MINISTERUl EDUCAIEI I iNVMiNTUlUI

Prof. ing. dr. doc. MARCEl N. ROCULE

ANAliZA MAlfMAIICI

-------EDITURA DIDACTIC I PEDAGOGIC

BUCURETI

Redactor: POP AVRAM

Tehnoredactor: ANA IMPU Coperta: OVIDIU MAGHERAN

PREFA LA EDIIA A DOUA

Aceast nou ediie a manualului de Analiz ma tematic este rezultatul unei revizuiri n adncime a primei ediii, pentru a pune n concordan coninutul lucrrii cu nivelul de cunotine cu care rin n nv mntui superior absolrenii de licen.

Fiecare capitol, aproape fiecare paragraf au fost modificate. Au fost eliminate capitole ntregi i au fost introduse altele complet noi.

Sperm c, n fapt, am realizat un nou manual la nivelul cerinelor actuale ale nvmntului tehnic superior.

AU'l'OHUL,

Partea nti ALGEBR

Capitolul I

lUULilUI. NUl\IERE. STRUCTURI ALGEBRICE

1. NOIUNI Dll TEORIA ~IULI1IILOR

1. lVIulimi. Element al un~i mulimi. Apartenen

Noiunea de mulime poate li lmurit mai potrivit prin exemple. Stu-denii dintr-o sal, crile dintr-o bibliotec, muncitorii dintr-o uzin, lite-rele allabetnlui latin snt mulimi. Obiectele din care este format o mulime se numesc elementele mulimii. Elementele unei mulimi pot fi obiecte de orice natur.

Exemplu. Dac E este multimea litorelor alfabetului elin, atunci a. este un element al mulimii E.

O mulime este definit dac avem un mijloc de a deosebi element~le mulimii de alte elemente care nu fac parte din mulime. O mulime este definit dac snt date elementele sale sau dac ni se d o proprietate pe care o au toate elementele sale, proprietate care le deosebete de elementele ali ei mulimi.

Dac o mulime este dat prin elementele sale, mulimea se noteaz scriind in acolade aceste elemente, iar dac mulimea este dat printr-o proprietate care caracterizeaz elementele sale, mul.imea se noteaz specificind n acolade

aceast proprietate. Exemple. 1) Mulimea A format din elementele a, [3, y, 8 so noteaz A~ {a, ~. y, 8}.

2) Mulimea M format din mulimea numerelor naturale mai mari decit 7 se noteaz M = {xl x E N, x > 7}.

Dac a este un element al mulimii A se scrie a EA sau A 3 a i se citete "a aparine mulimii A". Semnul E se numete semn de apartenen. Dac b nu este element al mulimii A se scrie b ~ A i se citete "b nu aparine mulimii A".

E x e m p le. 1) Dac L esto mulimea literelor alfabetului latir1 a E L, o: ~ L.

2) 4 E {2, 3, 4, 7}, 5 "'{2, 3, 4, 7}.

MUL'l'll\II. NUMERH. STRUCTURI ALGETIRTCE

2. Sulrmulimi. Incluziune

De fiu i ie. Fie dou, mulimi A i B. Dac>'i toate elementele mul-imii A snt i elemente ale mulimii B, atunci SJlUnem c A. este subnmlime a mulimii B. Se scrie

A cB sau B:J A,

se citete astfel: :"mulimea A este inclus (coninut) n mulimea B" sau "mulimea B include (conine) mulimea A". Semnul c se numete semn de incluziune. Dac mulimea A nu este inclus n mulimea B se scrie A A = B; relaia de incluziune este an ti simetric; 3) Ac B i B C C ~>Ac C; relaia de incluziune este tranzitiv. Semnul =) se citete ,,implic" sau ":1tragp" i este semnul implicaiei

logice.

3. Reuniune. Intersecie. Diferenii .. Complementar

De fi ni i e. Fie A i B dou mulimi. Se numete snrna sau reuniunea mulimilor A i B mul.imea S a elementelor care aparin cel puin uneia din mulimile A sau B.

Se noteaz S = A U B i se citete "A reunit cu B". Semnul U se numete semn de reuniune.

Din definiie rezult c (fig. 1) AUB = {x 1 x E A sau x E B}.

Exemple. 1) A~ {1,3,5}, B ~ {2,S}, A U B = {1,2,3,5}. 2) Fie 1 = {'1,3,5, ... } mnl.imoa numerelor. naturale impare i P = {2,~,6,.,.}, mnlimoa numerelor naturale pare; reuniunea lor este mulimea numerelor naturale 1 U P = N = {1,2,3, ... }.

In mod asemntor se delinet.e reuniunea mai multor mulimi A" A 2 -,An, n U Ai= A1 U A 2 U ... U An = {x 1 x E A1 san x E A 2 , sau ... sau x EA"}.

i=l

D e tin i i e. Se numete intersecie a mulimilor A i B mulimea I a elementelor care aparin i mulimii A i mulimii B.

10

s~AUO Fig. 1

ALGEBR

lAf78 :Fig. 2

Se noteaz 1 =An B i se citete "A intersectat cu B". Semnul n se nu-mete semn de intersecie. Din definiie rezalt c \fig. 2)

AnB={~:xEA i xEB}. Exemple. 1) Dac A= { !,4,6}, B = {1,'.,7}, atunci A n B ~ {1,1}.

2) Dacii N = {1,2,3, ... ), P = {2,-1,6, ... }, atunci NllP = {2,4,6, ... ).

Dou mulpmi A i B care nu au nici un element comun se numesc dis-

juncte. Spunem c intersecia lor este mulimea vid, mulime care se noteaz 0. Mulimea vid (deart) este acea mulime care nu conine

nici

un element. _ E x e m p l u. Mulmea numerelor paro P i mulimea numere

lor impare 1 sint

disjuncte p ni = .0. Intersecia mai multor mulimi A 1,A 2, ... ,An se definete n mod asemntor n A, = A, n A 2 n ... nAn = {x 1 X E A, I x E :1 2 i ... i x E Ani

Exemplu. A= {1,2,3,7,9}, B = {1,3,5,7), C = {1,3,11}, AUBUC = {!,2,3,5,7,9,11.); AnBnC = {"1,3).

Fie E o mulime i A,B dou submnltimi ale lui E.

D e fini i e. lUulimea Da elementelor care aparin lui A i nu aparin

lui B se numete diferena dintre A i B. Se noteaz D = A - B i se citete ",1 minns B". Conform definiiei

(fig. 3) A - B = (x 1 x E A, x E B}. Dac AnB = 0 atunci A- B =A, dac Ac B, A- B = .0. Diferena E- A se numete complementara lui A n raport cu E I se

noteaz CA (fig. 4), deci CA = (x 1 x E E, x ~ A}.

MUL'fiML NU~IERE. STRUCTURI ALGETIRICl

12 ALGEBR

Exemplu. 1\fldimile infinite N={-1,2,3, ... } iP={2/t-,6, ... } au aceeasi putere. ntr-adevr, putem realiza o corespondent hiunivocft ntre elementele celOr

dou mulimi cu ajutorul perechilor (n, 2n).

Acest exemplu arat c, dei mulimea P este o submultime strict a mulimii N, totui mulimile P i N au aceeai putere. '

Se poate obine un rezultat i mai general, anume c orice submulime a unei mulimi numrabile este o mulime numrabil sau finit.

Aplica tie. Reuniunea unei multimi numrabile -de multimi numrabile est& tot o mulimEi numrabil. Vom presupUne mulimile disjuncte.' Avem

. .

Sgetile arat cum putem realiza corespondena biunivoc ntre mulimea U Ai i muliinea {1,2, ... , n, ... }.

In particular, reuniunea unui numr finit de mulimi numrabile este o mulime numrabil; reuniunea unei mulimi numrabile de mulimi finite este numrabil i se demonstreaz la fel ca mai sus.

Mulimile infinite care nu au aceeai putere cu mulimea numerelor naturale se numesc nwlimi nenumrabile. Vom arta la capitolul urmtor c mulimea punctelor de pe un seg'lllent de dreapt nu este numrabi!.

5. Relaia de ordine

O relaie a a = b (antisimetric); 3) a < b, b a

liULBri. NUMERE. ST.RUCTURI ALGEBRICE 13

6. Produs cartezian

Fie A i B dou munimi distincte sau nu. S formm perechile ordonate (a,b), unde a EA, b E B.

De fini i e. Mulimea C a tuturor perechilor ordonate (a, b) cu a E A, b E B se numete produs cartezian al mulimii A cu mulimea B. Se noteaz C = A X B.

Din definiie rezult c A X B = {(a,b) 1 a E A, b E B}.

Prin perechi ordonate se lneleg perechile (a,b) in care primul element a din pereche aparine totdeauna lui A. Se vede c dac A i B sint dist.incte

A X B =/= B X A. Dac A= B, atunci A X B = B x A i se scrie A 2, deci

A 2 =A X A = {(a,b) 1 a E A, b E Al. In mod analog se poate defini produsul cartezian A1 X A 2 X ... x An

a n mulimi A 1,A2, ... ,An, ca mulimea tuturor grupelor ordonate (a"a,, ... ... ,an) cu a1 E A 1 , a, E A 2, ... ,an E An. Mulimile A; se numesc factorii produsului cartezian. In particular, dac

atunci se scrie

i conform definiiei

A, =A 2 = ... =An =A,

A X A X ... X A =A", n factori

A"= {(a1 ,a2 , ... ,an) 1 a, E A, a2 E A, ... ,an E Aj. ntr-un produs cartezian, rezultatul difer dac ordinea factorilor In

produs se schimb, mulimile A; fiind eonsiderate distincte.

7. Partiia unei mulimi. Acoperirea unei mul~imi

O submulime a unei mulimi A se mai numete i parte a mulimii A. O familie de pri a mulimii A este o mulime de submu]imi ale mul-imii A. O familie de mulimi se noteaz (A;)iEI 1 este mulimea indicilor.

De fini i i. 1) Se numete partiie a unei mulimi A, o familie de pri ne vide i disjuncte ale mulimii A, (A.,);E,, A, c A, A, nAi = o, i =1= j, astfel incit U A,= A.

. iEI

AT,(fEBR

2) Se numete o acoperire a multhnii A o familie tle mulimi (Bk)>Eio astfel tncit orice element x E A, aparine cel puin unei mnlhni B1" deci AcUB".

hEK Dac mulimea K a indieilor este finit, deci numrul mulimilor B,

e.'te finit, se spune cii (BI m (n este mai mare dect m). Relaia "m < n" este o relaie de ordine total, deoarece oricare ar fi numerele ntregi m, n avem numai una din posibilitile

m < n sau m = n sau rn > n~

Operaiile cu numere natU!'ale slnt cunoscute. Astfel, suma a dou numere naturale este tot un numr natural

a+ b = c, a E N, bEN, cE N.

Smnem c mulimea numereloJ naturale este nchis fa de operaia de adunare. Dac se consider ns ecuaia a + x "~ b, (1), se observ c nu are soluii In mulimea numerelor naturale dect dac b >a. Ecuaia (1) se mai scrie x = b -~ a, de unde rezult c. operaia l:n.Pers adunrii, scderea, nu conduce totdeauna la un numr natural. Ecuaia (1) are totdeauna

soluie ntr-o mulime Z ce se obine reunind la mulimea N mulimea N', avnd ca elemente pe zero i numerele Intregi negative

N' = (0, - 1, - 2, ... , - n, -n - 1, ... }. Mulimea Z =NUN' = ( ... , -n, -n + 1, ... , - 1,0,1,2, ... , n, n +

+ 1, ... } se numete mulimea numerelor ntregi, ea este total ordonat fa de operaia "

MULIMI. NUMERH. STRUC'TDRI AJ .. GEHRICE 1/t ----------

----------- ------

cu a i b numere Intregi, nu are soluie n mulimea numerelor ntregi dect dac b este divizibil cu a. Ecuaia (2) se mai scrie

b x =-, (a =/= O) ,

a

de unde rezult c operaia invers nmulirii, mprirea, nu conduce tot-deauna la un numr ntreg. Mulimea numerelor intregi reuniti\ cu mulimea numerelor de forma/)_ cu a, b intregi si a =/= O constituie mu!timca numerelor a raionale i se noteaz cu Q.

Numrul x1 astfel ca xx1 = i, x =/=O se numete inversul lui x i se noteaz. L Operatia de imprtire a dou numere -"'-, y =/= O se reduce

X y

astfel la operaia de nmulire x .!. = xy1 y Operaia de mprire cu numrul O nu se poate efectua, deoarece O nu

are un invers. Spunem c mprirea cu O este o operaie lipsit de sens. Mulimea Q a numerelor raionale are urmtoarele proprieti: 1) este ordonat fa de relaia de ordine "

16 ALGEBR

ar rezulta i 2q' = p',

deci p 2 trebuie s fie par, prin urmare i p este numr par : p = 2m. Egalitatea p 2 = 2q2 se scrie

4m2 = 2q2 sau 2m2 = q', de unde rezult c i q2 este un numr par, deci i q este par. Aadar p i q au divizor comun pe 2 i am ajuns astfel la o contradicie presupunnd

c V2 este numr raional. Spunem c numrul V2 este un numr iraional. In calcule un numr iraional se aproximeaz prin numere raionale.

Pentru a gsi un numr raional ct mai aproape de V2 se procedeaz n modul urmtor. Se observ mai nti c 1 < V2 < 2.

