113538395 Probleme Rezolvate La Econometrie Conspecte Md

Capitolul 2 2.1 Probleme rezolvate

2.1.1 Model liniar unifactorial - caz general 2.1.2 Model liniar unifactorial cu erori heteroscedastice 2.1.3 Model liniar unifactorial cu autocorelarea erorilor 2.1.4 Model unifactorial neliniar 2.1.5 Model liniar multifactorial 2.1.6 Model multifactorial neliniar – funcţia Cobb-Douglas

fără progres tehnic 2.1.7 Model liniar multifactorial cu variabile centrate 2.1.8 Modele dinamice

2.1.8.1 Model dinamic – funcţia Cobb–Douglas cu progres tehnic

2.1.8.2 Model autoregresiv 2.1.8.3 Model dinamic cu decalaj 2.1.8.4 Model dinamic de prognoză cu variabile anticipative

2.1.9 Modelul static al lui Keynes 2.1.10 Modelul dinamic al lui Keynes 2.1.11 Model recursiv

2.2 Probleme propuse spre rezolvare

Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

2.1 Probleme rezolvate

2.1.1 Model liniar unifactorial - caz general

Se cunosc următoarele date privind capacitatea de cazare turistică în funcţiune (mii locuri-zile) şi numărul de înnoptări în structurile de primire turistică cu funcţiuni de cazare turistică (mii) în România în perioada 1989-2002:

Tabelul 2.1.1

Anul Capacitatea de cazare turistică în funcţiune

(mii locuri-zile)

Numărul de înnoptări în structurile de primire

turistică cu funcţiuni de cazare turistică

(mii) 0 1 2

1989 79458 53377 1990 77022 44552 1991 64124 31927 1992 55870 26076 1993 57434 24769 1994 53255 23296 1995 53540 24111 1996 53639 21838 1997 52027 19611 1998 53164 19183 1999 51275 17670 2000 50197 17647 2001 51182 18122 2002 50752 17277

Sursa: Anuarul Statistic al României 1993, CNS, Bucureşti, 1994, p. 622-624, Anuarul Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 507, 511.

2 Modele econometrice cu o singură ecuaţie şi cu ecuaţii multiple

Econometrie. Studii de caz

Se cere: a) să se specifice modelul econometric ce descrie legătura dintre cele

două variabile; b) să se estimeze parametrii modelului şi să se calculeze valorile

teoretice ale variabilei endogene; c) să se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici

pătrate; d) să se verifice semnificaţiile estimatorilor şi verosimilitatea

modelului; e) presupunând că în anul 2003 numărul de înnoptări va atinge

valoarea de 17100 mii să se estimeze capacitatea de cazare turistică în funcţiune a României în acest caz.

Rezolvare: a) Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric

unifactorial de forma:

uxfy += )(

unde: y = valorile reale ale variabilelor dependente; x = valorile reale ale variabilelor independente; u = variabila reziduală, reprezentând influenţele celorlalţi factori ai variabilei y,

nespecificaţi în model, consideraţi factori întâmplători, cu influenţe nesemnificative asupra variabilei y.

Analiza datelor din tabel, în raport cu procesul economic descris conduce la următoarea specificare a variabilelor:

y = capacitatea de cazare turistică în funcţiune, reprezentând variabila rezultativă (endogenă);

x = numărul de înnoptări, reprezentînd variabila factorială (exogenă), respectiv factorul considerat prin ipoteza de lucru cu influenţa cea mai puternică asupra variabilei y.


Specificarea unui model econometric presupune, de asemenea, alegerea unei funcţii matematice ( )( )f x cu ajutorul căreia poate fi descrisă

legătura dintre cele variabile. În cazul unui model unifactorial, procedeul cel mai des folosit îl constituie reprezentarea grafică a celor două şiruri de valori cu ajutorul corelogramei – vezi figura 2.1.1.

500005210054200563005840060500626006470066800689007100073100752007730079400

16500

19100

21700

24300

26900

29500

32100

34700

37300

39900

42500

45100

47700

50300

52900

innoptari

ccf

Figura 2.1.1 Legătura dintre capacitatea de cazare turistică în funcţiune (mii locuri-zile) şi numărul de înnoptări în structurile de primire turistică cu funcţiuni

de cazare turistică (mii) în România

Din grafic se poate observa că distribuţia punctelor empirice ( )tt yx ,

poate fi aproximată cu o dreaptă. Ca atare, modelul econometric care descrie legătura dintre cele două variabile se transformă într-un model liniar unifactorial ubxay ++= , a şi b reprezentând parametrii modelului, b ≥ 0 , panta dreptei fiind pozitivă deoarece legătura dintre cele două variabile este liniară.


b) Deoarece parametrii modelului sunt necunoscuţi, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode, în mod curent fiind folosită însă metoda celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.). Utilizarea acestei metode porneşte de la următoarea relaţie:

ntubxay ttt ,1; =++=

tt xbay ˆˆˆ +=

unde:

=ty valorile teoretice ale variabilei y obţinute numai în funcţie de valorile

factorului esenţial x şi de valorile estimatorilor parametrilor a şi b, respectiv $a şi $b ;

( ) ( ) =−+−=−= tttt xbbaayyu ˆˆˆ estimaţiile valorilor variabilei reziduale.

În mod concret, M.C.M.M.P. constă în a minimiza funcţia:

( ) ( ) ( )∑∑==

−−=−=14

1

214

1

2 ˆˆminˆminˆ,ˆt

ttt

tt xbayyybaF

Condiţia de minim a acestei funcţii rezultă din:

( )( ) ∑∑∑

∑∑=+⇒=′

=+⇒=′

tttt

tt

xyxbxabF

yxbanaF2ˆˆ0ˆ

ˆˆ0ˆ

Tabelul 2.1.2

Nr. crt.

ty

(mii locuri-

zile)

tx

(mii)

2tx tt yx

t

t

xy

8694,0912,35030ˆ

++= ( )2xxt − ttt yyu ˆ−= 2

tu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 79458 53377 2849104129 4241229666 81436,2 767377059,6 -1978,2 3913120,5 2 77022 44552 1984880704 3431484144 73763,8 356324948,9 3258,2 10615710,2 3 64124 31927 1019333329 2047286948 62787,8 39082145,3 1336,2 1785381,8 4 55870 26076 679957776 1456866120 57701,0 160457,5 -1831,0 3352697,0 5 57434 24769 613503361 1422582746 56564,7 821612,8 869,3 755597,6 6 53255 23296 542703616 1240628480 55284,1 5661680,3 -2029,1 4117418,8 7 53540 24111 581340321 1290902940 55992,7 2447436,8 -2452,7 6015700,3 8 53639 21838 476898244 1171368482 54016,6 14725858,0 -377,6 142564,2


Nr. crt.

ty

(mii locuri-

zile)

tx

(mii)

2tx tt yx

t

t

xy

8694,0912,35030ˆ

++= ( )2xxt − ttt yyu ˆ−= 2

tu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 52027 19611 384591321 1020301497 52080,5 36777293,9 -53,5 2857,2 10 53164 19183 367987489 1019845012 51708,4 42151628,8 1455,6 2118901,6 11 51275 17670 312228900 906029250 50393,0 64086886,6 882,0 777971,0 12 50197 17647 311416609 885826459 50373,0 64455665,3 -176,0 30968,1 13 51182 18122 328406884 927520204 50785,9 57054283,2 396,1 156866,6 14 50752 17277 298494729 876842304 50051,3 70533602,5 700,7 490974,3

Total 802939 359456 10750847412 21938714252 802939,0 1521660559,4 0,0 34276729,4

Tabelul 2.1.2 (continuare)

yyt − ( )2yyt − xxt − tu ( )xxu tt −ˆ 1−tu ( )21−− tt uu 1−ttuu ( )( )yyxx tt −−

9 10 11 12 13 14 15 16 17 22105,2 488640498,6 27701,6 -1978,2 -54798165,4 - - - 612349172,5 19669,2 386877990,6 18876,6 3258,2 61503190,2 -1978,2 27419223,1 -6445196,2 371287328,4 6771,2 45849342,9 6251,6 1336,2 8353236,1 3258,2 3694061,3 4353515,4 42330729,8 -1482,8 2198653,5 400,6 -1831,0 -733461,2 1336,2 10031276,0 -2446598,5 -593961,6

81,2 6595,8 -906,4 869,3 -787914,1 -1831,0 7291556,9 -1591631,1 -73614,9 -4097,8 16791847,8 -2379,4 -2029,1 4828199,4 869,3 8400685,0 -1763834,3 9750388,4 -3812,8 14537334,9 -1564,4 -2452,7 3837062,2 -2029,1 179394,7 4976862,2 5964830,9 -3713,8 13792204,3 -3837,4 -377,6 1448923,7 -2452,7 4306105,4 926079,6 14251387,4 -5325,8 28363993,5 -6064,4 -53,5 324160,3 -377,6 105056,3 20182,5 32297847,1 -4188,8 17545925,8 -6492,4 1455,6 -9450669,4 -53,5 2277375,2 -77808,2 27195392,1 -6077,8 36939479,2 -8005,4 882,0 -7061001,5 1455,6 329037,7 1283917,5 48655279,4 -7155,8 51205269,2 -8028,4 -176,0 1412822,3 882,0 1119372,7 -155216,8 57449714,5 -6170,8 38078596,3 -7553,4 396,1 -2991640,5 -176,0 327231,3 -69698,3 46610589,1 -6600,8 43570372,0 -8398,4 700,7 -5884742,0 396,1 92800,5 277520,2 55436227,3

0,0 1184398104,4 0,0 0,0 0,0 -1978,2 65573176,1 -711906,1 1322911310,3


Estimarea parametrului $b :

8694,02130347832

41852075834ˆ

361292086159681505118637842886212411283071419995

2107508474135945635945614

9,4268991735945680293914

ˆ

2

==

−−

===

∑∑∑∑∑∑

b

xx

xn

xyx

yn

b

tt

t

ttt

t

(vezi calcule tabelul 2.1.2., coloanele 1, 2, 3, 4)

Estimarea parametrului $a :

xbyan

y

n

xba

nyxban

tttt

ˆˆˆˆ1ˆˆ −=⇔=+⇔⋅=+ ∑∑∑∑

912,350304,256758694,08,57352ˆ

8,5735214

802939

4,2567514

359456

=⋅−=⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

===

===

∑

∑a

n

yy

n

xx

t

t

Dispunând de estimaţiile parametrilor se pot calcula valorile

teoretice (estimate) ale variabilei endogene, ty , cu ajutorul relaţiei:

tt xy 8694,0912,35030ˆ += (vezi tabelul 2.1.2., coloana 5)

Valorile variabilei reziduale vor rezulta din următoarea relaţie:

ttt yyu ˆˆ −= (vezi tabelul 2.1.2., coloana 7)

Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie pătratică a variabilei reziduale us ˆ şi abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori,

as ˆ şi b

s ˆ :

( )

1137,28563942143646,34276729ˆ 2

2ˆ =

−=

−

−= ∑

knyy

s ttu

(vezi tabelul 2.1.2., coloana 8)


unde: k = numărul parametrilor;

087,16901137,2856394ˆ ==us

( )

1977,1441501

4,15216605594,25675

1411137,28563941

2ˆ

2

2

22ˆ

2ˆ

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+=∑

a

tua

s

xxx

nss

(vezi tabelul 2.1.2., coloana 6)

6253,12001977,1441501ˆ ==as

( )0019,0

4,15216605591137,28563941

22ˆ

2ˆ ==

−=

∑ xxss

tub

0433,00019,0ˆ ==b

s

În urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie:

( ) ( )0433,06253,1200087,1690;8694,0912,35030ˆ ˆ =+= utt sxy

c) Estimatorii obţinuţi cu ajutorul M.C.M.M.P. sunt estimatori de maximă verosimilitate dacă pot fi acceptate următoarele ipoteze:

c1) Variabilele observate nu sunt afectate de erori de măsură. Această condiţie se poate verifica cu regula celor trei sigma, regulă

care constă în verificarea următoarelor relaţii:

( )xt xx σ3±∈

( )yt yy σ3±∈

Pe baza datelor din tabelul 2.1.2., coloanele 6, 10, se obţin:

( )4515,104259592,108690039

144,1521660559

2

===−

= ∑n

xxtxσ


( )8185,91975969,84599864

144,1184398104

2

===−

= ∑n

yytyσ

( )

4515,1042534,256754515,1042534,25675333

⋅+<<⋅−⇔⇔+<<−⇔±∈

t

xtxxt

xxxxxx σσσ

( )7832,56951;9261,5600−∈⇒ tx ( )

8185,919738,573528185,919738,57352

333

⋅+<<⋅−⇔

⇔+<<−⇔±∈

t

ytyyt

y

yyyyy σσσ

( )2411,84946;3303,29759∈⇒ ty

Deoarece valorile acestor variabile aparţin intervalelor

( )7832,56951;9261,5600−∈tx şi ( )2411,84946;3303,29759∈ty , ipoteza de

mai sus poate fi acceptată fără rezerve. c2) Variabila aleatoare (reziduală) u este de medie nulă ( ) 0ˆ =uM ,

iar dispersia ei, 2us , este constantă şi independentă de X - ipoteza de

homoscedasticitate, pe baza căreia se poate admite că legătura dintre Y şi X este relativ stabilă.

Acceptarea ipotezei se poate face prin intermediul mai multor procedee:

c2.1) Procedeul grafic - care constă în construirea corelogramei privind valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei reziduale u (vezi Figura 2.1.2).


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

16500 19100 21700 24300 26900 29500 32100 34700 37300 39900 42500 45100 47700 50300 52900

x

u

Figura 2.1.2

Deoarece graficul punctelor empirice prezintă o distribuţie oscilantă,

se poate accepta ipoteza că cele două variabile sunt independente şi nu corelate.

c2.2.) Acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate cu ajutorul analizei variaţiei (vezi punctul d)).

c3) Valorile variabilei reziduale ( )tu sunt independente, respectiv nu

există fenomenul de autocorelare. Acceptarea sau respingerea acestei condiţii se poate face cu: c3.1.) Procedeul grafic - corelograma între valorile variabilei

dependente ( )ty şi valorile variabilei reziduale ( )tu (vezi Figura 2.1.3).


-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

50000 52100 54200 56300 58400 60500 62600 64700 66800 68900 71000 73100 75200 77300 79400

y

u

Figura 2.1.3

Ca şi în cazul graficului precedent, distribuţia punctelor empirice fiind oscilantă, se poate accepta ipoteza de independenţă a erorilor.

c3.2.) Testul Durbin-Watson constă în calcularea termenului empiric:

( )

∑

∑

=

=−−

= n

tt

n

ttt

u

uud

1

2

2

21

ˆ

ˆˆ

şi compararea acestei mărimi „ d ” cu două valori teoretice, d1 şi d 2 , preluate din tabela Durbin-Watson (vezi Anexa 3) în funcţie de un prag de semnificaţie α , arbitrar ales, de numărul variabilelor exogene ( )k şi de

valorile observate ( )n n, ≥ 15 .

Acceptarea sau respingerea ipotezei de independenţă a erorilor se bazează pe o anumită regulă, care constă în:

- dacă 0 1< < ⇒d d autocorelare pozitivă;


- dacă d d d1 2≤ ≤ ⇒ indecizie, recomandându-se acceptarea autocorelării pozitive;

- dacă d d d2 24< < − ⇒ erorile sunt independente; - dacă 4 42 1− ≤ ≤ − ⇒d d d indecizie, recomandându-se acceptarea

autocorelării negative; - dacă 4 41− < < ⇒d d autocorelare negativă. Pe baza datelor problemei, valoarea empirică a variabilei

Durbin-Watson este:

( )91,1

3646,342767291,65573176

ˆ

ˆˆ

14

1

2

14

2

21

==−

=

∑

∑

=

=−

tt

ttt

u

uud

Lucrând cu un prag de semnificaţie 05,0=α , numărul variabilelor exogene fiind k = 1, iar numărul observaţiilor 14=n , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se citesc valorile (pentru cazul 15=n ) 08,11 =d şi

36,12 =d .

Deoarece 64,2491,136,1 22 =−<=<= ddd , se poate accepta ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale.

c3.3.) Coeficientul de autocorelaţie de ordinul 1

∑

∑−

=

=−

=1

1

2

21

1

ˆ

ˆˆ

n

tt

n

ttt

u

uu

r

Se poate demonstra că între coeficientul de autocorelaţie de ordinul 1 şi variabila Durbin-Watson există relaţia:

( )2

112 11drrd −=⇒−=


Ştiind că:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

↓

↑=⇒

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⇒⇒⇒⇒⇒

↓

↑−

=

0

2

4

1

0

1

1 d

pozitiva

negativa

strict

strict

reautocorelaindecizie

taindependenindecizie

reautocorela

r

Calculul coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1:

021,01,337857551,711906

ˆ

ˆˆ

13

1

2

14

21

1 −=−

==

∑

∑

=

=−

tt

ttt

u

uu

r

Deoarece 0021,01 →−=r , şi acest indicator arată că ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale poate fi acceptată.

c4) Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale Se ştie că, dacă erorile urmează legea normală de medie zero şi de

abatere medie pătratică su$ (consecinţa ipotezelor c1, c2, c3), atunci are loc relaţia:

( ) αα −=≤ 1ˆ ut stuP

Pe baza acestei relaţii, în funcţie de diferite praguri de semnificaţie α , din tabela distribuţiei normale se vor prelua valorile corespunzătoare ale lui tα .

Lucrând cu un prag de semnificaţie 05,0=α , din tabela distribuţiei Student ( )n < 30 se preia valoarea variabilei, cu un număr de grade de

libertate 179,2,122142 12;05,0 ==−=−= tnv , iar pentru un prag de

semnificaţie 01,0=α , avem 055,312;01,0 =t . Cu ajutorul acestor date,

verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza următorului grafic (Figura 2.1.4.): pe axa Ox se vor reprezenta valorile ajustate ale variabilei y,

ty (vezi tabelul 2.1.2, coloana 5), iar pe axa Oy se vor trece valorile

variabilei reziduale tu (vezi tabelul 2.1.2, coloana 7).


Se observă că valorile empirice ale variabilei reziduale se înscriu în banda construită, cu un prag de semnificaţie 05,0=α . Ca atare, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptată cu acest prag de semnificaţie.

-3700

-2700

-1700

-700

300

1300

2300

3300

50000 52500 55000 57500 60000 62500 65000 67500 70000 72500 75000 77500 80000

u t

ty

ust ˆ05,0 ⋅+

ust ˆ05,0 ⋅−

Figura 2.1.4

d) Verificarea semnificaţiei estimatorilor şi a verosimilităţii

modelului d1) Verificarea semnificaţiei estimatorilor Estimatorii sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de

semnificaţie α , dacă se verifică următoarele relaţii:

vb

bva

a ts

btt

sa

t ;ˆ

ˆ;ˆ

ˆ

ˆ;

ˆαα >=>=


Ştiind că (vezi punctul b) al problemei) 6253,1200;912,35030ˆ ˆ == asa şi 0433,0;8694,0ˆ

ˆ ==b

sb şi, lucrând cu un

prag de semnificaţie 05,0=α , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea 179,212;05,0 =t .

179,21772,296253,1200

912,35030ˆ12;05,0

ˆˆ =>=== t

sa

ta

a

179,20661,200433,0

;8694,0ˆ12;05,0

ˆˆ =>=== t

s

bt

bb

Pe baza calculelor de mai sus se observă faptul că ambii estimatori

sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α . d2) Verificarea verosimilităţii modelului Pentru a accepta ipoteza de liniaritate se calculează coeficientul de

corelaţie liniară:

( ) ( )( )9854,0

8185,91974515,10425143,1322911310,cov

/ =⋅⋅

=−−

== ∑yx

tt

yxxy n

xxyyxyrσσσσ

Coeficientul de corelaţie liniară fiind definit în intervalul [ ]−11; ,

rezultă că valoarea obţinută de 0,985 indică o puternică corelaţie liniară între cele două variabile.

Verificarea verosimilităţii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variaţiei).


Tabelul 2.1.3 Valoarea testului “F” Sursa de

variaţie Măsura variaţiei

Nr. gradelor de libertate

Dispersii corectate Fc F v vα ; ;1 2

Varianţa dintre grupe

( )

1150121375

ˆ14

1

22

=

−= ∑=t

tx yyV

11=−k

11501213751

22

/

=−

=kVs x

XY

648,402

2ˆ

2/

=

=u

XYc s

sF

33,976,4

12;1;01,0

12;1;05,0

=

=

FF

Varianţa reziduală

( )

4,34276729

ˆ14

1

22

=

−=∑=t

ttu yyV12=− kn

1,2856394

22ˆ

=−

=kn

Vs uu - -

Varianţa totală

( )

4,1184398104

14

1

220

=

−=∑=t

t yyV

131 =−n

-

-

-

Testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele obţinute sunt

semnificative pentru un prag de semnificaţie de 5%: 76,4648,402 12;1;05,0 =>= FFc .

Pe baza datelor din tabelul de mai sus se poate calcula raportul de corelaţie dintre cele două variabile:

985,09854,03571,11843981049925,11501213741 2

0

2

20

2

/ ≈==−==VV

VV

R uxxy

Se poate demonstra că, în cazul unei legături liniare, raportul de

corelaţie este egal cu coeficientul de corelaţie liniară: ( )

xyy

x

yxxy Rb

xyr //

ˆ,cov=⋅==

σσ

σσ

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie şi, implicit, a coeficientului de corelaţie liniară se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

( )F n RRc = −

−2

1

2

2 , R fiind semnificativ dacă F Fc v v≥ α ; ;1 2.


76,4648,402554,33120289,09711,012 12;1;05,0 =>=⋅=⋅= FFc

Deoarece raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α , rezultă modelul econometric:

( ) ( )087,1690

91,10433,06253,1200985,0;8694,0912,35030ˆ

ˆ ===+=

u

tt

sdRxy

care descrie corect dependenţa dintre cele două variabile, acesta explicând 97,11% din variaţia totală a variabilei dependente, adică variaţia capacităţii de cazare în funcţiune se datorează în proporţie de 97,11% numărului de înnoptări.

1001001002

0

2

20

2222

0 ⋅+⋅=⇒+=VV

VV

VVV uxux

e) Dacă numărul înnoptărilor va fi egal cu 17100 mii ( )17100=′tx ,

capacitatea de cazare turistică în funcţiune va fi egală cu: 4230,49897171008694,0912,35030ˆˆ17100/ =⋅+=′+== tx xbaY mii locuri-zile

Pe baza ipotezei formulate la punctele precedente, capacitatea de cazare turistică în funcţiune y urmează o distribuţie normală (sau distribuţia Student, dacă n ≤ 30 ), de medie Y şi de abatere medie pătratică sY ,

( ) ( )L y N Y sY= , .

Pentru 4230,4989717100 =⇒=′ tt Yx

( )( )

( ) 4251,17884,15216605594,2567517100

14111137,2856394

11

2

17100/

2

22ˆ17100/

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−′++=

=

= ∑

xY

t

tuxY

s

xxxx

nss


Estimarea capacităţii de cazare în funcţiune, care se poate obţine dacă numărul înnoptărilor va fi egal cu 17100 mii, pe baza unui interval de încredere, se calculează cu relaţia:

( ) ααα −=+≤≤− ===== 117100/17100/17100/17100/17100/ xYxxxYx stYystYP

Pentru 05,0=α şi 12=−= knv , din tabela distribuţiei Student se

preia valoarea variabilei 179,212;05,0; == tt vα .

Deci, cu un prag de semnificaţie de 0,05 sau cu o probabilitate egală cu 0,95, capacitatea de cazare turistică în funcţiune va fi cuprinsă în intervalul:

[ ]( ) 95,005,014251,1788179,24230,4989717100/ =−=⋅±∈=xYP [ ]( ) 95,04014,54794;4446,4600017100/ =∈=xYP

2.1.2 Model liniar unifactorial cu erori heteroscedastice

Se cunosc următoarele date1 privind privind venitul mediu şi cheltuielile medii efectuate de un eşantion 30 de familii cu procurarea mărfurilor alimentare:

Tabelul 2.2.1

Nr. crt.

Cheltuieli medii cu procurarea mărfurilor alimentare

(u.m./familie)

Venitul mediu (u.m./familie)

0 1 2 1 55 80 2 65 100 3 70 85 4 80 110 5 79 120 6 84 115 7 98 130 8 95 140 9 90 125

1 Datele problemei şi o parte din testele utilizate sunt reproduse din D. N. Gujarati, Basic Econometrics, Third Edition, McGraw-Hill, Inc., 1995, p. 369-380.


Nr. crt.

Cheltuieli medii cu procurarea mărfurilor alimentare

(u.m./familie)

Venitul mediu (u.m./familie)

0 1 2 10 75 90 11 74 105 12 110 160 13 113 150 14 125 165 15 108 145 16 115 180 17 140 225 18 120 200 19 145 240 20 130 185 21 152 220 22 144 210 23 175 245 24 180 260 25 135 190 26 140 205 27 178 265 28 191 270 29 137 230 30 189 250

Se cere: a) Specificarea, identificarea şi estimarea parametrilor modelului

econometric ce descrie legătura dintre cele două variabile; b) Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici

pătrate (M.C.M.M.P.) şi a verosimilităţii modelului.

Rezolvare:

a) Analiza variabilelor aferente problemei conduce la specificarea acestora:

- venitul mediu reprezintă variabila explicativă sau exogenă (x) a modelului, în timp ce cheltuielile pentru procurarea mărfurilor alimentare constituie variabila endogenă (y) a modelului;

- variabila endogenă, cheltuieli pentru mărfuri alimentare, depinde şi de alţi factori - numărul membrilor de familie, categoria socio-profesională


a familiei, etc. - dar aceştia sunt consideraţi factori cu acţiune întâmplătoare şi specificaţi cu ajutorul variabilei aleatoare (u).

Pe baza acestor premise, datele problemei pot fi analizate cu ajutorul următorului model:

( )y f x u= +

Identificarea modelului presupune alegerea unei funcţii matematice care să descrie corelaţia dintre cele două variabile. În cazul unui model unifactorial (cum este cel specificat mai sus), procedeul cel mai des folosit îl constituie reprezentarea grafică a datelor, respectiv corelograma (vezi figura 2.2.1).

50

70

90

110

130

150

170

190

70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270

x

y

Figura 2.2.1 Legătura dintre cheltuielile medii cu procurarea

mărfurilor alimentare şi venitul mediu

Deoarece graficul punctelor empirice arată că acestea pot fi aproximate cu ajutorul unei drepte ( )f x a bx= + , modelul econometric

devine: y a bx ui i i= + + ; .30,,1 == nni Următoarea operaţie constă în estimarea parametrilor modelului, a şi

b, cu ajutorul estimatorilor $a şi $b . În acest scop se va utiliza metoda celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P.).

( ) ( ) ( )∑∑==

−−=−=30

1

230

1

2 ˆˆminˆminˆ,ˆi

iii

ii xbayyybaF



( )( )′ = ⇒ + =

′ = ⇒ + =

∑ ∑∑ ∑ ∑

F a na b x y

F b a x b x y x

i i

i i i i

$ $ $

$ $ $

0

0 2

Tabelul 2.2.2 Nr. crt.

yi xi iu 2iu

x xi − ( )u x xi i − yi ↑ xi ↑ 2ln iu ixln

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 55 80 -5,3131 28,2287 -93,17 495,00 55 80 3,3403 4,3820 2 65 100 -8,0688 65,1049 -73,17 590,36 70 85 4,1760 4,6052 3 70 85 6,4980 42,2241 -88,17 -572,91 75 90 3,7430 4,4427 4 80 110 0,5534 0,3062 -63,17 -34,96 65 100 -1,1834 4,7005 5 79 120 -6,8245 46,5732 -53,17 362,83 74 105 3,8410 4,7875 6 84 115 1,3645 1,8618 -58,17 -79,37 80 110 0,6215 4,7449 7 98 130 5,7977 33,6133 -43,17 -250,27 84 115 3,5149 4,8675 8 95 140 -3,5801 12,8174 -33,17 118,74 79 120 2,5508 4,9416 9 90 125 0,9866 0,9734 -48,17 -47,52 90 125 -0,0269 4,8283 10 75 90 8,3091 69,0408 -83,17 -691,04 98 130 4,2347 4,4998 11 74 105 -2,2577 5,0971 -68,17 153,90 95 140 1,6287 4,6540 12 110 160 -1,3358 1,7845 -13,17 17,59 108 145 0,5791 5,0752 13 113 150 8,0420 64,6739 -23,17 -186,31 113 150 4,1694 5,0106 14 125 165 10,4752 109,7307 -8,17 -85,55 110 160 4,6980 5,1059 15 108 145 6,2309 38,8245 -28,17 -175,50 125 165 3,6591 4,9767 16 115 180 -9,0915 82,6559 6,83 -62,13 115 180 4,4147 5,1930 17 140 225 -12,7918 163,6310 51,83 -663,04 130 185 5,0976 5,4161 18 120 200 -16,8472 283,8288 26,83 -452,07 135 190 5,6484 5,2983 19 145 240 -17,3586 301,3210 66,83 -1160,13 120 200 5,7082 5,4806 20 130 185 2,7195 7,3959 11,83 32,18 140 205 2,0009 5,2204 21 152 220 2,3971 5,7460 46,83 112,26 144 210 1,7485 5,3936 22 144 210 0,7749 0,6005 36,83 28,54 152 220 -0,5100 5,3471 23 175 245 9,4525 89,3493 71,83 679,00 140 225 4,4926 5,5013 24 180 260 4,8857 23,8701 86,83 424,24 137 230 3,1726 5,5607 25 135 190 4,5306 20,5266 16,83 76,27 145 240 3,0217 5,2470 26 140 205 -0,0361 0,0013 31,83 -1,15 175 245 -6,6406 5,3230 27 178 265 -0,3032 0,0919 91,83 -27,85 189 250 -2,3866 5,5797 28 191 270 9,5079 90,3994 96,83 920,68 180 260 4,5042 5,5984 29 137 230 -18,9808 360,2691 56,83 -1078,74 178 265 5,8869 5,4381 30 189 250 20,2636 410,6116 76,83 1556,92 191 270 6,0176 5,5215

Total 3592 5195 0,0000 2361,1533 - 0,00 3592 5195 81,7230 152,7413


Tabelul 2.2.2

(continuare)

iu ix ix1 ix1 7051,78

2iu

i =θ iθ ( )2ˆ θθ −i zyxi

i

i

= iy′ˆ iu′ 2

iu′ 2⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ − xix

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 5,3131 8,9443 0,0125 0,1118 0,3587 0,0624 0,8790 0,6875 60,829 -5,829 33,973 8680,028 8,0688 10,0000 0,0100 0,1000 0,8272 0,2637 0,5421 0,6500 73,466 -8,466 71,674 5353,361 6,4980 9,2195 0,0118 0,1085 0,5365 0,1128 0,7872 0,8235 63,988 6,012 36,144 7773,361 0,5534 10,4881 0,0091 0,0953 0,0039 0,3643 0,4041 0,7273 79,785 0,215 0,046 3990,028 6,8245 10,9545 0,0083 0,0913 0,5917 0,4650 0,2863 0,6583 86,103 -7,103 50,459 2826,694 1,3645 10,7238 0,0087 0,0933 0,0237 0,4147 0,3426 0,7304 82,944 1,056 1,115 3383,361 5,7977 11,4018 0,0077 0,0877 0,4271 0,5656 0,1887 0,7538 92,422 5,578 31,113 1863,361 3,5801 11,8322 0,0071 0,0845 0,1629 0,6662 0,1114 0,6786 98,741 -3,741 13,994 1100,028 0,9866 11,1803 0,0080 0,0894 0,0124 0,5153 0,2349 0,7200 89,263 0,737 0,543 2320,028 8,3091 9,4868 0,0111 0,1054 0,8772 0,1631 0,7004 0,8333 67,147 7,853 61,664 6916,694 2,2577 10,2470 0,0095 0,0976 0,0648 0,3140 0,4706 0,7048 76,625 -2,625 6,893 4646,694 1,3358 12,6491 0,0063 0,0791 0,0227 0,8675 0,0176 0,6875 111,378 -1,378 1,900 173,361 8,0420 12,2474 0,0067 0,0816 0,8217 0,7669 0,0544 0,7533 105,060 7,940 63,051 536,694 10,4752 12,8452 0,0061 0,0778 1,3942 0,9178 0,0068 0,7576 114,538 10,462 109,462 66,694 6,2309 12,0416 0,0069 0,0830 0,4933 0,7166 0,0803 0,7448 101,900 6,100 37,208 793,361 9,0915 13,4164 0,0056 0,0745 1,0502 1,0688 0,0047 0,6389 124,016 -9,016 81,282 46,694 12,7918 15,0000 0,0044 0,0667 2,0790 1,5216 0,2721 0,6222 152,450 -12,450 154,997 2686,694 16,8472 14,1421 0,0050 0,0707 3,6062 1,2700 0,0729 0,6000 136,653 -16,653 277,323 720,028 17,3586 15,4919 0,0042 0,0645 3,8285 1,6726 0,4523 0,6042 161,928 -16,928 286,551 4466,694 2,7195 13,6015 0,0054 0,0735 0,0940 1,1191 0,0142 0,7027 127,175 2,825 7,981 140,028 2,3971 14,8324 0,0045 0,0674 0,0730 1,4713 0,2221 0,6909 149,290 2,710 7,342 2193,361 0,7749 14,4914 0,0048 0,0690 0,0076 1,3707 0,1374 0,6857 142,972 1,028 1,057 1356,694 9,4525 15,6525 0,0041 0,0639 1,1352 1,7229 0,5225 0,7143 165,087 9,913 98,264 5160,028 4,8857 16,1245 0,0038 0,0620 0,3033 1,8738 0,7636 0,6923 174,565 5,435 29,537 7540,028 4,5306 13,7840 0,0053 0,0725 0,2608 1,1694 0,0287 0,7105 130,334 4,666 21,768 283,361 0,0361 14,3178 0,0049 0,0698 0,0000 1,3203 0,1026 0,6829 139,812 0,188 0,035 1013,361 0,3032 16,2788 0,0038 0,0614 0,0012 1,9241 0,8540 0,6717 177,725 0,275 0,076 8433,361 9,5079 16,4317 0,0037 0,0609 1,1486 1,9745 0,9496 0,7074 180,884 10,116 102,335 9376,694 18,9808 15,1658 0,0043 0,0659 4,5775 1,5719 0,3271 0,5957 155,609 -18,609 346,300 3230,028 20,2636 15,8114 0,0040 0,0632 5,2171 1,7732 0,5978 0,7560 168,247 20,753 430,707 5903,361

205,5785 388,8038 0,1975 2,3926 30,0000 30,0000 10,4280 20,9862 3590,936 1,064 2364,793 102974,167


Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate: Dependent Variable: yi

Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30

Variable Coefficient Semnif.

ind. Std. Error

Semnif. ind.

t-StatisticSemnif.

ind. Prob.

C 9,2903 a 5,2314 asˆ 1,7759 at ˆ 0,0866 ( )ap ˆ

xi 0,6378 b 0,0286 bsˆ 22,2872 b

t ˆ 0,0000 ( )bp ˆ

R-squared 0,9466 2R Mean dependent

var 119,7333 y

Adjusted R-squared 0,9447

2cR S.D. dependent

var 39,0613 ys

S.E. of regression 9,1830 us ˆ Akaike info

criterion 7,3369 AIC

Sum squared

resid 2361,1530

( )∑∑=

=−2

2

ˆ

ˆ

i

ii

u

yySchwarz criterion 7,4303 SC

Log likelihood -108,0538 L F-statistic 496,7183 Fc

Durbin-Watson stat 1,7023 d Prob(F-statistic) 0,0000 p(F)

Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul

de programe EViews este următoarea:

( ) ( )=bpap ˆ,ˆ probabilitatea asociată parametrului â, respectiv b . O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a parametrului respectiv, în caz contrar, aceasta confirmând, împreună cu testul t, faptul că parametrul respectiv este nesemnificativ.

2cR = coeficientul de deteminare corectat sau ajustat. Acesta este

utilizat în vederea evidenţierii numărului de variabile factoriale cuprinse în


model, precum şi a numărului de observaţii pe baza cărora au fost estimaţi parametrii modelului. În cazul unui model multifactorial acesta va înregistra valori inferioare coeficientului de deteminaţie. Expresia acestui indicator este următoarea:

( )22 111 Rkn

nRc −⋅−−

−=

L= logaritmul funcţiei de verosimilitate (presupunând că erorile sunt normal distribuite), funcţie ce este determinată ţinând seama de valorile estimate ale parametrilor. Relaţia de calcul a acestui indicator, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑

nunL t

2ˆln2ln1

2π

unde: =∑ 2ˆtu suma pătratelor erorilor;

k = numărul variabilelor exogene; n = numărul de observaţii.

Acest indicator este utilizat în vederea elaborării unor teste statistice destinate depistării variabilelor omise dintr-un model econometric, precum şi a unor teste destinate depistării variabilelor redundante dintr-un model econometric, ca, de exemplu, testul LR sau raportul verosimilităţilor (Likelihood Ratio).

y = media variabilei dependente sau endogene, având următoarea relaţie de calcul:

n

yy

n

ii∑

== 1

ys = abaterea medie pătratică (standard) corespunzătoare variabilei

dependente, a cărei relaţie de calcul este următoarea:

( )1

1

2

−

−=∑=

n

yys

n

ii

y


AIC = criteriul Akaike este utilizat în cazul comparării a două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

nk

nLAIC 22+−=

Regula de decizie utilizată în cazul aplicării acestui test este aceea potrivit căreia este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator.

SC = criteriul Schwartz este, de asemenea, utilizat pentru a compara două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

nnk

nLSC ln2+−=

Şi în acest caz, este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator.

p(F) = probabilitatea asociată statisticii F. O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a rezultatelor estimării, respectiv a modelului.

Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, ii xy 6378,02903,9ˆ += şi ale variabilei reziduale,

iii yyu ˆˆ −= . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.2.3

(utilizând pachetul de programe EViews):

Tabelul 2.2.3 Actual

iy Fitted

iy Residual

iii yyu ˆˆ −= Residual Plot

(graficul reziduurilor)

55 60,3131 -5,3131 | . * | . | 65 73,0688 -8,0688 | * | . | 70 63,5020 6,4980 | . | *. | 80 79,4466 0,5534 | . * . | 79 85,8245 -6,8245 | .* | . | 84 82,6355 1,3645 | . |* . | 98 92,2023 5,7977 | . | * . | 95 98,5801 -3,5801 | . * | . | 90 89,0134 0,9866 | . |* . | 75 66,6909 8,3091 | . | * |


Actual

iy Fitted

iy Residual

iii yyu ˆˆ −= Residual Plot


74 76,2577 -2,2577 | . *| . | 110 111,3358 -1,3358 | . *| . | 113 104,9580 8,0420 | . | * | 125 114,5248 10,4752 | . | .* | 108 101,7691 6,2309 | . | *. | 115 124,0915 -9,0915 | * | . | 140 152,7918 -12,7918 | * . | . | 120 136,8472 -16,8472 | * . | . | 145 162,3586 -17,3586 | * . | . | 130 127,2805 2,7195 | . | * . | 152 149,6029 2,3971 | . |* . | 144 143,2251 0,7749 | . * . | 175 165,5475 9,4525 | . | .* | 180 175,1143 4,8857 | . | * . | 135 130,4694 4,5306 | . | * . | 140 140,0361 -0,0361 | . * . | 178 178,3032 -0,3032 | . * . | 191 181,4921 9,5079 | . | .* | 137 155,9808 -18,9808 | * . | . | 189 168,7364 20,2636 | . | . *|

- dispersia variabilei reziduale

( )3269,84

1130153,2361

1ˆ 2

2 =−−

=−−−

= ∑kn

yys ii

u unde: k = numărul variabilelor exogene. (vezi tabelul afişat de programul EViews)

- abaterea medie pătratică a variabilei reziduale:

( )183,93269,84

1ˆ 2

ˆ ==−−−

= ∑kn

yys ii

u

(vezi tabelul afişat de programul EViews)


- abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori:

( )2314,51

2

22ˆˆ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+=∑ xx

xn

ssi

ua

( )0286,02

2ˆ

ˆ =−

=∑ xx

ssi

ub


- raportul de corelaţie:

( )

( )

( )

( )973,09466,0

290613,39153,23611

1

ˆ

1

ˆ

1 22

30

1

2

30

1

2

30

1

2

2 ==⋅

−=−⋅

−

−=

−

−

−==∑

∑

∑=

=

=

ns

yy

yy

yyRR

y

iii

ii

iii


- variabila Durbin-Watson, d:

( )70,1

ˆ

ˆˆ

30

1

2

30

2

21

=−

=

∑

∑

=

=−

ii

iii

u

uud


Astfel modelul estimat devine:

( ) ( )183,970,10286,02314,5973,0;6378,02903,9ˆ

ˆ ===+=

u

ii

sdRxy


b) Verificarea ipotezelor de fundamentare a metodei celor mai mici pătrate (M.C.M.M.P) şi a verosimilităţii modelului.

b1) Prima ipoteză, referitoare la calitatea datelor înregistrate se consideră rezolvată în etapa de prelucrare a datelor observate statistic.

b2) Ipoteza de homoscedasticitate, ( ) ( )M u ct i ni ui$ , , ,$= = ∀ =0 12σ va

fi verificată cu ajutorul următoarelor metode şi teste: b2.1) Procedeul grafic - care constă în construirea corelogramei

privind valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei reziduale u (vezi Figura 2.2.2).

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270

x

u

Figura 2.2.2 Deoarece graficul punctelor empirice prezintă o distribuţie oscilantă,

se poate accepta ipoteza că cele două variabile sunt independente şi nu corelate.

b2.2) Metoda analizei dispersionale (variaţiei) Cele două restricţii corespunzătoare ipotezei, menţionate anterior, se

realizează dacă variabila reziduală u şi variabila explicativă x sunt independente. Pe această premisă se fundamentează utilizarea metodei analizei variaţiei la acceptarea sau respingerea ipotezei de homoscedasticitate.


Metoda analizei variaţiei porneşte de la relaţia:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )∑∑∑∑∑=====

−−+−+−=−+−=−n

iiii

n

iii

n

ii

n

iiii

n

ii yyyyyyyyyyyyyy

11

2

1

2

1

2

1

2 ˆˆ2ˆˆˆˆ

Deoarece V V Vx u02 2 2= + , adică variaţia totală a variabilei y

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

=

n

ii yyV

1

220 este egală cu variaţia lui y generată de influenţa

variabilei x ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

=

n

iix yyV

1

22 ˆ la care se adaugă variaţia lui y provocată de

factori aleatori ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= ∑

=

n

iiiu yyV

1

22 ˆ , rezultă că termenul

( )( ) 0ˆˆ21

=−−∑=

n

iiii yyyy .

Ştiind că:

iii yyu ˆˆ −=

ii bxay +=ˆ

xbay += relaţia de mai sus devine:

( )( ) ( ) ( )

( )uxnbnnuxxbuxbabxayyyy

n

iii

n

iii

n

iiii

,cov2

22ˆˆ2111

=

=−=−−+=−− ∑∑∑===

Deci termenul ( )( ) 0ˆˆ21

=−−∑=

n

iiii yyyy numai dacă cele două

variabile x şi u sunt independente, respectiv ( )cov , ,u x b= ≠0 0 .

Pe baza calculelor efectuate (vezi tabelul 2.2.2., coloanele 3, 5, 6), deoarece ( ) 0=−∑ ii uxx , se deduce că cele două variabile x şi u sunt

independente, deci ipoteza de homoscedasticitate este verificată.


b2.3) Estimarea unei matrici a covarianţelor corspunzătoare estimatorilor parametrilor modelului2 adecvată aplicării M.C.M.M.P. în cazul unui model conţinând erori heteroscedastice

Heteroscedasticitatea erorilor implică faptul că dispersiile corespunzătoare erorilor nu mai sunt egale, ci diferite, caz în care estimatorii parametrilor modelului rămân nedeplasaţi, dar nu mai sunt eficace. Astfel, aplicarea M.C.M.M.P. va conduce la o subestimare a parametrilor modelului, influenţând sensibil şi calitatea diferitelor teste statistice aplicate modelului.

În cazul unui model multifactorial, vectorul estimatorilor parametrilor modelului se calculează, matriceal, cu ajutorul relaţiei:

( ) ( )YXXXB ′⋅′= −1ˆ . Matricea varianţelor şi covarianţelor corespunzătoare

acestuia este de forma: ( ) ( ) 12 −′⋅= XXBV uσ 3. Acest mod de calcul al

matricei varianţelor şi covarianţelor este valabil doar în cazul în care aplicarea M.C.M.M.P. conduce la obţinerea de estimatori eficienţi, convergenţi şi nedeplasaţi, deci ipotezele corespunzătoare acestei metode au fost verificate în prealabil. În cazul unor erori heteroscedastice, a căror formă este, în general, necunoscută, este posibil, ca prin aplicarea metodei regresiei ponderate în vederea eliminării heteroscedasticităţii erorilor, să nu se obţină estimatori consistenţi. White a arătat că este posibil să se calculeze un estimator adecvat al matricii covarianţelor corespunzătoare estimatorilor parametrilor modelului, chiar dacă există o relaţie de dependenţă între erorile heteroscedatice şi variaibilele exogene incluse în model, pe care a denumit-o matricea covarianţelor estimatorilor consistenţi heteroscedastici (HCCME), de forma:

( ) ( ) ( ) 1

1

21 −

=

− ′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ′′−

= ∑ XXxxuXXkn

nBVn

iiiiW

2 Vezi Wiliam H. Greene, Econometric Analysis, 2nd ed., Macmillan, New York, 1993,

p. 384-392. 3 vezi demonstraţie op. cit., p. 182.


unde: n = numărul de observaţii; k = numărul regresorilor; ui= variabila reziduală.

Prin aplicarea acestei matrici, estimaţiile punctuale ale parametrilor nu vor suferi modificări, ci doar abaterile standard corespunzătoare parametrilor. Utilizarea acestei matrici va permite observarea mai rapidă a prezenţei fenomenului de heteroscedasticitate a erorilor. Astfel, abaterile standard vor putea fi mai mari sau mai mici comparativ cu cele obţinute în cazul modelului iniţial, iar valorile mai mici înregistrate de testul Student, t, vor semnaliza faptul că estimatorii parametrilor sunt nesemnificativi, deci posibila prezenţă a erorilor heteroscedastice.

Utilizând pachetul de programe EViews, în vederea exemplificării calculării abaterilor standard şi dispersiilor heteroscedastice corectate cu ajutorul metodei lui White au fost obţinute următoarele rezultate: Dependent Variable: yi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance

Variable Coefficient Std, Error t-Statistic Prob. C 9,2903 4,4378 2,0934 0,0455 xi 0,6378 0,0298 21,3818 0,0000

R-squared 0,9466 Mean dependent var 119,7333 Adjusted R-squared 0,9447 S.D. dependent var 39,0613 S.E. of regression 9,1830 Akaike info criterion 7,3369 Sum squared resid 2361,1530 Schwarz criterion 7,4303 Log likelihood -108,0538 F-statistic 496,7183 Durbin-Watson stat 1,7023 Prob(F-statistic) 0,0000

Comparând rezultatele estimării obţinute în ambele cazuri, se

constată că abaterea standard corespunzătoare termenului liber, utilizând matricea covarianţelor estimatorilor consistenţi heteroscedastici, este mai mică decât cea obţinută în cazul modelului iniţial, estimatorul acestui parametru fiind semnificativ în această situaţie, comparativ cu modelul iniţial, în care era nesemnificativ.


b2.3) Testul Goldfeld-Quandt4 Acest test se poate aplica atunci când se dispune de serii lungi de

date şi când una dintre variabile reprezintă cauza heteroscedasticităţii (între dispersia variabilei reziduale heteroscedastică şi variabila exogenă există o relaţie de dependenţă pozitivă), şi presupune parcurgerea următoarelor etape:

- ordonarea crescătoare a observaţiilor în funcţie de variabila exogenă x;

- eliminarea a c observaţii centrale, c fiind specificat a priori. În privinţa numărului de observaţii omise, c, au fost emise diverse opinii. În cazul unui model unifactorial, Goldfeld şi Quandt, în urma efectuării experimentelor Monte-Carlo, au propus ca c să fie aproximativ egal cu 8 în cazul în care mărimea eşantionului este de aproximativ 30 de observaţii şi 16, dacă eşantionul cuprinde 60 de observaţii. Judge şi colaboratorii săi menţionează faptul că, în cazul în care c=4 pentru n=30 şi c=10 pentru n≈60, se obţin rezultate mai bune. În general, se consideră că c trebuie să reprezinte o treime sau un sfert din numărul total de observaţii.

- efectuarea de regresii aplicând M.C.M.M.P. asupra celor două sub-eşantioane de dimensiune (n-c)/2 şi calcularea sumei pătratelor erorilor pentru fiecare subeşantion în parte;

- calcularea raportului dintre sumele pătratelor erorilor sau dispersiilor acestora, corespunzătoare celor două subeşantioane (suma pătratelor erorilor având valoarea cea mai mare fiind plasată la numărător):

( ) ( )( )

( ) ( )( )∑

∑

+−

=

−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

== n

cni

cn

i

u

u

kcnu

kcnu

ss

F

12

22

2/

1

21

2

2*

12

/

12

/

2

1

unde: k = numărul variabilelor exogene. Presupunând că erorile sunt normal distribuite, atunci raportul F*

urmează o distribuţie F cu ( ) ( )1221 +−−

== kcnvv grade de libertate.

4 cf. Damodar N. Gujarati, Basic Econometrics, 3rd ed., Mc Graw-Hill, New York, 1995,

p. 374-375.


- dacă ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−>1

2;1

2;

*

kcnkcnFFα

, atunci ipoteza de

homoscedasticitate este infirmată, deci erorile sunt heteroscedastice;

- dacă ( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−<1

2;1

2;

*

kcnkcnFFα

ipoteza de homoscedasticitate

este acceptată. Pentru a aplica acest test au fost ordonate crescător valorile

variabilei exogene x şi, corespunzător acestora, şi cele ale variabilei dependente y (vezi tabelul 2.2.2 coloanele 7, 8) şi au fost eliminate 4 observaţii situate în centrul eşantionului (vezi observaţiile din coloana 8, corespunzătoare variabilei x, evidenţiate prin caractere aldine), rezultând două subeşantioane a câte 13 observaţii fiecare.

În urma aplicării programului EViews, rezultatele estimării, corespunzătoare celor două subeşantioane, au fost următoarele:

( ) ( )11

17,3770744,07049,8

8887,0;6968,04904,3ˆ

1

21

21

=

=

=+=

∑v

u

Rxy

i

ii

( ) ( )11

8,15361319,06421,30

7681,0;7941,00272,28ˆ

2

22

22

=

=

=+−=

∑v

u

Rxy

i

ii

07,41117,377118,1536

121

222* ===

∑∑

vuvu

Fi

i

Analizând rezultatele obţinute se constată că, pentru un prag de

semnificaţie α = 0,05, 82,207,4 11;11;05,0* =>= FF , deci erorile sunt

heteroscedastice, în timp ce, pentru un prag de semnificaţie α = 0,01, 46,407,4 11;11;01,0

* =<= FF putem considera că ipoteza de

homoscedasticitate se verifică.


b2.4) Testul Park5 Testul propus de Park se bazează pe existenţa unei relaţii de

dependenţă între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabila exogenă x de forma: i

iexb

iuωσσ 22 = . Acest model neliniar poate fi

transformat într-un model liniar prin logaritmare:

iiu xbi

ωσσ ++= lnlnln 22

unde: ωi = variabila reziduală, ce verifică ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P.

Ca urmare a faptului că valoarea dispersiei erorilor heteroscedastice este necunoscută, aceasta a fost înlocuită cu pătratul erorilor, 2ˆiu în cadrul

modelului liniarizat prin logaritmare:

iiiii xbxbu ωβωσ ++=++= lnlnlnˆln 22

În situaţia în care parametrul b corespunzător variabilei exogene este nesemnificativ ipoteza de homoscedasticitate a erorilor este verificată, cazul contrar indicând existenţa heteroscedasticităţii.

În vederea verificării existenţei heteroscedasticităţii erorilor vom logaritma pătratul erorilor calculate în cazul modelului iniţial pe care le vom regresa în funcţie de valorile logaritmate ale variabilei exogene xi (vezi tabelul 2.2.2 coloanele 9 şi 10). În urma aplicării programului EViews au fost obţinute următoarele rezultate:

( ) ( )4252,12749,7002,0;ln3359,0014,1ˆln 22 =+= Rxu ii

Pentru a verifica semnificaţia estimatorului parametrului corespunzător variabilei exogene a fost utilizat testul Student, t, respectiv:

048,22357,04252,13359,0ˆ

28;05,0ˆ

ˆ =<=== tsbtb

b, care indică faptul că

estimatorul parametrului b este nesemnificativ, deci erorile sunt homoscedastice.

5 cf. op. cit., p. 369-370.


b2.5) Testul Glejser6 Acest test se bazează pe bazează pe relaţia dintre erorile estimate în

urma aplicării MC.M.M.P. asupra modelului iniţial şi variabila explicativă presupusă a fi cauza heteroscedasticităţii.

Testul Glejser prezintă o serie de puncte comune cu testul precedent, respectiv, după calcularea erorilor în urma aplicării MC.M.M.P., valoarea absolută a acestora este regresată în funcţie de valorile variabilei exogene utilizându-se în acest scop următoarele forme de exprimare corespunzătoare celor două variabile:

I. iii bxau ω++=ˆ

În această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul: 222iu x

iλσ = , caz

în care va fi aplicată regresia ponderată asupra datelor iniţiale, care vor fi

împărţite la ix , rezultând astfel un model de forma: yx

ax

bux

i

i i

i

i

= + +11

II. iii xbau ω++=ˆ

În această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul: iu xi

22 λσ = , caz

în care va fi aplicată regresia ponderată asupra datelor iniţiale, care vor fi împărţite la ix , rezultând astfel un model de forma:

.11

i

ii

ii

i

xu

xbx

ax

y++=

III. ii

i xbau ω++=

1ˆ

În această situaţie heteroscedasticitatea este de tipul: 222 −= iu xi

λσ .

IV. ii

i xbau ω++=

1ˆ

V. iii bxau ω++=ˆ

VI. iii bxau ω++= 2ˆ

6 cf. op. cit., p. 371-372.


Verificarea homoscedasticităţii erorilor presupune, ca şi în cazul testului precedent, verificarea semnificaţiei parametrului corespunzător variabilei exogene. Aplicarea acestui test conduce la rezultate semnificative în cazul unor eşantioane de dimensiuni mari, iar în cazul celor de dimensiuni mici este pur teoretică, aşa cum menţionează însuşi autorul.

De menţionat faptul că ultimele două modele nu pot fi estimate cu ajutorul M.C.M.M.P.

Rezultatele estimării primelor patru modele, calculate cu ajutorul pachetului de programe EViews (vezi date în tabelul 2.2.2.- coloanele 11, 12, 13 şi 14) sunt următoarele:

( ) ( )5467,16335,00787,0;0085,06343,0ˆ 2

=

=+=

tRxu ii

( ) ( )5516,13929,00792,0;2182,07273,0ˆ 2

=

=+−=

tRxu ii

( ) ( )4836,17148,3

0729,0;19522,1893517,3ˆ 2

=

=−=

t

Rx

ui

i

( ) ( )5181,16961,2

0761,0;16958,327087,4ˆ 2

=

=−=

t

Rx

ui

i

Aşa cum se poate observa, nici unul dintre estimatorii parametrului

corespunzător variabilei exogene din cadrul modelelor prezentate mai sus nu este semnificativ pentru un prag de semnificaţie de 5%, deci ipoteza de homoscedasticitate este verificată.

b2.6) Testul Breusch-Pagan-Godfrey (BPG)7 Acest test are în vedere modelul multifactorial liniar de forma: yi = b0 + b1 x1i + b2 x2i + …+ bk x ki + ui

7 cf. op. cit., p. 377-378.


plecând de la ipoteza potrivit căreia dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice este dependentă de o serie de variabile factoriale zi. În locul acestor variabile pot fi utilizate câteva sau toate variabilele exogene ce intervin în modelul iniţial. Se presupune, de asemenea, că între dispersia corespunzătoare erorilor heteroscedastice şi variabilele factoriale zi există o relaţie de dependenţă liniară, respectiv:

mimiiu zzzi

ββββσ ++++= K221102

Verificarea homoscedasticităţii dispersiei presupune verificarea ipotezei nulităţii parametrilor corespunzători variabilelor factoriale, caz în care .0

2 ctiu == βσ

Aplicarea acestui test constă în: - calculul valorilor variabilei reziduale prin aplicarea M.C.M.M.P.

asupra modelului iniţial; - calculul estimatorului de maximă verosimilitate corespunzător

dispersiei variabilei reziduale homoscedastice: nu i

u i

∑=2

2 ˆσ ;

- construirea unei variabile de forma: 2

2

ˆˆ

iu

ii

uσ

θ = şi regresarea acesteia

în funcţie de variabilele factoriale zi, ce pot fi înlocuite cu variabilele exogene xi din modelul original, respectiv:

imimiii xxx ωββββθ +++++= K22110

unde: ωi = variabila reziduală.

- calculul sumei pătratelor explicată de model, notată cu SSR, şi

calculul unei variabile H de forma: 2

SSRH = .

Presupunând că erorile sunt normal distribuite, şi că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila H este asimptotic distribuită sub forma unui χ 2

;vα , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu:

1−= mv , unde m = numărul parametrilor modelului, respectiv: H~ χ 2;vα .


Dacă >H χ 2;vα , erorile sunt heteroscedastice, în caz contrar, sunt

homoscedastice. Rezultatele estimării modelului iniţial sunt următoarele:

( ) ( )183,970,10286,02314,5973,0;6378,02903,9ˆ

ˆ ===+=

u

ii

sdRxy

Valoarea calculată a estimatorului de maximă verosimilitate corespunzător dispersiei variabilei reziduale homoscedastice este:

7051,7830

53,2361ˆˆ

22 === ∑

nui

uiσ

In urma calculării variabilei θi (vezi tabelul 2.2.2, coloana 15) şi a regresării acesteia în funcţie de variabila exogenă xi au fost obţinute următoarele rezultate:

( ) ( )0041,07529,018,0;0101,07426,0ˆ 2 =+−= Rxiiθ

Valoarea calculată a variabilei H este:

( )214,5

2428,10

2

ˆ

2

2

==−

== ∑ θθ iSSRH

Comparând valoarea calculată a variabilei H cu valoarea teoretică a lui hi-pătrat în funcţie de un prag de semnificaţie de 05,0=α şi respectiv

01,0=α şi de numărul gradelor de libertate 11 =−= mv , se constată că

>= 214,5H χ 8414,321;05,0 = pentru 05,0=α , deci erorile sunt

heteroscdastice, dar, pentru 01,0=α , <= 214,5H χ 6349,621;01,0 = , ceea ce

înseamnă că ipoteza de homoscedasticitate a erorilor poate fi acceptată. Se constată astfel că am ajuns la aceeaşi concluzie ca şi în cazul

testului Goldfeld-Quandt. Trebuie să ţinem însă seama de faptul că testul BPG este un test

asimptotic, valabil în cazul unui eşantion de volum mare, iar în cazul de faţă, respectiv 30 de observaţii, acesta nu poate reprezenta un eşantion de volum mare.


b2.7) Testul White8 Aplicarea testului White presupune parcurgerea următoarelor etape: - estimarea parametrilor modelului iniţial şi calculul valorilor

estimate ale variabilei reziduale, u; - construirea unei regresii auxiliare, bazată pe prespunerea existenţei

unei relaţii de dependenţă între pătratul valorilor erorii, variabila exogenă inclusă în modelul iniţial şi pătratul valorilor acesteia:

iii ixxu ωααα +++= 2

2102ˆ

şi calcularea coeficientului de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare;

- verificarea semnificaţiei parametrilor modelului nou construit, iar dacă unul dintre aceştia este nesemnificativ, atunci ipoteza de heteroscedasticitate a erorilor este acceptată.

Există două variante de aplicare a testului White: - utilizarea testului Fisher –Snedecor clasic, bazat pe ipoteza nulităţii

parametrilor, respectiv:

H0: 0210 === ααα

Dacă ipoteza nulă, potrivit căreia rezultatele estimării sunt nesemnificative (

21;; vvc FF α< ), este acceptată, atunci ipoteza de

homoscedasticitate se verifică, cazul contrar semnificând prezenţa heteroscedasticităţii erorilor.

- utilizarea testului LM, calculat ca produs între numărul de observaţii corespunzătoare modelului, n, şi coeficientul de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare. În general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui χ 2

;vα , pentru care numărul gradelor de

libertate este egal cu: kv = , unde k = numărul variabilelor exogene, respectiv:

2RnLM ⋅= ~ χ 2

;vα

8 cf. op. cit., p. 379.


Dacă >LM χ 2;vα , erorile sunt heteroscedastice, în caz contrar, sunt

homoscedastice, respectiv ipoteza nulităţii parametrilor, 0210 === ααα ,

este acceptată.

Aplicarea testului White s-a realizat utilizând pachetul de programe EViews:

White Heteroskedasticity Test:

F-statistic 2,9173 cF Probability 0,0713 ( )Fp

Obs*R-squared 5,3309 LM Probability 0,0696 ( )LMp

Test Equation: Dependent Variable: 2

iu Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -12,2962 191.7731 -0,0641 0,9493 xi 0,1974 2.3688 0,0833 0,9342

2ix 0,0017 0.0067 0,2535 0,8018


Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că

35,39173,2 27;2;05,0 =<= FFc şi <= 3309,5LM χ 99147,522;05,0 = , iar

parametrii modelului sunt nesemnificativi, deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică în cazul aplicării acestor teste. Trebuie să ţinem însă seama de faptul că testul LM este un test asimptotic, valabil în cazul unui eşantion de volum mare, iar în cazul de faţă, respectiv 30 de observaţii, acesta nu poate reprezenta un eşantion de volum mare.

Deoarece majoritatea testelor prezentate mai sus sunt valabile în cazul în care erorile sunt normal distribuite, în vederea verificării acestei


ipoteze va fi aplicat testul Jarque-Berra9, care este şi el un test asimptotic (valabil în cazul unui eşantion de volum mare), ce urmează o distribuţie hi pătrat cu un număr al gradelor de libertate egal cu 2, având următoarea formă:

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+=

243

6

22 KSnJB ~ χ 22;α

unde: n = numărul de observaţii; S = coeficientul de asimetrie (skewness), ce măsoară simetria distribuţiei erorilor

în jurul mediei acestora, care este egală cu zero, având următoarea relaţie de calcul:

( )3

1

31

σ

∑=

−=

n

ii yy

nS

K = coeficientul de aplatizare calculat de Pearson (kurtosis), ce măsoară boltirea distribuţiei (cât de „ascuţită” sau de aplatizată este distribuţia comparativ cu distribuţia normală), având următoarea relaţie de calcul:

( )4

1

41

σ

∑=

−=

n

ii yy

nK

Testul Jarque-Berra se bazează pe ipoteza că distribuţia normală are un coeficient de asimetrie egal cu zero, S = 0, şi un coeficient de aplatizare egal cu trei, K = 3.

Dacă probabilitatea p(JB) corespunzătoare valorii calculate a testului este suficient de scăzută, atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respinsă, în timp ce, în caz contrar, pentru un nivel suficient de ridicat al probabilităţii ipoteza de normalitate a erorilor este acceptată, sau dacă

>JB χ 22;α , atunci ipoteza de normalitate a erorilor este respinsă.

9 EViews, User Guide,Version 2.0, QMS Quantitative Micro Software, Irvine, California,

1995, p. 140-141.


Utilizând pachetul de programe EViews în vederea calculării testului Jarque-Berra (vezi figura 2.2.3.) se constată că

<= 6452,0JB χ 9915,522;05,0 = şi că p(JB) = 0,7242, respectiv probabilitatea

ca testul J-B să nu depăşească valoarea tabelată a lui χ 22;α , este suficient de

mare pentru ca ipoteza de normalitate a erorilor să fie acceptată.

0

2

4

6

8

10

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Series: ResidualsSample 1 30Observations 30

Mean -1.86E-14Median 0.880779Maximum 20.26355Minimum -18.98076Std. Dev. 9.023252Skewness -0.359065Kurtosis 2.977931

Jarque-Bera 0.645247Probability 0.724246

Figura 2.2.3

Pe baza rezultatelor obţinute, pentru un prag de semnificaţie de 5%, în cazul aplicării testelor Breusch-Pagan-Godfrey şi Goldfeld-Quandt, vom presupune că fenomenul de heteroscedasticitate există, acesta afectând calitatea estimatorilor, respectiv aceştia nu mai sunt eficienţi (dispersie minimă).

Eliminarea fenomenului de heteroscedasticitate se poate face cu ajutorul metodei regresiei ponderate. Această metodă presupune efectuarea următoarelor operaţii:

1) Ecuaţia modelului y a b x ui i i= + +1 1 se împarte la xi , rezultând

modelul yx

ax

bux

i

i i

i

i

= + +11 .


2) Notând cu 1x

vyx

zux

wi

ii

ii

i

ii= = =, , , se obţine modelul

z a v b wi i i= + +1 1 , ai cărui parametrii se vor estima cu ajutorul M.C.M.M.P.

( ) ( ) ( )∑∑==

−−=−=30

1

2

11

30

1

211

ˆˆminˆminˆ,ˆi

iii

ii bvazzzbaF


( )( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+=+

⇔=+⇒=′=+⇒=′

∑ ∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

iiii

ii

ii

iiii

vzvavbzvabn

zvabnbFvzvavbaF

211

11

111

2111

ˆˆˆˆ

ˆˆ0ˆˆˆ0ˆ

În urma aplicării programului EViews, rezultatele estimării modelului, utilizând metoda regresiei ponderate, au fost următoarele:

Dependent Variable: zi Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. vi 10,2790 3,7827 2,7174 0,0112 C 0,6319 0,0267 23,7034 0,0000

R-squared 0,2087 Mean dependent var 0,6995 Adjusted R-squared 0,1804 S.D. dependent var 0,0575 S.E. of regression 0,0521 Akaike info criterion -3,0074 Sum squared resid 0,0760 Schwarz criterion -2,9140 Log likelihood 47,1105 F-statistic 7,3840 Durbin-Watson stat 1,7064 Prob(F-statistic) 0,0112

Pe baza calculelor prezentate mai sus rezultă modelul:

( ) ( )0521,0

71,10267,07827,34568,0;6319,0279,10ˆ

ˆ ===+=

w

ii

sdRvz


Calităţile acestui model rezultă în urma efectuării următoarelor operaţii:

- verificarea ipotezei de homoscedaticitate prin calculul testului White, utilizând pachetul de programe EViews:

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 3,3370 Probability 0,0507

Obs*R-squared 5,9458 Probability 0,0512

Test Equation: Dependent Variable: 2

iw Method: Least Squares Sample: 1 30 Included observations: 30

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0,0084 0,0039 2,1919 0,0372 vi -2,0525 1,1178 -1,8361 0,0774

2iv 152,9709 72,8625 2,0994 0,0453


În urma analizării rezultatelor afişate de programul EViews se

constată că 35,3337,3 27;2;05,0 =<= FFc şi <= 9458,5LM χ 99147,522;05,0 = ,

iar parametrii modelului sunt nesemnificativi, deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică în cazul aplicării acestor teste.

- verificarea ipotezei de independenţă a valorilor variabilei reziduale, w, prin calculul variabilei Durbin-Watson:

( )71,1

ˆ

ˆˆ

30

1

2

30

2

21

=−

=

∑

∑

=

=−

ii

iii

w

wwd


Pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se citesc valorile (pentru cazul 30=n )

49,1,35,1 21 == dd .

Deoarece 51,2471,149,1 22 =−<=<= ddd , se poate accepta ipoteza de independenţă a valorilor variabilei reziduale.

- verificarea ipotezei de normalitate a erorilor Utilizând pachetul de programe EViews în vederea calculării testului

Jarque-Berra (vezi figura 2.2.4.) se constată că <= 3427,1JB χ 9915,522;05,0 =

şi că p(JB) = 0,511, respectiv probabilitatea ca testul J-B să nu depăşească valoarea tabelată a lui χ 2

2;α , este suficient de mare pentru ca ipoteza de

normalitate a erorilor să fie acceptată.

0

2

4

6

8

10

12

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10


Mean -1.30E-16Median 0.005397Maximum 0.087252Minimum -0.084660Std. Dev. 0.051183Skewness -0.181266Kurtosis 2.029036


Figura 2.2.4

- verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero,

cu un prag de semnificaţie 05,0=α , dacă se verifică următoarele relaţii:

048,27174,2ˆ

28;05,0ˆ1;ˆ

1ˆ 1

1

1=>=⇔>= −− ttt

sa

t akna

a α

048,27034,23ˆ

28;05,0ˆ1;ˆ

1

ˆ1

1

1=>=⇔>= −− ttt

s

bt

bknb

b α


unde: k = numărul variabilelor explicative.

În urma efectuării calculelor de mai sus se constată faptul că ambii estimatori, $a1 şi $b1 , sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α .

- verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie

4568,02087,02/ === RR vz

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie se realizează cu ajutorul testului Fisher-Snedecor:

( )F n RR

Fc k n k= −−

≥ − −21

2

2 1α ; ;

20,428;1;05,0 =F

20,4384,7 28;1;05,0 =>= FFc

Deci raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un

prag de semnificaţie 05,0=α . În final, modelul estimat prin metoda regresiei ponderate se

transformă în modelul iniţial prin înmulţirea fiecărui termen cu xi:

iiii

iii xy

xxy

vz 6319,0279,10ˆ6319,01279,106319,0279,10ˆ +=′⇒+=⇒+=

Şi în cazul acestui model vom repeta o parte din operaţiile realizate pentru cel anterior pentru a-i verifica calităţile:

- calculul abaterilor medii pătratice ale estimatorilor: ( )

19,94569,84230

7933,23641ˆ

ˆ

22ˆ =⇒=

−=

−−

′−= ′′∑

uii

u skn

yys

(vezi tabelul nr. 2.2.2., coloanele 23, 24, 25)


( )2354,54096,27

1667,10297417,173

1014569,841

22 ˆ

2

2

22ˆ

2ˆ =⇒=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−+⋅=∑′ a

iua s

xxx

nss

( )0286,00008,0

1667,1029744569,84

22ˆ2

2ˆ2

ˆ =⇒==−

=∑

′b

i

ub

sxx

ss

048,29634,12354,5279,10ˆ

28;05,0ˆ

2ˆ

2

2=<=== t

sa

ta

a

048,20635,220286,06319,0ˆ

28;05,0ˆ

2

ˆ

2

2=>=== t

s

bt

bb

Se constată că doar $b2 este semnificativ diferit de zero, cu un prag

de semnificaţie 05,0=α , în timp ce $a2 este nesemnificativ. - calculul raportului de corelaţie:

( )( )

9729,09466,08667,442477933,23641

ˆ1 2

2

/ ==−=−

′−−=∑∑

yy

yyR

i

iixy

(vezi tabelul nr. 2.2.2, coloana 28)

20,4911,4959466,01

9466,028 28;1;05,0 =>=−

⋅= FFc

Deci raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero, cu un

prag de semnificaţie .05,0=α În concluzie, modelul de mai jos este corect specificat, identificat şi

estimat:

( ) ( ) 19,90286,02354,5973,0;6319,0279,10ˆ

ˆ ==+=′

′u

ii

sRxy


2.1.3 Model liniar unifactorial cu autocorelarea erorilor

Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în România, în perioada 1990-2003, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100):

Tabelul 2.3.1

Anul

Consumul final real al gospodăriilor populaţiei

(mld.lei preţuri comparabile) (1990=100)

PIB (mld.lei preţuri comparabile)

(1990=100)

0 1 2 1990 557,7 857,9 1991 467,4 746,8 1992 432,1 681 1993 435,9 691,3 1994 447,3 718,2 1995 505,3 769,3 1996 545,7 799,5 1997 525,7 750,7 1998 586,2 714,8 1999 579,8 706,1 2000 582,3 720,7 2001 610,7 761,7 2002 629,1 799,1 2003 673,7 838,3

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), datele provenind de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării, iar PIB-ul a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric ce descrie legătura dintre

cele două variabile şi să se interpreteze semnificaţia parametrilor modelului; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia

acestora;


c) Ştiind că în anul 2004, valoarea PIB-ului real10 a fost egală cu 907,8 mild lei preţuri comparabile (1990=100), să se estimeze valoarea consumului final real al gospodăriilor populaţiei în anul 2004 şi să se verifice capacitatea de prognoză a modelului utilizat.

Rezolvare: a) Notând cu y = consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi cu

x = PIB-ul real, modelul econometric va fi de forma: ( )y f x u= + . Pentru alegerea funcţiei matematice ( )f x se recurge la reprezentarea

grafică a celor două şiruri de valori.

430450470490510530550570590610630650670

670 685 700 715 730 745 760 775 790 805 820 835 850

x

y

Figura 2.3.1 Legătura dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real al României

10 Valoare estimată pe baza informaţiilor furnizate în cadrul Comunicatului de Presă al INS

nr. 12/11.03.2005 privind principalii indicatori conjuncturali în anul 2004 şi luna ianuarie 2005.


Deoarece graficul punctelor empirice indică faptul că distribuţia poate fi aproximată cu o dreaptă, modelul econometric devine:

14,1; =++= tubxay ttt

Semnificaţia economică a celor doi parametrii a şi b , ţinând cont de semnificaţia celor două variabile (y - consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi x - PIB-ul real) este:

- parametrul a reprezintă în acest caz autoconsumul, deoarece pentru x y a= ⇒ =0 ;

- parametrul b reprezintă panta dreptei sau coeficientul de regresie al consumului în funcţie de PIB, care măsoară creşterea consumului dacă PIB-ul se modifică cu un miliard de lei.

b) Estimarea parametrilor modelului econometric de la punctul a) se face cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( ) ( ) ( )∑∑==

−−=−=14

1

214

1

2 ˆˆminˆminˆ,ˆt

ttt

tt xbayyybaF

( )′ = ⇒ + =∑ ∑F a na b x yt t$ $ $0

( )′ = ⇒ + =∑ ∑ ∑F b a x b x y xt t t t$ $ $0 2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+⇒

07,5744734ˆ14,7996163ˆ4,10555

9,7578ˆ4,10555ˆ14

ba

ba

(vezi tabelul 2.3.2, coloanele 2, 3, 4, 5).


Tabelul 2.3.2 Nr. crt.

Anul xt yt xt2 x yt t 1ˆ −tu 2

1ˆ

−tu 1ˆˆ −ttuu

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1990 857,9 557,7 735992,41 478450,83 - - - 2 1991 746,8 467,4 557710,24 349054,32 -67,6095 4571.0382 4608,8583 3 1992 681 432,1 463761,00 294260,10 -68,1688 4646.9914 3430,1977 4 1993 691,3 435,9 477895,69 301337,67 -50,3191 2532.0160 2759,4477 5 1994 718,2 447,3 515811,24 321250,86 -54,8389 3007.3080 3573,7049 6 1995 769,3 505,3 591822,49 388727,29 -65,1673 4246.7772 3156,9084 7 1996 799,5 545,7 639200,25 436287,15 -48,4431 2346.7374 1571,3535 8 1997 750,7 525,7 563550,49 394642,99 -32,4371 1052.1637 422,3000 9 1998 714,8 586,2 510939,04 419015,76 -13,0191 169.4958 -995,6848

10 1999 706,1 579,8 498577,21 409396,78 76,4790 5849.0429 5897,0252 11 2000 720,7 582,3 519408,49 419663,61 77,1064 5945.4012 5228,8438 12 2001 761,7 610,7 580186,89 465170,19 67,8133 4598.6481 4278,7321 13 2002 799,1 629,1 638560,81 502713,81 63,0957 3981.0719 3235,9296 14 2003 838,3 673,7 702746,89 564762,71 51,2860 2630.2565 3293,7103

Total 10555,4 7578,9 7996163,14 5744734,07 - 45576,9481 40461,3270


1

*

8878,0 −−−=

t

tt

yyy

1

*

8878,0 −−−=

t

tt

xxx

1

*

9016,0 −−−=

t

tt

yyy

1

*

9016,0 −−−=

t

tt

xxx

9 10 11 12 - - - -

-27,7030 -14,8081 -35,4029 -26,6527 17,1616 18,0219 10,7085 7,7112 52,2995 86,7364 46,3337 77,3342 60,3260 104,4925 54,3078 94,9481

108,2056 131,7118 102,0299 121,7959 97,1156 116,5473 90,1392 105,9260 41,2501 40,9370 33,7159 29,8987

119,5053 48,3596 112,2472 37,9951 59,3959 71,5302 51,3025 61,6613 67,5776 93,8537 59,5726 84,1049 93,7582 121,8924 85,7186 111,9420 86,9458 122,8943 78,5142 112,3779

115,2111 128,8921 106,5254 117,8593

891,0494 1071,0611 795,7127 936,9018


Utilizând pachetul de programe EViews în vederea estimării parametrilor modelului au fost obţinute următoarele rezultate:

Dependent Variable: yt



ind. Std. Error

Semnif. ind.

t-StatisticSemnif.

ind. Prob.

C -67,6561 a 250,0188 asˆ -0,2706 at ˆ 0,7913 ( )ap ˆ

xt 0,8077 b 0,3308 bsˆ 2,4416 b

t ˆ 0,0311 ( )bp ˆ

R-squared 0,3319 2R Mean dependent var 541,35 y

Adjusted R-squared

0,2762 2cR S.D. dependent var 75,6474 ys

S.E. of regression

64,3567 us ˆ Akaike info criterion 11,2983 AIC

Sum squared resid

49701,46 ( )∑∑=

=−2

2

ˆ

ˆ

t

tt

u

yySchwarz criterion 11,3896 SC

Log likelihood

-77,0883 L F-statistic 5,9615 Fc

Durbin-Watson stat

0,1969 d Prob(F-statistic) 0,0311 p(F)

Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul de programe EViews a fost prezentată în cadrul aplicaţiei 2.1.2.

Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei y, tt xy 8077,06561,67ˆ +−= şi ale variabilei reziduale,

ttt yyu ˆˆ −= . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.3.3



ty

Fitted

ty

Residual

ttt yyu ˆˆ −= Residual Plot


557,7 625,3095 -67,6095 | * | . | 467,4 535,5688 -68,1688 | *. | . | 432,1 482,4191 -50,3191 | . * | . |


Actual

ty

Fitted

ty

Residual

ttt yyu ˆˆ −= Residual Plot


435,9 490,7389 -54,8389 | .* | . | 447,3 512,4673 -65,1673 | * | . | 505,3 553,7431 -48,4431 | . * | . | 545,7 578,1371 -32,4371 | . * | . | 525,7 538,7191 -13,0191 | . * | . | 586,2 509,7210 76,4790 | . | . *| 579,8 502,6936 77,1064 | . | . *| 582,3 514,4867 67,8133 | . | * | 610,7 547,6043 63,0957 | . | * | 629,1 577,8140 51,2860 | . | * . | 673,7 609,4776 64,2224 | . | * |


( )7884,4141

2144613,49701

1ˆ 2

2ˆ

=−

=−−−

= ∑kn

yys tt

u

unde: k = numărul variabilelor exogene. (vezi tabelul afişat de programul EViews)

- abaterea medie pătratică a variabilei reziduale, us ˆ :

( )3567,647884,4141

1ˆ 2

ˆ ==−−−

= ∑kn

yys tt

u


- abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori:

( )0188,2501

2

22ˆˆ =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+=∑ xx

xn

sst

ua

( )3308,02

2ˆ

ˆ =−

=∑ xx

sst

ub



- raportul de corelaţie:

( )

( )

( )

( )

5761,03319,0875,743924613,497011

1

ˆ1

ˆ1 2

14

1

2

14

1

2

14

1

2

2

==−=

−⋅

−−=

−

−−==

∑

∑

∑=

=

=

R

ns

yy

yy

yyRR

y

ttt

tt

ttt


- variabila Durbin-Watson, d:

( )20,0

4613,497017173,9784

ˆ

ˆˆ

14

1

2

14

2

21

==−

=

∑

∑

=

=−

tt

ttt

u

uud



( ) ( )3567,64

20,03308,00188,250576,0;8077,06561,67ˆ

ˆ ===+−=

u

tt

sdRxy

Verificarea semnificaţiei modelului necesită: - verificarea ipotezei de independenţă a erorilor; - verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor; - verificarea semnificaţiei estimatorilor; - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie.

Verificarea ipotezei de independenţă a erorilor, care presupune

( )cov ,u ut t− =1 0 , se realizează cu ajutorul testului Durbin-Watson, constând

în calcularea variabilei d şi compararea sa cu două valori teoretice, d1 şi d 2 ( )36,1;08,1 21 == dd , preluate din tabela distribuţiei Durbin-Watson în

funcţie de un prag de semnificaţie α ( )05,0=α , de numărul variabilelor


explicative k ( )k = 1 şi de numărul observaţiilor n ( )n ≥ 15 . Observaţie:

tabela Durbin-Watson este construită pentru un număr de observaţii n ≥ 15; pentru valori inferioare se va lucra cu valorile calculate pentru n = 15 . adică 36,1,08,1 21 == dd .

Deoarece valoarea calculată 2,0=d este cuprinsă în intervalul 08,12,00 1 =<=< dd , aceasta indică existenţa unei autocorelări pozitive.

Din acest motiv, nu mai are sens testarea celorlalte ipoteze, a semnificaţiei estimatorilor şi a raportului de corelaţie, estimatorii nemaifiind eficienţi, deci se impune mai întâi eliminarea fenomenului de autocorelaţie a erorilor.

Un alt procedeu de verificare a ipotezei de independenţă a erorilor constă în aplicarea testului Breusch-Godfrey11, acest test fiind utilizat în vederea depistării unei autocorelaţii de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existenţei unei autocorelaţii de ordin superior se construieşte următorul model:

tptpttt zurururu ++++= −−− K2211

unde: zt = variabilă reziduală de medie zero şi dispersie constantă.

Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia toţi coeficienţii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt ce implică inexistenţa fenomenului de autocorelaţie a erorilor.

În vederea aplicării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ut în urma aplicării M.C.M.M.P. asupra modelului iniţial. Variabila reziduală ut este apoi regresată în funcţie de variabilele exogene iniţiale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma: BG = (n-p) R2. Presupunând că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub


p. 425


forma unui χ 2;vα , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu:

pv = , unde p = mărimea decalajului , respectiv: BG~ χ 2;vα .

Dacă >BG χ 2;vα , ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că

există cel puţin un coeficient de autocorelaţie nenul. Aplicarea testului Breusch-Godfrey s-a realizat utilizând pachetul de

programe EViews (presupunând ca mărimea decalajului este p = 2):

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

F-statistic 16,6537 Probability 0,0007 Obs*R-squared 10,7673 Probability 0,0046

Test Equation: Dependent Variable: ut

Method: Least Squares Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 166,6378 146,9445 1,1340 0,2832 xt -0,2158 0,1935 -1,1154 0,2908

ut-1 1,0098 0,2999 3,3669 0,0072 ut-2 -0,0880 0,3298 -0,2667 0,7951

R-squared 0,7691 Mean dependent var -3,45E-14 Adjusted R-squared 0,6998 S.D. dependent var 61,8319 S.E. of regression 33,8769 Akaike info criterion 10,1183 Sum squared resid 11476,43 Schwarz criterion 10,3009 Log likelihood -66,8281 F-statistic 11,1025 Durbin-Watson stat 1,4994 Prob(F-statistic) 0,0016

În cazul utilizării pachetului de programe EViews există două

variante de aplicare a testului Breusch-Godfrey: - utilizarea testului Fisher–Snedecor aplicat în vederea verificării

existenţei unor variabile absente (omise) în model, având următoarea relaţie de calcul:

( ) ( )mnRpRFc −−

= 2

2

1


unde: p = numărul de variabile noi adăugate în model, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p; m = numărul total de parametri corespunzători noului model.

Dacă 21;; vvc FF α< , unde v1 = p şi v2 = n-m, ipoteza conform căreia

estimatorii corespunzători noilor parametri adăugaţi în model sunt nuli este verificată, respectiv, în cazul nostru, fenomenul de autocorelare a erorilor nu este prezent, cazul contrar implicând existenţa cel puţin a unei autocorelaţii de ordinul întâi. Cum 10,46537,16 10;2;05,0 =>= FFc , rezultă că noul model

este incorect specificat, indicând astfel prezenţa unei autocorelaţii de ordinul întâi.

- utilizarea testului LM, calculat ca produs între numărul de observaţii corespunzătoare modelului, n, şi coeficientul de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare. În general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui χ 2


libertate este egal cu: pv = , unde p = mărimea decalajului, respectiv: 2RnLM ⋅= ~ χ 2

;vα

Dacă >LM χ 2;vα , erorile sunt autocorelate, în caz contrar, sunt

independente, respectiv ipoteza nulităţii parametrilor, 021 == rr , este acceptată. Se constată astfel că pachetul de programe nu utilizează relaţia clasică de calcul a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = (n-p)·R2.

Deoarece >= 7673,10LM χ 99147,522;05,0 = , aceasta implică existenţa

a cel puţin unei autocorelaţii de ordinul întâi, ce poate fi remarcată şi pe baza semnificaţiei parametrului corespunzător valorii decalate cu o perioadă a variabilei reziduale.

În cazul calculării în varianta clasică a testului Breusch-Godfrey, respectiv: >=⋅= 2291,97691,012BG χ 99147,52

2;05,0 = , se ajunge la aceleaşi

concluzii menţionate anterior. Eliminarea fenomenului de autocorelare a erorilor presupune

efectuarea următoarelor operaţii: - erorile fiind corelate, adică:

( )u r u zt t t= +−1 1 (1)


se va estima valoarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1:

( ) 89,09481,45576327,40461

ˆ

ˆˆ

14

2

21

14

21

1 ===

∑

∑

=−

=−

tt

ttt

u

uur

(vezi tabelul 2.3.2., coloanele 6, 7, 8) - ştiind că: y a bx u u y a bxt t t t t t= + + ⇒ = − − y a bx u u y a bxt t t t t t− − − − − −= + + ⇒ = − −1 1 1 1 1 1

expresiile obţinute pentru ut şi ut−1 vor fi înlocuite în relaţia (1) şi se obţine:

( ) ( )y a bx r y a bx zt t t t t− − = − − +− −1 1 1

( ) ( )( ) ( )( )y r y a r b x r x zt t t t t− = − + − +− −1 1 1 1 11

Notând cu: ( )y y r yt t t* = − −1 1

( )x x r xt t t* = − −1 1

( )( )a a r1 11= −

b b1 = se obţine:

*11

**11

* ˆˆˆ ttttt xbayzxbay +=⇒++= (2)

În vederea estimării parametrilor $a1 şi $b1 se aplică M.C.M.M.P.:

( ) ( )∑=

−−=14

2

2*11

*11

ˆˆminˆ,ˆt

tt xbaybaF

( ) ( )′ = ⇒ − + =∑ ∑F a n a b x yt t1 1 10 1 $ $ * *

( ) ( )′ = ⇒ + =∑ ∑∑F b a x b x y xt t t t1 1 1

20 $ $* * * *


În urma aplicării programului EViews, rezultatele estimării noului modelului au fost următoarele:

Dependent Variable: *ty


Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 9,5845 15,4322 0,6211 0,5472 *tx 0,7156 0,1645 4,3505 0,0012


Ca şi în cazul modelului iniţial se vor calcula valorile estimate ale variabilei *

ty , ** 7156,05845,9ˆ tt xy +=⇒ şi ale variabilei reziduale, ** ˆˆ ttt yyz −= . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului 2.3.4



*ty

Fitted *ˆ ty

Residual ** ˆˆ ttt yyz −=

Residual Plot (graficul reziduurilor)

-27,7030 -1,0121 -26,6909 | * | . | 17,1616 22,4810 -5,3194 | . *| . | 52,2995 71,6530 -19,3535 | .* | . | 60,3260 84,3593 -24,0332 | * | . |

108,2056 103,8374 4,3682 | . |* . | 97,1156 92,9857 4,1299 | . |* . | 41,2501 38,8790 2,3711 | . * . |

119,5053 44,1907 75,3147 | . | . *| 59,3959 60,7715 -1,3755 | . * . | 67,5776 76,7461 -9,1686 | . *| . | 93,7582 96,8106 -3,0525 | . *| . | 86,9458 97,5276 -10,5818 | . * | . |

115,2111 101,8196 13,3914 | . | * . |



( ) ( )6176,26

72,11645,04322,15795,0;7156,05845,9ˆ

ˆ

**

==′=′+=

z

tt

sdRxy

(3)

Utilizând testul Durbin-Watson pentru a verifica dacă fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat - pentru un prag de semnificaţie

1513,1,05,0 ≅=== nkα , valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson

sunt 36,1,08,1 21 == dd . În comparaţie cu acestea, valoarea empirică

72,1=′d se situează astfel: 64,2472,136,1 22 =−<=′<= ddd , ceea ce indică fenomenul de independenţă a erorilor, deci fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat.

Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor în cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White (vezi aplicaţia 2.1.2). Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate:



Test Equation:

Dependent Variable: 2∗tz



C 927,8680 1016,2720 0,9130 0,3827 *tx 18,3437 32,0687 0,5720 0,5799

2*tx -0,2090 0,2342 -0,8925 0,3931

R-squared 0,1418 Mean dependent var 599,4989 Adjusted R-squared -0,0299 S.D. dependent var 1542,118 S.E. of regression 1564,9870 Akaike info criterion 17,7483 Sum squared resid 24491851 Schwarz criterion 17,8787 Log likelihood -112,3641 F-statistic 0,8259 Durbin-Watson stat 2,7426 Prob(F-statistic) 0,4656


Analizând rezultatele afişate de programul EViews se constată că 10,48259,0 10;2;05,0 =<= FFc şi <= 843,1LM χ 99147,52

2;05,0 = , iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaţie 05,0=α ( 228,210;05,0 =t ), deci ipoteza de homoscedasticitate

se verifică. Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă:

( ) 11;ˆ

1

11ˆ

ˆ−−−≥= kn

a

tsa

ta α

6211,04322,155845,9

1ˆ==

at

( ) 11;ˆ

1ˆ

1

1

ˆ−−−≥= kn

bb

ts

bt α

3505,41645,07156,0

1ˆ==

bt

Lucrând cu un prag de semnificaţie α ( )05,0=α , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea 201,211;05,0 =t . Comparând această

valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constată că: - ⇒=<= 201,26211,0 11;05,01ˆ

tta

parametrul $a1 nu este semnificativ

diferit de zero; - ⇒=>= 201,23505,4 11;05,0

1tt

b parametrul $b1 este semnificativ

diferit de zero. Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se

verifică inegalitatea: F Fc v v≥ α ; ;1 2, unde valoarea empirică a variabilei

Fisher-Snedecor este:

( )( ) 9615,53319,01

3319,0111

21 2

2

=−

⋅=−

−−=R

RnFc

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v k1 1= = şi

( ) 11112 =−−−= knv se preia valoarea teoretică 84,411;1;05,0 =F . Se


constată că 84,49615,5 11;1;05,0 =>= FFc , deci pentru un prag de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero.

În concluzie, modelul ** 7156,05845,9ˆ tt xy += poate fi apreciat ca

reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real.

O altă variantă a metodei de eliminare a fenomenului de autocorelare a erorilor prezentate mai sus constă în determinarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1 pe baza variabilei Durbin-Watson, d, pentru a facilita utilizarea pachetului de programe EViews în vederea eliminării autocorelaţiei erorilor (utilizând programul autocorelaţie.prg):

( ) 90,0220,01

211 =−=−=

dr

Rezultatele estimării modelului (2), utilizând pachetul de programe EViews12, sunt următoarele:

Dependent Variable: ∗ty

Method: Least Squares Sample(adjusted): 1991 2003 Included observations: 13 after adjusting endpoints


C 10,1602 13,8505 0,7336 0,4786 ∗tx 0,7083 0,1628 4,3506 0,0012

R-squared 0,6325 Mean dependent var 61,2087 Adjusted R-squared 0,5990 S.D. dependent var 41,9044

12 Pentru a elimina autocorelaţia erorilor cu ajutorul pachetului de programe EViews a fost

utilizat următorul program (conform http://www.cip.dauphine.fr/bourbonnais/eco.html) denumit autocorelatie.prg: 'Estimarea directa a coeficientului de autocorelatie notat cu rau plecand de la statistica DW' Equation eq1.ls y c x genr res = resid scalar rau1=1-@dw/2 genr dy=y-rau1*y(-1) 'Se genereaza qvasi-diferentele.' genr dx=x-rau1*x(-1) equation eqm1.ls dy c dx 'Régresie denumita eqm1' scalar am1=c(1)/(1-rau1) 'Coef de reg.'


S.E. of regression 26,5346 Akaike info criterion 9,5354 Sum squared resid 7744,9060 Schwarz criterion 9,6223 Log likelihood -59,9802 F-statistic 18,9279 Durbin-Watson stat 1,75 Prob(F-statistic) 0,0012

Valorile estimate ale variabilei *ty şi ale variabilei reziduale,

** ˆˆ ttt yyz −= sunt prezentate în cadrul tabelului 2.3.5 (utilizând pachetul de

programe EViews):


*ty

Fitted *ˆ ty

Residual ** ˆˆ ttt yyz −=


-35,2893 -8,5948 -26,6945 | * | . | 10,8036 15,7300 -4,9263 | . *| . | 46,4217 65,0361 -18,6144 | .* | . | 54,3965 77,5139 -23,1174 | * | . |

102,1210 96,5348 5,5862 | . |* . | 90,2420 85,3011 4,9410 | . |* . | 33,8270 31,4535 2,3735 | . * . |

112,3543 37,1813 75,1730 | . | . *| 51,4219 53,9395 -2,5176 | . * . | 59,6906 69,8356 -10,1449 | . * | . | 85,8372 89,5554 -3,7182 | . *| . | 78,6385 89,8700 -11,2314 | . * | . |

106,6535 93,7580 12,8955 | . | * . |


( ) ( )5346,26

75,11628,08505,13795,0;7083,01602,10ˆ

ˆ

**

==′=′+=

z

tt

sdRxy

(4)

Utilizând testul Durbin-Watson pentru a verifica dacă fenomenul de

autocorelaţie a fost eliminat - pentru un prag de semnificaţie 1513,1,05,0 ≅=== nkα valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson


sunt 36,1,08,1 21 == dd . În comparaţie cu acestea, valoarea empirică

75,1=′d se situează astfel: 64,2475,136,1 22 =−<=′<= ddd , ceea ce indică fenomenul de independenţă a erorilor, deci fenomenul de autocorelaţie a fost eliminat.

Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor în cazul acestui model se va realiza cu ajutorul testului White. Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate:



Test Equation:

Dependent Variable: 2tz



C 1108,2070 824,2150 1,3446 0,2085 *tx 13,6436 26,6751 0,5115 0,6201 2*

tx -0,2067 0,2293 -0,9013 0,3886

R-squared 0,1424 Mean dependent var 595,7620 Adjusted R-squared -0,0291 S.D. dependent var 1535,4140 S.E. of regression 1557,6090 Akaike info criterion 17,7389 Sum squared resid 24261469,0 Schwarz criterion 17,8692 Log likelihood -112,3026 F-statistic 0,8302 Durbin-Watson stat 2,7474 Prob(F-statistic) 0,4639


10,48302,0 10;2;05,0 =<= FFc şi <= 8512,1LM χ 99147,522;05,0 = , iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi pentru un prag de semnificaţie 05,0=α ( 228,210;05,0 =t ), deci ipoteza de homoscedasticitate

se verifică.


Pentru a verifica semnificaţia estimatorilor parametrilor modelului, lucrând cu un prag de semnificaţie α ( )05,0=α , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea 201,211;05,0 =t . Comparând această valoare cu

valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constată că: - ⇒=<= 201,27336,0 11;05,01ˆ

tta

parametrul $a1 nu este semnificativ

diferit de zero; - ⇒=>= 201,23506,4 11;05.0

1tt


diferit de zero. Pentru a verifica semnificaţia raportului de corelaţie, din tabela

distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v k1 1= = şi ( ) 11112 =−−−= knv se

preia valoarea teoretică 84,411;1;05,0 =F . Se constată că

84,49279,18 11;1;05,0 =>= FFc , deci pentru un prag de semnificaţie de 5%,

valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, şi acest model, ** 7083,01602,10ˆ tt xy += , poate fi

apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real.

c) Analiza capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în România în perioada 1981-2003 poate fi realizată pe baza indicatorilor statistici propuşi de H. Theil13.

Aceşti indicatori, adaptaţi modelui supus analizei, au fost calculaţi pe baza următoarelor relaţii:

• coeficientul Theil

( )

∑∑

∑

==

=

+

−=

n

tt

n

tt

n

ttt

yn

yn

yyn

T

1

2*

1

2*

1

2**

1ˆ1

ˆ1

ale cărui valori sunt cuprinse în intervalul [0, 1]. 13 cf. R. S. Pindyck, D. S. Rubinfeld, Econometric Models and Economic Forecasts, 5th ed.,

Mc Graw-Hill, New York, 1981, p. 364-366.


Semnificaţia acestui indicator este invers proporţională cu mărimea lui, respectiv cu cât valoarea acestuia este mai mică, tinzând către zero, cu atât capacitatea de prognoză a modelului este mai bună.

• ponderea abaterii

( )( )

( )2

2**

1

2**

2** ˆ

ˆ1ˆ

zn

ttt

A yy

yyn

yyTσ−

=−

−=

∑=

unde:

=*

y media valorilor teoretice ale variabilei endogene;

=*

y media valorilor reale ale variabilei endogene; =2

zσ dispersia variabilei reziduale necorectată cu numărul gradelor de libertate.

Interpretarea acestui indicator, care evidenţiază existenţa unor erori sistematice, este aceea că, în cazul ideal14, valoarea sa este egală cu zero, aceasta tinzând către unu în cazul unor erori de estimare de-a lungul întregii serii de timp.

• ponderea dispersiei

( )( )

( ) ( )2

2

1

2**

1

2**

1

2**

2ˆ

1ˆˆ1

ˆ1**

z

n

tt

n

tt

n

ttt

yyD

yyn

yyn

yyn

T tt

σ

σσ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

=−

−=

∑∑

∑

==

=

care este definită tot în intervalul [0, 1], aceasta măsurând evoluţia oscilantă a celor două serii, respectiv seria ajustată şi seria empirică a variabilei endogene. Acest indicator are aceeaşi semnificaţie ca şi cei precedenţi,

14 Demn de menţionat este faptul că, în cazul estimării parametrilor unui model statistic cu

ajutorul metodei celor mai mici pătrate, valoarea acestui indicator este egală cu zero, acesta fiind discriminant numai în cazul utilizării altor procedee de estimare, cum ar fi, de exemplu, metoda grafică, metoda punctelor empirice sau metoda punctelor medii.


respectiv o valoare scăzută indică o capacitate bună de prognoză, în timp ce o valoare apropiată de unu exprimă o eroare de specificare a modelului.

• ponderea covarianţei ( )

( )∑=

−

−= n

ttt

yyC

yyn

rT tt

1

2**

ˆ

ˆ112 **σσ

unde: r = coeficientul de corelaţie liniară dintre valoarea estimată a variabilei

endogene, *ˆty , şi cea reală, *

ty :

( )( )**ˆ

1

**** ˆˆ

tt yy

n

ttt

n

yyyyr

σσ

∑=

−−=

Se poate observa uşor că semnificaţia acestui indicator este analogă

cu a celor menţionaţi anterior. De altfel cei patru indicatori se regăsesc în următoarea ecuaţie

propusă de Theil:

( ) ( ) ( ) **** ˆ

2

ˆ

2**

1

2** 12ˆˆ1ttttt yyyy

n

tt ryyyy

nσσσσ −+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−=−∑

=

a cărei interpretare se realizează prin intermediul semnificaţiei acestor indicatori.

În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews în vederea testării capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în perioada 1981-2003 au rezultat următoarele informaţii, prezentate în tabelul 2.3.6.


În urma analizei rezultatelor obţinute se constată că modelul posedă o bună capacitate de prognoză, ca urmare a valorilor mici înregistrate în cazul coeficientului Theil, a ponderii abaterii şi a ponderii dispersiei şi, deci, poate fi acceptat în vederea realizării unei prognoze a consumului final real al gospodăriilor populaţiei.

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului privind

dependenţa dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi PIB-ul real în România în perioada 1981-2003

Tabelul 2.3.6

Denumirea indicatorului Simbolul indicatorului Valoarea

indicatorului 0 1 2

Coeficientul Theil T 0,1577 Ponderea abaterii TA 0,0000 Ponderea dispersiei TD 0,1140 Ponderea covarianţei TC 0,8860

Astfel, dacă valoarea PIB-ului real în anul 2004 a fost egală cu 907,8

mld. lei preţuri comparabile (1990=100), atunci: 6272,16389,03,8388,907*

2004 =⋅−=x mld. lei preţuri comparabile

Valoarea estimată a consumului final real al gospodăriilor populaţiei în anul 2004, utilizând rezultatele estimării obţinute în cazul modelului (3) este egală cu:

676,1266272,1637156,05845,9ˆˆˆ *200411

*2004 =⋅+=+= xbay mld.lei

preţuri comparabile Pe baza ipotezei formulate la punctele precedente, consumul final

real al gospodăriilor populaţiei, y*, urmează o distribuţie normală (sau distribuţia Student, dacă n ≤ 30 ), de medie *

2004y şi de abatere medie

pătratică *2004y

s , ( ) ( )*2004ˆ

*2004

* ,ˆy

syNyL = .

Pentru 676,126ˆ6272,163 *2004

*2004 =⇒= yx


( )( )

( )

6848,30

7452,261863893,826272,163

13114988,70811

*2004

*2004

ˆ

2

2**

2**20042

ˆ

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −++⋅=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

−+′

+=∑

y

t

zy

s

xxxx

nss

Estimarea consumului final real al gospodăriilor populaţiei, pe baza

unui interval de încredere, se calculează cu relaţia: ( ) ααα −=+≤≤− 1ˆˆ *

2004*2004 ˆ

*2004

*2004ˆ

*2004 yy styystyP

Pentru 05,0=α şi 111 =−−= knv , din tabela distribuţiei Student se preia valoarea variabilei 201,211;05,0; == tt vα .

Deci, cu un prag de semnificaţie de 0,05 sau cu o probabilitate egală cu 0,95, valoarea estimată a consumului final real al gospodăriilor populaţiei României în anul 2004 va fi cuprinsă în intervalul:

[ ]( ) 95,005,016848,30201,2676,126*2004 =−=⋅±∈yP

[ ]( ) 95,021,194;14,59*2004 =∈yP

2.1.4 Model unifactorial neliniar

Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei în România, în perioada 1985-2001, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100):

Tabelul 2.4.1

Anul


(1990=100) mld.lei

Venitul disponibil net real al populaţiei (1990=100)

mld.lei 0 1 2

1985 442,0 492,5 1986 448,1 500,1 1987 472,1 518,1 1988 513,2 527,1


Anul


(1990=100) mld.lei

Venitul disponibil net real al populaţiei (1990=100)

mld.lei 1989 516,6 558,1 1990 557,7 588,1 1991 467,4 455,9 1992 432,1 438,7 1993 435,9 455,3 1994 447,3 489,3 1995 505,3 560,4 1996 545,7 584,6 1997 525,7 559,4 1998 586,2 493,3 1999 579,8 513,7 2000 582,3 525,7 2001 610,7 526,2

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), iar venitul disponibil net al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Acesta a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB în preţuri constante (1990 = 100). Datele provin de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-372, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-366, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 278, 280, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, 286, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric ce descrie legătura dintre

cele două variabile şi să se interpreteze semnificaţia parametrilor modelului; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia

acestora.


Rezolvare:

a) Pentru a construi modelul econometric care descrie relaţia dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei se porneşte de la reprezentarea grafică a celor două variabile:

y = consumul final real al gospodăriilor populaţiei; x = venitul disponibil net real al populaţiei.

430440450460470480490500510520530540550560570580590600610620

430 440 450 460 470 480 490 500 510 520 530 540 550 560 570 580 590 600

x

y

Figura 2.4.1.

În urma reprezentării grafice a distribuţiei punctelor empirice se

constată că aceasta poate fi aproximată cu ajutorul unei funcţii neliniare, respectiv funcţia putere.

Modelul econometric care descrie legătura dintre cele două variabile se transformă într-un model neliniar unifactorial: uaxy b ⋅= .

Acest model neliniar se transformă în model liniar prin logaritmare: ln ln ln lny a b x u= + + Notând: ttt wuvxzy === ln;ln;ln , se obţine: z a bv wt t t= + +ln


Semnificaţia economică a parametrului b, ţinând cont de semnificaţia celor două variabile, este că acesta reprezintă panta dreptei sau coeficientul de regresie al consumului în funcţie de venit. El reprezintă în acelaşi timp înclinaţia marginală spre consum, care, în acest caz, este egală cu elasticitatea consumului în funcţie de venit, fiind şi constantă:

bxdydER xyxy ===

lnln

b) Estimarea parametrilor modelului econometric de la punctul a) se

realizează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( ) ( ) ( )∑∑==

−−=−=17

1

217

1

2 ˆˆlnminˆminˆ,ˆlnt

ttt

tt vbazzzbaF

( ) ∑∑==

=+⇒=′17

1

17

1

ˆˆln0ˆlnt

tt

t zvbanaF

( ) ∑∑∑===

=+⇒=′17

1

17

1

217

1

ˆˆln0ˆt

ttt

tt

t vzvbvabF

Datele necesare rezolvării modelului se obţin pe baza tabelului de mai jos:

Tabelul 2.4.2

Nr. crt.

Anul xt yt vt zt *tv *

tz

0 1 2 3 4 5 6 7 1 1985 442,0 492,5 6,0913 6,1995 - - 2 1986 448,1 500,1 6,1050 6,2148 1,4239 1,3977 3 1987 472,1 518,1 6,1572 6,2502 1,4474 1,4393 4 1988 513,2 527,1 6,2407 6,2674 1,4373 1,4824 5 1989 516,6 558,1 6,2473 6,3245 1,4811 1,4245 6 1990 557,7 588,1 6,3238 6,3769 1,4893 1,4960 7 1991 467,4 455,9 6,1472 6,1223 1,1942 1,2602 8 1992 432,1 438,7 6,0687 6,0838 1,3526 1,3181 9 1993 435,9 455,3 6,0774 6,1210 1,4194 1,3876

10 1994 447,3 489,3 6,1032 6,1930 1,4627 1,4066 11 1995 505,3 560,4 6,2252 6,3287 1,5427 1,5086


Nr. crt.

Anul xt yt vt zt *tv *

tz

0 1 2 3 4 5 6 7 12 1996 545,7 584,6 6,3021 6,3709 1,4802 1,4913 13 1997 525,7 559,4 6,2647 6,3269 1,4034 1,3945 14 1998 586,2 493,3 6,3737 6,2011 1,3117 1,5323 15 1999 579,8 513,7 6,3627 6,2416 1,4494 1,4371 16 2000 582,3 525,7 6,3670 6,2647 1,4412 1,4499 17 2001 610,7 526,2 6,4146 6,2657 1,4243 1,4942

Total 8668,2 8786,4 105,8716 106,1529 22,7610 22,9204

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate:

Dependent Variable: zt



ind. Std. Error

Semnif. ind.

t-StatisticSemnif.

ind. Prob.

C 1,1425 aln 1,7534 as ˆln 0,6516 at ˆln 0,5245 ( )ap ˆln

vt 0,8144 b 0,2808 bs ˆ 2,9005 b

t ˆ 0,0110 ( )bp ˆ

R-squared 0,3593 2R Mean dependent var

6,2277 z

Adjusted R-squared

0,3166 2cR S.D. dependent

var 0,1170 zs

S.E. of regression

0,0967 ws ˆ Akaike info criterion

-1,7238 AIC

Sum squared resid

0,1403 ( )∑∑=

=−2

2

ˆ

ˆ

t

tt

w

zzSchwarz criterion -1,6258 SC

Log likelihood

16,6521 L F-statistic 8,4126 Fc

Durbin-Watson stat

0,4544 d Prob(F-statistic) 0,0110 p(F)


Semnificaţia indicatorilor necunoscuţi pe care-i calculează pachetul de programe EViews este următoarea:

( ) ( )=bpap ˆ,ˆln probabilitatea asociată parametrului â, respectiv b . O valoare cât mai apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a parametului respectiv, în caz contrar, aceasta confirmând, împreună cu testul t, faptul că parametrul respectiv este nesemnificativ.

2cR = coeficientul de deteminare corectat sau ajustat, este utilizat în

vederea evidenţierii numărului de variabile factoriale cuprinse în model, precum şi a numărului de observaţii pe baza cărora au fost estimaţi parametrii modelului. In cazul unui model multifactorial acesta va înregistra valori inferioare coeficientului de deteminaţie. Expresia acestui indicator este următoarea:

( )22 111 Rkn

nRc −⋅−−

−=

L= logaritmul funcţiei de verosimilitate (presupunând că erorile sunt normal distribuite), funcţie ce este determinată ţinând seama de valorile estimate ale parametrilor. Relaţia de calcul a acestui indicator, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑

nwnL t

2ˆln2ln1

2π

unde: =∑ 2ˆ tw suma pătratelor erorilor;

k = numărul variabilelor exogene; n = numărul de observaţii.

Acest indicator este utilizat în vederea elaborării unor teste statistice destinate depistării variabilelor omise dintr-un model econometric, precum şi a unor teste destinate depistării variabilelor redundante dintr-un model econometric, ca, de exemplu, testul LR sau raportul verosimilităţilor (Likelihood Ratio).


z = media variabilei dependente sau endogene, având următoarea relaţie de calcul:

n

zz t

t∑==

17

1

zs = abaterea medie pătratică (standard) corespunzătoare variabilei dependente, a cărei relaţie de calcul este următoarea:

( )1

17

1

2

−

−=∑=

n

zzs t

t

z

AIC= criteriul Akaike este utilizat în cazul comparării a două sau

mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

nk

nLAIC 22+−=

Este ales acel model econometric pentru care s-a obţinut valoarea

cea mai mică corespunzătoare acestui indicator. SC = criteriul Schwartz este, de asemenea, utilizat pentru a compara

două sau mai multe modele econometrice. Relaţia de calcul a acestuia, utilizată de către pachetul de programe EViews, este următoarea:

nnk

nLSC ln2+−=

Şi în acest caz, este ales acel model econometric pentru care s-a

obţinut valoarea cea mai mică corespunzătoare acestui indicator. p(F) = probabilitatea asociată statisticii F. O valoare cât mai

apropiată de zero a acestei probabilităţi va indica o semnificaţie ridicată a rezultatelor estimării, respectiv a modelului.


Pe baza estimatorilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei z şi ale variabilei reziduale, ttt zzw ˆˆ −= . Valorile acestora sunt prezentate în

cadrul tabelului 2.4.3 (utilizând pachetul de programe EViews):


tz Fitted

tz Residual

ttt zzw ˆˆ −= Residual Plot


6,0913 6,1913 -0,1000 | *. | . | 6,1050 6,2037 -0,0987 | *. | . | 6,1572 6,2325 -0,0753 | .* | . | 6,2407 6,2466 -0,0059 | . * . | 6,2473 6,2931 -0,0458 | . * | . | 6,3238 6,3357 -0,0119 | . *| . | 6,1472 6,1284 0,0188 | . |* . | 6,0687 6,0971 -0,0284 | . * | . | 6,0774 6,1273 -0,0499 | . * | . | 6,1032 6,1860 -0,0827 | .* | . | 6,2252 6,2964 -0,0713 | .* | . | 6,3021 6,3309 -0,0288 | . * | . | 6,2647 6,2950 -0,0303 | . * | . | 6,3737 6,1926 0,1811 | . | . *| 6,3627 6,2256 0,1371 | . | . * | 6,3670 6,2444 0,1226 | . | . * | 6,4146 6,2452 0,1694 | . | . * |


( )0994,0

11171440,0

1ˆ 2

2ˆ

=−−

=−−

−= ∑

knzz

s ttw

unde: k = numărul variabilelor exogene. (vezi tabelul afişat de programul EViews)


- abaterea medie pătratică a variabilei reziduale

( )0967,00994,0

1ˆ 2

ˆ ==−−

−= ∑

knzz

s ttw


- abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori

( )7534,11

2

22ˆˆln =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+=∑ vv

vn

sst

wa

( )2808,02

2ˆ

ˆ =−

=∑ vv

sst

wb


- raportul de corelaţie

( )

( )

( )

( )

5994,03593,0161170,0

4613,497011

1

ˆ1

ˆ1

2

2

17

1

2

17

1

2

17

1

2

2

==⋅

−=

−⋅

−−=

−

−−==

∑

∑

∑=

=

=

R

ns

zz

zz

zzRR

z

ttt

tt

ttt


- variabila Durbin-Watson, d

( )45,0

ˆ

ˆˆ

17

1

2

17

2

21

=−

=

∑

∑

=

=−

tt

ttt

w

wwd

(vezi tabelul afişat de programul Eviews)



( ) ( )0967,0

45,02808,07534,1599,0;8144,01425,1ˆ

ˆ ===+=

w

tt

sd

Rvz

Verificarea semnificaţiei modelului presupune: - verificarea ipotezei de independenţă a erorilor; - verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor; - verificarea ipotezei de normalitate a erorilor; - verificarea semnificaţiei estimatorilor; - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie. Verificarea ipotezei de independenţă a erorilor se realizează cu

ajutorul testului Durbin-Watson, constând în calcularea variabilei d şi compararea sa cu două valori teoretice d1 şi d 2 ( )38,1;13,1 21 == dd , preluate din tabela distribuţiei Durbin-Watson în funcţie de un prag de semnificaţie α ( )05,0=α , de numărul variabilelor explicative k ( )k = 1 şi

de numărul observaţiilor n ( )1517 ≥=n . Deoarece valoarea calculată, 45,0=d , este cuprinsă în intervalul

13,145,00 1 =<=< dd , aceasta indică existenţa unei autocorelări pozitive. Din acest motiv, nu mai are sens testarea semnificaţiei estimatorilor

şi a raportului de corelaţie, estimatorii nemaifiind eficienţi, deci se impune mai întâi eliminarea fenomenului de autocorelaţie a erorilor.

Eliminarea fenomenului de autocorelare a erorilor va fi realizată cu ajutorul procedeului prezentat în cadrul aplicaţiei 2.1.3, respectiv, pornind de la faptul că erorile sunt corelate, adică:

( ) ttt wrw ω+= −11

se va estima valoarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul 1 pe baza variabilei Durbin-Watson, d, pentru a facilita utilizarea pachetului de programe EViews în vederea eliminării autocorelaţiei erorilor (utilizând programul autocorelaţie.prg):

( ) 77,0245,01

211 =−=−=

dr


În continuare, variabilele modelului vor fi transformate pe baza qvasi-diferenţelor:

( ) ( )( ) ( )( ) ttttt vrvbrazrz ω+−+−=− −− 11111 1

Notând cu: ( ) 11*

−−= ttt yryz

( ) 11*

−−= ttt xrxv

( )( )11 1ln raa −=

b b1 = se obţine: *

11**

11* ˆˆˆ ttttt vbazvbaz +=⇒++= ω

(vezi tabelul 2.4.2 coloanele 6, 7) Rezultatele estimării, utilizând pachetul de programe EViews (Vezi

aplicaţia 2.1.3) sunt următoarele:

Dependent Variable: ∗tz



C 0,6578 0,2674 2,4595 0,0275 ∗tv 0,5446 0,1877 2,9014 0,0116

R-squared 0,3755 Mean dependent var 1,4325 Adjusted R-squared 0,3309 S,D, dependent var 0,0722 S.E. of regression 0,0590 Akaike info criterion -2,7054 Sum squared resid 0,0488 Schwarz criterion -2,6088 Log likelihood 23,6429 F-statistic 8,4180 Durbin-Watson stat 1,9681 Prob(F-statistic) 0,0116

Pe baza rezultatelor estimării afişate de programul EViews rezultă

modelul:

( ) ( )059,0

97,11877,02674,0613,0;5446,06578,0

ˆ

1**

==′=+=

ωsdRvz tt


Pe baza estimatorilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei

*tz şi ale variabilei reziduale, tω . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul

tabelului 2.4.4:


*tz

Fitted *ˆtz

Residual

tω Residual Plot

(graficul reziduurilor) 1,3977 1,4332 -0,0356 | .* | . | 1,4393 1,4460 -0,0068 | . *| . | 1,4824 1,4405 0,0419 | . | *. | 1,4245 1,4644 -0,0399 | .* | . | 1,4960 1,4689 0,0271 | . | * . | 1,2602 1,3082 -0,0480 | * | . | 1,3181 1,3944 -0,0763 | * . | . | 1,3876 1,4308 -0,0432 | .* | . | 1,4066 1,4544 -0,0478 | * | . | 1,5086 1,4980 0,0106 | . |* . | 1,4913 1,4639 0,0274 | . | * . | 1,3945 1,4221 -0,0276 | . * | . | 1,5323 1,3722 0,1601 | . | . *| 1,4371 1,4472 -0,0100 | . *| . | 1,4499 1,4427 0,0072 | . |* . | 1,4942 1,4335 0,0607 | . | .* |

Utilizând testul Durbin-Watson pentru a verifica dacă fenomenul de

autocorelaţie a erorilor a fost eliminat - pentru un prag de semnificaţie 16,1,05,0 === nkα valorile teoretice ale variabilei Durbin-Watson sunt

37,1,10,1 21 == dd . În comparaţie cu acestea, valoarea empirică 97,1=′d

se situează astfel: 63,2497,137,1 22 =−<=′<= ddd , ceea ce indică fenomenul de independenţă a erorilor, deci fenomenul de autocorelaţie a erorilor a fost eliminat.


