UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI Facultatea de Matematică şi Informatică Catedra de Algebră

Programul de Masterat

ALGEBRĂ ŞI TEORIA NUMERELOR

pe perioada 2008 – 2010

UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI PROGRAMA ANALITICA

a probei scrise la concursul de ADMITERE LA MASTER pentru anul universitar 2008/2009 la modulul:

ALGEBRA SI TEORIA NUMERELOR Grupuri: Grup, subgrup, morfisme de grupuri. Relatii de echivalenta pe un grup in raport cu un subgrup. Teorema lui Lagrange. Subgrup normal, grup factor. Teoremele de izomorfism pentru grupuri. Ordinul unui element intr-un grup. Grupuri ciclice. Grupul permutarilor unei multimi finite. Cicluri, descompunerea unei permutari in produs de cicli si de transpozitii. Inele si corpuri: Inel, subinel, ideal. Morfisme de inele. Inel factor. Teoreme de izomorfism pentru inele. Corp, subcorp, morfisme de corpuri. Caracteristica unui corp. Ideale prime si maximale. Inele de fractii. Inele de polinoame in una sau mai multe nedeterminate. Polinoame simetrice, teorema fundamentala a polinoamelor simetrice (demonstratia existentei) Proprietati aritmetice ale inelelor: Divizibilitate in inele. Inele factoriale. Inele principale si inele euclidiene. Factorialitatea inelelor de polinoame (schita demonstratiei). Criterii de ireductibilitate pentru polinoame. Module si spatii vectoriale: Module peste un inel, submodule si morfisme de module. Modul factor. Teoreme de izomorfism pentru module. Baza si dimensiune pentru spatii vectoriale: proprietati. Determinanti si sisteme de ecuatii liniare: Determinanti: proprietati. Determinantul produsului a doua matrice. Matrice inversabile. Rangul unei matrice. Compatibilitatea sistemelor de ecuatii liniare. Sisteme liniare omogene. Rezolvarea sistemelor compatibile. Teorie Jordan: Matrice aritmetic echivalente. Forma diagonal-canonica a unei matrice cu coeficienti intr-un inel euclidian. Matrice asemenea. Forma canonica Jordan. Polinom caracteristic, polinom minimal. Teorema Hamilton-Cayley. Teorema Frobenius. Vectori si valori proprii. Extinderi de corpuri si elemente de teorie Galois: Extinderi algebrice si transcendente. Extinderi finite. Corpul de descompunere al unui polinom. Corpuri algebric inchise. Teorema fundamentala a algebrei (schita demonstratiei). Inchiderea algebrica a unui corp. Extinderi normale si separabile. Teorema fundamentala a teoriei lui Galois (schita demonstratiei).

Bibliografie [1] Ion D. Ion, N. Radu; Algebra, EDP, Bucuresti, 1981. [2] C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu; Bazele Algebrei Vol 1, Ed. Academiei, 1986. [3] C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu; Aritmetică şi Algebră, EDP, Bucuresti, 1992 [4] Ion D. Ion, C. Nita, D. Popescu, N. Radu, Probleme de algebra, EDP, Bucuresti, 1981 [5] C. Baetica, S. Dascalescu, Probleme de algebra, Tip. Univ. Bucuresti, 1993.

2

Proba a II-a (examen oral) la concursul de ADMITERE LA MASTER, anul universitar 2008-2009, modulul :

ALGEBRA SI TEORIA NUMERELOR Exemple orientative de subiecte 1. Inele si module noetheriene. 2. Inele si module artiniene. 3. Module de lungime finita. 4. Ideale prime asociate. Descompunere primara. 5. Module proiective. 6. Module injective. 7. Module plate. 8. Extinderi intregi de inele. 9. Extinderi transcendente de corpuri. Baza de transcendenta. Teorema lui Hilbert a zerourilor. 10. Inele de valuare discreta si inele Dedekind. 11. Numere prime, teorema fundamentala a aritmeticii, functii aritmetice, aplicatii. 12. Sirul numerelor prime, inegalitatile lui Cebasev, postulatul lui Bertrand, aplicatii. 13. Congruente polinomiale, radacini primitive modulo n, resturi patratice, legea recipocitatii patratice, aplicatii. 14. Numere algebrice, inele de intregi patratici. Aplicatii la rezolvarea unor tipuri de ecuatii diofantice. Ecuatia lui Pell. 15. Reprezentarea numerelor intregi sub diverse forme: sume de patrate, anumite forme patratice binare etc. 16. Echivalenta si dualitate de categorii. Exemple. 17. Teorema lui Hopkins. 18. Module si inele semisimple. 19. Teoria lui Morita. 20. Radicalul Jacobson al unui inel. 21. Teoreme de densitate. Teorema de structura a inelelor. 22. Grupul lui Brauer. 23. Corpuri neutralizante. 24. Reprezentari decompozabile. Teorema lui Maschke. 25. Caracterele unei reprezentari. Proprietati aritmetice ale caracterelor. 26. Lema lui Schur. Relatiile de ortogonalitate ale lui Schur. 27. p-Grupuri si teoremele lui Sylow. 28. Grupuri rezolubile. 29. Teorema lui Burnside. 30. Table de caractere. 31. Criterii de constructibilitate cu rigla si compasul. 32. Constructibilitatea poligoanelor regulate. 33. Corpuri ordonabile, corpuri real inchise, teorema fundamentala a algebrei. 34. Numarul radacinilor reale ale unui polinom cu coeficienti reali. 35. Functori reprezentabili.

3

36. Functori adjuncti. 37. Limite proiective si inductive. 38. Categorii abeliene. 39. Valuarile, grupul lui Galois si subcorpurile intermediare ale unei extinderi transcendente simple. 40. Divizori primi, divizori, gradul si lungimea unui divizor (pentru un corp de functii algebrice de o variabila) 41. Genul si clasa canonica a unui corp de functii algebrice de o variabila. 42. Gradul si norma clasei canonice pentru un corp de functii algebrice de o variabila, genul si clasa canonica pentru o extindere transcendenta simpla. 43. Domenii atomice. 44. Domenii ce satisfac ACCP. 45. Domenii BFD, FFD, HFD. 46. Elasticitatea unui domeniu atomic. 47. Domenii pre-Schreier. 48. Domenii factoriale. 49. Domenii Prufer. 50. Constructia A+XB[X]. Nota : Candidatii vor prezenta la intrarea in examen un numar de 8 subiecte (dintre cele de mai sus sau alte subiecte de nivel comparabil cu al celor de mai sus) din domeniul algebrei si teoriei numerelor, din care se va desfasura examinarea.

BIBLIOGRAFIE 1. I. D. Ion, N. Radu - Algebra, Ed. Didactica si Pedagogica, 1991. 2. C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu - Bazele Algebrei, Ed. Academiei. 3. I.D.Ion, C.Nita, D.Popescu, N.Radu – Probleme de algebra, Ed. Didactica si pedagogica. 4. R. Gilmer - Multiplicative Ideal Theory, Marcel Dekker, 1972. 5. D. D. Anderson - Factorization in integral domenius, Lectures Notes in Pure and Appl. Math. Nr. 189, Marcel Dekker, 1997. 6. C. Nastasescu – Inele, module, categorii, Ed. academiei, 1976. 7. I. D. Ion, C. Nita, S. Buzeteanu - Capitole speciale de algebra comutativa. 8. T. Albu, N. Manolache - 19 lectii de teoria grupurilor. 9. T. Albu, I. D. Ion, Capitole de teoria algebrica a numerelor, Ed. Academiei, 1984. 10. V. Alexandru, M. Gosoniu, Elemente de teoria numerelor, Ed. Univ. Bucuresti,

1999. 11. L. Panaitopol, A. Gica, Probleme celebre in teoria numerelor, Ed. Univ.

Bucuresti, 1998.

4

Facultatea de Matematică şi Informatică

Catedra de Algebră

PROGRAM DE MASTERAT

ALGEBRĂ ŞI TEORIA NUMERELOR

Justificarea programului:

Programul îşi propune iniţierea studenţilor în direcţii actuale de cercetare din teoria algebrelor Hopf şi a grupurilor cuantice, teoria inelelor, teoria numerelor şi algebra comutativă. Sunt prezentate atât teorii şi tehnici clasice, cu scopul de a crea o bază algebrică solidă, cât şi dezvoltării recente ale acestora şi direcţii actuale de cercetare, cu scopul de a familiariza studenţii cu teme moderne de investigaţie ştiinţifică. În ultimii 20 de ani au fost evidenţiate legături interesante între algebră, combinatorică şi fizica teoretică. În cadrul cursurilor din acest program, vor fi demonstrate rezultate foarte recente, care ilustrează aceste legături. Unul dintre obiectivele programului este ca în cadrul cursurilor, în special în al III-lea semestru, studenţii să fie cooptaţi la proiecte de cercetare în direcţii actuale de studiu. Li se vor propune studenţilor probleme de cercetare care vor putea eventual să fie continuate şi dezvoltate ulterior în cadrul unui program doctoral. Acest sistem a funcţionat bine în anii precedenţi la programul de master organizat de Catedra de Algebră. Un număr important de studenţi la acest program au participat la proiecte de cercetare în ţară, dar şi la universităţi din Belgia, Canada, SUA, Spania, Italia, Germania, unde au beneficiat de burse de studiu.

5

Cadrele didactice ale catedrei care vor ţine cursuri la master

şi domeniile de interes ştiinţific

Prof. Dr. Constantin Năstăsescu: Teoria Categoriilor, Inele graduate, Teoria inelelor, Algebre Hopf, Algebra omologică Prof. Dr. Constantin Niţă: Teoria inelelor şi modulelor, Algebră necomutativă, Teoria categoriilor Prof. Dr. Laurenţiu Panaitopol: Distribuţia numerelor prime şi probleme de teoria aditivă a numerelor Prof. Dr. Constantin Vraciu: Teoria valuării, Teoria inelelor, Teoria algebrică a numerelor Prof. Dr. Sorin Dăscălescu: Algebre Hopf, Grupuri cuantice, Teoria inelelor Prof. Dr. Dragoş Ştefan: Algebre Hopf, Algebră Omologică Prof. Dr. Gigel Militaru: Teoria inelelor, Algebre Hopf, Grupuri cuantice Conf. Dr. Victor Alexandru: Teoria valuării, Corpuri locale, Teoria algebrică a numerelor Conf. Dr. Tiberiu Dumitrescu: Teoria multiplicativă a idealelor, Algebre locale Conf. Dr. Cornel Băeţica: Combinatorică în algebră, Inele comutative Conf. Dr. Alexandru Gica: Teoria algebrică a numerelor, Teoria aditivă a numerelor Lect. Dr. Daniel Bulacu: Algebre Hopf, Grupuri cuantice, Teoria inelelor

6

PLAN DE ÎNVĂŢĂMÂNT Master: ALGEBRĂ ŞI TEORIA NUMERELOR Semestrul I: 1. Algebre asociative 2c+1s, E, 7.5 cred 2. Metode moderne în algebra necomutativă I

(Teoria categoriilor). 2c+1s, E, 7.5 cred 3. Inele comutative I 2c+1s, E, 7.5 cred 4. Metode analitice în teoria numerelor 2c+1s, E, 7.5 cred Semestrul II: 1. Algebre Hopf I 2c+1s, E, 7.5 cred 2. Metode moderne în algebra necomutativă II (Metode

omologice şi geometrice în algebra necomutativă). 2c+1s, E, 7.5 cred 3. Inele comutative II (Inele Cohen - Macaulay). 2c+1s, E, 7.5 cred 4. Teoria corpului claselor I 2c+1s, E, 7.5 cred Semestrul III: 1. Algebre Hopf II 2c+1s, E, 7.5 cred 2. Metode moderne în algebra necomutativă III

(Grupuri cuantice) 2c+1s, E, 7.5 cred 3. Legi de reciprocitate 2c+1s, E, 7.5 cred 4. Teoria corpului claselor II. 2c+1s, E, 7.5 cred

7

PROGRAMELE ANALITICE ŞI PREZENTAREA CURSURILOR Titlul cursului: ALGEBRE ASOCIATIVE Durata cursului: 1 semestru (semestrul I) Nr. ore total: curs 28 ore, seminar 14 ore Forma de examinare: examen scris Obiectivul cursului: Prezentarea noţiunilor şi a rezultatelor fundamentale necesare în studiul inelelor necomutative. Acestea sunt fundamentale pentru cursurile de algebre Hopf şi grupuri cuantice din semestrele II şi III. Programa analitică: − Condiţii de finitudine pentru inele şi module − Radicalul Jacobson − Inele semisimple, teorema Wedderburn - Artin − Descompuneri indecompozabile de modele, teorema Azumaya − Teorema de densitate − Grupuri Brauer − Inele regulate von Neumann − Generatori şi cogeneratori − Inele perfecte şi semiperfecte − Inele semilocale BIBLIOGRAFIE: [1] F. Anderson, K. Fuller, “Rings and categories of modules”, Springer - Verlag, 1973 [2] I. D. Ion, C. Niţă, Ş. Buzeţeanu, “Capitole speciale de algebră modernă”, Tipografia Universităţii Bucureşti, 1974 [3] T. Y. Lam, „Lectures in modules and rings”, Springer - Verlag, 1998 [4] C. Năstăsescu, “Inele. Module. Categorii”, Ed. Academiei, 1976

8

Titlul cursului: METODE MODERNE ÎN ALGEBRA NECOMUTATIVĂ. Durata cursului: 3 semestre. Nr. ore total: semestrul I: curs 28 ore, seminar 14 ore; semestrul II: curs 28 ore, seminar 14 ore; semestrul III: curs 20 ore, seminar 10 ore. Forma de examinare: examen scris la sfârşitul fiecărui semestru. Obiectivul cursului: Cursul îşi propune prezentarea unor tehnici şi rezultate noi în studiul algebrelor asociative. În prima parte sunt prezentate tehnici de teoria categoriilor, incluzând dezvoltările foarte recente în direcţia categoriilor braided, care au aplicaţii în clasificarea algebrelor Hopf, în teoria grupurilor cuantice şi la ecuaţii neliniare. Este prezentată teoria Morita clasică. În a doua parte se face o introducere în studiul algebrelor asociative necomutative folosind metode omologice sau inspirate din geometria diferenţială şi algebrică. După prezentarea rezultatelor omologice preliminare ( (co)omologia complexelor, functori derivaţi) se vor defini (co)omologia Hochschild şi (co)omologia ciclică pentru algebrele asociative. Folosind formele diferenţiale se vor studia algebrele de dimensiune Hochschild mică (separabile şi formal netede) şi se vor construi clasele Chern (pentru algebre necomutative). În a treia parte sunt prezentate elemente din teoria grupurilor cuantice şi aplicaţii la rezolvarea ecuaţiei Yang-Baxter cuantice, provenită din fizică, precum şi la clasificarea algebrelor Hopf finit dimensionale. Programa analitică: Partea I (semestrul I): Teoria categoriilor − Echivalenţă de categorii. Teorie Morita. − Functori adjuncţi. − Categorii abeliene şi categorii Grothendieck. − Teorema Gabriel-Popescu. − Categorii monoidale. − Categorii braided. − Teorii de torsiune. BIBLIOGRAFIE: [1] I. D. lon, C. Niţă, Ş. Buzeţeanu, „Capitole speciale de algebră modernă”, Tipografia Universităţii Bucureşti, 1984. [2] C. Kassel, „Quantum groups”, Springer-Verlag, 1995. [3] S. Mac Lane, "Categories for the working mathematician", Springel-Verlag, 1998. [4] C. Năstăsescu, „Inele. Module. Categorii”, Ed. Academiei, 1976. Partea II (semestrul II): Metode omologice şi geometrice în algebra necomutativă − Preliminarii omologice: (co)omologia complexelor, rezoluţii proiective şi

injective, functori derivaţi, ExtA*(-, -) şi Tor A* (-, -).

− Algebre diferenţiale graduate. − Forme diferenţiale Kähler (cazul algebrelor comutative).

9

− Forme diferenţiale şi extinderi universale pentru algebre necomutative. − (Co)omologia Hochschild. − Caracterizarea algebrelor de dimensiune Hochschild 0 (algebre separabile). − Caracterizarea algebrelor de dimensiune Hochschild ≤ 1 (algebre

necomutative formal netede). − Conexiuni şi conexiuni fără torsiune. − (Co)omologia ciclică. − Construcţia claselor Chern. BIBLIOGRAFIE: 1. C. Weybel, „An introduction to homological algebra”, Cambridge University Press 1994. 2. J. Cuntz şi D. Quillen, „Algebra extensions and nonsingularity”, Journal of the AMS, 8 (1995), 251-290. 3. J. Cuntz şi D. Quillen, „Cyclic homology and nonsingularity”, Journal of the AMS, 8 (1995), 373-442. Partea III (semestrul III): Grupuri cuantice. − Ecuaţia cuantică Yang-Baxter. − Algebre Hopf (co)quasi-triangulare. − Module Yetter-Drinfel'd şi dublul Drinfel'd. − Teorema FRT. − Antipodul unei algebre Hopf (co)quasi-triangulare. − Ecuaţia de fuziune şi dublul Heisenberg. − Planul cuantic şi simetriile sale. − Algebra envelopantă cuantică şi reprezentările lui ( )( )2qU sl . − Categorii braided monoidale şi teoreme de reconstrucţie Tannaka-Krein. − Grupoizi cuantici. BIBLIOGRAFIE: [1] C. Kassel, "Quantum Groups", Springer-Verlang 1995. [2] L. Lambe şi D. Radford, "Introduction to the quantum Yang-Baxter equation and quantum groups: an algebraic approach", Kluwer Academic Publishers, 1997. [3] S. Majid, "Foundations of quantum groups theory", Cambridge Univ. Press, 1995.

10

Titlul cursului: INELE COMUTATIVE Durata: 2 semestre Nr. ore total: semestrul I: curs 28 ore, seminar 14 ore; semestrul II: curs 28 ore, seminar 14 ore. Forma de examinare: examen scris la sfârşitul fiecărui semestru. Obiective: În prima parte cursul îşi propune să prezinte conceptele de bază din algebra comutativă, precum şi clase principale de inele cu care se lucrează în acest domeniu. Tehnicile studiate sunt utile atât studenţilor care urmează un curs de teoria numerelor, cât şi celor care se iniţiază în studiul geometriei algebrice. Partea a doua prezintă concepte avansate din teoria inelelor comutative, îndrumând astfel studenţii către studiul unor lucrări recente din acest domeniu. Este inclus studiul idealelor monomiale cu scopul iniţierii cursanţilor în studii actuale din teoria inelelor comutative şi pentru iniţierea lor în folosirea calculatorului pentru calculul unor invarianţi numerici. De asemenea, o bună parte din aceste concepte sunt utile în studiul algebrelor Hopf comutative. Partea I (semestrul I): Inele comutative. − Ideale prime, ideale maximale. − Inele şi module de fracţii. − Module noetheriene şi module artiniene. − Descompunerea primară în inele noetheriene. − Extinderi întregi, teoremele Krull-Cohen-Seidenberg. − Teorema idealului principal. − Dimensiunea Krull a unui inel noetherian. BIBLIOGRAFIE: 1. T. Albu, Ş. Raianu, „Lecţii de algebră comutativă”, Bucureşti, 1984. 2. D. Eisenbud, „Comutative algebra with a view toward algebraic geometry”, Springer, 1995. 3. R. Gilmer, „Multiplicative Ideal Theory”, Dekker, New York 1974. 4. I. Kaplansky, „Commutative Rings”, University of Chicago Press, 1974.

11

Partea II (semestrul II): Inele Cohen-Macaulay − Şiruri regulate. Noţiunile de grade şi depth. − Inele şi module Cohen-Macaulay. − Algebre graduate, rezoluţii libere graduate, invarianţi numerici. − Funcţii şi serii Hilbert ale modulelor graduate peste algebre graduate. − Ordini monomiale şi ideale iniţiale în inele de polinoame. − Baze Groebner şi algoritmul Buchberger. − Clase speciale de inele Cohen-Macaulay: inele Stanley-Reisner, inele afine

semigrupale, inele de invarianţi. BIBLIOGRAFIE: 1. T. Albu, Ş. Raianu, „Lecţii de algebră comutativă”, Bucureşti 1984. 2. C. Băeţica, „Combinatorics of determinantal ideals”, Nova Science Publ. 2006. 3. W. Bruns, J. Herzog, „Cohen-Macaulay”, Cambridge 1998. 4. D. Eisenbud, „Commutative algebra with a view towards algebraic geometry”, Springer, 1995.

12

Titlul cursului: METODE ANALITICE ÎN TEORIA NUMERELOR. Durata cursului: 1 semestru (semestrul I). Nr. ore total: curs 28 ore, seminar 14 ore. Forma de examinare: examen scris. Obiectivul cursului: Studierea principalelor metode folosite în teoria analitică a numerelor. Distribuţia numerelor prime. Probleme aditive de teoria numerelor. Programa analitică: − Funcţii aritmetice. − Metoda ciurului. Aplicaţii la teorema Brun. − Densitate Schnirelmann. Aplicaţii la problema Waring şi teorema lui

Schnilermann-Goldbach. − Teorema corpului convex. Aplicaþie la teorema lui Gauss. − Serii Dirichlet. Teorema elementului prim. BIBLIOGRAFIE: [1] Blanchard, A., „Initiation a la theorie analytique des nombres premieres”, Dunod, Paris, 1969. [2] Ghelfond A. O., Linnic Yu., „Elementary methods in the analythic theory of numbers”, Pergamon Press, Oxford-London-New York, 1966. [3] Gica A., Panaitopol L., „Probleme celebre de teoria numerelor”, Editura Universităţii Bucureşti, 1998.

13

Titlul cursului: ALGEBRE HOPF Durata cursului: 2 semestre (semestrele II, III) Nr. ore total: semestrul II: curs 28 ore, seminar 14 ore; semestrul III: curs 20 ore, seminar 10 ore. Forma de examinare: examen scris la sfârşitul fiecărui semestru. Obiectivul cursului: Prezentarea noţiunilor şi rezultatelor fundamentale necesare în studiul inelelor necomutative. Acestea sunt fundamentale pentru cursurile de algebre Hopf şi grupuri cuantice din semestrele II şi III. Programa analitică: − Algebre şi coalgebre. − Module şi comodule. − Clase speciale de coalgebre: coalgebre semiperfecte, coalgebre quasi-

coFrobenius, coalgebre co-Frobenius, coalgebre cosemisimple. − Bialgebre şi algebre Hopf. − Integrale pentru algebre Hopf. − Algebre Hopf semisimple şi algebre Hopf punctate. − Algebre Hopf în categorii, biproduse de algebre Hopf şi aplicaţii la clasificarea

algebrelor Hopf. − Extinderi de algebre Hopf şi aplicaţii la clasificarea algebrelor Hopf

semisimple. − Teorie Hopf-Galois. − Categorii de module Doi-Koppinen, coinele şi structuri generalizate de

module Hopf. BIBLIOGRAFIE: - M. Sweedler, „Hopf Algebras”, Benjamin, New-York, 1969. - E. Abe, „Hopf Algebras”, Cambridge Univ. Press., 1977. - S. Dăscălescu, C. Năstăsescu, Ş. Raianu, „Hopf algebras: an introduction”, Marcel Dekker, 2000. - C. Năstăsescu, F. Van Oystaeyen, „Graded ring theory”, North Holland, 1982.

14

Titlul cursului: TEORIA CORPULUI CLASELOR. Durata cursului: 2 semestre (semestrele II, III). Nr. ore total: semestrul II: curs 28 ore, seminar 14 ore; semestrul III: curs 20 ore, seminar 10 ore. Forma de examinare: examen scris la sfârşitul fiecărui semestru. Obiectivul cursului: Formularea şi demonstrarea teoremelor de bază ale teoriei corpului claselor. Însuşirea unora din tehnicile de lucru în teoria corpului claselor. Aplicarea acestor tehnici şi a rezultatelor obţinute. Programa analitică: − Elemente de teoria valuărilor (invarianţii unei valuări, valuările lui Q şi ale lui

k(X)/k, extinderea valuărilor, completarea unui corp valuat, exemple de corpuri complete, extinderi finite de corpuri complete).

− Corpuri locale (structura corpurilor locale, grupul multiplicativ al unui corp local, extinderi finite de corpuri locale, extinderi neramificate, automorfismul Frobenius, diferenţa şi discriminantul, extinderea neramificată maximală).

− Corpuri de numere algebrice. − Teoria abstractă a corpului claselor. − Teoria locală a corpului claselor (legea locală de reciprocitate, simbolul normă

rezidual, simbolul lui Hilbert). − Teoria globală a corpului claselor. − Alte abordări ale teoriei corpului claselor. BIBLIOGRAFIE: 1. K. Iwasawa, „Local class field theory”, 1986. 2. J. Neukirch, „Class field theory”, 1980. 3. A. Weil, „Basic number theory”, 1967. 4. G. J. Janusz, „Algebraic number theory”, 1996.

15

16

Titlul cursului: LEGI DE RECIPROCITATE Durata cursului: 1 semestru (semestrul III). Nr. ore total: semestrul III: curs 20 ore, seminar 10 ore. Forma de examinare: examen scris. Obiectivul cursului: O trecere de la „elementar” (legile de reciprocitate pătratică, cubică, bipătrată) la „superior” (legea de reciprocitate a lui Artin) în scopul înţelegerii bazelor teoriei algebrice a numerelor. Programa analitică: − Legea de reciprocitate pătratică. − Aritmetică în Z[i] şi în Z[\omega]. − Sume Gauss şi sume Jacobi. − Legea de reciprocitate cubică şi bipătrată. − Aplicaţii la reprezentarea numerelor prime sub forma x^2+27y^2 şi

x^2+64y^2. − Aritmetica în corpuri ciclotomice. − Legea de reciprocitate a lui Eisenstein. − Prezentarea (fără demonstraţie) a legilor de reciprocitate ale lui Kummer,

Hilbert, Hasse şi Artin. BIBLIOGRAFIE: 1) T. Albu, lon D. lon, „Capitole de teoria algebrică a numerelor”. Editura Academiei R.S.R., 1984. 2) K. Ireland, M. Rosen, „A classical introduction to modem Number Theory”, Springer,1990. 3) F. Lemmermeyer, „Reciprocity Laws”, Springer, 2000. 4) C. Vraciu, M. Vraciu, „Elemente de aritmetică”, All, 1999.