1Limite, continuitate, derivabilitate i difereniabilitate pentru funcii realede o variabil real. Aplicaii.

Modulul 3.1 - Limite de funcii i funcii continue.

Funciile definite pe mulimi abstracte , cu :X Y f X Y au n generalpuine proprieti i din acest motiv, puine aplicaii n rezolvarea unor problemeconcrete. Proprietile generale i operaiile algebrice cu funcii depind n primulrnd de structurile algebrice definite pe mulimile X i Y.

n cazul , :X Y f X Y R, se numete funcie real de o variabilreal i este destul de general; de aceea n liceu s-au studiat funciile reale de ovariabil real concrete, adic funcii prin care legea de asociere a lui xX cuyY este dat printr-o expresie analitic precizat i graficul lui f, Gf R2 =R R. Clasa funciilor de la R la R cuprinde urmtoarele funcii concrete: funciipolinomiale, funcii trigonometrice directe i inverse, funcia putere, funciaexponenial, funcia logaritmic, funciile etajate (sau n scar) .a. Vom notacu trig una dintre funciile trigonometrice: sinus, cosinus, tangent,cotangent; cu arctrig una dintre funciile trigonometrice inverse: arcsinus,arccosinus, arctangent, arccotangent; prin exp exponeniala de baza a(a > 0; a 1); prin log a funcia logaritmic de baz a (a > 0; a 1); prin ()afuncia putere de exponent a ("aR) i prin 1R:RR identitatea pe R (1R(x)=x,"xR) i prin const funcia constant.

Definiia 3.11] Clasa de funcii reale:(1) E0 ( ){ }const;1 ; exp ; ; log ; trig; arctrigaa a= R se numesc funcii elementare debaz.2] O funcie : cu , Rf X Y X Y se numete funcie elementar dac seobine din E0 prin aplicarea de un numr finit de ori a celor patru operaiiaritmetice: adunarea, scderea, nmulirea, mprirea i a operaiei decompunere a dou funcii. Notm cu E mulimea funciilor elementare.

Observaii1. Orice funcie elementar poate fi dat printr-o formul adic printr-un numrfinit de simboluri matematice aplicate funciilor elementare de baz din E0.2. O funcie elementar : cu , Rf X Y X Y se noteaz i prin:y = f(x) cu x X n loc de f:X Y3. Dac mulimea de definiie a lui f nu este precizat se subnelege c ea estemulimea, notat: Df={x R | f(x) R}, a punctelor x din R pentru care aresens f(x) n R. Mulimea Df se numete mpropriu domeniu maxim de definiieal funciei f, fr a avea n vedere sensul topologic al conceptului de domeniu.

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 1

2Exemple1o ( ): , cunf f x x n f = R R N E (funcia putere cu Nn ).( ) ( ) ( ) ( )

n ori

1 1 1 cu 1 ,R R R R Rdef

nf x x x x x x= = = " L1442443

.

2o ( ) ( ) [ ]: cu in nf f x x X f = R R P P R Efuncia polinomial.3o ( ) , 0nf x n x f= E (funcia radical de ordin n).4o shsh , ch , th

2 2 ch

x x x x x xdef

x x

e e e e x e ex x xx e e

- - -

-- + -= = = =

+sunt funcii trigonometrice hiperbolice ( )2 2ch sh 1x x- =i sh , ch , thx x x E.5o Dac avem relaia binar 2RX Xr , atunci exist o mulime maximA X a.. relaia RAr este o funcie f care se numete funcia naturalasociat relaiei binare r. Cnd se spune funcia elementar ( )y f x= estevorba de funcia natural asociat relaiei binare r de la R la R. Definiia 3.2Fie , cu : , :R Rf g f A g B E , atunci se definesc:

( )

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ){ }

( ) ( )( )

0 0

0

: cu ;

: cu ;

2 : i | 0 cu

;

R

R

R

f g A B f g x f x g x x A B

f g A B f g x f x g x x A Bf A B B t B g t Bg

f xf x x A Bg g x

= " = " = = "

g g g

numite: suma algebric, produs, ct al funciilor f i g. Exemple1o : R Rf A cu proprietatea c exist ( )a.. ,Rc f x c x A = " , funciaconstant, notat f = c; pentru c = 0, funcia f = 0 este funcia identic nul pe Asau funcia nul pe A.

