14_SLS

Facultatea de Construcţii Timişoara 2011/2012 Tudor Clipii & Agneta Tudor

NOTE DE CURS - BETON ARMAT – CAP.14 1

STĂRI LIMITĂ DE SERVICIU

În cadrul verificărilor la stările limită de serviciu se urmăreşte limitarea eforturilor unitare, controlul fisurării şi limitarea săgeţilor. În cazul verificării eforturilor unitare şi al săgeţilor, secţiunile se consideră nefisurate atâta timp cât efortul unitar de întindere nu depăşeşte rezistenţa medie la întindere a betonului fctm.

14.1 ANALIZA SECŢIUNII ELEMENTELOR ÎNCOVOIATE SUB ÎNCĂRCĂRILE DE SERVICIU 14.1.1. Momentul încovoietor de fisurare

Calculul momentul încovoietor de fisurare în secţiuni normale se face pe baza ipotezei comportării elastice a betonului, neluând în considerare plasticizarea betonului întins dinaintea fisurării (fig. 14.1). De asemenea, se poate neglija influenţa armăturii asupra poziţiei axei neutre precum şi aportul ei la valoarea momentului încovoietor de fisurare.

σc2

y2 GMcr

y1

Fsd1

Fig. 14.1 Ipoteze pentru calculul capacităţii portante la fisurare

As σc1 = fctm

Luând în considerare cele de mai sus, pornind de la relaţia lui Navier, momentul încovoietor de fisurare se calculează cu relaţia: (14.1) 1ctmcr WfM =în care fctm este rezistenţa medie la întindere a betonului, W1 fiind modulul de rezistenţă faţă de marginea inferioară a secţiunii. Valoarea obţinută cu relaţia (14.1) se poate reduce cu 0,9 atunci când nu se ţine cont de secvenţa de aplicare a încărcărilor.

14.1.2. Determinarea eforturilor unitare în stadiul de serviciu În stadiul II de serviciu secţiunea este fisurată, eforturile unitare în beton şi armătură

determinându-se pe baza următoarelor ipoteze: • secţiunile plane înainte de deformare rămân plane şi după deformare; • neglijarea contribuţiei betonului întins dintre fisuri la preluarea eforturilor de întindere; • comportamentul elastic al armăturii şi betonului comprimat; • la nivelul armăturii, betonul şi armătura au aceeaşi deformaţie specifică.

Pe baza ultimei ipoteze se poate scrie: → cs ε=ε ccss EE σ=σ → ( )cscs EEσ=σ ces σα=σ (14.2) Pornind de la rezultanta eforturilor unitare din armătură, relaţia (14.2) permite înlocuirea ariei de armătură cu una echivalentă de beton după cum urmează: ( ) ( ) ceqccsecessss AAAAF σ=σα=σα=σ= , rezultând: seeqc AA α=, (14.3) Efectul curgerii lente a betonului comprimat asupra săgeţilor şi deschiderii fisurilor se poate lua în considerare prin utilizarea valorii efective a modulului betonului Ec,ef calculată cu relaţia (14.18).


NOTE DE CURS – BETON ARMAT – CAP.14 2

Având în vedere cele de mai sus, pentru calculul eforturilor unitare în stadiul II de serviciu, secţiunea neomogenă de beton armat (fig. 14.2a) se înlocuieşte cu o secţiune omogenă de beton (fig. 14.2b) utilizând coeficientul de echivalenţă efcse EE ,=α .

Fig. 14.2 Secţiune monosimetrică încovoiată în stadiul II

Poziţia axei neutre se obţine din ecuaţia de momente statice în raport cu axa neutră: Sc = St

unde: Sc = Scc − As2(x − d2) + αeAs2(x − d2) – momentul static al zonei comprimate;

∫=x

0ycc dyybS – momentul static al ariei comprimate de beton Ac în raport cu axa neutră (fig.

14.2a); pentru secţiunile cu forme uzuale conform figurii 14.3; St = αeAs1(d − x) – momentul static al zonei întinse; Înălţimea zonei comprimate rezultă din ecuaţia de gradul 2: Scc + (αe − 1)As2(x − d2) − αeAs1(d − x) = 0 Eforturile unitare în betonul comprimat şi cele două armături se calculează cu relaţiile:

xIM

IIc =σ (14.4)

( xdIM

IIe1sce1s −α=σα=σ , ) (14.5a)

( 2II

e2sce2s dxIM

−α=σα=σ , ) (14.5b)

În stadiul II de serviciu, momentul de inerţie al secţiunii fisurate omogene este: III = Icc + (αe − 1)As2(x − d2)2 + αeAs1(d − x)2 (14.6) în care Icc este momentul de inerţie ale ariei comprimate în raport cu axa neutră; pentru secţiunile cu forme uzuale conform figurii 14.3. Pentru secţiunile dreptunghiulare şi T, eforturile unitare în stadiul II se pot obţine cu ajutorul relaţiilor din anexa 14.1.

14.2 LIMITAREA EFORTURILOR UNITARE Eforturile unitare de compresiune din beton trebuie să fie limitate în vederea evitării fisurilor

longitudinale, micro-fisurării sau deformaţiilor mari din curgere lentă, atunci când aceste fenomene pot conduce la efecte inacceptabile pentru buna funcţionare a structurii.

