8/20/2019 49471678-Functii.doc

1/23

Functii

CUPRINS

  Pag.

Capitolul 1. Noţiuni generale despre funcţii

 Noţiunea de funcţie ……………………………………………… 2

Graficul unei funcţii ………………………………………………5

Paritatea funcţiilor ……………………………………………….. 5

Monotonia funcţiilor ……………………………….…………….. 6

Valori extreme ale unei funcţii. Funcţie mărginită ……………….7

Biecti!itate ………………………………………………………. "

#n!er$a%ilitate …………………………………………………….."

&'eraţii cu funcţii ………………………………………………. ()

*om'unerea funcţiilor …………………………………………... ((

Capitolul 2. Funcţii particulare

Funcţia de gradul # ……………………………………………… (+

Funcţia de gradul al doilea ……………………………………… (,

-lte funcţii numerice …………………………………………… (5

Funcţia ex'onenţială ……………………………………………. (7Funcţia logaritmică ……………………………………………... (

Funcţia trigonometrică directă ………………………………….. ("

Funcţia trigonometrică in!er$ă ………………………………….. 2(

(

8/20/2019 49471678-Functii.doc

2/23

FUNCŢII

DEFINIŢIE. N!"ŢIE.

Mulţimea - $e nume/te do#eniul de definiţie a funcţiei ƒ.B $e nume/te #ulţi#ea $n care funcţia ia %alori $au codo#eniul funcţiei ƒ.

0acă ƒ e$te o funcţie de la - la B1 atunci $e mai $'une că ƒ e$te o aplicaţie de la - la B.0e o%icei funcţiile $e noteaă cu litere mici ƒ1 g1 31 …Mulţimea funcţiilor de la - la B $e noteaă cu F 4-1 B.

&DURI DE " DEFINI FUNCŢIE.

#ndiferent de modul n care e$te definită o funcţie tre%uie 'reciate cele trei elementecare o caracterieaă do#eniul de definiţie' codo#eniul (i legea de corespondenţ).

1. FUNCŢII DEFINI!E SIN!E!IC core$'und acelor funcţii f   -→ B 'entru care $eindică fiecărui element x din - elementul 8 9 f  4x din B.-ce$t lucru $e 'oate face fie cu autorul diagra#ei cu s)geţi1 fie cu autorul ta*elului de%alori sau printr+un ta*lou.-ce$t mod de a defini o funcţie $e utilieaă c:nd - e$te o mulţime finită.

E,E&P-E. ( Fie f ;(1 21 +< → ;a1%< definită 'rin f  4( 9 f  42 9 a1 f  4+ 9 %.=n diagrama cu $ăgeţi $unt re'reentate mulţimile 'rin diagrame1 iar legea de core$'ondenţă

 'rin $ăgeţi.- B Fa'tul că fiecărui element x din - i core$'unde un unic

>lement 8 9 f  4x din B n$eamnă 'entru diagrama cu $ăgeţi cădin fiecare element din - 'leacă o $ingură $ăgeată.

*um 'entru elementele codomeniului nu a!em nici o exigenţăn$eamnă că ntr?un a$tfel de element 'ot aunge una1 mai multe$ăgeţi $au niciuna.

2

DEFINIŢIE. Fie - /i B două mulţimi ne!ide. @'unem că am definit o funcţie  'emulţimea - cu !alori n B dacă 'rintr?un 'rocedeu oarecare facem ca fiec)rui ele#ent x ∈- $ă?# core$'undă un singur ele#ent 8 ∈ B.

N!"ŢIE.  & funcţie definită 'e - cu !alori n B $e noteaă f - → B 4citim Af definită 'e - cu !alori n B.Cneori o funcţie $e noteaă $im%olic - →  B1 x → 8 9 ƒ4x4citim Aƒ de x1 unde 8 e$tei#aginea ele#entului x din - 'rin funcţia ƒ $au ncă %aloarea funcţiei ƒ  $n x.>lementul x $e nume/te argu#ent al funcţiei $au %aria*il) independent)

1. - 9 do#eniul de definiţieD2. B 9 codo#eniulD

-egea f care leag) cele dou) #ulţi#i.

8/20/2019 49471678-Functii.doc

3/23

-ceea/i funcţie o 'utem defini utiliănd ta%elul de !alori.-ce$ta e$te format din două linii. =n 'rima linie $e trec elemetele mulţimii 'e care e$tedefinită funcţia1 iar n a doua linie !alorile funcţiei n ace$te elemente.Pentru caul analiat ta%elul arată a$tfel

x ( 2 +

 8 9 f  4x a a %

2 Funcţia ƒ  ;(1 21 +1 ,< → ;(1 21 +1 ,< definită 'rin ƒ4( 9 +1 ƒ42 9 (1 ƒ4+ 9 ,1 ƒ4, 9 2 'oate fi re'reentată $u% forma unui ta%lou unde n r'ima linie a!em domeniul de definiţie1

( 2 + ,ƒ  9

+ ( , 2

iar n linia a doua $unt !alorile funcţiei n 'unctele domeniului 4+ e$te !aloarea lui ƒ n x 9 (1( e$te !aloarea lui ƒ n x 9 21 etc.. & a$tfel de funcţie $e nume/te 'ermutare de gradul 'atru.SER/"ŢIE.  Nu 'utem defini $intetic o funcţie al cărui domeniu de definiţie are oinfinitate de elemente.

2. FUNCŢII DEFINI!E "N"-I!IC.  Funcţiile ƒ  -→ B definite cu autorul unei 4unorformule $au a unor 'ro'rietăţi $unt funcţii definite analitic. *ore$'ondenţa ƒ leagă ntre eleelementul ar%itrar x din - de imaginea $a ƒ4x.

E,E&P-E.  ( Fie funcţia ƒ  E → E1 ƒ4x 9 x2. -cea$tă funcţie a$ociaă fiecărui număr 

real x 'atratul lui1 x2.

2 Funcţia ƒ  → 1 ƒ4x 9 x ? (1 dacă x e$te 'ar   x (1 dacă x e$te im'ar1

e$te exem'lu de funcţie definită 'rin două formule.Funcţiile definite 'rin mai multe formule $e nume$c funcţii #ultifor#e.SER/"ŢIE.  =n caul funcţiilor multiforme1 fiecare formulă e$te !ala%ilă 'e o anumită$u%mulţime a lui - /i deci dou) for#ule nu pot fi folosite pentru deter#inarea i#agineaunuia (i aceluia( ele#ent.

