Universitatea „Transilvania” din Braşov Facultatea IESC Specializarea ET I.

Denumire disciplină Matematică aplicată în economie Categoria DF

II. Structură disciplină (Nr. ore/ săptămână)

Semestrul Curs Seminar Laborator Proiect I 3 2 - - III.

Statut disciplină Obligatorie OpŃională Facultativă (se marchează cu X) X IV.

Titular disciplină Numele şi prenumele Curs

Stan Ion Gabriel Seminar

Stan Ion Gabriel Laborator

Proiect

InstituŃia Univ.”Transilvania”Bv. Catedră / Departament Analiză Matem.şi

ProbabilităŃi/Fac. Matem.-Informatică

Titlul ştiinŃific Doctororand Gradul didactic Lector Încadrarea (norma de bază/asociat)

Norma de bază

Vârsta 33 V.

Obiectivele disciplinei (curs şi aplicaŃii) (maxim 5 rânduri, în corelare cu obiectivele şi misiunea specializării) Însuşirea de către studenŃi a cunoştinŃelor de Matematică necesare abordării problemelor specifice disciplinelor de specialitate. VI.

ConŃinutul disciplinei Nr. ore/ săpt. VI.1. Curs (capitole/subcapitole)

Curs 1: Relatii; Corpul Numerelor Reale Curs 2: Serii Numerice Curs 3:Functii reale de o variabila Curs 4:Siruri si serii de functii Curs 5:Spatiul real n-dimensional Curs 6:Limita si continuitate Curs 7:Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile Curs 8:Aplicatii ale calculului diferential Curs 9:Integrala Riemann Curs 10:Integrala multipla Curs 11:Integrale improprii Curs 12:Integrale cu parametru.Functiile lui Euler Curs 13:Drumuri si curbe.Integrale curbilinii Curs 14:Integrala curbilinie de speta a doua

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

VI.2. Seminar (dacă este cazul)

Seminarul urmează programa cursului 28

VI.3. Lucrări de laborator (dacă este cazul)

VI.4. Tematică proiect (dacă este cazul)

VII.

Bibliografie 1. Radu Păltănea si Eugen Păltănea, Analiză matematică, editura Univ.”Transilvania”,Braşov,2003 2.O. Stănăşilă, Analiză matematică, editura didactică şi pedagogic, Bucureşti, 1981 3.M. Nicolescu, Analiză matematică , editura didactică şi pedagogic, Bucureşti, 1966 4.Gh. SireŃchi, Calcul DiferenŃial şi Integral, editura ştiinŃifică şi enciclopedică, Bucureşti 1985 VIII.

Forme de activitate

Metode didactice folosite

Curs Clasic Seminar Clasic Laborator -

Proiect - IX.

Forme de activitate

Evaluare (scris, scris şi oral, oral, test, aplicaŃie practică, altele)

Procent din nota finală

Examen Scris 80% Colocviu - - Seminar Test scris 20%

Laborator - - Proiect - -

Curs 1

Relatii. Corpul numerelor reale

1 Relatii

Notiunea matematica de relatie are un grad mare de generalitate. Definirea si dez-voltarea acestei notiuni presupune raportarea la o serie de concepte matematiceelementare precum: element, multime, submultime, apartenenta la o multime, in-cluziune, operatii cu multimi, pereche ordonata, produs cartezian. Vom porni dela premiza ca toate acestea sunt cunoscute. Deasemenea vom presupune cunoscuteelementele de baza ale calculului propozitiilor si predicatelor, cu simbolistica uzuala.

Definitia 1.1. Un triplet R = (A,B,GR) unde A si B sunt doua multimi nevide,iar GR este o submultime a produsului cartezian A × B , se numeste relatie ıntremultimile A si B.

Multimea GR ⊂ A×B se numeste graficul relatiei R.Fiind data o relatie R = (A,B,GR), vom spune ca elementul a ∈ A este ın

relatia R cu elementul b ∈ B si vom nota aR b, daca (a, b) ∈ GR. In cazulparticular B = A vom spune ca R este o relatie pe multimea A. In cele ceurmeaza vom prezenta cateva din principalele tipuri de relatii.

1.1 Relatii pe o multime

Pentru a indica ınzestrarea unei multimii A cu o relatie R = (A,A,GR) vom utilizaın general notatia (A,R). O relatie pe o multime se poate bucura de o serie deproprietati elementare. Definirea axiomatica a acestora este realizata prin enuntulurmator.

Definitia 1.2. Fie (A,R). Relatia R se numeste:

• reflexiva, daca (∀) a ∈ A aR a• simetrica, daca (∀) a, b ∈ A aR b ⇒ bR a• antisimetrica, daca (∀) a, b ∈ A aR b ∧ bR a ⇒ a = b

• tranzitiva, daca (∀) a, b, c ∈ A aR b ∧ bR c ⇒ aR c• totala, daca (∀) a, b ∈ A aR b ∨ bR aCele mai importante relatii pe o multime sunt cele de echivalenta si respectiv de

ordine.

Definitia 1.3. O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie de echivalentadaca este reflexiva, simetrica si tranzitiva.

1

Simbolurile utilizate ın general pentru indicarea relatiilor de echivalenta sunturmatoarele: = , ≡ ,≈ , ∼= , ∼ .

Fie (A,∼) o multme ınzestrata cu o relatie de echivalenta. Pentru fiecare ele-ment a ∈ A, definim multmea:

a = {x ∈ A |x ∼ a}

numita clasa de echivalenta a elementului a, relativ la relatia ” ∼ ”.

Definitia 1.4. O familie F ⊂ P(A) de submultimi (parti) ale multimii A senumeste partitie a multimii A daca satisface proprietatile:

1) (∀) X ∈ F X 6= ∅2) (∀) X, Y ∈ F X ∩ Y 6= ∅ ⇒ X = Y3) ∪X∈FX = A

Pentru (A,∼), sa notam:

A/∼ = { a | a ∈ A}

multimea claselor de echivalenta ale multimii A relativ la relatia ” ∼ ”.O proprietate importanta a multimii claselor de echivalenta este evidentiata de

teorema urmatoare.

Teorema 1.1. Multimea claselor de echivalenta A/∼, relativ la o relatie ” ∼ ” deechivalenta pe multimea A, reprezinta o partitie a multimii A.

O atentie speciala vom acorda ın continuare relatiilor de ordine.

Definitia 1.5. O relatie R definita pe o multime A se numeste relatie de ordinedaca este reflexiva, antisimetrica si tranzitiva.

Simbolurile utilizate ın general pentru indicarea relatiilor de echivalenta sunturmatoarele: ≤ , � , � , v , ⊂ .O multime A ınzestrata cu o relatie de ordine ≤ se numeste multime ordonatasi se noteaza (A,≤). Daca relatia de ordine ≤ este totala atunci multimea A senumeste total ordonata; ın caz contrar, multimea A se numeste partial ordonata.Mentionam deasemenea urmatoarele notatii conventionale:a ≥ b ⇔ b ≤ a; a < b ⇔ a ≤ b ∧ a 6= b; a > b ⇔ a ≥ b ∧ a 6= b.

Prezentam ın continuare cateva notiuni fundamentale legate de conceptul demarginire ın multimi ordonate.

Definitia 1.6. Fie (A,≤) o multime ordonata si X ⊂ A o submultime nevida amultimii A.Un element a ∈ A se numeste:

• majorant al multimii X, daca: (∀) x ∈ X x ≤ a

• minorant al multimii X, daca: (∀) x ∈ X a ≤ x

2

• cel mai mare element al multimii X, daca apartine multimii X si este unmajorant al acestei multimi

• cel mai mic element al multimii X, daca apartine multimii X si este unminorant al acestei multimi

• marginea superioara (supremumul) multimii X, daca este cel mai micmajorant al multimii X

• marginea inferioara (infimumul) multimii X, daca este cel mai mare mi-norant al multimii X

Multimea X se numeste marginia daca admite cel putin un minorant (este minorata)si respectiv cel putin un majorant (este majorata), adica:

(∃) a, b ∈ A (∀) x ∈ X a ≤ x ≤ b

Sa presupunem ca multimea nevida X ⊂ A admite o margine superioara s ∈ A.Din definitia de mai sus deducem ca s este caracterizat de urmatoarele doua pro-prietati:1) (∀) x ∈ X x ≤ s2) (∀) t ∈ A t < s ⇒ (∃) x ∈ X x > t.Deasemenea este usor de observat ca, ın cazul ca exista, marginea superiora amultimii X este unica (se aplica antisimetria relatiei de ordine). Unicitatea supre-mumului s ındreptateste notatia:

s = supX

In mod similar putem caracteriza (ın caz de existenta) infimumul i al unei multimiX prin:1) (∀) x ∈ X x ≥ i2) (∀) t ∈ A t > i ⇒ (∃) x ∈ X x < t.Notam:

i = inf X

Definitia 1.7. Multimea ordonata (A,≤) se numeste:

• completa ın ordine, daca orice submultime nevida si majorata a lui A admitesupremum

• bine ordonata, daca orice submultime nevida a lui A admite un cel mai micelement

Existenta marginii superioare a multimilor marginite superior (majorate) asiguraexistenta marginii inferioare a multimilor marginite inferior (minorate).

Teorema 1.2. Intr-o multime (A,≤) completa ın ordine, orice submultime nevidasi minorata admite infimum.

3

Demonstratie. Fie multimea X ⊂ A, X 6= ∅, marginita inferior. Atunci multimeaM = {m ∈ A | (∀) x ∈ X m ≤ x } a minorantilor lui X este nevida si majorata deoricare element x ∈ X (X 6= ∅). Conform ipotezei, exista i = supM. Cum i estecel mai mic majorant al multimii M , deducem i ≤ x, (∀) x ∈ X, deci i este unminorant al multimii X. Rezulta i ∈M. Dar i = supM, deci i ≥ m, (∀) m ∈M.Ca urmare, i este cel mai mare minorant al multimii X. Obtinem i = inf X.

Exemplul 1. Inegalitatea numerelor naturale este o relatie de ordine totala pemultimea N. In plus (N,≤) este bine ordonata si completa ın ordine.Exemplul 2. Incluziunea, definita pe multimea P(M) a submultimilor unei multiminevide M , este o relatie de ordine partiala, iar multimea (P(M),⊂) este completaın ordine. Astfel, pentru F ⊂ P(M), avem supF = ∪X∈FX si inf F = ∩X∈FX.

1.2 Functii

Definitia 1.8. O relatie R = (A,B,GR), se numeste relatie functionala dacasatisface proprietatea (numita de univocitate):

(∀) a ∈ A (∀) b, c ∈ B aRb ∧ aRc ⇒ b = c.

O relatie functionala f = (A,B,Gf ), se numeste functie daca este definita pemultimea A cu valori ın B, adica:

(∀) a ∈ A (∃) b ∈ B a f b (sau (a, b) ∈ Gf )

Notatia uzuala pentru o functie f = (A,B,Gf ) este f : A → B. Existenta siunicitatea elementului b ∈ B, asociat unui element fixat a ∈ A, avand proprietatea(a, b) ∈ Gf , justifica utilizarea curenta a notatiei f(a) = b. Astfel avem:

Gf = { (a, f(a)) | a ∈ A}

Este important sa distingem notiunea (algebrica) de grafic de reprezentarea geomet-rica a graficului, realizabila ın cazul relatiilor (ın particular functiilor) definite pemultimi numerice.Oricarei multimi M ıi putem asocia o functia 1M : M → M numita identitateamultimii M definita prin:

1M(x) = x, (∀) x ∈M

Prezentam succint definitiile injectivitatii, surjectivitatii, compunerii si inversabilitatiifunctiilor.

Definitia 1.9. Fie functiile f : A→ B, si g : B → C.1) Functia compusa g ◦f : A→ C este definita prin: g ◦f(a) = g(f(a)), (∀) a ∈A2) Functia f se numeste:

• injectiva, daca (∀) a1, a2 ∈ A f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2

4

• surjectiva, daca (∀) b ∈ B (∃) a ∈ A f(a) = b

• bijectiva, daca este injectiva si surjectiva

• inversabila, daca (∃) g : B → A f ◦ g = 1A ∧ g ◦ f = 1B

Un rezultat fundamental care leaga de notiunile definite anterior este formulatın teorema urmatoare.

Teorema 1.3. O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Definitia 1.10. Fie doua multimi ordonate (A,≤) si (B,�). O functie f : A→ Bse numeste:

• monoton crescatoare, daca (∀) a1, a2 ∈ A a1 ≤ a2 ⇒ f(a1) � f(a2)

• stict crescatoare, daca (∀) a1, a2 ∈ A a1 < a2 ⇒ f(a1) ≺ f(a2)

• monoton descrescatoare, daca (∀) a1, a2 ∈ A a1 ≤ a2 ⇒ f(a1) � f(a2)

• strict descrescatoare, daca (∀) a1, a2 ∈ A a1 < a2 ⇒ f(a1) � f(a2)

In sfarsit, vom defini notiunile de imagine si respectiv preimagine a unei multimiprintr-o functie.

Definitia 1.11. Fie functia f : A→ B, si multimile X ⊂ A, Y ⊂ B.Imaginea multimii X prin functia f este multimea:

f(X) = { f(x) |x ∈ X } = { y ∈ B | (∃) x ∈ X f(x) = y }.

Preimaginea multimii Y prin functia f este multimea:

f−1(Y ) = { x ∈ A | f(x) ∈ Y }.

O functie f : A→ B este surjectiva daca si numai daca f(A) = B. Pe de altaparte, atragem atentia ca definitia ”preimaginii” nu este legata de invesabilitate.

Sa urmarim acum proprietati legate de imaginea si preimaginea reuniunii siintersectiei.

Propozitia 1.1. Fie functia f : A→ B. Au loc relatiile:1) X ⊂ Y ⇒ f(X) ⊂ f(Y ), (∀) X, Y ⊂ A2) f(X ∪ Y ) = f(X) ∪ f(Y ), (∀) X, Y ⊂ A3) f(X ∩ Y ) ⊂ f(X) ∩ f(Y ), (∀) X,Y ⊂ A4) f−1(X ∪ Y ) = f−1(X) ∪ f−1(Y ), (∀) X,Y ⊂ B5) f−1(X ∩ Y ) = f−1(X) ∩ f−1(Y ), (∀) X,Y ⊂ B

5

2 Familii de multimi

Definitia 2.1. Fie o multime A, cu multimea submultimilor sale P(A), iar I omultime nevida (numita multimea indexilor).

• O multime F ⊂ P(A) se numeste familie de multimi (parti ale multimiiA).

• O functie I : I → P(A), I(i) = Ai i ∈ I se numeste familie indexata demultimi (parti ale multimii A) si se noteaza

I = {Ai | i ∈ I. } = (Ai)i∈I

In particular, o familie indexata dupa multimea numerelor naturale se numestesir de multimi si se noteaza (An)n∈N.

Un sir (An)n∈N de multimi se numeste crescator daca An ⊂ An+1, (∀) n ∈ N,si respectiv descrescator daca An ⊃ An+1, (∀) n ∈ N.

Operatiile curente cu familiile de multimi sunt reuniunea, intersectia si produsulcartezian.

Definitia 2.2. Pentru o familie indexata de multimi (Ai)i∈I , parti ale unei multimiA, definim

• reuniunea:∪i∈IAi = {x ∈ A | (∃) i ∈ I x ∈ Ai }

• intersectia:∩i∈IAi = { x ∈ A | (∀) i ∈ I x ∈ A }

• produsul cartezian:

∏i∈I

Ai = {ϕ : I → A |ϕ(i) ∈ Ai, (∀) i ∈ I } = { (ai)i∈I | ai ∈ Ai, (∀) i ∈ I }

3 Definirea axiomatica multimii numerelor reale

Multimea numerelor reale este obiectul matematic fundamental al analizei. Ea con-stituie cadrul natural de dezvoltare a notiunilor de convergenta, continuitate, deriv-abilitate, integrabilitate etc. Deasemenea multimea R este indispensabila definiriinotiunii de metrica. Ce este multimea numerelor reale? Simpla asociere a multimiiR cu multimea tuturor punctelor unei drepte orientate este o afirmatie satisfacatoareintuitiv, utila pentru fundamentarea geometriei analitice, dar nu poate fi acceptatadrept definitie. O definitie a multimii numerelor reale este data ın continuare

Definitia 3.1. Se numeste multimea numerelor reale o multime nevida R,ınzestrata cu doua operatii interne + si · si cu o relatie de ordine ≤, care verificaurmatoarele proprietati:1) (R,+, ·) este un corp (algebric) comutativ;

6

2) (R,≤) este o multime total ordonata;3) Relatia de ordine ” ≤ ” este compatibila cu operatiile algebrice de adunare (+) sirespectiv ınmultire (·), adica sunt satisfacute axiomele

(i) (∀) x, y, z ∈ R x ≤ y ⇒ x+ z ≤ y + z(ii) (∀) x, y, z ∈ R x ≤ y ∧ z ≥ 0 ⇒ xz ≤ yz.

4) Orice multime nevida si marginita superior, A ⊂ R, admite margine superioara,(deci exita supA), (Axioma marginii superioare).

Observatia 3.1. Se poate demonstra ca orice doua multimi R1 si R2 care ar verificaaxiomele de mai sus, sunt izomorfe. Deci, facınd abstractie de un izomorfism, existao singura multime de numere reale. Existenta corpului ordonat al numerelor reale,a fost demonstrata, prima data de Dedekind, bazındu-se pe multimea cunoscuta anumerelor rationale.

Observatia 3.2. Multimea numerelor rationale (Q,+, ·,≤) verifica proprietatile1), 2) si 3) de mai sus, dar nu verifica axioma marginii superioare.

Notam R+ = {x ∈ R |x ≥ 0} multimea elementelor pozitive ale corpului,numita conul pozitiv. Notam deasemenea R− = {−x |x ∈ R+ }.

Sa observam ca ın cadrul lui R se regaseste o parte izomorfa cu multimea nu-merelor naturale. Intr-adevar, deoarece R este corp, el contine un element neutruın raport cu ınmultirea, pe care ıl notam cu 1. Apoi prin adunari repetate a lui 1cu el ınsusi se obtin toate numerele naturale din cadrul lui R.

Definitia 3.2. Modulul unui element x ∈ R se defineste prin:

|x| ={

x, x ≥ 0−x, x < 0

Din definitia de mai sus rezulta o serie de proprietati caracteristice modulului.

Propozitia 3.1. Modulul are proprietatile urmatoare:

(i) |x| = max{x,−x} ≥ 0, (∀) x ∈ R;(ii) |x| = 0 ⇔ x = 0 (∀) x ∈ R;(iii) |x| < c ⇔ −c < x < c, (∀) c ∈ R∗+, (∀) x ∈ R;(iv) |xy| = |x||y|, (∀) x, y ∈ R;(v) |x|2 = x2, (∀) x ∈ R;(vi) |x+ y| ≤ |x|+ |y|, (∀) x, y ∈ R.

Demonstrarea acestor proprietati este imediata. Din proprietatea (iii) deducem:

|x− a| < ε ⇔ a− ε < x < a+ ε, (∀) x, a ∈ R, (∀) ε ∈ R∗+

7

4 Siruri de numere reale

Un sir (xn)n∈N cu termenii ın R trebuie ınteles ca o functie ϕ : N → R pentrucare notam xn = ϕ(n), n ∈ N. Daca (in)n∈N este un sir strict crescator de numerenaturale, atunci sirul (xin)n∈N se numeste subsir al sirului (xn)n∈N.

Definitia 4.1. Sirul (xn)n∈N se numeste:

• marginit, daca(∃) m > 0 (∀) n ∈ N |xn| ≤ m

• monoton crescator (respectiv descrescator), daca

(∀) n ∈ N xn ≤ xn+1 (respectiv xn ≥ xn+1)

• convergent, daca

(∃) a ∈ R (∀) ε > 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ Nε ⇒ |xn − a| < ε

si ın acest caz notam xn → a

• fundamental (sau sir Cauchy), daca

(∀) ε > 0 (∃) N ∈ N (∀) n,m ∈ N n,m ≥ Nε ⇒ |xn − xm| < ε

”Convergenta” semnifica tendinta termenilor sirului (xn)n∈N de a se apropia,pe masura cresterii rangului, de un anumit element a al corpului R. Elementulrespectiv, daca exista, este unic. Unicitatea rezulta prin reducere la absurd. Astfel,sa presupunem ca ın acelasi timp avem xn → a si xn → b cu a 6= b. Atunci,din definitia convergentei (aplicata pentru a si b) deducem ca exista un numar

natural N astfel ıncat pentru orice n ∈ N, cu n ≥ N, sa avem |xn − a| < |b−a|2

si

|xn − b| < |b−a|2. Dar ın acest caz, alegand un rang n ≥ N, obtinem :

|b− a| ≤ |b− xn|+ |xn − a| = |xn − b|+ |xn − a| < |b− a|2

+|b− a|

2= |b− a|

adica |b− a| < |b− a|, contradictie.Numarul unic a din definitia convergentei se numeste limita sirului (xn)n∈N sinotam:

limn→∞

xn = a.

”Fundamentabilitatea” semnifica tendinta termenilor sirului (xn)n∈N de a se apropiaıntre ei, pe masura cresterii rangului lor.

Proprietati imediate ale definitiilor de mai sus sunt urmatoarele.

Teorema 4.1. (i) orice sir convergent este fundamental;(ii) orice sir fundamental este marginit;(iii) daca un sir fundamental admite un subsir convergent atunci sirul este conver-gent.

8

Demonstratie. (i) Fie sirul convergent (xn)n∈N cu limn→∞ xn = a. Pentru unε > 0 arbitrar, exista un rang natural N astfel ca pentru orice rang natural n ≥ Nsa avem |xn − a| < ε/2. Atunci, pentru numerele naturale n,m ≥ N, avem

|xn − xm| ≤ |xn − a|+ |a− xm| < ε

2+ε

2= ε.

Rezulta ca sirul (xn)n∈N este fundamental.(ii) Presupunem ca sirul (xn)n∈N este fundamental. Atunci, pentru ε = 1 exista unrang naturalN astfel ıncat |xn−xm| < 1, (∀) n,m ≥ N. In particular obtinem |xn−xN | < 1, (∀) n ≥ N de unde |xn| ≤ |xn − xN | ++|xN | < 1 + |xN |, (∀) n ≥ N. Atunci |xn| ≤ m, (∀) n ∈ N, unde m == max{ |x0|, |x1|, · · · , |xN−1|, 1 + |xN | } > 0. Rezulta ca sirul dat este marginit.(iii) Sa presupunem ca sirul fundamental (xn)n∈N admite subsirul convergent (xin)n∈Ncu limita a ∈ R.Fie ε > 0. Putem gasi un rang N1 ∈ N astfel ca |xn − xm| < ε

2, (∀) n,m ≥ N1

si respectiv un rang N2 ∈ N astfel ca |xin − a| < ε2, (∀) n ≥ N2. Notam

N = max{N1, N2}. Pentru orice rang natural n ≥ N avem |xn−xin| < ε2, deoarece

in ≥ n ≥ N ≥ N1, si |xin − a| < ε2, deoarece n ≥ N ≥ N2. Obtinem:

|xn − a| ≤ |xn − xin |+ |xin − a| <ε

2+ε

2= ε, (∀) n ≥ N.

Rezulta ca sirul Cauchy (xn)n∈N este convergent cu limn→∞ xn = a.

Reciproca afirmatiei (i) a teoremei 4.1 nu este valabila ın corpul ordonat Q,Fie de exemplu sirul cu termeni rationali (xn)n∈N, definit recurent prin x0 = 0 sixn+1 = xn + 2−n

2, (∀) n ∈ N, este fundamental dar neconvergent (ın Q).

Prezentam ın continuare, proprietati fundamentale ale sirurior de numere reale,precum si axiomele lui Arhimede si Cantor, pe care le verifica corpul numerelorreale.

Teorema 4.2. Corpul numerelor reale verifica Axioma lui Arhimede, adica:

(∀) a, b ∈ R∗+ (∃) n ∈ N∗ n · a > b.

Teorema 4.3. Orice sir monoton si marginit din R este convergent.

Demonstratie. Presupunem ca sirul (xn)nN este marginit si monoton crescator.Atunci exista a = sup{ xn |n ∈ N }. Vom arata limn→∞ xn = a. Fie ε > 0. Dindefinitia marginii superioare deducem ca exista N ∈ N astfel ıncat a − ε < xN .Atunci

a− ε < xN ≤ xn ≤ a < a+ ε, (∀) n ≥ N.

Urmeaza xn → a.Similar, daca sirul (xn)n∈N este monoton descrescator si marginit inferior, atuncisirul este convergent, cu limn→∞ xn = inf{ xn |n ∈ N }.

Corpul numerelor reale verifica Axioma lui Cantor, adica pentru orice sir(In)n∈N descrescator de intervale ınchise din R, unde In = [an, bn] = { x ∈ R | an ≤

9

x ≤ bn}, cu In ⊃ In+1, (∀) n ∈ N si limn→∞(bn − an) = 0, exista un elementc ∈ R astfel ıncat

∩n∈NIn = {c}

Teorema 4.4. R este complet ın sens Cauchy, adica are proprietatea ca oricesir fundamental este convergent.

Demonstratie. Fie (xn)n∈N un sir fundamental. Atunci (xn)n∈N este marginit(conform teoremei 4.1), deci exista doua elemente din R, a0 < b0, astfel ca a0 ≤xn ≤ b0, (∀) n ∈ N . Vom dovedi ca sirul admite un subsir convergent (Lema luiCesaro). Astfel, definim ın mod recurent sirul strict crescator de numere naturale(in)n∈N si sirul descrescator de intervale ınchise (In)n∈N, In = [an, bn] prin:• i0 = 0, I0 = [a0, b0];• Intervalul In+1 este ales ca unul dintre intervalele [an,

an+bn2

] si [an+bn2

, bn],care contine o infinitate de termeni ai sirului dat, iar in+1 > in este ales astfel ıncatxin+1 ∈ In+1. Din constructia indicata rezulta (prin inductie)

0 < bn − an =b0 − a0

2n, n ∈ N.

Cum 12n→ 0 , avem bn − an → 0. Conform ipotezei (axioma lui Cantor) exista

c ∈ R a. ı. ∩n∈NIn = {c}. Dar din xin , c ∈ In deducem |xin − c| ≤ bn − an → 0,de unde obtinem limn→∞ xin = c. Atunci, conform teoremei 4.1, rezulta ca sirulfundamental (xn)n∈N este convergent, cu limn→∞ xn = c. Asadar R este completın sens Cauchy.

In continuare vom introduce noi notiuni legate de extindererea multimii R, cudoua noi elemente +∞ si −∞. Convenim sa notam R = R ∪ {−∞,∞} multimeanumita dreapta ıncheiata. Elementul +∞ este cel mai mare element a lui R, iar−∞ este cel mai mic element al acestei multimi.

Pentru o multime nevida A din R, notam

• supA =∞, daca multimea A este nemarginita superior;

• inf A = −∞, daca multimea A este nemarginita inferior.

Definim limitele ”infinite” ale sirurilor reale astfel:

• limn→∞ xn =∞ daca

(∀) m > 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ N ⇒ xn > m

• limn→∞ xn = −∞ daca

(∀) m < 0 (∃) N ∈ N (∀) n ∈ N n ≥ N ⇒ xn < m

Definitia 4.2. Un element a ∈ R se numeste punct limita al unui sir (xn)n∈Nde numere reale daca exista un subsir (xin)n∈N al sirului (xn)n∈N cu limn→∞ xin == a.

10

Propozitia 4.1. Orice sir de numere reale admite cel putin un punct limita.

Demonstratie. Daca sirul este marginit se aplica Lema lui Cesaro. Daca siruleste nemarginit se arata ca acesta admite un subsir cu limita infinita.In contextul de mai sus, sa definim punctele limita extreme ale unui sir de numerereale.

Definitia 4.3. Fie (xn)n∈N un sir de numere reale.Notam Xn = { xk | k ≥ n } multimea termenilor sirului de rang cel putin n.Definim

• limita superioara a sirului:

lim supn→∞

xn = inf{ supXn |n ∈ N },

cu conventia inf{∞} =∞.• limita inferioara a sirului:

lim infn→∞

xn = sup{ inf Xn |n ∈ N },cu conventia sup{−∞} = −∞.

Se dovedeste ca limitele superioara si inferioara ale unui sir de numere realereprezinta cel mai mare si respectiv cel mai mic punct limita al sirului. Deasemeneaare loc urmatoarea caracterizare a limitei:

Propozitia 4.2. Un sir de numere reale are limita (ın particular este convergent)dacasi numai daca limitele superioara si inferioara sunt egale (ın particular finite siegale). In acest caz avem:

limn→∞

xn = lim supn→∞

xn = lim infn→∞

xn.

In finalul discutiei despre sirurile de numere reale, amintim cateva criterii im-portante de convergenta.

• Criteriul majorarii: Daca pentru sirurile (xn)n∈N si (pn)n∈N, cu proprietatilepn > 0, (∀) n ∈ N si pn → 0 si numarul real a avem

|xn − a| ≤ pn, (∀) n ∈ N,atunci xn → a;

• Criteriul cleste: Daca pentru sirurile (xn)n∈N, (an)n∈N si (bn)n∈N, cu pro-prietatile an → c, bn → c, avem

an ≤ xn ≤ bn, (∀) n ∈ N,atunci xn → c;

• Criteriul lui Stolz: Daca pentru sirurile (an)n∈N si (bn)n∈N, cu proprietatile0 < bn < bn+1, (∀) n ∈ N si bn →∞ , avem

limn→∞

an+1 − anbn+1 − bn = c

atunci limn→∞ anbn

= c.

11

Curs 2

Serii numerice

1 Definitii. Generalitati.

In acest capitol vom studia seriile de numere reale. Cu ajutorul seriilor se poateda un sens notiunii de ”suma” a termenilor unui sir de numere reale. Spre deosebirede suma unui numar finit de termeni, care poate fi definita pur algebric, sumatermenilor unui sir, necesita folosirea notiunii de convergenta. In definitia urmatoarevom introduce notiunile fundamentale pe care le vom folosi ın continuare.

Definitia 1.1. Fie un sir de numere reale (an)n∈N. Se numeste seria atasata siruluidat, ansamblul format din sirurile (an)n∈N si (Sn)n∈N, unde Sn := a0 + . . . + an,(n ≥ 0). Aceasta serie se noteaza cu

∑n≥0

an. Termenii an se numesc termenii

seriei, iar termenii Sn se numesc sumele partiale ale seriei. In cazul ın care sirul(Sn)n∈N este convergent, seria se numeste convergenta, iar ın caz contrar, seriase numeste divergenta. Limita sirului (Sn)n∈N, ın cazul ın care exista, se numeste

suma seriei si se noteaza cu∞∑n=0

an.

Calitatea unei serii de a fi convergenta sau divergenta poarta numele de naturaseriei.

Seria∑n≥0

an, precum si suma ei, ın cazul convergentei se mai noteaza prin a0 +

a1 + . . .. Daca ın seria∑n≥0

avem a0 = a1 = . . . = ak−1 = 0, notam seria si prin

∑n≥k

an, iar suma sa prin∞∑n=k

an.

Vom da ın continuare cateva exemple de serii. Una dintre cele mai importanteserii, de care vom avea nevoie si ın continuare este seria geometrica.

Exemplul 1.1. Seria geometrica se defineste prin∑n≥0

qn, unde q ∈ R. Avem

Sn = 1 + q+ . . .+ qn = 1−qn+1

1−q , pentru q 6= 1 si Sn = n+ 1, pentru q = 1. Rezulta ca

seria este convergenta si are suma 11−q , daca |q| < 1 si este divergenta cand |q| ≥ 1.

In plus suma seriei este +∞ pentru q ≥ 1.

Exemplul 1.2. Fie seria∑n≥1

1n(n+1)

. Pentru n ≥ 1, avem Sn = 11·2 + . . . 1

n(n+1)

=(

11− 1

2

)+ . . . +

(1n− 1

n+1

). Dupa reducerea termenilor asemenea, obtinem Sn =

1− 1n+1

. Deoarece limn→∞ Sn = 1, conchidem ca seria este convergenta si are sumaegala cu 1.

1

Exemplul 1.3. Fie seria∑n≥1

n(n+1)!

. Avem Sn =n∑k=0

k(k+1)!

=

=n∑k=0

(1k!− 1

(k+1)!

)= 1

0!− 1

(n+1)!= 1 − 1

(n+1)!. Obtinem limn→∞ Sn = 1. Deci se-

ria este convergenta cu suma 1.

Propozitia 1.1. i) Daca ıntr-o serie∑n≥0

an, adaugam, eliminam, sau modifi-

cam un numar finit de termeni, natura seriei nu se schimba, ci doar suma ei semodifica, ın cazul cand este convergenta.

ii) Daca toti termenii unei serii se ınmultesc cu o constanta k 6= 0, atunci naturaseriei nu se modifica dar, ın cazul convergentei, suma noii serii este egala cu sumaseriei date ınmultita cu k.

Demonstratie. i) Sa observam ca toate operatiile mentionate, se pot reduce doarla doua mai simple si anume, a) adaugarea unui numar finit de termeni la ınceputulseriei si b) eliminarea unui numar finit de termeni de la ınceputul seriei. Datoritasimetriei, este suficient sa vedem doar operatia b). Deci sa observam ca orice serie∑n≥0

an are aceasi natura cu seria de forma∑n≥0

an+k, unde k ∈ N. Dar sumele partiale

ale acestor doua serii difera prin constanta, a0 + . . . + ak−1, si deci cele doua siruriau aceasi natura. In cazul convergentei, limitele lor difera prin aceasta constantaaditiva.

ii) Sumele partiale ale seriei modificate, sunt egale cu sumele partiale ale serieidate ınmultite cu factorul k. Atunci cele doua siruri sunt simultan convergente saudivergente si ın cazul convergentei, limitele lor difera de asemenea prin factorul mul-tiplicativ k.

Obiectul studiului seriilor nu vizeaza doar calculul sumei seriilor. De fapt pentruo mica parte a seriilor lucrul acesta este posibil. De obicei ne vom multumi sastabilim doar daca seria este convergenta sau divergenta. Acest lucru se poate faceprin aplicarea diferitelor criterii de convergenta. In functie de tipul seriei se va alegeun criteriu sau altul. Exista un criteriu general de convergenta, si anume Criteriulgeneral al lui Cauchy, pe care ıl vom prezenta ın continuare. Totusi mentionam caaplicarea acestui criteriu ın practica este dificil. De aceea, importanta lui este maimult teoretica si ne va folosi pentru a demonstra alte criterii de convergenta maisimple.

Teorema 1.1. (Criteriul general al lui Cauchy) Seria∑n≥0

an, este convergenta,

daca si numai daca, pentru orice ε > 0, exista un indice nε ∈ N, astfel ıncat, pentruorice n ≥ nε si m ≥ nε, n ≤ m, avem |an + . . .+ am| < ε.

Demonstratie. Sa notam Sn := a0 + . . .+ an, (n ∈ N). Conditia din enuntul teo-remei este echivalenta cu conditia ca pentru orice ε > 0, sa existe un indice nε ∈ N,astfel ıncat, pentru orice n ≥ nε si m ≥ nε, n ≤ m, sa avem |Sm − Sn−1| < ε.Dar aceasta este conditia ca sirul (Sn)n∈N sa fie fundamental. Deoarece un sir esteconvergent, daca si numai daca este fundamental, gasim ca conditia din enuntul

2

teoremei este echivalenta cu faptul ca sirul (Sn)n∈N este convergent, ceea ce esteacelasi lucru cu faptul ca seria

∑n≥0

an este convergenta.

Observatia 1.1. Conditia din criteriul lui Cauchy, se poate formula pentru seria∑n≥0

an, ın mod echivalent astfel: pentru orice ε > 0, sa existe un indice nε ∈ N, astfel

ıncat, pentru orice n ≥ nε si orice p ≥ 0, sa avem |an + . . .+ an+p| < ε.

Corolarul 1.1. Daca seria∑n≥0

an este convergenta, atunci limn→∞ an = 0.

Demonstratie. Aplicam necesitatea conditiei din criteriul lui Cauchy. Deoareceın aceasta conditie indicii n ≥ nε si m ≥ nε, se pot alege arbitrar, putem lua m = nsi obtinem |an| < ε, pentru orice n ≥ nε, ceea ce arata ca sirul (an)n∈N are limita 0.