Fisurile longitudinale pot să apară, sub efectul combinaţiei caracteristice a încărcărilor, dacă eforturile unitare depăşesc o anumită valoare critică şi pot afecta în mod negativ durabilitatea elementelor, deoarece sunt paralele cu armăturile longitudinale. În absenţa unor măsuri constructive (creşterea stratului de acoperire cu beton în zona comprimată sau confinare cu armături transversale), este recomandabil ca efortul unitar de compresiune să fie limitat la valoarea în zonele elementului aflate în contact cu mediile definite de clasele de expunere XD, XF şi XS prezentate în tabelul 4.3.

ckf60,

d1

d h

d2

As1

As2 αeAs2

xy dy

Ac

αeAs1

Ac – As2

εc2 σc2

εs2 = εc,s2 σc,s2 = σs2/αe

M by

σc,s1 = σs1/αeεs1 = εc,s1

a) b) c) d)



Dacă efortul unitar în beton, sub combinaţia cvasi-permanentă a acţiunilor, este mai mic decât se poate presupune dezvoltarea unei curgeri lente liniare, în caz contrar se va lua în considerare

curgerea lentă neliniară. ckf450,

Fig. 14.3 Caracteristicile geometrice ale zonei comprimate

Efortul unitar de întindere din armătură trebuie să se limiteze pentru a se evita deformaţiile inelastice, respectiv valorile inacceptabile ale deschiderii fisurilor sau deformaţiilor. Situaţiile de mai sus pot fi evitate dacă sub combinaţia caracteristică a acţiunilor efortul unitar nu depăşeşte valoarea

; dacă efortul unitar este produs de deformaţii impuse, limitarea se face la ykf80, ykf .

14.3 CONTROLUL FISURĂRII Fisurarea elementelor din beton armat sub încărcările de serviciu este un fenomen inevitabil, fiind consecinţa incapacităţii betonului de a prelua eforturile unitare de întindere produse de diverse solicitări (fig. 14.4a…d), forţele concentrate de compresiune (fig. 14.4e) sau de eforturi unitare de aderenţă mari (fig. 14.4f). De asemenea, o fisurare cu caracter întâmplător poate fi produsă de: contracţia împiedecată a betonului, variaţia de temperatură, tasarea diferenţiată a reazemelor, tasarea plastică a betonului proaspăt (fig. 14.4g), acţiunea repetată a îngheţului şi a dezgheţului, neregulile în procesul de execuţie (fig. 14.4i, j). Rezultatele fenomenului de coroziune al armăturii pot de asemenea produce fisuri în masa betonului (fig. 14.4h).

În funcţie de cauzele care pot produce fisurarea betonului (tab. 14.1), acestea pot fi: intrinseci, atunci când sunt generate în interiorul betonului (contracţia la uscare, variaţii de temperatură, tasarea betonului proaspăt, produşi de coroziune expansivi etc.) sau extrinseci, atunci când sunt produse de cauze externe (încărcări sau deformaţii impuse).

Raţiunile care fac necesar controlul fisurării se referă la aspectul elementelor, etanşeitatea la apă şi gaze, protecţia împotriva coroziunii, alte exigenţe funcţionale. Aceste exigenţe definesc limitele care pot fi acceptate pentru deschiderea fisurilor.

În procesul fisurării elementelor din beton armat sub efectul încărcărilor se disting două etape: formarea fisurilor, etapă în care ele devin vizibile; deschiderea fisurilor la anumite valori care depind de intensitatea acţiunilor şi care eventual pot afecta durabilitatea construcţiei.

Calculul elementelor din beton armat la fisurare se face de regulă numai la starea limită de deschidere a fisurilor, deoarece, sub încărcările de exploatare, majoritatea structurilor din beton armat folosite în construcţii civile, industriale şi poduri lucrează în stadiul II fisurat. Calculul la apariţia fisurilor are un caracter convenţional, deoarece formarea şi apariţia fisurilor se poate produce chiar şi înainte de aplicarea sarcinilor exterioare ca urmare a contracţiei, variaţiilor de temperatură etc. Din motive de impermeabilitate, construcţiile hidrotehnice se verifică la starea limită de apariţie a fisurilor.

bb x hfx

bwb bw

( )( )2fw2

cc hxbb50bx50S −−−= ,, 2cc bx50S ,=

( )( ) 3hxbb3bxI 3fw

3cc −−+= 3bxI 3

cc =

b) zonă comprimată T a) zonă comprimată dreptunghiulară



fisură în planul armăturilor

secţiune strâmbă

produse expansive de coroziune

a) încovoiere

b) întindere centrică

c) tăiere

unghiuri de 45°

d) torsiune

e) forţă concentrată

fisuri înclinate

fisuri normale

fisură de despicare

fisură de aderenţă (în dreptul armăturii)

fisură din încovoiere

f) eforturi unitare de aderenţă ridicate

fisuri deasupra etrierilor

g) tasarea plastică a betonului proaspăt

fisură în lungul armăturilorh) coroziunea armăturilor

i) deplasarea susţinerilor centrale ale cofrajului plăcii

j) deplasarea verticală a cofrajului grinzii

Fig. 14.4 Tipuri de fisuri

Tabelul 14.1 Cauzele care generează fisuri Fisuri apărute înainte de întărirea betonului Tip

Fenomene datorate comportării betonului proaspăt

Contracţia plastică Tasarea plastică (fig. 14.4g)

Intr. Intr.

Fenomene datorate procesului de execuţie

Deplasarea susţinerilor (fig. 14.4i) Deplasarea cofrajului (fig. 14.4j)

Extr. Extr.

Efecte termice Îngheţ timpuriu Extr. Fisuri apărute după întărirea betonului

Fenomene fizice Agregate contractile Contracţia la uscare Microfisurare datorită uzurii

Intr. Intr. Extr.

Fenomene chimice Coroziunea armăturii (fig. 14.4h) Reacţii alcali - agregate

Intr. Intr.

Efecte termice Îngheţ - dezgheţ repetat Variaţia termică a mediului Variaţia termică interioară

Extr. Extr. Intr.

