1 (3)

7/21/2019 1 (3)

http://slidepdf.com/reader/full/1-35695cfea1a28ab9b02901d96 1/56

Curs 3 - 6.

METODE NUMERICE DE SOLUŢIONARE ASISTEMELOR DE ECUAŢII SPECIFICE

INGINERIEI ELECTRICE

Prof. dr. ing. mat. Dan D. MICU

Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice

Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mail: [email protected]

Metode Numerice

Inginerie Electrica an II

2015-2016

7/21/2019 1 (3)


Exemple de aplicații din ingineria electrică care implică rezolvareaunor sisteme de ecuaţii liniare sau neliniare de mari dimensiuni

Localizarea obiectelor inaccesibile din subteran, prin măsurători

ale câmpului magnetic reflectat; model integral discretizat într -unsistem de ecuaţii şi rezolvat numeric prin descompunere după

valorile singulare;

Proiectarea dispozitivelor de stimulare magnetică a ţesuturilor

nervoase; Optimizarea poziţionării bobinelor de radiofrecvenţă din cadrul

dispozitivelor de imagistică medicala

Diagnosticarea non-distructivă a gradului de coroziune a

structurilor metalice din construcţiile de beton armat – poduri;

Minimizarea costurilor de producţie prin CAM (computer aidedmanufacturing) în fabricaţia aparatelor de iluminat;

Identificarea spaţială a curenţilor de întoarcere ai trăsnetelor din

măsurători ale câmpului electric şi magnetic în momentul

impactului;

7/21/2019 1 (3)


Proiectarea optimală a unui motor electric de curent continuu fără

perii colectoare (brushless DC drive);

Diagnosticarea defectelor de izolaţie din maşinile electrice pe baza

aproximării inducţiei câmpului magnetic din întrefier, prin

măsurarea câmpului magnetic de suprafaţă;

Proiectarea separatoarelor magnetice – determinarea configuratiei

şi numarului de spire ale bobinelor de separare magnetică;

Identificarea depunerilor de distribuţie de sarcină electrică în zona

punctului triplu din întreruptoarele automate de medie tensiune; Proiectarea bobinelor de tratament magnetic;

Circuitele electrice neliniare sau circuitele în regim tranzitoriu se

reduc în final la rezolvarea unor circuite electrice liniare

Proiectarea bobinelor shunt pentru compensarea energiei reactive

capacitive a cablurilor;

Proiectarea senzorilor inductivi de poziţie de pe utilajele de

prelucrare mecanică, CNC;

Proiectarea senzorilor inductivi de viteză.

7/21/2019 1 (3)


Modelul matematic corespunzător este constituit dintr -un sistem de n ecuaţii neliniare

complexe (n+numărul nodurilor din SEN) de forma

n , , ,i ,*S U Y *U U Y *U f i

n

i j j

j jiiiiiii2100

1

Calculul circulatiilor de puteri intr-un sistem electroenergetic

7/21/2019 1 (3)


Considerând nodul 4 - nod de echilibrare a bilanţului de puteri (pentru care se

cunoaşte modulul şi faza tensiunii, necunoscute fiind puterile generate, activă şi reactivă), se cere să se determine modulul şi faza tensiunii pentru restul nodurilor,

puterea activă şi cea reactivă generată în nodul de echilibrare, circulaţiile de puteri

pe laturi şi consumul propriu tehnologic (pe ansamblu şi pe fiecare element în parte).

Problema enunţată reprezintă analiza regimului permanent sau calculul circulaţiei

de puteri pentru sistemul electroenergetic considerat.

Modelul matematic este constituit dintr-un sistem de ecuaţii de mari dimensiuni,

care se soluţionează cu metode numerice (vor fi prezentate în Cursul 5).

7/21/2019 1 (3)


7/21/2019 1 (3)


Analiza stabilităţii la mici perturbaţii a sistemelor electroenergetice

Se consideră un sistem electroenergetic, format din 3 generatoare, 3 transformatoare, 6 linii

electrice aeriene (220 kV) şi 3 consumatori.

Se cunosc parametrii elementelor de sistem şi caracteristicile unui regim concret de funcţionare.

Se cere să se analizeze stabilitatea naturală a sistemului la mici perturbaţii (perturbaţia constă

dintr-un şoc de putere activă de valoare relativ redusă într -unul din nodurile sistemului).

Stabilitatea naturală presupune analiza comportării dinamice a sistemului electroenergetic în

absenţa sistemelor de reglare automată (a excitaţiei şi a vitezei) a generatoarelor sincrone

(modelate printr-o tensiune constantă în spatele unei reactanţe)

7/21/2019 1 (3)


P44 3 2

0 00948 257 5560 1249447 13960 2 0( ) , , , ,

12

3 4

0 00233 13 416

0 00251 8 807

,

,

, ,

, ,

j

jvalorile proprii

2 perechi de valori proprii complexe conjugate, cu partea reală negativă. În consecinţă, sistemul este stabil natural la perturbaţia de intensitate redusă

considerată.