*ea mai frec!entă re'reentare a unei funcţii n matematică e$te 'rintr?o formulă. =n ace$tca1 elementele domeniului de definiţie /i ale domeniului !alorilor nu 'ot fi dec:t numere $auAo%iecte matematice 'entru care $?au introdu$ reeguli de calcul core$'unătoare.0e exem'lu 8 9 +x H 2.C0nd asupra do#eniului de definiţie nu s+au f)cut ipotee speciale' se consider) caf)c0nd parte din acesta toate nu#erele reale' c)rora din for#ula respecti%) li se pune $ncorespondenţ) o anu#it) %aloare.=n caul funcţiei 8 9 +x H 21 domeniul de definiţie e$te alcătuit din mulţimea numerelor reale.

+

DEFINIŢIE.  Fie ƒ  -→ B1 g * → 0 două funcţiiD ƒ1 g $unt funcţii egale 4ƒ 9 g dacă( - 9 * 4funcţiile au acela/i domeniu de definiţie1

2 B 9 0 4funcţiile au acela/i codomeniu /i+   ƒ x 9 x 1 ∀x ∈ - unctual1 func iile coincid .

8/20/2019 49471678-Functii.doc

4/23

I&"INE" UNEI FUNCŢII. PREI&"INE" UNEI FUNCŢII.

Fie ƒ  - → B. 0in definiţia funcţiei1 fiecărui element x ∈ - # $e a$ociaă 'rin funcţia ƒ ununic element ƒ4x ∈ B1 numit i#aginea lui x prin ƒ $au %aloarea funcţiei ƒ  $n x.

E,E&P-E. *on$iderăm funcţia ƒ  ;(1 21 +1 ,< →;a1%1c1d< dată 'rin diagrama cu $ăgeţi.

Fie -I 9 ;(1 21 +

8/20/2019 49471678-Functii.doc

5/23

R"FICU- UNEI FUNCŢII.

 @e o%$er!ă că Gƒ ⊆ - x B.

E,E&P-E.  ( Fie funcţia ƒ  -→ B1 definită 'rin diagrama alăturată.

Graficul funcţiei ƒ e$te mulţimeaGƒ 9 ;4(1 a1 421 a1 4+1 %

8/20/2019 49471678-Functii.doc

6/23

SER/"ŢII.  ƒ 'ară ⇔ Gf  $imetric faţă de &8  ƒ im'ară ⇔ Gf  $imetric faţă de & 4originea axelor.&N!NI" FUNCŢII-R.

Fie ƒ  -→ E1 o funcţie de !aria%ilă reală /i # ⊆ -.

& funcţie ƒ  strict cresc)toare  'e # $au strict descresc)toare  'e # $e nume/te strict#onoton) 'e #.

& funcţie ƒ cresc)toare 'e # $au descresc)toare 'e # $e nume/te #onoton) 'e #.0acă ƒ e$te $trict monotonă 4$au monotonă 'e - 4'e tot domeniul de definiţie $'unem$im'lu că funcţia ƒ e$te $trict mnotonă 4$au monotonă fără a mai indica mulţimea.- $tudia monotonia unei funcţii ƒ  - → E re!ine la a 'recia $u%mulţimile lui - 'e care ƒe$te $trict cre$cătoare 4cre$cătoare /i $u%mulţimile lui - 'e care ƒ e$te $trict de$cre$cătoare4de$cre$cătoare.Pentru $tudiul monotoniei unei funcţii numerice ƒ  -→ E1 $e utilieaă ra'ortul

ƒ6728 + ƒ6718 cu x(1 x2 ∈ -1 x(≠ x21 numit raportul de %ariaţie a$ociat72 + 71   funcţiei ƒ /i numerelor x(1 x2.

0iferenţa x2  H x( $e nume/te %ariaţia argu#entului1 iar diferenţa ƒ4x2 ? ƒ4x( $e nume/te%ariţia funcţiei. Prin urmare ra'ortul de !ariaţie a$ociat lui ƒ /i numerelor x(1 x2 e$te ra'ortul

dintre !ariaţia funcţiei /i !ariaţia argumentului.-re loc următoarea

6

DEFINIŢIE.Funcţia ƒ e$te strict cresc)toare 'e # dacă Funcţia ƒ e$te strict descresc)toare 'e # dacă

  4∀x(1 x2 ∈ # 4∀x(1 x2 ∈ #

  ⇒  ƒ4x( J ƒ4x2 ⇒  ƒ4x( K ƒ4x2x( J x2 x( J x2

DEFINIŢIE.Funcţia ƒ e$te cresc)toare 'e # dacă Funcţia ƒ e$te descresc)toare 'e # dacă

  4∀x(1 x2 ∈ # 4∀x(1 x2 ∈ #  ⇒  ƒ4x( J ƒ4x2 ⇒  ƒ4x( K ƒ4x2

x( J x2 x( J x2

!ERE&4.  Fie ƒ  -→ E o funcţie numerică /i # ⊂ -. -tunci

ƒ e$te strict cresc)toare 6cresc)toare8 'e # ⇔  ƒ4x2 ? ƒ4x( K 4≥ )1 4∀x(1 x2 ∈ #  x2 ? x(  x(≠ x2D

 ƒ e$te strict descresc)toare 6descresc)toare8 'e # ⇔  ƒ4x2 ? ƒ4x( J 4≤ )1 4∀x(1 x2 ∈ #

  x2 ? x(  x(≠ x2D

8/20/2019 49471678-Functii.doc

7/23

/"-RI E,!RE&E "-E UNEI FUNCŢII. FUNCŢIE &4RINI!4.

Fie funcţia numerică ƒ  -→ E1 # ⊆ -.

Fig. ( Fig. 2

Valoarea maximă $au minimă a lui ƒ 'e # $e nume/te %aloarea e7tre#) a funcţiei pe I.Punctul x) de maxim $au x( de minim $e nume/te punct de e7tre# pentru funcţia ƒ pe I.