Dac se consider acum irul 1; 1,1; 1,2; 1,3; ... ; 1,9 ; 2,

se gsete c

1,4 < V2 < 1,5, deoarece 1,42 = 1,96 < 2; 1,52 = 2,25 > 2. Procednd u mod asemntor pentru irul

1,40; 1,41; 1,42; ... ; 1,49; 1,50, se gsete c

1,41 < V2 < 1,42. Continund operaia de un numr oarecare de ori, se obin dou iruri

de numere

ei,e2, ... ,en , ... , unde ln i e" snt numere cun zecimale, cu partea \ntreag 1 i cu primele n - 1 zecimale egale

numite aproximantele prin lips (irul ln) i exces (irul e,.) ale numrului V2. irurile l" i en au urmt e>arele proprieti:

1) ln+l )> z., en+l ";;; en, oricare ar fi numrul natural n; 2) ln < em, oricare ar fi numerele naturale n i m;

1 3) en - ln = - pentru orice n. 10"

?!IULiH. NIJ:I!EHE. STRUCTURI ALGEDlUCE

Din modul cum au fost construite numerele raionale ln l e", rezult c

ln < V2 < en, 1, pr1n turnare,

V - z 1 V'' 1 2- O, deci putem scrie Iim ln = Iim Cn ~" V2.

1on n-->oo n-Hlo

Spunem c irurile (ln) i (en) au o limit comun care este numrul iraional V2. Faptul c cele dou iruri definesc acelai numr apare aici intuitiv. Mai trziu, la iruri, vom reveni asupra noiunii de limit i vom demonstra n mod riguros existena numrului V2, ca limita comun a celor

dou iruri (l") i (en) care li aproximeaz respectiv prin lips sau exces. Tot din modul cum snt construii termenii celor dou iruri (ln) i (en) rezult c numrul iraional V2 are o infinitate de zecimale

V2 = a0 , a1 a2 ... an ... :Exprimarea printr-un numr cu o infinitate de zecimale nu este ns spe-cific numerelor iraionale. Orice numr nLreg sau frae,ionar are aceast proprietate. F.ie n un numr ntreg; avem

n = n - 1,9 999 ... 9 ... = n - 1 + 9 (-1_ + _1_ + .. ) = n - i + _9_ = n. 10 100 9

18 ALGEBRJ( =----------------------------------

Un numr raional, prin impr(.ire direct, are o infinitate de zecimale sau un nurnr finit. Dac are un numr finit de zecimale, are forma

a b = a 2. Dac a EA i b E B, atunci a < b. Se spune cil n modul acesta s-a fcut

o tietur n mulimea numerelor raionale Q. Fie aeum numrul rationa] 2-. Nmnru] _!_mparte, de asernenea, nume~

' 2 2 rele raionale(! in dou clase A' i B'. Din clasa A' fac pat'te numerele

raionale a' < +' iar n clasa B' fac parte toate numerele raionale b' > -}. ntre aceste dou tieturi (tietura realizat de V2 i tietura realizat de !.) exist o diferent esential, si anume: ntre multimile A si B nu exist 2 , , , , un clement de separaie, adic nu exist nici un numr (raional) din mul-imea A mai mare dect orice numr din A i nu exist, de asemenea, nici un numr (raional) din mul.imea B mai mic dect orice numr din B, pe cnd n cazul al doilea, exist un element de separaie, i anume num-

1 1 d ' / i . b' '- 1 ru -- , .Oarece a ~- s1 _p - 2 2 . 2 Am spus c nu exist un numr ra(,ional r(r2 < 2) mai mare dect orice numr din A. Vom demonstra prin reducere la ahsurd. S r i r' 2 < 2. :

-4 -3 -2 -1 1 1 ' t

+1 -.z -.-s +4 .. 5 1 l 1 1 !

:Fig. 5

1-lULTlHI. NG:\LERE. .STRUCTUiti ALGEBRICE 19

Deoarece r2 < 2, punern 2 - r2 = s >O; numrul s este raional, fiind diferena a dou1i numere raionale.

Numrul r' o~ r + ''- > r este raional, deoarece r i Jt sint raionali. 4 S artm c r'2 < 2. Avem

r' 2 = r 2 +-+- < r" + _ + ~- = r2 1 .L- + - sr s2 sr3

r, deoatece r > L In continuare

r < (2- s) i +- +- = 2-- + ... = 2- -s < 2 , ( s '] s\l sa s2 7 2 , 2. 16 2 16 16 '

deci r' E A. Am artat n acest mod c nu exist un astfel de numr r. S artn1 acum c nu exist un numr ra,iona] p, p2 > 2, rnai mic dect

orice numr din B. S presupunem cii acest numr p exist. Numrul raional

are proprietile

i

In adevr

deoarece

p + 2

p' p - 2

p'2 > 2

p' < P

p'' =------'~ > 2, 4

r, ( 2 )' p2 + r' - 4 > O sau p -- P > O, deci p' E B. In ceen ce privete proprietatea (2) se observ c

' p + j'_ p' < p = p,

2

neegalitatea fiind justificat. de faptul d1 p' > 2. Am ar(tt.at n acest mod c un astfel de numr p nu exist.

(1)

(2)

S presupunem acum c parcurgem axa real i c tuturor punctelor de pe ax

20 AI .. GEBR

mulimii A la punctele mulimii B, deoarece nu exist element de separaie ntre aceste dou mulimi, punctului corespunztor de pe ax care separ ce le dou mulimi i facem s corespund numrul iraional V2, care i

gilsete astfel un loc bine determinat. Reuniunea numerelor raionale Q i iraionale P formeaz mulimea nu-

merelor reale R. Dac se face o tietur n aceast mulime, exist totdeauna un element de separaie aparinnd lui R.

Din aceast cauz spunem c mulimea numerelor reale R este continu. Numerele reale se mpart n numere algebrice::!, .3..JY:11, 1/5+ V13

2 7 Y3 i numere transcendente: n, e, 3 etc.

Numerele reale algebrice snt numere care pot li soluii ale unei ecuaii alge-brice, adic ale unei ecuaii de forma

unde n este un numr natural, iar coeficieuii ak snt numere ntregi. Mul-imea numerelor algebrice conine ca submulime mult-imea numerelor ra-tionale, deoarece orice numr raional ]'_ este soluia ecuaiei qx = p, ' ~" q qofO.

Nnmerele reale transcendente nu snt soluiile unei ecuaii algebrice. A. O. Ghelfond a artat, n anul1934, c numerele de forma"'~ cu r1. of 1 i i3 un numr algebric iraional snt numere transcendente.

Ch. Hermite a demonstrat n 1873 c numrul e este transcendent. Folosind metoda lui Hermite, F. Lindemann a stabilit, n anul 1882, c numrul "' este transcendent.

Corespondena biunivoc dintre numerele reale i punctele unei drepte ne permite s folosim noiunea de punct pentru noiunea de numr, i reci-proc. Numrul x care corespunde unui punct P se numete abscisa lui P. Corespondena stabilit pstreaz ordinea, anume dac x i y sint abmi-scle a dou puncte A i B, iar x < y, atunci A este la stnga lui B.

4. Intervale

Datorit acestei corespondene, mulimilorde numere le corespund mul-imi de puncte. Dm mai jos cteva noiuni care vor fi folosite adesea de-a lungul expunerii.

Fie a,b dou numere reale, a < b. 1 ') Se numete interval deschis mulimea punctelor x care verific dubla

inegalitate a < x < b i se noteaz (a,b) (fig. 6). (a,b) = {x /X E R, a

:MULTBII. NUMERE. STRUCTUIU ALGEBRICE

[a,b] }'ig. 9

b (CI,/;)

Fig. 6

(oa,a) Fig. 12

a

a

[a>b) Fig. 7

Il (a>oo)

}'ig. 10

b a

(-oo, o] }'ig. 13

21

(a,b] Fig. 8

[o>oo). Fig. l1

o

2') Se numete interval nchis la stnga i deschis la dreapta mulimea punc-telor x care verific inegalitile a

22

(~y} t----- P(x,y)

~o) (x,o) .(a,b)x(c,d)

Fig. 15

Pe dou drepte pcrpendicnlnrc n plan Ox i Oy s alegem aceeai or1grne O (punctul de intersecie al celor dou drepte), aceeai unitate i cite un sens de parcurs (fig. 14). . .

Perechii de numere (x, y) i se asociaz un punct P din plan i invers. Nume rele x, y se numesc coordonatele punctului P; x se numete abscisa, y se numete ordonata punctului P.

Mulimea punetelor din plan definitO,

! a ! ~-::: - a, dac a < O, o, dac a =O,

MULIMI. NUMERE. STRUCTURI ALGBDRICB

deci 1 a 1 :?- O. Modulul are urmtoarele proprieti: labl=la llbl,

1 a b 1 < 1 a 1 + 1 b l, 1 a b 1 :?- 11 a 1 - 1 b 11

(1) (2) (3)

Proprietatea (1) rezult imediat din definiie. n ceea ce pr vete proprie-tatea (2), observm c suma a b este cel mult egal cu 1 a + 1 b :, egali-tatea (2) avnd loc cnd a i b au acelai semn.

n ceea ce privete inegalitatea (3), putem scrie bl +1 b/,

deci 1 a 1 -1 b 1 < 1 a+ b /. (4)

In mod analog artm i 1 b 1 -1 a 1 < 1 a b 1 (5) Inegalitile (4) i (5) se scriu condensat sub forma (3). Din (2) obinem

la+b+cl

24

3) Exist un element neutru, numrul zero, astfel nct O+ a =a.

ALGEBR

4) Fiecrui numr a i se asociaz opusul su -a, cu proprietatea a+ (-a) =O. Operaia de .nmulire face s corespund la dou numere reale a, b 'un numr real a b sau ab, numit produsul lui a cu b. Operaia de nmnlire are urmtoarele proprietii 1) E,te comutativ

ab =ba. 2) Este asociativ

(ab) c = a(bc) = abc. 3) Exist un element neutru, numrul 1, astfel nct

1. a= a.

lj) Pentru fiecare numr a=/= O exist numrul a-1 = ~-, numit inver~ su] su, cu. proprietatea

a _1_ = aa-1 = 1. a

a

5) Operaia de nmulire este distributiv fa[. de adunare (a + b) c =ac + bc.

7. Relaia de ordine

Pe mulimea numerelor reale R se definete o relaie de ordine "a < b" sau "b >a"' i se citete na mai mc dect b" sau l,b ma.i mare dect a'\ Relaia .,a < b" este o rela.ie de ordine total.

Dac x nu este mai mic decit y se noteaz x

MULIMI. NTJMEim. STRUCTURI ALG1 yz; 7) 0 < X < y =) .!_ > .!_

X y

Numerele x >O se numesc numere strict pozitive. Numerele x :> O se numesc numere pozitive. Numerele x < O se numesc strict negative. Numerele x..;;;: O se numesc numere negative.

Numrul O este deci i negativ i pozitiv; este singurul numr care are aceast proprietate. Inegalitatea

1 x-a 1 < s, s >O, e5te echivalent cu a - s < x < a + s I definete un interval deschis de lungimea 2s, cu centrul n punctul a.

8. Puteri naturale. Puteri ntregi

Dac a este un numr real i n un numr natural, se scrie a1 =a; a2 =aa; ... ; an =aa ... a .

.........___.

n factori

Numrul a" se numete putere, a este baza puterii i n exponentul puterii. Din definiie rezult

on =o. Puterile cu exponent natural se numesc puteri naturale i au urmtoarele proprieti:

1) aman = am+n; 2) (am)n = amn; 3) (ab)n = anbn; 4) a" > 1, dac a > 1; 5) a"< bn, dac O..;;;: a < b; 6) an >am, dac a > 1, n > m.

1 Pentru a =/= O se definete, oricare ar fi n naturaL a-n =-, a0 "= 1.

an

Puterile aP cu p ntreg se numesc puteri ntregi i au proprietile 1, 2, 3, la care trebuie s adugm

4') aP > 1, a > 1, p >O; aP < l, a > 1, p

ALGEBR

9. Puteri raionale

Vom arta mai trziu c eeua-ia xn =a, a > O, real, n natural, are o solutie pozitiv, si numai una. Solutia pozitiv unic a ecuatiei xn =a se

' 1 ' '

noteaz eu ty sau an. Avem de asemenea m

J:Y am== (J:Y'a)m = an, Puterile cu exponent raional ar, a real, r raional (a >O dac r

MULIMI. NUMERE. STRUCTURI A.LG.EBRICE 27

algebrice, i anume rdcinile distincte ale ecuaiilor corespunztoare ce provin din anularea polinoamelor de nlime h. Reuniunea unei mulimi numrabile de mulimi finite fiind numrabil, urmeaz c mulimea numerelor algebrice este numrabil.

C o ro la r. JUulimea numerelor raionale este numi'abil

Numerele ra.ionale !'_snt soluiile ecuaiilor de forma x - r =" O, q

deci snt o submulime a numerelor algebrice; mulimea numerelor raionale este deci numrabil.

Te o re m a 2. Mulimea numerelor reale un est

28 AI,GEBRA

E x e m p tu. Operaia + (adunaM) in mulimea numerelor intregi asociazrt la porochoa (m, n) numrul ntreg m+ n.

Operaia este comutatir dac a*b =b*a

pentru orice a E A, b E A. Operaia este asociativ dac

(a b)c=a(b*c) pentru ortce a EA, bEA, c E A.

