Prelucrarea Digitala a Semnalelor

Mlhaela Ungureanu

lVIATRIX====ROlVIBUCURE$TI

G. MihaelaUNGUREANU

PREL UCRAREA DIGIT ALAA

SEMNALELOR

MATRIX ROMBUCURESTI2008

Editura MATRIX ROM este acreditata de

CONSILIUL NATIONAL AL CERCETARII $TIINTIFICE DIN INVATAMANTUL SUPERIOR, "

Be/UPBBiblElectronica

III III """1"'111"111"1\"\1'1 'IIBUP09-2116

Referenti $tiintifici:

MATRIXROMC.P.16 -162

062510- BUCURE~TItel.021.4113617,fax021.4114280

e-mail:[email protected]

Prof. dr. ing. Rodica Strungaru - Universitatea"POLITEHNICA" Bucure~tiDepartamentulElectronica~iInformaticaMedicala

Prof. dr. ing. Radu Zaciu

pesteMihcPrellSign.MicrcurSt

prop:seCVt

disCI

mete

Descrierea CIP a Bibliotecii Nalionale a Romanie!UNGUREANU, MIHAELA GEORGETA

Prelucrarea digitala a semnalelor I G. Mihaela Ungureanu -Bucureti, Matrix Rom, 2008

Bibliogr.ISBN 978-973-755-409-3

004.383.3(075.8)

ISBN 978 - 973 - 755 - 409 - 3

disCI

desc:evidt

genefree,cony[mitt

mete

calcl

capi1zgor(tran

OR

,~tiala

Prefata,

Carteareprezintarezultatulexperienteididactice~ide cercetaredepestezeceani in domeniulprelucrariisemnalelora doamneiConf. Dr. G.MihaelaUngureanu.Activitateadidacticaa autoareia indus cursurilePrelucrareaNumericaa Semnalelor,anulIII, InginerieEconomica~iDigitalSignal Processing for Automotive,Masterat, specializareaAdvancedMicroelectronics~i se adreseazain primul studentilorce frecventeazacursuriledeprelucrarinumericedesemnale.

Carteaestestructuratain urmatoarelenouacapitole:

Semnale. Tipuri de semnale.- Prezinta tipurile de semnale,proprietati1esecventelor,exemplede secvente,operatiileeIementarecusecvente~ireprezentareagraficaaacestora.

TransformataFourier Discreta- Prezinta TransformataFourierdiscreta,proprietatile~iaplicabilitateaacesteia.

TransformataZ - PrezintatransformataZ, proprietatileacesteia~imetodelededeterminareatransformateiZ inverse

Sistemediscrete- Acest capitolprezintaproprietatilesistemelordiscrete~imodalitatiledereprezentareaacestora.

Filtre numerice- In acestcapitolsuntprezentatemodalitatilededescrierea filtreIornumerice~imetodeledeproiectarea filtrelorFIR ~iIIR,evidentiindproprietatilefiltrelorFIR cufazaliniara.

E~antionareasemnalelorcontinue- Capitolulpuncteazaproblemelegeneratede e~antionareasemnalelorcontinue,posibilitateade schimbareafrecventeide e~antionarein domeniuldiscret, problemegeneralealeconversieiAID ~imodalitatilededeterminarea zgomotuluidatoratlungimiifmiteacuvintelordecod.

Estimare~i analizaspectrala- In acestcapitol sunt prezentatemetodeleneparametrice~iparametricedeanalizaspectrala.

Algoritmi iterativi.Filtreadaptive- Capitolulprezintamodalitatidecalculonlinealparametrilorstatisticiai semnalelor~ifiltreleadaptive.

Metodemodemede preIucrarenumeridia semnalelor- In acestcapitolsunt prezentatediferite metodede extragerea semnalelordinzgomot,precum ~i metode modeme de prelucrare a semnalelor(transformatetimp-frecventa,peA, leA, anulatoruldezgomotsincron).

5

Lucrareaprezintaclar,explicit,problemealeprelucriiriinumericeasemnalelor,evidentiindin final aplicatiiconcreteale acestuidomeniu.Inacestsens,carteasedore~tea fi un instrumentin intelegereaproblematicii

. fundamentaledindomeniulprelucrariinumericeasemnalelor.Autoareamultume~tein primul randreferentilor~tiintificipentru

atentaparcurgerea lucriirii ~ipentrusugestiileutile exprimatede ace~tia:Prof.Dr. lug.RaduZaciu~iProf.Dr. lug.RodicaStrungaru.

Autoareamultume~tepe aceastacale domnuluiProf. Radu Zaciu Pref,pentru initiereain domeniulprelucriirii semnalelornumerice~i pentru CUpI

incredereaacordatiiautoareila debutulcariereiacesteia,prin acceptareain I 1.s~grupuldansului.De asemeneaautoareaesterecunoscatoareProf. Werner 1.Wolf, de la Universitatder Bundeswehr,Miinchen, Germania,pentrupermanentacontributiela dezvoltareacarierei autoarei,in 'domeniulprelucriiriinumericea sernnalelor~idoamneiProf.Dr.Ing.RodicaStrungarupentruajutorulcontinuuoferitde-alungulanilor. In final,darnuin ultimulrand,autoareamultume~te[amilieipentrusprijinulpermanentacordat.

Bucure~ti,20081.:

Autoarea

1.:

1.L

1.E

2. Tr.2.1dis2.~

6

aIn

~ll

ru

a:

1U

ru

In

er

ru

lilru

ul

f

Cuprins

Prefata 5Cuprins 71.Sernnale.Tipuri desernnale 11

1.1. Tipuri desemnale 111.1.1. SernnalulcontinuuIn timp~iIn amplitudine 111.1.2. Sernnalul continuu in amplitudine~i discret In timp

(secventa) 121.1.3. SemnalelediscreteIn amplitudine~iIn timp(digitale) 121.1.4. SernnalulcontinuuIn amplitudine~icontinuuIn timp,a

ciiruivariatieareloc lamomentediscretedetimp 131.1.5. Sernnalelecuvaloridiscretealeamplitudinii~icontinuitate

In timp 131.2. Proprietatialesecventelor 14

1.2.1. Secventeperiodice 141.2.2. Secventepare 141.2.3. Secventeimpare 141.2.4. Secventemarginite 151.2.5. Secventecauzale 15

1.3. Exempledesecvente : 151.3.1. Sernnalulimpulsdiscret.. 151'.3.2.Sernnalultreaptaunitara 161.3.3. Secventaconstanta 171.3.4. Secventa exponentiala ~i derivatele ei: secventa

cosinusoidalii~isecventasinusoidala 171.4. Operatiielementarecusecvente 18, '1.5. Reprezentareagraficaaoperatiilorelementare 19

2. TransformataFourierDiscreta.. 212.1. TransformataFourier.Serii Fourier.TransformataFourierIn timpdiscret.Transforll1ataFourierdiscreta.Definitii 212.2. ,ProprietatialeTFTD, TFD 25

2.2.1. Liniaritatea 25

2.2.2. Deplasareasecventeifrecventei 252.2.3. DualitateaTFD 262.2.4. TFD asecventeicomplexconjugate 26

7

2.2.5. Proprietatiledesimetrie 262.2.6. Deseompunereauneiseeventeeasumade0 seeventapara

~iunaimpara 272.2.7. TFD a seeventeiobtinuteprinconvolutiecirculara 27

2.3. AplieatiialeTFD: CalcululconvolutieiliniareutilizandTFD 283. TransformataZ 31

3.1. TransformataZ. Definitie 313.2. ProprietatiletransformateiZ 33

3.2.1. Liniaritatea 333.2.2. Translatiain domeniultimp 333.2.3. Convolutiain domeniultimp 333.2.4. Convolutiain domeniulfreeventa 343.2.5. Teoremalui Pareeval.. 34

3.2.6. Transformataz a secventeimultiplicateeuk 343.3. TransformataZ inversa 34

3.3.1. Deseompunereain fractiisimple 353.3.2. Folosireateoremeireziduurilor 37

3.3.3. Dezvoltareain seriedeputeriale lui X(z), eehivalentaeu

impartireapolinomialaB(z)j A(z) 394. Sistemediscrete 41

4.1. Defmitii:sistemestabile,cauzale,liniare,invariantein timp 414.2. Reprezentareasistemelordiscrete 44

4.2.1. Reprezentareasistemelorprin eeuatiicu diferentefinite(EDF) 44

4.2.2. Deseriereasistemelornumerieeprin grafuri primitivedesemnal. 49

4.2.3. Reprezentareasistemelordiscretecuvariabiledestare 535. Filtrenumerice 59

5.1. Generalitati. Filtre numerice recursive. Filtre numerieenereeursive 59

5.2. ReprezentareafiltrelornumericeLIT 605.2.1. Simboluriutilizatein reprezentareafiltrelornumerice 615.2.2. Structuripentrufiltrerecursive 615.2.3. Structuripentrufiltrelenereeursive 66

5.3. Proiectareafiltrelordigitale 685.3.1. FiltreFIR eufazaliniara 695.3.2. ProieetareafiltrelorFIR 755.3.3. ProieetareafiltrelorIIR , 93

6. E~an_tionareasemnalelorcontinue 1056.1. E~antionareaperiodica 105

8

6,

6.6.Cl

7.E7.

7.8.A

8.8.III8.ut

9.M9.in

96.1.1.Reprezentareasemnalelor e~antioanatein domeniulfrecventa 107

6.1.2.Reconstituirea semnalului de banda limitata dine~antioanelesale 111

6.1.3.Prelucrareain timpdiscreta semnalelorcontinuein timp.........................................................................................113

Modificareafrecventeidee~antionareprinprocesariin timpdiscret1176.2.1.6.2.2.6.2.3.

6.2.

Reducerearateidee~antionarecuunfactorintreg 117Cre~tereafrecventeidee~antionarecuunfactorintreg..121Schimbarearatei de e~antionarecu un factor neintregrationalprinprelucrarinumerice 124

6.3. ConversiaAJD 1256.4. Calculul zgomotului de rotunjire datorat lungimii finite acuvintelordecod 130

7.Estimare~ianalizaspectrala 1337.1. Metodeneparametrice 136

7.1.1. Metodaperiodogramei 1367.1.2. Metode de mediereale densitatiispectralede putere-

EstimatorulBartlett 138

7.1.3. Metode de mediereale densitatiispectralede putere-EstimatorulWelch 139

7.1.4. MetodaBlaclanan-Tukey 1407.2. Metodeparametrice 141

8.Algoritrniiterativi.Filtreadaptive..: 1478.1. Calcululiteratival funtieideautocorelatie 1478.2. Algoritm recursivpentrucalculul functiei de autocorelatie~iinterconilatie 1518.3. A1goritmulSchurRLS pentruextragereasemnaieiordin zgomotutilizfu1dfiltrareaadaptiva 152

9.Metodemodernedepre1ucrarenumericaasemnalelor 1559.1. Aplicatie:eliminareasemnaluluiECG dinaltesemnalefiziologiceinregistrateneinvaziv , 155

9.1.1. Analiza ComponentelorPrincipale(PrincipalComponentAnalysis- PCA) 155

(} -I ') A nnl;~n I'" "'"'" ""0"" "''"'t'''l''rTnrlnnrlnt flnrlp1"Ipndpnto. 1.'-. r"l. Q,11Lia VVJ.J.J.,p J..1'-'J.~\of V ~~J.U"'.P".J.""'''.I..U,,-, \ ......_y_.L.I. .......ComponentAnalysis- leA) 156

9.1.3. Proiectianeliniaraa spafiuluistadlor (Nonlinearstate-spaceprojections- NSSP) 158

Ice

59

606161

,66

,68

.69

.75

.93105

105

26

ITa

272728

31

31

33

33

33

33

34

34

34

34

35

37

cu

39

41

41

44

rite

44

de

49

53

59

9.1.4. Anulatorul de zgomot sincron (Event SynchronousInterferenceCanceller- ESe) 159

9.2. Transformatetimp-frecventa 1709.2.1. TransformataFourierpetermenscurt- TFTS (ShortTime

FourierTransform) 1709.2.2. TransformataWavelet.. 172

Bibliografie 179

10

bioI,acthDinsuneacthdin.pentsenu

sau~

timp(de(

de0semr

amplsuntReprl

11

1.1.1. Semnalulcontinuuin timp~iin amplitudine

1.1. Tipuri desemnale

Semnale.Tipuridesemnale

1. SEMNALE. TIPURI DE SEMNALE

Acest semnalare0 gamacontinuade valori atatill timpcat ~iinamplitudine.Acestesemnalesuntcelemairaspanditein situatii1epractice~isuntreprezentateprin functiiscalaresauvectoriale,de variabilacontinua.Reprezentareagraficaaacestuiaesteexemplificatain Fig. I.

s

9

Pe

:2I

19 Prin semnal se illtelege 0 manifestarea unui sistem (fizic,biologic,etc),care serve~teca mijloc de comunicare,ca manifestareaactivitatiiunui sistemsaugeneratpentrua testaproprietati1eunui sistem.Dinprimacategoriefacpartesemnaleleacustice(vorba,muzica,in generalsunete),semnalevizuale (imagini),din a doua, semnalelegeneratedeactivitateacardiaca(ECG), cerebrala(EEG), undeleseismice,iar exempledina treiacategoriesuntsemnaleleradar,semnaleleecografice,semnalelepentrumasurareaproprietatilorscoartei terestre.Indiferent de tipul,semnificatiasauutilitateasemnalelor,acesteapotfi reprezentatematematic.

Un semnalestedefinitmatematicprintr-ofunctieunidimensionalasauvectoriala,in functiedetipuldeinformatiece0reprezinta.