E,E&P-E. Funcţia ƒ definită 'rin ta%elul de !alori are !aloarea maximă egală cu /i $eatinge 'entru x 9 ?6. 0eci max ƒ 9 ƒ4?69

  x ?6 ?, ?( ) ( 2 9 . Punctul x 9 ?6 e$te 'unct de maxim ƒ4x + ?( ?5 ) ( 'entru funcţie. Valoarea minimă a lui ƒ

e$te egală cu H5 /i $e o%ţine 'entru x 9 ).0eci min ƒ  9 ƒ4) 9 ?5. Punctul x9 ) e$te 'unctul de minim al funcţiei. =n final1 !alorileextreme ale funcţiei $unt H5 /i 1 iar 'unctele de extrem $unt ) /i re$'ecti! H6.

@emnificaţia geometrică a unei funcţiimărgintite e$te aceea că graficul funcţiei e$te

7

0>F#N#L#>. 0acă exi$tă x) ∈ # a$tfel nc:t ƒ4x ≤ ƒ4x)1 ∀x ∈ #1 atunci ƒ4x) $e nume/te#a7i#ul funcţiei ƒ pe #ulţi#ea I /i $criem ƒ4x) 9 maxƒ4x.

Punctul x) 'entru care $e o%ţine !aloarea maximă a lui ƒ 'e # $e nume/te punct de #a7i#pentru funcţia ƒ pe I.4fig. (

0acă exi$tă x( ∈ # a$tfel nc:t ƒ4x ≥ ƒ4x(1 ∀x ∈ #1 atunci ƒ4x( $e nume/te #ini#ul funcţieiƒ pe #ulţi#ea I /i $criem ƒ4x( 9 minƒ4x.

Punctul x( 'entru care $e o%ţine !aloarea minimă a lui ƒ 'e # $e nume/te punct de #ini#pentru func ia ƒ pe I.4fig. 2

DEFINI!IE. 6&"RINIRE" UNEI FUNC!II8.  & functie numerica ƒ -→ E $enume$te #arginit) dacă exi$tă două numere reale m1 M a.. m ≤M1 ∀ x∈-.

8/20/2019 49471678-Functii.doc

8/23

cu'rin$ ntre dre'tele oriontale 8 9 m1 8 9 M.4fig. +

Fig. +I9EC!I/I!"!E

FUNC!I" IN9EC!I/"

-cea$ta ultima ec3i!alenta !a fi utiliata 'entru a 'ro%a ca o functie e$te inecti!e.Pe diagrama cu $ageti o functie e$te inecti!e daca in fiecare element al codomeniului aunge cel

mult o $ageata.Ctiliand graficul unei functii1 $e 'oate $ta%ili daca functia e$te inecti!e ducand 'rin fiecare 'unct al codomeniului o 'aralela la axa &x. 0aca acea$ta taie graficul in cel mult un 'unct1functia e$te inecti!e.Pentru a arata ca o functie ƒ - B nu e$te inecti!e e$te $ufficient $a aratam ca exi$ta douaelemente x(1 x2 ∈ -1 x( x2 'ntru care ƒ4x( 9 ƒ4x2.

SER/"ŢIE.  ƒ e$te inecti!a ⇔ ƒ4O H 9 ƒ4O ? ƒ41 ∀O1⊆ -

E,E&P-U.  @ă $e arate că funcţia ƒ  E → E1 ƒ4x 9 +x e$te inecti!ă. Fie x(1 x2 ∈E 'entrucare ƒ 4x(9 ƒ 4x2. -!em ac3i!alenţa +x(9+x21 deci x(9x21 de unde reultă că ƒ e$te inecti!ă.

FUNC!I" SUR9EC!I/"

0in ultima ec3i!alenta $e deduce ca

DEFINI!IE. & functie ƒ - B $e nume$te functie in5ecti%a 4 $au $im'lu in5ectiedaca orice element din B e$te imaginea 'rin ƒ a el mult unui element din -1 ceea ce?#ec3i!alent cu fa'tul ca 'entru orice 8 ∈ B ecuatia ƒ 4x 9 8 are cel 1ult o $olutie x ∈ -.

-ltfel $'u$1 functia ƒ e$te inecti!e daca $i numai daca doua elemente diferite oarecare din- au imagini diferite in B 'rin ƒ1 adica

∀ x(1

 x2 ∈

 -

  ƒ e$te in5ecti%a ⇔  ⇒  ƒ4x( ƒ4x

2

  x(9 x

2

  ∀ x(1 x2 ∈ -ƒ - B e$te inecti!a ⇔  ⇒  x( 9 x2

ƒ4x( 9 ƒ4x2

DEFINI!IE. & functie ƒ - B $e nume$te functie sur5ecti%a 4 $au $im'lu sur5ectie1daca orice element din B e$te imaginea 'rin ƒ  a cel 'utin unui element din -1 ceea ce?#ec3i!alent cu fa'tul ca 'entru orice 8 ∈ % ecuatia ƒ 4x 9 8 are cel 'utin o $olutiQ x ∈ -.

-ltfel $'u$1 functia ƒ e$te $urecti!a ⇔ ∀ 8 ∈ B1 ∃ x ∈ - a$tfel incat ƒ4x 9 8.

ƒ - B e$te $urecti!a ⇔ ƒ 4- 9B1 adica #m ƒ 9 B.

8/20/2019 49471678-Functii.doc

9/23

Pe diagrama cu $ageti o funtie e$te $urecti!a daca la fiecare element din B aunge cel 'utin o$ageata.Graficul unei functii 'oate 'recia daca functia e$te $urecti!a. 0aca orice 'aralela la &x du$a

 'rintr?un 'unct al codomeniului taie graficul in cel 'utin un 'unct.& functie ƒ - B nu este sur5ecti%a daca exi$ta 8 ∈ B a$tfel incat ∀ x ∈ -1 ƒ 4x 8.E,E&P-U.  Funcţia ƒ  E →E1 ƒ4x 9 +x e$te $urecti!ă1 deoarece ∀ 8 ∈E1 ∃ x ∈E a.. ƒ4x 9 8

⇔ +x9 8 ⇔ x9 8R+.FUNC!I" I9EC!I/"

Pe diagrama cu $ageti o functi e$te %iecti!a daca in fiecare element al codomeniului aungeexact o $ageata. @e mai $'une de$'re functia %iecti!a ca e$te o core$'ondenta Aone to one4Aunu la unu.& functie numerica data 'rin graficul $au e$te %iecti!a daca orice 'aralela la ax &x du$a 'rintr?un 'unct al codomeniului taie graficul in exact un 'unct.E,E&P-U.  Functia ƒ E → E 1 ƒ4x 9 +x e$te %iecti!a.