Observatia 1.2. Reciproca din Corolarul 1.1 nu este adevarata. In Exemplele 3.1si 3.2, din paragraful urmator, sunt prezentate serii divergente, dar cu termenulgeneral tinzand la zero.

Definitia 1.2. Seria∑n≥0

an se numeste absolut convergenta, daca seria∑n≥0

|an|este convergenta.

Teorema 1.2. (Criteriul absolutei convergente) Orice serie absolut conver-genta este convergenta.

Demonstratie. Fie seria∑n≥0

an absolut convergenta. Aplicand criteriul general al

lui Cauchy, partea de necesitate, la seria modulelor, rezulta ca pentru orice ε > 0,exista un indice nε ∈ N, astfel ıncat, pentru orice n ≥ nε si m ≥ nε, n ≤ m, avem|an| + . . . + |am| < ε. Dar atunci avem |an + . . . + am| ≤ |an| + . . . + |am| < ε.Aplicand acum suficienta criteriului general al lui Cauchy seriei

∑n∈N

an, obtinem ca

aceasta este convergenta.

Observatia 1.3. Reciproca teoremei de mai sus nu este adevarata. Exemple ınacest sens vom prezenta ulterior. Din acest motiv este utila definitia urmatoare.

Definitia 1.3. O serie se numeste semiconvergenta, daca ea este convergenta,dar nu este absolut convergenta.

Propozitia 1.2. Fie∑n≥0

an o serie absolut convergenta, cu suma a. Fie ε > 0 si

nε ∈ N, astfel ıncatn+p∑k=n

|ak| < ε, pentru orice n ≥ nε si orice p ≥ 0. Atunci avem

|n∑k=0

ak − a| ≤ ε, (∀)n ≤ nε.

3

Demonstratie. Notam cu (Sn)n∈N sirul sumelor partiale ale seriei∑n≥0

an. Fie n ≥

nε fixat si fie p ≥ 1 variabil. Avem Sn+p = Sn +n+p∑

k=n+1

ak ≤ Sn +n+p∑

k=n+1

|ak| ≤ Sn + ε.

Analog avem Sn+p ≥ Sn− ε. Trecand la limita cand p→∞, ın cele doua inegalitatiobtinem Sn − ε ≤ a ≤ Sn + ε, adica |Sn − a| < ε.

2 Criterii de comparatie pentru seriile cu termeni

pozitivi.

Observatia 2.1. Daca∑n≥0

an este o serie cu termeni pozitivi: an ≥ 0, (n ≥ 0),

atunci sirul sumelor partiale (Sn)n∈N este crescator. In consecinta, seria∑n≥0

an este

convergenta, daca si numai daca sirul (Sn)n∈N este marginit. Daca sirul (Sn)n∈N este

marginit, si deci seria este convergenta, notam∞∑n=0

an <∞. Daca sirul (Sn)n∈N este

nemarginit, si deci seria este divergenta, avem∞∑n=0

an =∞.

In continuare vom analiza criterii pentru stabili natura unei serii cu termenipozitivi. Vom ımpartii aceste criterii ın doua categorii: i) criterii de comparatie, pecare le vom studia ın acest paragraf, ın care, natura unei serii se stabileste folosindo serie ajutatoare a carei natura este cunoscuta si ii) criterii directe, prezentate ınparagraful urmator, la care natura unei serii se obtine studiind doar termenii sai.

Teorema 2.1. (Criteriul 1 de comparatie) Fie seriile cu termeni pozitivi,∑n≥0

an

si∑n≥0

bn, pentru care exista n0 ∈ N astfel ıncat

an ≤ bn, pentru orice n ≥ n0.

i) Daca∞∑n=0

an <∞, atunci∞∑n=0

an <∞.

ii) Daca∞∑n=0

an =∞, atunci∞∑n=0

bn =∞.

Demonstratie. Fie Sn = a0 + . . . + an si Tn = b0 + . . . + bn. Avem Sn − Sn0 ≤Tn− Tn0 , pentru orice n ≥ n0. Daca

∞∑n=0

bn <∞, atunci sirul (Tn)n∈N este marginit.

Rezulta sirul (Sn)n∈N marginit, adica∞∑n=0

an <∞. Daca∞∑n=0

an =∞, rezulta ca sirul

(Sn)n∈N este nemarginit si deci si sirul (Tn)n∈N este nemarginit, adica∞∑n=0

bn =∞.

4

Teorema 2.2. (Criteriul 2 de comparatie) Fie seriile cu termeni strict pozi-tivi,

∑n≥0

an si∑n≥0

bn, pentru care exista n0 ∈ N astfel ıncat

an+1

an≤ bn+1

bn, pentru orice n ≥ n0.

i) Daca∞∑n=0

bn <∞, atunci∞∑n=0

an <∞.

ii) Daca∞∑n=0

an =∞, atunci∞∑n=0

bn =∞.

Demonstratie. Din ipoteza avem pentru orice n ≥ n0:

unun0

=unun−1

· un−1

un−2

· · · un0+1

un0

≤ vnvn−1

· vn−1

vn−2

· · · vn0+1

vn0

.

Deci un ≤ kvn, (n ≥ n0), unde k :=un0

vn0. Tinınd cont ca seriile

∑n≥0

vn si∑n≥0

kvn

au aceasi natura, prin aplicarea primului criteriu de comparatie, se obtine teorema.

Teorema 2.3. (Criteriul de comparatie cu limita) Fie seriile cu termeni strictpozitivi,

∑n≥0

an si∑n≥0

bn. Presupunem ca exista l ∈ [0, ∞) ∪ {∞} astfel ıncat

limn→∞

bnan

= l.

i) Daca∞∑n=0

an <∞, si l <∞, atunci∞∑n=0

bn <∞.

ii) Daca∞∑n=0

an =∞, si l > 0, atunci∞∑n=0

bn =∞.

Demonstratie. i) Alegem ρ > l. Exista n0 ∈ N, astfel ıncat bnan< ρ, pentru orice

n ≥ n0. Deci bn < ρun, (n ≥ n0). Din∞∑n=0

an <∞, rezulta∞∑n=0

ρan <∞ si aplicand

primul criteriu de comparatie, rezulta∞∑n=0

bn <∞.

ii) Alegem 0 < ρ < l. Exista n0 ∈ N astfel ıncat bnan> ρ, adica bn > ρan, pentru

n ≥ n0. Din∞∑n=0

an = ∞, rezulta∞∑n=0

ρan = ∞ si apoi, aplicand primul criteriu de

comparatie, rezulta∞∑n=0

bn =∞.

Teorema 2.4. (Criteriul lui Kummer) Fie seria∑n≥0

an, an > 0, (n ≥ 0), si sirul

(bn)n∈N, bn > 0, (n ≥ 0). Notam:

Kn := bnanan+1

− bn+1, (n ≥ 0).

5

i) Daca exista ρ > 0 si n0 ∈ N astfel ıncat, Kn ≥ ρ, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞.

ii) Daca∞∑n=0

1bn

= ∞ si exista n0 ∈ N, astfel ıncat Kn ≤ 0, (n ≥ n0), atunci

∞∑n=0

an =∞.

Demonstratie. i) Din ipoteza avem: ak+1 ≤ 1ρ(akbk − ak+1bk+1), (k ≥ n0). Deci

a0 + . . .+ an ≤ a0 + . . .+ an0 +1

ρ

n−1∑

k=n0

(akbk − ak+1bk+1) =

= a0 + . . .+ an0 +1

ρ(an0bn0 − anbn) ≤ a0 + . . .+ an0 +

1

ρan0bn0 .

Deoarece sumele partiale sunt marginite, rezulta∞∑n=0

an <∞.

ii) Din conditia Kn ≤ 0, (n ≥ n0) se obtine an+1

an≥

1bn+1

1bn

, (n ≥ n0). Tinand

seama ca∑n≥0

1bn

=∞ si aplicand al doilea criteriu de comparatie, se obtine∞∑n=0

an =

∞.

Corolarul 2.1. Fie seria∑n≥0

an, an > 0, (n ≥ 0), si sirul (bn)n∈N, bn > 0,

(n ≥ n0), cu proprietatea ca∑n≥0

1bn

= ∞. Presupunem ca exista l ∈ R, astfel

ıncat l = limn→∞Kn.

i) Daca l > 0, atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca l < 0, atunci∞∑n=0

an =∞.

Demonstratie. i) Alegem 0 < ρ < l. Exista n0 ∈ N, astfel ıncat Kn ≥ ρ, pentrun ≥ n0 si putem aplica teorema.

ii) Exista n0 ∈ N, astfel ıncat Kn ≤ 0, pentru n ≥ n0 si de asemenea putemaplica teorema.

3 Criterii directe pentru serii cu termeni pozitivi

Teorema 3.1. (Criteriul radacinii, sau criteriul lui Cauchy) Fie seria cutermeni pozitivi,

∑n≥0

an. Notam

Cn := n√an, n ∈ N.

6

i) Daca exista q < 1 si un indice n0 ∈ N, astfel ıncat Cn ≤ q, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca exista un subsir de indici (nk)k∈N astfel ıncat Cnk ≥ 1, pentru orice

k ∈ N, atunci∞∑n=0

an =∞.

Demonstratie. i) Din ipoteza avem an ≤ qn, (n ≥ n0). Deoarece 0 ≤ q < 1 seriageometrica cu ratia q este convergenta, vezi Exemplul 1.1. Atunci, aplicand criteriul

1 de comparatie, rezulta∞∑n=0

an <∞.

ii) Din ipoteza rezulta ca ank ≥ 1, (k ∈ N). Rezulta ca sirul (an)n∈N nu are limita0 si atunci din corolarul criteriului general al lui Cauchy, rezulta ca seria

∑n≥0

an este

divergenta.

Corolarul 3.1. Fie seria cu termeni pozitivi∑n≥0

an. Sa notam l :=

= lim supn→∞Cn.

i) Daca l < 1, atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca l > 1, atunci∞∑n=0

an =∞.

Demonstratie. i) Alegem l < q < 1. Exista un indice n0 ∈ N, astfel ıncatCn < q, (n ≥ n0). Deci se poate aplica teorema precedenta.

ii) Exista un subsir al sirului (Cn)n∈N, cu limita l > 1. De la un rang ıncepand,termenii subsirului sunt mai mari sau egali cu 1. Atunci putem aplica teorema.

Teorema 3.2. (Criteriul raportului, sau criteriul lui D’Alembert) Fie seriacu termeni strict pozitivi

∑n≥0

an. Notam:

Dn :=an+1

an.

i) Daca exista q < 1 si un indice n0 ∈ N, astfel ıncat Dn ≤ q, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca exista un indice n0 ∈ N, astfel ıncat Dn ≥ 1, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an =

∞.

Demonstratie. i) Din ipoteza, avem an+1

an≤ qn+1

qn, (n ≥ n0). Deoarece

0 ≤ q < 1, seria∑n≥0

qn este convergenta. Aplicand al doilea criteriu de comparatie,

rezulta ca∞∑n=0

an <∞.

7

ii) Din ipoteza, rezulta ca sirul (an)n∈N nu coverge la 0 si potrivit Corolarului1.1, seria

∑n≥0

an este divergenta.

Corolarul 3.2. Fie seria cu termeni strict pozitivi∑n≥0

an. Presupunem ca exista

limn→∞Dn = l.i) Daca l < 1, atunci seria converge.ii) Daca l > 1, atunci seria diverge.

Demonstratie. i) Alegem l < q < 1. Exista n0 ∈ N, astfel ıncat, Dn ≤ q, pentrun ≥ n0. Se poate aplica apoi criteriul raportului.

ii) Exista un indice n0 ∈ N, astfel ıncat, Dn ≥ 1, pentru n ≥ n0. Se poate aplicaatunci teorema precedenta.

Teorema 3.3. (Criteriul condensarii) Fie seria∑n≥p

an, p ∈ N cu termenii pozitivi

si descrescatori. Aceasta serie are aceasi natura cu seria∑k≥j

2ka2k , unde j ∈ N este

ales arbitrar astfel ıncat 2j ≥ p.

Demonstratie. Daca p > 0, completam seria, luand numerele ai := ap, pentru(0 ≤ i ≤ p − 1). Seria data

∑n≥p

an are aceasi natura cu seria completata∑n≥0

an si

ın plus termenii seriei completate sunt pozitivi si descrescatori. Sa notam Sn :=a0 + . . .+ an, (n ≥ 0). Tk := a1 + 2a2 + 22a22 + . . .+ 2ka2k , (k ≥ 0). Deoarece sirul(Sn)n∈N este crescator, el are aceasi natura cu subsirul (S2k)k∈N. Folosind monotoniasirului (an)n∈N. Avem:

S2k = a0 + a1 + (a2) + (a3 + a4) + (a5 + . . .+ a8) + . . .+(a{2k−1+1} + . . .+ a2k

) ≥

≥ a0 + a1 + 20a21 + 21a22 + 22a23 + . . .+ 2k−1a2k = a0 +1

2· a1 +

1

2· Tk.

Pe de alta parte:

S2k = a0 + (a1) + (a2 + a3) + (a4 + . . .+ a7) + . . .+(a{2k−1} + . . .+ a{2k−1}

)+ a2k ≤

≤ a0 + 20a20 + 21a21 + 22a22 + . . .+ 2k−1a{2k−1} + 2ka2k = a0 + Tk.

Din dubla inegalitate

a0 +1

2· a1 +

1

2· Tk ≤ S2k ≤ a0 + Tk, (k ≥ 1),

rezulta ca sirurile (Tk)k∈N si (S2k)k∈N au aceasi natura. Deci seriile∑n≥0

an si∑k≥0

2ka2k

au aceasi natura. Dar ın plus seriile∑k≥j

2ka2k si∑k≥0

2ka2k au aceasi natura. Obtinem

ca seriile∑k≥j

2ka2k si∑n≥p

an au aceasi natura.

8

Exemplul 3.1. (Seria armonica) Seria armonica de parametru α ∈ R se definesteprin

∑n≥1

1nα

. Avem

∞∑n=1

1

nα=

{<∞, α > 1=∞, α ≤ 0

.

Intr-adevar, folosind criteriul condensarii, rezulta ca seria armonica are aceasinatura cu seria

∑k≥0

2k 1(2k)α

=∑k≥0

(21−α)k. Aceasta este o serie geometrica cu ratia

21−α, care este convergenta sau divergenta dupa cum ratia este strict subunitara saurespectiv mai mare sau egala cu 1. De aici rezulta discutia dupa α.

Exemplul 3.2. Avem:∞∑n=2

1

n ln n=∞.

Intr-adevar, din criteriul condensarii, aceasta serie are aceasi natura cu seria∑k=1

2k 12k ln 2k

=∑k≥1

1k. Dar aceasta este seria armonica cu α = 1 si deci este divergenta.

Teorema 3.4. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria cu termeni strict pozitivi∑n≥0

an. Notam:

Rn := n

(anan+1

− 1

), (n ∈ N).

i) Daca exista q > 1 si n0 ∈ N, astfel ıncat Rn ≥ q, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca exista n0 ∈ N, astfel ıncat Rn ≤ 1, (n ≥ n0), atunci∞∑n=0

an =∞.

Demonstratie. Alegem bn := n, (n ∈ N) ın criteriul lui Kummer. Se ob-

serva ca∞∑n=1

1bn

=∞∑n=1

1n

= ∞, (vezi Exemplul 3.1, pentru α = 1). Avem Kn =

= bnanan+1− bn+1 = Rn − 1.

i) Notam ρ := q − 1 si obtinem Kn ≥ ρ, (n ≥ n0). Se obtine∞∑n=0

an <∞.

ii) Din Rn ≥ 1, (n ≥ n0), se obtine Kn ≥ 0, (n ≥ n0) si apoi∞∑n=0

an =∞.

Corolarul 3.3. Fie seria cu termeni strict pozitivi∑n≥0

an. Presupunem ca exista

limn→∞Rn = l.

i) Daca l > 1, atunci∞∑n=0

an <∞,

ii) Daca l < 1, atunci∞∑n=0

an =∞.

9

Demonstratie. i) Alegem 1 < q < 1. Exista n0 ∈ N, astfel ıncat Rn ≥ q,(n ≥ n0). Deci se poate aplica teorema.

ii) Exista un indice n0 ∈ N, astfel ıncat, Rn ≤ 1, pentru n ≥ n0. Se poate aplicaatunci teorema.

4 Criterii de convergenta pentru serii cu termeni

oarecare

Teorema 4.1. (Criteriul lui Dirichlet) Fie seria∑

n≥0(anbn). Notam Sn :=a0 + . . .+ an, (n ≥ 0). Daca

i) sirul (Sn)n este marginit,ii) sirul (bn)n este descrescator, cu limita zero,

atunci seria data este convergenta.

Demonstratie. Fie n, p ∈ M. Are loc urmatoarea formula, numita transfor-mata lui Abel:

anbn + . . .+ an+pbn+p = bn(Sn − Sn−1) + . . .+ bn+p(Sn+p − Sn+p−1) =

= bn+pSn+p − bnSn−1 +

n+p−1∑

k=n

Sk(bk − bk+1). (1)

Fie M > 0, astfel ıncat |Sk| ≤M , pentru orice k ∈ N. Avem

|anbn + . . .+ an+pbn+p| ≤ (bn+p|Sn+p|+ bn|Sn|) +

n+p−1∑

k=n

|Sk|(bk − bk+1) =

= M

(bn+p + bn +

n+p−1∑

k=n

(bk − bk+1)

)= 2Mbn.

Daca ε > 0, alegem nε ∈ N, astfel ıncat bn <ε

2M, pentru orice n ≥ nε. Atunci

rezulta |anbn + . . . + an+pbn+p| < ε, (n ≥ nε, p ≥ 0). Aplicand criteriul general allui Cauchy, rezulta ca seria

∑n≥0 anbn este convergenta.

Corolarul 4.1. (Criteriul lui Leibniz) Fie seria∑

n≥0(−1)nun, Daca sirul (un)neste monoton descrescator si cu limita zero, atunci seria data este convergenta.

Demonstratie. Se poate aplica criteriul lui Dirichlet, facand alegerile: an :=(−1)n, si bn := un, pentru n ≥ 0. Intr-adevar, sirul (Sn)n, ia doar valorile 1 si 0,deci este marginit, iar sirul (un)n satisface conditiile cerute pentru sirul (bn)n.

Teorema 4.2. (Criteriul lui Abel) Fie seria∑

n≥0(anbn). Dacai) seria

∑n≥0

an este convergenta, iar

ii) sirul (bn)n este monoton si marginit,atunci seria data este convergenta.

10

Demonstratie. Presupunem, pentru a face o alegere, ca sirul (bn)n este monotondescrescator. Notam Sn := a0 + . . . + an, (n ≥ 0) si S :=

∑n≥0

an. Deoarece sirul

(bn)n este convergent, el este si marginit. Fie M > 0, astfel ıncat |bn| ≤ M , pentruorice n ∈ N.

Fie ε > 0 ales arbitrar. Exista un rang nε ∈ N, astfel ıncat, pentru orice n ≥ nεsa avem |Sn − S| < ε

4M. Folosind transformata lui Abel, vezi (1) din teorema

precedenta, gasim pentru n ≥ nε si p ≥ 0:

|anbn + . . .+ an+pbn+p| =

= |bn+p(Sn+p − S)− bn(Sn − S) +

n+p−1∑

k=n

(bk − bk+1)(Sk − S)| ≤

≤ |bn+p| |Sn+p − S|+ |bn| |Sn − S|+n+p−1∑

k=n

|bk − bk+1| |Sk − S| ≤

≤ ε

4M

(|bn+p|+ |bn|+

n+p−1∑

k=n

(bk − bk+1)

)=

ε

4M(2|bn+p|+ 2|bn|) = ε.

Folosind criteriul general al lui Cauchy, rezulta ca seria∑

n≥0(anbn) este convergenta.

5 Operatii cu serii

Deoarece operatia de amplificarea cu un scalar al unei serii am discutat-o ın Propozitia1.1, vom analiza acum suma si produsul a doua serii.

Definitia 5.1. Seria∑

n≥0(an + bn) se numeste suma seriilor∑n≥0

an si∑n≥0

bn.

Teorema 5.1. Fie seriile∑n≥0

an si∑n≥0

bn.

i) Daca ambele serii sunt convergente, atunci seria suma este de asemenea con-vergenta si ın plus avem:

∑n≥0

(an + bn) =∑n≥0

an +∑n≥0

bn.

ii) Daca una dintre serii are suma infinita, iar cealalta este convergenta, sau aresuma infinita, de acelasi semn cu prima, atunci seria suma este infinita, de acelasisemn.

Demonstratie. Daca notam cu (Sn)n, (Tn)n, (Un)n, (n ≥ 0), sumele partiale aleseriilor

∑n≥0

an,∑n≥0

bn si respectiv∑

n≥0(an + bn), atunci avem pentru orice n ∈ N:

Sn + Tn = Un. De aici, folosind proprietatiile sirurilor, obtinem punctele i) si ii) dinteorema.

11

Definitia 5.2. Fie seriile∑n≥0

an si∑n≥0

bn. Notam pentru orice n ≥ 0:

cn := a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0.

Seria∑n≥0

cn se numeste seria produs al seriilor∑n≥0

an si∑n≥0

bn. Seria produs se

mai numaste si produsul Cauchy sau produsul de convolutie al seriilor date.

Teorema 5.2. (Mertens) Daca seriile∑n≥0

an si∑n≥0

bn sunt convergente si una

dintre ele este absolut convergenta, atunci seria produs a lor,∑n≥0

cn este convergenta

si ın plus avem:∑n≥0

cn =

(∑n≥0

an

)(∑n≥0

bn

). (2)

Demonstratie. Fie Sn := a0+. . .+an, Tn := b0+. . .+bn, Un := c0+. . .+cn, (n ≥0). Sa notam de asemenea a :=

∑n≥0

an si b :=∑n≥0

bn. Presupunem, pentru o alegere

ca seria∑n≥0

bn, este absolut convergenta. Fie M > 0 si M1 > 0, astfel ıncat |bn| ≤M

si |Sn − a| ≤M1, pentru orice n ∈ N.Fie ε > 0 ales arbitrar. In primul rand, deoarece limn→∞ Tn = b, putem alege un

indice n1ε ∈ N, astfel ıncat

|a| |Tn − b| < ε

3, (∀)n ≥ nε.

Apoi, deoarece seria∑n≥0

bn este absolut convergenta putem gasi un indice n2ε ≥ n1

ε,

astfel ıncat|bn|+ . . .+ |bn+p| < ε

3M1

, (∀)n ≥ n2ε (∀) p ≥ 0.

In final exista un indice n3ε ≥ n2

ε, astfel ıncat

|Sn − a| < ε

3M(n2ε + 1)

. (∀)n ≥ n3ε.

Alegem acum nε = n2ε + n3

ε. Fie n ≥ nε. Avem:

|U − ab| = |b0Sn + b1Sn−1 + . . .+ bnS0 − ab| == |a(b0 + . . .+ bn − b) + b0(Sn − a) + . . .+ bn(S0 − a)| ≤

≤ |a| |Tn − b|+n∑

k=0

|bk| |Sn−k − a| <

<ε

3+

n2ε∑

k=0

|bk| |Sn−k − a|+n∑

k=n2ε+1

|bk| |Sn−k − a| <

<ε

3+M

n2ε∑

k=0

|Sn−k − a|+M1

n∑

k=n2ε+1

|bk| < ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Deoarece ε este arbitrar, rezulta ca limn→∞ Un = ab.

12

Teorema 5.3. (Cauchy) Daca seriile∑n≥0

an si∑n≥0

bn sunt absolut convergente,

atunci seria produs a lor∑n≥0

cn este de asemenea absolut convergenta si are loc

relatia (2).

Demonstratie. Este suficient sa demonstram absolut convergenta seriei produs.Avem pentru n ≥ 0:

n∑

k=0

|ck| =n∑

k=0

∣∣∣∣∣∑

i+j=k

aibj

∣∣∣∣∣ ≤n∑

k=0

∑

i+j=k

|ai| |bj| ≤∑i+j≤n

|ai| |bj| =

=

(n∑i=0

|ai|)(

n∑j=0

|bj|)≤( ∞∑

i=0

|ai|)( ∞∑

j=0

|bj|).

Deoarece sumele partiale ale seriei∑

n≥0 |cn| sunt marginite, seria produs este ab-solut convergenta.

13

Curs 3

Functii reale de o variabila

La ınceput vom reaminti definitiile de baza ale limitei, continuitatii siderivabilitatii. De asemenea se reamintesc, fara demonstratie, teoremele de bazaale limitei si ale continuitatii, precum si cateva proprietati simple ale derivatelor.Mentionam ca proprietatile respective se vor extinde la cazul functiilor de mai multevariabile, care vor fi studiate ulterior. In ceea ce priveste functiile derivabile, ın para-grafele urmatoare vom studia detailat teoremele de medie, regu-lile lui l’Hospital si polinomul lui Taylor. De asemenea mentionam ca studiulfunctiilor elementare: exponentiala, putere, logaritm si functii trigonometrice si in-vers trigonometrice, va fi facut ın capitolul urmator, dupa definirea seriilorTaylor.

1 Definitii si rezultate de baza

Definitia 1.1. Fie a ∈ R. O multime V ⊂ R se numeste vecinatate, (respectivvecinatate la stanga, vecinatate la deapta) a punctului a daca exista ε > 0astfel ıncat (a− ε, a+ ε) ⊂ V , ( respectiv (a− ε, a] ⊂ V , [a, a+ ε) ⊂ V ).

Reamintim ca notam cu R mutimea R ∪ {∞} ∪ {−∞}.Definitia 1.2. O multime V ⊂ R se numeste vecinatate a lui∞, daca exista α ∈ R,astfel ıncat (α, ∞)∪{∞} ⊂ V . O multime V ⊂ R se numeste vecinatate a lui −∞,daca exista α ∈ R, astfel ıncat (−∞, α) ∪ {−∞} ⊂ V .

Definitia 1.3. Fie D ⊂ R. Un element a ∈ R se numeste punct de acumulare(respectiv punct de acumulare la stanga, punct de acumulare la dreapta),al lui D, daca pentru orice vecinatate, (respectiv vecinatate la stanga, vecinatate ladreapta), V a lui a, exista x ∈ V , astfel ıncat x 6= a.

Propozitia 1.1. Punctul a ∈ R este punct de acumulare al multimii D ⊂ R, dacasi numai daca exista un sir (xn)n∈N convergent la a, de puncte xn ∈ D, xn 6=a, (∀)n ∈ N.

Pentru punctele de acumulare la stanga sau la dreapta, avem:

Propozitia 1.2. Fie D ⊂ R si a ∈ R. Sunt echivalente afirmatiile:i) a este punct de acumulare la dreapta, (respectiv la stanga),

ii) exista un sir (xn)n∈N, convergent la a, de puncte xn ∈ D, xn < a (respectivxn > a) (∀)n ∈ N,

iii) exista un sir (xn)n∈N, convergent si strict crescator (respectiv strict des-crescator) de puncte xn din D.

1

Definitia 1.4. Fie D ⊂ R, f : D → R si a ∈ R punct de acumulare (respectiv punctde acumulare la stanga, punct de acumulare la dreapta) a lui D. Spunem ca functiaf are limita, (respectiv limita la stanga, limita la dreapta) ın punctul a, dacaexista l ∈ R, cu proprietatea ca pentru orice vecinatate U a lui l exista o vecinatate(respectiv vecinatate la stanga, vecinatate la dreapta) V a lui a astfel ıncat pentruorice x ∈ V ∩D, x 6= a sa avem f(x) ∈ U .

Observatiile 1.1. i) Conditia din definitia de mai sus poate fi scrisa si sub formaf(V ∩D \ {a}) ⊂ U .

ii) Definitia precedenta foloseste limbajul vecinatatilor, care prezinta avantajulde a exprima ın mod unitar existenta limitei indiferent daca a si l sunt numere realesau sunt egale cu +∞ sau −∞. Daca particularizam pe a si pe l dupa cazurilecand sunt finiti sau infiniti, putem exprima ın mod echivalent conditia din definitialimitei, ın limbajul numit ”delta-epsilon”. Obtinem urmatoarele forme echivalenteale definitiei precedente

• Daca a ∈ R, l ∈ R : (∀) ε > 0, (∃)δε > 0, (∀) x ∈ D, x 6= a, |x − a| < δε ⇒|f(x) − l| < ε. (Conditia x 6= a se ınlocuieste pentru limita la stanga cu cuconditia x < a, iar pentru limita la dreapta, cu conditia x > a.)

• Daca a ∈ R, l = ∞ : (∀)α ∈ R, (∃)δ > 0, (∀) x ∈ D, x 6= a, |x − a| < δ ⇒f(x) > α. (Conditia x 6= a se ınlocuieste pentru limita la stanga cu cu conditiax < a, iar pentru limita la dreapta, cu conditia x > a.)

• Daca a =∞, l ∈ R (∀)α ∈ R, (∃)δα > 0, (∀)x ∈ D, x > α ⇒ |f(x)− l| < ε.

• Daca a = ∞, l = ∞ (∀)α ∈ R, (∃)βα ∈ R (∀)x ∈ D, x > βα ⇒ f(x) > α.

Daca a sau l sunt egali cu −∞, se obtine o scriere analoaga cu cele pentru +∞.

Propozitia 1.3. Daca o functie admite ıntr-un punct a limita, (respectiv limita lastanga, limita la dreapta) atunci elementul l ∈ R care apare ın Definitia 1.4 esteunic.

Din aceasta propozitie rezulta ca sunt bine definite urmatoarele definitii si notatii.

Definitia 1.5. Elementul unic l ∈ R care apare in Definitia 1.4 se numeste limita,(respectiv limita la stanga, limita la dreapta) a functiei f ın punctul a. Limitafunctiei se noteaza cu limx→a f(x), limita la stanga se noteza cu limx↗a f(x) sau cuf(a − 0), iar limita la dreapta se noteza cu limx↘a f(x) sau cu f(a + 0). Limitaıntr-un punct se mai numeste si limita globala, iar limitele la stanga si la dreaptase mai numesc si limitele laterale (la stanga si la dreapta).

Caracterizarea limitei globale cu ajutorul limitelor laterale este urmatoarea:

2

Propozitia 1.4. Fie functia f : D → R, D ⊂ R si a ∈ R. Avem:i) Daca a este punct de acumulare la stanga a lui D si nu este punct de acumulare

la dreapta, atunci f are limita ın a daca si numai daca f are limita la stanga ın a.In acest caz cele doua limite sunt egale. (Un enunt similar are loc pentru situatiasimetrica).

ii) Daca a este punct de acumulare atat la stanga cat si la dreapta pentru D,atunci f are limita ın a, daca si numai daca f are ambele limite laterale si egaleıntre ele. In acest caz valoarea limitei globale coincide cu cea a limitelor laterale.

Dam ın continuare caracterizarea cu siruri a limitei:

Teorema 1.1. (Heine) Fie D ⊂ R, f : D → R si a ∈ R un punct de acumulare alui D. Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

i) limx→a f(x) = l,ii) pentru orice sir (xn)n∈N cu limita a si cu termeni xn ∈ D, xn 6= a, avem

limn→∞ f(xn) = l.

Corolarul 1.1. Fie D ⊂ R, f : D → R si a ∈ R un punct de acumulare a lui D.Daca exista l1, l2 ∈ R, l1 6= l2 si doua siruri (x1

n)n∈N, (x2n)n∈N, unde pentru i = 1, 2,

avem xin ∈ D, xin 6= a, (n ∈ N), limn→∞ xin = a, si limn→∞ f(xin) = li, atuncifunctia f nu are limita ın a.

Caracterizarea limitelor laterale se poate face si numai cu ajutorul sirurilor strictmonotone. Dam ın continuare doar caracterizarea limitei la stanga. Pentru limitala dreapta avem un rezultat similar.

Teorema 1.2. (Heine),(pentru limita la stanga) Fie D ⊂ R, f : D → Rsi a ∈ R un punct de acumulare la stanga a lui D. Sunt echivalente urmatoareleafirmatii:

i) limx↗a f(x) = l,ii) pentru orice sir (xn)n∈N, xn ∈ D, (n ∈ N) strict crescator si cu limita a

avem limn→∞ f(xn) = l.

In continuare enuntam cateva proprietati ale limitei globale. Rezultate similareau loc si pentru limite laterale.

Propozitia 1.5. (Criteriul majorarii) Fie functiile f, g : D → R, unde D ⊂ R.Fie a un punct de acumulare a lui D.

i) Daca |f(x) − l| ≤ g(x), (∀)x ∈ D, l ∈ R si limx→a g(x) = 0, atuncilimx→a f(x) = l.

ii) Daca f(x) ≥ g(x), (∀)x ∈ D si limx→a g(x) =∞, atunci limx→a f(x) =∞.Propozitia 1.6. Daca f : [a, b) → [c, d) este o bijectie crescatoare, unde a, c ∈ Rsi b, d ∈ R, atunci avem limx→b f(x) = d.

Teorema 1.3. Fie functiile f, g : D → R, D ⊂ R si a un punct de acumularea lui D, Presupunem ca exista limitele limx→a f(x) = lf si limx→a g(x) = lg, undelf , lg ∈ R. Sa notam cu ? oricare din operatiile +, −, ·, /. Daca ? este /, atunci,

3

presupunem ın plus ca exista o vecinatate V a lui a astfel ıncat g(x) 6= 0, (∀)x ∈D ∩ V . In aceste conditii, daca lf ? lg are sens ın R, atunci exista limx→a(f ∗ g)(x)si este egala cu lf ? lg. Pe scurt

limx→a

(f ∗ g)(x) = (limx→a

f(x)) ? (limx→a

g(x)).

Observatiile 1.2. i) Folosind Teorema 1.3, putem obtine limitele functiilor rationale.Limitele altor functii elementare, vor fi obtinute ın paragrafele 4 si 5 din capitolulurmator.

ii) Enuturi similare celor din Teorema 1.3 au loc si pentru limitele laterale.

Definitia 1.6. Functia f : D → R, D ⊂ R, se numeste continua ın punc-tul a ∈ D, (respectiv continua la stanga, continua la dreapta), daca pentruorice vecinatate V a lui f(a), exista o vecinatate U , (respectiv vecinatate la stanga,vecinatate la dreapta) a lui a, astfel ıncat f(x) ∈ V , pentru orice x ∈ D∩V . In cazulcontrar functia se numeste discontinua ın a, (respectiv discontinua la stanga,discontinua la dreapta).

Observatia 1.1. O definitie echivalenta a continuitatii ın punctul a este: (∀) ε >0, (∃)δε > 0, (∀)x ∈ D, |x − a| < δε ⇒ |f(x) − f(a)| < ε. Pentru continuitatea lastanga, (la dreapta) se impun suplimentar conditiile x ≤ a, (respectiv x ≥ a).

Definitia 1.7. O functie f : D → R, D ⊂ R se numeste continua pe D, daca eaeste continua ın orice punct din D. In caz contrar se numeste discontinua.

Propozitia 1.7. Fie f : D → R, D ⊂ R si fie a ∈ D, care este totodata punct deacumulare a lui D. Functia f este continua ın a, daca si numai daca exista limita:

limx→a

f(x) = f(a).

Un enunt similar are loc pentru continuitatea laterala.

Definitia 1.8. Fie functia f : D → R, D ⊂ R si a ∈ D un punct de dicontinuitatea lui f . Punctul a se numeste punct de discontinuitate de speta I, daca f admitelimitele laterale posibile ın a si cel putin una dintre limitele laterale este diferita devaloarea functiei. In caz contrar punctul a se numeste punct de discontinuitatede speta a II.

Din Propozitia 1.7 si din rezultatele stabilite pentru limitele de functii se obtine:

Teorema 1.4. Functia f : D → R, D ⊂ R, este continua ın punctul a ∈ D,daca si numai daca, pentru orice sir de puncte (xn)n∈N, xn ∈ D, are loclimn→∞ f(xn) = f(a).

Teorema 1.5. Fie functiile f, g : D → R, D ⊂ R. Sa notam cu ? oricare dinoperatiile +, −, ·, /. Daca ? este /, atunci, presupunem ın plus ca exista o vecinatateV a lui a astfel ıncat g(x) 6= 0, (∀) x ∈ D ∩ V . Daca funtiile f si g sunt continueıntr-un punct a ∈ D, atunci f ? g este continua ın a.

4

Teorema 1.6. Fie functiile f : D → E, g : E → R, D, E ⊂ R. Daca f estecontinua ıntr-un punct a ∈ D, iar g este continua ın f(a), atunci g◦f este continuaın a.

