An1 Derivat.ro Analiza-1 2 2 Elemente de Analiza Matematica

ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC

151

CAPITOLUL II ELEMENTE DE ANALIZ MATEMATIC

Scurt prezentare teoretic

1. Serii numerice: ......211

++++=

=

n

n

n uuuu

irul sumelor pariale ( ) 1nns are termenii: s1 = u1

s2 = u1 + u2 ...................

=

=

n

kkn us

1

...................

Seria

=1nnu este convergent dac ( ) 1nns este ir convergent, adic:

.lim)( 1,

1nnu este divergent.


152

Pentru = 1 nu se poate stabili natura seriei i se aplic criteriul Raabe-Duhamel. c) Criteriul rdcinii (Cauchy) corolar:

Fie1n

nu serie numeric cu termeni pozitivi i .lim)( =

nn

nu Atunci:

i) dac < 1, seria este convergent; ii) dac > 1, seria este divergent. Pentru = 1 nu se poate stabili natura seriei.

d) Criteriul Raabe-Duhamel corolar: Fie

1nnu serie numeric cu termeni pozitivi i .1lim)(

1k

u

un

n

n

n=

+

Atunci: i) dac k < 1, seria este divergent; ii) dac k > 1, seria este convergent. Pentru k = 1 nu se poate stabili natura seriei. Serii alternante: ( ) ...,1 4321

1

1 ++=

uuuuun

nn

cu un > 0 (nN).

Criteriul de convergen Leibniz: dac irul ( ) 1nnu este descresctor i con-vergent ctre zero, atunci ( )

=

1

11n

nn

u este convergent.

Serii numerice remarcabile:

(1) Seria geometric:

=

1

1

n

naq cu aR este convergent q(1, 1). Su-

ma seriei este: q

a1 ;

(2) Seria armonic

=1

1n

ndivergent;

(3) Seria armonic generalizat: R

=

;1

1n n este: divergent pentru

(, 1) i convergent pentru [1, +);

(4) seria armonic alternant: ( )

=

1

1 11n

n

n este convergent.


153

2. Seriile de puteri sunt serii de funcii de forma: ( )

=

00

n

nn xxa numit se-

rie de puteri centrat n x0 i

=0n

nnxa este serie de puteri centrat n zero.

Prin substituia: x x0 = y, orice serie de puteri devine centrat n zero.

Teorema Abel: Exist un numr real R 0, finit sau infinit, astfel nct seria

=0n

nnxa este:

i) absolut convergent pentru x(R0, R0); ii) divergent pentru x(, R0)(R0, +); iii) uniform convergent pentru x[r, r], cu 0 < r < R0. Observaie: Pentru x = R0 i x = R0 se studiaz natura seriilor numerice ce

se vor obine.

Teoremele Cauchy-Hadamard: Fie seria de puteri

=0n

nnxa i exist:

n

n

n a

a 1lim +

= sau .lim n nn

a

=

Atunci R0 (raza de convergen) este:

=

=


154

unde: )(!)(

...)(!1)()()( af

n

axafaxafxT n

n

n

+++= este polinomul Tay-

lor de ordinul n (polinom de grad n), iar: )()!1()( )1(1

+

=+

+n

n

n fnaxR cu a < < x

restul Cauchy de ordinul n. Pentru a = 0 seria Mac-Laurin este:

...)0(!...)0(!2)0(!1)0()()(2 +++++= n

n

fnxfxfxfxf

Dezvoltri n serie pentru funcii elementare: ...!...!2!11

2+++++=

nxxxe

nx

() xR.

...)!12()1(...!5!3sin1253

++

++=+

nxxxxx

nn

() xR.

...)!2()1(...!4!21cos242

+++=n

xxxxn

n () xR.

...)1(...321)1ln(132 +++=+

nxxxxx

nn

() x(1, 1).

Caz particular: .2ln1)1(11

1==

=

n

n

nx

...!)1(...)1(

...!2)1(

!11)1(2 +

+++

++=+ nk xn

nkkkx

kkxkx (seria bi-

nomial pentru kR).

Caz particular: k = nN =

=+n

k

kkn

n xCx0

)1( (binomul lui Newton).

3. Funcii de mai multe variabile reale f: DR, cu D Rn Graficul funciei ( ){ } .,1,),...,,(,,...,, 12121 += nknn nkxxxxfxxx RR Fie x0 = punct de acumulare pentru D. Fie ),(lim

0

xflxx

= cu ( ).,...,, 002010 nxxxx = Teorem: ,0)()(lim

0

>=

xflxx

() () > 0 astfel nct pentru orice

xD, x x0 s avem: f(x) l < dac )(0 0, ()() > 0 astfel nct pentru orice x = (x1, ..., xn)D, x 0 s avem:


155

< , dac )(...,),(),( 0022011


156

;))(,( 20002 yyyxf y + .d),(dd),(2d),(),(d 222 22 yyxfyxyxfxyxfyxf yxyx ++=

Fie f: DR, DRn. Punctul x0D este punct de minim (local) dac: f(x0) f(x), () xVD, V = vecintatea lui x0. Punctul x0D este punct de maxim (local) dac f(x0) f(x), () xVD.

Punctul x0D este punct staionar dac ,0)(...)()( 000 21 ==== xfxfxf nxxx adic df(x0) = 0. Punctele de extrem se afl printre punctele staionare i anume:

i) dac d2f(x0) > 0, deci funcionala (forma) ptratic corespunztoare este pozitiv definit, atunci funcia f este convex i x0 este punct de minim (local);

ii) dac d2f(x0) < 0, deci funcionala (forma) ptratic corespunztoare este negativ definit, atunci funcia f este concav i x0 este punct de maxim (local);

iii) dac d2f(x0) este nedefinit, atunci x0 nu este punct de extrem sau este punct a.

Stabilirea semnului lui d2f(x0) se face folosind metoda Jacobi de reducere a unei forme ptratice la forma canonic, matricea asociat fiind matricea hessian:

.

)(...)()(............

)(...)()()(...)()(

000

000

000

221

22212

12121

xfxfxf

xfxfxfxfxfxf

H

nnn

n

n

xxxxx

xxxxx

xxxxx

=

4. Integrale improprii Fie f: [a, b) R, cu < a < b + o funcie local integrabil. Dac

1 i divergent pentru 0 < 1. () + R integrala improprie

0dx

x este divergent.

Formula Leibnitz-Newton Fie < a < b + i f: [a, b) R o funcie local integrabil care admite

primitive i F o primitiv a lui f. Atunci b

af este convergent (respectiv egal

cu ) )(lim tFbtbt

+++

=

anaaa

n

n

n

e) ;,,,,1

=

+

++

n

n

dcbadcnban R

f) ( ) ;2,0,tg1...2tg1tg11

1

pi

+

++

=

a

naaan


163

g) ;,)(...)2)(1()1(...)1()12(

2

1R

++++

+

=

anaaa

naaan

n

h) ;,,1!)!2(!)!12(

1

=

nq

p

qpnn

n N i) ;0,)...1(

11

2 >++++

=

aaaann

n

i) .111

2

=

n

n

n

Soluie a) .

21

21 nnnnv

n

nu = 1).

Din criteriul comparaiei rezult c i seria dat este convergent. c) Se ncearc criteriul raportului (dAlembert): =

+=

+

+=

+

+==

+++

+

12

2

22

22

221

)1(lim

)1()1(lim!)1(

)!1(limlimn

n

nn

n

n

n

nnn

n

n n

n

n

nn

nn

n

n

u

u

.1001

)1(11lim 22 e, atunci seria este convergent.


164

Dac > 1, deci dac a < e, atunci seria este divergent. Dac = 1, nu se tie natura seriei cu acest criteriu i apelm la criteriul

Raabe-Duhamel:

.1221

)1()1(lim1lim

1 1, deci dac a > c, atunci seria este divergent.

Dac = 1, adic a = c, obinem n

n danbanu

++

= i considerm b d.