IN/ERS"I-I!"!EFUNC!I" IN/ERS"

0aca ƒ - B e$te %iecti!a1 atunci 'entru orice element 8 ∈ B exi$ta exact un element x din -

a$tfel incat ƒ4x 9 81 ceea ce in$eamna ca x 9 ƒ?(  48 4adica 'reimaginea elementului 8 e$te

elementul x.

SER/"ŢII. ( @a remarcam ca functia ƒ?( B - exi$ta daca ƒ - B e$te %iecti!a.2 Functia ƒ?( are ca domeniu de definitie codomeniul functiei directe1 iar dre't codomeniu1domeniul de definitie al functiei directe.+ 0aca ƒ e$te %iecti!a1 atunci ƒ?( e$te %iecti!a $i a!em 4ƒ?(  ?( 9 ƒ., Pentru a con$trui diagrama cu $ageti a lui ƒ?( 1 $c3im%am $en$ul $agetilor de 'e diagrama cu$ageti a lui ƒ. 4@e $'une ca ƒ?( actioneaa Ain!er$ decat ƒ . @c3ema de Afunctionare a lui ƒ $iƒ?( e$te redata mai o$.

 

x ∈ - B ∋ 8

"

DEFINI!IE. & functie ƒ - B $e nume$te functie *i5ecti%a 4 $au $im'lu *ie5ctie1 dacae$te atat inecti!e cat $i $urecti!a.

-ltfel $'u$ functia ƒ - B e$te functie *i5ecti%a ⇔∀ 8 ∈ B1 ∃S x ∈ - a$tfel incatƒ4x 98. @im%olul ∃S #n$eamna Aexi$ta $i e$te unic.

DEFINI!IE. Fie ƒ - B o functie %iecti!a. @e nume$te functie in%ersa a functiei ƒ1functia g  B -1 care a$ociaa fiecarui element 8 din B elementul unic x din - a$tfel incatƒ4x 9 8.

 N!"ŢIE. Pentru functia g utiliam notatia ƒ?( 4citim Af la minu$ unu. & functie ƒ careare in!er$a $e $'une ca e$te in%esa*ila. Functia ƒ $e nume$te functie directa1 iar ƒ?( functiein%ersa 4a lui ƒ.

8/20/2019 49471678-Functii.doc

10/23

5 Nu conteaa cum $e noteaa argumentul lui ƒ?( . 0e aceea1 !om 'refera 'e x in locul lui 8.

PER"!II CU FUNC!II

E,E&P-U.  ƒ  → E1 ƒ4x 9 +x(

SER/"ŢII. ( @e define$te 'rodudul dintre un numar real α $i o functie ƒ  - →  E1 ca fiindfunctia αƒ  -→ E1 4αƒ  4x 9 αƒ 4x1 ∀ x ∈ -.2 0aca ƒ 1 g - →  E1atunci definim diferenta dintre functia ƒ $i functia  g ca fiind functia ƒ ? g - → E1 4ƒ ? g 4x 9 ƒ4x H g  4x1 ∀ x ∈ -. 0e fa't 1 diferenta ƒ ? g e$te $uma ƒ  4? g 1 unde H  g 9 4?( g.

E,E&P-U. Fie ƒ1 g E → E1 ƒ4x 9 +x(1 g4x 9 ?x +. -tunci ƒ  g1 ƒ ? g1 ƒg E → E 'rin4ƒ  g 4x 9 ƒ 4x g4x 9 +x ( H x + 9 2x ,. 4ƒ ? g4x 9 ƒ4x H g4x 9 +x( Hx H + 9 ,x H 2. 4ƒg4x 9 ƒ4xg4x 9 4+x (4?+ ( 9 ?+x2x+.

PRPRIE!"!I "-E "DUN"RII FUNC!II-R Fie ℑ 4-1 E multimea functiilor definite 'e - cu !alori in E. -tunci are loc urmatoarea

PRPRIE!"!I "-E IN&U-!IRII FUNC!II-R 

()

DEFINIŢIE.  Fie -1 B ⊆ E. & functie ƒ  -→ B $e nume$te functie nu#erica $au functiereala de %aria*ila reala.

DEFINIŢIE. ( Functia ƒ  g   -→ E definita 'rin 4ƒ  g  4x 9 ƒ 4x  g  4x1 ∀ x ∈ -1 $e

nume$te su#a dintre functia ƒ  $i functia g.2 Functia ƒ ∗  g   -→ E definita 'rin 4ƒ ∗  g   4x 9 ƒ 4x g  4x1 ∀ x ∈ -1 $e nume$te produsuldintre functia ƒ  $i functia g. + Functia ƒ R g   - H ; x   g  4x 9 ) < → E definita 'rin 4ƒ R g 4x 9 ƒ4x R g 4x1 ∀ x ∈ -1  g 4x ≠ ) $e nume$te catul dintre functia ƒ  $i functia g.

!ERE&4. Pentru o'eratia de adunare 'e ℑ 4-1 E au loc 'ro'rietatile

( 4ƒ  g  h 9 ƒ  4 g + h1 ∀ƒ1  g 1 h ∈ ℑ 4-1 E 4adunarea functiilor e$te asociati%aD2   ƒ  g  9 g + ƒ 1 ∀ƒ1  g   ∈ ℑ 4-1 E 4adunarea functiilor e$te co#utati%aD+ exi$ta functia : ∈ ℑ 4-1 E1 :4x 9 )1 ∀ x ∈ - a$tfel incat ƒ  : 9 : + ƒ 9 ƒ1 ∀ƒ ∈ ℑ 4-1

E 4: $e nume$te functie nula $i e$te ele#ent neutru 'entru adunarea functiilorD,   ∀ƒ ∈ ℑ 4-1 E1 ∃4?ƒ ∈ ℑ 4-1 E a$tfel incat ƒ  4?ƒ 9 4?ƒ ƒ 9 : 4 orice functie ƒ are o

!ERE&4 . Pentru o'eratia de inmultire 'e ℑ 4-1 E1 au loc 'ro'rietatile( 4ƒ T g  T h 9 ƒ  T 4 g * h1 ∀ƒ1  g 1 h ∈ ℑ 4-1 E 4inmultirea functiilor e$te asociati%aD2   ƒ T g  9 g * ƒ 1 ∀ƒ1  g   ∈ ℑ 4-1 E 4inmultirea functiilor e$te co#utati%aD+ exi$ta functia 1 ∈ ℑ 4-1 E1 14x 9 (1 ∀ x ∈ - a$tfel incat ƒ T 1 9 1 * ƒ 9 ƒ1 ∀ƒ ∈ ℑ 4-1 E

8/20/2019 49471678-Functii.doc

11/23

 C&PUNERE" FUNCŢII-R.