Cauze structurale Acţiuni cu intensitate de proiectare (fig. 14.4a…e) Suprasarcini accidentale Curgerea lentă

Extr. Extr. I & E



Starea de fisurare a unui element din beton armat este caracterizată prin mărimea deschiderii fisurilor; în condiţiile unei anumite stări de eforturi unitare într-un element, mărimea deschiderii fisurilor este funcţie de numărul de fisuri pe unitatea de lungime a elementului, deci funcţie de distanţa dintre fisuri.

La elementele din beton armat distanţa dintre fisuri şi implicit mărimea deschiderii acestora depinde de un număr de parametri ca: procentul de armare, diametrul şi natura suprafeţei armăturii, mărimea efortului unitar din armătură, modul de acţionare al sarcinii (static sau dinamic), distanţa dintre bare, grosimea stratului de acoperire cu beton precum şi calitatea betonului.

Verificarea la starea limită de deschidere a fisurilor se face în stadiul II de serviciu, luând în considerare eforturile rezultate din combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor (pct. 5.2.2.2).

Valoarea limită pentru deschiderea fisurilor wmax se stabileşte în funcţie de destinaţia şi natura structurii. În absenţa unor cerinţe specifice (de exemplu, impermeabilitatea), limitarea deschiderii fisurilor elementelor din beton armat la valorile din tabelul 14.2 va asigura, în general, durabilitatea şi aspectul corespunzător al elementelor. În cazul elementelor aflate în medii cu ioni de clor şi la care are loc o alternanţă umezire-uscare (clasa de expunere XD3), se vor lua măsuri speciale în concordanţă cu situaţia concretă.

Tabelul 14.2 Valori recomandate pentru wmax

Clasa de expunere X0, XC1 XC2, XC3, XC4 XD1, XD2,

XS1, XS2, XS3 wmax (mm) 0,4 0,3

Notă: pentru clasele de expunere X0 şi XC1, fisura nu afectează durabilitatea, limita fiind stabilită din condiţii referitoare la aspectul elementului; valoarea limită poate fi mărită dacă nu există condiţii referitoare la aspect

Pentru controlul fisurării se poate folosi una din următoarele opţiuni: - calculul deschiderii fisurilor şi compararea cu valorile maxime admise; - limitarea diametrului barelor sau distanţa dintre acestea.

Indiferent de procedura adoptată şi cantitatea de armătură rezultată din calculul la starea limită ultimă este necesară asigurarea unei cantităţi minime de armătură în zona întinsă a elementului.

14.3.1 Controlul fisurării prin calcul 14.3.1.1 Distanţa dintre fisuri

Deducerea distanţei dintre fisuri se face pentru momentul de apariţie al primei fisuri, când solicitarea exterioară (forţa axială N în cazul elementului întins centric din figura 14.5a) este egală cu capacitatea portantă la fisurare Ncr. Solicitarea exterioară este preluată de beton şi de armătură . În secţiunea cea mai slabă se produce fisura F

ctmccrc fAF =,

crsscrs AF ,, σ= 1. După apariţia fisurii F1, această secţiune trece în stadiul II, când armătura preia toată forţa axială

(fig. 14.5c). Din dreptul acestei secţiuni, prin intermediul aderenţei iar armătura începe să se descarce iar betonul începe să se încarce, iar armătura să se descarce, la o anumită distanţă sr,max ajungându-se ca forţa din beton să revină la valoarea Fc, cr. Această poziţie reprezintă locul probabil de apariţie a celei de a doua fisuri F2.

Pe distanţa dintre cele două secţiuni, se produce un transfer de forţă de la armătură la beton, mărimea acestei forţe fiind . Acest transfer se face prin intermediul aderenţei, forţa corespunzătoare fiind F

crcF ,

b. Distribuţia reală a efortului unitar de aderenţă este una curbilinie dar pentru simplificarea calculelor se poate adopta o distribuţie dreptunghiulară (fig. 14.5d).

Relaţia matematică ce exprimă acest transfer de forţă este crcb FF ,= , adică: (14.7) ctmcbmmaxr fAfus =,

în care u este perimetrul barelor, fbm fiind efortul unitar mediu de aderenţă. Din ecuaţia de mai sus rezultă relaţia de calcul a distanţei dintre fisuri:

bm

ctmcmaxr, uf

fAs = (14.8)



În cazul particular în care toate barele au acelaşi diametru şi având în vedere că u = πφ şi ρφπ=ρ= 4AA 2

sc , relaţia (14.8) devine:

ρφ=

bm

ctmmaxr, f

f250s , (14.9)

Raportul bmctm ff redă proprietăţile de aderenţă ale armăturii cu betonul, dar studiile experimentale au dovedit că distanţa dintre fisuri depinde şi de alţi factori, aşa cum ar fi: natura solicitării, distanţa dintre bare, precum şi grosimea stratului de acoperire cu beton.

Locul probabil pentru F2F1 Ac

Fig. 14.5 Model pentru calculul distanţei dintre fisuri

Dacă distanţa dintre armături este mai mică sau egală cu ( )2c5 φ+ , aşa cum este în cazul grinzilor, pentru calculul distanţei maxime dintre fisuri, relaţia (14.9) se pune sub forma: ef21maxr kk4250c43s ρφ+= ,,, (14.10) unde: este diametrul barei; dacă barele au diametre diferite, se va utiliza un diametru echivalent determinat pe baza relaţiei principiale

φ

φΣφΣ=φ nn 2ech , n fiind numărul barelor de diametru φ;

c – grosimea stratului de acoperire cu beton; – coeficient care ţine cont de proprietăţile de aderenţă ale armăturilor; pentru barele de înaltă aderenţă (cu profil periodic) ; pentru barele netede

1k80k1 ,= 01k1 ,= ;

– coeficient care ţine cont de distribuţia deformaţiilor specifice; pentru încovoiere 2k 50k 2 ,= ; pentru întindere centrică ; pentru întindere excentrică 01k2 ,= ( ) 1212 2k εε+ε= , şi fiind deformaţiile specifice, la extremităţile secţiunii, determinate pe secţiunea fisurată (fig.14.6c);

