriile corespunzătoare unor astfel de serii şi anume criteriul raportului.

.

Constatăm aşadar că seria

este divergentă.11). Pentru seria cu termeni pozitivi

al cărei termen general este

,

aplicăm mai întâi criteriul raportului.

Aşadar aplicarea criteriului raportului pentru această serie nu ne poate spune nimic în legătură cu natura acestei serii. Prin urmare este necesar să aplicăm un criteriu mai puternic pentru stabilirea naturii acestei serii.Acest criteriu este criteriul Raabe – Duhamel.

.

Dacă rezultă că seria este convergentă. Dacă rezultă că seria este divergentă. II. Să se calculeze suma următoarelor serii, după ce în prealabil s-a demonstrat convergenţa acestor serii:

1). 2). 3).

4). .

Rezolvare. 1). Seria , este convergentă deoarece ~

(convergentă). Suma unei serii convergente reprezintă limita şirului sumelor parţiale. Termenul general al şirului sumelor parţiale este

.

Dacă notăm cu s, suma seriei atunci ea reprezintă limita

2). Seria cu termeni pozitivi este convergentă deoarece

~ (convergentă).

.

Suma seriei este

3). Şi seria , este o serie cu termeni pozitivi, în care termenul general este

Deoarece pentru , şi

rezultă că

~ care este o serie convergentă fiind

echivelentă cu seria . Prin urmare seria este o serie convergentă.

Dar

.

Această egalitate se poate verifica utilizând formula trigonometrică

.

Aşadar

.

Suma seriei s este

4). Arătăm mai întâi că seria numerică

este convergentă. În acest scop aplicăm criteriul raportului.Avem

.

Astfel am arătat că seria este convergentă. În continuare von calcula suma acestei serii.Şirul sumelor parţiale are termenul general

.

Suma seriei , este aşadar,

Seminarul 5 Serii de puteri. Aplicaţii.

I.Să se determine mulţimea de convergenţă pentru următoarele serii de puteri:

1. 2. 3.

4. 5. 6. .

Rezolvare. 1). Avem . Vom determina mai întâi raza de convergenţă. Pentru

aceasta vom aplica teorema Cauchy – Hadamard. Fie

Din teorema lui Abel rezultă că mulţimea de convergenţă este cel puţin intervalul (-R,R), adică intervalul (-3,3). La această mulţime de convergenţă se mai pot adăuga eventual -3 şi 3.Pentru x=-3, seria de puteri devine o serie numerică, mai precis

.

Această serie este divergentă deoarece nu converge către 0.Pentru x=3, obţinem seria numerică

care este de asemenea divergentă. În concluzie mulţimea de convergenţă este (-3,3). 2). Calculăm limita

Mulţimea de convergenţă minimală care rezultă din teorema lui Abel este (-1,1). Pentru x=-1, seria de puteri se transformă în seria numerică

care este convergentă conform criteriului lui Leibniz. Pentru x=1, avem seria numerică

care este o serie convergentă. Prin urmare mulţimea de convergenţă este A=[-1,1].

3).

Mulţimea de convergenţă a seriei este prin urmare cel puţin intervalul(-1,1). Să vedem ce se întâmplă în punctele x=-1 şi x=1. Astfel pentru x=-1, avem

cre este o serie numerică divergentă.Pentru x=1, se obţine seria numerică

care este de asemenea diveregentă. În concluzie mulţimea de convergenţă este A=[-1,1].

4).

Mulţimea de convergenţă care rezultă din teorema lui Abel este (-1,1). Pentru x=-1, avem:

care este o serie numerică divergentă.Pentru x=1, avem seria numerică

care este de asemenea divergentă. Mulţimea de convergenţă este aşadar A=(-1,1).5). Notăm . Seria de puteri dată este

unde . Determinăm raza de convergenţă pentru seria în y.

.

Mulţimea de convergenţă minimală pentru seria în y este prin urmare (-2,2). Pentru ,

avem

Această serie este divergentă(se aplică criteriul lui Leibniz). Pentru , obţinem seria

numerică

care este de asemenea divergentă . Aşadar mulţimea de convergenţă pentru seria de puteri în y este (-2,2). Pentru a determina mulţimea de convergenţă pentru seria inţială (în variabila x), ţinem seama de faptul că

.

Prin urmare mulţimea de convergenţă a seriei

este mulţimea A=( .

