ANALIZA FOURIER A SEMNALELOR PERIODICE. STUDIUL … · Fourier rapidă (FFT - Fast Fourier...

ANALIZA FOURIER A SEMNALELOR PERIODICE. STUDIUL UNOR SEMNALE REPREZENTATIVE

Există două reprezentări posibile ale unui semnal: în domeniul timp (forma de undă) şi în domeniul frecvenţă (spectrul de amplitudine şi spectrul de fază). Oricare din aceste două reprezentări caracterizează în mod univoc semnalul, adică unei reprezentări în domeniul timp îi corespunde o singură reprezentare în domeniul frecvenţă şi viceversa, unei reprezentări în domeniul frecvenţă îi corespunde o singură reprezentare în domeniul timp.

Teoretic, trecerea unui semnal din domeniul timp în domeniul frecvenţă se poate realiza prin intermediul transformatei Fourier directe:

dtetxjX tj , (3.1)

în timp ce trecerea inversă, din domeniul frecvenţă în domeniul timp, se poate realiza prin intermediul transformatei Fourier inverse:

dejXtx tj

2

1. (3.2)

În cazul semnalelor periodice, legătura dintre cele două domenii se realizează cu ajutorul seriilor Fourier [1-3].

Totuşi, în practică, efectuarea măsurărilor de fază nu este întotdeauna posibilă şi deci nu se poate realiza trecerea din domeniul frecvenţă în domeniul timp. De exemplu, un semnal dreptunghiular trecut în domeniul frecvenţă şi invers, în domeniul timp, poate degenera într-un semnal rampă dacă faza componentelor spectrale nu a fost păstrată.

3.1. Dezvoltarea în serie Fourier a semnalelor periodice

Un semnal periodic x(t), de perioadă T, poate fi dezvoltat în serie Fourier dacă satisface condiţiile lui Dirichlet, şi anume [1, 4]:

este absolut integrabil pe intervalul T, adică dttxT

;

are, într-o perioadă T, un număr finit de puncte de discontinuitate de speţa I;

Compatibilitate Electromagnetică. Aplicaţii

28

are, într-o perioadă T, un număr finit de puncte de maxim şi de minim. Dezvoltarea lui x(t) în serie Fourier poate să ia mai multe forme

(exponenţială, trigonometrică şi armonică), însă, din punct de vedere matematic, acestea sunt echivalente. Evident, fiecare formă oferă facilităţi specifice, care ajută la rezolvarea şi interpretarea diverselor probleme.

Forma trigonometrică a dezvoltării semnalului x(t) în serie Fourier este:

1

000 sincos)(tn

nn tnbtnaax , (3.3)

unde n este număr natural, iar 2//1 00 Tf reprezintă frecvenţa de

repetiţie a semnalului, denumită şi frecvenţă fundamentală. Coeficienţii a0, an şi bn se determină cu relaţiile:

T

dtxT

a t1

0 ; (3.4)

T

n dttnxT

a 0cost2 ; (3.5)

T

n dttnxT

b 0sint2 . (3.6)

Din relaţia (3.4), se observă că a0 reprezintă chiar valoarea medie a semnalului x(t) pe o perioadă.

În cazul funcţiilor impare, caracterizate prin tt xx , coeficienţii an sunt nuli, deci termenii în cosinus dispar. Prin urmare, relaţia (3.3) devine:

1

0sin)n

n tnbx (t . (3.7)

În cazul funcţiilor pare, caracterizate prin )t(t)( xx , coeficienţii bn sunt nuli, deci dispar termenii în sinus. Aşadar, relaţia (3.3) devine:

1

00 cos)n

n tnaax (t . (3.8)

Seriile Fourier trigonometrice ale unor semnale periodice comune, împreună cu formele de undă aferente, sunt date în tabelul 3.1. Fiecare


29

formă de undă este caracterizată prin doi parametri: amplitudinea, A, şi perioada, T.