=

++=

+++=

+

+

danndb

dbdan

n

n

nn

n dandb

dandanbanu

)()1(

1lim1limlim

.0=

adb

e Deci seria este divergent. Dac considerm b = d, atunci un=10 i seria este, de asemenea, divergent.

f) ncercm criteriul raportului, datorit formei termenului general:

( )( ) =

++

+

++

+

++

==

+

1ntg1ntg1...2tg1tg1

ntg1...2tg1tg1limlim 1

aaaa

aaa

u

u

nn

n

n

.1

1tg11lim =

++

=

nan

Criteriul dAlembert nu poate stabili natura seriei i apelm la criteriul Raabe-Duhamel:

)0(

1 1tglim11tg1lim1lim

+=

+=

++=

=

nan

nan

u

unk

nnn

n

n

.11lim

1

1tglim11

1tglim)0(

aanna

nan

a

nna

nan

a

nnn==

+

+

+=

+

+

+=


165

Dac k > 1, deci dac a > 1, adic ,2,1

pia atunci seria este convergent.

Dac k < 1, deci dac a < 1, adic ( ),1,0a atunci seria este divergent. Dac a = 1, nu se poate stabili natura seriei cu criteriile studiate. Totui, se

poate observa c:

( ),0

n1tg1...2

1tg11tg11 /

+

++

=nu deci seria este divergent.

g) ncercm criteriul raportului (dAlembert):

+++++

++==

+

21

)1)((...)2)(1())(1(...)1()32(limlim

nanaaa

nanaaan

u

u

nn

n

n

=

++

++

=

++++

+

2

22

)1()(

1232lim)1(...)1(

)(...)2)(1(12

1na

na

nn

naaa

naaa

n n

.1...2...2lim 3

3=

++

=

n

n

n Deci, criteriul raportului nu poate decide natura seriei.

Aplicm criteriul Raabe-Duhamel:

=

+

+++=

1

))(32()1)(12(lim 2

2

nan

annnk

n

=

++

++++++++=

)2)(32()2)(32()2122)(12(lim 22

2222

aannn

nananaanannnn

n

( ).41

...2...)82(lim 3

2a

n

nan

n+=

+

++=

Urmeaz discuia poziiei numrului k = 1 + 4a fa de 1. Dac k > 1, adic 1 + 4a > 1, sau nc, dac a(0, ), atunci seria este

convergent. Dac k < 1, adic 1 + 4a < 1, respectiv dac a(, 0), atunci seria este

divergent. Dac k = 1, atunci a = 1 i seria devine constant, cu termeni nuli, deci

convergent la zero. h) Se ncearc criteriul raportului:

=

+

++

==

+

qp

q

p

nn

n

nn

n

n

nn

n

u

u

!)!12(!)!2(

)1(1

!)!22(!)!12(limlim 1

=

+

+=

+

+

+=

+ qpp

pq

np

p

q

q

n n

nn

n

n

n

n

)1(2)12(lim

)22()12(

)1(lim


166

.122

...)(2...)22(

lim 11111

==

++

++=

++

+

p

p

qpqp

qpp

ppp

ppq

n nCnnCnn

Trebuie aplicat criteriul Raabe-Duhamel:

=

+

+=

=

+

+1

)12()1(2lim1lim

1pq

qpp

nn

n

n nn

nn

u

unk

=

+

++=

+

pq

pqqpp

n nn

nnn

)12()12()1(2lim 1

( ) ( )=

+

++++=

+

++

+

...2

...22...2lim 1

11111

qpp

ppp

ppqqpqp

qpp

n n

nCnnnCn

( )=

+=

+=

+

++

p

pp

qpp

qpp

pqp

p

n

pqpn

nCC2

2)(22

...22lim

1

1

1111

122

2)22(2 1

>+

=+

=

qppqpp

p pentru p, qN, deci seria este

convergent.

i) Avem: a

aaaan

n

=+++++

11

...112 (suma unei progresii geometrice cu

n+1 termeni i raia a). Dac a > 1, atunci: 1 + a + + an 1 + 1 + + 1 = 1 + n, deci:

.)1(1

)...1(12 nnn vnnaaan

u =+

++++

=

Seria

=

+1 )1(1

nnn

este convergent (vezi exerciiul 1, punctul a), deci i

seria

=1nnu este convergent.

Dac a < 1, atunci:

nnnu

na

aanv =>

+++=

1)...1(

1 i

=1

1n

n este divergent (seria armonic).

Pentru a = 1, seria devine:

=

=

+

+=

+++ 111

)1(1

)1...11(1

nnn

nnn 43421 convergent.

j) ncercm criteriul rdcinii (Cauchy):


167

=

=

=

==

1)1( 11lim11lim11limlim2 n

n

n

n

nn

n

nn

n nnnu

,11 >

+

=

baxban

n

nn c) ;)1(!

1

=

+n

n

nx

n

n

d) ;321 1

=

n

n

nnxn e) ;

1

ln

=n

nnxn f) ;12

11

1ctg

2

2

=

+

n

nn

xn

n

g) .)1(231

=

+

n

nnn

xn

Soluie

Determinm n nnn

n

na

a

a

+

== limlim 1 conform teoremelor Cauchy-

Hadamard:

a) .)!2()!( 2

n

nan =

[ ]=

+++

=

++

==

+

)22)(12()1(lim

)!()!2(

)!22()!1(limlim

2

2

21

nn

n

n

n

n

n

a

a

nnn

n

n

.41

)12(21lim =+

+=

nn

n

Raza de convergen este .410 ==R

Intervalul de convergen absolut este (4, 4). Pentru x(, 4)(4, ) seria este divergent.

b) nnn ba

a+

=1 ; .limlim 11

1++

+

++

==nn

nn

nn

n

n baba

a

a

Calculul limitei presupune compararea numerelor a i b: Caz 1: a < b 0


168

bbab

bab

nn

nn

n

1

1

1lim

11

=

+

+

=+

+

i R0 = b.

Caz 2: a b

a

aba

aba

nn

nn

n

1

1

1lim

11

=

+

+

=+

+

i R0 = a.

Deci R0 = max{a, b} c) Se obine nti o serie de puteri centrat n zero pentru a putea aplica teore-

mele Abel i Cauchy-Hadamard. Facem x + 1 = y x = y 1.

.

!,

!

1nn

n

n

n n

nay

n

n=

=

=

+=

+

+=

+

+=

=

++

+

n

nn

n

n

n

nnn

n

n nn

n

nn

nn

n

n

a

a

1lim)1()1(lim!)1(

)!1(limlim 111

.

11lim

1e

nn

n

n

=

+

=

Pentru seria centrat n y, raza de convergen este R0 = e i pentru y(e,e) seria corespunztoare este absolut convergent. Seria iniial este absolut con-vergent pentru x(e 1, e 1). d) .

32 1 nnnna

=

,61

61lim32

321limlim

1

11

=+

=

+==

+

+

nn

nn

a

a

n

nn

nnnn

n

ndeci R0 = 6.

Pentru x(6, 6) seria este absolut convergent. e) .ln nn na =

nn

n

n n

nnn

lnln limlim

== (nedeterminare 0).

Fie .lnlnln)(ln,)(2ln

nnn

nnngnng n

n

===

0 0

0


169

,0)(lnlim =

ngn

deci .1)(lim 0 ==

engn

= 1 implic R0 = 1 i pentru x(1, 1) seria este absolut convergent.

f) .121

1ctg

2

2 nn

n

na

+=

,21

21

121lim

121limlim

11tg

1lim

2

2

1ctg

2

2=

=

+=

+==

n

n

n

nn

n

nn

n

n

n

n

n

na

deci R0 = 2. Dac x(2, 2) seria este absolut convergent. g) Prin substituia x 1 = y, deci x = y + 1, se obine o serie de puteri centrat

n zero, pentru care se aplic teoremele Abel i Cauchy-Hadamard:

.