Pulsaţiile naturale de oscilaţie sunt: 13,416 rad/s şi 8,807 rad/s , ceea ce

corespunde unor frecvenţe de aproximativ 2,14 Hz (perioadă de 0,47 s ) , respectiv

1,40 Hz (perioadă de 0,71 s ).

0)A()A( IIdet P 4

7/21/2019 1 (3)


7/21/2019 1 (3)


Rezolvarea unui circuit complex de mari dimensiuni

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

7/21/2019 1 (3)


A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

1 0 0 0 0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

-1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 -1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

B

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

1 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 -1

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0

7/21/2019 1 (3)


Curs 3.

Chestiuni speciale de electrotehnică care conduc la

sisteme de ecuatii compatibile determinate

METODE DE REZOLVARE MATRICIALA A CIRCUITELOR

ELECTRICE DE MARI DIMENSIUNI

dr. ing. mat. Dan D. MICU

Director - Laborator de Cercetare în Metode Numerice

Departamentul de Electrotehnică, Inginerie Electrică E-mail: [email protected]

Metode Numerice

Inginerie Electrica an II

2013-2014

7/21/2019 1 (3)


Model fizic(Circuitul electric)

Model matematic

(Ecuaţiile matriciale)

Rezolvare model

matematic(Metode numerice)

Etapele modelării în studiul circuitelor electrice

Exista 2 mari tipuri de probleme din IE care se reduc la un model matematic de forma

unui sistem de ecuatii compatibil determinat (solutie unica):

Analiza circuitelor electrice si analiza campului electromagnetic

7/21/2019 1 (3)


Graful - reprezinta un desen simplificat al unui circuit electric care contine toate

laturile si toate nodurile fara a se preciza continutul lor

Graful orientat – se obtine f ăcând abstracţie de natura elementelor şi înlocuindu-le

prin segmente orientate în sensul de referinţă al curentului se obţine.

Liniile care se obţin se numesc laturile grafului, iar extremităţile lor, nodurile

grafului.

Sensurile laturilor din graful orientat corespund cu sensurile de referinţă ale curenţilor din laturile reţelei

Bucla sau ochiul este format din una sau mai multe linii închise

Subgraful este o porţiune dintr-un graf care conţine o parte din nodurile şi laturile

grafului, iar un subgraf care conţine toate nodurile circuitului şi nu formează nici obuclă închisă se numeşte arbore.

Subgraful complementar arborelui se numeşte coarbore, iar laturile coarborelui se

numesc corzi, se reprezintă cu linie punctată şi sunt în număr de (o-numărul de

ochiuri independente). Laturile arborelui se numesc ramuri şi se reprezintă cu linie

continuă, iar numărul lor este (n – numărul de noduri).

Rezolvarea matriciala a circuitelor electrice prin grafuri de circuit

7/21/2019 1 (3)


Aplicatie 1. Rezolvarea circuitelor. Teorema matriciala Kirchhoff.

Parametrii topologici primari ai reţelei sunt cele n=4 noduri (puncte de conexiune a

bornelor elementelor) şi laturile l=6 (elementele conectate între două noduri)

7/21/2019 1 (3)


Proprietăţile topologice ale schemelor electrice, respectiv ale grafurilor corespunzătoare,

sunt descrise de matricile de circuit:

[A] – matricea de incidenţă a laturilor la suprafaţele Σ care sunt suprafeţe închise

care intersectează o singură ramură, iar sensul pozitiv al normalei la Σ este dat de

sensul ramurii; numărul de suprafeţe Σ este (numărul de ramuri); Numărul de linii al

lui [A] este numărul suprafeţelor Σ şi numărul de coloane este numărul de laturi din

graf.

[B] – matricea de apartenenţă a laturilor la contururile Γ care trec printr-o buclă

şi au sensul corzii din bucla respectiva. Numărul de contururi este dat de numărul decorzi. Numărul de linii ale lui [B] este numărul de contururi Γ, iar numărul de coloane

este numărul de laturi ale grafului.

7/21/2019 1 (3)


[U] – matricea coloana a tensiunilor laturilor (vector) - elementele de pe linii sunt

tensiunile laturilor, în ordinea din graf, cu semnul (+) dacă coincid cu sensul laturii;

[E] – matricea coloană a tensiunilor electromotoare de pe laturi - cu semnul (+)

dacă sensul sursei este în sensul laturii;

[I] – matricea coloană a curenţilor , având pe linii curenţii de pe laturi - toţi curenţii au sensul laturilor din graf (prin convenţie).