E xem p l u. nmu1iroa numerelor ra.ionale osta asociativ i comutativ. Fie acum o mulime A n care este definit o operaie *

a* x = y, a 1 x, y E A. S presupunem c x parcurge toat mulimea A ; atunci y parcurge mul-imea A sau o parte din A. Exemple. 'l) Dac n ecuaia ax= y, a i x sint numere naturale atunci y ia valorile a, 2a, 3a, ... , deci y parcurge o parte a mulimii N. 2) Dac n ecuai~ a+ x = y, a, x snt n~mere reale cind x parcurge mulimea

numerelor reale R 1 y parcurge toat mulimea R.

Operaia * se poate inrersa la dreapta n mulimea A dac oricare ar fi y E A exist un element x E A astfel nct s avem a * x = y pentru orice a fix din A.

Operaia * se poate inrersa la stnga n mulimea A dac oricare ar fi z E A exist un element x E A astfel nct s avem x *a = z pentru orice a fix din A.

Despre o operaie care se poate inversa la dreapta i la stinga spunem c se poate inrersa.

Exemple. 1) Opera-ia + (adunare) n mulimea numerelor raionale se poate inversa. 2) Operatia x (i:nmnlire) n mulimea numerelor reale fr numrul zero se poato inversa.

Fie A o mulime nevid n care s-a definit o operaie * Elementul e E A pentru care a * e =a oricare ar fi a E A se numete

element neutru fa de operaia * Se poate arta c, dac ntr-o mulime A operaia* este 1.) asociativ i 2) se poate inversa, elementul neutru e este unic.

Se numete inrersul lui a fa de operaia * soluia ecuaiei a* x = e.

S artm c dac operaia* ndeplinete condiiile amintite (este asocia-tiv i se poate inversa) elementul invers este unic. S considerm i ecuaia y a= e.

MULJML NUMERE. STRUCTURI ALGEBRICE: 29 ----------------------

-------------------

Trebuie >>1 dovedim c x = y; avem y" (a* x) = y" e

sau, inlnd seama de asociativitatea operaiei *. (y * a) * x = e * x,

deci y * e = e * x. ns elementul neutru este unic, deci e * x = x * e i

x * e = y * e ~> x = y. Se noteaz de obicei a-1 inversul lui a. Exemple. 1) n mulimea numerelor raionale, fa da operaia de adunare,

elementul neutru ~ste numrul O, iar inversul unui numr raional a este ~a i so numete opusul lm a.

2) !n mulimea numerelor reale, fa de operaia de nmulire, elementul neulru este numrul 1, iar inversul unui numr a =F O este.!~

a

2. Grup. Semigrup

Fie G o mulime nevid, iar * o operaie definit n G. Mulimea G se numete grup (sau are structur de grnp) dac operaia * are urmtoarele

dou proprieti: 1) este asociativ; 2) se poate inversa. . Din definiie, rezult c orice grup are un element neutru i orice element

al grupului are un inveJs. Grupul se numete abelian dac operaia * este i comutativ.

Dac operaia ndeplinete numai condiia 1, mulimea G se numete scmigrup.

Exemple. 1) Mulimea numerelor naturale formeaz semigrup fa de opera~ tia de adunare. 2) Mulimea numerelor raionale, fr numrul zero, formeaz grup abolian fa da operaia do inmul,ire.

Un grup (sau semigrup) pentru care fiecare din relaiile a* x =a* x' sau x *a = x' *a

atrage x = x' se numete grup (sau semigrup) integral. E x e m p lu. Mulimea numerelor roalo formeaz grup integral fa do oporapa

de adunare. Se numete subgrup al unui grup G orice submulime G' a lui G care are structur de grup fa!'' de operaia * din G.

ALGBTIH

Exemple. 1) Mulimea numorelor intregi formeazrt grup fa.rt do opePaia adunare {numrul zero este considerat par) i este un subgrup al grupului numerelor ntregi z.

2) Mulimea A={x):e=5n, nEZ} formeaz grup fa de operaia de adunare i Pste un subgrup al lui Z.

3. Grup cidic

Fie G un grup n care este definit operaia *, a un element al su i e elementul neutru. Puterile lui a, anume a\ a2 , ,a"' (a1 = a_ az _ =a* a etc.) sint tot elemente ale grupului. Dac punem a0 =' e, l'i)zult c pentru orice m ntreg :;:,. O, a"' E G.

D e fi n i i e. Elementul a E G se spune c este un element de ordin finit al grupului dac exist un numr intreg m >O, astfel incit am= r. Cel mai mic numr Intreg m > O care satisface aceast condi-ie se numete ordinul elementului a.

Un grup finit (cu un numr finit de elemente) are toate elementele de ordin finit.

De fi ni ie. Grupul {) format cu elementele

se numete grup ciclic generat de elementul a. Grupul q este de ordin finit dac m este finit. n caz contrar, q este de ordin infinit (ordinul unui grup este numrul de elemente ale grnpalui).

E x e m p l u. Dac oc este o rdi'tciJa complex de ordnul m u unitii, deci o r;1dcin complex a ccuat}ei xm = l, atunci mul,imea '1, ct, o:2 1 , or,m-1 formea1 un grup ciclic de ordinul m.

4. l'lrulimi conjugate F'ie G un grup i a un element (fix) al grupului G. Te o re m . JUulimea a * b ne d toate elementele grupului G o singur dat, dac b parcurge grupul G.

Demonstraie. Fie b1 =/= b2 , b1 , b2 E G. Avem a* b1 E G, a* b2 E G, deoarece * este operaie din G. S artm c a * b1 =/= a '' b2 Inmultind la stnga cu a-1 E G avem a-1 * (a* b1) =/= a-1 *(a* b2), deci e * b1 =1=' e * b2 sau b1 =/= b2

Rmne s mai artm c dac b' este dat, exist b, astfel nct a * bi = = b'. nmulind la stnga cu a-1 obinem imediat bi = a-1b'. Teorema este demonstrat.

Fie G un grup i H un subgrup al su astfel lncjt mulimea G - lf este nevid. Fie g1 E G - H i k E H; mulimea g1 " k, g1 (fix) in G - li, cind

l\JUL'ffMI. NU:\IEHE. STRUCTURI ALGEBRICE 31

parcurge mulimea H este coninut u G -- H. Elementele g1 * h ~ H! deoarece n caz contrar am avea g1 * h = hil hi Eli sau gi = hi * h-I, deci g, E H, ceea ce nu se poate.

Te o re m . Dac g1 =f= g, snt dou elemente fixe din G- H mulimile g, h, g2 * h, h E Il sau nu an nici un element comun sau coincid.

Demonstraie. n adevr, dac pentru h1 , h2 E Il, am aveag1 * h1 = g2 * h2 , atunci g1 = g2 * (h2 * h!1 ) = g, * h3 , de unde rewlt di g1 ar aparine mul-imii generate de g2 La fel se arat c g2 ar aparine mulimii generate de g1, deci cele dou mulimi ar coincide. Teorema este demonstrat.

l'ie g1 un element al lui G - 11, deci care aparine lui G i nu aparine lui H. Cu ajutorul lui s formm mulimea g1 * h cu h E H. Dac mulimea g1 * h nu epuizeaz pe G -Il, s considerm un element g2 E G care nu apar-

ine nici lui Il nici lui g1 * h. Formm astfel mulimea g2 * h, h E H, care, conform teoremei precedente, are toate elementele diferite ntre ele i dife-rite de ale mulimilor Il i g1 * h, h E 11. Dac continum n modul acesta, obinem mulimile

H, g1 * h, g2 * h, ... , gm.1 * h, h E H; (1) snt dou cazuri de considerat: a) operaia se termin dup un numr finit de operaii, deci numrul m este finit. n acest caz, subgrupulll c G se

lllllnt>te suhgrup de indice finit (sau de indice m); b) operaia se poate continua indefinit, deci numrul m este + oo.

Ne ocupm de cazul cnd numrul m este finit . .n aceast situaie cele m mulimi din (1), anume

g0 h, g1 h, ... ,gm.-1 h, hEll, (2) unde g0 = e, elementul neutru din G deci g0 * h =li, au urm>'itoarele pro-

prieti

a')

b') m-1 Ug,*h=G, i=O

i=f=j,

c') mulimile (2) se numesc mulimi conjugate la stnga, n raport cu sub-grupul 11; dintre ele, are structur de grup numai mulimea g0 h, h E Il, dtoarece conine el~mentu] neutru fa. ae operaia*

S olservm c aceste mulimi conjugate au fost obinute prin compunerea la stnga a elementelor h E ll cu g.,, de aceea se numesc i mulimi conjugate la stnga.

Dac efectum aceleai operaii, ns compunnd la dreapta cu elementele g,, obinem mulimile conjugate la dreapta

(2')

32 ALGEBR:l

T e o r e m . m = m'. Demonstraie. Avem evident g0 ' h = h * g0 = H; apoi, cnd h parcurge H,

h-1 parcurge H, deoarece g0 E H, iar h i h-1 E H. S observm c orice element gi h dintr-o mulime conjugat la stnga are inversul

(gi * "r' = 11-1 * g;-', deci aparine unei mulimi conjugate la dreapta h * gi', h E Il. Dac gi * h, g; * h, i =f= j snt dou elemente din dou mulimi conjugate la stnga diferite, inversele lor aparin la mulimi conjugate la dreapta diferite. In adevr,

h-1 * a-:-1 _J_ l,-> * 0,--1 b'~ -r- "' ., b] sau nmulind la stnga cu h,

go * gT' =!= go * t/1 ~> gi' =!= g;-1 Putem scrie deci n (2) i (2') gi = gi1 Teorema este demonstraU. Se noteaz de obicei m = (~) . Il

Avem un rezultat mai general dat de urmtoarea

T e o r e m . Fie nlnuirea de subgrupuri G:::;H:::;K;

ntre indicii respectivi ai acestei nluuiri avem urmtoarea relajie

(%)=(~)X(~) Nu dm demonstraia acestei teoreme.

5. Divizor normal

Fie G un grup oarecare i Il un subgrup al su. Fie g1 un element oarecare ns fix al lui G i s considerm mulimea de elemente g1 * h * g;:-1 cu h E H, mulime pe care s-o notm cu ll1

Te o re m . liiulimea g1 h * g;:-', h E H formeaz un subgrup al lui G.

Demonstraie. a). Elementul neutru e aparine lui H 1 n adevr, e E [{ i g1 * e * g11 = e * g1 * g11 = e * e = e b) Avem i

(g1 * h, * g;:-1) * (g, * " ,, g;:-1) = g, * (h, * h.) * g;:-1 = g, * h, * g;:-1Jl1 deoarece h1 * h2 E H. c) Elementul invers lui g1 * h * g;:-1 este g1 * h-'* g;:-', deoarece (g1 * h * g;:-1) * {.!;1 * h-1 * g;:-1) = e, innd seam c operaia * este asociativ.

Este evident c dac g1 E Il, atunci H 1 = Il; dac g1 ~Il se poate ca H1 s fie diferit de Il.

tuLTIJ.\II. NUMERE. STltUCTURI ALGEBRICE 33

D e f i n i i e. Subgrupnl H c G se numete divizor normal al grupului G Iac pentru orice g, (fix) il.in G, subgrupnrile H, date de gi * h * g"i1 , h E fi, :oincid cu snbgrnpul li.

6. Proprietti ale divizorului normal

n cele ce urmeaz, vom presupune c snbgrupulli este de indice finit m, Iei rezultatele sint adevrate i pentru m infinit.

T e o r e m . Dac subgrnpnl li c G esfe divizor normal, atunci mulinile conjugate la dreapta

g0 * h, g1 * h, ... , gm_1 * h, h E li, g0 = e

\Oincid cu mulimile conjugate la stinga, h * g0, h * g1, ... , h * gm-1

Demonstraie. Deoarece mulimea gi * h,; gi', h E li coincide cu li pentru 'iecare h exist un indice i, astfel nct

gi * h * gi1 = h sau g{1 (gi * h * g?) = ii1 * h; leei h * g? = gi 1 * h, prin urmare i h * g = gi * h. Teorema este lemonstrat.

Fie h (fix) dintr-un subgrup Il al unui grup G. Vom numi clasa generat le h mulimea g-1 * h * g, cnd g parcurge grupul G.

Te o re m . Fie Il un divizor normal al grupului G; dac h E H, atunci ;-1 * h * g E li pentru orice g din G.

Demonstraie. Conform teoremei precedente, avem pentru h E. H, g * h = = h * g, de unde rezult c h = g-1 * h * g = g * h * g-', dec1 mpreun )U elementul h divizorul normal li conine i mulimea g-1 * h * g, g E G, leei conine clasa generat de h. Teorema este demonstrat.

Fie H un divizor normal al lui G i g0 * h, g1 * h, ... , g",_1 * h, h E lJ (3) nnlimile conjugate la stnga n raport cu li, date de (2) (presupunem J Il este sub grup de indice finit). Mulimile (3) oe numesc i clase de resturi.

Te o re m. il'Iulimile conjugate la stnga (saa la dreapta) In rapol't m li, considerate ea elemente, formeaz grup fa de operaia* cu elementul Rnitate clasa g0 * h, h E li.

Demonstraie. a) (g, * h1) * (g; * h2) = g, g; * (h1 * h2) ns h1 * h2 = = ha E li, prin urmare

(gi * h1) * (g; * h,) = (g, * g;) * h,

34 ALGEBHA

deci aparine clasei (gi * g1 ) * h, care este una din clasele de resturi din (1). b) Avem

deci mulimea conjugat, g0 k, k E H este elementul neutru.

c) S gsim i elementul invers clasei g, * h. Avem

sau

deci pentru h3 = h1 * lz2 , rezult g = g0 * lz3 * \gi * h,t', ns (gi * h3t1=

= h;t *. {;t; prin urnwre, g = g0 * gf:1 ~= gi1

Teorema este demonsl.ral. Grupul claselor de resturi se numete grupul factorial sau grup factor i

se noteaz re_) cii

Observaie. Orice grup G are doi divizori normali banali, primul const din elementul unitate g0 , al doilea este nsui grupul G.