& altă o'eraţie care $e 'oate efectua a$u'ra a două funcţii e$te cea de com'unere. 0ie ƒ  - →B1 g B → *1 două funcţi cu următoarea 'articularitate codomeniul lui ƒ e$te egal cu domeniullui g. *u autorul ace$tor funcţii $e 'oate con$trui o altă funcţie 3 - →  *. Funcţia 3 a$tfeldefinită $e noteaă gοƒ 4citim Ag com'u$ cu ƒ /i re'reintă com'unerea funcţiei g cu ƒ  4nacea$tă ordine. Funcţia goƒ  are domeniul lui ƒ  4'rima funcţie care acţioneaă n acea$tă

com'unere /i codomeniul lui g 4ultima care acţioneaă n com'unere.

SER/"ŢII.  ( Funcţia com'u$ă goƒ  a două funcţii ƒ1 g nu 'oate fi definită dec:t dacăcodomeniul lui ƒ coincide cu domeniul de definiţie a lui g.2 0acă ƒ  -→ B1 g B → -1 atunci are $en$ fog /i gof. =n general n$ă gof ≠fog.

PRPRIE!4ŢI "-E C&PUNERII FUNCŢII-R.1. "sociati%itatea∀ ƒ1 g 1 3 ∈ ℑ a!em fo4go3 9 4fogo3

2. Co#utati%itatea  ∃ ƒ1 g ∈ ℑ a.. ƒog ≠ goƒ;. Ele#ent neutru  ∃ o funcţie (- ∈ ℑ a.. ∀ ƒ ∈ ℑ a!em ƒo(- 9 (-oƒ 9 ƒD (-  -→ -D (-4x 9 x 4funcţie identică g6ƒ67881 ∀x ∈ -.

8/20/2019 49471678-Functii.doc

12/23

(2

!ERE&".  ( 0acă ƒ1 g $unt funcţii 'are1 atunci goƒ este o funcţie par) 4*om'unerea adouă funcţii 'are e$te o funcţie 'ară.

20acă ƒ /i g $unt funcţii im'are1 atunci goƒ este funcţie i#par). 4*om'unearea a douăfuncţii im'are e$te o funcţie im'ară.

+0acă ƒ $i g au 'arităti diferite1 atunci goƒ este o funcţie par).

,0acă ƒ /i g au aceia/i monotonie1 atunci goƒ este cresc)toare. 4*om'unearea a douăfuncţii de aceia/i monotonie e$te o funcţie cre$cătoare.

50acă ƒ /i g au monotonii diferite1 atunci goƒ este descresc)toare.  4*om'unerea a douăfuncţii de monotonie diferită e$te o funcţie de$cre$cătoare.

60acă ƒ /i g $unt %iecti!e1 atunci goƒ este *i5ecti%). 4*om'unerea a două funcţii %iecti!ee$te o funcţie %iecti!ă.*om unerea a doua func ii in!er$a%ile i e$te o func ie in!er$a%ilă.

8/20/2019 49471678-Functii.doc

13/23

FUNCŢII P"R!ICU-"RE

FUNCŢI" DE R"DU- Iƒ = R → R' ƒ678 > a7 ? *' a' *∈R 

SER/"ŢIE.  Funcţia de gradul nt:i e$te %ine determinată dacă $e cuno$c coeficienţii a1%∈E 

&N!NI" FUNCŢIEI DE R"DU- @N!AI

SER/"ŢII.  (. @emnul lui a 'recieaă monotonia funcţiei de gradul nt:i.2. >cuaţia 8 9 ax % re'reintă o 'antă a ≠ ) 4o drea'ă o%ligă H ne'aralelă cu axa &x $au cu axa&8.

SE&NU- FUNCŢIEI DE R"DU- @N!AI

R"FICU- FUNCŢIEI DE R"DU- @N!AIGraficul funcţiei de gradul nt:i e$te o drea'tă o%lică de ecuaţie 8 9 ax %. Pentru tra$area uneidre'te $unt nece$are două 'uncte care a'arţin graficului.

(+

DEFINIŢIE.  Funcţia ƒ  E → E1 ƒ4x 9 ax %1 a1 % ∈ E $e nume/te funcţie afin).0acă a ≠ )1 atunci ƒ $e nume/te funcţie de gradul $nt0i de coeficienţi a1 %.0acă a ≠ ) /i % 9 ) atunci ƒ $e nume/te funcţie liniar) 4ƒ4x 9 ax.

Pentru funcţia de gradul nt:i1 ax $e nume/te ter#enul de gradul $nt0i1 iar %1 ter#enul li*eral funcţiei.

>cua ia ax % 9 ) $e nume te ecua ia ata at) func iei ƒ.

!ERE&4.  Funcţia de gradul nt:i ƒ  E → E1 ƒ4x 9 ax % 1 a ≠ o e$te

( strict cresc)toare daca a K )2 strict descresc)toare dacă a J )

!ERE&4.  Funcţia de gradul nt:i ƒ  E → E1 ƒ4x 9 ax %1 a ≠ ) are eroul x 9 ?%Ra1 iar$emnul funcţiei e$te dat n ta%elul de $emn

  x ?∞ ?%Ra   ∞

  ƒ4x $emn contrar lui a ) acela/i $emn cu a

 Numărul x 9 ?%Ra e$te rădăcina ecuaţiei ata/ate ax % 9 ).@'unem că ':nă n rădăcină1 adică 'entru x J ?%Ra1 ƒ are $emn contrar lui a1 iar dincolo de

?

8/20/2019 49471678-Functii.doc

14/23

I9EC!I/I!"!E" BI IN/ERS"I-I!"!E" FUNCŢIEI DE R"DU- @N!AI.C&PUNERE" FUNCŢII-R DE R"DU- @N!AI.

FUNCŢI" DE R"DU- "- DI-E".ƒ = R → R ' ƒ678 > a72 ? *7 ? c' a' *' c ∈ R' a ≠ :.