Teorema 1.7. Orice funtie monotona f : D → R, D ⊂ R, are pe D doar dis-continuitati de prima speta. In plus multimea discontinuitatilor lui f este cel multnumarabila.

Definitia 1.9. O functie f : D → R, D ⊂ R se numete convexa, (respectivstrict convexa, concava, strict concava) pe D, daca pentru orice puncte x < ydin D si pentru orice λ ∈ (0, 1), astfel ıncat λx + (1 − λ)y ∈ D, avem λf(x) ++(1− λ)f(y)− f(λx+ (1− λ)y) ≥ 0, (respectiv > 0, ≤ 0, < 0).

In continuare enuntam cateva proprietati ale functiilor continue definite pe in-tervale.

Teorema 1.8. Orice functie convexa sau concava definita pe un interval deschiseste continua pe acel interval.

Definitia 1.10. Spunem ca functia f : I → R, unde I este un interval, are pro-prietatea lui Darboux, daca imaginea f(J) a oricarui subinterval J ⊂ I este uninterval.

Observatia 1.2. Proprietatea lui Darboux poate fi enuntata si astfel: pentru oricepuncte x < y din I si orice λ astfel ıncat f(x) < λ < f(y) sau f(y) < λ < f(x),exista un punct c, x < c < y astfel ıncat f(c) = λ.

Teorema 1.9. Orice functie continua pe un interval are proprietatea luiDarboux.

Teorema 1.10. O functie continua si injectiva pe un interval este strict monotonape acel interval.

Teorema 1.11. Daca o functie definita pe un interval este monotona si are dreptimagine un interval, atunci ea este continua.

Teorema 1.12. O functie continua si bijectiva pe un interval are inversa tot ofunctie continua.

Teorema 1.13. (Weierstrass) Orice functie continua f : [a, b] → R este margi-nita si ısi atinge marginile. Mai concret, exista m, M ∈ R si exista xm, xM ∈∈ [a, b], astfel ıncat

i) m ≤ f(x) ≤M, (∀) x ∈ [a, b].ii) f(xm) = m si f(xM) = M .

In continuare vom considera notiunea de derivabilitate a unei functii reale.

5

Definitia 1.11. Fie functia f : D → R, D ⊂ R si a ∈ D, care este totodatapunct de acumulare a lui D. Numim derivata functiei f ın a, elementul f ′(a) ∈∈ R, definit prin

f ′(a) := limx→a

f(x)− f(a)

x− a ,

ın cazul cand limita exista. Daca f ′(a) ∈ R, atunci functia f se numeste deri-vabila ın a.

Daca D este un interval, iar f este derivabila ın orice punct din D, atunci f senumeste functie derivabila pe D, iar functia f ′ : D → R, care ia ın orice puncta ∈ D valoarea f(a), se numeste functia derivata a lui f . Funtia f se numesteprimitiva functiei f ′.

Definitia derivabilitatii unei functii ıntr-un punct se poate extinde astfel.

Definitia 1.12. Fie functia f : D → R, D ⊂ R si a ∈ D. Presupunem ca a estepunct de acumulare la stanga, (respectiv la dreapta) a lui D. Numim derivata lastanga, (respectiv derivata la dreapta) a functiei f ın a, elementul f ′s(a) ∈ R,(respectiv f ′s(a) ∈ R), definit prin

f ′s(a) := limx↗a

f(x)− f(a)

x− a , (respectiv f ′d(a) := limx↘a

f(x)− f(a)

x− a ),

ın cazul cand limitele exista. Acestea se numesc derivatele laterale ale lui f ın a.Daca f ′s(a) ∈ R, (respectiv f ′s(a) ∈ R), atunci f se numeste derivabila la stanga,(respectiv la dreapta) ın a.

Propozitia 1.8. Fie functia f : D → R, D ⊂ R si a ∈ D.i) Daca a este punct de acumulare la stanga si nu este punct de acumulare la

dreapta a lui D, atunci f are derivata ın a daca si numai daca f are derivata lastanga ın a. (Un enunt similar exista pentru situatia simetrica).

ii) Daca a este punct de acumulare la stanga si la dreapta pentru D, atunci fare derivata ın a daca si numai daca are derivate laterale si acestea sunt egale.

Teorema 1.14. O functie derivabila ıntr-un punct este continua ın acel punct.Ofunctie derivabila la stanga (la dreapta) ıntr-un punct este continua la stanga, (ladreapta) ın acel punct.

Teorema 1.15. Fie functiile f, g : D → R derivabile ın punctul a ∈ D. Atunciexista:

i) (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a).ii) (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a).iii) Daca exista o vecinatate V a lui a astfel ca g(x) 6= 0, (∀)x ∈ D ∩ V , atunci

exista(fg

)′(a) = g(a)f ′(a)−f(a)g′(a)

g2(a).

iv) Daca f este constanta, atunci f ′(a) = 0.

Teorema 1.16. (Derivarea functiilor compuse) Fie functiile f : D → E sig : E → R, D, E ⊂ R. Fie a ∈ D un punct de acumulare a lui D si presupunem

6

ca b := f(a) este punct de acumulare a lui E. Daca f este derivabila ın a si g estederivabila ın b, atunci g ◦ f : D → R este derivabila ın a si

(g ◦ f)′(a) = g′(b) · f ′(a).

Teorema 1.17. (Derivarea functiilor inverse) Fie I, J intervale si functia f :I → J bijectiva si continua. Daca f este derivabila ın a, si f ′(a) 6= 0, atunci f−1

este derivabila ın punctul b = f(a) si

(f−1)′(b) =1

f ′(a).

Definitia 1.13. (Derivate de ordin superior) Fie functia f : D → R, D ⊂⊂ R si a ∈ D, punct de acumulare a lui D. Definim derivatele de ordinul k,k ≥ 0 ale lui f ın a, ın mod recursiv astfel: f (0)(a) := f(a), iar daca k > 0, atunciderivata f (k)(a) se defineste ın cazul cand exista o vecinatate V a lui a , astfel caf admite derivata de ordin (k − 1) ın toate punctele lui D ∩ V si ın plus functiaf (k−1) : D ∩ V → R este derivabila ın a. Atunci definim

f (k)(a) := (f (k−1))′(a).

Teorema 1.18. (Formula lui Leibniz) Daca functiile f, g : D → R, D ⊂ R suntderivabile de ordinul k ≥ 0 ın punctul a ∈ D, atunci avem:

(f · g)(k)(a) =k∑j=0

(kj

)f (j)(a) · g(k−j)(a).

Teorema 1.19. Fie I ⊂ R un interval si f : I → R o functie derivabila de ordinuldoi. Sunt echivalente urmatoarele conditii

i) f este convexa (concava) pe I,ii) f ′ este crescatoare (descrescatoare) pe I,

iii) f ′′(x) ≥ 0, (∀) x ∈ I (f ′′(x) ≤ 0, (∀)x ∈ I).

2 Teoreme de medie

Prin teorema de medie pentru functii reale ıntelegem o teorema care asiguraexistenta unui punct ın care una sau mai multe functii ferifica o anumita identitate.

Definitia 2.1. Fie f : D → R, D ⊂ R. Un punct x0 ∈ D se numeste punct demaxim local, respectiv punct de minim local al lui f , daca exista o vecinatateV a lui x0, astfel ıncat sa avem f(x) ≤ f(x0), (∀)x ∈ D ∩ V , respectiv f(x) ≥≥ f(x0), (∀)x ∈ D ∩ V . Un punct care este de maxim local sau de minim local senumeste punct de extrem local.

Definitia 2.2. Fie functia f : D → R, D ⊂ R. Un punct ın care f ısi atingevaloarea maxima se numeste punct de maxim global, iar un punct ın care f ısiatinge valoarea minima se numeste punct de minim global. Un punct de maximsau de minim global se numeste punct de extrem global.

7

Observatia 2.1. Orice punct de extrem global este si un punct de extrem local deacelasi tip.

Teorema 2.1. (Fermat) Fie f : D → R, D ⊂ R si un punct x0 ∈ D. care estepunct de acumulare la stanga si la dreapta pentru D. Daca

i) x0 este punct de extrem local pentru functia f siii) f este derivabila ın x0,

atunci f ′(x0) = 0.

Teorema 2.2. (Darboux) Daca o functie f : I → R, I interval, este derivabilape I, atunci functia derivata f ′ : I → R are proprietatea lui Darboux pe I.

Teorema 2.3. (Rolle) Fie functia f : [a, b]→ R. Dacai) f este continua pe [a, b],ii) f este derivabila pe (a, b) siiii) f(a) = f(b),

atunci exista c ∈ (a, b), astfel ıncat f ′(c) = 0.

Teorema 2.4. (Cauchy) Fie functia f : [a, b]→ R. Dacai) f este continua pe [a, b],ii) f este derivabila pe (a, b) siiii) g′(x) 6= 0, pentru orice x ∈ (a, b),

atunci g(b) 6= g(a)si exista c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=f ′(c)g′(c)

.

Daca alegem functia g(x) = x ın Teorema lui Cauchy se obtine urmatoareateorema, numita si teorema cresterilor finite.

Teorema 2.5. (Lagrange) Fie functia f : [a, b]→ R. Dacai) f este continua pe [a, b] siii) f este derivabila pe (a, b),

atunci exista c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a).

Observatia 2.2. Se vede imediat ca relatiile din concluziile teoremelor lui Cauchysi respectiv Lagrange sunt adevarate si daca presupunem functiile f , respectiv g,definite si derivabile pe un interval I, g′(x) 6= 0, (x ∈ I), iar a si b sunt doua punctediferite oarecare din I, nu neaparat cu a < b.

Corolarul 2.1. i) Daca o functie, f definita pe un interval I este derivabila si arederivata strict pozitiva pe I, cu exceptia eventuala al unui numar finit de puncte,atunci f este strict crescatoare pe I. Analog daca are o derivata strict negativa peI, cu exceptia unei mutimi finite, atunci ea este strict descrescatoare pe I.

ii) Doua functii derivabile pe un interval, care au derivatele egale peste tot, diferaıntre ele printr-o constanta aditiva.

8

iii) Fie o functie f : [a, b]→ R. Dacaa) f este continua pe [a, b],b) f este derivabila pe (a, b) sic) exista limita limx↗b f ′(x) = l, unde l ∈ R,

atunci f admite derivata la stanga ın punctul b si f ′s(b) = l.

Observatiile 2.1. i) Daca pe intervalul I functia f are derivata nenegativa, rezultaf crscatoare, nu neaparat strict. Analog pentru cele cu derivata nepozitiva.

ii) Un criteriu analog celui din punctul iii) al Corolarului precedent, functioneazasi pentru existenta limitei la dreapta, precum si pentru existenta limitei bilat-erale(globale).

3 Regulile lui l’Hospital

In acest paragraf prezentam regulile lui l’Hospital pentru rezolvarea unor cazuride nedeterminare de limite de functii.

Teorema 3.1. (Regula pentru cazul 00) Fie I ⊂ R un interval, a un punct de

acumulare a lui I si f, g : I → R. Daca sunt ındeplinite conditiile:i) f si g sunt derivabile pe I \ {a},ii) g′(x) 6= 0, (∀)x ∈ I,iii) limx→a f(x) = 0 si limx→a g(x0) = 0,

iv) exista l ∈ R astfel ıncat limx→af ′(x)g′(x)

= l,

atunci g(x) 6= 0, (∀)x ∈ I \ {a} si exista limita

limx→a

f(x)

g(x)= l.

Teorema 3.2. (Regula pentru cazul ∞∞) Fie I ⊂ R un interval, a un punct deacumulare a lui I si f, g : I → R. Daca sunt ındeplinite conditiile:

i) f si g sunt derivabile pe I \ {a},ii) g′(x) 6= 0, (∀)x ∈ Iiii) limx→a g(x0) =∞,

iv) exista l ∈ R astfel ıncat limx→af ′(x)g′(x)

= l,

atunci exista o vecinatate V a lui a, astfel ıncat g(x) 6= 0, (∀)x ∈ I ∩ V \ {a} siexista limita

limx→a

f(x)

g(x)= l.

4 Polinomul lui Taylor

Polinomul lui Taylor asociat unei functii derivabile de ordin superior si unui punctdin domeniul sa de definitie, este ales astfel ıncat sa dea cea mai buna aproximarelocala a functiei, dintre toate polinoamele de acelasi grad cu polinomul lui Taylorconsiderat. Avem urmatoarea definitie de baza.

9

Definitia 4.1. Fie functia f : D → R, D ⊂ R, derivabila de ordinul n ∈ N ınpunctul a ∈ D. Se numeste polinomul lui Taylor de ordinul n al funtiei f ınpunctul a, urmatorul polinom algebric:

Ta,n(f)(x) = f(a) +f ′(a)

1!· (x− a) + . . .+

f (n)(a)

n!· (x− a)n, (x ∈ R). (1)

Numim restul polinomului lui Taylor de ordinul n al functiei f ın punctul a, functia:

Ra,n(f)(x) = f(x)− Ta,n(f)(x), (x ∈ D).

Daca notam f 0 := f , atunci putem scrie Ta,n(f)(x) =n∑k=0

f (k)(a)k!· (x− a)k.

Se observa ca daca functia f este derivabila ıntr-un punct a din domeniul saude definitie, atunci dreapta tangenta la graficul lui f , de ecuatie y = f(a) ++f ′(a)(x − a) este graficul polinomului lui Taylor de ordinul unu. Daca marimordinul polinomului lui Taylor obtinem o ımbunatatire a ordinului de aproximare, afunctiei, dupa cum rezulta din teorema urmatoare.

Teorema 4.1. Fie f : I → R, I interval. Daca functia f este derivabila de ordinuln ≥ 1 ıntr-un punct a ∈ I, atunci

limx→a

Ra,n(f)(x)

(x− a)n= 0.

Demonstratie. Sa notam, pentru simplificare g(x) := Ra,x(f)(x) si h(x) :== (x − a)n, pentru x ∈ I. Deoarece f este derivabila de ordinul n ın a, rezultaca exista δ > 0 astfel ıncat f este derivabila de ordinul n− 1 pe I ∩ (a− δ, a + δ).Notam J := I ∩ (a− δ, a+ δ).

Urmatoarele formule pot fi obtinute usor prin inductie:

g(k)(x) = f (k)(x)−n∑

j=k

j!

(j − k)!· f

j(a)

j!· (x− a)j−k, x ∈ I, 0 ≤ k ≤ n,

h(k)(x) =n!

(n− k)!(x− a)n−k, x ∈ I, 0 ≤ k ≤ n.

De aici obtinem imediat ca g(k)(a) = 0, 0 ≤ k ≤ n, si de asemenea h(k)(a) = 0,0 ≤ k ≤ n− 1.

Fie (xp)p, un sir de puncte din J , convergent la a, cu xp 6= a, p ≥ 0. Notamx0p := xp. Demonstram prin inductie dupa 0 ≤ k ≤ n − 1 ca exista pentru oricep ≥ 0 cate un punct xkp situat pe inervalul de capete a si xk−1

p , astfel ıncat sa avem

g(xp)

h(xp)=g(k)(xkp)

h(k)(xkp).

Presupunum adevarat pentru k < n − 1 si demonstram pentru k + 1. Aplicandteorema lui Cauchy pe intervalul de capete a si xkp, perechii de functii f (k) si h(k)

gasim un punct xk+1p situat pe intervalul deschis de capete a si xkp astfel ıncat

g(k)(xkp)

h(k)(xkp)=g(k)(xkp)− g(k)(a)

h(k)(xp)− h(k)(a)=g(k+1)(xk+1

p )

h(k+1)(xk+1p )

.

10

Cu aceasta inductia este demonstrata. Avem ın final

g(xp)

h(xp)=g(n−1)(xn−1

p )

h(n−1)(xn−1p )

.

Deoarece limp→∞ xp = a, rezulta limp→∞ xn−1p = a. Aplicand criteriul cu siruri

al limitei, partea de necesitate, precum si faptul ca f este derivabila de ordinul n ına, obtinem:

limp→∞

g(xp)

h(xp)= lim

x→ag(n−1)(x)

h(n−1)(x)= lim

x→a1

n!

[f (n−1)(x)− f (n−1)(a)

x− a − f (n)(a)

]= 0.

Deoarece sirul (xp)p a fost ales arbitrar, aplicand criteriul cu siruri al limitei, partea

de suficienta, rezulta limx→ag(x)h(x)

= 0.

Teorema 4.2. (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie I un intervalsi f : I → R o functie derivabila de ordinul n+ 1, n ∈ N pe I. Atunci pentru oricedoua puncte a si x din I, x 6= a, exista un punct c situat ıntre a si x, astfel ıncatsa avem

f(x) =n∑

k=0

f (k)(a)

k!· (x− a)k +

f (n+1)(c)

(n+ 1)!· (x− a)n+1.

Demonstratie. Fie x si a puncte fixate si distincte din I. Sa notam

M :=

[f(x)−

n∑

k=0

f (k)(a)

k!· (x− a)k

](x− a)−n−1.

Sa consideram functia g : I → R, definita prin:

g(t) := −f(x) +n∑

k=0

f (k)(t)

k!· (x− t)k +M(x− t)n+1, (t ∈ I).

Din modul de alegere al constantei M rezulta ca avem g(a) = 0. Totodata avemsi g(x) = 0. Deoarece f este derivabila de ordinul n + 1 pe I, obtinem ca g estederivabila pe I. Aplicand Teorema lui Rolle, functiei g pe intervalul de capete x sia, gasim un punct c situat strict ıntre aceste puncte astfel ıncat g′(c) = 0. Avem

0 = g′(c) = f ′(c) +n∑

k=1

[f (k+1)(c)

k!· (x− c)k − f (k)(c)

(k − 1)!· (x− c)k−1

]−

−(n+ 1)M(x− c)n =f (n+1)(c)

n!· (x− c)n − (n+ 1)M(x− c)n.

Deoaorece x 6= c, rezulta M = fn+1(c)(n+1)!

.

11

Curs 4

Siruri si serii de functii

Studiul sirurilor si a seriilor de functii constituie un capitol de mare importantaın analiza. Sirurile si seriile de functii, dau o extindere a functiilor care pot fireprezentate. Astfel clasa functiilor reprezentabile ca limite de siruri sau sume deserii de functii, este mult mai bogata decat cea a funtiilor care se pot reprezentaprintr-o formula finita. Mai mult, seriile de functii pot constitui un mijloc rigurosde a defini functiile elementare.

1 Siruri de functii.

Definitia 1.1. Se numeste sir de functii, definite pe o multime D ⊂ R si cu valorireale, orice aplicatie din multimea N ın multimea functiilor {f : D → R}. Un astfelde sir de functii se noteaza prin (fn)n∈N.

Definitia 1.2. Sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R, se numeste conver-gent punctual, sau convergent simplu, daca exista o functie f : D → R, astfelıncat pentru orice x ∈ D fixat, avem limn→∞ fn(x) = f(x). Functia f se numestelimita sirului (fn)n∈N si se noteaza prin limn→∞ fn.

Definitia 1.3. Sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R, se numeste con-vergent uniform, pe D, daca exista o functie f : D → R, astfel ıncat pentruorice ε > 0, exista un indice nε ∈ N astfel ıncat |fn(x) − f(x)| < ε, pentru oricen ∈ N, n ≥ nε si orice x ∈ D.

Observatiile 1.1. i) Limita unui sir de functii, daca exista este unica, ceea cejustifica notatia f = limn→∞ fn.

ii) Conditia, din definitie, de convergenta punctuala a sirului de functii (fn)n∈N

la functie f se poate scrie detailat astfel:

(∀x ∈ D)(∀ε > 0)(∃nx,ε ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ nx,ε)(|fn(x)− f(x)| < ε).

Sub aceasta forma, conditia de convergenta simpla poate fi comparata cu conver-genta uniforma care se scrie astfel:

(∀ε > 0)(∃nε ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ nε)(∀x ∈ D)(|fn(x)− f(x)| < ε).

Diferenta consta ın faptul ca rangul nε nu depinde ın covergenta uniforma de punctulx ∈ D. Rezulta ca orice sir convergen uniform este si convergent simplu la aceasifunctie limita. Reciproca nu este adevarata.

iii) Convergenta simpla nu asigura faptul ca daca functiile din sir au propritatiilede existenta a limitei, continuitate, derivabilitate, sau integrabilitate, aceleasi pro-prietati le va avea si functia limita. Pentru a avea acest transfer al proprietatilorla functia limita este necesara convergenta uniforma. Vom vedea acest lucru ıncontinuare.

1

iii) Conditia de convergenta uniforma a sirului de functii (fn)n∈N, fn : D → Rla functia f : D → R, se poate scrie echivalent astfel:

limn→∞

supx∈D|fn(x)− f(x)| = 0.

Teorema 1.1. Fie sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R si o functief : D → R. Sunt echivalente urmatoarele afirmatii:

i) Sirul de functii (fn)n∈N nu converge uniform la f pe D siii) Exista δ > 0, un subsir de indici (nk)k∈N si un sir (xk)n∈N, xk ∈ D, astfel

ıncat |fnk(xk)− f(xk)| ≥ δ, (∀) k ∈ N.

Demonstratie. Demonstram i)⇒ ii). Din i) rezulta ca exista δ > 0, astfel ıncat,pentru orice n ∈ N exista m ∈ N, m ≥ n si exista x ∈ D, astfel ıncat |fm(x) −f(x)| ≥ δ. Atunci subsirul de indici (nk)k∈N si termenii sirului (xk)k∈N se construiescinductiv astfel: daca indicii n0 < . . . < nk au fost construiti, si ın plus s-au construitpunctele x0, . . . , xk, atunci alegem n := nk ın relatia de mai sus, si definim, folosindnotatiile din aceasta relatie, nk+1 := m si xk+1 := x.

Demonstram: ii)⇒ i). Daca sirul (fn)n∈N ar fi uniform convergent la f , ar tre-bui ca pentru δ > 0 dat sa existe un indice nδ astfel ca sa avem |fn(x)− f(x)| < δ,pentru orice n ≥ nδ. Dar acest lucru nu se ıntampla daca k este suficient de mareastfel ıncat nk ≥ nδ.

Teorema 1.2. (Transferul limitei) Fie sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R,D ⊂ R, uniform convergent la functia f : D → R si fie x0 un punct de acu-mulare al lui D. Presupunem ca pentru orice n ∈ N, exista limx→x0 fn(x) = ln,ln ∈ R. Atunci sirul (ln)n∈N este convergent, iar functia f are limita ın punctul x0

egala cu limita sirului (ln)n∈N. Pe scurt avem

limx→x0

limn→∞

fn(x) = limn→∞

limx→x0

fn(x).

Demonstratie. Aratam mai ıntai ca sirul (ln)n∈N este convergent. Fie ε > 0.Deoarece sirul (fn)n∈N este uniform convergent, exista un indice nε, astfel ıncat:

|fn(x)− f(x)| < ε

3, (∀)n ∈ N, n ≥ nε, (∀)x ∈ D. (1)

Fie n, m ≥ nε Deoarece limx→x0 fn(x) = ln si limx→x0 fm(x) = lm, putem alege unpunct x ∈ D, x 6= x0, astfel ıncat sa avem |fn(x) − ln| < ε

3si |fm(x) − lm| < ε

3.

Atunci rezulta

|ln − lm| ≤ |ln − fn(x)|+ |fn(x)− fm(x)|+ |fm(x)− lm| < ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Am obtinut ca sirul (ln)n∈N este fundamental si deci el este si convergent. Fiel := limn→∞.

Aratam acum ca exista limx→x0 f(x) = l. Fie din nou ε > 0 si consideramun rang nε, pentru care are loc (1). Sa fixam un indice n0 ≥ nε, cu proprietatea

2

suplimentara ca |ln0 − l| < ε3. Exista o vecinatate V a lui x0, astfel ıncat pentru

orice x ∈ V ∩D, x 6= x0, sa avem |fn0(x)− ln0| < ε3. Atunci pentru astfel de puncte

x avem

|f(x)− l| ≤ |f(x)− fn0(x)|+ |fn0(x)− ln0|+ |ln0 − l| <ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Teorema este demonstrata.

Teorema 1.3. (Transferul continuitatii) Orice sir uniform convergent de functiicontinue, are limita tot o functie continua.

Demonstratie. Teorema este o consecinta imediata a teoremei precedente.

Enuntam de asemenea, urmatorul rezultat.

Teorema 1.4. (Transferul derivabilitatii) Fie sirul de functii (fn)n∈N, defi-nite pe inervalul marginit I. Presupunem ca

i) functiile fn, n ≥ 0 sunt derivabile pe I, iar sirul (f ′n)n∈N converge uniform peI la o functie g : I → R,

ii) exista un punct x0 ∈ I, astfel ıncat sirul (fn(x0))n∈N este convergent.Atunci sirul de functii (fn)n∈N converge uniform pe I la o functie derivabila

f : I → R si in plus f ′ = g.

2 Serii de functii.

Definitia 2.1. Fie sirul de functii (fn)n∈N, fn : D → R, D ⊂ R. Se numesteseria de functii atasata sirului (fn)n∈N, ansamblul format din sirurile de functii(fn)n∈N si (Sn)n∈N, unde Sn := f0 + . . . + fn, (n ∈ N). Aceasta serie de functii senoteaza cu

∑n≥0

fn. Daca sirul de functii (Sn)n∈N, numit sirul sumelor partiale,

este convergent punctual pe multimea D, atunci seria se numeste convergentapunctual, sau convergenta simplu, iar functia limita se numeste suma seriei

de functii si se noteaza prin∞∑n=0

fn. Daca sirul (Sn)n∈N este convergent uniform,

atunci seria se numeste la randul ei uniform convergenta.

Seria∑n≥0

fn se mai noteaza si prin f0 + f1 + . . ..

Teorema 2.1. (Criteriul lui Cauchy) Seria de functii∑n≥0

fn, fn : D → R,

D ⊂ R este uniform convergenta pe D, daca si numai daca pentru orice ε > 0exista nε ∈ N, astfel ıncat pentru orice m, n ∈ N, m ≥ n ≥ nε si orice x ∈ D saavem |fn(x) + . . .+ fm(x)| < ε.

Demonstratie. Se aplica Teorema 1.1 la sirul sumelor partiale ale seriei.

3

Teorema 2.2. (Criteriul lui Weierstrass) Fie seria de functii∑n≥0

fn,

fn : D → R, D ⊂ R si fie seria numerica∑n≥0

an. Daca sunt ındeplinite conditiile:

i) |fn(x)| ≤ an, (∀)x ∈ D, (∀)n ∈ N,ii)

∑n≥0

an < ∞, atunci seria de functii∑n≥0

fn converge uniform pe D.

Demonstratie. Fie ε > 0 ales arbitrar. Din criteriul general al lui Cauchy rezultaca exista nε ∈ N, astfel ıncat an + . . .+ am < ε, (∀)n ≥ m ≥ nε. Avem pentru oricex ∈ D si orice indici n, m ca mai sus |fn(x)+ . . .+fm(x)| ≤ |fn(x)|+ . . .+ |fm(x)| ≤≤ an+. . .+am < ε. Din teorema precedenta rezulta ca seria

∑n≥0

fn converge uniform

pe D.

Aplicand rezultatele din sectiunea precedenta la sirul sumelor partiale ale seriilorde functii, se obtin imediat urmatoarele teoreme:

Teorema 2.3. (Transferul limitei) Fie seria de functii∑n≥0

fn, fn : D → R,

D ⊂ R convergenta uniform, avand suma f : D → R. Fie x0 un punct de acu-mulare al lui D. Presupunem ca pentru orice n ∈ N, exista limx→x0 fn(x) = ln,ln ∈ R. Atunci seria

∑n≥0

ln este convergenta, iar functia f are limita ın punctul x0

egala cu∑n≥0

ln. Pe scurt avem

limx→x0

∑n≥0

fn(x) =∑n≥0

limx→x0

f(x).

Teorema 2.4. (Transferul continuitatii) Daca seria de functii∑n≥0

fn,

fn : D → R, D ⊂ R este uniform convergenta si toate functiile fn sunt continue peD, atunci functia suma este tot continua pe D.

Teorema 2.5. (Transferul derivabilitatii) Fie seria de functii derivabile∑n≥0

fn, fn : D → R, D ⊂ R. Daca

i) seria∑n≥0

f ′n este uniform convergenta la o functie g : D → R si

ii) exista un punct x0 ∈ D, astfel ıncat∑n≥0

fn(x0) este convergenta,

atunci seria∑n≥0

fn este uniform convergenta, iar suma sa este o functie deri-

vabila, cu derivata egala cu g. Pe scurt avem:

(∑n≥0

fn

)′=∑n≥0

f ′n.

4

3 Serii de puteri. Serii Taylor.

In acest paragraf vom studia un caz particular, de mare importanta, de serii defunctii si anume seriile de puteri. Seriile de puteri reprezinta extinderea notiunii depolinom algebric.

Definitia 3.1. Se numeste serie de puteri, o serie de functii de forma∑n≥0

anxn, unde (an)n∈N este un sir numeric fixat, numit sirul coeficientilor se-

riei de puteri, iar x ∈ R este variabila seriei. Multimea D ⊂ R a punctelor xpentru care seria de puteri converge, se numeste domeniul de convergenta alseriei.

Mai general avem:

Definitia 3.2. Se numeste serie de puteri centrata ın x0, o serie de functii deforma

∑n≥0

an(x− x0)n, unde (an)n∈N este sirul coeficientilor, x0 ∈ R este un punct

fixat, iar x ∈ R este variabila.

Facand o schimbare de variabila y := x− x0, studiul seriei de puteri centrata ınpunctul x0 se reduce la seria de puteri centrata ın origine, avand aceeasi coeficienti.De aceea ın continuare vom studia doar seriile de puteri propriuzise, adica celecentrate ın origine.

Observatia 3.1. Orice serie de puteri converge pentru x = 0. In cele ce urmeazavom studia domeniul de convergenta a unei serii de puteri.

Definitia 3.3. (Formula Cauchy-Hadamard) Numim raza de conver-genta a seriei

∑n≥0

anxn, numarul R ∈ [0,∞) ∩ {∞}, definit astfel:

R :=1

lim supn→∞n√|an|

.

Observatia 3.2. Fie seria de puteri∑n≥0

anxn. Raza de convergenta a seriei se poate

calcula si dupa urmatoarele formule:

R =1

limn→∞ n√|an|

; si R = limn→∞

∣∣∣∣anan+1

∣∣∣∣ ,

ın cazul cand exista limitele care apar ın aceste formule. Cea de a doua formulaprovine din prima, aplicand criteriul lui Cauchy pentru calculul limitelor de radicalide ordin n.

Teorema 3.1. (Teorema razei de convergenta a lui Abel) Fie seria de puteri∑n≥0

anxn avand raza de convergenta R ∈ [0,∞) ∩ {∞}.

i) Daca R > 0, atunci seria de puteri converge absolut pentru orice x cu |x| < R.ii) Daca R <∞, atunci seria de puteri este divergenta pentru orice x cu |x| > R.iii) Daca R > 0 si 0 < r < R, atunci seria de puteri este uniform convergenta

pe intervalul [−r, r].

5

Demonstratie. i) Fie |x| < R. Alegem un numar q, astfel ca |x| < q < R.Deoarece lim supn→∞

n√|an| < 1

q, exista un indice n0 ∈ N, astfel ca pentru orice

n ∈ N, n ≥ n0 savem n√|an| ≤ 1

q, adica |an| ≤

(1q

)n. Atunci obtinem |anxn| ≤

≤(|x|q

)n, (n ≥ n0). Deoarece |x| < q, rezulta ca seria geometrica

∑n≥0

(|x|q

)n

este convergenta si atunci aplicand primul criteriu al comparatiei, rezulta ca seria∑n≥0

|anxn| este convergenta.

ii) Fie |x| > R. Alegem un numa q, astfel ıncat R < q < |x|. Exista un subsirde indici (nk)k∈N astfel ıncat sa avem limk→∞ n

√|an| = 1

R. Deoarece 1

R> 1

q, exista

un indice k0 ∈ N, astfel ıncat nk

√|ank | ≥ 1q

pentru orice k ≥ k0. Deci obtinem

|ankxnk | ≥(|x|q

)nk, (k ≥ k0). Cum |x| > q, rezulta limk→∞ |ankxnk | = ∞, deci

limn→∞ |anxn| 6= 0. Aplicand Corolarul ??, rezulta ca seria∑n≥0

anxn este divergenta.

iii) Pentru orice x cu |x| ≤ r si orice n ∈ N obtinem |anxn| ≤ |an|rn. Dar dinpunctul i) seria

∑n≥0

|an|rn este convergenta. Aplicand criteriul lui Weierstrass rezulta

convergenta uniforma a seriei de puteri pe intervalul [−r, r].

Observatia 3.3. Din teorema rezulta ca daca R = 0, domeniul de conver-genta al seriei de puteri se reduce la multimea {0}, iar daca R = ∞, domeniulde convergenta este R. Daca 0 < R < ∞, ın general nu se poate spune numic de-spre convergenta ın punctele ±R. Sunt serii care converg ın unul sau ambele puncte,precum si serii care diverg ın ambele puncte.

Teorema 3.2. Fie functiile f(x) =∞∑n=0

anxn, (|x| < R1) si g(x) =

=∞∑n=0

bxnxn, (|x| < R2), unde R1 > 0 si R2 > 0 sunt razele de convergenta a

celor doua serii de puteri. Notam R = min{R1, R2}. Avem:

i) (f + g)(x) =∞∑n=0

(an + bn)xn, (|x| < R),

ii) (f · g) =∞∑n=0

cnxn, (|x| < R), iar cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0, (n ≥ 0).

Demonstratie. i) Relatia este evidenta.ii) Fie |x| < R, un = anx

n, vn = bnxn, (n ≥ 0). Folosind Teorema lui

Abel, si teorema lui Mertens, obtinem ca (f · g)(x) =∑n≥0

wn, unde, pentru n ≥ 0,

wn = unv0 + . . .+ u0vn = cnxn.

Formulam, fara demonstratie si urmatoatrea teorema..

Teorema 3.3. Fie functia f(x) =∞∑n=0

anxn, (|x| < R), unde R > 0 este raza de

convergenta seriei de puteri. Presupunem ca a0 6= 0. Atunci exista un sir nu-

6

meric (bn)n∈N si un numar r, 0 < r < R, astfel ıncat 1f(x)

=∞∑n=0

bnxn, |x| < r.

Definitia 3.4. Seria de puteri∑n≥0

(n + 1)an+1xn se numeste seria de puteri

derivata a seriei de puteri∑n≥0

anxn.

Teorema 3.4. Seria de puteri derivata are aceasi raza de convergenta ca si seriade puteri initiala.

Demonstratie. Fie seria de puteri∑n≥0

anxn si fie

∑n≥0

(n+1)an+1xn seria sa derivata.

Sa obsevam ca pentru un x ∈ R, convergenta seriei derivate este echivalenta cuconvergenta urmatoarei serii de puteri

∑n≥0

nanxn. Din Teorema razei de convergenta,

rezulta ca doua serii de puteri care converg pentru aceleasi valori ale variabilei x,au aceasi raza de convergenta. Deci ramane sa determinam raza de convergentaa acestei noi serii. Folosim acum urmatorul fapt: daca sirul (αn)n∈N este conver-gent, cu termeni pozitivi si daca (βn)n∈N este un alt sir, atunci lim supn→∞ αnβn =limn→∞ αn·lim supn→∞ βn. Avem lim supn→∞

n√|nan| = limn→∞ n

√n·lim supn→∞

n√|an| =

lim supn→∞n√|an|. De aici rezulta teorema.

Teorema 3.5. Fie functia f : (−R, R)→ R, f(x) =∑n≥0

anxn, x ∈ (−R, R), unde

R > 0 este raza de convergenta a serie de puteri care defineste pe f . Rezulta cafunctia f este indefinit derivabila pe intervalul (−R, R),

f (k)(x) =∑

n≥k

n!

(n− k)!anx

n−k, (∀)x ∈ (−R,R)

si

ak =1

k!· f (k)(0), (∀) k ∈ N.