2o ( ) { }; 0: , max ,; 0

R Rdef x x

f f x x x xx x

= = = --

3funcia signum.

4o f:RR dat prin: f(x) este cel mai marentreg n cu proprietatea n x, adic( ) { }sup |Zf x n n x= numit funcia

parte ntreag notat prin [x] sau x* sau E(x).

5o ( ) [ ]: ,R Rg g x x x = - se numetefuncia partea zecimal i numrul

[ ], Rx x x- se numete partea zecimal alui x, notat i prin ( ) { } [ ]defg x x x x= = - . Seconstat din definiie c avem ( )0 1, Rg x x < " ,deoarece pentru Rx , partea nteag a lui x, [ ] Zx .

Limite de funcii realeVom prezenta conceptul de limit a unei funcii ntr-un punct care este o

generalizare natural a limitei unui ir numeric ( )( ): ,N R nf f n x" = i apoiconceptul de funcii continue ntr-un punct care este un caz particular de funciicu limit.Ideea central privind existena unei funcii f cu limita un element l ntr-un punctx0, este exprimat prin faptul c la orice punct x apropiat de x0, imaginea sa prinf este suficient de apropiat de l; f este continu n x0, dac la orice dou puncteapropiate ntre ele i vecine cu x0 corespund imagini prin f apropiate ntre ele.Noiunea de limit a unei funcii : R Rf A are sens n x0 punct deacumulare pentru A, adic '0 Rx A . Definiia 3.3 (Definiia cu vecinti) Fie , :R R,A f A

'0iR Rl x A .

1] Funcia f are limit n punctul x0 egal cu elementul l, notat:( )

0

limx x

f x l

= , dac i numai dac, avem:

( ) ( ) ( ) { }( ) ( )0 01 , a..V VV l U x x U A x f x V" $ " - 2] Fie '0i RB A x B . Dac exist ( ) ( )

01lim |Bx x f x l = atunci spunem c l1

este limita lui f n x0 relativ la mulimea B, notat:( ) ( )

01 1lim Rx x

x B

f x l l

= .

Observaii1. Condiia ' '0 0sauR Rx A x B ne asigur c exist puncte

y

0 x1 2 3-1-2-3

y

0 x

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 3

4x A respectiv x B cu { }( )0 0a..x x x U A x " - exist imaginea sa prin( ), Rf f x .

2. Punctul x0 A poate fi din A: x0 A sau x0 A.3. Funcia f nu are limit n x0 sau $ ( )

0

limx x

f x

( )2 ,l" R $VV(l) a.. "U V(x0), { }( ) ( )0x U A x f x V$ - Teorema 3.1 (de caracterizare a funciilor cu limit)Fie '0 , i :R, R R RA x A l f A . Urmtoarele afirmaii suntechivalente:(i) ( )

0

limx x

f x l

= (definiia cu vecinti)

(ii)( ) ( )

( )( ) ( ) ( )0 0 0

'0

0, , a.. cu 0 ,

, ;R R

x x A d x x x x

d f x l f x l l x A

"e > $d e " < = - < d= - < e

(definiia cu (,))

(iii) ( ) ( )0 00 , iR R

n n n nnx A x x x x f x l

" .

Demonstraie I (i) (ii) Dac (i) adevrat pentru " > 0 dat lum( ) ( ) ( )0, iV l l l U x= - e + e $ V V care poate fi de forma( )0 0, cu 0U x x= - d + d d > corespunztor lui

{ }( ) ( ) ( )0 0i a.. ,x x A x U d f x l f x l e " - = - < e tocmai (ii)II (ii) (iii) Presupunem (ii) adevrat i fie ( ) 0n nx A" cu

0 0in nx x x x R

. Pentru " > 0 dat alegem ( )0, 0 a..xd e >( )

( )( ) ( )0 00 , ,

ii

n n n nn n d x x x x d f x l f x ld " < = - < d = - < e adic ( ) Rnf x l i (iii) adevrat.III (iii) (i) Fie (iii) adevrat i demonstrm implicaia prin metoda reduceriila absurd. Presupunem (i) fals ( ) a..V l$ V

( ) { }( ) ( )0 0, (3)VU x x A x U f x V" $ - Pentru n 1 lum ( )0 0 01 1 1, | 0 ,U x x x A d x xn n n