1ε 12 ε<ε

efcsef AA ,=ρ ;

N

Fc, cr = AcfctmNcr

a) element întins centric

b) înainte de fisurare

sr,max

Fc, cr

Fs = Ncr

c) imediat după fisurare

reală

As

Fs, cr = Asσs,cr

fbm

Ncr

Fs, cr

simplificatăd) distribuţia efortului unitar de aderenţă



efcA , – aria efectivă de beton întins (aria de beton care înconjoară armătura întinsă) de înălţime ; dacă toată secţiunea este fisurată, aria efectivă se calculează separat pentru fiecare margine în

parte (fig. 14.6c); efch ,

( ) ( )[ ]2h3xhdh52minh efc ;;,, −−= conform figurii 14.6;

Fig. 14.6 Aria efectivă întinsă de beton

Dacă distanţa dintre armături este mai mare decât ( )25 φ+c (fig.14.7), aşa cum se întâmplă în cazul plăcilor, se poate calcula o limită superioară a deschiderii fisurilor, pe spaţiul dintre armături, pornind de la: (14.11) ( xh31s maxr −= ,, )

14.3.1.2 Calculul deschiderii fisurilor Pentru elementul întins din figura 14.7, capacitatea portantă la fisurare, dată de contribuţia celor

două materiale, este: crssctmccr AfAN ,σ+=

Pornind de la relaţia principială (14.2), efortul unitar în armătură este ctmecrs fα=σ , astfel încât relaţia de mai sus se pune sub forma:

( )ectmcc

sectmcctmesctmccr 1fA

AA1fAfAfAN ρα+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛α+=α+=

În momentul premergător fisurării, deformaţia specifică a armăturii, ca de altfel şi a betonul, este:

( )ss

ectmc

ss

crcrccrs AE

1fAAE

N ρα+==ε=ε ,,

Depăşirea valorii determină fisurarea betonului şi creşterea deschiderii fisurilor până la valori corespunzătoare forţei N

crNEqp.

Deschiderea fisurii este determinată de creşterea deformaţiei specifice a armăturii de la valoarea până la valoarea crccrs ,, ε=ε sss Eσ=ε :

( )ss

ectmc

s

scrcscrsss AE

1fAE

ρα+−

σ=ε−ε=ε−ε=ε∆ ,, (14.12)

Mărimea deschiderea fisurii corespunzătoare distanţei este: maxr,s smaxr,k sw ε∆= ( )crssmaxr,s ,ε−ε= (14.13) Pornind de la cele de mai sus, relaţiile prevăzute în SR EN 1992-1-1 pentru calculul deschiderii

fisurilor sunt: ( )cmsmmaxrk sw ε−ε= ,

( )

s

s

s

efemefctmtscmsm E

60E

1fk σ≥

ραρ+−σ=ε−ε , (14.14)

unde: σs este efortul unitar în armătura întinsă, calculat în stadiul fisurat;

cmsem EE=α ;

efcsef AA ,=ρ , cu conform figurii 14.6; efcA ,

x

d h

a) grindă b) placă c) element întins

hc, ef hc,h d

1ε

2εefc,A

ef,2cA

efc,Aef,1cA

d1 d2



– coeficient care ia în considerare influenţa duratei de încărcare: tk 60kt ,= pentru încărcări de scurtă durată; pentru încărcări de durată. 40kt ,=

1

Fig. 14.7 Element întins centric

In relaţia (14.13), pentru distanţa dintre fisuri se poate folosi valoarea dată relaţia (14.10) sau (14.11) după cum distanţa dintre bare este mai mică sau mai mare decât ( )2c5 φ+ . În figura 14.8 se prezintă variaţia deschiderii fisurii în raport cu distanţa dintre bare. Pentru durabilitatea elementelor este mai importantă deschiderea fisurilor în dreptul armăturii, de aceea verificarea trebuie făcută în primul rând pe baza relaţiei (14.10).

Fig. 14.8 Variaţia deschiderii fisurii în raport cu distanţa dintre bare

14.3.2 Controlul fisurării fără calcul direct În cazul plăcilor din beton armat, solicitate la încovoiere preponderentă, nu este necesar calculul

deschiderii fisurilor dacă grosimea plăcii nu depăşeşte 200 mm şi dacă sunt respectate prevederile de alcătuire.

În cazurile în care în element este dispusă cantitatea minimă de armătură, rezultată din relaţia (14.15), deschiderea fisurilor va avea valori acceptabile atunci când:

• fisurile sunt produse de încărcări şi diametrul barelor sau distanţa dintre acestea nu depăşeşte valorile indicate din tabelul 14.3; efortul unitar sσ se calculează pe secţiunea fisurată în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor. • fisurile sunt produse de deformaţiile împiedicate şi diametrul barelor nu depăşeşte valorile

indicate din tabelul 14.3; este efortul unitar în armătură imediat după fisurare. sσ

Valoarea maximă a diametrului obţinută din tabelul 14.3 se poate modifica pe baza relaţiilor:

( )dh2hk

92f crcefct

ss −φ=φ

,,* - în cazul în care axa neutră este plasată în secţiune;

Ncr

Ncr

crccrs ,, ε=ε

sss Eσ=ε

sε∆

NEqp

NEqp

1

2

2

a) element în stadiul I

b) element în stadiul I I

c) dezvoltarea deformaţiilor specifice

conturul betonului între fisuri (2-2)

N = 0 element neîncărcat

element nefisurat

axa neutră

( )2c5 φ+

c

h − x φ

w A − estimare pe baza

AB B − estimare pe baza

relaţiei (14.11)

relaţiei (14.10)



