3_AlgebraLiniaraSiGeometrieAnalitica

Paul Popescu

ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE ANALITICĂ

MANUAL UNIVERSITAR

pentru învăţământ cu frecvenţă redusă

Prof. univ. dr. Paul POPESCU


MANUAL UNIVERSITAR

pentru învăţământ cu frecvenţă redusă Referenţi ştiinţifici:

Copyright 2012 Universitaria Toate drepturile sunt rezervate Editurii Universitaria Craiova Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României

POPESCU, Paul

Algebră liniară şi geometrie analitică / Paul POPESCU. – Craiova: Universitaria, 2012 ISBN 978- Apărut: 2012 TIPOGRAFIA UNIVERSITĂŢII DIN CRAIOVA Str. Brestei, nr. 156A, Craiova, Dolj, România Tel.: +40 251 598054 Tipărit în România

Introducere

TITLU DISCIPLINĂ

1


INTRODUCERE

Cursul de Algebră liniară şi geometrie analitică face parte din categoria disciplinelor

fundamentale şi obligatorii. El se bazează pe cunoştiinţele de matematică (algebă şi

geometrie) din liceu şi conţinutul său va fi folositor pe tot parcursul procesului de învăţare,

acolo unde intervin calcule algebrice cu vectori şi matrici.

Obiectivele cursului constau în familiarizarea cu notiunile elementare de algebra,

algebra liniara si geometrie analitica necesare in studiul obiectelor tehnice, cât şi studierea

proprietatilor legate de aceste notiuni si deprinderea algoritmilor si tehnicilor specifice.

Manualul are la bază unsprezece module, aflate în următoarea corespondenţă cu unităţile de

învăţare, după cum urmează:

1. Spatii vectoriale: Definitii. Exemple. Subspatii vectoriale. Combinatii liniare. Sisteme de

generatori. Liniar independenta, liniar dependenta. Baza. Dimensiune. Matrice de trecere.

Schimbarea componentelor unui vector la schimbarea bazei. Lema substitutiei si aplicatiile ei.

Corespund modulele:

1. Spaţii vectoriale.

2. Subspaţii vectoriale.

3. Sisteme de vectori

4. Lema substituţiei

2. Aplicatii liniare: Definiţii. Nucleu si imagine. Reprezentarea matriciala a unei aplicatii

liniare. Schimbarea matricii asociate unei aplicatii liniare la schimbarea bazelor. Izomorfisme

de spatii vectoriale. Endomorfisme liniare. Valori si vectori proprii. Polinom caracteristic.

Polinoame de matrici. Diagonalizarea matricilor pe spatii finit dimensionale. Descrierea

algoritmilor de diagonalizare si jordanizare.

Corespund modulele:

5. Aplicaţii liniare.

6. Endomorfisme liniare.

3. Forme biliniare: Definitii. Exemple. Matricea atasata unei forme biliniare. Forme biliniare

simetrice si forme patratice. Reducerea la forma canonica si signatura unei forme patratice.

Legea inertiei a lui Sylvester.

Introducere

TITLU DISCIPLINĂ 2

Corespunde modulul:

7. Forme pătratice.

4. Spatii euclidiene: Endomorfisme pe spatii euclidiene. Produs scalar. Norma euclidiana.

Ortogonalizare. Baze ortonormate. Operatori liniari pe spatii euclidiene. Cazul V3 . Produs

vectorial si produs exterior.

Corespunde modulul:

8. Spaţii euclidiene.

5. Spatii afine euclidiene: Cazurile E2 si E3.

Corespunde modulul:

9. Geometria spaţiilor afin euclidiene

6. Geometria analitica a spatiului E3: Dreapta. Dreapta determinata de un punct si o

directie. Ecuatiile parametrice ale dreptei. Ecuatiile carteziene ale dreptei. Distanta de la un

punct la o dreapta. Unghiul a doua drepte. Pozitia relativa a doua drepte. Planul. Planul

determinat de un punct si doi vectori necoliniari. Planul determinat de un punct si un vector

normal la plan. Planul determinat de trei puncte necoliniare. Distanta de la un punct la un

plan. Unghiul a doua plane. Perpendiculara comuna a doua drepte. Distanta dintre doua

drepte. Ecuatiile implicite ale unei drepte.

Corespunde modulul:

10. Geometria analitica a spaţiilor afine euclidiene canonice

7. Cuadrice: Conice (recapitulare liceu). Definitii legate de cuadrice. Centrul unei cuadrice.

Directii asimptotice. Invarianti si semiinvarianti. Forma canonica a conicelor si cuadricelor

folosind transformari ortogonale. Studiul conicelor si cuadricelor cu si fara ajutorul formei

canonice.

Corespunde modulul:

11. Cuadrice.

În stabilirea notei finale, ponderea examenului este de 60%, urmând ca 40% să fie

cumulat prin studiu individual şi teste la seminar.

Fiecare modul are teste de autoevaluare la sfârşitul fiecărui subcapitol important, cu

indicaţii şi rezolvări la sfârşitul modulului. Este indicat ca acestea să fie rezolvate prioritar,

înainte de a trece la parcurgerea următorului subcapitol. Un test final se găseşte la sfârşitul

fiecărui modul, cu un nivel puţin mai ridicat de dificultate decât testele intermediare.

Prof.dr. Paul Popescu

Spaţii vectoriale


1

Unitatea de învăţare nr. 1

SPAŢII VECTORIALE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1 2 1.1. Spaţii vectoriale 2 1.1.1. Definiţia spaţiului vectorial 2 1.1.2. Proprietăţi elementare ale spaţiilor vectoriale 3 Test de autoevaluare 1.1.2. 3 1.1.3. Exemple fundamentale de spaţii vectoriale 3 Test de autoevaluare 1.1.3. 5 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 1 6 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 6 Concluzii 6 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 1 7

Spaţii vectoriale

ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE ANALITICĂ 2

OBIECTIVELE unităţii de învăţare nr. 1

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 1 sunt: 1.1 Spaţii vectoriale 1.1.1. Definiţia spaţiului vectorial Fie V o mulţime nevidă şi K un corp comutativ (câmp). O structură de spaţiu vectorial pe

mulţimea V , peste corpul comutativ K , (un K -spaţiu vectorial) este definită de un triplet

),,( scV ⋅+ , unde ),( +V este un grup, iar VVKsc →×⋅ : este o lege de compoziţie externă,

astfel că au loc proprietăţile:

1) ( ) yxyx ⋅+⋅=+⋅ ααα , K∈∀ α)( , Vyx ∈, ;

2) ( ) xxx ⋅+⋅=⋅+ βαβα , K∈∀ βα ,)( , Vx∈ ;

3) ( ) ( )xx ⋅⋅=⋅⋅ βαβα , K∈∀ βα ,)( , Vx∈ ;

4) xx =⋅1 , Vx∈∀)( .

Elementele mulţimii V se numesc vectori, legea de compoziţie internă ,, + '' pe V se

numeşte adunarea vectorilor, iar legea de compoziţie externă ,, '' pe V este numită produs

cu scalari. .

Un spaţiu vectorial peste corpul numerelor reale ( RIK = ) se numeşte spaţiu vectorial

real, iar un spaţiu vectorial peste corpul numerelor complexe ( ′= CK ) se numeşte spaţiu

vectorial complex. Orice spaţiu vectorial considerat în continuare va fi real sau complex, dacă

nu va fi făcută altă specificaţie.

Doi vectori x şi y pentru care există un scalar K∈α astfel încât yx α= sau

xy α= se numesc vectori coliniari.

Dacă 1x , , Vxn ∈ sunt vectori şi ,1α , Kn ∈α sunt scalari, atunci se spune că

vectorul ıı

n

ixx α

1=∑= este o combinaţie liniară a vectorilor nxx ,,1 . Astfel, de exemplu,

dacă x , Vy∈ şi α , K∈β , atunci vectorul yxz βα += este o combinaţie liniară a

• Definirea noţiunii de spaţiu vectorial

• Recunoaşterea exemplelor fundamentale de spaţii

vectoriale

Spaţii vectoriale


3

vectorilor x şi y .

1.1.2. Proprietăţi elementare ale spaţiilor vectoriale

Fie un K -spaţiu vectorial ),,( ⋅+V . Sunt adevărate următoarele proprietăţi:

1) 00 =⋅ x , Vx∈∀)( .

2) 00 =⋅α , K∈∀ α)( .

3) Dacă K∈α şi Vx∈ sunt astfel încât 0=⋅ xα , atunci 0=α sau 0=x .

4) Dacă K∈βα , şi Vyx ∈, :

5) Dac xx ⋅=⋅ βα şi 0≠x , atunci βα = ;

6) Dac yx ⋅=⋅ αα şi 0≠α , atunci yx = .

7) xx −=⋅− )1( , Vx∈∀)( .

8) xyyx +=+ , Vyx ∈∀ ,)( , adică grupul ),( +V este un grup comutativ.

1.1.3. Exemple fundamentale de spaţii vectoriale

Exemple

1. Fie RIRIRI ×=2 şi legile de compoziţie:

,),(),,)((),,(),(),(,: 2.

222 RIbayxbyaxbayxRIRIRIdef

∈∀++=+→×+

.),(,)(),,(),(,: 2.

22 RIyxRIyxyxRIRIRIdef

∈∈∀=⋅→×⋅ αααα

Tripletul ),,( 2 ⋅+RI este un spaţiu vectorial, numit spaţiul vectorial aritmetic 2RI .

2. Pentru ,∗∈ NIn pe orin

RIRIRI n ××= se definesc legile de compoziţie:

,: nnn RIRIRI →×+

),,,,(),,,(),,,( 2211.

2121 nndef

nn yxyxyxyyyxxx +++=+

,),,,(),,,,)(( 2121 nnn RIyyyxxx ∈∀

),,,,(),,,(,: 21.

21 ndef

nnn xxxxxxRIRIRI αααα =⋅→×⋅

.),,,(,)( 21 nn RIxxxRI ∈∈∀ α

Tripletul ),,( ⋅+nRI este un spaţiu vectorial real, numit spaţiul vectorial aritmetic nRI .

Test de autoevaluare 1.1.2 Verificaţi proprietăţile de mai sus!

Spaţii vectoriale


3. Un caz particular important al exemplului de mai sus este .1=n Astfel, corpul real

),( +⋅RI este un spaţiu vectorial real, numit spaţiul vectorial aritmetic RI .

4. În general, dacă ),,( ⋅+K este un corp comutativ, atunci ),,( ⋅+K este un K -spaţiu

vectorial.

5. Fie ),,( ⋅+K un corp comutativ şi ∗∈ NIn . Pe orin KKK n ××= se definesc legile de

compoziţie:

,: nnn KKK →×+ ),,,,(),,,(),,,( 2211.

2121 nndef

nn yxyxyxyyyxxx +++=+

,),,,(),,,,)(( 2121 nnn Kyyyxxx ∈∀

),,,,(),,,(,: 21.

21 ndef

nnn xxxxxxRIKK αααα =⋅→×⋅ .),,,(,)( 21 nn KxxxK ∈∈∀ α

Tripletul ),,( ⋅+nK este un spaţiu vectorial peste corpul K .

6. Corpul complex ),( +⋅′C este un spaţiu vectorial complex, conform exemplului 4. de mai

sus.

7. Se poate defini un spaţiu vectorial real ),( RIC ⋅+′ , cu legile de compoziţie

′→′×′+ CCC: , de adunare a numerelor complexe, şi ′→′×⋅ CCRIRI : , de înmulţire a

numerelor reale cu numerele complexe: biaiba ααα +=+⋅ )( . Să remarcăm că este

important să fie specificat corpul peste care este definit un spaţiu vectorial.

8. Ca un caz particular al exemplului 5. este spaţiul vectorial complex ),,( ⋅+′ nC .

9. Fie ∗∈ NIqp, şi =)(, KqpM qjpiija

,1,1){(

==

| piKaij ,1)(, =∀∈ , },1 qj = , mulţimea

matricilor cu p linii şi q coloane, cu elemente din corpul comutativ K . Se consideră

legile de compoziţie

)()()(: ,,, KKK qpqpqp MMM →×+ ,

=+==

==

qjpiij

qjpiij ba

,1,,1

,1,,1 )()(

qjpiijij ba

,1,,1)(

==+ , de adunare a matricilor, şi

)()(: ,, KKK qpqpsc MM →×⋅ , =⋅==

qjpiija

,1,,1)(α

qjpiija,1

,,1)(==α , de înmulţire a matricilor cu

scalari din K . Tripletul ),),(( , scqp K ⋅+M este un spaţiu vectorial peste corpul K .

10. Fie K un corp comutativ şi

=∑=∞

=

nn

nXaXK

0{][ +++++ n

n XaXaXaa 2210 | , şi

NIn ∈′∃)( a.î. 0=na , })( nn ′>∀ , mulţimea polinoamelor în nedeterminata X , cu

Spaţii vectoriale


5

coeficienţii din K . Se consideră legile de compoziţie

][][][: XKXKXK →×+ , +∑∞

=

nn

nXa

0 =∑

∞

=

nn

nXb

0 n

nnn

Xba )(0

+∑∞

= , de adunare a

polinoamelor şi ][][: XKXKKsc →×⋅ , ⋅α =∑∞

=

nn

nXa

0

nn

nXa )(

0α

∞

=∑= , de înmulţire a polinoamelor cu scalari din .K

Tripletul ),],[( scXK ⋅+ este un spaţiu vectorial peste corpul K .

11. Fie M o mulţime şi V un K -spaţiu vectorial. Atunci mulţimea

}:{),( VMfVMF →= , a funcţiilor cu domeniul M şi codomeniul V , cu legile de

compoziţie ),(),(),(: VMFVMFVMF →×+ şi

),(),(: VMFVMFK →×⋅ , definite prin )()())(( xgxfxgf +=+ şi )())(( xfxf ⋅=⋅ αα

, ),(,)( VMFgf ∈∀ , K∈α , Mx∈ , este un K -spaţiu vectorial.

Observaţi ca toate verificările se reduc la proprietăţi ale corpului K!

De reţinut ! Toate aceste exemple vor fi folosite pe parcursul întregului curs.

Ele sunt exemple fundamentale de spaţii vectoriale.

Test de autoevaluare 1.1.2 Verificaţi îndeplinirea condiţiilor din definiţia spaţiului vectorial pentru

fiecare din exemplele de mai sus!

Spaţii vectoriale


Concluzii Spaţiile vectoriale se află la baza algebrei lineare, cât şi a geometriei

analitice. Exemplele fundamentale introduse mai sus vor sta la baza

tuturor modelelor şi exemplelor acestui curs.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 1 1. Să se arate că dacă K ′ este un subcorp al corpului comutativ K , atunci K este spaţiu vectorial peste K ′ . În particular, să se obţină structura de spaţiu vectorial real al corpului C al numerelor complexe. 2. Fie V un spaţiu vectorial real. Pe mulţimea W V V= × , se consideră operaţiile:

( )

( )( ) ( ) ( )

.

.

, ( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),

, , ( , ) ( , ) , .

def

def

W W W x y u v x y u v x u y v

W W a ib x y a ib x y ax by ay bx

× → → + = + +

× → + → + ⋅ = − −C

Să se arate că W împreună cu cele două operaţii este un spaţiu vectorial peste corpul C al numerelor complexe. (Acest spaţiu vectorial complex se numeşte complexificatul spaţiului vectorial real V

şi se notează W V=C ; elementele lui VC de forma ( , )z x y= se notează

z x iy= + , astfel că operaţiile definite mai sus au forma

( ) ( ) ( ) ( ))x iy u iv x u i y v+ + + = + + + , respectiv

( ) ( ) ( ) ( )a ib x iy ax by i ay bx+ ⋅ + = − + − ).

3. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi :f M V→ o bijecţie. Pe M se definesc operaţiile:

.1

.1

: , ( , ) ( ( ) ( )),

: , ( , ) ( ( )).

def

def

M M M a b a b f f a f b

K M M a a f f aα α α

−

−

⋅⊕ ⋅ × → → ⊕ = +

⋅ ⋅ × → → = ⋅

Să se arate că M împreună cu cele două operaţii formează o structură de spaţiu vectorial. 4. Pe (0, )IR∗

+ = +∞ se consideră operaţiile: .

.

: , ( , ) ,

: , ( , ) .

def

def

IR IR IR x y x y x y

IR IR IR a x xαα α

∗ ∗ ∗+ + +

∗ ∗+ +

⋅⊕ ⋅ × → → ⊕ = ⋅

⋅ ⋅ × → → =

Să se arate că IR∗+ împreună cu cele două operaţii este un spaţiu

vectorial.

Spaţii vectoriale


7

Bibliografie

1. Popescu M., Popescu P., Algebră liniară si geometrie analitică, Ed. Universitaria, Craiova, 2002.

2. Popescu M., Popescu P., Algebră liniară si geometrie analitică. Probleme, Ed. Reprograph, Craiova, 2002.

3. Vladimirescu I., Popescu M., Algebră liniară şi geometrie analitică, Editura Universitaria, Craiova, 1994.

4. Vladimirescu I., Munteanu F., Algebra liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Editura Universitaria, Craiova, 2007.

Subspaţii vectoriale


1


SUBSPAŢII VECTORIALE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 2 2 2.1 Subspaţii vectoriale: definiţii, exemple, proprietăţi 2 2.1.1. Definiţia subspaţiului vectorial 2 2.1.2. Exemple de subspaţii vectoriale 3 2.1.3. Proprietăţi ale subspaţiilor vectoriale 3 Test de autoevaluare 2.1.3. 5 2.2. Subspaţii vectoriale şi sisteme de ecuaţii liniare omogene 5 Test de autoevaluare 2.2. 8 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 2 8 Concluzii 8 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 9 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 2 10


ALGEBRÃ LINIARÃ ŞI GEOMETRIE ANALITICÃ 2


Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 2 sunt: 2.1 Subspaţii vectoriale: definiţii, exemple, proprietăţi

2.1.1. Definiţia subspaţiului vectorial Fie V un K -spaţiu vectorial. Un subspaţiu vectorial al lui V este o submulţime

nevidă W V⊂ care are proprietatea că pentru orice ,x y W∈ şi Kα ∈ rezultă x y+ ,

x Wα ⋅ ∈ .

Orice K -spaţiu vectorial V conţine ca subspaţii vectoriale pe el însuşi ( V V⊂ ) şi

subspaţiul nul {0} V⊂ , care conţine numai vectorul nul. Acestea se numesc subspaţii

vectoriale improprii. Celelalte subspaţii vectoriale se numec proprii. Aşadar, un subspaţiu

vectorial W este propriu dac conţine un vector nenul ( ( ) \{0}x W∃ ∈ ) şi exist un vector V

neconţinut în subspaţiul W ( ( ) \y V W∃ ∈ ).

Se observă că din condiţia că submulţimea W V⊂ este un subspaţiu vectorial,

rezultă că

W W W+ ⊂ şi K W W⋅ ⊂ ,

unde am notat

1 2{W W w w+ = + | 1 2, }w w W∈ şi {K W wα⋅ = ⋅ | Kα ∈ , }w W∈ .

Rezultă că restricţiile celor două operaţii la W definesc aplicaţiile induse

: W W W+ × → şi : K W W⋅ × → .

Propozitia 2.1 Fie V un K -spaţiu vectorial. Atunci W V⊂ este un subspaţiu vectorial

dacă şi numai dacă orice combinaţie liniară de două elemente ale lui W este în W , mai

precis, dacă 1w , 2w W∈ şi 1α , 2 Kα ∈ , atunci 1 1 2 2w w Wα α+ ∈ .

• Definirea noţiunii de subspaţiu vectorial

• Înţelegerea celor două moduri de definire generică a

subspaţiilor vectoriale şi interschimbarea lor

• Determinarearea intersecţiei subspaţiilor vectoriale

folosind sisteme omogene



3

Un subspaţiu vectorial este la rândul său un spaţiu vectorial.

Propozitia 2.2 Dacă V este un K -spaţiu vectorial, atunci orice subspaţiu vectorial

W V⊂ este la rândul său un K -spaţiu vectorial cu operaţiile induse de pe V .

2.1.2. Exemple de subspaţii vectoriale

1. Fie V un K -spaţiu vectorial şi x V∈ . Atunci submulţimea {x xα= ⋅V | }K Vα ∈ ⊂

este un subspaţiu vectorial. Dacă 0x ≠ , atunci xV nu este spaţiu vectorial nul (pentru că îl

conţine pe x ). Nu putem afirma însă, în general, că x V⊂V este un subspaţiu propriu,

deoarece este posibil ca x V=V .

2. Fie n IN∈ şi [ ] [ ]nK X K X⊂ submulţimea polinoamelor cu elemente din K , care au

gradul cel mult n (reaminitim că gradul unui polinom nenul 0

kk

kf a X

∞

== ∑ este cel mai mic

număr n IN′∈ astfel încât 0na = , ( )n n′∀ > , iar gradul polinomului nul este −∞ ).

Subspaţiul vectorial [ ] [ ]nK X K X⊂ este propriu, deoarece conţine polinoamele constante

nenule, care au gradul 0 (de exemplu, 1 [ ]nf K X= ∈ ), deci [ ] {0}nK X ≠ , şi există

polinomul 1 [ ] \ [ ]nnX K X K X+ ∈ , deoarece are gradul 1n + ).

2.1.3. Proprietăţi ale subspaţiilor vectoriale

Propozitia 2.3 Intersecţia a două sau mai multe subspaţii vectoriale ale unui K -spaţiu

vectorial V este un subspaţiu vectorial al lui V .

Fie M V⊂ o submulţime a unui spaţiu vectorial. Fie ( )ML intersecţia toturor subspaţiilor

vectoriale care conţin pe M , adică

subspaţiu

( ) .M W VW

M W⊂ ⊂

= L

Din propoziţia 2.3 rezultă că ( )M V⊂L este un subspaţiu vectorial, care se numeşte

subspaţiul vectorial generat de mulţimea M . Să remarcăm faptul că ( )M M⊂ L , deoarece

M este inclus în toate subspaţiile vectoriale care se intersectează pentru a se obţine ( )ML .

Definiţia subspaţiului vectorial generat de o mulţime este dificil de folosit în aplicaţii. De



aceea, este util următorul rezultat, care exprimă concret forma elementelor lui ( )ML .

Propozitia 2.4 Fie V un spaţiu vectorial şi M V⊂ o submulţime a sa. Atunci

1 1 2 2( ) { n nM v v vα α α= + + +L | 1v , 2v , , nv M∈ , 1α , 2α , , }n Kα ∈ (adică subspaţiul

vectorial generat de mulţimea M este format din mulţimea tuturor combinaţiilor liniare cu

elemente din M şi scalari din K , numită acoperirea liniară a lui M ).

Aceasta arată că subspaţiul liniar generat de o submulţime a unui spaţiu vectorial

coincide cu acoperirea liniară a submulţimii.

Se consideră spaţiul vectorial canonic 2( , , )IR + ⋅ şi subspaţiile

1 {0}V IR= × , 22 {0}V IR IR= × ⊂ . Se observă că 2

1 2V V IR∪ ⊂ nu este un subspaţiu

vectorial, pentru că suma 1 2(1,0) (0,1) (1,1) V V+ = ∉ ∪ . Prin urmare reuniunea a două

subspaţii vectoriale nu este, în general, un subspaţiu vectorial. În schimb, se poate demonstra

rezultatul următor.

Propozitia 2.5 Fie V un K -spaţiu vectorial şi 1V , 2V V⊂ sunt dou subspaţii vectoriale.

Atunci 1 2V V+ = {x y+ | 1x V∈ , 2}y V∈ este un subspaţiu vectorial al lui V şi are

loc egalitatea 1 2 1 2( )V V V V+ = ∪L .

Avem, în general, următorul rezultat.

Propozitia 2.6 Dacă 1M , 2M V⊂ sunt două submulţimi ale spaţiului vectorial V , atunci

1 2 1 2( ) ( ) ( )M M M M+ = ∪L L L .

Două subspaţii vectoriale 1V , 2V V⊂ spunem că sunt transverse dacă

1 2 {0}V V∩ = , adică dacă intersecţia lor este subspaţiul vectorial nul.

Dacă două subspaţii vectoriale 1V , 2V V⊂ sunt transverse, atunci suma lor, 1 2V V+ ,

se notează 1 2V V⊕ şi se numeşte sumă directă a celor două subspaţii.

Propozitia 2.7 Fie două subspaţii vectoriale 1V , 2V V⊂ . Atunci sunt echivalente

afirmaţiile:



5

1) 1V şi 2V sunt transverse;

2) 1 2( )v V V∀ ∈ + se scrie în mod unic sub forma 1 2v v v= + , cu 1 1v V∈ şi 2 2v V∈ .

Spunem că spaţiul vectorial V este suma directă a două subspaţii vectoriale 1V ,

2V V⊂ , dacă 1 2V V V= ⊕ . În acest caz subspaţiile 1V şi 2V se spune că sunt subspaţii

suplimentare.

2.2 Subspaţii vectoriale şi sisteme de ecuaţii liniare omogene

Vom arăta în continuare că mulţimea soluţiilor unui sistem liniar şi omogen poate fi

privită ca un subspaţiu vectorial al unui spaţiu vectorial de matrici coloană.

Un sistem liniar şi omogen, cu m ecuaţii şi n necunoscute, cu coeficienţii din corpul

K , este un sistem de forma: 1

11 1

11

0,

0,.

nn

nm mn

a x a x

a x a x

+ + = + + =

unde ,n m IN ∗∈ şi ija K∈ , ( ) 1,i m∀ = , 1,j n= . Sistemul de mai sus se poate scrie

matricial:

0 ,mA X⋅ =

unde 11 1

,1,1,

1

( ) ( )n

ij m ni mj n

m mn

a aA a K

a a==

= = ∈

M ,

1

,1( )nn

xX K

x

= ∈

M şi ,1

00 ( )

0m m K

= ∈

M .

Test de autoevaluare 2.1.3 Fie { : }V f IR IR= → spaţiul vectorial real al funcţiilor reale. 1) Să se arate că submulţimea funcţiilor pare { :f IR IR= →P |

( ) ( )f x f x− = , ( ) }x IR∀ ∈ şi submulţimea funcţiilor impare { :f IR IR= →I | ( ) ( )f x f x− = − , ( ) }x IR∀ ∈ sunt

subspaţii vectoriale ale lui V . 2) Să se arate că V = ⊕P I



O matrice

1

,1( )nn

xX K

x

= ∈

M care verifică egalitatea (somog) se numeşte soluţie a

sistemului liniar şi omogen dat; notăm cu ,1( )n K⊂S M mulţimea soluţiilor. Dup cum se ştie,

mulţimea de matrici ,1( )n KM este un K -spaţiu vectorial.

Propozitia Submulţimea ,1( )n K⊂S M a soluţiilor unui sistem liniar şi omogen de forma

(somog) este un subspaţiu vectorial al mulţimii matricilor coloană, ,1( )n KM .

Exemplu. Fie sistemul de ecuaţii 2 0

2 0x y zx y z

+ + =− + − =

, care se scrie matricial

1 2 1 01 1 2 0

xyz

⋅ = − −

; soluţiile sunt de forma 53

x α= − , 13

y α= , z α= , IRα ∈ ,

sau

5313

X

α

α

α

− =

în notaţie matricială. Rezultă că

3,1 3,1

531 ( ) | ( )3

X IR IR IR

α

α α

α

− = = ∈ ∈ ⊂

S M M

este 0({ })XL , subspaţiul generat de 0X , unde 0

53131

X

− =

.

Fie două sisteme de ecuaţii liniare omogene cu acelaşi număr de necunoscute, scrise sub

formă matricială: 0mA X⋅ = şi 0mA Y ′′ ⋅ = , unde , ( )m nA K∈M , , ( )m nA K′′∈M ,

,1, ( )nX Y K∈M . Să notăm cu ,1, ( )n K′ ⊂S S M mulţimea soluţiilor celor două sisteme de

ecuaţii şi să considerăm mulţimea soluţiilor ,1( )n K′′ ⊂S M a sistemului liniar omogen



7

0m m

AZ

B ′+

⋅ =

, obţinut prin reunirea ecuaţiilor celor două sisteme. Atunci ′′ ′= ∩S S S .