In general,semnaluleste0 functietemporala(depindenumaidetimp).ExistasemnalecarepeHingavariatiain timp,prezinta~iunaspatiala(deexemplu:semnalulimaginein televiziune,RMN in medicina).

Semnalelesenumescdeterministedacaevolutialor poatefi descrisade0 functiebineprecizatadetimp.Prin opozitie,un semnalaleatoresteunsemnala careievolutienupoatefi descrisade0 functietemporara.

PRELUCRAREA DIGITALA A SEMNALELOR

x(t)

o t

Fig. 1.Semnalcontinuuintimp~iin amplitudine

1.1.2.Semnalulcontinuuin amplitudine~i discretin timp(secventa)

Acest tip de semnalestedefinitla momentediscretede timp iaramplitudineasa are valori continue~ise mai nume~te~isecventa.Senoteazacu X(tk), undek E I, {Xk} sau {X(tk)}. El seobtinede obiceiprine~antionareasemnaluluicontinuu.MultimeaI, estemultimeaordonatadeintregi.Un exempluesteprezentatin Fig.2.

X(tk)

car

sau

I

o

/- ........

t

Fig. 2.Semnalcontinuuin amplitudine~idiscretin timp

1.1.3.Semnalelediscretein amplitudine~iin timp(digitale)

Acesttip desemnaleseint:alne~tein sistemeledigitaledeprelucrarea semnalelorcepotfi reprezentatedeuncalculator,unprocesordigitaldesemnale,saudeun programdeprelucrarea semnalelor.Spredeosebiredesemnalulanterior,amplitudineaacestuitip de semnalare valori intr-omulpmefinitadevaloridiscrete(moduldeoblinereal acestorsemnaledinsemnalelerealecontinuein timp~iin amplitudineesteprezentatdetaliatincapitolulE$antionareasemnalelorcontinue).

12

con

anal

13

t

Semnale.Tipuridesemnale

Xd(tk)

I ....--:- .....'"I /4-/::+'0-1 t1 t2 t3 t4

Fig. 3.Semnaldiscretin amplitudine~iin timp

Fig.4. SemnalSIH

1.1.4.Semnalulcontinuuin amplitudine~icontinuuin timp,acaruivariatieareloclamomentediscretedetimp

Acesttip desemnalseobtinela ie~ireacircuitelorStH (samplelholdsaue~antionare~imemorare).

xem(t)

[e

n

1.1.5.Semnalelecu valori discrete ale amplitudinii ~i[e I continuitatein timpde

de I Acest tip de semnaleapare la ie~ireaconvertoarelordigitaleroo analogice(CDA).tin

in


I /- ............ "-

... , ....

O' t1 t2 t3 t4 t~ i6 17 t

Fig. 5.Semnaldela ie~ireaCDA

1.2. Proprietatialesecventelor

1.2.1.Secventeperiodice

o secventasenume~teperiodicadad ~inumai:

(1)

inter

undeNeste eelmaimicnumarnaturalpentrucarerelatia(1)estesatisfacuta~isenume~teperioadasecven!ei.

1.2.2.Secventepare

o secventasenume~teparadaca~inumaidaca:

eu fe~ar

{xCA

1.2.3.Secventeimpare

o secventasenume~teparadaca~inumaidaca:

x[k]==-x[-kl Vk

14

1-;

(2)

(3) fini1

15

Semnale.Tipuri desemnale

(4)

(5)

x[k]=={*0,k E I0,inrest

1.2.5.Secventecauzale,

1.3.1.Semnalulimpulsdiscret

1.3. Exempledesecvente

ill''"':f", ,'.,::~\%~~'.Observafie: In cazulsecventelorimparex(0)==0 .

1.2.4.Secventemarginite

o secventase nume~temarginitadaca~i numaidaca existauninterval1==[N1,N2], astfelincat:

o secventa se nume~tecauzala daca ~i numai dadi

x[k] ={*~,k ~ 0.0,In rest

Semnalelediscrete(secventele)seobtindeobiceiprine~antionareacupas constant(la intervaleconstantedetimp,T,cerepezintaperioadadee~antionare)a semnalelorcontinue.

Notatiileutilizatepentrusemnaluldiscretastfelobtinutsunt:{x(tk)}'

{x(k)},x(k), x(kT), x[k], undeTeste perioadadeeantionare:2)

1)

~------

Este echivalentuldiscretal semnaluluiDirac (semnalde energie3) I finita,decisemnalfizic realizabil).Estedefinitderelatia:

PRELUCRAREA DIGIT ALA A SEMNALELOR

{1,k =0o[k]= O,k;t 0(6)

L..

Acest tip de semnalsta la baza determinariifunctieipondereasistemului,a~acum semnalulDirac esteutilizatin determinareafunctieiponderea sistemelorcontinue.

cosi

1

lFig. 7.Impulsulunitar

1.3.2. Semnalultreaptaunitara

Este definit in mod analogsemnaluluitreaptaunitaracontinua, diSCIavandvalorinenulepentruvaloripozitivealetimpului,n.

{ l,k 2:0o-[k] = 0,in rest

rut -, --,--t- 'nu_I Io 1 2 3 k

Fig. 8.Functiatreaptaunitara

~--~4 r, r, r ,., Observatie:b'lkj=atkJ-atk-1J

16

(7)

unde

secv(smus

uncle

Semnale.Tipuri desemnale

1.3.3. Secventaconstanta,

(8)

(9)

secvcnta

Secventaexponentialadiscretareala

Seob!inedinsecven!aexponentialacontinua(x[k] =rk, k E Z):

1.3.4. Secventa exponentiala ~i derivatele ei:cosinusoidala~isecventasinusoidala

SecventaexponentialacomplexaEste utilizata In analiza raspunsuluiIn frecven!aal sistemelor

discreteliniarinvarianteIn timp.Estedefinitaderelatia:

(6)

erea~~iei

tinua,

(7) .2"kJ-"x[k]=e N (10)

uncleNesteunnumarIntreg.Secventaeste periodica,cu perioadaN. Parteareala a acestei

secventeestesecventacosinusoidalaiar parteaimaginaraestesecventasinusoidala.

Parteareala~iparteaimaginaraseobtincurelatiilelui Euler:

(11)

uncleejm =cose+j sine.

Secventasinusoidala:s[k] =sin21f kN

17


Secventacosinusoidahi:c[k] =cos2Jr kN

Observatii:,1)atatfuncliasincat~iceacassootperiodice,cuperioadaN;2) semnalulDirac poatefi folositpentrudescriereamatematicaa

oricareisecvenledigitale:

segn

asup

{lk=nx[k]=fx[n]a[k-n], 6[k-n]= O:inrest-00(12)

Aceasta relalie este utila in analizasistemelordiscreteliniareinvariabilein timp.

1.4. Operatiielementareell secvente

Oricetip de filtrunumericpoatefi caracterizat(bineprecizat)de0succesiooedeoperaliielementare:

1)adooareasecvenlelor

2)inmullireacuunscalar

3)inwziereasecventeicu0perioadaFie ~-1 operatorulinwzierii secvenleieu0 perioada.

4)depiasareaInaintecu0perioadaFie ~operatoruldeplasariisecvenleiin avanscu0perioada.

18

~aa

(12)

Hare

Semnale.Tipur;desemnale

5)lnmultireaSerealizeazaprinlnmultireae~antioanelorcorespunzatoareacelora~i

segmentedetimp.

6)operatorulneliniarrSe obtinesecventade ie~ireprin aplicareaoperatoruluineliniar

asuprafiecaruie~antionasuprasegmentuluideintrare:

7)convolutiasecventelorEstedefinitadeoperatorul*:

*,{Xl[kn,{X2[kn:=}{y[kn={Xl[kn* {X2[kn,

y[k]= i:Xl[nlx2[k-n]= i:Xl[k-nlx2[n]

de 0

n;::;-oo n=-oo

1.5. Reprezentareagraficaa operatiilorelementare

x[k] y[k] =ax[k]

19


x[k] ~ .y[k]=x[k-l]

x[k] ~ y[k]=x[k+l]

x[k] e----{!J----+ y[k] =r(x[kD

Fig. 9. Reprezentareagraficaa operapilorelementarecu secvente

20

Tran

conti

defir

tram

interrepet

num~

TransformataFourierDiscretd

2. TRANSFORMATA FOURIERDISCRETA

. I

21

(1)

(2)

(3)

Serii Fourier.discret.Transformata

00

F(Q) = fJ(t)e-iQt dt-00

1 00J(t) =- fF(Q)eJQt dQ21f

-00

.2.1. Transformata Fourier.TransformataFourierin timp..Fourierdiscreta.Definitii.,

Un sernnalcontinuuperiodicestedescrisprintr-oserieFourier:

TransformataFourierDiscreta(TFD sauDFT - DiscreteFourierTransform)este0 transformataFourierce permiteestimareafrecventelorcontinuteIntr-osecventadeduratafinita.

Pentrudefmireaacesteia,facemanalogiecu transformateleFourierdefinitepentrusernnalelecontinue.

Atunci candsemnalulcontinuunu esteperiodicel estedescrisdetransformataFourier, respectivdetransformataFourierinversa.

x(t) =x(t +nTo), "i/ t undeTo - perioadasistemului,~in esteunnumarIntreg.

Un sernnalcontinuuesteperiodicdacavaloarealui serepetala unintervalbinedeterminatdetimp.eel maimicnumarpentrucarevaloareaserepetasenume~teperioadasemnalului.

Matematic,periodicitateaseexprimaprinrela!ia::nte

PRELUCRAREA DIGITAL~ A SEMNALELOR

d n 21!. fi' .... F .un e Uo =- , taran suntcoetctenlnsenel ouner:To

(4) res]

In modanalogsedefine~teTransformataFourier In TimpDiscret(TFTD) ~i inversaei (TFTDI), pentrusecven1ede duratii injinitii. Fiesecvenlax[k]=f(kTo) ohlinutaprine~antionareasernnaluluicontinuu!(t)cuperioadaconstantaTo.TFTD estedeterminataprinrelatia:

frecvenladigitala, adimensionala,~ =~To

X(ei{i})=fx[k].e-ik{i},k=-oo

unde OJ =21!L reprezintaFs

reprezentandfrecventadee~antionare.

(5)res

Observatie:TFTD esteperiodicacuperioada27t.

un,

SecventaoriginalaestedeterminatadetransformataFourierin timpdiscretinversa(TFTDI):

(6)

cat

ex]tra

undeintegrala secalculeazapentru0 perioada,27t,deobiceiconsiderandu-sein formulaanterioaraintervalulI::;; [-1T,JZ-].

Atunci cand secven1adiscretii esteperiodicii cu perioadaN,

~ p 1 [' (0,k ~fo,N -11xlkj=xlk+nNJ>nEZ, sau de duratiifinitii, xkJ=~ - [ ~] seL:;c 0,k E 0,N -1defme~teTransformataFourierDiscretii(TFD sauDFT - DiscreteFourierTransform):

22

dis

Pri

un

[N-l ,2;r 1mX n]= IX[k].e -INk=O

TransformataFourier Discretii

(7)

(4) I respectivtransformataFourierdiscretAinversiiTFDI:

ere!

Fie

r(t)

[ 1 N-} l;r /enX k]=- IX[n]e NN n=O

Acesterelatiimaipotfi scrisesubforma:

(8)

(5)

N-}

X[n]= Ix[k].wNIm,k=O

respectiv:

(9)

1 N-}x[k]=- IX[nlw~,

N n=O(10)

,2;rJ-undewN =e N

(11)X=Wx

23

undevectoriisuntdefinitisubformauneicoloane:

Observatie1. TFD esteperiodicii, cu perioadaN, ~iesteprin urmarecomplet

caracterizatiiprinN valori.Importantaacesteiproprietiiticonstiiin faptulciiexistiiposibiiitateacaicuHiriiexactea transformateiFourierdiscrete~iatransformateiFourierdiscreteinverse.

2. CeleN valori ale lui x[k] ~irespectivale transformateiFourier

discrete,X[n], pot reprezentacomponenteleunui vectorx, respectivX.Prinurrnare,TFD poatefi scrisiisubformiimatricealiisubforma:

N,

(6)

] semer

Idu-

PRELUCRAREA DIGITAL4. A SEMNALELOR

[ X(O) 1 r X(O) 1x= X(~-l) ,x=,-X(~_l)j'(12)

W este 0 matriee eu dirnensiuneaN xN avand elernentele

W - w-kn unde0 s;,k,ns;,N-1n,k - N ,

Tabel1- FormulealetransforrnatelorintroduseTF

J(t)

energiejinitii

SF

J(t)

periodic

(To~:.JTFTD

x[k]=J(kTo)

'"

F(jOJ) = fJ(t)e-jtiJtdt (TF)

I1 To .

a(n) =- fJ(t)e-JnDo'dt (SF)To 1

To

OQ

J(t) = La(n)einDo' (SFI)n=-

X(eiOJ)= Ix[k].e-ikal (TFTD)k=-oo

e~an

X[k]=_1 fx{eial).eJkaJdaJ (TFTDI)27i-1l

N-I .21l1m-J- .X[n] =Lx[k].e N (TFD)

k=O

TFD

x[k]

periodiea sau deduratafinita

'1

1 N-I _ j""ll 1mx[k]=-. LX[nJ.e N (TFDI)

N hON-I

X[n] = LX[k].wNknk=O

. _ 1 N..=,l .x[kj=-- LX[nJ,wi:;

N k=O

24

I

I

!Jiloj

Dad

unde

pena

(12)

entele

il

J

TransformataFourier Discretii

2.2. Proprietafi aleTFTD, TFD

2.2.1. Liniaritatea

Wldelungirneaseeventeirezultante,N3, este deterrninatade relatiaN) =max(Nl,NJ, Nl ~iNz fiind lungirneaseeventeixl[k], respeetivxz[k].