= - + = <

5definiie pentru limita unei funcii n punct i definiia cu vecinti devineatunci condiie de caracterizare.2. Folosind condiia de caracterizare a limitei (iii) se vor demonstra proprietiale funciilor cu limit folosind proprieti cunoscute ale irurilor numericeconvergente n R.3. Echivalena (ii) (iii) se numete criteriul Heine pentru existena limitei. Teorema 3.2 (Cauchy-Bolzano)Fie 0 : iR, R, R RA x A f A l , atunci:

( ) ( )( ) { }

( ) ( )0

' ''0 0

'0 ' ''

''0

0, , 0 a.. i

lim 4cux x

x x x A x

x xl f xf x f x

x x

"e > $d e > " - - < d= - < e - < d

Demonstraia acestei teoreme de caracterizare pentru existena limitei uneifuncii n punct n bibliografie ([13]; [16])

Observaii1. Fie ( ){ } '1 1 0 0 1cu i RB A B x A x x x B = < atunci

( ) ( ) ( )0 0

0

lim lim 0not not

sx x x xx B x x

f x f x f x l atunci

0 02 0

0lim ( ) lim ( ) ( 0)not not

dx x x xx B x x

f x f x f x l >

= = + = este limita la dreapta n x0 a lui f.

2. dac ' '0 1 2 , atunci :Rx B B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 0 00 0

5 lim lim lim 0 0x x x x x x

x x x x

f x l f x f x l f x f x l

< >

= $ = = $ - = + = 3.

Limita unei funcii n punct este o noiune local deoarece existena i valoareaei depind de comportarea funciei pe o vecintate a punctului.

4. : Rf A este funcie lipschitzian pe 0 a..def

A L$ >( ) ( )' '' ' '' ' '',x x A f x f x L x x" - - . Dup teorema 3.2 (Cauchy-Bolzano),

o funcie f lipschitzian pe A are limit finit n fiecare '0 Rx A . Teorema 3.3 (Proprieti ale funciilor cu limit n punct)Fie '0 i , :R, R RA x A f g A care admite limite finite n x0, atunciavem:

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 5

6( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

{ }( ) ( )( ) ( ) ( )

0 0 0

0 0

0 0 0

0

0

1

2

3

4 1 0

0

5

lim lim lim ;

lim lim , ;

lim lim lim ;

Dac lim 0, atunci /

0;

Dac 0 i lim 0 lim

Rx x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x

x x

p f x g x f x g x

p f x f x

p f x g x f x g x

p f x l U V x

x A x U f x

p g x g x

= l = l "l

= $ = $

" -

( )( )( )( )

0

0

0

lim.

limx x

x xx x

f xf xg x g x

=

Demonstraia teoremei este imediat folosind caracterizarea limitei ntr-unpunct cu iruri i operaiile algebrice cu iruri convergente n R. Observaie. Teorema 3.3 este valabil dac ( ) ( )

0 0

lim i limR Rx x x x

f x g x

cu respectarea conveniilor privind operaiile algebrice cu elemente din R ,enumerate n definiia mulimii. Exemple.

1o ( )1; 0

sign 0 ; 01; 0

xf x x x

x

>= = =- $d > " = + < - < d > " < $d > " = - < - < d

7( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

2

0, 0 a.. culim 7

>7

0, 0 a.. culim 7

+ +

8 Demonstraia se obine direct folosind caracterizarea limitei cu iruri iproprietile irurilor convergente. Teorema 3.6Fie I R interval i f: I R o funcie monoton, atunci 0x I" punct interiorexist ( ) ( )0 00 , 0f x f x+ - i avem:( ) ( ) ( ) ( )0 0 08 0 0f x f x f x- + Demonstraie Presupunem f monoton cresctoare pe I. Fie ( ) 0 ,n nnx I x cresctor i 0 0, 1inx x n x I " interior; n plus 0

R

nx x . Cum1, Nn nx x n+ i f cresctoare, avem ( ) ( )1n nf x f x + , deci irul ( )( )nf x este

cresctor i din 0nx x< ( ) ( )0 , 1nf x f x n adic ( )( )0f x este mrginitsuperior. Dup teorema de convergen a irurilor monotone ( )( )nf x esteconvergent n R i ( ) ( ) ( )

0

0 0lim 0n

nnx x

f x f x f x i f este continu la dreapta n x0 A

def

Bf este continu n x0 A.6. Din teorema 2 i observaia 5, rezult echivalenele:

(8) f continu n x0 A 0

0

continu la stnga ni

continu la dreapta n

f x A

f x A

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 10

11

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

00

0

00

0 0

0

0 0

lim 0

i lim 5lim 0

x xx x

x x

x xx x

f x f x f x

f x f xf x f x f x

$ = - = $ =$ = + =Exemple.