O submulţime L V⊂ a unui spaţiu vectorial V este o subvarietate liniară dacă există un

subspaţiu vectorial V V′ ⊂ , numit subspaţiu vectorial director al lui L şi un vector 0x V∈

astfel încât

0{ }L x V= + ( = 0{x x+ | }x V ′∈ ).

Exemplu. Fie mulţimea soluţiilor sistemului liniar şi neomogen cu m ecuaţii şi n

necunoscute, cu coeficienţii K : 1

11 1 1

11

nn

nm nm m

a x a x b

a x a x b

+ + = + + =

care se poate scrie matricial sub forma

,A X b⋅ =

unde:

( ) ( ) ( )

111 1 1

, ,1 ,1

1

, , .n

m n n mn

m nm m

a a x bA K X K b K

a a x b

= ∈ = ∈ = ∈

M M M

Prin scrierea matricial, mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare de m ecuaţii şi n

necunoscute poate fi considerat ca o submulţime a mulţimii de matrici ,1( )n KM , (mulţimea

matricilor cu n linii, unde n este numrul de necunoscute, şi o coloan, cu elemente din K ).

Propozitia Fie A X b⋅ = un sistem compatibil de ecuaţii liniare, unde ( ),m nA K∈M ,

( ),1nX K∈M şi ( ),1mb K∈M .

Atunci mulţimea soluţiilor sistemului dat este o subvarietate liniară a spaţiului vectorial

( ),1n KM , care are ca subspaţiu vectorial director subspaţiul vectorial al soluţiilor sistemului

omogen asociat 0mA Z⋅ = .

De reţinut ! Criteriile după care se recunoaşte un subspaţiu vectorial.

Subspaţiile vectoriale se pot defini cu ajutorul soluţiilor unui sistem de

ecuaţii liniare şi omogene.



s

Test de autoevaluare 2.2

1. Să se arate că submulţimea S = 1 2 3 4 4{( , , , )x x x x IR∈ | 1 2 3 4 0x x x x− + − = , 1 2 3 4 0}x x x x+ − + = ⊂ 4IR este un

subspaţiu vectorial peste IR al lui 4IR . 2. Dacă (1,1, 1,0)a = − , 3(1, 1,1,1)b IR= − ∈ , fie

({ , }) {W a b a bα β= = +L | 4, }IR IRα β ∈ ⊂ . Să se scrie

W ca mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi

omogene.

3. Să se determine S W∩ , unde S şi W sunt submulţimile

considerate mai sus.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 2 1. Să se arate că mulţime matricilor pătrate cu urma nulă formează

un spaţiu vectorial.

2. Să se arate că mulţimea polinoamelor care au derivata a doua

nulă formează un spaţiu vectorial.

3. Fie (0,0, 1,1,1)a = − , (1, 1,1, 1,1)b = − − , (2, 1,1, 1,1)c = − − 5IR∈ ,

şi ({ , , }) {W a b c a b cα β γ= = + +L | 5, , }IR IRα β γ ∈ ⊂ . Să se

scrie W ca mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi

omogene.

4. Fie 1 2 3 4 41 {( , , , )W x x x x IR= ∈ | 1 3 0}x x− = şi 2 ({ , })W a b= L ,

unde (1,1, 1,1)a = − şi ( 1,1,1, 1)b = − − . Să se determine

1 2W W∩ .

Concluzii Subspaţiile vectoriale oferă posibilitatea de a se construi multe

exemple de spaţii vectoriale.

Scrierea unui spaţiu vectorial folosind mulţimea soluţiilor unui sistem

liniar şi omogen se bazează pe faptul că soluţiile unui astfel de

sistem formează un subspaţiu vectorial. Folosind această scriere, se

pot intersecta subspaţiile vectoriale.



9

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 2.1.3. (rezolvare) 1) Pentru a demonstra că V⊂P este subspaţiu vectorial al lui V , se arată că dacă ,f g∈P şi IRα ∈ atunci ,f g fα+ ∈P . Într-adevăr, ( )( )f g x+ − = ( ) ( )f x g x− + − = ( ) ( )f x g x− − = ( )( )f g x− + , iar ( )( ) ( )f x f xα α− = − = ( )f xα− = ( )( )f xα− . La fel, pentru a demonstra că V⊂I este subspaţiu vectorial, se arată că dacă ,f g∈I şi IRα ∈ atunci f g+ , fα ∈I . 2) Trebuie arătat că V = +P I şi {0}∩ =P I . Arătăm mai întâi că V = +P I . Într-adevăr, pentru orice funcţie :f IR IR→ şi orice

x IR∈ , avem egalitatea ( ) ( )1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .2 2

f x f x f x f x f x= + − + − −

Funcţia :g IR IR→ , ( )12( ) ( ) ( )g x f x f x= + − este o funcţie pară

( ( )g x− = ( )g x ), iar funcţia :h IR IR→ , ( )12( ) ( ) ( )h x f x f x= − −

este o funcţie impară ( ( )g x− = ( )g x− ). Deoarece f g h= + rezultă că f ∈ +P I . Arătăm că {0}∩ =P I . Într-adevăr, dacă f ∈ ∩P I , atunci pentru orice x IR∈ avem: folosind c f este par rezult c

( ) ( )f x f x= − , iar folosind că f este impară rezultă că ( ) ( )f x f x= − − , deci ( ) ( )f x f x= − , adică ( ) 0f x = . Rezultă că

0f = (funcţia identic nulă). 2.2 (Indicaţii) 2. Din relaţia ( )1 2 3 4, , ,a b x x x x xα β+ = = rezultă un sistem cu necunoscutele α şi β. Condiţiile de compatibilitate ale acestui sistem se

scriu

1

2

3

1 11 1 01 1

xxx

− =−

şi

1

2

4

1 11 1 00 1

xxx

− = , sau 2 3

1 3 4

02 0

x xx x x

+ =

+ − =.

3. Reunind sistemele, se obţine sistemul

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3

1 3 4

00

02 0

x x x xx x x xx xx x x

− + − =

+ − + =

+ = + − =

, care

este un sistem Cramer şi are numai soluţia nulă. Deci {0}S W∩ = .



Bibliografie





Sisteme de vectori


1


SISTEME DE VECTORI Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 3 2 3.1. Rangul unui sistem de vectori Test de autoevaluare 3.1

2 5

3.2. Dependenţă şi independenţă liniară Test de autoevaluare 3.2

6 7

3.3. Formulele de schimbare a bazelor şi coordonatelor 7 Test de autoevaluare 3.3 10 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 3 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 11 Concluzii 12 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 3 12

Sisteme de vectori



Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 3 sunt: 3.1 Dependenţă şi independenţă liniară

Fie V un K -spaţiu vectorial. O mulţime S V⊂ se numeşte sistem de vectori.

Spunem că un sistem de vectori S V⊂ este liniar independent dacă din orice combinaţie

liniară nulă cu elemente din S , adică:

1 1 0n nv vα α+ + = cu 1, ,α n Kα ∈ şi 1v , , nv S∈ ,

rezultă că toţi coeficienţii sunt nuli ( 1α = = nα = 0 ).

Exemplu. Dacă \{0}v V∈ este un vector nenul, atunci mulţimea { }S v= este liniar

independentă, deoarece 0vα ⋅ = , Kα ∈ şi 0v ≠ 0α⇒ = .

O mulţime S V⊂ se spune că este liniar dependentă dacă nu este liniar

independentă. Aceasta revine la condiţia că exist o combinaţie liniar nulă cu elemente din S ,

ai cărei coeficienţi nu sunt toţi nuli, adică există 1 1 0n nv vα α+ + = cu 1, ,α n Kα ∈ , nu

toţi nuli, şi 1v , , nv S∈ .

Exemple.

1. O mulţime S V⊂ care conţine vectorul nul ( 0 )S∈ , este mulţime liniar dependentă,

deoarece dacă v S∈ , atunci 0 1 0 0v⋅ + ⋅ = , coeficienţii nefiind toţi nuli.

2. Dacă v V∈ este un vector şi Kα ∈ este un scalar, atunci mulţimea { , }S v vα= ⋅ este

liniar dependentă, deoarece ( 1) ( ) 0v vα α⋅ + − ⋅ ⋅ = , coeficienţii nefiind toţi nuli. Rezultă

aşadar că doi vectori coliniari formează o mulţime liniar dependentă.

Propozitia 3.1 O mulţime de vectori S V⊂ este liniar dependentă dacă şi numai dacă unul

dintre vectori este o combinaţie liniară a unui număr finit de vectori din S .

Propozitia 3.2 Fie S V⊂ un sistem liniar independent. Atunci:

1) Dacă S S′ ⊂ , atunci şi S ′ este liniar independent (adică orice subsistem al unui sistem

liniar independent este tot liniar independent).

• Înţelegerea noţiunilor fundamentale de dependenţă şi

independenţă liniară, bază, dimensiune şi rang de

vectori.

• Aplicarea unor procedee de calcul şi validare privind

noţiunile introduse

Sisteme de vectori


3

2) Dacă 1v , , nv S∈ sunt diferiţi doi câte doi, 1α , , n Kα ∈ şi

1 1 n nv v vα α= + + , atunci 1α , , nα sunt unic determinaţi (adică coeficienţii prin

care un vector este o combinaţie liniară a unor vectori liniar independenţi daţi, sunt

deternminaţi în mod unic).

Un sistem de vectori S V⊂ se spune că este sistem de generatori pentru V dacă

acoperirea sa liniară coincide cu întreg spaţiul vectorial V , adică ( )S V=L .

Un sistem de vectori V⊂B se spune că este bază a spaţiului vectorial V dacă este

liniar independentă şi sistem de generatori pentru V .

Fie 1{ , , }nv v= B o bază a lui V . Dacă 11

nnx v vα α= + , atunci, cu propoziţia 3.2,

coeficienţii 1, ,α nα sunt unic determinaţi. Coeficienţii 1, ,α nα se numesc

coordonatele vectorului x în baza B , iar matricea 1

,1[ ] ( )nn

xx K

x

= ∈

B M

Se numeşte reprezentarea matricială a vectorului x în baza B , sau matricea

coordonatelor.

Dacă 1{ , , }kv v V= ⊂F este un sistem finit de vectori din V , atunci matricea

coordonatelor vectorilor din F în baza V⊂B este obţinută scriind cordonatele successive

ale vectorilor în baza B pe coloană:

[ ]BF = [ ] [ ]( )1 ,..., nv vB B

.

Exemple.

1. Fie n

n

K K K= × ×ori

şi K -spaţiul vectorial ( , , )nscK + ⋅ . Atunci 1{ , , } n

ne e K= ⊂B ,

unde

1 (1,0, ,0), , (0, ,0,1),ne e= =

este o bază, numită baza canonică a spaţiului vectorial ( , , )nK + ⋅ . Coordonatele unui vector 1( , , )nx x x= = 1

1n

nx e x e+ + , în baza canonică, sunt 1, ,x nx .

2. Dacă corpul K are cel puţin 1n + elemente (de exemplu, K poate fi o mulţime

infinită, cum este IR sau C′ ) şi ( [ ], , )n scK X + ⋅ este K -spaţiul vectorial al polinoamelor

de grad cel mult n , atunci mulţimea de polinoame

{1, X , 2 , ,X } [ ]nnX K X⊂ formează o bază, numită baza canonică. Dacă

Sisteme de vectori


0 1n

n nf a a X a X K= + + + ∈ , atunci coordonatele lui f în baza canonică sunt 0 , ,a na .

Propozitia 3.3 Dacă 1{ , , }nS v v V= ⊂ este un sistem de vectori liniar independent, atunci

( )S S⊂ L este o bază a lui ( )SL .

Propozitia 3.4 Fie 1{ , , }nS v v V= ⊂ un sistem de vectori liniar independent,

1 21 2 ( )n

nx v v v Sα α α= + + ∈ L şi 1 k n≤ ≤ . Fie sistemul de vectori 1{ , ,S v′ = 1,kv − ,x

1kv + , , } ( )nv S⊂ L . Atunci sunt echivalente afirmaţiile:

1) S ′ este un sistem de vectori liniar independent.

2) 0kα ≠ .

3) ( ) ( )S S ′=L L .

Propozitia 3.5 Dacă 1{ , , }nS v v V= ⊂ este un sistem de vectori liniar independent şi

1{ , , } ( )kS w w S′ = ⊂ L este de asemenea un sistem de vectori liniar independent, atunci

k n≤ .

Propozitia 3.6 Fie 1{ , , }pS w w V= ⊂ un sistem de generatori pentru V . Atunci există o

bază V⊂B astfel că S⊂B (adică din orice sistem de generatori pentru V se poate

extrage o bază a lui V ).

Propozitia 3.7 Orice spaţiu vectorial care admite un sistem finit de generatori admite o bază

formată dintr-un număr finit de vectori.

În general, se poate arăta că orice spaţiu vectorial admite o bază. Demonstraţia acestui

fapt foloseşte cunoştinţe de matematică superioară (lema lui Zorn, echivalentă cu axioma

alegerii).

Teorema 3.1 (Teorema dimensiunii) Dacă 1{ , , }nv v V= ⊂B este o bază a lui V , atunci

orice altă bază a lui V are acelaşi număr n de vectori.

Numărul vectorilor dintr-o bază a lui V se numeşte dimensiunea lui V şi se notează

cu dimK V , sau dimV . Dacă {0}V = , atunci se defineşte dim 0V = . Un spaţiu vectorial

care admite o bază finită se spune că este finit dimensional. Spaţiile vectoriale considerate în

continuare sunt presupuse finit dimensionale.

Sisteme de vectori


5

Spaţiile vectoriale ( , , )nscK + ⋅ şi ( [ ], , )n scK X + ⋅ peste K au baze cu n , respectiv

1n + vectori, deci au dimensiunile dim nK n= şi dim [ ] 1.nK X n= +

Propozitia 3.8 Fie W V⊂ un subspaţiu vectorial al unui spaţiu vectorial (finit

dimensional) V . Atunci:

1) Orice bază a lui W se poate completa la o bază a lui V .

2) Există un subspaţiu vectorial W V′ ⊂ astfel încât V W W ′= ⊕ (adică V este sumă

directă a subspaţiilor vectoriale suplimentare W şi W ′ ).

Propozitia 3.9 Dacă dimV n= , atunci

1) orice sistem care conţine n vectori liniar independenţi formeaz o bază în V ;

2) orice sistem de generatori care conţine n vectori formeaz o bază în V ;

3) dacă W V⊂ este un subspaţiu vectorial, atunci W V= dacă şi numai dacă

dimW n= .

Propozitia 3.10 Fie 1 2,V V V⊂ dou subspaţii vectoriale (finit dimensionale) ale unui spaţiu

vectorial V . Atunci:

1 2 1 2 1 2dim( ) dim( ) dim( ) dim( ),V V V V V V+ = ∩ + +

formulă cunoscută sub numele de formula dimensiunii sau formula lui Grassmann.

Test de autoevaluare 3.1 1. Sa se arate ca în spaţiul vectorial al matricilor 2,3 ( )IRM , submulţimea

2,3 ( )IR⊂B M formata din matricile 11

1 0 00 0 0

E =

, 12

0 1 00 0 0

E =

,

13

0 0 10 0 0

E =

, 21

0 0 01 0 0

E =

, 22

0 0 00 1 0

E =

, 23

0 0 00 0 1

E =

formeaza o baza a lui 2,3 ( )IRM şi 2,3dim ( ) 6IR =M (baza se numeşte

canonică).

2. Să se enunţe şi să se generalizeze rezultatul de mai sus, rezultând baza

canonică a lui , ( )m n IRM .

3. Fie K un corp cu cel puţin 1n + elemente distincte. Să se arate că

spaţiul vectorial [ ]nK X al polinoamelor cu coeficienţi în K care au

gradul cel mult n , are ca bază {1, , }nX X= B şi dim [ ] 1nK X n= + .

Baza obţinută se numeşte canonică.

4. Să se particularizeze rezultatul de mai sus, construind baza canonică a

lui 2[ ]K X .

Sisteme de vectori


3.2 Rangul unui sistem de vectori Dacă M V⊂ este un sistem de vectori din V , atunci rangul lui M este

dimensiunea subspaţiului vectorial generat de M ( dim ( )M M=rang L ).

Propozitia 3.11 Fie matricea , ( )m nA K∈M şi fie sistemele de vectori: ,1( )mC K⊂ M , format

din coloanele matricii A şi 1, ( )nL K⊂ M , format din liniile matricii A . Au loc urmtoarele

egalitţi între rangurile sistemelor de vectori C , L şi rangul matricii A :

,C L A= =rang rang rang

rezultat cunoscut sub numele de formula rangului.

Propozitia 3.12 Fie 1{ , , }kv v V= ⊂F un sistem finit de vectori din V şi [ ]BF matricea

coordonatelor vectorilor din F într-o bază oarecare V⊂B , cu cordonatele scrise pe

coloană. Atunci:

1) Rangul lui F este egal cu rangul matricii [ ]BF (adică [ ]= BrangF rang F ).

2) Rangul matricii [ ]BF este k ( [ ] k=Brang F ) dacă şi numai dacă vectorii din F sunt

liniar independenţi.

3) Rangul matricii [ ]BF este strict mai mic decât k dacă şi numai dacă vectorii din F

sunt liniar dependenţi.

4) Rangul matricii [ ]BF este egal cu dimensiunea lui V

( rang [ ] dimV=BF ) dacă şi numai dacă vectorii din F formeaz o bază (adică

V⊂F este o bază) a lui V .

Exemplu.

Fie 1 (1, 1, 2)v = − , 1 ( 1,1,1)v = − şi 33 (1,1, 1)v IR= − ∈ . Matricea coordonatelor vectorilor este

1 1 11 1 12 1 1

A−

= − −

, iar det 6A = − , prin urmare 3A =rang , deci 31 2 3{ , , }v v v IR⊂

formează o bază.

Mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen admite baze obţinute fiecare prin

anularea tuturor parametrilor, exceptând un parametru, luat unu. Acestea se numesc soluţii de

bază.

Sisteme de vectori


7

3.3 Formulele de schimbare a bazelor şi coordonatelor

Reamintim că dată o bază 1{ , , }nv v V= ⊂B , fiecărui vector x V∈ i se asociază o

matrice coloană format din cordonatele vectorului x în aceast bază: 1

1,1 1[ ] ( ), n

n nn

xx x K x x v x v

x

→ = ∈ = + +

B M unde ,

numită reprezentarea matricială a vectorului x în baza B .

Exemplu.

Fie baza 31 1 3{ (1, 1,2), ( 1,1,1), (1,1, 1)}v v v IR′ = = − = − = − ⊂B . Vectorul ( ) 32, 4,1x IR= ∈ se

scrie sub forma 1 2 31 2 3x v v v= ⋅ + ⋅ + ⋅ . Reprezentarea matricială a lui x este

3,1

1[ ] 2 ( )

3x IR′

= ∈

BM .

Dacă 1{ , , }ne e V= ⊂B şi 1{ , , }nf f V′ = ⊂B sunt două baze ale lui V , atunci matricea

de trecere de la baza B la baza ′B este, prin definiţie, matricea , 1,( )ij i j nA a

== , unde

Test de autoevaluare 3.2 1. Să se precizeze daca urmatoarele sisteme de vectori sunt liniar independente; în caz de dependenţa liniara sa se gaseasca combinaţii liniare ale lor prin precizarea unei baze formata din vectorii sistemului, iar în caz de independenţa liniara sa se completeze sistemul la o baza a întregului spaţiu vectorial din care fac parte. 1) 4

1 1 2 3{ , , }v v v IR= ⊂S , 1 (1,1,1, 1)v = − , 2 (1,1, 1, 1)v = − − ,

3 (1,1,3, 1)v = − . 2) 5

2 1 2 3{ , , }v v v IR= ⊂S , 1 (1, 1, 1, 1,0)v = − − − , 2 (1, 1, 1, 1,1)v = − − − ,

3 (1, 1,3, 1,1)v = − − .

3) 3 2

1 1 0 1, ( )

0 0 0 1IR

− = ⊂

S M .

4) Să se găsească o soluţie de bază în spaţiul vectorial 1 2 3 4 5

1 {( , , , , )V α α α α α= 5;IR∈ 1 2 3 5 0α α α α− + − = ,

2 3 4 5 0α α α α− + − = , 1 2 3 4 52 3 0}α α α α α+ − + − = .

Sisteme de vectori


1

ni

j j ii

f a e=

= ∑ , dimn V= . Explicit, cordonatele vectorilor din baza ′B formează coloanele

matricii A . Notăm [ , ]A ′= B B .

Exemplu.

Fie baza canonică 1{ (1,0,0)e= =B , 2 (0,1,0)}e = , 33 (0,0,1)}e IR= ⊂ şi

31 2 3{ (1, 1,2), ( 1,1,1), (1,1, 1)}v v v IR′ = = − = − = − ⊂B baza considerată în exemplele de mai

sus. Matricea de trecere de la baza B la baza ′B este matricea

1 1 1[ , ] 1 1 1 .

2 1 1

′

− = − −

B B

Propozitia 3.13 Fie , V′ ⊂B B două baze. Pentru un vector x V∈ , între reprezentrile sale

matriciale în cele dou baze şi matricea de trecere exist relaţia:

[ ] [ ][ , ] .x x ′′= ⋅

B BB B

Dacă dimn V= , 1,{ }i i ne=

=B , 1,{ }j j nf′=

=B , 11

nnx x e x e= + + =

11

nny f y f= + + şi

1

nj

i i jj

e a f=

= ∑ , ( ) 1,i n∀ = , atunci:

1 1 1 11

1

.n

n n n nn

x a a y

x a a y

= ⋅

Exemplu. Vectorul ( ) 32, 4,1x IR= ∈ , are reprezentările matriciale:

2[ ] 4

1x

=

B în baza canonică 1{ (1,0,0)e= =B , 2 (0,1,0)e = , 33 (0,0,1)}e IR= ⊂ şi

1[ ] 2

3x ′

=

B în baza 1{ (1, 1,2)v′ = = −B , 3

2 3( 1,1,1), (1,1, 1)}v v IR= − = − ⊂ .

Matricea de trecere de la baza B la baza ′B este 1 1 1

[ , ] 1 1 12 1 1

′

− = − −

B B .

Sisteme de vectori


9

Într-adevăr, [ ] [ , ][ ]x x ′′=B B

B B , pentru că 2 1 1 1 14 1 1 1 21 2 1 1 3

− = − −

.

Propozitia 3.14 Fie V un K -spaţiu vectorial de dimensiune n . Dacă B , ′B sunt două

baze ale sale, matricea de trecere [ , ]′B B , de la baza B la baza ′B , este o matrice

inversabilă, inversa sa fiind [ , ]′B B . Reciproc, dacă B este o bază a lui V şi ( )nA K∈M

este o matrice inversabilă, atunci există o bază ′B astfel încât [ , ] A′ =B B .

Fiind dată o bază B , să observăm că matricea unitate nI poate fi considerată drept

[ , ]nI = B B (adică matricea de trecere care lasă baza neschimbată).

Propozitia 3.15 Fie B , ′B şi ′′B trei baze ale unui spaţie vectorial V . Atunci are loc

egalitatea matricială:

[ , ] [ , ] [ , ].′ ′ ′′ ′′⋅ =B B B B B B

Dacă 1{ , , }ne e V= ⊂B şi 1{ , , }nf f V′ = ⊂B sunt două baze ale unui spaţiu vectorial

real V , atunci:

1) Dacă det[ , ] 0′ >B B , atunci se spune că bazele B şi ′B sunt la fel orientate;

2) Dacă det[ , ] 0′ <B B , atunci se spune că bazele B şi ′B sunt invers orientate.

Propozitia 3.16 Pe mulţimea tuturor bazelor unui spaţiu vectorial real V , relaţia,, ′∼B B

dacă B şi ′B sunt la fel orientate (adică det[ , ] 0′ >B B )'' este o relaţie de echivalenţă.

Mulţimea tuturor bazelor se scrie ca reuniunea a două clase de echivalenţă; două baze

din aceeaşi clasă sunt la fel orientate, iar două baze din clase diferite sunt invers orientate.

De exemplu, în 2IR , dacă se iau bazele 0 1{ (1,0)e= =B , 2 (0,1)}e = şi 1 1{ (1,0)f= =B ,

2 (0, 1)}f = − , atunci cele două baze nu sunt echivalente, pentru că 0 1

1 0[ , ]

0 1

= − B B ,

0 1det[ , ] 1= −B B , deci 0B şi 1B determină două clase diferite.

Sisteme de vectori



Se dă vectorul x =(1,-1,1)∈IR3. Ce coordonate are vectorul:

1) În baza formată de vectorii 1B ={ 1a =(-1,1,1), 2a =(1,-1,1),

3a = (1,1,-1)}⊂ IR3?

2) În baza formată de vectorii 2B ={ 1 1 2 3b a a a= − + ,

2 1 2 3b a a a= + − , 3 1 2 3b a a a= − + + }⊂ IR3 ?

De reţinut ! Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim de vectori ai

sistemului care pot fi liniar independenţi.

Rangul unui sistem de vectori se poate calcula ca rangul unei matrici;

mai precis a matricii sale corespunzătoare unei baze a spaţiului din

care fac parte vectorii.

Schimbările de coordonate se fac cu matrici inversabile.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 3 1) Să se determine rangurile sistemelor de vectori:

a) 41 1 2 3{ , , }v v v IR= ⊂S , 1 (1, 1,1, 1)v = − − , 2 (1,1, 1, 1)v = − − ,

3 (1, 3,3, 1)v = − − . b) 5

2 1 2 3{ , , }v v v IR= ⊂S , 1 (1,1,1, 1,1)v = − , 2 (1, 1,1, 1,1)v = − − ,

3 (1,1, 1,1,1)v = − . 2) Se considera subspaţiul vectorial 4V IR⊂ ,

1 2 3 4 5{( , , , ) |V IRα α α α= ∈ 1 2 3 5 0α α α α− + − = , 2 3 5 0α α α− + = , 1 2 3 5 0}α α α α+ − + = . Sa se determine o baza

în V şi sa se extinda aceasta la o baza a întregului spaţiu vectorial aritmetic 4IR .

3) Se considera subspaţiile vectoriale 51V IR⊂ ,

1 2 3 4 51 {( , , , , )V α α α α α= 5;IR∈ 1 2 3 5 0α α α α− + − = , 2 3 4 5 0α α α α− + − = , 1 2 3 4 52 3 0}α α α α α+ − + − = şi

52 ({ , , })V a b c IR= ⊂L , unde (1,1,0,1,1)a = , (2, 2,1, 2, 2)b = şi

( 1, 1, 1, 1, 1)c = − − − − − . a) Sa se determine cate o baza în 1V , 2V şi 1 2V V+ . b) Sa se extinda o bază din 1 2V V∩ la baze în 1V , 2V şi 1 2V V+ .

.

Sisteme de vectori


11

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Testul de autoevaluare 3.1: Pentru verificări se foloseşte definiţia. Testul de autoevaluare 3.2:

1)

1 1 11 1 11 1 31 1 1

= − − − −

rang 2 şi 3 1 22v v v= − .

2)

1 1 11 1 11 1 31 1 10 1 1

− − − =− − − − −

rang 3 şi 51 2 3 1 2{ , , , , }v v v e e IR⊂ este o bază.

3)

1 01 10 00 1

−

rang =2 şi 1{ ,M 2 ,M 21,E 22 2} ( )E IR⊂ M este o bază.

4) x1=2t-w, x2= t-w+z, x3=z, x4=w, x5=t, deci (x1,x2,x3,x4,x5)=

(2t-w, t-w+z, z, w, t)=z(0,1,1,0,0)+w(-1,-1,0,1,0)+t(2,1,0,0,1). Soluţia

de bază este {(0,1,1,0,0), (-1,-1,0,1,0), (2,1,0,0,1)}.

