Algebra ALGAD

Planul n spaiu

70 Algebr liniar,geometrie analitic i diferenial Curs i aplicaii

Unitatea de nvare nr. 8 PLANUL N SPAIU

Cuprins Pagina

Obiectivele unitii de nvare nr. 8 71

8.1 Planul n spaiu

71

Lucrare de verificare unitatea de nvare nr. 8 75 Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare 75 Bibliografie unitatea de nvare nr. 8 77

Planul n spaiu

71Algebr liniar,geometrie analitic i diferenial Curs i aplicaii

OBIECTIVELE unitii de nvare nr. 8

Principalele obiective ale Unitii de nvare nr. 8 sunt:

nelegerea noiunii de plan n spaiu . S fie capabil s aplice n exerciii noiunile nvate. S poat reprezenta grafic noiunile nvate.

8.1 Planul n spaiu 1. Planul determinat de un punct 0000 ,, zyxM i de un vector normal ),,( CBAN : .0000 zzCyyBxxA 2. Ecuaia general a unui plan: .0 ,0 222 CBADCzByAx 3. Planul determinat de trei puncte necoliniare 3,1 ,,, izyxM iiii :

0.

1111

333

222

111 zyxzyxzyxzyx

sau, 0. z-z - - z-z - - z-z -

131313

121212

111

yyxxyyxxy yxx

4. Planul determinat de un punct 0000 ,, zyxM i doi vectori necoliniari 1111 ,, nmlv i

2222 ,, nmlv : sau 0.

z-z -

222

111

000

n m l n m l

y yxx

5. Unghiul dintre dou plane orientate :

].,0[ ,,

cos21

21

NN

NN

6. Dreapta ca intersecie de plane :

Planul n spaiu


.2 C

,

00

222

111

2222

1111

B A C B A

rangDzCyBxA

DzCyBxA(7.12)

Direcia acestei drepte este dat de 21 NNv , 1111 ,, CBAN , 2222 ,, CBAN . 7. Pentru o dreapt ca intersecie a dou plane date 2,1,0)( iDzCyBxAP iiiii , mulimea tuturor planelor ce trec prin aceast dreapt formeaz un fascicul de plane de ecuaie :

.0,,

,022

22221111

srsrDzCyBxAsDzCyBxAr

R

8. Pentru un punct dat ca intersecie a trei plane ),,( 0000 zyxM

3,1,0)( iDzCyBxAP iiiii , mulimea tuturor planelor care trec prin formeaz o stea de plane de ecuaie :

0M

.0,0 23222133333

2222211111

DzCyBxADzCyBxADzCyBxA

9. Distana de la un punct A la o dreapt D ce trece prin i are direcia 0M v :

v

AMvDAd

0);(

.

10. Distana de la un punct la un plan 0000 ,, zyxM 0)( DCzByAxP : . ;

222

0000

CBA

DCzByAxPMd

11. Unghiul dintre o dreapt orientat de direcie ),,( nmlv i un plan orientat

: 0)( DCzByAxP

.2

,2

,,

sin

vN

vN

12. Pentru determinarea ecuaiilor perpendicularei comune a dou drepte oarecare i de vectori directori

1D 2D

1v i 2v se poate proceda astfel : - se stabilete direcia perpendicularei comune 21 vvv , - se scrie ecuaia unui plan 1P ce trece prin 1D i conine pe v , - se scrie ecuaia unui plan 2P ce trece prin 2D i conine pe v .

Intersecia celor dou plane este perpendiculara comun cutat.

Planul n spaiu


13. Distana dintre dou drepte i , de vectori directori 1D 2D 1v i 2v :

21

212121

,;vv

vvMMDDd

unde , . 11 DM 22 DM

Aplicaii:

1. S se stabileasc poziia relativ a planelor :

03:)( ,02:)( ,0434:)( 321 zyPzyxPzyxP . Soluie. Se studiaz sistemul ,02,434 zyxzyx 03 zy . Rangul fiind doi, planele nu se intersecteaz ntr-un singur punct. Primele dou ecuaii au soluia

, deci dreapta de intersecie a planelor i este tz tytx ,34,22 )( 1P )( 2P

134

22:)( 1

zyxD . Analog, i se intersecteaz dup dreapta )( 1P )( 3P

1321:)( 2

zyxD , respectiv, i au n comun dreapta )( 2P )( 3P 132zyx . Se observ c

cele trei plane se intersecteaz dup drepte paralele.

2. S se calculeze unghiul dintre dreapta i planul (P) .

003

:)(zyxzyx

D

01 zyx Soluie. Vectorul director al dreptei D este 21 NNv

, unde )3,1,1(1N

i )1,1,1(2 N

. Rezult kjiv 242 , 0sin . Dreapta (D) este fie paralel cu planul, fie coninut n plan. Un

punct al dreptei este (0,0,0) care nu verific ecuaia planului, deci nu aparine planului. n concluzie, (D) este paralel cu planul.