Demonstratie. Fie g : (−R, R) → R functia definita ca suma a seriei de puteriderivate. Existenta functiei g este asigurata de teorema precedenta. Sa observam ca

putem scrie si g(x) :=∞∑n=1

nanxn−1, (x ∈ (−R, R)). Termenii acestei serii de functii

se obtin prin derivarea termenilor seriei de puteri care defineste pe f . Fie un punctx0 ∈ (−R, R) fixat. Putem alege 0 < r < R astfel ıncat x0 ∈ [−r, r]. AplicandTeorema razei de convergenta - punctul iii), seriei derivate, rezulta ca seria de maisus este uniform convergenta pe intervalul [−r, r] si are suma g. De asemenea, seriacare defineste pe f este convergenta ın punctul x0. Se ındeplinesc deci conditiilede aplicare a teoremei de derivare termen cu termen a seriilor de functii - Teorema2.5, si deci rezulta ca f este derivabila pe intervalul [−r, r]. In particular f estederivabila ın punctul x0, si f ′(x0) = g(x0). Deoarece punctul x0 a fost ales arbitrarın intervalul (−R, R) rezulta ca f este derivabila pe (−R, R) si f ′ = g.

7

Pentru a vedea ca f este derivabila de orice ordin pe intervalul (−R, R) rationaminductiv. Deoarece derivata serii de puteri este tot o serie de puteri, si anume seriade puteri derivata, rezulta ca si derivata de un ordin k ≥ 2 a seriei de puteri vafi tot o serie de puteri, si anume seria de puteri obtinuta prin derivarea de k oritermenilor seriei date. Deci are loc prima relatie din enunt. Daca ın aceasta relatiefacem x = 0, obtinem a doua relatia din enunt.

Corolarul 3.1. O functie f : (x0 − R, x0 + R) → R, f(x) =∑n≥0

anxn,

x ∈ (x0 − R, x0 + R), unde R > 0 este raza de convergenta a serie de puteri,este indefinit derivabila pe intervalul (x0 −R, x0 +R) si

ak =1

k!· f (k)(x0), (∀) k ∈ N.

Definitia 3.5. Fie functia f : D → R, D ⊂ R. Presupunem ca exista un puncta ∈ D, astfel ıncat, f admite derivate de orice ordin ın punctul a. Seria de putericentrata ın a ∑

n≥0

1

n!f (n)(a)(x− a)n,

se numeste seria Taylor a functiei f ın punctul a. Daca a = 0, atunci aceastaserie se mai numeste si serie MacLaurin.

Prezentam mai jos dezvoltarile Mc Laurin a principalelor functii elementare.

exp(x) = 1 +x

1!+x2

2!+ . . . =

∞∑n=0

xn

n!, (∀)x ∈ R,

ln(1 + x) =∞∑n=1

(−1)n−1

nxn, (∀) x ∈ (−1, 1),

(1 + x)r =∞∑n=0

(rn

)xn, (∀)x ∈ (−1, 1), r > 0,

unde

(rn

):=

r(r − 1) . . . (r − n+ 1)

r!

sinx := x− x3

3!+x5

5!+ . . . =

∑n≥0

(−1)2n+1

(2n+ 1)!· x2n+1, (x ∈ R),

cosx := 1− x2

2!+x4

4!− . . . =

∑n≥0

(−1)2n

(2n)!· x2n, (x ∈ R).

8

Curs 5

Spatiul Rn

1 Structura vectoriala a lui Rn

Definitia 1.1. Notam prin Rn, n ≥ 1 produsul cartezian R × . . . × R, (de n ori).Spatiul Rn se numeste spatiul aritmetic n-dimensional. Elemenetele lui Rnse numesc puncte sau vectori. Orice element x ∈ Rn se reprezinta sub formax = (x1, . . . , xn), unde xi ∈ R, (1 ≤ i ≤ n) se numesc componentele lui x. Pespatiul Rn se introduc urmatoarele doua operatii:

• adunarea + : Rn × Rn → Rn, definita prin:

x + y := (x1 + y1, . . . , xn + yn), (∀) x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (∀) y == (y1, . . . , yn) ∈ Rn si

• amplificarea cu scalar: R × Rn → Rn, (notata prin juxtapunerea ope-ranzilor), definita prin:

λx := (λx1, . . . , λxn), (∀) x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, (∀)λ ∈ R.

Mentionam ca vom nota ıntotdeauna elementele spactiului Rn, n ≥ 2 cu litereıngrosate, eventual indiciate: a, b,x, a1, a2 s.a.m.d., ın timp ce numerele reale levom nota ıntotdeauna cu litere normale, eventual indiciate: a, b, x, a1, a2, s.a.m.d.

Pe spatiul Rn nu vom defini o operatie de ınmultire si nici o relatie de ordine.Aceasta face ca structura algebrica a spatiului Rn, cu n oarecare, sa fie mai slabadecat a a multimii R.

Se observa imediat ca Rn ınzestrat cu operatiile de adunare si amplificare cuscalar este un spatiu vectorial, adica (Rn,+) este un grup comutativ, iar operatiade amplificare cu scalar are proprietatile:

• λ(x + y) = λx + λy, (∀) x, y ∈ Rn, (∀)λ ∈ R;

• (λ+ µ)x = λx + µx, (∀) x ∈ Rn, (∀)λ, µ ∈ R;

• λ(µx) = (λµ)x, (∀) x ∈ Rn, (∀)λ, µ ∈ R;

• 1x = x, (∀) x ∈ Rn.Consideram ın continuare cateva elemente de analiza vectoriala pe spatiul Rn.

Notam 0 = (0, . . . , 0) ∈ Rn. Avem (−1)x = −x si 0x = 0, pentru orice x ∈ Rn.Pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n, notam cu ei, vectorul ei = (0, . . . , 1, . . . , 0), unde 1apare pe pozitia a i-a. Multimea {e1, . . . , en}, formeaza baza canonica a spatiuluiRn. Orice x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, admite o unica reprezentare ın raport cu aceastabaza si anume x = x1e1 + . . .+ xnen.

Definitia 1.2. Introducem urmatoarele tipuri de multimi speciale ın Rn:

1

• Daca a, b ∈ Rn, se numeste segmentul de capete a si b, multimea

[a, b] := {ta + (1− t)b| t ∈ [0, 1]}.

• O multime C ⊂ Rn se numeste convexa, daca pentru orice puncte a, b ∈ C,avem [a, b] ⊂ C.

• Daca a, v ∈ Rn, v 6= 0, se numeste dreapta ce trece prin a si de directie v,multimea

{a + tv| t ∈ R}.De asemenea, multimea {a + tv| t ∈ [0,∞)} se numeste semidreapta decapat a si de sens v.

Definitia 1.3. Pentru indicii 1 ≤ i ≤ n, functiile πi : Rn → R, definite prinπi(x1, . . . , xn) = xi, (x1, . . . , xn) ∈ Rn, se numesc functiile proiectie de indice i.

Definitia 1.4. Fie funtia f : D → Rn, unde D este o multime oarecare. Pentruindicii 1 ≤ i ≤ n, notam cu fi : D → R, functiile fi := πi◦f . Functiile fi se numescfunctiile componente de indice i ale functiei f .

Observam ca functia f considerata ın definitia precedenta, admite reprezentareaf = (f1, . . . , fn).

Definitia 1.5. Fie functia f : D → E, unde D ⊂ Rn, iar E este o multimeoarecare si fie de asemenea un punct a ∈ D si v ∈, v 6= 0. Functia ϕ(t) :== f(a + tv), t ∈ I, unde I = {t ∈ R| a + tv ∈ D}, este restrictia functiei f ladrepta de directie v care trece prin a.

In cazul particular, cand v = ei, unde 1 ≤ i ≤ n, functia ϕ se numeste functiapartiala de indice i a lui f ın punctul a. Aceasta functie partiala o notam cuϕa,i.

Observam ca functiile partiale ϕa,i admit pentru a = (a1, . . . , an), reprezentarea

ϕa,i(xi) = f(a1, . . . , xi, . . . , an), xi ∈ {xi ∈ R| (a1, . . . , xi, . . . , an) ∈ D}.

2 Topologia spatiului Rn. Generalitati

Definitia 2.1. Se numeste norma unui element x ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn), numarulreal pozitiv:

‖x‖ :=√x2

1 + . . .+ x2n.

2

Propozitia 2.1. (Inegalitatea lui Cauchy) Pentru orice puncte x, y ∈ Rn, x =(x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn), avem

|x1y1 + . . .+ xnyn| ≤ ‖x‖ ‖y‖.

Demonstratie. Sa consideram functia g(t) := (x1 + ty1)2 + . . .+ (xn + tyn)2, t ∈∈ R. Evident g(t) ≥ 0, pentru orice t ∈ R. Dar g este un polinom de gradul doi ınvariabila t:

g(t) = (y21 + . . .+ y2

n)t2 + 2(x1y1 + . . .+ xnyn)t+ (x21 + . . .+ x2

n).

Rezulta ca discriminantul ∆ lui g satisface inegalitatea ∆ ≤ 0. Acesta inegalitateeste echivalenta imediat cu inegalitatea din enunt.

Propozitia 2.2. Norma are urmatoarele proprietati:a) ‖x‖ = 0, daca si numai daca x = 0, cand x ∈ Rn.b) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖, pentru orice x ∈ Rn si λ ∈ R. (Proprietatea de omogeni-

tate)c) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖, pentru orice x, y ∈ Rn. (Inegalitatea triunghiului

sau Inegalitatea lui Minkowski).

Demonstratie. a) Conditia ‖x‖ = 0 este echivalenta cu conditia x2i = 0, (∀) 1 ≤

≤ i ≤ n, care la randul ei este echivalenta cu conditia x = 0.b) Avem ‖λx‖ =

√(λx1)2 + . . .+ (λxn)2 =

√(λ)2(x2

1 + . . .+ x2n) = |λ| ‖x‖.

c) Daca ridicam la patrat inegalitatea din enunt, obtinem inegalitatea echivalenta

n∑i=1

x2i +

n∑i=1

y2i + 2

n∑i=1

xiyn ≤n∑i=1

x2i +

n∑i=1

y2i + 2‖x‖ ‖y‖.

Dupa simplificare aceasta inegalitate rezulta din inegalitatea lui Cauchy.Sunt utile urmatoarele inegalitati.

Propozitia 2.3. Pentru orice punct x ∈ Rn, x = (x1, . . . , xn), si orice indice1 ≤ i ≤ n avem

|xi| ≤ ‖x‖ ≤n∑j=1

|xj|. (1)

Demonstratie. Inegalitatiile din enunt se obtin imediat prin ridicare la patrat.

Definitia 2.2. Pentru x, y ∈ Rn, numarul d(x,y) := ‖x−y‖ se numeste distantadintre punctele x si y.

Propozitia 2.4. Distanta are urmatoarele proprietati:a) d(x,y) = 0, daca si numai daca x = y, x, y ∈ Rn.b) d(x,y) = d(y,x), pentru orice x,y ∈ Rn.c) d(x, z) ≤ d(x,y) + d(y, z), pentru orice x, y, z ∈ Rn.

3

Demonstratie. a) d(x,y) = 0 este echivalent cu ‖x−y‖ = 0, ceea ce este echiva-lent cu x− y = 0.

b) d(x,y) = ‖x− y‖ = ‖(−1)(y − x)‖ = | − 1| ‖y − x‖ = d(y,x).c) d(x, z) = ‖x−z‖ = ‖(x−y)+(y−z)‖ ≤ ‖x−y‖+‖y−z‖ = d(x,y)+d(y, z).

Definitia 2.3. Daca a ∈ Rn si r > 0, se numeste sfera deschisa de centru a side raza r, multimea

B(a, r) := {y ∈ Rn| ‖y − x‖ < r}.Sfera deschisa centrata ın a si de raza r este pentru n = 1, intervalul deschis

(a− r, a + r), pentru n = 2, interiorul geometric al cercului centrat ın a si de razar, iar pentru n = 3, interiorul geometric al sferei de centru a si de raza r.

Definitia 2.4. Multimea A ⊂ Rn se numeste marginita, daca exista R > 0, astfelıncat A ⊂ B(0, R).

Definitia 2.5. Se numeste vecinatate a unui punct a ∈ Rn, orice multime V ⊂ Rncu proprietatea ca exista un numar r > 0, astfel ıncat B(a, r) ⊂ V . Notam cu Va

familia vecinatatiilor lui a.

Propozitia 2.5. Avem pentru orice a ∈ Rna) a ∈ V , pentru orice V ∈ Va.b) V1 ∩ V2 ∈ Va, pentru orice V1, V2 ∈ Va.c) Daca V ∈ Va, si V ⊂ A, A ⊂ Rn, atunci A ∈ Va.

Demonstratie. Punctele a) si c) sunt evidente. Pentru a vedea b), fie r1, r2 > 0,astfel ca B(a, r1) ⊂ V1 si B(a, r2) ⊂ V2. Daca luam r := min{r1, r2}, atunci avemB(a, r) ⊂ V1 ∩ V2.

Sferele deschise centrate ıntr-un punct a sunt cele mai simple vecinatati alepunctului a. Dupa cum vom remarca ın continuare, notiunile care pot fi construitecu ajutorul familiei de vecinatati ale unui punct, pot fi definite echivalent folosinddoar subfamilia sferelor deschise centrate ın acel punct.

Definitia 2.6. O multime A ⊂ Rn se numeste multime deschisa, daca pentrupentru orice a ∈ A, exista r > 0, astfel ıncat B(a, r) ⊂ A, (sau echivalent, daca Aeste vecinatate pentru toate punctele sale).

Propozitia 2.6. Avem:a) Orice sfera deschisa este o multime deschisa.b) O multime este deschisa, daca si numai daca ea este o reuniune arbitrara de

sfere deschise.

Demonstratie. a) Fie sfera B(a, r) si fie x ∈ B(a, r). Notam ρ := r − ‖x − a‖.Avem ρ > 0. Aratam ca B(x, ρ) ⊂ B(a, r). Intr-adevar, daca y ∈ B(x, ρ), rezultaca ‖y − a‖ ≤ ‖y − x‖ + ‖x − a‖ < ρ + ‖x − a‖ = r. Cum y a fost ales arbitrar,rezulta afirmatia. Apoi, deoarece pentru un punct arbitrar x ∈ B(a, r), am gasitρ > 0, astfel ca B(x, ρ) ⊂ B(a, r), rezulta ca B(a, r) este multime deschisa.

4

b) Fie D =⋃i∈I B(ai, ri). Daca x ∈ D, atunci exista, i ∈ I, astfel ca x ∈

∈ B(ai, ri). Din punctul a) rezulta ca exista ρ > 0 astfel ca B(x, ρ) ⊂ B(ai, ri) sideci B(x, ρ) ⊂ D. Asadar D este deschisa. Reciproc, daca D ⊂ Rn este deschisa,atunci pentru orice punct x ∈ D, exista rx > 0, astfel ca B(x, rx) ⊂ D. Dinidentitatea imediata D =

⋃x∈D B(x, rx), rezulta afirmatia reciproca.

Propozitia 2.7. Familia multimile deschise are urmatoarele proprietati:a) Multimea vida ∅ si spatiul Rn sunt multimi deschise.b) O reuniune arbitrara de multimi deschise este o multime deschisa.c) Intersectia a doua multimi deschise este o multime deschisa.

Demonstratie. a) Multimea ∅ este deschisa, dearece ea nu contine nici un punctın care sa trebuiasca verificata conditia din definitia multimilor deschise. MultimeaRn este evident deschisa.

b) Fie D o reuniune arbitrara de multimi deschise. Din Propozitia 2.6-b) rezultaca D este o reuniune de reuniuni de sfere deschise, deci este o reuniune de sferedeschise. Aplicand din nou Propozitia 2.6-b), partea de suficinta, rezulta ca D estedeschisa.

c) Fie D1, D2, multimi deschise. Fie x ∈ D1 ∩D2. Exista razele r1 > 0, r2 > 0,astfel ca B(x, r1) ⊂ D1 si B(x, r2) ⊂ D2. Daca notam r = min{r1, r2}, atunci avemB(x, r) ⊂ D1∩D2. Deoarece x a fost ales arbitrar, rezulta ca D1∩D2 este deschisa.

Observatia 2.1. Din punctul c) al propozitiei precedente, rezulta prin inductie cao intersectie finita de multimi deschise este o multime deschisa.

O familie de multimi τ ⊂ P(X), unde X este o multime oarecare, care verificaconditiile a), b), c), din Propozitia 2.7 se numeste spatiu topologic. Deci ınPropozitia 2.7 am demostrat ca spatiul Rn, ınzestrat cu familia de multimi deschise,asa cum au fost definite ın Definitia 2.6, este un spatiu topologic. Mentionam ca oparte din notiunile pe care le consideram ın acest capitol, referitoare la spatiul Rnpot fi considerate mai general ıntr-un spatiu topologic abstract. Spatiile topologicereprezinta cadrul cel mai general ın care se studiaza notiunile de convergenta, limitasi continuitate.

Definitia 2.7. O multime din Rn se numeste ınchisa, daca complementara sa esteo multime deschisa.

Definitia 2.8. Fie A ⊂ Rn si a ∈ Rn. Punctul a se numeste:

• punct interior al lui A, daca exista r > 0 astfel ıncat B(a, r) ⊂ A

• punct aderent al lui A, daca pentru orice r > 0, avem B(a, r) ∩ A 6= ∅.• punct de acumulare al lui A, daca pentru orice r > 0, avem

B(a, r) ∩ A \ {a} 6= ∅.

• punct izolat al lui A, daca exista r > 0 astfel ıncat B(a, r) ∩ A = {a}.

5

Definitia 2.9. Fie A ⊂ Rn. Definim:

• interiorul lui A, notat cu◦A, multimea punctelor interioare ale lui A,

• aderenta sau ınchiderea lui A, notata cu A, multimea punctelor aderenteale lui A,

• multimea derivata a lui A, notata cu A′, multimea punctelor de acumulareale lui A,

• frontiera lui A, multimea FrA := A \ ◦A.

Relativ la interior si aderenta avem urmatoarele rezultate:

Propozitia 2.8. i) Pentru orice multime A ⊂ Rn, multimea◦A este cea mai mare

multime deschisa inclusa ın A. Rezulta ca o multime A ⊂ Rn este deschisa, daca si

numai daca A =◦A.

ii) Pentru orice multime A ⊂ Rn, multimea A este cea mai mica multime ınchisacare include pe A. Rezulta ca o multime A ⊂ Rn este ınchisa, daca si numai dacaA = A.

3 Siruri ın spatiul Rn

Definitia 3.1. Un sir (xk)k∈N se numeste convergent, daca exista a ∈ Rn, astfelıncat, limk→∞ ‖xk−a‖ = 0. In acest caz punctul a se numeste limita sirului (xk)k∈N

si se noteaza cu limk→∞ xk.

Observatia 3.1. Conditia a = limk→∞ xk se scrie ın mod echivalent astfel: (∀) ε >0, (∃)kε ∈ N, (∀) k ∈ N, k ≥ kε, ‖xk − a‖ < ε.

Propozitia 3.1. Daca un sir (xk)k∈N din Rn este convergent, atunci limita sa esteunica.

Urma toarea propozitie arata ca convergenta sirurilor de vectori din Rn se reducela convergenta sirurilor de componente.

Propozitia 3.2. Fie sirul (xk)k∈N, unde xk = (xk 1, . . . , xk n), k ∈ N si fie punctula ∈ Rn, a = (a1, . . . , an). Sunt echivalente:

i) limk→∞ xk = a,ii) limk→∞ xk i = ai, pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n.

Demonstratie. i) ⇒ ii). Fie indicele 1 ≤ i ≤ n fixat. Avem |xk i − ai| ≤≤ ‖xk−a‖, vezi (1), si din limk→∞ ‖xk−a‖ = 0, obtinem folosind criteriul majorariica limk→∞ |xk i − ai| = 0.

ii) ⇒ i). Folosim inegalitatea ‖xk − a‖ ≤n∑i=1

|xk i − ai|, vezi (1). Din limitele

limk→∞ |xk i − ai| = 0, pentru orice 1 ≤ i ≤ n, aplicand criteriul majorarii, obtinemlimk→∞ ‖xk − a‖ = 0.

6

Definitia 3.2. Un sir (xk)k∈N din Rn se numeste fundamental sau sir Cauchy,daca pentru orice ε > 0, exista kε ∈ N, astfel ca pentru orice k, l ∈ N, k, l ≥ kε, saavem ‖xl − xk‖ < ε.

Propozitia 3.3. Orice sir (xk)k∈N convergent, din Rn este fundamental.

Demonstratie. Fie a = limk→∞ xk si fie ε > 0. Exista un indice kε ∈ N, astfelıncat sa avem ‖xk − a‖ < ε

2, pentru orice k ≥ kε. Atunci, daca k, l ∈ N, k, l ≥ kε,

avem ‖xl − xk‖ ≤ ‖xl − a‖+ ‖a− xk‖ < ε2

+ ε2

= ε.

Reciproca acestei propozitii este de asemenea adevarata, asa cum va rezulta dinteorema urmatoare.

Teorema 3.1. Orice sir fundamental (xk)k∈N din Rn este convergent, adica spatiulRn este complet ın sensul lui Cauchy.

Demonstratie. Fie sirul fundamental (xk)k∈N, unde xk = (xk 1, . . . , xk n), k ∈∈ N. Folosind inegalitatea (1), rezulta imediat ca sirurile (xk i)k∈N sunt fundamentalepentru toti indicii 1 ≤ i ≤ n. Deoarece spatiul R este complet ın sens Cauchy, rezultaca sirurile componentelor sunt convergente. Notam ai :== limk→∞ xk i, 1 ≤ i ≤ n. Apoi consideram punctul a := (a1, . . . , an). AplicandPropozitia 3.2, obtinem ca limk→∞ xk = a.

Cu ajutorul sirurilor putem caracteriza punctele aderente, punctele de acumularesi multimile ınchise.

Propozitia 3.4. Fie A ⊂ Rn si a ∈ Rn Avem:i) a este punct aderent al multimii A, daca si numai daca, exista un sir (xk)k∈N,

de puncte din A, convergent la a.ii) a este punct de acumulare al multimii A, daca si numai daca exita un sir de

puncte (xk)k∈N, din A \ {a}, convergent la a.

Demonstratie. i) Presupunem ca a ∈ A. Pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, exista cateun punct xk ∈ A∩B(a, 1

k). Definim x0 arbitrar. Atunci sirul (xk)k∈N astfel construit

este convergent la a.Reciproc, sa presupunem ca exista un sir (xk)k∈N, de puncte din A, convergent

la a. Fie r > 0. Exista un indice k ∈ N astfel ca ‖xk−a‖ < r. Deci A∩B(a, r) 6= ∅.Cum r > 0 a fost ales arbitrar, rezulta ca a ∈ A.

Punctul ii) se demonstreaza analog.

Propozitia 3.5. O multime A ⊂ Rn este ınchisa, daca si numai daca orice sirconvergent de puncte din A are limita ın A.

Demonstratie. Sa presupunem ca A este multime ınchisa si fie un sir (xk)k∈N depuncte xk ∈ A, care este convergent la punctul a. Fie r > 0 arbitrar. Exista unindice k ∈ N astfel ca ‖xk − a‖ < r. Deci B(a, r) ∩ A 6= ∅. Deoarece r > 0 a fostales arbitrar rezulta ca a ∈ A. Dar cum A este ınchisa, rezulta ca a ∈ A.

Reciproc presupunem ındeplinita pentru A, conditia cu siruri, din enunt. Fie a ∈A. Din Propozitia 3.4 rezulta ca exista un sir (xk)k∈N de puncte din A, convergentla a. Atunci a ∈ A. Deoarece a ∈ A a fost ales arbitrar, rezulta ca A = A. DinPropozitia 2.8 rezulta ca A este multime ınchisa.

7

4 Multimi compacte si multimi conexe

Numim acoperire cu deschisi a unei multimi A ⊂ Rn, o familie de multimi deschise{Di, i ∈ I} cu proprietatea ca A ⊂ ⋃i∈I Di.

Definitia 4.1. O multime A ⊂ Rn se numeste compacta, daca din orice acoperirecu deschisi a lui A se poate extrage o subacoperire finita, adica daca A ⊂ ⋃i∈I Di

cu Di deschisi, exista indicii i1, . . . , ik, astfel ıncat A ⊂ Di1 ∪ . . . ∪Dik .

Vom da ın continuare o caracterizare a multimilor compacte.

Teorema 4.1. (Borel-Lebesque) Fie A ⊂ Rn. Sunt echivalente:i) A este compacta,ii) A este marginita si ınchisa.

Definitia 4.2. O multime A ⊂ Rn se numeste conexa, daca nu exista doua multimideschise D1, D2 cu proprietatile:

a) A ∩D1 6= ∅ si A ∩D2 6= ∅,b) A ⊂ D1 ∪D2 sic) A ∩D1 ∩D2 = ∅.

In caz contrar, multimea A se numeste disconexa.

Doua rezultate importante sunt urmatoarele:

Teorema 4.2. Orice multime convexa A ⊂ Rn este conexa.

Teorema 4.3. O multime din R este conexa, daca si numai daca ea este un interval.

Reamintim ca o multime I ⊂ R se numeste interval, daca, pentru orice numerea < x < b, daca a, b ∈ I, rezulta x ∈ I

8

Curs 6

Limita si continuitate

Functiile care vor interveni ın acest capitol vor fi de forma f : D → Rm, undeD ⊂ Rn, n, m ≥ 1. O astfel de functie se numeste functie scalara daca m = 1 sirespectiv functie vectoriala, daca m ≥ 2. De asemenea, functia f se numeste deo variabila, daca n = 1 si de mai multe variabile, daca n ≥ 2. Pentru functiilevectoriale putem considera functiile componente scalare, iar pentru functiile de maimulte variabile puten considera functiile partiale ıntr-un punct, asa cum au fostintroduse acestea ın paragraful 6.1.

1 Limite de functii

Vom considera ın acest capitol limitele de functii, ın sens global, dupa o directiesi partiale. Definitia de baza este cea a limitei globale, din care prin particularizarese obtin limitele dupa o directie si limitele partiale. Cand nu se precizeaza tipullimitei, se considera implicit ca este vorba de limita globala.

Definitia 1.1. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn, n ≥ 1, m ≥ 1 si fie a ∈ Rn unpunct de acumulare al lui D. Fie de asemenea l ∈ Rm. Spunem ca l este limitafunctiei f ın punctul a, (sau ınca limita globala a lui f ın a), daca, pentru oricevecinatate V a lui l, exista o vecinatate U a lui a, astfel ıncat

f(U ∩D \ {a}) ⊂ V. (1)

.

Observatia 1.1. Definitia limitei lui f ın a, de mai sus, poate fi exprimata echivalentın urmatoarea forma:

(∀) ε > 0, (∃)δε > 0, (∀) x ∈ D, 0 < ‖x− a‖ < δε ⇒ ‖f(x)− l‖ < ε. (2)

Intr-adevar, aceasta exprimare ın limbaj ”delta-epsilon”, se obtine din definitia cuvecinatati, daca consideram vecinatati V ale lui l de forma V = B(l, ε) si vecinatatiale lui a de forma B(a, δε). Apoi echivalenta celor doua exprimari se deduce imediat.

Astfel, daca l este limita functiei f ın a ın sensul definitiei cu vecinatati, atuncipentru orice ε > 0, exista o vecinatate U a lui a astfel ıncat f(U ∩D\{a}) ⊂ B(l, ε).Dar exista δ > 0, astfel ca B(a, δ) ⊂ U . Deoarece acest δ, depinde de ε, ıl notamδε > 0. Se obtine ca l verifica conditia (2).

Reciproc, daca l verifica conditia (2), atunci daca V este o vecinatate a lui l,exista ε > 0, astfel ıncat, B(l, ε) ⊂ V . Atunci exista δε > 0, care verifica conditiadin (2). Daca notam U := B(a, δε), obtinem (1).

Propozitia 1.1. Daca o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, admite ıntr-un puncta ∈ D′ o limita, atunci aceasta este unica.

1

Demonstratie. Presupunem prin absurd, ca exita doua puncte diferite l1, l2 ∈∈ Rm, care verifica conditia (2). Alegem ε < 1

2‖l1 − l2‖. Exista atunci, pentru

i = 1, 2, numerele δiε > 0, astfel ıncat ‖f(x)− li‖ < ε, pentru orice x ∈ D, x 6= a si|x − a| < δiε. Fie fixat un punct x ∈ D \ {a}, astfel ıncat ‖x − a‖ < min{δ1

ε , δ2ε}.

Un astfel de punct exista deoarece a este punct de acumulare a lui D. Atunci avem‖l1 − l2‖ ≤ ‖l1 − f(x)‖+ ‖f(x)− l2‖ < 2ε < ‖l1 − l2‖. Contradictia gasita, demon-streaza propozitia.

Propozitia precedenta justifica urmatoarea notatie:

Definitia 1.2. Daca functia f : D → Rm, D ⊂ Rn admite limita ın punctul a ∈ D′,atunci limita sa se noteaza cu limx→a f(x).

Urmatoarea propozitie arata ca studiul limitelor functiilor vectoriale se reducela studiul limitelor functiilor componente.

Propozitia 1.2. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn, f = (f1, . . . , fm), undefi : D → R, (1 ≤ i ≤ m). Fie a ∈ D′ si l ∈ Rm, l = (l1, . . . , lm). Sunt echivalente:

i) limx→a f(x) = l,ii) limx→a fi(x) = li, pentru orice 1 ≤ i ≤ m.

Demonstratie. Propozitia rezulta imediat din urmatoarele inegalitati deduse dinproprietatile normei:

|fi(x)− li| ≤ ‖f(x)− l‖ ≤m∑j=0

|fj(x)− lj|, (∀) 1 ≤ i ≤ m, (∀) x ∈ D.

Definitia 1.3. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn, a ∈ ◦D, v ∈ R, ; v 6= 0 si l ∈ Rm.Spunem ca l este limita dupa directia v a lui f ın punctul a, daca:

limt→0

f(a + tv) = l. (3)

In cazul particular cand v = ei, 1 ≤ i ≤ n, atunci limita de mai sus se numestelimita partiala de indice i.

Observatiile 1.1. In legatura cu limitele definite ın Definitia 1.3 facem urma-toarele remarci:

a) Conditia a ∈ ◦D este considerata doar pentru simplificare. De fapt aceastaconditie ar putea fi ınlocuita cu conditia mai slaba ca a sa fie punct de acumulareal multimii obtinute prin intersectia lui D cu dreapta ce trece prin a, de directie v.

b) Definitia limitei exprimate prin (3), trebuie ınteleasa ca limita ın 0 a functieiϕ(t) := f(a + tv), t ∈ I, unde I := {t ∈ R| a + tv ∈ D}. Explicit ea ınsemna:

(∀) ε > 0, (∃)δε > 0, (∀) t ∈ R, 0 < |t| < δε, a + tv ∈ D ⇒ ‖f(a + tv)− l‖ < ε.

In cazul particular al limitei partiale de indice i, aceasta se mai poate nota si prinl = limxi→ai f(a1, . . . , xi, . . . , an), unde l verifica conditia echivalenta:

(∀) ε > 0, (∃)δε > 0, (∀)xi ∈ R, 0 < |xi − ai| < δε, (a1, . . . , xi, . . . , an) ∈ D ⇒⇒ ‖f(a1, . . . , xi, . . . , an)− l‖ < ε.

2

Propozitia 1.3. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si a ∈ ◦D. Daca f admite limita(globala) l ın punctul a, atunci ea admite limite dupa orice directie v 6= 0 ın a sitoate sunt egale cu l.

Demonstratie. Fie ε > 0. Putem alege δ > 0, astfel ıncat sa fie ındepliniteurmatoarele doua conditii: B(a, δ) ⊂ D si pentru orice x ∈ B(a, δ), x 6= a, sa avem‖f(x) − l‖ < ε. Atunci, daca fixam v ∈ Rn, v 6= 0, Avem ‖f(a + tv) − l‖ < ε,pentru orice t astfel ca 0 < |t| < δ

‖v‖ . Deci limt→0 f(a + tv) = l.

Urmatoarea teorema caracterizeaza limitele de functii cu ajutorul limitelor desiruri.

Teorema 1.1. (Heine) Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si a ∈ D′. Suntechivalente:

i) exista limx→af(x),ii) pentru orice sir (xk)k∈N de puncte xk ∈ D \ {a}, convergent la a, sirul

valorilor: (f(xk))k∈N este convergent.Mai mult, ın cazul cand acestea au loc, atunci

limx→a

f(x) = limk→∞

f(xk),

pentru orice sir (xk)k∈N ca mai sus.

Demonstratie. Presupunem mai ıntai ca exista limx→a f(x) = l si aratam ca pen-tru orice sir (xk)k∈N de puncte xk ∈ D\{a}, convergent la a, avem limk→∞ f(xk) = l.Fie (xk)k∈N un astfel de sir si fie ε > 0 ales arbitrar. Din ipoteza, exista δε > 0 astfelıncat sa avem ‖f(x) − l‖ < ε, pentru orice x ∈ D, astfel ıncat 0 < ‖x − a‖ < δε.Exista kε ∈ N, astfel ca sa avem ‖xk − a‖ < δε, pentru orice k ∈ N, k ≥ kε. Atuncipentru k ≥ kε, avem ‖f(xk)− l‖ < ε. Deci limk→∞ f(xk) = l.

Reciproc, sa presupunem conditia ii) ındeplinita. Mai ıntai sa remarcam caatunci exista un unic element l ∈ Rm la care converg toate sirurile (f(xk))k∈N, cand(xk)k∈N verifica conditiile din ii). Intr-adevar, fie doua siruri (xk)k∈N si (yk)k∈N,de elemente din D \ {a}, convergente la a si astfel ıncat limk→∞ f(xk) = l1, iarlimk→∞ f(yk) = l2. Atunci putem considera sirul alternant (zk)k∈N, definit prinz2k := xk, z2k+1 := yk, (k ∈ N). Atunci din ii) rezulta ca exista l3 ∈ Rm, astfelca limk→∞ f(zk) = l3. Dar cum, (f(xk))k∈N si (f(yk))k∈N sunt subsiruri ale sirului(f(zk))k∈N, rezulta ca l1 = l3 si l2 = l3. Deci l1 = l2.

Sa presupunem acum ii) si sa notam cu l, acel unic element din Rm la careconverg toate sirurile (f(xk))k∈N, cand (xk)k∈N verifica conditiile din ii). Pre-supunem prin absurd ca l 6= limx→a f(x). Atunci exista ε0 > 0, astfel ıncat, pentruorice δ > 0, exista xδ ∈ D \ {a} astfel ıncat ‖xδ − a‖ < δ si ‖f(x) − l‖ ≥ ε0.Alegand δ := 1

k, k ∈ N, k ≥ 1, obtinem un sir (xk)k∈N cu proprietatile xk ∈

D \ {a}, limk→∞ xk = a, si ‖f(xk)− l‖ ≥ ε0. Aceasta contrazice ınsa ipoteza. Decitrebuie sa avem limx→a f(x) = l.

Ca o consecinta imediata a Teoremei lui Heine, avem urmatorul criteriu utilpentru a demonstra neexistenta limitei unei functii ıntr-un punct.

3

Corolarul 1.1. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si a ∈ D′. Daca exista douasiruri (xk)k∈N si (yk)k∈N de puncte din D \ {a}, convergente la a si astfel ıncatlimk→∞ f(xk) = l1 si limk→∞ f(yk) = l2, unde l1 6= l2, atunci f nu admite limita ınpunctul a.

Observatiile 1.2. In legatura cu corolarul precedent facem urmatoarele remarci:i) In general, reciproca Corolarului 1.1 nu este adevarata. Un exemplu este dat

ın Exercitiul 1. din paragraful de aplicatii.ii) Daca m = 1, atunci avem o reciproca slaba a Corolorului 1.1, astfel: Daca f

nu admite limita ın punctul a, atunci exista doua siruri (xk)k∈N si (yk)k∈N de punctedin D \ {a}, convergente la a si astfel ıncat limk→∞ f(xk) = l1 si limk→∞ f(yk) = l2,unde l1, l2 ∈ R si l1 6= l2. Intr-adevar, daca f nu are limita ın a, rezulta din Teoremalui Heine ca exista un sir (zk)k∈N de puncte din D \ {a} si convergent la a, astfelıncat sirul (f(zk))k∈N nu este convergent ın R. Dar orice sir neconvergent din Rare cel putin doua puncte limita diferite l1, l2 ın R. Atunci notam cu (xk)k∈N si cu(yk)k∈N, doua subsiruri ale sirului (zk)k∈N, alese astfel ıncat limk→∞ f(xk) = l1 silimk→∞ f(yk) = l2.