Test de autoevaluare 3.3: Notăm cB ={ 1e , 2e , 3e }⊂ IR3 baza

canonică. Avem [ ]c

xB

=[ ]1,cB B [ ]c

xB

, deci [ ]1

xB

=[ ] 11,c

−B B [ ]

cx

B=

11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

−− − − −

=1

31

− −

. De asemenea, [ ]c

xB

=[ ]1,cB B [ ]1

xB

=

[ ]1,cB B [ ]1 2,B B [ ]2

xB

. Rezultă [ ]2

xB

= [ ] 11,c

−B B [ ] 1

1 2, −B B [ ]

cx

B=

1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1

− −− − − − − − −

=01/ 21/ 2

.

Sisteme de vectori


s

Concluzii Liniar independenţa şi generarea lineară dau împreună noţiunea de

bază. Bazele se asociază atât spaţiului vectorial total, cât şi

subspaţiilor, dând rangul sistemelor de vectori. Pentru calculul rangului

se folosesc matrici şi ranguri de matrici.

Bibliografie





Lema substituţiei


1


LEMA SUBSTITUŢIEI Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 4 2 4.1 Enunţul lemei substituţiei 2 4.2 Aplicaţii ale lemei substituţiei 3 4.2.1. Determinarea rangului unui sistem de vectori 3 Test de autoevaluare 4.2.1 4

4.2.2. Rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare 4 Test de autoevaluare 4.2.2 5

4.2.3. Calcularea inversei unei matrici 6 Test de autoevaluare 4.2.3 6 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 4 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 8 Concluzii 8 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 4 8

Lema substituţiei


2


Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 4 sunt: 4.1 Enunţul lemei substituţiei Propozitia 4.1 (Lema substituţiei) Fie 1{ , , }ne e= B o bază a unui K -spaţiu vectorial V ,

doi vectori 10 0 1 0

nnx x e x e V= + + ∈ şi 1

1n

nx x e x e V= + + ∈ şi un indice 0 {1, , }i n∈ .

Atunci

1) Mulţimea 0 01 1 0 1{ , , , , }i i ne e x e e′− += B este o bază a lui V dacă şi numai dacă 0

0 0ix ≠ .

2) Dacă 00 0ix ≠ şi

0

0

111 1

iix y e y e−−= + + + 0 0

0

10 1

i i ni ny x y e y e+++ + + este scrierea vectorului x în baza

′B , atunci:

3)

0 0

0 000

0 0 0

0

00 00

0 0 0

, , ( ) .

i i

i ii ii i ii i

i i i

x xx xx x x xxy y i i

x x x−

= = = ∀ ≠

Numărul 0

0ix se numeşte pivot, iar regula de calcul a cordonatelor iy , 0i i≠ , se

numeşte regula dreptunghiului, deoarece din tabelul cordonatelor vectorilor:

0 0

00 0

0 0

0

0 0

0

01 1

1 0

1 11 0

0

0

1 11 0

0

0

0

: ??

i ii

i i

i ii

i ii ii

i ii

n nn

x xe x x

e x xx x

e x x

e x x x x

e x x

e x x

− −−

+ ++

←

iese din baza

• Recunoaşterea tipurilor de probleme în care se poate

aplica lema substituţiei

• Formarea deprinderilor de calcul specifice lemei

substituţiei

Lema substituţiei


3

se observă că iy , care va lua locul lui ix , se obţine ca rezultat al scăderii produselor

0 00 0i ii ix x x x− (al elementelor aflate în colţurile dreptunghiului din dreapta), împărţit la pivolul

00ix . Se obţine:

1 10 000

00

11 0 00 00 00

00 0

000

0

11 0 00 00 00

00 0

0 000

00

0 000

00

0

11

11

0

11

0

0

1

0

0

0

i i

i

i ii i

i

i

i

i ii i

i

i ii i

i

i in n

i

x x x x

x

x x x xii x

i xx

x x x xii x

x x x xii x

x x x xnn x

x x

e y

e y

x y

e y

e y

e y

−−

++

−

−−−

−+−

−

−

=

=

=

=

=

=

Vom prezenta în continuare câteva aplicaţii ale lemei substituţiei. 4.2 Aplicaţii ale Lemei Substituţiei 4.2.1 Determinarea rangului unui sistem de vectori Exemplu. Să calculăm rangul sistemului format din vectorii 1 (1, 2, 1)v = − , 2 (1, 1,1)v = − ,

3 (2,1,0)v = , 34 (0,3, 2)v IR= − ∈ .

1 2 3 4

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1 1 2 0

2 1 1 31 1 0 21 1 2 0

0 3 3 3

0 2 2 21 0 1 10 1 1 10 0 0 0

v v v v

e

eev

e

evve

−− −

− −

−

−

S-au făcut două înlocuiri, deci rangul sistemului 4

1 2 3 4{ , , , }v v v v IR⊂ este 2 şi

Lema substituţiei


4

1 2 1 2 3 4({ , }) ({ , , , })v v v v v v=L L .

4.2.2 Rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare Exemple.

1. Sistemul următor este incompatibil:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

06.

3 3 1

x x xx x xx x x

− + = + + = + + =

Avem: 1 2 3

1

2

3

1

2

3 1 3

1 2

2

3

1 1 1 0

1 1 1 63 1 3 11 1 1 0

0 2 0 6

0 4 0 131 0 1 330 1 0 3

0 110 0 0 11

c c c b

e

eec

e

ex xc

xce

−

−

+ =⇔ = =−

Sistemul este incompatibil, pentru că 11 0− ≠ . Justificarea este următoarea:

1 2 23 3 11b c c e= + − , iar 1 2 1 2 3{ , } ({ , , })c c c c c⊂ L este bază, deci 1 2 3({ , , })b c c c∉L .

2. Sistemul următor este compatibil: 1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 32 6.

3 2 9

x x xx x xx x x

− + = + + = + + =

Sistemul este compatibil, pentru că 1 2({ , })b c c∈L . Sistemul, în forma simplificată, din care

putem scrie soluţiile, se scrie:

Test de autoevaluare 4.2.1 Să se calculeze rangul sistemului format din vectorii

a) 1 ( 1,1,1)a = − , 2 (1, 1,1)a = − , 3 ( 1,3,1)a = − 3IR∈ .

b)1 10 1

A = −

, 1 11 1

B−

=

, 1 31 3

C = − −

, 1 11 1

D = −

( )2M IR∈ .

Lema substituţiei


5

1 3

2 3

3 125 5 ,1 95 5

x x

x x

+ = + + =

deci mulţimea soluţiilor este 3 12 1 9{( , , ) |5 5 5 5α α α− + − + }IRα ∈ . Necunoscuta 3x este

necunoscută secundară şi necunoscutele 1x şi 2x sunt necunoscute principale.Urmează

tabelul:

1 2 3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2 1 1 3

1 2 1 63 1 2 9

1 1 312 2 2

5 1 902 2 25 1 902 2 2

3 121 05 51 90 15 5

0 0 0 0

c c c b

e

ee

c

e

e

c

c

e

−

−

Test de autoevaluare 4.2.2 Sa se rezolve sistemul

2 142

x y z wx y z wx z w

− + − = − + − + =− + − = −

folosind lema substituţiei.

De reţinut !

În cazul sistemelor, tabelele succesive obţinute folosind lema

substituţiei corespund unor siseme liniare echivalente (care au

aceleaşi soluţii cu sistemul iniţial). Ultimul sistem are forma

cea mai simplă, care permite scrierea necunoscutelor princi-

pale în funcţie de cele secundare.

Lema substituţiei


6

4.2.3 Calcularea inversei unei matrici

Exemplu. Să se determine inversa matricii 1 1 11 1 01 0 1

A−

= − −

.

1 2 3 1 2 3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

11

2

3

1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 11 1 1 1 0 00 0 1 1 1 0

0 1 2 1 0 1

1 1 1 .1 0 02 2 2

1 1 10 0 12 2 21 1 10 1 02 2 2 1 1 1

1 0 0 1 1 1 1 2 10 1 0 1 2 1 1 1 00 0 1 1 1 0

c c c e e e

e

eece

e

c

e

c

c Acc

−

−

−−

−

− −

−

− − ⇒ =

Într-adevăr,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 01 1 0 1 2 1 1 2 1 1 1 0 0 1 0 .1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1

− − − = − = − −

Test de autoevaluare 4.2.3 Să se calculeze inversa matricii

1 1 11 1 11 1 1

A− = − −

.

De reţinut !

Pentru aflarea inversei, se porneşte cu matricea de inversat în

stânga şi cu matricea unitate în dreapta. La final, trebuie să

apară matricea unitate în stânga şi matricea inversă va fi în

partea dreaptă.

Lema substituţiei


7

De reţinut !

Principalele aplicaţii ale lemei substituţiei sunt: calculul

rangului unui sistem de vectori (în particular rangul unei

matrici), rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare şi calculul

inversei unei matrici.

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Test de autoevaluare 4.2.1: a) 2, b) 3.

Test de autoevaluare 4.2.2: {(1,2, 1 , )α α− + | }IRα ∈ .

Test de autoevaluare 4.2.3: 1

0 1/ 2 1/ 21/ 2 0 1/ 21/ 2 1/ 2 0

A−

=

.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 4 1) Se considera vectorii 1 ( 1,1,1)a = − , 2 (1, 1,1)a = − , 3 (1,1, 1)a = − şi

(1,1,0)x = . Sa se arate ca 1 2 3{ , , }a a a′ =B este o nouă baza a spaţiului vectorial aritmetic 3IR şi sa se determine componentele vectorului x în baza ′B . 2) Să se determine rangul matricii

1 1 1 2 11 1 1 0 11 3 1 2 31 1 1 1 2

− − − − − −

3) Sa se rezolve sistemul 2 1

42 2 2 5

x y z wx y z wx y z w

− + − = − + − + = − + − = −

folosind lema substituţiei.

4) Să se calculeze, folosind lema substituţiei, inversa matricii

1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1

A

− − = −

−

.

Lema substituţiei


8

s

Concluzii Lema substituţiei se poate aplica atunci când numărul vectorilor este

mare sau, in general, atunci când calculul determinanţilor este

anevoios, pentru: calculul rangului unui sistem de vectori (în

particular rangul unei matrici), rezolvarea unui sistem de ecuaţii

liniare şi calculul inversei unei matrici

Bibliografie





Aplicaţii liniare


1


APLICAŢII LINIARE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 5 2 5.1. Aplicaţii liniare între două spaţii vectoriale 2 Test de autoevaluare 5 5.2. Izomorfisme de spaţii vectoriale 6 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 5 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 7 Concluzii 8 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 5 8

Aplicaţii liniare



Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 5 sunt: 5.1 Aplicaţii liniare între două spaţii vectoriale

Fie V şi W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K . O aplicaţie :f V W→

se numeşte aplicaţie liniară dacă are proprietatea că ( ) ( ) ( )f x y f x f yα β α β+ = + ,

( ) ,x y V∀ ∈ şi ( ) , Kα β∀ ∈ . Notăm cu ( , ) { :L V W f V W= → | f aplicaţie liniară }.

De exemplu, dacă ,1( )nV K= M , ,1( )mW K= M şi , ( )m nA K∈M , atunci aplicaţia

,1 ,1: ( ) ( )n mf K K→M M definită prin ( )f X A X= ⋅ , este o aplicaţie liniară. Într-adevăr,

ţinând seama de proprietăţile operaţiilor cu matrici, avem ( ) ( ) ( )f X Y f X f Yα β α β+ = + ⇔

( ) ( ) ( )A X Y A X A Yα β α β⋅ + = ⋅ + ⋅ , ,1( ) , ( )nX Y K∀ ∈M şi , Kα β ∈ , ceea ce este, evident,

adevărat.

Propozitia 5.1 O aplicaţie :f V W→ este liniară dacă şi numai dacă sunt satisfăcute

simultan condiţiile:

( ) ( ) ( ),f x y f x f y+ = +

( ) ( ),f x f xα α=

( ) ,x y V∀ ∈ şi ( ) Kα∀ ∈ . Prima proprietate de mai sus se numeşte proprietatea de

aditivitate, iar a doua proprietate se numeşte proprietatea de omogenitate.

Propozitia 5.2 Fie o aplicaţie liniară :f V W→ , iar V V′ ⊂ şi

W W′ ⊂ două subspaţii vectoriale. Atunci ( ) { ( )f V f x ′′ = | }x V W′ ′∈ ⊂ şi 1( ) {f W x V− ′ = ∈ | ( ) }f x W V′∈ ⊂ sunt subspaţii vectoriale.

Dacă se consideră, în particular, {0 },VV ′ = atunci ( ) {0 }Wf V ′ = , deoarece

(0 ) (0 0 ) 0 (0 ) 0V V V Wf f f= ⋅ = ⋅ = .

• Recunoaşterea aplicaţiilor liniare

• Înţelegerea modalităţilor de calcul ale imaginii şi

nucleului

• Formarea deprinderilor de calcul specifice

Aplicaţii liniare


3

Dacă se consideră, în particular, V V′ = şi {0 }WW ′ = , în propoziţia 5.2, rezultă că

( )f V W⊂ şi 1({0 })Wf V− ⊂ sunt subspaţii vectoriale.

1) Nucleul aplicaţiei f este ker f = 1({0 }) {Wf x V− = ∈ | ( ) 0 }Wf x V= ⊂ . Dimensiunea

dim ker f (dacă este finită) se notează def f şi se numeşte defectul aplicaţiei f .

2) Imaginea aplicaţiei f este Im ( )f f V= = { ( )f x | }x V W∈ ⊂ . Dimensiunea

dim Im f (dacă este finită) se notează rang f şi se numeşte rangul aplicaţiei f .

Propozitia O aplicaţie liniară :f V W→ , între două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K ,

este injectivă dacă şi numai dacă ker {0 }Vf = .

Propozitia 5.3 Fie :f V W→ o aplicaţie liniară între două K -spaţii vectoriale.

• Dacă 1{ , , }ky y W⊂ este un sistem liniar independent astfel că

1 1( ), , ( )k ky f x y f x= = (adică 1{ , , } Imky y f⊂ ), atunci şi sistemul 1{ , , }kx x V⊂

este un sistem liniar independent.

• Dacă 1{ , , }nx x V⊂ este un sistem de generatori pentru V , atunci şi

1{ ( ), , ( )}nf x f x este un sistem de generatori pentru ( )f V .

Teorema 5.1 (Teorema rangului) Dacă :f V W→ este o aplicaţie liniară între K -spaţii

vectoriale finit dimensionale, atunci

dimV f f= +def rang .

Propozitia 5.4 Fie :f V W→ o aplicaţie liniară între două spaţii vectoriale peste acelaşi

corp K . Fie 1 1{ , , , , , }p p nv v v v V+= ⊂ B o bază care extinde o bază 1{ , , } kerpv v f⊂ .

Atunci sistemul de vectori 1{ ( ), , ( )}p nf v f v+ formează o bază pentru Im f .

Rezultă astfel o modalitate concretă de a construi o bază în Im f : se ia o bază în

ker f , care se extinde la o bază a lui V ; imaginile prin f ale vectorilor care extind baza

din nucleu formează o bază în Im f .

Propozitia 5.5 Fie :f V W→ o aplicaţie liniară între două K -spaţii vectoriale (finit

dimensionale).

1) Aplicaţia f este injectivă dacă şi numai dacă rang dimf V= .

Aplicaţii liniare


2) Aplicaţia f este surjectivă dacă şi numai dacă rang dimf W= .

3) Aplicaţia f este bijectivă dacă şi numai dacă rang dimf V= =

dimW= .

Fie 1{ , , }ne e V= ⊂B şi 1 1{ , , }me e W′ ′= ⊂B două baze ale lui V , respectiv W .

Matricea 1 ,[ ]f =B B ,1, , 1,( ) ( )i m ni n mf Kα

α= =∈M , definită de egalitatea

1( )

m

i if e f eαα

α

′

== ∑ , se

numeşte matricea aplicaţiei f corespunzătoare bazelor B şi 1B .

Propozitia 5.6 Dacă x V∈ , iar ,1[ ] nx ∈B M şi 1 ,1[ ( )] mf x ∈B M sunt matricile coloană

formate din cordonatele vectorilor x şi ( )f x în bazele corespunzătoare (reprezentările

matriciale ale celor doi vectori), atunci are loc formula:

1 1 ,[ ( )] [ ] [ ] ,f x f x= ⋅B B B B

sau: 1 1 1 1

1

1

,n

m m m nn

y f f x

y f f x

= ⋅

unde 11

nnx x e x e= + + şi 1

1( ) mmf x y e y e′ ′= + + (reprezentarea matricială a aplicaţiei

liniare f în perechea de baze 1( , )B B ).

Propozitia 5.7 Are loc formula

1 ,[ ] ,f rang f= B Brang

adică rangul aplicaţiei liniare f este egal cu rangul matricii sale în orice pereche de baze

1( , )B B .

În particular, rangul matricii unei aplicaţiei liniare f nu depinde de perechea de baze

în care este considerat.

Propozitia 5.8 Fie 1{ , , }nu u= B şi 1{ , , }nu u V′ ′ ′= ⊂B două baze ale lui V şi

1 1{ , , }mv v= B şi 1 1{ , , }mv v W′ ′ ′= ⊂B două baze ale lui W . Fie [ , ]′B B matricea de

trecere de la B la ′B şi 1 1[ , ]′B B matricea de trecere de la 1B la 1′B . Atunci:

Aplicaţii liniare


5

[ ]11

11

11 1 ,,

1 1 ,,

[ ] [ , ] [ ] [ , ]

[ , ] [ ] [ , ].

f f

f f

′ ′

′ ′

′ − ′

′ ′

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

B BB B

B BB B

B B B B sau

B B B B

Propozitia 5.9 Fie :f U V→ şi :g V W→ două aplicaţii liniare între spaţii

vectoriale peste acelaşi corp K şi fie 1 1{ , , }mu u U= ⊂B , 2 1{ , , }nv v V= ⊂B şi

3 1{ , , }pw w W= ⊂B baze ale celor trei spaţii vectoriale. Atunci este adevărată egalitatea

matricială:

3 1 3 2 2 1, , ,[ ] [ ] [ ] ,g f g f= ⋅ B B B B B B

adică matricea compunerii a două aplicaţii liniare este produsul matricilor celor două

aplicaţii, în bazele corespunzătoare.

Test de autoevaluare 5.1 1) Să se precizeze care dintre următoarele aplicaţii sunt liniare:

a) 3 31 :f IR IR→ , 1( , , )f x y z = ( ,x y− ,x y+ 2 )x y z− − ,

b) 3 22 :f IR IR→ , 1( , , )f x y z = ( ,x y+ )x y z+ + ,

c) 3 33 :f IR IR→ , 1( , , )f x y z = ( ,x y− ,x y+ 0) ,

d) 34 :f IR IR→ , 1( , , )f x y z = x y− .

2) Să se determine rangurile următoarelor aplicaţii liniare şi câte o

bază în Im if , 1,3i = : a) 4 3

1 :f IR IR→ , ( , , , )f x y z t = ( , , 3 3 )x y z t x y z t x y z t+ − − − − + + − −

b) 2 2 2: ( ) ( )f IR IR→M M , 2 ( )f X A X= ⋅ , unde 1 10 1

A−

=

,

unde 2 ( )IRM este spaţiul vectorial real al matricilor pătratice de ordinul doi cu elemente reale.

c) 3 3 2: [ ] [ ]f IR X IR X→ , 3 ( )f f f ′= , unde [ ]nIR X este spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi în IR care au gradul cel mult n , iar f ′ este polinomul derivat al polinomului [ ]nf IR X∈ .

Aplicaţii liniare


5.2 Izomorfisme de spaţii vectoriale

O aplicaţie liniară :f V W→ între două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K , se

spune că este un izomorfism de spaţii vectoriale, dacă f este o bijecţie. Două spaţii

vectoriale între care există un izomorfism se spune că sunt izomorfe.

Propozitia 5.10 Dacă :f V W→ este un izomorfism de spaţii vectoriale, atunci şi 1 :f W V− → este un izomorfism.

Propozitia 5.11 Fie :f V W→ un izomorfism de spaţii vectoriale, 1{ , , }nv v V= ⊂S un

system de vectori şi 1( ) { ( ), , ( )}nf f v f v W= ⊂S . Atunci:

1) V⊂S este liniar independent dacă şi numai dacă ( )f W⊂S este liniar independent.

2) V⊂S este sistem de generatori dacă şi numai dacă ( )f W⊂S este sistem de

generatori.

3) V⊂S este bază dacă şi numai dacă ( )f W⊂S este bază.

Teorema 5.2 Două spaţii vectoriale (finit dimensionale) sunt izomorfe dacă şi numai dacă au

aceeaşi dimensiune. În particular, toate spaţiile vectoriale care au dimensiunea n IN ∗∈

sunt izomorfe cu K -spaţiul vectorial canonic definit pe nK .

Propozitia 5.12 Fie :f V W→ un izomorfism de spaţii vectoriale peste acelaşi corp K

şi fie 1 1{ , , }na a V= ⊂B , 2 1{ , , }nb b W= ⊂B baze ale celor două spaţii vectoriale. Atunci

este adevărată egalitatea matricială 1

1 2 2 1

1, ,[ ] [ ] ,f f −− =B B B B

adică matricea izomorfismului invers unui izomorfism de K -spaţii vectoriale este inversa

matricii izomorfismului în bazele corespunzătoare.

De reţinut ! Matricea unei aplicaţii liniare se calculează cu ajutorul unor baze domeniul şi codomeniul aplicaţiei liniare. Rangul acestei matrici este egal cu rangul aplicaţiei liniare; coloanele minorului principal dau o bază în imagine. Dacă aplicaţia este surjectivă (rangul este dimensiunea codomeniului), orice bază în codomeniu e bază în imagine. Pentru calculul nucleului, se determină soluţiile unui sistem liniar omogen; soluţiile sale de bază dau o bază în nucleu.

Aplicaţii liniare


7

Propozitia 5.13 Fie 1{ , , }na a V= ⊂B şi 1 1{ , , }mb b W= ⊂B două baze ale K -

spaţiilor vectoriale V , respectiv W . Să considerăm aplicaţia ,: ( , ) ( )m nF L V W K→ M ,

care asociază unei aplicaţii liniare ( , )f L V W∈ matricea 1 ,[ ]f =B B

,1, , 1,( ) ( )i m ni n mf Kαα= =

∈M , adică matricea aplicaţiei f corespunzătoare bazelor B şi 1B .

Atunci F este un izomorfism de spaţii vectoriale.

O consecinţă importantă a propoziţiei de mai sus este următorul rezultat.

Propozitia 5.14 Dacă V şi W sunt spaţii vectoriale finit dimensionale peste corpul K ,

atunci dim ( , ) dim dimL V W V W= ⋅ .

Ca un caz particular, se poate deduce că

dim dim ( , )V L V K∗ = = dim dim dim 1 dim .V K V V⋅ = ⋅ =

De remarcat că deşi spaţiile vectoriale V şi V ∗ sunt izomorfe, având aceeaşi dimensiune,

nu există nici un izomorfism canonic între aceste spaţii vectoriale.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 5 Să se determine rangurile următoarelor aplicaţii liniare şi câte o bază în Im if , 1,3i = : a) 4 3

1 :f IR IR→ , ( , , , )f x y z t = ( , , 3 )x z t x y t x t− − − + + . b) 2 2 2: ( ) ( )f IR IR→M M , 2 ( )f X A X= ⋅ , unde

2 ( )a b

A IRc d

= ∈

M , 0a ≠ , rang A=1.

c) 3 1: [ ] [ ]n nf IR X IR X−→ , 3 ( )f f f ′= , unde [ ]nIR X este spaţiul vectorial al polinoamelor cu coeficienţi în IR care au gradul cel mult n , iar f ′ este polinomul derivat al polinomului

[ ]nf IR X∈ .

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testul de autoevaluare 1. Aplicaţiile 1f şi 2f nu sunt liniare, nefiind nici aditive, nici

omogene, deoarece funcţiile 2x x→ şi | |x x→ nu au această proprietate. Aplicaţiile 3f şi 4f sunt liniare.

2. a) rangul 2 , 1 1 1 1 2{ ( ), ( )}f e f e=B ⊂ 1Im f este bază; b) rang 4, poate fi luată orice bază în 2 ( )IRM ; c) rangul 3, 2

1 {1, , }X X=B ⊂ 2[ ]IR X bază.

Aplicaţii liniare


s

Bibliografie





Concluzii Aplicaţiile liniare sunt funcţii compatibile cu structurilr liniare. Imaginile şi nucleele lor generează (sub)spaţii vectoriale. Două spaţii vectoriale sunt izomorfe dacă au aceeaşi dimensiune. Reprezentările matriciale ale vectorilor şi aplicaţiilor liniare sunt standardizări matriciale ale acestora, bazate pe izomorfisme.

Endomorfisme liniare


1


ENDOMORFISME LINIARE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 6 2 6.1 . Generalităţi privind endomorfismele liniare 2 6.2. Vectori şi valori proprii 3 Test de autoevaluare 6.2 10

6.3. Diagonalizarea matricilor endomorfismelor liniare 10 Test de autoevaluare 6.3 14 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 6 14 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 15 Concluzii 15 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 6 15



2


Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 6 sunt: 6.1. Generalităţi privind endomorfismele liniare

Fie V un spaţiu vectorial peste un corp K .

O aplicaţie K -liniară :f V V→ se numeşte endomorfism liniar. Se notează cu

( )End V mulţimea endomorfismelor liniare ale spaţiului vectorial V . Deoarece

( ) ( , )End V L V V= , rezultă că ( )End V este un K -spaţiu vectorial.

Un endomorfism liniar bijectiv se numeşte automorfism liniar. Un automorfism liniar

este deci un endomorfism care este în acelaşi timp un izomorfism.

Pentru endomorfisme şi automorfisme se pot folosi rezultatele şi construcţiile din

cazul aplicaţiilor liniare, ţinând seama că domeniul şi codomeniul este acelaşi. Această

particularitate impune însă unele elemente specifice. Unul dintre aceste elemnte specifice este

matricea unui endomorfism într-o bază a spaţiului vectorial, când atât pentru domeniul de

definiţie, cât şi pe codomeniu, se consideră aceeaşi bază.

Fie 1{ , , }ne e V= ⊂B o bază. Matricea endomorfismului corespunzătoare bazei B

este

, , 1,[ ] [ ] ( ) ( ),ji ni j nf f f K

== = ∈B B B M

unde elementele matricii sunt definite de relaţia 1

( )n

ji i j

jf a f a

== ∑ . Dacă x V∈ este un vector

şi [ ]x B , [ ( )]f x B sunt matricile coloană formate din cordonatele vectorilor x şi ( )f x în

baza B (sau reprezentările matriciale ale celor doi vectori), atunci:

[ ( )] [ ] [ ] ,f x f x= ⋅B B B

adică:

• Aplicarea metodelor de calcul a valorilor şi vectorilor şi

valorilor proprii

• Recunoaşterea criteriului de diagonalizare a endomor-

fismelor



3

1 1 11 1

1

,

n

n n n nn

y f f x

y f f x

= ⋅

unde 11

nnx x a x a= + + şi 1

1 ny y a y= + + .

Propozitia 6.1 Dacă ( )f End V∈ şi B este o bază a spaţiului vectorial V , atunci

[ ] ,rang f rang f= B

adică rangul endomorfismului f este egal cu rangul matricii sale în orice bază B a lui V .