6). Mai întâi notăm .Seria de puteri se transformă în

unde . Calculăm limita

Prin urmare mulţimea de convergenţă a acestei serii de puteri este întreaga axă reală.II. Să se dezvolte în serie de puteri următoarele funcţii:

1).

2).

3).

4).

Rezolvare. 1).

.

În continuare pentru a dezvolta în serie de puteri fracţiile

şi

Vom porni de la dezvoltarea în serie de puteri

pentru .

Prin urmare

= .

= .

.

2). Pornim de la formula trigonometrică

.

Înlocuind pe cu 5x, obţinem

.

În continuare vom apela la dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei sin

=

3). Pornind de la formula de calcul a funcţiei cosinus hiperbolic

din care obţinem

În continuare scriem dezvoltarea în serie de puteri a exponenţialei

= .

, de unde rezultă .

Dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei cos este:

+

=

4). Funcţia f se mai poate scrie şi sub forma

.

Mai departe se foloseşte dezvoltarea în serie de puteri a funcţiei binomiale, mai precis

.Având în vedere această dezvoltare în serie de puteri, putem scrie

Seminarul 6 Limitele şi continuitatea funcţiilor de mai multe variabile Aplicaţii.

I. Să se calculeze limitele iterate ale următoarelor funcţii de două variabile:

1).

2). .

Rezolvare.1).

.

2).

Observaţie. Constatăm că în cazul fiecărei funcţii de două variabile cele două limite iterate sunt diferite. Din această cauză cele două funcţii nu au limită în origine, lucru care se poate constata şi direct. II. Se consideră funcţiile:

1).

2).

Să se arate că cele două funcţii sunt continue parţial în origine în raport cu fiecare variabilă dar nu este continuă în origine în raport cu ansamblul variabilelor.Rezolvare.1). Mai întâi vom studia continuitatea parţială a funcţiei f în raport cu fiecare dintre cele două variabile:

Aşadar limita parţală în raport cu x în origine este egală cu valoarea funcţiei în origine, prin urmare funcţia f este continuă parţial în raport cu x în origine.

.

Prin urmare funcţia f este continuă parţial în raport cu y în origine. În continuare vom arăta că funcţia f nu este continuă în origine în raport cu ansamblul celor două variabile.Pentru aceasta va trebui să studiem existenţa limitei în origine, adică să evaluăm

Vom considera puncte din plan (x,y), unde y=mx,m 0. Dacă . În aceste condiţii

= .

Deoarece această limită depinde de m, rezultă că funcţia f nu are limită în origine în raport cu ansamblul celor două variabile şi prin urmare nu este nici continuă ăn origine în raport cu ansamblul celor două variabile.

2).

Aşadar limita parţală în raport cu x în origine este egală cu valoarea funcţiei în origine, prin urmare funcţia f este continuă parţial în raport cu x în origine.

.

Prin urmare funcţia f este continuă parţial în raport cu y în origine.

= .

Această limită depinde de m, deci funcţia f nu are limită în origine în raport cu ansamblul celor două variabile şi prin urmare nu este nici continuă ăn origine în raport cu ansamblul celor două variabile.III. Să se studieze continuitatea următoarelor funcţii:

1).

2).

3).

4).

Discuţie după valorile parametrului real .Rezolvare.1). Funcţia f este continuă pe Va mai trebui să studiem cotinuitatea funcţiei f şi în origine. Pentru aceasta pornim de la inegalitatea:

rezultă

În această dublă inegalitate trecem la limită în raport cu . Obţinem:

, adică

Dar

De unde rezultă că funcţia f este continuă şi în origine, deci este continuă pe întreg planul .2). Funcţia f este continuă pe Vom studia continuitatea funcţiei f şi în origine.

,

de unde rezultă:

.

În această dublă inegalitate trecem la limită

.

Funcţia f fiind continuă şi în origine rezultă că este continuă pe 3). Funcţia f este continuă pe

.

.

Am arătat astfel că:

Prin urmare funcţia f este continuă şi în origine, deci pe 4). Mai întâi vom determina domeniul de definiţie al funcţiei f, D, din condiţia

Punctele din plan care verifică alitatea cu egalitate sunt punctele situate pe elipsa de ecuaţie

Prin urmare domeniul de definiţie este domeniul plan mărginit de elipsa de mai înainte şi conţine şi punctele acestei elipse.Funcţia f este continuă pe . Să studiem continuitatea funcţiei f în origine.