[Z] – matricea impedanţă - matrice pătratică cu numărul de linii egal cu numărul de

coloane şi egal cu numărul laturilor din circuit. Pe diagonala principală-impedanţele

proprii ale laturilor, iar dacă între două laturi există cuplaj mutual apar şi aceste

elemente la intersecţia liniei cu coloana şi se iau cu semnul (+) dacă sensurile

laturilor sunt orientate la fel faţă de bornele marcate ale bobinelor cuplate mutual.

Demonstratie 1 – Forma matricială a teoremelor lui Kirchhoff- pe tabla

l l l l l l

7/21/2019 1 (3)


1 2 3 4 5 6

1

2

3

0 0 0 1 1 1

[A] 1 1 0 1 0 0

0 1 1 0 0 1

l l l l l l 1 2 3 4 5 6

1

2

3

1 0 0 1 1 0

[B] 1 1 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1

l l l l l l

1

2

3

4

5

6

I

I

I[I]

I

I

I

1

2

3

4

5

6

U

U

U[U]

U

U

U

1

2

6

E

E

0[E]0

0

E

.

1 2 3 4 5 6

1 1

2 2 25

3 3

4 4 4 45

5 25 45 5 56

6 56 6 6

R 0 0 0 0 0

0 j L 0 0 j L 0

0 0 1 j C 0 0 0Z

0 0 0 R j L j L 0

0 j L 0 j L j L j L

0 0 0 0 j L R j L

l l l l l l

l

l

l

l

l

l

7/21/2019 1 (3)


Să se calculeze curenţii din laturi prin metoda curenţilor ciclici sub formă

matricială. Date numerice: 1e (t) 10 2 sin t , 2e (t) 20 2 sin t2

,

1

R 2 ,

4 5R R 1 ,

2C2

1X 1

C

,

3L 3X L 1 ( ,

54L L

X X 2 .

j j011 11

j j2 2

2 22

e (t) 10 2 sin t E E e 10 e 10(cos 0 jsin 0) 10 V ;

e (t) 20 2 sin t E E e 20 e 20 cos jsin 20j V .2 2 2

Demonstratie 2 pe tabla- Metoda curenţilor ciclici sub formă matricială (metoda

curentilor de coarda)

Aplicatie 2. Rezolvarea circuitelor. Teorema matriciala curenti ciclici.

7/21/2019 1 (3)


1

2

3

4 4

5 5

R 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0

0 1 j C 0 0 0 0 0 j 0 0 0 0

0 0 j L 0 0 0 0 0 j 0 0 0[Z]

0 0 0 R j L 0 0 0 0 0 1 j2 0 0

0 0 0 0 R j L 0 0 0 0 0 1 j2 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[B]

1 2 3 4 5 6

1

2

3

1 1 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 .

0 0 1 0 1 1

l l l l l l

[E]

10

0

0

0

0

j20

Matricea impedantelor specifică metodei curenţilor ciclici:

7/21/2019 1 (3)


Matricea impedantelor specifică metodei curenţilor ciclici:

Vectorul curenţilor ciclici este:

Vectorul curenţilor reali din circuit este:

1

2

3T 1

4

5

6

I 18 j40

I 27 j125

I 53 j1510[I] [B] [Z '] [B] [E]I 45 j8574

I 35 j25

I 80 j110

T[Z'] [B] [Z] [B]

2 j j

j 1 j j

j 0 1 j3

.

1C[I ] [Z '] [B] [E]

18 j4010

45 j8574

35 j25

Dacă dorim să transformăm în instantaneu de exemplu:

7/21/2019 1 (3)


1 1 11

2 2

1

10I 18 j40 i (t) I 2 sin( t );

74

10 10

I ( 18) 40 5,92[A];74 74

1

40tg

18

0

1

40arctg 115

18

01i (t) 5, 92 2 sin( t 115 )

Dacă dorim să transformăm în instantaneu, de exemplu:

lucrăm în cadranul II;

Aplicatie 3 Rezolvarea circuitelor Teorema matriciala potentiale noduri

7/21/2019 1 (3)


Demonstratie 3 pe tabla - Metoda potentialelor de noduri matriceal (metoda

tensiunilor ramurilor)

Să se rezolve circuitul cu metoda tensiunilor ramurilor (metoda potenţialelor

nodurilor matricial). Date numerice: 1L 2 ; 2

L 1 ; 3R 3 ;

4R 1

; 4

1

2C ; 5L 3

; 5R 4

; 2E 10j V

; 5E 20j V

.

1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

.. ..

A : .