Se poate ntmpla ca un grup dat G s nu aib ali divizori normali n

afar de cei bauali. ln acest caz, grupul G se numete grup simplu.

7. Grupuri izomorfe

D e i u i i e. Fie A i B dou grupuri n care snt definite operaiile * i x respectv. Grupurile A i B se spune c snt izomorfe dac snt n

MULTL\H, NUMERE. STRUCT1JRI AT~GEBRICE 3&

8. Grupuri omomorfe

De fini ie. Fie A i B dou grupuri n care sint definite operaiile * i x respectiv.

Grupul A este omomorf cu grupul B dac: 1 ') La fiecare element din A corespunde cel puin un element din B. 2 ') La fiecare element din B corespunde un element i numai unul din A. 3 ') Dac b" b2 snt dou elemente din B crora le corespund elementele

a1 , a2 din A, atunci elementului b1 x b2 din B i corespunde elementul a1 * a2 din A.

E x e m p l tt. S considerm mulimea numerelor ntregi Q i mulimea A dat de A = { A 0 , A 1 , A~h A 3 , A 4 }, unde

A 0 = { 5 m ! m E Q}, A 1 = { 5m + 1 1 m E Q}, A,= {5m + 2 1 m E f)), .A.,= ! &m -r 3 1 m E Q}, A, = { 5m + 4 1 m E Q}.

Multimea A este omomorf cu multimea Q. n adevr, orice numr ntreg se poate scrie su'b forma m5, m5 + 1, m5 + 2, ~5 + 3 sau m5 + 4, m E Q, deci la orice numr din Q corespunde o clas Ai i numai una. La un element Ai n A corespund mai multe elemente din Q, mai precis la clasa Ai corespund elementele m5 + i din Q, in

numr infinit.

Din definiia grupului factor(~} rezult urmtoarea: T e o r e m . Dacii JI este un divizor normal al grupului G, atunci grupul

factor r! / este omomorf cu grupul G. Avem i urmtoarea: Te o re m li. Dac grupul A este omomorf grupului B, mulimea ele-

mentelor H din B care corespund elementului unitate din A, formeaz un divizor normal (al grupului B) i orice mulime conjugat cu acest divizor normal formeaz mulimea tuturor elementelor din B crora le corespunde

acelai element din A. Nu dm demonstraia acestei teoreme.

9. Inel. Corp

De fi ni i e. Se numete inel o mulime nevhl;;; de elemente n care snt definite dou operaii+ (adunarea) i X {inmulirea) care satisfac urmtoarele axiome:

S1 Dac a i b s!ot dou elemente oarecare ale mulimii ;;;, a + b E ;;;, S2 Oper~ia + este comutativ, a + b = b + a. S3 Operaia+ este asociativ, (a+ b) + c =a+ (b + c). S4. Exist un element neutru, elementul O (zero) E;J, astfel nct pe11tru

orice a E;], O+ a= a.

ALGEBRA

S5 . Orice element a are un invers- a E::J, astfel nct a+ (-a)= O. T1 Dac a i b snt dou elemente ale mulimii, atunci a x b E ;:;J. T2 Operaia X este comutativ, a X b = b X a. T3 Operaia x este asociativ, (a X b) x c = a X (b X c). T4 }'a de operaia X exist un element neutru, elementul 1 (unu)

nct pentru orice a E::J, 1 X a= a. T 2 Operaia x este distribntiv fa de operaia +

a x (b + c) =a x b +a X c i (b + c) X a = b x a+ c X a. Aceste axiome pot fi sintetizate, innd seam de definiiile grupului i

semigrupului, n modul urmtor: D e fi nit i e. O multime ne vid de elemente ;:;J are structur de inel dac n ;J sint definite dou operaii + i x astfel nct:

1) Jl'Iulimea ;; are structur de grup abelian In raport cu operaia + 2) Mulimea ;:;J are structur de semigrup in raport cu operaia x. 3) Operaia x este dislributlvii In raport cu operaia +

Dac in ;:;J operaia x nu este comutativ, adic condiia T2 nu are loc inelul se numeste necomutatw.

Propiietile' adunrii "+" i nmulirii "x'1 ne permit s efectum cu elementele unui inel toate calcule.le pe care sntem obinuii s le facem cu mulimea numerelor 1ntreg: adunare, scdere, nrnulire. Putem supri1na parantezele, cnd avexn de~a faee cu un produs, putem schimba ord1nea termenilor ntr-o sum sau produs n baza opera~1ilor cornutative, asocia1 in~

i distributive enunate. Este de observat c ntr-un inel nu se poate face operaia invers nmnl irii.

Exemple, 1) Mulimea numerelor ntregi formeaz inel fa de operaiile adunare inmu!ire. 2) Mulimea numerelor a+ V~ b, a,b intregi formeaJ.d: iael 1a do ope;~q.:de

dO adunare i nmulire.

Do f in i i o. O mulime K cu structurii de inel comni.ativ fai\ de ~p~raiile + i x n care orice element a E A, a=frO are un in vers a- E K

fa de operaia x se numete corp (comuta tir). v.xi pentru un corp K oomutativ avem irul de axiome 8 1, ,85 ,

1'1 , ... 1'5 completat cu: T6 Oricare ar fi a E K, a =F O, exist a-1 E K astfel nct

a X a-1 = a-1 X a = 1.

Exemple, 1) Mulimea numerelor raionale Q formeaz corp fa de ope-ra-iile do adunare i nmulire.

2) Mulimea numerelor a + j/;; b, cu a,b raionali, formeaz un corp fa de opew .railo de adunare i 'i:nrnuliro.

MUI/fll\:li. NUMERE. S'l'RGCTURI ALGEBRICE 37

De fi n i i e. i. O submulime !' a unui inel J, care are structura de inel (fa de operaiile +, x), se numete subi[!el. 2. O submulime K' a unui corp K, care are structur de corp (fa de operaiile +, X), se numete sub corp. Exemple. 1) Mulimea numerelor raionale este un subcorp al corpului nume-relor reale. 2) Mulimea numerelor intregi i pare este un subinel al multimii numere-lor ntregi z. '

4. Jl.'ln!IllRE COThiPUiXE

1. Definiie. Corpul numerelor complexe Operaia invers ridicrii la putere a unui numr real nu este nchis !n mulimea numerelor reale. In adevr, nu exist nici un numr real oc

pozitiv sau negativ, astfel lnclt s avem a = v=T, deoarece ptratul unui numr real nu poate fi negativ. De asemenea, rezolvarea ecuaiilor de gradul doi

x2 - 2ax + a2 + b2 = O conduce la soluii de forma x =a + b V -1.

Defini le. Vom numi numere complexe perechile ordonate de numere reale a, b, pe care le vom nota provizoriu cn (a, b), perechi supuse la urmtoaN~Io reguli de calcul:

1) (a,b) = (a',b') dac i numai 1lac a= a', b = b'; 2) (1,0) = 1, (0,1) = i; 3) k(a, b) =(a, b)k = (ka, kb), !cER; 4) (a, b) +(a', b') =(a+ a', b + b'), (adunarea); 5) \a, b) (a', b') = (aa'- bb', ab' + a'b), (nmulirea). Din 2) i 3) rezult

k(1 ,0) = (k,O) = k, deci

(0,0) ~~ o, i innd seama de 1) urmeaz c (a, b) =O numai dac

a= O, b =0. Din 3) l 4) rezult c orice numr complex (a, b) se scr1e

(a, b) = a(i,O) + b(0,1)

38

l dac inem seama i de regula 5) (0,1). (0,1) = (-1,0).

Deducem c un numr complex (a, b) se scrie (a, b) = a 1- ib,

},_LGBBH

Dac efectum acum produsul (a 1- ib) (a' 1- ib'), dup regulile obinuite ale algebrei i innd seama c i2 1- 1 = O, obinem

(a 1- ib) (a' 1- b' i) = aa' - bb' 1- i (ab' 1- a' b), adic tocmai regula 5.

T e o r e m . Mulimea numerelor complexe a 1- ib formeaz nu corp C :!a de operaia 1- (l'tdunare) i operaia X (nmulire).

Demonstraie. Avem: 8 1 . (a 1- ib) 1- (c 1- id) =a 1- c 1- i (b 1- d)EC; suma a dou numere complexe este tot un numr complex.

S2 Operaia 1- este comutativ (a 1- ib) 1- (c 1- id) = (c 1- id) 1- (a 1- ib) = (a 1- c) 1- (b 1- d)i.

S,.. Operaia + este asociativ ((a + ib) + (c + id)) + (e + ifl =a+ ib + ((c + id) + (e + if)).

S4 Elementul neutru fa de operaia + este numrul O + iO, deoarece a + ib + (O + i O) = a + ib.

85 Exist un numr complex x + iy i unul singur, astfel nct (a + ib) + (x + iy) = O + i O,

a + ib fiind un numr complex oarecare. Trebuie s avem a + x = O, b + y = O,

deci x =-a, y = -b,

vi numrul cutat, numit opusul lui a + ib, este -a - ib. O consecin a acestui fapt este c ecuaia urmtoare

(a + ib) + (x + iy) = c + id are o soluie unic dat de

x =e-a, y = d- b.

Numerele complexe formeaz deci grup abclian fa de adunare.

MULIMI. NTJl\:H~RE. STRUCTURI ALGEBRIC1TI 39

S artm acum c numerele complexe fr elementul zero, O + i O, formeaz grup abelian fa de operaia de nmulire.

T1 (a + ib) (c + id) = ac - bd + i(ad + bc) E C; produsul a dou numere complexe este un numr complex.

T2 nmulirea este comutativ (a + ib) (c + id) = (c + id) (a + ib) =ac - bd + i (ad + bc).

T3 nmulirea este asociativ (a+ ib) [(c + id) (e + if)] =[(a + ib) (c + id)] (e + if) =

= ace - adf - bcf - bde + i (acf + ade + bce - bdf). T4 . Elementul neutru este numrul 1 + i O, deoarece

(a + ib) (1 + i O) = a + ib. T5 nmulirea este distrib\ltiv fa de adunare

(a+ ib) [(c + id) + (e + if)] = (a+ ib) (c + id) + (a+ ib)( e + + i{) = (ac + ae - bd - bf) + i(ad + bc + af + be) = [(c + id) +

+ (c + if)] (a+ ib). T . Orice numr complex z = a + ib =!= O + i O are un invers.

Ecuaia (x + iy) (a + ib) = 1 + i O

conduce la sistemul xa- yb = 1,

cu soluia, dac a2 + b2 =!=O, xb + ya =O,

a -b X=--, y---, a2+ba --all+b'J

deci

i exist dac a2 + b2 =F O, anume dac z =f: O + i O. Din T6 avem i

a ib =(a+ ib) _1_ =(a+ ib) (c- id) =ac+ bd + i(bc- adL, c+W c+W '+d' ~+d' dac c2 + d2 =/=O. mpr;rea a dou num re complexe se reduce Hstfel la

nmulire. mprirea cu zero nu este defm-~t~ Spunnn c nu are sens. Din cele de mai susj rezult c nmulirea nunvorelor cornph:xe formeaz

un corp numit corpul numerelor complexe C. Corpul numerelor reale R este un subcorp al numerelor complexe C, deoer; ce numerele reale su pot scrie: a + i 0 1 aER.

40 ALGEBR

2. Numere conjugate. Modul. Argument. Forma trigonometric a unui numr complex

S cutm numrul complex x + iy care nmulit cu a + ib s dea un numr real:

(x + iy) (a + ib) = xa - yb + i(xb + ya), deci

xb + ya =O, i soluia cutat este

x = ka, y = -kb,

x + iy =k(a- ib). Exist deci o infinitate de numere complexe care ndeplinesc condiia cerut

k(a - ib) (a + ib) = k(a2 + b2). Pentru k = 1 obinem numrul a -- ib, numit conjugatul lui a + ib.

Produsul (a+ ib) (a- ib) nu este numai real, ci i pozitiv. Dac notm z =a + ib, conjugatul su se notea z z =a- ib. Avem deci z z = a2 +b2

Numrul real i pozitiv Va2 + b2 se numete modulul lui z i se noteaz 1 z 1 = Va2 + b2

S considerm planul complex, adic un plan n care s-a luat un sistem de axe rectangulare Ox, Oy; numim axa Ox ax real, iar axa Oy ax

imaginar. Pe axa Ox punctele de diviziune corespunztoare unei uniti snt ... -2, -1, O, 1, 2, ... , iar pe axa imaginar punctele de diviziune corespunztoare aceleiai unit_i snt -2i, -i, O, i, 2i, ... (fig. 17).

Numrului complex z = a + 1b i corespunde un punct M de coordonate (a, b) i invers, unui punct din plan i corespunde un numr complex i numai unul singur. Mai putem spune c punctului z i corespunde vectorul ____,.

