ALGEBRA ŞCOLARĂ

1. Caracterul fundamental al algebrei 2. Cele trei perioade ale

dezvoltării algebrei 3. Legătura dintre apariţia algebrei şi dezvoltarea

societăţii 4. Formarea algebrei elementare 5. Algebra şi aritmetica

6. Algebra şcolară

1. Caracterul fundamental al algebrei. Printre disciplinele matematice, algebra

elementară joacă un rol fundamental. Metoda algebrică este caracterizată prin faptul

că numerele - apoi şi alte obiecte - se notează prin litere şi operaţiile se fac după legi

bine determinate, dar fără a preciza ce număr reprezintă fiecare literă. Se fac

operaţii cu numere oarecare, nedeterminate (dintr-o anumită mulţime, de exemplu: în

şcoala generală, din mulţimea numerelor raţionale), valabile pentru toate numerele (din

acea mulţime). Operaţiile şi relaţiile, la rândul lor, se notează prin semne (+, —, =, >

etc).

Concepută iniţial ca un fel de stenografie, ca un mijloc de exprimare în scris,

notaţia algebrică s-a transformat treptat într-un instrument de lucru foarte eficace şi

uşor de manevrat. Datorită ei, gândirea nu se mai desfăşoară cu ajutorul cuvintelor din

vorbirea obişnuită, ea lucrează direct cu simbolurile. Dar lucrurile nu se opresc aici.

Treptat, simbolurile algebrice se eliberează de conţinutul lor şi capătă o viaţă proprie,

ele iau locul noţiunilor corespunzătoare şi operaţiile matematice se reduc la operaţii cu

simboluri. Semnele algebrice devin adevărate vehicule ale gândirii, care duc uneori

gândirea dincolo de intenţiile iniţiale ale celor ce le folosesc. Cu drept cuvânt s-a spus,

în legătură cu rolul pe care l-au jucat literele în formarea algebrei, că literele sunt mai

înţelepte decât oamenii.

Aproape toate disciplinele matematice care s-au format începând din sec. al

XVII-lea, în special analiza şi geometria analitică, s-au dezvoltat pe baza algebrei. În

toate disciplinele matematice, notaţia joacă un rol esenţial; când se introduce o noţiune

nouă, o operaţie sau o relaţie nouă, se dă şi simbolul corespunzător. Primul pas spre

matematizarea unei ştiinţe este crearea unui sistem de simboluri adecvat. Toate

acestea se fac după modelul algebrei. Acest fapt se reflectă şi în învăţământ. Nici o

altă disciplină matematică, în afară de geometria elementară (şi aceasta numai în

parte), nu se poate învăţa fără a stăpâni calculul algebric.

2. Cele trei perioade ale dezvoltării algebrei. În decursul dezvoltării sale istorice,

algebra şi-a schimbat de mai multe ori conţinutul principal. În urma unei dezvoltări

discontinue ale cărei momente principale sunt: calculul „hau” al egiptenilor, algebra

geometrică a grecilor, Diofante şi matematica din Asia mijlocie (indo-arabă), la

sfârşitul Evului Mediu şi în timpul Renaşterii algebra se constituie ca ştiinţă, mai ales

datorită lucrărilor matematicienilor italieni (Fibonacci, Tartaglia, Cardano ş.a.). Tot

atunci apare şi numele ei. Începând din acest moment, se pot deosebi în dezvoltarea

algebrei trei perioade. Bineînţeles, nu se pot trasa hotare precise între ele.

2

1) Algebra în spiritul lui Vieté. În prima perioadă se cristalizează notaţiile

literale, se introduc semnele operaţiilor, se dezvoltă calculul algebric, se obţin primele

rezultate în rezolvarea ecuaţiilor şi se inventează logaritmii. Tot acum numerele

negative se încetăţenesc definitiv în matematică. Această parte a algebrei se numeşte

de obicei algebra elementară. Ea a fost sintetizată pentru prima dată de către marele

matematician L.Euler, în cartea sa Introducere în algebră (1767). Această carte a

servit, direct sau indirect, ca model pentru cele mai multe manuale şcolare de algebră

şi prezintă interes şi astăzi din punct de vedere metodic.

2) Algebra ca teoria ecuaţiilor. În a doua jumătate a sec. al XVIII-lea şi în prima

jumătate a sec. al XIX-lea, în centrul algebrei stă rezolvarea ecuaţiilor algebrice, adică

a ecuaţiilor de forma aoxn+ a1x

n-1 + ... + an-1x + an = 0.

Rezolvarea ecuaţiilor de gradul 3 şi 4 a fost un succes imens, prima realizare

prin care a fost depăşită ştiinţa antică. În această perioadă, cei mai de seamă

matematicieni din lume (Descartes, Euler, Lagrange, Gauss ş.a.) au făcut cercetări

menite să ducă la găsirea unor formule de rezolvare a ecuaţiilor de grad mai mare

decât 4. Eforturile lor n-au avut succes şi nu puteau să aibă. Cercetările din această

direcţie au fost încheiate prin lucrările lui Abel, care a demonstrat că ecuaţiile de grad

mai mare decât 4 nu pot fi rezolvate prin radicali. Tot în această perioadă s-au

dezvoltat în legătură cu geometria analitică, teoria determinanţilor, a matricilor, a

transformărilor liniare, a invarianţilor. Algebra creată în această etapă se numeşte de

obicei algebră superioară. Partea din algebră corespunzătoare primelor două stadii se

numeşte uneori algebră clasică.

3) Algebra modernă. Datorită mecanicii şi fizicii au fost introduse în matematică

„mărimi” noi, cum ar fi vectorii, tensorii, matricele ş.a., care se notează, ca şi

numerele, prin litere şi cu care se fac operaţii.

Aceste operaţii se definesc pentru fiecare fel de mărimi în parte - într-un fel se

adună două numere complexe şi în altfel se adună două matrici, într-un fel se află

produsul a două numere naturale şi în altfel produsul a două omotetii. Dar aceste

operaţii au multe proprietăţi comune, asemănătoare cu proprietăţile operaţiilor cu

numere. În felul acesta s-a trecut la studiul operaţiilor sub forma generală, în care se

face abstracţie de natura fiecărei operaţii în parte. Apariția semnelor ,, ┬ prin care

se notează operaţiile oarecare corespunde introducerii literelor pentru a nota

numerele oarecare. Algebra modernă are ca obiect studiul sistemelor algebrice, adică

al mulţimilor în care sunt definite anumite operaţii, cum sunt: grupurile, inelele,

corpurile, spaţiile vectoriale ş.a.

Aritmetica, algebra clasică şi algebra abstractă (modernă) pot fi caracterizate

prin schema următoare: aritmetica - operaţii determinate cu elemente determinate;

algebra clasică - operaţii determinate cu elemente nedeterminate; algebra abstractă

operaţii nedeterminate cu elemente nedeterminate.

Într-un anumit sens, algebra modernă este o revenire la algebra în spiritul lui

Vieté, căci ea se ocupă, pe o treaptă superioară, cu calculele literale, având ca obiect

operaţiile, considerate sub forma generală.

Apariţia maşinilor electronice de calcul pune algebrei probleme noi,

automatizarea a dus la crearea unor teorii noi, teoria mecanismelor automate, la care

3

algebriştii din ţara noastră, în frunte cu acad. Gr.C.Moisil, au adus contribuţii

importante. Aplicaţiile cele mai noi ale matematicii în ştiinţele care nu au folosit-o până

acum ţin în mare măsură de algebră.

Cuvântul algebră vine de la titlul tratatului Al-geabr v-al-muca-bala, scris de

Muhamed ibn Musa al Horesmi (sec. IX e.n.). Această carte a influenţat mult

dezvoltarea matematicii în Europa începând de la sec. al XII-lea.

3. Legătura dintre apariţia algebrei şi dezvoltarea societăţii. Pentru a putea

aprecia importanţa algebrei este util să cunoaştem şi cadrul istoric în care s-a format

această ramură a matematicii. Ne vom mărgini la situaţia din Europa.

Începuturile algebrei în Europa datează dintr-o epocă în care apar primele

schimbări în relaţiile de producţie feudale. În timpul Renaşterii, atelierele

meşteşugăreşti încep să se transforme în manufacturi, se pun bazele comerţului

mondial de mai târziu, se formează relaţii de producţie capitaliste. Începe să se

dezvolte gândirea ştiinţifică, laică. Treptat se formează o intelectualitate nouă,

burgheză, care se străduieşte să elaboreze baza teoretică a forțelor de producţie noi,

şi anume cunoaşterea ştiinţifică a lumii. În acest cadru, algebra se răspândeşte în

Europa şi apar primele cercetări. Noile metode de calcul au fost îmbrăţişate cu interes

de negustorimea de atunci. Dar importanţa acestei ramuri noi a matematicii - care

peste câteva secole va depăşi realizările monumentale ale antichităţii elene - nu constă

numai în aplicaţiile ei imediate. Algebra începe să fie predată în universităţi. În unele

dintre aceste instituţii, cursurile de teologie şi de filozofie scolastică sunt eclipsate

de disciplina nouă. În lecţiile lor, algebriştii nu invocau nici o autoritate, ci expuneau

metode de a rezolva probleme bazându-se numai pe puterea spiritului omenesc. Ei nu

făceau apel la credinţă, ci la inteligenţă. În aceste cursuri nu se făcea exegeză, ci se

cerceta lumea obiectivă. Prin aceasta algebra a contribuit la formarea noului mod de a

gândi.

4. Formarea algebrei elementare. În vederea aplicării legii bio-genetice în predarea

algebrei în şcoala generală este util să cunoaștem trăsăturile generale ale dezvoltării

începuturilor algebrei şi legătura dintre algebră şi aritmetică.

În istoria modului de exprimare algebric se deosebesc, în linii mari, trei trepte:

algebra retorică, algebra sincopată şi algebra simbolică.

Pe prima treaptă se foloseau cuvintele din limba obişnuită, nu se utiliza nici un

semn special. Unii autori arabi scriau şi numerele în litere, deşi cunoşteau cifrele. Unii

termeni care intervin mai des capătă treptat caracterul de termeni de specialitate.

Acest fapt duce la treapta a doua: cuvintele care intervin deseori se scriu prescurtat,

se scrie de cele mai multe ori prima literă sau prima silabă a cuvântului corespunzător.

Dar aceste litere încă nu sunt privite ca semne independente. La acelaşi autor

(Diofante), acelaşi cuvânt se scrie uneori prescurtat, alteori complet, iar aceste

cuvinte chiar dacă sunt scrise prescurtat, se declină (într-o oarecare măsură, notaţiile

log, sin, ş.a. au şi acum un caracter intermediar, între scriere prescurtată şi simbol

matematic). Abia începând cu sec. al XV-lea algebriştii îşi dau seama de importanţa

semnelor în algebră, treptat se introduc în mod conştient simboluri, iar printr-o

4

selecţie naturală s-a ajuns la sistemul de simboluri folosit astăzi. Această dezvoltare

s-a încheiat în sec. al XVII-lea. Bineînţeles, ea nu este absolut încheiată. Pe măsură ce

matematica se dezvoltă, se introduc mereu notaţii noi, dar aceasta nu reprezintă nimic

nou din punct de vedere metodologic.

În zilele noastre, elevii îşi însuşesc cu uşurinţă simbolismul algebric în câteva

luni.

5. Algebra şi aritmetica. Despărţirea aritmeticii de algebră are caracter şcolăresc,

din punct de vedere istoric ea este artificială. Astăzi, prin aritmetică se înţelege (în

sens şcolar) numeraţia, operațiile cu numere naturale şi cu fracţii (ordinare şi

zecimale) şi aplicarea lor la unele probleme practice; trecerea la algebră este marcată

prin folosirea literelor, introducerea numerelor negative şi rezolvarea problemelor cu

ajutorul ecuaţiilor. În dezvoltarea istorică a matematicii, această demarcaţie nu

există. Opera principală a lui Diofante, care a jucat un rol important în dezvoltarea

algebrei, se numeşte Aritmetica, iar pe de altă parte Algebra lui L.Euler tratează şi

operaţiile cu numere naturale şi cu fracţii. Folosirea literelor pentru a desemna mărimi

sau numere oarecare nu este rezervată exclusiv algebrei; ea era destul de răspândită

şi în epoca clasică a matematicii eline.

Din moştenirea arabă, care este baza dezvoltării ulterioare a algebrei, face

parte atât scrierea numerelor în sistemul zecimal, cu ajutorul cifrelor „arabe”, şi

calculele cu ele - ceea ce constituie azi aritmetica - cât şi ecuaţiile, care fac parte din

algebră. Mult timp aceste două lucruri erau nedespărţite, ele formau elementul nou,

care se opunea aritmeticii medievale. Din titlul aceleiaşi cărţi Al-geabr ... de al Horesmi

s-a format atât cuvântul algebra cât şi cuvântul algoritm - dintre care cel de al doilea

însemna la început folosirea sistemului zecimal. Astăzi, copiii învaţă „algoritmul” în

clasa întâi, iar ecuaţiile la algebră. Unii consideră că operaţiile cu numere determinate,

calculul numeric fac parte din aritmetică, iar calculul algebric este literal. Nici această

împărţire nu este justă, căci toată lumea este de acord că numerele negative se

introduc abia la algebră, - numerele „cu semn” se numeau uneori „algebrice” - în

opoziţie cu numerele „aritmetice”, deci se recunoaşte că o bună parte din calculul cu

numere determinate face parte din algebră.

Aşadar, separarea aritmeticii de algebră nu este întemeiată din punct de vedere

istoric, cu atât mai puţin din punct de vedere ştiințific. De acest fapt trebuie să se

ţină seama în predarea fiecăreia dintre aceste discipline. În ceea ce priveşte algebra,

ea trebuie predată în strânsă legătură cu aritmetica.