( )dh4h

92f crefct

ss −φ=φ

,,* - în cazul în care secţiunea este fisurată în întregime

în care: este diametrul maxim corectat al barei; sφ

– diametrul maxim al barei obţinut din tabelul 14.3; *sφ

– conform tabelului 14.4; ck – înălţimea zonei întinse în momentul premergător formării primei fisuri, luând în considerare şi forţa axială în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor;

crh

d – înălţimea utilă a secţiunii până la centrul de greutate al celei mai îndepărtate armături. Semnificaţia coeficienţilor din tabelul 14.4 este următoarea:

bhNEdc =σ − efortul unitar mediu din partea considerată a secţiunii; − forţa axială în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor, acţionând asupra părţii de secţiune luată în considerare (pozitivă pentru compresiune);

EdN

− valoare de referinţă; pentru ∗h hh =∗ 01h ,< m; m pentru m; 01h ,=∗ 01h ,≥

pentru compresiune; 51k1 ,= h3h2k1∗= pentru întindere;

crF − forţa de întindere din tălpile secţiunii în momentul premergător fisurării sub efectul momentului încovoietor de fisurare, calculat pe baza rezistenţei . ctmf

Tabelul 14.3 Valori maxime pentru diametrul armăturilor şi distanţa dintre acestea Diametrul maxim al armăturii (mm)

pentru =kw Distanţa maximă dintre armături (mm)

pentru =kw Efortul unitar

în armătură (MPa)

sσ0,4 mm 0,3 mm 0,2 mm 0,4 mm 0,3 mm 0,2 mm

160 200 240 280 320 360 400 450

40 32 20 16 12 10 8 6

32 25 16 12 10 8 6 5

25 16 12 8 6 5 4 -

300 300 250 200 150 100

- -

300 250 200 150 100 50 - -

200 150 100 50 - - - -

Tabelul 14.4 Coeficientul kc

Încovoiere cu/fără forţă axială Întindere centrică Secţiune

dreptunghiulară Inima secţiunii T

sau chesonate

Tălpile întinse ale secţiunii T sau

chesonate

kc = 1,0 1hh

fk140k

efct1

cc ≤⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

σ−=

∗

,, 50

fAF90k

efctct

crc ,,

,≥=

14.3.3 Armarea minimă Dacă condiţiile impun controlul fisurării, este necesară o cantitate minimă de armătură în zona

întinsă. Cantitatea minimă de armătură se obţine din condiţia de echilibru dintre forţa de întindere din beton înainte de momentul fisurării şi forţa de întindere din armătură, corespunzătoare curgerii armăturii sau unui efort unitar mai mic, dacă se urmăreşte reducerea deschiderii fisurilor. În cazul secţiunilor T şi chesonate, calculul armăturii minime se face separat pentru inimă, respectiv pentru aripile secţiunii.

Aria minimă de armătură se determina cu relaţia:

sctefctcmins AfkkA σ= ,, (14.15)

unde:



Act este aria secţiunii betonului întins, chiar înainte de fisurare; sσ − efortul unitar maxim admis în armătura întinsă, imediat după fisurarea betonului întins; se

poate accepta valoarea fyk; totuşi, o valoare mai mică ar putea fi necesară pentru a se asigura satisfacerea condiţiei referitoare la diametrul maxim al armăturii sau cea referitoare la distanţa maximă dintre bare, ambele funcţie de (tab. 14.3); kw

efctf , − valoarea medie a rezistenţei efective la întindere a betonului în momentul apariţiei primei fisuri; ; dacă fisura apare mai devreme de 28 zile, ctmefct ff =, ( )tff ctmefct =, ;

k − coeficient care ia în considerare efectele distribuţiei neuniforme a eforturilor unitare iniţiale ce apar în cazul secţiunilor T sau chesonate; 01k ,= pentru inimi cu 300h ≤ mm sau tălpi cu lăţimea

mm; pentru inimi cu mm sau tălpi cu lăţimea mm; interpolarea este admisă pentru valori intermediare; în cazul secţiunilor dreptunghiulare

300< 650k ,= 800h ≥ 800>01k ,= ;

kc − coeficient care ia în considerare tipul solicitării, în momentul premergător apariţiei fisurilor (tab. 14.4).

Experienţa a dovedit că în cazul grinzilor cu înălţime mare, în care armăturile rezultate din dimensionarea la moment încovoietor sunt concentrate numai pe o mică parte a înălţimii, distribuţia fisurilor are aspectul prezentat în figura 14.9. Se constată o creştere a distanţei dintre fisuri ceea ce conduce la o mărire a deschiderii fisurilor.

x

skinsA ,⎪⎭

⎪⎬

⎫

As Fig. 14.9 Armarea de suprafaţă laterală

În vederea controlării fisurilor pe feţele laterale ale grinzilor cu m trebuie prevăzute armături suplimentare de suprafaţă, în interiorul etrierilor, repartizate uniform între nivelul armăturilor principale A

01h ,≥

s şi axa neutră. Aria acestor armături nu va fi mai mică decât aria minimă calculată cu relaţia (14.25) pentru şi :

skinsA ,

50k ,= yks f=σ

ykctefctcskins fAfk50A ,, ,≥ Distanţa dintre barele suplimentare şi diametrul acestora pot fi stabilite şi cu ajutorul tabelului 14.3, considerând solicitarea de întindere centrică şi un efort unitar egal cu jumătate din valoarea considerată pentru armătura longitudinală întinsă principală.

14.4 CONTROLUL DEFORMAŢIILOR Printre cerinţele metodei stărilor limită se află şi cea referitoare la asigurarea unei rigidităţi corespunzătoare elementelor structurale. Deoarece rigiditatea este o mărime abstractă, greu de cuantificat, satisfacerea acestei cerinţe se realizează, indirect, prin verificarea deformaţiilor elementului. Deformaţiile elementelor structurale trebuie să asigure:

- evitarea senzaţiei de insecuritate din cauza deformaţiilor excesive, deşi securitatea nu este afectată;

- aspectul elementelor respective; - buna funcţionare a echipamentelor şi/sau aparatelor existente în spaţiul respectiv; - integritatea elementelor nestructurale (pereţi despărţitori uşori, geamuri, placaje ale

pereţilor, utilităţi sau finisaje).



