Analiza Matematica 2

Analiza Matematica 2

Curs 1.

Capitolul I. Calcul integral

Paragraful 1 Integralele improprii de speta I

I|R interval al axei reale si functia f : IR|R , f = f(x).Prin introducerea integrale definite in sens Rieman (sens propri) sunt necesare urmatoarele doua conditii: 1. Inervalul I sa fie inchis si marginit (compact)

2. Functia f = f(x)numita integrant sa fie marginita pe intervalul I.

Renuntand la una sau chiar la ambele restrictii obtinem integrale generalizate care se numesc integrale proprii.Renuntand la prima resctrictie dar pastrand-o pe cea de a II-a obtinem integrale improprii de prima speta.

Consideram :

f : [ a, t]|R , a |R , f = f(x) , o functie marginita pe acet interval. Presupunem ca aceasta functie este integrabila in sens Rieman pe ori ce compact de la [a ,t][a,) t > a.

Notam F(t) =

Definitia 1.

Daca si este finita |R spunem ca f este integrabila in sens impropriu pe inervalul [a,].

Obs!!! Insasi valoarea acestei limite se noteaza , caz in care spunem ca aceasta integrala este convergenta. Daca nu exista = + spunem ca integrala iproproprie este de speta intai este divergenta. Asadar in cazul de divergenta

avem: = = .

Ex: Plecand de la definitie studiati convergenta si in caz afirmativ calculati:

cu |R. Integrantul este f(x) =

Notam F(t)=

Pentru avem =

integrala divergenta.

Pentru

Asadar integrala improprieeste data de convergenta dca si divergenta daca Obs!!! Aceiasi natura o are integrala improprie |R, In mod analog consideram functia :

EMBED Equation.3 |R, f = F(x) presupusa integrabila pe [](- si notam

Definitia 2.

Daca exista si este finita|R atunci spunem ca functia f este inegrabila in sens impropriu pe intervalul insasi valoarea limitei notandu-se prin 0 daca exista A>0 a. avem Dem : Notam in condiriile enuntului avem (care reprezinta teorema lui Cauchy Bolzano a existei limitei finite pentru o functie de o variabila).2.Criteriul de conevrgenta in

a) Daca pentru functia exista astfel incat (este finita) atunci este convergenta Obs!!! Daca integrala modulului este convergenta spunem ca functia f este absolut integrabila in sens impropriu pe intervalul . Absoluta convergenta implica convergenta dar reciproca afirmatiei nu este adevarata

b) Daca in aceleasi conditii exista astfel incat atunci este divergenta. Doua integrale improprii au aceiasi natura daca ele sunt simultan convergente sau divergente 3.Criteriul de comparatie cu limita

Fie f,g:[a,) |R, f=f(x) si g=g(x), negative pe acet interval.

Daca atunci au aceiasi natura (sunt simultan convergente sau divergente)

4. Criteriul lui ABELConsideram f,g:[a,) |R, f=f(x) si g=g(x).Daca 1.) este convergenta 2.) functia f este monotona si marginita pe acest interval atunci este convergenta.

5.Criteriul lui DIRICHLETConsideram f,g:[a,) |R, f=f(x) si g=g(x).

Daca : 1.) () un K>0 a.i

2.)functia f este monotona pe [a,) si atunci li

Aplicatie:

Studiati convergenta si in caz afirmativ calculati:

, f(0)=1 si .Studiem convergentasi utilizand criteriul in . pt =3>1 rezulta ca I este convergenta

=

Curs 2. Paragaraful 2 Integrale implroprii de speta a II-a Aceste integrale sunt calculate pe inervale marginite din functii nemarginite. Consideram f:[a,b] |R , f=f(x) , a,b|R astfel incat .Presupunem deasemeni ca aceasta functie este inegrabila in sens propriu pe orice inerval [a,b][a,b). Notam F(t)=

Definitia 1.