Prinurmareputernserie:N3-l

X[[n]= I xl[k]'W~,O::s;n::S;N3-1k=O

N3-l

XJnJ= I xz[kJ.W~,O::s;n::S;N3-1k=O

Observatie: Se poate ealcula TFD ~i pentru rnai rnultee~antioanedaeaseeornpleteazaseeventeleeuvalorinule.

2.2.2. Deplasareasecventeifrecventei

La fel sepoatearataea:

.2,.

undeW:; =e-J/ikm ~i(O)N reprezintaoperatorulmoduloN.

Pentru a demonstrarelatia anterioaraconsideramsecventeleperiodice:

25


x[k]=x[((k))N]< TFD ) X[n]=X[n] ~i,27!

x1[k]= Xl [((k))N]=x[((k - m))N]< TFD ) X1[n] =X1[n]= e-J}jnm.X[n]

,27!

RezuWiprinurmarex[((k - m))N].< TFD ) e- J}jnm.X[n]

2.2.3. DualitateaTFD

Pentru demonstratie considedim secventele periodice

x[k] =x[((n)) N ] ~i ~iX[k] =X [((k))N ] astfelindit :i[k] < TFD ) X[n].Interschimbandvariabilelen ~ikin relatia(7)obtinem:

~[N-l ,27!knX k] =L:x[n ] .e-J}j .n=O

Comparandcurelatia(8)deducemX[k ]< TFD ) N .x[((-k))N]'

uneimc

2.2.4. TFD a secventeicomplexconjugate

Pebazarelatiei(8)sepoatearataea:

x*[k]< TFD )X*(((-n))N),O::;n::;N-l

x*[((-k))N]< TFD )x*[kl0::;n::;N-l

2.2.5. Proprietatiledesimetrie

(17)

(18)

Aceste proprietatisunt similarecelor ale transformateiFourierdefinitapentrusemnaieiecontinuereaie,~irespectivale TFTD definitapentrusecventediscretereale,~isunt:modululTFD este0 funetiepara,argumentulTFD este0 functieimpara,partearealaa TFD este0 functiepara,~irespeetivparteaimaginaraaTFD este0 functieimpara.

26

peri

repr

Trans/ormataFourierDiscretd

X[n] =X*[((- nN]

Re{X[nll= Re{x*[((-nN]}

Im{X[nn=-Im{X'[((- n))N]}

IIX[n ]11 =IIX [((- nN ]11

arg{X[nn=-arg{X'[((- n))N]}

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

16)

Ice

2.2.6. Deseompunereauneisecvenfeeasumade0seevenfapara~iunaimpara

Orice secvenlax[k] ( TFD ) X[n] se poatedescompuneca sumaauneisecvenlepare,avandTFD reala,~ia uneisecventeimpare,avandTFDimaginara:

2.2.7. TFD a seevenfeiobfinuteprin convolufieeireulara

Definitie Convolulia circulara a doua secvenle periodicexl[k]=xl[((kN] ~i x2[k]=x2[((kN] este reprezentatade secventa

periodica x3[k] definita prin relatiaN-l

x3[k]=2>1[((mN ].x2[((k -mN], 0$; k $;N -1 . Operatorulutilizat Inm=O

reprezentareaconvolulieicircularesenoteazacu.

17)

18)

nerIlita

ara,

clie

xl[k]< TFD >XI[n] , x2[k]< TFD >X2[n]N-I

x3[k]=Z>I[m]x2[((k-mN]' 0$;k $;N-1m=O

U

x3[k] < TFD > XI[n]. X2[n]

~l

(26)

II

III

27

PRELUCRAREA DIGITAL.\. A SEMNALELOR

Cu notatia anterioara,considerand0 perioada aX3 [k J ,relatia(26)sepoatescriesubforma:

undexj[k], x2[k] aulungimeaN.

secventei

(27)

Proprietatialeconvolutieicirculare:Convolutiacircularaestecomutativa.Pe bazadualitatiisepotdeducedeasemeneaurmatoarelerelatii:

2.3. Aplicatii ale TFD: Calculul convolutiei liniareutilizandTFD

DeoareceTFD se poateimplementarapid hard ~isoft, existandpentruaceastaalgoritmirapizi de ealeul (TFR - TransformataFourierRapida,sauFFT - FastFourierTransform),sepuneproblemautilizariiTFDin prelucrareasemnalelordigitalepentruaobtinediferitevalori.

a) Un exempluaplicatival TFD esteeaIcululconvolutieia douasecvente,in urmatoriipa~i:

1)CaIculamTFD in N punctepentruxj[k] ~ix2[k], XI[n] ~irespectivX2[n], cualgoritmiiFFT.

2) CalculamX3[nJ= Xj[nJ. X2[n10:::; n:::;N-l

3)Calculamx3[kJ =XI [kJX2[k] eafiindTFDI a luiX3[n].

Acest lucru este util pentru di de exemplu sistemeleLiniarInvariantein Timp (LIT) necesitaoperatiideconvolutieintresecventeledeintrare~ifunctiilepondere.

b) Un altexemplu11reprezintaeonvolutialiniaraa douasecventededuratafinita.

maxlIlungil

X(eia

TFD.

egaUiin Ndeternsaucb

convo

seeveI

secver

TransformataFourierDiscretii

utei I Fie xl[k] 0 secvenlade lungimeL (xl[kJ:;tO pentruk=O,L-l) ~ix2[k] 0 seevenlade lungimeP (x2 [kJ:;t 0 pentruk =0,P -1). Presupunem

cadorimsa eombinamaeesteseevenleprin eonvolutieliniara.Fie x[k]:27) I rezultatuleonvolulieiliniareaeelordouaseevenle:

00

x[k]= L>l[m]. x2[k - m], k E Zm=-oo

Deei x[k J =0 pentruk L +P - 2 . Lungimeamaximaa seevenleix[k] esteL +P - 1atuncieandseevenleledeintrareaulungimidiferite(L, respeetivP).

lre

md

'ler

FD

tiv

e)Convolutiaeireularaprivitaea0eonvolulieliniaraeualiereSepoatearataeadaeae~antionamTFTD a uneiseevenlefinitex[k],

X(eiaJ ), in N puneteeehidistante(j)n = ~ n se oblineseevenlaperiodiea

TFD aseeventeix[k] saux[k J =x[((k ))N ], k E Z :

x[kJ< TFTD )X(eJaJ)~x[kJ< TFD )X[nJ=x(eJaJL=27T,n,n=o,N-l(29)N

Pe bazarelaliei(29)rezultaeadaeax[k] arelungimemaimicasauegalaeuN, x[kJ poatefi determinatde.TFD ealculataeae~antionareaTFTD

inN punete.Daea insa x[k] are lungimeamai maredeetHN, seevenladeterminata,deTFDI poatefi diferitadex[k] pentruanumitevalorialelui nsauchiarpentrutoatevalorile;fenomennumitaliere.

In mod asemanator,fenomenulde alierepoateafeetarezultatul

convolulieieireulare.Fie X3 (eJaJ)=XI (eJ{)));r2(eJ{))) transformataFourierasecventeix3[k] oblinutaprineonvoluliaadouaseevenle,xl[k] ~ix2[k]:

00

xJk]= Lxl[mJ.x2[n-m]m=-oo

Jar

de I Fie'TFDa aeesteiseeventedeterminataprin e~antionareaTFTD asecventei:

de

29


X3[n] =X3 (eiaJ L=27rn' 0:::;n:::; N -1N

Se observa ca re1alia anterioarase poate scrie sub forma

X3[n] =Xl (eiaJ L=27rn . X2 (eiaJ L=27rn' 0 S; n S; N-1.N N

Deci X3[n] =Xl [n]. X2[n] reprezintaTFD aconvolutieicirculare:

Daca N > max(L, P) atunciXI[n] ~iX2[n] reprezintaexactxl[k],respectivx2[k] pe cand x3[k] =x[n] doar dadi Neste mai mare decat

Iungimeasecventeix[k]. DarIungimeaacesteisecventeestemaximL +P -1. De aceea,convolujiacircularacorespunzatoareIui XI [n]. X 2 [n] este

identicacu convolutialiniara corespunzatoarelui XI (eiaJ ). X2 (eiaJ) daciiN"?L+P-l.

Daca presupunemca realizamconvolujiacirculara'in L puncte( L >P) se poatearataca ea coincidecu convolutiaIiniara in L - P +1puncte.

PrimeIe P-l punctesuntafectatede aliere~ide la L in sus deasemenea.Valorile neafectatede aliere sunt de la n =P -1 pana lan=L -1 (L - P +1puncte).

30

domtran~

ajutR. I Xl

TransformateiZ sepoatedescompunecu ajutorulpolinoamelordeordinulI:

undeZi senumesczerouriletransformateiZ iarPi suntpolii transformateiZ.

Imz{z}

Rez

..

R+

Fig. I. DomeniuldeconvergentapentrutransformataZ bilateraUi

Z (;tral

32

dede 3.2. ProprietatiletransformateiZ

TransformataZ

or de

11 delata Z I 3.2.1. Liniaritatea

este I Fiind date doua secvente Xl' X2 cu transformatele Z Xl' X 2

xl[k]~ Xl (z), X2[k]~ X2(z) rezulta:

a.xI[k]+b.x2[k]~a.XI(z)+b.X2(Z) (4)

3.2.2. Translatia in domeniultimp

lei Z.

a) Pentru transformataZ bilaterala:

b) Pentru transformataZ unilateraIa:bl) translatiainainte (avans):

(5)

b2) translatiainapoi (lntarziere):

(6)

3.2.3. Convolutiain domeniultimp

Fie secventelediscretexl[k] ~ Xl (z), X2[k] ~ X2 (z). Transformata

Z a secventeice rezulta din convolutia celor doua secventeeste produsultranformatelorZ a celor douasecvente:

33

(8)


3.2.4. Convolutiain domeniulfrecventa..

3.2.5. Teoremalui Parceval

3.2.6. Transformataz a secventeimultiplicatecuk

Z{k. x[kD= -z dX(z)dz

saupringeneralizare:

3.3. TransformataZ inversa

TransformataZ inversasedeterminaprinrelatia:

34

(10)

(11)

(12)

UJ

tr,

in

eu

Izi

eugradNj (z) R_, tabelulI indicasecventelecorespunzatoarefractiilorsimple:

(13)m-k Nj (z)

X(z)= LCkZk + D(z)k=O

3.3.1. Descompunereain fractii simple

SedescompunetransformataZ a secventeix[k], X(z), subforma:

TabelI

35

_z_~ pk .a[k]z-p

Trans/ormotaZ

undeC esteinc1usaIn domeniuldeeonvergenta.

TransformataZ inversasedeterminaprin :1) identifieareatransformatei,pe baza unor tabele eontinfu1d

transformateleZ alecelormaiimportantesecvente2)descompunereaIn fractiisimple3)folosireateoremeireziduurilor

4) dezvoltareain serie de puteri ale lui X(z) (echivalentaeuimpiirtireapolinomiaHiB(z)j A(z)

)

I)

~)


__z 1z-1 =l_z-1 ~O"[k]

z~ e-ak

-az-e

Z

(z-I)2 ~k

z(z+I)~k2(z -IY

zsma

z- -2:z.cosa+l ~sin(a.k)

z (z - cosa) ~ cos(a.k)z2 - 2 Z cosa +1

zsma

2 2 ~ -ak . ( )Z _ . z .e-a cosa +e-2a e .sm a .k

z .(z- e-a cosa)2 -d (

Z _ 2 .z .cosa +e-2a ~ e .cosa .k)

Exemvlu Fie X(z)~ I 4X' ,. Sa se detenninez - 0.5 z +0.5,secventadiscretacorespunzatoare,prindescompunereain fractiisimple.

Rezolvare:

X(z) 4z A B----------+-z - (z - O.sXz+0.5)- z - 0.5 z +0.5

36

tat

del

fOI

TransformataZ

Sedetermina:

A= 40.50.5+0.5=2 ~i

B= 4.(-0.5)=2.-0.5-0.5

. R ul ~ X() 2z 2z .. 'd 'fi . ulez tii z =--- +--- ~l pnn 1 entIlcare, cu aJutorz +0.5 z - D,S

tabeluluiI, rezulta:

3.3.2. Folosireateoremeireziduurilor

In functiede tipul polilor, simplii saumultiplii, yom aveapentrudeterminareareziduurilorformulele:

- Pi pol simplu

Rez(X(z)' zk-l, Pi)= lim(z - Pi)' X(z). zk-I (14)Z~Pi

- Pi pol deordinulr

In functie de domeniulde convergentaal transformateiZ, seile I determinasecventelecorespunzatoarereziduurilorcalculatecu ajutorul

formulelor(14)~i(15):

) {a-(k),pt.DC >R+X(z)~x[k]=IRez(X(z)'zk-I,Pi . o-(-k-I),pt.DC

PRELUCRAREA DIGITAL\ A SEMNALELORI"e:j : ',~ z3 +Z2 +Z +1, III' ExemoluFie X(z)= 3 2 . S~ se determine

z - O.Sz - 4z +2seeventaeauzaHieearetransformataZ reprezentataprin X(z).

Rezolvare: i 1m)DeseompunemnumitorultransformateiZ X(z), pentrua identifiea

polii.