Aplicatie 3. Rezolvarea circuitelor. Teorema matriciala potentiale noduri

7/21/2019 1 (3)


1 2 3 4 5

1 1 1 1 1

.. ..

A : .

r 3[U ] [U ]

1

2

3

44

5 5

j L 0 0 0 0

0 j L 0 0 0

0 0 R 0 0[Z]

10 0 0 R 0 j C

0 0 0 0 R j L

2 j 0 0 0 0

0 j 0 0 0

[Z] ;0 0 3 0 0

0 0 0 1 2 j 0

0 0 0 0 4 j3

0

10 j

0

0

20

[E] =

.

1

0.5j 0 0 0 0

0 j 0 0 0

Z 0 0 0,33 0 0

0 0 0 0, 2 0, 4 j 0

0 0 0 0 0,16 0,12j

[E] =

0

10 j

00

20

.

1 T jDeci:

7/21/2019 1 (3)


1 T[A] [Z] [A] 0, 69 j 1, 22

1[A] [Z] [E] 13,2 j 2,4

Deci:

.1 T 1

r [A] [Z] [A] [U ] [A] [Z] [E]

înlocuind în relaţia:

3(0,69 j 1,22) U 13,2 j 2,4 3U 6,13 j 7,33 V

Deci matricea tensiunilor este

Din legea lui Ohm rezultă curenţii din circuit

T3[U] [A] [U ]

6,13 7,33j

6,13 7,33j

6,13 7,33j

6,13 7,33j

6,13 7,33j

1 1[I] [Z] [U] [Z] [E]

1

2

3

4

5

I

I

I

I

I

=

3,66 3,06j

2,66 6,13j

2,04 2,44j

1,70 3,92j

1,33 2,83j

ALGORITMI NUMERICI IMPLEMENTAŢI ÎN MATHCAD

7/21/2019 1 (3)


Se vor aplica metodele matriciale de rezolvare a circuitelor electrice (metoda matriciala Kirchhoff,metoda matriciala a curentilor ciclici, metoda matriciala a potentialelor nodurilor) generand, printr-ometoda originala implementata in MathCAD, matricea A de incidenta a latorilor la suprafetele () si

matricea B de apartenenta a laturilor la contururile ().

Sistemul liniar de ecuatii obtinut se va rezolva cu diverse metode numerice (Gauss, Aproximatii

succesive, Jacobi) implementate printr-unalgoritm propriu in programul MathCAD.

E1 48 V E2 76 V E3 35 V E4 6 V E5 8

R 1

2 R 2

5 R 3

3

R 4 3 R 5 5 R 6 4

A

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

B

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

ALGORITMI NUMERICI IMPLEMENTAŢI ÎN MATHCAD

2 0 0 0 0 0

7/21/2019 1 (3)


R

2

0

0

0

0

0

0

5

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

4

E

48

76

35

6

18

0

Vol

M

1

1

0

2

0

0

1

0

1

0

5

0

0

1

1

0

0

3

0

0

1

0

3

3

1

0

0

2

2

0

0

1

0

4

0

4

[A]*[I]= [0]

[B]*[R]*[I]= [B]*[E

Pentru a forma un sistem de ecuatii, sub forma matriceala, se unesc intr-o singura matrice, matricele [A] si [Bse utilizeaza functia Mathcad stack:

M stack A B R ( )

Generarea unui vector cu elemente nule, care va fi adaugat inaintea vectorului tensiunilor, pentru a forma vecttermenilor liberi in sistemul de ecuatii matriceale scris anterior:

O

Oi 0

i 0 rows A( ) 1for

O

O

0

0

0

0

7/21/2019 1 (3)


Formarea cu functiastack a vectorului termenilor libeT stack O B E( ) T

0

0

30

52

29

Vol

M I T

M -- matricea coeficientilor, formata din m atricea [A] s i matricea produs [B]*[R];

T - vectorul tensiunilor, adaugat cu vectorul nul;

I M 1

T

M 1

0.246

0.133

0.058

0.192

0.621

0.188

0.375

0

0.25

0.25

0.375

0.375

0.088

0.2

0.275

0.525

0.288

0.188

0.19

0.067

0.096

0.029

0.123

0.094

0.067

0.133

0.067

0.067

0.067

0

0.096

0.067

0.158

0.092

0.029

0.063

mh

Scrierea s istemului matriceal format din ambele ecuatii matriceale corespunzatoare teoremelor lui Kirc

Rezolvarea sistemului cu necunoscute curenti electrici, prininversare matriceala:

I

5

3

4

7

8

1

Amper

7/21/2019 1 (3)


E4

2 V E8

6 V R 1

8 R 2

2 R 3

12 R 4

4

R 5

8 R 6

8 R 7

4 R 8

8

S1 5 6 8( ) S2 1 2 5( ) S3 1 3 4( ) S4 4 7 8( )

N 4 --> numarul de noduri de calcul;

Matricea de incidenta a laturilor la noduri )

Generarea unui vector de elemente nule:

vector linii( ) A 0

A stack A 0( )

i 0 linii 2for

A

vector 8( )

0

0

0

0

0

0

0

0

Să se rezolve circuitul cu metoda potenţialelor la noduri matricial.

