4.7-Algebra-booleana.pdf

www.circuiteelectrice.ro Electronic digital Algebra boolean

95

7 Algebra boolean

7.1 Aritmetica boolean

Adunarea boolean este echivalent unei pori logice SAU, precum i contactelor conectate n paralel

nmulirea boolean este echivalent unei pori logice I, precum i contactelor conectate n serie

Complementarea boolean este echivalent unei pori logice NU, precum i contactelor normal-nchise

7.1.1 Numere binare i numere booleene

Trebuie neles nc de la nceput faptul c numerele booleene nu sunt tot una cu numerele binare.

Numerele booleene reprezint un sistem matematic total diferit de cel al numerelor reale, pe cnd notaia binar

este doar att: o notaie alternativ a numerelor reale. Cele dou sunt adesea confundate datorit faptului c

utilizeaz aceleai cifre: 0 i 1. Diferena const n faptul c valorile booleene sunt limitate la un singur bit (fie 0, fie

1), pe cnd numerele binare pot fi compuse din mai muli bii.

7.1.2 Adunarea boolean

S ncepem aadar capitolul de algebr boolean prin adunarea numerelor:

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

Primele trei sume nu sunt deloc ieite din comun din punct de vedere al operaiei de adunare elementar.

Ultima sum n schimb, s-a dovedit a fi responsabil de mai mult confuzie dect oricare alt element al electronicii

digitale. Forma sa nu se supune principiilor de baz ale matematicii. ntr-adevr, aceasta contrazice principiile

adunrii numerelor reale, dar nu i a numerelor booleene. n cadrul matematicii booleene exist doar dou valori

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/sisteme-de-numeratie/sisteme-de-numeratie


96

posibile pentru oricare valoare i pentru orice operaie matematic: 0 sau 1. Nu exist valoarea 2. Din moment ce

suma 1 + 1 nu poate fi 0, prin eliminare, aceast sum trebuie s fie 1.

De asemenea, nu conteaz nici ci termeni conine suma. S considerm urmtoarele sume, de exemplu:

0 + 1 + 1 = 11 + 1 + 1 = 1

0 + 1 + 1 + 1 = 11 + 0 + 1 + 1 + 1 = 1

Revenind la primul set de ecuaii, putem observa c aceste sume nu sunt altceva dect tabelul de adevr al

unei pori logice SAU. Cu alte cuvinte, adunarea boolean corespunde funciei logice a porii SAU, precum i

comutatoarelor conectate n paralel:

Fig. 7-1 poart logic SAU i comutatoare paralel (0 + 0)



http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/tabel-de-adevarhttp://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-cu-doua-intrarihttp://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/comutatoare/tipuri-de-comutatoare


97


7.1.3 Scderea i mprirea boolean

n cadrul matematicii booleene nu exist noiunea de scdere. Scderea implic existena numerelor

negative: 5 - 3 este identic cu 5 + (-3), de exemplu. Dar n algebra boolean, nu exist valori negative (doar 0 i 1).

De asemenea, nu exist nici operaia de mprire boolean. mprirea nu este altceva dect o scdere

compus, la fel cum nmulirea nu este altceva dect adunare compus.

7.1.4 nmulirea boolean

nmulirea boolean este permis, iar regulile sunt aceleai cu nmulirea numerelor reale: orice numr

nmulit cu 0 este 0, i orice numr nmulit cu 1 rmne neschimbat:

0 x 0 = 00 x 1 = 01 x 0 = 01 x 1 = 1

Setul de ecuaii ar trebui s v fie cunoscut: sunt aceleai reguli ce se regsesc n tabelul de adevr al porii

I. Cu alte cuvinte, nmulirea boolean corespunde funciei logice a porii I, precum i comutatoarelor conectate

n serie:

Fig. 7-5 poart logic I i comutatoare serie (0 x 0)

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-cu-doua-intrarihttp://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-cu-doua-intrarihttp://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-cu-doua-intrari


98




7.1.5 Variabile booleene i complementul lor

La fel ca i algebra normal, algebra boolean utilizeaz litere pentru desemnarea variabilelor. Dar, faa

de algebra normal, aceste variabile se trec tot timpul cu majuscule. Datorit faptului c exist doar dou stri

posibile, fie 1, fie 0, fiecare variabil posed i un complement: valoarea opus a acesteia. De exemplu, dac

variabila A este 0, atunci complementul ei este 1. Complementul se specific prin intermediul unei linii

orizontale deasupra variabilei, astfel:

http://www.circuiteelectrice.ro/


99

Fig. 7-9 complementul unei variabile booleene

Sub form scris, complementul lui A este desemnat prin A-negat. Cteodat se utilizeaz simbolul '

pentru reprezentarea complementului (A'). De obicei ns, simbolul cu linie este mai folosit dect simbolul '.