. 3 23 2 -z +Sz-1

X(z)= z +z +z+1 =1+__ 2 ,

(Z-2XZ+2(Z-) (Z-2XZ+2(Z-)

Polii transformateiZ soot: PI =2,P2 =-2, P3 =1.,2

~Z2 +Sz-1

R (2) I' k-I 2 - 2k-1 IS - 2k-I S [k 1]

ez =z~z -(--{--1-)- '--3- '2'0'-z +2,\z- 2 423 2-z +5z-1

Rez(-2)= lirnzk-I 2 =(_2Y-l. -5 =

z+2 (Z-2{Z-~) (-4){_%)

=(-2ti{-}o-[k-l]

Rez(~)== lirnzk-l (%Z2 +X5Z -1) ==(~)k-l.. 1: =2 z-r!- Z - 2 z +2 22

( 11k-l ( 1\= "2) " -"2r o-[k -1]Rezultaurmatoareareprezentareanalitieaaseevenleix[k]:

38

rep

seede

TransformataZ

3.3.3.Dezvoltareain seriedeputerialelui X(z), echivalentacu

impartireapolinomiaHiB(z)j A(z)

Impartireapolinoamelorse face pas cu pas, coeficientiicatului

reprezeid e~antioanelesecventei._ Exemplu Fie X(z)= ( 4X2 ) . Sa se determinez-0.5 z+ 0.5

secventadiscretacorespunzatoare,prindezvoltareatransformateiZ in seriedeputeri.

Rezolvare:

4z2--.-4 1,2 +----z -0.25 z2-0.25-=4+z2 +0.25z-2 _

z2 - 0.25-

=4+z2 +0.2S.z-4 +0.252'Z-4 _z2 ...0.25 -

=:4+z2+0.25'Z-4+0.252 'Z-6 +0.253z-4Z2 -0.25

Prin identificaresedetermina:

{4 k=O

x[k]= 0:k=2. p+l

(0.25)p-l,k =2p

39

sus, In primul..Inverse, pnn


Observatii:1) Formulaesteidenticacu formulaobtinutamai

exemplu, referitor la determinareatransformateiZdescompunereatransformateiZ In fractiisimple.

2) MetodadescompuneriitransformateiZ In seriedeputerinu oferadeobicei0 formulaanaliticaasecventei.

40

S(

Sl

Sl

n

p

a

e

S

1

pIm

Sistemediscrete

4. SISTEME DISCRETE

4.1. Definitii: sisteme stabile, cauzale, liniare,invariantein timp

Sistemediscrete

Un sistemestedefmit ca sistemdiscretdadi 0 parte sau toatesecventelecareaparsuntdiscretein timp.Din punctdevederematematicunsistemdiscretin timp e 0 transformareunicil (operator)careconverte~tesecventade intrareu[k], numita~iexcitatie,in secventade ie~ire,y[k],numitadispunsulsistemuluila secventadeintrareu[k].

(1)

In general,un sistemdiscretin timpdiferadeun sistemdigitaldinpunetdevedereal gameidevaloriaamplitudinilor(asevedeaeapitolul1).

Observatie: In continuareyom presupuneca pentru sistemeleanalizatenotiunilesunteehivalente,mentionandundeestecazul faptulcaestenecesara sefacediferentiereaintreceledouanotiuni.

SistemeliniareUn sistemesteliniar, daca~inumaidadiuneicombinatiiliniarede

secventeIi corespundela ie~ire0 combinatieliniara a raspunsurilorindividualealesistemuluilafiecareexcitatiein parte.

Sistemeinvariantein timpUn sistemesteinvariabil in timp, dacaraspunsulsistemuluila 0

secventadeintrarenudepindedemomentulaparitieiacesteiintrari.

(3)

41


Observatie:,1) Sistemeleliniare invariantein timp (LIT) sunt sistemele

fundamentalein domeniulprelucrariisemnaluluidatoritafaptului caraspunsulla orice secventade intrarepoate fi determinatpe bazaraspunsuluila 0 secventaparticulara,deobiceisecventapondere(raspunsulsistemuluila impulsulunitar),notatah[k].

so

-?>ITu[k]=g[k]

~

y[k] =r(g[kD= h[k]

Fig. 1.CaracterizareasistemelorLIT prinfunctiapondere,h[k]

Consideramcala intrareasistemuluiesteaplicatasecventadeintrare

u[k]:fun

ct:)

u[k]= Lu[mlg[k-m]m=-ct:)

RaspunsulunuisistemLIT, y[k]vafi, tinandcontdeecuatia(4):

ct:) 00

y[k]= Lu[m].h[k-m]= Lu[k-m].h[m]

(4)

(5)

expexpmOl

m=-oo m=-oo

Prin urmare,in cazulsistemelorLIT (SLIT), raspunsulsistemelorlao secventade intrareoarecare,u[k], estedatde convolutiasecventeide

intrare,u[k], cufunctiapondereasistemului,h[k].

sisti

amI

corr

2) SistemeleLIT secaracterizeazadeasemeneaprin riispunsulin

frecvenlii,notatcu H(ejOJ), acestareprezentandtransformataFourierintimpdiscretafunctieipondere,h[k]. Raspunsulsistemuluiin frecventasedeterminade asemenea~ica raportuldintreraspunsulsistemuluila 0

secventadeintrareexponentiala, u[k] =ejkOJ , ~isecventadeintrareaplicata. I tran

42

Sistemediscrete

~leca

za

:ul

re

---..)~u[k] =eikw y[k] =eikw .H(eiw )

Fig.2.RaspunsulinfreevenlapentrusistemeleLIT

Y[kL[kl=eJk"= fh[mlu[k-m]= fh[mle;{k-m}& =m=-oo m=-oo

m=-r;t;;

RezuWi:

(6)

(7)

4)

De observatearaspunsulin freevenlaarevalorieomplexe,fiind 0funcliedeserisaatatdemodulcat~idefaza.

Prin urmare,atuneieandla intrareasemnaluluiseapliea0 seeventaexponenlialaeu modulul 1, la ie~ireasistemuluise obtine0 seeventaexponenlialaeomplexaeu aeeea~ipulsalie, dar eu faza ~i modululmodificate:

5)(8)

la

ie

in

;e

o

Astfel, in urmaintroduceriiuneiseevenlesinusoidalela intrareainsistemuldiseretliniar invariantin timp,aeeastava fi regasiti:ila ie~ireeuamplitudinea~ifazamodifieate.

3) TransformataZ a functieiponderecaracterizeazade asemeneacompletsistemuldiser~t,numindu-sefunctiedetransfer.

H(z) =Z{h[k]}=~~z~ (9)U\Zj

Nota: Relatia(9) se oblineconsiderandeeuatia(6) ~iproprietatiletransformateiZ.

43


4) In continuarepresupunemca sistemelediscreteanalizatesuntLIT. Undeyomanalizasistemediscretece nu suntcaracterizatedeacesteproprietati,vafi specificatexplicitacestlueru.

Sistemeeauzale

Un sistemeste eauzal sau flZie realizabil, daca ~inumai dadiraspunsulsaula un anumitmomentdepindedoardevaloareasecventeideintrarelamomenteanterioaremomentuluicurent.

une

SlSi

see

(10)

SistemestabileUn sistemestestabil,dacaraspunsulla0 intraremarginitaestede

asemenea0 secventamarginita(BIBO - BoundedInput,BoundedOutput).

an

pafOl

(11)

De asemenea,daca se cunoscradacinileecuatlelcaracteristlceasistemului,ri, conditianecesara~isuficientacasistemulsafie stabilesteca pe

toate radacinile sa fie subunitare(a se vedea paragrafeleurmatoare, coreprezentareasistemelordiscrete prin ecuatia cu diferente finite ~irezolvareaecuatieieu diferentefinite, in vedereaobtinerii raspunsuluisistemuluila0 secventadeintrareoarecare):

(12)

4.2. Reprezentareasistemelordiscrete

4.2.1. Reprezentareasistemelorprin eeuapieu diferentefinite m~~ m

SistemelediscreteLIT potfi descrisesubformageneraladeecuatiaCll diferentefinite:

44

~suntceste

,...

N L

y[k] =Lai .y[k-i]+ Lbj .u[k- j]i=1 }=o

Sistemediscrete

(13)

daditeide

(10)

stede

put).

uncle u[k] reprezinta intrarea sistemului iar y[k] reprezinta le~lreasistemului.

Atuncicandsecunoa~teEDF a unuisistem,raspunsulacestuiala 0secventaoarecaredeintraresepoateaflain urmatoarelemoduri:

i) RezolvareaanaliticaaEDF

Raspunsulsistemului,y[k] esteformatdin doua componente,~i

anumesolutia omogena,sau de raspunspermanent,Yo [k], ~i solutia

particulara,caracteristicasecventeide intrare,numita~isolutiede regim

fortat,yAk]:

(11)(14)

Solutia omogenaestecombinatialiniaraa exponentialelorobtinutepe baza radacinilorecuatieicaracteristice,ce se obtinepe baza EDF,

considerandsecventeledeintrarenule~isemnaluldeie~iredeformaC rk :

,ticeaIsteca

~toare,ite ~imsului yo[k]=LCi .r/,i

i=I,N (15)

(12) Ecuapa caracteristicaestedefinitaderelatia:

N

1- Lair-i =0i=]

(16)

finiteSolutia particulara (saude regim fortat) depindede semnalulde

intrare,u[k]. In tabelulurmatorsuntindicatesolutii1eparticularepentrucelemaireprezentativesecventedeintrare.

ecuatia TabelIISecventau[k]CCk

45

Solutiaparticularayp [k]

C]Cj k+C2


Cak kC1aC .cos(kBo)

C1.cos(kBo+C2)

C,sin(kBo)

C1.sin(kBo+C2)

ii) UtilizareatransformateiZ pentrurezolvareaEDFAplicand transformataZ ecuatiei(5), tinandcont de conditiile

initialealesistemului,seobtineY(z), transformataZ a secventeideie~ire.Aplicand apoi transformataZ inversa,se obtine formula analiticaasecventeideie~irey[k].

iftExemPlu:Un sistemcauzalestecaracterizatdeecuatiacudiferentefinite:

y[k] =y[k -1]-0.5. y[k - 2]+0.5u[k]

a) Determinatiexpresiaanaliticaa raspunsuluila secventatreaptaunitate.Conditiileinitialesuntnule;b) DeterminatiraspunsulsistemuluilasecventatreaptaunitateutilizandtransformataZ, in conditiiinitialenule;c)Verificatisolutiagasitala punctula) ~ib) calculandvaloriley[01y[11y[2]pecaleiterativa,pebazaEDF.

Rezolvarea)Determinareasolutieiomogene:Ecuatiaomogena(EO)este:

y[k]- y[k-l]+0.5y[k-2]=0

Rezultaecuatiacaracteristica:

r2 -r +0.5=a

1+' 1 .f(wdw . '1 _1 1'4

cura aC1111e '1.2 =2=.fi eAtuncisolutiaecuatieiomogeneestedeforma:

46

simile

Din]

Sistemediscrete

Determinareasolutieiparticulare:Datoritaconsideratiilorteoreticece impun 0 solulie particulara

similarasecventeideintrare,sevaconsidera0solulieparticularadeforma:

AtunciYp [k] verificaecualia:

SolutiageneraHi:

Determinamconstanteledinsoluliepebazacondiliilorinilialenule.Din EDFrezulta:

y(o) =0.5;y(1}=0.5+0.5=1

Atunciconstanteleverificasistemulliniardeecuatii:

R7zultapentruformulaanaliticaaraspunsuluiexpresia:

47

PRELUCRAREA DIGIT AL6. A SEMNALELOR

b)AplieandtransformataZ eeuatieieudiferentefiniteseobtine:

P d A fi ... 1 Y(z) b'rm eseompuneream raetnSimpe a -- 0 tmem:z

Y(z) 0.5z2 1 -0.5(z-1)

-z-= (z-1).~2-z+0.5)= z':"'l +z2-z+0.5

Prin urmare:

Y(z)=_z-0.5' z(z-1)z-l z2-z+0.5

Prin identifieare,utilizandtabelelede inversarea transformateiZ,obtinem:

Nota: TransformataZ se poatede asemeneaobtineeu ajutorulealeululuireziduurilor,independentdetabeleledeinversareatransformateiZ. Se reeomandaaplieareaaeesteimetode,si verifiearearezultatelor,prineomparareaeurezultateleoferiteanterior.

e)y(O) =0.5(analitie)

y(l) =1(analitie)

y(2) =+~1~ ~ +1=~ =1.25(analitie)2"1/2"-12 4

y(2) =y(l) - 0.5y(O) +0.5=1- 0.25+0.5=1.25(iterativ)

Companlndrezu1tateleobtinutepe eale iterativa~iprin utilizareaformuleianalitieeseobservadieleeoineid.

48

sem

~1rc

din1

eu(

SUl

un

Sistemediscrete

4.2.2. Descriereasistemelornumericeprin grafuri primitive desemnal.

Un graf desemnaleste0reprezentaresimbolicaformatadinnoduri~iramuri.FiecaruinodIi estecaracteristica0anumitavariabilaVi' Legatura

dintredouanoduriV i ~iVk estecaracterizataprintr-oramuradirec!ionata,ell ca~tigulaik .

z,

Vi

)rullteimn

n

Vk ==Laik VI1=1I",k

Fig. 3.Reprezentareasistemelorpringrafuri

Ramurilepotfi multiplicatoaresauelementedeInty{==}B

A+Bu~y

49

Sistemediscrete

4.2.2. Descriereasistemelornumericeprin grafuri primitive desemnal.

Un graf desemnaleste0reprezentaresimbolicaformatadinnoduri~iramuri.Fiedirui nodIi estecaracteristica0 anumiUivariabilaVi' Legatura

dintredouanodurivi ~ivk estecaracterizataprintr-oramuradirectionata,euca~tigulaik

I Z,

Vi

)rulateimn

n

Vk =Ialk -VI1=1rk

Fig. 3.Reprezentareasistemelorpringrafuri

Ramurilepot fi multiplicatoaresauelementedeIntarziere.Nodurilesuntsumatoare.