RSER/"ŢII.  (. Funcţia de gradul al doilea e$te %ine determinată dacă $e cuno$c coeficienţiia ≠ )1 %1 c.2. *ondiţia a ≠ ) e$te e$enţială n definiţia funcţiei deoarece dacă a 9 ) $e o%ţine ecuaţia afină.+. *um domeniul /i codomeniul lui ƒ coincid cu E1 funcţia de gradul al doilea e$te o funcţie

numerică. =n loc de ƒ4x 9 ax2  %x c !om $crie 8 9 ax2  %x c.

&N!NI" FUNCŢIEI DE R"DU- "- DI-E"

SE&NU- FUNCŢIEI DE R"DU- "- DI-E".

(,

!ERE&4.  ( Funcţia ƒ  E → E1 ƒ 4x 9 ax %1 a ≠ ) e$te %iecti!ă.2 #n!er$a funcţiei ƒ e$te funcţia ƒ?( E → E1 ƒ?(4x 9 4x?%Ra.+ 0acă g E → E1 g4x 9 cx d1 c ≠ )1 atunci goƒ  E → E1 4goƒ4x 9 acx %c d.

4*om'unerea a două funcţii de gradul nt:i e$te o funcţie de gradul nt:i.

DEFINIŢIE.  Funcţia ƒ  E → E1 ƒ4x 9 ax2  %x c1 a1 %1 c ∈ E1 a ≠ ) $e nume/te funcţiede gradul al doilea 4$au funcţie 'ătratică cu coeficienţii a1 %1 c.

Pentru funcţia de gradul al doilea ax2 $e nume/te termenul de gradul doi 4$au 'ătratic1 %xter#enul de gradul $nt0i4$au liniar1 iar c termenul li%er.

>cuaţia ax2  %x c 9 ) $e nume/te ecuaţia ata(at) funcţiei ƒ 4x 9 ax2 %x c1 iar ∆ 9 %2 H 

,ac di$criminantul ecuaţiei l numim 'entru funcţie discri#inantul funcţiei.

!ERE&4.  Fie funcţia de gradul doi ƒ  E → E1 ƒ4x 9 ax2  %x c1 a ≠ ).18 0acă a K )1 atunci ƒ e$te strict descresc)toare 'e 4?∞1 ?%R2aU

ƒ e$te $trict de$cre$cătoare 'e ?%R2a1 ∞  x ?∞  ?%R2a ∞

Wa%elul de !ariaţie a funcţieie e$teƒ4x ∞  ?∆R,a ∞

28 0acă a J )1 atunci ƒ e$te strict cresc)toare 'e 4?∞1 ?%R2aUƒ e$te strict descresc)toare 'e ?%R2a1 ∞

x ?∞  ?%R2a ∞Wa%elul de !ariaţie a funcţiei e$te

ƒ4x ∞  ?∆R,a ∞

ƒ4x 9 a4x 9 %R2a2 ? ∆R,a $e nume/te for#a canonic) a funcţiei de gradul doi.

!ERE&4.  Fie E → E1 ƒ4x 9 ax2 %x c1 a ≠ ).( 0acă ∆ K )1 atunci ecuaţia ata/ată lui ƒ are două rădăcini reale di$tincte x( J x21 iar $emnul

lui ƒ e$te cel al lui a n afara rădăcinilor /i $emn contrar lui a ntre rădăcinix ?∞  x(  x2  ∞

ƒ4x $emnul lui a ) $emn contrar lui a ) $emnul lui a

2 0acă ∆ 9 )1 atunci ecuaţia ata/ată lui ƒ are două rădăcini reale egale x( 9 x2 9 ?%R2a1 iar$emnul funcţiei ƒ e$te cel al lui a 'e ER;?%R2a

8/20/2019 49471678-Functii.doc

15/23

"-!E FUNCŢII NU&ERICE.

FUNCŢI" PU!ERE CU E,PNEN! N"!UR"-.

PRPRIEŢ4ŢI.

FUNCŢI" R"DIC"-.

PRPRIE!4ŢI.

(5

+ 0acă ∆ J )1 atunci ecuaţia ata/ată lui ƒ nu are rădăcini reale1 iar $emnul funcţiei ƒ e$te$emnul lui a 'e E.

x ?∞  ∞

ƒ4x $emnul lui a

DEFINIŢIE.  Funcţia ƒ  E → E1ƒ678 > 7n1 n∈ NT $e nume/te funcţia putere de e7ponent n

FUNCŢI" &N!NI" !"E- P"RI!"!E I9EC!I/4 SI&E!RI"DE /"RIEŢIE R"FICU-UI

ƒ4x 9 x2X 1 $trict de$cre$cătoare x ?∞  ) ∞  'ară nu faţă de &8  X ∈ NT 'e 4?∞1 ) ƒ4?x 9 ƒ4x

$trict cre$cătoare ƒ4x ∞  ) ∞ 'e )1 ∞

ƒ4x 9 x2X(1 $trict cre$cătoare x ?∞  ) ∞  im'ară da faţă de &  X ∈ NT ƒ4?x 9 ?ƒ4x

x ∞  ) ∞

DEFINŢIE.  Funcţia ƒ  E → E1 ƒ678 > 2n ? 1√71 n∈ NT1 $e nume/te funcţia radical de ordini#par. Funcţia ƒ  )1 ∞ → )1 ∞1 ƒ678 > 2n√71 n∈ NT1 $e nume/te funcţia radical de ordin

ar.

FUNCŢI" &N!NI" !"E- P"RI!"!E I9EC!I/4 SI&E!RI"DE /"RIEŢIE R"FICU-UI

ƒ4x 9 2n√x1 $trict cre$cătoare x ) ∞  nu da nu  n ∈ NT

ƒ4x ) ∞ 

ƒ4x 9 2n (√x1 $trict cre$cătoare x ?∞  ∞  im'ară da faţă de &  n ∈ NT

∞  ∞

8/20/2019 49471678-Functii.doc

16/23

FUNCŢI" ƒ = R → R' ƒ678 > 17 .

FUNCŢI" &R"FIC4.

PRPRIE!4ŢI.

FUNCŢI" &DU-.

PRPRIE!4ŢI.

FUNCŢI" P"R!E @N!RE"4 BI P"R!E FR"CŢIN"R4.

