Cursul 2

Serii alternate

Definiţia 1. O serie numerică 1

nn

u

se numeşte alternată dacă produsul oricăror doi termeni consecutivi

este negativ, adică 1 0n nu u pentru orice n *N .

O asemenea serie se poate scrie 1

1

1n

nn

u

, cu 0, nu n *N .

Propoziţia 1 (Criteriul lui Leibniz). Fie seria alternată 1

1

1n

nn

u

, unde un 0. Dacă şirul

n nu

*N

este descrescător şi lim 0nn

u

atunci seria dată este convergentă.

Demonstraţie. Fie 2 1 2 2 1 2n n nS u u u u , atunci 2 2 2 2 1n n nS S u 2 2 2n nu S ,

deoarece 2 1 2 2n nu u . Deci 2n nS

N este şir crescător (1).

Din 2 1 2 3 2 2 2 1 2 1n n n nS u u u u u u u , rezultă că 2n nS

N este mărginit (2). Din

(1) şi (2) rezultă că 2n nS

N este şir convergent. Fie

2lim nn

S S

. Deoarece 2 1 2 2 1n n nS S u , avem:

2 1 2 2 1lim limn n nn n

S S u

2lim n

nS

2 1lim n

nu S

, termenul al doilea fiind nul conform ipotezei. În

concluzie, obţinem lim nn

S S

, adică seria 1

1

1n

nn

u

este convergentă.

Exemplu: Seria 1

1

11

n

n n

numită seria armonică alternată este convergentă deoarece satisface

ipotezele criteriului Leibniz. Mai putem spune că ea este numai semiconvergentă, deoarece seria

modulelor termenilor ei este 1

1

n n

, deci seria armonică, serie divergentă.

3. Şiruri şi serii de funcţii

Fie A o mulţime oarecare din R şi : , 1,2,nf A n R un şir de funcţii reale, notat

n nf N

. Fie a A . Valorile funcţiilor în punctul a formează un şir de numere

1 2, , , ,nf a f a f a

Definiţia 3.1. Spunem că un punct a A este punct de convergenţă al şirului n nf N

dacă

şirul de numere n nf a

N este convergent. Mulţimea punctelor de convergenţă ale şirului de

funcţii n nf N

se numeşte mulţimea de convergenţă a şirului şi o notăm cu C.

Pentru fiecare x C notăm cu f(x) limita şirului de numere n nf x

N, deci lim n

nf x f x

.

Stabilim astfel funcţia : , f C R lim nn

f x f x

, care se numeşte funcţia limită pe

mulţimea C a şirului n nf N

şi spunem că şirul n nf N

converge pe mulţimea C către funcţia f.

Pentru simplificare vom considera că şirul converge pe mulţimea A (deci C A ).

Definiţia 3.2. Şirul n nf converge simplu pe A către f, dacă pentru orice şi 0x A

există un număr ,N x , astfel încât pentru orice ,n N x să avem nf x f x .

Definiţia 3.3. Şirul n nf este uniform convergent pe A către f dacă pentru orice 0 există

un număr N , astfel încât oricare ar fi x A şi n N să avem nf x f x .

Observaţie. Numărul ,N x depinde de şi de x la convergenţa simplă, în timp ce la cea

uniformă depinde doar de , nu şi de x. Observaţie. Orice şir uniform convergent e simplu convergent; reciproc nu este adevărat.

Criterii de convergenţă uniformă a şirurilor de funcţii

1. Criteriul I (criteriul general al lui Cauchy): Fie n nf un şir de funcţii definite pe mulţimea A. Şirul

n nf este uniform convergent către o funcţie f pe A dacă şi numai dacă pentru orice 0 există

N număr natural astfel încât pentru orice n N , orice număr natural p şi orice x A să avem

n n pf x f x .

2. Criteriul II: Fie n nf şi n n

g două şiruri de funcţii definite pe mulţimea A şi f o funcţie definită pe

A. Dacă 0u

ng (şirul n ng converge uniform la funcţia zero) şi n nf x f x g x pentru

orice n şi orice x A , atunci u

nf f (şirul n nf converge uniform la f).