Tabelul 3.1. Seriile Fourier trigonometrice ale unor semnale periodice comune

Tip semnal Serie Fourier

x(t)

t A

0 T

semnal dreptunghiular

...)5sin5

13sin

3

1(sin

4t

12

12sin4t

000

1

0

tttA

x

n

tnAx

n

x(t)

t A

0 T

semnal triunghiular

...)5sin5

13sin

3

1(sin

8t

12

12sin1

8t

020202

20

02

tttA

x

n

tnAx

n

n

x(t)

t A

0 T

semnal rampă

...)3sin3

12sin

2

1(sin

2t

sin1

2t

000

0

1

1

tttA

x

n

tnAx

n

n

x(t)

t

A

0 T

semnal sinusoidal redresat

mono-alternanţă

...)4cos15

2

2cos3

2sin

2

11(t

14

2cos2sin

2t

0

00

12

00

t

ttAx

n

tnAt

AAx

n

x(t)

t

A

0 2T T

semnal sinusoidal redresat

dublă-alternanţă

...)4cos15

42cos

3

42(t

14

2cos42t

00

12

0

ttAx

n

tnAAx

n


30

Seria trigonometrică poate fi scrisă şi sub o formă mai compactă, denumită formă armonică, utilizând doar funcţii cosinusoidale [1]:

1

00 cos)(tn

nn tnAAx , (3.9)

unde:

22nnn baA ; (3.10)

n

nn a

barctg ; (3.11)

00 aA . (3.12)

În relaţia (3.9), A0 reprezintă componenta continuă (valoarea medie) a semnalului, iar termenii sumei reprezintă componentele armonice (armonicile), de frecvenţă egală cu un multiplu întreg al frecvenţei fundamentale f0. An, nω0 şi φn reprezintă amplitudinea, pulsaţia, respectiv faza iniţială a armonicii de rang n.

Se numeşte spectru de amplitudine al semnalului x(t) reprezentarea grafică a amplitudinilor armonicilor funcţie de frecvenţa sau pulsaţia acestora, An(nf0) sau An(nω0). Aşa cum se poate observa şi în fig. 3.1, a, spectrul de amplitudine al unui semnal periodic este un spectru discret, ce conţine:

componenta continuă, situată în origine; armonica fundamentală (fundamentala), situată la frecvenţa

fundamentală, f0; armonicile de rang superior (armonicile superioare), situate la

frecvenţe reprezentând multipli ai frecvenţei fundamentale, nf0. Evident, acest spectru nu caracterizează – în mod complet –

dezvoltarea în serie Fourier, deoarece nu oferă informaţii cu privire la fazele iniţiale ale armonicilor. De aceea, trebuie considerat şi spectrul de fază al semnalului, φn(nf0) sau φn(nω0), aşa cum se prezintă în fig. 3.1, b.

În cazul în care se cunosc ambele spectre, de amplitudine şi de fază, seria Fourier este univoc determinată [5].

Teoretic, spectrele semnalelor periodice se întind de la f = 0 Hz (pentru componenta continuă) la f = ∞. În realitate, acestea sunt limitate. Din moment ce amplitudinile armonicilor scad, în general, cu creşterea rangului, în locul seriei Fourier se va considera o sumă cu număr finit de termeni, în funcţie de aplicaţie.


31

An

nf0

f0 2f0 3f0 4f0

A1

A0

A2

A3 A4

0

φ n

nf0

f0

2f0

3f0

4f0

φ1

φ2

φ3

0φ4

(a) (b)

Fig. 3.1. Reprezentare în domeniul frecvenţă a unui semnal periodic: a) spectru de amplitudine; b) spectru de fază

Observaţii 1. Spectrul unui semnal pur sinusoidal conţine o singură linie spectrală. 2. Spectrul unui semnal neperiodic este continuu. Dacă se consideră că

semnalul neperiodic este unul periodic, de perioadă infinită, frecvenţa fundamentală devine tot mai mică, spectrul tot mai dens, iar la limită nu se mai poate discerne între două componente spectrale succesive, spectrul existând pentru orice frecvenţă f (sau pulsaţie ω) [1].