OM. Originii axelor i corespunde numrul Z= O+ iO. Aplicnd formulele cunoscute din trigonometrie, avem (fig. 17)

a= Oll1 cos O, b =OM sin 6 (1) -- N(2 ,Jt) deci

~~~-~z~~~0~.m~cr-12~J~~ -t

-li

l'ig. 17

Lungimea segmentului OM este, aadar, modulul numrului complex a + ib.

Unghiul e pe care l face OM cu direcia pozitiv a axei Ox se numete argumen-tul numrului complex a + ib, O = = arg (a + ib).

MULTIMI. NUMERE. STU.UCTURI ALGEBRICE 41

Din formulele (1) obinem o a . a b

cosv =V , sm v = V a~ + b2 a~ + bZ relaii care determin pe 6, n afara unui multiplu de 2rr. Tot relaiile (1) ne dau i

a + ib = V a 2 + b2 cos O + i Va + b2 sin O = r( cos O + i sin 6). (2) Expresia (2) este numit i forma trigonometric a numrului complex

a + ib, foarte util n calcule.

5. S'l'RUCTURA DE ALGEBR

1. A!gebre

D e f i n i ~ i e. Fie o mulime ne vid A i un corp K. Se spune c A este o algebr pe corpul K dac In A snt definite trei operaii: adunare +,

nmulire X i nmulirea cu sealari (cu elemente din corpul [() care satisfac urmtoare le legi:

Adunarea + S1 : a + b = c, S,:a-t-b=b+a, S3 : (a + b) + c = a + (b + c), S4 : a +O== a, S5 : a +-a) = O,

nmulirea x

a, b, c E A

a EA, O E A a EA, -a E A.

T 1 :axb=d, a,b,dEA T 2 : a X b = b X a, T 3 : a X (b X c) =(a X b) X c, T 4 : a x (b + c) =a X b +a X c,

(b + c) X a = b x a + c X a, T5 : 1 X a =a X 1 ==a, a E A, 1 E A.

nmulirea cu scalari: S,: a(a X b) = (aa) X b =a X (ab)

cu "' E K, a, b E A. Algebra definit de irul de axiome de mai sus se numete i algebr comutatir sau abelian cu element unitate.

Dac axioma 1\ nu este lndeplinit, algebra este fr element unitate. Dac axioma T2 nu este satisfiieut, algebra este necomutativ.

42 ALGEBR

Din cele de mai sus rezult urmtoarea

D e :! i ni i e. O mulime ne vid A este o algebr comutativ eu element unitate pe corpul K dac n A snt de.finite trei operaii adunare +, nmul-

ire x, nmulirea cu scalari (K), astfel nclt 1 A formeaz grup comutativ :!a de operaia +; 2 A formeaz semigrup comutativ fa de operaia x; 3 Operaia x este distributiv fa de operaia +; 4o inmultirea cu scalari (cu elemente din corpz1l K) este comutativ cu operaia X' (axioma 81).

2. Exemple de algebre

a) Mulimea numerelor complexe are structura de algebr pe corpul R al numerelor reale.

b) Mulimea x a elementelor de forma x = a + ib + jc + kd,

unde a, b, c, d ER (sau C), iar {1 i, j, k} este o mulime de patru elemente supuse la urmtoarele legi de !nmulire

1 '

J k

1 i j k

i i -1 k -j --1---l-- ----

J j -k -1 '

k k j -! -1

formeaz o algebr Q. Un element x din algebr se numete cuaternion. Aceast algebr a fost introdus de Hamilton i are importante aplicaii !n mecanic.

Capitolul II DETERMINANI. ThiA'l'RICE

1. DETllR~UNANI DE ORDINUL n

1. Inversiuni

Fie n elemente a" a2, ... , an Numim ordine natural de succesiune a elementelor permutarea (a1 , a2 , ... , an) care corespunde ordinii naturale 1, 2, ... , n a indicilor. Orice alt permutare a acestor n elemente spunem c prezint inversiuni, o inversiune fiind orice pereche de elemente aiaJ din permutare, cu i > j.

Permutarea (anan_1 ... a2a1) prezint nurnrul maxim de inversiuni, numr dat de n - 1 +n - 2 + ... + 2 + 1 = n (n - l) .

2

Dac notm cu ! numrul inversiunilor pe care Il poate avea o permu-tare, rezult

Vom mpri pcrmutrile a n elemente n dou clase, dup numrul de inversiuni pe care l prezint. Din clasa nti fac parte permutrile cu numrul de inversiuni 1 par; din clasa a doua, cele cu numrul de inver-sil1Jli 1 impar.

!n teoria determinanilor este util urmtoarea: T e o re m . O permutare i scllimbii. clasa dac schimbm douii ele-

mente ntre ele. Demonstraie. Vom considera dou cazuri. In primul caz cele dou

elemente sint alturate, deci. permutarea va fi de forma (Aa,a;B) i are 1 inversiuni. Permutarea obinut prin schimbarea lui a1 cu a, (Aa;aiB) are 1 + 1 inversiuni dac i > j i 1 - 1 inversiuni dac i < j, deoarece inversiunile lui a, i a; fa de A i inversiunile lui B fa de ai i a;

ALGEBR.l\

nu se schimb prin aceast opera,ie. Dac 1 este par (sau impar), 1 + 1 sau 1 - 1 snt impari (sau pari), deci permutarea i schimb clasa.

in al doilea caz, a; i a nu snt consecutive, deci permutarea va fi de forma (Aa,Ca;B), i schimbind pe a1 cu a; avem permutarea (A a; C a;B). Presupunem c C are p elemente; schimbind pe a; cuC obinem (A a; a;C B) i realizm astfel p schimbri de clas. Dac aducem acum pe a, n locul lui a1, se realizeaz p + 1 schimbri de clas, deci numrul final al schimbrilor de clas va fi p + p + 1, ceea ce arat c permutarea i schimb clasa; cu aceasta teorema este demonstrat. Din totalul de n! permutri, i aparin unei clase i i celeilalte, deoarece, dac schimbm dou elemente anumite n toate permutrile a n obiecte, permutrile dintr-o clas trec in permutrile din cealalt clas, fr ca n ansamblul lor

permutrile s se schimbe.

2. Determinani de ordinul n. Definiie. Proprieti

Fie a11 , i = 1,2, ... , n, j = 1)2, ... , n, n2 numere; cu ajutorul lor s formm un tabel patratie, numit matric,

A-

cu n linii i n coloane; elementul a;; se gsete pe linia i i coloana j. Unei astfel de matrice i se asociaz un numr numit determinant de ordinal n, care se noteaz

Dn = 1 A 1 =

au a12 ... aln az1 a22 a2n

i care se defineste prin

i = 112, ... , n j = 1,2, ... , n

1 1 - " ( 1)1+1' ,f -- L-1 - ailhai2i2 .. ain1n1 (1)

suma fiind extins la toate permutri le distincte de ordinul n, (i,i, ... i") JIJ. .. .In nelegndu-se prin aceasta toate monoamele distincte

(2)

cu i, j = 1,2, ... , n, 1 i 1' fiind numrul de inversiuni al permutr.ilor (i1 , i 2 , , in), (j10 j 2 , ,in) respectiv.

DETERl\HNANI. MATRICE 45

Deoarece, dac permutm ntr~ un rn.o.nom (2) pe aicJ:x cu ai!3i!3' monomul rmne acelai, iar suma I + fi i pstreaz paritatea, urmeaz c putem s ne aranjm n aa fel ca permutarea (j1,j2 , , in) sau permutarea (i1 , i2 , ... , in) s fie ordinea natural, deci

1 A 1 = ~ ( -1)1' a,ila2i2 ... an!" sau

1 A 1 = ~ ( -1)1a,11a,,2 a1nm suma~ fiind extins la cele n! permutri ale lui j 1 , j 2, ... , jn sau, respec-tiv, i1 , i2 , ... , iw

Deci n dezvoltarea unui determinant de ordinul n intervin ni termeni de forma (2). E x e m p l u. Determinantul de ordinul trei

dezvoltat dup regula de ma sus are valoarea

i conine 3! = 6 termeni. Din nssi definitia determinantului de ordinul n rezult urmtoarele proprieti; ' P r o p r i e t a t e a 1. Un determinant i schimb semnul dac permn-tm elementele a dou linii sau dou coloane mtre ele.

Intr-adevr, dac permutm n determinantul Dn de ordinul n, linia i. cu linia i~, obinem un determinant D;, care are dezvoltarea

D,; = L:; ( -1 )1 aHI at22 ainm in care fiecare permutare (i" i" ... , in) este de clas diferit fa de permu-tarea termenului corespunztor din determinantul iniial, deoarece s-au schimbat ntre ele dou elemente ale permutrii; prin urmare, toi termenii ce intervin n dezvoltarea lui D~ snt egali cu termenii corespunztori din dezvoltarea lui Dn, ns cu semn schimbat, deci D~ = -Dn.

P ro p r i e t a t e a 2. Dac ntr-un d~terminant schimbm toate liniile cu coloanele de acelai rang, determinantnl nu se schimb.

Avem Dn = l: ( -i)l+I' ailj1 ai2i2 ainJn i a schimba toale liniile cn coloanele de acelai rang nseamn a permuta irul de indici (i1 , i,, ... , in) cu irul de indici {j1 , j 2 , ... , in)- Cum indicii i

46 ALG-EBR

i indicii j parcurg irul (1, 2, ... , n) i prin aceasta numrul! se schimb cu J', deci suma 1 + 1' rmne constant, urmeaz c Dn nu se schirnb.

S notm cu D~ determinantul obinut prin schimbarea tuturor liniilor cu coloanele de acelai rang; el se numete determinantul transpus al deter-minant ului Dn; avem deci D~ = Dn

Acest rezultat are o consecin important, i anume c orice proprietate relativ la liniile unui determinant va fi valabil i pentru coloane.

P r o p r i e t a t e a 3. Un determinant este nul dac are dou linii sau dou coloane egale.

S presupunem n Dn c elementele liniei i. sint egale cu elementele liniei i~. Dac permutm aceste dou linii ntre ele, obinem un determinant

D~ egal cu cel iniial, deoarece elementele celor dou linii sint egale. In virtutea proprietii 1, determinantul D~ este egal i de semn contrar cu Dn; prin urmare, avem simultan Dn = D;. i Dn = -- D~, deci 2Dn "'--""O, D,. =O.

3. Determinani minori

Din dezvoltarea unui determinant de ordinul n,

Dn = E (-i)l' alh ati2 ... anJn, urmeaz c fiecare monom conine un element al primei linii i numai unui singur, prin urmare Dn se poate scrie ca o expresie liniar n elemen-tele primei linii

n

D,. = a11A 11 + a12A12 + ... + a1,. A1n = E alk A1"' ( 1) iF'"i unde A 1h, coeficientul lui a1k, este o sum de produse n a,; de grad n- 1, produse care nu conin nici un element al primei linii, deci i =fr 1.

Rezultatul este adevrat pentru elementele oricrei linii sau coloane, deci putem scrie

sau

"

Dn = ak1Akl + ak2Ak2 + ... + ahnAkn = B ak.iAhi1 i=l n

Dn = a,kArh + a,.A,. + ... + ankAnh = E a,hAik i=l

(2)

(3)

Spunem c n (1) avem dezvoltarea determinantului D,. dup linia nti, n (2) dup linia k, iar n (3) dup coloana k.

S gsim pe A11. Conform celor spuse mai sus, A11 este definit de

a11A 11 = E ( -1) 1' a11a212 a,.Jn = a11 E ( -1)" a2; 2 a,.;,.,

DETER:MINAN'fl. MATRIC:E 47

deci (4)

unde 1' este numrul de inversiuni ale permutrii (i,j2 , ... ,jn), care este egal cu numrul de inversiuni ale permutrii (j2 , j 3 , . ,jn), deoarece supri-marea lui 1 nu schimb pe 1'. Expresia (4) a lui A11 arat c Au este un determinant de ordinul n- 1, j 2 , j 3 , ,in lund toate valorile lui 2, 3, ... , n; prin urmare, A 11 este determinantul de ordinul n - 1

a22 a2a a2n aaz a33 aan

ce se obine suprimnd din Dn linia i coloana intii, adic linia i coloana pe care se gsete a11

Determinantul A 11 se numete complementul algebric al lui a11 S gsim acum complementul algebric al lui a,;, adic pe Aw Vom proceda la fel ca pentru ":!1 . Vom aduce mai nti pe a;; ln locul

lui aw ceea ce necesit i - 1 i j - 1 schimbri de semn, deoarece aceast operaie se realizeaz efectund i - 1 schimbri de linii i j - 1 schimbri de coloane, deci A,;= (-i)i+i t>.,;, unde, de data aceasta, Aii este deter-minantul ce se obine din D,. suprimnd linia i i coloana j. Determinan-tul t>.,; obinut in acest mod se numete determinantu.l minnr al ele-mentului aii