Se consideră că aspectul şi funcţionarea generală a structurii nu vor fi afectate în sens defavorabil, dacă săgeata calculată f a unei grinzi, plăci sau console supuse la încărcări cvasipermanente nu depăşeşte valoarea flim = L/250, L fiind deschiderea elementului. Deformata în raport cu linia reazemelor poate fi redusă prin utilizarea contrasăgeţilor, realizate la turnarea elementului, dar fără ca acestea să depăşească L/250.

Creşterea semnificativă a săgeţii ∆f, produsă după execuţia unor elemente nestructurale sensibile la deformaţii (pereţi de compartimentare, finisaje, etc.) poate cauza deteriorarea acestor categorii de elemente. Limitarea creşterii săgeţii ∆f, sub încărcările cvasipermanente, la valoarea ∆flim = L/500 este considerată satisfăcătoare pentru cele mai multe situaţii de acest fel. Se pot alege alte valori în funcţie de sensibilitatea elementelor nestructurale aflate în contact cu elementul structural respectiv.

Controlul deformaţiilor se face în combinaţia cvasipermanentă a acţiunilor (pct. 5.2.2.2), printr-una din următoarele variante:

- limitarea raportului dL ; - calculul săgeţii f, sau a variaţiei ∆f, şi compararea lor cu anumite valori limită.

Verificarea prin calcul este necesară pentru elementele la care condiţia privind limitarea raportului dL nu este satisfăcută sau pentru cazurile unde se aplică alte limite.

Se admite ca săgeţile să fie determinate după regulile structurilor omogene, elastice, dar luând în considerare anumite particularităţi ale elementelor din beton armat, aşa cum ar fi:

- starea de fisurare care determină o rigiditate variabilă în lungul elementului chiar dacă secţiunea transversală este constantă (fig. 14.10a);

- curgerea lentă a betonului, care în timp determină sporuri ale deformaţiei iniţiale (fig. 14.10b); datorită curgerii lente săgeata elementului poate fi de 3...5 ori mai mare decât săgeata corespunzătoare încărcării de scurtă durată;

- curbarea elementului sub efectul contracţiei împiedicate a betonului, împiedicare generată de armătură (fig. 14.10c).

Estimarea deformaţiilor, fie printr-o analiză riguroasă, fie printr-una simplificată, se bazează pe curbura elementului, care este rezultatul însumării dintre curbura produsă de încărcări şi cea generată de contracţia betonului.

Determinarea riguroasă a săgeţii se obţine prin integrare (fig. 14.11), conform relaţiei de mai jos:

( ) ( )∫ ′=L

0dxxMx

r1f

în care curbura se calculează într-un număr corespunzător de secţiuni în lungul elementului, folosind relaţiile din paragraful 14.4.1.1.

c a b

zonă nefisurată

M

a - a b - b c - c a) variaţia rigidităţii în lungul elementului

Fig. 14.10 Particularităţi ale elementelor din beton armat

L

f fϕ

c) contracţia împiedicată b) curgerea lentă



A B

L

Fig.14.11 Calculul deformaţiilor

Metoda simplificată porneşte de la afinitatea dintre diagrama momentului încovoietor şi cea a deformaţiilor şi pe constatarea că elementul îşi consumă o parte din deformaţii în timp ce se află în stadiul nefisurat, iar o altă parte, în stadiul fisurat.

14.4.1 Controlul deformaţiilor prin calculul simplificat În cazul elementelor încovoiate, săgeata se poate calcula cu relaţia:

EI

LMSf

2Eqp=

Efectul contracţiei poate fi luat în considerare numai prin utilizarea curburii, motiv pentru care apelând la corelaţia dintre momentul încovoietor şi curbură:

EI

Mr1 Eqp=

valoarea săgeţii se obţine cu relaţia:

r1SLf 2= (14.16)

Coeficientul S depinde de condiţiile de rezemare ale elementului şi distribuţia încărcării, determinându-se din figura 14.14.

Ca ipoteză de bază pentru calculul simplificat se definesc următoarele două situaţii limită: • stadiul nefisurat, situaţie în care rigiditatea elementului este maximă; armătura şi betonul se

comportă elastic, atât la întindere cât şi la compresiune; • stadiul de fisurare completă, situaţie în care rigiditatea elementului este minimă; influenţa

betonului întins dintre fisuri este neglijată deoarece aderenţa dintre beton şi armătură nu mai este activă.

În figura 14.12a se prezintă modurile de deformare ale unui element încovoiat în stadiul nefisurat (I) şi cel fisurat (II), precum şi deformata corespunzătoare comportării reale când se are în vedere contribuţia betonului întins dintre fisuri. În figura 14.12b se prezintă corelaţia dintre momentul încovoietor şi săgeata elementului, respectiv corelaţia dintre efortul unitar din armătură şi deformaţia specifică corespunzătoare; aceste corelaţii descriu modul în care are loc variaţia rigidităţii elementului sub efectul încărcării. Porţiunea desenată punctat reprezintă faza tranzitorie de la apariţia primei fisuri până la stabilizarea fenomenului de fisurare când se trece in stadiul de serviciu.