Calculul numarului de laturi din circuit: Generarea unei matrice de elemente nule:

7/21/2019 1 (3)


nr laturi maxim 0

X 0

X augment X Si

i 0 rows S( ) 1for

maxim max X( )

maxim

nr laturi 8

matrice linii coloane( ) A vect or linii( )

A augment A vector linii( )( )

i 0 coloane 2for coloane 1if

A

matrice N 8( )

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Compara un numar cu elementele unui vector orizontal:

apartine nr vector orizontal a 0

a 1 nr vector orizontal0 i

if

i 0 cols vector orizontal 1for

a

Incarca cu elemente zero matricea de incidenta a laturilor la nod

matrice rows S( ) 1 nr laturi

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Se compara fiecare element (latura) din fiecare numar structural cu toate laturile; in functie de incident

7/21/2019 1 (3)


noduri a laturilor se inlocuiesc in matricea initializata ca nula, valorile + 1 sau - 1 :

Constr S( ) A matrice rows S( ) 1 nr laturi 1

Ai j 1 apartine j Si 1 1if

Ai j 1 apartine j Si 1 1if

j 0 cols A( ) 1for

i 0 rows A( ) 1for

A

Aq Constr S( ) Aq

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

Elimina prima coloana din matricea de incidenta, aceasta fiind necesara doar incalculele intermediare:

A T Aq 1

T augment T Aq j

j 2 cols Aq( ) 1for

T

Afisarea rezultatului final, adica matricea de incidenta a laturilor la noduri pentru circuitul conside

A

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

Rezolvarea matriceala prin metoda potentialelor nodur

7/21/2019 1 (3)


Rezolvarea matriceala prin metoda potentialelor nodur

Transpusa matricea A de incidenta a laturilor la noduri:

AT

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

Matricea condu ctantelor din circuitul de curent continuu cons iderat

G

1

R 1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 2

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 4

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 5

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 6

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 7

0

0

0

0

0

0

0

0

1

R 8

SiemensG

0.125

0

0

0

0

0

0

0

0

0.5

0

0

0

0

0

0

0

0

0.083

0

0

0

0

0

0

0

0

0.25

0

0

0

0

0

0

0

0

0.125

0

0

0

0

0

0

0

0

0.125

0

0

0

0

0

0

0

0

0.25

0

0

0

0

0

0

0

0

0.125

S

E

0

0

0

E4

0

0

0

E8

E

0

0

0

2

0

0

0

6

V

Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal: A G AT

V A G E

7/21/2019 1 (3)


Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal: A G A V A G E

Se fac notatiile: B A G E A A G AT

Pentru rezolvarea sistemului liniar de ecuatii se va utiliza metoda numericaGauss (de triangularizare) a

matricei coeficientilor. Metoda es te parcursa pas cu pas , fiind detaliate toate aspectele care conduc lobtinerea solutiei. In matricea coeficientilor se anuleaza toate elementele de sub diagonala principal

ORIGIN 1 \\ ridicarea ordinului de pornire a indicilor de la 0 la 1;

n cols A( ) n 4

n last A

1

w A

R A

wi j Ai jAk 1 j

Ak 1 k 1

Ai k 1

j k 1 nfor

i k nfor

k 2 nfor

w

\\ declararea numarului de

elemente de pe prima coloana amatricei A;\\ incarcarea matricei interne w cmatricea A;\\ inceperea instructiunii f o r pentru k;\\ inceperea instructiunii f o r

pentru i;\\ inceperea instructiunii deiterare f o r pt j;\\ recalcularea elementelor w ,dupa elementele matricei A;(f ormula iterata realizeazatriunghiularizarea);

\\ programul returneaza matriceaw recalculata;

0.375 0.125 0 0.125

7/21/2019 1 (3)


\\ afisarea numerica amatricei triunghiularizate;

0

0

0

0.708

0

0

0.125

0.436

0

0.042

0.257

0.429

S

j n 1XnBn

n n Xn 0.5827V \\ ultima variabila a sis temului dedusa din

forma triunghiularizata;i n 1

Xi

Bi

j

if j i i j X j 0

i i

X

1.70673

0.29717

1.48977

0.58265

V

Observatie: solutionarea prin acest algoritm incepe in sis temul triunghiularizat din sus, adica de la ultima variabila la prima, prin procedee iterative.