Motivele le vom afla puin mai ncolo.

Complementarea boolean este echivalent cu o poart logic NU, sau cu un contact normal-nchis:

Fig. 7-10 complementul unei variabile booleene; poart logic SAU i contact normal-nchis

Fig. 7-11 complementul unei variabile booleene; poart logic SAU i contact normal-nchis

7.2 Identiti algebrice booleene

Suma dintre o variabil boolean i 0 este variabila iniial

Suma dintre o variabil boolean i 1 este 1

Suma unei variabile booleene cu ea nsi este egal cu variabila iniial

Suma dintre o variabil boolean i complementul ei este egal cu 1

Produsul unei variabile booleene cu ea nsi este variabila iniial

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-simple


100

Produsul dintre o variabil boolean i complementul acesteia este 0

7.2.1 Ce este o identitate

n matematic, o identitate este o afirmaie valabil pentru toate valorile posibile ale variabilei sau

variabilelor implicate. Identitatea algebric x + 0 = x, ne spune c suma dintre oricare variabil (x) i zero este egal

cu variabila iniial (x), indiferent de valoarea acesteia. Asemenea algebrei obinuite, exist identiti specifice

algebrei booleene. Aceste identiti sunt bazate pe cele dou stri posibile ale variabilelor booleene (0 sau 1).

7.2.2 Identiti aditive

Prima identitate boolean este suma unei variabile cu zero. Rezultatul este valoarea variabilei iniiale.

Aceast identitate nu este cu nimic diferit fa de echivalentul algebric al numerelor reale:

Fig. 7-12 identitate boolean; suma unei variabile cu zero

Indiferent de valoarea lui A, ieirea va fi tot timpul aceiai. Cnd A = 1, ieirea va fi 1; cnd A = 0, ieirea

va fi 0.

Urmtoarea identitate este cu siguran diferit fa de cele vzute n algebra obinuit. Aici putem vedea

c suma unei variabile cu 1 este 1:

Fig. 7-13 identitate boolean; suma unei variabile cu unu



101

Indiferent de valoarea lui A, suma lui A cu 1 va fi tot timpul 1. Practic, ieirea circuitului nu ine cont de

valoarea lui A, ci este fixat pe 1.

Urmtoare identitate este suma unei variabile cu ea nsi. Practic, acest lucru nseamn conectarea

intrrilor unei pori logice SAU i activarea lor cu acelai semnal:

Fig. 7-14 identitate boolean; suma unei variabile cu ea nsi

n algebra numerelor reale, suma a dou variabile identice este dublul variabilei iniiale (x + x = 2x). Dar n

cadrul algebrei booleene nu exista 2, ci numai 0 i 1. Prin urmare, nu putem spune c A + A = 2A. Adunarea unei

variabile cu ea nsi este egal cu variabila original: 0 + 0 = 0 i 1 + 1 = 1.

Dac introducem conceptul de complement ntr-o identitate aditiv, putem vedea un efect interesant. Din

moment ce ntre orice variabil i complementul acesteia trebuie s avem un 1, i din moment ce suma oricrei

variabile booleene cu 1 este 1, suma dintre o variabil i complementul ei trebuie s fie 1:

Fig. 7-15 suma boolean dintre o variabil i complementul acesteia

7.2.3 Identiti multiplicative

La fel cum exist patru identiti booleene aditive (A + 0, A + 1, A + A i A + A'), exist i patru identiti

multiplicative: A x 0, A x 1, A x A i A x A'. Dintre acestea, primele dou nu sunt deloc diferite de identitile

echivalente ale algebrei numerelor reale:



102

Fig. 7-16 identiti algebrice multiplicative: produsul dintre o variabil i zero

Fig. 7-17 identiti algebrice multiplicative: produsul dintre o variabil i unu

Cea de a treia identitate multiplicativ exprim rezultatul unei variabile booleene nmulit cu ea nsi. n

algebra numerelor reale, acest tip de produs reprezint ptratul variabilei n cauz (3 x 3 = 32 = 9). Conceptul de

ptrat implic existena valorii 2, valoare ce nu poate fi exprimat prin algebra boolean. Nu putem spune c A x

A = A2

Fig. 7-18 identiti algebrice multiplicative: produsul dintre o variabil i ea nsi

A patra identitate multiplicativ nu are echivalent n algebra numerelor reale, deoarece utilizeaz

complementul variabilei. Acest concept este unic matematicii booleene. Din moment ce trebuie s avem o valoare

de 0 ntre oricare variabil i complementul acesteia, i din moment ce produsul oricrei valorii booleene cu 0

este 0, produsul dintre o variabil i complementul acesteia trebuie s fie 0:

. n schimb, produsul unei valori booleene cu ea nsi este valoarea iniial, din moment ce 0 x 0 = 0 i 1 x 1

= 1:



103

Fig. 7-19 identiti algebrice multiplicative: produsul dintre o variabil i complementul ei

n concluzie, avem patru identiti booleene de baz pentru adunare i patru pentru produs (multiplicative):

Identiti aditive Identiti multiplicative

A + A = A 0 A = 0A + 1 = 1 1 A = AA + A = A A A = AA + A' = 1 A A' = 0

Fig. 7-20 identiti algebrice aditive i multiplicative

7.2.4 Identitatea complementului dublu

O alt identitate caracteristic complementului unei variabile este cea a complementului dublu: o variabil

inversat de dou ori. Rezultatul complementrii duble a unei variabile este valoarea boolean iniial a variabilei.

Acest lucru este similar nmulirii cu -1 n algebra numerelor reale: un numr par de astfel de nmuliri se anuleaz,

iar rezultatul final este valoarea iniial:



104

Fig. 7-21 identitate algebric boolean; complementul dublu

7.3 Proprieti algebrice booleene

Adunarea i nmulirea numerelor booleene este comutativ, asociativ i distributiva

Un alt tip de identitate matematic, denumit proprietate, descrie relaia dintre variabilele unui sistem de

numere.

7.3.1 Comutativitatea

Una dintre aceste proprieti poart numele de comutativitate, i se aplic att adunrii ct i nmulirii.

Ceea ce ne spune comutativitatea este c, putem inversa ordinea variabilelor att n cazul adunrii, ct i n cazul

nmulirii. Rezultatul expresiei rmne neschimbat n ambele situaii. Comutativitatea adunrii arat astfel:



105

Fig. 7-22 comutativitatea adunrii booleene

Comutativitatea nmulirii:

Fig. 7-23 comutativitatea nmulirii booleene

7.3.2 Asociativitatea

Aceast proprietate spune c putem asocia grupuri de sume sau nmuliri, prin intermediul parantezelor,

fr a modifica rezultatul ecuaiilor. i n acest caz, asociativitatea se aplic att adunrii ct i nmulirii.

Asociativitatea adunrii:



106

Fig. 7-24 asociativitatea adunrii booleene

Asociativitatea nmulirii:

Fig. 7-25 asociativitatea adunrii booleene

7.3.3 Distributivitatea

Proprietatea de distributivitate precizeaz modul de dezvoltare a unei expresii booleene formate din

nmulirea unei sume:



107

Fig. 7-26 distributivitatea boolean

n concluzie, avem trei proprieti booleene de baz: comutativitatea, asociativitatea i distributivitatea:

Proprieti aditive Proprieti multiplicative

A + B = B + A A B = B AA + (B + C) = (A + B) + C A (BC) = (AB) C

A (B + C) = A B + A C

Fig. 7-27 proprieti booleene: comutativitatea, asociativitatea i distributivitatea

7.4 Reguli de simplificare boolean

Exist trei reguli de baz ale simplificrii booleene; acestea sunt folosite pentru reducerea expresiei iniiale

la o form mai simpl dar identic din punct de vedere funcional

7.4.1 Scopul simplificrii booleene

Una dintre cele mai practice aplicaii ale algebrei booleene const n simplificarea circuitelor logice. Dac

transcriem funcia logic a unui circuit sub form boolean, i aplicm anumite reguli ecuaiei rezultate, putem

reduce numrul termenilor sau operaiilor aritmetice necesare realizrii funciei iniiale. Ecuaia simplificat poat

fi apoi transformat napoi sub form de circuit logic. Sub noua form, circuitul logic realizeaz aceiai funcie, dar



108

cu mai puine componente. Dac un circuit echivalent poate fi realizat cu mai puine componente, costurile de

realizare i de funcionare vor scdea.

Identitile i proprietile exprimate n seciunile precedente sunt foarte utile simplificrii booleene. Toate

regulile prezentate n aceast seciune sunt specifice matematicii booleene.

7.4.2 Prima regul a simplificrii booleene

Fig. 7-28 prima regul a simplificri booleene

Aceast regul poate fi demonstrat simbolic prin scoaterea termenului comun (A) n afara sumei. Aplicnd

apoi regulile A + 1 = 1 i 1A = A, ajungem la rezultatul final:

A + A B = A(1 + B) =A(1) = A

Observai cum a fost aplicat regula A + 1 = 1 pentru reducerea termenului (B + 1) la 1. Cnd aplicm o

regul precum A + 1 = 1, exprimat prin intermediul literei A, nu nseamn c regula se aplic doar expresiilor

ce conin A. A-ul din aceast expresie exprim faptul c aceasta se aplic oricrei variabile sau grupuri de

variabile booleene.