(6

&N!NI" !"E- P"RI!"!E I9EC!I/4 SI&E!RI"DE /"RIEŢIE R"FICU-UI

$trict de$cre$cătoare x ?∞  ) ∞  im'ară da faţă de & 'e inter!alele ƒ4?x 9 ?ƒ4x4?∞1 ) 1 4)1 ∞ ƒ4x ) ?∞∞  )

 

DEFINIŢIE.  Funcţia ƒ  E H ;?dRc

8/20/2019 49471678-Functii.doc

17/23

FUNCŢI" E,PNENŢI"-4.

SER/"ŢII.  S. Baa a e$te diferită de ( 'entru că n ca contrar ƒ4x 9 (x  9 ( e$tecon$iderată con$tantă /i nu e$te con$iderată ca o funcţie ex'onenţială.2. - nu $e confunda funcţia ex'onenţiala ƒ4x 9 ax1 aK)1 a ≠ ( cu functia g4x 9 xa1 ∀ x∈E.

Pentru 'rima funcţie a e$te %aa 'uterii ax  care e$te con$tanta1 in tim' ce 'entru a douafuncţie a e$te ex'onentul 'uterii axa care e$te con$tant.

R"FICU- FUNCŢIEI E,PNENŢI"-E.

Graficul funcţiei exo'nenţiale $e tra$eaă n două cauri(. Baa a ∈ 4)1 ( 4$'unem că *aa este su*unitar). =n ace$t ca graficul funcţiei e$te $ituat

dea$u'ra axei &x /i inter$ecteaă axa &8 n 4)1 (. Graficul funcţiei ex'onenţiale cu %aă$u%unitară e$te din ce n ce mai a'ro'iat de axele coordonate1 cu c:t %aa e$te mai mică.

2. Baa a K ( 4$'unem că *aa este supraunitar). =n ace$t ca graficul funcţiei e$te $ituatdea$u'ra axei &x /i inter$ecteaă axa &8 n 4)1 (. Graficul funcţiei ex'onenţiale cu %aă$u%unitară e$te din ce n ce mai a'ro'iat de axele coordonate1 cu c:t %aa e$te mai mare.

PRPRIE!4ŢI "-E FUNCŢIEI E,PNENŢI"-E.

SER/"ŢII.  ƒ4x( H x2 9 ƒ4x( R ƒ4x2D ƒ4cx( 9 4ƒ4x(c

SER/"ŢIE.  Pentru a K (1 ax( J ax2 ⇔ x( J x2D Pentru ) J a J (1 ax( J ax2 ⇔ x( K x2.

FUNCŢI" -"RI!&IC4.

SER/"ŢII.  (. Nu $e 'oate defini logaritmul unui număr real negati! x1 deoarece a8

 K )1∀8 ∈E.2. alogax 9 x 4identitatea logaritmică fundamentală.

(7

DEFINIŢIE.  Fie a K :' a ≠ 1. Funcţia ƒ = R → 6:' ∞8' ƒ678 > a71 $e nume/te funcţiae7ponenţial) de *a) a.

( Funcţia ex'onenţială face $ă?# core$'undă $umei a două numere reale 'rodu$ul !alorilorcore$'unătoare ale funcţiei1 adică ƒ671?728 > ƒ6718ƒ6728' 71' 72 ∈R.

+ &N!NI" FUNCŢIEI E,PNENŢI"-E.0acă a K )1 atunci ƒ4x 9 ax e$te strict cresc)toareL  ) J a J (1 atunci ƒ4x 9 ax e$te strict descresc)toare.

2 Funcţia ex'onenţială e$te *i5ecti%) /i deci in%ersa*il).SE&NU- FUNCŢIEI E,PNENŢI"-E.∀ a∈ 4)1 ∞ R ;(

8/20/2019 49471678-Functii.doc

18/23

R"FICU- FUNCŢIEI -"RI!&ICE.

Graficul funcţiei logaritmice $e tra$eaă n două cauri(. Baa a ∈  4)1 ( 4$'unem că *aa este su*unitar). =n ace$t ca graficul funcţiei

inter$ecteaă axa &x n 'unctele de coordonate 4)1 (1 care e$te $imetricul1 n ra'ort cu 'rima %i$ectoare1 'unctului 4)1 ( n care graficul funcţiei ex'onenţiale inter$ecteaă axa &8.Graficul funcţiei logaritmice cu %aă $u%unitară e$te din ce n ce mai a'ro'iat de axelecoordonate1 cu c:t %aa e$te mai mică.

2. Baa a K ( 4$'unem că *aa este supraunitar). =n ace$t ca graficul funcţiei inter$ecteaăaxa &x n 'unctele de coordonate 4)1 (1 care e$te $imetricul1 n ra'ort cu 'rima %i$ectoare1

 'unctului 4)1 ( n care graficul funcţiei ex'onenţiale inter$ecteaă axa &8.

PRPRIE!4!I "-E FUNCŢIEI -"RI!&ICE.

SER/"ŢII.  g4x( R x2 9 g4x( H g4x21 ∀ x(1 x2 K )D ƒ4x(α 9 αƒ4x(1 ∀x( K ).

SER/"ŢIE.  0in fa'tul că g e$te %iecti!ă a!em ec3i!alenţa logax 9 loga8 ⇔ x 9 8.

SER/"ŢIE.  Pentru a K (1 logax( J logax2 ⇔ x( J x2  Pentru ) J aJ (1 logax( J logax2 ⇔ x( K x2.

FUNCŢII-E !RIN&E!RICE DIREC!E.

FUNCŢIE PERIDIC4

(

DEFINIŢIE. Fie a K )1 a ≠ (. Funcţia g 4)1 ∞ → E1 definită 'rin g4x 9 log ax $e nume/tefunc ia lo arit#ic) de *a) a.

2 Funcţia logaritmică e$te in%ersa funcţiei e7ponenţiale.

( Funcţia logaritmică face $ă?# core$'undă 'rodu$ului a două numere reale 'oiti!e $uma!alorilor core$'unătoare ale func iei1 adică g671728 > g6718 ? g6728 ' 71' 72 K :.

&N!NI" FUNCŢIEI -"RI!&ICE.0acă a K (1 atunci g4x 9 logax e$te strict cresc)toare.  ) J a J (1 atunci g4x 9 logax e$te strict descresc)toare.

SER/"ŢIEM loga1 > :.  Yogaritmul lui ( n orice %aă e$te egal cu ).