Daca exista si este finita C spunem ca functia f este inegrabila in sens impropriu pe [a,b) caz in care insasi valoarea limitei este valoarea inegralei improprii . Asadar

Obs!!! Daca

nu exista sau spunem ca integrala improprie de speta a II-a este divergenta. In ipotezele definitiei 1 vom spune ca integrala improprie este convergenta. In cazul divergentei vom spune ca punctul b este punct singular pentru integrala improprie. Ex:

Utilizand deinitia studiati convergenta in caz afirmativ calculati |R.Integrantul: f(x)= 1. Daca =0 f(x)=1

2. Daca

3. >0 =>

Notam F(t) =

1. =1 => = (divergenta) 2. >1 => = (divergenta)

3. =

Obs!!! Asadar pentru

EMBED Equation.3 integrala este divergenta iar in cazul 0 continua in ori ce punct al curbei.In acest caz masa firului material este M =. Obs!!! Daca firul material este momogen adica (constant) atunci masa firului material este M = Lc (Lc-lungimea curbei).Daca este cetrul de greutate al firului material atunci cooordonatele acestuia sunt date de

. Intrucat integrala curbilinie de prima speta a fost introdusa prin integrala Riemman,proprietatile acesteia decurg imediat din proprietatile integralei definite. Consideram functia f:, f=f(x,y,z) definita si continua in toate punctele unei curbe (C)(D).In acest caz exista un punct M*(x*,y*,z*)(C) astfel incat (este teorema de medie relativa la integrala curbilinie de prima speta)

Paragraful 5. Integrala curbilinie de speta a II-a Consideram curba (C):, t[a,b] de clasa C1 pe acest interval.Atat arcul de curba cat si segmetul

au de exemplu pe axa (Oy) aceeasi proiectie ortogonala anume compactul [yi,yi+1].In schimb considerand arcul M(ti+1), M(ti), sau segmetul [M(ti+1), M(ti)] vom avea drept proiectie ortogonala pe axa (Oy) segmentul

[yi+1, yi].Obs!!! Asadar orientarea curbei este esentiala .Consideram acum o functie f=f(x,y,z) definita si continua in toate punctele curbei (C)

Presupunem ca functia t este integrabila in sens propriu pe compactul [a,b].Valoarea aceste integrale adica se noteaza prin si se numeste integrala curbilinie de speta aII-a in raport cu axa (Ox).In mod analog vom introduce integrale cubilinii de speta aII-a in raport cu axele (Oy) si (Oz).Avem asadar =. Consideram acum functiile P,Q,R:D |R(|R, P = P(x,y,z) ; Q =Q(x,y,z) ; R=R(x,y,z) definite si continue in toate punctele unei curbe continu in domeniul D, presupunand ca functiile P,Q,R sunt integrabile in raport cu axele (Ox),(Oy),(Oz)=>a forma generala a integralei curbilinii de speta aII-a este .

Conform relatiilor anterioare aceasta integrala se reduce la o integrala Riemman obtinuta din =

Notam . Din avem avem asadar in forma vectoriala inegrala curbilinie de speta aII-a se scrie Care se numeste circulatia campului vectorial de-a lungul curbei (C)

Obs!!! Aceasta reprezinta de fapt lucrul mecanic efectuat de forta de-a lungul curbei (C).

Ex1: Calculati urmatoarea integrala curbilinie de speta aII-a:

Avem: P=y;Q=-x;R=

Consideram functia vectoriala

, definite si continu in toate punctele domeniului D care contine curba(C).Consideram ca aceasta functie este de clasa C1(D) vom nota prin

rot si vom numi acest determinant formal care se dezvolta neaparat

dupa prima linie rotorul functiei vectoriale .

Obs!!! Nu dezvoltam acest determinant dupa regula triunghiului intrucat linia a doua este reprezentata de operatorii de derivare partiala.Asadar avem .Rotorul unui camp vectorial este la randul sau tot un camp vectorial.Ex2: =

.

Un camp vectorial se numeste irotational daca

Consideram un domeniu plan marginit de o curba simpla neteda sau neteda pe portiuni.Presupunem ca domeniul este orientat in concordanta cu orientarea planului.In aceste ipoteze aria domeniului plan (D) Aria(D) =.