De exemplu, expresia boolean ABC + 1 se reduce tot la 1 prin intermediul aplicrii identitii A + 1 = 1.

n acest caz, termenul standard A din definiia identitii reprezint ntregul termen ABC al expresiei de mai

sus.

7.4.3 A doua regul a simplificrii booleene

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/algebra-booleana/identitatihttp://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/algebra-booleana/proprietati


109

Urmtoarea regul este aproximativ similar cu prima. Practic ns, ea este destul de diferit, iar

demonstraia este puin mai dificil:

Fig. 7-29 a doua regul a simplificri booleene

Pentru nceput, dezvoltm termenul A, folosind regula precedent (A + AB = A). Scoatem termenul B n

afara celei de-a doua sume, i aplicm apoi identitatea A + A' = 1. La sfrit, nu ne mai rmne dect s aplicm

identitatea 1A = A pentru obinerea rezultatului final:

A + A' B = A + A B + A' B = A + B (A + A') = A + B(1) = A + B

7.4.4 A treia regul a simplificrii booleene

O alt regul implic simplificarea expresiei unui produs de sume:



110

Fig. 7-30 a treia regul a simplificri booleene

Pentru a demonstra aceast relaie, realizm pentru nceput nmulirea celor dou sume. Aplicm apoi

identitatea AA = A, apoi regula A + AB = A primilor doi termeni. i, n sfrit, aplicm aceiai regul, A + AB = A

primilor doi termeni ai expresiei rezultate. Rezultatul este conform expresiei de mai sus:

(A + B)(A + C) = A A + A C + A B + B C = A + A C + A B + B C = A + A B + B C = A + B C

Pe scurt, acestea sunt cele trei reguli ale simplificrii booleene:

A + A B = AA + A' B = A + B

(A + B)(A + C) = A + B C

7.5 Simplificarea circuitelor logice

7.5.1 Simplificarea circuitelor cu pori logice



111

S ncepem cu un circuit format din pori logice ce necesit o simplificare. Presupunem c intrrile A, B i

C sunt asigurate de comutatoare, senzori sau alte pori logice. Originea acestor semnale nu este important din

punct de vedere al simplificrii.

Fig. 7-31 circuit cu pori logice nesimplificat

7.5.1.1 Scrierea expresiei booleene

Primul pas al simplificrii const n scrierea expresiei booleene pentru acest circuit. Acest pas este cel mai

uor de realizat dac scriem sub-expresii pentru ieirea fiecrei pori, corespunztor semnalelor de intrare. Este bine

s reamintim faptul c o poart SAU este echivalent cu o adunare boolean, iar o poart I cu o nmulire

boolean. S scriem aadar sub-expresii la ieirea primelor trei pori:

Fig. 7-32 scrierea sub-expresiilor la ieirea porilor

Scriem apoi sub-expresiile urmtoarelor seturi de pori. n cazul de fa, avem doar o singur poart pe

nivelul urmtor:

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/comutatoare/tipuri-de-comutatoarehttp://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-cu-doua-intrari


112


i, n sfrit, ieirea (Q) circuitului logic este egal cu urmtoarea expresie:


7.5.1.2 Simplificarea expresiei booleene

Acum c avem o expresie boolean, urmtorul pas este aplicarea regulilor algebrei booleene pentru

reducerea expresiei de mai sus la forma ei cea mai simpl. Reamintim faptul c cea mai simpl form este acea

form care necesit cele mai puine pori logice pentru implementarea ei.

Prin urmare, expresia AB + BC(B + C) poate fi redus astfel: la primul pas realizm nmulirea termenilor;

aplicm apoi identitatea AA = A termenilor doi i trei; aplicm identitatea A + A = A termenilor doi i trei rezultai;

scoatem termenul comun B n faa:

A B + B C( B + C) = A B + B B C + B C C = A B + B C + B C = A B + B C = B( A + C)

Expresia rezultat, B(A + C), este mult mai simpl dect cea original. Ea realizeaz ns aceiai funcie.

Dac vrei s verificai acest lucru, putei construi un tabel de adevr pentru ambele expresii. Determinai apoi

rezultatul Q (ieirea circuitului) pentru toate cele opt combinaii posibile dintre A, B i C pentru ambele circuite.

Cele dou tabele trebuie s fie identice.

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/algebra-booleana/reguli-de-simplificare


113

7.5.1.3 Evaluarea expresiei booleene rezultate

Urmtorul pas const n generarea unei scheme logice folosind aceast expresie boolean simplificat.

