2.2.1. Proceduri on-line de identificare parametric Noiunea de model matematic este fundamental n tiin i

inginerie. Exist modele interne construite n spaiul strilor i modeleexterne (intrare-ieire). Un proces nu poate fi caracterizat de un singurmodel. Un proces poate fi reprezentat de o suit ierarhic de modele,mergnd de la cele mai simple, ce sunt uor de utilizat, pn la cele maidetaliate i complexe. n principiu exist dou ci diferite prin care unmodel poate fi obinut: prin aplicarea legilor fizicii (construirea matematica modelului) urmat de identificare, ori prin prelucrarea direct a datelorexperimentale. n acest ultim caz, se parcurg urmtoarele etape:

- Achiziia i prelucrarea datelor (experimental planning) - Selectarea structurii modelului- Estimarea parametrilor- Validarea modelului

2.2.2. Estimarea striiMetoda este util pentru detectarea traductoarelor defecte ct i

pentru confirmarea apariiei unor defecte n amonte de punctele de msur(elemente de execuie avariate, modificri ale parametrilor interni).Considerm urmtoarea reprezentare n spaiul strilor a unui sistemdinamic liniarizat n jurul unui punct de funcionare:

(2.16)x (t) = Ax(t) + Bu(t) + (t)

mrimile msurate fiind:

(2.17)y(t) = Cx(t) + Du(t) + (t)

unde reprezint zgomote independente, albe, Gaussiene, de medie si zero, adic:

(2.18)E[(t)] = 0E[(t)] = 0E[(t)T()] = 0

i avnd matricile de covarian:

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 18 ___________________________

(2.19)E[(t) T()] = Q(t)(t )

E[(t)T()] = R(t)(t )

n care Q(t) i R(t) sunt matrici pozitiv definite. n condiii normale deoperare (fr defecte) estimarea optim a strii este furnizat de filtrulKalman:

(2.20)x (t) = A

x (t) + Bu(t) + K(t)C

x (t) y(t)

n care matricea Kalman K(t) este dat de:

(2.21)K(t) = P(t)CTR1(t)

matricea P(t) fiind soluie a ecuiei difereniale Ricatti:

(2.22)P (t) = AP(t) + P(t)AT P(t)CTR1(t)CP(t) + Q

Pentru ecuaiile (2.20) i (2.22) condiiile iniiale se consider cunoscute,ele fiind:

(2.23)

x (t0) = x 0

P(t0) = P0 = E x(t0)x (t0) x(t0)

x (t0)

T

n cazul sistemelor discrete, descrise de ecuaiile:

(2.24)x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + (k)

y(k) = Cx(k) + (k)cu:

(2.25)

E[(k)] = E[(k)] = 0

E[(k) T(i)] = Q(k)(k i)

E[(k)T(i)] = R(k)(k i)

E[(k)T(i)] = 0

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 19 ___________________________

filtrul Kalman este:

(2.26)x (k + 1 k + 1 ) =x (k + 1 k ) + K(k + 1)C

x (k + 1 k ) y(k + 1)

estimarea pe un pas fiind:

(2.27)x (k + 1 k ) = A x (k k ) + Bu(k)

Matricea Kalman este dat de relaia:

(2.28)K(k + 1) = P(k + 1 k )CT[R(k + 1) + CP(k + 1 k )CT]1

i respectiv:

(2.29)P(k + 1 k ) = AP(k k )AT + QT(k)

Schema de principiu ce ilustreaz modul de utilizare al unui estimator destare pentru detecia defectelor este prezentat n figura 2.16.

u B

A

C+

+

+

y

+

+

Estimator

Proces

Modelulsistemuluicorect

Generarea diferenelor

Evaluarea diferenelor

Detecie prezen defecte

Diagnozasistemului

Xm

r

X^

X

Fig. 2.16. Utilizarea unui estimator de stare pentru detecia defectelor

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 20 ___________________________

