algsem3_rezolvari

7/24/2019 algsem3_rezolvari

1/11

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 1

an univ. 2012=2013

SEMINAR NR. 3, REZOLVARIAlgebra liniara si Geoemetrie analitica

2: SPATII LINIARE (VECTORIALE)2:1: Spatii liniare. Denitii. Exemple

Denitie: Fie (K; +; ) un corp comutativ cu elementul unitate notat 1K sielementul nul notat0K. Fie X 6= ;o multime oarecare. Se numeste spatiu liniar(vectorial)peste K (sau K-spatiu liniar)cvadrupla ordonata (X; ; ;K)unde

: X X ! X8 (x;y) 2 X2; (x;y) x y

este o operatie interna pe X(numit

a adunarea vectorilor) si

: K X ! X8 (;x) 2 K X; (;x) x

este o operatie externa pe X indusa de K (numita nmultirea vectorilor cuscalari);ce verica axiomele:a) (X; )este grup abelian , adica(GA1)8 (x;y; z) 2 X3 : (x y) z= x (y z);(GA2)9X2 X(numit vectorul nul)astfel nct

8x 2 X :x X= X x= x;(GA3)8x 2X; 9 (x) 2 X(numit opusul vectorului x)astfel nct

x (x) = (x) x= X;(GA4)8 (x;y) 2 X2 :x y= y x.b)(SL1)

8(;;x)

2K2

X :

(

x) = (

)

x;

(SL2)8 (;;x) 2 K2 X : ( + ) x= ( x) ( x);(SL3)8 (;x;y) 2 K X2 : (x y) = ( x) ( y);(SL4)8x 2 X : 1K x= x.

Exercitiul 1. Fie(R; +; )corpul comutativ al numerelor reale si R+ = fx 2 R;x> 0g.Denim operatiile:

: R+ R+! R+;8 (x;y) 2 R+2 :x y= x y

: R R+! R+;8 (;x) 2 R R+ : x= x.

Sa se arate ca R+ are o structura de R-spatiu liniar n raport cu operatiiledenite anterior.

Rezolvare. X = R+, K = R. Se observa ca,sunt operatii corect denite.n plus, se verica axiomele (GA1) (SL4).a)R+;

este grup abelian , adica

(GA1)8 (x;y; z) 2R+3

:(x y) z= (x y) z= x (y z) = x (y z);

(GA2)9R+

=1 2 R+ (este vectorul nulpentruR+;

)astfel nct

8x 2 R+: x 1= 1 x= x;(GA3)8x 2 R+; 9x= x1 2 R+(esteopusul vectorului xrelativ la

R+;

)

astfel nct x x1 =x1 x= 1;(GA4)8 (x;y) 2

R+2

:x y= y x.b)(SL1)8 (;;x) 2 R2 R+:


2/11


( x) =x

=x = ( ) x;(SL2)8 (;;x) 2 R

2

R+:( + ) x= x+ =x x = ( x) ( x);(SL3)8 (;x;y) 2 R

R+2

: (x y) = (x y) =x y = ( x) ( y);

(SL4)8x 2 R+: 1R x= x =x.

Exemple de spatii liniare standard:1. (Kn; +; ;K)este un K-spatiu liniar.2. (Mmn(K) ; +; ;K)este un K-spatiu liniar.3. (F(M;X) ; +; ;K)este un K-spatiu liniar, daca (X; +; K)este un K-spatiuliniar.4. (Kn[t] ; +; ;K) este un K-spatiu liniar;

K

[a;b]n [t] ; +; ;K

este un K-spatiu

liniar.A se vedea enunturile exercitiilor 2, 3, 4, 5.