I

Pot3 Pot2

R 1

Pot3

R 2

Pot2

R 3

Pot4 Pot3 E4

R 4

Pot2 Pot1R 5

Pot1

R 6

Pot4

R 7

Pot1 Pot4

E8

R 8

I

0.149

0.745

0.025

0.273

0.25

0.213

0.146

0.464

amp

Să se rezolve matricial circuitul utilizând metoda curenţilor ciclici

7/21/2019 1 (3)


E1

40 V E2

20 V

R 1

2 R 2

2 R 3

1

R 4

8 R 5

4 R 6

6

B T Bq 1

T augment T Bq j

j 2 cols Bq( ) 1for

T

B

1

0

0

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

Să se rezolve matricial circuitul utilizând metoda curenţilor ciclici

Rezolvarea matriceala prin metoda curentilor ciclici

7/21/2019 1 (3)


p

BT

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

R

R 1

0

0

0

0

0

0

R 2

0

0

0

0

0

0

R 3

0

0

0

0

0

0

R 4

0

0

0

0

0

0

R 5

0

0

0

0

0

0

R

6

Ohm R

2

0

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

8

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

6

E

E1

E2

0

0

0

0

E

40

20

0

0

0

0

V

Ecuatia matriceala a curentilor ciclici: B R BT

Iciclici

B E

M B R BT

T B

M

11

1

8

1

7

4

8

4

18

T

40

20

0

V

Se notează:

Sistemul de ecuatii obtinut se va rezolva cu metodaaproximatiilor succesive. In acest sens, mai jost t it l it li t l d d d l ti i

7/21/2019 1 (3)


este construit un algoritm care aplica etapele de deducere a solutiei.mas M T( ) N 50

m last M 0

Ci i 0

Ci jMi j

Mi i

j iif

j 0 mfor

C

i 0 mfor

DiTi

Mi i

D

i 0 mfor

x 0 D

x k 1

C x k

D

x

k 0 Nfor

x N

\\ numarul de aproximaripropuse;\\ indicele ultimului element dpe o coloana a matricei A;\\ formarea, cu ajutorulinstructiuniif o r , a unei matricicu diagonala principala nulasi celelalte elemente calculatca raport intre elementelematricei A;

\\ matricea C incarcata;

\\ formarea unui vector cuelemente calculate ca raportintre elementele lui B si a lu i

\\ vectorul D incarcat;

\\ initializarea primeiaproximatii cu valoareavectorului D;\\ formula de recurenta asis temului m atriceal;\\ program ul returneazarezultatul numeric al ultimei

iteratii;

Valorile curentilor reali din circuit:

7/21/2019 1 (3)


Iciclici mas M T( ) Iciclici

5

1

2

A

Valorile curentilor reali din circuit:

I BT Iciclici I

5

1

6

3

3

2

A

Se verifica bilantul puterilor :

Pg ET I Pg 220( ) W \\ puterea generata;

PR IT

R I PR 220( ) W \\ puterea absorbita

Iciclici lsolve M T( ) Iciclici

5

1

2

A

Funcţie predefinită în MathCad:

Să se rezolve matricial circuitul utilizând metoda potenţialelor nodurilor

7/21/2019 1 (3)


E1

3 V E2

12 V E5

10 V E6

4 V

R 2

3 R 3

6 R 4

4 R 5

4

r 1

0.2 r 6

0.18 \\ rezis tentele interne ale surselor 1 si

R

r 1

0

0

0

0

0

0

R 2

0

0

0

0

0

0

R 3

0

0

0

0

0

0

R 4

0

0

0

0

0

0

R 5

0

0

0

0

0

0

r 6

Ohm R

0.2

0

0

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

6

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0.18

E

E1

E2

0

0

E5

E6

E

312

0

0

10

4

V

A

1

0

0

11

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

Ecuatiile potentialelor la noduri scrisa matriceal:A R 1

AT

Ur

A R 1

E

R 1

5

0

0

0

0

0

0

0.333

0

0

0

0

0

0

0.167

0

0

0

0

0

0

0.25

0

0

0

0

0

0

0.25

0

0

0

0

0

0

5.556

S

p ţ

Se fac notatiile: T A R 1

E M A R 1

AT

7/21/2019 1 (3)


Se fac notatiile: T A R E M A R A

T

11

26.222

24.722

amp M

5.5

0.5

0

0.5

6.056

5.556

0

5.556

6.056

mh

--> se pune sis temul sub forma:X X care poate fi apoi considerata recurenta;

Pentru solutionarea numerica a sistemului rezultat se folosestemetoda lui Jacobi de a roximare a solutiilor.