.

Aşadar

Adică funcţia f are limita în origine egală cu .

Dacă , atunci funcţia f este continuă şi în origine şi ăn

consecinţă pe D.

Dacă , funcţia f nu este continuă şi în origine ci doar pe

mulţimea

.

Seminarul 7 Derivate parţiale. Diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile. Aplicaţii.

1. Să se calculeze diferenţiala de ordinul I, a funcţiei Rezolvare. Diferenţiala de ordinul I, a funcţiei f este:

.

Prin urmare va trebui să calculăm derivatele parţiale de ordinul I ale funcţiei f.

locuind în formula diferenţialei de ordinul I, obţinem: 2. Să se calculeze diferenţiala de ordinul I, a funcţiei . Rezolvare. Diferenţiala de ordinul I, a funcţiei f este:

.

=

+

+ .

3.Se consideră funcţia . Să se calculeze şi

Rezolvare.Considerăm funcţiile

Aceste funcţii sunt diferenţiabile şi prin urmare funcţia este diferenţiabilă şi avem: .

;

.

4. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinal I pentru funcţia: Rezolvare. Funcţia dată se mai poate scrie şi sub forma .

.

5. Se consideră funcţia , unde funcţia este diferenţiabilă pe domeniul D. Să se arate că

Caz particular Rezolvare. Notăm ;

= 6. Să se calculeze expresia

unde , iar este o funcţie diferenţiabilă pe domeniul Rezolvare. Considerăm funcţiile

.

=

=

7. . Să se calculeze expresia

unde , iar este o funcţie diferenţiabilă pe domeniul

Rezolvare.

.

Notăm

Prin urmare

.

.

.

+

8.Să se calculeze diferenţiala de ordinul al II-lea pentru funcţia Rezolvare. Formula de calcul a diferenţialei de ordinul al II-lea pentru o funcţie de două variabile este:

.

.

Aşadar = =

Seminarul 8

Extremele funcţiilor de mai multe variabile. Formula lui Euler. Aplicaţii.

1. Să se determine punctele de extrem ale următoarelor funcţii de două variabile: a). b).

c).

d).

e).

Rezolvare. a). Mai întâi determinăm punctele staţionare (critice) ale funcţiei f. Acestea reprezintă soluţiile sistemului de ecuaţii:

Rezolvând acest sistem se obţin punctele staţionare (critice) (0,0) şi (-1,-1). În continuare vom aplica fiecăruia din cele două puncte staţionare. algoritmul de determinare a punctelor de extrem.

.

Prin urmare punctul staţionar (0,0), nu este punct de extrem. În ceea ce priveşte punctul staţionar (-1,-1), avem:

.

În consecinţă punctul staţionar (-1,-1) este punct de extrem. Deoarece ,

rezultă că punctul staţionar (-1,-1) este punct de maxim. b). Determinăm punctele staţionare, rezolvând sistemul de ecuaţii:

a cărui unică soluţie este (3,-2). Să studiem dacă punctul staţionar (3,-2) este punct de extrem al funcţiei f.

Aşadar punctul staţionar (3,-2) este punct de extrem. Deoarece , rezultă că

punctul staţionar (3,-2) este punct de minim. c). Punctele staţionare ale funcţiei f se obţin ca soluţii ale sistemului

Acest sistem are soluţiile (-1,-1), ( ), (1,-1), (-1,1). Pentru a stabili care dintre aceste

puncte staţionare sunt puncte de extrem ale funcţiei f utilizăm metoda hessianei.

Deoarece det( ), rezultă că punctul staţionar (-1,-1) nu este punct de

extrem . Pentru punctul staţionar ( )

.

Prin urmare punctual staţionar ( ), este un punct de minim.

.

Aşadar punctual staţionar (1,-1) nu este punct de extrem. La aceeaşi concluzie se ajunge şi în legătură cu punctul staţionar (-1,1), deoarece

.

d). Determinăm punctele staţionare ale funcţiei f:

Rezolvând acest sistem obţinem punctul staţionar ( ).

.

.

Punctul staţionar ( ), nu este punct de extrem.

e). Să determinăm punctele staţionare ale funcţiei f.