Demonstraţie. Fie 0 , din convergenţa uniformă a şirului n ng rezultă că există un rang N

astfel încât pentru orice n N şi orice x A avem 0 ng x . Cum din ipoteză avem

n nf x f x g x , iar n ng x g x se obţine că pentru orice n N şi orice x A

avem nf x f x , deci u

nf f .

Corolar: Fie n nf un şir de funcţii definite pe mulţimea A şi f o funcţie definită pe A. Dacă există un şir

de numere n na astfel încât 0na şi n nf x f x a pentru orice n şi orice x A , atunci

unf f (şirul n n

f converge uniform la funcţia f).

Exemplu 1: Fie şirul de funcţii n nf , unde : 0,nf R , n

xf x

x n

, 0x . Avem

lim lim 0, 0nn n

xf x x

x n

, deci lim 0, 0,n

nf x f x x

. Şirul n n

f nu

converge uniform la f pe 0, pentru că luând 1

3 şi x n N avem

1 1

02 3

n

nf x f x

n n

.

Exemplu 2: Fie şirul de funcţii 1n n

f

, unde :nf R R , cos

n

xf x

n , x R . Avem

cos

lim lim 0,nn n

xf x f x x

n R . Şirul

1n nf

converge uniform la f pe R. Într-adevăr,

trebuie ca pentru orice 0 să existe N număr natural astfel încât pentru n N şi

x R să avem nf x f x . Cum coscos 1

0n

xxf x f x

n n n pentru

11n

şi x R . Luând 1

1N

se verifică definiţia.

Convergenţa uniformă păstrează proprietăţile de continuitate, derivabilitate şi integrabilitate pe care le au

toate funcţiile unui şir n nf şi pentru funcţia limită f a şirului.

Teorema 3.1. Fie n nf un şir de funcţii uniform convergent pe mulţimea deschisă A către funcţia f.

Dacă toate funcţiile nf sunt continue în punctul a A , atunci şi funcţia limită f este continuă în punctul

a.

Teorema 3.2. Fie n nf un şir de funcţii derivabile pe intervalul I. Dacă:

i) şirul n nf este uniform convergent pe I către o funcţie f şi

ii) şirul derivatelor 'nn

f este uniform convergent pe I către o funcţie g,

atunci f este derivabilă pe I şi 'f g .

Teorema 3.3. Fie n nf un şir de funcţii integrabile pe intervalul ,a b . Dacă n n

f converge uniform

pe ,a b către funcţia f, atunci funcţia f este integrabilă pe ,a b şi şirul integralelor b

nan

f x dx

este convergent la b

af x dx , adică lim lim

b b b

n na a an nf x dx f x dx f x dx

.

Serii de funcţii: Şirului de funcţii n nf

N i se asociază şirul sumelor parţiale n n

S , unde

1

n

n kk

S f

este definită pe A prin 1

,n

n kk

S x f x x A

( n nS este tot un şir de funcţii

reale definite pe A).

Definiţia 3.4. Perechea formată de şirul n nf şi de şirul sumelor parţiale n n

S defineşte

seria de funcţii notată 1

nn

f

sau 1 2 nf f f .

Pentru fiecare a A se poate considera seria numerică 1

nn

f a

, formată cu valorile

funcţiilor din şirul n nf în punctul a. Rezultă că o serie de funcţii este echivalentă cu o familie

de serii numerice şi anume pentru fiecare punct din A câte o serie de numere.

Definiţia 3.5. Spunem că seria de funcţii 1

nn

f

este convergentă într-un punct a A dacă

şirul sumelor parţiale n nS este un şir de funcţii convergent în punctul a, punct care se numeşte

punct de convergenţă al seriei.

Observaţie. A spune că a A este punct de convergenţă al seriei 1

nn

f

înseamnă a spune că

şirul de numere n nS a este convergent.