3.2. Studiul teoretic al trenului de impulsuri dreptunghiulare

Fie trenul de impulsuri dreptunghiulare din fig. 3.2, unde τ este durata (lăţimea) impulsului, iar A este amplitudinea acestuia. Se doreşte determinarea spectrului de amplitudine al semnalului.

t

τ/2

A

0 T/2 T -τ/2-T/2-T

τ

u(t)

Fig. 3.2. Reprezentare în domeniul timp a unui tren de impulsuri dreptunghiulare

Deoarece semnalul u(t) este par, coeficienţii bn din seria

trigonometrică sunt nuli, deci nn aA . Din punct de vedere al spectrului de

amplitudine, paritatea semnalului nu prezintă importanţă, o deplasare pe axa


32

timpului conducând doar la modificarea fazelor iniţiale ale armonicilor, nu şi la modificarea amplitudinilor acestora.

Evident, coeficienţii seriei Fourier armonice a semnalului u(t) se vor calcula ca:

TAAdt

TaA

2

2

00

1, (3.13)

respectiv:

sin

2cos

2 2

20

02

2

0

n

tn

T

AdttnA

TaA nn

0

0

0

0

0

0 2sin2

22sin

2sin

2

n

n

T

A

n

n

n

n

T

A

T

nT

A

Tn

Tn

TA

sinc2sin

2 , ,1n . (3.14)

Conform expresiei de mai sus, amplitudinile armonicilor semnalului u(t) descresc după o anvelopă (înfăşurătoare) de forma unui sinus atenuat în

modul, x

xx

sin sinc , fiind proporţionale cu amplitudinea semnalului, A,

şi factorul de umplere al acestuia, τ/T. Armonicile pentru care este

îndeplinită condiţia kT

n (T

kn , unde k = 1, 2, 3, 4, ...) vor avea

amplitudini nule. De exemplu, pentru T = 2τ şi T = 10τ, vor fi nule amplitudinile armonicilor de rang n = 2k, respectiv n = 10k.

Spectrele de amplitudine aferente celor două cazuri particulare considerate sunt prezentate în fig. 3.3, a şi b. Aceste spectre au fost generate în mediul MATLAB, pentru A = 1 V şi T = 10 μs (f = 100 kHz).


33

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f (kHz)

An

(V)

f (x105 Hz)

(a)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

f (kHz)

An

(V)

f (x105 Hz)

(b)

Fig. 3.3. Spectrul de amplitudine al unui tren de impulsuri dreptunghiulare: (a) cu factor de umplere de 50% (T = 2τ); (b) cu factor de umplere de 10% (T = 10τ)

3.3. Studiul experimental al trenului de impulsuri dreptunghiulare

Pentru a permite trecerea semnalelor din domeniul timp în domeniul frecvenţă, osciloscoapele de ultimă generaţie utilizează transformata Fourier rapidă (FFT - Fast Fourier Transform). Acesta este numele generic al unei clase de algoritmi de calcul rapid al transformatei Fourier discrete (DFT - Discrete Fourier Transform), instrument matematic pentru analiza semnalelor pe suport finit. Întrucât o detaliere a acestor concepte depăşeşte


34

scopul lucrării, în cele ce urmează ne vom limita doar la câteva aspecte legate de utilizarea funcţiei FFT a unui osciloscop tipic.

3.3.1. Funcţia FFT a osciloscopului digital TDS 2002B

În modul de funcţionare FFT, osciloscopul TDS 2002B (Tektronix) afişează spectrul de amplitudine al semnalului de intrare, aşa cum se prezintă în fig. 3.4, pe axa orizontală fiind reprezentată frecvenţa armonicilor, iar pe axa verticală valoarea efectivă a acestora (amplitudinea

împărţită prin 2 ). Scara de amplitudine este logaritmică, în dBV (0 dBV = 1 Vrms), iar scara de frecvenţă este liniară, în Hz. Cele două scări, orizontală şi verticală, pot fi ajustate prin intermediul aceloraşi reglaje ca şi în domeniul timp (SEC/DIV, respectiv VOLTS/DIV), iar măsurările de frecvenţă şi amplitudine se vor realiza cu ajutorul cursoarelor.

