A a Basica Eer Logica Cei 2011 II

5/16/2018 A a Basica Eer Logica Cei 2011 II

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MATEMAT ICABAS ICA LOG ICA CONJUNTOS

00 XDX ~.e = ...-.. ,n=O n.N R EA LE S RELAC IONES Y FUNC IONES

INDUCC ION M ATEMAT ICA N COMPLEJOS

TEOR IA DE PO LINOM IOS VECTORES EN R 2

EDUARDO ESPINOZA RAMOS,

LIMA - PERU


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IM PR ,E SO EN E L PE RU05- 05 - 2005

'D E RECHOS RESERVADOS

Rueley del Libroley de Derechos del AuforRegistrocomercialEscrituroPublica

N 10070440607N 28086N 13714N 10716N 4484

Este libra no puede reproducirse total 6 parcialmente por ningun rnetodo-grafico, electr6nico 0 meccnico. incluyendo los sistemas' de rotocopto,registrosrnopnetlcos 0de alimentaci6n de datos, sinexpreso consentimientodel autor y Editor,


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PROLOGOLa presente obra titulada "Matematica Basica" en su segunda edicion contien

esencialmente los ternas que general mente se desarrolla en los primeros eursosen las carreras dciencias, Ingenieria, Econonua, Administracion, Medicina, etc., asi como tarnbienen los InstitutesSuperiores,

En la actualidad el contenido cientffico de un libro debe cornplernentarse can el aspectdidaetico que es tan irnportante como el contenido cientffico, por lal motive en el presente trabajse expone en forma Te6rica y Practica en donde en cada capitulo comienza con enunciados elarode las definiciones y Teoremas juntos con sus respectivos ejemplos seguidos de una coleccion dproblemas resueltos y problemas propuestos,

En las definiciones importantes as! como los Teoremas y Propiedades son explicados eforma claray amena ilustrado can graficosy ejemplos en forma graduada.

La presente obra consta de ocho capitulos: Logica, Coniunto, Sistema de los NumeroReales, Relaciones y Funciones, inducci6n Maternatica, Nilmeros Complejos, la Teorfa dPolinornios y Vectores en R2 que es el capitulo que se ha agregado ala edieion anterior asf misrnse ha incluido la divisibilidad de los numeros enteros, se ha incluido mas problemas y aplicacionesa la economfa.

EI presente texto es basicemente pam esrudiantes recien ingresantes a las Universidadesen las especialidades de Ciencias Marernaticas, Ffsicas, Ingenierfa y Eeonomta y a toda personainteresada en fundamentar solidarnente sus conocimientos rnaternaticos,

Deseo expresar mi mas profundo agradecimiemo a mrs colegas de las diversauniversidades en donde presto rnis servicios, quienes con su apoyo moral y sugerencias han hech

. posible Ia realizacion de este libro en su 2da edici6n.Agradezco por anticipado la acogida que brinden a la presenre obra,

Eduardo Espinoza Ramo


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).


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I DEDICATORIA !Este Iibro 1 0 dedico a mis hijos:

RONALD, JORGE Y DIANAque Dies ilumine sus caminos para que puedanser gufas de su pr6jime


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1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.1.8.1.9.1.10.l.ll.1.12.1.13.1.14.1.15.J.l6.1.17.1.18.1.19.1.20.1.21.122.1.23.1.24.1.25.1.26.1.27.1.28.1.29.1.30.

IINDICE!

I CAPITULO I II LOGIC A IIntroduccionElementos de L6gica SirnbolicaProposiciones L6gicasDefinicionConectivos LogicosClases de Proposiciones L6gicosProposiciones Compuestos BasicosProposiciones CompuestasJerarquia de los Conectivos LogicosTautologicas, contradicciones y contingenciesImplicaci6n LOgica y Equivalencia L6gicaProposiciones LOgicamente EquivalentePrincipales Leyes L6gicas 0Tautol6gicasLa Inferencia Logics 0Argumento LogicoDefinicionTeoremaInferencia Validas NotablesEI Metodo AbreviadoMetodos de Demostraci6nForma 0Metodo Directo de DernostracionForma 0Metodo Indirecto de DernostracionDefinicionCircuitos LogicosDiseno de Cireuitos Electricos en SerieDiseno de Circuitos Electricos en ParaleloLogica CuantificacionalCuantificadores Existencial y UniversalNegacion de Proposiciones en CuantificadoresEjercicios DesarrolladosEjercicios Propuestos

J2333448991213131818192021252526262828293333353649


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2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.8.2 . 9 .2.W.2.11.2.l2.2.13.2.14.2.15.2.16.2.17.2.18.2.19.2.20.2.21.2.22.2.23.

3.1.3..2.3.3.3 . 4 .

I CAPITULO nII TEORiA DE CONJUNTOS I

DefinicionDefinicionRelacion de PertenenciaDiagrama de VENN - EULERDeterminacion de ConjuntosConjuntos NumericosConjunto FinitoConjunlo InfinitoRelacionesensre ConjumoIgualdad de ConjunlosPropiedades de la Igualdad de ConjuntoConjuntos EspecialesRepresentaci6n Grafica de los ConjuntosEjercicios PropuestosOperaciones con ConjuntosConjunto PotenciaPropiedade-s del Conjunto PotenciaInterval osOperaciones de Conjuntos Aplicados a los IntervalosFamilia de ConjuntosNumero de Elementos de un ConjuntoPropiedades del Numero de Elementos de un ConjuntoEjercicios Propaesros

696969707J72737373767677798083lO 3104107108112117117125

I CAPITULO III II SISTEMA DE NlrMEROS REALES ItntroduccionDefinicionAxioma de SustitucionAxioma Distributive

1 4 01411 4 3143


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3.5.3.6.3.7.3.8.3.9.3.10.3.11.3.12.3.13.3.14.3.15 ..3.16.3.17.3.18.3.19.3.20.3.21.3.22.3.23.3.24.3.25.3.26.3.27.3.28.3.29.3.30.3.31.3.32.3.33.3.34.3.35.

Teorerna de la lgualdad para la SUm3Teorerna de Ia Igualdad para la MultiplicacionTeorerna de Cancelacion para la AdicionTeorema de Cancelacion para la Mulliplicaci6nSustraccion de Nurneros RealesDivision de Niirneros RealesEjercicio!> DesarrolladosRepresentacion de los Narneros RealesDesigualdadesAxioma de la Relaci6n de OrdenDefinicionTeoremaTeoremaTeoremaTeoremaTeoremaTeoremaEjercicios DesarrolladosEjercicio!> PropuestosInecuacionesConjunto Soluci6n de una InecuacionResoluci6n de una Inecuaci6nlnecuaci6n de Primer Grado en una Incognitalnecuacion de Segundo Grado en una Incognitalnecuaciones Polinornicaslnecuaciones FraccionariasInecuaciones ExponencialesInecuaciones lrracionalesEjercicios DesarrolladosEjereicios PropuestosValor Absolute

1111111111111111111111111111122

3.36. Propiedades Basicas pam resolver Eeuacion e Inecuaciones dondeiruerviene Valor AbsoluteMaximo Entero.37.

.3.38.3.39.3.40.-'.41.

Propiedades del Maximo Enterolnecuacion LogaritmicaEjercicios DesarrolladosEjercicios Propuestos

222222


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3 . 4 2 . Aplicaciones de las Inecuaciones a l a A d m i u i s t r a c i o n y Economfa3 . 4 3 . Ejercicios Propuestos

4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.4 . 9 .4.10.4.11.4.12.4.13.4.14.4.15.4 . 1 6 .4.17.4.18.4.19.4.20.4.21.4.22 ..4.23.4.24.4.25.4.26.4.27.4.28.4.29.4 . 3 0 .

314318

I C.APITULO IV IRELACIONES Y FUNCIONES

IruroduccionRelaciones BinariasGrafica de una Relacion de R en REjercicios DesarrolladosEjercicios PropuestosFuncionesDorninio y Range de una FuncionCriterio para el Calculo de Dominio y Range de una FunclonAplicacion de Aen BFunciones EspecialesEvaluacion de una FuncionFunciones Definidascon Varias Regia de CorrespondenciaTrazado de Grafica EspecialesEjercicios DesarrolladosEjercicios PropuesiosOperaciones con FuncionesComposicion de FuncionesPropiedades de la Cornposicion de FuncionesEjercicios DesarrolladosEjercicios PropuestosFunci6n: Inyectiva, Suryectiva y BiyectivaFunciones Crecientes, Decrecientes y Mon6tonasCalculo de Rango de Funciones Inyectivas MonotonesFuncion InversaFunci6n Inverse de una ComposicionEjercicios DesarrolladosEjercicios PropuestosAplicaciones de las Funciones en Adrninistracion yEconomfaEjercicios DesarrolladosEjercicios Propuestos

3 2 33323 3 93 4 33 5 33 5 63 5 73 5 83 5 93 6 03 6 53 6 53663 7 03 8 83994044114114234334364 3 8439441441454466477483


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I CAPITULO V!I INDUCCI6N MATEMA TICA I

5.1. Introduccion 4905.2. Conjuntos Acotados 4915.3. Axioma del Supremo 0Axioma de la Minima COla Superior 4925.4. Principio Arquimediano 4935.5. Principio del Buen Orden 4955.6. Menor Elemento y Mayor elernento de AcR 4955.7. Proposicion 4965.8. Sub Conjuntos Inductivos de R 4965.9. EI Principio de Inducci6n Maternanca Cornpleta 4985.10. Teorema I (Primer Principio de lndoccion) 4995.11. Teorerna 2 (Segundo Principio de Inducci6n) 4995.12. Definicion 5005.13. Ejercicios Propuestos 5075.14. Surnatorias 5115.15. Propiedades de la Sumatoria 5115.16. Formulas de la Sumatoria 5165.17. Notacion del Producto de n Nlimeros 5205.18. Ejercicios Propuesros 5235.19. Divisibilidad en Z 5295.20. Maximo como Divisor M.Cn. 5345.21. Lema 5385.22. Minima Comiin Multiple 5395.23. Regia para averiguar si un ruimero dado es primo 5405.24. Criba de Erastostenes 5415.25. Ejcrcicios Propuestos 5425.26. La Funci6n Factorial 5435.'27. Ntimeros Combinatorios 5445.28. Principales Propiedades de los Coeficientes Binomiales 5465.29. EI Triangulo de BLAISE PASCAL 5485.30. Potencia s de un Binomio 5485.31. Ejercicios Propuestos 551


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6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.6.7.6.8.6 . 9 .6.)0.6.11.6.12.6.13.6.14.6.15.6.16.6.17.6.18.6.19.6.20.6.21.6.22.6.23.6.24.

7.1.7.2.7.3.

I CAPITULO VI INUMEROS COMPLEJOS

Ecuaciones sin Soluci6n en RDefmid6nDefmici6nPlano ComplejoDefinicionEjercicios PropuestosCera y Opuesto de un Numero ComplejoOperaciones con CompJejosUnidad ImaginariaForma Estandar 0Bin6mica de Ndmeros ComplejosTeorernaLa Conjugaci6n en CM6dulo de un Namero ComplejoEjercicios DesarrolladosEjercicios PropuestosForma Trigonometrica 0Polar de un Niimero ComplejoMultipHcaci6n y Division en Forma PolarPalencia y Rakes de Niimeros ComplejosExponenciales Complejas (Formula de Euler)Logaritmos en CExponencial Compleja GeneralEjercicios DesarrolladosEjercicios PropuestosMiscelanea de Ejercicios

55755755755855855855956056056656656656756858959860060160460560660761 9623

I CAPITULO VII II TEORiA DE ECUACIONES I

DefinicionEcuaciones Polin6micas de Segundo GradoRakes y Discriminante de una Ecuaci6n Cuadratica

63 5637637


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7.4.7 . S .7.6.7.7.7 . 8 .7 . 9 .7.10.7.11.7.12.7.13.7.14.7.IS.7 . 1 6 .7.17.7.18.7.19.7..20.7.21.7.12.7.23.7.24.7.25.7.26.7.27.7.28.7.29.7.30.7.31.7.12.