ai j 0 i jif

ai jMi j

Mi i otherwise

j 0 cols M( ) 1for

i 0 rows M( ) 1for

a

\\ inceperea instructiunilorfor deiterare pentru trans formareamatricei ;

\\ elementele de pe diagonala

principala se fac 0;

\\ celelalte elemente se s criudupa raportul dat;

7/21/2019 1 (3)


0

0.083

0

0.091

0

0.917

0

0.917

0

\\ afisarea numeric al matricei;

bi

Ti

Mi i

i 0 last T( )for

b

\\ procedeu analog decalcul pentru vectorultermenilor liberi,;

2

4.33

4.083

V

x 1

Ei i

i 0 last for

E

\\ initializarea primeiaproximatii, cu valorilevectorului (fiecare

element din seincarca s i in x);

x 1

2

4.33

4.083

V

m 250 i 1 m \\ numarul de iteratii propuse pentru determinareasolutiei; se reduce pana la valoarea la care solutia sestabilizeaza, fapt se observa din afisul numeric alprocesului de iterare (convergent);

x i

x i 1

\\ formula de recurenta;

7/21/2019 1 (3)


x x \\ formula de recurenta;

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

0 -2 -2. 394 -2. 068 -2. 402 -2. 126 -2. 41 -2. 175 -2. 416 -2. 217

0 -4. 33 -0. 75 -4. 42 7 -1. 387 -4. 50 9 -1. 928 -4. 579 -2. 38 7 -4. 639

0 -4. 083 -0. 11 -3. 395 -0. 021 -2. 81 0. 055 -2. 314 0. 119 -1. 893

V

sol

x k

x k 1

k 1 mfor

x m

\\ extragerea ultimeiiteratii, care seadopta ca solutie asistemului matricealde ecuatii;

sol

2.45205479

4.97260273

0.47945205

V

U AT

Ur U

2.452

2.521

2.521

0.479

0.479

4.493

V

I1

I2

I3

I4

I5

I

6

R 1

U E( )

I1

I2

I3

I4

I5

I

6

2.74

3.16

0.42

0.12

2.62

2.74

A

Aplicaţie practică

7/21/2019 1 (3)


p ţ p

Aplicând T. Kirc. şi punând condiţiile iniţiale sistemul se rezolvă în Mcad:

x 10 r 1 R 1 I b 1 Ia 1

Given

7/21/2019 1 (3)


2 50 x Ia 40 200 0

40 R I b

r 50 x( ) I b R I b r 50 x( ) I b 300 0

R Ia 40

r x Ia R Ia r x Ia 200 0

x

r

I b

Ia

R

Find x r I b Ia R

x

r

I b

Ia

R

19.048

50

0.084

0.084

476.19

x - distanţa până ladefect

Grafuri duale. Circuite duale – MASTER!!!

7/21/2019 1 (3)


[A] [B]

[B] [A]

[I] [U]

1[Z] [Z]

sc[E] [ I ]

Clasic - Dual

Egalând expresiile clasic şi dual avem corespondenţa

[A] [I] 0

[B] [Z] [I] [B] [E]

[B] [U] 0

1sc[A] [Z] [U] [A] [ I ]

1

sc[Z] [E] [I ]

Aplicatie. Circuitul din figură are următoarele date numerice: E1=3[V]; E2=12[V];

7/21/2019 1 (3)


E5=10[V]; E6=4[V]; R2=3[Ω]; R3=6[Ω]; R4=4[Ω]; R5=4[Ω]. Să se afle circuitul dual şi să se

scrie teoremele lui Kirckhhoff pentru circuitul dual şi cel clasic.

Circuitul dat conţine: - nr. noduri: n = 4

- nr. ochiuri o = 3.

n~

o~

Circuitul dual: - nr noduri: =o+1=4

=n-1=3

În interiorul fiecărui ochi al circuitului se alege câte un nod al circuitului dual, iar în

exterior se mai alege un nod.Se unesc nodurile aflate în ochiuri alăturate şi nodul exterior cu laturi ale circuitului dual

pe care se pun conductanţe dacă pe latura tăiată se află rezistenţe şi surse de curent

având valoarea în amperi numeric egală cu a sursei de tensiune în volţi de pe latura

circuitului dat şi cu semn schimbat. Analog se procedează dacă circuitul dat conţine

conductanţe sau surse de curent (analog in curent alternativ condensatoare-bobine)

- nr. ochiuri:

Circuitul dualCircuitul clasic

7/21/2019 1 (3)


̃1 ̃

̃ ̃

̃ ̃

̃4

J2 G

2

J1

J6

J5G

5

̃

̃

̃

̃

G3

2

G4

3

̃

Se transformă sursele reale de curent în surse de tensiune rezultand o altă formă a

i it l i d l t

7/21/2019 1 (3)


circuitului dual este.