1

2

3

4 5 6 7

Fig. 3.4. Ecranul osciloscopului TDS 2002B în modul FFT: 1) fundamentala semnalului; 2) o armonică de rang superior; 3) frecvenţa centrală, corespunzătoare liniei centrale a

reţelei reticulare; 4) deviaţia verticală (dB/div); 5) deviaţia orizontală (Hz/div); 6) frecvenţa de eşantionare (Sa/s); 7) tipul de fereastră selectat

Conform teoremei lui Shannon, frecvenţa de eşantionare a

osciloscopului, fe, trebuie să fie cel puţin de două ori mai mare decât frecvenţa maximă din spectrul semnalului măsurat, fmax. Din acest motiv,


35

spectrul FFT afişat va fi cuprins între 0 Hz (stânga ecranului) şi fe/2 (dreapta ecranului). În mod normal, spectrul FFT calculat este format din 1024 de puncte, însă, pentru afişare, numărul acestora este comprimat la 250.

Pentru o vizualizare mai bună a componentelor spectrale, la nivelul tuturor celor 1024 de puncte, se poate utiliza funcţia Zoom (de detaliere a imaginii pe orizontală). Factorii de mărire disponibili sunt 1 (implicit), 2, 5 şi 10, detalierea spectrului producându-se în raport cu linia centrală a reţelei reticulare. Rotirea în sens orar a reglajului HORIZONTAL POSITION va deplasa spectrul spre dreapta, în timp ce apăsarea butonului SET TO ZERO va conduce la poziţionarea spectrului simetric faţă de linia centrală a reţelei reticulare.

În cazul în care semnalul analizat conţine componente spectrale cu frecvenţe mai mari decât fe/2, va apărea fenomenul alias, al cărui efect constă în afişarea pe ecran, deci în intervalul 0 ... fe/2, a unor componente spectrale ale căror frecvenţe sunt, în realitate, mai mari decât fe/2. Pentru eliminarea acestora, se pot încerca următoarele măsuri [6]:

creşterea frecvenţei de eşantionare, prin intermediul reglajului SEC/DIV;

limitarea benzii de frecvenţă a osciloscopului la 20 MHz; utilizarea unui filtru extern la ieşirea sursei de semnal, care să

suprime componentele cu frecvenţe mai mari decât fe/2; recunoaşterea şi ignorarea frecvenţelor alias; investigarea spectrului cu ajutorul funcţiei Zoom şi a cursoarelor.

Analiza FFT presupune şi aplicarea unui anumit tip de fereastră (funcţia Window), cu scopul de a reduce aşa-numitele „scurgeri spectrale” (spectral leakage). Fiecare tip de fereastră oferă un compromis între rezoluţia în frecvenţă şi precizia în amplitudine, selecţia ferestrei realizându-se în funcţie de caracteristicile semnalului şi natura măsurării (tabelul 3.2).

Tabelul 3.2. Tipuri de ferestre disponibile în meniul FFT al osciloscopului TDS 2002B

Tip fereastră Aplicabilitate Caracteristici

Hanning semnale periodice

rezoluţie în frecvenţă mai bună decât Flat Top

precizie în amplitudine mai slabă decât Flat Top

Flat Top semnale periodice

rezoluţie în frecvenţă mai slabă decât Hanning

precizie în amplitudine mai bună decât Hanning


36

Tip fereastră Aplicabilitate Caracteristici

Rectangulară semnale tranzitorii

pentru forme de undă care nu prezintă discontinuităţi

echivalentă cu aplicarea niciunei fereastră

3.3.2. Măsurări comparative

În conformitate cu analiza teoretică realizată la pct. 3.2, în fig. 3.5, a şi b, se prezintă formele de undă şi spectrele de amplitudine ale unui tren de impulsuri cu amplitudinea de 1 V şi perioada de 10 μs, furnizat de un generator de funcţii AFG 3021B (Tektronix), pentru factor de umplere de 50%, respectiv 10%. Ambele spectre sunt afişate în acelaşi domeniu de frecvenţă, 0 Hz ÷ 5 MHz.