8.1.8.2.8.3.

Relaci6n Entre Rakes y Coeficientes de una Ecuacion CuadraticaEcuaciones Reduciblesa CuadraticasEcuaciones IrracionalesAlgoritrno de In DivisionTeorema (Algoritrno de la Division para Polinomio)La Division SinreticaTeorema del RestoTeorema del FactorRakes de un PolinomioTeorema Fundamental del AlgebraNumero de Rakes de una Ecuacion Polino micaDefinicionRakes EmerasForma Factorizada de un PolinornioRelacion Entre los Coeficientes y las Rafces de una Ecuaci6n PolinorntcaNaturaleza de las rakes de Polinomios RealesRakes Racionales de un Po lino rn ioTeorema del Limite Superior de las Rakes Reales (LAGRANGE)Variaci6n de Signos de un PolinornioRegla de los Signos de DescartesEcuaciones BinomicasEcuaciones Trinornicas BicuadradasEcuaciones RecfprocasEcuaciones Polinomicas de Tercer OrdenEcuaciones CuarticaGrafica de un PolinomioReglaSolucion Nurnerica de Ecuaciones con el Metoda de NewtonEjercicios Propuestos

ICAPITULO VII~;I VECTORESEN R z i

Conceptos BasicosVectores BidimensionalOperaciones con Vectores

638639640642643643645646646646647647648649650651653b536546546546556566 5 7660662664666669

6826856 8 7


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S A .S.5.8.6.8 . 7 .8.8.8.9.8.10.S.U.8.12.8.13.8.14.8.15.8 . . 1 6 _8.17.8.18_8.19.8.20.S.21.8.22.8_21.8.24.8.25.8. 26..8 . 2 7 .8.2S.8.29.8.30.8.31.8.32.8.33.

Longitud 0MOdulo de un VectorPropiedades del MOdulo de un VectorVector UnitarioTeoremaDireccion de un vector en R 2Producto Escalar de VecroresPropiedades del Producto Escalar de VectoresVectores Paralelos y OrtogonalesCriteria de ColinealidadInterpretacion Geometries de la Ortogonalidad de VeetoresTeorernaTeoremaTeoremaCorolarioCombinaci6n Lineal de VectoresTeoremaTeoremaDependencia en Independencia Lineal de Vectores en R2Vectores FundamentalesPtopiedades de Ins Vectores Ortogonales UnitariosDefinicionProyeecion Ortogonal y ComponenteDefinicionPropiedades del Vector Proyeccion y ComponenreRelation entre Proyecci6n y ComponenteAnguloentre Des RectasLa Oesigualdad de Cauchy - SchwarzArea de: Triangulo y ParalelogramoEjercicios DesarrolladosEjercicios PropuestosBlBLIOGRAFIA

69469669769769870070170270370470570670670770870971 071071271371471 471 571671 77187207217227607 8 4


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LOgiCl1

!CAPITULO 1 1

I L6GICA I1 1 . 1 . INTRODUCCI6N.~

L6gica es elestudio de los procesos validos del razonamiento humane, En la actualidadel estudio serio de cualquier lema tanto en el campo de las Humanidades como el de Lciencias y la tecnica requieren conocer los fundamentos y rnetodos del razonamientologico precise que permite alestudiante 0 profesional extraer y depurar sus conclusionesevitando el riesgo de modificaren forma equivocada la informacion que posee. Esro eaun mas en esta era de lacomputacion, herramienta que es ernpleada en todos los campodel desarrollo de una sociedad y con la velocidad a la cual se procesan los datos cualquiererror de 16gica puede originar problemastecnicos. sociales y economicos,Siendo muy irnportante, en la rnatematica modema el analisis dellenguaje con un criterio16gico: la L6gica nene como fin de conducimosa WI habil manejo del lenguajematernatico yel empleo de rnetodos efieaces de razonarniento.Existen dos tipos importantes del razonamiento: EI inductive y el Deductive,EI razonamiento inducnvo es el razonarruento par el cual una persona en base a suexperiencias especjficas. decide aeeptar como valida un principia general.EI razonarniento deductive es, en cambia, el medio segun el emil dicha persona utilizaprincipia general aceptado previamente para decidir sobre la validez de una idea, que a svez habra de determinarel curse de su acci6n.Dado que las proposiciones son preceptos validos de razonarmento deducrivo, endesarrollo de nuestro estudio verernos 10 esencial de la logica proposicional. a traves dusa y manejo de una sirnbologia adecuada,


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2 Eduardo Espinoza Rmno1 1 . 2 . ELEMENTOS DE L6GICA SIMB6LICA.- !

a) ENUNCIADO.-

Ejemplo.- < DSe den omina enunciado a toda frase u oracion,

11 es un mimero primo. C Do(!)@ ,

jViva el Peru!Paris eSla en halia.o

(2)iQue hera es?5>9 6+2=8

Losenunciados que matematicameate tienen significado son aquellos que puedeoser considerados como verdaderos 0 falsos (proposiciones): algunos enunciados nes posible afirmar si es verdadero 0 falso, como por ejemplo. las interrogaciones, laexclamaciones 0las preguatas,

b) ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y ntienen la propiedad de ser verdadero 0falso,

Ejemplo.-

C D xc 7. es un enundado abierto, porque no podemos afirmar sies verdaderofalse, solamente cuando a la variable x se Ie dii un valor nurnerico podemosdecir si es verdadero 0 false,As! por ejemplo: para x = 3, 3 < 7 es verdadero

para x=- 9, 9 < 7 e s falseo x 2 +Y 2 = 16 , tambien es unenunciado abierto.c) VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo

recorrido, a las variables representaremos por las letrarninusculas x,

y. z, (, u, v, a estas variables se les da el nombre de variables indeterminados.Ejemplo..~

C ! ) y =~ es un ruimero real, si x es un numem real que sea mayor 0 igual5. EI campo 0 recorndo I t : x es ; 1 1 : ; : : : 0 : 5.


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LOgica o E n Ia ecua cio n x2 + y 2 = 16EI campo 0 recorrido de x es ~4 .,::x .,::4EI campo 0 recorrido de y es ~4 .,::y s 4.1 1 . 3 . PROPOSICIONES LOGICAs.-1

Llarnaremos proposiciones logicas a todo enunciado abierto que pueden ser calificadocomo verdaderas 0bien como falsas, sin ambigtiedadesNOT ACI6N.~ Las proposiciones logicas seran denotadas general mente con tetra

rnimisculas p. q. r, t, . etc. A Ia veracidad 0 falsedad de unproposicion se denomina valor de verdad,

Ejemplos de Proposiciones L6gicas.-p: 15 - 4 = II. verdadero (V)q: Lima es la capital del Peru, verdadero (V)r: 107 ... 301 = 48, falsa (F)t: 7 es un mimero par. falsa (F).

1 1 . 4 . DEFINICION . IS e llama valores de verdad de una proposicion a sus dos valores posibles; verdaderofalso, estes posibles valores se puede esquernatizar en una tabla de verdad en la forma.

1 1 . 5 . CONECTIVOS L O G l c o ' s . 1Son expresiones que sirven para unir dos 0mas proposiciones, entre los mas irnportantesconectivos logicos tenemos:La conjuncion, disyunci6n, impiicaci6n, bicondicional, negacion, contradiccion, estmostraremos enel siguiente cuadro.


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4 Eduardo Espinoza Ramos

Implicati6n Sf... entonces ...

'i 1\Nombre Expresi6n Simbolo L6gicoConjunci6nDisyuncion 6 v

Bieondicional, equivalencia ... Sf'i s610 sf, ...doble implicad6nNegaci6n 1 NoConrradiccion ... no equivalente, ...

1 1 . 6 . CLASES DE PROroSlCIONES LOGICAS.-!a) PROPOSICIONES SIMPLES 6 ATOMICAS.-

En una proposici6n que no contiene ningnn conectivo 16gi


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LOgica

Si una proposicion es verdadera V. su negaci6n es falsa F y redprocamente. si dichproposicienes falsa P, su negacion es verdadera V.La proposici6n -Pes Iefdaasf "no P", "no es cierto que P"Ejemplo.-C!) 2 es primo V

Su negaci6n es: 2 noes primo Fo 5 es par FSu negaci6n es; no es cierto que 5 es par Vo Dada la proposicion 'P: 5 x 7 = 35Su negaci6n es: -P: no es cierto que 5 x 7 = 35

b) LA DISYUNCJON.- La disyunci6n de dos propcsieiones p y q es la proposici6ncompuesta que resulta de unir p y q por el conecrivo

16gico "0" en el sentido inclusive y/o y que el principle 16gico es"La proposicionp v q es [aha unicamel1te en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otrcaso es verdadera", La tabla de verdad parala disyunci6n es:

p q pvqV V VV F VF V VP F F

Ejemplo.,- Hallar el valor de p v q donde p: 7 es mayor que 9:q: 4 es menor queSolucion

c) LA CONjUNCION.- La conjuncion de dos proposiciones p y q es la proposici6ncompuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo

Iogico 'y' que se simboliza p t\q, donde el principio logico es "La conjuncion p 1\es verdadero V. s610 cuando p es verdadero y q es verdadero V. en todos los dernacasas es falso", SI} tabla de verdad es:


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6 Eduardo Espinoza Ramop q pAqV V VV F FF V F

'I F F FEjemplo.~ Sf p: 4 < 7 Y q: 6 es mimero par. Calcular el valor de verdad de p 1\ q

SoluC' i6n

d) LA CONDICIONAL (IMPLICA TIVA).- La implicaci6n 0 condicional de doproposiciones p y q es la proposici6n

eompuesta mediante el conectivo 1.6gico"si, "', eruonces ...... y se simboliza p--)q. donde el principio Jogico es "La proposici6n implicativa es falso unicamente encaso que la proposici6n p es verdadera y la proposicion q es falsa, siendo verdaderen todos los dermis casos, Su tabla de verdad es:

p q p--JqV V VV F FF V VF F V

La proposition pes Hamado antecedente y la proposici6n q es Ilamado consecuente,P --------+QAmecedente Consecuente

Premisa Conclusion,Hipotesis Tesis,OBSERVACION.-o Una implicacion es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea

consecuente.o Una irnplicacion es verdadera si el consecuente es verdadero, cualquiera quseael antecedente.