23,

231 n

ayn

nn

n

n

nnn +

=+

=

+=

+

++

==

++

+

1lim

23123limlim

111

nnn

na

a

nnn

nn

nn

n

n

.331

3213

3213

lim

11

==

+

+

++

nn

nn

n Deci .3

10 =R

Seria centrat n zero este absolut convergent pentru ,31

,31

y iar se-

ria iniial este absolut convergent dac ,131

,131

++x adic .3

4,3

2

x

5. S se foloseasc dezvoltrile n serie Taylor sau MacLaurin necesare pentru nlturarea nedeterminrilor n urmtoarele limite:

a) ;sinsinlim0 ax

ax

x

b) ;2lim 2

22

0 x

ee xx

x

+

c) .11lim 3

3 3

0 x

x

x

+

Soluie

a) ...sin!2)(

cos!1sinsin)(2

+

+== aax

aaxaxxf

=

+

+

ax

aaax

aaxa

ax

sin...sin!2)(

cos!1sinlim

2

0

0


170

.cos...cos)(!31sin!2

1)(coslim aaaxaaxaax

=

+=

b) Cunoatem ...!3!2!11)(32

++++== xxxexf x deci:

...;!38

!24

!121

322 ++++= xxxe x ...;!38

!24

!121

322 ++= xxxe x

=

+++

++++

2

3232

0

2...!38

!24

!121...!3

8!2

4!1

21lim

x

xxxxxx

x

.4...!4324lim

...!416

!242lim 2

02

42

0=

++=

++

x

x

xx

xx

c) ( )3131)( xxf += se dezvolt n serie MacLaurin. Se poate folosi dezvolta-rea n serie binomial ...!2

)1(!11)1(

2 +

++=+ xkk

xkx k nlocuind x prin x3

i .31

=k Avem:

.31

...

!232lim3

1

1...!232

31

!131

1

lim 3203

63

0=

+

+=

+

++

x

x

xx

xx

6. S se utilizeze polinoamele Taylor n urmtoarele situaii: a) S se determine o valoare aproximativ pentru 4 260 folosind un poli-

nom Taylor de ordinul 2 i s se evalueze eroarea comis; b) S se determine nN astfel nct polinomul Taylor Tn(x, 0) asociat

funciei f(x) = ex, xR s aproximeze funcia cu trei zecimale exacte dac x[1, 1].

Soluie

a) Fie 41

4)( xxxf == i fie a = 254 = 44.

;41

441)256(4

1)( 44 1243

=== fxxf


171

;43

4163)256(16

3)( 94 2847

=== fxxf

.

43

!2)256(

41

!1256256)( 29

2

44 Rxxxf ++=

Pentru x = 260, deci x a = 4, avem:

.015716,443

!24

41

!144260 9

2

44

=+

)(!3)4( 3

2 = fxR cu (256; 260).

,

271

421

!34

4 114 113

32

=

=R

deoarece: .4

21)(4 113

xxf

=

Dar: 256 < < 260, .4114 114 11

4

Prin urmare: ,10

1427

6112 0 (fiind inclus condiia numitoru-lui nenul).

Pentru ecuaia 1 x2 y2 = 0 x2 + y2 1 = 0 se obine cercul cu centrul n origine i de raz egal cu 1. Originea verific inegalitatea impus, deci

}1),{( 222


174

D x

y

1

1

Figura 2.2

21

.00lim0lim2

3limlim),(limlim020220000

===

+=

xxyxyx xyxxyyxf

Deci limitele iterate au valoarea zero. Pentru a demonstra inexistena limitei funciei n (0, 0), alegem arbitrar

dou perechi de iruri convergente spre (0, 0), astfel nct s conduc la limite diferite, contrazicnd teorema de convergen pe baz de iruri. Fie:

( )

=

nnyx nn

1,

1,

)1()1( i ( ) .2,1, )2()2(

=

nnyx nn Avem:

( ) ;1213

,

22

2)1()1(=

+==

nn

nyxf nn ( ) .32816

,

22

2)2()2(=

+

==

nn

nyxf nn

Deci l1 = 2 i ,32

2 =l care sunt diferite.

10. Folosind definiia (cu , ()) s se demonstreze c funciile f: D R, DR2 de mai jos tind ctre limitele specificate: a) ;16)32(lim

)4,2(),(=+

yx

yx b) .1lim

)2,2(),(=

yx

yx

Soluie: a) f(x, y) = 2x +3y, deci D = R2.

Fie > 0, arbitrar. Trebuie demonstrat c exist () astfel nct pentru x 2 < i y 4 < s avem: 2x + 3y 16 < .

Avem: ,5324322)4(3)2(21632


175

deci exist .5)( 0. Trebuie determinat = () astfel nct, dac x 2 < i

y 2 < s avem relaia:

.1


176

Rmne de demonstrat continuitatea n origine, adic s justificm c aceast funcie are limita n origine egal cu zero, care este f(0, 0).

Prelucrm funcia pentru a aplica criteriul cletelui:

.33 2222232

yxyx

yx

yxyx

+

=

+

Folosim: media aritmetic media geometric:

abba +2 pentru a0, b0. 22

22

2 yxyx + sau ,222 yxyx +

de unde: .21

211

2222 +

+ yx

yxyxyx

Rezult c:

.0231330 222222

32

+=

+ yxyx

yxyx

yxyx

Deci ).0,0(03lim 2232

)0,0(),(f

yxyx

yx==

+

Funcia este continu n R2. 13. S se studieze continuitatea n (0, 0) a funciei f: R2R definit prin:

=

+

=

)0,0(),( dac,0}0,0{),(dac,x-1-1),( 222

22

yx

yxyx

yyxf R

Soluie f(0, 0) = 0. Calculm limita n (0, 0) a funciei (nedeterminare 0

0 ).

=

++

=

+

2222

22

0,22

22

)0,0(),( 11)()1(1lim11lim

yxyx

yxyx

yxyxyx

.021

111lim

220,=

+=

yxyx

Deci funcia nu este continu n (0, 0). 14. Folosind definiia derivatelor pariale s se calculeze

x

f

i yf

pentru func-

iile de mai jos n punctele specificate: a) f(x, y) = 3x3 2xy n (1, 2); b) f(x, y) = ln(1 + x + y2) n (1, 1). Soluie


177

a) =

=

=

=

1)1(43lim1

)2,1()2,(lim1)1()(lim)2,1(

3

1111

1 x

xx

x

fxfx

fxffxxx

x

.5)133(lim1)133)(1(lim 3

1

2

1=+=

+=

xx

x

xxx

xx

22)2(2lim2

)1(23lim2)2()(lim)2,1(

2222

2=

=

=

=

yy

yy

yfyff

yyyy

b) =

+=

=

=

13ln)2ln(lim1

)1,1()1,(lim1)1()(lim)1,1(

1111

1 x

x

x

fxfx

fxffxxx

x

.31ln3

11limln32lnlim1

32ln

lim 313

1

13

1

11

11==

+=

+

=

+

=

exx

x

xx

x

x

xx

=

+=

=

=

13ln)2ln(lim1

)1,1(),1(lim1)1()(lim)1,1(

2

1122

1 yy

yfyf

yfyff

yyyy

=

+=

+=

+

=

)1(31

13

2

1

11

2

1

2

1

2

2

311limln3

2lnlim13

2lnlim

yy

y

y

y

yy

yyy

y

.32

)1(3)1)(1(lim

1=

+=

yyy

y

15. Fie f: R2R, definit prin: .0 i 0 dac 1

0sau 0 dac 0),(

==

= yxyxyxf

a) s se studieze continuitatea n (0, 0); b) s se calculeze: )0,0(

x

f

i ).0,0(yf

Soluie a) Funcia nu este continu n origine. Avem f(0, 0) = 0. Fie o pereche de i-

ruri care s tind la (0, 0), de exemplu (xn, yn) cu xn 0 i yn 0. Atunci: f(xn, yn) = 1 i ).0,0(1),(lim),(lim