Pentru realizarea acestui lucru, evalum expresia urmnd ordinea matematic a operaiilor (nmulirea nainte

adunrii, operaiile din interiorul parantezelor naintea celorlalte). La fiecare pas vom aduga o nou poart. Porile

SAU sunt echivalente cu adunarea boolean, iar porile I sunt echivalente operaiei de nmulirea boolean. n

exemplul de faa, ncepem construirea circuitului cu sub-expresia A + C, expresie ce nu este altceva dect o

poart SAU:

Fig. 7-35 poart logic SAU

Urmtorul pas n evaluarea expresiei B(A + C) const n nmulirea (poart I) semnalului B cu ieirea

porii precedente (A + C):

Fig. 7-36 evaluarea expresiei booleene

Evident, acest circuit este mult mai simplu dect cel original, avnd doar dou pori logice n loc de cinci.

O astfel de reducere a numrului de componente conduce la viteze de funcionare crescute (timpul de propagare a

semnalului de la intrare la ieire este mai scurt), consum de energie mai sczut, cost mai mic i o fiabilitate mai

ridicat.

7.5.2 Simplificarea circuitelor cu relee electromecanice

Circuitele cu relee electromecanice pot profita foarte mult de pe urma simplificrii booleene. De obicei,

acestea sunt mai lente, consum mult mai mult energie, cost mai mult, iar durata de via medie este mai scurt

dect cea a porilor logice semiconductoare. S considerm aadar exemplul de mai jos:

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/relee-electromecanice/structura


114

Fig. 7-37 circuit logic cu relee electromecanice

7.5.2.1 Scrierea expresiei booleene

Primul pas al reducerii acestui circuit la forma cea mai simpl este, din nou, scrierea circuitului sub forma

unei expresii booleene. Cea mai simpl metod de realizare a acestui lucru este asemntoare cu metoda reducerii

unui circuit rezistiv serie-paralel la o singur rezisten. De exemplu, s considerm circuitul rezistiv de mai jos, cu

rezistorii aranjai asemeni contactelor circuitului precedent.

Fig. 7-38 circuit rezistiv serie-paralel

Formula corespunztoare reducerii acestui circuit la o rezisten echivalent, este urmtoarea:

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/curent-continuu/circuite-serie-paralel/metode-de-analiza


115

Contactele paralele sunt echivalente cu adunarea boolean, iar contactele serie cu nmulirea boolean.

Expresia boolen a circuitului cu relee de mai sus se scrie urmnd aceleai reguli care se regsesc n cazul reducerii

circuitelor serie-paralel la o rezistena total echivalent. Simplificarea ne este uurat dac scriem sub-expresii

booleene la stnga fiecrei linii n parte:

Fig. 7-39 circuit logic cu relee electromecanice

7.5.2.2 Simplificarea expresiei booleene

Acum c avem o expresie boolean, tot ceea ce trebuie s facem este s aplicm regulile de simplificare

pentru a aduce expresia la forma ei cea mai simpl (form ce necesit cele mai puine relee pentru implementarea

fizic).

Paii sunt urmtorii: extindem termenul B(A + C); aplicm regula A + AB = A primilor doi termeni;

aplicm regula A + AB = A primului termen i termenului al treilea:

A + B( A + C) + A C = A + A B + B C + A C = A + B C + A C = A + B C

7.5.2.3 Evaluarea expresiei booleene rezultate



116

Dup cum putem vedea, circuitul redus este mult mai simplu dect originalul, dar funcia logic pe care o

ndeplinete este neschimbat:

Fig. 7-40 circuit logic cu relee electromecanice; forma simplificat

7.6 Funcia SAU-exclusiv

Expresia AB' + A'B (dou pori I i o poart SAU), poate fi nlocuit de o singur poart SAU-exclusiv

7.6.1 Simbolul operaiei SAU-exclusiv

Un element ce nu l-am ntlnit pn n acest moment n operaiile booleene este funcia SAU-exclusiv. Dei

funcia SAU este echivalent cu o adunare boolean, funcia I cu nmulirea iar funcia NU cu complementarea, nu

exist un echivalent boolean pentru funcia SAU-exclusiv. Acest lucru nu ne mpiedic ns s avem un simbol

pentru reprezentarea ei:

Fig. 7-41 poarta SAU-exclusiv; simbol

7.6.2 Echivalena operaiei SAU-exclusiv

Acest simbol este folosit foarte rar n expresiile booleene, deoarece identitile, proprietile i regulile de

simplificare ce implic adunarea, nmulirea i complementarea nu se aplic i acestei expresii. Totui, exist o

modalitate de reprezentare a funciei SAU-exclusiv cu ajutorul funciilor SAU i I:



117

Fig. 7-42 funcia SAU-exclusiv realizat cu funciile SAU i I

Ca i echivalen boolean. aceast regul poate fi folositoare n cazul simplificrii anumitor expresii

booleene. Orice expresie de forma AB' + A'B (dou pori I i o poart SAU), poate fi nlocuit de o singur poart

SAU-exclusiv.