Propozitia 6.2 Fie 1{ , , }na a V= ⊂B şi 1{ , , }na a V′ ′ ′= ⊂B două baze ale lui V şi fie

[ , ]′B B matricea de trecere de la B la ′B . Atunci:

1[ ] [ , ] [ ] [ , ]

[ ] [ , ] [ ] [ , ].

f f

f f′

′

′ − ′

′ ′

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅BB

BB

B B B B sau

B B B B

6.2 Vectori şi valori proprii Un vector propriu al endomorfismului liniar ( )f End V∈ este un vector \{0}v V∈

care are proprietatea că există Kλ∈ pentru care ( )f v vλ= . Scalarul Kλ∈ care

corespunde unui vector propriu v se numeşte valoare proprie. Mulţimea valorilor proprii

ale endomorfismului f se numeşte spectrul lui f şi se notează cu ( )fσ . Să remarcăm că

un vector propriu este nenul, pe când o valoare proprie poate fi nulă.

Vom explicita în continuare calculul valorilor şi vectorilor proprii în cazurile 2n = şi

3n = .

În cazul 2n = , se consideră baza 1 2{ , }e e V= ⊂B . Atunci

1 11 22 2

1 2

f fF

f f

=

,

iar polinomul caracteristic se scrie 1 1

2 1 2 1 2 1 21 21 2 1 2 2 12 2

1 2

( ) ( ) ( )ff f

P f f f f f ff f

λλ λ λ

λ−

= = − + + ⋅ − ⋅−

.

Ecuaţia ale cărei soluţii sunt valorile proprii (ecuaţia caracteristică) este: 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 2 1( ) ( ) 0,f f f f f fλ λ− + + ⋅ − ⋅ =

sau:



4

( )2 det 0.trace F Fλ λ− ⋅ + =

Dacă ecuaţia de mai sus are rădăcini în K , atunci sistemul care dă coordonatele

vectorilor proprii se reduce la una din ecuaţiile sistemului omogen:

( )( )

1 1 1 21 2

2 1 2 21 2

0.

0

f v f v

f v f v

λ

λ

− + =

+ − =

Exemple.

1. Fie endomorfismul liniar 2 2:f IR IR→ ,

( , ) (3 , 3 )f x y x y x y= + + . În baza canonică 21 2{ , }e e IR= ⊂B , 1 (1,0)e = , 2 (0,1)e = ,

matricea lui f este 3 1

[ ]1 3

f =

B , deoarece 1( ) (3,1)f e = şi 2( ) (1,3)f e = ,

1

3[ ( )]

1f e

=

B şi 2

1[ ( )]

3f e

=

B alcătuiesc coloanele matricii [ ]f B . Polinomul

cararcteristic este 3 1

( )1 3fPλ

λλ

−= =

−

2 6 8λ λ= − + , care are rădăcinile 1 2λ = şi 2 4λ = .

-Pentru 1 2λ = , sistemul a cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor proprii

corespunzători este 1

2

3 2 1 01 3 2 0

vv

− = −

⇔ 1

2

1 1 01 1 0

vv

=

⇔ 1 2

1 2

00

v vv v + =

+ =

⇔ 1 2 0v v+ = ⇔ 2 1v v= − . Dacă notăm 1v IRα ∗= ∈ , atunci 1 ( , ) (1, 1)v α α α= − = − .

-Pentru 1 4λ = , sistemul a cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor proprii

corespunzători este 1

2

3 4 1 01 3 4 0

vv

− = −

⇔ 1

2

1 1 01 1 0

vv

− = −

⇔

1 2

1 2

00

v vv v

− + =

− = ⇔ 1 2 0v v− = ⇔ 2 1v v= . Dacă notăm 1v IRα ∗= ∈ , atunci

1 ( , ) (1,1)v α α α= = .

Dacă se consideră baza 2{(1, 1), (1,1)} IR′ = − ⊂B , rezultă matricea 2 0

[ ]0 4

f ′

= B

, care este

o matrice diagonală.

2. Fie endomorfismul liniar 2 2:f IR IR→ , ( , ) ( , )f x y x x y= + . În baza canonică



5

21 2{ , }e e IR= ⊂B , matricea lui f este

1 0[ ]

1 1f

=

B . Polinomul caracteristic este

( )21 01

1 1λ

λλ

−= −

−, cu rădăcina dublă 1 2 1λ λ= = . Sistemul a cărui soluţie nenulă

reprezintă coordonatele vectorilor proprii corespunzători este 1

2

1 1 0 01 1 1 0

vv

− = −

⇔

1 0v = . Rezultă că mulţimea vectorilor proprii este de forma

2{(0, )v | 2 } { (0,1)v IR α∗∈ = | }IRα ∗∈ . În cazul acestui endomorfism nu există o bază a lui 2IR , formată din vectori proprii.

3. Fie endomorfismul liniar 2 2:f IR IR→ , ( , ) ( , )f x y x y x y= − + . În baza canonică

21 2{ , }e e IR= ⊂B , matricea lui f este

1 1[ ]

1 1f

− =


( )21 11 1

1 1λ

λλ

− −= − +

−, care nu are rădăcini reale. Rezultă că endomorfismul f nu are

vectori şi valori proprii.

4. Fie endomorfismul liniar 2 2:g C C′ → ′ al spaţiului vectorial complex 2C′ ,

( , ) ( , )f x y x y x y= − + . În baza canonică

21 2{ , }e e C= ⊂ ′B , matricea lui g este

1 1[ ]

1 1g

− =


( )21 11 1

1 1λ

λλ

− −= − +

−, care are ca rădăcini 1,2 1 iλ = ± , unde i C∈ ′ este unitatea

imaginară 2( 1)i = − .

Pentru 1 1 iλ = + , sistemul a cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor proprii

corespunzători este:

1

2

1 (1 ) 1 01 1 (1 ) 0

i vi v

− + − = − +

⇔

1

2

1 01 0i v

i v− −

= − ⇔

1 2

1 2

00

iv vv iv

− − =

− = ⇔

1 2 0.v iv− = Dacă notăm 2v Cα ∗= ∈ ′ , atunci 1 ( , ) ( ,1)v i iα α α= = .

Pentru 1 1 iλ = − , sistemul a cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor proprii

corespunzători este:



6

1

2

1 (1 ) 1 01 1 (1 ) 0

i vi v

− − − = − −

⇔

1

2

1 01 0i v

i v−

=

⇔ 1 2

1 2

00

iv vv iv − =

+ = ⇔

1 2 0.v iv+ = Dacă notăm 2v Cα ∗= ∈ ′ , atunci 1 ( , ) ( ,1)v i iα α α= − = − .

Dacă se consideră baza 2{( ,1), ( ,1)}i i C′ = − ⊂ ′B , rezultă matricea diagonală

1 0[ ]

0 1i

gi′

+ = − B

.

Să remarcăm că endomorfismul 2( )f End IR∈ de la exemplul anterior, are aceeaşi matrice

în baza canonică a lui 2IR ca g , dar nu are nici o valoare proprie ( ( ) /fσ = ), pe când

( ) {1 }g iσ = ± . Deşi cele două endomorfisme au acelaşi polinom caracteristic 2( ) ( ) 2 2f gP Pλ λ λ λ= = − + , ecuaţia ( ) 0fP λ = nu are rădăcini în IR , pe când ecuaţia

( ) 0gP λ = are două rădăcini în C′ . Diferenţa provine din faptul că IR nu este un corp

algebric închis, adică nu toate polinoamele cu coeficienţi reali au rădăcinile în IR , pe când

C′ este un corp algebric închis.

Să studiem acum cazul 3n = . Se consideră baza 1 2 3{ , , }e e e V= ⊂B . Atunci matricea

endomorfismului ( )f End f∈ are forma

1 1 11 2 32 2 2

1 2 33 3 3

1 2 3

,f f f

F f f ff f f

=

iar ecuaţia caracteristică se scrie

( )3 22 det 0,trace F Fλ λ λ− + ⋅ − ∆ ⋅ + =

unde: 2 2 1 1 1 1

1 2 3 2 3 1 3 1 21 2 3 2 3 3 3 3 1 2

2 3 1 3 1 2

şi . ,f f f f f f

F f f ff f f f f f

= + + ∆ = + +trace

(adică trace F este suma elementelor matricii F de pe diagonala principală, iar 2∆

este suma complemenţilor algebrici ai elementelor de pe diagonala principală). Sistemul a

cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor proprii corespunzători valorii proprii

λ , este:



7

( )( )

( )

1 1 1 2 1 31 2 3

2 1 2 2 2 31 2 3

3 1 3 2 3 31 2 3

0

0.

0

f v f v f v

f v f v f v

f v f v f v

λ

λ

λ

− + + = + − + =

+ − =

Exemple.

1. Fie endomorfismul liniar 3 3:f IR IR→ ,

( , , )f x y z = (4 2 2 ,x y z+ − 3 ,x y z+ + 5 )x y z− − + . Considerând baza canonică

1{ (1,0,0),e= =B 2 (0,1,0),e = 33 (0,0,1)}e IR= ⊂ , matricea endomorfismului f este

4 2 2[ ] 1 3 1

1 1 5F f

− = = − −

B . Polinomul caracteristic este ( )fP λ = 4 2 2

1 3 11 1 5

λλ

λ

− −− =

− − −

2 348 44 12λ λ λ− + − . Se calculează trace 4 3 5 12f = + + = ,

2

3 1 4 2 4 244

1 5 1 5 1 3−

∆ = + + =− −

şi

4 2 2

det 1 3 1 48.1 1 5

F−

= =− −

Rădăcinile ( ) 0fP λ = sunt 1 2λ = , 2 4λ = , 3 6λ = , deci

( ) {2,4,6}fσ = .

Pentru 1 2λ = , sistemul omogen a cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor

proprii corespunzători este

1

2

3

2 2 2 01 1 1 01 1 3 0

vvv

− =

− −

, de unde 1v α= − , 2v α= , 3 0v = , deci 1 ( 1,1,0)v α= − ,

IRα ∗∈ .



1

2

3

0 2 2 01 1 1 01 1 1 0

vvv

− − =

− −

, de unde 1 0v = , 2v β= , 3v β= , deci 2 (0,1,1)v β= , IRβ ∗∈ .




8


1

2

3

2 2 2 01 3 1 01 1 1 0

vvv

− − − =

− − −

, de unde 1v γ= − , 2 0v = , 3v γ= ,

deci 3 ( 1,0,1)v γ= − , IRγ ∗∈ .

În baza 3{( 1,1,0), (0,1,1), ( 1,0,1)} IR′ = − − ⊂B , rezultă matricea diagonală

2 0 0[ ] 0 4 0

0 0 6f ′

=

B.

2. Fie endomorfismul liniar

3 3:f IR IR→ , ( , , )f x y z = (9 3 3 ,x y z+ − 2 8 2 ,x y z+ − 7 )x y z− − + . Considerând

baza canonică 1{ ,e=B 2 ,e 33}e IR⊂ , matricea endomorfismului f este

9 3 3[ ] 2 8 2

1 1 7F f

− = = − − −

B . Avem trace 9 8 7 24f = + + = ,

2

8 2 9 3 9 3180

1 7 1 7 2 8− −

∆ = + + =− −

, 9 3 3

det 2 8 2 4321 1 7

F−

= − =− −

, prim urmare polinomul

caracteristic este 3 2( ) 24 180 432fP λ λ λ λ= − + − + = 2( 6) ( 12)λ λ− − − , ( ) {6,12}fσ = .



1

2

3

3 3 3 02 2 2 01 1 1 0

vvv

− − =

− −

, de unde 1v α β= − + , 2v α= , 3v β= . Rezultă că un vector

propriu asociat valorii proprii 1 6λ = are forma ( , , ) ( 1,1,0) (1,0,1)v α β α β α β= − + = − + ,

, IRα β ∈ . Rezultă că 1{ ( 1,1,0)v = − , 2 (1,0,1)}v = generează un subspaţiu vectorial de

dimensiune 2 , ai cărui vectori nenuli sunt vectorii proprii asociaţi valorii proprii 1 6λ = .



1

2

3

3 3 3 02 4 2 01 1 5 0

vvv

− − − − =

− − −

, de unde



9

1 3v γ= − , 2 2v γ= − , 3v γ= , deci 3 ( 3, 2,1)v γ= − − , IRγ ∗∈ .

În baza 3{( 1,1,0), (1,0,1), ( 3, 2,1)} IR′ = − − − ⊂B , rezultă matricea diagonală

6 0 0[ ] 0 6 0

0 0 12f ′

=

B.

3. Fie endomorfismul liniar 3 3:f IR IR→ , ( , , )f x y z = (6 9 ,x y+ 2 8 2 ,x y z+ −

4 5 10 )x y z− + + . Considerând baza canonică 1{ ,e=B 2 ,e 33}e IR⊂ , matricea

endomorfismului f este 6 9 0

[ ] 2 8 24 5 10

F f = = − −

B . Avem trace 6 8 10 24f = + + = ,

2

8 2 6 0 6 9180

5 10 4 10 2 8−

∆ = + + =−

, 6 9 0

det 2 8 2 4324 5 10

F = − =−

, prim urmare polinomul

caracteristic este 3 2 2( ) 24 180 432 ( 6) ( 12)fP λ λ λ λ λ λ= − + − + = − − − ⇒ ( ) {6,12}.fσ =



1

2

3

0 9 0 02 2 2 04 5 4 0

vvv

− =

−

, de unde 1v α= , 2 0v = , 3v α= .

Rezultă că un vector propriu asociat valorii proprii 1 6λ = are forma 1 (1,0,1)v α= , IRα ∗∈ .



1

2

3

6 9 0 02 4 2 04 5 2 0

vvv

− − − =

− −

, de unde 1 3v β= − , 2 2v β= − , 3v β= . Rezultă că un vector

propriu asociat valorii proprii 1 6λ = are forma 1 ( 3, 2,1)v β= − − , IRβ ∗∈ .

Să observăm că, spre deosebire de exemplul anterior, spaţiul vectorial generat de vectorii

proprii are dimensiunea 2 , fiind generat de vectorii {(1,0,1), ( 3, 2,1)}− − şi nu mai este

întreg spaţiul 3IR . Cu toate acestea, polinoamele caracteristice asociate celor două

endomorfisme, coincid. Există aşadar endomorfisme care au acelaşi polinom caracetristic, dar

subspaţiile generate de vectorii proprii au dimensiuni diferite.

4. Fie endomorfismul liniar 3 3:f IR IR→ , ( , , )f x y z = (6 9 ,x y+ 10 4 ,y z−



10

6 7 8 )x y z− + + . Considerând baza canonică 1{ ,e=B 2 ,e 33}e IR⊂ , matricea

endomorfismului f este

6 9 0

[ ] 0 10 46 7 8

F f = = − −

B . Polinomul caracteristic este:

( )( )3 2 2( ) 24 216 864 12 12 72fP λ λ λ λ λ λ λ= − + − + = − − − + , cu singura rădăcină reală

1 12λ = . Sistemul omogen a cărui soluţie nenulă reprezintă coordonatele vectorilor proprii

corespunzători este

1

2

3

6 9 0 00 2 4 06 7 4 0

vvv

− − − =

− −

, de unde 1 ( 3, 2,1)v α= − − , IRα ∗∈ .

5. Fie endomorfismul liniar 3 3:g C C′ → ′ ,

( , , )g x y z = (6 9 ,x y+ 10 4 ,y z− 6 7 8 )x y z− + + , care are aceeaşi matrice ca

endomorfismul f din exemplul de mai sus. Polinomul caracteristic este deci acelaşi:

( )( )3 2 2( ) 24 216 864 12 12 72gP λ λ λ λ λ λ λ= − + − + = − − − + , cu rădăcinile 1 12λ = ,

2,3 6 6iλ = ± .

Pentru 1 6λ = , se obţine ca mai sus 1 ( 3, 2,1)v α= − − , Cα ∗∈ ′ .

Pentru 2 6 6iλ = − , se obţine sistemul

1

2

3

6 9 0 00 4 6 4 06 7 2 6 0

i vi v

i v

+ − =

− +

, de unde 2 (3, 2 ,3 2 )v i iβ= − − , Cβ ∗∈ ′ .

Pentru 3 6 6iλ = + , se obţine 3 (3, 2 ,3 2 )v i iγ= + , Cγ ∗∈ ′ .

În baza 3{( 3, 2,1), (3, 2 ,3 2 ), (3, 2 ,3 2 )}i i i i C′ = − − − − + ⊂ ′B , rezultă matricea

6 0 0[ ] 0 6 6 0

0 0 6 6f i

i′

= − +

B.

Să remarcăm faptul că pe când un endomorfism al unui spaţiu vectorial real de dimensiune

pară (în particular 2 ) poate să aibă spectrul vid, un endomorfism al unui spaţiu vectorial real

de dimensiune impară (în particular 3 ) are întotdeauna spectrul nevid, pentru că orice

polinom cu coeficienţi reali, de grad impar, are cel puţin o rădăcină reală.



11

6.3 Diagonalizarea matricilor endomorfismelor liniare Fie V un K -spaţiu vectorial finit dimensional. Fie 0 Kλ ∈ o valoare proprie a lui

( )f End V∈ şi fie

0

{V v Vλ = ∈ | 0( ) }f v vλ= , adică mulţimea vectorilor proprii, corespunzătoare valorii proprii

0λ , la care se adaugă vectorul nul.

Propozitia 6.3 Submulţimea 0

V Vλ ⊂ este un subspaţiu vectorial al lui V , invariat de f

(adică 0 0

( )f V Vλ λ⊂ ).

Subspaţiul vectorial 0

V Vλ ⊂ se numeşte subspaţiul propriu corespunzător valorii

proprii 0λ .

Propozitia 6.4 Dimensiunea 0

dimVλ (numită multiplicitate geometrică) nu depăşeşte

multiplicitatea lui 0λ , ca rădăcină a polinomului caracteristic ( )fP λ (numită multiplicitate

algebrică).

Propozitia 6.5 Fie 1, ,v kv vectori proprii ai unui endomorfism liniar ( )f End V∈ , care

corespund valorilor proprii 1, ,λ kλ , diferite două câte două. Atunci sistemul format din

vectorii 1{ , , }kv v V⊂ este un sistem liniar independent.

Test de autoevaluare 6.2 1. Să se găsească valorile şi vectorii propri pentru endomorfismul liniar

2 2:f IR IR→ , ( , ) (3 , 3 )f x y x y x y= + + . Să se arate că există o bază 2

1 2{ , }v v IR′ = ⊂B , în care matricea endomorfismului f este 2 00 4

, adică o matrice diagonală.

2. Să se găsească valorile şi vectorii propri pentru endomorfismul liniar 3 3:f IR IR→ , ( , ) (2 ,3 , 3 )f x y x y z y z y z= − − + + . Să se arate că există o bază 3

1 2 3{ , , }v v v IR′ = ⊂B , în care matricea

endomorfismului f este 2 0 00 2 00 0 4

.



12

Teorema 6.1 (Diagonalizarea endomorfismelor) Fie ( )f End V∈ un endomorfism liniar al

unui K -spaţiu vectorial V , dimV n= . Să presupunem că f are toate valorile proprii în

K , iar, pentru fiecare valoare proprie ( )fλ σ∈ , multiplicitatea geometrică este egală cu

multiplicitatea algebrică (adică dimensiunea subspaţiului propriu corespunzător valorii

proprii λ , V Vλ ⊂ , este egală cu multiplicitatea lui λ ca rădăcină a polinomului

caracteristic fP ). Atunci există o bază f V⊂B astfel încât matricea [ ]f

f B , a

endomorfismului f în baza fB , este diagonală, unde pe diagonală sunt valorile proprii,

fiecare valoare proprie fiind luată de atâtea ori cât este multiplicitatea sa (algebrică ori

geometrică).

Exemplu. Fie 5 5:f IR IR→ , 1 2 3 4 5( , , , , )f x x x x x =

1 2 3 4(12 4 5 3 ,x x x x x= − + + + 29 ,x 1 2 3 4 53 2 8 3x x x x x− + + + ,

1 2 3 4 53 4 4 3 ,x x x x x− + − + − 1 2 4 56 6 6 3 )x x x x− + − + . În baza canonică

1 5{ , , }e e= B a lui 5IR , f are matricea

12 4 1 5 30 9 0 0 0

[ ] .3 2 8 1 33 4 1 4 36 6 0 6 3

f

− = − − − − − −

B

Polinomul caracteristic este:

12 4 1 5 30 9 0 0 0

( ) ,3 2 8 1 33 4 1 4 36 6 0 6 3

fP

λλ

λ λλ

λ

− −−

= − −− − − −− − −

2 3 4 5( ) 13122 10935 3402 504 36fP λ λ λ λ λ λ= − + − + − = 5 3( 1) ( 3)( 6)( 9)λ λ λ− − − − .

Valorile proprii sunt 1 3λ = , 2 6λ = , 3λ = 4λ = 5λ = 9. Multiplicităţile algebrice ale

valorilor proprii 1 3λ = şi 2 6λ = sunt 1, iar ale valorii proprii 3 9λ = este 3 .

11 1{ }v Vλ= ⊂B este o bază, iar

1Vλ este spaţiul vectorial al soluţiilor sistemului



13

1

2

3

4

5

9 4 1 5 3 00 6 0 0 0 0

.3 2 5 1 3 03 4 1 1 3 06 6 0 6 0 0

vvvvv

− =−

− − − − −

Rezultă 1v α= , 2 0v = , 3v α= , 4 2v α= − , 5 3v α= − , IRα ∈ , de unde vectoriul propriu

1 (2,0,1, 2, 3)v = − − .

22 2{ }v Vλ= ⊂B este o bază, iar 2

Vλ este spaţiul vectorial al soluţiilor sistemului

1

2

3

4

5

6 4 1 5 3 00 3 0 0 0 0

.3 2 2 1 3 03 4 1 2 3 06 6 0 6 3 0

vvvvv

− =−

− − − − − − −

Rezultă asemănător vectorul propriu 2 ( 1,0,1,1,0)v = − .

53 3 4 5{ , , }v v v Vλ= ⊂B este o bază, iar

3Vλ este spaţiul vectorial al soluţiilor sistemului

1

2

3

4

5

3 4 1 5 3 00 0 0 0 0 0

.3 2 1 1 3 03 4 1 5 3 06 6 0 6 6 0

vvvvv

− =− −

− − − − − − −

Vectorii proprii corespunzători valorii proprii 3 9λ = sunt 3 (1,1,1,0,0)v = , 4 (1, 2,0,1,0)v =

şi 5 ( 1,0,0,0,1)v = − , care formează o bază în 3

Vλ .

În baza 1 2 3= ∪ ∪ =B B B B 1 5{ , , }v v , matricea endomorfismului f este

3 0 0 0 00 6 0 0 0

[ ] ,0 0 9 0 00 0 0 9 00 0 0 0 9

f

=

B

deci endomorfismul este diagonalizabil.



14

De reţinut ! Formulele de calcul a polinomului caracteristic pentru n=2 şi n=3.

Sistemul omogen prin care se calculează vectorii proprii.

Criteriul de diagonalizare: multiplicităţile geometrice şi algebrice trebuie

să fie egale.


Să se arate că există o bază 1 2 3{ , , }v v v=B a lui 3IR în care matricea endomorfismului 3 3:f IR IR→ ,

( , ) ( , , )f x y x y z x y z x y z= − + + − + + − să fie matrice diagonală.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 6

1. Să se arate că există o bază 1 2 3{ , , }v v v=B a lui 3IR în care

matricea endomorfismului 3 3:f IR IR→ , ( , , )f x y z =

(2 , 2 , 2 )x y z x y z x y z+ + + + + + să fie matrice diagonală.

2. Să se studieze diagonalizabilitatea endomorfismului 3 3:f IR IR→ ,

( , , ) (2 7 6 , 5 6 ,7 8 )f x y z x y z y z y z= − − − − + .

3. Să se arate că nu există o bază 1 2 3{ , , }v v v=B a lui 3IR în care

matricea endomorfismului 3 3:f IR IR→ , ( , )f x y =

(3 2 , 3 2 , )x y z x y z x y+ + + + − − să fie matrice diagonală.

4. Să se studieze diagonalizabilitatea endomorfismului: 4 4:f IR IR→ ,

( , , , ) ( 2 , 2 , 2 , 2 )f x y z t x y z t x y z t x y z t x y z t= − + + + − + + + − + + + −.



15

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

6.2. 1. 23 1( ) det 8 6

1 3fPλ

λ λ λλ

− = = − + −

; 1 2λ = , 1 ( 1,1)v = − ;

2 4λ = , 2 (1,1)v = .

2. ( )fP λ = 2 1 1

det 0 3 10 1 3

λλ

λ

− − − − = −

2 316 20 8λ λ λ− + − ;

1 2 2λ λ= = obţinem sistemul: 0,0,0,

v wv wv w

− − = + = + =

care are soluţiile u α= , v β= , w β= − . Luând 1α = , 0β = obţinem 1 (1,0,0)v = , iar pentru 0α = , 1β = obţinem

2 (0,1, 1)v = − . Pentru 3 4λ = obţinem 3 ( 1,1,1)v = − .

6.3 1 0 00 2 00 0 2

− −

, 1v =(1,1,1), 2v =(-1,1,0), 3v =(-1,0,1).

Bibliografie





Concluzii Endomorfismele reprezintă cazul particular al aplicaţiilor liniare care

au domeniul şi codomeniul egale. Valorile proprii sunt rădăcinile

polinomului caracteristic şi sunt în număr finit. Vectorii propri se

calculează cu ajutorul unor unor sisteme liniare omogene care au

soluţii nenule. Există o bază în care matricea endomorfismului este

diagonală dacă şi numai dacă multiplicităţile geometrice şi algebrice

ale tuturor valorilor proprii sunt egale.

Forme biliniare şi pătratice


1


FORME BILINIARE ŞI PĂTRATICE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 7 2 7.1. Forme biliniare 2 7.2. Forme pătratice 3 7.3. Forme canonice pentru forme pătratice 4

7.3.1. Metoda lui Gauss 4 Test de autoevaluare 7.3.1 7 7.3.2. Metoda lui Jacobi 7 Test de autoevaluare 7.3.2 9 7.3.3. Metoda transformărilor ortogonale 9 Test de autoevaluare 7.3.3 10 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 7 11 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 11 Concluzii 11 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 7 12




Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 7 sunt: 7.1 Forme biliniare

Fie V un spaţiu vectorial peste corpul comutativ K .

O aplicaţie : V V Kφ × → se numeşte formă biliniară dacă este K -liniară în ambele

argumente, adică:

1) 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )x x y x y x yφ α β αφ βφ+ = + , 1 2( ) , ,x x y V∀ ∈ , , Kα β ∈ şi

2) 1 2( , )x y yφ α β+ = 1 2( , ) ( , )x y x yαφ βφ+ , 1 2( ) , ,x y y V∀ ∈ , , Kα β ∈ .

Spunem că o formă biliniară este simetrică dacă ( , ) ( , )x y y xφ φ= , ( ) ,x y V∀ ∈ şi

antisimetrică dacă ( , ) ( , )x y y xφ φ= − , ( ) ,x y V∀ ∈ . Dacă : V V Kφ × → este o formă

biliniară, are loc identitatea

( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 1( , ) , , , ,2 2( , ) ( , ).

x y x y y x x y y x

x y x y

φ φ φ φ φ

φ φ

= + + −

′ ′′= +

Atunci:

1) : V V Kφ′ × → , ( ) ( )( )12( , ) , ,x y x y y xφ φ φ′ = + este o formă biliniară simetrică, numită

forma biliniară simetrică asociată formei biliniare φ şi

2) : V V Kφ′′ × → , ( ) ( )( )12( , ) , ,x y x y y xφ φ φ′ = − este o formă biliniară antisimetrică,

numită forma biliniară antisimetrică asociată formei biliniare φ .