Urmatorul criteriu, pe care ıl prezentam ın continuare, reprezinta un analog alcriteriului general de convergenta a lui Cauchy, ıntalnit la siruri ai la serii numerice.

Teorema 1.2. (Criteriul Cauchy-Bolzano) Fie functia f : D → Rm, D ⊂⊂ Rn si a ∈ D′. Sunt echivalente:

i) exista limx→af(x),ii) pentru orice ε > 0 exista δε > 0, astfel ıncat pentru orice puncte x, y ∈

∈ D \ {a}, astfel ıncat ‖x− a‖ < δε, si ‖y − a‖ < δε, avem ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Demonstratie. i)→ ii). Fie l := limx→a f(x). Consideram un numar ε > 0arbitrar ales. Din i) exista δε > 0, astfel ca ‖f(x)− l‖ < ε

2, pentru orice x ∈ D, cu

0 < ‖x− a‖ < δε. Atunci, daca x, y ∈ D sunt astfel ca 0 < ‖x− a‖, ‖y− a‖ < δε,atunci ‖f(x)− f(y)‖ ≤ ‖f(x)− l‖+ ‖l− f(y)‖ < ε

2+ ε

2= ε.

ii)→ ii). Presupunem prin absurd ca conditia ii) este ındeplinita, dar ca f nuare limita ın a. Din Teorema lui Heine rezulta ca exista un sir (xk)k∈N de puncte dinD \ {a}, convergent la a si astfel ıncat sirul (f(xk))k∈N nu este convergent. Atuncisirul (f(xk))k∈N nu este sir Cauchy. Deci exista ε0 > 0 cu proprietatea ca pentruorice k ∈ N exista indicii k1, k2 ≥ k, astfel ıncat ‖f(xk1)− f(xk2)‖ ≥ ε0

Fie numarul δε0 > 0, care satisface conditia din punctul ii) pentru alegereaε := ε0. Putem considera indicele k0 ∈ N, astfel ca pentru orice indici l ≥ k0,sa avem ‖xl − a‖ < δε0 . Din cele spuse mai sus putem alege indicii k1, k2 ≥ k0,astfel ıncat ‖f(xk1) − f(xk2)‖ ≥ ε0. Aceasta contrazice ınsa inegalitatea asiguratade punctul ii). Contradictia obtinuta demonstreaza conditia i).

Propozitia 1.4. (Criteriul majorarii) Fie D ⊂ Rn, a ∈ D′, si fie functiilef : D → Rm si ϕ : D → R. Daca exista l ∈ Rm, astfel ıncat

i) ‖f(x)− l‖ ≤ ϕ(x), pentru orice x ∈ V ∩D \ {a}, unde V este o vecinatate apunctului a,

ii) limx→a ϕ(x) = 0,atunci exista limx→a f(x) = l.

4

Demonstratie. Fie ε > 0 ales arbitrar. Alegem o vecinatate U ⊂ V a lui a, astfelıncat sa avem |ϕ(x)| < ε, pentru orice x ∈ U ∩ D \ {a}. Atunci, pentru astfel depuncte x avem ‖f(x)− l‖ < ε. Deci limx→a f(x) = l.

2 Functii continue ıntr-un punct

Vom defini doua notiuni de continuitate a unei functii ıntr-un punct: conti-nuitatea globala, (care este continuitatea obisnuita) si continuitatea partiala. Dacanu se precizeaza tipul continuitatii, atunci se considera implicit ca este vorba decontinuitatea globala. De obicei, vom omite ın exprimare termenul ”global”.

Definitia 2.1. Spunem ca o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua (global)ın punctul a ∈ D, daca pentru orice vecinatate V a lui f(a) exista o vecinatate Ua lui a astfel ıncat f(U ∩D) ⊂ V .

Observatia 2.1. O definitie echivalenta cu cea de mai sus, este urmatoarea:

(∀) ε > 0, (∃)δε > 0, (∀) x ∈ D, ‖x− a‖ < δε ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε.

Continuitatea poate fi caracterizata cu ajutorul limitei. Tinem cont ca un puncta ∈ D este fie un punct de acumulare al lui D, fie un punct izolat al lui D.

Propozitia 2.1. Fie o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn si punctul a ∈ D. Avem:i) Daca a este un punct izolat al lui D, atunci f este continua ın a.

ii) Daca a este un punct de acumulare a lui D, atunci f este continua ın a, dacasi numai daca f are limita ın a si limx→a f(x) = f(a).

Demonstratie. i) Fie V o vecinatate oarecare a lui f(a). Deoarece a este punctizolat, putem alege o vecinatate U a lui a, astfel ca U∩D = {a}. Atunci f(U∩D) == {f(a)} ⊂ V .

ii) Rezulta imediat, daca comparam ıntre ele definitiile limitei si ale conti-nuitatii.

Din propozitia precedenta si din proprietatile limitelor, deducem imediat urma-toarele caracterizari ale continuitatii ıntr-un punct:

Propozitia 2.2. O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, f = (f1, . . . , fm) este continuaın punctul a ∈ D, daca si numai daca toate functiile componente fi : D → R,1 ≤ i ≤ m, sunt continue ın a.

Propozitia 2.3. O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua ın punctul a ∈ D,daca si numai daca pentru orice sir (xk)k∈N, de puncte din D, avem limk→∞ f(xk) =f(a).

O alta caracterizare a continuitatii unei functii ıntr-un punct se poate facefolosind oscilatia functiei ın acel punct. In acest scop definim:

5

Definitia 2.2. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si fie A ⊂ D. Numim oscilatiafunctiei f pe multimea A, numarul Osc(f,A) ∈ R, definit prin

Osc(f, A) := supx,y∈A

‖f(x)− f(y)‖.

Definitia 2.3. Fie functia f : D → Rm, D ⊂ Rn si fie punctul a ∈ D. Numimoscilatia functiei f ın punctul a, numarul Osc(f, a) ∈ R, numarul definit prin

Osc(f, a) := infV ∈Va

Osc(f, V ∩D).

Teorema 2.1. O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua ıntr-un punct a ∈ D,daca si numai daca Osc(f, a) = 0.

Demonstratie. Sa presupunem ca f este continua ın punctul a. Fie ε > 0.Exista δε > 0 astfel ca ‖f(x) − f(a)‖ < ε

2, pentru orice x ∈ D, astfel ca ‖f(x) −

−f(a)‖ < δε. Atunci, daca x, y ∈ D ∩ B(a, δε), atunci ‖f(x) − f(y)‖ ≤ ‖f(x) −−f(a)‖+‖f(a)−f(y)‖ < ε. Asadar Osc(f,B(a, δε)) ≤ ε si deci Osc(f, a) ≤ ε. Cumε > 0 a fost ales arbitrar, rezulta Osc(f, a) = 0.

Reciproc, presupunem Osc(f, a) = 0. Fie ε > 0. Exista o vecinatate V a luia, astfel ca Osc(f,D ∩ V ) < ε. Atunci pentru orice punct x ∈ D ∩ V , avem‖f(x)− f(a)‖ ≤ ε. Deci f este continua ın a.

Definitia 2.4. Fie o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, fie a = (a1, . . . , an) ∈ Dsi fie un indice 1 ≤ i ≤ n. Spunem ca f este continua partial ın punctula ∈ D, ın raport cu variabila de indice i, daca functia partiala ϕa,i(xi) :== f(a1, . . . , xi, . . . , an), xi ∈ {xi ∈ R| (a1, . . . , xi, . . . , an) ∈ D}, este continua ınpunctul ai. De asemenea, spunem simplu, ca f este continua partial ın punctula, daca ea este continua partial ın a ın raport cu toate variabilele.

Folosind Propozitia 2.1 si legatura dintre limita globala si limitele partiale,obtinem:

Propozitia 2.4. Daca functia f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua global ın a,atunci ea este continua partial ın a.

Propozitia 2.5. Fie D ⊂ Rn si a ∈ D.i) Daca functiile f : D → Rm si g : D → Rm sunt continue ın punctul a, atunci

functia f + g : D → Rm este continua ın a.ii) Daca functia f : D → Rm este continua ın punctul a, atunci functia ‖f‖ si

functiile αf , unde α ∈ R, sunt continue ın a.

Propozitia 2.6. Fie D ⊂ Rn si a ∈ D si fie functiile f : D → R si g : D → Rcontinue ın punctul a. Atunci functia f · g este continua ın a, iar daca exista ovecinatate V a lui a astfel ıncat g(x) 6= 0, pentru orice x ∈ D∩ V , atunci functia f

g

este continua ın a.

In finalul paragrafului mentionam si urmatoarea proprietate:

6

Teorema 2.2. Fie D ⊂ Rn, E ⊂ Rm si fie funtiile f : D → E si g : E → Rp.Fie a ∈ D si notam cu b := f(a). Daca functia f este continua ın punctul a, iarfunctia g este continua ın punctul b, atunci functia g ◦ f : D → Rp este continuaın punctul a.

Demonstratie. Putem considera doar cazul cand a este punct de acumulare alui D. Fie (xk)k∈N, un sir oarecare de puncte din D, convergent la a. Atunci, dinPropozitia 2.1, partea directa, avem limk→∞ f(xk) = b si apoi limk→∞ g(f(xk)) =g(b) = (g◦f)(a). Atunci, folosind partea inversa a Propozitiei 2.1, rezulta ca functiag ◦ f este continua ın a.

3 Functii continue pe o multime

Definitia 3.1. Functia f : D → Rm, D ⊂ Rn se numeste continua pe D daca eaeste continua ın orice punct din D.

Observatia 3.1. Se va folosi si terminologia simpla de functie continua, ın loc defunctie continua pe D.

Din proprietatile functiilor continue ıntr-un punct, deducem imediat urmatoareleproprietati ale functiilor continue pe o multime.

Propozitia 3.1. Compunerea a doua functii continue este o functie continua. Pelarg, daca functiile f : D → E si g : E → Rp sunt continue, unde D ⊂ Rn, E ⊂ Rm,atunci functia g ◦ f : E → Rp este continua (pe D).

Propozitia 3.2. Daca functiile f : D → Rm si g : D → Rm, D ⊂ Rn sunt continuepe D, atunci functiile f + g, ‖f‖ si αf , unde α ∈ R este o constanta, sunt continuepe D.

Propozitia 3.3. Daca functiile f : D → R si g : D → R, D ⊂ Rn sunt continuepe D, atunci functia f · g este continua pe D. Daca ın plus g(x) 6= 0, pentru oricex ∈ D, atunci functia f

geste continua pe D.

In plus avem:

Propozitia 3.4. Daca functiile f : D → R si g : D → R, D ⊂ Rn sunt continue peD, atunci functiile max{f, g} si min{f, g} sunt continue pe D.

Demonstratie. Propozitia rezulta imediat din Propozitia 3.2 si din relatiile: max{f, g} =12(|f−g|+f+g) si min{f, g} = 1

2(f+g−|f−g|), tinand cont ca avem |f−g| = ‖f−g‖.

Folosind Propozitia 2.1, este justificata urmatoarea notiune.

Definitia 3.2. Fie functia f : D → Rm D ⊂ Rn. Presupunem ca exista limx→a f(x),unde a ∈ D′ \D. Numim prelungirea prin continuitate a functiei f ın punctula, functia continua f : D ∪ {a} → Rm, definita prin:

f(x) :=

{f(x), x ∈ Dlimx→a f(x), x = a

.

7

Continuitatea unei functii pe o multime poate fi caracterizata ın modul urmator.

Teorema 3.1. O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn este continua pe D, daca si numaidaca, pentru orice multime deschisa B ⊂ Rm, exista o multime deschisa U ∈ Rnastfel ıncat f−1(B) = D ∩ U .

Demonstratie. Sa presupunem ca f este continua pe D si fie B ⊂ Rm o multimedeschisa. Fie a ∈ f−1(B). Notam b := f(a). Deoarece B este des-chisa, ea este vecinatate a punctului b. Din continuitatea functiei f ın punc-tul a, gasim un numar δa > 0, astfel ıncat, f(D ∩ B(a, δa)) ⊂ B. Sa notamU :=

⋃a∈f−1(B) B(a, δa). Rezulta ca U este deschisa. Demonstram relatia din enunt.

Pentru orice a ∈ f−1(B) avem a ∈ B(a, δa) ⊂ U si totodata a ∈ D. Decif−1(B) ⊂ D∩U . Reciproc, daca x ∈ D∩U , exista a ∈ f−1(B), astfel ca x ∈ B(a, δa).Din constructia lui δa, avem f(D ∪B(a, δa)) ⊂ B. Deci f(x) ∈ B. Aceasta arata cax ∈ f−1(B). Deoarece punctul x a fost ales arbitrar, rezulta U ∩D ⊂ f−1(B). Amobtinut deci f−1(U) = D ∩B.

Reciproc, sa presupunem ca pentru orice multime B ⊂ Rm are loc conditiadin teorema si sa demonstram ca f este continua. Fie a ∈ D. Consideram V ,o vecinatate oarecare a punctului f(a). Exista o multime deschisa B astfel ıncatf(a) ∈ B ⊂ V . De exemplu B se poate lua de forma unei sfere deschise centrateın f(a). Fie U ⊂ Rn, o multime deschisa asigurata de ipoteza astfel ıncat U ∩D == f−1(B). Deoarece f(a) ∈ B rezulta ca a ∈ U ∩ D. Deoarece U este de-schisa, ea este vecinatate a punctului a. Din relatia U ∩ D = f−1(B) rezulta caf(U ∩ D) ⊂ B ⊂ V . Deoarece vecinatatea V a lui f(a) a fos aleasa arbitrara,rezulta ca f este continua ın a, iar cum a a fost ales arbitrar, rezulta ca f estecontinua pe D.

Vom utiliza ın continuare caracterizarea continuitatii data ın Teorema 3.1 pentrua stabili legatura dintre continuitate, pe de o parte si compactitate si conexitate pede alta parte.

Teorema 3.2. Daca D ⊂ Rn este multime compacta si daca functia f : D →→ Rm este continua, atunci multimea f(D) este compacta.

Demonstratie. Fie {Ai, i ∈ I} o acoperire cu deschisi a lui f(D). Din Teorema3.1 exista familia de multimi deschise {Ui, i ∈ I}, astfel ıncat, f−1(Ai) = D ∩ Ui.Pentru orice punct a ∈ D, exista i ∈ I astfel ca f(a) ∈ Ai. Deci a ∈ Ui. Asadar,familia {Ui, i ∈ I} este o acoperire cu deschisi a lui D. Deoarece D este compacta,rezulta ca exista indicii i1, . . . , ik ∈ I, astfel ca D ⊂ Ui1 ∪ . . . ∪ Uin . Deoarecef(D ∩ Ui) ⊂ Ai, rezulta ca f(D) ⊂ Ai1 ∪ . . . ∪ Aik . Deci din acoperirea arbitraracu deschisi a lui f(D) am putut extrage o subacoperire finita. Rezulta ca f(D) estecompacta.

Corolarul 3.1. (Teorema lui Weierstrass) Daca D ⊂ Rn este compacta, atunciorice functie continua f : D → R este marginita si ısi atinge marginile. Aceastaınseamna ca exista, m, M ∈ R, si xm, xM ∈ D astfel ca

i) m ≤ f(x) ≤M , pentru orice x ∈ D siii) m = f(xm), M = f(xM).

8

Demonstratie. Din Teorema 3.2 rezulta ca f(D) este compacta, iar din TeoremaBorel-Lebesgue rezulta ca f(D) este multime marginita si ınchisa. Deoarece estemarginita, exita numerele m := inf{f(x|x ∈ D} si M := sup{f(x)|x ∈ D}. Din proprietatile infimumului, pentru orice k ∈ N, k ≥ 1, exista unelement xk ∈ D, astfel ca f(xk) < m + 1

k. Atunci sirul (f(xk))k∈N, (unde x0 ∈ D

este ales arbitrar), este convergent cu limita m. Deoarece f(D) este ınchisa, obtinemm ∈ f(D). Deci exista xm ∈ D, astfel ıncat m = f(xm). In mod analog se demon-streaza existenta elementului xM .

Teorema 3.3. Daca D ⊂ Rn este multime conexa, iar functia f : D → Rm estecontinua, atunci multimea f(D) este conexa.

Demonstratie. Presupunem prin absurd ca f(D) este disconexa. Aceasta ın-seamna ca exista doua multimi deschise C1 ⊂ Rm, C2 ⊂ Rm, astfel ıncat sa avemi) f(D) ⊂ C1 ∪ C2, ii) f(D) ∩ C1 6= ∅, f(D) ∩ C2 6= ∅ si iii) f(D) ∩ C1 ∩ C2 = ∅.Fie multimile deschise U1 ⊂ Rn, U2 ⊂ Rn, asigurate de Teorema 3.1, astfel ıncatf−1(C1) = U1 ∩ D si f−1(C2) = U2 ∩ D. Din proprietatiile i), ii), iii) de mai sus,rezulta ca avem a) D ⊂ U1 ∪ U2, b) D ∩ U1 6= ∅, D ∩ U2 6= ∅ si c) D ∩ U1 ∩ U2 = ∅.Am obtinut ca D este disconexa. Contradictia obtinuta demonstreaza teorema.

Corolarul 3.2. (Teorema lui Darboux) Daca I ⊂ R este un interval, iarf : I → R este continua, atunci f are proprietatea lui Darboux pe I.

Demonstratie. Fie x1 < x2 doua puncte din I si λ ∈ R, astfel ıncat λ este cuprinsstrict ıntre f(x1) si f(x2). Din Teorema 3.3 deducem ca f([x1, x2]) este multimeconexa din R, deci este interval. Atunci λ ∈ f([x1, x2]), adica exista c ∈ (x1, x2),astfel ca f(c) = λ.

Vom introducem acum un tip special de functie continuna pe o multime.

Definitia 3.3. Functia f : D → Rm, D ⊂ Rn se numeste uniform continua peD daca, pentru orice ε > 0, exista δε > 0, astfel ıncat pentru orice x, y ∈ D, cu‖x− y‖ < δε sa avem ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Observatia 3.2. Diferenta dintre continuitatea uniforma si continiutatea obisnu-ita, consta ın faptul ca la continuitatea uniforma, numarul δε este acelasi ın toatepunctele lui D. La continuitatea obsnuita avem ındeplinita doar conduitia mai slaba:

(∀) x ∈ D, (∀) ε > 0, (∃)δx,ε > 0, (∀) y ∈ D, ‖x− y‖ < δx,ε ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε.

Avem deci:

Propozitia 3.5. Orice functie f : D → Rm, D ⊂ Rn care este uniform continuape D este si continua obisnuit pe D.

Vom considera ın comtinuare criterii privitoare la convergenta uniforma.

Propozitia 3.6. Fie o functie f : D → Rm, D ⊂ Rn. Daca exista un ε0 > 0 sidoua siruri (xk)k∈N si (yk)k∈N, cu xk, yk ∈ D cu proprietatile

i) limk→∞(xk − yk) = 0 siii) ‖f(xk)− f(yk)‖ ≥ ε0, atunci functia f nu este uniform continua pe D.

9

Demonstratie. Rezulta imediat prin negarea conditiei de uniform continuitate sialegand δ := δk, unde (δk)k∈N este un sir de numere strict pozitive convergente la0.

Teorema 3.4. Orice functie continua definita pe o multime compacta, f : D →→ Rm, D ⊂ Rn, este uniform continua pe domeniul de definitie D.

Demonstratie. Fie ε > 0. Pentru orce punct x ∈ D, exista cate o sfera deschisaB(x, rx), astfel ca pentru orice y ∈ B(x, rx) sa avem ‖f(y) − f(x)‖ < ε

2. Familia

{B(x, 12rx), x ∈ D} este o acoperire cu deschisi a lui D. Deoarece D este compacta,

putem gasi punctele x1, . . . ,xk ∈ D, astfel ca D ⊂ ⋃ki=1 B(xi,

12rxi). Alegem δε :=

= 12

min{rx1 , . . . , rxk}. Fie x, y ∈ D doua puncte astfel ca ‖x − y‖ < δε. Exista1 ≤ i ≤ k, astfel ca x ∈ B(xi,

12rxi). Avem

‖y − xi‖ ≤ ‖y − x‖+ ‖x− xi‖ < δε +1

2rxi ≤ rxi .

Deci y ∈ B(xi, rxi). Atunci, din alegerea sferelor B(x, rx), rezulta ca

‖f(x)− f(y)‖ ≤ ‖f(x)− f(xi)‖+ ‖f(xi)− f(y)‖ < ε

2+ε

2< ε.

Consideram acum o clasa de functii mai restransa decat cea a functiilor uniformcontinue.

Definitia 3.4. O functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, se numeste lipschitziana pe Ddaca exista o constanta M > 0, astfel ıncat

‖f(x)− f(y)‖ ≤M · ‖x− y‖, pentru orice puncte x, y ∈ D. (4)

Propozitia 3.7. Orice functie f : D → Rm, D ⊂ Rn, care este lipschitziana pe Deste uniform continua pe D.

Demonstratie. Fie M > 0 constanta pentru care are loc relatia (4). Fie ε > 0arbitrar ales. Daca notam δε := ε

M, atunci obtinem ‖f(x)− f(y)‖ < ε, pentru orice

puncte x, y ∈ D, astfel ca ‖x− y‖ < δε. Deci f este uniform continua.

Propozitia 3.8. Daca I ⊂ R este interval, iar f : I → R este o functie cu derivatamarginita pe I, atunci f este lipschitziana pe I.

Demonstratie. Fie M > 0, astfel ca |f ′(x)| ≤ M , pentru orice x ∈ I. Fie ε > 0.Pentru orice puncte x, y ∈ I, din Teorema lui Lagrange, exista un punct c cuprinsıntre x si y, astfel ca f(x)− f(y) = f ′(c)(x− y). Atunci |f(x)− f(y)| < M · |x− y|.

10

4 Aplicatii liniare

Definitia 4.1. O aplicatie L : Rn → Rm, n,m ≥ 1, se numeste liniara dacaındeplineste conditia

L(ax + by) = aL(x) + bL(y), pentru orice x, y ∈ Rn, si orice a, b ∈ R.

O aplicatie liniara se mai numeste si operator liniar. Notam cu L(Rn,Rm),multimea aplicatiilor liniare din Rn ın Rm.

Vom prezenta ın continuare reprezentarea matriceala ın raport cu bazelecanonice a aplicatiilor liniare. Fie {e1, . . . , en}, baza canonica a spatiului Rn si fie{e1, . . . , em}, baza canonica a spatiului Rm. Daca L ∈ L(Rn,Rm), atunci pentruorice 1 ≤ j ≤ n exista o reprezentare unica

L(ej) =m∑i=1

ai,jei.

MatriceaA := (ai,j)1≤i≤m1≤j≤n

, de ordin (m,n) se numeste matricea atasata aplicatiei

liniare L, ın raport cu bazele canonice.Sa observam ca, daca x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn si notam cu y := L(x), y =

= (y1, . . . , ym), atunci avem:

L(x) = L

(n∑j=1

xjej

)=

n∑j=1

xjL(ej) =n∑j=1

xj

m∑i=1

ai,jei =m∑i=1

(n∑j=1

ai,jxj

)ei.

Pe de alta parte avem

L(x) = y =m∑i=1

yiei.

Prin identificarea coeficientilor vectorilor ei, (1 ≤ i ≤ m), obtinem:

yi =n∑j=1

ai,jxj, (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). (5)

Aceste relatii sunt echivalente cu urmatoarea reprezentare matriceala:

L(x) =

y1...ym

=

a1,1 . . . a1,n

. . . . . . . . .am,1 . . . am,n

x1...xn

.

In cazul particularm = 1, pentru orice L ∈ L(Rn,R), exista un vector (a1, . . . , an),astfel ca L admite reprezentarea:

L(x) =n∑j=1

ajxj, (∀) x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn.

11

In cazul particular m = n = 1, pentru orice L ∈ L(R,R), exista un numar a ∈ R,astfel ca L admite reprezentarea:

L(x) = a · x, (∀)x ∈ R.

Studiem ın continuare continuitatea aplicatiilor liniare. Avem mai ıntai:

Teorema 4.1. Daca L ∈ L(Rn,Rm), atunci exista M > 0, astfel ca ‖L(x)‖ ≤M · ‖x‖.

Demonstratie. Fie A := (ai,j)1≤i≤m1≤j≤n

matricea atasata aplicatiei L, ın raport cu

bazele canonice. Fie x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn si y = L(x), y = (y1, . . . , ym). Folosindrelatiile date ın (5) si inegalitatile normei, gasim

‖y‖ ≤m∑i=1

|yi| =m∑i=1

|n∑j=1

ai,jxj| ≤m∑i=1

n∑j=1

|ai,j| · |xj| ≤m∑i=1

n∑j=1

|ai,j| · ‖x‖.

Deci putem alege M :=m∑i=1

n∑j=1

|ai,j|.

Corolarul 4.1. Orice aplicatie L ∈ (Rn, ) este o functie lipschitziana.

Demonstratie. Fie M ≥ 0, constanta care verifica conditia din Teorema 4.1. Fiex, y ∈ Rn. Avem ‖L(x)− L(y)‖ = ‖L(x− y)‖ ≤M · ‖x− y‖.

Din Teorema 4.1 rezulta ca are sens:

Definitia 4.2. Pentru orice L ∈ L(Rn,Rm) notam

‖L‖ := inf{M | ‖L(x)‖ ≤M‖x‖, (∀) x ∈ Rn}.

Numarul ‖L‖ se numeste norma operatorului L.

Denumirea de ”norma” atribuita numarului ‖L‖ se justifica prin faptul ca aplicatiacare atasaza fiecarui operator L pe ‖L‖, verifica proprietati analoage celor verificatede norma vectorilor. Nu vom analiza ınsa aici aceaste proprietati.

Teorema 4.2. Pentru orice L ∈ L(Rn,Rm) si orice x ∈ Rn, avem ‖L(x)‖ ≤‖L‖ ≤ ‖x‖.

Demonstratie. Daca x = 0, atunci relatia este adevarata, deoarece pentru oriceL ∈ L(Rn,Rm), avem L(0) = 0. Fie L fixat, si notam A := {M > 0|‖L(x)‖ ≤≤ ‖x‖, (∀) x ∈ Rn}. Daca x 6= 0 si M ∈ A, obtinem ca ‖L(x)‖

‖x‖ ≤ M . Cum M ∈ Aeste arbitrar, rezulta ca ‖L(x)‖

‖x‖ este un minorant al multimii A. Dar inf A este cel

mai mare minorant al lui A, si deci ‖L(x)‖‖x‖ ≤ ‖L‖. De aici rezulta relatia din enunt.

12

Curs 7

Diferentiabilitatea functiilor de maimulte variabile

Extinderea ”derivabilitatii” de la functii de o variabila la functii de maimulte variabile aduce dupa sine o diferentiere a proprietatilor de derivabilitate sidiferentiabilitate, proprietati care, la functiile de o variabila coincideau. Notiuneade baza a calculului diferential pentru functii de mai multe variabile este diferentia-bilitatea, iar o notiune mai slaba este cea de derivabilitate partiala. In acest capitolvom trata aceste notiuni pentru functii scalare si vectoriale. Remarcam ınsa ca,extinderea notiunilor de diferentiabilitate si de derivabilitate partiala de la functiiscalare la functii vectoriale se face relativ simplu.

1 Derivate dupa o directie. Derivate partiale

Definitia 1.1. Fie D ⊂ Rn, f : D → R, a ∈ ◦D si v ∈ Rn, v 6= 0. Spunem cafunctia f este derivabila dupa directia v ın punctul a, daca exita numaruld fd v

(a) ∈ R astfel ıncat are loc urmatoarea limita (de functie reala si de variabilareala):

d f

d v(a) = lim

t→0

f(a + tv)− f(a)

t.

Definitia 1.2. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D, v ∈ Rn, v 6= 0. Fie de asemenea functia vec-toriala f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm), unde fi : D → R, (1 ≤ i ≤ m). Spunem cafunctia f admite derivata dupa directia v ın punctul a, daca pentru orice indice(1 ≤ j ≤ m), exista

d fjd v

(a). In acest caz, definim d fd v

(a) :=(

d f1

d v(a), . . . , d fn

d v(a)).

Definitia 1.3. Fie D ⊂ Rn, f : D → R, a ∈ ◦D, a = (a1, . . . , an). Notam argumentiifunctiei f cu x1, . . . , xn. Spunem ca functia f este derivabila partial ın raportcu variabila xi, 1 ≤ i ≤ n, ın punctul a daca exita numarul ∂ f

∂ xi(a) ∈ R astfel

ıncat are loc urmatoarea limita (de functie reala si de variabila reala):

∂ f

∂ xi(a) = lim

xi→aif(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . , an)

xi − ai .

Numarul ∂ f∂ xi

(a), notat si f ′xi(a) se numeste derivata partiala a functiei f ınraport cu variabila xi, ın punctul a.

Daca functia f admite derivate partiale ın punctul a ın raport cu toate variabilelexi, (1 ≤ i ≤ n), atunci f se numeste derivabila partial ın punctul a.

Definitia 1.4. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D, v ∈ Rn, v 6= 0. Fie de asemenea functiavectoriala f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm), fi : D → R, (1 ≤ i ≤ m). Notamargumentii functiei f cu x1, . . . , xn. Spunem ca functia f admite derivata partiala

1

ın punctul a ın raport cu variabila xi, daca pentru orice indice (1 ≤ j ≤ m),

exista ∂ fj∂ xi

(a). In acest caz, definim ∂ f∂ xi

(a) :=(∂ f1

∂ xi(a), . . . , d fn

dxi(a))

.

Daca functia f admite derivate partiale ın punctul a ın raport cu toate variabilelexi, (1 ≤ i ≤ n), atunci f se numeste derivabila partial ın punctul a.

Observatia 1.1. Derivatea partiala a unei functii ıntr-un punct este un caz par-ticular al derivabilitatii dupa o directie. Intr-adevar, cu notatiile anterioare avem∂ f∂ xi

(a) = d fd ei

(a). Aceasta relatie se obtine cu ajutorul substitutiei t = xi − ai.Deoarece derivabilitatea partiala a functiilor vectoriale se reduce imediat, prin

definitia data la derivabilitatea functiilor scalare componente, ın continuare vomtrata doar cazul functiilor cu valori reale.

Definitia 1.5. Fie D ⊂ Rn o multime deschisa si f : D → R. Spunem ca f estederivabila partial pe D, daca f este derivabila partial ın orice punct a ∈ D.

Folosind relatia dintre derivabilitate si continuitate de la functiile reale de vari-abila reala, obtinem imediat:

Propozitia 1.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R. Daca f este derivabila partialın raport cu variabila xi ın punctul a, atunci f este continua partial ın raport cuvariabila xi ın punctul a.

Observatia 1.2. Derivabilitatea partiala ıntr-un punct nu implica continuitateaglobala ın acel punct.

Vom extinde ın continuare Teorema lui Lagrange pentru functii de mai multevariabile.

Teorema 1.1. Fie D ⊂ Rn, D deschisa si f : D → R derivabila partial pe D.Fie punctele a, x ∈ D, astfel ca D contine toate punctele y = (y1, . . . , yn), cuproprietatea ca yi ∈ [ai, xi], daca ai ≤ xi, (respectiv yi ∈ [xi, ai], daca xi ≤ ai),(1 ≤ i ≤ n). Atunci exita punctele ci din intervalele ınchise de capete ai si xi, astfelın cat sa avem

f(x)− f(a) =n∑i=1

∂ f

∂ xi(a1, . . . , ai−1, ci, xi+1, . . . , xn)(xi − ai). (1)

Demonstratie. Din ipoteza rezulta ca pentru orice 1 ≤ i ≤ n, segmentul decapete (a1, . . . , ai−1, xi, . . . , xn) si (a1, . . . , ai, xi+1, . . . , xn) este continut ın D. Avemdescompunerea:

f(x)− f(a) =n∑i=1

f(a1, . . . , ai−1, xi, . . . , xn)− f(a1, . . . , ai, xi+1, . . . , xn).

Sa notam cu ϕi, (1 ≤ i ≤ n) functiile definite prin

ϕi(t) := f(a1, . . . , ai−1, t, xi+1, . . . , xn), t ∈ [ai, xi],

2

daca ai ≤ xi, (respectiv t ∈ [xi, ai], daca xi ≤ ai) Daca xi = ai, atunci luamci = ai. Daca xi 6= ai, din teorema lui Lagrange, rezulta ca exista ci cuprinsıntre ai si xi astefel ca ϕ(xi) − ϕ(ai) = ϕ′(ci)(xi − ai). Tinand cont ca ϕ′(ci) == ∂ f

∂ xi(a1, . . . , ai−1, ci, xi+1, . . . , xn), din descompunerea de mai sus rezulta teorema.

In finalul acestui paragraf vom introduce cateva notiuni construite cu ajutorulderivatelor partiale.

Definitia 1.6. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si fie functiile fi : D → R, 1 ≤ i ≤ m derivabilepartial ın punctul a. Notam argumentii acestor functii cu variabilele x1, . . . , xn.Pentru orice indici j1, . . . , jm ∈ {1, . . . , n}, definim ( dupa numele lui C. Jacobi),Jacobianul functiilor f1, . . . , fm ın raport cu variabilele xj1 , . . . , xjm, determinantulde ordin m

D(f1, . . . , fm)

D(xj1 , . . . , xjm)(a) :=

∣∣∣∣∣∣∣∣

∂ f1

∂ xj1(a) . . . ∂ f1

∂ xjm(a)

......

...∂ fm∂ xj1

(a) . . . ∂ fm∂ xjm

(a)

∣∣∣∣∣∣∣∣.

Definitia 1.7. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R. Daca f este derivabila partial ınpunctul a, numim gradientul lui f ın punctul a, vectorul

∇ f(a) :=

(∂ f

∂ x1

(a), . . . ,∂ f

∂ xn(a)

).

Gradientul lui f ın a se mai noteaza si prin grad f(a).

Definitia 1.8. Fie D ⊂ R3, a ∈ ◦D si f : D → R3, f = (P,Q,R). Notamargumentii lui f cu x, y, z. Daca f este derivabila partial ın punctul a, atuncidefinim:

i) rotorul lui f ın punctul a, ca fiind vectorul

rot f(a) :=

(∂ R

∂ y(a)− ∂ Q

∂ z(a),

∂ P

∂ z(a)− ∂ R

∂ x(a),

∂ Q

∂ x(a)− ∂ P

∂ y(a)

).

siii) divergenta lui f ın punctul a, ca fiind numarul real

div f(a) :=∂ P

∂ x(a) +

∂ Q

∂ y(a) +

∂ R

∂ z(a).

2 Diferentiabilitatea

Definitia 2.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → Rm. Spunem ca functia f estediferentiabila ın punctul a, daca exista un operator liniar L : Rn → Rm astfelca sa existe limita (ın Rm):

limx→a

f(x)− f(a)− L(x− a)

‖x− a‖ = 0. (2)

In acest caz, operatorul L se numeste diferentiala functiei f ın punctul a si senoteaza prin df(a).

3

Observatia 2.1. Se poate arata ca daca exista un operator liniar L care verificaconditia din definitia de mai sus, atunci el este unic.

Observatia 2.2. Conditia de diferentiablitate poate fi exprimata echivalent, astfel:exista o functie ω : D → Rm, astfel ca sa avem

f(x) = f(a) + df(a)(x− a) + ‖x− a‖ω(x), (∀) x ∈ D si limx→a

ω(x) = 0. (3)

Daca utilizam simbolul lui Landau, putem scrie conditia de diferentiabilitate prinurmatoarea relatie

f(x) = f(a) + df(a)(x− a) + o(‖x− a‖), (x→ a). (4)

De asemenea, daca utilizam reprezentarea matriceala a operatorilor liniari, rezultaca diferentiabilitatea lui f ın pumctul a mai poate fi exprimata ınca sub urmatoareaforma: existam matricea de dimensiune m× n, (ci,j)1≤i≤m

1≤j≤n, astfel ca

f(x)− f(a) =

c1,1 . . . c1,n...

......

cm,1 . . . cm,n

x1 − a1...

xn − an

+ o(‖x− a‖), (x→ a), (5)

unde am notat a = (a1, . . . , an), x = (x1, . . . , xn). In aceasta reprezentare, functiadiferentiala df(a) : Rn → Rm se reprezinta prin

df(a)(h1, . . . , hn) =

c1,1 . . . c1,n...