Ex3: Calculati aria cercului utilizaind integrala curbilinie de speta aII-a

(C):

Arie cerc=

Independenta de drum aintegralei curbilinii de speta aII-a Consideram o curba (C): |R de clasa C1 si functia vectoriala

|R3 |R3 , consideratade clasa C1 (D ).

Consideram curbele (C1)si (C2) la fel orientate,vom spune ca inegrala curbilinie de speta aII-a este independenta de drum daca .Conditia necesara si suficienta ca inegrala curbilinie de speta aII-a sa fie independenta de drum intr-un domeniu simplu conex este va functia vectoriala sa aiba

(campul vectorial sa fie irotational)

In cazul plan ai integralei conditia nevcesara si suficienta ca acesta sa fie independenta de drum este ca .

Ex4:

Verificand in prealabil independenta de drum caculati .Functia vectoriala asociata este:

. In acest calculul integralei se face plecand de la punctual A(1,1,1) spre punctual B(a,b,c) prin parale la axele de coordonate . Parametrizari ((

EMBED Equation.3

.

Avem . Curs 6. Paragraful 6: Integrala dubla

Consideram intr-un plan raportat la un sistem ortogonal de axe de coordonate un domeniu (D ) inchis si marginit a carui frontiera este curba inchisa (C)Fr(D).

Consideram ca acest domeniu este orientat in concordanta cu orientarea planului .

Consideram functiile ,:[a,b] |R , sunt continue.Nu excludem cazul in care AD sau BC sau chiar ambele cazuri indeplinite

Definitia1.

Spunem ca domeniul (D ) este simplu in raport cu axa (Oy) daca orice paralela dusa la aceasta axa pentru x[a,b]frontiera domeniului doar in doua puncte cu exceptia eventuala a punctelor situate pe dreptele de ecuatii x=a sau x=b

Obs!!!

Asadar un domeniu plan este simplu in raport cu axa (Oy) daca printr-o paralela la acesta axa intram in domeniu printr-un singur punct si parasind domeniul tot printr-un singur punct.

Acesta nu este un domeniu simplu in raport cu axa (Oy)

Consideram ca y[c,d] unde

Sunt functii continue.Vom spune in acest caz ca domeniul plan inchis si marginit este simplu in raport cu (Ox).

Consideram o functie continua f:D |R2 |R f=f(x,y), presupusa integrabila in sens Riemman in raport cu orecare dintre cele 2 variabile pe integralele corespunzatoare.Consideram D =[a,b]x[c,d].Consideram ca functia f este integrabila in sens propriu in raport cu variabila x pe intervalul[a,b] y [c,d] si notam

J(y)=.

Daca la randul sau acesta functie

Este integrabila in raport cu y pe copactul [c,d] vom nota

pe care o citim integrala dubla pe domeniul din functia f=f(x,y)

Asadar avem :

Obs!!!

Aici NU ESTE un produs efectiv de integrale Riemman ci o SUCCESIUNE.

In mod analog presupunand ca functia f=f(x,y) este integrabila in raport cu y pe compactul

[c,d] . Notam .

Presupunand ca la randul sau aceasta functie este integrabila pe copactul [a,b] vom nota .

Asadar avem:

Obs!!!

Si aici NU AVEM un produs de integrale Riemman ci o SUCCESIUNEDaca domeniul de inegrare nu este simplu in raport cu nici una dintre axele de coordinate se deacompune acesta in domenii simple dupa care integrala se calculeaza pe fiecare dintre ele dupa care integrala se calculeaza adunand rezultatele.Calculul integralei duble nu poate fi efectuat far in prezentare in sistemul de axe de coordonate a domeniului cu indicarea tuturor elementelor necesare pe figura.

Considerand functia f=f(x,y) continua pe acest domeniu Elementul diferential d =dxdy se numeste element diferential de arie in plan .In acesta relatie avem o succesiune de integrale si NU un produs.