6. Algebra şcolară. Algebra care se predă în şcoala generală şi licee corespunde în

linii mari cu ceea ce a fost numit mai sus algebra în spiritul lui Vieté. În ţara noastră,

algebra ca şi celelalte discipline matematice, a fost introdusă în academiile de la Iaşi,

Bucureşti ş.a. începând; cu sfârşitul sec. al XVIII-lea; în programa şcolii lui Gh.Lazăr

figurează şi un curs de algebră; de asemenea, în şcolile care au fost înfiinţate ulterior;

începând cu 1864, când a fost promulgată prima lege de organizare a învăţământului

public, se predă în licee un curs de algebră care conţine: calcul algebric, ecuaţii liniare,

ecuaţii de gradul 2, binomul, progresii şi logaritmi - adică, în linii mari cam aceeaşi

5

materie care se predă şi acum în şcoala generală şi licee; ceea ce s-a adăugat este doar

o parte din materia care se predă la secţia reală. În legătură cu aceasta, nu poate fi

trecut sub tăcere faptul că programa şcolară de algebră a rămas neschimbată timp de

aproape două secole. Nici pentru viitorul apropiat nu sunt de aşteptat schimbări mari,

dat fiind caracterul fundamental al acestei discipline. Calculul algebric elementar şi

ecuaţiile sunt teme care nu pot lipsi din programa şcolară. În schimb, prinde din ce în

ce mai mult rădăcini ideea de a promova mai mult latura conceptuală şi de a-i subordona

latura algoritmică, cultivată cu precădere în învăţământul tradiţional.

SCOPUL PREDĂRII ALGEBREI ÎN ŞCOALA GENERALĂ

1. Scopul instructiv 2. Cele două trepte de abstractizare 3. Limbajul

algebric 4. Ecuaţiile 5. Studiul funcţiilor 6. Concluzii

Programa de matematică pentru şcoala generală atinge nivelul cel mai înalt prin

elementele de algebră care se predau în ultimele clase ale acestei şcoli. Ca şi în cazul

altor discipline, prin predarea algebrei se urmăreşte un scop instructiv şi unul educativ.

1. Scopul instructiv. Scopul instructiv este definit de programa analitică. Cunoştinţele

de algebră pe care elevii le capătă în clasele a 7-a şi a 8-a reprezintă o introducere în

această disciplină. După ce vor fi revizuite şi adâncite în clasa a 9-a, aceste cunoştinţe

vor constitui prima parte a cursului de algebră din liceu. Un lucru important pentru

elevi constă în faptul că ei au învăţat ce este o formulă: ea dă, sub o formă foarte

scurtă, soluţia unei mulţimi de probleme care diferă între ele numai prin datele

numerice. Soluția fiecărei probleme în parte se obţine dând literelor valorile

corespunzătoare şi efectuând operaţiile indicate. În al doilea rând vine faptul că se

introduc numerele negative. Folosirea numerelor pozitive şi negative pentru a

caracteriza mărimile ce pot fi socotite în două sensuri trebuie să facă parte din

patrimoniul cultural al oricărui om din zilele noastre. Mai greu este de precizat în ce

constă valoarea educativă a algebrei, adică de a arăta ce facultăţi intelectuale şi

morale se dezvoltă la elevi datorită faptului că învaţă algebra. Vom încerca să punem în

evidenţă unele aspecte ale ei.

2. Cele două trepte de abstractizare. Una din trăsăturile principale ale omului, care-

l deosebeşte de animale, este putinţa sa de a-şi forma noţiuni abstracte şi de a le

folosi pentru cercetarea lumii obiective. În matematică, această putinţă a omului se

manifestă într-un mod foarte pregnant. Există, însă, diferite grade de abstractizare şi

generalitate. Pe această scară, ceea ce învaţă elevii la aritmetică se găseşte pe o

anumită treaptă, iar prin cunoştinţele de algebră pe care le capătă în şcoala generală ei

se ridică pe o treaptă superioară. În clasa I, elevii îşi formează noţiunile abstracte de

1, 2, 3 ş.a.m.d. Aceste noţiuni caracterizează din punct de vedere cantitativ mulţimile

finite; se face abstracţie de calitate, de natura obiectelor din care ele sunt compuse.

Datorită acestui fapt, rezultatele operaţiilor cu numere abstracte se aplică tuturor

6

mulţimilor corespunzătoare. Relaţia 5 + 3 = 8 este foarte generală datorită faptului că

este o relaţie între noţiuni abstracte. Ea poate fi aplicată la o infinitate de cazuri

particulare, concrete. Ea arată că, reunind o mulţime de 5 nuci, oameni, cărţi etc. cu o

mulţime de 3 nuci, oameni, cărţi etc. se obţine o mulţime de 8 nuci, oameni, cărţi etc.

Timp de câţiva ani elevii învaţă operaţiile cu numere naturale şi cu fracţii şi le

aplică la rezolvarea unor probleme, dar toate lucrurile acestea se găsesc la acelaşi nivel

de abstractizare. Fracţiile nu sunt mai abstracte decât numerele naturale; 8

5 este tot

atât de abstract ca 13, de exemplu.

După ce elevii şi-au însuşit, cunoştinţele de aritmetică, ei devin apţi să treacă la

o treaptă superioară de abstractizare. În aritmetică elevii se găsesc în faţa unei

multitudini de numere ca 1; 2; 3; ... ...,;38,0...;;13

7;

8

5 dar nu au noţiunea generală de

număr (raţional, pozitiv). De asemenea, ei ştiu să facă operaţii ca 37 + 12; 48 – 15;

2

1:

8

3;

8

5

4

3 ş.a.m.d., oricare ar fi numerele, dar cu condiţia ca aceste numere să fie

date, determinate. Ei se găsesc în situaţia unui om care ştie ce este un brad, un stejar,

un fag, un salcâm ş.a.m.d., dar nu are noţiunea de copac. Acum se poate trece la

noţiunea de număr în general, la operaţii cu numere nedeterminate şi cu expresii

algebrice. Dacă prima abstractizare este trecerea de la 5 bile + 3 bile = 8 bile la 5 + 3

= 8, unde natura obiectelor este nedeterminată, a doua este trecerea de la 5 + 3 la a +

b şi la efectuarea unor operaţii ca (a + b) + (a - b) = 2a, în care a şi b sunt numere

nedeterminate. Prin această a doua abstractizare se creează posibilitatea de a exprima

noţiunea generală de număr, iar noţiunea de operaţie se separă de numerele cu care se

operează. Căci, atunci când spunem sau scriem 5 + 3, numerele 5 şi 3 pe de o parte şi

operaţia (adunarea) pe de altă parte stau pe acelaşi plan, ele sunt prezente în minte în

aceeaşi măsură; în schimb, când scriem a + b, pe primul plan stă operaţia (adunarea), iar

numerele cu care se face operaţia, reprezentate prin literele a şi b, trec pe planul al

doilea, se face abstracţie de ele.

Aşadar, dacă prin trecerea de la numere concrete la numere abstracte elevii se

ridică pe prima treaptă de abstractizare, prin trecerea de la operaţii cu numere

determinate la operaţii cu numere nedeterminate ei se ridică pe treapta a doua.

Datorită acestui fapt, algebra pe care o învaţă copiii în şcoala generală nu reprezintă o

simplă creştere cantitativă a cunoştinţelor lor de matematică, ci o trecere la un alt fel

de matematică, mai abstractă.

3. Limbajul algebric. Strâns legată de formarea noţiunilor este formarea limbajului

corespunzător. Crearea unei noţiuni noi implică şi crearea termenului corespunzător.

Această interdependenţă dintre gândire şi limbaj capătă în matematică o formă cu

totul specifică - dacă luăm termenul de limbaj într-un sens mai larg, ca mijloc de

exprimare şi comunicare. Aici vine în consideraţie ansamblul de semne matematice care

se foloseşte în algebra elementară şi care joacă un rol imens în matematică.

7

Algebra elementară este mai degrabă o metodă decât un ansamblu de cunoştinţe.

Notaţiile folosite în algebră (literele, semnele operaţiilor şi semnele pentru relaţii)

sunt o parte esenţială a acestei discipline. Datorită lor, gândirea însăşi este mult

uşurată, încât unii au crezut chiar că pot defini algebra prin simbolismul pe care îl

foloseşte.

Învăţând să folosească limbajul algebric, elevii învaţă să extragă esenţialul

dintr-o situaţie complexă şi să-l exprime sub o formă concisă.

4. Ecuaţiile. Cunoştinţele de algebră pe care elevii le capătă în şcoala generală se

încheagă prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor. Superioritatea acestei

metode faţă de numeroasele metode folosite în aritmetică constă în faptul următor: se

elaborează un algoritm, ansamblul de reguli după care se rezolvă o ecuaţie, iar

rezolvarea fiecărei probleme în parte se reduce la punerea ei în ecuaţie, prin care

enunţul ei se transformă astfel încât să poată intra în funcțiune algoritmul. Deosebirea

dintre metodele folosite în aritmetică şi cea folosită în algebră poate fi comparată cu

deosebirea dintre munca manuală şi folosirea unei maşini; în primul caz, muncitorul

lucrează piesa în întregime, după procedee variate, iar în cazul al doilea ajunge să

introducă piesa în maşină, restul face maşina. Dar, pentru a putea lucra la maşină, este

nevoie de o pregătire superioară. Tot aşa, rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor

este mai uşoară, dar ea face apel la facultăţi intelectuale superioare, care se dezvoltă

la elevi prin faptul că învaţă algebra.

5. Studiul funcţiilor. Este ştiut că datorită folosirii variabilelor şi funcţiilor a pătruns

dialectica în matematică. Datorită acestor noţiuni matematica devine capabilă să

studieze fenomenele în dezvoltarea lor şi dependenţele dintre ele. Variabila este

expresia mişcării, în sens general, iar funcţia a dependenţei dintre fenomene.

În cadrul algebrei se face un pas înainte în conturarea noţiunii de funcţie. Şi în

cadrul aritmeticii se studiază unele dependenţe funcţionale, în special la mărimile

direct şi invers proporţionale. Dar acolo această dependenţă se exprimă indirect, nu

printr-o lege, ci prin modul în care variază mărimile.

În clasa a 7-a, elevul întâlneşte pentru prima dată funcţii definite prin expresii.

Legătura dintre mărimi, care înainte se descoperea mai greu şi se exprima sub o formă

mai greoaie, devine astfel mai clară şi se exprimă sub o formă mai pregnantă.

6. Concluzii. Faptul că elevii, învăţând algebra, se ridică la ceea ce a fost numit mai sus

cea de-a doua treaptă de abstractizare şi folosesc notaţiile algebrice

corespunzătoare, că învaţă să folosească un instrument matematic cum sunt ecuaţiile,

că-şi formează o idee mai clară despre dependenţa funcţională nu pot rămâne fără

efect asupra formaţiei lor intelectuale. Chiar dacă în viitor nu vor avea nevoie niciodată

să efectueze calcule algebrice sau să rezolve ecuaţii, ei se vor orienta mai bine în

problemele concrete pe care le va pune munca în producţie şi viaţa în general. Prin

faptul că învaţă algebra, gândirea lor devine mai pătrunzătoare, vorbirea lor devine mai

simplă şi mai clară. Deprinderile pe care şi le formează vor fi valorificate sub diferite

forme, oricare ar fi activitatea lor viitoare.

8

LEGĂTURA DINTRE ARITMETICĂ Şl ALGEBRĂ

1. Desprinderea calculelor de schema de rezolvare 2. Utilitatea

formulelor numerice 3. Formulele din geometrie 4. Scrierea

prescurtată a enunţului 5. Metoda figurativă

Elevii au devenit capabili să înveţe algebra datorită unei anumite formaţii pe

care au căpătat-o în clasele anterioare. Este vorba de un anumit mod de a gândi şi de a

lucra pe care elevii şi l-au format, dar nu cu deplină claritate. Iniţierea în algebră

trebuie condusă astfel încât elevii să nu aibă impresia că învaţă un lucru cu totul nou.

Profesorul trebuie să valorifice în mod conştient această formaţie anterioară a

elevilor, ea trebuie dusă mai departe; germenii trebuie să se dezvolte. Vom descrie aici

cele mai importante dintre aceste forme.

1. Desprinderea calculelor de schema de rezolvare. În clasele anterioare, elevii şi-

au dat seama cu oarecare claritate că rezolvarea unei probleme se face în două etape

distincte: a) ce operaţii trebuie făcute cu numerele date sau cu cele obţinute în cursul

rezolvării problemei şi b) efectuarea acestor operaţii. Distincţia dintre aceste două

părţi devine pregnantă prin modul în care se redactează soluţiile problemelor. În multe

şcoli este uzual ca elevii să împartă pagina de caiet printr-o linie verticală în două părţi,

judecata şi lucrări; în prima parte, cea din stânga, se arată în cuvinte, de multe ori sub

formă de întrebare, care sunt paşii succesivi necesari pentru rezolvarea problemei, iar

în partea a doua se efectuează operaţiile. Dacă din soluţia unei probleme astfel

redactată citim numai partea stângă, avem soluţia tuturor problemelor care se obţin

din problema dată schimbând numai datele numerice. Pe măsură ce elevii devin stăpâni

pe tehnica de calcul, se produce în mintea lor o diferenţiere în privinţa importanţei

celor două părţi; partea a doua, efectuarea operaţiilor, devine un lucru uşor, secundar,

partea principală este judecata (începând din clasa a 3a se poate auzi de la elevi: „am

rezolvat bine problema, am greşit numai la o înmulţire”).