Acest sistem are soluţiile şi

Prin urmare punctul staţionar ( ), nu este punct de extrem.

.

Deci punctul staţionar ( ) este punct de extrem şi deoarece

,

rezultă că acest punct este unul de minim.2.Să se determine extremele funcţiei condiţionate de ecuaţia Rezolvare. Aplicăm metoda multiplicatorilor lui Lagrange. În acest sens introducem funcţia auxiliară În continuare scriem sistemul

Acest sistem are soluţia x=1,y=1,z=1, În consecinţă funcţia auxiliară este: Pentru a stabili dacă punctul staţionar (1,1,1) este punct de extrem condiţionat calculăm diferenţiala .

.

.

.Diferenţiala a doua a lui F calculată în punctul (1,1,1) este: Să diferenţiem relaţia Obţinem: .În punctul (1,1,1) această relaţie devine: de unde .Înlocuind în , rezultă: . Această formă pătratică este pozitiv definită şi în consecinţă punctul (1,1,1) este un minim codiţionat.3. Să se verifice teorema lui Euler pentru următoarele funcţii:a). în punctul (2,-1)

b). , în punctul (3,2)Rezolvare.a). Funcţia f este omogenă de gradul k=2. Va trebui să arătăm că

.Relaţia care trebuie verificată este care este o propoziţie adevărată.

b). Funcţia f este omogenă de gradul . Va trebui să verificăm relaţia:

.

Avem:

,

relaţie care este adevărată.

Seminarul 9 Primitive.Aplicaţii

I. Să se calculeze următoarele primitive:

1.

Rezolvare. Se face schimbarea de variabilă:

=

=

=

=

Revenind la vechea variabilă obţinem:

2.

Rezolvare. Mai întâi se efectuează schimbarea de variabilă

Integrala se poate scrie în noua variabilă astfel:

În continuare efectuăm o nouă schimbare de variabilă

Înlocuind pe t exprimat în funcţie de x, obţinem:

.

3.

Rezolvare. Cu substituţia

tgx=t, obţinem x=arctgt ;

=

4.

Rezolvare. Vom nota , şi vom stabili o relaţie de recurenţă asupra şirului de

integrale (primitive),

.În continuare utilizăm formula de integrare prin părţi şi obţinem:

=

+

Aşadar = de unde rezultă relaţia de recurenţă:

Această relaţia de recurenţă ne permite să calculăm inductiv (din aproape în aproape), Astfel dacă vrem să calculăm , în relaţia de recurenţă facem pe n=2, ;i

avem nevoie de valoarea lui .Dar =x, şi prin urmare

De asemenea putem calcula , din

adică

.

II.Să se calculeze următoarele primitive (utlizând substituţiile lui Euler). 1. Rezolvare. Datorită prezenţei în integrand a unui termen de forma în care a>0, substituţia de tip Euler care se pretează în această situaţie este: .În cazul nostru substituţia este

.

.

Se determină constantele a,b,c,d, după care se integrează în raport cu t,după care se revine la variabila x.

2.

Rezolvare. Ne situăm din nou în cazul unei integrale în care integrantul conţine un termen de forma .Deoarece substituţia de tip Euler care se impune în acest caz este .În cazul nostru, avem

.

3.

Rezolvare. Ne situăm din nou în cazul unei integrale în care integrantul în care integrantul conţine un termen de forma .Deoarece efectuăm substituţia = unde reprezintă una dintre rădăcinile trinomului .

.

III. Să se calculeze următoarele primitive, apelând la substituţiile lui Cebîşev.

1. .

Rezolvare. Avem o integrală de forma Cum ,substituţia de tip Cebîşev care trebuie efectuată ăn acest caz este

,

adică în cazul nostru concret,

.

Integrandul se descompune mai întâi astfel:

=

iar

.

Se determină coeficienţii , după care integrandul astfel descompus

se intoduce în integrală. După calculul primitivei ca funcţie de y, se înlocuieşte y cu .

2.

Rezolvare. Avem .În acest caz pentru integrala de forma

schimbarea de variabilă care trebuie efectuată este:

care în cazul nostru este

.

Înlocuind în integrală, avem:

3. Rezolvare. Avem:

.

În acest caz se face substutuţia

Pentru integrala noastră efectuăm schimbarea de variabilă .Prin urmare

Seminarul 10

Aplicaţii la integrale improprii (generalizate)

I. Să se studieze convergenţa următoarelor integrale improprii şi în caz de convergenţă să se calculeze.

1.