......

cm,1 . . . cm,n

h1...hn

, (∀) (h1, . . . , hn) ∈ Rn. (6)

Daca reprezentam f = (f1, . . . , fm), fi : D → R, (1 ≤ i ≤ m), atunci relatia (5)este echivalenta cu urmatoarele relatii obtinute pe componente:

fi(x)− fi(a) =n∑j=1

ci,j(xj − aj) + o(‖x− a‖), (x→ a), (1 ≤ i ≤ m), (7)

iar functiile diferentiale dfi(a) : Rn → R sunt definite prin:

dfi(a)(h1, . . . , hn) =n∑j=1

ci,j · hj, (∀) (h1, . . . , hn) ∈ Rn, (1 ≤ i ≤ m). (8)

Definitia 2.2. O functie f : D → Rm, D ∈ Rn, D deschis, se numeste diferentiabilape D, daca f este diferentiabila ın orice punct a ∈ D.

Propozitia 2.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm). Functiaf este diferentiabila ın punctul a daca si numai daca toate functiile componentefi : D → R, 1 ≤ i ≤ m sunt diferentiabile ın a. In plus, ın acest caz avemdf(a) = (df1(a), . . . , dfm(a)).

4

Demonstratie. Rezulta din echivalenta relatiilor (5) si (7), precum si din relatiile(6) si (8).

Propozitia 2.2. Orice functie liniara f : D → Rm, D ∈ Rn, este diferentiabila ın

orice punct a ∈ ◦D si ın plus df(a) = f .

Demonstratie. Pentru orice x ∈ D, avem f(x) − f(a) = f(x − a), deci are locrelatia (4).

Propozitia 2.3. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → Rm. Daca f este diferentiabila ınpunctul a, atunci f este continua global ın a.

Demonstratie. Rezulta imediat din relatia (3), deoarece functia liniara df(a) estecontinua.

In continuare vom urmarii legatura care exista ıntre diferentiabilitate si conti-nuitate partiala. Datorita Propozitiei 2.1, putem considera doar cazul functiilorscalare: m = 1.

Teorema 2.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R. Daca f este diferentiabila ınpunctul a, atunci ea este derivabila partial ın a si ın plus functia liniara df(a) :Rn → R este definita prin:

df(a)(h1, . . . , hn) =n∑j=1

∂ f

∂ xj(a) · hj, (∀) (h1, . . . , hn) ∈ Rn. (9)

Demonstratie. Presupunem ca f este diferentiabila ın a. Din (7), (3), obtinemreprezentarea

f(x)− f(a) =n∑j=1

cj(xj − aj) + ‖x− a‖ω(x), x ∈ D, unde limx→a

ω(x) = 0.

Fie j, 1 ≤ j ≤ n fixat. Daca alegem ın relatia de mai sus un punct x ∈ D de formax = (a1, . . . , aj−1, xj, aj+1, . . . , an), xj 6= aj, obtinem

f(x)− f(a)

xj − aj = cj +|xj − aj|xj − aj ω(x).

Atunci trcand la limita xj → aj, obtinem ca cj = ∂ f∂ xj

(a). Tinand cont de (8),

teorema este demonstrata.

Observatia 2.3. Folosind functiile proiectie πj : Rn → R, πj(h1, . . . , hn) = hj,(h1, . . . , hn) ∈ Rn, relatia (9) poate fi rescrisa astfel:

df(a) =n∑j=1

∂ f

∂ xj(a) · πj. (10)

5

Deoarece functiile πj sunt liniare avem dπj = πj. O alta notatie a diferentialelordπj este dxj. Obtinem astfel o noua scriere a diferentialei, si anume:

df(a) =n∑j=1

∂ f

∂ xj(a)dxj. (11)

Observatia 2.4. Reciproca Teoremei 2.1 nu este adevarata.

Din Propozitia 2.1 si din Teorema 2.1 rezulta cu avem:

Propozitia 2.4. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm). Daca feste diferentiabila ın punctul a atunci toate functiile componente fi, 1 ≤ i ≤ m suntdiferentiabile ın punctul a si avem reprezentarea

df(a)(h1, . . . , hn) =

∂ f1

∂ x1(a) . . . ∂ f1

∂ xn(a)

......

...∂ fm∂ x1

(a) . . . ∂ fm∂ xn

(a)

h1...hn

, (∀) (h1, . . . , hn) ∈ Rn.

Definitia 2.3. Daca D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si functia f : D → Rm, f = (f1, . . . , fm) estederivabila partial ın punctul a, atunci matricea

J(f, a) :=

∂ f1

∂ x1(a) . . . ∂ f1

∂ xn(a)

......

...∂ fm∂ x1

(a) . . . ∂ fm∂ xn

(a)

se numeste matricea lui Jacobi a functiei f ın punctul a.

Daca ıntarim conditia de derivabilitate partiala, dupa cum urmeaza ın teoremaurmatoare, se poate obtine o reciproca mai slaba a Teoremei 2.1.

Teorema 2.2. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R. Daca f admite derivate partialepe o vecinatate a punctului a si daca aceste derivate partiale sunt continue ın punctula, atunci f este diferentiabila ın punctul a.

Demonstratie. Fie r > 0, astfel ca B(a, r) ⊂ D si f admite derivate partiale peB(a, r). Pentru orice punct x ∈ B(a, r) exista punctele ci, 1 ≤ i ≤ n, situate peintervalele de capete ai si xi, pentru care are loc relatia (1). Putem scrie

f(x)− f(a) =n∑i=1

∂ f

∂ xi(a)(xi − ai) + ‖x− a‖ω(x),

unde

ω(x) =1

‖x− a‖n∑i=1

[∂ f

∂ xi(a1, . . . , ai−1, ci, xi+1, . . . , xn)− ∂ f

∂ xi(a)

](xi − ai).

6

Ramane sa artatam ca limx→a ω(x) = 0. Dar avem∣∣∣ xi−ai‖x−a‖

∣∣∣ ≤ 1, si

limx→a

[∂ f

∂ xi(a1, . . . , ai−1, ci, xi+1, . . . , xn)− ∂ f

∂ xi(a)

]= 0,

deoarece atunci cand x tinde la a, punctul (a1, . . . , ai−1, ci, xi+1, . . . , xn) tinde la a.Teorema este demonstrata.

Urmatoarele proprietati sunt imediate:

Propozitia 2.5. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D. Daca functiile f : D → R si g : D → R suntdiferentiabile ın punctul a, atunci pentru orice numere α, β ∈ R, functia αf + βgeste diferentiabila ın a si d(αf + βg)(a) = αdf(a) + βdg(a).

O proprietate de mare importanta o reprezinta teorema urmatoare:

Teorema 2.3. Fie D ⊂ Rn, E ⊂ Rm si functiile f : D → E si g : E → Rp. Fie

punctele a ∈ ◦D si b ∈ ◦E astfel ca b = f(a). Daca functia f este diferentiabila ınpunctul a, iar functia g este diferentiabila ın punctul b, atunci functia g◦f : D → Rp

este diferentiabila ın punctul a si

d(g ◦ f)(a) = dg(b) ◦ df(a). (12)

Omitem demonstratia acestei teoreme.

Observatia 2.5. Din teorema precedenta, folosind reprezentarea matriceala a diferentialeisi faptul ca matricea atasata compunerii a doua aplicatii liniare este produsul ma-triciilor celor doua aplicatii, obtinem:

J(g ◦ f, a) = J(g,b) · J(f, a). (13)

Prin particularizare: p = 1, folosind Teorema 2.3 si relatia (13), obtinem:

Propozitia 2.6. (Formula derivarii functiilor compuse) Fie D ⊂ Rn, E ⊂⊂ Rm si functiile f : D → E, f = (f1, . . . , fm), g : E →. Fie punctele a ∈ ◦Dsi b ∈ ◦E astfel ca b = f(a). Notam cu x1, . . . , xn argumentii functiei f si cuy1, . . . , ym, argumentii functiei g. Daca functiile f1, . . . , fm sunt diferentiabila ınpunctul a, iar functia g este diferentiabila ın punctul b, atunci functia compusah : D → R, h = g ◦ f are derivatele partiale:

∂ h

∂ xj(a) =

m∑i=1

∂ g

∂ yi(b) · ∂ fi

∂ xj(a), 1 ≤ j ≤ n. (14)

Proprietatea de diferentiabilitate a functiilor permite introducerea multor notiunide geometrie diferentiala. Mentionam aici:

7

Definitia 2.4. Fie D ⊂ R2, fie (a, b) ∈ ◦D si fie functia f : D → R, ai careiargumenti sunt notati cu x si y. Daca f este diferentiabila ın punctul (a, b), atunciplanul de ecuatie

z − f(a, b) =∂ f

∂ x(a, b)(x− a) +

∂ f

∂ y(a, b)(y − b)

se numeste planul tangent la suprafata z = f(x, y) ın punctul (a, b, f(a, b)), iarvectorii de norma unu, perpendiculari pe planul tangent, adica

± 1√(∂ f∂ x

(a, b))2

+(∂ f∂ y

(a, b))2

+ 1

(∂ f

∂ x(a, b),

∂ f

∂ y(a, b),−1

)

se numesc vectorii normali la suprafata z = f(x, y) ın punctul (a, b, f(a, b)).

3 Derivate partiale si diferentiale de ordin supe-

rior

Derivatele partiale de ordin superior se definesc recursiv astfel.

Definitia 3.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → Rm. Notam variabilele lui f cux1, . . . , xn. Spunem ca f admite derivata partiala de ordinul k, k ≥ 2, ın

punctul a, ın raport cu variabilele xi1 , . . . , xik , notata ∂kf∂xik ...∂xi1

(a), sau cu

f(k)xi1 ,...,xik

(a), daca exista o vecinatate V a punctului a, astfel ca sa existe derivata

partiala ∂k−1f∂xik−1

...∂xi1(x), cand x ∈ V si aceasta sa fie derivabila partial ın raport cu

variabila xik ın punctul a, adica

∂kf

∂xik . . . ∂xi1(a) :=

∂

∂xik

(∂k−1f

∂xik−1. . . ∂xi1

)(a).

De asemenea, spunem ca functia f este diferentiabila de ordinul k ın punc-tul a, daca f admite toate derivatele partiale de ordinul k ın punctul a.

Definitia 3.2. O functie f : D → Rm, unde D ⊂ Rn este un deschis, se numestederivabila partial de ordinul k pe D, k ≥ 1 daca f este derivabila partialde ordinul k ın orice punct a ∈ D. Daca f admite derivate partiale de ordinul kcontinue pe D spunem ca functia f este de clasa Ck pe D. Notam cu Ck(D,Rm),si simplu cu Ck(D), daca m = 1, multimea functiilor de clasa Ck pe D.

Definitia 3.3. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → Rm. Spunem ca f este diferentiabilade ordinul k, k ≥ 2 ın punctul a, daca f admite pe o vecinatate a lui a toatederivatele partiale de ordinul k−1, si daca aceste derivate partiale sunt diferentiabileın punctul a.

8

Observatia 3.1. Orice functie f : D → Rm, D ⊂ Rn deschisa, care care este declasa Ck pe D este diferentiabila de ordinul k pe D.

Observatia 3.2. Din definitiile date, rezulta ca pentru o functie vectoriala f , pro-prietatea de deribabilitate partiala de ordin k, ın raport cu k variabile fixate, sauın raport cu orice k variabile, proprietatea de functie de clasa Ck, precum si propri-etatea de diferentiabilitate de ordinul k sunt echivalente cu faptul ca toate functiilecomponente au respectiv aceste proprietati. De aceea ın continuare vom consideraın acest paragraf doar functii cu valori reale.

Definitia 3.4. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R diferentiabila ın punctul a. Numimdiferentiala de ordinul k a functiei f ın punctul a, notata dkf(a), aplicatiadkf(a) : Rn × . . .× Rn︸ ︷︷ ︸

k ori

→ R, definita prin

dkf(a)(h1, . . . ,hk) =n∑

i1=1

. . .

n∑ik=1

∂kf

∂xik . . . ∂xi1(a)h1,i1 . . . hk,ik ,

pentru orice h1, . . .hk ∈ Rn, unde hj = (hj,1, . . . , hj,n), (1 ≤ j ≤ k).

Teorema 3.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R. Daca f admite derivate partialede ordinul k pe o vecinatate a punctului a, si daca acestea sunt continue ın punctula, atunci f este diferentiabila de ordinul k ın a.

Demonstratie. Rezulta aplicand Teorema 2.2.

O proprietate importanta a derivatelor partiale de ordin superior o reprezintasimetria ın raport cu ordinea variabilelor ın raport cu care se face derivarea. Vomdemonstra mai ıntai aceasta proprietate ın cazul simplu al derivatelor de ordinul doi,pentru functii de doua variabile si apoi vom extinde proprietatea la cazul general.

Teorema 3.2. (Schwartz) Fie D ⊂ R2, f : D → R si (a, b) ∈ ◦D. Notam cu x si

y argumentii lui f . Daca f admite dertivatele partiale ∂2f∂x∂y

si ∂2f∂y∂x

pe o vecinatate

a punctului (a, b) si daca acestea sunt continue ın punctul (a, b), atunci avem

∂2f

∂x∂y(a, b) =

∂2f

∂y∂x(a, b).

Corolarul 3.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R, avand argumentii x1, . . . , xn.Daca functia f admite derivate partiale de ordinul k continue pe o vecinatate de-schisa V ⊂ D a punctului a, si continue ın a, atunci pentru orice indici i1, . . . , ik ∈∈ {1, . . . , n} si orice permutare σ : {1, . . . , k} → {1, . . . , k}, avem

∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a) =

∂kf

∂xiσ(1). . . ∂xiσ(k)

(a).

9

In majoritatea aplicatiilor, diferentiala de ordin k, se aplica la k argumenti egali.Pentru simplificarea notatiei vom introduce urmatoarea scriere:

Definitia 3.5. Cu notatiile din Definitia 3.4, notam

dkf(a) · hk := dkf(a)(h, . . . ,h︸ ︷︷ ︸k ori

), h := (h1, . . . , hn).

Daca ın plus, derivatele partiale de ordinul k sunt simetrice, atunci diferentialaadmite, cu notatiile din Definitia 3.4 o reprezentare de forma:

dkf(a) · hk =∑

j1+···+jn=k

ji≥0, 1≤i≤n

k!

(j1)! . . . (jn)!· ∂kf

∂j1x1 . . . ∂jnxn(a) · (h1)j1 . . . (hn)jn ,

unde h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn.Pentru diferentiala de ordinul al doilea, rezulta imediat din Definitia 3.4, urmatoarea

reprezentare:

d2f(a) · h2 = (h1, . . . , hn)

∂2f∂x1∂x1

(a) . . . ∂2f∂x1∂xn

(a)...

......

∂2f∂xn∂x1

(a) . . . ∂2f∂xn∂xn

(a)

h1...hn

,

unde h = (h1, . . . , hn) ∈ Rn.Cu notatiile clasice diferentiala de ordinul doi se reprezinta sub forma:

d2f(a) =n∑i=1

∂2f

∂2xi(a)(dxi)

2 + 2∑

1≤i<≤n

∂2f

∂xi∂xj(a) dxi dxj. (15)

Definitia 3.6. Daca functia f : D → R, D ⊂ Rn, admite derivate partiale de

ordinul al doilea ın punctul a ∈◦( D), atunci matricea

H(f, a) :=

(∂2f

∂xi∂xj(a)

)

1≤i,j≤n,

se numeste matricea lui Hesse a functiei f ın punctul a.

Aplicatiei h 7→ d2f(a)(h,h) i se pot aplica urmatoarele rezultate cunoscute dinalgebra liniara:

Definitia 3.7. O aplicatie G : Rn → R se numeste forma patratica, daca ea estede forma

G(x) = (x1, . . . , xn)

a1,1 . . . a1,n...

......

an,1 . . . an,n

x1...xn

, x = (x1, . . . , xn). (16)

Forma patratica G se numeste pozitiv definita, (respectiv negativ definita), dacapentru orice x ∈ Rn, x 6= 0, avem G(x) > 0, (respectiv G(x) < 0).

10

Teorema 3.3. Daca forma patratica G este pozitiv definita, sau este negativ definita,atunci ea este coerciva, adica exista o constanta K > 0, astfel ca |G(x)| ≥ K‖x‖2,pentru orice x ∈ Rn.

Teorema 3.4. (Criteriul lui Jacobi) Fie forma patratica definita ın (16). Pre-supunem ca matricea (ai,j)1≤i,j≤n este simetrica. Pentru orice 1 ≤ k ≤ n, notam cuΓk := det(ai,j)1≤i,j≤k.

i) Daca Γk > 0, 1 ≤ k ≤ n, atunci G este o forma patratica pozitiv definita,ii) Daca (−1)kΓk > 0, 1 ≤ k ≤ n, atunci G este o forma patratica negativ

definita.

Observatia 3.3. In cazul n = 2, formele patratice cu matrice simetrica, au formaG(x1, x2) = a(x1)2+bx1x2+c(x2)2. Daca x2 6= 0, notand t = x1

x2obtinem G(x1, x2) =

(x1)2(at2 + bt+ c). Folosind proprietatiile polinoamelor de gradul al doilea deducemca forma patratica G este pozitiv definita daca si numai daca ∆ < 0 si a > 0 si estenegativ definita daca si numai daca ∆ < 0 si a < 0, unde ∆ = b2 − 4ac. Acesteconditii sunt echivalente cu cele din criteriul lui Jacobi.

11

Curs 8

Aplicatii ale calculului diferential

1 Polinomul lui Taylor. Extreme

Cu ajutorul diferentialelor de ordin superior, putem introduce polinomul luiTaylor, care reprezinta cel mai uzual instrument de aproximare locala a functiilordiferentiabile de ordin superior.

Definitia 1.1. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R, diferentiabila de ordinul k ınpunctul a. Numim polinomul lui Taylor de ordin k, k ≥ 0 atasat functiei f ınpunctul a, functia polinomiala Ta,k(f) : Rn → R, definita prin

Ta,k(f)(x) = f(a) +1

1!df(a) · (x− a) + . . .+

1

k!dkf(a) · (x− a)k x ∈ Rn.

Teorema 1.1. (Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange) Fie D ⊂ Rn, Ddeschis si convex. Fie f : D → R, de clasa Ck+1, k ≥ 0 pe D. Pentru orice punctea, x ∈ D, exista un punct c ∈ [a,x], astfel ıncat avem:

f(x) = Ta,k(f)(x) +1

(k + 1)!dk+1f(c) · (x− a)k+1.

Demonstratie. Fie functiile ϕ : [0, 1] → D, ϕ(t) := (1 − t)a + tx, (t ∈ [0, 1])si g : [0, 1] → R, g(t) := f(ϕ(t)), t ∈ [0, 1]. Avem g(0) = f(a), g(1) = f(x). Deasemenea avem, mai general

g(j)(t) := djf(ϕ(t)) · (x− a)j, 0 ≤ j ≤ k + 1. (1)

Aceasta relatie poate fi dedusa prin inductie j. Nu mai detailem demonstratia.Aplicam formula lui Taylor cu restul lui Lagrange pentru functia de variabila realag. Gasim un punct c ∈ (0, 1) astfel ca

g(1) =k∑j=0

1

j!g(j)(0) · 1j +

1

(k + 1)!g(k+1)(c) · 1k+1.

Daca notam c := ϕ(c) si tinem cont de relatia (1), obtinem Teorema.

Observatia 1.1. Daca aplicam Formula lui Taylor cu restul lui Lagrange, pentruk = 0, atunci, cu notatiile din Teorema 1.1, pentru orice x, a ∈ D, gasim un punctc de pe segmentul [a, x] astfel ca

f(x)− f(a) =n∑i=1

∂ f

∂ xi(c)(xi − ai).

Aceasta reprezentare a diferentei f(x)−f(a) este mai simpla decat formula stabilitaın Teorema ??, ınsa ipoteza Teoremei 1.1 este mai puternica decat cea a Teoremei??, deoarece se cere ca f sa admita derivate partiale continue pe D.

1

Vom studia ın continuare conditii necesare si suficiente pentru pentru extremelelocale ale functiilor diferentiabile.

Definitia 1.2. Fie D ⊂ Rn, a ∈ D si f : D → R. Spunem ca punctul a esteun punct de maxim local, (respectiv de minim local) al functiei f , daca existao vecinatate V a lui a astfel ca f(x) ≤ f(a), (∀) x ∈ V ∪ D, (respectiv f(x) ≥f(a), (∀) x ∈ V ∪D). Punctul a se numeste de extrem local al lui f daca el estede maxim local sau este de minim local.

Urmatoarea teorema furnizeaza un criteriu necesar de extrem local.

Teorema 1.2. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R. Daca a este punct de extrem localpentru functia f si daca f este diferentiabila ın punctul a, atunci df(a) = 0.

Demonstratie. Sa notam cu x1, . . . , xn argumentii functiei f . Fie 1 ≤ i ≤ n unindice fixat. Consideram functia ϕi : J → R

ϕi(xi) := f(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an), xi ∈ J ⊂ R,

unde J := {xi|(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an) ∈ D}. Deoarece a ∈ ◦D, rezulta ca ai ∈◦J .

Deoarece a este punct de extrem local al lui f , rezulta ca ai este punct de extremlocal pentru ϕi. Apoi deoarece f este diferentiabila ın punctul a, rezulta ca feste derivabila partial ın raport cu xi ın acest punct. Deci exista ϕ′(ai) = ∂ f

∂ xi(a).

Aplicand teorema lui Fermat (Teorema 4.2.1 - Fascicola I), rezulta ca ϕ′(ai) = 0.Deci ∂ f

∂ xi(a) = 0. Cum indicele i a fost ales arbitrar, rezulta ca df(a) = 0.

Pentru a prezenta un criteriu suficient de extrem local, vom impune conditia mairestrictiva ca functia sa fie de clasa C2 pe o vecinatate a punctului respectiv.

Teorema 1.3. Fie D ⊂ Rn, a ∈ ◦D si f : D → R de clasa C2 pe o vecinatatedeschisa V ⊂ D a punctului a. Presupunem ca

i) df(a) = 0 siii) forma patratica h 7→ d2f(a) · h2, h ∈ Rn este pozitiv definita, (respectiv

negativ definita). Atunci a este punct de minim local, (respectiv punct de maximlocal) a lui f .

Demonstratie. Sa presupunem, pentru o alegere, ca forma patraticah 7→ d2f(a) · h2, h ∈ Rn este pozitiv definita. Alegem r > 0, astfel ca B(a, r) ⊂ V .Atunci, din Teorema 1.1, pentru orice x ∈ B(a, r) exista cx ∈ [a, x], astfel ca

f(x)− f(a) = df(a)(x− a) +1

2!d2f(cx) · (x− a)2.

Deoarece df(a) = 0, avem reprezentarea

f(x)− f(a) =1

2d2f(a) · (x− a)2 + ‖x− a‖2ϕ(x),

unde

ϕ(x) :=1

2‖x− a‖2[d2f(cx) · (x− a)2 − d2f(a) · (x− a)2].

2

Deoarece forma patratica atasata diferentiale d2f(a) este coerciva, exista K > 0astfel ca d2f(a) · (x− a)2 ≥ K‖x− a‖2, pentru orice x ∈ B(a, r). Deci

f(x)− f(a) ≥ ‖x− a‖2

[K

2+ ϕ(x)

].

Asadar, pentru a arata ca a este punct de minim local, este suficient sa demonstramca limx→a ϕ(x) = 0. Avem

|ϕ(x)| =

∣∣∣∣∣n∑i=1

n∑j=1

[∂2f

∂xi∂xj(cx)− ∂2f

∂xi∂xj(a)

](xi − ai)(xj − aj)‖x− a‖2

∣∣∣∣∣ ≤

≤n∑i=1

n∑j=1

[∂2f

∂xi∂xj(cx)− ∂2f

∂xi∂xj(a)

] |xi − ai| · |xj − aj|‖x− a‖2

≤

≤n∑i=1

n∑j=1

[∂2f

∂xi∂xj(cx)− ∂2f

∂xi∂xj(a)

].

Deoarece limx→a∂2f

∂xi∂xj(cx) = ∂2f

∂xi∂xj(a), (∀) 1 ≤ i, j ≤ n, rezulta limx→a ϕ(x) = 0.

Teorema este demonstrata.

2 Functii implicite. Transformari regulate

In acest paragraf vom prezenta un rezultat fundamental al analizei functiilor demai multe variabile, si anume teorema functiilor implicite. De asemenea vom abordacateva aplicatii ale acestei teoreme la transformarile regulate si extreme cu legaturi.

Fie D ⊂ Rn+m, n ≥ 1, m ≥ 1. Vom nota elementele lui D sub forma (x,y),unde x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn si y = (y1, . . . , ym) ∈ Rm. Fie functia F : D → Rm,F = (F1, . . . , Fm). Ecuatiei

F (x,y) = 0, (2)

ıi corespunde o multime de solutii M ⊂ D. Daca M 6= ∅ sa notam Mx :== {x ∈ Rn| (∃)y ∈ Rm, astfel ca (x,y) ∈ M}. Atunci pentru orice x ∈ Mx putemalege un y ∈ Rm, astfel ca (x,y) ∈M . Cu alte cuvinte exista functii ϕ : Mx → Rm,astfel ca (x, ϕ(x)) ∈ M, x ∈ Mx, adica echivalent, F (x, ϕ(x)) = 0. Mai general,putem considera functii ϕ, definite pe submultimi ale lui Mx si care verifica conditiade mai sus. Suntem condusi la urmatoarea definitie.

Definitia 2.1. Cu notatiile de mai sus, se numeste functie implicita definita deecuatia (2), orice functie ϕ : E → Rm, E ⊂ Rn cu proprietatea ca pentru oricex ∈ E sa avem

i) (x, ϕ(x)) ∈ D siii) F (x, ϕ(x)) = 0.

Putem privi functiile implicite definite de ecuatia (2) ca explicitari ale vectoruluiy ın functie de vectorul x, sau echivalent ca ”rezolvarea” sistemului de ecuatii

Fi(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0, 1 ≤ i ≤ m

3

ın raport cu necunoscutele y1, . . . , ym, ın functie de parametrii x1, . . . , xn. Aceastaexplicitare este considerata aici doar ın mod abstract, de existenta. Pentru ce neintereseaza ın continuare, vom presupune ca F este o functie continua pe D si vomcauta doar acele functii implicite care sunt si ele continue. Pusa ın acest fel problema,familia functiilor implicite definite de ecuatia (2) se reduce substantial.

Exemplul 2.1. Fie n = 1, m = 1 si functia F : R2 → R, F (x, y) = x2 + y2 −1, (x, y) ∈ R2. Multimea M a solutiilor ecuatiei F (x, y) = 0 este constituita dinpunctele aflate pe cercul de raza 1, centrat ın origine, iar proiectia Mx a acesteimultimi pe axa Ox este [−1, 1]. Observam ca exista doar doua functii implicitecontinue, definite pe [−1, 1] de ecuatia F (x, y) = 0 si anume: ϕ1(x) :=

√1− x2 si

ϕ2(x) := −√1− x2. Mai mult observam ca daca se cunoaste un punct (a, b), careverifica conditia F (a, b) = 1 si daca a 6= ±1, atunci doar una dintre functiile ϕ1 siϕ2 are graficul trecand prin punctul (a, b). Daca ınsa a = ±1, atunci prin punctul(a, b), trec graficele ambelor functii. De asemenea avem ∂ F

∂ y(±1, 0) = 0.

Exemplul de mai sus, ne arata ca pentru a pentru a preciza o functie implicitacontinua, definita de ecuatia (2) este necesar sa se precizeze un punct (a,b) careverifica ecuatia F (a,b) = 0, prin care sa treaca graficul functiei implicite. Totodata,acest exemplu, arata ca exista cazuri exceptate, ın care precizarea unui astfel depunct nu determina ın mod univoc o functie implicita. In teorema urmatoare, seasigura, ın anumite conditii, existenta si unicitatea unei functiei implicite definitepe o vecinatate neprecizata a unui punct a. Folosim notatiile de mai sus.

Teorema 2.1. (Teorema functiilor implicite) Fie D ⊂ Rn+m, n ≥ 1, m ≥ 1si fie functia F : D → Rm, F = (F1, . . . , Fm). Presupunem ca exista un punct

(a,b) ∈ ◦D, astfel ıncat:a) exista o vecinatate W ⊂ D a punctului (a,b) pe care functia F admite derivate

partiale continue,b) F (a,b) = 0,

c) D(F1,...,Fm)D(y1,...,ym)

(a,b) 6= 0.Atunci exista o vecinatate deschisa U ⊂ Rn a lui a si o vecinatate deschisaV ⊂ Rm a lui b, si o functie unica ϕ : U → V , ϕ = (ϕ1, . . . , ϕm) cu proprietatile:

i) ϕ(a) = b siii) pentru orice x ∈ U , avem (x, ϕ(x)) ∈ D si F (x, ϕ(x)) = 0.

De asemenea,iii) functia ϕ este de clasa C1 pe U si avem pentru orice 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n:

∂ ϕi∂ xj

(x) = − D(F1, . . . , Fm)

D(y1, . . . , yi−1, xj, yi+1, . . . , ym)(x, ϕ(x)) /

D(F1, . . . , Fm)

D(y1, . . . , ym)(x, ϕ(x)).

iv) Daca functia F este de clasa Ck pe W , atunci ϕ este de clasa Ck pe U .

Nu vom prezenta demonstratia acestei teoreme. In continuare vom considera oclasa importanta de aplicatii diferentiabile.

4

Definitia 2.2. Fie D ⊂ Rn un domeniu din Rn, adica o multime deschisa si conexa.Fie f : D → Rn, f = (f1, . . . , fn), avand argumentii x1, . . . , xn. Functia f senumeste transformare regulata, ( sau schimbare de coordonate) pe D, dacaf este de clasa C1 pe D si ın orice punct a ∈ D avem

D(f1, . . . , fn)

D(x1, . . . , xn)(a) 6= 0.

Observatia 2.1. Deoarece domeniul D este conex, iar Jacobianul functiilorf1, . . . , fn este functie continua, (fiind un determinant de functii continue), din pro-

prietatea lui Darboux rezulta ca Jacobianul D(f1,...,fn)D(x1,...,xn)

are semn constant pe D.

Incheiem acest paragraf cu discutarea extremelor cu legaturi.

Definitia 2.3. Fie D ⊂ Rn, unde n ≥ 2. Fie functiile f : D → R si Fi : D →Rm, (1 ≤ i ≤ m), cu 1 ≤ m < n. Spunem ca punctul a ∈ ◦D este punct demaxim local, (respectiv de minim local) al functiei f cu legaturile Fi(x) = 0,x ∈ D, (1 ≤ i ≤ m), daca exista o vecinatate V ⊂ D a punctului a, astfel ıncat,pentru orice punct x ∈ V , cu proprietatea ca Fi(x) = 0, x ∈ D, (1 ≤ i ≤ m), saavem f(x) ≤ f(a), (respectiv f(x) ≥ f(a)). Un punct care este de maxim local saude minim local cu legaturi, se numeste punct de extrem local cu legaturi.

Teorema urmatoare stabileste conditii necesare de extrem.

Teorema 2.2. Teorema multiplicatorilor lui Lagrange Fie D ⊂ Rn si fiefunctiile f : D → R, Fi : D → Rm, (1 ≤ i ≤ m), cu 1 ≤ m < n. Presupunem ca

exista un punct a ∈ ◦D cu urmatoarele proprietati:i) Fi(a) = 0, (1 ≤ i ≤ m),

ii) exista o vecinatate deschisa U ⊂ D a punctului a, astfel ca pentru oricepunct x ∈ U care verifica conditiile Fi(x) = 0, (1 ≤ i ≤ m), diferenta f(x) − f(a)are semn constant sau este nula pe U ,

iii) functiile f , F1, . . . , Fm sunt de clasa C1 pe U ,iv) rangul matricei (∂ Fi

∂ xj(a))1≤i≤m

1≤j≤neste m.

Atunci exista vectorul , λ0 = (λ01, . . . , λ

0m) ∈ Rm, numit vectorul multiplicatorilor

lui Lagrange, astfel ıncat dθ(a, , λ0) = 0, unde functia θ : D × Rm → R, numitaLagrangeanul problemei, se defineste prin

θ(x, λ) = f(x) +m∑i=1

λi · Fi(x), x = (x1, . . . , xn) ∈ D, λ = (λ1, . . . , λm) ∈ Rm.

Observatia 2.2. Conditia dθ(a, λ0) = 0, consta ıntr-un sistem de n+m ecuatii, cun+m necunoscute, care principial poate fi rezolvat.

5

Curs 9

Integrala Riemann

1 Definitii. Criterii de integrabilitate.

Definitia 1.1. Se numeste diviziune a intervalului [a, b], un sir finit ordonat depuncte ∆ := {a = x0 < . . . < xn = b}. Notam ‖∆‖ := max1≤i≤n |xi − xi−1|.Numarul ‖∆‖ se numeste norma diviziunii ∆. Notam cu ∆[a, b] familia tuturordiviziunilor intervalului [a, b].

Definitia 1.2. Fie ∆ = {a = x0 < . . . < xn = b} ∈ ∆[a, b]. Spunem ca familiade puncte ξ = (ξi)1≤i≤n este un sistem de puncte intermediare compatibilecu diviziunea ∆, daca avem ξi ∈ [xi−1, xi], (1 ≤ i ≤ n). Notam cu S(∆) familiasistemelor de puncte intermediare compatibile cu diviziunea ∆.

Definitia 1.3. Pentru o functie f : [a, b] → R, o diviziune ∆ = {a = x0 < . . . << xn = b} si un sistem de puncte intermediare ξ = (ξi)1≤i≤n, ξi ∈ [xi−1, xi], (1 ≤≤ i ≤ n), notam cu σ∆(f, ξ) suma Riemann atasata tripletului format din f , ∆si ξ, definita prin

σ∆(f, ξ) =n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1).

Definitia 1.4. Functia f : [a, b]→ R se numeste integrabila Riemann pe inter-valul [a, b], daca exista un numar I ∈ R, astfel ca pentru orice ε > 0, exista δε > 0cu proprietatea ca pentru orice diviziune ∆ ∈ ∆[a, b] cu ‖∆‖ < δε si orice sistemde puncte ξ ∈ S(∆), avem

|I − σ∆(f, ξ)| < ε.

Notam f ∈ R[a, b], daca functia f este integrabila Riemann pe intervalul [a, b].

Propozitia 1.1. Numarul I din Definitia 1.4, daca exista, el este unic.

Tinand cont de propozitia precedenta, rezulta cu a are sens urmatoarea notatie.

Definitia 1.5. Numarul I, care din Propozitia 1.1, daca exista, este unic cu pro-prietatea data, se numeste integrala Riemann a funtiei f si se noteaza cu

∫ baf ,

sau cu∫ baf(x) dx, unde x este o variabila aleasa arbitrar.

Notatia inegralei Riemann se extinde prin urmatoarea definitie.

Definitia 1.6. Fie functia integrabila Riemann, f : [a, b]→ R, unde a < b. Notamcu∫ abf sau

∫ abf(x) dx, numarul:

∫ a

b

f := −∫ b

a

f.

De asemenea, consideram∫ aaf := 0.

1

Integrabilitatea Riemann admite urmatoarea caracterizare cu siruri, analoagateoremei lui Heine de la limitele de functii:

Teorema 1.1. Pentru orice functie f : [a, b] → R sunt echivalente conditiileurmatoare:

i) f ∈ R[a, b].ii) Pentru orice sir de diviziuni (∆k)k∈N, ∆k ∈ ∆[a, b], cu limk→∞ ‖∆k‖ = 0 si

orice sir (ξk)k∈N, ξk ∈ S(∆k), (k ∈ N), sirul (σ∆k(f, ξk))k∈N este convergent si are

drept limita integrala functiei.

Pentru funtiile marginite pe un interval [a, b], vom introduce sumele Darboux siintegralele Darboux.

Definitia 1.7. Daca functia f : [a, b] → R este marginita, atunci pentru oricediviziune ∆ := {a = x0 < . . . < xn = b}, notam cu

S∆(f) :=n∑i=1

supx∈[xi−1, xi]

f(x)

si

s∆(f) :=n∑i=1

infx∈[xi−1, xi]

f(x),

sumele Darboux superioara si respectiv inferioara ale functiei f ın raport cudiviziunea ∆.

Fara dificultate obtinem:

Corolarul 1.1. Pentru orice functie marginita f : [a, b]→ R avem:

sup∆∈∆[a, b]

s∆(f) ≤ inf∆∈∆[a, b]

S∆(f).