Revenind acum la dezvoltarea determinantului D,. dup o linie sau coloan, avem:

1) D,. = a116.11 - a12 6.12 + ... + (-1)"+1 a1n 6.1,., numit dezvoltarea determinant ului D,. dup linia nti;

2) D,. = a11A11 - a21il2, + ... + ( -1)n+1 an1 t>.,." numit dezvoltarea determinantului Dn dup coloana nti;

il) D,. = (-i)k+l [a,k A1n-a2h Ll2n + ... + (-i)n+l a,.k D.n>], numit dezvoltarea determinantului D,. dup coloana k, i

4) Dn = ( -i)k+l [ah! Llkl - ah, Ak2 + ... + ( -1)'>+1 akn Akn], care este dezvoltarea determinantului Dn dup linia k.

S presupunem c n Dn linia i i linia k snt egale; atunci D,. = O; dezvoltnd dup linia i i innd seama c a,, = ak;, ob,iuem

(5)

48 ALGEBR

n mod asemntor, d&u coloana j este egal cu coloana k, D" =O, deci

(6) Regula de nsumare tensorial. Folosind semnul E, relaia (5) se scrie

n t; a;;AM =O, i =/= k. J=l

(5')

1n mod asemntor se scrie i relaia (6)

(6')

De obicei se suprim i semnul E, adic putem scrie pe (5') i (6') numai sub forma

a;;AM = O, j = 1,2, ... , n, i =/= k, sau

i = 1,2, ... , n, j =/= k, cu convenia ca nsumarea s se fac relativ la indicele i, care prezint particularitatea c se repet n monom.

Dac mai introducem i simbolul (lui Kronecker) ~i! care pentru i=f=j, a;;= O, iar pentru i = j, aii = 1, putem scrie relaiile de mai sus astfel:

ai5Aki = aikDn, j = 1,2, ... , n, I (7)

aiJAik = 35kDn, i = 1,2, ... , n. Dezvoltarea unui determinant dup elementele unei linii sau coloane ne

permite s stabilim noi proprieti ale determinanilor. P r o p r i e t a t e a 4. Un determinant se nmulete cu un numr dac

toate elementele unei linii sau coloane se innmlesc cu acel numr. Acest fapt rezult imediat din dezvoltarea unui determinant dup ele-

mentele unei linii sau coloane. Dac, de exemplu, considerm dezvoltarea unui determinant dup linia nti, avem

"ADn = ("Aa11)A11 + ("Act")A12 + ... + ("Aa,n)A1n O consecin a acestei proprieti este faptul c, dac un determimnt

are dou linii (coloane) proporionale, determinantul este nul. P ro p r i e tate a 5. Dac utr-tm determinant elementele unei linii

Rau coloane sint sume de k numere, atunci determiuantul se serie ca sum de k determinani.

JJETERMTNAN'f.I. lHATRICH 49

S presupunem c elementele primei linii ali snt sume de dou numere ali= aii+ a;i;

a" a,,

determinant care dezvoltat dup linia nti are valoarea Dn = (a;, + a;,) An + (a;, + a;,) A" + ... + (a;n + a;n) A,n

sau

Dn = a~aAu + af2A12 + ... + afnAln + a~1A11 + a~2A12 + + a~nAlm deci

Pentru k > 2 se demonstreaz n mod asemntor. P r o p r i e t a t e a 6. ntr-un determinant, dac adunm la elementele

unei linii (sau coloane) elementele celorlalte linii (saa coloane) nmulite eu numere oarecare, determinantnl nu-i schimb valoarea.

Dac n Dn = 1 au 1 adunm, de exemplu, la linia nti elementele liniei a doua nmulite cu numrul "A, obinem determinantul D~

a11 + "Aa21 a12 + "Aa 22 a1n + "Aa 2n D~=

care, conform proprietii 5, se descompune ntr-o sum de doi determinani an a12

qln a,, a22 .. a2n

D~= a" a" ... a2n + 'A a., a22 a2n . '."' '' .. ' ... ''' ...

Gnl an2 Gnn ani Gn2 Gna deci D~ = Dn, deoarece ultimul determinant e nul, avnd linia nti i a doua egale.

P ro p r i e tate a 7. Un determinant este nul dac o linie (sau coloan) a sa este o combinaie llniarli de celelalte linii (sau coloane).

ALGEBRA

Spunem c n determinant ni Dn = 1 a0 1 linia nti este o combinaie liniar a celorlalte linii dac n

ali =E akiAk, i = 1, 2, ... , n, k=Z

' fiind numere nu toate nule (adic /-~ + 1.~ + ... + t-,'l =f= 0). Conform proprietii 5, un astfel de determinant se descompune tntr-o sum de n - 1 determinani i fiecare din aceti n - 1 determinani are dou linii proporionale, deci toi snt nuli.

E x e m p l u. S se calculeze valoarea determinantului lui Vandermonde

1 1 ... 1

a,

n-1 n-1 n-1 at a2 ... an,

punnd rezultatul sub form de produs de factori. nmulim fiecare linie cu a1 i o scdem din cea urmtoare:

1 1 1

determinant care dezvoltat dup prima coloan d

V 11 (a 1 , a 21 , an} = (a 2 - a 1) (a 3 - a1 ) (an - a 1) V n-1(a2 , a3 , ... , a71 ) {8) unde V n-1.(a 2 , a3 , ... , an) este tot un determinant Vandermonde. Relaia (8) este de fapt o formul de recuren. n mod analog

astfel nct obinem

n

n

V n(a1 , a2, ... , a11 } = n (aj - ai), i>i=1

!neleg!ndu-se prin n (a; - ai) produsul tuturor binoamelor (aj - ai), j > i, dis .. j>i=1

d n(n - 1) tincte, cu i, j = 1, 2, ... ,n, in numr e 2

; V n este diferit de zero dac

DETERMINANT!. MATRICE 51

2. REGULA LUI LAPLACE

1. Determinani minori de diverse ordine

Am vzut la alineatul precedent cum se gsete n dezvoltarea unui determinant Dn = 1 a,; 1 coeficientul lui ai!.

In continuare, vom cuta s aflm coeficientul lui aidt. ai2J2 ai ip S calculm mai nti coeficientul lui a11a22 , pe care l notm cu A12aa aua22. Al2;I2 = aua22 .2:;( -i)I aa s a4i.a .. anin'

deci A12;12 =:[;(-1)! aai3a4J4 ... anin'

unde (j3 , j 4 , . , inl este o permutare a numerelor 3,4, ... , n, iar 1 este numrul de inversiuni ale permutrii (1, 2, j 3 , j 4 , , jn), care este acelai cu numrul de inversiuni ale permutrii (j3 , j 4 , ... ,in), deoarece suprimarea elementelor (1,2) nu schimb pe 1. Prin urmare A 12 ; 12 este un determinant de ordinul n - 2, i anume

a33 a34 . a3n

A12a 2 - a43 a44 a4n

ce se obine din determinantul Dn suprimnd linia nti i a doua, coloana nti ~ia doua, adic tocmai liniile i coloanele pe care se gsesc elementele a11 I a22'

Invers, dac cutm coeficientul lui A12 ; 12 , din dezvoltarea lui Dm gsim, n afar de a11a22 i pe -a12a21 , deci A12 ; 12 are coeficient pe

Determinantul a12a 2 se ob,ine din Dn, suprimnd toate liniile i coloanele lui A 12 ; 12 Determinanii A12 ;12 , a12 a2 se numesc minori complementari de ordinul n - 2 i 2, respectiv (A 12 t12 este minorul complementar al determinantului a12;12 i reciproc), iar produsul lui a12 ;12 A12a2 intervine n dezvoltarea determinantului Dn. Dac cutm acum coeficientul lui a,p"'' procedm n mod asemntor. Aducem mai nti pe a;; n Jocul lui aw ceea ce necesit i - 1 + j - 1 schimbri de semn; aducem apoi pe apq n locul lui a22 , ceea ce necesit p - 2 + q - 2 schimbri de somn; obinem n total, i + j + p + q schimbri de semn. Coeficientul cutat A,v; ;, va fi deci

52 ALGEBRA,

unde b.,P,J< este determinantul de ordinul n - 2 ce se obine din Dn supri-mnd Unii le i, p i coloanele j, q. Invers, dac cutm coeficientul lui A;p;fq> din dezvoltarea determinantuJui Dn gsim determinantul de ordi-nul doi

1 au aiq 1 = aip;jq apj apq

care se obine din determinantul Dn, suprimnd liniile si coloanele care aparin lui b.;p;jq DeterminantuJ b.;p ;;q de ordinul n :._ 2 se numete determinantul minor al determinantului aip;jq, iar A 1" = (-1)i+P+j+qb.p 1,,~q t,Jq

se numete complementul algebric al determinantu!ui a;p;fq i produsul lor aip; jq A ip; jq intervine n dezvoltarea determinantului Dw In general, dac cutm coeficientul A12 ... p; 12 ... P al lui a11a 22 ... app din dBzvoltarea lui Dn, gsim c este determinantu] de ordinul n - p ce se obine din Dn suprimnd liniile 1, 2, ... , p i coloanele 1, 2, ... , p, deci

A12 . ., p; 12 ... p = aP+2, P+l

Invers, dac cutm n dezvQltarea lui Dn coeficientul lui A 12 ... p; 12 ... P gsim determinantuJ a12 ... P: 12 ... p au a12 ... alp

a12 ... p; 12 P = a21 az2 ... a2P

aPI aP2 app i produsul a12 ... "' 12 ... P A12 ... v: 12 ... P intervine n dezvoltarea deter-minant ului D"' Determiuantul A12 ... p; 12 ... P se numete minorul de ordi nnl n - p al determinant ului a12 ... p; 12 ... p Dac cutm acum coeficientul lui ai1h ai2J2 aiP ij din dezvoltarea lui Dn, aducem pe a;1;, n locul lui a11 , pe a;,;, n locul lui a22 .a.m.d., pe a;P;P in locul lui aPP> ceea ce necesit i1 + i 2 + .. . + iv + j 1 + j 2 + ... + jp - 1 - 2 - ... - p - 1 - 2 - ... - p schimbri de semn, deci coeficientul cutat Ai1 i 2 ... i 11 ;J1 ; 2 Jp este

p 1: (ik + fk)

( -1)k=l L\.hi2 ... p; Jlj2 .iq = Ahi2 ... iv; hJ2 ... Jp' unde b.;1;, ... ;P; f1j, ... ;P este determinantul de ordinul n- p ce se obine din Dn suprimnd liniile i1 , i2 , ... , iP i coloanele }1 , j 2 , ... , IP"

DE'rEHMINAN'i. MATRICE

Invers, dac cutm n dezvoltarea lui Dn coeficientul lui Ai1i2 ... ip; Jljz .. ~P' gsim determinantul ai1h ... ip;J1J2 ... jP ce se obine din Dn cu liniile ~1 , i2, ... , iP i coloanele j 1 , j 2 , ... , jP.

Determinantu1Lliti 2 iP;jliz ... Jp se numete minorul de ordinul n- p al determinant ului a-i 1i 2 ... ip; hh. ... ip iar Ai1i 2 ... ip; hh ... Jp se numete complemen-tul algebric al determinantului aitiz ... ip;i 1j 2 ... jP i produsul ai1i 2 ... ip; hiz }P .. Ai1 i.z ... ip;fu2 ... jP intervine n dezvoltarea determinant ului Dn.

2. Regula lui Laplace

Am vzut mai sus c produsul dintre un determinant minor din Dn i complementul su algebric conine numai termeni ce aparin lui Dw Acest fapt st la baza demonstrrii urmtoarei te01eme, datorit lui Laplace:

T c o r c m a l u i L a p l a c e. Un determinant este egal cu suma tuturor produselor dintre determinanii minori formai cu elementele a p !imi (sau coloane) date cu complementele lor algebrice.

Demonstraie. Fie liniile i1 , i 2 , ... , ip; minorii ce se pot forma cu aceste p linii snt

a1.1iz ... iP; h1hz ... hp'

k1 , ... , kp fiind p coloane oarecare din Dn. Numrul lor este Cf. = . n 1 p!(n- p)! Fie de asemenea

complementele lor algebrice. Deoarece a",, .. ip: "''' .. ' difer ntre ei cel puin printr-o coloan, termenii produselor

a ' 1 n A ' n k ~112 ... ~P; 11 !z ... P t 1tz ... tp; 11 2 ... P snt diferii ntre ei. Fiecare produs conine p l(n - p !) termeni din Dn

i suma (1)

Cont!. ne " 1 p '.(n - p) ' = n.l. terrnenJ di.sti.nctJ. din D deci e t , ,., . s e , p!(n- p)! egal cu D".

Regula (1), care d dezvoltarea unui determinant dup minorii formai cu p linii (sau coloane), se numete regula h!i Laplace. Se vede imediat c

dac p = 1, obinem dezvoltarea unui determinant dup o linie sau coloan.

ALGEBRA

Exemplu. Sii se calculeze valoarea determinantului 1 1 2 n ,,

1 1 D!= 3

4 2 5 1 --1

--1 -2 2 4

folosind regula lui Laplace. Dezvoltndu~l dup primele dou linii ob.inem

11 1 1 j 1 -1 1 11 211 5 -1 1 11 311 5 1 1 .. 2 4 - 1 3 1. -2 4 + 1 4 . -2 : 1+

:r/_: _:r= 211 2 -1 1 11 311 2 1 1 1 2 3 , -1 4 - 1 4 . ' -1 2 1 + 1 3 = o. 6- 1. 18 + 1. 12 + 1. 7 - 1. 5 - 1. 1 = -5.