Aşadar, în cursul rezolvării problemelor de aritmetică elevul ajunge treptat să

facă abstracţie de datele numerice. Aceste date devin ceva secundar, dar ele nu pot

lipsi. Pentru elev, în această fază de dezvoltare, este indiferent dacă metrul de pânză

din problemă costă 8 lei sau 12 lei, singurul lucru important este că ştie cât costă un

metru de pânză. Prin faptul că elevul îşi dă seama de acest lucru, el poate înţelege o

problemă în care datele sunt exprimate prin litere. Avem aici punctul de plecare pentru

introducerea literelor în calcul.

2. Utilitatea formulelor numerice. Această bază de plecare este mai solidă dacă, la

aritmetică, elevii au învăţat să alcătuiască formule numerice. Fie, de exemplu,

problema:

9

Un camion trebuia să parcurgă o distanţă de 195 km. El a mers timp de 2 1/2 ore

cu o viteză de 48 km/oră, apoi a continuat drumul cu 42 km/oră. În cât timp a parcurs

el tot drumul?

Rezolvarea problemei se face cu ajutorul formulei:

.42

2

1248195

2

12

Formulele de acest fel, care conţin sub o formă mai concentrată ceea ce în

redactarea descrisă mai sus se scrie în jumătatea din stânga a caietului, îi pot face pe

elevi să-şi dea seama care este originea şi rostul expresiilor algebrice.

3. Formulele de geometrie. Un alt element care poate fi folosit pentru a trece

treptat la algebră sunt formulele pentru aflarea ariilor şi volumelor. De la regula

pentru aflarea ariei dreptunghiului: aria = baza x înălţimea, se trece uşor la formula:

.ibA În această formulă, literele b şi i încă nu sunt simboluri, elevul vede în ele

iniţialele cuvintelor respective. Dar, prin folosirea repetată a formulelor şi prin

înlocuirea literelor cu diferite numere, elevii sunt pregătiţi să înţeleagă ce este o

expresie algebrică şi ce este valoarea numerică a unei expresii algebrice.

4. Scrierea prescurtată a enunţului. Un rol important îl are scrierea prescurtată a

enunţului problemelor de aritmetică. Să luăm, de exemplu, problema:

Avem trei plicuri cu bani. În primele două plicuri împreună sunt 325 de lei, în

primul şi al treilea 405 lei, iar într-al doilea şi al treilea 480 de lei. Câţi lei sunt în

fiecare plic?

Enunţul ei se scrie prescurtat astfel: I + II = 325; I + III = 405; II + III =

480. De la această formă până la punerea problemei în ecuaţie (x + y = 325, x + 2 =

405, y + z = 480) nu e decât un pas. Nu are nici o importanţă cum se notează

necunoscutele, cu I, II, III sau x, y, z.

5. Metoda figurativă. Într-o ordine de idei apropiată trebuie menţionată şi metoda

figurativă care se foloseşte la rezolvarea unor probleme de aritmetică. Să luăm, de

exemplu, problema următoare:

O fermă cultivă grâu pe 1/3, iar porumb pe 1/5 din pământul de care dispune.

Partea însămânţată cu grâu este cu 256 ha mai mare decât cea însămânţată cu porumb.

De câte hectare de pământ dispune gospodăria?

În vederea rezolvării pe cale aritmetică, se face o schiţă ca cea care urmează;

segmentul întreg AB, respectiv A’B’, reprezintă întinderea de pământ de care dispune

gospodăria, partea îngroşată, AC, reprezintă partea însămânţată cu grâu, iar A’D’ - cea

însămânţată cu porumb.

10

Deoarece se dă diferenţa dintre aceste întinderi de pământ, o reprezentăm pe

figură. Ea este:

.15

2

5

1

3

1'''''' DACACD

Ştiind că 15

2 din toată întinderea de pământ au 256 ha, se află apoi de câte

hectare este toată întinderea de pământ.

Analogia dintre acest procedeu de rezolvare a problemei şi punerea problemei în

ecuaţie se vede din tabloul de mai jos.

Reprezentăm toată întinderea de pământ

prin segmentul AB Notăm aria lotului întreg cu x

Împărţim AB în trei părţi egale şi luăm una

din ele, AC Împărţim x prin 3 şi luăm câtul,

3

x

Împărţim acelaşi segment A’B’ în cinci

părţi egale şi luăm una din ele, A’D’

Împărţim acelaşi număr x prin 5 şi luăm

câtul, 5

x

Scădem A’D’ din A’C’ (care este tot una cu

AC) şi obţinem diferenţa D’C’

Scădem 5

x din

3

x şi obţinem diferenţa

3 5

x x

Ţinem seama de faptul că această

diferenţă este de 256 ha şi găsim soluţia

problemei

Scriem ecuaţia 25653

xx şi aflăm

valoarea lui x

Şi într-un caz şi în celălalt se consideră de la început problema rezolvată şi

necunoscuta se reprezintă într-un anumit fel. Presupunem că pământul de care dispune

ferma ar fi un dreptunghi cu baza AB, respectiv: presupunem că ştim câte hectare de

pământ are ferma şi notăm numărul respectiv cu x. Apoi se operează cu mărimea

necunoscută, respectiv cu numărul necunoscut, ca şi cum ar fi cunoscut. Singura

deosebire este că în primul caz se operează cu un obiect vizibil, segmentul AB, iar în

celălalt cu necunoscuta x. De aceea folosirea metodei figurative în rezolvarea

11

problemelor de aritmetică este, într-o oarecare măsură, o pregătire pentru punerea

problemelor în ecuaţie.

Acestea sunt elementele principale din formaţia pe care o au elevii în momentul

în care încep să înveţe algebra şi care urmează să fie valorificate în predarea algebrei.

Desigur, ele nu sunt singurele. Ne-am ocupat aici numai de acele elemente care sunt

necesare pentru a înţelege ce este o expresie algebrică şi a putea pune problemele în

ecuaţie - elementele esenţiale ale algebrei care se învaţă în şcoala generală.

Nu am arătat datorită cărui fapt elevii devin capabili să înţeleagă numerele

negative, calculul algebric şi rezolvarea ecuaţiilor. Până în prezent, psihologia nu a dat,

în această chestiune, rezultate care să poată fi folosite în învăţământ.

CARACTERISTICILE METODEI ALGEBRICE DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR

1. Cele două trăsături ale metodei algebrice 2. Comparaţie cu

aritmetica 3. Exemplu 4. Notă istorică

Pentru a simplifica expunerea, ne mărginim la cazul problemelor cu o singură

necunoscută, dar cele ce urmează rămân valabile, cu modificări neesenţiale, şi pentru

probleme cu mai multe necunoscute.

1. Cele două trăsături ale metodei algebrice. Metoda algebrică este caracterizată

prin: 1) folosirea unui simbol, x, pentru necunoscută şi 2) folosirea unui algoritm pentru

rezolvarea ecuaţiilor.

1) În rezolvarea problemelor prin algebră se porneşte nu de la datele problemei,

ci de la necunoscută, care se notează cu un simbol. În rezolvarea oricărei probleme se

începe cu: „Notăm cu x numărul care arată...” şi se trece la punerea problemei în

ecuaţie. Această etapă este caracterizată prin două fapte. În primul rând, poziţia

noastră faţă de problemă se schimbă. Nu mai trebuie să facem calcule din care

răspunsul la problemă să rezulte abia la sfârşit. Acum, problema se consideră de la

început ca rezolvată. Introducând simbolul x, ne punem în situaţia că avem răspunsul la

întrebarea din problemă, căci acest simbol stă pe picior de egalitate cu numerele date;

cu numărul x se fac operaţii ca şi cum ar fi un număr cunoscut

În al doilea rând, se fac operaţiile necesare pentru a rezolva nu problema

propusă, ci o problemă inversă, faţă de cea dată. Cu alte cuvinte, se lucrează ca şi cum

s-ar cunoaşte valoarea mărimii necunoscute şi s-ar căuta una dintre mărimile date în

problemă, iar ecuaţia se obţine scriind că expresia obţinută are valoarea dată. În

cazurile mai complicate se construiesc două expresii care după datele problemei

trebuie să fie egale şi se scrie că ele sunt egale. Se pot ivi şi alte forme, esenţial este

că se lucrează cu numărul x ca şi cum ar fi cunoscut şi se scrie ecuaţia problemei.

Ecuaţia nu mai conţine nici o întrebare („cât...?”) şi nici o poruncă („să se afle...”). Ea

12

este o propoziţie afirmativă - ce-i drept, o propoziţie deosebită; ea afirmă că cele

două expresii scrise de o parte şi de alta a semnului „=” sunt egale.

2) Calculul algebric şi regulile după care o ecuaţie se transformă într-o altă

ecuaţie echivalentă cu ea ne dau un mijloc sigur de a pune ecuaţia sub forma cea mai

simplă (canonică). În cazurile care se tratează în şcoală, ecuaţia se rezolvă apoi după

reguli bine stabilite; în cazul când ecuaţia este de grad mai mare decât doi sau este

transcendentă, când nu există formule de rezolvare sau cele existente nu sunt

practice, există diferite metode de a calcula valori aproximative ale rădăcinilor. La

aceasta se adaugă faptul că se folosesc, ca în general în algebră, numere abstracte.

Datorită acestui fapt, ecuaţiile sunt un instrument foarte puternic de rezolvare a

problemelor, căci fiecare ecuaţie corespunde unei mulţimi foarte numeroase de

probleme. Ecuaţia ne permite să punem în evidenţă sub forma cea mai convenabilă

natura dependenţei dintre mărimile care intervin în problemă şi să clasificăm

problemele în mod corespunzător (probleme de gradul 1, de gradul 2 ş.a.m.d.).

2. Comparaţie cu aritmetica. Alta este situaţia în aritmetică. Aici se porneşte de la

datele problemei, se află pe rând valorile unor mărimi din problemă şi, în cele din urmă,

se obţine răspunsul la întrebarea din problemă. În cursul rezolvării, raţionamentele se

fac pe numere „concrete”, o dată cu numărul gândim şi natura obiectelor respective.

Din cauza aceasta, schema matematică a problemei nu este destul de bine pusă în

evidenţă. Problemele se clasifică de obicei după natura mărimilor respective şi, în

mintea celor mai mulţi, soluţia unei probleme rămâne legată de natura acestor mărimi.

Se vorbeşte despre „problema cu bazinul”, despre „problema celor doi curieri” ş.a.m.d.

Aşa se şi explică faptul că unele probleme s-au transmis de-a lungul secolelor sau

chiar de-a lungul mileniilor cu acelaşi conţinut, dacă nu chiar cu aceleaşi date numerice.

Din cauză că, fără ecuaţii, nu există o metodă generală de rezolvare a problemelor, s-

au elaborat numeroase „metode” (metoda comparaţiei, ipotezelor ş.a.), dar aceste

metode au două dezavantaje. Pe de o parte, fiecare din ele se poate aplica numai la o

clasă foarte restrânsă de probleme, iar pe de altă parte, dat fiind că există multe

metode, când ne găsim în faţa unei probleme propuse, se naşte o problemă nouă: care

metodă se potriveşte aici? Experienţa din şcolile pedagogice, în care se cultivau mult

aceste probleme, confirmă acest lucru. Deseori, elevii stau nedumeriţi în faţa unei

probleme, dar o rezolvă cu uşurinţă dacă li se dă o indicaţie ca: „încearcă metoda

comparaţiei”.

3. Exemplu. Vom ilustra aceste idei pe un exemplu: A are 290 de lei, iar B are 14 lei.

Cât trebuie să-i dea A lui B pentru ca A să aibă de 7 ori mai mult decât B?

Pentru a pune problema în ecuaţie se judecă de obicei astfel:

- notăm cu x numărul care arată câţi lei trebuie să dea 4 lui B. Dacă A dă lui B x

lei, atunci lui A îi rămân (290 – x) lei, iar B are (14 + x) lei. Se dă că A are acum de 7 ori

mai mult decât B, deci:

.714

290

x

x

13

Aceasta este ecuaţia problemei. Rezolvând-o, se obţine x = 24. Raţionamentele

care se fac pentru a obţine ecuaţia problemei se văd în schema următoare:

În momentul în care am spus „Notăm cu x....”, am considerat că problema este

rezolvată; răspunsul la întrebarea din problemă este: A trebuie să dea lui B x lei; acum

x este privit ca un număr cunoscut. Raţionamentele care au urmat sunt cele necesare

pentru a rezolva nu problema propusă, ci problema următoare: A are 290 de lei, B are

14 lei şi A dă lui B x lei (de exemplu 24 de lei). De câte ori are acum mai mulţi bani A

decât B?

După ce expresia algebrică ,14

290

x

x

care dă răspunsul la această problemă a

fost formată, am revenit la problema iniţială şi n-am mai făcut nici o operaţie, ci am

scris pur şi simplu că această expresie are valoarea 7. Prin aceasta am afirmat că x

îndeplineşte condiţia din problemă.

Subliniem că problema iniţială a fost înlocuită cu o problemă uşoară de

aritmetică, potrivită unui elev de clasa a 3-a. Soluția ei este dată de schema alăturată,

care se obţine din cea precedentă, punând în locul lui x numărul 24 şi suprimându-l pe 7:

Dacă ecuaţia se scrie sub forma 290 – x = 7(14 + x), schema suferă o modificare

uşoară, dar metoda rămâne aceeaşi. Şi acum expresiile 290 – x şi 14 + x, în care x este

considerat ca un număr cunoscut, reprezintă soluţiile la următoarele probleme simple:

14

cât îi rămâne lui A după ce dă x lei? Cât are B după ce primeşte x lei? Apoi ecuaţia se

scrie afirmând că x îndeplineşte condiţia din problemă (prima expresie este de 7 ori

mai mare decât a doua).

După ce ecuaţia a fost scrisă, am intrat într-o fază nouă. Prin trasformări

elementare se ajunge la ecuaţia 8x = 192, a cărei soluţie este imediată, x = 24. Dăm şi

soluţia aritmetică a aceleiaşi probleme.