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J..ogica

Ejemplo.- Sea p: Cristobal Colon descubrio America. q: 6 + 3 = 8Hallar el valor de verdad de p --------,jo q

SolucionParacalcular el valor de verdad de la proposicion P --------,jo q, primero calcularemosvalor de verdad de las proposiciones dadas,p : Cristobal Colon descubri6 America es verdadera vq : 6 + 3 = 8. es falsa F

v Fp

e) LA BICONDICIONAL (Equivalenle 6 Doble Implica.c.ion)_-La doble implicacion 0bieondicional de dos proposiciones p y q es la proposicioncompuesta mediaateel conectivo 16gico "si y 5610 si" y se simboliza p .f;-~ q soverdaderos V 0son falsos F. en otros casas es falso F. Su tabla de verdad es:

p q pHqV V VV F FF V FF F V

f) LA DISYUNCION EXCLUSIV A.- La disyuncron exclusive de doproposiciones p y q es la proposicion

compuesto mediante conectivo logieo "0" y se simboliza p II q. donde amhaproposicioncs p y q tengan valores de verdad opuesros y es falsa si ambas tienidenticos valores, Su labia de verdad es:

p q p6.qV V FV F VF V VF F F


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8 Eduardo EspinoZa Ramo

Ejemplo.- Sea p: k es par q : k es impar, Hallar el valor de verdad de p t'l q.Solution

Para eatcular el valor de verdad de p!J. q. primero veamos 10 siguiente:Q) Si k es par, si puede ser impar (Si pes V ; q es f) Si k es impar, no puede ser par (Si p es F ; q es V)De las notaciones (I) Y (2) vernos que p!J. q es verdadera.Enefecto:

p q pt'lqV F VF V V

1 1 . 8 . PROPOSICIONES COl\1PUEST AS. IMediante los conectivos 16gicos se pueden combiner cualquier ruirnero fin ito dproposiciones cuyos valores de verdad pueden ser eonocidos, construyendo su tabla dverdadcen dicha tabla se puede indicar los valores resultantes deestas proposieionescornpuestas, para todas las combmaciones posibles de valores de verdad de laproposiciones compuestas,Ejemplo.- La tabla de verdad de la proposici6n compuesta de:

[(p----+ q) A (q----+ r)}----+ (p----+ r)Solndon

p q [ p----+ q q _ _ _ _ _ _ _ " r p---+r (p ----+ q) A. (~ rj] ----+ (p---+ r)V V V V Y V V V VV V F V F F F V FV F V F V V F V VV F F F V F F V FF V V V V V V V VF V F V F V F V VF F V V V V V V VF F F V V V V V V


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Logica

11.9... jERARQuiA DE LOS CONECTIVOS LOGICOS.- ISi ~e tiene una proposicion cornpuesta con varies conectivos logicos. para realizeroperaciones primero se debe colocar los parentesis adecuadarnente empezando conproposiciones que se encuernran dentro de los parente sis anteriores, luego siguen rodasnegaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados comparentesis),

Ejemplo.- Hallar la tabla de valor de verdad de Ia proposicion:lpV {q----7 -rn 1\ [(-p v r) +-.-+ - q]

p g r Ip v (q---t -r)] 1\ [(-pv r) +---+ - q]V V V V V F F V F FV V F V V V V F V FV F V V V V V V V VV F F V V V F F F VF V V F F F F V F FF V F F V V F V F FF F V F V V V V V VF F F F V V V V V V~ ~ ~ - - - - - - - - - ~- - - - - - - "

11.10. TAUTOLOGiAS,CONTRADICCIONES CONTINGENCIASIa) TAUTOLOGiA.- Son proposiciones compuestos que siempre son verdadero

cuaJquiera que sea el valor de las proposiciones componcnte .EjempJos de Tautologia.-C D p v - p (principio del tercio excluido)

C D [(p---) q) 1\ pl----4 q (p -p]Fn ctecto tcnemr- .


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p p v -pV V V F

i F F V V Es Tautologia

p q '[(p -------)c q) A p] -------)c qV V V V V V VV F F F V V FF V V F F V VF F V F F V F

Es una Tautologta

p -p -(pA-p)V F V FF V V F

Es una tautologfa

b) CONTRADICIONES.- Son proposiciones cornpuesras que siempre son falsascualquiera que sea el valor de las proposicionescompuestas,

Ejemplo de conlradicciones.-P 1\ -p (principio de contradicci6n)-(p v -p) (p-4 q) 1\ (p 1\ -q)

En efecto tenernos:

p -p p x=-pV F FF V F

Es una contradiccion


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LiJgi .c l l 1

p -p - (p v -p)V F F vF V F vo Bs una contradiccionp g (p -----+ 'I) A (p A -'I)

V V V F FV F F F VF V V F FF I F V F F Es una contradicci6n.

c) CONTINGENCIA.- Son proposiciones cornpuestas que no son ni tautologta ncontradieciones, es decir, son proposiciones que en algunos

casas es F. yen otTOS es V.Ejemplos de Contingencia.-C D p+-- . .. .. qo (p -------)I) -------)PEn efecto tenemos:

p q p+-- ..... qV V VV F FF V FF F V

Es una contingenciap q pl\qV V VV F FF V FF F F

E$ u na c ou rin ge n cia


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12 Eduardo Espinoza Ramo

p q (p -----+ q) -----+ P!V V V V VV F F V VF V V F FF F V F F

Es una contingencia1 1 . 1 1 . IMPLICACJON LOGICA Y EQUIVALENCIA LOGICA.-I

i) A toda proposicion condicional p --+ q que sea tautologfa Ie llamaremos imp!icaci6nlogica (0 sirnplemente irnplicacion) en este case a la condic.ional denotaremos pop=;.qEjemplo de Implicaci6n 16gica se tiene:puesto que:

[((-p) v q)1\ -ql . : : : > -p

p q [-p) v q) 1\. -q] . : : : > -p,V V V F F V FV F F F V V FF V V F F V VF F V V V V V

E s una tautologja, Por 10 tanto es una implicaci6n 16gica.ii) A toda bicondicional pH q que sea tautologia se Ie llama equivaleacia logica (

simplementeequivalencia) y en este case a la bicondicional denotaremos pcr p:::>qEjemplo de equivalencialogiea se tiene: I p 1\ (p v q)1 :::>ppuesto qu e :

p q [p /\ (p v q)] .:::) pV V V V V V VV F V V V V VF V F F V V FF I F F P F V F

Es una tautologia. Por 10 tanto es una equrvalencia 16gica.


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LOgiClJ

11.12. PROPOSICIONES LOGICAMENTE EQUIV ALENTES.-ICuando sus tablas de verdad de dos proposicioncs p y q son identicos 'it: denominanequiv alentes (0 16gicamente equivalentes) en este case se simboliza en la forma p""q.Ejemplo.- Las proposiciones (p ~ q) y (-q ----+ -i son logicarnente equivalcntes

puesto que sus tablas de verdad son identicos. En efecto:

p q p----+ q -q----+ -pV V V F V FV F F V F FF V V F V V

'I F F V VV V~ ," " ,-,.. ldenticos A"

.. p----+ q = = -q ----+ -pOBSERV ACION.-

C D La equivalencia de este ejemplo es muy irnportante, porque viene a ser la base dHamado metoda de demostracion por Reduccion al absurdo. en una forma indirectde un proceso de demostraci6n que se va utilizar en el desarrollo del curse,

Un par de proposiciones equivalentes p = = q resulta siemprc una equivalencialogica p < = > q y viceversa, por esta razon euando se tiene una equivalencia logicentre p y q. tambien se dice p = = q.

/1.13. PRINCIPALES LEYES LOGICAS 0 TAUTOLOGICAS.-!Las Ilarnadas leyes 16gieas u principios 16gic9S viene a ser Iormas proposicionalestautologicas de caracicr general y que a partir de estas leyes logicas se puede generar otratautclogicas y iambien cualquier tautologfu se puede reducir a una de las leycs logicaentre las principalcs lcyes logicas mencionarernos.


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14 Eduardo Espinoza Ramo

I D LOS TRES PRINCJPlOS LOGICOS CLAsICOS.- Ley de identidad.{P----::' P . ., 5 6 1 identi ,. ... . lIna propoSIClon 0 son I enncosasi mlSffiOp +------'J Po Ley no coruradiccion.-(p A -p) "una proposicion no puede ser verdadero y false a Ia vez"0- Ley del Tercioexcluido.P v -p "una proposiciones verdadero 0es falso no hay una tercera posibilidad"

2 EUIVALENCIAS J:olOTABLES.-Ley de la doble negacion,

-( -p) =" p "la negacion de.la negacion es una afmnad6n" Ley de la ldernpotencia.b) P v P = = po Leyesconmutativas,b) ( p v q ) = = (qv p )

c) p +--+ q = = q +--+ po leyes Asociativa,a) P A (q A rJ = = (p A q) A r b) p v (q v r) = = (p v q) v rc) p+--+ (q +--+ r) = = (p +--+ q) +--+ r Leyes Distributivasa) p A (q v r) = = (p A q) v (p A r) b) p v (q A r) = = (p v q) A (p v r)c) p~ (q A r) = = (P-----)o q) A lp-----)o r)d) p -----) (q v r) = = (p -----) q ) v ( p - - - - - ) r)


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LOgicao Leyes De Morgan.a) -(p A q) :: -p v -q b, -(pVq)=-PA-q

o Leyes del Condicional,a) p-------)q :: -p v q Las Leyes del Bicondicional.- b) -(p -------)g) :: p A -qa) (p (--~ q) = = (p -------)q) A (q -------)p)b) (p i---+ q}:: (p A g) v (-p v -q)

Leyes De La Absorci6n.a) P A (p V q) :: p b p A (-p v q) :: p A qc) p v (p A g) :: p

@ Leyes De Transposici6n.a) tp ---+ q) = = -q-------)p

@ Leyes De Exportacion.a) (p A g) -------)r:: ~ (q -------)r)

b) (p 'f---+ g) :: -q 'f---+ +p

@ Elementos Neutros para la Conjunci6n y Disyunci6n.a) P A V:: p. V neutro de la conjuncion.b) Pv F = = p. F neutro de la Disyunci6n.

@ Tambien:a) (p v g) 1\ (p v -q) = = p b) (p A q) v (p A -gpo: P

OBSERVAC16N. Estas Leyes son muy uriles para simplificar los problemas. puestque es valido reemplazai una proposicion por su equivalente salterar el resultado.


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Ejemplo.~ Simpliflcar las proposiciones siguienres aplicando las leyes 16gicas.L(pv -q) A qJ~ p

SoludOn[(p v -q) A q)~ P = = -[(p v -q) A q]V P

= = l~(p v -q) v -q J v p= = l-(p v -q)] v (pv -q)==pv-q

-[-(p A q)~ -cl v qSoluci6n

--l-{p A q)~ -q] v q== [ -(p A q) A - (-q)] v q poe (7b)= = -[(p A q)v (-q)] v q por (6a)==[-(p A q) A -(-q)] v q poe (6b)==[(-p v -q) A q J V q ==q v (-p v -q) A q) por (3b);$qv [qA (-p v -q = = q por (9b)o Comprobar que las (res proposiciones siguientes son equivalentes:

a) - [(q v -p) v (q A (r v -p})l

b) (p A -q) A(-q V (-r v p)]c) -(-q~ -p) A Iq~ -(p~ r n@ Deierminar si (a) y (b) son proposiciones equivalentes:a) p -----10 (r v -q)b) (q-----1o -p) v (-r~ -p)Dejamos el desarrollo de este ejercicio al lector,


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LOgica

G) [-p) A q)~ (r A -r)l A-qSoluci6n

[(-p) A q) ~ (rA -r)] A -q = = [((-p) A q)~ FI A-q= = [-((-p) A q) v P J A-q= = [(p v-q) v F] A-q

Ejemplo. Determinar si a} y b) son proposiciones equivalentes:a) p~(rv-q) b) (q~-p) v(-r~-p)

SoludanDeterminaremos la equivalencia mediante 11.1abla de verdad.

p q r p~(rv-p) (q~ -p) v (-'f---+ -p)V V V V V V F V VV V F V F F F F FV F V V V V V V VV F F V V V V V FF V V F V V V V VF V F F V F V V VF F V F V V V V VF F F F V V V V V-. Identicos ..L~ ~_J

Otra manera es mediante la simplificacion.a) p~ (r v -q) = = (-p) v (r v -q)b) (q-----+ -p) v (-r~ -p) ==-q v -PJ v r v -p)

= = (-q) v (-p v -p) v r= = (-q) v (-p) v r==(-p)v(rv-ql

f I:)

.(2)Luego de (I) Y(2) se tiene: a) = = hI


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18 Eduardo Espino'ZQ Ramos

\1.14. LA INFERENCIA L6GICA 0 ARGUMENTOLOGICO.-!Al proceso de pasar de unconjunto de prernisas a una conclusion se denomina inferencia16gica 0Argumemo Iogico.La inferencia togica es troll condicional de la forma:

(PI !\P2 " ... " p" )------+ q ..(a)

donde las proposiciones P I' P "}:, .. .. p" son lIamadas premises y que originan comoconsecuencia OITaproposicion q Hamada conclusion.OBSERV ACION.- Una inferencia logica puede ser una tautologfa, una contingenciauna contradiccion y por 10 tanto se tiene:

C D 5i la condicioaal (a)es una tautologfa se denomina argumento valido 0 inferenciavalida,o Si 11'1ondicional (a) no es una tautologiase denomina FALACIA.