3. Produsul a doi deierminani Produsul ': doi determinani de acelai ordin n, An ~~ i a;; 1, Bn = 1 bu 1

se poate sene totdeauna ca un determmant de ordmul 2n, deoarece, dac punem

unde Oneste un determinant de ordinul n cu toate elementele nule, iar Xn este un determinant de ordinul n, arbitrar, i dezvoltnd dup regula lui Laplace, obinem ~2n =An Bn S lum acum pentru Xn determinantul

--1 o o o o -1 o o

Xn= o o -1 o . . . . ' . . . . . . . . . . .

o o o --1 Atunci pr0dnsui

an a12 ... a1n o o o a2l a22 .. , a,n o o o

...........

ani an2 Gnn o o o

-1 o o b11 b., ... hin o -1 o b., b22 ... b,n

1 ~-- -~-... -1 l>nl bn, ... bnn

DltJTERMINAN'j_'I, MATRICE

se poate scrie ca un determinant de ordinul n. ntr-adevr, dac nmulim linia n + 1 cu a11 , linia n + 2 cu a12 .a.m.d., linia 2n cu a1n i le adunm toate la linia nti, dac Inmulim apoi linia n + 1 cu a21 , linia n + 2 cu a22 .a.m.d., linia 2n cu a2n i le adunm toate la lin

ia a doua, n general

dac nmulim linia n + 1 cu a,,, linia n + 2 cu a,, .a.m.d., linia 2n cu ahn i adunm totul la linia k, k = 1, 2, ... , n, obinem determinantul

An Bn --

n

o o

o

-1

o

o .. . o .. .

o ...

o ...

-1 ...

O C11 C12 C1 " O C21 C,2 C,n

o Cnr Cn2 C r.n

o b11 b12 b1n

o b21 b" ... b2n .................

..... ,,

unde Ci!= I:; a;,bh; Dac-! dezvoltm dup regula lui Laplace, obinem Jt=1

l -i o o ... o 1 aiJ 1 1 bij 1 - (-1)"' 1 C;;! o -1 o ... o - 1 ciJ !, .............

o o o ... -1

deoarece (-1)n'+n = 1. Obser9aii. 1) Deoarece un determinant nu-i schimb valoarea prin trans-

punere, obinem nc trei forme pentru produsul a doi determinani, dup cum nlocuim pe 1 a,1 1 sau 1 b,; 1 cu transpuii lor 1 a;i 1 sau 1 b;i 1.

2) Produsul a doi determinani A"' Bm, m < n se poate scrie totdeauna ca un determinant de ordinul n, observnd c un determinant de ordinul m se scrie ca un determinant de ordinul n, n modul urmtor

B -1 Bm O 1 m ~ O C11 _-m

unde 1 o ... o

Cn-m = O 1 ... O

o o ... 1

A p li ca ii. 1) Se numete delormnant adjunct al determinantu]ui Dn = l aij} determinantul

An=IAi;l,

ALGEBR

unde Av este complementul algebric al lui aii Fcnd produsul Dntin i innd seama de relaiile (Partea nti, cap. II, 1, al. 3)

obinem

n E auAkj = ihkDn. j=i n E auA a~ = ?ijhDn,

i=i

Dn O O ... O O Dn O .. O

= D~, deci 6.11 = D~-1.

o o O ... Dn

2) Detorminantul il~ = 1 ~~i~, D 11 *O, se numete rociprocuJ doterminantului Dn; avem, innd seama de valoarea determinantului 1 AJi 1,

nn-1 1 ~' = _n_ = _ = D -1 n D~ Dn n.

A o Citul se numete minorul normalizat al lui ai). Dn

3. ~IATIUCE

1. lUatrice dreptunghiulare Fie ai3 , i = 1, 2, ... , m, j = 1, 2, ... , n, 1n X n .numere. Se numete matrice

m x n tabloul dreptunghmlar au ai2 ... a1n

A -

a21 a22 ... a2n =llau[l, ami amz ... amn

cum linii i n coloane; aii se numesc elementele matricei. Dou matrice m X n, A = Il au 11, B = 11 bu 11 slnt egale dac au = = biJ(i = 1, 2, ... , m; j = 1,2, ... , n). Intre dou matrice care nu au acelai numr de linii i acelai numr de coloane egalitatea nu poate fi definit. Adunare':' rnatricelor. Su;na a dou matrice m xn, A = 11 aii il, B = = 11 b;;ll, ' = 1, 2, ... , rn; J = 1, 2, ... , n, este matriCea

llau+bull i se noteaz cu A + B.

DETJ~RMINAN'j.'I. MATRICE

1) Adunarea matricelor este comutativ A+ B =B +A,

deoarece aii + bii = biJ + aH. 2) Adunarea matricelor este asociativ

(A+ B) + C =A + (B + C), C =Il cuii, deoarece

(a;;+ h;;) C;; = U;; + (b;; + C;;) = U;; + b;; + Cii' 3) Elementul neutru fa de adunare este matricea O (zero), care are m

linii i n coloane, cu toate elementele nule

O =l ~ .... ?.::.:.? =li OII; o o ... o

avem

A + o =Il a;; Il + 11 o 11 = Il a;; + o 11 = Il a;; Il = A. 4) La orice matrice m X n, A =Il ai; 11 exist o matrice opus - A

= 11 - a;; Il, nct A + (- A) = O. Intr-adevr A +(-A)= Jla;;JI +Il- a;;l/ =Il a;;- ai; il =Il OII Proprietile enunate mai sus arat c mulimea matricelor cu elemente

ln R (sau C) i cu acelai numr de linii i acelai numr de coloane formeaz grup abelian fa de operaia adunare.

nmulirea a dou matrice dreptunghiulare A x B, unde A=Jiaul/, i=i,2, ... ,m; j=1,2, ... ,n, B=[jbh,JJ, h=i,2, ... ,p; k=i,2, ... ,q

nu este definit dect dac p = n, adic numrul coloanelor matricei A este egal cu numrul liniilor matricei B. Dac aceast condiie este ndeplinit,

n

produsul A X B este o matrice A X B = 11 C;kl/, unde cik = :L; aihbhk h=-1

deci A X B este o matrice m x q. Produsul B x A nu este definit dect dac m = q.

2. Matrice ptrate

O matrice n x n se numete matrice ptrat a11 a12 . a1n

A a21 a22 ... a2n =1/ a 1;/l, i,j = 1, 2, ... , n.

58 ALGBBR

O matrice ptrat de ordinul n are n linii i n coloane. Elementul au se gsete pe linia i i coloana j. Elementele a;; se gsesc pe diagonala prin-cipali].

S demonstrm urmtoarea T e o r e m . Jl1nlimea matrice lor ptrate de ordinul n cu elemente n

R (sau C) formeaz un inel (necomutatic) fa de operaiile de adilllare i nmulire.

Demonstraie. Vom nota mulimea matricelor ptrate de ordinul n cu elemente n R (sau C) cu 3llln-

Mulimea 3llln formeaz grup comutatic fa de operaia de adunare. Intr-adevr dac

A = Il a,; 11 E 3llln, B =il bii li E &ILn,

avem proprietile: s,. 82 Adunarea este comutativ

A+ B = B A, ntruct 11 ai; + b,; 1! = 11 bii + aii [1, deoarece adunarea n R este comutativiL

S3 Adunarea este asocjatv. Dac A E 3lll"' B E iVKn, C E 8llcn.

(A+ B) C =A+ (B + C) avem

i

(Il a;; 11 +li bii li) +Il ci; li = 11 ai; + bi; li +il cHil -=li a;; + b,; + cii Il

11 aii 11 + ( H bi, Il + [1 c ;; lf) = li ai; il + 11 bi; + Ci; li = =Il aiJ + biJ +cu!!

S4 Elementul neutru este matricea O de ordinul n cu toate elementele zero

1 o o ... o

o= o 0 ... 0 EX"' ~ ""1"rn

1 o o ... o

A + O = flai; il + Il O Il =il a,; + O Il = li a,; 11. S5 Pentru orice A E iVRn exist opusul - A = il- a,; 11, astfel nct

A+(- A)= O, deoarece A (- A) = 11 au il + li - a,; 11 = 1/ a;i + (- aii) 11 = il O Il

DETERMINANI. MATRICE

Mulimea 8lltn formeaz semigrup necomutativ fa de operaia nmulire. ntr-adevr, dac A = 11 a,; 11 E 8lltm B = 11 b,; Il E 8llt"' avem proprietile:

T,. A. X B = 11 t. a,,b,; 11 E 8lltn. Se observ c produsul a dou matrice nu este comutativ, deoarece

B X A = 11 t. b;nan; 11 =/=A X B, n n

ntruct, n general, E bihahi rf:. 2':; aihbki~ h=l k=1

In produsul A x B spunem c am nmulit la stnga matricea B cu ma-tricea A sau c am nmulit la dreapta matricea A cu matricea B.

T2 Produsul este asociativ

(A X B) X C = A X (B X C), A = 11 a;; 11 E 8lltn, B = 11 b;; IJ E 8lltn, C =o 11 C;j 11 E gJ)tn

Avem

(A X B)

ns 111 E (>"-: a;kbkk) ehi il = 1

11 t a;h (t b,hchi) 'III = A X (B X C).

h=1 k=1 ll.-1 ll.=i

T3 Elementul neutru n .llKn este matricea unitate U de ordinul n

sau

ln adevr

={o, 1,

1 o o o o 1 o o

U= O O 1 O

o o o ... 1

i=f=j i=j

A X U = U X A =A,

60 ALGEBR

deoarece, conform regulii de nmulire a dou matrice, avem

i

n l: aihgl = ail~li + ai232i + ... + aiJiln + .. + ainani =aii k=! n I:; li,han; = liua11 + 8,2a2; + ... + S,;a;; + ... + s,nani = a;;.

k-1

T4 Produsul este distributiv fa de operaia adunare

A X (B + C) =A X B +A XC. Avem

A X (B + C) =li E aik(bM + ck;) li'= 11[ E a,kbk; + f:;aikch;ll i k=1 J k=1 k=1 ns

deci A X (B + C) = A X B + A X C, A E iiJIT,n. B E ii)["' CE ii)[n

Am artat astfel c mulimea iiJIT,n a matricelor ptmte de ordinul n formeaz un inel necomutativ. E x e m p l u. S se calculeze produsul A X B i B X A pentru matricele

i s se verifice c Ax B ::f=B x A.

3. Determinantul unei matrice ptrate Fiind dat o matrice ptrat8. de ordinul n, A = 11 a,; 11 cu elementele n R (sau C), determinantul 1 a,1 1 = det A se numete determinautul ma-tricei A. O matrice A se numete singular dac det A =O; dac det A =/=O, ma-tricea se numete nesingular (sau nedegenerat). T e o r e m . Determinantul produsului a dou matrice de ordinul n este

egal cu produsul determinanilor celor dou matrice det A X B = det B X A = det A det B.

DRTERM:INANT. 1\fATRICl

62 ALGEBRA

Proprietatea 2 o obinem din (i) det A x A -t = det U = 1,

i aplicnd teorema stabilit la al. 3, deoarece det A =/=O, rezult

det A-l= - 1-. det A

Din proprietile 1 i 2 ale matricei inverse rezult urmtoarea Te o re m . ~latricele ptrate de ordinul n, nesingulare, cu elemente

n R (sau C) formeaz grup fa de operaia nmulire. E x e m p l u. Matricele ptrate de ordinul n de forma

a O O .. O

A= O a O .. O

O O O .. a

formeaz un corp. Astfel de matrice se numesc matrice scalare. Notind cu 1kln mulimea lor, se verific uor c pentru A, B, C E 111n toate con~ diilc S1 + .S';,, T1 + T 4 s:nt verificate. Produsul a dou matrice din 11111 este comu tativ i inversa A-1 , A ::fo O este dat de

1 a

o

o ... o

1 - ... o a i A-1 X A =A X A' 1 = U.

o o 1 1 a 1

5. Rangul unei matri{le Fie A o matrice drept unghiular m X n i p un numr natural < m, n. Dac alegem din A p linii i1 , i 2 , :> .ip i p coloanej1 , j 2 , ... , jp, oarecare, obinem, nlturnd elementele matrrcei care nu se gsesc pe liniile i coloanele alese, o matrice ptrat de ordinul p(p = 1, 2, ... , q, q = miu (m, n))

DE'l'ERMINAN'I. MATRICE 63

n modul acesta, cu liniile r coloanele matricei A se pot forma

CPCP- mini m n- p!(m-p)!p!(n-p)l

matrice de ordinul p. Determinauii acestor matrice se numesc determinanii de ordinul p ai matricei A. Dac A =1= O, atunci nu toi aceti determinani snt nuli.

Se observ c dac toi determinanii de ordinul s snt nuli atunci toi deter minanii de ordin superior lui s snt nu li, deoarece, dezvoltind determinanii de ordinul s + 1, de exemplu dup o linie sau coloan, coeficienii elemen-telor respective snt determinani de ordin s, care snt nuli. Dac A =fs O, exist un numr r < q = min (m, n) astfel nct cel puin un determinant al matricei A de ordinul r este diferit de zero i toi determinanii de ordin r + i snt nuli. Numrul r care ndeplinete aceast condiie se numete rangul matricei A.

Dac A =O, rangul matdcei A este zero, r = O.

Exemplu. Rangul matricei

2 3 1 4

-: ! A~ 1 4 -2 1 1 -1 3 3 -7

este doi. Toi determinani de ordinul trei sfnt nuli, dooarooe dac n matricea A

scdem lnia a doua din linia nti obtinem linia a treia. Aceast operaie, fiind ofec~

tuat n toi determinanii de ordinui trei 1 arat c to,i snt nuli. Rangul matricei este doi, deoarece matricea format cu primele dou linii

i co~