Fie : V V Kφ × → o formă biliniară şi 1{ , , }ne e= B o bază a lui V . Vom presupune în

continuare că spaţiul vectorial V este finit dimensional. Matricea formei biliniare

corespunzătoare bazei B se defineşte prin

[ ]φ =B , 1,( ) ( )ij ni j n Kφ=

∈M , unde ( , )ij i je eφ φ= . Dacă 1

ni

ii

x x e=

= ∑ , 1

ni

ii

y y e V=

= ∑ ∈ şi [ ] ,x B

[ ]y B sunt reprezentările matriciale ale vectorilor x şi y în baza B , atunci:

• Definirea noţiunilor de formă biliniară şi formă pătratică

• Însuşirea algoritmilor de calcul a formelor canonice

pentru forme pătratice



3

( ), 1

, ,n

i jij

i j

x y x yφ φ=

= ∑

sau, cu scriere matricială:

( ) ( )1

11 11

1

,n

n

nn nn

yx y x x

y

φ φφ

φ φ

= ⋅ ⋅ ⇔

( ), [ ] [ ] [ ] ,tx y x yφ φ⇔ = ⋅ ⋅B B B

Propozitia 7.1 Forma biliniară : V V Kφ × → este simetrică (antisimetrică) dacă şi numai

dacă matricea sa într-o bază oarecare a lui V este simetrică (antisimetrică).

Propozitia 7.2 Fie =B 1{ , , }ne e şi 1{ , , }ne e′ ′ ′= B două baze ale K -spaţiului

vectorial V , cu matricea de trecere [ , ]′B B . Atunci are loc formula:

[ ] [ , ] [ ] [ , ],tφ φ′′ ′= ⋅ ⋅BB

B B B B

unde : V V Kφ × → este o formă biliniară.

Propozitia 7.3 Rangul matricii unei forme biliniare este acelaşi, indiferent de baza în care se

scrie matricea formei biliniare.

Rangul matricii unei forme biliniare : V V Kφ × → într-o bază oarecare, se numeşte

rangul formei biliniare φ . O formă biliniară : V V Kφ × → se spune că este nedegenerată

dacă din ( , ) 0x yφ = , ( )y V∀ ∈ , rezultă 0x = .

Propozitia 7.4 Fie : V V Kφ × → o formă biliniară pe un spaţiu vectorial finit dimensional

V . Următoarele condiţii sunt echivalente:

1) φ este nedegenerată;

2) matricea [ ]φ B , a formei φ într-o bază V⊂B , este nesingulară;

3) dacă ( , ) 0x yφ = , ( )x V∀ ∈ , atunci 0y = .

7.2 Forme pătratice O aplicaţie :p V K→ este o formă pătratică pe K -spaţiul vectorial V dacă

există o formă biliniară : V V Kφ × → , numiă formă biliniară asociată, astfel încât

( ) ( , )p x x xφ= , ( )x V∀ ∈ .

Propozitia 7.5 Dacă :p V K→ este o formă pătratică, atunci există o singură formă



biliniară simetrică φ , asociată ei, dată de formula:

( ) ( )( )1, ( ) ( ) .2

x y p x y p x p yφ = + − −

Forma biliniară simetrică asociată unei forme pătratice se numeşte forma polară sau

forma dedublată a formei pătratice.

Matricea unei forme pătratice :p V K→ într-o bază 1{ , ,e= B }ne V⊂ se

defineşte ca fiind matricea formei biliniare simetrice asociate ei (formei polare),

corespunzătoare bazei B . Din propoziţia 7.1 rezultă că matricea unei forme pătratice este o

matrice simetrică.

Să studiem reprezentarea pe coordonate a unei forme pătratice.

Fie :p V K→ o formă pătratică şi 1{ , , }ne e V= ⊂B o bază. Forma pătratică p

are forma:

( ), 1

,n

i jij

i j

p x b x x=

= ∑

unde 11

nnx x e x e V= + + ∈ şi matricea formei pătratice este , 1,[ ] ( )ij i j np b

==B , ij jib b= ,

( ) , 1,i j n∀ = . Forma biliniară simetrică asociată formei pătratice (forma polară sau dedublată)

este:

, 1

( , ) ,n

i jij

i j

x y b x yφ=

= ∑

unde 11

nnx x e x e= + + , 1

1n

ny y e y e V= + + ∈ .

Exemplu. Fie 2:p IR IR→ , 2 2( ) 4p v x xy y= + − , unde ( , )v x y= . Forma polară sau

dedublată este: (( , ), ( , )) 2( )x y x y xx xy yx yyφ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + − .

7.3 Forme canonice pentru forme pătratice Metodele de aducere la formă canonică a unei forme pătratice pe care le vom studia sunt:

- metoda lui Gauss,

- metoda lui Jacobi şi

- metoda transformărilor ortogonale.

Pentru orice formă pătratică există o bază pentru care matricea este diagonală. Numărul

numerelor positive np şi al celor negative nn formează indexul (np,nn), care nu depinde de

forma canonică obţinută (teorema lui Sylvester). Suma np+nn este chiar rangul formei.



5

7.3.1. Metoda lui Gauss Propozitia 7.6 (Gauss) Fie V un K -spaţiu vectorial, dimV n= . Pentru orice formă

pătratică nenulă :p V V K× → , există o bază 1{ , , }nv v V′ = ⊂B şi scalarii nenuli

1, , k Kα α ∗∈ , 1 k n≤ ≤ , astfel încât:

1 1 21( ) ( ) ( ) ,k

kp x x xα α= ⋅ + + ⋅

unde 11x x v= + n

nx v V+ ∈ .

Demonstraţia propoziţiei 7.6 este constructivă, metoda descrisă în demonstraţie se numeşte

metoda lui Gauss de aducere la formă canonică a unei forme pătratice.

Exemple

1. Fie 3:p IR IR→ , 1 2 3{ , , }e e e=B baza canonică a lui 3IR , ( )p v =

2 2 22 2 3 6 2x xy xz y yz z= − + + − + , unde 31 2 3( , , )v x y z xe ye ze IR= = + + ∈ .

Avem 2 2 2( ) ( 2 2 ) 3 6 2p v x xy xz y yz z= − + + − + =

2 2 2 2 2[( ) 2 ] 3 6 2x y z y z yz y yz z= − + − − + + − + =

2 2 2 2 2( ) 2 3 6 2x y z y z yz y yz z= − + − − + + − + =

2 2 2 2 2 2( ) 2 4 ( ) 2( 2 )x y z y z yz x y z y yz z= − + + + − = − + + − + =

2 2 2 2 2 2 2( ) 2[( ) ] ( ) 2( )x y z y z z z x y z y z z= − + + − − + = − + + − − .

Fie x x y z′ = − + , y y z′ = − , z z′ = . Matricial, avem:

1 1 10 1 1 ,0 0 1

x xy yz z

′ − ′ = − ′

deci

1

1 1 1[ , ] 0 1 1 ,

0 0 1

′ −

− = −

B B

prin urmare 11 1 1 1 1 0

[ , ] 0 1 1 0 1 1 ,0 0 1 0 0 1

−

′

− = − =

B B

deci baza 31 2 3{ , , }v v v IR′ = ⊂B în care p are forma

2 2 2( ) ( ) 2( ) ( )p v x y z′ ′ ′= + − , 1 2 3v x v y v z v′ ′ ′= + + este

1 1{v e′ = =B , 2 1 2v e e= + , 3 2 3}v e e= + .



2. Fie 3:p IR IR→ , 1 2 3{ , , }e e e=B baza canonică a lui 3IR ,

2 2 2( ) 2 2 2p v x xy xz y z= − + + + , unde

31 2 3( , , )v x y z xe ye ze IR= = + + ∈ .

Avem 2 2( ) ( ) 2p v x y z yz z= − + + + . Pentru a continua, se consideră coordonatele ( , , )x y z′ ′ ′ ,

astfel încât x x′= , y y z′ ′= + , z y z′ ′= − , deci 2 2( ) ( ) 2( )( ) ( )p v x y z y z y z y z y z′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= − − + − + + − + − =

2 2 2( 2 ) 3( ) ( ) 2x z y z y z′ ′ ′ ′ ′ ′= − + − − = 2 2 21 4( 2 ) 3( ) ( )3 3

x z y z z′ ′ ′ ′ ′− + − − .

Fie schimbarea de coordonate 2x x z′′ ′ ′= − , 13

y y z′′ ′ ′= − , z z′′ ′= , deci

2 2 24( ) ( ) 3( ) ( )3

p v x y z′′ ′′ ′′= + − . Dar x x′ = , 1 ( )2

y y z′ = + ,

1 ( )2

z y z′ = − , deci x x y z′′ = − + , 1 23 3

y y z′′ = + , 1 ( )2

z y z′′ = − . Matricial, avem:

1 1 11 20 ,3 31 102 2

x xy yz z

−′′

′′ = ′′ −

deci 1

43

23

1 1 1 1 0 21 2[ , ] 0 0 1 ,3 3

0 11 102 2

−

′′

−

= = −

−

B B

prin urmare baza ′′B în care 2 2 24( ) ( ) 3( ) ( )3

p v x y z′′ ′′ ′′= + − este

1 1{v e′′ = =B , 2 2 3v e e= + , 3 1 2 34 22 }3 3

v e e e= + − .

Dacă : V V Kφ × → este o formă biliniară simetrică, atunci o bază 1{ , , }nv v V= ⊂B

este ortogonală în raport cu φ dacă ( , ) 0i jv vφ = , pentru i j≠ . Conform propoziţiei 32prfs-

fp, între formele pătratice şi formele biliniare simetrice există o determinare reciprocă. Dacă

:p V K→ este o formă pătratică, atunci o bază 1{ , , }nv v V= ⊂B este ortogonală în



7

raport cu p , dacă este ortogonală în raport cu forma biliniară simetrică asociată ei.

Într-o bază ortogonală faţă de o formă biliniară simetrică (formă pătratică), matricea formei

biliniare simetrice (respectiv a formei pătratice) este diagonală. O astfel de bază se spune că

realizează o formă canonică a formei biliniare simetrice (respectiv a formei pătratice).

Propoziţia 7.6 afirmă faptul că pentru o formă pătratică p , există o bază 1{ , , }nv v V= ⊂B

în care forma pătratică are formă canonică. Rezultă că forma biliniară simetrică asociată φ

are forma: 1 1

1( , ) ,k kkx y x y x yφ α α= ⋅ + +

unde k n≤ şi 11x x v= + n

nx v+ , 11y y v= + n

ny v V+ ∈ .

Numărul k din formula de mai sus nu depinde de baza B , fiind egal cu rangul

aplicaţiei biliniare.

7.3.2. Metoda lui Jacobi O altă metodă de aducere la formă canonică a unei forme pătratice este metoda lui

Jacobi.

Propozitia 7.7 (Jacobi) Fie V un K -spaţiu vectorial, dimV n= . Fie :p V K→ o

formă pătratică care are rangul q , astfel că într-o bază 1{ , , }ne e V= ⊂B , matricea formei

pătratice este 1 ,[ ] ( )ij i j np b ≤ ≤=B . Dacă toţi scalarii:

11 111 12

0 1 11 212 22

1

1, , , ,q

q

q qq

b bb b

bb b

b b∆ = ∆ = ∆ = ∆ =

sunt nenuli, atunci există o bază 1 1{ , , , , , }q q nv v v v V′+= ⊂ B astfel încât::

11 1 2 2 20 1

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ,q q

q

p x y y y−∆∆ ∆= + + +∆ ∆ ∆

unde 11x y v= + n

ny v V+ ∈ .

Test de autoevaluare 7.3.1 1. Să se determine forma canonică a următoarelor forme pătratice folosind metoda lui Gauss şi bazele în care au aceste forme canonice: 1) 2

1 :b IR IR→ , 2 21( , ) 2b x y x y xy= − + , 2( )( , )x y IR∀ ∈ ;

2) 32 :b IR IR→ , 2 2 2

2 ( , , ) 2b x y z x y z xy yz= − − − + ,

3( )( , , )x y z IR∀ ∈ .



Exemplu.

Fie spaţiul vectorial aritmetic 3IR şi fie baza canonică 1 2 3{ , , }e e e=B . Fie forma

pătratică 3:p IR IR→ , 2 2( ) 2 2 4 2p v x xy xz yz z= − − + + , unde 3( , , )v x y z IR= ∈ .

Luând 31 2 3{ , , }e e e IR= ⊂B baza canonică, avem

1 1 1[ ] 1 0 2 ,

1 2 2p

− − = − −

B

prin urmare 0 1∆ = , 1 1 0∆ = ≠ , 2

1 11 0

1 0−

∆ = = − ≠−

şi 3

1 1 11 0 2 2 01 2 2

− −∆ = − = − ≠

−.

Atunci există o bază

31 2 3{ , , }v v v IR′ = ⊂B astfel încât

2 2 20 1 2

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )p v x y z∆ ∆ ∆′ ′ ′= + + =∆ ∆ ∆

2 2 21 1 1( ) ( ) ( )1 1 2

x y z−′ ′ ′= + + =− −

2 2 21( ) ( ) ( )2

x y z′ ′ ′− + , unde

1 2 3v x v y v z v′ ′ ′= + + .

Să determinăm baza în care p are forma canonică.

Se caută 1v de forma 1 11 1v eα= , unde 11 1 1α ⋅ = , deci 11 1α = , prin urmare 1 1v e= .

Se caută 2v de forma 2 21 1 22 2v e eα α= + , unde 21α şi 22α sunt soluţii ale sistemului

21 22

21

0,

1α αα− =

− =

deci 21 22 1α α= = − , prin urmare 2 1 2v e e= − − .

Se caută 3v de forma 3 31 1 32 2 33 3v e e eα α α= + + , unde 31α , 32α şi 33α sunt soluţii ale

sistemului

31 32 33

31 33

31 32 33

02 0,

2 2 1

α α αα αα α α

− − =− + =− + + =

deci 31 1α = , 3212

α = şi 3312

α = , prin urmare 2 1 2 31 12 2

v e e e= + + .

Deci, forma pătratică p are, în baza 1 2 3{ , , }v v v′ =B , matricea diagonală



9

1 0 0[ ] 0 1 0

10 02

p ′

= −

B.

7.3.3. Metoda transformărilor ortogonale O altă metodă de aducere la formă canonică a unei forme pătratice este metoda

transformărilor ortogonale.

Propozitia 7.8 Fie V un K -spaţiu vectorial, dimV n= , :p V K→ o formă pătratică

care are rangul q , şi 1{ , , }ne e V= ⊂B o bază. Să considerăm endomorfismul :f V V→

care are aceeaşi matrice ca p în baza B : [ ] [ ]p f=B B . Atunci endomorfismul f este

diagonalizabil,iar în baza B' în care f are formă diagonală, p are de asemenea formă

diagonal, iar matricea '][B,B este ortogonală (inversa esta egală cu transpusa).

Exemplu. Fie spaţiul vectorial aritmetic 3IR şi fie baza canonică 1 2 3{ , , }e e e=B . Fie forma

pătratică 3:p IR IR→ , 2 2 2( ) 4 4 4p v x y z xy xz yz= − − − + + + , unde 3( , , )v x y z IR= ∈ .

Luând 31 2 3{ , , }e e e IR= ⊂B baza canonică, avem

1 2 2[ ] 2 1 2

2 2 1p

− = − −

B .

Polinomul caracteristic al endomorfismului f care are aceeaşi matrice ca p este 3 2( ) 3 9 27fP λ λ λ λ= − − + + ,

cu rădăcinile 1 3λ = , 2 3 3λ λ= = − . Pentru 1 3λ = , obţinem sistemul

4 2 2 02 4 2 02 2 4 0

x y zx y zx y z

− + + = − + = + − =

Test de autoevaluare 7.3.2 Să se determine forma canonică a următoarelor forme pătratice folosind metoda lui Jacobi şi bazele în care au formele canonice corespunzătoare: 1) 2

1 :b IR IR→ , 2 21( , ) 2b x y x y xy= − + , 2( )( , )x y IR∀ ∈ ;

2) 32 :b IR IR→ , 2 2

2 ( , , ) 2 2 2b x y z x xy xz y= − − + ,

3( )( , , )x y z IR∀ ∈ .



Cu soluţia 1 ( , , )v α α α= . Se pune în plus condiţia ca suma pătratelor coordonatelor să fie 1,

de unde rezultă 11 1 1, ,3 3 3

v =

. Pentru 2 3 3λ λ= = − , obţinem sistemul

2 2 2 02 2 2 02 2 2 0

x y zx y zx y z

+ + = + + = + + =

Cu soluţia ( , , )α β α β− − . Pentru 0β = , 2 ( , ,0)v α α= − , unde ( )2 2 1α α− + = , deci

21 1( , ,0)2 2

v = − . Punând condiţia ca 3 2v v⊥ , exprimată prin suma produselor

coordonatelor nule, se obţine 1 1( ) 0 02 2

α β α β− − − + + ⋅ = , de unde 2 0α β+ = , deci

2β α= − . Rezultă 3 ( , , 2 )v α α α= − . Avem 2 2 2(2 ) 1α α α+ + = , de unde 16

α −= , deci

31 1 2, ,6 6 6

v − − =

(deoarece baza 31 2 3{ , , }v v v IR= ⊂B' trebuie să fie la fel orientată ca B ).

În baza 31 2 3{ , , }v v v IR= ⊂B' , forma endomorfismului p este diagonală,

2 2 2( , , ) 3 3 3p u v w u v w= − − .

Să remarcăm că matricea '][B,B este ortogonală.

[ ]

1 1 13 2 6

1 1 13 2 6

1 203 6

− −

− =

B,B'

Test de autoevaluare 7.3.3 Să se determine forma canonică pentru următoarele forme pătratice folosind metoda transformărilor ortogonale şi bazele în care au formele canonice corespunzătoare: 1) 2

1 :b IR IR→ , 2 21( , ) 3 3 2b x y x y xy= + + , 2( )( , )x y IR∀ ∈ ;

1. 32 :b IR IR→ , 2 2 2

2 ( , , ) 2 2 4 4b x y z x y z xy yz zx= + + + + − , 3( )( , , )x y z IR∀ ∈ .



11

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 7 Să se aducă la formă canonică, folosind cele trei metode studiate,

forma pătratică 2 2 2( , , ) 6 6 6p x y z x y z xy yz zx= − − − + + + .

Concluzii Formele pătratice şi formele biliniare simetrice sunt în corespondenţă

bijectivă. Studiul acestora se face folosind matrici corespunzător unor

baze. Formele canonice sunt obţinute pentru baze pentru care matricile

sunt diagonale.

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 7.3.1. 1) 1( , )b x y′ ′ = 2 2( ) 2( )x y′ ′− , 1 1v e= şi 2 1 2v e e= − + . 2) 2 ( , )b x y′ ′ = 2 29

82( ) ( )x y′ ′− − 279 ( )z′ , 1 1v e= , 1

2 1 24v e e= + şi 1 4

3 1 2 39 9v e e e= +

7.3.2. 1) 1( , )b x y′ ′ = 0 1

1 2

2 2( ) ( )x y∆ ∆∆ ∆′ ′⋅ + ⋅ = 2 21 1( ) ( )

1 2x y′ ′+ ⋅

−, în

baza 1 2{ , }f f′ = =B 11 1 22{ , ( )}e e e− .

2) 2 ( , , )b x y z′ ′ ′ = 0 1 2

1 2 3

2 2 2( ) ( ) ( )x y z∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆′ ′ ′⋅ + ⋅ + ⋅ =

2 2 21 1 1( ) ( ) ( )1 1 2

x y z′ ′ ′+ ⋅ +−

, în baza

1 2 3{ , , }f f f′ = =B 1 11 1 2 1 2 32 2{ , , }e e e e e e+ − − − .

7.3.3. 1) Forma canonică este 1( , )b x y′ ′ = 2 22 ( ) 4 ( )x y′ ′⋅ + ⋅ .

Vectorii proprii sunt ( )1 11 2 2

,v = − şi respectiv ( )1 12 2 2

,v = .

2) Forma canonică este 2 ( , )b x y′ ′ = 2 2 22 ( ) 2 ( ) 4 ( )x y z′ ′ ′− ⋅ + ⋅ + ⋅ .

Vectorii proprii sunt ( )1 1 11 3 3 3, ,v = − , ( )1 1

2 2 2, ,0v = şi

( )1 1 23 6 6 6

, ,v = − .

De reţinut ! Formele pătratice şi formele biliniare simetrice sunt în corespundenţă

unu la unu. Metodele de aducere la formă canonică sunt: Gauss, Jacobi

şi prin transformări ortogonale.



Bibliografie





Spaţii euclidiene


1


SPAŢII EUCLIDIENE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 8 2 8.1. Produs scalar şi spaţii vectoriale euclidiene 2

Test de autoevaluare 8.1 7 8.2. Produsul vectorial şi produsul mixt în E3 7 Test de autoevaluare 8.2 10 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 8 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 10 Concluzii 11 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 8 11

Spaţii euclidiene



Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 8 sunt: 8.1. Produs scalar şi spaţii vectoriale euclidiene

Fie V un spaţiu vectorial finit dimensional peste corpul K = IR . O formă bilinară

, : V V IR< ⋅ ⋅ > × → se numeşte produs scalar dacă este simetrică şi strict pozitiv definită.

Aşadar, un produs scalar , : V V IR< ⋅ ⋅ > × → are proprietăţile:

1) este IR -liniar în fiecare argument, adică:

a) 1 2 1 2, , ,x x y x y x yα β α β< + >= < > + < > , 1 2( ) , ,x y y V∀ ∈ , , IRα β ∈ şi

b) 1 2 1 2, , ,x y y x y x yα β α β< + >= < > + < > , 1 2( ) , ,x y y V∀ ∈ , , IRα β ∈ ;

2) este simetric, adică , ,x y y x< >=< > , ( ) ,x y V∀ ∈ ;

3) este strict pozitiv definit, adică , 0x x< >≥ , ( )x V∀ ∈ şi , 0 0x x x< >= ⇔ = .

Ultimele două condiţii sunt echivalente cu faptul că matricea formei biliniare într-o bază

oarecare este simetrică şi are toate valorile proprii reale strict pozitive.

Dacă ,< ⋅ ⋅ > este un produs scalar pe V , spunem că ( , , )V < ⋅ ⋅ > este un spaţiu

(vectorial) euclidian real.

Pe spaţiul vectorial real nIR se defineşte un produs scalar canonic, dat de 1 1 n nx y x y x y⋅ = + + , ( )∀ 1( , , )nx x x= , 1( , , )n ny y y IR= ∈ . Spaţiul vectorial

euclidian real ( , )nIR ⋅ se numeşte spaţiul euclidian real n -dimensional canonic. Se notează

3nIR E= .

Dacă 1,{ }i i nx V=

= ⊂B este o bază, atunci matricea , 1,( , )i j i j nx x=

< > se numeşte

matricea asociată produsului scalar în baza B .

Dacă ( , , )V < ⋅ ⋅ > este un spaţiu vectorial euclidian real, atunci se defineşte norma

unui vector x V∈ ca fiind ,x x x= < > . Norma este corect definită, deoarece produsul

scalar este strict pozitiv definit, adică , 0x x< >≥ , ( )x V∀ ∈

• Cunoaşterea definiţiilor şi proprietăţilor legate de produsele scalare, vectoriale şi mixte • Recunoaşterea exemplelor fundamentale de spaţii vectoriale euclidiene

Spaţii euclidiene


3

Propozitia 8.1 (Inegalitatea Cauchy-Schwarz) Dacă ( , , )V < ⋅ ⋅ > este un spaţiu vectorial

euclidian real şi ,x y V∈ , atunci

, ,x y x y< > ≤ ⋅

egalitatea având loc doar dacă vectorii x şi y sunt coliniari.

Inegalitatea demonstrată mai sus se mai scrie ,1 1x yx y

< >− ≤ ≤ . Se defineşte măsura

unghiului a doi vectori ,x y V∈ ca fiind [0, ]α π∈ , astfel încât ,cos x yx yα < >⋅= . Se mai

notează ( , )x yα = .

Propozitia 8.2 (Inegalitatea lui Minkowski, sau inegalitatea triunghiului) Dacă ( , , )V < ⋅ ⋅ >

este un spaţiu vectorial euclidian real şi ,x y V∈ , atunci

,x y x y+ ≤ +

egalitatea având loc doar dacă vectorii x şi y sunt sau unul nul sau ambii nenuli şi

coliniari de acelaşi sens (adică ( ) 0α∃ > astfel încât x yα= ).

AşAdar, norma unui spaţiu euclidian real ( , , )V < ⋅ ⋅ > este o funcţie

: ,V IR⋅ → care are proprietăţile:

1) 0x ≥ , ( )x V∀ ∈ , iar 0x = 0x⇒ = (proprietate de strict pozitivitate);

2) | |x xα α⋅ = , ( )x V∀ ∈ , IRα ∈ (proprietate de omogenitate);

3) x y x y+ ≤ + (inegalitatea triunghiului).

Primele două proprietăţi rezultă din definiţia produsului scalar, iar cea de-a treia este

demonstrată în propoziţia 8.2.

Un spaţiu vectorial real pe care este definită o funcţie : ,V IR⋅ → care are proprietăţile

(N1)-(N3), se numeşte spaţiu vectorial real normat. Un spaţiu euclidian real este deci un

spaţiu vectorial real normat.

Un spaţiu vectorial V , pe care este definită o normă (adică o aplicaţie : V IR⋅ →

care are proprietăţile (N1)-(N3), se numeşte spaţiu vectorial normat. Nu orice normă defineşte

un produs scalar.

Propozitia 8.3 Norma asociată unui produs scalar pe un spaţiu vectorial euclidian real

verifică identitatea:

Spaţii euclidiene


( )2 2 2 22 ,x y x y x y+ + − = +

numită identitatea paralelogramului.

Reciproc, se poate arăta că dacă o normă verifică identitatea paralelogramului, atunci

ea este indusă de un produs scalar. Să notăm că în acest caz produsul scalar se obţine prin

formula

( )2 2 21, .2

x y x y x y< >= + − −

În continuare ( , , )V < ⋅ ⋅ > este un spaţiu vectorial euclidian real.

Doi vectori x , y V∈ se numesc vectori ortogonali dacă , 0x y< >= şi se scrie

x y⊥ . Un sistem de vectori { }i i Ie V∈= ⊂S se numeşte sistem ortogonal de vectori dacă nu

conţine vectorul nul şi , 0i je e< >= , ( )i j∀ ≠ (adică vectorii sunt nenuli şi ortogonali doi

câte doi). Sistemul S se numeşte sistem ortonormat dacă este ortogonal şi 1ie = , ( )i I∀ ∈

(adică orice vector din sistem are norma 1).

Propozitia 8.4 Dacă un sistem de vectori { }i i Ie V∈= ⊂S este ortogonal, atunci el este liniar

independent.

O bază ortogonală V⊂B este o bază formată dintr-un sistem ortogonal de vectori.

Analog, o bază ortonormată V⊂B este o bază formată dintr-un sistem ortonormat de

vectori.

Propozitia 8.5 Dacă { }i i Ie V∈= ⊂B este o bază ortonormată şi 1

1

p

p

iii ix x e x e= + + ,

atunci 1

1,i

ix x e=< > , , ,p

p

iix x e=< > .

Propozitia 8.6 Dacă un vector v V∈ este ortogonal pe toţi vectorii unui sistem de

generatori V⊂S (în particular S poate fi o bază), atunci este vectorul nul ( 0v = ).

Propozitia 8.7 Dacă M V⊂ este o submulţime de vectori atunci ? { |M x V= ∈ x v⊥ ,

( ) }v M V∀ ∈ ⊂ este un subspaţiu vectorial (numit subspaţiul vectorial ortogonal lui M , sau

ortogonalul mulţimii M ).

Dacă 1{ , , }kv v V= ⊂S este un sistem de vectori într-un spaţiu euclidian real, atunci

Spaţii euclidiene


5

determinantul Gram asociat sistemului S este

1 1 1

1

1

, ,( , , ) .

, ,

k

k

k k k

v v v vv v

v v v v

< > < >Γ =

< > < >

Propozitia 8.8 Au loc următoarele proprietăţi ale determinantului Gram:

1) 1( , , ) 0kv vΓ = dacă şi numai dacă sistemul S este liniar dependent.

2) 1( , , ) 0kv vΓ > dacă şi numai dacă sistemul S este liniar independent.