Când una dintre cele două persoane dă celeilalte o sumă oarecare de bani, suma

totală pe care o au ei împreună rămâne neschimbată. Această sumă este de 290 + 14 =

304 lei. Ea trebuie împărţită între cele două persoane A şi B, astfel ca A să capete de

7 ori mai mult decât B. Pentru aceasta, împărţim cei 304 lei în 7 + 1 = 8 părţi egale. O

parte este de 304 : 8 = 38 de lei, deci în cele din urmă B are 38 de lei. Iniţial B a avut

14 lei, deci urmează să primească 38 – 14 = 24 de lei.

Se verifică pe acest exemplu cele spuse mai sus despre metoda aritmetică. Ca

metodă generală, se observă că, pornind de la datele problemei, am aflat întâi cât au

cele două persoane împreună (290 + 14 = 304), apoi în câte părţi trebuie împărţită suma

(7 + 1 = 8 părţi) ş.a.m.d. Ne-am pus un şir de întrebări la care putem răspunde pe baza

datelor din problemă sau pe baza răspunsurilor la întrebările anterioare, iar soluţia

problemei s-a obţinut ca răspuns la ultima întrebare.

În special, pentru a rezolva această problemă, au fost necesare două lucruri.

Întâi să ne dăm seama că, prin faptul că A dă lui B o parte din banii săi, suma totală

rămâne neschimbată. Această idee nu vine oricui, folosirea ei trebuie considerată ca un

artificiu. În al doilea rând, problema se reduce la împărţirea unui număr în două părţi

care să fie într-un raport dat. Aceasta este o problemă „tip”, care se rezolvă printr-o

„metodă” specială (dacă numărul este s, iar raportul este a : b, se împarte s prin (a + b),

iar câtul se înmulţeşte cu a şi cu b). Trebuie să cunoşti această „metodă” sau să refaci

raţionamentul pe acest caz.

Singura generalizare pe care o putem face este următoarea: după acest model se

poate rezolva orice problemă în care se dau două numere a şi b (a > b) şi un factor n, şi

se cere să găsim un număr x astfel încât, scăzându-l din a şi adunându-l cu b, raportul

dintre diferenţă şi sumă să fie egal cu n. Cu alte cuvinte, am învăţat să rezolvăm

probleme care duc la o ecuaţie de forma: ,nxb

xa

deci la o ecuaţie liniară de un tip

special, şi pentru fiecare problemă în parte trebuie să refacem raţionamentul de mai

sus (observăm în treacăt că raţionamentul duce la formula ,1b

n

bax

eventual la

1

n

nbaax (dacă se află cât îi rămâne lui B), pe când ecuaţia dă soluţia

,1

n

nbax care are o altă formă). În schimb, când se foloseşte metoda algebrică nu

este nevoie de nici un artificiu, nu trebuie să cunoşti nici o „metodă” specială, iar

problema se încadrează într-o clasă cu mult mai vastă, în clasa problemelor de gradul 1

cu o necunoscută.

15

4. Notă istorică. Este interesant de observat că şi creatorii algebrei au privit una sau

alta dintre trăsăturile indicate mai sus ca fiind caracteristică pentru metoda algebrică.

Aceasta se vede din numele pe care l-au dat pe rând acestei ramuri a matematicii. După

cum s-a mai arătat, cuvântul algebră vine de la titlul lucrării Al-geabr v-al-mucabala.

Al-geabr (lat.=restauratio), înseamnă întregire, iar mucabala (lat.=oppositio) înseamnă

egalare. Prima dintre aceste transformări se face pentru a trece termenii de scăzut

dintr-o parte a ecuaţiei în cealaltă, astfel ca ecuaţia să conţină numai termeni de

adunat, iar a doua constă în aceea că se reduc termenii asemenea şi se egalează

„excesele” din cele două părţi ale ecuaţiei.

Iată cum foloseşte al Horesmi această metodă pentru a rezolva ecuaţia:

13x – 5 = 7x + 4.

Deoarece în partea stângă a ecuaţiei figurează un termen „lipsă”, se face „al-

geabr”, adică această parte se „întregeşte” prin adăugarea termenului 5, care se

adaugă şi în partea dreaptă; se obţine astfel ecuaţia: 13x = 7x + 9. Acum se face „al-

mucabala”. Partea dreaptă conţine „excesul” 9, iar partea stângă conţine „excesul” 6x

(deoarece în partea dreaptă figurează termenul 7x, partea stângă se consideră ca fiind

formată din 7x + 6x); aceste excese se egalează şi se obţine 6x = 9, de unde x = 1,5. În

cazul ecuaţiei x2 + (10 – x)2 = 58, adică: 2x2 + 100 – 20x = 58, transformarea „al-

geabr” dă 2x2 + 100 = 20x + 58, iar „al-mucabala” dă 2x2 + 42 = 20x (100 se consideră

ca 58 + 42); această ecuaţie se simplifică cu 2 iar ecuaţia x2 + 21 = 20x se rezolvă

„conform regulii”.

Aşadar, pentru arabi, algebra era un ansamblu de reguli formale de

transformare a ecuaţiilor, adică ei considerau ca trăsătură esenţială a algebrei a doua

dintre trăsăturile indicate mai sus. Şi primii algebrişti europeni vedeau în regulile de

transformare a ecuaţiilor esenţa acestei discipline. Astfel, Leonardo din Pisa, autorul

primei cărţi (Cartea abacului, 1228) prin care devine cunoscută în Europa această parte

a matematicii, când rezolvă probleme cu ajutorul ecuaţiilor spune că le rezolvă „după

modul algebrei şi al mucabatei”.

Începând cu sec. al XV-lea apar primele elemente ale algebrei simbolice. În

special în Europa Centrală, această metodă nouă se numeşte coss. Cuvântul coss vine de

la cuvântul italian cosa, care înseamnă necunoscută (ca şi cuvintele latine res şi rodit).

Aceasta dovedeşte că, în această epocă, ca trăsătură cea mai caracteristică a algebrei

a fost considerat faptul că se foloseşte un simbol pentru necunoscută - bineînţeles, cu

toate avantajele pe care le prezintă acest lucru - adică prima din cele două trăsături

de mai sus.

16

NOŢIUNEA DE ECUAŢIE

1. Importanţa definiţiei ecuaţiei 2. Critica definiţiilor uzuale

3. Ecuaţia ca propoziţie de un tip deosebit 4. Cum procedează Euler

5. Ecuaţii şi identităţi 6. Ecuaţia ca formă propoziţională

1. Importanţa definiţiei ecuaţiei. În fond, chestiunea nu prezintă prea mult interes

pentru învăţământ. Noţiunea de ecuaţie are alt caracter decât au, de exemplu, noţiunile

de cerc, număr prim, derivată ş.a. Pentru fiecare dintre aceste noţiuni se poate da o

definiţie precisă, din care să decurgă toate proprietăţile ei. În cazul noţiunii de

ecuaţie, însă, situaţia este alta. Aici definiţia nu joacă aproape nici un rol. Oricine a

învăţat puţină algebră ştie ce este o ecuaţie, dar nu datorită unei definiţii, ci din modul

în care se foloseşte în mod curent acest termen. Definiţia ecuaţiei variază de la un

manual la altul şi, cu toate acestea, toată lumea atribuie cuvântului ecuaţie acelaşi sens;

acest fapt singur dovedeşte cu prisosinţă cât de lipsită de importanţă este definiţia.

Totuşi, consacrăm un paragraf acestei chestiuni din două motive. În primul rând,

fiindcă în unele cărţi de metodică se discută care ar fi definiţia ecuaţiei cea mai

potrivită pentru şcoală. Al doilea motiv, mai important, este următorul: dând elevilor o

definiţie obscură, care nu se foloseşte în deducţiile ulterioare, le dăm o idee greşită

despre rolul pe care-l joacă definiţiile în matematică - şi acest lucru trebuie evitat.

2. Critica definiţiilor uzuale. Definiţiile uzuale sunt nesatisfăcătoare. Pentru a dovedi

aceasta vom analiza următoarea definiţie care se găseşte - poate cu modificări

neînsemnate - în foarte multe manuale:

O ecuaţie este o egalitate care este adevărată numai pentru anumite valori ale

literelor pe care le conţine. În mod analog se defineşte identitatea, ca egalitate

adevărată pentru toate valorile literelor pe care le conţine. Nu ne vom opri asupra unor

detalii, ca de exemplu chestiunea de a şti dacă în loc de literelor nu este mai bine să se

spună necunoscutelor sau dacă nu trebuie precizat în definiţie ce reprezintă aceste

litere - pe ce mulţime se consideră ecuaţia. Vom face numai două obiecţiuni: 1) se

porneşte de la noţiunea de egalitate şi 2) se include în definiţie faptul că ecuaţia este

satisfăcută numai de unele valori ale necunoscutelor, nu de toate.

1) Se ia ca gen proxim noţiunea de egalitate. Dar ce este o egalitate? În şcoală,

elevii au folosit acest cuvânt numai la geometrie, la cazurile de egalitate a

triunghiurilor. Dar acolo cuvântul egalitate era atribut, nu nume predicativ, („o

egalitate care... se numeşte ecuaţie”) sau subiect. Aici substantivul egalitate se

foloseşte ca o prescurtare, pentru a denumi o propoziţie prin care se afirmă că două

lucruri sunt egale. Astfel de prescurtări sunt rare în matematică. De exemplu,

propoziţia Δ ABC ~ Δ A’B’C’ nu se numeşte o asemănare, AB CD nu se numeşte un

paralelism, iar AB CD nu se numeşte o perpendicularitate. Din cauza aceasta, elevii

manifestă o oarecare reţinere faţă de cuvântul egalitate; numai elevii prea zeloşi să

repete fără prea mult discernământ cuvintele profesorului îl pronunţă cu o uşurinţă

suspectă.

17

2) Dacă prima obiecţiune are un caracter mai mult gramatical şi pedagogic, cea

de-a doua este de natură logică. După ce s-a luat ca gen proxim noţiunea de egalitate,

se dă ca diferenţă specifică faptul că ea este satisfăcută numai de unele valori ale

necunoscutei (ne referim la ecuaţiile cu o singură necunoscută). Ar însemna ca toate

proprietăţile ecuaţiilor să poată fi deduse din aceste două însuşiri ale ecuaţiei: că ea

este o egalitate şi că nu este satisfăcută de orice valoare a necunoscutei. Realitatea

este alta. În demonstraţiile teoremelor despre echivalenţa ecuaţiilor - şi aceste

teoreme sunt esenţiale pentru rezolvarea ecuaţiilor - proprietatea a două nu intervine;

în nici o etapă a demonstraţiei nu se invocă faptul că există şi valori ale lui x care nu

satisfac ecuaţia, dimpotrivă se presupune că există cel puţin o valoare a lui x care o

satisface. Dacă proprietatea a doua este de prisos, urmează să ştergem din definiţie

cuvintele corespunzătoare. Atunci, ce rămâne? O ecuaţie este o egalitate. E prea puţin!

Ar urma ca 2 + 3 = 5 să fie o ecuaţie. La aceasta se adaugă faptul următor. Şi

identităţile condiţionate sunt satisfăcute numai de unele valori ale literelor. Totuşi, ele

se numesc identităţi, nu ecuaţii.

Unii propun definiţia: „o ecuaţie este o egalitate care conţine o necunoscută”.

Această definiţie este foarte aproape de adevăr, dar nici ea nu scoate în evidenţă cu

destulă claritate trăsătura esenţială a ecuaţiei. Câtă vreme măcar una dintre expresii

legate prin semnul „=” conţine o necunoscută, afirmaţia că cele două expresii sunt egale

nu are sens. Ce poate să însemne, de exemplu, că 3x + 1 este egal cu 7? Expresia 3x + 1

nu este nici egală cu 7, nici diferită de 7; totul depinde de valoarea lui x. Aceeaşi

obiecţiune se poate face împotriva definiţiei ecuaţiei ca egalitate a două funcţii.

Relaţia f(x) = g(x) nu este nici adevărată, nici falsă câtă vreme nu se spune ce valoare

are x.

3. Ecuaţia ca propoziţie de un tip deosebit. O ecuaţie nu este pur şi simplu o

propoziţie afirmativă. Datorită faptului că intervine necunoscuta, ea este o propoziţie

de un tip deosebit. Ea exprimă o condiţie pe care trebuie să o îndeplinească

necunoscuta, ceea ce îi dă un caracter virtual, nerealizat. În acest sens este o

deosebire între propoziţiile 5 + 3 = 8 şi x + 3 = 8. Prima ar trebui citită: „5 + 3 este

egal cu 8”, iar a doua: „x + 3 trebuie să fie egal cu 8”. Prima exprimă un fapt real, iar a

doua o cerinţă. Caracterul deosebit al aserţiunilor care se exprimă prin ecuaţii nu

poate fi pus în evidenţă cu ajutorul elementelor din matematica clasică. De aceea este

mai bine ca, în condiţiile actuale, să nu se dea o definiţie precisă a noţiunii de ecuaţie.

Să-i lăsăm pe elevi să înţeleagă prin exemple ce este o ecuaţie.

Întemeietorii algebrei au simţit mai profund lucrurile, ei şi-au dat seama de

caracterul deosebit al propoziţiilor care au formă de ecuaţie. Înainte de introducerea

semnului „=”, relaţia de egalitate se exprima printr-un cuvânt. La calculele cu numere

determinate se folosea cuvântul facit (face) sau surgit (iese); la ecuaţii, însă, Fr.Vieté

(sec. XVII) foloseşte cuvântul aequabitur (va fi făcut egal). De exemplu (folosim în

parte semnele noastre): 5 + 3 facit 8, dar x + 3 aequabitur 8. Viitorul şi modul pasiv dau

propoziţiei un caracter virtual, condiţionat. Prin introducerea semnului „=” s-a

simplificat scrisul, dar s-au pierdut nuanţele.