Rezolvare. Avem o integrală improprie de prima speţă, deoarece în x=0 avem o singularitate de prima speţă.

=

= .

În continuare efectuăm următoarea schimbare de variabilă: .Având în vedere această schimbare de variabilă şi calculele aferente acesteia, putem scrie:

= =

=

Prin urmare , este convergentă şi valoarea ei este egală cu -2+2ln2.

2. .

Rezolvare. Avem din nou o integrală improprie de prima speţă, cu singularitate în punctul x=1. Mai întâi efectuăm următoarea schimbare de variabilă: , .Prin urmare avem:

=

.

3. ,

Rezolvare. Avem o integrală improprie de speţa a doua, domeniul de integrare fiind nemărginit (singularitate de speţa a doua la ).

=

=

= .

4. .

Rezolvare.

=

5. .

Rezolvare. Pentru calculul acestei integrale improprii de speţa a doua vom recurge la o schimbare de variabilă care să transforme această integrală în integrala Poisson, adică integrala

.

Schimbarea de variabilă care se impune în acest caz este:

u=

Având în vedere relaţiile de mai sus , putem scrie:

6.

Rezolvare.

=

unde . Pentru a calcula , considerăm şi primitiva

În continuare pentru calculul primitivelor şi utilizăm metoda integrării prin părţi.

=

sau

(1).

=

sau

(2).

Rezolvând sistemul format din ecuaţiile (1) şi (2), obţinem:

respectiv

.

Prin urmare

= =

= .

= =

= .

În particular

= = .

II. Să se calculeze următoarele integrale improprii utilizând funcţiile euleriene şi beta.

1. .

Rezolvare. Fie 2x-6=t; dx=dt;

Având în vedere această schimbare de variabilă, integrala se transformă astfel:

= .

Observaţie. Am notat cu funcţia gama a lui Euler. În cazul în care

, atunci .

2.

Rezolvare. Facem următoarea schimbare de variabile:

=

.

Observaţie. S-a notat cu funcţia beta a lui Euler definită astfel:

În particular dacă .

3. .

Rezolvare. Efectuăm următoarea schimbare de variabile:

.

Înlocuind în integrala în forma iniţială, obţinem:

= .

Seminarul 11

Aplicaţii la integralele curbilinii

1. Să se calculeze lungimea unei bucle de cicloidă a cărei ecuaţie parametrică este: Rezolvare.

=

Lungimea unei bucle de cocloidă ,se calculează cu ajutorul integralei curbilinii de prima speţă astfel:

=

2. Să se calculeze lungimea unei astroide, ştiind că ecuaţia parametrică a acesteia este: Rezolvare. Lungimea astroidei , se calculează cu ajutorul integralei:

.

=

=

3. Să se calculeze lungimea unei cadioide ştiind că ecuaţia acesteia exprimate în coordonate polare este Rezolvare. Lungimea curbei (cardioida) a cărei ecuaţie este dată în coordonate polare se calculează cu ajutorul integralei:

=

=

4. Să se calculeze integrala curbilinie de speţa a doua:

unde reprezintă elipsa de ecuaţie .

Rezolvare. Mai întâi vom parametriza elipsa. Reprezentarea parametrică a elipsei este următoarea: dx= -2sintdt; dy=costdt. Înlocuind în integrala curbilinie obţinem:

=

.

5. Să se calculeze unde reprezintă cercul cu centrul în origine şi raza egală

cu unitatea.Rezolvare. Parametrizarea cercului cu centrul în origine şi raza egală cu unitatea este: .Înlocuind în integrala curbilinie obţinem:

Observaţie. La acelaşi rezultat se putea ajunge aplicând formula lui Green. 6. Să se calculeze integrala curbilinie de speţa a doua

ştiind că curba reprezintă cercul de ecuaţie .Rezolvare. Curba reprezintă cercul cu centrul în punctul de coordonate (2,-3) şi raza egală cu 3 unităţi.Să scriem parametrizarea acestui cerc. Înlocuind în integrala curbilinie obţinem:

=

+

Seminarul 12

Integrale duble

I. Să se calculeze următoarele integrale duble 1. , unde D = [-1,0] [1,2].

Rezolvare.