Teorema 8.1 (Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt) Dacă

1,{ }i i nv V=

= ⊂S este un sistem de vectori liniar independenţi, atunci există un sistem

ortonormat de vectori 0 1,{ }i i ne V=

= ⊂S , astfel încât pentru orice 1,k n= să avem

1, 1,({ } ) ({ } )i ii k i ke v= =

=L L .

Exemplu

În spaţiul euclidian real 3 -dimensional canonic, să se ortonormeze sistemul de vectori

1{ (1,1,1)a = , 2 (1, 1,1)a = − , 3 (1,1, 1)}a = − .

Rezolvare. La primul pas se ia 1

11 1ae a= = ( )3 3 3

3 3 3, , . La pasul al doilea se ia

2 21 1 2 1 2({ , })e a a a aα′ = + ∈L astfel încât 2 1, 0e a′< >= , apoi 2

12 2e

e e′

′= . Rezultă

2 1

1 1

, 121 , 3

a aa aα < >

< >= − = − , deci ( )1 2 4 22 3 3 3 3(1,1,1) (1, 1,1) , ,e ′ −= − + − = , 2 6

2 3e′ = , ( )6 6 62 6 3 6, ,e −= .

La pasul al treilea se ia 3 31 1 32 2 3 1 2 3({ , , })e a a a a a aα α′ = + + ∈L astfel încât

3 1 3 2, , 0e a e a′ ′< >=< >= . Rezultă sistemul:

31 1 1 32 2 1 3 1

31 1 2 32 2 2 3 2

, , , 0,

, , , 0a a a a a aa a a a a a

α αα α

< > + < > + < > = < > + < > + < > =

adică:

31 32

31 32

3 1 0,3 1 0.

α αα α

+ + = + − =

Rezultă 131 2α = − şi 1

32 2α = . Prin urmare 1 13 1 2 32 2e a a a′ = − + + = 1

2 (1,1,1)− +

12 (1, 1,1)− + (1,1, 1)− = ( )1,0, 1− şi ( )2 2

3 2 2,0,e = − . Rezultă sistemul ortonormat

Spaţii euclidiene


1 2 3{ , , }e e e .

Observaţie. Procedeul de ortogonalizare descris mai sus poate fi aplicat şi în spaţiile

vectoriale euclidiene reale care nu sunt finit dimensionale, unui sistem numărabil de vectori

liniar independenţi.

Propozitia 8.9 Dacă ( , , )V < ⋅ ⋅ > este un spaţiu vectorial euclidian real finit dimensional,

atunci:

1) Există o bază ortonormată V⊂B .

2) Dacă W V⊂ este un subspaţiu vectorial, atunci restricţia produsului scalar la W este

un produs scalar pe W , iar orice bază ortonormată pe W se poate completa la o bază

ortonormată pe V .

Folosind rezultatul de mai sus, putem preciza semnul unui determinant Gram.

Propozitia 8.10 Fie V un spaţiu vectorial euclidian real, finit dimensional. Dacă M V⊂

este o submulţime de vectori, atunci

1) ? {0}M = ⇔ ( ) .M V=L

2) ?( )V M M= ⊕L .

În particular, dacă W V⊂ este un subspaţiu vectorial, atunci are loc descompunerea

V W W ⊥= ⊕ .

Teorema 8.2 (Riesz) Dacă ( , , )V < ⋅ ⋅ > este un spaţiu vectorial euclidian real, atunci există

un izomorfism canonic : V Vφ ∗→ .

Propozitia 8.11 Dacă 1,{ }i i ne V=

= ⊂B este o bază şi

1,{ }i i ne V∗ ∗=

= ⊂B este baza duală, iar , 1,( ) ( )ij ni j ng IR=

∈M este matricea produsului scalar

în baza B , atunci dacă se consideră matricea 1, 1, , 1,( ) ( ) ( )ij

ij ni j n i j ng g IR−= =

= ∈M , forma

izomorfismului dat de teorema lui Riesz este ( )i i ji ijv e v g eφ = .

Spaţii euclidiene


7

8.2. Produsul vectorial şi produsul mixt în E3 Fie doi vectori 1 ( , , )v a b c= , 2 3( , , )v a b c E′ ′ ′= ∈ , unde 3E este spaţiul vectorial

euclidian canonic tridimensional. Vectorul

, ,b c a c a b

vb c a c a b

= − ′ ′ ′ ′ ′ ′

se numeşte produsul vectorial al vectorilor 1v şi 2v şi se notează

.

1 2v v v= ×not

. Fie 1 2 3 3{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}e e e E= = = = ⊂B baza canonică (baza

canonică fiind ortonormată faţă de produsul scalar canonic). Ţinând cont de faptul că

1 3 3,b c a c a b

v e e eb c a c a b

= − +′ ′ ′ ′ ′ ′

produsul vectorial 1 2v v× se mai poate scrie ca un determinant formal, în care prima linie

conţine numai vectori ai bazei canonice, iar celelalte linii sunt formate din scalari

(coordonatele celor doi vectori):

1 2 3

1 2 .e e e

v v a b ca b c

× =′ ′ ′

Propozitia 8.12 Dacă 1 2 3,v v E∈ , atunci produsul vectorial 1 2v v v= × al vectorilor 1v şi 2v

are următoarele proprietăţi:

1) v este un vector perpendicular pe vectorii 1v şi 2v ;

2) lungimea lui v , notată v , este egală cu aria paralelogramului construit pe cei doi

vectori ca laturi;

Test de autoevaluare 8.1 1) Să se determine care dintre formele pătratice următoare este un produs scalar real:

a) 2 21 : IR IR IRφ × → , 1 1 2 2 1 2 2 1

1( , ) 5 2( )x y x y x y x y x yφ = + − + , unde 1 2( , )x x x= , 1 2 2( , )y y y IR= ∈ . b) 2 2

2 : IR IR IRφ × → , 1 1 2 2 1 2 2 12 ( , ) 2( )x y x y x y x y x yφ = + − + ,

unde 1 2( , )x x x= , 1 2 2( , )y y y IR= ∈ . 2) În spaţiul euclidian real 3 -dimensional canonic, să se ortonormeze sistemul de vectori 1{ (1,1,1)a = , 2 (1, 1,1)a = − , 3 (1,1, 1)}a = − .

Spaţii euclidiene


3) v este nul dacă şi numai dacă vectorii sunt coliniari, iar dacă vectorii 1v şi 2v nu sunt

coliniari, sistemul 1 2{ , , }v v v=S formează o bază la fel orientată ca baza canonică

3E⊂B .

Propozitia 8.13 Dacă la oricare doi vectori 1 2 3,v v E∈ se asociază vectorul v cu

proprietăţile din propoziţia 8.12, atunci 1 2v v v= × , adică v este chiar produsul vectorial al

vectorilor 1v şi 2v .

Propozitia 8.14 Fie 1 2{ ,u u′ =B , 3 3}u E⊂ o bază ortonormată la fel orientată ca baza

canonică 3E⊂B şi 1 2 3,v v E∈ doi vectori care au coordonatele în baza ′B date de

1[ ]a

v bc

′

=

B, 2[ ]

av b

c′

′ ′= ′

B. Fie 3v E∈ astfel încât [ ] .

b cb c

a cv

a c

a ba b

′

′ ′ = −

′ ′ ′ ′

B Atunci 1 2v v v= × .

Remarcă. Dacă V este un spaţiu vectorial euclidian real 3 -dimensional, se poate defini

produsul vectorial a doi vectori 1v şi 2v folosind o bază ortonormată V′ ⊂B şi formula

[ ]v ′B din exerciţiul anterior.

Vom studia în continuare proprietăţile produsului vectorial.

Propozitia 8.15 Dacă 1v , 2v , 3 3v E∈ atunci

1) 1 2 2 1v v v v× = − × (anticomutativitate);

2) 1 2 3 1 3 2 3( ) ( ) ( )v v v v v v vα β α β+ × = × + × şi

1 2 3 1 2 1 3( ) ( ) ( )v v v v v v vα β α β× + = × + × , ( ) , IRα β∀ ∈ ;

3) 1 2 3 1 3 2 2 3 1( ) ( ) ( )v v v v v v v v v× × = ⋅ − ⋅ (formula dublului produs vectorial cu paranteza la

stânga);

4) 1 2 3 1 3 2 1 2 3( ) ( ) ( )v v v v v v v v v× × = ⋅ − ⋅ (formula dublului produs vectorial cu paranteza la

dreapta);

5) 1 2 3 2 3 1 3 1 2( ) ( ) ( ) 0v v v v v v v v v× × + × × + × × = , (identitatea lui Jacobi);

Spaţii euclidiene


9

6) .

1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3( ) ( ) ( ) [ , , ]v v v v v v v v v v v v× ⋅ = ⋅ × = ⋅ × =not

(se numeşte produsul mixt al celor

trei vectori).

Să remarcăm din cele stabilite mai sus formula pentru produsul mixt a trei vectori:

1 2 3[ , , ] ,a b c

v v v a b ca b c′ ′ ′=′′ ′′ ′′

adică are ca valoare determinantul coordonatelor vectorilor în baza canonică.

Propozitia 8.16 Produsul mixt 1 2 3[ , , ]v v v a trei vectori din 3E este egal cu determinantul

coordonatelor vectorilor (aşezate în ordinea dată, pe linii sau pe coloane) într-o bază

ortonormată la fel orientată cu baza canonică.

Observaţie. Propoziţia se poate demonstra şi folosind definiţia produsului mixt sub forma

1 2 3 1 2 3[ , , ] ( )v v v v v v= ⋅ × . Pentru produsul vectorial 2 3v v× este adevărată formula

determinantului formal, care are pe prima linie vectorii unei bazei ortonormate. Ţinând seama

că baza este ortonormată, rezultă concluzia.

Propozitia 8.17 Modulul produsul mixt a trei vectori 1 2 3 3, ,v v v E∈ este egal cu volumul

paralelipipedului construit pe cei trei vectori.

Observaţie. Un alt calcul al lui h , care să conducă la soluţie, se poate baza pe observaţia că

lungimea proiecţiei unui vector v pe un vector w este egală cu modulul produsului scalar

dintre v şi versorul lui w , deci ( )1 2 3 1 2 32 3 2 3

1 1 ( ( ))h v v v v v vv v v v

± = ⋅ × = ⋅ × = × ×

1 2 3

2 3

[ , , ]v v vv v×

, de unde rezultatul.

Într-un spaţiu vectorial euclidian tridimensional se poate defini produsul mixt a trei

vectori 1 2 3{ , , }v v v în mod analog

.

1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3( ) ( ) ( ) [ , , ]v v v v v v v v v v v v× ⋅ = ⋅ × = ⋅ × =not

,

obţinându-se, ca formulă de calcul, faptul că produsul mixt este egal cu determinatul matricii

Spaţii euclidiene


coordonatelor vectorilor într-o bază ortonormată.

De reţinut ! Un produs scalar este o formă pătratică nedegenerată pozitivă. Cu ajutorul produsului scalar se calculează lungimea unui vector şi unghiul a doi vectori. În cazul spaţiului euclidian canonic E3 (IR3 cu produsul canonic), se pot considera produsul vectorial a doi vectori (care este un vector) şi produsul mixt a trei vectori (care este un scalar); acestea intervin în mai multe interpretări geometrice. Formula Gram-Schmidt permite ortonormarea unui sistem de vectori

Test de autoevaluare 8.2 1. Să se demonstreze proprietăţile din Propoziţia 8.15.

2. Să se arate că:

a) ( ) ( ) ;a c a d

a b c db c b d⋅ ⋅

× ⋅ × =⋅ ⋅

b) ( )22 2 2( )a b a b a b× = − ⋅

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 8 1) În spaţiul euclidian real 3 -dimensional canonic, să se ortonormeze

sistemul de vectori 1{ (1,1,1)a = , 2 (1, 1,1)a = − , 3 (1,1, 1)}a = − . 2) Să se arate că în E3 lungimea produsului vectorial a doi vectori este

egal cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori. 3) Să se arate că în E3 modulul produsului mixt a trei vectori este egal

cu volumul paralelipipedului construit pe cei trei vectori.

4) Dacă (1, 1,1)a = − şi (1,0,1)b = sunt în E3, să se calculeze ( )cos ,a b

şi lungimea vectorului a b× fără a calcula acest vector.

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Test 8.1: 1) a) da, b) nu; 2) 1e = ( )3 3 3

3 3 3, , , ( )6 6 62 6 3 6, ,e −= ,

( )2 23 2 2,0,e = − .

Test 8.2: 1) 3) Avem 1 2 3( )v v v× × = 1 2 3e e e

bc b c ca c a ab a ba b c′ ′ ′ ′ ′ ′− − − =′′ ′′ ′′

( ) ( )1 2c ac c ca b ab b a b e c bc c b c a ab a a b e′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′− + − + + − + + − +

( ) 3b bc b b c a ac a ca e′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′− + − = 1 3 2 2 3 1( ) ( )v v v v v v⋅ − ⋅

2) ( ) ( )a b c d× ⋅ × = [ , , ]a b c d× = ( ( )) (( ) ( ) ) ( )( ) ( )( )a b c d a b d c b c d b d a c b c a d⋅ × × = ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

a c a db c b d⋅ ⋅⋅ ⋅

.

Spaţii euclidiene


11

Concluzii Un produs scalar permite definirea lungimea unui vector şi unghiul a doi vectori. În cazul spaţiului vectorial euclidian canonic E3 se pot considera, de asemenea, produsul vectorial a doi vectori şi produsul mixt a trei vectori, care intervin în mai multe interpretări geometrice. Formula Gram-Schmidt permite ortonormarea unui sistem de vectori

Bibliografie





Geometria spaţiilor afin euclidiene


1


GEOMETRIA SPAŢIILOR AFIN EUCLIDIENE Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 9 2 9.1 Spaţii punctual euclidiene reale 2 Test de autoevaluare 9.1 8 9.2 Spaţiul euclidian tridimensional canonic 9 Test de autoevaluare 9.2 12 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 9 13 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 13 Concluzii 14 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 9 14




Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 9 sunt: 9.1 Spaţii punctual euclidiene reale

Un spaţiu afin (sau spaţiu punctual) A este format dintr-o mulţime (ale cărei elemente le

numim puncte) împreună cu o aplicaţie : Vφ × →A A , notată ( , )A B ABφ =

, unde V

este un spaţiu vectorial (numit spaţiu vectorial director), astfel că sunt îndeplinite condiţiile:

a) AB BC AC+ =

, ( ) , ,A B C∀ ∈A ;

b) ( )A∀ ∈A , v V∈ există un unic punct B∈A astfel încât AB v=

. Numim AB

vectorul (legat) cu originea în A şi extremitatea în B .

Un spaţiu afin E se numeşte spaţiu punctual euclidian dacă pe spaţiul său vectorial

director V este dat un produs scalar, adică V este un spaţiu vectorial euclidian cu corpul

scalarilor IR .

În cele ce urmează:

2) E va desemna un spaţiu punctual euclidian real cu spaţiul vectorial director V ;

produsul scalar va fi notat cu un punct

.

1 2 1 2,v v v v< > = ⋅not

, iar norma vectorului v V∈ va fi notată cu | |v v v= ⋅ .

3) nE va desemna spaţiul punctual euclidian canonic pe nIR , unde spaţiul afin este

( )nn ff IR=A A , iar spaţiul euclidian director este nE (adică nIR pe care se consideră

produsul scalar canonic).

Un reper afin ( , )O B în care V⊂B este o bază ortonormată se numeşte reper euclidian.

Distanţa dintre două puncte ,A B∈E este, prin definiţie, lungimea vectorului AB , adică

( , )d A B AB= .

Dacă ( , )O B este un reper euclidian 1{ , , }ne e= B şi 1( , , )nA a a , 1( , , )nB b b ∈ E ,

atunci

• Înţelegerea noţiunilor geometrice privind geometria spaţiilor afin euclidiene reale • Recunoaşterea exemplelor fundamentale de spaţii afine euclidiene reale



3

( ) ( )2 21 1( , ) | | .n nd A B AB a b a b= = − + + −

Distanţa dintre două mulţimi 1 2, ⊂M M E este, prin definiţie

1 1

2 2

.

1 2 1 2inf ( , ).PP

PP d∈∈

=not

M

M

M M

Unghiul a două drepte 1d , 2d ⊂ E , care au ca vectori directori 1a , respectiv 2a , este

unghiul celor doi vectori directori, adică

( ) 1 21 2

1 2

cos , .| | | |

a ad da a

⋅=

⋅

Toate unghiurile considerate vor avea măsura în intervalul [0, )π .

Dacă ⊂H E este un hiperplan, atunci un vector nenul v V∈ , perpendicular pe

subspaţiul vectorial director al hiperplanului se numeşte vector normal la hiperplan. Un vector

normal la hiperplanul H este transvers subspaţiului vectorial director al lui H , deci defineşte

o orientare pe H . Dacă 0P ∈H este un punct fixat, atunci un punct P∈H dacă şi numai

dacă 0P P v⊥ 0 0P P v⇔ ⋅ = . Dacă O∈E este un punct (de obicei originea unui reper

euclidian) şi notăm 0 0r OP= , r OP= (numiţi vectori de poziţie ai punctelor 0P , respectiv

P , faţă de punctul O ), obţinem

0( ) : ( ) 0,r r v− ⋅ =H

(numită ecuaţia vectorială a hiperplanului).

Unghiul a două hiperplane 1H , 2 ⊂H E orientate, de vectori normali 1v , respectiv

2v , este dat de unghiul acestor vectori:

( ) 1 21 2

1 2

cos , .| | | |

v vv v

⋅=

⋅H H

Fie V de dimensiune n şi 1{ , , }ne e V= ⊂B o bază ortonormată. Dacă

10 0 0( , , )nP x x ∈ H şi 1( , , )nv v v V= ∈ este un vector normal la hiperplan, atunci un punct

1( , ,P x )nx ∈H dacă şi numai dacă are loc:

( ) ( )1 11 0 0( ) : 0,n n

nv x x v x x− + + − =H

(numită ecuaţia carteziană a hiperplanului).



Fie 1( , , )nv v v V= ∈ un vector nenul. Mulţimea punctelor 1( , , )nP x x ∈ E ale

căror coordonate verifică ecuaţia: 1

1( ) : 0nnv x v x α+ + + =H

este un hiperplan care are vectorul v ca vector normal. Ecuaţia este numită tot ecuaţia

carteziană generală a hiperplanului.

Fie 1 1{ , , }nv v V−= ⊂S un sistem de 1n − vectori liniar independenţi. Atunci orice

hiperplan H , care are ca subspaţiu director subspaţiul lui V generat de S , admite ca vector

normal produsul vectorial 1 1nv v −× × .

Propozitia 10.1 Fie H un hiperplan şi fie punctul A∈E .

1) Dacă hiperplanul este dat prin ecuaţia vectorială (eq8-eqvh) şi vectorii de poziţie în

raport cu un punct O , al lui A şi al unui punct 0P ∈H , sunt AOA r= şi 0 0OP r= ,

atunci

2) 0| ( ) |( , ) .| |

Ar r vd Av− ⋅

=H

3) Dacă hiperplanul este dat prin ecuaţia carteziană (eq8-eqg1h) şi 1( ,A a , )na ,

atunci

4) ( ) ( )

( ) ( )

1 11 0 0

2 21

| |( , ) .

n nn

n

v a x v a xd A

v v

− + + −=

+ +

H

5) Dacă hiperplanul este dat prin ecuaţia carteziană generală (eq8-eqg2h) şi 1( ,A a ,

)na atunci

6) ( ) ( )

11

2 21

| |( , ) .n

n

n

v a v ad Av v

α+ + +=

+ +

H

Propozitia 10.2 Distanţa dintre două hiperplane paralele 1H şi 2H , date de ecuaţiile:

11 1

12 1

( ) : 0,

( ) : 0

nn

nn

v x v xv x v x

α

β

+ + + =

+ + + =

H

H

este:

( ) ( )1 2 2 2

1

| |( , ) .n

dv v

α β−=

+ +H H



5

Propozitia 10.3 Distanţa de la un punct A la o dreaptă d , care are vectorul director a ,

este dată de formula

| |( , ) ,| |

a ABd A da×

=

unde B d∈ este un punct oarecare, iar produsul vectorial se consideră într-un subspaţiu

vectorial euclidian arbitrar, de dimensiune 3 , W V⊂ , care conţine vectorii a şi AB .

Remarcă. Se poate considera, de exemplu, O neconţinut în 2 -planul determinat de A şi

d , iar ca W V⊂ se consideră 3 -subspaţiul director al subspaţiului afin al lui E generat

de ,O A şi d . Dacă dim 3=E (adică dim 3V = ), atunci produsul vectorial se poate

considera în E .

O perpendiculară comună a două drepte 1d şi 2d este o dreaptă care intersectează şi este

perpendiculară pe 1d şi 2d .

Propozitia 10.4 Dacă 1d şi 2d sunt două drepte neparalele care nu se intersectează,

atunci perpendiculara comună a celor două drepte există, este unică şi are următoarele

ecuaţii în 1 2( )ffin d d′ = ∪E A :

( )( )

1 1 2

2 1 2

( ) 0,

( ) 0A

B

a a a r ra a a r r× × ⋅ − =

× × ⋅ − =

unde 1d conţine punctul A şi are vectorul director 1a , iar 2d conţine punctul B şi are

vectorul director 2a .

În 3E , dacă 1 2 /d d∩ ≠ şi 1 2d d≠ , perpendiculara comună are aceleaşi ecuaţii.



Vectorul ( )1 2a a a= × este perpendicular pe 1a şi pe 2a . Fie 1π planul care

conţine pe A şi are ca vectori directori pe 1a şi a (deci vector normal ( )1 1 2a a a× × ), iar

2π planul care conţine pe B şi are ca vectori directori pe 1a şi a (deci vector normal

( )2 1 2a a a× × ). Rezultă că 1 1d π⊂ şi 2 2d π⊂ , iar 1 2 dπ π∩ = este o dreaptă care are ca

vector director pe a (vectorul director comun). Avem că 1d d⊥ , 2d d⊥ , 1d , 1d π⊂ ,

2d , 2d π⊂ . Dreapta d este deci perpendiculară comună. Din construcţia lui 1 2d π π= ∩ ,

rezultă unicitatea ei (pentru că orice dreaptă d ′ care ar fi perpendiculară comună ar trebui să

fie inclusă în 1 2π π∩ ). Cum

( )1 1 1 2( ) : ( ) 0Aa a a r rπ × × ⋅ − = şi

( )2 2 1 2( ) : ( ) 0Ba a a r rπ × × ⋅ − = ,

rezultă că ecuaţiile lui d se obţin ca în enunţ.

În 3E , dacă 1 2 /d d∩ ≠ şi 1 2d d≠ , perpendiculara comună se obţine ca 1 2π π∩ ,

cu notaţiile anterioare, deci are aceleaşi ecuaţii.

Să remarcăm că dacă 1 2d d , 1 2d d≠ , cu vectorul director a , atunci există o

infintate de perpendiculare comune. Acestea sunt incluse în planul π determinat de 1d şi

2d , având ca vector director un vector paralel cu π şi perpendicular pe vectorul a .

Propozitia 10.5 Fie 1d , 2d ⊂ E două drepte neparalele, care au vectorii directori 1a ,

respectiv 2a , iar 1A d∈ , 2B d∈ şi fie 1 2( )ffin d d′ = ∪E A (subspaţiul afin generat de 1d

şi 2d ). Atunci distanţa dintre cele două drepte este

1 21 2

1 2

[ , , ]( , ) ,

| |

a a ABd d d

a a=

×

unde produsul mixt este calculat în 3E .

Dacă 1 2d d∩ ≠∅ , atunci 1 2( , ) 0d d d = .

Dacă 1 2d d , atunci

11 2

1

( , ) .| |

a ABd d d

a

×=

În 3E , 1 2 /d d∩ ≠ , sau 1 2d d , (adică 1d şi 2d coplanare) ⇔ 1 2[ , , ] 0a a AB = .



7

Proiecţia unui punct A pe un k -plan ′ ⊂E E este:

- punctul A , dacă A ′∈E , sau

- punctul A ′′∈E pentru care AA′ este vector normal la hiperplanul ( { })ffin A′ ′⊂ ∪E A E .

Se notează A pr A′′ =E

. Proiecţia unei mulţimi de puncte pe ′E este proiecţia pe ′E a

tuturor punctelor mulţimii.

Propozitia 10.6 Proiecţia unui subspaţiu punctual euclidian ′′ ⊂E E pe un alt subspaţiu

punctual euclidian ′ ⊂E E este o aplicaţie afină, iar aplicaţia liniară indusă între spaţiile

vectoriale directoare este un proiector ortogonal (de spaţii vectoriale euclidiene).

Propozitia 10.7 Proiecţia unui subspaţiu punctual euclidian ′′ ⊂E E pe un alt subspaţiu

punctual euclidian ′ ⊂E E este un subspaţiu punctual euclidian pr ′′′ ′⊂

EE E .

Un alt exemplu de aplicaţie afină este aplicaţia izometrică. O aplicaţie izometrică este

o aplicaţie :f ′→E E între două spaţii punctual euclidiene care are proprietatea că

păstrează distanţa, adică | | | ( ) ( ) |AB f A f B ′=E E, ( ) ,A B∀ ∈E .

Propozitia 10.8 O aplicaţie izometrică, :f ′→E E , este o aplicaţie afină injectivă.

O izometrie este o aplicaţie surjectivă şi izometrică. Se poate arăta că o izometrie este

un izomorfism afin. Dacă se consideră repere ortonormate, atunci aplicaţia liniară indusă între

spaţiile vectoriale euclidiene este, de asemenea, o izometrie, prin urmare matricea acestei

aplicaţii liniare corespunzătoare bazelor ortonormate este o matrice ortogonală.



Simetricul unui punct A faţă de un k -plan ′ ⊂E E este punctul A′′∈E astfel că

punctul A pr A′′ =E

(proiecţia lui A pe ′E ) este mijlocul segmentului [ ]AA′′ . Se notează

A s A′′′ =E

. Simetrica unei mulţimi de puncte faţă de ′E este obţinută din simetricele tuturor

punctelor mulţimii faţă de ′E .

Propozitia 10.9 Fie 1d , 2d ∈E două drepte concurente în O , cu vectorii directori 1a şi

respectiv 2a . Atunci cele două bisectoare ale dreptelor 1d şi 2d trec prin O′ şi au

vectorii directori 1 21 2

1 1a aa a

± .

Unghiul dintre o dreaptă şi un hiperplan este unghiul pe care îl face dreapta cu un

vector normal la hiperplan. Pentru mai multă claritate, se defineşte noţiunea de orientare a

unui spaţiu punctual euclidian (deci în particular a unui hiperplan), ca fiind o orientare a

spaţiului vectorial director. Deoarece o orientare a unui spaţiu vectorial este dată prin fixarea

orientării pozitive definite de o bază dată, rezultă că orientarea unui spaţiu punctual euclidian

se face prin fixarea orientării pozitive definite de un reper cartezian dat. În cazul unui

hiperplan H , fixarea unui vector normal n la hiperplan şi a unei orientări a spaţiului

euclidian E induce o orientare a hiperplanului H .

Propozitia 10.10 Dacă ( , )O B este un reper euclidian care defineşte o orientare pozitivă a

spaţiului punctual euclidian E şi n este un vector unitar, normal la un hiperplan ⊂H E ,

atunci există o singură orientare a hiperplanului H astfel încât pentru orice reper euclidian

1 1( , )O B al lui H , reperul euclidian 1 1( , { } )O n′ = ∪B B al lui E este pozitiv orientat.

Test de autoevaluare 9.1 1. Se consideră în 3E punctele (1, 1,1)A − , (1,1, 1)B − , (2,1, 2)C . În triunghiul ABC , să se determine:

1) Lungimile laturilor şi măsurile unghiurilor. 2) Aria triunghiului. 3) Lungimile înălţimilor.