Exercitiul 6. Sa se precizeze care dintre urmatoarele perechi de operatii de-nesc pe R2 o structura de spatiu liniar real:a) + : R2 R2 ! R2;

8 (x;y) 2 R22 : (x1; x2) + (y1; y2) = (x1+ x2; 0R) : R R2 ! R2;

8 (;x) 2 R R2 : (x1; x2) = (x1; x2) :Rezolvare. Vericam axiomele(GA1) (SL4) si observam ca+ nu e operatiecomutativa, adica9 (x;y) 2 X2 astfel nct

(x1; x2) + (y1; y2) = (x1+ x2; 0R) 6= (y1+ y2; 0R) = (y1; y2) + (x1; x2).De exemplu, pentru x = (2; 7) si y= (5; 11).

x + y= (2 + 7; 0R) 6= (5 + 11; 0R) =y + x.

2:2: Subspatii liniare. Denitii, exemple, operatii

Denitie: Fie (X; +; K)un K-spatiu liniar. Se numeste subspatiu liniar al luiXo submultime V Xce satisface axiomele:

(i)8 (x;y) 2 V2 :x + y2 V;(ii)8 (;x) 2 KV : x 2 V:

Exercitiul 7. Sa se precizeze care dintre urmatoarele submultimi ale Rn suntsubspatii liniare ale (Rn; +;

;R)standard:

a) V = fx 2 Rn;x= (x1;:::;xn) ; x1 = 0Rg ;b) V = fx 2 Rn;x= (x1;:::;xn) ; x1 = 1Rg :Rezolvare. a)Vericam axiomele:(i)8 (x;y) 2 V2 :x + y2 V:

Fie8 (x;y) 2 V2 ) [x= (x1;:::;xn) ; x1= 0R si y = (y1;:::;yn) ; y1 = 0R] )[x + y= (x1+ y1;:::;xn+ yn) ; x1+ y1= 0R+ 0R= 0R] ) x + y2V:(ii)8 (;x) 2 R V : x 2 V:

Fie8 (;x)2 RV) [2 R si x = (x1;:::;xn) ; x1 = 0R]) [x =(x1;:::;xn) ; x1 = 0R= 0R] ) x 2V:

Ve subspatiu liniar al (Rn; +; ;R) :b)Nu se verica (i)) Vnu e subspatiu liniar al (Rn; +; ;R) :


3/11


Exercitiul 8. Fieaij2 R; i= 1; m ; j = 1; n:Fie sistemul liniar omogen()

nXj=1

aijxj = 0; i= 1; m:

Sa se arate ca multimea solutiilor acestui sistem formeaza un subspatiu liniarreal al spatiului (Rn; +; ;R)standard.

Rezolvare. () ,8


4/11


axiomele:

(i)8 (A;B) 2 (Ms

n(K))

2

:A + B 2 V:Fie8 (A;B)2 (Msn(K))2 ) [AT = A si BT = B]) [(A + B)T = AT +BT =A + B] ) A + B 2 Msn(K) :(ii)8 (;x) 2 K Msn(K) : A 2 Msn(K) :

Fie8 (;x)2 K Msn(K)) [2 K si AT = A]) [(A)T = AT =A] ) A 2 Msn(K) :Aratam caMan(K) este subspatiu liniar al lui (Mn(K) ; +; ;K). Vericamaxiomele:(i)8 (A;B) 2 (Man(K))2 :A + B 2 Man(K) :

Fie8 (A;B)2 (Man(K))2 ) [AT =A si BT =B]) [(A + B)T =AT + BT = (A + B)] ) A + B 2 Man(K) :(ii)8 (;x) 2 K Man(K) : A 2 Man(K) :

Fie8 (;x)2 K Ma

n(K)) [2 K si AT

=A]) [(A)T

= AT

= (A)] ) A 2 Man(K) :Fie A 2 Mn(K). Cautam o matrice As2 Msn(K) si o matrice Aa2 Man(K)astfel nct A= As+ Aa. Cum

A= As+ AajT ) AT =As Aaobtinem As = (2K)

1 A + AT

si Aa = (2K)

1 AAT. Observam ca pen-

tru A2 Mn(K), As = (2K)1A + AT

2 Msn(K) (deoarece ATs = As) siAa= (2K)

1 AAT 2 Man(K) (deoareceATa = Aa).

Mai mult, descompunerea e unica. n adevar, efAs2 Msn(K) sifAa2Man(K)astfel nct A=fAs+fAa. Urmand acelasi procedeu ca n paragrafulanterior obtinem

fAs = (2K)

1

A + AT

= As si

fAa = (2K)

1

AAT

=

Aa.