7.7 Teoremele lui DeMorgan

Teoremele lui DeMorgan descriu echivalen dintre porile cu intrri inversate i porile cu ieiri inversate

O poart I-negat este echivalent cu o poart SAU-negativ; O poart SAU-negat este echivalent cu o

poart I-negativ

7.7.1 Definiia teoremelor lui DeMorgan

DeMorgan a dezvoltat o serie de reguli importante n algebra liniar cu privire la complementul de grup.

Prin complementul de grup ne referim la complementul unui grup de termeni, i nu doar complementul unei singure

variabile.

inei minte de la capitolul legat de pori logice, c inversnd toate intrrile unei pori, inversm i funcia

logic esenial a acesteia. O poart SAU cu toate intrrile inversate (o poart SAU-negativ) se comport precum o

poart I-negat. O poart I cu toate intrrile inversate (o poart I-negativ) se comport precum o poart SAU-

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/porti-logice/porti-logice-cu-doua-intrari


118

negat. Teoremele lui DeMorgan exprim aceiai echivalen n sens invers: inversnd ieirea unei pori, funcia

rezultat este aceiai cu tipul opus de poart cu intrrile inversate:

Fig. 7-43 teorema lui DeMorgan

O bar deasupra termenului AB se comport precum un simbol de grup. Acest lucru este total diferit fa de

produsul AB inversat separat (A'B'). Cu alte cuvinte, (AB)' nu este egal cu A'B'. Acest lucru are un impact profund

asupra modului de evaluare i de reducere a expresiilor booleene, dup cum vom vedea.

Teorema lui DeMorgan poate fi gndit ca i ntreruperea complementului (bara orizontal). Atunci cnd

simbolul complementului este rupt n doua, operaia de sub el se modific din adunare n nmulire i invers. Dup

aplicarea teoremei, fiecare variabil are propriul ei complement. Ca i exemplu:

Fig. 7-44 ntreruperea complementului n aplicarea teoremei lui DeMorgan

7.7.2 Ruperea celui mai lung complement



119

Cnd exist mai multe complemente deasupra aceleiai expresii, nu putem ntrerupe dect un complement

pe rnd. Cel mai uor este s ncepem cu cea mai lung linie orizontal (cea de sus). Ca i exemplu, s considerm

expresia (A + (BC)')' redus cu ajutorul teoremelor lui DeMorgan:

Fig. 7-45 aplicarea teoremei lui DeMorgan

Urmnd consideraiile exprimate mai sus, aplicm urmtorii pai:

Fig. 7-46 ntreruperea complementului n aplicarea teoremei lui DeMorgan

Ca i rezultat, circuitul original este redus la un circuit format dintr-o poart I cu trei intrri, unde intrarea

A este inversat printr-o poart NU:

Fig. 7-47 circuit logic simplificat cu ajutorul teoremei lui DeMorgan

Ca i contra-exemplu, nu ntrerupei niciodat mai mult de un complement la un singur pas:



120

Fig. 7-48 ntreruperea greit a complementului

Pe ct de tentant pare, pe att de incorect este s scurtm paii simplificrii prin ntreruperea mai multor

complemente deodat. Prin urmare, nu facei niciodat acest lucru!

Putem simplifica expresia de mai sus i prin ntreruperea complementului scurt n prim instan, i apoi a

complementului lung:

Fig. 7-49 ntreruperea complementului scurt

Desigur, rezultatul final este acelai i n acest caz. Paii necesari pentru simplificare sunt ns mai

numeroi fa de exemplul precedent (ntreruperea complementului lung la primul pas). La pasul al treilea, n

exemplul de mai sus, ntreruperea complementului lung se realizeaz n dou locuri simultan. Aceast operaie

matematic este permis, i nu este identic cu ntreruperea a dou complemente deodat! Interdicia ntreruperii

mai multor complemente deodat nu interzice ntreruperea complementului n mai multe locuri.



121

7.7.3 Meninerea gruprilor prin intermediul parantezelor

Poate v ntrebai de ce am folosit paranteze n jurul sub-expresiei B' + C', din moment ce oricum le-am

ndeprtat la pasul urmtor. Am fcut acest lucru pentru a sublinia un aspect important dar neglijat al teoremei lui

DeMorgan. Din moment ce o linie orizontal lung funcioneaz ca i simbol de grup, variabilele incluse sub

aceasta trebuie s rmn grupate. n caz contrar, ordinea operaiilor se pierde. n exemplul anterior, nu conteaz

dac am fi pus sau nu aceste paranteze, dar n alte cazuri s-ar putea s conteze. S lum un alt exemplu, meninnd

parantezele:

Fig. 7-50 simplificarea expresiei booleene cu ajutorul teoremei lui DeMorgan

n cazul n care nu meninem parantezele, riscm s obinem un rspuns greit:

Fig. 7-51 simplificarea expresiei booleene cu ajutorul teoremei lui DeMorgan

Dup cum se poate observa, meninerea gruprii realizate implicit prin liniile de complementare este

crucial pentru obinerea rspunsului corect.