1o Fie f : [-1,1] R cu f (x) = 3, "x A = [-1,1] f continu pe A.

2o ( ) [ ] ( )0 ,11;0 ;

x Af x x

x A= j =

funcia caracteristic a mulimii

A = [0,1] este continu pe (0,1) i are puncte de discontinuitate de spea a I-a n:x0 = 0 i x0 = 1.

Pentru x0 R - {0,1} fixat i ( ) 00 cuR

Rn nnx x x , avem:I Dac x0 (0,1) atunci exist n0 N, n0 1 a.. xn (0,1) i pentrun n0 f (xn) = 1 f (x0) = 1 f continu n "x0 (0,1).II Fie xn < 0 cu 0

R

nx i (xn) fixat, atunci f (xn) = 0 i ( ) ( )00

lim 0 0 0xx

f x f

= + = deci x0=0 este punct de discontinuitate de spea

a I-a.La fel se arat c x0 = 1 este punct de discontinuitate de spea a I-a.

3o Funcia Dirichlet ( ) 1;: ,0 ; -

QR R

R Qx

f f xx =

este discontinu n

"x0R i x0 este punct de discontinuitate de spea a II-a. Fie "x0 R fixat ipresupunem, prin reducere la absurd, c f este continu n x0. Pentru "xnQ(n0) i 0

R

nx x , avem: ( ) ( ) ( )0 01 , deci 1R

nf x f x f x= = .

Pentru ( ) ( ) ( )' ' '0 0 0i avem 0 deci 0R RR Qn n nx x x f x f x f x" - = = cum( )0 Rf x i avem ( ) ( )0 01 0f x f x= = este absurd, deci f nu este continu n

x0. Cum pentru 0 0cu iR

Qn n nx x x x x < avem( ) ( )

00

0lim 0 1x xx x

f x f x

- = -

, f are derivat la

dreapta n x0D i n cazul ( )' 0 Rdf x f este derivabil la dreapta n x0D. Teorema 3.19Funcia : Rf D este derivabil n '0x D D , dac i numai dac,

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 18

19

exist ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' ' '0 0 0 0 0, iRs d s df x f x f x f x f x = = . Demonstraia este direct din legtura ntre limitele laterale i limita ntr-unpunct de acumulare x0 D D'. Definiia 3.11Fie D R mulime deschis, f : D R i x0 D.1] Funcia f este difereniabil n x0 D dac exist o constantA R i o funcie a: D R continu i nul n x0

( ) ( )( )0

0lim 0x x x x$ a = = a astfel nct:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 03 ,f x f x A x x x x x x D= + - + a - " 2] Funcia f este difereniabil pe D, dac este difereniabil n oricex0 D. Se numete difereniala lui f n x0 D, funcia liniar, notat

0xd f , dat prin:

( )( ) ( )

0

0 0

0 0

0

00

sau

4 : cu ,

nu este argument intrca simbol n notaie

R R R R

defnot

x

not

x x

d f df x A x x

d f d f Ah h x x h

xx D

= = - = " - = "

Observaii1. Dac fixm x0 D i considerm funcia:( ) ( ) ( ) { }0 05 ;g t f x t t D x= + " - atunci exist f' (x0), dac i numai dac,exist:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0' ' 00 00

6 0 lim limt t

f x t f xg t gg f x

t t + --= = =

2. Interpretarea geometric a derivatei n punct: ( )' 0 Rf x este panta tangenteigeometrice la graficul funciei y = f (x), x D n punctul(x0, f (x0))=Gf i ecuaia tangentei n acest punct este:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )0