=

Observaţie. Calculul acestei integrale duble se putea face şi astfel:

=

2. Se consideră funcţiile reale f şi f definite pe intervalul [-1,1], prin relaţiile f (x)= x , f

(x) = 1. Să se calculeze

,

Ştiind că D este determinat de intersecţia graficelor funcţiilor f şi f .

Rezolvare.

=

3. Să se calculeze aria domeniului D mărginit de dreapta de ecuaţie y=x şi arcul de parabolă y=x . Rezolvare. Notăm cu A aria domeniului D mărginit de dreapta de ecuaţie y=x şi arcul de parabolă y=x . Avem:

A= .

4. Să se calculeze integrala dublă:

I= ,

ştiind că domeniul D este definit astfel: D={(x,y); . Rezolvare. Descompunem domeniul D în patru subdomenii corespunzătoare celor partru cadrane ale planului xOy. Notăm aceste subdomenii cu, D i= . Să mai remarcăm faptul că mulţimile D nu au puncte interioare comune (au puncte comune doar pe frontieră) şi în

plus reuniunea lor este D, adică . În continuare vom explicita mulţimile D :

D

D

D

D .

Avănd în vedere consideraţiile făcute asupra mulţimilor D , putem scrie:

I= = + +

+ .

În continuare vom calcula prima integrală din membrul drept al relaţiei de mai înainte.

Calculând celelalte trei integrale din membrul drept al relaţiei de descompunere a integralei

I=

Vom obţine pentru fiecare dintre ele aceeaşi valoare adică . Prin urmare

I= =

5. Să se calculeze domeniul D fiind delimitat de dreptele de ecuaţii: x=0,

y=1, x+y=1. Rezolvare. Din punct de vedere geometric domeniul de integrare reprezintă un triunghi dreptunghic având una dintre catete pe axa Oy, cealată catetă paralelă cu axa Ox, iar ipotenuza este situată pe dreapta dec ecuaţie x+y=1.Avem:

=

=

=

6. Să se calculeze

I=

unde domeniul D este limitat de dreptele y=-1,y=1,y=x+1 şi de parabola de ecuaţie x=y . Rezolvare. Aplicând teorema de descompunere a integralei duble, după ce domeniul D a fost reprezentat grafic

I= = =

+ = .

Dar

Prin urmare

I= = = =

= [( =

Seminarul 13

Aplicaţii la schimbarea de variabile în integrala dublă şi formula lui Green

I. Aplicaţii la schimbarea de variabile în integrala dublă I.1. Să se calculeze următoarele integrale duble:

1. , unde D este mărginit de elipsa de ecuaţie .

Rezolvare. Domeniul D se poate scrie astfel:

D= {(x,y) }.

În continuare trecem la coordonate polare generalizate (eliptice).

Fie D În aceste condiţii avem:

=

=

2. D ={ }.

Rezolvare. Domeniul de integrare reprezintă un disc cu centrul în origine şi raza egală cu 3. Pentru calculul integralei duble trecem la coordonate polare:

=

=

= .

3. unde domeniul Deste determinat de intersecţia curbelor şi

.

Rezolvare. Efectuăm următoarea schimbare de variabile: Vechile variabile x,y se exprimă în funcţie de noile variabile astfel:

x = ; y=

În continuare calculăm jacobianul transformării de coordonate, adică determinantul notat

simbolic =

Prin urmare:

= .

I.2. Să se calculeze momentul de inerţie faţă de origine al unei plăci plane neomogene de

formă eliptică ( punctele acesteia (x,y) satisfac relaţia ), de densitate variabilă

.

Rezolvare. Momentul de inerţie faţă de origine al plăcii neomogene de formă eliptică, I , se calculează cu ajutorul integralei duble conform relaţiei:

I = , unde domeniul D este definit astfel:

D= { }.

Domeniul D admite următoarea reprezentare parametrică:

I = = ab

= Dar,

= .

Prin urmare

=

=

= .

II.Aplicaţii la formula lui Green

Să se calculeze următoarele integrale curbilinii de speţa a doua

1. , unde reprezintă elipsa de ecuaţie .

Rezolvare. Pentru calculul acestei integrale curbilinii de speţa a doua de a lungul curbei închise , utilizăm formula lui Green. Înainte de a aplica această formula să enunţăm teorema care conduce la această formulă. Fie P(x,y) şi Qx,y) două funcţii continuie pe

domeniul D care este un domeniu Green. Presupunem că derivatele parţiale ,

existăşi sunt continue pe D şi fie , curba care mărgineşte domeniul D. În aceste condiţii avem relaţia:

.