V4R

E

G~J~

E~

2

2

2

2

2 V

2

5

R

E

G~J~

E~

5

5

5

55

~

J1

~

E2

~

G2

~

G3

~

G4

~

G5

~

E5

~

~

~

1

4

~

2

~

3

J6

]~

[][ A B

̃1 ̃

̃ ̃

̃ ̃

̃4

J2 G

2

J1

J6

J5G

5

̃

̃

̃

̃

G3

2

G4

3

̃

Pentru determinarea sensului surselor, se va ţine seama că matricea de incidenţă a

laturilor la suprafeţele închise Σ pentru circuitul dual este egală cu matricea B de

apartenenţă a laturilor la contururile Γ pentru circuitul iniţial.

Graful circuitului iniţial

7/21/2019 1 (3)


011000

101101

000110

llllll

Γ

Γ

ΓB

654321

3

2

1

011000

101101

000110

l~

l~

l~

l~

l~

l~

Σ

Σ

ΣA~

654321

3~

2~

1~

]~

[][ A B

Graful circuitului dual se formează din circuitul dual cu observaţia că ramurile şi corzile

din graful circuitului iniţial se schimbă între ele în graful circuitului dual!!!

Sensul laturilor din circuitul dual

f â d4

~

4

7/21/2019 1 (3)


se face cunoscând

BA~

2

1

3

n3

n2

n1

l6

l3

l4

l2

l1

l5

~

J1

~

E2

~

G2

~

G3

~

G4

~

G5

~

E5

~

~

1

~

2

~

3

J6

Deci, 2l

~

şi 3l

~

care au în matrice (+1) şi (+1) vor rezulta că ies din nod 1~Σ .

011000

101101

000110

l~l~l~l~l~l~

Σ

Σ

ΣA~

654321

3~

2~

1~

Se alege aleator sensul pozitiv al suprafeţei (cel al normalei exterioare)1~Σ

Cum3l~

intră în2~Σ şi în matrice are semnul (-) => sensul normalei pentru

2~Σ este

spre exterior etc

Acum se pot determina sensurile surselor din circuitul dual.

Dacă în circuitul dat sensurile surselor coincid cu sensul laturilor atunci şi în circuituldual sensul surselor corespunzătoare vor coincide cu sensurile laturilor determinate în

7/21/2019 1 (3)


dual sensul surselor corespunzătoare vor coincide cu sensurile laturilor determinate în

graful dual.

Dacă sensurile surselor în circuitul iniţial sunt invers faţă de sensurile laturilor acest

lucru se va păstra şi în circuitul dual.

1

2

3

~

~

~

G4

~

G3

~

G2

~

E2

~

~

J6

~

J1

E5

~

G5

~

55445

443361

33222

541

632

321

U~

G~

U~

G~

J~

U~

G~

U~

G~

J~

J~

U~

G~

U~

G~

J~

0U~

U~

U~

0U~

U~

U~

0U~

U~

U~

ochi I~

I~I

I~

II

nod ( 1~

)

( 2~

)

( 3~

)

Ecuaţiile lui Kirckhhoff pentru circuitul dual se vor scrie considerând necunoscuteletensiunile laturilor orientate în sensul laturilor din graf, luând un sens de parcurgere al

ochiurilor din circuitul dual

(de exemplu în bucla ( 321 l~,l

~,l

~) alegem sensul invers lui

1l~

).

Observaţie : Curentul se ia cu “+” dacă sensul său, respectiv sensul laturii

corespunzătoare, intră în nod, iar termenii K K U

~

G

~

se iau cu “+” dacă sensultensiunii care corespunde cu sensul laturii din graf iese din nod.

Dacă se ţine seama căK K

G~R (numer ic) şiK K

J~E~ (numeric) se observă că

7/21/2019 1 (3)


ecuaţiile sunt identice, adică curenţilor din circuitul iniţial le corespund tensiunile

din circuitul dual : U~

I .

nod (1)

(2)

(3)

ochi (1)

(2)

(3)

44555

443361

33222

541

632

321

IR IR E

IR IR EE

IR IR E

0III

0III

0III

55445

443361

33222

541

632

321

U

~

G

~

U

~

G

~

J

~

U~

G~

U~

G~

J~

J~

U~

G~

U~

G~

J~

0U~

U~

U~

0U

~

U

~

U

~

0U~

U~

U~

ochi I~

I

~

I

I~

II

nod ( 1~

)

( 2~

)

(3~

)

1

2

3

~

~

~

G4

~

G3

~

G2

~

E2

~

~

J6

~

J1

E5

~

G5

~

7/21/2019 1 (3)


7/21/2019 1 (3)


MIT concept…

1 (3)

Documents

Transcript of 1 (3)