Ioane ~ ~ ~ 11 are det.erm.nantul diferit de zero.

6. Matrice transpus. lUatrice simetrice i antsimetrice

a) Fie A = Jla,;ll o matrice rn x n, deci i = i, 2, ... , rn, j = 1, 2, ... , n.

D c fi ni i e. Se numete transpusa matricei A, matricea A,, n X m, care se obine din matricea A, nlocuindu-se liniile cu coloanele de acelai rang.

Din definiie rezult c A 1 = 1J a;i[J, j = i, 2, ... , n, i = 1, 2, ... , rn.

E x e m p l u. Dac

Se verific imediat proprietile: 1) (A,),= A, 2) (A + B), =A, + B,, 3) (A x B), =B, X A,, b) Fie A o matrice ptrat 11 a;;//, i, j = 1, 2, ... , n.

ALGEBR

D e fi n i i i. 1) Matricea A se spune c este simetric dac a1; = a;,. 2) Matricea A se spune c este antisimetric dac au = - a;,. Obserraii. 1) O matrice simetric este egal cu transpus a sa deoarece

aii = aii 2) Intr-o matrice antisimetric elementele de pe diagonala principal snt nule deoarece ai1 = - aii deci aii = O. 3) Trauspusa unei matrici antisimetrice este opusa matricii iniiale, //a,;llt =- llaull

7. J\Iatriee complex. -lllatrice conjugat, matrice adjunct

O matrice A = 11 a;; 11, m X n cu a,; numere reale se numete matrice real; dac a,; snt numere complexe matricea se numete complex. De fin l ie. Fie A = il a,; 11, o matrice complex m x n. Se numete

conjugata ma-tricei A, matricea A, m X n, cu elementele aii, deci A=ll iiiill _!_Jbserraii. 1) Conjuga ta conjugatei unei matrice este matricea iniial (A) =A.

2) Dac o matrice este egal cu conjugata sa A =A, matricea A este real. D e fin i ; e. Fie A =li a1;ll o matrice complex m x n. Se numete a.ljuncta ma_tricei A, matricea A* care este transpus a conjugatei matricei A, deci A*=A,. Se verific imediat urmtoarele proprieti: 1. 0 ) (A*)* = A, adic adjunct a adjunctei unei matrice este matricea ini-ial, 2) (A + B)* = A* + B*, 3') (A X B)* = B* X A*. Dac matricea A este real, adjuncta matricei A este transpusa matriceiA. Fie A o matrice ptrat, complex. Dac A*= A, matricea A se nume-te autoadjunct sau hermitic.

DETER'MTNANTI. MATRICE

8. Po linOliiilC de -o matri ce

Fie A =Il a0 !1, o matrice ptrat real de ordinul p i "- ).1 , ,A", n + 1 numere reale.

Punem A 0 = U unde U este matricea unitate de ordinulp; ln continuare scriem A X A = A 2 , A X A 2 = A 3 , , A X AH =A".

Definiie. Matricea Pn(A) de ordinul n Pn(A) = "aA0 + 1.1A + 1.2A2 + ... + A"An (i}

se numete polinom de gradul n de (nedeterminat) matricea A. Te o re m il. Mulimea polinolllllelor de o matrice ptrat A formeaz

un inel oomutativ fa de operaiile + (adunare) i X (inmulire). Demonstraie. Trebuie s artm c toate axiomele structurii de inel sint

verificate. S notm cu ~(A) mulimea tuturor polinoamelor de matricea A. inlnd seam de proprietile matricelor ptrate avem:

S,. Dac P,(A), P 2(A) E ~(A) atunci P1 (A) + P 2(A) E ~(A); S2 P1(A) + P2(A) = P2(A) + P1(A); S3 P,(A) + (P2(A) + Pa(A)) = (P,(A) + P.(A)) + P8(A); S4 Elementul neutru fa de operaia+este matricea ptrat nul O= 1J OII i P(A) +O= P(A);

S5 Orice polinom P(A) E ~(A) are un opus - P(A) astfel Incit P(A) + + (- P(A}) eo O. Dac lum pentru P(A) polinomul P"(A), dat de (1), atunci

-P(A) =- "aA"- J.1A - J.oA- ... - A"An. T1 Dac P(A) i Q(A) sint dou polinoame din ~(A) atunci

P(A) X Q(A) E ~(A). In adevr dac lum

atunci

P(A) = 1.0A 0 + ).1A + 1.2A2 + ... + nAn, Q(A} = f'oA 0 + ft1A + f'2A2 + ... + f'mAm,

P(A) X Q(A) = 1.0 ft0A0 + (0ft1 + A1 ft0) A + (1.0ft2 + + 1 j.t1 + A2ft0} A 2 + . .. + Anf'mA n+m

deci un polinom de grad n + m in matricea A. T2 Operaia x este comutativ

P(A) X Q(A) = Q(A) X P(A)

5-6 - Analiza matematic

ALGEBR

deoarece produsul puterilor a dou matrice ptrate de acelai ordin este comutativ.

T3 Operaia x este asociativ P(A) X (Q(A) x R(A)) = (P(A) x Q(A)) x R(A)

deoarece produsul matricelor ptrate este asociativ. T4 Fa de operaia x elementul neutru este matricea ptrat, unitate,

A 0 = U = li~,; 11, de ordinul p i avem P(A) X U = U X P(A) = P(A).

T5 Operaia x este distributiv fa de operaia adunare P(A) X (Q(A) + R(A)) = P(A) X Q(A) + P(A) X R(A)

deoarec.e produsul matricelor ptrate este distributiv fa de adunare.

9. Func~ie raional de o matrice

Citul a dou matrice ptrate de ordinul p nu este determinat. Dac A i B slnt dou matrice ptrate de ordinul p, ecuaiile A X X = B i X' X x A = B nu au In general aceeai soluie, deoarece X'=/= X. Avem ns urmtoarea

Teorem. Dac P(A) i Q(A) sint dou polinoame de matricea A i dac det [(Q(A)] +O, atunci f1mcia

este unic determinat.

R(A) = P(A)' Q(A)

Demonstraie. Totul revine la a arta c P(A) X [Q(A)t1 = [Q(A)t1 X P(A)

sau, ceea ce este acelai lucru, c P(A) X Q(A) = Q(A) X P(A),

(1)

tns, aceast relaie este adevrat, deoarece produsul a dou polinoame de o matrice este comuta tiv. Teorema este demonstrat.

Funcia R(A) definit de (1) se numete funcie raional de matricea A. Toate rezultatele din aceste dou alineate rmln adevrate dac matricea

A este complex i numerele A; sint complexe. A p 1 i ca 1 i e. Dac

R (A) = P,(A) ' ' Q,(A)

R (A) = P,(A) , dot (Q1(A)] of= O, det [Q,(A)] of= O. ' Q,(A)

_nE_TE__R_M_x_~_A_N_r_t._M_A_T_R_I_.c_E ______________________________________

~67

unde P,, Q,. sint polinoame de matricea A, s se arate c

il (A) X R (A) = P,(A) x P,(A) ' 1 2 Q1(A) X Q,(A)

R,(A) : R,(A) = P,(A) x Q,(A) Q1(A) X P,(A)

Avem R1(A) = P,(A) X Q1'(A), R,(A) = P,(A) X Q0 1(A)

daci l/1(A) X R2(A) = P 1(A) X Qtl(A) X P,(A) X Qa'(A)

Dac inem seama c produsul este comutativ, obinem

(P1(A) X P2(A)) X (Q1(A) X Q,(A))-1 = 6::~: : ~:t~:

(2)

(3)

La fel se demonstreaz i cea de-a doua relaie dac P,(A) =!=O. In toate operaiile de mai sus s-a presupus c Q(A), Q1(A), Q"(A) sint matrice

nesingulare d-eci au o invers.

Capitolul III

SISTEME DE ECUAII LINIARE

1. REGULA LUI CRAMER

1. Sisteme echivalente

S considerm unsistemdem ecuaii liniare cun necunoscute x1 , x.,, ... , x., E1 "" a11x1 + a1,.x2 + ... + a1nXn + b1 = O,

(i) o

Em =a a".1 x, + a".2X2 + ... + a,;.nX. + bm = O, m i n fiind dou numere naturale oarecare. Se numete soluie a sistemului (1} un sistem de numere x~, xg, ... , x~ care introduse ln ecuaiile sistemului in locul lui x" x2 , , Xn, respectiv, le verific pe toate.

Se. numete swtem echiMlent cu sistemul (1) orice sistem liniar care admite aceleai soluii ca i sistemul (1). Sisteme echivalente cu(:!) se obin adugnd la sistemul (1) ecuaii ce se obin din ecuaiile sistemului prin combinaii iiniare

Em+t "" 'A1E1 + 'A.,E2 + ... + "AmEm = O. Intr-adevr, soluiile sistemului (1) anuleaz fiecare din expresiile E,,

deci anuleaz i pe Emw Rezult c dou sisteme de ecuaii pot fi echivalente fr s aib ln mod

necesar acelai numr de ecuaii.

2. Regula lui Cramer

Fie E1 ""' a11x1 + a12x2 + ... + a1nXn + b1 = O, Ea "" a01x1 + a .. x. + ... + a2nXn + b2 = O, (2) o 4

SISTEME DE ECUAII LINIARE

un sistem de n ecuaii cu n necunoscute Xt. x,, ... , x., neomogen. Spunem c un sistem de forma (2) se numete neomogen dac nu toate numerele bu b2 , , bn sint nule (b~ + b5 + ... + b~ =1= O).

Determinantu! format cu coeficienii necunoscute!or se numete deter minantul sistemului

anl an2 . . . llnn i Il presupunem diferit de zero, D =1= O.

S Inmulim in sistemul (2) prima ecuaie cu Au. ecuaia a doua cu A,, .a.m.d., ultima ecuaie cu A.,, A11 fiind complementul algebric al lui a1;. n Dac adunm cele n ecuaii astfel nmulite, obinem E Ak,Ek = O sau, k~t punind In eviden necunoscutele x,, x,, ... , x.,

(E Aktakl) x, + (f"- Aklak2) x, + ... +(EA., a) Xn + t ak,bk =O (3) k=1 ~ h.=1 k=l Insii am artat (cap. III, 1, pct. 13) c avem

astfel Incit ecuaia (3) se transform in Dx1 + Aub1 + A 21b2 + ... + A.,h. = O.

Se observ c termenul liber se scrie astfel b1 a12 a13 a1n

A11b1 + A 21 b, + ... + A.,b. = b, a.. a23 ... a,. = D" bn an2 ana 400 ~n adic un determinant de ordinul n ce se obine din determinantul sistemului, Inlocuind coloana coeficienilor lui x1 cu termenii liberi bk. Cu aceast notaie ecuaia (3) se scrie

Dx1 + D1 =O (3') i am obinut astfel o ecuaie care conine numai pe x1 In general, dac Inmulim In (2) prima ecuaie cu A1p, ecuaia a doua cu A 011 .a.m.d., ultima ecuaie cu Anp i le adunm

n E AkpEk =O, p = 1, 2, .. , n, -

(4)

obinem un sistem echivalent cu sistemul(2}. Dac punem n eviden necu" noscutele x1, x2, .;., xn sistemul (4) se scrie

(t Ak~a") i1 + (E A,~a) Xo + :." +(t A,~a,~) x~ * L '' k=l h=1 h=l:.: .. _ . __ ,. '!t!li : .n . ,..

+ L; Akpb~ =O. . k

SISTEME DE ECUAII LINIARE

deci n n . n

- DE11 = an1 ~ b,A,, +an.~ b;A,,+ ... + a,n ~ b,A,,- b,D,

i dac grupm dup bk

-DE, e= b, (ta,. A,,) + b, (ta,kA 2,) + ... + b,(f-.a,,.A,,.) + ... k=i k=1 t=f.

+ bn (t ah,Ank) - b,D k~l

i dac inem seama de egalitile (5), obinem - DE,= b,D- b,D =O, h = 1, 2, ... , n.

Prin urmare, soluiile (6) verific sistemul (2). Am obinut astfel urmtoarea regul de rezolvare a unui sistem de n ecuaii

cu n necunoscute, numit Regula lui Cramer. Un sis+em (2) de n ecuaiii !iniare cu n necunoscute, cu

dtlterminantnl sistemului diferit de zero, are totdeauna o soluie dat de D1 Da Dn Xl=--, ~=--,.~.,Xn=-- D D D

unde determinantul de la numitor este determinantnl sistenmlnl, iar deter-minantul D, de la numrtor (pentru xh) se obine din detorminantnl siste mului, inlocuind coloana k a coeficienilor lui x. cu termenii liberi b" b2 , , b

Sistemul (2) cu D =f= O se numete sistem compatibil determinat. E x e m p te. 1. S se rezolve sistemul

", + "' + ... + "n = 1, 2x1 + 3x2 + ... + (n + 1)xn = n + 2, 2'x1 + 32x, + ... + (n + 1)'xn = (n + 2)',

2-1x1 + 3n-x, + ... + (n + 1)-xn = (n + 2)"...'. Detarminantul sistemului este determinantul lui Vandermonda

: : : ... :+ 1 j=(n-1)1(n-2)1 .. 2!11'f=O ~:~; ~~-:~~~,.:. ;~~;,~-~nform regulii lui Cramer avem

D1 D'i Dn X1 = --, X:~~=--, ... ,Xn=--D D D

72

1

-DA~ 2 1 ... 1

3 ... k

1

n + 2

i 1

h + 2 n + 1 .. ......................................... .

2- an-1 k- (n + 2)- (k + 2)- ... (n + 1)- =(-1)-h Dn!

(k - 1) l (n- k + 1) 1 deci.xR.=(-1)n-h+l n! , k=1,2,

(k - 1) l (n- k + i)l ... , n.

ALGEBR

=

2. Se d crouitul din figura 18. Se cunosc valorile rezistenelor r1 = r4 = 38 .0, r2 = r3 = 8 O, r = 2 O, R = 10 n i valoarea curentului 1 = 10 A, cu sensul din figur. Se core s se determine

a) Valoarea forei electromotrioe E i sensul ei; b) Curenii care trec prin rezistenele r1 , r2 , r3 , r4 i r.

Folosind teorema I a lui Kirc