Observatie. La examen, poate aparea un exercitiu gen Exercitiul 10din Seminarnr. 2- Enunturi.

Exercitiul 11. Fie (F([a; b] ;R) ; +; ;R) spatiul liniar real al functiilor f :[a; b]!R. Care din multimile de mai jos au o structura de subspatiu liniar alspatiului dat:a)multimea functiilor marginite pe [a; b];Rezolvare. Reamintim ca functia f : [a; b]! R este marginita pe [a; b] daca9M >0 astfel nct

jf(x)j M; 8x 2 [a; b].Notam V = ff2 F([a; b] ;R) ; fe marginita pe [a; b]g :Aratam ca V este subspatiu liniar al lui (F([a; b] ;R) ; +; ;R). Vericam ax-iomele:(i)8 (f;g) 2 V2 :f+ g2 V:

Fie8 (f;g) 2 V2 )[9M1 > 0 astfel nctjf(x)j M1; 8x 2 [a; b] si9M2 > 0 astfel nctjg (x)j M2; 8x 2 [a; b]] )[9M =M1+ M2 > 0 astfel nct

j(f+ g) (x)j =jf(x) + g (x)j jf(x)j + jg (x)j M1+ M2 = M ; 8x2[a; b]] ) f+ g2 V:(ii)8 (; f) 2 R V : f2 V:

Fie8 (; f) 2 RV )[ 2 R si9M >0 astfel nctjf(x)j M1; 8x 2 [a; b]] )


5/11


[ 2 Rsi9M0 = jj M >0 astfel nctj(f) (x)j = j f(x)j = jj jf(x)j jj M; 8x 2 [a; b]] ) f2 V:

2:3: Dependenta si independenta liniara pentru un sistem de vectori

Denitie: Fie(X; +; K)este un K-spatiu liniar siS= (v1; :::;vn) X (notatie:() = fg +ordine).a) Spunem ca sistemul de vectori S este liniar dependent (vectorii v1; :::;vnsunt liniar dependenti)daca9 (1;:::;n) 2 Kn n fKngastfel nct

1v1+ ::: + nvn = X:b)Spunem ca sistemul de vectori Seste liniar independent (vectorii v1; :::;vnsunt liniar independenti)daca

1v1+ ::: + nvn = X)

(1;:::;n) =Kn ca si unica solutie.

Exercitiul 12. Sa se studieze dependenta sau independenta liniara pentrusistemele de vectori din spatiile liniare specicate:b)((2; 3; 1) ; (0; 2; 1) ; (1; 1; 1))nR3; +; ;R;Rezolvare. X = R3;K = R:Fie

S= (v1 = (2; 3; 1) ;v2 = (0; 2; 1) ;v3 = (1; 1; 1)).Cautam(1; 2; 3) 2 R3 astfel nct

1v1+ 2v2+ 3v3= R3,1(2; 3; 1) + 2(0; 2; 1) + 3(1; 1; 1) = (0; 0; 0) ,(21+ 02 3; 31 22 3; 1+ 2 3) = (0; 0; 0) ,8


6/11


1v1+ 2v2+ 3v3= R4,1(2; 1; 3; 1) + 2(1; 2; 0; 1) + 3(1; 1; 3; 0) = (0; 0; 0; 0) ,(21+ 2 3; 1+ 22+ 3; 31+ 02 33; 1+ 2+ 03) = (0; 0; 0; 0) ,8>>>:

21+ 2 3 = 01+ 22+ 3 = 031+ 02 33= 01+ 2+ 03 = 0

Ultimul sistem este un sistem liniar omogen n necunoscutele 1; 2; 3, careadmite macar solutia nula (1; 2; 3) = (0; 0; 0). Studiem daca admite si altesolutii.