Elementele din beton armat au o comportare intermediară între cele două situaţii. Pentru elementele supuse preponderent la încovoiere, o bună apreciere a comportării reale este dată de relaţia (14.17), care ţine seama de faptul că o parte a elementului se află în stadiul nefisurat, iar alta în stadiul fisurat (fig. 14.12c), realizând o interpolare între cele două stadii:

F = 1

L/4

M

MA MB

( )Ar1 ( ) Br1

( ) Fr1

M(x)

( )xr1

x

M′(x)



α = (1 − ζ)αI + ζ αII (14.17) unde:

α este parametrul considerat, care poate fi săgeată, curbură, rotaţie, deformaţie specifică, moment de inerţie, moment static etc.;

αI, αII − valorile parametrului pentru stadiul nefisurat, respectiv pentru stadiul fisurat; 2

s

sr1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

β−=ζ − coeficient de distribuţie, care ţine cont de ponderea porţiunii fisurate a

elementului (extinsă pe o lungime rsζ ) faţă de cea nefisurată (fig. 14.12c); dacă elementul este nefisurat pe toată lungimea lui, atunci ζ = 0;

1=β pentru o încărcare unică de scurtă durată; 50,=β pentru încărcări de durată sau încărcări repetate;

σs − efortul unitar în armătura întinsă, calculat în stadiul fisurat; σsr − efortul unitar în armătura întinsă imediat după apariţia primei fisuri. Pentru încovoiere, raportul ssr σσ poate fi înlocuit cu Eqpcr MM , reprezentând momentul

încovoietor de fisurare, iar momentul încovoietor în combinaţia cavsipermanentă. crM

EqpM

M σs I contribuţia betonului întins dintre fisuri MEqp

Fig. 14.12 Modelul de calcul

14.4.1.1 Modelarea efectului curgerii lente şi a contracţiei În cazul elementului încovoiat din figura 14.10b, datorită curgerii lente, săgeata f creşte, în timp,

cu valoarea fϕ = ϕf, astfel încât în final săgeata totală va fi f = (1+ϕ)f. Efectul curgerii lente poate fi prins în calcul prin utilizarea unei valori efective a modului de

elasticitate al betonului, conform relaţiei:

( )0

cmef ,c t1

EE,∞ϕ+

= (14. 18)

în care este coeficientului curgerii lente (pct. 6.2.3.2). ( 0t,∞ϕ )

εsr

f

σsr

fI fIIf εs

Pcr

IIp

L

fI f fII

a) b) I nefisurat

c)

rII

l = 1

εc

εs

d)

x

sr

ζsr (1-ζ)sr(1-ζ)sr ζsr /2ζsr/2

sr sr

II

II fisurat

II I I II d - x



În figura 14.13 se prezintă efectul contracţiei asupra unei grinzi din beton armat în urma împiedicării acestor deformaţii de către armătură.

εcs/2 εcs/2

Fig. 14.13 Eforturi produse de contracţia betonului

Sub efectul contracţiei betonului, datorită aderenţei, armătura va fi comprimată; forţa de compresiune din armătura este: sscsss AEAN ε−=σ−= Deoarece asupra elementului nu acţionează forţe exterioare, pentru echilibru, asupra betonului va acţiona o forţă axială de întindere şi un moment încovoietor: ; sscs AEN ε= ( ) ( )GsscsG ydAEydNM −ε=−= Curbura corespunzătoare contracţiei împiedicate este:

( )IE

ydAEIE

Mr1

c

Gsscs

ccs

−ε==

Conform SR EN 1992-1-1, relaţia de mai sus se pune sub forma:

c

secs

cs IS

r1

αε= (14.19)

unde: este deformaţia specifică liberă din contracţie (pct. 6.2.3.2); csε − momentul static al ariei armăturii în raport cu axa neutră; sS − momentul de inerţie al secţiunii de beton; cI efcse EE ,=α Mărimile şi se determină atât pentru stadiul nefisurat (I), cât şi pentru cel fisurat (II), valoarea finală a curburii din contracţie fiind stabilită pe baza relaţiei (14.17).

sS cI

De fapt, efectul contracţiei se poate neglija deoarece curbura produsă de aceasta este de circa 4...6 ori mai mică decât curbura produsă de încărcări.

14.4.1.2 Calculul săgeţii Calculul coeficientul de distribuţie ζ Evaluarea coeficientului de distribuţie ζ se face parcurgând următoarele etape:

- se calculează momentul încovoietor de fisurare cu relaţia (14.1); crM- se calculează cu relaţia (14.5a) în care M este ; srσ crM- se calculează cu relaţia (14.5a) în care M este sσ EqpM ;

- ( )2ssr1 σσβ−=ζ Calculul curburii sub efectul încărcării Sub efectul încărcării curbura corespunzătoare stadiului nefisurat este:

dN

N M

yG



Iefc,

Eqp

I IEM

r1=

în care este momentul de inerţie al secţiunii brute nefisurate de beton. II Curbura corespunzătoare stadiului fisurat se determina având în vedere deformata lungimii unitare a elementului din figura 14.12d:

( )xdExdr1

s

ss

II −σ

=−ε

=

Curbura produsă de încărcări se obţine prin interpolarea între cele două moduri de comportare cu relaţia (14.17), în care parametrul α este curbura:

( )III r1

r11

r1

ζ+ζ−=

Calculul curburii sub efectul contracţiei Particularizarea mărimilor Ss si Ic din relatia (14.19) permite calculul curburii elementului în cele două stadii. Curbura corespunzătoare stadiului nefisurat este:

I

sIecs

Ics IS

r1

αε=

unde: este momentul static al armăturii în raport cu axa neutră a secţiunii brute de beton (fig. 14.1);

( 11ssI dyAS −= )

– momentul de inerţie al secţiunii brute de beton. II In stadiul fisurat, calculul curburii se face cu relaţia:

II

sIIecs

csII ISαε

r1

=

unde: este momentul static al armăturii în raport cu axa neutră a secţiunii armate fisurate (fig. 14.2a):

( xdAS ssII −= )

– momentul de inerţie al secţiunii armate fisurate calculat conform relaţiei (14.6) III Curbura produsă de contracţie se obţine prin interpolare între cele două moduri de comportare cu relaţia (14.17):

( )csIIcsIcs r1ζ

r11

r1

+ζ−=

Calculul săgeţii sub efectul cumulat al încărcării şi contracţiei Valoarea săgeţii se obţine cu relaţia:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

cs

2

r1

r1SLf

în care coeficientul S se determină din figura 14.14.