0,fyxfyxf nn

nyx==

b) ;000lim)0,0()0,(lim0)0()(lim)0,0(

0011

0=

=

=

=

xx

fxfx

fxffxxx

x

.000lim)0,0(),0(lim0)0()(lim)0,0(

0022

0=

=

=

=

yyfyf

yfyff

yyyy


178

16. Folosind formulele de derivare ale funciilor elementare s se determine de-rivatele pariale de ordinul nti pentru urmtoarele funcii:

a) ;65),( 324 yxyxyxf +=

b) ;0;3),( = yyxf yx

c) zyxzyxf =),,( cu x > 0, y > 0. Soluie a) ;620),( 23 yxyxf x = .312),( 2yxyyxf y +=

b) ;3ln33ln3),(yy

xyxf yx

x

yx

x =

=

;3ln33ln3),( 2yx

yxyxf y

x

y

yx

y =

=

c) ;),,( 1= zyzx xyzyxf ;ln)(ln),,( 1== zyyzyy zyxxyxxzyxf

zz

.lnln)(ln),,( yyxxyxxzyxf zyzzyzzz

==

17. Folosind definiia difereniabilitii s se arate c f: R2R, f(x, y) = (x 1)2 + y2 este difereniabil n punctul (1, 1). Soluie

.1)1,1(;2)1,1(;0)1,1( ==

==

= fyf

x

f

,)1()1(),()1)(1,1()1)(1,1()1,1(),( 22 +++= yxyxyfxffyxf yx adic: ,)1()1(),()1(21)1( 2222 ++=+ yxyxyyx de unde:

,)1()1()1()1(

)1()1(),( 2222

22+=

+

+= yx

yx

yxyx deci:

).1,1(0),(lim)1,1(),(

==

yxyx

18. S se arate c funcia f: R2R,

==

= 0 i 0 dac 10sau 0 dac 0),( yx

yxyxf , nu este difereniabil n (0, 0). Soluie


179

Metoda I. Dac ar fi difereniabil n (0, 0) funcia ar fi continu n (0, 0), dar s-a demonstrat n exerciiul (15) c funcia nu este continu n (0, 0).

Metoda II. Folosind definiia difereniabilitii, dac funcia ar fi diferenia-bil n origine ar exista : R2R, continu i nul n (0, 0), astfel nct:

.),()0)(0,0()0)(0,0()0,0(),( 22 yxyxyfxffyxf yx +++= Presupunem x 0 i y 0, deci f(x, y) = 1, iar f(0, 0) = 0. Rezult:

,),(1 22 yxyx += deci .01),(22

/+

=yx

yx

19. S se arate c n (0, 0) funcia f: R2R,

,

)0,0(),( dac,0

)}0,0{(),(dac,2),(

222

=

+=

yx

yxyx

xyyxf R

este continu, admite derivate pariale de ordinul nti, dar nu este diferen-iabil. Soluie Funcia este continu n R2\{(0 ,0)} i demonstrm continuitatea n origine,

justificnd c exist: .0)0,0(),(lim)0,0(),(

==

fyxf

yx

Fiind o nedeterminare ,00 calculm limita cu criteriul cletelui:

,0222

0222

=

=

+< x

y

yx

yx

xy deoarece: x2 + y2 y2,

deci ).0,0(02lim220,

fyx

xyyx

==

+

b) .0)0,0(;0)0,0( == yx ff c) Dac funcia ar fi difereniabil n origine ar exista : R2R cu: .0)0,0(),(lim

)0,0(),(==

yx

yx Dar:

,),()0)(0,0()0)(0,0()0,0(),( 22 yxyxyfxffyxf yx +++=

este echivalent cu: 2222

),(2 yxyxyx

xy+=

+deci: .2),( 22 yx

xyyx+

=

Pentru (x, y) nu exist limit n (0, 0). Alegem dou perechi de iruri:


180

Fie ( ) );0,0(1,1, )1()1(

=

nnyx nn ( ) 111

2,

22

2)1()1(=

+=

nn

nyxf nn

i fie ( ) );0,0(1,2, )2()2(

=

nnyx nn ( ) .5414

4,

22

2)2()2(=

+=

nn

nyxf nn

Deci (x, y) nu are limit n (0, 0), deci nu este continu n (0, 0). 20. Fie f: R2R, definit prin: .),( 22 yxyxf += S se calculeze diferenia-

lele df i d2f. Soluie

n (0, 0) funcia nu este difereniabil. Pentru (x, y) (0, 0) exist df i d2f. Calculm toate derivatele pariale de ordinul I i de ordinul II.

22 yxx

x

f+

=

i ;22 yx

yyf

+=

;)( 322

2

222

2

yx

y

yxx

xx

fxx

f+

=

+

=

=

;)(

232222

22

yx

xy

yx

yxy

fxxy

fyxf

+=

+

=

=

=

.

)( 3222

222

2

yxx

yx

yyy

fyy

f+

=

+

=

=

Deci:

);dd(1d22

yyxxyx

f ++

=

).ddd2d()(

1d 2222322

2 yxyxxyxyyx

f ++

=

21. S se determine punctele de extrem i valorile extreme ale funciilor urmtoare: a) f(x, y) = (x a)(x b)(y a)(y b), a, bR, a b; b) f(x, y) = x3y2(a x y), aR; c) f(x, y) = xy2ex y;


181

d) f(x, y) = x4 + y4 4xy; e) f(x, y) = x4 + y4 x2 y2; f) f(x, y) = (x2 + y2)e2x+3y; g) f(x, y) = 4x2 2y2 + 20x + 6y 13; h) f(x, y) = x2 +xy + y2; i) f(x, y) = 2x2 2xy 4y2 + 40x + 90y 150; j) f(x, y) = 3x2 + 3xy + 3y2 21x 33y + 200; k) f(x, y) = xyln(x2 + y2); (x, y)R2\{(0, 0)}; l) f(x, y) = 19x 4x2 + 16y 2xy 4y2; m) f(x, y, z) = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z; n) f(x, y, z) = xy2z3(7 x 2y 3z); o) f(x, y, z) = xyz(4a x y z), a > 0. Soluie

a) );2)()(( baxbyayx

f=

).2)()(( baybxax

yf

=

Sistemul

=

=

0

0

yfx

f are ca soluii punctele staionare: (a, a); (b, b); .2,2

++ baba

+=++= )2(2d))((2dydd2dd 2222 22 baxxbyayfyxfxff yxyx

2d))((2)2( ybxaxdxdybay + Matricea hesian asociat este:

))((2)2)(2(2)2)(2(2))((2

bxaxbaybaxbaybaxbyayH

= cu:

==

222

1)2()2(4))()()((4

))((2baybaxbyaybxax

byay

Pentru (a, a)

==

0)(40

22

1ba

deci (a, a) este punct a.

Pentru (b, b)

=

=

=


183

.

0)(

4)(;0)(

0)(;0)0,0(0)0,0(

2

21

21

21

=

=

==

==

Be

BAA

Deci n (0, 0); (1, 0); (0, 2) avem ndoieli asupra naturii punctelor.

>=

>=

08)(

04)(

62

31

eC

eC

deci (1, 2) este punct de minim.

.

4)2,1(min 3eff ==

d)

=

=

xyyxfyxyxf

y

x

44),(44),(

3

3

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x are soluiile .

)1,1()1,1(

)0,0(

BAO

;12),( 22 xyxf x = .12),( 22 yyxf y = ;4),(),( == yxfyxf yxxy

Deci matricea hessian este: .124

4122

2

yxH

=

=>=

0128)(012)(

21

AA

deci A(1, 1) este punct de minim local.

>=>=

0128)(012)(

21

BB

deci B(1, 1) este punct de minim local. .2)1,1()1,1((min) === fff

e) ;24),(24),(

3

3

=

=

yyyxfxxyxf

y

x Sistemul

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x d punctele staionare:

O(0, 0); ;22

,22

A .2

2,2

2

B

;212),( 22 = xyxf x ;0),(),( == yxfyxf yxxy

;212),( 22 = yyxf y


184

.

212002122

2

=

yxH

>==

04)(2)(

21

OO

deci O(0, 0) este punct de maxim local. (max)f = f(0, 0) = 0.

>=>=

016)(04)(

21

AA

deci

22

,22A este punct de minim local.

.21

22

,22(min) =

= ff

>=>=

016)(04)(

21

BB

deci

2

2,2

2B este punct de minim local.

