7/24/2019 algsem1_enunturi

1/3

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 1

an univ. 2012 = 2013

SEMINAR NR. 1, ENUNTURIAlgebra liniara si Geometrie analitica

1. Sa se precizeze care dintre urmatoarele matrice se pot aduna :

a) A =

25

si B =

3 7

;

b) A=

3 7

si B =

25

;

c) A=

2 1

3 5

si B =

1 7

3 2

:

2. Se dau matricele:

A= 2 1

3 5 si B =

1 7

3 2 :

Sa se calculeze, daca este posibil, produseleABsiBA: Este adevarata egalitateaAB= BA?

3. Sa se calculeze, daca este posibil, urmatoarele produse de matrice, si sa secomenteze rezultatele relativ la dimensiunile matricei produs:

a) AB =

25

3 7

;

b) AB=

3 7 2

5

;

c) AB=

2 1

3 5

1 7

3 2

:

4. Demonstrati asociativitatea operatiei de nmultire a matricelor.

5. Fie matriceleA;B; C; D

A=

0@ 3 01 2

1 1

1A ; B=

0@ 1 5 21 1 0

4 1 3

1A ; C=

0@ 3 12 1

4 3

1A ; D=

4 12 0

:

Calculati acele matrice dintre cele enumerate mai jos care sunt denite: A+B; A+C; AB;BA; CD;DC; D2:

6. Fie matricele

A=

0

@

1 21 10 2

1

A; B=

3 2

6 4

; C=

5 41 2

Calculati, daca este posibil, urmatoarele matrice:a)2B;b) C; c) 3A;d) C 3A;e) C 3B;f )AB ; g) B A; h) BC;i) C B:n cazul n care calculul nu se poate face, explicati de ce.j)Calculati, daca este posibil, matricea(AC)T si vericati ca (AC)T =CTAT:

7:Fie 8A; B 2 Mn(R) :Sa se demonstreze ca(A+B) (A B) = A2 B2 ,A B= B A:

8:Fie A =

a bc d

2 M2(R) :Sa se demonstreze ca

A2 (a+d) A+ (ad bc) I2 = Mmn(K):

7/24/2019 algsem1_enunturi

2/3

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 2

9:Fie A = 4 3

1 0

2 M2(R) :Folosind relatiaA2 = 4A 3I2

si inductia matematica, sa se demonstreze ca

An = 3n 1

2 A+

3 3n

2 I2; 8n 2 N2:

10:Sa se calculeze determinantii:

a)

2 1 33 :2 02 1 2

; b)

2 2 1 11 3 3 21 0 9 13 4 2 0

; c)

1 1 0 22 1 1 13 0 0 11 1 2 1

11. FieA 2 M7(R)cu det A= 17:Sa se calculeze det 3A

2

:12. Sa se determine, daca exista, inversele matricelor

a) A =

0@ 2 2 31 1 0

1 2 1

1A ;b)

0BB@

1 0 1 10 0 1 01 1 1 01 0 0 2

1CCA ;

c)A=

0@ 1 4 31 5 3

1 6 4

1A, Rasp. A1 =

0@ 2 2 31 1 0

1 2 1

1A ;

d)A =

0@ 1 1 10 2 1

1 0 1

1A Rasp. A1 =

0@ 2 1 11 0 1

2 1 2

1A ;

e) A =

0BB@1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

1CCA Rasp. A1 =0BB@

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

1CCA ;

f) A =

0BB@

1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1

1CCA Rasp. A1 =

0BB@

1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1

1CCA ;

g)A =

0BB@

1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1 1 1 1

1CCA Rasp. @A1.

13: Fie A =

1 24 8

2 M2(R) : Presupunem ca B =

a bc d

este o

inversa a lui A: Ce concluzie tragem din conditia A B= I2?

14. Este unica inversa unei matrice? Justicati raspunsul.

15. Fie A si B doua matrice nesingulare de aceeasi dimensiune. Aratati camatriceaAB este nesingulara si

(A B)1 =B1 A1:

16. FieA 2 Mn(R) si B 2 Mn(R)doua matrice care satisfac relatiile

7/24/2019 algsem1_enunturi

3/3

Gabriela Grosu / Algebra liniara si Geometrie analitica 3

A2 =B2 = (A B)2

= In:

Demonstrati caA B= B A:

17. Fie

A=

0@ 0 1 00 0 1

5 0 0

1A :

Vericati caA3 = 5I3;deduceti caAete nesingulara si gasiti A1:

18:Sa se determine rangul urmatoarelor matrice:

a) A =

0

@3 2 5 43 1 3 33 5 13 11

1

A; b) A =

0

BB@

1 1 1 1 13 2 1 1 30 1 2 2 6

5 4 3 3 1

1

CCA;

c)A=

0@ 3 2 12 1 1

6 2 4

1A Rasp. rang A= 2;

d)A =

0@ 1 2 1 11 2 1 1

1 2 1 5

1A Rasp. rang A= 2;

e) A =

0BB@

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

1CCA Rasp. rang A= 1: