1

conf.dr.ing. C. I. Anghel

Elemente de Inginerie Mecanică Suport de Curs

2

PARTEA 1

Elemente recapitulative de mecanica-statica 1. INTRODUCERE

Stiinta care studiaza repaosul si miscare corpurilor sub actiunea sarcinilor (forte, momente, etc.) este cunoscuta sub denumirea de mecanica teoretica a corpurilor rigide. In acest context corpurile sunt considerate ca si corpuri perfect rigide, adica nu se deformeaza sub actiunea sarcinilor. In realitate aceasta presupunere nu este riguros exacta. Deoarece deformatiile sunt relativ mici ele nu influenteaza apreciabil conditiile de echilibru sau de miscare ale corpului considerat. Mecanica corpurilor rigide cuprinde trei mari parti: Statica - studiaza corpurile care sub actiunea sarcinilor exterioare raman in repaos fata de un sistem de referinta. In particular statica studiaza transformarea sistemelor de sarcini aplicate corpurilor in sisteme echivalente si conditiile de echilibru ale acestor sisteme. Cinematica – studiaza miscarea punctului sau a sistemelor de puncte in timp, independent de sistemele de sarcini care actioneaza asupra punctului sau a sistemului. Dinamica - studiaza miscarea corpurilor tinand seama de sarcinile care actioneaza asuora lor. Marimile fundamentale utilizate pentru descrierea proprietatilor, starea fízica a corpurilor sau a unor sisteme de corpuri sau comportarea acestora sunt reglementate prin SI (Tabelul 1). Tabelul 1. Marimi fundamentale si unitati de masura conform SI - Extras

Marimea Unitati masura SI Expresia in unitati SI fundamentale

Lungimea Metrul (mm) – [m] Masa Kilogramul – [kg] Timpul Secunda – [s] Temperatura Grad Celsius [C] sau Kelvin [K] Forta Newton – [N] m⋅kg/s-2

Presiunea Pascal – [Pa] N/m2 sau m-1⋅kg/s-2 Energie, lucru mecanic

Joule – [J] N⋅m sau m2⋅kg/s-2

Putere Watt – [W] J/s sau m2⋅kg/s-3

3

1.1 Spatiu si coordonate de referinta In contextul dat prin prin spatiu ne vom referi regiunea ocupata de un sistem

de puncte materiale sau de corpul rigid. Coordonatele de referinta sau coordonatele descriptive sunt complexul (sistemul) de marimi geometrice prin care sunt localizate si determinate punctele materiale sau corpul rigid. Uzual pentru necesitatile tehnice curente spatiul Euclidean tridimensional este suficient. Sistemele de coordonate cele mai uzuale sunt (Fig. 1):

• Sistemul ortogonal cu trei dimensiuni (numit si cartezian) bazat pe coordonatele descriptive (cunoscut de la Grafica Thenica) care utilizeaza x – abscisa, y – departarea si z – cota;

• Sistemul cilindric de coordonate care utilizeaza raza – r, x – abscisa, y – departarea si unghiul θ dintre abscisa x si departarea y;

• Sistemul sferic care utilizeaza raza – r, unghiul θ dintre abscisa x si departarea y si unghiul φ dintre planul orizontal (planul x,y) si raza r – masurat pe directia cotei z.

Fig. 1. Sisteme de coordonate si componentele unui vector 1.2 Principiile fundamentale ale mecanicii (principiile - legile lui Newton)

Primul principiu sau principiul inertiei (legea I a lui Newton) Un corp isi pastreaza starea de repaos sau de miscare rectilinie si uniforma atat timp cat nu intervine vreo forta care sa ii modifice aceasta stare.

4

Al doile principiu sau principiul independentei actiunii fortelor (legea II a lui Newton) Acceleratia unui corp este proportionala cu forta motoare aplicata si este indreptata in directia dupa care actioneaza forta (sub forma amF rr ⋅= principiul exprima ecuatia fundamentala a dinamicii).

Al treilea principiu sau principiul actiunii si reactiunii (legea III a lui Newton) La orice actiune corespunde totdeauna o reactiune egala ...sau....actiunile reciproce ale doua puncte materiale sunt totdeauna egale si indreptate in sens contrar. 2. SCALARI SI VECTORI

Un scalar este o cantitate care are doar marime (masa, densitate, aria, temperatura, putere, etc) si care poate fi definita-reprezentata printrun singur numar .

Un vector este este o cantitate care are atat marime cat si natura geometrica adica directie si sens (forta, deplasarea, viteza, accelaratia, etc.). Din punct de vedere geometric directia vectorului se mai numeste suportul vectorului. Vectorul are o existenta intrinseca – adica independenta de sistemul de referinta la care il raportam. Notatiile cele mai frecvente pentru vectori sunt caracter cu sageata deasupra Vr sau caracter bold V. Matematic marimea unui vector (denumita si modulul sau valoarea absoluta) se noteaza frecvent astfel:

|Vr | = V, | ar | = a. Vector unitar Vectorul unitar este vectorul a carui marime (sau lungime) este egal cu unitatea. Conventional in sistemul cartezian (Euclidian cu trei dimensiuni) vectorii unitari consacrati sunt kji

rrr ,, , actionand pe directia axelor corespunzatoare x – abscisa, y – departarea si z – cota, cu conditia ca 1=== kji rrr

.

ir

kr jr

Fig. 4. Vectorul unitar

5

Vectorii bazei pentru un sistem tridimensional ortogonal de coordonate sunt un set de trei vectori kji

rrr ,, unitari mutual ortogonali. Deci vectorii unitari kjirrr ,, sunt

vectori ai bazei. Componentele unui vector sunt date de descompunerea acestuia dupa directiile date ale sistemului de referinta. Intr-un sistem ortogonal cu trei dimensiuni proiectiile vectorului pe axele de coordonate ale sistemului de referinta vor fi zVyVxV ,, deci expresia vectorului Vr este: kzVjyVixVV

rrrr ⋅+⋅+⋅= Aceasta forma se mai numeste forma hipercompleza a vectorului Vr in baza kji

rrr ,, iar in sistemul cartezian se mai numesc si componente rectangulare. Marimea unui vector este un scalar. In sistemul cartezian ea se exprima astfel: 222 zVyVxVV ++= Din punct de vedere grafic vectorii sunt reprezentati prin sageti astfel: lungimea sagetii reflecta marimea acestuia iar sageata prin orientare-directia si sensul. In unele situatii este necesar a se reprezenta vectori perpendiculari pe suprafata in care sunt desenati – in aceasta situatie reprezentarea lor se reduce la un arc de cerc cu sageata . Orientarea sagetii indica sensul vectorului – acelasi sens ca si cel care in care avanseaza un surub tinut in mana dreapta perpendiculari pe planul de referinta si rotit in sensul indicat de sageata (regula cunoscuta si sub denumirea de „regula mainii drepte”)

Regula mâini drepte

Fig. 2. Reprezentari de vectori Tipuri de vectori (Fig. 3)

Un vector legat (sau fixat) este un vector asociat cu un punct particular de aplicatie din spatiu. Pentru ca acest vector sa fie complet determinat trebuie sa se cunoasca si vectorul de pozitie al punctului de aplicatie.

Cand se face abstractie de punctul de aplicatie al vectorului acesta devine un vector liber care nu este asociat cu nici un punct particular din spatiu.

6

Cand punctul de aplicatie al unui vector legat se poate lua oriunde pe suportul vectorului, (liber pe directia de actiune) acesta devine un vector alunecator (sau glisant).

Fig. 3. Tipuri de vectori Vectori de pozitie Oricand un vector se poate raporta unui sistem de coordonate de referinta (Fig. 5. a). Pozitia oricarui punct P din spatiu raportata la alt punct O din spatiu este determinata prin vectorul de pozitie al punctului P fata de O, adica OPOPr = , daca acesta are urmatoarele caracteristici:

• marimea egala cu lungimea segmentului OP • directa paralele cu linia OP • sensul de la punctul O la punctul P