2.2.3. Estimarea parametrilorConstruirea unui model matematic ai crui parametrii sunt estimai

n urma msurtorilor directe ale vectorilor de intrare i ieire i comparareaacestuia cu un model nominal (fr defecte), constituie metoda cea maidirect pentru detecia i localizarea unui defect. O metod ce asigurrezultate bune, chiar i n condiiile de exigen impuse de aviaie, estemetoda celor mai mici ptrate (MCMMP). Fie modelul sistemului dinamic,descris de ecuaia cu diferene:

y(k) + a1y(k 1) + . . . +any(k n) = b 1u(k 1)+ . . . +b nu(k n) + e(k)(2.30)

unde a1 , a2 , . . . an i b1, b2, . . . bn sunt parametrii sistemului iar e(k) esteo eroare datorat zgomotului ce afecteaz msurtorile. Ultima relaie poatefi scris sub form vectorial:

(2.31)y(k) = mT(k) + e(k)

unde vectorul msurtorilor m(k) este definit sub forma:

(2.32)m(k) = [y(k 1) . . .-y(k-n) u(k-1) . . . u(k-n)]T

iar este vectorul parametrilor:

(2.33) = [a1 a2 . . . an b 1 b 2 . . . b n]T

Pentru N seturi de msurtori (k=k, k+1,. . . k+N), ecuaia (2.31) devine:

(2.34)Y(k) = M(k) + (k)

n care:(2.35)Y(k) = [y(k) y(k+1) . . .y(k+N)]T

i (2.36)M(k) = [mT(k) mT(k + 1) . . . mT(k + N)]T

iar (k) are expresia:

(2.37)(k) = [e(k) e(k+1) . . . e(k+N)]T

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 21 ___________________________

Determinarea celor 2n parametrii necunoscui, se face minimizndcriteriul ptratic:

(2.38)J = 12

[Y s (k) Ym(k)]T[Y s (k) Ym(k)]

unde Y s(k) este ieirea sistemului iar Y m (k) ieirea modelului, pentruacelai semnal aplicat la intrare (fig. 2.17). innd cont de (2.34) criteriul(2.38) devine:

(2.39)J = 12

Y(k) M(k)

TY(k) M(k)

Sistem dinamic

Model

U(k)

(k)

Y (k)

Y (k)

s

m

+

-

( k )

+

+

Fig. 2.17. Determinarea vectorului (k)

n care reprezint vectorul parametrilor estimai. Soluia ecuaiei:

(2.40)J

= 0

reprezint valoarea optim a vectorului , respectiv:

(2.41)= [MT(k)M(k)]1MT(k)Y(k)

n cazul aplicrii metodei pentru identificarea on-line, serecomand urmtorul algoritm recursiv [Popovic i Bhatkar, 1990]:

(2.42) (k + 1) =

(k) + w(k + 1)y(k + 1) m

T(k + 1) (k)

Relaia (2.42) furnizeaz vectorul parametrilor estimai la pasul k+1, por -

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 22 ___________________________

nind de la vectorul determinat la pasul anterior i de la msurtorile y(k+1)i mT (k+1) efectuate la pasul k+1. Factorul w(k+1) are expresia:

(2.43)w(k + 1) = [1 + mT(k + 1)P(k)m(k + 1)]1P(k)m(k + 1)

matricea P fiind calculat la pasul k+1 cu ajutorul relaiei:

(2.44)P(k + 1) = [I w(k + 1)mT(k + 1)]P(k)

Aplicarea acestei metode pentru detecia i localizarea defectelor,presupune n principiu parcurgerea urmtoarelor etape:

a) Determinarea relaiei (2.30) ataat sistemului (inclusiv fixareaordinului modelului recursiv intrare-ieire).b) Stabilirea corespondenelor ntre vectorul parametrilor aimodelului i mrimile fizice ale sistemului dinamic.c) Compararea valorilor estimate cu cele fixate a priori i carecorespund unei funcionri corecte.

2.3. Modelarea elementelor de execuie i traductoarelor defecteFie uc vectorul ce corespunde comenzii corecte (dorite) furnizat de

elementele de execuie atunci cnd nu exist defecte i fie ur comandareal. n orice moment de timp este adevrat relaia:

ur (t)=uc (t)+ud (t) (2.45)

unde u d (t) este un vector a crui dimensiune este egal cu numrulservomecanismelor ce acioneaz asupra sistemului, variabil n timp, deforma:

ud (t)=[ud1 (t) ud2 (t) . . . udm (t)] (2.46)

Prin alegerea corespunztoare a componentei udi (t) se pot modela diversesituaii de avarie ale elementului de execuie i. De exemplu, dacservomecanismul i este blocat, situaie ce corespunde unei mrimi decomand constante ki , atunci udi (t) = ki - uc (t), iar dac servomecanismuleste complet decuplat (ur (t) = 0), atunci udi (t) = - uci (t). n concluzie, cttimp udi (t) = 0, elementul de execuie i funcioneaz corect; orice valoare

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 23 ___________________________

diferit de zero sau care depete o valoare de prag priori stabilit,indic defectarea acestuia.

Defectele traductoarelor sunt modelate n acelai mod. Fie yc i yvectorii ce reprezint ieirea corect i respectiv ieirea msurat; esteadevrat relaia:

y(t) = yc (t) + s(t) (2.47)

unde s(t) este un vector de dimensiune egal cu numrul traductoarelor iale crui elemente modeleaz defectele senzorilor. Un defect altraductorului j este reprezentat de o valoare diferit de zero a componenteisj (t). De exemplu, ntreruperea semnalului poate fi simulat cu ajutorulrelaiei: sj (t) = -ycj (t).

Considerm un sistem liniar, invariant n timp, cu m intrri i pieiri. Conform relaiilor (2.45) i (2.47) avem urmtoarea reprezentare(figura 2.18):

u (t)u (t)

y(t)

s(t)

+

+

+

+uc

cy (t)(t)r

d

Sistem

Fig. 2.18. Modelarea traductoarelor i elementele de execuie defecte

Variabilele uc (t) i y(t) sunt considerate mrimi exterioare, accesibile pentruprocedurile de detecie i localizare a defectelor, n timp ce ur (t) i respectivyc (t) sunt mrimi interioare, inaccesibile.

2.4. Detecia i localizarea defectelor utiliznd metoda filtrelor multipleMetoda se bazeaz n principiu pe existena unei "bnci" de modele

matematice (filtre) ce conin, fiecare, cel puin cte un defect introdusintenionat de ctre proiectant (fig. 2.19). Unul din filtre reproduce sistemulcorect, fr defecte. Ieirile sistemului real sunt comparate n permanencu ieirile modelelor matematice i un bloc de decizie, n urma analizeidiferenelor generate, valideaz anumite ipoteze referitoare la defectelesurvenite.

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 24 ___________________________

Sistem realU Y

+

+

+

-

-

-

Filtrul 1

Filtrul 2

Filtrul n

Ipoteza 1Ipoteza 2

Ipoteza n

Bloc de decizie

Fig. 2.19. Detecia i localizarea defectelor utiliznd metoda filtrelormultiple

Conform logicii implementate n blocul de decizie, probabilitatea cao ipotez s fie adevrat, este cu att mai mare cu ct vectorul rezidual,corespunztor filtrului ce simuleaz defectul respectiv, este mai aproape dezero. Principalul dezavantaj al metodei const n numrul mare de modeleutilizate. n literatura de specialitate se apreciaz c la o cretere liniar aordinului sistemului, numrul filtrelor are o cretere exponenial [Newboldi Ho, 1968], [Willsky, 1976].

2.5. Detecia i localizarea defectelor folosind metoda votului majoritarMetoda se aplic cu precdere traductoarelor, fiind eficient i

deosebit de rapid n cazul sistemelor cu un grad ridicat de redundanhardware (procesare paralel). Ea a fost analizat pe larg ntr-o serie dearticole dintre care amintim: McKern i Gilmore - 1970, Young - 1981,Potter i Suman - 1986. n principiu, metoda poate fi aplicat dac seutilizeaz cel puin trei instrumente de msur identice, plasate n poziii

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 25 ___________________________

echivalente. O schem logic simpl, valideaz doar acele semnale alecror valori nu difer ntre ele cu mai mult dect o valoare de prag,convenabil fixat n funcie de dinamica procesului i preciziamsurtorilor. Traductoarele ale cror semnale se menin invalidate uninterval mai mare de timp, sunt declarate defecte i n final izolate. Deiprezint dezavantajele tipice redondanei hardware (masa mbarcatsensibil mrit, consum de energie crescut i volum util ocupat), metodaeste frecvent utilizat datorit toleranei la defectri.

2.6. Detecia i localizarea analitic a elementelor de execuie defecteConsiderm structura din figura 2.20. Notaiile utilizate au

semnificaiile cunoscute

u (t)u (t)

y(t)

s(t)

+

+

+

+

cy (t)uc (t)

r

d

Sistem

Modelym

(t)r(t)

+

-

Fig. 2.20. Structura utilizat pentru detecia i localizarea analitic a traductoarelor i elementelor de execuie defecte

(vezi 2.3), r(t) fiind vectorul rezidual. Din motive impuse de simplificareaexpunerii, vom considera c valoarea de prag, la care se raporteazcomponentele vectorului rezidual, este zero. n cele ce urmeaz se au nvedere doar defectele survenite la nivelul traductoarelor sau elementelor deexecuie. Logica de detecie este urmtoarea:

1. Vectorul r(t)=0. Rezult c yc (t)=ym (t), deci ud (t)=s(t)=0; nconcluzie nu exist senzori sau servomecanisme defecte.

2. Componenta , restul componentelorr j(t) 0 Concluzia logic este c senzorul j este defect. r i(t) = 0, i=1, p ; i j.

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 26 ___________________________

3. Mai multe componente (sau chiar toate) ale vectorului r(t) suntdiferite de zero. n acest caz se poate emite ipoteza conform creia, cel maiprobabil, avem cel puin un element de execuie defect.

S considerm c toate semnalele sunt eantionate i c prelucrarease face sub form numeric, deci t devine o variabil discret. Pentrusisteme cu cel puin trei ieiri, n regim staionar, cele trei situaii de mai suspot fi structurate sub forma unei relaii de control:

(2.48)q k = ky k

n care: - reprezint vectorul ieirilory k = y 1(kT), y 2(kT) . . . y p(kT)T

msurate la pasul k,

k =

0 12k 13k ... 1pk

21k 0 23k ... 2pk

31k 32k 0 ... 3pk

. . . ... .p1k p2k p3k ... 0

-reprezinta o matrice de control, ale careielemente sunt calculate la fiecare pas

- este un vector ce semnalizeazq k = q 1(kT), q 2(kT) . . . q p(kT)T

defectele.Matricea de control k este astfel calculat, nct n cazul n care nu

avem defecte (cazul 1), qk are toate elementele nule. Ea nu este unic ipoate fi determinat cu ajutorul relaiei:

(2.49)ky km = kSmu ck = 0

ykm fiind vectorul ieirilor modelului la pasul k, uck este vectorul intrrilorcorecte iar Sm este o matrice ce conine coeficienii de transfer intrare-ieiren regim staionar. Datorit structurii matricii k, fiecare ieire a sistemuluise regsete n p-1 relaii. n cazul n care una din aceste ieiri este eronat,toate aceste relaii sunt diferite de zero (prezen defect). Singura care ipstreaz aceast proprietate este relaia ce nu conine semnalul respectiv.De exemplu, dac elementul qj(kT) este egal cu zero, restul elementelorfiind diferite de zero, se poate trage concluzia c senzorul j este defect(cazul 2). Dac toate elementele vectorului qk sunt diferite de zero, atuncine plasm n situaia corespunztoare cazului 3.

Metode analitice pentru detecia i localizarea defectelor

__________________________ 27 ___________________________