DEFINIŢIE. & funcţie ƒ  E → E $e nume/te periodic) dacă exi$tă un număr real W a..ƒ4x W 9 ƒ4x1 ∀x ∈E.

 Numărul W ≠ ) $e nume/te perioad) a funcţiei ƒ.

0acă 'rintre numerele nenule 'oiti!e W exi$tă un cel mai mic număr 'oiti! WT1 atunci ace$ta  ƒ

8/20/2019 49471678-Functii.doc

19/23

E,E&P-U.  Funcţia ƒ  E → E1 ƒ4x 9 (1 x ∈  e$te 'eriodică1 de 'erioadă  )1 x ∈ E H 'rinci'ală WT 9 (

FUNCŢII-E SINUS BI CSINUS.

 

PRPRIE!4ŢI "-E FUNCŢII-R SINUS BI CSINUS.

("

DEFINIŢIE. *o$inu$ul lui α 4notat co$ α e$te a%$ci$a 'unctului Mα1 adică co$ α 9 xα.@inu$ul lui α 4notat $in α e$te ordonata 'unctului Mα1 adică $in α 9 8α.-/adar a!em funcţiile $in = R → R' → sin (i cos = R → R' → cos .

SER/"ŢII.

co$ ) 9 (1 $in ) 9 )

co$ πR2 9 )1 $in πR2 9 (

co$ π 9 ?(1 $in π 9 )

co$ +πR2 9 )1 $in +πR2 9 ?(

P1=  ?( ≤ $in α ≤ (1 ?( ≤ co$ α ≤ (1 ∀α ∈ E.

P2= For#ula funda#ental) a trigono#etriei=  $in2α  co$2α 9 (1 ∀α ∈ E.

P;= Periodicitatea funcţiilor sin (i cos=  $in4α  2X π 9 $in α1 co$4α  2X π 9 co$ α1∀α∈E1∀X ∈ 4Funcţiile $in /i co$ au 'erioada 'rinci'ală WT 9 2π.P

8/20/2019 49471678-Functii.doc

20/23

FUNCŢI" !"NEN!4 BI C!"NEN!4.

PRPRIE!4ŢI "-E FUNCŢII-R !"NEN!4 BI C!"NEN!4.

FUNCŢII !RIN&E!RICE IN/ERSE.

FUNCŢI" "RCSIN.

PRPRIE!4ŢI.

2)

DEFINIŢIE. Wangenta lui α ∈ E H ;42X (πR2  X ∈ < 4notată tg α e$te egală cu ra'ortuldintre $in α /i co$ α1 adică= tg > sin cos .*otangenta lui α ∈ E H ;X π  X ∈ < 4notată ctg α e$te egală cu ra'ortul dintre co$ α /i $in α1adică= ctg > cos sin .

P1= Periodicitatea funcţiilor tg (i ctg=  tg4α  X π 9 tg α1 ∀ α∈E H ;42l (πR2  l∈ 

8/20/2019 49471678-Functii.doc

21/23

FUNCŢI" "RCCS.

PRPRIE!4ŢI.

FUNCŢI" "RC!.

PRPRIE!4ŢI.

2(

N!"ŢIE. g ?(1 (U → )1 πU1 g678 > arccos 7. 4arcco$ e$te in!er$a funcţiei co$

1. Funcţia arcco$ ia cea mai mică !aloare ) 'entru x 9 (1 deoarece arcco$ ( 9 ).

2. Funcţia arcco$ ia cea mai mare !aloare π 'entru x 9 ?(.

3. Funcţia arcco$ nu e$te 'eriodică.

4. Funcţia arcco$ nu e$te nici 'ară1 nici im'ară. -re loc relaţia

5. Graficul funcţiei arcco$.

6. Monotonia funcţiei arcco$. *um funcţia

directă ƒ  )1 πU → ?(1 (U1 ƒ4x 9 co$ x e$te

$trict de$cre$cătoare 'e )1 πU reultă că /i

 in!er$a g are aceea/i 'ro'rietate 'e ?(1 (U.

7. @emnul funcţiei arcco$. 0acă x∈ ?(1 (U18. -tunci arcco$ x ≥ ).

arcco$4?x 9 π ? arcco$ x1∀ x∈  ?( (

N!"ŢIE. g E → 4?πR21 πR21 g678 > arctg 7 4arctg e$te in!er$a funcţiei tg

(. Funcţia arctg e$te mărginită1 dar nu ia cea mai mică $au cea mai mare !aloare.

2. Funcţia arctg e$te im'ară1 deoarece arctg4?x 9 ?arctg x1 ∀ x ∈ E.

+. Funcţia arctg nu e$te 'eriodică.

,. Graficul funcţiei arctg.

5. Monotonia funcţiei arctg. Funcţia e$te

$trict cre$cătoare 'e E 

6. @emnul funcţiei arctg. 0acă x ≤ )1

atunci arctg x ≤ )1 iar dacă x K )1

a!em arct3 x K).

8/20/2019 49471678-Functii.doc

22/23

FUNCŢI" "RCC!.

PRPRIE!4ŢI.

i*liografie=

22

(. Funcţia arcctg e$te mărginită1 dar nu ia cea mai mică $au cea mai mare !aloare.

2. Funcţia arcctg nu e$te nici 'ară nici im'ară.

Mai 'reci$

+. Funcţia arcctg nu e$te 'eriodică.

,. Graficul funcţiei arcctg.

5. Monotonia funcţiei arcctg.

Funcţia are aceia/i monotonie ca

/i funcţia directă. 0eci e$te

$trict de$cre$cătoare.

6. @emnul funcţiei arcctg.

0acă x∈ E1 atunci arcctg x K ).

N!"ŢIE.  g E → 4)1 π1 g678 > arcctg 7. 4arcctg e$te in!e$ra funcţiei ctg

-rcctg4?x 9 π ? arcctg x1 ∀ x ∈ E 

8/20/2019 49471678-Functii.doc

23/23

(. AMatematică1 manual 'entru cla$a a?#O?a1 'rofil M(1 M21 autor Mircea Ganga1

>ditura Mat3're$$ 2))).

2. AMatematică1 manual 'entru cla$a a?O?a alge%ră1 'rofil M(1 autor Mircea Ganga1

>ditura Mat3're$$ 2))(.

+. Materie 'redată de domnul 'rofe$or1 *ri$tian -lexandre$cu n anii /colari 2))) H 

2))( /i 2))( H 2))2