Daca ne raportam unui sistem cartezian de coordonate x,y,z vectorii unitari 1=== kji rrr

vor avea sensul pozitiv al sistemului de coordonate (sensul pozitiv al axelor x, y, z) si deci vectorul de pozitie al punctului P(x P, y P, z P) relativ la originea O(0,0,0) este: kPzjPyiPxOPPrOPr

rrrrr ⋅+⋅+⋅===

Fig. 5. Vectorul de pozitie

In baza precedentelor vectorul de pozitie al punctului P(x P, y P, z P) relativ la punctul oarecare M(x M, y M, z M) este kMzPzjMyPyiMxPxMPMPr

rrrr ⋅−+⋅−+⋅−== )()()(

7

Marimea (modulul sau valoarea absoluta) distantei „d” intre cele doua puncte oarecare din spatiu este data de

222

−+−+−===−= MzPzMyPyMxPxMPMPrMrPrd rrr 3. OPERATII CU VECTORI – ALGEBRA VECTORILOR

Adunarea vectorilor Adunarea vectorilor, timand cont de directia si sensul lor, se poate realiza

prin doua proceduri de baza: (1) proceduri grafice si (2) proceduri analitice. In Fig. 6 sunt prezentate diferite metode de adunare prin proceduri grafice. Prin aceste metode se determina un vector unic, denumit vector rezultant.

Fig. 6. Metode de adunare a vectorilor prin proceduri grafice In ceea ce privesc procedurile analitice acestea se bazeaza pe descompunerea vectorilor in componenetele constitutive corespunzatoare sistemului de referinta utilizat. Daca ne raportam unui sistem cartezian de coordonate x,y,z suma a doi vectori definiti prin componenetele lor )zA,y,Ax(AAr si )zB,y,Bx(BBr este:

.

)()(kji zBzAyByAxBxABA

saukzBjyBixBkzAjyAixABArrrrr

rrrrrrrr

⋅

+⋅

+⋅

+++=+

⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=+

Adunarea vectorilor este totuna cu compunerea lor intr-o rezultanta, adica RBA rrr

=+ . In baza principiilor precedente componenetele rezultantei sunt:

zBzAzRyByAyRxBxAxR

+=+=+=

8

Produsul scalar (sau produsul interior) a doi vectori )zA,y,Ax(AAr si )zB,y,Bx(BBr este un scalar pozitiv sau negativ dupa cum unghiul dintre cei doi

vectori θ este mai mic sau mai mare decat π/2, cu marimea (modulul sau valoarea absoluta): ( ) zBzAyByAxBxAABABA ⋅+⋅+⋅=⋅⋅=⋅=⋅ θcosBrrrrrr

Produsul vectorial (sau produsul exterior) a doi vectori )zA,y,Ax(AAr si

)zB,y,Bx(BBr este tot un vector Cr : )()( kzBjyBixBkzAjyAixABAC

rrrrrrrrr ⋅+⋅+⋅×⋅+⋅+⋅=×= , Intr-un sistem tridimensional ortogonal de referinta (Euclidian cu 3 dimensiuni) proiectiile vectorului produs vectorial sunt date de expresiile:

,,,

xByAyBxAzCzBxAxBzAyCyBzAzByAxC

⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=

Pentru simplitate se prefera scrierea produsului vectorial intr-o forma mai compacta (matriceala)

zByBxBzAyAxAkji

BAC

rrrrrr

=×=

cand vectorul Cr este egal cu determinantul precedent dezvoltat dupa elementele primei linii.

BA rr ⋅ nr

θ Ar

Br BBAABArrr

rrr

⊥⋅⊥⋅

Fig. 7. Produsul vectorial a doi vectori (nr este vectorul unitar)

9

Marimea (modulul sau valoarea absoluta) produsului vectorial este un vector de modul |Cr |:

( )θsinB|| ⋅⋅=×=rrrrr ABAC

normal pe ambii factori ai produsului (ambii vectori) avand sensul identic cu cel provenit aplicand regula mainii drepte (Fig. 7) adica rotind vectorul Ar in planul

BA rr, pana se suprapune pe vectorul Br cu unghiul θ (unghiul dintre cei doi vectori). Momentul unui vector in raport cu un punct

Se considera un vector legat vr cu originea in B si un punct oarecare A. Momentul unui vector vr fata de un punct oarecare A este tot un vector definit ca produsul vectorial: vv rrr

×= ABrAM in care ABr

r este vectorul de pozitie al punctului B relativ la punctul A. Punctul A se numeste originea sau polul momentului iar θ este unghiul dintre vectorul vr si vectorul de pozitie al punctului B relativ la punctul A. Marimea momentului (modulul sau valoarea absoluta) este:

( )θinABrAMAM svvv ⋅⋅== rrr

Fig. 8. Momentul unui vector in raport cu un punct

Momentul unui vector fata de un punct (Fig. 8) este un vector care are directia in lungul axei perpendiculare pe planu format de vectorul de pozitie al punctului B

10

relativ la punctul A ( ABrr ) si vectorul vr . Sensul vectorului moment se obtine

aplicand regula mainii drepte. Momentul unui vector vr se schimba daca se muta punctul de aplicatie al vectorului. Exceptie face cazul in care noul punct de aplicatie se afla pe suportul vectorului (directia vectorului). Momentul unui vector in raport cu o axa (linie) Momentul unui vector V (avand suportul ∆) fata de o linie (axa) Ω este un vector liber (Fig. 9), definit prin produsul mixt:

=×⋅=Ω VrnVrnVM rrrrrrr ,,

Marimea si implicit sensul momentului unui vector in raport cu o linie este pozitiva sau negativa – stabilita aplicand regula mainii drepte raportata la tendinta de rotire a vectorului V. Daca linia (axa) Ω este paralela la suportul vectorului ∆ atunci 0,, ==×⋅=Ω

VrnVrnVM rrrrrrr

Daca linia linia (axa) Ω este perpendiculara la suportul vectorului ∆ si d este cea mai mica distanta dintre cele doua linii atunci VdVrVrnVrnVM rrrrrrrr ⋅=⋅⋅=×⋅=Ω

|)),sin(|||(||||||

Fig. 9. Momentul unui vector in raport cu o axa

Cuplu de vectori

Cuplul vectorilor este un sistem de vectori legati a caror rezultanta este zero dar momentul acestora fata de un punct oarecare nu este zero. Un cuplu constand doar din doi vectori este denunit cuplu simplu sau doar cuplu. Vectorii unui cuplu simplu au marimea egala directiile de actiune sunt paralele dar sensurile sunt opuse (Fig. 10). Momentul unui cuplu fata se denumeste moment de torsiune, Mt sau T. Momentul unui cuplu este un vector liber. Momentul de torsiune al unui cuplu de doi vectori vr actionand pe directii paralele si distantate cu distanta d este un vector cu marimea (modulul sau valoarea absoluta): vv ⋅=⋅= ddtM

rr

11

Sensul vectorului moment de torsiune se obtine aplicand regula mainii drepte.

Fig. 10. Cuplul vectorilor

Echivalenta sistemelor de vectori Doua sisteme de vectori S1 si S2 sunt echivalente numai si numai daca:

(a) rezultanta sistemului S1 ⇒R1 este egala cu rezultanta sistemului S2⇒R2, adica R1 = R2;

(b) exista cel putin un punct P fata de care sistemele de vectori S1 si S2 au momente egale, adica 21 S

PMSPM = .

Consecinta imediata este faptul ca momentele a doua sisteme echivalente de vectori fata de orice punct sunt egale. 4. FORTE. MOMENTE. SISTEME ECHIVALENTE DE FORTE Forte

Forta este o cantitate vectoriala avand marime, directie, sens si punct de aplicare. Ea exprima actiunea unui corp asupra altuia. Avand un punct de aplicare fortele sunt vectori legati. O clasificare primara a fortelor se poate realiza pe baza a doua criterii: Dupa natura lor

• Forte exterioare – forte aplicate din exteriorul punctului material sau al corpului

• Forte exterioare de legatura – forte care se produc in legaturile punctului material sau al corpului, cu mediul inconjurator si reflecta marimea contactului fizic direct

• Forte interioare – fortele care apar in ineriorul cprpului legand particulele corpului intre ele

• Forte de inertie – fortele care apar datorita inertiei corpurilor Dupa modul de aplicare si de transmitere ale acestora

• Forte concentrate – forte care se considera aplicate si actionand teoretic intr-un singur punct

12

• Forte repartizate (distribuite) - forte care se considera aplicate si actionand teoretic pe o anumita entitate geometrica (lungime, arie, etc.)

• Forte masice – fortele care sunt rezultatul pozitiei corpului intr-un camp (ex. gravitational, centrigugal, magnetic, etc.....).

Cu toate ca in general fortele sunt vector legati deplasarea (alunecarea si

schimbarea punctului de aplicatie) acestora pe suportului lor se poate realiza fara ca efectul pe care forta il are asupra solidului rigid sa se schimbe (Fig. 11). Rezulta ca fortele care actioneaza asupra unui solid rigid pot si reprezentate prin vectori alunecatori.

Fig. 11. Alunecarea fortei F din A in C fara asi schimba efectul M,F Nota Deoarece fortele sunt cantitati vectoriale in tot ceea ce urmeaza vom utiliza notiunile prezentate anterior referitoare la vectori si operatii cu vectori. Momentul fortei fata de un punct Momentul fortei F fata de un punct O este un vector definit ca FF rrr

×= rOM in care rr este vectorul distantei minime din punctul O la directia de aplicare a fortei F. Directia momentului fortei F fata de un punct O este perpendiculara la planul format de cei doi vectori forta F si distanta rr , iar sensul se obtine aplicand regula mainii drepte (Fig. 12). In ceea ce priveste marimea momentului (modulul sau valoarea absoluta) conform celor ce preced aceasta este:

( )θinrOMOM sFFF ⋅⋅==rrr

Considerand un sistemul cartezian de coordonate si componentele rectangulare in acest sistem kzjyixr

rrrr ⋅+⋅+⋅= kzFjyFixFF

rrrr ⋅+⋅+⋅= apeland la produsul vectorial prezentat anterior putem scrie forma compacta-matriceala si cea detaliata pentru momentul fortei F fata de un punct O

A Section 1.03

B r C

A

C

Section 1.02Section 1.01

r A r C B

13

kxFyyFxjxFzzFxiyFzzFyzFyFxF

kjiFrFOM zyx

rrr

K

rrrrr

⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅=

==×=

Fig. 12. Momentul fortei fata de un punct

Datorita faptului ca aceste momente sunt vectori asupra lor se pot aplica aceleeasi operatii ca si cele prezentate anterior. Daca deplasam forta F perpendicular pe directia de aplicare, spre exemplu in punctul B pentru a nu modifica efectul acesteia in noul punct de aplicare trebuie sa introducem momentul sulimentar M rezultat ca urmare al acestei deplasari (Fig. 13):

dF

FCrFArM

⋅=

×=×=

Mmarimede

r

rrrrr

in care d este distantei minima (perpendiculara) din noul punct de aplicare la directia originala. In aceasta situatie momentul M si forta F (ambele aplicate in B) vor avea acelasi efect ca si F singura aplicata in A sau C. De precizat ca momentul sulimentar M are directia de actionare perpendiculara la planul definit de noul punct de aplicare B si directia originala de actiune a fortei F.

Fig. 13. Efectul deplasarii punctului de aplicare al fortei F

A F

B d C

A

C

M F

r A r C B

14

Teorema luiVarignon Unul dintre cele mai utile principii ale mecanicii este teorema lui Varignon, care se enunta astfel: Momentul unei forte in raport cu un pol este egal cu suma momentelor componentelor fortei fata de acelasi pol. sau pentru un sistem de forte

Momentul rezultant al unui sistem de forţe concurente în raport cu un pol este egal cu momentul rezultantei lor determinat în raport cu acelasi pol. Daca rezultanta se scrie:

∑=

=+++=ni iFnFFFR

121rr

Lrrr

Atunci momentul rezultantei este:

OMOMOMnFrFrFrOMnFFFriFrRrOM

2212121

+++=×++×+×=

+++×=∑×=×=

LrrL

rrrrrr

Lrrrrrrrr

sau RdOM

ni iFrn

i iOMRrOM =∑=

×=∑=

=×= modululiar11rrrrr

unde d este distanţa de la polul O la direcţia rezultantei. Reducerea unei forţe într-un punct: A reduce o forţă într-un punct O înseamnă a o înlocui cu elemente mecanice legate de punctul considerat, care să producă acelaşi efect ca şi forţa dată.

Fig. 14. Reducerea fortelor

Sistemul mecanic echivalent cu forţa dată, format din cele două elemente vectoriale F şi Mo aplicate în O se numeşte torsor de reducere a forţei în raport cu punctul O.

15

FOAFrOMrrrr

×=×=

( ) dFrFFrOM ⋅=⋅=⋅⋅= αα sinsinrrr

Torsorul este un invariant adica torsorul a doua sisteme echivalente este acelasi. Axa centrală Locul geometric al punctelor în raport cu care un sistem de forţe oarecare se reduce la un torsor minim se numeşte axă centrală.

Se consideră un punct oarecare C(x,y,z) pe axa centrală în raport cu care se obţine un torsor minim. Conform relaţiei de calcul a momentelor în raport cu două poluri (*) rezultă

RRr

Rrrrrrrr

rrrr

λλ

=×−=+×→

=

===

OMOMRCOCMRMminMCM

sau

RRr rrrr λ=×−OM Daca componentele vectorilor sunt:

),,(),,(),,( zMyMxMMzFyFxFRzyxr vrr Fig. 15. Axa centrala rezultă

zRxyRyxRzMyRzxRxzRyMxRyzRzyRxM

λλλ

=−−=−−=−−

)()()(

De unde se determină uşor, sub formă analitică, axa centrală ca intersecţia a două plane:

zRxyRyxRzM

yRzxRxzRyM

xRyzRzyRxM )()()( −−

=−−

=−−

Sisteme echivalente de sarcini Pentru a usura analiza sistemelor supuse actiunii diverselor forte si momente este posibil a inlocui sistemul initial cu altul mai simplu. Aceasta inseamna inlocuirea fortelor si momentelor originale cu o forta unica si un moment unic.

16

Sistemul 1 Sistemul 2

Fig. 16. Sisteme echivalente de sarcini

Conditia de baza pentru ca doua sisteme de sarcini sa fie echivalenteeste ca aceste sisteme sa aiba aceeasi forta rezultanta totala si acelasi moment rezultant total, adica:

∑=∑∑=∑

2Sistemul1Sistemul

2Sistemul1SistemulMMFFrr

rr

Exemplu: inlocuirea unui sistem de sarcini uniform distribuite cu o singura sarcina concentrata

Fig. 17. Exemplificare de echivalare de sarcini

dxxx xwxFddx

xx xwxdF

xx xdFM

xwdxxx xw

xx dFFF

⋅∫ ⋅=⇒⋅∫ ⋅=⋅∫=⋅∑ =

=⋅∫=∫=∑ =

21

)(121

)(21

)(curbasubdearia21

)(21

17

5. ECHILIBRUL STATIC AL CORPURILOR RIGIDE Un corp rigid (sau orice parte a sa) este stationar si va ramane stationar iar corpul rigid este in echilibru numai daca se indeplinesc simultan urmatoarele conditii: (1) rezultanta tuturor fortelor care actioneaza asupra sa sunt zero si (2) rezultanta tuturor momentelor si cuplurilor fata de oricare punct arbitrar din spatiu sunt zero. Teorema

Conditia necesara si suficienta ca un sistem de sarcini actionand asupra unui solid rigid liber sa fie in echilibru este ca intr-un punct arbitrar din spatiu sa fie indeplinite conditiile:

.0rezultant

;0rezultanta=∑+∑==

∑ ===

iMiCRMMiFRFF

rrrrrrr

Concret in concordanta cu conditia generala de echilibru definita anterior trebuie sa avem satisfacute urmatoarele conditii (Fig. 18):

0121 =∑

==+++=mi iFmFFFR rr

Lrrr

....2211...21 ∑ ×++×+×+∑ +++=

mFmrFrFrnMMMAMrrrrrrr

und A este un punct oarecare convenabil ales. Pentru exemplificare intr-un sistem tridimensional cartezian de coordonate („x”, „y” si „z”) conditiile de echilibru sunt reprezentate de sase ecuatii scalare care exprima echilibrul pe fiecare directie caracteristica a sistemului de referinta (trei ecuatii pentru sistemul de forte si trei ecuatii pentru cupluri si momente).