Ahora verernoscomo se determinael valor de verdad de unargumento logico,

11.15.. DEFINICION ... IEI argumento (1) es verdadero si qes verdadero cuando todas las premises PI' P " }: " . .' , . P nson verdaderos.en cualquier otro caso el argumento (a) es falso,NOTACION.. Tambien el argurnento (a) se denota por:

. . . (~)Ejemplo.- Determinar si p v q es una consecuencia validade -p----7-q,-q----7r.-r

SoludonEn este problema las premisas +p ~ -q. -q ~ r, -r y Ja conclusion es p v q. por 1tanto se debe dernostrar que (-p ~ -q) 1\ (-q ~ r) 1\ -r ~ p v q es unatautologfa,


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LOgica

p q r [l-P---+ -q) Id-q--u)j " [-r---+ (pv q)v v v v v V F F V VV V F V V V V V V V IV F V V V V F F V VV F F V F F F V V VF V V F F V F F V VF V F F F V F V V vl F F V V V V F F V FF F F V F F F V V F

Es una tautologfComo es una tautologia es una infercncia valida,

11.16. TEOREMA.-I51 el argumento (u) es valida y las prernisas PI' Pl ,... p" son verdaderas, entoncesconclusion q es verdadera.

DemostracionSi el argurnenro (u) es valido, la condicional PIA P2 A ... A p " ---) q es una tautologen que (PI A P~ A ... Ap,,) es verdadera (puesto que cada Pl'P2. .. Pn son verdaderosde donde se tiene que la t1nica posibilidad para la conclusion q es que sea verdadera, pusi Iuese falsa, la condicional seria falsa y la inferencia no seria valida, contradiciendohiporesis,OB..'iERVACION.- Una inferencia no se modi fica si una 0 varias de las proposicionecornponentes PI' P2 ,. > P", q se reemplaza por otra u otras que sean equivalentes,NOTACIO~.- Al argumento (PI 1\ pz1\ ... 1\ p,,)---)q. tarnbien se denota en

forma siguiente:

p ".. q


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Eje.roplo.- Demostrar que el argumentoes valido,pp---+qq

Soluci6nSe debe demostrar que la condicional[p 1\ (p---+ q)] ---+ q es una tautologla[p 1\ (p---+q)] ---+ q = = -[p 1\ (p---+ q)Jv q

= . [-p v -(p---+ q)) v q==(-p v q) v -(-p v q)==(-p v q) v (p 1\ -q)= = -(p 1\ -q) v (pA -q)== V es tautologfa

Tambien puede haberse demostrado con la tabla de verdad,p q [p 1\ (p ---+ q)} ---+ qV V V V V V V.V F V F F V FF V F F V V VF F F F V V F- - _ __"1t_/ Es una tautologfa-----

11.17. INFERENCIAS VALmAS NOTABLEs.41

C D Ley De Modus Pones.- [lp---+ q) 1\ q]=)qtarnbien se sirnboliza p---+qp

Ley De Modus . Tollens.-rambien se simboliza

:. q[(p---+ q) 1\ (-q)l =!> (-p)

p---+q-q:. -p


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LOgica 2o Ley Del Silogismo Hipotetico. {(p--------)o) A (q----------))l ~ (P--------)o)Tambien se simboliza:

o Ley Del SilogisrnoDisyunuvo. [(p v q) /\ (-p)J::) qTambien se sirnboliza: p vq

- pr, qo Ley Del Dilema Constructive. [(P--------)o) A (r----to 5) A (p v r)] ::) (q v 5)

Tarnbien se simboliza: p --------)0 qr---+ 5pvr:. q v s Ley De Simplificacion.

a) p A q::) P b) P/\ q::) q

Tarnbien se simboliza: pq~p

pq:. q

11.18. EL METODO ABREVlADO.~ IEI desarrollo de la tabla de valores de la inferencia (p I /\ P2 A .... A P" ) ----+q es muylaborioso cuando se desea saber su validez, esto se puede evitar mediante el "metodoabreviado" que es facil de manejar y de gran precision.

EI metodo abreviado consiste en analizar la tinica posibilidad de ser falsa lirnplicacion p---+ q, e 5 decir:


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22 Eduardo Espinoza Ramoo sea que la implicacion es falsa F solo cuando el amecedente es verdadero V yeonsecuente falsa F.Ahora haremos un analisis a 11.1nferencia. (PI 1\ P 2 1\ .1\ p" ) -----7 qmediante los siguientes pasos:

1 Asignar el valor deverdad V a cada una de las premises PI' P2 .. p " y false Faconclusion. como el anrecedentees verdadero y por ser una conjunci6n n premisesentonces cada prernisa PI'P2" .. , p " es verdadera es decir:

(P I 1\ P2 1\ /\ P II) ~----') q

Vt Ft2 Deducir el valor de cada una de las variables proporcionales teniendoen cuenta la

reglas .1\,. v , ----t, - que se pueden presentar en cada prem isa.3 Si cada una de las variables proporcionales tiene un solo valor. entonces

inferencia no es valida, es deck no hay irnplicacion puesto que Ill. conjuncion dprernisases V y 11.1conclusion es F.

4 Si una variable proporcional llega tener dos valores a Ia vex (V y F). entoncesquedara dernostrado que no es posible que 11.1conjuncion de premisas es V yconclusion es F, por 10 tanto hay irnplicacion y 11.1nferencia es valida,

Ejemplo. Analizar Ia inferencia (p--------?q)1\ (r -----+-s) 1\ (~qV -5)]-----+ (-p v -T)Solucion

[(p --.-----Joq)1\ (r - - - , - - - - - - + -5) 1\ (-q;V -s)1 - - - - - - - - - ) (-p v -r). . + . . . . I II IV V V I Ii - F " F"'_J' ,1


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LOgica

Analizando la conclusion (-p v -r)-p v -rF . L w - - - - t F

{= pes F {p es Vde donde . ::::)= res F res V

ahara analizarernos cada premisa

r ) -5 de donde r es VV~ V -s es V entonces Ses. F.

-q v s de dondev t .. t . FLQ----J- q es Vs es F entonces q es F

como se puede apreciar que qes V por una parte y q es F por otra parte. 10cual es unacontradiccion por 10 tanto la mferencia es valida,Ejemplo.- Analizar la inferencia [(~q)" (::-p----io r)" (p v-p}J----io (p v r)

Solucion[(p ----io q) " (-p~ r) A (p ~ -p)] --1-""" (p ~ r)

... ~ I II I. . . . . .v vV FAnalizando la conclusion p v rp v r de donde

F~F{p es Fres F


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24

Ahora analizamos cada una de las premises.

Eduardo Espinoza R,anws

p q de donde p es FF L ( t _ J V q es V-p r de donde -p es F entonces pes V

~Fcomo podemos apreciar p es F por una parte

p es V pOTotra parte1 0 cual es una contradiccion, por 1 0 tanto Ia inferencia es valida,Ejemplo.- Analizar Ja inferencia: [(-p (----7 (-qV r) A (r~ s)1--+ (s--+ -p)

Solucion[(-p (----7 (-q v r) A (r --+ s)]------+ (s--+-p)I

II. .F

,tv III. .vAnalizando la cone lusion s ---+ -p

s -p de donde

1_4JF{s e.s V . enrollees p es V= pes F

Ahoraanalizamos cada una de las premisas,-p (-qv r)l-~-tde donde -q v Tt - + t enrolleesFL.@ -J F {q es Vres F


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LOgica 2

r s de dondeF~F

res Fs es F

Como se tiene una contradicci6n. Luego la infereneia no tiene validez,jl.19. I\rtETODOS DE DEMOSTRACION .j

En 1 3 demosrraeion de teorernas y proposiciones que se presentan en el algebra yanalisis se aplican ordenadarnente 105 paxos logicos agotando todas las premisa(antccedemes 0hipotesrs) para verificar 1 3 conclusi6n (consecuente 0tesis),Existen dos formas 0metodos de dernostracion maternatica, la directa y la indireeta.

11.20. FORMA 0 METODO DIRECTO DE DEMOSTRACI6N.~1En la tabla de verdad de la implicaci6n p ---+ q,5i pes falso, la proposici6n p---+ q es valida cualquiera que sea el valor de q, entonceno se jendra nada que demostrar, es decir que interesan los casos de antecedemeverdadero,5i a partir de la verdad de p 0de un conjunto de prernisas de 1 3 forma,

.(I)

se deduce la verdad de la conclusion de q. se dice que se ha usado una demostraci6ndirecta,Ejemplo.. Mediante el metodo direeto cornprobar la validez de la inferencia logica.

[-p 1\ (p vq)l---+ q

Soluci6n[-p 1\ (p v q)]---+ q =: -[-p /\ (p v q)] v q

""[p v -(p v q)] v q=: (p v q) v -(p v q)...--- ....,...---'J

V= : tautologia.


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h.21. FORMA 0 METODO INDJRECTO DE DEMOSTRACION,- IA esta fonna de demostraci6n tarnbien se denomina demostraci6n poc contradicd6n 0porreduccion al absurdo, este metodo eonsiste es negar la conclusion q y considerarla comouna premisa, y a una de las prernisas PI' P2 ,' .. p" negarla digarnos a PI y construir elsiguiente argumento J6gico

-q) /\ P2 /\ .. / \ p,,) -----+ - P I (2)ahora probaremos que el argumento 16gico(2) es equivalente al argumento 16gico (1).

-q) AP2 A...Ap,,)~ - P I ::;:-[-q AP2 A...Ap,,1v - P I::;:(q v - P2 v ...V - p,,]v - P I

.= {- P I V - P2 v ...V - p ". J v q::;:-[ PI AP2A A P" 1v q'" ' ( P I A P2 A ,. A P " ) ____. q (argamento I)

11 ,22 . DEFINICION.-lCuando en unademostracion se emplea eI argumento 16gico (2) se dice que se estaaplicando el metodo indirecto 0metodo por reducci6n al absurdo,

Ejemplo.- Por el metodo indirecto comprobar la validez a la inferencia logica siguiente:{-p A (p V q)] ____.q

Soluci6nNegaremos la conclusion q y la consideremos como premisa y negarernos a la premisa -py considerarla como conclusi6n.