.21

22

,22(min) =

= ff

f) .)233(),()(2),(

2232

2232

++=

++=+

+

yyxeyxfxyxeyxf

yxy

yxx

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x d soluiile: O(0, 0) i .13

6,13

4

A

);1422(2),( 22322 +++= + xyxeyxf yxx );2333(2),(),( 2232 yxyxeyxfyxf yxyxxy +++== +

);21299(),( 22322 +++= + yyxeyxf yxy

2

2

yyx

xyxffff

H

= d:

>=>=

04)(02)(

21

OO

deci O(0, 0) este punct de minim local i (min)f = f(0, 0) = 0.

=

013

2413

101310)(

01310)(

2

2222

21

eeeA

eA

deci A este punct a.

g) .64),(208),(

+=+=

yyxfxyxf

y

x


185

Sistemul

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x d punctul staionar .2

3,2

5

A

.4008

4),(0),(),(

8),(

2

2

=

=

==

=

Hyxf

yxfyxfyxf

y

yxxy

x

>==>=

03)(02)(

21

OO

deci O(0, 0) este punct de minim local, (min)f = f(0, 0) = 0.

i) .9082),(4024),(

+=+=

yxyxfyxyxf

y

x

Sistemul

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x d punctul staionar A(5, 10).

=

==

=

8),(2),(),(

4),(

2

2

yxfyxfyxf

yxf

y

yxxy

x

.8224

= H

>=


186

Sistemul

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x A(1, 5) punct staionar.

;6),(2 = yxfx .6336

=H

;3),(),( == yxfyxf yxxy .6),(2 = yxf y

>=>=

027)(06)(

21

AA

deci A este punct de minim local i (min)f = f(1, 5) = 107.

k) [ ][ ]

++++

=

++++

=

2222222

2222222

2)ln()(),(

2)ln()(),(

yyxyxyx

xyxf

xyxyxyx

yyxf

y

x

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x duce la determinarea celor 8 puncte staionare:

A(0, 1); B(0, 1); C(1, 0); D(1, 0), ;22

,22

e

e

e

eE ;22

,22

e

e

e

eF

;22

,22

e

e

e

eG .22

,22

e

e

e

eH

Se calculeaz 22 ;; yxyx fff i se determin matricea hessian.

);3()(

2),( 222222 yxyxxyyxf

x+

+=

;)()(2)ln(),( 222

4422

yxyxyxyxf xy

+

+++=

).3()(

2),( 222222 yxyxxyyxf y ++=

Se deduc urmtoarele: A, B, C, D sunt puncte a, E i F sunt puncte de mi-

nim local i ,21

min ef = iar G i H sunt puncte de maxim local iar .2

1max e

f =

l) .8216),(2819),(

=

=

yxyxfyxyxf

y

x

Sistemul

=

=

0),(0),(

yxfyxf

y

x d punctul staionar .2

3;2

A


187

=

==

=

8),(2),(),(

8),(

2

2

yxfyxfyxf

yxf

y

yxxy

x

.8228

= H

>=


188

>=>=>=

0288)(0144)(0144)(

321

BBB

B este punct de minim local.

fmin = f(24, 144, 1).

n)

=

=

=

22322222

432323

42333232

126321),,(66214),,(

3227),,(

xyzxyzyxzxyzyxfxyzzxyyzxxyzzyxfzyzyzxyzyzyxf

z

y

x

Sistemul:

=

=

=

0),,(0),,(0),,(

zyxfzyxfzyxf

z

y

x

d

=

=

=

0)427(30)337(20)3227(

22

3

32

zyxzxyzyxxyzzyxzy

, de unde puncte-

le staionare: O(0,0,0); ;0,27

,0

A B(7,0,0); ;3

7,0,0

C ;4

7,0,0

D E(1,1,1).

;2),,( 322 zyzyxf x = ;66414),,(),,( 43233 yzzyxyzyzzyxfzyxf yxxy ==

;126621),,(),,( 32232222 zyzyzxyzyzyxfzyxf zxxz == ;612214),,( 433232 xzxyzzxxyzyxf y =

;2418642),,(),,( 322222 xyzzxyyzxxyzzyxfzyxf zyyz == .3612642),,( 2232222 zxyzxyzyxzxyzyxf z =

Presupunnd c intereseaz punctele pentru care x 0, y 0, z 0, deter-minm matricea hessian n E:

0420802

1263662322

)(321

+=


189

);224(),,(),,( zyxazzyxfzyxf yxxy == );224(),,(),,( zyxayzyxfzyxf zxxz ==

;2),,(2 xzzyxf y = );224(),,(),,( zyxaxzyxfzyxf zyyz ==

;2),,(2 xyzyxf z =

.

2)224()224()224(2)224()224()224(2

xyzyxaxzyxayzyxaxxzzyxazzyxayzyxazyz

H

=

Pentru O(0, 0, 0) determinm:

,

0)(0)(0)(

321

===

OOO

deci nu se poate stabili natura punctului (0, 0, 0).

Pentru A(a, a, a) determinm:

=


190

3

3

2

22

2

2

2

720

036

y

x

yB

yxB

xyB

x

B

H

=

= are .03

32)(03

4)(

2

1

>=


191

c) ;),(,)1(2 2R=+ yxeyye xx d) ;yyx = e) ;02)1(3 2 = xyxy f) ;,,01 RR =+ yx

x

yy g) ;2 xeyy =+

h) .)1ln()1(

arctg21

1)1ln(

11

222222

xx

xx

xy

xx

xy++

+=

+

+

Dup rezolvarea

ecuaiei, s se afle soluia corespunztoare condiiei: ;2)(limpi

=

xy

x

i) .,1cos1sin12= Rx

xe

xxyey xx Dup rezolvarea ecuaiei, s se

afle soluia care satisface condiia: ;2)(lim =

xyx

j) .42 22 yxyyx = Dup rezolvarea ecuaiei, s se determine curba care trece prin punctul A(1, 1).

Soluie a) Este o ecuaie diferenial cu variabile separabile. Se impune condiia y 0.

Dac y > 0, atunci se obine forma echivalent: .12

=

yy

.0dd21 >+=+= cxycxy

y

Deci y = (x + c)2, pentru x(c, +), cu constanta cR. n reprezentare grafic, curbele integrale sunt ramurile din dreapta ale para-

bolelor y = (x + c)2 (vezi figura 2.3)

Figura 2.3

c =

1

c =

0

c =

1

Dac y = 0, ecuaia este satisfcut. Deci y = 0 este soluia singular a modelului. b) Este ecuaie diferenial cu variabile separabile:

,0cudddd 22 =++=== ccxyCxxyyxx

yyxyy

deci c = k2; kR.


192

Presupunem k > 0.

Rezult:

=

0);,(;0);,(;

22

22

ykkxxkyykkxxky

Observaie

Funciile 22 xky = sunt definite i pentru x = k i x = k, dar nu sunt derivabile n aceste puncte.

Grafic, curbele integrale sunt semicercuri cu centrul n origine i raze k (vezi figura 2.4).

y > 0

y

x

y < 0

k

Figura 2.4 (k > 0)

k

Condiia y(0) = 1 corespunde cazului y < 0, deci: 22 111 xykky ==== cu x(1, 1), cu imaginea din fig. 2.5.

y

1 x

1

Figura 2.5

c) Este ecuaie cu variabile separabile: .d1

d2 Cxe

eyyx

x

++

=

key x ln)1ln(2 ++= cu k > 0; ).1(ln2 xeky +=


193

Deoarece y2 0, trebuie ca argumentul logaritmului s fie nenegativ. Deci

avem condiiile: .1)1(0

+>

xekk

d) Dac x 0 i y 0, avem ecuaia cu variabile separabile cu forma echiva-lent: ,1

xyy

=

de unde: .dd C

xx

yy

+= Notm C = lnk cu k > 0.

Atunci: .lnlnln xkykxy =+= Dac y = 0, se observ c ecuaia este satisfcut, este o soluie corespun-

znd lui k = 0. Dac x = 0 i y = 0, se constat c originea O(0, 0) este o soluie singular, deci prin O trec o infinitate de curbe integrale.

k < 0 k > 0

Figura 2.6

Prin punctul (0, y0) cu y0 0 nu trece nici o soluie. e) Este o ecuaie liniar de ordinul I. Dac x2 1 0, adic xR\{1, +1} obinem forma echivalent: 0

)1(322 =

y

x

xy (ecuaie liniar i omogen).