Avantajul reprezentariiprin grafuri:grafurile pot fi reduseprinurmiltoarelemetode:

1.transformareaIn cascadaA B AB

u ~ y {=}.u o--+-----y-B

A+Bu .o--+-----

PRELUCRAREA DIGITAL A. A SEMNALELOR

b)

c)

dis

lntIn

Yl

A0BCU2_Ul .. U2

AD BDY2

B

D

CA

3.eliminareaunuinodYl

A

B

C

D

Y2

4.eliminareauneiramuriYl

5.eliminareauneibucleAB

A 13 1-13C

u~y __ u~YC

(

(

decelU a "/0ODin punctde vederefizic unitatilede Intarziererealizeazastocarea

informatiilor.

2) Se eticheteazatoatenoduriledeintrare~itoateie~irileramurilordeintarziere,z -1,cu indexulO. Aceste-nodurireprezintavariabileleinitiale,cesuntdisponibilela Inceputulproceduriide caleui. Se inerementeazaindexulk cu 1.

3) Seexamineazanodurileneetichetate.Se gasesctoatenodurilecepotfi calculatedinnodurileetichetatelapa~iianteriori~iseeticheteazacuk.

4) Daca mai existanodurineetichetateIn graf, se incrementeazaindexulk ~isereiapasul3.

Fie Sk multimeanodurilorcu indexulk.Noduriledin SI suntlegatedeceledin Soprintr-osinguralegaturaiar noduriledin Sk suntlegatedeintrariprin'celmultk ramuri. '\

Ceamai lungaparcurgerea grafului(caleaceamailungadin graf)determinacel mai maretimpde calculsautimpulde calculal sistemuluinumeric.EaestedatadeindiceleultimeimultimiSk.

51

PRELUCRAREA DIGITAL.\ A SEMNALELOR

Exemplu:

tr

Se consideragrafuldin figura.Sa se determinetimpulde ca1culalsistemuluidiscretcaracterizatdeacestgraf.

y

u

1

Yo

Uo Vg

~o

Z -1 Vg

VI ~l

-1Z Z -1

V4

d

aV

fl

~

I

11

V3

Pe bazareguliloranterioaresedetermina:

S[:y =uovo+YouVl= 'tOVg+~ou

S2: Vg = UlV7 +YlVlV2 = 'tlV? +~IVl

S3: V6 = U2VS+Y2V2V3 = 't2VS+~2V2

La terminareafiecaruiciclu de calculse reactualizeazavariabilele

initiale,dinclasaSo:

c

Vg . Vg

52

Sistemediscrete

Atunci cand sistemulliniar esteinvariantin timp, ecualiile(18)

(17)

(18)

(19)

x[k +1]=f(x[k1u[kD

y[k] =g(x[klu[kD

x[k +1]=A .x[k]+B u[k]

y[k] =C .x[k]+ D .u[k]

x[k +1]=A[k]. x[k]+ B[k). u[k]

y[k]= C[k]. x[k]+D[klu[k]In cazulsistemelorliniare,ecualia(17)areformaunuisistemliniar:

Pentru eeua!iile eorespunzatoarefiedirei clase se aplidi apoi

I11lI1sformalaZ pentrua determinaH(z) =~~~.

4.2.3. Reprezentareasistemelordiscretecuvariabiledestare

Starea unui sistem reprezinta informa!ia minima necesaradeterminariiie~irii sistemului,cunosdl.ndintrareaacestuia~i starea saanterioara.

Dadi x reprezintavectorulstarii sistemuluiiar u ~iy reprezinta

vectorulintrarii ~irespeetival ie~iriisistemului,se pot identificadouafunctiif ~ig eepermitdeterminareaevolulieistariisistemului,respectivaie~iriiacestuia,pebazaveetoruluiintrarii~ial starii:

devin:

Reprezentareaeu variabile de stare define~tevariabile pentrudescriereastarii sistemelor,variabileee suntutilizatepentrua determinastareaulterioara~iiesireasistemelorpecareIeearaeterizeaza.

Deseriereaeu variabilede stareeste unica pentrufiecare graf,reciproeanefiindadevaratii.

Proeedurade identifiearea eeualiiloreu variabilede starepe bazaunuiGPS esteurmatoarea:

4

Y3

1) Se inloeuie~tefieeareunitatede intarziereeu 3 ramuri,ca infigura:

53


o o 1-1

Z

Xi

1

2) SeeliminaunitateadeintarziereramanandX'i cauniHitideie~ire~iXi caunitiitideintrare.

(20)

3) Se reducegrafulastfelincatsaavemdoarlegaturidirecteintreintriiri,U, ~iie~iri,y'Sistemuldeecuatiiobtinuteste: I saun

X'=AX+BU

V=CX+DU (21)

Determinareafnnetieidetransferdinreprezentareaenvariabiledestare

SeeliminavariabileleintermediaredestareX ~iX':

X(z) =(zI-At1B. U(z)

V(z) =C(zI-At1B. U(z)+U(z)

Prinurmarefunctiadetransfereste:

H(z) =D +C(zI-At1B

Deseriereaenvariabiledestarein domeniultimp

RelatiadintrevariabileledrstareXi in domeniultimpeste:

Ecuatiadestarearatatraiectoriavariabilelordestare~ieste:

54

(22)

(23)

(24)

valo

ca fi

1x[k +1]=A .x[k ]+B ,u[k]

Sistemediscrete

(25)

~lre

Eeuatiadeie~iredeterminaraspunsulsistemului~ieste:

y[k] =C x[k] +Du[k]

Traiectoriavariabilelordestarepoatefi interpretataiterativ:

(26)

20)

ltre

H)

saumaigeneral:

k-ko

x[k] =Ak-ko x[ko]+ IAI-IB. u[k -11k> ko1=1

Daeapresupunemeaseeventadeintrareestenulaseobtineecuatia:

22)

Aceastaestesolutiauneiproblemedeforma:

x(ko) dat~i

x(k +1)=A .x(k),k 2 ko

(27)

Pentru k ~ 00~ Ak ~ 0 :>1Ak 1< 1,k =1,2,...,n , unde Ak suntI ,

23) I valorilepropriialematriceiA.Aceastaesteechivalentcu conditiadestabilitate.Dacapresupunem

cafiltrulestestabilrezultil:

24)

00

x[k] =IA1-1B u[k-I]1=1

Determinareafunctieipondere

(28)

00

y[k] =cx[k]+D .u[k]= LCA1-1B .u[k -1]+ D u[k] (29)1=1

55 .


Tinandcontdi:

00

y[k] =Lh~].u[k-l]/=-ro

rezuWi:

{O,k 0

Transformaridecoordonate

Fie T 0matricenesingularan x n ~iq[k] =T-1 x[k]. Rezulta:

(30)sa

b')fi

q[k +1]=T-1 .[A. x[k]+ B .u[kll=T-1AT q[k]+ T-1Bu[k] (31)y[k] =CT q[k] +Du[k]

Eeuatiilesuntidentiee,exeeptandparametrizarea:

y

(A, B,C, D) ~ (T-1AT, T-1B,CT, D)

Invariantafunctieidetransferlaparametrizare

(32)

u

H'(z) =D' +C(zI - A')B' =D +CT(zI - T-1ATtT-1B==D +CT(T-1(zI - A))r-IB = (33)

=D +CTT-1(zI - AtTT-1B =D +C(zI - AY1B =H(z)

Sa se demonstrezeinvarianta funetiei de transfer laparametrizareaeuvariabiledestare,in domeniultimp.

~ .....~~~'!i! .".

~~&IJqiwExemplu: Sedagrafuldinfigura:

56

11

g

yu

1

1

1 1

7/4

Sistemediscrete

:0)

Secere:a) Sasededucareprezentareavariabilelordestare(RVS) ~isasedetermineparametrizareavariabilelordestare(matriceleA, B, C, D);b) Sa sededucafunctiadetransferH(z);c) Sasededucaecuatiacudiferentefinitestandardcecaracterizeazasistemul,EDFS.

Rezolvare:

a) Conform algoritrnuluise Inlocuiescramurilecu elementedeintarziere~isenoteazaapoicu Xi ie~irileacestora~icu X; intrarilelor.

Grafulobtinuteste:

1)

B2)

u

y X2 X'2

3)

Redudindgrafulastfellncatsaobtinemdoarlegaturidirectedinspreintrari~ivariabileleXi catrevariabilelede ie~ire~ivariabilelex; , obtinem

graful:

1/6 1/2

la

u

57


Pebazaaeestuigraf,eeualiileeuvariabiledestareeedefinesegrafulsunt:

I 1 1 1Xl =- Xl +- Xz + .u2 3I 7 1 1

Xz =-x1+-xz +-u4 6 2y =0.Xl +1.Xz +1.u

Prin u..rmarernatrieeleeorespunzatoarepararnetrizariieuviabiledestaresunt:

po

ge

sa

b) DeterminareafunetieidetransferpebazarnatricelordinRVS se el.:realizeazaaplieandformula(20).Rezulta:

2 1z --z-2H(z) =__ 6

221z --z--3 2

e)Determinareaecuatieieudiferenlefinitestandard,EDFS

nCI

d

Prin urrnare,aplicandtransformataZ inversaoblinernurmatoareaEDFS:

c

y[k]-~' y[k-1]-!' y[k- 2]=u[k]-!' u[k-1]-2u[k- 2]3 2 6

S8

f

Flltre numerice

numericenerecursive.5.1. Generalitati. Filtre numerice recursive.Filtre,

(1)N M

y[k] =Iai .x[k-i]+ Ib}.y[n- j]i=O }=1

5.FILTRE NUMERICE

Sistemelenumerieeliniarinvariantein timp,numite~ifiItreliniare,potfi earaeterizateeu ajutoruleeuarieieu diferentefinite, sub formageneraHi:

saueuajutorulfunetieidetransfer,obtinuteaplieandtransformataZ eeuatiei~ I eudiferentefinite~itinandeontdeeonditiileinitiale:

(2)

Analizandeeuatiaeudiferentefinite,seobservaeafiltreleLIT potfireprezentategrafie eu ajutorul sumatoarelor,muItiplieatoareloreu 0constanta~ialregistrelordedeplasarepentruaearaeterizaIntarzierile.

Filtrelenereeursivesuntaeelefiltrepentrucaresecventade ie~iredepindedoardesecventadeintrare.

y[k] =f(...,x[k-11x[k1x[k+11..) (3)

a

11r.1iii!Il" Observatii

1)'AceastaimplicapentrufiltreleLIT faptuleain eeuatiile(1)~i(2)

eoeficientiib} suntnuli.Prinurmare,funetiadetransfer(2)arenumitorul1,

fiindreprezentataprintr-unpolinomin z-l.(~

59


2) PentrufiltreleLIT cauzalese poatescriedi sernnalulde ie~ireestereprezentatdesumaponderataae~antioanelordeintrare:

(4)1m]cO!

unde:i=-oo i=-oo

h[i] =constant= hi (5)

reprezintafunctiapondereafiltruluinerecursiv.3) Ecuatiacu diferentefinitea unui filtru nerecursivincludedrept

coeficientie~antioanelefunctieipondere(ecuatiile(4)~i(5)).4) Filtrele LIT nerecursivese numesc~ifiltre cu raspunsfinit la

impuls(EiniteImpulseResponse- FIR).

Filtrelerecursivesuntfiltre1ea carorsecventade ie~iredepindeatatde e~antioanelede intrarecat ~ide e~antioanelede ie~irela momenteleprecedente.SistemelerecursiveLIT slmtdescrisede ecuatiacu diferentefinite(1).

Observatie,FiltreleLIT recursivesenumesc~ifiltrecu raspunsinfinit la impuls

(InfiniteImpulseResponse- IIR). I eCl

5.2. Reprezentareafiltrelor numericeLIT

ObservatieAlegerea structurii corespunzatoarese face in functie de

constrangerileavute (stabilitate,efectul trunchierii)sau 'in functie deelementeleavutela dispozitie.

60

Filtre numerice

Ire I 5.2.1. Simboluri utilizatein reprezentareafiltrelor numericeImplementareafiltrelor numericeliniare depindede modul de

implementareal rela!iilor (1) sau (2). Elementelede baza utilizate In:4) I continuarepentrureprezentareagraficasunt:

~ x[k-Y

:5) I _elementuldeIntarziere(Z-I)~pt

la Xn

- sumatorul

tat:le

l!e- multiplicatorul

x[k] ay~]=a.x[k]

5.2.2. Structuri pentrufiltre recursive

a) FormadirectiiI!ls I Pentruaceastaformade reprezentarea filtrelor se porne~tede la

ecualiaeudiferentefinite(1),eonsiderandM =N:

Ie

le

N N

y[k]=La; .x[k-i]+ Lb}.y[n- j];=0 }=1

Pebazaei, reprezentareaIn formadireetaI este:

2J1jz-11:1z-rt", Z-1~~~Cfi-~

-bNI I z-,~ z-,~ z-' I~~

(6)

Fig. 1.FormadirectaIDezavantajulaeesteireprezentariesteutilizareaunuinumarmarede

elementedeIntarziere,separatpentrunumarator~irespeetivpentrunumitor(suntfolosite2N elementedeintarziere).'-

61


b) Forma directaIIAceastaformadereprezentarepome~tedelaexprlmareafunctieide

transfersubforma:

unde

Sistemulestede fapt0 structurain cascada(legarein serle)a 2sistemecufunctiadetransferHi' respectivH2

Ecuatii1ecu diferentefinitecorespunzatoareacestordouasistemesunt:

() W(z) () Y(z)Hi Z = X(z) H2 Z = W(z),

N

w[k]=x[k]- Lbj .w[n- j]j=1

N

y[k] =La; .w[n-i]i=O

62

(8)

(9)

(10)

Filtrenumerice

e I --2Ik]

7)

-bN

8)Fig.2.FormadireetaII

2

(9)

c) FormacanonicaDaeain formadireetaII seutilizeazaelementeledeinwziere amt

pentruprimajumatatea strueturii,eufunetiadetransferHi (z) cat~ipentruadouajumatatea strueturii,eufunctiadetransferH2 (z), seobtinestrueturaoptimizatadenumita"formaeanoniea"(Fig.3).