Fig. 18. Corp in echilibru sub actiunea unui sistem de sarcini

M 1

M n

M 2

F 1

F 2 F m

A

B

18

Proiectand pe axele de coordonate ale unui sistem ortogonal tridimensional ecuatiile vectoriale anterioare se obtin sase ecuatii scalare de echiulibru:

ecuatiile de echilibru pentru forta rezultanta ∑ =∑ =∑ =⇒= 0,0,00 zFyFxFRF

r

ecuatiile de echilibru pentru momentul rezultant 0,0,00 =∑=∑=∑⇒= AzMAyMAxMARMr

De precizat ca acesta este cazul cel mai general cu componente pe toate directiile sistemului de referinta. In multe situatii datorita unor particularitati este posibil ca pentru rezolvarea conditiei de echilibru sa recurgem la mult mai putine ecuatii. 6. CENTRUL DE MASA SAU DE GREUTATE Se consideră un sistem de puncte materiale de masa mi, aflate în câmpul gravitaţional cu acceleraţia g≅const. Fiecare punct material are greutatea iFgimiG

rrr==

Poziţia centrului forţelor paralele:

∑=

∑==

∑=

∑==

∑=

∑== n

i im

ni imir

ni

gim

gni imir

ni iG

ni iGir

Cr1

1

1

1

1

1rrr

r

Coordonatele centrului forţelor paralele

∑=

∑==

∑=

∑==

∑=

∑==

∑=

∑== n

i im

ni imix

ni

gim

ni

gimixni iG

ni iGix

ni iF

ni iFix

Cx1

1

1

1

1

1

1

1

Similar, vom avea:

∑=

∑==

∑=

∑== n

i im

ni imiz

Czni im

ni imiy

Cy1

1;1

1

19

Centrul de masă a corpurilor omogene Se consideră un volum elementar ∆Vi de masă ∆mi pentru care avem:

∑=

∑=

∆= ni im

ni imir

Cr1

1r

r

Dacă dmm→∆ ⇒

∫∫= dmV

dmrVCrr

r

sau

∫∫

∫∫

∫∫ === dm

dmzzdmdmyydm

dmxxV

VC

V

VC

V

VC ;;

Corpuri omogene: dm=ρVdV

∫∫

∫∫

∫∫ === dV

dVzzdVdVyydV

dVxxV

VC

V

VC

V

VC ;;

Placi omogene: dm=ρSdS

∫∫

∫∫

∫∫ === dS

dSzzdSdSyydS

dSxxS

SC

S

SC

S

SC ;;

Bare omogene: dm=ρldl

∫∫

∫∫

∫∫ === dl

dlzzdldlyydl

dlxxl

lC

l

lC

l

lC ;;

20

7. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFETELOR PLANE

Momente statice

Momentul static S al unei suprafete plane calculat in raport cu axele de

referinţă se defineşte prin: • Momentul static Sy al unei suprafeţe plane calculat în raport cu axa Oy • Momentul static Sz al unei suprafeţe plane calculat în raport cu axa Oz

Cunoscând (yG, zG), coordonatele centrului de greutate ale suprafeţei plane momentele statice sunt:

AGyzSAGzyS⋅=⋅=

Deci este evident că momentele statice al unei suprafeţe plane de arie A faţă de axe care trec prin centrul său de greutate sunt nule. Axele care trec prin centrul de greutate al unei secţiuni plane sunt denumite axe centrale, iar sistemul de referinţă sistem central.

Momente de inerţie şi raze de inerţie

• Momentul de inerţie Iy al unei suprafeţe plane de arie A calculat în raport cu axa Oy

A

21

Momentul de inerţie Iz al unei suprafeţe plane de arie A calculat în raport cu axa Oz

Momentul de inerţie polar IO al unei suprafeţe plane de arie A calculat în raport

cu polul O Momentul de inerţie centrufugal Ixy al unei suprafeţe plane de arie A

Modulul de rezistenţă al unei suprafeţe plane de arie A în raport cu o axă sau cu

un punct este egal cu raportul dintre momentul de inerţie respectiv şi distanţa de la axa sau polul considerat până la cel mai îndepărtat punct al secţiunii.