Ch1, DC coupling, 5.0E-1 V/div, 2.5E-6 s/div, 2500 points, Sample mode

Math, DC coupling, 1.0E1 dB/div, 5.0E5 Hz/div, 1024 points, Sample mode

(a)

Ch1, DC coupling, 5.0E-1 V/div, 2.5E-6 s/div, 2500 points, Sample mode

Math, DC coupling, 1.0E1 dB/div, 5.0E5 Hz/div, 1024 points, Sample mode

(b)

Fig. 3.5. Forma de undă şi spectrul de amplitudine al unui tren de impulsuri dreptunghiulare, furnizat de un generator de funcţii AFG 3021B, pentru:

(a) factor de umplere de 50%; (b) factor de umplere de 10%


37

O comparaţie între amplitudinile primelor zece armonici ale celor două semnale, ideal (fig. 3.3) şi real (fig. 3.5), pentru ambii factori de umplere consideraţi, este realizată în tabelele 3.3 şi 3.4. Aşa cum se observă cu uşurinţă, amplitudinile armonicilor sunt destul de apropiate, cele ale semnalului de la generator fiind obţinute prin înmulţirea valorilor efective

citite pe ecranul osciloscopului cu 2 .

Tabelul 3.3. Comparaţie între amplitudinile armonicilor semnalelor de tip impuls dreptunghiular repetitiv din fig. 3.3, a (ideal), şi fig. 3.5, a (real),

cu factor de umplere de 50%

Semnal ideal Semnal de la generator

f(kHz) A(V) U(dBV) U(V) A(V)

1 0,6366 -6,59 0,4683 0,6622

3 0,2122 -16,2 0,1549 0,2190

5 0,1273 -20,6 0,0933 0,1320

7 0,0909 -23,8 0,0646 0,0913

9 0,0707 -25,8 0,0513 0,0725

11 0,0579 -27,4 0,0427 0,0603

13 0,0490 -29 0,0355 0,0502

15 0,0424 -30,2 0,0309 0,0437

17 0,0374 -32,2 0,0245 0,0347

19 0,0335 -33 0,0224 0,0317

Tabelul 3.4. Comparaţie între amplitudinile armonicilor semnalelor de tip impuls dreptunghiular repetitiv din fig. 3.3, b (ideal), şi fig. 3.5, b (real),

cu factor de umplere de 10%



1 0,1967 -17 0,1413 0,1998

2 0,1871 -17,4 0,1349 0,1908

3 0,1717 -18,2 0,1230 0,1740

4 0,1514 -19,4 0,1072 0,1515

5 0,1273 -20,6 0,0933 0,1320

6 0,1009 -22,6 0,0741 0,1048


38



7 0,0736 -25,4 0,0537 0,0759

8 0,0468 -29 0,0355 0,0502

9 0,0219 -35,4 0,0170 0,0240

10 0 -67 0,00044 0,00063

Observaţie. Pentru analiza FFT a semnalului generat s-a utilizat fereastra Flat Top, iar valorile efective ale armonicilor s-au determinat cu ajutorul cursoarelor şi al funcţiei Zoom.

3.4. Exerciţii şi aplicaţii

1. Să se precizeze amplitudinea, frecvenţa şi faza iniţială a următoarelor semnale:

a) 220sin5 ttu ;

b) 430cos10 ttu .