14.4.2 Controlul deformaţiilor fără calcul direct În mod normal, săgeata nu va depăşi limitele admise, dacă raportul dL dintre deschiderea elementului L şi înălţimea utilă d nu depăşeşte valoarea ( )limdL . Valoarea limită a raportului dL se poate estima utilizând relaţia (14.20) sub una din formele:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρρ

+ρρ

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

510

ck0

cklim

1f23f5111KdL

,

,, dacă 0ρ≤ρ (14.20a)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

ρρ′

+ρ′−ρ

ρ+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0ck

0ck

limf

121f5111K

dL , dacă 0ρ>ρ (14.20b)



unde: K este coeficientul care ţine cont de sistemul structural şi gradul de solicitare al betonului

exprimat prin procentul de armare ρ=100p (tab. 14.5); 3

ck0 10f=ρ − coeficientul de armare de referinţă; ρ , − coeficienţii de armare pentru armătura întinsă, respectiv comprimată, necesară pentru

starea limită ultimă la mijlocul deschiderii (sau pe reazemul consolei). ρ′

q

( )α−α−

=14843S

2

L

S = 0,0625

Ma Mb

M

( )

MMMβ

β0,11485S

ba +=

−=

Ma Mb

M

( )MMM41083,0S

ba +=β

β−=

GRINZI SIMPLU REZEMATE

q

αL L

( )124S α−α

=

Q

αL L ( )

63S α−α

=

GRINZI CONTINUE

CONSOLE

q

Q

L αL

Q

M

M

S = 5/48

M

q

S = 1/15,6 M

Fig. 14.13 Coeficientul S pentru calculul simplificat al deformaţiilor

Tabelul 14.5 Valorile de bază ale raportului L/d Beton

puternic solicitat

%,51p =

Beton slab

solicitat %,50p =

Sistemul structural K

(L/d)lim

Grindă simplu rezemată sau placă simplu rezemată, armată pe una sau două direcţii 1,0 14 20

Deschiderea de margine a unei: − grinzi continue − plăci continue armate pe o direcţie − plăci continue armate pe două direcţii;

pentru verificare se ia în considerare direcţia scurtă

1,3 18 26

Deschiderea interioară a unei: − grinzi continue − plăci continue armate pe una sau două

direcţii

1,5 20 30

Placă rezemată direct pe stâlpi (planşeu dală); pentru verificare se ia în considerare deschiderea lungă

1,2 17 24

Consolă 0,4 6 8



Relaţia (14.20) a fost stabilită în stadiul fisurat corespunzător stării limită de serviciu, pentru un efort unitar egal cu 310 MPa, ceea ce, aproximativ, corespunde la fsσ yk = 500 MPa. Dacă 310≠σs MPa, valoarea obţinută din relaţia (14.20) trebuie multiplicată cu s310 σ . Se consideră că se poate accepta: ( ) ( )necsefsyks AAf500310 ,,=σ (14.21)

unde este aria necesară din calculul la starea limită ultimă, iar aria efectivă dispusă în secţiune.

necsA , efsA ,

Pentru secţiunile în formă de T, la care raportul între lăţimea tălpii şi cea a inimii depăşeşte 3, valoarea obţinută din relaţia (14.20) trebuie multiplicată cu 0,8. Pentru planşeele cu grinzi şi plăci cu deschideri (m) mai mari de 7,0 m, care suportă pereţi despărţitori expuşi la deteriorări din săgeţi excesive, valoarea obţinută din relaţia (14.20) se corectează prin multiplicare cu 7/L.

L

În cazul planşeelor dală cu deschideri (m) mai mari de 8,5 m, care suportă pereţi despărţitori expuşi la deteriorări din săgeţi excesive, valoarea obţinută din relaţia (14.20) trebuie multiplicată cu 8,5/L.

L

Notă: Pentru cazurile comune, caracterizate de C30/37 şi 310s =σ N/mm2, şi diferite tipuri de sisteme structurale, în tabelul 14.5 se dau valorile raportului ( )limdL . La alegerea acestui raport trebuie avut în vedere gradul de solicitare al betonului, apreciat prin procentul de armare

dbA100p ws= ; pentru alte valori ale procentului de armare se face interpolare liniară.



Anexa 14.1 Încovoiere – eforturi unitare în stadiul de serviciu

Secţiune dreptunghiulară sau T cu x ≤ hf Secţiune T cu x > hf

bdA 1s1 =ρ ; bdA 2s2 =ρ dbA w1s1 =ρ ; dbA w2s2 =ρ

dd22 =δ

dh

bbbA f

w

w ⋅−

= ;dhh f

f = ; ( )21enA ρ+ρ+=β ( ) ( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

ρ+ρδρ+ρ

+ρ+ρ=ξ 1n21n 2

21e

22121e

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅+δρ+ρ+β+β−=ξ f221e

2 hAn2

wbbb =

31 ξ−=ζ

1h1b

b

h32

31 2

f

f

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ξξ

−

+ξ

−=ζ

dx ξ= dz ζ=

1s1s zA

M=σ 1s

22s xd

dxσ

−−

=σ xd

x

e

1sc −α

σ=σ

h d

As1d1

As2

Fs1 = As1σs1

Fc

z = ζd M

d2

b

b

As1

As2

bW

hf

σc Fs2 = As2σs2

x = ξd

14_SLS

Documents

Transcript of 14_SLS