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L.iJg ica 2

((-q) A (p V q)] -------7 P E -[( -q) 1\ (p V q)] V P= = [q v -(p v q)] v p= = (p v q) v -(p v q)\ )v

V_ tautologfa

Ejemplo.- Probar que I numero J2 no es racional.Soluci6n

La cornprobacion 10 harernos por el rnetodo de reduccion al absurdo.11"0. Suponemos que . J 2 es racional,2do. Si . . J i es racional ::::)3 rn, n E Z primos entre sf tal que . J 2 = mn31"0.

~s r .J2 =m :::) 2 =~ :::) m"!. =2112n n2 .(a)4to. Como m2 = 2n2 con n entero ee m2 es par. par 10 tanto m es par.5to. Como m es paree m = 2k. para algun k entero,6to. Reemplazando en (a) se tiene: 4k"! . = 2n2 :::) n2 = 2k27mo. Como n 2 = 2k 2 :::) ,,2 es par, por 10 tanto n es par.8vo. Como n es par :::) n = 21. para algun I entero.

9no. De 510. y 8vo. se tiene m:::: 2k. n = 21 de donde m y n tiene un factor comtin 210 cual coni cadice a la hipotesis de que m y n SOIl primos entre sf.

tOrno. Conclusion. por 10 tanto J2 no es racional,


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28 Eduardo Espinoza Ramo1 1 . 2 3 . CIRCUITOS LOG ICOS.

A un ensamblaje de interruptores automaticos que permnen el paso de la corrienteelectrica 0 la interrumpen de denomina cireuitos electricos,

A un interrupter se puede representar por medio de una. proposieion p y viceversa, de tamaneraqueel valor de verdad de Ja proposici6n p se identifique con el "paso de lcorriente" enestecaso se dice queel "circuito esta cerrado" y cuando el valor es "falso"con la interrupci6n de la corriente en este caso se dice que eJ circaito esta abierto.

o~---- p ------ ~--oCircuito cerrado Circuito Abierto(pasa corriente V) (no pasa corriente F)

OBSERVACION.- Para disertar los circuitos electricos, se usa la siguiente notaci6n.Ell indica "pasa corriente"EI 0 indica "no pasa corriente"Luego en circuitos electricos se usan como notaci6n."EI I en lugar de V""EI 0 en lugar de p'En el diseno de esquernas de cireuitos electricos para representar a proposicionescornpuestas y vice versa considerarnos dos clases de instalaciones, en serie y en paralelo,

1 1 . 2 4 . DISENO DE CIRCUITOS ELECTRICOS EN SERlE.Considerernos dos interruptores p y q conectados en serie.

---- P ------11---- Q------II..------IOPasa corriente


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Ugica 2Se observa que estecircuito admire paso de corriente cuando estes dos inrerruptores p yestan cerrados, en cualquier otro c aso no hay paso de cnrnente, es decir esta situacioncorresponde a la tabla de verdad de la conjunci6n p y q.

p q p"qI I I1 0 00 I 00 0 0

En la tabla de verdad se observa que basta que uno de los inrerruptores este abierto "0para que no circule la corriente en todo el circuuo.

----p~----p: 1q:O

A Iaexpresion p x q se le llama la "Funcion Booleana del circuito en serie".

11 . 25 . DISENO DE CIRCUITOS ELECTRICOS ENPARALELO.~ IConsideremos dos interruptores p y q instal ados en paralelo,

pasa corriente

Se observa en el circuito para que circule corriente es suficiente que alguno de linterruptores a ambos p 0 q este cerrado "I" y no hay paso de corriente si ambointerruptores esran abiertos (ambos can el valor "0'').Este circuito corresponde a la labia de verdad de la disyunci6n P v q, es decir:


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30 Eduardo Espinoza Ramosp q pvqI I II 0 10 I I0 0 0

A laexpresion p v q se denomina la funcicn Booleana del circuito en paralelo ..

p

_ _ _ . . . J I no pasaDcorrientsq

NOTACION.- A un interruptor p representarernos simplemente comop

Ejemplo.-p q

pvq

p

qOBSERVACION.- A una tautologia se representa mediante un circuito siemprecerrado (donde la corriente siempre esta cireulando). En las cornputadoras no son deutilidad,Ejemplos.-C Y Construir el circuito 16gico de las funciones Booleanas.a) p-----7 q

Solucion


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LQgica

p-------'l'q =:; -p v q (paralelo)b) (p v q) 1\ r

Solucionp -----,

p v q esen paralelo 0>---------1 1------0q

Describir simb6licamente el circuito.

Solucion

en paraJelo r v -q

En "erie p ,(r '_ q)


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q ----- -J ----~[p A (r v -q)) v (qA =r)o Determinar la menorexpresion que representa al circuito dado:

,-------- p ------....,r---- q--- .... 1---- -p-o--q--p-

SoIud6n[p v (qv (-q A -p] A -P:;;; [pv (qv -(q v pm A-P

= = [(p v q) v -(p v q)] A-P:;;;(p v q) A -pI V [-(p v q) A -pJ= [-p A q] V [-p .A- qA -pI[-pA qJv [-p A -q] E [(-p A q) v -pJ A [(-p A q) v-q]-p A (-q v -p) E -[p v (qv p)] v-po Determinarel cireuito 16gico que representa el esquema molecular. -[p ----+ -( q v r)]

Solucion-[p--+ -(qv r)]:;;; -[-p v -tqv r)] EpA (qv r)O-P-C~~


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L6gicQ 3

1 1 . 2 6 . LOGICA CUANTIFICACIONAL-FUNCION PROPOSICIONAL.-A todo enunciado abierto de la forma P(x) se m;nomina funcion proposicional la cuatiene 1a propiedad de convertirse eo una proposici6.n al ser sustituido 1,11ariable x por unconstantc 11" especifica, al conjunto de todos los valores convenidos para la variable x sdenomina dcrninic de la variable.

De aeuerdo a la definicion de enunciado abierto, la funcion proposicional sobre Des todexpresion Ptx) donde Pta) es verdadero 0 false para todo a ED.

Ejemplo.- P(x} = x + I < 9, si x pertenece al conjunto de los enteros, eruonces Ptx) euna tuncion proposicional cuya dominio es los enteros,

Si x = -2E Z, -2 + 1< 9 es verdaderox = i E Z. to + I - c 9 es falso

por 10 ramo P(x) es una funcion proposicional,

11.27. CUANTIFICADORES EXISTENCIAL Y UNIVERSAL.-Se ha visto un metodo que nos permite que a partir de una funci6n proposicional P(x) spuede obtener proposiciones, sin embargo se tiene OlrO metoda completarnente distintque permite obtener proposiciones a partir de una funci6n proposicionai, dicho metoda eIlamado cuantificadores,Ejemplo..- Sea la funci6n proposicionaJ Ptx); x es un numero primo ... (1)Si a la funci6n propos icional Ie anteponemos "para todo x" se obhene:"para todo x, x es un ruimero primo" (2)La frase "para todo x" se denomina el cuanrificador universal y se sirnboliza par: Vque se lee para todo x.


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34 Eduard o E sp in oza R amosLuego (2) se puede escribir en la forma. 'V x: x es un nurnero prImo ._ (3)aclarando (1) es una funcion proposicional

(3) es una proposici6n.A un cuantificador universal puede ser reernplazado por:'Vx: P(x) 0 'r f x I p(x) 0 ('rf x) (P(xy en todas estas notaciones, se lee "para todo x, tal que severifica P(x)"' es decir:'r f se lee "para todo"

Elcuantificador Elcuantificado

Notacion: {'rfX ; P(x)\Ix I P(x)('Vx) (P(x

Ejemplo.- 'r f x: x +4 = xElcuantificador universal no es eI unico cuantificador ql'le pennite obtener proposici:onesa partir de funciones proposicionales, existe otto !lamado cuantificador existencial.Sf en (I) P(x): x es un mimero pnrno antes ponemos la frase "existe x tal que" es nuevocuantificador, se obtiene:"Existe x tal que xes un nurnero primo" (4)

Alcuantificador existencial x "existe x tal que" se simboliza 3 x, de donde (4) se escribe3x: x es un mimero primo (5)un cuamificador existencial puede ser representado por 3 x: P(x) 03 xIP(x) 0 (3x) (P{xyen todasestas notaciones se lee:"Existe por 10menos un x. tal que se verifique P(x)" es decir: 3 se I.eeexiste


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LOgica

EI cuantificador El cuantificado

Notacion{

3.x: P(X)3 . . \ I P(x)(3x)(P(x

Ejemplo.- Sea elconjuruo A = 1-2.-1,2.3.41 se tiene:

3 x E A I x1_ 2x = 8(3XE A)(x2 -2x;: 8)

1 1 . 2 8 . NEGACION DE PROPOSICION CON CUANTIFICADORES.IProposici6n La negacion

V x : P(x) - [V x : P(x)] = = 3 x : - p(x)3 x : P(x) -13 x : p(x)l =: " t/ x: -P(x}V x EA: P(x) -IV XE A : P(x)] .= 3 x E A : -Psx)3 x E A: P(x) -t3 XE A : P{x)J .= V x EA: -roo

Ejemplo.~ Negar la proposicion, V x EN I x + 3 > 5Soluci6n

-[V X E N I x + 3> 5) =3 x E N I x + 3:-:;;5Ejemplos.~ Negar carla una de las siguientes proposiciones si el conjunto de referend

es los reales R.C D (V x)(3 y)W(x.) ---;) (q(y) ~ r(X))o (V x)(3 y)(3 z) (P(x.,y)---;) q(x) 1\r(z))o (3 x)(V y)(3 z)[-(P(x) ---;) q(y v r(z)]o (V )()(3 y)(V z)f-(ri>;) v -Pix)) v q(z)]


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36 Eduardo Espinoza RamosSoluci6no -('9' x)(3 y)[P(x)~ (q(y)~ r(x))] "" (3 x)(V' y)[P(x) 1\ -(q(y)~ rtxj]

= (3 x)(V' y)[P(x) 1\ (q(y) 1\ -rex] -(V' x)(3 y)(3 y)(p(x.,y) ~ (q(x) 1\ r(z = (3 xXV' y)('Q'z)[P{x,y) 1\ -(q(x) 1\ f(Z)))= (3 x)(V' y)('V z)[P(x,y) 1\ (-q(x) v -r(z]o -(3 x)(V' y)(3 z)I-(P(x)~ q(y)] v I"(z)] = ('V z)(3 y)(V' z)[p(x)~ q(y 1\ -r(z)

C D -('9' x)(3 y)(V z)[-(r(x) v -pcx v q(z)] = (3 x)("1 yX3 z)[r(x) v -p(x A -q\z)]11.29. EJERCICIOS DESARROLLAOOS.Io Determinar el valor de verdad de cada una de las sigulentes proposiciones:

a) Sf 5 + 4 = II, entoncesf + 6 = 12Soluti6n

Es verdadera puestoque elantecedente es false mientras que el consecuente es verdadero.

b) Noes verdad que 3 + 3 = 7 si Ysolo st 5 + 5 = 12Soluti6n

Es falso puesto que se esra negando una proposicion verdadera.

c) Lima esta en Chile 0La Paz esta en Ecuador.Soluti6n

Es falso puesto que ambascomponentes son falsasd) No es verdad que 2 + 2 = 5 0que 3 + I = 4

Solucl6nEs falso puesto que se eS fa negando una proposicion verdadera.