Definiţia 3.6. Seria de funcţii 1

nn

f

este absolut convergentă în punctul a A dacă seria de

numere 1

nn

f a

este absolut convergentă.

Mulţimea formată din toate punctele de convergenţă ale seriei de funcţii 1

nn

f

se numeşte

mulţimea de convergenţă a seriei.

Definiţia 3.7. Fie 1

nn

f

o serie de funcţii definite pe A şi f o funcţie definită pe submulţimea

B A . Spunem că seria 1

nn

f

este simplu convergentă pe B către funcţia f dacă şirul sumelor

parţiale n nS este simplu convergent pe B către f, adică pentru x B şi 0 ,xN natural

astfel încât nS x f x pentru ,xn N , unde 1

n

n kk

S x f x

.

Definiţia 3.8. Seria 1

nn

f

este uniform convergentă pe B către f dacă şirul de funcţii n nS

este uniform convergent pe B către f adică 0 N *N astfel încât pentru x B şi

n N să avem nS x f x .

Funcţia f se numeşte suma seriei 1

nn

f

pe mulţimea B.

Pentru stabilirea convergenţei uniforme a seriilor de funcţii se folosesc următoarele două

criterii:

Criteriul I (Cauchy) O serie de funcţii 1

nn

f

definite pe A este uniform convergentă pe A

dacă şi numai dacă pentru orice 0 există un număr N , astfel încât oricare ar fi n N

, oricare Ax şi oricare ar fi p *N să avem 1 2n n n pf x f x f x .

Criteriul II (Weierstrass) Fie 1

nn

f

o serie de funcţii definite pe A şi 1

nn

a

o serie cu

termenii pozitivi convergentă. Dacă pentru orice *nN şi orice avem n nx A f x a ,

atunci seria 1

nn

f

este uniform convergentă pe A.

Analog şirurilor de funcţii şi la seriile de funcţii, convergenţa uniformă păstrează proprietăţile de

continuitate, derivabilitate şi integrabilitate ale funcţiilor din serie şi pentru suma seriei.

Teorema 3.4. Fie 1

nn

f

o serie de funcţii uniform convergentă la funcţia f pe intervalul ,a b . Dacă

toate funcţiile nf sunt continue pe ,a b , atunci funcţia f este continuă pe ,a b .

Teorema 3.5. Fie 1

nn

f

o serie de funcţii derivabile pe un interval I. Dacă:

i) seria este uniform convergentă pe I către o funcţie f, şi

ii) seria derivatelor 1

nn

f

este uniform convergentă pe I către funcţia g,

atunci f este derivabilă pe I şi 1 1

, sau altfel scris n nn n

f g f f

(se zice că seria se

poate deriva termen cu termen).

Exemplu: Să se afle suma seriei 1

n

n

x

n

pe intervalul ,c c , unde 0 1c .

Soluţie: Fie : ,f c c R suma cerută. Seriile numerice 1

n

n

c

şi 1

1

n

n

c

sunt convergente

(sunt serii geometrice). Avem n

n

xf x

n , ' 1n

nf x x , n

n n

n

xf x x c

n şi

' 1nnf x c pentru orice ,x c c , deci conform criteriului lui Weierstrass seriile

1n

n

f

şi

1n

n

f

sunt uniform convergente. Rezultă din teorema de derivare termen cu termen că

' 1

1 1

1

1

n

nn n

f x f x xx

, ln 11

dxf x x C

x

. Cum 0 0f , rezultă

0C . Aşadar 1

ln 1n

n

xf x x

n

.

Teorema 3.6. Fie 1

nn

f

o serie de funcţii uniform convergentă la funcţia f pe intervalul ,a b .

Dacă toate funcţiile nf sunt integrabile pe ,a b , atunci funcţia f este integrabilă pe ,a b şi seria

numerică 1

b

nan

f x dx

este convergentă şi are suma b

af x dx , adică

1 1

b b b

n na a an n

f x dx f x dx f x dx

(se zice că seria se integrează termen cu termen).