' '0 0 0 0 0 0

'0 0 0

0 0

,

, ,x

y f x x x f x f x f x x x f x

y f x f x x x f x x D

f x f x d f x V D V x

- = - - = - = = + -

= + " V3. Din definiia diferenialei n punct prin (4), rezult c graficul lui

0xd f este o

dreapt care trece prin origine de pant m = f' (x0) i care este paralel cutangenta la graficul lui f n punctul (x0, f (x0)). n aceste condiii graficul lui fdifereniabil n x0 D poate fi aproximat pe V D, V V (x0) suficient demic cu graficul tangentei sale n punctul (x0, f (x0)) Gf. Teorema 3.20

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 19

20

Dac f : D R este derivabil n x0 D, atunci (n mod necesar) f este continu n x0 D. Demonstraie Pentru "x0 D D', considerm identitatea:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }00 0 00

,f x f x

f x x x f x x D xx x-= - + " --

i prin trecerea la limit,

avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

00 0

0

lim limx x x x

f x f xf x x x f x

x x -= - + = -

( ) ( ) ( ) ( )( )' '0 0 0 00 Rf x f x f x f x= + = f continu n x0 D. Observaii1. Dac : Rf D este derivabil la stnga n x0, atunci f este continu la stngan x0. Dac f este derivabil la dreapta n x0, atunci f este continu la dreapta nx0.2. Reciproca teoremei 3.20 nu este n general adevrat. Exemplu ( ) , Rf x x x= este continu n x0 = 0 D, dar nu este derivabiln x0 = 0; avem ( ) ( )' '0 1 0 1s df f= - = + .3. Dac exist 'f ( x0) cu x0 D, nu rezult obligatoriu c f este continu n x0.

Exemplu ( )1; 0

sign 0 ; 01; 0

xf x x x

x

+ >= = =-

21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 0 0lim lim 0x x x xf x f x A x x x x f x A = - - + a - = + + ( ) ( )00 0 f x+a = f continu n x0 D. Dac x0 D este punct izolat, atunci f

este continu n x0. Teorema 3.22 Fie D R mulime deschis i x0 D. Funcia f estedifereniabil n x0 D, dac i numai dac, f este derivabil n x0 Di avem: ( ) ( ) ( )0' ' 0 04 ,xd f f x x x x D= - . DemonstraiePresupunem f difereniabil n x0 D. Are loc identitatea:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 03 ,f x f x A x x x x x x D= + - + a - " i pentru 0x x , avem:( ) ( ) ( )0

0

f x f xA x

x x- = + a-

, de unde prin trecere la limit

( ) ( ) ( ) ( )0 0

0

0

lim lim 0 Rx x x x

f x f xA x A A

x x - = + a = + a = -

i

conform definiiei 1, f este derivabil n x0 D cu ( )' 0f x A= .Presupunem f derivabil n x0 A. Exist

( )' 0f x R i lum ( )' 0A f x= . Definim funcia : RDa prin:

( ) ( )( ) ( ) ( ) { }0 ' 0 0

0

0

;

0 ;

f x f xf x x D x

x x xx x

- - -* a = - =

i avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0 ' ' '0 0 0

0

lim lim 0x x x x

f x f xx f x f x f x

x x -a = - = - = -

( ) ( )0

0lim 0x x x x a = = a i a este continu i nul n x0 D.

Din (*) pentru x x0, avem: ( ) ( ) ( ) ( )0 0x x x f x f xa - = - -( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' '0 0 0 0 0 03f x x x f x f x f x x x x x x- - = + - +a - valabil

pentru ( )' 0cux D A f x" = , n acest caz din (4) avem:( ) ( ) ( )0' ' 0 04 ,xd f f x x x x D= - . Consecina 3.7Funcia f : D R, D mulime deschis, f este difereniabil pe D, dac i numaidac, f este derivabil pe D i avem

( ) ( )( )( ) ( )( )0

'0 0 0 0

'0 0 0

, cu sau5 : x

d f f x x x x x Ddf

df x f x x x

= - " = -R R,

Observaii1. Fie funcia identitate: ( )1 : cu 1 ,R RR R Rx x x = " i n

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 21

22

particular ( )1 : cu 1 ,R DD D x x x D = " ; aceste funcii sunt derivabile( ) ( )' '1 1, i 1 1,R R Dx x D = " = " , deci sunt funcii

difereniabile pe R i respectiv pe D. Notm difereniala lui 1Rrespectiv 1D prin dx pentru "x R i respectiv "x D. Avem conformdefiniiei 2, identitatea( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 03 1 0 , cu 1 1R xx x x x x x x dx x x = + - + - " = - = D 2.Folosind observaia precedent din (5), avem:

( )( )

( ) ( ) ( )0

'0 0

''

,5

,

x

def

x

d f f x dx x D

df x f x dx x D df x d f

= " = " =

3. Din identitatea (3) definiia 2, dac f este difereniabil n "x0 D,avem: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 0 0 0 03 ,f x f x df x x x x x D= + + a - " i variaiafunciei n x0: ( ) ( ) ( )0 0f x f x f xD = - se poate aproxima cu partealiniar din (3') i se obine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )'

0 0 0 0

'0 0 0 0

6f x f x df x f x f x dx

f x f x f x df x f x dx

@ + = +D = - @ =Dac f este derivabil pe D, atunci derivata lui f n "x0 D esteraportul dintre difereniala lui f n x0 i difereniala funciei identitate

1R, deci ( ) ( ) ( )0' 0 07 ,df xf x x Ddx= " . Teorema 3.23 (Operaii cu funcii derivabile i funcii difereniabile)Fie D R mulime deschis cu x0 D D' i f,g: D R.Dac f,g sunt derivabile n x0, deci i difereniabile n x0, atunci

funciile: ( ) ( )( ), , i cu 0,R ff g f fg g x x Dg

l l " sunt

derivabile i deci difereniabile n x0 D i au loc formulele de calcul:( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' '1 0 0 0

'2 0 0 0

I

I

f g x f x g x

d f g x df x dg x

= + = +

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

' '1 0 0

2 0 0

II

II

f x f x

d f x df x

l = ll = l

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

' ' '1 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0

III

III

fg x f x g x f x g x

d fg x g x df x f x dg x

= += +ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 22

23

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

' ' '0 0 0 0

1 0 20

0 0 0 02 0 2

0

IV ;

IV .

f x g x f x g xf xg g x

g x df x f x dg xfd xg g x

- = - =

Demonstraie pentru regulile (I1) - (IV1) sunt cele directe, cu ajutoruldefiniiilor 1 - (1), care sunt prezentate n toate manualele de matematic dinliceu. Regulile (I2) - (IV2) se deduc din regulile de derivare (I1) - (IV1) folosindformulele (5'). Teorema 3.24 (Derivarea i diferenierea funciilor compuse)Fie D, E R mulimi deschise i f : D R, g : E R, iarx0 D D' i y0 = f (x0) E E'. Dac f este derivabil n x0 D ig este derivabil n x0 E, atunci f g : D R este derivabil nx0 D cu derivata dat prin:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' '0 0 0 0 08 f g x g y f x g f x f x = = o Demonstraia este imediat folosind definiia 1 - (1) i caracterizarea limitein punct cu iruri. Consecina 3.8Fie D, E R mulimi deschise i f : D R, g : E R funcii difereniabile fn x0 D i g n y0 = f (x0) E, atunci f g este difereniabil n x0 D iavem:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0

' ' '0 0 09 xd g f g f x dx g f x f x dx = = = o o ( ) ( )' 0 0g f x df x =

Demonstraia este imediat din (5') i (8). Teorema 3.25 (Derivarea funciei inverse)Fie I, J R intervale deschise i f : I J o funcie continu i bijectiv. Dac feste derivabil n x0 I cu f '(x0) 0, atunci funcia invers f -1 : J I estederivabil n y0 I cu y0 = f (x0) i avem:( ) ( ) ( ) ( )

'10 '

0

110 f yf x

- =

Demonstraie Notm y = f (x) J pentru x I i dup definitia 1,

avem:( ) ( )

( ) ( ) { }1 1

00

00

0

1 ,f y f y

x I xf x f xy y

x x

- -- = " ----

Din continuitatea lui f pe I, rezult:( ) ( )

( ) ( ) ( )0 01 1

0 1'

00 0

0

1 1lim lim Ry y x x

f y f yf

f x f xy y f xx x

- --

- = = ---

este

derivabil n y0 J i are loc (10).