Verificarea ipotezei de homoscedasticitate a erorilor se va realiza cu ajutorul testului White (vezi aplicaţia 2.1.2). Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate:



Test Equation:

Dependent Variable: 2tw



C -29,4768 10,8355 -2,7204 0,0166 vt 9,4696 3,4758 2,7245 0,0164

2tv -0,7602 0,2787 -2,7276 0,0163



74,38112,3 14;2;05,0 =>= FFc şi >= 9929,5LM χ 99147,522;05,0 = , iar

estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativi pentru un prag de semnificaţie 05,0=α ( 148,214;05,0 =t ), indicând prezenţa

heteroscedasticităţii erorilor, dar, pentru un prag de semnificaţie 01,0=α ,

51,68112,3 14;2;01,0 =<= FFc şi <= 9929,5LM χ 21034,922;01,0 = , iar

estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi ( 977,214;01,0 =t ),

deci ipoteza de homoscedasticitate se verifică. Se poate astfel considera că,


pentru un prag de semnificaţie 01,0=α , ipoteza de homoscedasticitate este verificată.

Verificarea ipotezei de normalitate a erorilor se va realiza cu ajutorul testului Jarque-Berra. Utilizând pachetul de programe EViews în vederea calculării testului Jarque-Berra (vezi Figura 2.4.2.) se constată că

<= 5981,2JB χ 9915,522;05,0 = şi că p(JB) = 0,2728. Deoarece valoarea

calculată a testului J-B este mai mică decât valoarea tabelată a lui χ 22;α , iar

probabilitatea ca testul J-B să nu depăşească valoarea tabelată este suficient de mare, ipoteza de normalitate a erorilor poate fi acceptată.

0

2

4

6

8

-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20


Mean 1.10E-15Median -0.028806Maximum 0.181076Minimum -0.099953Std. Dev. 0.093653Skewness 0.910913Kurtosis 2.409370


Figura 2.4.2

Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă:

( ) 11;ˆ

1

11ˆ

ˆ−−−≥= kn

a

tsa

ta α

4595,22674,06578,0

1ˆ==

at

( ) 11;ˆ

1

1

1

ˆ−−−≥= kn

b

ts

bt

b α

9014,21877,05446,0

1==

bt



valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori, se constată că: - ⇒=>= 145,24595,2 14;05,01ˆ

tta

parametrul $a1 este semnificativ

diferit de zero; - ⇒=>= 145,29014,2 14;05,0

1tt


diferit de zero. Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se



( )( ) 418,86245,03755,014

121 2

2

=⋅=−

−−=R

RnFc

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v k1 1= = şi

( ) 14112 =−−−= knv se preia valoarea teoretică 60,414;1;05,0 =F . Se

constată că 60,4418,8 14;1;05,0 =>= FFc , deci pentru un prag de semnificaţie

de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, modelul ** 5446,06578,0 tt xz += poate fi apreciat ca

reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei.

Deşi modelul este semnificativ în raport cu testele statistice adecvate acestui scop (ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate, estimatorii parametrilor şi raportul de corelaţie sunt semnificativi), faptul că mărimea coeficientului de determinare este mică (în jur de 0,38), se poate considera că modelul poate fi folosit în scopuri explicative, statistice şi economice (a1>0, 0<b1<1), dar nu şi în scopuri de simulare şi prognoză deoarece prezintă o capacitate slabă de previziune.


2.1.5 Model liniar multifactorial Un întreprinzător cumpără un magazin având o suprafaţă de 230 m2

într-un cartier în care locuiesc în jur de 6400 de familii. O societate de consultanţă de management comercial îl informează că cifra de afaceri a magazinelor cu profilul respectiv depinde liniar de suprafaţa comercială a magazinului şi de numărul familiilor din cartierul respectiv care, de regulă, cumpără de la magazinul cel mai apropiat. În acest sens, îi pune la dispoziţie informaţiile referitoare la aceşti indicatori, înregistrate la 13 magazine având acelaşi profil:

Tabelul 2.5.1 Nr. de familii

(sute) 70 35 55 25 28 43 15 33 23 4 45 20 56

Suprafaţa comercială (zeci m2)

21 26 14 10 12 20 5 28 9 6 10 8 36

Cifra de afaceri

(mil. lei) 198 209 197 156 85 187 43 211 120 62 176 117 273

Se cere: a) Pe baza datelor problemei, ţinând cont de semnificaţia economică

a fenomenelor observate, să se construiască modelele econometrice cu ajutorul cărora poate fi studiată dependenţa dintre fenomenele respective;

b) Să se estimeze parametrii modelelor construite la punctul a); c) Din cele trei modele utilizate pentru descrierea dependenţei cifrei

de afaceri de cei doi factori, să se aleagă cel mai bun model; d) Să se estimeze cifra de afaceri pe care o poate obţine

întreprinzătorul dacă va cumpăra magazinul respectiv; e) Ştiind că, pentru funcţionarea magazinului, cheltuielile lunare sunt

în jur de 200 milioane lei, estimaţi care este riscul ca întreprinzătorul să obţină un profit mai mic sau egal cu 10%;

f) Să se arate şi alte modalităţi de rezolvare a modelului multifactorial - pe baza matricei coeficienţilor de corelaţie şi a matricei varianţelor şi covarianţelor.


Rezolvare: a) Descrierea econometrică a legăturii dintre cele trei variabile, y -

cifra de afaceri. x1 - numărul de familii şi x2 - suprafaţa comercială, se poate face cu ajutorul a trei modele:

1.1. Modelul unifactorial: ( )y f x ut t t= +1 1 explică variaţia cifrei de

afaceri pe seama numărului de familii; 1.2. Modelul unifactorial: ( )y f x ut t t= +2 2 explică variaţia cifrei de

afaceri pe seama suprafaţei comerciale; 1.3. Modelul multifactorial: ( )y f x x ut t t t= +1 2 3, explică variaţia

cifrei de afaceri pe seama ambilor factori. Identificarea funcţiilor de regresie a primelor două modele se

realizează cu ajutorul reprezentării grafice a variabilei y în funcţie de celelalte două variabile factoriale x1, respectiv x2 .

0

50

100

150

200

250

300

10 20 30 40 50 60 70

X1

Y

Figura 2.5.1


0

50

100

150

200

250

300

5 10 15 20 25 30 35

X2

Y

Figura 2.5.2

Deoarece graficele de mai sus arată că legătura dintre y şi x1,

respectiv y şi x2 poate fi aproximată cu o dreaptă, modelele de mai sus devin:

1. y a b x ut t t= + +1 1 1 1 2. y a b x ut t t= + +2 2 2 2 3. tttt uxcxbay 323133 +++=

Modelul (3) este un model multifactorial liniar deoarece y, fiind

corelat liniar cu x1, respectiv cu x2 , se deduce uşor că va fi corelat liniar şi în raport cu ambii factori.


b) Estimarea parametrilor celor trei modele 1. Model econometric privind dependenţa dintre cifra de afaceri şi

numărul de familii. Estimarea parametrilor modelului y a b x ut t t= + +1 1 1 1 se va face cu

ajutorul pachetului de programe EViews, prin aplicarea M.C.M.M.P., care a condus la obţinerea următoarelor rezultate:

Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample: 1 13 Included observations: 13


C 56,9101 26,0181 2,1873 0.0512 x1t 2,8632 0,6662 4,2978 0.0013


Valorile estimate ale variabilei yt şi ale variabilei reziduale tu1ˆ sunt prezentate în cadrul tabelului 2.5.2. (utilizând pachetul de programe EViews):


ty

Fitted 1

tY Residual

tu1


198 257,3340 -59,3345 |* . | . | 209 157,1220 51,8777 | . | .* | 197 214,3860 -17,3864 | . * | . | 156 128,4900 27,5098 | . | * . | 85 137,0800 -52,0798 | *. | . |

187 180,0280 6,9721 | . |* . | 43 99,8582 -56,8582 | * . | . |

211 151,3960 59,6041 | . | . *| 120 122,7640 -2,7638 | . *| . | 62 68,3629 -6,3629 | . *| . |


176 185,7540 -9,7543 | . * | . | 117 114,1740 2,8258 | . |* . | 273 217,2500 55,7504 | . | . * |

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se calculează valoarea variabilei Durbin-Watson: 67,2=d (vezi tabelul afişat de programul EViews).

Pentru un prag de semnificaţie 050,=α , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se preiau valorile pentru cazul n k= =15 1, - numărul variabilelor explicative 08,11 =d şi 36,12 =d .

Cum 92,2467,264,24 12 =−≤=≤=− ddd , rezultă indecizie tinzând spre autocorelare negativă.

Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă:

1;ˆ

1ˆ

1

1

ˆ−−≥= kn

aa t

sa

t α şi 1;ˆ

1ˆ

1

1

ˆ−−≥= kn

bb

ts

bt α

Deoarece:

2010,21873,20181,269101,56ˆ

11;05,0ˆ

1ˆ

1

1=<=== t

sa

ta

a → parametrul 1a nu

este semnificativ diferit de zero.

2010,22978,46662,08632,2ˆ

11;05,0ˆ

1ˆ

1

1=>=== t

s

bt

bb

→ parametrul 1b este

semnificativ diferit de zero.

Testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele obţinute sunt semnificative, cu un prag de semnificaţie de 5%,

84,4471,18 11;1;05,0 =>= FFc .

Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se verifică relaţia:

( )21 ;;2

2

12 vvc F

RRnF α>−

−=


471,186268,01

6268,011 =−

⋅=cF

În funcţie de un prag de semnificaţie 05,0=α şi de numărul gradelor de libertate v k1 1= = şi v n k2 1 13 2 11= − − = − = se preia valoarea teoretică 844111050 ,F ;;, = .

Se constată că 84447118 111050 ,F,F ;;,c =>= , deci, pentru un prag

de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero.

Pe baza datelor de mai sus, modelul devine:

tt xY 11 8632,29101,56ˆ += ; 7917,0=R

(26,0181) (0,6662) 67,2=d 7219,42

1ˆ=us

2) Model econometric privind dependenţa dintre cifra de afaceri şi suprafaţa comercială

Estimarea parametrilor modelului y a b x ut t t= + +2 2 2 2 se va face cu ajutorul pachetului de programe EViews, prin aplicarea M.C.M.M.P., care a condus la obţinerea următoarelor rezultate:




C 61,3840 19,1642 3,2031 0,0084 x2t 6,0293 1,0485 5,7504 0,0001



Valorile estimate ale variabilei yt şi ale variabilei reziduale tu2ˆ sunt

prezentate în cadrul tabelului 2.5.3. (utilizând pachetul de programe EViews):

Tabelul 2.5.3

Actual

ty

Fitted 2

tY Residual

tu2ˆ Residual Plot


198 187,999 10,0006 | . | * . | 209 218,146 -9,1460 | . * | . | 197 145,794 51,2057 | . | . * | 156 121,677 34,3229 | . | * | 85 133,736 -48,7357 | * . | . |

187 181,970 5,0299 | . |* . | 43 91,5306 -48,5306 | * . | . |

211 230,205 -19,2046 | . * | . | 120 115,648 4,3522 | . |* . | 62 97,5599 -35,5599 | * | . |

176 121,677 54,3229 | . | . *| 117 109,618 7,3815 | . | * . | 273 278,439 -5,4390 | . *| . |

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se

calculează valoarea variabilei Durbin-Watson: 26,2=d (vezi tabelul afişat de programul EViews).

Pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , din tabela distribuţiei Durbin-Watson se preiau valorile (pentru cazul 15=n , k = 1 - numărul variabilelor explicative) 08,11 =d şi 36,12 =d .

Cum ⎩⎨⎧

=−<=

=>=

64,2426,236,126,2

2

2

dddd

c

c rezultă că erorile sunt independente.

Deoarece:

2010,22031,31642,19384,61ˆ

11;05,0ˆ

2ˆ

2

2=>=== t

sa

ta

a


2010,27504,50485,10293,6ˆ

11;05,0ˆ

2

2

2ˆ=>=== t

s

bt

bb

rezultă că ambii estimatori, $a2 şi $b2 , sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie 050,=α .

Testul Fisher-Snedecor indică faptul că rezultatele obţinute sunt semnificative, cu un prag de semnificaţie de 5%,

844067433 111050 ,F,F ;;,c =>= .

Se verifică, de asemenea, semnificaţia raportului de corelaţie:

( ) 0674,337504,01

7504,0111

2 2

2

=−

⋅=−

−=R

RnFc

Se constată că 844067433 111050 ,F,F ;;,c =>= , deci, pentru un prag

de semnificaţie de 5%, valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero.

Pe baza datelor de mai sus, modelul devine:

tt xY 22 0293,6384,61ˆ += ; 8662,0=R

(19,1642) (1,0485) 26,2=d 9373,34

2ˆ =us

3) Model econometric multifactorial privind dependenţa cifrei de

afaceri de suprafaţa comercială şi de numărul de familii Estimarea parametrilor modelului multifactorial,

tttt uxcxbay 323133 +++= , necesită efectuarea următoarelor calcule:

- obţinerea sistemului de ecuaţii normale prin aplicarea M.C.M.M.P. care constă în:

( ) ( )∑ −−−==

13

1

223133333 ˆˆˆminˆ,ˆ,ˆ

tttt xcxbaycbaF


Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în raport cu parametrii modelului :

( ) ( )( ) 01ˆˆˆ20ˆ 231333 =−−−−⇒=′ ∑t

ttt xcxbayaF

( ) ( )( ) 0ˆˆˆ20ˆ1231333 =−∑ −−−⇒=′ t

tttt xxcxbaybF

( ) ( )( ) 0ˆˆˆ20ˆ 2231333 =∑ −−−−⇒=′t

tttt xxcxbaycF

După efectuarea calculelor rezultă următorul sistem de ecuaţii:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∑ ∑=∑++∑

∑ ∑ ∑=++∑

∑ ∑=∑++

tttttt

tttttt

ttt

yxxcxxbxa

yxxxcxbxa

yxcxban

222321323

121321313

23133

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

Valorile estimatorilor rezultă în urma rezolvării sistemului de ecuaţii ale cărui necunoscute sunt cei trei parametrii a b c3 3 3, , .

Pentru exemplificare, estimarea parametrului $a3 cu ajutorul M.CM.M.P. se realizează astfel:

43438452205845219828452205452134343845238769845219828824952054522034

ˆ

22212

21211

21

22212

21211

21

3 ==

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

tttt

tttt

tt

ttttt

ttttt

ttt

xxxxxxxx

xxnxxxyxxxxyx

xxy

a

5023,37ˆ3 =a

În mod analog se obţin valorile celorlalţi doi parametrii: 4963,13 =b

şi 2446,4ˆ3 =c .


Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul programului EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate:

Dependent Variable: Yt



C 37,5023 17,6461 2,1252 X1t 1,4963 0,5534 2,7039 X2t 4,2446 1,0650 3,9856


Valorile estimate ale variabilei yt şi ale variabilei reziduale tu3ˆ sunt



ty

Fitted 3

tY

Residual

tu3ˆ Residual Plot


198 231,3800 -33,3796 | * . | . | 209 200,2330 8,7674 | . | * . | 197 179,2230 17,7771 | . | * . | 156 117,3560 38,6443 | . | . * | 85 130,3340 -45,3339 |* . | . |

187 186,7350 0,2648 | . * . | 43 81,1697 -38,1697 | * . | . |

211 205,7290 5,2707 | . |* . | 120 110,1190 9,8815 | . | * . | 62 68,9552 -6,9552 | . * | . |

176 147,2810 28,7185 | . | .* | 117 101,3850 15,6149 | . | * . | 273 274,1010 -1,1009 | . * . |


O cale mai rapidă de estimare a parametrilor se realizează utilizând calculul matriceal, sistemul de ecuaţii de mai sus devenind:

( ) ( )′ = ′X X B X Y$

Înmulţind la stânga expresia cu ( )′ −X X 1 obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )YXXXBXXXX ′′=′′ −− 11 ˆ Rezultă că:

( ) ( )$

$$

$

Babc

X X X Y=⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟= ′ ′−

3

3

3

1

unde matricile sunt de forma:

X =

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

1 70 211 35 261 55 141 25 101 28 121 43 201 15 51 33 281 23 91 4 61 45 101 20 81 56 36

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

27311717662

12021143

18785

156197209198

Y

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

13

3

2

1

ˆ

ˆˆˆ

u

uuu

U

M

M

M

M

M

M

M

M

M


Se calculează matricile:

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=′

4343845220584521982845220545213

XX

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=′

38769824952034

YX

′ =X X 36557768

( )′ =− −

− −− −

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

∗X X14676700 230376 244436

230376 14434 17216244436 17216 53460

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=′ −

5346017216244436172161443423037624443623037614676700

3655776811XX

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=′ −

0015,00005,00067,00005,00004,00063,00067,00063,04015,0

1XX

Calculând produsul:

( ) ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=′′= −

2446,44963,15023,37

ˆ

ˆˆ

ˆ

3

3

31

cba

YXXXB


Valorile teoretice ale cifrei de afaceri rezultă deci din relaţia:

ttt xxY 213 2446,44963,15023,37ˆ ++=

Calculul celorlalţi indicatori ai modelului multifactorial se va face

utilizând următoarele relaţii:

( )∑ ∑= −−

=−−−

=n

t

tttu kn

uYy

kns

1

23232

ˆ 1ˆˆ

11

3 - estimaţia dispersiei ( 2

3uσ ) a

variabilei reziduale u3

( ) ijucba css3333

2ˆ

2ˆ,ˆ,ˆ = - estimaţiile dispersiilor parametrilor a b c3 3 3, , ,

unde: cij = elementul situat pe diagonala principală a matricei inverse

( )′ −X X 1 ;

( )⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=

2ˆ

2ˆ

2ˆ

22ˆ,ˆ,ˆ

3

3

3

3333

0015,00004,0

4015,0

c

b

a

ucba

sss

ss

( )( )

( )( )∑

∑∑∑

−

−−=

−

−= 2

23

2

23 ˆ1

ˆ

yyYy

yyyY

Rt

tt

t

t - raportul de corelaţie

( )

∑

∑ −=

=

=−

n

tt

n

ttt

u

uud

1

23

2

2133

ˆ

ˆˆ - valoarea variabilei Durbin-Watson calculată

în vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor. Verificarea semnificaţiei acesteia se face cu ajutorul tabelei Durbin-

Watson, din care se extrag valorile d1 0 95= , şi 54,12 =d în funcţie de un


prag de semnificaţieα = 0 05, , de numărul variabilelor exogene k = 2 şi de numărul observaţiilor 13=n ( )15=n .

Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson 172,d c =

cu cele două valori tabelate se observă că 541172 2 ,d,d c =>= şi

3624172 2 ,d,d c =−<= , deci erorile sunt independente.

În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că: 228212522 100503

,t,t ;,ca=<= rezultă că parametrul $a3 nu este

semnificativ diferit de zero; 228,27039,2 10;05,0

3=>= tt

bc rezultă că parametrul $b3 este

semnificativ diferit de zero; 228,29856,3 10;05,03ˆ

=>= ttcc rezultă că parametrul $c3 este

semnificativ diferit de zero. Deoarece 1,46749,29 10;2;05,0 =>= FFc rezultă că valoarea raportului

de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,05.

Utilizând ecuaţia analizei variaţiei:

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=−23232 ˆˆ yYYyyy tttt

rezultă că modelul econometric explică 85,58% ( )( ) ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⋅

−

−

∑∑ 100

ˆ2

23

yyyY

t

t din

variaţia totală a cifrei de afaceri. În concluzie, putem afirma că modelul este corect specificat, adică

variabilele x t1 şi x t2 sunt factori semnificativi ai cifrei de afaceri, deoarece estimatorii lor sunt semnificativ diferiţi de zero şi corect identificaţi, deoarece modelul explică cea mai mare parte din variaţia cifrei de afaceri.

De asemenea, relaţiile $

;$

$,

$;

b

st

cs

tb

n kc

n k3

13

1

3 3

> >− − − −α α indică şi faptul că

cele două variabile x t1 şi x t2 nu sunt corelate liniar. Dacă acestea ar fi fost


corelate liniar (puternic) atunci unul dintre estimatori ar fi fost nesemnificativ, ceea ce înseamnă că una dintre cele două variabile trebuie eliminată din model.

Prin utilizarea unui model liniar multifactorial, cei doi estimatori, $b3 şi $c3 , reprezintă coeficienţii de regresie (coeficienţii marginali sau ∂∂

∂∂

yx

yx1 2

, ), ceea ce înseamnă că la o modificare de ±100 a numărului de

familii, cifra de afaceri a magazinului va suferi o modificare de ±1,4963 mil. lei, iar dacă suprafaţa comercială se va modifica cu ±10m2, cifra de afaceri va suporta o modificare de ±4,2446 mil. lei.

Ca atare, modelul care descrie legătura dintre fenomenele analizate este:

ttt xxY 213 2446,44963,15023,37ˆ ++= ; 9251,0=R

(17,6461) (0,5534) (1,065) 172,d = 85,27

3ˆ =us

c) Alegerea celui mai bun model econometric din cele trei modele analizate se va face pe baza tabelului de mai jos, în raport cu modelul iniţial ( M 0 ):

Tabelul 2.5.5 Simbolul modelului

( )3,0=l

M l Structura modelului

Variaţia neexplicată de

model

Coeficienţii de performanţă

20

22

0/ 1VVR u

j −=


parţială

2

22

/111

j

j

u

ujj

V

VR +−=+

( )00

=lM 0uyyt += ( )

2308,53789

2

20

20

=

−=

=

∑ yy

VV

t

u 2

0

22

0/001

V

VR u−=

= 0

-

( )11

=lM

tt

ttt

xY

uxbay

11

1111

8632,29101,56ˆ +=

++=

(26,0181) (0,6662)

( )7405,20076

ˆ 2121

=

−=∑ ttu YyV

626802308537897405200761

201

,,,

R /

=

−=

= 6268,02

0/1 =R

( )22

=lM

tt

ttt

xY

uxbay

22

2222

0293,6384,61ˆ +=

++=

(19,1642) (1,0485)

( )7387,13426

ˆ 2222

=

−=∑ ttu YyV

750402308537897387134261

202

,,,

R /

=

−=

=

3312,021/2 =R


Simbolul modelului

( )3,0=l

M l Structura modelului

Variaţia neexplicată de

model


20

22

0/ 1VVR u

j −=


parţială

2

22

/111

j

j

u

ujj

V

VR +−=+

( )33

=lM

ttt

tttt

xxY

uxcxbay

213

323133

2446,44963,15023,37ˆ ++=

+++=

(17,6461) (0,5534) (1,065)

( )2142,7756

ˆ 2323

=

−=∑ ttu YyV

8858,02308,53789

2142,7751

20/3

=

−=

=R 6137,0

1 2

22

1/3

=

=−=w

u

VVR

4223,0

12

22

2/3

=

=−=z

u

VV

R

Notă: j q k k= =0 1, , ... , , ... , ; numărul variabilelor exogene;

t n n= =1, ; numărul observaţiilor;

== mml ;,0 numărul modelelor construite ( m = 3 ). În cazul modelelor cu acelaşi număr de variabile exogene, cel mai

bun model este dat de restricţia : maxj jR 2 . Pe baza acestui criteriu se observă

că: 6268,07504,0 20/1

20/2 =>= RR , respectiv modelul M 2 explică mai bine

variaţia cifrei de afaceri (y) în funcţie de suprafaţa comercială ( x2 ), în

comparaţie cu modelul 1M , care utilizează ca variabilă exogenă numărul de familii ( x1).

În cazul în care se compară două modele al căror număr de variabile exogene este diferit (de exemplu, modelul M 2 cu M 3 ) alegerea celui mai bun model se face cu ajutorul testului Fisher-Snedecor.

Utilizarea acestui test în acest caz constă în: - calcularea valorii empirice a variabilei Fc

FV V

k qV

n k

V V V V

k qV

n kcx x u u u uk q k k q k=−

− − −=

− − +

− − −

2 2 202 2

02 2 2

1 1: :

FV V

k qV

n kcu u uq k k=−

− − −

2 2 2

1:


FV V V

cu u u=−

− − −2 3 3

2 2 2

2 1 13 2 1:

3109710

2142775612

21427756738713426 ,,:,,Fc =−−

=

- preluarea din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor a valorii teoretice

a variabilei F în funcţie de un prag de semnificaţie α şi de numărul gradelor de libertate v k q1 = − , 12 −−= knv , respectiv pentru

964050 101050 ,F;, ;;, ==α .

Deoarece 96,43109,7 10;1;05,0 =>= FFc , prin introducerea variabilei

x1 în modelul M 3 creşte gradul de performanţă al acestui model în raport cu modelul M 2 , în acelaşi timp influenţa acestei variabile asupra variabilei y este semnificativă.

Ca atare, modelul care explică cel mai bine variaţia cifrei de afaceri este modelul M 3 :

ttt xxY 213 2446,44963,15023,37ˆ ++= ; 9251,0=R

(17,6461) (0,5534) (1,065) 172,d = 85,27

3ˆ =us

d) Deoarece s-a constatat că modelul M 3 explică cel mai bine

variaţia cifrei de afaceri, acesta va fi utilizat în vederea estimării valorilor probabile ale cifrei de afaceri pentru întreprinzătorul respectiv. În acest caz, dacă x x x0 1 21 64 23= = =, , , în medie, cifra de afaceri este egală cu:

Y a x b x c xn v n v n v n v+

∗+ + += + +$ $ $, , ,3 0 3 1 3 2

unde: Yn v+

∗ = estimaţia punctuală a valorii de prognoză pentru variabila y;

yn v+ = valoarea reală a variabilei y în momentul de prognoză ( vn + ).


Sub formă matriceală, relaţia anterioară devine:

( ) ( )YXXXXBXY vvvn ′⋅′⋅′=⋅′= −∗+

1ˆ

unde:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

+

+

2,

1,

1

vn

vnv

xxX - reprezintă matricea coloană a valorilor de prognoză ale

variabilelor x j ( 2,0=j ) pentru momentul ( n v+ ).

23189,230232446,4644963,115023,37 ≈=⋅+⋅+⋅=∗

+vnY mil. lei.

În vederea estimării intervalului de încredere pentru această valoare

probabilă este necesară calcularea dispersiei acestei valori cu ajutorul relaţiei:

( )[ ]s s X X X XY u v v

n v+∗ = + ′ ′ −2 2 11

( )

65,31

84,100123641

0015,00005,00067,00005,00004,00063,00067,00063,00401,0

2364116214,7752

=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

⋅+⋅=

∗+

∗+

vn

vn

Y

Y

s

s

Intervalul de încredere a prognozei cifrei de afaceri, estimat cu un

prag de semnificaţie α = 0 05, , pentru care valoarea lui αt , preluată din

tabela distribuţiei Student, este 228210050 ,t ;, = se va calcula cu ajutorul

relaţiei: [ ] ααα −=+≤≤− ∗

+∗+

∗++

∗+ 1

vnvn YvnvnYvn stYystYP


[ ] 95,005,0165,31228,223165,31228,2231 =−=⋅+≤≤⋅− +vnyP

[ ] 95,0301160 =≤≤ +vnyP

În concluzie, cu un prag de semnificaţie de 5%, cifra de afaceri a

întreprinzătorului respectiv va fi cuprinsă între 160 şi 301 milioane lei. e) Ştiind că rata profitului ( )rp este egală cu:

( ) ( )r CA CTCT

CA r CT CT CA CT rp p p00

100 1=−

⇒ = + ⇒ = +*

unde: CA = cifra de afaceri (y); CT = cheltuieli totale.

Pe baza datelor problemei rezultă că antreprenorul, pentru a obţine un profit mai mic sau egal cu 10 %, trebuie să realizeze o cifră de afaceri de cel mult 220 mil. lei ( ( ) 2201,01200 =+⋅=CA ).

Utilizând modelul econometric M 3 rezultă că cifra de afaceri a acestor magazine urmează o distribuţie normală, de medie Y = 231 mil. lei şi de abatere medie pătratică sY = 31 43, mil. lei şi, ca atare:

( ) ( ) ( ) ( ) 3632,035,035,043,31

23;64220220 =≥=−≤=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤=≤ tPtPYtPYP

În concluzie, antreprenorul are 36,32% şanse de a nu realiza un

profit de 10%, aceasta reprezentând riscul său de a nu-şi realiza dezideratul propus în urma cumpărării magazinului respectiv.

f) Estimarea parametrilor unui model econometric multifactorial

liniar pe baza matricei varianţelor şi covarianţelor şi a matricei coeficienţilor de corelaţie liniară simpli


Fie modelul:

tttt uxbxbby +++= 22110 (1)

Se însumează (1) şi se împarte la n obţinându-se ecuaţia: y b b x b x= + +0 1 1 2 2 (2) Se scade ecuaţia (2) din (1) şi rezultă:

( ) ( )y y b x x b x x ut t t t− = − + − +1 1 1 2 2 2 (3)

Notăm cu: y y yt t∗ = −

x x xt t1 1 1∗ = −

x x xt t2 2 2∗ = −

Modelul (3), construit pe baza abaterilor centrate ale variabilelor,

devine:

tttt uxbxby ++= *22

*11

*

În acest caz, matricea varianţelor şi covarianţelor modelului se

defineşte astfel:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=2

122

212

1

212

22

11

covcovcovcovcovcov

xx

xx

yy

xxyxxxyx

yxyxV

σσ

σ


unde:

( )σ y

tt

y

n2

2

1

13

=

∗

=∑

- dispersia variabilei y;

( )n

xt

tj

x j

∑=

∗

=

13

1

2

2σ - dispersia variabilei xtj ( j = 1 2, );

( ) ( )( )cov ,y x

y y x x

ny xnj

t tj t tj=− −

=∑ ∑ ∗ ∗

77,157692,1577,347692,34

2

1

≈=≈=

xx

46,1564615,156 ≈=y

Tabelul 2.5.6

Nr. crt.

x x xt t1 1 1* = − x x xt t2 2 2

* = − y y yt t* = − x yt t1

* * x yt t2 2* * x xt t1 2

* *

0 1 2 3 4 5 6 1 35,23 5,23 41,54 1463,4542 217,2542 184,2529 2 0,23 10,23 52,54 12,0842 537,4842 2,3529 3 20,23 -1,77 40,54 820,1242 -71,7558 -35,8071 4 -9,77 -5,77 -0,46 4,4942 2,6542 56,3729 5 -6,77 -3,77 -71,46 483,7842 269,4042 25,5229 6 8,23 4,23 30,54 251,3442 129,1842 34,8129 7 -19,77 -10,77 -113,46 2243,1042 1221,9642 212,9229 8 -1,77 12,23 54,54 -96,5358 667,0242 -21,6471 9 -11,77 -6,77 -36,46 429,1342 246,8342 79,6829

10 -30,77 -9,77 -94,46 2906,5342 922,8742 300,6229 11 10,23 -5,77 19,54 199,8942 -112,7458 -59,0271 12 -14,77 -7,77 -39,46 582,8242 306,6042 114,7629 13 21,23 20,23 116,54 2474,1442 2357,6042 429,4829

Total -0,01 -0,01 0,02 11774,3846 6694,3846 1324,3077


( ) 63,413722 == yyy σσ

( ) 95,51413

3846,6694cov 2 ==yx

( ) 33,31622111

== xxx σσ

( ) 87,10113

3077,1324cov 21 ==xx

( ) 41,8522222

== xxx σσ

( ) 72,90513

117743846cov 1 ==yx

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

41,8587,10195,51487,10133,31672,90595,51472,90563,4137

V

Matricea varianţelor şi covarianţelor poate fi calculată şi cu ajutorul pachetului de programe EViews.

Dispunând de matricea V, estimatorii jxyj bb /

ˆˆ = se calculează cu

ajutorul relaţiei:

( ) kjV

Vbb

yy

yxjjxy

j

j,1,1ˆˆ 1

/ =−== +

unde:

Vyx j= determinantul matricei varianţelor şi covarianţelor din care

se elimină linia y şi coloana x j ;

Vyy = determinantul matricei varianţelor şi covarianţelor din care se

elimină linia y şi coloana y.


( ) 4963,1858,166390164,24898

41,8587,10187,10133,31641,8595,51487,10172,905

1ˆ 21 ==−=b

( ) 2446,4858,166399481,70629

858,1663987,10195,51433,31672,905

1ˆ 32 =

−−=−=b

Estimatorul $b0 se calculează din relaţia (2):

7692,152446,47692,344963,14615,156ˆˆˆˆ022110 ⋅−⋅−=⇒−−= bxbxbyb

5024,37ˆ0 =b

Matricea coeficienţilor de corelaţie liniară simplă a variabilelor pe baza relaţiei (3) se defineşte:

Rr r

r rr r

yx yx

x y x x

x y x x

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

11

1

1 2

1 1 2

2 2 1

unde:

( ) ( )∑ ∑∑∑

∗∗

∗∗∗∗

==∗∗

∗∗22

tjt

tjt

xy

tjtxy

xy

xyn

xyr

j

tj σσ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

16198,08662,06198,017917,08662,07917,01

R , calculată cu ajutorul programului EViews.

Cu ajutorul acestei matrici, estimatorii $ $/b by x jj

= se pot calcula

astfel:

( )$ $/b b

R

Ry x jj yx

yy

y

xj

j

j

= = − +1 1 σσ


unde:

=jyxR determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y şi

coloana x j ;

=yyR determinantul matricei R din care s-a eliminat linia y şi

coloana y.

( ) 4963,1512,18951,66

16198,06198,0118662,0

6198,07917,0

1ˆ 21 =⋅−=b

( ) 2446,4619,9951,66

6158,06198,08662,017917,0

1ˆ 32 =⋅−=b

În mod analog, estimatorul $b0 se calculează din relaţia (2):

5024,37ˆ0 =b

2.1.6 Model multifactorial neliniar- funcţia Cobb-Douglas fără progres tehnic

Se cunosc următoarele date privind valoarea adăugată brută (Q), capitalul fix (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul anului) (K) şi numărul mediu de salariaţi (L), exprimate în preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2002:

Tabelul 2.6.1

Anul Valoarea adăugată brută

(mld. lei) (1990=100)

Imobilizări corporale (mld. lei )

(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi (mii pers.)

0 1 2 3 1980 767,0 2451,1 7378 1981 756,6 2630,5 7435


Anul Valoarea adăugată brută

(mld. lei) (1990=100)


(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi (mii pers.)

0 1 2 3 1982 762,3 2544,3 7553,2 1983 795,6 2764,7 7600,1 1984 838,6 3011,5 7585 1985 849,0 3216,1 7700 1986 865,5 3432,0 7751,9 1987 882,8 3650,3 7790 1988 886,0 3781,4 7842,6 1989 819,2 4005,5 7997,1 1990 788,1 3498,0 8156 1991 700,1 1526,6 7574 1992 668,2 2622,5 6888 1993 641,0 917,1 6672 1994 663,1 487,9 6438 1995 710,3 1811,6 6160 1996 747,6 1386,7 5939 1997 691,0 720,4 5597 1998 634,0 820,5 5369 1999 621,7 908,2 4761 2000 637,8 1300,0 4623 2001 680,6 1417,1 4619 2002 715,1 1510,2 4568

Notă: Valoarea adăugată brută este calculată conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Valoarea adăugată brută şi imobilizările corporale au fost deflaţionate cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 152-153, 366-367, 386, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 276, 303, 104, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 106, 282, 312, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 174, 175-176, 184.

Se cere: a) Să se descrie corelaţia dintre cele trei fenomene economice cu

ajutorul modelului Cobb-Douglas; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se facă discuţia

econometrică a modelului obţinut;


c) Să se comenteze semnificaţia parametrilor modelului şi să se verifice ipoteza conform căreia funcţia de producţie este de randament constant ( )1=+ βα .

Rezolvare: a) Funcţia Cobb-Douglas se prezintă sub forma:

uLAKQ βα= (1)

unde: A= parametru de scară;

α β, = coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu fiecare din factorii de influenţă utilizaţi;

Q= valoarea adăugată brută reală; K= capitalul fix real (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul

anului); L= numărul mediu de salariaţi.

b) Modelul (1) este un model multifactorial neliniar care poate fi


uLKAQ lnlnlnlnln +++= βα (2)

Facem următoarele notaţii: ln Q yt= ; ln A a= ; ln K x t= 1 ; ln L x t= 2 ;


tuu ′=ln .

Modelul devine:

tttt uxxay ′+++= 21 βα (3)

Estimarea parametrilor acestui model se realizează cu ajutorul

M.C.M.M.P.:

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

−−−=−=23

1

23

1

2

212 ˆˆˆminˆminˆ,ˆ,ˆ

t tttttt xxayyyaF βαβα

Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în

raport cu parametrii modelului:

( ) ( )( ) 01ˆˆˆ20ˆ 21 =−−−−⇒=′ ∑ tttt

xxayaF βα

( ) ( )( ) 0ˆˆˆ20ˆ 121 =−−−−⇒=′ ∑

ttttt xxxayF βαα

( ) ( )( )∑ =−−−−⇒=′

ttttt xxxayF 0ˆˆˆ20ˆ

221 βαβ


na x x y

a x x x x x y

a x x x x x y

t t t

t t t t t t

t t t t t t

$ $ $

$ $ $

$ $ $

+ + =

+ + =

+ + =

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

∑ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

α β

α β

α β

1 2

1 12

1 2 1

2 1 2 22

2



Tabelul 2.6.2

Nr. crt.