2. În 3E se consideră punctul (2,1, 2)A − şi planul ( ) : 2 3 0x y zπ − + − = . Să se determine:

2) Proiecţia pr Aπ a punctului A pe planul π . 3) Punctul simetric s Aπ al punctului A faţă de planul π .



9

9.2 Spaţiul euclidian tridimensional canonic

Vom defini în continuare spaţiul vectorial al vectorilor legaţi cu originea O fixată şi

spaţiul vectorial al vectorilor liberi din spaţiul (euclidian) S , studiat în liceu .

Spaţiul S este format din puncte, iar o mulţime de puncte formează o figură geometrică.

Figuri geometrice în spaţiu sunt: dreptele, planele, semidreptele, semiplanele, segmentele de

dreaptă, triunghiurile, poligoanele, poliedrele, interioarele de poligoane şi de poliedre convexe

etc. Planele, dreptele şi punctele sunt noţiuni primare. Un sistem de axiome (care poate fi

sistemul axiomatic al lui Hilbert, ori al lui Birkhoff, ori alt sistem echivalent), enunţă un set

de proprietăţi primare (numite axiome) pe care le au noţiunile primare. În continuare vom

presupune cunoscute definiţiile şi proprietăţile legate de geometria euclidiană a spaţiului S .

Un segment orientat (sau vector legat) se defineşte ca fiind un dublet de puncte ( , )P Q , notat

PQ

, unde punctul P se numeşte origine, iar punctul Q se numeşte extremitate. Dacă

P Q≠ , dreapta PQ se numeşte dreapta suport a lui PQ

. Dacă P Q= , atunci PP

se

numeşte vectorul nul şi orice dreaptă care trece prin P este dreaptă suport pentru aceste.

Dacă se fixează un punct O∈P , atunci se poate considera mulţimea OV = {OA

| }A∈P , a

segmentelor orientate cu originea în punctul O (sau a vectorilor legaţi în O ). Pe mulţimea

OV se definesc două legi de compoziţie:

- o lege de compoziţie internă : O O O+ × →V V V , numită adunarea vectorilor din OV , care

asociază vectorilor OA

şi OB

O∈V vectorul OC

, notat OA OB+

, unde C este al

patrulea vârf al paralelogramului [ ]OACB (posibil degenerat, dacă O , A şi B sunt

coliniare) construit pe cei doi vectori, ca laturi;

- o lege de compoziţie externă : O OIR⋅ × →V V , numită înmulţirea cu scalari a vectorilor din

OV , care asociază unui număr IRα ∈ şi unui vector OA

O∈V vectorul OC

, notat

OAα ⋅

, unde C este un punct coliniar cu O şi A , definit astfel: dacă 0α > , atunci

segmentul [ ]OC are lungimea α înmulţită cu lungimea segmentului [ ]OA şi [ ]O AC∉ ,

dacă 0α = , atunci C O= , iar dacă 0α < , atunci segmentul [ ]OC are lungimea α−

înmulţită cu lungimea segmentului [ ]OA şi [ ]O AC∈ .

Lema următoare este o consecinţă imediată a definiţiei înmulţirii cu scalari.



Lema 10.1 Fie O , A , B ∈S coliniare, iar M AB∈ este un punct astfel încât

segmentul [ ]OM are lungimea 1. Atunci OA OMα=

, unde:

1) 0OAα = > , dacă [ ]O AM∉ sau

2) 0OAα = − ≤ , dacă [ ]O AM∈ .

Trei vectori OA

, OB

şi OC

se spune că sunt coplanari dacă punctele O , A , B şi

C se găsesc în acelaşi plan şi necoplanari în caz contrar.

Propozitia 10.11 Tripletul ( , , )O + ⋅V este un spaţiu vectorial real, numit spaţiul vectorial al

vectorilor legaţi în O , în care orice trei vectori necoplanari formează o bază.

Să considerăm în continuare vectori legaţi care nu au neapărat aceeaşi origine.

Doi vectori legaţi PQ

şi P Q′ ′

se numesc

- echipolenţi şi se scrie PQ

P Q′ ′≡

, dacă ambii vectori legaţi sunt nuli, ori, în caz contrar,

poligonul PQQ P′ ′ este un paralelogram, eventual degenerat ( ⇔ segmentele [ ]PQ′ şi

[ ]P Q′ au acelaşi mijloc);

- paraleli şi se scrie PQ P Q′ ′

, dacă dreptele lor suport sunt paralele.

Propozitia 10.12 Relaţiile de echipolenţă şi de paralelism ale vectorilor legaţi din spaţiu sunt

relaţii de echivalenţă.

Evident că doi vectori echipolenţi sunt paraleli, proprietatea recprocă nefiind adevărată

(contraexemplu: doi vectori paraleli care nu au aceeaşi lungime).

Relaţia de echipolenţă fiind o relaţie de echivalenţă pe mulţimea tuturor vectorilor

legaţi legV , se poate considera mulţimea claselor de echivalenţă, care este mulţimea libV , a

vectorilor liberi. Astfel, dacă legAB∈

V este un vector legat, atunci clasa sa de echivalenţă,

care se notează cu AB , este formată din mulţimea tuturor vectorilor legA B′ ′∈

V care au

proprietatea că AB A B′ ′≡

. Se observă că, dacă se fixează un punct O∈S , există o aplicaţie

bijectivă :O O libF →V V , care asociază unui vector legat OOA∈

V clasa sa de echivalenţă

libAB∈V . Prin inversa acestei bijecţii, fiecărui vector liber liba ∈V i se poate asocia în mod



11

unic un vector legOA∈

V astfel încât .a OA=

Se poate constata că dacă se consideră două puncte O , O′∈P , atunci aplicaţia 1 :O O O OF Fφ −′ ′= → V V este o bijecţie şi are proprietăţile ( )OA OBφ + =

( ) ( )OA OBφ φ+

şi ( )OAφ α ⋅ =

( )OAα φ⋅

, ( )∀ , OOA OB∈

V şi IRα ∈ , deci φ este un izomorfism de

spaţii vectoriale reale.

Rezultă astfel că:

- dacă OA O A′ ′≡

şi OB O B′ ′≡

OA OB O A O B′ ′ ′ ′⇒ + ≡ +

, ( ) ,O O′∀ ∈S (prin adunarea a

doi vectori legaţi într-un punct O se obţine un vector echipolent cu vectorul ce rezultă prin

adunarea vectorilor echipolenţi legaţi într-un oricare alt punct O′ );

- dacă IRα ∈ şi OA O A′ ′≡

OA O Aα α ′ ′⇒ ⋅ ≡ ⋅

, ( ) ,O O′∀ ∈S (prin înmulţirea unui

vector legat într-un punct O cu un număr real α , se obţine un vector echipolent cu vectorul

ce rezultă prin înmulţirea vectorului echipolent legat în O′ cu α ).

Pe mulţimea libV se definesc două legi de compoziţie:

- o lege de compoziţie internă : lib lib lib+ × →V V V , numită adunarea vectorilor liberi, care

asociază la doi vectori a OA= , b OB= lib∈V vectorul liber OC , unde OC OA OB= +

,

notat a b+ (după cum am văzut, definiţia nu depinde de punctul O ) şi

- o lege de compoziţie externă : lib libIR⋅ × →V V , numită înmulţirea cu scalari a vectorilor

din libV , care asociază unui număr IRα ∈ şi unui vector liba OA= ∈V , vectorul

corespunzător clasei OAα ⋅

, notat aα ⋅ (după cum am văzut deja, definiţia nu depinde de

punctul O ).

Următorul rezultat se poate demonstra prin verificarea axiomelor specifice unui spaţiu

vectorial.

Lema 10.2 Fie ( , , )V + ⋅ un K -spaţiu vectorial, M este o mulţime şi : V Mφ → o

bijecţie. Se consideră:

3) legea de compoziţie internă : M M M⊕ × → , 1 1( ( ) ( ))x y x yφ φ φ− −⊕ = + şi

4) legea de compoziţie externă : K M M× → , 1( ( ))x xα φ α φ−= ⋅ .

Atunci ( , , )M ⊕ este un K -spaţiu vectorial, iar φ este un izomorfism de spaţii

vectoriale.

Trei vectori liberi a , b şi c se spune că sunt coplanari dacă pentru trei



reprezentanţi OA

, OB

şi OC

, punctele O , A , B şi C se găsesc în acelaşi plan şi

necoplanari în caz contrar. Evident, definiţia nu depinde de punctul O .

Propozitia 10.13 ( , , )lib + ⋅V este un spaţiu vectorial real în care orice trei vectori

necoplanari formează o bază.

Propozitia 10.14 Mulţimea S , a punctelor spaţiului, formează un spaţiu punctual euclidian.

Următorul rezultat este o consecinţă imediată a celor demonstrate anterior. Reamintim că

3E este spaţiul punctual euclidian canonic.

Teorema 10.1 Fie patru puncte O , 1E , 2E , 3E ∈S , astfel încât dreptele 1OE , 2OE ,

3OE sunt perpendiculare două câte două, segmentele 1[ ]OE , 2[ ]OE şi 3[ ]OE au

lungimea 1. Să considerăm aplicaţia 3:Φ →S E , care asociază lui A∈S , punctul

3( ) ( , , )A a b cΦ = ∈E , unde

1 2 3OA aOE bOE cOE= + + .

Atunci Φ este un izomorfism de spaţii punctual euclidiene.

În spaţiul euclidian canonic 3E se poate considera reperul canonic ( , )canO B , unde

(0,0,0)O este originea, iar 1 2 3{ , , }can e e e=B , 1 (1,0,0)e = , 2 (0,1,0)e = şi 3 (0,0,1)e = .

Reperul canonic defineşte orientarea directă a planului euclidian 3E . Un reper euclidian în

3E este un dublet ( , )O′ B , unde 3E⊂B este o bază ortonormată şi 3O′∈E . Dacă

1 2 3{ , , }v v v=B este o bază pozitiv orientată, atunci matricea de trecere de la canB la B se

poate exprima cu ajutorul unghiurilor lui Euler. Se poate arăta astfel că o schimbare de reper

ortogonal în 3E este determinată de şase parametri (trei provin de la schimbarea originii şi

trei de la schimbarea bazei).

Test de autoevaluare 9.2 1. Fie punctul A(1,1,-1) din E3 şi vectorul 3 (1, 2,1)v = din E3. Să se

determine punctul B din din E3 astfel încât .AB v=

2. Să se arate că punctele A(1,-1,1), B(1,1,1), C(0,1,1), D(0,1,0) din

E3 nu sunt coplanare.



13

De reţinut ! Definiţiile din acest modul sunt esenţiale în studiul geometriei analitice.

Toate acestea vor fi studiate în modulul următor în cazul particular al

spaţiului E3.

Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 9.1. 1.1. Avem: ( )(1,1, 1) (1, 1,1) 0,2, 2AB = − − − = −

,

( )(2,1, 2) (1, 1,1) 1,2,1AC = − − =

, ( )(2,1, 2) (1,1, 1) 1,0,3BC = − − =

.

0 4 4 2 2AB = + + =

, 1 4 1 6AC = + + =

,

1 0 9 10BC = + + =

.

( )0,2, 2 (2,1,2) 1ˆcos 362 2 6

AB ACAAB AC

− ⋅⋅= = = −

⋅

;

ˆcos B = ( )(0, 2, 2) 1,0,3 3 5102 2 10

BA BCBA BC

− ⋅⋅= =

⋅

;

ˆcos CA CBCCA CB

⋅= =

( ) 2 1515

1, 2, 1 ( 1,0, 3)6 10

− − − ⋅ − −=

⋅ .

1.2. Folosind interpretatrea lungimii produsului vectorial, aria paralelogramului construit pe vectorii AB

şi AC

este AB AC×

.

Aria triunghiului, [ ]ABCσ , este jumătate din această arie.

Avem 1 2 3

1 2 30 2 2 6 2 21 2 1

e e eAB AC e e e× = − = − −

,

36 4 4 2 11AB AC× = + + =

, deci [ ] 11ABCσ = .

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 9

1. În 3E se consideră dreptele 1 :d 2 0

3 0x y zx y z− − =

+ − = ,

21 2 1( ) :

3 2 1x y zd − + +

= =− −

şi 31 2 1( ) :

1 2 1x y zd + − −

= =− −

, precum şi

planul 3 2 0x y z+ + − = . Să se determine proiecţiile 1pr dπ , 2pr dπ şi 2pr dπ ale celor trei drepte pe planul π şi dreptele simetrice 1s dπ ,

2s dπ şi 3s dπ ale celor trei drepte faţă de planul π . 2. În 3E să se determine dreapta d , perpendiculară comună a

dreptelor 12 2 1( ) :

3 1 1x y zd − − +

= =−

şi 21 2 3( ) :

2 3 1x y zd + − +

= =−

.



s

Concluzii Spaţiile afin euclidiene sunt cazuri particulare de spaţii afine (sau punctuale), pentru care spaţiul vectorial este euclidian, adică are un produs scalar. Calculele lungimilor de vectori şi a cosinusului de unghiuri ale vectorilor din spaţiile vectoriale euclidiene permit calculul distanţei dintre două puncte şi al măsurii unghiurilor dintre drepte din spaţiile afin euclidiene, precum şi a altor multe elemente geometrice.

Bibliografie





1.3. Notăm Ah , Bh , Ch lungimile înălţimilor, avem

[ ] 1110A

ABChBC

σ= = , [ ] 11

6BABChAC

σ= = , [ ] 11

2 2CABChAB

σ= = .

2.1. Fie d dreapta care trece prin A şi are ca vector director un vector normal la planul π . Avem { }d pr Aππ∩ = . Un vector normal la planul π este vectorul (1, 2,1)v = − . Folosind ecuaţia parametrică a dreptei d , un punct M d∈ are coordonatele de forma

(2 ,1 2 , 2 )M t t t+ − − + . Să determinăm d π∩ :

(2 ) 2(1 2 ) ( 2 ) 3 0t t t+ − − + − + − = , de unde 56

t = . Rezultă

coordonatele proiecţiei: ( )5 5 5 17 726 6 6 6 3 6(2 ,1 2 , 2 ) , ,+ − ⋅ − + = − − .

2.2 Din definiţia simetricului, pr Aπ este mijlocul segmentelor [ ]A s Aπ , deci s Aπ are coordonatele ( ) ( )17 7 72 11 1

6 3 6 3 3 32 , , (2,1, 2) , ,− − − − = − − . 9.2. 1. Fie B(x,y,z). Trebuie ca x-1=1, y-1=2, z+1=1, de unde B(2,3,0). 2. Vectorii (0, 2,0), ( 1, 2,0), ( 1, 2, 1)AB AC AD= = − = − − nu sunt coplanar, pentru că produsul lor mixt este nenul.

Geometria analitica a spaţiilor afine euclidiene canonice


1


GEOMETRIA ANALITICA A SPAŢIILOR AFINE EUCLIDIENE CANONICE

Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 10 2 10.1. Spaţiul punctual euclidian canonic E3 2 Test de autoevaluare 10.1 7 10.2. Planul euclidian bidimensional canonic E2 7 Test de autoevaluare 10.2 9 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 10 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 10 Concluzii 10 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 10 11




Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 10 sunt: 10.1 Spaţiul punctual euclidian canonic E3

Ecuaţiile canonice ale unei drepte determinate de un punct ( , , )A a b c şi vectorul

director ( , , )v p q r= se scriu:

( ) : . .x a y b z cdp q r− − −

= =

Ecuaţiile parametrice ale aceleiaşi drepte sunt:

( ) : , .x a pt

d y b qt t IRz c rt

= + = + ∈ = +

Ecuaţiile canonice ale unei drepte determinate de punctele ( , , )A a b c şi ( , , )B d e f

sunt:

( ) : . .x a y b z cdd a e b f c− − −

= =− − −

Distanţa de la un punct A la o dreaptă d care conţine punctul B şi are vectorul

director a , se calculează cu formula:

| |( , ) .| |

a ABd A da×

=

Distanţa dintre dreptele neparalele 1d (care conţine punctul A şi are ca vector

director vectorul 1a ) şi 2d (care conţine punctul B şi are ca vector director vectorul 2a )

este dată de formula:

1 21 2

1 2

[ , , ]( , ) ;

| |

a a ABd d d

a a=

×

• Scrierea ecuaţiilor principalelor elemente geometrice (drepte, plane) ale spaţiilor afine euclidiene canonice • Recunoaşterea acestor elemente geometrice în cadrul rezolvării problemelor de geometrie analitică



3

dacă 1 2 /d d∩ ≠ , atunci 1 2( , ) 0d d d = ; dacă 1 2d d atunci:

11 2

1

( , )| |

a ABd d d

a

×= .

Ecuaţia perpendicularei comune a două drepte:

( )( )

1 1 2

2 1 2

( ) 0.

( ) 0A

A

a a a r ra a a r r× × ⋅ − =

× × ⋅ − =

Un plan π care conţine un punct ( , , )A a b c şi are ca vector normal

( , , ) (0,0,0)n l m n= ≠ , are ecuaţia carteziană:

( ) : ( ) ( ) ( ) 0.l x a m y b n z cπ − + − + − =

Un plan π care conţine un punct ( , , )A a b c şi are ca vectori directori vectorii

necoliniari 1 ( , , )v l m n= şi 2 ( , , )v l m n′ ′ ′= are ecuaţiile parametrice:

, , .x a ls l ty b ms m t s t IRz c ns n t

′= + + ′= + + ∈ ′= + +

Prin eliminarea parametrilor ,s t IR∈ , se regăseşte ecuaţia carteziană a planului π

sub forma:

1 2 3( ) : ( ) ( ) ( ) 0,n x a n y b n z aπ − + − + − =

unde:

1 2 3

1 2 3 1 2( , , )

( , , ).

e e en n n v v l m n

l m nmn nm nl ln lm ml

= × = =′ ′ ′

′ ′ ′ ′ ′ ′= − − −

Ecuaţia anterioară se poate scrie sub forma:

( ) : 0,x a y b z c

l m nl m n

π− − −

=′ ′ ′

sau



11

( ) : 0.00

x y za b cl m nl m n

π =

′ ′ ′

Dacă planul π conţine punctele ( , , )A a b c , ( , , )B a b c′ ′ ′ şi vectorul ( , , )v l m n=

(necoliniar cu vectorul AB ) este conţinut în subspaţiul director, atunci are ecuaţia

( ) : 0,x a y b z ca a b b c c

l m nπ

− − −′ ′ ′− − − =

sau

11

( ) : 0.10

x y za b ca b cl m n

π =′ ′ ′

Dacă planul π conţine punctele ( , , )A a b c , ( , , )B a b c′ ′ ′ şi ( , , )C a b c′′ ′′ ′′ , astfel că

vectorii AB şi AC sunt necoliniari, atunci ecuaţia planului este:

( ) : 0,x a y b z ca a b b c ca a b b c c

π− − −′ ′ ′− − − =′′ ′′ ′′− − −

sau

11

( ) : 0.11

x y za b ca b ca b c

π =′ ′ ′′′ ′′ ′′

Două plane (neparalele) π şi π ′ se intersectează după o dreaptă d . Fie

( ) : 0lx my nz pπ + + + = şi ( ) : 0l x m y n z pπ ′ ′ ′ ′ ′+ + + = ecuaţiile celor două plane, cu

vectorii normali ( , , )n l m n= şi ( , , )n l m n′ ′ ′ ′= . Presupunerea că planele π şi π ′ nu sunt

paralele este echivalentă cu oricare din condiţiile:

1) vectorii n şi n ′ nu sunt coliniari;

2) 2l m n

rangl m n

= ′ ′ ′ ;

3) 0n n ′× ≠ .

În condiţiile considerate, se obţin ecuaţiile dreptei de intersecţie:



5

0( ) : .

0lx my nz p

dl x m y n z p+ + + =

′ ′ ′ ′+ + + =

Să remarcăm că un vector director al dreptei d este vectorul .a n n ′= ×

Ecuaţia unui plan π ′′ care conţine dreapta d este:

( ) : ( ) ( ) 0,lx my nz p l x m y n z pπ α β′′ ′ ′ ′ ′+ + + + + + + =

numită ecuaţia fasciculului de plane care conţine dreapta d . Într-adevăr, dacă π ′′ este un

plan care conţine dreapta ,d cu vectorul director a n n ′= × , vectorul său normal

( , , )n l m n′′ ′′ ′′ ′′= este perpendicular pe vectorul a , la fel ca vectorii ( , , )n l m n= şi

( , , )n l m n′ ′ ′ ′= . Rezultă că n , n ′ şi ?( ({ }))n a′′ ∈ L ( ?( ({ }))aL are dimensiunea 2 );

deoarece vectorii n şi n ′ sunt necoliniari, ei formează o bază în acest subspaţiu, deci

( ) , IRα β∃ ∈ astfel încât n n nα β′′ ′= + . Rezultă că l l lα β′′ ′= + , m m mα β′′ ′= + şi

n n nα β′′ ′= + . Fie ( , , )A a b c d∈ . Au loc relaţiile ( ) ( )l x a m y b− + − + ( ) 0n z c+ − = , de

unde p la mb nc= − − − ; analog p l a m b n c′ ′ ′ ′= − − − şi p l a m b n c′′ ′′ ′′ ′′= − − − . Deci are loc

şi p p pα β′′ ′= + , de unde rezultă ecuaţia fascicolului.

Distanţa de la un punct ( , , )A a b c la un plan de ecuaţie ( ) : 0lx my nz pπ + + + =

este dată de

2 2 2( , )

la mb nc pd A

l m nπ

+ + +=

+ +.

Un alt mod de a deduce această formulă este acela de a determina mai întâi proiecţia

punctului A pe planul π , punctul A pr Aπ′ = . Ecuaţiile parametrice ale dreptei d ′ care

conţine pe A şi are ca vector director vectorul 1 2 3 ( , , )n le me ne l m n= + + = sunt:

.x lt ay mt bz nt c

= + = + = +

Punctul ( , , )A a b c′ ′ ′ ′ se găseşte la intersecţia dreptei d ′ şi a planului π , deci 0a lt a′ = + ,

0b mt b′ = + , 0c nt c′ = + , unde 0 0 0( ) ( ) (l lt a m mt b n nt+ + + + + ) 0c p+ + = , de unde

0 2 2 2

la mb nc ptl m n

− − − −=

+ + . Rezultă ( , )d A AAπ ′= =

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 20a a b b c c t l m n′ ′ ′= − + − + − = + + =

2 2 2

la mb nc p

l m n

+ + +=

+ + .

Perpendiculara comună d ′ a două drepte date se obţine ca dreaptă de intersecţie a



două plane:

( )( )

1 1 2

2 1 2

( ) 0( ) : .

( ) 0A

B

a a a r rd

a a a r r× × ⋅ − =′ × × ⋅ − =

Astfel, dacă 1d conţine punctul ( , , )A a b c şi are vectorul director 1a , iar 2d conţine

punctul ( , , )B a b c′ ′ ′ şi are vectorul director 2a , atunci 1n =

( ) 2 1 2 31 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1( ) ( ) ( , , )a a a a a a a a n n n= × × = ⋅ − = , ( )2 2 1 2n a a a= × × =

2 1 2 32 1 1 2 2 2 2 2( ) ( ) ( , , )a a a a a n n n= − ⋅ = şi ecuaţiile anterioare se scriu:

1 2 31 1 1

1 2 32 2 2

( ) ( ) ( ) 0( ) : .

( ) ( ) ( ) 0n x a n y b n z c

dn x a n y b n z c − + − + − =

′ ′ ′ ′− + − + − =

Vom studia în continuare izometriile spaţiului euclidian 3E . Fie ( , )O B un reper al spaţiului

euclidian 3E .

Izometriile lui 3E care păstrează orientarea se pot descrie de cei trei parametri, ceea

ce realizează o bijecţie între izometriile lui 3E care păstrează orientarea şi punctele sferei

34S E⊂ , centrată în origine şi de rază 1 . În continuare vom studia forma canonică a unei

izometrii, adică vom găsi un reper în care izometria să aibă o formă cât mai simplă.

Fie 3v E∈ un vector, iar

1

2

3

[ ]v

v vv

=

B . Translaţia de vector v a spaţiului euclidian 3E

este transformarea 3 3:vt →E E de forma ( )vt A A′= , unde AA v′ = . Ecuaţiile translaţiei

vt sunt:

1

2

3

.x x vy y vz z v

′ = + ′ = + ′ = +

Să remarcăm că aplicaţia liniară indusă pe 3E este 3

1E , adică identitatea lui 3E .

Fie 3( , , )O a b c′ ∈E un punct. Simetria centrală (cu centrul în O′ ) este transformarea

3 3:vt →E E , unde ( )Os A A′= fiind unicul punct pentru care O este mijlocul segmentului

[ ]AA′ , adică 2A O A′ ′= − . Folosind coordonate, ecuaţiile simetriei Os ′ sunt:

22 .2

x x ay y bz z c

′ = − + ′ = − + ′ = − +



7

Să remarcăm că aplicaţia liniară indusă pe 3E este 3

1E− .

Propozitia Fie 3 3:f →E E o izometrie. Dacă f nu este translaţie ( 3

1Ef ≠ ) sau simetrie

centrală ( 3

1Ef ≠ − ), atunci există un reper ortonormat ( , )O ′′ B în care f este dată prin:

x xy y bz z c

′ = − ′ = + ′ = +

(translaţie paralelă cu planul yOz compusă cu o simetrie faţă de acelaşi plan);

,x x ay yz z

′ = + ′ = − ′ = −

(translaţie în lungul axei x x′ compusă cu o simetrie faţă de aceaşi axă);

cos sin , (0,2 )sin cos

x xy y zz y z

α α α πα α

′ = − ′ = − ∈ ′ = +

(simetrie faţă de planul yOz compusă cu o cu o rotaţie în jurul axei x x′ );

cos sin , (0,2 )sin cos

x x ay y zz y z

α α α πα α

′ = + ′ = − ∈ ′ = +

(translaţie în lungul axei x x′ compusă cu o rotaţie în jurul aceleiaşi axe).

10.2 Planul euclidian bidimensional canonic E2 Din considerente analoge, planul euclidian P este un spaţiu punctual euclidian

izomorf cu spaţiul punctual euclidian canonic pe 2E . Dacă se consideră 1 2, ,O E E ∈P astfel

încât 1 2OE OE⊥ şi lungimea segmentelor 1[ ]OE şi 2[ ]OE este 1 , atunci ( )A∀ ∈P ,

Test de autoevaluare 10.1 1. Să se scrie ecuaţiile generală şi parametrică pentru dreapta d obţinută prin intersecţia planelor ( )1 : 2 0x y zπ + − = şi

( )2 : 2 1 0x y zπ − + − = .

2. În 3E să se determine un plan π care conţine punctul A şi este perpendicular pe dreapta d , în fiecare din cazurile de mai jos:

1) ( 1, 2, 2)A − − şi 1 2 2( ) :1 2 2

x y zd − − += =

− − .

2) (1, 2,3)A − şi 2 1 0

( ) :2 2 2 0

x y zd

x y z− − − =

+ + − = .



avem 1 2OA a OE b OE= ⋅ + ⋅ , iar izomorfismul 2:Φ →P E se defineşte prin

( ) ( , )OA a bΦ = .

În planul punctual euclidian 2E se poate considera reperul canonic ( , )canO B , unde O

este originea (0,0) , iar 1 2{ , }can e e=B , 1 (1,0)e = , 2 (0,1)e = . Reperul canonic defineşte

orientarea directă a planului punctual euclidian 2E . Un reper euclidian în 2E este un dublet

( , )O′ B , unde 1 2 2{ , }v v E= ⊂B este o bază ortonormată şi 2O′∈E . Deoarece un vector

unitar 2n E∈ are forma (cos ,sin )n φ φ= , iar un vector n n′ ⊥ are forma ( sin ,cos )φ φ± −

, rezultă că vectorii 1v şi 2v pot fi:

4) 1 (cos ,sin )v φ φ= , 2 ( sin ,cos )v φ φ= − , dacă ( , )O ′′ B este pozitiv orientată, pentru că

cos sin1

sin cosφ φφ φ

−= ;

5) 1 (cos ,sin )v φ φ= , 2 (sin , cos )v φ φ= − , dacă ( , )O ′′ B este negativ orientată, pentru că

cos sin1

sin cosφ φφ φ

= −−

.

