INTEGRALA CURBILINIE DE SPEA A DOUA Fie o curb neted de suport AB i fie ( )x x s= % , ( )y y s= % , , ( )z z s= %

[0, ]s L , reprezentarea sa normal. Vom nota cu ( )M =r r versorul tangentei la curba ntr-un punct curent

[ ]( ), ( ), ( )M x s y s z s % % % AB , orientat n sensul creterii parametrului s. Se tie c

, ,d x d y d zds ds ds

= % % %r

). Considerm de asemenea

o funcie vectorial ( , ,F P Q R=r definit pe o mulime 3 ce conine suportul AB al curbei , cu valori n . n notaia vectorial, n care identificm orice punct din

cu vectorul su de poziie, avem:

3

3d x d y d z

i j kds ds ds

= + + = cos cos cosi jrr r% % %r k + + rr r , unde , i sunt unghiurile pe care le face r cu Ox, Oy i Oz.

( ) ( ) ( ) ( ), , , , , , , ,F x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + + rr r r , ( ), ,x y z . Definiia 4.5.1. Se numete integrala curbilinie de spea a doua a funciei

pe curba ( , ,F P Q R=r ) + , urmtoarea integral definit:

[ ] [ ] [ ]( )0

0

d

( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) d

L

L

F s

P x s y s z s x s Q x s y s z s y s R x s y s z s z s s

= = + +

r r

% % % % % % % %% % % %Pentru integrala curbilinie de spea a doua se folosete notaia

( ) ( ) ( ), , d , , d , , dP x y z x Q x y z y R x y z z

+ + . Aadar avem: ( ) ( ) ( )

[ ] [ ] [ ]( )def

0

0

, , d , , d , , d d

( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) d

L

L

P x y z x Q x y z y R x y z z F s

P x s y s z s x s Q x s y s z s y s R x s y s z s z s s

=+ + =

= + +

r r

% % % % % % % %% % % % (1)

Urmtoarea teorem permite calculul integralei curbilinii de spea a doua cnd reprezentarea parametric a curbei este oarecare.

Page 1

Onl

y fo

r stu

dent

s

Teorema 4.5.1. Fie o curb neted i fie ( )x x t= , ( )y y t= , , o reprezentare parametric a sa. Notm cu

( )z z t=[ ,t a b ] + curba orientat n

sensul creterii parametrului t. Dac 3 este o mulime ce conine suportul AB al curbei i este o funcie vectorial continu, atunci exist integrala curbilinie de spea a doua pe curba

( ) 3, , :F P Q R A= + i

( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ]( )

, , d , , d , , d

( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) db

a

P x y z x Q x y z y R x y z z

P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t t

++ + =

= + +

(2)

Demonstraie. Deoarece este neted, rezult c ,x y% % i sunt de clas pe [0, L], deci

este o funcie vectorial continu. Cum i

z% 1C 3: AB r Fr este continu, deducem

c 0

dL

F s r r exist, deci integrala din membrul stng are sens. Este evident c i integrala din membrul drept exist, deoarece x, y i z sunt de clas pe [a, b] i P, Q, R sunt continue pe

1CAB .

Conform definiiei 4.5.1 ( ) ( ) ( ), , d , , d , , dP x y z x Q x y z y R x y z z +

+ + este egal cu integrala din membrul drept al egalitii (1). Vom face n aceast integral schimbarea de l ( )variabi s t= , [ ],t a

[ ]( )b i obinem

( ) ( )( )1x t x x =% t t = i analog [ ]( ) ( )y t y t =% , [ ]( ) ( )z t z t =% . De asemenea, innd seama de regulile de derivare a funciilor compuse i inverse, avem

( )1( )d ( ) ddx s s x s sds

= = %1 1

1( ) ( )

d( )

dx s d ss

dsd s

=

1

( ) ( )d ( )d( )

x t t t xt

= = t t . n mod asemntor avem ( )d ( )dy s s y t t =% , ( )d ( )dz s s z t t =% . n urma

acestei schimbri de variabil rezult:

[ ] [ ] [ ]( )0

( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) dL

P x s y s z s x s Q x s y s z s y s R x s y s z s z s s + + % % % % % % % %% % % =%

[ ] [ ] [ ]( )( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) ( ), ( ), ( ) ( ) dba P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t t = + + . Cu aceasta, teorema este demonstrat.

Page 2

Onl

y fo

r stu

dent

s

Observaia 4.5.1. Integrala curbilinie de spea a doua depinde de orientarea curbei. ntr-adevr, versorul tangent la curba ntr-un punct curent M AB este egal cu r , de unde rezult c:

(d d d LP x Q y R z F+ = )0 0d d d d dLs F s P x Q y R z ++ = = + + r rr r

.

xemplul 4.5.1. S se calculeze , unde d d dy x z y x z

++ +E

( ) ( ): 1 cos , 1 cos , sinR2 2 2R R

x t y t z t + = + = = , [ ]0,2t . Conform Teoremei 4.5.1 avem:

d d dy x z y x z+ + = +

( ) ( )20

1 cos sin sin sin 1 cos cos d2 2 2 22 2R R R R R R

t t t t t t = + + + + t =

2

2R= .

Observm c din punct de vedere geometric, suportul curbei este cercul 2 2 2 2

.x y z R + + =x y R

+ =

Acest cerc se afl n planul x y R+ = care prin pueste paralel cu axa Oz i trece nctele

( ),0,0A R i ( )0, ,0B R ; segmentul [AB] este

punctul

un diametru al su. Cercul are centrul n

, ,02 2R R i raza 2

R. Dac notm

cu , ,2 2 2R R R

P i cu , ,2 2 2R R R

t = 0,Q alte

dou puncte ale cercului, constatm c punctul A corespunde valorii a para-

metrului, P corespunde valorii 2

t= , B corespunde valorii t = i Q corespunde

valorii 32

t= . Aadar, curba + este cercul din planul x y R+ = , de centru

, ,02 2R R i raza 2

R, orientat n sensul APBQA.

Page 3

Onl

y fo

r stu

dent

s

bservaia 4.5.2. Dac curba este dat printr-o reprezentare parametric, O

+ reest

prezint curba orientat n sensul creterii parametrului. Dac ns curba e o curb nchis i este dat ca o intersecie de dou suprafee, atunci orientarea

curbei nu este evident i trebuie indicat prin enun. De exemplu, n cazul cercului de mai sus, se poate specifica faptul c acesta este parcurs n sensul acelor unui ceasornic dac privim din punctul O, originea sistemului de axe. Faptul c este vorba de o curb nchis, se poate marca printr-un cerc pe semnul integralei. Exemplul 4.5.1 se poate reformula astfel: S se calculeze d d dy x z y x z+ + unde

+

+ este cercul 22 2 2x y z R

x y R

+ + = + = parcurs n sensul acelor unui ceasornic dac

privim din centrul sferei.

bservaia 4.5.3. Dac este neted pe poriuni (este o justapunere de curbe netede

O: 1 2 p = U UKU , atunci

p

( )1d d d d d d

iiP x Q y R z P x Q y R z

+ +=+ + = + + .

bservaia 4.5.4. n cazul unei curbe plane, formula (2) devine:

at

+.

xemplul 4.5.2. S se calculeze

O

( ) ( ) ( ) ( )( ), d , d ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )bP x y x Q x y y P x t y t x t Q x t y t y t + = + d

E ( ) ( )2 2 2 2d dx y x x y +

+ + y , unde + este graficul curbei 1 1y x= , x [0, 2]. Explicitnd modulul obinem:

[ ]dac 0,1x x [ ]2 dac 1,2y x x=

Cum OA AB + = U rezult OA AB +

= + . Deoarece x = t, y = t, t [0,1] este o reprezentare parametric a segmentului OA , din Observaia

(

4.5.4 deducem:

) ( ) 12x y+ 2 2 2 20 2d d 2 d 3OA

x x y y t t+ = = .

Pe de alt parte, o reprezentare parametric a segmentului AB este x = t, y = 2 t, t [1,2]. Rezult:

Page 4

Onl

y fo

r stu

dent

s

( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )

1 22 2 2 2 2 2d d 2 (1) 2 1 dAB

20

2 21

22 2 d .

3

x y x x y y t t t t t + + = + + = t t= =

Aadar, ( ) ( )2 2 2 2 4d d3

x y x x y y +

+ + = . terpretarea fizic a integralei curbilinii de spea a doua, considerm

o curb neted , de suport Pentru in

AB . Fie ( )x x s= % , ( )y y s= % i ( )z z s= % , [ ]0,s L repre- zentarea normal a curbei + , f , , :P Q ABie 3F R= ( ) r funcie vectorial

i fie o

continu 0 1 1: 0 i i ns s s s s = < < < < < < =K K L o diviziune oarecare a rv [0, L]. Notm cu inte alului iM punctul de coordonate

( ) ( ) ( )( , , )i i ix s y s z s% % % . Lungimea arcului 1i iM M este egal cu 1i is s . Fie [ ]1i i i,s s un punct arbitrar, fie

( ) ( ) ( ), ,iP x y zi i i % % %arcul

punctul corespunz pe

tor de

1i iM M i fie ir versorul tangentei n iP la curba + .

Dac diviziunea suficie cvectorial , ,F P Q R=r pe care o interpretm ca o for, este constant pe arcul

este nt de fin, putem presupune funcia

( )

1i iM M i anume este egal cu valoarea sa n punctul iP . n aceste condiii, lucrul

eplasarea unui punct material pe arcul 1i imecanic efectuat pentru d M M sub aciunea forei F

r se poate aproxima cu ( ) ( )1i i i iF P s s r r , unde cu i( )iF P r r am

notat produsul scalar al celor doi vectori. Lucrul mecanic efectuat pentru deplasarea unui punct material pe arcul AB sub aciune iabile a forei var F

r se

aproximeaz cu suma ( ) ( )11

ni i i i

iF P s s

= r r . Valoarea exact a lucrului mecanic va

fi egal cu:

0lim

n ( ) ( )11

i i i ii

F P s s =

rr ( ) ( ) ( ), , d , , d , , dP x y z x Q x y z y R x y z z +

= + + .

Page 5

Onl

y fo

r stu

dent

s

n consecin reprezint lucrul mecanic efectuat pentru

deplasarea unui punct material pe curba

d d dP x Q y R z +

+ + + sub aciunea forei variabile

F Pi Qj Rk= + + rr r r .

Page 6

Onl

y fo

r stu

dent

s

INTEGRALE CURBILINII4.1. Drumuri parametrizate4.2. Curbe rectificabile4.3. Reprezentarea normal a unei curbe rectificabile4.4. Integrale curbilinii de prima spe4.5. Integrala curbilinie de spea a doua4.6 Independena de drum a integralei curbilinii de spea a