2. Să se scrie seriile Fourier trigonometrice ale semnalelor din figura de mai jos.

u(V)

t(ms)

3

0 2 6 -2

-3

-6

u(V)

t(ms)

5

-1 2 0 5

(a) (b)

Fig. 3.6. Forme de undă particulare, pentru exerciţiul 2: (a) semnal dreptunghiular; (b) semnal sinusoidal redresat dublă-alternanţă

3. Utilizând un program de calcul, cum ar fi Microsoft Excel, sau orice

mediu de calcul ingineresc, rezolvaţi următoarele cerinţe:

a) să se reprezinte grafic spectrul de amplitudine şi spectrul de fază (primele cinci armonici) al semnalului dreptunghiular cu f = 100 Hz şi A = 1 V;


39

b) să se reprezinte, pe acelaşi grafic, formele de undă ale armonicilor considerate şi să se sintetizeze semnalul doar pe baza acestor armonici.

4. Repetaţi cerinţele de la pct. 2 pentru semnalul triunghiular cu f = 100 Hz şi A = 1 V. Apreciaţi calitatea semnalului triunghiular sintetizat în raport cu cea a semnalului dreptunghiular obţinut la pct. 2.

5. Se consideră semnalul:

tttu 10010sin5,01006cos5,11002sin31t .

Reprezentaţi grafic: a) forma de undă; b) spectrul de amplitudine şi spectrul de fază.

6. În fig. 3.7, se prezintă spectrul de amplitudine al unui semnal sinusoidal furnizat de un generator de funcţii, măsurat cu osciloscopul digital TDS 2002B, în modul de funcţionare FFT. Să se precizeze valoarea vârf-la-vârf a fundamentalei, Uvv(V).

Fig. 3.7. Spectrul de amplitudine al unui semnal sinusoidal furnizat de un generator de funcţii, măsurat cu osciloscopul digital TDS 2002B,

în modul de funcţionare FFT


40

7. Pentru semnalul rampă (dinte de fierăstrău) din fig. 3.8, măsurat cu osciloscopul digital TDS 2002B, să se estimeze frecvenţele şi amplitudinile primelor cinci armonici.

Fig. 3.8. Forma de undă a unui semnal rampă, măsurat cu osciloscopul digital TDS 2002B

8. Familiarizaţi-vă cu funcţia FFT a unui osciloscop digital disponibil

în laborator şi măsuraţi spectrul de amplitudine al unui semnal dreptunghiular, al unui semnal triunghiular şi al unui semnal rampă, obţinute de la un generator de funcţii. În fiecare caz, comparaţi amplitudinile primelor cinci armonici ale semnalului considerat cu cele teoretice, calculate pe baza seriilor Fourier.

Bibliografie

1. Strîmbu C., Semnale şi circuite electronice – Analiza şi prelucrarea semnalelor, Editura Academiei Forţelor Aeriene „Henri Coandă”, Braşov, 2007.

2. Antoniu M., Măsurări electronice – Măsurări la frecvenţe joase, înalte şi optice, Ediţia a III-a, Editura Satya, Iaşi, 2002.


41

3. David V., Creţu M., Măsurarea intensităţii câmpului electromagnetic, Casa de Editură Venus, Iaşi, 2006.

4. Şerbănescu A., Oroian T., Semnale analogice: teorie şi probleme, Editura Academiei Tehnice Militare, Bucureşti, 2010.

5. Popa V.M., Electrotehnică – Partea a II-a, Curs, Universitatea „Lucian Blaga” din Sibiu, 2007.

6. ***Tektronix, TDS 1000 and TDS 2000 Series Digital Storage Oscilloscope, User Manual, 2002.

ANALIZA FOURIER A SEMNALELOR PERIODICE. STUDIUL … · Fourier rapidă (FFT - Fast Fourier...

Documents

Transcript of ANALIZA FOURIER A SEMNALELOR PERIODICE. STUDIUL … · Fourier rapidă (FFT - Fast Fourier...