18

În legătură cu faptul că o ecuaţie nu este o simplă propoziţie afirmativă, merită

să relatăm următoarea întâmplare: ne găsim în clasa a 9a, la discuţia ecuaţiei de gradul

II. La tablă este un elev foarte bun şi i se cere să afle valorile lui m astfel ca o anumită

ecuație, cum ar fi X2 – (m + 1)x + 1 = 0, să aibă o rădăcină dublă. Elevul scrie corect

determinantul, m2 + 2m – 3 şi se opreşte. Profesorul, pentru a-l ajuta, îl întreabă care

este condiţia ca o ecuaţie să aibă o rădăcină dublă. Elevul răspunde corect:

„Determinantul trebuie să fie nul”. Profesorul spune: „Scrie aceasta!”. Elevul ezită.

Profesorul insistă: „Scrie că determinantul este zero”. Elevul, după o nouă ezitare,

protestează: „Nu este, trebuie să fie”. În ce constă dificultatea? Elevul gândeşte că

determinantul trebuie să fie nul şi profesorul îi cere să scrie că determinantul este nul.

Acest lucru i se pare anormal.

4. Cum procedează Euler. În sprijinul tezei că în şcoală nu trebuie dată o definiţie

precisă a ecuaţiei, reproducem mai jos un fragment din Introducere în algebră a lui

Euler (partea a 2-a, secţiunea a 2-a). Fără a considera că tot ce s-a scris cu 200 de ani

în urmă este valabil şi astăzi, este totuşi interesant de ştiut cum introduce noţiunea de

ecuaţie un matematician de talia lui Euler.

Euler face întâi câteva consideraţii generale despre rezolvarea problemelor, apoi

continuă:

„Acestea vor deveni mai clare printr-un exemplu. Să punem problema următoare:

20 de persoane, bărbaţi şi femei, se duc la un restaurant. Fiecare bărbat

cheltuieşte 8 groşeni, iar fiecare femeie 7 groşeni şi toată masa costă 6 taleri. Se

pune întrebarea câţi bărbaţi şi câte femei au fost.

Pentru a rezolva problema, punem numărul bărbaţilor = x şi îl privim ca un număr

cunoscut sau procedăm cu el ca şi cum am vrea să facem proba dacă satisface

problema. Deoarece numărul bărbaţilor = x, şi au fost, bărbaţi şi femei împreună, 20 de

persoane, se poate deduce de aici numărul femeilor, care se află scăzând din 20

numărul bărbaţilor. Deci, numărul femeilor = 20 – x. Deoarece un bărbat cheltuieşte 8

groşeni, cei x bărbaţi vor cheltui 8x groşeni. Şi, deoarece o femeie cheltuieşte 7

groşeni, cele 20 – x femei vor cheltui 140 – 7x groşeni.

Deci bărbaţii şi femeile împreună cheltuiesc 140 + x groşeni. Dar ştim cât au

cheltuit, şi anume 6 taleri, care, transformaţi în groşeni, dau 144 de groșeni. De aceea

obţinem ecuaţia următoare 140 + x = 144, de unde se vede că x = 4. De aceea au fost la

restaurant 4 bărbaţi şi 16 femei.”

Urmează încă un exemplu, câteva consideraţii generale, apoi: „O ecuaţie se

compune deci din două expresii, dintre care care una se egalează cu cealaltă. Pentru a

scoate de aici numărul necunoscut, trebuie să se facă adeseori foarte multe

transformări...”.

Aici, Euler vorbeşte pentru prima oară despre ecuaţii. După cum se vede, el nu

dă nici o definiţie; cuvântul „ecuaţie” apare în contextul: „De aceea obţinem ecuaţia

următoare”, fără nici o explicaţie. Observăm, de asemenea, că şi la Euler apare

caracterul virtual ai egalităţii, căci în scurta explicaţie pe care o dă pe urmă: „O

ecuaţie se compune din două părţi, dintre care una se egalează cu cealaltă”, el nu spune

că cele două părţi sunt egale; ele „se egalează”, adică noi le facem egale.

19

5. Ecuaţii şi identităţi. Este cazul să facem aici câteva observaţii despre noţiunea de

identitate şi despre locul ei în predarea algebrei. În mod obişnuit se introduce noţiunea

de identitate în acelaşi timp cu cea de ecuaţie. Pentru aceasta, se face, mai mult sau

mai puţin explicit, o clasificare a egalităţilor, şi anume: în ecuaţii, egalităţi care sunt

satisfăcute numai de unele valori ale literelor, şi identităţi, care sunt satisfăcute de

toate valorile literelor pe care le conţin.

Considerăm că acest procedeu nu este bun. În primul rând, această clasificare nu

este completă, căci se lasă afară egalităţile numerice, ca 2 + 3 = 5, care nu sunt nici

ecuaţii, nici identităţi. Dar mai important este faptul că se pun una lângă alta două

feluri de propoziţii care diferă prin natura lor şi care joacă roluri diferite în

matematică.

Întradevăr, ceea ce s-a spus mai sus despre caracterul virtual al ecuaţiilor nu se

aplică identităţilor. O identitate exprimă că obiectele respective sunt egale, nu că ele

trebuie să fie egale. O identitate se deosebeşte de o egalitate numerică numai prin

faptul că se referă la două mulţimi de obiecte, pe când egalitatea numerică se referă la

două obiecte individuale. De exemplu, egalitatea (3+ 1)2 = 32 + 32 + 12 arată că

numărul din stânga semnului egal este egal cu cel din dreapta lui, în timp ce identitatea

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 arată că, dacă facem cu un număr oarecare x operațiile indicate de

expresia (x + 1)2, obţinem acelaşi rezultat ca atunci când facem cu acelaşi număr

operaţiile indicate de expresia x2 + 2x + 1; deci: când x parcurge o mulţime oarecare de

numere, (x + 1)2 dă o mulţime de numere M, x2 + 2x + 1 dă o mulţime de N şi cele două

mulţimi coincid: M = N. O identitate este ceea ce în logică se numeşte o judecată

universală, ca: orice om este muritor. Ea nu are nimic virtual, ea nu exprimă nici o

cerinţă.

Pe de altă parte, identităţile joacă în matematică un alt rol decât ecuaţiile. O

ecuaţie comportă totdeauna - dacă nu direct, cel puţin indirect - o problemă, şi anume

de a afla valoarea necunoscutei care o satisface. În schimb, identităţile au de cele mai

multe ori ca scop să prezinte o expresie dată sub o altă formă, echivalentă cu cea dată,

care poate fi mai convenabilă dintr-un anumit punct de vedere. Ele servesc de cele mai

multe ori ca reguli de calcul. Menţionăm cu această ocazie că în şcoală se spune uneori

formulă sau proprietate în loc de identitate. De exemplu, (a + b)n = an + 1nC an-1b + ... + bn

se numeşte, prin tradiţie, formula binomului, iar logAB = logA + logB este o proprietate

a logaritmilor. Numele de identitate este rezervat numai pentru unele identităţi -

curios! - mai rareori întrebuinţate, ca identitatea lui Lagrange. Acest fapt nu este spre

avantajul învăţământului, căci se maschează întrucâtva sensul real al propoziţiilor

respective.

Este adevărat că cele două noţiuni se întâlnesc, şi anume: în unele cazuri, când

facem toate calculele pentru a reduce o ecuație dată la forma canonică, obţinem 0 = 0,

ceea ce dovedeşte că expresia de la care am plecat (ecuaţia dată) este o identitate.

Acest lucru se întâmplă, de exemplu, în cazul ecuaţiei x(x + 1) = (x + 1)2 – x – 1. Dar

acest punct de contact între cele două noţiuni este prea puţin important, el nu ne dă

dreptul să punem ecuaţiile şi identităţile pe acelaşi plan.

Considerăm că noţiunea de identitate trebuie dată la începutul calculului

algebric, nu la sfârşitul cursului de algebră din şcoala generală, când se trece la

20

predarea ecuaţiilor. Elevii trebuie să fie deplin conştienţi de faptul că orice calcul

algebric duce la o identitate. Să nu-i aducem în situaţia burghezului din Le bourgeois

gentilhomtne a lui Moliére, care spune că de 40 de ani vorbeşte în proză fără să ştie că

aceasta se numeşte proză; caietele elevilor sunt pline de identităţi, dar ei nu ştiu că

acestea sunt identităţi. Aceasta nu ne împiedică să arătăm la momentul potrivit că

există şi ecuaţii care sunt satisfăcute de orice valoare a necunoscutei şi că aceste

ecuaţii sunt, în fond, indentităţi.

6. Ecuaţia ca formă propoziţională. Sensul real al noţiunii de ecuaţie se dezvăluie cu

ajutorul noţiunii mai largi de formă propoziţională. În cadrul încercărilor de a

moderniza învăţământul matematic începând cu treapta cea mai elementară, a apărut

propunerea de a se adopta acest punct de vedere, propunere care s-a bucurat de o

foarte bună primire. Arătăm, pe scurt, despre ce este vorba.

Orice propoziţie care are sens este sau adevărată sau falsă. De exemplu,

propoziţiile „Oraşul Bucureşti este mai mare decâ oraşul Ploeşti”, „18 este divizibil cu

2” sunt adevărate; propoziţiile „Oraşul Bucureşti este mai mare decât oraşul Paris”, „18

este divizibil cu 5” sunt false. Dacă o propoziţie este adevărată, negaţia ei este falsă şi

invers - ceea ce se verifică uşor pe exemplele de mai sus.

Numai o propoziţie care are sens este adevărată sau falsă. Există şi propoziţii

care nu sunt nici adevărate, nici false; acestea sunt propoziţiile care nu au sens. De

exemplu, propoziţiile „Oraşul Bucureşti este mai mare decât oraşul Alfa”. „Un cerc cu

raza de 18 cm este divizibil printr-un cerc cu raza de 2 cm” nu sunt nici adevărate, nici

false, pentru că nu există un oraş cu numele Alfa, iar între cercuri nu este definită

relaţia de divizibilitate.

Aşadar, există propoziţii care au sens şi propoziţii care nu au sens, iar orice

propoziţie care are sens este adevărată sau falsă. Iată alte exemple de propoziţii fără

sens: funcţia lgx este simetrică - în mulţimea funcţiilor nu este definită noţiunea de

simetrie; unghiul A este egal cu produsul unghiurilor B şi C - în mulţimea unghiurilor nu

este definită operaţia de înmulţire; funcţia sinx este asemenea cu funcţia cosx - în

mulţimea funcţiilor nu este definită o relaţie de asemănare; 3 + 2i > 3 – 2i - în mulţimea

numerelor complexe nu este definită o relaţie de ordine.

În afară de aceasta există expresii care au aspectul de propoziţie, dar nu sunt

propoziţii pentru că conţin unul sau mai multe elemente nedeterminate sau „locuri

goale”.

Exemple:

1) „Triunghiul acesta este isoscel” ceea ce se mai poate scrie: „Triunghiul

|_____| este isoscel”. Aici cuvintele „triunghiul acesta” (căsuţa goală) reprezintă un

obiect nedeterminat, căci nu se ştie despre care triunghi este vorba.

2) „El s-a născut în luna cutare”, ceea ce se mai scrie: „|_____| s-a născut în

luna |_____|”. Această expresie conţine două obiecte nedeterminate sau două locuri

goale.

Astfel de expresii se numesc forme propoziţionale sau propoziţii deschise.

O formă prepoziţională se transformă îrrtr-o propoziţie cu sens, deci într-o

propoziţie adevărată sau falsă, dacă înlocuim elementul nedeterminat printr-un

21

element dintr-o mulţime care se dă o dată cu forma prepoziţională. Astfel, în primul din

cele două exemple de mai sus, o dată cu propoziţia „acest triunghi este isoscel”, se dă

şi o anumită figură în care punctele sunt notate prin litere A, B, C, M, N...; dacă

introducem în căsuţa goală grupul de litere ABC, obţinem propoziţia „Triunghiul ABC

este isoscel”, care poate fi adevărată sau falsă. În exemplul al doilea, în prima căsuţă

trebuie introdus numele unui om care există (sau a existat), iar în căsuţa a doua numele

sau numărul de ordine al unei luni.

Dacă obiectul nedeterminat se înlocuieşte cu un element care nu face parte din

mulţimea respectivă, se obţine o propoziţie fără sens. Aeest lucru se întâmplă, în

primul exemplu, dacă scriem în căsuţă ABC şi măcar una dintre literele A, B, C

reprezintă un punct care nu face parte din figura considerată sau dacă în propoziţia a

doua înlocuim cuvântul „el” prin „creionul”, sau cuvântul „cutare” prin „a 13-a”. În

matematică sunt foarte frecvente propoziţiile prin care se afirmă că între două

obiecte există o anumită relaţie. De exemplu: 5 > 3, Δ ABC = Δ DEF (A, B,..., F fiind

puncte bine determinate ale unei figuri), 3N (N fiind mulţimea numerelor naturale). O

propoziţie prin care se afirmă că între două obiecte are loc relaţia de egalitate se

numeşte, scurt, egalitate. În mod analog se defineşte inegalitatea. De exemplu, 2 + 3 =

5 este o egalitate. Ca orice propoziţie, o egalitate care are sens poate fi adevărată sau

falsă; de exemplu, 2 + 3 = 5 este o egalitate adevărată, iar 2 + 3 = 6 este o egalitate

falsă. Pe baza acestor noţiuni: propoziţie cu (şi fără) sens, egalitate şi formă

prepoziţională, se poate da o definiţie a ecuaţiei, care s-ar putea formula astfel: O

ecuaţie, considerată pe o mulţime dată M, este o formă propoziţională care se

transformă într-o egalitate dacă înlocuim elementul nedeterminat printr-un element

din M.

Orice element al mulţimii M care transformă ecuaţia într-o egalitate adevărată

se numeşte rădăcină a ecuaţiei. A rezolva o ecuaţie înseamnă a determina soluţiile ei.

Soluţia sau soluţiile unei ecuaţii formează o submulţime S a mulţimii M. De obicei, S

este o submulţime propriu-zisă a lui M; când S este mulţimea vidă, ecuaţia este

imposibilă, iar când S = M, ea este o identitate.

De exemplu, expresia 2x + 1 = 6, cu precizarea xQ, unde Q este mulţimea

numerelor raţionale, nu este o propoziţie, ci o formă propoziţională. Ea conţine

elementul nedeterminat („necunoscuta”) x; dacă înlocuim litera x prin r, ea se

transformă în egalitatea adevărată 6 = 6; dacă înlocuim x prin 3, obţinem egalitatea

falsă 7 = 6, iar dacă înlocuim x prin A, unde A reprezintă un punct determinat, obţinem

o propoziţie fără sens. Mulţimea soluţiilor acestei ecuaţii este S = .2

5

Când se dă o ecuaţie, trebuie totdeauna indicată şi mulţimea din care trebuie să

facă parte soluţiile ei. În cazul ecuaţiei de mai sus, aceasta se indică scriind:

Să se afle: 612| xsiQxx , care înseamnă: să se afle mulţimea numerelor

x care fac parte din Q (mulţimea numerelor raţionale) şi îndeplinesc condiţia

2x + 1 = 6. Soluţia se scrie ca o egalitate între două mulţimi:

.2

5612|

xsiQxx Un număr care satisface ecuaţia, dar nu face parte din

22

mulţimea considerată nu este o soluţie a ecuaţiei. Fie, de exemplu, de aflat (N fiind

mulţimea numerelor naturale): .612| xsiNxx Calculul dă x = .2

5 Dacă se dă

răspunsul sub forma ,2

5612|

xsiNxx apare clar absurditatea: numărul

natural x care îndeplineşte condiţia 2x + 1 = 6 este x = ,2

5 dar

2

5 nu este un număr

natural!

În mod analog se definesc ecuaţiile cu mai multe necunoscute şi inecuaţiile.

Cu ajutorul noţiunii de formă propoziţională se dezvăluie sensul adevărat al

noţiunii de ecuaţie. Am arătat mai sus că o ecuaţie are în ea ceva virtual, nerealizat.

Datorită noţiunii de formă propoziţională, aceste lucruri devin clare. O ecuaţie nu este

o egalitate de un anumit fel, ci o expresie de un tip deosebit, şi anume o propoziţie

deschisă. Faptul că în ecuaţie intervine ideea de egalitate este secundar. Nu are

importanţă dacă într-o popoziţie este vorba de o anumită relaţie între două obiecte sau

de faptul că un obiect are o anumită însuşire ş.a.m.d.; nu conţinutul propoziţiei are

importanţă aici; important este dacă obiectul despre care se vorbeşte este bine

determinat sau nu, dacă avem de-a face cu o propoziţie propriu-zisă sau cu o propoziţie

deschisă. Datorită noţiunii de propoziţie deschisă putem reuni în aceeaşi clasă de

expresii ecuaţiile, inecuaţiile şi congruenţele, care sunt toate de acelaşi tip. Această

clasificare are mai mult sens decât clasificarea egalităţilor în ecuaţii şi identităţi,

pentru că se face după un criteriu esenţial.

Dintre definiţiile existente, cea mai apropiată de adevăr est după cum am spus:

„o ecuaţie este o egalitate care conţine o necunoscută”, căci prin faptul că se

menţionează prezenţa necunoscutei se arată că ecuaţia este o propoziţie care conţine

ceva nedeterminat, deci este o propoziţie deschisă.

Cum am arătat la început, modul de a prezenta ecuaţiile, clar şi accesibil, ca

formă prepoziţională descrisă în cele ce precedă, prinde din ce în ce mai mult teren.

Există dări de seamă amănunţite despre lecţii ţinute în şcoala generală pe această

bază, cu rezultate cât se poate de satisfăcătoare. Totuşi, în cadrul acest lucrări, vom

merge pe calea tradiţională.

FORMALISMUL ÎN CUNOŞTINŢELE DE ALGEBRĂ

ALE ELEVILOR

23

1. Ce este formalismul 2. Cunoaşterea insuficientă a sensului literelor

3. Interpretarea calculului algebric 4. Justificarea regulilor de calcul

6. Caracterul absolut al regulilor 7. Semnificaţia concretă a operaţiilor

8. Semnificaţia numerelor negative 9. Originea acestor deficienţe

10. Critica modului uzual de predare 11. Mijloace de preîntâmpinare a

lipsurilor

1. Ce este formalismul. Modul tradiţional de predare al algebrei elementare dă într-o

anumită privinţă rezultate nesatisfăcătoare. Nu este vorba aici de faptul că elevii nu

ştiu destul de bine chestiune sau alta din programă, ci de unele deficienţe care

afectează cunoştinţele de algebră ale elevilor luate în ansamblu şi care pot fi grupate

la un loc sub numele de formalism.

Se spune că un elev are cunoştinţele formale când vorbirea şi acţiunile lui sunt

aceleaşi ca ale unui elev care are cunoştinţe reale, adevărate, dar el nu asociază cu

aceste cuvinte şi acţiuni sensul corespunzător. Un asemenea elev foloseşte unele

cuvinte pe care nu le înţelege destul de bine, efectuează calcule în mod mecanic ş.a.m.d.

El nu-şi dă destul de bine seama de legătura cunoştinţelor sale de algebră cu celelalte

părţi din matematică şi cu lumea real ceea ce are drept urmare greutatea de a aplica

cunoştinţele în cadrul matematicii şi la probleme concrete.

Descoperirea şi înlăturarea acestor lipsuri ar fi un lucru uşor dacă ar exista

numai două extreme, cunoştinţe adevărate şi formale, a înţelege şi a nu înţelege. În

realitate există diferite grade de înţelegere, cum există diferite grade de

luminozitate. Unele lucruri le înţelegem cu deplină claritate, despre altele avem o idee

vagă, iar altele nu le înţelegem deloc; de aceea nu se pot trage, în general, un hotar

precis între cunoştinţele adevărate şi cele formale la algebră, lucrurile sunt şi mai

delicate datorită faptului că - după cum vom arăta îndată -, într-un anumit sens,

algebra este formală.

Vom deosebi mai multe aspecte ale formalismului în cunoştinţele de algebră ale

elevilor. În realitate, ele nu sunt cu totul distincte, ele împietează unul asupra celuilalt.

2. Cunoaşterea insuficientă a sensului literelor. Lucrul cel mai important este că

elevii învaţă să efectueze calcule cu expresii algebrice fără să-şi dea destul de bine

seama că literele pe care le folosesc reprezintă numere deocamdată numere raţionale.

Din cauza aceasta, ei nu înţeleg bine că orice calcul algebric este o transformare

identică. Un elev face corect înmulţirea 5213 xx şi obţine rezultatul .5136 2 xx

La întrebarea „Ce operaţie ai făcut?”, va răspunde: „Am înmulţit cele două binoame”.

Dacă continuăm: „Ce înseamnă a înmulţi două binoame?” sau: „Ştii ce reprezintă

semnele 3, 1, 2, 5, dar ce reprezintă x?” - la aceste întrebări nu vom căpăta un răspuns

cât de cât satisfăcător. De asemenea, el nu ştie să răspundă la următoarea întrebare:

„Înlocuind în expresia dată x prin 3 şi efectuând calculele, se obţine rezultatul 10; ce

rezultat se obţine dacă se face aceeaşi substituţie în expresia obţinută?”. Ce dovedesc

aceste fapte? Că acest elev, deşi face calculele corect, nu cunoaşte sensul lor. Mai

mult, din cauza aceasta el nu ştie nici ce sens are în acest caz semnul „=”. El nu ştie că,

24

aici, acest semn are un sens întrucâtva deosebit de cel din aritmetică, el arată că

expresia dată şi cea obţinută au aceeaşi valoare numerică oricare ar fi valoarea lui x.

Extremele se ating. Atât matematicianul care face algebră abstractă, cât şi

elevul care cunoaşte superficial calculul algebric nu atribuie simbolului x nici un

conţinut. Dar, ce deosebire! Matematicianul nu-i atribuie nici un sens, pentru că îşi

rezervă dreptul de a-i atribui orice sens convenabil, iar pentru elevul nostru simbolul

este pur şi simplu lipsit de sens. Abstract nu înseamnă gol, dimpotrivă.

Este cazul să observăm cu aceasta ocazie că, dacă simbolismul algebric a dus la o

uşurare foarte mare a calculelor, el a generat şi pericolul acestui aspect al

formalismului. Cât de grea de conţinut, dar în acelaşi timp cât de greoaie este, de

exemplu, fraza: „de 3 ori necunoscuta mărit cu 1, înmulţit cu de 2 ori necunoscuta,

micşorat cu 5 face de 6 ori pătratul necunoscutei...” prin care un algebrist din sec. al

XV-lea ar fi exprimat ceea ce noi exprimăm prin identitatea

5213 xx = .5136 2 xx Folosind mereu cuvântul necunoscuta (cosa, res),

pentru un şcolar din acea epocă nu exista pericolul să uite despre ce este vorba.

Copiilor din zilele noastre, li se dă de la început în mână un instrument perfecţionat,

stenografia algebrică, ceea ce este foarte bine, dar în acelaşi timp apare pericolul ca

acest instrument, tocmai datorită faptului că este foarte simplu, să degenereze.

3. Interpretarea calculului algebric. În aceeaşi ordine de idei trebuie semnalat faptul

că elevilor le vine foarte greu să interpreteze în sensul teoriei numerelor o identitate

oricât de simplă sau să deducă dintr-un calcul algebric o regulă de calcul aritmetic. O

problemă ca: să se demonstreze că, dacă diferenţa a două numere este 1, diferenţa

dintre pătratele lor este egală cu suma lor - o asemenea problemă este considerată ca

o „problemă de demonstraţie” grea. Când a – b = 1, identitatea a2 - b2 = (a - b)(a+b)

devine a2 – b2 = a + b. Întrebări ca: „Ce este mai mare, (a + b)2 sau a2 + b2?” sau:

„Efectuând înmulţirea x(x+2), obţinem x2 + 2x; este posibil să dăm lui x o valoare astfel

ca valoarea numerică a expresiei ei x2 + 2x să fie un număr prim?” - astfel de întrebări

produc uimire.

Un exemplu frumos, care arată că această deficienţă apare şi în pregătirea

multor absolvenţi de liceu, a dat binecunoscutul matematician D.Pompei, într-o

conferinţă ţinută în 1946. La un examen s-a cerut să se demonstreze că două numere

naturale consecutive nu pot fi, amândouă, pătrate perfecte. Fie n şi n + 1 două numere

naturale consecutive, unde n=m2, m fiind un număr natural. Dacă şi n + 1 este un pătrat

perfect, el este cel puţin egal cu pătratul lui m + 1, adică n + 1 (m + 1)2, de unde n +

1m2 + 2m + 1. Dar n = m2. Făcând reducerile, obţinem 02m ceea ce este absurd, căci

m este un număr natural. Nici un student nu a fost în stare să facă demonstraţia.

Există o regulă simplă de a ridica la pătrat un număr de două cifre în care cifra

unităţilor este 5, care se deduc din identitatea .2510015102

aaa

De exemplu: 352 = ? Spunem: 3(3+1) = 12. La dreapta acestui număr se scrie 25 şi

obţinem rezultatul căutat: 1225. Elevii învaţă uşor, chiar cu plăcere, această regulă,

dar le vine foarte greu să o justifice, pentru că ei nu-şi dau seama că a şi a + 1 sunt

25

două numere întregi consecutive şi că numărul a(a+ 1)100 se scrie adăugând la dreapta

lui a(a+ 1) două zerouri.

Elevii ştiu destul de bine, mulţi dintre ei chiar foarte bine, să efectueze calcule,

dar le vine foarte greu să şi gândească; îi obișnuim să efectueze calcule în neştire;

pentru ei rezultatul oricărui calcul este o anumită expresie şi nimic mai mult.

4. Justificarea regulilor de calcul. În al treilea rând vine faptul că, pentru mulţi

elevi, ansamblul de reguli care stau la baza calculului algebric apare ca un lucru impus.

„Ca să înmulţim două monoame, procedăm aşa...”. „Ca să înmulţim două polinoame,

procedăm aşa...”. Uneori aceste reguli apar ca articole ale unui regulament în care se

spune ce este permis şi ce este interzis: în fracţia ,bx

ax „avem voie” să-l suprimăm pe x,

în fracţia xb

xa

- nu; în expresia ,22ba „avem voie” să suprimăm radicalul şi pătratele,

în expresia 22 ba - nu. Numai în puţine cazuri elevii ştiu de unde vin aceste reguli.

Avem aici un alt aspect al formalismului, care constă în faptul că elevii, deşi cunosc

regulile de calcul algebric, nu ştiu care este originea lor.

5. Regulile de rezolvare a ecuaţiilor. Un fapt aproape identic cu cel semnalat la

punctul precedent se observă la rezolvarea ecuaţiilor. Regula cea mai deseori

întrebuinţată aici este regula de transpoziție a termenilor („avem voie să trecem un

termen dintr-o parte a unei ecuaţii în cealaltă schimbându-i semnul”). Această regulă

face parte din bagajul minim de cunoştinţe pe care-l are orice elev la terminarea clasei

a 7-a. Totuşi, numărul elevilor care pot răspunde la întrebarea de ce „avem voie” să

facem acest lucru este mic. Am înregistrat separat acest aspect al formalismului,

fiindcă, pentru a evita apariţia lui, trebuie luate alte măsuri decât cele preconizate la

punctul precedent (asigurarea legăturii cu aritmetica). Aici este vorba de modul în care

se predau ecuaţiile. Vom reveni asupra acestei chestiuni pentru a o discuta mai pe larg.

6. Caracterul absolut al regulilor. Regulile de calcul algebric o dată dezrădăcinate,

smulse din baza lor, care este aritmetica, devin în mintea elevilor legi absolute. Nu mai

rămâne loc pentru bunul simţ. Chiar dacă există şi o altă cale, mai convenabilă într-un

anumit caz particular, elevul nu ştie decât să aplice regula. Sunt frecvente cazurile

când elevii nu ştiu să calculeze, de exemplu (3x + 5y)2, altfel decât aplicând formula (a

+ b)2 = ...; dacă la examenul de absolvire a şcolii generale se cere să se calculeze (x +

2)4, chiar profesorul va protesta: programa prevede numa binomul la pătrat şi la cub, nu

şi la puterea a patra; mulţi elevi când au de calculat, de exemplu, (8 + 3)2, aplică aceeaşi

formulă 22 38328 şi nu văd că este cu mult mai simplu să spună 8 + 3 = 11, 112 =

121. Elevul ştie că pentru a rezolva un sistem din două ecuaţii cu două necunoscute

trebuie să elimine întâi una dintre ele, dar rămâne derutat în faţa unui sistem ca 7x –

3y = 18, 2(x +1) = 3(x – 2), în care ecuaţia a doua nu-l conţine pe y.

Regula se instaurează ca stăpân absolut al algebrei.

Acest lucru se observă şi la clasele superioare. Când are de rezolvat ecuaţia:

26

(x + 1)2 = 9, elevul mijlociu efectuează toate calculele şi aplică formule de

rezolvare a ecuaţiei de gradul 2, în loc să deducă imediat că x + 1 = ± 3, deci x1 = 2, x2 =

-4; pentru a rezolva ecuaţia ,2

12

1

xx el aplică toate regulile artei, în loc să observe

că ,2

12

2

12 partea dreaptă a ecuaţiei are aceeaşi formă cu partea stângă, deci x

= 2 este o soluţie, iar 2

1x este cealaltă soluţie.

7. Semnificaţia concretă a operaţiilor. Predarea calculului algebric rupt de

aritmetică aduce după sine un alt aspect al formalismului: greutatea de a aplica calculul

algebric în probleme cu conţinut concret. De la aritmetică elevul vine cu idei foarte

clare despre semnificaţia concretă a operaţiilor. „+” înseamnă a strânge la un loc, „-”

înseamnă a scoate ş.a.m.d. Lucrurile sunt ceva mai puţin clare la înmulţirea şi împărţirea

cu o fracţie. Când se trece la algebră, obscuritatea în care sunt învăluite literele trece,

prin contagiune, şi asupra operaţiilor. Oare 3x+ 5y arată cât face 3x şi 5y la un loc?

Oare yxx 532 este o înmulţire ca 1528 ? De aici vine în bună măsură greutatea de

a pune probleme în ecuaţie; tot acestui fapt i se datoresc cele mai multe plângeri ale

profesorilor de fizică, justificate din punctul lor de vedere, că elevii nu ştiu

matematică.

Este drept că lucrurile se schimbă radical din cauză că, în algebră, literele pot

reprezenta şi numere negative şi, în acest caz, operaţiile nu mai au aceeaşi semnificaţie

concretă ca în aritmetică. Dar, în cazul când literele reprezintă numere pozitive,

operaţiile au aceeaşi semnificaţie ca în aritmetică şi elevii nu trebuie să piardă acest

lucru din vedere din cauza faptului că numerele se notează prin litere.

8. Semnificaţia numerelor negative. În sfârşit, trebuie menţionat faptul că elevii nu

au, în general, idei destul de clare despre semnificaţia concretă a numerelor negative şi

despre aplicaţiile lor. Această deficienţă iese mai puţin la iveală, deoarece, în mod

obişnuit, elevii au rareori ocazia să facă astfel de aplicaţii; ei cunosc bine partea

formală, calculul. Mai mult nici nu li se cere. Modul tradiţional de predare a algebrei

elementare este, în această privinţă, inconsecvent. Numerele relative se introduc la

începutul cursului de algebră, se arată care este semnificaţia lor concretă şi se predă

calculul cu ele, dar interpretarea soluţiilor negative ale ecuaţiilor se lasă de obicei

pentru liceu - probabil pe considerentul că aceste chestiuni ar fi prea grele pentru

începători. Aceasta înseamnă a fi inconsecvent. Căci, din două una: sau se porneşte de

la ideea că elevii de 14-15 ani nu pot înţelege numerele negative, şi atunci predarea lor

trebuie lăsată pentru liceu sau se porneşte de la ideea contrară, şi atunci nu există nici

un motiv de a amâna pentru liceu interpretarea soluţiilor negative. În realitate, elevii

sunt capabili să înţeleagă aceste lucruri; de aceea n-are nici un sens să lăsăm în

părăsire interpretările concrete ale numerelor relative care se dau la început şi să ne

limităm numai la tehnica de calcul. Predarea trebuie condusă astfel încât elevii să-şi

însuşească temeinic şi definitiv cunoştinţele despre semnificaţia concretă a numerelor

27

negative şi să le folosească ori de câte ori se iveşte ocazia - şi să creăm asemenea

ocazii.

Procedând astfel, se contribuie şi la evidenţierea caracterului practic al

algebrei.

9. Originea acestor deficienţe. Se naşte întrebarea: cum este posibil ca metoda de

predare tradiţională, verificată de-a lungul vremii - mai bine de un secol - să lase

poarta deschisă acestor deficienţe? Acest fenomen se poate explica prin caracterul

formal al algebrei şi necesitatea formării unor automatisme. Algebra este, prin esenţa

ei, formală. Prin faptul că se întrebuinţează simbolurile a, b, x, y, ... pentru a nota

numere oarecare, arbitrare şi se stabilesc reguli după care se fac operaţii cu numere

arbitrare - se ştie doar atât: că simbolul a, de exemplu, reprezintă un număr, dar nu se

ştie ce număr reprezintă - , aritmetica s-a formalizat. Conţinutul, sensul concret al

simbolului a dispărut sau cel puţin a trecut pe planul al doilea; au rămas operaţiile şi

relaţiile sub forma pură.

Faptul că algebra este, prin esenţa ei, formală nu rămâne fără efect asupra

învăţământului. Oricât de surprinzătoare ar părea această afirmaţie, elevul din şcoala

generală, când învaţă calculul algebric, face într-o anumită măsură algebră abstractă -

fără voia noastră şi fără să-şi dea seama. Comparaţia răutăcioasă făcută mai sus între

matematicianul care face algebră abstractă şi elevul care face calculul algebric în mod

mecanic are un sens profund. Elevul simte ce este esenţial în algebră - operaţiile, nu

sensul simbolurilor cu care se operează - şi-l reţine. Nu se ştie care sunt resorturile

psihice ale acestui fapt, dar este o realitate că elevului mijlociu îi plac calculele, el se

lasă antrenat în această activitate dinamică, spectaculoasă şi nu simte nevoia să ştie

care este conţinutul ei. Elevul poate învăţa formal calculul algebric pentru că algebra

este formală şi, datorită acestui fapt, uşoară.

De exemplu, este foarte uşor să efectueze adunarea:

.4957434356 323232 xxxxxxxxx

Pentru a face acest calcul, nu este necesar să ştii ce înseamnă -5x, +3x2 ş.a.m.d.

Elevul, adunând coeficienţii corespunzători şi scriind frumos, caligrafic, după fiecare

coeficient calculat x, x2 ş.a.m.d. - procedând astfel, elevul foloseşte, fără să-şi dea

seama, definiţia modernă a polinomului ca şir (a0, a1, ..., an, 0, 0,...) în care numai un

număr finit de coeficienţi sunt diferiţi de zero, precum şi definiţiile formale, ale

operaţiilor cu polinoame -, are sentimentul că a realizat ceva, pentru el operaţia are

conţinut prin ea însăşi şi el nu se mai întreabă ce reprezintă obiectele cu care

operează. Astfel, faptul că algebra este formală generează formalismul în cunoştinţele

de algebră ale elevilor.

În al doilea rând vine, după cum am spus, necesitatea de a forma la elevi unele

automatisme. Una dintre caracteristicile metodei matematice constă în aceea că

foloseşte algoritmii. Un algoritm este un şir de operaţii simple care duce în mod sigur

la rezultat. Regula după care se adună două numere naturale de mai multe cifre este un

algoritm; procedeul după care se află integrala generală a unei ecuaţii diferenţiale de

un anumit tip integrabilă prin cuadraturi este de asemenea un algoritm - dintr-un

domeniu al matematicii foarte diferit ca nivel de primul. Algoritmul este un instrument

28

foarte important în matematică. Datorită lor, gândirea noastră se organizează mai

bine, ea se poate desfăşura pe mai multe etaje, etajele superioare sunt rezervate

operaţiilor mintale mai complexe, reflecţiei, gândirii creatoare, iar operaţiile mintale,

simple, care nu prezintă nici un fel de greutate, se execută la primul etaj. În felul

acesta munca de concepţie se desparte de munca de execuţie. De exemplu, un elev de

clasa a 8a, când rezolvă o problemă cu ajutorul ecuațiilor, trebuie să se gândească bine

cum să pună problema în ecuaţie; o dată ce a scris ecuaţia, rezolvarea problemei se

reduce la o chestiune de pură tehnică, căci există un algoritm prin care se rezolvă orice

ecuaţie de gradul 1 cu o necunoscută.

Or, ca algoritmul să fie util, elevul trebuie să-l stăpânească bine. El trebuie să

fie în stare să efectueze operaţiile rapid şi sigur, fără să stea să se gândească. Este

necesar să formăm la elevi unele automatisme.

10. Critica modului uzual de predare. Văzute în lumina aceasta, diferitele aspecte

ale formalismului descrise mai sus nu sunt prea grave. Elevul X ştie să efectueze

corect calcule algebrice, dar nu are o idee clară despre noţiunea de identitate, sau ştie

să rezolve ecuaţia pe baza anumitor reguli, dar nu poate motiva aceste reguli. I-am

face acestui elev o nedreptate dacă am spune că el nu ştie nimic. El are cunoştinţe,

cunoştinţele lui sunt utile, dar incomplete.

Modul uzual de predare a algebrei nu este fundamental greşit. I se poate

reproşa doar atât: că este într-o oarecare măsură unilateral, că, îndreptându-şi tot

efortul asupra părţii formale şi asupra automatismelor, neglijează conţinutul. Această

orientare a învăţământului duce la supraîncărcarea elevilor cu exerciţii de calcul prea

lungi şi complicate: înmulţiri de polinoame la care coeficienţii sunt numere zecimale,

fracţii etajate şi supraetajate ş.a.m.d. Se spune deseori că aceste calcule sunt

necesare în practică. Acest lucru nu este adevărat. Culegerile de probleme conţin

pentru fiecare clasă multe exerciţii destul de ingenios compuse, dar cele mai multe din

ele sunt artificiale. Numai rareori apar astfel de calcule în clasele următoare sau în

învăţământul superior. Artificiile de calcul îşi au frumuseţea lor, câte un exemplu izolat

este bine venit, dar trebuie să păstrăm proporţiile. Să nu transformăm calculul algebric

în acrobaţie.

De altfel, ar fi o greşeală să credem că cel mai bun lucru pentru a învăţa calculul

algebric este să faci cât mai multe exerciţii. Nu cantitatea exerciţiilor este

hotărâtoare, ci calitatea lor, cât de bine înţeleg elevii ceea ce fac. Un elev care a făcut

numai calcule scurte, dar le-a înţeles bine, se va orienta uşor şi în cazuri complicate. Să

nu uităm că tehnica de calcul se formează treptat, în decursul anilor. În cadrul mişcării

de modernizare a învăţământului matematic, a apărut, printre altele, tendinţa de a pune

mai mult accent pe latura conceptuală, nu pe cea algoritmică. S-a constatat că elevii din

clasele la care s-a predat astfel nu sunt cu nimic mai prejos în privinţa calculelor decât

colegii lor din clasele obişnuite.

11. Mijloace de preîntâmpinare a lipsurilor. Pentru a preîntâmpina lipsurile semnalate

în cele ce precedă, nu se cere o schimbare radicală a modului de predare. Nu este

necesar să transformăm cursul de algebră într-un curs de fundamentele matematicii.

29

Este suficient ca algebra să fie predată în strânsă legătură cu aritmetica. Ca să

motivăm regulile de calcul algebric, este suficient să ne bazăm pe cunoştinţele de

aritmetică ale elevilor, căci în aritmetică regulile sunt mai mult sau mai puţin

justificate. De fapt, acest lucru se face. Când se predă o temă nouă (reducerea

termenilor asemenea, înmulţirea polinoamelor, operaţiile cu fracţiile algebrice ş.a.),

profesorul se bazează pe cunoştinţele de aritmetică ale elevilor, dar explicarea unei

lecţii noi durează câteva minute, apoi se fac multe ore numai exerciţii de calcul şi, din

cauza acestei disproporţii, conţinutul dispare din mintea elevilor.

Un fenomen analog se produce la rezolvarea ecuaţiilor: regulile se explică într-o

singură lecţie, apoi se fac nenumărate exerciţii în care elevii le aplică, dar nu se mai

revine asupra provenienţei lor. O recomandare foarte importantă este: să încredinţăm

automatismului numai lucrurile bine asimilate. În concluzie, se impune o revizuire a

sistemului de probleme şi exerciţii. Mai multe probleme cu text, mai multe exerciţii de

interpretare a calculului algebric şi mai puţine calcule propriu-zise, iar cele care se fac

să nu fie prea complicate.