[0)

x[k]

Fig.3.Formaeanonica

63


Avantajulacesteischemeestedi utilizeazaun numarminim deelementedemtarziere.

d) Reprezentareain cascadiia filtrelor recursiveAceastaformade reprezentarese bazeazape scriereafunctieide

transfersubformaunuiprodusdefunctiidetransferelementaredeordinulI(numaratorul~inumitorulfunctieidetransfersuntpolinoamedegradulI Inz-l) saude ordinul2 (numaratorul~inumitorulfunctieide transfersunt

polinoamedegradulII In Z-I):

de

fo

Se descompunedeci functia de transferca produs de functiielementarecarepotfi deordin2 saupotfi filtreelementaredeordin1:

K

H{z)= ao .IT Hi{z)i=O

(11)

(12)

(13)

tn2:

ur

Reprezentareaeste0 cascadarea functii10rde transferelementare(Fig. 4):

x[k]

71HoJ )~ ...

Fig. 4.ReprezentareaIn caseada

Avantajeleaeesteiforme de reprezentarea filtrelor numencerecurSive:

1) eu ajutorul seetiunilorelementarede ordin 1 ~i 2 se potimplementaatatpoIi ~izerourisimpli,cat~icomplec~i,folosindpolinoamecueoeficientireali;

2) uneori se utilizeaza0 separarea sectiunilorce continpoli ~izerourireale(deordin 1),de sectiunilece continpoli ~izerouricomplexe(ordin2):

64

Filtre numerice

H(z)~ao[fiHJZ)][ fiH,,(Z)] (14)Primapartea functieide transfercontinepoli si zerourireali iar a

douapartecontinepoli ~izerouricompleqi.DezavantajestructuriiIn cascada:1) conteazamodulIn carese face grupareapolilor ~izerourilor,

formadereprezentarenefiindunica; .2) esteimportantaordineaIn caresefacelegareaIn cascada,atunci

dindsedore~teimplementareaunuifiltrustabil.

e) Structura paraleHiPentru implementareaacesteistructurise descompunefunctiade

transferIntr-osumadefunctiidetransferelementaredeordinul1,respectiv2:

uncle:

M

H(z)=C+ LHi(z),i=1

(15)

~

-IHi (z)= ail ~Ianz -2' pentrusectiunideordinul2

1+bilz +bnz

Hi(z) = ail -1'pentrusectiunideordinull1+bilz

c

x[k]

(16)

(17)

y[k]

Fig. 5.StructuraparaleHi

6S


5.2.3. Structuripentrufiltrelenerecursive.

a) Formatransversal!Pentrusistemelenerecursive,formadirectase determinape baza

relatiei:

pel

x[k]

N

y[k] =Ih; .x[k-i];=0

y[k]

(18)pel

Fig. 6.Formadirectapentrufiltrenerecursive(formatransversala)

Structuraseamanacu un registrude intarziereponderat~ise mainume~tesi reprezentareain formatransversala.

b) Reprezentareain cascadiDaca se descompunefunctiade transferin produsde functii de

..---_-"-- _1 ..~__ ...l~~-...l:nl T 1_~1:_~_ ...l",""-arl1 1~_~-l \ sa" rla ,,,rl;,,,"lU

Filtre numerice

pentru0secliuneelementaradeordinul2

(21)

8)pentru0secliuneelementaradeordinull.

c) Forma LagrangeAceastaformadereprezentareestetipicapentrufiltrelenerecursive

~iarela bazarelaliade aproximare(interpolare)a funelieide transfereuajutorulpolinoamelorLagrange.

al

deul

ga

-Il-z ZN_I

9)

W)

1-I

1-Z Z N-jFig.7.FormaLagrange

ObservatieDe~istructuraeorespundeunuifiltrunerecursiv,conlinand~ipoli,

poliidinstrueturaparalelasuntanulalidezerouriledinstrueturain easeadii.

67


5.3. Proiectareafiltrelor digitale

Filtre1eFIR posedacatevaavantajeinteresantedinpunctdevedrealproiectarii~icaracteristici10rsale:

- Nu punproblemedestabilitate(suntfiltretarareactiedinspreie~irecatreintrare)

- Prin introducereauneiIntarzieridevincauzabile,ceeaceInseamnacasuntintotdeaunarealizabile

- Pot fi realizatecu fazaabsolutliniara,avantajmajorin domeniileprelucrarii semnalelorunde distorsiunilede faza sunt inacceptabile(prelucrareasemnalu1uivocal,transmisiuneadedate,prelucrareasemnaluluivideosauradio,prelucrareasemnalelormedicale).

DezavantajefatadeIIR:- Pentruobtinereauneipantedecaderea caracteristiciidefrecven!a

catmaiabrupte,1ungimeafunctieiponderea FIR estemaimarecomparativcuceaafiltruluiIIR cuacelea~iperforman!e.

- Un numarmarede coeficientiimplicamulteoperatiiaritmetice,ceeaceinseamnauntimpdecalculridicat. ~

- Aceastaimplicascaderealimiteimaximeadomeniuluidefrecventaa semnalu1uiprelucrat,dadi prelucrarilese fac In timp real.Prin urmarefiltreleFIR auperforman!ebunela frecventejoase.

Etape aleproiectariifiltrelor digitale1.Aproximareacaracteristiciifiltruluicedorimsa-lproiectamSunt calculaticoeficientiifiltrului (e determinatafunctiapondere

h[k], -oo

al

lre

na

ile:Ie

U1

Filtre numerice

Se euantizeazasemnalelede intrare ~i ie~ire ~i semnaleleintermediare.Reprezentareaaeestorsemnaleseva realizaeunumarfinit debiti.

4.EtapedeverifieareprinsimularearezultatelorIn aeeastaetapase simuleazafiltrul. Daeaperformante1eobtinute

corespundspeeifieatiilorinitiale,proieetarease ineheie.In eazeontrar,sereiaupa~ii1-3.

5.3.1. Filtre FIR enfazaliniara

Fie un filtru FIR eu funetiapondereh[k], eu un numarfinit decoeficienti,N, eufunetiadetransfer:

In aeesteeonditii,timpulde fntarzieredegrupesteconstant,definitderelatia:

taIV

e,

'e

nnanv

11t

N-l

H(z)= 2)[klz-kk=O

~iraspunsulin freeventa:

( ) N-lH ela; =H(zt=ejaJ = Ih[k].e-ikmk=O

FiltreleFIR eufazaliniaraauraspunsulin frecventadeforma:

unde

{HI (OJ) E R (functiereala)


Prin urmare,a estenumiirulde perioadede e~antionarecu caresemnalulesteintarziatin filtrul respectiv.

Prin identificarein relatiile(24)~i(25)obtinem:

N-I

IH(ejm )1cos(am+fJ) =L h[k].cos(mk),V m (27)k=O

N-I

IH(ejm)1sin(am+fJ)= Lh[klsin(mk),Vm (28)k=O

N-I

Lh[k]. sin(mk)

tg(am+fJ) = ~~~ 'V m (29)L h[k].cos(mn)k=O

Ecuatia(29)poatefi scrisageneralsubforma:

sau:

N-I N-I

:Lh[klcos(mk).sin(am+fJ) =Lh[k lsin(mk).cos(am+fJ)k=O k=O

N-I

Lh[k lsin(m(a - k)+fJ) =0,V mk=O

(30)

(

Se poatedemonstraca dacaaceastaecuatieare0 solutienebanala,atuncieaesteunica.

In functiedetipulparitatiifunctieipondere~ideparitatealui N, caredetermina~itipul filtruluiFIR cu fazaliniara,solutiaecuatieiesteconformurmatoarelor:

Tipul I: }.! lmpar,(N =2M +1,h[k]=h[N-1- kD

/'

h[k] are simetrie n::tri"ir---

(33)

(32)

(31)

Filtre numerice

M

Hj (0)::::2.2)[M +klsinkOk=l

N-la=--EN2

~~fJ=OM

HI (0)=h[M] +2 Ih[M +k]eoskOk=l

Observatie

IntrueatHI (7r)=0 rezultaeaunfiltruFIR detipII nupoatefi FTS.

Tipul II: N par,h[k] aresimetriepara(N =2M, h[k]=h[N -1- kD

Observatie

DeoareeeHI (0)=HI (7r)::::0, rezultlleaaeesttip defiltrunupoatefi

utilizatpentruimplementareaunuiFTJ sauaunuiFTS.

Tipul III: N impar, h[k] are simetrie impara

(N ::::2M +1,h[k]::::-h[N -1- kD

71


Tipul IV: N par,(N =2M,h[k]=-h[N -l-kD

h[k] are simetrie impara

1 N-1a=M--=--~N

2 27r

~

Filtre numerice

Ira

I Tabeli. Relaii intrecoeficientiifiltreIor,in cazulfiltrelordetipI, IICoeficienti

Ti ul ITi ul II,h[O] g[O]g[O]

2h[l]Ig[l] Ig[O]+g[l]

II I I

2

4) h[k]g[k] g[k]+g[k-l]2h[N -2] I

g[N -2]Ig[N-2]+g[N-3]2h[N-ln

g[N -1],-

g[N -2]2

lte

~u

5)

I

Tabel2.Reiatiiintrecoeficientiifiltrelordetip III ~iIVCoeficienti Tipul III Tipul IV

h~] g~] g~]2 2

h[l] I g[l] g[l]-g[O]2 2

h[k] I g[k]-g[k-2] g[k]-g[k-I]2 2

h[N-2] I (_g[~-4]) g[N-2];g[N-3]

h[N-l] I g[N-3] _g[N-2]2 2

PozitiazerourilorfunctieidetransferpentrufiltreleFIR ell fazaliniara

Caracterulsimetric(sauantisimetric)al functieipondereh[k] facecazerouriIefunctieide transferH(z) saaibapozitii particuiarefatade cerculunitatein planulz.

Pentrua stabili pozitiazerourilorconsideramformula functieidetransfer:

r 73


N-l

H(z) =Lh[k].z-n =h[O]+h[l].z-1 +...h[I].z-(N-2)h[O].z-(N-l) (36)n=O

tinand cont de faptul ca functia pondereh[k] poate fi simetricasauantisimetrica.

Dacasubstituimz ~ Z-I , rezulta:

zel

(37) pal

Prin urmarezerourilefunclieidetransferH(z) ~ialefunctieiH(z -I)sootidentice.Pe bazaacesteiobservaliideducemcadacaZi =1jei~i esteun

zerocomplexal funclieidetransfer,atunci~iinversulacestuiaesteunzeroal funclieidetransfer.Tinandcontcafuncliadetransferesteunpolinomcucoeficienlireali,deducemIn pluscavalorilecomplexconjugatealeacestorasunt zerouri ale functiei de transfer.Prin urmare,In cazul zerourilor

complexe,Zi =ljeiB; , putemscrieca ~iurmatoarelenumerecomplexesunt

zerouri ale functiei de transfercorespunzatoareunui filtru FIR cu fazaliniara:

Zi =rei8,I

Inti

I 10Zi =-e1'rI

" -BZi =rie 1,

'" 1 'Zi =_'e-10,

ri

~'''''.',"'''''N~~-'-''~IJ" .='f'-_.....__._--.~.....

"p..t, '.!...........,.j"", ... :;r-

j: : : ://: :, .

~ I ~.~+ : :....~.. ~1

tIS 1 1'"

a j , 'Sl) !: . ;.,' : :~ Of' .. .. .. ;: .. '. ~.. , :..E I' ." 1'''.- , ....- .,: ~ : ''0': ; :

~ tl: : :~,: : JJ: I':::5 .,' ~.~" .. - ....... " ." ..... " ...... ~ .p.. ,,- ; : : : " ; :

~ ~.II' : : : : ",r i :

~ # , - ., - # '"

2 r"" ! , , ~..", ,.L-..l..-_._-.L-_._..l..- .,1 .2 -j () 1 2 (l

ParterealaFig. 8.ZerourilefiltruluiFIR cufazaliniara

74

(38)

regat

tim

porcarltreacan

pan

Filtre numerice

Prin urmare,0 celuHielementarade filtru FIR areeel putinpatruzerouricuunnatoareastructurapolinomialadegradul4 in Z -1:

H( jm) (1 -I ) (1 -I ') (1 -I ,,) (1 -I m)e = - Z . Zj' - Z Zj' - Z Z . - Z Z (39)

In functie de pozitia zeroului Zj distingemunnatoarelecazun

particulare:

r =11

In acestcaz 0 celulaelementaraaredoardouazerouridistincte~iavem:

(40)

1j =1 ~iOJ ={0,1Z"}In acestcaz0 celulaelementaraaredoarun zeroreal,introducand0

Intfuzieredejumatatedinperioadadee~antionare(a este~).