Soluie general este:

3/121ln31d

12

31

12

2===

xcececy

xxx

x

sau .13 2 = xcy

f) Este o ecuaie liniar de ordinul I, neomogen. Rezolvm nti ecuaia omogen asociat:

01 = yx

y cu soluia general .d

xceCy xx

==

Pentru ecuaia neomogen se caut o soluie particular prin metoda varia-iei constantei, y0 = c(x) x, care se impune s satisfac ecuaia neomogen. Se obine: .ln)( kxxC += Pentru k = 0 .ln0 xxy =

Deci soluia general a ecuaiei neomogene este:


194

.ln0 xCxxyyy +=+= g) Este o ecuaie liniar de ordinul I, neomogen. Rezolvm nti ecuaia

omogen asociat: ,0=+ yy avnd soluia general: .xecy = Pentru ecuaia neomogen se caut o soluie particular prin metoda varia-

iei constantei, adic de forma: .)(0 xexcy = Deci: ;)()(0 xx excexcy =

;)(2)(2)()()( 22 xxxxxx excexceexcexcexc ===+ .

20

xxx eeey ==

Pentru ecuaia neomogen soluia general este: .0xx eecyyy +=+=

h) Este o ecuaie liniar neomogen, de ordinul I. Se rezolv nti ecuaia lini-ar omogen asociat: ,0

)1ln(1

12

22 =+

+

yxx

xy cu soluia general:

[ ].),1ln( 21ln(ln )2 R+== + cxcecy x

Se caut o soluie particular pentru ecuaia neomogen, folosind metoda variaiei constantei, deci de forma: ).1ln()( 20 xxCy +=

Se obine: .d)1(ln)1(

arctg2d)1ln()1(

1)( 22222 ++

++= x

xx

xxx

xxxC

A doua integral se rezolv folosind integrarea prin pri, rezultnd:

.

)1ln(arctg)( 2

x

xxC

+=

Deci y0 = arctgx + k, iar pentru k = 0 avem: y0(x) = arctgx. Soluia general pentru ecuaia neomogen este deci:

xxCxyxyxy arctg)1ln()()()( 20 ++=+= cu CR. Dac: ,2)(lim

pi=

xy

xdeci: .02arctg)1ln(lim

2=pi=++

CxxC

x

Deci curba integral corespunztoare este: y(x) = arctgx. i) Este o ecuaie liniar neomogen, de ordinul I.

Ecuaia omogen asociat este ,0= yey x ca ecuaie cu variabile separa-

bile, are soluia general: .,)( R= cecxy xe Pentru ecuaia neomogen, prin metoda variaiei constantei, se caut o so-

luie particular de forma: .)(0xeecxy =

Se impune condiia s fie soluie a ecuaiei neomogene i se obine:


195

.

1cos)( deci ,1cosdd)(

xexC

xe

xxC

xx ee=

=

Deci: x

ex

exyxx

ee 1cos1cos)(0 == (pentru constant nul). Soluia general a ecuaiei neomogene este:

.

1cos)()()( 0 xecxyxyxyx

e +=+=

n cazul n care x , avem: ,2)(lim =

xy

x deci ,21coslim =

+

xec

xe

x de unde c = 1 i curba inte-

gral asociat este: .1cos)(x

exyx

e +=

j) Este o ecuaie Bernoulli: 2)()( yxQyxPy =+ adic, pentru x 0, are for-ma: ,

212 2

2 yxy

xy = pentru = 2.

Ecuaia se imparte cu y2 i se noteaz: z = y1, deci .12 yyz =

Se obine o ecuaie liniar neomogen de ordinul I: .2

122x

zx

z =+

Se rezolv nti ecuaia omogen asociat: ,02 =+ zx

z cu soluia general:

.

1)( 2xCxz = Prin metoda variaiei constantei se caut o soluie particular a

ecuaiei neomogene: .1)()( 20 xxCxz =

Impunnd verificarea ecuaiei neomogene se obine:

,2)(xxC = deci .2

1)(0 xxz = Deci soluia general a ecuaiei neomogene este:

220 22

211)()()(

x

xcxx

cxzxzxz ==+=

i deci: ,22

)(1)(

2

xcx

xzxy

== cu cR.

Curba integral care trece prin A(1, 1) ndeplinete condiia y(1) = 1, deci ,112

2=

cde unde 2

3=c i curba integral asociat este: .3

2)(2

xxxy

=


196

25. S se arate c integrala improprie +

+0 21d

x

x este convergent.

Soluie

Avem: .2arctglim1dlim

1d

0 20 2pi

==

+=

+

+

tx

x

x

x

t

t

tDeci integrala este con-

vergent i are valoarea .2pi

26. Artai c integrala improprie 1

0dln xx este convergent.

Soluie

Deoarece (0, 1) avem =

>

1

000

dln0lnlim xxxxxx

este convergent.

27. Artai c integrala improprie

+1d

1ln x

x

x este convergent dac > 2.

Soluie: Fie 21

2.

28. Artai c integrala improprie pi

2

0 sind

x

x este convergent pentru 0 < < 1

i divergent pentru 1 < +. Soluie

Deoarece 1sin

1lim00

=

> x

x

xx

pentru 0 < < 1 rezult c pi

2

0 sind

x

x este con-

vergent conform criteriului de convergen (ii). 29.

1dsin x

xx este convergent.

Soluie


197

Considerm f(x) = sinx, x[1, ); ,1)(x

xg = x[1, 0).

Cum f i g ndeplinesc condiiile teoremei Abel-Dirichlet

1dsin x

xx este

convergent.

30. Studiai convergena integralei: .d)1(

1sin21

1

0

xx

x

Soluie

Avem inegalitatea ).1,0(,)1(

1)1(

1sin21

xxx

x

Deoarece

1

0 )1(d

x

x este convergent, conform criteriului de convergen

(iv), gsim c

1

0d

)1(

1sin21

xx

x este absolut convergent, deci i convergent.

31. Artai c

1darctg x

x

xeste divergent.

Soluie Folosim criteriul (iii) de convergen pentru = 1.

Deoarece ,02arctglimarctglim pi==

x

x

xx

xxrezult c

1darctg x

x

xeste

divergent.

32. Studiai convergena integralei .dsin10 422

++x

xx

ex

Soluie

Deoarece: ,1

1sin1

0 2422

xxx

ex

+

++

==== nnn

tt

nnn

n nInIttInxxxxxI

Obinem formula de recuren: In = nIn1.

1dln1

01== xxI

I2 = 2I1 = 2 I3 = 3I2 = 23 .........................

In = nIn1 = (1)nn! 34. Calculai .

1x-1d1

1 + xxx

Soluie Funcia de sub integral nu este definit n 0, deci integrala este improprie.

Fie .1x-1

d11 +

=

x

xxI

Vom descompune integrala I n suma a dou integrale:

I = I1 + I2, unde >

=

1

001

d)(limt

tt

xxfI i .d)(lim1

002

> t

ttt

tt

xxxxxI

Fcnd schimbarea de variabil y = x, obinem:

.d)(limd)(lim 1

001

002

>

tvxxf tvv

36. Calculai integrala:

++0 222222 )()(d

bxaxx

cu a2 b2.

Soluie .

)()()()(1

2222222222222222 bxD

bxC

ax

Bax

Abxax +

++

++

++

=

++

Identificnd coeficienii obinem un sistem, de unde:

.

)(2

,

)(1

322222 baDB

baCA

==

==

Integrala dat devine:

.

)()( 0 220 2220 220 222

++

++

++

+=

bxdxD

bxdxC

ax

dxBax

dxAI

Deoarece:

)0(2arctg1

00 22

pi

=

=

+

x

x

dx

i

),0(arctg2

12

1)( 32220 222

++

=

+ x

x

x

x

dx

deci:

).0(,422

1)( 330 222

pi=

pi

=

+

x

dx

Obinem:


200

pi

+pi

+pi

= 32223223222 4)(1

2)(2

4)(1

bbaabaabaI

.