Razele de inerţie sau de giraţie ale unei suprafeţe plane de arie A în raport cu axele Oy şi Oz sunt mărimi convenţionale definite prin expresiile:

Observaţii

a) Momentele de inerţie axiale şi cel polar sunt nişte scalari întotdeauna pozitive.

b) Momentul de inerţie centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul. c) Dacă secţiunea plană de arie A admite o axă de simetrie, atunci momentul de

inerţie IYZ în raport cu un sistem ce conţine axa de simetrie este nul.

22

8. CARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFETELOR PLANE SIMPLE Secţiune plană dreptunghiulară

Se consideră o secţiune plană dreptunghiulară, cu laturile b şi h, raportată la sistemul central de axe Oyz. Un element de arie al acestei suprafeţe se poate considera ca o fâşie îngustă, de lungime b şi înălţime dy, situată la distanţa y de axa Oz de expresie dA ≅≅≅≅ b∗∗∗∗dy. Considerând relaţiile fundamentale, pentru calculul momentului de inerţie axial I z vom avea:

∫ ∫−

⋅=⋅==A

2h

2h 12

3hbdzb2zdA2zzI

• Pentru calculul momentului de inerţie axial I y procedând în mod asemănător se obţine:

∫ ∫−

⋅=⋅==A

2b

2b 12

h3bdyb2ydA2yyI

• Deoarece sistemul de axe Oyz este şi sistem de simetrie al secţiunii plane momentul de inerţie centrifugal este nul, IYZ. ≡≡≡≡ 0.

• Momentul de inerţie polar, în raport cu originea O:

în care A este aria secţiunii dreptunghice iar d este diagonala acesteia. • Modulele de rezistenţă ale acestei secţiuni plane:

h

b

O

y

z dy

y

W z W y Iz Iy

23

Sectiune plană pătrată Pentru sectiunea plană de formă pătrat cu caracteristicile geometrice b ≡≡≡≡ h ≡≡≡≡ a: momentele de inerţie axial I z şi I y

12ayIzI 4

== momentul de inerţie polar, în raport cu originea O

64a

oI = Deoarece sistemul de axe Oyz este şi sistem de simetrie al secţiunii plane

momentul de inerţie centrifugal este nul, IYZ. ≡≡≡≡ 0. Modulele de rezistenţă ale acestei secţiuni plane

63a

zWyW == respectiv 63a2oW ⋅=

Secţiune plană circulară plina

Particularizînd relaţiile fundamentale în condiţiile de simetrie ale secţiunii circulare faţă de sistemul central de axe Oyz vom avea:

momentul de inerţie polar, în raport cu originea O

zIyI4dπA

dA2roI 32 +=⋅=∫=

momentele de inerţie axiale I z şi I y

644dπ

2oI

yIzI ⋅=== Deoarece sistemul de axe Oyz este şi sistem de simetrie al secţiunii plane

momentul de inerţie centrifugal este nul, IYZ. ≡≡≡≡ 0. Modulele de rezistenţă ale acestei secţiuni plane

323dπ

zWyW ⋅== respectiv 163dπoW ⋅=

y

z O d

dA

dr r

dαααα

αααα

24

Secţiune plană inelară (inel circular) Particularizînd relaţiile fundamentale în condiţiile de simetrie ale secţiunii

circulare faţă de sistemul central de axe Oyz şi considerând cunoscut raportul diametrelor vom avea:

momentele de inerţie axial I z şi I y

644dyIzI ==

momentul de inerţie polar, în raport cu originea O

324dπ

zIyIoI ⋅=+= Deoarece sistemul de axe Oyz este şi sistem de simetrie al secţiunii plane

momentul de inerţie centrifugal este nul, IYZ. ≡≡≡≡ 0. Modulele de rezistenţă ale acestei secţiuni plane

323dπ

zWyW ⋅== respectiv 163dπoW ⋅=

Strength of materials is a related field of mechanics that relies heavily on the application of static equilibrium.

y

z

d D