În cazul nostru P(x,y) = -3y; Q(x,y) = 4x. Aplicând formula lui Green obţinem:

=

Domeniul D fiind mărginit de elipsa ale cărei semiaxe sunt a=3.b=4, aria sa este Aria(D)== 12 . Prin urmare

= = 84 .

2. , unde reprezintă cercul de ecuaţie .

Rezolvare. Curba care se mai poate scrie şi sub forma reprezintă ecuaţia unui cerc cu centrul în punctul de coordonate (2, - 3) şi raza egală cu 3. În continuare aplicăm formula lui Green în care P(x,y) = - 7; Q(x,y)= 5x. Obţinem:

=

= 12 108 .

3. , unde C este conturul domeniului D mărginit de dreapta de ecuaţie y=x şi

de parabola de ecuaţie y=x Rezolvare. Aplicăm formula lui Green în care P(x,y)=-3y; Q(x,y)= 5x. Obţinem;

=

= 8 .

4. Să se calculeze aria domeniului plan a cărui frontieră este astroida a cărei reprezentare parametrică este următoarea:

Rezolvare. Dacă notăm cu D domeniul plan care mărgineşte astroida şi utlizând o formulă care rezultă din formula lui Green putem scrie:

Aria (D) = , unde reprezintă astroida a cărei reprezentare

parametrică e dată mai sus. Făcând înlocuirile obţinem:

Aria (D) =

=

= .

Seminarul 14

I. Aplicaţii la elemente de teoria câmpurilor.

Să se demonstreze următoarele egalităţi: 1. div (uf ) = ( grad (u), f) + u div (f), unde u este un câmp vectorial iar f este un câmp vectorial. Rezolvare.

2. grad (uv) = u grad (v) + vgrad(u) Rezolvare.

3. rot(grad(u)) = [ ] = 0 (vectorul nul din spaţiul tridimensional), iar f=grad(u). Rezolvare. Într-adevăr rot(grad(u)) = [ ] = [ ] =

= =

0

4. div(grad(u)) = u , unde reprezintă operatorul lui Laplace şi care se poate aplica atât câmpurilor scalare cât şi câmpurilor vectoriale.

Rezolvare.

div(grad(u)) = div( )= = u.

Se pot demonstra şi alte egalităţi în care apar operatorii diferenţiali de ordinul întâi din teoria câmpurilor:

a) rot(grad(u)) =0b) div(rot(f))=0c) div (f ) = g rot(f) – f rot(g)

II. Integrale triple (aplicaţii).

II.1 Să se calculeze următoarele integrale triple:

1. unde

Rezolvare. Fie şi . Avem:

=

deoarece integrantul celei de a doua integrale ( în raport cu variabila x) este o funcţie impară în raport cu x iar domeniul de integrare este simetric în raport cu originea. 2. , unde domeniul este delimitat de conul a cărui ecuaţie este:

şi de planul de ecuaţie z=h.

Rezolvare. Proiecţia Q a conului pe planul xOy este discul de ecuaţie .

=

În continuare se trec e la coordonate polare şi obţinem:

= .

3. , unde domeniul este definit de inegalităţile:

Rezolvare. Domeniul de integrare este simplu în raport cu Oz, iar proiecţia acestuia pe planul xOy este un domeniu simplu în raport cu axa Oy.

=

Pe baza parităţii funcţiei de sub integrală , obţinem

= .

II.2. Să se calculeze volumul corpului limitat de domeniul determinat de paraboloidul de revoluţie: şi de cilindrii ; Rezolvare. Proiecţia lui pe planul xOy este o mulţime D formată din puncte de forma (x,y) care verifică inegalităţile: II.3. Se consideră un domeniu fluid V din R şi S suprafaţa (frontiera ) acestuia. Să se arate că volumul v al acestuia este dat de următoarea relaţie:

v= .

Rezolvare. Aplicăm teorema Gauss – Ostrogradski:

.

În această relaţie considerăm P(x,z,y) =x, Q(x,z,y) =y, R(x,z,y) =z şi obţinem:

, adică

3 , sau încă

3v , de unde rezultă v= .