7.7.4 Simplificarea unui circuit logic - exemplu



122

S aplicm acum principiile teoremelor lui DeMorgan pentru simplificarea unui circuit cu pori logice:

Fig. 7-52 circuit cu pori logice; forma iniial

7.7.4.1 Expresia boolean echivalent

Ca de obicei, primul pas al simplificrii circuitului const n gsirea expresiei booleene echivalente. Putem

face acest lucru prin notarea sub-expresiilor la ieirea fiecrei pori, pe msur ce intrrile ne sunt cunoscute:

Fig. 7-53 notarea sub-expresiilor la ieirea porilor

Apoi, notm ieirea primei pori SAU-negat i ieirea porii I-negat. Atunci cnd aveam de-a face cu pori

inversate pe ieire, este mai uor s scriem prima dat expresia fr inversarea final. Observai i de pe figur

faptul c sgeata indic ieirea porii chiar naintea inversrii (cerculeul de la ieire). Expresia final, dup

inversare, este complementul expresiei precedente. Astfel, ne putem asigura c nu uitm introducerea

complementului n cadrul expresiei:



123

Fig. 7-54 notarea sub-expresiilor la ieirea porilor

i, n sfrit, ultimul pas const n scrierea expresiei pentru poarta SAU-negat final:

Fig. 7-55 expresia final

7.7.4.2 Simplificare expresiei echivalente

Trecem apoi la reducerea acestei expresii folosind identitile, proprietile, regulile i teoremele (lui

DeMorgan) algebrei booleene:



124

Fig. 7-56 simplificarea expresiei booleene echivalente

7.7.4.3 Circuitul echivalent

Circuitul echivalent al expresiei mult simplificate:

Fig. 7-57 circuit cu pori logice echivalent/simplificat

7.8 Transformarea tabelelor de adevr n expresii booleene

Expresiile booleene pot fi generate din tabelul de adevr folosind suma-de-produse



125

Procesul de proiectare al circuitelor digitale ncepe adesea cu un tabel de adevr. Acest tabel descrie modul

de funcionare al circuitului, pe scurt, ce funcii trebuie acesta s ndeplineasc. Partea de proiectare const n mare

parte n determinarea tipului de circuit ce va realiza funcia propus n acest tabel de adevr. Deii exist unii

oameni care pot determina circuitul final prin simpla privire a tabelului de adevr, pentru noi ceilali exist o serie

metode foarte utile. Se va dovedi c algebra boolean este de un real folos n aceast situaie.

7.8.1 Incinerarea deeurilor toxice - exemplu

Pentru ilustrarea acestor metode, cel mai indicat este s ncepem cu o problem de proiectare practic. S

presupunem c trebuie s proiectm un circuit de detectare a flcrii unui incinerator de deeuri toxice. Astfel de

tehnici de ardere sunt folosite de obicei pentru neutralizarea deeurilor medicale, ce pot fi infectate cu virui sau

bacterii periculoase:

Fig. 7-58 incinerator deeuri toxice

Atta timp ct flacra este meninut n incinerator, injectarea deeurilor toxice pentru neutralizare este

sigur. Dac n schimb flacra se stinge, aceast alimentare a incineratorului se poate dovedi periculoas.

Evacuarea va conine deeurile toxice ne-neutralizate, reprezentnd un pericol de sntate pentru persoanele aflate

n apropiere. Avem nevoie prin urmare de un sistem de detectare a prezenei flcrii. Injectarea deeurilor va fi

permis doar atunci cnd sistemul de detectare ne asigur de prezena flcrii.

7.8.2 Utilizarea senzorilor redundani

Exist mai multe metode de detectare a flcrii: optic (detectarea luminii), termic (detectarea temperaturii

nalte) i conducie electric (detectarea particulelor ionizate). Fiecare din aceste metode prezint avantaje i



126

dezavantaje. S presupunem c, datorit pericolului ridicat al trecerii deeurilor intacte prin evacuarea sistemului, s-

a decis ca sistemul de detectare s fie redundant (senzori multiplii). Astfel c, defectare unuia dintre senzori s nu

duc la o situaie nedorit. Fiecare senzor este echipat cu un contact normal-deschis (deschis - lips flacra, nchis -

flacr detectat) necesar activrii intrrilor unui sistem logic:

Fig. 7-59 utilizarea senzorilor i a circuitului logic pentru nchiderea alimentrii n cazul n care flacra nu este detectat

Scopul nostru acum, este s proiectm circuitul logic astfel nct acesta s deschid valva de admisie doar

dac exist flacr (detectat de senzori). Prima dat trebuie s vedem comportamentul acestui sistem de control.