De exemplu, reperul ((2,1) , 2 2 2 2{( , ), ( , )})2 2 2 2

− este direct orientat, iar reperul

((1, 1)− , 2 2 2 2{( , ), ( , )})2 2 2 2

− este invers orientat.

Rezultă că o schimbare de reper ortonormat în 2E este determinată de trei parametri

(doi de la schimbarea originii şi unul de la schimbarea bazei).

Ecuaţia dreptei determinate de un punct ( , )A a b şi vectorul director ( , )v p q= este:

( ) : ,x a y bdp q− −

=

sau

11 0.0

x ya bp q

=



9

Ecuaţia dreptei determinate de punctele ( , )A a b şi ( , )B c d este:

( ) : ,x a y bdc a d b− −

=− −

sau

11 0.1

x ya bc d

=

Ecuaţia dreptei determinate de un punct ( , )A a b şi vectorul normal ( , )n l m= este:

( ) : ( ) ( ) 0.d l x a m y b− + − =

Orientarea unei drepte este dată fie prin fixarea unui vector director v al dreptei, fie

prin fixarea unui vector normal n al dreptei. Dacă vectorul normal n este dat, există un

singur vector director unitar v astfel încât reperul { , }v n este direct orientat. Măsura

unghiului a două drepte 1d şi 2d orientate de vectorii directori (nenuli) 1a şi 2a este

măsura unghiului vectorilor 1a şi 2a , adică este [0, ]α π∈ dat de

1 2

1 2

,cos [ 1,1].a aa a

α < >= ∈ −

De reţinut ! Dreapta are ecuaţiile: canonice, parametrice şi obţinute prin intersecţie (a două plane). Ecuaţiile parametrice ale plenului sunt mai puţin folosite (fiind doi parametri), în schimb planul are o ecuaţie carteziană care poate proveni din mai multe condiţii geometrice care, de obicei, îl definesc. Relaţiile metrice pot da ecuaţii precum ecuaţia perpendicularei comune a două drepte, dar şi mărimi precum distanţe, arii, volume.

Test de autoevaluare 10.2 Să se scrie în plan ecuaţia câte unei drepte, în fiecare caz: a) care intersectează axa x’x în punctul (a,0) şi axa y’y în punctul (0,b); b) care este paralelă cu axa y’y; c) care face unghiul [ )0, / 2α π∈ cu axa x’x;

d) care face unghiul ( ]0, / 2β π∈ cu axa y’y; e) care face unghiul γ cu dreapta de ecuaţie 0ax by c+ + = , unde

0a btg γ+ ≠ .



s


10.1. 1. Rezolvând sistemul 2 0

2 1x y z

x y z+ − =

− + = se obţine 1 2

5 5x t= − + ,

3 15 5

y t= − , z t= , unde t IR∈ , adică chiar ecuaţia parametrică a

dreptei. Ecuaţia generală a dreptei care corespunde ecuaţiei

parametrice obţinute este 2 / 5 1/ 5 0 .1/ 5 3 / 5 1

x y z− + −= =

−

2. Indicaţie: Vectorul director al dreptei d este vector normal pentru planul π . Scrieţi ecuaţia unui plan care conţine un punct şi are acest vector normal.

10.2. a) 1 0x ya b+ − = ; b) x=x0(=const.); c) y=x tg α +x0, d) y=x ctg α

+x0; e) fie α şi β unghiurile făcute cu axa x’x ale dreptei căutate şi ale dreptei date; notăm m=tg α, iar tg β =-b/a (pantele celor două drepte);

avem tg (α -β)=tg γ, sau 1tg tg tg

tg tgα β γα β−

=+ ⋅

, de unde am b tga mb

γ+=

−;

rezultă atg bma btg

γγ

−=

+.

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 10 1. În 3E să se determine un plan π care conţine dreapta d şi este perpendicular pe planul π ′ , în fiecare din cazurile de mai jos:

a) 3 2 0

( ) :2 1 0x y z

dx y z− − − =

+ + + = şi ( ) : 3 1 0x y zπ ′ − + + = .

b) 1 2 2( ) :1 2 3

x y zd + + += =

− şi ( ) : 2 3 2 0x y zπ ′ − + + = .

2. În 3E se consideră planele ( )1 : 2 2 1 0x y zπ − + + + = şi

2( ) : 2 2 1 0x y zπ + − − = . Să se determine: 1) Locul geometric al punctelor situate la distanţă egală faţă de cele

două plane. 2) Mulţimea planelor care conţin dreapta de intersecţie 1 2π π∩ şi fac

unghiuri egale cu cele două plane. Să se compare rezultatele obţinute la 1. şi 2..

Concluzii Spaţiile afin euclidiene canonice sunt E2 (planul euclidian) şi E3 (spaţiul punctual euclidian). Acestea sunt constituite din puncte, spre deosebire de spaţiile vectoriale, care conţin vectori. Punctele formează mulţimi de puncte, care se numesc figuri sau mulţimi geometrice. Printre figurile geometrice, primele studiate, ca cele mai importante, sunt dreptele (în E2), dreptele şi planele (în E2). Urmează, în complexitate: semidreptele, segmentele, triunghiurile, poligoanele etc. În modulul următor vom studia o clasă mult mai sofisticată de figuri geometrice, cuadricele. Ele sunt analogul conicelor studiate în liceu.



11

Bibliografie





Cuadrice


1


GEOMETRIA ANALITICA A SPAŢIILOR AFINE EUCLIDIENE CANONICE

Cuprins Pagina Obiectivele unităţii de învăţare nr. 11 2 11.1 Generalităţi despre cuadrice 2 Test de autoevaluare 11.1 3 11.2 Aducerea la formă canonică a cuadricelor 3 Test de autoevaluare 11.2 10 Lucrare de verificare – unitatea de învăţare nr. 11 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare 10 Concluzii 12 Bibliografie – unitatea de învăţare nr. 11 12

Cuadrice



Principalele obiective ale Unităţii de învăţare nr. 11 sunt: 11.1 Generalităţi despre cuadrice Fie 1 2 3( ; { , , })O e e e=B un reper euclidian în E .

O cuadrică Γ este mulţimea punctelor ( , , )M x y z ∈E , ale căror coordonate verifică ecuaţia: 2 2 2

11 22 33 12 23 13( ) : ( , , ) 2 2 2F x y z a x a y a z a xy a yz a xzΓ ≡ + + + + + +

1 2 32 2 2 0,b x b y b z c+ + + + =

unde 11a , 22 ,a 33,a 12 ,a 23,a 13,a 1,b 2 ,b 3 ,b c IR∈ .

Ecuaţia de mai sus se scrie matricial sub una din formele:

( ) ( )11 12 13 1

12 22 23 2

13 23 33 3

2 0,a a a x b

x y z a a a y x y z b ca a a z b

+ + =

sau

( )

11 12 13 1

12 22 23 2

13 23 33 3

1 2 3

1 0.

1

a a a b xa a a b y

x ya a a b zb b b c

=

Propozitia 12.1 Pentru cuadrica Γ definită de ecuaţia există următorii invarianţi euclidieni:

1) 11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a ar rang a a a

a a a

=

şi

11 12 13 1

12 22 23 2

13 23 33 3

1 2 3

;

a a a ba a a b

r ranga a a bb b b c

′ =

indexul negativ şi indexul pozitiv al formei biliniare simetrice bΓ asociate;

• Recunoaşterea tipurilor de cuadrice

• Aducerea la formă canonică a cuadricelor

Cuadrice


3

2) 11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a aa a aa a a

δ = şi

11 12 13 1

12 22 23 2

13 23 33 3

1 2 3

a a a ba a a ba a a bb b b c

∆ = ;

3) 1λ , 2λ , 3λ (valorile proprii ale matricii 11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a aA a a a

a a a

=

);

4) subspaţiile proprii corespunzătoare valorilor proprii ale matricii A , care sunt

perpendiculare două câte două.

Propozitia 12.2 Pentru cuadrica Γ există următorii semiinvarianţi euclidieni:

1) coeficienţii polinomului

11 12 13 1

12 11 23 2

13 23 11 3

1 2 3

( )

a a a ba a a b

Qa a a bb b b c

λλ

λλ

−−

= −−

3 2c L Kλ λ λ= − + −∆

sunt invariaţi de schimbările centroafine de reper;

2) matricea A este invariată de translaţiile de reper.

3) Pentru cuadricele degenerate ( 0∆ = ), K este un invariant euclidian.

4) Dacă 0K∆ = = , atunci L este, de asemenea, un invariant euclidian.

11.2 Aducerea la formă canonică a cuadricelor

Vom prezenta în continuare aducerea la formă canonică a ecuaţiei unei cuadrice.

Fie cuadrica 2 2 2

11 22 33 12 23( ) : ( , , ) 2 2F x y z a x a y a z a xy a yzΓ ≡ + + + + + 132a xz+ +

1 2 32 2 2 0.b x b y b z c+ + + =

Forma pătratică asociată cuadricei este

Test de autoevaluare 11.1 Să se determine natura cuadricei Γ , fără a o aduce la forma canonică: a) 2 2 2( ) : 3 2 2 4 2 2 1.x y z xy yz xz x yΓ + − − + − − − + b) 2 2 2( ) : 3 2 2 2 4 4 ,x y z xy xz x y z αΓ − − − + + − + + IRα ∈ .

Cuadrice


( )

2 2 211 22 33 12 23 13

11 12 13

12 22 23

13 23 33

( ) 2 2 2

,

p v a x a y a z a xy a yz a xza a a x

x y z a a a ya a a z

= + + + + + =

=

unde 1 2 3v xe ye ze= + + , iar 1 2 3{ , , }e e e V= ⊂B este o bază ortonormată. Avem

11 12 13

12 22 23

13 23 33

[ ]a a a

p a a a Aa a a

= =

B .

Ecuaţia caracteristică este 3 23 2 1det( ) 0A Iλ λ δ λ δ λ δ− = − + − + = , care are rădăcinile 1λ , 2λ

şi 3λ (valorile proprii), întotdeauna reale. Avem 2 11 22 33a a aδ = + + ,

22 23 11 131

23 33 13 33

a a a aa a a a

δ = + + 11 12

12 22

a aa a

+ şi det Aδ = , unde 1 2 3δ λ λ λ= ,

1 1 2 2 3 1 3δ λ λ λ λ λ λ= + + şi 2 1 2 3δ λ λ λ= + + .

Fie 1v , 2v şi 3v versorii proprii corespunzători valorilor proprii 1λ , 2λ , respectiv

3λ . Dacă 1λ , 2λ şi 3λ sunt diferiţi doi câte doi, atunci versorii sunt perpendiculari doi câte

doi; dacă valorile proprii nu sunt diferite, atunci versorii corespunzători aceleeaşi valori

proprii se pot alege perpendiculari în subspaţiul propriu corespunzător. Sistemele din care

rezultă coordonatele vectorilor proprii 1v , 2v şi 3v sunt de forma ( 1,3j = ):

11 12 13

12 22 23

13 23 332 2 2

( ) 0( ) 0

,( ) 0

1

j

j

j

a a aa a aa a a

λ α β γα λ β γα β λ γ

α β γ

− + + = + − + = + + − = + + =

Dacă ( , , )j j jα β γ , 1,3j = , sunt soluţiile celor trei sisteme, vectorii proprii sunt

1 2 3j j j jv e e eα β γ= + + . Fie schimbarea de reper 1 2 3( ; { , , })O e e e=B 1 2 3( ; { , , })O v v v′→ =B .

Avem [ , ]′B B1 2 3

1 2 3

1 2 3

α α αβ β βγ γ γ

=

, care este matrice ortogonală. Din relaţia

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x xy yz z

α α αβ β βγ γ γ

′ ′= ′

,

deducem că 1 2 3x x yα α α γ′ ′ ′= + + , 1 2 3y x y zβ β β′ ′ ′= + + şi 1 2 3z x y zγ γ γ′ ′ ′= + + . Prin

înlocuirea în expresia formei pătratice p , se obţine 2 2 211 22 33 12 232 2a x a y a z a xy a yz+ + + + +

Cuadrice


5

2 2 213 1 2 32 ( ) ( ) ( )a xz x y zλ λ λ′ ′ ′+ = + + , deci:

2 2 21 1 2 3 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0.F x y z x y z b x b y b z cλ λ λ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′≡ + + + + + + =

-Dacă 1 2 3 0λ λ λ ≠ , atunci:

( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2( , , ) .F x y z x a y b z c dλ λ λ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + + + + + +

Fie schimbarea de coordonate dată prin x x a′′ ′ ′= + , y y b′′ ′ ′= + , z z c′′ ′ ′= + , care pro-vine

dintr-o translaţie de reper. Noul reper are originea în punctul ( , , )O a b c′ ′ ′ ′− − − (consi-derat în

reperul ( ; )O ′B ). Rezultă că în reperul ( ; )O ′′ B ecuaţia cuadricei este: 2 2 2

2 1 2 3( , , ) ( ) ( ) ( ) 0.F x y z x y z dλ λ λ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′≡ + + + =

-Dacă 1 0λ ≠ , 2 0λ ≠ , 3 0λ = şi 3 0b′ ≠ , atunci:

( ) ( ) ( )2 21 1 2 3( , , ) 2 .F x y z x a y b b z cλ λ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′= + + + + +

Fie schimbarea de coordonate dată prin x x a′′ ′ ′′= + , y y b′′ ′ ′′= + , z z c′′ ′ ′′= + , care pro-vine

dintr-o translaţie de reper. Noul reper are originea în punctul (O a′ ′′− , b′′− , )c′′−

(considerat în reperul ( ; )O ′B ). Rezultă că în reperul ( ; )O ′′ B ecuaţia cuadricei este: 2 2

2 1 2 3( , , ) ( ) ( ) 2 0.F x y z x y b zλ λ ′′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′≡ + + =

-Dacă 1 0λ ≠ , 2 0λ ≠ , 3 0λ = şi 3 0b′ = , atunci:

2 21 1 2( , , ) ( ) ( )F x y z x a y b cλ λ′ ′ ′ ′ ′′′ ′ ′′′ ′′= + + + +

Fie schimbarea de coordonate dată prin x x a′′ ′ ′′′= + , y y b′′ ′ ′′′= + , z z′′ ′= , care provine

dintr-o translaţie de reper. Noul reper are originea în punctul ( , ,0)O a b′ ′′′ ′′′− − (considerat în

reperul ( ; )O ′B ). Rezultă că în reperul ( ; )O ′′ B ecuaţia cuadricei este: 2 2

2 1 2( , , ) ( ) ( ) 0.F x y z x y cλ λ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′≡ + + =

-Dacă 1 0λ ≠ , 2 3 0λ λ= = şi 2 22 3( ) ( ) 0b b′ ′+ ≠ , atunci punând 2 2

2 3( ) ( )b bρ ′ ′= + avem:

( )2 321 1( , , ) 2 bbF x y z x a y z cλ ρ

ρ ρ

′′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′′= + + + +

.

Fie schimbarea de coordonate dată prin x x a′′ ′ ′′= + , 32 bby y z cρ ρ

′′

′′ ′ ′ ′′= + + , 3 2b bz y zρ ρ

′ ′−′′ ′ ′= + ;

se obţine un reper ( ; )O ′′ B ,în care ecuaţia cuadricei este: 2

2 1( , , ) ( ) 2 0.F x y z x yλ ρ′′ ′′ ′′ ′′ ′′≡ + =

-Dacă 1 0λ ≠ , 2 3 0λ λ= = şi 2 3 0b b′ ′= = , atunci:

Cuadrice


( )21 1( , , ) .F x y z x a cλ′ ′ ′ ′ ′′ ′′= + +

Fie schimbarea de coordonate dată prin x x a′′ ′ ′′= + , y y′′ ′= , z z′′ ′= , care provine dintr-o

translaţie de reper. Noul reper are originea în punctul ( ,0,0)O a′ ′′− (considerat în reperul

( ; )O ′B ). Rezultă că în reperul ( ; )O ′′ B ecuaţia cuadricei este: 2

2 1( , , ) ( ) 0.F x y z x cλ′′ ′′ ′′ ′′ ′′≡ + =

Următorul tabel sistematizează formele canonice ale cuadricelor.

Cuadrice


7

Elipsoidul real are ecuaţia 2 2 2

2 2 2( ) : 1 0x y zEa b c

+ + − =

Numerele pozitive a, b, c se numesc semiaxele elipsoidului ;

dacă a = b =c, E defineşte o sferă cu centrul în originea reperului, de rază a.

Punctele A(a, 0, 0), A′(-a, 0, 0), B(0, b, 0), B ′(0, -b, 0), C (0, 0, c) şi C ′(0, 0, -c)

se numesc vârfurile elipsoidului.

Planele de coordonate sunt plane de simetrie, axele de coordonate sunt

axe de simetrie, iar originea reperului este centru de simetrie pentru elipsoid.

Intersecţia unui plan de coordonate cu elipsoidul este o elipsă; intersecţia

unui plan, paralel cu un plan de coordonate, cu elipsoidul este o elipsă reală,

un punct sau mulţimea vidă.

Hiperboloidul cu o pânză are ecuaţia 2 2 2

1 2 2 2( ) : 1 0x y zHa b c

+ − − = .

Punctele A(a, 0, 0), A′(-a, 0, 0), B(0, b, 0) şi B ′(0, -b, 0) se numesc vârfurile

hiperboloidului cu o pânză.

Planele de coordonate sunt plane de simetrie, axele de coordonate sunt

axe de simetrie, iar originea reperului este centru de simetrie pentru hiper-

boloidul cu o pânză.

Intersecţia unui plan de coordonate cu hiperboloidul cu o pânză este o

elipsă (xOy) sau hiperbolă (xOz sau yOz); intersecţia unui plan π, paralel

cu un plan de coordonate, cu hiperboloidul cu o pânză este: o elipsă reală

(π ∥ xOy) sau o hiperbolă (π ∥ xOz sau π ∥ yOz).

Cuadrice


Familiile de drepte 1x z ya c b

λ − = −

, 1 1x z y

a c bλ + = +

, *IRλ∈ sunt incluse în

hiperboloidul cu o pânză, fiind generatoare rectilinii (prin fiecare punct trece câte o dreaptă a

fiecărei familii.

Hiperboloidul cu două pânze are ecuaţia 2 2 2

1 2 2 2( ) : 1 0x y zHa b c

+ − + = .

Planele de coordonate sunt plane de simetrie, axele de coordonate sunt axe de simetrie, iar

originea reperului este centru de simetrie pentru hiperboloidul cu două pânze.

Intersecţia unui plan de coordonate cu hiperboloidul cu două pânze poate fi: mulţimea vidă

(xOy) sau hiperbolă (xOz sau yOz); intersecţia unui plan π, paralel cu un plan de coordonate,

cu hiperboloidul cu două pânze poate fi: o elipsă reală, un punct sau mulţimea vidă (π ∥

xOy) sau o hiperbolă (π ∥ xOz sau π ∥ yOz).

Paraboloid eliptic are ecuaţia 2 2

2 2( ) : 2 0x yPE za b

+ − = .

Planele de coordonate xOz şi yOz sunt plane de simetrie, planul xOy este tangent în

origine (în vârf) la paraboloidul eliptic, axa Oz este axă de simetrie.

Intersecţia unui plan de coordonate cu paraboloidul eliptic poate fi: un punct (xOy) sau o

parabolă (xOz sau yOz); intersecţia unui plan π, paralel cu un plan de coordonate, cu

paraboloidul eliptic poate fi: o elipsă reală, un punct sau mulţimea vidă (π ∥ xOy) sau o

parabolă (π ∥ xOz sau π ∥ yOz).

Paraboloidul hiperbolic are ecuaţia 2 2

2 2( ) : 2 0x yPH za b

− − = .

Cuadrice


9

Planele de coordonate xOz şi yOz sunt plane de simetrie, planul xOy este tangent în

origine (în vârf) la paraboloidul hiperbolic, axa Oz este axă de simetrie.

Intersecţia unui plan de coordonate cu paraboloidul hiperbolic poate fi: două drepte

concurente (xOy) sau o parabolă (xOz sau yOz); intersecţia unui plan π, paralel cu un plan

de coordonate, cu paraboloidul hyperbolic poate fi: o hiperbolă (π ∥ xOy) sau o parabolă (π ∥

xOz sau π ∥ yOz).

Familiile de drepte x za c

λ− = , 1x z z

a c λ+ = , *IRλ∈ sunt incluse în

paraboloidul hiperbolic, fiind generatoare rectilinii (prin fiecare punct trece

câte o dreaptă a fiecărei familii).

Conul pătratic are ecuaţia 2 2 2

2 2 2( ) : 0x y zCPa b c

+ − = .

Planele de coordonate sunt plane de simetrie, axele de coordonate sunt axe de simetrie,

iar originea reperului este centru de simetrie pentru conul pătratic (vârful conului).

Intersecţia unui plan de coordonate cu conul pătratic poate fi: un punct (xOy) sau două

drepte concurente (xOz sau yOz); intersecţia unui plan π, paralel cu un plan de coordonate,

cu conul pătratic poate fi: o elipsă (π ∥ xOy) sau o hiperbolă (π ∥ xOz sau π ∥ yOz).

Familiile de drepte care trec prin vârf x z ya c b

λ− = − , x z ya c bλ+ = , *IRλ∈ sunt incluse în

conul pătratic, fiind generatoare rectilinii.

Cilindrul eliptic, cilindrul parabolic şi cilindrul hiperbolic au ecuaţiile:

2 2

2 2( ) : 1 0x yCEa b

+ − = , 2( ) : 2 0CH y px− = , 2 2

2 2( ) : 1 0x yCPa b

− − = .

Cuadrice


Test de autoevaluare 11.2 Să se aducă la formă canonică şi să se găsească reperul corespunzător pentru cuadrica (Γ): 2 2 28 11 8 4 8 4 20 22 28 32 0x y z xy xz yz x y z+ + + + − − + − + = .

Lucrare de verificare la Unitatea de învăţare 11 Să se aducă la formă canonică şi să se găsească reperul corespunzător pentru cuadrica

(Γ) 2 2 28 16 52 44 8 10 44 4 16 0x y z xy xz yz x y z− + − − − − + + + = .


11.1. a) Avem 1 1 21 3 1 112 1 1

δ− −

= − = −− −

, deci cuadrica este cu centru

unic;

1 1 2 11 3 1 1

4 02 1 1 01 1 0 1

− − −− −

∆ = = ≠− −− −

, deci este nedegenerată. Avem

1 2 3 0δ λ λ λ= < , 1 2 3 1 3 1 1 0λ λ λ+ + = + − = > , deci avem 1 0λ < şi

2λ , 3 0λ > ; cum 0∆ > , rezultă un hiperboloid cu două pânze.

b) Avem 3 1 11 1 0 5 01 0 1

δ−

= − − = ≠−

şi

3 1 1 11 1 0 2

5 151 0 1 21 2 2

α

α

−− − −

∆ = = +−

−

. Polinomul caracteristic al matricii

De reţinut ! Cuadricele sunt suprafeţe în E3. Ecuaţia care defineşte o cuadrică este dată de anularea unei ecuaţii polinomiale de gradul al doilea. Matricea asociată unei cuadrice este formată din coeficienţii polinomului şi este folosită la: - studierea calitativă al cuadricei (clasificarea sa, adică determinarea tipului său dintr-un tabel de 17 cuadrice tip) şi - determinarea formei canonice efective date de tabelul menţionat şi desenarea graficului cuadricei.

Cuadrice


11

3 1 11 1 01 0 1

A−

= − − −

, este: - 3 2 7 5λ λ λ+ + + , de unde: 1 1λ = − ,

2 31 6, 1 6λ λ= − = + . (Dacă nu se putea rezolva exact, se putea încerca cu şirul lui Rolle.) I) Dacă 3α < − , avem 0∆ < ( Γ nedegenerată), 1 1 0λ∆ > ,

2 2 0λ∆ > , 3 3 0,λ∆ < rezultă un hiperboloid cu două pânze. II) Dacă 3α = − , avem 0∆ = ( Γ degenerată), 0δ ≠ , deci avem un con pătratic. III) Dacă 3α > − , avem 0∆ > ( Γ nedegenerată), 1 1 0λ∆ < ,

2 2 0λ∆ < , 3 3 0,λ∆ > rezultă un hiperboloid cu o pânză.

11.2. Avem 8 2 42 11 2 4324 2 8

δ = − =−

, iar

8 2 4 102 11 2 114 2 8 1410 11 14 32

−−

∆ =− −

− −

=1296, prin urmare cuadrica este cu centru şi nedegenerată. Polinomul

caracteristic al matricii 8 2 42 11 24 2 8

− −

este 3 227 216 432λ λ λ− + − +

şi are rădăcinile 1 3λ = şi 2 3 12λ λ= = . Deci Γ este un elipsoid.

Vectorii proprii corespunzători pot fi luaţi 12 1 2, ,3 3 3

v = −

,

22 2 1, ,3 3 3

v =

şi 3v = 1 2 2, ,3 3 3

− −

(ei trebuie să fie ortonormaţi).

Centrul are coordonatele date de sistemul 8 2 4 10 0

2 11 2 11 04 2 8 14 0

x y zx y zx y z

+ + − = + − + = − + − =

, de

unde rezultă centrul (1, 1,1)C − . Forma canonică este

( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 0x y zλ λ λ

δ∆′ ′ ′+ + + = , sau

( ) ( ) ( )2 2 2 12963 12 12 0432

x y z −′ ′ ′+ + + = , sau

( ) ( ) ( )2 2 24 4 1 0x y z′ ′ ′+ + − = . Ea este obţinută în reperul euclidian

1 2 3( , { , , })C v v v′ =B . Lucare verificare:

Avem1 26 2226 8 4 1166422 4 16

δ− −

= − − − = −− −

, iar

1 26 22 526 8 4 2222 4 16 25 22 2 16

− − −− − −

∆ =− −−

104976= , prin urmare cuadrica este cu centru şi nedegenerată.

Cuadrice


s

Bibliografie





Concluzii Cuadricele sunt analogul conicelor studiate în liceu. Conicele sunt curbe, iar cuadricele sunt suprafeţe. Studiul unei cuadrice se face pornind de la matricea asociată. Problemele care le studiem sunt de determinare a tipului cuadricei, de detereminare a formei canonice efective şi de construire a graficului.

Polinomul caracteristic al matricii

1 26 2226 8 422 4 16

− − − − − − −

este 3 29 1296 11664λ λ λ− + + − şi are rădăcinile

1 36,λ = − 2 36λ = şi 3 9λ = . Deci Γ este un hipeboloid cu două

pânze. Vectorii proprii corespunzători pot fi luaţi 12 2 1, ,3 3 3

v =

,

22 1 2, ,3 3 3

v = −

şi 3v = 1 2 2, ,3 3 3

−

. Centrul are coordonatele date

de sistemul

26 22 5 0

26 8 4 22 022 4 16 2 0

x y zx y zx y z

− − − =− − − + =− − + + =

, de unde rezultă centrul (1, 1,1)C − . Forma

canonică este ( ) ( ) ( )2 2 21 2 3 0x y zλ λ λ

δ∆′ ′ ′+ + + = , sau

( ) ( ) ( )2 2 2 10497636 36 9 011664

x y z′ ′ ′− + + + =−

, sau

( ) ( ) ( )2 2 24 4 1 0x y z′ ′ ′− + + − = . Ea este obţinută în reperul euclidian

1 2 3( , { , , })C v v v′ =B .

3_AlgebraLiniaraSiGeometrieAnalitica

Documents

Transcript of 3_AlgebraLiniaraSiGeometrieAnalitica