3. S se calculeze unghiul urmtoarelor plane : 01354:)( 1 zyxP i . 094:)( 2 zyxP

Soluie. Unghiul celor dou plane este unghiul vectorilor normali la cele dou plane )3,5,4(1 N

,

)1,4,1(2 N

. Cu (7.11) se obine 107arccos),( ,

107cos 21 NN

.

Planul n spaiu


4. S se scrie ecuaia planului care trece prin punctul (1,2,1) i este paralel cu dreptele

;01,012

:1 zyxzyx

D

;0,02

:2 zyxzyx

D

Soluie. Vectorul director al dreptei este 1D 211 NNv , 1,2,11 N , 1,1,12 N . Rezult )3,2,1(1 v . Analog se obine ),0(2 v 1,1 . Ecuaia planului este 0

1- 1 03 2 1 1-z 2 1-

yx, adic

. 0 zyx

Test de autoevaluare 7.1

1. S se scrie ecuaia planului ce trece prin punctul A(0,1,-1) i prin dreapta D:

a) tztytxD 41,32,24: ; b)

.01012

:yx

zyxD

2. Se dau planele 0722:1 zyxP , 0122:2 zyxP 0222:3 zyxP .

a) S se arate c planele sunt perpendiculare dou cte dou; b) S se determine punctul comun al celor trei plane; c) S se calculeze distana de la punctul A(2,4,7) la planul . 1P

3. S se determine poziia dreptei D fa de planul P dac: a)

11

39

412: zyxD , 0253: zyxP ;

b) 34

32

1: zyxD , 05233: zyxP ;

c) 3

42

1813: zyxD , 0142: zyxP .

Planul n spaiu


De reinut!

Planul determinat de un punct i de un vector normal Planul determinat de trei puncte necoliniare. Ecuaia general a planului.

Lucrare de verificare la Unitatea de nvare nr. 8 1. Se dau dreptele:

.094014

:1 yxzx

D ,

.0420

:2 zxy

D

S se scrie ecuaiile perpendicularei comune a celor dou drepte. 2. S se determine unghiul dintre dreapta

11

21

12: zyxD i planul 0322: zyxP .

3.S se calculeze unghiul dintre planele 017426:1 zyxP ,

04639:2 zyxP .

Rspunsuri i comentarii la ntrebrile din testele de autoevaluare Test de autoevaluare 8.1 1. Planul cutat conine dreapta D dac conine orice punct de pe D. a) Fie B(4,-2,-1) un punct ce aparine lui D. Planul cutat este determinat de vectorii )0,3,4( AB , )4,3,2(v i de punctul A. Se obine

017986 zyx ; b) Fasciculul de plane care trece prin D are ecuaiile

0)1(12 yxzyx . Deoarece A aparine planului, rezult 2/1 i ecuaia planului este 0325 zyx .

2. a) )2,2,1(1 N

, )2,1,2(2 N

, . Se gsete )1,2,2(3N

Planul n spaiu


0,,, 323121 NNNNNN

, deci planele sunt perpendiculare;

b) Sistemul format din ecuaiile celor trei plane are soluia 2,1,1 zyx ;

c) 31);( PAd .

3. a) ; )}2,0,0{( PD b) ; PD || c) . PD

Recapitulare Planul determinat de un punct 0000 ,, zyxM i de un vector

normal ),,( CBAN : .0000 zzCyyBxxA

Ecuaia general a unui plan: .0 ,0 222 CBADCzByAx

Planul determinat de trei puncte necoliniare 3,1 ,,, izyxM iiii :

0.

1111

333

222

111 zyxzyxzyxzyx

sau, 0. z-z - - z-z - - z-z -

131313

121212

111

yyxxyyxxy yxx

Planul determinat de un punct 0000 ,, zyxM i doi vectori

necoliniari 1111 ,, nmlv i 22 ,, nm : 22 lvsau 0.

z-z -

222

111

000

n m l n m l

y yxx

Unghiul dintre dou plane orientate :

].,0[ ,,

cos21

21

NN

NN

Planul n spaiu


Dreapta ca intersecie de plane :

.2 C

,

00

222

111

2222

1111

B A C B A

rangDzCyBxA

DzCyBxA(7.12)

Direcia acestei drepte este dat de 21 NNv , 1111 ,, CBAN , 2222 ,, CBAN .

Bibliografie 1. Letiia Ion, Mihaela Badea, Complemente de algebr i

geometrie, Editura Nautica, 2005. 2. Radu C., Algebr liniar, geometrie analitic i diferenial,

Editura All, Bucureti, 1998.3. Atanasiu Gh., Munteanu Gh., Postolache M., Algebr liniar ,

geometrie analitic i diferenial, ecuaii difereniale (Culegere de probleme), Editura All, Bucureti, 1994.

4. Udrite C., Probleme de albebr, geometrie, ecuaii difereniale, Bucureti, 1994.

5. Mneanu V., Carp D., Elemente de Algebr, Geometrie i Calcul Tensorial, vol. 1,2, Institutul de Marin Civil, Constana, 1997.

Algebra ALGAD

Documents

Transcript of Algebra ALGAD