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Ugica 3o Determiner el valor de verdad de calla una de las siguientes proposiciones:a) 4 + 8 = 12 Y 9 - 4 = 5 Soluci6n

Es verdadera V, porque es una conjuncion cuyas dos proposiciones son verdaderas,b) 8 + 4 = 12 Y 8 - 3 = 2

So'oeianEs falso F, puesto que es una conjunci6n con una proposici6n simple falsa,

c) 8 + 4 = 12 0 7 - 2 = 3 SoluciohEs verdadera V, puesto que es una disyunci6n can una proposici6n simplverdadera.

d) La UNMSM esta en Arequipa 0 estaen Lima.SO'UdDh

Es verdadera V, puesto que es una disyuncion exclusive con una proposici6n simpverdadera.

e) La UNI esta en Lima 0esta en Trujillo.Solucino

Es verdadera V, puesto que es una disyunci6n exclusiva can una proposici6n simplverdadera.

1) SI 5 + 2 = 7, ernonces 3 +6 = 9So.uei6n

Es verdadera V, puesto que es una implicaci6n con las dos proposiciones simplesverdaderas,

g) Sf 4 + 3 = 2. entonces 5 + 5 = 10So'uei6n

Es verdadera V, por ser una implicaci6n en donde el antecedente es false F, yconsecuente es verdadero V de dos proposiciones simples.


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38 Eduardo Espinoza Ramosh) Si 4 + 5 ;;=9. entonces 3 + 1 ;;= 2

SolucionEs false F, puesto que de una proposicion verdadera V no puede implicar unaproposicion falsa F.

i) Si 7 + 3 = 4,entonces 1 I - 7;;= 9Soluci6n

Es verdadera V. puesto que las proposlciones que intervienen en la implicaci6n son falsaso Evaluar la tabla de verdad de la proposicion compuesta, -(p" q) (----~ (-p v -q)Soluci6n

p q -(p " q) f-~ (-p v -q)V V IF V V F F FV F V F V F V VF V V F V V V FF F V F V V V V

o Construir la tabla de verdad de la siguiente proposici6n:-{-[pv (-q~ p)] v -[(p f-~ -q)~ (q x -p)]Soludon

Primero snnplificaremos la proposici6n por la ley de Morgan:-{[p v (-q-----+ p)]" [(p(----~q)-------) (q" -p)]} de donde se tiene:[p v (-q -----+ pH 1\ ((pf--i' -q)-----+ (q , -p)]

p q (p v (-q -----+ p)] " [(p +----+ -q) ~ (q 1\ -p)]V V V V V V F V FV F V V V F V F FF V F V V V V V VF P F F F P F V F

-, _---'" 1f--__ ./~----- ------ EI valor de verdad


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LOgica 3

Deterrninar la proposici6n H(-p) v q) /'I -qj----i' -p es una tautologia.Solucion

p q [(-p v q) /\ - - < 1 ] --+-pV V V F F V FV F F F V V FF V V F F V VF F V V v v v

Es una tautologra

Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones:a) (p A q) A -(p v q) b) -[p v (-p v -q)]Solucion

p q (p 1\ q) 1\ -(p v q) - [p v (-p v -q)JV V V F F V F V V FV F F F F V F V V V-F V I F F F V F F V VF F F F V F F f V V

Contradicci6n Con tradicc i6n(2) Demostrar que las proposiciones dada es una tautologfa: [(p v -q)A q) --4 P

Solucion

p .1 q [(p v-q) A qJ . . . . . . . . . . . . . . . PV V V V V V VV F V F F V VF V F F V V FF F V F F V F

Es una tautologia


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40 Eduardo EspinOUJRamos

Verificar que Ia proposicion dadaes una contingencia I-p 1\ (q v r) J t - - - - - - - - - + [(p V r) 1\ q)Solucion

p q r [-p A (q v r)] +----+ [(p v r) 1\ q}V V V F F V F V V VV V F F F V F V V VV F V F F V V V F FV F F F F F V V F FF V V V V V V V V VF V F V V V F F F V

IF F V V V V F V F FF F F V F F V F F F

I J o . II .. I~ ~~~~_~~_~~_~_~~J Es una coruingencia Determinar si las proposiciones [p --------).r v -q)) y [(q ~ -p) v (-r---+ -pH sonequivalentes,

Solucionp q r [p ---+ (r v -q)] [(q-------) -p) v (--r---+ -p)];IV V V V V V F V VV V F V F F F F FV F V V V V V V VV F F V V V V V FF V V F V V V V VF V F F V F V V VF F V F V V V V VF F F F V V V V V. . .. . . . . ----_. . . .Identicas ~~~~~~~l

Poria tanto sonequivalentes es decir: [ p~ (r v -q)) = = [ ( q---+ -p) v (-r ---+ -p)) Determinar si las proposiciones [(-pv q) v (-r 1\ -p)] Y -q ---+ - p son equivalentes,Solud6n


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L6gica 4

p q r [(-p) v q) v (-'r A -p)] -q-----+ - pV V V V V F VV V F V V F Vv F V F F F FV F F F F F FF V V V V F VF V F V V F VF F V V V F VF F F V V V V. . . .denticas l

Por 10tanto sonequivalentes es decir: (-p v q) v (-r A -p) ==-q --+ - p@ Dererminar 10$esquema', mas simples de la proposicion: -[-(p A q)--+ -ql V P

Soluci6n-[-{p A q)-----+ -q] v p por lacondicional-[-{-(P A q) V -q)] VP por 13negacion-[(p A q) v -ql v p por conmutatividad en la conjunci6n-r-q v (p A q)JV P por absorcion-[-q v p] v p por Morgan(-p .A q) v p por absorcionp v q :. -{-(p A q)-----+ -q1 v p== p v q

@ De la falsedad de la proposicion: (p-----+ -q) v (-r-----+ s) determiner el valor de verdade los esquernas moleculares3) (-pA-q)V-qc) (p--+ q)-----+ (p v q)"-q

b) (-r v q) +--.lo (-qv r)AS

Soluci6n


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42 Eduardo Espi"o~aRamosDetenninaremos el valor de verdad de p..q, r y s

F

!PesV y qesVI resFysesFIPor 1 0 tanto; pes V. q es V res F. s es Fa) (-p " -q) v-q+ +::F :: F : :

I : ++ IF : F+I]] EI valor de verdsd es F

b) (-r v q)+---+ (-q v r) AS+ : + + : + : :V : V F : F : :t I I.:. + : +: F : F+ +F F[ t J E I valor verdad V

c) (p---......} q) ~ (p v q) " -q. . : + + : + : :V: V V: V: :I I ": +: +: V : F+ +V F

EI valor de verdad es F

@ EI valor de verdad de: -H-p v q) v (r~ ql1 " [(-p v q) ~ (q A -p)J es verdadera.Hallarel valor de verdad de p, q. y r

Solucion


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L6gica

i - [ ( -p v q) v (r ------+ q)] 1\ [( -p Vq) ------+ (q A --p)1 es v .por conjuncion

[(-p v q) ------+ (qA -p)] .esV

por disyuncion por conjunci6npe,s.V yqesF 'qesFy-pesF

! qesF y pesYpor negacion

par negaci6npesV y qesF

{p C .s V

par 10 tanto el valor de verdad de q es Fres V

@ Se sabe que p A q Y q ------+ t son falsas, determinar el valor de verdad de los esquemamoleculares siguientes:a) (-pv t) v -qc) f(p ------'Joq1\ -( q x t)I---+ l-p v (q 1\ -t)1 bl -[p 1\ (-qv -p)]

S ol uci6 nDeterminaremos el valor de verdad de las proposieiones p. q, t

I (p 1\q) A (q ------'Jo) esFI por la cornuncionI pAq esFI Iq ------'Jo es P!

porconjunci6n por implicacionI p es F y q es V. Iqe~V y tesF!


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44 Eduardo Espinoza Ramospor 10 tanto p es F, q es V y t es Fa) (-p v t) v -q+ : ' + : 1 ; 1V : Fl:I ,I .L

.' T,V l F+~ el valor de verdad es V

b) -fp A (-qv -pH: : + : +" p.', V," , : +P: V. .P+~ EI valor de verdad es V

c) [(p--------) q)A -(q At)] +---t l-p v (q 1\ -t)]+ : + :+ 1 + : + : +F: V : V: F : v : V, " I'

: : + + +1 : F V V+ +V v+V +V~ EI valor de verdad es V

@ Si la proposici6n (-p 1\ q)--------)-s v r) es falsa, Determlnar cual de las proposicionesson verdaderas:a) -[(p-+q)~ r]c) [(pv -q) A pl v -q

b) -(-p A q)1\ [(-r v r) 1\ s]

Solud6nDeterminarernos los valores de p. q, T, SI (-p A q) --------)-s v r) es F II por implicacion

I (-p 1\ q) esV I (-5 V r) esF]por conjuncion por disyun

]-p es V yqesvl I -5 esF y res F Ipor negaci6n por negaci

I pes F y q es V I I s es V y r es F]

ci6n

6n


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LiJgica 4

{p es F, q es VpOT 10 tanto s es V r es F

a) -I(p-----+ q)-----+ r]+ : + : :F : V : :I "+ : +V : F+F~ EI valor de verdad es V

b) [-(- p A q) A [(-r v r) A s]: + : + + : + : l: V: V V: F : : :I" ,,: ,: + +: +: V V :; v+ "F V

~ EI valor de verdadc) [(pv -q)A p) V -q+ , + I , ," , , IF: F 1 I ," I II I I I+ , + ,I ,F " F II I+ +F F+[!] EI valor de verdad es FPar 10 tanto unicamentees verdadero la a)

@ Determiner elesquema mas simple de la proposicion [(p A q) v (p A -q)J v (-p A -q)Soluci6n

[(p A q) v (p " -q)] v (-p A -q) por distrihucion respecto a "[(Ip" q) v p)"p" q)v -q)J v (-p" -q)por absorcionIp" (-qv p)]v(-p" -q) por conmutatividad en v[p 1\ (p v -q)J v( -p 1\ -q) por absorcionpv (-p" -q) por absord6npv-q

por 10 tanto [(p " q) v (p 1\ -q)] v (-p 1\ --q) = = P v -q


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@ Hallar la proposicion equivalente mas simpliflcada del siguiente circuito logico,

SolutionLa ftmci6n booleana del circuito dado es: [pv qv (-p 1\ -q)l A [( -p v q) A p]Simplificando la proposici6n obtenida se tiene:

[(p v q) v (-p 1\ -q A [(-p v q) 1\ pH distribuidad respeeto a A[(p v q v - p) A (p V q v -q A H-p v q) A p] distribuida respecto a v(V 1\ V) A [(p A -p) v (p A q)1 por equivalenciesV 1\ [F v (p A q)] = V v (p A q) = P A qPar 10 tanto la equivalencia es: [p v q v (-p A-q)] v [(-'P v q) A p] ;;;;P A qpar 10 tanto el circuito simplificado equivalente es:

p q@ Determinar la menor expresion que representa al circuito dado:

.------- p --------,

...___q -- -p -

\---- -p -----()---- q ----,

SolutionLa funcion booleana del c ircuito dado es: [p v (-q A - p) v q].1\ -pahara simplificamos In preposicion obtenida


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LQgica 4

Lpv (-q /\ -p) v q] /\ -p ;:;


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48 Eduardo Espinoza Ramos Determiner los circuitos 16gicos que representan los siguientes esquernas moleculares,a) -[p------.) -(q v r))

SolutionSimplificando se tiene:

-[p------.)(qv r)] '= -[-p v -(qv r)]

= p /\ (qv r)

b) (-p) t---t (p------.) -q)

Soluclon(-p) t---t (p~ -q) = = (-p) t---t (-p v -q)

= = (-p /\ ("'p V -q) v (p /\ (p /\ q

;;;(-p) v (p)

c) (p v q) ~ [( -p v q) --------)p /\ q)]

Sol u cl on(p v q) --------)( -p v q)--------)(p /\ q)] = = -(p v q) v [-(-p v q) v (p /\ q)J

= . -(p v q)v [(p/\ -q) V (p>, ql]

;;;(-p /\ -q) V P=(pv-q)


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Logica 4

11.30. EJERCICIOS PROPUESTOS.~ Io Deterrninar cuales de los siguientes enunciados son proposiciones:a) -;+7=16-4 b) 3x.6=15+1 y4-2:;a!:23x5c) i.EI silencio es fundamental para estudiar?d) iEsludia logica sirnboliea!e) Nosotros estudiamos en la Universidad Peruana.I) Los hombres no pueden vivir Sill oxfgeno,

g) jArriba Callao!h) 5 + x = 7 i) 2 + x * 3 + x

(3) Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos:a) x es hennano de y b) 28 12e) Tenga calma, no se irnpacienteg) x es ingeniero y Juan es rnaternauco,h) La UNAC sobresalio en el deporte en el 2000.o i,Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales son falsas?a) Si 3 + 3 = = 6. entonces 4 = = 4b) Si 5(7) = 35, entonces 10 - 3 = 13cl Si 19-7 = 3. enronces 4(5 + 3)= 32d) Si 2 = = 3 entonces 8es un ruimero primo.e) Si 3(7) es un ruirnero natural. entonces J 7 es un nuruero primo.I) Si x = 2, entonces 3x= 6


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50 EdfUlrdo Espinoza Ramoo Deterrninar el valor de verdad de las siguierues proposiciones:a) (3 + 5 = 8) v (5 - 3= 4)c) (5-3=8)-----)(1-7=6)

b) (3+8= It)v (7----3> 1)d) (4+ 6 =9) +---t (5----2 = 4) Dados las siguientes proposiciones: 1 " : 5> 10

q: si Xl + 1= 0, entonces x es un numerc realr: "EI punro medic de un segrnento, equidista de los extremes del segmento"t: SI x + 3 = O,entonces x =-3Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.a) [(I" A q)-------4 r] A-t b) [(pf--4 q}-------4 -r A 11 v (p v r)

@ Si P(x): xl ----16 0; q(x): x ----12 = 0, r(x): xl > 9 ..Hallar el valor de verdad de:a) [1"(2)A -q(2)] f---t r(4)b) [-1"(4) -------4 r(5)1v -q(4)c) [(P( I) A 1"(3 f---t (r(2) v p(3)} -------4 [-(1"(2) v q(2))Jo Si P(x): xl = 27; q(x):. xl =9; rex): x < 10. Hallarel valor de verdad de:a) (p C 1) -------4 q(l2)] f--4 [r(-3) v -r(3)]b) (1"(0) A --- -q (-I) ] v [1'(-5) -------4 (r(-6 ) v r(O)]c) [(1"(3)v 1"(2f---t (r(2) A -q(3] f---t [-q(3) v -1"(-3)] Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:a) (p {---t -q) +-~ (q -------41")c) [(I" v -r) A (I" v r)] A [(q -------41") A (qv pH

b) (I" A -q) -------4 (-I" v q)d) -(I" v -q) A (-I" v r)

e) -[I" A (-q----i> p) J A [-{P {--;l- -q) -------4 (q v-p)]


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Uigica 5 Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (p" q)v (-p):::) (I' v q)

c) (I' :::)q) =:> (q :::)p) d) -p) v q):::) (-q:::) -p)e) (pA r) :::)(-q v r) n (I' A q) V r :::} (-I'v -q) /\ (-r) Hallar las tablas de verdad de las siguierues proposiciones:a) p_______,I' v -q) b) [(I' v -q) ---+ (q---+ pHc) [pv (q---+ -rH /\ [(-p v r)~~ -q] d) -L-(p /\ q)---+ -q] v Pe) - Wp -"----7q) v (q -------t r)]-------t (r ---+ p)}@ Deducir el valor de verdad de:a) (p---+ r)---+ [(I' v q)" -q] b) (-I' /\-q) v-qc) 1(-r v q)" q] ~---7 [(-q v r) /\ s]@ Indicar emil es la tabla de verdad de cada una de las.s iguientes proposiciones:-1(1' v q)" (-I' v -q))@ Deterrninar cual de las siguiemes proposiciones son laulologfaa) 1(1' v -q) /\ q}---+ p b) [(p /\ q) v q] ~--+ qc) (-p" (q1\ -rJI ~---} [(-p" q)v -(I' v rll@ Par medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los sigeientes esquemamoleculares es tautologta, contingencia 0contradictoria.a) -[-1'-"----7 -(-q 1\ -p)J v -(-p v-q) b) [(p v-q) A -1'1 " (-q-"----7c) -(p -------t q) < E - - - ~ - ( -q -------t -p)d) Lp-"----7(q ---+ r)] < E - - - - - + [(p " -r) ---+ - q]e) II' ,,(-q---+ p)l/\ -!tp----io-q)-"----7 (q v -p)]

o r -p " (q v -rl) < E - - - .. . .- . J . ( ( -p " q) v -(p v rH


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52 Eduardo. Espino(..a Ramos

Determiner mediante 11'1abla de verdad, cuales de las siguientes proposiciones son:tautologfas, contradicciones 0contingenciasa) (p -------)q) 1\ (q-------)) b) [(p v q) 1\ -qj-------) Pc) -[(p v p)----4 p] d) -(p v q) 1\ Pe) Ip ----4 (q- - - - - - - - ; - 1 ' r)j 1\ ((q V p) ------)r]

@ Determinar cuales de las sigulentes proposiciones son tautologfa, contradicciones ycontingencies.a) -(-p) +---+-[-(-p)l

c) (p v q) 1\ r +---+-(p 1\ r) 1\ -(q /\ r)d) [ep1\ q /\ r) ----4 s] +---+ [(p A q)---+ (r~ s)]

@ Dadas las proposicIones siguienres:a) -(p A q) ._--+ (p v -q) b} -(p---+ q)f-----+(pv -q)0) -(p +---+q) +---+(-p +---+-q)indicar coal 0cuales es una contradiccion

@ i,Algunos de las siguientes proposiciones es una tautologla?a) -[-(p v q) ---+ -q] +---+(p-------)q)b) -[(-p)'_--+ q] of-.-.--+p----4 q)c) -rep 1\ q) v (p A (-p V q) +---+(p ---+ -q)

@ Determinar emil de las siguientes proposieiones son raurologfas, contingencies 0contradictorias,a) [Ip A -q) A (-p---+ r)]----4 (p v -q)b) Ip v (q----4 -r)] /\ [(-p v r)+---+-qjc) [(-p A q) ----4 -rJ +---+ [r A -(p V -q)]d) - {(p 1\ q) v [p 1\ (-p V q)JI +---+ (p----4 -q)


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L6gica 5@ i.Cual de las


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54 Eduardo Espinoza Ramoa) [(-p A q)~ (r A -r)] A-qb) I(-q~ -p)~ (-p~ -'1)1A-(p xq)c) [(p Aq) V (p A -q)) V (-p A -q) d) (p A 'I) v (-p A -'I) v pe) t ~. {(p ~. 'I)~ qJA [-p A ('I~ p)] I) [-(p ~ q) ~ -('I :;::::)H A (p v 'I)g) [(p A -q) A (q ~ p) A r] v p

Si -[(-p v q) v (r ----') 'I)] A [(-p v 'I) ~ ('IA -p)] es verdadera, hallar los valores dverdad de p. q y r.

@ Si la proposici6n (p -----+ -'I) -----+ (r ---+ -s) es falsa, Hallar el valor de verdad de laproposiciones p.q.r.s,@ Si Ia proposicion -(p A 'I)A ('If--+p) es verdadera; entonces hallar los valores de verdad

de p y 'I respectivamerue,@ Si la proposicion (p ::::)-q) v (-r ---+ s)es fa1sa. Hallar el valor de verdad de lo

siguientes esquemas moleculares,a) (p ::::)'I)~ [ep v 'I) A -'I] b) (-r v 'I) < = > [(-'I v r) A s]c) (-pA -q)V -q Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y 'I si se conoce II I informacionsiguiente:a) (p A q) ~ tp v q) es verdadero b) -(p A q) es verdadero

@ Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce que el valor dverdad del siguiente esquema [-( -p ~ q) ~ -(p ------? -'I)] ::::)p ---+ 'I) es faIso.@ Si p Y q sonverdaderos i.para que valores de r, el esquema siguiente e

verdadero? (r---+ p) < = > (-q ~ r) Si se tiene los siguienres datos: p es verdadero: r ::::)-p es verdadero y w ::::) tesverdadero, hallar el valor de verdad de +ry de t.


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L6gica

@ Si el esquema (p 1\ q) ~ (p ~ r) riene valor de verdad, [also, halla el valor de verdade los esquemas.a) [lp 1\ q) v (q v -r)] ::>p v -r)c) -(q v rjv (p v q) Si la proposicion (-p 1\ q) ~ [Ip 1\ r) v Ij es falsa, hallar el valor veritativo de:

b) (pv-q)=>(-rl\q)

a) -[( -p v -q) -------? (r v -t)] b) (-qv-r)v{-lv(pvq)Jc) (-p => t) => (-q=> r) Si la proposicion (p A q) ~ (q:::;.. r) es falsa y se tiene los esquernas moleculares.a) -(q v r) v (p v q)c) f(p " q) v (q 1\ -r))::> tp v -r)

b) (p v -q) ~ (-r" q)

Cuales son falsas Si la proposici6n (-p 1\ q) => [(p " r) v t1 es falsa, Hallar el valor de verdad de cada ude las siguientes proposiciones.

a) (-p => I)=> (-q => r) b) (-q" -r) v [-1 A (p v q)]c) -{(-pv-q):::;.(rv-r)j Sean p.q.r.s.t proposiciones. Si [(-p) " q) => I(r ~ p) v t1es una proposici6n falsa, hallel valor de verdad de: -(q v -r) v -[t => (-q" p))

Sila proposicion (-p " q) => (-5 Vr) es false, de las proposiciones siguientes, cuales sverdaderas?a) -[(p => q) :::;.r1 b) -[(-p1\ q)" (-r v r)] 1\ sc) I(p v-q)" pJv (-q)

@ Adrnitiendo la falsedad de: -[p v q v r l => -{M "N "n.Hallar el valor de verdad de:al [(p 1\ M) => (q v N)] 1\ t b) {(p:=:>q)=>(q=>M)j ::> tr =>c) [Hp v qJ---} (r " s)] " (-q ~ -t)I=> ({p ------) q) 1\ (q ----+ M)


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56 Eduardo Espinoza Ramos@ Adrniriendo Ja falsedad de la proposici6o: (p A q) =;> ((r v 5) =;> (I =;> W)] hallar el valor

de verdad de:a) (p => w) A (r => q) b} -(pA.) => (-s => p]c} f[q => -(t v r) " [p =;> -(r A w)J I:) [(p => -q) v -t]

@ Si la proposicion (-p A q) ----+ ( PA q) v t] es falsa. Hallar el valor de verdad de:a) -f(-p v -q) ----+ (r v -I)l b) (-p ----+ t) ------) (-q----+ r)c) (-q v -r) v f-t" (P v q)1

