35

1.

TEORII ASUPRA STĂRILOR LIMITĂ.

ELEMENTE DE MECANICA RUPERILOR

Proiectarea structurilor mecanice se face pe baza unor modele de

calcul care, în general, reprezintă relaţia dintre încărcare şi

deformaţie. În plus, este necesar să se stabilească dacă structura

respectivă nu cedează sub încărcarea dată, sau invers: care este

încărcarea maximă dincolo de care structura cedează.

Relaţia dintre încărcare şi deformaţie se numeşte lege

constitutivă şi poate fi definită atât la nivelul întregii structuri, cât şi

la nivelul materialului. Criteriul suplimentar menţionat aici este o

condiţie de stare limită. Pentru a înţelege de ce aceste criterii sunt

importante, se prezintă un exemplu.

Dacă încărcările sunt mici, materialul şi deci şi structura, de

regulă, se comportă linear elastic. (Sunt şi situaţii speciale, în care, deşi

materialul se comportă linear elastic, structura are o comportare nelineară, de un

anumit tip: poate fi cazul structurilor complexe, de mari dimensiuni). În acest

regim, între forţe şi deplasări (la nivelul structurii) sau între tensiuni

şi deformaţii specifice (la nivelul materialului) este o relaţie lineară.

În elasticitate, se pot obţine (teoretic) tensiuni corespunzând unei

deformaţii specifice oricât de mari. Legea constitutivă nu conţine o

limită de tensiune până la care ea însăşi este valabilă. Realitatea însă

este alta: atunci când tensiunea ajunge la punctul de curgere,

materialul intră în faza de deformaţie plastică şi legea constitutivă a

elasticităţii nu mai este valabilă.

La fel se întâmplă şi cu legile constitutive care descriu

deformaţia plastică. Ele nu conţin un criteriu pe baza căruia să se

poată prezice ruperea, în acest caz ruperea fiind limita superioară a

deformării plastice.

Această limitare a legilor constitutive este importantă şi trebuie

avută în vedere la construirea oricărui model de calcul pentru o

36

structură mecanică. Modelul trebuie să conţină pe lângă legea

constitutivă adecvată modului respectiv de deformaţie (elastică sau

plastică) şi o condiţie de stare limită. Aceste condiţii sunt cunoscute

sub numele de “teorii de rezistenţă” sau “teorii de stări limită.”

Natura condiţiilor de limită folosite pentru un model dat depinde

de cerinţele de proiectare. De exemplu, dacă se doreşte ca structura

să rămână în domeniul deformaţiilor elastice, starea limită de

încărcare este cea care produce curgerea materialului. Dacă în

aplicaţia respectivă deformaţia plastică este tolerabilă, starea limită

este ruperea materialului sau pierderea stabilităţii structurii. Desigur,

atât ruperea cât şi pierderea stabilităţii sunt limitele superioare

dincolo de care structura nu mai poate fi folosită. În consecinţă, un

număr mare de teorii asupra stărilor limită au fost dezvoltate,

corespunzând diferitelor tipuri de astfel de criterii.

În cele ce urmează, teoriile de rezistenţă sunt împărţite în trei

categorii: cele care prezic atingerea limitei de curgere, cele care

prezic ruperea materialului şi cele care prezic pierderea stabilităţii

deformaţiei.

Trebuie menţionat că pierderea stabilităţii la nivelul structurii

poate avea loc şi în domeniul elastic, acesta fiind un subiect tratat în

capitolul 12. În discuţia de faţă, se fac referiri la un caz particular de

pierdere a stabilităţii la nivelul materialului şi anume, pierderea

stabilităţii deformaţiei plastice care se mai numeşte şi localizarea

deformaţiei plastice. Prin localizare, materialul îşi pierde capacitatea

de a susţine cea mai mare parte din sarcinile aplicate, situaţie

întrucâtva similară ruperii. De altfel, localizarea poate fi urmată de

rupere, însă fenomenul critic este cel al pierderii stabilităţii

deformaţiei, care este de natură diferită faţă de rupere.

1.1. Iniţierea deformaţiei plastice ca stare limită de rezistenţă

De cele mai multe ori, în practica inginerească se urmăreşte ca

structurile să rămână în domeniul de deformaţie elastică. Pentru

aceasta, tensiunile în fiecare punct al structurii trebuie să fie mai mici

decât o anumită valoare critică. Care este acea valoare critică? (Este

posibil ca în cazul în care curgerea plastică are loc localizat, în zone restrânse ale

componentelor structurii respective, structura să rămână totuşi, global, în domeniul

elastic. Pentru simplitatea discuţiei însă, se consideră, aici, condiţia globală ca fiind

37

strict impusă punctual: curgerea trebuie evitată în orice punct al structurii

respective.) Dacă structura în cauză este o bară dreaptă supusă la întindere,

tensiunile sunt aceleaşi în fiecare punct al barei şi sunt egale cu

tensiunea aplicată din exterior, . Curgerea are loc atunci când

= c, unde c (notaţia engleză este y) este tensiunea de curgere

măsurată într-un test obişnuit de întindere.

Într-o structură cu o geometrie mai complicată, însă, starea de

tensiuni este complexă şi variază de la un punct la altul. Se pune deci

problema: ştiind că materialul “curge”, când este solicitat la întindere

uniaxială, la valoarea c a tensiunii, la ce valoare a tensiunii va curge

când este solicitat cu o stare complexă de tensiune? Prin stare

complexă de tensiune se înţelege o încărcare în care toţi termenii

tensorului sunt nenuli (cele trei tensiuni principale 1, 2,3 sunt

nenule). Ceea ce se caută poate fi exprimat matematic sub forma unei

funcţii de tensiunile principale:

f(1, 2,3) = fc . (1.1.a)

Deci, curgerea are loc atunci când această funcţie atinge o

valoare critica, fc. Se postulează că o astfel de funcţie există, adică,

indiferent de modul de încărcare (de valorile tensiunilor principale),

curgerea are loc totdeauna la aceeaşi valoare fc. Ecuaţia (1.1) poate fi

scrisa şi ca

c , (1.1.b)

unde ),,(f 321 se numeşte tensiune echivalentă (pentru se

mai foloseşte şi notaţia ech).

Există numeroase teorii care duc la o formă funcţională pentru f.

Toate aceste teorii sunt fenomenologice şi au fost dezvoltate, în cea

mai mare parte, acum mai bine de un secol, pe baza unui număr mare

de teste. Dintre acestea, două dintre cele mai folosite se prezintă în

cele ce urmează.

Criteriul tensiunii tangenţiale maxime (criteriul Tresca)

Conform acestui criteriu, curgerea are loc atunci când tensiunea

tangenţială maximă, indiferent de planul în care acţionează, atinge o

valoare limită:

cmax . (1.2)

38

Pentru o stare dată de tensiune ( 321 ,, ), tensiunea max este

(v. cap. 5):

2,

2,

2max

323121

max . (1.3)

Tensiunea critică c poate fi dedusă cu ajutorul ecuaţiei (1.3) şi

pentru solicitarea de întindere uniaxială. În acest caz, curgerea începe

când tensiunea normală = c sau când max = c/2. Deci, c = c/2 şi

criteriul poate fi scris sub forma:

323121c ,,max . (1.4)

Comparând cu ecuaţia (1.1.a),

323121321 ,,max),,(f şi fc = c.

Trebuie observat că ecuaţia (1.4) implică independenţa curgerii

de componenta hidrostatică (presiune p uniformă, pe toate direcţiile)

a câmpului de tensiune. Presiunea se calculează ca

3)(p 321 . Dacă corpul este supus la o stare de presiune,

atunci p321 , iar tensiunile de forfecare sunt nule în

toate planele. Deci curgerea plastică nu poate fi provocată, indiferent

cât de mare este p. Aceasta este în concordanţă cu observaţiile

experimentale pe materiale metalice: presiunea nu afectează curgerea

plastică. În realitate, tensiunea de curgere este totuşi influenţată de

presiune, însă efectul este slab şi în cele mai multe cazuri este

neglijat.

Criteriul energiei maxime de schimbare a formei (criteriul von

Mises)

Atunci când se aplică o tensiune asupra unui material şi acesta se

deformează, maşina de încercare efectuează lucru mecanic, care este

asociat cu deformaţia elastică şi este stocat în corp sub formă de

energie potenţială de deformaţie. Această energie poate fi împărţită

în două componente: o componentă asociată cu schimbarea

volumului şi una asociată cu schimbarea formei corpului deformabil.

Presiunea produce o schimbare numai de volum şi aşa cum s-a văzut,

nu produce deformaţie plastică (în metale). De aceea, un criteriu de

39

curgere (o teorie de stare limită), enunţat energetic, trebuie să fie

asociat numai cu energia de schimbare a formei.

Conform criteriului von Mises, deformaţia intră în regim plastic

atunci când energia potenţială de deformaţie pentru schimbare a

formei atinge o valoare critică.

Energia totală de deformare pe unitatea de volum se calculează

ca produsul tensiunii şi deformaţiei specifice corespunzătoare:

)(21U 332211 . Energia asociată deformaţiei

hidrostatice (produsă de presiunea uniformă), care provoacă numai

variaţie a volumului, este

))((61p21UU 321321vp ,

unde este deformaţia specifică (liniară) definită ca 321 .

Energia de deformaţie asociată schimbării formei este

diferenţa celor două energii menţionate mai sus, adică Uf = U – Uv şi

are expresia:

231

2

32

2

21fG12

1U , (1.5)

în care G este modulul de elasticitate la forfecare.

Conform criteriului von Mises, curgerea începe datorită unei

solicitări complexe atunci când această energie atinge o valoare

critică:

Uf = Uc. (1.6)

Energia critică Uc poate fi evaluată particularizând încărcarea la

cea de tensiune uniaxială. În acest caz, singura tensiune aplicată

corpului este 1 = , iar în momentul în care materialul începe să

curgă, 1 = c. Deci G6

UU2

ccf

.

În consecinţă, criteriul von Mises se scrie:

c

2/12

32

2

31

2

212

1 . (1.7)

Comparând cu ecuaţia (1.1.a),

2/12

32

2

31

2

213212

1),,(f şi fc = c.

40

Ca şi în cazul criteriului Tresca, criteriul von Mises nu include

efectul presiunii în producerea deformaţiei plastice, adică o stare de

presiune pură (uniformă) nu duce la deformaţie plastică.

În cazul în care corpul curge diferit pe direcţii diferite, adică

materialul este anizotrop, criteriul von Mises are nevoie de câteva

schimbări pentru a putea fi folosit corect. Aceste modificări au fost

făcute de Hill, care au dus la criteriul care-i poarta numele, dar care

fundamental nu este diferit de criteriul von Mises. Pentru materiale

cu simetrie ortotropică, criteriul Hill se scrie:

1)(H)(G)(F 2

21

2

31

2

32 , (1.8)

unde F, G şi H sunt constante care trebuie determinate prin teste

speciale, făcute de-a lungul direcţiilor principale (de ortotropie). În

aceste condiţii, se obţine o altă expresie pentru Uc. Stări de

anizotropie în deformaţia plastică se întâlnesc frecvent în practică, de

exemplu, ca urmare a operaţiilor de laminare a tablelor.

Suprafeţe de curgere

Criteriile Tresca şi von Mises (ecuaţiile (1.4) şi (1.7)) pot fi

reprezentate grafic în spaţiul tensiunilor principale. Acesta este un

spaţiu tridimensional cu axele rectangulare 321 ,, . În acest spaţiu

ecuaţia (1.7) reprezintă un cilindru drept, a cărui axă este bisectoarea

unghiului diedru format de cele trei axe, adică linia corespunzând

încărcărilor prin presiune: 1 = 2 = 3 (fig. 1.1). Raza cilindrului

depinde de tensiunea de curgere, c.

Un punct în acest spaţiu reprezintă o stare de solicitare a

materialului. Semnificaţia construcţiei geometrice din figura 1.1 este

aceea că cilindrul împarte spaţiul în stări care produc şi stări care nu

produc curgerea. Stările corespunzătoare punctelor din interiorul

cilindrului nu produc curgerea materialului. De aceea, suprafaţa

respectivă se numeşte suprafaţă de curgere. Orice încărcare elastică

este o traiectorie care începe în origine şi se termină undeva pe

suprafaţa de curgere.

Faptul că cilindrul are ca axă linia presiunilor, derivă din aceea

că o stare pură de presiune nu produce niciodată curgerea (axa nu

intersectează suprafaţa de curgere).

41

Criteriul Tesca (ecuaţia (1.4)) se poate reprezenta într-un mod

asemănător. El corespunde unei prisme hexagonale, care are aceeaşi

axă ca şi cilindrul von Mises şi se înscrie perfect în interiorul lui.

Această suprafaţă de curgere este şi ea reprezentată schematic în

figura 1.1.

Figura 1.1 Figura 1.2

Dacă starea de tensiuni este plană (când una dintre tensiunile

principale este nulă), suprafeţele de curgere pot fi trasate în plan (fig.

1.2), devenind curbe de curgere. Această reprezentare rezultă, pur şi

simplu, prin secţionarea cilindrului şi prismei din figura 1.1 cu planul

3 = 0. Semnificaţia lor fizică este aceeaşi: punctele din interiorul

curbelor corespund stărilor plane de tensiune care nu produc

curgerea, în timp ce cele din exterior corespund condiţiilor de

curgere.

Comparaţie între criteriile de curgere Tresca şi von Mises

Aceste două criterii sunt larg folosite pentru a “prezice”

începutul curgerii plastice în metale. Ele sunt oarecum asemănătoare,

diferenţele dintre ele fiind mai mici de 15%. Această diferenţă poate

fi uşor acoperită prin folosirea unui coeficient de siguranţă cu o

valoare mai mare de 15%, în inginerie.

Ambele criterii concordă bine cu datele experimentale. În

general, acestea se situează între cele două curbe din figura 1.2, fiind

relativ mai aproape de elipsa von Mises.

Folosirea criteriilor de curgere

În practica inginerească, un calcul de verificare presupune

determinarea câmpului de tensiuni corespunzător încărcării şi

geometriei date ale structurii (valorile tensiunilor în fiecare punct).

42

Apoi, unul dintre cele două criterii prezentate (sau altul, dacă este

cazul), este folosit pentru a determina dacă încărcarea produce

curgerea în vreun punct al structurii. În cazul în care se foloseşte un

coeficient de siguranţă (supra-unitar), valorile tensiunilor obţinute se

împart la acest coeficient şi rezultatul este folosit pentru verificarea la

criteriile de curgere.

1.2. Ruperea ca stare limită de rezistenţă

În situaţiile în care curgerea plastică este acceptabilă, starea

limită poate deveni ruperea materialului. Acceptarea în inginerie a

stării limită de rupere poate fi legată de structură sau de material.

În ceea ce priveşte structura, sunt situaţii, de exemplu, pentru

construcţii din beton armat, pentru care se admite că armătura din

oţel (care, de regulă, este un oţel ductil) poate căpăta, în anumite

circumstanţe, ca, de exemplu, la cutremure puternice, deformaţii

limitate de curgere plastică. Starea limită este definită de condiţia ca

structura “să rămână în picioare”. Această formulare include

posibilitatea ca betonul să se rupă, dar armătura de oţel nu.

Ruperea poate deveni condiţie de stare limită şi pentru o clasă

largă de materiale şi anume pentru cele care nu se deformează plastic

înainte de a se rupe. Este cazul materialelor fragile, cum ar fi

ceramicele, sticla, betonul etc. Aşa cum s-a menţionat în capitolul 1,

toate materialele care se comportă ductil (prezintă deformare

plastică) la temperatura ambiantă, devin fragile la temperaturi

coborâte. În consecinţă, trebuie avut în vedere că definirea unei stări

limită depinde şi de temperatura (şi viteza de deformare) la care se

face testul, sau la care structura funcţionează. În discuţia de faţă se va

considera că ruperea este o stare limită numai pentru materiale care

au un domeniu de temperaturi de ductilitate numai foarte aproape de

temperatura de topire (de exemplu, ceramicele). Acestea vor fi

numite generic materiale fragile.

În majoritatea cazurilor, materialele fragile conţin fisuri care

provin, fie din procesul de fabricaţie, fie din încărcări preliminare

folosirii efective a materialului. De exemplu, multe dintre

componentele ceramice folosite industrial sunt făcute din pulberi,

prin sinterizare. În acest proces, compactarea materialului este

parţială, rămânând un număr mare de goluri (sau fisuri)

43

microscopice. În alte materiale fragile, cum ar fi gheaţa (care este tot

o ceramică!), care sunt compacte iniţial, fisuri microscopice apar din

cauza tensiunilor termice în zonele concentratorilor de tensiuni

interni (de exemplu, în vecinătatea unor incluziuni cu modul de

elasticitate şi coeficient de dilatare diferiţi de cele ale materialului de

bază).

În astfel de cazuri, problema ruperii este, de fapt, cea a

propagării uneia sau mai multor fisuri microscopice. Acesta este

domeniul de studiu al unei discipline de sine stătătoare, numită

mecanica ruperilor. În cele ce urmează se vor prezenta succint

conceptele de bază ale acestei discipline, atât cât este necesar pentru

a da substanţă discuţiei de faţă.

1.3. Elemente de mecanica ruperilor

Fisurile - concentratori de tensiuni

Să considerăm o placă, de grosime t, dintr-un material cu

comportare elastică, supusă la o tensiune pe una din direcţii.

Câmpul de tensiuni în oricare punct este uniform şi are o valoare

egală cu . În cazul în care placa conţine “neomogenităţi”, câmpul

nu mai este uniform.

a b c

Figura 1.3

Un exemplu clasic este cel din figura 1.3.a. În acest caz, efectul

găurii circulare este concentrarea tensiunilor. După cum se ştie,

tensiunea yy în punctele A şi A’ este de întindere şi are valoarea 3,

44

unde este tensiunea aplicată pe direcţia y, la infinit (pe frontiera

plăcii). Tensiunea xx în punctele B şi B’ este de compresiune şi în

valoare absolută, este egală cu yy în A şi A’. Tensiunea yy în B şi

B’ este nulă, deoarece aceste puncte se află pe suprafaţa liberă

(nesolicitată la tracţiune) a găurii.

Se consideră cazul din figura 1.3.b, în care gaura este eliptică, cu

axa mare a elipsei orientată pe direcţia x, perpendiculară pe cea a

tensiunii . Se presupune că elipsa devine tot mai alungită (sau mai

turtită), adică raza de curbură în punctele A şi A’ scade, iar cea din

punctele B şi B’ creşte. Efectul este că tensiunile în punctele

respective urmează o tendinţă contrară: tensiunea yy în A şi A’

creşte invers proporţional cu , unde este raza de curbură a

elipsei în punctul A, iar tensiunea xx în B şi B’ scade în acelaşi mod.

Extrapolând această observaţie, se presupune că la limită, când

raza de curbură în A şi A’ devine nulă şi elipsa devine “o fisură”,

tensiunea yy în aceste puncte tinde la infinit. De asemenea, tensiunea

xx în punctele B şi B’ din figura 1.3.c ar trebui să devină zero.

Această observaţie este foarte importantă. Rezultă că indiferent

cât de mică este tensiunea normală aplicată pe frontiera plăcii,

tensiunea yy la vârful fisurii din figura 1.1.c este foarte mare.

Aceasta conduce la propagarea fisurii în direcţia x.

Mai exact, starea de tensiuni în fiecare dintre cele două vârfuri A

şi A’ este descrisă de ecuaţiile

,2

3cos2

cos2

sinr2

K

;2

3sin2

sin12

cosr2

K

;2

3sin2

sin12

cosr2

K

xy

yy

xx

(1.9)

care sunt scrise în coordonate polare (r,q), cu originea în punctul A’,

aşa cum se vede în figura 1.3.c. Distanţa r este măsurată de la vârful

fisurii. Ecuaţiile (1.9) arată că tensiunile sunt singulare, cu o

singularitate cu puterea de –0.5 la vârful fisurii ( 50.r ). De

asemenea, se observă că tensiunea normală yy este maximă în faţa

45

fisurii şi zero pe cele două feţe ale ei ( = 180o). Tensiunea normală

xx trece prin zero în faţa fisurii, iar tensiunea tangenţială xy este

nulă atât la = 0, cât şi la = 180o, însă este nenulă pentru alte valori

ale unghiului . Ea este maximă pentru = 70.2o, direcţie în care,

conform criteriului tensiunii tangenţiale maxime Tresca, ar trebui să

se observe prima dată curgerea plastică. Aceasta este în concordanţă

cu observaţiile experimentale.

Coeficientul K din relaţiile (1.9) se numeşte factor de intensitate

a tensiunii (stress intensity factor, SIF) şi depinde de încărcarea

exterioară şi de forma geometrică a corpului în care se află fisura.

Este important să se observe că legea de distribuţie a tensiunilor în

jurul vârfului fisurii este independentă de geometria corpului care o

conţine. Efectul geometriei corpului este “captat” în exclusivitate de

către K. Aceasta permite tratarea tuturor fisurilor în mod similar,

indiferent în ce corp se află plasate şi care este configuraţia încărcării

pe frontiera corpului.

De asemenea, trebuie precizat că ecuaţiile (1.9) reprezintă numai

componenta asimptotică a câmpului de tensiuni, pentru r 0. În

realitate, câmpul conţine termeni suplimentari în (1.9). Termenii de

ordin superior însă sunt proporţionali cu r la puteri pozitive şi deci

tind la zero când r 0. În consecinţă, ei joacă un rol minor în

propagarea fisurilor.

În figura 1.4 se vede variaţia tensiunilor pe direcţia = 0o, în faţa

fisurii. La vârful fisurii, curbele urmează forma asimptotică (1.9). La

distanţă mai mare, se regăseşte câmpul aplicat pe frontieră. La vârful

fisurii ambele tensiuni, xx şi yy tind la infinit. De asemenea,

presiunea, calculată ca medie a tensiunilor principale, tinde la infinit.

Aceste două observaţii au o însemnată importanţă fizică.

Un corp real nu poate avea tensiuni infinite. De asemenea,

corpurile reale nu sunt medii continue, ci sunt formate din atomi sau

molecule. În consecinţă, noţiunea că r 0, care este validă în corpul

continuu (teoretic, infinit “divizabil”), nu se aplică în cazul corpurilor

reale, care sunt discontinue.

În realitate, tensiunile cresc foarte mult în vecinătatea vârfului

fisurilor, însă nu tind la infinit. Această concentrare duce la formarea

unei zone de plasticitate, reprezentată schematic în figura 1.5.a. Dacă

46

materialul nu curge plastic (este fragil), în zona de la vârful unei

fisuri macroscopice vor apare

Figura 1.4 Figura 1.5

un număr mare de micro-fisuri (“un nor de fisuri”), care formează o

zonă cu modul de elasticitate mai scăzut decât cel al materialului

nedeformat. Atât zona plastică cât şi “norul” de micro-fisuri duc la

limitarea tensiunilor de la vârful fisurii de referinţă. Luarea în

considerare a acestor efecte este, însă, dificilă şi depăşeşte cadrul

acestei lucrări. În continuare, prezentarea se va limita la analiza

fisurilor în medii linear elastice, care nu conţin şi alte defecte.

Evaluarea factorului K

Aşa cum s-a menţionat mai sus, factorul K de intensitate a

tensiunii, conţine întreaga informaţie cu privire la încărcarea

exterioară şi la geometria corpului în care este fisura (ca şi la

existenţa altor fisuri sau defecte, în vecinătatea fisurii reprezentative).

Deci factorul K trebuie determinat prin rezolvarea problemei

elasticităţii întregului corp.

Astfel de soluţii există pentru, practic, toate configuraţiile

frecvent întâlnite. De exemplu, pentru cazul fisurii într-o placă plană

infinită ( b în fig. 1.3.c) încărcată cu o tensiune normală pe

frontieră, ,

aK , (1.10)

unde a este jumătate din lungimea fisurii. Dacă placa este finită, K

este mai mare decât această valoare. Atâta timp cât a/b < 0.4, formula

(1.10) pentru placa infinită, este direct utilizabilă. Pentru alte valori

ale raportului a/b, ecuaţia (1.10) se modifică cu un factor S care are

forma:

47

b/a1

)b/a(36.0b/a5.01S;aSK

2

. (1.11)

Alte câteva configuraţii sunt reprezentate în figura 1.6. O fisură

pornind de la o suprafaţă liberă şi încărcată cu o tensiune normală σ

la infinit, orientată perpendicular pe planul ei, se prezintă în

figura1.6.a. Pentru această configuraţie,

2/3

4

)b/a1(

b/a265.0857.0)b/a1(265.0S;aSK

. (1.12)

Când fisura este scurtă, faţă de lăţimea epruvetei (b), ecuaţia

(1.12) duce la a12.1K . Acest exemplu este important din

punct de vedere tehnologic: el reprezintă cazul fisurii introduse prin

contactul unui corp rigid cu o suprafaţă (uzura), sau fisuri care

pornesc din găuri de nit.

Un alt exemplu important este cel din figura 1.6.b, care

reprezintă epruveta standard ASTM (American Standard for Testing

of Materials). Acesta este unul dintre testele pentru măsurarea valorii

critice a lui K, la care începe propagarea fisurii (v. ce urmează).

Pentru această configuraţie, valoarea lui K se poate aproxima prin

relaţiile:

43

2

2/3 )b/a(6.5)b/a(72.14

)b/a(32.13b/a64.4886.0

)b/a1(

b/a2S

;bt

PSK

, (1.13)

care sunt valabile pentru a/b > 0.2.

a b c

Figura 1.6

48

Cazul din figura 1.6.c este cel al unei fisuri circulare, aflată în

mijlocul unui corp infinit (a « b). Fisura este încărcată cu o tensiune

acţionând perpendicular pe planul său. K este constant de-a lungul

întregului front al fisurii şi are valoarea

a2

K

, (1.14)

K fiind ceva mai mic decât în cazul similar bi-dimensional (ecuaţia

1.10).

Un număr mare de astfel de soluţii au fost strânse de către Tada

într-o foarte utilă culegere [7].

Folosirea principiului superpoziţiei

De multe ori evaluarea lui K se poate face pe baza unor soluţii de

referinţă, folosind principiul superpoziţiei. Acest lucru este posibil

deoarece analiza se efectuează în domeniul linear elastic, domeniu în

care prin superpoziţia unor soluţii simple se pot determina soluţii la

probleme complicate. Un astfel de exemplu se prezintă în cele ce

urmează.

Se consideră o fisură de lungime 2a într-o placă plană (fig.

1.7.a). Fisura este încărcată cu două forţe de mărime P (pe unitatea

de grosime a plăcii), care acţionează pe cele două feţe, la distanţa x =

b de centrul fisurii (care este şi originea sistemului de coordonate). În

acest caz, datorită lipsei de simetrie a încărcării, K este diferit la cele

doua vârfuri ale fisurii. Se notează cu “+” vârful situat la x = +a

şi cu “-“ vârful situat la x = -a. Soluţia este

ba

ba

a

PK

. (1.15)

Cu ajutorul acestei soluţii se poate determina soluţia pentru orice

distribuţie de tracţiuni pe cele două suprafeţe ale fisurii (fig. 1.7.b),

prin superpoziţie:

da

a)(p

a

1K

a

a

. (1.16)

În particular, pentru o distribuţie uniformă de tracţiuni

normale pe feţele fisurii, p(x) = , se regăseşte soluţia (1.10), aşa

cum era de aşteptat. Pentru a vedea echivalenţa între cazul din figura

49

1.3.c şi cel din figura 1.7.b, cu p(x) = , se face referire la figura 1.8.

În această figură se demonstrează descompunerea problemei din

figura 1.3.c în aceea a unei plăci plane încărcate cu şi fără nici

o fisură, pe de o parte şi cea din figura 1.7.b, pe de alta. Evident că

placa fără fisură are K = 0, dat fiind că în acest caz nu există

concentrator de tensiune. Aceasta stabileşte echivalenţa între cele

două probleme.

a b

Figura 1.7

Figura 1.8

Condiţia de propagare a fisurilor

Propagarea fisurilor are loc prin ruperea legăturilor atomice în

zona din faţa vârfului fisurii. După cum s-a văzut, această zonă este

supusă la tensiuni foarte mari, datorită efectului de concentrare a

tensiunilor în această regiune. În mod natural, condiţia de stare critică

trebuie să fie legată de mărimea efectului de concentrare, deci de K.

50

Se postulează că fisurile încep să se propage în momentul în care

parametrul K devine mai mare sau egal cu o valoare critică notată cu

Kc. Această valoare critică este considerată o constantă de material şi

este determinată prin experimente standardizate (de exemplu,

folosind epruveta standard din fig. 1.6.b). Condiţia se scrie:

)material(K)geometrie,(K c . (1.17)

Valorile constantei Kc sunt tabelate pentru toate materialele

inginereşti.

Încărcări complexe

În prezentarea de mai sus s-a considerat un singur tip de

încărcare: cu o tensiune normală, orientată perpendicular pe planul

fisurii. Desigur, în realitate sunt posibile multe alte tipuri de

încărcare. Acestea au fost împărţite în trei categorii, denumite modul

I, II şi III de încărcare.

Tipurile de încărcare în cele 3 moduri sunt reprezentate în figura

1.9. Primul este încărcarea, considerată în prealabil, cu o tensiune

normală perpendiculară pe planul fisurii, iar al doilea şi al treilea

mod sunt forfecări cu tensiune tangenţială, acţionând în planul fisurii,

în cele doua direcţii – în lungul şi perpendicular pe direcţia ei.

Figura 1.9

În fiecare dintre aceste cazuri, câmpul de tensiuni este concentrat

la vârful fisurii şi se poate defini un factor K pentru fiecare mod,

respectiv KI, KII şi KIII. Soluţiile pentru câmpul de tensiuni (de tipul

ecuaţiei (1.9)) pentru aceste încărcări, sunt date în literatura de

specialitate [6].

Condiţiile de propagare a fisurii pentru modurile II şi III sunt

similare cu cele din ecuaţia (1.17):

.KK;KK;KK IIIcIIIIIcIIIcI (1.18)

51

Aceasta presupune însă să se poată determina constantele de

material KIIc şi KIIIc. De asemenea, trebuie să se determine care dintre

cele 3 condiţii (1.18) este îndeplinită mai întâi şi deci care mod

determină iniţierea propagării fisurii.

În practică, în cazul solicitărilor compuse, se foloseşte un alt

concept, care unifică cele trei moduri de încărcare. Acesta este

conceptul de rată de eliberare a energiei (energy release rate), G

(atenţie! a nu se confunda cu modulul de elasticitate transversal). Pentru a

înţelege sensul fizic al acestei mărimi, se consideră următorul

experiment: se încarcă placa din figura 1.3.c cu o maşină care

controlează deplasările, mai degrabă decât forţa. Pentru aceasta, se

poate fixa partea de jos a plăcii şi se aplică o deplasare cunoscută

parţii de sus (uniformă pe lăţimea plăcii). Va rezulta o tensiune . În

continuare, maşina va păstra aceeaşi poziţie relativă a celor două

capete ale plăcii, deci nu mai efectuează lucru mecanic. Se presupune

că fisura este staţionară în timpul încărcării. Lucrul mecanic făcut de

maşină în această perioadă este stocat sub formă de energie de

deformare în material. Se presupune, mai departe, că în momentul în

care încărcarea s-a terminat şi începe faza staţionară, fisura începe să

se propage. Ea consumă energie, din cea stocată în material. Rata de

propagare a fisurii este controlată de rata cu care îi poate fi dată

energie. Practic, energia stocată în câmpul de tensiuni şi deformaţii,

“curge” spre vârful fisurii. În acest experiment, nu există flux de

energie din exterior. Propagarea fisurii se va opri în momentul în care

fluxul de energie de deformaţie către vârful ei, devine insuficient.

Acest exemplu ilustrează ce se înţelege prin rata de eliberare a

energiei. Aceasta este rata la care corpul “oferă” energie vârfului

fisurii, punându-l, pe acesta, în mişcare. Condiţia de propagare a

fisurii este, deci, ca această rată să fie mai mare decât o constantă de

material: fluxul critic de care are nevoie fisura pentru a se propaga.

Condiţia se scrie similar cu (1.17):

)material(G)geometrie,(G cσ . (1.19)

În mecanica ruperilor s-a stabilit o relaţie între K şi G, relaţie

care oferă o analogie între cele două mărimi fundamentale (una

mecanică, iar cealaltă energetică). Această relaţie este

52

2

III

2

II

2

I

2

KE

1KK

E

1G

, (1.20)

unde E şi sunt modulul de elasticitate al lui Young, respectiv

coeficientul lui Poisson.

Astfel, în cazul unei solicitări compuse, se calculează cei trei

factori de intensitate pentru modurile de încărcare I, II şi III, după

care se determină valoarea lui G, cu relaţia (1.20). În continuare,

această valoare se compară cu valoarea critică Gc, stabilită pentru

materialul respectiv (ecuaţia (1.19)). Ca şi KIc, valorile critice Gc sunt

tabelate, pentru toate materialele inginereşti.

Abordarea deterministă a problemei stării limită

Cele mai multe materiale conţin un număr mare de fisuri

microscopice, chiar în starea iniţială, înainte de a fi solicitate

mecanic. Dimensiunile acestora variază de la valori foarte mici (zeci

de nanometri), până la dimensiunile grăunţilor cristalini.

Cele mai periculoase dintre acestea sunt, desigur, fisurile cele

mai mari. Conform ecuaţiilor de tip (1.10), ele au cel mai mare factor

de concentrare a tensiunii K, pentru o solicitare dată, deci şi

probabilitatea cea mai mare să se propage “catastrofal”.

Cum starea limită, aici, este considerată a fi ruperea materialului

şi deci, cedarea structurii (în cazul cel mai general, cele două noţiuni sunt

diferite, deoarece ruperea unui element al unei structuri nu înseamnă întotdeauna şi

cedarea întregii structuri), ea trebuie legată de propagarea instabilă a

celei mai lungi fisuri, care poate exista în materialul respectiv.

Pentru a exemplifica acest mod de abordare a problemei, se

consideră o placă plană de tipul celei din figura 1.3.c, care este

încărcată cu o stare plană de tensiune, definită de tensiunile normale

xx, yy şi de tensiunea tangenţială xy. Placa poate conţine fisuri

microscopice, a căror dimensiune maximă se notează 2amax

(considerată cunoscută) şi care se consideră că sunt orientate aleator.

De asemenea, se cunoaşte şi valoarea critică a ratei de eliberare a

energiei, Gc, la care o fisură se poate propaga în materialul dat. Cu

aceste date, se poate uşor stabili la ce solicitare se va rupe corpul

fragil considerat.

53

Ca exemplu, se consideră configuraţia din figura 1.10, în care o

fisură de dimensiuni 2amax se află la un unghi faţă de axa x.

Se poate determina modul de

încărcare al acestei fisuri generice

rotind tensorul tensiunilor, iar apoi

calculând, cu ajutorul relaţiilor (1.10)

şi (1.20) rata de eliberare a energiei.

Aceasta va fi funcţie de unghiul şi

de tensiunile aplicate. Cum se caută

geometria cea mai nefavorabilă, va

trebui să se modifice unghiul până

se obţine maximul lui G, ceea ce se

rezultă pentru orientarea în care fisura

este perpendiculară pe direcţia tensiunii principale maxime şi

pozitive. Deci

yyxx

xy

c

2arctg2

1. Pentru această orientare, G

= max

2

1

2

aE

1

, unde 1 este tensiunea principală maximă,

corespunzătoare stării de tensiune aplicată.

Starea critică există când G = Gc şi deci, când

max

2

c1

a)1(

EG

. (1.21)

Aceasta este tensiunea maximă care poate fi aplicată corpului

conţinând fisuri de dimensiune maximă amax înainte de rupere. 1

este tensiunea principală maximă pozitivă. Dacă toate tensiunile

principale sunt negative, conform acestui model, nici o fisură nu se

va propaga. În realitate, fisurile se pot propaga şi când sunt solicitate

la compresiune, dar această discuţie depăşeşte cadrul acestei lucrări.

Mai trebuie menţionat, în încheiere, că în această prezentare s-a

neglijat efectul perturbator al interacţiunii fisurilor vecine. S-a

considerat că fiecare fisură este încărcată cu tensiunile de pe frontiera

plăcii, ceea ce este adevărat numai în cazul în care distanţa între

fisuri este suficient de mare, adică peste 4 - 6 amax.

Figura 1.10

54

Abordarea probabilistă a problemei stării limită

Problema stării limită, asociată cu ruperea materialelor, poate fi

tratată şi probabilistic. Prin aceasta se acceptă că, de fapt, starea

internă de tensiune nu este exact aceeaşi cu cea extern aplicată,

fluctuaţiile fiind induse de interacţiunea dintre defecte. În plus, în

realitate, există o întreagă distribuţie de dimensiuni de fisuri,

distribuţie care nu se cunoaşte. Toate aceste variabile duc la o

distribuţie a valorilor rezistenţelor la rupere, pentru materialul dat.

Aplicarea noţiunilor de statistică matematică rezistenţei la rupere

a cablurilor l-a preocupat chiar şi pe Leonardo da Vinci, care a

conceput o serie de experimente sistematice, pentru studiul acestui

efect, precum şi pentru analiza dependenţei acestei statistici de

volumul de material testat (de lungimea cablului). El a concluzionat,

în mod corect, că rezistenţa scade pe măsură ce lungimea cablului

creşte, dar nu a putut stabili o formă funcţională pentru această

dependenţă.

Mai târziu, s-a stabilit că statistica rezistenţei la rupere este

diferită pentru materialele ductile şi pentru cele fragile. Aceasta nu

este surprinzător, deoarece mecanismele care domină ruperea în cele

două tipuri de materiale sunt diferite. Materialele ductile au

distribuţii normale (Gaussiene) ale proprietăţilor lor de rupere (de

exemplu, tensiunea de rupere). Materialele fragile urmează o altă

distribuţie, numită distribuţia Weibull. Cum accentul acestei expuneri

este pus pe comportarea materialelor fragile, se va prezenta, în

continuare, numai distribuţia Weibull.

Se consideră că o bară de lungime L, supusă la o tensiune are

o probabilitate de supravieţuire P(L). Se acceptă că o schimbare a

lungimii barei în L1, în condiţiile în care tensiunea rămâne

neschimbată, duce la o altă probabilitate, P(L1). Se consideră că

lungimea L este de x ori mai mare decât L1. Atunci,

.)L(P)L(P x

1 (1.22)

Rearanjând această formulă şi generalizând la trei dimensiuni

(înlocuind L cu un volum V) rezultă

.e)V(P)V(Plnx 1 (1.23)

Contribuţia lui Weibull a fost aceea că a definit exponentul din

ecuaţia (1.23) ca fiind riscul de rupere

55

,)V(PlnxR 1 (1.24)

şi apoi a propus, pe baze experimentale, că acest risc de rupere

depinde de tensiune, astfel:

.R

m

0

1

(1.25)

Aceasta duce la probabilitatea de rupere, funcţie de mărimea

tensiunii aplicate, sub forma

m

0

1exp)V(P . (1.26)

În această expresie, 1 este o tensiune minimă, sub care

probabilitatea de rupere este zero, iar 0 are semnificaţia unei

tensiuni medii la rupere. Atât 0 cât şi m sunt parametri care se

determină experimental, pe baza unui număr mare de teste, pe

materiale similare, încărcate identic. Exponentul m controlează

variabilitatea rezistenţei materialului, rolul lui fiind identic cu cel al

varianţei în distribuţia normală. Când m 0, distribuţia este “largă”

şi ruperea poate apare cu aceeaşi probabilitate la orice nivel de

tensiune. La cealaltă extremă, când m , ruperea este imposibilă

pentru tensiuni sub 0.

Revenind la problema stării limită, dacă problema este abordată

probabilistic, pe baza distribuţiei (1.26), trebuie să se stabilească

iniţial ce probabilitate de rupere este tolerabilă în situaţia dată de

condiţiile de proiectare sau analiză. Odată aceasta cunoscută şi pe

baza testelor de material, care conduc la parametrii 0, 1 şi m, se

poate uşor stabili nivelul tolerabil de tensiune.

Efecte de scară

Aşa cum s-a menţionat deja, epruvete din acelaşi material,

supuse la aceeaşi stare de tensiune, au rezistenţe la rupere care

depind de dimensiunile lor. Acesta se numeşte efect de scară. Pentru

o înţelegere cuprinzătoare a acestui subiect se recomandă lucrarea

[3], scopul expunerii care urmează fiind limitat la a aduce la

cunoştinţă cititorului această problemă, fără a se intra în detalii.

56

Se confecţionează o serie de epruvete de dimensiuni diferite, D0,

D1 şi D, care se rup la sarcinile critice F0, F1 şi F. Apoi se consideră

că există o funcţie de scalare, care stabileşte o legătură între

comportare şi dimensiunea epruvetei, de tipul F = f(D). Este

preferabil să se lucreze cu mărimi adimensionale, adică F/F0 =

f(D/D0). Atunci, raportul între sarcinile la rupere, pentru epruvetele

de dimensiuni D şi D1 se poate scrie

)D/D(f

)D/D(f

F

F

01

0

1

. (1.27)

Dacă materialul nu are nici o scară internă (cum este cazul în

mecanica solidelor, teoria clasică), atunci nu este neapărat necesar ca

referinţa să fie D0, ci aceasta poate fi aleasă şi D1. De aceea, raportul

F/F1 devine f(D/D1). Ecuaţia (1.27) se poate rescrie [2]

,)D/D(f

)D/D(f)D/D(f

01

01 (1.28)

ceea ce devine o ecuaţie pentru legea de scalare necunoscută f.

Aşa cum a arătat Bazant, această ecuaţie se poate rezolva luând

derivata funcţie de D şi apoi reducând D1 la D. Rezultatul se poate

pune sub forma

)(fm

d

)(df, (1.29)

unde 1ddfm este o constantă necunoscută. Ecuaţia (1.29) se

poate integra, iar prin aceasta se obţine funcţia de scalare f, care

rezultă a fi o funcţie putere, adică

m)(f . (1.30)

Aceasta demonstrează rolul central pe care îl are funcţia putere în

stabilirea scalării parametrilor de material, cu dimensiunea structurii.

Se demonstrează că în elasticitatea şi plasticitatea clasică (fără o

scară internă) exponentul m este nul. În aceste teorii, care stau la

baza mecanicii corpului solid, nu există nici o dependenţă a

tensiunilor critice (curgere, rupere) de dimensiunea epruvetei.

În mecanica ruperilor se demonstrează că exponentul m este –

1/2. Această reducere a rezistenţei structurilor de dimensiuni mari,

faţă de cele mici, poate fi înţeleasă calitativ având în vedere că pe

măsură ce dimensiunea epruvetei (piesei) creşte, probabilitatea ca ea

57

să conţină o fisură mare, este şi ea mai ridicată. Cu alte cuvinte, este

uşor de imaginat că atunci când, stabilind dimensiunile externe ale

unui corp se estimează şi dimensiunile fisurilor pe care el le conţine,

prin aceasta se reduce tensiunea critică, la care cea mai lungă fisură

va începe să se propage instabil.

Teoria stărilor limită de tip Weibull, descrisă mai sus, conduce şi

ea la o scalare cu dimensiunea epruvetei, care urmează o lege putere.

Exponentul m este însă diferit de cel prezis de mecanica ruperilor.

Figura 1.11

O curbă de scalare de acest tip este reprezentată calitativ în

figura 1.11. Epruvetele cu dimensiuni mici au o rezistenţă care este

controlată de teoriile de corp continuu (de criteriile bazate pe limita

de curgere), care nu duc la efecte de scară. Rezistenţa lor este

independentă de dimensiunea caracteristică D, a epruvetei. Cele cu

dimensiuni mari, au o probabilitate mai mare să conţină fisuri mari şi

de aceea comportarea lor este dată de scalarea din mecanica

ruperilor, în care exponentul m din ecuaţia (1.30) este –1/2.

Tranziţia între cele două tipuri de scalare nu este abruptă, ci

relativ gradată şi deci greu de definit ca atare. Ea are loc la

dimensiuni care depind de natura materialului.

58

1.4. Localizarea sau bifurcaţia deformaţiei plastice, ca stare

limită de rezistenţă

În cazurile în care structura considerată este formată numai din

materiale ductile şi deformaţia plastică este permisă, starea critică

este asociată fie cu ruperea ductilă, fie cu pierderea stabilităţii

deformaţiei. Criteriul de apariţie a stării critice, bazat pe ruperea

ductilă, este similar celui discutat mai sus, pentru materiale fragile. În

continuare, se prezentă câteva noţiuni legate de starea critică,

asociată cu pierderea stabilităţii deformaţiei.

Prin pierderea stabilităţii deformaţiei se înţelege situaţia în care

deformaţia îşi pierde caracterul continuu şi omogen. În mod normal,

în timpul unei deformaţii stabile, incremente mici de deplasări /

deformaţii specifice corespund la incremente mici de forţe / tensiuni.

Există însă posibilitatea, ca în condiţii speciale, deformaţia să treacă

printr-o discontinuitate.

Fenomenologic vorbind, există mai multe tipuri de pierdere a

stabilităţii deformaţiei. Dacă materialul structurii se comportă linear

elastic, poate apărea o instabilitate la nivelul întregii structuri prin

care un mod de deformaţie continuu şi stabil, este înlocuit de un alt

mod de deformaţie stabil. În limbaj matematic, aceasta se numeşte o

bifurcaţie, în timp ce în mecanica solidelor şi a structurilor, se

numeşte flambaj. Fenomenul asociat şi metodele de calcul ale

încărcărilor critice, care produc flambajul diferitelor structuri, vor fi

discutate în capitolul dedicat acestui subiect. Aceste încărcări critice

definesc condiţiile de stare limită.

Dacă materialul intră în zona plastică este posibil un alt tip de

bifurcaţie şi anume “gâtuirea.” Pentru exemplificare, se face referire

la un test de întindere a unei bare drepte cilindrice. La începutul

deformaţiei plastice, bara se întinde uniform, deformaţiile specifice

fiind identice în fiecare punct al ei. Aceasta se datorează faptului că,

în acest tip de test, tensiunile sunt uniforme, în tot volumul epruvetei.

Când curba tensiune - deformaţie specifică (mărimile inginereşti)

ajunge la maxim, deformaţia se localizează într-o gâtuire, care devine

din ce în ce mai pronunţată, pe măsură ce testul continuă (figura

1.12.a). În momentul în care are loc gâtuirea, materialul din afara

zonei respective încetează să se mai deformeze plastic. De aici,

59

denumirea de “localizare” a deformaţiei. Prin aceasta, un mod de

deformaţie continuu, este înlocuit de un alt mod de deformaţie

continuu, dar de altă natură.

Tipul de localizare descris

mai sus, gâtuirea, este o

localizare difuză, în sensul că

volumul în care apare, este

destul de mare şi în zona

localizării nu există gradienţi

de deformaţie pronunţaţi. Un

alt tip de localizare este cel

care are loc în benzi. Aceasta

apare, mai ales, în plăci supuse

la întindere sau compresiune.

Deformaţia se localizează în

regiuni înguste, adică benzi, cu

lăţimea aproximativ egală cu grosimea plăcii, care traversează placa

la un unghi de aproximativ 40o faţă de direcţia tensiunii principale

maxime. În interiorul unei astfel de benzi de localizare, gradienţii de

deformaţie sunt foarte mari. Cum în regimul de postlocalizare,

practic toată deformaţia este determinată de deformaţiile specifice

din această zonă îngustă, temperatura locală creşte, ceea ce duce fie

la topire, fie la propagarea instabilă a unei fisuri, de-a lungul benzii

de localizare.

Începutul localizării poate fi considerat o stare critică, pentru că

în toate cazurile (exceptând operaţiile de deformare la cald) este

nedorită. Apariţia sa face structura sau piesa inutilizabile. De aceea,

este esenţial să se cunoască condiţiile în care localizarea este iniţiată.

Din punct de vedere matematic, atât localizarea deformaţiei cât şi

bifurcaţia sunt asociate cu pierderea caracterului eliptic al ecuaţiilor

care descriu deformaţia. Acestea sunt ecuaţiile de echilibru, de

compatibilitate şi ecuaţiile constitutive. Atâta timp cât ecuaţiile

rămân eliptice, deformaţia nu-şi poate pierde caracterul stabil. În

consecinţă, determinarea încărcării critice se face prin căutarea

condiţiilor în care ecuaţiile fundamentale, împreună cu condiţiile pe

frontieră (care aduc în discuţie geometria piesei) devin hiperbolice.

Această analiză a fost făcută pentru o gamă largă de tipuri de

Figura 1.12

60

materiale (elastice, elasto-plastice, cu sau fără dependenţă de viteza

de deformare, materiale cu frecare internă de tip Mohr-Coulomb etc.)

şi pentru câteva geometrii de bază, cum ar fi epruvetele cilindrice şi

plăcile plane. Cititorul este trimis la literatura de specialitate, pentru

detalii [1, 4, 5, 6, 7, 10].

Se poate da o interpretare inginerească a problemei. Această

soluţie este un caz particular al celei mai generale, menţionate mai

sus. Ea constă în a defini starea critică asociată cu localizarea prin

condiţiile în care matricea de rigiditate instantanee a structurii sau

materialului, capătă o valoare proprie nulă. Pentru a face lucrurile

mai concrete, se face o referire, din nou, la testul de întindere

uniaxială. În aceste condiţii, matricea de rigiditate se reduce la un

singur termen: rigiditatea instantanee. Această mărime are o

interpretare grafică simplă: este panta curbei tensiune - deformaţie

specifică. Reformulând în aceşti termeni, deformaţia îşi pierde

stabilitatea (începutul gâtuirii difuze) în momentul în care creşterea

tensiunii, datorată reducerii ariei secţiunii transversale, depăşeşte

creşterea capacităţii portante a epruvetei.

Formal, acesta se scrie dP = 0, sau, dP = dA + A d = 0.

Considerând că în timpul deformaţiei plastice volumul rămâne

constant, deci dL/L = - dA/A = d, condiţia de instabilitate se scrie

.dd (1.31)

Este interesant de observat că dacă aproximăm curba tensiune -

deformaţie specifică reală printr-o funcţie putere, de forma = k n,

unde k este o constantă şi n este exponentul de ecruisare, ecuaţia

(1.31) duce la concluzia că deformaţia se localizează, în momentul în

care deformaţia specifică reală devine egală numeric cu exponentul

n: c = n. Aceasta defineşte condiţiile limită asociate cu localizarea

deformaţiei, pentru testul de întindere uniaxială.

Bibliografie

1. Bardet, J.P., Analytical solutions for the plane-strain

bifurcation of compressible solids, J. Appl. Mech. 58, 651-657, 1991.

2. Bazant, Z.P., Scaling laws in mechanics of failure, J. Eng.

Mech. ASCE, 119, 1828-1844.

61

3. Bazant, Z.P., Scaling of structural strength, Taylor and

Francis, New York, 2002.

4. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Gheorghiu, H.,

Rezistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN,

Bucureşti, 2006.

5. Hadăr, A., Structuri din compozite stratificate, Editura

Academiei şi Editura AGIR, Bucureşti, 2002.

6. Hill, R., Hutchinson, J.W., Bifurcation phenomena in the

plane tension test, J. Mech. Phys. Sol. 23, 239-264, 1975.

7. Hutchinson, J.W., Miles, J.P., Bifurcation analysis of the onset

of necking in an elastic-plastic cylinder under uniaxial tension, J.

Mech. Phys. Sol., 22, 61-71, 1974.

8. Kanninen, M.F., Popelar, C.H., Advanced fracture mechanics,

Oxford Univ. Press, Oxford, 1985.

9. Tada, H., Paris, P.C., Irwin, G.R., The stress analysis of cracks

handbook, Paris Productions Inc., 226 Woodbourne Dr., St. Louis,

MO 63105, 1985.

10. Vardoulakis, I., Bifurcation analysis of the plane rectilinear

deformation on dry sand samples, Int. J. Sol. Struct. 17, 1085-1101,

1981.