Valoarea adăugată

brută (mld. lei)

(1990=100)


(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi

(mii pers.)

ty tx1 tx2 ty tu′ˆ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 767,0 2451,1 7378 6,6425 7,8043 8,9063 6,6572 -0,0147 2 756,6 2630,5 7435 6,6288 7,8749 8,9140 6,6668 -0,0380 3 762,3 2544,3 7553,2 6,6363 7,8416 8,9297 6,6655 -0,0292 4 795,6 2764,7 7600,1 6,6791 7,9247 8,9359 6,6764 0,0027 5 838,6 3011,5 7585 6,7317 8,0102 8,9339 6,6862 0,0456 6 849,0 3216,1 7700 6,7441 8,0759 8,9490 6,6964 0,0476 7 865,5 3432,0 7751,9 6,7633 8,1409 8,9557 6,7053 0,0581 8 882,8 3650,3 7790 6,7831 8,2026 8,9606 6,7134 0,0697 9 886,0 3781,4 7842,6 6,7867 8,2378 8,9673 6,7187 0,0681

10 819,2 4005,5 7997,1 6,7083 8,2954 8,9868 6,7287 -0,0204 11 788,1 3498,0 8156 6,6696 8,1599 9,0065 6,7160 -0,0464 12 700,1 1526,6 7574 6,5512 7,3308 8,9325 6,6056 -0,0544 13 668,2 2622,5 6888 6,5046 7,8719 8,8375 6,6537 -0,1491 14 641,0 917,1 6672 6,4630 6,8213 8,8057 6,5241 -0,0611 15 663,1 487,9 6438 6,4969 6,1901 8,7700 6,4435 0,0534 16 710,3 1811,6 6160 6,5657 7,5020 8,7258 6,5913 -0,0256 17 747,6 1386,7 5939 6,6169 7,2347 8,6893 6,5536 0,0633 18 691,0 720,4 5597 6,5381 6,5798 8,6300 6,4662 0,0719 19 634,0 820,5 5369 6,4520 6,7099 8,5884 6,4747 -0,0226 20 621,7 908,2 4761 6,4325 6,8115 8,4682 6,4666 -0,0342 21 637,8 1300,0 4623 6,4580 7,1701 8,4388 6,5041 -0,0461 22 680,6 1417,1 4619 6,5230 7,2564 8,4379 6,5142 0,0088 23 715,1 1510,2 4568 6,5724 7,3200 8,4268 6,5198 0,0526

Total 17120,9 50414,2 153996,9 151,9480 166,0466 193,7698 151,9480 0,0000



Dependent Variable: ty

Method: Least Squares Included observations: 23


C 4,2465 0,6405 6,6300 0,0000

tx1 0,1183 0,0287 4,1234 0,0005

tx2 0,1670 0,0876 1,9075 0,0709


În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că:

845,263,6 20;01,0ˆ =>= ttA rezultă că parametrul a este semnficativ

diferit de zero; 845,21234,4 20;01,0ˆ =>= ttα rezultă că parametrul α este

semnficativ diferit de zero; 845,29075,1 20;01,0ˆ =<= tt

β rezultă că parametrul β nu este

semnificativ diferit de zero. Verificarea semnificaţiei variabilei Durbin-Watson, calculată în

vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor, se face cu ajutorul tabelei Durbin-Watson din care se extrag valorile 94,01 =d şi 29,12 =d , în funcţie de un prag de semnificaţie 01,0=α , de numărul de variabile

exogene ( )2=k şi de numărul observaţiilor 23=n . Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson 9991,0=cd cu cele două valori tabelate se observă că


94,09991,0 1 =>= ddc şi 29,19991,0 2 =<= ddc rezultând indecizie

tinzând spre o slabă autocorelaţie pozitivă care poate fi neglijată. Deoarece 85,59722,29 20;2;01,0 =>= FFc rezultă că valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,01.


( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ yyyyyy tttt

2115,00705,0282,0 +=

rezultă că modelul econometric explică aproximativ 75% ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

∑∑

2

2ˆyyyy

t

t din

variaţia valorii adăugate brute reale. În final, modelul este de forma:

ttt xxy 21 167,01183,02465,4ˆ ++= ; 8659,0=R

(0,6405) (0,0287) (0,0876) 9991,0=d (4) 0594,0ˆ =′us

c) După cum se ştie, coeficientul de elasticitate este definit ca:

( )( )xd

ydE xy lnln

/ =

În modelul Cobb-Douglas, parametrii α şi β reprezintă coeficienţii

de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu cei doi factori, imobilizări fixe reale ( )1x şi numărul mediu de salariaţi ( )2x , aceştia măsurând variaţia relativă a valorii adăugate brute reale în funcţie de variaţia relativă a factorilor săi de influenţă.


Valorile celor doi parametrii au următoarea semnificaţie: 1183,0ˆ

1/ ==αxyE

167,0ˆ2/ == βxyE

La o creştere cu 1% a imobilizărilor corporale reale, valoarea adăugată brută reală creşte cu 0,12%, deci valoarea adăugată brută reală este inelastică în raport cu imobilizările corporale reale, iar pentru celălalt factor de producţie, număr mediu de salariaţi, nu poate fi făcută o evaluare econometrică, deoarece estimatorul acestuia, β , este nesemnificativ.

Ipoteza potrivit căreia funcţia este de randament constant, respectiv dacă se verifică următoarea restricţie liniară aplicată parametrilor modelului, respectiv: 1=+ βα va fi verificată cu ajutorul testului Wald15. În vederea aplicării acestui test este necesară estimarea parametrilor modelului de regresie cu restricţii, pentru care se verifică relaţia: βα −=1 , având următoarea formă:

( ) ( ) ttttt vKLaKQ +−+=− lnlnlnln β (5)

Utilizând programul EViews au fost obţinute următoarele rezultate:

Dependent Variable: ( )tt KQ lnln −



C -2,1982 0,0829 -26,5106 0,0000

( )tt KL lnln − 1,0108 0,0617 16,3731 0,0000

R-squared 0,9274 Mean dependent var -0,9312 Adjusted R-squared 0,9239 S.D. dependent var 0,5179 S.E. of regression 0,1429 Akaike info criterion -0,9707 Sum squared resid 0,4287 Schwarz criterion -0,8720 Log likelihood 13,1635 F-statistic 268,0768 Durbin-Watson stat 0,1798 Prob(F-statistic) 0,0000

15 Cf. op. cit., p. 256-258.


( ) ( )tttt KLKQ lnln0108,11982,2lnln −⋅+−=− ; 963,0=R

(0,0829) (0,0617) 1798,0=d (6) 1429,0ˆ =vs

Se consideră că modelul (2) este modelul de regresie fără restricţii.

Aplicarea testului Wald constă în verificarea următoarei inegalităţi:

( ) 21 ;;2

22

vv

tt

t ttt

c Fknu

muvF α<

−′

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ′−=

∑∑ ∑

(7)

unde:

∑ ′t

tu 2 = suma pătratelor erorilor corespunzătoare modelului de regresie fără

restricţii (2);

∑t

tv2 = suma pătratelor erorilor corespunzătoare modelului de regresie cu

restricţii (5); m = numărul de restricţii liniare; k = numărul de parametrii ai modelului de regresie fără restricţii (2); n = numărul de observaţii.

O altă variantă a acestui test este următoarea:

( )( ) ( ) 21 ;;2

22

1 vvc FknR

mRRF r

α<−−

−= (8)

unde:

=2R coeficientul de determinaţie corespunzător modelului de regresie fără

restricţii (2); =2

rR coeficientul de determinaţie corespunzător modelului de regresie cu restricţii (5).


Utilizând programul EViews în vederea aplicării testului Wald (utilizând relaţia (7)), s-au obţinut următoarele rezultate:

Wald Test: Equation: EQ01 Null Hypothesis: 1=+ βα

F-statistic 101,5390 Probability 0,0000 Chi-square 101,5390 Probability 0,0000

Deoarece 10,8539,101 20;1;01,0 =>= FFc , rezultă că ipoteza potrivit

căreia funcţia de producţie este de randament constant este respinsă. 2.1.7 Model liniar multifactorial cu variabile centrate Să se realizeze discuţia econometrică a dependenţei dintre o

variabilă endogenă y şi două variabile exogene x1 şi x2 , exprimate prin valori centrate, înregistrate la 20 de unităţi statistice, cunoscând următoarele date:

( ) ( )′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ′ =

⎛⎝⎜⎞⎠⎟X X X Y

3 22 3

35

; şi ( )′ =y y 12 .

Rezolvare :

Modelul econometric aferent celor trei variabile este:

20,1,22110 =+++= tuxbxbby tttt (1)

Ecuaţia (1) se însumează după t şi se împarte la n = 20 rezultând ecuaţia:

y b b x b x= + +0 1 1 2 2 (2)


Scăzând din ecuaţia (1) ecuaţia (2), se obţine modelul:

( ) ( )y y b x x b x x ut t t t− = − + − +1 1 1 2 2 2

Notând cu:

~y y yt t= − ~x x xt t1 1 1= − ~x x xt t2 2 2= −

rezultă modelul (3) construit pe baza valorilor centrate:

~ ~ ~y b x b x ut t t t= + +1 1 2 2 (3)

Termenul liber, b0 , poate fi estimat din relaţia (2), după calculul parametrilor b1 şi b2 , astfel:

$ $ $b y b x b x0 1 1 2 2= − −

Matriceal, modelul (3) se scrie astfel:

Y XB U= + unde:

Y

yy

y

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

~~

~

1

2

20

M- vectorul valorilor centrate ale variabilei endogene;


X

x xx x

x x

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

~ ~~ ~

~ ~

11 21

12 22

120 220

M M- matricea valorilor centrate ale variabilelor exogene ~x t1

şi ~x t2 ;

U

uu

u

=

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

2

20

M- vectorul valorilor variabilei reziduale.

Estimarea parametrilor b1 şi b2 pe baza modelului matriceal cu

ajutorul M.C.M.M.P. constă în:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

=−′

−=−=−=′==n

tt BXYBXYBXYYYUUuBF

1

222 ˆˆminˆminˆminminminˆ

( ) ( )( )BXXBYXBYY ˆˆˆ2min ′′+′′−′=

( ) ( ) ( )∂

∂

F B

BX Y X X B

$

$$= ⇒ − ′ + ′ =0 2 2 0

( ) ( )YXBXX ′=⋅′ ˆ

( ) ( ) ( ) ( )YXXXBXXXX ′⋅′=⋅′⋅′ −− 11 ˆ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=′⋅′= −

2

11

ˆˆ

ˆbbYXXXB

( )′ =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟X X

3 22 3


5493223

=−==′XX

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=′ −

6,04,04,06,0

3223

511XX

$ , ,, ,

,,

$

$B

bb

=−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

0 6 0 40 4 0 6

35

0 21 8

1

2

În concluzie, modelul este de forma:

21 8,12,0ˆ xxYt +−=

În continuare, se va verifica semnificaţia parametrilor, a raportului de corelaţie, precum şi verosimilitatea modelului.

Pentru verificarea semnificaţiei parametrilor se vor calcula: - dispersia variabilei reziduale

( ) ∑ ′−−

=−−

=−−−

= UUkn

ukn

Yykn

s tttu 11ˆ

11ˆ

11 222

ˆ

unde: k = numărul variabilelor exogene.

În vederea determinării valorii produsului ′U U se porneşte de la ecuaţia analizei variaţiei:

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=−222 ˆˆ

tttt YyyYyy

ttt Yyu ˆ−= şi y = 0

Matriceal, această ecuaţie este de forma:

( ) ( ) ( )UUYYyy ′+′=′ ˆˆ


( ) ( ) ( )YYyyUU ˆˆ ′−′=′⇒

Dar BXY ˆ= ; ( )′=′ BXY ˆˆ , de unde:

( ) ( ) ( )BXXBBXBXYY ˆˆˆˆˆˆ ′′=′

=′

( ) 4,88,12,0

3223

8,12,0ˆˆ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′YY

rezultă că: ′ = − =U U 12 8 4 3 6, ,

2118,06,3320

12ˆ =⋅

−=us

- dispersiile celor doi estimatori

ijubcss

j

2ˆ

2ˆ =

unde:

cij = termenul situat pe diagonala principală a matricei inverse ( )′ −X X 1 .

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

1271,01271,0

6,06,0

2118,0 2ˆ

2ˆ2

ˆ

2

1

b

bb s

ss

j

Abaterile medii pătratice ale celor doi estimatori sunt egale cu:

s sb bj j$ $

,,

= =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 0 3565

0 3565


Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă se verifică relaţia:

1;ˆ

ˆ−−> kn

b

jt

s

b

j

α ; j = 1 2,

561,03565,0

2,0ˆ

1

1==

bs

b

0491,53565,0

8,1ˆ

2ˆ

2==

bs

b

Din tabela distribuţiei Student, pentru un prag de semnificaţie

α = 0 05, şi în funcţie de numărul gradelor de libertate v n k= − − =1 17 , se preia valoarea t0 05 2 101, ;17 ,= .

Comparând această valoare cu valorile calculate pentru cei doi estimatori se constată că:

101,2561,0 17;05,01

=<= ttbc , rezultă că parametrul $b1 nu este

semnificativ diferit de zero; 101,20491,5 17;05,0

2ˆ=>= tt

bc , rezultă că parametrul $b2 este

semnificativ diferit de zero. Deoarece parametrul $b1 nu este semnificativ diferit de zero se poate

renunţa la variabila x1. În vederea verificării verosimilităţii modelului se utilizează metoda

analizei variaţiei, modelul testat fiind: 21 8,12,0ˆ xxY +−= .


Tabelul 2.7.1 Valoarea testului F Sursa de

variaţie Măsura variaţiei

Nr. grade de libertate

Dispersia corectată Fc F v vα ; ;1 2

Varianţa explicată de model

( )( ) 4,8

ˆ20

1

22

=′=

=−= ∑=

YY

yYVt

tx k = 2

2,4

22

/

=

=k

Vs xXY

83,19

2ˆ

2/

=

=u

XYc s

sF 11,659,3

17;2;01,0

17;2;05,0

=

=

FF

Varianţa reziduală

( )( ) 6,3

ˆ20

1

22

=′=

=−= ∑=

UU

YyVt

ttu n k− − =1 17

2118,01

22

=−−

=kn

Vs uu

- -

Varianţa totală

( )

( )

V y y

y y

tt

02 2

1

20

12

= − =

= ′ ==∑

n− =1 19 - - -

Deoarece F Fc = > =19 83 6 110 01 2 17, ,, ; ; rezultă că modelul este

semnificativ cu un prag de semnificaţie α = 0 01, . Pe baza datelor din tabel se poate calcula valoarea raportului de

corelaţie astfel:

8367,07,012

4,82

0

2

====VVR x

Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se

verifică inegalitatea:

21;; vvc FF α≥

Valoarea empirică a variabilei Fisher-Snedecor este:

8334,197,01

7,02

3201

1 2

=−

⋅−

=−

⋅−−

=R

RkknFc


Deoarece 17;2;01,08334,19 FFc >= , rezultă că valoarea raportului de

corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0 01, .


V V Vx u02 2 2= +

12 8 4 3 6= +, ,

rezultă că modelul econometric explică 70% ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅1002

2

o

x

VV

din variaţia totală a

variabilei endogene y , restul de 30% reprezentând variaţia variabilei y neexplicată de model şi atribuită factorilor aleatori.

2.1.8 Modele dinamice

2.1.8.1 Model dinamic – funcţia Cobb–Douglas cu progres tehnic

Utilizând datele din tabelul 2.6.1., din cadrul problemei 2.1.6., să se estimeze influenţa progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale cu ajutorul unui model Cobb - Douglas.

Rezolvare:

Din punct de vedere econometric, cuantificarea influenţei progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale se poate face cu ajutorul unui model de forma:

ttc

ttt ueLKAQ ⋅⋅⋅⋅=βα

(1)


unde: A= parametru de scară;

α β, = coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în raport cu fiecare din factorii de producţie utilizaţi;

c = expresia econometrică a influenţei progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale;

Q= valoarea adăugată brută reală; K= capitalul fix real (mijloace fixe sau imobilizări corporale la sfârşitul

anului); L= numărul mediu de salariaţi; t = variabila timp, 23,1,1 == nt ; u = variabila aleatoare.

Modelul (1) este un model multifactorial neliniar care poate fi


tttt utcLKAQ lnlnlnlnln ++++= βα

Se fac următoarele notaţii:

ln Q yt= ;

ln A a= ;

ln K x t= 1 ;

ln L x t= 2 ;

tuu ′=ln .

Modelul devine:

tttt uctxxay ′++++= 21 βα


Estimarea parametrilor acestui model se realizează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( ) ( ) ( )∑ ∑= =

−−−−=−=23

1

23

1

2

212 ˆˆˆˆminˆminˆ,ˆ,ˆ,ˆ

t tttttt tcxxayyycaF βαβα

Minimul acestei funcţii este dat de calculul derivatelor parţiale în

raport cu parametrii modelului:

( ) ( )( ) 01ˆˆˆˆ20ˆ 21 =−−−−−∑⇒=′ tcxxayaF tttt

βα

( ) ( )( ) 0ˆˆˆˆ20ˆ 121 =∑ −−−−−⇒=′

ttttt xtcxxayF βαα

( ) ( )( )∑ =−−−−−⇒=′

ttttt xtcxxayF 0ˆˆˆˆ20ˆ 221 βαβ

( ) ( )( )∑ =−−−−−⇒=′

tttt ttcxxaycF 0ˆˆˆˆ20ˆ 21 βα


⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∑ ∑ ∑ ∑=∑+++

∑ ∑ ∑ ∑=∑+++

∑ ∑ ∑ ∑=∑+++

∑ ∑=∑+∑++

tytctxtxta

yxtxcxxxxa

yxtxcxxxxa

ytcxxan

ttt

ttttttt

ttttttt

ttt

221

2222212

1121211

21

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆˆˆˆ

βα

βα

βα

βα



Tabelul. 2.8.1.1

Nr. crt.

Valoarea adăugată

brută (mld. lei)

(1990=100)


(1990=100)

Numărul mediu de salariaţi

(mii pers.)

ty t tx1 tx2 ty tu′ˆ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 767,0 2451,1 7378 6,6425 1 7,8043 8,9063 6,6622 -0,0197 2 756,6 2630,5 7435 6,6288 2 7,8749 8,9140 6,6709 -0,0421 3 762,3 2544,3 7553,2 6,6363 3 7,8416 8,9297 6,6687 -0,0324 4 795,6 2764,7 7600,1 6,6791 4 7,9247 8,9359 6,6787 0,0004 5 838,6 3011,5 7585 6,7317 5 8,0102 8,9339 6,6878 0,0439 6 849,0 3216,1 7700 6,7441 6 8,0759 8,9490 6,6971 0,0470 7 865,5 3432,0 7751,9 6,7633 7 8,1409 8,9557 6,7051 0,0582 8 882,8 3650,3 7790 6,7831 8 8,2026 8,9606 6,7124 0,0707 9 886,0 3781,4 7842,6 6,7867 9 8,2378 8,9673 6,7169 0,0698

10 819,2 4005,5 7997,1 6,7083 10 8,2954 8,9868 6,7259 -0,0176 11 788,1 3498,0 8156 6,6696 11 8,1599 9,0065 6,7123 -0,0427 12 700,1 1526,6 7574 6,5512 12 7,3308 8,9325 6,6033 -0,0521 13 668,2 2622,5 6888 6,5046 13 7,8719 8,8375 6,6519 -0,1473 14 641,0 917,1 6672 6,4630 14 6,8213 8,8057 6,5233 -0,0603 15 663,1 487,9 6438 6,4969 15 6,1901 8,7700 6,4433 0,0536 16 710,3 1811,6 6160 6,5657 16 7,5020 8,7258 6,5898 -0,0241 17 747,6 1386,7 5939 6,6169 17 7,2347 8,6893 6,5524 0,0645 18 691,0 720,4 5597 6,5381 18 6,5798 8,6300 6,4661 0,0721 19 634,0 820,5 5369 6,4520 19 6,7099 8,5884 6,4744 -0,0224 20 621,7 908,2 4761 6,4325 20 6,8115 8,4682 6,4677 -0,0352 21 637,8 1300,0 4623 6,4580 21 7,1701 8,4388 6,5047 -0,0466 22 680,6 1417,1 4619 6,5230 22 7,2564 8,4379 6,5140 0,0090 23 715,1 1510,2 4568 6,5724 23 7,3200 8,4268 6,5191 0,0533

Total 17120,9 50414,2 153996,9 151,9480 276 166,0466 193,7698 151,9480 0,0000



Dependent Variable: ty



C 4,4141 1,2087 3,6521 0,0017

tx1 0,1172 0,0301 3,9005 0,0010

tx2 0,1498 0,1379 1,0861 0,2910 t -0,0007 0,0040 -0,1652 0,8706


În urma testării semnificaţiei parametrilor s-a constatat că:

861,26521,3 19;01,0ˆ =>= ttA rezultă că parametrul a este semnficativ

diferit de zero; 861,29005,3 19;01,0ˆ =>= ttα rezultă că parametrul α este

semnficativ diferit de zero; 861,20861,1 19;01,0ˆ =<= tt

β rezultă că parametrul β nu este

semnificativ diferit de zero; 861,21652,0 19;01,0ˆ =<= ttc rezultă că parametrul c nu este

semnificativ diferit de zero. Verificarea semnificaţiei variabilei Durbin-Watson, calculată în

vederea testării ipotezei de independenţă a erorilor, se face cu ajutorul tabelei Durbin-Watson din care se extrag valorile 83,01 =d şi 40,12 =d , în


funcţie de un prag de semnificaţie 01,0=α , de numărul de variabile

exogene ( )3=k şi de numărul observaţiilor 23=n . Comparând valoarea calculată a variabilei Durbin-Watson 9946,0=cd cu cele două valori tabelate se observă că

83,09946,0 1 =>= ddc şi 40,19946,0 2 =<= ddc rezultând indecizie

tinzând spre o slabă autocorelaţie pozitivă care poate fi neglijată. Deoarece 01,50188,19 19;3;01,0 =>= FFc rezultă că valoarea

raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero, cu un prag de semnificaţie de 0,01.


( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ −+−=− 222 ˆˆ yyyyyy tttt

2116,00704,0282,0 +=

rezultă că modelul econometric explică aproximativ 75% ( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−

∑∑

2

2ˆyyyy

t

t din

variaţia valorii adăugate brute reale. În final, modelul devine:

txxy ttt 0007,01498,01172,04141,4ˆ 21 −++= ; 8661,0=R

(1,2087) (0,0301) (0,1379) (0,0040) 9946,0=d 0609,0ˆ =′us

În cadrul modelului Cobb-Douglas cu progres tehnic, parametrii α

şi β reprezintă coeficienţii de elasticitate ai valorii adăugate brute reale în

raport cu cei doi factori, imobilizări corporale reale ( )1x şi număr mediu de

salariaţi ( )2x , aceştia măsurând variaţia relativă a valorii adăugate brute reale în funcţie de variaţia relativă a factorilor de producţie, iar c exprimă influenţa progresului tehnic asupra creşterii valorii adăugate brute reale.


Coeficientul de elasticitate se defineşte astfel: ( )( )xd

ydE xy lnln

/ =

Valorile parametrilor α şi β au următoarea semnificaţie: 1172,0ˆ

1/ == αxyE

1498,0ˆ2/ == βxyE

La o creştere cu 1% a imobilizărilor corporale reale valoarea adăugată brută reală creşte cu 0,12%, deci valoarea adăugată brută reală este inelastică în raport cu imobilizările corporale reale, iar pentru ceilalţi doi factori de producţie, număr mediu de salariaţi şi progres tehnic, nu pot fi făcute evaluări econometrice, deoarece cei doi estimatori, β şi c , nu au valori semnificativ diferite de zero, cauza putând fi dimensiunea relativ redusă a seriiilor de timp utilizate.

2.1.8.2 Model autoregresiv

Se cunosc următoarele date privind consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi venitul disponibil net real al populaţiei în România, în perioada 1980-2001, exprimate în miliarde lei preţuri comparabile (1990=100):

Tabelul 2.8.2.1 mld.lei (1990=100)

Anul Consumul final real al

gospodăriilor populaţiei Venitul disponibil net real al

populaţiei 0 1 2

1980 433,3 431,4 1981 442,1 460,1 1982 436,3 465,9 1984 433,1 465,6 1985 450,1 489,7 1986 442,0 492,5 1987 448,1 500,1 1988 472,1 518,1


Anul Consumul final real al

gospodăriilor populaţiei Venitul disponibil net real al

populaţiei 0 1 2

1989 513,2 527,1 1990 516,6 558,1 1991 557,7 588,1 1992 467,4 455,9 1993 432,1 438,7 1994 435,9 455,3 1995 447,3 489,3 1996 505,3 560,4 1997 545,7 584,6 1998 525,7 559,4 1999 586,2 493,3 2000 579,8 513,7 2001 582,3 525,7

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), iar venitul disponibil net al populaţiei a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Acesta a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB în preţuri constante (1990 = 100). Datele provin de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-372, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-366, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 278, 280, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, 286, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 6*-9*, Raportului Anual 2000, BNR, Bucureşti, 2001, p. 6*-7*, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric autoregresiv ce descrie

legătura dintre cele două variabile; b) Să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia

acestora şi a modelului. c) Să se verifice ipoteza de stabilitate relativă în timp a legăturii

dintre consumul populaţiei şi factorii săi prin intermediul testului Chow şi


( ) ( ) ( )4646,26

14,21146,01456,09782,739095,0;7452,05293,00368,136ˆ

1

===++−= −

u

ttt

sdRCVC

capacitatea de previziune a acestuia cu ajutorul indicatorilor propuşi de Theil.

Rezolvare:

a) Funcţia de consum bazată pe teoria venitului permanent a lui Friedman a fost aplicată în cazul economiei României folosind următorul model econometric autoregresiv:

unde: Ct = consumul final real al populaţiei; Vt = venitul disponibil real al populaţiei; ut = variabila reziduală.

Rezolvarea modelului s-a realizat cu ajutorul pachetului de programe EViews, conducând la afişarea următoarelor rezultate:

Dependent Variable: Ct Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2001 Included observations: 21 after adjusting endpoints


C -136,0368 73,9782 -1,8389 0,0825 Vt 0,5293 0,1456 3,6356 0,0019

Ct-1 0,7452 0,1146 6,5023 0,0000


21,1,1210 =+++= − tuCVC tttt ααα


Pe baza estimatorilor parametrilor au fost calculate valorile estimate ale variabilei Ct, 17452,05293,00368,136ˆ

−++−= ttt CVC şi ale variabilei

reziduale, ttt CCu ˆˆ −= . Valorile acestora sunt prezentate în cadrul tabelului

2.8.2.2. (utilizând pachetul de programe EViews):

Tabelul 2.8.2.2 Actual

tC

Fitted

tC

Residual

tu Residual Plot


442,1 430,3889 11,7111 | . | * . | 436,3 440,0166 -3,7166 | . *| . | 433,1 435,5356 -2,4356 | . * . | 450,1 445,9067 4,1933 | . |* . | 442,0 460,0573 -18,0573 | . * | . | 448,1 458,0437 -9,9437 | . * | . | 472,1 472,1167 -0,0167 | . * . | 513,2 494,7654 18,4346 | . | * . | 516,6 541,8015 -25,2015 | .* | . | 557,7 560,2139 -2,5139 | . * . | 467,4 520,8702 -53,4702 | * . | . | 432,1 444,4738 -12,3738 | . * | . | 435,9 426,9540 8,9460 | . | * . | 447,3 447,7816 -0,4816 | . * . | 505,3 493,9094 11,3906 | . | * . | 545,7 549,9405 -4,2405 | . *| . | 525,7 566,7089 -41,0089 | * . | . | 586,2 516,8188 69,3812 | . | . *| 579,8 572,7015 7,0985 | . |* . | 582,3 574,2837 8,0163 | . |* . | 610,7 576,4113 34,2887 | . | .* |

Verificarea semnificaţiei modelului necesită: - verificarea ipotezei de independenţă a erorilor; - verificarea semnificaţiei estimatorilor; - verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie.


Deşi valoarea variabilei d, corespunzătoare testului Durbin-Watson, este afişată de către programul EViews, în cazul unui model autoregresiv, aceasta tinde către 2, valoare ce corespunde erorilor independente. In acest caz, în vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor, se recomandă fie utilizarea testului Breusch-Godfrey16, fie a testului Durbin-h. Testul Breusch-Godfrey este folosit în vederea depistării unei autocorelaţii de ordin superior. Ca urmare a presupunerii existenţei unei autocorelaţii de ordin superior se construieşte următorul model:

tptpttt zurururu ++++= −−− K2211

unde: zt = variabilă reziduală de medie zero şi dispersie constantă.

Ipoteza nulă care stă la baza testului este aceea potrivit căreia toţi coeficienţii corespunzători valorilor decalate ale variabilei reziduale sunt simultan egali cu zero, fapt ce implică inexistenţa fenomenului de autocorelaţie a erorilor.

În vederea aplicării testului sunt estimate valorile variabilei reziduale ut în urma aplicării M.C.M.M.P. asupra modelului iniţial. Variabila reziduală ut este apoi regresată în funcţie de variabilele exogene iniţiale ale modelului şi de valorile sale decalate, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p. În cazul acestei regresii este calculată valoarea coeficientului de determinare R2 şi a unei variabile de forma: BG = (n-p) R2. Presupunând că ne aflăm în situaţia unui eşantion de volum mare, variabila BG este asimptotic distribuită sub forma unui χ 2

;vα , pentru care numărul gradelor de libertate este egal cu:

pv = , unde p = mărimea decalajului , respectiv: BG~ χ 2;vα .

Dacă >BG χ 2;vα , ipoteza nulă este respinsă, ceea ce presupune că

există cel puţin un coeficient de autocorelaţie nenul.


p. 425


Aplicarea testului Breusch-Godfrey s-a realizat utilizând pachetul de programe EViews (presupunând ca mărimea decalajului este p = 2):

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:


Test Equation: Dependent Variable: ut

Method: Least Squares


C -14,1990 91,5356 -0,1551 0,8787 Vt 0,0106 0,1642 0,0643 0,9495

Ct-1 0,0176 0,1267 0,1388 0,8913 ut-1 -0,1547 0,2914 -0,5307 0,6029 ut-2 0,0007 0,2963 0,0025 0,9980

R-squared 0,0192 Mean dependent var 9,74E-14 Adjusted R-squared -0,2260 S.D. dependent var 25,1065 S.E. of regression 27,7992 Akaike info criterion 9,6922 Sum squared resid 12364,76 Schwarz criterion 9,9408 Log likelihood -96,7676 F-statistic 0,0783 Durbin-Watson stat 1,8977 Prob(F-statistic) 0,9879

În cazul utilizării pachetului de programe EViews există două

variante de aplicare a testului Breusch-Godfrey: - utilizarea testului Fisher–Snedecor aplicat în vederea verificării

existenţei unor variabile absente (omise) în model, având următoarea relaţie de calcul:

( ) ( )mnRpRFc −−

= 2

2

1


unde: p = numărul de variabile noi adăugate în model, respectiv ut-1, ut-2,…, ut-p; m = numărul total de parametri corespunzători noului model.

Dacă 21;; vvc FF α< , unde v1 = p şi v2 = n-m, ipoteza conform căreia

estimatorii corespunzători noilor parametri adăugaţi în model sunt nuli este verificată, respectiv, în cazul nostru, fenomenul de autocorelare a erorilor nu este prezent, cazul contrar implicând existenţa cel puţin a unei autocorelaţii de ordinul întâi. Cum 63,31565,0 16;2;05,0 =<= FFc , rezultă că noul model

este corect specificat, indicând astfel faptul că erorile sunt independente: - utilizarea testului LM, calculat ca produs între numărul de

observaţii corespunzătoare modelului, n, şi coeficientul de determinare, R2, corespunzător acestei regresii auxiliare. În general, testul LM este asimptotic distribuit sub forma unui χ 2


libertate este egal cu: pv = , unde p = mărimea decalajului, respectiv:

2RnLM ⋅= ~ χ 2;vα

Dacă >LM χ 2

;vα , erorile sunt autocorelate, în caz contrar, sunt

independente, respectiv ipoteza nulităţii parametrilor, 021 == rr , este acceptată. Se constată astfel că pachetul de programe nu utilizează relaţia clasică de calcul a testului Breusch-Godfrey, respectiv: BG = (n-p)·R2.

Deoarece <= 403,0LM χ 99147,522;05,0 = , aceasta implică faptul că

erorile sunt independente. În cazul calculării în varianta clasică a testului Breusch-Godfrey,

respectiv: <=⋅= 3646,00192,019BG χ 99147,522;05,0 = , se ajunge la aceleaşi

concluzii menţionate anterior.


Aplicarea testului Durbin-h17 constă în calculul următoarei relaţii:

2ˆ

12

1 αsnnrh⋅−

=

unde: r1 = coeficientul de autocorelaţie de ordinul întâi;

=2ˆ2α

s dispersia corespunzătoare valorii decalate a consumului final real al

populaţiei; n = numărul de observaţii.

Presupunând că numărul de observaţii este suficient de mare,

variabila h urmează distribuţia normală, de medie zero şi dispersie egală cu unitatea, aceasta semnificând faptul că :

( ) 95,005,01196,196,1 =−=−=≤≤− αhP

Regulile de decizie în cazul aplicării acestui test sunt următoarele: - dacă 96,1>h se acceptă ipoteza potrivit căreia există autocorelaţie

de ordinul întâi pozitivă; - dacă 96,1−<h se acceptă ipoteza potrivit căreia există

autocorelaţie de ordinul întâi negativă; - dacă 96,196,1 ≤≤− h se acceptă ipoteza potrivit căreia erorile sunt

independente, respectiv nu există autocorelaţie de ordinul întâi, pozitivă sau negativă.

Valoarea coeficientului de autocorelaţie de ordinul întâi se calculează cu ajutorul relaţiei:

0718,01437,212

11 −=−=−=dr

17 cf. op. cit., p. 605-607.


În acest caz, valoarea testului h este următoarea:

39,01146,0211

210718,0 2 −=⋅−

⋅−=h

Şi în acest caz poate fi acceptată ipoteza de independenţă a erorilor. Estimatorii modelului sunt semnificativ diferiţi de zero dacă:

1;ˆ

0ˆ

0

0

ˆ−−≥= knt

st α

αα

α

8389,19782,73

0368,1360ˆ =

−=αt

1;ˆ

1ˆ

1

1

ˆ−−≥= knt

st α

αα

α

6356,31456,05293,0

1ˆ==αt

1;ˆ

2ˆ

2

2

ˆ−−≥= knt

st α

αα

α

5023,61146,07452,0

2ˆ ==αt


valoare cu valorile calculate pentru cei trei estimatori, se constată că: - ⇒=<= 101,28389,1 18;05,0ˆ0

ttα parametrul 0α nu este semnificativ

diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α ;

- ⇒=>= 101,26356,3 18;05,01ˆtt

α parametrul 1α este semnificativ

diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α ;


( ) ( ) ( )4646,26

14,21146,01456,09782,739095,0;7452,05293,00368,136ˆ

1

===++−= −

u

ttt

sd

RCVC

- ⇒=>= 101,25023,6 18;05,02ˆtt

α parametrul 2α este semnificativ

diferit de zero, pentru un prag de semnificaţie 05,0=α . Raportul de corelaţie este semnificativ diferit de zero dacă se



0566,432

188271,01

8271,011 2

2

=⋅−

=−−

⋅−

=kkn

RRFc

Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, cu un prag de semnificaţie

de 5% şi în funcţie de numărul gradelor de libertate 21 == kv şi 1812 =−−= knv se preia valoarea teoretică 55,318;2;05,0 =F . Se constată că

55,30566,43 18;2;05,0 =>= FFc , deci, pentru un prag de semnificaţie de 5%,

valoarea raportului de corelaţie este semnificativ diferită de zero. În concluzie, modelul 17452,05293,00368,136ˆ

−++−= ttt CVC

poate fi apreciat ca reprezentativ pentru descrierea dependenţei dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei, venitul disponibil net real al populaţiei şi consumul final real al gospodăriilor populaţiei decalat cu o perioadă.


1,229,77100100100100 20

2

20

2222

0 +=⇒⋅+⋅=⇒+=VV

VV

VVV uxux

rezultă că funcţia de ajustare explică aproximativ 78% din variaţia totală a consumului final real al gospodăriilor populaţiei.

În final, modelul econometric devine:


În vederea realizării de previziuni cu ajutorul acestui model se impune testarea ipotezei de stabilitate relativă în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi prin intermediul testului Chow (Tănăsoiu, Iacob, p. 166-167).

În vederea aplicării acestui test au fost construite trei modele de corelaţie pe următoarele perioade de timp: 1981-1989, 1990-2001 şi 1981-2001. Testul Chow se calculează cu ajutorul următoarei relaţii:

( )1

122

220

++⋅−

⋅−

=k

kTV

VVF

au

auuc (5)

unde:

V uu tt

n

02

02

1

==∑ reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada 1981-2001; V V Vau a u a u

2 2 21 2

= +

V ua u tt

n

1

212

1

1

==∑ reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada 1981-1989 ( )91 =n ;

V ua u tt n

T

2

1

222

1

== +∑ reprezintă suma pătratelor valorilor variabilei reziduale

înregistrate în perioada 1990-2001 ( )122 =n ;

T = numărul total de observaţii ( )2121 =+= nnT ; k = numărul variabilelor exogene ( )k = 1 .

Testarea ipotezei de stabilitate constă în alegerea uneia din următoarele ipoteze:

H0 : Dacă V Vu au02 2≅ rezultă că legitatea de evoluţie a legăturii dintre

consumul populaţiei şi factorii săi este stabilă în timp, şi, ca atare, modelul poate fi utilizat în vederea efectuării prognozei;


H1:DacăV Vu au02 2≠ rezultă că legitatea de evoluţie a legăturii dintre

consumul populaţiei şi factorii săi nu este stabilă în timp, iar modelul nu va putea fi utilizat în vederea efectuării prognozei.

În cazul în care 21;; vvc FF α≤ se alege ipoteza H0 , iar

dacăF Fc v v> α ; ;1 2se alege ipoteza H1 (unde: 05,0=α , pragul de semnificaţie

şi v k1 1= + şi ( )122 +⋅−= kTv , numărul gradelor de libertate). În urma aplicării testului Chow se constată că

29,31901,0 15;3;05,0 =<= FFc şi, ca atare, poate fi acceptată ipoteza unei

stabilităţi relative în timp a legăturii dintre consumul populaţiei şi factorii săi şi, ca atare, modelul poate fi folosit în vederea simulării şi prognozei.

În urma calculelor efectuate cu ajutorul pachetului de programe EViews în vederea testării capacităţii de prognoză a modelului privind dependenţa dintre dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi factorii săi de influenţă în perioada 1981-2001 au rezultat următoarele informaţii:

Rezultatele testării capacităţii de prognoză a modelului privind

dependenţa dintre consumul final real al gospodăriilor populaţiei şi factorii săi de influenţă în România în perioada 1981-2001

Tabelul 2.8.2.3

Denumirea indicatorului Simbolul indicatorului Valoarea indicatorului 0 1 2

Coeficientul Theil T 0,0246 Ponderea abaterii TA 0,0083 Ponderea dispersiei TD 0,0436 Ponderea covarianţei TC 0,9482

În urma analizei rezultatelor obţinute se constată că modelul posedă

o bună capacitate de prognoză, ca urmare a valorilor mici înregistrate în cazul coeficientului Theil, a ponderii abaterii şi a ponderii dispersiei şi, deci, poate fi acceptat în vederea realizării unei prognoze a consumului final real al gospodăriilor populaţiei.


2.1.8.3 Model dinamic cu decalaj

Se cunosc următoarele date privind evoluţia investiţiilor şi a imobilizărilor corporale (fondurilor fixe), exprimate în mld. lei preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2002:

Tabelul 2.8.3.1

Se cere : a) Să se facă analiza economică a dependenţei imobilizărilor

corporale de volumul investiţiilor şi să se construiască modelul econometric adecvat;

b) Să se facă discuţia econometrică a modelului formulat la punctul a), să se estimeze parametrii modelului şi să se verifice semnificaţia acestuia;

c) Să se facă interpretarea economică a rezultatelor obţinute cu ajutorul modelului econometric.

Anul


(1990=100)

Investiţii (mld. lei )

(1990=100)

Anul


(1990=100)

Investiţii (mld. lei )

(1990=100)

0 1 2 0 1 2 1980 2451,1 274,4 1992 2622,5 100,4 1981 2630,5 270,4 1993 917,1 97,4 1982 2544,3 249,0 1994 487,9 115,5 1983 2764,7 266,1 1995 1811,6 138,6 1984 3011,5 281,9 1996 1386,7 153,7 1985 3216,1 283,1 1997 720,4 131,0 1986 3432,0 285,6 1998 820,5 115,7 1987 3650,3 281,6 1999 908,2 108,6 1988 3781,4 270,4 2000 1300,0 112,1 1989 4005,5 268,6 2001 1417,1 133,3 1990 3498,0 168,4 2002 1510,2 143,6 1991 1526,6 106,4


Rezolvare:

a) Imobilizările corporale (fondurile fixe) reprezintă rezultatul unei activităţi economice, acestea depinzând în mod direct de volumul investiţiilor efectuate în trecut şi în prezent. Evaluarea efectului investiţiilor asupra creşterii imobilizărilor corporale se poate face pe baza mai multor procedee de calcul economic. Printre acestea, un loc important îl ocupă modelele econometrice care permit o evaluare sintetică a efectului în timp al investiţiilor asupra evoluţiei imobilizărilor corporale.

Ca urmare a faptului că influenţa investiţiilor asupra imobilizărilor corporale nu este simultană, adică nu se exercită doar în aceeaşi perioadă de timp, ci pe mai multe perioade de timp, modelul econometric adecvat acestui tip de dependenţă este modelul econometric cu decalaj:

yt = a+b0xt+b1xt-1+…+bjxt-j+…+bkxt-k+ut (1)

∑ ++==

−

k

jtjtjt uxbay

0 (2)

unde: yt = imobilizări corporale; xt = investiţii; ut = variabilă aleatoare; t = numărul de observaţii ( )23,,1 == nnt ;

a,bj = parametrii modelului ( )kj ,0= ; k = ordinul decalajului, respectiv numărul de perioade de timp (ani) în

care variabila x îşi exercită influenţa asupra variabilei y. În acest caz, estimarea modelului econometric presupune atât

estimarea parametrilor modelului cât şi a mărimii decalajului. b) În mod obişnuit, estimarea parametrilor modelului de mai sus se

face prin aplicarea M.C.M.M.P., stabilind arbitrar o anumită mărime a ordinului decalajului k=3, k=4,… Acest procedeu prezintă dezavantajul că,


datorită fenomenului de multicoliniaritate, estimatorii bj pot rezulta cu valori nesemnificative.

De exemplu, pentru k = 3, modelul econometric se defineşte prin intermediul următoarei relaţii:

yt=a+b0xt+b1xt-1+b2xt-2+b3xt-3+ut (3) iar datele pe baza cărora vor fi estimaţi parametrii sunt cele prezentate în tabelul 2.8.3.2 :

Tabelul 2.8.3.2 t yt xt xt-1 xt-2 xt-3 yt-1

0 1 2 3 4 5 6 1 2451,1 274,4 - - - - 2 2630,5 270,4 274,4 - - 2451,1 3 2544,3 249,0 270,4 274,4 - 2630,5 4 2764,7 266,1 249,0 270,4 274,4 2544,3 5 3011,5 281,9 266,1 249,0 270,4 2764,7 6 3216,1 283,1 281,9 266,1 249,0 3011,5 7 3432,0 285,6 283,1 281,9 266,1 3216,1 8 3650,3 281,6 285,6 283,1 281,9 3432,0 9 3781,4 270,4 281,6 285,6 283,1 3650,3

10 4005,5 268,6 270,4 281,6 285,6 3781,4 11 3498,0 168,4 268,6 270,4 281,6 4005,5 12 1526,6 106,4 168,4 268,6 270,4 3498,0 13 2622,5 100,4 106,4 168,4 268,6 1526,6 14 917,1 97,4 100,4 106,4 168,4 2622,5 15 487,9 115,5 97,4 100,4 106,4 917,1 16 1811,6 138,6 115,5 97,4 100,4 487,9 17 1386,7 153,7 138,6 115,5 97,4 1811,6 18 720,4 131,0 153,7 138,6 115,5 1386,7 19 820,5 115,7 131,0 153,7 138,6 720,4 20 908,2 108,6 115,7 131,0 153,7 820,5 21 1300,0 112,1 108,6 115,7 131,0 908,2 22 1417,1 133,3 112,1 108,6 115,7 1300,0 23 1510,2 143,6 133,3 112,1 1417,1

Total 50412,9 4355,7 - - - -


În urma aplicării M.C.M.M.P., cu ajutorul programului informatic EViews, s-au obţinut următoarele rezultate:

Dependent Variable: yt Method: Least Squares Sample(adjusted): 1983 2002 Included observations: 20 after adjusting endpoints


C -807,5057 297,4596 -2,7147 0,0160 xt 2,7017 4,1251 0,6550 0,5224

xt-1 13,2195 7,1347 1,8528 0,0837 xt-2 -13,9151 7,1566 -1,9444 0,0708 xt-3 13,5556 4,1795 3,2434 0,0055

R-squared 0,8865 Mean dependent var 2139,3500 Adjusted R-squared 0,8563 S.D. dependent var 1185,1250 S.E. of regression 449,3048 Akaike info criterion 15,2656 Sum squared resid 3028122 Schwarz criterion 15,5145 Log likelihood -147,6560 F-statistic 29,2976 Durbin-Watson stat 1,5863 Prob(F-statistic) 0,0000

9416,0;5556,139151,132195,137017,25057,807ˆ 321 =+−++−= −−− Rxxxxy ttttt

(297,4596) (4,1251) (7,1347) (7,1566) (4,1795) d = 1,59 3048,449=us

Pe baza acestor rezultate se constată că doar estimatorii â şi 3b sunt

semnificativ diferiţi zero pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , ceilalţi estimatori, 2ˆ1,0ˆ bşibb , nu pot fi acceptaţi deoarece nu au valori

semnificativ diferite de zero. Acest lucru se datoreză fenomenului de multicoliniaritate ce apare în cazul variabilelor explicative decalate.

Depăşirea acestui impediment se va face cu ajutorul mai multor procedee.


În cazul utilizării procedeului Koyck, influenţa în timp a volumului investiţiilor asupra imobilizărilor corporale este descrescătoare, de forma unei progresii geometrice, respectiv între parametrii bj există relaţia:

bj = b0 λj (4) unde: λ = raţia progresiei geometrice, 0<λ<1.

În condiţiile acestei ipoteze, modelul dinamic cu decalaj devine:

yt = a+b0xt+b0λxt-1+b0λ2xt-2+…+b0λjxt-j+…+ut (5)

Dacă se decalează cu o perioadă relaţia de mai sus şi se scade din

relaţia anterioară se obţine următorul model: yt = ao + boxt + λyt-1 + zt (6)

unde: ao = a(1-λ) (7) zt = ut – λut-1 (8) În urma aplicării M.C.M.M.P., pe baza programului EViews, asupra modelului (6), vor rezulta estimatorii parametrilor ao, bo şi λ:



C -290,7640 314,6985 -0,9239 0,3671 xt 8,0897 2,0359 3,9734 0,0008

yt-1 0,4364 0,1385 3,1516 0,0053

R-squared 0,7940 Mean dependent var 2180,0820


Adjusted R-squared 0,7723 S.D. dependent var 1135,04 S.E. of regression 541,5956 Akaike info criterion 15,5530 Sum squared resid 5573191 Schwarz criterion 15,7018 Log likelihood -168,0834 F-statistic 36,6170 Durbin-Watson stat 2,5045 Prob(F-statistic) 0,0000

Pe baza datelor din tabelul de mai sus, modelul estimat este de

forma:

14364,08972,8764,290ˆ −++−= ttt yxy ; 8911,0=R

(314,6985) (2,0359) (0,1385) 5,2=d

5956,541=zs

Modelul poate fi acceptat ca semnificativ, cu un prag de semnificaţie de 1%, cu excepţia estimatorului 0a , care poate fi acceptat pentru un prag

de semnificaţie α = 0,4. Utilizând relaţiile:

8957,5154364,01764,290

1ˆ

ˆ)1(ˆˆ 00 −=

−−

=−

=⇒−=λ

λa

aaa

j

j bb λˆˆ0 ⋅=

− pentru 0897,8ˆˆˆ0 0

00 =⋅=⇒= λbbj

− pentru 5303,34364,00897,8ˆˆˆ1 101 =⋅=⋅=⇒= λbbj

− pentru 5406,14364,00897,8ˆˆˆ2 2202 =⋅=⋅=⇒= λbbj

− pentru 6723,04364,00897,8ˆˆˆ3 3303 =⋅=⋅=⇒= λbbj

……………………………………………………………


În final, revenind la modelul cu decalaj, acesta poate fi descris cu ajutorul relaţiei:

K+++++−= −−− 321 6723,05406,15303,30897,88957,515ˆ ttttt xxxxy

În situaţia în care se utilizează procedeul Almon, care presupune că

influenţa în timp a volumului investiţiilor asupra imobilizărilor corporale este de forma unui polinom de ordinul k, respectiv între parametrii bj există relaţia:

bj = B0 + B1 j + B2 j2 +…+ Bk jk, j = 0,1,2,3,…,k (9)

În acest caz, modelul (1) devine:

tjtk

k

k

jtjt

k

jjt uxjBjBjBBauxbay +⋅++⋅+⋅++=++= −

=−

=∑∑ )...( 2

20

100

tj

jtk

kj

jtj

jtj

jtj

jtt uxjBxjBxjBxjBxBay ∑∑∑∑∑ +⋅++⋅+⋅+⋅++= −−−−− ...33

2210 (10)

Notând cu:

∑ −=j

jtt xv 0

∑ −⋅=j

jtt xjv 1

∑ −⋅=j

jtt xjv 22

∑ −⋅=j

jtk

tk xjv

relaţia (10) se transformă într-un model multifactorial cu (k+1) variabile explicative:

yt = a + B0vt0 + B1vt1 +…+ Bkvtk + ut (11)


Dacă presupunem că influenţa în timp a volumului investiţiilor asupra imobilizărilor corporale este de forma unui polinom de ordinul trei (vezi modelul (3)), respectiv între parametrii bj există relaţia:

bj = B0 + B1 j + B2 j2 + B3 j3

atunci, pe baza relaţiei (11), modelul se mai poate scrie astfel:

yt = a + B0vt0 + B1vt1 + B2vt2 + B3vt3 + ut

unde:

4321

4

00 −−−−

=− ++++== ∑ tttt

jtjtt xxxxxxv

4321

4

01 432 −−−−

=− +++== ∑ tttt

jjtt xxxxjxv

4321

4

0

22 1694 −−−−

=− +++== ∑ tttt

jjtt xxxxxjv

4321

4

0

33 64278 −−−−

=− +++== ∑ tttt

jjtt xxxxxjv

În cadrul tabelului 2.8.3.3. sunt prezentate valorile calculate ale

variabilelor vtk:

Tabelul 2.8.3.3 t yt xt vt0 vt1 vt2 vt3

0 1 2 3 4 5 6 1 2451,1 274,4 - - - - 2 2630,5 270,4 - - - - 3 2544,3 249,0 - - - - 4 2764,7 266,1 - - - - 5 3011,5 281,9 1341,8 2672,9 8086,1 27120,5 6 3216,1 283,1 1350,5 2642,7 7913,7 26439,3 7 3432,0 285,6 1365,7 2641,2 7789,6 25659,0 8 3650,3 281,6 1398,3 2761,9 8212,7 27192,1 9 3781,4 270,4 1402,6 2829,7 8482,3 28251,7 10 4005,5 268,6 1389,3 2822,8 8496,8 28352,8


t yt xt vt0 vt1 vt2 vt3

0 1 2 3 4 5 6 11 3498,0 168,4 1274,6 2796,6 8454,2 28313,4 12 1526,6 106,4 1095,4 2643,2 8182,0 27640,4 13 2622,5 100,4 914,2 2330,6 7523,8 26011,4 14 917,1 97,4 741,2 1892,8 6339,2 22688,8 15 487,9 115,5 588,1 1291,0 4151,0 14551,0 16 1811,6 138,6 558,3 1037,1 3111,1 10415,1 17 1386,7 153,7 605,6 1063,4 3083,6 10118,0 18 720,4 131,0 636,2 1167,0 3306,0 10614,6 19 820,5 115,7 654,5 1316,2 3841,2 12494,8 20 908,2 108,6 647,6 1393,2 4240,6 14184,0 21 1300,0 112,1 621,1 1347,8 4209,6 14408,0 22 1417,1 133,3 600,7 1200,4 3683,8 12488,8 23 1510,2 143,6 613,3 1146,1 3410,3 11367,1

Total 50412,9 4355,7 17799,0 36996,6 112517,6 378310,8

În urma aplicării programului EViews în vederea estimării

parametrilor modelului s-au obţinut următoarele rezultate:



C -824,3487 359,1423 -2,2953 0,0377 vt0 9,5948 4,2084 2,2799 0,0388 vt1 -25,6459 19,6488 -1,3052 0,2129 vt2 16,0458 13,1499 1,2202 0,2425 vt3 -2,5686 2,1798 -1,1783 0,2583



9293,0;5686,20458,166459,255948,93487,824ˆ 3210 =−+−+−= Rvvvvy ttttt

(359,1423) (4,2084) (19,6488) (13,1499) (2,1798) d = 2,04 8996,505=us

Pe baza acestor rezultate se constată că doar estimatorii â şi 0B sunt

semnificativ diferiţi zero pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie. Ceilalţi estimatori, 321

ˆˆ,ˆ BşiBB , nu pot fi acceptaţi deoarece nu au valori

semnificativ diferite de zero. Ca atare, putem concluziona că un polinom de gradul întâi poate reprezenta o bună aproximare a modelului.

Dacă presupunem însă că influenţa în timp a volumului investiţiilor asupra imobilizărilor corporale este de forma unui polinom de ordinul doi respectiv între parametrii bj există relaţia:

bj = B0 + B1 j + B2 j2

atunci, pe baza relaţiei (11), modelul se mai poate scrie astfel:

yt = a + B0vt0 + B1vt1 + B2vt2 + ut

unde:

321

3

00 −−−

=− +++== ∑ ttt

jtjtt xxxxxv

321

3

01 32 −−−

=− ++== ∑ ttt

jjtt xxxjxv

321

3

0

22 94 −−−

=− ++== ∑ ttt

jjtt xxxxjv


În cadrul tabelului 2.8.3.4. sunt prezentate valorile calculate ale variabilelor vtk:

Tabelul 2.8.3.4 t yt xt vt0 vt1 vt2

0 1 2 3 4 5 1 2451,1 274,4 - - - 2 2630,5 270,4 - - - 3 2544,3 249,0 - - - 4 2764,7 266,1 1059,9 1613,0 3800,2 5 3011,5 281,9 1067,4 1575,3 3695,7 6 3216,1 283,1 1080,1 1561,1 3587,3 7 3432,0 285,6 1116,7 1645,2 3805,6 8 3650,3 281,6 1132,2 1697,5 3955,1 9 3781,4 270,4 1120,7 1702,1 3971,9 10 4005,5 268,6 1106,2 1690,4 3967,2 11 3498,0 168,4 989,0 1654,2 3884,6 12 1526,6 106,4 813,8 1516,8 3676,4 13 2622,5 100,4 643,8 1249,0 3197,4 14 917,1 97,4 472,6 818,4 2041,6 15 487,9 115,5 419,7 617,4 1456,6 16 1811,6 138,6 451,9 611,5 1408,7 17 1386,7 153,7 505,2 661,8 1477,2 18 720,4 131,0 538,8 777,4 1747,6 19 820,5 115,7 539,0 854,2 1993,2 20 908,2 108,6 509,0 838,8 2023,0 21 1300,0 112,1 467,4 733,0 1750,4 22 1417,1 133,3 469,7 676,4 1587,8 23 1510,2 143,6 497,6 683,3 1559,1

Total 50412,9 4355,7 15000,7 23176,8 54586,6


În urma aplicării programului EViews în vederea estimării parametrilor modelului s-au obţinut următoarele rezultate:



C -777,4384 324,7637 -2,3939 0,0293 vt0 8,2249 3,3889 2,4270 0,0274 vt1 -12,6836 8,6746 -1,4622 0,1631 vt2 4,1938 2,8756 1,4584 0,1641


9249,0;1938,46836,122249,84384,777ˆ 210 =+−+−= Rvvvy tttt

(324,7637) (3,8889) (8,6746) (2,8756) d = 1,75 1564,491=us

Pe baza acestor rezultate se constată că doar estimatorii â şi 0B sunt

semnificativ diferiţi zero pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie. Ceilalţi doi estimatori, 21

ˆˆ BşiB , pot fi acceptaţi ca semnificativi, pentru un prag de semnificaţie 20,0=α .

Utilizând relaţia (9), parametrii modelului (1) vor fi estimaţi astfel:

2249,8ˆˆ00 == Bb

( ) 265,01938,46386,122249,8ˆˆˆˆ2101 −=+−+=++= BBBb


( ) 3674,01938,436386,1222249,8ˆ4ˆ2ˆˆ2102 −=⋅+−⋅+=⋅+⋅+= BBBb

( ) 9178,71938,496386,1232249,8ˆ9ˆ3ˆˆ2103 =⋅+−⋅+=⋅+⋅+= BBBb

În final, modelul cu decalaj poate fi descris cu ajutorul următoarei relaţii:

321 9178,73674,0265,02249,84384,777ˆ −−− +−−+−= ttttt xxxxy

O altă metodă de evitare a multicoliniarităţii este procedeul

progresiei aritmetice descrescătoare, în cadrul se consideră că variabila x îşi transmite influenţa asupra variabilei y sub forma unei progresii aritmetice descrescătoare, respectiv între parametrii bj există relaţia:

bj = b0 + jλ (12)

unde:

;,0 kj = λ = raţia progresiei aritmetice, λ<0.

În acest caz, modelul (1) devine: yt=a+b0xt+(b0+λ)xt-1+(b0+2λ)xt-2+…+(b0+kλ)xt-k+ut (13)

Se decalează cu o perioadă ecuaţia (13): yt-1 = a+b0xt-1+(b0+λ)xt-2+(b0+2λ)xt-3+…+(b0+kλ)xt-k-1+ut-1(14)

Din ecuaţia (13) se scade ecuaţia (14) obţinându-se:

yt -yt-1=b0xt+λ(xt-1+xt-2+…+xt-k-1)+(ut-ut-1) (15)

yt*=b0xt+λvt+zt (16)


unde: nkt ,2+= ;

yt* = yt - yt-1 – diferenţele de ordinul întâi ale variabilei explicate;

vt=xt-1+xt-2+…+xt-(k+1); zt=ut - ut-1 - variabila aleatoare.

Stabilirea mărimii decalajului k se poate face prin încercări succesive. Astfel, dacă se construieşte un model dinamic cu decalaj de ordinul întâi între x şi y, utilizând datele din tabelul 2.8.3.5., coloanele 1 şi 2, parametrii modelului (16) se vor estima pe baza valorilor celor trei variabile yt

*, xt şi vt prezentate în coloanele 3, 4 şi 5 acestuia. Tabelul 2.8.3.5

t yt xt *ty xt ( )23,3=t vt ( )23,3=t

0 1 2 3 4 5 1 2451,1 274,4 - - - 2 2630,5 270,4 - - - 3 2544,3 249,0 -86,2 249,0 544,8 4 2764,7 266,1 220,4 266,1 519,4 5 3011,5 281,9 246,8 281,9 515,1 6 3216,1 283,1 204,6 283,1 548,0 7 3432,0 285,6 215,9 285,6 565,0 8 3650,3 281,6 218,3 281,6 568,7 9 3781,4 270,4 131,1 270,4 567,2 10 4005,5 268,6 224,1 268,6 552,0 11 3498,0 168,4 -507,5 168,4 539,0 12 1526,6 106,4 -1971,4 106,4 437,0 13 2622,5 100,4 1095,9 100,4 274,8 14 917,1 97,4 -1705,4 97,4 206,8 15 487,9 115,5 -429,2 115,5 197,7 16 1811,6 138,6 1323,7 138,6 212,9 17 1386,7 153,7 -424,9 153,7 254,1 18 720,4 131,0 -666,3 131,0 292,3 19 820,5 115,7 100,1 115,7 284,7 20 908,2 108,6 87,7 108,6 246,7 21 1300,0 112,1 391,8 112,1 224,3 22 1417,1 133,3 117,1 133,3 220,7 23 1510,2 143,6 91,8 143,6 245,3

Total 50412,9 4355,7 -1121,6 3811,0 8016,7


În urma aplicării M.C.M.M.P., pe baza programului EViews, asupra modelului (16), vor rezulta estimatorii parametrilor bo şi λ:




xt 10,2953 4,0923 2,5158 0,0210 vt -4,9373 1,9551 -2,5253 0,0206

R-squared 0,2483 Mean dependent var -53,4095 Adjusted R-squared 0,2087 S.D. dependent var 750,6050 S.E. of regression 667,7025 Akaike info criterion 15,9360 Sum squared resid 8470706 Schwarz criterion 16,0354 Log likelihood -165,3275 Durbin-Watson stat 2,9006

ttt vxy 9373,42953,10ˆ *1 −= ; 4983,01 =R

(4,0923) (1,9551) 9,2=d 7025,667

1=zs

Estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag

de semnificaţie de 5%, dar modelul nu poate fi acceptat ca semnificativ. În continuare, se va construi un model dinamic cu decalaj de ordinul

doi între x şi y. Rezultatele estimării acestui model sunt următoarele:




xt 7,8769 3,7289 2,1124 0,0489 vt -2,4871 1,1742 -2,1180 0,0483

R-squared 0,1973 Mean dependent var -51,7700 Adjusted R-squared 0,1527 S.D. dependent var 770,0659


S.E. of regression 708,8445 Akaike info criterion 16,0598 Sum squared resid 9044290 Schwarz criterion 16,1594 Log likelihood -158,5979 Durbin-Watson stat 2,9724

ttt vxy 4871,28769,7ˆ *2 −= ; 4441,02 =R

(3,7289) (1,1742) 97,2=d 8445,708

2=zs

Estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero cu un prag

de semnificaţie de 5%, dar nici acest model nu poate fi acceptat ca semnificativ.

În continuare, se va construi un model dinamic cu decalaj de ordinul trei între x şi y. Rezultatele estimării acestui model sunt următoarele:


Method: Least Squares Date: 04/03/05 Time: 16:33 Sample(adjusted): 1984 2002 Included observations: 19 after adjusting endpoints


xt 7,4635 3,4404 2,1694 0,0445 vt -1,7583 0,7950 -2,2116 0,0410

R-squared 0,2182 Mean dependent var -66,0947 Adjusted R-squared 0,1722 S.D. dependent var 788,4251 S.E. of regression 717,3399 Akaike info criterion 16,0883 Sum squared resid 8747802 Schwarz criterion 16,1877 Log likelihood -150,8386 Durbin-Watson stat 2,9938

ttt vxy 7583,14635,7ˆ *3 −= ; 4671,03 =R

(3,4404) (0,795) 99,2=d 3399,717

3=zs

Ca şi în celelalte două cazuri, estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero cu un prag de semnificaţie de 5%, dar nici acest model nu poate fi acceptat ca semnificativ.


În cazul celor trei modele estimate mai sus, cum estimatorii jλ sunt

semnificativ diferiţi de zero, vom testa şi dacă aceştia diferă semnificativ unul de celălalt, prin verificarea următoarei inegalităţi:

2ˆˆ

22

21

21

>+

−=

λλ

λλ

sstc

Astfel, în urma comparării estimatorilor parametrilor corespunzători

primelor două modele au fost obţinute următoarele rezultate:

( )20744,1

1742,19551,1

4871,29373,4ˆˆ

2222

21

21

1<=

+

−−−=

+

−=

λλ

λλ

sstc

Deoarece 20744,1

1<=ct , rezultă că cei doi estimatori nu diferă

semnificativ unul de celălat. Prin compararea estimatorilor parametrilor corespunzători primului

model cu cel de-al treilea şi a celui de-al doilea model cu cel de-al treilea au fost obţinute următoarele rezultate:

( )25062,1

795,09551,1

7583,19373,4ˆˆ

2222

31

31

2<=

+

−−−=

+

−=

λλ

λλ

sstc

( ) ( )25139,0

795,01742,1

7583,14871,2ˆˆ

2222

32

32

3<=

+

−−−=

+

−=

λλ

λλ

sstc

Deoarece 25062,1

2<=ct şi 25139,0

3<=ct , rezultă că estimatorii

comparaţi nu diferă semnificativ unul de celălat.


Lungimea decalajului se va stabili pe baza criteriului:

)(max / jtxyjRj

−=

unde:

jtxyR−/ = raportul de corelaţie al modelului j.

Deoarece 4441,04671,04983,0 231 =>=>= RRR , se va alege

primul model, respectiv modelul dinamic cu decalaj de ordinul întâi între x şi y,

În cazul acestuia, după estimarea parametrilor b0 şi λ prin 0b şi λ , se

vor estima şi parametrii modelului (1) astfel:

( ) 358,59373,42953,10ˆˆˆ01 =−+=+= λbb

( ) 4207,09373,422953,10ˆ2ˆˆ02 =−⋅+=+= λbb

5,1814207,05,185358,54,1892953,109,2191ˆˆˆˆ 22110 ⋅−⋅−⋅−=−−−= −− ttt xbxbxbya

192,828ˆ −=a

unde:

∑==1

1t

tyn

y

∑=

=1

1t

tt xn

x

∑=

−− −=

211 1

1t

tt xn

x

∑=

−− −=

322 2

1t

tt xn

x


În final, revenind la modelul cu decalaj, acesta poate fi descris cu ajutorul relaţiei:

21 4207,0358,52953,10192,828ˆ −− +++−= tttt xxxy

c) În urma estimării modelului cu decalaj, influenţa investiţiilor

asupra imobilizărilor corporale poate fi explicată astfel – ca urmare a faptului că modelul este liniar, parametrii acestuia joacă rolul de coeficienţi marginali ai imobilizărilor corporale în raport cu investiţiile, a căror

semnificaţie este cunoscută. Parametrul 0b explică influenţa pe termen scurt

a investiţiilor asupra imobilizărilor corporale, respectiv creşterea investiţiilor în perioada curentă cu un miliard de lei determină creşterea imobilizărilor corporale cu 8,0897 miliarde de lei, în cazul utilizării procedeului Koyck, cu 8,2249 miliarde de lei, în cazul utilizării procedeului Almon, iar în cazul aplicării procedeului progresiei geometrice descrescătoare, cu 10,2953 miliarde de lei. Deoarece estimatorii modelului obţinut în cazul utilizării procedeului Koyck urmează o progresie geometrică descrescătoare, a cărei sumă este finită, aceştia pot fi folosiţi la calculul efectului pe termen lung al investiţiilor asupra imobilizărilor corporale prin intermediul relaţiei:

3534,141

0

0=

−=∑

= λb

bj

j miliarde lei.

2.1.8.4 Model dinamic de prognoză cu variabile anticipative

Un studiu de marketing efectuat asupra unui eşantion de familii dintr-un anumit judeţ a ajuns la următoarele rezultate privind evoluţia cheltuielilor medii pe familie (cererea) pentru procurarea de produse alimentare şi venitul mediu pe familie pe primele zece luni ale anului curent.


Tabelul 2.8.4.1

Luni Cheltuieli medii lunare pe familie pentru

procurarea de produse alimentare (lei noi)

Venitul mediu lunar pe familie (lei noi)

0 1 2 1 160 200 2 72 240 3 48 300 4 44 80 5 22 178 6 24 194 7 26 104 8 20 62 9 12 250 10 28 270

Se cere: a) Să se prezinte premisele teoretice pe care se fundamentează

elaborarea unui model de prognoză cu variabile anticipative privind dependenţa dintre cheltuielile medii lunare pe familie pentru procurarea de produse alimentare şi venitul mediu lunar pe familie;

b) Ştiind că pentru luna noiembrie s-a estimat (planificat) un venit mediu pe familie de 300 lei, dar s-a realizat un venit mediu de numai 250 lei, să se estimeze:

b1) Cheltuielile medii pe familie efectuate pentru consumul produselor alimentare în luna noiembrie;

b2) Prognoza venitului mediu pe familie şi a cheltuielilor medii pe familie pentru procurarea de produse alimentare aferente lunii decembrie.

Rezolvare:

a) Abordarea econometrică a problemei porneşte de la relaţiile de dependenţă dintre consumul unei familii şi factorii săi. Se ştie că, din ansamblul factorilor consumului populaţiei, venitul mediu pe locuitor sau pe familie reprezintă unul din factorii esenţiali ai acestuia, alături de preţul produsului, sau de indicele preţurilor de consum al unei grupe eterogene de produse, cum este cazul mărfurilor alimentare. În acest sens, în cadrul


modelului econometric care descrie legătura dintre cererea efectivă (consumul) şi venitul familiilor, cele două variabile au următoarea semnificaţie:

ttt uxay +⋅= (1)

unde: y = cheltuielile medii lunare pe familie pentru procurarea de produse

alimentare (variabilă endogenă); x = venitul mediu lunar pe familie (variabilă exogenă);

==xya ponderea cheltuielilor medii lunare pentru procurarea de produse

alimentare în totalul veniturilor unei familii; t = lunile anului, ( )10,1=t ; u = variabila reziduală ce rezultă datorită faptului că parametrul „a” se

estimează pe baza unui eşantion prin metode statistice.

Notând cu yt şi xt valorile reale ale celor două variabile y şi x, şi cu ypt şi xpt valorile de prognoză ale acestora, atunci valoarea lui y se anticipează cu ajutorul relaţiei:

11 −− ⋅=⇒⋅= pttptt xayxay (2)

Deoarece prognoza fenomemului y depinde de previziunea fenomenului x, se consideră că:

)( 111 −−− −⋅=− pttptpt xxxx λ 18 (3)

unde: t = variabila timp, nt ,1= ; λ = constanta de nivelare (lisaj), 10 << λ ; xt-1 – xpt-1 = eroarea de prognoză. 18 Notă: Relaţia (3) este specifică metodei nivelării exponenţiale simple– vezi capitolul 4,

problema 4.1.4.2.


Relaţia (3) se fundamentează pe ipoteza că diferenţele dintre două valori succesive de prognoză ale variabilei x sunt generate de un proces autoregresiv, stabil, de ordinul unu.

Prin definiţie, un proces autoregresiv este: - stabil - dacă 10 << λ ; - constant sau de repetiţie - dacă λ = 1; - exploziv - dacă 1>λ .

Din relaţia (3) se deduce că:

11 )1( −− −+⋅= pttpt xxx λλ (4)

relaţie care, înmulţită cu “a”, devine:

11 )1( −− ⋅⋅−+⋅⋅=⋅ pttpt xaxaxa λλ (5)

Corelând relaţia (2) cu relaţia (5) rezultă că:

11 )1( −− −+= ttt yxay λλ (6)

Estimatorii parametrilor a şi λ se pot determina cu ajutorul

M.C.M.M.P. aplicată modelului:

tttt zybxby ++= −− 1211 (7)

unde: b1 = aλ b2 = 1-λ

De regulă, estimatorii parametrului λ vor avea două valori:

abˆˆ

ˆ 11 =λ

22ˆ1ˆ b−=λ


Pe baza valorilor estimate ale parametrului λ rezultă faptul că :

- dacă )1;0(1 ∈λ şi )1;0(ˆ2 ∈λ , atunci se va calcula );ˆˆ(

21

21 λλλ +=

- dacă )1;0(1 ∉λ , dar ),1;0(ˆ. 2 ∈λ atunci se va reţine 1λλ = sau

2λλ = , dacă rezultatele sunt inverse;

- dacă )1;0(1 ∉λ şi )1;0(ˆ2 ∉λ , atunci relaţia (3) şi, evident, relaţia

(6), nu pot fi acceptate la descrierea evoluţiei variabilelor x şi y. În general, modelele de prognoză cu variabile anticipative pot fi

adaptate la orice tip de model, uni sau multifactorial, liniar sau liniarizabil, care se construieşte pe baza unei serii de timp, dacă evoluţia variabilelor respective poate fi considerată staţionară.

b1) Pornind de la relaţia de dependenţă a consumului de venit,

ttt uxay +⋅= , prin aplicarea M.C.M.M.P., se estimează parametrul a,

respectiv 2184,0ˆ =a , acesta reprezentând faptul că ponderea cheltuielilor medii lunare pentru procurarea de produse alimentare este de 21,84% din venitul mediu lunar al unei familii:

yt = 0,2184 xt (0,0703)

Ştiind că, ),()ˆ( asaNaL = , ponderea cheltuielilor medii lunare

pentru procurarea de produse alimentare în venitul unei familii poate fi estimată pe baza unui interval de încredere:

%)73,37%;94,5(262,295,005,01])ˆ[(

9;05,0

ˆ

∈⇒==−=⋅±∈

atstaaP aa

Valoarea parametrului a fiind cunoscută, cheltuielile medii lunare efectuate de o familie pentru procurarea de produse alimentare în luna noiembrie vor fi estimate astfel:

y11 = 0,2184•250 = 54,6 lei /familie


b2) Prognoza venitului mediu pe familie în luna decembrie se va estima cu ajutorul relaţiei:

xp12 − xp11 = λ(x11 − xp11)

unde: x11 = 250 şi xp11 = 300.

Estimarea parametrului λ se va face cu ajutorul modelului (7), respectiv:

yt = b1xt-1 + b2yt-1 + zt

unde: b1 = aλ1 şi b2 = 1 − λ2.

Utilizând pachetul de programe EViews în vederea estimării parametrilor modelului au fost obţinute următoarele rezultate:




xt-1 0,0955 0,0020 46,8932 0,0000 yt-1 0,3325 0,0062 54,0535 0,0000

R-squared 0,9983 Mean dependent var 32,8889 Adjusted R-squared 0,9981 S.D. dependent var 18,5502 S.E. of regression 0,8071 Akaike info criterion 2,6023 Sum squared resid 4,5594 Schwarz criterion 2,6461 Log likelihood -9,7103 Durbin-Watson stat 2,9600

( ) ( )8071,096,20062,0002,0

9992,0;3325,00925,0ˆ 11

===+= −−

z

ttt

sd

Ryxy


dar:

5524,0)ˆˆ(21

6675,0ˆ1ˆˆ1ˆ

4373,0ˆ

ˆˆˆˆˆ

21

2222

1111

=+=⇒

=−=⇒−=

==⇒=

λλλ

λλ

λλ

bbabab

Revenind la relaţiile precedente rezultă: - prognoza venitului mediu pe familie în luna decembrie xp12 = 0,5524 (250-300)+300 = 272,38 lei

- prognoza cheltuielilor medii pe familie pentru procurarea de produse alimentare în luna decembrie

48,5938,2722184,0ˆ 1212 =⋅=⋅= pp xay lei/familie

2.1.9 Modelul static al lui Keynes

Se cunosc următoarele date privind PIB pe categorii de utilizări (exprimat în mld. lei preţuri comparabile-1990=100), în România, în perioada 1980 – 2003:

Tabelul 2.9.1 mld. lei (1990=100)

Anul Consum final

real PIB real

Investiţi reale

Anul

Consum final real

PIB real

Investiţi reale

0 1 2 3=2-1 0 1 2 3=2-1 1980 531,6 804,3 272,7 1992 566,6 681,0 114,4 1981 545,0 805,8 260,8 1993 574,0 691,3 117,3 1982 535,1 837,1 302,0 1994 598,6 718,2 119,6 1983 523,7 886,6 362,9 1995 658,1 769,3 111,2 1984 551,3 940,2 388,9 1996 701,5 799,5 98,0 1985 551,9 939,5 387,6 1997 669,8 750,7 80,9 1986 553,4 961,9 408,5 1998 677,2 714,8 37,6 1987 570,2 969,6 399,4 1999 660,3 706,1 45,8 1988 614,6 964,8 350,2 2000 669,5 720,7 51,2 1989 624,2 908,8 284,6 2001 710,4 761,7 51,4


Anul Consum final

real PIB real

Investiţi reale

Anul

Consum final real

PIB real

Investiţi reale

0 1 2 3=2-1 0 1 2 3=2-1 1990 679,5 857,9 178,4 2002 731,7 799,1 67,4 1991 599,4 746,8 147,4 2003 782,2 838,3 56,1

Notă: Ambii indicatori sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului consumului final exprimat în preţuri constante (1990 = 100), datele provenind de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării, iar PIB-ul a fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-371, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-365, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 8*-9, Raportului Anual 2002, BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Se cere: a) Să se analizeze evoluţia consumului final real în perioada 1980-

2003 utilizând modelul static al lui Keynes: )1a estimaţia să se efectueze prin aplicarea M.C.M.M.P. ecuaţiei

modelului structural; )2a estimaţia să se efectueze prin metoda regresiei indirecte; )3a estimaţia să se efectueze prin aplicarea M.C.M.M.P. în două

faze; b) Să se comenteze rezultatele obţinute. Rezolvare: a1) Pe baza teoriei keynesiste, modelul cu ecuaţii multiple ce se

poate construi în funcţie de datele problemei este de forma:

( )( )

C a bV uV C I

t t t

t t t

= + += +

⎧⎨⎩

12

Prima ecuaţie a modelului descrie o relaţie de comportament, iar cea

de-a doua ecuaţie reprezintă o relaţie de identitate economică. t

t

VCb∂∂

=


reprezintă rata marginală (medie) a consumului final real în funcţie de PIB-ul real.

Aplicând M.C.M.M.P. ecuaţiei (1), rezultă estimatorii parametrilor, $a şi $b , ai modelului:

( ) ( )∑ −−=t

tt VbaCbaF2ˆˆminˆ,ˆ

( ) ∑ ∑=+⇒=′ tt CVbanaF ˆˆ0ˆ

∑=∑+∑⇒=′ tttt VCVbVabF 2ˆˆ0)ˆ(


Dependent Variable: tC



C 808,3517 128,3789 6,2966 0,0000 Vt -0,2310 0,1564 -1,4766 0,1540


tt VC ⋅−= 231,03517,808ˆ ; 300,01 =R

(128,3789) (0,1564) d = 0,34 596,70

1ˆ =us

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, tu1ˆ sunt

prezentate în cadrul tabelului 2.9.2. (utilizând pachetul de programe EViews).



tC

Fitted

tC

Residual

tu1


531,6 622,5976 -90,9976 | *. | . | 545,0 622,2511 -77,2511 | *. | . | 535,1 615,0224 -79,9224 | *. | . | 523,7 603,5903 -79,8903 | *. | . | 551,3 591,2113 -39,9113 | . * | . | 551,9 591,3730 -39,4730 | . * | . | 553,4 586,1996 -32,7996 | . * | . | 570,2 584,4213 -14,2213 | . *| . | 614,6 585,5299 29,0701 | . | * . | 624,2 598,4632 25,7368 | . | * . | 679,5 610,2186 69,2814 | . | * | 599,4 635,8773 -36,4773 | . * | . | 566,6 651,0739 -84,4739 | *. | . | 574,0 648,6951 -74,6951 | * | . | 598,6 642,4825 -43,8825 | . * | . | 658,1 630,6809 27,4191 | . | * . | 701,5 623,7061 77,7939 | . | .* | 669,8 634,9766 34,8234 | . | * . | 677,2 643,2677 33,9323 | . | * . | 660,3 645,2770 15,0230 | . |* . | 669,5 641,9051 27,5949 | . | * . | 710,4 632,4361 77,9639 | . | .* | 731,7 623,7985 107,9015 | . | . * | 782,2 614,7452 167,4548 | . | . *|

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică

testul Durbin - Watson, care constă în calcularea variabilei d cu ajutorul relaţiei:

( )34,0

ˆ

ˆˆ

1

21

2

2111

=−

=

∑

∑

=

=−

n

tt

n

ttt

u

uud



Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0 05, , de numărul variabilelor explicative 1=k şi de numărul de observaţii 24=n se preiau valorile teoretice 27,11 =d şi

45,12 =d . Comparând valoarea calculată a variabilei d cu cele două valori

teoretice se constată că 27,134,00 1 =<=< dd , interval ce corespunde situaţiei de autocorelaţie pozitivă, care, în acest caz, va fi ignorată.

Verificarea semnificaţiei estimatorilor presupune: - calculul dispersiei variabilei reziduale

7909,4983643,109221ˆ

11 2

12ˆ1

=⋅=⋅−−

= ∑ tu ukn

s

596,70

1ˆ =us


- calculul abaterilor medii pătratice ale celor doi estimatori

( ) 3789,12812

22ˆˆ 1

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅=∑ VV

Vn

sst

ua


( )1564,02

2ˆ

ˆ1 =−

=∑ VV

ss

t

ub


2966,63789,1283517,808ˆ

ˆˆ ===

aa s

at

4766,11564,0

231,0ˆ

ˆˆ =

−==

bb s

bt



Din tabela distribuţiei Student, pentru un prag de semnificaţie α = 0 05, , se preia valoarea 074,222;05,0 =t . Comparând valoarea tabelată cu

valorile calculate pentru cei doi parametrii se constată că doar parametrul a este semnificativ diferit de zero pentru un prag de semnificaţie 05,0=α , iar parametrul b poate fi acceptat ca semnificativ pentru un prag de semnicaţie

20,0=α . În vederea verificării semnificaţiei raportului de corelaţie se

calculează valoarea acestuia, după care se aplică testul Fisher-Snedecor:

( )300,0

ˆ1 2

12

21

1 ==−

−=∑∑ R

CC

uR

t

t

( ) 1802,20902,01

0902,0221

1 21

21 =

−⋅=

−⋅−−=

RRknFc


Din tabela distribuţiei Fisher-Snedecor, în funcţie de un prag de semnificaţie de 5% şi de numărul gradelor de libertate, v k1 1= = şi

2212 =−−= knv , se preia valoarea 30,422;1;05,0 =F .

Cum 30,41802,2 22;1;05,0 =<= FFc , rezultă că valoarea raportului de

corelaţie este nesemnificativă, deci rezultatele obţinute în cazul acestui model sunt nesemnificative.

)2a Modelul de la punctul )1a este sub formă structurală şi este format din trei variabile - două variabile endogene, Ct şi Vt , şi o variabilă exogenă I t . Prima ecuaţie a modelului este corect identificată, deoarece numărul variabilelor absente (una - I t ) este egal cu numărul variabilelor endogene minus unu ( )1 2 1= − . În acest caz, parametrii modelului se pot

estima: - prin metoda regresiei indirecte aplicată ecuaţiilor modelului sub

formă redusă;


- prin aplicarea M.C.M.M.P. în două faze. Metoda regresiei indirecte se utilizează atunci când modelul cu

ecuaţii multiple în forma structurală este corect identificat. Se calculează modelul sub formă redusă, după care se aplică M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii a modelului, obţinându-se estimatorii formei reduse a modelului. Ultima operaţie constă în identificarea modelului, adică pe baza estimatorilor formei reduse se calculează estimatorii formei structurale.

Pornind de la forma structurală a modelului, modelul sub formă redusă se obţine în urma efectuării următoarelor operaţii:

( )( )

C a bV uV C I

t t t

t t t

= + += +

⎧⎨⎩

12

- pentru a aduce prima ecuaţie la forma redusă se înlocuieşte ecuaţia

(2) în ecuaţia (1):

( ) ( ) ttttttt uIbabCuICbaC +⋅+=−⋅⇒++⋅+= 1

ttt ub

Ib

bb

aC ⋅−

+⋅−

+−

=1

111

- pentru a aduce a doua ecuaţie la forma redusă se înlocuieşte ecuaţia

(1) în ecuaţia (2):

tttt uIVbaV ++⋅+= ( ) ttt uIabV ++=−⋅⇒ 1

ttt ub

Ibb

aV ⋅−

+⋅−

+−

=1

11

11

Se fac următoarele notaţii:

α =−a

b1


β 1 1=

−b

b

β 21

1=

− b

zu

btt=−1

În final, modelul în formă redusă devine:

⎩⎨⎧

+⋅+=+⋅+=

ttt

ttt

zIVzIC

2

1

βαβα ( )

( )34

În continuare, se aplică M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii în parte şi se

estimează parametrii α β β, ,1 2 . Pentru ecuaţia (3), aplicarea M.C.M.M.P. constă în:

( ) ( )∑ −−=t

tt ICF2

11ˆˆminˆ,ˆ βαβα

( ) ∑ ∑=+⇒=′ tt CInF 1ˆˆ0ˆ βαα

( ) ∑ ∑ ∑=+⇒=′ tttt ICIIF 211

ˆˆ0ˆ βαβ


Dependent Variable: Ct



C 698,34 17,976 38,849 0,0000 It -0,4006 0,0762 -5,2584 0,0000

R-squared 0,5569 Mean dependent var 619,9917 Adjusted R-squared 0,5368 S.D. dependent var 72,3846


S.E. of regression 49,2659 Akaike info criterion 10,7120 Sum squared resid 53396,82 Schwarz criterion 10,8102 Log likelihood -126,5440 F-statistic 27,6509 Durbin-Watson stat 0,4779 Prob(F-statistic) 0,0000

tt IC ⋅−= 4006,034,698ˆ ; 7463,02 =R

(17,976) (0,0762) d = 0,48 2659,49ˆ =zs

În cazul acestei ecuaţii se constată existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor, care poate fi ignorat. Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, tz sunt



tC

Fitted

tC

Residual

tz Residual Plot


531,600 589,107 -57,5071 | * | . | 545,000 593,874 -48,8737 | * | . | 535,100 577,371 -42,2708 | .* | . | 523,700 552,977 -29,2769 | . * | . | 551,300 542,562 8,73758 | . |* . | 551,900 543,083 8,81685 | . |* . | 553,400 534,712 18,6885 | . | * . | 570,200 538,357 31,8434 | . | * . | 614,600 558,064 56,5360 | . | * | 624,200 584,340 39,8595 | . | *. | 679,500 626,880 52,6204 | . | * | 599,400 639,297 -39,8968 | .* | . | 566,600 652,515 -85,9152 | * . | . | 574,000 651,354 -77,3536 | * . | . | 598,600 650,432 -51,8323 | * | . | 658,100 653,797 4,30303 | . |* . | 701,500 659,084 42,4157 | . | *. | 669,800 665,934 3,86617 | . * . | 677,200 683,278 -6,07793 | . *| . |


Actual

tC

Fitted

tC

Residual

tz Residual Plot


660,300 679,993 -19,6934 | . * | . | 669,500 677,830 -8,33036 | . *| . | 710,400 677,750 32,6498 | . | * . | 731,700 671,341 60,3587 | . | .* | 782,200 675,868 106,332 | . | . *|

Pentru ecuaţia (4), aplicarea M.C.M.M.P. constă în:

( ) ( )222ˆˆminˆ;ˆ ∑ −−=

ttt IVF βαβα

( ) ∑ ∑=+⇒=′ tt VInF 2ˆˆ0ˆ βαα

( ) ∑ ∑ ∑=+⇒=′ tttt IVIIF 222

ˆˆ0ˆ βαβ


Dependent Variable: Vt



C 698,33 17,975 38,851 0,0000 It 0,5995 0,0762 7,8703 0,0000


tt IV ⋅+= 5995,033,698ˆ ; 859,03 =R

(17,975) (0,0762) d = 0,48 2629,49ˆ =zs


În cazul acestei ecuaţii se constată existenţa fenomenului de autocorelare a erorilor, care poate fi ignorat. Estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

Valorile estimate ale variabilei Vt şi ale variabilei reziduale, tz sunt



tV

Fitted

tV

Residual

tz Residual Plot


804,300 861,806 -57,5056 | * | . | 805,800 854,672 -48,8718 | * | . | 837,100 879,370 -42,2703 | .* | . | 886,600 915,878 -29,2785 | . * | . | 940,200 931,465 8,73508 | . |* . | 939,500 930,686 8,81440 | . |* . | 961,900 943,215 18,6853 | . | * . | 969,600 937,759 31,8406 | . | * . | 964,800 908,265 56,5349 | . | * | 908,800 868,939 39,8606 | . | *. | 857,900 805,275 52,6252 | . | * | 746,800 786,691 -39,8910 | .* | . | 681,000 766,908 -85,9082 | * . | . | 691,300 768,647 -77,3467 | * . | . | 718,200 770,026 -51,8255 | * | . | 769,300 764,990 4,3101 | . |* . | 799,500 757,077 42,4232 | . | *. | 750,700 746,826 3,8742 | . * . | 714,800 720,868 -6,0683 | . *| . | 706,100 725,784 -19,6840 | . * | . | 720,700 729,021 -8,32121 | . *| . | 761,700 729,141 32,5589 | . | * . | 799,100 738,733 60,3672 | . | .* | 838,300 731,959 106,341 | . | . *|


După estimarea parametrilor modelului în formă redusă urmează identificarea modelului, adică estimarea parametrilor $a şi $b din modelul în formă structurală.

Estimarea acestora se deduce din notaţiile efectuate anterior:

9,11645995,0

33,698ˆˆˆˆ1

ˆˆ2

===⇒−

=βαα a

ba

6682,05995,04006,0

ˆˆˆ

ˆ1

ˆˆ2

11 −=

−==⇒

−=

ββ

β bb

b

b11ˆ

2−

=β

Deci, ecuaţia estimată a consumului final real, în formă structurală,

este următoarea:

tt VC ⋅−= 6682,09,1164ˆ

Verificarea ipotezei de independenţă a erorilor se realizează analog,

respectiv, valoarea calculată a variabilei d este egală cu:

( )48,04781,0

6113,1485655754,71024

ˆ

ˆˆ

1

22

2

2122

≅==−

=

∑

∑

=

=−

n

tt

n

ttt

u

uud

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de semnificaţie α = 0 05, , de numărul variabilelor explicative 1=k şi de numărul de observaţii 24=n se preiau valorile teoretice 27,11 =d şi




În mod analog se testează semnificaţia parametrilor $a şi $b :

∑ =⇒=⋅=−−

= 1765,829823,67526113,148565221ˆ

11

22 ˆ22

2ˆ utu su

kns

( )4463,149

7942,2036905864,815

2416752,98231 2

2

22ˆˆ 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+⋅=∑ VV

Vn

sst

ua

( )1821,0

7942,2036906752,9823

2

2ˆ

ˆ2 ==−

=∑ VV

ss

t

ub

074,27947,74463,149

9,1164ˆ22;05,0

ˆˆ =>=== t

sa

ta

a

074,26697,31821,06682,0ˆ

22;05,0ˆ

ˆ =>=−

== ts

bt

bb

( )( )

2329,04088,1205016113,1485651

ˆ1 2

2

24 −=−=

−

−−=∑∑

CC

CCR

t

t

( )

( ) 30,44666,139823,67527482,90939

1

ˆ

ˆ

22;1;05,02

2

2

2

2

=>==

−−

−

−

==∑

∑F

knCC

kCC

ss

Ft

t

u

VCc

Deci, şi în acest caz, estimatorii parametrilor modelului sunt

semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.


Modelul estimat prin metoda regresiei indirecte este:

tt VC ⋅−= 6682,09,1164ˆ ; 2329,024 −=R

(149,4463) (0,1821) d = 0,48 1765,82

2ˆ =us

)3a Estimarea parametrilor modelului prin aplicarea M.C.M.M.P. în

două faze constă în: Faza I: Se regresează variabila endogenă ( )Vt , care este pe post de

variabilă exogenă în ecuaţia (1) a modelului, în funcţie de variabila exogenă I t :

ttt wIdcV +⋅+=

Cei doi parametrii c şi d se estimează cu ajutorul M.C.M.M.P.:

( ) ( )∑ −−=t

tt IdcVdcF2ˆˆminˆ,ˆ

( ) ∑=∑+⇒=′ tt VIdcncF ˆˆ0ˆ

( ) ∑=∑+∑⇒=′ tttt IVIdIcdF 2ˆˆ0ˆ

Ca urmare a faptului că valorile estimate ale parametrilor acestui model sunt identice cu valorile estimate ale parametrilorα şi β 2 , obţinute cu ajutorul metodei regresiei indirecte, rezultatele estimării vor fi şi ele identice, respectiv:

tt IV ⋅+= 5995,033,698ˆ ; 859,03 =R

(17,975) (0,0762) d = 0,48 2629,49ˆ =ws

Faza II: În ecuaţia (1) a modelului, variabila Vt - PIB-ul real - se

introduce cu valorile estimate în faza I ( )tV - vezi tabelul 2.9.4., coloana 2.


Rezultă ecuaţia: ttt uVbaC +⋅+= ˆ , ai cărei parametrii se estimează tot cu

ajutorul M.C.M.M.P.:

( ) ( )( )( ) ∑ ∑ ∑=+⇒=′

∑ ∑=+⇒=′

∑ −−=

tttt

tt

ttt

VCVbVabF

CVbanaF

VbaCbaF

ˆˆˆˆˆ0ˆ

ˆˆˆ0ˆ

ˆˆˆminˆ,ˆ

2

2


Method: Least Squares Date: 04/06/05 Time: 01:14 Sample: 1980 2003 Included observations: 24


C 1164,9 104,1213 11,1883 0,0000

tV -0,6682 0,1271 -5,2584 0,0000


tt VC ˆ6682,09,1164ˆ ⋅−= ; 7463,05 =R

(104,1213) (0,1271) d = 0,48 2659,49

3ˆ =us





tC

Fitted

tC

Residual

tu3ˆ Residual Plot


531,6 589,107 -57,5071 | * | . | 545,0 593,874 -48,8737 | * | . | 535,1 577,371 -42,2708 | .* | . | 523,7 552,977 -29,2769 | . * | . | 551,3 542,562 8,7376 | . |* . | 551,9 543,083 8,8169 | . |* . | 553,4 534,712 18,6885 | . | * . | 570,2 538,357 31,8434 | . | * . | 614,6 558,064 56,5360 | . | * | 624,2 584,340 39,8596 | . | *. | 679,5 626,880 52,6204 | . | * | 599,4 639,297 -39,8968 | .* | . | 566,6 652,515 -85,9152 | * . | . | 574,0 651,354 -77,3536 | * . | . | 598,6 650,432 -51,8323 | * | . | 658,1 653,797 4,3030 | . |* . | 701,5 659,084 42,4157 | . | *. | 669,8 665,934 3,8662 | . * . | 677,2 683,278 -6,0779 | . *| . | 660,3 679,993 -19,6934 | . * | . | 669,5 677,830 -8,3304 | . *| . | 710,4 677,750 32,6497 | . | * . | 731,7 671,341 60,3587 | . | .* | 782,2 675,868 106,332 | . | . *|

Programul EViews oferă posibilitatea estimării parametrilor unui

model cu ecuaţii simultane, atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin construirea unui sistem de ecuaţii care permite estimarea parametrilor atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin M.C.M.M.P. în trei faze.


Astfel, rezultatele afişate de programul EViews în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze sunt următoarele:

Dependent Variable: tC

Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Instrument list: It


C 1164,9 173,6883 6,7071 0,0000

tV -0,6682 0,2120 -3,1523 0,0046

R-squared -0,2330 Mean dependent var 619,9917 Adjusted R-squared -0,2890 S.D. dependent var 72,3846 S.E. of regression 82,1822 Sum squared resid 148585,90 F-statistic 9,9368 Durbin-Watson stat 0,4779 Prob(F-statistic) 0,0046

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, tu sunt

prezentate în cadrul tabelului 2.9.6.:


tC

Fitted

tC Residual

tu Residual Plot


531,600 627,531 -95,9309 | * | . | 545,000 626,529 -81,5287 | * | . | 535,100 605,615 -70,5148 | .* | . | 523,700 572,540 -48,8401 | . * | . | 551,300 536,726 14,5741 | . |* . | 551,900 537,194 14,7064 | . |* . | 553,400 522,226 31,1736 | . | * . | 570,200 517,081 53,1185 | . | * . | 614,600 520,289 94,3113 | . | * | 624,200 557,707 66,4934 | . | *. | 679,500 591,717 87,7833 | . | * | 599,400 665,951 -66,5510 | .* | . | 566,600 709,917 -143,317 | * . | . |


Actual

tC

Fitted

tC Residual

tu Residual Plot


574,000 703,035 -129,035 | * . | . | 598,600 685,061 -86,4608 | * | . | 658,100 650,917 7,18294 | . |* . | 701,500 630,738 70,7618 | . | *. | 669,800 663,345 6,45488 | . * . | 677,200 687,333 -10,1326 | . *| . | 660,300 693,146 -32,8458 | . * | . | 669,500 683,390 -13,8904 | . *| . | 710,400 655,995 54,4048 | . | * . | 731,700 631,005 100,695 | . | .* | 782,200 604,813 177,387 | . | . *|

O altă modalitate de estimare a unui model cu ecuaţii simultane cu ajutorul programului EViews constă în construirea sistemului de ecuaţii corespunzător modelului în formă structurală şi în estimarea acestuia fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze (vezi SYSTEM01), fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în trei faze19 (vezi SYSTEM02):

System: SYSTEM01 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Total system (balanced) observations 24 Instruments: It C

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C(1) 1164,9 173,6883 6,7071 0,0000 C(2) -0,6682 0,2120 -3,1523 0,0046

Determinant residual covariance 6191,080

Equation: tC =C(1)+C(2)* tV

Observations: 24 R-squared -0,2330 Mean dependent var 619,9917 Adjusted R-squared -0,2890 S.D. dependent var 72,3846 S.E. of regression 82,1822 Sum squared resid 148585,90

19 Vezi E. Pecican, O. Tănăsoiu, A. I. Iacob, Modele econometrice, Bucureşti, Editura ASE,

2001, p. 205-206.


Durbin-Watson stat 0,4779

Matricea varianţelor şi covarianţelor reziduurilor, în cazul aplicării M.C.M.M.P. în două faze, este următoarea:

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜⎝

⎛−

=0449,06440,36

6440,366413,30167

V

System: SYSTEM02 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1980 2003 Included observations: 24 Total system (balanced) observations 24 Instruments: : It C


C(1) 1164,9 166,2939 7,0053 0,0000 C(2) -0,6682 0,2029 -3,2924 0,0033



Observations: 24 R-squared -0,2330 Mean dependent var 619,9917 Adjusted R-squared -0,2890 S.D. dependent var 72,3846 S.E. of regression 82,1822 Sum squared resid 148585,90 Durbin-Watson stat 0,4779

În cazul aplicării M.C.M.M.P. în trei faze, matricea varianţelor şi covarianţelor reziduurilor este următoarea:

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜⎝

⎛−

=0412,05903,33

5903,3367,27653

V

Rezultatele obţinute în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze şi a M.C.M.M.P. în trei faze în cazul sistemului de ecuaţii indică faptul că ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată), iar estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.


Modelul fiind corect identificat, estimarea parametrilor s-a făcut atât cu metoda regresiei indirecte ( 2a ), cât şi cu M.C.M.M.P. în două faze ( 3a ). Comparând rezultatele obţinute se constată că ele sunt identice.

b) Rata marginală a consumului final real în funcţie de PIB ( )$b a

fost estimată pe baza aceluiaşi model econometric, utilizând trei procedee de estimare a parametrilor. În urma efectuării calculelor s-au obţinut următoarele valori ale ratei marginale a consumului final:

)1a 231,0ˆ −=b . Deoarece valoarea acestui parametru este semnificativă numai în cazul utilizării unui prag de semnificaţie 20,0=α , se confirmă astfel faptul că aplicarea directă a M.C.M.M.P. asupra ecuaţiei modelului în formă structurală conduce la obţinerea de estimatori deplasaţi, nesemnificativi.

)) 32 aa = 6682,0ˆ −=b pentru metoda regresiei indirecte şi M.C.M.M.P. în două faze, care conduc la aceleaşi rezultate, modelul fiind corect identificat. Semnificaţia acestui indicator este următoarea: în perioada 1980-2002, la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real, consumul final real a scăzut cu aproximativ 0,7 miliarde lei, ceea ce contravine teoriei economice.

Se constată astfel o inadvertenţă, respectiv, pe de o parte, aceste modele pot fi acceptate ca semnificative din punct de vedere al testelor statistice, iar, pe de altă parte, sensul dependenţei consumului final real de factorul său de influenţă, reliefat de semnul algebric al estimatorului parametrului corespunzător acestuia, este în contradicţie cu teoria economică. Această inadvertenţă constă în faptul că PIB-ul real exercită o influenţă negativă asupra consumului final real.

Datorită discrepanţelor dintre valorile estimatorilor şi teoria economică s-a renunţat la continuarea utilizării modelului în scopuri prospective. Acest lucru nu înseamnă că modelul prezintă deficienţe de specificare ci, mai curând, rezultatele contradictorii provin atât din dificultatea construirii unor serii lungi de date, cât şi ca urmare a măsurilor inconsecvente de politică economică adoptate în perioada de tranziţie a României.


2.1.10 Modelul dinamic al lui Keynes

Dinamica principalilor indicatori macroeconomici, exprimaţi în mld. lei preţuri comparabile (1990=100), în România, în perioada 1980-2003, se prezintă în tabelul următor:

Tabelul 2.10.1 mld. lei (1990=100)

Ani

Consumul final real al populaţiei

( tC )

Consumul final real al adm. publice

( Gt )

PIB-ul real

(Vt )

Investiţii reale

( I t )

0 1 2 3 4=3-1-2 1980 433,3 98,3 804,3 272,7 1981 442,1 102,9 805,8 260,8 1982 436,3 98,8 837,1 302,0 1983 433,1 90,6 886,6 362,9 1984 450,1 101,2 940,2 388,9 1985 442,0 109,9 939,5 387,6 1986 448,1 105,3 961,9 408,5 1987 472,1 98,1 969,6 399,4 1988 513,2 101,4 964,8 350,2 1989 516,6 107,6 908,8 284,6 1990 557,7 121,8 857,9 178,4 1991 467,4 132,0 746,8 147,4 1992 432,1 134,5 681,0 114,4 1993 435,9 138,1 691,3 117,3 1994 447,3 151,3 718,2 119,6 1995 505,3 152,8 769,3 111,2 1996 545,7 155,8 799,5 98,0 1997 525,7 144,1 750,7 80,9 1998 586,2 91,0 714,8 37,6 1999 579,8 80,5 706,1 45,8 2000 582,3 87,2 720,7 51,2 2001 610,7 99,7 761,7 51,3 2002 629,1 102,6 799,1 67,4 2003 673,7 108,5 838,3 56,0

Notă: Indicatorii sunt calculaţi conform metodologiei de calcul a Sistemului European al Conturilor Economiei Integrate - SEC 1979. Consumul final real al populaţiei şi consumul final real al administraţiei publice au fost deflaţionate cu ajutorul deflatorului consumului final real al populaţiei exprimat în preţuri constante (1990 = 100), respectiv cu deflatorul consumuli final real al administraţiei publice, datele provenind de la Ministerul Prognozei şi Dezvoltării, iar PIB-ul a


fost deflaţionat cu ajutorul deflatorului PIB exprimat în preţuri constante (1990 = 100), obţinut în urma prelucrării datelor din Raportul Anual BNR. Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 370-371, Anuarului Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 364-365, Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 284, Raportului Anual 1999, BNR, Bucureşti, 2000, p. 8*-9, Raportului Anual 2002, BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-5*, Comunicatului de Presă al INS nr.11/26.02.2004, Dobrescu, E., Macromodels of the Romanian Transition Economy, Second Edition, Editura Expert, Bucharest, 1998, p. 184.

Să se caracterizeze dezvoltarea economică a României în perioada

1980-2003 cu ajutorul unui model econometric cu ecuaţii multiple.

Rezolvare:

Pe baza datelor din tabelul de mai sus, dezvoltarea economică a României în perioada 1980-2003 se poate face cu ajutorul unui model econometric cu ecuaţii multiple a cărui formă structurală este următoarea:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=+++=

++=

−

tttt

tttt

ttt

GICVuVbVbbI

uVaaC

21210

110

( )( )( )

123

Modelul de mai sus prezintă câteva particularităţi cum ar fi: - prima ecuaţie descrie o relaţie de comportament a consumatorilor; - ecuaţia (2) reprezintă tot o relaţie de comportament, descriind

politica investiţională practicată în perioada 1980-2003, dar având un caracter dinamic datorită includerii variabilelor decalate care imprimă această trăsătură şi modelului cu ecuaţii multiple;

- ecuaţia (3) reprezintă o relaţie de identitate economică. Modelul cu ecuaţii multiple conţine cinci variabile, dintre care trei

variabile sunt endogene ( )C I Vt t t, , şi două variabile exogene ( )G Vt t, −1 .

Discuţia econometrică a modelului cu ecuaţii multiple relevă că modelul este supraidentificat deoarece:

- în ecuaţia (1), numărul variabilelor absente este egal cu 3, număr superior numărului de variabile endogene minus unu (3-1), ceea ce înseamnă că ecuaţia este supraidentificată;


- chiar dacă ecuaţia (2) este corect identificată ( )2 3 1= − , modelul

este supraidentificat datorită ecuaţiei (1). Având această particularitate, estimarea parametrilor modelului se

va face cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată în două faze. Faza I. Variabila Vt , care este endogenă în ecuaţia (3), dar exogenă

în ecuaţiile (1) şi (2), se va regresa în funcţie de variabilele exogene Vt−1 şi Gt , rezultând ecuaţia:

tttt zGVV +⋅℘+⋅+= −1βα

Se aplică M.C.M.M.P. în vederea estimării parametrilor α β, ,℘ şi a calculării valorilor estimate ale variabilei tV :

( ) ( )∑=

− ℘−−−=℘24

2

2

1 ˆˆˆminˆ,ˆ,ˆt

ttt GVVF βαβα

( ) ( ) ( )∑=

− =−⋅℘−−−⋅⇒=′24

2

01ˆˆˆ20ˆt

titt GVVF βαα

( ) ∑ ∑ ∑= = =

− =℘++⋅−⇒24

2

24

2

24

21 ˆˆˆ1

t t tttt VGVn βα

( ) ( ) ( )∑=

−− =−⋅℘−−−⋅⇒=′24

211 0ˆˆˆ20ˆ

ttttt VGVVF βαβ

∑ ∑ ∑∑= = =

−−−=

− =℘++⇒24

2

24

2

24

211

21

24

21 ˆˆˆ

t t tttttt

tt VVVGVV βα

( ) ( ) ( )∑=

− =−⋅℘−−−⋅⇒=℘′24

21 0ˆˆˆ20ˆ

ttttt GGVVF βα

∑ ∑ ∑ ∑= = = =

− =℘++⇒24

2

24

2

24

2

24

2

21 ˆˆˆ

t t t ttttttt GVGVGG βα


de unde rezultă sistemul de ecuaţii normale:

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=℘++

=℘++

=℘++⋅−

∑ ∑∑∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

= ==−

=

= = = =−−−−

= = =−

24

2

24

2

24

2

21

24

2

24

2

24

2

24

2

24

211

211

24

2

24

2

24

21

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ1

t ttt

ttt

ttt

t t t ttttttt

t t tttt

GVGVGG

VVVGVV

VGVn

βα

βα

βα

În vederea estimării parametrilor $ , $α β şi $℘ şi a valorilor $Vt s-a utilizat programul EViews, rezultatele obţinute fiind următoarele:

Dependent Variable: Vt



C 157,1714 104,9035 1,4982 0,1497 Vt−1 0,8708 0,0999 8,7198 0,0000 Gt -0,4437 0,4239 -1,0469 0,3076


ttt GVV 4437,08708,01714,157ˆ1 −+= − 902,01 =R

(104,9035) (0,0999) (0,4239) d = 0,70 5558,43ˆ =zs


Valorile estimate ale variabilei Vt şi ale variabilei reziduale, tz sunt



tV

Fitted

tV

Residual

tz Residual Plot


805,8 811,912 -6,1123 | . *| . | 837,1 815,038 22,0621 | . | * . | 886,6 845,933 40,6667 | . | * | 940,2 884,335 55,8647 | . | . * | 939,5 927,151 12,3492 | . | * . | 961,9 928,582 33,3176 | . | *. | 969,6 951,284 18,3162 | . | * . | 964,8 956,525 8,2752 | . |* . | 908,8 949,594 -40,7936 | * | . | 857,9 894,526 -36,6264 | .* | . | 746,8 845,675 -98,8753 |* . | . | 681 747,818 -66,8176 | * . | . |

691,3 688,92 2,3800 | . * . | 718,2 692,032 26,1680 | . | * . | 769,3 714,792 54,5085 | . | . * | 799,5 757,959 41,5407 | . | * | 750,7 789,45 -38,7500 | * | . | 714,8 770,517 -55,7168 | * . | . | 706,1 743,914 -37,8136 | * | . | 720,7 733,364 -12,6643 | . * | . | 761,7 740,532 21,1685 | . | * . | 799,1 774,948 24,1516 | . | * . | 838,3 804,899 33,4010 | . | *. |

În cazul acestei ecuaţii se constată existenţa fenomenului de

autocorelare a erorilor, care poate fi ignorat. Estimatorii parametrilor modelului sunt nesemnificativi (pot fi acceptaţi ca semnificativi pentru un prag de semnificaţie 40,0=α ), cu excepţia estimatorului parametrului corespunzător PIB-ului decalat cu o perioadă, care este semnificativ diferit de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind semnificativ pentru un prag de semnificaţie de 5%.


Faza II. Deoarece variabila endogenă Vt (vezi ecuaţia (3)) este variabilă exogenă în ecuaţiile (1) şi (2), în aceste ecuaţii ea se va introduce cu valorile estimate în faza I ( )$Vt - vezi tabelul 2.10.2., coloana 2.

Estimarea parametrilor ecuaţiilor (1) şi (2) se va face cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicate fiecărei ecuaţii:

ttt uVaaC 110ˆ +⋅+= (1)

tttt uVbVbbI 21210ˆ +⋅+⋅+= − (2)

Estimatorii ecuaţiei (1), $a0 şi $a1 , rezultă în urma aplicării

M.C.M.M.P.:

( ) ( )∑=

−−=24

2

2

1010ˆˆˆminˆ,ˆ

ttt VaaCaaF

( ) ( ) ∑∑==

=+⋅−⇒=′24

2

24

2100

ˆˆˆ10ˆt

tt

t CVaanaF

( ) ∑ ∑ ∑= = =

=+⇒=′24

2

24

2

24

2

2101

ˆˆˆˆˆ0ˆt t t

tttt VCVaVaaF

În cazul ecuaţiei (1), calculele au fost efectuate cu ajutorul programului EViews, rezultând următoarele valori:




C 658,7968 147,3206 4,4719 0,0002

tV -0,1822 0,1796 -1,0147 0,3218

R-squared 0,0467 Mean dependent var 510,1087 Adjusted R-squared 0,0013 S,D, dependent var 73,1256 S.E. of regression 73,0763 Akaike info criterion 11,5038


Sum squared resid 112143,10 Schwarz criterion 11,6026 Log likelihood -130,2940 F-statistic 1,0297 Durbin-Watson stat 0,2747 Prob(F-statistic) 0,3218

ttt VVaaC ˆ1822,07968,658ˆˆˆˆ10 −=⋅+= ; 2162,02 =R

( )sa$0 ( )sa$1

( )3206,147 ( )1796,0 d = 0,27

0763,731ˆ=us

Valorile estimate ale variabilei Ct şi ale variabilei reziduale, tu1ˆ sunt prezentate în cadrul tabelului 2.10.3. (utilizând pachetul de programe EViews).


tC

Fitted

tC

Residual

tu1


442,1 510,867 -68,7669 | * | . | 436,3 510,297 -73,9975 | * | . | 433,1 504,668 -71,5683 | * | . | 450,1 497,672 -47,5715 | . * | . | 442,0 489,871 -47,8706 | .* | . | 448,1 489,61 -41,5097 | . * | . | 472,1 485,474 -13,3735 | . *| . | 513,2 484,519 28,6814 | . | * . | 516,6 485,782 30,8185 | . | * . | 557,7 495,815 61,8853 | . | * | 467,4 504,715 -37,3153 | . * | . | 432,1 522,545 -90,4449 | * . | . | 435,9 533,276 -97,3760 | * . | . | 447,3 532,709 -85,4090 | *. | . | 505,3 528,562 -23,2623 | . * | . | 545,7 520,697 25,0029 | . | * . | 525,7 514,96 10,7404 | . |* . | 586,2 518,409 67,7908 | . | * | 579,8 523,256 56,5437 | . | *. | 582,3 525,178 57,1217 | . | *. | 610,7 523,872 86,8275 | . | .* | 629,1 517,602 111,4980 | . | . * | 673,7 512,145 161,5550 | . | . *|


În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică testul Durbin - Watson, care constă în calcularea variabilei d cu ajutorul relaţiei:

( )27,0

ˆ

ˆˆ

2

22

3

2122

=−

=

∑

∑

=

=−

n

tt

n

ttt

u

uud

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de

semnificaţie α = 0 05, , de numărul variabilelor explicative 1=k şi de numărul de observaţii 23=n se preiau valorile teoretice 26,11 =d şi



Estimatorii $a0 şi $a1 sunt semnificativ diferiţi de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0 05, , dacă se verifică următoarele relaţii:

080,22779,208,69355,157ˆ

21;05,0ˆ1;ˆ

0ˆ 0

0

0=>==⇔>= −− ttt

sa

t akna

a α

859,00147,11796,01822,0ˆ

21;40,0ˆ

1ˆ

1

1=>=

−== t

sa

ta

a

În urma efectuării calculelor de mai sus se constată faptul că doar

estimatorul $a0 este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0 05, , în timp ce estimatorul $a1 poate fi acceptat ca semnificativ pentru un prag de semnificaţie 40,0=α .

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie:

( ) ( )1;;21

21

11 −−≥

−−−= knkc F

RR

knF α


32,40297,10467,01

0467,021 21;1;05,0 =<=−

⋅= FFc

Pe baza rezultatului obţinut se constată că raportul de corelaţie este

nesemnificativ. În cazul ecuaţiei (2), utilizând programul EViews, au fost obţinute

următoarele rezultate:

Dependent Variable: It Method: Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints


C -827,5175 219,9338 -3,7626 0,0012

tV 0,9928 1,8495 0,5368 0,5973

1−tV 0,2573 1,6700 0,1540 0,8791


11210 2573,0ˆ9928,05175,827ˆˆˆˆˆ−− ++−=++= ttttt VVVbVbbI ; 8092,03 =R

( )sb$0 ( )sb$1 ( )sb$2

( )9338,219 ( )8495,1 ( )67,1 33,0=d

3385,842ˆ =us

Valorile estimate ale variabilei It şi ale variabilei reziduale, tu2ˆ sunt




tI

Fitted

tI

Residual

tu2ˆ Residual Plot


260,8 185,463 75,3368 | . | *. | 302,0 188,952 113,0480 | . | . * | 362,9 227,677 135,2230 | . | . *| 388,9 278,537 110,3630 | . | . * | 387,6 334,833 52,7666 | . | * . | 408,5 336,075 72,4253 | . | * . | 399,4 364,375 35,0247 | . | * . | 350,2 371,559 -21,3594 | . * | . | 284,6 363,443 -78,8433 | .* | . | 178,4 294,366 -115,9660 | * . | . | 147,4 232,772 -85,3721 | * | . | 114,4 107,038 7,3625 | . |* . | 117,3 31,636 85,6637 | . | * | 119,6 37,376 82,2243 | . | *. | 111,2 66,892 44,3084 | . | * . | 98,0 122,894 -24,8945 | . * | . | 80,9 161,928 -81,0276 | .* | . | 37,6 130,577 -92,9767 | * | . | 45,8 94,930 -49,1295 | . * | . | 51,2 82,218 -31,0180 | . * | . | 51,4 93,090 -41,6895 | . * | . | 67,4 137,806 -70,4062 | . * | . | 56,1 177,163 -121,0630 | * . | . |

În vederea verificării ipotezei de independenţă a erorilor se aplică testul Durbin - Watson, care constă în calcularea variabilei d cu ajutorul relaţiei:

( )33,0

ˆ

ˆˆ

2

22

3

2122

=−

=

∑

∑

=

=−

n

tt

n

ttt

u

uud

Din tabela distribuţiei Durbin - Watson, în funcţie de un prag de

semnificaţie α = 0 05, , de numărul variabilelor explicative k = 2 şi de


numărul de observaţii 23=n se preiau valorile teoretice 17,11 =d şi d 2 1 54= , . Comparând valoarea calculată a variabilei d cu cele două valori


Verificarea semnificaţiei estimatorilor:

086,22626,39338,21995175,827ˆ

20;05,0ˆ1;ˆ

0ˆ

0

0

0=>=

−=⇔>= −− ttt

s

bt

bknb

b α

086,25368,08495,19928,0ˆ

20;05,0ˆ1;ˆ

1ˆ

1

1

1=<==⇔>= −− ttt

s

bt

bknb

b α

086,2154,067,1

2573,0ˆ20;05,0ˆ1;

ˆ

2ˆ

2

2

2=<==⇔>= −− ttt

s

bt

bknb

b α

Pe baza rezultatelor de mai sus se constată că doar estimatorul 0b

este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificaţie α = 0 05, , în

timp ce estimatorii $b1 şi $b2 sunt nesemnificativi ( $b1 poate fi acceptat ca semnificativ pentru un prag de semnificaţie 6,0=α ).

Verificarea semnificaţiei raportului de corelaţie:

( )1;;22

22

11

−−≥−

⋅−−

= knkc FR

RkknF α

49,3967,180,65481

0,6548220

20;2;05.0 =>=−

⋅= FFc

Se constată astfel că raportul de corelaţie este semnificativ diferit de

zero, cu un prag de semnificaţie 05,0=α .


Programul EViews oferă posibilitatea estimării parametrilor unui model cu ecuaţii simultane, atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin construirea unui sistem de ecuaţii care permite estimarea parametrilor atât prin M.C.M.M.P. în două faze, cât şi prin M.C.M.M.P. în trei faze.