Folosind corolarul de mai sus are sens urmatoarea definitie

Definitia 1.8. Fie f : [a, b] → R o functie margimita. Definim integralele Dar-boux superioara si respectiv inferioara, numerele:

(D)

∫ b

a

f := inf∆∈∆[a, b]

S∆(f),

si

(D)

∫ b

a

f := sup∆∈∆[a, b]

s∆(f)

Daca (D)∫ baf = (D)

∫ baf , atunci functia f se numeste integrabila Darboux

pe intervalul [a, b] si notam acest lucru prin f ∈ D[a, b]. Valoarea comuna a celor

doua integrale se numeste integrala Darboux a funtiei f si se noteaza cu (D)∫ baf .

2

Vom enunta ın continuare caracterizarea integrabilitatii Riemann cu ajutorulintegrabilitatii Darboux.

Teorema 1.2. Fie functia f : [a, b]→ R. Sunt echivalente afirmatiile urmatoarei) f ∈ R[a, b].

ii) Functia f este marginita si pentru orice ε > 0 exista δε > 0, astfel ıncatpentru orice ∆ ∈ ∆[a, b] cu ‖∆‖ < δε si orice ξ ∈ S(∆), avem S∆(f) − s∆(f) < ε.(Criteriul lui Darboux)

iii) Functia f este marginita si pentru orice ε > 0 exista ∆ ∈ ∆[a, b] astfel caS∆(f)− s∆(f) < ε.

iv) f ∈ D[a, b].

Vom prezenta ın continuare criteriul de integrabilitate a lui Lebesgue, care da-torita simplitatii sale, este deosebit de util ın aplicatii.

Definitia 1.9. Numim masura exterioara a unei multimi A ⊂ R, numarulm?(A) ∈ R, definit prin

m?(A) := inf{∞∑n=0

(bn − an)| A ⊂⋃

n∈N(an, bn)}.

O multime A ⊂ R se numeste neglijabila, daca m?(A) = 0.

Cu aceste pregatiri enuntam:

Teorema 1.3. (Criteriul lui Lebesgue) O functie f : [a, b] → R este integra-bila Riemann, daca si numai daca ea este marginita si are multimea punctelor dediscontinuitate neglijabila.

Corolarul 1.2. Orice functie monotona f : [a, b]→ R este integrabila Riemanm pe[a, b].

Demonstratie. Deoarece f este monotona ea are o multime cel mult numarabilade discontinuitati de prima speta. Dar orice multime numarabila este neglijabila.In plus, f este marginita, si anume |f(x)| ≤ max{|f(a)|, |f(b)|}, (x ∈ [a, b]). Deciputem aplica criteriul lui Lebesgue.

2 Primitive

Metoda generala de calcul al integralelor Riemann se bazeaza pe determinareaprimitivelor functiilor care se integreaza. In acest paragraf vom studia proprietatiale primitivelor, precum si algoritmi de determinare a primitivelor pentru unele claseparticulare de functii.

Reamintim urmatoarea definitie:

Definitia 2.1. Fie functiile f : I → R si F : I → R, unde I este un interval al axeireale. Spunem ca F este o primitiva a lui f pe intervalul I, daca F este derivabilape I si avem F ′(x) = f(x), x ∈ I. O functie care admite primitive pe un intervalse numeste si primitivabila. Notam cu

∫f sau cu

∫f(x) dx mutimea primitivelor

lui f numita integrala nedefinita a lui f .

3

Din Corolarul Teoremei lui Lagrange, rezulta urmatoarea proprietate:

Propozitia 2.1. Daca o functie f admite pe un interval, o primitiva F , atuncitoate primitivele lui f difera de F printr-o constanta aditiva. Deci avem

∫f = {F + C | C ∈ R}.

Un rezultat de mare importanta este continut ın urmatoarea teorema.

Teorema 2.1. Orice functie f continua pe un interval I, admite primitive pe I.

Observatia 2.1. Teorema precedenta asigura existenta primitivelor functiilor con-tinue, fara a furniza o reprezentare a acestora. Cel mai uzual mod de reprezentare afunctiilor este prin functii elementare. Insa daca functia f este o functie elementara,nu rezulta ın general ca primitivele sale sunt tot functii elementare. Un exemplusimplu ın acest sens ıl constituie functia f(x) := sin x

x, x ∈ (0,∞). De fapt doar

o clasa restransa de functii elementare au primitivele exprimabile tot prin functiielementare.

Teorema lui Darboux se poate reformula astfel:

Teorema 2.2. Orice functie care admite primitive pe un interval, are proprietatealui Darboux pe acel interval.

Precedentele doua teoreme dau o ıncadrare a clasei functiilor cu primitive ıntreclasele functiilor continue si cele cu proprietatea lui Darboux. Nu exista ınsa orelatie de incluziune ıntre clasa functiilor cu primitive si clasa functiilor integrabileRiemann. Exemple ın acest sens vom prezenta ın paragraful de aplicatii.

Vom prezenta acum proprietatea de liniaritate a functiilor cu primitive. In pre-alabil vom considera o definitie generala.

Definitia 2.2. Daca A ⊂ R, B ⊂ R si a ∈ R, notam:

A+B := {x+ y | x ∈ A, y ∈ B}aA := {ax | x ∈ A}.

Propozitia 2.2. Daca functiile f, g : I → R au prmitive pe inetrvalul I, atuncipentru orice a, b ∈ R, functia af + bg are primitive pe I si avem

∫(af + bg) = a

∫f + b

∫g.

Demonstratie. Fie F ∈ ∫ f si G ∈ ∫ g. Atunci (aF + bG)′ = af + bg. DeciaF + bG ∈ ∫ (af + bg). De aici rezulta ca a

∫f + b

∫g ⊂ ∫

(af + bg). Pentruincluziunea inversa, fie H ∈ ∫ (af + bg). Fie de asemenea F ∈ ∫ f . Sa consideramcazul b 6= 0. Definim G := b−1(H − aF ). Obtinem G′ = b−1(H ′ − aF ′) = g. DeciG ∈ ∫ g. Am obtinut H = aF + bG ∈ a∫ f + b

∫g. Deoarece H a fost ales arbitrar,

avem∫

(af + bg) ⊂ a∫f + b

∫g. Cazul b = 0 este imediat.

4

Observatia 2.2. Daca f, g : I → R, nu rezulta ın general ca functia fg admiteprimitive pe I.

In continuare ne vom ocupa de determinarea primitivelor unor functii. Aceastaoperatie se numeste uzual calculul primitivelor. Exista doua metode generale dea reduce calculul primitivelor unor functii la calculul primitivelor unor funtii maisimple, si anume metoda ”integrarii prin parti” si metoda ”schimbarii de variabila”.

Teorema 2.3. (Teorema integrarii prin parti) Fie functiile f, g : I → R deriv-abile pe I. Daca functia f ′g admite primitive pe I, atunci functia fg′ admite prim-itive pe I si ın plus avem ∫

fg′ = fg −∫f ′g.

Demonstratie. Fie H ∈ ∫ f ′g. Avem (fg − H)′ = fg′. Deci fg − H ∈ ∫ fg′.Rezuta ca fg′ are primitive si fg−∫ f ′g ⊂ ∫ fg′. Pentru a arata incluziunea inversa,fie H ∈ ∫ fg′. Avem (fg −H)′ = f ′g. Deci H = fg − (fg −H) ∈ fg − ∫ f ′g. Cumfunctia H a fost aleasa arbitrar, rezulta ca

∫fg′ ⊂ fg − ∫ f ′g.

Teorema 2.4. (Prima schimbare de variabila) Fie intervalele I, J si functiileϕ : I → J si f : J → R. Presupunem ca ϕ este derivabila pe I, iar f are primitivepe J . Daca F este o primitiva a lui f pe intervalul J , atunci F ◦ ϕ : I → R este oprimitiva a functiei (f ◦ ϕ)ϕ′ : I → R.

Demonstratie. Avem (F ◦ ϕ)′ = (F ′ ◦ ϕ)ϕ′ = (f ◦ ϕ)ϕ′.

Observatia 2.3. Teorema precedenta permite reducerea calcului integralei nede-finite

∫f(ϕ(x))ϕ′(x) dx, la calculul integralei nedefinite

∫f(t) dt. Se observa ca cea

de a doua integrala se poate obtine din prima, ın mod formal, prin substitutiat = ϕ(x) si dt = ϕ′(x) dx, care se obtine prin ”diferentierea” primei relatii. Evi-dent, aceasta ınlocuire formala, nu reprezinta si o demonstratie a teoremei. Intreintegralele nedefinite

∫f(ϕ(x))ϕ′(x) dx si

∫f(t) dt nu se poate pune semnul de egal-

itate, deoarece prima dintre ele defineste o familie de functii definite pe I, ın timpce a doua defineste o familie de functii definite pe J .

Teorema 2.5. (A doua schimbare de variabila) Fie intervalele I, J si func-tiile ϕ : I → J si f : J → R. Presupunem ca ϕ este bijectiva, derivabila si cuinversa derivabila. Notam cu v : J → I, functia inversa lui ϕ. Daca F : J → Reste o primitiva a functiei fv′ pe intervalul J , atunci functia F ◦ ϕ : I → R este oprimitiva a functiei f ◦ ϕ pe intervalul I.

Demonstratie. Din teorema de derivare a functiei inverse, avem ϕ′(x) = 1v′(ϕ(x))

,pentru orice punct x ∈ I. Atunci avem

(F ◦ ϕ)′ = (F ′ ◦ ϕ)ϕ′ = ((fv′) ◦ ϕ)ϕ′ = (f ◦ ϕ)(v′ ◦ ϕ)ϕ′ = f ◦ ϕ.

5

Observatia 2.4. Si ın acest caz putem face o observatie asemanatoare cu cea de laprima schimbare de variabila. Astfel teorema precedenta reduce calculul integraleinedefinite

∫f(ϕ(x)) dx la calculul integralei nedefinite

∫f(t)v′(t) dt. In mod formal,

cea de a doua integrala se obtine din prima, prin schimbarea de variabila t = ϕ(x).Din aceasta, prin aplicarea functiei inverse, (concret prin ”explicitarea” lui x ınfunctie de t) se obtine x = v(t) si de aici prin ”diferentiere” obtinem dx = v′(t) dt.

Prezentam ın continuare tabloul principalelor primitive:

∫(x+ a)k dx =

(x+ a)k+1

k + 1+ C, a ∈ R, k 6= −1,

∫1

x+adx = ln |x+ a|+ C a ∈ R,

∫1

x2+a2 dx =1

aarctg

x

a+ C, a 6= 0,

∫1

x2−a2 dx =1

2aln

∣∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣∣+ C, a 6= 0,

∫1√

x2±a2 dx = ln |x+√x2 ± a2|+ C, a 6= 0,

∫1√

a2−x2 dx = arcsin(x

a

)+ C, a 6= 0,

∫sin x dx = cos x+ C,∫cos x dx = − sin x+ C,∫

1cos2 x

dx = tg x + C,∫1

sin2 xdx = −ctg x + C,

∫ax dx =

ax

ln a+ C, a > 0, a 6= 1

Plecand de la primitivele date ın lista de mai sus, prin aplicarea metodelor deschimbare de variabila si integrare prin parti, se pot determina primitivele unor clasemai largi de functii. Ilustram ın continuare metode generale de determinare a primi-tivelor pentru cateva clase de functii. Aceste metode generale, nu eclud posibilitateaca ın anumite cazuri particulare sa existe metode mai rapide.

A. Primitivele functiilor rationale

Ne vom ocupa de primitivele de forma∫P (x)

Q(x)dx,

unde P si Q sunt polinoame. Metoda generala de tratare a acestor integrale estemetoda desfacerii ın fractii simple. Avem:

Definitia 2.3. Se numeste fractie simpla o functie rationala f : I → R, de forma

f(x) :=α

(x+ a)n, x ∈ I, unde α, a ∈ R, n ∈ N, n ≥ 1,

6

sau de forma

f(x) =βx+ γ

(x2 + bx+ c)n, x ∈ I, unde β, γ, b, c ∈ R, n ∈ N, n ≥ 1 si b2 < 4c

si unde I este un interval pe care numitorul lui f nu se anuleaza.

Vom utiliza urmatoarea teorema de algebra.

Teorema 2.6. Orice functie rationala de forma f(x) = P (x)Q(x)

, x ∈ I, unde I esteinterval, iar P, Q sunt polinoame astfel ca grP <grQ, se descompune ın mod unicın fractii simple.

Utilizand metoda desfacerii ın fractii simple, determinarea primitivelor unei func-tii de forma P (x)

Q(x), x ∈ I, unde P si Q sunt polinoame arbitrare, se face ın urmatoarele

trei etape:Etapa 1. Se aplica, numai daca grP ≥ grQ, ın caz contrar se trece direct la

Etapa 2. Daca grQ ≥ grP , ımpartim pe Q la P . Fie M, R polinoame astfel caP = Q ·M +R si grR < grQ. Avem

∫P (x)

Q(x)dx =

∫M(x) dx+

∫R(x)

Q(x)dx.

Integrala nedefinita∫M(x) dx se determina imediat, iar pentru calculul integralei∫ R(x)

Q(x)dx se trece la Etapa 2

Etapa 2. Daca grP < grQ, atunci se descompune functia polinomiala P (x)Q(x)

,x ∈ I ın fractii simple. Putem presupune ca coeficientul termenului dominantal polinomului Q este 1. Posibilitatea teoretica a acestei descompuneri este asig-urata de teorema precedenta. Totusi posibilitatea efectiva depinde de cunoastereadescompunerii in factori primi ai polinomului Q. Dupa cum este cunoscut din Al-gebra, polinomul Q are o unica descopunere ın factori primi, formati din polinoamecu coeficienti reali, dar nu exista algoritm general de obtinere a descompunerii ınfactorii primi, daca grQ > 4.

In cazul cunoasterii descompunerii polinomului Q ın factori primi, atunci sepoate determina descompunerea fractiei P (x)

Q(x)ın fractii simple, folosind metoda

coeficientilor nedeterminati. Aceasta ınseamna ca daca avem descompunereaQ =

∏i=1 r(X + ai)

mi∏s

j=1(X2 + bjX + cj)nj sa descompunem P (x)

Q(x)sub forma

P (x)

Q(x)=

r∑i=1

mi∑

k=1

αi,k(x+ ai)k

+s∑j=1

nj∑

k=1

βj,kx+ γj,k(x2 + bjx+ cj)k

, x ∈ I,

unde coeficientii αi,k, 1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ k ≤ mi si βj,k, γj,k, 1 ≤ j ≤ s, 1 ≤ k ≤ mj,se determina prin identificare, ın egalitatea polinomiala dintre P si polinomul de lanumaratorul fractiei obtinut prin ınsumarea fractiilor simple din membrul drept alegalitatii de mai sus.

Etapa 3. Determinarea primitivelor fractiilor simple. Vom analiza separat urmatoarelepatru tipuri de fractii simple: a) α

x+a, α, a ∈ R; b) α

(x+a)n, α, a ∈ R,

7

n ∈ N, n ≥ 2; c) βx+γx2+bx+c

, β, γ, b, c ∈ R, b2 < 4c; d) βx+γ(x2+bx+c)n

, β, γ, b, c ∈ R,b2 < 4c, n ∈ N, n ≥ 2.

a) Avem∫

αx+a

dx = α ln |x+ a|+ C.b) Avem

∫α

(x+a)ndx = 1

1−n(x+ a)1−n + C.c) Facem schimbarea de variabila t = x + b

2. Avem x2 + bx + c = t2 + d2, unde

am notat d2 := c− b2

4. Aplicand prima teorema de schimbare de variabila, calculul

integralei nedefinite∫

βx+γx2+bx+c

dx se reduce la calculul integralei nedefinite∫

βt+δt2+d2 dt,

unde am notat δ := γ − βb2

. Avem∫

βt+δt2+d2 dt = β

2ln(t2 + d2) + δ

darctg t

d+ C. Apoi,

daca ın aceste functii ınlocuim pe t cu x+ b2, obtinem primitivele cautate.

d) Facem schimbarea de variabila t = x + b2. Cu notatiile de la punctul c), cal-

culul integralei nedefinite∫

βx+γ(x2+bx+c)n

dx se reduce la calculul integralei nedefinite∫βt+δ

(t2+d2)ndt. Avem

∫βt+δ

(t2+d2)ndt = β

2(1−n)+ δ In, unde am notat In :=

∫1

(t2+d2)ndt.

Calculul integralelor de tipul In, n ∈ N se poate face recursiv, folosind recurenta.Intr-adevar, integrand prin parti avem In = t

(t2+d2)n+ 2n

∫t2

(t2+d2)n+1 dt = t(t2+d2)n

+

+2n In − 2nd2 In+1. Deci obtinem In+1 := 12nd2

[t

(t2+d2)n+ (2n− 1)In

], n ≥ 1.

B. Primitivele unor clase de functii irationale

Vom considera ın continuare trei tipuri de functii irationale, pentru care calcu-lul primitivelor se poate reduce prin schimbari de variabila la calculul primitivelorde functii rationale. La toate cele trei tipuri se folosete a doua schimbare de variabila.

Tipul B1. Vom considera integrale de forma:

∫R

(x,

n

√ax+ b

cx+ d

)dx,

unde R este o functie rationala de doua variabile, coeficientii a, b, c, d ∈ R verifica

conditiile

∣∣∣∣a bc d

∣∣∣∣ 6= 0 si a2 + c2 6= 0, n ∈ N, n ≥ 2, iar primitivele sunt considerate

pe un interval I pe care functia R(x, n

√ax+bcx+d

), x ∈ I este bine definita. Facem

schimbarea de variabila

t =n

√ax+ b

cx+ d.

Consideram functia ϕ(x) = n

√ax+bcx+d

, x ∈ I si vom nota J := ϕ(I). Se observa

imediat ca functia ϕ este o bijectie ıntre intervalele I si J . Sa notam cu v : J → I,functia inversa a lui ϕ. Reprezentare acestei functii se poate obtinem imediat prinexplicitarea lui x din relatia de substitutie si anume: v(t) := dtn−b

a−ctn , t ∈ J . Se poateobserva, din conditiile impuse coeficientiilor a, b, c, d ca a − ctn 6= 0, (∀) t ∈ J .Putem scrie R(x, ϕ(x)) = R(v(ϕ(x)), ϕ(x)), x ∈ I. Sa consideram functia f(t) :=R(v(t), t), t ∈ J . Atunci aplicand a doua shimbare de variabila, rezulta ca pentru a

determina integrala nedefinita∫R(x, n

√ax+bcx+d

)dx =

∫f(ϕ(x)) dx pe I este suficient

8

sa determinam integrala nedefinita∫f(t)v′(t) dt. Mai exact, daca F este o primitiva

a functiei rationale fv′ pe J , atunci

∫R

(x,

n

√ax+ b

cx+ d

)dx =

{F

(n

√ax+ b

cx+ d

)+ C | C ∈ R

}.

Tipul B2. Vom considera integrale de forma:

∫R(x,

√ax2 + bx+ c) dx,

unde R este o functie rationala de doua variabile, coeficientii a, b, c ∈ R verificaconditiile a 6= 0 si b2 − 4ac 6= 0, iar primitivele sunt considerate pe un intervalI pe care functia R(x,

√ax2 + bx+ c), x ∈ I este bine definita. Notam ∆ :=

= b2 − 4ac. Pentru calculul acestor integrale putem folosi urmatoarele substutii,numite substitutiile lui Euler:

• Daca a > 0, atunci√ax2 + bx+ c =

√ax+ t.

• Daca c > 0, atunci√ax2 + bx+ c =

√c+ tx.

• Daca ∆ > 0, atunci√ax2 + bx+ c = t(x − α), unde α ∈ R este o radacina a

polinomului ax2 + bx+ c.

Sa observam ca ıntotdeauna se poate aplica cel putin una dintre cele trei substitutii.Intr-adevar, daca am avea simultan a < 0 si ∆ < 0, atunci ar rezulta I = ∅. Uti-lizand a doua schimbare de variabila, cu aceste substitutii, calculul integralei datese reduce la calculul unei integrale rationale. Vom exemplifica acest lucru numaipentru prima substitutie.

Fie functia ϕ(x) =√ax2 + bx+ c − √ax, x ∈ I. Notam J := ϕ(J). Sa ob-

servam ca ecuatia ϕ′(x) = 0 este echivalenta cu 2ax + b = 2√a√ax2 + bx+ c,

ecuatie care nu are solutii, deoarece ∆ 6= 0. Deci ϕ este stict monotona pe I siın consecinta este o bijectie ıntre intervalele I si J . Sa notam cu v : J → I,inversa functiei ϕ. Reprezentarea functiei v, se obtine imediat prin explicitarealui x din substitutie, (se ridica la patrat cei doi membrii, s.a.m.d.). Avem v(t) == t2−c

b−2√at, t ∈ J . Se poate observa ca b

2√a6∈ J , deoarece ∆ 6= 0. Putem scrie

R(x, ϕ(x)) = R(v(ϕ(x)), ϕ(x)), x ∈ I. Sa consideram functia f(t) :== R(v(t), t), t ∈ J . Atunci aplicand a doua shimbare de variabila, rezulta ca pentrua determina integrala nedefinita

∫R(x,

√ax2 + bx+ c) dx =

∫f(ϕ(x)) dx pe I este

suficient sa determinam integrala nedefinita rationala∫f(t)v′(t) dt. Adica, daca F

este o primitiva a lui fv′ pe J , atunci∫R(x,

√ax2 + bx+ c) dx =

{F (√ax2 + bx+ c−√ax) + C | C ∈ R

}.

Tipul B3. Vom considera integrale de forma urmatoare, numite integrale bi-nome: ∫

xm(axn + b)p dx,

9

unde a, b ∈ R, a, b 6= 0, m, n, p ∈ Q, iar primitivele sunt considerate pe un inter-val I care nu contine ın interior punctul 0 si pe care functia xm(axn + b)p, x ∈ Ieste bine definita. Pentru calculul acestor integrale putem folosi urmatoarele substutii,numite substitutiile lui Cebısev:

• Daca p ∈ Z, atunci t = xr, unde r ∈ N este numitorul comun ale numerelorrationale m si n.

• Daca p 6∈ Z si m+1n∈ Z atunci t = s

√axn + b, unde s este numitorul lui p.

• Daca p 6∈ Z si m+1n6∈ Z, dar m+1

n+ p ∈ Z, atunci t = s

√a+ bx−n, unde s este

numitorul lui p.

Observam ca daca p ∈ Z, atunci inetegrala binoma este de tipul B1, iar substitutiadata, decurge din substitutia considerata pentru tipul B1. O teorema a lui Cebısevafirma ca daca nu se verifica nici una din conditia date pentru substitutiile de maisus, atunci integrala binoma nu admite o reprezetare printr-o functie elementara.Daca putem aplica una din cele trei substitutii, atunci, folosind cea de a douaschimbare de variabila, calculul integralei binome se reduce la calculul unei inte-grale rationale. Vom exemplifica acest lucru pentru substitutia a doua.

Consideram functia ϕ(x) = s√axn + b, x ∈ I. Deoarece 0 6∈ I, rezulta ca

functia ϕ este injectiva pe I. Notam J := ϕ(I). Deci exista inversa functiei ϕ,

pe care o notam v, v : J → I. Obtinem imediat ca v(t) =(ts−ba

) 1n , t ∈ J .

Putem scrie∫xm(axn + b)p dx =

∫(v(ϕ(x))m(ϕ(x))ps dx. Sa consideram functia

f(t) := vm(t)tps, t ∈ J . Atunci aplicand a doua shimbare de variabila, rezultaca pentru a determina integrala nedefinita

∫xm(axn + b)p dx =

∫f(ϕ(x)) dx pe I

este suficient sa determinam integrala nedefinita∫f(t)v′(t) dt. Deci, daca F este o

primitiva a lui fv′ pe J , atunci

∫xm(axn + b)p dx =

{F (

s√axn + b) + C | C ∈ R

}.

Avem f(t)v′(t) =(ts−ba

)mn tps s

nts−1

(ts−ba

) 1n−1

= sntps+s−1

(ts−ba

)m+1n−1

. Deci fv′ estefunctie rationala pe J .

C. Primitivele unor clase de functii trigonometrice

Vom considera integrale nedefinite de forma

∫R(sin x, cos x) dx,

unde R este o functie rationala de doua variabile, iar primitivele se considera pe uninterval I pe care functia R(sin x, cos x), x ∈ I este bine definita.

Sa consideram mai ıntai cazul general cand functia nu ındeplineste alte conditiisuplimentare. Vom presupune ca intervalul I nu contine nici un punct de forma(2k + 1)π, k ∈ Z. Facem substitutia t = tg x

2. Sa consideram functia ϕ(x) =

10

= tg x2, x ∈ I. Avem R(sin x, cos x) dx = R

(2ϕ(x)

1+ϕ2(x), 1−ϕ2(x)

1+ϕ3(x)

)2

1+ϕ2(x)ϕ′(x) dx.

Sa notam J := ϕ(I). Consideram functia f(t) := R(

21+t2

, 1−t21+t2

)2

1+t2, t ∈ J .

Evident f este rationala. Aplicand prima schimbare de variabila, calculul inte-gralei nedefinite

∫R(sin x, cos x) dx =

∫f(ϕ(x))ϕ′(x) dx, pe I se reduce la calculul

integralei∫f(t) dt pe J . Astfel daca F este o promitiva a lui f , atunci

∫R(sin x, cos x) dx =

{F(

tgx

2

)+ C | C ∈ R

}.

In cazul ın care functia R verifica anumite propritati de paritate sau imparitate,exista si alte substitutii care conduc la integrale din functii rationale mai simple.Astfel avem:

• Daca I nu contine puncte de forma π2+kπ, k ∈ Z si daca R(− sin x, − cos x) =

= R(sin x, cos x), (∀)x ∈ I, atunci t = tg x,

• Daca R(− sin x, cos x) = −R(sinx, cos x), (∀) x ∈ I, atunci t = cos x,

• Daca R(sin x, − cos x) = −R(cos x, sin x), (∀) x ∈ I, atunci t = sin x,

La prima dintre aceste substitutii, conditia de paritate ın raport cu ansam-blul celor doi argumenti implica faptul ca exista o functie rationala g astfel caR(sin x, cos x) = g (tg) , x ∈ I. Daca consideram functia ϕ(x) = tg x, x ∈ I, avem∫R(sin x, cos x) dx =

∫g(ϕ(x)) 1

1+ϕ2(x)ϕ′(x) dx. Aplicand prima schimbare de vari-

abila, suntem condusi la integrala nedefinita∫g(t) 1

1+t2dt pe intervalul J := ϕ(I).

Fie functia f(t) = g(t) 11+t2

, t ∈ J . Rezulta ca daca F este o primitiva a functieirationale f pe J , atunci

∫R(sin x, cos x) dx = {F (tg x) + C | C ∈ R} .

La cea de a doua dintre aceste substitutii, conditia de imparitate ın primulargument implica faptul ca exista o functie rationala g astfel ca R(sin x, cos x) == − sin x · g(cos x), x ∈ I. Daca consideram functia ϕ(x) = cos x, x, x ∈ I, avem∫R(sin x, cos x) dx =

∫g(ϕ(x))ϕ′(x) dx. Aplicand prima schimbare de variabila,

suntem condusi la integrala nedefinita∫g(t) dt pe intervalul J := ϕ(I). Rezulta ca

daca F este o primitiva a functiei rationale g pe J , atunci

∫R(sin x, cos x) dx = {F (cos x) + C | C ∈ R} .

In cazul celei de a treia substitutii, conditia de imparitate ın raport cu al doileaargument implica faptul ca exista o functie rationala g astfel ca R(sin x, cos x) == cos x · g(sin x), x ∈ I. In continuare se rationeaza analog ca ın cazul precedent.

11

Observatia 2.5. Anumite integrale trigonometrice de forma∫R(sin x, cos x) dx

pot fi calculate mai rapid, folosind diferite formule trigonometrice. De exemplu, saconsideram integralele de forma:

∫sinm x cosn x dx, m, n ∈ N.

Daca m sau respectiv n este impar aplicam substitutiile de mai sus, adica t = cos xsi respectiv t = sin x. In cazul cand m si n sunt ambele pare s-ar putea aplicasubstitutia t = tg x, dar calculele sunt lungi. In acest caz este de preferabil safolosim formulele sin2 x = 1−cos 2x

2si cos2 x = 1+cos 2x

2.

3 Proprietatile integralei Riemann

Vom prezenta la inceput legatura ce exista ıntre integrala Riemann si primitive.

Teorema 3.1. (Formula Leibniz-Newton) Daca f ∈ R[a, b] si daca F admite oprimitiva F pe intervalul [a, b], atunci avem

∫ b

a

f = F (b)− F (a).

Observatiile 3.1. i) Formula Leibniz-Newton poate fi aplicata functiilor continue,deoarece acestea sunt integrabile Riemann si totodata admit primitive.

ii) Expresia F (b)− F (a) se mai noteaza si prin F |ba.Folosind formula Leibniz-Newton si teoremele de integrare prin parti si de schim-

bare de variabila pentru primitive, obtinem urmatoarele teoreme pentru integralaRiemann.

Teorema 3.2. (Formula integrarii prin parti) Daca f, g ∈ C1[a, b], atunci

∫fg′ = f(b)g(b)− f(a)g(a)−

∫ b

a

f ′g.

Teorema 3.3. (Prima schimbare de variabila) Fie ϕ ∈ C1[a, b] si f : ϕ([a, b])→R o functie continua. Atunci avem:

∫ b

a

(f ◦ ϕ)ϕ′ =∫ ϕ(b)

ϕ(a)

f.

Teorema 3.4. (A doua schimbare de variabila) Fie ϕ ∈ C1[a, b] injectivasi f : ϕ([a, b]) → R o functie continua. Presupunem ca functia inversa lui ϕ,v : ϕ([a, b])→ [a, b] are derivata continua pe intervalul ϕ([a, b]). Atunci avem

∫ b

a

f ◦ ϕ =

∫ ϕ(b)

ϕ(a)

fv′.

12

Vom prezeta ın continuare proprietatile inegralei Riemann, legate de operatiialgebrice, monotonie, siruri de functii, aditivitate la interval, si evaluare medie.

Teorema 3.5. (Proprietatea de liniaritate) Daca f, g ∈ R[a, b], atunci pentru

orice α, β ∈ R avem αf + βg ∈∈ R[a, b] si∫ ba(αf + βg) = α

∫ baf + β

∫ bag.

Teorema 3.6. Daca f, g ∈ R[a, b], atunci fg ∈ R[a, b].

Teorema 3.7. Daca f ∈ R[a, b], atunci |f | ∈ R[a, b].

Teorema 3.8. Daca f, g ∈ R[a, b], atunci max{f, g}, min{f, g} ∈ R[a, b].

Teorema 3.9. (Proprietatea de pozitivitate) Daca f ∈ R[a, b] si f ≥ 0, atunci∫ baf ≥ 0.

Teorema 3.10. (Proprietatea de monotonie) Daca f, g ∈ R[a, b] si f ≤ g,

atunci∫ baf ≤ ∫ b

ag.

Teorema 3.11. Daca f ∈ R[a, b] si exista constantele m, M ∈ R astfel ca m ≤ f ≤M , atunci m(b− a) ≤ ∫ b

af ≤M(b− a).

Teorema 3.12. Daca f ∈ R[a, b], atunci | ∫ baf | ≤ ∫ b

a|f |.

Teorema 3.13. Daca (fn)n este un sir de functii fn ∈ R[a, b], n ∈ N, care converge

uniform pe intervalul [a, b] la o functie f , atunci f ∈ R[a, b] si ın plus limn→∞∫ bafn =∫ b

af .

Teorema 3.14. (Proprietatea de ereditate) Daca f ∈ R[a, b], atunci f ∈ R[c, d],pentru orice interval [c, d] ⊂ [a, b].

Teorema 3.15. (Proprietatea de aditivitate la interval) Fie f : [a, b]→ R sic ∈ (a, b). Sunt echivalente:

i) f ∈ R[a, b],ii) f ∈ R[a, c] si f ∈ R[c, b].

Mai mult, ın aceste conditii avem∫ baf =

∫ caf +

∫ baf .

Teorema 3.16. (Teorema I de medie) Daca f ∈ C[a, b], atunci exista un punct

c ∈ [a, b] astfel ca∫ baf = f(c)(b− a).

Teorema 3.17. (Teorema a II-a de medie) Daca f : [a, b]→ R este monotonasi g ∈ R[a, b], atunci fg ∈ R[a, b] si exista un punct c ∈ [a, b] astfel ca

∫fg =

f(a)∫ cag + f(b)

∫ bcg.

13

Curs 10

Integrala multipla

In acest capitol vom studia integrala ın sensul lui Riemann pentru functii demai multe variabile. Aceasta integrala se mai numeste integrala multipla. Definireaintegralei multiple se bazeaza pe masura Jordan, a anumitor multimilor din spatiulRn. Aceasta masura o vom prezenta ın primul paragraf.

1 Masura Jordan

Pentru reuniunea unor multimi disjuncte vom utiliza simbolul⊔

. Fie n ∈ N, n ≥ 1.

Definitia 1.1. Numim cub n - dimensional, (sau simplu cub), oricem multimedin Rn de forma C = I1 × . . . × In, unde pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n, Ii esteun interval marginit din R, adica un interval de una din urmatoarele forme: (a, b),(a, b], [a, b), [a, b], a ≤ b. Cubul se va numi deschis, daca toate intervalele Ii suntdeschise si se va numi ınchis, daca aceste intervale sunt ınchise.

Pentru orice astfel de cub, consideram volumul sau, numarul, definit prin

vol(C) = l(I1) · l(I2) . . . l(In),

unde pentru orice indice 1 ≤ i ≤ n, l(Ii) reprezinta lungimea intervalului Ii.

Observam ca intervalele Ii, 1 ≤ i ≤ n care definesc cubul C, pot fi, ın particularformate dintr-un singur punct sau pot fi eagale cu multimea vida.

Definitia 1.2. Numim multime elementara ın Rn, orice multime E ⊂ Rn care sepoate reprezenta ca o reuniune finita de cuburi n - dimensionale. Notam cu E(Rn),familia multimilor elementare din Rn.

Propozitia 1.1. Orice multime elementara E ∈ E(Rn) poate fi reprezentata ca oreuniune finita de cuburi disjuncte.

Definitia 1.3. Fie E ∈ E(Rn), E =p⊔i=1

Cp, unde Ci, 1 ≤ i ≤ n sunt cuburi n-

dimensionale cu proprietatea ca◦Ci ∩

◦Cj= ∅, pentru orice i 6= j, 1 ≤ i, j ≤ n.

Definim volumul lui E ca fiind numarul:

vol(E) :=

p∑i=1

vol(Ci).

Observatia 1.1. Se poate arata ca definitia volumului unei multimi elementare Eeste corecta, adica, se obtine acelasi rezultat, indiferent de modul de descompunerea lui E ıntr-o reuniune finita de cuburi n- dimensionale disjuncte doua, cate doua.

In continuare vom prezenta notiunile de masura Jordan interioara si exterioara.Vom nota cu B(Rn) familia multiimilor marginite din spatiul Rn.

1

Definitia 1.4. Pentru orice multime A ∈ B(Rn), definim masura Jordan inte-rioara, numarul:

λi(A) := sup{vol(E) | E ∈ E(Rn), E ⊂ A},si definim masura Jordan exterioara, numarul:

λe(A) := inf{vol(F ) | F ∈ E(Rn), A ⊂ F}.Cu ajutorul masurilor Jordan interioare si exterioare definim masurabilitatea ın

sensul lui Jordan, ın felul urmator:

Definitia 1.5. O multime A ∈ B(Rn) se numeste masurabila Jordan, daca avem

λi(A) = λe(A).

Daca mutimea A este masurabila Jordan, notam cu λ(A), valoarea comuna a luiλi(A) si λe(A) si numim acest numar masura Jordan a lui A.

Notam cu M(Rn) familia multimilor masurabile Jordan.

In calculul integral vor intervine ın mod frecvent multimi ce pot fi descrise caintergraficul a doua functii. Referitor la acestea avem urmatorul rezultat.

Teorema 1.1. Fie D ∈ Mc(Rn) si fie ϕ, ψ : D → R, doua functii continue, astfelca ϕ(x) ≤ ψ(x), (x ∈ D). Definim multimea Kϕ,ψ ⊂ Rn+1, numita intergraficulfunctiilor ϕ si ψ, prin:

Kϕ,ψ = {(x, y) ∈ Rn+1 | x ∈ D, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, (1)

unde x = (x1, . . . , xn). Avem Kϕ,ψ ∈Mc(Rn+1).