)(4)3(

2)(2

322

22

222 babababa

bba +++pi

=pi

37. Calculai: .d0

2

2

2

2

xee x

bx

a

Soluie

Cum ,0lim 22

0=

x

a

xe integrala

tx

a

xe0

d22

este convergent, .)( + Rt

Notnd yxa

not= i integrnd prin pri obinem:

+

=== 1

1

2212

2

2

1ddd 20 atat

yyat yt xa

ey

ayy

eayy

eaxe

.d2d2 122

2

1

2

=

at

yta

at

y yeaetye

Atunci:

.d2d2d 22

1

2

1

22

2

2

2

2

2

0tb

btt

at

tta

tx

bx

a

tetebteatexee+

+

+=

tim c: 2d02 pi

=

te t (Poisson).

Cum ,0lim 22

2

2

=

tb

ta

teet vom obine:

.)(2222dlim 02

2

2

2

pi=pi+pi=

=

abbaxeeI

tx

bx

a

t

38. S se calculeze urmtoarele integrale euleriene:

a) ;d0

25

xex x b) ;d0 13

1

xx

e x c) ;d)1(1

035

xxx d) ;d1

02

xxx

e) ;d1

x0 4

2

+x

x f) ;xdxcossin2

046

pi

x g) ;d1

x0 6

4

+x

x h) ;d

11

0 3

+x

x


201

i) ;d)1(

x0 2

4

+x

x j) x

xxd

)1)(3(13

1

(indicaie: x = 1 + 2t);

k) ;,d1

10 2

+

Nxxx n

l) ;d)1(

10 3

+x

xx m) ;d

)1(1

0 33

+x

xx

n) ;d)1(

10 3 23

+x

xx

o) .d)1(0 26

2

+x

x

x

Soluie a) txtxtx d2

1d22 === sau .21)( = t

=

=

02/5

0

5d16

2d21

2 tettetI tt .2

7125

== pp

=

=

=

=

= 2

121

64215

23

23

3225

25

25

162

27

162I

.128215

128215 pi

=pi=

b) .1)(sau d1d)(11 22 ttt

txt

txt

x===== 0

0

tx

;dd11 0

110213

=

= tettt

t

eI tt

p 1 = 11 p = 12; I = (12) = 11!

c) .2527

231251

d)1(10

2/32/5

=

=

=

=

= qp

q

pxxxI

Deci: ( ) .!525

25

625

27

25

,27

2

=

=

= BI

Dar: .423

21

21

23

23

23

25

=

=

=

.642

423

!525

=

=I

d) .d)1(10

2/12/1 = xxxI .

2323

211211

=

=

=

=

q

p

q

p


202

.8!221

)3(23

23

,23

22

pi=

pi

=

=

= BI

e) Se pot aplica dou metode pentru a obine integrala beta: (M1) t

tx

= 14

pentru a obine forma integralei pe (0, 1); (M2) tx =4 pentru a obine forma integralei pe (0, ). aplicm (M2): 4/34/14 4

1)()( ==== ttttxtx

00

tx

;d)1(41d4

11 0

141

04/32/1

+=

+= ttttt

ttI .

4143

1411

=

=

=+

=

q

p

qpp

.42

4sin41

43

,41

41

41

,43

41 pi

=

pipi

=

=

= BBI

f) sin2x = t ).(arcsin ttx ==

.

21

11)(

ttt

= 1020

t

x pi

.d)1(21d

21

11)1( 1

02/32/51

023

=

= tttttt

ttI

=

=

=

=

2527

231251

q

p

q

p .512

3)6(

25

27

21

25

,27

21 pi

=

=

= BI

g) Se pot aplica dou metode pentru a obine integrala beta. (M1) t

tx

= 16

d beta pe intervalul (0, 1); (M2) x6 = t d beta pe intervalul (0, ); S aplicm prima metod:

.

)1(1

161)()(1 2

6/56/1

ttttt

ttx

==

=

100

1 66

tx

x

xt +

=


203

==

+

=

1

06/56/11

0 2

6/56/4

d)1(61d

)1(1

161

111 tttt

ttt

tt

tt

I

=

= 65

,61

61

61

,65

61 BB deoarece .

6165

651611

=

=

=

=

q

p

q

p

Deci: .36sin

61 pi

=

pipi

=I

Observaie Sugerm s se obin acest rezultat folosind (M2). h) Se pot folosi substituiile: (M1) tx =3 pentru beta pe (0, ); (M2) t

tx

= 13 pentru beta pe (0, 1).

Aplicm (M1) i lsm (M2) ca exerciiu: x = t1/3 = (t) 3/23

1)( = tt

00

tx

;d)1(31d3

11

10

13/20

3/2 tttttt

I

+=

+= .

3231

1321

=

=

=+

=

q

p

qpp

.932

3sin31

32

,31

31 pi

=

pipi

=

= BI

i) ;43

,45d)1(

024/1

=+= BxxxI ;

4345

2411

=

=

=+

=

q

p

qpp

Deoarece p > 1 putem aplica i formula de recuren studiat:

),,1(11),( qpB

qppqpB

+

=

deci: .42

4sin41

43

,41

141

43

,45 pi

=

pipi

=

=

BB

j) ;21)(21 ==+= xtttx .2)( = t


204

Limitele de integrare se modific astfel: 1031

tx

;d)1(d2)1(2

1 10

2/12/11

0

=

= tttttt

I .

2121

211211

=

=

=

=

q

p

q

p

Deci .21

,21 pi=

= BI

k) Putem aplica: (M1) x2n = t, obinnd beta pe (0, ) sau (M2) ,1

2t

tx n

= obinnd beta pe (0, 1).

Aplicm (M1), mai rapid: .21)();( 12

121

=== nn tn

tttx

.d)(121d2

11

10

1121

0

121

+=+

= tttn

ttnt

I nn

;

211

21

112

11

=

=

=+

=

nq

np

qpn

p .

2sin21

211,2

121

nnnn

Bn

Ipi

pi=

=

l) .d)1(0

13/1

+= xxxI

Identificm: ;3132

1311

=

=

=+

=

q

p

qpp

.332

3sin32

,31

31

,32 pi

=

pipi

=

=

= BBI

m)

+=0

33/1 d)1( xxxI de unde: .3732

3311

=

=

=+

=

q

p

qpp

.37

32

!21

)3(37

32

37

,32

=

=

= BI

Pentru

3

7 se aplic formula de recuren:


205

.31

94

31

31

34

34

34

37

=

=

=

Deci: .2734

339

2

3sin92

32

,31

92

31

32

94

21 pi

=pi

=

pipi

=

=

= BI

n) Folosim una dintre substituiile: (M1) tx =3 pentru a obine integrala beta pe (0, ); (M2) t

tx

= 13 pentru a obine integrala beta pe (0, 1).

Aplicm (M1): 3/23/1 31)()( === ttttx

00

tx

;d)1(31d

))(1(31

019

8

0 3/23/1

3/2

+=+

= tttttt

tI .

9891

1981

=

=

=+

=

q

p

qpp

.

9sin31

98

,91

31

pipi

=

= BI

o) Folosim una dintre substituiile: (M1) tx =6 pentru a obine integrala beta pe (0, ) sau (M2) t

tx

= 16 pentru a obine integrala beta pe (0, 1).

Dac alegem (M1), metod mai rapid, avem:

6/56/161)()( === ttttx i

00

tx

.d)1(61d

)1(61

022/1

0 2

6/53/1

+=+

= ttttt

ttI Facem

=

=

=+

=

2321

2211

q

p

qpp

Obinem .23

,21

61

= BI Putem folosi formula de recuren pentru q > 1:

).1,(11),( +

= qpBqp

qqpB

Deci: .12121

21

,21

121

61 pi

=pi=

= BI


206

Probleme i exerciii propuse 1. S se studieze natura urmtoarelor serii numerice i s se afle suma seriilor

convergente, folosind irul sumelor pariale:

a) ;)1)(1(1

1

=

+n

nnn b) ;)12)(12(

11

=

+n

nn c) ;,)(1

=

+ Nppnnp

n

d) ;)3(21ln

1

=

+

+n

nn e) .,)(...)1(

11

=

++++ Nppnnn

n

Rspunsuri:

a) convergent, ;41

=s b) convergent, ;21

=s c) convergent, ++= 211s

;1...p

++ d) convergent, s = ln3; e) convergent, .!1

pps

=

2. S se cerceteze dac urmtoarele serii numerice ndeplinesc criteriul nece-sar de convegen:

a) ;12

11

3

=+n nn

b) .11ln2

=

nn

n

Rspunsuri a) ,0lim =

n

nu dar nu se poate stabili natura seriei (doar aplicnd un criteriu

suficient, Raabe-Duhamel); b) ,01lim =

nn

u deci seria este divergent.

