8/13/2019 2014_Matematica_Concursul 'Jose Marti' (Bucuresti)_Clasa a VI-A_Subiecte+Barem

1/2

MINISTERUL EDUCAIEI NAIONALEINSPECTORATUL COLAR AL MUNICIPIULUI BUCURETI

COALA GIMNAZIALA nr. 56 BUCURETI

Concursul Interjudeean de Matematic al colii Gimnaziale nr. 56

Ediia a XIII - a, 25.01.2014

Clasa a VI-a

1. Se consider numerele3 3

2 6 49 243a = i3 2

8 35 81b = . Demonstrai c cel mai

mare divizor comun al numerelor a i b este ptrat perfect.

2. Demonstrai c exist o infinitate de numere naturale npentru care numerele 6 3n + i

4 1n + sunt numere naturale prime ntre ele.

3. Determinai numerele naturale diferite abc i def , 0a d , tiind c exist n astfel nct abcdef n defabc= .

4. Se consider dreapta 0 0A B i ( )0 0O A B . De aceeai parte a dreptei 0 0A B se

consider, n acelai sens, unghiurile0 1A OA ,

1 2A OA , ...,

1n nA OA , astfel nct

( )1i im A OA i = , pentru oricare { }1,2,...,i n .a)Determinai valoarea maxim a lui n;

b)Pentru 18n = , determinai numrul de unghiuri dreptei jA OA , unde

{ }, 1, 2,...,18i j .

SUCCES!

Not:- Toate subiectele sunt obligatorii.- Fiecare subiect se noteaz de la 0 la 7.- Timp de lucru efectiv : 2 ore.

8/13/2019 2014_Matematica_Concursul 'Jose Marti' (Bucuresti)_Clasa a VI-A_Subiecte+Barem

2/2

MINISTERUL EDUCAIEI NAIONALEINSPECTORATUL COLAR AL MUNICIPIULUI BUCURETI

COALA GIMNAZIALA nr. 56 BUCURETI

Concursul Interjudeean de Matematic al colii gimnaziale nr. 56

Ediia a XIII - a, 25.01.2014

Soluii i bareme clasa a VI a

1. Avem6 8 2

2 3 7a = i9 2 2 4

2 5 7 3b = 4p

Deci ( ) ( )2

6 4 2 3 2, 2 3 7 2 3 7a b = = 3p

2. Dac deste un divizor comun al numerelor, atunci 6 3d n + i 4 1d n + 2p

Rezult c 3d . 3p

E suficient ca 3 s nu divid pe 4 1n + . Prin urmare, putem considera

{ }

*3n k k sau { }3 1n k k + 2p

3. Evident, 1 10n< < . Avem 1000 1000abc def n def n abc + = + , sau 1p

1000

1000 1

def n

nabc

=

. Deoarece 1000 1n este numr de patru cifre, fracia

1000

1000 1

n

n

trebuie s se simplifice cu un numr dcel mult egal cu 9. 2p

Dac deste un divizor comun al numerelor, atunci 999999d .

Deducem c { }3,7,9d . 1p

Pentru 6n = , obinem994

5999

def

abc

= care se simplific cu 7 i avem142

857

def

abc

= .

Deoarece nu mai putem simplifica, avem 857abc = i def = 1423p

4.a)Avem

( )11 2 ... 180

2

n nn

++ + + = , de unde obinem 18n = . 2p

b) Trebuie ( ) ( )1 ... 1 90k k k p+ + + + + = , 18k p+ , adic

( )2 1 180p k p+ = . Deducem c { }1, 2,3,4,5,6,9,10,12,15p 3p

Convin numai 9, 6p k= = i 12, 2p k= = , deci ( )5 13 90m A O A = i( )1 12 90m A OA =

2p