Cele mai multe din ele trebuie compuse de acum înainte; ele se găsesc cu greu în

culegerile obișnuite. Aici ne mărginim să parcurgem capitolele din programă şi să

arătăm la fiecare din ele, în linii mari, cum poate fi tradus în fapt dezideratul de mai

sus.

1) Expresiile algebrice trebuie introduse cu ajutorul unor probleme cu date în

litere, de asemenea şi valoarea numerică a unei expresii algebrice.

2) Îndată după operaţiile cu numere relative se pot rezolva probleme simple care

au soluţii negative, cu interpretarea soluţiei. Aceasta în ipoteza că ecuaţiile se introduc

la începutul cursului de algebră.

Exemplu: Cu cât trebuie să mărim numărătorul fracţiei 20

7 ca să obţinem o

fracţie egală cu ?4

1 R: ;2,

4

1

20

7

x

x numărătorul trebuie micşorat cu 2.

3) Polinomul de o singură variabilă ordonat după puterile descrescătoare ale

variabilei, deşi din punct de vedere istoric are o altă origine, poate fi privit ca o

generalizare a scrierii sistematice a numerelor. Dacă în polinomul ,7852 23 xxx

de exemplu, punem x = 10, obţinem numărul 2587, care are ca cifre coeficienţii

polinomului. Dacă, în cadrul operaţiilor cu polinoame, se subliniază acest lucru, se obţine

un avantaj dublu. Pe de o parte, noţiunea de polinom devine mai apropiată elevilor, căci

ei văd că lucrează de mult cu anumite polinoame particulare, iar pe de altă parte, după

ce au învăţat operaţiile cu polinoame, ei înţeleg mai bine tehnica de calcul cu numere

naturale.

4) Orice calcul algebric duce la o identitate. Pentru a ţine acest fapt prezent în

mintea elevilor, este util să se facă cât mai des aşa-numita probă prin substituţie. Se

înlocuiesc în expresia dată şi în rezultat literele prin numere luate la întâmplare;

enunţul şi rezultatul trebuie să aibă aceeaşi valoare numerică. Prin faptul că putem

face proba cu orice număr, elevii îşi dau bine seama că au de-a face cu identităţi.

Faptul că enunţul şi rezultatul au aceeaşi valoare numerică, oricare ar fi valoarea

numerică atribuită literelor, devine deosebit de pregnant când partea dreaptă a

30

identităţii este o constantă, căci în acest caz se ştie dinainte care va fi valoarea

numerică a expresiei din stânga. Se pot face unele jocuri bazate pe acest fapt. Un mic

divertisment de acest fel valorează mai mult decât unele explicaţii pretenţioase.

5) Orice identitate exprimă o anumită proprietate a operaţiilor algebrice.

Identitatea (a + b)m = am + bm exprimă că, dacă înmulțim suma a două numere cu un al

treilea număr, obţinem o sumă care are ca termeni produsele primelor două numere cu

cel de-al treilea, iar identitatea ab

ba

a

b

b

a 22 exprimă că, dacă adunăm o fracţie cu

inversa ei, obţinem o fracţie care are ca numărător suma pătratelor termenilor acelor

fracţii, iar ca numitor produsul termenilor. Din punctul de vedere al conţinutului nu

există nici o deosebire între aceste identităţi. Totuşi, prima este prezentată ca regulă

de calcul, iar a doua nu. Este util să-i facem pe elevi să înţeleagă că orice identitate ar

putea deveni o regulă de calcul dacă proprietatea operaţiilor pe care o exprimă ar

interveni deseori în practică. Practica hotărăşte. De exemplu, .11 3 xxxxx

Dacă într-un anumit domeniu al algebrei acest calcul ar interveni deseori, ar fi util să

ştim regula următoare: produsul a trei numere întregi consecutive este egal cu

diferenţa dintre cubul numărului mijlociu şi numărul mijlociu (formulele care dau suma

unei progresii, aritmetice sau geometrice, sunt astfel de identităţi).

Pentru ca elevii să înţeleagă aceasta, este suficient să le cerem din când în când

să exprime în cuvinte rezultatul unui calcul algebric oarecare - aşa cum am procedat

mai sus în cazurile ab

ba

a

b

b

a 22 şi .11 3 xxxxx Progresele algebrei se

datorează în bună măsură faptului că s-a creat un limbaj simbolic foarte condensat,

trecerii de la algebra „retorică” la cea „simbolică”. Ca acest limbaj să-şi păstreze

înţelesul să nu degenereze într-un formalism gol, este util să facem în şcoală câţiva

paşi în sensul opus dezvoltării istorice, să facem retroversiuni din algebra simbolică în

cea retorică. Experienţa arată că la exerciţiile de acest fel apar unele formulări care

lasă foarte mult de dorit din punct de vedere gramatical, dar aceasta n-are

importanţă.

6) Aceluiaşi scop - ca elevii să înţeleagă cât mai bine care este sensul calculului

algebric - îi serveşte un alt gen de exerciţii în care calculul algebric se foloseşte

pentru a demonstra unele proprietăţi ale numerelor. Aici sunt luate în considerare mai

ales calcule foarte simple, presupunându-se că literele reprezintă numere naturale,

precum şi unele identităţi care dau reguli de calcul prescurtat.

7) După metoda tradiţională de predare a algebrei, calculul algebric se aplică la

lucruri concrete numai când se pun probleme în ecuaţie. Există posibilitatea de a face

acest lucru în cadrul fiecărei teme de calcul algebric. Iată un exemplu: „Pentru

ambalarea merelor se folosesc trei feluri de lăzi: mici, mijlocii şi mari într-o ladă

mijlocie încape cât în două lăzi mici şi încă 5 kg; într-o ladă mare încape cu 10 kg mai

puţin decât în două lăzi mijlocii. Avem câte o ladă de fiecare fel. Câte lăzi mici sunt

necesare pentru a ambala toate merele pe care le avem?

31

Dacă se notează cu x capacitatea unei lăzi mici exprimată în kg, calculul arată că

toate merele cântăresc (7x + 5) kg, ceea ce înseamnă că sunt necesare 7 lăzi şi mai

rămân 5 kg.

8) Elevii au tendinţa de a exagera rostul formulelor de calcul prescurtat. Pentru

ca elevii să-şi dea seama că aceste reguli nu sunt indispensabile, este util ca, după

predarea acestei teme, să dăm câteva exerciţii în care să se calculeze expresii ca

222 2,72 xayx ş.a., fără a aplica regula respectivă. De asemenea, să efectueze

calcule ca ,2,142

axba pentru care nu cunosc reguli speciale.

9) La ecuaţii, după ce elevii stăpânesc bine regula după care se trece un termen

dintr-o parte a unei ecuaţii în cealaltă, este util să-i obligăm din când în când să rezolve

o ecuaţie fără a folosi această regulă (se adaugă la ambele părţi acelaşi termen).

Exerciţiile şi problemele de acest tip nu încarcă elevii. Dimpotrivă, datorită lor

algebra devine mai uşoară, căci elevii o înţeleg mai bine. Ele nu cer mult timp şi

învăţământul are numai de câştigat dacă o parte din exerciţiile de calcul se înlocuiesc

cu exerciţii de acest tip. Ele aduc o schimbare a atmosferei în clasă. Introducând în

lecţiile de algebră, în care se fac calcule şi iar calcule, câteva reflecţii de altă natură,

activitatea elevilor devine mai variată, lecţiile devin mai interesante şi mai plăcute.

LEGĂTURA CU PRACTICA ÎN PREDAREA ALGEBREI

1. Legătura dintre matematică şi practică 2. Legătura dintre algebra

elementară şi practică 3. Mijloace de realizare

1. Legătura dintre matematică şi practică. În general, legătura cu practica se

realizează în matematică pe două căi: o cale directă şi una indirectă. Calea directă

constă în aceea că se folosesc metode matematice pentru a rezolva probleme concrete

din fizică, tehnică, economie ş.a. Matematicianul care face calculele legate de lansarea

unei rachete cosmice, inginerul care foloseşte matematica la proiectarea unei maşini

sau a unei clădiri, economistul care foloseşte metode moderne de matematică pentru a

găsi cea mai bună organizare a producţiei aplică matematica direct în practică.

Dar, pentru a putea rezolva problemele puse de practică, matematica le

transformă în probleme generale, abstracte. În cercetarea acestor probleme apar

probleme noi, cu aspect pur teoretic, de a căror rezolvare depinde uneori rezolvarea

unor probleme practice. Această parte a matematicii nu se mai aplică direct în

practică, ci indirect.

Mai mult, pe măsură ce matematica se dezvoltă, se creează teorii matematice,

care, iniţial, nu au nici o legătură cu practica, dar îşi găsesc mai târziu, aplicaţii pe care

creatorii lor nici nu le-au bănuit. Există şi cercetări pur teoretice, care nu se fac în

vederea unei aplicaţii, dar care răspund la probleme ce se pun în mod firesc în cursul

dezvoltării matematicii.

Legătura indirectă dintre teorie şi practică se poate ilustra printr-un exemplu

luat chiar din algebra elementară.

32

Din cele mai vechi timpuri s-au elaborat metode, pe cât de ingenioase, pe atât de

complicate, de a rezolva unele probleme considerate azi ca probleme de artimetică.

Algebra s-a impus prin faptul că a adus o metodă unitară: ecuaţiile. Cu timpul,

matematica a ieşit din cadrul îngust al ecuaţiilor, care se obţin din probleme concrete,

şi s-a trecut la studiul ecuaţiilor ca atare, indiferent dacă există sau nu probleme

practice care duc la fiecare tip de ecuaţie. În felul acesta s-a constituit teoria

ecuaţiilor. Unele părţi din această teorie par, la prima vedere, a avea un caracter pur

teoretic, dar de fapt ele îşi au originea în practică, căci sunt legate de rezolvarea

ecuaţiilor, iar ecuaţiile, la rândul lor, de rezolvarea unor probleme puse de practică.

Dezvoltarea a mers mai departe. În cadrul teoriei ecuaţiilor a apărut noţiunea de grup;

cu timpul, teoria grupurilor s-a dezvoltat ca disciplină independentă care joacă un rol

important în mai multe ramuri ale matematicii şi se aplică, de exemplu, în cristalografie.

Un fenomen asemănător se poate observa în cadrul mai restrâns al calculului

algebric. Iniţial, literele au fost folosite numai pentru a exprima sub o formă concisă

rezultatul unor raţionamente care se făceau ca în aritmetică. Cu timpul s-a trecut la

mici calcule cu litere şi au început să se formeze regulile de calcul algebric. Din acest

moment au început să apară probleme noi, specifice acestei discipline, cum ar fi:

operaţii cu polinoame, formulele pentru (a+b)2, (a+b)3 şi, în general, (a+b)n,

descompunerea în factori ş.a. Dacă privim aceste reguli izolat, avem impresia că ele nu

au nimic comun cu practica. În realitate, ele îşi au rostul practic în cadrul dezvoltării

generale a algebrei elementare.

2. Legătura dintre algebra elementară şi practică. Din aceste consideraţii generale

rezultă cum trebuie înţeleasă legătura cu practica în predarea algebrei. Ar fi o

denaturare a algebrei să căutăm aplicaţii practice pentru fiecare temă în parte: pentru

pătratul binomului, pentru descompunerile în factori ş.a.m.d. (asemenea tendinţe s-au

manifestat în şcoala noastră). Legătura cu practica nu se realizează prin aplicaţii

forţate, ci prin modul în care se predă algebra în ansamblul ei.

Dat fiind că, la origine, calculul algebric nu este decât calculul aritmetic sub

forma generală, mijlocul cel mai important este de a preda calculul algebric în strânsă

legătură cu aritmetica. Procedând în felul acesta, problema dacă calculul algebric are

vreo valoare practică nici nu se pune, căci de caracterul practic al aritmeticii şcolare

nu se îndoieşte nimeni. Mai mult, problema legăturii cu practica nici nu se pune, căci

elevii simt tot timpul sub picioare pământul, pe care-l reprezintă aritmetica. Însuşi

termenul „legătura cu practica” devine impropriu; nu este vorba de a lega între ele două

lucruri diferite, ci de a pune în evidenţă unitatea lor.

Acest mod de a preda algebra nu se impune în virtutea vreunui principiu

utilitarist sau politic, ci derivă din însăşi esenţa şi originea algebrei; punând mereu în

evidenţă unitatea dintre aritmetică şi algebră, îi putem face pe elevi să înţeleagă

algebra.

3. Mijloace de realizare. O bună parte din cele spuse la paragrafele precedente

despre spiritul în care trebuie predată algebra în şcoala generală se referă în acelaşi

timp şi la asigurarea acestei unităţi. Enumerarea de mai jos, care este în parte o

33

repetare, se face cu scopul de a scoate în relief mijloacele prin care se poate evita

ruperea teoriei de practică şi de a arăta că indicaţiile respective, care se găsesc

risipite la diferite capitole, sunt date pe baza unei idei diriguitoare şi servesc acestui

scop.

a) Expresiile algebrice nu se introduc formal, ci ca soluţii ale unor probleme

concrete cu date literale.

b) La aflarea valorii numerice a unei expresii algebrice se folosesc formule care

se aplică efectiv.

c) Introducerea numerelor negative se justifică prin nevoia de a măsura mărimile

care pot fi socotite în două sensuri, iar operaţiile cu numere relative se stabilesc,

măcar în parte, pe baza semnificaţiilor lor concrete.

d) Calculul algebric se predă în strânsă legătură cu aritmetica, punându-se mereu

în evidenţă faptul că literele reprezintă numere, deci calculul algebric reprezintă un

calcul cu numere sub forma generală.

e) Calculul algebric se subordonează ecuaţiilor. Datorită acestui fapt, elevii

aplică în practică aceste cunoştinţe pe măsură ce le dobândesc.

f) În cadrul calculului algebric se rezolvă unele probleme concrete şi se

interpretează rezultatele.