Dorim ca valva s se deschid n cazul n care doar unul din cei trei senzori detecteaz flacra? Probabil c nu.

Altfel, nu ar mai avea niciun rost s folosim trei senzori n loc de unul singur. Ceea ce ne dorim de la sistemul

logic, este ca acesta s deschid valva de admisie doar n cazul n care toi cei trei senzori detecteaz flacra. n

acest caz, tabelul de adevr arat astfel:



127

Aceast funcionalitate poate fi asigurat folosind o poart I cu trei intrri: ieirea circuitului este 1 doar

dac intrarea A I intrarea B I intrarea C este 1:

Fig. 7-60 adugarea circuitului logic



128

Dac folosim n schimb relee electromecanice, putem crea aceast funcie I prin conectarea celor trei

contacte n serie. Sau pur i simplu conectm cei trei senzori n serie, astfel nct, singura modalitate prin care se

poate deschide valva de admisie, este dac toi cei trei senzori indic prezena flcrii:

Fig. 7-61 utilizare relee electromecanice

Dei aceast strategie maximizeaz sigurana sistemului, este totui foarte sensibil la defect. n cazul n

care unul din cei trei senzori se defecteaz, indicnd lipsa flcrii din incinerator, ntregul sistem se va opri. Asta

chiar dac ceilali doi senzori funcioneaz i indic prezena flcrii. Aceast oprire gratuit a incineratorului

duce la pierderi de producie i de combustibil (meninerea unei flcri ce nu este folosit pentru incinerarea

materialului toxic).

Va trebui s reproiectm sistemul, astfel nct, un astfel de defect s nu duc la nchiderea ntregului sistem.

Bazndu-ne pe doi senzori n detectarea prezenei flcrii, sistemul i pstreaz i n acest caz redundana. O astfel

de strategie implic un circuit logic cu trei intrri, a crui ieire este 1 n cazul n care cel puin dou din cele trei

intrri sunt 1. Tabelul de adevr arat astfel:



129

7.8.3 Suma-de-produse

n aceast situaie nu este foarte clar ce tip de circuit logic ar satisface tabelul de adevr. O metod simpl

de realizarea a unui astfel de circuit const n utilizarea unei forme booleene standard, denumit sum-de-produse.

Ca i exemplu, o astfel de expresie ar putea art astfel: ABC + BC + DF, suma produselor ABC, BC i DF.

Astfel de expresii sunt relativ uor de realizat cu ajutorul tabelelor de adevr. Trebuie doar s gsim acele

rnduri din tabel unde ieirea este 1, i s scriem apoi un produs boolean a crui rezultat s fie 1, cunoscnd

condiiile de intrare. De exemplu, s lum al patrulea rnd din tabelul de adevr de mai sus. Ieirea acestuia este 1

(ceea ce cutm), iar intrrile sunt A = 0, B = 1 i C = 1. Produsul acestor trei variabile este unu dac expresia arat

astfel: A'BC.



130

S completm i celelalte rnduri care au o ieire de 1, cu produsul termenilor:

nsumm toate aceste patru expresii, pentru a crea o singur expresie boolean ce descrie n ntregime

tabelul de adevr:



131

7.8.4 Realizarea circuitului logic

Dup ce am obinut expresia boolean sub form de sum-de-produse, putem trece la realizarea circuitului

logic bazat pe aceast expresie, fie cu pori logice:

Fig. 7-62 incinerator deeuri toxice; circuitul logic (pori logice)

Fie cu relee electromecanice:



132

Fig. 7-63 incinerator deeuri toxice; circuitul logic (relee electromecanice)

7.8.5 Simplificarea expresiei booleene

Din pcate, ambele variante sunt destul de complexe. Din fericire ns, putem simplifica expresia iniial

folosind regulile simplificrii booleene:

http://www.circuiteelectrice.ro/http://www.circuiteelectrice.ro/electronica-digitala/algebra-booleana/reguli-de-simplificare


133

Fig. 7-64 simplificarea expresiei booleene

Ca i rezultat al simplificrii, putem acum construi un circuit logic mult simplificat, dar care ndeplinete

exact aceiai funcie logic, fie cu pori logice:



134

Fig. 7-65 circuitul logic (pori logice)

Fie cu relee electromecanice:

Fig. 7-66 circuitul logic (relee electromecanice)


4.7-Algebra-booleana.pdf

Documents

Transcript of 4.7-Algebra-booleana.pdf