modul2:

0BB@

j2j 1 11 2 13 0 31 1 0

0000

1CCA

pas1l1

l1+ 2l23l1+ 2l3l1+ 2l4

0BB@

2 1 10 j3j 30 3 30 1 1

0000

1CCA

pas2l1

l2l2+ l3l2+ 3l40BB@

2 1 10 3 30 0 00 0 0

0000

1CCA) rang A = 2 < 3) sistemul este compatibil simplu nedeterminat si admitesi alte solutii dect solutia nula (1; 2; 3) = (0; 0; 0)) v1;v2;v3 sunt vectoriliniar dependenti.

Mai mult, din rezolvarea sistemului putem obtine si o relatie de dependentaliniara ntre vectori.

21+ 2 3 = 032+ 33 = 0 ) 8


7/11


modul1: Calculamdet A= 8 2 1

1

1 1

7 3 1 = 0. Observam ca 8 21 1 =6 6= 0 )sistemul este compatibil simplu nedeterminat si admite si alte solutiidect solutia nula (1; 2; 3) = (0; 0; 0)) v1;v2;v3 sunt vectori liniar depen-denti.

Mai mult, din rezolvarea sistemului putem obtine si o relatie de dependentaliniara ntre vectori. Alegem 3 = 2 2 Rdrept necunoscuta secundara)

81+ 22 = 21 2 = 2 )

8


8/11


8>>>:21+ 2+ 03 = 0

2

1 4

2 4

3= 0

41+ 52+ 43= 061+ 32+ 83 = 0

Ultimul sistem este un sistem liniar omogen n necunoscutele 1; 2; 3, careadmite macar solutia nula (1; 2; 3) = (0; 0; 0). Studiem daca admite si altesolutii.

modul2:

0BB@j2j 1 02 4 44 5 4

6 3 8

0000

1CCA pas1l1

l2+ l1l3 2l1l4+ 3l1

0BB@2 1 0

0 j3j 40 3 40 6 8

0000

1CCA pas2l1l2

l3+ l2l4+ 2l2

0BB@ 2 1 00 3 40 0 00 0 0

0000

1CCA) rang A = 2 < 3) sistemul este compatibil simplu nedeterminat si admitesi alte solutii dect solutia nula (1; 2; 3) = (0; 0; 0)) v1;v2;v3 sunt vectoriliniar dependenti.

Mai mult, din rezolvarea sistemului putem obtine si o relatie de dependentaliniara ntre vectori.

21+ 2+ 03 = 032 43 = 0 )

8>>:1 = 0

1

+ 22

= 032 = 1

1+ 3 = 0Ultimul sistem este un sistem liniar neomogen n necunoscutele 1; 2; 3. Ob-servam ca e incompatibil)u1 = t2 =2 [S], adicau1 = t2 nu se poate scrie dreptcombinatie liniara de polinoamelev1 = t3 t + 1;v2 = 3t2 + 2t;v3 = t3:Studiem daca u2 = t 1 2 [S]. Cautam(1; 2; 3) 2 R3 astfel nct

1v1+ 2v2+ 3v3= u2,1

t3 t + 1+ 2 3t2 + 2t+ 3 t3 =t 1; 8t ,1+ (1+ 22) t + 32t2 + (1+ 3) t3 =t 1; 8t ,8>>>:

1 = 11+ 22 = 1

32 = 0

1+ 3 = 0Ultimul sistem este un sistem liniar neomogen n necunoscutele 1; 2; 3. Ob-servam ca (1; 2; 3) = (1; 0; 1)e unica solutie, adica

u2 = t 1 =v1+ 0v2+ v32 [S], adica u2 = t 1se poate scrie dreptcombinatie liniara de polinoamelev1 = t3 t + 1;v2 = 3t2 + 2t;v3 = t3:

algsem3_rezolvari

Documents

Transcript of algsem3_rezolvari