@ Si q----+ t y p A q son falsas, Determinar el valor de verdad de:a) (-pvt)v-q b) -[p" (-qv -p)1c) [(p----+ q) A -(q " t ) J f---4(-pv (qA -t)] Si Ia proposici6n (-p 1\ q) ----+ {-s v r) es falsa, Detenninar el valor de verdad de:a) -(p----+ q)----+ r] b) -(-p A q)A [(-r v r) A s]c) l(p v -q) A pJV -q

@ Si Ia proposicion (-p------) q) v (5 ----io-r)es falsa, Determiner el valor de verdad de laproposiciones,a) -{p v q) v-q b) -[(pVq)A-q}------+--(p ----+ q)c) [(r ------)q) A q] (--4 (-q v r) " s]

@ Si la proposici6n (q A -p) ----+ [(p " r) v t1 es falsa, calcular el valor de verdad de lproposicion: {-p----+ t)----+ (-q----+ r)

@ Sabiendo que (q ----+ t) Y (p A q) son falsas, determinarel valor de verdad de:a) -Ip A (-qV -p)] b) (-pvt}vsd [-p v rq x -I)] f---4r(p----+ q) A-fq A IjJ


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Ugica

@ Si el esquema (-p--+ -q) v (r l : J . q)es falsa, determiner el valor de verdad de:a) (p--+ q)---+ (r f : J . -q) b) -q --+ [(p +--~ q) A r J

@ Si [(r --+ s) A 11---+ (p v q) es falsa detenninar el valor de verdad de:a) -r v (-s --+ -t) b) (p +--~ t) v [qA (-r v s)lc) l(r f : J . s) v (1--+ s n A (p 1\ r) Dado los esquemas proposieionales denotados por A, By C respectivarnente:A: p +----i -(q A r) ; B: -p f : J . -r ; C:. -(p Aq)v -rDeterminer si A---+ C y B--+C son implicaciones (tautologfa) Si 13proposici6n (-p A q) => [(p A q) v t] es falsa, H311arel valor de verdad de:a) -[( -p v -q) => (r v ~t)J b) (-q 1\ -r) v [-t 1\ (p v q)] Si el esquema indicado: [(-p v q) v [(p--+ q) A In A q es verdadero, indicar el valorverdad de:a) p => q b) tvq c) -q v (t v p)

@ Si la proposici6n r(p v 1) --+ (p A q)] es falsa, dar el valor de verdad de las siguienteproposiciones,a) ((-p 1\ -t) A (q--+ rj] b) [(p v t)H-p v -q)] c) [(p v t) l'. (p A q) Si la siguiente proposicion 16gica - r e p A q) ~ (q :)(r v s] es verdadera, hallar lvalores de verdad de p, r, q, s,

@ De 1 3 falsedad de la proposicion: (p - - + -q) v (-r --+ s) determiner el valor de verdadlos esquernas rnoleculares,a) (-pA -q) v -q b) (-r v qH-~ (~q v r) 1\ s c) (p - - + q) --+ (p v q) A - -q) v (-r => -s). hallar el valor de verdad de. las siguienteproposiciones.a) -(-qv -5) = = > -p b) -(-r A s)= = > (-p = = > q) c) p => -(q = = > -(s = = > r


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58 Eduardo Espinoza Ramos@ Hallar IDSvalores de verdad de: p. q, T si: [(-p v q) v (r ~ q)] 1\ [(-p v q) ~ (qA -p)

es false. Si la proposicion: [-(p ~ q) A (-r v s)] ~ r es falso, halle IDSvalores de verdad de:p, qy t. Si: -p v [(p A r) ~ (r ::) q)] es falso, halle el valor de verdad de: [(p ~ q) v rl ::) (p A r Si [-(p ~ q) 1\ -r] ::;}Ip I\(q V r)] es falsa, halle IDSvalores de verdad de: p.q yr.

@ De la proposicion compuesta: -[(p 1\ q 1\ r) :::) 51 => (-p v 5) se conoee que es false,sefiale el valor de: p. q, r y s.

@ Si la proposicion "5"es falsa, y el siguiente esquema: (-p 1\ q) ::) l(q =:> r) v (p 1\ -5)) esuna tautologfa, hallar los valores de verdad de p. q y r. Dernostrar si las siguientes formulas sonlogicamente equivalentes:a) -p 1\ q = = -(p v q) b) P 1\ -p = = -[(p v p) :::I pIc) -qv p = = - ' ( -p 1\ q) = = -p :> (p :::)-q)d) -{(p 1\ q) 1\ -r] ;;;;-[( -p.,., -q) 1\ (p v r)1e)-(p =:>q) ;;;;-p ::> q = P :> -q= = - ( -p ::) -q)

@ Probar que SDnequivalemes p:::) q Y (-p) v q@ Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

a) -(p =:> q) y p A (-q) b) -(p 1\ q) y (-p) v (-q)c) -(p vq) y (-p) 1\ -q d ) p:::)q Y -q ~ -pe) (p ~ q) I\(q:::) r) y p:::) r Demostrar que las bicondicionales ~iguientes son equivalencias 16gicas.a) (p__'" q) :> (-p)v qb) (p t-----+ q) ::) (p --------Jo q) 1\ (q --------Jo p)d) (pv q) 1\ p :;o p

c) (p 1\ q) V P ~ Pe) -(p ----) q):)tp 1\ -q)


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L6gica 5

@ Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando como universelos mimeros reales.

a) {'liXE Rlxl =x)

c) {3XE Rlx2 +3x-2=OJ

e) {'liXE R/2x+3x=5x}

g) {V' x E R I x - 3< x}i) (3XE R/x+3I-{(r A p) -----)0 (p /\ -p)]} S I: p: {V'XE R I xO = II

q: 13xE QI3x2 = x-51; r: 13 XE Z I x2 -2x-l = -I, J4 = x}Sean las proposiciones p : {,VXEQI!+X>O}, q: (3 x Ell x + 0 = re2r : {'ItX E R I xl +1= OJ . Hallar el valor de [(P-----)o q) 1\ rl (::;>q

De las siguientes proposiciones, hallar el valor de verdad,a) ('It XE R I I x I= x) 1\ (3 x E R I x + I $ x)b) (-3XE RI X2 0 # x) v (- 'I t x E z/x + I F x-I)

l,Cuales son equivalencies J6gicas?a) -(q --------)p) (::;>qv p) b) [(-p /\ -q) v -q) (::;>(p v q) A qc) -{p-----.----.).q)(::;>f(pvq)l\-q} Sea U el conjunto universal y p, q. r las proposiciones:u= {-10,-9 .... ,SO}. UcZ(numeroscntcros); p: {\fXE U. 3ye U Ix-x2


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60 Eduar,do EspinozaRamos

q: 13 yE U, V' X E U I x - 5y < 3x - yl 2 ' 2 ~,r : (V'zeU,3yeU.3xeUlx +y


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LOgica 61

c) t 'v' x I x + 2 "" 5 } d) l 'v' x I x + I > 3}e) -13xlx2 =41 f) (3'1..1'1..>4)

Si x, y pueden ser cualquiera de los numeros I y 2, determine el valor de verdad de lassiguienies proposiciones:a) (3 X)('v' y)(x :5 y + 2) b) ('v ' x)(3 y)( x + y < 5)c) 'v'x)('v'y)(x2 + y2 < 1) d) rvx)(3 y)(x2 2! y)e) (3 x)(3 y)(x + y = 2)

@ Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas 0 falsas. Si U = (1.2,3 J es euniverse y sf x. Y E Ua) 3x. 3ylx2 0)

@ Sean A= t 1-,2,3.41. B = {1.4,5.8} i,cu31es de las afirmaciones siguientes son verdaderas?a) 3 x.y E A I x + y ;> z, 'v ' Z E B b) -r 'v ' x E A, 3 Y E B I x ;> y]c) 'v ' x E B,3 Y EA I x - yEA d) 'v ' rEA , 'if y E B I x + Y < 10

@ Si A = {a,1,2,3,4 J hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:a) P: 3 x E A 12x + 1 = 5 b) q: 'v ' 11E Z+ (3n es divisible por 3c) r: 3XERlx2+7


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62 Eduardo Esp.inoza Ramo Si M =: {-I, 1.2.7} cual esel valor de verdad, de las siguientes proposjciones;

a) 'r / xe M. 3 y E M I x2 2: y b) 3 x E M.\t' ye M I x 2: l2 :c) 3 x E M, 3 Y E M I (x s3) v (y 2 > 2)

@ Dadas las proposiciones P: 3 XE ZJ(4x + 2)(3x - 7) ::::0; q: \t' XE Z I (x2 > 0) v (x -I) r Sea M = 10.1.2.3) el dominio de x e y, seiiale el valor de verdad de:b) 'r / x, \t' YI (Xl -l> -10) A (xl> y+l)

@ Negar las siguientes proposiciones para el conjunto z,a) \t' x e z I x + 1 > x

c} 3 x e z ! x2 = x Negar las siguientes proposiciones,a) 3 xl x + 7 < Y b) ('11 x I p(x 1\ (3 y I q(yc) (3 x I p(x ---+ (\fy I -p{y d) (p v -q)---+ (p /\ -r)e) 3 x I q(xL 5x + 7 < 10

@ ) Negar los enunciados del ejerdcio 56)f) 3 x I 5x+ 8< 4

Negar los siguientes enunciados,a) (3 x I p(x) v -q(x)}c) ('if x, 3 y I x.y = 0Je) {(3 y)(p(x)}---+ (\I' x){-q(x))}

b) {'r/ xt ptx) ---+ q(x)Id) I(if x)(P(x A (3 x)( q(x) Io ((3x)(-p(x v (\1' X)(Q(x


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L O g i c a 6g) (3 x,3 y I p(x)v -q(y)} h) ('2} b) ('


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64 Eduardo Espinozo. Ramosc) p---.q d) (p---. q)1\ (r --+ s)

q--+p) pvr.. p t--+q .. qvse) pt--+q f) q--+p

rv q q---) (r v s)-r -(-


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wgiea 6c) ,...------- p ---------,

.---- q -~----. 1--- -p ----0

d)

--q---p-

Determiner la menor expresion que representa aI circuito dado:a)

b)

c)

p --c:_____.I---------'


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66 Eduardo E .splnoza Ramod) r

- q

q

r

e)P --0

q

-q---0

g) p y - c " . q ."_qi - p

p - -q

q---p

r ---0


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UJgicu 6i) -p---

p P ----0-p--qq '---- p ~,-----"@ Detenninarlos circuitos 16gicos que representan a los siguientes esquernas moleculares.

a) !r(rv q) A p] v -rIA q b) -[(p v -q) v (p A -f)v -if v q V -p)J@ Simplificar los siguientes circuitos logicos:

a) P[_Jq-q~-p

p---qp '----------.-q~

q---pb) p-P~-qX-L:~-O '-L ' -:~..

q -q p" qq , q ,

c)

p

p _-----p ---0

-p --- -q ----,

qLC-- q

p--_ .....


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68 Eduardo Espinoza Ramod)

p

,------ p

q - c - rq - p -q ------0ado el circuito logieo, hallar eJ circuito 16gico mas simple posible,-p- r-C-

p__-..J

-r ----_,: J C - - r-p~-r~

implificar el siguiente circuito-p~- --. P --0

1.....-_ QS Representar mediante funciones Booleanas los circuitos ..a)

p qb)

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