2 Integrabilitatea Riemann multipla

Notam cuMc(Rn) familia multimilor din Rn care sunt compacte, (echivalent marginitesi ınchise) si care au interiorul nevid.

Definitia 2.1. Fie D ∈ Mc(Rn). O familie finita ∆ = {D1, . . . , Dp} se numestediviziune a multimii D daca are urmatoarele proprietati:

a)p⋃i=1

Di = D,

b)◦Di ∩

◦Dj= ∅, pentru orice 1 ≤ i, j ≤ p, i 6= j,

c) Di ∈Mc(Rn) si λ(Di) > 0, pentru orice 1 ≤ i ≤ p.Pentru o astfel de diviziune ∆, vom nota cu ‖∆‖, norma diviziunii, definita prin

‖δ‖ := max1≤i≤p

δ(Di),

unde δ(Di) := sup{‖x− y‖ | x, y ∈ Di} este diametrul multimii Di.Notam cu ∆(D), familia diviziunilor lui D.

2

Definitia 2.2. Fie D ∈ Mc(Rn) si fie ∆ ∈ ∆(D), ∆ = {D1, . . . , Dp}. Un sistemde puncte c = (ci)1≤i≤p, cu propietatea ci ∈ Di, 1 ≤ i ≤ p se numeste compati-bil cu diviziunea ∆. Notam cu S(∆) familia sistemelor de puncte intermediarecompatibile cu diviziunea ∆.

Definitia 2.3. Fie D ∈ Mc(Rn), f : D → R, ∆ ∈ ∆(D), ∆ = {D1, . . . , Dp} sic ∈ S(∆), c = (ci)1≤i≤p. Numarul

σ∆(f, c) :=

p∑i=1

f(ci)λ(Di),

se numeste suma Riemann atasata functiei f ın raport cu diviziunea ∆ si cusistemul de puncte intermediare c.

Definitia de baza este urmatoartea:

Definitia 2.4. Functia f : D → R, unde D ∈Mc(Rn), se numeste integrabila peD, daca exista un numar I ∈ R astfel ca pentru orice ε > 0, sa existe δε > 0, astfelca pentru orice ∆ ∈∆(D) cu ‖∆‖ < δε si pentru orice c ∈ S(∆) sa avem

|σ∆(f, c)− I| < ε.

In acest caz numarul I se numeste integrala Riemann sau integrala multipla alui f pe D si se noteaza cu

∫D

f , sau∫D

f(x) dx, sau ca cu∫D

f(x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn.

Daca n = 2, integrala multipla se numeste integrala dubla si se mai noteaza cu∫∫Df(x, y) dx dy. Daca n = 3, integrala multipla se numeste integrala tripla si se

mai noteaza cu∫∫∫

Df(x, y, z) dx dy dz.

Notam cu R(D) familia functiilor integrabile pe D.

Observatia 2.1. Se poate arata ca daca exista un numar I ca ın din definitiaprecedenta, atunci el este unic. Aceasta justifica definirea integralei.

Se extind pentru integralele multiple, criteriile de integrabilitate considerate laintegrala functiilor definite pe un segment. Vom prezenta ın continuare criteriul luiLebesgue. Consideram mai ıntai urmatoarea definitie.

Definitia 2.5. O multime A ⊂ Rn se numeste neglijabila daca, pentru orice ε > 0,exista un sir de multimi (Bk)k∈N, Bk ∈M(Rn), astfel ca:

i) A ⊂ ⋃k∈N

Bk si

ii)∑k∈N

λ(Bk) < ε.

Teorema 2.1. Criteriul lui Lebesgue) Fie D ∈ Mc(Rn) si f : D → R. Suntechivalente conditiile:

i) f ∈ R(D),ii) f este marginita si are multimea discontinuitatilor neglijabila.

Cu ajutorul acestui criteriu de integrabilitate, se pot obtine fara dificultate,urmatoarele proprietati ale integralei Riemann.

3

Teorema 2.2. Fie D ∈Mc(Rn).i) Daca f, g ∈ R(D), atunci pentru orice α, β ∈ R, avem αf + βg ∈ R(D) si∫

D(αf + βg) = α

∫Df + β

∫Dg (Proprietatea de limiaritate)

ii) Daca f, g ∈ R(D), atunci fg ∈ R(D).iii) Daca f ∈ R(D), atunci |f | ∈ R(D).

Teorema 2.3. (Proprietatea de aditivitate la domeniu) Fie D ∈ Mc(Rn) sif : D → R. Presupunem ca aven descompunerea D = D1 ∪ D2, unde D1, D2 ∈∈Mc(Rn) si

◦D1 ∩

◦D2= ∅. Atunci sunt echivalente conditiile:

i) f ∈ R(D) siii) f |D1 ∈ R(D1) si f |D2 ∈ R(D2).In plus, ın aceste conditii avem

∫Df =

∫D1f +

∫D2f.

Teorema 2.4. Fie D ∈Mc(Rn). Avem:i) Daca f : D → R este o functie constanta, f(x) = a, (x ∈ D), atunci

f ∈ R(D) si∫Df = aλ(D).

ii) Daca f ∈ R(D) are proprietatea f(x) ≥ 0 , (∀) x ∈ D, atunci∫Df ≥ 0

(Proprietatea de pozitivitate).iii) Daca f, g ∈ R(D) au proprietatea ca f(x) ≤ g(x), (∀) x ∈ D, atunci∫

Df ≤ ∫

Dg (Proprietatea de monotonie).

iv) Pentru orice f ∈ R(D) avem∣∣∫Df∣∣ ≤ ∫

d|f |.

v) Pentru orice f ∈ R(D) avem mλ(D) ≤ ∫Df ≤ Mλ(D), unde m :=

= infx∈D

f(x), iar M := supx∈D

f(x).

vi) Daca f ∈ C(D) si D este multime conexa, atunci exista un punct c ∈ D,astfel ca

∫Df = f(c)λ(D)(Teorema de medie).

3 Calculul integralelor multiple

Motoda de baza al calcului integralelor multiple este data de formula de iterare, carereduce integrala a unei functii de mai multe variabile, la integrala unei functii cuun numar mai mic de variabile. In final calculul integralelor functiilor de mai multevariabile se reduce la calculul integralelor functiilor de o variabila.

Teorema 3.1. Fie D ∈ Rn si fie ϕ, ψ : D → R, doua functii continue, astfel caϕ(x) ≤ ψ(x), (x ∈ D). Consideram multimea Kϕ,ψ ⊂ Rn+1, intergraficul functiilorϕ si ψ, din (1). Daca f : Kϕ,ψ → R, este continua, atunci exista si sunt egaleurmatoarele integrale:

∫

Kϕ,ψ

f(x1, . . . , xn, y)dx1 . . . dxn dy =

∫

D

dx1 . . . dxn . . . dxn

∫ ψ(x1,...,xn)

ϕ(x1,...,xn)

f(x1, . . . , xn, y) dy.

4

Vom prezenta acum transformarea integralelor multiple cand se aplica un difeo-morfism domeniului de definitie. Aceasta transformare se numeste uzual schim-barea de variabila si este deosebit de utila ın simplificarea calcului unor tipuri deintegrale.

Teorema 3.2. (Teorema schimbarii de variabila) Fie ϕ : U → V , un difeo-morfism, ıntre multimile deschise U, V ⊂ Rn, ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn). Daca A ⊂ U, A ∈Mc(Rn) si f : ϕ(A)→ R este o functie continua, atunci avem

∫

ϕ(A)

f(y) dy =

∫

A

f(ϕ(x)) ·∣∣∣∣D(ϕ1, . . . , ϕn)

D(x1, . . . , xn)

∣∣∣∣ dx1 . . . dxn. (2)

5

Curs 11Integrale improprii

1 Integrale improprii

Definitia 1.1. Daca I ⊂ R este un interval, notam cu RI multimea functiilorf : I → R care sunt integrabile Riemann pe orce subinterval compact [c, d] din I.

Observatia 1.1. Aceasta notatie nu este ın contradictie cu notatia R[a, b], introdusa

anterior. Intr-adevar, daca I = [a, b], atunci, din proprietatea de ereditate a inte-gralei Riemann, rezulta ca daca f ∈ R[a, b] atunci f ∈ R[c, d], pentru orice interval[c, d] ⊂ [a, b]. Pe de alta parte notatia introdusa acum este mai generala, deoarecese aplica si la intervale I care nu sunt compacte.

Definitia 1.2. Fie f ∈ R[a,b), unde a ∈ R si b ∈ R, sau b =∞. Spunem ca functiaf este integrabila impropriu pe intervalul [a, b), daca exista si este finita limita

limB→b

∫ B

a

f. (1)

Limita de mai sus se numeste integrala improprie a lui f pe intervalul [a, b) si senoteaza prin

∫[a,b)

f , sau∫

[a,b)

f(x) dx. Vom spune ca integrala∫

[a,b)

f este convergenta,

daca functia f este integrabila impropriu pe [a, b) si vom spune ca aceasta integralaeste divergenta, ın caz contrar.

In cazul b ∈ R, atunci integrala improprie∫

[a,b)

f se numeste integrala improprie

de prima speta si se mai noteaza si prinb−0∫a

f , saub−0∫a

f(x) dx.

In cazul b =∞, atunci integrala improprie∫

[a,b)

f se numeste integrala improprie

de de a doua speta si se mai noteaza si prin∞∫a

f , sau∞∫a

f(x) dx.

Definitia 1.3. Daca f ∈ R(a,b], unde a ∈ R, sau a = −∞, iar b ∈ R, integralaimproprie

∫(a,b]

f , notata si∫

(a,b]

f(x) dx, se defineste prin

∫

(a,b]

f = limA→a

∫ b

A

f.

Notiunile de integrabilitate improprie, integrala convergentasi integrala di-vergenta se definesc analog ca ın definitia precedenta. Integrala improprie

∫(a,b]

f

se mai noteza ın cazul a ∈ R si prinb∫

a+0

f saub∫

a+0

f(x) dx si se numete de prima

speta, iar ın cazul a = −∞ se noteaza si prinb∫−∞

f , saub∫−∞

f(x) dx si se numete

de a doua speta.

1

Definitia 1.4. Daca f ∈ R(a,b), unde a ∈ R sau a = −∞, iar b ∈ R sau b =∞ senumeste integrabila impropriu pe (a, b), daca exista un punct c ∈ (a, b), astfel caambele integrale improprii

∫(a,c]

f si∫

[c,b)

f sa fie convergente. In acest caz se definecste

∫

(a,b)

f :=

∫

(a,c]

f +

∫

[c,b)

f.

In caz contrar, integrala improprie∫

(a,b)

f se numeste divergenta.

Alte notatii ale integralei∫

(a,b)

f se construiesc dupa modelul notatiilor din definitiile

precedente.

Observatia 1.2. Daca f ∈ R[a, b) si c ∈ (a, b), atunci integralele∫

[a,b)

f si∫

[c,b)

f au

aceasi natura, adica sunt simultan convergente sau divergente si ın plus avem∫

[a,b)

f =

∫

[a,c]

f +

∫

[c,b)

f.

O proprietate analoaga are loc pentru integralele improprii definite pe intervale careau capatul stang deschis.

Ca o consecinta, rezulta ca daca exista un punct c ∈ (a, b) care verifica conditia deconvergenta din Definitia 1.4, atunci orice punct c1 ∈ (a, b) verifica acea conditie. Inplus valoarea integralei

∫(a,b)

f nu depinde de alegerea punctului c.

In final, avem urmatoarea definitie generala.

Definitia 1.5. Fie f : D → R, unde D =p⋃i=1

Ii, iar Ii sunt intervale. Presupunem

ca f ∈ RIi, pentru orice indice 1 ≤ i ≤ p. Spunem ca f este integrabila impro-priu pe D, daca f este integrabila pe fiecare din intervalele Ii, (ın sens impropriu,daca Ii nu este compact). In acest caz definim

∫

D

f :=

p∑i=1

∫

Ii

f.

Exista, ın cazul domeniilor de forma D = [a, c) ∪ (c, b], sau D = (−∞, ∞) ovarianta mai slaba, (mai generala) a integrabilitatii improprii si anume integrala ınsensul valorii principale a lui Cauchy, pe care o vom prezenta ın definitiile urmatoare.

Definitia 1.6. Fie f : [a, c) ∪ (c, b] → R astfel ca f ∈ R[a,c) si f ∈ R(c,b]. Spunemca f este integrabila impropriu ın sensul valorii principale (a lui Cauchy),daca exista si este finita limita:

v.p

∫ b

a

f := limε↘0

[∫ c−ε

a

f +

∫ b

c+ε

f

].

In acest caz valoarea v.p∫ baf se numeste integrala ın sensul valorii principale.

2

Definitia 1.7. Fie f ∈ R(−∞,∞). Spunem ca f este integrabila impropriu ınsensul valorii principale (a lui Cauchy), daca exista si este finita limita:

v.p

∫ ∞−∞

f := limR→∞

∫ R

R

f.

In acest caz valoarea v.p∫∞−∞ f se numeste integrala ın sensul valorii principale.

Observatia 1.3. Daca functia f : [a, c) ∪ (c, b] → R este integrabila impropriu,atunci ea admite si integrala ın sensul valorii principale si cele doa valori sunt egale.Reciproca ınsa nu este adevarata. De exemplu avem

∫[−1,0)

dxx

= −∞,∫

(0,1]

dxx

= +∞,

deci f nu este integrabila impropriu ın sens obisnuit pe [0, 1] \ {0}. Pe de alta parte

avem v.p.1∫−1

dxx

= 0.

Aceasi observatie se poate face si pentru integrabilitatea pe intervalul (−∞, ∞).

In cele ce urmeaza vom studia doar integralele improprii de forma∫

[a, b)

f , unde

b ∈ R ∪ {∞}. Vom specifica, cand este cazul, daca b ∈ r sau b = ∞. Proprietatileintegralelor de forma

∫(a, b]

f se obtin imediat prin simetrie.

Propozitia 1.1. Daca f ∈ R[a, b], atunci integrala improprie∫

[a, b)

f este convergenta

si∫

[a, b)

f =

b∫

a

f.

Un enunt similar are loc pentru integrala∫

(a, b]

f .

Demonstratie. Fie B ∈ (a, b) si notam M := supx∈[a,b]

|f(x)|. Avem

∣∣∣∣∫ b

a

f −∫ B

a

f

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∫ b

B

f

∣∣∣∣ ≤∫ b

B

|f | ≤M(b−B)→ 0, (B → b).

Deci limB→b

f =b∫a

f .

Teorema 1.1. (Criteriul Cauchy-Bolzano) Fie f ∈ R[a, b). Sunt echivalente:1) Integrala

∫[a, b)

f este convergenta.

2) Pentru orice ε > 0, exista bε ∈ (a, b), astfel ıncat, pentru orice b1, b2 ∈ (bε, b)

avem

∣∣∣∣∣b2∫b1

f

∣∣∣∣∣ < ε.

3

Demonstratie. Sa notam F (x) :=x∫a

f, (x ∈ [a, b)). Conditiile 1) si 2) din enunt

se transcriu echivalent sub forma:1’) Exista limita finita lim

x↗bF (x).

2’) Pentru orice ε > 0, exista bε ∈ (a, b), astfel ıncat, pentru orice b1, b2 ∈ (bε, b)avem |F (b1)− F (b2)| < ε. Dar echivalenta conditiilor 1’) si 2’) rezulta din CriteriulCauchy-Bolzano pentru limite de functii.

Din Crieriul Cauchy-Bolzano, putem deduce urmatorul criteriu:

Teorema 1.2. (Criteriul absolutei convergente) Fie f ∈ R[a, b). Daca inte-grala improprie

∫[a, b)

|f | este convergenta, atunci integrala improprie∫

[a, b)

f este con-

vergenta.

Demonstratie. Fie ε > 0 ales arbitrar. Aplicand criteriul Cauchy-Bolzano, parteade necesitate, la inegrala

∫[a, b)

|f |, rezulta ca exista bε ∈ (a, b), astfel ca pentru orice

b1, b2 ∈ (bε, b) sa avemb2∫b1

|f | < ε. Dar atunci

∣∣∣∣∣b2∫b1

f

∣∣∣∣∣ ≤b2∫b1

|f | < ε. Aplicand acum

criteriul lui Cauchy-Bolzano, partea de suficienta integralei∫

[a, b)

f , rezulta ca ea este

convergenta.Pentru integralele improprii a functiilor pozitive avem urmatoarele criterii de

comparatie.

Teorema 1.3. (Criteriul de comparatie cu inegalitati) Fie f, g ∈ R[a,b), astfelca 0 ≤ f ≤ g.

i) Daca integrala∫

[a, b)

g converge, atunci integrala∫

[a, b)

f converge.

ii) Daca∫

[a, b)

f =∞, atunci∫

[a, b)

g =∞.

Demonstratie. Cele doua implicatii se obtin imediat din definitia integralei improprii.

Teorema 1.4. (Criteriul de comparatie cu limita) Fie f, g ∈ R[a,b), astfel caf > 0, g > 0. Daca exista l ∈ (0, ∞) astfel ca

limx↗b

f(x)

g(x)= l,

atunci integralele improprii∫

[a, b)

f si∫

[a, b)

g au aceeasi natura.

Demonstratie. Din existenta limitei, rezulta ca exista c ∈ (a, b), astfel ca pentruorice x ∈ [c, b) sa avem l

2g(x) ≤ f(x) ≤ 2lf(x). Folosind criteriul de comparatie cu

inegalitati, rezulta ca integralele improprii∫

[c, b)

f si∫

[c, b)

g au aceasi natura. De aici

rezulta imediat teorema.

4

Dupa cum rezulta si din rezultatele precedente, exista o analogie ıntre criteri-ile pentru convergenta integralelor improprii si criteriile de convergenta seriilor nu-merice. In cazul integralelor functiilor pozitive descrescatoare putem gasii o legaturadirecta ıntre integrale improprii si serii. Avem:

Teorema 1.5. ( Criteriul integral al lui Cauchy) Fie f : [a,∞)→ R o functie

pozitiva si monoton descresca toare. Fie p ∈ N, p ≥ a. Integrala∞∫a

f si seria

∞∑n=p

f(n) au aceasi natura.

5

Curs 12

Integrale cu parametru. Functiile luiEuler

1 Integrale cu parametru

Definitia 1.1. Fie I, J intervale din R. Fie f : I×J → R o functie cu proprietateaca pentru orice punct x ∈ J , avem f(·, x) ∈ RI . Fie de asemenea functiile ϕ, ψ :J → I. Functia F : J → R, definita prin

F (x) :=

∫ ψ(x)

ϕ(x)

f(t, x) dt, (x ∈ J), (1)

se numeste integrala cu parametru (cu capete variabile). Daca functiile ϕ siψ sunt constante: ϕ(x) = a, ψ(x) = b, x ∈ J , atunci integrala cu parametru senumeste integrala cu parametru cu capete fixe.

Enuntam ın continuare principalele proprietati ale integralelor cu parametru.Folosim notatiile de mai sus.

Teorema 1.1. Daca functia f : I×J → R este continua global pe I×J , iar functiileϕ, ψ sunt continue pe J , atunci functia F : J → R, definita ın (1) este continua peJ .

Teorema 1.2. Daca functia f : I × J → R, (t, x) 7→ f(t, x), (t, x) ∈ I × J , admitederivata partiala ∂f

∂x, continua global pe I × J , iar functiile ϕ, ψ admit derivate

partiale continue pe J , atunci F , din (1) este derivabila continuu pe J si are locurmatoarea formula, numita Formula lui Leibniz:

F ′(x) = f(ψ(x), x)ϕ′(x)− f(ϕ(x), x)ϕ′(x) +

∫ ψ(x)

ϕ(x)

∂f

∂x(t, x) dt, (x ∈ J). (2)

Teorema 1.3. Daca f : [a, b]× [c, d]→ R este continua, atunci exista si sunt egaleintegralele iterate urmatoare:

∫ b

a

[∫ d

c

f(t, x) dx

]dt =

∫ d

c

[∫ b

a

f(t, x) dt

]dx. (3)

2 Integrale improprii cu parametru

Definitia 2.1. Fie functia f : [a, b)×J → R, unde b ∈ R∪{∞}, iar J ⊂ R este uninterval. Presupunem ca, pentru orice x ∈ J , f(·, x) ∈ R[a, b) si integrala improprie∫[a,b)

f(t, x) dt este convergenta. Functia F : J → R, definita prin:

F (x) :=

∫

[a,b)

f(t, x) dt, x ∈ J, (4)

se numeste integrala improprie cu parametru.

1

Pentru ca proprietatile de continuitate, derivabilitate si integrabilitate ale functieif sa se transfere functiei F , nu este suficienta simpla convergenta a integralelor∫

[a,b)f(t, x) dt, (x ∈ J). Pentru aceasta, trebuie sa punem o conditie mai puternica,

pe care o definim mai jos.

Definitia 2.2. In conditiile din Definitia 2.1, spunem ca integrala cu parametruF : J → R, definita prin relatia (4) este uniform convergenta pe J , daca pentruorice ε > 0, exista, bε ∈ (a, b), astfel ca, pentru orice B ∈ (bε, b) si orice x ∈ J saavem ∣∣∣∣

∫

[a,b)

f(t, x) dt−∫ B

a

f(t, x) dt

∣∣∣∣ < ε.

In urmatoarea teorema se da un criteriu des utilizat pentru stabilirea convergenteiuniforme a integralelor cu parametru.

Teorema 2.1. (Criteriul lui Weierstrass) Fie functia f : [a, b)× J → R, undeb ∈ R ∪ {∞}, iar J ⊂ R este un interval. Presupunem ca, pentru orice x ∈J , f(·, x) ∈ R[a, b). De asemenea, presupunem ca exista o functie ϕ ∈ R[a, b) cuurmatoarele proprietati:

1) |f(t, x)| ≤ ϕ(t), pentru orice (t, x) ∈ [a, b)× J si2) integrala improprie

∫[a,b)

ϕ este convergenta. Atunci functia F : J → R definita

prin relatia (4) este uniform convergenta pe J .

Prezentam ın continuare cateva proprietati fundamentale ale integralelor impro-prii cu parametru.

Teorema 2.2. Daca functia f : [a, b)×J → R, este continua global, iar integrala cuparametru F : J → R, definita ın (4) este uniform convergenta pe J , atunci functiaF este continua pe J ,

Teorema 2.3. Fie functia f : [a, b) × J → R, J interval, care admite derivatapartiala ∂f

∂x, continua global pe [a, b)× J . Presupunem ca:

1) pentru orice x ∈ J , integrala improprie∫

[a,b)

f(t, x) dt este convergenta, si

2) integrala cu parametru∫

[a,b)

∂f∂x

(t, x) dt, este uniform convergenta ın raport cu

x ∈ J .Atunci functia F : J → R, definita ın (4) este derivabila continuu pe J si

F ′(x) =

∫

[a,b)

∂f

∂x(t, x) dt, x ∈ J.

Teorema 2.4. Daca functia f : [a, b)×J → R, unde J = [c, d], este continua globol,iar integrala cu parametru F : J → R, definita ın (4) este uniform convergenta peJ , atunci exista egalitatea:

∫ d

c

[∫

[a,b)

f(t, x) dt

]dx =

∫

[a,b)

[∫ d

c

f(t, x) dx

]dt.

2

3 Functiile lui Euler

Vom prezenta succint doua familii remarcabile de integrale improprii cu parametru,denumite functiile lui Euler.

Definitia 3.1. Functia beta se defineste prin:

B(a, b) :=

∫ 1−0

0+0

ta−1(1− t)b−1 dt, a > 0, b > 0.

Definitia 3.2. Functia gama se defineste prin:

Γ(a) :=

∫ ∞0

ta−1e−t dt, a > 0.

Principalele proprietati ale acestor functii le prezentam ın teorema urmatoare:

Teorema 3.1. Avem:1) Functia B(a, b), (a, b) ∈ (0,∞)× (0,∞), exista si este indefinit derivabila pe

domeniul de definitie.2) Functia Γ(a), a ∈ (0,∞), exista si este indefinit derivabila pe domeniul de

definitie.3) B(a, b) = B(b, a), (a, b) ∈ (0,∞)× (0,∞).

4) B(a, b) = Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)

, a > 0, b > 0.

5) Γ(a+ 1) = aΓ(a), a > 0.6) Γ(n+ 1) = n!, n ∈ N.7) Γ(a)Γ(1− a) = π

sin πa, a ∈ (0, 1).

Observatia 3.1. Din punctul 6) al teoremei precedente rezulta ca functia Γ este oextindere pe (0,∞) a factoriarului.

3

Curs 13

Drumuri si curbe. Integrale curbilinii

Vom trata problema integrarii functiilor reale de mai multe variabile ”de-a lun-gul” curbelor parametrizate (drumurilor) din spatiul Rn.

1 Drumuri si curbe ın spatiul Rn

Definitia 1.1. O functie continua γ = (γ1, γ2, · · · , γn) : [a, b] → Rn se numestedrum din spatiul Rn. Multimea {γ} = γ([a, b]) ⊂ Rn (imaginea functiei γ) estesuportul drumului.

Drumul γ se numeste:

• ınchis, daca γ(a) = γ(b);

• simplu, daca este o functie injectiva pe [a, b);

• neted, daca este o functie de clasa C1 (derivabila, cu derivata continua).

Fie drumurile γ1 : [a, b]→ Rn, γ2 : [c, d]→ Rn, cu γ1(b) = γ2(c). Drumul notatγ∪γ2 : [a, b+ d− c]→ Rn, definit prin :

(γ1 ∪ γ2)(t) =

{γ1(t), t ∈ [a, b]γ2(t− b+ c), t ∈ [b, b+ d− c]

se numeste suma drumurilor γ1 si γ2.Drumul γ− : [a, b]→ Rn definit prin:

γ−(t) = γ(a+ b− t), t ∈ [a, b]

se numeste opusul drumului γ : [a, b]→ Rn.

O importanta deosebita ın dezvotarea teoriei integrabilitatii ”curbilinii” o audrumurile carora li se poate atribui o ”lungime” finita.

Pentru un drum γ = (γ1, γ2, · · · , γn) : [a, b]→ Rn si o diviziune ∆ = (x0, x1, · · · , xp)a intervalului [a, b] observam ca lungimea ”liniei poligonale” cu varfurileγ(a), γ(x1), · · · , γ(xp−1), γ(b) este variatia functiei γ asociata diviziunii ∆, adica:

V∆(γ) =

p∑

k=1

‖γ(xk)− γ(xk−1)‖ =

p∑

k=1

√√√√n∑i=1

(γi(xk)− γi(xk−1))2

In mod natural, drumurile cu lungime finita vor fi considerate acelea pentru carelungimile tuturor liniilor poligonale cu varfurile pe suporturile acestora vor admiteun majorant comun.

1

Definitia 1.2. Un drum γ se numeste rectificabil daca este cu variatie marginita;lungimea drumulul rectificabil γ se defineste ca variatia functiei γ pe intervalul[a, b]:

l(γ) = Vba(γ) = sup∆∈D[a,b]

V∆(γ).

Pentru a ”identifica” doua drumuri de acelasi tip, vom defini pe multimea dru-murilor din Rn o relatie de echivalenta.

Definitia 1.3. Doua drumuri γ1 : [a, b] → Rn si γ2 : [c, d] → Rn se numescechivalente si notam γ1 ∼ γ2 daca exista o functie continua, strict crescatoare sisurjectiva φ : [c, d]→ [a, b] astfel ıncat γ2 = γ1 ◦ φ.

Putem verifica cu usurinta ca relatia ” ∼ ” definita mai sus este o relatie deechivalenta pe multimea drumurilor din Rn. De asemenea constatam ca doua dru-muri echivalente au aceleasi extremitati si pot fi numai simultan ınchise, simple saurectificabile. Pentru echivalenta drumurilor netede, putem presupune suplimentarca functia φ din definitia de mai sus este de clasa C1.

Definitia 1.4. O curba Γ din spatiul Rn se defineste ca o clasa de drumuri echiva-lente. Orice drum γ apartinand clasei respective se numeste o parametrizare acurbei Γ.

Lungimea l(Γ) a unei curbe Γ este lungimea l(γ) a oricarei parametrizari γa curbei Γ. Curba se numeste simpla (ınchisa, neteda) daca parametrizarile salesunt simple (ınchise, netede). Din proprietatile variatiei marginite a functiilor realededucem formula de calcul a lungimii unei curbe netede (cu parametrizari netede).

Teorema 1.1. Fie Γ o curba neteda care admite parametrizarea neteda γ : [a, b]→Rn, γ = (γ1, γ2, · · · , γn). Atunci Γ este o curba rectificabila si lungimea sa sedetermina astfel:

l(Γ) =

∫ b

a

‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

a

√√√√n∑i=1

(γ′i(t))2 dt.

Formula de mai sus este independentade parametrizarea curbei Γ.

2 Integrala curbilinie de prima speta

Fie Γ o curba rectificabila din Rn iar γ : [a, b] → R o parametrizare a sa. Con-sideram functia reala, pozitiva si monoton crescatoare, lγ : [a, b] → [0,∞) definitaprin lγ(t) = V ta(γ), t ∈ [a, b]. Pentru drumuri netede, din teorema 1.1, obtinemderivabilitatea pe [a, b] a functiei lγ, cu:

l′γ(t) = ‖γ′(t)‖ =

√√√√n∑i=1

(γ′i(t))2, t ∈ [a, b]. (1)

Fie de asemenea o functie continua f : D ⊂ Rn → R, cu {γ} ⊂ D.

2

Definitia 2.1. Se numeste integrala curbilinie de prima speta pe curba Γ, cu parametrizareaγ, numarul real ∫

Γ

f dl =

∫

γ

f dl =

∫ b

a

f(γ(t)) dlγ(t),

definit printr-o integrala de tip Stieltjes-Riemann.

Definitia de mai sus a integralei curbilinii de prima speta este independentade parametrizari. Prezentam cateva proprietati fundamentale ale acestui tip deintegrala curbilinie, considerand parametrizari fixate.

1.∫γ1∪γ2

f dl =∫γ1f dl +

∫γ2f dl;

2.∫γ(α1f1 + α2f2) dl = α1

∫γf1 dl + α2

∫γf2 dl, α1, α2 ∈ R;

3.∫γ

1 dl = l(γ);

4.∫γ− f dl =

∫γf dl.

Din proprietatile integralei Stieltjes-Riemann si relatia (1) obtinem formula decalcul a integralei curbilinii de prima speta, pentru parametrizari netede.

Teorema 2.1. Fie γ : [a, b] → R un drum neted si f : D ⊂ Rn → R o functiecontinua, cu {γ} ⊂ D,. Atunci

∫

γ

f dl =

∫ b

a

f(γ(t))‖γ′(t)‖ dt =

∫ b

a

f(γ(t))

√√√√n∑i=1

(γ′i(t))2 dt.

3

Curs 14

Integrala curbilinie de speta a doua

1 Integrala curbilinie de speta a doua

Vom defini ın continuare un alt tip de integrala curbilinie constand ın integrareaformelor diferentiabile de gradul I de-a lungul curbelor rectificabile din Rn.

Fie aplicatiile dxi ∈ L(Rn,R) de proiectie de indice i ∈ {1, 2, · · · , n} definiteprin

dxi(t1, t2, · · · , tn) = ti, t = (t1, t2, · · · , tn) ∈ Rn, i = 1, 2, · · · , n.Fie o multime deschisa U ⊂ Rn si aplicatiile continue Pi : U → R, i = 1, 2, · · · , n.

Definitia 1.1. Aplicatia continua ω : U → L(Rn,R), ω = P1dx1 + P2dx2 +· · ·Pndxn, cu

ω(t) = P1(t)dx1 + P2(t)dx2 + · · ·Pn(t)dxn, t ∈ U,

se numeste forma diferentiabilade gradul I.Forma ω se numeste:

• exacta, daca exista o functie de clasa C1 f : U → R astfel ıncat ω = df (deci∂f∂xi

= Pi, i = 1, 2, · · · , n) pe domeniul U .

• ınchisa, daca functiile Pi sunt de clasa C1 pe domeniul U si satisfac relatiile∂Pj∂xi

= ∂Pi∂xj, (∀) i 6= j.

Definitia 1.2. Numim integrala curbilinie de speta a doua a formei diferentiabile

de gradul I ω =n∑i=1

Pidxi : U → L(Rn,R), de-a lungul curbei rectificabile Γ, cu

parametrizarea γ : [a, b]→ U , numarul real

∫

Γ

ω =

∫

γ

ω =n∑i=1

∫ b

a

Pi(γ(t)) dγi(t),

definit ca o suma de integrale Stieltjes-Riemann.

Definitia de mai sus este independenta de parametrizarea curbei Γ.Proprietatile elementare ale integralei curbilinii de speta a doua, pentru parametrizari

fixate, sunt urmatoarele:

1.∫γ1∪γ2

ω =∫γ1ω +

∫γ2ω;

2.∫γ(α1ω1 + α2ω2) = α1

∫γω1 + α2

∫γω2, α1, α2 ∈ R;

3.∫γ− ω = − ∫

γω.

1

De asemenea, putem determina cu usurinta formula de calcul a integralei curbiliniide speta a doua ın cazul parametrizarilor netede.

Teorema 1.1. Daca γ = (γi) : [a, b] → U este un drum neted si ω =∑Pidxi :

U → L(Rn,R) este o forma diferentiabila, atunci

∫

γ

ω =

∫ b

a

(P1(γ(t))γ′1(t) + P2(γ(t))γ′2(t) + · · ·+ Pn(γ(t))γ′n(t)) dt.

Un rezultat fundamental legat de ”independenta de drum” a integralei curbiliniide speta a doua este dat de teorema urmatoare.

Teorema 1.2. Fie U ⊂ Rn o multime conexa si deschisa si ω o forma diferentiabilade gradul I definitape U . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) pentru oricare doua drumuri rectificabile cu suportul ın U , γ1 si γ2, avand acelasi”capat de plecare” si acelasi ”capat de sosire” avem

∫

γ1

ω =

∫

γ2

ω

(ii) pentru orice drum rectificabil ınchis γ cu suportul ın U avem

∫

γ

ω = 0

(iii) ω este o forma diferentiabila exacta.In acest caz, daca ω = df pe domeniul U , iar γ este un drum rectificabil cu suportulın U , ce uneste punctele x, y ∈ U , avem

∫

γ

ω =

∫ y

x

ω = f(x)− f(y).

Urmatoarea teorema stabileste legatura ıntre notiunile de forma diferentiabilaexacta si respectiv ınchisa.

Teorema 1.3. Fie ω =n∑i=1

Pidxi o forma diferentiabila, cu Pi de clasa C1 pe o

multime deschisa si convexa. Atunci ω este exacta daca si numai daca este ınchisa.

In final vom enunta teorema lui Green, care stabileste o legatura ıntre integralacurbilinii de speta a doua pe drumuri ınchise, simple din spatiul R2 si integraladuba. Mentinam urmatorul rezultat:

Teorema 1.4. (Jordan) Orice drum ınchis si simpluγ din R2, descompune spatiulR2 ın: R2 = D ∪ E ∪ {γ}, unde {γ} este imaginea lui γ, D c si E sunt multimideschise si disjuncte, {γ} = FrD = FrE si astfel ca D este multime maginita, iarE este multime nemarginita. Multimea D se numeste interiorul drumului γ, iarmultimea E se numeste exteriorul drumului ga.

2

Pentru un drum ınchis, se poate preciza sensul de parcurgere, care poate fi di-rect sau invers si care corespunde intuitiv, sensului direct trigonometric si respectivinvers trigonometric care se considera pe un cerc. Definitia riguroasa a sensului unuidrum ınchis, o vom omite.

Teorema 1.5. Fie U ⊂ R2 o multime deschisa si convexa si fie P, Q : U → R,doua functii de clasa C1 pe U . Fie de asemenea un drum simplu si ınchis γ ınU cu sens direct, cu imaginea notata {γ}. Notam cu D1 interiorul drumului γ,si D = D1 ∪ {γ}. Presupunem ca D ∈ M(R2). Are loc formula lui Green-Riemann:

∫

γ

P (x, y)dx+Q(x, y)dy =

∫∫

D

(∂Q

∂x(x, y)− ∂P

∂y(x, y)

)dx dy. (1)

3