3. S se aplice criteriile suficiente de convergen pentru urmtoarele serii numerice:

a) ;)1(sin1

=

+pi

nnn

b)

=

>

1;0,!

n

n

anan c) ;12

31

ln

=

++

n

nn

nn

d) ( ) ;0,))(1(1

>++

=

anannn

n e) ;1,0,

1

1...3

1211

>

=

++++aaa

n

n

f) ;121

!)!2(!)!12(

1

=

+

nnn

n g) .

)1(2!

12

=+n

n n

n

Indicaii i rspunsuri

a) convergent, criteriul comparaiei ;)1()1(sin +pi

+pi

nnnn

b) dac a < e seria este convergent, dac a e seria este divergent (crite-riul raportului pentru a e i Raabe-Duhamel pentru a = e);

c) convergent (criteriul rdcinii Cauchy);


207

d) criteriul rdcinii (Cauchy): seria convergent pentru a < 1, divergent pentru a > 1. Dac a = 1, atunci un = 1, deci seria este divergent;

e) criteriul Raabe-Duhamel: seria este convergent pentru e

a 1< i diver-

gent pentru .1e

a > Dac ,0,1 /= nuea deci seria este divergent;

f) criteriul Raabe-Duhamel: ,123 >= seria este convergent;

g) criteriul raportului, seria este divergent. 4. S se aplice criteriul Leibniz pentru urmtoarele serii alternate:

a) ;1)1(1

=

n

n

ntg b) ;1

1ln)1(1

=

+

n

n

nnn c) ;1)1(

13 2

=

n

n

nn

d) ;3

1)1(1

=

nn

n

n e) .

31)1(

1

=

nn

n

Rspunsuri Se verific dac irurile (un)n1 sunt descresctoare i dac .0lim =

n

nu

a) convergent; b) convergent; c) convergent; d) convergent; e) convergent;

5. Fie seria geometric funcional: .0

=n

nx S se afle intervalul de convegen-

i suma seriei. S se cerceteze apoi seriile:

=1n

nnx i .1

2

=n

nxn

Indicaie i rspuns

xx

n

n

=

=

11

0 dac x(1, 1) (convergen absolut). Prin derivare termen

cu termen: ,)1(

12

1

1

xnx

n

n

=

=

deci 21 )1( x

xnxn

n

=

=

pentru x(1, 1).

Derivm termen cu termen seria obinut, apoi nmulim ambii membrii ai

egalitii cu x: 31

2

)1()1(

x

xxxn

n

n

+=

=

pentru x(1, 1).

6. S se determine raza de convergen i intervalele de convergen absolut pentru urmtoarele serii de puteri:

a) ;)1()2(31

=

++

n

nnn

xn

b) ;1

20

2

=+n

nn

xn


208

c) .0,)(...)2)(1(!

1>

+++

=

axnaaa

n

n

n

Rspunsuri i indicaii a) pentru x + 1 = y se obine serie de puteri centrat n zero. Seria este ab-

solut convergent pentru

31

,31y i deci pentru ;3

2,3

4

x

b) ;21

,21

,21

= xR c) R = 1, x(1, 1).

7. Folosind un polinom Taylor de ordinul 3 s se determine valori aproximati-ve pentru:

a) ;303 b) ;e c) ln(1,2); arcsin 0,45. Rspunsuri a) 3,1072; b) 1,64872; c) 0,182321; d) 0,46676. 8. Folosind definiia s se arate c:

a) ;18)2(lim42

=+

xxyyx

b) .21lim

2

21

=

y

x

yx

9. Fie f: (0, )(0, ) R, .),(22

yxyxyxyxf

+++

= S se calculeze limite-

le iterate i limita funciei n (0, 0). Rspuns: ,1),(limlim

00=

yxf

xy,1),(limlim

00=

yxf

yxdar nu exist ).,(lim

)0,0(),(yxf

yx

10. Funcia f: R2 R, definit prin:

=

+=

)0,0(),( dac0)}0,0{(\),( dac),(

222

yx

yxyx

xyyxf R

admite derivate pariale ),0,0(),0,0( yx ff dar nu este continu n origine. Indicaie i rspuns

,0)0,0(;0)0,0( == yx ff nu exist ),(lim )0,0(),( yxfyx alegnd perechi de i-

ruri, de exemplu .3,1 i 1,1

nnnn

11. Fie .sinsin),( 22 yxyxf += Pornind de la definiie s se calculeze: .4,4 i 0,4

pipi

pi

yf

x

f


209

Rspuns: 21

i 22

12. Pentru f(x, y) = arctg xy s se calculeze .2 yxf Rspuns:

Se calculeaz pe rnd:

.

)1(32)( i )();,( 332

422222

yxyxy

xffffyxf yxyxxxxx +

===

13. S se arate c, n origine O(0, 0) funcia:

=

+

+=

)0,0(),(pentru 0)0,0(),(pentru 1sin)(),( 22

22

yx

yxyx

yxyxf

este continu, admite derivate pariale discontinue, ns este difereniabil. 14. S se determine punctele de extrem local pentru urmtoarele funcii:

a) ;0,0,2050),( ++= yxyx

xyyxf

b) ;3),( 33 xyyxyxf +=

c) ;0,0,1),( 22

2

2>>= ba

by

a

xxyyxf

d) ;242),( 2244 yxyxyxyxf ++= e) ;,3),( 33 R+= aaxyyxyxf f) ;2),,( 222 zxxyzyxzyxf ++++= g) ;173),,( 22 ++++= yxzyzxzyxf h) ;,,,

1),(

22

++

++= Rcba

yx

cybxayxf

i) ),sin(sinsin),( yxyxyxf +++= pentru .2,0,

piyx

Rspuns a) (5, 2) minim; b) (1, 1) minim; c) Dmax este interiorul elipsei de semiaxe

a, b; exist dou puncte de minim: 33== b

yax

i dou puncte de maxim:


210

;33

== by

ax

d) (0, 0) punct a i )2,2(),2,2( puncte de minim; e)

(a, a) este minim dac a > 0 i maxim dac a < 0; f)

1,31

,32 minim;

g)

1,2,23

punct a; h)

ac

ab

, maxim; i)

pipi

3,3 maxim.

15. Studiai convergena urmtoarelor integrale:

a) ;d10 4

+x

x

x b) ;d1

1 3

2

+ x

x

x c) ;d

0

2

xxe x d) ;d11ln

1

+

xx

x

e) ;1

d0 24

2

++ xxxx

f) ;1d1

0 2 x

x g) ;

1d1

0 4 x

x h) ;

1d1

0

xe

x

i) ;d01 3

/1

xx

e x j) .d1

0 3

/1

xx

e x

Rspunsuri

a) convergent, ;4pi

=I b) divergent; c) convergent, ;21

=I d) conver-

gent pentru > 0; e) convergent; f) convergent, ;2pi

=I g) convergent;

h) convergent; i) convergent, ;2e

I = j) divergent.

16. Studiai convergena integralelor

0dsin xxe x i .dcos

0

xxe x

Indicaie: Se aplic teorema Abel-Dirichlet pentru funciile: f(x) = sinx, xR+; g(x) = ex, xR+.

17. Artai c funcia cos nu este integrabil n sens impropriu pe intervalul [0, +). Indicaie:

t

txx

0dcoslim nu exist.

18. Calculai: .d0

xx

ex

R: pi

19. Calculai .))((

d0

baxbax

xb

An1 Derivat.ro Analiza-1 2 2 Elemente de Analiza Matematica

Documents

Transcript of An1 Derivat.ro Analiza-1 2 2 Elemente de Analiza Matematica