5.3.2. Proiectareafiltrelor FIR

PentruproiectareafiltrelorFIR sepotfolosiunnatoarelemetode:- MetodaseriilorFourier(metodaferestrelor)- Metodae~antionariiin frecventa- Me:todeoptimalePrimeledouametodesuntmetoderapide de sintezace nu due de

regulalavariantaceamaibuna,considerandobtinereaunorparametriifinaliai filtrului.Metodele optimalepermitoptimizareaunor parametrii,dartimpulde calcul e mai mare.In operatiilede sintezaa filtrelor FIR sepome~te,ca in cazul filtrelor in general,de la caracteristiciledorite,caracteristiciimpusein timp (formafunctieipondere,raspunsulla functiatreaptaunitate, etc.) sau in frecventa(caractetisticade amplitudine,caracteristicadefaza,etc).

Caracteristicaamplitudine- frecventaestedefinitaprinurmatoriiparametrii:

5p - ondulatiein bandadetrecere

75


5s - ondulatiein bandadeoprire

!i.OJ =OJ2 - OJ] - Hirgimeabenziidetranzitie

Rc =OJ2 - OJ] _ pantadecadereacaracteristicii2 !i.OJ

1+1,

1-0"

0,

-0,

~Ban da tranzitie~

Fig. 9.Caracteristicadefrecventaafiltruluitrecejos

Proiectareafiltrului numeric este echivalenHicu a determina

coeficientiih[k] caresaaproximezeparametriiimpu~i.

Observatie,Pentrua avea0 realizarepracticaeficienta(d.p.d.v.hardwareacesta

esteechivalentcu 0 structurasimplaafiltruluiiard.p.d.v.softwareeficientapresupuneun volumde ca1culeredus)trebuiedeterminatfiltrul ce areeelmaimicordinn pentrucaresuntsatisfacuteconditiileimpuseacestuia.

a) Metoda seriilor Fourier (metodaferestrelor)de proiectareafiltrelor FIR

Pomind de la caracteristicade frecventaimpusa,H(eJ{jJ) - functie

periodicacu perioada2rc - se poatedeterminafunctia pondereh[k],

reprezentandcoeficientii filtrului pe care dorim sa-l proiectam,avandcaracteristicadefrecventaH(eJ{jJ ):

co

H(eJOJ)= Ih[k].e-JOJk (41)k~-oo

76

Filtre numerice

Relatia (42) este inutilizabiHipentrusintezaFIR l'ntrucatfunetiapondereare lungimeainfinita, filtrul obtinutnesatisfaeandeonditiaderealizabilitatefizica.

o modalitatede a obtineun fiItru fizic realizabil 0 reprezinUitrunchiereaseriei Fourier infinite -(41), deci impunand conditia

h[kJ =0pentruIkl >(N-1)/2 ~ih[k J =h[k ]pentruIkl ~ (N-1)/2 .In acesteconditii,filtrul ce aproximeazaearacteristicade freeventa

impusaareraspunsull'nfreeventa:

(N-I)/2

fI(eJaJ)= Ih[k].e-JaJkk~-(N-I)/2

(43)

ma

Pentrua transformaaeestfiltru l'ntr-unfiltru eauzal,se deplaseazafunctiaponderela dreaptaeu (N-1)/2 pozitii, eehivalenteu l'nmultirealui

N-I

k(z) eu Z-2 .Prin urmarefunetiadetransfera filtrului cauzal,fizie realizabil,ee

aproximeazaearaeteristieadefreeventaimpusaeste:

Trunehiereaseriei Fourier infinite esteeehivalentaeu l'nmultireasenelFourier infmite eu 0 seeventatemporalade duratafinita, numitafereastra.La trunehiereasimpla,fereastrasenume~tedreptunghiulara~iareexpreSIa:

sta

ntaeel

e a

:tie

c],

lnd

N-I

ii(z) =Z--2 .fI(z)

wR[k] ={1,ptlk! ~ N 2-10,inrest

(44)

(45)

H)

q,2)

TransformataFourier in timp diseret a seeventei fereastrarectangularaeste:

77


trafiItinde

rec

372

2

val

lotree

())

0.8

0.6OA

II

0.2~

Fi/tre numerice

tranzitienu scadesub un anumitprag indiferentde valoareaordinuluifiltrului,N, darcrescandN cre~tesereducebandadetranzitie.Trebuieavutinvedereinsafaptulca0 cre~tereexagerataa lui N nu estebunadinpunctdevederehardwaresi software.

Analiza efectului trunchierii in cazul utilizarii ferestrei

rectangulareFactorul de ondulalieestedefinit ca raportulintre amplitudinea

lobuluiprincipal~iamplitudineaprimuluilob secundar~iin cazulferestreirectangulareareexpresia:

(46)

Amplitudinea primului lob secundar, la .frecventa digitala

3Jr = NB2 va fi:2 2

(47)

Tinand cont ca Ao =N , rezulta pentru factorul de ondulatievaloarea:

["~.1

La limitavaloareaacestuiaeste:

Rro = limNisin 31l'1=31l' =4.71N~ro 2N 2 .

(48)

(49)

SeobservacaoricMamcre~teordinulfiltruluiN atenuareanu scadesub0anumitavaloare,consecintafiindfaptu!cafrecventeledetreceredevinbenzidetrecere~ipepalieraparoscilatii,acesteefectefiind cunoscutesubnumeledeefectulGibbs.

79

PRELUCRAREA DIGIT ALA. A SEMNALELOR

Dadi analizamcantitativefectullimitariicoeficientilorfiltruluilaunnumarfinit, consideramfaptulca dinpunctdevederematematiclimitarea I (ftesteechivalentacumultiplicareafunc!ieiponderecusecven!afereastra:

(50)

In domeniul frecventamultiplicarease traduceprin convolutiafunctieide transfera filtrului ideal ~iraspunsulin freeven!aal ferestreirectangulare:

(51)

sau:

(52)

Ferestreidreptunghiulareii corespundeun raspunsin frecven!ala

carelatimealobuluiprincipaleste~ ~ifactorulde ondulatielimitatdevaloarea4.71.

o fereastraesteatractivadin punetdevedereal proieetariifiltrelorFIR prin metodaferestrelordadi largimealobului principalestemica ~iatenuarilelobilorsecundari,comparativcucelprincipal,suntmuItmaimari,ducandla un factor de ondulatieridicat.Largimealobului principalal

raspunsuluiin frecventaal functieifereastra,WR(ejilJ ) determinalargimeabenzii de tranzitie, iar amplitudinealobilor laterali determinaaparitiaoscila!iilorin benziledetrecere/oprire.

Observatie

1) Intrucatraslmnsulin frecventase obtineprin convolutie,el nuestein nici un sensoptimal,chiardad'iraspunsulfunctieifereastrasatisfaceuncriteriudeoptimalitate.

2) Pentru0 obtinecaracteristicimaibuneale ferestrei,s-aupropusferestreleBartlett,Hamming,Hanning,Blackman,Kaizer,etc.

80

Filtre numerice

Fereastra Hamming generalizata~i variante ale acesteia(fereastraHannsauHanning,fereastraHamming)

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

o:i

0.'

a)

I)., I,3f

II,

2r "0-4

b)

Fig.11.FereastraHamminggeneralizatii,avand11coeficien!i,a=0.5 ~if3 =0.3: a)caracteristicain timp~ib)in frecventa.eu liniepunctataeste

reprezentatiiTFTD pentrufereastrarectangularaavandacelea~icaracteristici.

Aceastafereastrase ob!ineprin adaugareauneiperioadea func!ieicospestevalorile unei ferestrerectangulare.Matematic,estedefinitadeformula:

_ rrY ...R (2nkIwH[kj= t~,r cosN)'pentru1kl~(N -1)/2. 0,in rest

Pentrua= fJ =0.5 seob!ineexpresiaferestreiHann:

81

(53)

PRELUCRAREA DIGITAL A A SEMNALELOR

[ ]_ {0.5+0.5.COS( 21rk)=cos2(TCk), pentruIkl :S;(N -1)/2

wHann k - N N (54)

0,in rest

iarpentrua =0.54seobtineformulaferestreiHamming:

[] {0.54+0.46cos(21rk),pentruIkl:s; (N -1)/2

wH k = N (55)

0,inrest

TransformataFourierin timpdiscretarein cazulferestreiHamminggeneralizateurmatoareaexpresie:

ObservatieLargimealobului principalestedublain cazul ferestreiHamming

generalizate,comparativcu fereastrarectangulara,dueandla 0 bandalarga I Fide tranzitie,insa amplitudinealobilor secundariestemult redusa,acestafiindunavantajmajor.

FereastraBartlettEstedescrisadeurmatoareaformula:

W [k] {l- Ikl I I N -1Bartlett = (N_1)/2,pentru k

5 -4 3 2 1

i4)

is)

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

1

Filtre numerice

ng

i6)

a)

4.5.

/)I

I II

I3.5. II

2.51

I

2

1.510.50

43

ng I b)ga Fig.12.FereastraBartlettavand11coeficienti:a)caracteristicaintimp~ib),ta infrecventa.euliniepunctataestereprezentataTFTDpentrufereastrarectangularaavandacelea~icaracteristici.

FereastraBlackmanEstedescrisadeformula:

[k]={OA2+0.5cos(21lk) +0.08cos(21l.2k), pentruIkls(N -1)/2WBlackman N N

0,inrest .(58)

83


0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

a

pl

0.2

0.1

~5

a)4.5

3.5

2.5

1.5

0.5

o-4

b)Fig. 13.FereastraBlackmannavand11coeficienti:a)caracteristicain timp~ib) in frecventiLeu liniepunctataestereprezentataTFTD pentrufereastra

rectangularaavandacelea~icaracteristici.

FereastraKaizerPermite0 mai bunaproiectarea ferestrei,datoriti'iparametruluide

controlp. Are expresia:

unde10(x) estefunctiaBesseldespetaintii ~iordinulzero,deparametrux;

fJ este un parametruindependentce controleazaamplitudinealobilor

84.

c,

al

n

d(

fifrh

Filtre numerice

(61)

(60)

ATT


h[k] =h[klw[k]; 4) Sedeterminafunctiaponderea filtru1uifizic realizabilce aproximeazacaracteristicade frecven!a impusa la pasul 1,

h[k] =h[ k - N2-1] , k =0,N -1, ca fiind secven!ah[k] determinatalapasu13, dep1asatala dreaptacu (N -1)/2 e~antioane;5) Sedetermina~ise

reprezintacaracteristicade frecven!aa filtru1uiceaproximeazafiltrul dorit,

h[k].

2) Aceastametodadeproiectareeste0 metodau~orimplementabi18o,carenu ofenl Insa optimizareaunorparametriice caracterizeaz80filtru1cedorims8o-1implement8om.

a)12

10

I0'-4

b)Fig. 14.FereastraKaiseravand11coeficien!i,pentrufJ E {2,4,6,8,1O}:a)

caracteristicain timp~ib)'infrecven!a.eu liniepunctataestereprezentataTFTD pentrufereastrarectangularaavandacelea~icaracteristici

(echivalentacufereastraKaiserpentrufJ =0).

86

Filtre numerice

Exemplificarela metodaferestrelor:proiectareaunui FTJISa se proieetezeprin metodaferestrelorun FTJI avandfrecventa

earaeteristieaOJ/, utilizandfereastrareetangularaeu N =11e~antioane.Pas1: CaraeteristieadefreeventapentruFTJI estedefinitaderelatia:

(63)

undeOJ/ estefreeventade taiere(saufreeventaearaeteristiea)a filtruluiFIJI.

Pas2: Sedeterminaeoefieientiifunctieipondereh[k] euTFDI:

h[k] =_1 [H(eirJJ). ejkOJ dOJ=_1 f'ejkOJ dOJ=27r :r 27r OJ,1 1 ( jkm - jkm) 1. k OJ/. k k Z=-- e '-e '=-smOJ =-sme OJ E

27r Jg 1ik t 7r / ,

(64)

2 2

a) .02 ~........:; ~-,,_ .. :;._---_.~ _.~-----_._; _ ..; .. 4 b)Fig.15.Filtrul treeejos ideal,FTJI - a),~iaproximarealui (earaeteristieade

freeventa),determinataprinmetodaferestrelor- b)

Pas3: Se trunehiazarezultatulpanala M,5in cazulconcretdeproieetareeonsiderat(sepastreazaN =2M +1 eoefieienti).

Pas4: Pentrua obtineunfiltrueauzalsedeplaseazah[k] la dreaptaellM =5 e~antioane:

h'[k]= (l )sin[(k-M)OJt]= (1 )sin[(k-5)OJJk=O,10 (65)7rk-M 7rk-5

87


Pas 5: Secalculeazafunc!iaraspunsin frecven!apentrufiltrulavfu1d

coeficien!iih[k] ~isetrecela implementareafiltrului(Fig. 15. b).

~~

Ie

Ta)

II

III~--

IIIII

2o-2

IIII

I- -oj ~.