Astfel, rezultatele afişate de programul EViews în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze asupra ecuaţiei (1) sunt următoarele:

Dependent Variable: Ct Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Instrument list: Vt-1 Gt


C 658,7968 147,5788 4,4640 0,0002 Vt -0,1822 0,1799 -1,0129 0,3226

R-squared 0,0434 Mean dependent var 510,1087 Adjusted R-squared -0,0022 S.D. dependent var 73,1256 S.E. of regression 73,2044 Sum squared resid 112536,50 F-statistic 1,0261 Durbin-Watson stat 0,3028 Prob(F-statistic) 0,3226




tC

Fitted

tC Residual

tu1


442,1 511,9806 -69,8806 | * | . | 436,3 506,2778 -69,9778 | * | . | 433,1 497,2589 -64,1589 | * | . | 450,1 487,4930 -37,3930 | . * | . | 442,0 487,6206 -45,6206 | . * | . | 448,1 483,5393 -35,4393 | . * | . | 472,1 482,1364 -10,0364 | . *| . | 513,2 483,0109 30,1891 | . | * . |


Actual

tC

Fitted

tC Residual

tu1


516,6 493,2141 23,3859 | . | * . | 557,7 502,4880 55,2120 | . | *. | 467,4 522,7304 -55,3304 | .* | . | 432,1 534,7191 -102,6191 | * . | . | 435,9 532,8424 -96,9424 | * . | . | 447,3 527,9413 -80,6413 | *. | . | 505,3 518,6309 -13,3309 | . *| . | 545,7 513,1285 32,5715 | . | * . | 525,7 522,0198 3,6802 | . * . | 586,2 528,5607 57,6393 | . | *. | 579,8 530,1459 49,6541 | . | *. | 582,3 527,4858 54,8142 | . | *. | 610,7 520,0156 90,6844 | . | .* | 629,1 513,2013 115,8987 | . | . * | 673,7 506,0591 167,6409 | . | . *|

În cazul ecuaţiei (2), în urma aplicării M.C.M.M.P. în două faze prin

intermediul programului EViews au fost obţinute următoarele rezultate:

Dependent Variable: It

Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1981 2003 Included observations: 23 after adjusting endpoints Instrument list: Vt-1 Gt


C -827,5175 219,9338 -3,7626 0,0012 Vt 0,9928 1,8495 0,5368 0,5973

Vt-1 0,2573 1,6700 0,1540 0,8791

R-squared 0,6548 Mean dependent var 192,2435 Adjusted R-squared 0,6203 S.D. dependent var 136,8614 S.E. of regression 84,3385 Sum squared resid 11,8287 F-statistic 142259,50 Durbin-Watson stat 11,9768 Prob(F-statistic) -133,0296


Valorile estimate ale variabilei It şi ale variabilei reziduale, tu2ˆ sunt



tI

Fitted

tI

Residual

tu2ˆ Residual Plot


260,8 185,463 75,3368 | . | .* | 302,0 188,952 113,0480 | . | . * | 362,9 227,677 135,2230 | . | . * | 388,9 278,537 110,3630 | . | *. | 387,6 334,833 52,7666 | . | * . | 408,5 336,075 72,4253 | . | * . | 399,4 364,375 35,0247 | . |* . | 350,2 371,559 -21,3594 | . * | . | 284,6 363,443 -78,8433 | . * | . | 178,4 294,366 -115,9660 | *. | . | 147,4 232,772 -85,3721 | . |* . | 114,4 107,038 7,3625 | . | .* | 117,3 31,636 85,6637 | . | .* | 119,6 37,376 82,2243 | . | *. | 111,2 66,892 44,3084 | . *| . | 98,0 122,894 -24,8945 | * | . | 80,9 161,928 -81,0276 | . * | . | 37,6 130,577 -92,9767 | . * | . | 45,8 94,930 -49,1295 | . *| . | 51,2 82,218 -31,0180 | . *| . | 51,4 93,090 -41,6895 | * | . | 67,4 137,806 -70,4062 | * . | . | 56,1 177,163 -121,0630 |* . | . |

Interpretarea statistică a rezultatelor obţinute este identică cu cea

menţionată în cazul aplicării M.C.M.M.P. în două faze prezentată mai sus. O altă modalitate de estimare a unui model cu ecuaţii simultane cu

ajutorul programului EViews constă în construirea sistemului de ecuaţii corespunzător modelului în formă structurală şi în estimarea acestuia fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze (vezi SYSTEM01), fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în trei faze (vezi SYSTEM02).


System: SYSTEM01 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1981 2003 Included observations: 23 Total system (balanced) observations 46 Instruments: 1−tV Gt C


C(1) 658,7968 147,5788 4,4640 0,0001 C(2) -0,1822 0,1799 -1,0129 0,3170 C(3) -827,5175 184,0225 -4,4968 0,0001 C(4) 0,9928 1,5475 0,6415 0,5247 C(5) 0,2573 1,3973 0,1841 0,8548

Determinant residual covariance 2622725


Observations: 23 R-squared 0,0434 Mean dependent var 510,1087 Adjusted R-squared -0,0022 S.D. dependent var 73,1256 S.E. of regression 73,2044 Sum squared resid 112536,50 Durbin-Watson stat 0,3028

Equation: tI =C(3)+C(4)* tV +C(5)* 1−tV

Observations: 23 R-squared 0,7583 Mean dependent var 192,2435 Adjusted R-squared 0,7341 S.D. dependent var 136,8614 S.E. of regression 70,5675 Sum squared resid 99595,42 Durbin-Watson stat 0,3495

Matricea varianţelor şi covarianţelor reziduurilor este următoarea:

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜⎝

⎛−

=2358,43306716,4308

6716,43088919,4892

V

Şi în acest caz interpretarea statistică a rezultatelor obţinute este

identică cu cea menţionată anterior.


System: SYSTEM02 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1981 2003 Included observations: 23 Total system (balanced) observations 46 Instruments: 1−tV Gt C


C(1) 658,7968 141,0164 4,6718 0,0000 C(2) -0,1822 0,1719 -1,0601 0,2953 C(3) -990,8377 138,0781 -7,1759 0,0000 C(4) 3,1444 0,5298 5,9350 0,0000 C(5) -1,6978 0,4584 -3,7034 0,0006

Determinant residual covariance 31011202



Equation: tI =C(3)+C(4)* tV +C(5)* 1−tV


În cazul aplicării M.C.M.M.P. în trei faze, matricea varianţelor şi

covarianţelor este următoarea:

⎟⎟⎠

⎞−⎜⎜⎝

⎛−

=91,11894

337,5214337,5214

892,4892V

Pe baza informaţiilor furnizate de programul EViews în urma

aplicării M.C.M.M.P. în trei faze sistemului de ecuaţii se constată faptul că: - în cazul ecuaţiei (1), rezultatele obţinute sunt nesemnificative;


- în cazul ecuaţiei (2), ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată), iar estimatorii parametrilor sunt semnificativ diferiţi de zero, pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

Descrierea economiei României în perioada 1980-2003 se poate face cu ajutorul multiplicatorilor cu efect direct.

Multiplicatorii cu efect direct sau multiplicatorii structurali sunt reprezentaţi de parametrii modelului sub formă structurală:

1a - rata marginală a consumului, care arată că, în perioada 1980-2003, la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real, consumul final real al populaţiei a scăzut cu 0,18 miliarde lei.

1b - rata marginală a investiţiilor, care exprimă faptul că, în perioada 1980-2003, investiţiile reale au crescut cu 0,99 miliarde lei la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real.

2b - relevă faptul că PIB-ul real realizat în anul anterior a avut un efect pozitiv asupra creşterii investiţiilor reale, acestea crescând cu aproximativ 0,26 miliarde lei la o creştere cu un miliard de lei a PIB-ului real din anul anterior.

Prin coroborarea valorilor estimatorilor şi, în special, a semnului algebric al acestora cu teoria economică privind sensul dependenţelor şi interdependenţelor dintre fenomenele economice analizate, se constată că acestea conţin evidente inadvertenţe economice, care constau în faptul că sensul dependenţei consumului final real al populaţiei de factorul său de influenţă, reliefat de semnul algebric al estimatorului parametrului corespunzător acestuia, este în contradicţie cu teoria economică. Această inadvertenţă constă în faptul că PIB-ul real exercită o influenţă negativă asupra consumului final real al populaţiei.

Datorită slabelor performanţe statistice ale acestui model, cât şi discrepanţelor dintre valorile estimatorilor şi teoria economică, s-a renunţat la continuarea utilizării sale în scopuri prospective. Acest lucru nu înseamnă că acest model prezintă deficienţe de specificare ci, mai curând, rezultatele contradictorii se datorează, atât dificultăţii construirii unor serii lungi de


date, cât şi măsurilor inconsecvente de politică economică adoptate în perioada de tranziţie a României.

2.1.11 Model recursiv

Pe baza datelor din Anuarul Statistic al României s-au construit seriile cronologice pe ani privind indicele câştigului salarial real (1990=100), It

s, indicele productivităţii muncii reale (1990=100), Itw, şi

indicele preţurilor de consum (1990=100), Itp, în perioada 1990-2002:

Tabelul 2.11.1

t Itp p

tI 1− Itw It

s

1 2 3 4 5 1990 100,0 - 100,0 100,0 1991 270,2 100,0 87,5 81,7 1992 838,8 270,2 82,3 71,3 1993 2987,0 838,8 86,8 59,4 1994 7071,9 2987,0 90,6 59,4 1995 9353,4 7071,9 102,4 66,5 1996 12983,4 9353,4 107,7 72,7 1997 33076,9 12983,4 105,1 56,3 1998 52624,2 33076,9 102,5 58,2 1999 76728,0 52624,2 106,0 56,0 2000 111767,1 76728,0 105,5 58,6 2001 150290,7 111767,1 112,4 61,5 2002 184162,1 150290,7 121,2 62,8

Sursa: Date prelucrate pe baza Anuarului Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 135, 322, 105, Anuarului Statistic al României 2000, INS, Bucureşti, 2001, p. 135, 136, Anuarului Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 132, 312, Raportului Anual 2002 BNR, Bucureşti, 2003, p. 4*-7*, Raportului Anual 2000 BNR, Bucureşti, 2001, p. 5*-9*.

Se cere: a) Să se construiască modelul econometric cu ajutorul căruia pot fi

descrise dependenţele şi interdependenţele dintre preţuri şi câştigurile salariale;


b) Abordarea modelului construit la punctul a) ca model cu ecuaţii simultane şi estimarea parametrilor acestuia cu ajutorul metodelor cunoscute;

c) Abordarea modelului de la punctul a) ca model recursiv şi estimarea parametrilor acestuia;

d) Să se compare rezultatele obţinute la punctele b) şi c) şi să se formuleze concluziile care se desprind.

Rezolvare:

a) În teoria economică se întâlneşte un model cu ecuaţii multiple denumit şi modelul „spiralei preţurilor” care, sub formă structurală, se prezintă astfel:

M0 ⎪⎩

⎪⎨⎧

++=

+++=

)2(

)1(

210

1210

tst

pt

twt

pt

st

uIbbI

uIaIaaI

Acest model conţine două variabile endogene (Is,Ip) şi o singură

variabilă exogenă (Iw), în total trei variabile. Ecuaţia (1) a modelului este nonidentificată deoarece conţine toate

variabilele (0<2-1), în timp ce ecuaţia (2) este corect identificată, deoarece numărul variabilelor absente (It

w) este egal cu numărul variabilelor endogene minus unu (1=2-1). Ca atare, modelul este nonidentificabil, adică nu vor putea fi estimaţi toţi parametrii acestui model.

Modelul de mai sus poate fi transformat într-un model corect specificat din punct de vedere econometric pornind de la următoarele premise:

● De regulă, presiunile sociale privind creşterea salariilor nu sunt simultane cu creşterea preţurilor ci, de regulă, acestea se produc după un anumit timp;

● Acest lucru permite ca în ecuaţia (1) a modelului, indicele preţului să figureze cu valoarea sa decalată, p

tI 1− ;


● În timp, mişcarea unui fenomen economic are o anumită inerţie care, în domeniul econometriei, se defineşte ca fenomen autoregresiv, respectiv în ecuaţia care descrie mişcarea fenomenului, în pachetul variabilelor exogene se introduce o variabilă cu valori decalate. Aplicând acest principiu, în ecuaţia (2) a modelului se va introduce o nouă variabilă exogenă p

tI 1− .

Pe baza acestor premise, modelul iniţial, M0, se transformă în modelul cu ecuaţii multiple, M1:

M1 ⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=

+++=

−

−

)2(

)1(

21210

12110

tp

tst

pt

twt

pt

st

uIbIbbI

uIaIaaI

b) Modelul de mai sus, M1, interpretat ca un model cu ecuaţii

simultane, este un model corect identificat deoarece: - conţine patru variabile, dintre care două sunt endogene (It

s,Itp) şi

două sunt exogene ( ptI 1− ,It

w);

- în ecuaţia (1), numărul variabilelor absente ( ptI 1− ) este egal cu

numărul variabilelor endogene minus unu (1=2-1), rezultă că ecuaţia (1) este corect identificată;

- ecuaţia (2) este, de asemenea, corect identificată, deoarece numărul variabilelor absente (It

w) este egal cu numărul variabilelor endogene minus unu (1=2-1).

În această situaţie, modelul este corect identificat, iar parametrii acestuia pot fi estimaţi, fie cu ajutorul metodei regresiei indirecte aplicată fiecărei ecuaţii a modelului în forma redusă, fie cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată în două faze.

Forma redusă a modelului M1 – regresarea variabilelor endogene numai în funcţie de variabilele exogene – se obţine efectuând următoarele calcule :

- ecuaţia (1) este deja sub formă redusă, variabila endogenă Its fiind

exprimată numai în funcţie de cele două variabile exogene – ptI 1− , It

w.


- ecuaţia (2) va fi adusă la forma redusă prin înlocuirea variabilei endogene It

s cu expresia sa din ecuaţia (1): It

p=b0+a0b1+(a1b1+b2) ptI 1− +a2b1It

w+b1u1t+u2t

Notând cu :

ttt uubzba

bbabab

211

122

2111

1000

+==

+=+=

βββ

ecuaţia (2) devine:

FR: twt

pt

pt zIII +++= − 2110 βββ

În final, modelul sub formă redusă se prezintă astfel:

M2 ⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=

+++=

−

−

twt

pt

pt

twt

pt

st

zIII

uIaIaaI

2110

12110

βββ

Estimarea parametrilor acestui model presupune aplicarea

M.C.M.M.P. fiecărei ecuaţii în parte. Utilizând programul EViews s-au obţinut următoarele rezultate în

cazul primei ecuaţii a modelului sub formă redusă:

Dependent Variable: Its



C 0,8388 0,3289 2,5504 0,0312 p

tI 1− -0,000013 0,0001 -0,1629 0,8742

t2

t


Itw -0,1951 0,3493 -0,5585 0,5901

R-squared 0,1287 Mean dependent var 0,6370 Adjusted R-squared -0,0650 S.D. dependent var 0,0788 S.E. of regression 0,0814 Akaike info criterion -1,9678 Sum squared resid 0,0596 Schwarz criterion -1,8466 Log likelihood 14,8068 F-statistic 0,6644 Durbin-Watson stat 1,2180 Prob(F-statistic) 0,5381

Astfel, ecuaţia ce descrie evoluţia indicelui câştigului salarial real

este de forma:

( ) ( ) ( )0814,0

22,13493,00001,03289,03587,0;1951,0000013,08388,0ˆ

1

1

===−−= −

u

wt

pt

st

sdRIII

Analizând rezultatele obţinute se constată că ipotezele

corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată ca urmare a indeciziei), dar estimatorii parametrilor modelului, cu excepţia termenului liber, sunt nesemnificativi, modelul fiind şi el nesemnificativ.

Revenind la ecuaţia (2) sub formă redusă, estimatorii acesteia au înregistrat următoarele valori (vezi listingul de mai jos):

Dependent Variable: ptI



C -179,4978 296,3394 -0,6057 0,5597 p

tI 1− 1,2180 0,0731 16,6713 0,0000 It

w 247,5859 314,7246 0,7867 0,4517 R-squared 0,9892 Mean dependent var 535,1246 Adjusted R-squared 0,9868 S.D. dependent var 637,4540 S.E. of regression 73,3035 Akaike info criterion 11,6394


Sum squared resid 48360,68 Schwarz criterion 11,7606 Log likelihood -66,8365 F-statistic 411,4207 Durbin-Watson stat 1,2817 Prob(F-statistic) 0,0000

( ) ( ) ( )4421,48

28,17246,3140731,03394,2969946,0;5859,247218,14978,179ˆ

1

===++−= −

z

wt

pt

pt

sdRIII

Rezultatele obţinute indică faptul că ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată ca urmare a indeciziei), iar estimatorii parametrilor modelului, cu excepţia estimatorului parametrului corespunzător indicelului preţurilor de consum decalat cu o perioadă, sunt nesemnificativi, modelul fiind semnificativ pentru un prag de semnificaţie de 5%.

După estimarea parametrilor modelului în formă redusă urmează identificarea modelului cu ecuaţii simultane, adică a parametrilor modelului structural pe baza estimatorilor modelului sub formă redusă.

Estimarea acestora se face pornind de la notaţiile efectuate anterior:

1122

212111

101000

ˆ1951,05859,247ˆˆˆ

ˆˆ000013,0218,1ˆˆˆˆ

ˆ8388,0ˆ4978,179ˆˆˆˆ

bba

bbbba

bbbab

−=⇒=

+−=⇒+=

+=−⇒+=

β

β

β

De unde rezultă că:

2013,1ˆ1246,1269ˆ

983,884ˆ

2

1

0

=

−=

=

b

b

b

În final, modelul cu ecuaţii simultane sub formă structurală este de forma:

M1⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=

−−=

−

−

pt

st

pt

wt

pt

st

III

III

1

1

2013,11246,1269983,884ˆ1951,0000013,08388,0ˆ


Modelul M1, fiind un model corect identificat, estimatorii acestuia pot fi obţinuţi şi cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată în două faze:

Faza I. Se estimează parametrii ecuaţiei (1) a modelului cu ajutorul M.C.M.M.P., obţinându-se aceleaşi rezultate ca şi în cazul anterior:

( ) ( ) ( )0814,0

22,13493,00001,03289,03587,0;1951,0000013,08388,0ˆ

1

1

===−−= −

u

wt

pt

st

sdRIII

În continuare, se calculează valorile teoretice (ajustate) ale variabilei

enodogene stI . Utilizând programul EViews, s-au obţinut următoarele

rezultate (vezi tabelul .2.11.2., coloana 3):

Tabelul 2.11.2

Obs. Actual

stI

Fitted stI

Residual

tu1 Residual Plot


1991 0,817 0,6680 0,1490 | . | . *| 1992 0,713 0,6782 0,0348 | . | * . | 1993 0,594 0,6693 -0,0753 | .* | . | 1994 0,594 0,6616 -0,0676 | . * | . | 1995 0,665 0,6381 0,0269 | . | * . | 1996 0,727 0,6274 0,0996 | . | .* | 1997 0,563 0,6320 -0,0690 | .* | . | 1998 0,582 0,6344 -0,0524 | . * | . | 1999 0,560 0,6250 -0,0650 | . * | . | 2000 0,586 0,6228 -0,0368 | . * | . | 2001 0,615 0,6047 0,0103 | . |* . | 2002 0,628 0,5825 0,0455 | . | * . |

Faza II. În cadrul celei de-a doua ecuaţii a modelului M1 în formă

structurală, valorile empirice ale indicelui câştigului salarial real sunt înlocuite cu valorile estimate ale acestuia. În vederea estimării parametrilor acestei ecuaţii a fost utilizat programul EViews, care permite estimarea


parametrilor unui model cu ecuaţii simultane cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze, obţinându-se astfel următoarele rezultate:

Dependent Variable: p

tI

Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 1991 2002 Included observations: 12 after adjusting endpoints

Instrument list: ptI 1− It

w


C 884,9814 1184,3430 0,7472 0,4740 stI -1269,1230 1805,2800 -0,7030 0,4998 p

tI 1− 1,2013 0,1018 11,8009 0,0000

R-squared 0,9865 Mean dependent var 535,1246 Adjusted R-squared 0,9834 S.D. dependent var 637,4540 S.E. of regression 82,0278 Sum squared resid 60557,03 F-statistic 328,5595 Durbin-Watson stat 1,1716 Prob(F-statistic) 0,0000

( ) ( ) ( )0278,82

17,11018,028,1805343,11849932,0;2013,1ˆ123,12699814,884ˆ

3

1

===+−= −

z

pt

st

pt

sd

RIII

Rezultatele obţinute indică faptul că ipotezele corespunzătoare

M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată ca urmare a indeciziei), iar estimatorii parametrilor modelului, cu excepţia estimatorului parametrului corespunzător indicelui preţurilor de consum decalat cu o perioadă, sunt nesemnificativi, modelul fiind semnificativ pentru un prag de semnificaţie de 5%.

Comparând modelul M1, estimat cu ajutorul metodei regresiei indirecte, cu modelul estimat pe baza M.C.M.M.P. aplicată în două faze se observă că rezultatele sunt aproape identice – micile diferenţe datorându-se erorilor de rotunjire a rezultatelor, cum era, de altfel, şi normal să se întâmple.


O altă modalitate de estimare a unui model cu ecuaţii simultane cu ajutorul programului EViews constă în construirea sistemului de ecuaţii corespunzător modelului M1 şi în estimarea acestuia fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în două faze (vezi SYSTEM01), fie cu ajutorul M.C.M.M.P. în trei faze (vezi SYSTEM02):

System: SYSTEM01 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1991 2002 Included observations: 12 Total system (balanced) observations 24

Instruments: ptI 1− It

w C


C(1) 0,8388 0,3289 2,5504 0,0201 C(2) -0,000013 0,0001 -0,1629 0,8724 C(3) -0,1951 0,3493 -0,5585 0,5834 C(4) 884,9814 1184,3430 0,7472 0,4646 C(5) -1269,1230 1805,2800 -0,7030 0,4910 C(6) 1,2013 0,1018 11,8009 0,0000


Equation: stI =C(1)+C(2)* p

tI 1− +C(3)* Itw


Equation: ptI =C(4)+C(5)* s

tI +C(6)* ptI 1−



System: SYSTEM02 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1991 2002 Included observations: 12 Total system (balanced) observations 24

Instruments: ptI 1− It

w C


C(1) 0,8388 0.2848 2,9450 0,0087 C(2) -0,000013 0,0001 -0,1881 0,8529 C(3) -0,1951 0,3025 -0,6450 0,5271 C(4) 884,9814 1025,6710 0,8628 0,3996 C(5) -1269,1230 1563,4180 -0,8118 0,4275 C(6) 1,2013 0,0882 13,6266 0,0000


Equation: stI =C(1)+C(2)* p

tI 1− +C(3)* Itw

Observations: 12 R-squared 0,1287 Mean dependent var 0,6370 Adjusted R-squared -0,0650 S.D. dependent var 0,0788 S.,E. of regression 0,0814 Sum squared resid 0,0596 Durbin-Watson stat 1,2180

Equation: ptI =C(4)+C(5)* s

tI +C(6)* ptI 1−


c) Pornind de la modelul M1:

M1 ⎪⎩

⎪⎨⎧

+++=

+++=

−

−

)2(

)1(

21210

12110

tp

tst

pt

twt

pt

st

uIbIbbI

uIaIaaI

se constată că acesta poate fi considerat un model recursiv deoarece variabilele endogene urmează o anumită ordine. Astfel, indicele câştigului salarial real, variabilă endogenă în prima ecuaţie, figurează ca variabilă


exogenă în ecuaţia (2). În schimb, indicele preţurilor de consum nu figurează decât ca variabilă endogenă în ecuaţia (2).

Matriceal, forma structurală a modelului M1 este următoarea:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

t

twt

pt

pt

st

uu

I

Ibb

aaa

I

Ib 2

11

20

210

1 0101

B • Y + C • X = U

respectiv matricea B, )( 01

11bB −= , este o matrice triunghiulară specifică

modelelor recursive. Estimatorii parametrilor modelului M1, considerat ca fiind un model

recursiv, pot fi calculaţi cu ajutorul M.C.M.M.P. aplicată fiecărei ecuaţii a modelului structural.

Ecuaţia (1) a fost deja estimată la punctul b), ea fiind următoarea:

( ) ( ) ( )0814,0

22,13493,00001,03289,03587,0;1951,0000013,08388,0ˆ

1

1

===−−= −

u

wt

pt

st

sdRIII

În urma aplicării M.C.M.M.P. asupra celei de-a doua ecuaţii a modelului M1 au rezultat următoarele valori:

Dependent Variable: ptI



C 431,6229 156,8297 2,7522 0,0224 stI -577,8482 236,8351 -2,4399 0,0374 p

tI 1− 1,2354 0,0372 33,1807 0,0000 R-squared 0,9930 Mean dependent var 535,1246 Adjusted R-squared 0,9915 S.D. dependent var 637,4540 S.E. of regression 58,7926 Akaike info criterion 11,1982 Sum squared resid 31109,12 Schwarz criterion 11,3195


Log likelihood -64,1894 F-statistic 642,0695 Durbin-Watson stat 1,1729 Prob(F-statistic) 0,0000

( ) ( ) ( )7926,5817,10372,08351,2368297,156

9965,0;2354,18482,5776229,431ˆ

2

1

==

=+−= −

z

pt

st

pt

sDW

RIII

Rezultatele obţinute indică faptul că ipotezele corespunzătoare M.C.M.M.P. sunt verificate (autocorelaţia erorilor poate fi neglijată ca urmare a indeciziei), iar estimatorii parametrilor modelului sunt semnificativ diferiţi de zero pentru un prag de semnificaţie de 5%, modelul fiind şi el semnificativ pentru acelaşi prag de semnificaţie.

d) Abordarea econometrică a modelului M1 ca model cu ecuaţii simultane, M1S, a condus la obţinerea următoarelor rezultate:

M1S

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

===+−=

===−−=

−

−

0278,8217,11018,028,1805343,11849932,0;2013,1123,12699814,884ˆ

0814,022,13493,00001,03289,03587,0;1951,0000013,08388,0ˆ

2

1

1

1

z

pt

st

pt

u

wt

pt

st

sdRIII

sdRIII

iar tratarea acestuia ca model recursiv, M1R, a determinat obţinerea următoarelor valori:

M1R

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

==

=+−=

===−−=

−

−

7926,5817,10372,08351,2368297,1569965,0;2354,18482,5776229,431ˆ

0814,022,13493,00001,03289,0

3587,0;1951,0000013,08388,0ˆ

3

1

1

1

z

pt

st

pt

u

wt

pt

st

sdRIII

sd

RIII


Deoarece dubla interpretare a modelului M1, ca model cu ecuaţii simultane (M1S), şi ca model recursiv (M1R), a condus la rezultate diferite, se pune problema validării variantei corecte.

Discuţia econometrică a celor două modele arată că estimatorii obţinuţi pe baza modelului recursiv, în special în cazul ecuaţiei (2) a modelului, sunt semnificativi, în timp ce estimatorii obţinuţi pe baza modelului cu ecuaţii simultane sunt nesemnificativi, cu excepţia estimatorului parametrului corespunzător indicelui preţurilor de consum decalat cu o perioadă în cazul celei de-a doua ecuaţii a modelului. În cazul ambelor modele, rezultatele obţinute pentru prima ecuaţie sunt nesemnificative.

Prin coroborarea valorilor estimatorilor şi, în special, a semnului algebric al acestora cu teoria economică privind sensul dependenţelor şi interdependenţelor dintre fenomenele economice analizate, se constată că ambele ecuaţii, atât ale modelului cu ecuaţii simultane, cât şi ale modelului recursiv, conţin evidente inadvertenţe economice, în sensul că dinamica câştigului salarial real a fost influenţată negativ de creşterea productivităţii muncii şi de indicele preţurilor decalat cu o perioadă în decursul perioadei analizate, 1990-2002 (vezi prima ecuaţie a ambelor modele), iar dinamica preţurilor a fost influenţată negativ de către dinamica câştigului salarial real (vezi cea de-a doua ecuaţie a ambelor modele).

Datorită slabelor performanţe statistice ale celor două modele, cât şi discrepanţelor dintre valorile estimatorilor şi teoria economică, s-a renunţat la continuarea utilizării lor în scopuri prospective. Acest lucru nu înseamnă că respectivele modele prezintă deficienţe de specificare ci, mai curând, rezultatele contradictorii se datorează dimensiunii reduse a seriilor de timp utilizate şi evoluţiei oscilante a economiei româneşti în perioada de tranziţie către economia de piaţă.

În concluzie, se recomandă ca un model cu ecuaţii multiple să fie corect specificat ca model cu ecuaţii simultane sau ca model recursiv deoarece abordarea greşită a tipului de model conduce la rezultate diferite, care afectează calitatea calculelor econometrice.


2.2 Probleme propuse spre rezolvare

2.2.1. Indicatorii sintetici ai economiei României (exprimaţi în mld. lei, preţuri curente) în perioada 1980 – 2002 se prezintă în tabelul de mai jos:

Tabelul 2.2.1 Anul

Indicatori Unitatea

de măsură

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987

Produs Intern Brut1)

mld. lei p.c.

616,9 623,7 727,4 768,7 816,1 817,4 838,6 845,6

Consumul final al populaţiei 1)

mld. lei p.c.

315,9 335,1 391,8 387,6 413,6 408,4 416,7 441,9

Consumul final al administraţiei

publice1)

mld. lei p.c.

72,5 76,6 76,6 76,0 80,2 83,5 80,5 75,0

Formarea brută de capital fix1)

mld. lei p.c.

212,8 209,3 216,4 230,7 244,7 246,3 249,0 245,5

Variaţia stocurilor1) mld. lei p.c.

32,9 17,1 28,9 30,9 34,1 23,6 39,4 23,5

Export net1) mld. lei p.c.

-34,8 -22,7 4,0 32,4 29,3 33,2 35,5 52,8

Imobilizări corporale

(mijloace fixe)

mld. lei p.c.

1880 2036 2211 2397 2614 2798 2992 3182

Investiţii mld. lei p.c.

210,5 209,3 216,4 230,7 244,7 246,3 249,0 245,5

Populaţia ocupată mii pers 10350 10391 10433 10475 10500 10586 10670 10719



Anul Indicatori

Unitatea de

măsură 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

Produs Intern Brut1) mld. lei p.c.

857,0 800,0 857,9 2203,9 6029,2 20035,7 49773,2

Consumul final al populaţiei 1)

mld. lei p.c.

454,7 463,4 557,7 1323,7 3750,8 12670,3 31442,0

Consumul final al administraţiei

publice1)

mld. lei p.c.

77,6 100,5 121,8 348,8 891,7 2565,5 7010,4

Formarea brută de capital fix1)

mld. lei p.c.

240,2 238,9 169,8 317,0 1156,9 3583,7 10095,7

Variaţia stocurilor1) mld. lei p.c.

3,1 -24,6 89,7 301,1 736,7 2212,2 2252,6

Export net1) mld. lei p.c.

80,2 21,8 -81,1 -86,7 -506,9 -996,0 -1027,5


(mijloace fixe)

mld. lei p.c.

3359 3526 3498 4505 23217 26583 33811

Investiţii mld. lei

p.c. 240,2 236,4 168,4 314,0 888,6 2821,8 8004,6

Populaţia ocupată mii pers 10805 10946 10840 10786 10458 10062 10011


Anul Indicatori

Unitatea de

măsură 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Produs Intern Brut1)

mld. lei p.c.

72135,5108919,6252925,7373798,2545730,2803773,11167687,01512616,8

Consumul final

al populaţiei 1)

mld. lei p.c.

48545,1 75288,8 186238,2310922,7453308,0634590,4 917185,7 1151355,9

Consumul final al

administraţiei publice1)

mld. lei p.c.

10117,3 14650,6 32381,6 26545,9 31053,5 57942,5 77551,4 91751,0

Variaţia stocurilor1)

mld. lei p.c.

20851,1 3161,4 -1368,7 -1586,4 -8889,9 4543,9 22294,8 33432,4


Anul Indicatori

Unitatea de

măsură 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002

Export net1) mld. lei

p.c. -4036,9 -9179,7 17865,5 -30003,9 -26371,8 -45250,9 -90498,5 -86305,4


(mijloace fixe)

mld. lei p.c.

169866 188934 242714 429038 701941 1449782 2171506 2855564

Investiţii mld. lei

p.c. 12995,5 20945,3 44134,7 60515,2 83948,1 124987,2 204195,2 271734,7 Populaţia ocupată

mii pers 9493 9379 9023 8813 8420 8629 8563 8329

Notă: Începând din anul 1999, conturile naţionale s-au realizat numai conform metodologiei SEC 1995. Sursa: Anuarul Statistic al României 1995, CNS, Bucureşti, 1996, p. 145, 370-371, 386, 398, Anuarul Statistic al României 1996, INS, Bucureşti, 1997, p. 141, 364-365, 384, 394, Anuarul Statistic al României 2001, INS, Bucureşti, 2002, p. 94, 278, 297, 303, Anuarul Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 105, 284, 307, 312.

Pe baza datelor prezentate în tabelul de mai sus să se facă analiza

econometrică a economiei României utilizând: - modele uni şi multifactoriale, statice şi dinamice; - modele cu ecuaţii multiple. Specificarea modelelor şi construirea seriilor statistice necesare

identificării şi rezolvării acestora se vor fundamenta pe cunoştiinţele însuşite la disciplinele de teorie economică şi de statistică macroeconomică.

2.2.2. În România, în perioada ianuarie 1991-decembrie 2004, s-au înregistrat următoarele valori expimate în preţuri comparabile (1990=1) privind:

- indicii preţurilor bunurilor şi serviciilor de consum (IPC); - indicii cursului mediu valutar (ICV); - indicii câştigurilor salariale medii nominale nete (IVMN).

1990=1 Tabelul 2.2.2

1991 1992 1993 Luna

IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1,581 1,785 1,160 5,312 9,909 3,809 14,830 23,899 8,132 2 1,692 1,756 1,143 5,974 10,046 3,725 16,050 25,953 8,542 3 1,804 1,828 1,181 6,573 10,066 4,478 17,520 29,794 10,880


1991 1992 1993 Luna

IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 2,282 3,035 1,785 6,880 10,085 4,592 19,270 30,692 11,224 5 2,398 3,056 2,169 7,713 11,368 5,187 25,135 31,593 14,948 6 2,445 3,111 2,237 8,041 13,285 5,690 26,511 35,003 17,257 7 2,677 3,149 2,374 8,296 17,763 5,855 30,007 39,070 19,639 8 2,976 3,101 2,367 8,576 19,077 5,802 33,255 41,108 21,978 9 3,194 3,085 2,636 9,445 20,546 6,829 36,891 44,230 21,755 10 3,526 3,060 2,823 10,350 21,861 7,054 42,913 50,056 23,354 11 3,910 7,417 3,095 11,750 21,861 8,338 48,994 54,289 27,247 12 4,445 9,448 3,337 13,300 22,006 9,555 52,599 57,997 29,681

1990=1 Tabelul 2.2.2

(continuare) 1994 1995 1996

Luna IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN

0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 55,176 70,522 29,817 86,783 90,290 50,054 109,996 132,142 75,150 2 58,431 75,928 31,159 88,034 91,451 50,896 112,072 141,012 72,900 3 63,281 81,408 32,983 88,85 93,166 53,545 114,006 146,040 76,812 4 67,084 84,937 36,964 90,279 94,812 58,298 116,223 147,999 88,330 5 70,424 84,252 37,043 91,249 97,163 58,495 122,429 148,979 85,972 6 72,234 84,753 38,411 92,449 99,432 60,070 123,701 151,906 86,159 7 73,375 85,700 41,786 94,831 101,387 64,011 133,004 155,731 97,773 8 74.680 85.807 45.074 95.750 104.012 67.469 138.046 159.833 100.495 9 77.620 87,803 44,958 97,273 106,762 67,236 141,361 162,745 99,989

10 81,033 89,118 47,007 100,735 110,127 71,064 146,154 167,552 109,734 11 83,337 89,301 49,134 104,844 121,773 73,877 154,577 176,827 111,416 12 85,073 90,183 58,152 108,681 130,046 82,893 170,520 189,827 127,033

1990=1 Tabelul 2.2.2

(continuare) 1997 1998 1999


0 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 193,864 252,334 116,254 449,601 421,627 259,058 620,794 577,204 363,486 2 230,253 350,569 133,657 481,926 418,449 257,358 638,633 623,843 379,103 3 300,968 367,865 148,514 500,018 417,239 279,527 679,252 714,464 413,405 4 321,738 358,338 173,365 513,652 426,009 306,238 712,217 752,039 433,413 5 335,447 360,483 166,270 525,356 430,976 292,687 750,064 774,672 427,784


1997 1998 1999 Luna

IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN 0 19 20 21 22 23 24 25 26 27 6 343,155 364,631 170,175 531,958 435,658 304,810 788,272 801,057 443,326 7 345,525 364,225 182,111 539,075 442,267 321,778 801,289 777,377 469,792 8 357,683 378,505 190,580 542,505 446,426 328,905 811,052 809,405 475,742 9 369,517 382,755 208,038 557,167 460,097 333,905 836,906 831,698 477,428

10 393,458 391,566 233,507 578,775 476,904 342,977 871,740 849,293 485,349 11 410,255 396,960 240,434 589,836 503,757 349,007 906,513 886,970 513,059 12 428,722 404,692 275,483 602,654 535,262 398,436 932,969 914,916 582,917

1990=1 Tabelul 2.2.2

(continuare) 2000 2001 2002


0 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 973,180 933,025 505,564 1361,223 1334,169 802,000 1750,275 1629,487 1075,450 2 994,265 950,773 512,025 1391,811 1363,259 760,461 1770,458 1638,704 1014,752 3 1012,085 976,467 558,579 1420,167 1387,855 825,788 1776,787 1665,770 1073,940 4 1060,506 1004,499 625,620 1457,843 1417,300 886,098 1813,048 1682,847 1161,644 5 1079,819 1036,767 594,500 1483,18 1448,571 853,925 1846,572 1702,644 1111,726 6 1110,420 1069,171 616,182 1506,810 1471,912 873,314 1868,808 1697,626 1114,941 7 1157,908 1098,190 636,197 1526,502 1492,847 914,844 1878,215 1676,614 1148,032 8 1179,180 1139,888 650,369 1560,634 1515,455 918,339 1893,609 1682,450 1141,889 9 1212,300 1199,883 665,778 1590,959 1537,158 915,319 1905,24 1683,584 1129,165

10 1245,794 1238,327 690,451 1629,818 1565,104 940,371 1936,54 1689,995 1162,113 11 1281,153 1276,197 731,545 1674,321 1591,179 970,785 1985,972 1705,374 1182,823 12 1312,781 1301,668 852,832 1710,423 1604,255 1071,964 2015,562 1710,920 1325,629

1990=1 Tabelul.2.2.2

(continuare) 2003 2004

Luna IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN

0 37 38 39 40 41 42 1 2041,563 1700,458 1385,694 2325,921 1655,918 1690,407 2 2058,090 1722,623 1303,994 2340,629 1630,529 1604,444 3 2080,261 1684,520 1358,434 2352,277 1659,664 1715,724 4 2102,433 1713,406 1451,457 2365,909 1724,626 1748,552 5 2112,712 1652,349 1385,270 2372,672 1716,207 1699,212 6 2130,651 1658,180 1378,410 2386,768 1706,640 1707,375 7 2156,248 1661,240 1424,663 2417,116 1697,768 1723,255


2003 2004 Luna

IPC ICV IVMN IPC ICV IVMN 0 37 38 39 40 41 42 8 2161,892 1695,938 1408,314 2430,250 1708,851 1707,375 9 2208,250 1718,317 1429,894 2453,240 1709,268 1723,255

10 2241,910 1685,674 1451,994 2483,340 1671,657 1778,328 11 2274,159 1734,052 1475,648 2499,397 1559,598 1829,276 12 2300,562 1678,322 1657,313 2513,608 1469,741 2013,794

Sursa: Anuarul Statistic al României 2003, INS, Bucureşti, 2004, p. 322-323, Buletin statistic lunar nr. 1-12, INS, Bucureşti, 1991-2004

Pe baza informaţiilor de mai sus, să se explice creşterea indicelui

preţurilor bunurilor de consum pe seama creşterii indicelui cursului valutar şi a creşterii indicelui veniturilor, utilizând:

- modele unifactoriale liniare şi neliniare; - modele multifactoriale liniare şi neliniare; - modele statice şi modele dinamice.

113538395 Probleme Rezolvate La Econometrie Conspecte Md

Documents

Transcript of 113538395 Probleme Rezolvate La Econometrie Conspecte Md