Ex1:

unde domeniul () este marginit de curbele de ecuatii

=

Ex2:

()

EMBED Equation.3

Analog se calculeaza pentru I2 integrand prin parti. EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 24

_1040224143.unknown

_1040478328.unknown

_1366296766.unknown

_1366297217.unknown

_1366305606.unknown

_1366308395.unknown

_1366310340.unknown

_1366389948.unknown

_1366390170.unknown

_1366390368.unknown

_1366390397.unknown

_1366390180.unknown

_1366390020.unknown

_1366389890.unknown

_1366389908.unknown

_1366389457.unknown

_1366309448.unknown

_1366309846.unknown

_1366310339.unknown

_1366309507.unknown

_1366309824.unknown

_1366309481.unknown

_1366308717.unknown

_1366309379.unknown

_1366309214.unknown

_1366308612.unknown

_1366306829.unknown

_1366306909.unknown

_1366307017.unknown

_1366306855.unknown

_1366305735.unknown

_1366306018.unknown

_1366306045.unknown

_1366306375.unknown

_1366305891.unknown

_1366305670.unknown

_1366297399.unknown

_1366300942.unknown

_1366302394.unknown

_1366302730.unknown

_1366302875.unknown

_1366305055.unknown

_1366302616.unknown

_1366301974.unknown

_1366301788.unknown

_1366297498.unknown

_1366299509.unknown

_1366299637.unknown

_1366297652.unknown

_1366297451.unknown

_1366297262.unknown

_1366297305.unknown

_1366297345.unknown

_1366297270.unknown

_1366297243.unknown

_1366297253.unknown

_1366297232.unknown

_1366296923.unknown

_1366296945.unknown

_1366296992.unknown

_1366297135.unknown

_1366296974.unknown

_1366296933.unknown

_1366296937.unknown

_1366296927.unknown

_1366296808.unknown

_1366296885.unknown

_1366296907.unknown

_1366296864.unknown

_1366296777.unknown

_1366296788.unknown

_1366296772.unknown

_1366296449.unknown

_1366296580.unknown

_1366296701.unknown

_1366296755.unknown

_1366296761.unknown

_1366296707.unknown

_1366296601.unknown

_1366296618.unknown

_1366296591.unknown

_1366296532.unknown

_1366296568.unknown

_1366296574.unknown

_1366296548.unknown

_1366296519.unknown

_1366296531.unknown

_1366296496.unknown

_1366285806.unknown

_1366293776.unknown

_1366294130.unknown

_1366294187.unknown

_1366295745.unknown

_1366294166.unknown

_1366293990.unknown

_1366285831.unknown

_1366291271.unknown

_1366285809.unknown

_1040484643.unknown

_1366281916.unknown

_1366285673.unknown

_1366285791.unknown

_1366284966.unknown

_1366285309.unknown

_1366281404.unknown

_1366281853.unknown

_1040485542.unknown

_1366281345.unknown

_1040485630.unknown

_1040484827.unknown

_1040479782.unknown

_1040482830.unknown

_1040484535.unknown

_1040484640.unknown

_1040482928.unknown

_1040479840.unknown

_1040479317.unknown

_1040479553.unknown

_1040478518.unknown

_1040479154.unknown

_1040233708.unknown

_1040377208.unknown

_1040431574.unknown

_1040434390.unknown

_1040434906.unknown

_1040434994.unknown

_1040435089.unknown

_1040434981.unknown

_1040434517.unknown

_1040431576.unknown

_1040431577.unknown

_1040431575.unknown

_1040427599.unknown

_1040429932.unknown

_1040431571.unknown

_1040431573.unknown

_1040430385.unknown

_1040429883.unknown

_1040427235.unknown

_1040427532.unknown

_1040427170.unknown

_1040239120.unknown

_1040241561.unknown

_1040241893.unknown

_1040245221.unknown

_1040245956.unknown

_1040245984.unknown

_1040245879.unknown

_1040242138.unknown