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 23

24

Derivatele unor funcii elementare

( ) ( )'o 11 , iR Rx x xa a- *= a " "a( )

''

2

1 1 1, ,2 +

R Rx x xx x x

* * = - = ( ) ( ) ( )' 'o2 sin cos , ; cos sin ,R Rx x x x x x= " = - "

( )( )

( ) ( ) { }

' 22

o

' 22

1tg 1 tg ; |cos 23

1ctg 1 ctg ; |sin

R Z

R Z

x x x k kx

x x x k kx

p = = + " - + p = - = - + " - p

( ) ( ) ( )' 'o4 ln ; 0, 1 ;R; Rx x x xa a a x a a e e x= " > = " ( ) ( ) ( )' 'o 1 15 log , ; 0, 1 ln ; 0ln +Ra x x a a x xx a x*= " > = " >( ) ( ) ( )' 'o

2

16 arcsin , 1,11

x xx

= " --

( ) ( )'2

1arccos , 1,11

x xx

= - " --

( ) ( ) ( )' 'o 2 21 17 arctg , arc tg ,1 1R; Rx x c x xx x= " = - " + +

( ) ( ) ( )' 'och

28 sh ch , ; ch sh ,sh

2

R R

x x

x x

e exx x x x x x

e ex

-

-

+== " = " - =

( ) ( ) 'o 2 2 2 219 ln ; 0R;x a x x aa x + + = " +( )

'

2 2

1 1ln cu , ; 02

x a x a a aa x a x a

- = - > + +

( )'

2 2

1 1ln cu , ; 02

a x x a a aa a x a x

+ = - > - -

( )( )

( ) { }

''

2o

''

2

1 sinsec ; |cos cos 2

101 coscosec ; |

sin sin

R Z

R Z

xx x k kx x

xx x k kx x

p = = " - + p = = - " - p O

NLY

FOR

STUD

ENTS

Page 24

25

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

'

2o

'

2

1arcsec ; , 1 1,111

1arcosec ; , 1 1, .1

x xx x

x xx x

= " - - - = - " - - -

Observaii1. Din formulele (1o) (11o) folosind (5') se deduc regulile dedifereniere ale unor funcii elementare.2. Alte funcii elementare au derivate care se pot calcula folosind (8) dinteorema 6 i (10) din teorema 7.

Proprieti ale funciilor derivabile pe un interval din R(Teoreme fundamentale ale calculului diferenial)

Teorema 3.26 (Teorema lui Fermat)Fie I R interval x0 I punct interior i punct de extrem local pentru f : I R.Dac f este derivabil n x0, atunci (n mod necesar) ( )' 0 0f x = . Consecina 3.9Fie I R interval i f : I R. Dac f este derivabil pe I, atunci punctele deextrem local ale lui f se gasesc pentru soluiile ecuaiei: ( )' 0,f x x I= . Observaii1. Dac x0 din teorema lui Fermat nu este punct interior lui I, afirmaia nu esteobligatoriu valabil. Exemplu: ( ) [ ] ( )' 0, 0,1 i 1, are 0f x x x I f x x I x= = = " = un punct deminim absolut din I, i '0 1x = un punct de maxim absolut, totui:

( ) ( )' '0 1i 1 1f f= = .2. n general, nu orice punct de extrem local este un punct critic (staionar)adic o soluie x I a ecuaiei ( )' 0f x = ; invers, nu orice punct critic (soluie aecuaiei ( )' 0f x = ) este punct de extrem local. Exemplu ( ) [ ] ( )3 ' 2 0, 1,1 cu 2 i 0f x x x I f x x x= - = = = este punctcritic al lui f din I; dar ( ) { }' 0, 0f x x I> " - , deci f este strict cresctoare pe Ii nu are punct de extrem local interioare lui I.3. Din punct de vedere geometric, teorema lui Fermat exprim faptul c dac,graficul lui f admite o tangent ntr-unpunct de extrem local interior intervaluluide definiie, atunci tangenta la grafic n acest punct este paralel cu axa Ox. Teorema 3.27 (Teorema lui Rolle)Fie a,b R cu a < b i f : [a, b] R o funcie cu proprietile: 1) f continu pe[a, b]; 2) f derivabil pe (a, b); 3) f (a)=f (b). Atunci exist cel puin unpunct c (a, b) astfel nct ( )' 0f c = .

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

Page 25

Proprieti ale funciilor derivabile pe un interval din R