I

2

o

-12o

8[k] -

-2

2

IIII

O~-~----~---~--I I II II II I

-12

IIIII1- -I

o

IIIII

- -I--IIIII

-2

o

2

-1

Exemplificare la metoda ferestrelor: proiectareaoricaruifiltru ideal pe baza proiectariiunui FTJI cu metodaferestrelor.Cazuriparticulare:FTS, FTB, FOB.

hFTS,())/[k] =

2

o

IIIII

I W--:--

I II I I

~- : - ~I II I

II

I

2

o

IIII

I I I1----1----1I I II I II I II I I

2

o

II

-~-n-~--I II II II I--i--I

S

hFoBn n[k] =, l' 2 hFTBn Q [k] =, l' 2

-1

2

-2 o 2-1

2

-2 o

o[k] -

2-1

2

-2 o 2b)

f

a

c

2

II

-,

o

II

- - r- - -III

II

II

I-I -

-22o-2

I

: I :j'

: ---~---~-- l; . i I -1IJ2o

IIIII

- -1- -II

-2J

c)Fig. 16.Filtrul trecesusideal,FTSI- a),Filtrultrecebandaideal,FTBI - b),

~iFiltrul opre~tebandaideal,FOBI - c)

88

Fiitre numerice

Timlndcontdemoduldedeterminarea caracteristicilordefrecventapentruFTSI, FTBI, FOBI, reprezentatein Figura de mai sus, avemurmatoarelerelatii:

hFTS [k] =g[k]-~sinckOJ!,k E ZJr

hFTAk] = OJ! sinekW2 - OJ! sinekOJp k E Z (66)Jr Jr

hfTB [k] ~ J[k] - ( :: sinekaJ, - :: sinekaJ, ), kE Z

b) Metodae~antionariiin frecvenlaEste0 metodafoartesimpladeproiectarea filtrelorFIR. Ponindde

la earacteristicade frecventadorita,see~antioneazaaceasta,obtinandu-seTFDafiltruluidorit,dincareapoi,euTFDI sededuccoeficientiifiltrului:

Fie H(z) functiadetransferafiltruluipecaredorimsa11proiectam.SeconsideraN puncteechidistantepecerculunitar:

(67)

Atuncicoeficientiifiltruluiceaproximeazafiltruldoritsunt:

(68)

~',..-l

~ Observatie,Metodae~antionariiin frecventadeproiectarea filtrelorFIR esteun

caz particularal proiectariioptimale,caracteristicade frecventafiind

aproximataperfectla frecventeleOJn =~ n.

c) MetodedeproiectareoptimalaDefinindu-seeroareaponderatadeaproximarea caracteristiciiunui

filtrucadiferentaponderataintrecaracteristicadefrecventaa filtruluidorit,

89

PRELUCRAREA DIGITAL,'\. A SEMNALELOR

H(ej{JJ ), ~icaracteristicadefrecventaa filtruluiceaproximeazafiltruldorit,

ii(ej{JJ ), metodeledeproieetareoptimala I~ipropunsaminimizezeanumiteeroareamedie,definiteIn diferitenorme:

Minimizareaeroriipatraticemedii(normaL2) - minimizareaIn sensLMS

if

IE

(69)u

MinimizareaeroriimediiIn normaLp

(70) u

Minimizareamaximuluiamplitudiniierorii - minimizareIn sensCebI~ev(normaLex)

(71)

W(co),W >0 , reprezintafunctia de ponderarea erorii, iar B I Creprezintadomeniuldeinterespecaresefaceoptimizarea.

ProiectareaoptimaHiin sensLMS (normaL2)ConsidenlndeafiltrulFIR careaproximeazafiltrul doritesteunFIR

eufazaliniara,detip 1,deordinulN =2M +1, eroareamedieareexpresia: I c

E, =iW(m){t,d[k] cos(mk)-H(m))1'dO!undeeoeficientiifiltruluideaproximaresuntidentifieatiprin:

90

(73)

(74)

Fiitre numerice

00tIiiP'::"~t

.~ ObservatieS-a consideratca functiade transfereste0 functiereala.Se poate

includein (73) 0 functie de transfercomplexa,caz in care modululreprezintamodululunuinumarcomplex.

Minimizareaerorii patraticemedii esteechivalentacu rezolvareaurmatoareiproblemedeoptimizarepatratica:

uncle:

Q = rW2 (co).c(co).cT (co). dco,p =rW(co). H(ejaJ ). c(co).dco,J1 =rW2 (co).H2 (co).dco

(75)

eu:

cosMco] (76)

Solutia acesteiprobleme,cafe ne ofera coeficientii filtrului deaproximare,estedataderelatia:

~1I@t;I)"

.,~~)1iiJ;; Observatie

Problemadeproiectareoptimalapoatefi generalizata,in sensulcasepotimpuneconstnlngeriasuprariplului in benzilede trecere,respectivdeopnre:

(77)

(78)

91

IH(coP,i )-11


In aeesteeonditiiproblemadeoptimizarepatratieava fi 0 problemademinimizarecuconstrangeri,descrisade:

min{dT Q .d - 2.dT P +Jl },eud

Hp d~bp si

Hsd:S;bs

(79)

Proiectareaoptimalain sensCebi~ev(normaLoo)ConsiderandcafiltrulFIR careaproximeazafiltrul doritesteunFIR

cu fazaliniara,detip 1,deordinulN =2M +I,eroareaceva fi minimizataareexpreSla:

(80)

undecoeficientiifiltruluideaproximaresuntidentificatiprinrelatia(74).

Teorema

Deoarecefiltrul deaproximarereprezintaunpolinomdegradulM incos{o,el va aveaeelmultM -1 punctedeextrem(maximesauminime,corespunzatoarepunctelordeextremaleriplului).Problemaaresolutiedaca~inumaidacaexistaeelputinM +2 puneteastfelincat:

unde

{Oo

Filtre numerice

2) Considerand relatiile (81) se determina coenficientii

d[klk =O,M rezolvandceleM +2 ecuatiideterminatede(81).

3) Se determinawi, i =0,M +1, punctelecare au cele mai marieron.

4) Serepetapa~ii2-4panacandIE(aJ~~=8=ct,i =O,M +1.~~

>Wf}

.; Observa!ieAlgoritmulare0 convergentarapida.

5.3.3. Proiectareafiltrelor IIR

PentruproiectareafiltrelorIIR sepot folosiurmatoarelemetodedetransformarea filtreloranalogice:

- Metodainvarianteiraspunsuluila impuls- Metodatransformariibiliniare

- Metodatransformateiadaptate- MetodatransformarilordefrecventapentruIIR- MetodadesintezadirectainplanulZ afiltrelorIIR

Observa!ieExceptandultima metoda,celelaltemetodereprezintametodede

transformarea filtrelor analogice,necesitand0 analizaa moduluiin carepolii, zerourile~i stabilitateafiltrului analogicsunt conservate.In plus,acestemetodenecesita~i0 analizaamoduluiin careaxafrecventelorrealeesteconservata.

o transformareidealaindepline~teproprietati:- Transformaun filtru analogicstabil~icauzalintr-unfiltru digital

stabil~icauzal.Prin urmare,semiplanulstangalplanuluis estetransformatininteriorulcerculuiunitatein planulz.

- Conservacaracteristicadeamplitudine~idefaza.Prin urmare,axaimaginaraaplanuluis estetransformatain conturulcerculuiunitarin planulz.

a) Metoda invarianteiraspunsuluila impulsSe bazeazape conservareafunctieiponderea sistemuluianalogic

utilizatin obtinereafiltruluinumericdorit.

93


Etape:1)Sedeterminafunctiapondereafiltruluianalogicha (t)

2) Se discretizeazaaceastafunctiepondere,prin e~antionarela

multipliiaiperioadeidee~antionare:h[k] =ha (tl=kTo

3) Se calculeazafunctia de transfera filtrului numericrezultatH(z) =Z{h[k]}.

4) Sedeterminapolii functieidetransfer~iseanalizeazastabilitateasistemului.

5) Pe bazafunctieidetransfersescrieecuatiacu diferentefinitecedescriecomportamentulfiltruluinumericproiectat(EDF).

Pentrua determinafunctiapondere,avanddatafunctiadetransferafiltruluianalogic,H(s), sedescompuneaceastaIn fractiisimple,avandpolirealisaupoli compleqi:

cc

ar

In

unde

C

__ I, pentrupoli realiS-Pi

di s+r

( sau 1 S +ri Y +di2 (s+r; Y +d/ 'pentrupollcomplecsi

(83)

(84)

In

l

Fiecare termendin dezvoltl'lreaIn fractii simple este discretizatrezultand:

c pJo [k1i .e .()" .p pentrupoli reali

z-Ie-r;To sin(diTo)

1-2e r,Toz 1cos(diTo)+z-2e-2r;To sau

1- z -1e-riTOcostdiTO)

1- 2e riTO'Z 1costdiTO) +z -2e-2r;70' pentrupolicomplesi

94

c

Filtre numerice

~.--.~...'..~ Observatii

1) Atunci ca.ndnu se specifidi perioadade e~antionare,ea esteconsiderata1.

2) Polii filtrului numericse determinape baza polilor filtruluianalogic.

3)Zerourilefiltruluianalogic~ialeceluinumericdiferaderegula.

Analiza in frecventaa metodeiinvarianteiraspunsuluila impuls~;f

~;, Observatii.1) Caracteristicilede frecventase conserva,segmenteale axel

imaginareaplanuluis fiindtransformatain cerculunitar.2) Semiplanulstandestetransformatin interiorulcerculuiunitar.

Maiprecis,benzialesemiplanuluistang,deIargime21r , sunttransformateTo

ininteriorulcercuIuiunitar.

I

(85

R R

---iilTom u m __ - m_

-31r/T., uuu_o u u

51r/T- - - - - - - - - -0 - - - - - - - - - - - - - - --

Fig.17.Invariantaraspunsuluila impuls- rela!iadintreplanuls ~ipla..flUlz

b) Metoda transformarii biliniareEste0 metodadeproiectarerapida,bazataca ~iprimametoda,pe

caracteristicade frecventaa filtrului analogic.Este 0 metodaeficienta

95

PRELUCRAREA DIGITALA.. A SEMNALELOR

datoritafaptuluiea se implementeazasimplu~iareperformantebuneindomeniulfrecventelorjoase.

Metodaarelabazatransformarea:cer

stal

saumaigeneral

unde:

l+sZ=--l-s

1+~z =---K.

1-~K

(86)

(87)

(88)

eer

COl

Analiza in frecventa a metodei invariantei transformarii, ,biliniare

Fie s =a +jn, z =p. ejOJ Rezulta:

~1

2

r,-+a+jD.z = 0

2

r,--a-D.o

(89)

Izi =p= (90)

Observatii,1)Relatiaarataeaaxaimaginara(a =0) setransformain planulz in

eonturuleereuluiunitar(p =1).

96

1

Filtre numerice

2) Semiplanulstangal planuluis (a 1).

Pentru a analiza conservareacaracteristicilorde frecventa,seconsiderarelatia:

s =~ z-1T . -1'z =ej(J}o z+

RezuIta:

(91)

2 1-e-j(J}s=----To l+e-j(J}

Prin urmare:

. 0)

2 sm-=_'J' 2 2 0)T --0) =- .j .tan- =j0.

o cos- To 22

(92)

2 0) 0) 0. To0.=-tg- sau- =arctg--

To 2'2 2

! j I 1

3~ : ~ : ~ _ I : :I I t r I I

21-- , '- ~ __ I 1.. 1 .!. , _1 I I t I I 11 I I I I

1l-- __ --' L I 1 .1 .1 1 _I I I I I II t I I I 1

3 or- - - -1- - -I- - - _1_ - - - - -1- - - + - - -1- --I I I I II I I I I 1

1f-- - - -, - - - r - - -,- - - - - -1- - - T - - -1- - -I I I I I I I

.2f-----:---~---:-- ~-- -,-+---:---I t 1 ~ I I I

.031-- __ 1 t .!. 1 ! 1 _I J I I 1 I II I t I If'

(93)

Fig.18.Metodatransformariibiliniare- relatiaintrefrecventaanalogica~ifrecventadigitala

97


Observatii1) La freeventejoaserelatiaintrefreeventaanalogidi~ifreeventa

digitalaesteliniara.2) La freeventeinalte, transformareabiliniara distorsioneaza

freeventele.3)Metodanuasigura0 conservareatimpuluideintarzieredegrup.

Etape:1) Se specifica frecventeleearacteristiceale filtrului digital ~i

caracteristieiledeamplitudinedorite.2) Pe bazarelatieidintrefrecventaanalogica~ifrecventadigitala,se

determinafrecventeleanalogicespecificefiltrului analogicprototip(serealizeaza0predistorsionareafrecventeloranalogiee).

3) Se proiecteazafiltrul analogieeu freeventeleearacteristicedeterminatelapasul2,obtinandfunctiadetransferHa (s).

4) Filtrului numericdeterminatla pasul3 i se aplicatransformareabiliniara:

(94)-1

2 1-zs=-"--:}

TO l+z

c) MetodatransformateiadaptateReprezinta0 generalizarea metodei invarianteiraspunsuluila

impuls, conservandnu doar polii, ci ~i zerourilefunctieide transferafiltruluianalogiefolositdreptprototip.

Aceastaconservareesterealizatadeurmatoarelesubstitutii:

S +Pk ~ 1-Z-l e-PkToS +Zk ~ 1-Z-l . e-zkTo

pentrupoli, respeetivzerourireale~i:

(95)

98

Filtre numerice

pentrupoli, respectivzerouricomplexe.

Observatii1) Estenecesara sedescompunenumaratorul~inumitorulfunctiei

de transferH a (s) ca produs de polinoamede ordinul 1 sau 2, daca

radacinilesuntcomplexe,pentruaidentificapolii ~irespeetivzerourile.2) Daeafiltreleprototipprezintanumaipoli, se introduezerouride

compensarela z =-1 .

Exemplu pentru proieetareaprin metodele invarianteiraspunsuluila impuls,transformariibiliniare~iatransformateiZ adaptate

Se eonsidera filtrul analogie eu funetia de

Prelucrarea Digitala a Semnalelor

Documents

Transcript of Prelucrarea Digitala a Semnalelor