_1040241634.unknown

_1040241144.unknown

_1040241158.unknown

_1040240637.unknown

_1040235024.unknown

_1040238172.unknown

_1040238313.unknown

_1040238730.unknown

_1040238269.unknown

_1040237602.unknown

_1040234300.unknown

_1040234334.unknown

_1040233833.unknown

_1040228617.unknown

_1040232541.unknown

_1040232937.unknown

_1040233063.unknown

_1040233363.unknown

_1040233024.unknown

_1040232712.unknown

_1040232791.unknown

_1040232551.unknown

_1040230046.unknown

_1040230138.unknown

_1040230845.unknown

_1040230124.unknown

_1040229714.unknown

_1040229788.unknown

_1040228868.unknown

_1040225995.unknown

_1040226910.unknown

_1040227779.unknown

_1040228235.unknown

_1040227224.unknown

_1040226357.unknown

_1040226817.unknown

_1040226010.unknown

_1040226030.unknown

_1040225313.unknown

_1040225588.unknown

_1040225615.unknown

_1040225500.unknown

_1040224321.unknown

_1040224534.unknown

_1040224155.unknown

_1040173833.unknown

_1040179271.unknown

_1040181922.unknown

_1040222660.unknown

_1040223102.unknown

_1040223238.unknown

_1040223031.unknown

_1040182221.unknown

_1040222582.unknown

_1040182145.unknown

_1040181244.unknown

_1040181411.unknown

_1040181652.unknown

_1040181359.unknown

_1040180638.unknown

_1040180767.unknown

_1040179626.unknown

_1040176873.unknown

_1040178640.unknown

_1040178837.unknown

_1040179183.unknown

_1040178668.unknown

_1040178443.unknown

_1040178586.unknown

_1040177028.unknown

_1040176187.unknown

_1040176524.unknown

_1040176661.unknown

_1040176350.unknown

_1040174835.unknown

_1040175851.unknown

_1040174716.unknown

_1040152681.unknown

_1040173155.unknown

_1040173591.unknown

_1040173771.unknown

_1040173801.unknown

_1040173629.unknown

_1040173376.unknown

_1040173429.unknown

_1040173235.unknown

_1040170575.unknown

_1040172179.unknown

_1040173109.unknown

_1040171564.unknown

_1040171768.unknown

_1040171141.unknown

_1040165819.unknown

_1040166043.unknown

_1040165786.unknown

_1039926368.unknown

_1040149915.unknown

_1040151694.unknown

_1040152507.unknown

_1040152624.unknown

_1040152102.unknown

_1040150869.unknown

_1040151071.unknown

_1040150731.unknown

_1040149254.unknown

_1040149637.unknown

_1040149668.unknown

_1040149316.unknown

_1040147851.unknown

_1040147861.unknown

_1039933747.unknown

_1040147229.unknown

_1040147824.unknown

_1039933931.unknown

_1039933343.unknown

_1039933618.unknown

_1039841974.unknown

_1039843845.unknown

_1039845033.unknown

_1039846010.unknown

_1039848879.unknown

_1039848880.unknown

_1039848877.unknown

_1039848878.unknown

_1039846011.unknown

_1039845414.unknown

_1039846009.unknown

_1039844240.unknown

_1039844392.unknown

_1039844057.unknown

_1039843271.unknown

_1039843481.unknown

_1039843555.unknown

_1039843279.unknown

_1039843232.unknown

_1039843244.unknown

_1039842471.unknown

_1039842757.unknown

_1039841998.unknown

_1039836617.unknown

_1039836858.unknown

_1039841875.unknown

_1039836703.unknown

_1039816629.unknown

_1039819867.unknown

_1039819943.unknown

_1039818263.unknown

_1039819841.unknown

_1039817655.unknown

_1039814463.unknown

_1039816173.unknown

_1039816357.unknown

_1039814669.unknown

_1039813942.unknown

_1039814324.unknown

_1039813621.unknown

_1039812969.unknown

_1039813295.unknown